harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r l } { \| \alpha + \kappa \| _ { \infty } } & { { } = \| \alpha + \kappa \| _ { L ^ { \infty } ( \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } ) } , } & { \| u \| _ { p } } & { { } = \| u \| _ { L ^ { p } ( \Omega ) } } \end{array}
R _ { p e } ( \varepsilon _ { e } , \chi _ { e } ) = \int _ { 0 } ^ { \varepsilon _ { e } } { \frac { d ^ { 2 } W _ { p e } } { d t d \varepsilon _ { \gamma } } ( \varepsilon _ { \gamma } , \varepsilon _ { e } , \chi _ { e } ) d \varepsilon _ { \gamma } } = \frac { \alpha m _ { e } ^ { 2 } c ^ { 4 } } { 3 \sqrt { 3 } \pi \hbar \varepsilon _ { e } } \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { 5 u ^ { 2 } + 7 u + 5 } { ( 1 + u ) ^ { 3 } } \mathrm { K } _ { \frac { 2 } { 3 } } \biggl ( \frac { 2 u } { 3 \chi _ { e } } \biggr ) d u } .
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \{ \| X ^ { \xi } ( t + 1 ) \| ^ { 2 } \} } \\ & { \le \Big ( 1 - \frac 3 2 \lambda _ { 2 } \Big ) \mathbb { E } \{ \| X ^ { \xi } ( t ) \| ^ { 2 } \} + \frac { \lambda _ { 1 } } { 2 r _ { 0 } n } \mathbb { E } \{ \| X ^ { \eta } ( t ) \| ^ { 2 } \} } \\ & { + \frac { \lambda _ { 2 } } { r _ { 0 } n } \mathbb { E } \{ \| X ^ { \Gamma } ( t ) \| ^ { 2 } \} + \frac { 2 c _ { s } \lambda _ { 1 } } { l ^ { ( s ) } } \mathbb { E } \{ X ( t ) \} ^ { T } \xi \tilde { \xi } ^ { T } z ^ { s } } \\ & { - \frac { \lambda _ { 1 } } { r _ { 0 } n l ^ { ( s ) } } \mathbb { E } \{ X ( t ) \} ^ { T } \tilde { M } z ^ { s } + \frac { \lambda _ { 1 } \tilde { l } _ { + } ^ { ( s ) } } { 2 r _ { 0 } n l ^ { ( s ) } } \| z ^ { s } \| ^ { 2 } , } \\ & { \mathbb { E } \{ \| X ^ { \xi } ( t + 1 ) \| ^ { 2 } \} \ge ( 1 - 2 \lambda _ { 2 } ) \mathbb { E } \{ \| X ^ { \xi } ( t ) \| ^ { 2 } \} + \frac { 2 c _ { s } \lambda _ { 1 } } { l ^ { ( s ) } } } \\ & { \mathbb { E } \{ X ( t ) \} ^ { T } \xi \tilde { \xi } ^ { T } z ^ { s } - \frac { \lambda _ { 1 } } { r _ { 0 } n l ^ { ( s ) } } \mathbb { E } \{ X ( t ) \} ^ { T } \tilde { M } z ^ { s } . } \end{array}
\chi = 6 \omega ^ { 2 } ( \omega ^ { 2 } - \Omega ^ { 2 } ) + \frac { 3 \omega ^ { 2 } } { 2 } \left( 1 + 2 \Omega ^ { 2 } + \frac { k _ { x } ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } - \Omega ^ { 2 } } \right) \left( \frac { 1 } { c _ { 1 } + k ^ { 2 } } \right)
{ \boldsymbol { \Delta } } _ { 2 , N S } ^ { * } = { \boldsymbol { \Delta } } _ { 2 } ^ { * ( 1 ) } = \int _ { - \infty } ^ { \infty } { { f ^ { ( 1 ) } } { { \bf { v } } ^ { * } } { { \bf { v } } ^ { * } } d { \bf { v } } } = - \mu \left[ { \left( { \nabla { \bf { u } } } \right) + { { \left( { \nabla { \bf { u } } } \right) } ^ { \mathrm { { T } } } } } \right] ,
\begin{array} { r } { A ^ { \prime } \underline { { k } } _ { n , \varepsilon } ^ { \operatorname* { m a x } ( { \mathcal Z } ) } \log ^ { \mathfrak { m } ^ { \prime } } ( \underline { { k } } _ { n , \varepsilon } ) = A ^ { \prime } \frac { \varepsilon \log ( n ) } { \log \log ( n ) ) ^ { \mathfrak { m } ^ { \prime } } } \log ^ { \mathfrak m ^ { \prime } } \Big ( \big ( \frac { \varepsilon \log ( n ) } { ( \log \log ( n ) ) ^ { \mathfrak { m } ^ { \prime } } } \big ) ^ { 1 / \operatorname* { m a x } ( { \mathcal Z } ) } \Big ) . } \end{array}
{ \left[ \begin{array} { l l l l l } { { \frac { 1 0 0 } { 1 0 } } } & { q . \; h e q a t } & { = } & { 1 0 } & { q . \; h e q a t } \\ { { \frac { 1 0 0 } { 2 0 } } } & { q . \; h e q a t } & { = } & { 5 } & { q . \; h e q a t } \\ { { \frac { 1 0 0 } { 3 0 } } } & { q . \; h e q a t } & { = } & { ( 3 + { \frac { 1 } { 4 } } + { \frac { 1 } { 1 6 } } + { \frac { 1 } { 6 4 } } ) } & { q . \; h e q a t } \\ & & { + } & { ( 1 + { \frac { 2 } { 3 } } ) } & { q . \; r o } \\ { { \frac { 1 0 0 } { 4 0 } } } & { q . \; h e q a t } & { = } & { ( 2 + { \frac { 1 } { 2 } } ) } & { q . \; h e q a t } \\ { { \frac { 1 0 0 } { 5 0 } } } & { q . \; h e q a t } & { = } & { 2 } & { q . \; h e q a t } \\ { { \frac { 1 0 0 } { 6 0 } } } & { q . \; h e q a t } & { = } & { ( 1 + { \frac { 1 } { 2 } } + { \frac { 1 } { 8 } } + { \frac { 1 } { 3 2 } } ) } & { q . \; h e q a t } \\ & & { + } & { ( 3 + { \frac { 1 } { 3 } } ) } & { q . \; r o } \\ { { \frac { 1 0 0 } { 7 0 } } } & { q . \; h e q a t } & { = } & { ( 1 + { \frac { 1 } { 4 } } + { \frac { 1 } { 8 } } + { \frac { 1 } { 3 2 } } + { \frac { 1 } { 6 4 } } ) } & { q . \; h e q a t } \\ & & { + } & { ( 2 + { \frac { 1 } { 1 4 } } + { \frac { 1 } { 2 1 } } + { \frac { 1 } { 4 2 } } ) } & { q . \; r o } \\ { { \frac { 1 0 0 } { 8 0 } } } & { q . \; h e q a t } & { = } & { ( 1 + { \frac { 1 } { 4 } } ) } & { q . \; h e q a t } \\ { { \frac { 1 0 0 } { 9 0 } } } & { q . \; h e q a t } & { = } & { ( 1 + { \frac { 1 } { 1 6 } } + { \frac { 1 } { 3 2 } } + { \frac { 1 } { 6 4 } } ) } & { q . \; h e q a t } \\ & & { + } & { ( { \frac { 1 } { 2 } } + { \frac { 1 } { 1 8 } } ) } & { q . \; r o } \\ { { \frac { 1 0 0 } { 1 0 0 } } } & { q . \; h e q a t } & { = } & { 1 } & { q . \; h e q a t } \end{array} \right] }
\begin{array} { r } { g ( y ^ { + } ) = B _ { 1 } \left[ 1 - \exp \left( - \frac { y ^ { + } } { B _ { 2 } } \right) - \left( \frac { y ^ { + } } { B _ { 3 } } \right) \exp \left( - 0 . B _ { 4 } y ^ { + } \right) \right] \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { W \left( \lambda _ { 0 } \right) } & { { } = \frac { 1 } { 2 \pi } \left[ \tan ^ { - 1 } \Lambda \left( t \right) \right] _ { t = - \infty } ^ { t = - t _ { 1 } } + \frac { 1 } { 2 \pi } \left[ \tan ^ { - 1 } \Lambda \left( t \right) + \pi \right] _ { t = - t _ { 1 } } ^ { t = t _ { 1 } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \overline { { \bf s } } _ { j } } & { = } & { { \bf s } _ { j } + \frac { 1 } { 4 0 } \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } ( \nabla { \bf s } _ { i } - \nabla { \bf s } _ { j } ) ( { \bf x } _ { i } - { \bf x } _ { j } ) } \\ & { = } & { { \bf s } _ { j } + \frac { 1 } { 4 0 } \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } \nabla { \bf s } _ { i } ( { \bf x } _ { i } - { \bf x } _ { j } ) . } \end{array}
\frac { \partial n _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } } { \partial T } \approx \Gamma _ { 1 } \frac { \partial n _ { \mathrm { ~ 1 ~ } } } { \partial T } + \Gamma _ { 2 } \frac { \partial n _ { \mathrm { ~ 2 ~ } } } { \partial T } + \dots ,
\begin{array} { r l } { \tau _ { \mathrm { R } } } & { \approx \frac { 5 } { 2 4 } N ^ { - 1 } \left( \frac { \rho _ { 0 } c _ { P } N ^ { 3 } L ^ { 2 } } { \alpha g F _ { 0 } } \right) ^ { 6 / 5 } \left( \frac { 2 \Omega } { N } \right) ^ { 3 / 5 } \approx \frac { 5 } { 6 } \mathrm { R o } ^ { - 1 / 2 } ~ \tau _ { \mathrm { N R } } \, , } \end{array}
R _ { 0 } ( x _ { B j } , Q ^ { 2 } ) = { \frac { \int _ { a } ^ { b } \sigma _ { 1 } ^ { A } ( x _ { B j } , Q ^ { 2 } , \vec { P } _ { A - 1 } ) d \vec { P } _ { A - 1 } } { \int _ { a } ^ { b } \sigma _ { 1 } ^ { D } ( x _ { B j } , Q ^ { 2 } , \vec { P } _ { A - 1 } ) d \vec { P } _ { A - 1 } } } ~ ,
{ \frac { \partial \overline { { U _ { i } } } } { \partial t } } + { \frac { \partial \overline { { U _ { i } U _ { j } } } } { \partial x _ { j } } } = - { \frac { 1 } { \rho } } { \frac { \partial \overline { { P } } } { \partial x _ { i } } } + \nu { \frac { \partial ^ { 2 } \overline { { U _ { i } } } } { \partial x _ { j } ^ { 2 } } } - { \frac { \partial \overline { { u _ { i } ^ { \prime } u _ { j } ^ { \prime } } } } { \partial x _ { j } } } ~ ~ ; ~ i , j = 1 , 2 , 3
E ^ { ( 1 ) } = - \frac { \mathcal { E } } { k ^ { 2 } \lambda _ { \mathrm { D } } ^ { 2 } } \! \int _ { \Gamma - i \infty } ^ { \Gamma + i \infty } \frac { F ^ { + } ( i s / k ) } { \Xi ^ { + } ( i s / k ) } \, e ^ { s t } \, d s .
\begin{array} { r } { \hat { U } _ { s } ( \hat { q } _ { s } ) = \frac { 1 } { 2 } m _ { s } \omega _ { s } ^ { 2 } \hat { q } _ { s } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 3 ! } g _ { s ^ { 3 } } q _ { s } ^ { 3 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { R } _ { \tau } ^ { \mathrm { r e c } } ( k _ { 0 } ; \hbar ) = } & { \sum _ { j = 1 } ^ { 2 } \sum _ { k _ { 1 } = 1 } ^ { k _ { 0 } } \sum _ { k _ { 2 } = 0 } ^ { k _ { 0 } } \sum _ { \iota \in \mathcal { Q } _ { k _ { 1 } + k _ { 2 } , 2 , j } } \boldsymbol { 1 } _ { \{ k _ { 1 } + k _ { 2 } \geq 6 - j \} } } \\ & { \times \sum _ { ( \boldsymbol { x } _ { 1 } , \boldsymbol { x } _ { 2 } ) \in \mathcal { X } _ { \neq } ^ { k _ { 1 } + k _ { 2 } - 2 } } \mathcal { E } _ { 2 , j } ^ { \mathrm { r e c } } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } , \boldsymbol { x } _ { 1 } , \iota , \frac { t } { \tau _ { 0 } } ; \hbar ) \mathcal { I } _ { 2 , j } ^ { \mathrm { r e c } } ( k _ { 2 } , \boldsymbol { x } _ { 2 } , \iota , \frac { \tau - 1 } { \tau _ { 0 } } t ; \hbar ) } \\ & { + \sum _ { j = 1 } ^ { 2 } \sum _ { k _ { 1 } = 1 } ^ { k _ { 0 } } \sum _ { k _ { 2 } = 0 } ^ { k _ { 0 } } \sum _ { \iota \in \mathcal { Q } _ { k _ { 1 } + k _ { 2 } , 2 , j } } \boldsymbol { 1 } _ { \{ k _ { 1 } + k _ { 2 } \geq 6 - j \} } } \\ & { \times \sum _ { ( \boldsymbol { x } _ { 1 } , \boldsymbol { x } _ { 2 } ) \in \mathcal { X } _ { \neq } ^ { k _ { 1 } + k _ { 2 } - 2 } } \mathcal { E } _ { 2 , j } ^ { \mathrm { r e c } } ( k _ { 1 } + 1 , k _ { 2 } , ( x _ { 2 , k _ { 2 } } , \boldsymbol { x } _ { 1 } ) , \iota , \frac { t } { \tau _ { 0 } } ; \hbar ) \mathcal { I } _ { 2 , j } ^ { \mathrm { r e c } } ( k _ { 2 } , \boldsymbol { x } _ { 2 } , \iota , \frac { \tau - 1 } { \tau _ { 0 } } t ; \hbar ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { t ^ { 2 } } { 2 } \left| \langle \psi _ { n } - \psi _ { 0 } , \psi _ { n } + \psi _ { 0 } \rangle _ { 2 } \right| \leq \frac { t ^ { 2 } } { 2 } \| \psi _ { n } - \psi _ { 0 } \| _ { 2 } \| \psi _ { n } + \psi _ { 0 } \| _ { 2 } \leq \frac { t ^ { 2 } } { 2 } \zeta _ { n } ( 2 \| \psi _ { 0 } \| _ { 2 } + \zeta _ { n } ) = o ( 1 ) , } \end{array}
f _ { + , { \frac { 3 } { 2 } } } f _ { + , { \frac { 1 } { 2 } } } ^ { \prime } e ^ { - { \frac { \bar { \Lambda } _ { + , { \frac { 3 } { 2 } } } + \bar { \Lambda } _ { + , { \frac { 1 } { 2 } } } } { T } } } ( { \frac { 2 G _ { { \frac { 1 } { 2 } } , { \frac { 3 } { 2 } } } } { f _ { + , { \frac { 1 } { 2 } } } } } + { \frac { m _ { + - } } { T } } ) = { \frac { \sqrt { 6 } \alpha _ { s } } { 3 2 \pi ^ { 3 } } } \int _ { 0 } ^ { \omega _ { c } } s ^ { 5 } ( { \frac { 4 } { 8 1 } } - { \frac { 1 } { 9 } } \ln { \frac { s } { \mu } } ) e ^ { - { \frac { s } { T } } } d s + { \frac { \sqrt { 6 } } { 7 2 } } \langle { \frac { \alpha _ { s } } { \pi } } G ^ { 2 } \rangle T ^ { 2 } \; ,
d ^ { c } \, = \, g \, { \frac { 5 \alpha _ { s } } { 7 2 \pi } } \, { \frac { v _ { d } } { m _ { B } ^ { 3 } } } \, f ^ { c } \left( { \frac { \tilde { m } } { m _ { B } } } \right) \mathrm { I m } \left[ \, ( V _ { L } ) _ { 3 1 } \, ( V _ { R } ^ { * } ) _ { 3 1 } \, ( A ^ { D } \lambda ^ { D } + \mu \lambda ^ { D } \tan \beta ) _ { 3 3 } \, \right] .
\begin{array} { r l } { \log p ( \mathbf { y } | X , \theta ) = } & { \underbrace { - \frac { 1 } { 2 } \mathbf { y } ^ { \top } ( K _ { \theta } ( X , X ) + \sigma _ { y } ^ { 2 } I ) ^ { - 1 } \mathbf { y } } _ { \mathrm { e n c o u r a g e s ~ f i t ~ w i t h ~ d a t a } } } \\ & { \underbrace { - \frac { 1 } { 2 } \log | K _ { \theta } ( X , X ) + \sigma _ { y } ^ { 2 } I | } _ { \mathrm { c o n t r o l s ~ m o d e l ~ c a p a c i t y } } - \frac { N } { 2 } \log ( 2 \pi ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \biggl [ - F ( x ) \nabla ^ { 2 } - F ^ { \prime } ( x ) \frac { \partial } { \partial x } \biggr ] \psi _ { X } ( x , y ) = \delta ^ { ( 2 ) } ( { \bf r } - { \bf r _ { v } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { \Omega } e _ { \eta } ^ { i } \wedge d \Big ( \mathrm { l i } _ { \phi } ( f _ { \phi } ^ { j } ) - \mathrm { l i } ( \tilde { e } _ { \Sigma } ^ { j } ) + ( - 1 ) ^ { n - 1 } \mathrm { l i } \big ( \langle d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { j } ) , \eta \rangle _ { \Lambda ^ { 1 } } \big ) \Big ) = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha _ { 1 } } & { \leftrightarrow \{ b _ { i } \to c _ { i } \mid i \mathrm { ~ o d d } \} \quad \alpha _ { 2 } \leftrightarrow \{ b _ { i } \to c _ { i + 2 } \mid i \mathrm { ~ o d d } \} \quad \beta _ { 1 } \leftrightarrow \{ b _ { i } \to c _ { i } \mid i \mid i \mathrm { ~ e v e n } \} \quad \beta _ { 2 } \leftrightarrow \{ b _ { i } \to c _ { i \mid i + 2 } \mid i \mathrm { ~ e v e n } \} } \\ { \gamma _ { 1 } } & { \leftrightarrow \{ c _ { i } \to b _ { i - 1 } \mid i \mathrm { ~ e v e n } \} \quad \gamma _ { 2 } \leftrightarrow \{ c _ { i } \to b _ { i + 1 } \mid i \mathrm { ~ e v e n } \} \quad \lambda _ { 1 } \leftrightarrow \{ c _ { i } \to b _ { i - 1 } \mid i \mathrm { ~ o d d } \} \quad \lambda _ { 2 } \leftrightarrow \{ c _ { i } \to b _ { i + 1 } \mid i \mathrm { ~ o d d } \} } \end{array}
\vartheta _ { 0 } = \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \cdots \int _ { - \infty } ^ { + \infty } { \biggl | } \int _ { 0 } ^ { 1 } e ^ { 2 \pi i ( \alpha _ { n } x ^ { n } + \cdots + \alpha _ { 1 } x ) } d x { \biggr | } ^ { 2 k } d \alpha _ { n } \ldots d \alpha _ { 1 } ,
a _ { 1 } = \frac { \mathrm { i } \gamma _ { r } ^ { e } / 2 } { \left( \omega - \omega _ { 0 e } \right) + \mathrm { i } ( \gamma _ { n r } ^ { e } + \gamma _ { r } ^ { e } ) / 2 } , \quad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \, \, \, \mathrm { t a n } \theta _ { \mathrm { E } 1 } = \frac { 2 \left( \omega - \omega _ { 0 e } \right) } { \gamma _ { r } ^ { e } } \, \, \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \, \, \mathrm { t a n } \theta _ { \mathrm { E } 1 } ^ { \prime } = \frac { \gamma _ { n r } ^ { e } } { \gamma _ { r } ^ { e } } ,
\left\{ \begin{array} { l l } { \mu \Delta w _ { a } ^ { ( 1 ) } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) - \nabla _ { a } q ^ { ( 1 ) } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) = 0 } \\ { \nabla _ { a } w _ { a } ^ { ( 1 ) } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) = 0 , \qquad { \pmb x } \in D _ { f } } \\ { w _ { a } ^ { ( 1 ) } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) = - A _ { b b _ { 1 } } \left( ( { \pmb x } - { \pmb \xi } ) _ { b _ { 1 } } \delta _ { a b } + { \lambda } h _ { c b b _ { 1 } } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) t _ { a c } ( { \pmb x } ) \right) , \qquad { \pmb x } \in \partial D _ { b } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \mathrm { U _ { n } } ( y ^ { \prime } ) \overset { \theta } { \Longrightarrow } } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 ^ { n } n ! } } \left( H _ { n } ( \sqrt { 2 } y ^ { \prime } ) - 2 \sqrt { 2 } \theta x ^ { \prime } n H _ { n - 1 } ( \sqrt { 2 } y ^ { \prime } ) \right) e ^ { - y ^ { \prime 2 } } } \\ & { \times ( 1 + 2 \theta x ^ { \prime } y ^ { \prime } ) } \end{array}
1 = \int _ { V } | \psi ( \mathbf { x } ) | ^ { 2 } d \mathbf { x } = \int _ { V } | { \hat { \mathbf { T _ { n } } } } \psi ( \mathbf { x } ) | ^ { 2 } d \mathbf { x } = | \lambda _ { \mathbf { n } } | ^ { 2 } \int _ { V } | \psi ( \mathbf { x } ) | ^ { 2 } d \mathbf { x }
A ( K ^ { + } \to \mu ^ { + } \nu _ { \mu } ) = { \frac { G _ { \mathrm { F } } } { \sqrt 2 } } V _ { u s } ^ { * } \; ( \bar { \nu } _ { \mu } \mu ^ { - } ) _ { V - A } \; \langle 0 \mid ( \bar { s } u ) _ { V - A } \mid K ^ { + } \rangle .
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \Delta \beta _ { 1 2 } = - } & { { } \Gamma \cos ^ { 2 } \theta , } \\ { \Delta \beta _ { 3 2 } = - } & { { } \Gamma \sin ^ { 2 } \theta , } \end{array} } \end{array}
\quad \: x _ { B } = \frac { \, \left< E _ { B / S } \right> \, } { E _ { S } } = \frac { \left< n _ { B + } \right> } { \, r _ { B } \cdot E _ { S } \, } = \beta \cdot \frac { N _ { B } } { E _ { S } } \approx \frac { \beta } { \delta } \cdot \left( \varepsilon \cdot \frac { N } { E _ { S } } - 1 \right) = 1 - x _ { S } .
{ \begin{array} { r l } { E _ { n } ( x ^ { \mu } ) } & { = E _ { n } + x ^ { \mu } \partial _ { \mu } E _ { n } + { \frac { 1 } { 2 ! } } x ^ { \mu } x ^ { \nu } \partial _ { \mu } \partial _ { \nu } E _ { n } + \cdots } \\ { \left| n ( x ^ { \mu } ) \right\rangle } & { = | n \rangle + x ^ { \mu } | \partial _ { \mu } n \rangle + { \frac { 1 } { 2 ! } } x ^ { \mu } x ^ { \nu } | \partial _ { \mu } \partial _ { \nu } n \rangle + \cdots } \end{array} }
\begin{array} { r l } { u \bigl ( \delta _ { x } \circ ( ( \partial ^ { \beta } ) ^ { \mathbb { C } } \circ \mathfrak { F } ^ { \mathbb { C } } ) \bigr ) } & { = S ^ { - 1 } ( f ) \bigl ( \delta _ { x } \circ ( ( \partial ^ { \beta } ) ^ { \mathbb { C } } \circ \mathfrak { F } ^ { \mathbb { C } } ) \bigr ) = \mathcal { J } ^ { - 1 } \bigl ( R _ { f } ^ { t } ( \delta _ { x } \circ ( ( \partial ^ { \beta } ) ^ { \mathbb { C } } \circ \mathfrak { F } ^ { \mathbb { C } } ) ) \bigr ) } \\ & { = ( \partial ^ { \beta } ) ^ { E } \mathfrak { F } ^ { E } ( f ) ( x ) = ( \partial ^ { \beta } ) ^ { E } \mathfrak { F } ^ { E } ( S ( u ) ) ( x ) . } \end{array}
\chi _ { \mathrm { L F } } ^ { 2 } = \int _ { - f _ { \mathrm { c u t o f f } } } ^ { f _ { \mathrm { c u t o f f } } } \mathop { d f } \frac { \left| \tilde { v } ( f ) - \hat { A } \tilde { s } ( f ) \right| ^ { 2 } } { J ( f ) } .
\begin{array} { r l } { g _ { \bar { i } } } & { { } = \frac { 2 \mathrm { w } _ { i } { \gamma k _ { \mathrm { r } } C _ { \mathrm { e q } } - \tilde { g } _ { i } \left[ { \gamma k _ { \mathrm { r } } - 2 \mathrm { w } _ { i } \mathbf { e } _ { \bar { i } } \cdot \mathbf { n } } \right] } } { { \gamma k _ { \mathrm { r } } + 2 \mathrm { w } _ { i } \mathbf { e } _ { \bar { i } } \cdot \mathbf { n } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { { { \displaystyle \left\{ p _ { \mu } , x ^ { \nu } \right\} = - i \delta _ { \mu } ^ { \nu } , } } } & { { { \displaystyle \left\{ p _ { g } , g \right\} = - i , } } } \\ { { { \displaystyle \left\{ \pi _ { \alpha } ^ { i } , \theta _ { j } ^ { \beta } \right\} = - i \delta _ { j } ^ { i } \delta _ { \alpha } ^ { \beta } , } } } & { { { \displaystyle \left\{ \bar { \pi } _ { \dot { \alpha } i } , \bar { \theta } ^ { \dot { \beta } j } \right\} = - i \delta _ { i } ^ { j } \delta _ { \dot { \alpha } } ^ { \dot { \beta } } . } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { d U - \Delta U d t = \varphi \left( \| U \| _ { p } \right) \varphi \left( \| V \| _ { p } \right) B ( V ) d t + G ( U ) d t + \varphi \left( \| U \| _ { p } \right) \varphi \left( \| V \| _ { p } \right) \sigma ( V ) d \mathbb { W } _ { t } + \mathbf { P } ( b \cdot \nabla U ) d \mathbb { W } _ { t } } \\ & { \nabla \cdot u = 0 } \\ & { U ( 0 ) = U _ { 0 } , } \end{array}
u _ { z } = b _ { 4 } ( x , t ) - \bigg ( \frac { \partial b _ { 1 } } { \partial x } \frac { z ^ { 3 } } { 3 } + \frac { \partial b _ { 2 } } { \partial x } \frac { z ^ { 2 } } { 2 } + \frac { \partial b _ { 3 } } { \partial x } z \bigg ) .
\tau = { \frac { i } { \sqrt { 2 } } } { \frac { { } _ { 2 } F _ { 1 } \left( { \frac { 1 } { 4 } } , { \frac { 3 } { 4 } } , 1 ; 1 - \beta \right) } { { } _ { 2 } F _ { 1 } \left( { \frac { 1 } { 4 } } , { \frac { 3 } { 4 } } , 1 ; \beta \right) } }
\begin{array} { r l } { \int _ { s } ^ { t } \frac { g _ { 1 } ( u ) h _ { 1 } ( u ) - h _ { 2 } ( u ) } { h _ { 3 } ( u ) } \, \mathrm { d } u } & { = \int _ { s } ^ { t } \frac { H _ { 1 } ^ { \prime } ( u ) H _ { 2 } ( T _ { 0 } ) - H _ { 1 } ( T _ { 0 } ) H _ { 2 } ^ { \prime } ( u ) } { H _ { 1 } ( T _ { 1 } ) H _ { 2 } ( T _ { 0 } ) - H _ { 1 } ( T _ { 0 } ) H _ { 2 } ( T _ { 1 } ) } \, \mathrm { d } u = g _ { 1 } ( t ) - g _ { 1 } ( s ) , } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { \infty } d x \, x ^ { 2 } \log \left[ 1 - e ^ { - \left( x ^ { 2 } + m _ { e f f } ^ { 2 } \beta ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } } \right] = - \left( m _ { e f f } \beta \right) ^ { 2 } \, \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { n ^ { 2 } } K _ { 2 } \left( m _ { e f f } \beta n \right) .
\begin{array} { r l } { M _ { \mathrm { { r e s } } } ( E ) } & { \sim \int \mathrm d t \, \mathrm e ^ { \mathrm i \Delta _ { 2 } t } \int ^ { t } \mathrm d t ^ { \prime } \, \sqrt { I _ { \mathrm { I R } } I _ { \mathrm { H 1 5 } } ( t ^ { \prime } ) } \mathrm e ^ { \mathrm i ( \Delta _ { 1 } + \mathrm i \Gamma / 2 - \Delta _ { 2 } ) ( t - t ^ { \prime } ) } } \\ & { \sim \frac { - \mathrm i } { \Delta _ { 1 } + \mathrm i \Gamma / 2 } \int \sqrt { I _ { \mathrm { I R } } I _ { \mathrm { H 1 5 } } ( t ) } \mathrm e ^ { - \mathrm i \Delta _ { 2 } t } \, \mathrm d t , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \exp ( x ( 1 + \epsilon ) ) } & { = 1 + x ( 1 + \epsilon ) + \frac { x ^ { 2 } ( 1 + \epsilon ) ^ { 2 } } { 2 ! } + \dots } \\ & { = \left( 1 + x + \frac { x ^ { 2 } } { 2 ! } + \ldots \right) + \epsilon \, x \left( 1 + x + \frac { x ^ { 2 } } { 2 ! } + \ldots \right) + O ( \epsilon ^ { 2 } ) } \\ & { \approx e ^ { x } ( 1 + \epsilon \, x ) \, , } \end{array}
i \hbar \frac { \partial \Psi ^ { j } ( \textbf { x } _ { j } , t ) } { \partial t } = \left( - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m _ { j } } \Delta + m _ { j } V ^ { j } \right) \Psi ^ { j } ( \textbf { x } _ { j } , t ) ,
\int _ { \sigma } ^ { \infty } { \frac { d \sigma ^ { \prime } } { \sqrt { 1 + 4 { \sigma ^ { \prime } } ^ { 3 } } } } = { \frac { 1 } { 3 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { X ^ { - 2 / 3 } d X } { \sqrt { 1 + 4 X } } } - { \frac { 1 } { 3 } } \int _ { 0 } ^ { \sigma ^ { 3 } } { \frac { X ^ { - 2 / 3 } d X } { \sqrt { 1 + 4 X } } } = i g _ { 3 } ^ { \frac { 1 } { 6 } } ( \eta - \eta _ { \infty } ) ,
\overline { { { \psi } } } \gamma _ { \mu } \psi \simeq i ( \overline { { { \chi } } } _ { 1 } \overline { { { \sigma } } } _ { \mu } \chi _ { 2 } - \overline { { { \chi } } } _ { 2 } \overline { { { \sigma } } } _ { \mu } \chi _ { 1 } ) + { \frac { \delta } { 2 m } } ( \overline { { { \chi } } } _ { 2 } \overline { { { \sigma } } } _ { \mu } \chi _ { 2 } - \overline { { { \chi } } } _ { 1 } \overline { { { \sigma } } } _ { \mu } \chi _ { 1 } ) .
\frac { 1 } { 1 6 } \int d ^ { 2 } \theta \left( \frac { 1 } { g _ { c } ^ { 2 } } + \frac { b _ { 0 } } { 8 \pi ^ { 2 } } t \right) W ^ { a } ( g _ { c } V _ { c } ) W ^ { a } ( g _ { c } V _ { c } ) .
S _ { 2 3 } = { \frac { \ \left[ \ { \mathsf { S } } ^ { \mathsf { I I } } \right] _ { 6 7 1 6 ~ \mathrm { \ A A } + 6 7 3 1 ~ \mathrm { \ A A } } + \left[ \ { \mathsf { S } } ^ { \mathsf { I I I } } \right] _ { 9 0 6 9 ~ \mathrm { \ A A } + 9 5 3 2 ~ \mathrm { \ A A } } \ } { { \Bigl [ } \ { \mathsf { H } } _ { \mathsf { \beta } } { \Bigr ] } _ { 4 8 6 1 ~ \mathrm { \ A A } } } } ~ .
\begin{array} { r } { f _ { \mathrm { ~ C ~ S ~ S ~ } } \left( p _ { A } , p _ { B } | \phi , C , y _ { 0 } \right) = f \left( p _ { A } , p _ { B } | \phi , C , y _ { 0 } , \vec { \zeta } = ( 1 , 1 ) \, \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha ^ { - 1 } \Re ( \hat { \mu } _ { i _ { 3 } } ^ { w _ { c } } ) = } & { \hat { \rho } _ { i _ { 1 } } + \rho _ { S , i _ { 1 } + 1 } + \ldots + \rho _ { S , i _ { 3 } } } \\ { = } & { \hat { \rho } _ { i _ { 1 } } + ( i _ { 3 } - i _ { 1 } ) \frac { n - i _ { 1 } - i _ { 2 } } { 2 } } \\ { < } & { \hat { \rho } _ { i _ { 1 } } + ( i _ { 3 } - i _ { 1 } ) \frac { n - i _ { 1 } - i _ { 3 } } { 2 } } \\ { = } & { \hat { \rho } _ { i _ { 1 } } + \rho _ { i _ { 1 } + 1 } + \ldots + \rho _ { i _ { 3 } } } \\ { = } & { \hat { \rho } _ { i _ { 3 } } } \\ { = } & { - \alpha ^ { - 1 } \Re ( s _ { i _ { 3 } } ) , } \end{array}
\Omega _ { s } ^ { M } ( t ) = \{ \mathbf { x } \in \Omega _ { s } \, s . t . \, O ( t , \mathbf { x } ) \in [ \varphi _ { O } ^ { - 1 } ( 0 . 7 ) , \varphi _ { O } ^ { - 1 } ( 0 . 3 ) ] \}
\begin{array} { r } { L _ { \mathrm { s } } \approx \frac { \mu _ { 0 } l } { 2 \pi } \left[ \ln \left( \frac { 2 l } { w + t } \right) + \frac { 1 } { 2 } + \frac { w + t } { 3 l } \right] . } \end{array}
\Delta _ { * } ^ { r } : = \{ ( \underbrace { 0 , \ldots , 0 } _ { r _ { 0 } } , \underbrace { x _ { 1 } , \ldots , x _ { 1 } } _ { r _ { 1 } } , \ldots , \underbrace { x _ { d - 1 } , \ldots , x _ { d - 1 } } _ { r _ { d - 1 } } ) \in \mathbb { R } _ { \geq 0 } ^ { n } : x _ { i } \leqslant x _ { i + 1 } \forall i , \sum _ { i = 1 } ^ { d - 1 } r _ { i } x _ { i } = 1 \}
\left[ f \right] _ { x = x _ { 1 } , y = y _ { 1 } } ^ { x = x _ { 2 } , y = y _ { 2 } } = f ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) + f ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ) - f ( x _ { 1 } , y _ { 2 } ) - f ( x _ { 2 } , y _ { 1 } )
\begin{array} { r l } { \dot { I } ^ { \mathrm { L T } } } & { \simeq 5 9 . 5 \, \mathrm { m a s \, y r } ^ { - 1 } , } \\ { \dot { \Omega } ^ { \mathrm { L T } } } & { \simeq 1 6 . 1 \, \mathrm { m a s \, y r } ^ { - 1 } , } \\ { \dot { \omega } ^ { J _ { 2 } } } & { = - 1 7 3 . 0 ^ { \circ } \, \mathrm { y r } ^ { - 1 } , } \\ { \dot { \omega } ^ { \mathrm { G E } } } & { = 3 . 2 \, \mathrm { a r c s e c \, y r } ^ { - 1 } , } \end{array}