harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \widehat { \boldsymbol { y } } } & { = \widehat { \boldsymbol { h } } \boldsymbol { M } _ { 2 } } \\ & { = ( \boldsymbol { h } \odot \widehat { \boldsymbol { \epsilon } } _ { 2 } ) \boldsymbol { M } _ { 2 } } \\ & { = ( \boldsymbol { h } \cdot \mathrm { d i a g } ( \widehat { \boldsymbol { \epsilon } } _ { 2 } ) ) \boldsymbol { M } _ { 2 } } \\ & { = \boldsymbol { h } ( \mathrm { d i a g } ( \widehat { \boldsymbol { \epsilon } } _ { 2 } ) \boldsymbol { M } _ { 2 } ) } \\ & { = f \Big ( \widehat { \boldsymbol { x } } \boldsymbol { M } _ { 1 } + \boldsymbol { b } \Big ) ( \mathrm { d i a g } ( \widehat { \boldsymbol { \epsilon } } _ { 2 } ) \boldsymbol { M } _ { 2 } ) } \\ & { = f \Big ( ( \boldsymbol { x } \odot \widehat { \boldsymbol { \epsilon } } _ { 1 } ) \boldsymbol { M } _ { 1 } + \boldsymbol { b } \Big ) ( \mathrm { d i a g } ( \widehat { \boldsymbol { \epsilon } } _ { 2 } ) \boldsymbol { M } _ { 2 } ) } \\ & { = f \Big ( \boldsymbol { x } \big ( \mathrm { d i a g } ( \widehat { \boldsymbol { \epsilon } } _ { 1 } ) \boldsymbol { M } _ { 1 } \big ) + \boldsymbol { b } \Big ) ( \mathrm { d i a g } ( \widehat { \boldsymbol { \epsilon } } _ { 2 } ) \boldsymbol { M } _ { 2 } ) } \end{array}
- r ^ { 2 } \, d t ^ { 2 } + { \frac { d r ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } } + \cos ^ { 2 } \theta \, d \psi ^ { 2 } + d \theta ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } \theta \, d \Omega _ { 3 } ^ { 2 } + r ^ { 2 } \, d y _ { 1 } ^ { 2 } + { \frac { r ^ { 2 } } { 1 + a ^ { 4 } r ^ { 4 } } } \, d y _ { 2 } ^ { 2 }
\Psi _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L / R } = \Psi \left( r _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L / R , 0 } \right) , \quad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \left\{ \begin{array} { r l } { r _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L , 0 } } & { { } = \frac { \mathbf { U } _ { i + 1 , j } - \mathbf { U } _ { i , j } } { \mathbf { U } _ { i , j } - \mathbf { U } _ { i - 1 , j } } = \frac { \mathbf { U } _ { i + 1 , j } ^ { 0 } - \mathbf { U } _ { i , j } ^ { 0 } } { \mathbf { U } _ { i , j } ^ { 0 } - \mathbf { U } _ { i - 1 , j } ^ { 0 } } } \\ { r _ { i + 1 / 2 , j } ^ { R , 0 } } & { { } = \frac { \mathbf { U } _ { i + 1 , j } - \mathbf { U } _ { i , j } } { \mathbf { U } _ { i + 2 , j } - \mathbf { U } _ { i + 1 , j } } = \frac { \mathbf { U } _ { i + 1 , j } ^ { 0 } - \mathbf { U } _ { i , j } ^ { 0 } } { \mathbf { U } _ { i + 2 , j } ^ { 0 } - \mathbf { U } _ { i + 1 , j } ^ { 0 } } } \end{array} \right. .
\Psi _ { j \, m } ^ { k } = { \frac { 1 } { r } } \left( { \begin{array} { l } { { { u _ { k } \left( r \right) } } } \\ { { { - i \, v _ { k } \left( r \right) \left( { \vec { \sigma } \cdot \vec { n } } \right) } } } \end{array} } \right) \, y _ { j \, m } ^ { k } ( \Omega ) = { \frac { 1 } { r } } \left( { \begin{array} { l } { { { u _ { k } \left( r \right) \, y _ { j \, m } ^ { k } ( \Omega ) } } } \\ { { { i \, v _ { k } \left( r \right) \, y _ { j \, m } ^ { - k } ( \Omega ) } } } \end{array} } \right) .
\begin{array} { r } { \Delta { \cal E } = \left\{ \begin{array} { l l } { - 2 \hbar \Omega _ { 1 } \left( 1 - f ^ { 2 } \right) \sin ^ { 2 } \left( \Omega _ { 2 } \tau \right) , } & { \quad \mathrm { ~ p ~ b a n d ~ } } \\ { 2 \hbar \Omega _ { 1 } \left( 1 - f ^ { 2 } \right) \sin ^ { 2 } \left( \Omega _ { 2 } \tau \right) , } & { \quad \mathrm { ~ h ~ b a n d ~ } } \end{array} \right. . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 1 { \mathrm { ~ r e v o l u t i o n ~ } } } & { { } = 3 6 0 ^ { \circ } = 2 \pi { \mathrm { ~ r a d i a n s , ~ a n d } } } \\ { 1 { \mathrm { ~ r a d } } } & { { } = { \frac { 1 8 0 ^ { \circ } } { \pi } } \approx 5 7 . 2 7 ^ { \circ } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { L } \left( S \! \! \to \! \! W \right) \leq \sum _ { t = 1 } ^ { T } \log \left( \frac { V _ { 1 } ( d , R _ { t } ) } { ( 2 \pi \sigma ^ { 2 } ) ^ { \frac { d } { 2 } } } + \frac { ( 2 \eta _ { t } L ) ^ { d - 1 } ( \sigma _ { t } \sqrt { 2 d } ) } { ( 2 \pi \sigma _ { t } ^ { 2 } ) ^ { \frac { d } { 2 } } ( ( d - 1 ) ! ) } \sum _ { i = 0 } ^ { d - 1 } { \binom { d - 1 } { i } } \left( \frac { \sigma _ { t } \sqrt { 2 d } } { \eta _ { t } L } \right) ^ { i } \Gamma \left( \frac { i + 1 } { 2 } \right) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \Sigma } _ { 1 1 , \beta } ( \boldsymbol { \theta } ) } & { = \boldsymbol { J } _ { \beta } ^ { - 1 } ( \boldsymbol { \theta } ) - \boldsymbol { J } _ { \beta } ^ { - 1 } ( \boldsymbol { \theta } ) \boldsymbol { M } ( \boldsymbol { \theta } ) \boldsymbol { \Sigma } _ { 2 1 , \beta } ( \boldsymbol { \theta } ) , } \\ { \boldsymbol { \Sigma } _ { 2 1 , \beta } ( \boldsymbol { \theta } ) } & { = \left[ \boldsymbol { M } ^ { T } ( \boldsymbol { \theta } ) \boldsymbol { J } _ { \beta } ^ { - 1 } ( \boldsymbol { \theta } ) \boldsymbol { M } ( \boldsymbol { \theta } ) \right] ^ { - 1 } \boldsymbol { M } ^ { T } ( \boldsymbol { \theta } ) \boldsymbol { J } _ { \beta } ^ { - 1 } ( \boldsymbol { \theta } ) , } \\ { . \boldsymbol { \Sigma } _ { 2 2 , \beta } ( \boldsymbol { \theta } ) } & { = \left[ \boldsymbol { M } ^ { T } ( \boldsymbol { \theta } ) \boldsymbol { J } _ { \beta } ^ { - 1 } ( \boldsymbol { \theta } ) \boldsymbol { M } ( \boldsymbol { \theta } ) \right] ^ { - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \lvert \lvert \lvert A _ { U ^ { n } } U ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } \rvert \rvert \lvert ^ { 2 } } & { = } & { t r \big \langle ( A _ { U ^ { n } } U ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } ) ^ { T } \cdot A _ { U ^ { n } } U ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } \big \rangle } \\ & { = } & { - t r \big \langle ( A _ { U ^ { n } } U ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } ) \cdot A _ { U ^ { n } } U ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } \big \rangle } \\ & { = } & { - t r \big \langle ( A _ { U ^ { n } } \cdot ( I + \frac { \Delta t _ { n } } { 2 } A _ { U ^ { n } } ) ^ { - 1 } U ^ { n } ) \cdot ( A _ { U ^ { n } } \cdot ( I + \frac { \Delta t _ { n } } { 2 } A _ { U ^ { n } } ) ^ { - 1 } U ^ { n } ) \big \rangle } \\ & { = } & { - t r \big \langle ( A _ { U ^ { n } } \cdot U ^ { n } ) ^ { T } \cdot ( A _ { U ^ { n } } \cdot U ^ { n } ) \big \rangle + \mathrm { h i g h ~ o r d e r ~ t e r m s } } \\ & { = } & { \lvert \lvert \lvert A _ { U ^ { n } } U ^ { n } \rvert \rvert \rvert ^ { 2 } + \mathrm { h i g h ~ o r d e r ~ t e r m s } . } \end{array}
\hat { P } _ { \pm } ^ { \prime } \stackrel { } { = } \frac { 1 } { \nu _ { \pm } } \left( \hat { P } _ { + , 1 } \otimes \hat { P } _ { \pm , 2 } + \hat { P } _ { - , 1 } \otimes \hat { P } _ { \mp , 2 } \right) = \frac { 1 } { \nu _ { \pm } } \left( \nu _ { + , 1 } \nu _ { \pm , 2 } \hat { P } _ { + , 1 } ^ { \prime } \otimes \hat { P } _ { \pm , 2 } ^ { \prime } + \nu _ { - , 1 } \nu _ { \mp , 2 } \hat { P } _ { - , 1 } ^ { \prime } \otimes \hat { P } _ { \mp , 2 } ^ { \prime } \right)
\begin{array} { r l } { T _ { i j } ^ { n } } & { = \Big \langle \frac { \partial u _ { n , \mathbf { k } } } { \partial k _ { i } } \Big | \frac { \partial u _ { n , \mathbf { k } } } { \partial k _ { j } } \Big \rangle } \\ & { \qquad \qquad - \Big \langle \frac { \partial u _ { n , \mathbf { k } } } { \partial k _ { i } } \Big | u _ { n , \mathbf { k } } \Big \rangle \Big \langle u _ { n , \mathbf { k } } \Big | \frac { \partial u _ { n , \mathbf { k } } } { \partial k _ { j } } \Big \rangle . } \end{array}
\Omega _ { i j , l } ^ { n \rightarrow m } = \frac { \Gamma ^ { m \rightarrow n } } { 2 } ( \mathbf { d } _ { i j } ^ { n m } \cdot \boldsymbol { \epsilon } _ { l } ^ { \prime } ) \sqrt { 2 s _ { l } ( \mathbf { r } , t ) } ,
{ \mathsf { E X P S P A C E } } = \bigcup _ { k \in \mathbb { N } } { \mathsf { D S P A C E } } \left( 2 ^ { n ^ { k } } \right) = \bigcup _ { k \in \mathbb { N } } { \mathsf { N S P A C E } } \left( 2 ^ { n ^ { k } } \right)
\begin{array} { r l r } { \dot { \rho } _ { r } } & { = } & { C _ { r - 1 } + \alpha _ { r } ^ { ( 0 ) } \theta + r \rho _ { r - 1 } ^ { \mu } \dot { u } _ { \mu } - \nabla _ { \mu } \rho _ { r - 1 } ^ { \mu } + \frac { G _ { 3 r } } { D _ { 2 0 } } \partial _ { \mu } n ^ { \mu } + \left[ ( r - 1 ) \rho _ { r - 2 } ^ { \mu \nu } + \frac { G _ { 3 r } } { D _ { 2 0 } } \pi ^ { \mu \nu } \right] \sigma _ { \mu \nu } } \\ & { + } & { \frac { 1 } { 3 } \left[ ( r - 1 ) m ^ { 2 } \rho _ { r - 2 } - ( r + 2 ) \rho _ { r } - 3 \frac { G _ { 2 r } } { D _ { 2 0 } } \Pi \right] \theta . } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { 0 } p ( s _ { 2 } ( t ) ) e ^ { - \int _ { 0 } ^ { t } D ( r ) \, d r } } & { \leq \operatorname* { m i n } _ { h \in [ 0 , \omega ] } \left\{ \frac { \varepsilon \, ( x _ { 2 } + y _ { 2 } ) ( h ) } { 2 } \right\} e ^ { - \int _ { t _ { 0 } - \omega } ^ { t } D ( r ) \, d r } } \\ & { \leq \frac { \varepsilon } { 2 } ( x _ { 2 } + y _ { 2 } ) ( t ) e ^ { - ( t - t _ { 0 } ) \varepsilon } } \\ & { \leq \frac { \varepsilon } { 2 } w ( t ) , } \end{array}
\zeta ( s _ { n } ) = \operatorname* { l i m } _ { s \to s _ { n } } { \frac { \eta ( s ) } { 1 - { \frac { 2 } { 2 ^ { s } } } } } = \operatorname* { l i m } _ { s \to s _ { n } } { \frac { \eta ( s ) - \eta ( s _ { n } ) } { { \frac { 2 } { 2 ^ { s _ { n } } } } - { \frac { 2 } { 2 ^ { s } } } } } = \operatorname* { l i m } _ { s \to s _ { n } } { \frac { \eta ( s ) - \eta ( s _ { n } ) } { s - s _ { n } } } \, { \frac { s - s _ { n } } { { \frac { 2 } { 2 ^ { s _ { n } } } } - { \frac { 2 } { 2 ^ { s } } } } } = { \frac { \eta ^ { \prime } ( s _ { n } ) } { \log ( 2 ) } } .
\begin{array} { r l } { \int _ { a } ^ { b } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } } & { \left( \| x - \psi ^ { ( \sigma ) } \| ^ { 2 } + \| u ( t , x ) - u ^ { ( \sigma ) } \| ^ { 2 } \right) d \mu ( t , x ) \, d t } \\ & { \leq { \mathcal C _ { 0 } } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \| x - \psi ^ { ( \sigma ) } \| \, d \mu ( a , x ) . } \end{array}
\sqrt { \left( \frac { \sigma - \tilde { \sigma } } { \Delta \sigma } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { A _ { F B } - \tilde { A } _ { F B } } { \Delta A _ { F B } } \right) ^ { 2 } } \leq \; \mathrm { n u m b e r ~ o f ~ s t a n d a r d ~ d e v i a t i o n s } \: .
{ \frac { d } { d \tau } } \mathbf { U } = \gamma { \frac { d } { d t } } ( \gamma c , \gamma { \vec { u } } ) = \gamma \left( { \frac { d } { d t } } [ \gamma c ] , { \frac { d } { d t } } [ \gamma { \vec { u } } ] \right) = \gamma ( c { \dot { \gamma } } , { \dot { \gamma } } { \vec { u } } + \gamma { \dot { \vec { u } } } ) = \mathbf { A }
Z _ { G } = \int \prod _ { x , t } d \mu [ U _ { 0 } ( x , t ) ] \prod _ { x , n } [ \sum _ { r } C _ { r } ^ { N _ { \beta } } ( \beta _ { \sigma } ) ( S p \prod _ { t = 1 } ^ { N _ { \beta } } U _ { 0 } ^ { r } ( x , t ) ) ( S p \prod _ { t = 1 } ^ { N _ { \beta } } U _ { 0 } ^ { + , r } ( x + n , t ) ) ]
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { [ b ] \frac { d } { d t } \int _ { \mathcal { O } } \varphi ( v ) \mathbf { f } ( v , t ) \, d v } & { { } = \frac { 1 } { 2 N } \int _ { \mathcal { O } } \int _ { \mathcal { O } } \left\langle \varphi ( v ^ { \prime } ) - \varphi ( v ) \right\rangle \mathbf { f } ( v , t ) \odot \mathbf { M } \mathbf { f } ( v _ { \ast } , t ) \, d v \, d v _ { \ast } } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { 2 } \frac { d } { d t } \left\| ( h , v ) \right\| _ { L ^ { 2 } \times L ^ { 2 } } ^ { 2 } \leq C \left\| v _ { x } \right\| _ { L ^ { \infty } } \left\| h \right\| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } \leq \left\| \partial _ { x } ^ { 3 } v \right\| _ { L ^ { 2 } } ^ { 3 } + \left\| h \right\| _ { L ^ { 2 } } ^ { 3 } . } \end{array}
\left( a _ { 1 } \, _ { 0 } \mathrm { I } _ { t } ^ { 1 + \alpha } + a _ { 2 } \, _ { 0 } \mathrm { I } _ { t } ^ { \frac { 1 + \alpha - \gamma } { 2 } } + a _ { 3 } \, _ { 0 } \mathrm { D } _ { t } ^ { \gamma } \right) \sigma \left( t \right) = \left( b _ { 1 } \, _ { 0 } \mathrm { I } _ { t } ^ { 1 + \mu } + b _ { 2 } \, _ { 0 } \mathrm { I } _ { t } ^ { \frac { 1 + \mu - \left( \alpha + \gamma - \mu \right) } { 2 } } + b _ { 3 } \, _ { 0 } \mathrm { D } _ { t } ^ { \alpha + \gamma - \mu } \right) \varepsilon \left( t \right) ,
\begin{array} { r l r } { \frac { d N } { d t } } & { = } & { 2 k _ { \mathrm { o n } } - k _ { \mathrm { o f f } } ^ { ( 0 ) } \ N - k _ { \mathrm { o f f } } ^ { ( 1 ) } \ y _ { c } \ \Delta N , } \\ { \frac { d \Delta N } { d t } } & { = } & { - k _ { \mathrm { o f f } } ^ { ( 0 ) } \Delta N - k _ { \mathrm { o f f } } ^ { ( 1 ) } \ N y _ { c } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { r o t } ( t ) } & { = \left[ \begin{array} { l l } { \cos ( 2 \pi t ) } & { - \sin ( 2 \pi t ) } \\ { \sin ( 2 \pi t ) } & { \phantom { - } \cos ( 2 \pi t ) } \end{array} \right] } \\ { A _ { s c a l e } ( t ) } & { = \left[ \begin{array} { l l } { 1 + 0 . 1 t } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 + 0 . 1 t } \end{array} \right] } \\ { \mathrm { s h i f t } ( t ) } & { = \sin ( \pi t ) \left[ \begin{array} { l } { \phantom { - } 0 . 6 } \\ { - 0 . 6 } \end{array} \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } & { E ^ { * } ( ( A _ { 2 , K , I , n } ^ { * } ) ^ { 2 } | \mathcal { Q } _ { I , n } ^ { * } = \mathcal { Q } _ { I , n } , \mathcal { F } _ { I , n } ^ { * } ) } \\ & { = \sum _ { i = 0 } ^ { K } C _ { I - i , i } \left[ \sum _ { k = i } ^ { I + n - 1 } \left( \prod _ { j = i } ^ { k - 1 } \widehat f _ { j , n } ^ { * } \right) \widehat \sigma _ { k , n } ^ { 2 } \left( \prod _ { h = k + 1 } ^ { I + n - 1 } \widehat f _ { h , n } ^ { * 2 } \right) - 2 \left( \sum _ { k = i } ^ { K } \left( \prod _ { j = i } ^ { k - 1 } \widehat f _ { j , n } ^ { * } \right) \widehat \sigma _ { k , n } ^ { 2 } \left( \prod _ { h = k + 1 } ^ { K } \widehat f _ { h , n } ^ { * 2 } \right) \right) \left( \prod _ { l = K + 1 } ^ { I + n - 1 } \widehat f _ { l , n } ^ { * } \right) \right. } \\ & { \quad + \left. \sum _ { k = i } ^ { K } \left( \prod _ { j = i } ^ { k - 1 } \widehat f _ { j , n } ^ { * } \right) \widehat \sigma _ { k , n } ^ { 2 } \left( \prod _ { h = k + 1 } ^ { K } \widehat f _ { h , n } ^ { * 2 } \right) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { 1 } } & { = 1 - \frac { \tau } { \Delta t } \left( 1 - e ^ { - \Delta t / \tau } \right) , } \\ { C _ { 2 } } & { = - \tau + \frac { 2 \tau ^ { 2 } } { \Delta t } - e ^ { - \Delta t / \tau } \left( \frac { 2 \tau ^ { 2 } } { \Delta t } + \tau \right) , } \\ { C _ { 3 } } & { = \frac 1 2 \Delta t - \tau + \frac { \tau ^ { 2 } } { \Delta t } \left( 1 - e ^ { - \Delta t / \tau } \right) , } \\ { C _ { 4 } } & { = \frac { \tau } { \Delta t } \left( 1 - e ^ { - \Delta t / \tau } \right) , } \\ { C _ { 5 } } & { = \tau e ^ { - \Delta t / \tau } - \frac { \tau ^ { 2 } } { \Delta t } ( 1 - e ^ { - \Delta t / \tau } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { f ( \xi ) = \displaystyle \sum _ { k \in \mathbb { Z } } c _ { 0 , k } \phi _ { 0 , k } ( \xi ) + \displaystyle \sum _ { j \ge 0 } \sum _ { k \in \mathbb { Z } } d _ { j , k } \psi _ { j , k } ( \xi ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { 1 } ( a ) } & { = \frac { 2 ^ { 1 + \frac { 1 } { 2 - a } } } { \Gamma \left( \frac { 1 } { 2 - a } \right) } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d v } { v } \left[ \frac { \sqrt { v } } { \cosh v } \right] ^ { \frac { 4 } { 2 - a } } , \quad a < 2 } \\ { C _ { 2 } ( a ) } & { = \left[ \pi ( 1 - a ) ^ { 2 } \right] ^ { \frac { 1 } { 1 - a } } , \quad a < 1 } \\ { C _ { d } ( a ) } & { = \left( \frac { 1 - a } { W _ { d } } \right) ^ { \frac { 1 } { 1 - a } } , \qquad a < 1 , \qquad d \geq 3 \; . } \end{array}
( 1 - \frac { 1 } { \theta } ) ^ { 3 } \cdot \delta ( a _ { s - 2 } , a _ { s - 3 } ) \cdot \sum _ { i _ { 1 } = a _ { s - 2 } + 1 } ^ { a _ { s - 3 } - 1 } \frac { 1 } { \theta ^ { i _ { 3 } } - 1 } \sum _ { i _ { 2 } = a _ { s - 2 } } ^ { i _ { 1 } - 1 } \frac { 1 } { \theta ^ { i _ { 2 } } - 1 } \sum _ { i _ { 3 } = a _ { s - 1 } } ^ { i _ { 2 } - 1 } \frac { 1 } { \theta ^ { i _ { 3 } } - 1 } + \ldots +
\begin{array} { r } { h _ { 1 1 } ^ { T T } ( x ^ { \mu } ) = h _ { + } s _ { \vartheta } ^ { 2 } \, \cos \! \left[ \omega _ { g } ( x ^ { 0 } - c _ { \vartheta } x ^ { 1 } - s _ { \vartheta } x ^ { 3 } ) + \varphi _ { 0 } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { I \ = \ } & { \int _ { 0 } ^ { + \infty } x ^ { 2 } e ^ { - \frac { ( x - Q ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } \ d x } \\ { \ = \ } & { \int _ { - \frac { Q } { \sqrt { 2 } \sigma } . } ^ { + \infty } ( \sqrt { 2 } \sigma u + Q ) ^ { 2 } e ^ { - u ^ { 2 } } \sqrt { 2 } \sigma \ d u } \\ { \ = \ } & { \sqrt { 2 \pi } \sigma g _ { N } ( \sigma ^ { 2 } + Q ^ { 2 } ) + \sigma ^ { 2 } Q e ^ { - \frac { Q ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mu ( \tau ) } & { { } = } & { ( 1 - 2 \, \epsilon ) \; \frac { \cal E } { B _ { 0 } } \; - \; ( 1 - 3 \, \epsilon ) \; \frac { q \Phi _ { 0 } } { B _ { 0 } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \beta _ { c } } { \epsilon _ { 0 } l _ { 0 } } = \frac { \pi ^ { 3 } | \Lambda | } { \epsilon _ { 0 } } , \ \ \ \kappa _ { c } = \frac { 4 | \Lambda | } { \sqrt { 2 \pi N } } \frac { \omega _ { 0 } } { \epsilon _ { 0 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d \sigma _ { P A I } } { d E } = } & { \frac { \alpha } { \beta ^ { 2 } \pi } \frac { \sigma _ { \gamma } ( E ) } { E Z } \ln \big [ ( 1 - \beta ^ { 2 } \epsilon _ { 1 } ) ^ { 2 } + \beta ^ { 4 } \epsilon _ { 2 } ^ { 2 } \big ] ^ { - 1 / 2 } + \frac { \alpha } { \beta ^ { 2 } \pi } \frac { 1 } { N _ { e } \hbar c } \Big ( \beta ^ { 2 } - \frac { \epsilon _ { 1 } } { | \epsilon | ^ { 2 } } \Big ) \Theta } \\ & { + \frac { \alpha } { \beta ^ { 2 } \pi } \frac { \sigma _ { \gamma } ( E ) } { E Z } \ln \Big ( \frac { 2 m c ^ { 2 } \beta ^ { 2 } } { E } \Big ) + \frac { \alpha } { \beta ^ { 2 } \pi } \frac { 1 } { E ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { E } \frac { \sigma _ { \gamma } ( E ^ { \prime } ) } { Z } d E ^ { \prime } , } \end{array}
f ( \delta \mathbf { d } ^ { d * } ) = \frac { 1 } { 2 } { \delta \mathbf { d } ^ { d * } } ^ { T } \mathbf { H } _ { d } ( \mathbf { m } ) { \delta \mathbf { d } ^ { d * } } - { \delta \mathbf { d } ^ { d * } } ^ { T } \delta \mathbf { d } ^ { * }
\begin{array} { r l } { \rho \big ( \, \mathbf P \partial ^ { \circ } \mathbf u _ { T } + w _ { N } \mathbf H \mathbf u _ { T } + ( \nabla _ { \Gamma } \mathbf u _ { T } ) \mathbf u _ { T } \big ) - 2 \mu \mathbf P { \mathop { \, \mathrm { d i v } } } _ { \Gamma } E _ { s } ( \mathbf u _ { T } ) + \nabla _ { \Gamma } p } & { = \mathbf f } \\ { { \mathop { \, \mathrm { d i v } } } _ { \Gamma } \mathbf u _ { T } } & { = f } \end{array}
g ( x , y ) \: T ^ { \mathrm { \scriptsize { r e g } } \: ( - 1 ) } ( x , y ) \; = \; - 2 \: f ^ { j } ( x , y ) \: \frac { \partial } { \partial y ^ { j } } T ^ { \mathrm { \scriptsize { r e g } } \: ( 0 ) } ( x , y ) \; .
\begin{array} { r l } { \tau _ { \mathrm { ~ L ~ B ~ } } } & { { } = \tau _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } - 2 w \sqrt { \frac { 2 \tau _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } ^ { 2 } + \tau _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } \sigma _ { \mathrm { ~ w ~ c ~ } } ^ { 2 } / \sigma _ { x } ^ { 2 } } { m _ { \Delta } } } , } \\ { \bar { n } _ { \mathrm { ~ U ~ B ~ } } } & { { } = \bar { n } _ { \mathrm { ~ w ~ c ~ } } + w \frac { \sigma _ { \mathrm { ~ w ~ c ~ } } ^ { 2 } } { \sqrt { 2 m _ { \Delta } } } , } \end{array}
\langle \sigma _ { \mathrm { { e f f } } } v \rangle = \frac { \int _ { 0 } ^ { \infty } d p _ { \mathrm { e f f } } p _ { \mathrm { { e f f } } } ^ { 2 } W _ { \mathrm { e f f } } K _ { 1 } \left( \frac { \sqrt { s } } { T } \right) } { m _ { 1 } ^ { 4 } T \left[ \sum _ { i } \frac { g _ { i } } { g _ { 1 } } \frac { m _ { i } ^ { 2 } } { m _ { 1 } ^ { 2 } } K _ { 2 } \left( \frac { m _ { i } } { T } \right) \right] ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial P _ { _ R } ^ { ^ { ( \mathrm { I I } ) } } } { \partial t } } & { = - } & { v \frac { \partial P _ { _ R } ^ { ^ { ( \mathrm { I I } ) } } } { \partial x } - \frac { \alpha } { 2 } P _ { _ R } ^ { ^ { ( \mathrm { I I } ) } } + \frac { \alpha } { 2 } P _ { _ L } ^ { ^ { ( \mathrm { I I } ) } } - \gamma P _ { _ R } ^ { ^ { ( \mathrm { I I } ) } } , } \\ { \frac { \partial P _ { _ L } ^ { ^ { ( \mathrm { I I } ) } } } { \partial t } } & { = } & { v \frac { \partial P _ { _ L } ^ { ^ { ( \mathrm { I I } ) } } } { \partial x } - \frac { \alpha } { 2 } P _ { _ L } ^ { ^ { ( \mathrm { I I } ) } } + \frac { \alpha } { 2 } P _ { _ R } ^ { ^ { ( \mathrm { I I } ) } } - \gamma P _ { _ L } ^ { ^ { ( \mathrm { I I } ) } } , } \\ { \frac { \partial P _ { _ B } } { \partial t } } & { = } & { \gamma ( P _ { _ R } ^ { ^ { ( \mathrm { I I } ) } } + P _ { _ L } ^ { ^ { ( \mathrm { I I } ) } } ) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } & { e _ { 1 } \otimes e _ { 1 } , \ \ e _ { 1 } \otimes e _ { 2 } , \; e _ { 2 } \otimes e _ { 2 } , \; e _ { 2 } \otimes e _ { 1 } , \ldots , } \\ & { e _ { 1 } \otimes e _ { n } , e _ { 2 } \otimes e _ { n } , \ldots , e _ { n } \otimes e _ { n } , e _ { n } \otimes e _ { n - 1 } , \ldots , e _ { n } \otimes e _ { 1 } , \ldots } \end{array} }
u _ { t } = 0 . 0 9 2 1 u _ { y y } - 0 . 8 1 4 5 u v ^ { 2 } - 0 . 8 6 4 4 u ^ { 3 } + 0 . 5 2 8 1 v ^ { 3 } + 0 . 5 2 7 9 u ^ { 2 } v + 0 . 4 3 0 7 v + 0 . 7 6 7 4 u - 0 . 1 9 4 2 u ^ { 2 } v u _ { x } + 0 . 1 5 7 0 u v ^ { 2 } u _ { y } - 0 . 2 4 2 7 u v ^ { 2 } v _ { x } + 0 . 1 7 5 2 v ^ { 3 } v _ { y }
\Pi _ { A } ( P _ { - } ) = \frac { 1 } { 2 } i g ^ { 2 } \int \frac { d ^ { 4 } R } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } [ \Pi _ { F } ( P _ { 1 } ) r _ { R } r _ { 1 } a _ { 1 } + \Pi _ { R } ( P _ { 1 } ) r _ { R } r _ { 1 } f _ { 1 } + \Pi _ { A } ( P _ { 1 } ) a _ { 1 } ( r _ { R } f _ { 1 } + f _ { R } a _ { 1 } ) ]
\begin{array} { r l } { [ t ] } & { { } 0 . 8 2 \cdot 8 s _ { 1 / 2 } ^ { 2 } 8 p _ { 1 / 2 } ^ { 1 } 7 d _ { 3 / 2 } ^ { 1 } 6 f _ { 5 / 2 } ^ { 1 } + } \end{array}
{ \boldsymbol { F } } \cdot \mathbf { e } _ { 2 } = F _ { 1 2 } \mathbf { e } _ { 1 } + F _ { 2 2 } \mathbf { e } _ { 2 } = \gamma \mathbf { e } _ { 1 } + \mathbf { e } _ { 2 } \quad \implies \quad { \boldsymbol { F } } \cdot ( \mathbf { e } _ { 2 } \otimes \mathbf { e } _ { 2 } ) = \gamma \mathbf { e } _ { 1 } \otimes \mathbf { e } _ { 2 } + \mathbf { e } _ { 2 } \otimes \mathbf { e } _ { 2 }
\begin{array} { r } { \Lambda ( t ) = e ^ { i \omega t } \int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime } t ^ { \alpha - 1 } e ^ { - i \omega t ^ { \prime } } E _ { \alpha , \alpha } \bigg [ \left( E _ { 1 } / i ^ { \alpha } \right) t ^ { \alpha } \bigg ] ( t - t ^ { \prime } ) ^ { \alpha - 1 } E _ { \alpha , \alpha } \bigg [ \left( E _ { 2 } / i ^ { \alpha } \right) ( t - t ^ { \prime } ) ^ { \alpha } \bigg ] \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac 1 6 \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 } ^ { m } ( w _ { x _ { i } } w _ { y _ { j } } ^ { 3 } + w _ { y _ { j } } w _ { x _ { i } } ^ { 3 } ) } & { = \frac 1 6 \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 } ^ { m } ( w _ { x _ { i } } w _ { y _ { j } } ^ { 3 } ) + \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 } ^ { m } ( w _ { y _ { j } } w _ { x _ { i } } ^ { 3 } ) \right) } \\ { = \frac 1 6 \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } w _ { x _ { i } } \sum _ { j = 1 } ^ { m } w _ { y _ { j } } ^ { 3 } + \sum _ { j = 1 } ^ { m } w _ { y _ { j } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } w _ { x _ { i } } ^ { 3 } \right) } & { = \frac 1 6 \left( 1 \cdot \sum _ { j = 1 } ^ { m } w _ { y _ { j } } ^ { 3 } + 1 \cdot \sum _ { i = 1 } ^ { n } w _ { x _ { i } } ^ { 3 } \right) } \\ & { = \frac 1 6 \sum _ { j = 1 } ^ { m } w _ { y _ { j } } ^ { 3 } + \frac 1 6 \sum _ { i = 1 } ^ { n } w _ { x _ { i } } ^ { 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 1 } & { \equiv \int \mathrm { D } \phi _ { \sigma } \prod _ { \mathbf { r } } \delta \left[ \phi _ { \sigma } ( \mathbf { r } ) - \hat { \phi } _ { \sigma } ( \mathbf { r } ) \right] } \\ & { = \int \mathrm { D } \phi _ { \sigma } \mathrm { D } w _ { \sigma } \exp \left\{ \frac { 1 } { v } \int \mathrm { d } { \mathbf { r } } i w _ { \sigma } ( \mathbf { r } ) \cdot \left[ \phi _ { \sigma } ( \mathbf { r } ) - \hat { \phi } _ { \sigma } ( \mathbf { r } ) \right] \right\} , \ \sigma = \mathrm { p } 1 , \ \mathrm { p } 2 , \ \mathrm { s } } \end{array}
\omega _ { \textup { r e d } } = \frac { \textup { H } } { 2 } \left( ( \lambda + 2 \mu ) \mathcal { A } _ { 1 } ^ { 2 } + \mu ( \mathcal { B } _ { 1 } + \mathcal { A } _ { 3 } ^ { 2 } ) \right) + \frac { \textup { H } ^ { 3 } } { 2 4 } ( \lambda + 2 \mu ) \mathcal { B } _ { 1 } ^ { 2 } \ ,