harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { [ ( \Dot { F } _ { t } \otimes \Dot { F } _ { 0 } ) * k _ { \mathrm { u } } ] ( x , x ^ { \prime } ) } & { = [ ( \Dot { F } _ { t } \otimes \delta _ { 0 } ) * k _ { \mathrm { u } } ] ( x , x ^ { \prime } ) = \partial _ { t } [ ( F _ { t } \otimes \delta _ { 0 } ) * k _ { \mathrm { u } } ] ( x , x ^ { \prime } ) } \\ & { = \partial _ { t } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } k _ { \mathrm { u } } ^ { 0 } ( | x - y | ^ { 2 } , | x ^ { \prime } - y ^ { \prime } | ^ { 2 } ) F _ { t } ( d y ) \delta _ { 0 } ( d y ^ { \prime } ) } \\ & { = \partial _ { t } \frac { 1 } { 4 \pi t } \int _ { S ( 0 , 1 ) } k _ { \mathrm { u } } ^ { 0 } ( | x - t \gamma | ^ { 2 } , | x ^ { \prime } | ^ { 2 } ) t ^ { 2 } d \Omega } \\ & { = \partial _ { t } \frac { \mathrm { s g n } ( t ) } { 4 r } \sum _ { \varepsilon \in \{ - 1 , 1 \} } \varepsilon k _ { 0 } ^ { 1 } ( ( r + \varepsilon | t | ) ^ { 2 } , | x ^ { \prime } | ^ { 2 } ) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 r } \sum _ { \varepsilon \in \{ - 1 , 1 \} } ( r + \varepsilon | t | ) k _ { \mathrm { u } } ^ { 0 } ( ( r + \varepsilon | t | ) ^ { 2 } , | x ^ { \prime } | ^ { 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { V _ { c } } & { { } > 4 \pi \, r _ { c } ^ { 2 } \, \tilde { t } \, \lambda = 6 . 7 \times 1 0 ^ { 7 } \mathrm { m } ^ { 3 } } & { ( \mathrm { s t a r l i g h t } ) \, , } \\ { V _ { c } } & { { } > 9 . 0 \times 1 0 ^ { 1 0 } \mathrm { m } ^ { 3 } } & { ( \mathrm { C M B } ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { f _ { n m } ( k , \tau ) } & { { } = } & { \frac { e ^ { \frac { \lambda } { 4 } k ^ { 2 } } } { 2 \pi } \int \int r d r d \theta H _ { n m } ( r \cos \theta , r \sin \theta ) e ^ { - i k r \cos ( \theta - \tau ) } } \end{array}
\langle \rho _ { \mathrm { Q } , N } \varsigma _ { n \sigma } \rangle = N ^ { - 1 } \langle Q ^ { [ n , \sigma ] , N } \rangle _ { P , V , N } , \quad \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } N ^ { - 1 } \langle Q ^ { [ n , \sigma ] , N } \rangle _ { P , V , N } = \langle Q _ { 0 } ^ { [ n , \sigma ] } \rangle _ { P , V } = \langle \rho _ { \mathrm { Q } } \varsigma _ { n \sigma } \rangle .
\log \tilde { Q } _ { \mathrm { s s } } ( s ) \simeq - \frac { \nu _ { 0 } } { \tau } \int _ { s _ { \mathrm { u v } } } ^ { s } \frac { s d s } { e ^ { - s / \tau } - 1 + s / \tau } \sim - \frac { \nu _ { 0 } } { \tau } \int _ { s _ { \mathrm { u v } } } ^ { s } \frac { 2 \tau ^ { 2 } d s } { s } = - 2 \nu _ { 0 } \tau \log \frac { s } { s _ { \mathrm { u v } } } ,
\begin{array} { r l } & { \left( { { p } _ { x } } \right) _ { 0 } ^ { r 3 } \left( { { x } _ { i + 1 / 2 } } \right) = \left( { { { \bar { Q } } } _ { i - 2 } } - 3 { { { \bar { Q } } } _ { i - 1 } } + 2 { { { \bar { Q } } } _ { i } } \right) / \Delta x , \left( { { p } _ { x } } \right) _ { 0 } ^ { r 3 } \left( { { x } _ { i - 1 / 2 } } \right) = \left( - { { { \bar { Q } } } _ { i - 1 } } + { { { \bar { Q } } } _ { i } } \right) / \Delta x , } \\ & { \left( { { p } _ { x } } \right) _ { 1 } ^ { r 3 } \left( { { x } _ { i + 1 / 2 } } \right) = \left( - { { { \bar { Q } } } _ { i } } + { { { \bar { Q } } } _ { i + 1 } } \right) / \Delta x , \left( { { p } _ { x } } \right) _ { 1 } ^ { r 3 } \left( { { x } _ { i - 1 / 2 } } \right) = \left( - { { { \bar { Q } } } _ { i - 1 } } + { { { \bar { Q } } } _ { i } } \right) / \Delta x , } \\ & { \left( { { p } _ { x } } \right) _ { 2 } ^ { r 3 } \left( { { x } _ { i + 1 / 2 } } \right) = \left( - { { { \bar { Q } } } _ { i } } + { { { \bar { Q } } } _ { i + 1 } } \right) / \Delta x , \left( { { p } _ { x } } \right) _ { 2 } ^ { r 3 } \left( { { x } _ { i - 1 / 2 } } \right) = \left( - 2 { { { \bar { Q } } } _ { i } } + 3 { { { \bar { Q } } } _ { i + 1 } } - { { { \bar { Q } } } _ { i + 2 } } \right) / \Delta x . } \end{array}
\begin{array} { r r r r r r r r } { x _ { 0 } ^ { 2 } x _ { 1 } ^ { 2 } , } & { x _ { 0 } ^ { 2 } x _ { 1 } x _ { 2 } , } & { x _ { 0 } ^ { 2 } x _ { 1 } x _ { 3 } , } & { x _ { 0 } ^ { 2 } x _ { 2 } ^ { 2 } , } & { x _ { 0 } ^ { 2 } x _ { 2 } x _ { 3 } , } & { x _ { 0 } ^ { 2 } x _ { 3 } ^ { 2 } , } & { x _ { 0 } x _ { 1 } ^ { 2 } x _ { 2 } , } & { x _ { 0 } x _ { 1 } ^ { 2 } x _ { 3 } , } \\ { x _ { 0 } x _ { 1 } x _ { 2 } ^ { 2 } , } & { x _ { 0 } x _ { 1 } x _ { 2 } x _ { 3 } , } & { x _ { 0 } x _ { 1 } x _ { 3 } ^ { 2 } , } & { x _ { 0 } x _ { 2 } ^ { 2 } x _ { 3 } , } & { x _ { 0 } x _ { 2 } x _ { 3 } ^ { 2 } , } & { x _ { 1 } ^ { 2 } x _ { 2 } ^ { 2 } , } & { x _ { 1 } ^ { 2 } x _ { 2 } x _ { 3 } , } & { x _ { 1 } ^ { 2 } x _ { 3 } ^ { 2 } , } \\ { x _ { 1 } x _ { 2 } ^ { 2 } x _ { 3 } , } & { x _ { 1 } x _ { 2 } x _ { 3 } ^ { 2 } , } & { x _ { 2 } ^ { 2 } x _ { 3 } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { W ( \beta , \mu ) } & { { } = \sum _ { p q } w _ { p q } \tilde { a } _ { q } ( \beta , \mu ) a _ { p } ( \beta , \mu ) } \\ { + \frac { 1 } { 4 } \sum _ { p q r s } } & { { } w _ { p q r s } \tilde { a } _ { r } ( \beta , \mu ) \tilde { a } _ { s } ( \beta , \mu ) a _ { q } ( \beta , \mu ) a _ { p } ( \beta , \mu ) , } \\ { Z ( \beta , \mu ) } & { { } = \sum _ { p q } z _ { p q } \tilde { a } _ { q } ( \beta , \mu ) a _ { p } ( \beta , \mu ) } \\ { + \frac { 1 } { 4 } \sum _ { p q r s } } & { { } z _ { p q r s } \tilde { a } _ { r } ( \beta , \mu ) \tilde { a } _ { s } ( \beta , \mu ) a _ { q } ( \beta , \mu ) a _ { p } ( \beta , \mu ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { H } _ { \mathrm { c h a i n } } ^ { \mathrm { 2 D } } = \sum _ { x = 1 } ^ { L } \sum _ { y = 1 } ^ { L } \Big [ } & { u _ { x y } ^ { x } \mu _ { x + 1 } ^ { \dagger } \mu _ { x } n _ { y } ^ { \nu } + u _ { y x } ^ { y } \nu _ { y + 1 } ^ { \dagger } \nu _ { y } n _ { x } ^ { \mu } \Big ] + \mathrm { h . c . } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { r } \frac { \partial } { \partial r } \left[ r \frac { \partial \tilde { D } _ { 0 } ^ { x } } { \partial r } \right] = \tilde { D } _ { 0 } ^ { x } + g \nu r K _ { 1 } ( r ) , } \\ & { \frac { 1 } { r } \frac { \partial } { \partial r } \left[ r \frac { \partial \tilde { D } _ { 2 } ^ { x } } { \partial r } \right] - \frac { 4 } { r ^ { 2 } } \tilde { D } _ { 2 } ^ { x } = \tilde { D } _ { 2 } ^ { x } + g \nu r K _ { 1 } ( r ) , } \\ & { \frac { 1 } { r } \frac { \partial } { \partial r } \left[ r \frac { \partial \tilde { D } _ { 2 } ^ { y } } { \partial r } \right] - \frac { 4 } { r ^ { 2 } } \tilde { D } _ { 2 } ^ { y } = \tilde { D } _ { 2 } ^ { y } + g \nu r K _ { 1 } ( r ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { D _ { x } } & { { } = x \frac { \partial ( \gamma ( x , y ) ) } { \partial x } , \; \; D _ { y } } & { = y \frac { \partial ( \gamma ( x , y ) ) } { \partial y } , \; \; S _ { x } } & { { } = \int _ { 0 } ^ { x } \frac { \gamma ( x , y ) _ { x = t } } { t } d t , \; \; S _ { y } } & { = \int _ { 0 } ^ { y } \frac { \gamma ( x , y ) _ { y = t } } { t } d t , \; \; J ( \gamma ( x , y ) ) } & { { } = \gamma ( x , y ) _ { x = y } , } \end{array}
S = \int d ^ { 2 } x \left[ \pi ^ { - } { \dot { A } _ { - } } + { \varphi } ^ { \prime } { \dot { \varphi } } + ( { \pi ^ { - } } ^ { \prime } + 2 e \varphi ^ { \prime } + M ^ { 2 } A _ { - } ) A _ { + } - \frac { 1 } { 2 } ( \pi ^ { - } + 2 e \varphi ) ^ { 2 } \right] ,
\begin{array} { r l } { | E _ { t 0 } ^ { i } | ^ { 2 } = } & { { } | \sqrt { 1 - | r | ^ { 2 } } E _ { t 0 } ^ { o } | ^ { 2 } + | E _ { r 0 } ^ { o } | ^ { 2 } + r _ { \textrm { E F } } I _ { c } } \end{array}
\begin{array} { r l } { J ( \Delta + 1 , \tilde { k } ) - J ( \Delta , \tilde { k } ) } & { = - P ( \tilde { Z } = \tilde { k } - \Delta ) } \\ & { + \frac { P ( \tilde { Z } = \tilde { k } - \Delta - 1 ) - P ( \tilde { Z } = \tilde { k } - \Delta ) } { P ( \tilde { Z } = \tilde { k } ) } [ P ( \tilde { Z } > \tilde { k } ) - \alpha ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { \mathrm { c y c } } ( G _ { X } , G _ { Y } ) } & { { } = \mathbb { E } _ { x \sim p _ { \mathrm { ~ d ~ a ~ t ~ a ~ } } ( x ) } \left[ \| G _ { Y } ( G _ { X } ( x ) ) - x \| _ { 1 } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { 1 } = } & { - 2 \Big \langle ( \theta _ { \rho } ( \| u ^ { 1 } \| _ { s - 2 } ) - \theta _ { \rho } ( \| u ^ { 2 } \| _ { s - 2 } ) ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v ^ { 1 } - \partial _ { z } v _ { 0 } ^ { 1 } \| _ { L ^ { \infty } } ) D ^ { \alpha } ( u ^ { 1 } \partial _ { x } v ^ { 1 } + w ^ { 1 } \partial _ { z } v ^ { 1 } - \nu \partial _ { z z } v ^ { 1 } ) } \\ & { + \theta _ { \rho } ( \| u ^ { 2 } \| _ { s - 2 } ) ( \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v ^ { 1 } - \partial _ { z } v _ { 0 } ^ { 1 } \| _ { L ^ { \infty } } ) - \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v ^ { 2 } - \partial _ { z } v _ { 0 } ^ { 2 } \| _ { L ^ { \infty } } ) ) D ^ { \alpha } ( u ^ { 1 } \partial _ { x } v ^ { 1 } + w ^ { 1 } \partial _ { z } v ^ { 1 } - \nu \partial _ { z z } v ^ { 1 } ) } \\ & { + \theta _ { \rho } ( \| u ^ { 2 } \| _ { s - 2 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v ^ { 2 } - \partial _ { z } v _ { 0 } ^ { 2 } \| _ { L ^ { \infty } } ) D ^ { \alpha } ( u ^ { 1 } \partial _ { x } v ^ { 1 } + w ^ { 1 } \partial _ { z } v ^ { 1 } - u ^ { 2 } \partial _ { x } v ^ { 2 } - w ^ { 2 } \partial _ { z } v ^ { 2 } ) } \\ & { - \nu \theta _ { \rho } ( \| u ^ { 2 } \| _ { s - 2 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v ^ { 2 } - \partial _ { z } v _ { 0 } ^ { 2 } \| _ { L ^ { \infty } } ) D ^ { \alpha } \partial _ { z z } v , D ^ { \alpha } v \Big \rangle = I _ { 1 1 } + I _ { 1 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { T ^ { \mu \nu } } & { = ( \epsilon + P ^ { \prime } ) u ^ { \mu } u ^ { \nu } + P ^ { \prime } \, g ^ { \mu \nu } - r ^ { \mu \nu } } \\ & { \qquad - 2 c _ { \phi } ( - ) ^ { p } * \! \left( \mu \wedge \tilde { \mu } \right) ^ { ( \mu } u ^ { \nu ) } + { \cal T } ^ { \mu \nu } , } \\ { J } & { = u \wedge n - \tilde { c } _ { \phi } \, { * \tilde { \mu } } + { \cal J } , } \\ { \tilde { J } } & { = u \wedge \tilde { n } - c _ { \phi } \, { * \mu } + { \cal \tilde { J } } , } \\ { L } & { = u \wedge n _ { \ell } + { \cal L } , } \\ { \tilde { L } } & { = u \wedge \tilde { n } _ { \ell } + \tilde { \cal L } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \tilde { \Gamma } _ { k _ { 1 } k _ { 2 } } ^ { r } \tilde { \Gamma } _ { k _ { 3 } k _ { 4 } } ^ { r } - \tilde { \Gamma } _ { k _ { 1 } k _ { 3 } } ^ { r } \tilde { \Gamma } _ { k _ { 2 } k _ { 4 } } ^ { r } + \tilde { \Gamma } _ { k _ { 1 } k _ { 4 } } ^ { r } \tilde { \Gamma } _ { k _ { 2 } k _ { 3 } } ^ { r } = 0 . } \end{array}
\Psi _ { \mathrm { ~ A ~ G ~ P ~ s ~ } } ( \mathbf { r } _ { 1 } ^ { \uparrow } , \dots , \mathbf { r } _ { p } ^ { \uparrow } , \mathbf { r } _ { 1 } ^ { \downarrow } , \dots , \mathbf { r } _ { p } ^ { \downarrow } ) = \operatorname* { d e t } [ \varphi ( \mathbf { r } _ { i } ^ { \uparrow } , \mathbf { r } _ { j } ^ { \downarrow } ) ] .
\begin{array} { r l } { \mathcal { R } _ { s , a } } & { = \Bigm \{ R _ { s , a } \in \mathbb { R } \Bigm | \lvert R _ { s , a } \rvert \leq \alpha _ { s , a } \Bigm \} , \quad \mathrm { a n d } } \\ { \mathcal { P } _ { s , a } } & { = \{ P _ { s , a } : \mathcal { S } \to \mathbb { R } \Bigm | \underbrace { \sum _ { s ^ { \prime } } P _ { s , a } ( s ^ { \prime } ) = 0 } _ { \mathrm { ~ s i m p l e x ~ c o n d i t i o n ~ } } , \lVert P _ { s , a } \rVert _ { p } \leq \beta _ { s , a } \} } \end{array}
\left[ { \begin{array} { r r r r r r r r } { - 4 1 6 } & { - 3 3 } & { - 6 0 } & { 3 2 } & { 4 8 } & { - 4 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 2 4 } & { - 5 6 } & { 1 9 } & { 2 6 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - 4 2 } & { 1 3 } & { 8 0 } & { - 2 4 } & { - 4 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - 4 2 } & { 1 7 } & { 4 4 } & { - 2 9 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 8 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} } \right]
\operatorname* { m a x } _ { | { \boldsymbol { \alpha } } | = n } \bigl \| \partial ^ { \boldsymbol { \alpha } } \tilde { \theta } _ { 0 } \bigr \| _ { L ^ { 2 } ( \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 2 } ) } \leq \| \theta _ { 0 } \| _ { L ^ { 1 } ( \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 2 } ) } n ! \biggl ( \frac { C } { \alpha L _ { \theta _ { 0 } } } \biggr ) ^ { \! n } \, , \quad \forall n \in \ensuremath { \mathbb { N } } .
\hat { B } \equiv \operatorname * { l i m } _ { \stackrel { N , ~ Q ^ { 2 } \rightarrow \infty } { Q ^ { 2 } / N \equiv M ^ { 2 } } } \frac { \left( - Q ^ { 2 } \right) ^ { N } } { \Gamma ( N ) } \left( \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } Q ^ { 2 } } \right) ^ { N }
\bar { \kappa } _ { L } = { 3 \alpha ^ { 2 } B r ( K ^ { + } \to \pi ^ { 0 } e ^ { + } \nu ) \o 2 \pi ^ { 2 } \sin ^ { 4 } \Theta _ { W } } { \tau ( K _ { L } ) \o \tau ( K ^ { + } ) } = 0 . 3 5 4 \cdot 1 0 ^ { - 4 }
\begin{array} { r l r } { a _ { \| p } ^ { 2 } } & { = } & { m _ { e } ^ { 2 } c ^ { 2 } x ^ { 2 } ( n ^ { 2 } + \kappa _ { \| } ^ { 2 } - x ^ { 2 } ) / ( x ^ { 2 } - \kappa _ { \| } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \\ { a _ { \perp p } ^ { 2 } } & { = } & { m _ { e } ^ { 2 } c ^ { 2 } ( n ^ { 2 } + \kappa _ { \| } ^ { 2 } - x ^ { 2 } ) / ( x ^ { 2 } - \kappa _ { \| } ^ { 2 } ) } \end{array}
M = \int ( T _ { 0 } ^ { 0 } - T _ { 1 } ^ { 1 } - T _ { 2 } ^ { 2 } - T _ { 3 } ^ { 3 } ) \cdot \sqrt { - g } d V = \int ( \sigma + 2 p ) \cdot \sqrt { - g } d V = - \int \sigma \cdot \sqrt { - g } d V ,
\phi = \frac { 1 } { 2 } ( p ^ { 2 } + m ^ { 2 } ) \approx 0 , \quad \chi = \frac { i } { 2 } \left( \varepsilon _ { \mu \nu \lambda } p ^ { \mu } \xi _ { a } ^ { \nu } \xi _ { a } ^ { \lambda } + q m \epsilon _ { a b } \xi _ { a } \xi _ { b } \right) \approx 0 ,
\boxed { \begin{array} { r l } { \left\langle \mathcal { O } _ { R _ { 1 } , R _ { 2 } , \mu _ { 1 } , \nu _ { 1 } } ^ { R } ( X A _ { x } , Y A _ { y } ) \right. } & { \left. ( \mathcal { O } _ { S _ { 1 } , S _ { 2 } , \mu _ { 2 } , \nu _ { 2 } } ^ { S } ( X A _ { x } , Y A _ { y } ) ) ^ { \dagger } \right\rangle = } \\ & { m ! n ! \delta ^ { R S } \delta _ { R _ { 1 } S _ { 1 } } \delta _ { R _ { 2 } S _ { 2 } } \delta _ { \nu _ { 1 } \nu _ { 2 } } \mathcal { O } _ { R _ { 1 } , R _ { 2 } , \mu _ { 1 } , \mu _ { 2 } } ^ { R } ( B _ { x } , B _ { y } ) } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \hat { H } = \sum _ { b = 0 } ^ { \infty } \bigg [ } & { - t ^ { b } \bigg ( \hat { a } _ { L } ^ { \dagger } \hat { a } _ { M } + \hat { a } _ { M } ^ { \dagger } \hat { a } _ { R } + \mathrm { H . c . } \bigg ) } \\ & { + \left( \epsilon ^ { b } + \Delta \epsilon ^ { b } \right) \left( \hat { a } _ { L } ^ { \dagger } \hat { a } _ { L } + \hat { a } _ { R } ^ { \dagger } \hat { a } _ { R } \right) } \\ & { + \epsilon ^ { b } \hat { a } _ { M } ^ { \dagger } \hat { a } _ { M } \bigg ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \psi } ( z , t = 0 ) } & { = B _ { 1 } e ^ { z } + B _ { 2 } e ^ { - z } + e ^ { z } \int \frac { e ^ { - z ^ { \prime } } \hat { \omega } ( z ^ { \prime } , 0 ) } { | \mathscr { W } | } d z ^ { \prime } - e ^ { - z } \int \frac { e ^ { z ^ { \prime } } \hat { \omega } ( z ^ { \prime } , 0 ) } { | \mathscr { W } | } d z ^ { \prime } } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } e ^ { ( - 1 ) ^ { i + 1 } z } \bigg [ B _ { i } + \frac { ( - 1 ) ^ { i } } { 2 } J _ { i } ( z ) \bigg ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ M ~ S ~ E ~ } _ { 0 } } & { { } = \frac { 1 } { N _ { 0 } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { 0 } } \left| u \left( 0 , x _ { 0 } ^ { i } \right) - u _ { 0 } ^ { i } \right| ^ { 2 } } \\ { \mathrm { ~ M ~ S ~ E ~ } _ { b } } & { { } = \frac { 1 } { N _ { b } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { b } } \left( \left| u ^ { i } \left( t _ { b } ^ { i } , . \right) - u _ { b } ^ { i } \right| ^ { 2 } \right. } \\ { \mathrm { ~ M ~ S ~ E ~ } _ { f } } & { { } = \frac { 1 } { N _ { f } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { f } } \left| f \left( t _ { f } ^ { i } , x _ { f } ^ { i } \right) \right| ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \delta q _ { \mathrm { s i m } } ^ { * } \right) ^ { 2 } \approx \delta q ^ { * 2 } \left( \tau ^ { * } \right) = } \\ { \left. \left< \left[ \textbf { q } ^ { * } \left( t ^ { * } \right) - \textbf { q } ^ { * } \left( t _ { 1 } ^ { * } \right) \right] ^ { 2 } \right> \right/ \left( 3 N \right) = 2 \tau ^ { * } - 3 + 4 e ^ { - \tau ^ { * } } - e ^ { - 2 \tau ^ { * } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Xi _ { 1 } ^ { \mathrm { i s o } } : = N ^ { - ( | \boldsymbol { l } | + \sum ( J \cup J _ { * } ) + 1 ) / 2 } \sum _ { a b } } & { R _ { a b } \big | \partial ^ { \boldsymbol { l } } \big [ ( G _ { 1 } \mathring { A } _ { 1 } ^ { \prime } ) _ { \boldsymbol { x } a } \big ( G _ { 2 } \big ) _ { b \boldsymbol { y } } \big ] \big | } \\ & { \times \prod _ { \boldsymbol { j } \in J } \big | \partial ^ { \boldsymbol { j } } \big ( G _ { 1 } \mathring { A } _ { 1 } G _ { 2 } \big ) _ { \boldsymbol { x } \boldsymbol { y } } \big | \prod _ { \boldsymbol { j } \in J _ { * } } \big | \partial ^ { \boldsymbol { j } } \big ( G _ { 2 } ^ { * } ( \mathring { A } _ { 1 } ) ^ { * } G _ { 2 } ^ { * } \big ) _ { \boldsymbol { y } \boldsymbol { x } } \big | \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bigg \langle \left( ( \widetilde { I } ^ { U } ) ^ { [ 2 ] } ( \theta , \Delta t ) \right) ^ { 2 } \bigg \rangle } & { = \bigg \langle \left( ( I ^ { U } ) ^ { [ 2 ] } ( \theta \Delta t ) \right) ^ { 2 } \bigg \rangle \exp \left( - \frac { 2 ( 1 - \theta ) \Delta t } { T _ { L } } \right) + \bigg \langle \left( ( I ^ { U } ) ^ { [ 2 ] } ( ( 1 - \theta ) \Delta t ) \right) ^ { 2 } \bigg \rangle } \\ & { = C _ { 0 } \epsilon \frac { T _ { L } } { 2 } \left[ \left( 1 - \exp \left( - \frac { 2 \theta \Delta t } { T _ { L } } \right) \right) \exp \left( - \frac { 2 ( 1 - \theta ) \Delta t } { T _ { L } } \right) + 1 - \exp \left( - \frac { 2 ( 1 - \theta ) \Delta t } { T _ { L } } \right) \right] } \\ & { = C _ { 0 } \epsilon \frac { T _ { L } } { 2 } \left[ 1 - \exp \left( - \frac { 2 \Delta t } { T _ { L } } \right) \right] } \\ & { = \bigg \langle \left( ( I ^ { U } ) ^ { [ 1 ] } ( \Delta t ) \right) ^ { 2 } \bigg \rangle , } \end{array}
\frac { \cos ( \omega _ { m } t - \frac { \omega _ { m } } { c } x _ { r } ) } { \frac { 2 \omega _ { 0 0 } C _ { s } } { \beta \omega _ { m } ^ { 2 } L _ { V } } + \cos ( \omega _ { m } t - \frac { \omega _ { m } } { c } x _ { r } ) } = - 1 ,
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } & { \mathcal L _ { 2 } ( \boldsymbol f , \boldsymbol g , \boldsymbol \lambda _ { 2 } , \lambda _ { 3 } ) = \sum _ { k = 1 } ^ { K } \Big ( \kappa y _ { 1 k } ( \mathcal D _ { k } , \mathcal S _ { k } ) f _ { k } ^ { 2 } + \frac { Z ( \mathcal S _ { k } ) p _ { k } } { r _ { k } + a _ { k } } } \\ & { + \kappa y _ { 2 k } ( \mathcal D _ { k } , \mathcal S _ { k } ) g _ { k } ^ { 2 } \Big ) + \frac { K _ { 0 } p _ { 0 } } { a _ { 0 } } } \\ & { + \sum _ { k = 1 } ^ { K } \lambda _ { 2 k } \Big ( \frac { y _ { 1 k } ( \mathcal D _ { k } , \mathcal S _ { k } ) } { f _ { k } } + \operatorname* { m a x } \left\{ \frac { Z ( \mathcal S _ { k } ) } { r _ { k } + a _ { k } } , \frac { K _ { 0 } } { a _ { 0 } } \right\} } \\ & { + \frac { y _ { 2 k } ( \mathcal D _ { k } , \mathcal S _ { k } ) } { g _ { k } } - T \Big ) + \lambda _ { 3 } \left( \sum _ { k = 1 } ^ { K } f _ { k } - F ^ { \operatorname* { m a x } } \right) , } \end{array} } \end{array}
{ \textstyle \sum _ { { \alpha \beta } } } ( \omega , \rho ) : = \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \sum _ { p = 1 } ^ { P _ { \alpha \beta } ^ { ( i ) } } \kappa ^ { ( i ) } ( \rho ) \! \left( \frac { c _ { p , \alpha \beta } ^ { ( i ) } } { j \omega - a _ { p , \alpha \beta } ^ { ( i ) } } + \frac { c _ { p , \alpha \beta } ^ { ( i ) * } } { j \omega - a _ { p , \alpha \beta } ^ { ( i ) * } } \right) \! , \medskip
f ^ { 3 } ( H ^ { \prime } ) H ^ { \prime \prime } - f ( H ^ { \prime } ) H ^ { - 1 } = F ( \xi ) : = b ^ { - 1 } \int _ { 0 } ^ { \xi } { \bigl ( \frac { U _ { c } } { g ( H ( y ) ) } - 1 \bigr ) d y } .
N = \left( \begin{array} { l l l l } { 2 ( 4 t _ { 2 } + \nu _ { 2 } t _ { 3 } ) } & { 4 ( 4 t _ { 2 } t _ { 3 } - \nu _ { 2 } ) } & { \nu _ { 1 } ( 4 - \nu _ { 2 } t _ { 2 } t _ { 3 } ) } & { 2 \nu _ { 1 } ( \nu _ { 2 } t _ { 2 } + 4 t _ { 3 } ) } \\ { 2 ( \nu _ { 4 } t _ { 1 } + 4 t _ { 4 } ) } & { \nu _ { 3 } ( 4 - \nu _ { 4 } t _ { 1 } t _ { 4 } ) } & { 4 ( 4 t _ { 1 } t _ { 4 } - \nu _ { 4 } ) } & { 2 \nu _ { 3 } ( 4 t _ { 1 } + \nu _ { 4 } t _ { 4 } ) } \end{array} \right) .
\hat { r } ^ { x } = R _ { x } \left( \begin{array} { l l l l } { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) , \, \, \, \hat { r } ^ { y } = R _ { y } \left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) \mathrm { ~ , ~ }
\begin{array} { r l } { \theta ^ { \prime } } & { = - \frac { \sin ( 2 \theta ) } { 1 6 L ( \rho , \theta , \eta ) } \Bigg \{ - 2 8 8 \eta ^ { 4 } \rho \left( \rho ^ { 2 } - 1 \right) ^ { 2 } ( 2 \zeta + \lambda ) \cos ( \theta ) + 5 7 6 \eta ^ { 5 } \left( 1 - \rho ^ { 2 } \right) ^ { 5 / 2 } } \\ & { - 4 8 \eta ^ { 2 } \rho ^ { 3 } \left( \rho ^ { 2 } - 1 \right) ( 2 \zeta + \lambda ) \cos ( \theta ) ( ( \epsilon - 2 ) \cos ( 2 \theta ) + \epsilon + 2 ) } \\ & { + \rho ^ { 5 } ( 2 \zeta + 5 \lambda ) \cos ( \theta ) ( 1 2 \cos ( 2 \theta ) + ( 4 \epsilon - 5 ) \cos ( 4 \theta ) - 4 \epsilon - 1 5 ) } \\ & { + 9 6 \eta ^ { 3 } \rho ^ { 2 } \left( 1 - \rho ^ { 2 } \right) ^ { 3 / 2 } ( ( \epsilon + 4 ) \cos ( 2 \theta ) + \epsilon - 4 ) + 6 \eta \rho ^ { 4 } \sqrt { 1 - \rho ^ { 2 } } ( - 3 6 \cos ( 2 \theta ) + ( 8 \epsilon - 1 ) \cos ( 4 \theta ) - 8 \epsilon - 3 ) \Bigg \} , } \end{array}
i T = \frac { g _ { 2 } \left( 1 - 2 \sin ^ { 2 } \theta _ { w } \right) } { 2 \cos \theta _ { w } } \frac { f ^ { 2 } } { \left( 4 \pi \right) ^ { 2 } } \varepsilon _ { \mu } \bar { u } ( k _ { 1 } ) \gamma ^ { \mu } \left( 1 - \gamma _ { 5 } \right) v ( k ) \left( \frac { m _ { Z } ^ { 2 } } { m _ { h } ^ { 2 } } \right) I ( x )
\begin{array} { r l } { 0 } & { = \frac { \partial } { \partial \alpha } f ( \alpha , \lambda ) = \frac { \partial } { \partial \alpha } \left[ - ( 1 - \alpha ) ( \frac { \lambda } { 1 - \alpha } \log \frac { \lambda } { 1 - \alpha } ) - ( 1 - \alpha ) ( 1 - \frac { \lambda } { 1 - \alpha } ) \log ( 1 - \frac { \lambda } { 1 - \alpha } ) + 2 \alpha \right] } \\ & { = \frac { 1 } { \ln 2 } \left[ - \ln ( 1 - \alpha ) + \ln ( 1 - \alpha - \lambda ) \right] + 2 , } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l } & { { \underset { \mathbf { x } \in \mathbb { Z } ^ { n } } { \mathrm { m a x i m i z e } } } } & & { \mathbf { c } ^ { \mathrm { T } } \mathbf { x } } \\ & { { \mathrm { s u b j e c t ~ t o } } } & & { A \mathbf { x } \leq \mathbf { b } , } \\ & { } & & { \mathbf { x } \geq \mathbf { 0 } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { I _ { \mathrm { L E D } } } & { \propto \int _ { \mathrm { a p e r t u r e } } f ( \theta ( \theta ^ { \prime } ) ) \mathrm { d } \Omega } \\ & { \propto \int _ { 0 } ^ { \arctan { \frac { a } { h } } } f \left( \frac { f _ { 2 } } { f _ { 1 } } \theta ^ { \prime } \right) \sin \theta ^ { \prime } \mathrm { d } \theta ^ { \prime } } \end{array}
\begin{array} { r } { \| \nabla \partial _ { t } ^ { k } f ^ { \prime } ( \phi ) \| ^ { 2 } \leq C \sum _ { 0 \leq j \leq k } \big ( 1 + \| \partial _ { t } ^ { j } \phi \| ^ { 4 } + \| \Delta \partial _ { t } ^ { j } \phi \| ^ { 4 } \big ) \| \nabla \partial _ { t } ^ { j } \phi \| ^ { 2 } \leq C \sum _ { 0 \leq j \leq k } ( 1 + E _ { j } ^ { 2 } ( t ) ) E _ { j } ( t ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { \Delta \bar { Q } \equiv \frac { H _ { 1 } ( \bar { y } , \bar { z } ) G _ { 2 } ( \bar { y } , \bar { z } ) - 0 . 2 1 H _ { 2 } ( \bar { y } , \bar { z } ) G _ { 1 } ( \bar { y } , \bar { z } ) } { G _ { 1 } ( \bar { y } , \bar { z } ) } \geq 0 . } \end{array}