harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\theta _ { m , k } \: ( \tau ) \; \theta _ { m ^ { \prime } , k ^ { \prime } } \: ( \tau ) = \sum _ { \ell = 1 } ^ { k + k ^ { \prime } } \; \theta _ { m k ^ { \prime } - m ^ { \prime } k + 2 \ell k k ^ { \prime } , k k ^ { \prime } ( k + k ^ { \prime } ) } \: ( \tau ) \; \theta _ { m + m ^ { \prime } + 2 \ell k , k + k ^ { \prime } } \: ( \tau ) ,
n _ { 1 } = n _ { 1 } ( { \mathrm { \boldmath ~ \ v a r r h o ~ } } , z - v _ { 1 } t ) ; \; \; n _ { 2 } = n _ { 2 } ( { \mathrm { \boldmath ~ \ v a r r h o ~ } } , z + v _ { 2 } t )
\begin{array} { r } { P \left( \vec { u } | \alpha ( T ) \right) = P \left( u _ { 0 } \right) \prod _ { i = 1 } ^ { M } \Theta \left( u _ { i - 1 } \left. \rightarrow u _ { i } \right| \alpha ( T ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \Theta : \widetilde { \mathrm { S p } } ( \mathsf { W } ) \ni ( g , \xi ) \to \xi \in \mathbb { C } ^ { \times } \, , } \\ & { } & { T \colon \widetilde { \mathrm { S p } } ( \mathsf { W } ) \ni ( g , \xi ) \to \xi \chi _ { c ( g ) } \mu _ { ( g - 1 ) \mathsf { W } } \in \mathcal { S } ^ { * } ( \mathsf { W } ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { E _ { x , p } = \frac { e n _ { 0 } b _ { p } x } { \epsilon _ { 0 } ( a _ { p } + b _ { p } ) } = \frac { e n _ { 0 } x } { \epsilon _ { 0 } ( 1 + \alpha _ { p } ) } } \\ { E _ { y , p } = \frac { e n _ { 0 } a _ { p } y } { \epsilon _ { 0 } ( a _ { p } + b _ { p } ) } = \frac { e n _ { 0 } \alpha _ { p } y } { \epsilon _ { 0 } ( 1 + \alpha _ { p } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( I + m R ^ { 2 } ) \dot { \omega } _ { x } } & { = ( I + 2 m R ^ { 2 } ) \Omega \omega _ { y } - m R \Omega ^ { 2 } y } \\ { ( I + m R ^ { 2 } ) \dot { \omega } _ { y } } & { = - ( I + 2 m R ^ { 2 } ) \Omega \omega _ { x } + m R \Omega ^ { 2 } x } \\ { \dot { x } } & { = R \omega _ { y } } \\ { \dot { y } } & { = - R \omega _ { x } } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \psi _ { \pm } ^ { R } \rangle = } & { { } \frac { 1 } { \sqrt { ( \Delta \pm E ) ^ { 2 } + k _ { x } ^ { 2 } + ( k _ { y } - i \kappa ) ^ { 2 } } } \left( \begin{array} { l } { \Delta \pm E } \\ { k _ { x } + i ( k _ { y } - i \kappa ) } \end{array} \right) } \\ { | \psi _ { \pm } ^ { L } \rangle = } & { { } \frac { 1 } { \sqrt { ( \Delta \pm E ^ { * } ) ^ { 2 } + k _ { x } ^ { 2 } + ( k _ { y } + i \kappa ) ^ { 2 } } } \left( \begin{array} { l } { \Delta \pm E ^ { * } } \\ { k _ { x } + i ( k _ { y } + i \kappa ) } \end{array} \right) . } \end{array}
\frac { d ^ { 2 } W } { d t d \xi } = \frac { \alpha } { \sqrt { 3 } \pi \tau _ { c } \gamma } \left[ \mathrm { I n t } K _ { 5 / 3 } ( b ) + \frac { \xi ^ { 2 } } { 1 - \xi } K _ { 2 / 3 } ( b ) \right] ,
\prod _ { \substack { m , n \geq 1 \, m \leq n ; \, ( m , n ) = 1 } } \left( \frac { 1 } { 1 - z ^ { n } } \right) ^ { \frac { m ^ { 4 } } { n ^ { 5 } } } = \exp \left\{ \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \left( \frac { - n } { 3 0 } + \frac { n ^ { 3 } } { 3 } + \frac { n ^ { 4 } } { 2 } + \frac { n ^ { 5 } } { 5 } \right) \frac { z ^ { n } } { n ^ { 5 } } \right\}
p = 1 , \qquad u = \left\{ \begin{array} { l l } { \operatorname { t a n h } ( \theta ( y - 1 / 4 ) ) , } & { y \leq 1 / 2 } \\ { \operatorname { t a n h } ( \theta ( 3 / 4 - y ) ) , } & { y > 1 / 2 } \end{array} \right. , \qquad v = \delta \sin ( 2 \pi x ) ,
\begin{array} { r } { \hat { H } _ { \mathrm { I } } ( t ) = A \int _ { - L / 2 } ^ { + L / 2 } d z \int d \omega _ { o } \int d \omega _ { e } \hat { a } _ { o } ^ { ( + ) } ( \omega _ { o } ) \hat { a } _ { e } ^ { ( + ) } ( \omega _ { e } ) } \\ { \tilde { \alpha } ( t ) e ^ { - i \{ [ k _ { o } ( \omega _ { o } ) + k _ { e } ( \omega _ { e } ) - k _ { p } ( \omega _ { p } ) ] z - [ \omega _ { o } + \omega _ { e } ] t \} } + c . c . } \end{array}
G _ { m } ( D ; \alpha _ { 1 } , . . . , \alpha _ { m } ) = [ \prod _ { i = 1 } ^ { m } \Gamma ( \alpha _ { i } ) ] ^ { - 1 } ( \prod _ { i = 1 } ^ { m } \int _ { 0 } ^ { \infty } d t _ { i } \, t _ { i } ^ { \alpha _ { i } - 1 } ) \, T ^ { - \frac { D } { 2 } } e ^ { - \frac { 1 } { T } \sum _ { i < j } t _ { i } t _ { j } x _ { i j } ^ { 2 } }
\mathcal { N } _ { 2 } ^ { m } ( \hat { \mathbf { x } } ) = - \nabla _ { S } Y _ { 1 } ^ { m } ( \hat { \mathbf { x } } ) + 2 Y _ { 1 } ^ { m } ( \hat { \mathbf { x } } ) \hat { \mathbf { x } } = \mathbf N ^ { ( m ) } \mathbf Y _ { 2 } , ~ ~ m = - 1 , 0 , 1 ,
\partial _ { t } | P _ { n } | ^ { 2 } \approx P _ { n } ^ { \ast } \Phi _ { n } ^ { ( \varepsilon _ { b } ) } ( P , u ) + P _ { n } ( \Phi _ { n } ^ { ( \varepsilon _ { b } ) } ( P , u ) ) ^ { \ast } - \Gamma | P _ { n } | ^ { 2 } - \gamma ( k _ { n } ) | P _ { n } | ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { T } \dot { \varphi } ( t ) \int G \mathrm { d } \mu _ { t } \mathrm { d } t } & { = \int _ { 0 } ^ { T } \dot { \varphi } ( t ) \int \mathsf { P } _ { t } G \mathrm { d } \mu _ { 0 } \mathrm { d } t } \\ & { = - \int _ { 0 } ^ { T } \varphi ( t ) \int \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \mathsf { P } _ { t } G \mathrm { d } \mu _ { 0 } \mathrm { d } t } \\ & { = - \int _ { 0 } ^ { T } \varphi ( t ) \int \mathsf { L } \mathsf { P } _ { t } G \mathrm { d } \mu _ { 0 } \mathrm { d } t } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { T } \varphi ( t ) \iint \mathsf { D } G \mathsf { D } \mathsf { P } _ { t } \rho \mathrm { d } \pi \mathrm { d } m \mathrm { d } t . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { t = 1 } ^ { T } \frac { \rho ^ { t } } { 2 } \big ( \| z ^ { * } - z ^ { t + 1 } \| ^ { 2 } - \| z ^ { * } - z ^ { t } \| ^ { 2 } \big ) = - \frac { \rho ^ { 1 } } { 2 } \| z ^ { * } - z ^ { 1 } \| ^ { 2 } + \sum _ { t = 2 } ^ { T } \underbrace { \Big ( \frac { \rho ^ { t - 1 } - \rho ^ { t } } { 2 } \Big ) } _ { \leq 0 } \| z ^ { * } - z ^ { t } \| ^ { 2 } + \underbrace { \frac { \rho ^ { T } } { 2 } \| z ^ { * } - z ^ { T + 1 } \| ^ { 2 } } _ { \geq 0 } } \\ & { \geq - \frac { \rho ^ { 1 } } { 2 } U _ { 2 } ^ { 2 } + \sum _ { t = 2 } ^ { T } \Big ( \frac { \rho ^ { t - 1 } - \rho ^ { t } } { 2 } \Big ) U _ { 2 } ^ { 2 } = \frac { - U _ { 2 } ^ { 2 } \rho ^ { T } } { 2 } \geq \frac { - U _ { 2 } ^ { 2 } \rho ^ { \mathrm { m a x } } } { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { R } _ { \mathrm { e f f } , g , g ^ { \prime } } ( t ) } & { { } = R _ { \mathrm { ~ b ~ a ~ s ~ e ~ } } ( t ) C _ { \mathrm { ~ b ~ a ~ s ~ e ~ } , g , g ^ { \prime } } + \Delta R _ { \mathrm { ~ f ~ o ~ o ~ t ~ b ~ a ~ l ~ l ~ } } ( t ) C _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ t ~ c ~ h ~ } , g , g ^ { \prime } } + \Delta R _ { \mathrm { ~ n ~ o ~ i ~ s ~ e ~ } } ( t ) C _ { \mathrm { ~ n ~ o ~ i ~ s ~ e ~ } , g , g ^ { \prime } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\Vert \nabla \left( \psi _ { s , t } ^ { x } ( v ) - v \right) \right\Vert _ { \mathrm { L } _ { x , v } ^ { \infty } } \leq \frac { \Vert \nabla \widetilde { \mathrm { X } } ^ { s ; t } \Vert _ { \mathrm { L } _ { x , v } ^ { \infty } } } { 1 - \Vert \nabla \widetilde { \mathrm { X } } ^ { s ; t } \Vert _ { \mathrm { L } _ { x , v } ^ { \infty } } } \leq \varphi ( T ) \Lambda ( T , \mathrm { R } ) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { P _ { e } ^ { ( n ) } } & { \leq P ( U ) + P ( V ) + \sum _ { j \neq i } P ( E _ { j } ) } \\ & { \leq \varepsilon + \varepsilon + \sum _ { j \neq i } 2 ^ { - n ( I ( X ; Y ) - 3 \varepsilon ) } } \\ & { \leq 2 \varepsilon + ( 2 ^ { n R } - 1 ) 2 ^ { - n ( I ( X ; Y ) - 3 \varepsilon ) } } \\ & { \leq 2 \varepsilon + ( 2 ^ { 3 n \varepsilon } ) 2 ^ { - n ( I ( X ; Y ) - R ) } } \\ & { \leq 3 \varepsilon } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \textbf { H } ( \textbf { r } , \textbf { r } ^ { \prime \prime } ) } & { = \int \textbf { G } ( \textbf { r } , \textbf { r } ^ { \prime } ) \textbf { K } _ { \alpha } ( \textbf { r } ^ { \prime } , \textbf { r } ^ { \prime \prime } ) d ^ { 2 } r ^ { \prime } } \\ & { = \frac { i e ^ { i k z } e ^ { - i \alpha } } { 2 \pi \beta ^ { 2 } } e ^ { \frac { i k } { 2 z } r ^ { 2 } } e ^ { \frac { - i \cot { \alpha } \textbf { r } ^ { \prime \prime 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } e ^ { - \frac { i \gamma ( \textbf { r } ^ { \prime \prime } - \textbf { r } / \gamma ) ^ { 2 } } { 2 \beta ^ { 2 } } } , } \end{array}
| \widetilde { \chi } _ { m } ^ { \omega } - \widetilde { \chi } _ { m } ^ { \sigma } | \leq 2 \operatorname* { s u p } | \widetilde { \chi } | \leq 4 \frac { | \omega - \sigma | } { | \omega | } \operatorname* { s u p } | \widetilde { \chi } | \leq \frac { 4 } { C } \frac { | \omega - \sigma | } { | m | } \operatorname* { s u p } | \widetilde { \chi } | .
\begin{array} { r l r l } { c _ { 1 } ( - \gamma _ { 4 } ) } & { = - c _ { 1 } } & { c _ { 2 } ( - \gamma _ { 4 } ) } & { = c _ { 1 } ^ { 2 } - c _ { 2 } } \\ { c _ { 3 } ( - \gamma _ { 4 } ) } & { = - c _ { 1 } ^ { 3 } + 2 c _ { 1 } c _ { 2 } - c _ { 3 } } & { c _ { 4 } ( - \gamma _ { 4 } ) } & { = c _ { 1 } ^ { 4 } + c _ { 2 } ^ { 2 } - c _ { 3 } c _ { 1 } - c _ { 4 } . } \end{array}
\frac { d } { d t } \left( \frac { g } { 2 } \| \mathbf { h } \| _ { \mathbf { M } } ^ { 2 } + \frac { H } { 2 } \| \mathbf { u } \| _ { \mathbf { M } } ^ { 2 } + \frac { H ^ { 3 } } { 6 } \| \widetilde { \mathbf { D } } \mathbf { u } \| _ { \mathbf { M } } ^ { 2 } \right) = - g \alpha _ { h } \left( { h } _ { P + 1 } ^ { - } - { h } _ { 1 } ^ { + } \right) ^ { 2 } - H \alpha _ { u } \left( { u } _ { P + 1 } ^ { - } - { u } _ { 1 } ^ { + } \right) ^ { 2 } \le 0 ,
\begin{array} { r l } & { \omega ^ { - 1 } \to \omega ^ { - 1 } + \omega _ { 0 } ^ { - 1 } \! \left( - \kappa _ { z } ^ { 3 } + \frac { 3 } { 2 } \kappa _ { z } \kappa _ { x } ^ { 2 } + \kappa _ { z } ^ { 4 } - 3 \kappa _ { z } ^ { 2 } \kappa _ { x } ^ { 2 } + \frac { 3 } { 8 } \kappa _ { x } ^ { 4 } \right) , } \\ & { { \bf v } _ { g } \to { \bf v } _ { g } + c \! \left( \kappa _ { x } ^ { 2 } \kappa _ { z } - \frac { 3 } { 2 } \kappa _ { x } ^ { 2 } \kappa _ { z } ^ { 2 } + \frac { 3 } { 8 } \kappa _ { x } ^ { 4 } \right) \! \bar { \bf z } + c \! \left( \kappa _ { z } ^ { 2 } \kappa _ { x } - \frac { \kappa _ { x } ^ { 3 } } { 2 } - \kappa _ { x } \kappa _ { z } ^ { 3 } + \frac { 3 } { 2 } k _ { x } ^ { 3 } k _ { z } \right) \! \bar { \bf x } \, , } \\ & { \omega ^ { - 1 } { \bf v } _ { g } \to \omega ^ { - 1 } { \bf v } _ { g } + \omega _ { 0 } ^ { - 1 } c \left( - \kappa _ { z } ^ { 3 } + 3 \kappa _ { x } ^ { 2 } \kappa _ { z } + \kappa _ { z } ^ { 4 } - 6 \kappa _ { x } ^ { 2 } \kappa _ { z } ^ { 2 } + \kappa _ { x } ^ { 4 } \right) \bar { \bf z } } \\ & { \qquad + \omega _ { 0 } ^ { - 1 } c \left( 3 \kappa _ { x } \kappa _ { z } ^ { 2 } - \kappa _ { x } ^ { 3 } - 4 \kappa _ { x } \kappa _ { z } ^ { 3 } + 4 \kappa _ { x } ^ { 3 } \kappa _ { z } \right) \bar { \bf x } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { K } ( \boldsymbol { r } _ { i } , \boldsymbol { r } _ { j } ) } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \Big ( \nabla _ { i } ^ { 2 } u ( \boldsymbol { r } _ { i } , \boldsymbol { r } _ { j } ) + \nabla _ { j } ^ { 2 } u ( \boldsymbol { r } _ { i } , \boldsymbol { r } _ { j } ) } \end{array}
\left. { \begin{array} { r l } { \textstyle { \mathtt { U P D A T E ~ c l a u s e } } } & { \{ { \mathtt { U P D A T E \ c o u n t r y } } } \\ { \textstyle { \mathtt { S E T ~ c l a u s e } } } & { \{ { \mathtt { S E T \ p o p u l a t i o n = ~ } } \overbrace { \mathtt { p o p u l a t i o n + 1 } } ^ { \mathtt { e x p r e s s i o n } } } \\ { \textstyle { \mathtt { W H E R E ~ c l a u s e } } } & { \{ { \mathtt { W H E R E \ \underbrace { { n a m e = } \overbrace { ' U S A ^ { \prime } } ^ { e x p r e s s i o n } } _ { p r e d i c a t e } ; } } } \end{array} } \right\} { \textstyle { \texttt { s t a t e m e n t } } }
\Phi _ { K , N } ^ { \lambda } ( \lambda _ { 1 } , \bar { \lambda } _ { 1 } . . . , \lambda _ { N } , \bar { \lambda } _ { N } ) = \int \varphi ( c ) \Pi _ { L = 1 } ^ { K } d c _ { L , K + 1 } . . . d c _ { L , N } \delta ^ { ( m ) } ( \bar { \lambda } _ { L } - c _ { L , K + 1 } \bar { \lambda } _ { K + 1 } - c _ { L , N } \bar { \lambda } _ { N } ) \Pi _ { M = K + 1 } ^ { N } \delta ^ { ( m ) } ( \lambda _ { M } + c _ { 1 , M } \lambda _ { 1 } + . . . + c _ { K , M } \lambda _ { K } ) .
\begin{array} { r } { G _ { b } \left( x _ { 1 } , x _ { 2 } \right) = \sum _ { s } \overline { { G } } _ { b } \left( s \right) U _ { b } \left( x _ { 1 } , s \right) \, U _ { b } ^ { \dag } \left( x _ { 2 } , s \right) \quad , \quad \overline { { G } } _ { b } \left( s \right) = \widetilde { a } \left( s \right) ^ { - 1 } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { P a r t } _ { ( 2 ) } ^ { C _ { 2 ^ { n } } } = } & { ( ( \varepsilon ^ { * } ) ^ { n - 3 } { P a r t } _ { ( 2 ) } ^ { C _ { 8 } } ) [ a _ { \lambda _ { n - 4 } } ^ { \pm } , \cdots , a _ { \lambda _ { 0 } } ^ { \pm } ] } \\ { \oplus } & { ( ( \varepsilon ^ { * } ) ^ { n - 3 } { P a r t } _ { ( 3 ) } ^ { C _ { 8 } } ) [ a _ { \lambda _ { n - 4 } } ^ { \pm } , \cdots , a _ { \lambda _ { 0 } } ^ { \pm } ] } \\ { \oplus } & { ( ( \varepsilon ^ { * } ) ^ { n - 4 } { P a r t } _ { ( 3 ) } ^ { C _ { 1 6 } } ) [ a _ { \lambda _ { n - 5 } } ^ { \pm } , \cdots , a _ { \lambda _ { 0 } } ^ { \pm } ] } \\ { \oplus } & { \cdots } \\ { \oplus } & { ( ( \varepsilon ^ { * } ) ^ { 2 } { P a r t } _ { ( 3 ) } ^ { C _ { 2 ^ { n - 2 } } } ) [ a _ { \lambda _ { 1 } } ^ { \pm } , a _ { \lambda _ { 0 } } ^ { \pm } ] } \\ { \oplus } & { ( ( \varepsilon ^ { * } ) { P a r t } _ { ( 3 ) } ^ { C _ { 2 ^ { n - 1 } } } ) [ a _ { \lambda _ { 0 } } ^ { \pm } ] } \end{array}
\hat { \mathbf { e } } _ { 2 } = \left( \begin{array} { l } { x } \\ { y } \\ { z } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { \cos ( \alpha ) \frac { k _ { z } } { k } } \\ { \sin ( \alpha ) \frac { k _ { z } } { k } } \\ { - \frac { \kappa } { k } } \end{array} \right) ,
\dot { \bar { r } } ( t ) \, = \, \dot { \bar { r } } _ { 0 } + \epsilon ^ { 2 } \dot { \bar { r } } _ { 2 } ( \beta _ { \epsilon } ) \, , \qquad \dot { \bar { z } } ( t ) \, = \, \dot { \bar { z } } _ { 0 } ( \beta _ { \epsilon } ) + \epsilon ^ { 2 } \dot { \bar { z } } _ { 2 } ( \beta _ { \epsilon } ) \, ,
\begin{array} { r } { I _ { \mathrm { d i a g , H } } \approx \sum _ { i = 1 } ^ { { N _ { \mathrm { r } } } } \log _ { 2 } \zeta _ { i } + \sum _ { i = 1 } ^ { { N _ { \mathrm { r } } } } \log _ { 2 } \left( \int _ { 0 } ^ { L } \! \! n _ { i } e ^ { - \frac { z } { \lambda _ { i } } } \, \mathrm { d } z \right) \; , } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { m i n } _ { G } \operatorname* { m a x } _ { D } V ( D , G ) = \mathbb { E } _ { y \sim p _ { \mathrm { ~ d ~ a ~ t ~ a ~ } } ( y ) } [ \log D ( y ) ] + \mathbb { E } _ { z \sim p _ { z } ( z ) } [ \log ( 1 - D ( G ( z ) ) ) ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { x } } & { = \frac { r } { \omega _ { 0 } \sigma _ { \eta } ^ { 2 } } \left[ \frac { 2 x y } { \sigma _ { \eta } \sigma _ { 0 } } \sin \Psi _ { 1 } ( 0 , 2 ) - \cos \Psi _ { 1 } ( 2 , 1 ) \right] , } \\ { \mathcal { E } _ { y } } & { = \frac { r \sigma _ { 0 } } { \sigma _ { \eta } } T _ { 1 } ( 2 ) + \frac { 1 } { \omega _ { 0 } \sigma _ { \eta } } T _ { 2 } , } \\ { \mathcal { E } _ { z } } & { = \frac { \sigma _ { 0 } } { \sigma _ { \eta } } \left[ \frac { 2 r y } { \sigma _ { \eta } \sigma _ { 0 } } \cos \Psi _ { 1 } ( 0 , 1 ) + \sin \Psi _ { 1 } ( 1 , 0 ) \right] . } \end{array}
\mathcal { P } = \left[ \begin{array} { c c c c c c c c c } { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { \cdots } & { 0 } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } { K } & { { } = \frac { \nu _ { a } Q \pi \rho _ { a } \hbar c ( l _ { m } N ( r _ { 2 } ^ { 2 } - r _ { 1 } ^ { 2 } ) B _ { 0 } ) ^ { 2 } } { 3 2 L k _ { B } T } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \rho } \times \left[ \mathbf { E } _ { \ell + 1 } - \mathbf { E } _ { \ell } \right] } & { = - \mathbf { j } _ { m ( \ell ) } = - \sigma _ { m ( \ell ) } \frac { \mathbf { H } _ { \ell } + \mathbf { H } _ { \ell + 1 } } { 2 } } \\ { \hat { \rho } \times \left[ \mathbf { H } _ { \ell + 1 } - \mathbf { H } _ { \ell } \right] } & { = \mathbf { j } _ { e ( \ell ) } = \sigma _ { e ( \ell ) } \frac { \mathbf { E } _ { \ell } + \mathbf { E } _ { \ell + 1 } } { 2 } } \end{array}
\langle E _ { i } \rangle = \int d X _ { i } \, \, \alpha _ { i } X _ { i } ^ { 2 } \, \, p _ { i } ( X _ { i } ) = { \frac { \int d X _ { i } \, \, \alpha _ { i } X _ { i } ^ { 2 } \, \, e ^ { - { \frac { \alpha _ { i } X _ { i } ^ { 2 } } { k _ { B } T } } } } { \int d X _ { i } \, \, e ^ { - { \frac { \alpha _ { i } X _ { i } ^ { 2 } } { k _ { B } T } } } } }
\begin{array} { r l } { \frac { \mu _ { 1 } ^ { D / 2 } Q _ { n } ^ { ( 1 ) } } { \mu _ { 2 } ^ { D / 2 } Q _ { n } ^ { ( 2 ) } } = } & { ( \frac { \mu _ { 1 } } { \mu _ { 2 } } ) ^ { \frac { 3 D + 2 } { 8 } } \sqrt { \frac { | q _ { 0 } ^ { ( 2 ) } | } { | q _ { 0 } ^ { ( 1 ) } | } } \exp \{ i \frac { \arg [ q _ { 0 } ^ { ( 2 ) } ] - \arg [ q _ { 0 } ^ { ( 1 ) } ] } { 2 } \} } \\ & { \exp \{ i [ q _ { 1 / 4 } ^ { ( 1 ) } ( \frac { \hbar \omega } { U _ { \mathrm { p } , 1 } } ) ^ { 1 / 4 } + q _ { 3 / 4 } ^ { ( 1 ) } ( \frac { \hbar \omega } { U _ { \mathrm { p } , 1 } } ) ^ { 3 / 4 } } \\ & { - q _ { 1 / 4 } ^ { ( 2 ) } ( \frac { \hbar \omega } { U _ { \mathrm { p } , 2 } } ) ^ { 1 / 4 } - q _ { 3 / 4 } ^ { ( 2 ) } ( \frac { \hbar \omega } { U _ { \mathrm { p } , 2 } } ) ^ { 3 / 4 } ] \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { h _ { 0 } - h ^ { \star } + \varepsilon } & { = q + \varepsilon ( 1 + \frac { u } { \varepsilon } + c \left( \frac { u } { \varepsilon } \right) ^ { 2 s } ) - c \varepsilon ^ { 1 - 2 s } ( u ^ { 2 s } + \sigma ) + c \varepsilon ^ { 1 - 2 s } \sigma } \\ & { \in \Sigma _ { r - d } ^ { 2 } [ x ] + I _ { r - d } ( h ) [ x ] \subset \Sigma _ { r } ^ { 2 } [ x ] + I _ { r } ( h ) [ x ] \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { 2 } \boldsymbol { \alpha } ^ { ( d _ { K } ) } } & { : = \left( \alpha _ { \hphantom { ( } n } ^ { ( d _ { K } ) } \right) _ { n = - L ^ { ( d _ { K } ) } } ^ { R ^ { ( d _ { K } ) } } \in \mathbb { F } ^ { L ^ { ( d _ { K } ) } + R ^ { ( d _ { K } ) } + 1 } } & { \quad ( 0 \leq L ^ { ( d _ { K } ) } ) \wedge ( 0 \leq R ^ { ( d _ { K } ) } ) ; } \end{array}
{ \frac { \delta { \mathcal { S } } } { \delta \phi } } = { \frac { \partial { \mathcal { L } } } { \partial \phi } } - \partial _ { \mu } \left( { \frac { \partial { \mathcal { L } } } { \partial ( \partial _ { \mu } \phi ) } } \right) + \cdots + ( - 1 ) ^ { m } \partial _ { \mu _ { 1 } } \partial _ { \mu _ { 2 } } \cdots \partial _ { \mu _ { m - 1 } } \partial _ { \mu _ { m } } \left( { \frac { \partial { \mathcal { L } } } { \partial ( \partial _ { \mu _ { 1 } } \partial _ { \mu _ { 2 } } \cdots \partial _ { \mu _ { m - 1 } } \partial _ { \mu _ { m } } \phi ) } } \right) = 0 .
\begin{array} { r l } & { \begin{array} { r l } & { \lambda ( \Delta \xi \Delta \phi ) _ { i , j } u _ { z \_ i , j } ^ { ( k ) } } \\ { = } & { - \biggl [ \frac { ( \Delta \xi ) _ { i - 1 / 2 , j } } { ( \Delta \xi ) _ { i + 1 / 2 , j } } \left( U _ { i + 1 , j } ^ { ( k ) } - U _ { i , j } ^ { ( k ) } \right) + \frac { ( \Delta \xi ) _ { i + 1 / 2 , j } } { ( \Delta \xi ) _ { i - 1 / 2 , j } } \left( U _ { i , j } ^ { ( k ) } - U _ { i - 1 , j } ^ { ( k ) } \right) \biggr ] \Delta \phi _ { i , j } } \\ & { \frac { u _ { \xi \_ i - 1 / 2 , j } ^ { ( k ) } \Delta \xi _ { i + 1 / 2 \_ i , j } + u _ { \xi \_ i + 1 / 2 , j } ^ { ( k ) } \Delta \xi _ { i \_ i - 1 / 2 , j } } { ( \Delta \xi ) _ { i + 1 / 2 , j } + ( \Delta \xi ) _ { i - 1 / 2 , j } } } \\ & { - \biggl [ \frac { ( \Delta \phi ) _ { i , j - 1 / 2 } } { ( \Delta \phi ) _ { i , j + 1 / 2 } } \left( U _ { i , j + 1 } ^ { ( k ) } - U _ { i , j } ^ { ( k ) } \right) + \frac { ( \Delta \phi ) _ { i , j + 1 / 2 } } { ( \Delta \phi ) _ { i , j - 1 / 2 } } \left( U _ { i , j } ^ { ( k ) } - U _ { i , j - 1 } ^ { ( k ) } \right) \biggr ] \Delta \xi _ { i , j } } \\ & { \frac { u _ { \phi \_ i , j - 1 / 2 } ^ { ( k ) } \Delta \phi _ { i , j + 1 / 2 \_ j } + u _ { \phi \_ i , j + 1 / 2 } ^ { ( k ) } \Delta \phi _ { i , j \_ j - 1 / 2 } } { ( \Delta \phi ) _ { i , j + 1 / 2 } + ( \Delta \phi ) _ { i , j - 1 / 2 } } } \\ & { - i \alpha U _ { z \_ i , j } ^ { ( k ) } ( \Delta \xi \Delta \phi ) _ { i , j } u _ { z \_ i , j } ^ { ( k ) } } \\ & { - i \alpha \frac { \rho _ { 1 } } { \rho _ { 1 2 } \rho _ { k } } ( \Delta \xi \Delta \phi ) _ { i , j } p _ { i , j } ^ { ( k ) } } \\ & { + \frac { 1 } { \mathrm { R e } } \frac { \rho _ { 1 } } { \rho _ { 1 2 } \rho _ { k } } \frac { \mu _ { 1 2 } \mu _ { k } } { \mu _ { 1 } } \biggl [ \left( \frac { \Delta \phi } { \Delta \xi } \right) _ { i + 1 / 2 , j } \left( u _ { z \_ { i + 1 , j } } ^ { ( k ) } - u _ { z \_ { i , j } } ^ { ( k ) } \right) } \\ & { - \left( \frac { \Delta \phi } { \Delta \xi } \right) _ { i - 1 / 2 , j } \left( u _ { z \_ { i , j } } ^ { ( k ) } - u _ { z \_ { i - 1 , j } } ^ { ( k ) } \right) \biggr ] } \\ & { + \frac { 1 } { \mathrm { R e } } \frac { \rho _ { 1 } } { \rho _ { 1 2 } \rho _ { k } } \frac { \mu _ { 1 2 } \mu _ { k } } { \mu _ { 1 } } \biggl [ \left( \frac { \Delta \xi } { \Delta \phi } \right) _ { i , j + 1 / 2 } \left( u _ { z \_ { i , j + 1 } } ^ { ( k ) } - u _ { z \_ { i , j } } ^ { ( k ) } \right) } \\ & { - \left( \frac { \Delta \xi } { \Delta \phi } \right) _ { i , j - 1 / 2 } \left( u _ { z \_ { i , j } } ^ { ( k ) } - u _ { z \_ { i , j - 1 } } ^ { ( k ) } \right) \biggr ] } \\ & { - \frac { 1 } { \mathrm { R e } } \frac { \rho _ { 1 } } { \rho _ { 1 2 } \rho _ { k } } \frac { \mu _ { 1 2 } \mu _ { k } } { \mu _ { 1 } } \alpha ^ { 2 } ( \Delta \xi \Delta \phi ) _ { i , j } u _ { z \_ i , j } ^ { ( k ) } . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { \mathcal { Q } } \left( \left( \mathbb { E } _ { \delta } ( \varphi ) - E _ { M } ^ { h } ( \varphi _ { h ^ { \prime } } ) \right) ^ { 2 } \right) } & { \le 3 \mathcal { E } _ { \mathcal { Q } } \left( \left( \mathbb { E } _ { \delta } ( \varphi ) - \mathbb { E } _ { h } ( \varphi ) \right) ^ { 2 } \right) } \\ & { \quad + 3 \mathcal { E } _ { \mathcal { Q } } \left( \left( \mathbb { E } _ { h } ( \varphi ) - \mathbb { E } _ { h } ( \varphi _ { h ^ { \prime } } ) \right) ^ { 2 } \right) } \\ & { \quad + 3 \mathcal { E } _ { \mathcal { Q } } \left( \left( \mathbb { E } _ { h } ( \varphi _ { h ^ { \prime } } ) - E _ { M } ^ { h } ( \varphi _ { h ^ { \prime } } ) \right) ^ { 2 } \right) } \\ & { : = 3 ( I + I I + I I I ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } ( B ( s ) > f ( s ) \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } s \in [ t , \lambda ] , B ( t ) \le x - a ) \le } \\ & { \exp \Big ( - J ( x , y , \lambda ) - \frac { a ^ { 2 } } { 4 t } + \frac { 2 } { 3 } x ^ { 3 / 2 } - \frac { 2 } { 3 } ( x - a ) ^ { 3 / 2 } + c ( t ^ { 3 } + t x + \lambda \log ( 1 + \lambda ) ) \Big ) . } \end{array}
U _ { a } = - E _ { y } d + E _ { x } 2 l \sin { \phi } - \mu _ { 0 } l d \cos { \phi } \frac { d H _ { x } } { d t } - \mu _ { 0 } l ^ { 2 } \cos { \phi } \sin { \phi } \frac { d H _ { y } } { d t }
\mathrm { d } _ { Q } \, j _ { \rho } ^ { \mathrm { ~ \, ~ } } = \mathrm { d } _ { Q } \, j _ { + \rho } ^ { \mathrm { ~ \, ~ } } - \mathrm { d } _ { Q } \, j _ { - \rho } ^ { \mathrm { ~ \, ~ } } = 0
\begin{array} { r } { \alpha _ { b } = F ( \varphi _ { \gamma } , m ) , \quad \kappa _ { b } = \frac { \sqrt { 1 - \lambda - m } \sqrt { - \lambda - m } } { \sqrt { 1 - 2 m - \lambda } } - Z ( \varphi _ { \gamma } , m ) , \quad c _ { b } = c _ { 0 } + \frac { 4 \sqrt { 1 - \lambda - 2 m } \sqrt { 1 - \lambda - m } \sqrt { - \lambda - m } } { \kappa _ { b } } } \end{array}