harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } & { } & { n _ { 1 } ^ { 1 / 2 } ( \hat { { \boldsymbol \theta } } _ { n _ { 1 } } ^ { X } - { \boldsymbol \theta } ^ { X } ) - \gamma _ { n _ { 1 } , n _ { 2 } } n _ { 2 } ^ { 1 / 2 } ( \hat { { \boldsymbol \theta } } _ { n _ { 2 } } ^ { Y } - { \boldsymbol \theta } ^ { Y } ) } \\ & { = } & { n _ { 1 } ^ { - 1 / 2 } \zeta _ { X , 1 } ^ { - 1 } \sum _ { i _ { 1 } = 1 } ^ { n _ { 1 } } W _ { X , i _ { 1 } } - \gamma _ { n _ { 1 } , n _ { 2 } } n _ { 2 } ^ { - 1 / 2 } \zeta _ { Y , 1 } ^ { - 1 } \sum _ { i _ { 2 } = 1 } ^ { n _ { 2 } } W _ { Y , i _ { 2 } } + C _ { n _ { 1 } , n _ { 2 } } \, , } \end{array}
\overline { { \omega } } _ { z } ^ { ( 2 ) } = - \left( \frac { c ^ { 2 } } { 2 } + a ^ { 2 } \widetilde { P } _ { z } \right) \left( \frac { c ^ { 2 } } { 2 } + b ^ { 2 } \widetilde { P } _ { z } \right) \frac { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } { ( a / b - b / a ) ^ { 2 } } \left[ \left( \frac { a } { c } - \frac { c } { a } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { b } { c } - \frac { c } { b } \right) ^ { 2 } \right]
\begin{array} { r l } { \alpha _ { m } } & { = \frac { | \int E _ { m } ^ { * } E _ { f } d A | ^ { 2 } } { \int E _ { f } ^ { * } E _ { f } d A \int E _ { m } ^ { * } E _ { m } d A } ( 1 - \epsilon _ { \mathrm { s i n g l e } } ) ^ { 2 } } \\ { \alpha _ { c } } & { = \frac { | \int E _ { c } ^ { * } E _ { f } d A | ^ { 2 } } { \int E _ { f } ^ { * } E _ { f } d A \int E _ { c } ^ { * } E _ { c } d A } ( 1 - \epsilon _ { \mathrm { s i n g l e } } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { C _ { 2 } } { C _ { 1 } } = \frac { \lambda _ { 2 , 2 } ^ { \prime } \mu _ { 2 , 1 } } { \lambda _ { 1 , 2 } ^ { \prime } \mu _ { 1 , 1 } } } & { = T \left( \frac { [ 2 4 . 2 2 ] , [ 1 2 . 2 1 ] , [ 1 3 . 1 2 ] , [ 1 2 . 1 1 ] } { [ 1 2 . 2 2 ] , [ 2 4 . 2 1 ] , [ 1 2 . 1 2 ] , [ 1 3 . 1 1 ] } \right) = \phi T \left( \frac { [ 2 4 . 2 2 ] , [ 1 3 . 1 2 ] } { [ 2 4 . 2 1 ] , [ 1 3 . 1 1 ] } \right) = \phi \phi ^ { \prime } } \\ { \frac { D _ { 2 } } { D _ { 1 } } = \frac { \lambda _ { 2 , 2 } \mu _ { 2 , 1 } ^ { \prime } } { \lambda _ { 1 , 2 } \mu _ { 1 , 1 } ^ { \prime } } } & { = T \left( \frac { [ 2 3 . 2 2 ] , [ 1 2 . 2 1 ] , [ 1 4 . 1 2 ] , [ 1 2 . 1 1 ] } { [ 1 2 . 2 2 ] , [ 2 3 . 2 1 ] , [ 1 2 . 1 2 ] , [ 1 4 . 1 1 ] } \right) = \phi T \left( \frac { [ 2 3 . 2 2 ] , [ 1 4 . 1 2 ] } { [ 2 3 . 2 1 ] , [ 1 4 . 1 1 ] } \right) = \phi \phi ^ { \prime } } \\ { \frac { E _ { 2 } } { E _ { 1 } } = \frac { \lambda _ { 2 , 1 } ^ { \prime } \mu _ { 2 , 2 } } { \lambda _ { 1 , 1 } ^ { \prime } \mu _ { 1 , 2 } } } & { = T \left( \frac { [ 2 4 . 1 2 ] , [ 1 2 . 1 1 ] , [ 1 3 . 2 2 ] , [ 1 2 . 2 1 ] } { [ 1 2 . 1 2 ] , [ 2 4 . 1 1 ] , [ 1 2 . 2 2 ] , [ 1 3 . 2 1 ] } \right) = \phi T \left( \frac { [ 2 4 . 1 2 ] , [ 1 3 . 2 2 ] } { [ 2 4 . 1 1 ] , [ 1 3 . 2 1 ] } \right) = \phi \phi ^ { \prime } } \\ { \frac { F _ { 2 } } { F _ { 1 } } = \frac { \lambda _ { 2 , 1 } \mu _ { 2 , 2 } ^ { \prime } } { \lambda _ { 1 , 1 } \mu _ { 1 , 2 } ^ { \prime } } } & { = T \left( \frac { [ 2 3 . 1 2 ] , [ 1 2 . 1 1 ] , [ 1 4 . 2 2 ] , [ 1 2 . 2 1 ] } { [ 1 2 . 1 2 ] , [ 2 3 . 1 1 ] , [ 1 2 . 2 2 ] , [ 1 4 . 2 1 ] } \right) = \phi T \left( \frac { [ 2 3 . 1 2 ] , [ 1 4 . 2 2 ] } { [ 2 3 . 1 1 ] , [ 1 4 . 2 1 ] } \right) = \phi \phi ^ { \prime } . } \end{array}
\mathrm { \hat { H } = \frac { \ k a p p a ^ { 2 } } { 1 2 } R ^ { p - 3 } \frac { \partial } { \partial R } R ^ { - p + 2 } \frac { \partial } { \partial R } - \frac { 1 } { 2 R ^ { 3 } } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \ v a r p h i ^ { 2 } } + \frac { \ k a p p a ^ { 1 2 } } { R ^ { 9 } } V ( \ v a r p h i ) , }
\sum _ { k = 0 } ^ { \infty } y ^ { k } I _ { \nu + k } ( z ) = z ^ { - \nu } e ^ { y z / 2 } \int _ { 0 } ^ { z } e ^ { - y \tau ^ { 2 } / ( 2 z ) } I _ { \nu - 1 } ( \tau ) \tau ^ { - \nu } d \tau , \; \; \; \nu > 0 ,
\begin{array} { r l } { \dot { l } _ { k } } & { { } = \frac { 1 } { 3 } \epsilon ^ { 2 } \pi \int d K _ { p } \int d K _ { q } \left[ \omega _ { k } + \omega _ { q } \left( \frac { K } { K _ { q } } \right) ^ { y } + \omega _ { p } \left( \frac { K } { K _ { p } } \right) ^ { y } \right] \mathcal { I } _ { k } , } \end{array}
\widetilde { E } : = \mathrm { c o n e } ( e , p _ { 1 } , \dots , p _ { N } , p _ { 1 } ^ { \perp } , \dots , p _ { N } ^ { \perp } ) = \{ r _ { 0 } e + \sum _ { i = 1 } ^ { n } t _ { i } p _ { i } + \sum _ { u = 1 } ^ { n } s _ { i } p _ { i } ^ { \perp } : r _ { 0 } , t _ { 1 } , \dots , t _ { N } , s _ { 1 } , \dots , s _ { N } \in \mathbb { R } ^ { + } \}
\langle \psi _ { 1 } | \psi _ { 2 } \rangle = \exp \left( - \frac { 1 } { 2 } | \psi _ { 1 } | ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } | \psi _ { 2 } | ^ { 2 } + \psi _ { 1 } ^ { * } \psi _ { 2 } \right)
\begin{array} { l c c c c } { { B ( x _ { d } \to u W , d Z , d H ) } } & { { \simeq } } & { { { \frac { 1 } { 2 } } , } } & { { { \frac { 1 } { 4 } } , } } & { { { \frac { 1 } { 4 } } \; , } } \\ { { B ( x _ { s } \to c W , s Z , s H ) } } & { { \simeq } } & { { { \frac { 1 } { 2 } } , } } & { { { \frac { 1 } { 4 } } , } } & { { { \frac { 1 } { 4 } } \; , } } \\ { { B ( x _ { b } \to t W , b Z , b H ) } } & { { \simeq } } & { { 0 , } } & { { { \frac { 1 } { 2 } } , } } & { { { \frac { 1 } { 2 } } \; , } } \end{array}
\xi _ { 1 } ^ { 3 } + \xi _ { 2 } ^ { 3 } = ( \xi _ { 1 } + \xi _ { 2 } ) ^ { 3 } - 3 \xi _ { 1 } \xi _ { 2 } ( \xi _ { 1 } + \xi _ { 2 } ) = 1 - 3 \xi _ { 1 } \xi _ { 2 } + O ( \zeta _ { c } ^ { 2 } ) ,
s \varphi _ { 1 } = - e \bar { \varphi } _ { 2 } c + x _ { 1 } q _ { 1 } \; \; , \; \; s \varphi _ { 2 } = e ( \bar { \varphi } _ { 1 } + \frac m e ) c + x _ { 2 } q _ { 2 } \; .
\begin{array} { r l } { \mu } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \alpha _ { i } \delta _ { x _ { i } } , \quad x _ { i } \in X , \quad \alpha _ { i } \geq 0 , \quad \sum _ { i = 1 } ^ { N } \alpha _ { i } = 1 , } \\ { \mu ^ { \ast } } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { M } \beta _ { i } \delta _ { y _ { i } } , \quad y _ { i } \in Y , \quad \beta _ { i } \geq 0 , \quad \sum _ { i = 1 } ^ { M } \beta _ { i } = 1 . } \end{array}
\ell ( x , t ) = \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \to 0 ^ { + } } { \frac { 1 } { 2 \varepsilon } } \int _ { 0 } ^ { t } \mathbf { 1 } _ { [ x - \varepsilon , x + \varepsilon ] } ( B ( s ) ) \, d s
\hat { V } ( \hat { p } , \hat { \kappa } , \Lambda ) = b _ { 0 0 } ( \Lambda ) + b _ { 0 1 } ( \Lambda ) \hat { \kappa } + b _ { 2 0 } ( \Lambda ) \hat { p } ^ { 2 } + b _ { 2 1 } ( \Lambda ) \hat { p } ^ { 2 } \hat { \kappa } + \cdots .
\frac { 1 } { ( 4 \pi ) ^ { 2 } } \int d ^ { 8 } z ( \frac { W ^ { 2 } \bar { W } ^ { 2 } } { \Phi ^ { 2 } \bar { \Phi } ^ { 2 } } + \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } ( k + 1 ) \cdot \frac { W ^ { 2 } \bar { W } ^ { 2 } } { \Phi ^ { 2 + k } \bar { \Phi } ^ { 2 + k } } \cdot ( - ( \bar { Q } Q + \bar { \tilde { Q } } \tilde { Q } ) ) ^ { k } ) .
\begin{array} { r } { \varepsilon ^ { 2 } \mathcal { A } _ { 2 } = \varepsilon ^ { 2 } \partial _ { x } O p ( \rho _ { 1 } ) \partial _ { x } O p ( \rho _ { 1 } ) + \varepsilon ^ { 3 } \partial _ { x } O p ( \rho _ { 1 } ) \partial _ { x } O p ( \rho _ { 1 } ) \int _ { 0 } ^ { 1 } ( 1 - \tau ) O p ( \rho _ { * } ( \tau ) ) d \tau + { R } _ { 5 , 2 } , } \end{array}
= { \frac { 1 } { 2 } } \operatorname { t r } ( \gamma ^ { \mu } \gamma ^ { \nu } + \gamma ^ { \nu } \gamma ^ { \mu } ) = { \frac { 1 } { 2 } } \operatorname { t r } \left( \left\{ \gamma ^ { \mu } , \gamma ^ { \nu } \right\} \right)
\begin{array} { r l } { \overline { { u ^ { \textnormal { L } } } } = \frac { 1 } { T ^ { \textnormal { L } } } \int _ { 0 } ^ { T ^ { \textnormal { L } } } u ( x ( t ) , z ( t ) , t ) \, d t } & { { } = \frac { \epsilon } { T ^ { \textnormal { L } } k } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { \cosh ( \epsilon \cos \theta + { \alpha } ) \cos \theta } { \sinh { \alpha } - \epsilon \cosh ( \epsilon \cos \theta + { \alpha } ) \cos \theta } \, d \theta } \end{array}
Z _ { m } ( A | J ) = \mathrm { e x p } \Bigr \{ \! - ( i / \hbar ) z _ { Q } ^ { - 1 } \bigr ( J _ { i } A ^ { i } - \mathrm { ~ \frac { 1 } { 2 } ~ } m ^ { 2 } g _ { i j } A ^ { i } A ^ { j } \bigr ) \Bigr \} \, \mathrm { e x p } \Bigr \{ - m ^ { 2 } g _ { i j } A ^ { i } \frac { \delta } { \delta J _ { j } } \Bigr \} Z _ { m } ( 0 | J ) .
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } ( \xi ^ { ( 1 ) } ( t ) \leq - x _ { t } ) } & { \leq \exp \Big [ - ( \theta + o ( 1 ) ) \int _ { - x _ { t } } ^ { x _ { t } } \Phi _ { t } ( z ) \mathrm d z \Big ] } \\ & { \leq \exp \Big [ - ( \theta + o ( 1 ) ) \exp \big ( - c _ { 1 } x _ { t } ^ { 2 } / \log t \big ) \int _ { - x _ { t } } ^ { x _ { t } } \mathrm e ^ { - z } \mathrm d z \Big ] . } \end{array}
U _ { L J } ^ { w } = \sum _ { i = + , - } \int _ { 0 } ^ { L } - 4 \pi \epsilon _ { i w } \rho _ { w } c _ { i } \left[ \frac { \sigma _ { i w } ^ { 6 } } { 2 x ^ { 4 } } - \frac { \sigma _ { i w } ^ { 1 2 } } { 5 x ^ { 1 0 } } + \frac { \sigma _ { i w } ^ { 6 } } { 2 ( L - x ) ^ { 4 } } - \frac { \sigma _ { i w } ^ { 1 2 } } { 5 ( L - x ) ^ { 1 0 } } \right] d x
i \frac { \partial } { \partial t } \phi ( \vec { r } , t ) = \left[ - \frac { { \nabla _ { r } } ^ { 2 } } { 2 m } - \frac { m } { 2 } \left( \frac { \ddot { a } } { a } \right) { \vec { r } } ^ { \ 2 } + V ( \vec { r } , t ) \right] \phi ( \vec { r } , t ) .
\begin{array} { r } { \frac { e ^ { - i k ( N - 2 ) } } { e ^ { i k ( N - 2 ) } } = \frac { E - \frac { v ^ { 2 } } { E - ( D - C ) } - w \frac { S } { R } e ^ { i k } } { E \frac { S } { R } - \frac { S } { R } \frac { v ^ { 2 } } { E - ( D - C ) } - w e ^ { i k } } \frac { E \frac { S } { R } - v - w e ^ { i k } } { E - v \frac { S } { R } - w \frac { S } { R } e ^ { - i k } } . } \end{array}
w ^ { ( 1 ) } ( E _ { a } , t ) \; = \; ( - i ) ^ { 2 } \; \int _ { t _ { i } = 0 } ^ { t } d t _ { 1 } \; V _ { 1 } ( E _ { a } ) \; e ^ { i \omega _ { f a } t _ { 1 } } \; \int _ { t _ { i } = 0 } ^ { t _ { 1 } } d t _ { 0 } \; V _ { 0 } \; e ^ { i \omega _ { a i } t _ { 0 } } \; \; .
\begin{array} { r } { v _ { x } = ( v _ { \parallel } B _ { x } + v _ { \perp } B _ { y } ) / ( B _ { x } ^ { 2 } + B _ { y } ^ { 2 } ) , } \\ { v _ { y } = ( v _ { \parallel } B _ { x } - v _ { \perp } B _ { y } ) / ( B _ { x } ^ { 2 } + B _ { y } ^ { 2 } ) , } \end{array}
{ \begin{array} { r } { T = { \frac { m } { 2 } } v ^ { 2 } = { \frac { m } { 2 } } \sum { \frac { \partial { \vec { r } } } { \partial q _ { i } } } { \dot { q _ { i } } } { \frac { \partial { \vec { r } } } { \partial q _ { j } } } { \dot { q _ { j } } } = { \frac { m } { 2 } } \sum a _ { i j } { \dot { q _ { i } } } { \dot { q _ { j } } } } \\ { \sum _ { k } { \frac { \partial T } { \partial { \dot { q _ { k } } } } } { \dot { q _ { k } } } = { \frac { m } { 2 } } \left( 2 \sum _ { i , j } a _ { i j } { \dot { q _ { i } } } { \dot { q _ { j } } } \right) = 2 T } \\ { \sum { \dot { q _ { i } } } { \frac { \partial L } { \partial { \dot { q _ { i } } } } } - L = T + V = E } \end{array} }
\nabla ^ { 2 } n _ { \sigma } ( r ) = \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } n _ { \sigma } ( r ) } { \mathrm { d } r ^ { 2 } } + \frac { 2 } { r } \frac { \mathrm { d } n _ { \sigma } ( r ) } { \mathrm { d } r } .
\begin{array} { r l } { J _ { z } } & { = ( q _ { \uparrow } - q _ { \downarrow } ) ^ { 2 } , } \\ { J _ { \perp } } & { = 2 \left[ 6 q _ { \uparrow \downarrow } ^ { 2 } - 4 \left[ | q _ { \uparrow \downarrow } ^ { + 1 } | ^ { 2 } + | q _ { \uparrow \downarrow } ^ { - 1 } | ^ { 2 } \right] + \left[ | q _ { \uparrow \downarrow } ^ { + 2 } | ^ { 2 } + | q _ { \uparrow \downarrow } ^ { - 2 } | ^ { 2 } \right] \right] , } \\ { W } & { = ( q _ { \uparrow } ^ { 2 } - q _ { \downarrow } ^ { 2 } ) / 2 , } \\ { V } & { = ( q _ { \uparrow } + q _ { \downarrow } ) ^ { 2 } / 4 , } \end{array}
E _ { \mathrm { i n t } } [ \rho _ { \mathrm { A } } , \rho _ { \mathrm { e n v } } ] = E _ { \mathrm { t o t } } [ \rho _ { \mathrm { ~ t ~ o ~ t ~ } } ] - E _ { \mathrm { A } } [ \rho _ { \mathrm { A } } ] - E _ { \mathrm { e n v } } [ \rho _ { \mathrm { e n v } } ]
\rho ( \sigma ^ { 2 } ) \propto ( \sigma ^ { 2 } ) ^ { - { \frac { v _ { 0 } } { 2 } } - 1 } \exp \left( - { \frac { v _ { 0 } s _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } \right) .
\begin{array} { r } { \underline { { \underline { \varepsilon } } } ( t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \varepsilon _ { 1 } \underline { { \underline { I } } } , \quad t < 0 , } \\ { \underline { { \underline { { \varepsilon } } } } _ { a } = \varepsilon _ { \perp } \left( { \hat { \bf e } } _ { x } \otimes { \hat { \bf e } } _ { x } + { \hat { \bf e } } _ { y } \otimes { \hat { \bf e } } _ { y } \right) + \varepsilon _ { \parallel } { \hat { \bf e } } _ { z } \otimes { \hat { \bf e } } _ { z } , \quad 0 < t < \tau , } \\ { \varepsilon _ { 2 } \underline { { \underline { I } } } , \quad t > \tau , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \eta _ { t } + \nabla \cdot [ ( D + \eta ) \mathbf { u } ] = 0 \ , } \\ & { { \bf u } _ { t } + g \nabla \eta + ( \mathbf { u } \cdot \nabla ) \mathbf { u } - \frac { 1 } { 2 } D \nabla ( \nabla \cdot ( D \mathbf { u } _ { t } ) ) + \frac { 1 } { 6 } D ^ { 2 } \nabla ( \nabla \cdot \mathbf { u } _ { t } ) = 0 \ , } \end{array}
\operatorname* { d e t } \left[ \begin{array} { r } { \frac { \partial ^ { 2 } f _ { 1 } } { \partial x _ { 1 } x _ { 2 } } \ \ \ \ \ b _ { 0 } \ \ \ \ \ \lambda _ { 0 } \ \ \ \ \ 0 } \\ { \frac { \partial ^ { 2 } f _ { 1 } } { \partial x _ { 2 } ^ { 2 } } \ \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ \ 1 \ \ \ \ \ \ 0 } \\ { \frac { \partial ^ { 2 } f _ { 2 } } { \partial x _ { 1 } x _ { 2 } } \ \ \ \ \ d _ { 0 } \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ \lambda _ { 0 } } \\ { \frac { \partial ^ { 2 } f _ { 2 } } { \partial x _ { 2 } ^ { 2 } } \ \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ \ 1 } \end{array} \right] ( { x _ { 0 } } ) \ne 0 .
\begin{array} { r l r } { \log \left( \langle n _ { i } \rangle _ { 3 0 0 } - n _ { 0 } \right) } & { { } = } & { \log \alpha - \frac { \beta } { M _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ s ~ } } - M _ { \mathrm { ~ l ~ i ~ m ~ } } } } \\ { M _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ s ~ } } } & { { } = } & { M _ { \mathrm { ~ l ~ i ~ m ~ } } - \frac { \beta } { \log \left( \langle n _ { i } \rangle _ { 3 0 0 } - n _ { 0 } \right) - \log \alpha } . } \end{array}
\ensuremath { \boldsymbol { L } } _ { \mathrm { D } } = \left[ \begin{array} { l l l } { \frac { \displaystyle h _ { 1 } - \mu _ { 1 } g _ { 1 } \lambda _ { 1 } ^ { - 1 } } { \displaystyle ( \mu _ { 1 } - \lambda _ { 1 } ) ( \mu _ { 1 } - \theta _ { 1 } ) } } & { \cdots } & { \frac { \displaystyle h _ { r } - \mu _ { 1 } g _ { 1 } \lambda _ { r } ^ { - 1 } } { \displaystyle ( \mu _ { 1 } - \lambda _ { r } ) ( \mu _ { 1 } - \theta _ { r } ) } } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \frac { \displaystyle h _ { 1 } - \mu _ { r } g _ { r } \lambda _ { 1 } ^ { - 1 } } { \displaystyle ( \mu _ { r } - \lambda _ { 1 } ) ( \mu _ { r } - \theta _ { 1 } ) } } & { \cdots } & { \frac { \displaystyle h _ { r } - \mu _ { r } g _ { r } \lambda _ { r } ^ { - 1 } } { \displaystyle ( \mu _ { r } - \lambda _ { r } ) ( \mu _ { r } - \theta _ { r } ) } } \end{array} \right] .
\begin{array} { l c l } { { \sigma ( x , u ) } } & { { = } } & { { \frac { \textstyle \prod ( x , \frac { \gamma } { 2 } - u ) \prod ( - x , \frac { \gamma } { 2 } - u ) \prod ( x , - \frac { \gamma } { 2 } + u ) \prod ( - x , - \frac { \gamma } { 2 } + u ) } { \textstyle \prod ^ { 2 } ( x , \frac { \gamma } { 2 } ) \prod ^ { 2 } ( - x , \frac { \gamma } { 2 } ) } } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { \prod ( x , u ) } } & { { = } } & { { \displaystyle \prod _ { l = 0 } ^ { \infty } \frac { \textstyle \Gamma \left( \frac { 1 } { 2 } + ( 2 l + \frac { 1 } { 2 } ) \frac { \gamma } { \pi } + \frac { x } { \pi } - \frac { u } { \pi } \right) } { \textstyle \Gamma \left( \frac { 1 } { 2 } + ( 2 l + \frac { 3 } { 2 } ) \frac { \gamma } { \pi } + \frac { x } { \pi } - \frac { u } { \pi } \right) } \; . } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \epsilon _ { i } ( \chi ) } & { { } = } & { \dot { \chi } \omega _ { i } - \omega _ { i } - K _ { 1 } \sum _ { j = 1 } ^ { N } A _ { i j } \sin ( \chi ( \omega _ { j } - \omega _ { i } ) - \alpha ) - \frac { K _ { 2 } } { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { p _ { \mathrm { e c } } D ( \bar { \rho } _ { A B E F | T _ { \mathrm { e c } } } ^ { n } , \omega _ { A B } ^ { n } \otimes \bar { \rho } _ { E F | T _ { \mathrm { e c } } } ^ { n } ) } \\ & { \leq p _ { \mathrm { e c } } \mathrm { P r o b } ( \hat { \mathbf { l } } \neq \mathbf { l } | T _ { \mathrm { e c } } ) } \\ & { + p _ { \mathrm { e c } } D ( \bar { \rho } _ { B E F | T _ { \mathrm { e c } } } ^ { n } , \omega _ { B } ^ { n } \otimes \bar { \rho } _ { E F | T _ { \mathrm { e c } } } ^ { n } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { E } ( g , \tau ) } & { = \int _ { \mathcal { M } } d \pmb { \mathscr { s } } ^ { \prime } g ( \pmb { \mathscr { s } } ^ { \prime } ) \mathscr { P } ( \pmb { \mathscr { s } } ^ { \prime } ) \left[ \int _ { \mathcal { M } } d \pmb { \mathscr { s } } g ( \pmb { \mathscr { s } } ) \mathscr { T } ^ { \tau } \delta ( \pmb { \mathscr { s } } - \pmb { \mathscr { s } } ^ { \prime } ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \displaystyle E ( L ) = } } & { { - \displaystyle \frac { \pi } { 6 L } \left( c - 1 2 ( \Delta _ { + } + \Delta _ { - } ) \right) + \ldots \: , } } \\ { { P ( L ) = } } & { { \displaystyle \frac { 2 \pi } { L } \left( \Delta _ { + } - \Delta _ { - } \right) + \ldots \: . } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \tilde { \psi } _ { q } = - \gamma \sqrt { \frac { 2 } { \pi } } \frac { \sin { q } } { E - \omega _ { q } } \tilde { \psi } _ { 1 A } , } \\ & { v \tilde { \psi } _ { 1 B } - \gamma \int _ { 0 } ^ { \pi } d q \sqrt { \frac { 2 } { \pi } } \sin { q } \, \tilde { \psi } _ { q } = ( E - \omega _ { o } ) \tilde { \psi } _ { 1 A } . } \end{array}
\begin{array} { r } { f _ { d } ( y _ { 1 } , \mathfrak { s } ) = \sum _ { \mathfrak { v } \subseteq \mathfrak { s } : | \mathfrak { v } | = p - 1 } \phi _ { d } ^ { p } ( y _ { 1 } , \mathfrak { v } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { W ^ { + } ( \Delta ) } & { = \frac { N h } { 2 } \left[ \frac { 2 a } { h } \left( q - \Delta \right) + \frac { 1 - q + \Delta } { 1 + \frac { 4 a } { h } } \left( \left( \Delta - q \right) \left( \varepsilon \left( 1 - 2 q \right) - 1 + 2 \varepsilon ^ { 2 } ( 1 - q + \Delta ) \right) - \frac { 2 a } { h } \left( 2 \Delta + \varepsilon - 2 q ( 1 + \varepsilon ) \right) \right) \right] , } \\ { W ^ { - } ( \Delta ) } & { = \frac { N h } { 2 } \left[ \frac { 2 a } { h } \left( 1 - q + \Delta \right) - \frac { \Delta - q } { 1 + \frac { 4 a } { h } } \left( \left( 1 + \Delta - q \right) \left( \left( 1 + \varepsilon \right) \left( 1 - 2 \varepsilon q \right) + 2 \Delta \varepsilon ^ { 2 } \right) + \frac { 2 a } { h } \left( 1 + 2 \Delta + \left( 1 + \varepsilon \right) \left( 1 - 2 q \right) \right) \right) \right] . } \end{array}
V _ { 0 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) = D _ { e } ( 1 - e ^ { - a ( x _ { 1 } - x _ { 1 } ^ { 0 } ) } ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \omega _ { b } x _ { 2 } ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } & { \frac { \left( E _ { x } \right) _ { i } ^ { n + 1 } - \left( E _ { x } \right) _ { i } ^ { n } } { \Delta t } + \frac { \left( E _ { x } \right) _ { 0 } ^ { n + 1 } - \left( E _ { x } \right) _ { 0 } ^ { n } } { \Delta t } = } \\ & { \sum _ { s } \frac { q _ { s } } { \epsilon _ { 0 } \Delta t } \int _ { t _ { n } } ^ { t _ { n + 1 } } \left[ - ( F _ { n , s } ) _ { i } + ( F _ { n , s } ) _ { 0 } \right] \mathrm { d } t . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( \boldsymbol { E } + h \boldsymbol { \Lambda } ^ { i j } ) } & { = \left( \textbf { I } + s e ^ { - t ( \boldsymbol { E } + h \boldsymbol { \Lambda } ^ { i j } ) } \right) ^ { - 1 } } \\ & { = \left( \textbf { I } + s e ^ { - t \boldsymbol { E } } e ^ { - h t \boldsymbol { \Lambda } ^ { i j } } e ^ { - \frac { h t ^ { 2 } } { 2 } [ \boldsymbol { E } , \boldsymbol { \Lambda } ^ { i j } ] } e ^ { - \frac { h ^ { 2 } t ^ { 3 } } { 6 } \left( 2 [ \boldsymbol { \Lambda } ^ { i j } , [ \boldsymbol { E } , \boldsymbol { \Lambda } ^ { i j } ] ] + [ \boldsymbol { E } , [ \boldsymbol { E } , \boldsymbol { \Lambda } ^ { i j } ] ] \right) } \ldots \right) ^ { - 1 } } \\ & { = \left( \textbf { I } + s e ^ { - t \boldsymbol { E } } \left( \textbf { I } - h t \left( \boldsymbol { \Lambda } ^ { i j } + \frac { t } { 2 } [ \boldsymbol { E } , \boldsymbol { \Lambda } ^ { i j } ] \right) + \mathcal { O } ( h ^ { 2 } ) \right) \right) ^ { - 1 } } \\ & { = \left( \textbf { I } + s e ^ { - t \boldsymbol { E } } - h t s e ^ { - t \boldsymbol { E } } \left( \boldsymbol { \Lambda } ^ { i j } + \frac { t } { 2 } [ \boldsymbol { E } , \boldsymbol { \Lambda } ^ { i j } ] \right) + \mathcal { O } ( h ^ { 2 } ) \right) ^ { - 1 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \delta _ { t + 1 } - \delta _ { t } \leq - \frac { \sqrt { 2 \mu } \gamma _ { t } } { 3 } \delta _ { t } + \frac { 8 \gamma _ { t } } { 3 } \mathbb E [ \left\| d _ { t } - \nabla J _ { H } ( \theta _ { t } ) \right\| ] + \frac { L _ { g } \gamma _ { t } ^ { 2 } } { 2 } + \frac { \varepsilon ^ { \prime } \gamma _ { t } } { 3 } + \frac { 4 } { 3 } \gamma _ { t } D _ { g } \gamma ^ { { H } } \, , } \end{array}
\begin{array} { c } { { V ( { \bf x } ) = - { \frac { \alpha _ { 1 } } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } } - { \frac { \alpha _ { 2 } } { | z | } } \space \space \space \space ( c y l i n d r i c a l ) } } \end{array} \nonumber
\mathcal { A } _ { \bf e } ^ { ( l ) } = \mathcal { J } _ { l } ( A _ { 0 } ) + \frac { \delta _ { v } } { 2 } [ e ^ { i \phi _ { 2 } } \mathcal { J } _ { l - n } ( A _ { 0 } ) + e ^ { - i \phi _ { 2 } } \mathcal { J } _ { l + n } ( A _ { 0 } ) ]
\begin{array} { r l } { \mathcal { W } _ { k } ( x ) } & { = \mathcal { W } _ { k } ( x - 1 ) + \eta ( x ) ( 1 - \mathcal { W } _ { k } ( x - 1 ) ) \prod _ { \ell = 1 } ^ { k - 1 } \mathcal { W } _ { \ell } ( x - 1 ) } \\ & { - ( 1 - \eta ( x ) ) \mathcal { W } _ { k } ( x - 1 ) \prod _ { \ell = 1 } ^ { k - 1 } ( 1 - \mathcal { W } _ { \ell } ( x - 1 ) ) . } \end{array}
{ \frac { \partial Q ( c , c ^ { \prime } ) } { \partial c _ { k } ^ { \prime } } = \underbrace { \sum _ { i : s _ { i } ( c ) = k } \frac { \partial A ( c _ { k } ^ { \prime } ) } { \partial c _ { k } ^ { \prime } } A ( c _ { k } ^ { \prime } ) ( \phi _ { i } - c _ { k } ^ { \prime } ) ^ { 2 } } _ { \mathrm { V a r i a n c e ~ c o n t r i b u t i o n } } - \underbrace { \sum _ { i : s _ { i } ( c ) = k } A ( c _ { k } ^ { \prime } ) ^ { 2 } ( \phi _ { i } - c _ { k } ^ { \prime } ) } _ { \mathrm { F l u c t u a t i o n ~ c o n t r i b u t i o n } } = 0 . }
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial t } E _ { p } + \frac { c } { n } \frac { \partial } { \partial z } E _ { p } + \gamma _ { p } E _ { p } } & { = - K E _ { s } \varrho \mathrm { e } ^ { - j \delta t } } \\ { \frac { \partial } { \partial t } E _ { s } - \frac { c } { n } \frac { \partial } { \partial z } E _ { s } + \gamma _ { s } E _ { s } } & { = K ^ { * } E _ { p } \varrho ^ { * } \mathrm { e } ^ { j \delta t } } \\ { \frac { \partial } { \partial t } \varrho + v _ { a } \frac { \partial } { \partial z } \varrho + \gamma _ { a } \varrho } & { = K ^ { * } E _ { p } E _ { s } ^ { * } \mathrm { e } ^ { j \delta t } } \end{array}
\alpha _ { 3 } ( M _ { Z } ) = 0 . 1 1 8 \pm 0 . 0 0 4 , \alpha ^ { - 1 } ( M _ { Z } ) = 1 2 7 . 9 \pm 0 . 1 , \sin ^ { 2 } \theta _ { \omega } ( M _ { Z } ) = 0 . 2 3 1 3 \pm 0 . 0 0 0 3 ,
\begin{array} { r l } { P ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ) = \sum _ { \pm } } & { { } \left[ \left\langle \phi _ { a } \left| r _ { i } \frac { 1 } { E _ { a } - H _ { S } \pm k _ { 1 } } r _ { j } \frac { 1 } { E _ { a } - H _ { S } \pm k _ { 1 } + k _ { 2 } } r _ { i } \frac { 1 } { E _ { a } - H _ { S } - k _ { 2 } } r _ { j } \right| \phi _ { a } \right\rangle _ { \mathrm { C L } } \right. } \end{array}
\frac { { \Omega } _ { i } } { \omega _ { i } } = \frac { P _ { \mathrm { \tiny ~ g a s } } ^ { \mathrm { \tiny ~ R D } } \times \epsilon _ { \gamma , \mathrm { \tiny ~ g a s } } ^ { \mathrm { \tiny ~ R D } } \times \epsilon _ { \mathrm { \tiny ~ t r a c k } } ^ { \mathrm { \tiny ~ M C } } } { P _ { \mathrm { \tiny ~ g a s } } ^ { \mathrm { \tiny ~ M C } } \times \epsilon _ { \gamma , \mathrm { \tiny ~ g a s } } ^ { \mathrm { \tiny ~ M C } } \times \epsilon _ { \mathrm { \tiny ~ t r a c k } } ^ { \mathrm { \tiny ~ R D } } } ,