harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { a = \ } & { \big ( \varsigma ( x _ { 1 } ^ { 2 } ) \varsigma ( x _ { 2 } ^ { 2 } ) - \varsigma ( x _ { 1 } x _ { 2 } ) ^ { 2 } \big ) \varsigma ( x _ { 2 } x _ { 1 } ^ { 2 } x _ { 2 } ) + 2 \varsigma ( x _ { 1 } x _ { 2 } ) \varsigma ( x _ { 2 } x _ { 1 } x _ { 2 } ) \varsigma ( x _ { 1 } ^ { 2 } x _ { 2 } ) } \\ & { - \varsigma ( x _ { 1 } ^ { 2 } ) \varsigma ( x _ { 2 } x _ { 1 } x _ { 2 } ) ^ { 2 } - \varsigma ( x _ { 2 } ^ { 2 } ) \varsigma ( x _ { 1 } ^ { 2 } x _ { 2 } ) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( \mu + K ) } & { = f ( \mu ) \cdot \left( 1 - \frac { 1 } { N } \right) ^ { ( N - 1 ) \cdot \frac { K } { N - 1 } } } \\ & { \geq f ( \mu ) \cdot e ^ { - \frac { K } { \frac { ( \mu + K ) \cdot ( 1 - p ) } { K ( 1 + p ) } - 1 } } } \\ & { \geq f ( \mu ) \cdot e ^ { - \frac { 2 K } { \frac { ( \mu + K ) \cdot ( 1 - p ) } { K ( 1 + p ) } } } } \\ & { \geq f ( \mu ) \cdot e ^ { - \frac { 8 K ^ { 2 } } { ( \mu + K ) } } } \\ & { \geq f ( \mu ) \cdot e ^ { - \frac { 1 6 K ^ { 2 } } { \mu } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { L } } & { = \{ j _ { 1 } a _ { 1 } + j _ { 2 } a _ { 2 } + \{ 0 , 1 \} \tau : \tau = \frac { 1 } { 3 } ( a _ { 1 } + a _ { 2 } ) , } \\ { a _ { 1 } } & { = \left( \frac { 3 } { 2 } , + \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \right) \, , \quad a _ { 2 } = \left( \frac { 3 } { 2 } , - \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \right) \, , \quad j _ { i } \in \{ 0 , 1 , \ldots \} \} } \end{array}
| \mathbf { u } | ^ { 2 } \equiv | \mathbf { v } \oplus \mathbf { u } ^ { \prime } | ^ { 2 } = { \frac { 1 } { \left( 1 + { \frac { \mathbf { v } \cdot \mathbf { u } ^ { \prime } } { c ^ { 2 } } } \right) ^ { 2 } } } \left[ \left( \mathbf { v } + \mathbf { u } ^ { \prime } \right) ^ { 2 } - { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } } \left( \mathbf { v } \times \mathbf { u } ^ { \prime } \right) ^ { 2 } \right] = | \mathbf { u } ^ { \prime } \oplus \mathbf { v } | ^ { 2 } .
\begin{array} { r l r } { w ( z ) } & { \simeq } & { \frac { i a _ { 1 } } { z - x _ { 1 } } + \frac { i a _ { 1 } } { z + x _ { 1 } } + \frac { i a _ { 2 } } { z - x _ { 2 } } + \frac { i a _ { 2 } } { z + x _ { 2 } } + \frac { i a _ { 3 } } { z - x _ { 3 } } + \frac { i a _ { 3 } } { z + x _ { 3 } } } \\ & { + } & { \frac { i a _ { 4 } } { z - x _ { 4 } } + \frac { i a _ { 4 } } { z + x _ { 4 } } + \frac { i a _ { 5 } } { z - x _ { 5 } } + \frac { i a _ { 5 } } { z + x _ { 5 } } , } \end{array}
f _ { 0 } ( s , t ) = T _ { A } ^ { A ^ { \prime } } ( c ) \, \frac { 2 \, s } { t } \, T _ { B } ^ { B ^ { \prime } } ( c ) \, \, , \, \, \, [ T ( a ) , \, T ( b ) ] = i \, f _ { a b c } T ( c ) \, .
\begin{array} { l l l c } { { \bar { u } ^ { \Lambda } = \bar { u } ^ { \Sigma ^ { 0 } } = \frac { 1 } { 2 } ( \bar { u } + \bar { s } ) ; } } \\ { { \bar { d } ^ { \Lambda } = \bar { d } ^ { \Sigma ^ { 0 } } = \frac { 1 } { 2 } ( \bar { u } + \bar { s } ) ; } } \\ { { \bar { s } ^ { \Lambda } = \bar { s } ^ { \Sigma ^ { 0 } } = \bar { d } . } } \end{array}
\tilde { d } _ { F } ( \omega ) = i a _ { X } \int _ { \tau } ^ { \infty } a _ { \delta } ( t ) \mu _ { \beta \alpha } e ^ { - i \theta _ { T } ( t ) } e ^ { i [ \omega - ( \mathcal { E } _ { \beta } ^ { 0 } - \mathcal { E } _ { \alpha } ^ { 0 } ) ] t } W ( t ) d t ,
\left[ k _ { 0 } ^ { ( a ) } , e ^ { ( b ) } ( V ) \right] = \left[ l _ { 0 } ^ { ( a ) } , e ^ { ( b ) } ( V ) \right] = \left\{ \begin{array} { l l } { \log \left( \mathcal { H } _ { a b } V ^ { - ( r - s ) } \right) e ^ { ( b ) } ( V ) , } & { r > s } \\ { \log \left( - \mathcal { H } _ { a b } V ^ { - ( r - s ) } \right) e ^ { ( b ) } ( V ) , } & { r < s } \\ { \log \left( ( - 1 ) ^ { r } \mathcal { H } _ { a b } \right) e ^ { ( b ) } ( V ) , } & { r = s } \end{array} \right. ,
\mathrm { N E P } = \frac { 1 } { \alpha A } \sqrt { \frac { S _ { x x } ^ { \mathrm { s h o t ~ } } } { \left| \chi \right| ^ { 2 } } + S _ { F F } ^ { \mathrm { t h e r m a l ~ } } } = \frac { 1 } { A \alpha } \sqrt { \frac { \kappa } { 1 6 \eta N G ^ { 2 } { | \chi | } ^ { 2 } } [ 1 + 4 ( \frac { \omega } { \kappa } ) ^ { 2 } ] + 2 m \gamma k _ { B } T } ,
\delta R ( \nu , b ) = \int _ { 0 } ^ { \mu ^ { - 1 } } \frac { d k } { k } \phi ( k ^ { - 1 } ) \left( 1 - e ^ { - k \nu } J _ { 0 } ( b k ) \right) - \int _ { \mu ^ { - 1 } } ^ { 1 } \frac { d k } { k } \phi ( k ^ { - 1 } ) e ^ { - k \nu } J _ { 0 } ( b k ) .
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \langle 0 | \rho _ { s , 0 B } ^ { ( 1 ) L } } & { ( t , t _ { 1 } ) | A \rangle = \delta ( t - t _ { 1 } ) \langle B | \rho _ { s } ( t _ { 1 } ) | A \rangle } \\ & { - \gamma _ { A } \langle 0 | \rho _ { s , 0 B } ^ { ( 1 ) L } ( t , t _ { 1 } ) | A \rangle } \\ & { - 2 V _ { B A } \mathrm { e } ^ { - i \omega _ { B } \tau } \langle B | \rho _ { s , B 0 } ^ { ( 1 ) R } ( t _ { 1 } , t - \tau ) | 0 \rangle } \\ & { - 2 V _ { B A } \mathrm { e } ^ { - i \omega _ { A } \tau } \langle 0 | \rho _ { s , 0 B } ^ { ( 1 ) L } ( t - \tau , t _ { 1 } ) | A \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| u \| _ { H ^ { 1 } } ^ { 2 } } & { { } \leq 4 \operatorname* { m a x } \lbrace \underline { { \alpha } } ^ { - 1 } , 1 \rbrace \left[ \int _ { \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } } ( 2 \alpha + \kappa ) u _ { \tau } ^ { 2 } + \frac { 3 } { 4 } \| \nabla u \| _ { 2 } ^ { 2 } \right] . } \end{array}
\frac { \partial F ^ { N S } } { \partial t } = [ \frac { A _ { f } } { t } ] [ 3 + 4 \log ( 1 - x ) F ^ { N S } ( x , t ) + 2 \int _ { x } ^ { 1 } \frac { d z } { 1 - z } ( 1 + z ^ { 2 } ) F ^ { N S } ( \frac { x } { z } , t ) - 2 F ^ { N S } ( x , t ) ]
\int { \cal D } { \bf X } ( t ) { \cal D } A ( t ) \, \pi _ { \mathrm { c l } } ^ { a } ( x ; [ { \bf X } ] , [ A ] ) \exp i \big ( S _ { \mathrm { b a r y o n } } + S _ { \mathrm { e f f } } [ \vec { \pi } _ { \mathrm { c l } } , { \bf X } ( t ) , A ( t ) ] \, \big )
\ddot { \textbf { d } } = \textbf { f } _ { \mathrm { ~ g ~ } } + \textbf { f } _ { \mathrm { ~ Q ~ D ~ } } ^ { ( 1 , 2 ) } + \textbf { f } _ { \mathrm { ~ Q ~ D ~ } } ^ { ( 2 , 1 ) } + \textbf { f } _ { \mathrm { ~ T ~ F ~ } } ^ { ( 1 , 2 ) } + \textbf { f } _ { \mathrm { ~ T ~ F ~ } } ^ { ( 2 , 1 ) } .
\begin{array} { r } { \mathbf { m } _ { \mathcal { F } } ^ { \delta } ( u , A ) : = \operatorname* { i n f } \left\{ \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } \mathbf { m } _ { \mathcal { F } } ( u , B _ { i } ) \colon B _ { i } \subset A \ \mathrm { p a i r w i s e ~ d i s j o i n t ~ b a l l s } , \ \textnormal { d i a m } ( B _ { i } ) < \delta , \ \mu \left( A \setminus \cup _ { i = 1 } ^ { \infty } B _ { i } \right) = 0 \right\} } \end{array}
{ \cal D } _ { s , \bar { s } } ^ { D _ { s } ^ { - } } ( z ) = \frac { 1 } { z } z ^ { 1 - \alpha _ { \varphi } ( 0 ) } ( 1 - z ) ^ { - \alpha _ { \varphi } ( 0 ) + \lambda + 2 ( 1 - \alpha _ { R } ( 0 ) ) + \Delta _ { \psi } }
p ( \theta \mid \mathbf { X } , \alpha ) = { \frac { p ( \theta , \mathbf { X } , \alpha ) } { p ( \mathbf { X } , \alpha ) } } = { \frac { p ( \mathbf { X } \mid \theta , \alpha ) p ( \theta , \alpha ) } { p ( \mathbf { X } \mid \alpha ) p ( \alpha ) } } = { \frac { p ( \mathbf { X } \mid \theta , \alpha ) p ( \theta \mid \alpha ) } { p ( \mathbf { X } \mid \alpha ) } } \propto p ( \mathbf { X } \mid \theta , \alpha ) p ( \theta \mid \alpha ) .
\mathbf { T } ^ { ( \mathbf { e } _ { 2 } ) } = T _ { 1 } ^ { ( \mathbf { e } _ { 2 } ) } \mathbf { e } _ { 1 } + T _ { 2 } ^ { ( \mathbf { e } _ { 2 } ) } \mathbf { e } _ { 2 } + T _ { 3 } ^ { ( \mathbf { e } _ { 2 } ) } \mathbf { e } _ { 3 } = \sigma _ { 2 1 } \mathbf { e } _ { 1 } + \sigma _ { 2 2 } \mathbf { e } _ { 2 } + \sigma _ { 2 3 } \mathbf { e } _ { 3 } ,
\begin{array} { r l } { \rho _ { n } = } & { f + \left( 1 - f \right) \left[ \varepsilon ^ { 3 } + 3 \varepsilon ^ { 2 } ( 1 - \varepsilon + 3 \varepsilon \left( 1 - \varepsilon \right) ^ { 2 } \right] } \\ & { - f \left( 1 - \lambda - \sigma \right) ^ { 3 } } \\ & { - \left( 1 - f \right) \Big [ \left( \varepsilon - \lambda \right) ^ { 3 } + 3 \left( 1 - \varepsilon - \sigma \right) \left( \varepsilon - \lambda \right) ^ { 2 } } \\ & { + 3 \left( \varepsilon - \lambda \right) \left( 1 - \varepsilon - \sigma \right) ^ { 2 } \Big ] . } \end{array}
\int _ { - R _ { s } / 2 } ^ { R _ { s } / 2 } \int _ { f _ { \mathrm { c } } ^ { h } - R _ { s } / 2 } ^ { f _ { \mathrm { c } } ^ { h } + R _ { s } / 2 } \int _ { - R _ { s } / 2 } ^ { R _ { s } / 2 } P _ { \mathrm { C O I } } ( f _ { 1 } ) | P _ { \mathrm { I N T } } ( f _ { 2 } ) | ^ { 2 } P _ { \mathrm { C O I } } ( f - f _ { 1 } + f _ { 2 } ) P _ { \mathrm { C O I } } ^ { \ast } ( f _ { 2 } ^ { \prime } ) P _ { \mathrm { C O I } } ^ { \ast } ( f - f _ { 2 } ^ { \prime } + f _ { 2 } ) \mu ( f _ { 1 } , f _ { 2 } , f ) \mu ^ { \ast } ( f _ { 2 } ^ { \prime } , f _ { 2 } , f ) d f _ { 1 } d f _ { 2 } d f _ { 2 } ^ { \prime }
{ \frac { d } { d t } } { \mathbf { v } } _ { 0 } ( \varphi _ { 0 } ^ { - 1 } ( P ( t ) ) ) = \left( { \frac { d } { d t } } J _ { \varphi _ { 0 1 } } ( \varphi _ { 1 } ^ { - 1 } ( P ( t ) ) ) \right) \cdot { \mathbf { v } } _ { 1 } ( \varphi _ { 1 } ^ { - 1 } ( P ( t ) ) ) .
\lambda _ { R } = \gamma \cdot ( \mathrm { ~ \# ~ o ~ f ~ i ~ n ~ f ~ e ~ c ~ t ~ e ~ d ~ n ~ o ~ d ~ e ~ s ~ } ) , \; \; \; \; \lambda _ { I } = \sum _ { \mathrm { ~ s ~ u ~ s ~ c ~ e ~ p ~ t ~ i ~ b ~ l ~ e ~ } j } \beta _ { j } .
\Sigma \! \! \! \! \! \! \int _ { x } f _ { x } \overrightarrow { P \left( U _ { n } \right) } g _ { x } = \Sigma \! \! \! \! \! \! \int _ { x } f _ { x } \overleftarrow { P \left( U _ { n } ^ { - 1 } \right) } g _ { x } .
\begin{array} { r l } { A + \overline { \partial } f + A \partial f } & { = A - \overline { \partial } ( S _ { t } P A ) + A \partial f } \\ & { = A - S _ { t } \overline { \partial } P A + [ S _ { t } , \overline { \partial } ] P A + A \partial f } \\ & { = A - S _ { t } ( A - Q \overline { \partial } A ) + [ S _ { t } , \overline { \partial } ] P A + A \partial f } \\ & { = ( I - S _ { t } ) A + S _ { t } Q \overline { \partial } A + [ S _ { t } , \overline { \partial } ] P A + A \partial f . } \end{array}
\left. { \cal P } _ { \delta \sigma _ { i } } \right| _ { c } = 2 \kappa ^ { 2 } \left[ { \frac { C ( \mu _ { i } ) } { r _ { i } + ( 1 / 2 ) } } \right] ^ { 2 } \left( { \frac { \bar { H } _ { i } } { 2 \pi } } \right) _ { c } ^ { 2 } \, ,
B _ { p o l e } = { \frac { g _ { \ell f k } a _ { i \ell } } { m _ { i } - m _ { \ell } } } { \frac { m _ { i } + m _ { f } } { m _ { \ell } + m _ { f } } } + { \frac { g _ { i \ell ^ { \prime } k } a _ { \ell ^ { \prime } f } } { m _ { f } - m _ { \ell ^ { \prime } } } } { \frac { m _ { i } + m _ { f } } { m _ { i } + m _ { \ell ^ { \prime } } } } ,
W _ { 3 } = ( \overline { { { t } } } _ { 1 } , \overline { { { t } } } _ { 2 } ) \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { a } } \\ { { - a } } & { { M } } \end{array} \right) \; \left( \begin{array} { c } { { t _ { 1 } } } \\ { { t _ { 2 } } } \end{array} \right) .
L = ( - 1 ) ^ { p + 1 } D _ { 0 } ^ { - 2 p } \partial ^ { 2 p } + D _ { 0 } ^ { - 1 } \sum _ { k = 1 } ^ { 2 p } ( u _ { k } \partial ^ { 2 p - k } + \partial ^ { 2 p - k } u _ { k } ) ,
\begin{array} { r l } { 0 } & { = \frac { \partial w ( t , \mathbf { x } ) } { \partial t } + \mathbf { h } ( \mathbf { x } ) \mathbf { y } ( t ) + \frac { \partial w ( t , \mathbf { x } ) } { \partial \mathbf { x } } \mathbf { f } ( \mathbf { x } ) } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial w ( t , \mathbf { x } ) } { \partial \mathbf { x } } \mathbf { g } ( \mathbf { x } ) \mathbf { g } ( \mathbf { x } ) ^ { \top } \frac { \partial ^ { \top } w ( t , \mathbf { x } ) } { \partial \mathbf { x } } - \frac { 1 } { 2 } \mathbf { h } ( \mathbf { x } ) ^ { \top } \mathbf { h } ( \mathbf { x } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathscr { D } _ { t , m - 1 } ^ { 2 } \ensuremath { \mathbf { v } } _ { m } } & { { } = - \nabla ^ { \perp } \ensuremath { \mathbf { b } } _ { m - 1 } ^ { \perp } \cdot \mathscr { D } _ { t , m - 1 } \ensuremath { \mathbf { v } } _ { m } - \nabla ^ { \perp } \mathscr { D } _ { t , m - 1 } \ensuremath { \mathbf { b } } _ { m - 1 } ^ { \perp } \cdot \ensuremath { \mathbf { v } } _ { m } + \nabla ^ { \perp } \ensuremath { \mathbf { b } } _ { m - 1 } \cdot \nabla \ensuremath { \mathbf { b } } _ { m - 1 } ^ { \perp } \cdot \ensuremath { \mathbf { v } } _ { m } } \end{array}
J _ { 1 2 } ^ { Q } = - \frac { \left\{ N _ { I } d ^ { 1 / N _ { I } } + [ ( d - 1 ) r - N _ { I } ] \right\} \left( d ^ { 1 / N _ { I } } - w \right) } { N _ { I } ( w - 1 ) ^ { 2 } }
\langle Q _ { 6 } \rangle _ { 0 } = - 4 \sqrt { \frac { 3 } { 2 } } \left[ \frac { m _ { K } } { m _ { s } ( \mu ) + m _ { d } ( \mu ) } \right] ^ { 2 } m _ { K } ^ { 2 } ( f _ { K } - f _ { \pi } ) \cdot B _ { 6 } \sim \left( \frac { m _ { K } } { m _ { s } } \right) ^ { 2 } B _ { 6 }
\begin{array} { r l } { | \psi _ { \pm } ^ { R } \rangle \propto } & { \left( \begin{array} { l } { \Delta \pm E } \\ { k _ { x } + i ( k _ { y } - i \kappa ) } \end{array} \right) } \\ { | \psi _ { \pm } ^ { L } \rangle \propto } & { \left( \begin{array} { l } { \Delta \pm E ^ { * } } \\ { k _ { x } + i ( k _ { y } + i \kappa ) } \end{array} \right) . } \end{array}
\mathbf { p } ^ { ( n + 1 ) } = \bar { \mathbf { p } } ^ { ( n ) } - \Sigma \frac { \bar { \mathbf { p } } ^ { ( n ) } } { | \bar { \mathbf { p } } ^ { ( n ) } | } \ell _ { 1 } \mathrm { b a l l } _ { \nu _ { 1 } { t } _ { x } } ( \frac { \bar { \mathbf { p } } ^ { ( n ) } } { \Sigma } )
\Delta ^ { \prime } { \cal H } = - { \frac { C _ { F } C _ { A } \alpha _ { s } ^ { 2 } } { 2 m _ { q } x ^ { 2 } } } + { \frac { C _ { F } \alpha _ { s } } { 2 m _ { q } ^ { 2 } } } \left\{ { \bf \partial } _ { \bf x } ^ { 2 } , { \frac { 1 } { x } } \right\} + \left( 1 + { \frac { 4 } { 3 } } { \bf S } ^ { 2 } \right) { \frac { \pi C _ { F } \alpha _ { s } } { m _ { q } ^ { 2 } } } \delta ( { \bf x } ) - { \frac { { \bf \partial } _ { \bf x } ^ { 4 } } { 4 m _ { q } ^ { 3 } } } ,
\mathcal { F } _ { \alpha \beta ^ { \prime } { \pmb \beta } _ { n } ^ { \prime } } = \frac { 1 } { \mathrm { ~ m ~ e ~ a ~ s ~ } ( { \Omega } ) } \int d \Omega ( { \pmb \xi } ) \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \frac { m _ { \alpha { \pmb \alpha } _ { m } \beta ^ { \prime } { \pmb \beta } _ { n } ^ { \prime } } ( { \pmb \xi } , { \pmb \xi } ^ { \prime } ) } { m ! } \nabla _ { { \pmb \alpha } _ { m } }
\oint _ { \partial \Sigma ( t ) } \mathrm { d } { \boldsymbol { \ell } } \cdot \mathbf { F } / q ( \mathbf { r } , t ) = - \int _ { \Sigma ( t ) } \mathrm { d } \mathbf { A } \cdot { \frac { \partial } { \partial t } } \mathbf { B } ( \mathbf { r } , t ) + \oint _ { \partial \Sigma ( t ) } \! \! \! \! \mathbf { v } \times \mathbf { B } \, \mathrm { d } { \boldsymbol { \ell } }
\Lambda = B ( { \boldsymbol { \beta } } + \Delta { \boldsymbol { \beta } } ) B ( - { \boldsymbol { \beta } } ) = { \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { - \gamma ^ { 2 } \Delta \beta _ { x } } & { - \gamma \Delta \beta _ { y } } & { 0 } \\ { - \gamma ^ { 2 } \Delta \beta _ { x } } & { 1 } & { \left( { \frac { \gamma - 1 } { \beta } } \right) \Delta \beta _ { y } } & { 0 } \\ { - \gamma \Delta \beta _ { y } } & { - \left( { \frac { \gamma - 1 } { \beta } } \right) \Delta \beta _ { y } } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] }
\begin{array} { r l } & { \mathrm { s u r f a c e ~ t e n s i o n : } \ \gamma = 1 . 1 3 6 \times 1 0 ^ { - 1 } k g / s ^ { 2 } ; } \\ & { \mathrm { d e n s i t i e s : } \ \rho _ { 1 } = \rho _ { 2 } = 1 2 9 . 7 k g / m ^ { 3 } ; \ ( \mathrm { a m b i e n t ~ f l u i d } \ \rho _ { 1 } , \ \mathrm { d r o p } \ \rho _ { 2 } ) } \\ & { \mathrm { d y n a m i c ~ v i s c o s i t i e s : } } \\ { t e x t { ( a m b i e n t f l u i d ) } \ \mu _ { 1 } = 1 2 . 0 4 8 \times 1 0 ^ { - 4 } k g / ( m \cdot s ) , \quad \mathrm { ( d r o p ) } \ \mu _ { 2 } = 2 \mu _ { 1 } ; } \\ & { \mathrm { p e r m i t t i v i t i e s : } \ \mathrm { ( a m b i e n t ~ f l u i d ) } \ \epsilon _ { 1 } = \epsilon _ { 0 } = 8 . 8 5 4 \times 1 0 ^ { - 1 2 } F / m , \quad \mathrm { ( d r o p ) } \ \epsilon _ { 2 } = 8 . 1 \epsilon _ { 0 } ; } \\ & { \mathrm { s t a t i c ~ c o n t a c t ~ a n g l e : } } \\ { t h e t a _ { s } = 7 5 ^ { 0 } \ \mathrm { ( m e a s u r e d ~ o n ~ t h e ~ d r o p ~ s i d e ) } ; } \\ & { \mathrm { m o d e l ~ p a r a m e t e r s : } } \\ { e t a = 0 . 0 0 7 L _ { 0 } , \quad \lambda = \frac { 3 } { 2 \sqrt { 2 } } \gamma \eta , \quad \gamma _ { 1 } = 5 \times 1 0 ^ { - 6 } \frac { L _ { 0 } ^ { 2 } } { \mu _ { 1 } } , \quad \Delta t = 1 \times 1 0 ^ { - 6 } \frac { L _ { 0 } ^ { 2 } \mu _ { 1 } } { \epsilon _ { 0 } V _ { 0 } ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { a _ { 1 , 0 + } = \frac { \sqrt { \kappa _ { e x 1 } } \, \left[ \cfrac { V _ { 2 } ^ { 2 } } { 4 } + \left( \cfrac { \kappa _ { 1 } } { 2 } - i \Delta \right) ^ { 2 } \right] } { \left[ \cfrac { G _ { p h } ^ { 2 } } { 4 } + \cfrac { V _ { 2 } ^ { 2 } } { 4 } + \left( \cfrac { \kappa _ { 1 } } { 2 } - i \Delta \right) ^ { 2 } \right] \left( \cfrac { \kappa _ { 1 } } { 2 } - i \Delta \right) } \, s _ { i n } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \cal N } \left( z \right) } & { { } \sim } & { \Phi _ { \infty } \left( \overline { { \alpha } } \right) \left( 1 - z \right) } \\ { { \cal D } \left( z \right) } & { { } \sim } & { \alpha \lambda \left( 1 - z \right) ^ { \theta } } \\ { \Phi _ { \infty } \left( z \right) } & { { } \sim } & { \frac { \Phi _ { \infty } \left( \overline { { \alpha } } \right) } { \alpha \lambda } \left( 1 - z \right) ^ { 1 - \theta } \rightarrow 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \! \! ( S _ { p } | k ) = \sum _ { n = 1 } ^ { m _ { k } } \left( - 1 \right) ^ { n + 1 } { \binom { m _ { k } } { n } } \exp \left( - \; \frac { g _ { k } \; n \; \theta _ { \mathrm { D C } } \; ( r _ { x } ^ { 2 } + h ^ { 2 } ) ^ { \frac { \alpha _ { k } } { 2 } } \; \sigma ^ { 2 } } { P G _ { d M } G _ { u M } } \right) } \\ { \; } & { \mathcal { L } _ { I _ { L } } \left( \frac { g _ { k } \; n \; \theta _ { \mathrm { D C } } \; ( r _ { x } ^ { 2 } + h ^ { 2 } ) ^ { \frac { \alpha _ { k } } { 2 } } } { P G _ { d M } G _ { u M } } \right) \mathcal { L } _ { I _ { N } } \left( \frac { g _ { k } \; n \; \theta _ { \mathrm { D C } } \; ( r _ { x } ^ { 2 } + h ^ { 2 } ) ^ { \frac { \alpha _ { k } } { 2 } } } { P G _ { d M } G _ { u M } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { h _ { ~ \mu } ^ { a } = \left[ \begin{array} { c c c c } { A _ { 1 } ( t ) } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { A _ { 2 } ( t ) } { \sqrt { 1 - k r ^ { 2 } } } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { A _ { 2 } ( t ) r } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { A _ { 2 } ( t ) r \sin ( \theta ) } \end{array} \right] . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \left[ { \begin{array} { r r r r } { 1 } & { 3 } & { - 2 } & { 5 } \\ { 3 } & { 5 } & { 6 } & { 7 } \\ { 2 } & { 4 } & { 3 } & { 8 } \end{array} } \right] } & { \sim \left[ { \begin{array} { r r r r } { 1 } & { 3 } & { - 2 } & { 5 } \\ { 0 } & { - 4 } & { 1 2 } & { - 8 } \\ { 2 } & { 4 } & { 3 } & { 8 } \end{array} } \right] \sim \left[ { \begin{array} { r r r r } { 1 } & { 3 } & { - 2 } & { 5 } \\ { 0 } & { - 4 } & { 1 2 } & { - 8 } \\ { 0 } & { - 2 } & { 7 } & { - 2 } \end{array} } \right] \sim \left[ { \begin{array} { r r r r } { 1 } & { 3 } & { - 2 } & { 5 } \\ { 0 } & { 1 } & { - 3 } & { 2 } \\ { 0 } & { - 2 } & { 7 } & { - 2 } \end{array} } \right] } \\ & { \sim \left[ { \begin{array} { r r r r } { 1 } & { 3 } & { - 2 } & { 5 } \\ { 0 } & { 1 } & { - 3 } & { 2 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 2 } \end{array} } \right] \sim \left[ { \begin{array} { r r r r } { 1 } & { 3 } & { - 2 } & { 5 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 8 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 2 } \end{array} } \right] \sim \left[ { \begin{array} { r r r r } { 1 } & { 3 } & { 0 } & { 9 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 8 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 2 } \end{array} } \right] \sim \left[ { \begin{array} { r r r r } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { - 1 5 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 8 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 2 } \end{array} } \right] . } \end{array} }
\begin{array} { r } { \Delta f _ { \mathrm { S T } } = \frac { \hbar \omega _ { B } \kappa \left[ \alpha ^ { 2 } + 4 ( \Delta _ { B } - 2 \Gamma A ^ { 2 } - 2 \Gamma B ^ { 2 } ) ^ { 2 } \right] } { 8 \alpha P _ { B } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \bullet \quad \frac { 1 } { n \sqrt n } \sum _ { i j k } \mathbb { E } \left[ w _ { 2 k } W _ { i j k } Q _ { i j } ^ { 1 2 } \right] \simeq \frac { 1 } { n \sqrt n } \sum _ { i j k } \mathbb { E } \left[ w _ { 2 k } \frac { \partial Q _ { i j } ^ { 1 2 } } { \partial W _ { i j k } } \right] = - \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \sum _ { i j k } \mathbb { E } \left[ w _ { 2 k } ^ { 2 } Q _ { i i } ^ { 1 1 } Q _ { j j } ^ { 2 2 } \right] \xrightarrow [ n \to \infty ] - q _ { 1 } ( z ) q _ { 2 } ( z ) } \end{array}
\frac { \partial \rho } { \partial t } = - \frac { \partial } { \partial \theta } ( \omega \rho ) - \frac { \partial } { \partial \omega } \left( ( c _ { 1 } ( \omega ) + c _ { 2 } ( \theta , \omega ) \right) \rho ) + \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \omega ^ { 2 } } \left( \frac { \epsilon ( \omega ) ^ { 2 } } { 2 } \rho \right) .
\psi _ { n - \delta } ^ { m } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { l } { | n - 1 - \delta \rangle _ { m } } \\ { - \lambda | n - \delta \rangle _ { m } } \end{array} \right) \qquad ( n \geq 1 ) ,
s = \frac { S } { V } = \alpha 4 \pi \, r _ { + } ^ { n } \left| k - \left( \frac { r _ { - } } { r _ { + } } \right) ^ { n - 1 } \right| ^ { n b / 2 } = \frac { 1 } { 4 G } \sqrt { g _ { n n } } \left| _ { r _ { + } } \right. ,
\begin{array} { r l } { \Lambda _ { t _ { \lambda ^ { \prime } } } - \underline { { \Lambda } } _ { t _ { \lambda ^ { \prime } } } } & { = \mathbb { E } [ F ( Z _ { t _ { \lambda ^ { \prime } } } ) - F ( Y _ { t _ { \lambda ^ { \prime } } } ) ] } \\ & { \le \mathbb { E } [ F ( Y _ { t _ { \lambda ^ { \prime } } } + \Lambda _ { t _ { \lambda ^ { \prime } } } - \underline { { \Lambda } } _ { t _ { \lambda ^ { \prime } } } ) - F ( Y _ { t _ { \lambda ^ { \prime } } } ) ] } \\ & { \le ( 1 - \Phi ( t _ { \lambda ^ { \prime } } , \Lambda _ { t _ { \lambda ^ { \prime } } } - \underline { { \Lambda } } _ { t _ { \lambda ^ { \prime } } } ) ) \cdot ( \Lambda _ { t _ { \lambda ^ { \prime } } } - \underline { { \Lambda } } _ { t _ { \lambda ^ { \prime } } } ) , } \end{array}
S _ { x } = \frac { 1 } { 2 } \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & & { 1 } \\ { 1 } & & { 0 } \end{array} \right] \quad S _ { y } = \frac { 1 } { 2 } \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & & { - i } \\ { i } & & { 0 } \end{array} \right] \quad S _ { z } = \frac { 1 } { 2 } \left[ \begin{array} { l l l } { 1 } & & { 0 } \\ { 0 } & & { - 1 } \end{array} \right]
2 \pi \mathcal { F } _ { z ^ { \prime } \rightarrow \eta _ { l } } \big \{ \boldsymbol { \jmath } _ { l } ^ { T } ( z ^ { \prime } ) \big \} = 2 \pi \bigg [ \mathcal { F } _ { z ^ { \prime } \rightarrow \eta _ { l } } \big \{ \textit { \xi } _ { l + 1 } ( z ^ { \prime } ) - \mathcal { F } _ { z ^ { \prime } \rightarrow \eta _ { l } } \big \{ \textit { \xi } _ { l - 1 } ( z ^ { \prime } ) \big \} \bigg ] \frac { a \omega _ { 0 } } { 2 i }
\begin{array} { r } { F _ { a } = \left[ \begin{array} { l } { \tilde { F } _ { a 1 } } \\ { \tilde { F } _ { a 2 } } \end{array} \right] , \quad F _ { u } = \left[ \begin{array} { l } { \tilde { F } _ { u 1 } } \\ { \tilde { F } _ { u 1 } } \end{array} \right] , \quad F _ { \mathrm { g } } = \left[ \begin{array} { l } { \tilde { F } _ { \mathrm { g } 1 } } \\ { \tilde { F } _ { \mathrm { g } 1 } } \end{array} \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | k ( \mu _ { 1 } , \mu _ { 2 } ) - k ( \mu _ { 3 } , \mu _ { 4 } ) | } & { \leq | k ( \mu _ { 1 } , \mu _ { 2 } ) - k _ { \mathrm { M c K } } ^ { [ M _ { n } ] } ( \mu _ { 1 } , \mu _ { 2 } ) | } \\ & { \quad + | k _ { \mathrm { M c K } } ^ { [ M _ { n } ] } ( \mu _ { 1 } , \mu _ { 2 } ) - k _ { \mathrm { M c K } } ^ { [ M _ { n } ] } ( \mu _ { 3 } , \mu _ { 4 } ) | } \\ & { \quad + | k _ { \mathrm { M c K } } ^ { [ M _ { n } ] } ( \mu _ { 3 } , \mu _ { 4 } ) - k ( \mu _ { 3 } , \mu _ { 4 } ) | } \\ & { \leq \frac \epsilon 2 + \tilde { \omega } _ { k } ( d _ { \mathrm { K R } } ^ { 2 } [ ( \mu _ { 1 } , \mu _ { 2 } ) , ( \mu _ { 3 } , \mu _ { 4 } ) ] ) + \frac \epsilon 2 } \end{array}