harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } & { } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } 2 \pi r d r | \hat { l } _ { - } \psi _ { n } ^ { m } ( r , \phi , z ) | ^ { 2 } } \\ & { = } & { 8 \left( \frac { z } { w _ { 0 } } \right) ^ { 2 } \hbar ^ { 2 } ( n - m + 1 ) \frac { n ! } { ( n - m + 1 ) ! } \frac { 1 } { w _ { 0 } ^ { 2 } } w _ { 0 } ^ { 2 } } \\ & { } & { \cdot \int _ { 0 } ^ { \infty } d a \mathrm { e } ^ { - a } a ^ { - m - 1 } \left( L _ { n } ^ { - m - 1 } ( a ) L _ { n } ^ { - m - 1 } ( a ) \right. } \\ & { } & { - L _ { n } ^ { - m } ( a ) L _ { n } ^ { - m - 1 } ( a ) + \frac { 1 } { 4 } \left( 1 + \frac { k ^ { 2 } w _ { 0 } ^ { 4 } } { 4 z ^ { 2 } } \right) L _ { n } ^ { - m } ( a ) L _ { n } ^ { - m } ( a ) ) } \\ & { = } & { 8 \left( \frac { z } { w _ { 0 } } \right) ^ { 2 } \hbar ^ { 2 } ( n - m + 1 ) \frac { n ! } { ( n - m + 1 ) ! } } \\ & { } & { \cdot \left( \frac { ( n - m - 1 ) ! } { n ! } - \frac { ( n - m - 1 ) ! } { n ! } \right. } \\ & { } & { \left. + \frac { 1 } { 4 } \left( 1 + \frac { k ^ { 2 } w _ { 0 } ^ { 4 } } { 4 z ^ { 2 } } \right) \frac { ( n - m ) ! } { n ! } ( 2 n - m + 1 ) \right) } \\ & { } & { = \hbar ^ { 2 } \left( 2 \left( \frac { z } { w _ { 0 } } \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } ( k w _ { 0 } ) ^ { 2 } \right) ( 2 n - m + 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \Big [ F ( z ^ { ( T ) } ) - F ( z ^ { * } ) + \gamma \| A w ^ { ( T ) } - z ^ { ( T ) } \| \Big ] \leq R ^ { \mathrm { S } } ( \sqrt { T } , \bar { \epsilon } ) } \\ & { + \frac { U _ { 2 } ^ { 2 } ( \rho ^ { \mathrm { m a x } } + L / E ) + ( \gamma + \| \lambda ^ { 1 } \| ) ^ { 2 } / \rho ^ { 1 } } { 2 T } , } \end{array}
T _ { c o s } ( t ) \equiv f ( t ) \cos { \bigg ( \frac { 2 \pi n t } { T } \bigg ) } = \bigg [ \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \frac { f ^ { ( j ) } ( 0 ) } { j ! } t ^ { j } \bigg ] \bigg [ \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { k } } { ( 2 k ) ! } \bigg ( \frac { 2 \pi n t } { T } \bigg ) ^ { 2 k } \bigg ] ,
\begin{array} { c } { { \Delta _ { 1 } ^ { ( 1 ) } = - m _ { e } a s i n ( \alpha ) , } } \\ { { \Delta _ { 1 } ^ { ( 2 ) } = - m _ { L } m _ { R } ( m _ { e } ^ { 2 } s i n ( \phi ) + a ^ { 2 } s i n ( \phi - 2 \alpha ) ) , } } \end{array}
\int _ { R _ { 0 } } ^ { R ( T ) } { \frac { d R } { R } } = \int _ { T _ { 0 } } ^ { T } \alpha \, d T ~ \Rightarrow ~ \ln ( R ) { \Bigg \vert } _ { R _ { 0 } } ^ { R ( T ) } = \alpha ( T - T _ { 0 } ) ~ \Rightarrow ~ \ln \left( { \frac { R ( T ) } { R _ { 0 } } } \right) = \alpha ( T - T _ { 0 } ) ~ \Rightarrow ~ R ( T ) = R _ { 0 } e ^ { \alpha ( T - T _ { 0 } ) }
\begin{array} { r l } { B ^ { ( 2 ) } ( R e _ { L } ^ { * } ) } & { = E _ { 1 } \left( R e _ { L } ^ { * } \right) + \ln { \left( R e _ { L } ^ { * } \right) } - \frac { e ^ { - R e _ { L } ^ { * } } - 1 } { R e _ { L } ^ { * } } + \gamma - 1 } \\ { , B ^ { ( 3 ) } ( R e _ { L } ^ { * } ) } & { = 2 \ln { ( 2 ) } B ^ { ( 2 ) } ( R e _ { L } ^ { * } ) + B _ { e } ^ { ( 3 ) } ( R e _ { L } ^ { * } ) , } \\ { B ^ { ( 4 ) } ( R e _ { L } ^ { * } ) } & { = 3 \ln { ( 2 ) } ^ { 2 } B ^ { ( 2 ) } ( R e _ { L } ^ { * } ) + 3 \ln { ( 2 ) } B _ { e } ^ { ( 3 ) } ( R e _ { L } ^ { * } ) + B _ { e } ^ { ( 4 ) } ( R e _ { L } ^ { * } ) . } \end{array}
\mathrm { ~ \cal { A } ~ } ( Z ) = \int d ^ { 1 + m } x \ \mathrm { t r } ( I + Z ^ { \dag } Z ) ^ { - 1 } \partial ^ { \mu } Z ^ { \dag } ( I ^ { \prime } + Z Z ^ { \dag } ) ^ { - 1 } \partial _ { \mu } Z ,
\left\{ \begin{array} { l l } { \varepsilon = + 1 , } & { \quad a = + \left( m ^ { 2 } - n ^ { 2 } \right) , \quad b = + 2 m n ; } \\ { \varepsilon = - 1 , } & { \quad a = - \left( m ^ { 2 } - n ^ { 2 } \right) , \quad b = - 2 m n ; } \\ { \varepsilon = + i , } & { \quad a = - 2 m n , \quad b = + \left( m ^ { 2 } - n ^ { 2 } \right) ; } \\ { \varepsilon = - i , } & { \quad a = + 2 m n , \quad b = - \left( m ^ { 2 } - n ^ { 2 } \right) . } \end{array} \right.
{ \cal { L } } ( T \phi ) = { \cal { L } } ( T \phi _ { c l } + T \eta ) = { \cal { L } } ( \bar { \phi } _ { c l } + T \eta ) \neq { \cal { \tilde { L } } } ( T \eta ) \Longrightarrow { \cal { \tilde { L } } } ( T \eta ) \neq { \cal { \tilde { L } } } ( \eta ) .
\begin{array} { r l } { \omega ^ { 2 } = k ^ { 2 } U _ { A } ^ { 2 } } & { { } \mp \frac { m n _ { \mathrm { ~ C ~ R ~ } } } { \rho _ { 0 } } \Omega _ { 0 } \omega \left( 1 - \frac { k v _ { d } } { \omega } \right) \left( 1 - Q _ { 1 } \pm i Q _ { 2 } \right) , } \\ { Q _ { 1 } \left( k \right) \equiv } & { { } \frac { 2 } { \sqrt { \pi } \kappa ^ { 1 . 5 } } \frac { \mathcal { G } \left( \kappa + 1 \right) } { \mathcal { G } \left( \kappa - 0 . 5 \right) } \left( \frac { m \Omega _ { 0 } } { k p _ { 0 } } \right) ^ { 3 } } \\ { Q _ { 2 } \left( k \right) \equiv } & { { } \frac { \sqrt { \pi } } { \kappa ^ { 1 . 5 } } \frac { \mathcal { G } \left( \kappa + 1 \right) } { \mathcal { G } \left( \kappa - 0 . 5 \right) } \frac { m \Omega _ { 0 } } { k p _ { 0 } } \left( 1 + \frac { m ^ { 2 } \Omega _ { 0 } ^ { 2 } } { \kappa k ^ { 2 } p _ { 0 } ^ { 2 } } \right) ^ { - \kappa } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { C _ { \textup { v a r } } L ^ { 2 } } { \lambda ^ { 2 } } \cdot \frac { d } { \beta ^ { 2 } T _ { 3 } ^ { 2 } } \cdot \frac { C _ { \textup { b a } } ^ { 2 } \lambda ^ { 2 } R ^ { 2 } } { \epsilon _ { \textup { o p t } } ^ { 2 } K } = C _ { \textup { v a r } } C _ { \textup { b a } } ^ { 2 } \cdot \frac { \kappa ^ { 2 } d } { \beta ^ { 2 } } \cdot \frac 1 K \cdot \frac 1 { T _ { 3 } ^ { 2 } } \le \frac { 1 } { 2 } , } \\ { \frac { C _ { \textup { v a r } } L ^ { 2 } } { \lambda ^ { 2 } } \cdot \frac { 1 } { T _ { 3 } } \cdot \frac { C _ { \textup { b a } } ^ { 2 } \lambda ^ { 2 } R ^ { 2 } } { \epsilon _ { \textup { o p t } } ^ { 2 } K } = C _ { \textup { v a r } } C _ { \textup { b a } } ^ { 2 } \cdot \kappa ^ { 2 } \cdot \frac 1 K \cdot \frac 1 { T _ { 3 } } \le \frac { 1 } { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { E } _ { \mathrm { e f f } } } & { = \frac { d } { d t } [ \langle \hat { V } \rangle - \operatorname { T r } ( V _ { 2 } \cdot \Sigma _ { t } ) / 2 ] - V _ { 1 } ^ { T } \cdot \dot { q } _ { t } + \operatorname { T r } ( \dot { V } _ { 2 } \cdot \Sigma _ { t } ) / 2 } \\ & { = \frac { d \langle \hat { V } \rangle } { d t } - \frac { 1 } { 2 } \operatorname { T r } ( V _ { 2 } \cdot \dot { \Sigma } _ { t } ) - \langle \hat { V } ^ { \prime } \rangle ^ { T } \cdot m ^ { - 1 } \cdotp _ { t } , } \end{array}
\phi _ { \mathrm { ~ n ~ o ~ i ~ s ~ e ~ } } ( \mathbf { r } , \mathbf { e } , \mathbf { \xi } ) \sim \mathcal { N } ( 0 , \sigma _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ e ~ r ~ p ~ } } ( \mathbf { r } , \mathbf { e } , \mathbf { \xi } ) ^ { 2 } ) ,
\mathbf { w } _ { 0 } \in \mathbb { R } ^ { d _ { \mathrm { ~ l ~ a ~ t ~ e ~ n ~ t ~ } } } , \mathbf { w } _ { \mathrm { ~ s ~ i ~ n ~ } } \in \mathbb { R } ^ { 1 \times { \frac { N } { 2 } } } , \mathbf { w } _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ s ~ } } \in \mathbb { R } ^ { 1 \times \frac { N } { 2 } }
\begin{array} { r l r } { { { \bf V } } ^ { - } ( { \bf x } _ { o } ) } & { = } & { \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \rightarrow 0 \, , \epsilon < 0 } { \bf V } ( { \bf x } _ { o } + \epsilon \, { { \bf n } } _ { e } ) } \\ { { { \bf V } } ^ { + } ( { \bf x } _ { o } ) } & { = } & { \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \rightarrow 0 \, , \epsilon > 0 } { \bf V } ( { \bf x } _ { o } + \epsilon \, { { \bf n } } _ { e } ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bigg \Vert \frac { p } { p \circ W _ { j } ^ { * } } \bigg \Vert _ { \infty } } & { = \operatorname* { s u p } _ { \omega \in \r { d } } \bigg \vert \frac { p ( \omega ) } { p ( W _ { j } ^ { * } \omega ) } \bigg \vert = \operatorname* { s u p } _ { \omega \in \r { d } } \bigg \vert \bigg ( \frac { 1 + \Vert W _ { j } ^ { * } \omega \Vert ^ { 2 } } { 1 + \Vert \omega \Vert ^ { 2 } } \bigg ) ^ { s } \bigg \vert \le \operatorname* { m a x } \{ 1 , \Vert W _ { j } \Vert ^ { 2 s } \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \tilde { \mathbf { X } } } } & { { } = \left( \begin{array} { l } { \tilde { \mathbf { X } } } \\ { \tilde { \mathbf { X } } \circ \tilde { \mathbf { X } } } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { K _ { 1 , n } ^ { \prime } } & { = \sqrt { 2 \gamma \beta ^ { - 1 } } \langle \gamma \bar { x } _ { n } ^ { \lambda } + \bar { Y } _ { n } ^ { \lambda } - \lambda h _ { t a m , \gamma } ( \bar { x } _ { n } ^ { \lambda } ) , \Xi _ { n + 1 } + \Xi _ { n + 1 } ^ { \prime } \rangle } \\ & { + \frac { 8 \gamma } { \beta } \left( | \Xi _ { n + 1 } | ^ { 2 } + | \Xi _ { n + 1 } ^ { \prime } | ^ { 2 } \right) } \\ & { + \sqrt { 2 \gamma \beta ^ { - 1 } } \langle E _ { n } + \gamma e _ { n } , \Xi _ { n + 1 } + \Xi _ { n + 1 } ^ { \prime } \rangle } \\ & { \leq C \sqrt { 2 \gamma \beta ^ { - 1 } } \sqrt { M _ { n } } ( | \Xi _ { n + 1 } | + | \Xi _ { n + 1 } ^ { \prime } | ) } \\ & { + \frac { 8 \gamma } { \beta } \left( | \Xi _ { n + 1 } | ^ { 2 } + | \Xi _ { n + 1 } ^ { \prime } | ^ { 2 } \right) } \\ & { + \sqrt { 2 \gamma \beta ^ { - 1 } } \lambda ^ { 2 } ( 1 + \gamma ^ { 2 } ) ( \sqrt { M _ { n } } + 1 ) | \Xi _ { n + 1 } + \Xi _ { n + 1 } ^ { \prime } | , } \end{array}
1 + \left\| h \right\| _ { H ^ { s } } \leq \bigg [ ( 1 + \left\| h _ { 0 } \right\| _ { H ^ { s } } ) \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } \left( 1 + C T _ { \operatorname* { m a x } } \right) \bigg ] ^ { \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } \left( C L \right) } .
\langle \tilde { \nu _ { i } } \rangle \approx v _ { 1 } { \frac { \ln { \frac { M _ { G U T } } { M _ { Z } } } } { 8 \pi ^ { 2 } } } a _ { i } ( \lambda _ { i } ^ { \prime } h _ { b } + b _ { i } \lambda _ { i } h _ { \tau } )
\sum _ { j } Q _ { j } ^ { 2 } F _ { j } ( x _ { H } , Q ^ { 2 } ) D _ { j } ( z _ { H } , Q ^ { 2 } ) f ( k _ { T } ) d ( \rho ^ { \prime } ) \delta ^ { 2 } ( \vec { P } _ { T } - \xi ^ { ' } { \vec { k } } _ { T } - \vec { \rho ^ { \prime } } + { \frac { ( \vec { P } _ { 1 } \vec { \rho ^ { \prime } } ) } { P _ { 1 } ^ { 2 } } } \vec { P } _ { 1 } ) ,
E _ { n , \mathbf { k } } = E _ { n , 0 } + { \frac { \hbar ^ { 2 } k ^ { 2 } } { 2 m } } + { \frac { \hbar ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } } \sum _ { n ^ { \prime } \neq n } { \frac { | \langle u _ { n , 0 } | \mathbf { k } \cdot \mathbf { p } | u _ { n ^ { \prime } , 0 } \rangle | ^ { 2 } } { E _ { n , 0 } - E _ { n ^ { \prime } , 0 } } }
d s ^ { 2 } = - 4 M ^ { 2 } \, { { \left( 1 - \sin ( u ) \right) } ^ { 2 } } \, d u \, d v + { \frac { \cos ^ { 2 } ( u ) } { { ( 1 - \sin ( u ) } ) ^ { 2 } } } \, d x ^ { 2 } + { { { \cos ^ { 2 } ( u ) } } \, { \left( 1 - \sin ( u ) \right) } ^ { 2 } } \, d y ^ { 2 } .
P _ { \mathrm { ~ R ~ P ~ } , r } ( R , V ) = \frac { 2 \pi \tau _ { m } R [ 1 + r + ( 1 - r ) \pi \tau _ { m } R ] + 2 ( 1 - r ) V ^ { 2 } } { [ 1 + r + ( 1 - r ) \pi \tau _ { m } R ] ^ { 2 } + ( 1 - r ) ^ { 2 } V ^ { 2 } } \quad \stackrel { r \to 1 } { \longrightarrow } \quad \pi \tau _ { m } R .
\int p ( x _ { k + 1 } | x _ { k } ^ { \prime } ) { \frac { p ( y _ { k } | x _ { k } ^ { \prime } ) { \widehat { p } } ( d x _ { k } ^ { \prime } | y _ { 0 } , \cdots , y _ { k - 1 } ) } { \int p ( y _ { k } | x _ { k } ^ { \prime \prime } ) { \widehat { p } } ( d x _ { k } ^ { \prime \prime } | y _ { 0 } , \cdots , y _ { k - 1 } ) } } = \sum _ { i = 1 } ^ { N } { \frac { p ( y _ { k } | \xi _ { k } ^ { i } ) } { \sum _ { i = 1 } ^ { N } p ( y _ { k } | \xi _ { k } ^ { j } ) } } p ( x _ { k + 1 } | \xi _ { k } ^ { i } ) = : { \widehat { q } } ( x _ { k + 1 } | y _ { 0 } , \cdots , y _ { k } )
\begin{array} { r l r l } { \frac A L } & { { } = A ^ { - 1 } \left\lVert \partial _ { t } \bar { u } \right\rVert _ { L ^ { \infty } ( ( 0 , T ) \times \partial \Omega ) } + \left\lVert \nabla \bar { u } \right\rVert _ { L ^ { \infty } ( ( 0 , T ) \times \mathcal U _ { \delta } ( \partial \Omega , \Omega ) ) } , } & { \mathsf { R e } } & { { } = \frac { A L } { \nu } . } \end{array}
\eta = ( \nu ^ { 3 } / \langle \epsilon \rangle ) ^ { 1 / 4 } , \quad \; u _ { \eta } = ( \nu \langle \epsilon \rangle ) ^ { 1 / 4 } , \quad \; \tau _ { \eta } = ( \nu / \langle \epsilon \rangle ) ^ { 1 / 2 } ,
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { p } \frac { \, \mathrm { d } } { \, \mathrm { d } t } } & { \int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } ^ { 3 } } ( h _ { \ell } ^ { + } ) ^ { p } \, \mathrm { d } v + \frac { 4 ( p - 1 ) } { p ^ { 2 } } \int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } ^ { 3 } } A [ h ] \left\vert \nabla ( h _ { \ell } ^ { + } ) ^ { \frac { p } { 2 } } \right\vert ^ { 2 } } \\ & { \leq ( p - 1 ) \int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } ^ { 3 } } \nabla h _ { \ell } ^ { + } h \nabla a [ f ] ( h _ { \ell } ^ { + } ) ^ { p - 2 } \, \mathrm { d } v + \int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } ^ { 3 } } ( h _ { \ell } ^ { + } ) ^ { p - 1 } \left( A [ h ] : \nabla ^ { 2 } \mu \right) \, \mathrm { d } v + \int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } ^ { 3 } } h \mu ( h _ { \ell } ^ { + } ) ^ { p - 1 } \, \mathrm { d } v . } \end{array}
R _ { s a t } = \frac { m i n \left( \sigma _ { m _ { 1 A } ; m _ { 2 B } \rightarrow f } , \sigma _ { m _ { 2 A } ; m _ { 1 B } \rightarrow f } \right) } { m a x \left( \sigma _ { m _ { 1 A } ; m _ { 1 B } \rightarrow f } , \sigma _ { m _ { 2 A } ; m _ { 2 B } \rightarrow f } \right) } .
{ \begin{array} { r l } { { \frac { d \phi _ { i } } { d t } } } & { = - k \sum _ { j } A _ { i j } \left( \phi _ { i } - \phi _ { j } \right) } \\ & { = - k \left( \phi _ { i } \sum _ { j } A _ { i j } - \sum _ { j } A _ { i j } \phi _ { j } \right) } \\ & { = - k \left( \phi _ { i } \ \deg ( v _ { i } ) - \sum _ { j } A _ { i j } \phi _ { j } \right) } \\ & { = - k \sum _ { j } \left( \delta _ { i j } \ \deg ( v _ { i } ) - A _ { i j } \right) \phi _ { j } } \\ & { = - k \sum _ { j } \left( L _ { i j } \right) \phi _ { j } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { u _ { N } ( t , z ) = } & { e ^ { - \gamma t } \prod _ { k = 1 } ^ { N } \exp \left\{ c _ { k } \left( z _ { k } \frac { 1 - e ^ { - \alpha _ { k } t } } { \alpha _ { k } } + ( d _ { k } - c _ { k } ) \int _ { 0 } ^ { t } \frac { 1 - e ^ { - \alpha _ { k } s } } { \alpha _ { k } } d s \right) \right\} } \\ & { \times \prod _ { k = 1 } ^ { N } \exp \left\{ c _ { k } ^ { 2 } \alpha _ { k } \int _ { 0 } ^ { t } \left( \frac { 1 - e ^ { - \alpha _ { k } ( t - s ) } } { \alpha _ { k } } \right) ^ { 2 } d s \right\} } \\ { = } & { \exp \left\{ - \gamma t + \sum _ { k = 1 } ^ { N } \left( c _ { k } z _ { k } g _ { k } ( t ) + c _ { k } ( d _ { k } - c _ { k } ) \int _ { 0 } ^ { t } g _ { k } ( s ) d s + c _ { k } ^ { 2 } \alpha _ { k } \int _ { 0 } ^ { t } g _ { k } ( s ) ^ { 2 } d s \right) \right\} , } \end{array}
L I P R _ { i } ^ { A } = \left( \frac { \sum _ { j \in A } { \eta _ { i } ^ { j } } ^ { 4 } } { | | \eta _ { i } | | ^ { 2 } } \right) / \left( \frac { \sum _ { j } { \eta _ { i } ^ { j } } ^ { 4 } } { | | \eta _ { i } | | ^ { 2 } } \right) = \frac { \sum _ { j \in A } { \eta _ { i } ^ { j } } ^ { 4 } } { \sum _ { j } { \eta _ { i } ^ { j } } ^ { 4 } } .
\begin{array} { r l } { T _ { + + , n } = T _ { -- , n } } & { { } = \frac { 2 + n _ { z } } { 3 } \varsigma _ { n } ^ { \mathrm { H H } } + \frac { 2 - n _ { z } } { 3 } \varsigma _ { n } ^ { \mathrm { L H } } , } \\ { T _ { + - , n } } & { { } = \frac { n _ { x } + i n _ { y } } { \sqrt { 3 } } \left( \varsigma _ { n } ^ { \mathrm { H H } } - \varsigma _ { n } ^ { \mathrm { L H } } \right) , } \\ { T _ { + - , n } } & { { } = \frac { n _ { x } - i n _ { y } } { \sqrt { 3 } } \left( \varsigma _ { n } ^ { \mathrm { H H } } - \varsigma _ { n } ^ { \mathrm { L H } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { F _ { | \varphi _ { 1 } | , | \varphi _ { 2 } | | r } ( | \varphi _ { 1 } ^ { 0 } | , | \varphi _ { 2 } ^ { 0 } | | r ) = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } F _ { | \varphi _ { 1 } | , | \varphi _ { 2 } | } ( | \varphi _ { 1 } ^ { 0 } | , | \varphi _ { 2 } ^ { 0 } | \, | \, k ) \, \frac { ( \lambda \pi r ^ { 2 } ) ^ { k } } { k ! } e ^ { - \lambda \pi r ^ { 2 } } } \\ & { = 1 - e ^ { - \lambda r ^ { 2 } | \varphi _ { 1 } ^ { 0 } | } - \lambda r ^ { 2 } | \varphi _ { 1 } ^ { 0 } | e ^ { - \lambda r ^ { 2 } | \varphi _ { 2 } ^ { 0 } | } . } \end{array}
\small \begin{array} { r l } { \overline { T } _ { 2 } } & { { } = { \cal T } _ { 0 } \sum _ { k = - \infty } ^ { + \infty } \Bigg \{ \frac { 9 } { 3 2 } \, b ( - k n ) \bigg [ x \left( 1 - x ^ { 2 } \right) \left( \left( X _ { k } ^ { - 3 , - 2 } \right) ^ { 2 } - \left( X _ { k } ^ { - 3 , 2 } \right) ^ { 2 } \right) \bigg ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { \rho } _ { X } = } & { ( R e ^ { - \Delta \epsilon _ { H } / T } + \gamma _ { 0 } ) \rho _ { H } - ( R e ^ { - \Delta \epsilon _ { X } / T } + \gamma _ { 0 } ) \rho _ { X } } \\ { \dot { \rho } _ { H } = } & { ( R e ^ { - \Delta \epsilon _ { X } / T } + \gamma _ { 0 } ) \rho _ { X } + ( R e ^ { - \Delta \epsilon _ { D } / T } + \gamma _ { 0 } ) \rho _ { D } - 2 ( R e ^ { - \Delta \epsilon _ { H } / T } + \gamma _ { 0 } ) \rho _ { H } } \\ { \dot { \rho } _ { D } = } & { ( R e ^ { - \Delta \epsilon _ { H } / T } + \gamma _ { 0 } ) \rho _ { H } - ( R e ^ { - \Delta \epsilon _ { D } / T } + \gamma _ { 0 } ) \rho _ { D } } \end{array}
e ^ { \pm } ( \cdot ) = ( \mathcal { Q } ^ { \pm } x ^ { \pm } ) ( \cdot ) = \left[ \begin{array} { l l } { B ^ { \pm } ( \cdot ) } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { 1 } { \rho _ { 0 } ^ { \pm } ( \cdot ) } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { s ^ { \pm } ( \cdot ) } \\ { \pi ^ { \pm } ( \cdot ) } \end{array} \right] , \quad x ^ { \pm } \in X ^ { \pm } ,
\begin{array} { r l } & { \overline { { L } } ( \tau ) = ( ( 1 - \alpha ) \gamma t ) ^ { \frac { 1 } { 1 - \alpha } } } \\ & { + \frac { D } { \gamma } \frac { \left( 7 \alpha ^ { 2 } - \alpha ( 8 \beta + 3 ) + 2 \beta ( \beta + 1 ) \right) ( ( 1 - \alpha ) \gamma \tau ) ^ { \frac { \alpha - \beta } { \alpha - 1 } } } { 2 ( 2 \alpha - \beta ) ( 3 \alpha - \beta - 1 ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| { \mathbf h _ { t } } \| ^ { 2 } } & { \leq \| { \mathbf g ( \mathbf x _ { t } ) + \lambda ( \mathbf g _ { \textnormal { n e w } } - \mathbf g ( \mathbf x _ { t } ) ) } \| ^ { 2 } } \\ & { = \| \mathbf g ( \mathbf x _ { t } ) \| ^ { 2 } + 2 \lambda \mathbf g ( \mathbf x _ { t } ) ^ { \top } ( \mathbf g _ { \textnormal { n e w } } - \mathbf g ( \mathbf x _ { t } ) ) + \lambda ^ { 2 } \| \mathbf g _ { \textnormal { n e w } } - \mathbf g ( \mathbf x _ { t } ) \| ^ { 2 } } \\ & { \leq \left( 1 - 2 \lambda \right) \| \mathbf g ( \mathbf x _ { t } ) \| ^ { 2 } + 2 \lambda \mathbf g ( \mathbf x _ { t } ) ^ { \top } \mathbf g _ { \textnormal { n e w } } + 4 L ^ { 2 } } \\ & { \leq \left( 1 - \frac { \lambda } { 2 } \right) \| \mathbf g ( \mathbf x _ { t } ) \| ^ { 2 } + 4 L ^ { 2 } ~ . } \end{array}
| t ; N \rangle = \frac { 1 } { \sqrt { ( N + 1 ) ! } } ( 2 a _ { + } ^ { \dagger } a _ { -- } ^ { \dagger } e ^ { i \delta ( t ) } a _ { 0 } ^ { \dagger } a _ { 0 } ^ { \dagger } ) ^ { N / 2 } | 0 \rangle .
{ \cal L } _ { Q N D } = - \frac { 1 } { 2 } T r G _ { \mu \nu } G ^ { \mu \nu } + \sum _ { i = 1 } \bar { \psi } _ { i } i \gamma ^ { \mu } D _ { \mu } \psi _ { i } + \Theta \frac { g _ { n } ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } T r G ^ { \mu \nu } \tilde { G } _ { \mu \nu } ,
\begin{array} { r l } { \dot { Z } _ { u } ( y ) } & { \leq 2 \Big ( \frac { \omega } { 2 } - \epsilon \Big ) \frac { \pi ^ { 2 } } { L ^ { 2 } } Z ( y ) - 2 \hat { \alpha } ( Z ( y ) ) + \frac { 1 } { \omega } \int _ { 0 } ^ { L } \Big ( y _ { z } ( z ) \Big ) ^ { \! 2 } v ^ { 2 } ( z ) d z } \\ & { \leq 2 \Big ( \frac { \omega } { 2 } - \epsilon \Big ) \frac { \pi ^ { 2 } } { L ^ { 2 } } Z ( y ) - 2 \hat { \alpha } ( Z ( y ) ) + \frac { Z ( y ) } { \omega } \| v \| _ { L ^ { \infty } ( 0 , L ) } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { 2 } \frac { d } { d t } \left\| \widehat { h } \right\| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } = - \frac { 3 } { 2 } \int _ { \mathbb R } \left( \widehat { h } h _ { x } ^ { 2 } + h ^ { 1 } \widehat { h } _ { x } \right) \widehat { h } \ d x + \int _ { \mathbb R } \bigg [ [ \mathscr { Q } , \mathscr { Q } h _ { x } ^ { 2 } ] h ^ { 2 } - [ \mathscr { Q } , \mathscr { Q } h _ { x } ^ { 1 } ] h ^ { 1 } \bigg ] \widehat { h } \ d x . } \end{array}
\psi _ { 3 } ( x _ { 0 } , t ) = { \frac { 1 } { a } } \left( \psi _ { 2 } ( x _ { 0 } , 0 ) \cdot \psi _ { 1 } ( x _ { 0 } , 0 ) - \psi _ { 1 } ( x _ { 0 } , 0 ) \cdot \psi _ { 2 } ( x _ { 0 } , 0 ) \right) \cdot e ^ { - i E _ { g } t / \hbar } = 0
\begin{array} { r l } { \Gamma _ { p } ( \tilde { f } ) } & { = - p \left[ E \xi + \alpha p \gamma ( 1 - \xi ^ { 2 } ) \right] \tilde { f } - ( p C _ { F } - C _ { A } ) \tilde { f } - p C _ { A } \frac { \partial \tilde { f } } { \partial p } , } \\ { \Gamma _ { \xi } ( \tilde { f } ) } & { = - ( 1 - \xi ^ { 2 } ) \left[ \left( \frac E p - \frac { \alpha \xi } { \gamma } \right) \tilde { f } + \frac { C _ { B } } { p ^ { 2 } } \frac { \partial \tilde { f } } { \partial \xi } \right] . } \end{array}
D ( P ) = \{ F _ { \psi } \in L ^ { 2 } ( 0 , \infty ) : F _ { \psi } \; \mathrm { a b s . } \; \mathrm { c o n t . } , \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } q \, | { \frac { \mathrm { d } F _ { \psi } } { \mathrm { d } q } } | ^ { 2 } < \infty , \; F _ { \psi } ( 0 ) = 0 \} .
\begin{array} { r c l } { S _ { \tilde { \beta } , t } } & { = } & { \lambda _ { 1 , \beta , t } \tau _ { 1 , 1 } ^ { 2 } + \dots + \lambda _ { K , \beta , t } \tau _ { 1 , K } ^ { 2 } } \\ { S _ { \tilde { \gamma } , t } } & { = } & { \lambda _ { 1 , \gamma , t } ( 1 - \gamma _ { 1 , t } ) ^ { 2 } \tau _ { 2 , 1 } ^ { 2 } + \dots + \lambda _ { K , \gamma , t } ( 1 - \gamma _ { K , t } ) ^ { 2 } \tau _ { 2 , K } ^ { 2 } } \\ { S _ { \tilde { \nu } , t } } & { = } & { \lambda _ { 1 , \nu , t } ( 1 - \nu _ { 1 , t } ) ^ { 2 } \tau _ { 3 , 1 } ^ { 2 } + \dots + \lambda _ { K , \nu , t } ( 1 - \nu _ { K , t } ) ^ { 2 } \tau _ { 3 , K } ^ { 2 } . } \end{array}
\hat { F } _ { e } = J ^ { - 1 } \left\{ \begin{array} { c } { \overline { { \rho } } V } \\ { \overline { { \rho } } \tilde { u } V + \overline { { p } } \eta _ { x } } \\ { \overline { { \rho } } \tilde { v } V + \overline { { p } } \eta _ { y } } \\ { \overline { { \rho } } \tilde { w } V + \overline { { p } } \eta _ { z } } \\ { \left( \check { e } + \overline { { p } } \right) V - \overline { { p } } \eta _ { t } } \end{array} \right\} \, \mathrm { , }
\begin{array} { r l } { \mathbf { H } ( \mathbf { k } ) } & { = \bigg ( E _ { 0 } + \frac { \hbar ^ { 2 } k ^ { 2 } } { 2 m } - i \gamma ( \mathbf { k } ) \bigg ) \mathbb { I } _ { 2 \times 2 } + \mathbf { h } ( \mathbf { k } ) \cdot \boldsymbol \sigma } \\ { \mathbf { h } ( \mathbf { k } ) } & { = [ \alpha - i a + ( \beta - i b ) ( k _ { x } ^ { 2 } - k _ { y } ^ { 2 } ) , 2 k _ { x } k _ { y } ( \beta - i b ) , \Delta ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \varepsilon ^ { 2 } \{ U _ { n , \varepsilon } ( \alpha , \beta ) - U _ { n , \varepsilon } ( \alpha _ { 0 } , \beta ) \} \xrightarrow { P } \int _ { 0 } ^ { 1 } B _ { s } ^ { \top } ( \theta _ { 0 } , \theta ) [ \sigma \sigma ^ { \top } ] ^ { - 1 } ( X _ { s } ^ { 0 } , H ( X _ { s - \cdot } ^ { 0 } ) , \beta _ { 0 } ) B _ { s } ( \theta _ { 0 } , \theta ) \, \mathrm { d } s , } \\ & { \frac { 1 } { n } U _ { n , \varepsilon } ( \alpha , \beta ) \xrightarrow { P } \int _ { 0 } ^ { 1 } \log \operatorname* { d e t } [ \sigma \sigma ^ { \top } ] \Bigl ( X _ { s } ^ { 0 } , H ( X _ { s - \cdot } ^ { 0 } ) , \beta \Bigr ) \, \mathrm { d } s } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad + \int _ { 0 } ^ { 1 } \mathrm { t r } \bigg [ [ \sigma \sigma ^ { \top } ] \Bigl ( X _ { s } , H ( X _ { s - \cdot } ) , \beta \Bigr ) [ \sigma \sigma ^ { \top } ] ^ { - 1 } \Bigl ( X _ { s } , H ( X _ { s - \cdot } ) , \beta _ { 0 } \Bigr ) \bigg ] \, \mathrm { d } s , } \end{array}
\begin{array} { r l } { 1 = \sum _ { i = 1 } ^ { N } y _ { i } } & { = x _ { 2 } \left( 1 + \gamma _ { 2 } + \gamma _ { 2 } \gamma _ { 3 } + \cdots + \prod _ { k = 2 } ^ { N - 2 } \gamma _ { k } \right) } \\ & { = x _ { 2 } \left[ 1 + \frac { N - 3 } { r } + \frac { N - 4 } { 2 r } \frac { N - 3 } { r } + \cdots + \frac { 1 } { r ( N - 3 ) } \frac { 2 } { r ( N - 4 ) } \cdots \frac { N - 4 } { 2 r } \frac { N - 3 } { r } \right] } \\ & { = x _ { 2 } \sum _ { i = 0 } ^ { N - 3 } r ^ { - i } \binom { N - 3 } { i } } \\ & { = x _ { 2 } \left( 1 + \frac { 1 } { r } \right) ^ { N - 3 } . } \end{array}