harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \Vert \varphi ( y , x ) - \varphi ( y , x _ { 0 } ) \Vert } & { \leq \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq t \leq 1 } \Vert D _ { x } \varphi ( y , ( 1 - t ) x _ { 0 } + t x ) \Vert \Vert x - x _ { 0 } \Vert } \\ & { \leq M _ { y } ( L _ { x } + K _ { x y } \Vert y - y _ { 0 } \Vert + K _ { x x } \Vert x - x _ { 0 } \Vert ) ( \Vert x - x _ { 0 } \Vert ) , \ ( y , x ) \in \mathrm { B } ( ( y _ { 0 } , x _ { 0 } ) , R _ { 2 } ) . } \end{array}
\rho ( x , y ) = \rho _ { 0 } + \frac { 1 } { 4 \pi \sigma _ { \rho } ^ { 2 } } \exp \left( - \frac { r ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { \rho } ^ { 2 } } \right) , \qquad p ( x , y ) = p _ { 0 } + \frac { \gamma - 1 } { 4 \pi \sigma _ { p } ^ { 2 } } \exp \left( - \frac { r ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { p } ^ { 2 } } \right) , \qquad r ^ { 2 } = x ^ { 2 } + y ^ { 2 }
\begin{array} { r l r } & { } & { \partial _ { i } \left( { \bf e } _ { j } ^ { \{ l \} } { \bf e } _ { k } ^ { \{ m \} } A _ { \{ l \} \{ m \} } \right) } \\ & { = } & { \partial _ { i } \left( { \bf e } _ { j } ^ { \{ l \} } { \bf e } _ { k } ^ { \{ m \} } \right) A _ { \{ l \} \{ m \} } + { \bf e } _ { j } ^ { \{ l \} } { \bf e } _ { k } ^ { \{ m \} } \partial _ { i } A _ { \{ l \} \{ m \} } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { V o l } \bigl ( \mathcal { U } ( M , \varepsilon ) \bigr ) = \int _ { p \in M } \int _ { t = 0 } ^ { \tan \varepsilon } \int _ { S ( N _ { p } M ) } \frac { t ^ { m - 1 } \operatorname* { d e t } \big [ I _ { n } - t L _ { \eta } \big ] } { ( 1 + t ^ { 2 } ) ^ { \frac { N + 1 } { 2 } } } \, \mathrm { v o l } _ { M } \, d \eta \, d t , } \end{array}
{ \left[ \begin{array} { l } { b _ { x } } \\ { b _ { y } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l l } { s _ { x } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { s _ { z } } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { a _ { x } } \\ { a _ { y } } \\ { a _ { z } } \end{array} \right] } + { \left[ \begin{array} { l } { c _ { x } } \\ { c _ { z } } \end{array} \right] } .
F _ { G G G } ^ { G } = \frac { 1 } { 2 } \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 1 } & { \sqrt { 2 } } \\ { 1 } & { 1 } & { - \sqrt { 2 } } \\ { \sqrt { 2 } } & { - \sqrt { 2 } } & { 0 } \end{array} \right) \quad \quad \quad R _ { G G } = \left( \begin{array} { l l l } { \bar { \omega } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \bar { \omega } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \omega } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \sum _ { i = 1 } ^ { M } } & { \rho _ { i } \mathsf { E } [ W _ { i } ^ { \prime } ( t + 1 ) \mid \theta = i , Y ^ { t } = y ^ { t } ] - C } \\ { = } & { \sum _ { i \in S _ { 0 } } \! \rho _ { i } ( y ^ { t } ) q e _ { i } \! + \! \sum _ { i \in S _ { 1 } } \! \rho _ { i } ( y ^ { t } ) \left( q d _ { i } + p c _ { i } \right) } \\ { \ge } & { q e _ { 1 } \sum _ { i \in S _ { 0 } } \rho _ { i } ( y ^ { t } ) - \frac { 1 + \alpha } { 2 } \log _ { 2 } \left( 1 + ( q - p ) ^ { 2 } \alpha \right) } \\ { = } & { \frac { 1 - \alpha } { 2 } e _ { 1 } - \frac { 1 + \alpha } { 2 } \log _ { 2 } \left( 1 + ( q - p ) ^ { 2 } \alpha \right) } \\ { = } & { \left( \frac { 1 - \alpha } { 2 } \frac { 1 + \alpha } { 1 - \alpha } - \frac { 1 + \alpha } { 2 } \right) \log _ { 2 } \left( 1 + ( q - p ) ^ { 2 } \alpha \right) } \\ { = } & { \; 0 \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { i ^ { \alpha } \frac { \partial ^ { \alpha } } { \partial t ^ { \alpha } } \psi _ { 1 } ( t ) } & { { } = } & { E _ { 1 } \psi _ { 1 } ( t ) + \gamma e ^ { i \omega t } \psi _ { 2 } ( t ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { 0 = \vec { E } _ { 0 } ^ { \mathrm { ~ \, ~ i ~ } } - \frac { 2 \pi i \rho \, e ^ { - 2 i ( k _ { \mathrm { ~ e ~ } } - k _ { \mathrm { ~ m ~ } } ) a } } { ( k _ { \mathrm { ~ e ~ } } - k _ { \mathrm { ~ m ~ } } ) k _ { \mathrm { ~ m ~ } } \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! ^ { 2 } } \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \! S ( 0 ) \vec { E } _ { 0 } ^ { \mathrm { ~ \, ~ e ~ } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ( 1 - p _ { d } ) z ^ { 2 } ( z + 1 ) ( z - 1 ) \partial _ { z } ^ { 3 } f _ { \lambda } ( z ) } \\ & { + ( 1 - p _ { d } ) z ( z - 1 ) ( 2 + 4 z - 3 N z ) \partial _ { z } ^ { 2 } f _ { \lambda } ( z ) } \\ & { - ( N - 1 ) ( z - 1 ) ( ( N - 1 ) ( z + 1 ) p _ { d } + ( 1 - p _ { d } ) ( N + 2 z ( 1 - N ) ) ) \partial _ { z } f _ { \lambda } ( z ) } \\ & { + ( N - 1 ) ( \lambda + N ( z - 1 ) p _ { d } ) f _ { \lambda } ( z ) = 0 , } \end{array}
+ i [ ( { \frac { a } { 2 \alpha ^ { 2 } } } - { \frac { 1 } { 4 \alpha ^ { 2 } g \partial ^ { 2 } } } ) g ^ { \mu \nu } \delta ( x - y ) - ( { \frac { a } { 2 \alpha ^ { 2 } } } + g ) { \frac { \partial ^ { \mu } \partial ^ { \nu } } { \partial ^ { 2 } } } \delta ( x - y ) + { \frac { 1 } { 2 \alpha \partial ^ { 2 } } } ( 1 + { \frac { a } { 2 \alpha ^ { 2 } g } } ) \epsilon ^ { \mu \nu \lambda } \partial _ { \lambda } \delta ( x - y ) ] .
{ M _ { R } } _ { \boldsymbol x _ { \ge j } } ^ { \alpha _ { j - 1 } } = \sum _ { \alpha _ { j } } M _ { x _ { j } } ^ { \alpha _ { j - 1 } \alpha _ { j } } { M _ { R } } _ { \boldsymbol { x } _ { \ge j + 1 } } ^ { \alpha _ { j } } .
\begin{array} { r l r l } & { \tilde { v } _ { \mathcal { X } _ { 1 , 1 } ^ { \epsilon } } ^ { \omega k _ { 4 } } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { - \lambda _ { 1 } ^ { 2 } r _ { 1 } ( \omega ^ { 2 } k _ { \star } ) z _ { 1 } ^ { - 2 i \nu _ { 1 } } e ^ { \frac { i z _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 } } } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , } & & { \tilde { v } _ { \mathcal { X } _ { 1 , 2 } ^ { \epsilon } } ^ { \omega k _ { 4 } } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { \lambda _ { 1 } ^ { - 2 } \hat { r } _ { 2 } ( \omega ^ { 2 } k _ { \star } ) z _ { 1 } ^ { 2 i \nu _ { 1 } } e ^ { - \frac { i z _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 } } } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , } \\ & { \tilde { v } _ { \mathcal { X } _ { 1 , 3 } ^ { \epsilon } } ^ { \omega k _ { 4 } } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { \lambda _ { 1 } ^ { 2 } \hat { r } _ { 1 } ( \omega ^ { 2 } k _ { \star } ) z _ { 1 } ^ { - 2 i \nu _ { 1 } } e ^ { \frac { i z _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 } } } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , } & & { \tilde { v } _ { \mathcal { X } _ { 1 , 4 } ^ { \epsilon } } ^ { \omega k _ { 4 } } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { - \lambda _ { 1 } ^ { - 2 } r _ { 2 } ( \omega ^ { 2 } k _ { \star } ) z _ { 1 } ^ { 2 i \nu _ { 1 } } e ^ { - \frac { i z _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 } } } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , } \end{array}
\underline { { { \Omega } } } _ { I J } = \left( \begin{array} { c c c c } { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { \frac { 1 } { V } } } & { { - \underline { { { \Omega } } } _ { C + + } } } \\ { { 0 } } & { { - \frac { 1 } { V } } } & { { 0 } } & { { - \underline { { { \Omega } } } _ { C -- } } } \\ { { - 1 } } & { { \underline { { { \Omega } } } _ { C + + } } } & { { \underline { { { \Omega } } } _ { C -- } } } & { { 0 } } \end{array} \right) .
\hat { \mathbb { { Q } } } _ { \mathrm { s p h } } ( \omega ) \approx \hat { \mathbb { Q } } _ { \mathrm { c a r } } ^ { ( \mathrm { e } ) } ( \omega ) + 3 i k _ { 0 } \hat { \mathbb { Q } } _ { \mathrm { c a r } } ^ { ( \mathrm { ( T } ) } ( \omega )
H _ { Y } ( v ) = \left\{ \begin{array} { l } { { P _ { + } \gamma _ { 5 } \mathrm { ~ f o r ~ t h e ~ s p i n ~ s i n g l e t } } } \\ { { P _ { + } \slash { \epsilon } \mathrm { ~ f o r ~ t h e ~ s p i n ~ t r i p l e t } } } \end{array} \right. \ ,
{ [ m ( Q ^ { 2 } ) ] } ^ { 2 } = { \hat { m } } ^ { 2 } { ( 2 { \beta } _ { 0 } ) } ^ { 2 { \gamma } _ { 0 } / { \beta } _ { 0 } } { \left( \frac { { \alpha } _ { s } ( Q ^ { 2 } ) } { \pi } \right) } ^ { 2 { \gamma } _ { 0 } / { \beta } _ { 0 } } \; .
\begin{array} { r l } { \forall y \geqslant 2 , \quad \overline { \theta } _ { \Omega _ { 2 } } - \overline { \theta } _ { \Omega _ { 1 } } } & { \leqslant \big ( \overline { \theta } _ { \Omega _ { 2 } } - \theta _ { \Omega _ { 2 } } ( y ) \big ) + \big ( \theta _ { \Omega _ { 1 } } ( y ) - \overline { \theta } _ { \Omega _ { 1 } } \big ) } \\ & { - \frac { 1 } { 2 } e ^ { - \frac { C _ { 0 } } { \Omega _ { 1 } - \kappa _ { 2 } } } ( \Omega _ { 2 } - \Omega _ { 1 } ) \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 2 } ^ { y } B _ { \tau \Omega _ { 2 } + ( 1 - \tau ) \Omega _ { 1 } } ( s ) d s d \tau . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \theta ( \tau _ { 2 } ^ { * } ) } & { { } = } & { \left( \delta _ { \theta } - \frac { \eta } { a \eta + 1 } \right) e ^ { - ( a \eta + 1 ) \tau _ { 2 } ^ { * } } + \frac { \eta } { a \eta + 1 } . } \end{array}
\displaystyle { - 4 \left[ 2 \overline { { \alpha } } ( 1 - \overline { { \alpha } } ) + 3 \overline { { \beta } } ( 1 - \overline { { \beta } } ) \right] \left( 1 + \frac { 3 } { 1 6 } a _ { 2 0 } + \frac { 3 } { 4 } a _ { 1 1 } \right) + 6 \frac { \overline { { \beta } } ^ { 2 } \theta } { \kappa } \left( 1 - \frac { 1 } { 1 6 } a _ { 2 0 } + \frac { 1 } { 2 } a _ { 0 2 } + \frac { 1 } { 2 } a _ { 1 1 } \right) \Bigg \} }
\left[ M - i \frac { \Gamma } { 2 } \right] _ { i j } = \frac { 1 } { 2 m _ { D } } \langle D _ { i } ^ { 0 } | { \cal H } _ { W } ^ { \Delta C = 2 } | D _ { j } ^ { 0 } \rangle + \frac { 1 } { 2 m _ { D } } \sum _ { I } \frac { \langle D _ { i } ^ { 0 } | { \cal H } _ { W } ^ { \Delta C = 1 } | I \rangle \langle I | { \cal H } _ { W } ^ { \Delta C = 1 \dagger } | D _ { j } ^ { 0 } \rangle } { m _ { D } ^ { 2 } - E _ { I } ^ { 2 } + i \epsilon } \ \ .
\begin{array} { r } { P ( \widehat { L } _ { n } , t _ { n } | \widehat { L } _ { n - 2 } , t _ { n - 2 } ) = \int d \widehat { L } _ { n - 1 } P ( \widehat { L } _ { n } , t _ { n } | \widehat { L } _ { n - 1 } , t _ { n - 1 } ) P ( \widehat { L } _ { n - 1 } , t _ { n - 1 } | \widehat { L } _ { n - 2 } , t _ { n - 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { v _ { \parallel } \partial _ { l } \delta H _ { s e } ^ { ( 2 ) } } & { = } & { - \sum _ { \mathbf { k } ^ { \prime } + \mathbf { k } ^ { \prime \prime } = \mathbf { k } } \Lambda _ { k ^ { \prime \prime } } ^ { k ^ { \prime } } \delta L _ { k ^ { \prime } } \delta H _ { k ^ { \prime \prime } e } } \\ & { \simeq } & { - \Lambda _ { k _ { 0 } } ^ { k _ { 1 } ^ { * } } \frac { e } { T _ { e } } F _ { M } v _ { \parallel } \left( \frac { k _ { \parallel 1 ^ { * } } } { \omega _ { 1 ^ { * } } } - \frac { k _ { \parallel 0 } } { \omega _ { 0 } } \right) \delta \phi _ { 0 } \delta \psi _ { 1 ^ { * } } , } \end{array}
( Z ^ { + } ) ^ { T } { \cal M } _ { f } Z ^ { - } = \left( \begin{array} { c c c } { { m _ { \tau } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { m _ { \tilde { \kappa } _ { 1 } ^ { - } } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { m _ { \tilde { \kappa } _ { 2 } ^ { - } } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l r } { \left( \begin{array} { c } { \Delta C _ { A } } \\ { \Delta C _ { B } } \end{array} \right) } & { = } & { \left( \begin{array} { c c } { a _ { \Delta T , A } } & { a _ { \Delta T , B } } \\ { a _ { \Delta \epsilon , A } } & { a _ { \Delta \epsilon , B } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { \Delta T } \\ { \Delta \epsilon } \end{array} \right) , } \\ & { = } & { M \left( \begin{array} { c } { \Delta T } \\ { \Delta \epsilon } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \mathcal { W } \rangle } & { = \mathrm { V a r } [ \hat { x } _ { E } ] + \mathrm { V a r } [ \hat { p } _ { E } ] = \frac { 1 } { 2 } \left( \mathrm { V a r } [ \hat { x } _ { \alpha ^ { \prime } } ] + \mathrm { V a r } [ \hat { p } _ { \alpha ^ { \prime } } ] + \mathrm { V a r } [ \hat { x } _ { \beta } ] + \mathrm { V a r } [ \hat { p } _ { \beta } ] \right) } \\ & { = \frac { 1 } { 4 } \mathrm { T r } [ \Sigma ^ { ( \alpha ^ { \prime } ) } + { \Sigma ^ { ( \beta ) } } ] \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle E \rangle } & { { } = \frac { 1 } { N _ { \mathrm { s } } } \sum _ { s = 1 } ^ { N _ { \mathrm { s } } } H _ { \mathrm { l o c } } \left( \boldsymbol { \sigma } _ { s } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { i } ^ { ( l ) } = } & { { } \sum _ { \forall j \in \mathcal { N } ( i ) } m _ { j \rightarrow { i } } ^ { ( l ) } , } \\ { v _ { i } ^ { ( l ) } = } & { { } \, \Theta ^ { ( l ) } \left( v _ { i } ^ { ( l - 1 ) } + M _ { i } ^ { ( l ) } \right) + v _ { i } ^ { ( l - 1 ) } . } \end{array}
K _ { 0 } ( C _ { \bullet } ( \widehat { \mathrm { B S } ( n , m ) } \wr _ { \ast , \widehat { \langle a \rangle } } S _ { N } ^ { + } ) ) \simeq \mathbb { Z } ^ { 2 N ^ { 2 } - 2 N + 3 } \mathrm { ~ a n d ~ } K _ { 1 } ( C _ { \bullet } ( \widehat { \mathrm { B S } ( n , m ) } \wr _ { \ast , \widehat { \langle a \rangle } } S _ { N } ^ { + } ) ) \simeq \mathbb { Z } ^ { 2 N ^ { 2 } - 2 N + 3 } ,
\begin{array} { r l } { | \psi \rangle _ { \scriptscriptstyle 1 } } & { = \frac { 1 } { 2 } ( ( 1 + e ^ { i \varphi _ { _ 0 } } ) | \psi \rangle _ { \scriptscriptstyle B } + ( 1 - e ^ { i \varphi _ { _ 0 } } ) | \psi \rangle _ { \scriptscriptstyle A B } ) , } \\ { | \psi \rangle _ { \scriptscriptstyle B } } & { = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \vert \omega _ { s } \rangle _ { a } \vert \omega _ { i } \rangle _ { a } + \vert \omega _ { s } \rangle _ { b } \vert \omega _ { i } \rangle _ { b } \right) , } \\ { | \psi \rangle _ { \scriptscriptstyle A B } } & { = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \vert \omega _ { s } \rangle _ { a } \vert \omega _ { i } \rangle _ { b } + \vert \omega _ { s } \rangle _ { b } \vert \omega _ { i } \rangle _ { a } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { v _ { x } = - r \dot { \varphi } \operatorname { S i n } \eta } \\ { v _ { y } = - r \dot { \varphi } \operatorname { C o s } \eta } \\ { a _ { x } = \dot { v } _ { x } } \\ { a _ { y } = \dot { v } _ { y } } \end{array}
\begin{array} { r } { \displaystyle \sum _ { \alpha } \left( \partial _ { t } \mathscr { E } _ { \alpha } + \mathrm { d i v } \left( \mathscr { E } _ { \alpha } \mathbf { v } _ { \alpha } \right) - \mathrm { d i v } \left( \mathbf { T } _ { \alpha } \mathbf { v } _ { \alpha } - \mathbf { q } _ { \alpha } + \theta \boldsymbol { \Phi } _ { \alpha } \right) \right) \leq 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { c _ { k _ { 0 } } : = \left\{ \begin{array} { l l } { - \frac { s _ { 1 3 } ( k _ { 0 } ) } { \dot { s } _ { 1 1 } ( k _ { 0 } ) } , } & { k _ { 0 } \in \mathsf { Z } \setminus \mathbb { R } , } \\ { - \frac { s _ { 1 2 } ( k _ { 0 } ) } { \dot { s } _ { 1 1 } ( k _ { 0 } ) } , } & { k _ { 0 } \in \mathsf { Z } \cap \mathbb { R } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { p ( \mathbf { x } , t ) } & { { } = \frac { 1 } { 4 \pi } \frac { \mathbf { r } } { r ^ { 2 } } \cdot \left( \frac { \mathbf { F } } { r } + \frac { 1 } { c _ { 0 } } \frac { \partial \mathbf { F } } { \partial t } \right) . } \end{array}
D _ { i j } ( { \bf Q } , \omega ) = \left( { \frac { 4 \pi \delta _ { i j } } { \big ( | { \bf Q } | ^ { 2 } - \varepsilon ( | \omega | + i 0 ^ { + } ) ( \omega / c ) ^ { 2 } - i 0 ^ { + } \big ) } } \right) ,
\hat { \mathrm { ~ \bf ~ P ~ } } = \hat { \mathrm { ~ \bf ~ P ~ } } _ { \mathrm { m a t t e r } } + \hat { \mathrm { ~ \bf ~ P ~ } } _ { \mathrm { f i e l d } } = \sum _ { a = 1 } ^ { N } \hat { \mathrm { ~ \bf ~ p ~ } } _ { a } + \frac { \epsilon _ { 0 } } { 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \int d ^ { 3 } r \left\{ \hat { E } _ { j } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \nabla \hat { A } _ { j } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) + h . c . \right\}
\frac { \partial Y _ { \mathrm { ~ i ~ } } } { \partial t } = \frac { D _ { \mathrm { ~ 1 ~ 2 ~ } } } { r ^ { 2 } } \left[ \frac { \partial } { \partial r } \left( r ^ { 2 } \frac { \partial Y _ { \mathrm { ~ i ~ } } } { \partial r } \right) \right] ,
\begin{array} { r l r } & { = } & { \frac { d } { d s } \Big | _ { s = 0 } \left[ \left( \begin{array} { l } { \widetilde h _ { i j } } \end{array} \right) + s \left( \begin{array} { l } { A _ { i j } + A _ { i j } ^ { T } } \end{array} \right) + O ( s ^ { 2 } ) \right] = \underbrace { \d { s } \Big | _ { s = 0 } \left( \begin{array} { l } { \widetilde h _ { i j } } \end{array} \right) } _ { : = h _ { 1 } } + \underbrace { \left( \begin{array} { l } { A _ { i j } + A _ { i j } ^ { T } } \end{array} \right) } _ { : = h _ { 2 } } . } \end{array}
\left< E \right> \sim \frac { R K ^ { 2 } N } { 2 R _ { s } ^ { 2 } N ^ { 2 } } - \frac { 1 5 G _ { 1 1 } R K ^ { 4 } } { 3 2 N ^ { 2 } R _ { s } ^ { 1 1 } }
X _ { H } = { \frac { \partial H } { \partial p _ { \mu } } } { \frac { \partial } { \partial q ^ { \mu } } } - { \frac { \partial H } { \partial q ^ { \mu } } } { \frac { \partial } { \partial p _ { \mu } } } = { \frac { d q ^ { \mu } } { d t } } { \frac { \partial } { \partial q ^ { \mu } } } + { \frac { d p ^ { \mu } } { d t } } { \frac { \partial } { \partial p _ { \mu } } } = { \frac { d } { d t } }
k ( { \boldsymbol { \mathbf { \mathit { u } } } } _ { h } ( t ) , { \boldsymbol { \mathbf { \mathit { v } } } } _ { h } ) - f ^ { p } ( { \boldsymbol { \mathbf { \mathit { u } } } } _ { h } ( t ) , { \boldsymbol { \mathbf { \mathit { v } } } } _ { h } ) = f ^ { e x t } ( { \boldsymbol { \mathbf { \mathit { v } } } } _ { h } ; t ) .
\begin{array} { r l } { \pi _ { s } ^ { a } ( \xi ^ { a } , \xi ^ { p } ) = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { M } \sum _ { j = 1 } ^ { M } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \lambda _ { i j , k } ^ { a } \left( b + r _ { i } ^ { a } l _ { i j } ^ { a } \right) + \lambda _ { i j , k } ^ { b _ { 1 } } \left( b + r _ { i } ^ { a } d _ { i , k } ^ { b _ { 1 } } \right) + \lambda _ { i j , k } ^ { b _ { 2 } } \left( b + r _ { j } ^ { a } d _ { j , k } ^ { b _ { 2 } } \right) + \lambda _ { i j , k } ^ { b _ { 3 } } \left( 2 b + r _ { i } ^ { a } d _ { i , k } ^ { b _ { 3 } } + r _ { j } ^ { a } d _ { j , k } ^ { b _ { 3 } } \right) } \\ & { - N C _ { a v } - \tau \sum _ { i = 1 } ^ { M } \sum _ { j = 1 } ^ { M } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \left( \lambda _ { i j , k } ^ { a } + \lambda _ { i j , k } ^ { b _ { 1 } } + \lambda _ { i j , k } ^ { b _ { 2 } } + 2 \lambda _ { i j , k } ^ { b _ { 3 } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l r l } & { r _ { 0 } ( 0 0 ) = 2 } & & { r _ { 1 0 } ( 0 0 ) = 4 } & & { r _ { 1 1 0 } ( 0 0 ) = 6 } & & { r _ { 1 1 1 } ( 0 0 ) = 8 } \\ & { r _ { 0 } ( 1 1 ) = 3 } & & { r _ { 1 0 } ( 1 1 ) = 5 } & & { r _ { 1 1 0 } ( 1 1 ) = 7 } & & { r _ { 1 1 1 } ( 1 1 ) = 9 } \\ & { r ( 0 ) = ( C _ { 0 } , r _ { 0 } ) } & & { r ( 1 0 ) = ( C _ { 1 0 } , r _ { 1 0 } ) } & & { r ( 1 1 0 ) = ( C _ { 1 1 0 } , r _ { 1 1 0 } ) } & & { r ( 1 1 1 ) = ( C _ { 1 1 1 } , r _ { 1 1 1 } ) . } \end{array}
\left[ \begin{array} { l } { g _ { i + 1 , j } ^ { + } ( \kappa , \alpha ) } \\ { g _ { i , j } ^ { - } ( \kappa , \alpha ) } \end{array} \right] = S _ { j } ^ { i , i + 1 } ( \kappa ) \left[ \begin{array} { l } { g _ { i , j } ^ { + } ( \kappa , \alpha ) } \\ { g _ { i + 1 , j } ^ { - } ( \kappa , \alpha ) } \end{array} \right] ,
\partial _ { x } \tilde { u } _ { n } ( x , t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , } & { x \in ( \lambda , a ) } \\ { \partial _ { x } u _ { n } , } & { x \in \Omega = ( a , b ) } \\ { - \frac { 1 } { n } h ( x ) , } & { x \in ( b , + \infty ) } \end{array} \right.
{ \Delta \theta } = \left[ \begin{array} { r } { 2 . 3 } \\ { 2 . 3 } \\ { - 2 . 8 } \\ { - 7 . 0 } \\ { - 8 . 6 } \\ { 3 . 8 } \end{array} \right] \mathrm { ~ K } , \quad \mathrm { a n d } \quad { \Delta \zeta } = \left[ \begin{array} { r } { 0 } \\ { 0 . 1 0 } \\ { 0 . 0 9 } \\ { - 0 . 1 7 } \\ { - 0 . 6 4 } \\ { - 0 . 9 8 } \end{array} \right] \mathrm { k m } .
\begin{array} { r } { \hat { \mathbf { v } } _ { \mathrm { P S } } ^ { \| } = \frac { 1 } { 2 } \left[ ( \mathbf { n n } - \mathbf { I } ) \cdot ( \hat { \mathbf { V } } - \hat { \lambda } \mathbf { e } _ { z } \times \hat { \mathbf { V } } ) - \hat { \lambda } \mathbf { e } _ { z } \cdot \mathbf { n } \mathbf { n } \times \hat { \mathbf { V } } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| P _ { x , r } - P _ { y , r } \| _ { L ^ { \infty } ( B _ { 1 / 2 } ( \bar { w } ) ) } } & { \leq \| u _ { r } - P _ { x , r } \| _ { L ^ { \infty } ( B _ { 1 } ( \bar { x } ) ) } + \| u _ { r } - P _ { y , r } \| _ { L ^ { \infty } ( B _ { 1 } ( \bar { y } ) ) } } \\ & { \leq C C _ { \circ } r ^ { 2 + \alpha } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { p ( x ^ { p } ( t + \tau ) + a , x ^ { v } ( t + \tau ) | x ^ { p } ( t ) + a ) } & { = q ( x ^ { p } ( t + \tau ) + a - ( \overline { { x ^ { p } ( t ) + a } } ) , x ^ { v } ( t + \tau ) | x ^ { p } ( t ) + a - ( \overline { { x ^ { p } ( t ) + a } } ) ) } \\ & { = q ( x ^ { p } ( t + \tau ) + a - \overline { { x ^ { p } ( t ) } } - a , x ^ { v } ( t + \tau ) | x ^ { p } ( t ) + a - \overline { { x ^ { p } ( t ) } } - a ) } \\ & { = q ( x ^ { p } ( t + \tau ) - \overline { { x ^ { p } ( t ) } } , x ^ { v } ( t + \tau ) | x ^ { p } ( t ) - \overline { { x ^ { p } ( t ) } } ) } \\ & { = p ( x ^ { p } ( t + \tau ) , x ^ { v } ( t + \tau ) | x ^ { p } ( t ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { t r } \left( \Lambda ^ { n } ( { \bf K } ) \right) = } & { \sum _ { { \bf i } _ { 1 } < \cdots < { \bf i } _ { n } } \langle { \bf C } _ { { \bf i } _ { 1 } } \wedge \cdots \wedge { \bf C } _ { { \bf i } _ { n } } | } \\ & { \Lambda ^ { n } ( { \bf K } ) \left( { \bf C } _ { { \bf i } _ { 1 } } \wedge \cdots \wedge { \bf C } _ { { \bf i } _ { n } } \right) \rangle } \\ { = } & { \frac { 1 } { n ! } \sum _ { { \bf i } _ { 1 } , \cdots , { \bf i } _ { n } = 1 } ^ { ( m , m ^ { \prime } ) } \langle { \bf C } _ { { \bf i } _ { 1 } } \wedge \cdots \wedge { \bf C } _ { { \bf i } _ { n } } | } \\ & { \Lambda ^ { n } ( { \bf K } ) \left( { \bf C } _ { { \bf i } _ { 1 } } \wedge \cdots \wedge { \bf C } _ { { \bf i } _ { n } } \right) \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \gamma } _ { \alpha } = } & { { } ~ - \hat { m } _ { \alpha } \left( ( \psi _ { \alpha } - \psi _ { N } ) + ( \chi _ { \alpha } - \chi _ { N } ) + ( \rho _ { \alpha } ^ { - 1 } - \rho _ { N } ^ { - 1 } ) p \right) , } \\ { \hat { \gamma } _ { N } = } & { { } ~ - \displaystyle \sum _ { \alpha = 1 , \dots , N - 1 } \hat { \gamma } _ { \alpha } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { [ t ] 2 \boldsymbol { \epsilon } _ { r } } & { + 2 \gamma \boldsymbol { \epsilon } _ { U } + \gamma \, \mathbb { E } \bigl [ U _ { 1 } ^ { * } ( \tilde { f } _ { 2 } ( \hat { s } , \tilde { \pi } _ { 2 } ( \hat { s } ) , w ) ) - U _ { 1 } ^ { * } ( f _ { 1 } ( \hat { s } , \tilde { \pi } _ { 2 } ( \hat { s } ) , w ) ) \bigr ] } \\ & { + \gamma \, \mathbb { E } \bigl [ U _ { 1 } ^ { * } ( f _ { 1 } ( \hat { s } , \pi _ { 1 } ^ { * } ( \hat { s } ) , w ) ) - U _ { 1 } ^ { * } ( \tilde { f } _ { 2 } ( \hat { s } , \pi _ { 1 } ^ { * } ( \hat { s } ) , w ) ) \bigr ] } \\ & { + \gamma \, \mathbb { E } \bigl [ U _ { 1 } ^ { * } ( f _ { 1 } ( \hat { s } , \tilde { \pi } _ { 2 } ( \hat { s } ) , w ) ) - U _ { 1 } ^ { \tilde { \pi } _ { 2 } } ( f _ { 1 } ( \hat { s } , \tilde { \pi } _ { 2 } ( \hat { s } ) , w ) ) \bigr ] } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { 0 \in ( u v + g _ { 1 4 } ( x _ { 0 } , x _ { 1 } ) = 0 ) \subset \mathbb { C } ^ { 4 } \qquad } & { \mathrm { f o r ~ f a m i l y ~ 1 0 2 } } \\ & { 0 \in ( u ^ { 2 } + v ^ { 2 } + g _ { 1 4 } ( x _ { 0 } , x _ { 1 } ) = 0 ) \subset \mathbb { C } ^ { 4 } / \mathbb { Z } _ { 2 } ( 1 , 0 , 1 , 1 ) \qquad } & { \mathrm { f o r ~ f a m i l y ~ 1 0 5 } } \end{array}
\mathrm { ~ G ~ W ~ P ~ } ^ { \{ i \} } ( T ) = \left( \frac { P ^ { \{ i \} } } { P ^ { \{ \mathrm { C O } _ { 2 } \} } } \right) \left( \frac { m ^ { \{ \mathrm { C O } _ { 2 } \} } } { m ^ { \{ i \} } } \right) \left( \frac { \theta ^ { \{ i \} } ( T ) } { \theta ^ { \{ \mathrm { C O } _ { 2 } \} } ( T ) } \right) .