harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \tan ( \gamma ^ { \star } ) = - \frac { q _ { \mathrm { ~ { ~ I ~ } ~ } } ^ { \star } } { q _ { \mathrm { ~ { ~ R ~ } ~ } } ^ { \star } } = - \frac { c \sin \bar { \theta } - { \frac { \beta } { \pi } } \lambda _ { \mathrm { ~ - ~ } 1 } F ^ { \star } \sin \gamma ^ { \star } } { c \cos \bar { \theta } + { \frac { \beta } { \pi } } \lambda _ { \mathrm { ~ - ~ } 1 } F ^ { \star } \cos \gamma ^ { \star } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial t } y ( t , x ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { \Delta t \rightarrow 0 } \frac { y ( t - \tau + \Delta t , x ) - y ( t - \tau , x ) } { \Delta t } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { \Delta t \rightarrow 0 } \frac { x ( t + \Delta t , y ) - x ( t , y ) } { \Delta t } \cdot \frac { y ( t - \tau + \Delta t , x ) - y ( t - \tau , x ) } { x ( t + \Delta t , y ) - x ( t , y ) } } \\ & { = u ( t , x ) \cdot \frac { \partial _ { t } y ( t - \tau , x ) } { \partial _ { t } x ( t , y ) } } \\ & { = - u ( t , x ) \cdot \nabla _ { x } y ( t - \tau , x ) } \end{array}
\left( i \frac { \partial } { \partial t } + \frac { \nabla ^ { 2 } } { 2 m } \right) G _ { \alpha \beta } ( x , x ^ { \prime } ) + i \lambda \langle T \left( \hat { \psi } _ { \gamma } ^ { + } ( x ) \hat { \psi } _ { \gamma } ( x ) \hat { \psi } _ { \alpha } ( x ) \hat { \psi } _ { \beta } ^ { + } ( x ^ { \prime } ) \right) \rangle = \delta ( x - x ^ { \prime } ) .
\int ( d + e \, x ) ^ { m } \left( a + b \, x + c \, x ^ { 2 } \right) ^ { p } d x = { \frac { ( d + e \, x ) ^ { m } ( b + 2 c \, x ) \left( a + b \, x + c \, x ^ { 2 } \right) ^ { p } } { 2 c ( m + 2 p + 1 ) } } \, + \, { \frac { m ( 2 c \, d - b \, e ) } { 2 c ( m + 2 p + 1 ) } } \int ( d + e \, x ) ^ { m - 1 } \left( a + b \, x + c \, x ^ { 2 } \right) ^ { p } d x
\begin{array} { r l } & { \mathbf { E } _ { \mathrm { c o } } ^ { r } = - \frac { j \omega } { 2 S } \left( \eta _ { 0 } { \alpha } _ { \mathrm { e e } } ^ { \mathrm { c o } } \pm 2 j \Omega _ { \/ F } - \frac { 1 } { \eta _ { 0 } } { \alpha } _ { \mathrm { m m } } ^ { \mathrm { c o } } \right) \mathbf { E } _ { \mathrm { i n c } } , } \\ & { \mathbf { E } _ { \mathrm { c r o s s } } ^ { r } = - \frac { j \omega } { 2 S } \left( \eta _ { 0 } { \alpha } _ { \mathrm { e e } } ^ { \mathrm { c r } } \mp 2 \chi _ { \/ F } - \frac { 1 } { \eta _ { 0 } } { \alpha } _ { \mathrm { m m } } ^ { \mathrm { c r } } \right) \_ a _ { z } \times \mathbf { E } _ { \mathrm { i n c } } , } \\ & { \mathbf { E } _ { \mathrm { c o } } ^ { t } = \left[ 1 - \frac { j \omega } { 2 S } \left( \eta _ { 0 } { \alpha } _ { \mathrm { e e } } ^ { \mathrm { c o } } \pm 2 V _ { \/ F } + \frac { 1 } { \eta _ { 0 } } { \alpha } _ { \mathrm { m m } } ^ { \mathrm { c o } } \right) \right] \mathbf { E } _ { \mathrm { i n c } } , } \\ & { \mathbf { E } _ { \mathrm { c r o s s } } ^ { t } = - \frac { j \omega } { 2 S } \left( \eta _ { 0 } { \alpha } _ { \mathrm { e e } } ^ { \mathrm { c r } } \mp 2 j \kappa _ { \/ F } + \frac { 1 } { \eta _ { 0 } } { \alpha } _ { \mathrm { m m } } ^ { \mathrm { c r } } \right) \_ a _ { z } \times \mathbf { E } _ { \mathrm { i n c } } . } \end{array}
\Gamma ( ^ { 1 } \! P _ { 1 } \to p \, \bar { p } ) = \left[ \frac { \Gamma ( ^ { 1 } \! P _ { 1 } \to p \, \bar { p } ) } { \Gamma ( \chi _ { c 2 } \to p \, \bar { p } ) } \right] \, \Gamma ( \chi _ { c 2 } \to p \, \bar { p } ) \; ,
\begin{array} { r l } { \mathfrak { t } } & { = \sum _ { j _ { k } \in S } C _ { j _ { k } } ( \xi ) \sqrt { j _ { k } \zeta _ { k } } \left( \mathrm { i } \overline { { \omega } } _ { k } - \left( \mathrm { i } ( \xi + j _ { k } ) \left( - \frac { 1 } { 2 } m _ { 1 , \alpha } ( \xi + j _ { k } ) + \frac { T _ { \alpha } } { 4 } \right) - \mathrm { i } \xi \left( - \frac { 1 } { 2 } m _ { 1 , \alpha } ( \xi ) + \frac { T _ { \alpha } } 4 \right) \right) \right) e ^ { \mathrm { i } \mathtt { l } ( j _ { k } ) \cdot \varphi + \mathrm { i } j _ { k } x } } \\ & { = \sum _ { j _ { k } \in S } \frac { 1 } { 2 } \mathrm { i } C _ { j _ { k } } ( \xi ) \sqrt { j _ { k } \zeta _ { k } } \left( \lambda _ { \alpha } ( \xi + j _ { k } ) - \lambda _ { \alpha } ( \xi ) - \lambda _ { \alpha } ( j _ { k } ) \right) e ^ { \mathrm { i } \mathtt { l } ( j _ { k } ) \cdot \varphi + \mathrm { i } j _ { k } x } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \pmb { \mathcal { E } } [ \rho _ { \mathrm { A } } ^ { ( 0 ) } ] = \pmb { \mathcal { E } } _ { \mathrm { A } } ^ { \mathrm { e } } [ \rho _ { \mathrm { A } } ^ { ( 0 ) } ] + \pmb { \mathcal { E } } _ { \mathrm { A } } ^ { \mathrm { n } } + \pmb { \mathcal { E } } _ { \mathrm { e n v } } ^ { \mathrm { m u l t } } . } \end{array}
| c _ { \boldsymbol \beta } e ^ { \langle \boldsymbol \beta , { \bf w } \rangle } | > \operatorname* { m a x } _ { \boldsymbol \alpha \neq \boldsymbol \beta } M | c _ { \boldsymbol \alpha } e ^ { \langle \boldsymbol \alpha , { \bf w } \rangle } | \ge \sum _ { \boldsymbol \alpha \neq \boldsymbol \beta } | c _ { \boldsymbol \alpha } e ^ { \langle \boldsymbol \alpha , { \bf w } \rangle } |
\begin{array} { r l } { y ( t ) = } & { { } \int _ { - \infty } ^ { \infty } u ( \tau ) h ( t - \tau ) \, \mathrm { ~ d ~ } \tau , } \\ { y ( t ) = } & { { } \int _ { 0 } ^ { t } u ( \tau ) h ( t - \tau ) \, \mathrm { ~ d ~ } \tau . } \end{array}
\begin{array} { r l } { K _ { \epsilon , R } ( a , v , a ^ { \prime } , v ^ { \prime } ) [ ( a + a ^ { \prime } ) ^ { n } - a ^ { n } - a ^ { n } ] } & { \leq K ( a , v , a ^ { \prime } , v ^ { \prime } ) \sum _ { k = 1 } ^ { k _ { n } } \binom { n } { k } ( a ^ { k } a ^ { n - k } + a ^ { n - k } a ^ { k } ) } \\ & { \leq C _ { n } ( v ^ { - \alpha } v ^ { \beta } + v ^ { \beta } v ^ { - \alpha } ) ( a ^ { n - 1 } a ^ { \prime } + a a ^ { n - 1 } ) , } \end{array}
\mathrm { ~ \bf ~ A ~ } = \nabla \xi ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \; , \; \; \mathrm { w i t h } \; \; \xi ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) = \frac { \Phi } { 2 \pi } \arctan ( y / x ) \equiv \frac { \Phi } { 2 \pi } \phi \;
\begin{array} { r l r } { - \langle \nabla f _ { j } ( x ^ { t } ) - \nabla f ( x ^ { t } ) , x ^ { t + 1 } - x ^ { * } \rangle } & { = } & { - \langle \nabla f _ { j } ( x ^ { t } ) - \nabla f ( x ^ { t } ) , \mathrm { p r o x } _ { \gamma _ { t } g } ( \hat { T } ( x ^ { t } ) ) - \mathrm { p r o x } _ { \gamma _ { t } g } ( T ( x ^ { t } ) ) \rangle } \\ & { } & { - \langle \nabla f _ { j } ( x ^ { t } ) - \nabla f ( x ^ { t } ) , \mathrm { p r o x } _ { \gamma _ { t } g } ( T ( x ^ { t } ) ) - x ^ { * } \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { F _ { 1 , i } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } R e \{ \mathbf { p } _ { 1 } ^ { t } [ \partial _ { i } \mathbf { E } ^ { * } ( \mathbf { r } , \omega ) | _ { \mathbf { r } = \mathbf { r } _ { 1 } } \} } \\ { F _ { 2 , i } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } R e \{ \mathbf { p } _ { 2 } ^ { t } [ \partial _ { i } \mathbf { E } ^ { * } ( \mathbf { r } , \omega ) | _ { \mathbf { r } = \mathbf { r } _ { 2 } } \} } \end{array}
\begin{array} { r l r } { h \langle G _ { S } \rangle } & { = } & { \frac { [ \ln ( \rho ) ] ^ { 2 } } { 1 2 \pi } + \frac { \ln \rho } { 2 \pi } \ln \left( \frac { P ^ { 2 } ( - \sqrt { \rho } , \rho ) } { \sqrt { \rho } } \right) - \frac { \ln ( \rho ^ { 2 } ) } { \pi } \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } k \ln \left( \frac { 1 + \rho ^ { k - 1 / 2 } } { 1 + \rho ^ { k + 1 / 2 } } \right) , } \\ { h \langle G _ { D } \rangle } & { = } & { \frac { 2 K ( - \sqrt { \rho } , \rho ) - 1 } { 2 \pi } } \end{array}
\begin{array} { r } { \dot { \vec { \xi } } _ { i j } ^ { \mathrm { ~ t ~ } } = ( \dot { \vec { r } } _ { i } + \boldsymbol { \omega } _ { i } \times \boldsymbol { b } _ { i j } ) - ( \dot { \vec { r } } _ { j } + \boldsymbol { \omega } _ { j } \times \boldsymbol { b } _ { j i } ) - \dot { \xi } \frac { \vec { r } _ { i } - \vec { r } _ { j } } { | \vec { r } _ { i } - \vec { r } _ { j } | } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { i j } } & { = \psi _ { \mathrm { s c a l a r } } \left( h _ { i } , H _ { j } , \vec { v } _ { i } , \vec { V } _ { j } , \vec { p } _ { i } , \vec { P } _ { j } \right) } \\ { \vec { M } _ { i j } } & { = \psi _ { \mathrm { v e c t o r i a l } } \left( h _ { i } , H _ { j } , \vec { v } _ { i } , \vec { V } _ { j } , \vec { p } _ { i } , \vec { P } _ { j } \right) } \end{array}
T _ { b 2 } ^ { A B } T _ { b 2 } ^ { A B } , \quad T _ { b 2 } ^ { A C } T _ { b 2 } ^ { A C } , \quad T _ { b 2 } ^ { A D } T _ { b 2 } ^ { A D } , \quad T _ { b 2 } ^ { B C } T _ { b 2 } ^ { B C } , \quad T _ { b 2 } ^ { B D } T _ { b 2 } ^ { B D } , \quad T _ { b 2 } ^ { C D } T _ { b 2 } ^ { C D }
{ \frac { \vert \vec { \mathrm { p } } \vert ^ { 2 } } { k ^ { 2 } - m _ { a } ^ { 2 } } } \sim { \frac { \vert \vec { \mathrm { p } } \vert ^ { 2 } } { m _ { \rho } ^ { 2 } } } < 1
\begin{array} { r l r } & { } & { k _ { \alpha \beta , i j } ^ { \left( \beta , 2 \right) } ( \boldsymbol { \xi } , \boldsymbol { \xi } _ { \ast } ) } \\ & { = } & { \sum _ { k = 1 } ^ { r _ { \alpha } } \sum _ { l = 1 } ^ { r _ { \beta } } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } \times \mathbb { R } _ { + } \times \mathbb { S } ^ { 2 } } \frac { w _ { \alpha \beta } ( \boldsymbol { \xi } , \boldsymbol { \xi } _ { \ast } ^ { \prime } , I _ { i } ^ { \alpha } , I _ { l } ^ { \beta } \left\vert \boldsymbol { \xi } ^ { \prime } , \boldsymbol { \xi } _ { \ast } , I _ { k } ^ { \alpha } , I _ { j } ^ { \beta } \right. ) } { \left( M _ { \alpha , i } M _ { \beta , j \ast } \right) ^ { 1 / 2 } } \left\vert \mathbf { g } ^ { \prime } \right\vert ^ { 2 } d \left\vert \mathbf { g } ^ { \prime } \right\vert d \mathbf { g } _ { \alpha \beta } ^ { \prime } d \boldsymbol { \omega } } \\ & { = } & { \frac { \left( m _ { \alpha } + m _ { \beta } \right) ^ { 2 } } { \left( m _ { \alpha } - m _ { \beta } \right) ^ { 2 } } \sum _ { k = 1 } ^ { r _ { \alpha } } \sum _ { l = 1 } ^ { r _ { \beta } } \int _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \left( M _ { \alpha , k } ^ { \prime } M _ { \beta , l \ast } ^ { \prime } \right) ^ { 1 / 2 } \frac { \left\vert \widehat { \mathbf { g } } \right\vert \left\vert \mathbf { g } ^ { \prime } \right\vert } { \left\vert \overline { { \mathbf { g } } } \right\vert } \left( \frac { \varphi _ { i } ^ { \alpha } \varphi _ { l } ^ { \beta } } { \varphi _ { k } ^ { \alpha } \varphi _ { j } ^ { \beta } } \right) ^ { 1 / 2 } } \\ & { } & { \times \mathbf { 1 } _ { \left\vert \mathbf { g } \right\vert ^ { 2 } > 2 \widehat { \Delta } I _ { k j , i l } ^ { \alpha \beta } } \sigma _ { i l , k j } ^ { \alpha \beta } \left( \left\vert \widehat { \mathbf { g } } \right\vert , \frac { \widehat { \mathbf { g } } \cdot \overline { { \mathbf { g } } } } { \left\vert \widehat { \mathbf { g } } \right\vert \left\vert \overline { { \mathbf { g } } } \right\vert } \right) \, d \boldsymbol { \omega } \mathrm { . } } \end{array}
\kappa _ { T } = 1 . 0 9 \times 1 0 ^ { - 6 } \; \mathrm { ~ m ~ } ^ { 2 } / \mathrm { ~ s ~ } , \; \alpha _ { d } = 6 \times 1 0 ^ { 5 } \; \mathrm { ~ N ~ } \mathrm { ~ m ~ } ^ { - 2 } \mathrm { ~ K ~ } ^ { - 1 } , \; \beta _ { d } = 2 . 4 \times 1 0 ^ { - 5 } \; \mathrm { ~ K ~ } ^ { - 1 } , \; K = 2 . 5 \times 1 0 ^ { 1 0 } \; \mathrm { ~ P ~ a ~ }
\begin{array} { r l } { S _ { \nu _ { 1 } \nu _ { 2 } ; \omega _ { 1 } \omega _ { 2 } } = } & { t _ { \omega _ { 1 } } t _ { \omega _ { 2 } } [ \delta ( \nu _ { 1 } - \omega _ { 1 } ) \delta ( \nu _ { 2 } - \omega _ { 2 } ) + \delta ( \nu _ { 1 } - \omega _ { 2 } ) \delta ( \nu _ { 2 } - \omega _ { 1 } ) ] } \\ & { - \frac { 2 i g ^ { 2 } } { \pi } \frac { \kappa _ { a e } ^ { 2 } } { ( \omega _ { 1 } - \alpha _ { a } ) ( \omega _ { 2 } - \alpha _ { a } ) ( \nu _ { 1 } - \alpha _ { a } ) ( \nu _ { 2 } - \alpha _ { a } ) ( \omega _ { 1 } + \omega _ { 2 } - \alpha _ { b } ) } \delta ( \nu _ { 1 } + \nu _ { 2 } - \omega _ { 1 } - \omega _ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { ( 1 + d _ { j } H ) Q _ { i \rightarrow j } ^ { 0 } + \sum _ { t = 1 } ^ { H - 1 } ( H - t ) d _ { j } Q _ { i \rightarrow j } ^ { 3 , t } + \sum _ { t = 2 } ^ { H } \left[ ( ( t - 2 ) d _ { j } + 2 ) Q _ { i \rightarrow j } ^ { 1 , t } + d _ { j } Q _ { i \rightarrow j } ^ { 2 , t } \right] } \\ { + \sum _ { t = 1 } ^ { H } \left[ d _ { j } Q _ { i \rightarrow j } ^ { 4 , t } + ( ( H - t + 1 ) d _ { j } - 1 ) Q _ { i \rightarrow j } ^ { 5 , t } \right] + 2 Q _ { i \rightarrow j } ^ { 1 , 1 } = 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac { 1 } { m _ { n } n } H ( \sigma _ { n } ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac { 1 } { m _ { n } n } \left[ m _ { n } \log m _ { n } - m _ { n } \log e + O ( \log m _ { n } ) \right] } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac { 1 } { n } \log m _ { n } } \\ & { = R } \end{array}
\mathbf { P } ^ { + } = \left[ \begin{array} { l l l l } { \mathbf { R } _ { N / 2 + 1 } ^ { + } } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { \mathbf { R } _ { N / 2 + 2 } ^ { + } } & { \cdots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { \mathbf { R } _ { N } ^ { + } } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { T } } & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } \hbar \omega \, \hat { b } ( \omega ) ^ { \dagger } \hat { b } ( \omega ) \frac { d \omega } { 2 \pi } + \int _ { 0 } ^ { \infty } \hbar \omega \, \hat { c } ( \omega ) ^ { \dagger } \hat { c } ( \omega ) \frac { d \omega } { 2 \pi } + } \\ & { \qquad + \int _ { 0 } ^ { \infty } \hbar \omega \, \hat { g } ( \omega ) ^ { \dagger } \hat { g } ( \omega ) \frac { d \omega } { 2 \pi } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \sqrt { n } \operatorname* { m a x } _ { i = 1 , \cdots , n } \big ( \operatorname* { m a x } \big ( \frac { i - n } { n } + \mathbb { E } [ \mathbb { I } ( X \geq x _ { i } ) ] , \frac { n + 1 - i } { n } - \mathbb { E } [ \mathbb { I } ( X \geq x _ { i } ) ] \big ) \big ) \Rightarrow \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , 1 ] } | B ( t ) - t B ( 1 ) | } \end{array}
{ \cal F } ( \alpha _ { - m } ^ { 0 } , b _ { - m } ; k ^ { 0 } ) ^ { l _ { 0 } } = { \cal F } ( \alpha _ { - m } ^ { 0 } , b _ { - m } ; k ^ { 0 } ) \cap \mathrm { K e r } ( L _ { 0 } - l _ { 0 } ) .
{ \displaystyle f ( x ; \mu , \sigma , \lambda ) = { \frac { \lambda } { 2 } } e ^ { { \frac { \lambda } { 2 } } ( 2 \mu + \lambda \sigma ^ { 2 } - 2 x ) } \operatorname { e r f c } \left( { \frac { \mu + \lambda \sigma ^ { 2 } - x } { { \sqrt { 2 } } \sigma } } \right) , }
\begin{array} { r l } & { \int _ { V } \exp \left( - \ensuremath { \mathcal { N } } _ { 0 } ^ { * } ( w , T _ { 1 } ) \right) \, d v _ { T _ { 1 } } ( w ) } \\ { \le } & { e ^ { C _ { 4 } } \exp \left( - \ensuremath { \mathcal { N } } _ { 0 } ^ { * } ( x , T ) \right) \int _ { V } e ^ { C _ { 4 } T ^ { - \frac 1 2 } d _ { T _ { 1 } } ( w , z ^ { \prime } ) } \, d v _ { T _ { 1 } } ( w ) } \\ { \le } & { e ^ { C _ { 4 } } \exp \left( - \ensuremath { \mathcal { N } } _ { 0 } ^ { * } ( x , T ) \right) \left( e ^ { 1 0 C _ { 4 } T ^ { - \frac 1 2 } Q ^ { - \frac 1 2 } d } v _ { T _ { 1 } } ( V \cap B ) + \int _ { M \setminus B } e ^ { C _ { 4 } T ^ { - \frac 1 2 } d _ { T _ { 1 } } ( w , z ^ { \prime } ) } \, d v _ { T _ { 1 } } ( w ) \right) . } \end{array}
\mathbf { X } = \left[ \begin{array} { l } { t } \\ { \theta _ { 1 } } \\ { \theta _ { 2 } } \\ { \vdots } \\ { \theta _ { N } } \\ { E } \\ { p _ { 1 } } \\ { p _ { 2 } } \\ { \vdots } \\ { p _ { N } } \end{array} \right] \, ,
[ a ( \vec { k } \, ) , a ^ { \dagger } ( \vec { \ell } \, ) ] = ( 2 \pi ) ^ { 3 } 2 \omega ( \vec { k } \, ) \delta ^ { ( 3 ) } \left( \vec { k } - \vec { \ell } \, \right) = [ b ( \vec { k } \, ) , b ^ { \dagger } ( \vec { \ell } \, ) ] \ .
\begin{array} { r l r } { H } & { = } & { \frac { \omega } { 2 \omega _ { 0 } } ( \tilde { I } _ { L _ { 1 } } ^ { 2 } + \tilde { V } _ { C _ { 1 } } ^ { 2 } ) + \frac { 1 } { 2 } ( \tilde { I } _ { L _ { 2 } } ^ { 2 } + \tilde { V } _ { C _ { 2 } } ^ { 2 } ) } \\ & { + } & { \frac { \gamma \tilde { I } _ { L _ { 1 } } \tilde { I } _ { L _ { 2 } } } { \omega _ { 0 } } \sqrt { 4 - \tilde { V } _ { C _ { 2 } } ^ { 2 } + \tilde { I } _ { L _ { 2 } } ^ { 2 } } - 1 + \sqrt { \frac { 2 } { \omega _ { 0 } } } \alpha \tilde { I } _ { L _ { 1 } } , } \end{array}
d _ { \theta } = \left[ \begin{array} { l l l } { f _ { \theta } ( 1 , 1 , 1 ) } & { \cdots } & { f _ { \theta } ( 1 , 1 , T ) } \\ { \vdots } & { } & { \vdots } \\ { f _ { \theta } ( N , 1 , 1 ) } & { \ddots } & { f _ { \theta } ( N , 1 , T ) } \\ { \vdots } & { } & { \vdots } \\ { f _ { \theta } ( N , N , 1 ) } & { \cdots } & { f _ { \theta } ( N , N , T ) } \end{array} \right] .
D ( x , y ) = \frac { 1 } { 2 } \left[ \theta _ { 0 } ^ { 2 } + \frac { s ^ { 2 } E ( \delta ^ { 2 } ( x , y ) ) \tau ( x , y ) } { \ell ( x , y ) } \right] ~ \textrm { ( C a s e ~ \# 1 ) } .
{ \begin{array} { r l } { ( d x ) ^ { 2 } - ( d X ) ^ { 2 } } & { = { \frac { \partial x _ { j } } { \partial X _ { K } } } { \frac { \partial x _ { j } } { \partial X _ { L } } } \, d X _ { K } \, d X _ { L } - d X _ { M } \, d X _ { M } } \\ & { = \left( { \frac { \partial x _ { j } } { \partial X _ { K } } } { \frac { \partial x _ { j } } { \partial X _ { L } } } - \delta _ { K L } \right) \, d X _ { K } \, d X _ { L } } \\ & { = 2 E _ { K L } \, d X _ { K } \, d X _ { L } } \end{array} }
[ \mathbf { \Lambda } ] _ { d i m } = \mathrm { ~ d ~ i ~ a ~ g ~ } ( 1 / \Delta t , 1 / \Delta t , 1 / \Delta t , 1 / \Delta t , \omega _ { q 2 } , \break 1 / \Delta t , 1 / \Delta t , 1 / \tau , 1 / \tau )
\left\{ \begin{array} { l l } { \Delta _ { p } u : = \mathrm { d i v } ( | \nabla u | ^ { p - 2 } \nabla u ) = 0 , } & { \qquad \mathrm { i n } \quad \, \, \, \Omega _ { u } ^ { + } \cup \Omega _ { u } ^ { - } , } \\ { | \nabla u ^ { + } | ^ { p } - | \nabla u ^ { - } | ^ { p } = \lambda _ { + } ^ { p } - \lambda _ { - } ^ { p } , } & { \qquad \mathrm { o n } \quad \left( \partial \Omega _ { u } ^ { + } \cap \partial \Omega _ { u } ^ { - } \right) \cap D , } \\ { | \nabla u ^ { + } | \geq \lambda _ { + } , \, \, \, | \nabla u ^ { - } | \geq \lambda _ { - } , } & { \qquad \mathrm { o n } \quad \left( \partial \Omega _ { u } ^ { + } \cap \partial \Omega _ { u } ^ { - } \right) \cap D , } \\ { | \nabla u ^ { + } | = \lambda _ { + } , } & { \qquad \mathrm { o n } \quad \left( \partial \Omega _ { u } ^ { + } \setminus \partial \Omega _ { u } ^ { - } \right) \cap D , } \\ { | \nabla u ^ { - } | = \lambda _ { - } , } & { \qquad \mathrm { o n } \quad \left( \partial \Omega _ { u } ^ { - } \setminus \partial \Omega _ { u } ^ { + } \right) \cap D , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \mathcal { T } ( \bar { n } , \eta , \sigma ) } & { = \left\{ 1 - e ^ { - \frac { r _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } \left[ \ln \left( \eta / \bar { n } \right) \right] ^ { 2 / \gamma } } \right\} \left[ \frac { \bar { n } \log _ { 2 } \bar { n } } { 1 - \bar { n } } + h \left( \bar { n } \right) \right] } \\ & { - \Delta ( \bar { n } , \sigma ) \log _ { 2 } ( 1 - \bar { n } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d P _ { 1 } ( 0 , t ) } { d t } + R _ { p e , 1 } ( t ) P _ { 1 } ( 0 , t ) = R _ { p e , 0 } \exp { \Bigl ( - \int _ { 0 ( \Gamma _ { 0 } ) } ^ { t } R _ { p e , 0 } ( \tau ) d \tau \Bigr ) } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \boldsymbol { l } _ { \mathrm { i n f } } ( i ) \approx \operatorname * { m a x } _ { \boldsymbol { c } \in \mathcal { C } _ { i } ^ { 0 } } ~ \langle \boldsymbol { l } , 1 - 2 { \boldsymbol { c } } \rangle ~ - ~ \operatorname * { m a x } _ { \boldsymbol { c } \in \mathcal { C } _ { i } ^ { 1 } } ~ \langle \boldsymbol { l } , 1 - 2 { \boldsymbol { c } } \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { | d _ { z x } \rangle = ( | 0 , 1 , 1 \rangle - | 1 , 0 , 1 \rangle ) / \sqrt { 2 } , \quad \mathcal { E } = \Delta _ { 0 } , } \\ & { | d _ { y z } \rangle = i ( | 0 , 1 , 1 \rangle + | 1 , 0 , 1 \rangle ) / \sqrt { 2 } , \quad \mathcal { E } = \Delta _ { 0 } - \delta , } \\ & { | d _ { x y } \rangle = i ( | 0 , 2 , 0 \rangle - | 2 , 0 , 0 \rangle ) / \sqrt { 2 } , \quad \mathcal { E } = \Delta _ { 0 } - \Delta _ { 2 } , } \\ & { | d _ { z ^ { 2 } } \rangle = ( | 1 , 1 , 0 \rangle - \sqrt { 2 } | 0 , 0 , 2 \rangle ) / \sqrt { 3 } , \quad \mathcal { E } = \Delta _ { 0 } - \Delta _ { 1 } , } \\ & { | d _ { x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } \rangle = ( | 0 , 2 , 0 \rangle + | 2 , 0 , 0 \rangle ) / \sqrt { 2 } , \quad \mathcal { E } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { a _ { 1 \sigma } ( E ) = \frac { \sqrt { D } } { i \pi } E ^ { - \frac { \gamma } { 2 } } \int _ { R _ { 0 } } ^ { \infty } \frac { d R } { R ^ { \frac { \delta } { 2 } } } \sin \varphi , } \\ { \varphi = \int _ { R _ { 0 } } ^ { R } \frac { d R ^ { \prime } } { \dot { R } ( R ^ { \prime } ) } ( E - E _ { 1 \sigma } ) . } \end{array}
H _ { P } = \Sigma _ { ( j , j ^ { ' } ) \in E } ( \frac { 1 } { 2 } w _ { j , j ^ { \prime } } ( ( I ^ { 1 } \otimes I ^ { 2 } \otimes . . . I ^ { j } \otimes . . . I ^ { j ^ { \prime } } \otimes . . . I ^ { N } ) - ( I ^ { 1 } \otimes I ^ { 2 } \otimes . . . . \sigma _ { z } ^ { j } \otimes . . . \sigma _ { z } ^ { j ^ { \prime } } \otimes . . . I ^ { N } ) ) )
u ( y , t ) = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { 4 f _ { 0 } } { \mu \lambda _ { 2 k + 1 } ^ { 2 } ( 2 k + 1 ) \pi } \left( 1 - \exp ( - \frac { \mu } { \rho } \lambda _ { 2 k + 1 } ^ { 2 } t ) \right) \sin ( \lambda _ { 2 k + 1 } y ) .
\begin{array} { r l } { T _ { 0 } = } & { \left( \begin{array} { c c c c } { \mathbf { k } \cdot \mathbf { w } _ { s d } } & { \mathbf { k } ^ { T } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \mathbf { k } \cdot \mathbf { w } _ { s d } \mathbf { I } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \mathbf { k } ^ { T } } \\ { - \epsilon Z c _ { I A } ^ { 2 } \mathbf { k } } & { 0 } & { ( c _ { I A } ^ { 2 } + c _ { s i } ^ { 2 } ) \mathbf { k } } & { 0 } \end{array} \right) } \\ { T _ { 1 } = } & { \left( \begin{array} { c c c c } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { \epsilon Z ^ { 2 } c _ { I A } ^ { 2 } \mathbf { k } } & { 0 } & { - Z c _ { I A } ^ { 2 } \mathbf { k } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \sigma _ { 1 , \alpha \alpha } ( \omega ) = \frac { N _ { 0 } \pi e ^ { 2 } } { \hbar \omega } \sum _ { \mu , \nu } \vert \langle \mu \vert v _ { \alpha } \vert \nu \rangle \vert ^ { 2 } \delta \big ( \omega - \omega _ { \nu \mu } \big ) \, , } \end{array}
\frac { \left[ \left( \begin{array} { c } { { \psi } } \\ { { 0 } } \end{array} \right) , \widetilde { A } \left( \begin{array} { c } { { \psi } } \\ { { 0 } } \end{array} \right) \right] _ { { \cal K } _ { 2 } } } { \left[ \left( \begin{array} { c } { { \psi } } \\ { { 0 } } \end{array} \right) , \left( \begin{array} { c } { { \psi } } \\ { { 0 } } \end{array} \right) \right] _ { { \cal K } _ { 2 } } } = \frac { \langle \psi \mid A \psi \rangle } { \langle \psi \mid \psi \rangle } ,