harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \sigma ^ { 2 } } & { { } = } & { \left( { \frac { 1 } { \/ N - 2 } } \right) \sum _ { i - 1 } ^ { N } \left[ \/ y _ { i } - ( \alpha \/ x _ { i } + \beta ) \right] ^ { 2 } \ , } \end{array}
\begin{array} { r } { F = \alpha \, \phi ( \beta / \alpha ) , \qquad \left\{ \begin{array} { l l } { A = - \mathrm { d } t ^ { 2 } + ( 1 + \varepsilon f _ { + } ( t - z ) ) \mathrm { d } x ^ { 2 } + ( 1 - \varepsilon f _ { + } ( t - z ) \mathrm { d } y ^ { 2 } + 2 \varepsilon f _ { \times } ( t - z ) \mathrm { d } x \, \mathrm { d } y + \mathrm { d } z ^ { 2 } } \\ { \beta = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \mathrm { d } t - \mathrm { d } z \right) } \end{array} \right. , } \end{array}
{ \dot { m } } = { \frac { A p _ { t } } { \sqrt { T _ { t } } } } \cdot { \sqrt { \frac { \gamma M } { R } } } \cdot ( { \frac { \gamma + 1 } { 2 } } ) ^ { - { \frac { \gamma + 1 } { 2 ( \gamma - 1 ) } } }
\begin{array} { r l } { \Delta ( B , C , D ) _ { \rho ^ { \prime } } } & { = \Delta ( B , C , D ) _ { \rho ^ { \prime } } - \Delta ( B , C , D ) _ { \rho } } \\ & { = \left( S ( \rho _ { B C } ^ { \prime } ) - S ( \rho _ { B C } ) \right) + \left( S ( \rho _ { C D } ^ { \prime } ) - S ( \rho _ { C D } ) \right) } \\ & { = 2 \left( S ( \rho _ { \Omega } ^ { \prime } ) - S ( \rho _ { \Omega } ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { c } { \displaystyle \operatorname* { m i n } \mathcal I [ u ] = \int _ { - 1 } ^ { 1 } \ell ( \mu _ { T } ^ { \eta } ) \d \Xi ( \eta ) + \frac { \alpha } { 2 } \int _ { 0 } ^ { T } u ^ { 2 } ( t ) \d t , } \\ { \ell ( \mu ) \doteq \, \displaystyle \int g ( \cdot , \cdot , \theta _ { T } , \phi _ { T } ) \d \mu + \frac { \beta } { 2 } \iint g \d ( \mu \otimes \mu ) . } \end{array}
\frac { m ( m + 1 ) } { 2 m + 1 } c _ { m } = ( 1 + \gamma _ { m } ) P _ { m } ( \cos \theta _ { 0 } ) + \sum _ { \ell = 1 , 3 , \ldots } ^ { \infty } G _ { m \ell } c _ { \ell } ,
\begin{array} { r l r } { c \left( e , \mathbf { p } , t \right) } & { { } = } & { 0 , } \\ { c \left( g , \mathbf { p } , t \right) } & { { } = } & { \sqrt { f _ { g } \left( \mathbf { p } \right) } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { t ( \tau + h ) - 2 t ( \tau ) + t ( \tau - h ) } { h ^ { 2 } } } & { = } & { E \bigl ( x ( \tau ) \bigr ) ^ { \top } \, \frac { x ( \tau + h ) - x ( \tau - h ) } { 2 h } } \\ { \frac { x ( \tau + h ) - 2 x ( \tau ) + x ( \tau - h ) } { h ^ { 2 } } } & { = } & { E \bigl ( x ( \tau ) \bigr ) \, \frac { t ( \tau + h ) - t ( \tau - h ) } { 2 h } } \\ & { } & { - \widehat B \bigl ( x ( \tau ) \bigr ) \, \frac { x ( \tau + h ) - x ( \tau - h ) } { 2 h } . } \end{array}
\mathrm { ~ \boldmath ~ { ~ \cal ~ { ~ R ~ } ~ } ~ } _ { \mathrm { { D } } } = - \nu _ { \mathrm { { K } } } \mathrm { ~ \boldmath ~ { ~ \cal ~ { ~ S ~ } ~ } ~ } + \nu _ { \mathrm { { M } } } \mathrm { ~ \boldmath ~ { ~ \cal ~ { ~ M ~ } ~ } ~ } ,
\hat { H } _ { \mathrm { e f f } } ( t ) = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { \mu } \left[ \epsilon _ { \mu } - \boldsymbol m _ { \mu } ^ { ( i ) } \cdot { \boldsymbol B } _ { 0 } \right] \left| i , \mu \right> \left< i , \mu \right| - \sum _ { i = 1 } ^ { N } \hat { \boldsymbol E } _ { a } ( t ) \cdot \boldsymbol d _ { \mu , \nu } ^ { ( i ) } \left| i , \mu \right> \left< i , \nu \right| ,
\begin{array} { r l } { { F } _ { \mathrm { { e l } } } } & { { } = \int _ { r , z , \phi } \ r \frac { B } { 2 } \left[ ( \partial _ { r } u ) ^ { 2 } + \lambda ^ { 2 } \left( \partial _ { r } ^ { 2 } u + \frac { 1 } { r } \partial _ { r } u \right) ^ { 2 } \right] d r \ d \phi \ d z } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { V } } & { { } = } & { \left\{ \phi \in W ^ { 1 , 1 + n } ( \Omega ) : ~ \phi = 0 \mathrm { ~ o ~ n ~ } \Gamma _ { 1 } ; ~ ~ \phi = Q \mathrm { ~ o ~ n ~ } \Gamma _ { 2 } \right\} } \\ { \mathcal { V } _ { 0 } } & { { } = } & { \left\{ \tilde { \phi } \in W ^ { 1 , 1 + n } ( \Omega ) : ~ \phi = 0 \mathrm { ~ o ~ n ~ } \Gamma _ { 1 } ; ~ ~ \phi = 0 \mathrm { ~ o ~ n ~ } \Gamma _ { 2 } \right\} } \end{array}
u _ { i } ^ { ( 2 ) } = \mathrm { K n } \beta _ { 1 } ^ { \prime } \frac { \partial w _ { i j } ^ { 0 } } { \partial x _ { j } } , \qquad \beta _ { 1 } ^ { \prime } = \frac { c _ { 1 } ^ { ( 1 ) , 1 } A _ { 5 7 } - c _ { 1 } ^ { ( 2 ) , 1 } A _ { 4 5 } } { c _ { 2 } ^ { ( 1 ) , 0 } ( c _ { 1 } ^ { ( 1 ) , 1 } \mathscr { L } _ { 1 } ^ { ( 2 2 ) } - c _ { 1 } ^ { ( 2 ) , 1 } \mathscr { L } _ { 1 } ^ { ( 1 2 ) } ) } .
\frac { 1 } { 1 - \frac { 3 5 \log ^ { 2 } ( b ( \delta _ { 1 } + 1 ) ) } { b \delta _ { 1 } } } \leq \frac { 1 } { 1 - \frac { 7 7 \log ^ { 2 } ( b ( \delta _ { 1 } + 1 ) ) } { b ( \delta _ { 1 } + 1 ) } } ,
\begin{array} { r l } { \bigg ( P g ^ { 2 } ( t ) + \frac { l _ { d } ^ { \prime } ( t ) + l _ { u } ( t ) } { l _ { d } ( t ) } \bigg ) l _ { d } ( t ) A ( t ) } & { = P g ^ { 2 } ( t ) l _ { d } ( t ) A ( t ) + l _ { d } ^ { \prime } ( t ) A ( t ) + l _ { u } ( t ) A ( t ) } \\ & { = \frac { d } { d t } \left( A ( t ) l _ { d } ( t ) + \int _ { 0 } ^ { t } l _ { u } ( s ) A ( s ) d s \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widehat { \sigma \circ f } ( \mathbf { s } ) } & { = \sum _ { \mathbf { x } \in \{ 0 , 1 \} ^ { n } } f ( \sigma \cdot \mathbf { x } ) \cdot ( - 1 ) ^ { \mathbf { x } \cdot \mathbf { s } } } \\ & { = \sum _ { \mathbf { x } \in \{ 0 , 1 \} ^ { n } } f ( \sigma \cdot \mathbf { x } ) \cdot ( - 1 ) ^ { ( \sigma \cdot \mathbf { x } ) \cdot ( \sigma \cdot \mathbf { s } ) } } \\ & { = \sum _ { \mathbf { x } \in \{ 0 , 1 \} ^ { n } } f ( \mathbf { x } ) \cdot ( - 1 ) ^ { \mathbf { x } \cdot ( \sigma \cdot \mathbf { s } ) } = ( \sigma \circ \widehat { f } ) ( \mathbf { s } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Xi _ { T _ { 1 } \rho T _ { 1 } ^ { \dag } } ( 0 , \vec { p } _ { * } , 1 , \vec { q } _ { * } ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \Xi _ { \rho } ( 0 , \vec { p } _ { * } , 1 , \vec { q } _ { * } ) \; , } \\ { \Xi _ { T _ { 1 } \rho T _ { 1 } ^ { \dag } } ( 1 , \vec { p } _ { * } , 1 , \vec { q } _ { * } ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \Xi _ { \rho } ( 0 , \vec { p } _ { * } , 1 , \vec { q } _ { * } ) \; . } \end{array}
\begin{array} { r } { \gamma ( 2 \mu , z ) = \frac { \Gamma ( 2 \mu + 1 ) \, z ^ { \mu } \, \mathrm { e } ^ { - z } } { 2 ^ { \mu + 1 } \, \Gamma ( \mu + 1 ) } \, \int _ { 0 } ^ { 1 } \xi ^ { \frac { - \mu + 1 } { 2 } - 1 } ( 1 - \xi ) ^ { \frac { 1 } { 2 } \mu - 1 } \, \mathrm { e } ^ { \xi z } \, J _ { \mu } ( \sqrt { \xi ( 1 - \xi ) } z ) \, \mathrm { d } \xi \ . } \end{array}
\begin{array} { r } { R _ { \mathrm { ~ p ~ a ~ i ~ r ~ } } ^ { \mathrm { ~ D ~ C ~ } } \approx \frac { 1 } { 1 0 2 4 } R _ { \mathrm { ~ p ~ a ~ i ~ r ~ } } ^ { \mathrm { ~ r ~ i ~ n ~ g ~ } } \ . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } } & { \mathbf { U } _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ^ { L , N o n - L i n e a r } } & & { = \mathbf { U } _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ^ { L , L i n e a r } + \mathrm { m i n m o d } \left( \mathbf { U } _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ^ { L , M I N } - \mathbf { U } _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ^ { L , L i n e a r } , \mathbf { U } _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ^ { L , M A X } - \mathbf { U } _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ^ { L , L i n e a r } \right) , } \\ & { \mathbf { U } _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ^ { L , M P } } & & { = \mathbf { U } _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ^ { L , L i n e a r } + \mathrm { m i n m o d } \left[ \mathbf { U } _ { i + 1 } - \mathbf { U } _ { i } , \mathscr { A } \left( \mathbf { U } _ { i } - \mathbf { U } _ { i - 1 } \right) \right] , } \\ & { \mathbf { U } _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ^ { L , M I N } } & & { = \operatorname* { m a x } \left[ \operatorname* { m i n } \left( \mathbf { U } _ { i } , \mathbf { U } _ { i + 1 } , \mathbf { U } _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ^ { L , M D } \right) , \operatorname* { m i n } \left( \mathbf { U } _ { i } , \mathbf { U } _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ^ { L , U L } , \mathbf { U } _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ^ { L , L C } \right) \right] , } \\ & { \mathbf { U } _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ^ { L , M A X } } & & { = \operatorname* { m i n } \left[ \operatorname* { m a x } \left( \mathbf { U } _ { i } , \mathbf { U } _ { i + 1 } , \mathbf { U } _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ^ { L , M D } \right) , \operatorname* { m a x } \left( \mathbf { U } _ { i } , \mathbf { U } _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ^ { L , U L } , \mathbf { U } _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ^ { L , L C } \right) \right] , } \\ & { \mathbf { U } _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ^ { L , M D } } & & { = \frac { 1 } { 2 } \left( \mathbf { U } _ { i } + \mathbf { U } _ { i + 1 } \right) - \frac { 1 } { 2 } d _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ^ { L , M } , } \\ & { \mathbf { U } _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ^ { L , U L } } & & { = \mathbf { U } _ { i } + 4 \left( \mathbf { U } _ { i } - \mathbf { U } _ { i - 1 } \right) , } \\ & { \mathbf { U } _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ^ { L , L C } } & & { = \frac { 1 } { 2 } \left( 3 \mathbf { U } _ { i } - \mathbf { U } _ { i - 1 } \right) + \frac { 4 } { 3 } d _ { i - \frac { 1 } { 2 } } ^ { L , M } , } \\ & { d _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ^ { L , M } } & & { = \mathrm { m i n m o d } \left( d _ { i } , d _ { i + 1 } \right) , } \\ & { d _ { i } } & & { = 2 \left( \mathbf { U } _ { i + 1 } - 2 \mathbf { U } _ { i } + \mathbf { U } _ { i - 1 } \right) - \frac { \Delta x } { 2 } \left( \mathbf { U } _ { i + 1 } ^ { \prime } - \mathbf { U } _ { i - 1 } ^ { \prime } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { u ( x , y , t ) = } & { - \frac { \eta _ { x } } { \bar { f } F ^ { 2 } } \sin \left( \bar { f } t \right) - \frac { \eta _ { y } } { \bar { f } F ^ { 2 } } \left[ 1 - \cos \left( \bar { f } t \right) \right] , } \\ { v ( x , y , t ) = } & { \frac { \eta _ { x } } { \bar { f } F ^ { 2 } } \left[ 1 - \cos \left( \bar { f } t \right) \right] - \frac { \eta _ { y } } { \bar { f } F ^ { 2 } } \sin ( \bar { f } t ) , } \\ { h ( x , y , t ) = } & { \frac { \eta _ { x } ^ { 2 } } { \bar { f } ^ { 2 } F ^ { 2 } } \left[ 1 - \cos \left( \bar { f } t \right) \right] + x \eta _ { x } + \frac { \eta _ { y } ^ { 2 } } { \bar { f } ^ { 2 } F ^ { 2 } } \left[ 1 - \cos \left( \bar { f } t \right) \right] + \eta _ { y } y , } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { ( u + t _ { 0 } ) \wedge T } ^ { T } \mathbb { E } \Big [ \Big ( \mathfrak { F } \left( \frac { \gamma } { 2 } , \underline { { s } } _ { \gamma } - \underline { { u } } _ { \gamma } , \bar { X } _ { \underline { { u } } _ { \gamma } } ^ { \frac { \gamma } { 2 } , x } \right) - \mathfrak { F } \left( { \gamma } , \underline { { s } } _ { \gamma } - \underline { { u } } _ { \gamma } , \bar { X } _ { \underline { { u } } _ { \gamma } } ^ { \gamma , x } \right) \Big ) G _ { u } ^ { \gamma } \Big ] \mathrm { d } s \lesssim _ { r , \delta , \kappa } \frac { ( \gamma L ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \bar { \Psi } ^ { 1 + 2 r + \frac { \delta r } { 1 - \delta } + \frac { \kappa r } { 2 } } } { \underline { { c } } ^ { \frac { 3 } { 2 } + \frac { \delta } { 1 - \delta } } \wedge \underline { { c } } ^ { \frac { 3 + \kappa } { 2 } + \frac { \delta } { 1 - \delta } } } \left( \frac { t _ { 0 } } { 2 } \right) ^ { 1 - \frac { \kappa ( 1 - \delta ) } { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathrm { C a s e ~ I : ~ g _ j > h _ j ~ } } \\ & { r _ { j } ^ { ( k ) } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { k } { K } } & { \mathrm { ~ w h e r e ~ } k < h _ { j } ; } \\ { \frac { k } { K } - ( 1 - q _ { j } ) } & { \mathrm { ~ w h e r e ~ } h _ { j } \leq k < g _ { j } ; } \\ { \frac { k } { K } - 1 } & { \mathrm { ~ w h e r e ~ } g _ { j } \leq k , } \end{array} \right. } \end{array} \quad \quad \begin{array} { r l } & { \mathrm { C a s e ~ I I : ~ g _ j < h _ j ~ } } \\ & { r _ { j } ^ { ( k ) } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { k } { K } } & { \mathrm { ~ w h e r e ~ } k < g _ { j } ; } \\ { \frac { k } { K } - q _ { j } } & { \mathrm { ~ w h e r e ~ } g _ { j } \leq k < h _ { j } ; } \\ { \frac { k } { K } - 1 } & { \mathrm { ~ w h e r e ~ } h _ { j } \leq k . } \end{array} \right. } \end{array}
\sigma _ { \mathrm { N E P } } ^ { 2 } = 2 \frac { ( \mathrm { N E P } \cdot T / N h \nu _ { 0 } ) ^ { 2 } \Delta f } { \eta _ { m } \kappa _ { m } ( P _ { \mathrm { L O } } T / N h \nu _ { 0 } ) ( P _ { \mathrm { S } } T / N h \nu _ { 0 } ) } = \frac { N ^ { 2 } } { T } \frac { \mathrm { N E P } ^ { 2 } } { \eta _ { m } \kappa _ { m } \gamma P _ { \mathrm { S } } ^ { 2 } } \, .
{ \cal S } ( x _ { 1 } , \dots , x _ { n } ) = \langle \, \phi ( x _ { 1 } ) \dots \phi ( x _ { n } ) \, \rangle = \int \! \mathrm { d } \mu [ \phi ] \, \, \phi ( x _ { 1 } ) \dots \phi ( x _ { n } ) \, .
\left( \begin{array} { l l l l l l } { { 1 } } & { { w _ { 1 } } } & { { w _ { 2 } } } & { { \cdots } } & { { \cdots } } & { { w _ { n } } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { \cdots } } & { { \cdots } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { \cdots } } & { { 0 } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { \vdots } } & { { \vdots } } & { { \vdots } } & { { \vdots } } & { { \vdots } } & { { \vdots } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { \cdots } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { \cdots } } & { { \cdots } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) \in C P ^ { n } .
\begin{array} { r l } & { \left( \frac { \omega _ { f } } { c } \right) ^ { 2 } \sum _ { j } \int d ^ { 3 } \mathbf { r } ^ { \prime } \mathrm { I m } \epsilon \left( \mathbf { r } ^ { \prime } , \omega _ { f } \right) G _ { k ^ { \prime } j } \left( \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r } ^ { \prime } ; \omega _ { f } \right) } \\ & { G _ { k j } ^ { * } \left( \mathbf { r } _ { 2 } , \mathbf { r } ^ { \prime } ; \omega _ { f } \right) = \mathrm { I m } G _ { k ^ { \prime } k } \left( \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r } _ { 2 } ; \omega _ { f } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal { B } _ { 1 } = \operatorname* { m i n } ( { \mathrm { P B } _ { 1 } } ) \leq \omega \leq \operatorname* { m a x } ( { \mathrm { P B } _ { 1 } } ) } \\ & { \mathcal { B } _ { 2 } = \operatorname* { m i n } ( { \mathrm { P B } _ { 2 } } ) \leq \omega \leq \operatorname* { m a x } ( { \mathrm { P B } _ { 2 } } ) } \\ & { \mathcal { B } _ { 3 } = \operatorname* { m i n } ( { \mathrm { P B } _ { 3 } } ) \leq \omega \leq \operatorname* { m a x } ( { \mathrm { P B } _ { 3 } } ) } \\ & { \mathcal { B } _ { 4 } = \operatorname* { m i n } ( { \mathrm { P B } _ { 4 } } ) \leq \omega \leq \operatorname* { m a x } ( { \mathrm { P B } _ { 4 } } ) } \end{array}
\left( \nu ( \frac { \partial \omega _ { z } ^ { h } } { \partial y } - \frac { \partial \omega _ { y } ^ { h } } { \partial z } ) + \omega _ { y } ^ { h } u _ { z } ^ { h } - \omega _ { z } ^ { h } u _ { y } ^ { h } + \frac { \partial P ^ { h } } { \partial x } \right) ( \boldsymbol { \tau } _ { \ell } ^ { u _ { x } } ) = f _ { x } ( \boldsymbol { \tau } _ { \ell } ^ { u _ { x } } ) \quad \forall \boldsymbol { \tau } _ { \ell } ^ { u _ { x } } \in \Omega \cup \partial \Omega
{ \sum _ { N } } { \hat { v } _ { N } } ( \xi ) { \hat { v } _ { N } } ( \xi ^ { \prime } ) = { \hat { \delta } _ { B } } ( \xi - \xi ^ { \prime } ) , \quad \oint { d } \hat { s } ( \xi ) { \hat { v } _ { N } } ( \xi ) { \hat { v } _ { M } } ( \xi ) = { \delta _ { N M } } .
\operatorname* { s u p } _ { \tilde { \pi } \in \mathcal { P } ( \mathcal { Z } ^ { 2 } ) \mathrm { ~ s . t . ~ } \tilde { \pi } _ { z } = \mu } \mathcal { U } ( \tilde { \pi } , \overline { { \nu } } _ { t } ) - \operatorname* { i n f } _ { \tilde { \nu } \in \mathcal { P } ( \Theta ) } \mathcal { U } ( \overline { { \pi } } _ { t } , \tilde { \nu } ) \leq \epsilon .
\mathcal { V } _ { \mathrm { X C } } ^ { \mathrm { G G A , \uparrow } } = \varepsilon _ { \mathrm { X C } } ^ { \mathrm { G G A } } + \rho \ \frac { \partial \varepsilon _ { \mathrm { X C } } ^ { \mathrm { G G A } } } { \partial \rho ^ { \uparrow } } - \nabla \cdot \left( \rho \ \frac { \partial \varepsilon _ { \mathrm { X C } } ^ { \mathrm { G G A } } } { \partial \nabla \rho ^ { \uparrow } } \right) ,
\psi _ { 0 } ( 0 ) \, = \, \log ( 8 ) - \frac { 1 } { 4 \pi } \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \log ( | Y | ) \, e ^ { - | Y | ^ { 2 } / 4 } \, \mathrm { d } Y \, = \, 2 \log ( 2 ) + \frac { \gamma _ { E } } { 2 } \, .
\begin{array} { r l r } { r _ { \mathrm { T M } } } & { = } & { \frac { n _ { 1 } c o s \theta _ { i n } - \sqrt { n _ { 2 } ^ { 2 } - n _ { 1 } ^ { 2 } s i n ^ { 2 } \theta _ { i n } } } { n _ { 1 } c o s \theta _ { i n } + \sqrt { n _ { 2 } ^ { 2 } - n _ { 1 } ^ { 2 } s i n ^ { 2 } \theta _ { i n } } } , } \\ { r _ { \mathrm { T E } } } & { = } & { \frac { n _ { 2 } c o s \theta _ { i n } - \sqrt { n _ { 1 } ^ { 2 } - n _ { 1 } ^ { 4 } s i n ^ { 2 } \theta _ { i n } / n _ { 2 } ^ { 2 } } } { n _ { 2 } c o s \theta _ { i n } + \sqrt { n _ { 1 } ^ { 2 } - n _ { 1 } ^ { 4 } s i n ^ { 2 } \theta _ { i n } / n _ { 2 } ^ { 2 } } } , } \end{array}
{ F _ { \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } } } { F _ { \alpha _ { 2 } \alpha _ { 3 } } } { F _ { \alpha _ { 3 } \alpha _ { 4 } } } { F _ { \alpha _ { 4 } \alpha _ { 1 } } } \rightarrow { F _ { 1 \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } } } { F _ { 2 \alpha _ { 2 } \alpha _ { 3 } } } { F _ { 3 \alpha _ { 3 } \alpha _ { 4 } } } { F _ { 4 \alpha _ { 4 } \alpha _ { 1 } } }
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { r l } { [ c ] } & { a _ { 0 } ^ { 1 } = - \frac { 1 } { 1 2 } u _ { i - 1 } + \frac { 1 3 } { 1 2 } u _ { i } - v _ { i } , } \\ & { a _ { 1 } ^ { 1 } = 1 2 v _ { i } , } \\ & { a _ { 2 } ^ { 1 } = u _ { i - 1 } - u _ { i } + 1 2 v _ { i } , } \\ & { a _ { 0 } ^ { 2 } = \frac { 1 3 } { 1 2 } u _ { i } - \frac { 1 } { 1 2 } u _ { i + 1 } + v _ { i } , } \\ & { a _ { 1 } ^ { 2 } = 1 2 v _ { i } , } \\ & { a _ { 2 } ^ { 2 } = - u _ { i } + u _ { i + 1 } - 1 2 v _ { i } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \alpha _ { 1 } ( u ) } & { { } \approx } & { \frac { 1 + \varepsilon _ { 1 } / \varepsilon _ { 0 } } { 2 \left( \varepsilon _ { 1 } / \varepsilon _ { 0 } - 1 \right) } - \frac { \gamma _ { 1 } ^ { 2 } u ^ { 2 } } { 1 6 } - \frac { 1 } { 4 } \gamma _ { 0 } ^ { 2 } u ^ { 2 } \ln ( \gamma _ { 1 } u ) , } \\ { \alpha _ { n } ( u ) } & { { } \approx } & { \frac { 1 + \varepsilon _ { 1 } / \varepsilon _ { 0 } } { 2 \left( \varepsilon _ { 1 } / \varepsilon _ { 0 } - 1 \right) } + u ^ { 2 } \frac { 2 + \left[ \left( n - 1 \right) \varepsilon _ { 1 } - \left( n + 1 \right) \varepsilon _ { 0 } \right] \beta ^ { 2 } } { 8 n \left( n ^ { 2 } - 1 \right) } , } \end{array}
\varphi ( t ) = \frac { c ( 0 ) e ^ { - \int _ { 0 } ^ { t } D ( r ) \, d r } + \int _ { - \tau } ^ { t - \tau } c ( h ) p ( z ^ { * } ( h ) ) e ^ { - \int _ { h } ^ { t } D ( r ) \, d r } \, d h } { c ( 0 ) e ^ { - \int _ { 0 } ^ { t } D ( r ) \, d r } + \int _ { - \tau } ^ { t } c ( h ) p ( z ^ { * } ( h ) ) e ^ { - \int _ { h } ^ { t } D ( r ) \, d r } \, d h } .
\Omega _ { A , A B } ^ { 1 , 2 } ( \tau ) = ( - \alpha k _ { 3 } ) \int _ { 0 } ^ { \tau } d \tau ^ { \prime } \left\{ \delta ( \tau - \tau ^ { \prime } ) + \alpha k _ { 3 } \left[ R _ { A A } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) R _ { B B } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) + R _ { A B } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) R _ { B A } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) \right] \right\} ^ { - 1 } \mu _ { A } ( \tau ^ { \prime } ) \mu _ { B } ( \tau ^ { \prime } )
\begin{array} { r } { \cos \omega _ { + } \tau _ { 1 } = \frac { \omega _ { + } ^ { 2 } } { \omega _ { - } ^ { 2 } } - 1 + \frac { 1 } { 2 } \{ 1 + \cos ( \omega _ { + } \tau _ { \mathrm { f } } / 2 - \frac { \omega _ { + } - \omega _ { - } } { \omega _ { - } } \pi ) \} . } \end{array}
\left[ \begin{array} { l l l l } { { \omega } ^ { 2 } - { \omega } _ { c } ^ { 2 } } & { j { \omega } V _ { 1 } } & { 0 } & { 0 } \\ { - j { \omega } V _ { 1 } } & { { \omega } ^ { 2 } - { \omega } _ { p } ^ { 2 } } & { - j { \omega } V _ { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { j { \omega } V _ { 2 } } & { { \omega } ^ { 2 } - { \omega } _ { p } ^ { 2 } } & { j { \omega } V _ { 3 } } \\ { 0 } & { 0 } & { - j { \omega } V _ { 3 } } & { { \omega } ^ { 2 } - { \omega } _ { c } ^ { 2 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \; x _ { 1 } ^ { 0 } \; } \\ { x _ { 2 } ^ { 0 } } \\ { x _ { 3 } ^ { 0 } } \\ { x _ { 4 } ^ { 0 } } \end{array} \right] = 0 \, .
{ \cal L } ^ { \mathrm { e f f } } ( H ) = - \frac { 1 } { 8 \pi ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d s } { s ^ { 3 } } \left[ e H s \coth ( e H s ) - 1 - \frac 1 3 ( e H s ) ^ { 2 } \right] \exp ( - m ^ { 2 } s ) .
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } } & { \int _ { \mathbb { R } } \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { w } & { \frac { w ^ { 2 } - 1 } { \sqrt { 6 } } } \\ { w } & { w ^ { 2 } } & { w \frac { w ^ { 2 } - 1 } { \sqrt { 6 } } } \\ { \frac { w ^ { 2 } - 1 } { \sqrt { 6 } } } & { w \frac { w ^ { 2 } - 1 } { \sqrt { 6 } } } & { \frac { w ^ { 4 } - 2 w ^ { 2 } + 5 } { 6 } } \end{array} \right) \frac { e ^ { - \frac { w ^ { 2 } } { 2 } } } { w - \zeta } \, d w } \\ & { \qquad = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } \int _ { \mathbb { R } } \left( \begin{array} { l l l } { H _ { 0 } ( w ) } & { H _ { 1 } ( w ) } & { \frac { H _ { 2 } ( w ) } { \sqrt { 6 } } } \\ { H _ { 1 } ( w ) } & { H _ { 2 } ( w ) + H _ { 0 } ( w ) } & { \frac { H _ { 3 } ( w ) + 2 H _ { 1 } ( w ) } { \sqrt { 6 } } } \\ { \frac { H _ { 2 } ( w ) } { \sqrt { 6 } } } & { \frac { H _ { 3 } ( w ) + 2 H _ { 1 } ( w ) } { \sqrt { 6 } } } & { \frac { H _ { 4 } ( w ) + 4 H _ { 2 } ( w ) + 6 } { 6 } } \end{array} \right) \frac { e ^ { - \frac { w ^ { 2 } } { 2 } } } { w - \zeta } \, d w } \\ & { \qquad = \left( \begin{array} { l l l } { Z } & { - Z ^ { \prime } } & { \frac { Z ^ { \prime \prime } } { \sqrt { 6 } } } \\ { - Z ^ { \prime } } & { Z ^ { \prime \prime } + Z } & { - \frac { Z ^ { \prime \prime \prime } + 2 Z ^ { \prime } } { \sqrt { 6 } } } \\ { \frac { Z ^ { \prime \prime } } { \sqrt { 6 } } } & { - \frac { Z ^ { \prime \prime \prime } + Z ^ { \prime } } { \sqrt { 6 } } } & { \frac { Z ^ { ( 4 ) } + 4 Z ^ { \prime \prime } + 6 H _ { 0 } } { 6 } } \end{array} \right) } \\ & { \qquad = \left( \begin{array} { l l l } { Z } & { 1 + \zeta Z } & { \frac { \zeta + ( \zeta ^ { 2 } - 1 ) Z } { \sqrt { 6 } } } \\ { 1 + \zeta Z } & { \zeta + \zeta ^ { 2 } Z } & { \frac { \zeta ^ { 2 } + ( \zeta ^ { 3 } - \zeta ) Z } { \sqrt { 6 } } } \\ { \frac { \zeta + ( \zeta ^ { 2 } - 1 ) Z } { \sqrt { 6 } } } & { \frac { \zeta ^ { 2 } + ( \zeta ^ { 3 } - \zeta ) Z } { \sqrt { 6 } } } & { \frac { \zeta ^ { 3 } - \zeta + ( \zeta ^ { 4 } - 2 \zeta ^ { 2 } + 5 ) Z } { 6 } } \end{array} \right) . } \end{array}
\vec { E } ^ { s c a } ( t , \vec { r } ) = \sum _ { i = 1 } ^ { M } \mathbb { P } _ { i } ( \vec { r } ) \cdot \mathbb { M } _ { i } ( t , \vec { r } , R _ { i } ) \cdot \vec { E } _ { i } ^ { i n c } ( t , \vec { r } _ { i } ) ,
\langle \psi _ { \rho } | \psi _ { \sigma } \rangle = \sum _ { j k } { \sqrt { \lambda _ { j } \mu _ { k } } } \langle \lambda _ { j } | \mu _ { k } \rangle \, \langle u _ { j } | v _ { k } \rangle = \operatorname { t r } \left( { \sqrt { \rho } } { \sqrt { \sigma } } U \right) ,
\begin{array} { r } { \mathrm { L F } _ { \mathbb H } ^ { ( \gamma - \frac { 4 } { \gamma } , 0 ) , ( \alpha , i ) } [ e ^ { - \mu \nu _ { \phi } ( \mathbb R ) } ] = 2 ^ { - \frac { \alpha ^ { 2 } } { 2 } } \frac { 2 } { \gamma } \overline { G } ( \alpha , \gamma - \frac { 4 } { \gamma } ) \mu ^ { \frac { 8 } { \kappa } - \frac { 2 \alpha } { \gamma } } \Gamma \left( \frac { 2 \alpha } { \gamma } - \frac { 8 } { \kappa } \right) . } \end{array}
\left( \rho , u , p , E O S \right) = \left\{ \begin{array} { l l } { ( 0 . 9 9 1 , 0 , 3 . 0 5 9 \times 1 0 ^ { - 4 } , \mathrm { ~ s ~ t ~ i ~ f ~ f ~ e ~ n ~ d ~ g ~ a ~ s ~ } ) } & { \mathrm { ~ l ~ i ~ q ~ u ~ i ~ d ~ p ~ h ~ a ~ s ~ e ~ , ~ o ~ u ~ t ~ s ~ i ~ d ~ e ~ t ~ h ~ e ~ b ~ u ~ b ~ b ~ l ~ e ~ , ~ } } \\ { ( 1 . 2 4 1 , 0 , 2 . 7 5 3 , \mathrm { ~ s ~ t ~ i ~ f ~ f ~ e ~ n ~ e ~ d ~ g ~ a ~ s ~ } ) } & { \mathrm { ~ g ~ a ~ s ~ p ~ h ~ a ~ s ~ e ~ , ~ i ~ n ~ s ~ i ~ d ~ e ~ t ~ h ~ e ~ b ~ u ~ b ~ b ~ l ~ e ~ . ~ } } \end{array} \right.
- 2 \sum _ { j < k } J _ { \alpha \beta } ^ { j k } \sin ( 2 \Delta _ { k j } ) = - 8 J ( \delta ) \sin ( \Delta _ { 2 1 } ) \sin ( \Delta _ { 3 2 } ) \sin ( \Delta _ { 3 1 } ) \sum _ { \gamma } \epsilon _ { \alpha \beta \gamma }