harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \| E _ { 2 } ( \Delta t , \Delta x ) \| _ { C } } & { \leq } & { \frac { \Delta t ^ { 3 } } { \sqrt { 2 \pi } } \left[ C _ { 1 1 } ^ { 2 } \Delta t ^ { 2 } \left( 1 + 2 \sum _ { \omega = 1 } ^ { \infty } \omega ^ { 4 - 2 m } \right) + 2 C _ { 1 1 } C _ { 1 2 } \Delta t ^ { 3 } \left( 1 + 2 \sum _ { \omega = 1 } ^ { \infty } \omega ^ { 5 - 2 m } \right) + \right. } \\ & { } & { \left. C _ { 1 2 } ^ { 2 } \Delta t ^ { 4 } \left( 1 + 2 \sum _ { \omega = 1 } ^ { \infty } \omega ^ { 6 - 2 m } \right) + C _ { 2 1 } ^ { 2 } \left( 1 + 2 \sum _ { \omega = 1 } ^ { \infty } \omega ^ { 2 - 2 m } \right) + \right. } \\ & { } & { \left. 2 C _ { 2 1 } C _ { 2 2 } \Delta t \left( 1 + 2 \sum _ { \omega = 1 } ^ { \infty } \omega ^ { 3 - 2 m } \right) + C _ { 2 2 } ^ { 2 } \Delta t ^ { 2 } \left( 1 + 2 \sum _ { \omega = 1 } ^ { \infty } \omega ^ { 4 - 2 m } \right) \right] ^ { 1 / 2 } } \\ & { \leq } & { C _ { 2 } \Delta t ^ { 3 } . } \end{array}
R _ { N } ( t ) = \operatorname* { l i m } _ { \tau _ { r } \to 0 } \frac 1 N \sum _ { j = 1 } ^ { N } \sum _ { k } \frac 1 { \tau _ { r } } \int _ { t - \tau _ { r } } ^ { t } \delta ( t - T _ { j } ^ { k } ) d t ,
\begin{array} { r l } { \mathbb E \int _ { 0 } ^ { t } \langle x ( s ) , P ^ { - 1 } f ( x ( s ) ) \rangle _ { 2 } d s } & { \leq c _ { 2 } \, \mathbb E \int _ { 0 } ^ { t } \| P ^ { - \frac { 1 } { 2 } } x ( s ) \| _ { 2 } ^ { 2 } d s \quad \mathrm { a n d } } \\ { \mathbb E \int _ { 0 } ^ { t } \langle x ( s ) , Q f ( x ( s ) ) \rangle _ { 2 } d s } & { \leq c _ { 2 } \, \mathbb E \int _ { 0 } ^ { t } \| Q ^ { \frac { 1 } { 2 } } x ( s ) \| _ { 2 } ^ { 2 } d s } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \hat { M } _ { N } ( \lambda \to \infty ) \to \hat { I } + \frac { \hat { \Sigma } } { \lambda } ; } \\ & { } & { \hat { \Sigma } = - \sum _ { k } ( \hat { A } _ { k } + \hat { B } _ { k } ) ; } \\ & { } & { R _ { N } ( \gamma , \lambda \to \infty ) \to } \\ & { } & { \mathrm { t r } \, \left( - 8 N \lambda \gamma ^ { 2 } ( ( 4 \lambda ^ { 2 } - 1 ) \gamma ^ { 2 } ) ^ { - 1 } \right) \left( M _ { N } ( \lambda ) - \hat { I } \right) ^ { - 1 } \to - 2 N \mathrm { t r } \, ( \Sigma ^ { - 1 } ) } \end{array}
t _ { \mathrm { s } } ^ { \mathrm { d a } } = \bigl [ l ^ { + } ( x _ { 0 } ) \bigr ] ^ { - 1 } \approx \biggl [ \alpha k _ { \perp } v _ { \mathrm { m s , d a } } \biggl ( 1 + \frac { v _ { \mathrm { A } } ^ { 2 } } { v _ { \mathrm { m s , d a } } ^ { 2 } } \frac { 1 + \beta _ { \mathrm { i 0 } } } { 2 } \biggr ) \biggr ] ^ { - 1 } ,
{ \frac { d \Gamma } { d s } } = { \frac { 1 } { 1 0 2 4 m _ { \eta } ^ { 3 } \pi ^ { 3 } } } \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } d t \left( \mid A s - m _ { \eta } ^ { 2 } B \mid ^ { 2 } + { \frac { \mid B \mid ^ { 2 } } { s ^ { 2 } } } ( m _ { \pi } ^ { 2 } m _ { \eta } ^ { 2 } - t u ) ^ { 2 } \right) ,
[ \vec { x } , \hat { c } ^ { ( a ) } ] \, = \, [ \vec { X } , \hat { c } ^ { ( a ) } ] \, = \, [ \vec { p } , \hat { c } ^ { ( a ) } ] \, = \, [ \vec { P } , \hat { c } ^ { ( a ) } ] \, = \, 0 \, .
i \partial _ { t } \Tilde { c } _ { g } ( t ) = \left( S _ { g } - i \frac { \gamma } { 2 } \right) \Tilde { c } _ { g } ( t ) + \tilde { \Omega } _ { g a } \left( 1 - \frac { i } { q } \right) \Tilde { c } _ { a } ( t ) ,
M = \left( \begin{array} { l l l l l l } { m _ { 1 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { m _ { 1 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { m _ { 2 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { m _ { 2 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { m _ { 3 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { m _ { 3 } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l r } & { } & { \left( \gamma _ { s } + \gamma _ { s } ^ { l } \right) \frac { \partial } { \partial \omega _ { s r } } D _ { s r } = I m ( R _ { + } + R _ { - } ) } \\ & { \simeq } & { - \frac { \pi } { 4 \beta _ { i } } \left( \frac { \Omega _ { i } } { \omega _ { 0 } } \right) ^ { 2 } \left| \frac { \delta B _ { 0 \theta } } { B _ { 0 } } \right| ^ { 2 } ( 1 - \Gamma _ { s \theta } ) \sigma _ { s \theta } } \\ & { \times } & { \frac { ( \omega _ { * e } - \omega ) _ { s } ( \omega - \omega _ { * i } ) _ { s } } { \omega _ { 0 } ^ { 2 } } \left\langle \left[ \left( \frac { \omega _ { + } } { \omega _ { A } } \right) ^ { 2 } \frac { \delta ( z _ { s } ^ { 2 } - z _ { + } ^ { 2 } ) } { \sigma _ { + s } } \right. \right. } \\ & { } & { \left. \left. - \left( \frac { \omega _ { - } } { \omega _ { A } } \right) ^ { 2 } \frac { \delta ( z _ { s } ^ { 2 } - z _ { - } ^ { 2 } ) } { \sigma _ { - s } } \right] | \Phi _ { s } | ^ { 2 } \right\rangle _ { s } . } \end{array}
\overline { { { \overline { { { P } } } } } } \alpha _ { \mu \nu } = \varepsilon ^ { [ \alpha \mu ] , [ \alpha \nu ] } - \varepsilon ^ { [ \alpha \nu ] , [ \alpha \mu ] } + \varepsilon ^ { [ \nu \mu ] , 0 } - \varepsilon ^ { [ \mu \nu ] , 0 } ,
\begin{array} { r l r l } { \tilde { q } _ { d } ^ { * } = } & { \operatorname* { m a x } _ { \gamma \in \mathbb { R } , \ v } \ \gamma } & & { } \\ & { v ( 0 , x , z ) - \gamma \in \Sigma _ { d } [ X _ { 0 } \times Z ] } \\ & { z - v ( t , x , z ) \in \Sigma _ { d } [ [ 0 , T ] \times X _ { u } \times Z ] } \\ & { \mathcal { L } _ { f _ { 0 } } v - ( z \mathbf { 1 } - h ) ^ { T } \zeta ^ { + } - ( z \mathbf { 1 } + h ) ^ { T } \zeta ^ { - } } \\ & { \qquad \qquad \in \Sigma _ { \tilde { d } } [ [ 0 , T ] \times X \times Z ] } \\ & { \forall \ell = 1 . . \ell : } \\ & { \qquad \textrm { c o e f f } _ { t x z } ( ( \Gamma ^ { + } ) _ { \ell } ( \zeta ^ { + } - \zeta ^ { - } ) + f _ { \ell } \cdot \nabla _ { x } v ) = 0 } & & { } \\ & { v ( t , x , z ) \in \mathbb { R } [ t , x , z ] _ { \leq 2 d } . } & & { } \\ & { \forall j = 1 . . 2 n T : \ } \\ & { \qquad \zeta _ { j } ^ { + } , \zeta _ { j } ^ { - } \in \Sigma [ [ 0 , T ] \times X \times Z ] _ { \leq \tilde { d } - 1 } . } & & { } \end{array}
\begin{array} { r l } { l _ { 2 } } & { = \langle \psi _ { 2 } | \hat { L } _ { z _ { 2 } } | \psi _ { 2 } \rangle = \int { \psi _ { 2 } ^ { * } \hat { L } _ { z _ { 2 } } \psi _ { 2 } d x _ { 2 } d y _ { 2 } } = \int { \frac { 1 } { b } \psi _ { 1 } ^ { * } \frac { 1 } { b } \hat { L } _ { z _ { 1 } } \psi _ { 1 } b ^ { 2 } d x _ { 1 } d y _ { 1 } } = \langle \psi _ { 1 } | \hat { L } _ { z _ { 1 } } | \psi _ { 1 } \rangle = l _ { 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { x _ { s } } & { { } = t - \frac { 1 } { 2 } s t ^ { 2 } , } \\ { u _ { s } } & { { } = 1 - s t , } \\ { u } & { { } = \frac { 1 } { 3 } \left( 1 - 2 s t + 2 \frac { x } { t } \right) , } \\ { h } & { { } = \frac { 1 } { 9 } \left( 1 - \frac { 1 } { 2 } s t - \frac { x } { t } \right) ^ { 2 } , } \end{array}
a r e n o t s u f f i c i e n t l y f a s t t o b e t r a p p e d b y t h e f o r w a r d - m o v i n g w a k e . T h u s , t h e y s l i d e a w a y f r o m t h e w a k e c a v i t y a n d a r e n o t i n j e c t e d . T h e s e e l e c t r o n s a r e t e r m e d \textit { u n t r a p p e d e l e c t r o n s } . B y c o n t r a s t , t h e e l e c t r o n s w i t h
\begin{array} { r l } { { \bf E } _ { \mathrm { S B , n } } \propto \sum _ { s = 1 , 2 } } & { \left( \begin{array} { l } { { \bf d } _ { \mathrm { E - H H , s } } } \\ { { \bf d } _ { \mathrm { E - L H , s } } } \end{array} \right) ^ { \dag } \left( \begin{array} { l l } { \varsigma _ { n } ^ { \mathrm { H H } } } & { 0 } \\ { 0 } & { \varsigma _ { n } ^ { \mathrm { L H } } } \end{array} \right) } \\ & { \left( \begin{array} { l } { { \bf d } _ { \mathrm { E - H H , s } } } \\ { { \bf d } _ { \mathrm { E - L H , s } } } \end{array} \right) \cdot { \bf E } _ { \mathrm { N I R } } , } \end{array}
\tilde { R } _ { i j } = - \frac { 1 } { 2 } \tilde { \gamma } ^ { l m } \partial _ { l } [ \partial _ { m } [ \tilde { \gamma } _ { i j } ] ] + \tilde { \gamma } _ { k ( i } \partial _ { j ) } [ \tilde { \Gamma } ^ { k } ] + \widehat { \Gamma } ^ { k } \tilde { \Gamma } _ { ( i j ) k } + \tilde { \gamma } ^ { l m } ( 2 \tilde { \Gamma } ^ { k } _ { l ( i } \tilde { \Gamma } _ { j ) k m } + \tilde { \Gamma } ^ { k } _ { i m } \tilde { \Gamma } _ { k l j } ) .
\mathrm { I m } \, { \bf a } _ { j } ^ { 2 \rightarrow 2 } = ( { \bf a } _ { j } ^ { 2 \rightarrow 2 } ) ^ { \dagger } { \bf a } _ { j } ^ { 2 \rightarrow 2 } + \sum _ { n > 2 } \left( { \bf a } _ { j } ^ { 2 \rightarrow n } \right) ^ { \dagger } { \bf a } _ { j } ^ { 2 \rightarrow n } ,
\begin{array} { r l } { \frac { \partial h } { \partial k _ { x } } } & { \! = \! - 2 t _ { | | } a \sin ( k _ { x } a ) \sigma _ { 0 } \otimes \tau _ { z } \! + \! \lambda _ { | | } a \cos ( k _ { x } a ) \sigma _ { x } \otimes \tau _ { x } , } \\ & { \! = \! i t _ { | | } a ( e ^ { i k _ { x } a } - e ^ { - i k _ { x } a } ) \sigma _ { 0 } \otimes \tau _ { z } \! + \! \frac { \lambda _ { | | } a } { 2 } ( e ^ { i k _ { x } a } + e ^ { - i k _ { x } a } ) \sigma _ { x } \otimes \tau _ { x } , } \\ & { \! = \! i a ( T _ { x } e ^ { i k _ { x } a } - T _ { x } ^ { \dagger } e ^ { - i k _ { x } a } ) , } \\ { \frac { \partial h } { \partial k _ { y } } } & { \! = \! - 2 t _ { | | } a \sin ( k _ { y } a ) \sigma _ { 0 } \otimes \tau _ { z } \! + \! \lambda _ { | | } a \cos ( k _ { y } a ) \sigma _ { y } \otimes \tau _ { x } , } \\ & { \! = \! i t _ { | | } a ( e ^ { i k _ { y } a } - e ^ { - i k _ { y } a } ) \sigma _ { 0 } \otimes \tau _ { z } \! + \! \frac { \lambda _ { | | } a } { 2 } ( e ^ { i k _ { y } a } + e ^ { - i k _ { y } a } ) \sigma _ { y } \otimes \tau _ { x } , } \\ & { \! = \! i a ( T _ { y } e ^ { i k _ { y } a } - T _ { y } ^ { \dagger } e ^ { - i k _ { y } a } ) , } \\ { h } & { \! = \! \left[ m _ { 0 } - 2 t _ { z } - 4 t _ { | | } \left( \sin ^ { 2 } \frac { k _ { x } a } { 2 } + \sin ^ { 2 } \frac { k _ { y } a } { 2 } \right) \right] \sigma _ { 0 } \otimes \tau _ { z } \! + \! \lambda _ { | | } \sin ( k _ { x } a ) \sigma _ { x } \otimes \tau _ { x } \! + \! \lambda _ { | | } \sin ( k _ { y } a ) \sigma _ { y } \otimes \tau _ { x } } \\ & { \! = \! M _ { 0 } + T _ { x } e ^ { i k _ { x } a } + T _ { x } ^ { \dagger } e ^ { - i k _ { x } a } + T _ { y } e ^ { i k _ { y } a } + T _ { y } ^ { \dagger } e ^ { - i k _ { y } a } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \left( { z } ( \breve { u } _ { j } ^ { 0 } ) - I _ { j } ^ { 0 } \right) ^ { * } , \left( { w } ( \breve { u } _ { j } ^ { 0 } ) - I _ { j } ^ { 0 } \right) ^ { * } \right) = \left( \left( { z } ( \breve { u } _ { j } ^ { 2 N _ { t } } ) - I _ { j } ^ { 2 N _ { t } } \right) ^ { * } , \left( { w } ( \breve { u } _ { j } ^ { 2 N _ { t } } ) - I _ { j } ^ { 2 N _ { t } } \right) ^ { * } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \tilde { x } = \frac { x } { \ell _ { i } } \, , \quad \tilde { \boldsymbol { v } } = \frac { \boldsymbol { v } } { v _ { A } } \, , } \\ & { } & { \tilde { n } _ { e } = \frac { n _ { e } } { n _ { 0 } } \, , \quad \tilde { f } = \frac { v _ { A } ^ { 3 } f } { n _ { 0 } } \, , } \\ & { } & { \tilde { \textbf { E } } = \frac { \textbf { E } } { v _ { A } B _ { 0 } } \, , \quad \tilde { \textbf { B } } = \frac { \textbf { B } } { B _ { 0 } } \, , } \\ & { } & { \tilde { \textbf { J } } _ { k } = \frac { \textbf { J } _ { k } } { e n _ { 0 } v _ { A } } \, , \quad \tilde { P } _ { e } = \frac { P _ { e } } { m n _ { 0 } v _ { A } ^ { 2 } } \, , } \end{array}
H = \underbrace { \left[ { \frac { 1 } { 2 } } m \ell ^ { 2 } { \dot { \theta } } ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } m \ell ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \! \theta \, { \dot { \varphi } } ^ { 2 } \right] } _ { T } + \underbrace { { \Big [ } - m g \ell \cos \theta { \Big ] } } _ { V } = { \frac { P _ { \theta } ^ { 2 } } { 2 m \ell ^ { 2 } } } + { \frac { P _ { \varphi } ^ { 2 } } { 2 m \ell ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta } } - m g \ell \cos \theta
\{ \mathbf { r } _ { / j } ^ { \alpha } \} = \{ \mathbf { r } _ { 1 } ^ { \alpha } , \dots , \mathbf { r } _ { j - 1 } ^ { \alpha } , \mathbf { r } _ { j + 1 } ^ { \alpha } , \dots , \mathbf { r } _ { { N } ^ { \alpha } } ^ { \alpha } \}
\begin{array} { r l } { \left( \begin{array} { l l } { a ( z ) } & { b ( z ) } \\ { c ( z ) } & { d ( z ) } \end{array} \right) } & { { } = \prod _ { \alpha = 1 } ^ { M } \left( \begin{array} { c c } { \frac { z - Y _ { \alpha } } { z - Y _ { \alpha } ^ { * } } } & { \phi _ { \alpha } } \\ { \phi _ { \alpha } ^ { * } \frac { z - Y _ { \alpha } } { z - Y _ { \alpha } ^ { * } } } & { 1 } \end{array} \right) } \end{array}
p _ { Q _ { 1 } } = \frac { m _ { Q _ { 1 } } } { M _ { ( Q _ { 1 } Q _ { 2 } ) } } P _ { ( Q _ { 1 } Q _ { 2 } ) } \; , \; \; \quad p _ { Q _ { 2 } } = \frac { m _ { Q _ { 2 } } } { M _ { ( Q _ { 1 } Q _ { 2 } ) } } P _ { ( Q _ { 1 } Q _ { 2 } ) } ,
\begin{array} { r l } { O _ { l , l ^ { \prime } } } & { = \int _ { - 1 } ^ { 1 } d \bar { x } P _ { l } ( \bar { x } ) P _ { l ^ { \prime } } ( \bar { x } ) ; S _ { l ^ { \prime } } ( t ) = \int _ { - 1 } ^ { 1 } d \bar { x } \exp ( i t \bar { x } ) P _ { l ^ { \prime } } ( \bar { x } ) ; } \\ { R _ { l } ^ { ( 1 ) } ( t ) } & { = \int _ { - 1 } ^ { 1 } d \bar { x } v ^ { G } ( \bar { x } ) \exp ( i t \bar { x } ) P _ { l } ( \bar { x } ) ; R _ { l } ^ { ( 2 ) } ( t ) = \int _ { - 1 } ^ { 1 } d \bar { x } v _ { G } ^ { 2 D } ( \bar { x } ) \exp ( i t \bar { x } ) P _ { l } ( \bar { x } ) ; R _ { l } ^ { ( 3 ) } ( t ) = \int _ { - 1 } ^ { 1 } d \bar { \xi } v _ { O } ^ { 2 D } ( \xi ) \exp ( i t \xi ) P _ { l } ( \xi ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \tau _ { \mathrm { o p t . } } ( \gamma , J ) = \frac { 2 \gamma J ( J + 1 ) } { ( 2 J + 1 ) \left[ 3 + \gamma ^ { 2 } J ( J + 1 ) \right] } } \\ { = \frac { 2 } { \gamma ( 2 J + 1 ) } + \mathcal { O } ( \gamma ^ { - 2 } ) } \\ { \mathcal { R } _ { \mathrm { o p t . } } ( \gamma , J ) = ( 2 J + 1 ) \left[ \frac { 3 + \gamma ^ { 2 } J ( J + 1 ) } { 3 + J ( J + 1 ) ( \gamma ^ { 2 } + 1 2 ) } \right] ^ { 1 / 2 } . } \end{array}
p ( \mu _ { F } , \sigma _ { F } ^ { 2 } | \gamma _ { F } , \nu , \alpha , \beta ) = \frac { \beta ^ { \alpha } \sqrt { \nu } } { \Gamma ( \alpha ) \sqrt { 2 \pi \sigma _ { F } ^ { 2 } } } \left( \frac { 1 } { \sigma _ { F } ^ { 2 } } \right) ^ { \alpha + 1 } \exp \left( - \frac { 2 \beta + \nu ( \gamma _ { F } - \mu _ { F } ) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { F } ^ { 2 } } \right)
\hat { \Delta } ( \Psi ) : = 2 i | \psi | ^ { 2 } + v _ { g } \partial _ { \theta } - i \tau ( \partial _ { \theta } | { \psi } | ^ { 2 } + | \psi | ^ { 2 } \partial _ { \theta } + \psi \partial _ { \theta } \psi ^ { * } ) .
\begin{array} { r l } { \Gamma ( x _ { 1 } ^ { \prime } , x _ { 2 } ^ { \prime } ; x _ { 1 } , x _ { 2 } ) = { \binom { A } { 2 } } \int d x _ { 3 } \ldots d x _ { A } } & { \Psi ^ { * } ( x _ { 1 } ^ { \prime } , x _ { 2 } ^ { \prime } , \ldots , x _ { A } ) } \\ { \times } & { \Psi ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , \ldots , x _ { A } ) \, . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \partial _ { t } m = \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } \Delta m + \frac { 1 } { \mu } \nabla \cdot ( m \nabla u ) } \\ { m ( \vec { x } , t = 0 ) = m _ { 0 } ( \vec { x } ) } \end{array} \right.
\left( \begin{array} { c } { b e ^ { j k a / 2 } } \\ { c e ^ { - j k a / 2 } } \end{array} \right) _ { \mathrm { ~ O ~ u ~ t ~ g ~ o ~ i ~ n ~ g ~ } } = \left( \begin{array} { c c } { S _ { 1 1 } } & { S _ { 1 2 } } \\ { S _ { 2 1 } } & { S _ { 2 2 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { a e ^ { j k a / 2 } } \\ { d e ^ { - j k a / 2 } } \end{array} \right) _ { \mathrm { ~ I ~ n ~ g ~ o ~ i ~ n ~ g ~ } }
\begin{array} { r l r } { \frac { ( Q _ { n } - Q _ { 0 , n } ) ( x ) } { ( d _ { 0 , n } / n ) ^ { 1 / 2 } } } & { = } & { \sigma _ { 0 , n } ^ { 2 } ( x ) n ^ { 1 / 2 } ( P _ { n } - P _ { 0 } ) d _ { 0 , n } ^ { - 1 / 2 } \sum _ { j \in { \cal R } _ { 0 , n } } \phi _ { j } ^ { * } ( Y - { Q _ { 0 , n } } ) \phi _ { j } ^ { * } ( x ) + o _ { P } ( 1 ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { r } ^ { 2 } } & { { } \gtrapprox \sum _ { \mathbf { b } } 2 w _ { \mathbf { b } } \Re \left( 1 - e ^ { - i \, \mathbf { b } ^ { T } \mathbf { r } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \! \int _ { \Omega } \! \! \nabla \varphi ^ { \prime } \cdot \sigma \nabla \varphi + j \omega \nabla \varphi ^ { \prime } \cdot \varepsilon \nabla \varphi \; \mathrm { d } \Omega } & { = - \! \! \int _ { \Omega } \! \! \nabla \varphi ^ { \prime } \cdot \mathbf { J } _ { \textrm { s r c } } \; \mathrm { d } \Omega } \end{array}
u _ { 1 } \left( D _ { x } \frac { d \mathbf { u } } { d t } \right) _ { 1 } = \mathbf { u } ^ { \top } \mathbf { e } _ { L } \mathbf { e } _ { L } ^ { \top } D _ { x } \frac { d \mathbf { u } } { d t } \quad \mathrm { a n d } \quad \left\langle D _ { x } \mathbf { u } , D _ { x } \frac { d \mathbf { u } } { d t } \right\rangle _ { M _ { x } } = \mathbf { u } ^ { \top } D _ { x } ^ { \top } M _ { x } D _ { x } \frac { d \mathbf { u } } { d t } .
\zeta _ { m , k } ( t ) : = \zeta \mathopen { } \mathclose \bgroup \left( \frac { t - k \tau _ { m } } { \tau _ { m } } \aftergroup \egroup \right) , \quad \forall m \in \ensuremath { \mathbb { N } } , \ k \in \ensuremath { \mathbb { Z } } .
{ \boldsymbol { R } } _ { \mathrm { n e w } } = \exp \left( \left[ { \boldsymbol { \omega } } \left( { \boldsymbol { R } } _ { \mathrm { o l d } } \right) \right] _ { \times } d t \right) { \boldsymbol { R } } _ { \mathrm { o l d } }
\begin{array} { r l } { \int \log ^ { 2 } \Big ( \frac { p ( \omega ) } { q ( \omega ) } \Big ) \int _ { 0 } ^ { 1 } h ( t , \omega ) \, d t \, d \omega } & { = \int \log \Big ( \frac { p ( \omega ) } { q ( \omega ) } \Big ) \big ( p ( \omega ) - q ( \omega ) \big ) \, d \omega } \\ & { = \operatorname { K L } ( P , Q ) + \operatorname { K L } ( Q , P ) . } \end{array}
\frac { \int _ { a ^ { \prime } } ^ { b ^ { \prime } } \exp ( - \phi ( t ) ) \textup { d } t } { \int _ { a ^ { \prime } } ^ { b ^ { \prime } } \sqrt { \phi ^ { \prime \prime } ( t ) } \textup { d } t } \geq \operatorname* { m i n } _ { x \in [ a ^ { \prime } , b ^ { \prime } ] } \frac { \exp ( - \phi ( x ) ) } { \sqrt { \phi ^ { \prime \prime } ( x ) } }
\begin{array} { r l } { | \mathcal { D } ( V , z ) | } & { \le 1 + \sum _ { \nu \ge 2 } \frac { M ^ { \nu } | z | ^ { \nu } e ^ { - \frac { c } { 4 } \nu \sqrt { \log ( \nu - 1 ) } } } { \nu ! } } \\ & { \le ( M | z | ) ^ { N + 1 } e + e ^ { M | z | e ^ { - \frac { c } { 4 } \sqrt { \log N } } } \le H ^ { N + 1 } e + e ^ { H e ^ { - \frac { c } { 4 } \sqrt { \log N } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { g } ^ { \dagger } \left( t \right) } & { { } = \sum _ { \tau = 1 } ^ { T } E _ { g } ( t - \tau ) \cdot \mathrm { ~ G ~ a ~ m ~ m ~ a ~ } ( \tau ; \mu = D , \sigma = \sigma _ { D } ) } \\ { D } & { { } = \log \left( D ^ { \dagger } \right) } \\ { D ^ { \dagger } } & { { } \sim \mathcal { N } \left( \mu = \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } \left( \Bar { D } _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ u ~ n ~ t ~ r ~ y ~ } } \right) , \sigma = \sigma _ { \log \Bar { D } } \right) } \\ { \sigma _ { D } } & { { } \sim \mathcal { N } \left( \mu = 0 . 2 \cdot \Bar { D } _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ u ~ n ~ t ~ r ~ y ~ } } , \sigma = 0 . 0 8 \cdot \Bar { D } _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ u ~ n ~ t ~ r ~ y ~ } } \right) . } \end{array}
j ( r ) = \left\{ \begin{array} { l l } { ( 2 c _ { 0 } / q _ { 0 } ) [ ( 1 + r ^ { 2 n } ) ^ { - ( 1 + 1 / n ) } - c _ { r } ] } & { r < r _ { c } } \\ { 0 } & { r \ge r _ { c } . } \end{array} \right.
\mathbf { E } ( z , t ) = \operatorname { R e } \! \left[ \mathbf { E } _ { 0 } e ^ { i ( { \underline { { k } } } z - \omega t ) } \right] = \operatorname { R e } \! \left[ \mathbf { E } _ { 0 } e ^ { i ( 2 \pi ( n + i \kappa ) z / \lambda _ { 0 } - \omega t ) } \right] = e ^ { - 2 \pi \kappa z / \lambda _ { 0 } } \operatorname { R e } \! \left[ \mathbf { E } _ { 0 } e ^ { i ( k z - \omega t ) } \right] .
S = \int _ { \Sigma } \left( | \partial _ { z } \sigma | ^ { 2 } + { \frac { 1 } { \gamma } } \sqrt { \hat { g } } R _ { \hat { g } } \sigma + { \frac { \mu } { 2 \gamma ^ { 2 } } } \sqrt { \hat { g } } e ^ { \gamma \sigma } \right) .
\begin{array} { r l } { S _ { k } ^ { 2 } } & { = \frac { ( \lambda ^ { k + 1 } - \lambda ^ { - k } ) ^ { 2 } } { ( \lambda - 1 ) ^ { 2 } } = \frac { \lambda ^ { 2 k + 2 } + \lambda ^ { - 2 k } - 2 \lambda } { ( \lambda - 1 ) ^ { 2 } } } \\ & { = \frac { \lambda } { ( \lambda - 1 ) ^ { 2 } } ( \lambda ^ { 2 k + 1 } + \lambda ^ { - 2 k - 1 } - 2 ) = - \frac { \lambda } { ( \lambda - 1 ) ^ { 2 } } H _ { 2 k + 1 } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { t } & { = \gamma \left( t ^ { \prime } + { \frac { \mathbf { r } ^ { \prime } \cdot v \mathbf { n } } { c ^ { 2 } } } \right) \, , } \\ { \mathbf { r } } & { = \mathbf { r } ^ { \prime } + ( \gamma - 1 ) ( \mathbf { r } ^ { \prime } \cdot \mathbf { n } ) \mathbf { n } + \gamma t ^ { \prime } v \mathbf { n } \, , } \end{array} }
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \| F _ { h } ( \cdot , \nabla _ { \! h } u _ { h } ^ { \textit { c r } } ) - F _ { h } ( \cdot , \nabla u ) \| _ { 2 , \Omega } ^ { 2 } } & { \lesssim h _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 } \| \nabla F ( \cdot , \nabla u ) \| _ { 2 , \Omega } ^ { 2 } + h _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 \alpha } \, \big ( 1 + \rho _ { p ( \cdot ) s , \Omega } ( \nabla u ) \big ) } \\ & { \quad + h _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 \alpha } \, \rho _ { p _ { h } ( \cdot ) s , \Omega } ( \nabla _ { \! h } u _ { h } ^ { \textit { c r } } ) + \rho _ { ( ( \varphi _ { h } ) _ { \vert \nabla u \vert } ) ^ { * } , \Omega } ( h _ { \mathcal { T } } f ) \, . } \end{array} } \end{array}
\hat { s } _ { i } ( \xi ) = \delta s + s ( \xi ) , \quad \hat { z } _ { i } ( \xi ) = z _ { i 0 } + \! \! \int _ { \xi _ { 0 } } ^ { \xi } \! \! \frac { d y } 2 \left[ \frac { 1 } { \hat { s } _ { i } ^ { 2 } ( y ) } \! - \! 1 \right] ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { I W } = } & { 1 4 . 0 7 - 2 8 7 8 4 \left( \frac { T } { 1 \mathrm { ~ K } } \right) ^ { - 1 } - 2 . 0 4 \log { \left( \frac { T } { 1 \mathrm { ~ K } } \right) } } \\ & { + 0 . 0 5 3 \left( \frac { P } { 1 \mathrm { ~ b a r } } \right) \left( \frac { T } { 1 \mathrm { ~ K } } \right) ^ { - 1 } + 3 \times 1 0 ^ { - 6 } \left( \frac { P } { 1 \mathrm { ~ b a r } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathfrak { i } ( \lambda | _ { e _ { i } \otimes M } ) \circ \overline { { \lambda | _ { e _ { i } \otimes M } } } \circ \mathfrak { i } ( \lambda | _ { e _ { j } \otimes M } ) \circ \overline { { \lambda | _ { e _ { j } \otimes M } } } } & { = \lambda | _ { e _ { i } \otimes M } \lambda | _ { e _ { j } \otimes M } } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathfrak { i } ( \lambda | _ { e _ { i } \otimes M } ) \overline { { \lambda | _ { e _ { i } \otimes M } } } , } & { \mathrm { ~ i f ~ } i = j ; } \\ { 0 , } & { \mathrm { ~ o t h e r w i s e } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { K _ { 0 } ^ { ( 1 ) } } & { { } = K _ { 3 } , } \\ { K _ { \pm 1 } ^ { ( 1 ) } } & { { } = \mp { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } ( K _ { 1 } \pm i K _ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \{ | x _ { 1 } | \geq \frac { 1 } { 2 } \mathrm { ~ o r ~ } | x _ { 2 } | \geq \frac { 1 } { 2 } \} } \\ & { \cup \{ - 1 < y < - \frac { 1 } { 2 } , x _ { 1 } > 0 , x _ { 2 } < \alpha _ { R } x _ { 1 } \} \cup \{ - \frac { 1 } { 2 } < y < 0 , x _ { 2 } > 0 , x _ { 1 } > - \alpha _ { T } x _ { 2 } \} } \\ & { \cup \{ 0 < y < \frac { 1 } { 2 } , x _ { 1 } < 0 , x _ { 2 } > \alpha _ { L } x _ { 1 } \} \cup \{ \frac { 1 } { 2 } < y < 1 , x _ { 2 } < 0 , x _ { 1 } < - \alpha _ { B } x _ { 2 } \} . } \end{array}
S _ { b u l k } ^ { i } = - \frac { 1 } { 2 \kappa _ { 5 } ^ { 2 } } \int d ^ { 5 } x \sqrt { - g _ { E } ^ { ( 5 ) } } ( R + G _ { I J } \partial _ { \mu } X ^ { I } \partial ^ { \mu } X ^ { J } - \frac { 1 } { 2 { \cal V } ^ { 2 } } ( \partial { \cal V } ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 { \cal V } ^ { 2 } } \alpha _ { I } ^ { i } \alpha _ { J } ^ { i } G ^ { I J } ( X ) ) .