harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { i ^ { * } = \frac { c _ { b } + \sqrt { ( c _ { b } ) ^ { 2 } - 4 c _ { a } c _ { c } } } { - 2 c _ { a } } , \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } r ^ { * } = \frac { i ^ { * } { \alpha } p _ { r } } { l _ { r } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d \mathcal { M } } { d t } } & { = \frac { a ^ { 2 } } { 2 \pi G } Q ( \theta ) v _ { \mathrm { M C } } + \frac { \dot { \mathcal { M } } _ { \mathrm { w } } } { 4 \pi } P ( \theta ) } \\ & { = r ^ { 2 } \rho _ { \mathrm { a } } v _ { \mathrm { M C } } + r ^ { 2 } \rho _ { \mathrm { w } } ( v _ { \mathrm { w } } - v _ { \mathrm { M C } } ) \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { w _ { p , K } } & { = - \frac { 3 } { h } u _ { 0 } + \frac { 1 } { h ^ { 2 } } \left( - 4 \psi _ { p , K - 1 } + \frac { 1 } { 2 } \psi _ { p , K - 2 } \right) \, , } \\ { w _ { p , - 1 } } & { = \frac { 1 } { h ^ { 2 } } \left( - 4 \psi _ { p , 0 } + \frac { 1 } { 2 } \psi _ { p , 1 } \right) \, , } \\ { w _ { - 1 , q } } & { = \frac { 1 } { h ^ { 2 } } \left( - 4 \psi _ { 0 , q } + \frac { 1 } { 2 } \psi _ { 1 , q } \right) \, , } \\ { w _ { K , q } } & { = \frac { 1 } { h ^ { 2 } } \left( - 4 \psi _ { K - 1 , q } + \frac { 1 } { 2 } \psi _ { K - 2 , q } \right) \, . } \end{array}
T _ { n } ^ { * } = \sqrt { n } \Bigg ( \frac { \overline { { X } } _ { n } } { S } - \frac { \mu } { \sigma } \Bigg ) = \frac { \sqrt { n } } { S } \Bigg ( \overline { { X } } _ { n } - \frac { \mu S } { \sigma } \Bigg ) = \frac { \overline { { X } } _ { n } - \frac { \mu S } { \sigma } } { \frac { S } { \sqrt { n } } } \rightarrow \frac { \overline { { X } } _ { n } - \mu } { \sigma } \sqrt { n }
\begin{array} { r l } { \int _ { B ( \xi ^ { - 1 } , 2 ^ { - 3 } ) } } & { \left( \xi _ { 1 } - \sqrt { 3 } \xi _ { 2 } \right) \xi _ { \ell } \, \widehat { a _ { k } } \left( \xi ^ { k } - \xi \right) \widehat { a _ { - 1 } } ( \xi ) d \xi } \\ & { = \int _ { B ( \xi ^ { - 1 } , 2 ^ { - 3 } ) } \left( \xi _ { 1 } - \sqrt { 3 } \xi _ { 2 } \right) \xi _ { \ell } \, \widehat { a _ { - 1 } } ( \xi ) d \xi . } \end{array}
D ( \zeta ) \doteq \bigl ( \omega ^ { 2 } - k ^ { 2 } v _ { \mathrm { A } } ^ { 2 } \bigr ) \biggl [ 1 + \frac { T _ { \mathrm { i 0 } } } { T _ { \mathrm { e } } } + \zeta Z ( \zeta ) \biggl ] + k _ { \perp } ^ { 2 } v _ { \mathrm { t h , i } } ^ { 2 } \, \zeta Z ( \zeta ) \biggl [ 1 + \frac { T _ { \mathrm { i 0 } } } { T _ { \mathrm { e } } } + \frac { 1 } { 2 } \zeta Z ( \zeta ) \biggr ] = 0 ,
\frac { \varepsilon _ { \mathrm { D } } ^ { ^ { \prime } } ( i \xi _ { n } ) - 1 } { \varepsilon _ { \mathrm { D } } ^ { ^ { \prime } } ( i \xi _ { n } ) + 2 } = \Phi \frac { \varepsilon _ { \mathrm { w } } ( i \xi _ { n } ) - 1 } { \varepsilon _ { \mathrm { w } } ( i \xi _ { n } ) + 2 } + ( 1 - \Phi ) \frac { \varepsilon _ { \mathrm { D } } ( i \xi _ { n } ) - 1 } { \varepsilon _ { \mathrm { D } } ( i \xi _ { n } ) + 2 } ,
\begin{array} { r l } { \delta \hat { \rho } } & { = \frac { \lambda } { v _ { s } k } \frac { b } { \sqrt { 1 + b ^ { 2 } } } \delta \hat { \rho } , } \\ { \delta \hat { \mathcal { U } } ^ { \alpha } } & { = \frac { B n \kappa } { v _ { s } k } \frac { b ^ { 2 } - 2 \sqrt { 1 + b ^ { 2 } } + 2 } { b ^ { 3 } } \delta \hat { \mathcal { U } } ^ { \alpha } . } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { \infty } d v _ { \perp } v _ { \perp } \exp \left( - \frac { v _ { \perp } ^ { 2 } } { v _ { t h e \perp } ^ { 2 } } \right) = - \frac { v _ { t h e \perp } ^ { 2 } } { 2 } \left. \exp \left( - \frac { v _ { \perp } ^ { 2 } } { v _ { t h e \perp } ^ { 2 } } \right) \right| _ { 0 } ^ { \infty } = \frac { v _ { t h e \perp } ^ { 2 } } { 2 } ,
T = \frac { d _ { 1 } + d _ { 2 } } { \sqrt { 2 U / m } } + \sqrt { \frac { 2 m } { q c _ { 2 } } } \left[ \frac { \pi } { 2 } - \sin ^ { - 1 } \left( \frac { 1 } { \sqrt { 1 + 4 c _ { 2 } U / q { c _ { 1 } } ^ { 2 } } } \right) \right] ,
{ \cal P } ( x , b ; p , \mu ) = \mathrm { e } ^ { - S ( x , b , Q , \mu ) } \bigg ( \phi _ { \pi } ( x , 1 / b ^ { 2 } ) + { \cal O } \left( \alpha _ { s } ^ { 2 } ( 1 / b ) \right) \bigg ) \, ,
\begin{array} { r l r } { \| \tilde { \ell } _ { 2 } \| _ { \boldsymbol { U } ^ { * } } } & { \leq } & { C _ { 1 } \left( \sum _ { \tau \in \mathcal { T } _ { h } } h _ { \tau } ^ { 2 } \left( \| R _ { 2 } \left( \boldsymbol { u } _ { h } , { p } _ { h } \right) \| _ { 0 , \tau } ^ { 2 } + \| R _ { 3 } \left( \boldsymbol { u } _ { h } \right) \| _ { 0 , \tau } ^ { 2 } \right) \right. } \\ & { } & { \left. + \sum _ { e \in \mathcal { E } _ { h } } h _ { e } \left( \| J _ { 1 } \left( { p } _ { h } \right) \| _ { 0 , e } ^ { 2 } + \| J _ { 2 } \left( \boldsymbol { u } _ { h } \right) \| _ { 0 , e } ^ { 2 } \right) + \sum _ { \tau \in \mathcal { T } _ { h } } \| \boldsymbol { u } _ { h } - \boldsymbol { v } _ { h } ^ { c o n f } \| _ { 0 , \tau } ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } . } \end{array}
\overline { { q } } ( t ) = \frac { 1 } { \int \mathrm { ~ d ~ } \Gamma ^ { \mathrm { e q } } } _ { 0 } \int q ( x _ { i } , t ) \ \mathrm { ~ d ~ } \Gamma _ { 0 } ^ { \mathrm { e q } } \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad q = \sigma _ { \mathrm { f f } } , E _ { \mathrm { f f } } , E _ { \mathrm { c l } } .
\begin{array} { r l } { k ^ { 2 } \pm \frac { i \, \mu } { 2 } \, ( { \bf a } \times { \bf c } ) \cdot { \bf k } \, - \, \mu \, \epsilon ( \omega ) \, \omega ^ { 2 } } & { { } = 0 \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \iint _ { \Omega } } & { I ( x , y , z = \Delta \ge 0 ) \, \mathrm { d } x \, \mathrm { d } y } \\ & { = \iint _ { \Omega } I ( x , y , z = 0 ) \, \mathrm { d } x \, \mathrm { d } y } \\ & { + \Delta ^ { 2 } \oint _ { \partial \Omega } \hat { \mathbf { n } } \cdot \{ \nabla _ { \perp } [ D ( x , y ) I ( x , y , z = 0 ) ] \} \, \mathrm { d } s . } \end{array}
T _ { 1 } = \frac { \kappa _ { Ḋ } s 0 Ḍ ( \gamma _ { 0 } - 1 ) } { Ḋ \alpha _ { Ḋ } p 0 Ḍ Ḍ } p _ { 1 } , \quad \gamma _ { 0 } = 1 + \frac { \alpha _ { Ḋ } p 0 Ḍ ^ { 2 } T _ { 0 } } { \rho _ { 0 } c _ { Ḋ } p 0 Ḍ \kappa _ { Ḋ } s 0 Ḍ } ,
\begin{array} { r l } { 0 } & { = \overline { { g } } ( R ( T , W ) W , \xi ) } \\ & { = T ( B ( W , W ) ) - W ( B ( T , W ) ) - B ( \nabla _ { T } W , W ) } \\ & { \qquad \qquad - B ( W , \nabla _ { T } W ) + B ( \nabla _ { W } T , W ) + B ( T , \nabla _ { W } W ) } \\ & { = T \cdot g ( A _ { \xi } ^ { * } W , W ) + g ( A _ { \xi } ^ { * } W , \overset { * } { \nabla } _ { W } T ) + g ( A _ { \xi } ^ { * } T , \overset { * } { \nabla } _ { W } W ) } \\ & { = - T \cdot k ^ { * } - g ( k ^ { * } W , \overset { * } { \nabla } _ { W } T ) + g ( k ^ { * } T , \overset { * } { \nabla } _ { W } W ) } \\ & { = - T \cdot k ^ { * } - 2 k ^ { * } g ( W , \overset { * } { \nabla } _ { W } T ) . } \end{array}
[ ( h r ^ { 3 } \partial _ { r } ) ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } r ^ { 6 } { \mathcal H } - \frac { 8 h r ^ { 4 } R ^ { 4 } } { ( r ^ { 2 } + R ^ { 2 } ) ^ { 2 } } ( 1 + \frac { r _ { 0 } ^ { 2 } } { R ^ { 2 } } ) ] \tilde { \nu } = 0 ,
\begin{array} { r } { \mathrm { ~ R ~ H ~ S ~ o ~ f ~ ~ ~ } = \frac { \rho _ { 1 } ( 1 - \rho _ { 1 } ) ^ { 2 } h ^ { \prime } ( \rho _ { 1 } ) - ( \ell ( \rho _ { 1 } ) ) ^ { 2 } } { ( \ell ( \rho _ { 1 } ) ) ^ { 2 } + ( 1 - \rho _ { 1 } ) ^ { 2 } h ^ { \prime } ( \rho _ { 1 } ) } - \cot ^ { 2 } { \theta _ { 1 } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { \frac { d E _ { \perp } ^ { 0 } } { d \eta } } & { = \int _ { \mathbf { x } _ { \perp } } \tau _ { 0 } \epsilon _ { 0 } , } & { R ^ { 2 } \frac { d E _ { \perp } ^ { 0 } } { d \eta } } & { = \int _ { \mathbf { x } _ { \perp } } \tau _ { 0 } \epsilon _ { 0 } \mathbf { x } _ { \perp } ^ { 2 } , } & { \epsilon _ { n } } & { = - \frac { \int _ { \mathbf { x } _ { \perp } } \tau _ { 0 } \epsilon _ { 0 } x _ { \perp } ^ { n } \cos \left[ n ( \phi _ { x } - \Psi _ { n } ) \right] } { \int _ { \mathbf { x } _ { \perp } } \tau _ { 0 } \epsilon _ { 0 } x _ { \perp } ^ { n } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Omega _ { + } } & { { } = } & { - 1 \pm \sqrt { 4 Y _ { + } \theta _ { \mathrm { e f f } } - 3 Y _ { + } ^ { 2 } \theta _ { \mathrm { e f f } } ^ { 2 } - ( 4 Y _ { + } - \theta _ { \mathrm { e f f } } ) k _ { + } ^ { 2 } - k _ { + } ^ { 4 } } } \\ { \Omega _ { - } } & { { } = } & { - 1 \pm \sqrt { 4 Y _ { - } \theta _ { \mathrm { e f f } } - 3 Y _ { - } ^ { 2 } \theta _ { \mathrm { e f f } } ^ { 2 } - ( 4 Y _ { - } - \theta _ { \mathrm { e f f } } ) k _ { - } ^ { 2 } - k _ { - } ^ { 4 } } } \end{array}
J = \left[ \begin{array} { c c c } { \frac { \partial f ( x , y , z ) } { \partial x } } & { \frac { \partial f ( x , y , z ) } { \partial y } } & { \frac { \partial f ( x , y , z ) } { \partial z } } \\ { \frac { \partial g ( x , y , z ) } { \partial x } } & { \frac { \partial g ( x , y , z ) } { \partial y } } & { \frac { \partial g ( x , y , z ) } { \partial z } } \\ { \frac { \partial h ( x , y , z ) } { \partial x } } & { \frac { \partial h ( x , y , z ) } { \partial y } } & { \frac { \partial h ( x , y , z ) } { \partial z } } \end{array} \right] .
^ 1 ( \sigma _ { s } \overline { { \sigma _ { p } } } ) \sigma _ { s } ^ { * 2 } \sigma _ { p } ^ { 2 } \left( ^ 1 ( \overline { { \pi _ { x } } } \pi _ { x } ^ { * } ) + { } ^ { 1 } ( \overline { { \pi _ { y } } } \pi _ { y } ^ { * } ) \right)
{ \boldsymbol { \varphi } } _ { k } = - \frac { { \delta } ^ { 2 } } { { 6 } { q } _ { k } } \left( { \boldsymbol { v } } _ { k } ^ { 0 } + { 2 } \left( 5 + \frac { { \delta } ^ { 2 } } { { q } _ { k } } \right) { \boldsymbol { v } } _ { k } ^ { 1 } + { \boldsymbol { v } } _ { k } ^ { 2 } \right) \, , \quad { \boldsymbol { v } } _ { k } ^ { j } = { \tau } ^ { 2 } { \boldsymbol { f } } _ { k } ^ { j } + { 2 } { \boldsymbol { u } } _ { k } ^ { j } \, .
T _ { 3 } ^ { P } ( 0 ) = \left( \sqrt { \frac { m _ { B _ { s } } } { 2 } } ( \hat { F } ^ { + } g _ { V } ( \zeta - 2 \mu m _ { \phi } ) ) \frac { 1 } { m _ { P } ^ { 2 } } + \frac { ( m _ { B _ { s } } ^ { 2 } - m _ { \phi } ^ { 2 } ) } { m _ { P } ^ { 2 } } \sqrt { \frac { 2 } { m _ { B _ { s } } } } ( \hat { F } ^ { + } g _ { V } \mu ) \right) .
{ \vec { E } } ( z , t ) = { \left[ \begin{array} { l } { e _ { x } } \\ { e _ { y } } \\ { 0 } \end{array} \right] } \; e ^ { i 2 \pi \left( { \frac { z } { \lambda } } - { \frac { t } { T } } \right) } = { \left[ \begin{array} { l } { e _ { x } } \\ { e _ { y } } \\ { 0 } \end{array} \right] } \; e ^ { i ( k z - \omega t ) }
\begin{array} { r l } { \left( \prod _ { j _ { 1 } = i _ { 1 } } ^ { i _ { 2 } - 1 } f _ { j _ { 1 } } \right) } & { \left\{ \sum _ { j _ { 3 } = K + 1 } ^ { I + n - 1 } \frac { \sigma _ { j _ { 3 } } ^ { 2 } } { ( I + n - j _ { 3 } ) \epsilon ^ { j _ { 3 } } } \left( \prod _ { j _ { 4 } = i _ { 2 } } ^ { j _ { 3 } - 1 } \left( f _ { j _ { 4 } } ^ { 2 } + \frac { \sigma _ { j _ { 4 } } ^ { 2 } } { \epsilon ^ { j _ { 4 } } } \right) \right) \left( \prod _ { j _ { 2 } = j _ { 3 } + 1 } ^ { I + n - 1 } \left( f _ { j _ { 2 } } ^ { 2 } + \frac { 2 \sigma _ { j _ { 2 } } ^ { 2 } } { \epsilon ^ { j _ { 2 } } } \right) \right) \right. } \\ & { + \sum _ { j _ { 3 } = i _ { 2 } } ^ { K } \frac { \sigma _ { j _ { 3 } } ^ { 2 } } { ( I + n - j _ { 3 } ) \epsilon ^ { j _ { 3 } } } \left( \prod _ { j _ { 4 } = i _ { 2 } } ^ { j _ { 3 } - 1 } \left( f _ { j _ { 4 } } ^ { 2 } + \frac { \sigma _ { j _ { 4 } } ^ { 2 } } { \epsilon ^ { j _ { 4 } } } \right) \right) \left( \prod _ { j _ { 2 } = j _ { 3 } + 1 } ^ { I + n - 1 } \left( f _ { j _ { 2 } } ^ { 2 } + \frac { 2 \sigma _ { j _ { 2 } , n } ^ { 2 } } { \epsilon ^ { j _ { 2 } } } \right) \right) \left( \prod _ { j _ { 4 } = K + 1 } ^ { I + n - 1 } f _ { j _ { 4 } } - 1 \right) } \\ & { + \sum _ { j _ { 3 } = i _ { 2 } } ^ { K } \frac { \sigma _ { j _ { 3 } } ^ { 2 } } { ( I + n - j _ { 3 } ) \epsilon ^ { j _ { 3 } } } \left( \prod _ { j _ { 4 } = i _ { 2 } } ^ { j _ { 3 } - 1 } \left( f _ { j _ { 4 } } ^ { 2 } + \frac { \sigma _ { j _ { 4 } } ^ { 2 } } { \epsilon ^ { j _ { 4 } } } \right) \right) } \\ & { \qquad \times \left[ \prod _ { j _ { 2 } = j _ { 3 } + 1 } ^ { K } \left( f _ { j _ { 2 } } ^ { 2 } + \frac { 2 \sigma _ { j _ { 2 } , n } ^ { 2 } } { \epsilon ^ { j _ { 2 } } } \right) \left( \prod _ { j _ { 2 } = K + 1 } ^ { I + n - 1 } \left( f _ { j _ { 2 } } ^ { 2 } + \frac { 2 \sigma _ { j _ { 2 } } ^ { 2 } } { \epsilon ^ { j _ { 2 } } } \right) - 1 \right) \right] \left( \prod _ { j _ { 4 } = K + 1 } ^ { I + n - 1 } f _ { j _ { 4 } } \right) } \\ & { + \left. \sum _ { j _ { 3 } = i _ { 2 } } ^ { K } \frac { \sigma _ { j _ { 3 } } ^ { 2 } } { ( I + n - j _ { 3 } ) \epsilon ^ { j _ { 3 } } } \left( \prod _ { j _ { 4 } = i _ { 2 } } ^ { j _ { 3 } - 1 } \left( f _ { j _ { 4 } } ^ { 2 } + \frac { \sigma _ { j _ { 4 } } ^ { 2 } } { \epsilon ^ { j _ { 4 } } } \right) \right) \left( \prod _ { j _ { 2 } = j _ { 3 } + 1 } ^ { K } \left( f _ { j _ { 2 } } ^ { 2 } + \frac { 2 \sigma _ { j _ { 2 } } ^ { 2 } } { \epsilon ^ { j _ { 2 } } } \right) \right) \left( \prod _ { j _ { 4 } = K + 1 } ^ { I + n - 1 } f _ { j _ { 4 } } - 1 \right) \right\} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \textbf { T r } \left( \frac { \partial f ( \mathbf { E } _ { k , \sigma } ) } { \partial { E } _ { k , \sigma } ^ { i j } } \boldsymbol { \Psi } _ { k , \sigma } ^ { \mathrm { T } } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \boldsymbol { \Psi } _ { k , \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \right) } & { = \frac { \partial f _ { k , \sigma } ^ { \mu _ { \sigma } } } { \partial \epsilon _ { k , \sigma } } \sum _ { \alpha = 1 } ^ { m _ { k , \sigma } } \sum _ { \beta = 1 } ^ { m _ { k , \sigma } } \Lambda _ { \alpha \beta } ^ { i j } \psi _ { k , \sigma } ^ { ( \beta ) } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \psi _ { k , \sigma } ^ { ( \alpha ) } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \, . } \end{array}
\begin{array} { c } { { v _ { b } ^ { \prime } ( p _ { b } + k , \pm ) = \left( 1 - \frac { \hat { k } } { 2 m _ { b } } \right) v _ { b } ( p _ { b } , \pm ) , } } \\ { { u _ { c } ^ { \prime } ( p _ { c } - k , \pm ) = \left( 1 - \frac { \hat { k } } { 2 m _ { c } } \right) u _ { c } ( p _ { c } , \pm ) , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { S t \left( \frac { d U _ { p } ^ { * } } { d t ^ { * } } + \frac { \pi } { 4 } \frac { 1 } { F _ { q } ^ { * } } \frac { d \phi ^ { * } } { d t ^ { * } } \right) } & { = - \frac { 4 } { \pi } F _ { p } ^ { * } U _ { p } ^ { * } - \phi ^ { * } , } \\ { S t J _ { q } ^ { * } \frac { d ^ { 2 } \phi ^ { * } } { d t ^ { * 2 } } } & { = \frac { T _ { i } ^ { * } } { F _ { q } ^ { * } } U _ { p } ^ { * } - \frac { 4 } { \pi } T _ { \Omega } ^ { * } \frac { d \phi ^ { * } } { d t ^ { * } } . } \end{array}
w _ { \mathrm { ~ s ~ t ~ } } ^ { 2 } \simeq w _ { z } ^ { 2 } + 2 \left( \frac { \lambda z } { \pi \rho _ { 0 } } \right) ^ { 2 } ( 1 - \phi ) ^ { 2 } , ~ \sigma _ { \mathrm { ~ T ~ B ~ } } ^ { 2 } \simeq \frac { 0 . 1 3 3 7 \lambda ^ { 2 } z ^ { 2 } } { w _ { 0 } ^ { 1 / 3 } \rho _ { 0 } ^ { 5 / 3 } } .
{ \frac { 1 } { N } } \Gamma _ { e f f } ( \sigma , \pi ) = - \int d ^ { D } x \sqrt { - g } \, { \frac { \sigma ^ { 2 } + \pi ^ { 2 } } { 2 \lambda } } - i \ln \operatorname * { d e t } [ i \gamma ^ { \mu } ( x ) D _ { \mu } - ( \sigma + i \gamma _ { 5 } \pi ) ] .
\Gamma _ { k } [ \phi ] = - W _ { k } [ J , \varphi _ { 0 } ^ { k } ] + \int J ( \varphi _ { 0 } ^ { k } + \phi _ { k } ^ { \Lambda } ) = - { \mathcal W } _ { k } [ J _ { k } ^ { \Lambda } , \varphi _ { 0 } ^ { k } ] + \int J _ { k } ^ { \Lambda } \phi _ { k } ^ { \Lambda } ,
\begin{array} { r l } { W ( \widehat { w } _ { { m ^ { \prime \prime } } } ^ { \omega ^ { \prime \prime } } { \widehat { u } } _ { m ^ { \prime } } ^ { \omega ^ { \prime } } ) } & { = v ^ { - 1 } R ^ { \star } ( \widehat { w } _ { { m ^ { \prime \prime } } } ^ { \omega ^ { \prime \prime } } { \widehat { u } } _ { m ^ { \prime } } ^ { \omega ^ { \prime } } ) - i \omega ( \widetilde { \chi } _ { 1 } f _ { \natural } + ( 1 - \widetilde { \chi } _ { 1 } ) \chi _ { \sharp } f _ { \sharp } ) _ { m } ^ { \omega } \widehat { w } _ { { m ^ { \prime \prime } } } ^ { \omega ^ { \prime \prime } } { \widehat { u } } _ { m ^ { \prime } } ^ { \omega ^ { \prime } } , } \\ { W _ { 0 } ( \widehat { w } _ { { m ^ { \prime \prime } } } ^ { \omega ^ { \prime \prime } } { \widehat { u } } _ { m ^ { \prime } } ^ { \omega ^ { \prime } } ) } & { = v ^ { - 1 } R ^ { \star } ( \widehat { w } _ { { m ^ { \prime \prime } } } ^ { \omega ^ { \prime \prime } } { \widehat { u } } _ { m ^ { \prime } } ^ { \omega ^ { \prime } } ) - i \frac { h _ { 0 } ( \omega - \omega _ { r } ) } { v } ( \widehat { w } _ { { m ^ { \prime \prime } } } ^ { \omega ^ { \prime \prime } } { \widehat { u } } _ { m ^ { \prime } } ^ { \omega ^ { \prime } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \exp \left[ - \frac { i \pi } { 3 \hbar } \frac { \hat { L } _ { z } } { \hbar } \right] \psi _ { \pm } ^ { \mathrm { H O M O } } ( \mathbf { r } ) = \exp \left[ \mp \frac { i \pi } { 3 } \right] \psi _ { \pm } ^ { \mathrm { H O M O } } ( \mathbf { r } ) , } \\ { \exp \left[ - \frac { i \pi } { 3 } \frac { \hat { L } _ { z } } { \hbar } \right] \psi _ { \pm } ^ { \mathrm { L U M O } } ( \mathbf { r } ) = \exp \left[ \mp \frac { 2 i \pi } { 3 } \right] \psi _ { \pm } ^ { \mathrm { L U M O } } ( \mathbf { r } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { m _ { i \setminus j } ^ { t } } & { { } = m _ { i \setminus j } ^ { t - 1 } + \frac { \rho _ { \rightarrow t - 1 } ^ { i \setminus j } \left( 0 \right) M _ { t - 1 , 0 1 } ^ { i \setminus j } \rho _ { t \leftarrow } ^ { i \setminus j } \left( 1 \right) } { \tilde { \mathcal { Z } } _ { i j } } \times \frac { 1 - m _ { i \setminus j } ^ { t - 1 } } { 1 - m _ { i \setminus j } ^ { t - 1 } } } \end{array}
\nabla _ { \pm } = e _ { 0 } ^ { \tau } \nabla _ { \tau } \pm e _ { 1 } ^ { \sigma } \nabla _ { \sigma } = \frac { 1 } { U } \nabla _ { \tau } \pm \frac { U _ { 0 } ^ { 2 } } { U ^ { 3 } } \nabla _ { \sigma } ,
V = \int \beta \, d ^ { 3 } x \left[ \, \frac { 1 } { 2 } ( m _ { h } ^ { 2 } + \delta m _ { h } ^ { 2 } ) \phi ^ { 2 } - ( g + \delta g ) \phi ^ { 3 } + \frac { 1 } { 4 } ( \lambda + \delta \lambda ) \phi ^ { 4 } \right] - \frac { 2 \beta B _ { 2 } } { \sqrt { \pi } } \log \frac { M _ { I R } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { \Gamma _ { 0 } } \frac { \partial q _ { b } ( E , t ) } { \partial t } = - q _ { b } ( E , t ) e ^ { - \beta E } + P _ { u } ( t ) \sqrt { \rho ( E ) } e ^ { - \beta E / 2 } , } \\ & { \frac { 1 } { \Gamma _ { 0 } } \frac { \partial P _ { u } ( t ) } { \partial t } = - P _ { u } ( t ) + \int _ { 0 } ^ { \infty } d E q _ { b } ( E , t ) \sqrt { \rho ( E ) } e ^ { - \beta E / 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E _ { \mathrm { ~ M ~ V ~ } } = - \frac { 5 } { 8 } \mu ^ { 4 } \left( \frac { 1 } { m _ { 1 } ^ { 3 } } + \frac { 1 } { m _ { 2 } ^ { 3 } } \right) } & { { } } & { E _ { \mathrm { ~ D ~ } } = \frac { \mu ^ { 3 } } { 2 } \left( \frac { 1 } { m _ { 1 } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { m _ { 2 } ^ { 2 } } \right) \; , } \end{array}
\begin{array} { r } { \iint _ { \mathcal { A } ^ { \star } ( r _ { 1 } ^ { \star } , r _ { 2 } ^ { \star } ) } \mathfrak { I } ( \mathcal { P } _ { a , M } { \widehat { u } } \overline { { \omega { \widehat { u } } } } ) = \int _ { 0 } ^ { \pi } \left( \mathfrak { I } ( { \widehat { u } } ^ { \prime } \overline { { \omega { \widehat { u } } } } ) ( r _ { 2 } ^ { \star } , \theta ) - \mathfrak { I } ( { \widehat { u } } ^ { \prime } \overline { { \omega { \widehat { u } } } } ) ( r _ { 1 } ^ { \star } , \theta ) \right) \sin \theta \, d \theta \, , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { r _ { a } + r _ { b } + r _ { c } + r } & { = { \overline { { A H } } } + { \overline { { B H } } } + { \overline { { C H } } } + 2 R , } \\ { r _ { a } ^ { 2 } + r _ { b } ^ { 2 } + r _ { c } ^ { 2 } + r ^ { 2 } } & { = { \overline { { A H } } } ^ { 2 } + { \overline { { B H } } } ^ { 2 } + { \overline { { C H } } } ^ { 2 } + ( 2 R ) ^ { 2 } . } \end{array} }
L _ { H i g g s } = [ 1 0 _ { 1 } A _ { 1 } 1 0 _ { 2 } + { \cal S } _ { 5 } 1 0 _ { 2 } ^ { 2 } | _ { F } + { \frac { 1 } { M } } [ z ^ { * } 1 0 _ { 1 } ^ { 2 } | _ { D }
{ \begin{array} { r l } & { \left\lfloor { \frac { x } { n } } \right\rfloor + \left\lfloor { \frac { m + x } { n } } \right\rfloor + \left\lfloor { \frac { 2 m + x } { n } } \right\rfloor + \dots + \left\lfloor { \frac { ( n - 1 ) m + x } { n } } \right\rfloor } \\ { = } & { \left\lfloor { \frac { x } { m } } \right\rfloor + \left\lfloor { \frac { n + x } { m } } \right\rfloor + \left\lfloor { \frac { 2 n + x } { m } } \right\rfloor + \cdots + \left\lfloor { \frac { ( m - 1 ) n + x } { m } } \right\rfloor . } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { \frac { \Delta M _ { F , E n t r a i n m e n t } } { M _ { F 0 } } = \frac { ( \tau _ { t } - \tau _ { t 0 } ) L W } { \tau _ { w 0 } L W } } & { { } = } & { M + M \frac { h _ { 0 } } { h } \left( \frac { \tau _ { t 0 } } { \tau _ { w 0 } } - 1 \right) - \frac { \tau _ { t 0 } } { \tau _ { w 0 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } \left( G _ { n } > ( 1 + a ) m _ { n } \mid D _ { n } \right) } \\ & { = \int _ { y = \varepsilon } ^ { \infty } \mathbb { P } \left( G _ { n } > ( 1 + a ) m _ { n } \mid D _ { n } ; W _ { n } = y c _ { a } ( n ) \right) d \mathbb { P } \left( W _ { n } / c _ { a } ( n ) \leq y \mid D _ { n } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { l ^ { \prime } } & { = ( l _ { 1 } ^ { \prime } , l _ { 2 } ^ { \prime } ) ^ { T } = B ^ { T } ( l _ { 1 } , l _ { 2 } ) ^ { T } = ( l _ { 1 } , l _ { 2 } + b l _ { 1 } ) ^ { T } \mathrm { ~ a n d } } \\ { r ^ { \prime } } & { = ( r _ { 1 } ^ { \prime } , r _ { 2 } ^ { \prime } ) ^ { T } = B ^ { T } ( r _ { 1 } , r _ { 2 } ) ^ { T } = ( r _ { 1 } , r _ { 2 } + b r _ { 1 } ) ^ { T } , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { f ( \sigma _ { i } ) = h ( l ( \sigma _ { i } ) ) = 1 , \quad \sigma _ { i } \in ( a , b ) , } \\ { f ( \sigma _ { i } ) = h ( l ( \sigma _ { i } ) ) = \frac { 1 } { 2 } , \quad \sigma _ { i } \in \{ a , b \} , } \\ { f ( \lambda ) = h ( l ( \lambda ) ) = 0 , \quad \lambda \in \mathcal { L } _ { n _ { s v } } ^ { c } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \mathbf { w } _ { 1 } \otimes \mathbf { w } _ { 2 } = } & { ~ \left( \mathbf { v } _ { 1 } - \mathbf { v } \right) \otimes \left( \mathbf { v } _ { 2 } - \mathbf { v } \right) } \\ { = } & { ~ \mathbf { v } _ { 1 } \otimes \mathbf { v } _ { 2 } - \frac { 1 } { \rho } \mathbf { v } _ { 1 } \otimes \left( \tilde { \rho } _ { 1 } \mathbf { v } _ { 1 } + \tilde { \rho } _ { 2 } \mathbf { v } _ { 2 } \right) - \frac { 1 } { \rho } \left( \tilde { \rho } _ { 1 } \mathbf { v } _ { 1 } + \tilde { \rho } _ { 2 } \mathbf { v } _ { 2 } \right) \otimes \mathbf { v } _ { 2 } + \mathbf { v } \otimes \mathbf { v } } \\ { = } & { ~ - \frac { \tilde { \rho } _ { 1 } } { \rho } \mathbf { v } _ { 1 } \otimes \mathbf { v } _ { 1 } - \frac { \tilde { \rho } _ { 2 } } { \rho } \mathbf { v } _ { 2 } \otimes \mathbf { v } _ { 2 } + \mathbf { v } \otimes \mathbf { v } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \langle \mathcal { W } \rangle = \langle \mathcal { W } _ { x } \rangle + \langle \mathcal { W } _ { p } \rangle : = \left\langle \left( \xi _ { x } - ( \alpha _ { x } + \beta _ { x } ) \right) ^ { 2 } \right\rangle + \left\langle \left( \xi _ { p } - ( \alpha _ { p } - \beta _ { p } ) \right) ^ { 2 } \right\rangle \; . } \end{array}
\langle L _ { 1 } ^ { 2 } ( \tau ) \rangle = \int _ { 0 } ^ { \tau } \left( ( 1 - \alpha ) \gamma \tau ^ { \prime } \right) ^ { \frac { \beta } { 1 - \alpha } } \left( \frac { \tau } { \tau ^ { \prime } } \right) ^ { - \frac { 2 \alpha } { \alpha - 1 } } d \tau ^ { \prime } = \frac { D } { \gamma } \frac { ( ( 1 - \alpha ) \gamma \tau ) ^ { \frac { 1 - \alpha + \beta } { 1 - \alpha } } } { 1 - 3 \alpha + \beta } \qquad \mathrm { f o r } \ \alpha < 0 \ .
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \mathrm { L U } ( A ; B ) : = \{ g \in \mathrm { G L } ( \mathcal { T } ( \mathcal { H } _ { A } \otimes \mathcal { H } _ { B } ) ) } & { \mid g ( \cdot ) : = ( U _ { A } ^ { \dag } \otimes U _ { B } ^ { \dag } ) ( \cdot ) ( U _ { A } \otimes U _ { B } ) } \\ { U _ { A } , } & { U _ { B } \ \mathrm { a r e ~ u n i t a r y ~ m a t r i c e s ~ o n ~ \mathcal { H } _ A , \mathcal { H } _ B ~ } \} , } \end{array} } \end{array}