harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\psi _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } } ( \mathrm { ~ { ~ \bf ~ r ~ } ~ , ~ t ~ } ) = A _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } } ( t ) \exp [ i ( \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } + q \mathrm { ~ \bf ~ E ~ } t / \hbar ) \cdot \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ]
\begin{array} { r l } { \theta _ { \mathrm { B L } } } & { = \theta _ { \mathrm { L G } } + \sqrt { \frac { 1 + \Tilde { \gamma } _ { \mathrm { b l } } } { \Tilde { \gamma } _ { \mathrm { b l } } } } \sqrt { - 2 f _ { \mathrm { w e t } } ( h _ { \mathrm { p } } ) } } \\ { \theta _ { \mathrm { B G } } } & { = \theta _ { \mathrm { L G } } + \sqrt { \frac { \Tilde { \gamma } _ { \mathrm { b l } } } { 1 + \Tilde { \gamma } _ { \mathrm { b l } } } } \sqrt { - 2 f _ { \mathrm { w e t } } ( h _ { \mathrm { p } } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { X ( t ) } & { { } = } & { \sqrt { 2 \, \Psi / B _ { 0 } } \; \cos \left[ \Omega ( \Psi , \mu ) \frac { } { } t \right] , } \\ { Y ( t ) } & { { } = } & { \sqrt { 2 \, \Psi / B _ { 0 } } \; \sin \left[ \Omega ( \Psi , \mu ) \frac { } { } t \right] , } \end{array}
r = \frac { 2 m _ { \pi } ^ { 2 } } { m _ { d } + m _ { u } } = \frac { 2 m _ { K ^ { 0 } } ^ { 2 } } { m _ { d } + m _ { s } } = \frac { 2 m _ { K ^ { + } } ^ { 2 } } { m _ { u } + m _ { s } } .
\begin{array} { r l } & { \sum _ { \vert \alpha \vert + \vert \beta \vert \leq m } \int _ { \mathbb T ^ { d } \times \mathbb R ^ { d } } ( 1 + \vert v \vert ^ { 2 } ) ^ { r } \mathcal { T } ^ { u , \varrho } ( \partial _ { x } ^ { \alpha } \partial _ { v } ^ { \beta } f ) \partial _ { x } ^ { \alpha } \partial _ { v } ^ { \beta } f } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \Vert f ( t ) \Vert _ { \mathcal { H } _ { r } ^ { m } } ^ { 2 } - d \Vert f ( t ) \Vert _ { \mathcal { H } _ { r } ^ { m } } ^ { 2 } } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad + \sum _ { \vert \alpha \vert + \vert \beta \vert \leq m } \int _ { \mathbb T ^ { d } \times \mathbb R ^ { d } } ( 1 + \vert v \vert ^ { 2 } ) ^ { r } [ v \cdot \nabla _ { x } - v \cdot \nabla _ { v } + E ^ { u , \varrho } ( t , x ) \cdot \nabla _ { v } ] ( \partial _ { x } ^ { \alpha } \partial _ { v } ^ { \beta } f ) \partial _ { x } ^ { \alpha } \partial _ { v } ^ { \beta } f } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \Vert f ( t ) \Vert _ { \mathcal { H } _ { r } ^ { m } } ^ { 2 } - d \Vert f ( t ) \Vert _ { \mathcal { H } _ { r } ^ { m } } ^ { 2 } + \sum _ { \vert \alpha \vert + \vert \beta \vert \leq m } \int _ { \mathbb T ^ { d } \times \mathbb R ^ { d } } ( 1 + \vert v \vert ^ { 2 } ) ^ { r } \mathrm { d i v } _ { x } \left( v \frac { \vert \partial _ { x } ^ { \alpha } \partial _ { v } ^ { \beta } f \vert ^ { 2 } } { 2 } \right) } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad + \sum _ { \vert \alpha \vert + \vert \beta \vert \leq m } \int _ { \mathbb T ^ { d } \times \mathbb R ^ { d } } ( 1 + \vert v \vert ^ { 2 } ) ^ { r } \mathrm { d i v } _ { v } \left( ( E ^ { u , \varrho } - v ) \frac { \vert \partial _ { x } ^ { \alpha } \partial _ { v } ^ { \beta } f \vert ^ { 2 } } { 2 } \right) + d \Vert f ( t ) \Vert _ { \mathcal { H } _ { r } ^ { m } } ^ { 2 } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \Vert f ( t ) \Vert _ { \mathcal { H } _ { r } ^ { m } } ^ { 2 } - \sum _ { \vert \alpha \vert + \vert \beta \vert \leq m } \int _ { \mathbb T ^ { d } \times \mathbb R ^ { d } } \nabla _ { v } ( 1 + \vert v \vert ^ { 2 } ) ^ { r } \cdot ( E ^ { u , \varrho } - v ) \frac { \vert \partial _ { x } ^ { \alpha } \partial _ { v } ^ { \beta } f \vert ^ { 2 } } { 2 } , } \end{array}
\partial _ { t } \rho = i \left[ \rho , H + i \sum _ { n } H _ { n } ^ { \prime } \right] + \left( 1 - \sum _ { n } \lambda _ { n } \right) \frac { \gamma _ { \sigma } } { 2 } \mathcal { L } _ { \sigma } \rho + \sum _ { n } \frac { \kappa _ { n } \Gamma _ { n } } { 2 } \mathcal { L } _ { a _ { n } } \rho + \sum _ { n } \frac { 1 } { 2 } \mathcal { L } _ { \mathcal { O } _ { n } } \, ,
D _ { \nu } ^ { i j } [ A ( x ) ] F ^ { \nu \mu , j } [ A ( x ) ] = - g ^ { 2 } C _ { A } \frac 1 { ( 4 \pi ) ^ { 2 } } \frac { 1 1 } { 3 } \int d ^ { 4 } y H ( x - y ) ( g ^ { \mu \nu } \partial ^ { 2 } - \partial ^ { \mu } \partial ^ { \nu } ) A _ { \nu } ^ { a } ( y )
\begin{array} { r l r } & { } & { M _ { W } ( B Y ) = 8 0 . 4 7 5 4 7 \ G e V , \ \Lambda = 3 2 0 . 5 6 8 \ G e V , \ \Delta r ( B Y ) = 3 0 4 . 9 9 2 \times 1 0 ^ { - 4 } , } \\ & { } & { --- --- --- --- --- --- --- --- --- -- } \\ & { } & { \Delta r ( B Y ; S E , f e r m ) = 3 3 4 . 4 0 1 \times 1 0 ^ { - 4 } , \ \Delta r ( S M ; S E , f e r m ) = 3 4 0 . 8 9 1 \times 1 0 ^ { - 4 } , } \\ & { } & { \Delta r ( B Y ; S E , b o s ) = - 9 2 . 5 4 3 \times 1 0 ^ { - 4 } , \ \Delta r ( S M ; S E , b o s ) = - 2 6 . 6 8 4 \times 1 0 ^ { - 4 } , } \\ & { } & { \Delta r ( B Y ; W Z b o x ) = 3 9 . 9 6 8 \times 1 0 ^ { - 4 } , \ \Delta r ( S M ; W Z b o x ) = 4 2 . 8 2 9 \times 1 0 ^ { - 4 } . } \end{array}
\Delta \Sigma \cdot s _ { \mu } = < p | \bar { u } \gamma _ { \mu } \gamma _ { 5 } u + \bar { d } \gamma _ { \mu } \gamma _ { 5 } d + \bar { s } \gamma _ { \mu } \gamma _ { 5 } s | p > = < p | j _ { \mu } ^ { 0 5 } | p > .
\begin{array} { r l r l } { { 2 } - \Delta u } & { = \frac { 1 } { \varepsilon ^ { 2 } } ( 1 - | u | ^ { 2 } ) u \quad } & & { \mathrm { i n } \ \Omega , } \\ { u _ { \perp } } & { = 0 \quad } & & { \mathrm { o n } \ \Gamma , } \\ { \partial _ { n } u _ { \parallel } } & { = 0 \quad } & & { \mathrm { o n } \ \Gamma . } \end{array}
\hat { \mathcal { { H } } } _ { \sigma } p _ { k , \sigma } ^ { ( i ) } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) - \sum _ { j } ^ { m _ { k , \sigma } } p _ { j , \sigma } ^ { ( j ) } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) E _ { i j } = 4 w _ { \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \left( \rho _ { \sigma } ^ { \mathrm { d a t a } } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) - \rho _ { \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \right) \sum _ { j } ^ { m _ { k , \sigma } } f ( \mathbf { E } _ { k , \sigma } ) _ { i j } \psi _ { k , \sigma } ^ { ( j ) } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) - \sum _ { j = 1 } ^ { m _ { k , \sigma } } ( D _ { k , \sigma , i j } + D _ { k , \sigma , j i } ) \psi _ { k , \sigma } ^ { ( j ) } \, .
\begin{array} { r l } { f ^ { ( 2 ) } ( x _ { j } ) } & { { } = \displaystyle \frac { 1 } { ( \Delta x ) ^ { 2 } } \sum _ { \ell = - r } ^ { r } c _ { \ell } ^ { ( r ) } f ( x _ { j } + \ell \Delta x ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bigg | \int _ { \Omega _ { d } ( X ) } H _ { \xi } ( \xi ) d \xi } & { - \int _ { \Omega _ { d } ( X _ { \Delta x } ) } H _ { \Delta x , \xi } ( \xi ) d \xi \bigg | } \\ & { \leq \int _ { \tilde { \Omega } _ { d } ( Z ) \cap \tilde { \Omega } _ { c } ( Z _ { \Delta x } ) } u _ { x } ^ { 2 } ( z ) d z + \int _ { \tilde { \Omega } _ { c } ( Z ) \cap \tilde { \Omega } _ { d } ( Z _ { \Delta x } ) } u _ { \Delta x , x } ^ { 2 } ( z ) d z } \\ & { \qquad + \int _ { \tilde { \Omega } _ { d } ( Z ) \cap \tilde { \Omega } _ { d } ( Z _ { \Delta x } ) } \left| u _ { x } ^ { 2 } ( z ) - u _ { \Delta x , x } ^ { 2 } ( z ) \right| d z . } \end{array}
\begin{array} { r l } { c _ { i j } \left[ \boldsymbol { x } _ { i } , \boldsymbol { s } _ { i } \right] } & { = \frac { 1 } { \mathcal { Z } _ { i j } } p ( x _ { i } ^ { 0 } ) \sum _ { \boldsymbol { x } _ { \partial i \setminus j } } \Biggl \{ \left[ \prod _ { k \in \partial i \setminus j } c _ { k i } \left[ \boldsymbol { x } _ { k } , \boldsymbol { \nu } _ { i k } \boldsymbol { x } _ { i } \right] \right] } \\ & { \qquad \times \prod _ { t = 0 } ^ { T - 1 } \left[ \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , x _ { i } ^ { t } } \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) e ^ { s _ { i } ^ { t } + \sum _ { k \in \partial i \setminus j } \nu _ { k i } ^ { t } x _ { k } ^ { t } } + \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , 1 } \left( 1 - \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) e ^ { s _ { i } ^ { t } + \sum _ { k \in \partial i \setminus j } \nu _ { k i } ^ { t } x _ { k } ^ { t } } \right) \right] \Biggr \} . } \end{array}
\hat { \Phi } _ { \mathrm { d } } \vert \mathrm { p h y s } > = ( a _ { 4 } ^ { \dagger } - a _ { 2 } ^ { \dagger } + a _ { 1 } ^ { \dagger } a _ { 3 } ^ { \dagger } ) \vert \mathrm { p h y s } > = 0 .
\sigma _ { y } \{ [ t _ { 1 } \sin ( q _ { y } b ) - t _ { 3 } \sin ( q _ { x } b ) ] J _ { 0 } ( K _ { y 1 } ) J _ { 0 } ( K _ { y 2 } ) - t _ { 2 } \sin [ ( q _ { x } - q _ { y } ) b ] J _ { 0 } ( K _ { x 1 } ) J _ { 0 } ( K _ { x 2 } ) +
{ \begin{array} { r l } { \nabla \psi } & { = \mathbf { e } _ { x } { \frac { \partial \psi } { \partial x } } + \mathbf { e } _ { y } { \frac { \partial \psi } { \partial y } } + \mathbf { e } _ { z } { \frac { \partial \psi } { \partial z } } } \\ & { = { \frac { i } { \hbar } } \left( p _ { x } \mathbf { e } _ { x } + p _ { y } \mathbf { e } _ { y } + p _ { z } \mathbf { e } _ { z } \right) \psi } \\ & { = { \frac { i } { \hbar } } \mathbf { p } \psi } \end{array} }
\langle \vec { q } _ { 1 } | \int _ { \delta - i \infty } ^ { \delta + i \infty } \frac { d \omega } { 2 \pi i } \left( \frac { \kappa } { s _ { 0 } } \right) ^ { \omega } \hat { G } _ { \omega } | \Phi _ { A ^ { \prime } A } ^ { a } \rangle = \left( \frac { \kappa } { s _ { 0 } } \right) ^ { \omega ( t ) } \Gamma _ { A ^ { \prime } A } ^ { a } ( s _ { 0 } ) \langle \vec { q } _ { 1 } | R \rangle \; ,
\mathbf { C } _ { ( l _ { i } , m _ { i } ) , ( l _ { f } , m _ { f } ) } ^ { * ( l _ { o } , m _ { o } ) } = ( - 1 ) ^ { l _ { i } + l _ { f } + l _ { o } } \mathbf { C } _ { ( l _ { i } , - m _ { i } ) , ( l _ { f } , - m _ { f } ) } ^ { * ( l _ { o } , - m _ { o } ) }
\pi \mathrm { G } _ { 0 } = \left( \pi _ { \mathrm { V } } \mathrm { V } _ { 0 } , \pi _ { \mathrm { E } } \mathrm { E } _ { 0 } , h _ { \pi } , \mathrm { i d } _ { \mathrm { V } } , \mathrm { i d } _ { \mathrm { E } } \right)
u _ { 1 } ^ { \prime } ( 0 , 0 ^ { + } ) = - \frac { 1 } { 1 + r ^ { \gamma _ { p } } } \left( 1 + \gamma _ { p } ( 1 + r ) \frac { r ^ { \gamma _ { p } } } { 1 + r ^ { \gamma _ { p } } } \right) < 0 < u _ { 1 } ^ { \prime } ( 0 , 0 ) \; ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ { \mathcal { R } } ^ { ( 1 ) } ] } & { = c \mathbb { E } \left[ \sum _ { j = 1 } ^ { \mathcal { N } ^ { ( 1 1 ) } } \frac { { \mathcal { R } } _ { j } ^ { ( 1 ) } } { \mathcal { D } _ { j } ^ { ( 1 ) } } + \sum _ { j = 1 } ^ { \mathcal { N } ^ { ( 1 2 ) } } \frac { { \mathcal { R } } _ { j } ^ { ( 2 ) } } { \mathcal { D } _ { j } ^ { ( 2 ) } } \right] + ( 1 - c ) \mathbb { E } [ \mathcal { Q } ^ { ( 1 ) } ] , } \\ { \mathbb { E } [ { \mathcal { R } } ^ { ( 2 ) } ] } & { = c \mathbb { E } \left[ \sum _ { j = 1 } ^ { \mathcal { N } ^ { ( 2 1 ) } } \frac { { \mathcal { R } } _ { j } ^ { ( 1 ) } } { \mathcal { D } _ { j } ^ { ( 1 ) } } + \sum _ { j = 1 } ^ { \mathcal { N } ^ { ( 2 2 ) } } \frac { { \mathcal { R } } _ { j } ^ { ( 2 ) } } { \mathcal { D } _ { j } ^ { ( 2 ) } } \right] + ( 1 - c ) \mathbb { E } [ \mathcal { Q } ^ { ( 2 ) } ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left\| e ^ { i ( \tau - s ) \Delta } P _ { N } \left( d B ( e ^ { i ( s - \sigma ) \Delta } v ( \sigma ) ) [ e ^ { i ( s - \sigma ) \Delta } B ( v ( \sigma ) ) ] \right) \right\| _ { H ^ { 1 } } } \\ & { \leq \| d B ( e ^ { i ( s - \sigma ) \Delta } v ( \sigma ) ) [ e ^ { i ( s - \sigma ) \Delta } B ( v ( \sigma ) ) ] \| _ { H ^ { 1 } } } \\ & { \leq C ( \| V \| _ { W ^ { 1 , 4 } } , \| e ^ { i ( s - \sigma ) \Delta } v ( \sigma ) \| _ { L ^ { \infty } \cap H ^ { 1 } } , \| e ^ { i ( s - \sigma ) \Delta } B ( v ( \sigma ) ) \| _ { L ^ { \infty } \cap H ^ { 1 } } ) } \\ & { \leq C ( M _ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { l l } { 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \qquad \qquad \qquad \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \qquad \qquad \qquad \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \qquad \qquad \qquad \begin{array} { l l } { 2 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} } \\ { \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \qquad \qquad \qquad \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \qquad \qquad \qquad \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \qquad \qquad \qquad \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { l } { \mathrm { f o r ~ a n y } \ i \in \overline { { 1 , n } } , } \\ { \mathrm { i f ~ } \xi _ { i } = \xi _ { \Phi } \ { a n d } \ i \not = \Phi , \mathrm { ~ t h e n ~ t h e r e ~ e x i s t s ~ a n ~ } ( i \Phi ) - w a l k } \\ { w h o s e \ a l l \ n o d e s \ j \ s a t i s f y \ \xi _ { j } = \xi _ { \Phi } , } \\ { a n d \ s a m e \ p r o p e r t y \ h o l d s \ b y \ r e p l a c i n g \ \Phi \ b y \ \Psi , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { s u p } _ { y \in \mathbb { R } } \left\lvert \mathbb { P } \left( \left\lVert \frac { 1 } { \sqrt { T } } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \boldsymbol { x } _ { t } \right\rVert _ { \infty } \leq y \right) - \mathbb { P } ^ { * } \left( \left\lVert \frac { 1 } { \sqrt { T } } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \boldsymbol { x } _ { t } ^ { * } \right\rVert _ { \infty } \leq y \right) \right\rvert } \\ & { \leq \operatorname* { s u p } _ { y \in \mathbb { R } } \left\lvert \mathbb { P } \left( \left\lVert \frac { 1 } { \sqrt { T } } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \boldsymbol { x } _ { t } \right\rVert _ { \infty } \leq y \right) - \mathbb { P } \left( \left\lVert \boldsymbol { z } \right\rVert _ { \infty } \leq y \right) \right\rvert + \operatorname* { s u p } _ { y \in \mathbb { R } } \left\lvert \mathbb { P } ^ { * } \left( \left\lVert \frac { 1 } { \sqrt { T } } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \boldsymbol { x } _ { t } ^ { * } \right\rVert _ { \infty } \leq y \right) - \mathbb { P } \left( \left\lVert \boldsymbol { z } \right\rVert _ { \infty } \leq y \right) \right\rvert } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { y \in \mathbb { R } } \left\lvert \mathbb { P } \left( \left\lVert \frac { 1 } { \sqrt { T } } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \boldsymbol { x } _ { t } \right\rVert _ { \infty } \leq y \right) - \mathbb { P } \left( \left\lVert \boldsymbol { z } \right\rVert _ { \infty } \leq y \right) \right\rvert + \operatorname* { s u p } _ { y \in \mathbb { R } } \left\lvert \mathbb { P } ^ { * } \left( \left\lVert \frac { 1 } { \sqrt { T } } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \boldsymbol { x } _ { t } ^ { * } \right\rVert _ { \infty } \leq y \right) - \mathbb { P } ^ { * } \left( \left\lVert \boldsymbol { z } \right\rVert _ { \infty } \leq y \right) \right\rvert } \\ { \leq } & { { J _ { N , T } } + { J _ { N , T } ^ { * } } , } \end{array}
\langle \phi _ { F } | e ^ { - i H T } | \phi _ { I } \rangle = \int d \phi _ { 1 } \int d \phi _ { 2 } \cdots \int d \phi _ { N - 1 } \, \langle \phi _ { F } | e ^ { - i H T / N } | \phi _ { N - 1 } \rangle \cdots \langle \phi _ { 2 } | e ^ { - i H T / N } | \phi _ { 1 } \rangle \langle \phi _ { 1 } | e ^ { - i H T / N } | \phi _ { I } \rangle .
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { \infty } \left( \frac { \mathrm d } { \mathrm d t } P _ { \mu } ( x , t ) \right) \kappa _ { E } e ^ { - \kappa _ { E } t } \mathrm d t } & { = \kappa _ { E } e ^ { - \kappa _ { E } t } P _ { \mu } ( x , t ) \Big | _ { t = 0 } ^ { t = \infty } - \int _ { 0 } ^ { \infty } P _ { \mu } ( x , t ) ( - \kappa _ { E } ^ { 2 } e ^ { - \kappa _ { E } t } ) \mathrm d t } \\ & { = - \kappa _ { E } \mu ( x ) + \kappa _ { E } \alpha ( x ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { j = 0 } ^ { k - 1 } { ( - 1 ) ^ { j } \binom { k - 1 } { j } \binom { n + k - j } { k } } } & { = \sum _ { j = 0 } ^ { k - 1 } { ( - 1 ) ^ { j } \binom { k - 1 } { j } ( - 1 ) ^ { n - j } \binom { - k - 1 } { n - j } } } \\ & { = ( - 1 ) ^ { n } \sum _ { j = 0 } ^ { k - 1 } { \binom { k - 1 } { j } \binom { - k - 1 } { n - j } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { B _ { x } \left( x , y , z \right) } & { = B _ { 0 } \exp \big ( m ( y - y _ { 0 } ) \big ) \sum _ { i = 0 } ^ { N } b _ { x i } \left( z \right) x ^ { i } , } \\ { B _ { y } \left( x , y , z \right) } & { = B _ { 0 } \exp \big ( m ( y - y _ { 0 } ) \big ) \sum _ { i = 0 } ^ { N } b _ { y i } \left( z \right) x ^ { i } , } \\ { B _ { z } \left( x , y , z \right) } & { = B _ { 0 } \exp \big ( m ( y - y _ { 0 } ) \big ) \sum _ { i = 0 } ^ { N } b _ { z i } \left( z \right) x ^ { i } . } \end{array}
| n > = \frac { 1 } { \sqrt { n ! } } \, ( a ^ { \dagger } ) ^ { n } \, | 0 > \ \ \ , \ \ \ \hat { H } | n > = \hbar \omega ( n + \frac { 1 } { 2 } ) | n > \ \ \ , \ \ \ n = 0 , 1 , 2 , \dots \ \ \ ,
\begin{array} { r l } { ( a , b ) \in \Phi _ { u } ^ { S } \enspace } & { \Leftrightarrow \enspace b \in \bigcap _ { v \in S } \mathcal { O } _ { v } ^ { \times } \mathrm { ~ a n d ~ } \frac { a - u } { \pi } \in \bigcap _ { v \in S } \mathcal { O } _ { v } } \\ & { \Leftrightarrow \enspace \frac { b ^ { 2 } + 1 } { b } , \frac { a - u } { \pi } \in \bigcap _ { v \in S } \mathcal { O } _ { v } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } w ^ { Z _ { G } } } & { = \mathbb { E } \left[ \sum _ { x = 0 } ^ { G } { \binom { G } { x } } ( 1 - \vartheta ) ^ { x } \vartheta ^ { G - x } w ^ { c x - ( G - x ) } \right] } \\ & { = \mathbb { E } \left[ \sum _ { x = 0 } ^ { G } { \binom { G } { x } } ( ( 1 - \vartheta ) w ^ { c } ) ^ { x } \left( \frac { \vartheta } { w } \right) ^ { G - x } \right] = \mathbb { E } \left[ ( 1 - \vartheta ) w ^ { c } + \vartheta w ^ { - 1 } \right] ^ { G } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { a } ^ { b } F ( x ) \oplus _ { \mathbb { Y } } G ( x ) \mathrm { D } x = \int _ { a } ^ { b } F ( x ) \mathrm { D } x \oplus _ { \mathbb { Y } } \int _ { a } ^ { b } G ( x ) \mathrm { D } x , } \end{array}
V ^ { i } \left( u _ { i } \right) = \int \frac { 1 } { 3 } \left( x _ { i } - H \right) n _ { i } \ \mathrm { ~ d ~ } \Gamma ^ { i , \mathrm { { e n d o } } } , \quad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \quad i = \mathrm { { l v } , \mathrm { { r v } , } }
\begin{array} { r l } { Z ( u _ { j } ) = } & { \int _ { \mathbb { S } ^ { n } } \hat { \eta } ( N ) \, d S _ { n } ( K ^ { u _ { j } } , N ) = \left[ \hat { \eta } \left( \frac { ( y _ { j } , - 1 ) } { \sqrt { 1 + | y _ { j } | ^ { 2 } } } \right) + \hat { \eta } \left( \frac { ( y _ { j } , 1 ) } { \sqrt { 1 + | y _ { j } | ^ { 2 } } } \right) \right] \sqrt { 1 + | y _ { j } | ^ { 2 } } \mathrm { v o l } _ { n } ( C _ { j } ) } \\ { = } & { \zeta ( y _ { j } ) \mathrm { v o l } _ { n } ( C _ { j } ) = \kappa _ { n - 1 } , } \end{array}
x ( n _ { 1 } - a _ { 1 } , . . . , n _ { M } - a _ { M } ) { \overset { \underset { \mathrm { F T } } { } } { \longleftrightarrow } } e ^ { - j ( \omega _ { 1 } a _ { 1 } + , . . . , + \omega _ { M } a _ { M } ) } X ( \omega _ { 1 } , . . . , \omega _ { M } )
\begin{array} { r } { f ( r = r _ { 0 } , \phi , t ) = \frac { C } { t } \exp \left[ - \frac { \tau _ { a } } { t } - \frac { t } { \tau _ { e } } \right] \exp \left[ - \frac { \left( \phi - \phi _ { 0 } \right) } { 2 \sigma ^ { 2 } } \right] . } \end{array}
\check { \Gamma } _ { \alpha \beta } ^ { \mu \nu } \epsilon _ { \mu \nu } ^ { 3 , 4 } = \left( k ^ { 2 } + \Pi _ { B } \right) \epsilon _ { \mu \nu } ^ { 3 , 4 } + 2 \left( 1 - \frac { k ^ { 2 } } { ( k \cdot u ) ^ { 2 } } \right) \Pi _ { 6 } \epsilon _ { \mu \nu } ^ { 5 , 6 }
i G ^ { \mu \nu } ( p ^ { 2 } ) = \frac { - i g ^ { \mu \nu } } { p ^ { 2 } } \biggl [ \biggl ( 1 - \frac { p ^ { 2 } } { M _ { \gamma } ^ { 2 } } \biggr ) + e ^ { 2 } \biggl ( 1 - \frac { 2 p ^ { 2 } } { M _ { \gamma } ^ { 2 } } \biggr ) \biggr ( \frac { - p ^ { 2 } } { 6 0 \pi ^ { 2 } m ^ { 2 } } \biggr ) - \frac { 1 1 e ^ { 2 } p ^ { 2 } } { 4 8 \pi ^ { 2 } M _ { f } ^ { 2 } } \biggr ] \ ,
\begin{array} { r l } & { R _ { k \eta _ { 1 } l _ { 1 } l _ { 2 } l _ { 3 } } ^ { ( s ) } ( r _ { i j } , \{ h _ { i , k 0 0 } \} _ { k } , \{ h _ { j , k 0 0 } \} _ { k } ) = } \\ & { \mathrm { M L P } \left( \left\{ { j _ { 0 } ^ { n } } ( r _ { i j } ) \right\} _ { n } , \{ h _ { i , k 0 0 } \} _ { k } , \{ h _ { j , k 0 0 } \} _ { k } \right) } \\ & { \phi _ { i j , k \eta _ { 1 } l _ { 3 } m _ { 3 } } ^ { ( s ) } = \sum _ { l _ { 1 } l _ { 2 } m _ { 1 } m _ { 2 } } C _ { \eta _ { 1 } , l _ { 1 } m _ { 1 } l _ { 2 } m _ { 2 } } ^ { l _ { 3 } m _ { 3 } } \times } \\ & { R _ { k \eta _ { 1 } l _ { 1 } l _ { 2 } l _ { 3 } } ^ { ( s ) } ( r _ { i j } , \{ h _ { i , k 0 0 } \} _ { k } , \{ h _ { j , k 0 0 } \} _ { k } ) Y _ { l _ { 1 } } ^ { m _ { 1 } } ( \boldsymbol { \hat { r } } _ { i j } ) \bar { h } _ { j , k l _ { 2 } m _ { 2 } } ^ { ( s ) } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle \xi _ { x } \rangle } & { { } = } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } d \alpha _ { x } \; \exp [ - ( 2 + u ) \alpha _ { x } ] [ I _ { 0 } ( \alpha _ { x } u ) - I _ { 1 } ( \alpha _ { x } u ) ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { L _ { S } ^ { \prime } ( 0 , \chi ) } & { = - \frac { 1 } { e } \sum _ { \sigma ^ { \prime } \in G } \chi ( \sigma ^ { \prime } ) \log | \sigma ^ { \prime } ( \epsilon ) | _ { \mathfrak P } } \\ & { = - \frac { 1 } { e } \sum _ { \sigma ^ { \prime } \in G } \chi ( \sigma ^ { \prime } ) \log | \sigma ^ { \prime } \sigma ( \epsilon ) | _ { \mathfrak P } } \\ & { = - \frac { \overline { \chi } ( \sigma ) } { e } \sum _ { \sigma ^ { \prime \prime } \in G } \chi ( \sigma ^ { \prime \prime } ) \log | \sigma ^ { \prime \prime } ( \epsilon ) | _ { \mathfrak P } } \\ & { = \overline { \chi } ( \sigma ) L _ { S } ^ { \prime } ( 0 , \chi ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \rho _ { i } = \mathcal { B } _ { i j } ( \rho _ { j } ) \iff \exists t > 0 \, , \, \xi \in \mathbb { S } ^ { 1 } \, , \, x \in \partial \mathcal { O } _ { j } } \\ & { \pi _ { j } ( x , \xi ) = \rho _ { j } \, , \, \pi _ { i } ( x + t \xi , \xi ) = \rho _ { i } \, , \, \nu _ { j } ( x ) \cdot \xi > 0 \, , \, \nu _ { i } ( x + t \xi ) \cdot \xi < 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta \tilde { U } } & { = \frac { \mu _ { 1 1 } } { \tilde { \rho } | \tilde { v } | } \Delta \tilde { p } + \frac { \tilde { U } } { | \tilde { U } | } \mu _ { 1 2 } \Delta \tilde { U } } \\ { \delta \tilde { p } } & { = \frac { \tilde { U } } { | \tilde { U } | } \mu _ { 2 1 } \Delta \tilde { p } + \tilde { \rho } | \tilde { v } | \mu _ { 2 2 } \Delta \tilde { U } } \end{array}
\begin{array} { r l } { V _ { 0 } ^ { ( 2 ) } ( \underline { { R } } , \underline { { x } } ) } & { { } = V _ { 0 } ^ { ( 1 ) } ( \underline { { R } } , \underline { { x } } ) + \underbrace { \sum _ { \mu \neq 0 } \frac { \vert \Delta V _ { 0 \mu } ( \underline { { R } } , \underline { { x } } ) \vert ^ { 2 } } { \Delta E _ { 0 \mu } ^ { ( e ) } ( \underline { { R } } ) } } _ { = E _ { 0 } ^ { ( 2 ) } ( \underline { { R } } , \underline { { x } } ) } \quad , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial \boldsymbol { a } } { \partial t } = \boldsymbol { A } \left[ \boldsymbol { \nabla } , \boldsymbol { a } , t \right] + \underline { { \mathbf { B } } } \left[ \boldsymbol { \nabla } , \boldsymbol { a } , t \right] \cdot \boldsymbol { \zeta } ( t ) + \underline { { \mathbf { L } } } \left[ \boldsymbol { \nabla } \right] \cdot \boldsymbol { a } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { J _ { + } E _ { 1 } = E _ { 2 } , } & { \quad J _ { + } E _ { 2 } = - E _ { 1 } , } & & { J _ { + } E _ { 3 } = E _ { 4 } , } & & { J _ { + } E _ { 4 } = - E _ { 3 } , } \\ { J _ { - } E _ { 1 } = E _ { 2 } , } & { \quad J _ { - } E _ { 2 } = - E _ { 1 } , } & & { J _ { - } E _ { 3 } = - E _ { 4 } , } & & { J _ { - } E _ { 4 } = E _ { 3 } . } \end{array}
\mathbf { D } = \left[ \begin{array} { l l l } { u _ { x } } & { \frac 1 2 ( u _ { y } + v _ { x } ) } & { 0 } \\ { \frac 1 2 ( u _ { y } + v _ { x } ) } & { v _ { y } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - ( u _ { x } + v _ { y } ) } \end{array} \right] , \quad \hat { \mathbf { D } } = \left[ \begin{array} { l l l } { 2 u _ { x } + v _ { y } } & { \frac 1 2 ( u _ { y } + v _ { x } ) } & { 0 } \\ { \frac 1 2 ( u _ { y } + v _ { x } ) } & { u _ { x } + 2 v _ { y } } & { 0 } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r } { \hat { w } ^ { Y } ( y , t , z ) = \sum _ { j = 2 } ^ { N } \frac { \hat { w } _ { j , \ln } ^ { P } ( y , \tilde { y } , z ) \ln { t } + \hat { w } _ { j } ^ { P } ( y , \tilde { y } , z ) } { t ^ { j / 6 } } + O \bigg ( \frac { e ^ { - c | z | ^ { 3 } } \ln { t } } { t ^ { \frac { N + 1 } { 6 } } } \bigg ) , \qquad z \in P , } \end{array}