harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
, n e c e s s a r y t o e m b e d o u r a u t o r e g r e s s i o n p r o b l e m i n t o t h e f r a m e w o r k o f h i g h - d i m e n s i o n a l m u l t i v a r i a t e r e g r e s s i o n , w e t r a n s f e r e x i s t i n g t e c h n o l o g y o n L A S S O e s t i m a t i o n ( w i t h o v e r l a p p i n g h i e r a r c h i c a l l y c o n s t r u c t e d g r o u p s ) t o o u r p r o b l e m . W e d e r i v e s t a t i s t i c a l g u a r a n t e e s f o r t h e e s t i m a t o r s
\mathrm { ~ e ~ } _ { i } = \frac { \hat { f } _ { i } ( \mathbf { x } , \mathbf { p } ) - f _ { i } ( \mathbf { x } , \mathbf { p } ) } { \operatorname* { m a x } ( \textbf { f } _ { i } ) - \bar { \textbf { f } _ { i } } }
- \left\langle { \bar { u } _ { i } ^ { \dag } { { \bar { S } } _ { i j } } \bar { u } _ { j } ^ { \dag } } \right\rangle = - \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } { \left\langle { { \lambda _ { k } } \left( { q _ { i } ^ { \left( k \right) } \bar { u } _ { i } ^ { \dag } } \right) \left( { q _ { j } ^ { \left( k \right) } \bar { u } _ { j } ^ { \dag } } \right) } \right\rangle } = - \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } { \left\langle { { \lambda _ { k } } { { \left( { q _ { i } ^ { \left( k \right) } \bar { u } _ { i } ^ { \dag } } \right) } ^ { 2 } } } \right\rangle } .
\begin{array} { r l } { N \bar { s } } & { { } = \sum _ { n = 1 } ^ { N } s _ { n } } \\ { N _ { i } \langle s \rangle } & { { } = \sum _ { \nu = 1 } ^ { N _ { i } } s _ { \nu } \quad ( i = 1 , 2 , . . . , \ \operatorname { N u m b e r \ o f \ p h a s e \ s u b - p o p u l a t i o n s } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \Sigma [ \widehat { L } _ { a } , \widehat { L } _ { b } ] = \int _ { \widehat { L } _ { a } } ^ { \widehat { L } _ { b } } S [ \widehat { L } _ { a } , \widehat { L } ] d M ( \widehat { L } ) = \int _ { \widehat { L } _ { a } } ^ { \widehat { L } _ { b } } ( S ( \widehat { L } ) - S ( \widehat { L } _ { a } ) ) m ( \widehat { L } ) d \widehat { L } \ . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { L } _ { i n t } = } & { } & { - \kappa _ { \mu } \frac { m _ { \mu } } { v } H \bar { \mu } \mu + i \kappa _ { \mu } \frac { m _ { \mu } } { v } A \bar { \mu } \gamma _ { 5 } \mu } \\ & { } & { + \kappa _ { Z } \frac { m _ { Z } ^ { 2 } } { v } H Z ^ { \mu } Z _ { \mu } } \\ & { } & { + \frac { g \sqrt { ( 1 - \kappa _ { Z } ^ { 2 } ) } } { 2 \cos \theta _ { W } } ( H \partial ^ { \mu } A - A \partial ^ { \mu } H ) Z _ { \mu } \, , } \end{array}
S = M ^ { 6 } \int d ^ { 8 } x \, R _ { 8 } + M ^ { 6 } \; L ^ { 2 } \int d ^ { 8 } x \, R _ { 8 } ^ { 2 } + \cdots + M ^ { 6 } r _ { c } ^ { 4 } \int d ^ { 4 } x \, R _ { 4 } + \lambda _ { 2 } \int d ^ { 4 } x \, R _ { 4 } ^ { 2 } + \cdots \, .
\begin{array} { r l r } { C ^ { ( 2 ) } } & { = } & { \overline { { X ^ { ( 1 ) } ( t ) \cdot V _ { \mathrm { r e f } } ^ { ( 2 ) } ( t ) } } } \\ & { = } & { \frac { \gamma _ { \mathrm { R b } } \langle S _ { z } \rangle J _ { 1 } } { 2 \Gamma _ { \mathrm { R b } } } \left[ ( J _ { 2 } - J _ { 0 } ) \sin ( \theta _ { \mathrm { a c } } - \theta _ { 1 } ) b _ { x 0 } e ^ { i ( \phi _ { x } - \theta _ { 2 } ) } \right. } \\ & { } & { + \left. ( J _ { 0 } + J _ { 2 } ) \cos ( \theta _ { \mathrm { a c } } - \theta _ { 1 } ) b _ { y 0 } e ^ { i ( \phi _ { y } - \theta _ { 2 } ) } \right] . } \end{array}
{ \cal M } = { \frac { \lambda _ { i k 1 } ^ { \prime } \lambda _ { j 1 k } ^ { \prime } V _ { L R } F _ { \pi ^ { + } } } { 2 m _ { \tilde { d } _ { k } } ^ { 2 } } } V _ { u s } \frac { G _ { F } } { \sqrt { 2 } } f _ { K } m _ { \ell _ { i } } \left( \overline { { { ( { \ell _ { j } } _ { L } ) ^ { C } } } } ~ { \frac { \hat { p } _ { \nu _ { i } } } { p _ { \nu _ { i } } ^ { 2 } } } { \ell _ { i } } _ { R } \right) K ^ { + } ( p _ { K } ) \pi ^ { - } ( p _ { \pi } )
V _ { \mathrm { n v } } ~ { = } ~ V _ { \mathrm { m a x } } \, | \sin \, ( 4 \, \sqrt { \frac { 2 } { 3 } } \, \kappa \, V _ { \mathrm { t e s t } } \, \gamma _ { \mathrm { n v } } \, \tau _ { \mathrm { t o t } } ) | ,
\delta n _ { \mathbf { k } } ^ { \sigma } ( t ) = \delta n _ { \mathbf { k } } ^ { \sigma } ( t _ { 0 } ) \left[ 1 - \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d \omega \, \mathcal { R } ( \omega , \mathbf { k } ) \, \frac { 1 - \cos [ ( \omega - \omega _ { \mathbf { k } } ) ( t - t _ { 0 } ) ] } { \pi ( \omega - \omega _ { \mathbf { k } } ) ^ { 2 } } \right] ,
\begin{array} { r l } { \left[ S _ { k , 0 } ^ { z } , S _ { k ^ { \prime } , q ^ { \prime } } ^ { x } \right] = } & { { } i \frac { \delta _ { k , k ^ { \prime } } + \delta _ { k , k ^ { \prime } + q ^ { \prime } } } { 2 } S _ { k ^ { \prime } , q ^ { \prime } } ^ { y } , } \\ { \left[ S _ { k , 0 } ^ { z } , S _ { k ^ { \prime } , q ^ { \prime } } ^ { y } \right] = } & { { } - i \frac { \delta _ { k , k ^ { \prime } } + \delta _ { k , k ^ { \prime } + q ^ { \prime } } } { 2 } S _ { k ^ { \prime } , q ^ { \prime } } ^ { x } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { I } } & { \approx P _ { t } \kappa ^ { - 1 } \sum _ { u \in \Psi _ { U } \backslash \{ u ^ { * } \} } \; \sum _ { i \in \mathcal { C } _ { u } } \; \frac { \sum _ { k = 1 } ^ { M } \big | h _ { i u k } \big | ^ { 2 } \big | h _ { i u ^ { * } k } | ^ { 2 } r _ { i u } ^ { - \alpha } } { \sum _ { i ^ { \prime } \in \mathcal { C } _ { u } } \sum _ { k = 1 } ^ { M } \big | h _ { i ^ { \prime } u k } \big | ^ { 2 } r _ { i ^ { \prime } u } ^ { - \alpha } } \; r _ { i u ^ { * } } ^ { - \alpha } . } \end{array}
\left( \frac { \log ^ { n } ( \hat { s } _ { 0 } ) } { \hat { s } _ { 0 } } \right) _ { + } = \operatorname * { l i m } _ { \epsilon \to 0 } \left[ \theta ( \hat { s } _ { 0 } - \epsilon ) \frac { \log ^ { n } ( \hat { s } _ { 0 } ) } { \hat { s } _ { 0 } } + \delta ( \hat { s } _ { 0 } ) \, \frac { \log ^ { n + 1 } ( \epsilon ) } { n + 1 } \right] .
H _ { \mathrm { ~ p ~ h ~ } } = \hbar \omega _ { \mathrm { ~ p ~ h ~ } } \big ( \mathcal { A } _ { \mathrm { ~ p ~ h ~ } } ^ { \dagger } \mathcal { A } _ { \mathrm { ~ p ~ h ~ } } + \frac { 1 } { 2 } \big )
\overline { { J _ { i _ { 1 } \cdots i _ { q } } ^ { 2 } } } = q ( q - 1 ) J _ { 0 } ^ { 2 } ~ , \ \ \ \ \ \ \overline { { J _ { i _ { 1 } \cdots i _ { q } } J _ { i _ { s \neq 1 } i _ { 1 } \cdots } } } = - q J _ { 0 } ^ { 2 } ~ , \ \ \ \ \ \left( \frac { J _ { 0 } } { ( q - 1 ) ! } \right) ^ { 2 } = \frac { J ^ { 2 } } { q ! ( N { - } 1 ) \cdots ( N { - } ( q { - } 1 ) ) } ~ .
\begin{array} { r l } { C ^ { t o t } ( t + d t ) } & { { } = C ^ { t o t } ( t ) + \frac { C ^ { \alpha } ( t ) } { Q ^ { \alpha } ( t ) } ( D ^ { \alpha } ( t + d t ) - Q ^ { \alpha } ( t ) ) } \\ { + } & { { } \Delta I ^ { \alpha } ( t + d t ) ) - 1 ] } \\ { + } & { { } \frac { I ^ { \alpha } ( t + d t ) } { I ^ { \alpha } ( t ) } \Delta I ^ { \alpha } ( t ) ) - 1 ] ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial S } { \partial b } } & { = } & { \frac { ( I _ { 1 } + I _ { 2 } ) \frac { \partial } { \partial b } ( I _ { 1 } - I _ { 2 } ) - ( I _ { 1 } - I _ { 2 } ) \frac { \partial } { \partial b } ( I _ { 1 } + I _ { 2 } ) } { ( I _ { 1 } + I _ { 2 } ) ^ { 2 } } } \\ & { = } & { \frac { 2 I _ { 2 } \frac { \partial } { \partial b } I _ { 1 } - 2 I _ { 1 } \frac { \partial } { \partial b } I _ { 2 } } { ( I _ { 1 } + I _ { 2 } ) ^ { 2 } } } \end{array}
{ \mathcal { U } } _ { \tau } ~ { \stackrel { \scriptscriptstyle { \mathrm { d e f } } } { = } } ~ { \mathcal { B } } _ { { \mathcal { N } } _ { \tau } ( 0 ) } ^ { \uparrow } ~ { \stackrel { \scriptscriptstyle { \mathrm { d e f } } } { = } } ~ \left\{ S \subseteq X \times X ~ : ~ N \in { \mathcal { N } } _ { \tau } ( 0 ) { \mathrm { ~ a n d ~ } } \Delta _ { X } ( N ) \subseteq S \right\}
| f ( x ^ { \prime } + i y ^ { \prime } ) | = | G ^ { ( 1 ) } ( x - ( x ^ { \prime } + i y ^ { \prime } ) , t ) | | \psi _ { 0 } ( x ^ { \prime } + i y ^ { \prime } ) | = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi t } } e ^ { x y ^ { \prime } / t } e ^ { - x ^ { \prime } y ^ { \prime } / t } | \psi _ { 0 } ( x ^ { \prime } + i y ^ { \prime } ) |
R _ { 1 } = \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { \lambda _ { 1 } ^ { - 1 } ( \mu - \lambda _ { 1 } ) } \\ { \mu ^ { - 1 } ( \mu - \lambda _ { 1 } ) } & { 0 } \end{array} \right] , \quad R _ { 2 } = \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { \mu ^ { - 1 } ( \lambda _ { 1 } ^ { - 1 } - \mu ) } \\ { \lambda _ { 1 } ( \lambda _ { 1 } ^ { - 1 } - \mu ) } & { 0 } \end{array} \right] .
\operatorname* { l i m } _ { \gamma \rightarrow 0 } \int _ { \bar { z } + \gamma } ^ { \infty } - \frac { d } { d \bar { z } _ { 0 } } \left( \frac { f } { \left( \bar { z } - \bar { z } _ { 0 } \right) ^ { 2 } } \right) d \bar { z } _ { 0 } = \frac { f ( \bar { z } ) } { \gamma ^ { 2 } } \, .
\begin{array} { r l } { J _ { 3 } \leq } & { C \sum _ { 0 \leq j \leq k } ( 1 + \| \partial _ { t } ^ { j } \varphi \| _ { 2 } ) ( \| \nabla \partial _ { t } ^ { j } u \| ^ { 2 } + \| \partial _ { t } ^ { j } \varphi \| _ { 2 } ^ { 2 } ) ( \| \partial _ { t } ^ { k } \varphi \| + \| \partial _ { t } ^ { k } \varphi _ { t } \| + \| \Delta \partial _ { t } ^ { k } \varphi \| ) } \\ { \leq } & { C \sum _ { 0 \leq j \leq k } ( 1 + \mathcal { E } _ { j } ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( t ) ) \mathcal { E } _ { j } ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( t ) \mathcal { D } _ { j } ( t ) \, , } \end{array}
\Psi _ { i } ^ { \mathrm { e q , N > 2 } } = \frac { w _ { i } } { 2 c _ { s } ^ { 4 } } \left[ \mathcal { H } _ { i , x x } \partial _ { x } \delta \Pi _ { x x x } ^ { \mathrm { e q } } + \mathcal { H } _ { i , y y } \partial _ { y } \delta \Pi _ { y y y } ^ { \mathrm { e q } } \right] .
\begin{array} { r l } { \left( J ^ { \alpha } \right) \left( J ^ { \beta } f \right) ( x ) } & { { } = { \frac { 1 } { \Gamma ( \alpha ) } } \int _ { 0 } ^ { x } ( x - t ) ^ { \alpha - 1 } \left( J ^ { \beta } f \right) ( t ) \, d t } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { H a m } ( \check { q } , \check { p } ) } & { = } & { H _ { X _ { 1 } , 1 } } \\ & { = } & { \check { p } ^ { 2 } ( \check { q } - t ) + \hbar \check { p } - \frac { t _ { X _ { 1 } ^ { ( 1 ) } , 0 } ^ { 2 } } { \check { q } - t } - ( \check { q } ^ { 2 } + 2 t _ { \infty ^ { ( 1 ) } , 0 } - \hbar ) ( \check { q } - t ) } \\ & { = } & { ( \check { q } - t ) \check { p } ^ { 2 } + \hbar \check { p } - \frac { t _ { X _ { 1 } ^ { ( 1 ) } , 0 } ^ { 2 } } { \check { q } - t } - \check { q } ^ { 3 } + t \check { q } ^ { 2 } - ( 2 t _ { \infty ^ { ( 1 ) } , 0 } - \hbar ) \check { q } + ( 2 t _ { \infty ^ { ( 1 ) } , 0 } - \hbar ) t } \\ & { = } & { ( \check { q } - t ) \check { p } ^ { 2 } + \hbar \check { p } - \frac { t _ { X _ { 1 } ^ { ( 1 ) } , 0 } ^ { 2 } } { \check { q } - t } - ( \check { q } - t ) ^ { 3 } - 2 t ( \check { q } - t ) ^ { 2 } - t ^ { 2 } ( \check { q } - t ) - ( 2 t _ { \infty ^ { ( 1 ) } , 0 } - \hbar ) ( \check { q } - t ) } \\ & { } & \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { P } = \mathcal { P } ( \mathscr { s } _ { 1 } , \mathscr { s } _ { 2 } , . . . , \mathscr { s } _ { d } , t ) = \mathcal { P } ( \pmb { \mathscr { s } } , t ) , } \end{array}
{ \begin{array} { r } { f ( \mathbf { r } , \mathbf { p } , t ) = { \frac { 1 } { \left( 2 \pi \sigma _ { X } \sigma _ { P } { \sqrt { 1 - \beta ^ { 2 } } } \right) ^ { d } } } \exp \left[ - { \frac { 1 } { 2 ( 1 - \beta ^ { 2 } ) } } \left( { \frac { | \mathbf { r } - { \boldsymbol { \mu } } _ { X } | ^ { 2 } } { \sigma _ { X } ^ { 2 } } } + { \frac { | \mathbf { p } - { \boldsymbol { \mu } } _ { P } | ^ { 2 } } { \sigma _ { P } ^ { 2 } } } - { \frac { 2 \beta ( \mathbf { r } - { \boldsymbol { \mu } } _ { X } ) \cdot ( \mathbf { p } - { \boldsymbol { \mu } } _ { P } ) } { \sigma _ { X } \sigma _ { P } } } \right) \right] } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { ( \otimes ^ { 2 } h _ { l } ) ( X _ { 1 } , X _ { 2 } , X _ { 3 } , X _ { 4 } ) } \\ { = } & { [ h _ { l } ^ { ( 1 ) } ( X _ { 1 } ) + h _ { l } ^ { ( 1 ) } ( X _ { 2 } ) + h _ { l } ^ { ( 2 ) } ( X _ { 1 } , X _ { 2 } ) ] [ h _ { l } ^ { ( 1 ) } ( X _ { 3 } ) + h _ { l } ^ { ( 1 ) } ( X _ { 4 } ) + h _ { l } ^ { ( 2 ) } ( X _ { 3 } , X _ { 4 } ) ] } \\ { = } & { ( \otimes ^ { 2 } h _ { l } ^ { ( 1 ) } ) ( X _ { 1 } , X _ { 3 } ) + ( \otimes ^ { 2 } h _ { l } ^ { ( 1 ) } ) ( X _ { 1 } , X _ { 4 } ) + ( \otimes ^ { 2 } h _ { l } ^ { ( 1 ) } ) ( X _ { 2 } , X _ { 3 } ) + ( \otimes ^ { 2 } h _ { l } ^ { ( 1 ) } ) ( X _ { 2 } , X _ { 4 } ) } \\ & { + ( h _ { l } ^ { ( 1 ) } \otimes h _ { l } ^ { ( 2 ) } ) ( X _ { 1 } , X _ { 3 } , X _ { 4 } ) + ( h _ { l } ^ { ( 1 ) } \otimes h _ { l } ^ { ( 2 ) } ) ( X _ { 2 } , X _ { 3 } , X _ { 4 } ) } \\ & { + ( h _ { l } ^ { ( 1 ) } \otimes h _ { l } ^ { ( 2 ) } ) ( X _ { 3 } , X _ { 1 } , X _ { 2 } ) + ( h _ { l } ^ { ( 1 ) } \otimes h _ { l } ^ { ( 2 ) } ) ( X _ { 4 } , X _ { 1 } , X _ { 2 } ) } \\ & { + ( \otimes ^ { 2 } h _ { l } ^ { ( 2 ) } ) ( X _ { 1 } , X _ { 2 } , X _ { 3 } , X _ { 4 } ) . } \end{array}
M ^ { \mathrm { g r a v } } = M ^ { \mathrm { g a u g e } } = | ( t ^ { I } ) _ { \mathrm { c r } } V _ { I } | = | Z _ { \mathrm { c r } } ( V _ { I } , C _ { I J K } ) | \qquad \mathrm { a t } \qquad Z _ { , i } = 0 .
{ \begin{array} { r l } { \int _ { \mathbb { R } } \phi ^ { \prime } ( x ) f ( x ) \, d x } & { = \int _ { a } ^ { b } \phi ^ { \prime } ( x ) f ( x ) \, d x } \\ & { = \phi ( x ) f ( x ) { \big \vert } _ { a } ^ { b } - \int _ { a } ^ { b } f ^ { \prime } ( x ) \phi ( x ) \, d x } \\ & { = \phi ( b ) f ( b ) - \phi ( a ) f ( a ) - \int _ { a } ^ { b } f ^ { \prime } ( x ) \phi ( x ) \, d x } \\ & { = - \int _ { a } ^ { b } f ^ { \prime } ( x ) \phi ( x ) \, d x } \end{array} }
\mathit { f } _ { \mathrm { { C D } } } = \frac { \int { \mathrm { C D } } _ { \mathrm { { t o t } } } ( { \bf r } ) d S } { \int { \mathrm { C D } } _ { \mathrm { { i n c } } } ( { \bf r } ) d S } = 1 + \frac { \int { \mathrm { C } } _ { \mathrm { { s c a } } } ^ { \sigma } ( { \bf r } ) d S + \int { \mathrm { C } } _ { \mathrm { { i n t } } } ^ { \sigma } ( { \bf r } ) d S } { \int { \mathrm { C } } _ { \mathrm { { i n c } } } ^ { \sigma } ( { \bf r } ) d S } ,
\lambda _ { \mathrm { e f f } } ^ { R 1 } = P _ { \mathrm { o n } } \langle \tau _ { \mathrm { r e c } } \rangle \frac { \int _ { 0 } ^ { \infty } \varphi _ { \mathrm { i n f } } ( \tau ) \Phi _ { \mathrm { r e c } } ( \tau ) \Phi _ { \mathrm { o n } } ( \tau ) d \tau } { \int _ { 0 } ^ { \infty } \Phi _ { \mathrm { i n f } } ( \tau ) \Phi _ { \mathrm { r e c } } ( \tau ) \Phi _ { \mathrm { o n } } ( \tau ) d \tau } .
\begin{array} { r l r } { T _ { L } ( x , Q ^ { 2 } ) } & { { } = } & { \left( 1 + \frac { \nu ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } } \right) T _ { 2 } ( x , Q ^ { 2 } ) - T _ { 1 } ( x , Q ^ { 2 } ) } \end{array}
\varepsilon _ { 1 } , \varepsilon _ { 2 } , \ldots , \varepsilon _ { \omega } , \varepsilon _ { \omega + 1 } , \ldots , \varepsilon _ { \varepsilon _ { 0 } } , \ldots , \varepsilon _ { \varepsilon _ { 1 } } , \ldots , \varepsilon _ { \varepsilon _ { \varepsilon _ { \cdot _ { \cdot _ { \cdot } } } } } , \ldots
D _ { t t } - D _ { t b } ( Q ^ { - 1 } ) _ { b c } D _ { c t } = g _ { t t } + \lambda ^ { 2 } D _ { t } \Phi ^ { a } ( Q ^ { - 1 } ) _ { a b } D _ { t } \Phi ^ { b } = P [ g _ { t t } + g _ { t a } ( X ^ { a b } - \delta ^ { a b } ) g _ { b t } ] \ ,
X _ { _ { - } } ( p ) X _ { _ { + } } ( p - 1 ) X _ { _ { + } } ( p - 2 ) \cdots X _ { _ { + } } ( 0 ) = 2 p X _ { _ { + } } ( p - 2 ) X _ { _ { + } } ( p - 3 ) \cdots X _ { _ { + } } ( 0 ) { \cal H } _ { _ { 1 } }
J _ { c } = - \nabla \left( \delta \left( \log { \left( \frac { n _ { c } } { \nu - n _ { c } } \right) } - \frac { m _ { c } } { m _ { a } } \frac { n _ { a } + \nu } { n _ { a } } a ^ { 2 } p - \frac { m _ { c } } { m _ { a } } \frac { \nu } { n _ { a } } \log { \left( \frac { \nu - n _ { c } } { \nu } \right) } \right) + \left( z _ { c } - \frac { m _ { c } } { m _ { a } } z _ { a } \right) \phi \right) .
\begin{array} { r l } { \bar { \mathbf { x } } _ { e ^ { \prime } E _ { 0 } | q _ { B } p _ { B } k } } & { { } = \bar { \mathbf { x } } _ { e ^ { \prime } E _ { 0 } | k } - \mathbf { C } ^ { \mathsf { T } } ( \mathbf { B } + \mathbf { I } ) ^ { - 1 } \left[ \bar { \mathbf { x } } _ { B | k } - \left( \begin{array} { l } { q _ { B } } \\ { p _ { B } } \end{array} \right) \right] , } \\ { \mathbf { V } _ { e ^ { \prime } E _ { 0 } | q _ { B } p _ { B } k } } & { { } = \mathbf { V } _ { e ^ { \prime } E _ { 0 } | k } - \mathbf { C } ^ { \mathsf { T } } ( \mathbf { B } + \mathbf { I } ) ^ { - 1 } \mathbf { C } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \bf \cal I } ( \sigma ) = } & { { } \int { \bf \cal I } ( t ) \, \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \sigma t } \, d t = \int { \bf \cal S } ( t ) \, { \bf \cal I } ^ { B } ( t ) \, { \bf \cal S } ( t ) ^ { T } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \sigma t } \, d t } \\ { = } & { { } \int \int k _ { 2 } ( t - t ^ { \prime } ) \, { \bf \cal S } ( t ) \, { \bf \cal I } _ { p } ^ { B } ( t ^ { \prime } ) \, { \bf \cal S } ( t ) ^ { T } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \sigma t } \, d t ^ { \prime } d t } \\ { = } & { { } \int \int k _ { 2 } ( \tau ) \, { \bf \cal S } ( t ^ { \prime } + \tau ) \, { \bf \cal I } _ { p } ^ { B } ( t ^ { \prime } ) \, { \bf \cal S } ( t ^ { \prime } + \tau ) ^ { T } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \sigma ( t ^ { \prime } + \tau ) } \, d t ^ { \prime } d \tau \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ } & { \ \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq n + 1 } R _ { i } } \\ & { = L \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq n + 1 } \frac { \| \hat { Z } _ { n + i } - Z _ { n + i } \| } { h ^ { q + 1 } } \cdot \left( \frac { 1 } { n h ^ { q } } \sum _ { k = 1 } ^ { n } K \left( \frac { \| X _ { k } - X _ { n + i } \| + \| \hat { Z } _ { k } - Z _ { n + i } \| } { h } \right) \right) ^ { - 1 } } \\ & { \leq L \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq n + 1 } \frac { \| \hat { Z } _ { n + i } - Z _ { n + i } \| } { h ^ { q + 1 } } \cdot \left( \operatorname* { i n f } _ { ( x , z ) \in \mathcal { R } } \frac { 1 } { n h ^ { q } } \sum _ { k = 1 } ^ { n } K \left( \frac { \| X _ { k } - x \| + \| Z _ { k } - z \| } { h } \right) - \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq n } \frac { \| \hat { Z } _ { i } - Z _ { i } \| } { h ^ { q + 1 } } \right) ^ { - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \mathbb { E } } [ \left\| \widetilde { { \mathbf { X } } } ^ { k + 1 } - { \mathbf { H } } _ { x } ^ { k + 1 } \right\| _ { F } ^ { 2 } \vert { \mathcal { F } } ^ { k } ] } \\ { \leq } & { ( 1 + \frac { 2 } { \alpha _ { x } r \delta } ) \Big ( 2 { \mathbb { E } } [ \left\| { \mathbf { X } } ^ { k + 1 } - { \mathbf { X } } ^ { k } \right\| _ { F } ^ { 2 } \vert { \mathcal { F } } ^ { k } ] } \\ & { + 2 { \mathbb { E } } [ \left\| \Lambda \right\| _ { 2 } ^ { 2 } \left\| { \mathbf { Y } } ^ { k + 1 } - { \mathbf { Y } } ^ { k } ) \right\| _ { F } ^ { 2 } \vert { \mathcal { F } } ^ { k } ] \Big ) } \\ & { + ( 1 + \frac { \alpha _ { x } r \delta } { 2 } ) ( 1 - \alpha _ { x } r \delta ) \left\| \widetilde { { \mathbf { X } } } ^ { k } - { \mathbf { H } } _ { x } ^ { k } \right\| _ { F } ^ { 2 } } \\ & { + s _ { k } ^ { 2 } \alpha _ { x } r \sigma _ { r } ^ { 2 } ( 1 + \frac { \alpha _ { x } r \delta } { 2 } ) , } \end{array}
\mathbf { x } _ { 1 } = ( \widehat { \mathbf { G } } ^ { 3 } \otimes \widehat { \mathbf { G } } ^ { 2 } \otimes \widehat { \mathbf { M } } ^ { 1 } ) ^ { - 1 } \mathbf { b } _ { 1 } = \mathrm { v e c } \left( ( \widehat { \mathbf { M } } ^ { 1 } ) ^ { - 1 } \mathbf { B } _ { 1 } ( \widehat { \mathbf { G } } ^ { 3 } \otimes \widehat { \mathbf { G } } ^ { 2 } ) ^ { - \top } \right) .
\frac { \partial E _ { k } } { \partial t } = \frac { \pi \epsilon ^ { 2 } K _ { \theta , \phi } } { 3 8 4 b _ { 0 } } k ^ { 2 + 2 x } \int _ { \Delta _ { \perp } } \sum _ { s s _ { p } s _ { q } } \delta ( s + s _ { p } \tilde { p } + s _ { q } \tilde { q } )
{ \begin{array} { r l } { { \hat { H } } } & { = - { \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 } } \sum _ { j = 1 } ^ { N } { \frac { 1 } { m _ { j } } } \nabla _ { j } ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 8 \pi \varepsilon _ { 0 } } } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \sum _ { i \neq j } { \frac { q _ { i } q _ { j } } { | \mathbf { r } _ { i } - \mathbf { r } _ { j } | } } } \\ & { = \sum _ { j = 1 } ^ { N } \left( - { \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m _ { j } } } \nabla _ { j } ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 8 \pi \varepsilon _ { 0 } } } \sum _ { i \neq j } { \frac { q _ { i } q _ { j } } { | \mathbf { r } _ { i } - \mathbf { r } _ { j } | } } \right) } \end{array} }
\psi ^ { 1 } + i \psi ^ { 2 } = \sqrt 2 C _ { 1 } e ^ { i \phi _ { 1 } ( z ) } \ , \qquad \qquad \psi ^ { 3 } + i \psi ^ { 4 } = \sqrt 2 C _ { 2 } e ^ { i \phi _ { 2 } ( z ) } \ , \nonumber
\begin{array} { r l } { A P P ( i ) } & { \propto \int _ { 0 } ^ { N } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \sigma ^ { 2 } } } e ^ { - \frac { ( y - u ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } \cdot \left[ Q \left( \frac { i - u } { \sigma } \right) - Q \left( \frac { i + 1 - u } { \sigma } \right) \right] \, d u } \\ & { \propto \left[ Q \left( \frac { i - y } { \sigma } \right) - Q \left( \frac { i + 1 - y } { \sigma } \right) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \langle \Psi _ { a } | \hat { c } _ { u \mathbf { k } } ^ { \dagger } \hat { c } _ { v \mathbf { k } } \hat { c } _ { u ^ { \prime } \mathbf { k } } ^ { \dagger } \hat { c } _ { v ^ { \prime } \mathbf { k } } | \Psi _ { a } \rangle = \delta _ { u v } \delta _ { u ^ { \prime } v ^ { \prime } } \bar { n } _ { u \mathbf { k } } \bar { n } _ { u ^ { \prime } \mathbf { k } } + \delta _ { u v ^ { \prime } } \delta _ { u ^ { \prime } v } \bar { n } _ { u \mathbf { k } } ( 1 - \bar { n } _ { u ^ { \prime } \mathbf { k } } ) = N _ { u , v , u ^ { \prime } , v ^ { \prime } , \mathbf { k } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \tilde { u } _ { i } } { \partial x _ { i } } } & { { } = 0 , } \\ { \frac { \partial \tilde { u } _ { i } } { \partial t } + \tilde { u } _ { j } \frac { \partial \tilde { u } _ { i } } { \partial x _ { j } } } & { { } = - \frac { 1 } { \rho _ { \mathrm { f } } } \frac { \partial \tilde { p } } { \partial x _ { i } } + \nu _ { \mathrm { f } } \frac { \partial ^ { 2 } \tilde { u } _ { i } } { \partial x _ { j } \partial x _ { j } } - \frac { \partial \tau _ { i j } } { \partial x _ { j } } + \tilde { s } _ { i } , } \end{array}
\frac { d } { d t } A _ { Q } = 1 2 A _ { Q } h _ { Q } ^ { 2 } + 2 A _ { s } h _ { s } ^ { 2 } - 2 \left[ \frac { 1 6 } { 3 } g _ { 3 } ^ { 2 } M _ { 3 } + 3 g _ { 2 } ^ { 2 } M _ { 2 } + \frac { 1 3 } { 1 5 } g _ { 1 } ^ { 2 } M _ { 1 } + 2 g _ { 1 ^ { ' } } ^ { 2 } ( Q _ { u } ^ { 2 } + Q _ { Q } ^ { 2 } + Q _ { 2 } ^ { 2 } ) M _ { 1 ^ { ' } } \right] ;
\begin{array} { r } { G ( \lambda ) = 1 } \\ { + \frac { A } { 6 } ( ( \frac { \lambda - \lambda _ { 0 } } { \Delta \lambda } ) ^ { 2 } ( \frac { 1 + \frac { \omega R } { c } } { 1 - \frac { \omega R } { c } } ) - 3 ( \frac { \lambda - \lambda _ { 0 } } { \Delta \lambda } ) \sqrt { ( \frac { 1 + \frac { \omega R } { c } } { 1 - \frac { \omega R } { c } } ) } ) } \\ { - \frac { C } { 2 4 } ( ( \frac { \lambda - \lambda _ { 0 } } { \Delta \lambda } ) ^ { 4 } ( \frac { 1 + \frac { \omega R } { c } } { 1 - \frac { \omega R } { c } } ) ^ { 2 } - 6 ( \frac { \lambda - \lambda _ { 0 } } { \Delta \lambda } ) ^ { 2 } ( \frac { 1 + \frac { \omega R } { c } } { 1 - \frac { \omega R } { c } } ) + 3 ) } \end{array}
\begin{array} { r } { R _ { p , s } ( z , t ) = i \gamma _ { p , s } f _ { R } A _ { p , s } \int _ { - \infty } ^ { t } d t ^ { \prime } h _ { R } ( t - t ^ { \prime } ) \left( | A _ { p , s } ( z , t ^ { \prime } ) | ^ { 2 } + | A _ { s , p } ( z , t ^ { \prime } ) | ^ { 2 } \right) + } \\ { i \gamma _ { p , s } f _ { R } A _ { s , p } \int _ { - \infty } ^ { t } d t ^ { \prime } h _ { R } ( t - t ^ { \prime } ) A _ { p , s } ( z , t ^ { \prime } ) A _ { s , p } ^ { * } ( z , t ^ { \prime } ) \exp ( \pm i \Omega ( t - t ^ { \prime } ) ) \sum _ { m = 0 } ^ { N } \exp ( i m ( \Omega \cdot \Delta \tau - 2 \phi ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial a } { \partial t } } & { { } = } & { \nabla ^ { 2 } a \left( \mathbf { x } , t \right) + a \left( \mathbf { x } , t \right) - a \left( \mathbf { x } , t \right) ^ { 3 } + \eta \left( \mathbf { x } , t \right) . } \end{array}