harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathbf { x } = } & { { } \frac { 1 } { 2 } \mathbf { x } _ { \mathrm { 1 C } } \left( \lambda _ { 1 } - \lambda _ { 2 } \right) + \mathbf { x } _ { \mathrm { 2 C } } \left( \lambda _ { 2 } - \lambda _ { 3 } \right) + \mathbf { x } _ { \mathrm { 3 C } } \left( \frac { 3 } { 2 } \lambda _ { 3 } + 1 \right) } \\ { \mathbf { x } = } & { { } \mathbf { Q } \boldsymbol { \lambda } \quad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \ \lambda _ { 1 } \geq \lambda _ { 2 } \geq \lambda _ { 3 } \ \mathrm { ~ , ~ } } \end{array}
< p | J _ { \mu } ^ { ( \beta ) A } | n > = \overline { { \psi } } _ { p } \left[ g _ { 1 } ( k ^ { 2 } ) \gamma _ { \mu } \gamma _ { 5 } + g _ { 2 } ( k ^ { 2 } ) i \sigma _ { \mu \nu } k ^ { \nu } \gamma _ { 5 } + g _ { 3 } ( k ^ { 2 } ) i \gamma _ { 5 } k _ { \mu } \right] \psi _ { n } .
\begin{array} { r } { \mathrm { c p c } ( x , y ) = \frac { 2 \sum _ { i j } \operatorname* { m i n } ( x _ { i j } , y _ { i j } ) } { \sum _ { i j } x _ { i j } + \sum _ { i j } y _ { i j } } \ , } \end{array}
\begin{array} { r } { \langle S _ { + } \rangle _ { + \omega } = \frac { \gamma _ { \mathrm { R b } } } { \Gamma _ { \mathrm { R b } } } \langle S _ { z } \rangle b ^ { + } e ^ { + i \omega t } \sum _ { p = - \infty } ^ { \infty } \mathcal { A } _ { p } ^ { + } ( \eta , \Omega _ { 0 } , \omega _ { 0 } , \omega ) e ^ { i p ( \omega _ { 0 } t + \theta _ { \mathrm { a c } } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { V _ { \mathrm { c e l l } } } & { = } & { \frac { \tilde { \xi } ^ { 1 / 2 } } { ( 1 - \frac { \beta } { 2 } ) \left[ 1 + \frac { \tilde { \xi } ^ { 1 / 2 } } { 2 } \frac { \cosh ( \tilde { \xi } ^ { 1 / 2 } L _ { 0 } ) + 1 } { \sinh ( \tilde { \xi } ^ { 1 / 2 } L _ { 0 } ) } N \right] } \left\{ \left[ \frac { 1 } { 2 } \frac { \cosh ( \tilde { \xi } ^ { 1 / 2 } L _ { 0 } ) + 1 } { \sinh ( \tilde { \xi } ^ { 1 / 2 } L _ { 0 } ) } v _ { p } \right] \Delta N - \left[ \tilde { \chi } \frac { \cosh ( \tilde { \xi } ^ { 1 / 2 } L _ { 0 } / 2 ) } { \sinh ( \tilde { \xi } ^ { 1 / 2 } L _ { 0 } ) } \right] y _ { c } \right\} } \\ & { \equiv } & { \frac { 1 } { 1 - \beta / 2 } ( \lambda _ { \nu _ { 1 } v _ { p } } \Delta N - \tilde { \chi } \lambda _ { \nu _ { 2 } } y _ { c } ) . } \end{array}
- \int _ { s } ^ { t } \frac { d x } { \theta ( x ) } = \frac { \tau } { \theta _ { + } } \left( \frac { s - t } { \tau } + \alpha \ln \left( \frac { \rho e ^ { - s / \tau } + 1 } { \rho e ^ { - t / \tau } + 1 } \right) + \frac { \beta ( e ^ { - s / \tau } - e ^ { - t / \tau } ) } { ( \rho e ^ { - s / \tau } + 1 ) ( \rho e ^ { - t / \tau } + 1 ) } \right) ,
\begin{array} { r l r l } { { 1 0 0 } } & { { } u ( \theta , \phi ) } & { } & { { } = \sum _ { l \in \mathbb { N } } \sum _ { | m | \leq l } \hat { u } ( l , m ) Y _ { l } ^ { m } ( \theta , \phi ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left[ \prod _ { i = 1 } ^ { l ( \lambda ) } ( D _ { i } ) ^ { \lambda _ { i } } \right] \prod _ { t = 1 } ^ { M } } & { \exp ( \sum _ { n = 2 } ^ { 2 k } c _ { F } ^ { ( n ) } ( z _ { j } ^ { n } ) ) \Bigr | _ { z _ { 1 } = . . . z _ { M } = 0 } } \\ & { = \prod _ { i = 1 } ^ { l ( \lambda ) } \Bigg ( ( D _ { i } ) ^ { \lambda _ { i } - 1 } \partial _ { i } \Big [ \prod _ { t = 1 } ^ { M } \exp ( \sum _ { n = 2 } ^ { 2 k } c _ { F } ^ { ( n ) } ( z _ { t } ^ { n } ) \Big ] \Bigr | _ { z _ { i } = 0 } \Bigg ) . } \end{array}
l n d e t = - \frac { e \Phi } { 4 \pi } \ln \left( \frac { e \Phi } { 2 \pi } \right) + \frac { e \Phi } { 4 \pi } \ln ( m a ) ^ { 2 } + O ( e \Phi , ( m a ) ^ { 2 } e \Phi \ln ( e \Phi ) ) .
W _ { \alpha } = W _ { \alpha \bar { J } } z ^ { \bar { J } } + W _ { \alpha \bar { J } \bar { K } } z ^ { \bar { J } } z ^ { \bar { K } } + W _ { \alpha \bar { J } K \bar { L } } z ^ { \bar { J } } z ^ { K } z ^ { \bar { L } } + \dots
\mathcal { A } _ { t h } ( 0 , \infty ) = \mathcal { N } = \mathcal { A } _ { 0 } ( 1 , \infty ) , \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \mathcal { A } _ { t h } ( - \infty , 0 ) = \mathcal { N } ^ { \prime } \cap \mathcal { M = A } _ { 0 } ( 0 , 1 )
{ \cal H } = \frac { 1 } { 2 } \pi _ { \varphi } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \left( \partial _ { 1 } \varphi \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \mu ^ { 2 } \varphi ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \phi } { \mu } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { \phi } { \mu } \right) ( \partial _ { 1 } \varphi ) \ ,
Q = \left( \begin{array} { c c c c c c } { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { - 1 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { - 1 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { - 1 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } & { ~ \pi ^ { ( 0 ) } - \frac { 2 \mathrm { e } ^ { \tau } } { k + 2 \mathrm { e } ^ { \tau } } \pi ^ { ( 1 ) } - \frac { k } { k + 2 \mathrm { e } ^ { \tau } } \pi ^ { ( 2 ) } > 0 } \\ { \Leftrightarrow } & { \left( \frac { r } { ( k + 1 ) G } - 1 \right) s ^ { ( 0 ) } + \frac { 2 k } { ( k + 1 ) G } r s ^ { ( 1 ) } + \frac { k ^ { 2 } } { ( k + 1 ) G } r s ^ { ( 2 ) } } \\ & { - \frac { 2 \mathrm { e } ^ { \tau } } { k + 2 \mathrm { e } ^ { \tau } } \left( \left( \frac { r } { ( k + 1 ) G } - 1 \right) s ^ { ( 1 ) } + \frac { 2 k } { ( k + 1 ) G } r s ^ { ( 2 ) } + \frac { k ^ { 2 } } { ( k + 1 ) G } r s ^ { ( 3 ) } \right) } \\ & { - \frac { k } { k + 2 \mathrm { e } ^ { \tau } } \left( \left( \frac { r } { ( k + 1 ) G } - 1 \right) s ^ { ( 2 ) } + \frac { 2 k } { ( k + 1 ) G } r s ^ { ( 3 ) } + \frac { k ^ { 2 } } { ( k + 1 ) G } r s ^ { ( 4 ) } \right) > 0 } \\ { \Leftrightarrow } & { \left( \frac { r } { ( k + 1 ) G } - 1 \right) \left( s ^ { ( 0 ) } - \frac { 2 \mathrm { e } ^ { \tau } } { k + 2 \mathrm { e } ^ { \tau } } s ^ { ( 1 ) } - \frac { k } { k + 2 \mathrm { e } ^ { \tau } } s ^ { ( 2 ) } \right) } \\ & { + \frac { 2 k } { ( k + 1 ) G } r \left( s ^ { ( 1 ) } - \frac { 2 \mathrm { e } ^ { \tau } } { k + 2 \mathrm { e } ^ { \tau } } s ^ { ( 2 ) } - \frac { k } { k + 2 \mathrm { e } ^ { \tau } } s ^ { ( 3 ) } \right) } \\ & { + \frac { k ^ { 2 } } { ( k + 1 ) G } r \left( s ^ { ( 2 ) } - \frac { 2 \mathrm { e } ^ { \tau } } { k + 2 \mathrm { e } ^ { \tau } } s ^ { ( 3 ) } - \frac { k } { k + 2 \mathrm { e } ^ { \tau } } s ^ { ( 4 ) } \right) > 0 } \\ { \Leftrightarrow } & { \left( \frac { r } { ( k + 1 ) G } - 1 \right) \left( N p ^ { ( 0 ) } + \frac { k } { k + 2 \mathrm { e } ^ { \tau } } N p ^ { ( 1 ) } - \frac { 2 k + 2 \mathrm { e } ^ { \tau } } { k + 2 \mathrm { e } ^ { \tau } } \right) } \\ & { + \frac { 2 k } { ( k + 1 ) G } r \left( N p ^ { ( 1 ) } + \frac { k } { k + 2 \mathrm { e } ^ { \tau } } N p ^ { ( 2 ) } - \frac { 2 k + 2 \mathrm { e } ^ { \tau } } { k + 2 \mathrm { e } ^ { \tau } } \right) } \\ & { + \frac { k ^ { 2 } } { ( k + 1 ) G } r \left( N p ^ { ( 2 ) } + \frac { k } { k + 2 \mathrm { e } ^ { \tau } } N p ^ { ( 3 ) } - \frac { 2 k + 2 \mathrm { e } ^ { \tau } } { k + 2 \mathrm { e } ^ { \tau } } \right) > 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { T _ { C P } = \left[ \begin{array} { c c } { t _ { + + } } & { t _ { + - } } \\ { t _ { - + } } & { t _ { -- } } \end{array} \right] = \frac { 1 } { 2 } \! \left[ \begin{array} { c c } { ( t _ { x x } + t _ { y y } ) + i ( t _ { x y } - t _ { y x } ) } & { ( t _ { x x } - t _ { y y } ) - i ( t _ { x y } + t _ { y x } ) } \\ { ( t _ { x x } - t _ { y y } ) + i ( t _ { x y } + t _ { y x } ) } & { ( t _ { x x } + t _ { y y } ) - i ( t _ { x y } - t _ { y x } ) } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { | 2 a _ { 3 } ( \delta ) x _ { 0 } + \cdots + ( N - 2 ) a _ { N - 1 } ( \delta ) x _ { 0 } ^ { N - 3 } | } \\ & { \leq } & { M \sin \delta [ 2 x _ { 0 } + \cdots + ( N - 2 ) x _ { 0 } ^ { N - 3 } ] } \\ & { \leq } & { c \frac { 1 } { 4 } b \tan ( \theta _ { 0 } ) \sin \delta \leq - c a _ { 2 } ( \delta ) . } \end{array}
\lVert \tilde { u } _ { n } \rVert _ { L ^ { \infty } ( 0 , T ; W ^ { 1 , q } ( \Omega ^ { * } ) ) } \leq C _ { 9 } ( \varphi _ { 0 } , g _ { 0 } , T , q ) , \ \forall q \in [ 1 , + \infty )
\begin{array} { c c } { P ( - \frac { 1 } { 2 } , - \frac { 1 } { 2 } | 8 , \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 2 } , \frac { \pi } { 2 } , 0 ) = \frac { 5 1 7 4 4 0 0 0 } { 5 1 7 4 4 0 0 0 + 5 1 7 4 4 0 0 0 + 5 1 7 4 4 0 0 0 + 5 1 7 4 4 0 0 0 } = 0 . 2 5 } \\ { P ( - \frac { 1 } { 2 } , + \frac { 1 } { 2 } | 8 , \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 2 } , \frac { \pi } { 2 } , 0 ) = \frac { 5 1 7 4 4 0 0 0 } { 5 1 7 4 4 0 0 0 + 5 1 7 4 4 0 0 0 + 5 1 7 4 4 0 0 0 + 5 1 7 4 4 0 0 0 } = 0 . 2 5 } \\ { P ( + \frac { 1 } { 2 } , - \frac { 1 } { 2 } | 8 , \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 2 } , \frac { \pi } { 2 } , 0 ) = \frac { 5 1 7 4 4 0 0 0 } { 5 1 7 4 4 0 0 0 + 5 1 7 4 4 0 0 0 + 5 1 7 4 4 0 0 0 + 5 1 7 4 4 0 0 0 } = 0 . 2 5 } \\ { P ( + \frac { 1 } { 2 } , + \frac { 1 } { 2 } | 8 , \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 2 } , \frac { \pi } { 2 } , 0 ) = \frac { 5 1 7 4 4 0 0 0 } { 5 1 7 4 4 0 0 0 + 5 1 7 4 4 0 0 0 + 5 1 7 4 4 0 0 0 + 5 1 7 4 4 0 0 0 } = 0 . 2 5 } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 = \{ F , C \} } & { { } = - \int _ { \Omega } \frac { \delta F } { \delta \omega } \nabla \cdot \left( q \nabla ^ { \perp } \frac { \delta C } { \delta \omega } - q \nabla \frac { \delta C } { \delta D } + r \nabla ^ { \perp } \frac { \delta C } { \delta b } \right) } \end{array}
\left[ \frac { \alpha _ { s } ( M ) } { \alpha _ { s } ( m _ { b } ) } \right] ^ { 1 2 / 2 3 } \left[ \frac { \alpha _ { s } ( M ) } { \alpha _ { s } ( m ) } \right] ^ { 2 / 2 3 } \, = \, 0 . 5 7 .
\int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { ~ d ~ } x ^ { \prime } K ( x - x ^ { \prime } ) ( \ensuremath { \boldsymbol { \nabla } } _ { | | } ^ { \prime } \times \ensuremath { \boldsymbol { \nabla } } _ { | | } ^ { \prime } \times - k _ { 0 } ^ { 2 } ) \ensuremath { \boldsymbol { H } } _ { | | } ( x ^ { \prime } ) + k _ { 0 } \chi ( x ) \ensuremath { \boldsymbol { H } } _ { | | } = 0
\textbf { E } _ { h } \textbf { 1 } = ( \mathbf { D } _ { \pi _ { 0 } } \mathbf { P } ^ { h } ) \textbf { 1 } = \mathbf { D } _ { \pi _ { 0 } } ( \mathbf { P } ^ { h } \textbf { 1 } ) = \mathbf { D } _ { \pi _ { 0 } } \textbf { 1 } = \pi _ { 0 }
H _ { n } = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left[ \frac { \textbf { P } _ { i } ^ { 2 } } { 2 M } + \frac { M \omega _ { n } ^ { 2 } } { 2 } ( \textbf { R } _ { i } - \textbf { R } _ { i - 1 } ) ^ { 2 } + V _ { \alpha } ( \textbf { R } _ { i } ) \right] .
\begin{array} { r l } { \iota ^ { ( n + 1 ) } ( c _ { s , i } ) } & { { } = \iota ^ { ( n ) } ( c _ { s , i } ) - \tau ^ { ( n ) } \nabla \mathcal { J } _ { 2 } ( \iota ^ { ( n ) } ( c _ { s , i } ) ) , } \\ { \iota ^ { ( 0 ) } ( c _ { s , i } ) } & { { } = \iota _ { 0 } ( c _ { s , i } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { I n c . ~ 0 ~ - ~ 4 : } \quad } & { \Bar { \alpha } _ { 4 } = \Bar { \alpha } _ { 3 } = \alpha _ { 2 } = \Bar { \alpha } _ { 1 } + | \alpha _ { 2 } - \alpha _ { 1 } | = \alpha _ { 2 } } \\ { \mathrm { I n c . ~ 4 ~ - ~ 8 : } \quad } & { \Bar { \alpha } _ { 8 } = \Bar { \alpha } _ { 7 } = \Bar { \alpha } _ { 6 } = \Bar { \alpha } _ { 5 } + | \alpha _ { 6 } - \alpha _ { 5 } | = \underbrace { \alpha _ { 2 } + \alpha _ { 6 } } _ { \alpha _ { \mathrm { m a x } } + \alpha _ { \mathrm { m i n } } } } \end{array}
P _ { S } = \int \mathrm { d } \tau _ { 1 } \int \mathrm { d } \tau _ { 2 } \left[ \Gamma ^ { \mathrm { c d } } ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) + \Gamma ^ { \mathrm { d c } } ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) \right]
\begin{array} { r } { \rho c \partial _ { t } T - \nabla \cdot ( \lambda \nabla T ) = \gamma _ { 1 } \partial _ { t } ( \nabla \cdot \mathbf u ) + \gamma _ { 2 } ( \partial _ { t } \boldsymbol \varphi ) ^ { 2 } , } \end{array}
P _ { I } ^ { \prime } = \sum _ { i \in \Psi _ { R } } \; \sum _ { \substack { j \in \mathcal { B } _ { i } \, j \neq j ^ { * } } } \; \frac { \sum _ { k = 1 } ^ { M } \big | h _ { i j k } \big | ^ { 2 } \big | h _ { i j ^ { * } k } | ^ { 2 } r _ { i j } ^ { - \alpha } } { \sum _ { i ^ { \prime } \in \mathcal { C } _ { j } } \sum _ { k = 1 } ^ { M } \big | h _ { i ^ { \prime } j k } \big | ^ { 2 } r _ { i ^ { \prime } j } ^ { - \alpha } } \; r _ { i j ^ { * } } ^ { - \alpha }
{ \begin{array} { r l } { g _ { \mu \nu } } & { = \eta _ { \mu \nu } + f k _ { \mu } k _ { \nu } } \\ { f } & { = { \frac { G } { r ^ { 2 } } } \left[ 2 M r - Q ^ { 2 } \right] } \\ { \mathbf { k } } & { = ( k _ { x } , k _ { y } , k _ { z } ) = \left( { \frac { x } { r } } , { \frac { y } { r } } , { \frac { z } { r } } \right) } \\ { k _ { 0 } } & { = 1 . } \end{array} }
\mathcal { L } \supset y _ { \mu } \bar { \mu } _ { L } \mu _ { R } H _ { d } - \frac { m _ { \mu } ^ { L E } } { v _ { d } ^ { 3 } } \bar { \mu } _ { L } \mu _ { R } H _ { d } ( H _ { d } ^ { \dagger } H _ { d } ) .
\left[ \begin{array} { l l } { \frac { \mu } { 2 } + \frac { \Sigma \Delta x } { 2 } } & { \mu ( \frac { 1 } { 2 } - e ^ { - i \omega } ) } \\ { \mu ( e ^ { i \omega } - \frac { 1 } { 2 } ) } & { - \frac { \mu } { 2 } + \frac { \Sigma \Delta x } { 2 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { c } \\ { d } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { \frac { \Delta x } { 2 } \frac { 1 } { x \Delta t } } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { \Delta x } { 2 } \frac { 1 } { x \Delta t } } \end{array} \right] ( 1 - \theta ) \left[ \begin{array} { l } { a } \\ { b } \end{array} \right]
\operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq k _ { \theta , n } } \left\{ \operatorname* { s u p } _ { \beta _ { ( i ) } \in \mathcal { B } _ { n , ( i ) } } \left\vert \widehat { \mathfrak { H } } _ { ( i ) } ^ { - 1 } ( \beta _ { ( i ) } ) - \mathfrak { H } _ { ( i ) } ^ { - 1 } ( \beta _ { ( i ) } ) \right\vert \right\} = O _ { p } \left( \frac { k _ { \theta , n } \ln \left( k _ { \theta , n } \right) \ln ( n ) } { \sqrt { n } } \right) .
\rho _ { d i s c r e t e } = \frac { \sum _ { i } X _ { i i } - \sum _ { i } a _ { i } b _ { i } } { 1 - \sum _ { i } a _ { i } b _ { i } } = \frac { \operatorname { T r } X - \left\| X ^ { 2 } \right\| } { 1 - \left\| X ^ { 2 } \right\| } ,
- \Delta { \cal L } ~ = ~ m _ { 1 } ^ { 2 } \tilde { e } _ { R } ^ { + \prime } \tilde { e } _ { R } ^ { \prime } ~ + ~ m _ { 2 } ^ { 2 } \tilde { \mu } _ { R } ^ { + \prime } \tilde { \mu } _ { R } ^ { \prime } ~ + ~ m _ { 1 2 } ^ { 2 } ( \tilde { e } _ { R } ^ { + \prime } \tilde { \mu } _ { R } ^ { \prime } ~ + ~ \tilde { \mu } _ { R } ^ { + \prime } \tilde { e } _ { R } ^ { \prime } ) .
\begin{array} { r l r } { \beta _ { c i r c } ^ { t w } } & { = } & { \beta P _ { 2 } ( \cos \theta _ { c } ) , } \\ { \gamma _ { c i r c } ^ { t w } } & { = } & { \gamma P _ { 3 } ( \cos \theta _ { c } ) , } \\ { \delta _ { c i r c } ^ { t w } } & { = } & { \left( \delta + \frac { \gamma } { 5 } \right) P _ { 1 } ( \cos \theta _ { c } ) - \frac { \gamma } { 5 } P _ { 3 } ( \cos \theta _ { c } ) , } \end{array}
\hat { G } _ { e } = J ^ { - 1 } \left\{ \begin{array} { c } { \overline { { \rho } } W } \\ { \overline { { \rho } } \tilde { u } W + \overline { { p } } \zeta _ { x } } \\ { \overline { { \rho } } \tilde { v } W + \overline { { p } } \zeta _ { y } } \\ { \overline { { \rho } } \tilde { w } W + \overline { { p } } \zeta _ { z } } \\ { \left( \check { e } + \overline { { p } } \right) W - \overline { { p } } \zeta _ { t } } \end{array} \right\} \, \mathrm { , }
\pi = { \sqrt { 1 2 } } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( - 3 ) ^ { - k } } { 2 k + 1 } } = { \sqrt { 1 2 } } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( - { \frac { 1 } { 3 } } ) ^ { k } } { 2 k + 1 } } = { \sqrt { 1 2 } } \left( { \frac { 1 } { 1 \cdot 3 ^ { 0 } } } - { \frac { 1 } { 3 \cdot 3 ^ { 1 } } } + { \frac { 1 } { 5 \cdot 3 ^ { 2 } } } - { \frac { 1 } { 7 \cdot 3 ^ { 3 } } } + \cdots \right)
H ( \xi ) \equiv \frac { 3 } { 2 \pi } \left[ \xi \left( \frac { 2 } { 3 } \xi ^ { 2 } - 1 \right) \ln \frac { m _ { \alpha } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } - \frac { 4 } { 3 } \left( \xi ^ { 2 } - 1 \right) ^ { 2 } F ( - \xi ) \right] .
\small \begin{array} { r l } { T _ { 4 } } & { { } = - { \cal T } _ { 0 } \sum _ { k = - \infty } ^ { + \infty } \Bigg \{ \frac { 3 } { 4 } \, b ( - k n ) \, x y \, X _ { k } ^ { - 3 , 0 } \left( X _ { k } ^ { - 3 , - 2 } - X _ { k } ^ { - 3 , 2 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \pmb { \mathcal { E } } ( ( t - t _ { 0 } ) \Omega ) = ~ } & { \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \beta \omega _ { 0 } ( t - t _ { 0 } ) } \left[ \begin{array} { c c } { \cos \big ( ( t - t _ { 0 } ) \Omega \big ) } & { \frac { \Omega } { g } \sin \big ( ( t - t _ { 0 } ) \Omega \big ) } \\ { - \frac { g } { \Omega } \sin \big ( ( t - t _ { 0 } ) \Omega \big ) } & { \cos \big ( ( t - t _ { 0 } ) \Omega \big ) } \end{array} \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { H _ { r } \; \; } & { = } & { \frac { \epsilon _ { 0 } } { 2 } \int d ^ { 3 } r \left[ \mathrm { \bf ~ E } _ { T } ^ { 2 } ( \mathrm { \bf ~ r } ) + c ^ { 2 } ( \nabla \times \mathrm { \bf ~ A } _ { T } ( \mathrm { \bf ~ r } ) ) ^ { 2 } \right] } \\ { V _ { \mathrm { C o u l } } } & { = } & { \frac { 1 } { 8 \pi \epsilon _ { 0 } } \sum _ { a \ne b } ^ { N } \frac { q _ { a } q _ { b } } { | \mathrm { \bf ~ r } _ { a } - \mathrm { \bf ~ r } _ { b } | } } \end{array}
\mathbf M _ { 2 } = \left( \begin{array} { c c } { Z _ { S } m _ { 2 3 } - m _ { 1 3 } } & { Z _ { S } m _ { 2 4 } - m _ { 1 4 } } \\ { Z _ { S } m _ { 4 3 } - m _ { 3 3 } } & { Z _ { S } m _ { 4 4 } - m _ { 3 4 } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { \Delta t = \beta \operatorname* { m i n } } & { { } \left[ \left( c _ { \mathrm { s } } + v _ { \mathrm { p } } \right) \operatorname* { m a x } ( \xi , \eta ) + \xi | v _ { \mathrm { K } } - v _ { \mathrm { f r a m e } } | \right. } \end{array}
{ \mathcal { M } } = { \sqrt { 2 \omega _ { p } } } \ \left\langle \beta \ \mathrm { o u t } { \bigg | } \mathrm { T } \left[ \varphi ( y _ { 1 } ) \ldots \varphi ( y _ { n } ) \right] a _ { \mathrm { i n } } ^ { \dagger } ( \mathbf { p } ) { \bigg | } \alpha ^ { \prime } \ \mathrm { i n } \right\rangle
\begin{array} { r l } { a } & { { } = { \frac { 2 7 R ^ { 2 } T _ { \mathrm { c } } ^ { 2 } } { 6 4 p _ { \mathrm { c } } } } } \\ { b } & { { } = { \frac { R T _ { \mathrm { c } } } { 8 p _ { \mathrm { c } } } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \widetilde { \psi } _ { 2 } ( k , t ) = - i \gamma \int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime } e ^ { - \frac { 1 } { 2 } i k ^ { 2 } ( t - t ^ { \prime } ) } e ^ { - i \omega t ^ { \prime } } \widetilde { \psi } _ { 1 } ( k , t ^ { \prime } ) \; , } \end{array}
\frac { d ^ { 6 } \sigma ^ { l + N \rightarrow l ^ { \prime } + h + X } } { d x d y d \phi _ { l a b } ^ { l } d z d P _ { T } ^ { h 2 } d \phi _ { l } ^ { h } } = \sum _ { q } \frac { \alpha ^ { 2 } e _ { q } ^ { 2 } } { 2 Q ^ { 2 } y } \biggl ( C _ { U P } + C _ { D P } + C _ { S P } \biggr ) ,
\begin{array} { r l } { \frac { H \Delta t } { \hbar } \xi ^ { n } e ^ { \displaystyle i k j \Delta x } } & { = \frac { \Delta t } { \hbar } \left[ - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m ( \Delta x ) ^ { 2 } } \displaystyle \sum _ { \ell = - r } ^ { r } c _ { \ell } ^ { ( r ) } e ^ { i k \ell \Delta x } + V _ { j } \right] \xi ^ { n } e ^ { \displaystyle i k j \Delta x } } \\ & { = \frac { \Delta t } { \hbar } \left[ - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m ( \Delta x ) ^ { 2 } } \displaystyle \sum _ { \ell = 1 } ^ { r } c _ { \ell } ^ { ( r ) } ( e ^ { i k \ell \Delta x } + e ^ { - i k \ell \Delta x } - 2 ) + V _ { j } \right] \xi ^ { n } e ^ { \displaystyle i k j \Delta x } } \\ & { = \frac { \Delta t } { \hbar } \left[ - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m ( \Delta x ) ^ { 2 } } \displaystyle \sum _ { \ell = 1 } ^ { r } c _ { \ell } ^ { ( r ) } ( 2 \cos { ( k \ell \Delta x ) } - 2 ) + V _ { j } \right] \xi ^ { n } e ^ { \displaystyle i k j \Delta x } } \\ & { = \frac { \Delta t } { \hbar } \left[ \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m ( \Delta x ) ^ { 2 } } \displaystyle \sum _ { \ell = 1 } ^ { r } c _ { \ell } ^ { ( r ) } \sin ^ { 2 } \left( \frac { k \ell \Delta x } { 2 } \right) + V _ { j } \right] \xi ^ { n } e ^ { \displaystyle i k j \Delta x } } \\ & { \equiv b \xi ^ { n } e ^ { \displaystyle i k j \Delta x } , } \end{array}
\left[ \begin{array} { c c c c c c c } { C ^ { j + 1 } } \\ { E ^ { j + 1 } } \\ { \kappa ^ { j + 1 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c c c c c c c } { C ^ { j } } \\ { E ^ { j } } \\ { \kappa ^ { j } } \end{array} \right] - \textbf { J } ^ { - 1 } \left[ \begin{array} { c c c c c c c } { \mathcal { F } _ { 1 } ( C ^ { j } , E ^ { j } , \kappa ^ { j } ) } \\ { \mathcal { F } _ { 2 } ( C ^ { j } , E ^ { j } , \kappa ^ { j } ) } \\ { \mathcal { F } _ { 3 } ( C ^ { j } , E ^ { j } , \kappa ^ { j } ) } \end{array} \right] .
R = R _ { 0 } \left( 1 + \varepsilon \cos \left( \vartheta + \arcsin ( \delta ) \sin ( \vartheta ) \right) \right) \, , \quad Z = R _ { 0 } \varepsilon \kappa \sin ( \vartheta ) \, , \quad \vartheta \in [ 0 , 2 \pi ] ,
\operatorname* { l i m } _ { c _ { 2 } \to + \infty } \Big ( \frac { e ^ { \mu _ { + } ( \lambda ) c _ { 2 } } \tilde { \mathcal { Y } } ^ { + } ( c _ { 2 } ; \lambda ) } { | e ^ { \mu _ { + } ( \lambda ) c _ { 2 } } \tilde { \mathcal { Y } } ^ { + } ( c _ { 2 } ; \lambda ) | } - \frac { \tilde { \mathcal { V } } ^ { + } ( \lambda ) } { | \tilde { \mathcal { V } } ^ { + } ( \lambda ) | } \Big ) = 0 ,
{ \boldsymbol { \Delta } } _ { 3 , 1 , N S } ^ { * } = { \boldsymbol { \Delta } } _ { 3 , 1 } ^ { * ( 1 ) } = \int _ { - \infty } ^ { \infty } { \frac { 1 } { 2 } { f ^ { ( 1 ) } } { { \bf { v } } ^ { * } } \cdot { { \bf { v } } ^ { * } } { { \bf { v } } ^ { * } } d { \bf { v } } } = - \kappa \nabla T ,
\hat { H } = - t \sum _ { \langle i , j \rangle , \sigma } \left( \hat { c } _ { i \sigma } ^ { \dagger } \hat { c } _ { j \sigma } + \hat { c } _ { j \sigma } ^ { \dagger } \hat { c } _ { i \sigma } \right) + U \sum _ { i } \hat { n } _ { i { \uparrow } } \hat { n } _ { i { \downarrow } } ,
\nabla _ { x } ^ { 2 } a \left( x _ { i } \right) \rightarrow \frac { 1 } { \Delta x ^ { 2 } } \left[ a \left( x _ { i + 1 } \right) - 2 a \left( x _ { i } \right) + a \left( x _ { i - 1 } \right) \right] .
\begin{array} { r l } { { \mathbb P } \Big ( \operatorname* { s u p } _ { t \in [ s , T ] } { { \bf 1 } } _ { \Gamma } \| u ( t ) \| _ { L ^ { 3 } } ^ { 3 } \geq \gamma \Big ) } & { \leq \psi ( \gamma ) ( 1 + { \mathbb E } { { \bf 1 } } _ { \Gamma } \| u ( s ) \| _ { L ^ { 6 } } ^ { 6 } ) , } \\ { { \mathbb P } \Big ( \operatorname* { m a x } _ { i \in \{ 1 , 2 \} } { { \bf 1 } } _ { \Gamma } \int _ { s } ^ { T } \int _ { \mathbb { T } ^ { d } } | u _ { i } | | \nabla u _ { i } | ^ { 2 } \, d x d s \geq \gamma \Big ) } & { \leq \psi ( \gamma ) ( 1 + { \mathbb E } { { \bf 1 } } _ { \Gamma } \| u ( s ) \| _ { L ^ { 6 } } ^ { 6 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \mathcal { R } ^ { \prime } } & { { } = U ^ { \dagger } \mathcal { R } = \left( \begin{array} { l } { \sqrt { z + h } \dag 0 \dag 0 } \end{array} \right) \simeq \left( \begin{array} { l } { 1 \dag 0 \dag 0 } \end{array} \right) \dag \Lambda ^ { \prime } } & { = U ^ { \dagger } \Lambda U = \frac { - l } { \sqrt { z + h } } \left( \begin{array} { l l l l l l l } { 0 } & { 0 } & { \sqrt { h } \dag 0 } & { 0 } & { \sqrt { z } \dag \sqrt { h } } & { \sqrt { z } } & { 0 } \end{array} \right) \dag } & { { } \simeq - l \left( \begin{array} { l l l l l l l } { 0 } & { 0 } & { \sqrt { h } \dag 0 } & { 0 } & { \sqrt { z } \dag \sqrt { h } } & { \sqrt { z } } & { 0 } \end{array} \right) \dag , , } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { i j } ^ { \sigma } [ { \bf n } ] } & { { } = \int \phi _ { i } ( { \bf r } ) \left( - \frac { \nabla ^ { 2 } } { 2 } + V _ { \mathrm { H } } [ n ] ( { \bf r } ) \right) \phi _ { j } ( { \bf r } ) d { \bf r } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \psi } { \partial t } } & { { } = - ( 1 + i \zeta _ { 0 } ) \psi + \frac { i } { 2 } \partial _ { \theta } ^ { 2 } \psi + i | \psi | ^ { 2 } \psi + f } \end{array}
h _ { v } ^ { ( p ) } = \biggl [ 1 + \frac { 1 } { 2 m _ { Q } } Q ^ { ( 1 ) } ( v , i D ) + \frac { 1 } { ( 2 m _ { Q } ) ^ { 2 } } Q ^ { ( 2 ) } ( v , i D ) + \frac { 1 } { ( 2 m _ { Q } ) ^ { 3 } } Q ^ { ( 3 ) } ( v , i D ) \biggr ] h _ { v }