harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
i \int \langle 0 | j _ { \alpha } ^ { \mathrm { e m } } ( x ) j _ { \beta } ^ { \mathrm { e m } } ( 0 ) | 0 \rangle e ^ { i q x } d ^ { 4 } x = ( - g _ { \alpha \beta } q ^ { 2 } + q _ { \alpha } q _ { \beta } ) \Pi ( q ^ { 2 } )
\begin{array} { r } { \mathbb { E } \left[ \left( \frac { 1 } { T } \int _ { 0 } ^ { T } \hat { Y } _ { t } d t - S _ { 0 } \right) ^ { + } \right] = \frac { 1 } { 2 } \mathbb { E } \left[ \left| \sigma S _ { 0 } \frac { 1 } { T } \int _ { 0 } ^ { T } { W } _ { t } d t + S _ { 0 } \frac { 1 } { T } \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { R } ^ { + } } \left( \frac { \rho ^ { 2 } x ^ { 2 } } { 2 } + \rho x \right) \tilde { J } _ { Z } ( \lambda d u , d x ) d t \right| \right] . } \end{array}
F [ L , ~ f ] ~ = ~ \sum _ { j _ { i } = 0 , 1 / 2 , 1 , . . . . k / 2 } ~ \mu _ { j _ { 1 } } ~ \mu _ { j _ { 2 } } ~ . . . . ~ \mu _ { j _ { r } } ~ V [ L ; ~ n _ { 1 } , ~ n _ { 2 } , . . . . ~ n _ { r } ; ~ j _ { 1 } , ~ j _ { 2 } , . . . . ~ j _ { r } ]
{ \begin{array} { r l } & { { \frac { a } { b } } \cdot \left( { \frac { c } { d } } + { \frac { e } { f } } \right) } \\ { = } & { { \frac { a } { b } } \cdot \left( { \frac { c } { d } } \cdot { \frac { f } { f } } + { \frac { e } { f } } \cdot { \frac { d } { d } } \right) } \\ { = } & { { \frac { a } { b } } \cdot \left( { \frac { c f } { d f } } + { \frac { e d } { f d } } \right) = { \frac { a } { b } } \cdot { \frac { c f + e d } { d f } } } \\ { = } & { { \frac { a ( c f + e d ) } { b d f } } = { \frac { a c f } { b d f } } + { \frac { a e d } { b d f } } = { \frac { a c } { b d } } + { \frac { a e } { b f } } } \\ { = } & { { \frac { a } { b } } \cdot { \frac { c } { d } } + { \frac { a } { b } } \cdot { \frac { e } { f } } . } \end{array} }
\begin{array} { r } { \mathbb { E } \| \nabla f ( x _ { \hat { k } - 1 } ) \| ^ { 2 } \leq \frac { 2 ( \mathbb { E } [ f ( x _ { 0 } ) ] - \mathbb { E } [ f ( x _ { K } ) ] ) } { \eta K } - \frac { 1 } { 4 \eta ^ { 2 } } \frac { 1 } { K } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } \| x _ { k } - x _ { k - 1 } \| ^ { 2 } + 2 e \mathbb { E } \| \widetilde v _ { 1 } - \nabla f ( x _ { 0 } ) \| ^ { 2 } . } \end{array}
u ^ { n + 1 } = \left( 1 - \lambda \cdot d t - \left( \sum _ { i = 1 } ^ { N } \bar { r } _ { i } \right) d t \right) u ^ { n } = \left( 1 - \lambda \cdot d t - \left( \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { r _ { i } } { d x \cdot d y \cdot d z } \right) d t \right) u ^ { n } \ ,
\begin{array} { r l } { \frac { \alpha \nu } { 4 } \mathbb { E } \Big \lVert V _ { \bar { \theta } _ { t } } - } & { V _ { \theta ^ { * } } \Big \rVert _ { \bar { D } } ^ { 2 } \le ( 1 - \frac { \alpha \nu } { 2 } ) \mathbb { E } \Big \lVert \bar { \theta } _ { t } - \theta ^ { * } \Big \rVert ^ { 2 } - \mathbb { E } \Big \lVert \bar { \theta } _ { t + 1 } - \theta ^ { * } \Big \rVert ^ { 2 } + \frac { 2 \alpha ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { N K } } \\ & { + 1 0 8 ( \frac { 6 \alpha ^ { 4 } } { K \alpha _ { g } ^ { 2 } } + \frac { \alpha ^ { 3 } } { K \alpha _ { g } ^ { 2 } \nu } ) ( \sigma ^ { 2 } + 3 K B ^ { 2 } ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) + 2 K G ^ { 2 } ) + 2 \alpha B ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) G + 6 \alpha ^ { 2 } B ^ { 2 } ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) . } \end{array}
W = { \frac { 1 } { \sqrt { 4 } } } { \left[ \begin{array} { l l l l } { \omega ^ { 0 } } & { \omega ^ { 0 } } & { \omega ^ { 0 } } & { \omega ^ { 0 } } \\ { \omega ^ { 0 } } & { \omega ^ { 1 } } & { \omega ^ { 2 } } & { \omega ^ { 3 } } \\ { \omega ^ { 0 } } & { \omega ^ { 2 } } & { \omega ^ { 4 } } & { \omega ^ { 6 } } \\ { \omega ^ { 0 } } & { \omega ^ { 3 } } & { \omega ^ { 6 } } & { \omega ^ { 9 } } \end{array} \right] } = { \frac { 1 } { \sqrt { 4 } } } { \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { - i } & { - 1 } & { i } \\ { 1 } & { - 1 } & { 1 } & { - 1 } \\ { 1 } & { i } & { - 1 } & { - i } \end{array} \right] }
\phi _ { i } \left[ ( \boldsymbol { x } _ { i } , \hat { \boldsymbol { h } } _ { i } ) \right] = p ( x _ { i } ^ { 0 } ) \prod _ { t = 0 } ^ { T - 1 } \left[ \delta \left( \hat { h } _ { i } ^ { t } - \mathrm { i } \right) \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) \left( \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , x _ { i } ^ { t } } - \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , 1 } \right) + \delta \left( \hat { h } _ { i } ^ { t } \right) \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , 1 } \right]
\begin{array} { r l } { \left[ i 2 k _ { 0 } \partial _ { z } + \left( \nabla _ { X _ { 2 } } ^ { 2 } - \nabla _ { X _ { 1 } } ^ { 2 } \right) + k _ { 0 } ^ { 2 } \left( \epsilon _ { 1 } ( \vec { x } _ { 2 } , z ) - \epsilon _ { 1 } ( \vec { x } _ { 1 } , z ) \right) \right] E _ { i } ( \vec { x } _ { 1 } , z , \omega ) _ { T } E _ { j } ^ { * } ( \vec { x } _ { 2 } , z , \omega ) _ { T } = } & { 0 , ~ i , j \in \{ X , Y \} } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \log ( M _ { 1 } - 1 ) \leq N _ { 1 } I ( X _ { 1 } ; Y _ { 1 } ) } \\ & { - \sqrt { N _ { 1 } V ( X _ { 1 } ; Y _ { 1 } ) } Q ^ { - 1 } \left( \epsilon _ { 1 } - \frac { 1 } { ( N _ { 1 } ) ^ { s } } - \frac { B _ { 1 } } { \sqrt { N _ { 1 } } } \right) } \\ & { + 1 - s \log N _ { 1 } } \\ { \Rightarrow } & { \log M _ { 1 } \leq \log ( M _ { 1 } - 1 ) + 1 } \\ & { \leq N _ { 1 } I ( X _ { 1 } ; Y _ { 1 } ) - \sqrt { N _ { 1 } V ( X _ { 1 } ; Y _ { 1 } ) } Q ^ { - 1 } \left( \epsilon _ { 1 } \right) + O ( \log N _ { 1 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left\{ \Phi _ { D ( + 2 ) } ^ { ( 0 ) } \right\} } & { { } = } & { \Big \{ | n _ { 1 } \dots ( n _ { i } + 2 ) \dots n _ { m } \rangle \Big \} } \\ { \left\{ \Phi _ { D ( \pm 0 ) } ^ { ( 0 ) } \right\} } & { { } = } & { \Big \{ | n _ { 1 } \dots ( n _ { i } + 1 ) \dots ( n _ { j } - 1 ) \dots n _ { m } \rangle \Big \} , } \\ { \left\{ \Phi _ { D ( - 2 ) } ^ { ( 0 ) } \right\} } & { { } = } & { \Big \{ | n _ { 1 } \dots ( n _ { i } - 2 ) \dots n _ { m } \rangle \Big \} } \end{array}
\mathrm { A C C } = { \frac { \mathrm { T P } + \mathrm { T N } } { \mathrm { P } + \mathrm { N } } } = { \frac { \mathrm { T P } + \mathrm { T N } } { \mathrm { T P } + \mathrm { T N } + \mathrm { F P } + \mathrm { F N } } }
\begin{array} { r } { d U = - \frac { 1 } { 2 } e ^ { - u / 2 r _ { s } } d u = - \frac { U } { 2 r _ { s } } d u } \\ { d V = \frac { 1 } { 2 } e ^ { v / 2 r _ { s } } d v = \frac { V } { 2 r _ { s } } d v } \end{array}
\begin{array} { r l r } { f ( { \bf x } ) } & { { } \! = \! } & { { \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { n / 2 } \sqrt { \operatorname* { d e t } C _ { n } } } } \exp \Big [ \! - { \frac { 1 } { 2 } } { \bf x } ^ { _ T } C _ { n } ^ { - 1 } { \bf x } \Big ] \left( 1 + { \frac { 1 } { 8 } } D _ { i j k l } \, C _ { i j } ^ { - 1 } C _ { k l } ^ { - 1 } \right. } \end{array}
p _ { v } ^ { * } = p _ { t r i p } \left( \frac { T } { T _ { t r i p } } \right) ^ { ( c _ { p v } - c _ { v l } ) / R _ { v } } \exp \left( \frac { L _ { e } ( T _ { t r i p } ) } { R _ { v } T _ { t r i p } } - \frac { L _ { e } ( T ) } { R _ { v } T } \right) ,
\iint \widetilde { p } ^ { s } \widetilde { n } _ { i } \ \mathrm { d } x \mathrm { d } y + \rho _ { a } \iint \tau _ { i j , \Delta } ^ { w a l l } \widetilde { n } _ { j } \ \mathrm { d } x \mathrm { d } y = \iint \hat { \widetilde { p } } ^ { s } \hat { \widetilde { n } } _ { i } \ \mathrm { d } x \mathrm { d } y + \rho _ { a } \iint \tau _ { i j , 2 \Delta } ^ { w a l l } \hat { \widetilde { n } } _ { j } \ \mathrm { d } x \mathrm { d } y ,
\begin{array} { r } { P _ { \mathrm { r } } ( x , t ) = \int _ { 0 } ^ { L } d x _ { \mathrm { i } } \, G ( x , x _ { \mathrm { i } } , t ) p _ { \mathrm { i } } ( x _ { \mathrm { i } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda _ { 1 } ^ { * } } & { = \log \frac { ( 1 - p ) - ( D _ { 1 } - D _ { 2 } ) } { 1 - p } - \log \frac { D _ { 1 } - D _ { 2 } } { 1 - p } } \\ & { = \log \frac { ( 1 - p ) - ( D _ { 1 } - D _ { 2 } ) } { D _ { 1 } - D _ { 2 } } , } \\ { \lambda _ { 2 } ^ { * } } & { = \log \frac { p - D _ { 2 } } { p } + \log \frac { D _ { 1 } - D _ { 2 } } { 1 - p } - \log \frac { ( 1 - p ) - ( D _ { 1 } - D _ { 2 } ) } { 1 - p } - \log \frac { D _ { 2 } } { p } } \\ & { = - \lambda _ { 1 } ^ { * } + \log \frac { p - D _ { 2 } } { D _ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { { \mathrm { L } } ^ { 2 } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } , \Lambda ^ { k } ) = { \mathrm { N } } ^ { 2 } ( \mathrm { d } ^ { \ast } , \mathbb { R } _ { + } ^ { n } , \Lambda ^ { k } ) \overset { \perp } { \oplus } { \mathrm { N } } ^ { 2 } ( \mathrm { d } , \mathbb { R } _ { + } ^ { n } , \Lambda ^ { k } ) \mathrm { . ~ } } \end{array}
{ \cal Z } = \int { \cal D } A _ { \mu } { \cal D } \bar { \psi } { \cal D } \psi \exp \bigg [ - \int _ { 0 } ^ { 1 / T } d t \int d ^ { 3 } x ~ { \cal L } _ { Q C D } ( A _ { \mu } , \bar { \psi } , \psi ; \mu , g ) \bigg ] \ .
\begin{array} { r } { \sum _ { i \in B \bigcup B ^ { \prime } } \left( \sqrt { q _ { i } ^ { \prime } } - \sqrt { p _ { i } ^ { \prime } } \right) ^ { 2 } \gtrsim d _ { \mathrm { h } } ^ { 2 } ( p , q ) \cdot \frac { \ell } { \operatorname* { m i n } \left( k , 1 + \log \left( 1 / d _ { \mathrm { h } } ^ { 2 } ( p , q ) \right) \right) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { M S E } } & { = \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left( \left| u \left( t ^ { i } , x ^ { i } , y ^ { i } \right) - u ^ { i } \right| ^ { 2 } + \left| v \left( t ^ { i } , x ^ { i } , y ^ { i } \right) - v ^ { i } \right| ^ { 2 } \right) } \\ & { \qquad + \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left( \left| f _ { 1 } \left( t ^ { i } , x ^ { i } , y ^ { i } \right) \right| ^ { 2 } + \left| f _ { 2 } \left( t ^ { i } , x ^ { i } , y ^ { i } \right) \right| ^ { 2 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \lambda _ { 1 } } & { = } & { \frac { \bar { a } _ { 1 1 } + \sqrt { \bar { a } _ { 1 1 } ^ { 2 } + 4 \bar { a } _ { 1 2 } \bar { a } _ { 2 1 } } } { 2 } = \bar { \mu } + i \bar { w } , } \\ { \lambda _ { 2 } } & { = } & { \frac { \bar { a } _ { 1 1 } - \sqrt { \bar { a } _ { 1 1 } ^ { 2 } + 4 \bar { a } _ { 1 2 } \bar { a } _ { 2 1 } } } { 2 } = \bar { \mu } - i \bar { w } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { C } _ { x x } ( t ) } & { \simeq \frac { \langle x ( 0 ) \ x ( t ) \ W \rangle _ { \rho } } { \langle W \rangle _ { \rho } } \mathrm { , } } \\ { \tilde { C } _ { n n } ( t ) } & { \simeq \frac { \langle A _ { n } ( 0 ) \ B _ { n } ( t ) \ W \rangle _ { \rho } } { \langle W \rangle _ { \rho } } \mathrm { , } } \end{array}
\begin{array} { r } { \tau _ { q } = \frac { 3 } { 2 } \tau _ { S } , \quad \lambda = \frac { 1 5 } { 4 } p \tau _ { S } , \quad \lambda _ { 2 } = \frac { 3 } { 2 } R T \tau _ { S } , \quad \mu = 2 p \tau _ { S } , \quad \mu _ { 2 } = \frac { 4 } { 5 } \tau _ { S } , \quad \mu _ { 3 } = - R T \tau _ { S } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { v ( x ) } & { = \frac { x _ { 1 } - 0 . 2 5 } { ( x _ { 1 } - 0 . 2 5 ) ^ { 2 } + ( x _ { 2 } - 0 . 7 ) ^ { 2 } } + x _ { 1 } ^ { 3 } x _ { 2 } + x _ { 2 } ^ { 2 } ~ , } \\ { w ( x ) } & { = \ln \big [ ( x _ { 1 } - 0 . 7 5 ) ^ { 2 } + ( x _ { 2 } - 0 . 7 ) ^ { 2 } \big ] + x _ { 1 } ^ { 2 } x _ { 2 } ^ { 2 } - x _ { 1 } x _ { 2 } ^ { 3 } ~ . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \dot { \rho } _ { r } ^ { \langle \mu \nu \lambda \rangle } } & { { } = } & { C _ { r - 1 } ^ { \langle \mu \nu \lambda \rangle } + \frac { 1 } { 3 } \left[ ( r - 1 ) m ^ { 2 } \rho _ { r - 2 } ^ { \mu \nu \lambda } - ( r + 5 ) \rho _ { r } ^ { \mu \nu \lambda } \right] \theta + \frac { 6 } { 3 5 } \sigma ^ { \langle \mu \nu } \left[ ( r - 1 ) m ^ { 4 } \rho _ { r - 2 } ^ { \lambda \rangle } - ( 2 r + 5 ) m ^ { 2 } \rho _ { r } ^ { \lambda \rangle } + ( r + 6 ) \rho _ { r + 2 } ^ { \lambda \rangle } \right] + } \end{array}
f _ { 3 } ( r ) = 2 \sqrt { \frac { \bar { s } ^ { 2 } - Q c } { Q c } } e ^ { - \tilde { c } \sqrt { \bar { s } ^ { 2 } - Q c } } \frac { \left( 1 - \frac { r _ { 0 } ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } \right) ^ { ( 1 + \sqrt { ( \bar { s } ^ { 2 } - Q c ) / D _ { 2 } } \ ) / 2 } } { 1 - e ^ { - 2 \tilde { c } \sqrt { \bar { s } ^ { 2 } - Q c } } \left( 1 - \frac { r _ { 0 } ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } \right) ^ { \sqrt { ( \bar { s } ^ { 2 } - Q c ) / D _ { 2 } } } } .
\begin{array} { r l } { Y ( \upalpha ) = } & { { } Y ( 0 ) \left\{ \mathrm { c o s } \left[ \left( \frac { \upalpha } { \upalpha _ { 0 } } \frac { \pi } { 2 } \right) ^ { c } \right] \right\} ^ { - f } \times } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial U + u ^ { \prime } } { \partial x } + \frac { \partial V + v ^ { \prime } } { \partial y } + \frac { \partial w } { \partial z } = 0 , } \\ & { \frac { \partial U + u ^ { \prime } } { \partial t } + ( U + u ^ { \prime } ) \frac { \partial U + u ^ { \prime } } { \partial x } + ( V + v ^ { \prime } ) \frac { \partial U + u ^ { \prime } } { \partial y } + w \frac { \partial U + u ^ { \prime } } { \partial z } + g \frac { \partial \eta + \zeta ^ { \prime } } { \partial x } + \frac { \partial p _ { n h } } { \partial x } = 0 , } \\ & { \frac { \partial V + v ^ { \prime } } { \partial t } + ( U + u ^ { \prime } ) \frac { \partial V + v ^ { \prime } } { \partial x } + ( V + v ^ { \prime } ) \frac { \partial V + v ^ { \prime } } { \partial y } + w \frac { \partial V + v ^ { \prime } } { \partial z } + g \frac { \partial \eta + \zeta ^ { \prime } } { \partial y } + \frac { \partial p _ { n h } } { \partial y } = 0 , } \\ & { \frac { \partial w } { \partial t } + ( U + u ^ { \prime } ) \frac { \partial w } { \partial x } + ( V + v ^ { \prime } ) \frac { \partial w } { \partial y } + w \frac { \partial w } { \partial z } + \frac { \partial p _ { n h } } { \partial z } = 0 , } \\ & { \frac { \partial \eta + \zeta ^ { \prime } } { \partial t } + \frac { \partial } { \partial x } \int _ { - d } ^ { \eta + \zeta ^ { \prime } } ( U + u ^ { \prime } ) \mathrm { d } z + \frac { \partial } { \partial y } \int _ { - d } ^ { \eta + \zeta ^ { \prime } } ( V + v ^ { \prime } ) \mathrm { d } z = 0 . } \end{array}
{ \cal P } : \quad \left\{ \begin{array} { l } { { ( 1 / 2 , \, 0 ) ^ { [ x ^ { + } ] } \, \leftrightarrow \, ( 0 , \, 1 / 2 ) ^ { [ x ^ { - } ] } } } \\ { { ( 0 , \, 1 / 2 ) ^ { [ x ^ { + } ] } \, \leftrightarrow \, ( 1 / 2 , \, 0 ) ^ { [ x ^ { - } ] } } } \end{array} \right. \quad .
P _ { f } ( f ) \, d f = { \frac { c } { f _ { 0 } } } { \sqrt { \frac { m } { 2 \pi k T } } } \, \exp \left( - { \frac { m \left[ c \left( { \frac { f } { f _ { 0 } } } - 1 \right) \right] ^ { 2 } } { 2 k T } } \right) \, d f .
\begin{array} { r l } { \bar { c } _ { 0 , n _ { 0 } } ^ { ( i _ { 0 } ) } = \bar { c } _ { j , n _ { 0 } } ^ { ( i _ { 0 } ) } } & { : = \operatorname* { m a x } _ { 0 \le m \le i _ { 0 } } \left\{ \operatorname* { l i m s u p } _ { t \to \infty } \frac { b _ { j } ^ { ( n _ { 0 } - 1 ) \leftarrow } ( t ) b _ { i _ { 0 } - j } ^ { \leftarrow } ( t ) } { b _ { m } ^ { ( n _ { 0 } - 1 ) \leftarrow } ( t ) b _ { i _ { 0 } - m } ^ { \leftarrow } ( t ) } \right\} } \\ & { \ge \operatorname* { l i m s u p } _ { t \to \infty } \frac { b _ { 0 } ^ { ( n _ { 0 } - 1 ) \leftarrow } ( t ) b _ { i _ { 0 } } ^ { \leftarrow } ( t ) } { b _ { 1 } ^ { ( n _ { 0 } - 1 ) \leftarrow } ( t ) b _ { i _ { 0 } - 1 } ^ { \leftarrow } ( t ) } = \operatorname* { l i m s u p } _ { t \to \infty } \frac { 1 \cdot t ^ { i _ { 0 } ( \alpha + \gamma ) } } { t ^ { \alpha } \ell ( t ) \cdot t ^ { ( i _ { 0 } - 1 ) ( \alpha + \gamma ) } } = \infty , } \end{array}
A = \left( \begin{array} { l l l } { A _ { 0 } } & { \cdots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { \cdots } & { 0 } \end{array} \right) , \qquad B = \left( \begin{array} { l l l l l } { 0 } & { B _ { 1 } } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { B _ { 2 } } & { \cdots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { B _ { k } } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) .
U \frac { \partial u ^ { \prime } } { \partial x } + V \frac { \partial u ^ { \prime } } { \partial y } + W \frac { \partial ( U + u ^ { \prime } ) } { \partial z } = \nu \textsubscript { e f f } \left( \frac { \partial ^ { 2 } u ^ { \prime } } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } u ^ { \prime } } { \partial y ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } u ^ { \prime } } { \partial z ^ { 2 } } \right) .
i \, \frac { r _ { 1 } } { r } + j \, \frac { r _ { 2 } } { r } + k \, \frac { r _ { 3 } } { r } ~ , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ r = \sqrt { r _ { 1 } ^ { 2 } + r _ { 2 } ^ { 2 } + r _ { 3 } ^ { 2 } } ~ .
\begin{array} { r l } { C _ { 2 } ^ { 2 } = } & { \| c \| ^ { 2 } \left( \frac { B ^ { 2 } - A ^ { 2 } } { r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } } - \frac { A ^ { 2 } } { \| c \| ^ { 2 } } \right) \left( - \frac { ( B ^ { 2 } - A ^ { 2 } ) ( r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } ) } { B ^ { 3 } } + \frac { ( r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } ) ^ { 2 } A ^ { 2 } } { B ^ { 3 } \| c \| ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } } \\ { = } & { \frac { 1 } { B ^ { 6 } \| c \| ^ { 4 } } \left( \| c \| ^ { 2 } B ^ { 2 } - r ^ { 2 } A ^ { 2 } \right) ^ { 3 } \left( r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { V _ { j \ell , j ^ { \prime } \ell ^ { \prime } } ^ { J } ( R ) = ( 2 \ell + 1 ) ^ { 1 / 2 } ( 2 \ell ^ { \prime } + 1 ) ^ { 1 / 2 } ( - 1 ) ^ { j - j ^ { \prime } } ( - 1 ) ^ { \ell + \ell ^ { \prime } } } \\ { \times \sum _ { \kappa } { } \left( \begin{array} { l l l } { j } & { \ell } & { J } \\ { \kappa } & { 0 } & { - \kappa } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l l } { j ^ { \prime } } & { \ell ^ { \prime } } & { J } \\ { \kappa } & { 0 } & { - \kappa } \end{array} \right) V _ { j \kappa , j ^ { \prime } \kappa } ^ { J } ( R ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \boldsymbol { { U } } = \left( \begin{array} { l l l } { \boldsymbol { I } } & { \boldsymbol { 0 } } & { \boldsymbol { 0 } } \\ { \boldsymbol { 0 } } & { \boldsymbol { u } } & { \boldsymbol { 0 } } \\ { \boldsymbol { 0 } } & { \boldsymbol { 0 } } & { \boldsymbol { I } } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Psi _ { s u p e r b e e } ( r ) = \operatorname* { m a x } [ 0 , \operatorname* { m i n } ( 2 r , 1 ) , \operatorname* { m i n } ( r , 2 ) ] } \\ & { \Psi _ { v a n L e e r } ( r ) = \frac { r + | r | } { 1 + r } } \\ & { \Psi _ { v a n A l b a d a } ( r ) = \frac { r ^ { 2 } + r } { 1 + r ^ { 2 } } } \\ & { \Psi _ { m i n m o d } ( r ) = \operatorname* { m a x } [ 0 , \operatorname* { m i n } ( r , 1 ) ] } \end{array}
Z _ { v } ^ { X } \left( - \frac { 1 } { \tau } \right) = 2 ^ { - \frac { b _ { 2 } ( X ) } { 2 } } \left( \frac { \tau } { i } \right) ^ { - \frac { \chi ( X ) } { 2 } } \cdot \sum _ { u \in H ^ { 2 } ( X , Z _ { 2 } ) } ( - 1 ) ^ { u \cdot v } Z _ { u } ^ { X } ( \tau ) .
\partial _ { \mu } A _ { \mu } = \frac { k q ^ { \prime } u _ { \mu } ^ { \prime } } { c ^ { 2 } } \partial _ { \mu } \left( \frac 1 r \right) = - \frac { k q ^ { \prime } u _ { \mu } ^ { \prime } } { c ^ { 2 } } \left( \frac { R _ { \mu } } { r ^ { 3 } } \right) = 0
\mathcal { L } ( \{ x _ { i } , y _ { i } \} | \theta ) = \prod _ { i = 1 } ^ { N _ { d } } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \sigma ^ { 2 } ( v _ { i } ) } } \exp { \left( - \frac { ( y _ { i } - \alpha x _ { i } - \gamma ) ^ { 2 } } { 2 ( 1 + \alpha ^ { 2 } ) \sigma ^ { 2 } ( v _ { i } ) } \right) } ,
\overline { { { U _ { i } ^ { + } } } } = \frac { \overline { { U _ { i } } } } { U _ { \tau } } , ~ { x _ { i } ^ { + } } = \frac { x _ { i } U _ { \tau } } { \nu } , ~ t ^ { + } = { \frac { t U _ { \tau } ^ { 2 } } { \nu } } , ~ \overline { { u _ { i } u _ { j } } } ^ { + } = \frac { \overline { { u _ { i } u _ { j } } } } { U _ { \tau } ^ { 2 } } , ~ \overline { { { P ^ { + } } } } = \frac { \overline { { P } } } { \rho U _ { \tau } ^ { 2 } } , \mathrm { ~ a n d ~ } U _ { \tau } = \sqrt { \frac { \tau _ { w } } { \rho } } .
\begin{array} { r l r } { { \bf q } _ { \alpha } ( { \bf x } ) } & { { } = } & { \int _ { \partial \mathbb { D } _ { F } } { \bf J } _ { \alpha \alpha } { { \bar { \bf F } } } _ { \alpha } ^ { * } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) { \bf J } _ { 1 1 } ^ { - 1 } { \bf q } _ { 1 } ^ { + } ( { \bf x } _ { F } ) \mathrm { d } ^ { 2 } { \bf x } _ { F } + \int _ { \partial \mathbb { D } _ { F } } { \bf F } _ { \alpha } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) { \bf q } _ { 1 } ^ { - } ( { \bf x } _ { F } ) \mathrm { d } ^ { 2 } { \bf x } _ { F } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { G ( X ) } { \epsilon _ { 0 } } } & { { } = } & { \frac { \epsilon ( X ) } { \epsilon _ { 0 } } \mp \frac { B } { B _ { \phi } } \frac { 4 } { \gamma } \ln \frac { 4 } { 4 - \gamma + 4 \gamma ( X / W ) ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { | B | } \int _ { B } | b ( x ) - b _ { B _ { z _ { 0 } } } | d x } & { \lesssim t ^ { - n - \gamma + n / \beta ^ { \prime } } \left\| [ b , I _ { \gamma } ] \right\| _ { ( L ^ { p _ { 1 } ( \cdot ) } , L ^ { q } ) ^ { \alpha } ( { \mathbb R } ^ { n } ) \rightarrow ( L ^ { p _ { 2 } ( \cdot ) } , L ^ { q } ) ^ { \beta } ( { \mathbb R } ^ { n } ) } } \\ & { ~ ~ ~ ~ \times \sum _ { m \in \mathbb { Z } ^ { n } } | a _ { m } | \left\| e ^ { - 2 i m \cdot \frac { \cdot } { t } } \chi _ { B _ { z _ { 0 } } } \right\| _ { ( L ^ { p _ { 1 } ( \cdot ) } , L ^ { q } ) ^ { \alpha } } } \\ & { \le t ^ { - n - \gamma + n / \beta ^ { \prime } + n / \alpha + C _ { p } } \left\| [ b , I _ { \gamma } ] \right\| _ { ( L ^ { p _ { 1 } ( \cdot ) } , L ^ { q } ) ^ { \alpha } ( { \mathbb R } ^ { n } ) \rightarrow ( L ^ { p _ { 2 } ( \cdot ) } , L ^ { q } ) ^ { \beta } ( { \mathbb R } ^ { n } ) } \sum _ { m \in \mathbb { Z } ^ { n } } | a _ { m } | } \\ & { \lesssim \left\| [ b , I _ { \gamma } ] \right\| _ { ( L ^ { p _ { 1 } ( \cdot ) } , L ^ { q } ) ^ { \alpha } ( { \mathbb R } ^ { n } ) \rightarrow ( L ^ { p _ { 2 } ( \cdot ) } , L ^ { q } ) ^ { \beta } ( { \mathbb R } ^ { n } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { 0 } } & { = J _ { 0 } \sum _ { k , \alpha } { \left( C _ { A , k \alpha } ^ { \dagger } C _ { B , k \alpha } ^ { \vphantom { \dagger } } \gamma _ { \vphantom { A } \alpha } ^ { \vphantom { \dagger } } ( k ) + C _ { B , k \alpha } ^ { \dagger } C _ { A , k \alpha } ^ { \vphantom { \dagger } } \gamma _ { \vphantom { A } \alpha } ^ { * \vphantom { \dagger } } ( k ) \right) } } \end{array}
\begin{array} { r } { q _ { i } ( A _ { i } ) = \frac { 1 } { z _ { i } } \sum _ { \underline { { A } } _ { \partial i } } e ^ { - \beta \delta _ { A _ { i } } ^ { 0 } } C _ { i } ( A _ { i } , \underline { { A } } _ { \partial i } ) \prod _ { k \in \partial i } q _ { k \rightarrow i } ( A _ { k } , A _ { i } ) } \end{array}
\widetilde { C } _ { - \omega } ( k , \tau ) = \frac { c _ { 0 } \, \mathrm { e } ^ { - \epsilon k ^ { 2 } } } { 4 \tilde { \omega } _ { d } \tilde { \tau } _ { c } } \left[ \beta _ { f } \, \mathrm { e } ^ { - \frac { \beta _ { s } \lvert \tau \rvert B ( k ) } { 2 \tilde { \tau } _ { c } } } - \beta _ { s } \, \mathrm { e } ^ { - \frac { \beta _ { f } \lvert \tau \rvert B ( k ) } { 2 \tilde { \tau } _ { c } } } \right] ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { A } _ { n } ( \tau ) } & { = \int _ { 0 } ^ { \tau } \left[ \begin{array} { c c } { A _ { 1 1 } ( s ) } & { A _ { 1 2 } ( s ) } \\ { m a t h b b { A } _ { 2 1 } ( s ) } & { A _ { 2 2 } ( s ) } \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array} { c c } { \mathbb { A } _ { n - 1 } ^ { 1 1 } ( s ) } & { \mathbb { A } _ { n - 1 } ^ { 1 2 } ( s ) } \\ { \mathbb { A } _ { n - 1 } ^ { 2 1 } ( s ) } & { \mathbb { A } _ { n - 1 } ^ { 2 2 } ( s ) } \end{array} \right] d s } \\ & { = \left[ \begin{array} { c c } { \int _ { 0 } ^ { \tau } A _ { 1 1 } ( s ) \cdot \mathbb { A } _ { n - 1 } ^ { 1 1 } ( s ) d s } & { \int _ { 0 } ^ { \tau } A _ { 1 1 } ( s ) \cdot \mathbb { A } _ { n - 1 } ^ { 1 2 } ( s ) d s + \int _ { 0 } ^ { \tau } A _ { 1 2 } ( s ) \mathbb { A } _ { n - 1 } ^ { 2 2 } ( s ) d s } \\ { \int _ { 0 } ^ { \tau } A _ { 2 1 } ( s ) \cdot \mathbb { A } _ { n - 1 } ^ { 1 1 } ( s ) d s } & { \int _ { 0 } ^ { \tau } A _ { 2 1 } ( s ) \cdot \mathbb { A } _ { n - 1 } ^ { 1 2 } ( s ) d s + \int _ { 0 } ^ { \tau } A _ { 2 2 } ( s ) \mathbb { A } _ { n - 1 } ^ { 2 2 } ( s ) d s } \end{array} \right] . } \end{array}
S _ { 1 2 } \left( E _ { 3 } \right) = \frac { 1 } { 1 + \delta _ { 1 2 } } \frac { 1 } { 4 \pi } \int v _ { r } \mathcal { K } _ { 1 2 } f _ { 1 } f _ { 2 } d ^ { 3 } \vec { v } _ { 1 } d ^ { 3 } \vec { v } _ { 2 } ,