harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { F ( t _ { T } ) = \operatorname* { i n f } _ { t \in ( T , T + 1 ) } F ( t ) } & { \le E _ { f } ( u _ { 0 } ) + \frac { | \bar { K } | } { 2 } | \log ( A ) | + \frac { A } { 2 } \| f \| _ { L ^ { \infty } ( M , \bar { g } ) } } \\ & { \le \frac 1 2 \| \nabla u _ { 0 } \| _ { L ^ { 2 } ( M , \bar { g } ) } ^ { 2 } + | \bar { K } | \bigl ( \frac { 1 } { 2 } | \log ( A ) | + \| u \| _ { L ^ { 1 } ( M , \bar { g } ) } \bigr ) + A \| f \| _ { L ^ { \infty } ( M , \bar { g } ) } } \\ & { = d _ { 1 } + d _ { 2 } \| f \| _ { L ^ { \infty } ( M , \bar { g } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { F _ { \tau } ^ { A } \! } & { { } = } & { \! | e \rangle \! \langle e | + | c \rangle \! \langle c | + | c ^ { 2 } \rangle \! \langle c ^ { 2 } | + | t \rangle \! \langle t | + | t c \rangle \! \langle t c | + | t c ^ { 2 } \rangle \! \langle t c ^ { 2 } | , \, \, \, \, } \\ { F _ { \tau } ^ { B } \! } & { { } = } & { \! | e \rangle \! \langle e | + | c \rangle \! \langle c | + | c ^ { 2 } \rangle \! \langle c ^ { 2 } | - | t \rangle \! \langle t | - | t c \rangle \! \langle t c | - | t c ^ { 2 } \rangle \! \langle t c ^ { 2 } | . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { ( \tilde { Q } _ { n } - Q _ { 0 , n } ) ( x ) } & { = } & { \sum _ { j \in { \cal R } _ { 0 , n } } \{ P _ { 0 } ^ { * } ( \tilde { Q } _ { n } - Q _ { n } ) \phi _ { j } ^ { * } \} \phi _ { j } ^ { * } ( x ) } \\ & { = } & { \sum _ { j \in { \cal R } _ { 0 , n } } ( P _ { n } - P _ { 0 } ) \phi _ { j } ^ { * } / \sigma _ { n } ^ { 2 } ( Y - { Q _ { n } } ) \phi _ { j } ^ { * } ( x ) - \sum _ { j \in { \cal R } _ { 0 , n } } r _ { n } ^ { * } ( j ) \phi _ { j } ^ { * } ( x ) } \\ & { } & { + \sum _ { j \in { \cal R } _ { 0 , n } } ( R _ { 1 , n } + R _ { 2 , n } ) ( \phi _ { j } ^ { * } ) \phi _ { j } ^ { * } ( x ) } \\ & { = } & { \sum _ { j \in { \cal R } _ { 0 , n } } ( P _ { n } - P _ { 0 } ) \phi _ { j } ^ { * } / \sigma _ { n } ^ { 2 } ( Y - { Q _ { n } } ) \phi _ { j } ^ { * } ( x ) - \tilde { r } _ { n } ( x ) } \\ & { } & { + \sum _ { j \in { \cal R } _ { 0 , n } } ( R _ { 1 , n } + R _ { 2 , n } ) ( \phi _ { j } ^ { * } ) \phi _ { j } ^ { * } ( x ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \log \mathbb { P } \left( \alpha \sum _ { j \in S _ { i } ^ { \mathsf { c } } } ( A _ { i j } - \mathbb { E } A _ { i j } ) w _ { j } \geq \frac { \rho } { 8 k } \sqrt { \frac { \beta n } { k } } ( p - q ) \Bigg | S _ { i } \cup \{ i \} \right) } \\ & { \leq - s \frac { \rho } { 8 k } \sqrt { \frac { \beta n } { k } } ( p - q ) + \log \mathbb { E } \exp \left( s \alpha \sum _ { j \in S _ { i } ^ { \mathsf { c } } } ( A _ { i j } - \mathbb { E } A _ { i j } ) w _ { j } \Bigg | S _ { i } \cup \{ i \} \right) } \\ & { = - s \frac { \rho } { 8 k } \sqrt { \frac { \beta n } { k } } ( p - q ) + \log \prod _ { j \in S _ { i } ^ { \mathsf { c } } } \mathbb { E } \exp \left( s \alpha ( A _ { i j } - \mathbb { E } A _ { i j } ) w _ { j } \right) } \\ & { = - s \frac { \rho } { 8 k } \sqrt { \frac { \beta n } { k } } ( p - q ) + \sum _ { j \in S _ { i } ^ { \mathsf { c } } } \log \mathbb { E } \exp \left( s \alpha ( A _ { i j } - \mathbb { E } A _ { i j } ) w _ { j } \right) } \\ & { \leq - s \frac { \rho } { 8 k } \sqrt { \frac { \beta n } { k } } ( p - q ) + p s ^ { 2 } \left\| { w } \right\| ^ { 2 } \exp \left( { s } \left\| { w } \right\| _ { \infty } \right) } \\ & { \leq - s \frac { \rho } { 8 k } \sqrt { \frac { \beta n } { k } } ( p - q ) + p s ^ { 2 } \left( \frac { 4 ( C _ { 0 } + 3 ) k \sqrt { k n p } } { \beta n ( p - q ) } \right) ^ { 2 } \exp \left( 2 { s } t _ { 0 } \right) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { f _ { x } } & { = e ^ { x } \ln ( 1 + y ) } \\ { f _ { y } } & { = { \frac { e ^ { x } } { 1 + y } } } \\ { f _ { x x } } & { = e ^ { x } \ln ( 1 + y ) } \\ { f _ { y y } } & { = - { \frac { e ^ { x } } { ( 1 + y ) ^ { 2 } } } } \\ { f _ { x y } } & { = f _ { y x } = { \frac { e ^ { x } } { 1 + y } } . } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { 0 } & { { } = } & { \frac { d ^ { 2 } E _ { \pm } } { d z ^ { 2 } } \, + \frac { \omega ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } n _ { \pm } ^ { 2 } E _ { \pm } , } \end{array}
V [ A _ { i } , \Phi ] = \int d ^ { 3 } x \left\{ \frac { 1 } { 2 } \mathrm { T r } \, \left( F _ { i j } F _ { i j } \right) + \frac { 1 } { 2 } \mathrm { T r } \left( D _ { i } \Phi \right) ^ { \dagger } D _ { i } \Phi + \frac { \lambda } { 4 } \left( \mathrm { T r } \Phi ^ { \dagger } \Phi - v ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \right\} \ ,
P ( A , D ) = \prod _ { i = m } ^ { 1 } ( \mathbb { 1 } + A ( \xi _ { i } ) \Delta t _ { i } ) = ( \mathbb { 1 } + A ( \xi _ { m } ) \Delta t _ { m } ) . . . ( \mathbb { 1 } + A ( \xi _ { 1 } ) \Delta t _ { 1 } )
\begin{array} { r } { \left| \int _ { \mathbf R ^ { 3 } \times \mathbf T ^ { 3 } } \frac { | \xi | ^ { 2 } } { 2 } ( F _ { - , i n } ^ { \varepsilon } - \mu _ { \beta _ { i n } } e ^ { \beta _ { i n } \psi _ { i n } ^ { \varepsilon } } ) d x d \xi + \frac { 1 } { 8 \pi } \int _ { \mathbf T ^ { 3 } } | \nabla _ { x } \phi _ { i n } ^ { \varepsilon } | ^ { 2 } - | \nabla _ { x } \psi _ { i n } ^ { \varepsilon } | ^ { 2 } d x \right| \leq M \varepsilon . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \int _ { a ^ { \prime } } ^ { b ^ { \prime } } x _ { 1 } ( z , t ) \, d z } & { = \int _ { a ^ { \prime } } ^ { b ^ { \prime } } \mathbf { d } _ { 0 } \mathcal { N } _ { 1 } ( x , c _ { 0 } , \overline { { c } } _ { 0 } ) ( z , t ) \, d z \, } \\ & { = \int _ { a ^ { \prime } } ^ { 0 } - \partial _ { z } \mathcal { N } _ { 1 } ^ { - } ( x ) ( z , t ) \, d z + \int _ { 0 } ^ { b ^ { \prime } } - \partial _ { z } \mathcal { N } _ { 1 } ^ { + } ( x ) ( z , t ) \, d z } \\ & { = \mathcal { N } _ { 1 } ^ { - } ( a ^ { \prime } , t ) \underbrace { - \mathcal { N } _ { 1 } ^ { - } ( 0 ^ { - } , t ) + \mathcal { N } _ { 1 } ^ { + } ( 0 ^ { + } , t ) } _ { \stackrel { ( ) } { = 0 } } - \mathcal { N } _ { 1 } ^ { + } ( b ^ { \prime } , t ) } \\ & { = \mathcal { N } _ { 1 } ^ { - } ( a ^ { \prime } , t ) - \mathcal { N } _ { 1 } ^ { + } ( b ^ { \prime } , t ) } \\ & { = \mathcal { N } _ { 1 } ( a ^ { \prime } , t ) - \mathcal { N } _ { 1 } ( b ^ { \prime } , t ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { C o v ( \ p s i ) } _ { i j } ^ { k } \equiv \Big \langle \Big ( { \psi } _ { i } ^ { k } { \psi } _ { j } ^ { - k } - \langle { \psi } _ { i } ^ { k } \rangle \langle { \psi } _ { j } ^ { - k } \rangle \Big ) ^ { 2 } \Big \rangle \, . } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { B _ { n } } } & { { = } } & { { \displaystyle \frac { q ^ { n ^ { 2 } + ( \kappa - \iota + 1 ) n } } { ( q ^ { \kappa - \iota + 2 } ) _ { 2 n } } \sum _ { { \nu _ { 1 } \geq \cdots \geq \nu _ { \kappa - 1 } \geq \nu _ { \kappa } = 0 } \atop { \nu _ { 1 } + \cdots + \nu _ { \kappa - 1 } \leq n } } q ^ { \nu _ { 1 } ^ { 2 } + \cdots + \nu _ { \kappa - 1 } ^ { 2 } - \nu _ { 1 } ( 2 n + \kappa - \iota + 1 ) } } } \\ { { } } & { { \times } } & { { \displaystyle \prod _ { \mu = 1 } ^ { \kappa - 1 } \left[ \begin{array} { c } { { 2 n + \kappa - \iota + 1 - 2 ( \nu _ { 1 } + \cdots + \nu _ { \mu - 1 } ) - \nu _ { \mu } - \nu _ { \mu + 1 } - \alpha _ { \iota \mu } ^ { ( \kappa ) } } } \\ { { \nu _ { \mu } - \nu _ { \mu + 1 } } } \end{array} \right] _ { q } . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \zeta _ { t \log ( t ) } } & { = \frac { 2 \left| \rho _ { 2 } \right| } { 1 + \rho _ { 1 } } } \\ { \zeta _ { ( \sqrt { t } - 1 ) ^ { 2 } } / 2 } & { = \frac { \left( ( \rho _ { 1 } - 2 \rho _ { 2 } + 1 ) ( \rho _ { 1 } + 2 \rho _ { 2 } + 1 ) \right) ^ { 1 / 4 } \left( 2 \rho _ { 2 } ^ { 2 } + ( 1 + \rho _ { 1 } ) ^ { 2 } \right) \left| \rho _ { 2 } \right| } { 2 ( 1 + \rho _ { 1 } ) ^ { 1 / 2 } ( \rho _ { 1 } - \rho _ { 2 } + 1 ) ^ { 3 / 2 } ( \rho _ { 1 } + \rho _ { 2 } + 1 ) ^ { 3 / 2 } } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l r l } & { \partial _ { t } p _ { s } + G _ { 1 } ( t , x ) + G _ { 2 } ( t , x ) \cdot \nabla ^ { h } p _ { s } = - N h \Delta ^ { h } p _ { s } \qquad } & & { \mathrm { ~ i n ~ } ( 0 , T ) \times { \mathbb { R } } ^ { d } , } \\ & { p _ { s } ( T , x ) = \frac { q ( x + s e ) - q ( x ) } { s } \qquad } & & { \mathrm { ~ o n ~ } { \mathbb { R } } ^ { d } , } \end{array} \right.
B _ { j } = { \sqrt { \frac { ( j ^ { 2 } - j _ { 0 } ^ { 2 } ) ( j ^ { 2 } - j _ { 1 } ^ { 2 } ) } { j ^ { 2 } ( 4 j ^ { 2 } - 1 ) } } } , \quad j _ { 0 } = 0 , { \frac { 1 } { 2 } } , 1 , \ldots \quad { \mathrm { a n d } } \quad j _ { 1 } , \xi _ { j } \in \mathbb { C } .
\begin{array} { r l } { \dot { V } _ { u } ( x _ { 0 } ) } & { \le - \| x _ { 0 } \| _ { X } ^ { 2 } + \varepsilon \| x _ { 0 } \| _ { X } ^ { 2 } + \frac { ( \| A ^ { \ast } P \| _ { L ( X ) } + \| P A \| _ { L ( X ) } ) ^ { 2 } \| A _ { - 1 } ^ { - 1 } B \| _ { L ( U , X ) } ^ { 2 } M ^ { 2 } } { 4 \varepsilon } \| u \| _ { \infty } ^ { 2 } } \\ & { \qquad + \| A ^ { \ast } P \| _ { L ( X ) } \| A _ { - 1 } ^ { - 1 } B \| _ { L ( U , X ) } M \kappa ( 0 ) \| u \| _ { \infty } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { \mu _ { \mathrm { m a c r o } } = \frac { \mu _ { \mathrm { e } } \, \mu _ { \mathrm { m i c r o } } } { \mu _ { \mathrm { e } } + \mu _ { \mathrm { m i c r o } } } \, , } & & { 2 \mu _ { \mathrm { m a c r o } } + 3 \lambda _ { \mathrm { m a c r o } } = \frac { ( 2 \mu _ { \mathrm { e } } + 3 \lambda _ { \mathrm { e } } ) ( 2 \mu _ { \mathrm { m i c r o } } + 3 \lambda _ { \mathrm { m i c r o } } ) } { ( 2 \mu _ { \mathrm { e } } + 3 \lambda _ { \mathrm { e } } ) + ( 2 \mu _ { \mathrm { m i c r o } } + 3 \lambda _ { \mathrm { m i c r o } } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d \Gamma } { d t } } & { = \frac { d } { d t } \int _ { \mathcal { C } } \mathbf { u } \cdot d \mathbf { r } } \\ & { = \int _ { \mathcal { C } } \frac { D \mathbf { u } } { D t } \cdot d \mathbf { r } + \underbrace { \int _ { \mathcal { C } } \mathbf { u } \cdot d \biggl ( \frac { d \mathbf { r } } { d t } \Biggr ) } _ { = \, 0 } } \\ & { = \iint _ { \mathcal { S } } \nabla \times \frac { D \mathbf { u } } { D t } \cdot d \mathbf { A } } \\ & { = \iint _ { \mathcal { S } } \nabla p \times \nabla \left( \frac { 1 } { \rho } \right) \cdot d \mathbf { A } } \end{array}
W _ { N } ^ { ( 1 ) } ( \omega ) ^ { B o r n } = - \frac { 1 } { 4 M _ { N } ^ { 2 } } \; \left\{ \kappa _ { p } ^ { 2 } \; \left( 1 + \tau _ { 3 } \right) \; + \; \kappa _ { n } ^ { 2 } \; \left( 1 - \tau _ { 3 } \right) \right\} \; ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ \sigma _ { n } ^ { 2 } ( \mathcal { H } _ { i j } ) ] \leq } & { \mathbb { E } \Big [ \operatorname* { s u p } _ { f \in \mathcal { H } _ { i j } } \frac { 1 } { n } \sum _ { u = 1 } ^ { n } D G _ { f } ^ { 2 } ( u ) - \mathbb { E } \big ( D G _ { f } ^ { 2 } ( u ) \big ) \Big ] + \operatorname* { s u p } _ { f \in \mathcal { H } _ { i j } } \frac { 1 } { n } \sum _ { u = 1 } ^ { n } \mathbb { E } \big ( D G _ { f } ^ { 2 } ( u ) \big ) } \\ { \leq } & { 8 C _ { \upsilon } \mathbb { E } \big [ \mathcal { R } ( \mathcal { H } _ { i j } ) \big ] + \operatorname* { s u p } _ { f \in \mathcal { H } _ { i j } } \frac { 1 } { n } \sum _ { u = 1 } ^ { n } \mathbb { E } \Big [ \big ( G _ { f _ { \mathcal { F } } ^ { * } } ( u ) - G _ { f } ( u ) \big ) ^ { 2 } \Big ] . } \end{array}
\alpha _ { t _ { 0 } } ( \mathbf { p } ) = \langle \mathbf { r } _ { u } , \mathbf { S } ( \mathbf { r } ( \mathbf { p } ) , t _ { 0 } ) \mathbf { r } _ { u } \rangle \langle \mathbf { r } _ { v } , \mathbf { r } _ { v } \rangle + \langle \mathbf { r } _ { v } , \mathbf { S } ( \mathbf { r } ( \mathbf { p } ) , t _ { 0 } ) \mathbf { r } _ { v } \rangle \langle \mathbf { r } _ { u } , \mathbf { r } _ { u } \rangle - 2 \langle \mathbf { r } _ { u } , \mathbf { S } ( \mathbf { r } ( \mathbf { p } ) , t _ { 0 } ) \mathbf { r } _ { v } \rangle \langle \mathbf { r } _ { u } , \mathbf { r } _ { v } \rangle
\left( \begin{array} { c } { { \nu _ { e } } } \\ { { e ^ { - } } } \end{array} \right) _ { L } \; \; \; \; \; \; \left( \begin{array} { c } { { \nu _ { \mu } } } \\ { { \mu ^ { - } } } \end{array} \right) _ { L } \; \; \; \; \; \; \left( \begin{array} { c } { { \nu _ { \tau } } } \\ { { \tau ^ { - } } } \end{array} \right) _ { L } \; .
\iota _ { \xi } \, E ^ { A } \, = \, \xi ^ { A } \ \Rightarrow \ \iota _ { \xi } \, \Omega _ { p } \, = \, \frac { 1 } { ( p - 1 ) ! } E ^ { A _ { 1 } } . . . E ^ { A _ { p - 1 } } \xi ^ { A _ { p } } \, \Omega _ { A _ { p } . . . A _ { 1 } } .
F ( x ) \; \propto \; x ^ { 2 \gamma _ { \mathrm { s p } } } \: , \qquad \frac { \pi \gamma _ { \mathrm { s p } } } { { \tan } { \pi \gamma _ { \mathrm { s p } } } } = - \frac { m _ { \mathrm { s p } } ^ { 2 } - \beta ^ { 2 } } { \beta ^ { 2 } } \; .
\sum _ { i = 0 } ^ { n - 1 } \frac { 1 } { n ! } \left( \prod _ { m = 0 } ^ { i - 1 } \left( x - m \right) \right) \prod _ { m = i + 1 } ^ { n - 1 } \left( x - m \right) = \sum _ { i = 0 } ^ { n - 1 } \frac { \left( - 1 \right) ^ { n + i + 1 } } { n ! } \frac { \Gamma \left( x + 1 \right) } { \Gamma \left( x - i + 1 \right) } \frac { \Gamma \left( n - x \right) } { \Gamma \left( i - x + 1 \right) } .
d s ^ { 2 } = \left( { \frac { 2 } { 1 + | \zeta | ^ { 2 } } } \right) ^ { 2 } \, | d \zeta | ^ { 2 } = { \frac { 4 } { \left( 1 + \zeta { \bar { \zeta } } \right) ^ { 2 } } } \, d \zeta \, d { \bar { \zeta } } .
\mathrm { V I I } ) \; \; { \cal A } _ { \mathrm { C P } } ^ { 0 + } R _ { c } = { \cal A } _ { \mathrm { C P } } ^ { + 0 } + { \frac { A _ { \mathrm { C P } } ^ { - + } R - { \cal A } _ { \mathrm { C P } } ^ { 0 0 } R _ { 0 } } { 1 + { \cal A } _ { \mathrm { C P } } ^ { - + } R - A _ { \mathrm { C P } } ^ { + 0 } } } + k _ { 7 } ,
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \varepsilon ^ { - } } { \partial t } = } & { { } - ( V - V _ { A } ) \frac { \partial \varepsilon ^ { - } } { \partial r } - \frac { 1 } { A } \frac { \partial } { \partial r } \left( A \left( V - V _ { A } \right) \right) \varepsilon ^ { - } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { S M } f \, \d \Sigma _ { g } } & { = \int _ { S M } L _ { X } ( u ) \, \d \Sigma } \\ & { = \int _ { S M } L _ { X } ( u \, \d \Sigma ) - \int _ { S M } u L _ { X } ( \d \Sigma ) } \\ & { = \int _ { S M } L _ { X } ( u \, \d \Sigma ) } \\ & { = \int _ { \partial ( S M ) } ( j ^ { \ast } u ) \mu \, \d \Sigma _ { j ^ { \ast } g } } \\ & { = \int _ { \partial ( S M ) } \int _ { 0 } ^ { \tau ( z ) } f ( \phi _ { t } ( z ) ) \, \d t \mu \, \d \Sigma _ { j ^ { \ast } g } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { v } _ { i } = \sum _ { j = - \infty } ^ { \infty } \left( a _ { j } ^ { i } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \lambda _ { j } ^ { i } x } + b _ { j } ^ { i } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \lambda _ { j } ^ { i } x } \right) \mathbf { f } ^ { j , i } , \quad \forall \, x \in \left( x _ { i } ^ { - } , x _ { i } ^ { + } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { D ^ { 2 } \psi } & { = r \frac { \partial } { \partial r } \left( \frac { 1 } { r } \frac { \partial \psi } { \partial r } \right) + \frac { \partial ^ { 2 } \psi } { \partial z ^ { 2 } } = \phi , } \\ { D ^ { 2 } \phi } & { = r \frac { \partial } { \partial r } \left( \frac { 1 } { r } \frac { \partial \phi } { \partial r } \right) + \frac { \partial ^ { 2 } \phi } { \partial z ^ { 2 } } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { G } = \Big \{ \Upsilon _ { \zeta , \mu } = \big ( { \bf R } _ { ( 2 \pi \zeta \alpha + \mu \Theta ) } | \, \zeta \tau \textbf { e \textsubscript { Z } } ) : \zeta \in \mathbb { Z } , \mu = 0 , 1 , \dots , \mathfrak { N } - 1 \Big \} \, . } \end{array}
\displaystyle T _ { B } ( \lambda ) = \left( 1 - R ( \lambda , \phi ) \right) \int _ { 0 } ^ { \infty } T ( z ) \exp \left( \frac { - \kappa _ { \lambda } z } { \cos \theta } \right) \frac { \kappa _ { \lambda } } { \cos \theta } d z ,
\begin{array} { r } { | \Delta ^ { \alpha } a ( \xi ) | \leq \sum _ { \beta \leq \alpha } { \binom { \alpha } { \beta } } | a ( \xi + \beta ) | \leq \sum _ { \beta \leq \alpha } { \binom { \alpha } { \beta } } \langle \xi + \beta \rangle ^ { - \varkappa } \lesssim _ { \alpha } ( 1 + | \xi | ) ^ { - \varkappa } , \, \, \xi \in \mathbb { Z } ^ { n } . } \end{array}
x = 2 t _ { 1 } + 3 t _ { 2 } , \; \; \; \; y = 5 t _ { 1 } - 4 t _ { 2 } , \; \; \; \; { \mathrm { a n d } } \; \; \; \; z = - t _ { 1 } + 2 t _ { 2 }
\begin{array} { c c } { \varepsilon _ { 1 } \sim N ( 0 , 1 ) \qquad } & { \varepsilon _ { 2 } \sim N ( 0 , 1 ) } \\ { \varepsilon _ { 3 } \sim N ( 0 , 1 ) \qquad } & { \varepsilon _ { 4 } \sim N ( 0 , 1 ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { \{ a \geq c _ { 0 } v ^ { \frac { 2 } { 3 } } \} } \frac { a ^ { \mu } \operatorname* { m a x } \{ v ^ { \sigma } , L \delta \} } { 1 + \delta a ^ { \mu } } ( c _ { 0 } v ^ { \frac { 2 } { 3 } } - a ) g ( \eta , t ) v ^ { l } \textup { d } \eta \lesssim - \frac { L } { 4 } \int _ { \{ a \geq 2 c _ { 0 } v ^ { \frac { 2 } { 3 } } \} } a v ^ { - | l | } g ( a , v , t ) \textup { d } v \textup { d } a + C _ { \epsilon } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ \langle v _ { k } , y _ { \lambda _ { k + 1 } } ^ { * } ( x _ { k + 1 } ) - y _ { \lambda _ { k } } ^ { * } ( x _ { k + 1 } ) \rangle | \mathcal { F } _ { k } ] } & { \le \frac { \delta _ { k } } { \lambda _ { k } } \mathbb { E } [ \| v _ { k } \| ^ { 2 } ] + \frac { l _ { f , 0 } ^ { 2 } \delta _ { k } } { \mu _ { g } ^ { 2 } \lambda _ { k } ^ { 3 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E _ { \mathrm { ~ h ~ f ~ s ~ } } ( 1 S , \mu \mathrm { ~ H ~ } ) } & { { } = } & { 1 8 2 . 6 4 0 ( 1 8 ) \, \mathrm { m e V } , } \\ { E _ { \mathrm { h f s } } ^ { \mathrm { ~ T ~ P ~ E ~ } } ( 1 S , \mu \mathrm { ~ H ~ } ) } & { { } = } & { - 1 . 1 5 7 ( 1 6 ) \, \mathrm { m e V } , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { i \partial _ { t } \varphi ( x , t ) + \langle \nabla \rangle _ { \alpha } \varphi ( x , t ) + \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { 8 } \langle \nabla \rangle _ { \alpha } ^ { - 1 } ( \varphi + \overline { { \varphi } } ) ^ { 3 } ( x , t ) = 0 , } & { x \in \Omega , \quad t > 0 , } \\ { \varphi ( a , t ) = \varphi ( b , t ) , } & { t \geq 0 , } \\ { \varphi ( x , 0 ) = \varphi _ { 0 } ( x ) : = \psi _ { 0 } ( x ) - i \langle \nabla \rangle _ { \alpha } ^ { - 1 } \psi _ { 1 } ( x ) , } & { x \in \overline { { \Omega } } . } \end{array} \right.
c \, \tau _ { N L S P } \simeq \frac { 1 } { 1 0 0 \, \cal { B } } \left( \frac { \sqrt { F } } { 1 0 0 \, \mathrm { T e V } } \right) ^ { 4 } \left( \frac { m _ { N L S P } } { 1 0 0 \, \mathrm { G e V } } \right) ^ { - 5 } \, \mathrm { c m } \, ,
| Z _ { 1 } | ^ { 2 } = | Z _ { 2 } | ^ { 2 } = { \frac { 1 } { ( 4 G ) ^ { 2 } } } e ^ { - \eta _ { 0 } } [ ( Q _ { R } { } ^ { 1 } ) ^ { 2 } + ( Q _ { R } { } ^ { 2 } ) ^ { 2 } ] \ ,
\begin{array} { r } { w _ { A I } = 2 \pi \int _ { 0 } ^ { \infty } v _ { t h } ^ { 2 } \cdot \mathrm { d } v _ { t h } \int _ { 0 } ^ { \pi } \sin \theta \cdot \mathrm { d } \theta \cdot \Theta \left( W - I _ { p } \right) } \\ { \times \alpha _ { 0 } \left( \frac { W - I _ { p } } { I _ { p } } \right) ^ { 2 } \left( \frac { m _ { e } ^ { * } } { 3 \pi k _ { b } T _ { e } } \right) ^ { 3 / 2 } \exp \left( - \frac { m _ { e } ^ { * } v _ { t h } ^ { 2 } } { 3 k _ { b } T _ { e } } \right) , } \end{array}
E = E _ { \mathrm { ~ H ~ V ~ } } = E _ { \mathrm { ~ D ~ A ~ } } = \frac { { \eta } ^ { c } C ^ { \mathrm { ~ t ~ } } E ^ { \mathrm { ~ p ~ o ~ l ~ } } + \frac { 1 } { 2 } C ^ { \mathrm { ~ a ~ c ~ c ~ } } } { { \eta } ^ { c } C ^ { \mathrm { ~ t ~ } } + C ^ { \mathrm { ~ a ~ c ~ c ~ } } } \, ,
\begin{array} { r l } { \delta \phi _ { i j } \Delta x ^ { 2 } } & { { } = \underbrace { \frac { E I \omega ( r _ { i j } ) } { \int _ { 0 } ^ { \delta } \omega ( x ) d x } \frac { ( u _ { i j } + u _ { i j ^ { \prime } } ) } { r _ { i j } ^ { 4 } } \Delta x ^ { 2 } } _ { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ c ~ e ~ d ~ u ~ e ~ t ~ o ~ b ~ e ~ n ~ t ~ : ~ } f _ { i j j ^ { \prime } } } \cdot ( \delta u _ { j } + \delta u _ { j ^ { \prime } } - 2 \delta u _ { i } ) } \end{array}
\chi q = - \underbrace { E _ { - 2 } ^ { \sharp } \left( \psi \partial _ { i j } ^ { 2 } ( a v ^ { i } v ^ { j } ) \right) } _ { A } - \underbrace { E _ { - 2 } ^ { \sharp } \left( \psi \partial _ { i } \left( E _ { 1 - \delta , i } ^ { \flat } q \right) \right) } _ { B } - \underbrace { E _ { - 2 } ^ { \sharp } \circ R _ { 1 + \delta } ( q ) + R _ { - 2 ( 1 - \delta ) } ( q ) } _ { R } ,
\begin{array} { r } { 2 \pi \delta ( \omega + \omega ^ { \prime } ) S _ { \alpha \beta } ^ { q } ( \omega ) = \frac { 1 } { 2 } \langle \Delta \hat { I } _ { \alpha } ( \omega ) \Delta \hat { I } _ { \beta } ( \omega ^ { \prime } ) } \\ { + \Delta \hat { I } _ { \beta } ( \omega ^ { \prime } ) \Delta \hat { I } _ { \alpha } ( \omega ) \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { F _ { \mathrm { ~ b ~ r ~ e ~ a ~ t ~ h ~ e ~ r ~ } } ( x , y , t ) } & { { } = } & { B _ { 1 } \cosh \left( E _ { 1 } ( x , y , t ) \right) + B _ { 2 } \cos \left( E _ { 2 } ( x , y , t ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m a x } _ { \boldsymbol { \Theta } _ { 0 } , \: \mathbf { w } _ { \hat { k } } } \quad } & { \biggl | \Bigl ( \mathbf { g } _ { \hat { k } } ^ { T } \boldsymbol { \Theta } _ { 0 } \mathbf { H } + \mathbf { f } _ { \hat { k } } ^ { T } \Bigr ) \mathbf { w } _ { \hat { k } } \biggr | ^ { 2 } } \\ { \textrm { s . t . } \quad } & { \| \mathbf { w } _ { \hat { k } } \| ^ { 2 } \leqslant 1 } \\ { \quad } & { \phi _ { n } \in [ 0 , 2 \pi ) , \: \forall n = 1 , 2 , \ldots , N , } \end{array}
\begin{array} { r } { \epsilon _ { \mathrm { ~ H ~ x ~ c ~ } } ^ { \mathrm { ~ l ~ d ~ } } ( r _ { s } ) : = \frac { - C _ { \infty } } { r _ { s } } + \frac { C _ { \infty } ^ { \prime } } { r _ { s } ^ { 3 / 2 } } + \ldots \; , } \end{array}
n - n _ { \mathrm { n e c k } } = \left\{ \begin{array} { r l r } { 2 \pi R ^ { 2 } L \phi _ { \mathrm { p } } / v } & { , } & { \mathrm { C y l i n d e r } } \\ { \frac { 8 } { 3 } \pi R ^ { 3 } \phi _ { \mathrm { p } } / v } & { , } & { \mathrm { S p h e r e } } \\ { 8 \pi R ^ { 2 } \delta \phi _ { \mathrm { p } } / v } & { , } & { \mathrm { V e s i c l e } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { [ \sigma _ { z } ^ { 2 } ] _ { \mathrm { w c } } } & { = \frac { \sigma _ { z } ^ { 2 } } { V _ { 0 } m } \left( V _ { 0 } m + 2 \sqrt { V _ { 0 } m \ln \varepsilon _ { \mathrm { p e } } ^ { - 1 } } + 2 \ln \varepsilon _ { \mathrm { p e } } ^ { - 1 } \right) } \\ { = } & { \sigma _ { z } ^ { 2 } + \sigma _ { z } ^ { 2 } \frac { \sqrt { 2 } } { \sqrt { V _ { 0 } m } } \sqrt { 2 \ln \varepsilon _ { \mathrm { p e } } } + \mathcal { O } \left( \frac { 1 } { m } \right) } \\ { \simeq } & { \sigma _ { z } ^ { 2 } + \sigma _ { z } ^ { 2 } \frac { \sqrt { 2 } } { \sqrt { V _ { 0 } m } } \sqrt { 2 \ln \varepsilon _ { \mathrm { p e } } } , } \end{array}
f \left( \frac { m _ { u } ^ { 2 } } { M _ { L } ^ { 2 } } \right) - f \left( \frac { m _ { c } ^ { 2 } } { M _ { L } ^ { 2 } } \right) = f \left( \frac { m _ { u } ^ { 2 } } { M _ { R } ^ { 2 } } \right) - f \left( \frac { m _ { c } ^ { 2 } } { M _ { R } ^ { 2 } } \right) ,
\begin{array} { r l } & { R e g r e t ( \mathcal { M } , \textbf { O C E - V I } , K ) } \\ & { \leq 2 \sqrt { 2 } \sum _ { h = 1 } ^ { H } \vert u ( - H + h ) \vert S \sqrt { \prod _ { i = 1 } ^ { h - 1 } u _ { - } ^ { \prime } ( - H + i ) A K \log ( 3 K ) \log \left( \frac { S A H K } { \delta } \right) } + 2 \delta K H } \\ & { \leq 2 \sqrt { 2 } \sum _ { h = 1 } ^ { H } \vert u ( - H + h ) \vert S \sqrt { \prod _ { i = 1 } ^ { h - 1 } u _ { - } ^ { \prime } ( - H + i ) A K \log ( 3 K ) \log \left( 2 S A H ^ { 2 } K ^ { 2 } \right) } + 1 , } \end{array}