harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \beta ^ { 3 } - 1 } & { = \sum _ { k = 1 , 2 , 3 } { \binom { 3 } { k } } \gamma ^ { 6 k } \bigl ( 2 ( \mathfrak { c } _ { \gamma } + \mathfrak { c } _ { \gamma } ^ { \prime } - 2 \mathfrak { c } _ { \gamma } ^ { \prime \prime } ) + c + A \bigr ) ^ { k } , } \\ { \beta ^ { 6 } - 1 } & { = \sum _ { k = 1 , \ldots , 6 } { \binom { 6 } { k } } \gamma ^ { 6 k } \bigl ( 2 ( \mathfrak { c } _ { \gamma } + \mathfrak { c } _ { \gamma } ^ { \prime } - 2 \mathfrak { c } _ { \gamma } ^ { \prime \prime } ) + c + A \bigr ) ^ { k } . } \end{array}
H _ { 0 } \equiv { \frac { p ^ { 2 } } { 2 } } + { \frac { \Omega ^ { 2 } } { 2 } } q ^ { 2 } , \quad H ^ { \prime } \equiv V ( q ) - { \frac { \Omega ^ { 2 } } { 2 } } q ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \int _ { M } ( \Phi _ { 1 } ( x , t ) - x ) F ( \Phi _ { 2 } ( x , t ) ) \mathrm { d } x } & { = \int _ { M } u _ { 1 } ( \Phi ( x , t ) , t ) F ( \Phi _ { 2 } ( x , t ) ) \mathrm { d } x } \\ & { \qquad + \int _ { M } u _ { 2 } ( \Phi ( x , t ) , t ) \Phi _ { 1 } ( x , t ) F ^ { \prime } ( \Phi _ { 2 } ( x , t ) ) \mathrm { d } x . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 2 \kappa \phi _ { 0 } } \int \mathrm { d } ^ { 3 } \mathbf { r } \, \phi ( \mathbf { r } ) ^ { 2 } } & { = \frac { 1 } { 2 \kappa \phi _ { 0 } } \int \mathrm { d } ^ { 3 } \mathbf { r } \, \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \left( \frac { \mathrm { e } ^ { - \mathbf { r } _ { i } ^ { 2 } / ( 2 \sigma ^ { 2 } ) } } { ( 2 \pi \sigma ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } } \right) \left( \frac { \mathrm { e } ^ { - \mathbf { r } _ { j } ^ { 2 } / ( 2 \sigma ^ { 2 } ) } } { ( 2 \pi \sigma ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } } \right) } \\ & { = \frac { 1 } { 1 6 \pi \sigma ^ { 6 } \kappa \phi _ { 0 } } \int \mathrm { d } ^ { 3 } \mathbf { r } \, \left[ \sum _ { i = 1 } ^ { N } \mathrm { e } ^ { - \mathbf { r } _ { i } ^ { 2 } / ( \sigma ^ { 2 } ) } + 2 \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j = i + 1 } ^ { N } \mathrm { e } ^ { - \mathbf { r } _ { i } ^ { 2 } / ( 2 \sigma ^ { 2 } ) } \mathrm { e } ^ { - \mathbf { r } _ { j } ^ { 2 } / ( 2 \sigma ^ { 2 } ) } \right] } \\ & { = \frac { 1 } { 1 6 \pi \sigma ^ { 6 } \kappa \phi _ { 0 } } \left[ N \pi ^ { 3 / 2 } \sigma ^ { 3 } + 2 \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j = i + 1 } ^ { N } \int \mathrm { d } ^ { 3 } \mathbf { r } \, \mathrm { e } ^ { - ( \mathbf { R } _ { i } - \mathbf { R } _ { j } ) ^ { 2 } / ( 4 \sigma ^ { 2 } ) } \mathrm { e } ^ { - ( \mathbf { r } - \mathbf { P } ) ^ { 2 } / ( \sigma ^ { 2 } ) } \right] } \\ & { = \frac { 1 } { 1 6 \pi \sigma ^ { 6 } \kappa \phi _ { 0 } } \left[ N \pi ^ { 3 / 2 } \sigma ^ { 3 } + 2 \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j = i + 1 } ^ { N } \mathrm { e } ^ { - ( \mathbf { R } _ { i } - \mathbf { R } _ { j } ) ^ { 2 } / ( 4 \sigma ^ { 2 } ) } \int \mathrm { d } ^ { 3 } \mathbf { r } \, \mathrm { e } ^ { - ( \mathbf { r } - \mathbf { P } ) ^ { 2 } / ( \sigma ^ { 2 } ) } \right] } \\ & { = \frac { 1 } { 1 6 \pi \sigma ^ { 6 } \kappa \phi _ { 0 } } \left[ N \pi ^ { 3 / 2 } \sigma ^ { 3 } + 2 \pi ^ { 3 / 2 } \sigma ^ { 3 } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j = i + 1 } ^ { N } \mathrm { e } ^ { - ( \mathbf { R } _ { i } - \mathbf { R } _ { j } ) ^ { 2 } / ( 4 \sigma ^ { 2 } ) } \right] , } \end{array}
f _ { 1 , 2 } \, ( \tilde { m } _ { t _ { 1 } } ^ { 2 } , \tilde { m } _ { t _ { 2 } } ^ { 2 } , \tilde { m } _ { b _ { 1 } } ^ { 2 } , \tilde { m } _ { b _ { 2 } } ^ { 2 } ) = O \left( \log \frac { \Sigma \tilde { m } ^ { 2 } } { \mu _ { o } ^ { 2 } } \right) + O \left( \frac { \bigtriangleup \tilde { m } ^ { 2 } } { \Sigma \tilde { m } ^ { 2 } } \right) \, .
\begin{array} { r l r } { \displaystyle x _ { \xi } = \frac { \partial x } { \partial \xi } \, \mathrm { , } } & { \displaystyle x _ { \eta } = \frac { \partial x } { \partial \eta } \, \mathrm { , } } & { \displaystyle x _ { \zeta } = \frac { \partial x } { \partial \zeta } \, \mathrm { , } } \\ { \displaystyle y _ { \xi } = \frac { \partial y } { \partial \xi } \, \mathrm { , } } & { \displaystyle y _ { \eta } = \frac { \partial y } { \partial \eta } \, \mathrm { , } } & { \displaystyle y _ { \zeta } = \frac { \partial y } { \partial \zeta } \, \mathrm { , } } \\ { \displaystyle z _ { \xi } = \frac { \partial z } { \partial \xi } \, \mathrm { , } } & { \displaystyle z _ { \eta } = \frac { \partial z } { \partial \eta } \, \mathrm { , } } & { \displaystyle z _ { \zeta } = \frac { \partial z } { \partial \zeta } \, \mathrm { . } } \end{array}
\begin{array} { l } { { \frac { d \phi } { d r } = \left[ 1 + \frac { M } { R } \frac { \frac { 1 } { 2 } \log \left( \frac { r ^ { 2 } + r _ { 0 } ^ { 2 } } { R ^ { 2 } + r _ { 0 } ^ { 2 } } \right) } { 1 - r _ { 0 } / R \, \arctan ( R / r _ { 0 } ) } \right] \frac { 1 } { r ^ { 2 } \sqrt { \frac { 1 } { b ^ { 2 } } - \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \left[ 1 - \frac { 2 M } { R } \frac { 1 - r _ { 0 } / r \, \arctan ( r / r _ { 0 } ) - \frac { 1 } { 2 } \log \left( \frac { r ^ { 2 } + r _ { 0 } ^ { 2 } } { R ^ { 2 } + r _ { 0 } ^ { 2 } } \right) } { 1 - r _ { 0 } / R \, \arctan ( R / r _ { 0 } ) } \right] } } } } \\ { { \Longrightarrow \ \frac { d \phi } { d y } = \left[ 1 + \frac { 2 M } { R } \frac { 1 - r _ { 0 } y \, \arctan ( 1 / r _ { 0 } y ) } { 1 - r _ { 0 } / R \, \arctan ( R / r _ { 0 } ) } \right] \frac { 1 } { \sqrt { \frac { 1 } { b ^ { 2 } } - y ^ { 2 } } } + O ( M ^ { 2 } u ^ { 2 } ) \ , } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left[ \begin{array} { l } { \phi _ { k } ^ { - ( M { - } 1 ) / 2 } } \\ { \vdots } \\ { \phi _ { k } ^ { ( M { - } 1 ) / 2 } } \end{array} \right] } & { = } & { \left[ \begin{array} { l l l l l } { 1 } & { - ( M - 1 ) / 2 } & { a { ( - ( M - 1 ) / 2 ) } } & { \hdots } & { p { ( - ( M - 1 ) / 2 ) } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & & { \vdots } \\ { 1 } & { ( M - 1 ) / 2 } & { a { ( ( M - 1 ) / 2 ) } } & { \hdots } & { p { ( ( M - 1 ) / 2 ) } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \phi _ { k } ^ { s _ { 1 } } } \\ { \phi _ { k } ^ { s _ { 2 } } } \\ { \phi _ { k } ^ { s _ { 3 } } } \\ { \vdots } \\ { \phi _ { k } ^ { s _ { P } } } \end{array} \right] } \\ & { \equiv } & { \overbrace { \left[ \begin{array} { l l l } { h _ { 1 1 } } & { \hdots } & { h _ { 1 P } } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { h _ { M 1 } } & { \hdots } & { h _ { M P } } \end{array} \right] } ^ { \mathbf { H } } \left[ \begin{array} { l } { \phi _ { k } ^ { s _ { 1 } } } \\ { \vdots } \\ { \phi _ { k } ^ { s _ { P } } } \end{array} \right] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial F } { \partial t } } & { = } & { \frac { e ^ { 2 } } { 4 } \sum _ { l } \int d \textbf { k } \frac { 1 } { p _ { \perp } } \left[ \left( 1 - \frac { k _ { \parallel } p _ { \parallel } } { \gamma m \omega } \right) \frac { \partial } { \partial p _ { \perp } } + \frac { k _ { \parallel } p _ { \perp } } { \gamma m \omega } \frac { \partial } { \partial p _ { \parallel } } \right] } \\ & { } & { \times \Bigg \lbrace p _ { \perp } \Bigg [ \pi \delta \left( \omega - l \omega _ { c } - \frac { k _ { \parallel } p _ { \parallel } } { \gamma m } \right) | E _ { k } | ^ { 2 } } \\ & { } & { - \frac { \partial } { 2 \partial \omega } \left( P V \left( \frac { 1 } { \omega - l \omega _ { c } - \frac { k _ { \parallel } p _ { \parallel } } { \gamma m } } \right) \right) \frac { \partial \left| E _ { k } \right| ^ { 2 } } { \partial t } \Bigg ] } \\ & { } & { \times \left[ \left( 1 - \frac { k _ { \parallel } p _ { \parallel } } { \gamma m \omega } \right) \frac { \partial } { \partial p _ { \perp } } + \frac { k _ { \parallel } p _ { \perp } } { \gamma m \omega } \frac { \partial } { \partial p _ { \parallel } } \right] F \Bigg \rbrace , } \end{array}
\cos \theta ^ { * } = 2 \, { \frac { | p _ { z } ( \ell ^ { + } \ell ^ { - } ) | } { p _ { z } ( \ell ^ { + } \ell ^ { - } ) } } { \frac { p ^ { + } ( \ell ^ { - } ) p ^ { - } ( \ell ^ { + } ) - p ^ { - } ( \ell ^ { - } ) p ^ { + } ( \ell ^ { + } ) } { m ( \ell ^ { + } \ell ^ { - } ) \sqrt { m ^ { 2 } ( \ell ^ { + } \ell ^ { - } ) + p _ { T } ^ { 2 } ( \ell ^ { + } \ell ^ { - } ) } } } ~ .
\dot { \bar { r } } ( t ) \, = \, - \frac { \Gamma \delta } { r _ { 0 } } \Bigl ( 1 - \epsilon ( t ) ^ { 2 } \bigl ( c _ { 1 } \beta _ { \epsilon ( t ) } + c _ { 2 } \bigr ) \Bigr ) \, = \, - \frac { \Gamma \delta } { r _ { 0 } } \biggl ( 1 - \frac { \nu t } { { \bar { r } } ( t ) ^ { 2 } } \Bigl ( c _ { 1 } \log \frac { \bar { r } ( t ) } { \sqrt { \nu t } } + c _ { 2 } \Bigr ) \biggr ) \, ,
\begin{array} { r l r l r l } { { \hat { O } } } & { { } } & { { \stackrel { \cal W } { \longleftrightarrow } } } & { { ~ } } & { { \tilde { o } ( z ) \nonumber } } \\ { { } } & { { \searrow \nwarrow } } & { { } } & { { ~ ~ W \swarrow \nearrow } } & { { \nonumber } } \\ { { } } & { { } } & { { ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ o ( y , x ) } } & { { } } & { { } } \end{array}
\zeta _ { i j } ( v , \mu _ { R } , \mu _ { F } ) = v \int _ { 0 } ^ { 1 - v } d \tau _ { 2 } ~ \tau _ { 2 } ^ { \gamma + 1 } ~ \int _ { 0 } ^ { 1 - v - \tau _ { 2 } } d \tau _ { x } ~ h _ { i j } ( \tau _ { x } , \tau _ { 2 } , 4 v \tau _ { 2 } , \mu _ { R } , \mu _ { F } ) ~ ,
T _ { S } = \left( \frac { 1 - \alpha / 2 } { 1 - \epsilon / 2 } \right) ^ { 1 / 4 } T _ { \mathrm { ~ e ~ q ~ } } \; \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \; T _ { \mathrm { ~ e ~ q ~ } } = \left( \frac { \mathcal { F } _ { s } ( 1 - \mathcal { A } _ { b } ) } { \sigma } \right) ^ { 1 / 4 } .
\begin{array} { r l } & { \| \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { 1 } { N } K ( x _ { j } , y ) - \int _ { [ 0 , 1 ] ^ { d } } K ( x , y ) d x \| _ { \infty } } \\ { \leq } & { \operatorname* { s u p } _ { y \in [ 0 , 1 ] ^ { d } } | \int _ { [ 0 , 1 ] ^ { d } } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { 1 } { N } \mathbf { 1 } _ { ( x _ { j } , 1 ] } ( t ) \mathbf { 1 } _ { ( y , 1 ] } ( t ) d t - \int _ { [ 0 , 1 ] ^ { d } } \int _ { [ 0 , 1 ] ^ { d } } \mathbf { 1 } _ { ( x , 1 ] } ( t ) \mathbf { 1 } _ { ( y , 1 ] } ( t ) d t d x | } \\ { = } & { \operatorname* { s u p } _ { y \in [ 0 , 1 ] ^ { d } } | \int _ { [ 0 , 1 ] ^ { d } } \Big ( \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { 1 } { N } \mathbf { 1 } _ { ( x _ { j } , 1 ] } ( t ) - \int _ { [ 0 , 1 ] ^ { d } } \mathbf { 1 } _ { ( x , 1 ] } ( t ) d x \Big ) \mathbf { 1 } _ { ( y , 1 ] } ( t ) d t | } \\ { \leq } & { \operatorname* { s u p } _ { y \in [ 0 , 1 ] ^ { d } } \| \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { 1 } { N } \mathbf { 1 } _ { ( x _ { j } , 1 ] } ( t ) - \int _ { [ 0 , 1 ] ^ { d } } \mathbf { 1 } _ { ( x , 1 ] } ( t ) d x \| _ { \infty } \int _ { [ 0 , 1 ] ^ { d } } \mathbf { 1 } _ { \mathbf { 1 } _ { ( y , 1 ] } } ( t ) d t } \\ { \leq } & { \| \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { 1 } { N } \mathbf { 1 } _ { ( x _ { j } , 1 ] } ( t ) - \int _ { [ 0 , 1 ] ^ { d } } \mathbf { 1 } _ { ( x , 1 ] } ( t ) d x \| _ { \infty } } \\ { \leq } & { \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , 1 ] ^ { d } } | \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { 1 } { N } \mathbf { 1 } _ { ( x _ { j } , 1 ] } ( t ) - \int _ { [ 0 , 1 ] ^ { d } } \mathbf { 1 } _ { ( x , 1 ] } ( t ) d x | } \\ { \leq } & { D _ { N } ^ { * } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , \ldots , x _ { N } ) . } \end{array}
{ \left( \begin{array} { l l } { - 1 } & { \alpha ^ { - 1 } + \alpha ^ { 6 } x } \\ { \alpha ^ { 3 } + \alpha ^ { 1 } x } & { - \left( \alpha ^ { - 7 } + \alpha ^ { 7 } x + \alpha ^ { 7 } x ^ { 2 } \right) } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l l } { \alpha ^ { - 7 } + \alpha ^ { 7 } x + \alpha ^ { 7 } x ^ { 2 } } & { \alpha ^ { - 1 } + \alpha ^ { 6 } x } \\ { \alpha ^ { 3 } + \alpha ^ { 1 } x } & { 1 } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } ,
D ^ { \prime } ( a ) = P ^ { - 1 } D ( a ) P = { \left( \begin{array} { l l l l } { D ^ { ( 1 ) } ( a ) } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { D ^ { ( 2 ) } ( a ) } & { \cdots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { D ^ { ( k ) } ( a ) } \end{array} \right) } = D ^ { ( 1 ) } ( a ) \oplus D ^ { ( 2 ) } ( a ) \oplus \cdots \oplus D ^ { ( k ) } ( a ) ,
\left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { R e } ( A _ { f } ) = \frac { \varepsilon _ { \omega } F _ { t h } } { m _ { \mathrm { e f f } } } \frac { \omega _ { 0 } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } ( 1 + \Gamma \tau ) } { [ ( \omega _ { 0 } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } ) ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } \Gamma ^ { 2 } ] ( 1 + \omega ^ { 2 } \tau ^ { 2 } ) } , } \\ { \mathrm { I m } ( A _ { f } ) = \frac { \varepsilon _ { \omega } F _ { t h } } { m _ { \mathrm { e f f } } } \frac { - \omega [ ( \omega _ { 0 } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } ) \tau + \Gamma ] } { [ ( \omega _ { 0 } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } ) ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } \Gamma ^ { 2 } ] ( 1 + \omega ^ { 2 } \tau ^ { 2 } ) } , } \end{array} \right.
\boldsymbol { \Phi } _ { L } \cdot \left\{ \begin{array} { c } { \boldsymbol { \gamma } _ { L } } \\ { \boldsymbol { \pi } _ { L } } \end{array} \right\} = \left[ \begin{array} { l l } { \boldsymbol { R } _ { L } } & { \boldsymbol { P } _ { L } } \\ { \boldsymbol { P } _ { L } ^ { T } } & { \boldsymbol { 0 } } \end{array} \right] \cdot \left\{ \begin{array} { c } { \boldsymbol { \gamma } _ { L } } \\ { \boldsymbol { \pi } _ { L } } \end{array} \right\} = \left\{ \begin{array} { c } { \boldsymbol { f } _ { L } } \\ { \boldsymbol { 0 } } \end{array} \right\}
{ \begin{array} { r l } { { \hat { \theta } } _ { \mathrm { M A P } } ( x ) } & { = { \underset { \theta } { \operatorname { a r g \, m a x } } } \ f ( \theta \mid x ) } \\ & { = { \underset { \theta } { \operatorname { a r g \, m a x } } } \ { \frac { f ( x \mid \theta ) \, g ( \theta ) } { \displaystyle \int _ { \Theta } f ( x \mid \vartheta ) \, g ( \vartheta ) \, d \vartheta } } } \\ & { = { \underset { \theta } { \operatorname { a r g \, m a x } } } \ f ( x \mid \theta ) \, g ( \theta ) . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \mathrm { d } \omega } & { = \mathrm { d } \omega _ { a _ { 1 } \cdots a _ { k } } \wedge \mathrm { d } x ^ { a _ { 1 } } \wedge \cdots \wedge \mathrm { d } x ^ { a _ { k } } } \\ & { = \partial _ { b } \omega _ { a _ { 1 } \cdots a _ { k } } \mathrm { d } x ^ { b } \wedge \mathrm { d } x ^ { a _ { 1 } } \wedge \cdots \wedge \mathrm { d } x ^ { a _ { k } } . } \end{array}
\eta = 4 \alpha [ - m _ { 1 } + m _ { 2 } + m _ { 3 } + s _ { 1 } + s _ { 2 } + s _ { 3 } + s _ { 4 } + t - 2 N ( r _ { 2 } + 2 s _ { 3 } + s _ { 4 } ) ] .
\begin{array} { r l r } { d \beta } & { { } = } & { \sqrt { \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left[ \left( { \frac { \partial \beta } { \partial \/ x _ { i } } } \right) ^ { 2 } ( d \, x _ { \it \/ i } ) ^ { 2 } \mathrm { ~ \, ~ + ~ \, ~ } \left( { \frac { \partial \beta } { \partial \/ y _ { i } } } \right) ^ { 2 } ( d \, y _ { \it \/ i } ) ^ { 2 } \right] \mathrm { ~ \, ~ + ~ \, ~ } \left( { \frac { \partial \beta } { \partial \alpha } } \right) ^ { 2 } ( d \alpha ) ^ { 2 } \ } } \end{array}
K _ { N } ^ { d } = { \frac { 1 } { ( d - 1 ) } } { \frac { 1 } { \Sigma _ { d } } } \left( { \frac { 1 } { \sigma ^ { d - 1 } } } + { \frac { c _ { 1 } ^ { ( d ) } R ^ { - 1 } } { \sigma ^ { d - 2 } } } + . . . + { \frac { c _ { k } ^ { ( d ) } R ^ { - k } } { \sigma ^ { d - k - 1 } } } + . . . + c _ { d - 1 } ^ { ( d ) } R ^ { 1 - d } \ln \sigma \right)
\begin{array} { r l } { C _ { T } = } & { { } C _ { ( { R _ { t b 1 } ^ { 2 } } ) } M _ { t b } ^ { - \frac { 2 } { d } } + \mathcal { Q } _ { M _ { t b } } ^ { D } ( R _ { t b 1 } ^ { 2 } ) + \varepsilon ^ { 2 } \left( C _ { ( { R _ { t b 2 } ^ { 2 } } ) } M _ { t b } ^ { - \frac { 2 } { d } } + \mathcal { Q } _ { M _ { t b } } ^ { D } ( R _ { t b 2 } ^ { 2 } ) \right) } \end{array}
\langle \widetilde { \Psi } _ { \ell } ( s ) | = e ^ { + i \Omega _ { \ell } ( s ) } \left[ \langle \widetilde { \ell } ( s ) | + \frac { 1 } { T } \sum _ { m \neq \ell } \frac { i \langle \dot { \widetilde { \ell } } ( s ) | m ( s ) \rangle } { \Delta _ { \ell m } ( s ) } \langle \widetilde { m } ( s ) | \right] - \frac { 1 } { T } \sum _ { m \neq \ell } e ^ { + i \Omega _ { m } ( s ) } \frac { i \langle \dot { \widetilde { \ell } } ( 0 ) | m ( 0 ) \rangle } { \Delta _ { \ell m } ( 0 ) } \langle \widetilde { m } ( s ) | .
\operatorname { E } S _ { \alpha } ( X ) = 1 - { \frac { 1 } { \alpha ( \sigma + { \pi / 2 } ) } } { \Big ( } \tan { \frac { \pi \alpha } { 2 } } \exp { \frac { \pi \mu } { 2 \sigma } } { \Big ) } ^ { 2 \sigma / \pi } \tan { \frac { \pi \alpha } { 2 } } { _ { 2 } F _ { 1 } } { \Big ( } 1 , { \frac { 1 } { 2 } } + { \frac { \sigma } { \pi } } ; { \frac { 3 } { 2 } } + { \frac { \sigma } { \pi } } ; - \tan { \big ( } { \frac { \pi \alpha } { 2 } } { \big ) } ^ { 2 } { \Big ) }
\begin{array} { r l } { \frac { c _ { x } ^ { 2 } } { c _ { y } ^ { 2 } } } & { { } = \frac { \rho _ { x x } ^ { \mathrm { s f } } } { \rho _ { y y } ^ { \mathrm { s f } } } = f _ { x x } ^ { \mathrm { s f } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { B _ { R , i } = B _ { t , i } c o s ( \theta _ { i } ) - B _ { n , i } s i n ( \theta _ { i } ) } \\ { B _ { Z , i } = B _ { t , i } s i n ( \theta _ { i } ) + B _ { n , i } c o s ( \theta _ { i } ) } & { { } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tau _ { 0 } } & { { } = } & { \eta ^ { 3 } \langle k _ { \Delta } \rangle \, , \tau _ { 1 } = 3 \eta ^ { 2 } ( 1 - \eta ) \langle k _ { \Delta } \rangle } \\ { \tau _ { 2 } } & { { } = } & { 3 \eta ( 1 - \eta ) ^ { 2 } \langle k _ { \Delta } \rangle \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \tau _ { 3 } = ( 1 - \eta ) ^ { 3 } \langle k _ { \Delta } \rangle \, , } \end{array}
P _ { k l } = \left\{ \begin{array} { l l } { \delta _ { k l } , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ k ~ , ~ l ~ \in ~ { ~ I ~ } ~ } } \\ { 0 , } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ . ~ } } \end{array} \right.
\frac { 1 } { N } \frac { \theta _ { \mathrm { ~ n ~ } } F _ { j } \left( \mathbf { x } \right) h _ { j i } } { \theta _ { \mathrm { ~ n ~ } } \sum _ { k = 1 } ^ { N } F _ { k } \left( \mathbf { x } \right) h _ { k i } + \theta _ { \mathrm { ~ s ~ } } F _ { i } \left( \mathbf { x } \right) } ,
\begin{array} { r l } { Q _ { \mathfrak { g } } ^ { ( 0 ) } ( x _ { 1 } \cdots x _ { k } ) } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { k } ( - 1 ) ^ { ( | x _ { 1 } | + \cdots + | x _ { i - 1 } | ) | x _ { i } | } \ell _ { 1 } ( x _ { i } ) \cdot x _ { 1 } \cdots \widehat { x } _ { i } \cdots x _ { k } , } \\ { Q _ { \mathfrak { g } } ^ { ( 1 ) } ( x _ { 1 } \cdots x _ { k } ) } & { = \sum _ { 1 \leq i < j \leq k } ( - 1 ) ^ { ( | x _ { 1 } | + \cdots + | x _ { j - 1 } | ) | x _ { j } | + ( | x _ { 1 } | + \cdots + | x _ { i - 1 } | ) | x _ { i } | } \ell _ { 2 } ( x _ { i } , x _ { j } ) \cdot x _ { 1 } \cdots \widetilde { x } _ { i } \cdots \widehat { x } _ { j } \cdots x _ { k } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { \mathrm { P I } } ( k , b ) } & { = \Big [ b - ( k ~ \mathrm { m o d } ~ b ) \Big ] \, D _ { \mathrm { D B I } } \left( \left\lfloor \frac { k } { b } \right\rfloor \right) } \\ & { + ( k ~ \mathrm { m o d } ~ b ) \, D _ { \mathrm { D B I } } \left( \left\lfloor \frac { k } { b } \right\rfloor + 1 \right) } \end{array}
\mathbb { F } _ { E } ( \mathbf { Q } ) = \left( \mathbf { 0 } , \, \mathbf { v } \otimes \mathbf { q } , \, \mathbf { 0 } \right) , \qquad \mathbb { F } _ { I } ( \mathbf { Q } ) = \left( \mathbf { q } , \, \mathbf { 0 } , \, \mathbf { 0 } \right) , \qquad \mathbb { B } _ { I } \cdot \nabla \mathbf { Q } = \left( 0 , \, \frac { H } { \varepsilon ^ { 2 } } \nabla \eta , \, 0 \right) .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ \| \nabla _ { y } g ( x _ { k + 1 } , z _ { k + 1 } ; \phi _ { z } ^ { k + 1 } ) - \nabla _ { y } g ( x _ { k } , z _ { k } ; \phi _ { z } ^ { k + 1 } ) \| ^ { 2 } ] } & { \le l _ { g , 1 } ^ { 2 } ( \| x _ { k + 1 } - x _ { k } \| ^ { 2 } + \| z _ { k + 1 } - z _ { k } \| ^ { 2 } ) } \\ & { = l _ { g , 1 } ^ { 2 } ( \xi ^ { 2 } \alpha _ { k } ^ { 2 } \| q _ { k } ^ { x } + \tilde { e } _ { k } ^ { x } \| ^ { 2 } + \gamma _ { k } ^ { 2 } \| q _ { k } ^ { z } + \tilde { e } _ { k } ^ { z } \| ^ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { \mu \nu } } & { { } = \sum _ { \lambda \kappa } ( \mu \nu \vert \lambda \kappa ) D _ { \lambda \kappa } } \\ { K _ { \mu \nu } } & { { } = \sum _ { \lambda \kappa } ( \mu \lambda \vert \nu \kappa ) D _ { \lambda \kappa } } \\ { V _ { \mu \nu } ^ { x c } } & { { } = \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \mathrm { d } ^ { 3 } \ensuremath \mathbf { r } \, \phi _ { \mu } ( \ensuremath \mathbf { r } ) \frac { \delta E ^ { x c } [ \rho ( \vec { r } ) ] } { \delta \rho ( \vec { r } ) } \phi _ { \nu } ( \ensuremath \mathbf { r } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Psi 2 = \operatorname { C N O T } \left( \frac { | 0 0 \rangle + | 1 0 \rangle } { \sqrt { 2 } } \right) } & { { } = \left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right) \left( \frac { | 0 0 \rangle + | 1 0 \rangle } { \sqrt { 2 } } \right) } \end{array}
\rho _ { i } ( x , t = 0 ) = \rho _ { i , V } + \frac { \rho _ { i , L } - \rho _ { i , V } } { 2 } \left[ \operatorname { t a n h } { \left( \frac { 2 \left( x - \frac { S _ { V } } { 2 } n _ { x } \right) } { W } \right) } - \operatorname { t a n h } { \left( \frac { 2 \left( x - \left( 1 - \frac { S _ { V } } { 2 } \right) n _ { x } \right) } { W } \right) } \right] .
\frac { d } { d \left( \nabla \mathbf { u } \right) } \frac { \partial } { \partial t } \int _ { V } \mathbf { R } ^ { V } d V = \frac { \partial } { \partial t } \int _ { V } \frac { d \mathbf { R } ^ { V } } { d \left( \nabla \mathbf { u } \right) } d V = \frac { \partial } { \partial t } \int _ { V } \zeta _ { i j k l } d V \mathbf { e } _ { i } \mathbf { e } _ { j } \mathbf { e } _ { k } \mathbf { e } _ { l } .
\begin{array} { r l } { 6 \pi \eta \Delta \Tilde { G } ^ { T , \mathrm { c o r r } } ( \omega ) } & { = \frac { 4 \pi } { L ^ { 3 } } \sum _ { \vec { k } , \vec { k } \neq \vec { 0 } } \frac { \mathrm { e } ^ { - ( k ^ { 2 } + \alpha ^ { 2 } ) / ( 4 \epsilon ^ { 2 } ) } } { k ^ { 2 } + \alpha ^ { 2 } } } \\ & { + \sum _ { \vec { n } , \vec { n } \neq 0 } \frac { \mathrm { e } ^ { - \alpha n L } } { 2 n L } \left[ \mathrm { e r f c } \left( n L \epsilon - \frac { \alpha } { 2 \epsilon } \right) \right. } \\ & { \qquad \qquad + \left. \mathrm { e } ^ { 2 \alpha n L } \mathrm { e r f c } \left( n L \epsilon + \frac { \alpha } { 2 \epsilon } \right) \right] } \\ & { - \frac { 2 \epsilon \mathrm { e } ^ { - \alpha ^ { 2 } / ( 4 \epsilon ^ { 2 } ) } } { \sqrt { \pi } } + \alpha \mathrm { e r f c } \left( \frac { \alpha } { 2 \epsilon } \right) } \\ & { - \frac { 4 \pi } { L ^ { 3 } \alpha ^ { 2 } } ( 1 - \mathrm { e } ^ { - \alpha ^ { 2 } / ( 4 \epsilon ^ { 2 } ) } ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { g _ { 1 } ( z _ { 1 } , z _ { 2 } ) } & { \lesssim \int _ { w = 1 } ^ { f _ { \gamma } ( z _ { 1 } \wedge z _ { 2 } ) } \int _ { \widetilde w = w } ^ { f _ { \gamma } ( z _ { 1 } \vee z _ { 2 } ) } \kappa _ { 1 , \sigma } ( w , \widetilde w ) ( w \widetilde w ) ^ { - \tau } \mathrm { d } \widetilde w \mathrm { d } w = \int _ { w = 1 } ^ { f _ { \gamma } ( z _ { 1 } \wedge z _ { 2 } ) } w ^ { \sigma \alpha - \tau } \int _ { \widetilde w = w } ^ { f _ { \gamma } ( z _ { 1 } \vee z _ { 2 } ) } \widetilde w ^ { \alpha - \tau } \mathrm { d } \widetilde w \mathrm { d } w . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { F } ( k \omega _ { p e } ) = \frac { \int _ { - \infty } ^ { \infty } | \mathcal { E } _ { \mathrm { ~ p ~ r ~ o ~ b ~ e ~ } } ( \omega + k \omega _ { p } ) | | \mathcal { E } _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } ( \omega ) | d \omega } { \int _ { - \infty } ^ { \infty } | \mathcal { E } _ { \mathrm { ~ p ~ r ~ o ~ b ~ e ~ } } ( \omega ) | | \mathcal { E } _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } ( \omega ) | d \omega } . } \end{array}