harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
S = \int \mathcal { L } d x = \int \left( \frac { 1 } { 2 } \lambda \sqrt { 1 + { y ^ { \prime } } ^ { 2 } } v _ { 0 } ^ { 2 } - \lambda g y \sqrt { 1 + { y ^ { \prime } } ^ { 2 } } \right) d x \, .
{ \begin{array} { r l } { \alpha } & { = { \frac { 2 h _ { N - 1 } ^ { 2 } + 3 h _ { N - 1 } h _ { N - 2 } } { 6 ( h _ { N - 2 } + h _ { N - 1 } ) } } , } \\ { \beta } & { = { \frac { h _ { N - 1 } ^ { 2 } + 3 h _ { N - 1 } h _ { N - 2 } } { 6 h _ { N - 2 } } } , } \\ { \eta } & { = { \frac { h _ { N - 1 } ^ { 3 } } { 6 h _ { N - 2 } ( h _ { N - 2 } + h _ { N - 1 } ) } } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { S _ { k } ^ { - 2 } \phi ^ { - s } ( E _ { n } ^ { i } ) } & { \asymp \Bigl ( \frac { ( \lambda ^ { n } - 1 ) } { \lambda ^ { n } + \lambda ^ { - n } - 2 } \Bigr ) ^ { - s } e ^ { \alpha s n } ( \lambda ^ { n } + \lambda ^ { - n } - 2 ) ^ { - 1 } } \\ & { \lesssim e ^ { \alpha s n } \lambda ^ { - n } \asymp \exp \{ n ( \alpha s - \log \lambda ) \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { c \rightarrow a } \Delta \phi } & { { } = 4 \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \frac { 1 - b \cos ^ { 2 } \psi } { a + b \cos ^ { 2 } \psi } d \psi = 4 \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \Big [ \frac { 1 + a } { a + b \cos ^ { 2 } \psi } - 1 \Big ] d \psi } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } ) \nabla ^ { 2 } \gamma ( S ) } & { \geq \frac { 1 } { 4 } \frac { M - N } { ( r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } ) \sqrt { M } } + \frac { B - A } { B } } \\ & { = \frac { 1 } { r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } } \frac { \| c \| ^ { 2 } B ^ { 6 } - r ^ { 2 } B ^ { 5 } A + ( 2 r ^ { 2 } + \| c \| ^ { 2 } ) B ^ { 4 } A ^ { 2 } - r ^ { 2 } B ^ { 3 } A ^ { 3 } - 2 r ^ { 2 } B ^ { 2 } A ^ { 4 } } { 2 \| c \| ^ { 2 } B ^ { 6 } - r ^ { 2 } B ^ { 5 } A + r ^ { 2 } B ^ { 3 } A ^ { 3 } } } \\ & { = \frac { 1 } { r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } } \frac { \| c \| ^ { 2 } B ^ { 4 } - r ^ { 2 } B ^ { 3 } A + ( 2 r ^ { 2 } + \| c \| ^ { 2 } ) B ^ { 2 } A ^ { 2 } - r ^ { 2 } B A ^ { 3 } - 2 r ^ { 2 } A ^ { 4 } } { 2 \| c \| ^ { 2 } B ^ { 4 } - r ^ { 2 } B ^ { 3 } A + r ^ { 2 } B A ^ { 3 } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \delta \xi _ { y } = \frac { \mathrm { ~ i ~ } \overline { { \alpha } } k _ { y } } { \overline { { \alpha } } k _ { y } ^ { 2 } - D _ { A } } \frac { \textrm { d } \delta \xi _ { x } } { \textrm { d } x } , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { p _ { i 1 , i 2 } + p _ { i 1 , i 3 } = \Phi _ { 1 } } \\ { p _ { i 1 , i 2 } + p _ { i 2 , i 3 } = \Phi _ { 2 } } \\ { p _ { i 1 , i 3 } + p _ { i 2 , i 3 } = \Phi _ { 3 } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial \rho } { \partial t } + \nabla \cdot ( \rho \mathbf v ) = 0 , } \\ & { \frac { \partial ( \rho \mathbf v ) } { \partial t } + \nabla \cdot ( \rho \mathbf v \otimes \mathbf v ) + \nabla p ^ { \prime } + g z \nabla \rho + \chi _ { 0 } G \mathbf v = \boldsymbol { 0 } , } \\ & { \frac { \partial ( \rho l ) } { \partial t } + \nabla \cdot ( \rho \mathbf u l ) + \frac { \partial ( \rho K ) } { \partial t } + \nabla \cdot ( \rho \mathbf u K ) - \frac { \partial p } { \partial t } + \rho g \mathbf u \cdot \widehat { \mathbf k } + \xi _ { 0 } G l = 0 , } \\ & { p = p ^ { \prime } + \rho g z , } \\ & { p = \rho R T , } \\ & { h = c _ { p } T , } \\ & { K = | \mathbf v | ^ { 2 } / 2 . } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { \infty } d k ^ { \prime } K ( k , k ^ { \prime } ) \delta n _ { k ^ { \prime } } = \partial _ { t } n _ { k } ^ { \mathrm { e q } } - \frac { \dot { \omega } _ { k } } { \omega _ { k } } { \mathrm { R e } } \, \nu _ { k } ^ { \mathrm { e q } } ,
\beta = \frac { 1 - \pi _ { 2 } ( k _ { \mathrm { ~ p ~ e ~ a ~ k ~ } } ) / \pi _ { 1 } ( k _ { \mathrm { ~ p ~ e ~ a ~ k ~ } } ) } { 1 / \pi _ { 1 } ( k _ { \mathrm { ~ p ~ e ~ a ~ k ~ } } ) - \sum G ( k ) } = \frac { \pi _ { 1 } ( k _ { \mathrm { ~ p ~ e ~ a ~ k ~ } } ) - \pi _ { 2 } ( k _ { \mathrm { ~ p ~ e ~ a ~ k ~ } } ) } { 1 - \pi _ { 1 } ( k _ { \mathrm { ~ p ~ e ~ a ~ k ~ } } ) \cdot \sum G ( k ) }
\left\{ \begin{array} { l l } { S _ { \mathrm { l } } ( x ) = \xi _ { \mathrm { l } } \left[ ( 1 - \eta _ { \mathrm { l } } ) P _ { \mathrm { l } } ( x ) + \eta _ { \mathrm { r } } R _ { \mathrm { l } } ( x ) \right] } \\ { S _ { \mathrm { r } } ( x ) = \xi _ { \mathrm { r } } \left[ ( 1 - \eta _ { \mathrm { r } } ) P _ { \mathrm { r } } ( x ) + \eta _ { \mathrm { l } } R _ { \mathrm { r } } ( x ) \right] \ . } \end{array} \right.
\frac { D { \bf v } } { D t } = \frac { \partial { \bf v } } { \partial t } + { \bf v } \cdot \mathrm { ~ \boldmath ~ \nabla ~ } { \bf v } = \mathrm { R e } ^ { - 1 } \left( - \mathrm { ~ \boldmath ~ \nabla ~ } P + \nabla ^ { 2 } { \bf v } \right) \; ,
\begin{array} { r } { U = \xi _ { t } + \xi _ { x } \overline { { u } } + \xi _ { y } \overline { { v } } + \xi _ { z } \overline { { w } } \, \mathrm { ~ , ~ } } \\ { V = \eta _ { t } + \eta _ { x } \overline { { u } } + \eta _ { y } \overline { { v } } + \eta _ { z } \overline { { w } } \, \mathrm { ~ , ~ } } \\ { W = \zeta _ { t } + \zeta _ { x } \overline { { u } } + \zeta _ { y } \overline { { v } } + \zeta _ { z } \overline { { w } } \, \mathrm { ~ . ~ } } \end{array}
\begin{array} { c c } { S ^ { N } = d ^ { 2 } S = d ^ { 2 } \left( \sqrt { { S } ^ { 2 } + M ^ { 2 } } - M \right) , } & { \overline { { S } } ^ { N } = d ^ { 2 } \overline { { S } } = \frac { \tilde { \nu } f _ { v 2 } } { \kappa ^ { 2 } } , } \\ { \tilde { S } ^ { N } = d ^ { 2 } \tilde { S } = m a x ( 1 0 ^ { - 1 0 } , d ^ { 2 } \left( S + \overline { { S } } \right) ) = m a x ( 1 0 ^ { - 1 0 } , S ^ { N } + \overline { { S } } ^ { N } ) , } & { { r } ^ { \prime } = \frac { \tilde { \nu } } { \tilde { S } ^ { N } \kappa ^ { 2 } } . } \end{array}
{ \cal L } ( J ) = \frac { 1 } { 4 } F _ { \mu \nu } F ^ { \mu \nu } + + { \cal D } _ { \mu } \phi { \cal D } ^ { \mu } \phi ^ { * } + \frac { \lambda } { 4 } ( \phi \phi ^ { * } ) ^ { 2 } + J ( \phi \phi ^ { * } ) - \zeta / 2 J ^ { 2 } + { \cal L } ^ { \mathrm { C T } } + { \cal L } ^ { \mathrm { g a u g e } }
\begin{array} { l } { t = T { \omega _ { f } } , \quad y = Y / D , \quad { m ^ { * } } = 4 { M _ { s } } / \pi \rho { D ^ { 2 } } , \quad } \\ { \quad { U _ { r } } = 2 \pi U / ( { \omega _ { s } } D ) , \quad \zeta = { C _ { s } } / ( 2 M { \omega _ { s } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \prod _ { \mathbf { r } } \delta \left[ \hat { \phi } _ { \mathrm { p } } ( \mathbf { r } ) + \hat { \phi } _ { \mathrm { s } } ( \mathbf { r } ) - 1 \right] } & { = \int \mathrm { D } \eta \exp \left\{ \frac { 1 } { v } \int \mathrm { d } \mathbf { r } i \eta ( \mathbf { r } ) \left[ \hat { \phi } _ { \mathrm { p } } ( \mathbf { r } ) + \hat { \phi } _ { \mathrm { s } } ( \mathbf { r } ) - 1 \right] \right\} } \\ { \delta \left[ \frac { 1 } { N } \int _ { 0 } ^ { N } \mathrm { d } s \mathbf { R } _ { j } ( s ) - \boldsymbol { \xi } _ { j } \right] } & { = \int \mathrm { d } \mathbf { f } _ { j } \exp \left\{ i \mathbf { f } _ { j } \cdot \left[ \frac { 1 } { N } \int _ { 0 } ^ { N } \mathrm { d } s \mathbf { R } _ { j } ( s ) - \boldsymbol { \xi } _ { j } \right] \right\} } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { \Omega \setminus \Gamma _ { t } } g \, \mathrm { d } x = - \int _ { \Gamma _ { t } } \mathbf { a } _ { 1 } \cdot \mathbf { n } _ { \Gamma _ { t } } \mathrm { d } \mathcal { \mathcal { H } } ^ { 1 } + \int _ { \partial \Omega } \mathbf { a } \cdot \mathbf { n } _ { \partial \Omega } \mathrm { d } \mathcal { H } ^ { 1 } } \end{array}
B _ { z , \mathrm { ~ w ~ i ~ r ~ e ~ } } ( y ) = \frac { 1 } { s _ { \mathrm { ~ s ~ p ~ o ~ t ~ } } t _ { \mathrm { ~ h ~ B ~ N ~ } } } \int _ { - \frac { s _ { \mathrm { ~ s ~ p ~ o ~ t ~ } } } { 2 } } ^ { \frac { s _ { \mathrm { ~ s ~ p ~ o ~ t ~ } } } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { t _ { \mathrm { ~ h ~ B ~ N ~ } } } B _ { z , \mathrm { ~ A ~ m ~ p ~ e ~ r ~ e ~ } } ( y + s , z ^ { \prime } ) d z ^ { \prime } d s .
\begin{array} { r l } & { g ^ { \prime } ( t ) \geq - ( 2 - r ) t ^ { - 3 } \frac { r + d - 2 } { 4 - r } { _ 2 F _ { 1 } } ( 1 - \frac { r } { 2 } , 2 - \frac { r + d } { 2 } ; 3 - \frac { r } { 2 } ; 1 ) } \\ & { + ( 2 t ^ { - 3 } - r t ^ { - 3 } - 4 t ^ { - 5 } + r t ^ { - 5 } ) \frac { r + d - 2 } { 4 - r } \frac { ( 2 - r ) ( 4 - r - d ) } { 2 ( 6 - r ) } { _ 2 F _ { 1 } } ( 2 - \frac { r } { 2 } , 3 - \frac { d + r } { 2 } , 4 - \frac { r } { 2 } ; 1 ) } \\ & { + \frac { ( 2 - r ) \Gamma ( 2 - \frac { r } 2 ) \Gamma ( \frac { d + r } { 2 } ) t ^ { 1 - r } } { \Gamma ( 1 + \frac { d } { 2 } ) } . } \end{array}
\langle s | P | s ^ { \prime } \rangle \sim \langle s | s ^ { \prime } \rangle + \int [ d N ] \, \left( \langle s | \hat { H } [ N ] | s ^ { \prime } \rangle \ + \langle s | \hat { H } [ N ] \hat { H } [ N ] | s ^ { \prime } \rangle \ + \ldots \right) \; .
\begin{array} { r } { [ L _ { s } ] _ { 1 1 } = \frac { - B ( 1 - \cos ^ { 2 } \theta ) } { 2 \lambda _ { 1 } ( 1 + d \cos \theta ) ^ { 2 } } , \quad \left[ L _ { s } \right] _ { 1 3 } = [ L _ { s } ] _ { 3 1 } = 2 a _ { 3 } , } \\ { \left[ L _ { s } \right] _ { 2 2 } = \frac { - B ( 1 - \cos ^ { 2 } \theta ) } { 2 \lambda _ { 2 } ( 1 + d \cos \theta ) ^ { 2 } } , \quad \left[ L _ { s } \right] _ { 2 4 } = [ L _ { s } ] _ { 4 2 } = 2 a _ { 4 } , } \\ { \left[ L _ { \theta } \right] _ { 1 1 } = \frac { ( 1 - d ^ { 2 } ) \sin \theta } { 2 \lambda _ { 1 } ( 1 + d \cos \theta ) ^ { 2 } } , \quad \left[ L _ { \theta } \right] _ { 2 2 } = \frac { - ( 1 - d ^ { 2 } ) \sin \theta } { 2 \lambda _ { 2 } ( 1 + d \cos \theta ) ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { n _ { \omega } } & { { } \propto \omega ^ { 0 } \quad \mathrm { ~ ( ~ e ~ q ~ u ~ i ~ p ~ a ~ r ~ t ~ i ~ t ~ i ~ o ~ n ~ o ~ f ~ N ~ ) ~ } , } \\ { n _ { \omega } } & { { } \propto \omega ^ { - 1 } \quad \mathrm { ~ ( ~ e ~ q ~ u ~ i ~ p ~ a ~ r ~ t ~ i ~ t ~ i ~ o ~ n ~ o ~ f ~ E ~ ) ~ } , } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { w _ { i } ^ { n | 1 } } & { { } = \frac { b _ { 1 1 n } ^ { ( 1 ) } } { b _ { 1 1 1 } ^ { ( 1 ) } } w _ { i } ^ { 1 | 1 } \mathrm { ~ ~ ~ f ~ o ~ r ~ ~ ~ } n \geqslant 1 , } \\ { w _ { i j } ^ { n | 1 } } & { { } = \frac { b _ { 2 0 n } ^ { ( 0 ) } } { b _ { 2 0 0 } ^ { ( 0 ) } } w _ { i j } ^ { 0 | 1 } \mathrm { ~ ~ ~ f ~ o ~ r ~ ~ ~ } n \geqslant 0 , } \end{array}
\left. \rho \varepsilon _ { 0 } = \langle \rho _ { k } \varepsilon _ { 0 k } \rangle , \, \rho R = \langle R _ { k } \rho _ { k } \rangle , \, \rho c _ { V } = \langle c _ { V k } \rho _ { k } \rangle , \, \gamma = \frac { R } { c _ { V } } + 1 . \right.
S _ { + } = \int d ^ { 4 } x \sqrt { - g ^ { 0 } } \frac { 1 } { 2 } V _ { 0 } ^ { + } \Phi \Bigr | _ { y = 0 } + \int d ^ { 4 } x \sqrt { - g ^ { \pi r _ { c } } } \frac { 1 } { 2 } V _ { \pi } ^ { + } \Phi \Bigr | _ { y = \pi r _ { c } } \ ,
\bar { g } _ { x y } = G _ { I J } \frac { \partial { X ^ { I } } } { \partial { { \phi } ^ { x } } } \frac { \partial { X ^ { J } } } { \partial { { \phi } ^ { y } } } = G _ { x y } + G _ { y 0 } \frac { \partial { X ^ { 0 } } } { \partial { X ^ { x } } } + G _ { x 0 } \frac { \partial { X ^ { 0 } } } { \partial { X ^ { y } } } + G _ { 0 0 } \frac { \partial { X ^ { 0 } } } { \partial { X ^ { x } } } \frac { \partial { X ^ { 0 } } } { \partial { X ^ { y } } } .
\operatorname* { m a x } _ { a _ { t } , \eta _ { t + 1 } } \hat { A } ^ { \pi _ { 2 } } ( s _ { t } , \eta _ { t } , a _ { t } , \eta _ { t + 1 } ) = \hat { J } ^ { \pi _ { 2 } } ( s _ { t } , \eta _ { t } ) - \operatorname* { m i n } _ { a _ { t } , \eta _ { t + 1 } } \hat { Q } ^ { \pi _ { 2 } } ( s _ { t } , \eta _ { t } , a _ { t } , \eta _ { t + 1 } ) \ge 0
\begin{array} { r l r } { \eta } & { { } = } & { 8 . 1 \times 1 0 ^ { - 1 5 } \, \left( \frac { m _ { \gamma } } { 1 0 ^ { - 1 4 } \, \mathrm { e V / c ^ { 2 } } } \right) \left( \frac { \lambda _ { \mathrm { s o u r c e } } } { 1 0 0 0 \, \mathrm { n m } } \right) \, . } \end{array}
\langle O ( z _ { 1 } ) O ( z _ { 2 } ) O ( z _ { 3 } ) \rangle = { \frac { C } { | z _ { 1 2 } | ^ { \Delta + \bar { \Delta } } | z _ { 1 3 } | ^ { \Delta + \bar { \Delta } } | z _ { 2 3 } | ^ { \Delta + \bar { \Delta } } } }
\begin{array} { r l } { \eta } & { : = \frac { w v + t ^ { 3 } u + g _ { 1 2 } ( y , z ) } { \xi } = - \frac { \xi ^ { 3 } t + \xi ^ { 2 } g _ { 6 } ( y , z ) + \xi g _ { 8 } ( u , y , z , t , v ) + g _ { 1 0 } ( u , y , z , t , v , w ) } { u } } \\ & { \in H ^ { 0 } \bigg ( Y , - \frac { 1 0 } { 3 } K _ { Y } - \frac { 1 } { 3 } E \bigg ) . } \end{array}
\tau = - { \frac { 1 } { \left( a H \right) \left( 1 - \epsilon \right) } } \left[ 1 + { \frac { 2 \epsilon \left( \epsilon - \eta \right) } { \left( 1 - \epsilon \right) ^ { 2 } } } + \mathrm { O } \left( \epsilon \eta ^ { 2 } \right) + \cdots \right] .
\begin{array} { r l } { E _ { i j } } & { = \frac { 1 } { 2 } \left( \partial _ { i } u _ { j } + \partial _ { j } u _ { i } \right) ; \qquad W _ { i j } = \frac { 1 } { 2 } \left( \partial _ { i } u _ { j } - \partial _ { j } u _ { i } \right) } \\ { \mathbf { H } } & { = A \left[ \mathbf { Q } \mathbin { - } b \mathrm { T r } \left( \mathbf { Q } ^ { 2 } \right) \mathbf { Q } \right] \mathbin { + } K \nabla ^ { 2 } \mathbf { Q } . } \end{array}
\sin \left( { \frac { \pi } { 1 2 0 } } \right) = \sin \left( 1 . 5 ^ { \circ } \right) = { \frac { \left( { \sqrt { 2 + { \sqrt { 2 } } } } \right) \left( { \sqrt { 1 5 } } + { \sqrt { 3 } } - { \sqrt { 1 0 - 2 { \sqrt { 5 } } } } \right) - \left( { \sqrt { 2 - { \sqrt { 2 } } } } \right) \left( { \sqrt { 3 0 - 6 { \sqrt { 5 } } } } + { \sqrt { 5 } } + 1 \right) } { 1 6 } }
\begin{array} { r l r } { \frac { 2 U _ { \mathrm { E } } ( { \vec { b } } , \tau ) } { c ^ { 2 } } } & { = } & { r _ { g } \Big \{ \frac { 1 } { r } - \Big \{ J _ { 2 } R _ { \oplus } ^ { 2 } \frac { 1 } { 2 } \Big ( \frac { 3 ( { \vec { s } } \cdot { \vec { r } } ) ^ { 2 } } { r ^ { 5 } } - \frac { 1 } { r ^ { 3 } } \Big ) + J _ { 3 } R _ { \oplus } ^ { 3 } \frac { 1 } { 2 } \Big ( \frac { 5 ( { \vec { s } } \cdot { \vec { r } } ) ^ { 3 } } { r ^ { 7 } } - \frac { 3 ( { \vec { s } } \cdot { \vec { r } } ) } { r ^ { 5 } } \Big ) + } \\ & { + } & { J _ { 4 } R _ { \oplus } ^ { 4 } \frac { 1 } { 8 } \Big ( \frac { 3 5 ( { \vec { s } } \cdot { \vec { r } } ) ^ { 4 } } { r ^ { 9 } } - \frac { 3 0 ( { \vec { s } } \cdot { \vec { r } } ) ^ { 2 } } { r ^ { 7 } } + \frac { 3 } { r ^ { 5 } } \Big ) + \sum _ { \ell = 5 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { \ell } } { \ell ! } J _ { \ell } R _ { \oplus } ^ { \ell } \frac { \partial ^ { \ell } } { \partial s ^ { \ell } } \Big ( \frac { 1 } { r } \Big ) \Big \} \Big \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mu _ { p } } { \mu _ { f } } = } & { \frac { 4 A ( 5 - 3 \Lambda ) } { 1 5 } + \frac { 4 8 A \tau D _ { r } - \mathrm { P e } _ { a } / \pi } { 5 \left( 1 + 6 \tau D _ { r } \right) } \left( \Lambda + \frac { \mathrm { D e } \, \mathrm { P e } _ { a } \alpha _ { 1 } } { 8 \pi } \right) } \\ & { - \frac { \mathrm { D e } \, \mathrm { P e } _ { a } A \alpha _ { 1 } } { 1 0 \pi } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \{ R _ { i j } , R _ { a b } \} _ { D } = 0 , \qquad \{ M _ { i } , M _ { j } \} _ { D } = - \epsilon _ { i j k } M _ { k } , } \\ { \{ M _ { i } , R _ { j k } \} _ { D } = - \epsilon _ { i k m } R _ { j m } . } \end{array}
\sum _ { k = 1 } ^ { K _ { H } } \mathbf { i } ( \Psi ( x _ { k } ^ { H } ( 0 ) , T , 0 ) ) = \sum _ { k = 1 } ^ { K _ { H } } \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { k } ^ { H } - s _ { k } ^ { K } ( 0 ) } \mathbf { 1 } _ { \left\{ \tau _ { k , j } ^ { H } ( 0 ) > T \right\} } = \sum _ { \ell = 1 } ^ { K _ { W } } \mathbf { i } ( \Psi ( x _ { \ell } ^ { W } ( 0 ) , T , 0 ) ) .
\frac { \sqrt { 5 } } { 3 } \frac { \partial w ^ { 1 } } { \partial x _ { i } } = \sum _ { n ^ { \prime } = 1 } ^ { + \infty } a _ { 1 1 n ^ { \prime } } w _ { i } ^ { n ^ { \prime } | 1 } \mathrm { ~ ~ ~ a ~ n ~ d ~ ~ ~ } \sum _ { n ^ { \prime } = 1 } ^ { + \infty } a _ { 1 n n ^ { \prime } } w _ { i } ^ { n ^ { \prime } | 1 } = 0 , \mathrm { ~ ~ ~ f ~ o ~ r ~ ~ ~ } n \geqslant 2 .
\begin{array} { r l } & { \eta ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , t ) = a { { \operatorname { s e c h } } ^ { 2 } } \left( \sqrt { 3 a / 4 { { h } ^ { 3 } } } \times \left( x _ { 1 } - 3 0 - C t \right) \right) } \\ & { u _ { 1 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , t ) = - \left( l + 1 / 2 a \right) \eta / \left( ( x _ { 1 } - C t ) / 3 0 + \eta \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { D } _ { \alpha } = } & { \operatorname* { m a x } _ { i \neq j \in [ n ] } \operatorname* { s u p } _ { t \in [ a , b ] } \sqrt { n h _ { 1 } } | \widehat \alpha _ { i } ( t ) - \widehat \alpha _ { j } ( t ) | / \widehat \zeta _ { i j , \alpha } ^ { 1 / 2 } ( t ) , } \\ { \mathcal { D } _ { \beta } = } & { \operatorname* { m a x } _ { i \neq j \in [ n - 1 ] } \operatorname* { s u p } _ { t \in [ a , b ] } \sqrt { n h _ { 1 } } | \widehat \beta _ { i } ( t ) - \widehat \beta _ { j } ( t ) | / \widehat \zeta _ { i j , \beta } ^ { 1 / 2 } ( t ) , } \end{array}
\mathrm { ~ P ~ e ~ } _ { \mathrm { ~ R ~ , ~ s ~ p ~ } } = \frac { \pi ( \phi _ { 0 } - \phi _ { m } ) ^ { 2 } ( \phi _ { 0 } ^ { - 1 } - 2 - 0 . 6 \phi _ { 0 } ) } { 4 \phi _ { m } ( \phi _ { 0 } - 2 \phi _ { m } ) } .
\begin{array} { r l } { \mathcal { \hat { H } } _ { \mathrm { d \cdot E } } } & { = \sum _ { { \boldsymbol k } } \hat { a } _ { { \boldsymbol k } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { { \boldsymbol k } } \omega _ { c } ( { \boldsymbol k } ) + \omega _ { 0 } \sum _ { u } \hat { d } _ { u } ^ { \dagger } \hat { d } _ { u } + \sum _ { \langle u , v \rangle } \tau _ { u v } ( \hat { d } _ { u } ^ { \dagger } \hat { d } _ { v } + \hat { d } _ { u } \hat { d } _ { v } ^ { \dagger } ) + \sum _ { { \boldsymbol k } , u } \mu _ { 0 } \lambda _ { \boldsymbol k } ( \hat { d } _ { u } ^ { \dagger } + \hat { d } _ { u } ) \big ( e ^ { - i { \boldsymbol k _ { \parallel } } \cdot { \bf R } _ { u } } \hat { a } _ { { \boldsymbol k } } ^ { \dagger } + e ^ { i { \boldsymbol k _ { \parallel } } \cdot { \bf R } _ { u } } \hat { a } _ { { \boldsymbol k } } \big ) \sin ( { k _ { y } } ( \hat { \bf y } \cdot { \bf R } _ { u } ) ) } \\ & { ~ + \sum _ { u , v , { \boldsymbol k } } { \frac { \mu _ { 0 } ^ { 2 } \lambda _ { \boldsymbol k } ^ { 2 } } { { \omega _ { \boldsymbol k } } } } ( \hat { d } _ { u } ^ { \dagger } + \hat { d } _ { u } ) ( \hat { d } _ { v } ^ { \dagger } + \hat { d } _ { v } ) e ^ { i { \bf k } _ { \parallel } \cdot ( { \bf R } _ { v } - { \bf R } _ { u } ) } \sin ( { k _ { y } } ( \hat { \bf y } \cdot { \bf R } _ { u } ) ) \sin ( { k _ { y } } ( \hat { \bf y } \cdot { \bf R } _ { v } ) ) . } \end{array}
M _ { \kappa , \ \mu } ( z ) \sim { \frac { 1 } { \sqrt { \pi } } } \Gamma ( 1 + 2 \mu ) \kappa ^ { - \mu - 1 / 4 } z ^ { 1 / 4 } \cos ( 2 \sqrt { \kappa z } - \mu \pi - \pi / 4 ) ,
u ( z = 0 , r , t ) = \frac { 1 } { 2 } \left\{ 1 - \operatorname { t a n h } \left[ \frac { 1 } { 4 \theta _ { 0 } \left( r - 4 r ^ { - 1 } \right) } \right] \right\} ( 1 + A \cos ( \omega _ { f } t ) ) ,
\begin{array} { r l } { B _ { \varphi } ( r _ { 2 } < r , t ) } & { \approx - \frac { n I _ { 0 } } { 1 6 \pi l } \frac { \pi \mu _ { 0 } ^ { 2 } \omega _ { 0 } ^ { 3 } \alpha _ { 0 } } { c _ { 3 } ^ { 2 } } \Big ( r _ { 1 } ^ { 3 } ( \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } ) + r _ { 2 } ^ { 3 } ( \theta _ { 2 } - \theta _ { 3 } ) \Big ) } \\ & { \qquad \times \Big [ \Big ( J _ { 0 } ( k _ { 3 } r ) - J _ { 2 } ( k _ { 3 } r ) \Big ) \cos ( \omega _ { 0 } t ) + \Big ( N _ { 0 } ( k _ { 3 } r ) - N _ { 2 } ( k _ { 3 } r ) \Big ) \sin ( \omega _ { 0 } t ) \Big ] , } \\ { B _ { z } ( r _ { 2 } < r , t ) } & { \approx \frac { n I _ { 0 } } { 1 6 \pi l } \frac { \mu _ { 0 } \omega _ { 0 } ^ { 2 } } { c _ { 2 } ^ { 2 } } \Big [ ( 2 \pi r _ { 2 } ) ^ { 2 } + ( \mu _ { 0 } \alpha _ { 0 } \omega _ { 0 } ) ^ { 2 } \Big ( r _ { 2 } ^ { 4 } ( \theta _ { 2 } - \theta _ { 3 } ) ^ { 2 } + 2 r _ { 1 } ^ { 3 } r _ { 2 } ( \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } ) ( \theta _ { 2 } - \theta _ { 3 } ) + r _ { 1 } ^ { 4 } ( \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } ) ^ { 2 } \Big ) } \\ & { \qquad + ( \pi \omega _ { 0 } ) ^ { 2 } \Big \{ r _ { 1 } ^ { 4 } \Big ( \frac { 1 } { c _ { 1 } ^ { 2 } } - \frac { 1 } { c _ { 2 } ^ { 2 } } \Big ) + r _ { 2 } ^ { 4 } \Big ( \frac { 1 } { c _ { 2 } ^ { 2 } } - \frac { 1 } { c _ { 3 } ^ { 2 } } \Big ) \Big \} \Big ] \Big ( J _ { 0 } ( k _ { 3 } r ) \sin ( \omega _ { 0 } t ) - N _ { 0 } ( k _ { 3 } r ) \cos ( \omega _ { 0 } t ) \Big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathbf { \Phi } _ { S } ^ { M } } ^ { \prime } } & { = \int _ { V } C _ { 2 } \left[ \left( 2 \delta _ { i j } R _ { \underline { { i } } m } ^ { V } \delta _ { \underline { { i } } l } \delta _ { m k } + 2 \delta _ { i j } \zeta _ { \underline { { i } } m k l } \frac { \partial u _ { \underline { { i } } } } { \partial x _ { m } } \right) + \epsilon _ { i j } R _ { \underline { { i } } \underline { { i } } } ^ { V } \Omega _ { k l } + \epsilon _ { i j } \omega _ { Z } \zeta _ { \underline { { i } } \underline { { i } } k l } \right] d V } \\ & { - \int _ { V } C _ { 2 } \frac { 2 } { 3 } k \left( \delta _ { i k } \delta _ { j l } + \delta _ { i l } \delta _ { j k } \right) d V } \\ & { - \int _ { V } C _ { 2 } \frac { 2 } { 3 } \delta _ { i j } \left( \frac { \partial u _ { r } } { \partial x _ { s } } \zeta _ { r s k l } + R _ { r s } ^ { V } \delta _ { r l } \delta _ { s k } \right) d V , } \end{array}
\begin{array} { r l } { g _ { 4 } ( z , w ) } & { = \left( \frac { 1 } { 4 } + \frac { 1 7 9 } { 3 0 } z - \frac { 3 1 } { 1 0 } z ^ { 2 } \right) + \left( - \frac { 7 } { 4 } z ^ { 2 } \right) w ^ { 2 } + \left( 4 z ^ { 2 } \right) w ^ { 3 } + \left( - \frac { 5 } { 2 } z - \frac { 1 } { 2 } z ^ { 2 } \right) w ^ { 8 } + \left( \frac { 1 1 } { 3 } z ^ { 2 } \right) w ^ { 1 0 } } \\ & { = + \left( \frac { 5 } { 2 } z + 6 z ^ { 2 } \right) w ^ { 1 4 } + \left( 5 z ^ { 2 } \right) w ^ { 1 8 } + \left( - \frac { 6 4 } { 1 5 } z ^ { 2 } \right) w ^ { 2 0 } + \left( - \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 1 } { 2 } z ^ { 2 } \right) w ^ { 2 2 } } \\ & { + \left( \frac { 7 } { 3 } z - \frac { 9 } { 2 } z ^ { 2 } \right) w ^ { 2 5 } + \left( - \frac { 3 } { 4 } + \frac { 1 8 } { 5 } z ^ { 2 } \right) w ^ { 2 8 } + \left( - z - \frac { 3 } { 2 } z ^ { 2 } \right) w ^ { 3 3 } + \left( - \frac { 8 } { 3 } z ^ { 2 } \right) w ^ { 3 5 } } \\ & { = 0 . } \end{array}
{ \cal L } _ { { \cal O } ( p ) } ^ { V } \, = \, G _ { 8 } \, F _ { \pi } ^ { 4 } \, \left[ \, \omega _ { 1 } ^ { V } \, \langle \, \Delta \, \{ V _ { \mu } , u ^ { \mu } \} \, \rangle \, + \, \omega _ { 2 } ^ { V } \, \langle \, \Delta u _ { \mu } \, \rangle \, \langle V ^ { \mu } \rangle \, \right] \; ,
\hat { \psi } _ { \sigma } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) = \sum _ { i } \hat { a } _ { i } u _ { i } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } , \sigma ) \; \; , \; \; \hat { \psi } _ { \sigma } ^ { + } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) = \sum _ { i } \hat { a } _ { i } ^ { + } u _ { i } ^ { * } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } , \sigma )
S _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ } } = \Delta t \sum _ { \tau = \Delta t } ^ { t } \left[ k _ { 1 } \tilde { \phi } ( \tau ) - k _ { 3 } \tilde { \phi } ( \tau ) \phi ( \tau _ { - } ) \phi ( \tau _ { - } ) - k _ { 3 } \tilde { \phi } ( \tau ) \tilde { \phi } ( \tau ) \phi ( \tau _ { - } ) \phi ( \tau _ { - } ) \right] + \bar { n } _ { 0 } \tilde { \phi } ( 0 )
\begin{array} { l l } { { F _ { 2 } = \displaystyle \frac { \alpha } { 4 \pi \cos ^ { 2 } \theta _ { \mathrm { W } } } m _ { \tau } V _ { \tau \mu } ^ { \mathrm { e } } V _ { \tau e } ^ { \mathrm { e } } ( V _ { \tau \tau } ^ { \mathrm { e * } } ) ^ { 2 } ( A _ { e } + \mu \tan \beta ) \times } } \\ { { \phantom { F _ { 2 } = } \times [ G _ { 2 } ( m _ { \tilde { \tau } _ { L } } ^ { 2 } , m _ { \tilde { \tau } _ { R } } ^ { 2 } ) - G _ { 2 } ( m _ { \tilde { e } _ { L } } ^ { 2 } , m _ { \tilde { \tau } _ { R } } ^ { 2 } ) - G _ { 2 } ( m _ { \tilde { \tau } _ { L } } ^ { 2 } , m _ { \tilde { e } _ { R } } ^ { 2 } ) + G _ { 2 } ( m _ { \tilde { e } _ { L } } ^ { 2 } , m _ { \tilde { e } _ { R } } ^ { 2 } ) ] \, , } } \end{array}