harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\widehat { L } _ { n } ( \theta ^ { \ast } ) - \widehat { L } _ { n } ( \widehat { \theta } _ { \mathrm { M L } , n } ) = - \mathbb { P } _ { n } f ( \widehat { \theta } _ { \mathrm { M L } , n } ) \lesssim - \mathbb { P } f ( \widehat { \theta } _ { \mathrm { M L } , n } ) + \alpha _ { n } = \underbrace { L ( \theta ^ { \ast } ) - L ( \widehat { \theta } _ { \mathrm { M L } , n } ) } _ { \le 0 } + \alpha _ { n } \le \alpha _ { n } .
\left\{ - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } \nabla ^ { 2 } + \frac { \delta { \cal E } _ { c } } { \delta \rho } \right\} \Psi ( { \mathbf r } ) \equiv { \cal H } [ \rho ] \, \Psi ( { \mathbf r } ) = \mu \Psi ( { \mathbf r } ) \; ,
\begin{array} { r l } { \int \mathrm { d } \mathbf { c } \, c ^ { 4 } \phi _ { \mathbf { c } } ( \mathbf { c } ) = } & { { } \frac { { d _ { t } } ( { d _ { t } } + 2 ) } { 4 } \left[ 1 + a _ { 2 0 } ^ { ( 0 ) } \right] , } \\ { \int \mathrm { d } \mathbf { w } \, w ^ { 4 } \phi _ { \mathbf { w } } ( \mathbf { w } ) = } & { { } \frac { { d _ { r } } ( { d _ { r } } + 2 ) } { 4 } \left[ 1 + a _ { 0 2 } ^ { ( 0 ) } \right] , } \\ { \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } x \, x \phi _ { c w } ( x ) = } & { { } \frac { { d _ { t } } { d _ { r } } } { 4 } \left[ 1 + a _ { 1 1 } ^ { ( 0 ) } \right] . } \end{array}
d M _ { W } ^ { 2 } - 2 \frac { M _ { W } ^ { 2 } } { M _ { Z } ^ { 2 } \hat { \rho } } d M _ { W } ^ { 2 } + \frac { M _ { W } ^ { 4 } } { M _ { Z } ^ { 2 } \hat { \rho } ^ { 2 } } \frac { 3 G _ { F } d m _ { t } ^ { 2 } } { 8 \sqrt 2 \pi ^ { 2 } } = 0 \; ,
\chi _ { \pm } = \left( \frac { g _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 \Delta _ { a } } \right) ^ { 2 } { \frac { | \alpha _ { d } | ^ { 2 } \kappa _ { 1 } } { \Delta _ { d } ^ { 2 } + \kappa ^ { 2 } / 4 } } { \frac { \Delta _ { d } \pm \omega _ { z } } { ( \Delta _ { d } \pm \omega _ { z } ) ^ { 2 } + \kappa ^ { 2 } / 4 } } \; ,
A _ { 1 } ^ { N } ( x , Q ^ { 2 } ) _ { N L O } \cong { \frac { 2 x g _ { 1 } ^ { N } ( x , Q ^ { 2 } ) _ { N L O } } { 2 x F _ { 1 } ^ { N } ( x , Q ^ { 2 } ) _ { N L O } } } .
[ { \mathbb X } _ { 1 } , { \mathbb X } _ { 2 } ] = 0 , ~ [ { \mathbb X } _ { 3 } , { \mathbb X } _ { 1 } ] = { \mathbb X } _ { 1 } , ~ [ { \mathbb X } _ { 2 } , { \mathbb X } _ { 3 } ] = - { \mathbb X } _ { 2 } .
X _ { H } ^ { a } \frac { \partial F } { \partial \Theta ^ { a } } = \Pi ^ { b c } \frac { \partial F } { \partial \Theta ^ { b } } \frac { \partial H } { \partial \Theta ^ { c } } \rightarrow X _ { H } ^ { a } = \Pi ^ { a b } \frac { \partial H } { \partial \Theta ^ { b } } .
\begin{array} { r l } { \langle R _ { c v } ^ { c } \rangle = 2 \sqrt { R ^ { * } } \mathcal { R } _ { c } | P _ { c v } | ^ { 2 } \Bigg ( } & { { } \frac { 1 } { 1 + e ^ { ( E _ { g } - \hbar \omega ) / \sigma } } + } \end{array}
\chi ^ { 2 } ( \Delta m ^ { 2 } , \sin ^ { 2 } \theta , s , b ) = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { \left( \mathrm { d a t a } _ { i } ^ { \mathrm { n i g h t } } - \mathrm { t h e o } _ { i } ^ { \mathrm { d n } } \right) ^ { 2 } } { \left( \sqrt { \mathrm { d a t a } _ { i } ^ { \mathrm { n i g h t } } } \right) ^ { 2 } } + \sum _ { j = 1 } ^ { M } \frac { \left( \mathrm { d a t a } _ { j } ^ { \mathrm { d a y } } - \mathrm { t h e o } _ { j } ^ { \mathrm { s e a } } \right) ^ { 2 } } { \left( \sqrt { \mathrm { d a t a } _ { j } ^ { \mathrm { d a y } } } \right) ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r } { \phi _ { \lambda } = \frac { 1 } { \mu \nu } \left( \frac { \lambda } { \mu } \right) ^ { - 1 / \nu - 1 } \exp \left[ - \left( \frac { \lambda } { \mu } \right) ^ { - 1 / \nu } \right] \; . } \end{array}
\operatorname* { P r } _ { x \sim p } \left[ x _ { \pi ( i ) } = b _ { i } , x _ { \pi ( j ) } = y _ { \pi ( j ) } , x _ { \overline { { S ( \pi ) } } } = y _ { \overline { { S ( \pi ) } } } \right] \approx \operatorname* { P r } _ { x \sim p } \left[ x _ { \pi ( i ) } = y _ { \pi ( i ) } , x _ { \pi ( j ) } = y _ { \pi ( j ) } , x _ { \overline { { S ( \pi ) } } } = y _ { \overline { { S ( \pi ) } } } \right] .
{ \tiny \begin{array} { c c } { 0 } \end{array} } \to \underbrace { P ( 1 ) ^ { 1 } \oplus P ( 2 ) ^ { 0 } } _ { = \tiny { \begin{array} { c c } { 1 } \\ { 2 } \end{array} } } \to { \tiny { \begin{array} { c c } { 1 } \\ { 2 } \end{array} } } \to { \tiny \begin{array} { c c } { 0 } \end{array} } \quad \Longrightarrow \quad g ^ { \tiny { \begin{array} { c c } { 1 } \\ { 2 } \end{array} } } = ( 1 - 0 , 0 - 0 ) = ( 1 , 0 ) ,
{ \begin{array} { r l } { { \boldsymbol { \partial } } } & { = \left( { \frac { \partial } { \partial x _ { 0 } } } , \, - { \frac { \partial } { \partial x _ { 1 } } } , \, - { \frac { \partial } { \partial x _ { 2 } } } , \, - { \frac { \partial } { \partial x _ { 3 } } } \right) } \\ & { = ( \partial ^ { 0 } , \, - \partial ^ { 1 } , \, - \partial ^ { 2 } , \, - \partial ^ { 3 } ) } \\ & { = \mathbf { E } _ { 0 } \partial ^ { 0 } - \mathbf { E } _ { 1 } \partial ^ { 1 } - \mathbf { E } _ { 2 } \partial ^ { 2 } - \mathbf { E } _ { 3 } \partial ^ { 3 } } \\ & { = \mathbf { E } _ { 0 } \partial ^ { 0 } - \mathbf { E } _ { i } \partial ^ { i } } \\ & { = \mathbf { E } _ { \alpha } \partial ^ { \alpha } } \\ & { = \left( { \frac { 1 } { c } } { \frac { \partial } { \partial t } } , \, - \nabla \right) } \\ & { = \left( { \frac { \partial _ { t } } { c } } , - \nabla \right) } \\ & { = \mathbf { E } _ { 0 } { \frac { 1 } { c } } { \frac { \partial } { \partial t } } - \nabla } \end{array} }
G _ { * } = \left\{ \mathbf { U } = ( \rho , \mathbf { m } , \mathbf { B } , E ) ^ { \top } : ~ \mathbf { U } \cdot \mathbf { n } _ { 1 } > 0 , ~ \mathbf { U } \cdot \mathbf { n } ^ { * } + \frac { | \mathbf { B } ^ { * } | ^ { 2 } } { 2 } > 0 ~ \forall \mathbf { v } ^ { * } , \mathbf { B } ^ { * } \in \mathbb { R } ^ { 3 } \right\} ,
V _ { N B P S } ( z ) = 2 m ^ { 2 } \left( \begin{array} { c c } { { \frac { 2 \alpha } { \lambda } - ( 1 + \frac { 2 \alpha } { \lambda } ) s e c h ^ { 2 } ( M z ) } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \frac { \alpha } { 2 \lambda } - \frac { 3 \alpha } { \lambda } s e c h ^ { 2 } ( M z ) } } \end{array} \right) .
\Sigma _ { 1 } ( p _ { 1 } , p _ { 2 } ) = p _ { 1 } \cdot p _ { 2 } \Sigma _ { 2 } ( p _ { 1 } , p _ { 2 } ) + p _ { 2 } ^ { 2 } \Sigma _ { 3 } ( p _ { 1 } , p _ { 2 } ) \ ,
\phi _ { Q \overline { { { Q } } } } ( y , \kappa _ { \bot } ) = 4 \sqrt { \overline { { { \Lambda } } } } \Bigg ( { \frac { \pi } { \omega _ { \lambda } ^ { 2 } } } \Bigg ) ^ { 3 / 4 } \exp \Bigg ( - { \frac { \kappa _ { \bot } ^ { 2 } } { 2 \omega _ { \lambda } ^ { 2 } } } \Bigg ) \exp \Bigg ( - { \frac { \overline { { { \Lambda } } } ^ { 2 } } { 2 \omega _ { \lambda } ^ { 2 } } } y ^ { 2 } \Bigg ) ,
\mathbb E \left[ \left( \int _ { n - \frac { 1 } { 2 } } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } | F _ { k } ^ { ( R ) } ( \frac { 1 } { 2 } - \frac { k } { \log x } + i t ) | ^ { 2 } d t \right) ^ { q } \right] = \mathbb E \left[ \left( \int _ { - \frac { 1 } { 2 } } ^ { \frac { 1 } { 2 } } | F _ { k } ^ { ( R ) } ( \frac { 1 } { 2 } - \frac { k } { \log x } + i t ) | ^ { 2 } d t \right) ^ { q } \right] .
\left( \begin{array} { l l } { - \eta } & { i B _ { 0 } } \\ { i B _ { 0 } } & { - \nu } \end{array} \right) ^ { - 1 } = \Delta \left( \begin{array} { l l } { - \nu } & { - i B _ { 0 } } \\ { - i B _ { 0 } } & { - \eta } \end{array} \right)
- \frac { \partial \langle \epsilon \rangle _ { x } } { \partial \phi _ { \mathrm { ~ T ~ } } } = - \frac { 1 } { ( \phi _ { \mathrm { ~ T ~ } } ) ^ { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { x _ { i } } { L _ { i } } + \frac { 1 } { ( 1 - \phi _ { \mathrm { ~ T ~ } } ) ^ { 2 } } = 0 ,
J _ { I } = \left< \chi _ { I p \sigma } ( 1 ) \chi _ { I p \sigma } ( 2 ) | | \vec { r } _ { 1 } - \vec { r } _ { 2 } | ^ { - 1 } | \chi _ { I p \sigma } ( 1 ) \chi _ { I p \sigma } ( 2 ) \right>
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg \| y _ { t } ^ { ( m ) } - y _ { x _ { t } ^ { ( m ) } } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } } & { \leq ( 1 - \frac { \mu \gamma } { 2 } ) \frac { 1 } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg \| y _ { t - 1 } ^ { ( m ) } - y _ { x _ { t - 1 } ^ { ( m ) } } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } + \frac { 1 0 \kappa ^ { 2 } \eta ^ { 2 } } { \mu \gamma M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg \| \nu _ { t - 1 } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } } \\ & { \qquad + \frac { 1 0 \kappa ^ { 2 } } { \mu \gamma M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg \| x _ { t } ^ { ( m ) } - \bar { x } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } + \frac { 3 \gamma ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { b _ { y } } } \end{array}
\begin{array} { r } { n _ { j } = \frac { 8 \pi \sqrt 2 } { ( 2 \pi \hbar ) ^ { 3 } } m ^ { 3 } c ^ { 3 } \beta _ { j } ^ { 3 / 2 } \left[ F _ { 1 / 2 } ( \eta _ { j } , \beta _ { j } ) + \beta _ { j } , F _ { 3 / 2 } ( \eta _ { j } , \beta _ { j } ) \right] } \end{array}
\sum _ { k = 1 } ^ { M - 1 } k ^ { \frac { s } { d } } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { d } { d + s } M ^ { 1 + \frac { s } { d } } + \mathcal { O } ( M ^ { \frac { s } { d } } ) , } & { s \ge 0 , } \\ { \frac { d } { d + s } M ^ { 1 + \frac { s } { d } } + \mathcal { O } ( 1 ) , } & { - d < s < 0 , } \\ { \log ( M ) + \mathcal { O } ( 1 ) , } & { s = - d , } \\ { \zeta ( - \frac { s } { d } ) + \mathcal { O } ( M ^ { 1 + \frac { s } { d } } ) , } & { - 2 d < s < - d . } \end{array} \right.
A _ { k } ^ { \prime \prime } + [ k ^ { 2 } - V ( \eta ) ] A _ { k } = 0 , ~ ~ ~ V ( \eta ) = g ( g ^ { - 1 } ) ^ { \prime \prime } = \frac { \phi ^ { 2 } } { 4 } - \frac { \phi ^ { \prime \prime } } { 2 }
{ \cal C } _ { t } ^ { \scriptscriptstyle R } \! \equiv \! \{ ( \rho ^ { \prime } \! , \varphi ^ { \prime } \! , z ^ { \prime } ) \: \: | \: \: 0 \! \le \! \rho ^ { \prime } \! + \! c t \! - \! z ^ { \prime } \! \le \! R \}
S _ { j } ^ { 2 } = ( \mathbf y _ { j } - \hat { \mu } _ { j } \mathbf 1 _ { n } ) ^ { T } \mathbf { \tilde { K } } ^ { - 1 } ( \mathbf y _ { j } - \hat { \mu } _ { j } \mathbf 1 _ { n } )
\mathbf { A } _ { i } \equiv \frac { \mathbf { F } _ { i + 1 } + \rho _ { i + 2 } \mathbf { F } _ { i + 2 } + \rho _ { i + 2 } \rho _ { i + 3 } \mathbf { F } _ { i + 3 } + \rho _ { i + 2 } \rho _ { i + 3 } \rho _ { i + 4 } \mathbf { F } _ { i + 4 } } { 1 + \rho _ { i + 2 } + \rho _ { i + 2 } \rho _ { i + 3 } + \rho _ { i + 2 } \rho _ { i + 3 } \rho _ { i + 4 } }
i \Pi _ { 2 } ^ { \mu \nu } ( p ) = \frac { 4 e ^ { 2 } } { M _ { f } ^ { 2 } } \int \frac { d ^ { 4 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \frac { [ 2 k ^ { \mu } k ^ { \nu } - p ^ { \mu } k ^ { \nu } - p ^ { \nu } k ^ { \mu } + g ^ { \mu \nu } ( p \cdot k - k \cdot k + m ^ { 2 } ) ] ( k - p ) ^ { 2 } } { [ ( p - k ) ^ { 2 } - m ^ { 2 } + i \epsilon ] [ k ^ { 2 } - m ^ { 2 } + i \epsilon ] } ,
\begin{array} { r } { H ^ { \prime } ( r ) = \frac { d - 1 } { r } \int _ { \partial B _ { r } \cap \Omega } \mu u ^ { 2 } \, d \sigma + 2 \int _ { \partial B _ { r } \cap \Omega } \mu u \frac { \partial u } { \partial r } \, d \sigma + \int _ { \partial B _ { r } \cap \Omega } \frac { \partial \mu } { \partial r } u ^ { 2 } \, \, d \sigma , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | { \bf { h } } _ { k } ^ { H } { \bf { F } } _ { \mathrm { { A } } } { \bf { f } } _ { D , l } | } & { = \left[ { \bf { H } } { \bf { F } } _ { \mathrm { A } } { \bf { F } } _ { \mathrm { { D } } } \right] _ { k , l } } \\ & { = \left[ { \overline { { \bf { H } } } } \ { \overline { { \bf { H } } } } ^ { H } ( { \overline { { \bf { H } } } } \ { \overline { { \bf { H } } } } ^ { H } ) ^ { - 1 } { \bf { \Lambda } } \right] _ { k , l } } \\ & { = \left[ { \bf { \Lambda } } \right] _ { k , l } . } \end{array}
\hat { \rho } ^ { \prime } = \left[ \begin{array} { l l l l } { \hat { \rho } _ { 1 , 1 } ^ { \prime } } & { \hat { \rho } _ { 1 , 2 } ^ { \prime } } & { \hat { \rho } _ { 1 , 3 } ^ { \prime } } & { \cdots } \\ { \hat { \rho } _ { 1 , 2 } ^ { * } } & { 0 } & { 0 } & { \vdots } \\ { \hat { \rho } _ { 1 , 3 } ^ { * } } & { 0 } & { 0 } & { \vdots } \\ { \vdots } & { \cdots } & { \cdots } & { \ddots } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l } { \sin \left[ \phi ( t ) - \phi \left( t _ { l } \right) \right] } & { = J _ { 0 } \left( \frac { \Delta \omega } { \Omega } \right) \left( \sin ( w _ { 0 } t - \phi _ { t _ { l } } ) \right) } \\ & { + \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } J _ { 2 k } \left( \frac { \Delta \omega } { \Omega } \right) } \\ & { \times [ \; \sin \left( \left( \omega _ { 0 } + 2 k \Omega \right) t - \phi _ { t _ { l } } \right) } \\ & { + \sin \left( \left( \omega _ { 0 } - 2 k \Omega \right) t - \phi _ { t _ { l } } \right) \; ] } \\ & { + \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } J _ { 2 k - 1 } \left( \frac { \Delta \omega } { \Omega } \right) } \\ & { \times [ \; \cos \left( \left( \omega _ { 0 } + ( 2 k - 1 ) \Omega \right) t - \phi _ { t _ { l } } \right) } \\ & { + \cos \left( \left( \omega _ { 0 } - ( 2 k - 1 ) \Omega \right) t - \phi _ { t _ { l } } \right) \; ] } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \tau _ { q } ^ { 2 } } { 2 } \rho c _ { v } \partial _ { t } ^ { 4 } T + \tau _ { q } \rho c _ { v } \partial _ { t } ^ { 3 } T + \rho c _ { v } \partial _ { t } ^ { 2 } T = \kappa _ { 1 } \Delta T + \hat { \tau } _ { \alpha } \partial _ { t } \Delta T + \kappa _ { 2 } \tau _ { T } \partial _ { t } ^ { 2 } \Delta T , } \end{array}
\Phi _ { s } = \left\{ \begin{array} { l l } { B V _ { s } \frac { D _ { o p t } } { p ( D _ { o p t } - w _ { i n } ) } , } & { p \ge \frac { D _ { o p t } + w _ { i n } } { D _ { o p t } - w _ { i n } } , } \\ { B V _ { s } \left( 1 - \frac { ( p - 1 ) ^ { 2 } ( D _ { o p t } - w _ { i n } ) } { 4 p w _ { i n } } \right) , } & { 1 \le p < \frac { D _ { o p t } + w _ { i n } } { D _ { o p t } - w _ { i n } } , } \\ { B V _ { s } p , } & { p < 1 . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { { \frac { \tilde { Z } } { 2 \pi } } } & { { } = } & { \int _ { 0 } ^ { \tau } d \tau ^ { \prime } E _ { 2 } ( \tau - \tau ^ { \prime } ) \tilde { B } ( \tau ^ { \prime } ) - \int _ { \tau } ^ { \tau _ { \infty } } d \tau ^ { \prime } E _ { 2 } ( \tau ^ { \prime } - \tau ) \tilde { B } ( \tau ^ { \prime } ) + \epsilon _ { s } \tilde { B } _ { s } E _ { 3 } ( \tau ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { g _ { m } } & { { } = \int \left\{ h _ { m } ^ { T h } ( \mathbf { r } ) f ^ { T h } ( \mathbf { r } ) + h _ { m } ^ { R a } ( \mathbf { r } ) f ^ { R a } ( \mathbf { r } ) \right\} ~ d ^ { 3 } r + \psi _ { m } + n _ { m } . } \end{array}
T ( z ) U ( w ) = \frac { k ^ { 2 } / 2 } { ( z - w ) ^ { 2 } } U ( w ) + \frac { 1 } { z - w } \partial _ { w } U ( w ) - \frac { k \bar { \beta } k } { z - w } \frac { 1 } { z } U ( w ) + \textrm { r e g u l a r t e r m } .
\begin{array} { r } { \left\lVert u \right\rVert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( ( 0 , T ) , \dot { \mathrm { B } } _ { p , q } ^ { s + 2 \alpha _ { q } } ) } \lesssim _ { p , q , n } ^ { s , \alpha } \left\lVert ( \partial _ { t } u , \nabla ^ { 2 } u ) \right\rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { \alpha , q } ( ( 0 , T ) , \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ) } \lesssim _ { p , q , n } ^ { s , \alpha } \left\lVert f \right\rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { \alpha , q } ( ( 0 , T ) , \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ) } + \left\lVert u _ { 0 } \right\rVert _ { \dot { \mathrm { B } } _ { p , q } ^ { s + 2 \alpha _ { q } } } . } \end{array}
\langle A _ { \mathrm { I } } ( t ) \rangle = \langle \psi _ { \mathrm { I } } ( t ) | A _ { \mathrm { I } } ( t ) | \psi _ { \mathrm { I } } ( t ) \rangle = \langle \psi _ { \mathrm { S } } ( t ) | e ^ { - i H _ { 0 , { \mathrm { S } } } t } e ^ { i H _ { 0 , { \mathrm { S } } } t } \, A _ { \mathrm { S } } \, e ^ { - i H _ { 0 , { \mathrm { S } } } t } e ^ { i H _ { 0 , { \mathrm { S } } } t } | \psi _ { \mathrm { S } } ( t ) \rangle = \langle A _ { \mathrm { S } } ( t ) \rangle .
\frac { n _ { \mathrm { ~ u ~ n ~ i ~ t ~ } } } { n _ { \mathrm { ~ a ~ s ~ u ~ } } } \approx \frac { m _ { \mathrm { ~ u ~ n ~ i ~ t ~ } } } { m _ { \mathrm { ~ a ~ s ~ u ~ } } } \approx \frac { m _ { \mathrm { ~ u ~ n ~ i ~ t ~ } } ^ { L ( G ) } } { m _ { \mathrm { ~ a ~ s ~ u ~ } } ^ { L ( G ) } } \approx 2 . 1
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \bigg [ \frac { 1 } { \mu _ { 0 } ^ { \Phi } } \bigg ] = \mathbb { E } \left[ \prod _ { i \neq 0 } \Bigg ( 1 + \frac { \eta / F } { 1 - \frac { \eta } { F } + \frac { D _ { i } ^ { \alpha } } { \theta R _ { i } ^ { \alpha \epsilon } r ^ { \alpha ( 1 \! - \! \epsilon ) } } } \Bigg ) \right] } \\ & { = \! \! \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \! \exp { \! \Bigg ( \! \! - \! z \! + \! \frac { 4 } { 5 } \frac { \lambda _ { \mathrm { s } } } { \lambda _ { \mathrm { d } } } \! \! \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \! \! \! \int _ { 0 } ^ { 1 } \! \! \frac { z ^ { 2 } \frac { \eta } { F } q \exp { ( - z s q ) } \mathrm { d } s \mathrm { d } q } { \big ( 1 \! - \! \frac { \eta } { F } \! + \! \frac { q ^ { \alpha ( 1 \! - \! \epsilon ) / 2 } } { \theta s ^ { \alpha \epsilon / 2 } } \big ) \big ( 1 \! - \! e ^ { - z q } \big ) } \! \Bigg ) } \mathrm { d } z . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { E } } & { = } & { u _ { \mu } u _ { \nu } T ^ { \mu \nu } \, , } \\ { M } & { = } & { T ^ { \mu \nu } u _ { \mu } l _ { \nu } \; , } \\ { \mathcal { P } _ { l } } & { = } & { T ^ { \mu \nu } l _ { \mu } l _ { \nu } \; , } \\ { \mathcal { P } _ { \perp } } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \, T ^ { \mu \nu } \Xi _ { \mu \nu } \; , } \\ { W _ { \perp u } ^ { \mu } } & { = } & { \Xi _ { \alpha } ^ { \mu } T ^ { \alpha \beta } u _ { \beta } \; , } \\ { W _ { \perp l } ^ { \mu } } & { = } & { - \Xi _ { \alpha } ^ { \mu } T ^ { \alpha \beta } l _ { \beta } \; , } \\ { \pi _ { \perp } ^ { \mu \nu } } & { = } & { \frac { \left( \Xi _ { \alpha } ^ { \mu } \Xi _ { \beta } ^ { \nu } + \Xi _ { \beta } ^ { \mu } \Xi _ { \alpha } ^ { \nu } - \Xi ^ { \mu \nu } \Xi _ { \alpha \beta } \right) } { 2 } \, T ^ { \alpha \beta } \equiv \Xi _ { \alpha \beta } ^ { \mu \nu } T ^ { \alpha \beta } \; . } \end{array}
\frac { m _ { Z } ^ { 2 } } { 2 } = \frac { m _ { H _ { D } } ^ { 2 } - m _ { H _ { U } } ^ { 2 } \tan \beta ^ { 2 } - \Delta _ { Z } ^ { 2 } } { \tan \beta ^ { 2 } - 1 } - \mu ^ { 2 } \, ,
D _ { \mathrm { e f f , x } } = D _ { \mathrm { r b } } + A _ { d } \left< u _ { x } \right> L _ { \mathrm { x } } \left( 1 - e ^ { - \gamma _ { d } w _ { \mathrm { x } } } \right) , \quad D _ { \mathrm { e f f , y } } = D _ { \mathrm { r b } } + A _ { d } \left< u _ { y } \right> L _ { \mathrm { y } } \left( 1 - e ^ { - \gamma _ { d } w _ { \mathrm { y } } } \right) ,
\frac { 1 } { \gamma } \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathcal { B } \left[ \frac { 8 \kappa } { \pi } \frac { e } { \rho ^ { 2 } } \right] e ^ { - \zeta / \gamma } d \zeta = \frac { 1 } { \gamma } \int _ { 0 } ^ { \infty } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { a _ { n } } { n ! } \zeta ^ { n } e ^ { - \zeta / \gamma } \simeq \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } a _ { n } \gamma ^ { n } = \frac { 8 \kappa } { \pi } \frac { e } { \rho ^ { 2 } } \, .
\begin{array} { r l } & { { \mathbb A } _ { 1 , i } \, y = - y ^ { \prime \prime } - \frac { 1 } { 1 - i } \, [ y ^ { \prime } ( 1 ) - i y ( 1 ) ] \, [ \delta ( x - 1 ) + \delta ^ { \prime } ( x - 1 ) ] , } \\ & { { \mathbb A } _ { 1 , i } ^ { * } \, y = - y ^ { \prime \prime } - \frac { 1 } { 1 + i } \, [ y ^ { \prime } ( 1 ) + i y ( 1 ) ] \, [ \delta ( x - 1 ) + \delta ^ { \prime } ( x - 1 ) ] . } \end{array}
\eta ( \boldsymbol { U } u , \boldsymbol { U } u ) = \frac { \langle u , u \rangle - \langle \boldsymbol { V } u , \boldsymbol { V } u \rangle } { 1 - \frac { \langle \boldsymbol { V } u , \boldsymbol { V } u \rangle } { \langle u , u \rangle } } = \langle u , u \rangle
\begin{array} { r l } & { I _ { \textrm { s c a t t e r e d } } ( \mathbf { Q } ) \propto \exp \left\{ - \frac { 1 } { 2 } [ \mathcal { R } _ { \mathbf { \Phi } ( \mathbf { r } _ { A } ) } ^ { T } \mathbf { Q } ] ^ { T } \mathbf { P } ^ { - 1 } ( \mathbf { r } _ { A } ) \, [ \mathcal { R } _ { \mathbf { \Phi } ( \mathbf { r } _ { A } ) } ^ { T } \mathbf { Q } ] \right\} } \\ & { \quad = \exp \left\{ - \frac { 1 } { 2 } \mathbf { Q } ^ { T } \mathcal { R } _ { \mathbf { \Phi } ( \mathbf { r } _ { A } ) } \mathbf { P } ^ { - 1 } ( \mathbf { r } _ { A } ) \, \mathcal { R } _ { \mathbf { \Phi } ( \mathbf { r } _ { A } ) } ^ { T } \mathbf { Q } \right\} . } \end{array}
H _ { o p } | \Phi \rangle = ( K _ { o p } + U _ { o p } ) | \Phi \rangle = \frac { 1 } { \sqrt { N ! } } \int \prod _ { a = 1 } ^ { N } d ^ { 3 } r _ { a } \left[ \sum _ { a = 1 } ^ { N } h _ { a } \right] \Phi ( \mathrm { \bf ~ r } _ { 1 } , \mathrm { \bf ~ r } _ { 2 } , \dots , \mathrm { \bf ~ r } _ { N } ) \prod _ { a } ^ { N } \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } _ { a } ) | 0 \rangle
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } \left( \left\| \sum _ { i = 1 } ^ { k } w _ { i } ^ { \top } P ^ { * } B u _ { i } ^ { p r } \right\| \geq \right. } \\ & { \quad \left. \vphantom { \sum _ { i } ^ { i } } C _ { \mathrm { c r o s s } } \sqrt { k } ( \log ( k / \delta ) ) ^ { 2 } , \forall k \in \mathbb { N } ^ { * } \right| \left. \mathcal { E } _ { \mathrm { n o i s e } } ( \delta ) \vphantom { \sum _ { i } ^ { i } } \right) \leq 4 \delta . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde { h } _ { 1 } } & { = t _ { \gamma _ { 1 } ^ { 1 } } t _ { \gamma _ { 2 } ^ { 1 } } t _ { \gamma _ { 1 } ^ { 2 } } t _ { \gamma _ { 2 } ^ { 2 } } t _ { \gamma _ { 1 } ^ { 3 } } \cdots t _ { \gamma _ { 2 } ^ { k - 1 } } t _ { \gamma _ { 1 } ^ { k } } , } \\ { \widetilde { t } _ { 3 } } & { = \widetilde { t } _ { 1 } = t _ { \gamma _ { 1 } ^ { 1 } } t _ { \gamma _ { 1 } ^ { 2 } } \cdots t _ { \gamma _ { 1 } ^ { k } } , } \\ { \widetilde { a } _ { 1 } } & { = t _ { \alpha _ { 1 } ^ { 1 } } t _ { \alpha _ { 1 } ^ { 2 } } \cdots t _ { \alpha _ { 1 } ^ { k - 1 } } . } \end{array}
\left| \int _ { - \frac h 2 } ^ { \frac h 2 } S _ { M } ( x , y , z ) \phi ( x , y , z ) d z \right| \le \frac { 2 \sqrt 2 p } { \pi } \left[ \sum _ { m = 0 } ^ { + \infty } \frac { 1 } { ( 2 m + 1 ) ^ { 2 } } \right] ^ { \frac 1 2 } \left\| \frac { \partial \phi } { \partial z } \right\| _ { L ^ { \infty } ( \Omega ) } \qquad \mathrm { f o r ~ a n y ~ } ( x , y ) \in C _ { a , b } \, .
\begin{array} { r } { I _ { d } ( \boldsymbol { x } , t ) : = \int _ { S _ { j } ^ { \sigma } } \frac { ( c t - r ) _ { + } ^ { d } } { r } \mathrm { d } S _ { y } , \quad \boldsymbol { I } _ { d } ( \boldsymbol { x } , t ) : = \int _ { S _ { j } ^ { \sigma } } \frac { ( c t - r ) _ { + } ^ { d } } { r } ( \boldsymbol { x } - \boldsymbol { y } ) \ \mathrm { d } S _ { y } \equiv - \nabla _ { x } \int _ { S _ { j } ^ { \sigma } } \frac { ( c t - r ) _ { + } ^ { d + 1 } } { d + 1 } \mathrm { d } S _ { y } . } \end{array}
u ( r ) = \left\{ \begin{array} { l l } { A \sin \left( \sqrt { k ^ { 2 } + k _ { 0 } ^ { 2 } } \ r \right) } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } r < R , } \\ { \cot \delta _ { 0 } ( k ) \sin ( k r ) + \cos ( k r ) } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } r > R , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { ( I - \Lambda _ { U T } ) ^ { - 1 } } & { = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { \Lambda _ { 1 2 } } & { \Lambda _ { 1 2 } \Lambda _ { 2 3 } + \Lambda _ { 1 3 } } \\ { 0 } & { 1 } & { \Lambda _ { 2 3 } } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \, , } \\ { \medskip ( I - \Lambda _ { c y c } ) ^ { - 1 } } & { = \frac { \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { \Lambda _ { 1 2 } } & { \Lambda _ { 1 2 } \Lambda _ { 2 3 } } \\ { \Lambda _ { 2 3 } \Lambda _ { 3 1 } } & { 1 } & { \Lambda _ { 2 3 } } \\ { \Lambda _ { 3 1 } } & { \Lambda _ { 3 1 } \Lambda _ { 1 2 } } & { 1 } \end{array} \right) } { 1 - \Lambda _ { 1 2 } \Lambda _ { 2 3 } \Lambda _ { 3 1 } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta \mathcal { F } } & { = \mathrm { R e } \left[ \int d y \frac { 1 } { | \phi ( y ) | } T ( y ) \phi ^ { * } ( y ) \delta \phi ( y ) \right] , } \\ & { = \frac { h \omega ^ { 2 } } { D } \mathrm { R e } \left[ \int d y \frac { 1 } { | \phi ( y ) | } \phi ^ { * } ( y ) G ( y , \boldsymbol { r } _ { i } ) \phi ( \boldsymbol { r } _ { i } ) T ( y ) \right] \Delta \rho . } \end{array}