harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \Psi _ { 1 } ( x , y , s , r ) } & { = u ( x , s ) - v ( y , s ) - \Phi ( X _ { s } ^ { - 1 } , Y _ { s } ^ { - 1 } , t ) - \psi ( s ) - | s - r | ^ { 2 } } \\ & { + ( v ( y , s ) - v ( y , r ) ) + ( \Phi ( X _ { s } ^ { - 1 } , Y _ { s } ^ { - 1 } , t ) - \Phi ( X _ { s } ^ { - 1 } , Y _ { r } ^ { - 1 } , t ) ) } \\ & { < u ( x _ { 0 } , s _ { 0 } ) - v ( y _ { 0 } , s _ { 0 } ) - \Phi ( X _ { s _ { 0 } } ^ { - 1 } , Y _ { s _ { 0 } } ^ { - 1 } , t ) - \psi ( s _ { 0 } ) } \\ & { + ( v ( y , s ) - v ( y , r ) ) + ( \Phi ( X _ { s } ^ { - 1 } , Y _ { s } ^ { - 1 } , t ) - \Phi ( X _ { s } ^ { - 1 } , Y _ { r } ^ { - 1 } , t ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { 1 L } ( \mathbf { r } _ { 1 } | \mathbf { r } _ { 2 } ) } & { \propto A _ { + + } ^ { 2 } + A _ { + - } ^ { 2 } + A _ { - + } ^ { 2 } + A _ { -- } ^ { 2 } - 2 \left[ A _ { + + } A _ { - + } \sin ( \phi _ { - + } - \phi _ { + + } ) + A _ { + - } A _ { -- } \sin ( \phi _ { -- } - \phi _ { + - } ) \right] , } \\ { I _ { 1 R } ( \mathbf { r } _ { 1 } | \mathbf { r } _ { 2 } ) } & { \propto A _ { + + } ^ { 2 } + A _ { + - } ^ { 2 } + A _ { - + } ^ { 2 } + A _ { -- } ^ { 2 } + 2 \left[ A _ { + + } A _ { - + } \sin ( \phi _ { - + } - \phi _ { + + } ) + A _ { + - } A _ { -- } \sin ( \phi _ { -- } - \phi _ { + - } ) \right] . } \end{array}
- \, 4 \pi \, e \int _ { P } \left( \begin{array} { c } { \delta \widetilde { F } _ { e } } \\ { v _ { \| } \, \delta \widetilde { F } _ { e } } \end{array} \right) \; = \; \left( \begin{array} { c } { k _ { \| } \, \nu ^ { 2 } } \\ { \omega \, \nu ^ { 2 } } \end{array} \right) \left( k _ { \| } \, \delta \widetilde { \Phi } \; - \; \frac { \omega } { c } \, \delta \widetilde { A } _ { \| } \right) .
\begin{array} { r } { \kappa _ { \mathrm { e f f } } ( t ) = 1 - \mathrm { P e } _ { p } ^ { 2 } \frac { e ^ { - \left( 2 + \pi ^ { 2 } \right) t } \left( e ^ { t } - 1 \right) \left( e ^ { \left( \pi ^ { 2 } - 2 \right) t } \left( \left( \pi ^ { 2 } - 2 \right) e ^ { t } + \pi ^ { 2 } - 1 \right) - 2 \pi ^ { 2 } + 3 \right) } { 2 - 3 \pi ^ { 2 } + \pi ^ { 4 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \nabla _ { Y ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } Y ^ { \varepsilon } , N ^ { \varepsilon } \rangle _ { \varepsilon } } & { = - \varepsilon ^ { 2 } \frac { \varepsilon ^ { 2 } ( X _ { \theta } \delta ) ^ { 3 } \langle _ { \varepsilon } \nabla _ { N } ^ { \varepsilon } N , X _ { \theta } \rangle _ { \varepsilon } - \langle ( X _ { \theta } \delta ) \nabla _ { N } ^ { \varepsilon } X _ { \theta } - \nabla _ { X _ { \theta } } ^ { \varepsilon } X _ { \theta } , N \rangle _ { \varepsilon } } { ( 1 + \varepsilon ^ { 2 } ( X _ { \theta } \delta ) ^ { 2 } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } } \\ & { \quad - \varepsilon ^ { 2 } \frac { ( X _ { \theta } \delta ) N X _ { \theta } \delta - X _ { \theta } X _ { \theta } \delta } { ( 1 + \varepsilon ^ { 2 } ( X _ { \theta } \delta ) ^ { 2 } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { l . h . s . } } & { = \sum _ { q = k - i + 1 } ^ { n - i } ( - 1 ) ^ { q } \, \biggl [ \binom { k - 1 } { q - 1 } + \binom { k - 1 } { q } \biggr ] } \\ & { = ( - 1 ) ^ { k - i + 1 } \, \binom { k - 1 } { k - i } + ( - 1 ) ^ { n - i } \, \binom { k - 1 } { n - i } } \\ & { = \mathrm { r . h . s . } } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l } { { \dot { x } } _ { 1 } } & { = A x _ { 1 } + B u _ { 1 } + \phi ( y _ { d } ) , } & & { x _ { 1 } ( 0 ) = x _ { 0 } , } \\ { { \dot { x } } _ { 2 } } & { = A x _ { 2 } + B u _ { 2 } + \phi \left( c ^ { \mathsf { T } } x _ { 1 } + c ^ { \mathsf { T } } x _ { 2 } \right) - \phi ( y _ { d } ) , } & & { x _ { 2 } ( 0 ) = 0 . } \end{array} }
{ \cal L } ~ = ~ - { \scriptstyle \frac { 1 } { 2 } } \, \partial _ { \mu } \, \varphi \, \partial ^ { \mu } \, \varphi - { \scriptstyle \frac { 1 } { 2 } } m ^ { 2 } \varphi ^ { 2 } - { \scriptstyle \frac { 1 } { 4 } } \, \lambda \, \left( \partial _ { \mu } \, \varphi \, \partial ^ { \mu } \, \varphi \right) ^ { 2 }
d \sigma ( e ^ { + } e ^ { - } \rightarrow e ^ { + } e ^ { - } X ) = \sigma ( \gamma _ { 1 } \gamma _ { 2 } \rightarrow X ) \frac { d ^ { 2 } n _ { 1 } } { d z _ { 1 } d P _ { 1 } ^ { 2 } } \frac { d ^ { 2 } n _ { 2 } } { d z _ { 2 } d P _ { 2 } ^ { 2 } } d z _ { 1 } d z _ { 2 } d P _ { 1 } ^ { 2 } d P _ { 2 } ^ { 2 }
\begin{array} { r l r } { s } & { { } = } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { - i \exp \left( i \arg \Omega _ { 1 , 0 } \right) } \\ { - i \exp \left( i \arg \Omega _ { 1 , 0 } \right) } & { 1 } \end{array} \right) , } \\ { \nu _ { r } } & { { } = } & { - \left( \mathbf { k \cdot g } - \alpha \right) T _ { 1 , 0 } , } \\ { \phi _ { 1 , 0 } \left( \mathbf { p } _ { + , T _ { 1 , 0 } + \tau } ^ { \left( 1 , 0 \right) } + \hbar \mathbf { k } / 2 \right) } & { { } = } & { \phi _ { 1 , 0 } + \left( \delta _ { 1 , 0 } - \frac { \mathbf { k } } { M } \mathbf { \cdot p } _ { + , T _ { 1 , 0 } + \tau } ^ { \left( 1 , 0 \right) } - \omega _ { k } \right) T _ { 1 , 0 } - \frac { 1 } { 2 } \left( \mathbf { k \cdot g } - \alpha \right) T _ { 1 , 0 } ^ { 2 } , } \\ { s _ { d } ^ { \prime } } & { { } = } & { \frac { i \sqrt { 2 } } { \pi } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } _ { 0 , y } \Big [ h ( U _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } ) \Big | \mathscr { F } _ { \rho ^ { \varepsilon } } \Big ] } & { = h ( U _ { \rho ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } ) + \mathbf { E } _ { 0 , y } \Big [ \int _ { \rho ^ { \varepsilon } } ^ { \tau ^ { \varepsilon } } ( - 2 U _ { s } ^ { \varepsilon } + a _ { + } ^ { \varepsilon } - a _ { - } ^ { \varepsilon } ) ( b ^ { 0 } ( X _ { s } ^ { \varepsilon } , Y _ { s } ^ { \varepsilon } ) + \varphi ^ { \varepsilon , 0 } ( X _ { s } ^ { \varepsilon } , Y _ { s } ^ { \varepsilon } ) ) \, \mathrm { d } s \Big | \mathscr { F } _ { \rho ^ { \varepsilon } } \Big ] } \\ & { - \sum _ { l = 1 } ^ { m } \mathbf { E } _ { 0 , y } \Big [ \int _ { \rho ^ { \varepsilon } } ^ { \tau ^ { \varepsilon } } \Big ( \sigma _ { l } ^ { 0 } ( X _ { s } ^ { \varepsilon } , Y _ { s } ^ { \varepsilon } ) + \varphi _ { l } ^ { \varepsilon , 0 } ( X _ { s } ^ { \varepsilon } , Y _ { s } ^ { \varepsilon } ) \Big ) ^ { 2 } \, \mathrm { d } s \Big | \mathscr { F } _ { \rho ^ { \varepsilon } } \Big ] } \\ & { \leq h ( U _ { \rho ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } ) + C _ { 1 } \varepsilon \mathbf { E } _ { 0 , y } \Big [ \tau ^ { \varepsilon } - \rho ^ { \varepsilon } \Big | \mathscr { F } _ { \rho ^ { \varepsilon } } \Big ] - \delta _ { 1 } \mathbf { E } _ { 0 , y } \Big [ \tau ^ { \varepsilon } - \rho ^ { \varepsilon } \Big | \mathscr { F } _ { \rho ^ { \varepsilon } } \Big ] } \end{array}
d _ { \mathrm { o b s } } ( X _ { 1 } , X _ { 2 } ) \triangleq \operatorname* { m i n } _ { \substack { i \in \mathsf { d o m } ( X _ { 1 } ) \, i ^ { \prime } \in \mathsf { d o m } ( X _ { 2 } ) } } d _ { \mathrm { q u b i t } } ( i , i ^ { \prime } ) ,
\begin{array} { r l } & { \underset { \mathcal { C } _ { u } \not = \mathcal { C } _ { v } } { \sum _ { \{ u , v \} \in \mathcal { E } _ { r } } } ( \xi _ { u } e _ { u } + \xi _ { v } e _ { v } ) ( \xi _ { u } e _ { u } + \xi _ { v } e _ { v } ) ^ { T } } \\ & { = \frac 1 2 I _ { r _ { 0 } n } + \sum _ { u \in \mathcal { V } _ { r 1 } } \sum _ { v \in \mathcal { V } _ { r 2 } } ( \xi _ { u } \xi _ { v } e _ { u } e _ { v } ^ { T } + \xi _ { u } \xi _ { v } e _ { v } e _ { u } ^ { T } ) } \\ & { = \frac 1 2 I _ { r _ { 0 } n } + \frac 1 2 ( \xi \xi ^ { T } - \eta \eta ^ { T } ) = \xi \xi ^ { T } + \frac 1 2 \Gamma . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \ddot { \omega } } _ { k + 1 } } & { \approx \mathbf { V } _ { k } - \mathbf { V } _ { k - 1 } , } \\ { | \boldsymbol { \dot { \omega } } _ { k + 1 } | } & { \approx \sqrt { \langle \mathbf { V } _ { k } , \mathbf { V } _ { k } \rangle } , } \\ { \frac { d } { d t } | \boldsymbol { \dot { \omega } } _ { k + 1 } | } & { \approx \frac { \langle \mathbf { V } _ { k } , \mathbf { V } _ { k } \rangle - \langle \mathbf { V } _ { k } , \mathbf { V } _ { k - 1 } \rangle } { \sqrt { \langle \mathbf { V } _ { k } , \mathbf { V } _ { k } \rangle } } , } \\ { \kappa _ { t , k + 1 } } & { \approx \frac { 1 } { \sqrt { \langle \mathbf { V } _ { k } , \mathbf { V } _ { k } \rangle } } \left[ \langle \mathbf { V } _ { k - 1 } , \mathbf { V } _ { k - 1 } \rangle - \frac { \langle \mathbf { V } _ { k - 1 } , \mathbf { V } _ { k } \rangle ^ { 2 } } { \langle \mathbf { V } _ { k } , \mathbf { V } _ { k } \rangle } \right] ^ { 1 / 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Omega _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( t ) } } } & { = \delta \int _ { ( \Sigma , \partial \Sigma ) } \underline { { \imath } } ^ { * } ( \Theta _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( t ) } } , \overline { { \theta } } _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( t ) } } ) = \delta \int _ { ( \Sigma , \partial \Sigma ) } \underline { { \imath } } ^ { * } \Big ( \underline { { \widetilde { \Phi } } } \big ( \Theta _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( m ) } } , \overline { { \theta } } _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( m ) } } \big ) + \underline { { \mathrm { d } } } \big ( \star _ { g } \mathcal { U } , 0 \big ) \Big ) } \\ & { = \Phi ^ { * } \delta \int _ { ( \Sigma , \partial \Sigma ) } \underline { { \imath } } ^ { * } ( \Theta _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( m ) } } , \overline { { \theta } } _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( m ) } } ) = \Phi ^ { * } \Omega _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( m ) } } , } \end{array}
H _ { 1 , 2 1 } = R _ { 2 2 } ^ { V } \frac { \partial u _ { 1 } } { \partial x _ { 2 } } + R _ { 1 1 } ^ { V } \frac { \partial u _ { 2 } } { \partial x _ { 1 } } = R _ { 2 2 } ^ { V } \left( \frac { \partial u _ { 1 } } { \partial x _ { 2 } } - \frac { \partial u _ { 2 } } { \partial x _ { 1 } } \right) .
\mathfrak { D } \simeq \frac { \gamma ^ { 2 } R \left( \omega \Gamma _ { y z } + \Gamma _ { 2 } \Gamma _ { z x } \right) } { 4 \Gamma _ { 1 } \left( \omega ^ { 2 } + \Gamma _ { 2 } ^ { 2 } \right) }
\begin{array} { r l } { A ( n - 1 ) } & { = \operatorname { E } A ( n - 1 ) = \sum _ { i = 0 } ^ { d - 1 } 2 ^ { i } \operatorname { E } \hat { \theta } _ { i } = \sum _ { i = 0 } ^ { d - 1 } 2 ^ { i } ( \operatorname { E } \hat { c } _ { i } + A ) } \\ & { = ( 2 ^ { d } - 1 ) A + \sum _ { i = 0 } ^ { d - 1 } 2 ^ { i } \operatorname { E } \hat { c } _ { i } = ( n - 1 ) A + \sum _ { i = 0 } ^ { d - 1 } 2 ^ { i } \operatorname { E } \hat { c } _ { i } } \end{array}
\pm { \cal E } _ { b r } \to \pm \left( - i ( - { \cal M } _ { \xi } ^ { 2 } ( X ) ) ^ { 1 / 2 } + \alpha \right) \; \; \; \; \; ( \alpha = I m ( - { \cal M } _ { \xi } ^ { 2 } ( X ) + i \eta ) ^ { 1 / 2 } )
\mathcal { D } _ { 2 } ( x ) = \frac { \theta ^ { x } ( 1 - \theta ) ^ { 2 - x } R _ { 2 } ^ { 2 } ( \theta ) } { \int _ { 0 } ^ { 1 } y ^ { x } ( 1 - y ) ^ { 2 - x } R _ { 2 } ^ { 2 } ( y ) \, \mathrm { ~ d ~ } y } = \frac { \theta ^ { x + 4 } ( 1 - \theta ) ^ { 4 - x } } { \int _ { 0 } ^ { 1 } y ^ { x + 4 } ( 1 - y ) ^ { 4 - x } \, \mathrm { ~ d ~ } y } .
2 6 ^ { n ^ { 2 } } ( 1 - 1 / 2 ) ( 1 - 1 / 2 ^ { 2 } ) \cdots ( 1 - 1 / 2 ^ { n } ) ( 1 - 1 / 1 3 ) ( 1 - 1 / 1 3 ^ { 2 } ) \cdots ( 1 - 1 / 1 3 ^ { n } ) .
\begin{array} { r } { K ( \theta _ { 1 } , \theta _ { 0 } ) = E _ { \omega _ { \theta _ { 1 } , 0 } } ^ { \theta _ { 1 } } \left[ g ^ { 0 } ( W _ { 1 , \theta _ { 1 } } ^ { ( 0 ) } , W _ { 0 , \theta _ { 1 } } ^ { ( 0 ) } ) \right] - E _ { \omega _ { \theta _ { 0 } , 0 } } ^ { \theta _ { 1 } } \left[ g ^ { 0 } ( W _ { 1 , \theta _ { 0 } } ^ { ( 0 ) } , W _ { 0 , \theta _ { 0 } } ^ { ( 0 ) } ) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ( \{ u _ { 0 } , \ldots , u _ { M } \} | \alpha ) } & { { } = P ( u _ { 0 } ) \prod _ { i = 1 } ^ { M } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi ( s _ { i } - s _ { i - 1 } ) } } e ^ { - \left( u _ { i } - u _ { i - 1 } - \left( \alpha + u _ { i - 1 } ^ { 2 } \right) \left( s _ { i } - s _ { i - 1 } \right) \right) ^ { 2 } / \left( 2 \left( s _ { i } - s _ { i - 1 } \right) \right) } = } \end{array}
\begin{array} { r } { p ( x _ { \delta } ) = \frac { \exp \left( - \frac { \hat { E } ( x _ { \delta } ) } { k _ { \mathrm { B } } T } \right) } { \sum _ { x \in \mathrm { ~ t ~ r ~ a ~ i ~ n ~ } } \exp \left( - \frac { E ( x ) } { k _ { \mathrm { B } } T } \right) } } \end{array}
\begin{array} { r l r l r } { D _ { l m } ^ { \sigma \sigma ^ { \prime } } = \frac { { a _ { l m } ^ { \sigma } + \sigma ^ { \prime } b _ { l m } ^ { \sigma } } } { \sqrt { 2 } } , } & { } & { \mathrm { a n d } } & { } & { \boldsymbol { \Phi } _ { l m } ^ { \sigma ^ { \prime } } ( { \bf r } ) = \frac { { \boldsymbol { N } } _ { l m } ^ { h } ( { \bf r } ) + \sigma ^ { \prime } { \boldsymbol { M } } _ { l m } ^ { h } ( { \bf r } ) } { \sqrt { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathrm P ( \{ \rho _ { g } , \rho _ { e } \} | x ^ { ( n ) } ) \propto \mathrm P ( x ^ { ( n ) } | \{ \rho _ { g } , \rho _ { e } \} ) \mathrm P ( \{ \rho _ { g } , \rho _ { e } \} ) } \\ & { = } & { \left[ \rho _ { g } \mathrm P _ { g } ( x ^ { ( n ) } ) + \rho _ { e } \mathrm P _ { e } ( x ^ { ( n ) } ) \right] \mathrm P ( \{ \rho _ { g } , \rho _ { e } \} ) } \\ & { \approx } & { \left[ \rho _ { g } \mathrm P _ { g } ( x ^ { ( n ) } ) + \rho _ { e } \mathrm P _ { e } ( x ^ { ( n ) } ) \right] \mathrm P ( \{ \rho _ { g } , \rho _ { e } \} | x ^ { ( n - 1 ) } ) } \end{array}
\left[ A _ { k } ^ { i } , A _ { m } ^ { j \dagger } \right] = \left[ \tilde { A } _ { k } ^ { i } , \tilde { A } _ { m } ^ { j \dagger } \right] = \left[ B _ { k } ^ { i } , B _ { m } ^ { j \dagger } \right] = \left[ \tilde { B } _ { k } ^ { i } , \tilde { B } _ { m } ^ { j \dagger } \right] = \delta _ { k m } \delta ^ { i j } ,
\begin{array} { r } { \sum _ { i \in B } p _ { i } \int _ { \hat { E } _ { 0 } - L } ^ { \hat { E } _ { 0 } + L } n _ { \sigma , i } ( x ) d x \leq 2 \sum _ { i \in B } p _ { i } \int _ { \hat { E } _ { 0 } + \frac { L } { 2 } } ^ { \hat { E } _ { 0 } + 2 L } n _ { \sigma , i } ( x ) d x \leq \sum _ { i } 2 p _ { i } \int _ { \hat { E } _ { 0 } + \frac { L } { 2 } } ^ { \hat { E } _ { 0 } + 2 L } n _ { \sigma , i } ( x ) d x \leq 2 c ^ { \prime } \epsilon ^ { 2 } \eta ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { U _ { d i p o l e } } & { = \frac { \Gamma _ { a v g } } { 2 \pi \xi _ { A B } } , \; \; \; \mathrm { w h e r e , } } \\ { \Gamma _ { a v g } } & { = \frac { 1 } { 2 } ( | \Gamma _ { A } | + | \Gamma _ { B } | ) , \; \; \; \mathrm { a n d , } } \\ { \xi _ { A B } } & { = \sqrt { ( x _ { B } - x _ { A } ) ^ { 2 } + ( y _ { B } - y _ { A } ) ^ { 2 } } . } \end{array}
M _ { 1 2 } = M _ { 1 2 } ^ { \mathrm { S M } } + M _ { 1 2 } ^ { W _ { 1 } W _ { 2 } } + M _ { 1 2 } ^ { S _ { 1 } W _ { 2 } } + M _ { 1 2 } ^ { H } \equiv M _ { 1 2 } ^ { \mathrm { S M } } + M _ { 1 2 } ^ { \mathrm { L R } } . \nonumber
p = p ^ { \prime } + \frac { ( 1 - p ) } { p } \frac { n _ { e } ^ { 0 } \sigma _ { e } ^ { 0 } \; J } { k _ { v b - } } - \frac { \; p } { 1 - p } \frac { \left( n _ { e } ^ { - } \sigma _ { e } ^ { - } + n _ { s } ^ { - } \sigma _ { s } ^ { - } \right) J } { k _ { c b 0 } }
\begin{array} { r l } & { H ^ { * } ( C _ { 2 } ; \mathbb { F } _ { 2 } ) = \mathbb { F } _ { 2 } [ x ] , | x | = 1 \quad \mathrm { f o r ~ n = 1 ~ } } \\ & { H ^ { * } ( C _ { 2 ^ { n } } ; \mathbb { F } _ { 2 } ) = \mathbb { F } _ { 2 } [ y ] \otimes \Lambda \langle z \rangle , | y | = 2 , | z | = 1 \quad \mathrm { f o r ~ n \geq ~ 2 ~ } } \end{array}
\left( \mathrm { i } \alpha _ { 1 } F ^ { \prime \prime } ( 0 ) - \frac { ( 2 x _ { 1 } ) ^ { 1 / 2 } T _ { w } ^ { 2 } } { \widetilde { A } _ { v } } \right) \left. \overline { { v } } _ { 1 } \right\vert _ { \underline { { \eta } } = 0 } + \frac { \mu _ { w } } { 2 x _ { 1 } T _ { w } } \left. \frac { \partial ^ { 3 } \overline { { v } } _ { 1 } } { \partial \underline { { \eta } } ^ { 3 } } \right\vert _ { \underline { { \eta } } = 0 } = 0 .
\vert \psi _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } \rangle = \otimes _ { j = 1 } ^ { N } \vert \psi \rangle _ { j } = \otimes _ { j = 1 } ^ { N } \left( \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } c _ { n } \frac { \hat { a } _ { j } ^ { \dag n } } { \sqrt { n ! } } \right) \vert 0 \rangle ,
\small \begin{array} { r l } { \overline { T } _ { 1 } } & { { } = - { \cal T } _ { 0 } \sum _ { k = - \infty } ^ { + \infty } \Bigg \{ \frac { 9 } { 3 2 } \, b ( - k n ) \bigg [ \left( 1 - x ^ { 2 } \right) \left( \left( X _ { k } ^ { - 3 , - 2 } \right) ^ { 2 } - \left( X _ { k } ^ { - 3 , 2 } \right) ^ { 2 } \right) \bigg ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { { 1 } \mathbb { E } [ X _ { k } ] } & { = 0 \mathrm { ~ f o r ~ } 1 \leq k \leq 5 , } \\ { \mathrm { V a r } ( X _ { 1 } ) } & { \lesssim \| \theta \| _ { 2 } ^ { 8 } \lesssim \lambda _ { 1 } ^ { 4 } } \\ { \mathrm { V a r } ( X _ { 2 } ) } & { \lesssim \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } \, \| \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } \lesssim | \tilde { \lambda } | ^ { 2 } \lambda _ { 1 } ^ { 2 } } \\ { \mathrm { V a r } ( X _ { 3 } ) } & { \lesssim \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 8 } \, \| \theta \| _ { 2 } ^ { 2 } \lesssim | \tilde { \lambda } | ^ { 4 } \lambda _ { 1 } } \\ { \mathrm { V a r } ( X _ { 4 } ) } & { \lesssim \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 8 } \leq | \tilde { \lambda } | ^ { 4 } } \\ { \mathrm { V a r } ( X _ { 5 } ) } & { \lesssim \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 1 2 } \lesssim | \tilde { \lambda } | ^ { 6 } , \mathrm { ~ a n d ~ } } \\ { \mathbb { E } [ X _ { 6 } ] } & { = X _ { 6 } \sim | \tilde { \lambda } ^ { 4 } | } \end{array}
\tan ( 2 \theta _ { 1 2 } ) \simeq 2 \, t _ { 1 3 } \, \frac { y _ { 2 } ^ { 2 } + x _ { 3 } ^ { 2 } } { \frac { z _ { 3 } } { z _ { 2 } } \, y _ { 2 } ^ { 2 } + \frac { z _ { 2 } } { z _ { 3 } } \, x _ { 3 } ^ { 2 } - t _ { 1 3 } ( \frac { z _ { 2 } } { z _ { 3 } } \, y _ { 2 } ^ { 2 } + \frac { z _ { 3 } } { z _ { 2 } } \, x _ { 3 } ^ { 2 } ) } \le \frac { 2 \, t _ { 1 3 } \, \beta } { 1 - t _ { 1 3 } \, \beta ^ { 2 } } \equiv B _ { 1 2 } ( \beta , t _ { 1 3 } ) \, ,
\psi _ { \mathrm { a b } } ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) = \frac { 4 \sqrt { 2 } \gamma \kappa e ^ { - 2 \tau _ { 1 } ( \gamma + \kappa ) - \tau _ { 2 } ( 4 \gamma + \kappa ) } \left( - 2 \gamma e ^ { 2 \kappa \tau _ { 1 } + 4 \gamma \tau _ { 2 } } - 2 \gamma e ^ { 4 \gamma \tau _ { 1 } + 2 \gamma \tau _ { 2 } + \kappa \tau _ { 2 } } + ( 4 \gamma - \kappa ) e ^ { ( 2 \gamma + \kappa ) ( \tau _ { 1 } + \tau _ { 2 } ) } + \kappa e ^ { 2 \gamma \tau _ { 1 } + \kappa \tau _ { 1 } + 4 \gamma \tau _ { 2 } } \right) } { ( \kappa - 2 \gamma ) ^ { 2 } }
\Phi _ { s } = \left\{ \begin{array} { l l } { 2 B k d _ { s } \alpha _ { s } ^ { * } , } & { k \le 1 } \\ { 3 B d _ { s } \alpha _ { s } ^ { * } - B d _ { s } \alpha _ { s } ^ { * } \frac { ( 3 - k ) ^ { 2 } } { 4 } , } & { 1 < k \le 3 } \\ { 3 B d _ { s } \alpha _ { s } ^ { * } , } & { k > 3 , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \textrm { P S F } _ { \textrm { f r e e } } \propto | \vec { E } _ { \textrm { f r e e } } | ^ { 2 } } & { { } = \frac { 1 } { 4 \pi } \iint | \vec { E } _ { p } | ^ { 2 } \textrm { d } \Omega } \end{array}
\begin{array} { r l r } { e ^ { - i \theta a ^ { \dagger } a } a ^ { \dagger } e ^ { - i \theta a ^ { \dagger } a } } & { = a ^ { \dagger } + i \theta [ a ^ { \dagger } a , a ^ { \dagger } ] + \frac { ( i \theta ) ^ { 2 } } { 2 ! } [ a ^ { \dagger } a , [ a ^ { \dagger } a , a ] ] + \cdots } & { = a ^ { \dagger } ( 1 + i \theta + \frac { ( i \theta ) ^ { 2 } } { 2 ! } + \cdots = a ^ { \dagger } e ^ { i \theta } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { f _ { \mathrm { c a r } , i } ( t ) } & { = } & { \Omega _ { i } \sum _ { k = 1 } ^ { K } r _ { i , k } \cos \left( \nu _ { k } t - \phi _ { i , k } \right) , } \\ { f _ { \mathrm { s d f } , i } ( t ) } & { = } & { \Omega _ { i } \sum _ { k = 1 } ^ { K } r _ { i , k } \sin \left( \nu _ { k } t - \phi _ { i , k } \right) , } \end{array}
D ^ { 2 } ( \lambda ^ { [ i ] } ) ^ { 4 } + ( \lambda ^ { [ i ] } ) ^ { 3 } \left( 2 D f + 2 D U ^ { [ i ] } \right) + ( \lambda ^ { [ i ] } ) ^ { 2 } \left( - 2 \gamma D + f ^ { 2 } + 2 f U ^ { [ i ] } + \left( U ^ { [ i ] } \right) ^ { 2 } - v ^ { 2 } \right) - \lambda ^ { [ i ] } \left( 2 \gamma f + 2 \gamma U ^ { [ i ] } \right) = 0 .
\begin{array} { r l } { { { T } _ { M o r s e } } \left( \Delta { { \theta } _ { n , m } } \right) = } & { \frac { \partial { { V } _ { M o r s e } } \left( \Delta { { \theta } _ { n , m } } \right) } { \partial { { \theta } _ { n } } } } \\ { = } & { 2 \alpha A \left\{ { { e } ^ { 2 \alpha \left( \Delta { { \theta } _ { n , m } } + 2 { { \theta } _ { L i n } } - 2 \theta _ { M o r s e } \right) } } - { { e } ^ { \alpha \left( \Delta { { \theta } _ { n , m } } + 2 { { \theta } _ { L i n } } - 2 \theta _ { M o r s e } \right) } } \right\} } \\ { - } & { 2 \alpha A \left\{ { { e } ^ { - 2 \alpha \left( \Delta { { \theta } _ { n , m } } + 2 { { \theta } _ { L i n } } - 2 \theta _ { M o r s e } \right) } } - { { e } ^ { - \alpha \left( \Delta { { \theta } _ { n , m } } + 2 { { \theta } _ { L i n } } - \Delta \theta _ { M o r s e } \right) } } \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal { K } _ { t r a n s } = \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 } \Big [ \frac { N ^ { ( a _ { 1 } ) } k _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 m _ { a _ { 1 } } } + \frac { N ^ { ( b _ { 1 } ) } k _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 m _ { b _ { 1 } } } + \frac { N ^ { ( a _ { 2 } ) } k _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 m _ { a _ { 2 } } } + \frac { N ^ { ( b _ { 2 } ) } k _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 m _ { b _ { 2 } } } \Big ] , } \\ & { \mathcal { K } _ { i n t } = - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 } \sum _ { i = 1 , 2 } \sum _ { \alpha = a , b } \int d ^ { 3 } r \psi _ { \alpha _ { i } } ^ { * } ( \vec { r } ) \frac { \nabla ^ { 2 } } { m _ { \alpha _ { i } } } \psi _ { \alpha _ { i } } ( \vec { r } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \epsilon ^ { 2 } \pi ^ { 2 } D _ { \mathrm { M e r c } } } { | p _ { 2 } | G _ { 0 } ^ { 2 } } = } & { { } \frac { ( \eta ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } ( 1 + \eta ^ { 4 } ) ^ { 2 } } { ( 1 + \eta ^ { 2 } ) ( 3 + \eta ^ { 4 } ) I _ { 2 } ^ { 2 } } p _ { 2 } + 3 \eta \delta \frac { 1 - \eta ^ { 4 } } { 3 + \eta ^ { 4 } } + \frac { \eta ^ { 2 } } { 2 } \left( \frac { 7 + \eta ^ { 4 } } { 3 + \eta ^ { 4 } } - \frac { 4 I _ { 2 } ^ { 2 } } { 1 + \eta ^ { 4 } } \right) , } \\ { = } & { { } \frac { ( \eta ^ { 2 } - 1 ) ( 2 \eta ^ { 2 } + 1 ) ( 1 + \eta ^ { 4 } ) ^ { 2 } } { 2 \eta ^ { 4 } ( 1 + \eta ^ { 2 } ) I _ { 2 } ^ { 2 } } p _ { 2 } + 3 \Delta _ { x } \frac { \eta ^ { 4 } - 1 } { \eta ^ { 4 } } + \frac { 1 } { 2 \eta ^ { 2 } } \left( 1 + \eta ^ { 4 } - \frac { 4 \eta ^ { 4 } I _ { 2 } ^ { 2 } } { 1 + \eta ^ { 4 } } \right) . } \end{array}
l ( i _ { x } , i _ { y } ) = \frac { 2 \mu _ { x } \mu _ { y } + C _ { 1 } } { \mu _ { x } ^ { 2 } + \mu _ { y } ^ { 2 } + C _ { 1 } } , \quad c ( i _ { x } , i _ { y } ) = \frac { 2 \sigma _ { x } \sigma _ { y } + C _ { 2 } } { \sigma _ { x } ^ { 2 } + \sigma _ { y } ^ { 2 } + C _ { 2 } } , \quad s ( i _ { x } , i _ { y } ) = \frac { \sigma _ { x y } + C _ { 3 } } { \sigma _ { x } \sigma _ { y } + C _ { 3 } }