harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathrm { ( i ) } ~ \langle A ( x ) v , Q _ { 0 } ( x ) \rangle = } & { \langle A ( x ) v , R _ { 0 } ( x ) \rangle = M _ { 0 } , } \\ { \mathrm { ( i i ) } ~ \langle A ( x ) v , Q _ { 1 } ( x ) \rangle = } & { M _ { 1 } + ( \sigma _ { 0 } - { d } _ { 0 } ) M _ { 0 } , } \\ { \mathrm { ( i i i ) } ~ \langle A ( x ) v , Q _ { 2 } ( x ) \rangle = } & { M _ { 2 } + ( \sigma _ { 1 } - { d } _ { 1 } ) M _ { 1 } + \{ \sigma _ { 1 } ( \sigma _ { 0 } - { d } _ { 0 } ) + ( \tau _ { 0 } - { e } _ { 0 } ) \} M _ { 0 } , } \\ { \mathrm { ( i v ) } ~ \langle A ( x ) v , Q _ { 3 } ( x ) \rangle = } & { M _ { 3 } + ( \sigma _ { 2 } - { d } _ { 2 } ) M _ { 2 } + \{ \sigma _ { 2 } ( \sigma _ { 1 } - { d } _ { 1 } ) + ( \tau _ { 1 } - { e } _ { 1 } ) \} M _ { 1 } } \\ & { + \{ \sigma _ { 2 } ( \sigma _ { 1 } ( \sigma _ { 0 } - { d } _ { 0 } ) + ( \tau _ { 0 } - { e } _ { 0 } ) ) + \tau _ { 1 } ( \sigma _ { 0 } - { d } _ { 0 } ) \} M _ { 0 } , } \\ { \mathrm { ( v ) } ~ \langle A ( x ) v , Q _ { 4 } ( x ) \rangle = } & { M _ { 4 } - { d } _ { 3 } M _ { 3 } + ( \tau _ { 2 } - { e } _ { 2 } ) M _ { 2 } + \tau _ { 2 } ( \sigma _ { 1 } - { d } _ { 1 } ) M _ { 1 } } \\ & { + \tau _ { 2 } \{ \sigma _ { 1 } ( \sigma _ { 0 } - { d } _ { 0 } ) + ( \tau _ { 0 } - { e } _ { 0 } ) \} M _ { 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { L } } & { = A _ { C } \cdot C ^ { - 1 } } \\ & { = Q _ { A _ { C } } \cdot R _ { A _ { C } } \cdot R _ { C } ^ { - 1 } \cdot Q _ { C } ^ { - 1 } } \\ & { = Q _ { A _ { C } } \cdot R _ { A _ { C } } \cdot R _ { C } ^ { - 1 } \cdot Q _ { C } ^ { \dagger } } \\ & { \approx Q _ { A _ { C } } \cdot Q _ { C } ^ { \dagger } } \end{array}
\Big [ \partial _ { t } ( ( \partial _ { t } + 1 ) ( \partial _ { t } + i k U _ { \mathrm { s h } } ) - \partial _ { y } ^ { 2 } ) \partial _ { y } \psi _ { k } \Big ] ( 0 , y ) = i k U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime } ( y ) \big ( \partial _ { t } ^ { 2 } \psi _ { k } ( 0 , y ) + \partial _ { t } \psi _ { k } ( 0 , y ) \big ) + \partial _ { t } \partial _ { y } \Phi _ { k } ( 0 , y ) ,
[ e _ { 1 } , e _ { 2 } ] _ { D } = \int _ { \Omega } \Big ( e _ { \eta } ^ { 1 } \wedge f _ { \eta } ^ { 2 } + d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { 1 } ) \wedge \ast d \big ( \mathrm { l i } _ { \phi } ( f _ { \phi } ^ { 2 } ) \big ) \Big ) + \int _ { \Sigma } e _ { \Sigma } ^ { 1 } \wedge f _ { \Sigma } ^ { 2 } + \int _ { \Gamma } e _ { b } ^ { 1 } \wedge f _ { b } ^ { 2 } .
C ( r , \tau ) = \frac { \sigma _ { 0 } ^ { 2 } \, \mathrm { e } ^ { - a \, \lvert \tau \rvert / \tilde { \tau } _ { c } } } { ( 2 \pi ) ^ { d / 2 } } \, \frac { \mathrm { e } ^ { - r ^ { 2 } / 4 \left( \beta + b \, \lvert \tau \rvert / \tau _ { c } \right) } } { \left( \frac { 2 b \lvert \tau \rvert } { \tilde { \tau } _ { c } } + 2 \beta \right) ^ { d / 2 } } \, .
\begin{array} { r } { \psi _ { n l n _ { z } } \! \! = \sqrt { N _ { n l n _ { z } } } \! \exp \left[ - i \frac { E _ { n l n _ { z } } t } { \hbar } \right] \! \exp \left[ - \frac { m \omega _ { \perp } x _ { \perp } ^ { 2 } + m \omega _ { z } z ^ { 2 } } { 2 \hbar } \right] ( x + i y ) ^ { l } \, L _ { n } ^ { l } \! \! \left[ \frac { m \omega _ { \perp } x _ { \perp } ^ { 2 } } { \hbar } \right] \! H _ { n _ { z } } \! \left[ \sqrt { \frac { m \omega _ { z } } { \hbar } } z \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \alpha _ { 1 } ( q ) } & { = } & { q , } \\ { \alpha _ { 2 } ( q ) } & { = } & { q ( q + 1 ) , } \\ { \alpha _ { 3 } ( q ) } & { = } & { q ^ { 2 } ( q + 1 ) , } \\ { \alpha _ { 4 } ( q ) } & { = } & { q ( q ^ { 3 } + q ^ { 2 } + q + 1 ) , } \\ { \alpha _ { 5 } ( q ) } & { = } & { q ^ { 2 } ( q ^ { 3 } + q ^ { 2 } + q + 1 ) , } \\ { \alpha _ { 6 } ( q ) } & { = } & { q ^ { 2 } ( q ^ { 4 } + q ^ { 3 } + q ^ { 2 } + 2 q + 1 ) , } \\ { \alpha _ { 7 } ( q ) } & { = } & { q ^ { 3 } ( q ^ { 4 } + q ^ { 3 } + q ^ { 2 } + 2 q + 1 ) , } \\ { \alpha _ { 8 } ( q ) } & { = } & { q ( q ^ { 7 } + q ^ { 6 } + q ^ { 5 } + 2 q ^ { 4 } + 2 q ^ { 3 } + q ^ { 2 } + q + 1 ) , } \\ { \alpha _ { 9 } ( q ) } & { = } & { q ^ { 2 } ( q ^ { 7 } + q ^ { 6 } + q ^ { 5 } + 2 q ^ { 4 } + 2 q ^ { 3 } + q ^ { 2 } + q + 1 ) , } \\ { \alpha _ { 1 0 } ( q ) } & { = } & { q ^ { 2 } ( q ^ { 8 } + q ^ { 7 } + q ^ { 6 } + 2 q ^ { 5 } + 2 q ^ { 4 } + 2 q ^ { 3 } + 2 q ^ { 2 } + 2 q + 1 ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { B _ { c _ { l + 1 } , b _ { l + 1 } } ^ { d _ { l + 1 } } = \sum _ { b _ { l + 2 } , c _ { l + 2 } , d _ { l + 2 } , a _ { l + 1 } , a _ { l + 1 } ^ { \prime } } } & { B _ { c _ { l + 2 } , b _ { l + 2 } } ^ { d _ { l + 2 } } Y _ { d _ { l + 1 } , d _ { l + 2 } } ^ { a _ { l + 1 } ^ { \prime } } \times } \\ & { O _ { c _ { l + 1 } , c _ { l + 2 } } ^ { a _ { l + 1 } ^ { \prime } , a _ { l + 1 } } X _ { b _ { l + 1 } , b _ { l + 2 } } ^ { a _ { l + 1 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \binom { L - m } { K } } { \binom { L } { K } } } & { = \frac { ( \Bar { L } + \frac { K - 1 } { 2 } - m ) \cdots ( \Bar { L } + \frac { K - 1 } { 2 } - m - ( K - 1 ) ) } { ( \Bar { L } + \frac { K - 1 } { 2 } ) \cdots ( \Bar { L } + \frac { K - 1 } { 2 } - ( K - 1 ) ) } } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \Bar { L } - m } { \Bar { L } } \times \prod _ { p = 1 } ^ { \frac { K - 1 } { 2 } } \frac { ( \Bar { L } - m ) ^ { 2 } - p ^ { 2 } } { \Bar { L } ^ { 2 } - p ^ { 2 } } } & { \mathrm { f o r ~ o d d ~ K ~ , } } \\ { \prod _ { p = 1 } ^ { \frac { K } { 2 } } \frac { ( \Bar { L } - m ) ^ { 2 } - \left( \frac { 2 p - 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } } { \Bar { L } ^ { 2 } - \left( \frac { 2 p - 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } } } & { \mathrm { f o r ~ e v e n ~ K ~ . } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \varepsilon ^ { l } ( \mathbf { v } ^ { l } - \mathbf { v } ^ { s } ) = - \frac { k ^ { \varepsilon } } { \mu ^ { l } } ( \mathbf { \nabla } p ^ { l } - \rho ^ { l } \mathbf { g } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \operatorname* { l i m } _ { T \to \infty } { \frac { 1 } { T } } E _ { P _ { 0 } \times \mu } \bigg [ \sum _ { k = 0 } ^ { T - 1 } c ( X _ { k } , \gamma ( Y _ { ( - \infty , k ] } , U _ { ( - \infty , k - 1 ] } , R _ { k } ) ) \bigg ] } \\ & { } & { \quad \quad \quad \quad = \int g ( y _ { ( - \infty , 0 ] } , u _ { ( - \infty , - 1 ] } , x _ { 0 } ) \bar { Q } ( d y _ { ( - \infty , 0 ] } , d u _ { ( - \infty , - 1 ] } , x _ { 0 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { D _ { h } ( U _ { h } \circ f _ { h } ) \mid _ { h = 0 } [ g ] ( x ) = - \int _ { \mathbb { D } } \frac { 2 \mathrm { \normalfont ~ R e } [ g ^ { \prime } ( y ) ] } { | x - y | ^ { \nu } } \, d y + \nu \int _ { \mathbb { D } } \frac { \mathrm { \normalfont ~ R e } [ ( \overline { { x - y } } ) ( g ( x ) - g ( y ) ) ] } { | x - y | ^ { 2 + \nu } } \, d y . } \end{array}
\{ X ^ { I } , \{ X ^ { J } , X ^ { K } \} \} ( - 1 ) ^ { I K } + \{ X ^ { J } , \{ X ^ { K } , X ^ { I } \} \} ( - 1 ) ^ { J I } + \{ X ^ { K } , \{ X ^ { I } , X ^ { J } \} \} ( - 1 ) ^ { K J } = 0 ,
\begin{array} { r l r l } { \varepsilon } & { = ( \Delta L ^ { \prime } - \Delta L ) / \Delta L , } & & { \quad \mathrm { t o t a l ~ e r r o r } , } \\ { \varepsilon _ { l } } & { = ( \Delta L - \overline { { \Delta L } } ) / \Delta L , } & & { \quad \mathrm { l o w e r ~ e r r o r } , } \\ { \varepsilon _ { u } } & { = ( \varepsilon - \varepsilon _ { l } ) / \Delta L , } & & { \quad \mathrm { u p p e r ~ e r r o r } . } \end{array}
\mathbb { E } \left( \tau _ { t } ^ { ( \eta ) } \left( a _ { x , 1 } ^ { \ast } a _ { x , 1 } \right) \right) : = \rho \left( \tau _ { t } ^ { ( \eta ) } \left( a _ { x , 1 } ^ { \ast } a _ { x , 1 } \right) \right)
\frac { \Gamma ( \tilde { \delta _ { L , R } ^ { + + } } \tilde { \delta _ { L , R } ^ { -- } } \rightarrow l ^ { + } l ^ { - } ) } { \Gamma ( \bar { q } q \rightarrow l ^ { + } l ^ { - } ) } \approx \frac { Q ^ { 8 } \alpha ^ { 3 } } { 3 Q _ { q } ^ { 2 } \alpha _ { s } ^ { 3 } } \approx 0 . 3 6 6 ( a t Q _ { q } = - \frac { 1 } { 3 } ) , 0 . 0 9 2 ( a t Q _ { q } = \frac { 2 } { 3 } )
\begin{array} { r l } { \alpha } & { { } = \mu \nu , { \mathrm { ~ w h e r e ~ } } \nu = ( \alpha + \beta ) > 0 } \\ { \beta } & { { } = ( 1 - \mu ) \nu , { \mathrm { ~ w h e r e ~ } } \nu = ( \alpha + \beta ) > 0 . } \end{array}
\varphi _ { Z _ { n } } \! ( t ) = \varphi _ { \sum _ { i = 1 } ^ { n } { { \frac { 1 } { \sqrt { n } } } Y _ { i } } } \! ( t ) \ = \ \varphi _ { Y _ { 1 } } \! \! \left( { \frac { t } { \sqrt { n } } } \right) \varphi _ { Y _ { 2 } } \! \! \left( { \frac { t } { \sqrt { n } } } \right) \cdots \varphi _ { Y _ { n } } \! \! \left( { \frac { t } { \sqrt { n } } } \right) \ = \ \left[ \varphi _ { Y _ { 1 } } \! \! \left( { \frac { t } { \sqrt { n } } } \right) \right] ^ { n } ,
\bar { a } _ { n } ^ { b } ( e _ { b } ^ { \mu } D _ { \mu L } + \frac { 1 } { 2 } \gamma _ { b } ) | \psi \rangle = 0 \, , \qquad \bar { a } _ { n } ^ { b } \gamma _ { b } | \psi \rangle = 0 \, ,
\begin{array} { r l r } { \frac { \hat { l } _ { - } \hat { l } _ { + } } { \hbar ^ { 2 } } } & { = } & { \hbar \mathrm { e } ^ { - i \phi } \left( - z \partial _ { r } + \frac { z } { r } i \partial _ { \phi } + r \partial _ { z } \right) \hbar } \\ & { } & { \mathrm { e } ^ { i \phi } \left( z \partial _ { r } + \frac { z } { r } i \partial _ { \phi } - r \partial _ { z } \right) } \\ & { = } & { - z \left( z \partial _ { r } ^ { 2 } - \frac { z ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } i \partial _ { \phi } + \frac { z } { r } i \partial _ { r } \partial _ { \phi } - \partial _ { z } - r \partial _ { r } \partial _ { z } \right) } \\ & { } & { + \frac { z } { r } i \left( z \partial _ { \phi } \partial _ { r } + \frac { z } { r } i \partial _ { \phi ^ { 2 } } - r \partial _ { \phi } \partial _ { z } \right) } \\ & { } & { - \frac { z } { r } \left( z \partial _ { r } + \frac { z } { r } i \partial _ { \phi } - r \partial _ { z } \right) } \\ & { } & { + r \left( \partial _ { r } + z \partial _ { z } \partial _ { r } + \frac { i } { r } \partial _ { \phi } + \frac { z } { r } i \partial _ { z } \partial _ { \phi } - r \partial _ { z } ^ { 2 } \right) } \\ & { = } & { - z ^ { 2 } \partial _ { r } ^ { 2 } - \frac { z ^ { 2 } } { r } \partial _ { r } - \frac { z ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } \partial _ { \phi } ^ { 2 } } \\ & { } & { + ( 1 + 2 z \partial _ { z } ) r \partial _ { r } - r ^ { 2 } \partial _ { z } ^ { 2 } + 2 z \partial _ { z } + i \partial _ { \phi } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \mathcal { F } \left\{ \delta _ { x } u _ { i } = \sum _ { r \ge 1 } \frac { c _ { r } } { ( \Delta x ) } ( u _ { i + r } - u _ { i - r } ) \right\} } & { \to \sum _ { k } \hat { u } _ { k } \cdot \overbrace { \left[ \sum _ { r \ge 1 } \imath \cdot \frac { 2 c _ { r } \sin ( r k \Delta x ) } { ( \Delta x ) } \right] } ^ { k _ { \mathrm { c o n v } } } e ^ { \imath k x _ { i } } } \\ { \mathcal { F } \left\{ \delta _ { x } ^ { 2 } u _ { i } = \sum _ { r \ge 0 } \frac { d _ { r } } { ( \Delta x ) ^ { 2 } } ( u _ { i + r } + u _ { i - r } ) \right\} } & { \to \sum _ { k } \hat { u } _ { k } \cdot \overbrace { \left[ \sum _ { r \ge 0 } \frac { 2 d _ { r } \cos ( r k \Delta x ) } { ( \Delta x ) ^ { 2 } } \right] } ^ { k _ { \mathrm { d i f f } } } e ^ { \imath k x _ { i } } } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \gamma _ { 1 } \approx } & { { } \left[ \left( 5 p - 4 \right) m ^ { 4 } + 6 \, p \, m ^ { 2 } - 3 \, p + 4 \right] / 1 6 , } \\ { \gamma _ { 2 } \approx } & { { } \left[ \left( p - 2 \right) m ^ { 3 } - \left( 3 \, p + 2 \right) m \right] / 2 , } \end{array}
\begin{array} { r } { \textstyle \bar { v } - x ^ { * } \! \in \! \mathrm { r i } \, \partial \left( \sum _ { i = 1 } ^ { \ell } \delta _ { A _ { i } ^ { - 1 } C _ { i } } \right) ( x ^ { * } ) \! = \! \mathrm { r i } \, \left( \sum _ { i = 1 } ^ { \ell } A _ { i } ^ { T } \mathcal { N } _ { C _ { i } } ( A _ { i } x ^ { * } ) \right) \! = \! \sum _ { i = 1 } ^ { \ell } A _ { i } ^ { T } \mathrm { r i } \, \mathcal { N } _ { C _ { i } } ( A _ { i } x ^ { * } ) , } \end{array}
\delta = \frac { K _ { x } ^ { 1 / 2 } } { d _ { m } } , \quad P r _ { m } = \frac { \nu } { \alpha _ { m } } , \quad R a _ { m } = \frac { g \beta _ { T } ( T _ { L } - T _ { 0 } ) d _ { m } K _ { x } } { \nu \alpha _ { m } } .
G _ { \beta \delta } ( p ) = - i \frac { p \! \! / + M _ { \Delta } } { p ^ { 2 } - M _ { \Delta } ^ { 2 } } \, \biggl ( g _ { \beta \delta } - \frac { 1 } { 3 } \gamma _ { \beta } \gamma _ { \delta } - \frac { 2 p _ { \beta } p _ { \delta } } { 3 M _ { \Delta } ^ { 2 } } + \frac { p _ { \beta } \gamma _ { \delta } - p _ { \delta } \gamma _ { \beta } } { 3 M _ { \Delta } } \, \biggr ) \, \, \, ,
\begin{array} { r l } { E _ { n } ^ { ( k ) } } & { { } = { \frac { 1 } { k ! } } { \frac { d ^ { k } E _ { n } } { d \lambda ^ { k } } } { \bigg | } _ { \lambda = 0 } } \\ { \left| n ^ { ( k ) } \right\rangle } & { { } = { \frac { 1 } { k ! } } { \frac { d ^ { k } | n \rangle } { d \lambda ^ { k } } } { \bigg | } _ { \lambda = 0 . } } \end{array}
\Psi ( t , z = 0 ) = \sqrt { P _ { 0 } } \mathrm { ~ s ~ e ~ c ~ h ~ } [ ( t - t _ { 0 } ) / T _ { 0 } ] e ^ { - i ( \Delta \omega / 2 ) t } + \sqrt { P _ { 0 } } \mathrm { ~ s ~ e ~ c ~ h ~ } [ ( t + t _ { 0 } ) / T _ { 0 } ] e ^ { + i ( ( \Delta \omega / 2 ) t + \Delta \phi ) }
\begin{array} { r l } { { \frac { d y } { d x } } } & { { } = { \frac { d y } { d u } } { \frac { d u } { d x } } } \\ { { \frac { d ^ { 2 } y } { d x ^ { 2 } } } } & { { } = { \frac { d ^ { 2 } y } { d u ^ { 2 } } } \left( { \frac { d u } { d x } } \right) ^ { 2 } + { \frac { d y } { d u } } { \frac { d ^ { 2 } u } { d x ^ { 2 } } } } \\ { { \frac { d ^ { 3 } y } { d x ^ { 3 } } } } & { { } = { \frac { d ^ { 3 } y } { d u ^ { 3 } } } \left( { \frac { d u } { d x } } \right) ^ { 3 } + 3 \, { \frac { d ^ { 2 } y } { d u ^ { 2 } } } { \frac { d u } { d x } } { \frac { d ^ { 2 } u } { d x ^ { 2 } } } + { \frac { d y } { d u } } { \frac { d ^ { 3 } u } { d x ^ { 3 } } } } \\ { { \frac { d ^ { 4 } y } { d x ^ { 4 } } } } & { { } = { \frac { d ^ { 4 } y } { d u ^ { 4 } } } \left( { \frac { d u } { d x } } \right) ^ { 4 } + 6 \, { \frac { d ^ { 3 } y } { d u ^ { 3 } } } \left( { \frac { d u } { d x } } \right) ^ { 2 } { \frac { d ^ { 2 } u } { d x ^ { 2 } } } + { \frac { d ^ { 2 } y } { d u ^ { 2 } } } \left( 4 \, { \frac { d u } { d x } } { \frac { d ^ { 3 } u } { d x ^ { 3 } } } + 3 \, \left( { \frac { d ^ { 2 } u } { d x ^ { 2 } } } \right) ^ { 2 } \right) + { \frac { d y } { d u } } { \frac { d ^ { 4 } u } { d x ^ { 4 } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { \mathbf { \omega } } { L } } & { = \operatorname* { m i n } _ { \mathbf { \omega } } \big [ \underbrace { \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \log { [ 1 + \exp { ( - y _ { i } \mathbf { \omega } ^ { T } \cdot x _ { i } ) } ] } } _ { \mathrm { l o g i s t i c ~ l o s s } } } \\ { \quad } & { + \underbrace { \lambda \| \mathbf { \omega } \| } _ { \mathrm { r e g u l a r i z a t i o n } } \big ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \left\Vert b _ { T } \right\Vert _ { 1 } } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \left\Vert \nabla f ( x _ { t } ) \right\Vert _ { 1 } ^ { 2 } } & { \leq \frac { \Delta _ { 1 } } { \eta } + d \sigma _ { \operatorname* { m a x } } \sqrt { \log \frac { 1 } { \delta } } + \sum _ { i = 1 } ^ { d } \left( \frac { 4 \sigma _ { i } ^ { 2 } } { \sigma _ { \operatorname* { m a x } } } \sqrt { \log \frac { 1 } { \delta } } + 4 \sigma _ { i } \sqrt { \log \frac { T } { \delta } } + \eta L \right) \log \frac { b _ { T , i } } { b _ { 0 , i } } } \\ & { \quad + 2 \sum _ { i = 1 } ^ { d } \left( 2 \sigma _ { i } \sqrt { \log \frac { T } { \delta } } + \frac { \sigma _ { i } ^ { 2 } } { \sigma _ { \operatorname* { m a x } } } \sqrt { \log \frac { 1 } { \delta } } \right) \sum _ { t = 1 } ^ { T } \frac { \xi _ { t , i } ^ { 2 } } { b _ { t , i } ^ { 2 } } } \\ & { \leq \frac { \Delta _ { 1 } } { \eta } + d \sigma _ { \operatorname* { m a x } } \sqrt { \log \frac { 1 } { \delta } } + \left( 8 \left\Vert \sigma \right\Vert _ { 1 } \sqrt { \log \frac { T } { \delta } } + d \eta L \right) \log \left( \frac { \left\Vert b _ { T } \right\Vert _ { 1 } } { \operatorname* { m i n } b _ { 0 , i } } \right) + \sum _ { i = 1 } ^ { d } 6 \sigma _ { i } \sqrt { \log \frac { T } { \delta } } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \frac { \xi _ { t , i } ^ { 2 } } { b _ { t , i } ^ { 2 } } . } \end{array}
\sigma = \int { \frac { \mathrm { d } \sigma } { \mathrm { d } \Omega } } \mathrm { d } \Omega = { \frac { 4 \mu ^ { 2 } g ^ { 4 } } { \hbar ^ { 4 } } } \int _ { 0 } ^ { \pi } { \frac { 2 \pi \sin ( \theta ) \mathrm { d } \theta } { \left[ ( \alpha m ) ^ { 2 } + 4 p ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \left( { \frac { 1 } { 2 } } \theta \right) \right] ^ { 2 } } } = { \frac { 4 \mu ^ { 2 } g ^ { 4 } } { \hbar ^ { 4 } } } { \frac { 4 \pi } { ( \alpha m ) ^ { 2 } \left[ ( \alpha m ) ^ { 2 } + 4 p ^ { 2 } \right] } }
\begin{array} { r l } { T _ { \omega } ( f \odot g ) } & { = T _ { \omega } ( f ) \odot T _ { \omega } ( g ) , } \\ { T _ { \omega } ( f * g ) } & { = T _ { \omega } ( f ) * g = f * T _ { \omega } ( g ) , } \\ { M _ { \tau } ( f \odot g ) } & { = M _ { \tau } ( f ) \odot g = f \odot M _ { \tau } ( g ) , } \\ { M _ { \tau } ( f * g ) } & { = M _ { \tau } ( f ) * M _ { \tau } ( g ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \mathcal { P } _ { n , m } \left( \bigcap _ { \ell = 1 } ^ { m } C _ { I _ { n , \ell } } \right) - 1 \right| } & { \leq \left| P \left( \bigcap _ { \ell = 1 } ^ { m } F _ { n , I _ { n , \ell } } \right) - 1 \right| + \sum _ { \ell = 1 } ^ { m } P ( \mathcal { T } _ { I _ { n , \ell } } ^ { c } ( \chi _ { \ell } ) \not \simeq \mathcal { T } _ { I _ { n , \ell } } ^ { c } ( t _ { n , I _ { n , \ell } } ) ) } \\ & { \leq \left| P \left( \bigcap _ { \ell = 1 } ^ { m } F _ { n , I _ { n , \ell } } \right) - 1 \right| + m P ( \mathcal { T } _ { I _ { n } } ^ { c } ( \chi ) \not \simeq \mathcal { T } _ { I _ { n } } ^ { c } ( t _ { n , I _ { n } } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { 3 } = } & { { } - \frac { 2 H ^ { 3 } } { 3 } \frac { \partial ^ { 2 } b _ { 1 } } { \partial x \partial t } + \frac { H ^ { 2 } } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } b _ { 2 } } { \partial x \partial t } - \frac { \partial ^ { 2 } p _ { l } } { \partial x ^ { 2 } } \bigg ( \frac { - \xi ^ { 3 } } { 3 } + \frac { \zeta \xi ^ { 2 } } { 2 } \bigg ) - \frac { \partial p _ { l } } { \partial x } \bigg ( \frac { \xi ^ { 2 } } { 2 } \frac { \partial \zeta } { \partial x } - \xi ^ { 2 } \frac { \partial \xi } { \partial x } + \xi \zeta \frac { \partial \xi } { \partial x } \bigg ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T - 1 } \mathbb { E } \bigg [ \| \nabla h ( \bar { x } _ { t } ) \| ^ { 2 } \bigg ] } & { \leq \bigg ( \frac { 2 \Delta } { \eta } + \frac { 9 b \sigma ^ { 2 } } { 8 b _ { 1 } \alpha _ { 1 } } + \frac { 3 6 \hat { L } ^ { 2 } \Delta _ { y } } { \kappa \mu \gamma } + \frac { 9 b \sigma ^ { 2 } } { 8 b _ { 1 } \alpha _ { 1 } } } \\ & { \qquad + 2 \ln ( T ) \bigg ( \frac { b ^ { 2 } M ^ { 2 } C _ { \sigma , \zeta } } { \hat { L } ^ { 2 } } + \frac { 4 b ^ { 2 } M ^ { 2 } G _ { 1 } ^ { 2 } } { \hat { L } ^ { 2 } \alpha _ { T } ^ { 2 } } \bigg ) \bigg ) \bigg ( \frac { \hat { L } ^ { 2 / 3 } \bar { u } ^ { 1 / 3 } } { T } + \frac { \hat { L } ^ { 2 / 3 } } { ( b M T ) ^ { 2 / 3 } } \bigg ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E _ { x } = e ^ { - z ^ { 2 } / L ^ { 2 } } , } & { \quad } & { B _ { x } = \frac { 1 } { c } e ^ { - y ^ { 2 } / L ^ { 2 } } , } \\ { E _ { y } = e ^ { - x ^ { 2 } / L ^ { 2 } } , } & { \quad } & { B _ { y } = \frac { 1 } { c } e ^ { - z ^ { 2 } / L ^ { 2 } } , } \\ { E _ { z } = e ^ { - y ^ { 2 } / L ^ { 2 } } , } & { \quad } & { B _ { z } = \frac { 1 } { c } e ^ { - x ^ { 2 } / L ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { q ^ { C 1 } ( z ^ { ( 1 ) } ) = \check { q } ^ { P 1 } ( z ^ { ( 1 ) } ) = q ^ { P } \left( s \cdot z ^ { ( 1 ) } + o ^ { ( 1 ) } \right) , \forall z ^ { ( 1 ) } \in [ - 1 , 1 ] , } \\ & { q ^ { C 2 } ( z ^ { ( 2 ) } ) = \check { q } ^ { P 2 } ( z ^ { ( 2 ) } ) = q ^ { P } \left( s \cdot z ^ { ( 2 ) } + o ^ { ( 2 ) } \right) , \forall z ^ { ( 2 ) } \in [ - 1 , 1 ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \underset { \Delta \mathbf { x } ^ { k } } { \mathrm { M i n i m i z e } } } & { ~ \frac { \partial C ( \mathbf { x } ^ { k } ) } { \partial \mathbf { x } } \cdot \Delta \mathbf { x } ^ { k } \mathrm { , } } \\ { \mathrm { S u b j e c t ~ t o } } & { ~ \frac { \partial V _ { i } ( \mathbf { x } ^ { k } ) } { \partial \mathbf { x } } \cdot \Delta \mathbf { x } ^ { k } \le \overline { { V } } _ { i } - V _ { i } \big ( \mathbf { x } ^ { k } \big ) : = \Delta V _ { i } ^ { k } , ~ i \in [ 1 , N _ { g } ] \mathrm { , } } \\ & { ~ \big | \big | \Delta \mathbf { x } ^ { k } \big | \big | _ { 1 } \le \beta N _ { d } \mathrm { , } } \\ & { ~ \Delta x _ { j } ^ { k } \in \{ - x _ { j } ^ { k } , 1 - x _ { j } ^ { k } \} , ~ j \in [ 1 , N _ { d } ] \mathrm { . } } \end{array}
\mathbf { Q } = \left( \frac { d ^ { 1 / N _ { I } } - 1 } { w - 1 } , \frac { N _ { I } ( 1 - v _ { I } ) \left( d ^ { 1 / N _ { I } } - 1 \right) } { N _ { I } \left( d ^ { 1 / N _ { I } } - 1 \right) + ( d - 1 ) r } \right) ,
\psi ( \tilde { x } ) \approx \left\{ \begin{array} { l l } { \psi _ { { - } N _ { \chi } } ( \tilde { x } ) , } & { \chi _ { { - } N _ { \chi } } \leq \tilde { x } < \chi _ { 1 { - } N _ { \chi } } , } \\ { \vdots } & { \vdots } \\ { \psi _ { n ^ { \prime } } ( \tilde { x } ) , } & { \chi _ { n ^ { \prime } } \leq \tilde { x } < \chi _ { n ^ { \prime } + 1 } , } \\ { \vdots } & { \vdots } \\ { \psi _ { N _ { \chi } { - } 1 } ( \tilde { x } ) , } & { \chi _ { N _ { \chi } { - } 1 } \leq \tilde { x } < \chi _ { N _ { \chi } } , } \end{array} \right.
\Delta { m } _ { 3 1 } ^ { 2 } ~ ( \equiv { m } _ { 3 } ^ { 3 } - { m } _ { 1 } ^ { 2 } ~ \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ h ~ e ~ a ~ t ~ m ~ o ~ s ~ p ~ e ~ r ~ i ~ c ~ s ~ e ~ c ~ t ~ o ~ r ~ } )
S _ { s } ^ { ( m ) } ( \theta ) = \frac { \sinh \theta + i \cos \frac { \pi m p } { 2 } } { \sinh \theta - i \cos \frac { \pi m p } { 2 } } \prod _ { l = 1 } ^ { m - 1 } \frac { \sin ^ { 2 } \left( \frac { m - 2 l } { 2 } \pi p - \frac { p } { 4 } + i \frac { \theta } { 2 } \right) } { \sin ^ { 2 } \left( \frac { m - 2 l } { 2 } \pi p - \frac { p } { 4 } - i \frac { \theta } { 2 } \right) } \, .
\widetilde { H } _ { \mathrm { f } } ^ { 1 } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } , \Delta _ { \mathrm { P a n } } ) \otimes _ { \varpi _ { 2 , 1 } ^ { * } } \mathcal { R } _ { 2 } \xrightarrow [ \mathrm { i d } \otimes \mathrm { t r } ^ { * } ] { \sim } \widetilde { H } _ { \mathrm { f } } ^ { 1 } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , T _ { 2 } ^ { \dagger } , \Delta _ { \mathrm { b a l } } ) \, .
\begin{array} { r l } { \bigg | A _ { y 1 } - A _ { y 2 } \bigg | } & { { } = \bigg | \bigg ( 1 - \frac { 1 } { 2 m } \bigg ) R L \bigg | } \\ { \bigg | B _ { y 1 } - B _ { y 2 } \bigg | } & { { } = \bigg | \bigg ( \frac { 1 } { 2 m } \bigg ) R L \bigg | } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \alpha _ { g } ( x ( n ) ) - x ( n ) \| _ { \phi } ^ { \# } } & { \leq \| x ( n ) - x _ { k _ { 0 } } ( n ) \| _ { \phi \circ \alpha _ { g } } ^ { \# } + \| \alpha _ { g } ( x _ { k _ { 0 } } ( n ) ) - x _ { k _ { 0 } } ( n ) \| _ { \phi } ^ { \# } + \| x _ { k _ { 0 } } ( n ) - x ( n ) \| _ { \phi } ^ { \# } } \\ & { < \frac { \varepsilon } { 3 } + \frac { \varepsilon } { 3 } + \frac { \varepsilon } { 3 } = \varepsilon . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial q _ { k } ^ { s } ( { \bf k } ) } { \partial t } } & { = } & { \frac { \pi \epsilon ^ { 2 } b _ { 0 } } { 1 6 } \int _ { { \mathbb { R } } ^ { 6 } } \sum _ { s _ { p } s _ { q } } \left( \frac { 1 + 2 \sin ^ { 2 } \theta _ { k } } { \sin \theta _ { k } } \right) ^ { 2 } k p q \delta ( \Omega _ { k p q } ) \delta ( { \bf k } + { \bf p } + { \bf q } ) } \\ & { } & { s _ { p } s _ { q } \left[ s _ { p } s _ { q } q _ { q } ^ { s _ { q } } ( { \bf q } ) q _ { p } ^ { s _ { p } } ( { \bf p } ) + s s _ { q } q _ { q } ^ { s _ { q } } ( { \bf q } ) q _ { k } ^ { s } ( { \bf k } ) + s s _ { p } q _ { k } ^ { s } ( { \bf k } ) q _ { p } ^ { s _ { p } } ( { \bf p } ) \right] \mathrm { d } { \bf p } \mathrm { d } { \bf q } \, . } \end{array}