harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { c } { { 6 \beta ^ { \prime } v ^ { 2 } v ^ { \prime } + 2 \beta ^ { \prime } ( D - 1 ) v ^ { 3 } + 2 \beta ^ { \prime } v ^ { \prime } = \alpha ^ { \prime } } } \\ { { v ^ { \prime } = I _ { 1 } ( \alpha ^ { \prime } ) / I _ { 0 } ( \alpha ^ { \prime } ) } } \end{array}
C _ { r s } ^ { m n } = i [ \pi _ { r t } ^ { m } , F _ { t s } ^ { n } ] = i [ \pi _ { t s } ^ { n } , F _ { r t } ^ { m } ] = [ A _ { r t } ^ { m } , ( A ^ { n \dagger } ) _ { t s } ] \stackrel { _ { \textstyle = } } { _ { _ { N } } } A _ { r t } ^ { m } ( A ^ { n \dagger } ) _ { t s }
\begin{array} { r l } { X _ { 1 } ( y _ { 1 } + i y _ { 2 } + j y _ { 3 } + k y _ { 4 } ) } & { = ( y _ { 1 } + i y _ { 2 } + j y _ { 3 } + k y _ { 4 } ) \cdot i , } \\ { X _ { 2 } ( y _ { 1 } + i y _ { 2 } + j y _ { 3 } + k y _ { 4 } ) } & { = ( y _ { 1 } + i y _ { 2 } + j y _ { 3 } + k y _ { 4 } ) \cdot j , } \\ { X _ { 3 } ( y _ { 1 } + i y _ { 2 } + j y _ { 3 } + k y _ { 4 } ) } & { = ( y _ { 1 } + i y _ { 2 } + j y _ { 3 } + k y _ { 4 } ) \cdot k . } \end{array}
\begin{array} { r } { | I _ { 4 } | \leqslant C C _ { 0 } \| f \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { T } ) } \| g \| _ { C ^ { \alpha } ( \mathbb { T } ) } \int _ { B _ { \varphi _ { 1 } } ^ { c } ( 3 d ) } \left| \sin \left( \frac { \varphi _ { 2 } - \varphi ^ { \prime } } { 2 } \right) \right| ^ { - 1 } | \varphi _ { 1 } - \varphi _ { 2 } | ^ { \alpha } d \varphi ^ { \prime } . } \end{array}
\tilde { A } _ { j k } ( x + y ) = \tilde { A } _ { j m } ( x ) \tilde { A } _ { m k } ( y ) - \psi _ { j m } ( x ) \psi _ { m k } ( y ) { \frac { \biggl | \begin{array} { l l } { { \tilde { A } _ { j m } ( x ) } } & { { \tilde { A } _ { m k } ( y ) } } \\ { { \tilde { A } \sp \prime _ { j m } ( x ) } } & { { \tilde { A } \sp \prime _ { m k } ( y ) } } \end{array} \biggr | } { \biggl | \begin{array} { l l } { { \psi _ { j m } ( x ) } } & { { \psi _ { m k } ( y ) } } \\ { { \psi \sp \prime _ { j m } ( x ) } } & { { \psi \sp \prime _ { m k } ( y ) } } \end{array} \biggr | } } ,
- { \frac { \mathrm { i } \Gamma _ { u } } { 2 \pi } } \log \sin \left( { \frac { z + \mathrm { i } } { 2 } } \right) - { \frac { \mathrm { i } \Gamma _ { l } } { 2 \pi } } \log \sin \left( { \frac { z - \pi + \mathrm { i } ( 1 + \lambda ) } { 2 } } \right) ,
\begin{array} { r l r } { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! J { \frac { 1 } { Q ^ { 2 } } } J \left[ \rule { 0 cm } { 7 mm } g _ { 0 } ^ { 2 } \right. } & { { } + } & { \left. { \frac { g _ { 0 } ^ { 4 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } } \left( \beta _ { 0 } \left( \ln { \frac { \Lambda ^ { 2 } } { \underbrace { - q ^ { 2 } } } } \right) + a \right) \right] } \\ { \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ \ } \beta _ { 0 } } & { { } = } & { - \frac 2 3 n _ { f } \mathrm { ~ \qquad ~ a ~ n ~ d ~ \ } a = \frac { 1 0 } 9 \, n _ { f } } \end{array}
\beta _ { + , a , 1 } = 2 0 , \beta _ { + , a , 2 } = 1 0 , \beta _ { - , a , 1 } = 6 , \beta _ { - , a , 2 } = 5 , \beta _ { + , b , 1 } = 2 , \beta _ { + , b , 2 } = 1 , \beta _ { - , b , 1 } = \frac { 1 } { 5 } , \beta _ { - , b , 2 } = \frac { 1 } { 1 0 }
0 = - \Delta p 2 \pi r \, d r - 2 \pi r \mu \, \Delta x \left. { \frac { d v } { d r } } \right| _ { r } + 2 \pi ( r + d r ) \mu \, \Delta x \, \left. { \frac { d v } { d r } } \right\vert _ { r + d r } .
X _ { R E } ^ { \pm } = X _ { S } ^ { \pm } | _ { q = q _ { 0 } } , \quad \widetilde { M } _ { R E } = \widetilde { M } _ { S } | _ { q = q _ { 0 } } , \qquad \left. { \frac { \partial { \cal V } _ { R C } } { \partial q } } \right| _ { q = q _ { 0 } } = 0 .
( d _ { k } ) = \left\{ 1 , { \frac { 1 } { 2 } } , { \frac { 1 } { 3 } } , { \frac { 1 } { 4 } } , { \frac { 1 } { 5 } } , { \frac { 1 } { 6 } } , \ldots , { \frac { 1 } { k + 1 } } , \ldots \right\}
S _ { f } ~ = ~ \int d ^ { 4 } x ~ h \psi _ { f } ^ { \dagger } \left[ \left( \frac { 1 } { 2 } m v ^ { \mu } v _ { \mu } + V - \frac { 1 } { 2 m } \partial ^ { \mu } \partial _ { \mu } - \mu \right) - i \left( \frac { 1 } { 2 } \partial ^ { \mu } v _ { \mu } + v ^ { \mu } \partial _ { \mu } \right) \right] \psi _ { f } .
\left\{ \begin{array} { l l } { X _ { t + \Delta { t } } = X _ { t } + c \left( X _ { t } \right) V ( S _ { t } ) \Delta { t } , \qquad } \\ { S _ { t + \Delta { t } } = S _ { t } + \gamma \Theta \Bigl ( c \left( X _ { t } ^ { \ast } \right) V ( S _ { t } ^ { \ast } ) - c \left( X _ { t } \right) V ( S _ { t } ) \Bigr ) + \Xi a ( H ( \rho ) - S _ { t } ) , } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \chi _ { \mathrm { ~ e ~ m ~ } } ^ { x y } = \frac { \left( 2 k _ { x } ^ { 2 } - k _ { 0 } ^ { 2 } \right) S _ { \mathrm { ~ m ~ e ~ } } ^ { y z z x } } { 4 k _ { 0 } ^ { 2 } } \pm \frac { 1 } { 2 j k _ { 0 } } \, , } \end{array}
\operatorname* { d e t } ( M ) = \operatorname* { d e t } { \left[ \begin{array} { l l } { a _ { 1 1 } } & { a _ { 1 2 } } \\ { a _ { 2 1 } } & { a _ { 2 2 } } \end{array} \right] } = a _ { 1 1 } a _ { 2 2 } - a _ { 2 1 } a _ { 1 2 } .
{ \mathcal L } _ { e f f } \; = \; \frac { h \rho _ { 0 } } { 2 } \sum _ { \alpha = 1 } ^ { N } q _ { \alpha } \, \epsilon _ { k l } \dot { x } _ { k } ^ { ( \alpha ) } x _ { l } ^ { ( \alpha ) } - { \mathcal H }
\begin{array} { l } { { 1 ) \exp ( - t F _ { 0 } ) : x _ { k l } \longmapsto \left\{ \begin{array} { l l } { { z ^ { - 1 } t + x _ { 1 n } } } & { { \mathrm { ( k , l ) = ( 1 , n ) } } } \\ { { x _ { k l } } } & { { \mathrm { o t h e r w i s e } } } \end{array} \right. } } \\ { { 2 ) \exp ( - t F _ { i } ) : x _ { k l } \longmapsto \left\{ \begin{array} { l l } { { \frac { x _ { k i } } { 1 + x _ { i i } t } } } & { { \mathrm { f o r ~ l = i ~ } } } \\ { { - \left( x _ { k i } - x _ { k i - 1 } x _ { i i } \right) t + x _ { k i - 1 } } } & { { \mathrm { f o r ~ l = i - 1 ~ } } } \\ { { x _ { i l } t + x _ { i + 1 l } } } & { { \mathrm { f o r ~ k = i + 1 ~ } } } \\ { { x _ { k l } } } & { { \mathrm { o t h e r w i s e } } } \end{array} \right. } } \end{array}
\log F ( Q ; \vec { m } ; \vec { w } ; e ^ { \lambda _ { 1 } } , \dots , e ^ { \lambda _ { d } } ) = \sum _ { \substack { \mu , \xi \mathrm { ~ p a r t i t i o n s } \, k _ { 1 } , \dots , k _ { d } \geq - 1 } } H _ { \mu , \xi , \vec { k } } ( Q ) \prod _ { i = 1 } ^ { \ell ( \mu ) } e _ { \mu _ { i } } ( \vec { w } ) \prod _ { i = 1 } ^ { \ell ( \xi ) } e _ { \xi _ { i } } ( \vec { m } ) \lambda _ { 1 } ^ { k _ { 1 } } \dots \lambda _ { d } ^ { k _ { d } }
\begin{array} { r l } { a ^ { T } r ( \alpha _ { 1 } ) a + c ^ { T } r ( \alpha _ { 2 } ) c } & { = w _ { \varepsilon _ { 1 } } r ( \alpha _ { 1 } ) w _ { \varepsilon _ { 1 } } ; } \\ { b ^ { T } r ( \alpha _ { 1 } ) b + d ^ { T } r ( \alpha _ { 2 } ) d } & { = w _ { \varepsilon _ { 2 } } r ( \alpha _ { 2 } ) w _ { \varepsilon _ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { l } { { 2 n - 2 ( n _ { 1 } + \cdots + n _ { j } ) + \beta _ { i j } ^ { ( k ) } \geq a _ { 1 } ^ { ( j ) } \geq \cdots \geq a _ { n _ { j } - n _ { j + 1 } } ^ { ( j ) } \geq 0 , ~ ~ ~ ~ 1 \leq j \leq k - 2 , } } \\ { { n - ( n _ { 1 } + \cdots + n _ { k - 1 } ) \geq b _ { 1 } \geq \cdots \geq b _ { n _ { k - 1 } } \geq 0 . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \theta _ { l e x } ( r ) \leq 2 } & { \bigg ( \int _ { H } \int _ { - \infty } ^ { \rho ( r ) } V a r ( \Lambda ^ { \prime } ) \int _ { \lVert \xi \rVert \leq c s } f ( A , - s ) ^ { 2 } \, d s d \xi \pi ( d A ) } \\ & { + \bigg | \int _ { S } \int _ { - \infty } ^ { \rho ( r ) } \mathbb { E } ( \Lambda ^ { \prime } ) \int _ { \lVert \xi \rVert \leq c s } f ( A , - s ) \, d s d \xi \pi ( d A ) \bigg | ^ { 2 } \bigg ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Sigma _ { \mu } } & { : = \{ \, z \in \mathbb { C } ^ { \ast } \, : \, \lvert \mathrm { a r g } ( z ) \rvert < \mu \, \} \mathrm { , ~ i f ~ } \mu \in ( 0 , \pi ) \mathrm { , ~ } } \\ { S _ { \mu } } & { : = ( - \Sigma _ { \mu } ) \cup \Sigma _ { \mu } \mathrm { , ~ i f ~ } \mu \in ( 0 , \frac { \pi } { 2 } ) \mathrm { , ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { Q ^ { 1 1 } } & { { } = } & { ( 4 / 3 ) \left( C ^ { 2 3 } - C ^ { 4 4 } \right) - ( 1 / 3 ) A , \qquad Q ^ { 1 2 } = C ^ { 4 5 } - C ^ { 3 6 } , } \\ { Q ^ { 2 2 } } & { { } = } & { ( 4 / 3 ) \left( C ^ { 1 3 } - C ^ { 5 5 } \right) - ( 1 / 3 ) A , \qquad Q ^ { 1 3 } = C ^ { 4 6 } - C ^ { 2 5 } , } \\ { Q ^ { 3 3 } } & { { } = } & { ( 4 / 3 ) \left( C ^ { 1 2 } - C ^ { 6 6 } \right) - ( 1 / 3 ) A , \qquad Q ^ { 2 3 } = C ^ { 5 6 } - C ^ { 1 4 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Phi _ { 6 } ^ { - 1 } \mathcal { L } ^ { 5 } \Phi _ { 6 } = \Phi _ { 6 } ^ { - 1 } \mathcal { D } _ { \omega } \Phi _ { 6 } - \Phi _ { 6 } ^ { - 1 } \mathcal { B } _ { 0 , * } \Phi _ { 6 } - \varepsilon ^ { 2 } \Phi _ { 6 } ^ { - 1 } \mathcal { B } _ { 3 , * } \Phi _ { 6 } - \varepsilon ^ { 2 } \Phi _ { 6 } ^ { - 1 } \mathcal { B } _ { 1 , * } \Phi _ { 6 } - \Phi _ { 6 } ^ { - 1 } \mathcal { B } _ { 2 , * } \Phi _ { 6 } + \Phi _ { 6 } ^ { - 1 } \mathcal { R } _ { \le 3 } \Phi _ { 6 } . } \end{array}
\small \begin{array} { l l } { R i c ( e _ { 2 } ^ { \prime } , e _ { 2 } ^ { \prime } ) = R i c ^ { ( r a n g e F _ { \ast } ) ^ { \bot } } ( e _ { 2 } ^ { \prime } , e _ { 2 } ^ { \prime } ) + g _ { 2 } ( \nabla ^ { N } g , \nabla _ { e _ { 2 } ^ { \prime } } ^ { F \bot } e _ { 2 } ^ { \prime } ) - e _ { 2 } ^ { \prime } ( g ) e _ { 2 } ^ { \prime } ( g ) - \nabla _ { e _ { 2 } ^ { \prime } } ^ { N } ( e _ { 2 } ^ { \prime } ( g ) ) . } \end{array}
( { \cal D } _ { \alpha } ^ { + } ) _ { \beta } ^ { \gamma } = D _ { \alpha } ^ { + } \delta _ { \beta } ^ { \gamma } - D _ { \alpha } ^ { + } \varphi _ { \beta } ^ { \breve { \beta } } \varphi _ { \breve { \beta } } ^ { - 1 \gamma } .
\Omega _ { D } ^ { k } ( { \cal A } ) = \left( \begin{array} { c c } { { \Lambda ^ { k } ( X ) } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \Lambda ^ { k } ( X ) } } \end{array} \right) + \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { \Lambda ^ { k - 1 } ( X ) } } \\ { { \Lambda ^ { k - 1 } ( X ) } } & { { 0 } } \end{array} \right) \, .
\begin{array} { l } { \displaystyle \Psi _ { 1 } \left( \left. \begin{array} { l } { N + 1 , 1 } \\ { N + 1 , 1 } \end{array} \right| x , y \right) \, = \, \frac { \Gamma ( \epsilon ) } { \Gamma ( N ) \Gamma ( \epsilon - N - 1 ) } \, \times } \\ { \displaystyle \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \, \mathrm { d } \xi \, \mathrm { d } \eta \, \frac { \eta ^ { N } ( 1 - \xi ) ^ { N - 1 } ( 1 - \eta ) ^ { \epsilon - N - 2 } } { ( 1 - x \xi ) ^ { N + 1 } } \, } \\ { \displaystyle \times \, \exp \left( - \frac { y \eta } { x \xi - 1 } \right) \, _ { 1 } F _ { 1 } \left( 1 - \epsilon ; 1 ; \frac { y \eta } { x \xi - 1 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha } & { = \int _ { 0 } ^ { r _ { c } } \left( \frac { q ( r _ { c } ) } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } r ^ { \prime } } - \phi ( r ^ { \prime } ) \right) 4 \pi r ^ { 2 } d r ^ { \prime } } \\ & { = \frac { 1 } { \epsilon _ { 0 } } \int _ { 0 } ^ { r _ { c } } \left( q ( r _ { c } ) r ^ { \prime } - r ^ { 2 } \int _ { r ^ { \prime } } ^ { \infty } \frac { q ( s ) } { s ^ { 2 } } d s \right) d r ^ { \prime } } \end{array}
\overline { { \overline { { u } } _ { i } \overline { { u } } _ { j } } } - \overline { { u } } _ { i } \overline { { u } } _ { j } + \overline { { \overline { { u } } _ { i } ( u _ { j } - \overline { { u } } _ { j } ) } } + \overline { { ( u _ { i } - \overline { { u } } _ { i } ) \overline { { u } } _ { j } } } \simeq \sum _ { \alpha } \overline { { \Delta } } _ { \alpha } ^ { 2 } ( \partial \overline { { u } } _ { i } / \partial x _ { \alpha } ) ( \partial \overline { { u } } _ { j } / \partial x _ { \alpha } ) / 1 2 + O ( \overline { { \Delta } } ^ { 4 } )
\operatorname * { l i m } _ { p \to \infty } \frac { p ^ { 3 } } { 2 \pi ^ { 2 } } P _ { { \cal R } } ( p , \lambda ) = \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 2 } } \left( \frac { 3 H ^ { 3 } } { \mu ^ { 3 } } \right) ^ { 2 } \sim \left( \frac { M _ { \ast } ^ { 2 } } { M _ { p } M } \right) ^ { 4 } \left( \frac { H } { m _ { T } } \right) ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { \left| \sum _ { n = - \infty } ^ { + \infty } \Psi ( N ^ { - 1 } n ) e ^ { 2 \pi i n t } \right| } & { \leq N \sum _ { n = - \infty } ^ { + \infty } \vert \Lambda ( N ( n + t ) ) \vert } \\ & { \leq c N ( 1 + N \Vert t \Vert ) ^ { - \vartheta } + c N \sum _ { n \neq 0 } ( 1 + N \vert n \vert ) ^ { - \vartheta } } \\ & { \leq c N ( 1 + N \Vert t \Vert ) ^ { - \vartheta } + c N ^ { 1 - \vartheta } \leq c N ( 1 + N \Vert t \Vert ) ^ { - \vartheta } . } \end{array}
\operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , T ] } \lVert \tilde { u } _ { n } \rVert _ { L ^ { q } ( \Omega ^ { * } ) } \leq C _ { 8 } ( \varphi _ { 0 } , g _ { 0 } , T , q ) , \ \forall q \in [ 1 , + \infty )
d s _ { E } ^ { 2 } = \left( 1 - \frac { r ^ { 2 } } { l ^ { 2 } } \right) d t _ { E } ^ { 2 } + \left( 1 - \frac { r ^ { 2 } } { l ^ { 2 } } \right) ^ { - 1 } d r ^ { 2 } + r ^ { 2 } d \phi ^ { 2 }
\left( \begin{array} { l l l l } { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \cos \theta } } & { { - \sin \theta \cosh \lambda } } & { { \sin \theta \sinh \lambda } } \\ { { 0 } } & { { \sin \theta \cosh \lambda } } & { { \cos \theta - ( 1 - \cos \theta ) \sinh ^ { 2 } \lambda } } & { { ( 1 - \cos \theta ) \cosh \lambda \sinh \lambda } } \\ { { 0 } } & { { \sin \theta \sinh \lambda } } & { { - ( 1 - \cos \theta ) \cosh \lambda \sinh \lambda } } & { { \cos \theta + ( 1 - \cos \theta ) \cosh ^ { 2 } \lambda } } \end{array} \right) .
\frac { 1 } { a ^ { 3 } } \, \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } a } { \mathrm { d } r ^ { 2 } } \, + \, \frac { 1 } { a ^ { 4 } } \left( \frac { \mathrm { d } a } { \mathrm { d } r } \right) ^ { \! \! 2 } \! - \, 4 \pi \, G ( \rho - p ) \, - \Lambda = \frac { 1 } { 2 a ( t ) ^ { 2 } } \Bigl [ \nabla ^ { 2 } \, h ( r ) \, + \, 2 a ( t ) \, \Lambda \, h ( r ) \Bigr ] \, .
\left[ ( 1 + \cos ^ { 2 } \phi ) \frac { d ^ { 2 } } { d \phi ^ { 2 } } + ( S - \frac { 1 } { 2 } ) \sin 2 \phi \frac { d } { d \phi } + ( E + S ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \phi + S \cos ^ { 2 } \phi ) \right] \Phi ( \phi ) = 0
\begin{array} { r l r } { \varphi _ { \ell } ( \vec { r } , \vec { r } _ { 0 } ) } & { = } & { k r _ { g } \Big ( \frac { R _ { \oplus } } { b } \Big ) ^ { \ell } \bigg \{ ( - 1 ) ^ { \ell } ( 2 \ell - 2 ) ! ! \Big \{ C _ { \ell \ell } ^ { \prime } \cos \ell \phi _ { \xi } + S _ { \ell \ell } ^ { \prime } \sin \ell \phi _ { \xi } \Big \} \Big \{ 1 - ( \vec { k } \cdot \vec { n } ) \sum _ { k = 0 } ^ { \ell - 1 } \frac { ( 2 k ) ! } { 4 ^ { k } ( k ! ) ^ { 2 } } \Big ( \frac { b } { r } \Big ) ^ { 2 k } \Big \} \bigg \} \Big | _ { r _ { 0 } } ^ { r } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname { d i s t } ^ { 2 } ( x _ { t + 1 } , S ) - ( E ^ { - } ) ^ { 2 } } & { \leq \frac { 1 } { \zeta _ { t + 1 } } \left( \operatorname { d i s t } ^ { 2 } ( x _ { t } , S ) - ( E ^ { - } ) ^ { 2 } \right) \leq \left( \prod _ { s = t _ { 0 } } ^ { t } \frac { 1 } { \zeta _ { s + 1 } } \right) \left( \operatorname { d i s t } ^ { 2 } ( x _ { t _ { 0 } } , S ) - ( E ^ { - } ) ^ { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \nabla _ { j } ( \mathbf { U } _ { j ( \mathbf { x } , t ) } \mathbf { U } ^ { j } ( \mathbf { x } , t ) \mathbf { U } _ { i } ( \mathbf { x } , t ) ) \equiv \nabla _ { j } \big ( \mathbf { U } _ { i } ( \mathbf { x } , t ) \mathbf { U } _ { j } ( \mathbf { x } , t ) \mathbf { U } _ { k } ( x , t ) } \\ & { = \delta ^ { k j } ( U _ { j } ( \mathbf { x } , t ) \mathbf { U } _ { k } ( \mathbf { x } , t ) \nabla _ { j } \mathbf { U } _ { i } ( \mathbf { x } , t ) + \mathbf { U } _ { i } ( \mathbf { x } , t ) \mathbf { U } _ { j } ( \mathbf { x } , t ) \nabla _ { j } \mathbf { U } _ { k } + \mathbf { U } _ { i } ( \mathbf { x } , t ) \mathrm { U } _ { k } ( \mathbf { x } , t ) \nabla _ { j } \mathrm { U } _ { j } ( \mathbf { x } , t ) \big ) } \\ & { = \delta ^ { k j } U _ { j } ( \mathbf { x } , t ) \mathbf { U } _ { k } ( \mathbf { x } , t ) \nabla _ { j } \mathbf { U } _ { i } + \mathbf { U } _ { i } ( \mathbf { x } , t ) \mathbf { U } _ { j } ( x , t ) \nabla ^ { k } U _ { k } ( \mathbf { x } , t ) + \mathbf { U } _ { i } ( \mathbf { x } , t ) U ^ { j } ( \mathbf { x } , t ) \nabla _ { j } U _ { j } ( \mathbf { x } , t ) } \\ & { = \mathrm { U } _ { j } ( \mathbf { x } , t ) \mathbf { U } ^ { j } ( \mathbf { x } , t ) \nabla _ { j } \mathbf { U } _ { i } ( \mathbf { x } , t ) } \end{array}
{ \mathcal H } \; = \; - \frac { h ^ { 2 } \rho _ { 0 } } { 4 \pi m } \, \sum _ { \alpha , \beta = 1 } ^ { N } q _ { \alpha } q _ { \beta } \, \ln | \frac { x ^ { ( \alpha ) } - x ^ { ( \beta ) } } { \xi } | \; ,
{ Y _ { U } } = 2 { \displaystyle \frac { { m _ { u } } } { { m _ { c } } } } { \displaystyle \frac { { \rho _ { U } } } { 1 - { \rho _ { U } ^ { 2 } } } } { \ \ \ } , { \ \ \ } { Y _ { \mathit { D } } } = 2 { \displaystyle \frac { { m _ { d } } } { { m _ { s } } } } { \displaystyle \frac { { \rho _ { \mathit { D } } } } { 1 - { \rho _ { \mathit { D } } ^ { 2 } } } } .
S = \frac { 1 } { 1 6 \pi } \int \sqrt { - g } \, d ^ { 4 } x \, ( R - 2 ( \nabla \phi ) ^ { 2 } - 4 ( \nabla \chi ) ^ { 2 } - e ^ { 2 \sqrt { 2 } ( \phi + \chi ) } K ^ { 2 } - e ^ { 2 \sqrt { 2 } ( \phi - \chi ) } F ^ { 2 } ) .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \rho } { \partial t } } & { { } = - \nabla \cdot \left( \rho \mathbf { u } \right) , } \\ { \frac { \partial \rho \mathbf { u } } { \partial t } } & { { } = - \nabla \cdot \left[ \rho \mathbf { u } \otimes \mathbf { u } + ( p + { p _ { r } } ) \mathbf { I } \right] , } \\ { \frac { \partial \rho e _ { t } } { \partial t } } & { { } = - \nabla \cdot \left[ \left( \rho e _ { t } + ( p + { p _ { r } } ) \right) \mathbf { u } \right] + { p _ { r } \nabla \cdot \mathbf { u } } + { \sigma _ { E } c E _ { r } } - { \sigma _ { p } a c T ^ { 4 } } , } \\ { \frac { \partial E _ { r } } { \partial t } } & { { } = - \nabla \cdot \left( E _ { r } \mathbf { u } \right) - { p _ { r } \nabla \cdot \mathbf { u } } + \nabla \cdot D \nabla E _ { r } - { \sigma _ { E } c E _ { r } } + { \sigma _ { p } a c T ^ { 4 } } , } \end{array}
\eta ( \tau ) = q ^ { \frac { 1 } { 2 4 } } \prod _ { m = 1 } ^ { \infty } ( 1 - q ^ { m } ) , ~ ~ ~ ~ ~ ~ q = e ^ { 2 \pi i \tau } , ~ ~ ~ ~ ~ \tau = \tau _ { 1 } + i \tau _ { 2 } \ .
\Delta \, \Gamma _ { S , P } ^ { h a d } \, = \, \frac { G _ { F } \, M ^ { 2 } } { 4 \, \sqrt { 2 } \, \pi } \, m _ { S , P } \, a _ { S , P } ^ { F } \, R ^ { S , P } ( m _ { S , P } ^ { 2 } ) \, ,
\begin{array} { r l } { m \int _ { 0 } ^ { t } \mathrm { d } t ^ { \prime } \frac { \mathrm { d } C ^ { v v } ( t ^ { \prime } ) } { \mathrm { d } t ^ { \prime } } } & { = - \int _ { 0 } ^ { t } \mathrm { d } t ^ { \prime } \int _ { 0 } ^ { t ^ { \prime } } \mathrm { d } s \, \Gamma ( s ) C ^ { v v } ( t ^ { \prime } - s ) } \\ { m [ C ^ { v v } ( t ) - C ^ { v v } ( 0 ) ] } & { = - \int _ { 0 } ^ { t } \mathrm { d } t ^ { \prime } \int _ { 0 } ^ { t ^ { \prime } } \mathrm { d } s \, \Gamma ( t ^ { \prime } - s ) C ^ { v v } ( s ) } \\ & { = - \int _ { 0 } ^ { t } \mathrm { d } s \int _ { s } ^ { t } \mathrm { d } t ^ { \prime } \, \Gamma ( t ^ { \prime } - s ) C ^ { v v } ( s ) } \\ & { = - \int _ { 0 } ^ { t } \mathrm { d } s \, C ^ { v v } ( s ) K ( t - s ) } \\ { m [ C ^ { v v } ( t ) - C ^ { v v } ( 0 ) ] } & { = - \int _ { 0 } ^ { t } \mathrm { d } s \, K ( s ) C ^ { v v } ( t - s ) \, , } \end{array}
\rho _ { m } = \alpha _ { l } \rho _ { l } + \alpha _ { g } \rho _ { g } , \quad \mathbf { u } _ { m } = \frac { \rho _ { l } \alpha _ { l } \mathbf { u } _ { l } + \rho _ { g } \alpha _ { g } \mathbf { u } _ { g } C _ { t } ^ { 2 } } { \alpha _ { l } \rho _ { l } + \alpha _ { g } \rho _ { g } C _ { t } ^ { 2 } }
{ \cal C } ^ { [ i ] } \, : \, e ^ { \Omega _ { i } } | \lambda _ { i } > = \sum _ { A _ { 1 } < A _ { 2 } < \cdots < A _ { i } } \Lambda _ { A _ { 1 } , \cdots , A _ { i } } ^ { [ i ] } \flat _ { A _ { i } } ^ { + } \cdots \flat _ { A _ { 1 } } ^ { + } | 0 > ,
{ \cal L } _ { \delta } = { \frac { 1 } { 2 } } ( \partial \phi ) ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } \mu ^ { 2 } \phi ^ { 2 } - { \frac { \lambda } { 4 } } M ^ { 2 } \phi ^ { 2 } ( \phi ^ { 2 } M ^ { 2 - d } ) ^ { \delta } .
\beta _ { 2 } = - \frac { 1 } { 1 4 4 \pi ^ { 2 } } \frac { 1 } { 1 2 0 } ( N _ { s c } + 3 N _ { \nu } + 6 N _ { f e } - 1 8 N _ { v } - 2 N _ { g h } )
{ \left[ \begin{array} { l l l l l } { T _ { 1 1 } } & { T _ { 1 2 } } & { \cdots } & { T _ { 1 n } } & { \cdots } \\ { T _ { 2 1 } } & { T _ { 2 2 } } & { \cdots } & { T _ { 2 n } } & { \cdots } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } & { \cdots } \\ { T _ { n 1 } } & { T _ { n 2 } } & { \cdots } & { T _ { n n } } & { \cdots } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \cdots } & { \vdots } & { \ddots } \end{array} \right] } .
\mathrm { R e } ( \eta _ { \mathrm { ~ v ~ } } ) = c _ { 0 } \left( \eta _ { \mathrm { ~ v ~ e ~ } } \right) + c _ { 1 } \left( \eta _ { \mathrm { ~ v ~ e ~ } } \right) \mathrm { R e } ( \eta _ { \mathrm { ~ v ~ e ~ } } ) ,
\begin{array} { r l } { S ^ { \prime } ( t ) = } & { \; - \beta \frac { S ( t ) } { N ( t ) } ( I ( t ) + \alpha Y ( t ) ) + \eta _ { 1 } P ( t ) , } \\ { I ^ { \prime } ( t ) = } & { \; \beta \frac { S ( t ) } { N ( t ) } ( I ( t ) + \alpha Y ( t ) ) - \gamma _ { 1 } I ( t ) , } \\ { T ^ { \prime } ( t ) = } & { \; \gamma _ { 1 } I ( t ) - \varepsilon T ( t ) , } \\ { P ^ { \prime } ( t ) = } & { \; \varepsilon T ( t ) - \nu \beta \frac { P ( t ) } { N ( t ) } ( I ( t ) + \alpha Y ( t ) ) - \eta _ { 1 } P ( t ) + \eta _ { 2 } R ( t ) , } \\ { Y ^ { \prime } ( t ) = } & { \; \nu \beta \frac { P ( t ) } { N ( t ) } ( I ( t ) + \alpha Y ( t ) ) - \gamma _ { 2 } Y ( t ) , } \\ { R ^ { \prime } ( t ) = } & { \; \gamma _ { 2 } Y ( t ) - \eta _ { 2 } R ( t ) , } \end{array}
\left\langle v _ { 1 } ^ { 2 } \hat { f } _ { i } ^ { e q } \right\rangle = ( \lambda _ { 1 i } ^ { 2 } + \frac { \delta \lambda _ { 1 i } ^ { 2 } } { 3 } ) ( f _ { 1 i } ^ { e q } + f _ { 2 i } ^ { e q } + f _ { 3 i } ^ { e q } + f _ { 4 i } ^ { e q } ) = ( \widetilde { \lambda } _ { 1 i } ) ^ { 2 } U _ { i }
\mathcal { R } = N k _ { 0 } + { 4 N ^ { 2 } g _ { \mathrm { c } } ^ { 2 } \omega _ { \mathrm { c } } ^ { 2 } } \cdot \frac { \tau _ { \mathrm { c } } ^ { - 1 } \omega _ { 0 } } { \left( \omega _ { \mathrm { c } } ^ { 2 } - \omega _ { 0 } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } + \tau _ { \mathrm { c } } ^ { - 2 } \omega _ { 0 } ^ { 2 } } \cdot e ^ { - \beta \hbar \omega _ { 0 } } ,
\begin{array} { r l r } { \frac { 1 } { r } \, r _ { \pm } } & { = } & { 1 \pm ( \sigma - \delta ) \, \cos \theta \cdot u + \frac { 1 } { 2 } ( \sigma - \delta ) ^ { 2 } \, \sin ^ { 2 } \theta \cdot u ^ { 2 } } \\ & { } & { \ \mp \, \frac { 1 } { 2 } ( \sigma - \delta ) ^ { 3 } \, \sin ^ { 2 } \theta \, \cos \theta \cdot u ^ { 3 } \, - \, \frac { 1 } { 8 } ( \sigma - \delta ) ^ { 4 } \, \sin ^ { 2 } \theta \, ( 1 - 5 \cos ^ { 2 } \theta ) \cdot u ^ { 4 } \, + \, { \cal O } ( u ^ { 5 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { v _ { 0 j x } } & { = \frac { 1 } { 4 } c a _ { 0 } ^ { 2 } ( 1 - \cos 2 \phi _ { 0 } ) , } \\ { v _ { 0 j y } } & { = \pm c a _ { 0 } \sin \phi _ { 0 } \left( 1 - \frac { 1 } { 4 } a _ { 0 } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } a _ { 0 } ^ { 2 } \cos 2 \phi _ { 0 } \right) , } \\ { \delta n _ { 0 } } & { = - \frac { 1 } { 4 } n _ { 0 } a _ { 0 } ^ { 2 } \cos 2 \phi _ { 0 } , } \end{array}
\left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { t } \\ { \frac { 1 } { \check { q } } } & { \frac { 1 } { \check { q } - 1 } } & { \frac { 1 } { \check { q } - t } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { H _ { X _ { 1 } , 1 } } \\ { H _ { X _ { 2 } , 1 } } \\ { H _ { X _ { 3 } , 1 } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { \hbar \check { p } } \\ { \hbar \check { p } \check { q } - t _ { X _ { 1 } ^ { ( 1 ) } , 0 } ^ { 2 } - t _ { X _ { 2 } ^ { ( 1 ) } , 0 } ^ { 2 } - t _ { X _ { 3 } ^ { ( 1 ) } , 0 } ^ { 2 } + t _ { \infty ^ { ( 1 ) } , 0 } ( t _ { \infty ^ { ( 1 ) } , 0 } - \hbar ) } \\ { \check { p } ^ { 2 } + \hbar \check { p } \left( \frac { 1 } { \check { q } } + \frac { 1 } { \check { q } - 1 } + \frac { 1 } { \check { q } - t } \right) - \frac { t _ { X _ { 1 } ^ { ( 1 ) } , 0 } ^ { 2 } } { \check { q } ^ { 2 } } - \frac { t _ { X _ { 1 } ^ { ( 1 ) } , 0 } ^ { 2 } } { ( \check { q } - 1 ) ^ { 2 } } - \frac { t _ { X _ { 3 } ^ { ( 1 ) } , 0 } ^ { 2 } } { ( \check { q } - t ) ^ { 2 } } } \end{array} \right)