harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \left( \frac { L _ { m a x } } { L _ { \chi } } \right) ^ { 2 } } & { { } = \frac { \Lambda } { 2 } - 1 + \sqrt { \left( \frac { \Lambda } { 2 } - 1 \right) ^ { 2 } - 1 } , } \\ { \left( \frac { L _ { m i n } } { L _ { \chi } } \right) ^ { 2 } } & { { } = \frac { \Lambda } { 2 } - 1 - \sqrt { \left( \frac { \Lambda } { 2 } - 1 \right) ^ { 2 } - 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { \displaystyle \frac { 1 } { \Gamma _ { 0 } } \frac { \mathrm { d } \Gamma } { \mathrm { d } x } } } & { { = } } & { { 2 x ^ { 2 } \left[ ( 3 - 2 x ) \left( 1 + 2 f ( x ) \right) + x g _ { + } ( x ) \right] } } \\ { { \displaystyle } } & { { = } } & { { \displaystyle \left. \frac { 1 } { \Gamma _ { 0 } } \frac { \mathrm { d } \Gamma } { \mathrm { d } x } \right| _ { \mathrm { B o r n } } ( 1 + r ( x ) ) \, , } } \end{array}
N ^ { \mu } = P \, \beta ^ { \mu } + \frac 1 T ( { * { \cal K } } \cdot \tilde { \mu } ) ^ { \mu } + \frac { ( - ) ^ { q } } { T } \ell ( * { \cal K } _ { \ell } \cdot { \tilde { \mu } _ { \psi } } ) ^ { \mu } + { \cal N } ^ { \mu } ,
\begin{array} { r l } { I ^ { w } ( \vec { x } , t , \vec { \omega } ) } & { { } = \int _ { t ^ { n + 1 } - t _ { p } } ^ { t } \frac { \mathrm { e } ^ { - \frac { c \sigma } { \varepsilon ^ { 2 } } ( t - s ) } - \mathrm { e } ^ { - \frac { c \sigma } { \varepsilon ^ { 2 } } t _ { p } } } { 1 - \mathrm { e } ^ { - \frac { c \sigma } { \varepsilon ^ { 2 } } t _ { p } } } B ( \vec { x } ( s ) , s , \vec { \Omega } ) P _ { s } \frac { c \sigma } { \varepsilon ^ { 2 } } \mathrm { d } s } \end{array}
\begin{array} { r } { M _ { 2 , 2 } = \left| \begin{array} { l l l l l } { R _ { 0 } } & & & & \\ { P _ { 2 } } & { R _ { 2 } } & & & \\ & { - \tilde { Q } _ { 3 } } & { R _ { 3 } } & & \\ & { P _ { 4 } } & { - \tilde { Q } _ { 4 } } & { R _ { 4 } } & \\ & & & & { \ddots } \end{array} \right| = R _ { 0 } \prod _ { i = 2 } ^ { \infty } R _ { i } , } \end{array}
\mathbf { 6 } \otimes \mathbf { 6 } \otimes \mathbf { 6 } = \mathbf { 5 6 } _ { S } \oplus \mathbf { 7 0 } _ { M } \oplus \mathbf { 7 0 } _ { M } \oplus \mathbf { 2 0 } _ { A } ~ .
\begin{array} { r } { \langle c \rangle _ { \mathcal { I B } } \langle \mathbf { v } \rangle = \langle c _ { 0 } \rangle \langle \mathbf { v } _ { 0 } \rangle _ { \mathcal { I B } } + \omega c _ { 0 } \langle \mathbf { v } _ { 1 } \rangle + \omega \overline { c } _ { 1 } \langle \mathbf { v } _ { 0 } \rangle + \mathcal O ( \omega ^ { 2 } ) . } \end{array}
c = { \frac { 2 } { 3 } } { \sqrt { - m _ { c } ^ { 2 } + 2 m _ { b } ^ { 2 } + 2 m _ { a } ^ { 2 } } } = { \sqrt { 2 ( b ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) - 4 m _ { c } ^ { 2 } } } = { \sqrt { { \frac { b ^ { 2 } } { 2 } } - a ^ { 2 } + 2 m _ { b } ^ { 2 } } } = { \sqrt { { \frac { a ^ { 2 } } { 2 } } - b ^ { 2 } + 2 m _ { a } ^ { 2 } } } .
\mathcal { L } ^ { \dagger } = \left( \begin{array} { l l l l l } { \nabla ^ { 2 } } & { 0 } & { - \partial _ { x } } & { - 1 } & { - 1 } \\ { 0 } & { \nabla ^ { 2 } } & { - \partial _ { z } } & { 0 } & { 0 } \\ { \partial _ { x } } & { \partial _ { z } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { R a _ { c } } & { 0 } & { \nabla ^ { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { - R a _ { c } } & { 0 } & { 0 } & { \frac { 1 } { L e } \nabla ^ { 2 } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l r } { \left( \begin{array} { c } { \lambda _ { 4 } ^ { \prime } } \\ { \lambda _ { 5 } ^ { \prime } } \end{array} \right) } & { = } & { { \mathcal R } \left( - \frac { \phi _ { l } } { 2 } \right) \left( \begin{array} { c } { \lambda _ { 4 } } \\ { \lambda _ { 5 } } \end{array} \right) } \\ & { = } & { \left( \begin{array} { c c } { \cos \left( \frac { \phi _ { l } } { 2 } \right) } & { \sin \left( \frac { \phi _ { l } } { 2 } \right) } \\ { - \sin \left( \frac { \phi _ { l } } { 2 } \right) } & { \cos \left( \frac { \phi _ { l } } { 2 } \right) } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { \lambda _ { 4 } } \\ { \lambda _ { 5 } } \end{array} \right) } \\ & { = } & { \left( \begin{array} { c } { \cos \left( \phi _ { y } \right) \sin \left( \theta _ { y } \right) \cos \left( \frac { \theta _ { l } } { 2 } \right) } \\ { \sin \left( \phi _ { y } \right) \sin \left( \theta _ { y } \right) \cos \left( \frac { \theta _ { l } } { 2 } \right) } \end{array} \right) } \end{array}
\frac { \partial \mathbf { \tilde { u } } } { \partial \tilde { t } } + \mathbf { \tilde { u } } \cdot \boldsymbol \nabla \mathbf { \tilde { u } } = - \boldsymbol \nabla \tilde { P } + \sqrt { \frac { S c } { R a } } \boldsymbol \nabla ^ { 2 } \mathbf { \tilde { u } } + \tilde { C } \hat { \mathbf e } _ { \mathbf g } \cdot \hat { \mathbf e } _ { k } ,
\begin{array} { r } { \omega ^ { 2 } - k ^ { 2 } c ^ { 2 } + \zeta _ { \mathrm { e } } ^ { - } ( v _ { \mathrm { d r } } , 0 , \alpha n _ { 0 } ) + \zeta _ { \mathrm { i } } ^ { - } ( v _ { \mathrm { d r } } , 0 , \alpha n _ { 0 } ) = 0 . } \end{array}
\pi \left( \boldsymbol { x } \mid \boldsymbol { y } \right) = \frac { \pi \left( \boldsymbol { y } \mid \boldsymbol { x } \right) \pi \left( \boldsymbol { x } \right) } { \int _ { \mathcal { D } _ { \boldsymbol { X } } } \pi \left( \boldsymbol { y } \mid \boldsymbol { x } \right) \pi \left( \boldsymbol { x } \right) \, \mathrm { d } \boldsymbol { x } }
\begin{array} { r l } { d \partial _ { x } ^ { s } v _ { n } = } & { - \theta _ { \rho } ( \| u _ { n } \| _ { s - 1 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v _ { n } - \partial _ { z } v _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \Big [ u _ { n } \partial _ { x } ^ { s + 1 } v _ { n } + w _ { n } \partial _ { x } ^ { s } \partial _ { z } v _ { n } + \partial _ { x } ^ { s } w _ { n } \partial _ { z } v _ { n } } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad + \sum _ { k = 0 } ^ { s - 1 } \binom { s } { k } \partial _ { x } ^ { s - k } u _ { n } \partial _ { x } ^ { k + 1 } v _ { n } + \sum _ { k = 1 } ^ { s - 1 } \binom { s } { k } \partial _ { x } ^ { s - k } w _ { n } \partial _ { x } ^ { k } \partial _ { z } v _ { n } - \frac 1 n \partial _ { x } ^ { s } \Delta v _ { n } \Big ] d t } \\ & { + \theta _ { \rho } ( \| u _ { n } \| _ { s - 1 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v _ { n } - \partial _ { z } v _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \partial _ { x } ^ { s } \partial _ { z } \sigma ( u _ { n } ) d W : = A _ { 1 } d t + A _ { 2 } d W , } \end{array}
\, \mathrm { d } N _ { t } : = \left( \frac { Z _ { t } ( H _ { 1 } ^ { \prime } ( t ) H _ { 2 } ( T _ { 1 } ) - H _ { 1 } ( T _ { 1 } ) H _ { 2 } ^ { \prime } ( t ) ) - M _ { t } ( H _ { 1 } ^ { \prime } ( t ) H _ { 2 } ( t ) - H _ { 1 } ( t ) H _ { 2 } ^ { \prime } ( t ) ) } { H _ { 1 } ( T _ { 1 } ) H _ { 2 } ( t ) - H _ { 1 } ( t ) H _ { 2 } ( T _ { 1 } ) } - J _ { t } \right) \, \mathrm { d } t + \, \mathrm { d } I _ { t } ^ { ( 1 ) } ,
\begin{array} { r l } { \nabla _ { \tilde { \theta } } \cdot \Bigl [ \tilde { \rho } _ { t } P ( \tilde { \theta } , \tilde { \rho } _ { t } ) \nabla _ { \tilde { \theta } } \frac { \delta \tilde { \mathcal { E } } } { \delta \tilde { { \rho } } } \Bigr | _ { \tilde { \rho } = \tilde { \rho } _ { t } } \Bigr ] } & { = \nabla _ { \tilde { \theta } } \cdot \Bigl [ \tilde { \rho } _ { t } P ( \tilde { \theta } , \tilde { \rho } _ { t } ) A ^ { - T } \nabla _ { \theta } \frac { \delta \mathcal { E } } { \delta { \rho } } \Bigr | _ { \rho = \rho _ { t } } \Bigr ] } \\ & { = \nabla _ { \theta } \cdot \Bigl [ \tilde { \rho } _ { t } A ^ { - 1 } P ( \tilde { \theta } , \tilde { \rho } _ { t } ) A ^ { - T } \nabla _ { \theta } \frac { \delta \mathcal { E } } { \delta { \rho } } \Bigr | _ { \rho = \rho _ { t } } \Bigr ] } \\ & { = \nabla _ { \theta } \cdot \Bigl [ \rho _ { t } A ^ { - 1 } P ( \tilde { \theta } , \tilde { \rho } _ { t } ) A ^ { - T } \nabla _ { \theta } \frac { \delta \mathcal { E } } { \delta { \rho } } \Bigr | _ { \rho = \rho _ { t } } \Bigr ] \cdot | A ^ { - 1 } | , } \end{array}
f _ { \mathrm { t o t } } = \frac { \Gamma _ { \bar { q } q g } } { \alpha _ { s } \Gamma _ { 2 g } } = \frac { 1 } { 3 \pi } \, \left\{ \ln \left| \frac { 1 + \sqrt { 1 - \mu ^ { 2 } } } { 1 - \sqrt { 1 - \mu ^ { 2 } } } \right| - \frac { 2 } { 3 } \, ( 4 - \mu ^ { 2 } ) \, \sqrt { 1 - \mu ^ { 2 } } \right\} ,
\nu _ { \mathrm { { M } } } = \frac { 7 } { 5 } \gamma = \frac { 7 } { 1 5 } \left[ { I \{ { G _ { b b } , Q _ { u b } } \} + I \{ { G _ { u u } , Q _ { b u } } \} - I \{ { G _ { b u } , Q _ { u u } } \} - I \{ { G _ { u b } , Q _ { b b } } \} } \right] ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { C } _ { 3 } ( \zeta ^ { ( i ) } , \zeta ^ { ( j ) } , \zeta ^ { ( k ) } , \zeta ^ { ( l ) } ) } & { = 3 \beta _ { 3 } \beta _ { 2 } ( \zeta _ { 0 } ) ^ { 2 } \frac { ( \zeta _ { 0 } ^ { ( k ) } + \zeta _ { 0 } ^ { ( l ) } ) ^ { 2 } } { | { \zeta ^ { ( k ) } } + { \zeta ^ { ( l ) } } | _ { g ^ { * } } ^ { 2 } } . } \end{array}
\Psi ^ { ( m ) } ( x , \lambda + \Delta \lambda ) = \Psi ^ { ( m ) } ( x , \lambda ) + 0 . 5 \pi _ { m } ^ { ( \Psi ) } ( x , \lambda + 0 . 5 \Delta \lambda ) \left( \frac { 1 } { s ( \lambda + \Delta \lambda ) } + \frac { 1 } { s ( \lambda ) } \right) \Delta \lambda
\begin{array} { r l } { I _ { 4 } ^ { ( n ) } } & { { } = \frac { 1 } { M _ { W } ^ { 4 } } \int d ^ { D } k \frac { ( k \cdot p - k ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { ( k ^ { 2 } ) ^ { 2 n } [ ( p - k ) ^ { 2 } ] ^ { 2 n } ( k ^ { 2 } - M _ { W } ^ { 2 } ) ( ( p - k ) ^ { 2 } - M _ { W } ^ { 2 } ) } } \end{array}
y ( i , j , k ) = \overset { N - 1 } { \underset { n = 0 } { \sum } } \overset { N - 1 } { \underset { m = 0 } { \sum } } \overset { N - 1 } { \underset { l = 0 } { \sum } } x ( l , m , n ) \ c ( l , i ) \ c ( m , j ) \ c ( n , k )
I I I = \mathcal { E } _ { \mathcal { Q } } \left( \left( \mathbb { E } _ { h } ( \varphi _ { h ^ { \prime } } ) - E _ { M } ^ { h } ( \varphi _ { h ^ { \prime } } ) \right) ^ { 2 } \right) \le C \| \varphi _ { h ^ { \prime } } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega , \mathbb { P } ) } ^ { 2 } M ^ { - 1 } \le C \| \varphi \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega , \mathbb { P } ) } ^ { 2 } M ^ { - 1 } .
\frac { \tilde { S } _ { 2 1 f } ( \omega , r ) } { \tilde { S } _ { 2 1 f } ( \omega , - r ) } ( \vee ) = \frac { { { \sum _ { y y ~ \textrm { t e r m s } } } \tilde { S } _ { 2 1 f } ^ { y y } ( r ) + \sum _ { 1 z ~ \textrm { t e r m s } } \tilde { S } _ { 2 1 f } ^ { 1 z } ( r ) } } { { { \sum _ { y y ~ \textrm { t e r m s } } } \tilde { S } _ { 2 1 f } ^ { y y } ( r ) - \sum _ { 1 z ~ \textrm { t e r m s } } \tilde { S } _ { 2 1 f } ^ { 1 z } ( r ) } }
\begin{array} { r l } { \Delta \phi _ { i } + \Omega ^ { 2 } \phi _ { i } } & { { } = 0 , \quad \mathrm { ~ i ~ n ~ } K , } \\ { \phi _ { i } } & { { } = \Phi _ { i } , \quad \mathrm { ~ o ~ n ~ } \partial K , } \end{array}
\begin{array} { r } { Z ^ { i , j } \left( \vec { x } _ { p } \right) = \sum _ { \vec { x } _ { q } \in \mathcal { N } \left( \vec { x } _ { p } \right) } \frac { \left( x _ { p } - x _ { q } \right) ^ { i } \left( y _ { p } - y _ { q } \right) ^ { j } } { \epsilon \left( \vec { x } _ { p } \right) ^ { i + j } } \eta \left( \frac { \vec { x } _ { p } - \vec { x } _ { q } } { \epsilon \left( \vec { x } _ { p } \right) } \right) . } \end{array}
\Lambda \cong \frac { N _ { n } ( x _ { R } ) } { N _ { e } ( x _ { R } ) } \left| \frac { \cos ^ { 2 } 2 \eta \sin ( \theta - \phi ) } { \sin 2 \eta } \right| \cong \frac { 1 } { 2 } \frac { N _ { n } ( x _ { R } ) } { N _ { e } ( x _ { R } ) } \left| 1 - \frac { \tan \phi } { \tan \theta } \right| ,
\begin{array} { r l } & { \frac 1 2 \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \| v - \beta \| ^ { 2 } + \varepsilon \| ( v - \beta ) _ { x } \| ^ { 2 } } \\ { = } & { \int _ { 0 } ^ { 1 } ( v - \beta ) u _ { x } \mathrm { d } x - \varepsilon \int _ { 0 } ^ { 1 } ( v - \beta ) ^ { 2 } \beta _ { x } \mathrm { d } x - 2 \varepsilon \int _ { 0 } ^ { 1 } \beta \beta _ { x } ( v - \beta ) \mathrm { d } x - \int _ { 0 } ^ { 1 } ( v - \beta ) \beta _ { t } \mathrm { d } x . } \end{array}
R ( t ) = { { c } _ { 0 } } \exp ( { { s } _ { 0 } } t ) \left( 1 + \sum _ { \mathrm { ~ } i \ne 0 } { \frac { { { c } _ { i } } } { { { c } _ { 0 } } } \exp [ ( { { s } _ { i } } - { { s } _ { 0 } } ) t ] } \right) ,
\widetilde v _ { i } = b _ { i i } v _ { i } + \sum _ { j = - 1 } ^ { i - 1 } b _ { i j } v _ { j } + \sum _ { j = i + 1 } ^ { p M + 1 } b _ { i j } v _ { j } , \quad i = - 1 , \dots , p M + 1 .
\begin{array} { r l } { \sum _ { i = 1 } ^ { N } v _ { i } \left( \frac { i } { N + 1 } \right) ^ { 1 / d } } & { \leq 2 \sum _ { j = 1 } ^ { k } { \binom { k } { j } } \frac { 1 } { N ^ { j - 1 } ( k - j + 1 ) \prod _ { \ell = 1 } ^ { k - j + 1 } \left( 1 + \frac { 1 } { d \ell } \right) } } \\ & { = 2 \sum _ { j = 1 } ^ { k } { \binom { k } { j - 1 } } \frac { 1 } { N ^ { j - 1 } j \prod _ { \ell = 1 } ^ { k - j + 1 } \left( 1 + \frac { 1 } { d \ell } \right) } } \\ & { = 2 \sum _ { j = 0 } ^ { k - 1 } { \binom { k } { j } } \frac { 1 } { N ^ { j } ( j + 1 ) \prod _ { \ell = 1 } ^ { k - j } \left( 1 + \frac { 1 } { d \ell } \right) } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { B _ { R } } | \psi ( x ) | ^ { 2 } \, \left( \int _ { \mathbb { R } ^ { N } \setminus B _ { R } } \frac { d y } { | x - y | ^ { N + 2 \, s } } \right) } & { = \int _ { B _ { \frac { R + \sqrt { N } \, r } { 2 } } } | \eta ( x ) | ^ { 2 } \, | 1 - \widetilde u ( x ) | ^ { 2 } \left( \int _ { \mathbb { R } ^ { N } \setminus B _ { R } } \frac { d y } { | x - y | ^ { N + 2 \, s } } \right) \, d x } \\ & { \le \int _ { B _ { \frac { R + \sqrt { N } \, r } { 2 } } } | 1 - \widetilde u ( x ) | ^ { 2 } \left( \int _ { \mathbb { R } ^ { N } \setminus B _ { R } } \frac { d y } { | x - y | ^ { N + 2 \, s } } \right) \, d x . } \end{array}
\partial _ { t } \rho _ { m } + \nabla \cdot \left( \rho _ { m } \mathbf { u } \right) = 0 , ~ \frac { d \mathbf { u } } { d t } = \partial _ { t } \mathbf { u } + \mathbf { u } \cdot \nabla \mathbf { u } = - \frac { 1 } { m } \nabla ( Q + V )
\begin{array} { r l } { \rho \geq \operatorname* { m a x } \Bigg \{ \! \left( \frac { 4 M _ { F } ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } \right) ^ { \eta } \! , \! } & { \left( \frac { 4 8 ( \delta ^ { \prime } + 1 ) } { { \alpha } \sigma ^ { 2 } } L _ { f } \right) ^ { \frac { \eta } { \eta - 1 } } \! , \left( \frac { 4 8 ( \delta + 1 ) } { { \alpha } \sigma ^ { 4 } } ( 2 M _ { F } + \sigma ) M _ { f } L _ { F } \right) ^ { \frac { \eta } { \eta - 1 } } \! , } \\ & { 3 \rho _ { 0 } , \rho _ { 0 } + \left( \frac { M _ { f } ( 2 M _ { F } + \sigma ) + 2 \delta M _ { f } L _ { F } D _ { S } } { \sqrt { 2 } \sigma ( 2 M _ { F } + \sigma ) } \right) ^ { 2 } \Bigg \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Big \{ ( L _ { 1 } , L _ { 2 } ) : ~ L _ { 1 } \geq \sqrt { \mathrm { V } ( D _ { 1 } | P _ { X } ) } \mathrm { Q } ^ { - 1 } ( \operatorname* { m i n } \{ \varepsilon _ { 1 } , \varepsilon _ { 2 } \} ) , } \\ { * } & { \qquad \qquad L _ { 2 } \geq \sqrt { \mathrm { V } ( R _ { 1 } ^ { * } , D _ { 1 } , D _ { 2 } | P _ { X } ) } \mathrm { Q } ^ { - 1 } ( \operatorname* { m i n } \{ \varepsilon _ { 1 } , \varepsilon _ { 2 } \} ) \Big \} } \\ { * } & { \subseteq \mathcal { L } _ { \mathrm { s e p } } ( R _ { 1 } ^ { * } , R _ { 2 } ^ { * } , D _ { 1 } , D _ { 2 } , \varepsilon _ { 1 } , \varepsilon _ { 2 } ) } \\ { * } & { \subseteq \Big \{ ( L _ { 1 } , L _ { 2 } ) : ~ L _ { 1 } \geq \sqrt { \mathrm { V } ( D _ { 1 } | P _ { X } ) } \mathrm { Q } ^ { - 1 } ( \varepsilon _ { 1 } ) , } \\ { * } & { \qquad \qquad \qquad L _ { 2 } \geq \sqrt { \mathrm { V } ( R _ { 1 } ^ { * } , D _ { 1 } , D _ { 2 } | P _ { X } ) } \mathrm { Q } ^ { - 1 } ( \varepsilon _ { 2 } ) \Big \} . } \end{array}
( a _ { j } ) _ { x } = \sum _ { i \neq j } ^ { n } G { \frac { M _ { i } } { ( ( x _ { i } - x _ { j } ) ^ { 2 } + ( y _ { i } - y _ { j } ) ^ { 2 } + ( z _ { i } - z _ { j } ) ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } } } ( x _ { i } - x _ { j } )
\begin{array} { r l r } { p ( a | b ) \ln \Big ( p ( a | b ) \Big ) } & { = } & { p ( a ) \ln \Big ( p ( a ) \Big ) + \Big ( 1 + \ln ( p ( a ) ) \Big ) ( p ( a | b ) - p ( a ) ) } \\ & { + } & { \frac { 1 } { 2 p ( a ) } ( p ( a | b ) - p ( a ) ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 6 p ( a ) ^ { 2 } } ( p ( a | b ) - p ( a ) ) ^ { 3 } + . . . } \\ & { = } & { p ( a ) \ln \Big ( p ( a ) \Big ) + \Big ( 1 + \ln ( p ( a ) ) \Big ) ( p ( a | b ) - p ( a ) ) } \\ & { + } & { \sum _ { n = 2 } ^ { \infty } \Big ( \frac { ( - 1 ) ^ { n } } { n ( n - 1 ) \cdot p ( a ) ^ { n - 1 } } \Big ) ( p ( a | b ) - p ( a ) ) ^ { n } . } \end{array}
\begin{array} { r c l } { \displaystyle \frac { d U _ { N } ^ { ( m ) } } { d \tau ^ { ( m ) } } } & { = } & { \displaystyle \mathcal { B } _ { N } [ U ^ { ( m ) } ] - U _ { N } ^ { ( m ) } \sum _ { j = 0 } ^ { m - 1 } \alpha ^ { j } \mathrm { R e } \left( U _ { - j } ^ { ( m ) * } \mathcal { B } _ { - j } [ U ^ { ( m ) } ] \right) } \\ & & { \displaystyle - \, \frac { U _ { N } } { \mathrm { R } _ { m } [ u ] } \bigg ( 4 ^ { N } - \sum _ { j = 0 } ^ { m - 1 } \alpha ^ { j } 4 ^ { - j } | U _ { - j } | ^ { 2 } \bigg ) , \quad N > - m . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { L ( { \hat { \mu } } _ { G } , { \hat { \mu } } _ { D } ) = \operatorname* { m i n } _ { \mu _ { G } } \operatorname* { m a x } _ { \mu _ { D } } L ( \mu _ { G } , \mu _ { D } ) = } & { \operatorname* { m a x } _ { \mu _ { D } } \operatorname* { m i n } _ { \mu _ { G } } L ( \mu _ { G } , \mu _ { D } ) = - 2 \ln 2 } \\ { { \hat { \mu } } _ { D } \in \arg \operatorname* { m a x } _ { \mu _ { D } } \operatorname* { m i n } _ { \mu _ { G } } L ( \mu _ { G } , \mu _ { D } ) , } & { \quad { \hat { \mu } } _ { G } \in \arg \operatorname* { m i n } _ { \mu _ { G } } \operatorname* { m a x } _ { \mu _ { D } } L ( \mu _ { G } , \mu _ { D } ) } \\ { { \hat { \mu } } _ { D } \in \arg \operatorname* { m a x } _ { \mu _ { D } } L ( { \hat { \mu } } _ { G } , \mu _ { D } ) , } & { \quad { \hat { \mu } } _ { G } \in \arg \operatorname* { m i n } _ { \mu _ { G } } L ( \mu _ { G } , { \hat { \mu } } _ { D } ) } \\ { \forall x \in \Omega , { \hat { \mu } } _ { D } ( x ) = \delta _ { \frac { 1 } { 2 } } , } & { \quad { \hat { \mu } } _ { G } = \mu _ { \mathrm { r e f } } } \end{array} }
\delta _ { \Phi ^ { ( + ) } } x _ { \alpha \dot { \alpha } } = \epsilon _ { \Phi ^ { ( + ) } } m _ { \alpha \dot { \alpha } } ^ { ( + ) } , \quad \delta _ { \Phi ^ { ( - ) } } x _ { \alpha \dot { \alpha } } = \epsilon _ { \Phi ^ { ( - ) } } m _ { \alpha \dot { \alpha } } ^ { ( - ) } ,
\begin{array} { r } { h _ { x } ^ { \prime } = \frac { ( A + i B ) C - ( C + i D ) i B } { \sqrt { C ^ { 2 } - B ^ { 2 } } } , ~ ~ h _ { y } ^ { \prime } = \frac { ( A + i B ) i B + ( C + i D ) C } { \sqrt { C ^ { 2 } - B ^ { 2 } } } , } \\ { \sigma _ { x } ^ { \prime } = \frac { C } { \sqrt { C ^ { 2 } - B ^ { 2 } } } \sigma _ { x } - \frac { i B } { \sqrt { C ^ { 2 } - B ^ { 2 } } } \sigma _ { y } , ~ ~ \sigma _ { y } ^ { \prime } = \frac { i B } { \sqrt { C ^ { 2 } - B ^ { 2 } } } \sigma _ { x } + \frac { C } { \sqrt { C ^ { 2 } - B ^ { 2 } } } \sigma _ { y } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left\langle \operatorname* { d e t } X ( x ) \operatorname* { d e t } X ( y ) \right\rangle } & { { } = } & { v ^ { 2 } \left\langle \mathrm { t r } \eta ( x ) \mathrm { t r } \eta ( y ) \right\rangle } \end{array}
\sigma ( { \bf q } ) = \left\{ N _ { 0 } \left( 1 - e ^ { - q ^ { 2 } \overline { { { u _ { t } ^ { 2 } } } } } \right) + e ^ { - q ^ { 2 } \overline { { { u _ { t } ^ { 2 } } } } } \left| \sum _ { n } e ^ { i { \bf q r } _ { n 0 } } \right| ^ { 2 } \right\} \sigma _ { 0 } ( { \bf q } ) ,
{ \frac { \Omega _ { f } } { \Omega _ { t } } } = { \frac { \Gamma _ { t \rightarrow f } } { \Gamma _ { f \rightarrow t } } } \approx e ^ { - \Omega _ { \mathrm { h o r } } [ V ( \phi _ { f } ) - V ( \phi _ { t } ) ] / T _ { H } }
\begin{array} { r l } { a _ { x } ( x , y , z ) } & { { } = \frac { 4 } { m \Omega ^ { 2 } } \frac { \partial \Phi _ { 0 } } { x \partial x } , } \\ { q _ { x } ( x , y , z ) } & { { } = \frac { 2 } { m \Omega ^ { 2 } } \frac { \partial \Phi _ { 1 } } { x \partial x } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathscr { T } ^ { \tau } \delta ( \pmb { \mathscr { s } } - \pmb { \sigma } ^ { n } ) } & { { } \approx \sum _ { m = 1 } ^ { N } \delta ( \pmb { \sigma } ^ { m } - \pmb { \mathscr { s } } ) [ \exp ( Q \tau ) ] _ { m n } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { r _ { 1 } ( \omega ) } & { = \frac { - s \gamma _ { d } t _ { d } ( \omega ) - i \Delta _ { d } r _ { d } ( \omega ) } { - i \Delta _ { d } + \gamma _ { d } } } \\ { t _ { 1 } ( \omega ) } & { = \frac { - s \gamma _ { d } r _ { d } ( \omega ) - i \Delta _ { d } t _ { d } ( \omega ) } { - i \Delta _ { d } + \gamma _ { d } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { \mathrm { P C C } } } & { \simeq \mathcal { L } _ { \mathrm { P C C } } ^ { ' } + \frac { ( \delta \phi _ { \mathrm { P C C } } ) ^ { 2 } } { 2 } } \\ & { = 2 ( \mathcal { L } _ { \mathrm { B S } } + \mathcal { L } _ { \mathrm { Q W P } } + \mathcal { L } _ { \mathrm { P B S } } + T _ { \mathrm { S P B S } } + R _ { \mathrm { P P B S } } ) } \\ & { \qquad \qquad + \mathcal { L } _ { \mathrm { P C M } } + \mathcal { L } _ { \mathrm { a l i g n } } + \mathcal { L } _ { \mathrm { m i s } } + \frac { ( \delta \phi _ { \mathrm { P C C } } ) ^ { 2 } } { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { L } & { = \ln N = W \left( \frac { c } { m } e ^ { - 1 } \right) + 1 } \\ { \Rightarrow N } & { = e ^ { W \left( \frac { c } { m } e ^ { - 1 } \right) + 1 } = e e ^ { W \left( \frac { c } { m } e ^ { - 1 } \right) } } \\ & { = \frac { e \frac { c } { m } e ^ { - 1 } } { W \left( \frac { c } { m } e ^ { - 1 } \right) } } \\ { \Rightarrow N \left( R \right) } & { = \frac { R } { W \left( R e ^ { - 1 } \right) } \equiv N _ { \mathrm { \textit { m i n } } } } \end{array}
\begin{array} { l c r } { { \sum _ { j = 0 } ^ { n + 3 } { q ^ { \prime } } _ { j } ^ { n - 2 } { V ^ { \prime } } _ { j } = \sum _ { j = 0 } ^ { n + 3 } { q ^ { \prime } } _ { j } ^ { n - 2 } { V ^ { \prime } } _ { j } = 0 } } \\ { { \sum _ { j = 0 } ^ { n + 3 } { q ^ { \prime } } _ { j } ^ { n - 1 } { V ^ { \prime } } _ { j } = \sum _ { j = 0 } ^ { n + 4 } ( q _ { j } ^ { n - 1 } + q _ { j } ^ { n } ) V _ { j } = 0 } } \\ { { \sum _ { j = 0 } ^ { n + 3 } { q ^ { \prime } } _ { j } ^ { a } = 0 , \quad a = 0 , 1 , \ldots , n - 3 } } \\ { { \sum _ { j = 0 } ^ { n + 3 } { q ^ { \prime } } _ { j } ^ { a } = \sum _ { j = 0 } ^ { n + 3 } q _ { j } ^ { a } . , \quad a = 0 , \ldots , n - 3 . } } \end{array}
\begin{array} { r } { w _ { j \mu } : = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } j \in J \backslash \operatorname { p r } ^ { k } ( J ) } \\ { w _ { \operatorname { i n } ( \gamma ) \mu } ( - 1 ) ^ { | \gamma | } \prod _ { p = 1 } ^ { | \gamma | } \frac { a _ { i _ { p } s ( i _ { p } ) } } { a _ { i _ { p } t ( i _ { p } ) } } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ t ~ h ~ e ~ r ~ e ~ i ~ s ~ a ~ } \gamma \in P ( j ) \ } \end{array} \right. } \end{array}
\chi _ { \mathrm { m a x } } = \frac { k _ { \eta } L _ { h } } { 2 \pi } \left( \frac { k _ { \eta } } { k _ { \mathrm { O } } } \right) ^ { 2 / 3 } \leq 1 ~ ~ ~ ~ \Rightarrow ~ ~ ~ ~ \left( \frac { { \varepsilon _ { \! \scriptscriptstyle K } } L _ { h } ^ { 4 } } { \nu ^ { 3 } } \right) ^ { 1 / 4 } \mathcal { R } ^ { 1 / 2 } \lesssim 1 .
\begin{array} { r l } { { \cal R } ( f ) - { \cal R } ( f ^ { * } ) } & { \leq \left\| f - \Pi _ { \hat { \cal F } } f ^ { * } \right\| _ { L ^ { 2 } ( \rho _ { \mathcal { X } } ) } ^ { 2 } } \\ & { + 2 \left\| ( I - \Pi _ { \hat { \cal F } } ) \Pi _ { \cal F } f ^ { * } \right\| _ { L ^ { 2 } ( \rho _ { \mathcal { X } } ) } ^ { 2 } } \\ & { + \left\| ( I - \Pi _ { \cal F } ) f ^ { * } \right\| _ { L ^ { 2 } ( \rho _ { \mathcal { X } } ) } ^ { 2 } , } \end{array}
{ \bf E } ^ { \mathrm { ~ e ~ } } = \mathrm { ~ l ~ n ~ } { \bf U } ^ { \mathrm { ~ e ~ } } = \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \mathrm { ~ E ~ } _ { i } ^ { \mathrm { ~ e ~ } } { \bf r } _ { i } ^ { \mathrm { ~ e ~ } } \otimes { \bf r } _ { i } ^ { \mathrm { ~ e ~ } } = \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \mathrm { ~ l ~ n ~ } \lambda _ { i } ^ { \mathrm { ~ e ~ } } \; { \bf r } _ { i } ^ { \mathrm { ~ e ~ } } \otimes { \bf r } _ { i } ^ { \mathrm { ~ e ~ } } .