harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \hat { q } _ { * } ( t , t ^ { \prime } , \tau ) } & { = - \frac { i \alpha } { 2 } \left\langle \left( \sum _ { \ell ^ { \prime } \in \mathcal { T } } J _ { \ell ^ { \prime } } ^ { ( t o ) } ( \tau ) \hat { f } _ { \ell ^ { \prime } } ( t , \tau ) \right) \left( \sum _ { \ell \in \mathcal { T } } J _ { \ell } ^ { ( t o ) } ( \tau ) \hat { f } _ { \ell } ( t ^ { \prime } , \tau ) \right) \right\rangle _ { * } } \\ & { = - \frac { i \alpha } { 2 } \left( \sum _ { \ell ^ { \prime } \neq \ell } \left\langle J _ { \ell ^ { \prime } } ^ { ( t o ) } ( \tau ) J _ { \ell } ^ { ( t o ) } ( \tau ) \hat { f } _ { \ell ^ { \prime } } ( t , \tau ) \hat { f } _ { \ell } ( t ^ { \prime } , \tau ) \right\rangle _ { * } + \sum _ { \ell \in \mathcal { T } } \left\langle \big [ J _ { \ell } ^ { ( t o ) } ( \tau ) \big ] ^ { 2 } \hat { f } _ { \ell } ( t , \tau ) \hat { f } _ { \ell } ( t ^ { \prime } , \tau ) \right\rangle _ { * } \right) } \\ & { = 0 } \\ { \hat { Q } _ { * } ( t , t ^ { \prime } , \tau ) } & { = - \frac { i \alpha } { 2 } \left\langle \left( \sum _ { \ell ^ { \prime } \in \mathcal { T } } J _ { \ell ^ { \prime } } ^ { ( o t ) } ( \tau ) x _ { \ell ^ { \prime } } ( t , \tau ) \right) \left( \sum _ { \ell \in \mathcal { T } } J _ { \ell } ^ { ( o t ) } ( \tau ) x _ { \ell } ( t ^ { \prime } , \tau ) \right) \right\rangle _ { * } } \\ & { = - \frac { i \alpha } { 2 } \left( \sum _ { \ell ^ { \prime } \neq \ell } \left\langle J _ { \ell ^ { \prime } } ^ { ( o t ) } ( \tau ) J _ { \ell } ^ { ( o t ) } ( \tau ) x _ { \ell ^ { \prime } } ( t , \tau ) x _ { \ell } ( t ^ { \prime } , \tau ) \right\rangle _ { * } + \sum _ { \ell } \left\langle \big [ J _ { \ell } ^ { ( o t ) } ( \tau ) \big ] ^ { 2 } x _ { \ell } ( t , \tau ) x _ { \ell } ( t ^ { \prime } , \tau ) \right\rangle _ { * } \right) } \\ & { = - \frac { i \alpha \tilde { \lambda } ^ { 2 } } { 2 } C ( t , t ^ { \prime } , \tau ) } \\ { \hat { K } _ { * } ( t , t ^ { \prime } , \tau ) } & { = - i \alpha \left\langle \left( \sum _ { \ell ^ { \prime } \in \mathcal { T } } J _ { \ell ^ { \prime } } ^ { ( t o ) } ( \tau ) \hat { f } _ { \ell ^ { \prime } } ( t , \tau ) \right) \left( \sum _ { \ell \in \mathcal { T } } J _ { \ell } ^ { ( o t ) } ( \tau ) x _ { \ell } ( t ^ { \prime } , \tau ) \right) \right\rangle _ { * } } \\ & { = - i \alpha \left( \sum _ { \ell ^ { \prime } \neq \ell } \left\langle J _ { \ell ^ { \prime } } ^ { ( t o ) } ( \tau ) J _ { \ell } ^ { ( o t ) } ( \tau ) \hat { f } _ { \ell ^ { \prime } } ( t , \tau ) x _ { \ell } ( t ^ { \prime } , \tau ) \right\rangle _ { * } + \sum _ { \ell } \left\langle J _ { \ell } ^ { ( t o ) } ( \tau ) J _ { \ell } ^ { ( o t ) } ( \tau ) \right\rangle _ { * } K ( t ^ { \prime } , t , \tau ) \right) } \\ & { = - i \alpha \gamma _ { 0 } \, \Big ( i G ( t ^ { \prime } , t , \tau ) \Big ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { s _ { 1 } ^ { 1 } , a _ { 1 } ^ { 1 } , \dots , s _ { h } ^ { 1 } , a _ { h } ^ { 1 } , } & { \dots , s _ { H } ^ { 1 } , a _ { H } ^ { 1 } \, , } \\ { s _ { 1 } ^ { 2 } , a _ { 1 } ^ { 2 } , \dots , s _ { h } ^ { 2 } , a _ { h } ^ { 2 } , } & { \dots , s _ { H } ^ { 2 } , a _ { H } ^ { 2 } \, , } \\ { \vdots } \\ { s _ { 1 } ^ { k } , a _ { 1 } ^ { k } , \dots , s _ { h } ^ { k } , a _ { h } ^ { k } } & { \, . } \end{array}
\frac { \partial u _ { i } } { \partial t } + \frac { \partial } { \partial x _ { j } } ( u _ { i } u _ { j } ) = - \frac { \partial p } { \partial x _ { i } } + \nu \frac { \partial ^ { 2 } u _ { i } } { \partial x _ { j } x _ { j } } + K _ { i } , ~ ~ \frac { \partial u _ { i } } { \partial x _ { i } } = 0 ,
\begin{array} { r l r } { \varphi _ { G } ^ { \tt E } ( \vec { r } , \vec { r } _ { 0 } ) } & { = } & { - k r _ { g } \Big ( \ln \Big [ \frac { r + ( \vec { k } \cdot \vec { r } ) } { r _ { 0 } + ( \vec { k } \cdot \vec { r } _ { 0 } ) } \Big ] + \sum _ { \ell = 2 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { \ell } } { \ell ! } { \cal T } ^ { < a _ { 1 } . . . a _ { \ell } > } { \cal I } _ { a _ { 1 } . . . a _ { \ell } } ( \vec { r } , \vec { r } _ { 0 } ) \Big ) + { \cal O } ( r _ { g } ^ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | | } & { \lesssim \varepsilon ( \| \partial _ { t } \psi \| _ { L _ { x } ^ { \infty } } + \| \Delta _ { x } ^ { - 1 } \partial _ { t } a \| _ { L _ { x } ^ { \infty } } ) \| g _ { \alpha } \| _ { L _ { x , \xi } ^ { 2 } } ^ { 2 } } \\ & { \lesssim \varepsilon \langle \| g _ { \alpha } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \mathcal H _ { \sigma } ) _ { \xi } } + \| \partial _ { t } a \| _ { L _ { x } ^ { 2 } } \rangle \| g _ { \alpha } \| _ { L _ { x , \xi } ^ { 2 } } ^ { 2 } } \\ & { \lesssim \varepsilon ^ { 2 } + \varepsilon \langle \| \partial _ { t } a \| _ { L _ { x } ^ { 2 } } \rangle \| g _ { \alpha } \| _ { L _ { x , \xi } ^ { 2 } } ^ { 2 } + \varsigma \| g _ { \alpha } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \mathcal H _ { \sigma } ) _ { \xi } } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { 1 } } & { = ( \nu _ { 1 2 } q _ { 1 3 } - \nu _ { 1 3 } q _ { 1 2 } ) \, , \qquad T _ { 1 } = ( \nu _ { 2 2 } q _ { 2 3 } - \nu _ { 2 3 } q _ { 2 2 } + \nu _ { 3 2 } q _ { 3 3 } - \nu _ { 3 3 } q _ { 3 2 } ) \, , } \\ { S _ { 2 } } & { = ( \nu _ { 1 1 } \left( - q _ { 1 3 } \right) + \nu _ { 1 3 } q _ { 1 1 } - \nu _ { 2 1 } q _ { 2 3 } - \nu _ { 3 1 } q _ { 3 3 } ) \, , \qquad T _ { 2 } = ( \nu _ { 2 3 } q _ { 2 1 } + \nu _ { 3 3 } q _ { 3 1 } ) \, , } \\ { S _ { 3 } } & { = ( \nu _ { 1 1 } q _ { 1 2 } - \nu _ { 1 2 } q _ { 1 1 } + \nu _ { 2 1 } q _ { 2 2 } + \nu _ { 3 1 } q _ { 3 2 } ) \, , \qquad T _ { 3 } = ( - \nu _ { 2 2 } q _ { 2 1 } - \nu _ { 3 2 } q _ { 3 1 } ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ C _ { 6 } ( X _ { 0 , 1 } ^ { d } , Z _ { 1 , 1 } ^ { d } ) ] } & { = \ell ^ { 6 } \left( - \frac { 1 } { 3 2 } \ensuremath { \mathbb { E } \left[ g ^ { \dprime } ( X _ { 0 , 1 } ^ { d } ) ^ { 3 } \right] } - \frac { 5 } { 9 6 } \ensuremath { \mathbb { E } \left[ g ^ { \prime \prime \prime } ( X _ { 0 , 1 } ^ { d } ) ^ { 2 } \right] } \right) \; , } \end{array}
{ \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 3 } \\ { 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { 2 } \end{array} \right] } + { \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { 7 } & { 5 } \\ { 2 } & { 1 } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l } { 1 + 0 } & { 3 + 0 } \\ { 1 + 7 } & { 0 + 5 } \\ { 1 + 2 } & { 2 + 1 } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 3 } \\ { 8 } & { 5 } \\ { 3 } & { 3 } \end{array} \right] }
\begin{array} { r l } { \xi _ { W } ^ { 2 } = \left[ \xi _ { \phi } ^ { 2 } \right] _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } } & { { } = \frac { \sigma _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } ^ { 2 } } { C ^ { 2 } } \frac { 1 } { \sigma _ { \mathrm { ~ Q ~ P ~ N ~ } } ^ { 2 } } } \end{array}
\left( \int f g ~ d u \right) ^ { 2 } \leq \left( \int \left[ f ^ { 2 } + g ^ { 2 } \right] ~ d u \right) \left( \int \frac { f ^ { 2 } g ^ { 2 } } { f ^ { 2 } + g ^ { 2 } } ~ d u \right)
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathcal { T } } d _ { \mathcal { T } } \, d x } & { = \sum _ { k \in \mathbb { N } } \sum _ { j = 1 } ^ { 2 ^ { k N } } \int _ { C _ { k } ( j ) \setminus \{ x _ { k } ( j ) \} } d _ { \mathcal { T } } \, d x } \\ & { \le \frac { \sqrt { N } } { 2 } \sum _ { k \in \mathbb { N } } \left( \frac { 1 } { 2 ^ { k } } \right) | C _ { k } \setminus S _ { k } | = \frac { \sqrt { N } } { 2 } \sum _ { k \in \mathbb { N } } \left( \frac { 1 } { 2 ^ { k } } \right) = \sqrt { N } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla \tilde { \theta } _ { m } } & { = \sum _ { k \in 2 \ensuremath { \mathbb { Z } } + 1 } \xi _ { m , k } \bigl ( \ensuremath { \mathrm { I } _ { 2 } } + \nabla { \boldsymbol { \chi } } _ { m , k } \bigr ) \circ X _ { m - 1 , l _ { k } } ^ { - 1 } \nabla T _ { m - 1 } } \\ & { \qquad + \sum _ { k \in 2 \ensuremath { \mathbb { Z } } + 1 } \xi _ { m , k } \bigl ( \nabla X _ { m - 1 , l _ { k } } ^ { - 1 } - \ensuremath { \mathrm { I } _ { 2 } } \bigr ) ( \nabla { \boldsymbol { \chi } } _ { m , k } ) \circ X _ { m - 1 , l _ { k } } ^ { - 1 } \nabla T _ { m - 1 } } \\ & { \qquad + \sum _ { k \in 2 \ensuremath { \mathbb { Z } } + 1 } \xi _ { m , k } \nabla \tilde { \Chi } _ { m , k } \bigl ( \nabla X _ { m - 1 , l _ { k } } \circ X _ { m - 1 , l _ { k } } ^ { - 1 } - \ensuremath { \mathrm { I } _ { 2 } } \bigr ) \nabla T _ { m - 1 } } \\ & { \qquad + \sum _ { k \in 2 \ensuremath { \mathbb { Z } } + 1 } \xi _ { m , k } \tilde { \Chi } _ { m , k } \nabla \bigl ( \nabla \bigl ( T _ { m - 1 } \circ X _ { m - 1 , l _ { k } } \bigr ) \circ X _ { m - 1 , l _ { k } } ^ { - 1 } \bigr ) + \nabla \widetilde { H } _ { m } \, . } \end{array}
V ( r ) = - \frac { g ^ { 2 } C _ { F } } { 4 \pi r } \left[ 1 + \frac { g ^ { 2 } } { 4 \pi } \frac { C _ { A } } { 2 \pi } \left( 4 - \frac 1 3 \right) \log ( \mu r ) \right] \, .
\langle \bar { \psi } \psi \rangle \Big | _ { m ^ { 2 } d ^ { 2 } = { \cal O } ( 0 . 1 ) } \; \approx \; \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 2 } } \; m \; \rho \; \; c _ { 0 } \Bigl ( m ^ { 2 } \, d ^ { 2 } \Bigr ) \Big | _ { m ^ { 2 } d ^ { 2 } = { \cal O } ( 0 . 1 ) } \; \approx \; \; 0 . 0 5 8 \; \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 2 } } \; \rho \, / \, d \; ,
\begin{array} { r l } & { v _ { 4 k - 2 i , 2 k + 2 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 3 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 i , 2 k + 1 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 4 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 i , 2 k + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 5 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 i , 2 k - 1 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 6 } } \end{array}
a _ { 1 } ( x , y ) u _ { x x } + a _ { 2 } ( x , y ) u _ { x y } + a _ { 3 } ( x , y ) u _ { y x } + a _ { 4 } ( x , y ) u _ { y y } + a _ { 5 } ( x , y ) u _ { x } + a _ { 6 } ( x , y ) u _ { y } + a _ { 7 } ( x , y ) u = f ( x , y )
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { a _ { } } \! \! \boldsymbol { \psi } ( \alpha { } ) \boldsymbol { \varphi } ( \alpha { } ) \, \mathrm { d } \alpha { } } & { { } \approx \int _ { 0 } ^ { b _ { } } \! \! \boldsymbol { \psi } ( \alpha { } ) \boldsymbol { \varphi } ( 0 ) \, \mathrm { d } \alpha { } + \int _ { b _ { } } ^ { a _ { } } \! \! \boldsymbol { \psi } ( \alpha { } ) \boldsymbol { \varphi } ( { a _ { } } ) \, \mathrm { d } \alpha { } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \mathcal P _ { \gamma } h _ { 2 } \| _ { L ^ { 2 } } } & { \leq \| \mathcal P _ { \gamma } ( \zeta ^ { - 1 } \mathcal P _ { \gamma } h _ { 1 } ) \| _ { L ^ { 2 } } + \| \mathcal P _ { \gamma } ( ( \zeta ^ { - 1 } - 1 ) \mathcal P _ { \gamma } ^ { \perp } h _ { 1 } ) \| _ { L ^ { 2 } } } \\ & { \lesssim \| \mathcal P _ { \gamma } h _ { 1 } \| _ { L ^ { 2 } } + \eta \| \mathcal P _ { \gamma } ^ { \perp } h _ { 1 } \| _ { L ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { F _ { i } / m } & { { } = } & { - \; \frac { \Omega _ { R F } ^ { 2 } } { 4 } \left( a _ { i } - 2 q _ { i } \cos ( \Omega _ { R F } t ) \right) \ x _ { i } ( t ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E _ { X U V , x } ( t ) } & { = } & { \int _ { \omega _ { i } = 2 0 \omega _ { 0 } } ^ { \infty } e ^ { i \omega t } \tilde { a } _ { x } ( \omega ) \; d \omega , } \\ { E _ { X U V , y } ( t ) } & { = } & { \int _ { \omega _ { i } = 2 0 \omega _ { 0 } } ^ { \infty } e ^ { i \omega t } \tilde { a } _ { x } ( \omega ) \; d \omega . } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { h } ( \zeta _ { t } , \nu _ { t } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { ( 1 + \zeta _ { t } ) ( 1 + \nu _ { t } ) \left( \left( \alpha _ { t } L _ { t } - 1 \right) ^ { 2 } + \frac { \alpha _ { t } ^ { 2 } \delta _ { t } ^ { 2 } L _ { t } ^ { 2 } } { \zeta _ { t } } \right) \, \ } & { \mathrm { i f } \, \, \, 0 < \zeta _ { t } \leq \bar { \zeta _ { t } } } \\ { ( 1 + \zeta _ { t } ) ( 1 + \nu _ { t } ) \left( \left( 1 - \alpha _ { t } m _ { t } \right) ^ { 2 } + \frac { \alpha _ { t } ^ { 2 } \delta _ { t } ^ { 2 } m _ { t } ^ { 2 } } { \zeta _ { t } } \right) \, \ } & { \mathrm { i f } \, \, \, \zeta _ { t } > \bar { \zeta _ { t } } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { P ( \delta m ) } & { } & { = \beta ^ { 2 } \int _ { m _ { L } } ^ { \infty } d m _ { i } \int _ { m _ { i } + \delta m } ^ { \infty } d m _ { j } \int _ { 0 } ^ { T } d t _ { i } \int _ { \Omega } d \vec { x } _ { i } \int _ { t _ { i } } ^ { T } d t _ { j } \int _ { \Omega } d \vec { x } _ { j } } \\ & { } & { e ^ { - \beta ( m _ { j } + m _ { i } - 2 m _ { L } ) } \Lambda ( t _ { j } , \vec { x } _ { j } ) \Lambda ( t _ { i } , \vec { x } _ { i } ) \Phi _ { R } \left( m _ { j } - M _ { R } \left( \vec { x } _ { j } \right\vert m _ { i } ) \right) \Phi \left( m _ { i } - M _ { R } \left( \vec { x } _ { i } \right) \right) . } \end{array}
\int { \frac { d ^ { \, d } l } { ( 2 \pi ) ^ { d } } } \, { \frac { ( l ^ { 2 } ) ^ { \alpha } } { ( l ^ { 2 } + M ^ { 2 } ) ^ { \beta } } } = { \frac { 1 } { ( 4 \pi ) ^ { d / 2 } } } \left( M ^ { 2 } \right) ^ { d / 2 + \alpha - \beta } { \frac { \Gamma ( d / 2 + \alpha ) \Gamma ( \beta - \alpha - d / 2 ) } { \Gamma ( d / 2 ) \Gamma ( \beta ) } } \; \; .
\begin{array} { r l r } { \sin ( \pi \frac { \xi _ { x } } { L _ { x } } ) } & { = } & { \frac { a \Omega } { 2 c } \sin ( \theta ) \cos ( \varphi ) , } \\ { \sin ( \pi \frac { \xi _ { y } } { L _ { y } } ) } & { = } & { \frac { b \Omega } { 2 c } \sin ( \theta ) \sin ( \varphi ) , } \\ { \sin ( \frac { 1 } { 2 } c p _ { z } ) } & { = } & { \frac { c \Omega } { 2 c } \cos ( \theta ) . } \end{array}
A ( \hat { p } ) = \sum _ { j _ { 1 } , j _ { 2 } } U _ { 1 } ^ { j _ { 1 } } U _ { 2 } ^ { j _ { 2 } } b ( \hat { p } ) U _ { 1 } ^ { j _ { 1 } } U _ { 2 } ^ { j _ { 2 } } ( j _ { 1 } , j _ { 2 } \in Z )
{ \begin{array} { r l } { x \left( j _ { p } ^ { 1 } \sigma \right) } & { = x ( p ) = x } \\ { u \left( j _ { p } ^ { 1 } \sigma \right) } & { = u ( \sigma ( p ) ) = u ( \sigma ( x ) ) = \sigma ( x ) } \\ { u _ { 1 } \left( j _ { p } ^ { 1 } \sigma \right) } & { = \left. { \frac { \partial \sigma } { \partial x } } \right| _ { p } = \sigma ^ { \prime } ( x ) } \end{array} }
\begin{array} { r l } { - \frac { \gamma ^ { n + 1 / 2 } - \gamma ^ { n - 1 / 2 } } { h } } & { { } = \overline { { \nabla } } \phi ^ { n } \cdot \frac { u ^ { n + 1 / 2 } + u ^ { n - 1 / 2 } } { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \{ B \} } & { { } = - 2 \phi _ { \mathrm { b g } } , } \\ { \{ \delta _ { i } \} } & { { } = - \frac { 2 \Delta _ { i } \delta } { \Omega ^ { 2 } } , } \\ { \{ B \cdot \delta _ { i } \} } & { { } = - 2 \phi _ { \delta _ { i } } = 4 \phi _ { \mathrm { b g } } \frac { \Delta _ { i } \delta } { \Omega ^ { 2 } } = \{ B \} \{ \delta _ { i } \} . } \end{array}
\begin{array} { l l } { g _ { 2 } ( \mathcal { S } _ { J F _ { \ast } X } F _ { \ast } X + \mathcal { S } _ { C V } F _ { \ast } X , B V ) - g _ { 2 } \Big ( ( \nabla F _ { \ast } ) ( X , { ^ \ast } F _ { \ast } B V ) + \nabla _ { X } ^ { F \bot } J F _ { \ast } X + \nabla _ { V } ^ { F \bot } J F _ { \ast } X , C V \Big ) = - b s i n \omega c o s \omega \frac { d \omega } { d t } . } \end{array}
\overline { { \mathsf { K } } } = \hat { \mathsf { K } } _ { 0 } + \frac { 1 } { 8 } \omega ^ { 2 } \hat { \mathbf { X } } _ { \mathrm { O } } ^ { \dagger } \mathbf { M } _ { a } \hat { \mathbf { X } } _ { \mathrm { O } } - \frac { 1 } { 4 } \hat { \mathbf { F } } _ { a } ^ { \dagger } \hat { \mathbf { X } } _ { \mathrm { O } } + \mathrm { c . c . } \, ,
\begin{array} { r } { \rho _ { i } ( \theta , \theta _ { j i k } ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \sigma _ { \theta } ^ { 2 } } } \sum _ { j \neq i } ^ { M } \sum _ { k \neq j } ^ { M } Z _ { j } Z _ { k } ~ \exp { \left( - \frac { ( \theta - \theta _ { j i k } ) ^ { 2 } } { \sigma _ { \theta } } \right) } , } \\ { \theta _ { j i k } = \cos ^ { - 1 } \frac { ( \mathbf { R } _ { i } - \mathbf { R } _ { j } ) ^ { T } ( \mathbf { R } _ { i } - \mathbf { R } _ { j } ) } { R _ { i j } ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { U } _ { i } ( \mathbf { x } , z ) = \frac { 1 } { 8 \pi e ^ { 2 } \hbar ^ { 2 } } \frac { \varepsilon _ { i } } { \varepsilon _ { \mathrm { a v g } } } \frac { | A _ { 0 } ^ { 0 } | ^ { 2 } } { | J | } \left| \frac { \partial S } { \partial \mathbf { x } } \right| e ^ { - 2 \frac { | z | } { \hbar } \left| \frac { \partial S } { \partial \mathbf { x } } \right| } . } \end{array}
\left( \begin{array} { c } { { \nu _ { e } } } \\ { { \nu _ { \mu } } } \\ { { \nu _ { \tau } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c c } { { 1 / \sqrt 2 } } & { { c ^ { \prime } / \sqrt 2 } } & { { s ^ { \prime } / \sqrt 2 } } \\ { { c / \sqrt 2 } } & { { s ^ { \prime } s - c ^ { \prime } c / \sqrt 2 } } & { { - c ^ { \prime } s - s ^ { \prime } c / \sqrt 2 } } \\ { { s / \sqrt 2 } } & { { - s ^ { \prime } c - c ^ { \prime } s / \sqrt 2 } } & { { c ^ { \prime } c - s ^ { \prime } s / \sqrt 2 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { \nu _ { 1 } } } \\ { { \nu _ { 2 } } } \\ { { \nu _ { 3 } } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r } { \hat { u } _ { 2 } ^ { ( 0 ) } = \frac { x _ { 1 } \left( ( 2 \beta - 2 ) \lambda - \beta - 5 + ( \beta + 1 ) ( 5 x _ { 1 } ^ { 2 } + x _ { 2 } ^ { 2 } + 5 x _ { 3 } ^ { 2 } ) \right) } { 2 ( \lambda + 1 ) } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { d _ { p } } & { = d { \bmod { ( } } p - 1 ) = 4 1 3 { \bmod { ( } } 6 1 - 1 ) = 5 3 , } \\ { d _ { q } } & { = d { \bmod { ( } } q - 1 ) = 4 1 3 { \bmod { ( } } 5 3 - 1 ) = 4 9 , } \\ { q _ { \mathrm { i n v } } } & { = q ^ { - 1 } { \bmod { p } } = 5 3 ^ { - 1 } { \bmod { 6 } } 1 = 3 8 } \\ & { \Rightarrow ( q _ { \mathrm { i n v } } \times q ) { \bmod { p } } = 3 8 \times 5 3 { \bmod { 6 } } 1 = 1 . } \end{array} }
\hat { H } = \frac { 1 } { 2 } \hat { p } _ { z } ^ { 2 } + \hbar \omega \left[ a _ { + } ^ { \dagger } a _ { + } \, + \, a _ { - } ^ { \dagger } a _ { - } \right] \ \ \ , \ \ \ \hat { \phi } = \hat { p } _ { z } + \hbar g \left[ a _ { + } ^ { \dagger } a _ { + } \, - \, a _ { - } ^ { \dagger } a _ { - } \right] \ \ \ .
\widehat { \vartheta } _ { 2 } = \int _ { 0 } ^ { 1 } \theta \frac { \theta ^ { 6 } ( 1 - \theta ) ^ { 2 } } { \int _ { 0 } ^ { 1 } y ^ { 6 } ( 1 - y ) ^ { 2 } \, \mathrm { ~ d ~ } y } \mathrm { ~ d ~ } \theta = 0 . 7 .
\begin{array} { r l } { \mathcal { C } ( f ) } & { { } = \mathcal { C } ^ { x } \frac { \partial f } { \partial x } + \mathcal { C } ^ { y } \frac { \partial f } { \partial y } + \mathcal { C } ^ { z } \frac { \partial f } { \partial z } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \frac { d } { d t } } \langle x \rangle } & { = { \frac { 1 } { i \hbar } } \langle [ x , H ] \rangle + \left\langle { \frac { \partial x } { \partial t } } \right\rangle } \\ & { = { \frac { 1 } { i \hbar } } \left\langle \left[ x , { \frac { p ^ { 2 } } { 2 m } } + V ( x , t ) \right] \right\rangle + 0 } \\ & { = { \frac { 1 } { i \hbar } } \left\langle \left[ x , { \frac { p ^ { 2 } } { 2 m } } \right] \right\rangle } \\ & { = { \frac { 1 } { i \hbar 2 m } } \left\langle [ x , p ] { \frac { d } { d p } } p ^ { 2 } \right\rangle } \\ & { = { \frac { 1 } { i \hbar 2 m } } \langle i \hbar 2 p \rangle } \\ & { = { \frac { 1 } { m } } \langle p \rangle } \end{array} }
x ( t ) = t ^ { \beta - 1 } H _ { 2 , 2 } ^ { 1 , 1 } \left[ t ^ { - 1 } \left| \begin{array} { c } { ( 0 , 1 ) , ( \beta , 1 ) } \\ { ( 0 , 1 ) , ( 0 , \alpha ) } \end{array} \right. \right]
\left( - \nabla \cdot \left( \frac { \nabla } { | \nabla \bar { U } _ { r e a l } ^ { k } | } \right) + \lambda _ { 1 } + 2 \lambda _ { 3 } \left( ( \bar { U } _ { r e a l } ^ { k } ) ^ { 2 } + ( \bar { U } _ { i m } ^ { k } ) ^ { 2 } \right) \right) \bar { U } _ { r e a l } ^ { k + 1 } = \lambda _ { 1 } \hat { U } _ { r e a l } + 2 \lambda _ { 3 } \bar { U } _ { r e a l } ^ { k } \; \; \; \mathrm { i n } \; \Omega .
\begin{array} { r l } & { m = \left\{ \begin{array} { l l } { i + M } & { i \in [ 1 , M + 1 ] } \\ { i - 2 N _ { x } + M } & { i \in [ 2 N _ { x } - M + 1 , 2 N _ { x } ] } \end{array} \right. } \\ & { n = \left\{ \begin{array} { l l } { j + M } & { j \in [ 1 , M + 1 ] } \\ { j - 2 N _ { y } + M } & { j \in [ 2 N _ { y } - M + 1 , 2 N _ { y } ] } \end{array} \right. } \end{array}
\sum _ { i , j = L , R } \frac { g _ { S _ { a } \tilde { u } _ { i } \tilde { u } _ { j } } ^ { 2 } + g _ { S _ { a } \tilde { d } _ { i } \tilde { d } _ { j } } ^ { 2 } } { 8 g ^ { 2 } m _ { W } ^ { 2 } } = \frac { < g _ { S _ { a } \tilde { q } \tilde { q } } ^ { 2 } > } { g ^ { 2 } m _ { W } ^ { 2 } }
\begin{array} { r l r } { E 1 _ { P V } } & { = } & { \sum _ { I \ne i } \frac { \langle \Psi _ { f } ^ { ( 0 ) } | D | \Psi _ { I } ^ { ( 0 ) } \rangle \langle \Psi _ { I } ^ { ( 0 ) } | H _ { W } | \Psi _ { i } ^ { ( 0 ) } \rangle } { { \cal N } _ { i f } ( E _ { i } ^ { ( 0 ) } - E _ { I } ^ { ( 0 ) } - \delta \omega ) } } \\ & { } & { + \sum _ { I \ne f } \frac { \langle \Psi _ { f } ^ { ( 0 ) } | H _ { W } | \Psi _ { I } ^ { ( 0 ) } \rangle \langle \Psi _ { I } ^ { ( 0 ) } | D | \Psi _ { i } ^ { ( 0 ) } \rangle } { { \cal N } _ { i f } ( E _ { f } ^ { ( 0 ) } - E _ { I } ^ { ( 0 ) } + \delta \omega ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \partial _ { t } ^ { 2 } u - \Delta u } & { = f \quad } & & { \mathrm { i n } ~ \Omega \times I , } \\ { u } & { = 0 \quad } & & { \mathrm { o n } ~ \partial \Omega \times I , } \\ { u ( \cdot , 0 ) } & { = u _ { 0 } \quad } & & { \mathrm { i n } ~ \Omega , } \\ { \partial _ { t } u ( \cdot , 0 ) } & { = u _ { 1 } \quad } & & { \mathrm { i n } ~ \Omega , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \big \| \boldsymbol A ^ { * } \b { \tilde { B } } \boldsymbol F \boldsymbol D - \boldsymbol I _ { | \mathcal I _ { \boldsymbol M } | } \big \| _ { \mathrm F } } & { = \big \| \big ( \boldsymbol A ^ { * } \b { \tilde { B } } - \frac { 1 } { | \mathcal I _ { \boldsymbol M _ { \boldsymbol \sigma } } | } \boldsymbol D ^ { - 1 } \boldsymbol F ^ { * } \big ) \boldsymbol F \boldsymbol D \big \| _ { \mathrm F } } \\ & { \leq \big \| \boldsymbol A ^ { * } \b { \tilde { B } } - \frac { 1 } { | \mathcal I _ { \boldsymbol M _ { \boldsymbol \sigma } } | } \boldsymbol D ^ { - 1 } \boldsymbol F ^ { * } \big \| _ { \mathrm F } \, \big \| \boldsymbol F \boldsymbol D \big \| _ { \mathrm F } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { n ^ { - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( W _ { i } - R _ { i } ^ { - 1 } \hat { { \boldsymbol \theta } } _ { n } ) ( 1 + R _ { i } ^ { - 1 } W _ { i } ^ { \top } \hat { { \boldsymbol \theta } } _ { n } - 2 ^ { - 1 } R _ { i } ^ { - 2 } \| \hat { { \boldsymbol \theta } } _ { n } \| ^ { 2 } + \delta _ { 1 i } ) = 0 \, , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { E _ { \mathrm { K } } } & { = { \frac { 1 } { 2 } } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } m _ { i } \left( \left[ \Delta \mathbf { r } _ { i } \right] { \boldsymbol { \omega } } \right) \cdot \left( \left[ \Delta \mathbf { r } _ { i } \right] { \boldsymbol { \omega } } \right) \right) + { \frac { 1 } { 2 } } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } m _ { i } \right) \mathbf { V } _ { \mathbf { C } } \cdot \mathbf { V } _ { \mathbf { C } } } \\ & { = { \frac { 1 } { 2 } } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } m _ { i } \left( { \boldsymbol { \omega } } ^ { \mathsf { T } } \left[ \Delta \mathbf { r } _ { i } \right] ^ { \mathsf { T } } \left[ \Delta \mathbf { r } _ { i } \right] { \boldsymbol { \omega } } \right) \right) + { \frac { 1 } { 2 } } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } m _ { i } \right) \mathbf { V } _ { \mathbf { C } } \cdot \mathbf { V } _ { \mathbf { C } } } \\ & { = { \frac { 1 } { 2 } } { \boldsymbol { \omega } } \cdot \left( - \sum _ { i = 1 } ^ { n } m _ { i } \left[ \Delta \mathbf { r } _ { i } \right] ^ { 2 } \right) { \boldsymbol { \omega } } + { \frac { 1 } { 2 } } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } m _ { i } \right) \mathbf { V } _ { \mathbf { C } } \cdot \mathbf { V } _ { \mathbf { C } } . } \end{array} }
\Delta ^ { \mp , a , p } ( x , x ^ { \prime } ) = \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \, d z \, \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \, \frac { d p _ { D } } { 2 \pi } \, e ^ { - i p _ { D } y ^ { D } } \Delta _ { Q } ^ { \mp , a , p } \; , \quad y _ { \mu } = x _ { \mu } - x _ { \mu } ^ { \prime } \; ,
\ddot { \cal { U } } _ { q } ^ { + } - 2 i \tilde { \omega } _ { q } ( \tau ) \dot { \cal { U } } _ { q } ^ { + } - i \dot { \tilde { \omega } } _ { q } ( \tau ) { \cal { U } } _ { q } ^ { + } + \left[ - 2 + g \Sigma ( \tau ) \right] { \cal { U } } _ { q } ^ { + } = 0