harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ { D } _ { i j } } ( t ) = \sum _ { m = 0 } ^ { { { n } ^ { 2 } } - 1 } { T r \left[ { { G } _ { m } } { { G } _ { i } } { { \Lambda } _ { t } } \left[ { { G } _ { m } ( t ) } \right] { { G } _ { j } } \right] }
\overline { { C } } ( \infty ) = \frac { \beta + ( 1 / 2 - \beta ) \operatorname { t a n h } \Big [ b \Big ( \langle k \rangle - 1 \Big ) \Big ] } { \alpha + \beta + ( 1 - \alpha - \beta ) \operatorname { t a n h } \Big [ b \Big ( \langle k \rangle - 1 \Big ) \Big ] } .
\begin{array} { r l } { T _ { 0 } } & { = \theta _ { 0 } \left( \frac { p _ { 0 } } { p _ { 0 0 } } \right) ^ { R _ { d } / c _ { p d } } , } \\ { p _ { 0 } } & { = p _ { 0 0 } \left( 1 - \frac { g z } { c _ { p d } \theta _ { 0 } } \right) ^ { c _ { p d } / R _ { d } } , } \\ { \rho _ { 0 } } & { = \frac { p _ { 0 } } { R _ { d } T _ { 0 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { 2 E = \sum _ { i } I _ { i } \Omega _ { i } ^ { 2 } = m _ { 3 } ^ { 2 } ( \frac { 1 } { I _ { 1 } } \sin ^ { 2 } \psi \sin ^ { 2 } \theta + \frac { 1 } { I _ { 2 } } \cos ^ { 2 } \psi \sin ^ { 2 } \theta + \frac { 1 } { I _ { 3 } } \cos ^ { 2 } \theta ) = } \\ { \frac { m _ { 3 } ^ { 2 } } { I _ { 3 } } + m _ { 3 } ^ { 2 } [ I _ { ( 1 - 3 ) } - I _ { ( 1 - 2 ) } \cos ^ { 2 } \psi ] \sin ^ { 2 } \theta . } \end{array}
\mathcal { H } = \underbrace { \frac { 1 } { 2 } \dot { \boldsymbol { q } } \cdot \boldsymbol { M } \dot { \boldsymbol { q } } } _ { \mathrm { ~ K ~ i ~ n ~ e ~ t ~ i ~ c ~ e ~ n ~ e ~ r ~ g ~ y ~ } } + \underbrace { \frac { 1 } { 2 } \boldsymbol { q } \cdot \widehat { \boldsymbol { K } } \boldsymbol { q } } _ { \mathrm { ~ T ~ o ~ t ~ a ~ l ~ p ~ o ~ t ~ e ~ n ~ t ~ i ~ a ~ l ~ e ~ n ~ e ~ r ~ g ~ y ~ } } ,
{ \cal L } _ { \mathrm { Y M } } ^ { ( a ) } = - \frac 1 4 \left[ D _ { \mu } A _ { \nu } ^ { a } - D _ { \nu } A _ { \mu } ^ { a } + g f ^ { a b c } A _ { \mu } ^ { b } A _ { \nu } ^ { c } \right] ^ { 2 } .
+ t _ { 3 } \sin ( q _ { y } b ) \{ - K _ { x } J _ { 1 } ( K _ { y } ) J _ { 2 } ( K _ { x } ) + J _ { 1 } ( K _ { x } ) J _ { 2 } ( K _ { y } ) [ K _ { y } + 2 K _ { x } \cos ( \varphi ) ] \} \} / 3
{ \begin{array} { r l } { K E } & { = { \frac { \partial \Gamma _ { 1 1 } ^ { 2 } } { \partial v } } - { \frac { \partial \Gamma _ { 2 1 } ^ { 2 } } { \partial u } } + \Gamma _ { 2 1 } ^ { 2 } \Gamma _ { 1 1 } ^ { 1 } + \Gamma _ { 2 2 } ^ { 2 } \Gamma _ { 1 1 } ^ { 2 } - \Gamma _ { 1 1 } ^ { 2 } \Gamma _ { 2 1 } ^ { 1 } - \Gamma _ { 1 2 } ^ { 2 } \Gamma _ { 2 1 } ^ { 2 } } \\ { K F } & { = { \frac { \partial \Gamma _ { 1 2 } ^ { 2 } } { \partial v } } - { \frac { \partial \Gamma _ { 2 2 } ^ { 2 } } { \partial u } } + \Gamma _ { 2 1 } ^ { 2 } \Gamma _ { 1 2 } ^ { 1 } - \Gamma _ { 1 1 } ^ { 2 } \Gamma _ { 2 2 } ^ { 1 } } \\ { K G } & { = { \frac { \partial \Gamma _ { 2 2 } ^ { 1 } } { \partial u } } - { \frac { \partial \Gamma _ { 1 2 } ^ { 1 } } { \partial v } } + \Gamma _ { 1 1 } ^ { 1 } \Gamma _ { 2 2 } ^ { 1 } + \Gamma _ { 1 2 } ^ { 1 } \Gamma _ { 2 2 } ^ { 2 } - \Gamma _ { 2 1 } ^ { 1 } \Gamma _ { 1 2 } ^ { 1 } - \Gamma _ { 2 2 } ^ { 1 } \Gamma _ { 1 2 } ^ { 2 } } \end{array} }
\xi _ { F } ( w ) = \frac { 2 \sqrt { M _ { B } M _ { K _ { 2 } ^ { * } } } } { M _ { B } + M _ { K _ { 2 } ^ { * } } } g _ { + } ( w ) = \frac { 2 \sqrt { M _ { B } M _ { K _ { 1 } } } } { M _ { B } - M _ { K _ { 1 } } } \frac { \sqrt { 6 } } { w + 1 } \tilde { t } _ { + } ( w )
\Gamma ( \tilde { \chi } _ { 1 } ^ { 0 } \rightarrow \nu \gamma ) = \frac { g _ { { \tilde { \chi } _ { 1 } ^ { 0 } } \nu \gamma } ^ { 2 } M _ { \tilde { \chi } _ { 1 } ^ { 0 } } ^ { 3 } } { 1 6 \pi }
\begin{array} { r l } { \Hat { u } ( x , t _ { k + 1 } ) } & { = \sum _ { ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) \in D } A _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } \omega _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } \frac { 1 } { N } \sum _ { m = 1 } ^ { N } K _ { \delta } ( x , X _ { t _ { k } } ^ { m ; i _ { 1 } , i _ { 2 } } ) 1 _ { \{ t _ { k } < \zeta ( X ^ { m ; i _ { 1 } , i _ { 2 } } \circ \tau _ { t _ { k } } ) \} } } \\ & { + \sum _ { ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) \in D } A _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } h \frac { 1 } { N } \sum _ { m = 1 } ^ { N } K _ { \delta } ( x , X _ { t _ { k } } ^ { m ; i _ { 1 } , i _ { 2 } } ) \sum _ { l = 0 } ^ { k } G _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } ; t _ { l } } 1 _ { \{ t _ { k } - t _ { l } < \zeta ( X ^ { m ; i _ { 1 } , i _ { 2 } } \circ \tau _ { t _ { k } } ) \} } } \\ & { + \frac { \nu } { \varepsilon ^ { 2 } } \sum _ { ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) \in D _ { b } ^ { - } } h _ { 1 } h _ { 2 } h \frac { 1 } { N } \sum _ { m = 1 } ^ { N } K _ { \delta } ( x , X _ { t _ { k } } ^ { m ; i _ { 1 } , i _ { 2 } } ) \sum _ { l = 0 } ^ { k } \theta _ { - } ( X _ { t _ { l } } ^ { m ; i _ { 1 } , i _ { 2 } } , t _ { l } ) \phi ^ { \prime \prime } ( X _ { t _ { l } } ^ { m ; i _ { 1 } , i _ { 2 } } / \varepsilon ) 1 _ { \{ t _ { k } - t _ { l } < \zeta ( X ^ { m ; i _ { 1 } , i _ { 2 } } \circ \tau _ { t _ { k } } ) \} } } \\ & { + \frac { \nu } { \varepsilon ^ { 2 } } \sum _ { ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) \in D _ { b } ^ { + } } h _ { 1 } h _ { 2 } h \frac { 1 } { N } \sum _ { m = 1 } ^ { N } K _ { \delta } ( x , X _ { t _ { k } } ^ { m ; i _ { 1 } , i _ { 2 } } ) \sum _ { l = 0 } ^ { k } \theta _ { + } ( X _ { t _ { l } } ^ { m ; i _ { 1 } , i _ { 2 } } , t _ { l } ) \phi ^ { \prime \prime } ( X _ { t _ { l } } ^ { m ; i _ { 1 } , i _ { 2 } } / \varepsilon ) 1 _ { \{ t _ { k } - t _ { l } < \zeta ( X ^ { m ; i _ { 1 } , i _ { 2 } } \circ \tau _ { t _ { k } } ) \} } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { \mathcal { M } } _ { O _ { 2 } } ( 2 { \it \Delta \phi } ) = \left( \begin{array} { c c } { \cos ( 2 { \it \Delta \phi } ) } & { \ \ \ \sin ( 2 { \it \Delta \phi } ) } \\ { \sin ( 2 { \it \Delta \phi } ) } & { - \cos ( 2 { \it \Delta \phi } ) } \end{array} \right) } \end{array}
R = \left\lvert \frac { i k _ { \mathrm { d } } } { 2 A } \Bigl ( \alpha _ { x x } ^ { \mathrm { p , e f f } } - \alpha _ { y y } ^ { \mathrm { m , e f f } } \Bigr ) \right\rvert ^ { 2 } \quad \mathrm { a n d } \quad T = \left\lvert 1 - \frac { i k _ { \mathrm { d } } } { 2 A } \Bigl ( \alpha _ { x x } ^ { \mathrm { p , e f f } } + \alpha _ { y y } ^ { \mathrm { m , e f f } } \Bigr ) \right\rvert ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { f _ { 1 } ( x , v , t ) = } & { - \frac { 1 } { \tilde { R } _ { c x } ( x , t ) } \bigg ( \partial _ { t } ( f _ { 0 } ( x , v , t ) ) + v \partial _ { x } ( f _ { 0 } ( x , v , t ) ) \bigg ) } \\ { = } & { - \frac { 1 } { \varepsilon R _ { c x } ( x , t ) } \bigg ( \partial _ { t } ( \rho ( x , t ) M ( v \mid x , t ) ) + v \partial _ { x } ( \rho ( x , t ) M ( v \mid x , t ) ) \bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { R } & { = } & { 1 } \\ { W _ { \ \, b } ^ { a } } & { = } & { \mathcal { R } _ { \ \mu \nu b } ^ { a } X ^ { \mu } X ^ { \nu } + \frac { 1 } { d - 1 } \mathcal { R } _ { \mu \nu } X ^ { \mu } X ^ { \nu } h _ { \ b } ^ { a } } \\ & { = } & { - \left( \begin{array} { c c c c } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \cos ^ { 2 } \psi } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \sin ^ { 2 } \psi } \end{array} \right) + \frac { 1 } { 3 } \left( \begin{array} { c c c c } { \sin ^ { 2 } \psi } & { 0 } & { - \sin \psi \cos \psi } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { - \sin \psi \cos \psi } & { 0 } & { \cos ^ { 2 } \psi } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } \\ { \textrm { T r } [ \hat { W } ^ { 2 } ] } & { = } & { \frac { 1 } { 6 } + \frac { 1 } { 2 } ( \cos ^ { 2 } \psi - \sin ^ { 2 } \psi ) ^ { 2 } \ . } \end{array}
\dot { E } _ { i } = - \rho _ { 0 } \epsilon _ { i j } \partial _ { j } \partial _ { 0 } \tilde { \mu } - \rho _ { 0 } \epsilon _ { i j } ( \partial _ { j } \hat { \beta } \dot { q } - \partial _ { j } \hat { \alpha } \dot { p } ) \; ,
\begin{array} { r l } { \left| \sum _ { | \gamma _ { \chi } | < T } \frac { ( x + h ) ^ { \varrho _ { \chi } + 1 } - x ^ { \varrho _ { \chi } + 1 } } { h \varrho _ { \chi } ( \varrho _ { \chi } + 1 ) } \right| = \left| \sum _ { | \gamma _ { \chi } | < T } \frac { 1 } { h \varrho _ { \chi } } \int _ { x } ^ { x + h } t ^ { \varrho _ { \chi } } \, d t \right| } & { \leq \sqrt { x } \left( 1 + \frac { h } { x } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { | \gamma _ { \chi } | < T } \frac { 1 } { \sqrt { \frac { 1 } { 4 } + \gamma _ { \chi } ^ { 2 } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { n ^ { \prime } } & { \ge ( N + 1 ) \left( 1 - \frac { 1 } { \log _ { 2 + } ( d _ { N + 1 } / d _ { 0 } ) } \right) \ge 2 \log _ { 2 } ( d _ { N + 1 } / d _ { 0 } ) \left( 1 - \frac { 1 } { \log _ { 2 + } ( d _ { N + 1 } / d _ { 0 } ) } \right) } \\ & { = 2 \log _ { 2 } ( d _ { N + 1 } / d _ { 0 } ) - 1 = 2 \log _ { 2 } \left( \frac { 1 } { 2 } d _ { N + 1 } / d _ { 0 } \right) \ge 2 \log _ { 2 } ( d _ { n ^ { \prime } } / d _ { 0 } ) . } \end{array}
\tilde { V } _ { t t ^ { * } } ^ { x } ( \tilde { S } _ { t t ^ { * } } ^ { x } ) \leftarrow \frac { 1 } { \sum _ { \tilde { W } _ { t , t ^ { * } + 1 } \in \tilde { \Omega } _ { t , t ^ { * } + 1 } ^ { e } ( \tilde { S } _ { t t ^ { * } } ^ { x } ) } p ( \tilde { W } _ { t , t ^ { * } + 1 } ) } \cdot E _ { g } [ p ( \tilde { W } _ { t , t ^ { * } + 1 } ) / g ( \tilde { W } _ { t , t ^ { * } + 1 } ) \tilde { V } _ { t t ^ { * } } ( \tilde { S } ^ { M , x } ( \tilde { S } _ { t t ^ { * } } ^ { x } , { \tilde { W } _ { t , t ^ { * } + 1 } } ) ) ]
\begin{array} { r l } { ( w q ^ { 1 - p _ { 2 } } ; q ) _ { t _ { 2 } - 1 } } & { = ( w ^ { - 1 } q ^ { p _ { 2 } - t _ { 2 } + 1 } ; q ) _ { t _ { 2 } - 1 } ( - w q ^ { 1 - p _ { 2 } } ) ^ { t _ { 2 } - 1 } q ^ { \binom { t _ { 2 } - 1 } 2 } } \\ & { = ( - w q ^ { 1 - p _ { 2 } } ) ^ { t _ { 2 } - 1 } q ^ { \binom { t _ { 2 } - 1 } 2 } \sum _ { j = 0 } ^ { t _ { 2 } - 1 } ( - 1 ) ^ { j } q ^ { ( p _ { 2 } - t _ { 2 } + 1 ) j } q ^ { \binom { j } 2 } \frac { ( q ; q ) _ { t _ { 2 } - 1 } } { ( q ; q ) _ { j } ( q ; q ) _ { t _ { 2 } - 1 - j } } w ^ { - j } . } \end{array}
\sum _ { j = 1 } ^ { n - 1 } e ^ { - \frac { 2 \pi i j k } { n } } c _ { j } = \sum _ { j ^ { \prime } = 0 } ^ { \frac { n } { 2 } - 1 } e ^ { - \frac { 4 \pi i j ^ { \prime } k } { n } } c _ { 2 j ^ { \prime } } + e ^ { - \frac { 2 \pi i k } { n } ( 2 j ` + 1 ) } c _ { 2 j ^ { \prime } + 1 } .
{ \begin{array} { r l } { \ell _ { 0 } ( x ) } & { = { \frac { x - 2 } { 1 - 2 } } \cdot { \frac { x - 3 } { 1 - 3 } } = { \frac { 1 } { 2 } } x ^ { 2 } - { \frac { 5 } { 2 } } x + 3 , } \\ { \ell _ { 1 } ( x ) } & { = { \frac { x - 1 } { 2 - 1 } } \cdot { \frac { x - 3 } { 2 - 3 } } = - x ^ { 2 } + 4 x - 3 , } \\ { \ell _ { 2 } ( x ) } & { = { \frac { x - 1 } { 3 - 1 } } \cdot { \frac { x - 2 } { 3 - 2 } } = { \frac { 1 } { 2 } } x ^ { 2 } - { \frac { 3 } { 2 } } x + 1 . } \end{array} }
\hat { K } = \left( \begin{array} { c c c } { { \frac { B } { 4 } \delta ^ { \mu \nu \alpha \beta } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - \frac { B } { 1 6 } } } & { { - \frac { B _ { 1 } } { 4 } } } \\ { { 0 } } & { { - \frac { B _ { 1 } } { 4 } } } & { { \frac { B _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 B } - A } } \end{array} \right)
\partial _ { n } : \, ( \sigma : [ v _ { 0 } , \ldots , v _ { n } ] \to X ) \mapsto \sum _ { i = 0 } ^ { n } ( - 1 ) ^ { i } ( \sigma : [ v _ { 0 } , \ldots , { \hat { v } } _ { i } , \ldots , v _ { n } ] \to X )
\int _ { ( 1 - z ) ^ { a } Q ^ { 2 } } ^ { Q ^ { 2 } } \frac { d q ^ { 2 } } { q ^ { 2 } } P _ { q } ( z , a _ { s } ( q ^ { 2 } , \epsilon ) ) = \int _ { ( 1 - z ) ^ { a } Q ^ { 2 } } ^ { Q ^ { 2 } } \frac { d q ^ { 2 } } { q ^ { 2 } } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } ( a _ { s } ( q ^ { 2 } ) ) ^ { n } P _ { q } ^ { n } ( z ) + O ( \epsilon ) .
\begin{array} { r } { \mathrm { M S D } ( \theta _ { c } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \epsilon } { \bar { \Gamma } } \left( t + \frac { \delta ^ { 2 } } { 2 \lambda _ { 1 } } t ^ { 2 } \right) \, , } & { t \ll t _ { p } } \\ { \frac { \epsilon } { \bar { \Gamma } } \left( 1 + \frac { \delta ^ { 2 } } { \lambda _ { 1 } ^ { 2 } } \right) \, t \, , } & { t \gg t _ { p } \, } \end{array} \right. . } \end{array}
p _ { 1 } ( k _ { 1 } ) = p _ { 1 } ( 0 ) \left[ 1 + \Big ( \frac { \alpha _ { n } } { \gamma _ { n } } \Big ) k _ { 1 } \right] ^ { \frac { 3 n } { 2 } - \frac { 1 } { 2 \alpha _ { n } } - 2 } .
\begin{array} { r l } { ( \widetilde { \mathrm { S L } } ( 2 , \mathbb { R } ) \times _ { \mathbb { Z } } \mathbb { R } ) \times } & { ( \widetilde { \mathrm { S L } } ( 2 , \mathbb { R } ) \times _ { \mathbb { Z } } \mathbb { R } ) \to \widetilde { \mathrm { S L } } ( 2 , \mathbb { R } ) \times _ { \mathbb { Z } } \mathbb { R } , } \\ { ( a , b ) } & { \mapsto a b a ^ { - 1 } b ^ { - 1 } } \end{array}
\begin{array} { c c c } { { \chi ^ { a } ( \sigma ) = \frac 1 { \sqrt { 2 \pi } } \sum _ { r \in Z _ { 0 } + \phi } \left( c _ { r } \cos { r \sigma } + d _ { r } \sin { r \sigma } \right) } } & { { } } & { { } } \\ { { \overline { { { \chi } } } ^ { a } ( \sigma ) = \frac 1 { \sqrt { 2 \pi } } \sum _ { r \in Z _ { 0 } + \phi } \left( \overline { { { c } } } _ { r } \cos { r \sigma } + \overline { { { d } } } _ { r } \sin { r \sigma } \right) } } & { { } } & { { } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { \underset { x _ { p - 1 } = b , ~ x _ { p } = a } { x _ { k } = a \mathrm { ~ o r ~ } b } } \frac { 1 } { \pi \{ a \} } \omega ( ( { \mathscr D } + { \mathscr D } ^ { * } ) ( x _ { 1 } ) , [ x _ { 2 } , [ \dots , [ x _ { p - 1 } , x _ { p } ] _ { \mathfrak { a } } \dots ] _ { \mathfrak { a } } ] _ { \mathfrak { a } } ) } \\ & { = \sum _ { \underset { x _ { 1 } = a , ~ x _ { 2 } = b } { x _ { i } = a \mathrm { ~ o r ~ } b } } \frac { 1 } { \pi \{ a \} } \sum _ { k = 0 } ^ { p - 2 } ( - 1 ) ^ { k } x _ { p } \dots x _ { p - k + 1 } \omega ( ( { \mathscr D } + { \mathscr D } ^ { * } ) ( [ [ \dots [ x _ { 1 } , x _ { 2 } ] , x _ { 3 } ] \dots , x _ { p - k - 1 } ] _ { \mathfrak { a } } ) , x _ { p - k } ) . } \end{array}
- \int _ { 0 } ^ { \tau } \! \mathrm { d } t \left[ \sum \dot { \phi } _ { j } ^ { 2 } + H _ { \mathrm { b o s } } ( i \dot { \phi } ( t ) , \phi ( t ) ) \right] = - \int \! \mathrm { d } ^ { 4 } x { \cal L } _ { \mathrm { E u c l } } \, .
{ \begin{array} { r l } { \Phi ( x ) } & { = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } } \int _ { - \infty } ^ { x } e ^ { \frac { - t ^ { 2 } } { 2 } } \, \mathrm { d } t } \\ & { = { \frac { 1 } { 2 } } \left( 1 + \operatorname { e r f } { \frac { x } { \sqrt { 2 } } } \right) } \\ & { = { \frac { 1 } { 2 } } \operatorname { e r f c } \left( - { \frac { x } { \sqrt { 2 } } } \right) } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { C O _ { 2 } + H _ { 2 } O \overset { k _ { 1 } } { \rightleftharpoons } H C O _ { 3 } ^ { - } + H ^ { + } \overset { k _ { 2 } } { \rightleftharpoons } C O _ { 3 } ^ { 2 - } + 2 H ^ { + } , \mathrm { ~ w h e r e ~ } } \\ & { k _ { 1 } = \frac { [ H C O _ { 3 } ^ { - } ] [ H ^ { + } ] } { [ C O _ { 2 } ( a q ) ] } \mathrm { ~ a n d ~ } k _ { 2 } = \frac { [ C O _ { 3 } ^ { 2 - } ] [ H ^ { + } ] } { [ H C O _ { 3 } ^ { - } ] } \mathrm { ~ . } } \end{array}
\boldsymbol { L } _ { \mathrm { r e v } } = \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \left[ - \frac { \partial } { \partial x _ { i } } v _ { i } - \frac { 1 } { m } \frac { \partial } { \partial v _ { i } } \left( F _ { \mathrm { e x t } , i } + q E _ { \mathrm { s c } , i } ^ { \mathrm { s m } } \right) \right] \, .
\begin{array} { r l } { A _ { \varepsilon } \cap \pi ^ { - 1 } ( y ) \cap } & { \left( \{ y \} \times \cup _ { k = 1 } ^ { K } ( t _ { k } - 3 L \varepsilon , t _ { k } + 3 L \varepsilon ) \right) } \\ & { = A _ { \varepsilon } \cap \pi ^ { - 1 } ( y ) \cap \left( \{ y \} \times \cup _ { k = 1 } ^ { K } ( t _ { k } - L \varepsilon , t _ { k } + L \varepsilon ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { n - n ^ { \prime } } & { = \textstyle \sum _ { j = 0 } ^ { p - 1 } | \eta ^ { j } ( m _ { j } ) | - \textstyle \sum _ { j = 0 } ^ { p - 1 } | \eta ^ { j } ( m _ { j } ^ { \prime } ) | } \\ & { = \textstyle \sum _ { j = 0 } ^ { \ell } | \eta ^ { j } ( m _ { j } ) | - \textstyle \sum _ { j = 0 } ^ { \ell } | \eta ^ { j } ( m _ { j } ^ { \prime } ) | \leq | \eta ^ { \ell } ( m _ { \ell } \, a _ { \ell } ) | - | \eta ^ { \ell } ( m _ { \ell } ^ { \prime } ) | \leq 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { c _ { i _ { 1 } , \dots , i _ { M } } = \sum _ { \alpha _ { 0 } , \dots , \alpha _ { M } = 0 } ^ { \chi - 1 } } & { { } \Gamma _ { \alpha _ { 0 } \alpha _ { 1 } } ^ { [ 1 ] i _ { 1 } } \lambda _ { \alpha _ { 1 } } ^ { [ 1 ] } \Gamma _ { \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } } ^ { [ 2 ] i _ { 2 } } \lambda _ { \alpha _ { 2 } } ^ { [ 2 ] } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \varphi + \left( \frac { L - \overline { { \Lambda } } } { L - \Lambda } \right) ^ { 4 } \partial _ { x } ( ( \overline { { h } } + \varphi ) ^ { 3 } \partial _ { x } ^ { 3 } \varphi ) = \dot { \Lambda } \frac { ( L - x ) } { ( L - \Lambda ) } ( \partial _ { x } \overline { { h } } + \partial _ { x } \varphi ) \qquad \ } & { \mathrm { ~ i n ~ } \ x \in ( \overline { { \Lambda } } , L ) , t > 0 , } \\ { \partial _ { x } \varphi = \psi _ { 2 } , \quad \partial _ { x } ^ { 3 } \varphi = 0 \qquad \ } & { \mathrm { ~ a t ~ } \ x = \overline { { \Lambda } } , t > 0 , } \\ { \partial _ { x } \varphi = 0 \qquad \ } & { \mathrm { ~ a t ~ } \ x = L , t > 0 , } \\ { \varphi = \tilde { h } _ { 0 } \qquad } & { \mathrm { ~ a t ~ } \ t = 0 , x \in ( \overline { { \Lambda } } , L ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { S ^ { \mathrm { M E } } ( q , \omega ) } & { { } = \sum _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } \int \int _ { - \infty } ^ { \infty } \Tilde { L } _ { i j i j } ^ { \sigma \sigma ^ { \prime } } ( \tau ) e ^ { \mathrm { i } ( \omega \tau - r _ { i j } q ) } \mathrm { d } \tau \mathrm { d } r _ { i j } \, , } \end{array}
R _ { i j } = \overline { { u _ { i } ^ { \prime } u _ { j } ^ { \prime } } } = \left( \begin{array} { l l l } { \overline { { u _ { 1 } ^ { \prime } u _ { 1 } ^ { \prime } } } } & { \overline { { u _ { 1 } ^ { \prime } u _ { 2 } ^ { \prime } } } } & { 0 } \\ { \overline { { u _ { 2 } ^ { \prime } u _ { 1 } ^ { \prime } } } } & { \overline { { u _ { 2 } ^ { \prime } u _ { 2 } ^ { \prime } } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \overline { { u _ { 3 } ^ { \prime } u _ { 3 } ^ { \prime } } } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { a _ { S } ( \Omega , { \bf q } ) = } & { { } b _ { S } ( \Omega , { \bf q } ) \exp \Big [ i k _ { S } ( \Omega , { \bf q } ) L \Big ] } \\ { a _ { I } ( \Omega , { \bf q } ) = } & { { } b _ { I } ( \Omega , { \bf q } ) \exp \Big [ i k _ { I } ( \Omega , { \bf q } ) L \Big ] } \end{array}
\prod _ { i = 1 } ^ { m _ { a } ^ { \prime } } \psi _ { 2 } ^ { ( a ) } ( { y ^ { \prime } } _ { i } ^ { ( a ) } ) \prod _ { i = 1 } ^ { n _ { a } } \overline { { { \psi } } } _ { 1 } ^ { ( a ) } ( x _ { i } ^ { ( a ) } \! + \hat { \tau } ) \prod _ { i = 1 } ^ { m _ { a } } \psi _ { 2 } ^ { ( a ) } ( y _ { i } ^ { ( a ) } \! + \hat { \tau } ) \prod _ { i = 1 } ^ { n _ { a } ^ { \prime } } \overline { { { \psi } } } _ { 1 } ^ { ( a ) } ( { x ^ { \prime } } _ { i } ^ { ( a ) } ) \Big \rangle _ { 0 } \; .
\begin{array} { r l } { \mathcal { R } _ { 2 } } & { = 1 - \mathbb { P } \left[ \frac { \widehat { \theta } _ { \nu } - \theta _ { \nu } } { \vartheta } \leq C \log n \right] + \mathbb { P } \left[ \frac { \widehat { \theta } _ { \nu } - \theta _ { \nu } } { \vartheta } \leq - C \log n \right] } \\ & { = 1 - \Phi ( C \log ( n ) ) + \Phi ( - C \log ( n ) ) + C \frac { \phi ( \log n ) \log n } { n h ^ { d + 2 } } + o ( r _ { n } ) = o ( r _ { n } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 = } & { \int _ { \mathbb R ^ { N } } \biggl \{ \biggr [ \frac N p g ( u ) ^ { p } | D u | ^ { p } - \frac { N \lambda } { k } V | u | ^ { k } - \frac { \beta N } { \alpha p ^ { * } } K | u | ^ { \alpha p ^ { * } } \biggr ] } \\ & { - \frac { \lambda } { k } \frac { \partial V } { \partial x _ { i } } | u | ^ { k } - \frac { \beta } { \alpha p ^ { * } } \frac { \partial K } { \partial x _ { i } } | u | ^ { \alpha p ^ { * } } - g ( u ) ^ { p } | D u | ^ { p - 2 } \frac { \partial u } { \partial x _ { i } } \frac { \partial u } { \partial x _ { j } } \delta _ { i j } } \\ & { - \frac { N } { \alpha p ^ { * } } g ( u ) ^ { p - 1 } | D u | ^ { p } \bigl [ g ( u ) + u g ^ { \prime } ( u ) \bigr ] + \frac { \lambda N } { \alpha p ^ { * } } V | u | ^ { k } + \frac { \beta N } { \alpha p ^ { * } } K | u | ^ { \alpha p ^ { * } } \biggr \} d x , } \end{array}
\begin{array} { r l } { V _ { L } \dot { S _ { L } } } & { { } = - ( F + F _ { N } + \eta ( F _ { L } - F _ { N } ) ) S _ { 0 } , } \\ { V _ { N } \dot { S _ { N } } } & { { } = - ( F + F _ { N } ) S _ { 0 } + | q _ { N } | ( S _ { A } - S _ { N } ) , } \\ { V _ { T o t a l } S _ { 0 } } & { { } = V _ { L } S _ { L } + V _ { A } S _ { A } + V _ { N } S _ { N } , } \\ { q _ { L } } & { { } = - k [ \alpha ( T _ { N } + \mu ( T _ { L } - T _ { N } ) - T _ { A } ) } \\ { q _ { N } } & { { } = - k \left[ \alpha ( T _ { N } - T _ { A } ) - \beta ( S _ { N } - S _ { A } ) \right] . } \end{array}
f _ { \eta s s } ^ { 2 } = { \theta _ { m } ^ { - 2 } } \: \frac { \Gamma _ { \pi } } { \Gamma _ { \gamma } } \: \left( \frac { | { \cal M } _ { \gamma } | } { | { \cal M } _ { \pi } | } \right) ^ { 2 } \cdot \, 4 . 8 1 4 \: \mathrm { f m ^ { - 2 } } .
S _ { ( i s e n t r p i c ) } [ J ^ { \mu } , \varphi ^ { ' } , { \tilde { \alpha } } ^ { r } , \beta _ { r } , { } ^ { 4 } g ^ { \mu \nu } ] = \int d ^ { 4 } x \Big [ - \sqrt { { } ^ { 4 } g } \rho ( { \frac { | J | } { \sqrt { { } ^ { 4 } g } } } ) + J ^ { \mu } ( \partial _ { \mu } \varphi ^ { ' } + \beta _ { r } \partial _ { \mu } { \tilde { \alpha } } ^ { r } ) \Big ]
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \| \bar { y } _ { t } - y _ { \bar { x } _ { t - 1 } } \| ^ { 2 } } & { \leq ( 1 - \frac { \mu \gamma } { 2 } ) \mathbb { E } \| \bar { y } _ { t - 1 } - y _ { \bar { x } _ { t - 1 } } \| ^ { 2 } - \frac { \gamma ^ { 2 } } { 4 } \mathbb { E } \| \bar { \omega } _ { t - 1 } \| ^ { 2 } } \\ & { \qquad + \frac { 4 \gamma } { \mu } \mathbb { E } \| \nabla _ { y } g ( \bar { x } _ { t - 1 } , \bar { y } _ { t - 1 } ) - \frac { 1 } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \nabla _ { y } g ( x _ { t - 1 } ^ { ( m ) } , y _ { t - 1 } ^ { ( m ) } ) \| ^ { 2 } + \frac { 4 \gamma \sigma ^ { 2 } } { \mu b _ { y } M } } \\ & { \leq ( 1 - \frac { \mu \gamma } { 2 } ) \mathbb { E } \| \bar { y } _ { t - 1 } - y _ { \bar { x } _ { t - 1 } } \| ^ { 2 } - \frac { \gamma ^ { 2 } } { 4 } \mathbb { E } \| \bar { \omega } _ { t - 1 } \| ^ { 2 } } \\ & { \qquad + \frac { 4 \gamma } { \mu M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \| \nabla _ { y } ^ { ( m ) } g ( \bar { x } _ { t - 1 } , \bar { y } _ { t - 1 } ) - \nabla _ { y } g ( x _ { t - 1 } ^ { ( m ) } , y _ { t - 1 } ^ { ( m ) } ) \| ^ { 2 } + \frac { 4 \gamma \sigma ^ { 2 } } { \mu b _ { y } M } } \\ & { \leq ( 1 - \frac { \mu \gamma } { 2 } ) \mathbb { E } \| \bar { y } _ { t - 1 } - y _ { \bar { x } _ { t - 1 } } \| ^ { 2 } - \frac { \gamma ^ { 2 } } { 4 } \mathbb { E } \| \bar { \omega } _ { t - 1 } \| ^ { 2 } } \\ & { \qquad + \frac { 4 L ^ { 2 } \gamma } { \mu M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg [ \| x _ { t - 1 } ^ { ( m ) } - \bar { x } _ { t - 1 } \| ^ { 2 } + \| y _ { t - 1 } ^ { ( m ) } - \bar { y } _ { t - 1 } ) \| ^ { 2 } \bigg ] + \frac { 4 \gamma \sigma ^ { 2 } } { \mu b _ { y } M } } \end{array}
\rho ( q ) \equiv \frac { d n } { d y d ^ { 2 } q _ { \perp } } = 2 \pi r _ { \perp } ^ { 2 } \delta _ { \perp } ^ { 2 } \exp \left( \frac { m _ { \perp } ^ { 2 } } { \delta _ { \parallel } ^ { 2 } } \right) K _ { 0 } \left( \frac { m _ { \perp } ^ { 2 } } { \delta _ { \parallel } ^ { 2 } } \right) I ( q _ { \perp } ^ { 2 } )
\begin{array} { r } { { \bf v } _ { g } = \frac { \partial \omega } { \partial { \bf k } } = \frac { \displaystyle \frac { { \bf k } } { \mu \omega } + i \, \frac { { \bf b } } { 2 \omega } } { \displaystyle \left( \epsilon ^ { \prime } + \frac { \omega } { 2 } \frac { \partial \epsilon ^ { \prime } } { \partial \omega } \right) + i \left( \epsilon ^ { \prime \prime } + \frac { \omega } { 2 } \frac { \partial \epsilon ^ { \prime \prime } } { \partial \omega } \right) } \; , } \end{array}