harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \dot { \rho } _ { g g } = } & { \ - \Omega _ { p } I m ( \rho _ { g r } ) + \Gamma \rho _ { r r } } \\ { \dot { \rho } _ { r r } = } & { \ + \Omega _ { p } I m ( \rho _ { g r } ) - \Gamma \rho _ { r r } } \\ { \dot { \rho } _ { g r } = } & { \ - \frac { i } { 2 } \Omega ( \rho _ { r r } - \rho _ { g g } ) - \frac { 1 } { 2 } \Gamma \rho _ { g r } - i \left( \Delta - V \rho _ { r r } ^ { \beta } \right) \rho _ { g r } } \end{array}
\mathcal { I } ^ { - 1 } = \left[ \begin{array} { l l } { \left( \mathcal { I } ^ { - 1 } \right) _ { \bf d d } } & { \left( \mathcal { I } ^ { - 1 } \right) _ { \bf d u } } \\ { \left( \mathcal { I } ^ { - 1 } \right) _ { \bf u d } } & { \left( \mathcal { I } ^ { - 1 } \right) _ { \bf u u } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { \left( \mathcal { C } _ { \bf d d } \right) ^ { - 1 } } & { \breve { 0 } } \\ { \breve { 0 } } & { \left( \mathcal { C } _ { \bf u u } \right) ^ { - 1 } } \end{array} \right] .
\hat { x } = x / l _ { 0 } ~ , ~ ~ ~ \hat { t } = t / \left( k l _ { 0 } ^ { 2 } / T ^ { \mathrm { ~ c ~ o ~ n ~ } } \right) ~ , ~ ~ ~ \hat { l } = l / l _ { 0 } ~ , ~ ~ ~ \hat { v _ { f } } = v _ { f } / \left( T ^ { \mathrm { ~ c ~ o ~ n ~ } } / k l _ { 0 } \right) .
\begin{array} { r l } { \forall k : \, \, \, \mathcal { Q } ^ { ( k ) } ( { \cal N } _ { d } ^ { c } ) } & { = \frac { 1 } { k } \operatorname* { m a x } _ { 0 \leq l \leq k } \mathcal { Q } ^ { ( 1 ) } ( { \cal M } _ { d + 1 } ^ { c \, \otimes l } \otimes \mathcal { E } _ { 1 / 2 , d } ^ { \otimes k - l } ) } \\ & { = \mathcal { Q } ^ { ( k ) } ( { \cal M } _ { d + 1 } ^ { c } ) = \log d . } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { m i n } _ { | \mathbf { a } | = 1 } Z ^ { \prime } ( \mathbf { a } ) > \operatorname* { m i n } _ { \mathbf { b } \in \mathcal { B } } Z ^ { \prime } ( \mathbf { b } ) } \end{array}
\int \frac { d q _ { 0 } } { ( p _ { 1 } ^ { 2 } - m ^ { 2 } + i \epsilon ) ( p _ { 2 } ^ { 2 } - m ^ { 2 } + i \epsilon ) } = \frac { 2 \pi i } { E ( 4 E ^ { 2 } - M ^ { 2 } ) } ,
\begin{array} { r l } { \Omega _ { s s ^ { \prime } } } & { = [ J _ { s s ^ { \prime } } ^ { \left( 1 \right) } \left( \omega _ { s } \right) + J _ { s s ^ { \prime } } ^ { \left( 2 \right) } \left( \omega _ { s ^ { \prime } } \right) ] / 2 , } \\ { \Gamma _ { s s ^ { \prime } } } & { = - i [ J _ { s s ^ { \prime } } ^ { \left( 1 \right) } \left( \omega _ { s } \right) - J _ { s s ^ { \prime } } ^ { \left( 2 \right) } \left( \omega _ { s ^ { \prime } } \right) ] , } \end{array}
{ \cal D } ^ { \alpha _ { i } \widehat { e } } \widetilde { x } _ { i } ^ { \mu } \circ \gamma [ \widetilde { \varphi } _ { i } ] ^ { - 1 } = \mathrm { e } ^ { \frac { d } { 1 6 } ( \widetilde { \varphi } _ { i } ( 0 ) + \widetilde { \varphi } _ { i } ( 1 ) ) } { \cal D } ^ { \widehat { e } } \widetilde { x } _ { i } ^ { \mu } \; \; \; , \; \; \; ( i \rightarrow f ) \; \; \; ,
\overline { { a } } _ { x , p } ^ { k } = \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { g } } \overline { { a } } _ { x , i } ^ { k } \; N _ { i p } ^ { k } , \quad w _ { x , p } = \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { g } } w _ { x , i } \; N _ { i p } ^ { k } ,
\begin{array} { l } { { \bar { \Phi } _ { i } \bar { \Phi } _ { j } = q _ { i j } \bar { \Phi } _ { j } \bar { \Phi } _ { i } , } } \\ { { \Phi _ { i } \Phi _ { j } = p _ { i j } ^ { - 1 } \Phi _ { j } \Phi _ { i } , } } \\ { { \Phi _ { i } \bar { \Phi } _ { i } = 1 + p _ { i j } q _ { i j } \bar { \Phi } _ { i } \Phi _ { i } + ( p _ { i j } q _ { i j } - 1 ) \sum _ { j = i + 1 } ^ { N } \bar { \Phi } _ { j } \Phi _ { j } , } } \\ { { \Phi _ { i } \bar { \Phi } _ { j } = p _ { i j } \bar { \Phi } _ { j } \Phi _ { i } , } } \\ { { \Phi _ { j } \bar { \Phi } _ { i } = q _ { i j } \bar { \Phi } _ { i } \Phi _ { j } , } } \end{array}
\begin{array} { r } { \log \bigg ( \frac { u _ { i } ^ { ( 1 ) } ( 0 , t ) } { u _ { j } ^ { ( 1 ) } ( 0 , t ) } \bigg ) = \beta _ { i } ( t ) - \beta _ { j } ( t ) + \log \bigg ( \frac { \sum _ { k \neq i } \exp \{ \alpha _ { k } ( t ) + Z _ { k i } ( t ) ^ { \top } \gamma ( t ) \} } { \sum _ { k \neq j } \exp \{ \alpha _ { k } ( t ) + Z _ { k j } ( t ) ^ { \top } \gamma ( t ) \} } \bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { h o p , k } ^ { ( \ell ) } } & { { } \rightarrow \hat { \mathcal { L } } _ { h o p , k } ^ { ( \ell ) } = \sqrt { t _ { k } ^ { ( \ell ) } } \left( \sigma _ { k , 0 } ^ { ( \ell + 1 ) } \sigma _ { 0 , k } ^ { ( \ell ) } + a _ { \ell , k } \mathbb { I } \right) \, \, , } \\ { H = 0 } & { { } \rightarrow \hat { H } = \frac { 1 } { 2 i } \sum _ { \ell , k } t _ { k } ^ { ( \ell ) } \left( a _ { \ell , k } ^ { * } \sigma _ { k , 0 } ^ { ( \ell + 1 ) } \sigma _ { 0 , k } ^ { ( \ell ) } - a _ { \ell , k } \sigma _ { 0 , k } ^ { ( \ell + 1 ) } \sigma _ { k , 0 } ^ { ( \ell ) } \right) \, . } \end{array}
\int { \frac { d ^ { \, 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } } { \frac { 1 } { ( p ^ { 2 } - m ^ { 2 } ) ^ { 3 } } } = { \frac { 1 } { 1 6 \pi ^ { 2 } i m ^ { 2 } } }
R _ { \chi } = \frac { 1 } { \rho _ { T } } \frac { \rho _ { \chi } } { m _ { \chi } } \int \, d ^ { 3 } \mathbf { v } f _ { \chi } ( \mathbf { v } ) \int \frac { d ^ { 3 } \mathbf { q } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \, d \omega \, \delta \left( \omega + E _ { \chi } ^ { \prime } - E _ { \chi } \right) \, \frac { \pi \bar { \sigma } ( q ) } { \mu _ { \chi } ^ { 2 } } \times S ( \mathbf { q } , \omega ) ,
\begin{array} { r l } { \Phi \Big | _ { k , L } B ( \tau , \mathfrak { z } ) } & { = \sum _ { d | N } \sum _ { A \in \mathrm { S L } _ { 2 } ( \mathbb { Z } ) / \Gamma _ { 1 } ( N / d ) } \Big ( \phi _ { d } \Big | _ { k , L } ( A B ) \Big ) \mathfrak { f } _ { A ^ { - 1 } ( d , 0 ) } } \\ & { = \sum _ { d | N } \sum _ { A \in \mathrm { S L } _ { 2 } ( \mathbb { Z } ) / \Gamma _ { 1 } ( N / d ) } \Big ( \phi _ { d } \Big | _ { k , L } A \Big ) \mathfrak { f } _ { B A ^ { - 1 } ( d , 0 ) } } \\ & { = \rho _ { U ( N ) } ( B ) \Phi ( \tau , \mathfrak { z } ) . } \end{array}
Z ( 6 ) = 1 + \gamma ^ { 6 } - \frac { 6 3 } { 6 4 } \zeta ( 6 ) + \frac { 6 } { 1 } \gamma ^ { 4 } \gamma _ { 1 } + \frac { 6 } { 2 } \gamma ^ { 3 } \gamma _ { 2 } + \frac { 6 } { 6 } \gamma ^ { 2 } \gamma _ { 3 } + \frac { 6 } { 2 4 } \gamma ^ { 1 } \gamma _ { 4 } + \frac { 6 } { 1 2 0 } \gamma ^ { 0 } \gamma _ { 5 } \, \, \, + 6 \gamma ^ { 1 } \gamma _ { 1 } \gamma _ { 2 } + 9 \gamma ^ { 2 } \gamma _ { 1 } ^ { 2 } + 2 \gamma ^ { 0 } \gamma _ { 1 } ^ { 3 } + \gamma _ { 1 } \gamma _ { 3 } + \frac 3 4 \gamma ^ { 0 } \gamma _ { 2 } ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \phi _ { T } \! + \! \textup { d i v } ( \phi _ { T } v ) = } & { \textup { d i v } ( M _ { T } \phi _ { T } ^ { 2 } ( 1 - \phi _ { T } ) ^ { 2 } \nabla \mu _ { T } ) + S _ { T } ( \phi _ { T } , \phi _ { \sigma } ) + G _ { \alpha } ( \phi _ { T } ) \omega _ { T } \mathrm { d } W _ { T } } \\ { \mu _ { T } = } & { \Psi ^ { \prime } ( \phi _ { T } ) - \chi _ { c } \phi _ { \sigma } - \varepsilon _ { T } ^ { 2 } \Delta \phi _ { T } } \\ { \partial _ { t } \phi _ { \sigma } \! + \! \textup { d i v } ( \phi _ { \sigma } v ) = } & { \textup { d i v } \Big ( M _ { \sigma } \nabla \big ( D _ { \sigma } \phi _ { \sigma } - \chi _ { c } \phi _ { T } \big ) \Big ) + S _ { \sigma } ( \phi _ { T } , \phi _ { \sigma } ) } \end{array}
{ \frac { 1 } { f _ { \rho } } } = { \frac { 1 } { 2 } } g , \; \; \; { \frac { 1 } { f _ { \omega } } } = { \frac { 1 } { 6 } } g , \; \; \; { \frac { 1 } { f _ { \phi } } } = - { \frac { 1 } { 3 \sqrt { 2 } } } g .
\begin{array} { r l r } { \frac { x _ { d } } { y _ { d } } } & { { } \equiv } & { \tan ( \Omega _ { X } ) \approx \Omega _ { X } } \\ { \frac { z _ { d } } { y _ { d } } } & { { } \equiv } & { \tan ( \Omega _ { Z } ) \approx \Omega _ { Z } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { D } & { { } \equiv } & { \frac { M _ { s } } { 2 B } V _ { \varphi } ^ { 2 } , } \\ { E } & { { } \equiv } & { \frac { M _ { s } } { 2 B } 2 V _ { \varphi } , } \\ { F } & { { } \equiv } & { \frac { M _ { s } } { 2 B } , } \end{array}
\Delta \alpha _ { s } ( M _ { Z } ) _ { N L O } = _ { - 0 . 0 0 4 } ^ { + 0 . 0 0 6 } ~ ~ ~ , ~ ~ ~ \Delta \alpha _ { s } ( M _ { Z } ) _ { N N L O } = _ { - 0 . 0 0 1 5 } ^ { + 0 . 0 0 2 5 } ~ ~ ~ ,
\begin{array} { r } { - 2 \int _ { \Omega } \eta D : D \, d V = - 2 \eta \int _ { 0 } ^ { h } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { R } \left( \frac { G r } { 4 \eta } \right) ^ { 2 } r \, d r d \varphi d z = - \frac { \pi h G ^ { 2 } R ^ { 4 } } { 8 \eta } . } \end{array}
{ \cal L } ^ { 2 } { \phi ^ { , \alpha } } _ { , \alpha } - \frac 1 4 \phi ^ { , \alpha } ( F _ { \mu \nu } F ^ { \mu \nu } ) _ { , \alpha } + \frac 1 2 \phi ^ { , \alpha } ( \phi ^ { , \mu } \phi _ { , \mu } ) _ { , \alpha } = 0 .
\rho _ { 1 } { \otimes } \rho _ { 1 } ^ { \mathrm { e x p t } } ( q ) = \left\langle \left\langle \sum _ { i , j } \delta [ q - Q _ { i j } ^ { a b } ] \right\rangle _ { \! \! b } \right\rangle _ { \! \! \! a } ,
\frac { d } { d t } \hat { \rho } _ { I } ( t ) = - i { \mathcal L } _ { c , I } ( t ) \hat { \rho } _ { I } ( t ) \equiv - \frac { i } { \hbar } \left[ \hat { H } _ { c , I } ( t ) , \hat { \rho } _ { I } ( t ) \right] ,
\delta _ { L } V _ { k } ^ { R } [ V ] = \epsilon _ { i } ( x _ { i } \partial _ { t } + t \partial _ { i } ) V _ { k } ^ { R } - \partial _ { k } \left( { \frac { 1 } { \vec { \partial } ^ { 2 } - M ^ { 2 } } } \epsilon _ { i } \dot { V } _ { i } ^ { R } \right) ~ .
\begin{array} { r } { { \cal P } ( t ) = - \int _ { t _ { 0 } } ^ { \infty } d t _ { 1 } { D } ^ { R } ( t , t _ { 1 } ) ( E ( t _ { 1 } ) - \alpha { \cal P } ( t _ { 1 } ) ^ { 3 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { ( 4 , 4 , 0 ) } ( z , q ) } & { = - ( S _ { 1 1 } ( q z ; ( 0 , 0 , 0 ) | ( 0 , 1 , 1 ) ) - q S _ { 1 1 } ( q z ; ( 0 , 0 , 1 ) | ( 1 , 1 , 1 ) ) ) } \\ & { + ( 1 - q z ) ( S _ { 1 1 } ( q ^ { 2 } z ; ( 0 , 1 , 1 ) | ( 0 , 0 , 0 ) ) - q S _ { 1 1 } ( q ^ { 2 } z ; ( 1 , 1 , 1 ) | ( 0 , 0 , 1 ) ) ) } \\ & { - ( S _ { 1 1 } ( q z ; ( 1 , 1 , 1 ) | ( 0 , 0 , 0 ) ) - q ( 1 - z ) S _ { 1 1 } ( q z ( 2 , 1 , 1 ) | ( 0 , 0 , 1 ) ) ) . } \end{array}
v _ { m } ^ { i , j } ( t ) = \operatorname* { m i n } \Bigl ( f _ { m } \sqrt { g h _ { e f } ^ { i , j } ( t ) } , \frac { 1 } { n ^ { i , j } } \Delta x \Bigl ( h _ { e f } ^ { i , j } ( t ) \Bigr ) ^ { \frac { 5 } { 3 } } \sqrt { s _ { e } ^ { i , j } ( t ) } \Bigr )
\Gamma ( \phi \rightarrow \pi ^ { 0 } \gamma ) = \left. \frac { 3 } { 8 \pi } \bigg | \epsilon _ { \omega \phi } + \frac { \epsilon _ { \rho \phi } } { 3 } \bigg | ^ { 2 } \bigg ( \frac { d } { f _ { \pi } } \bigg ) ^ { 2 } \bigg ( \frac { q ^ { 2 } - m _ { \pi } ^ { 2 } } { \sqrt { q ^ { 2 } } } \bigg ) ^ { 3 } \right| _ { ( q ^ { 2 } = m _ { \phi } ^ { 2 } ) }
r _ { 1 } \, = \, \frac { \nu \, \alpha _ { \mathbf { A } } } { 4 \, ( 1 + \kappa _ { 1 } ) \, \| \mathbf { i } _ { 4 } \| ^ { 2 } } { \quad \mathrm { a n d } \quad } r _ { 2 } \, = \, \left( \frac { \alpha \, \alpha _ { \mathbf { A } } } { 4 \, \mathtt { F } \, \| \mathbf { i } _ { \rq } \| ^ { \mathrm { p } - 1 } } \right) ^ { 1 / ( \mathrm { p } - 2 ) } \, ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { F } _ { 2 } : = } & { \mathring { \mathfrak { B } } ^ { \ast 1 } \times H ^ { \frac { 1 } { 2 } } \Lambda ^ { 0 } ( \partial \Omega ) \times H ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \Lambda ^ { n - 1 } ( \Sigma ) \times H ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \Lambda ^ { n - 1 } ( \Gamma ) , } \\ { \mathcal { E } _ { 2 } : = } & { \mathring { \mathfrak { B } } ^ { ( n - 1 ) } \times H ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \Lambda ^ { n - 1 } ( \partial \Omega ) \times H ^ { \frac { 1 } { 2 } } \Lambda ^ { 0 } ( \Sigma ) \times H ^ { \frac { 1 } { 2 } } \Lambda ^ { 0 } ( \Gamma ) , } \end{array}
\sum _ { n = 1 } ^ { \infty } f _ { n } \left[ \hat { \tau } \right] \left( \mathcal { D } g _ { n } \right) \left[ \hat { r } \right] = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { \tau _ { s } ^ { 2 } } { \tau _ { 1 } \tau _ { 2 } } p _ { n } g _ { n } \left[ \hat { r } \right] \hat { \omega } ^ { \prime } \left[ \hat { \tau } \right] + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { \tau _ { s } ^ { 2 } } { \tau _ { 1 } ^ { 2 } } f _ { n } ^ { \prime \prime } \left[ \hat { \tau } \right] g _ { n } \left[ \hat { r } \right] - \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { \tau _ { s } ^ { 2 } } { \tau _ { 2 } ^ { 2 } } \hat { \omega } ^ { 2 } \left[ \hat { \tau } \right] f _ { n } \left[ \hat { \tau } \right] g _ { n } \left[ \hat { r } \right] ,
\begin{array} { r l } { A _ { m } } & { = \frac { Y _ { m } \sinh ( k _ { \perp } \lambda ^ { - 1 } ) + Z _ { m } k _ { \perp } \lambda ^ { - 1 } e ^ { k _ { \perp } ( \lambda ^ { - 1 } - 2 y _ { 2 } ) } } { \sinh ^ { 2 } ( k _ { \perp } \lambda ^ { - 1 } ) - ( k _ { \perp } \lambda ^ { - 1 } ) ^ { 2 } } , } \\ { B _ { m } } & { = \frac { Y _ { m } k _ { \perp } \lambda ^ { - 1 } e ^ { - k _ { \perp } ( \lambda ^ { - 1 } - 2 y _ { 2 } ) } + Z _ { m } \sinh ( k _ { \perp } \lambda ^ { - 1 } ) } { \sinh ^ { 2 } ( k _ { \perp } \lambda ^ { - 1 } ) - ( k _ { \perp } \lambda ^ { - 1 } ) ^ { 2 } } , } \\ { Y _ { m } } & { = - d _ { j } ( \hat { J } _ { j m } ^ { \infty } | ^ { L } e ^ { k _ { \perp } ( \lambda ^ { - 1 } - y _ { 2 } ) } - \hat { J } _ { j m } ^ { \infty } | ^ { U } e ^ { - k _ { \perp } y _ { 2 } } ) , } \\ { Z _ { m } } & { = - \bar { d } _ { j } ( \hat { J } _ { j m } ^ { \infty } | ^ { L } e ^ { - k _ { \perp } ( \lambda ^ { - 1 } - y _ { 2 } ) } - \hat { J } _ { j m } ^ { \infty } | ^ { U } e ^ { k _ { \perp } y _ { 2 } } ) , } \\ { C _ { i m } } & { = \frac { F _ { i m } e ^ { - k _ { \perp } ( \lambda ^ { - 1 } - y _ { 2 } ) } - G _ { i m } e ^ { k _ { \perp } y _ { 2 } } } { e ^ { - k _ { \perp } \lambda ^ { - 1 } } - e ^ { k _ { \perp } \lambda ^ { - 1 } } } , } \\ { D _ { i m } } & { = \frac { G _ { i m } e ^ { - k _ { \perp } y _ { 2 } } - F _ { i m } e ^ { k _ { \perp } ( \lambda ^ { - 1 } - y _ { 2 } ) } } { e ^ { - k _ { \perp } \lambda ^ { - 1 } } - e ^ { k _ { \perp } \lambda ^ { - 1 } } } , } \\ { F _ { i m } } & { = - \hat { J } _ { i m } ^ { \infty } | ^ { L } - \frac { 1 } { 4 k _ { \perp } ^ { 2 } } [ A _ { m } d _ { i } e ^ { k _ { \perp } y _ { 2 } } ( 1 - 2 k _ { \perp } y _ { 2 } ) - B _ { m } \bar { d } _ { i } e ^ { - k _ { \perp } y _ { 2 } } ( 1 + 2 k _ { \perp } y _ { 2 } ) ] , } \\ { G _ { i m } } & { = - \hat { J } _ { i m } ^ { \infty } | ^ { U } - \frac { 1 } { 4 k _ { \perp } ^ { 2 } } [ A _ { m } d _ { i } e ^ { - k _ { \perp } ( \lambda ^ { - 1 } - y _ { 2 } ) } ( 1 + 2 k _ { \perp } ( \lambda ^ { - 1 } - y _ { 2 } ) ) , } \\ & { + B _ { m } \bar { d } _ { i } e ^ { k _ { \perp } ( \lambda ^ { - 1 } - y _ { 2 } ) } ( 2 k _ { \perp } ( \lambda ^ { - 1 } - y _ { 2 } ) - 1 ) ] . } \end{array}
\left\Vert \mathbf { W } _ { \mathrm { ~ T ~ R ~ } } \mathbf { W } _ { \mathrm { ~ R ~ R ~ } } ^ { - 1 } \mathbf { W } _ { \mathrm { R T } } \mathbf { W } _ { \mathrm { T T } } ^ { - 1 } \right\Vert _ { 2 } \leq \frac { | \alpha _ { \mathrm { ~ T ~ } } | } { 1 - \mathcal { C } _ { \mathrm { ~ T ~ } } } \frac { | \alpha _ { \mathrm { ~ R ~ } } | } { 1 - \mathcal { C } _ { \mathrm { ~ R ~ } } } N _ { \mathrm { ~ T ~ } } N _ { \mathrm { ~ R ~ } } \frac { k ^ { 2 } } { 4 \epsilon \delta } \left| \mathrm { H } _ { 0 } ^ { ( 2 ) } ( k D _ { \mathrm { ~ R ~ T ~ } } ) \right| ^ { 2 } ,
m _ { 0 } ^ { 2 } = 2 \vec { Q } _ { R } ^ { 2 } , \quad m _ { 0 } = \sqrt { 2 } | \vec { Q } _ { L } | \operatorname { t a n h } \beta , \quad n _ { 0 } = \sqrt { m _ { 0 } ^ { 2 } - 2 \vec { Q } _ { L } ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { B ^ { ( 2 M , r ) } \psi _ { j } ^ { n } } & { = \frac { 2 i H \Delta t } { \hbar } \displaystyle \prod _ { s = 1 } ^ { 2 M } \left( 1 - \frac { H \Delta t / \hbar } { z _ { s } ^ { ( 2 M ) } } \right) \xi ^ { n } e ^ { \textstyle i k j \Delta x } } \\ & { = 2 i b \displaystyle \prod _ { s = 1 } ^ { 2 M } \left( 1 - \frac { b } { z _ { s } ^ { ( 2 M ) } } \right) \xi ^ { n } e ^ { \textstyle i k j \Delta x } } \\ & { = 2 i a \xi ^ { n } e ^ { \textstyle i k j \Delta x } , } \end{array}
B _ { E } ( y , \phi + p ) = \frac { 1 } { 2 \pi \sigma _ { r } \sigma _ { \phi } } \exp \left[ - \frac { y ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { r } ^ { 2 } } - \frac { ( \phi + p ) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { \phi } ^ { 2 } } \right] .
\operatorname* { s u p } _ { 0 \leq t \leq m \exp ( A / \varepsilon ) } \| u ^ { \varepsilon } ( \cdot , t ) - v \| _ { _ { L ^ { 1 } } } \leq \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq t \leq m \exp ( A / \varepsilon ) } \| u ^ { \varepsilon } ( \cdot , t ) - u _ { 0 } ^ { \varepsilon } \| _ { _ { L ^ { 1 } } } + \| u _ { 0 } ^ { \varepsilon } - v \| _ { _ { L ^ { 1 } } } .
\begin{array} { r l r } { D _ { n } } & { = } & { ( 1 - x _ { n } ) \frac { \rho C ( M _ { n } ) } { f _ { n } ^ { m d } } + x _ { n } ( \frac { \rho C ( M _ { n } ) } { f _ { n } ^ { e } } + \frac { M _ { n } d } { R _ { n } t _ { n } } ) , \ \ \ \ } \\ { E _ { n } } & { = } & { ( 1 - x _ { n } ) \kappa \rho C ( M _ { n } ) { f _ { n } ^ { m d } } ^ { 2 } + x _ { n } ( \frac { M _ { n } d } { R _ { n } } p _ { n } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { \rho } _ { X } } & { = R e ^ { - \Delta \epsilon _ { H } / T } \rho _ { H } - R e ^ { - \Delta \epsilon _ { X } / T } \rho _ { X } , } \\ { \dot { \rho } _ { H } } & { = R e ^ { - \Delta \epsilon _ { X } / T } \rho _ { X } + R e ^ { - \Delta \epsilon _ { D } / T } \rho _ { D } - 2 R e ^ { - \Delta \epsilon _ { H } / T } \rho _ { H } , } \\ { \dot { \rho } _ { D } } & { = R e ^ { - \Delta \epsilon _ { H } / T } \rho _ { H } - R e ^ { - \Delta \epsilon _ { D } / T } \rho _ { D } . } \end{array}
R _ { \eta ^ { \prime } } \approx 6 . 6 \cdot \frac { m _ { c } ^ { 4 } } { m _ { b } ^ { 4 } } \cdot \frac { ( 1 - \frac { m _ { \eta ^ { \prime } } ^ { 2 } } { 4 m _ { b } ^ { 2 } } ) ^ { 3 } } { ( 1 - \frac { m _ { \eta ^ { \prime } } ^ { 2 } } { 4 m _ { c } ^ { 2 } } ) ^ { 3 } } .
\begin{array} { r l } { \int _ { t _ { j - 1 } } ^ { t _ { j } } \int _ { \Omega } \partial _ { t } \vec { u } \cdot \vec { u } e ^ { - \lambda ( t - t _ { j - 1 } ) } \, \mathrm { d } x \, \mathrm { d } t } & { = \frac { \lambda } { 2 } \int _ { t _ { j - 1 } } ^ { t _ { j } } e ^ { - \lambda ( t - t _ { j - 1 } ) } \| \vec { u } ( t ) \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } \, \mathrm { d } t } \\ & { \quad + \frac { e ^ { - \lambda ( t _ { j } - t _ { j - 1 } ) } } { 2 } \| \vec { u } ( t _ { j } ) \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \| \vec { u } ( t _ { j - 1 } ) \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { 2 } z _ { D } = \operatorname* { m i n } \ } & { c ^ { \top } x } \\ { \mathrm { s . t . ~ } } & { x _ { I ( j ) } = \sum _ { v \in V ^ { j } } \lambda _ { v } v + \sum _ { r \in R ^ { j } } \mu _ { r } r , ~ ~ } & { j \in J , } \\ & { \sum _ { v \in V ^ { j } } \lambda _ { v } = 1 , } & { j \in J , } \\ & { \lambda \geq 0 , ~ \mu \geq 0 , } \\ & { A x \geq b . } \end{array}
\delta W = \sum _ { k = 1 } ^ { f } \left[ \left( \sum _ { i = 1 } ^ { m } \mathbf { F } _ { i } \cdot { \frac { \partial \mathbf { r } _ { i } } { \partial q _ { k } } } + \sum _ { j = 1 } ^ { n } \mathbf { M } _ { j } \cdot { \frac { \partial \mathbf { \phi } _ { j } } { \partial q _ { k } } } \right) \delta q _ { k } \right] = \sum _ { k = 1 } ^ { f } Q _ { k } \delta q _ { k } ,
\hat { H } = \hat { H } _ { m a t t e r } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \alpha } \left( \hat { P } _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \alpha } ^ { 2 } + \omega _ { k } ^ { 2 } \hat { Q } _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \alpha } ^ { 2 } \right) + \sum _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \alpha } \left( \hat { S } _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \alpha } \hat { Q } _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \alpha } + \hat { C } _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \alpha } \hat { P } _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \alpha } \right) + \hat { H } _ { I 2 } + \hat { H } _ { I 3 }
\begin{array} { r l } { \dddot { f _ { 2 } } } & { + 3 \ddot { f } _ { 2 } f ( t ) + \dot { f } _ { 2 } \dot { f } ( t ) + 2 \dot { f } _ { 2 } f ^ { 2 } ( t ) } \\ & { + 4 \dot { f } _ { 2 } \omega ^ { 2 } ( t ) + 4 f _ { 2 } f ( t ) \omega ^ { 2 } ( t ) + 4 f _ { 2 } \omega \dot { \omega } ( t ) \vphantom { \left( \dot { f } _ { 2 } \right) } } \\ & { + 2 x ( t ) \big [ 2 f _ { 2 } \dot { a } ( t ) + 4 f _ { 2 } a ( t ) f ( t ) + 5 \dot { f } _ { 2 } a ( t ) \big ] = 0 \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { K ( m _ { u } , m _ { d } , m _ { s } ) = \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \int _ { 0 } ^ { 1 - x } d y \frac { ( x m _ { d } + y m _ { s } ) } { x m _ { d } ^ { 2 } + y m _ { s } ^ { 2 } + ( 1 - x - y ) m _ { u } ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \sf R } = | { \cal R } | ^ { 2 } \qquad } & { { } \mathrm { a n d } } & { \qquad { \sf T } = | 1 + { \cal R } | ^ { 2 } } \\ { { \cal R } } & { { } = } & { - \frac { 3 i \Gamma \pi } { \Omega k ^ { 2 } a ^ { 2 } } \langle \hat { \sigma } ^ { - } \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle J _ { y , \theta } \rangle = ~ } & { \frac { N } { 2 } ( \epsilon _ { \downarrow } - \epsilon _ { \uparrow } ) + ( 1 - \epsilon _ { \downarrow } - \epsilon _ { \uparrow } ) \langle \tilde { J } _ { y , \theta } \rangle } \\ { \mathrm { V a r } \left( J _ { \theta } \right) = ~ } & { ( 1 - 2 \epsilon _ { \downarrow } - 2 \epsilon _ { \uparrow } ) \mathrm { V a r } ( \tilde { J _ { \theta } } ) } \\ & { + \epsilon _ { \downarrow } ( N / 2 - \langle \tilde { J _ { \theta } } \rangle ) + \epsilon _ { \uparrow } ( N / 2 + \langle \tilde { J _ { \theta } } \rangle ) . } \end{array}
f ( e ^ { X } e ^ { Y } ) = f ( e ^ { Z } ) = e ^ { \phi ( Z ) } = e ^ { \phi ( X ) + \phi ( Y ) + { \frac { 1 } { 2 } } [ \phi ( X ) , \phi ( Y ) ] + { \frac { 1 } { 1 2 } } [ \phi ( X ) , [ \phi ( X ) , \phi ( Y ) ] ] + \cdots } ,
a _ { D } = \partial _ { a } { \cal F } = { \frac { \sqrt 2 } { \pi } } \int _ { \Lambda ^ { 2 } } ^ { u } { \frac { d x \sqrt { x - u } } { \sqrt { x ^ { 2 } - { \Lambda ^ { 4 } } } } } , \qquad a = { \frac { \sqrt 2 } { \pi } } \int _ { - { \Lambda ^ { 2 } } } ^ { \Lambda ^ { 2 } } { \frac { d x \sqrt { x - u } } { \sqrt { x ^ { 2 } - { \Lambda ^ { 4 } } } } } ,
\begin{array} { r l } { ( * ) \ \ \ \ \mathbb P \big [ \Gamma \in \mathcal D \mid \Gamma \in \mathcal G ^ { N , f ( N ) } \big ] \ = \ } & { \mathbb P \big [ \Gamma \in \mathcal D \ | \ ( \Gamma \in \mathcal B ) \cap ( \Gamma \in \mathcal G ^ { N , f ( N ) } ) \big ] \mathbb P \big [ \Gamma \in \mathcal B \mid \Gamma \in \mathcal G ^ { N , f ( N ) } \big ] } \\ { + \ } & { \mathbb P \big [ \Gamma \in \mathcal D \ | \ ( \Gamma \not \in \mathcal B ) \cap ( \Gamma \in \mathcal G ^ { N , f ( N ) } ) \big ] \mathbb P \big [ \Gamma \not \in \mathcal B \mid \Gamma \in \mathcal G ^ { N , f ( N ) } \big ] } \end{array}
g _ { 2 } ( x , Q ^ { 2 } ) = \frac { M _ { T } K } { 8 \pi ^ { 2 } \alpha ( 1 + \frac { Q ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } } ) } \left[ \frac { 2 \omega } { \sqrt { Q ^ { 2 } } } \sigma _ { T S } ( \omega , Q ^ { 2 } ) - ( \sigma _ { 1 / 2 } ( \omega , Q ^ { 2 } ) - \sigma _ { 3 / 2 } ( \omega , Q ^ { 2 } ) ) \right] ,
\begin{array} { r l } { \sum _ { k = 0 } ^ { n } { \binom { n } { k } } } & { { } \left( { \frac { d } { d x } } - \sin x \right) \circ \left( { \frac { d } { d x } } - \sin x + i \right) \circ \cdots } \end{array}
\begin{array} { r } { \boldsymbol { { \widehat { y } } } ( \mathbf { s } ) = \boldsymbol { x } ( \mathbf { s } ) + \sum _ { i = 1 } ^ { C } \frac { \operatorname { S i m } \big ( \boldsymbol { x } ( \mathbf { s } ) , \mathbf { T } _ { \boldsymbol { y } , i } \mathbf { W } _ { \mathrm { K } } ^ { \prime } \big ) } { \sum _ { i ^ { \prime } = 1 } ^ { C } \operatorname { S i m } \big ( \boldsymbol { x } ( \mathbf { s } ) , \mathbf { T } _ { \boldsymbol { y } , i ^ { \prime } } \mathbf { W } _ { \mathrm { K } } ^ { \prime } \big ) } ( \mathbf { T } _ { \boldsymbol { y } , i } \mathbf { W } _ { \mathrm { V } } ^ { \prime } ) , } \end{array}
g _ { y \bar { y } } = \partial _ { y } \partial _ { \bar { y } } K = \frac n { n + 1 } + { \frac { | y | ^ { 2 ( n - 1 ) } } { ( n - 1 ) ! } } { \frac { e ^ { - | y | ^ { 2 } } } { Q ( | y | ^ { 2 } ) } } \left( n - | y | ^ { 2 } - { \frac { | y | ^ { 2 n } } { ( n - 1 ) ! } } { \frac { e ^ { - | y | ^ { 2 } } } { Q ( | y | ^ { 2 } ) } } \right) ,