harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { { T } f : ( u , u _ { 0 } ^ { i } ) } & { \longmapsto \Bigl ( f ( u ) , \frac { \partial f ^ { a } } { \partial x ^ { i } } u _ { 0 } ^ { i } \Bigr ) } \\ { { T } ^ { 2 } f : ( u , u _ { 0 } ^ { i } , u _ { 1 } ^ { i } , u _ { 0 1 } ^ { i } ) } & { \longmapsto \Bigl ( f ( u ) , \frac { \partial f ^ { a } } { \partial x ^ { i } } u _ { 0 } ^ { i } , \frac { \partial f ^ { a } } { \partial x ^ { i } } u _ { 1 } ^ { i } , \frac { \partial f ^ { a } } { \partial x ^ { i } } u _ { 0 1 } ^ { i } + \frac { \partial ^ { 2 } f ^ { a } } { \partial x ^ { i } \partial x ^ { j } } u _ { 0 } ^ { i } u _ { 1 } ^ { j } \Bigr ) } \\ { { T } _ { 2 } f : ( u , u _ { 0 } ^ { i } , u _ { 1 } ^ { i } ) } & { \longmapsto \Bigl ( f ( u ) , \frac { \partial f ^ { a } } { \partial x ^ { i } } u _ { 0 } ^ { i } , \frac { \partial f ^ { a } } { \partial x ^ { i } } u _ { 1 } ^ { i } \Bigr ) \, . } \end{array}
\widehat { \mathcal { P } } ( V _ { F } \Delta t ) : ~ | j \rangle \to \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } V _ { F } \left( c _ { 0 } \sum _ { i = 0 } ^ { n - 1 } ( j _ { i } 2 ^ { i } + c _ { 1 } ) \right) \Delta t / \hbar } | j \rangle
\begin{array} { r l } & { \| g ( x , c _ { Q } ) ^ { N _ { 1 } } \, 2 ^ { j \varepsilon } T _ { j } f \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { n } \setminus Q _ { \rho } ^ { * } ) } \leq \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } \| g ( x , c _ { Q } ) ^ { N _ { 1 } } \, 2 ^ { j \varepsilon } K _ { j } ( x , y ) \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { n } \setminus Q _ { \rho } ^ { * } ) } f ( y ) \, \mathrm { d } y } \\ & { \lesssim 2 ^ { k _ { Q } ( 1 / p - 1 ) } \| g ( x , y ) ^ { N _ { 1 } } \, 2 ^ { j \varepsilon } K _ { j } ( x , y ) \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { n } \setminus Q _ { \rho } ^ { * } ) } } \end{array}
\begin{array} { l l l } { ( 2 - 5 ) ^ { 2 } = ( - 3 ) ^ { 2 } = 9 } & { } & { ( 5 - 5 ) ^ { 2 } = 0 ^ { 2 } = 0 } \\ { ( 4 - 5 ) ^ { 2 } = ( - 1 ) ^ { 2 } = 1 } & { } & { ( 5 - 5 ) ^ { 2 } = 0 ^ { 2 } = 0 } \\ { ( 4 - 5 ) ^ { 2 } = ( - 1 ) ^ { 2 } = 1 } & { } & { ( 7 - 5 ) ^ { 2 } = 2 ^ { 2 } = 4 } \\ { ( 4 - 5 ) ^ { 2 } = ( - 1 ) ^ { 2 } = 1 } & { } & { ( 9 - 5 ) ^ { 2 } = 4 ^ { 2 } = 1 6 . } \end{array}
{ Q } ^ { ( 2 ) } \, = \frac { 1 } { 8 \pi ^ { 2 } } \sum _ { a = 1 } ^ { 3 } \left( \dot { \phi } _ { a } \beta _ { a } + \sum _ { c y c l i c } ^ { i , j , k } \dot { \chi } _ { a } M _ { a i } ^ { T } ( \phi _ { j } - \phi _ { k } ) \, b _ { i } \right) \, .
r m _ { i } \cosh \theta + \ln \left( 1 - e ^ { - L _ { i } ( \theta , r ) } \right) = \sum _ { j = 1 } ^ { l } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \eta _ { i j } ^ { ( n ) } L _ { j } ^ { ( n ) } ( \theta , r ) \quad .
\begin{array} { r l r } & { } & { \hat { \Delta } _ { \mathrm { H V } } ( \delta _ { f s } ) | \alpha _ { \mathrm { H } } , \alpha _ { \mathrm { V } } \rangle } \\ & { } & { = \mathrm { e } ^ { i \beta } \mathrm { e } ^ { i \overline { { k } } d } \left( \begin{array} { c c } { \mathrm { e } ^ { - i \frac { \delta _ { \mathrm { f s } } } { 2 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { \mathrm { e } ^ { + i \frac { \delta _ { \mathrm { f s } } } { 2 } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { \mathrm { e } ^ { - i \frac { \delta } { 2 } } \cos \alpha } \\ { \mathrm { e } ^ { + i \frac { \delta } { 2 } } \sin \alpha \ } \end{array} \right) | \alpha _ { \mathrm { H } } , \alpha _ { \mathrm { V } } \rangle } \end{array}
G = { \frac { { \frac { 1 } { 2 Z _ { \circ } } } { \frac { A ^ { 2 } I ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } } } { \frac { { \frac { 1 } { 2 } } R _ { s } I ^ { 2 } } { 4 \pi r ^ { 2 } } } } = { \frac { A ^ { 2 } } { 3 0 R _ { s } } } \,
\begin{array} { r l } & { ( I ) _ { s _ { l } , t _ { l } , B } = \sqrt { n h _ { n } } \left\{ E \left( \frac { 1 } { n h _ { n } ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } k \left( \frac { Z _ { 1 , i } - s _ { l } } { h _ { n } } , \frac { Z _ { 2 , i } - t _ { l } } { h _ { n } } \right) \right) - f _ { Z _ { 1 } , Z _ { 2 } } ( s _ { l } , t _ { l } ) \right\} , } \\ & { ( I I ) _ { s _ { l } , t _ { l } , A } = \frac { 1 } { n h _ { n } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } k _ { 1 } \left( \frac { Z _ { 1 , i } - s _ { l } } { h _ { n } } \right) , } \\ & { ( I I ) _ { s _ { l } , t _ { l } , B , 2 } = \sqrt { n h _ { n } } \left\{ E \left( \frac { 1 } { n h _ { n } } \sum _ { j = 1 } ^ { n } k _ { 2 } \left( \frac { Z _ { 2 , j } - t _ { l } } { h _ { n } } \right) \right) - f _ { Z _ { 2 } } ( t _ { l } ) \right\} , } \\ & { ( I I I ) _ { s _ { l } , t _ { l } , B } = \sqrt { n h _ { n } } \left\{ f _ { Z _ { 2 } } ( t _ { l } ) \left( E \left( \frac { 1 } { n h _ { n } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } k _ { 2 } \left( \frac { Z _ { 1 , i } - s _ { l } } { h _ { n } } \right) \right) - f _ { Z _ { 1 } } ( s _ { l } ) \right) \right\} , } \\ & { W _ { n , i , s _ { l } , t _ { l } } = \sqrt { n h _ { n } } \left\{ \frac { 1 } { n h _ { n } ^ { \frac { 3 } { 2 } } } k \left( \frac { Z _ { 1 , i } - s _ { l } } { h _ { n } } , \frac { Z _ { 2 , i } - t _ { l } } { h _ { n } } \right) - E \left( \frac { 1 } { n h _ { n } ^ { \frac { 3 } { 2 } } } k \left( \frac { Z _ { 1 } - s _ { l } } { h _ { n } } , \frac { Z _ { 2 } - t _ { l } } { h _ { n } } \right) \right) \right\} , } \\ & { V _ { n , i , s _ { l } , t _ { l } } = \frac { 1 } { \sqrt { n h _ { n } } } \left\{ k _ { 2 } \left( \frac { Z _ { 2 , i } - t _ { l } } { h _ { n } } \right) - E \left( k _ { 2 } \left( \frac { Z _ { 2 } - t _ { l } } { h _ { n } } \right) \right) \right\} } \\ & { B _ { n , i , s _ { l } , t _ { l } } = \sqrt { n h _ { n } } \left\{ f _ { Z _ { 2 } } ( t _ { l } ) \left( \frac { 1 } { n h _ { n } } k _ { 1 } \left( \frac { Z _ { 1 , i } - s _ { l } } { h _ { n } } \right) - E \left( \frac { 1 } { n h _ { n } } k _ { 1 } \left( \frac { Z _ { 1 , i } - s _ { l } } { h _ { n } } \right) \right) \right) \right\} } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { l } { I ^ { \prime } } \\ { Q ^ { \prime } } \\ { U ^ { \prime } } \\ { V ^ { \prime } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \cos ( 2 \theta ) } & { \sin ( 2 \theta ) } & { 0 } \\ { 0 } & { - \sin ( 2 \theta ) } & { \cos ( 2 \theta ) } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { I } \\ { Q } \\ { U } \\ { V } \end{array} \right) . } \end{array}
I _ { \mathbf { A } \cdot \hat { \mathbf { k } } _ { \mathrm { R } } } = \sum _ { \mathbf { A } ^ { \prime } \parallel ( \mathbf { A } \cdot \hat { \mathbf { k } } _ { \mathrm { R } } ) \hat { \mathbf { k } } _ { \mathrm { R } } } I _ { \mathbf { A } ^ { \prime } }
\eta _ { i j } ^ { \prime } ( 0 ) \simeq { \frac { T } { 1 9 2 \pi } } \, { \frac { 4 \left( m _ { i } ^ { 2 } + m _ { j } ^ { 2 } \right) } { m _ { i } m _ { j } ( m _ { i } + m _ { j } ) ^ { 3 } } }
\int _ { 0 } ^ { t } \Big ( - \mathbf { P } ( b \otimes U ^ { \epsilon _ { n _ { j } } } ) , \nabla \phi ) + ( g ^ { \epsilon _ { n _ { j } } } , \phi ) \Big ) d \mathbb { W } _ { r } \to \int _ { 0 } ^ { t } \Big ( - \mathbf { P } ( b \otimes U ) , \nabla \phi ) + ( g , \phi ) \Big ) d \mathbb { W } _ { r } , \quad ( t , \omega ) - \mathrm { a . e . } .
{ L _ { 5 - 0 } } = \sqrt { { L _ { 5 - 6 , b } } ^ { 2 } + { L _ { 0 - 6 , b } } ^ { 2 } - 2 \cdot { L _ { 5 - 6 , b } } \cdot { L _ { 0 - 6 , b } } \cdot c o s ( { A _ { b } } ) ) }
\begin{array} { r l r } { M _ { 2 , 0 } ^ { e q } } & { { } = } & { \sum _ { i } { f _ { i } ^ { e q } \left( { v _ { i x } ^ { 2 } + v _ { i y } ^ { 2 } + \eta _ { i } ^ { 2 } } \right) } } \\ { M _ { 2 , x y } ^ { e q } } & { { } = } & { \sum _ { i } { f _ { i } ^ { e q } { v _ { i x } } { v _ { i y } } } = \rho { u _ { x } } { u _ { y } } , } \\ { M _ { 2 , x x } ^ { e q } } & { { } = } & { \sum _ { i } { f _ { i } ^ { e q } { v _ { i x } } { v _ { i x } } } = \rho \left( { R T + u _ { x } ^ { 2 } } \right) , } \\ { M _ { 2 , y y } ^ { e q } } & { { } = } & { \sum _ { i } { f _ { i } ^ { e q } { v _ { i y } } { v _ { i y } } } = \rho \left( { R T + u _ { y } ^ { 2 } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega ( \xi , t ) = } & { { } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \mathbb { E } \left[ \left. Q ( \eta , t ; 0 ) \omega ( \eta , 0 ) \right| X _ { t } ^ { \eta } = \xi \right] p _ { \nu } ( 0 , \eta , t , \xi ) \mathrm { d } \eta } \end{array}
{ \frac { U _ { \tau } ^ { 3 } } { \nu } } { \frac { \partial \overline { { U _ { i } ^ { + } } } } { \partial t ^ { + } } } + \frac { \overline { { U _ { j } ^ { + } } } U _ { \tau } ^ { 3 } } { \nu } \frac { \partial \overline { { U _ { i } ^ { + } } } } { \partial x _ { j } } = - \frac { \rho U _ { \tau } ^ { 3 } } { \rho \nu } \frac { \partial \overline { { P ^ { + } } } } { \partial x _ { i } ^ { + } } + \frac { \nu U _ { \tau } ^ { 3 } } { \nu ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } \overline { { U _ { i } ^ { + } } } } { \partial x _ { j } ^ { + ^ { 2 } } } - \frac { U _ { \tau } ^ { 3 } } { \nu } \frac { \partial \overline { { u _ { i } u _ { j } } } ^ { + } } { \partial x _ { j } }
U = \sum _ { m = 0 } ^ { N } \frac { \Delta t ^ { m } } { ( m + 1 ) ! } \partial _ { t } ^ { m } u = u + \frac { \Delta t } { 2 } \partial _ { t } u + \ldots + \frac { \Delta t ^ { N } } { ( N + 1 ) ! } \partial _ { t } ^ { N } u
- { \cal L } = \frac { 1 } { 2 } \left[ 2 \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \partial _ { + } \phi ^ { i } \partial _ { - } \phi ^ { i } - \operatorname { t a n h } ^ { 2 } \left( { \frac { \phi ^ { 1 } - \phi ^ { 2 } } { 2 } } \right) \partial _ { + } \phi ^ { 3 } \partial _ { - } \phi ^ { 3 } \right] + \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \exp ( 2 \phi ^ { i } )
{ \displaystyle { \bf X } ( t + \delta t ) = 2 { \bf X } ( t ) - { \bf X } ( t - \delta t ) - \delta t ^ { 2 } \omega ^ { 2 } \sum _ { i , j = 1 } ^ { m } { \bf V } _ { i } M _ { i , j } \langle { \bf W } _ { j } , { \bf W } _ { 0 } \rangle + \alpha \sum _ { k = 0 } ^ { k _ { \mathrm { m a x } } } c _ { k } { \bf X } ( t - k \delta t ) } .
l _ { \dot { Q } } ^ { \dot { P } } s ^ { \dot { K } } = \sum _ { \dot { I } } \sum _ { \dot { K } _ { 1 } \dot { K } _ { 2 } = \dot { K } } \delta _ { \dot { Q } } ^ { \dot { J } _ { 1 } } \delta _ { \dot { I } } ^ { \dot { P } \dot { K } _ { 2 } } s ^ { \dot { I } } .
\lfloor a , a - 1 \rfloor \circ ( Q _ { \lfloor a , a - 1 \rfloor ^ { h } } ) = \lfloor a , a - 1 \rfloor \circ \left( \left[ \begin{array} { l } { \alpha _ { a } } \\ { \boldsymbol { \alpha } ( \lfloor a , a + 1 \rfloor ) } \\ { \vdots } \\ { \boldsymbol { \alpha } ( \lfloor a , a - 2 \rfloor ) } \\ { \alpha _ { a } } \\ { \vdots } \end{array} \right] \right) = \left[ \begin{array} { l } { \boldsymbol { \alpha } ( \lfloor a , a + 1 \rfloor ) } \\ { \boldsymbol { \alpha } ( \lfloor a , a + 2 \rfloor ) } \\ { \vdots } \\ { \alpha _ { a } } \\ { \boldsymbol { \alpha } ( \lfloor a , a - 2 \rfloor ) } \\ { \vdots } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } { c _ { 0 } ^ { ( 2 ) , n } = } & { { } \ \gamma _ { 0 } ^ { ( 2 ) , n } \bigg / \sqrt { \sum _ { n = 2 } ^ { + \infty } \left( \gamma _ { 0 } ^ { ( 2 ) , n } \right) ^ { 2 } } , \mathrm { ~ ~ ~ f ~ o ~ r ~ ~ ~ } n \geqslant 2 , } \\ { c _ { 3 } ^ { ( 2 ) , n } = } & { { } \ \gamma _ { 3 } ^ { ( 2 ) , n } \bigg / \sqrt { \sum _ { n = 0 } ^ { + \infty } \left( \gamma _ { 3 } ^ { ( 2 ) , n } \right) ^ { 2 } } , \mathrm { ~ ~ ~ f ~ o ~ r ~ ~ ~ } n \geqslant 0 } \end{array}
\frac { d \lambda } { d t } = \frac { 1 } { ( 4 \pi ) ^ { 2 } } \{ 2 4 \lambda ^ { 2 } + 1 2 y _ { t } ^ { 2 } \lambda - 6 y _ { t } ^ { 4 } - 1 2 A \lambda + 6 B \} ,
\operatorname * { l i m } _ { t \rightarrow \pm \infty } \hat { N } _ { \mathrm { C S } } = \frac { g ^ { 2 } } { 3 2 \pi ^ { 2 } } \int d ^ { 3 } k \, \frac { | { \bf k } | } { 2 \omega _ { k } } \, \sum _ { b } \Bigl [ \hat { n } _ { L } ^ { b } ( { \bf k } ) - \hat { n } _ { R } ^ { b } ( { \bf k } ) \Bigr ] \ ,
\mathrm { s _ { A } ^ { 2 } \mathrm { z _ { A } \mathrm { \overline { { s } } _ { B } \mathrm { z _ { B } ^ { 2 } ( \mathrm { \overline { { x } } _ { A } \mathrm { x _ { B } - \mathrm { \overline { { y } } _ { A } \mathrm { y _ { B } ) + \mathrm { s _ { A } \mathrm { z _ { A } ^ { 2 } \mathrm { s _ { B } ^ { 2 } \mathrm { \overline { { z } } _ { B } ( \mathrm { \overline { { x } } _ { A } \mathrm { x _ { B } - \mathrm { \overline { { y } } _ { A } \mathrm { y _ { B } ) } } } } } } } } } } } } } } } }
\begin{array} { r } { \gamma : = Q ^ { \frac { Q } { 2 } } \bigl ( \operatorname* { m a x } _ { k , m } | b _ { k m } | \bigr ) \left( \operatorname* { m i n } _ { \beta \subset \langle n \rangle , \boldsymbol { x } \in \Omega } \frac { \prod _ { i \in \beta } \zeta _ { i } ( \boldsymbol { x } ) } { \prod _ { q = 1 } ^ { Q } \langle \boldsymbol { s } ^ { [ q ] } , \boldsymbol { \zeta } ( \boldsymbol { x } ) \rangle } \right) ^ { - 1 } | \operatorname* { d e t } \bigl ( S B ^ { \boldsymbol { \mathsf { T } } } \bigr ) | ^ { - 1 } . } \end{array}
\phi _ { i } ^ { k \sigma } ( r _ { j } ^ { \sigma } ; \{ r _ { / j } ^ { \sigma } , r ^ { \bar { \sigma } } \} ) = ( c _ { i } ^ { k \sigma } h _ { j } ^ { L \sigma } + b _ { i } ^ { k \sigma } ) \pi _ { i } ^ { k \sigma } \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } ( - | p _ { i } ^ { k \sigma } r _ { j } ^ { \sigma } | )
B [ G _ { 2 } ] ( u ) \sim { \frac { \beta _ { 0 } } { \pi } } e ^ { d u } \left[ - { \frac { 8 } { 3 } } { \frac { \sin ( \pi u ) } { 3 - 2 u } } - 6 { \frac { \sin ( \pi u ) } { ( 1 - u ) ^ { 2 } } } \right] \, ,
\begin{array} { r l } { p G _ { n } } & { = - \nu ( ( n + \ell ) ^ { 2 } + k ^ { 2 } ) G _ { n } + \frac { k } { 2 } \left( \frac { 1 } { ( n + \ell - 1 ) ^ { 2 } + k ^ { 2 } } - 1 \right) G _ { n - 1 } - \frac { k } { 2 } \left( \frac { 1 } { ( n + \ell + 1 ) ^ { 2 } + k ^ { 2 } } - 1 \right) G _ { n + 1 } } \\ & { + i ( n + \ell ) B _ { 0 } ( ( n + \ell ) ^ { 2 } + k ^ { 2 } ) H _ { n } + \frac { i k B _ { 0 } } { 2 \eta } \bigl [ ( n + \ell - 1 ) ^ { 2 } + k ^ { 2 } - 1 \bigr ] H _ { n - 1 } + \frac { i k B _ { 0 } } { 2 \eta } \bigl [ ( n + \ell + 1 ) ^ { 2 } + k ^ { 2 } - 1 \bigr ] H _ { n + 1 } , } \\ { p H _ { n } } & { = - \eta ( ( n + \ell ) ^ { 2 } + k ^ { 2 } ) H _ { n } - \frac { k } { 2 } \, H _ { n - 1 } + \frac { k } { 2 } \, H _ { n + 1 } } \\ & { + \frac { i ( n + \ell ) B _ { 0 } } { ( n + \ell ) ^ { 2 } + k ^ { 2 } } \, G _ { n } + \frac { i k B _ { 0 } } { 2 \eta } \frac { 1 } { ( n + \ell - 1 ) ^ { 2 } + k ^ { 2 } } \, G _ { n - 1 } + \frac { i k B _ { 0 } } { 2 \eta } \frac { 1 } { ( n + \ell + 1 ) ^ { 2 } + k ^ { 2 } } \, G _ { n + 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { y ( t , \xi ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \xi - \frac { 1 } { 8 } \left( 2 + \beta \right) t ^ { 2 } , } & { \xi \leq 0 , } \\ { \frac { 1 } { 4 } \xi t ^ { 2 } - \frac { 1 } { 8 } \left( 2 + \beta \right) t ^ { 2 } , } & { 0 < \xi \leq \beta , } \\ { \frac { 1 } { 8 } \left( t + 2 \right) ^ { 2 } \xi - \frac 1 2 \beta - \frac 1 2 \beta t - \frac 1 4 t ^ { 2 } , } & { \beta < \xi \leq 2 + \beta , } \\ { \frac { 1 } { 8 } \left( t - 2 \right) ^ { 2 } \xi - \frac 1 2 \beta + \frac 1 2 \left( 4 + \beta \right) t - \frac 1 4 t ^ { 2 } , } & { 2 + \beta < \xi \leq 4 + \beta , } \\ { \xi - ( 2 + \beta ) + \frac 1 8 \left( 2 + \beta \right) t ^ { 2 } , } & { 4 + \beta \leq \xi , } \end{array} \right. } \\ { U ( t , \xi ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { - \frac { 1 } { 4 } \left( 2 + \beta \right) t , } & { \xi \leq 0 , } \\ { \frac { 1 } { 2 } \xi t - \frac { 1 } { 4 } \left( 2 + \beta \right) t , } & { 0 < \xi \leq \beta , } \\ { \frac { 1 } { 4 } \left( t + 2 \right) \xi - \frac 1 2 \beta - \frac 1 2 t , } & { \beta < \xi \leq 2 + \beta , } \\ { \frac { 1 } { 4 } \left( t - 2 \right) \xi + \frac 1 2 \left( 4 + \beta \right) - \frac 1 2 t , } & { 2 + \beta < \xi \leq 4 + \beta , } \\ { \frac { 1 } { 4 } \left( 2 + \beta \right) t , } & { 4 + \beta < \xi , } \end{array} \right. } \\ { V ( t , \xi ) } & { = H ( t , \xi ) = V _ { 0 } ( \xi ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { k _ { B } T _ { i , l } ( \vec { x } ) = \frac { m _ { i } } { n _ { i } } \int ( v _ { l } - V _ { i , l } ) ^ { 2 } \; f _ { i } \; d ^ { 3 } \vec { v } = \frac { m _ { i } } { N _ { p } } \sum _ { p = 1 } ^ { N _ { p } } ( v _ { p , l } - V _ { i , l } ) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { ( \mathcal { A } ( \boldsymbol { u } - \tilde { \boldsymbol { u } } _ { h } , \boldsymbol { p } - \boldsymbol { p } _ { h } ) ) ( \boldsymbol { v } , \boldsymbol { q } ) } } \\ & { } & { = ( \mathcal { A } ( \boldsymbol { u } , \boldsymbol { p } ) ) ( \boldsymbol { v } , \boldsymbol { q } ) - ( \mathcal { A } ( \tilde { \boldsymbol { u } } _ { h } , \boldsymbol { p } _ { h } ) ) ( \boldsymbol { v } , \boldsymbol { q } ) } \\ & { } & { = ( \ell _ { 1 } ( \boldsymbol { q } ) + \ell _ { 2 } ( \boldsymbol { v } ) ) - ( a ( \boldsymbol { p } _ { h } , \boldsymbol { q } ) - b ( \tilde { \boldsymbol { u } } _ { h } , \boldsymbol { q } ) + d ( \boldsymbol { v } , \boldsymbol { p } _ { h } ) + c ( \tilde { \boldsymbol { u } } _ { h } , \boldsymbol { v } ) ) } \\ & { } & { = \tilde { \ell } _ { 1 } ( \boldsymbol { q } ) + \tilde { \ell } _ { 2 } ( \boldsymbol { v } ) . } \end{array}
\operatorname* { m i n } _ { m \in \{ m _ { * } , \ldots , M \} } \kappa _ { m } \mathopen { } \mathclose \bgroup \left\| \nabla \theta _ { m } \aftergroup \egroup \right\| _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , 1 ) \times \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 2 } ) } ^ { 2 } \geq \frac 3 4 \kappa _ { m _ { * } } \mathopen { } \mathclose \bgroup \left\| \nabla \theta _ { m _ { * } } \aftergroup \egroup \right\| _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , 1 ) \times \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 2 } ) } ^ { 2 } \, .
V _ { e - p } = 2 \pi a _ { s } ( k ) \delta ^ { ( 3 ) } ( \mathbf { r } - \mathbf { R } ) + 6 \pi ( a _ { p } ( k ) ) ^ { 3 } \delta ^ { ( 3 ) } ( \mathbf { r } - \mathbf { R } ) \overleftarrow { \nabla } \cdot \overrightarrow { \nabla } ,
\begin{array} { r l } { C _ { P _ { j } } ( t ) } & { { } = \frac { 1 } { ( 2 \pi \hbar ) ^ { N } } \int d { \bf R } _ { 0 } \int d { \bf P } _ { 0 } \int d { \bf x } _ { 0 } \int d { \bf p } _ { 0 } } \end{array}
\mathcal { V } _ { \epsilon } ( t , \xi ) = \underbrace { \mathbb { E } \left[ \mathcal { V } _ { 0 } ( \mathcal { A } _ { t , \xi } ) \mathcal { B } ^ { \lambda } ( t , \xi ) \right] } _ { = : \mathcal { V } _ { \epsilon , 1 } ( t , \xi ) } + \underbrace { \mathbb { E } \left[ \mathcal { B } ^ { \lambda } ( t , \xi ) \int _ { 0 } ^ { t } d ( s , \Phi ( s , \mathcal { A } _ { t , \xi } ) ) \mathcal { B } ^ { - \lambda } ( s , \Phi ( s , \mathcal { A } _ { t , \xi } ) ) d s \right] } _ { = : \mathcal { V } _ { \epsilon , 2 } ( t , \xi ) } ,
Z = \int \! \prod _ { x \in \Lambda ^ { * } } d \eta _ { - 1 } ( x ) d \eta _ { + 1 } ( x ) d \eta _ { - 2 } ( x ) d \eta _ { + 2 } ( x ) \; e ^ { \beta [ S _ { L } ( \eta ) + S _ { C } ( \eta ) + S _ { M } ( \eta ) ] } \; ,
- p _ { 2 } \eta ^ { 2 } - q ^ { 2 } ( \partial _ { i } \Pi _ { i } + { \frac { \mu } { 2 } } \epsilon _ { i j } \partial _ { i } A _ { j } ) - \bar { C } _ { 1 } \{ \eta ^ { 1 } , \bar { \chi } _ { 1 } \} C ^ { 1 } - \bar { C } _ { 2 } \{ \eta ^ { 2 } , \bar { \chi } _ { 2 } \} C ^ { 2 } .
\begin{array} { r l r } { - B ^ { \prime } ( \eta ) } & { = } & { \left( \Omega _ { A } ^ { 2 } - 1 / 4 + \epsilon _ { 0 } \Omega _ { A } ^ { 2 } \right) A \equiv \Gamma _ { l } A , } \\ { A ^ { \prime } ( \eta ) } & { = } & { \left( \Omega _ { A } ^ { 2 } - 1 / 4 - \epsilon _ { 0 } \Omega _ { A } ^ { 2 } \right) B \equiv \Gamma _ { u } B , } \end{array}
{ \frac { ( - i ) ^ { d } } { N } } \sum _ { m } { } ^ { \prime } e ^ { 2 \pi i { \frac { 2 \mu } { N } } m } { \frac { 1 } { 2 ^ { d } \prod _ { j } \sin { \frac { \alpha _ { j } m } { 2 } } } } = \sum _ { \nu } w _ { \nu } { \frac { ( - i ) ^ { d } } { N } } \sum _ { m } { } ^ { \prime } e ^ { 2 \pi i { \frac { \mu - \nu } { N } } m } { \frac { 1 } { 2 ^ { d } \prod _ { j } \sin { \frac { \alpha _ { j } m } { 2 } } } }
z _ { \downarrow \ast } ^ { i } \equiv 2 v _ { s } ^ { 2 } + v _ { s } v _ { \downarrow z } ^ { i } + \frac { v _ { s } ( 2 v _ { s } + v _ { z } ^ { i } ) ( v _ { s } + v _ { \downarrow z } ^ { i } ) } { v _ { \downarrow z } ^ { i } - v _ { z } ^ { i } } \ln \left( \frac { v _ { s } + v _ { z } ^ { i } } { v _ { s } + v _ { \downarrow z } ^ { i } } \right) .
\begin{array} { r l } { \vert u _ { 1 } ( d ) - \exp ( - \frac \pi \beta ) ( c \eta ) ^ { \gamma _ { 2 } } \vert } & { = O ( c ) } \\ { \vert u _ { 2 } ( d ) - 2 \beta ( 1 - \exp ( - \frac \pi \beta ) ) ( c \eta ) ^ { \gamma _ { 1 } } \vert } & { \le O ( c ) } \\ { w ( k _ { n } , d ) , u _ { 3 } ( d ) } & { \le 6 } \\ { j ( k _ { n } , d ) } & { \le \frac { 1 0 \pi } { \beta \eta } \frac 1 \eta } \\ { j ( k _ { 0 } , d ) } & { \le \frac 2 \beta . } \end{array}
{ \ensuremath { \mathbb E } } \left[ \| M _ { \varepsilon } ^ { \gamma } ( \rho \ \cdot ) - M _ { \infty } ^ { \gamma } ( \rho \ \cdot ) \| _ { H ^ { s , p } } ^ { p } \right] = \int _ { { \ensuremath { \mathbb R } } ^ { d } } { \ensuremath { \mathbb E } } \left[ | ( \widehat M _ { \varepsilon } ^ { \gamma } - \widehat M _ { \infty } ^ { \gamma } ) ( \xi ) | ^ { p } \right] ( 1 + | \xi | ^ { 2 } ) ^ { \frac { p s } { 2 } } \mathrm { d } \xi .
Q = Q _ { \bar { u } \bar { u } } + Q _ { \langle { u } \rangle \langle { u } \rangle } + Q _ { u ^ { \prime } u ^ { \prime } } + 2 Q _ { \bar { u } \langle { u } \rangle } + 2 Q _ { \bar { u } u ^ { \prime } } + 2 Q _ { \langle { u } \rangle u ^ { \prime } } ,
S _ { f } = T \int d ^ { 2 } x ( i \; \partial _ { - } \psi ^ { i } \psi ^ { i } + { \frac { 1 } { N } } \; b _ { \alpha } ^ { i } b _ { \alpha } ^ { i } ) \; ; \; \; \; b _ { \alpha } ^ { i } \equiv D _ { \alpha } \Psi ^ { i } | _ { \theta = 0 } \; ,
\frac { 1 } { 2 \pi } c ^ { ( f ) } : e ^ { \mp i 2 \sqrt { \pi } \sqrt { \frac { \pi } { \pi + g N } } U _ { 1 f } \Phi ^ { ( 1 ) } ( x ) } : _ { M ^ { ( 1 ) } } \; \prod _ { I = 2 } ^ { N } : e ^ { \mp i 2 \sqrt { \pi } U _ { I f } \Phi ^ { ( I ) } ( x ) } : _ { M ^ { ( I ) } } e ^ { \pm i \frac { \theta } { N } } \; .
\frac { \sigma ^ { m + 1 } - \sigma ^ { m } } { \Delta \tau } + \textrm { s g n } \left( \widetilde { \sigma } _ { i , j } \right) \left[ H _ { \mathrm { ~ G ~ } } \left( D _ { x } ^ { + } \sigma _ { i , j } , D _ { x } ^ { - } \sigma _ { i , j } , D _ { y } ^ { + } \sigma _ { i , j } , D _ { y } ^ { - } \sigma _ { i , j } \right) - 1 \right] = 0 ,
\mathbf { r } ^ { ( n + 1 ) } = \bar { \mathbf { r } } ^ { ( n ) } - \Sigma \frac { \bar { \mathbf { r } } ^ { ( n ) } } { | \bar { \mathbf { r } } ^ { ( n ) } | } \ell _ { 1 } \mathrm { b a l l } _ { \nu _ { 3 } { t } _ { z } } ( \frac { \bar { \mathbf { r } } ^ { ( n ) } } { \Sigma } )
\vec { u } = \frac { 1 } { \rho } \Sigma _ { i = 1 } ^ { Q } f _ { i } \vec { e } _ { i } = \frac { 1 } { \Tilde { \rho } } \Sigma _ { i = 1 } ^ { Q } \Tilde { f } _ { i } \vec { e } _ { i }
\begin{array} { r } { N _ { \mathrm { p } } ^ { \mathrm { v a c } } = - \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \ensuremath { \mathrm { t r } } [ \ensuremath { \mathbf { P } } _ { - } ^ { 0 } ( x ^ { \prime } , x ) \ensuremath { \mathbf { n } } _ { 1 } ^ { \mathrm { v p } } ( x , x ^ { \prime } ) ] \ensuremath { \mathrm { d } } x \ensuremath { \mathrm { d } } x ^ { \prime } , } \end{array}
e ^ { \Delta S ^ { D } + \Delta S ^ { C } } = \int d \alpha _ { C } d \alpha _ { D } e ^ { - \frac { \alpha _ { c } ^ { 2 } G ^ { C C } } { \Gamma _ { C } ^ { 2 } } } e ^ { - \frac { \alpha _ { D } ^ { 2 } G ^ { D D } } { \Gamma _ { D } ^ { 2 } } } e ^ { - \alpha _ { C } \int d ^ { 2 } z C _ { \epsilon } - \alpha _ { D } \int d ^ { 2 } z D _ { \epsilon } }
\begin{array} { r l } { - \nabla _ { X } \log p ( X , t ) } & { = E _ { X _ { 0 } } [ \frac { X _ { t } - X _ { 0 } e ^ { - t / 2 } } { 1 - e ^ { - t } } | X _ { t } = X ] } \\ & { = E _ { \hat { X } _ { 0 } } [ \frac { X _ { t } - e ^ { - t / 2 } \hat { X } _ { 0 } } { \sigma ^ { 2 } e ^ { - t } + 1 - e ^ { - t } } | X _ { t } = X ] , } \end{array}
m _ { a b } ^ { q } ( x - 1 ) q ^ { t _ { a } } + m _ { a b } ^ { q } ( x + 1 ) q ^ { - t _ { a } } = \sum _ { c } \left\{ \begin{array} { l } { { m _ { b c } ^ { q } ( x ) , G _ { c b } = 1 } } \\ { { m _ { b c } ^ { q } ( x ) ( q + q ^ { - 1 } ) , G _ { c b } = 2 } } \\ { { m _ { b c } ^ { q } ( x ) ( q ^ { 2 } + 1 + q ^ { - 2 } ) , G _ { c b } = 3 } } \end{array} \right. ,