harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \widehat { f } ( \xi ) } & { = e ^ { \frac { z | a | ^ { 2 } } { 4 z _ { 1 } ^ { 2 } } } \hat { g } \left( \xi + \frac { z _ { 2 } } { z _ { 1 } } a \right) = \left( \frac { \pi } { z } \right) ^ { \frac { d } { 2 } } e ^ { \frac { z | a | ^ { 2 } } { 4 z _ { 1 } ^ { 2 } } } e ^ { - \frac { 1 } { 4 z } \left| \xi + \frac { z _ { 2 } } { z _ { 1 } } a \right| ^ { 2 } - \frac { i a } { 2 z _ { 1 } } \cdot \left( \xi + \frac { z _ { 2 } } { z _ { 1 } } a \right) } } \\ & { = \left( \frac { \pi } { z } \right) ^ { \frac { d } { 2 } } e ^ { \frac { z | a | ^ { 2 } } { 4 z _ { 1 } ^ { 2 } } - \frac { 1 } { 4 z } \left( | \xi | ^ { 2 } + 2 \frac { z _ { 2 } } { z _ { 1 } } a \cdot \xi + \frac { z _ { 2 } ^ { 2 } } { z _ { 1 } ^ { 2 } } | a | ^ { 2 } \right) - \frac { i a \cdot \xi } { 2 z _ { 1 } } - \frac { i | a | ^ { 2 } z _ { 2 } } { 2 z _ { 1 } ^ { 2 } } } } \\ & { = \left( \frac { \pi } { z } \right) ^ { \frac { d } { 2 } } e ^ { - \frac { | \xi | ^ { 2 } } { 4 z } + ( a \cdot \xi ) \left( - \frac { z _ { 2 } } { 2 z z _ { 1 } } - \frac { i } { 2 z _ { 1 } } \right) + | a | ^ { 2 } \left( \frac { z } { 4 z _ { 1 } ^ { 2 } } - \frac { z _ { 2 } ^ { 2 } } { 4 z z _ { 1 } ^ { 2 } } - \frac { i z _ { 2 } } { 2 z _ { 1 } ^ { 2 } } \right) } } \\ & { = \left( \frac { \pi } { z } \right) ^ { \frac { d } { 2 } } e ^ { - \frac { | \xi | ^ { 2 } } { 4 z } - \frac { a \cdot \xi } { 2 z z _ { 1 } } \left[ z _ { 2 } + i ( z _ { 1 } + i z _ { 2 } ) \right] + \frac { | a | ^ { 2 } } { 4 z z _ { 1 } ^ { 2 } } \left[ ( z _ { 1 } + i z _ { 2 } ) ^ { 2 } - z _ { 2 } ^ { 2 } - 2 i z _ { 2 } ( z _ { 1 } + i z _ { 2 } ) \right] } } \\ & { = \left( \frac { \pi } { z } \right) ^ { \frac { d } { 2 } } e ^ { - \frac { | \xi | ^ { 2 } } { 4 z } - i \frac { a \cdot \xi } { 2 z } + \frac { | a | ^ { 2 } } { 4 z } } } \\ & { = \left( \frac { \pi } { z } \right) ^ { \frac { d } { 2 } } E ( \xi , a , z ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { h ( t ) = } & { { } h _ { \mathrm { ~ M ~ e ~ m ~ + ~ } } ( t ) = h _ { \mathrm { ~ M ~ e ~ m ~ } 1 1 } = - h _ { \mathrm { ~ M ~ e ~ m ~ } 2 2 } } \\ { = } & { { } \frac { D _ { \mathrm { { L } } } } { 1 9 2 \pi c } \sin ^ { 2 } \iota ( 1 7 + \cos ^ { 2 } \iota ) \int _ { - \infty } ^ { t } \vert \dot { h } _ { 2 2 } ( t ) \vert ^ { 2 } d t } \\ { h _ { \mathrm { ~ M ~ e ~ m ~ } \times } ( t ) = } & { { } h _ { \mathrm { ~ M ~ e ~ m ~ } 1 2 } = h _ { \mathrm { ~ M ~ e ~ m ~ } 2 1 } = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \overline { { U _ { N } } } } & { = } & { \frac { 1 } { P } \sum _ { k = 1 } ^ { P } U _ { N } ( \mathbf { X } _ { N } ^ { ( k ) } ) } \\ { F _ { i } } & { = } & { \Lambda ^ { 3 } \left( \frac { P ^ { 3 / 2 } } { \Lambda ^ { 3 } } \right) ^ { P } \exp \left( - \frac { \pi P } { \Lambda ^ { 2 } } \sum _ { k = 1 } ^ { P } \Delta { \mathbf { r } _ { i } ^ { ( k ) } } ^ { 2 } \right) } \\ { \Delta { \mathbf { r } _ { i } ^ { ( k ) } } ^ { 2 } } & { \equiv } & { \left| \mathbf { x } _ { i } ^ { ( k + 1 ) } - \mathbf { x } _ { i } ^ { ( k ) } \right| ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { ( 2 \ell + 1 ) } { [ ( 2 \ell + 1 ) ! ! ] ^ { 2 } } k _ { o } ^ { 2 \ell + 1 } \cot \delta \rightarrow - \bigg ( \frac { R _ { 0 } } { a _ { \mathrm { t w } } } - \frac { 1 } { 2 } \frac { R _ { \mathrm { e f f } } } { R _ { 0 } } k _ { o } ^ { 2 } \bigg ) ^ { 2 \ell + 1 } } \\ & { } & { = - \left( \frac { R _ { 0 } } { a _ { \mathrm { t w } } } \right) ^ { 2 \ell + 1 } \! \! \! \! \! \! \! \! + ( 2 \ell + 1 ) \left( \frac { R _ { 0 } } { a _ { \mathrm { t w } } } \right) ^ { 2 \ell } \frac { 1 } { 2 } \frac { R _ { \mathrm { e f f } } } { R _ { 0 } } k _ { o } ^ { 2 } + { \cal O } ( k _ { o } ^ { 4 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { T S E } _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { N } } ( { \mathbf x } _ { 0 } , v _ { 0 } ) } & { = } & { \frac { 1 } { \Delta t } \ln \frac { | { \mathbf Y } ^ { \prime } ( \tau _ { N } ) | } { | { \mathbf Y } ^ { \prime } ( \tau _ { 0 } ) | } = \frac { 1 } { \Delta t } \ln \frac { | { \mathbf U } ( { \mathbf Y } _ { N } ) | } { | { \mathbf U } ( { \mathbf Y } _ { 0 } ) | } } \\ { \mathrm { T R A } _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { N } } ( { \mathbf x } _ { 0 } , v _ { 0 } ) } & { = } & { \frac { 1 } { \Delta t } \cos ^ { - 1 } \frac { { \mathbf Y } ^ { \prime } ( \tau _ { 0 } ) ^ { { \mathrm T } } \, { \mathbf Y } ^ { \prime } ( \tau _ { N } ) } { | { \mathbf Y } ^ { \prime } ( \tau _ { 0 } ) | | { \mathbf Y } ^ { \prime } ( \tau _ { N } ) | } } \\ & { = } & { \frac { 1 } { \Delta t } \cos ^ { - 1 } \frac { { \mathbf U } ( { \mathbf Y } _ { 0 } ) ^ { { \mathrm T } } \, { \mathbf U } ( { \mathbf Y } _ { N } ) } { | { \mathbf U } ( { \mathbf Y } _ { 0 } ) | | { \mathbf U } ( { \mathbf Y } _ { N } ) | } } \end{array}
\rho _ { s } \partial _ { \tau } \boldsymbol { n } = - \boldsymbol { n } \times \boldsymbol { h } _ { \mathrm { e f f } } + \alpha \boldsymbol { n } \times \partial _ { \tau } \boldsymbol { n } - \rho _ { n } \boldsymbol { n } \times \partial _ { \tau } ^ { 2 } \boldsymbol { n } - \tilde { \alpha } \left( \boldsymbol { n } \cdot \boldsymbol { h } _ { \mathrm { e f f } } \right) \boldsymbol { n }
\begin{array} { r l r } { \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Omega _ { \mathrm { o n } } } \left| \tilde { \mathcal { S } } _ { \mathrm { o n } } ^ { 1 } \right| \mathrm { d } x \mathrm { d } t } & { \leq } & { { \left\| q _ { \mathrm { o n } } \right\| _ { \L { \infty } ( [ 0 , T ] ) } } \int _ { 0 } ^ { T } \left\| \rho ( t , \cdot ) - \tilde { \rho } ( t , \cdot ) \right\| _ { \L { 1 } ( \mathbb { R } ) } \mathrm { d } t } \\ & { } & { + \int _ { 0 } ^ { T } \left\| \omega _ { \eta , \delta } - \tilde { \omega } _ { \eta , \delta } \right\| _ { \L { 1 } ( \mathbb { R } ) } \mathcal { R } _ { 1 } ( t ) \mathrm { d } t } \\ & { = } & { \left\| q _ { \mathrm { o n } } \right\| _ { \L { \infty } ( [ 0 , T ] ) } \int _ { 0 } ^ { T } \left\| \rho ( t , \cdot ) - \tilde { \rho } ( t , \cdot ) \right\| _ { \L { 1 } ( \mathbb { R } ) } \mathrm { d } t } \\ & { } & { + \left\| \omega _ { \eta , \delta } - \tilde { \omega } _ { \eta , \delta } \right\| _ { \L { 1 } ( \mathbb { R } ) } \int _ { 0 } ^ { T } \mathcal { R } _ { 1 } ( t ) \mathrm { d } t . } \end{array}
E ( z , s ) = y ^ { s } + { \frac { { \hat { \zeta } } ( 2 s - 1 ) } { { \hat { \zeta } } ( 2 s ) } } y ^ { 1 - s } + { \frac { 4 } { { \hat { \zeta } } ( 2 s ) } } \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } m ^ { s - 1 / 2 } \sigma _ { 1 - 2 s } ( m ) { \sqrt { y } } K _ { s - 1 / 2 } ( 2 \pi m y ) \cos ( 2 \pi m x ) \ ,
\sum _ { \theta \in E \cap I } \sum _ { B \in \mathcal { B } _ { \Delta } ^ { \mathrm { h e a v y } } } \mu ( K _ { 0 } \cap K _ { \theta } \cap B ) \stackrel { \geq } ( \delta ^ { O _ { \zeta } ( \epsilon ) } - \Delta ^ { C _ { \zeta } \epsilon - O _ { \zeta } ( \epsilon ) } ) | E \cap I | \geq \delta ^ { O _ { \zeta } ( \epsilon ) } | E \cap I | ,
\begin{array} { r l } { \langle T ( M ) \rangle } & { { } = T ( \langle M \rangle ) + \frac { T ^ { \prime \prime } ( \langle M \rangle ) } { 2 } \left( \langle M ^ { 2 } \rangle - \langle M \rangle ^ { 2 } \right) } \end{array}
\epsilon _ { \downarrow } = \epsilon _ { \downarrow } ^ { 0 } + f _ { 0 } n _ { \uparrow } \mathcal { C } - \left( 1 - \frac { m _ { \mathrm { K } } } { m _ { \mathrm { K } } ^ { * } } \right) \bar { \varepsilon } ,
\rho _ { 0 } ^ { c } \equiv \frac { 3 \, H _ { 0 } ^ { 2 } } { 8 \, \pi \, G _ { N } } = \left( 3 . 0 \, \sqrt { h _ { 0 } } \times 1 0 ^ { - 3 } \, e V \right) ^ { 4 } \, .
G _ { F } ( x , y ) = e ^ { - { \frac { i e ^ { 2 } } { 2 } } \int d ^ { 2 } z _ { 1 } \int d ^ { 2 } z _ { 2 } j ^ { \mu } ( z _ { 1 } ; x , y ) G _ { \mu \nu } ( z _ { 1 } , z _ { 2 } ) j ^ { \nu } ( z _ { 2 } ; x , y ) } ~ S _ { F } ( x , y ) ,
( i ) \quad d P _ { 0 } = \left( \begin{array} { c c } { { I } } & { { Z ^ { \dag } } } \\ { { - Z } } & { { I ^ { \prime } } } \end{array} \right) ^ { - 1 } \left( \begin{array} { c c } { { } } & { { d Z ^ { \dag } } } \\ { { d Z } } & { { } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { { I } } & { { - Z ^ { \dag } } } \\ { { Z } } & { { I ^ { \prime } } } \end{array} \right) ^ { - 1 } ,
\begin{array} { r l } { \partial _ { x } h ( z ) } & { = - w ( 1 - w ) \| y \| _ { d } ^ { 2 } ( x + k _ { w } ) ^ { - 3 } } \\ { \partial _ { x } f _ { w , 1 } ( z ) } & { = h ( z ) ^ { 1 / w } - ( 1 - w ) \| y \| _ { d } ^ { 2 } ( x + k _ { w } ) ^ { - 2 } h ( z ) ^ { 1 / w - 1 } } \\ { \partial _ { x } ^ { 2 } f _ { w , 1 } ( z ) } & { = ( 1 - w ) \| v ( z ) \| _ { d } ^ { 2 } ( x + k _ { w } ) ^ { - 1 } h ( z ) ^ { 1 / w - 1 } \left[ 1 + ( 1 - w ) ^ { 2 } \| v ( z ) \| _ { d } ^ { 2 } h ( z ) ^ { - 1 } \right] } \\ & { = ( 1 - w ) \| v ( z ) \| _ { d } ^ { 2 } ( x + k _ { w } ) ^ { - 1 } ( 1 + o _ { { \mathcal D } } ( 1 ) ) \quad \mathrm { a s ~ x \to \infty ~ } } \\ { \partial _ { y _ { i } } \partial _ { x } f _ { w , 1 } ( z ) } & { = - ( 1 - w ) y _ { i } ( x + k _ { w } ) ^ { - 2 } h ( z ) ^ { 1 / w - 1 } \left[ 1 + ( 1 - w ) \| v ( z ) \| _ { d } ^ { 2 } h ( z ) ^ { - 1 } \right] } \end{array}
a ( L ) = a ( L _ { 0 } + \epsilon L _ { 1 } + \epsilon ^ { 2 } L _ { 2 } + . . . ) = a _ { 0 } ( L _ { 0 } ) + \epsilon a _ { 1 } ( L _ { 0 } , L _ { 1 } ) + \epsilon ^ { 2 } a _ { 2 } ( L _ { 0 } , L _ { 1 } , L _ { 2 } ) + . . . \ .
g ^ { \mu \nu } ( t , \vec { x } ) \equiv { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } } \left[ \begin{array} { l l l } { { - 1 } } & { { \vdots } } & { { - v \; \hat { r } ^ { j } } } \\ { { \cdots \cdots } } & { { \cdot } } & { { \cdots \cdots \cdots \cdots } } \\ { { - v \; \hat { r } ^ { i } } } & { { \vdots } } & { { ( c ^ { 2 } \; \delta ^ { i j } - v ^ { 2 } \; \hat { r } ^ { i } \; \hat { r } ^ { j } ) } } \end{array} \right] .
\frac { 1 } { \delta } \int _ { \mathcal { D } _ { \epsilon } } \frac { | \nabla \tilde { \phi } | \, | \nabla \phi _ { * } | } { 1 + \epsilon R } | \, \tilde { \eta } | \, \mathrm { d } X + \frac { \epsilon \bar { r } | \dot { \bar { z } } | } { \delta \Gamma } \int _ { \mathcal { D } _ { \epsilon } } | \partial _ { Z } \tilde { \phi } | \, | \tilde { \eta } | \, \mathrm { d } X \, = \, \mathcal { O } \bigl ( \epsilon ^ { \infty } \| \tilde { \eta } \| _ { \mathcal { X } _ { \epsilon } } ^ { 2 } \bigr ) \, ,
\begin{array} { r } { \dot { R } _ { i j } = - \omega _ { k } \epsilon _ { j k p } R _ { 3 k } R _ { i p } , \qquad \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } \quad \omega _ { k } \equiv \frac { m _ { 3 } } { I _ { k } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } } & { { } = \mathcal { J } ( u , \hat { u } ) - \int _ { \Omega } v _ { i } ( x ) \left( \mathcal { D } u - Y u \right) _ { i } - \int _ { \partial \Omega } v _ { i } ( x ) \left( \sigma _ { i j } n _ { j } + \sigma n _ { i } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { W _ { A D K - P P T } ( t ) = C _ { n ^ { * } l ^ { * } } ^ { 2 } I _ { p } \frac { ( 2 l + 1 ) ( l + | m | ) ! } { 2 ^ { | m | } | m | ! ( l - | m | ) ! } \times } \\ { \bigg ( \frac { 1 } { 2 } \tilde { F } ( t ) \bigg ) ^ { 1 + | m | - 2 n ^ { * } } e x p \bigg ( - \frac { 2 } { 3 \tilde { F } ( t ) } \bigg ) } \end{array}
r _ { + } = \sqrt { \frac { 4 } { 3 } } H ^ { - 1 } \cos { \frac { x + 4 \pi } { 3 } } ; \quad r _ { - } = \sqrt { \frac { 4 } { 3 } } H ^ { - 1 } \cos { \frac { x } { 3 } }
2 \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } ( P _ { \ell } ^ { m } ) ^ { \prime } ( x ) = ( \ell + m ) ( \ell - m + 1 ) P _ { \ell } ^ { m - 1 } ( x ) - P _ { \ell } ^ { m + 1 } ( x ) , \; x \in [ - 1 , 1 ] ,
\int d \tau e ^ { i \omega \tau } \mathcal { T } _ { ( 0 ) } ( t , t ^ { \prime } ) = i \mathrm { T r } \Big \{ \tilde { G } _ { ( 0 ) } ^ { < } \tilde { \Phi } _ { ( 0 ) } ^ { A } + \tilde { G } _ { ( 0 ) } ^ { R } \tilde { \Phi } _ { ( 0 ) } ^ { < } + \tilde { \Psi } _ { ( 0 ) } ^ { < } \tilde { G } _ { ( 0 ) } ^ { A } + \tilde { \Psi } _ { ( 0 ) } ^ { R } \tilde { G } _ { ( 0 ) } ^ { < } \Big \} ,
S _ { 4 } ^ { \prime \prime } = - \frac { 1 } { 1 6 \pi G } \int _ { - L / 2 } ^ { L / 2 } d x \int _ { - L / 2 } ^ { L / 2 } d y \int _ { - w _ { 0 } ^ { \prime } } ^ { w _ { 0 } ^ { \prime } } d z \Omega ( w , z ) \partial _ { w } \ln [ X ( w , z ) \Omega ^ { 2 } ( w , z ) ] =
{ \bf P } = \left( \begin{array} { l l l l } { 1 - \eta } & { \eta } & { - \mu } & { \mu } \\ { \eta } & { 1 - \eta } & { \mu } & { - \mu } \\ { - \mu } & { \mu } & { 1 - \zeta } & { \zeta } \\ { \mu } & { - \mu } & { \zeta } & { 1 - \zeta } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| \omega _ { t } ^ { ( m ) } - \nabla _ { y } g ^ { ( m ) } ( x _ { t } ^ { ( m ) } , y _ { t } ^ { ( m ) } ) \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] } \\ & { \leq \frac { ( 1 - c _ { \omega } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| \omega _ { t - 1 } ^ { ( m ) } - \nabla _ { y } g ^ { ( m ) } ( x _ { t - 1 } ^ { ( m ) } , y _ { t - 1 } ^ { ( m ) } ) \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] + \frac { 2 ( c _ { \omega } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { b _ { y } } } \\ & { \qquad + \frac { 2 L ^ { 2 } } { b _ { y } M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg [ \eta ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } \bigg \| \nu _ { t - 1 } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } + \gamma ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } \bigg \| \omega _ { t - 1 } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow \infty } \left\| \omega ^ { t + 1 } - \omega ^ { t } \right\| _ { 2 } ^ { 2 } } & { = 0 \; \mathrm { a . s . } \implies \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow \infty } \left( \omega ^ { t + 1 } - \omega ^ { t } \right) = 0 \; \mathrm { a . s . } , } \\ { \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow \infty } \left\| z ^ { t + 1 } - z ^ { t } \right\| _ { 2 } ^ { 2 } } & { = 0 \; \mathrm { a . s . } \implies \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow \infty } \left( z ^ { t + 1 } - z ^ { t } \right) = 0 \; \mathrm { a . s . } } \end{array}
\left| \alpha \, J \, M _ { J } \right> \equiv \sum _ { I = 1 } ^ { \mathrm { { d i m } { \cal { F } } ^ { t } ( M , n ) } } \, c _ { ( \alpha , J , M _ { J } ) , I } \, ( { \cal { S } } { \overline { { \cal { T } } } } ) _ { I } \left| \rule { 0.3 cm } { 0 cm } \right>
h _ { 1 } = - i \Delta _ { a } + i \delta - \kappa _ { 1 } , ~ h _ { 2 } = - i \Delta _ { a } - i \delta - \kappa _ { 1 } , ~ h _ { 3 } = - i \Delta _ { a } + i \delta + \kappa _ { 2 } , ~ h _ { 4 } = - i \Delta _ { a } - i \delta + \kappa _ { 2 } , ~ h _ { 5 } = - i \omega _ { b } + i \delta - \kappa _ { b } , ~ h _ { 6 } = - i \omega _ { b } - i \delta - \kappa _ { b } , ~ h _ { 7 } = - i \Delta _ { m } ^ { \prime } + i \delta - \kappa _ { m } , ~ h _ { 8 } = - i \Delta _ { m } ^ { \prime } - i \delta - \kappa _ { m }
{ \vec { E } } \left( { \vec { r } } , t \right) \cdot { \vec { H } } \left( { \vec { r } } , t \right) = e _ { x } h _ { x } + e _ { y } h _ { y } + e _ { z } h _ { z } = e _ { x } \left( - { \frac { e _ { y } } { \eta } } \right) + e _ { y } \left( { \frac { e _ { x } } { \eta } } \right) + 0 \cdot 0 = 0
{ \| } \, \{ \, [ b _ { Q } ^ { a } ( { \bf { k } } ) , \, \sum _ { n = 2 } ^ { \infty } { \cal A } _ { n } \, ] \, - \, g \, f ^ { a \beta \gamma } \int d { \bf { r } } \, e ^ { - i { \bf { k \cdot r } } } [ a _ { i } ^ { \beta } ( { \bf { r } } ) + x _ { i } ^ { \beta } ( { \bf { r } } ) ] \, [ { \cal A } , \, \Pi _ { i } ^ { \gamma } ( { \bf r } _ { 1 } ) ] \, \} \, \exp ( { \cal A } ) \, { \| } \approx 0 \; .
\sum _ { t = l } ^ { m - 1 } ( L _ { T _ { w _ { k } } } ( u _ { t } ) + L _ { T _ { w _ { k } } } ( u _ { t + 1 } ) ) - ( l - m ) ( d + 1 ) + ( d + 1 ) = L _ { T _ { w _ { k } } } ( u _ { l } ) + L _ { T _ { w _ { k } } } ( u _ { m } ) + 2 \sum _ { t = l + 1 } ^ { m - 1 } L _ { T _ { w _ { k } } } ( u _ { t } ) - ( l - m - 1 ) ( d + 1 ) \leq L _ { T _ { w _ { k } } } ( u _ { l } ) + L _ { T _ { w _ { k } } } ( u _ { m } ) - ( l - m - 1 ) ( d + 1 - 2 \alpha ) \leq L _ { T _ { w _ { k } } } ( u _ { l } ) + L _ { T _ { w _ { k } } } ( u _ { m } ) = d _ { T _ { w _ { k } } } ( u _ { l } , u _ { m } )
\mathcal { D } _ { \Gamma } = \int _ { \Gamma } - \zeta \dot { h } ^ { 2 } \, d l = - 2 \pi R \zeta \dot { h } ^ { 2 } = - 2 \pi R \zeta \frac { h _ { 0 } ^ { 2 } } { \tau ^ { 2 } } \, H ^ { 2 } \leq 0 .
Z _ { 1 / R } \to \int \frac { d ^ { 2 } \tau } { \tau _ { 2 } } \tau _ { 2 } ^ { - 5 } | \eta ( \tau ) | ^ { - 1 6 } \left( | Z _ { 0 } ^ { 1 } ( \tau ) | ^ { 8 } + | Z _ { 1 } ^ { 0 } ( \tau ) | ^ { 8 } + | Z _ { 0 } ^ { 0 } ( \tau ) | ^ { 8 } \right) \ ,
\mathcal { L } _ { \mathrm { E , F } } = \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { \mathrm { s t r u c t u r e s } } } \biggl [ \lambda _ { \mathrm { E } } | | \mathrm { E } ^ { \mathrm { r e f } } - \hat { \mathrm { E } } | | ^ { 2 } + \frac { \lambda _ { \mathrm { F } } } { 3 \mathrm { N } _ { \mathrm { a t o m s } } } \sum _ { i = 1 } ^ { \mathrm { N } _ { \mathrm { a t o m s } } } | | \textbf { F } _ { i } ^ { \mathrm { r e f } } - \hat { \textbf { F } } _ { i } | | ^ { 2 } \biggr ]
C _ { \chi } ( \boldsymbol { \mathbf { r } } - \boldsymbol { \mathbf { r } } ^ { \prime } , \omega ) = \left\langle \chi ^ { ( 2 ) } ( \boldsymbol { \mathbf { r } } , \omega ) \chi ^ { ( 2 ) * } ( \boldsymbol { \mathbf { r } } ^ { \prime } , \omega ) \right\rangle = | \Delta \chi ( \omega ) | ^ { 2 } C ( \boldsymbol { \mathbf { r } } - \boldsymbol { \mathbf { r } } ^ { \prime } ) .
\begin{array} { r l r } { I _ { 3 } } & { = } & { 2 a _ { 3 } ^ { 2 } k _ { n - 1 } ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime } \exp [ - \nu _ { n + 1 } k _ { n + 1 } ^ { 2 } ( t - t ^ { \prime } ) ] } \\ & { } & { \times \Im [ i \left\langle u _ { n } ^ { * } ( t ) u _ { n - 1 } ^ { * } ( t ) u _ { n } ( t ^ { \prime } ) u _ { n - 1 } ( t ^ { \prime } ) \right\rangle ] } \\ & { = } & { 2 a _ { 3 } ^ { 2 } k _ { n - 1 } ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime } \exp [ - \nu _ { n + 1 } k _ { n + 1 } ^ { 2 } ( t - t ^ { \prime } ) ] } \\ & { } & { \times \left\langle u _ { n } ^ { * } ( t ) u _ { n } ( t ^ { \prime } ) \right\rangle \left\langle u _ { n - 1 } ^ { * } ( t ) u _ { n - 1 } ( t ^ { \prime } ) \right\rangle } \\ & { = } & { 2 a _ { 3 } ^ { 2 } k _ { n - 1 } ^ { 2 } \frac { C _ { n } C _ { n - 1 } } { \nu _ { n - 1 } k _ { n - 1 } ^ { 2 } + \nu _ { n } k _ { n } ^ { 2 } + \nu _ { n + 1 } k _ { n + 1 } ^ { 2 } } . } \end{array}
\breve { \mathbf { y } } _ { R , L } ( x ) = ( \pi _ { R , L | R } ^ { [ i ] } ( x ) , \breve { \eta } _ { R , L | R } ^ { [ i ] } ( x ) , \pi _ { R , L | L } ^ { [ i ] } ( x ) , \breve { \eta } _ { R , L | L } ^ { [ i ] } ( x ) )
- z \Theta ( Q ^ { 2 } - q _ { \perp } ^ { 2 } ) \left( { \frac { 8 } { 3 ( 1 - z ) } } - 2 \right) \Delta f _ { \Sigma } ( x , \vec { k } _ { \perp } ^ { 2 } , q _ { \perp } ^ { 2 } ) \Bigg \} \; ,
{ \mathcal { I } } = \frac { 1 } { 2 x ^ { 2 } } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } l ^ { D } \int _ { 0 } ^ { \infty } d z \, z ^ { D - 2 } ( 1 + z ^ { 2 } x ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } e ^ { - 2 l [ \eta ( z ) - \eta ( z x ) ] } \left[ b ^ { ( - ) } ( z x ) - b ^ { ( + ) } ( z x ) \cos ( 2 l \phi ) \right] ,
( m _ { 1 } + m _ { 2 } ) L _ { 1 } ^ { 2 } { \ddot { \theta } } _ { 1 } + m _ { 2 } L _ { 1 } L _ { 2 } { \ddot { \theta } } _ { 2 } \cos ( \theta _ { 2 } - \theta _ { 1 } ) + m _ { 2 } L _ { 1 } L _ { 2 } { \ddot { \theta _ { 2 } } } ^ { 2 } \sin ( \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } ) = - ( m _ { 1 } + m _ { 2 } ) g L _ { 1 } \sin \theta _ { 1 } ,
G _ { \theta } = Q \circ \sigma _ { T } ( W _ { T - 1 } + \kappa _ { T - 1 } + \textit { b } _ { T - 1 } ) \circ . . . \circ \sigma _ { 1 } ( W _ { 0 } + \mathbf { \kappa } _ { 0 } + \textit { b } _ { 0 } ) \circ P
\begin{array} { r l } { U _ { \mathrm { I } } ( \eta , t ) } & { = 1 - i \int _ { - \infty } ^ { \infty } d t _ { 1 } V ^ { \mathrm { I } } ( \eta , t _ { 1 } ) + ( - i ) ^ { 2 } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d t _ { 1 } \int _ { - \infty } ^ { t _ { 1 } } d t _ { 2 } T [ V ^ { \mathrm { I } } ( \eta , t _ { 1 } ) V ^ { \mathrm { I } } ( \eta , t _ { 2 } ) ] + \cdots , } \end{array}
\begin{array} { r l } { d _ { i + 1 } + D _ { i + 1 } } & { = d _ { i } + \delta _ { i + 1 } + D _ { i } + \Delta _ { i + 1 } } \\ { } & { = d _ { i } + f _ { 5 } ( c _ { i } , d _ { i } , D _ { i } , F _ { i } ) + D _ { i } + f _ { 4 } ( c _ { i } , d _ { i } , D _ { i } , F _ { i } ) } \\ { } & { = d _ { i } + \frac { c _ { i } ( F ^ { * } ) - c _ { i } ( F _ { i } ) - ( u ^ { \mathrm { i n } } - d _ { i } - D _ { i } ) \cdot \big ( \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) \big ) } { \mu ( F _ { i } \setminus F ^ { * } ) } } \\ { } & { ~ ~ ~ ~ + D _ { i } + \frac { c _ { i } ( F _ { i } ) - c _ { i } ( F ^ { * } ) + ( u ^ { \mathrm { i n } } - d _ { i } - D _ { i } ) \cdot \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } { \mu ( F _ { i } \setminus F ^ { * } ) } } \\ { } & { = d _ { i } + D _ { i } + ( u ^ { \mathrm { i n } } - d _ { i } - D _ { i } ) \cdot \frac { - \big ( \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) \big ) + \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } { \mu ( F _ { i } \setminus F ^ { * } ) } } \\ { } & { = u ^ { \mathrm { i n } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla _ { ( { \boldsymbol { \theta } } , { \boldsymbol { \kappa } } ) } E } & { { } = ( \nabla _ { { \boldsymbol { \theta } } } E , \nabla _ { { \boldsymbol { \kappa } } } E ) } \\ { \nabla _ { ( { \boldsymbol { \theta } } , { \boldsymbol { \kappa } } ) } ^ { 2 } E } & { { } = \left[ \begin{array} { l l } { \nabla _ { { \boldsymbol { \theta } } } ^ { 2 } E } & { \nabla _ { { \boldsymbol { \kappa } } } \nabla _ { { \boldsymbol { \theta } } } E } \\ { ( \nabla _ { { \boldsymbol { \kappa } } } \nabla _ { { \boldsymbol { \theta } } } E ) ^ { \intercal } } & { \nabla _ { { \boldsymbol { \kappa } } } ^ { 2 } E } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { 0 0 } } & { { } = \langle u _ { 0 } | H - E | u _ { 0 } \rangle , M _ { 1 0 } = \langle u _ { 1 } | H - E | u _ { 0 } \rangle ; } \\ { ( \mathbf { M } _ { 0 } ) _ { l } } & { { } = \langle u _ { l } | H - E | u _ { 0 } \rangle , ( \mathbf { M } ) _ { l l ^ { \prime } } = \langle u _ { l } | H - E | u _ { l ^ { \prime } } \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r } { \Vert \mathcal { G } \Vert _ { T , s _ { 1 } , s _ { 2 } } : = \underset { 0 \leq t \leq T } { \operatorname* { s u p } } \left( \sum _ { m \in \mathbb Z ^ { d } } \underset { 0 \leq s \leq t } { \operatorname* { s u p } } \, \underset { \xi \in \mathbb R ^ { d } } { \operatorname* { s u p } } \, \big \lbrace ( 1 + \vert m \vert ) ^ { s _ { 2 } } ( 1 + \vert \xi \vert ) ^ { s _ { 1 } } \vert ( \mathcal { F } _ { x , v } \mathcal { G } ) ( t , s , m , \xi ) \vert \big \rbrace ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } < + \infty , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hbar \omega _ { \bf k } ^ { L , U } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \left( z _ { \bf k } ^ { C } + z _ { \bf k } ^ { X } \pm \sqrt { ( z _ { \bf k } ^ { C } - z _ { \bf k } ^ { X } ) ^ { 2 } + 4 \tilde { g } ^ { 2 } } \right) . } \end{array}
A ( f ) = \mathrm { A m p } ( B _ { s } ^ { 0 } ( P ) \to \bar { D } ^ { 0 } ( q ) \phi ( \epsilon , p ) ) = \frac { G _ { F } } { \sqrt 2 } V _ { c b } ^ { * } V _ { u s } ~ a _ { 2 } ~ f _ { D } ~ 2 m _ { \phi } ~ A _ { 0 } ( m _ { D } ^ { 2 } ) ~ ( \epsilon ^ { * } \cdot q ) \; .
\sigma \approx \left( 1 - { \cal O } ( 1 ) \cdot \frac { \alpha } { \pi } \ln \frac { s } { m _ { e } ^ { 2 } } \ln \frac { E _ { \mathrm { B e a m } } } { k _ { 0 } } \right) \cdot \sigma _ { 0 }
{ \cal L } ^ { T } ( n ) = \left( \begin{array} { l l l l } { { \cosh \alpha } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { \sinh \alpha } } \\ { { - \sin \omega \; \sinh \alpha } } & { { \cos \omega } } & { { 0 } } & { { - \sin \omega \; \cosh \alpha } } \\ { { \sin \gamma \; \cos \omega \; \sinh \alpha } } & { { \sin \gamma \; \sin \omega } } & { { \cos \gamma } } & { { \sin \gamma \; \cos \omega \; \cosh \alpha } } \\ { { \cos \gamma \; \cos \omega \; \sinh \alpha } } & { { \cos \gamma \; \sin \omega } } & { { - \sin \gamma } } & { { \cos \gamma \; \cos \omega \; \cosh \alpha } } \end{array} \right) ,