harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { S ^ { \mathrm { F F } } } & { = \frac { k _ { \mathrm { d } } ^ { 2 } } { 4 \pi } \sum _ { l \neq 0 } ^ { \infty } \frac { \mathrm { e } ^ { i k _ { \mathrm { d } } R _ { l } } } { R _ { l } } \left( 1 - \frac { x _ { l } ^ { 2 } } { R _ { l } ^ { 2 } } \right) , } \\ { S ^ { \mathrm { M F } } } & { = \frac { k _ { \mathrm { d } } ^ { 2 } } { 4 \pi } \sum _ { l \neq 0 } ^ { \infty } \frac { \mathrm { e } ^ { i k _ { \mathrm { d } } R _ { l } } } { R _ { l } ^ { 2 } } \left( \frac { i } { k _ { \mathrm { d } } } - \frac { 3 i x _ { l } ^ { 2 } } { k _ { \mathrm { d } } R _ { l } ^ { 2 } } \right) , } \\ { S ^ { \mathrm { N F } } } & { = \frac { k _ { \mathrm { d } } ^ { 2 } } { 4 \pi } \sum _ { l \neq 0 } ^ { \infty } \frac { \mathrm { e } ^ { i k _ { \mathrm { d } } R _ { l } } } { R _ { l } ^ { 3 } } \left( - \frac { 1 } { k _ { \mathrm { d } } ^ { 2 } } + \frac { 3 x _ { l } ^ { 2 } } { k _ { \mathrm { d } } ^ { 2 } R _ { l } ^ { 2 } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \textit { j } ( \omega ) \sim } & { { } \int _ { \textrm { B Z } } d \textrm { K } _ { 0 x } \int _ { \textrm { B Z } } d \textrm { K } _ { 0 y } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d t \int _ { - \infty } ^ { t } d t ^ { \prime } g ( \textrm { K } _ { 0 x } , \textrm { K } _ { 0 y } , t , t ^ { \prime } ) } \end{array}
\mathbf { \Psi } ^ { \lambda } ( \mathbf { r } , t ) = \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { 3 / 2 } } \int d \mathbf { k } ~ g ^ { \lambda } ( \mathbf { k } ) \boldsymbol { \Psi } _ { \mathbf { k } } ^ { \lambda } ( \mathbf { r } , t ) ,
\frac { \frac { d \Delta E } { d t } _ { i } } { \frac { d \Delta E } { d t } _ { n e u t } } \approx \frac { \pi ^ { 6 } } { 1 8 0 \zeta ( 5 ) } \frac { n } { \mu _ { i } } e ^ { - \pi \sqrt { n } } ,
\beta ( a ) = - a ^ { 2 } ( 1 + 0 . 7 9 0 a + 0 . 8 8 3 a ^ { 2 } ) \sim - \alpha ^ { 2 } ( 1 + 0 . 5 6 6 \alpha + 0 . 4 5 3 \alpha ^ { 2 } ) \, .
\oint _ { S } \mu _ { 0 } \mathbf { H } \cdot \mathrm { d } \mathbf { A } = \oint _ { S } ( \mathbf { B } - \mu _ { 0 } \mathbf { M } ) \cdot \mathrm { d } \mathbf { A } = 0 - ( - q _ { \mathrm { M } } ) = q _ { \mathrm { M } } ,
\begin{array} { r l } { \hat { I } _ { g } } & { { } \sim \mathrm { N o r m a l } ( \mu = 0 , \sigma = 2 ) \quad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } g = \{ \mathrm { ~ m ~ a ~ l ~ e ~ , ~ f ~ e ~ m ~ a ~ l ~ e ~ } \} } \\ { \tau _ { g } } & { { } \sim \mathrm { H a l f C a u c h y } ( \beta = 1 0 ) } \\ { I _ { c , g } ^ { \dagger } } & { { } \sim \mathrm { N o r m a l } ( \mu = \hat { I } _ { g } , \sigma = \tau _ { g } ) } \\ { \hat { \sigma } _ { c , g } } & { { } \sim \mathrm { H a l f C a u c h y } ( \beta = 1 0 ) } \\ { I _ { s , c , g } } & { { } \sim \mathrm { S t u d e n t T } _ { \nu = 4 } \left( \mu = I _ { c , g } ^ { \dagger } , \sigma = \hat { \sigma } _ { c , g } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \langle \rho \rangle } { \partial t } + \nabla _ { \boldsymbol { x } } \cdot \big ( \langle \boldsymbol { v } \rho \rangle \big ) } & { = 0 , } \\ { \frac { \partial \langle \rho \boldsymbol { v } \rangle } { \partial t } + \nabla _ { \boldsymbol { x } } \cdot \big ( \langle \rho \boldsymbol { v } \otimes \boldsymbol { v } \rangle \big ) } & { = n \langle \widetilde { \alpha } \left( \boldsymbol { u } _ { o } - \boldsymbol { v } \right) \left| \boldsymbol { u } _ { o } - \boldsymbol { v } \right| \rangle , } \\ { \frac { \partial \langle P _ { \omega } \rangle } { \partial t } + \nabla _ { \boldsymbol { x } } \cdot \big ( \langle \boldsymbol { v } P _ { \omega } \rangle \big ) } & { = n \langle \widetilde { \beta } \left( \nabla \times \boldsymbol { u } _ { o } / 2 - \omega \hat { \boldsymbol { z } } \right) \left| \nabla \times \boldsymbol { u } _ { o } / 2 - \omega \hat { \boldsymbol { z } } \right| \rangle . } \end{array}
L _ { + } ^ { C } = \left( \begin{array} { l l } { { ( q t ^ { - 1 } ) ^ { S _ { 3 } } } } & { { \Omega S ^ { - } } } \\ { { 0 } } & { { ( q t ) ^ { - S _ { 3 } } } } \end{array} \right) \ \ \ , L _ { - } ^ { C } = \left( \begin{array} { l l } { { ( q t ) ^ { - S _ { 3 } } } } & { { 0 } } \\ { { - \Omega S ^ { + } } } & { { ( q t ^ { - 1 } ) ^ { S _ { 3 } } } } \end{array} \right) \ ,
\operatorname * { l i m } _ { m _ { \pi } ^ { 2 } \rightarrow 0 } m _ { \pi } ^ { 2 } \int d ^ { 3 } \vec { x } \, \omega _ { \pi } ^ { ( 1 ) } = - \lambda \int d ^ { 3 } \vec { x } \, ( \varphi _ { \pi } ^ { 3 } + \varphi _ { \pi } \varphi _ { \sigma } ^ { 2 } + 2 v \varphi _ { \pi } \varphi _ { \sigma } ) \ne 0 \quad ,
\begin{array} { r l } & { \varepsilon ^ { 2 } \{ U _ { n , \varepsilon } ( \alpha , \beta ) - U _ { n , \varepsilon } ( \alpha _ { 0 } , \beta ) \} } \\ { = } & { n \sum _ { k = 1 } ^ { n } \big ( P _ { k } ( \theta ) - P _ { k } ( \theta _ { 0 } ) \big ) ^ { \top } \Xi _ { k - 1 } ^ { - 1 } ( \beta ) \big ( P _ { k } ( \theta ) + P _ { k } ( \theta _ { 0 } ) \big ) } \\ { = } & { \sum _ { k = 1 } ^ { n } \Big ( b ( X _ { t _ { k - 1 } } , X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } , \theta _ { 0 } ) - b ( X _ { t _ { k - 1 } } , X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } , \theta ) \Big ) } \\ & { \times ( 2 \{ \Delta _ { k } X - \frac { 1 } { n } b ( X _ { t _ { k - 1 } } , X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } , \theta _ { 0 } ) \} } \\ & { + \frac { 1 } { n } \{ b ( X _ { t _ { k - 1 } } , X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } , \theta _ { 0 } ) - b ( X _ { t _ { k - 1 } } , X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } , \theta ) \} ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \mathrm { D } _ { \mathrm Y } ^ { \mathrm { ( X Y ) } } \right) _ { i k l n , j m } } & { = \sum _ { y y ^ { ' } } ( \textbf { 1 } _ { \mathrm { X } } ) _ { i j } \, ( | y \rangle ) _ { k } \, ( \textbf { 1 } _ { \mathrm { X } } ) _ { l m } \, ( | y ^ { ' } \rangle ) _ { n } \, \rho _ { y y ^ { ' } } } \\ & { = \sum _ { y y ^ { ' } } ( \textbf { 1 } _ { \mathrm { X } } ) _ { i j } \, ( \textbf { 1 } _ { \mathrm { Y } } ) _ { k y } \, ( \textbf { 1 } _ { \mathrm { X } } ) _ { l m } \, ( \textbf { 1 } _ { \mathrm { Y } } ) _ { n y ^ { ' } } \, \rho _ { y y ^ { ' } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { ( J h v _ { 1 } ) _ { i , j } ^ { n + 1 } - ( J h v _ { 1 } ) _ { i , j } ^ { n } = - \frac { \Delta t } { \Delta \xi _ { 1 } } \sum _ { m = 1 } ^ { p } \alpha _ { p , m } \left( \widetilde { H } _ { 1 } - \widetilde { H } _ { 2 } \right) - \frac { \Delta t } { \Delta \xi _ { 2 } } \sum _ { m = 1 } ^ { p } \alpha _ { p , m } \left( \widetilde { H } _ { 3 } - \widetilde { H } _ { 4 } \right) , } \end{array}
) s a t i s f y | \omega _ { 0 } | < 1 a n d | \omega _ { 1 } | < 1 . S e c o n d , i t c o u l d b e a \textit { s o u r c e } a n d l o c a l l y u n s t a b l e i f e i g e n v a l u e s s a t i s f y | \omega _ { 0 } | > 1 a n d | \omega _ { 1 } | > 1 . T h i r d , a f i x e d p o i n t c o u l d b e a \textit { s a d d l e } i f o n e o f t h e a b s o l u t e v a l u e s o f t h e e i g e n v a l u e s i s g r e a t e r t h a n 1 w h i l e t h e o t h e r i s s m a l l e r t h a n 1 . A t l a s t , a f i x e d p o i n t c o u l d b e \textit { n o n - h y p e r b o l i c } i f o n e o f t h e a b s o l u t e v a l u e s o f t h e e i g e n v a l u e s i s e q u a l t o 1 . T h e s t a b i l i t y o f a n o n - h y p e r b o l i c f i x e d p o i n t i s f r a g i l e
S _ { a _ { t h } } ^ { ^ { 1 / 2 } } ( \nu _ { _ { E P } } ) = \sqrt { 4 k _ { _ B } T \cdot \frac { k } { m ^ { 2 } Q } } \cdot \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \nu _ { _ { E P } } } }
( U _ { 1 } U _ { 2 } . . . U _ { M } ) ^ { - \sigma } \sum _ { i } ( \prod _ { a } H _ { a } ^ { - \Delta _ { a i } } \prod _ { b } U _ { b } ^ { \Lambda _ { b i } } ) ^ { \sigma } \sum _ { m _ { i } = 1 } ^ { r _ { i } } d z _ { i } ^ { m _ { i } } d z _ { i } ^ { m _ { i } } + \sum _ { \alpha } d x ^ { \alpha } d x ^ { \alpha } \} ,
\begin{array} { r l } { \int _ { \beta _ { 1 } } ^ { \beta _ { 2 } } C _ { V } / \beta ^ { 2 } ~ \mathrm d \beta } & { = - \frac 1 V \int _ { \beta _ { 1 } } ^ { \beta _ { 2 } } \frac { \partial E } { \partial \beta } ~ \mathrm d \beta } \\ & { = - \frac 1 V \left[ E \left( \beta _ { 2 } \right) - E ( \beta _ { 1 } ) \right] } \\ & { = e ( \beta _ { 1 } ) - e ( \beta _ { 2 } ) \equiv D ^ { 2 } \, , } \end{array}
D _ { c } ( k ) = \frac { \gamma Q _ { 0 } ( 1 ) ^ { 2 } ( \Gamma _ { 1 } \operatorname { t a n h } ( \Gamma _ { 1 } ) + \gamma ) } { k \operatorname { t a n h } ( k ) ( 2 \gamma Q _ { 0 } ( 1 ) R _ { 0 } ( 1 ) - \gamma - \Gamma _ { 1 } \operatorname { t a n h } ( \Gamma _ { 1 } ) ) } .
\begin{array} { r l r l } { \ensuremath { L } - \nabla u } & { = 0 } & & { \mathrm { ~ i n ~ } \Omega , } \\ { - \nabla \! \cdot \! \ensuremath { L } + \nabla p } & { = f } & & { \mathrm { ~ i n ~ } \Omega , } \\ { \nabla \! \cdot \! u } & { = 0 } & & { \mathrm { ~ i n ~ } \Omega , } \\ { u } & { = 0 } & & { \mathrm { ~ o n ~ } \partial \Omega , } \end{array}
p _ { T j } ^ { \mathrm { v e t o } } > p _ { T , \mathrm { v e t o } } \; , \qquad \qquad \eta _ { j } ^ { \mathrm { v e t o } } \varepsilon \; \; [ \eta _ { \ell } ^ { \mathrm { m i n } } - 1 . 7 , \eta _ { j } ^ { \mathrm { t a g } } ] \; \; \mathrm { o r } \; \; [ \eta _ { j } ^ { \mathrm { t a g } } , \eta _ { \ell } ^ { \mathrm { m a x } } + 1 . 7 ] \; .
\begin{array} { r l } { S _ { 1 } ( x ) } & { = \sum _ { p = 1 } ^ { S _ { k } - 1 } \sum _ { j \in A _ { p } } \mu _ { n } ( I _ { n , j } ) \Bigl ( \frac { p } { S _ { k } } \Bigr ) ^ { - s } } \\ & { \asymp \sum _ { p = 1 } ^ { S _ { k } - 1 } \# A _ { p } p ^ { - s } r _ { n } ^ { - 1 } \lambda ^ { - n } S _ { k } ^ { s } } \\ & { \asymp \lambda ^ { \frac { n } { 2 } ( s - 1 ) } \sum _ { p = 1 } ^ { S _ { k } - 1 } p ^ { - s } \le \lambda ^ { \frac { n } { 2 } ( s - 1 ) } \int _ { 0 } ^ { S _ { k } } u ^ { - s } \, \mathrm { d } u } \\ & { \le \lambda ^ { \frac { n } { 2 } ( s - 1 ) } \lambda ^ { \frac { n } { 2 } ( 1 - s ) } < C _ { 5 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { \mathcal { D } } ( { \bf \hat { n } } _ { 2 } , - \pi / 2 ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { i } \\ { i } & { 1 } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { d s ^ { 2 } } & { = } & { \! - f _ { G B } ( \Xi _ { \mathrm { \tiny ~ e f f } } d t \! - \! a d \varphi ) ^ { 2 } \! + \! \frac { r ^ { 2 } } { \ell _ { \mathrm { \tiny ~ e f f } } ^ { 4 } } ( a d t \! - \! \Xi _ { \mathrm { \tiny ~ e f f } } \ell _ { \mathrm { \tiny ~ e f f } } ^ { 2 } d \varphi ) ^ { 2 } \! + \! \frac { d r ^ { 2 } } { f _ { G B } } \, , } \\ { \phi } & { = } & { \ln ( r / l ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { - z ^ { 2 } \partial _ { r } ^ { 2 } \Psi _ { n } ^ { m } = } & { { } } & { - 2 \frac { z ^ { 2 } } { w _ { 0 } ^ { 2 } } \frac { 1 } { w _ { 0 } } \sqrt { \frac { 2 } { \pi } \frac { n ! } { ( n - m ) ! } } a ^ { - m / 2 } \mathrm { e } ^ { - a / 2 } \mathrm { e } ^ { i m \phi } \mathrm { e } ^ { i k z } } \end{array}
\begin{array} { r } { \| \operatorname* { s u p } _ { k } | L _ { k , s } * f | \| _ { \ell ^ { p } ( \mathbb { Z } ) } \leq \mathbf { C } _ { \epsilon } \cdot 2 ^ { \epsilon s } \cdot 2 ^ { - \mathbf { c } _ { p , d } s } \cdot \| f \| _ { \ell ^ { p } ( \mathbb { Z } ) } , \; \; \; \; \; \; 1 < p < \infty , \ \mathbf { c } _ { p , d } < 1 / d , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } { \mathcal { K } _ { 1 } ( t , \varphi _ { 1 } , \nabla \varphi ) } & { = - ( b _ { 1 } + b _ { 2 } + \delta _ { 1 } ) \varphi _ { 1 } + \gamma ( t ) \varphi _ { 4 } + b _ { 3 } \varphi _ { 3 } + b _ { 4 } \varphi _ { 2 } - \mathcal { F } ( \varphi _ { 1 } , \varphi _ { 3 } ) - \mathcal { G } ( \varphi _ { 1 } , \varphi _ { 2 } ) , } \\ { \mathcal { K } _ { 2 } ( t , \varphi _ { 2 } , \nabla \varphi ) } & { = - ( b _ { 4 } + c _ { 1 } + \delta _ { 2 } ) \varphi _ { 2 } + b _ { 2 } \varphi _ { 1 } + c _ { 2 } \varphi _ { 3 } - \nabla \cdot ( \varphi _ { 2 } V _ { 2 } ( \varphi ) \nu ) + \mathcal { G } ( \varphi _ { 1 } , \varphi _ { 2 } ) - \mathcal { H } ( \varphi _ { 2 } , \varphi _ { 3 } ) , } \\ { \mathcal { K } _ { 3 } ( t , \varphi _ { 3 } , \nabla \varphi ) } & { = - ( b _ { 3 } + c _ { 2 } + \delta _ { 3 } ) \varphi _ { 3 } + b _ { 1 } \varphi _ { 1 } + c _ { 1 } \varphi _ { 2 } - \phi ( t ) \varphi _ { 3 } - \nabla \cdot ( \varphi _ { 3 } V _ { 3 } ( \varphi ) \nu ) + \mathcal { F } ( \varphi _ { 1 } , \varphi _ { 3 } ) + \mathcal { H } ( \varphi _ { 2 } , \varphi _ { 3 } ) , } \\ { \mathcal { K } _ { 4 } ( t , \varphi _ { 4 } , \nabla \varphi ) } & { = - \gamma ( t ) \varphi 4 , } \\ { \mathcal { K } _ { 5 } ( t , \varphi _ { 5 } , \nabla \varphi ) } & { = \phi ( t ) \varphi _ { 3 } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } & { } & { \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq k _ { \theta , n } } \left\vert \frac { 1 } { n } \sum _ { t = 1 } ^ { n } E \left[ \epsilon _ { t } ^ { 2 } \right] E \left[ x _ { i , t } ^ { 2 } \right] - \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow \infty } \frac { 1 } { n } \sum _ { t = 1 } ^ { n } E \left[ \epsilon _ { t } ^ { 2 } \right] E \left[ x _ { i , t } ^ { 2 } \right] \right\vert = O ( k _ { \theta , n } / \sqrt { n } ) } \\ & { } & { \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq k _ { \theta , n } } \left\vert \frac { 1 } { n } \sum _ { t = 1 } ^ { n } E \left[ \left( \beta _ { 0 } ^ { \prime } x _ { t } \right) ^ { 2 } x _ { i , t } ^ { 2 } \right] - \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow \infty } \frac { 1 } { n } \sum _ { t = 1 } ^ { n } E \left[ \left( \beta _ { 0 } ^ { \prime } x _ { t } \right) ^ { 2 } x _ { i , t } ^ { 2 } \right] \right\vert = O ( k _ { \theta , n } / \sqrt { n } ) . } \end{array}
\gamma _ { m } \frac { 1 } { n } \left( \partial _ { x } z _ { n } , \partial _ { x } z _ { n } \right) _ { \Omega } \leq \left( \gamma ( u _ { n } + \frac { 1 } { n } ) \partial _ { x } z _ { n } , \partial _ { x } z _ { n } \right) _ { \Omega } .
\begin{array} { r l r } & { \large ( \Delta t ^ { n } } & { \rightarrow M A E _ { 2 7 } ^ { n + 1 } \large ) _ { 2 l i n k } + \large ( S S N _ { 2 7 } ^ { n } \rightarrow M A E _ { 2 7 } ^ { n + 1 } \large ) _ { 2 l i n k } } \\ & { = } & { 1 / 2 \ \large [ A \ I ( M A E _ { 2 7 } ^ { n + 1 } ; \Delta t ^ { n } ) - I ( M A E _ { 2 7 } ^ { n + 1 } ; \Delta t ^ { n } | S S N _ { 2 7 } ^ { n } ) } \\ & { + } & { I ( M A E _ { 2 7 } ^ { n + 1 } ; S S N _ { 2 7 } ^ { n } ) - I ( M A E _ { 2 7 } ^ { n + 1 } ; S S N _ { 2 7 } ^ { n } | \Delta t ^ { n } ) \large ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Lambda ^ { k } \{ [ I \nabla _ { t } ( A ^ { - 1 } \# B ) ] A [ I \nabla _ { t } ( A ^ { - 1 } \# B ) ] \} } & { \leq I } \\ { \Lambda ^ { k } [ I \nabla _ { t } ( A ^ { - 1 } \# B ) ] ^ { - 2 } } & { \geq \Lambda ^ { k } A } \\ { \Lambda ^ { k } [ I \nabla _ { t } ( A ^ { - 1 } \# B ) ] ^ { 2 } } & { \leq \Lambda ^ { k } A ^ { - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { S ^ { ( 0 ) } ( t _ { w } ) } & { { } = S _ { * } S _ { h } ( t _ { w } , t _ { * } ) + \int _ { t _ { * } } ^ { t _ { w } } d t ^ { \prime } D ^ { * } n ^ { ( 0 ) } S _ { h } ( t _ { w } , t ^ { \prime } ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { B _ { j ^ { \prime } k ^ { \prime } l ^ { \prime } } = } & { \sum _ { l = 0 } ^ { n _ { \varphi } - 1 } \sum _ { n = 0 } ^ { n _ { \varphi } - 1 } \exp { \left( \frac { 2 \pi i } { n _ { \varphi } } n l \right) } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \Lambda _ { l ^ { \prime } } ( \varphi ) \Lambda _ { l } ( \varphi ) d \varphi } \\ & { \sum _ { j } \sum _ { k } \phi _ { j k } ^ { ( n ) } \int \Lambda _ { j ^ { \prime } } ( r ) \Lambda _ { k ^ { \prime } } ( \theta ) \Lambda _ { j } ( r ) \Lambda _ { k } ( \theta ) r d r d \theta } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { + \infty } \frac { W _ { f } ( w , x ) } { \sqrt { w } } \mathrm { d } w } & { { } = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \left( \int _ { 0 } ^ { + \infty } \frac { 1 } { w } \hat { \psi } ( \frac { k } { w } ) \mathrm { d } w \right) \hat { f } ( k ) e ^ { - i k x } \mathrm { d } k . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho } & { = \frac { 2 L } { N ( N - 1 ) } } \\ & { = \frac { 2 } { N ( N - 1 ) } \left( L _ { a a } + L _ { a b } + L _ { b b } \right) } \\ & { = \frac { 2 } { N ( N - 1 ) } \left( L _ { a a } \frac { N _ { a } ( N _ { a } - 1 ) } { N _ { a } ( N _ { a } - 1 ) } + L _ { a b } \frac { N _ { a } N _ { b } } { N _ { a } N _ { b } } + L _ { b b } \frac { N _ { b } ( N _ { b } - 1 ) } { N _ { b } ( N _ { b } - 1 ) } \right) } \\ & { \approx \rho _ { a a } n _ { a } ^ { 2 } + 2 \rho _ { a b } n _ { a } ( 1 - n _ { a } ) + \rho _ { b b } ( 1 - n _ { a } ) ^ { 2 } } \end{array}
F = - \frac { 1 } { \beta } \sum _ { N = 0 } ^ { \infty } \sum _ { \stackrel { k r = N } { r \ o d d } } \sum _ { s = 0 } ^ { N / r - 1 } \frac { e ^ { - \frac { N \beta } { \sqrt { 2 } R } } } { N } Z \left( \tau , \bar { \tau } \right)
\mathbf { H } ( \mathbf { r } ) = { \frac { 1 } { 4 \pi } } { \frac { 3 \mathbf { \hat { r } } ( \mathbf { \hat { r } } \cdot \mathbf { m } ) - \mathbf { m } } { | \mathbf { r } | ^ { 3 } } } .
\mathbb { D } _ { \ell \nu } ^ { \mathrm { T E } } ( R _ { \ell } ) = \left( \begin{array} { l l } { J _ { \nu } ^ { \prime } ( k _ { \ell } R _ { \ell } ) } & { H _ { \nu } ^ { \prime } ( k _ { \ell } R _ { \ell } ) } \\ { \frac { 1 } { \eta _ { \ell } } J _ { \nu } ( k _ { \ell } R _ { \ell } ) } & { \frac { 1 } { \eta _ { \ell } } H _ { \nu } ( k _ { \ell } R _ { \ell } ) } \end{array} \right) .
\frac { d { \sigma } _ { n 0 } ( N = \pm 1 ) } { d \Omega } = I \; \frac { k _ { f } } { k _ { i } } \frac { | \boldsymbol { \varepsilon } \cdot \hat { \mathbf { q } } | ^ { 2 } } { q ^ { 2 } \omega ^ { 4 } } \left[ { \cal I } _ { n 0 } ( q ) \pm \frac { \omega } { q } { \cal J } _ { n 0 1 } ( \pm \omega , q ) \right] ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { 2 \eta ^ { - } ( a _ { 1 } + a _ { 3 } / 5 ) + 3 \eta ^ { + } c _ { 3 } / 5 } & { { } = - t _ { a } ^ { 1 } } \\ { 8 \eta ^ { + } ( c _ { 1 } - c _ { 3 } / 5 ) + 2 \eta ^ { - } 1 9 a _ { 3 } / 1 0 5 } & { { } = 2 { \hat { \gamma } } f - t _ { a } ^ { 3 } . } \end{array}
\langle \left\{ \hat { n } _ { 2 } , \hat { n } _ { 2 } ^ { \dagger } \right\} \rangle = 2 \langle \hat { n } _ { 2 } \hat { n } _ { 2 } ^ { \dagger } \rangle - \langle \left[ \hat { n } _ { 2 } , \hat { n } _ { 2 } ^ { \dagger } \right] \rangle
\begin{array} { r } { \frac { \partial x _ { i } ^ { * } } { \partial \alpha _ { j } } = \frac { ( x _ { i } ^ { * } ) ^ { \frac { \alpha _ { i } } { \alpha _ { j } } } \frac { \alpha _ { i } } { \alpha _ { j } ^ { 2 } } \ln x _ { i } ^ { * } } { \sum _ { t = 1 } ^ { n } \frac { \alpha _ { i } } { \alpha _ { t } } ( x _ { i } ^ { * } ) ^ { \frac { \alpha _ { i } } { \alpha _ { t } } - 1 } } . } \end{array}
[ J _ { 0 } , J _ { + } ] = J _ { + } ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ [ J _ { + } , J _ { - } ] = { \frac { 1 } { 2 } } ~ ( q ^ { 2 J _ { 0 } } - q ^ { - 2 J _ { 0 } } ) / ( q - q ^ { - 1 } ) ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ [ J _ { - } , J _ { 0 } ] = J _ { - } ~ ,
\begin{array} { r l r } { \frac { I _ { 1 , 2 , ( 0 ) } ( a ^ { * } , c ^ { * } ) } { I _ { 1 , 2 , ( 1 ) } ( a ^ { * } ) } } & { = } & { \frac { ( 1 - ( 1 - c ^ { * } ) ^ { p } ) ( ( p + 1 ) ( a ^ { * } - 5 c ^ { * } ) - 1 ) + p c ^ { * } ( 1 - c ^ { * } ) ^ { p } } { 2 ( 1 - a ^ { * } ) ^ { p + 1 } p } } \\ & { = } & { \frac { ( 1 - ( 1 - c ^ { * } ) ^ { p } ) ( ( p + 1 ) ( 1 - 6 c ^ { * } ) - 1 ) + p c ^ { * } ( 1 - c ^ { * } ) ^ { p } } { 2 ( c ^ { * } ) ^ { p + 1 } p } } \\ & { \ge } & { \frac { p ( 1 - c ^ { * } ) ^ { p - 1 } ( ( p + 1 ) ( 1 - 6 c ^ { * } ) - 1 ) + p c ^ { * } ( 1 - c ^ { * } ) ^ { p } } { 2 ( c ^ { * } ) ^ { p + 1 } p } } \\ & { = } & { \frac { ( 1 - c ^ { * } ) ^ { p - 1 } } { 2 ( c ^ { * } ) ^ { p + 1 } } ( ( p + 1 ) ( 1 - 6 c ^ { * } ) - 1 + c ^ { * } ( 1 - c ^ { * } ) ) } \\ & { \ge } & { \frac { 1 - 1 1 c ^ { * } - ( c ^ { * } ) ^ { 2 } } { 2 ( c ^ { * } ) ^ { 2 } } } \\ & { = } & { \frac { 1 } { 2 } 1 0 ^ { 2 q } - \frac { 1 1 } { 2 } 1 0 ^ { q } - \frac { 1 } { 2 } > 1 . } \end{array}
\begin{array} { r } { P ( \eta , v ) = d _ { 1 , 0 } \eta + v \eta ^ { 2 } ( d _ { 2 , 0 } + d _ { 2 , 1 } \log ( \eta ) ) + { \cal O } ( v ^ { 2 } ) \, , } \\ { d _ { 1 , 0 } = \pi \kappa \, , \quad d _ { 2 , 0 } = 2 \pi \kappa ( 1 + ( 1 - \gamma _ { E } - \log ( \kappa ) ) \kappa - \log ( 2 ) ) \, , \quad d _ { 2 , 1 } = - 2 \pi \kappa ^ { 2 } \, . } \end{array}
\Phi _ { C } ( { \bf r } , t ) = \left\{ \begin{array} { c c c } { \frac { q \Theta ( - t ) } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } \, ; } \\ { \frac { q \Theta ( t ) } { \sqrt { ( x - v t ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } \, ; } \end{array} \right. ; \, \, \Phi _ { L } ( { \bf r } , t ) = \left\{ \begin{array} { c c c } { \frac { q \Theta ( - t ) } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } \, ; } \\ { \frac { q \Theta ( t ) } { \sqrt { ( x - v t ) ^ { 2 } + [ 1 - ( v / c ) ^ { 2 } ] [ y ^ { 2 } + z ^ { 2 } ] } } \, ; } \end{array} \right.
= b _ { m } ^ { * } ( 0 ) b _ { m } ( 0 ) \sum _ { \boldsymbol { R _ { n } } } e ^ { - i { \boldsymbol { k \cdot R _ { n } } } } \sum _ { \boldsymbol { R _ { \ell } } } e ^ { i { \boldsymbol { k \cdot R _ { \ell } } } } \ \int d ^ { 3 } r \ \varphi _ { m } ^ { * } ( { \boldsymbol { r - R _ { n } } } ) \varphi _ { m } ( { \boldsymbol { r - R _ { \ell } } } )
\begin{array} { r l } { f _ { l } ( x ) } & { { } = \sum _ { n } f _ { l n } j _ { l } \left( x \alpha _ { l n } \right) , \; l > 0 } \\ { f _ { 0 } ( x ) } & { { } = \sum _ { n } f _ { 0 n } j _ { 0 } ^ { \prime } \left( n \pi x \right) = - \sum _ { n } n \pi f _ { 0 n } j _ { 1 } ( n \pi x ) \; . } \end{array}
P _ { 5 } ( z _ { 1 } , . . . , z _ { 5 } ) = z _ { 1 } ^ { 5 } + z _ { 2 } ^ { 5 } + z _ { 3 } ^ { 5 } + z _ { 4 } ^ { 5 } + z _ { 5 } ^ { 5 } + a _ { 0 } \prod _ { i = 1 } ^ { 5 } z _ { i } = 0 ,
\vec { E } ( z , \omega ) = E _ { 0 , x } ~ \exp \left[ i \left( \omega t - \frac { n _ { x } \omega } { c } z \right) \right] \hat { e } _ { x } + E _ { 0 , y } ~ \exp \left[ i \left( \omega t - \frac { n _ { y } \omega } { c } z \right) \right] \hat { e } _ { y }
\begin{array} { r l } & { \gamma _ { k } \left( \tau _ { k } + \lambda _ { 2 } - \frac { 1 } { 4 \eta _ { k } } \right) \mathrm { K L } ( q _ { * } \| q _ { k } ^ { * } ) } \\ { \leq } & { \gamma _ { 1 } \eta _ { 1 } \mathrm { K L } ( p _ { * } \| p _ { 0 } ^ { * } ) + \gamma _ { 1 } \tau _ { 1 } \mathrm { K L } ( q _ { * } \| q _ { 0 } ^ { * } ) + \sum _ { t = 1 } ^ { k } \gamma _ { t } \left[ 4 ( 1 + \mu _ { t } ) \epsilon + \mathrm { E x p e c t E r r } _ { p _ { t } ^ { * } } ( \delta _ { t , 1 } ) + \mathrm { E x p e c t E r r } _ { q _ { t } ^ { * } } ( \delta _ { t , 2 } ) \right] } \\ & { + \sum _ { t = 1 } ^ { k } \gamma _ { t } \left[ \mathrm { S t o E r r } _ { ( \hat { \phi } _ { t } ) _ { n } } ^ { y } ( q _ { t } ^ { * } ) + \mathrm { S t o E r r } _ { ( \hat { \phi } _ { t } ) _ { n } } ^ { y } ( q _ { * } ) + \mathrm { S t o E r r } _ { ( \hat { \psi } _ { t } ) _ { n } } ^ { x } ( p _ { t } ^ { * } ) + \mathrm { S t o E r r } _ { ( \hat { \psi } _ { t } ) _ { n } } ^ { x } ( p _ { * } ) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r } { \beta _ { p q } = \sum _ { \mathrm { ~ e ~ v ~ e ~ n ~ } k , l = 0 } ^ { p , q } \left( \frac { k } { 2 } \right) ! \left( \frac { l } { 2 } \right) ! \alpha _ { p k } \alpha _ { q l } P _ { \frac { k } { 2 } \frac { l } { 2 } } , } \end{array}
\chi = L ^ { 2 } \left[ \langle \phi ^ { 2 } \rangle - \langle \phi \rangle ^ { 2 } \right] , \ \ \ \chi _ { p } = L ^ { 2 } \left[ \langle \phi _ { p } ^ { 2 } \rangle - \langle \phi _ { p } \rangle ^ { 2 } \right]
i ( 2 \pi ) ^ { 4 } \Phi ( \xi , \eta ; P ) = \sum _ { 1 2 3 } \lambda { \Delta _ { 1 } } ^ { - 1 } { \Delta _ { 2 } } ^ { - 1 } \int d ^ { 4 } q _ { 1 2 } ^ { \prime } \Phi ( { \xi _ { 3 } } ^ { \prime } , { \eta _ { 3 } } ; P )