harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \overline { { { \cal M } } } } _ { T } ^ { ( { \lambda } , { \lambda } ^ { \prime } ) } ( { M } _ { q { \bar { q } } } , z , Q ^ { 2 } ) = - \frac { { e } _ { q } } { ( Q ^ { 2 } + M _ { q { \bar { q } } } ^ { 2 } ) \sqrt { 2 } } \left[ M _ { q { \bar { q } } } e ^ { \pm \mathrm { i } \varphi } ( 2 z - 1 \pm { \lambda } ) { \delta } _ { \lambda , - { \lambda } ^ { \prime } } + \frac { ( \lambda \pm 1 ) m _ { q } } { \sqrt { z ( 1 \! - \! z ) } } { \delta } _ { \lambda , \lambda ^ { \prime } } \right] \ ,
{ \begin{array} { r l } { { \frac { \partial h } { \partial t } } } & { + { \frac { \partial } { \partial x } } { \Bigl ( } ( H + h ) u { \Bigr ) } + { \frac { \partial } { \partial y } } { \Bigl ( } ( H + h ) v { \Bigr ) } = 0 , } \\ { { \frac { \partial u } { \partial t } } } & { + u { \frac { \partial u } { \partial x } } + v { \frac { \partial u } { \partial y } } - f v = - g { \frac { \partial h } { \partial x } } - k u + \nu \left( { \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x ^ { 2 } } } + { \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial y ^ { 2 } } } \right) , } \\ { { \frac { \partial v } { \partial t } } } & { + u { \frac { \partial v } { \partial x } } + v { \frac { \partial v } { \partial y } } + f u = - g { \frac { \partial h } { \partial y } } - k v + \nu \left( { \frac { \partial ^ { 2 } v } { \partial x ^ { 2 } } } + { \frac { \partial ^ { 2 } v } { \partial y ^ { 2 } } } \right) , } \end{array} }
C _ { n } = \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - i \frac { G _ { p h } } { 2 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - i \frac { G _ { p h } } { 2 } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , C _ { p } = \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { - i \frac { G _ { p h } } { 2 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - i \frac { G _ { p h } } { 2 } } & { 0 } \end{array} \right)
( { \cal A } _ { \cal R } ) _ { A B } ^ { A ^ { \prime } B ^ { \prime } } = \frac { i \, s } { \left( 2 \pi \right) ^ { D - 1 } } \int \frac { d ^ { D - 2 } q _ { 1 } } { \vec { q } _ { 1 } ^ { \: 2 } \vec { q } _ { 1 } ^ { \: \prime \: 2 } } \int \frac { d ^ { D - 2 } q _ { 2 } } { \vec { q } _ { 2 } ^ { \: 2 } \vec { q } _ { 2 } ^ { \: \prime \: 2 } } \int _ { \delta - i \infty } ^ { \delta + i \infty } \frac { d \omega } { \mathrm { s i n } ( \pi \omega ) } \left[ \left( \frac { - s } { s _ { 0 } } \right) ^ { \omega } - \tau \left( \frac { s } { s _ { 0 } } \right) ^ { \omega } \right]
\Omega ( E ) = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { n ! } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \prod _ { j = 1 } ^ { n } d \varepsilon _ { j } f ( \varepsilon _ { j } ) \delta \left( E - \sum _ { j = 1 } ^ { n } \varepsilon _ { j } \right) .
\begin{array} { r l } { \ell _ { 2 } } & { = \mathbb { P } ( \Pi \in { \cal M } , \widetilde { \Pi } \in { \cal M } ) \cdot \check { \mathbb { E } } [ \exp ( X ) ] } \\ & { = \mathbb { P } ( \Pi \in { \cal M } , \widetilde { \Pi } \in { \cal M } ) \cdot \check { \mathbb { E } } \Bigl [ \exp \Bigl ( \gamma \sum _ { s = 1 } ^ { \infty } w _ { s } X _ { s } \Bigr ) \Bigr ] } \\ & { \leq \mathbb { P } ( \Pi \in { \cal M } , \widetilde { \Pi } \in { \cal M } ) \cdot \sum _ { s = 1 } ^ { \infty } w _ { s } \check { \mathbb { E } } [ \exp ( \gamma X _ { s } ) ] } \\ & { = \sum _ { s = 1 } ^ { \infty } w _ { s } \; \mathbb { E } \bigl [ \exp ( \gamma X _ { s } ) \cdot 1 \{ \Pi \in { \cal M } , \widetilde { \Pi } \in { \cal M } \} \bigr ] . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } & { \sinh x = { \frac { 2 t } { 1 - t ^ { 2 } } } , \qquad \cosh x = { \frac { 1 + t ^ { 2 } } { 1 - t ^ { 2 } } } , \qquad \operatorname { t a n h } x = { \frac { 2 t } { 1 + t ^ { 2 } } } , } \\ & { \coth x = { \frac { 1 + t ^ { 2 } } { 2 t } } , \qquad \operatorname { s e c h } x = { \frac { 1 - t ^ { 2 } } { 1 + t ^ { 2 } } } , \qquad \operatorname { c s c h } x = { \frac { 1 - t ^ { 2 } } { 2 t } } , } \\ & { { \mathrm { a n d } } \qquad d x = { \frac { 2 } { 1 - t ^ { 2 } } } \, d t . } \end{array} }
\begin{array} { r } { f ( x , 0 ) = \left\{ \begin{array} { l l } { C _ { f } \exp \left( - \frac { ( x - m _ { f } ^ { 0 } ) ^ { 2 } } { 2 \kappa _ { f } } \right) } & { x \ge 0 } \\ { 0 } & { x < 0 } \end{array} \right. } \\ { g ( y , 0 ) = \left\{ \begin{array} { l l } { C _ { g } \exp \left( - \frac { ( y - m _ { g } ^ { 0 } ) ^ { 2 } } { 2 \kappa _ { g } } \right) } & { y \ge 0 } \\ { 0 } & { y < 0 , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d } { d t } \textrm { v e c } ( \rho ) = - i ( I \otimes H - H ^ { T } \otimes I ) \textrm { v e c } ( \rho ) + \sum _ { j = 1 } ^ { 2 } \hat { \mathcal { L } } _ { j } \textrm { v e c } ( \rho ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \| { \boldsymbol x } ( t _ { n } ) - { \boldsymbol x } _ { 0 } \| < \frac { r } { 2 } , \ \ \ \int _ { \Phi ( { \boldsymbol x } _ { 0 } ) } ^ { \Phi ( { \boldsymbol x } ( t _ { n } ) ) } \psi ( \zeta ) d \zeta < \frac { r } { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { S _ { A } ^ { 2 \to 3 } = \left[ { \begin{array} { c c c c c } { P _ { 0 0 } } & { P _ { 0 1 } } \\ { P _ { 1 0 } } & { P _ { 1 1 } } \\ { P _ { 2 0 } } & { P _ { 2 1 } } \end{array} } \right] , ~ ~ ~ S _ { B } ^ { 2 \to 3 } = \left[ { \begin{array} { c c c c c } { Q _ { 0 0 } } & { Q _ { 0 1 } } \\ { Q _ { 1 0 } } & { Q _ { 1 1 } } \\ { Q _ { 2 0 } } & { Q _ { 2 1 } } \end{array} } \right] ; } \\ { P _ { i j } , Q _ { i j } \ge 0 , ~ ~ \sum _ { i } P _ { i j } = 1 = \sum _ { i } Q _ { i j } . ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ } \end{array}
\begin{array} { r l r } { S _ { a S , e n v } [ \omega ] \! \! \! } & { = } & { \! \! \! \left| \frac { g A _ { p } } { v _ { g } } \right| ^ { 2 } \! \! \int _ { 0 } ^ { L } \! \! \! \! \! d z \! \! \int _ { 0 } ^ { L } \! \! \! \! \! d z ^ { \prime } e ^ { i \frac { \omega } { v _ { g } } ( z \! - \! z ^ { \prime } ) } \frac { \langle { B } ^ { \dag } ( \omega , z ) { B } ( \omega ^ { \prime } , z ^ { \prime } ) \rangle } { 2 \pi \delta ( \omega - \omega ^ { \prime } ) } } \\ & { = } & { \! \! \! \left| \frac { g A _ { p } } { v _ { g } } \right| ^ { 2 } S _ { B } [ \omega ] , } \end{array}
\mathrm { n L 2 } ( \mathbf { y } _ { i } , \mathbf { \hat { y } } _ { i } ) = \mathrm { n L 2 } _ { i } = \frac { \| \mathbf { \hat { y } } _ { i } - \mathbf { y } _ { i } \| _ { 2 } } { \| \mathbf { y } _ { i } \| _ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { ( b _ { y } ) _ { i , j } \frac { \partial \zeta } { \partial x } ( x _ { i } , y _ { j } ) } & { = \frac { \bar { \rho } _ { c } g } { 2 \Delta x \Delta y } ( b _ { i , j + 1 / 2 } - b _ { i , j - 1 / 2 } ) \left[ ( \eta _ { c } - b _ { i + 1 / 2 , j } ) ^ { 2 } - ( \eta _ { c } - b _ { i - 1 / 2 , j } ) ^ { 2 } \right] } \\ & { = \frac { \bar { \rho } _ { c } g } { 2 \Delta x \Delta y } ( b _ { i + 1 / 2 , j } - b _ { i - 1 / 2 , j } ) \left[ ( \eta _ { c } - b _ { i , j + 1 / 2 } ) ^ { 2 } - ( \eta _ { c } - b _ { i , j - 1 / 2 } ) ^ { 2 } \right] } \\ & { = ( b _ { x } ) _ { i , j } \frac { \partial \zeta } { \partial y } ( x _ { i } , y _ { j } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { N _ { m } } & { { } = \frac { D _ { m } } { T _ { m } } \bigg [ \omega _ { C } \omega _ { A } ^ { 2 } \left( \frac { k k _ { x } } { k _ { x } ^ { 2 } + k _ { z } ^ { 2 } } \right) \left( - ( \lambda _ { m } ^ { P } ) ^ { 2 } + \omega _ { \eta } ^ { 2 } + 2 \mathrm { i } \omega _ { \eta } \lambda _ { m } ^ { P } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { g _ { m } } & { = \int \int h _ { m } ( \mathbf { r } , e ) } \\ & { * [ f ^ { T h } ( \mathbf { r } ) P ^ { T h } ( e ) + f ^ { R a } ( \mathbf { r } ) P ^ { R a } ( e ) ] ~ d ^ { 3 } r ~ d e + \psi _ { m } + n _ { m } } \\ & { = \int f ^ { T h } ( \mathbf { r } ) \int h _ { m } ( \mathbf { r } , e ) P ^ { T h } ( e ) ~ d e } \\ & { + f ^ { R a } ( \mathbf { r } ) \int h _ { m } ( \mathbf { r } , e ) P ^ { R a } ( e ) ~ d e ~ d ^ { 3 } r + \psi _ { m } + n _ { m } . } \end{array}
\mathcal { D } ^ { \Omega } = \left\{ ( t _ { i } , x _ { i } ) \in \Omega , \quad \mathcal { F } ( u _ { \Theta } ( t _ { i } , x _ { i } ) ) = \xi _ { f } ( t _ { i } , x _ { i } ) \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \mathcal { H } ( u _ { \Theta } ( t _ { i } , x _ { i } ) ) = \xi _ { h } ( t _ { i } , x _ { i } ) , \, i = 1 . . . N ^ { \Omega } \right\}
g _ { J } ( t , x ) = \sum _ { n = S + J } ^ { n _ { \operatorname* { m a x } } } \mathbf { 1 } _ { \left\{ \substack { \mathbf { n } ( x ) = n \, \mathbf { s } ( x ) = S } \right\} } \sum _ { \mathbf { v } _ { 0 } \in \mathbb { B } ( n - S , J ) } \sum _ { \substack { \mathbf { v } \subseteq \mathbf { v } _ { 0 } \, \# \mathbf { v } = I } } G ^ { n , \mathbf { v } _ { 0 } , \mathbf { v } } ( t , \tau ( x ) ) ,
\mathbf { L } = - i \hbar ~ \mathbf { r } \times \nabla = i \hbar \left( { \frac { \hat { \boldsymbol { \theta } } } { \sin ( \theta ) } } { \frac { \partial } { \partial \phi } } - { \hat { \boldsymbol { \phi } } } { \frac { \partial } { \partial \theta } } \right) .
\operatorname* { i n f } _ { \psi \mapsto ( \rho , \mathbf { j } ) } \left\{ \langle \psi | H _ { 0 } | \psi \rangle - \langle \mathbf { a } [ \psi ; \mathbf { j } ] \cdot \mathbf { A } , \rho \rangle \right\}
\begin{array} { r } { \mathcal { C } \left( r \right) = \mathcal { V } ^ { - 1 } \left[ \begin{array} { l } { \langle \mathbf { g } \left( \gamma _ { 0 } \right) , \overline { { \mathcal { K } } } _ { \varepsilon } ^ { r } \mathbf { g } \left( \gamma _ { 0 } \right) \rangle _ { \mathbb { K } } } \\ { \langle \overline { { \mathcal { K } } } _ { \varepsilon } \mathbf { g } \left( \gamma _ { 0 } \right) , \overline { { \mathcal { K } } } _ { \varepsilon } ^ { r } \mathbf { g } \left( \gamma _ { 0 } \right) \rangle _ { \mathbb { K } } } \\ { \langle \overline { { \mathcal { K } } } _ { \varepsilon } ^ { 2 } \mathbf { g } \left( \gamma _ { 0 } \right) , \overline { { \mathcal { K } } } _ { \varepsilon } ^ { r } \mathbf { g } \left( \gamma _ { 0 } \right) \rangle _ { \mathbb { K } } } \\ { \vdots } \\ { \langle \overline { { \mathcal { K } } } _ { \varepsilon } ^ { r - 1 } \mathbf { g } \left( \gamma _ { 0 } \right) , \overline { { \mathcal { K } } } _ { \varepsilon } ^ { r } \mathbf { g } \left( \gamma _ { 0 } \right) \rangle _ { \mathbb { K } } } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathfrak { M } _ { \mathcal { R } _ { n } } ^ { \sharp , \gamma } ( 0 , s ) } & { \le \mathbb { M } _ { 0 } ( s ) N _ { n - 1 } ^ { - \sigma _ { 1 } } , } \\ { \operatorname* { s u p } _ { \vec { b } \in \mathbb { N } _ { 0 } ^ { \nu } , \ | \vec { b } | = \mathtt { b } _ { 0 } } \mathfrak { M } _ { \partial _ { \varphi } ^ { \vec { b } } ( \mathcal { R } _ { n } ) } ^ { \sharp , \gamma } ( 0 , s ) } & { \le \mathbb { M } _ { 0 } ( s ) N _ { n - 1 } , } \\ { \mathfrak { M } _ { d _ { i } ( \mathcal { R } _ { n } ) ( i _ { 0 } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] } ^ { \sharp } ( 0 , s _ { 0 } ) } & { \le _ { \mathtt { p e } } \varepsilon ^ { 3 } \gamma ^ { - 1 } N _ { n - 1 } ^ { - \sigma _ { 1 } } \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { \mathtt { p } , 1 } } , } \\ { \operatorname* { s u p } _ { \vec { b } \in \mathbb { N } _ { 0 } ^ { \nu } , \ | \vec { b } | = \mathtt { b } _ { 0 } } \mathfrak { M } _ { \partial _ { \varphi } ^ { \vec { b } } ( d _ { i } \mathcal { R } _ { n } ( i _ { 0 } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] ) } ^ { \sharp } ( 0 , s _ { 0 } ) } & { \le _ { \mathtt { p e } } \varepsilon ^ { 3 } \gamma ^ { - 1 } N _ { n - 1 } \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { \mathtt { p } , 1 } } , . } \end{array}
\begin{array} { r l } { u ( y , z ) } & { { } = { \frac { G } { 2 \mu \left( { \frac { 1 } { a ^ { 2 } } } + { \frac { 1 } { b ^ { 2 } } } \right) } } \left( 1 - { \frac { y ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } - { \frac { z ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } } \right) , } \\ { Q } & { { } = { \frac { \pi G a ^ { 3 } b ^ { 3 } } { 4 \mu ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } ) } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \langle ( \mathcal { H } _ { K } - \mathcal { E } _ { \mathrm { C C } } ( t _ { * } ) ) e ^ { T _ { * } } \Phi _ { 0 } , S \Phi _ { 0 } \rangle = \langle e ^ { - T _ { * } } ( \mathcal { H } _ { K } - \mathcal { E } _ { \mathrm { C C } } ( t _ { * } ) ) e ^ { T _ { * } } \Phi _ { 0 } , ( e ^ { T _ { * } \rangle ) ^ { \dag } S \Phi _ { 0 } } } \\ & { = \langle e ^ { - T _ { * } } ( \mathcal { H } _ { K } - \mathcal { E } _ { \mathrm { C C } } ( t _ { * } ) ) e ^ { T _ { * } } \Phi _ { 0 } , \Pi _ { \mathfrak { V \rangle ( e ^ { T _ { * } } ) ^ { \dag } S \Phi _ { 0 } } } + \langle e ^ { - T _ { * } } ( \mathcal { H } _ { K } - \mathcal { E } _ { \mathrm { C C } } ( t _ { * } ) ) e ^ { T _ { * } } \Phi _ { 0 } , \underbrace { \Pi _ { \mathrm { c o n s t } \cdot \Phi _ { 0 } } } } \\ & { = \langle e ^ { - T _ { * } } \mathcal { H } _ { K } e ^ { T _ { * } } \Phi _ { 0 } , \Pi _ { \mathfrak { V \rangle ( e ^ { T _ { * } } ) ^ { \dag } S \Phi _ { 0 } } } , } \end{array}
u _ { 3 } ^ { ( v S G ) } = 4 \mathrm { ~ a ~ r ~ c ~ t ~ a ~ n ~ } \left( e ^ { - \frac { 3 \mathrm { ~ s ~ i ~ n ~ } \left( 2 t \right) } { 2 k _ { 1 } } + k _ { 1 } x } \right) .
\begin{array} { r l } { X _ { \Delta _ { 1 } } = } & { ( - 2 D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 2 } + D _ { 2 ^ { \prime } 2 3 3 ^ { \prime } } + D _ { 3 3 ^ { \prime } } + D _ { 2 ^ { \prime } 2 } - 1 ) { \eta _ { 1 } } + ( { { D _ { 3 3 ^ { \prime } 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } } } - 2 { D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } } } + { D _ { 2 ^ { \prime } } } } ) { \eta _ { 3 } } } \\ { + } & { ( { D _ { 3 3 ^ { \prime } 3 3 ^ { \prime } } - 2 { D _ { 3 3 ^ { \prime } } } + 1 } ) { \eta _ { 1 ^ { \prime } } } + ( - 2 { D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 2 3 } } + { D _ { 2 ^ { \prime } 2 3 3 ^ { \prime } 3 } } + { D _ { 3 3 ^ { \prime } 3 } } + { D _ { 2 ^ { \prime } 2 3 } } - { D _ { 3 } } ) { \eta _ { 2 ^ { \prime } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \mathcal { L } _ { 1 + } } = - i Q _ { + } \otimes M ^ { \prime } \otimes { { I } _ { { { n } _ { N H E O M } } } } } \\ & { = - i \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) \otimes \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 1 } & { } & { } \\ { } & { 0 } & { \ddots } & { } \\ { } & { } & { \ddots } & { 1 } \\ { } & { } & { } & { 0 } \end{array} \right) } \\ & { \otimes \left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & { } & { } & { } \\ { } & { 1 } & { } & { } \\ { } & { } & { \ddots } & { } \\ { } & { } & { } & { 1 } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { B _ { \varepsilon } ( x _ { 0 } ) } \psi \left( x , \frac { | \mathfrak { v } _ { \varepsilon } ^ { \psi } - m _ { \varepsilon } | } { \varepsilon } \right) d x \leq C \int _ { B _ { \varepsilon } ( x _ { 0 } ) } \psi _ { \varepsilon } ^ { - } \left( \left| \nabla w ( x ) \right| \right) \, d x + \omega _ { d } \varepsilon ^ { d } \psi _ { \varepsilon _ { 0 } } ^ { + } ( \sigma ) . } \end{array}
f _ { n } = - \frac { e ^ { \sigma } } { N _ { n } } \left[ J _ { \alpha } ( \frac { m _ { n } } { k } e ^ { \sigma } ) + \beta _ { \alpha } ( m _ { n } ) Y _ { \alpha } ( \frac { m _ { n } } { k } e ^ { \sigma } ) \right] ,
\Vert f _ { n } \Vert _ { \mathcal { H } ^ { \otimes n } } ^ { 2 } = \int _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { 2 n } } \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } \mathcal { F } f ( \mathbf { t } , \cdot , t , x ) ( \boldsymbol \xi ) \overline { { \mathcal { F } f ( \mathbf { s } , \cdot , t , x ) ( \boldsymbol \xi ) } } \prod _ { j = 1 } ^ { n } \Lambda _ { H _ { 0 } } ( t _ { j } - s _ { j } ) \boldsymbol \mu ( \ensuremath { \mathrm { d } } \boldsymbol \xi ) \ensuremath { \mathrm { d } } \mathbf { t } \ensuremath { \mathrm { d } } \mathbf { s } ,
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m i n } _ { \varepsilon ^ { c } , \varepsilon ^ { q } } \frac { { \mathrm { l n } ( 1 / \varepsilon ^ { q } ) \eta \mathrm { l n } 2 } } { D _ { m a x } { \mathrm { l n } ( \frac { T _ { f } { \mathrm { l n } ( 1 / \varepsilon ^ { q } ) } } { \lambda _ { q } D _ { m a x } } + 1 ) B } } + \sqrt { \frac { 1 } { T _ { f } B } } Q ^ { - 1 } ( \varepsilon ^ { c } ) } \end{array}
G _ { F S } ( \lambda ) = [ a \sin { ( 1 . 2 3 \lambda ) } + b \cos { ( 1 . 2 3 \lambda ) } ] e ^ { 0 . 5 5 3 \lambda } + c e ^ { - 0 . 3 3 2 \lambda } + d e ^ { - 2 . 5 7 \lambda } + 2 . 8 9 ,
\frac { i } { p ^ { 4 } ( p ^ { 2 } - m ^ { 2 } ) } = \frac { i } { m ^ { 4 } ( p ^ { 2 } - m ^ { 2 } ) } - \frac { i } { m ^ { 4 } p ^ { 2 } } - \frac { i } { m ^ { 2 } p ^ { 4 } } \, ,
\begin{array} { r l } { \mathbf { F } _ { i } } & { = \mathrm { D I R } ( \mathbf { C T } _ { i } , \mathbf { C T } _ { \mathrm { M i d P } } ) \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ i = 1 , . . . , P ~ } } \\ { \mathbf { d } _ { t o t } } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { P } \mathbf { d } _ { i } ^ { \mathrm { d y n } } ( \mathbf { v } + \mathbf { F } _ { i } ( \mathbf { v } ) ) \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ \mathbf { v } \in \mathbb { R } ^ 3 ~ . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { n } ( t ) } & { { } = O _ { n } \left[ \frac { 1 } { \sigma } - \frac { 1 } { \sigma } \exp [ - \sigma t ] \right] = 1 - O _ { n } \left[ \frac { 1 } { \sigma } \exp [ - \sigma t ] \right] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { f _ { T } ( k _ { x } ^ { \prime } , k _ { p } ^ { \prime } ) } & { { } = } & { \frac { e ^ { \frac { \lambda } { 4 } ( k _ { x } ^ { 2 } + k _ { p } ^ { 2 } ) } } { 2 \pi \beta } \int \int d x d p H _ { Q } ^ { ( T ) } ( x , p ) e ^ { - i ( k _ { x } ^ { \prime } x + k _ { p } ^ { \prime } p ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle y | P | y ^ { \prime } \rangle } & { = \int d x _ { 1 } \int d x _ { 2 } \; \; \langle y | x _ { 1 } \rangle \langle x _ { 1 } | P | x _ { 2 } \rangle \langle x _ { 2 } | y ^ { \prime } \rangle } \\ & { = \int d x _ { 1 } \int d x _ { 2 } \; \; ( e ^ { \frac { - i g ( x _ { 1 } ) } { \hbar } } \delta ( x _ { 1 } - x ) ) . ( - i \hbar \frac { \partial } { \partial x _ { 1 } } \delta ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) ) . ( e ^ { \frac { i g ( x _ { 2 } ) } { \hbar } } \delta ( x _ { 2 } - x ^ { \prime } ) ) } \\ & { = \qquad ? } \end{array}
\begin{array} { r c l } { \displaystyle - ( \delta _ { t } n _ { h } ^ { m + 1 } , i _ { h } \frac { 1 } { n _ { h } ^ { m + 1 } + 1 } ) _ { h } } & { + } & { \displaystyle ( n _ { h } ^ { m + 1 } { \boldsymbol u } _ { h } ^ { m } , \nabla i _ { h } \frac { 1 } { n _ { h } ^ { m + 1 } + 1 } ) _ { * } } \\ & { - } & { \displaystyle ( \nabla n _ { h } ^ { m + 1 } , \nabla i _ { h } \frac { 1 } { n _ { h } ^ { m + 1 } + 1 } ) } \\ & { + } & { \displaystyle ( n _ { h } ^ { m + 1 } \nabla c _ { h } ^ { m + 1 } , \nabla i _ { h } \frac { 1 } { n _ { h } ^ { m + 1 } + 1 } ) _ { * } } \\ & { - } & { \displaystyle ( B _ { n } ( n _ { h } ^ { m + 1 } , { \boldsymbol u } _ { h } ^ { m } ) n _ { h } ^ { m + 1 } , i _ { h } \frac { 1 } { n _ { h } ^ { m + 1 } + 1 } ) = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { n } ( t , x , x ^ { \prime } ) } & { = \widetilde { J } ( t , x , x ^ { \prime } ) + \lambda ^ { 2 } ( \widetilde { G } \triangleright \rho _ { n - 1 } ) ( t , x , x ^ { \prime } , 0 , 0 ) } \\ & { = \widetilde { J } ( t , x , x ^ { \prime } ) + \sum _ { m = 1 } ^ { n } \lambda ^ { 2 m } ( \widetilde { G } ^ { \triangleright m } \triangleright \widetilde { J } ) ( t , x , x ^ { \prime } , 0 , 0 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { U } ( R ) ( x _ { j } ) _ { l } \mathcal { U } ( R ) ^ { * } } & { = \sum _ { m = 1 } ^ { 3 } R _ { m , l } ( x _ { j } ) _ { m } = ( R ^ { - 1 } x _ { j } ) _ { l } \ , } \\ { \mathcal { U } ( R ) ( p _ { j } ) _ { l } \mathcal { U } ( R ) ^ { * } } & { = \sum _ { m = 1 } ^ { 3 } R _ { m , l } ( p _ { j } ) _ { m } = ( R ^ { - 1 } p _ { j } ) _ { l } \ , } \end{array}
{ \mathcal H } _ { 2 } { \mathcal J } _ { \Lambda } = \varepsilon _ { \lambda , 2 } \, { \mathcal J } _ { \Lambda } \qquad \mathrm { a n d } \qquad { \mathcal J } _ { \Lambda } = m _ { \Lambda } + \sum _ { \Omega < _ { h } \Lambda } v _ { \Lambda \Omega } \, m _ { \Omega } \, ,
\begin{array} { r } { D ( r , \theta , r ^ { \prime } , \theta ^ { \prime } ) = { \frac { e ^ { \prime } } { 2 e } } \; g _ { 0 } ( \cos ( \theta - \theta ^ { \prime } ) ) + { \frac { r ^ { \prime } } { r } } \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } { \frac { ( r ^ { \prime } - r ) ^ { m } } { ( 2 r ) ^ { m } } } \, g _ { m } ( \cos ( \theta - \theta ^ { \prime } ) ) } \end{array}
D _ { n } ^ { \pm } ( r _ { i } , \theta _ { i } ) = - \sqrt { \frac { 2 } { \kappa _ { n } } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { \sin \frac { 1 } { 2 } ( \theta _ { i } + \mathrm { i } t ) } { \cos ( \theta _ { i } + \mathrm { i } t ) + \cos \Theta _ { n } ^ { \pm } } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \kappa _ { n } r _ { i } \cosh t } \mathrm { d } \, t .
\begin{array} { r l r } { \bar { p } _ { t + 1 , z } ^ { H } } & { = } & { \mathbb { E } _ { t } \left[ \frac { H _ { t + 1 } } { \eta _ { z } } \right] , } \\ & { = } & { \frac { 1 } { \eta _ { z } } \mathbb { E } _ { t } \left[ H _ { t z } - \lambda _ { z } Q _ { t z } H _ { t z } E _ { t + 1 , z } ^ { b u r n } - Q _ { z } ^ { i n i t } E _ { t + 1 , z } ^ { s t a r t } \right] , } \\ & { = } & { \frac { 1 } { \eta _ { z } } \left( \mathbb { E } _ { t } \left[ H _ { t z } \right] - \lambda _ { z } \mathbb { E } _ { t } \left[ Q _ { t z } H _ { t z } \right] \mathbb { E } _ { t } \left[ E _ { t + 1 , z } ^ { b u r n } \right] - Q _ { z } ^ { i n i t } \mathbb { E } _ { t } \left[ E _ { t + 1 , z } ^ { s t a r t } \right] \right) , } \\ & { = } & { \bar { p } _ { t z } ^ { H } - \lambda _ { z } ( \eta _ { z } - 1 ) \bar { p } _ { t z } ^ { Q } \bar { p } _ { t z } ^ { H } \bar { p } _ { t z } ^ { K , x } - Q _ { z } ^ { i n i t } \bar { p } _ { t + 1 , z } ^ { s t a r t } , } \\ { \bar { p } _ { t + 1 , z } ^ { D } } & { = } & { \mathbb { E } _ { t } \left[ \frac { D _ { t + 1 } } { \eta _ { z } } \right] , } \\ & { = } & { \frac { 1 } { \eta _ { z } } \mathbb { E } _ { t } \left[ D _ { t z } + Q _ { t z } ( 1 - K _ { t z } ^ { x } ) + \xi _ { z } Q _ { t z } ^ { x } \right] , } \\ & { = } & { \frac { 1 } { \eta _ { z } } \left( \mathbb { E } _ { t } \left[ D _ { t z } \right] + \mathbb { E } _ { t } \left[ Q _ { t z } \right] - \mathbb { E } _ { t } \left[ Q _ { t z } E _ { t + 1 , z } ^ { b u r n } \right] + \xi _ { z } \mathbb { E } _ { t } \left[ Q _ { t z } E _ { t + 1 , z } ^ { b u r n } \right] \right) , } \\ & { = } & { \bar { p } _ { t z } ^ { D } + \bar { p } _ { t z } ^ { Q } ( 1 - \bar { p } _ { t z } ^ { K , x } ) + \xi _ { z } \bar { p } _ { t z } ^ { Q } \bar { p } _ { t z } ^ { K , x } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| f ( x , y ) - f ( \tilde { x } , } & { \tilde { y } ) \| _ { X } ^ { 2 } = \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \Big | - x _ { k } + x _ { k } ^ { 2 } y _ { k } - \frac { 1 } { k ^ { 2 } } x _ { k } ^ { 3 } - \big ( - \tilde { x } _ { k } + \tilde { x } _ { k } ^ { 2 } \tilde { y } _ { k } - \frac { 1 } { k ^ { 2 } } \tilde { x } _ { k } ^ { 3 } \big ) \Big | ^ { 2 } + | y _ { k } - \tilde { y } _ { k } | ^ { 2 } } \\ & { \le \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \Big | | x _ { k } - \tilde { x } _ { k } | + x _ { k } ^ { 2 } | y _ { k } - \tilde { y } _ { k } | + | x _ { k } ^ { 2 } - \tilde { x } _ { k } ^ { 2 } | | \tilde { y } _ { k } | + \frac { 1 } { k ^ { 2 } } | x _ { k } ^ { 3 } - \tilde { x } _ { k } ^ { 3 } | \Big | ^ { 2 } + | y _ { k } - \tilde { y } _ { k } | ^ { 2 } . } \end{array}
\widehat { H } = - \sum _ { i = 1 } ^ { 8 } \left[ \sum _ { l = 1 } ^ { i - 1 } \left< \frac { G m _ { i } m _ { l } } { \| \vec { r } _ { i } - \vec { r } _ { l } \| } \right> + \frac { 3 G ^ { 2 } m _ { 0 } ^ { 2 } m _ { i } } { c ^ { 2 } a _ { i } ^ { 2 } \sqrt { 1 - e _ { i } ^ { 2 } } } \right] .