harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
E _ { 2 } = \frac { \sqrt { s } } { 2 } \quad ; \quad \cos \theta _ { 1 } = \frac { 2 E _ { b } \sqrt { s } - 2 E _ { r } \sqrt { s } + 2 E _ { r } E _ { b } - s - m _ { b } ^ { 2 } + m _ { s } ^ { 2 } } { 2 E _ { r } | \vec { p } _ { b } | } \, .
\begin{array} { r } { ( \dot { \mathrm { H } } _ { \mathfrak { t } , \sigma } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) , \dot { \mathrm { D } } _ { p } ^ { s } ( \mathring { \mathbb { A } } _ { \mathcal { H } , \mathfrak { t } } ) ) _ { \theta , q } \hookrightarrow \dot { \mathrm { B } } _ { p , q , \mathcal { H } _ { \mathfrak { t } } } ^ { s + 2 \theta , \sigma } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) \hookrightarrow \dot { \mathrm { B } } _ { p , q , \mathcal { H } _ { \mathfrak { t } } } ^ { s + 2 \theta } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) \mathrm { . ~ } } \end{array}
\phi ( r , \cos \theta ) = \frac { 1 } { 2 } ( f - 1 ) = - \frac { 2 m } { r } + 4 \left( \frac { m } { r } \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } f _ { 3 } ( \cos \theta ) \left( \frac { m } { r } \right) ^ { 3 } + \frac { 1 } { 2 } f _ { 4 } ( \cos \theta ) \left( \frac { m } { r } \right) ^ { 4 } + \cdots ,
\int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \pi } [ Y _ { l ^ { \prime } } ^ { m ^ { \prime } } ( \theta , \phi ) ] ^ { * } Y _ { l } ^ { m } ( \theta , \phi ) \sin ^ { 2 } \theta \, \mathrm { d } \theta \, \mathrm { d } \phi = \delta _ { l , l ^ { \prime } } \, \delta _ { m , m ^ { \prime } } .
\dot { \kappa } = \frac { \partial \kappa } { \partial t } + \mathbf v \cdot \nabla \kappa = \frac { \partial \kappa } { \partial t } + \mathbf v _ { T } \cdot \nabla _ { \Gamma } \kappa + v _ { N } ( \mathbf n \cdot \nabla ) \kappa \quad \mathrm { ~ o ~ n ~ } ~ \Gamma .
\begin{array} { r l } { \langle \ell ; N , S , J , M | T _ { p } ^ { 1 } ( S ) } & { | \ell ^ { \prime } ; N ^ { \prime } , S , J ^ { \prime } , M ^ { \prime } \rangle } \\ & { = \delta _ { \ell , \ell ^ { \prime } } ( - 1 ) ^ { J - M } \left( \begin{array} { c c c } { J } & { 1 } & { J ^ { \prime } } \\ { - M } & { p } & { - M } \end{array} \right) } \\ & { \times ( - 1 ) ^ { J + N + S + 1 } \sqrt { ( 2 J + 1 ) ( 2 J ^ { \prime } + 1 ) } \left\{ \begin{array} { c c c } { S } & { J ^ { \prime } } & { N } \\ { J } & { S } & { 1 } \end{array} \right\} } \\ & { \times \sqrt { S ( S + 1 ) ( 2 S + 1 ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { a ~ m a x i m u m ~ a t ~ } } & { \left\{ \begin{array} { l l } { \sin \tau = 0 , } \\ { \cos A \cos \tau \geq 0 ; } \end{array} \right. \quad \mathrm { o r } \quad \left\{ \begin{array} { l l } { \sin ^ { 2 } \tau = \frac { \sin ^ { 4 } A - \cos ^ { 2 } A } { \sin ^ { 2 } A } , } \\ { \cos A \cos s \geq 0 ; } \end{array} \right. } \\ { \mathrm { a ~ m i n i m u m ~ a t ~ } } & { \left\{ \begin{array} { l l } { \sin \tau = 0 , } \\ { \cos A \cos \tau \leq 0 . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { f ( \mathbf x _ { b } , t + h ) } & { = } & { \gamma ^ { r } \hat { f } ^ { r } ( \mathbf x _ { b } - \mathbf v h , t ) } \\ & { } & { + ( 1 - \gamma ^ { r } ) f ^ { M } ( \mathbf x _ { b } , t + h ) } \\ & { = } & { e ^ { - \nu h } f ( \mathbf x _ { b } - \mathbf v h , t ) } \\ & { } & { + ( \gamma ^ { r } - e ^ { - \nu h } ) f ^ { M } ( \mathbf x _ { b } - \mathbf v h , t ) } \\ & { } & { + ( 1 - \gamma ^ { r } ) f ^ { M } ( \mathbf x _ { b } , t + h ) } \\ & { = } & { e ^ { - \nu h } \left[ f ( \mathbf x _ { b } , t ) - h \mathbf v \cdot \nabla f ( \mathbf x _ { b } , t ) \right] } \\ & { } & { + ( \gamma ^ { r } - e ^ { - \nu h } ) \left[ f ^ { M } ( \mathbf x _ { b } , t ) - h \mathbf v \cdot \nabla f ^ { M } ( \mathbf x _ { b } , t ) \right] } \\ & { } & { + ( 1 - \gamma ^ { r } ) \left[ f ^ { M } ( \mathbf x _ { b } , t ) + h \partial _ { t } f ^ { M } ( \mathbf x _ { b } , t ) \right] + O ( h ^ { 2 } ) } \end{array}
\operatorname { C o n v } _ { h } ( z ) : = { \frac { P _ { h } ( z ) } { Q _ { h } ( z ) } } = j _ { 0 } + j _ { 1 } z + \cdots + j _ { 2 h - 1 } z ^ { 2 h - 1 } + \sum _ { n \geq 2 h } { \widetilde { j } } _ { h , n } z ^ { n } ,
\begin{array} { r l } { \left\langle { G _ { 1 } \Im G _ { 2 } A } \right\rangle } & { = m _ { 1 } \left\langle { \Im G _ { 2 } A } \right\rangle - m _ { 1 } \left\langle { \underline { { W G _ { 1 } \Im G _ { 2 } A } } } \right\rangle } \\ & { + m _ { 1 } \frac { 1 } { N } \sum _ { i , j = 1 } ^ { N } S _ { i j } ( G _ { 1 } \Im G _ { 2 } ) _ { j j } ( G _ { 2 } ^ { * } A ) _ { i i } } \\ & { + m _ { 1 } \frac { 1 } { N } \sum _ { i , j = 1 } ^ { N } S _ { i j } ( G _ { 1 } G _ { 2 } ) _ { j j } ( \Im G _ { 2 } A ) _ { i i } } \\ & { + m _ { 1 } \frac { 1 } { N } \sum _ { i , j = 1 } ^ { N } S _ { i j } ( ( G _ { 1 } ) _ { j j } - m _ { 1 } ) ( G _ { 1 } \Im G _ { 2 } A ) _ { i i } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ r ^ { 2 } ( t ) \right] } & { { } = F \int ^ { t } \mathbb { E } \left[ \mathrm { S } ( s ) \right] \mathrm { d } s + r ^ { 2 } ( 0 ) \approx \frac { F e ^ { - C t } } { C } \left( \mathrm { S } _ { d } ^ { \ast } - \mathrm { S } ( 0 ) \right) + F \mathrm { S } _ { d } ^ { \ast } t + r ^ { 2 } ( 0 ) } \\ { \mathbb { E } \left[ \left( r ^ { 2 } ( t ) \right) ^ { 2 } \right] } & { { } = F ^ { 2 } \mathbb { E } \left[ \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { t } \mathrm { S } ( s ) \mathrm { S } ( u ) \mathrm { d } s \mathrm { d } u \right] = 2 F ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { u } \frac { A ^ { 2 } } { 2 C } \left( e ^ { - C ( u - s ) } - e ^ { - C ( u + s ) } \right) \mathrm { d } s \mathrm { d } u } \end{array}
\begin{array} { r l } { E ( \rho _ { _ c } , \vec { u } ( t ) , \vec { \mathfrak { x } } ( t ) ) } & { = \pi \Bigl ( \rho _ { _ c } | \vec { u } | ^ { 2 } , ~ r \Bigr ) + 2 \pi \gamma \Big \langle \vec { \mathfrak { x } } \cdot \vec { e } _ { 1 } , | \vec { \mathfrak { x } } _ { \alpha } | \Big \rangle , } \\ { M ( \vec { \mathfrak { x } } ( t ) ) } & { = \pi \left\langle ( \vec { \mathfrak { x } } \cdot \vec { e } _ { 1 } ) ^ { 2 } \, \vec { \nu } , \vec { e } _ { 1 } \, | \vec { \mathfrak { x } } _ { \alpha } | \right\rangle , } \end{array}
f ( \mathbf { x } , \sigma ^ { 2 } \mid \mu , \mathbf { V } ^ { - 1 } , \alpha , \beta ) = | \mathbf { V } | ^ { - 1 / 2 } { ( 2 \pi ) ^ { - k / 2 } } \, { \frac { \beta ^ { \alpha } } { \Gamma ( \alpha ) } } \, \left( { \frac { 1 } { \sigma ^ { 2 } } } \right) ^ { \alpha + 1 + k / 2 } \exp \left( - { \frac { 2 \beta + ( \mathbf { x } - { \boldsymbol { \mu } } ) ^ { T } \mathbf { V } ^ { - 1 } ( \mathbf { x } - { \boldsymbol { \mu } } ) } { 2 \sigma ^ { 2 } } } \right) .
0 = \frac { \partial } { \partial x ^ { k } } \left( \frac { \partial x ^ { i } } { \partial \xi ^ { \alpha } } \frac { \partial \xi ^ { \alpha } } { \partial x ^ { j } } \right) = \frac { \partial } { \partial x ^ { k } } \left( \frac { \partial x ^ { i } } { \partial \xi ^ { \alpha } } \right) \frac { \partial \xi ^ { \alpha } } { \partial x ^ { j } } + \frac { \partial x ^ { i } } { \partial \xi ^ { \alpha } } \frac { \partial ^ { 2 } \xi ^ { \alpha } } { \partial x ^ { j } \partial x ^ { k } } = \frac { \partial \xi ^ { \beta } } { \partial x ^ { k } } \frac { \partial ^ { 2 } x ^ { i } } { \partial \xi ^ { \alpha } \partial \xi ^ { \beta } } \frac { \partial \xi ^ { \alpha } } { \partial x ^ { j } } + \frac { \partial x ^ { i } } { \partial \xi ^ { \alpha } } \frac { \partial ^ { 2 } \xi ^ { \alpha } } { \partial x ^ { j } \partial x ^ { k } } ,
\frac { \varepsilon _ { \mathrm { D } } ^ { ^ { \prime } } ( i \xi _ { n } ) - 1 } { \varepsilon _ { \mathrm { D } } ^ { ^ { \prime } } ( i \xi _ { n } ) + 2 } = \Phi \frac { \varepsilon _ { \mathrm { ~ w ~ } } ( i \xi _ { n } ) - 1 } { \varepsilon _ { \mathrm { ~ w ~ } } ( i \xi _ { n } ) + 2 } + ( 1 - \Phi ) \frac { \varepsilon _ { \mathrm { D } } ( i \xi _ { n } ) - 1 } { \varepsilon _ { \mathrm { D } } ( i \xi _ { n } ) + 2 } ,
\begin{array} { r l } & { \| \mathbf { C } _ { n } ^ { \prime } \mathbf { C } _ { n } ^ { \top } \mathbf { G } _ { n } \mathbf { F } _ { n } - \mathbf { C } _ { n } ^ { \prime } \mathbf { C } _ { n } ^ { \top } \| _ { F } \leq ( \| \mathbf { H } ^ { \dag } \| _ { 2 } \| \mathbf { R } \| _ { 2 } + 1 ) \Delta _ { \mu _ { n } + 1 } ( \mathbf { C } _ { n } , 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { i } ( A _ { i } , \underline { { A } } _ { \partial i } ) } & { = \delta _ { A _ { i } } ^ { 0 } C _ { i } ( 0 , \underline { { A } } _ { \partial i } ) + \sum _ { t = 1 } ^ { H } \delta _ { A _ { i } } ^ { i ^ { t } } C _ { i } ( i ^ { t } , \underline { { A } } _ { \partial i } ) + \sum _ { t = 1 } ^ { H } \sum _ { j \in \partial i } \delta _ { A _ { i } } ^ { j ^ { t } } C _ { i } ( j ^ { t } , \underline { { A } } _ { \partial i } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } \bar { h } _ { 0 } ( \bar { r } , t ) } & { \; = } & & { \; \frac { 1 } { \pi } ( 1 - t ) ( 1 - \mathrm { e } ^ { - \bar { r } } ) , } \\ { \bar { h } _ { 1 } ( \bar { r } , t ) } & { \; = } & & { \; \frac { 2 ( 1 - t ) } { \pi } \left( 1 - \mathrm { e } ^ { - \bar { r } } \right) - \frac { ( 1 - t ) \bar { r } } { 2 \pi } \mathrm { e } ^ { - \bar { r } } , } \end{array}
\langle R _ { c v } ^ { d } \rangle = \mathcal { R } _ { d } | P _ { c v } | ^ { 2 } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { n ^ { 3 } } \mathcal { G } _ { B F } ( E _ { x _ { n } } - \hbar \omega ) .
\Gamma _ { k } ^ { ( \mathrm { t y p e } ) } = \int \Theta ^ { ( \mathrm { t y p e } ) } ( k , k ^ { \prime } , \theta _ { \boldsymbol { k } , \boldsymbol { k } ^ { \prime } } ) \mathrm { d } ^ { 3 } \boldsymbol { k } ^ { \prime } = \int \Theta ^ { ( \mathrm { t y p e } ) } ( k , k ^ { \prime } , \theta _ { \boldsymbol { k } , \boldsymbol { k } ^ { \prime } } ) 2 \pi k ^ { \prime 2 } \mathrm { d } k ^ { \prime } \sin \theta _ { \boldsymbol { k } , \boldsymbol { k } ^ { \prime } } \mathrm { d } \theta _ { \boldsymbol { k } , \boldsymbol { k } ^ { \prime } }
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { c } _ { 1 } + C _ { 1 } \boldsymbol { c } _ { M } = } & { \left( a _ { i } \cdot \frac { \lambda ^ { - 1 } - 1 } { 1 - \lambda ^ { n _ { i } } } + a _ { j } \cdot \frac { 1 - \lambda ^ { - 1 } } { 1 - \lambda ^ { - n _ { j } } } , \right. } \\ & { \quad \quad \left. b _ { i } \cdot \frac { \lambda - 1 } { 1 - \lambda ^ { - n _ { i } } } + b _ { j } \cdot \frac { 1 - \lambda } { 1 - \lambda ^ { n _ { j } } } \right) } \\ { = } & { \left( ( 1 - \lambda ^ { - 1 } ) d _ { i j a } , ( \lambda - 1 ) d _ { i j b } \right) } \\ { \in } & { \operatorname { C e l l } ( \boldsymbol { d } _ { i j } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { F } _ { 4 \, 1 } ^ { - 2 } ( i ) } & { { } = \frac { 2 1 } { 1 6 } \sqrt { 1 0 } ( \sin i ) ^ { 3 } \cos i - \frac { 9 } { 1 6 } \sqrt { 1 0 } \sin i \cos i } \end{array}
Z ( m ^ { 2 } , g ) = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { d \varphi } { \sqrt { 2 \pi } } e ^ { - \frac { m ^ { 2 } } { 2 } \varphi ^ { 2 } - \frac { g } { 4 ! } \varphi ^ { 4 } } .
- \, \frac { \partial u _ { \infty } ( \xi ) } { \partial \mathbf { n } } \, \geq - \, \frac { \partial u _ { p } ( \xi ) } { \partial \mathbf { n } } , \qquad - \, \frac { \partial u _ { \infty } ( \xi ) } { \partial \mathbf { n } } \, \geq \operatorname* { l i m } _ { p \to \infty } \Bigl ( - \, \frac { \partial u _ { p } ( \xi ) } { \partial \mathbf { n } } \Bigr ) .
\stackrel { \left( 0 \right) } { \omega } _ { 1 } = a _ { \; \; i } ^ { a } \left( \left[ A _ { i } ^ { a } \right] , \left[ \partial _ { i } B _ { a } ^ { 0 i } \right] , \left[ \pi \right] \right) \eta _ { 2 a } ^ { i } .
{ \begin{array} { r l } { U ( x , y , z ) } & { \propto \iint _ { \mathrm { A p e r t u r e } } \, A ( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } ) e ^ { - i { \frac { 2 \pi } { \lambda } } \left[ ( l - l _ { 0 } ) x ^ { \prime } + ( m - m _ { 0 } ) y ^ { \prime } \right] } \, d x ^ { \prime } \, d y ^ { \prime } } \\ & { \propto \iint _ { \mathrm { A p e r t u r e } } \, A ( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } ) e ^ { - i k \left[ ( l - l _ { 0 } ) x ^ { \prime } + ( m - m _ { 0 } ) y ^ { \prime } \right] } \, d x ^ { \prime } \, d y ^ { \prime } } \end{array} }
{ \hat { p } } _ { x } = - i \hbar { \frac { \partial } { \partial x } } , \quad { \hat { p } } _ { y } = - i \hbar { \frac { \partial } { \partial y } } , \quad { \hat { p } } _ { z } = - i \hbar { \frac { \partial } { \partial z } } \,
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega } { \left| \nabla w \right| } ^ { p } \, d x } & { = \int _ { 0 } ^ { + \infty } \int _ { \partial W _ { t } } { \left| \nabla w \right| } ^ { p - 1 } \, d \mathcal { H } ^ { n - 1 } = \int _ { 0 } ^ { + \infty } C _ { t } ^ { p - 1 } P ( W _ { t } ) \, d t \, d \mathcal { H } ^ { n - 1 } } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { + \infty } \left( C _ { t } ^ { \sharp } \right) ^ { p - 1 } P ( W _ { t } ) \, d t \, d \mathcal { H } ^ { n - 1 } = \int _ { 0 } ^ { + \infty } \int _ { \partial W _ { t } ^ { \sharp } } \lvert \nabla w ^ { \sharp } \rvert ^ { p - 1 } \, d \mathcal { H } ^ { n - 1 } = \int _ { \Omega ^ { \sharp } } \lvert \nabla w ^ { \sharp } \rvert ^ { p } \, d x . } \end{array}
a _ { Q _ { R } } = a _ { \mu } \frac { [ 1 - a _ { \mu } v ( \xi ) \lambda _ { R } ] } { [ 1 + a _ { \mu } l ( \xi ) \lambda _ { R } ] } = a _ { \mu ^ { \prime } } \frac { [ 1 - a _ { \mu ^ { \prime } } v ( \xi ) \lambda _ { R } ^ { \prime } ] } { [ 1 + a _ { \mu ^ { \prime } } l ( \xi ) \lambda _ { R } ^ { \prime } ] }
\begin{array} { r l } { \widetilde { R } _ { 2 1 } ( b , \sigma ) } & { = \widetilde { R } _ { 2 1 } ^ { 0 } ( b ) + \sigma \widetilde { R } _ { 2 1 } ^ { e } ( b , \sigma ) \quad \mathrm { w i t h } \quad \widetilde { R } _ { 2 1 } ^ { 0 } ( b ) = - ( \widetilde { L } _ { 2 2 } ^ { 0 } ( b ) ) ^ { - 1 } \widetilde { L } _ { 2 1 } ^ { 0 } ( b ) ( \widetilde { L } _ { 1 1 } ^ { 0 } ( b ) ) ^ { - 1 } , } \\ { \widetilde { R } _ { 2 2 } ( b , \sigma ) } & { = \widetilde { R } _ { 2 2 } ^ { 0 } ( b ) + \sigma \widetilde { R } _ { 2 2 } ^ { e } ( b , \sigma ) \quad \mathrm { w i t h } \quad \widetilde { R } _ { 2 2 } ^ { 0 } ( b ) = ( \widetilde { L } _ { 2 2 } ^ { 0 } ( b ) ) ^ { - 1 } , } \\ { \widetilde { R } _ { 1 1 } ( b , \sigma ) } & { = \widetilde { R } _ { 1 1 } ^ { 0 } ( b ) + \sigma \widetilde { R } _ { 1 1 } ^ { e } ( b , \sigma ) \quad \mathrm { w i t h } \quad \widetilde { R } _ { 1 1 } ^ { 0 } ( b ) = ( \widetilde { L } _ { 1 1 } ^ { 0 } ( b ) ) ^ { - 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { | | \nabla f ( \tilde { x } _ { \tau , i } ) | | / | | H _ { \tau } | | = | | H _ { \tau } \times H _ { \tau } ^ { - 1 } \nabla f ( \tilde { x } _ { \tau , i } ) | | / | | H _ { \tau } | | \leq | | H _ { \tau } ^ { - 1 } \nabla f ( \tilde { x } _ { \tau , i } ) | | } \\ & { = | | H _ { \tau } ^ { - 1 } \nabla f ( \tilde { x } _ { \tau , i } ) - H _ { \tau } ^ { - 1 } \bar { \nu } _ { \tau , i } + H _ { \tau } ^ { - 1 } \bar { \nu } _ { \tau , i } | | \leq | | H _ { \tau } ^ { - 1 } \nabla f ( \tilde { x } _ { \tau , i } ) - H _ { \tau } ^ { - 1 } \bar { \nu } _ { \tau , i } | | + | | H _ { \tau } ^ { - 1 } \bar { \nu } _ { \tau , i } | | } \\ & { \leq \frac { 1 } { \rho } | | \bar { \nu } _ { \tau , i } - \nabla f ( \tilde { x } _ { \tau , i } ) | | + \frac { 1 } { \lambda \eta _ { \tau , i } } | | \tilde { x } _ { \tau , i } - \tilde { x } _ { \tau , i + 1 } | | \leq \sqrt { 2 } \sqrt { \mathcal { G } _ { \tau , i } } / \rho } \end{array}
R \rightarrow \frac { p } { 4 } \left( \frac { 2 } { \kappa } \tau \right) ^ { - 2 } \left[ - \frac { \kappa } { 2 } \ln \left( \frac { 2 } { \kappa } \chi _ { 0 } \tau \right) \right] ^ { \frac { p - 8 } { 4 } }
\begin{array} { r l } & { \| X _ { d } ( u , h _ { 1 } ) - X _ { d } ( u , h _ { 2 } ) \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } } \\ & { \quad \leq c _ { \varepsilon } | h _ { 1 } - h _ { 2 } | \left( \| X _ { d } ( u , a - \varepsilon ) \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } + \| X _ { d } ( u , b + \varepsilon ) \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } \right) } \\ & { \quad \leq c _ { d } c _ { \varepsilon } | h _ { 1 } - h _ { 2 } | ( | u | ^ { a - \varepsilon } + | u | ^ { b + \varepsilon } ) } \\ & { \quad \leq c _ { 2 } | h _ { 1 } - h _ { 2 } | , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \vert j ( k _ { 0 } , s _ { 1 } ) \vert } & { \le L c ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \exp ( - \kappa _ { k _ { 0 } } \eta ^ { 3 } ) j ( k _ { 0 } , d ) } \\ & { + 2 \frac { 1 6 ^ { 2 } } \beta \frac 1 { \eta ^ { 2 } } ( c _ { 1 } + c _ { 2 } + \tilde { c } _ { 1 } + \tilde { c } _ { 2 } ) } \\ & { \le 3 \pi \frac { \kappa _ { k _ { 0 } } } \beta \eta ^ { 2 } \exp ( - \kappa _ { k _ { 0 } } \eta ^ { 3 } ) ( \frac d \eta ) ^ { \gamma _ { 2 } } M } \\ & { + L 4 \frac { 1 6 ^ { 2 } } \beta \frac 1 { \eta ^ { 2 } } 2 M ( c \eta ) ^ { - \gamma _ { 2 } } } \\ & { \le \frac { 2 ^ { 1 1 } } \beta \frac 1 { \eta ^ { 2 } } M ( c \eta ) ^ { - \gamma _ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \lVert U _ { N } ^ { \prime } U _ { N - 1 } ^ { \prime } . . . U _ { 0 } ^ { \prime } - U _ { N } U _ { N - 1 } . . . U _ { 0 } \rVert \leq \lVert U _ { N } ^ { \prime } - U _ { N } \rVert + \lVert U _ { N - 1 } ^ { \prime } . . . U _ { 0 } ^ { \prime } - U _ { N - 1 } . . . U _ { 0 } \rVert . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Re \sum _ { n \ge 1 } \frac { \Lambda ( n ) f ( \log n ) } { n ^ { s } } \le - \sum _ { | s - \rho | \le \eta } \Re \left\{ F ( s - \rho ) + f ( 0 ) \left( \frac { \pi } { 2 \eta } \cot \left( \frac { \pi ( s - \rho ) } { 2 \eta } \right) - \frac { 1 } { s - \rho } \right) \right\} } \\ & { \qquad + \frac { f ( 0 ) } { 4 \eta } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { \log | \zeta ( s - \eta + \frac { 2 \eta u i } { \pi } ) | - \log | \zeta ( s + \eta + \frac { 2 \eta u i } { \pi } ) | } { \cosh ^ { 2 } u } \mathrm { d } u } \\ & { \qquad + \delta \left\{ 1 . 8 + \frac { \log t } { 3 } + \sum _ { | s - \rho | \ge \eta } \frac { 1 } { | s - \rho | ^ { 2 } } \right\} , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { c c } { \cos \Theta _ { 1 2 } } & { \sin \Theta _ { 1 2 } } \\ { - \sin \Theta _ { 1 2 } } & { \cos \Theta _ { 1 2 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { u _ { 1 } } \\ { u _ { 2 } } \end{array} \right) \Leftrightarrow \left( \begin{array} { c c } { \cos \Theta _ { 1 2 } } & { - \sin \Theta _ { 1 2 } } \\ { \sin \Theta _ { 1 2 } } & { \cos \Theta _ { 1 2 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { u _ { 2 } } \\ { u _ { 1 } } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \theta _ { X _ { 1 } , X _ { 2 } } ^ { * } = \theta _ { X _ { 1 } , X _ { 3 } } ^ { * } = 0 . 3 , \theta _ { X _ { 1 } , X _ { 4 } } ^ { * } = \theta _ { X _ { 1 } , X _ { 5 } } ^ { * } = \theta _ { X _ { 1 } , X _ { 6 } } ^ { * } = 0 . 2 , } \\ & { \theta _ { X _ { 2 } , Y } ^ { * } = \theta _ { X _ { 3 } , Y } ^ { * } = 0 . 3 , \theta _ { X _ { 4 } , Y } ^ { * } = \theta _ { X _ { 5 } , Y } ^ { * } = \theta _ { X _ { 6 } , Y } ^ { * } = 0 . 1 3 . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad C ( 1 + \lambda ) ^ { 2 \varepsilon } { \left\| h _ { \lambda } \right\| } _ { L ^ { \frac { n } { n - \varepsilon } } ( \Omega _ { \lambda } ^ { - } ) } + C | \Omega _ { \lambda } ^ { - } | ^ { \frac { 1 } { q } } { \left\| h _ { \lambda } \right\| } _ { L ^ { \frac { q } { q - 1 } } ( \Omega _ { \lambda } ^ { - } ) } } \\ & { \leq C ( 1 + \lambda ) ^ { 2 \varepsilon } { \left\| h _ { d _ { \Omega } + 1 } \right\| } _ { L ^ { \frac { n } { n - \varepsilon } } ( \Omega _ { \lambda } ^ { - } ) } + C | \Omega _ { \lambda } ^ { - } | ^ { \frac { 1 } { q } } { \left\| h _ { d _ { \Omega } + 1 } \right\| } _ { L ^ { \frac { q } { q - 1 } } ( \Omega _ { \lambda } ^ { - } ) } < \frac { 1 } { 2 } } \end{array}
\frac { \partial \mathcal { L } _ { \textrm { B i o E n } } ( \lambda ) } { \partial \lambda _ { i } } = \sum _ { j } \frac { \partial \bar { g } _ { j } [ \rho _ { \lambda } ] } { \partial \lambda _ { i } } \left( \frac { \bar { g } _ { j } [ \rho _ { \lambda } ] - g _ { j , e x p } } { \sigma _ { j } ^ { 2 } } - \tilde { \alpha } \lambda _ { j } \right)
\begin{array} { r } { \forall \overline { { M } } \in C , \quad \displaystyle \operatorname* { l i m i n f } _ { n \to + \infty } \eta _ { n } ( \overline { { M } } ) = \frac { \left( \overline { { L } } ^ { d } \cdot \overline { { M } } \right) _ { S } } { \operatorname { v o l } ( L ) } - \frac { d h _ { \overline { { L } } } ( X ) ( L ^ { d - 1 } \cdot M ) } { \operatorname { v o l } ( L ) } . } \end{array}
\left( \frac { n _ { B } } { n _ { \phi } } \right) \simeq | \lambda | \left( \frac { m _ { 3 / 2 } } { m _ { \phi } } \right) ^ { 2 } \left( \frac { | \phi | _ { 0 } } { M _ { \mathrm { p l } } } \right) ^ { 2 } \delta _ { \mathrm { e f f } } \; ,
\begin{array} { l l } { { \displaystyle \mathrm { S } _ { m } ( n ) = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \; \frac { 1 } { i ^ { m } } \, , } } & { { \displaystyle \mathrm { S } _ { m , j _ { 1 } , \ldots , j _ { p } } ( n ) = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \; \frac { 1 } { i ^ { m } } \, \mathrm { S } _ { j _ { 1 } , \cdots , j _ { p } } ( i ) \, , } } \\ { { \displaystyle \mathrm { S } _ { - m } ( n ) = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \; \frac { ( - 1 ) ^ { i } } { i ^ { m } } \, , \qquad } } & { { \displaystyle \mathrm { S } _ { - m , j _ { 1 } , \ldots , j _ { p } } ( n ) = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \; \frac { ( - 1 ) ^ { i } } { i ^ { m } } \, \mathrm { S } _ { j _ { 1 } , \cdots , j _ { p } } ( i ) \, . } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \hat { t } = t / t _ { \infty } , \quad \hat { x } = x / x _ { \infty } , \quad \hat { c } = c / v _ { \infty } , \quad \hat { \sigma } = \sigma / \sigma _ { \infty } , } \\ & { \hat { I } = I / I _ { \infty } , \quad \hat { B } = B / I _ { \infty } , \quad \hat { C _ { v } } = C _ { v } / C _ { v \infty } , \quad \hat { T } = T / T _ { \infty } . } \end{array}
\mathbf { H } = { \left[ \begin{array} { l l l l l } { \mathbf { A } } & { \mathbf { v } _ { l } } & { \mathbf { v } _ { l - 1 } } & { \cdots } & { \mathbf { v } _ { 1 } } \\ { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { 0 } } & { 1 } & { \cdots } & { 0 } \\ { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { 0 } } & { 0 } & { \ddots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { 1 } \\ { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { 0 } } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \end{array} \right] } \in \mathbb { R } ^ { ( d + l ) \times ( d + l ) } ,
\begin{array} { r l } & { \textrm { A v g . \, \, c r e s t p h a s e v e l o c i t y : \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, } \overline { { u ^ { \textnormal { L , c r e s t } } } } = \frac { x ^ { \textnormal { L , c r e s t } } } { T ^ { \textnormal { L , c r e s t } } } = \frac { 2 } { \pi } c \epsilon + \frac { c } { 2 } \bigg [ 1 - \frac { 8 } { \pi ^ { 2 } } \bigg ] \epsilon ^ { 2 } , } \\ & { \textrm { A v g . \, \, t r o u g h p h a s e v e l o c i t y : \, \, \, } \overline { { u ^ { \textnormal { L , t r o u g h } } } } = \frac { x ^ { \textnormal { L , t r o u g h } } } { T ^ { \textnormal { L , t r o u g h } } } = - \frac { 2 } { \pi } c \epsilon + \frac { c } { 2 } \bigg [ 1 - \frac { 8 } { \pi ^ { 2 } } \bigg ] \epsilon ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d x _ { 1 } } { d t } } & { = - K _ { a } \times x _ { 1 } , } \\ { \frac { d x _ { 2 } } { d t } } & { = - K _ { a } \times x _ { 1 } + r _ { \mathrm { { I V } } } ^ { ( i ) } ( t ) - \frac { V _ { m } ^ { ( i ) } \times x _ { 2 } } { K _ { m } \times V ^ { ( i ) } + x _ { 2 } } - K _ { c p } \times x _ { 2 } + K _ { p c } \times x _ { 3 } , } \\ { \frac { d x _ { 3 } } { d t } } & { = K _ { c p } \times x _ { 2 } - K _ { p c } \times x _ { 3 } , } \end{array}
S ( s ) = \frac { 1 } { 1 - \frac { s } { s _ { R _ { 2 } } } \ - { \frac { 1 } { 1 6 \pi ^ { 2 } f _ { \pi } ^ { 2 } } } ( ( s - m _ { \pi } ^ { 2 } / 2 ) H _ { \pi \pi } ( { s } ) + { \frac { s } { 1 2 } } ) }
\begin{array} { r l } { \left| ^ { 1 } E _ { x } \right\rangle } & { = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \left| a \bar { a } x \bar { x } \right\rangle - \left| a \bar { a } y \bar { y } \right\rangle \right) } \\ { \left| ^ { 1 } E _ { y } \right\rangle } & { = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \left| a \bar { a } x \bar { y } \right\rangle - \left| a \bar { a } \bar { x } y \right\rangle \right) } \\ { \left| ^ { 1 } A _ { 1 } \right\rangle } & { = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \left| a \bar { a } x \bar { x } \right\rangle + \left| a \bar { a } y \bar { y } \right\rangle \right) } \end{array}