harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { 4 } \, \frac { d } { d t } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \| u _ { i } ( t ) \| _ { L ^ { 4 } } ^ { 4 } + 3 \eta \sum _ { i = 1 } ^ { m } \| u _ { i } \nabla u _ { i } \| ^ { 2 } } \\ { \leq } & { \, \sum _ { i = 1 } ^ { m } \left( \lambda \int _ { \Omega } \left( \frac { 1 } { 6 } u _ { i } ^ { 4 } - \frac { 1 } { 2 } u _ { i } ^ { 6 } \right) d x + \frac { 6 \sigma ^ { 2 } } { \lambda } \| w _ { i } ( t ) \| ^ { 2 } \right) + \frac { 6 m } { \lambda } \left( \| \varphi \| ^ { 2 } + \left( J ^ { 2 } + \frac { k ^ { 3 } } { \lambda } \right) | \Omega | \right) } \\ { \leq } & { \, \sum _ { i = 1 } ^ { m } \left( - \frac { \lambda } { 3 } \int _ { \Omega } u _ { i } ^ { 4 } \, d x + \frac { 6 \sigma ^ { 2 } } { \lambda } \| w _ { i } ( t ) \| ^ { 2 } \right) + \frac { m \lambda } { 2 } | \Omega | + \frac { 6 m } { \lambda } \left( \| \varphi \| ^ { 2 } + \left( J ^ { 2 } + \frac { k ^ { 3 } } { \lambda } \right) | \Omega | \right) } \\ { \leq } & { \, - \frac { \lambda } { 3 } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \| u _ { i } ( t ) \| _ { L ^ { 4 } } ^ { 4 } + \frac { 6 \sigma ^ { 2 } } { \lambda } K + m \left[ \frac { 6 } { \lambda } \| \varphi \| ^ { 2 } + \left( \frac { \lambda } { 2 } + \frac { 6 } { \lambda } J ^ { 2 } + \frac { 6 } { \lambda ^ { 2 } } k ^ { 3 } \right) | \Omega | \right] , \; \, t > 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega ^ { i } ( \xi , t ) } & { { } = \sigma _ { \varepsilon } ^ { i } ( \xi , t ) + \int _ { D } \mathbb { P } ^ { \eta \rightarrow \xi } \left[ Q _ { j } ^ { i } ( \eta , t ; 0 ) 1 _ { \{ t < \zeta ( X ^ { \eta } \circ \tau _ { t } ) \} } \right] W _ { \varepsilon } ^ { j } ( \eta , 0 ) p _ { u } ( 0 , \eta , t , \xi ) \textrm { d } \eta } \end{array}
R _ { n } ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } ) = \frac { 1 } { 2 } ( \boldsymbol { g } ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } ) - \boldsymbol { 1 } _ { r } ) ^ { T } \mathbb { \breve { Z } } _ { n } ( \mathbb { \breve { Z } } _ { n } ^ { T } \mathbb { \breve { Z } } _ { n } ) ^ { - 1 } \mathbb { \breve { Z } } _ { n } ^ { T } ( \boldsymbol { g } ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } ) - \boldsymbol { 1 } _ { r } ) ,
\left( \frac { d } { d \tau } \frac { \partial L } { \partial { \dot { x } } _ { \mu } } - \frac { d ^ { 2 } } { d \tau ^ { 2 } } \frac { \partial L } { \partial { \ddot { x } } _ { \mu } } + \frac { d ^ { 3 } } { d \tau ^ { 3 } } \frac { \partial L } { \partial { \stackrel { \ldots } { x } } _ { \mu } } \right) { \dot { x } } _ { \mu } = 0 .
\ddot { x } _ { i } = - \frac { \Gamma _ { i } } { 2 \pi ^ { 2 } a ^ { 2 } } \underset { i \neq j } { \sum _ { j } } \, \Gamma _ { j } \frac { ( x _ { i } - x _ { j } ) } { r _ { i j } ^ { 2 } } - \frac { \dot { y } _ { i } } { \pi a ^ { 2 } } \biggr [ \underset { i \neq j } { \sum _ { j } } \left( I _ { x _ { i j } } - I _ { y _ { i j } } \right) - \Gamma _ { i } \biggr ]
\begin{array} { r l } { [ \tau _ { \wp } : \mathcal { C } _ { D , n _ { \mathbf g } } ^ { \mathrm b } ] _ { \mathsf { W } _ { \ng } ^ { \prime } } } & { = [ \tau _ { \wp , L } \times \tau _ { \wp , R } : \mathcal { C } _ { D , n _ { \mathbf g } } ^ { \mathrm b } ] _ { \mathsf { W } _ { \ng } } + [ \tau _ { \wp , L } \times \tau _ { \wp , R } \otimes \varepsilon : \mathcal { C } _ { D , n _ { \mathbf g } } ^ { \mathrm b } ] _ { \mathsf { W } _ { \ng } } } \\ & { = 2 [ \tau _ { \wp , L } \times \tau _ { \wp , R } : \mathcal { C } _ { D , n _ { \mathbf g } } ^ { \mathrm b } ] _ { \mathsf { W } _ { \ng } } } \end{array}
\left( \partial _ { t } + { \hat { B } } - i { \bf k \cdot \gamma } \gamma _ { 0 } { \hat { A } } \right) \theta + { \hat { G } } \left[ \partial _ { t } ^ { 2 } + ( k ^ { 2 } - i { \bf k \cdot \gamma } \gamma _ { 0 } \dot { \hat { A } } ) \right] \theta = 0 \, ,
\binom { - p } { r } = { \frac { - p ( - p - 1 ) ( - p - 2 ) ( - p - 3 ) \dots ( - p - r + 1 ) } { r ! } } = ( - 1 ) ^ { r } { \left[ \begin{array} { l } { ~ p } \\ { ~ r } \end{array} \right] }
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathcal { D } _ { 3 } ^ { \mathrm { L R } } ( { \it \Delta \phi } ) = \exp \left( - \frac { i \sigma _ { 3 } { \it \Delta \phi } } { 2 } \right) } \\ & { } & { = { \bf 1 } \cos \left( \frac { { \it \Delta \phi } } { 2 } \right) - i \sigma _ { 3 } \sin \left( \frac { { \it \Delta \phi } } { 2 } \right) } \\ & { } & { = \left( \begin{array} { c c } { \exp \left( - i \frac { { \it \Delta \phi } } { 2 } \right) } & { 0 } \\ { 0 } & { \exp \left( + i \frac { { \it \Delta \phi } } { 2 } \right) } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { N } & { { } = I _ { \mathrm { 1 } } f _ { \mathrm { 1 } } + I _ { \mathrm { 2 } } f _ { \mathrm { 2 } } + I _ { \mathrm { 3 } } f _ { \mathrm { 3 } } } \\ { O _ { \mathrm { 1 } } } & { { } = g _ { \mathrm { 1 } } N } \\ { O _ { \mathrm { 2 } } } & { { } = g _ { \mathrm { 2 } } N } \\ { O _ { \mathrm { 3 } } } & { { } = g _ { \mathrm { 3 } } N } \\ { O _ { \mathrm { 1 } } } & { { } = g _ { \mathrm { 1 } } ( I _ { \mathrm { 1 } } f _ { \mathrm { 1 } } + I _ { \mathrm { 2 } } f _ { \mathrm { 2 } } + I _ { \mathrm { 3 } } f _ { \mathrm { 3 } } ) } \\ { O _ { \mathrm { 2 } } } & { { } = g _ { \mathrm { 2 } } ( I _ { \mathrm { 1 } } f _ { \mathrm { 1 } } + I _ { \mathrm { 2 } } f _ { \mathrm { 2 } } + I _ { \mathrm { 3 } } f _ { \mathrm { 3 } } ) } \\ { O _ { \mathrm { 3 } } } & { { } = g _ { \mathrm { 3 } } ( I _ { \mathrm { 1 } } f _ { \mathrm { 1 } } + I _ { \mathrm { 2 } } f _ { \mathrm { 2 } } + I _ { \mathrm { 3 } } f _ { \mathrm { 3 } } ) } \\ { O _ { \mathrm { 1 } } } & { { } = I _ { \mathrm { 1 } } f _ { \mathrm { 1 } } g _ { \mathrm { 1 } } + I _ { \mathrm { 2 } } f _ { \mathrm { 2 } } g _ { \mathrm { 1 } } + I _ { \mathrm { 3 } } f _ { \mathrm { 3 } } g _ { \mathrm { 1 } } } \\ { O _ { \mathrm { 2 } } } & { { } = I _ { \mathrm { 1 } } f _ { \mathrm { 1 } } g _ { \mathrm { 2 } } + I _ { \mathrm { 2 } } f _ { \mathrm { 2 } } g _ { \mathrm { 2 } } + I _ { \mathrm { 3 } } f _ { \mathrm { 3 } } g _ { \mathrm { 2 } } } \\ { O _ { \mathrm { 3 } } } & { { } = I _ { \mathrm { 1 } } f _ { \mathrm { 1 } } g _ { \mathrm { 3 } } + I _ { \mathrm { 2 } } f _ { \mathrm { 2 } } g _ { \mathrm { 3 } } + I _ { \mathrm { 3 } } f _ { \mathrm { 3 } } g _ { \mathrm { 3 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { { 1 } \hat { U } = } & { e ^ { - i \int _ { \ell T + T _ { 1 } } ^ { \ell T + T - 0 ^ { + } } \hat { H } ( t ) d t } e ^ { - i \int _ { \ell T - 0 ^ { + } } ^ { \ell T + T _ { 1 } - 0 ^ { + } } \hat { H } ( t ) d t } } \\ { = } & { e ^ { - i \int _ { \ell T + T _ { 1 } } ^ { \ell T + T - 0 ^ { + } } \hat { H } _ { 2 } d t } e ^ { - i \int _ { \ell T - 0 ^ { + } } ^ { \ell T + T _ { 1 } - 0 ^ { + } } \hat { H } _ { 1 } d t } } \\ { = } & { e ^ { - i \hat { H } _ { 2 } T _ { 2 } } e ^ { - i \hat { H } _ { 1 } T _ { 1 } } . } \end{array}
\hat { e } _ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } \textsc { p } _ { 3 } \textsc { p } _ { 4 } } = \hat { e } _ { \textsc { p } _ { 3 } \textsc { p } _ { 4 } \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } }
\mathcal { C } = \left( \sqrt { \left| \tilde { \psi } _ { n + 1 } \right| ^ { 2 } } - \sqrt { m } \right) ^ { 2 } + \lambda \left( \sqrt { \left| \tilde { \psi } _ { n + 1 } \right| ^ { 2 } } - \sqrt { \left| \tilde { \psi } _ { n } \right| ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } . \; \; \; \textrm { ( p r o x i m a l A n s c o m b e ) }
\begin{array} { r l } { p _ { \dot { a } b } } & { { } = - | p ] _ { \dot { a } } \langle p | _ { b } = - \tilde { \lambda } _ { \dot { a } } \lambda _ { b } , } \\ { p ^ { a \dot { b } } } & { { } = - | p \rangle ^ { a } [ p | ^ { \dot { b } } = - \lambda ^ { a } \tilde { \lambda } ^ { \dot { b } } , } \end{array}
1 \ \mathrm { J } = 1 \ \mathrm { k g } \left( { \frac { \mathrm { m } } { \mathrm { s } } } \right) ^ { 2 } = 1 \ { \frac { \mathrm { k g } \cdot \mathrm { m } ^ { 2 } } { \mathrm { s } ^ { 2 } } }
\begin{array} { r l } { \nabla Q _ { k } ^ { + } ( x _ { k } ) } & { = \alpha _ { k } \boldsymbol { e } _ { d } + \alpha _ { k } \varepsilon _ { k } p + o ( \varepsilon _ { k } ) } \\ { \nabla Q _ { k } ^ { - } ( x _ { k } ) } & { = - \beta _ { k } \boldsymbol { e } _ { d } + \beta _ { k } \varepsilon _ { k } q + o ( \varepsilon _ { k } ) . } \end{array}
E ^ { \mathrm { ~ L ~ } } = f _ { 1 } p _ { 1 } ^ { \mathrm { ~ L ~ } } / ( \rho _ { 0 } c _ { 0 } ^ { 2 } ) - \frac { 3 } { 2 } f _ { 2 } v _ { 1 z } ^ { \mathrm { ~ L ~ } } / c _ { 0 }
\begin{array} { r l } { { \epsilon _ { { \bf u } , k } } } & { = \frac { \int _ { \Theta } \left[ { { { \bf { u } } _ { \mathrm { W I N } , k } } \left( { \theta } \right) - { { \bf { u } } _ { \mathrm { W I N } , k - 1 } } \left( { \theta } \right) } \right] ^ { \mathrm { T } } \left[ { { { \bf { u } } _ { \mathrm { W I N } , k } } \left( { \theta } \right) - { { \bf { u } } _ { \mathrm { W I N } , k - 1 } } \left( { \theta } \right) } \right] \mathrm { d } { \cal P } \left( \theta \right) } { \int _ { \Theta } { { \bf { u } } _ { \mathrm { W I N } , k } ^ { \mathrm { T } } } \left( { \theta } \right) { { \bf { u } } _ { \mathrm { W I N } , k } } \left( { \theta } \right) \mathrm { d } { \cal P } \left( \theta \right) } } \\ & { = \frac { \int _ { \Theta } \lambda _ { k } ^ { 2 } \left( \theta \right) \mathrm { d } { \cal P } \left( \theta \right) { \bf d } _ { \mathrm { W I N } , k } ^ { \mathrm { T } } { \bf d } _ { \mathrm { W I N } , k } } { \sum _ { i , j = 1 } ^ { k } \int _ { \Theta } \lambda _ { i } \left( \theta \right) \lambda _ { j } \left( \theta \right) \mathrm { d } { \cal P } \left( \theta \right) { \bf d } _ { \mathrm { W I N } , i } ^ { \mathrm { T } } { \bf d } _ { \mathrm { W I N } , j } } = \frac { \int _ { \Theta } \lambda _ { k } ^ { 2 } \left( \theta \right) \mathrm { d } { \cal P } \left( \theta \right) } { \sum _ { i = 1 } ^ { k } \int _ { \Theta } \lambda _ { i } ^ { 2 } \left( \theta \right) \mathrm { d } { \cal P } \left( \theta \right) } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { H } } & { = } & { \sum _ { \vec { u } , \vec { v } } J _ { \sigma ( \vec { u } ) , \sigma ( \vec { v } ) } ( 1 - \delta _ { \sigma ( \vec { u } ) , \sigma ( \vec { v } ) } ) + \lambda _ { \mathrm { a r e a } } ( a _ { \sigma } - A _ { \sigma } ) ^ { 2 } } \\ & { } & { + \lambda _ { \mathrm { p e r i m e t e r } } ( p _ { \sigma } - P _ { \sigma } ) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ X _ { l } ^ { 2 } ] = } & { \mathbb { E } \Big [ \big ( \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \mathcal { A } } } \alpha _ { i } \mathrm { e } ^ { j \psi _ { i } } \big ) ^ { 2 } \Big ] } \\ { = } & { 2 \sum _ { i _ { 1 } = 1 } ^ { N _ { \mathcal { A } } - 1 } \sum _ { i _ { 2 } = i _ { 1 } + 1 } ^ { N _ { \mathcal { A } } } \mathbb { E } [ \alpha _ { i _ { 1 } } ] \mathbb { E } [ \alpha _ { i _ { 2 } } ] \mathbb { E } [ \cos ( \psi _ { i _ { 1 } } ) ] \mathbb { E } [ \cos ( \psi _ { i _ { 2 } } ) ] + } \\ & { \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \mathcal { A } } } \mathbb { E } [ \alpha _ { i } ^ { 2 } ] \mathbb { E } [ ( \cos \psi _ { i } ) ^ { 2 } ] } \\ { = } & { N _ { \mathcal { A } } ( N _ { \mathcal { A } } - 1 ) \Big ( \frac { 2 ^ { B } } { \pi } \sin \frac { \pi } { 2 ^ { B } } \frac { \sqrt { \pi } } { 2 } L _ { \frac { 1 } { 2 } } \! ( - \kappa ^ { \prime } ) \Big ) ^ { 2 } } \\ & { + N _ { \mathcal { A } } \cdot \frac { 1 + \frac { 2 ^ { B } } { 2 \pi } \sin \frac { 2 \pi } { 2 ^ { B } } } { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { a } & { { } = \theta _ { 2 } ( 0 ; q ) = \vartheta _ { 1 0 } ( 0 ; \tau ) } \\ { b } & { { } = \theta _ { 3 } ( 0 ; q ) = \vartheta _ { 0 0 } ( 0 ; \tau ) } \\ { c } & { { } = \theta _ { 4 } ( 0 ; q ) = \vartheta _ { 0 1 } ( 0 ; \tau ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { C } & { = 6 \sigma ^ { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { T } \eta _ { t } ^ { 2 } } \\ & { = 6 \sigma ^ { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { T _ { 0 } } \eta _ { t } ^ { 2 } + 6 \sigma ^ { 2 } \sum _ { i = T _ { 0 } + 1 } ^ { T } \eta _ { t } ^ { 2 } } \\ & { = \frac { 6 \sigma ^ { 2 } } { 1 6 L ^ { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { T _ { 0 } } t ^ { 2 } + 6 \sigma ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \sum _ { i = T _ { 0 } + 1 } ^ { T } \frac { 1 } { t } } \\ & { \le \frac { 6 \sigma ^ { 2 } } { 1 6 L ^ { 2 } } T _ { 0 } ^ { 3 } + 6 \sigma ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \sum _ { i = T _ { 0 } + 1 } ^ { T } \frac { 1 } { t } } \\ & { \le 6 \sigma ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { T } \frac { 1 } { t } \le 6 \sigma ^ { 2 } \eta ^ { 2 } ( 1 + \log T ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { c _ { i _ { 1 } , \dots , i _ { M } } = \sum _ { \alpha _ { 0 } , \dots , \alpha _ { M } = 0 } ^ { \chi - 1 } } & { \Gamma _ { \alpha _ { 0 } \alpha _ { 1 } } ^ { [ 1 ] } \lambda _ { \alpha _ { 1 } } ^ { [ 1 ] } \Gamma _ { \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } } ^ { [ 2 ] } \dots \lambda _ { \alpha _ { M - 1 } } ^ { [ M - 1 ] } \Gamma _ { \alpha _ { M - 1 } \alpha _ { M } } ^ { [ M ] } } \\ { \prod _ { k = 1 } ^ { M } } & { \delta \left( c _ { \alpha _ { k - 1 } } ^ { [ k - 1 ] } - c _ { \alpha _ { k } } ^ { [ k ] } - i _ { k } \right) . } \end{array}
( { \overline { { { d } } } } _ { H } ^ { c } ) _ { \pm } = [ ( { \lambda _ { 3 } } v ) { \overline { { { d } } } } _ { H } ^ { c \prime } - M _ { \pm } { \delta } ] / { \sqrt { M _ { \pm } ^ { 2 } + ( { \lambda _ { 3 } } v ) ^ { 2 } } }
\mu = { \frac { \sin \pi ( \alpha + \beta ^ { \prime } + \gamma ^ { \prime } ) \sin \pi ( \alpha ^ { \prime } + \beta + \gamma ^ { \prime } ) } { \sin \pi ( \alpha ^ { \prime } + \beta ^ { \prime } + \gamma ^ { \prime } ) \sin \pi ( \alpha + \beta + \gamma ^ { \prime } ) } } .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { ( x , t ) \to ( x ^ { 0 } , 0 ) } u ( x , t ) } & { { } = g ( x ^ { 0 } ) } \\ { \operatorname* { l i m } _ { ( x , t ) \to ( x ^ { 0 } , 0 ) } u _ { t } ( x , t ) } & { { } = h ( x ^ { 0 } ) } \end{array}
{ \begin{array} { r l } & { \sum _ { k = 2 } ^ { \infty } k ( k - 1 ) A _ { k } z ^ { k - 2 } - 2 z \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } k A _ { k } z ^ { k - 1 } + \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } A _ { k } z ^ { k } = 0 } \\ { = } & { \sum _ { k = 2 } ^ { \infty } k ( k - 1 ) A _ { k } z ^ { k - 2 } - \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } 2 k A _ { k } z ^ { k } + \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } A _ { k } z ^ { k } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { S _ { i j } } & { = \left\lvert \langle v _ { 1 i } , v _ { 2 i } , \ell _ { i } , N _ { i } , J _ { i } , p _ { i } \lvert \mu \lvert v _ { 1 j } , v _ { 2 j } , \ell _ { j } , N _ { j } , J _ { j } , p _ { j } \rangle \right\lvert ^ { 2 } } \\ & { = \left\lvert \langle v _ { 1 i } , v _ { 2 i } , \ell _ { i } \lvert \mu \lvert v _ { 1 j } , v _ { 2 j } , \ell _ { j } \rangle \right\lvert ^ { 2 } \left\lvert \langle \ell _ { i } , N _ { i } , J _ { i } , p _ { i } \lvert \mu \lvert \ell _ { j } , N _ { j } , J _ { j } , p _ { j } \rangle \right\lvert ^ { 2 } } \\ & { \equiv S _ { i j } ^ { \mathrm { v i b } } S _ { i j } ^ { \mathrm { r o t } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { ( \nabla _ { \perp } ^ { 2 } - \frac { \omega _ { p } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } ) \vec { E } = - e \nabla ( \frac { n _ { 1 } + n _ { b } } { \epsilon _ { 0 } } ) - \frac { e } { \epsilon _ { 0 } c } \frac { \partial n _ { b } } { \partial t } \hat { z } } \\ { ( \nabla _ { \perp } ^ { 2 } - \frac { \omega _ { p } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } ) \vec { B } = 4 \pi e ( \nabla \times n _ { b } \hat { z } ) } \end{array}
F _ { r } ^ { \pm } = \frac { 1 } { ( \lambda _ { r } ^ { \pm } ) ^ { 2 } + m } \left[ \begin{array} { l l l l l } { ( \lambda _ { r } ^ { \pm } ) ^ { 2 } } & { \lambda _ { r } ^ { \pm } } & { \lambda _ { r } ^ { \pm } } & { \cdots } & { \lambda _ { r } ^ { \pm } } \\ { \lambda _ { r } ^ { \pm } } & { 1 } & { 1 } & { \cdots } & { 1 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \lambda _ { r } ^ { \pm } } & { 1 } & { 1 } & { \cdots } & { 1 } \\ { \lambda _ { r } ^ { \pm } } & { 1 } & { 1 } & { \cdots } & { 1 } \end{array} \right] \otimes E _ { r } .
\begin{array} { l l l } { \overline { { E _ { \beta _ { i } } } } \, \overline { { E _ { \beta _ { j } } } } = q ^ { ( \beta _ { i } , \beta _ { j } ) } \overline { { E _ { \beta _ { j } } } } \, \overline { { E _ { \beta _ { i } } } } , } & { \overline { { F _ { \beta _ { i } } } } \, \overline { { F _ { \beta _ { j } } } } = q ^ { ( \beta _ { i } , \beta _ { j } ) } \overline { { F _ { \beta _ { j } } } } \, \overline { { F _ { \beta _ { i } } } } , } & { \overline { { E _ { \beta _ { i } } } } \, \overline { { F _ { \beta _ { j } } } } = \overline { { F _ { \beta _ { j } } } } \, \overline { { E _ { \beta _ { i } } } } , } \\ { \overline { { K _ { \mu } } } \, \overline { { E _ { \beta _ { j } } } } = q ^ { ( \mu , \beta _ { j } ) } \overline { { E _ { \beta _ { j } } } } \, \overline { { K _ { \mu } } } , } & { \overline { { K _ { \mu } } } \, \overline { { F _ { \beta _ { j } } } } = q ^ { - ( \mu , \beta _ { j } ) } \overline { { F _ { \beta _ { j } } } } \, \overline { { K _ { \mu } } } , } & { \overline { { K _ { \mu } } } \, \overline { { K _ { \nu } } } = \overline { { K _ { \mu + \nu } } } . } \end{array}
V _ { g } ^ { ( 0 ) } ( p , h ) ~ = ~ : \! h _ { \mu \nu } ( \partial X ^ { \mu } + i p \cdot \psi \psi ^ { \mu } ) ( { \bar { \partial } } X ^ { \nu } + i p \cdot { \widetilde \psi } { \widetilde \psi } ^ { \nu } ) e ^ { i p \cdot \! X } \! : ~ ,
\begin{array} { r l r } { \left( \frac { d \sigma } { d \Omega } \right) _ { S ^ { \prime } } = \frac { \sigma _ { 0 } } { 4 \pi } \left( \left[ 1 + \frac { \beta } { 4 } - \frac { 3 } { 4 } P \beta + \frac { 3 } { 2 } P \beta \cos ^ { 2 } \theta _ { p } ^ { \prime } \right] + \left[ \delta + \gamma P \cos ^ { 2 } \theta _ { p } ^ { \prime } - \gamma \frac { P - 1 } { 2 } \right] \sin \theta _ { p } ^ { \prime } \cos \phi _ { p } ^ { \prime } + \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \mu } } & { = \boldsymbol { \eta } \left( \begin{array} { l l l } { \mu _ { + } } & & \\ & { \mu _ { - } } & \\ & & { \mu _ { 0 } } \end{array} \right) \boldsymbol { \eta } ^ { \dagger } , } \\ { \boldsymbol { \eta } } & { = \left( \begin{array} { l l l } { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } & { \frac { \mathrm { i } } { \sqrt { 2 } } } & \\ { \frac { \mathrm { i } } { \sqrt { 2 } } } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } & \\ & & { 1 } \end{array} \right) \! . } \end{array}
\varepsilon ( E _ { \mathrm { c u t } } ) = \frac { 1 } { \Omega } \sum _ { | \mathbf { G } | ^ { 2 } > 2 E _ { \mathrm { c u t } } } \frac { 4 \pi } { G ^ { 2 } } \rho _ { \mu \nu } ( \mathbf { G } ) \rho _ { \kappa \lambda } ( - \mathbf { G } ) < 1 6 \pi ^ { 2 } \int _ { \sqrt { 2 E _ { \mathrm { c u t } } } } ^ { \infty } \rho _ { \mu \nu } ( G ) \rho _ { \kappa \lambda } ( G ) d G .
\Delta f _ { v \leftrightarrow v ^ { \prime } } = \sum _ { n = 0 , 2 , \ldots } \Delta f _ { v } ^ { ( n ) } = \sum _ { n = 0 , 2 , \ldots } - \frac { c _ { n } \Delta \alpha _ { v \leftrightarrow v ^ { \prime } } ^ { ( n ) } } { 4 \pi ^ { 3 } \epsilon _ { 0 } c ^ { 3 } } \left( \frac { k _ { B } T } { \hbar } \right) ^ { 4 + n } ,
\begin{array} { r l r } { m \ddot { x } + m d \ddot { \theta } \cos \theta - m d \dot { \theta } ^ { 2 } \sin \theta + c \dot { x } } & { = } & { F \cos \beta } \\ { m \ddot { z } + m d \ddot { \theta } \sin \theta + m d \dot { \theta } ^ { 2 } \cos \theta + c \dot { z } } & { = } & { F \sin \beta } \\ { m d \ddot { x } \cos \theta + m d \ddot { z } \sin \theta + I _ { A } \ddot { \theta } + c _ { t } \dot { \theta } + m g d \sin \theta } & { = } & { M } \end{array}
\Gamma _ { \mu } ^ { ( \mathrm { L } ) } ( p _ { 1 } , p _ { 2 } , p _ { 3 } ) \! = \! \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } \! \lambda _ { i } ( p _ { 1 } ^ { 2 } , p _ { 2 } ^ { 2 } , p _ { 3 } ^ { 2 } ) \; \! L _ { i , \mu } ( p _ { 1 } , p _ { 2 } ) ,
\begin{array} { r l r l } { { 2 } } & { d i s _ { 0 } } & { = } & { 1 - 4 x + 4 z - 1 6 x z - 4 y z + 1 8 x y z + 8 x y z ^ { 2 } - 2 7 x ^ { 2 } y ^ { 2 } z ^ { 2 } - 8 6 4 y z ^ { 3 } + 3 4 5 6 x y z ^ { 3 } } \\ & { } & & { - 4 8 x y ^ { 2 } z ^ { 3 } + 1 8 0 x ^ { 2 } y ^ { 2 } z ^ { 3 } - 3 4 5 6 y z ^ { 4 } + 1 3 8 2 4 x y z ^ { 4 } + 3 4 5 6 y ^ { 2 } z ^ { 4 } - 1 5 2 6 4 x y ^ { 2 } z ^ { 4 } } \\ & { } & & { - 1 2 8 0 x ^ { 2 } y ^ { 2 } z ^ { 4 } - 1 2 7 8 7 2 x y ^ { 2 } z ^ { 5 } + 4 8 3 8 4 0 x ^ { 2 } y ^ { 2 } z ^ { 5 } + 2 4 0 0 0 x ^ { 2 } y ^ { 3 } z ^ { 5 } } \\ & { } & & { + 1 8 6 6 2 4 y ^ { 2 } z ^ { 6 } - 1 9 9 0 6 5 6 x y ^ { 2 } z ^ { 6 } + 4 9 7 6 6 4 0 x ^ { 2 } y ^ { 2 } z ^ { 6 } + 5 1 8 4 0 0 x y ^ { 3 } z ^ { 6 } } \\ & { } & & { - 2 3 0 4 0 0 0 x ^ { 2 } y ^ { 3 } z ^ { 6 } + 7 4 6 4 9 6 y ^ { 2 } z ^ { 7 } - 5 9 7 1 9 6 8 x y ^ { 2 } z ^ { 7 } + 1 1 9 4 3 9 3 6 x ^ { 2 } y ^ { 2 } z ^ { 7 } } \\ & { } & & { - 7 4 6 4 9 6 y ^ { 3 } z ^ { 7 } + 6 2 2 0 8 0 0 x y ^ { 3 } z ^ { 7 } - 1 3 8 2 4 0 0 0 x ^ { 2 } y ^ { 3 } z ^ { 7 } + 3 2 0 0 0 0 0 x ^ { 3 } y ^ { 4 } z ^ { 7 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { a } } & { { } \overset { \mathcal { E } _ { \eta _ { \mathrm { ~ d ~ } } } } { \rightarrow } \sqrt { \eta _ { \mathrm { ~ d ~ } } } \hat { a } + \sqrt { 1 - \eta _ { \mathrm { ~ d ~ } } } \hat { v } } \end{array}
A ( z ) = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } a _ { k } z ^ { k } = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } a _ { k } \left( \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - t } t ^ { k } d t \right) \frac { z ^ { k } } { k ! } = \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - t } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } a _ { k } \frac { ( t z ) ^ { k } } { k ! } d t ,
r _ { \mathrm { p e a k } , I } ( t ; \mathrm { B o } ) = 1 - \frac { \psi ( \mathrm { B o } ) ^ { 2 } } { 4 \mathrm { P e } _ { t } ^ { 2 } \chi ^ { 2 } } , \quad m _ { \mathrm { p e a k } , I } ( t ; \mathrm { B o } ) = \frac { 1 6 \mathrm { P e } _ { t } ^ { 2 } \mathcal { N } ( t ; \mathrm { B o } ) \chi ^ { 2 } } { 3 \mathrm { e } ^ { 2 } \psi ( \mathrm { B o } ) ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r } { H = \sum _ { i , \alpha } \Delta ^ { \alpha } b _ { i } ^ { \alpha ^ { \dagger } } b _ { i } ^ { \alpha } + \sum _ { i , \alpha } \Omega ^ { \alpha } ( e ^ { i k _ { 0 } r _ { i } } b _ { i } ^ { \alpha ^ { \dagger } } + e ^ { - i k _ { 0 } r _ { i } } b _ { i } ^ { \alpha } ) } \\ { + \sum _ { i \neq j , \alpha , \alpha ^ { \prime } } V _ { i , j } ^ { \alpha , \alpha ^ { \prime } } b _ { i } ^ { \alpha ^ { \dagger } } b _ { i } ^ { \alpha ^ { \prime } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { S \left( x \right) } & { \sim } & { \overline { { \alpha } } ^ { x } \varepsilon _ { x } + \sum _ { y = 0 } ^ { x - 1 } \alpha \overline { { \alpha } } ^ { y } \varepsilon _ { y } } \\ { { \bf E } \left( z ^ { S \left( x \right) } \right) } & { = } & { \overline { { \alpha } } ^ { x } z ^ { x } + \alpha \sum _ { y = 0 } ^ { x - 1 } \overline { { \alpha } } ^ { y } z ^ { y } = \overline { { \alpha } } ^ { x } z ^ { x } + \alpha \frac { 1 - \left( \overline { { \alpha } } z \right) ^ { x } } { 1 - \overline { { \alpha } } z } } \end{array}
P _ { \nu _ { \alpha } \to \nu _ { \beta } } ( p , t ) = \sum _ { k } | U _ { { \alpha } k } | ^ { 2 } \, | U _ { { \beta } k } | ^ { 2 } + 2 \, \mathrm { R e } \sum _ { k > j } U _ { { \alpha } k } ^ { * } \, U _ { { \beta } k } \, U _ { { \alpha } j } \, U _ { { \beta } j } ^ { * } \, \exp \left( - i \, \frac { \Delta { m } _ { k j } ^ { 2 } } { 2 \, p } \, t \right) \, ,
\mathcal { I } _ { k } = K _ { p } K _ { q } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \theta _ { q } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \theta _ { p } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \theta _ { k } \omega _ { k } \Gamma _ { p q k } ^ { 2 } n _ { k } n _ { p } n _ { q } \left( \omega _ { q } n _ { q } ^ { - 1 } + \omega _ { p } n _ { p } ^ { - 1 } + \omega _ { k } n _ { k } ^ { - 1 } \right) \delta \left( \omega _ { p , q , k } \right) \delta \left( \mathbf { k } + \mathbf { q } + \mathbf { p } \right)
\begin{array} { r l } { \lambda \cdot ( y _ { 1 } , y _ { 2 } , t , x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } & { = ( y _ { 1 } , y _ { 2 } , \lambda t , \lambda x _ { 1 } , \lambda x _ { 2 } ) } \\ { \mu \cdot ( y _ { 1 } , y _ { 2 } , t , x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } & { = ( \mu y _ { 1 } , \mu y _ { 2 } , t , \mu ^ { - 1 } x _ { 1 } , \mu ^ { - 1 } x _ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ l ~ o ~ g ~ i ~ t ~ ( ~ R ~ ) ~ } } & { { } = \beta _ { 0 } + \beta _ { 1 } \mathrm { ~ W ~ o ~ m ~ a ~ n ~ } + \beta _ { 2 } \mathrm { ~ P ~ h ~ y ~ s ~ I ~ I ~ L ~ a ~ b ~ } + \beta _ { 3 } \mathrm { ~ C ~ a ~ l ~ c ~ E ~ n ~ g ~ r ~ } } \end{array}