harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { D _ { I } \frac { \hat { P } _ { 1 } ^ { ( 1 ) } ( x ( v ) , x ( z ) ) } { P _ { 1 } ^ { ( 0 ) } ( x ( v ) , x ( z ) ) } - D _ { I } \frac { \hat { H } _ { 1 } ^ { ( 1 ) } ( x ( v ) ; z ) } { H _ { 1 } ^ { ( 0 ) } ( x ( v ) ; z ) } } \\ & { = D _ { I } \frac { \lambda W _ { 1 } ^ { ( 1 ) } ( z ) } { x ( v ) + y ( z ) } + \sum _ { k = 1 } ^ { d } D _ { I } \frac { \lambda ^ { 2 } \Omega _ { 2 } ^ { ( 0 ) } ( \hat { z } ^ { k } , z ) } { ( x ( v ) + y ( \hat { z } ^ { k } ) ) ( x ( v ) + y ( z ) ) } } \\ & { - \sum _ { j = 1 } ^ { | I | } \frac { \lambda ^ { 3 } } { ( x ( v ) - x ( u _ { j } ) ) } D _ { I \setminus u _ { j } } \frac { \Omega _ { 2 } ^ { ( 0 ) } ( z , u _ { j } ) } { ( x ( v ) + y ( z ) ) ( x ( z ) + y ( u _ { j } ) ) ^ { 2 } } } \\ & { + \frac { \lambda ^ { 2 } } { ( x ( v ) - x ( z ) ) ^ { 3 } } D _ { I } \frac { 1 } { ( x ( z ) + y ( z ) ) } } \\ & { + \frac { \lambda ^ { 2 } } { ( x ( v ) - x ( z ) ) } \frac { \partial } { \partial x ( w ) } D _ { I } \frac { 1 } { ( x ( v ) + y ( z ) ) ( x ( z ) + y ( w ) ) } \Big | _ { w = z } \; . } \end{array}
M _ { \mu } ^ { ^ { ( 5 6 ) } } M _ { \nu } ^ { ^ { ( 5 6 ) + } } = \frac { 1 } { q _ { 1 } ^ { 4 } } \bigl [ 2 q _ { 1 } ^ { 2 } g _ { \lambda \rho } + 4 ( p _ { 1 } p _ { - } ) _ { \lambda \rho } + 4 i \lambda \bigl ( E _ { \lambda \rho } ( p _ { 1 } , p _ { - } ) + \frac { m ^ { 2 } } { p _ { 1 } k } E _ { \lambda \rho } ( p _ { -- } p _ { 1 } , k ) \bigr ) \bigr ]
\begin{array} { r l } { V ( r ) } & { { } \approx V ( r _ { c } ) + V ^ { \prime } ( r _ { c } ) ( r - r _ { c } ) + \frac { 1 } { 2 } V ^ { \prime \prime } ( r _ { c } ) ( r - r _ { c } ) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left[ a _ { 1 } d _ { 1 } e _ { 1 } , b _ { 1 } c _ { 1 } \right] } & { = [ a _ { 1 } , b _ { 1 } c _ { 1 } ] d _ { 1 } e _ { 1 } + a _ { 1 } [ d _ { 1 } e _ { 1 } , b _ { 1 } c _ { 1 } ] = [ a _ { 1 } , b _ { 1 } ] c _ { 1 } d _ { 1 } e _ { 1 } + b _ { 1 } [ a _ { 1 } , c _ { 1 } ] d _ { 1 } e _ { 1 } + a _ { 1 } [ d _ { 1 } e _ { 1 } , b _ { 1 } c _ { 1 } ] } \\ & { \sim \Delta [ 1 , 1 ] c _ { 1 } d _ { 1 } e _ { 1 } + b _ { 1 } \Delta [ 1 , 1 ] d _ { 1 } e _ { 1 } + a _ { 1 } \Delta [ 2 , 2 ] , } \end{array}
\bar { N } _ { m n } ^ { 3 3 } = - { \frac { m n \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } } { 1 + \mu \alpha k } } { \frac { \bar { N } _ { m } ^ { 3 } \bar { N } _ { n } ^ { 3 } } { \omega _ { 3 m } + \omega _ { 3 n } } }
\begin{array} { r l } { a b } & { = 2 ^ { w - ( r _ { 0 } + 1 ) + \delta } \# O ( \bar { b } _ { 0 } ) \cdot 2 ^ { v ^ { \prime } } \# O ( \bar { b } _ { 1 } ) 2 ^ { - r _ { 1 } } 2 ^ { \delta - ( - 1 ) } \cdots , } \\ { c } & { = 2 ^ { v } \# O ( \bar { b } _ { 0 } ) 2 ^ { - r _ { 0 } } 2 ^ { \delta - ( - 1 ) } \# O ( \bar { b } _ { 1 } ) 2 ^ { - r _ { 1 } } 2 ^ { \delta - 1 } \cdots . } \end{array}
\begin{array} { r l } { T \xi _ { k } ( x ) - \xi _ { k } ( x ) } & { = \sum _ { \ell = 1 } ^ { k } \sum _ { y = 1 } ^ { x } \left( \eta _ { \ell } ^ { \uparrow } ( y ) - T \eta _ { \ell } ^ { \uparrow } ( y ) \right) + \sum _ { \ell = 1 } ^ { k } \sum _ { y = 1 } ^ { x } \left( \eta _ { \ell } ^ { \downarrow } ( y ) - T \eta _ { \ell } ^ { \downarrow } ( y ) \right) } \\ & { = \sum _ { \ell = 1 } ^ { k } \sum _ { y = 1 } ^ { x } \left( \eta _ { \ell } ^ { \uparrow } ( y ) - \eta _ { \ell } ^ { \downarrow } ( y ) \right) + \sum _ { \ell = 1 } ^ { k } \sum _ { y = 1 } ^ { x } \left( T \eta _ { \ell } ^ { \uparrow } ( y ) - T \eta _ { \ell } ^ { \downarrow } ( y ) \right) } \\ & { = W _ { k } ( x ) + T W _ { k } ( x ) \ge 0 . } \end{array}
v _ { d } \left( t ^ { \prime } \right) = \frac { e E _ { \omega } } { m _ { e } \omega } \sin \left( \omega t ^ { \prime } \right) + \frac { e E _ { 2 \omega } } { 2 m _ { e } \omega } \sin \left( \omega t ^ { \prime } + \theta \right) .
\Pi _ { \overline { { { \cal V } } } \overline { { { V } } } } ^ { S } ( p ^ { 2 } ) \equiv \frac { p _ { \mu } p _ { \nu } } { p ^ { 2 } } \Pi _ { \overline { { { \cal V } } } \overline { { { V } } } } ^ { \mu \nu } ( p ) \ .
\begin{array} { r l r } { B _ { \mathrm { ~ W ~ } } ( \ensuremath { \mathbf { q } } , \ensuremath { \mathbf { p } } ) } & { { } = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \sum _ { \mu \in \{ x , y , z \} } \left[ p _ { i , \mu } p _ { j , \mu } A _ { \mathrm { ~ W ~ } } ( \ensuremath { \mathbf { q } } , \ensuremath { \mathbf { p } } ) + \frac { \hbar ^ { 2 } } { 4 } \frac { \partial ^ { 2 } A _ { \mathrm { ~ W ~ } } ( \b { q } , \b { p } ) } { \partial q _ { i , \mu } \partial q _ { j , \mu } } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { T ^ { i } } & { { } = } & { S ^ { i } + E ^ { i } + I _ { \mathrm { ~ p ~ r ~ e ~ } } ^ { i } + I _ { \mathrm { ~ u ~ d ~ } } ^ { i } + I _ { \mathrm { ~ d ~ } } ^ { i } + R ^ { i } , } \\ { \mathcal { R } ( S \rightarrow E ) ^ { i } } & { { } = } & { \beta \sum _ { j } N ^ { i j } ( t ) \frac { ( I _ { \mathrm { ~ p ~ r ~ e ~ } } ^ { j } + I _ { \mathrm { ~ u ~ d ~ } } ^ { j } + 0 . 2 2 I _ { \mathrm { ~ d ~ } } ^ { j } ) } { T ^ { j } } , } \\ { \mathcal { R } ( E \rightarrow I _ { \mathrm { ~ p ~ r ~ e ~ } } ) ^ { i } } & { { } = } & { 1 / \alpha , } \\ { \mathcal { R } ( I _ { \mathrm { ~ p ~ r ~ e ~ } } \rightarrow I _ { \mathrm { ~ u ~ d ~ } } ) ^ { i } } & { { } = } & { f _ { \mathrm { ~ u ~ d ~ } } ^ { i } / \gamma , } \\ { \mathcal { R } ( I _ { \mathrm { ~ p ~ r ~ e ~ } } \rightarrow I _ { \mathrm { ~ d ~ } } ) ^ { i } } & { { } = } & { ( 1 - f _ { \mathrm { ~ u ~ d ~ } } ^ { i } ) / \gamma , } \\ { \mathcal { R } ( I _ { \mathrm { ~ u ~ d ~ } } \rightarrow R ) ^ { i } } & { { } = } & { 1 / \delta , } \\ { \mathcal { R } ( I _ { d } \rightarrow R ) ^ { i } } & { { } = } & { 1 / \delta , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { a } _ { \sigma } | \alpha _ { \sigma } \rangle } & { = } & { \mathrm { e } ^ { - \frac { | \alpha _ { \sigma } | ^ { 2 } } { 2 } } \sum _ { n _ { \sigma } = 1 } ^ { \infty } \frac { \alpha ^ { n _ { \sigma } } } { \sqrt { n _ { \sigma } ! } } \sqrt { n _ { \sigma } } | n _ { \sigma } - 1 \rangle } \\ & { = } & { \alpha _ { \sigma } \mathrm { e } ^ { - \frac { | \alpha _ { \sigma } | ^ { 2 } } { 2 } } \sum _ { n _ { \sigma } = 0 } ^ { \infty } \frac { \alpha ^ { n _ { \sigma } } } { \sqrt { n _ { \sigma } ! } } | n _ { \sigma } \rangle } \\ & { = } & { \alpha _ { \sigma } | \alpha _ { \sigma } \rangle . } \end{array}
H = \int d ^ { d } x \frac { 1 } { 2 } \left[ \boldsymbol { \Pi } ^ { 2 } + ( \nabla \boldsymbol { \Phi } ) ^ { 2 } + m \boldsymbol { \Phi } ^ { 2 } + \frac { u } { 1 2 N } ( \boldsymbol { \Phi } ^ { 2 } ) ^ { 2 } \right] ,
\begin{array} { r l } { T _ { 1 + } } & { { } = \frac { \gamma - 1 } { \gamma } \frac { T _ { b } } { T _ { a d } } \left\{ \frac { b ^ { 2 } } { 2 } \left( \gamma + T _ { b } ^ { 2 } \frac { \gamma ( \alpha ^ { 3 } - 1 ) - ( B - 1 ) \alpha ^ { 2 } ( \alpha + 2 ) } { ( 1 + \alpha ) ^ { 2 } } \right) \right. } \end{array}
L _ { \mathrm { e f f } } = \Psi _ { a } ^ { \dagger } i \partial _ { 0 } \Psi _ { a } - { \frac { 1 } { 2 } } ( \partial _ { i } \Psi _ { a } ^ { \dagger } ) ( \partial _ { i } \Psi _ { a } ) - g _ { 1 } \Psi _ { a } ^ { \dagger } \Psi _ { a } ^ { \dagger } \Psi _ { b } \Psi _ { b } - 2 g _ { 2 } \Psi _ { a } ^ { \dagger } \Psi _ { b } ^ { \dagger } \Psi _ { a } \Psi _ { b } .
\begin{array} { r } { C _ { \epsilon } \frac { K _ { \mathrm { t e s t } } ^ { 3 / 2 } } { \hat { \Delta } } = ( \nu _ { \mathrm { f } } + \nu _ { \mathrm { k } } ) \left( \widehat { \frac { \partial \tilde { u } _ { i } } { \partial x _ { j } } \frac { \partial \tilde { u } _ { i } } { \partial x _ { j } } } - \frac { \partial \hat { \tilde { u } } _ { i } } { \partial x _ { j } } \frac { \partial \hat { \tilde { u } } _ { i } } { \partial x _ { j } } \right) . } \end{array}
\theta _ { t + 1 } \leftarrow \theta _ { t } - \epsilon _ { t } \left[ \frac { s } { b } \sum _ { i = 1 } ^ { b } \nabla _ { \theta } \ell _ { j _ { t i } } ( d , \theta ) + \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { \nabla _ { \theta } u \left( x _ { t i } , \hat { \phi } ( x _ { t i } ; \theta _ { t } ) , \nabla _ { x } \hat { \phi } ( x _ { t i } ; \theta _ { t } ) , \dots \right) } { q ( x _ { t i } ) } \right] + \eta _ { t }
\frac { d ^ { 2 } W _ { p e } } { d t d \gamma _ { \gamma } } = \frac { d ^ { 2 } W _ { p e } } { d t d w } \left( \frac { d \gamma _ { \gamma } } { d w } \right) ^ { - 1 } = \frac { d ^ { 2 } W _ { p e } } { d t d w } \frac { ( 2 + 3 w ^ { 3 } \chi _ { e } ) ^ { 2 } } { 1 8 \gamma _ { e } w ^ { 2 } \chi _ { e } } .
{ \cal L } = \frac { 1 } { 2 } \dot { A } _ { i } ^ { T 2 } - \frac { 1 } { 4 } F _ { i j } ^ { 2 } ( A ^ { T } ) + \frac { 1 } { 2 } j _ { 0 } \frac { 1 } { \partial ^ { 2 } } j _ { 0 } + j _ { i } A _ { i } ^ { T } + { \cal L } _ { M }
\begin{array} { r l } & { ( \ast ) \leq \int _ { \alpha } ^ { \infty } \widetilde { H } _ { w } ( \varepsilon ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } d \varepsilon + \int _ { \alpha } ^ { \infty } \widetilde { H } _ { w } ( \varepsilon ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } d \varepsilon } \\ & { \leq \left( \widetilde { I } _ { w } ^ { \frac { \hat { d } + 1 } { 2 } } + \widetilde { I } _ { k } ^ { \frac { \hat { d } + 1 } { 2 } } \right) \frac { 2 } { \hat { d } - 1 } \alpha ^ { - \frac { \hat { d } - 1 } { 2 } } } \\ & { \leq \frac { 4 } { \hat { d } - 1 } \Biggl ( \operatorname* { m a x } \left[ 2 C _ { w } , 8 | D | C _ { \alpha } \operatorname* { m a x } \left\{ C _ { \beta } \mathrm { d i a g } ( D \times D ) , 2 \right\} \right] \rho M C _ { d } ^ { 2 } C _ { a } T _ { L } \Biggr ) ^ { \frac { \hat { d } + 1 } { 2 } } } \\ & { \times \left[ \left( \sum _ { \ell = 0 } ^ { L } C _ { w , \ell } \right) ^ { \frac { \hat { d } + 1 } { 2 } } + \left( \sum _ { \ell = 0 } ^ { L } C _ { k , \ell } \right) ^ { \frac { \hat { d } + 1 } { 2 } } \right] \alpha ^ { - \frac { \hat { d } - 1 } { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { x _ { b } } & { { } = \lambda _ { 1 } - \lambda _ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \, ( 3 \lambda _ { 3 } + 1 ) } \\ { y _ { b } } & { { } = \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \, ( 3 \lambda _ { 3 } + 1 ) } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { [ [ q ] ] _ { i \pm \frac 1 2 } } & { : = [ q ] _ { i + \frac 1 2 } - [ q ] _ { i - \frac 1 2 } } & { \{ \{ q \} \} _ { i \pm \frac 1 2 } } & { : = \{ q \} _ { i + \frac 1 2 } + \{ q \} _ { i - \frac 1 2 } } \\ & { = q _ { i + 1 } - 2 q _ { i } + q _ { i - 1 } } & & { = q _ { i + 1 } + 2 q _ { i } + q _ { i - 1 } } \end{array}
{ \mathcal F } _ { \alpha } [ f ] ( \boldsymbol \rho ) = { \frac { \mathrm { i } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \alpha } } { \sin \alpha } } \, \exp ( - \mathrm { i } \pi \rho ^ { 2 } \cot \alpha ) \, \int _ { { \mathbb R } ^ { 2 } } \exp ( - \mathrm { i } \pi \rho ^ { 2 } \cot \alpha ) \, \exp \left( { \frac { 2 \mathrm { i } \pi } { \sin \alpha } } \, \boldsymbol \rho ^ { \prime } \boldsymbol \cdot \boldsymbol \rho \right) \, f ( \boldsymbol \rho ) \, \mathrm { d } \boldsymbol \rho \, .
B _ { a b } ^ { \tilde { g } } = e _ { a } ^ { \; \; \mu } e _ { b } ^ { \; \; \nu } B _ { \mu \nu } ^ { \tilde { g } } \; \; , \; \; B _ { a b } ^ { \tilde { b } } = e _ { a } ^ { \; \; \mu } e _ { b } ^ { \; \; \nu } B _ { \mu \nu } ^ { \tilde { b } } .
\frac { \partial a ( t , \mathbf { x } , u ) } { \partial t } = \underbrace { \beta _ { p } \, \frac { \partial ^ { 2 } a ( t , \mathbf { x } , u ) } { \partial u ^ { 2 } } } _ { \substack { \textup { p h e n o t y p i c v a r i a t i o n s } } } + \underbrace { \beta _ { s } \Delta _ { \mathbf { x } } a ( t , \mathbf { x } , u ) } _ { \textup { m o v e m e n t } } + \underbrace { R ( u , O ( t , \mathbf { x } ) , \rho ( t , \mathbf { x } ) , n ( t , \mathbf { x } ) ) a ( t , \mathbf { x } , u ) } _ { \textup { p r o l i f e r a t i o n / s e l e c t i o n / n e c r o s i s } } .
\begin{array} { r l } { \mathrm { V a r } [ \beta ] } & { = \langle \beta ^ { 2 } \rangle - \langle \beta \rangle ^ { 2 } = \frac { N ( N - 1 ) } { 2 ( W ^ { * } ) ^ { 2 } } p ( 1 - p ) = \frac { \mathrm { V a r } [ L ] } { ( W ^ { * } ) ^ { 2 } } = } \\ & { = \frac { L ^ { * } } { ( W ^ { * } ) ^ { 2 } } \left[ \frac { N ( N - 1 ) - 2 L ^ { * } } { N ( N - 1 ) } \right] } \end{array}
| K _ { S , L } \rangle = \frac { e ^ { i \alpha _ { S , L } } } { \sqrt { 2 ( 1 + | \tilde { \varepsilon } \pm \delta | ^ { 2 } ) } } [ ( 1 + \tilde { \varepsilon } \pm \delta ) | K ^ { 0 } \rangle \pm ( 1 - \tilde { \varepsilon } \mp \delta ) | \overline { { { K ^ { 0 } } } } \rangle ] .
\begin{array} { r l } & { \partial _ { t } , \qquad \partial _ { u ^ { a } } , \qquad t \partial _ { u ^ { b } } , \qquad u ^ { a } \partial _ { u ^ { b } } , \qquad \bigl ( t ^ { 2 } + \bigl ( u ^ { 1 } \bigr ) ^ { 2 } \bigr ) \partial _ { u ^ { b } } , \qquad u ^ { 1 } \partial _ { t } - t \partial _ { u ^ { 1 } } , } \\ & { t \partial _ { t } + u ^ { 1 } \partial _ { u ^ { 1 } } + 2 \sum _ { b = 2 } ^ { m } u ^ { b } \partial _ { u ^ { b } } , \qquad \bigl ( t ^ { 2 } - \bigl ( u ^ { 1 } \bigr ) ^ { 2 } \bigr ) \partial _ { t } + 2 t \sum _ { a = 1 } ^ { m } u ^ { a } \partial _ { u ^ { a } } , } \\ & { t u ^ { 1 } \partial _ { t } + \frac { 1 } { 2 } \bigl ( \bigl ( u ^ { 1 } \bigr ) ^ { 2 } - t ^ { 2 } \bigr ) \partial _ { u ^ { 1 } } + u ^ { 1 } \sum _ { b = 2 } ^ { m } u ^ { b } \partial _ { u ^ { b } } . } \end{array}
d X ( t ) = d \Gamma ( t ) + X ( t ) \left[ r ( t ) d t + d A ( t ) \right] + \sum _ { n = 1 } ^ { N } \left[ \pi _ { n } ( t ) \left( b _ { n } ( t ) + \delta _ { n } ( t ) - r ( t ) \right) \right] + \sum _ { d = 1 } ^ { D } \left[ \sum _ { n = 1 } ^ { N } \pi _ { n } ( t ) \sigma _ { n , d } ( t ) \right] d W _ { d } ( t )
T ^ { \mathrm { L } } = T _ { i } + ( T _ { m } - T _ { i } ) \frac { \mathrm { ~ e ~ r ~ f ~ c ~ } \left( \frac { x } { 2 \sqrt { \alpha ^ { \mathrm { ~ L ~ } } t } } - \lambda ( t ) \left( 1 - R _ { \rho } \right) \right) } { \mathrm { ~ e ~ r ~ f ~ c ~ } \left( \lambda ( t ) R _ { \rho } \right) } .
\nabla _ { \perp } ^ { 2 } \hat { e } _ { \nu \mu } ( \rho , z ) + [ \epsilon _ { r } ( \rho , z ) k _ { \nu \mu } ^ { 2 } - \frac { m _ { \nu \mu } ^ { 2 } } { \rho ^ { 2 } } ] \hat { e } _ { \nu \mu } ( \rho , z ) = { \vec { 0 } }
\begin{array} { r l } { S _ { n } ( \chi , b ) } & { = \mathop { \sum _ { x _ { 1 } \cdots x _ { n + 1 } = b , ~ x _ { i } \in \mathbb { F } _ { q } ^ { * } } } _ { x _ { 1 } + \cdots + x _ { n + 1 } \neq 0 } \chi _ { 1 } ( x _ { 1 } ) \cdots \chi _ { n + 1 } ( x _ { n + 1 } ) \psi \left( \frac { 1 } { x _ { 1 } + \cdots + x _ { n + 1 } } \right) } \\ & { = \mathop { \sum _ { x _ { 1 } + \cdots + x _ { n } + \frac { b } { x _ { 1 } \cdots x _ { n } } \neq 0 } } _ { x _ { i } \in \mathbb { F } _ { q } ^ { * } } \chi _ { 1 } ( x _ { 1 } ) \cdots \chi _ { n } ( x _ { n } ) \chi _ { n + 1 } \left( \frac { b } { x _ { 1 } \cdots x _ { n } } \right) \psi \left( \frac { 1 } { x _ { 1 } + \cdots + x _ { n } + \frac { b } { x _ { 1 } \cdots x _ { n } } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \small \int _ { \Omega _ { h } } \nabla \phi _ { h } ^ { n + 1 } \cdot \nabla \omega _ { h } - \alpha \int _ { \Omega _ { h } } \phi _ { h } ^ { n + 1 } \omega _ { h } = } & { \int _ { \partial \Omega _ { o h } } g _ { 2 h } ^ { n + 1 } \omega _ { h } + \int _ { \partial \Omega _ { s h } } \left[ - g _ { 3 h } ^ { n + 1 } - \frac { \Theta ^ { \prime } ( \phi _ { h } ^ { * , n + 1 } ) } { \lambda } \right] \omega _ { h } } \\ & { - \int _ { \Omega _ { h } } \psi _ { h } ^ { n + 1 } \omega _ { h } , \quad \forall \omega _ { h } \in X _ { h } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ { \bf v } _ { k } \right\} \in \mathrm { s p a n } ^ { \perp } \left\{ { \widetilde { \bf f } } ( { \bf n } ) , ( { \bf K } _ { 0 } { \bf J } ) { \widetilde { \bf f } } ( { \bf n } ) , ( { \bf K } _ { 0 } { \bf J } ) ^ { 2 } { \widetilde { \bf f } } ( { \bf n } ) , \ldots \right\} . } \end{array}
| \Psi \rangle = \overbrace { \sum _ { s _ { z \, 1 } , \ldots , s _ { z \, N } } } ^ { \mathrm { d i s c r e t e ~ l a b e l s } } \overbrace { \int _ { R _ { N } } d ^ { 3 } \mathbf { r } _ { N } \cdots \int _ { R _ { 1 } } d ^ { 3 } \mathbf { r } _ { 1 } } ^ { \mathrm { c o n t i n u o u s ~ l a b e l s } } \; \underbrace { { \Psi } ( \mathbf { r } _ { 1 } , \ldots , \mathbf { r } _ { N } , s _ { z \, 1 } , \ldots , s _ { z \, N } ) } _ { \begin{array} { c } { { \mathrm { w a v e ~ f u n c t i o n ~ ( c o m p o n e n t ~ o f ~ } } } \\ { { \mathrm { ~ s t a t e ~ v e c t o r ~ a l o n g ~ b a s i s ~ s t a t e ) } } } \end{array} } \; \underbrace { | \mathbf { r } _ { 1 } , \ldots , \mathbf { r } _ { N } , s _ { z \, 1 } , \ldots , s _ { z \, N } \rangle } _ { \mathrm { b a s i s ~ s t a t e ~ ( b a s i s ~ k e t ) } } \, .
\begin{array} { r l } { P _ { 1 } ( \{ a , b _ { 1 } , c _ { 1 } \} = \triangle , \{ a , b _ { 2 } , c _ { 2 } \} = \triangle ) } & { \leq P _ { 1 } ( c _ { 1 } \leftrightarrow b _ { 1 } \leftrightarrow a \leftrightarrow b _ { 2 } \leftrightarrow c _ { 2 } ) } \\ & { \leq \left( \frac { 1 } { 1 + C _ { 1 } } \right) ^ { 4 } \frac { w _ { a } ^ { 2 } w _ { b _ { 1 } } ^ { 2 } w _ { b _ { 2 } } ^ { 2 } w _ { c _ { 1 } } w _ { c _ { 2 } } } { \mu ^ { 4 } k ^ { m } n ^ { 4 - m } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \chi _ { \perp } ^ { \prime } ( \omega ^ { \prime } ) } & { = \sum _ { s } \frac { - ( \omega ^ { 2 } + \Omega ^ { 2 } ) \omega _ { p s } ^ { 2 } } { ( \omega ^ { 2 } + \Omega ^ { 2 } ) ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } ( 2 \Omega + \varepsilon _ { s } \Omega _ { c s } ) ^ { 2 } } , } \\ { \chi _ { \times } ^ { \prime } ( \omega ^ { \prime } ) } & { = \sum _ { s } \frac { \omega ^ { \prime } ( 2 \Omega + \varepsilon _ { s } \Omega _ { c s } ) \omega _ { p s } ^ { 2 } } { ( \omega ^ { 2 } + \Omega ^ { 2 } ) ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } ( 2 \Omega + \varepsilon _ { s } \Omega _ { c s } ) ^ { 2 } } , } \end{array}
\arg \! \! \operatorname* { m i n } _ { \boldsymbol { \phi } _ { j } ^ { \ast } , \boldsymbol { \lambda } _ { j } } \quad \mathcal { L } _ { j } = \frac { 1 } { 2 } \boldsymbol { \phi } _ { j } ^ { \ast \intercal } \mathrm { d i a g } ( \boldsymbol { \phi } _ { j } ) ^ { - 1 } \boldsymbol { \phi } _ { j } ^ { \ast } + \boldsymbol { \lambda } _ { j } ^ { \intercal } \left( \mathbf { A } _ { j } \boldsymbol { \phi } _ { j } ^ { \ast } - \mathbf { p } ( \mathbf { X } _ { j } ) \right) \, ,
\widehat { \Delta x } = \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } - \frac { 1 } { \gamma } \ln \frac { \Tilde { P } ( x _ { 2 } , \omega _ { i } ) } { \Tilde { P } ( x _ { 1 } , \omega _ { i } ) }
{ \frac { d x } { d \tau } } = { \frac { \partial { \mathcal { H } } } { \partial p } } , \; \; \; \; { \frac { d p } { d \tau } } = - { \frac { \partial { \mathcal { H } } } { \partial x } } ; \; \; \; \; \; \; { \frac { d t } { d \tau } } = { \frac { \partial { \mathcal { H } } } { \partial p _ { t } } } , \; \; \; \; { \frac { d p _ { t } } { d \tau } } = { \frac { \partial { \mathcal { H } } } { \partial t } } .
\begin{array} { r l } & { [ [ C _ { t } | m _ { t } , u _ { t } ] ] ^ { \boldsymbol { g } } = \big \{ c _ { t } \in \mathcal { C } _ { t } ~ \big | ~ \exists \; w _ { 0 : t } \in [ [ W _ { 0 : t } ] ] \mathrm { ~ s u c h ~ t h a t ~ } } \\ & { c _ { t } = d _ { t } ( w _ { 0 : t } , u _ { 0 : t } ) , \; y _ { \ell } = h _ { t } ( w _ { 0 : \ell } , u _ { 0 : \ell - 1 } ) , \; \forall \ell = 0 , \dots , t \big \} } \\ & { = [ [ C _ { t } | m _ { t } , u _ { t } ] ] , } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } \ensuremath { \langle \phi _ { j } , \, \psi _ { k } \circ T \rangle } _ { \mathbb { L } ^ { 2 } ( \ensuremath { \mathbb { X } } ) } ^ { 2 } = \| \psi _ { k } \circ T \| _ { \mathbb { L } ^ { 2 } ( \ensuremath { \mathbb { X } } ) } ^ { 2 } \leq \| \psi _ { k } \| _ { \infty } ^ { 2 } = 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta y } & { { } { } { \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } } f ( x _ { 1 } + \Delta x _ { 1 } , \dots , x _ { n } + \Delta x _ { n } ) - f ( x _ { 1 } , \dots , x _ { n } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \delta \bar { \bf M } _ { \mathrm { F i e l d } } ( r , \phi , z ) } \\ & { } & { = \frac { \bar { U } _ { \mathrm { F i e l d } } } { \omega } \sigma \left( - z \cos \phi \frac { 1 } { 2 } \partial _ { r } | u | ^ { 2 } , z \sin \phi \frac { 1 } { 2 } \partial _ { r } | u | ^ { 2 } , - r \frac { 1 } { 2 } \partial _ { r } | u | ^ { 2 } \right) . } \end{array}
( { \hat { c } } - { \hat { a } } ) = { \sqrt { \mathrm { ( s a m p l e ~ v a r i a n c e ) } } } { \sqrt { 6 + 5 { \hat { \nu } } + { \frac { ( 2 + { \hat { \nu } } ) ( 3 + { \hat { \nu } } ) } { 6 } } { \mathrm { ( s a m p l e ~ e x c e s s ~ k u r t o s i s ) } } } }
{ \frac { \partial ^ { 2 } \varepsilon _ { n } ( \mathbf { k } ) } { \partial k _ { i } \partial k _ { j } } } = { \frac { \hbar ^ { 2 } } { m } } \delta _ { i j } + \left( { \frac { \hbar ^ { 2 } } { m } } \right) ^ { 2 } \sum _ { n ^ { \prime } \neq n } { \frac { \langle n \mathbf { k } | - i \nabla _ { i } | n ^ { \prime } \mathbf { k } \rangle \langle n ^ { \prime } \mathbf { k } | - i \nabla _ { j } | n \mathbf { k } \rangle + \langle n \mathbf { k } | - i \nabla _ { j } | n ^ { \prime } \mathbf { k } \rangle \langle n ^ { \prime } \mathbf { k } | - i \nabla _ { i } | n \mathbf { k } \rangle } { \varepsilon _ { n } ( \mathbf { k } ) - \varepsilon _ { n ^ { \prime } } ( \mathbf { k } ) } }
\begin{array} { r l } { f _ { i } } & { { } = f _ { i } ^ { ( 0 ) } + \varepsilon f _ { i } ^ { ( 1 ) } + \varepsilon ^ { 2 } f _ { i } ^ { ( 2 ) } + O ( \varepsilon ^ { 3 } ) , } \\ { \partial _ { t } } & { { } = \varepsilon \partial _ { t } ^ { ( 1 ) } + \varepsilon ^ { 2 } \partial _ { t } ^ { ( 2 ) } + O ( \varepsilon ^ { 3 } ) , } \\ { \partial _ { x } } & { { } = \varepsilon \partial _ { x } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { H } ^ { \mathrm { D C B Q } } \Psi _ { \mathrm { S R C } } ( K , J M ) = E _ { \mathrm { S R C } } ^ { \mathrm { D C B Q } } \Psi _ { \mathrm { S R C } } ( K , J M ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { G _ { 0 , 2 } ^ { \prime } = - \sqrt { b / 2 } \frac { \partial } { \partial l } \left( \ln ( b B ) \right) \; G _ { 0 , 2 } ^ { ( 1 ) } , } \\ { G _ { 0 , 2 } ^ { \prime \prime } = b / 2 \left( \frac { \partial } { \partial l } \ln ( b B ) \right) ^ { 2 } \; G _ { 0 , 2 } ^ { ( 2 ) } . } \end{array}
Z [ \vec { J } ] = \exp { \{ i S _ { 0 } [ \vec { J } ] \} } \int D \delta \vec { q } \exp { \{ i \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d t \left[ \frac { 1 } { 2 } \delta \dot { \vec { q } } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \delta \vec { q } ^ { T } \Sigma \delta \vec { q } + \vec { J } ^ { T } \delta \vec { q } \right] \} } .
\mathbf { A } = \left[ \begin{array} { c c c c } { Z _ { 1 } ^ { - 1 } - G _ { w } ( 0 ) } & { - G _ { w } \left( x _ { 1 } - x _ { 2 } \right) } & { \cdots } & { - G _ { w } \left( x _ { 1 } - x _ { N } \right) } \\ { - G _ { w } \left( x _ { 2 } - x _ { 1 } \right) } & { Z _ { 2 } ^ { - 1 } - G _ { w } ( 0 ) } & { \cdots } & { - G _ { w } \left( x _ { 2 } - x _ { N } \right) } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { - G _ { w } \left( x _ { N } - x _ { 1 } \right) } & { - G _ { w } \left( x _ { N } - x _ { 2 } \right) } & { \cdots } & { Z _ { N } ^ { - 1 } - G _ { w } ( 0 ) } \end{array} \right] , \mathbf { X } = \left[ \begin{array} { c } { Q _ { 1 } } \\ { Q _ { 2 } } \\ { \vdots } \\ { Q _ { N } } \end{array} \right] .
{ \frac { d N } { d y d ^ { 2 } k _ { t } } } = \pi R ^ { 2 } { \frac { 2 g ^ { 6 } \mu ^ { 4 } } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } } { \frac { N _ { c } ( N _ { c } ^ { 2 } - 1 ) } { k _ { t } ^ { 4 } } } L ( k _ { t } , \lambda ) \, ,
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { I + n - K } \sum _ { i = - n } ^ { I - K - 1 } C _ { i , j } ^ { 4 } E ^ { * } \left( \left( F _ { i , j } ^ { * } - \widehat f _ { j , n } \right) ^ { 4 } \right) = \frac { \widehat \sigma _ { j , n } ^ { 4 } } { I + n - K } \sum _ { i = - n } ^ { I - K - 1 } C _ { i , j } ^ { 2 } E ^ { * } \left( r _ { i , j } ^ { * 4 } \right) . } \end{array}