harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { 1 } { 4 ! } \sum _ { i , j , k , l } \tilde { F } _ { i j k l } \left( \hat { a } _ { i } \hat { a } _ { j } \hat { a } _ { k } \hat { a } _ { l } + \hat { a } _ { i } \hat { a } _ { j } \hat { a } _ { k } \hat { a } _ { l } ^ { \dagger } + \hat { a } _ { i } \hat { a } _ { j } \hat { a } _ { k } ^ { \dagger } \hat { a } _ { l } \right. } \\ & { } & { \left. + \hat { a } _ { i } \hat { a } _ { j } \hat { a } _ { k } ^ { \dagger } \hat { a } _ { l } ^ { \dagger } + \cdots + \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j } ^ { \dagger } \hat { a } _ { k } ^ { \dagger } \hat { a } _ { l } ^ { \dagger } \right) } \\ & { } & { = \frac { 1 } { 4 ! } \sum _ { i , j , k , l } \tilde { F } _ { i j k l } \{ \hat { a } _ { i } \hat { a } _ { j } \hat { a } _ { k } \hat { a } _ { l } \} + \frac { 1 } { 3 ! } \sum _ { i , j , k , l } \tilde { F } _ { i j k l } \{ \hat { a } _ { i } \hat { a } _ { j } \hat { a } _ { k } \hat { a } _ { l } ^ { \dagger } \} } \\ & { } & { + \frac { 1 } { 2 ! 2 ! } \sum _ { i , j , k , l } \tilde { F } _ { i j k l } \{ \hat { a } _ { i } \hat { a } _ { j } \hat { a } _ { k } ^ { \dagger } \hat { a } _ { l } ^ { \dagger } \} + \frac { 1 } { 3 ! } \sum _ { i , j , k , l } \tilde { F } _ { i j k l } \{ \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j } ^ { \dagger } \hat { a } _ { k } ^ { \dagger } \hat { a } _ { l } \} } \\ & { } & { + \frac { 1 } { 4 ! } \sum _ { i , j , k , l } \tilde { F } _ { i j k l } \{ \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j } ^ { \dagger } \hat { a } _ { k } ^ { \dagger } \hat { a } _ { l } ^ { \dagger } \} + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i , j , k } \tilde { F } _ { i j k k } ( f _ { k } + 1 / 2 ) \{ \hat { a } _ { i } \hat { a } _ { j } \} } \\ & { } & { + \sum _ { i , j , k } \tilde { F } _ { i j k k } ( f _ { k } + 1 / 2 ) \{ \hat { a } _ { i } \hat { a } _ { j } ^ { \dagger } \} + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i , j , k } \tilde { F } _ { i j k k } ( f _ { k } + 1 / 2 ) \{ \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j } ^ { \dagger } \} } \\ & { } & { + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i , j } \tilde { F } _ { i i j j } ( f _ { i } + 1 / 2 ) ( f _ { j } + 1 / 2 ) . } \end{array}
1 + \delta ^ { ( 0 ) } = 1 + a \left( M _ { \tau } \right) + 5 . 2 0 2 3 \left[ a \left( M _ { \tau } \right) \right] ^ { 2 } + 2 6 . 3 6 6 \left[ a \left( M _ { \tau } \right) \right] ^ { 3 } + 1 3 2 . 4 4 \left[ a \left( M _ { \tau } \right) \right] ^ { 4 }
\begin{array} { r } { U = \frac { 1 } { 3 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { D } \sum _ { l = 1 } ^ { D } \Bigg [ \frac { G _ { k l } } { \tilde { g } ^ { 2 } } \frac { \partial \tilde { g } } { \partial \xi _ { k } } \frac { \partial \tilde { g } } { \partial \xi _ { l } } + 4 \frac { \partial } { \partial \xi _ { k } } \Bigg ( \frac { G _ { k l } } { \tilde { g } } \frac { \partial \tilde { g } } { \partial \xi _ { l } } \Bigg ) \Bigg ] \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { e ^ { - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \frac { 1 } { | \pi _ { i } | } } & { = m e ^ { - 1 } \cdot \frac { 1 } { m } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \frac { 1 } { | \pi _ { i } | } \geq m e ^ { - 1 } \left( \frac { 1 } { m } \sum _ { i = 1 } ^ { m } | \pi _ { i } | \right) ^ { - 1 } = } \\ & { = \frac { m ^ { 2 } e ^ { - 1 } } { \sum _ { i = 1 } ^ { m } | \pi _ { i } | } . } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { 1 } g _ { 2 } ( x , Q ^ { 2 } ) d x = \left\{ \begin{array} { r l } { { \frac { \omega _ { t h } } { 4 M _ { T } } \kappa ( \kappa + e _ { T } ) } } & { { Q ^ { 2 } = 0 } } \\ { { 0 } } & { { Q ^ { 2 } \to \infty , } } \end{array} \right.
\left. \begin{array} { l l l l r } { { a = \sqrt { 2 1 5 3 3 } + 1 1 9 \, } } & { { \, \, \, } } & { { b } } & { { = } } & { { - 1 9 4 } } \\ { { c = \sqrt { 2 1 5 3 3 } - 1 1 9 \, } } & { { \, \, \, } } & { { d } } & { { = } } & { { 1 9 4 } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { r > r _ { 0 } } \left\| r ^ { \frac { n } { \alpha } - \frac { n } { p ( \cdot ) } - \frac { n } { q } } \| \chi _ { B ( x _ { 0 } , r _ { 0 } ) } \chi _ { B ( \cdot , r ) } \| _ { L ^ { p ( \cdot ) } } \right\| _ { L ^ { q } } } & { \le \operatorname* { s u p } _ { r > r _ { 0 } } r ^ { \frac { n } { \alpha } - \frac { n } { p ^ { + } } - \frac { n } { q } } \left\| \| \chi _ { B ( x _ { 0 } , r _ { 0 } ) } \| _ { L ^ { p ( \cdot ) } } \cdot \chi _ { B ( x _ { 0 } , r + r _ { 0 } ) } \right\| _ { L ^ { q } } } \\ & { \lesssim r _ { 0 } ^ { \frac { n } { p _ { - } } } \operatorname* { s u p } _ { r > r _ { 0 } } r ^ { \frac { n } { \alpha } - \frac { n } { p ^ { + } } } ( 1 + \frac { r _ { 0 } } { r } ) ^ { \frac { n } { q } } } \\ & { \lesssim r _ { 0 } ^ { \frac { n } { \alpha } + C _ { p } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { A } { A _ { t h } } } & { = \frac { \eta _ { \gamma } \sqrt { 2 } \left[ 2 g ^ { 2 } \left( 1 - \sqrt { 1 - g ^ { - 2 } } \right) \right] ^ { 1 / ( \gamma - 1 ) } } { \sqrt { 1 - \sqrt { 1 - g ^ { - 2 } } } } , } \\ { \left( \frac { \bar { \rho } } { \rho _ { 0 } } \right) ^ { 1 - \gamma } } & { = 2 g ^ { 2 } \left( 1 - \sqrt { 1 - g ^ { - 2 } } \right) , } \\ { c _ { s } } & { = \frac { c _ { s 0 } } { \sqrt { 2 g ^ { 2 } \left( 1 - \sqrt { 1 - g ^ { - 2 } } \right) } } , } \\ { \mathcal { M } ^ { 2 } } & { = \frac { 2 } { \gamma - 1 } \left( 2 g ^ { 2 } \left( 1 - \sqrt { 1 - g ^ { - 2 } } \right) - 1 \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left< \tau _ { i j } ^ { \mathrm { a n i } } \overline { { s } } _ { i j } \right> = \left< \tau _ { i j } ^ { \mathrm { a n i } } \right> S _ { i j } + \xi _ { i i } ^ { \mathrm { A R } } / 2 = 0 , } \end{array}
\sigma _ { \mathrm { ~ T ~ B ~ } } ^ { 2 } = \varpi _ { \mathrm { ~ l ~ t ~ } } ^ { 2 } - \varpi _ { \mathrm { ~ s ~ t ~ } } ^ { 2 } \simeq \frac { 0 . 1 3 3 7 \lambda ^ { 2 } z ^ { 2 } } { \varpi _ { 0 } ^ { 1 / 3 } \rho _ { 0 } ^ { 5 / 3 } } .
\begin{array} { r l } { \mathrm { P e } \oiiint _ { \mathcal { V } } \left[ \boldsymbol { \nabla _ { \scriptscriptstyle X } } \cdot \left( \Bar { \rho } \Bar { c } _ { p } \boldsymbol { \Tilde { V } } \Bar { T } \right) \right] \, d \mathcal { V } } & { = \oiiint _ { \mathcal { V } } \boldsymbol { \nabla _ { \scriptscriptstyle X } } \cdot \left( \left[ \boldsymbol { \Bar { \Tilde { \kappa } } } \right] ^ { T } \boldsymbol { \nabla _ { \scriptscriptstyle X } } \Bar { T } \right) \, d \mathcal { V } + \oiiint _ { \mathcal { V } } \Bar { \Tilde { Q } } _ { T } \, d \mathcal { V } , } \\ { \mathrm { P e } \oiint _ { \partial \mathcal { S } } \left( \Bar { \rho } \Bar { c } _ { p } \boldsymbol { \Tilde { V } } \Bar { T } \right) \cdot \vec { \boldsymbol { n } } \, d \mathcal { S } } & { = \oiint _ { \partial \mathcal { S } } \left( \left[ \boldsymbol { \Bar { \Tilde { \kappa } } } \right] ^ { T } \boldsymbol { \nabla _ { \scriptscriptstyle X } } \Bar { T } \right) \cdot \vec { \boldsymbol { n } } \, d \mathcal { S } + \oiiint _ { \mathcal { V } } \Bar { \Tilde { Q } } _ { T } \, d \mathcal { V } . } \end{array}
\left( \frac { \mu _ { j } - \frac { i } { 2 } } { \mu _ { j } + \frac { i } { 2 } } \right) ^ { 2 N } = \left( \frac { \mu _ { j } - \chi + i \left( \xi - \frac { 1 } { 2 } \right) } { \mu _ { j } - \chi - i \left( \xi - \frac { 1 } { 2 } \right) } \right) \left( \frac { \mu _ { j } + \chi + i \left( \xi - \frac { 1 } { 2 } \right) } { \mu _ { j } + \chi - i \left( \xi - \frac { 1 } { 2 } \right) } \right) \prod _ { j \neq \ell = 1 } ^ { M } \left( \frac { \mu _ { j } - \mu _ { \ell } - i } { \mu _ { j } - \mu _ { \ell } + i } \right) \left( \frac { \mu _ { j } + \mu _ { \ell } - i } { \mu _ { j } + \mu _ { \ell } + i } \right) .
d ( d - 1 ) U \; = \; { \frac { 1 } { 4 \beta ^ { 2 } } } \left( \tilde { z } ^ { 2 } + 2 \tilde { z } p _ { - 2 } + p _ { - 3 } \right) - d - { \frac { 1 } { \beta } } \; .
\sigma ^ { 2 } = \frac { \delta K _ { \lambda + 1 } ( \delta \gamma ) } { \gamma K _ { \lambda } ( \delta \gamma ) } + \frac { \beta ^ { 2 } \delta ^ { 2 } } { \gamma ^ { 2 } } \Bigg [ \frac { K _ { \lambda + 2 } ( \delta \gamma ) } { K _ { \lambda } ( \delta \gamma ) } - \frac { K _ { \lambda + 1 } ^ { 2 } ( \delta \gamma ) } { K _ { \lambda } ^ { 2 } ( \delta \gamma ) } \Bigg ] ,
\mathcal { B } ( z , t ) = \frac { 1 } { \pi } \int _ { 0 } ^ { L _ { x } } \int _ { 0 } ^ { L _ { y } } b ( x , y , z , t ) \; \textnormal { d } x \, \textnormal { d } y \approx \int _ { 0 } ^ { L _ { x } } b ( x , z , t ) \left| x - \frac { L _ { x } } { 2 } \right| \; \textnormal { d } x ,
{ \begin{array} { r l } { y [ n ] } & { = y ( n T ) = \sum _ { k = 1 } ^ { K } r _ { k } ( n T ) \cos \left( 2 \pi \int _ { 0 } ^ { n T } f _ { k } ( u ) \ d u + \phi _ { k } \right) } \\ & { = \sum _ { k = 1 } ^ { K } r _ { k } ( n T ) \cos \left( 2 \pi \sum _ { i = 1 } ^ { n } \int _ { ( i - 1 ) T } ^ { i T } f _ { k } ( u ) \ d u + \phi _ { k } \right) } \\ & { = \sum _ { k = 1 } ^ { K } r _ { k } ( n T ) \cos \left( 2 \pi \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( T f _ { k } [ i ] ) + \phi _ { k } \right) } \\ & { = \sum _ { k = 1 } ^ { K } r _ { k } [ n ] \cos \left( { \frac { 2 \pi } { f _ { \mathrm { s } } } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } f _ { k } [ i ] + \phi _ { k } \right) } \end{array} }
\tilde { C } _ { i _ { 1 } \ldots i _ { m } } = \partial _ { [ i _ { 1 } } X ^ { \mu _ { 1 } } \cdots \partial _ { i _ { m - 1 } } X ^ { \mu _ { m - 1 } } \, \bar { \theta } _ { 2 } \gamma _ { \mu _ { 1 } \ldots \mu _ { m - 1 } } \partial _ { i _ { m } ] } \theta _ { 1 } \, ,
\mathcal { G } _ { i , 2 } ^ { ( 3 ) } = m _ { i 1 } \xi _ { 2 } + n _ { i 1 } \xi _ { 3 } , ~ \mathcal { G } _ { i , 3 } ^ { ( 3 ) } = m _ { i 2 } \xi _ { 2 } + n _ { i 2 } \xi _ { 3 } - \alpha _ { i 2 } \lambda
D _ { L } ( { k \to 0 } ) = \frac { 4 } { 4 5 } \omega _ { p d } ^ { 2 } \left[ 1 - \kappa \frac { \partial } { \partial \kappa } + \frac { 3 } { 4 } \kappa ^ { 2 } \frac { \partial } { \partial \kappa ^ { 2 } } \right] \frac { E _ { c } ( \kappa ) } { T _ { d } \Gamma } k ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ A ~ C ~ } } & { { } = \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \Big ( \frac { 1 } { C - 1 } \sum _ { \beta \neq c _ { i } } \Big [ d _ { G } ( i , j ^ { \ast } ( i , \beta ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \mathbb { E } \{ X ( t ) \} ^ { T } \eta \tilde { \eta } ^ { T } z ^ { s } | } & { \le \tilde { l } _ { + } ^ { ( s ) } ( \| X ^ { \eta } ( 0 ) \| + | \zeta _ { 1 } | ) \| z ^ { s } \| , } \\ { | \mathbb { E } \{ X ( t ) \} ^ { T } \xi \tilde { \xi } ^ { T } z ^ { s } | } & { \le \tilde { l } _ { - } ^ { ( s ) } ( \| X ^ { \xi } ( 0 ) \| + | \zeta _ { 2 } | ) \| z ^ { s } \| , } \\ { \Big | \frac { \mathbb { E } \{ X ( t ) \} ^ { T } \tilde { M } z ^ { s } } { l ^ { ( s ) } } \Big | } & { \le \frac { 1 } { 2 } ( \| X ( 0 ) \| ^ { 2 } + 3 \| \tilde { z } ^ { s } \| ^ { 2 } ) . } \end{array}
e = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { k ! } } = { \frac { 1 } { 0 ! } } + { \frac { 1 } { 1 ! } } + { \frac { 1 } { 2 ! } } + { \frac { 1 } { 3 ! } } + \cdots .
\begin{array} { r l } { S _ { \Sigma } ^ { \mathrm { f b } } } & { = \Bigg ( \frac { | P _ { \Delta } | ^ { 2 } + 2 r \Omega G _ { 1 2 } \Im ( P _ { \Delta } e ^ { i \Omega \tau } ) + r ^ { 2 } \Omega ^ { 2 } G _ { 1 2 } ^ { 2 } } { | P _ { \Sigma } P _ { \Delta } + \Omega ^ { 2 } G _ { 1 2 } G _ { 2 1 } e ^ { - 2 i \Omega \tau } | ^ { 2 } } \Bigg ) \Omega ^ { 2 } g ^ { 2 } S _ { \mathrm { n n } } , } \\ { S _ { \Delta } ^ { \mathrm { f b } } } & { = \Bigg ( \frac { r ^ { 2 } | P _ { \Sigma } | ^ { 2 } + 2 r \Omega G _ { 2 1 } \Im ( P _ { \Sigma } e ^ { i \Omega \tau } ) + \Omega ^ { 2 } G _ { 2 1 } ^ { 2 } } { | P _ { \Sigma } P _ { \Delta } + \Omega ^ { 2 } G _ { 1 2 } G _ { 2 1 } e ^ { - 2 i \Omega \tau } | ^ { 2 } } \Bigg ) \Omega ^ { 2 } g ^ { 2 } S _ { \mathrm { n n } } , } \end{array}
\mathbb { D } _ { \ell \nu } ^ { \mathrm { T M } } ( R _ { \ell } ) = \left( \begin{array} { l l } { J _ { \nu } ( k _ { \ell } R _ { \ell } ) } & { H _ { \nu } ( k _ { \ell } R _ { \ell } ) } \\ { \frac { 1 } { \eta _ { \ell } } J _ { \nu } ^ { \prime } ( k _ { \ell } R _ { \ell } ) } & { \frac { 1 } { \eta _ { \ell } } H _ { \nu } ^ { \prime } ( k _ { \ell } R _ { \ell } ) } \end{array} \right)
t _ { m n } = \frac { 2 \eta _ { m } } { \eta _ { m } + \eta _ { n } } \frac { 1 - n _ { n } v / c } { 1 - n _ { m } v / c } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \gamma _ { n m n } = \frac { \eta _ { m } - \eta _ { n } } { \eta _ { m } + \eta _ { n } } \frac { 1 - n _ { n } v / c } { 1 - n _ { n } v / c }
\sigma _ { v } ^ { 2 } = { \frac { 1 } { 2 } } [ ( \sigma _ { 1 1 } - \sigma _ { 2 2 } ) ^ { 2 } + ( \sigma _ { 2 2 } - \sigma _ { 3 3 } ) ^ { 2 } + ( \sigma _ { 1 1 } - \sigma _ { 3 3 } ) ^ { 2 } + 6 ( \sigma _ { 2 3 } ^ { 2 } + \sigma _ { 3 1 } ^ { 2 } + \sigma _ { 1 2 } ^ { 2 } ) ]
< T _ { \mu \nu } ( x ) \, T _ { \rho \sigma } ( 0 ) \int T _ { \mu } ^ { \mu } > \, \propto \tilde { c } ( g ) \, X _ { \mu \nu \rho \sigma } \left( \delta ^ { ( 4 ) } ( x ) \right) + \mathrm { t r a c e \, \, t e r m s . }
M = \frac { q _ { 0 } ^ { - 1 } } { 6 H } \left( \begin{array} { l l } { { { ( \frac { { \partial ^ { 2 } } V } { \partial { T _ { 1 } } ^ { 2 } } ) } _ { 0 } } } & { { { ( \frac { { \partial ^ { 2 } } V } { \partial { T _ { 1 } } \partial { T _ { 2 } } } ) } _ { 0 } } } \\ { { { ( \frac { { \partial ^ { 2 } } V } { \partial { T _ { 1 } } \partial { T _ { 2 } } } ) } _ { 0 } } } & { { { ( \frac { { \partial ^ { 2 } } V } { \partial { T _ { 2 } } ^ { 2 } } ) } _ { 0 } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { 0 } & { \in x - \left( 1 - \frac { \nu \lambda } { \zeta } \right) ( \bar { q } - \nu z ) + \partial \sigma _ { \Delta \mathbb { B } } ( z ) } \\ & { = ( \zeta - \nu \lambda ) \frac { \nu } { \zeta } \left( z - \left( \frac { 1 } { \nu } \bar { q } - \frac { \zeta } { \nu ( \zeta - \nu \lambda ) } x \right) \right) + \partial \sigma _ { \Delta \mathbb { B } } ( z ) , } \end{array}
v q < \frac { 1 } { 2 m _ { B } } ( q ^ { 2 } + m _ { B } ^ { 2 } - \mu ^ { 2 } ) \mathrm { ~ a n d ~ } v q > \frac { 1 } { 2 m _ { B } } ( q ^ { 2 } + 2 m _ { B } ^ { 2 } + \mu ^ { 2 } )
\oint \mathbf { H } \cdot \mathrm { d } { \boldsymbol { \ell } } = \oint \left( { \frac { \mathbf { B } } { \mu _ { 0 } } } - \mathbf { M } \right) \cdot \mathrm { d } { \boldsymbol { \ell } } = I _ { \mathrm { t o t } } - I _ { \mathrm { b } } = I _ { \mathrm { f } } ,
\rho ^ { * } \equiv { \frac { \rho } { \rho _ { 0 } } } , \quad u ^ { * } \equiv { \frac { u } { u _ { 0 } } } , \quad r ^ { * } \equiv { \frac { r } { r _ { 0 } } } , \quad t ^ { * } \equiv { \frac { u _ { 0 } } { r _ { 0 } } } t , \quad \nabla ^ { * } \equiv r _ { 0 } \nabla , \quad \mathbf { g } ^ { * } \equiv { \frac { \mathbf { g } } { g _ { 0 } } } , \quad { \boldsymbol { \sigma } } ^ { * } \equiv { \frac { \boldsymbol { \sigma } } { p _ { 0 } } } ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \phi ^ { n + 1 } - \phi ^ { n } = s \Delta _ { h } \mu ^ { n + 1 } - s \nabla _ { h } \cdot ( A _ { h } \phi ^ { n } \boldsymbol { u } ^ { n + 1 } ) , } \\ & { } & { \mu ^ { n + 1 } = \ln ( 1 + \phi ^ { n + 1 } ) - \ln ( 1 - \phi ^ { n + 1 } ) - \theta _ { 0 } \phi ^ { n } - \varepsilon ^ { 2 } \Delta _ { h } \phi ^ { n + 1 } , } \\ & { } & { ( - \Delta _ { h } + I ) \boldsymbol { u } ^ { n + 1 } + \nabla _ { h } p ^ { n + 1 } + \gamma A _ { h } \phi ^ { n } \nabla _ { h } \mu ^ { n + 1 } = 0 , } \\ & { } & { \nabla _ { h } \cdot \boldsymbol { u } ^ { n + 1 } = 0 . } \end{array}
l . h . s . = ( - 1 ) ^ { n } { \cal P } _ { \alpha , n } { \cal P } _ { - \alpha + n - 1 , n } \Pi _ { + } + ( - 1 ) ^ { n } { \cal P } _ { - \alpha + n - 1 , n } { \cal P } _ { \alpha , n } \Pi _ { - } ,
k _ { S G S } ^ { W } = \left( \frac { C _ { w } ^ { 2 } \Delta } { C _ { k } } \right) ^ { 2 } \frac { ( s _ { i j } ^ { d } s _ { i j } ^ { d } ) ^ { 3 } } { \left( ( \overline { { S } } _ { i j } \, \overline { { S } } _ { i j } ) ^ { 5 / 2 } + ( s _ { i j } ^ { d } s _ { i j } ^ { d } ) ^ { 5 / 4 } \right) ^ { 2 } } .
\frac { d \mathbf { \widetilde { S } } } { d t } = \exp \left( - t \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { A _ { 1 } } } & { \vec { \mathbf c } } \\ { \mathbf 0 } & { 0 } \end{array} \right] \right) \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { A _ { 2 } } } & { \mathbf 0 } \\ { \mathbf 0 } & { 0 } \end{array} \right] \mathrm { e x p } \left( t \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { A _ { 1 } } } & { \vec { \mathbf c } } \\ { \mathbf 0 } & { 0 } \end{array} \right] \right) \mathbf { \widetilde S } ( t )
\frac { 1 } { 2 } \Delta \mu _ { M } ^ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } = \Delta \mu _ { X } ^ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } = \frac { 1 } { 2 } ( E _ { M X _ { 2 } } ^ { M L } - \mu _ { M } ^ { B u l k } ) - E _ { X _ { 8 } } / 8
\begin{array} { r l } { b _ { 1 } } & { = \frac { a _ { 1 } a _ { 2 } - a _ { 3 } } { a _ { 1 } } , \; \; b _ { 3 } = \frac { a _ { 1 } a _ { 4 } - a _ { 5 } } { a _ { 1 } } , } \\ { c _ { 1 } } & { = \frac { b _ { 1 } a _ { 3 } - a _ { 1 } b _ { 2 } } { b _ { 1 } } , \; \; d _ { 1 } = \frac { c _ { 1 } b _ { 3 } - b _ { 1 } c _ { 2 } } { c _ { 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { V _ { \mathrm { W C A } } ( r ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 4 \epsilon \left( \left( \frac { \sigma } { r } \right) ^ { 1 2 } - \left( \frac { \sigma } { r } \right) ^ { 6 } \right) + \epsilon } & { \mathrm { i f ~ } r \leq 2 ^ { \frac { 1 } { 6 } } \sigma } \\ { 0 } & { \mathrm { i f ~ } r > 2 ^ { \frac { 1 } { 6 } } \sigma . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( | u ^ { k } | ^ { p - 1 } \right) _ { x } = } & { \left( | u ^ { k } | ^ { 2 \left( \frac { p - 1 } { 2 } \right) } \right) _ { x } = \left[ \left( u ^ { k } \overline { { u ^ { k } } } \right) ^ { \left( \frac { p - 1 } { 2 } \right) } \right] _ { x } } \\ { = } & { \left[ \left( u ^ { k } \right) ^ { \left( \frac { p - 1 } { 2 } \right) } \right] _ { x } \overline { { u ^ { k } } } ^ { \left( \frac { p - 1 } { 2 } \right) } + ( u ^ { k } ) ^ { \left( \frac { p - 1 } { 2 } \right) } \left[ \left( \overline { { u ^ { k } } } \right) ^ { \left( \frac { p - 1 } { 2 } \right) } \right] _ { x } } \\ { = } & { \left[ \left( u ^ { k } \right) ^ { \left( \frac { p - 1 } { 2 } \right) } \right] _ { x } \overline { { u ^ { k } } } ^ { \left( \frac { p - 1 } { 2 } \right) } + \overline { { \left[ \left( u ^ { k } \right) ^ { \left( \frac { p - 1 } { 2 } \right) } \right] _ { x } \overline { { u ^ { k } } } ^ { \left( \frac { p - 1 } { 2 } \right) } } } } \\ { = } & { 2 R e \left\{ \left[ \left( u ^ { k } \right) ^ { \left( \frac { p - 1 } { 2 } \right) } \right] _ { x } \left( \overline { { u ^ { k } } } \right) ^ { \left( \frac { p - 1 } { 2 } \right) } \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { D } & { = } & { - h \frac { \omega _ { 0 } } { 2 } \frac { k _ { 0 } \mu _ { g } } { \sigma \nu } = \frac { \omega _ { 0 } } { 2 } \frac { \kappa } { 2 \sigma } \frac { 2 + ( 1 - \sigma ^ { 2 } ) c _ { g } / c _ { p } } { \kappa - \sigma c _ { g } ^ { 2 } / c _ { p } ^ { 2 } } = \frac { D ^ { \prime } } { 1 - c _ { g } ^ { 2 } / ( g h ) } } \\ { D ^ { \prime } } & { = } & { \frac { \omega _ { 0 } } { 2 \sigma } ( 1 + C _ { F D } ) } \\ { \mu _ { g } } & { = } & { \frac { 2 \sigma } { \omega _ { 0 } } ( 2 \omega - k c _ { g } ( \sigma ^ { 2 } - 1 ) ) = ( \sigma ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } \kappa - \sigma ( \sigma ^ { 2 } - 5 ) = 4 \sigma ( 1 + C _ { F D } ) } \\ { \nu } & { = } & { \frac { 4 k _ { 0 } \sigma } { g } ( c _ { g } ^ { 2 } - g h ) = [ ( \sigma + 1 ) ^ { 2 } \kappa - \sigma ] [ ( \sigma - 1 ) ^ { 2 } \kappa - \sigma ] } \\ { C _ { F D } } & { = } & { \frac { \omega _ { 0 } c _ { g } } { g \sinh ( 2 \kappa ) } } \end{array}
( \mathcal { P } _ { \mathrm { o d d } } | _ { \overline { { \mathbb { V } } } } - \mathcal { P } _ { 0 } ) \bar { f } = ( \mathcal { I } - \mathcal { P } _ { 0 } ) \bar { \mathcal { S } } \bar { \mathcal { A } } _ { \mathrm { o e } } ( f _ { W } - \mathcal { P } _ { \mathrm { e v e n } } | _ { \overline { { \mathbb { V } } } } \, \bar { f } )
\begin{array} { r l r } { \hbar \partial _ { \tau _ { \infty , 1 } } Q _ { 1 } } & { = } & { P _ { 2 } - Q _ { 1 } ^ { 2 } + Q _ { 2 } - \frac { 1 } { 4 } \tau _ { \infty , 2 } , } \\ { \hbar \partial _ { \tau _ { \infty , 1 } } Q _ { 2 } } & { = } & { P _ { 2 } Q _ { 1 } - Q _ { 1 } Q _ { 2 } + P _ { 1 } - \frac { 1 } { 4 } \tau _ { \infty , 2 } Q _ { 1 } - \frac { 1 } { 2 } \tau _ { \infty , 1 } , } \\ { \hbar \partial _ { \tau _ { \infty , 1 } } P _ { 1 } } & { = } & { - \frac { 1 } { 2 } P _ { 2 } ^ { 2 } + Q _ { 2 } P _ { 2 } + 2 P _ { 1 } Q _ { 1 } + \frac { 1 } { 4 } \tau _ { \infty , 2 } P _ { 2 } - t _ { \infty ^ { ( 1 ) } , 0 } + \hbar , } \\ { \hbar \partial _ { \tau _ { \infty , 1 } } P _ { 2 } } & { = } & { P _ { 2 } Q _ { 1 } - P _ { 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { W ^ { + + } } & { { } = \frac { N h } { 2 } \left[ \frac { a } { h } + \left( 1 - q + \Delta \right) \left( \frac { 1 + \varepsilon } { 2 } \right) \right] \left( 2 q - \Delta - \Sigma \right) , } \\ { W ^ { + - } } & { { } = \frac { N h } { 2 } \left[ \frac { a } { h } + \left( 1 - q + \Delta \right) \left( \frac { 1 - \varepsilon } { 2 } \right) \right] \left( \Sigma - \Delta \right) , } \\ { W ^ { - + } } & { { } = \frac { N h } { 2 } \left[ \frac { a } { h } + \left( q - \Delta \right) \left( \frac { 1 + \varepsilon } { 2 } \right) \right] \left( 2 - 2 q + \Delta - \Sigma \right) , } \\ { W ^ { -- } } & { { } = \frac { N h } { 2 } \left[ \frac { a } { h } + \left( q - \Delta \right) \left( \frac { 1 - \varepsilon } { 2 } \right) \right] \left( \Sigma + \Delta \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \tilde { e } \rangle = | \varphi , e \rangle } & { { } + \sum _ { q } \Big \{ \frac { | \phi _ { q } ^ { + } \rangle | g \rangle \langle g | \langle \phi _ { q } ^ { + } | \hat { H } _ { I } | \varphi , e \rangle } { \omega _ { e } - \omega _ { q } ^ { + } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { k } ( x , y , \hat { \theta } ) : = } & { \frac { \bar { k } ( x , y , \hat { \theta } ) } { g ( x , y ) } } \\ { \bar { k } ( x , y , \hat { \theta } ) : = } & { - f ( x , y ) - \sum _ { j = 1 } ^ { p } \varphi _ { i , j } ( x , y ) \hat { \theta } _ { j } + \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { \partial k } { \partial x _ { i } } ( x , \hat { \theta } ) \left( F _ { i } ( x ) + b _ { i } ( x ) y + \sum _ { j = 1 } ^ { p } \varphi _ { i , j } ( x ) \hat { \theta } _ { j } \right) } \\ & { + \sum _ { j = 1 } ^ { p } \frac { \partial k } { \partial \hat { \theta } _ { j } } ( x , \hat { \theta } ) w _ { j } ( x , \hat { \theta } ) + \sum _ { j = 1 } ^ { p } \frac { \partial k } { \partial \hat { \theta } _ { j } } ( x , \hat { \theta } ) \gamma _ { j } ( y - k ( x , \hat { \theta } ) ) \left( \varphi _ { n + 1 , j } ( x , y ) - \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { \partial k } { \partial x _ { i } } ( x , \hat { \theta } ) \varphi _ { i , j } ( x ) \right) } \\ & { - \sum _ { j = 1 } ^ { p } ( T ( x , \hat { \theta } ) ) ^ { \prime } \frac { \partial T } { \partial \hat { \theta } _ { j } } ( x , \hat { \theta } ) \gamma _ { j } \left( \varphi _ { n + 1 , j } ( x , y ) - \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { \partial k } { \partial x _ { i } } ( x , \hat { \theta } ) \varphi _ { i , j } ( x ) \right) } \\ & { - \sum _ { i = 1 } ^ { n } b _ { i } ( T ( x , \hat { \theta } ) ) ^ { \prime } \frac { \partial T } { \partial x _ { i } } ( x , \hat { \theta } ) - M ( x , y , \hat { \theta } ) ( y - k ( x , \hat { \theta } ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { 4 n - 8 \geq \sum _ { \mathrm { ~ P ~ p a t c h } } w _ { 4 / 3 } ( P ) } & { \geq \frac { 2 0 } { 3 } | { \ensuremath { \cal P } } _ { 2 } ^ { \odot } | + 1 0 | { \ensuremath { \cal P } } _ { 3 } ^ { \odot } | - \frac { 4 } { 3 } | { \ensuremath { \cal P } } ^ { \boxtimes } | - \frac { 2 } { 3 } | { \ensuremath { \cal P } } _ { 3 } ^ { \nabla } | \geq 1 0 | { \ensuremath { \cal P } } _ { 3 } ^ { \odot } | - 1 0 | { \ensuremath { \cal P } } ^ { \boxtimes } | - 5 | { \ensuremath { \cal P } } _ { 3 } ^ { \nabla } | . } \end{array}
e ^ { i \alpha H _ { 1 } } = \prod _ { n = 1 } ^ { | V | } \left( \prod _ { i < j = 1 } ^ { k } C X _ { n , i ; n , j } P _ { n , j } \left( \alpha C / 2 \right) C X _ { n , i ; n , j } \right) \times \prod _ { \{ n , m \} \in E } \left( \prod _ { i = 0 } ^ { k - 1 } C X _ { n , i ; m , i } P _ { m , i } \left( \alpha D / 2 \right) C X _ { n , i ; m , i } \right) ,