harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { - \int _ { S } \{ 2 \Re ( \partial _ { n } v \partial _ { 2 } \bar { v } ) - n _ { 2 } | \nabla v | ^ { 2 } + n _ { 2 } k ^ { 2 } | v | ^ { 2 } \} \, \mathrm { d } s } & { = - \int _ { S } n _ { 2 } | \partial _ { n } v | ^ { 2 } d s } \\ & { \ge ( 1 + L ^ { 2 } ) ^ { - 1 / 2 } \| \partial _ { n } v \| _ { L ^ { 2 } ( S ) } ^ { 2 } . } \end{array}
\Delta f _ { 3 } = 2 B _ { 3 } \gamma _ { 3 } = 2 \mu _ { 0 } \frac { M _ { 3 } } { 3 } \gamma _ { 3 } = \frac { 2 } { 3 } \mu _ { 0 } \mu _ { 3 } P _ { 3 } N \gamma _ { 3 } \simeq 5 ~ \mathrm { H z }
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { 2 } \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \| \tilde { u } _ { t } \| ^ { 2 } + \| \tilde { u } _ { x t } \| ^ { 2 } } \\ { = } & { \underbrace { - \int _ { 0 } ^ { 1 } ( \tilde { u } \tilde { v } ) _ { t } \tilde { u } _ { x t } \mathrm { d } x } _ { \equiv K _ { 1 } } + \underbrace { \alpha ^ { \prime } \int _ { 0 } ^ { 1 } \tilde { v } _ { x } \tilde { u } _ { t } \mathrm { d } x } _ { \equiv K _ { 2 } } \underbrace { - \alpha \int _ { 0 } ^ { 1 } \tilde { v } _ { t } \tilde { u } _ { x t } \mathrm { d } x } _ { \equiv K _ { 3 } } + \underbrace { \int _ { 0 } ^ { 1 } \beta _ { t } \tilde { u } _ { x } \tilde { u } _ { t } \mathrm { d } x } _ { \equiv K _ { 4 } } + \underbrace { \int _ { 0 } ^ { 1 } \beta \tilde { u } _ { x t } \tilde { u } _ { t } \mathrm { d } x } _ { K _ { 5 } } } \\ & { + \underbrace { \beta _ { x t } \int _ { 0 } ^ { 1 } \tilde { u } \tilde { u } _ { t } \mathrm { d } x } _ { \equiv K _ { 6 } } + \underbrace { \beta _ { x } \| \tilde { u } _ { t } \| ^ { 2 } } _ { \equiv K _ { 7 } } + \underbrace { ( \alpha ^ { \prime } \beta _ { x } - \alpha \beta _ { x t } - \alpha ^ { \prime \prime } ) \int _ { 0 } ^ { 1 } \tilde { u } _ { t } \mathrm { d } x } _ { \equiv K _ { 8 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { K ^ { 1 / 2 } x _ { i } = \varepsilon \mu A ^ { - 2 - n - 2 i } x _ { i } , K ^ { 1 / 2 } y _ { i } = \varepsilon \mu A ^ { n - 2 i } y _ { i } , \quad L ^ { 1 / 2 } x _ { i } = \mu A ^ { n + 2 i + 2 } x _ { i } , L ^ { 1 / 2 } y _ { i } = \mu A ^ { 2 i - n } y _ { i } \mathrm { , ~ f o r ~ } i \in \{ 0 , \ldots , N - 1 \} ; } \\ & { F x _ { i } = x _ { i + 1 } , \quad F y _ { i } = y _ { i + 1 } \quad \mathrm { ( ~ w h e r e ~ } y _ { N } = x _ { N } = 0 ) \mathrm { , ~ f o r ~ } i \in \{ 0 , \ldots , N - 1 \} ; } \\ & { E x _ { 0 } = 0 , \quad E x _ { i } = - \mu ^ { 2 } [ i ] [ n + i + 1 ] x _ { i - 1 } \mathrm { , ~ f o r ~ } i \in \{ 1 , \ldots , N - 1 \} ; } \\ & { E y _ { i } = \mu ^ { 2 } [ i ] [ n - i + 1 ] y _ { i - 1 } + x _ { N - n + i - 2 } \mathrm { , ~ f o r ~ } i \in \{ 0 , \ldots , n \} , \quad E y _ { i } = \mu ^ { 2 } [ i ] [ n - i + 1 ] y _ { i - 1 } \mathrm { , ~ f o r ~ } i \in \{ n + 1 , \ldots , N - 1 \} . } \end{array}
\int _ { { \widetilde { \Sigma } _ { \widetilde { \tau } } } } | \mathbf { K } ^ { K ^ { \star } } [ \psi ] | \, d V _ { { \widetilde { \Sigma } _ { \widetilde { \tau } } } } \lesssim \int _ { { \widetilde { \Sigma } _ { \widetilde { \tau } } } } \mathbf { J } _ { \mu } ^ { K ^ { \star } } [ \psi ] n _ { { \widetilde { \Sigma } _ { \widetilde { \tau } } } } ^ { \mu } \, d V _ { { \widetilde { \Sigma } _ { \widetilde { \tau } } } } \ \ \ \textrm { a n d } \ \ \ \int _ { { \widetilde { \Sigma } _ { \widetilde { \tau } } } } | \mathbf { K } ^ { N } [ \psi ] | \, d V _ { { \widetilde { \Sigma } _ { \widetilde { \tau } } } } \lesssim \int _ { { \widetilde { \Sigma } _ { \widetilde { \tau } } } } \mathbf { J } _ { \mu } ^ { N } [ \psi ] n _ { { \widetilde { \Sigma } _ { \widetilde { \tau } } } } ^ { \mu } \, d V _ { { \widetilde { \Sigma } _ { \widetilde { \tau } } } } \, ,
\begin{array} { r } { i \frac { \partial { \tilde { \Psi } } } { \partial \tilde { t } } = - \frac { 1 } { 2 } { \tilde { \nabla } } ^ { 2 } { \tilde { \Psi } } + \frac 1 2 { \tilde { \omega } } ^ { 2 } { \tilde { \rho } } ^ { 2 } { \tilde { \Psi } } + | { \tilde { \Psi } } | ^ { 2 } \ln | { \tilde { \Psi } } | ^ { 2 } { \tilde { \Psi } } . } \end{array}
T _ { \mathrm { i n t } , i } = \int _ { 0 } ^ { \tau _ { 0 } } \left( \frac { 1 } { t _ { \mathrm { a v g } } \cdot \overline { { u _ { i } ^ { \prime } u _ { i } ^ { \prime } } } } \int _ { 0 } ^ { t _ { \mathrm { a v g } } } u _ { i } ^ { \prime } ( t ) u _ { i } ^ { \prime } ( t - \tau ) \mathrm d t \right) \mathrm d \tau .
\ddot { \rho } = \! \! \sum _ { m = 0 } ^ { N } \sum _ { k = - N } ^ { N } \! \! \! E _ { m k } \cos \left( \Upsilon _ { m k } ( t ) - \omega _ { m k } \right) + \frac { 2 G M \sin ( \gamma / 2 ) } { a ^ { 2 } } ,
\frac { d \hat { F } ( \gamma ) } { d \gamma } = \hat { b } _ { 2 } \hat { b } _ { 1 } ^ { \dagger } \hat { b } _ { 2 } ^ { \dagger } e ^ { \gamma \hat { b } _ { 1 } ^ { \dagger } \hat { b } _ { 2 } ^ { \dagger } } - \hat { b } _ { 1 } ^ { \dagger } \hat { b } _ { 2 } ^ { \dagger } e ^ { \gamma \hat { b } _ { 1 } ^ { \dagger } \hat { b } _ { 2 } ^ { \dagger } } \hat { b } _ { 2 } = \hat { b } _ { 1 } ^ { \dagger } \hat { b } _ { 2 } ^ { \dagger } \hat { F } ( \gamma ) + \hat { b } _ { 1 } ^ { \dagger } e ^ { \gamma \hat { b } _ { 1 } ^ { \dagger } \hat { b } _ { 2 } ^ { \dagger } } .
\left[ \mathrm { e } _ { \times } ^ { \mathrm { t 0 } } \right] _ { i j } = \left( \begin{array} { c c c } { 0 } & { - \mathrm { e } _ { 3 } ^ { \mathrm { t 0 } } } & { \mathrm { e } _ { 2 } ^ { \mathrm { t 0 } } } \\ { \mathrm { e } _ { 3 } ^ { \mathrm { t 0 } } } & { 0 } & { - \mathrm { e } _ { 1 } ^ { \mathrm { t 0 } } } \\ { - \mathrm { e } _ { 2 } ^ { \mathrm { t 0 } } } & { \mathrm { e } _ { 1 } ^ { \mathrm { t 0 } } } & { 0 } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \Phi _ { \tilde { \xi } _ { \operatorname* { s u p } } } ( x ; \alpha ) } & { = \alpha C + ( 1 - \alpha ) D } \\ & { = \alpha \bigg [ 1 - \frac { ( c - x ) ^ { 2 } } { ( c - a ) ( c - b ) } - \theta _ { l } \operatorname* { m i n } \bigg \{ \frac { c - b } { c - a } - \frac { ( c - x ) ^ { 2 } } { ( c - a ) ( c - b ) } , \frac { ( c - x ) ^ { 2 } } { ( c - a ) ( c - b ) } \bigg \} \bigg ] } \\ & { \qquad + ( 1 - \alpha ) \bigg [ 1 - \frac { ( c - x ) ^ { 2 } } { ( c - a ) ( c - b ) } + \theta _ { r } \operatorname* { m i n } \bigg \{ \frac { c - b } { c - a } - \frac { ( c - x ) ^ { 2 } } { ( c - a ) ( c - b ) } , \frac { ( c - x ) ^ { 2 } } { ( c - a ) ( c - b ) } \bigg \} \bigg ] } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 - \frac { ( c - x ) ^ { 2 } } { ( c - a ) ( c - b ) } - [ \alpha \theta _ { l } - ( 1 - \alpha ) \theta _ { r } ] \big [ \frac { c - b } { c - a } - \frac { ( c - x ) ^ { 2 } } { ( c - a ) ( c - b ) } \big ] , } & { b < x \leq c - \frac { c - b } { \sqrt { 2 } } ; } \\ { 1 - \frac { ( c - x ) ^ { 2 } } { ( c - a ) ( c - b ) } - [ \alpha \theta _ { l } - ( 1 - \alpha ) \theta _ { r } ] \frac { ( c - x ) ^ { 2 } } { ( c - a ) ( c - b ) } , } & { c - \frac { c - b } { \sqrt { 2 } } \leq x < c . } \end{array} \right. } \end{array}
j _ { 0 } \approx - M c _ { - } \, \frac { \Delta \mu _ { 0 } } { d } \approx - 2 \, r \, M c _ { - } \, \frac { \delta c ( R _ { 2 } ) - \delta c ( R _ { 1 } ) } { d } = \frac { r \, M c _ { - } w \, \Delta c } { 3 \, R _ { 1 } \, R _ { 2 } \, d } \, \Delta R \, ,
c _ { 1 } = \frac { - 1 } { L _ { 1 } ^ { R } } = \frac { - 4 ( m _ { 1 } + m _ { 2 } + 2 ) } { ( m _ { 1 } + 2 ) ( m _ { 2 } + 2 ) ( m _ { 2 } + 1 ) } \frac { 1 } { L _ { 1 } ^ { L } } = - \frac { 8 } { 9 } \frac { 1 } { L _ { 1 } ^ { L } } , \quad c _ { 2 } = \frac { 1 } { L _ { 2 } ^ { R } } = \frac { m _ { 1 } ^ { 2 } } { 4 m _ { 2 } ^ { 2 } ( m _ { 1 } + 2 ) } \frac { 1 } { L _ { 1 } ^ { L } } = \frac { 1 } { 1 2 } \frac { 1 } { L _ { 1 } ^ { L } } .
{ \cal F } ( \Lambda _ { 2 4 } ) = \wedge _ { i = 1 } ^ { 3 } d \lambda _ { i } \frac { a _ { 1 2 } a _ { 1 5 } ^ { 2 } a _ { 2 5 } ^ { 2 } a _ { 3 5 } ^ { 2 } a _ { 3 6 } a _ { 4 6 } } { a _ { 4 5 } a _ { 5 6 } } \prod _ { k < l } a _ { k l } ^ { - 3 } \Theta ( \Lambda _ { 2 4 } ) ,
\begin{array} { l l } { \lambda _ { i c } = \frac { - 2 m _ { 3 } - \lambda _ { 3 } + \sqrt { 4 m _ { 3 } ^ { 2 } + \lambda _ { 3 } ^ { 2 } + 4 \lambda _ { 3 } m _ { 3 } + 8 m _ { 3 } } } { 2 } , } \end{array}
S ( g _ { \mu \nu } , B _ { \mu \nu } , \phi ) = { \frac { 1 } { 2 } } \int d ^ { 1 0 } x \ \sqrt { - g } e ^ { - 2 \phi } \biggl ( - R + 4 ( \partial \phi ) ^ { 2 } - { \frac { 3 } { 4 } } H ^ { 2 } \biggr ) \ ,
\begin{array} { r l } { | \rho ( t ) \rangle = } & { \sum _ { M = 0 } ^ { + \infty } \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \Omega } \int _ { 0 } ^ { t _ { M } } \int _ { \Omega } \cdots \int _ { 0 } ^ { t _ { 2 } } \int _ { \Omega } } \\ & { \times \hat { U } \left( t , t _ { M } \right) \hat { S } \left( t _ { M } , \omega _ { M } \right) \hat { U } \left( t _ { M } , t _ { M - 1 } \right) \hat { S } \left( t _ { M - 1 } , \omega _ { M - 1 } \right) \cdots } \\ & { \times \hat { U } \left( t _ { 2 } , t _ { 1 } \right) \hat { S } \left( t _ { 1 } , \omega _ { 1 } \right) \hat { U } \left( t _ { 1 } , 0 \right) | \rho ( 0 ) \rangle \mathrm { d } \mu _ { \omega _ { 1 } } \mathrm { ~ d } t _ { 1 } \cdots \mathrm { d } \mu _ { \omega _ { M - 1 } } \mathrm { ~ d } t _ { M - 1 } \mathrm { ~ d } \mu _ { \omega _ { M } } \mathrm { ~ d } t _ { M } , } \end{array}
{ \cal Z } _ { - } ( t ) = { t ^ { 3 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d x e ^ { - x } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } { \cal Z } _ { k + 3 } { \frac { \left( t ^ { 5 } x \right) ^ { k } } { k ! } } ,
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { M _ { 4 , 2 , y y } ^ { \sigma , e q } } & { = \sum _ { i } f _ { i } ^ { \sigma , e q } v _ { i y } ^ { 2 } ( v _ { i \alpha } ^ { 2 } + \eta _ { i } ^ { \sigma 2 } ) = \rho ^ { \sigma } \{ ( D + I ^ { \sigma } + 2 ) R ^ { \sigma 2 } T ^ { 2 } } \\ & { + u _ { y } ^ { 2 } ( u _ { x } ^ { 2 } + u _ { y } ^ { 2 } ) + R ^ { \sigma } T [ u _ { y } ^ { 2 } ( D + I ^ { \sigma } + 5 ) + u _ { x } ^ { 2 } ] \} , } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { \mathrm { G L } _ { n } ( F ) \cap \mathrm { M a t } _ { n } ( \mathcal { O } _ { F } ) } \int _ { \mathrm { M a t } _ { n } ^ { 0 } ( F ) } \int _ { \overline { { N _ { ( 2 n ) ^ { k - 1 } , 2 k n } ^ { 0 } } } ( F ) } l _ { T } ( \pi ( m ( a ) ) v _ { 0 } ) | \operatorname* { d e t } a | ^ { - n - 1 } } \\ { \times } & { f _ { \mathcal { W } ( \tau , 2 n , \psi ^ { - 1 } ) , s } ^ { 0 } \left( u _ { 0 } \left[ \begin{array} { c c c c c } { 1 _ { n } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { a } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 _ { 4 n ( k - 1 ) } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \hat { a } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 _ { n } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c c c c c } { 1 _ { n } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 _ { n } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \tilde { z } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 _ { n } } & { 0 } \\ { - z } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 _ { n } } \end{array} \right] \right) } \\ { \times } & { \psi ^ { - 1 } ( \mathrm { t r } ( T z ) ) \psi _ { \overline { { N _ { ( 2 n ) ^ { k - 1 } , 2 k n } ^ { 0 } } } } ^ { - 1 } ( u _ { 0 } ) d u _ { 0 } d z d a . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { { v } } \left( \eta = 0 \right) } & { = \frac { \overline { { A } } _ { v } } { ( 2 \overline { { x } } ) ^ { 1 / 2 } } \overline { { p } } \left( \eta = 0 \right) , } \\ { \overline { { \tau } } \left( \eta = 0 \right) } & { = \frac { \overline { { A } } _ { \tau } } { ( 2 \overline { { x } } ) ^ { 1 / 2 } } \overline { { p } } \left( \eta = 0 \right) , } \end{array}
\frac { 1 } { 2 } \bigg ( \bigg | \frac { \alpha _ { { k } } } { \beta _ { { k } } } \bigg | + \bigg | \frac { \beta _ { { k } } } { \alpha _ { { k } } } \bigg | \bigg ) = \frac { \Omega _ { { k } } } { | \Lambda _ { { k } } | } , \qquad | \alpha _ { { k } } | ^ { 2 } - | \beta _ { { k } } | ^ { 2 } = 1 .
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { E } = } & { { } - \frac { \boldsymbol { u } _ { e } \times \boldsymbol { B } } { c } - \frac { m _ { e } } { e } \left( \partial _ { t } \boldsymbol { u } _ { e } + \boldsymbol { u } _ { e } \cdot \nabla \boldsymbol { u } _ { e } \right) } \end{array}
r ^ { \prime } ( t ) = r ( t ) \ \ , \ \ \theta ^ { \prime } ( t ) = \theta + \alpha ( t ) \ \ , \ \ z ^ { \prime } ( t ) = z ( t ) + \frac { 1 } { g } \alpha ( t ) \ \ , \ \ \xi ^ { \prime } ( t ) = \xi ( t ) + \frac { 1 } { g } \dot { \alpha } ( t ) \ \ .
F ^ { a b } = { \frac { 1 } { 2 } } ( { F ^ { + } } { } ^ { a b } + { F ^ { - } } { } ^ { a b } ) = { \frac { 1 } { 2 } } ( { f _ { \beta } ^ { + } } { } ^ { \alpha } { ( \sigma ^ { a b } ) _ { \alpha } } { } ^ { \beta } + { { f ^ { - } } ^ { \dot { \beta } } } _ { \dot { \alpha } } { ( \bar { \sigma } ^ { a b } ) { } ^ { \dot { \alpha } } } _ { \dot { \beta } } ) ,
k _ { 1 } ^ { \mu } \Gamma _ { \rho \mu \lambda } ^ { ( 1 ) } ( p _ { 1 } , k _ { 1 } , q _ { 1 } ) = - q _ { 1 \rho } q _ { 1 \lambda } + g _ { \lambda \rho } ( q _ { 1 } ^ { 2 } - M ^ { 2 } )
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { \mathbf { k } } } & { = \left[ \begin{array} { l l } { \mathcal { E } _ { \mathbf { k } } ^ { 1 } } & { 0 } \\ { 0 } & { \mathcal { E } _ { \mathbf { k } } ^ { 2 } } \end{array} \right] , } \\ { V _ { \mathbf { k } } } & { = \left[ \begin{array} { l l } { V _ { \mathbf { k } } ^ { 1 } } & { V _ { \mathbf { k } } ^ { 2 } } \end{array} \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { \infty } ( t ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 2 \pi ^ { 2 } , } & { 0 \leq t < \frac { 2 } { \pi } , } \\ { \pi ^ { 2 } ( 2 - \alpha ) - \pi \alpha \left( \sin \left( 2 \arcsin \left( \frac { 2 } { \pi t } \right) \right) - 2 \arcsin \left( \frac { 2 } { \pi t } \right) \right) , } & { \frac { 2 } { \pi } \leq t . } \end{array} \right. } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l c l l } { x _ { 1 } } & { = } & { r \cos \alpha \cos \vartheta _ { 1 } } & { } \\ { p _ { x _ { 1 } } } & { = } & { r \cos \alpha \sin \vartheta _ { 1 } } & { \qquad \qquad r \in [ 0 , + \infty [ } \\ { x _ { 2 } } & { = } & { r \sin \alpha \cos \vartheta _ { 2 } } & { \qquad \qquad \theta _ { i } \in [ 0 , 2 \pi [ \qquad i = 1 , 2 } \\ { p _ { x _ { 2 } } } & { = } & { r \sin \alpha \sin \vartheta _ { 2 } \, . } & { } \end{array} \right.
( 2 { \cal P } { \overline { { { \cal P } } } } - E W ( z , \overline { { { z } } } ) ) \chi ^ { a } ( z , \overline { { { z } } } ) = - \frac { 1 } { 2 } \alpha \overline { { { \alpha } } } \chi ^ { a } ( z , \overline { { { z } } } )
{ \cal R } ^ { ( \mathrm { ~ d ~ } ) } = g _ { \sigma _ { 2 } } ^ { e } \left( \frac { [ \Gamma ^ { Z } ( 3 , 2 1 ) ] _ { \sigma _ { 1 } } } { Q _ { 1 2 } ^ { 2 } - M _ { W } ^ { 2 } } + \frac { [ \Gamma ^ { Z } ( 1 3 , 2 ) ] _ { \sigma _ { 1 } } } { Q _ { 1 3 } ^ { 2 } - M _ { W } ^ { 2 } } \right) + x _ { W } Q _ { e } \left( \frac { [ \Gamma ^ { \gamma } ( 3 , 2 1 ) ] _ { \sigma _ { 1 } } } { Q _ { 1 2 } ^ { 2 } - M _ { W } ^ { 2 } } + \frac { [ \Gamma ^ { \gamma } ( 1 3 , 2 ) ] _ { \sigma _ { 1 } } } { Q _ { 1 3 } ^ { 2 } - M _ { W } ^ { 2 } } \right) \; .
\begin{array} { r l } & { - \varepsilon \frac { d } { d t } \langle e ^ { - \gamma \psi } \nabla _ { x } \Delta _ { x } ^ { - 1 } ( e ^ { - \gamma \psi } c ) ^ { \times } , d \rangle _ { L _ { x } ^ { 2 } } + \frac { 3 \sqrt { 3 } } { 5 \sqrt { \gamma } } \| ( e ^ { - \gamma \psi } c ) ^ { \times } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } } ^ { 2 } } \\ & { \quad = - \langle e ^ { - \gamma \psi } \nabla _ { x } \Delta _ { x } ^ { - 1 } ( e ^ { - \gamma \psi } c ) ^ { \times } , \varepsilon \partial _ { t } d + \frac { 3 \sqrt { 3 } } { 5 } ( \gamma ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \nabla _ { x } + \gamma ^ { \frac { 1 } { 2 } } E ) c \rangle _ { L _ { x } ^ { 2 } } } \\ & { \quad \quad - \varepsilon \langle e ^ { - \gamma \psi } \nabla _ { x } \Delta _ { x } ^ { - 1 } ( e ^ { - \gamma \psi } \partial _ { t } c ) ^ { \times } , d \rangle _ { L _ { x } ^ { 2 } } } \\ & { \quad \quad - \varepsilon \langle \partial _ { t } ( e ^ { - \gamma \psi } ) \nabla _ { x } \Delta _ { x } ^ { - 1 } ( e ^ { - \gamma \psi } c ) ^ { \times } , d \rangle _ { L _ { x } ^ { 2 } } } \\ & { \quad \quad - \varepsilon \langle e ^ { - \gamma \psi } \nabla _ { x } \Delta _ { x } ^ { - 1 } ( \partial _ { t } ( e ^ { - \gamma \psi } ) c ) ^ { \times } , d \rangle _ { L _ { x } ^ { 2 } } } \\ & { \quad \quad - 4 \pi \frac { 3 \sqrt { 3 } } { 5 } \gamma ^ { \frac { 1 } { 2 } } \langle e ^ { - \gamma \psi } \nabla _ { x } \Delta _ { x } ^ { - 1 } ( e ^ { - \gamma \psi } c ) ^ { \times } , c \nabla _ { x } \Delta _ { x } ^ { - 1 } a \rangle _ { L _ { x } ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hbar \dot { \theta } _ { \pm 1 } = \frac { 1 } { \sqrt { n _ { \pm 1 } ( \vec { r } ) } } } & { { } \left( \mathcal { H } - \mu \right) \sqrt { n _ { \pm 1 } ( \vec { r } ) } \pm c _ { 1 } \left( n _ { 1 } - n _ { - 1 } \right) + q } \end{array}
\begin{array} { r } { F _ { \mathrm { P } } ^ { \mathrm { q u a n t } } ( \mathbf { r } _ { 0 } , \omega _ { \mathrm { a } } ) = 1 + \frac { \Gamma _ { \mathrm { q u a n t } } ^ { \mathrm { S E } } ( \mathbf { r } _ { 0 } , \omega _ { \mathrm { a } } ) } { \Gamma _ { 0 } ( \omega _ { \mathrm { a } } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r } { R _ { a } ( r ) = \sqrt { \left( \frac { 2 Z } { n _ { a } } \right) ^ { 3 } \frac { ( n _ { a } - l _ { a } - 1 ) ! } { 2 n _ { a } \, ( n _ { a } + l _ { a } ) ! } } \, \left( \frac { 2 Z r } { n _ { a } } \right) ^ { l _ { a } } \exp \left( \frac { - Z r } { n _ { a } } \right) \, L _ { n _ { a } - l _ { a } - 1 } ^ { 2 l _ { a } + 1 } \left( \frac { 2 Z r } { n _ { a } } \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { D _ { s } ^ { ( n ) } ( \mathbf { r } _ { n } , t _ { n } , \cdots \mathbf { r } _ { 1 } , t _ { 1 } ; \mathbf { r } _ { 1 ^ { \prime } } , t _ { 1 ^ { \prime } } \cdots \mathbf { r } _ { n ^ { \prime } } , t _ { n ^ { \prime } } ; \mathbf { r } _ { n ^ { \prime \prime } } , t _ { n ^ { \prime \prime } } \cdots \mathbf { r } _ { 1 ^ { \prime \prime } } , t _ { 1 ^ { \prime \prime } } ) } \\ & { = \sum _ { \{ m \} } \prod _ { j ^ { \prime } , j ^ { \prime \prime } , d } D _ { s , m } ^ { ( 1 ) } ( \mathbf { r } _ { d } ^ , t _ { d } ^ ; \mathbf { r } _ { j ^ { \prime } } ^ , t _ { j ^ { \prime } } ^ ) D _ { s , m } ^ { ( 1 ) , * } ( \mathbf { r } _ { d } ^ , t _ { d } ; \mathbf { r } _ { j ^ { \prime \prime } } ^ , t _ { j ^ { \prime \prime } } ^ ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { { s } [ { \phi } , 0 , T ] \equiv \log \frac { \mathbb { P } \left[ \{ \phi ( t ) _ { t \in [ 0 , T ] } \} \right] } { \mathbb { P } \left[ \{ \phi ^ { R } ( t ) _ { t \in [ 0 , T ] } \} \right] } \, , } \end{array}
E _ { \mathrm { d i s s } } ( t _ { n } ) = \sum _ { n _ { t } = 0 } ^ { N _ { t } } \left( ( \Delta x ) ^ { 3 } \sum _ { \mathrm { c e l l } = 1 } ^ { N _ { \mathrm { c e l l s } } } \Phi _ { \mathrm { c e l l , n _ { t } } } \right) \Delta t _ { n _ { t } }
\frac { b _ { 1 } } { b _ { 3 } } \leqslant \frac { a _ { 1 } } { a _ { 2 } } \frac { \sin \frac { \left( 2 \mu + \nu - \alpha \right) \pi } { 2 } } { \sin \frac { \left( \alpha + \nu \right) \pi } { 2 } } \frac { \cos \frac { \left( 2 \mu + \nu - \alpha \right) \pi } { 2 } } { \cos \frac { \left( \alpha + \nu \right) \pi } { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { V } & { = \frac { 2 N } { 1 + N } \, , } \\ { \mathrm { w h e r e } \quad } & { N : = \Big | \int \! \! \mathrm { d } \omega _ { i } \mathrm { d } \omega _ { s } f ( \omega _ { i } ) f ( \omega _ { s } ) F _ { 1 } ( \omega _ { i } , \omega _ { s } ) \bar { F } _ { 2 } ( \omega _ { i } , \omega _ { s } ) \Big | \, . } \end{array}
\boldsymbol { \mu } = \left( \begin{array} { c c c } { \mu _ { r } } & { - i \mu _ { i } } & { 0 } \\ { i \mu _ { i } } & { \mu _ { r } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) ,
g _ { \lambda \lambda ^ { \prime } } ^ { ( 2 ) } ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { r } ^ { \prime } ) = \frac { G _ { \lambda \lambda ^ { \prime } } ^ { ( 2 ) } ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { r } ^ { \prime } ) } { \langle \hat { n } _ { a , \lambda } ( \boldsymbol { r } ) \rangle \langle \hat { n } _ { b , \lambda ^ { \prime } } ( \boldsymbol { r } ^ { \prime } ) \rangle } ,
\begin{array} { r l r } { i \textbf { I } _ { \{ N 2 + \} } \circ \mathbb { N } ^ { + } = } & { { } } & { i \textbf { I } _ { \{ N 2 + \} } \circ ( i N _ { 1 0 } ^ { i + } + N _ { 1 0 } ^ { + } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \oiiint _ { \mathcal { V } } { \boldsymbol { \nabla _ { \scriptscriptstyle X } } \cdot \left( \boldsymbol { \Gamma _ { D } } \boldsymbol { \nabla _ { \scriptscriptstyle X } } \Bar { p } \right) } \, d \mathcal { V } } & { { } = \oiiint _ { \mathcal { V } } \boldsymbol { \nabla _ { \scriptscriptstyle X } } \cdot \bigl [ \theta \bigl ( \boldsymbol { \Gamma _ { C M } } \boldsymbol { U _ { m } } + \boldsymbol { \Gamma _ { C 1 } } \boldsymbol { U _ { 1 } } \bigr ) \bigr ] \, d \mathcal { V } , } \\ { \oiint _ { \partial \mathcal { S } } \left( \boldsymbol { \Gamma _ { D } } \boldsymbol { \nabla _ { \scriptscriptstyle X } } \Bar { p } \right) \cdot \vec { \boldsymbol { n } } \, d \mathcal { S } } & { { } = \oiint _ { \partial \mathcal { S } } \bigl [ \theta \bigl ( \boldsymbol { \Gamma _ { C M } } \boldsymbol { U _ { m } } + \boldsymbol { \Gamma _ { C 1 } } \boldsymbol { U _ { 1 } } \bigr ) \bigr ] \cdot \vec { \boldsymbol { n } } \, d \mathcal { S } , } \end{array}
\tilde { v _ { y } } ^ { ( 1 ) } = \frac { e E _ { m w 0 } } { m } \frac { ( - i \omega _ { m w } - \alpha \omega _ { c } ) } { ( \omega _ { m w } ^ { 2 } - \omega _ { c } ^ { 2 } ) } ; \quad \tilde { v _ { z } } ^ { ( 1 ) } = \frac { e E _ { m w 0 } } { m } \frac { ( - i \alpha \omega _ { m w } + \omega _ { c } ) } { ( \omega _ { m w } ^ { 2 } - \omega _ { c } ^ { 2 } ) }
\Delta _ { \mathrm { c } } ( n _ { \mathbf k } , { n } _ { \mathrm { b } } ) = E _ { \mathrm { c } } ( n _ { \mathbf k } + 1 , { n } _ { \mathrm { b } } ) - E _ { \mathrm { c } } ( n _ { \mathbf k } , { n } _ { \mathrm { b } } ) ~ .
\begin{array} { r l } & { \frac { d } { d t } \left< \left[ \begin{array} { l } { \vec { \mathbf { S } } ( t ) } \\ { 1 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { \vec { \mathbf { S } } ( t _ { 0 } ) ^ { \mathrm { T } } } & { 1 } \end{array} \right] \right> } \\ { = } & { \left( \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { A _ { 1 } } } & { \vec { \mathbf { c } } } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right] + \frac { \gamma ^ { 2 } } 2 \mathcal { D } \right) \left< \left[ \begin{array} { l } { \vec { \mathbf { S } } ( t ) } \\ { 1 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { \vec { \mathbf { S } } ( t _ { 0 } ) ^ { \mathrm { T } } } & { 1 } \end{array} \right] \right> , } \end{array}
\boldsymbol { F } _ { i } = \boldsymbol { F } _ { i } ^ { \mathrm { ~ E ~ } } + \sum _ { j } \boldsymbol { F } _ { i j } ^ { \mathrm { ~ R ~ } } + \sum _ { k } \boldsymbol { F } _ { i k } ^ { \mathrm { ~ W ~ } } + \boldsymbol { F } _ { i } ^ { \mathrm { ~ e ~ x ~ t ~ } } .
\partial _ { \lambda } E ( \lambda , \mu ) = \ensuremath { \langle \Psi ( \mathbf Ḋ R Ḍ , \pmb Ḋ \sigma Ḍ ; \lambda , \mu ) \vert } \partial _ { \lambda } H ( \mathbf { R } ; \lambda , \mu ) \ensuremath { \vert \Psi ( \mathbf Ḋ R Ḍ , \pmb Ḋ \sigma Ḍ ; \lambda , \mu ) \rangle } = \langle \mathpalette { w } ( \lambda , \mu ) \rangle ,
\begin{array} { r l } & { \partial _ { \mathrm { t } } \left( \gamma \rho \right) + \nabla \cdot \left( \gamma \rho \mathbf { v } \right) = 0 } \\ & { \partial _ { t } \mathbf { m } + \nabla \cdot \left[ \gamma ^ { 2 } w \mathbf { v } \mathbf { v } - \mathbf { E } \mathbf { E } - \mathbf { B } \mathbf { B } + ( p + u _ { \mathrm { e m } } ) \mathbf { I } \right] = 0 } \\ & { \partial _ { \mathrm { t } } \left( \gamma ^ { 2 } w - p + u _ { \mathrm { e m } } \right) + \nabla \cdot \left( \gamma ^ { 2 } w \mathbf { v } + c \mathbf { E } \times \mathbf { B } \right) = 0 } \\ & { \partial _ { \mathrm { t } } \mathbf { B } + \nabla \times c \mathbf { E } = 0 \, , } \end{array}