harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\textbf { J } = \left[ \begin{array} { c c c c c c c } { \frac { \partial \mathcal { F } _ { 1 } } { \partial C } } & { } & { } & { \frac { \partial \mathcal { F } _ { 1 } } { \partial E } } & { } & { } & { \frac { \partial \mathcal { F } _ { 1 } } { \partial \kappa } } \\ { \frac { \partial \mathcal { F } _ { 2 } } { \partial C } } & { } & { } & { \frac { \partial \mathcal { F } _ { 2 } } { \partial E } } & { } & { } & { \frac { \partial \mathcal { F } _ { 2 } } { \partial \kappa } } \\ { \frac { \partial \mathcal { F } _ { 3 } } { \partial C } } & { } & { } & { \frac { \partial \mathcal { F } _ { 3 } } { \partial E } } & { } & { } & { \frac { \partial \mathcal { F } _ { 3 } } { \partial \kappa } } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l } { f _ { 2 } ( t ) - f _ { 1 } ( t ) + F _ { m 1 } ( t ) } & { = m _ { 1 } \, \ddot { x } _ { 1 } ( t ) \, , } \\ { t _ { 2 } ( t ) - t _ { 1 } ( t ) + T _ { m 1 } ( t ) } & { = I _ { m 1 } \, \ddot { \theta } _ { 1 } ( t ) \, , } \\ { f _ { 3 } ( t ) - f _ { 2 } ( t ) + F _ { m 2 } ( t ) } & { = m _ { 2 } \, \ddot { x } _ { 2 } ( t ) \, , } \\ { t _ { 3 } ( t ) - t _ { 2 } ( t ) + T _ { m 2 } ( t ) } & { = I _ { m 2 } \, \ddot { \theta } _ { 2 } ( t ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \arg [ G _ { p } ^ { ( - ) } ( \theta _ { 1 } ) ] = } \\ & { } & { \arctan \left[ - \frac { s _ { p } \cos \theta _ { p } + \left( \delta - x \right) d _ { p } \sin \theta _ { p } + \zeta ^ { - 1 } d _ { p } ^ { \prime } \sin \theta _ { p } } { - d _ { p } \sin \theta _ { p } + \left( \delta - x \right) s _ { p } \cos \theta _ { p } + \zeta ^ { - 1 } s _ { p } ^ { \prime } \cos \theta _ { p } } \right] . } \end{array}
\left| \frac { \partial } { \partial B _ { \rho } } \ln \frac { [ X _ { i } ] _ { \mathrm { s s } } } { [ X _ { j } ] _ { \mathrm { s s } } } \right| \leq \operatorname { t a n h } \left( \frac { \mathcal { F } } { 4 } \right)
\begin{array} { r } { \frac { \Delta \mathbf { X } _ { 1 , 1 } ( \mathbf { X } _ { 0 } ; t _ { 0 } ) } { 2 t _ { 0 } } \sim \frac { 1 } { 8 t _ { 0 } } \int _ { - t _ { 0 } } ^ { t _ { 0 } } A ( t ) ^ { 2 } \, d t \left[ \mathbf { e } _ { x } \left( \frac { 1 } { \vert \mathbf { X } _ { 0 } \vert ^ { 2 } } - \frac { 2 X _ { 0 } ^ { 2 } } { \vert \mathbf { X } _ { 0 } \vert ^ { 4 } } \right) + \mathbf { e } _ { y } \left( - \frac { 2 X _ { 0 } Y _ { 0 } } { \vert \mathbf { X } _ { 0 } \vert ^ { 4 } } \right) \right] , } \end{array}
\operatorname { _ { p } F _ { q } } \left( \left. { \begin{array} { c c c } { a _ { 1 } , a _ { 2 } , \ldots , a _ { p } } \\ { b _ { 1 } , b _ { 2 } , \ldots , b _ { q } } \end{array} } \right| z \right)
\begin{array} { r l } { \frac { E ( ^ { 4 } \mathrm { ~ H ~ e ~ } ) } { 4 } } & { { } \approx 7 . 1 ~ \mathrm { ~ M ~ e ~ V ~ } , } \\ { \frac { E ( ^ { 3 } \mathrm { ~ H ~ } ) } { 3 } } & { { } \approx 2 . 8 ~ \mathrm { ~ M ~ e ~ V ~ } , } \\ { \frac { E ( ^ { 2 } \mathrm { ~ H ~ } ) } { 2 } } & { { } \approx 1 . 1 ~ \mathrm { ~ M ~ e ~ V ~ } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { n ( r ) } & { = } & { \exp \left\{ - \kappa _ { n } W _ { n } \frac { a } { L _ { r e f } } \operatorname { t a n h } \left( \frac { r - r _ { c } } { W _ { n } a } \right) \right\} ; } \\ { \frac { d \ln n } { d r } } & { = } & { - \frac { 1 } { L _ { r e f } } \kappa _ { n } \cosh ^ { - 2 } \left( \frac { r - r _ { c } } { W _ { n } a } \right) ; } \end{array}
\bar { \alpha } _ { 1 } = \beta _ { 1 } ( \bar { \alpha } _ { 2 } ) \; \; \; \; { \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } } \; \; \; \; \bar { \alpha } _ { 2 } = \beta _ { 2 } ( \bar { \alpha } _ { 1 } ) \; ,
{ \begin{array} { r l } { ( g _ { _ { N } } * h ) [ n ] } & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( { \frac { 1 } { N } } \sum _ { k = - \infty } ^ { \infty } { \scriptstyle \mathrm { { D F T } } } \{ g _ { _ { N } } \} [ k ] \cdot { \scriptstyle \mathrm { { D F T } } } \{ h _ { _ { N } } \} [ k ] \cdot \delta \left( s - k / N \right) \right) \cdot e ^ { i 2 \pi s n } d s } \\ & { = { \frac { 1 } { N } } \sum _ { k = - \infty } ^ { \infty } { \scriptstyle \mathrm { { D F T } } } \{ g _ { _ { N } } \} [ k ] \cdot { \scriptstyle \mathrm { { D F T } } } \{ h _ { _ { N } } \} [ k ] \cdot \underbrace { \left( \int _ { 0 } ^ { 1 } \delta \left( s - k / N \right) \cdot e ^ { i 2 \pi s n } d s \right) } _ { { \mathrm { 0 , ~ f o r } } \ k \ \notin \ [ 0 , \ N ) } } \\ & { = { \frac { 1 } { N } } \sum _ { k = 0 } ^ { N - 1 } { \bigg ( } { \scriptstyle \mathrm { { D F T } } } \{ g _ { _ { N } } \} [ k ] \cdot { \scriptstyle \mathrm { { D F T } } } \{ h _ { _ { N } } \} [ k ] { \bigg ) } \cdot e ^ { i 2 \pi { \frac { n } { N } } k } } \\ & { = \ { \scriptstyle \mathrm { { D F T } } ^ { - 1 } } { \bigg ( } { \scriptstyle \mathrm { { D F T } } } \{ g _ { _ { N } } \} \cdot { \scriptstyle \mathrm { { D F T } } } \{ h _ { _ { N } } \} { \bigg ) } . } \end{array} }
\Gamma ^ { l , m } ( \tau _ { 1 } , \dots , \tau _ { l } , \tau _ { 1 } ^ { \prime } , \dots , \tau _ { m } ^ { \prime } ) = \frac { \delta ^ { ( l + m ) } \Gamma } { \delta \tilde { \mu } ( \tau _ { 1 } ) \dots \delta \tilde { \mu } ( \tau _ { l } ) \delta { \mu } ( \tau _ { 1 } ^ { \prime } ) \dots \delta { \mu } ( \tau _ { m } ^ { \prime } ) } \Bigg | _ { \mu ( \tau ) = \tilde { \mu } ( \tau ) = 0 \mathrm { ~ } \forall \mathrm { ~ } \tau }
\begin{array} { r } { \mathrm { e } ^ { \boldsymbol { A } _ { u v } t } : = \left[ \begin{array} { l l } { \mathrm { e } ^ { - \bar { \tau } t } \cos ( \bar { f } t ) \; \; } & { \mathrm { e } ^ { - \bar { \tau } t } \sin ( \bar { f } t ) } \\ { - \mathrm { e } ^ { - \bar { \tau } t } \sin ( \bar { f } t ) \; \; } & { \mathrm { e } ^ { - \bar { \tau } t } \cos ( \bar { f } t ) } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { P _ { V X Y _ { 1 } Y _ { 2 } S _ { 1 } S _ { 2 } } = P _ { V | X } P _ { X } P _ { S _ { 1 } S _ { 2 } } P _ { Y _ { 1 } Y _ { 2 } | S _ { 1 } S _ { 2 } X } , } \\ & { R ^ { \prime \prime } = [ I ( V ; Y _ { 1 } | S _ { 1 } ) - I ( V ; Y _ { 2 } | S _ { 2 } ) ] ^ { + } + H ( Y _ { 1 } | Y _ { 2 } , S _ { 2 } , V ) } \end{array}
f _ { x } = y c \sqrt { 1 - \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } } + x y c \cdot \frac { - \frac { 2 x } { a ^ { 2 } } } { 2 \sqrt { 1 - \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } } } = y z - \frac { x ^ { 2 } y c ^ { 2 } } { a ^ { 2 } z } = \frac { y ( a ^ { 2 } z ^ { 2 } - c ^ { 2 } x ^ { 2 } ) } { a ^ { 2 } z } .
\bar { \cal F } ( \eta ) = \frac { 1 } { \left( 2 { \mit \Lambda } \right) ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { { \mit \Lambda } ^ { 2 } } \frac { d \mathrm { \boldmath ~ k ~ } { } _ { 1 } ^ { 2 } } { \sqrt { \mathrm { \boldmath ~ k ~ } { } _ { 1 } ^ { 2 } } } \frac { d \mathrm { \boldmath ~ k ~ } { } _ { 2 } ^ { 2 } } { \sqrt { \mathrm { \boldmath ~ k ~ } { } _ { 2 } ^ { 2 } } } \frac { 1 + D \left( \mathrm { \boldmath ~ k ~ } { } _ { 1 } ^ { 2 } , \mathrm { \boldmath ~ k ~ } { } _ { 2 } ^ { 2 } \right) } { D ^ { 2 } \! \left( \mathrm { \boldmath ~ k ~ } { } _ { 1 } ^ { 2 } , \mathrm { \boldmath ~ k ~ } { } _ { 2 } ^ { 2 } \right) } \left\{ D \! \left( \mathrm { \boldmath ~ k ~ } { } _ { 1 } ^ { 2 } , \mathrm { \boldmath ~ k ~ } { } _ { 2 } ^ { 2 } \right) \left( \coth \eta - 1 \right) - \frac { \sqrt { \mathrm { \boldmath ~ k ~ } { } _ { 1 } ^ { 2 } \mathrm { \boldmath ~ k ~ } { } _ { 2 } ^ { 2 } } } { \mathrm { \boldmath ~ k ~ } { } _ { 1 } ^ { 2 } + \mathrm { \boldmath ~ k ~ } { } _ { 2 } ^ { 2 } } \frac { 1 } { \sinh \eta } \right\} \, ,
T _ { L } \ = \ - 3 \, \omega \, e ^ { - b _ { L } d } \coth \left[ \omega ( x _ { s } \! - \! L ) \right] \left( \frac { \operatorname { t a n h } \left[ \, \frac { \omega } { 2 } ( x _ { s } \! - \! L ) \, \right] } { \operatorname { t a n h } \left( \frac { \omega x _ { s } } { 2 } \right) } \right) ^ { \cosh ^ { - 1 } \left[ \omega ( x _ { s } \! - \! L ) \right] } \ .
\boldsymbol { L } _ { i } ^ { \prime } = \frac { 1 } { 1 - \Gamma _ { i } ^ { 2 } } \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { \Gamma _ { i } } \\ { \Gamma _ { i } } & { 1 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { e ^ { - \gamma _ { i } l _ { i } } } & { 0 } \\ { 0 } & { e ^ { \gamma _ { i } l _ { i } } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { - \Gamma _ { i } } \\ { - \Gamma _ { i } } & { 1 } \end{array} \right] ,
\mathrm { a F T L E } _ { t _ { 0 } } ^ { s } ( \mathbf { x } _ { 0 } ) = \frac { 1 } { 2 \left| s \right| } \log \lambda _ { \mathrm { m a x } } \left( \boldsymbol { \mathcal { C } } _ { t _ { 0 } } ^ { s } \left( \mathbf { x } _ { 0 } \right) \right) .
{ \hat { F } } [ P ^ { 3 } ] ~ = ~ { \alpha } ^ { - 1 } ~ ~ \sum _ { m , \ell , R } { \frac { ( - ) ^ { 6 \epsilon _ { \ell } - 3 \epsilon _ { R } } { S _ { 0 \Lambda _ { \ell } } ~ S _ { 0 \Lambda _ { R } } ~ S _ { \Lambda _ { \ell } \Lambda _ { m } } ~ S _ { \Lambda _ { \ell } \Lambda _ { m } } ~ ~ S _ { \Lambda _ { R } \Lambda _ { m } } ^ { * } ~ q ^ { - 5 C _ { \ell } + { \frac { 3 } { 2 } } C _ { R } } } } { S _ { 0 0 } ~ S _ { 0 \Lambda _ { m } } } } ~ .
\lambda \in \{ 1 0 ^ { - 5 } , 5 \times 1 0 ^ { - 5 } , 1 0 ^ { - 4 } , 5 \times 1 0 ^ { - 4 } , 1 0 ^ { - 3 } , 5 \times 1 0 ^ { - 3 } , 1 0 ^ { - 2 } , 5 \times 1 0 ^ { - 2 } , 1 0 ^ { - 1 } , 5 \times 1 0 ^ { - 1 } , 1 0 ^ { 0 } \}
\left[ \operatorname * { d e t } \hat { H } ( \lambda _ { 0 } ) \right] ^ { - \frac { 1 } { 2 } } = \mathrm { e x p } \left[ \zeta _ { \hat { H } } ^ { \prime } ( 0 ) \right] = 0 . 8 3 4 4 2 2 3 ( \lambda _ { 0 } \kappa ^ { 2 } ) ^ { \frac { 1 } { 4 } } .
\zeta = \frac { \vert E ^ { \mathrm { f a r } } ( \theta _ { \mathrm { r } } , \vec { Z } _ { \mathrm { L } } ) \vert ^ { 2 } } { \vert E _ { \mathrm { r e f e r } } ^ { \mathrm { f a r } } ( \theta _ { \mathrm { r } } ) \vert ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l r } { \int _ { \Omega } \partial _ { t } u ^ { N } \phi _ { j } d x } & { = } & { - \int _ { \Omega } M _ { \theta } ( u ^ { N } ) \nabla \frac { \mu ^ { N } } { g _ { \theta } ( u ^ { N } ) } \cdot \nabla \frac { \phi _ { j } } { g _ { \theta } ( u ^ { N } ) } d x , } \\ { \int _ { \Omega } \mu ^ { N } \phi _ { j } d x } & { = } & { \int _ { \Omega } \left( \nabla u ^ { N } \cdot \nabla \phi _ { j } + q ^ { \prime } ( u ^ { N } ) \phi _ { j } \right) d x , } \\ { u ^ { N } ( x , 0 ) } & { = } & { \sum _ { j = 1 } ^ { N } \left( \int _ { \Omega } u _ { 0 } \phi _ { j } d x \right) \phi _ { j } ( x ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \epsilon = \left[ \frac { 1 } { N _ { \mathrm { s i t e s } } } \sum _ { A } ^ { N _ { \mathrm { f r a g } } } \sum _ { B } \sum _ { p , q } ( P _ { p q } ^ { ( A ) } - P _ { p q } ^ { ( B ) } ) ^ { 2 } \right] ^ { \frac { 1 } { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial G _ { 2 D } ^ { - } } { \partial z } ( x , z - z ^ { \prime } ) } & { \approx \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \frac { k } { 2 \pi | z - z ^ { \prime } | } } e ^ { - i \pi / 4 } e ^ { i k | z - z ^ { \prime } | } } \\ & { \quad \times \exp \left( \frac { i k } { 2 | z - z ^ { \prime } | } x ^ { 2 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { C } _ { 1 } = \widehat { \mathbf { G } } ^ { 3 } \otimes \widehat { \mathbf { G } } ^ { 2 } \otimes \widehat { \mathbf { M } } ^ { 1 } , } \\ { \mathbf { C } _ { 2 } = \widehat { \mathbf { G } } ^ { 3 } \otimes \widehat { \mathbf { M } } ^ { 2 } \otimes \widehat { \mathbf { G } } ^ { 1 } , } \\ { \mathbf { C } _ { 3 } = \widehat { \mathbf { M } } ^ { 3 } \otimes \widehat { \mathbf { G } } ^ { 2 } \otimes \widehat { \mathbf { G } } ^ { 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { [ \mathcal { L } _ { R } ^ { * } , [ \mathcal { L } _ { B } ^ { * } , \mathcal { L } _ { D } ^ { * } ] ] \mu ( x , v ) } & { = \lambda _ { r } \mu ( x , v ) \Bigg ( b \, \textnormal { t r } \Big ( \nabla \psi ( x ) \nabla \psi ( x ) ^ { T } - \nabla ^ { 2 } \psi ( x ) \Big ) } \\ & { \quad - \Big ( \lambda _ { 1 } ^ { 2 } ( x , R ( x ) v ) - \lambda _ { 1 } ^ { 2 } ( x , v ) + \langle v , ( \nabla \psi ( x ) \nabla \psi ( x ) ^ { T } - \nabla ^ { 2 } \psi ( x ) ) v \rangle \Big ) \Bigg ) } \end{array}
\mathbf { a } _ { \mathrm { i n } } = \left[ \begin{array} { l } { a _ { 1 L } ^ { + } } \\ { a _ { 2 L } ^ { + } } \\ { a _ { 1 R } ^ { - } } \\ { a _ { 2 R } ^ { - } } \end{array} \right] , \; \; \; \mathbf { a } _ { \mathrm { o u t } } = \left[ \begin{array} { l } { a _ { 1 L } ^ { - } } \\ { a _ { 2 L } ^ { - } } \\ { a _ { 1 R } ^ { + } } \\ { a _ { 2 R } ^ { + } } \end{array} \right] .
z = f ( x ) = z _ { 0 } + \frac { \left( z _ { 1 } - z _ { 0 } \right) \left[ s \xi ^ { 2 } + d _ { 0 } \xi \left( 1 - \xi \right) \right] } { s + \left[ d _ { 1 } + d _ { 0 } - 2 s \right] \xi \left( 1 - \xi \right) } ,
\begin{array} { r l r } { { R H S } _ { i , j , k } } & { = } & { \frac { 1 } { \Delta \xi } \left( { \mathbf { E } _ { e } } _ { ( i + \frac { 1 } { 2 } , j , k ) } - { \mathbf { E } _ { e } } _ { ( i - \frac { 1 } { 2 } , j , k ) } - { \mathbf { E } _ { v } } _ { ( i + \frac { 1 } { 2 } , j , k ) } + { \mathbf { E } _ { v } } _ { ( i - \frac { 1 } { 2 } , j , k ) } \right) } \\ & { } & { \frac { 1 } { \Delta \eta } \left( { \mathbf { F } _ { e } } _ { ( i , j + \frac { 1 } { 2 } , k ) } - { \mathbf { F } _ { e } } _ { ( i , j - \frac { 1 } { 2 } , k ) } - { \mathbf { F } _ { v } } _ { ( i , j + \frac { 1 } { 2 } , k ) } + { \mathbf { F } _ { v } } _ { ( i , j - \frac { 1 } { 2 } , k ) } \right) } \\ & { } & { \frac { 1 } { \Delta \zeta } \left( { \mathbf { G } _ { e } } _ { ( i , j , k + \frac { 1 } { 2 } ) } - { \mathbf { G } _ { e } } _ { ( i , j , k - \frac { 1 } { 2 } ) } - { \mathbf { G } _ { v } } _ { ( i , j , k + \frac { 1 } { 2 } ) } + { \mathbf { G } _ { v } } _ { ( i , j , k - \frac { 1 } { 2 } ) } \right) \, \mathrm { . } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { H _ { \mathrm { f u l l } } ^ { \mathrm { R W A } } } & { = } & { \hbar \Omega _ { \mathrm { v } } b ^ { \dagger } b + \hbar \tilde { \omega } _ { \mathrm { c a v } } \tilde { a } ^ { \dagger } \tilde { a } + \hbar \tilde { \omega } _ { \mathrm { L } } \tilde { l } ^ { \dagger } \tilde { l } + \hbar g _ { 0 } \big ( \cos \varphi \cdot \tilde { a } } \\ & { } & { + \sin \varphi \cdot \tilde { l } \big ) ^ { \dagger } \big ( \cos \varphi \cdot \tilde { a } + \sin \varphi \cdot \tilde { l } \big ) ( b ^ { \dagger } + b ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { 3 H ^ { 2 } \ = } } & { { { \displaystyle { \frac { 2 \pi \lambda \phi ^ { 4 } } { M _ { \mathrm { p } } ^ { 2 } - 8 \pi \xi \phi ^ { 2 } } } \ , } } } \\ { { ( 1 - 6 \xi ) \ 3 H \dot { \phi } \phi \ = } } & { { { \displaystyle - \ { \frac { \lambda \phi ^ { 4 } M _ { \mathrm { p } } ^ { 2 } } { M _ { \mathrm { p } } ^ { 2 } - 8 \pi \xi \phi ^ { 2 } } } \ . } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { x , y } } & { = \frac { 1 } { 2 \pi } \sqrt { \frac { g } { l _ { e q } } } , } \\ { f _ { z } } & { = \frac { 1 } { 2 \pi } \sqrt { \frac { 3 k } { m } } , } \\ { f _ { x , y , r o t . } } & { = \frac { 1 } { 2 \pi } \sqrt { \frac { 3 k R ^ { 2 } } { 2 I _ { x , y } } } , } \\ { f _ { z , r o t . } } & { = \frac { 1 } { 2 \pi } \sqrt { \frac { m g R ^ { 2 } } { I _ { z } l _ { e q } } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \int \mathrm { d } ^ { 3 } \vec { v } \: h _ { e } ^ { ( n ) } = \int \mathrm { d } ^ { 3 } \vec { v } \: v ^ { 2 } h _ { e } ^ { ( n ) } = 0 , \quad n \geqslant 1 , } \end{array}
T _ { \mu \nu } ^ { ( P r ) } ( q , p , S ) = i \int d ^ { 4 } \xi e ^ { i q \xi } \langle p S | T \left( ( j _ { \mu } ^ { ( P r ) } ) ^ { \dagger } ( \xi ) j _ { \nu } ^ { ( P r ) } ( 0 ) \right) | p S \rangle
\begin{array} { r l r l } { H ( t , x ) } & { { } = \frac 3 2 ( 1 - x ^ { 2 } ) + C _ { 2 } \, t ^ { - ( 1 - \gamma ( n + 4 ) ) } H _ { 1 } ( x ) + O \big ( t ^ { - 2 ( 1 - \gamma ( n + 4 ) ) } \big ) } & { } & { { } \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad x \in [ - 1 , 1 ] , } \\ { s ( t ) } & { { } = 3 ^ { \frac { 1 - \gamma } { 2 } } \gamma ^ { - \gamma } t ^ { \gamma } \left\{ \begin{array} { l l } { \big ( 1 + O ( t ^ { - ( 1 - \gamma ( n + 4 ) ) } ) \big ) } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \gamma \ne \frac { 1 } { 2 ( n + 4 ) } , } \\ { \big ( 1 + O ( t ^ { - \frac 1 2 } \log t ) \big ) } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \gamma = \frac { 1 } { 2 ( n + 4 ) } , } \end{array} \right. } \end{array}
\bar { S } _ { 1 } ( 0 , Q ^ { 2 } ) = \frac { 2 \pi \alpha } { M } \left[ F _ { 2 } ^ { 2 } ( Q ^ { 2 } ) + 4 I _ { 1 } ( Q ^ { 2 } ) \right] = \frac { 8 \pi \alpha } { M } \bar { I } _ { 1 } ( Q ^ { 2 } ) .
\frac { b _ { r } ^ { 2 } } { b _ { s } ^ { 2 } } = \frac { ( 1 + m ^ { 2 } k ^ { 2 } s ^ { 4 } ) r ^ { 4 } \sin ^ { 2 } \theta _ { r } } { ( 1 + m ^ { 2 } k ^ { 2 } r ^ { 4 } ) s ^ { 4 } \sin ^ { 2 } \theta _ { s } } e ^ { 2 i ( \varphi _ { r } - \varphi _ { s } ) }
\begin{array} { r l } { \Vert K \Vert _ { p , p ^ { \prime } } } & { \leq \Vert K \Vert _ { p ^ { \prime } , p } = \left( \smallint _ { G } \left( \smallint _ { G } | K ( x , y ) | ^ { p ^ { \prime } } \textnormal { d } y \right) ^ { \frac { p } { p ^ { \prime } } } \textnormal { d } x \right) ^ { \frac { 1 } { p } } \leq \left( \smallint _ { G } \Vert \sigma _ { A } ( x , \cdot ) \Vert _ { \ell ^ { p } ( \widehat { G } ) } ^ { p } \textnormal { d } x \right) ^ { \frac { 1 } { p } } } \\ & { = \Vert \sigma _ { A } \Vert _ { L ^ { p } ( G , \ell ^ { p } ( \widehat { G } ) ) } . } \end{array}
{ { \bf { C } } _ { { \bf { \tilde { w } } } _ { \bar { x } } ^ { { t _ { 1 } } } } } = E [ { \bf { \tilde { w } } } _ { \bar { x } } ^ { { t _ { 1 } } } { \bf { \tilde { w } } } { _ { \bar { x } } ^ { { { t _ { 1 } } } H } } ] = { \sigma ^ { 2 } } { ( { \bf { H } } { _ { s \bar { x } } ^ { { { t _ { 1 } } } H } } { \bf { H } } _ { s \bar { x } } ^ { { t _ { 1 } } } ) ^ { - 1 } }
\Gamma _ { \rho \pi ^ { 0 } \gamma } ( m ) = \Gamma _ { \rho \pi ^ { 0 } \gamma } ( m _ { \rho } ) \left( \frac { m _ { \rho } } { m } \right) ^ { 3 } \frac { ( m ^ { 2 } - m _ { \pi } ^ { 2 } ) ^ { 3 } } { ( m _ { \rho } ^ { 2 } - m _ { \pi } ^ { 2 } ) ^ { 3 } } , \ \Lambda _ { \rho } = \frac { ( m _ { \phi } ^ { 2 } - ( m _ { \pi } - m ) ^ { 2 } ) ( m _ { \phi } ^ { 2 } - ( m _ { \pi } + m ) ^ { 2 } ) } { ( m _ { \phi } ^ { 2 } - ( m _ { \pi } - m _ { \rho } ) ^ { 2 } ) ( m _ { \phi } ^ { 2 } - ( m _ { \pi } + m _ { \rho } ) ^ { 2 } ) } .
\begin{array} { r } { \phi \frac { \partial \langle c \rangle _ { \mathcal { I B } } } { \partial t } = \nabla \cdot \left[ \tilde { \tilde { \textbf { D } } } ^ { \star } \nabla \langle c \rangle _ { I \mathcal B } \right] + \phi \omega ^ { - \gamma } \mathcal { K } ^ { \star } \mathrm { D a } ( 1 - \langle c \rangle _ { \mathcal { I B } } ^ { a } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \vec { \mathcal { E } } _ { \ell } ^ { \mathrm { ~ \, ~ s ~ } } ( k _ { x } , k _ { y } , 0 ) = \vec { \mathcal { E } } _ { \ell , 0 } ^ { \mathrm { ~ \, ~ s ~ } } ( k _ { x } , k _ { y } ) \, e ^ { i \left( - k _ { x } x _ { \ell } - k _ { y } y _ { \ell } + k _ { \mathrm { ~ e ~ } } ( z _ { \ell } - a ) + 2 k _ { \mathrm { ~ m ~ } } a \vphantom { b ^ { 2 } } \right) } . } \end{array}
K _ { N S } ^ { ( 0 ) } ( x / y , \overline { { { s } } } ) = \int _ { r _ { 0 } - i \infty } ^ { r _ { 0 } + i \infty } { \frac { d n } { 2 \pi i } } x ^ { - n } e ^ { \alpha _ { 0 } d ( n ) \overline { { { s } } } } .
\begin{array} { r l } { \frac { d \vartheta _ { _ { X } } } { d Z } } & { = A ^ { 2 } \sqrt { 2 } \zeta _ { 4 } \frac { 1 } { k _ { 0 } \sigma _ { _ X } ^ { 2 } } + 8 \zeta _ { 1 } \frac { 1 } { \sigma _ { _ X } ^ { 4 } } - 2 \zeta _ { 1 } k _ { 0 } \vartheta _ { _ { X } } ^ { 2 } } \\ & { + \frac { 1 } { 3 6 } \frac { A ^ { 2 } \sqrt { 2 } c _ { _ { 1 , X X } } \zeta _ { 5 } } { k _ { 0 } \sigma _ { _ X } ^ { 2 } } \left( \frac { 2 1 6 } { \sigma _ { _ X } ^ { 2 } } + 1 2 7 k _ { 0 } \vartheta _ { _ { X } } \right) } \\ & { + \frac { 1 } { 3 6 } \frac { A ^ { 2 } \sqrt { 2 } c _ { _ { 2 , Y Y } } \zeta _ { 6 } } { k _ { 0 } \sigma _ { _ X } ^ { 2 } } \left( \frac { 7 2 } { \sigma _ { _ Y } ^ { 2 } } + 7 3 k _ { 0 } \vartheta _ { _ { Y } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { l _ { 1 1 } } & { = l _ { 1 0 } l _ { 0 1 } - l _ { 0 0 } , } & { l _ { 1 2 } } & { = l _ { 1 0 } l _ { 0 2 } - l _ { 0 1 } , } \\ { l _ { 1 3 } } & { = l _ { 1 0 } l _ { 0 3 } - l _ { 0 2 } , } & { l _ { 2 2 } } & { = l _ { 2 0 } l _ { 0 2 } - l _ { 1 1 } - l _ { 0 0 } , } \\ { l _ { 2 3 } } & { = l _ { 1 0 } ^ { 2 } - l _ { 2 0 } , } & { l _ { 3 1 } } & { = l _ { 0 2 } l _ { 0 3 } - l _ { 0 1 } - 2 l _ { 2 0 } - l _ { 1 0 } - l _ { 0 1 } , } \\ { l _ { 3 2 } } & { = l _ { 2 0 } l _ { 2 0 } - l _ { 0 0 } - 2 l _ { 0 3 } - l _ { 0 2 } - l _ { 0 0 } , } & { l _ { 3 3 } } & { = l _ { 1 0 } l _ { 2 0 } - l _ { 3 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m i n f } _ { n \rightarrow \infty } \operatorname { \mathbb { E } } \left[ n ^ { - 3 / 4 } S _ { n } \right] } & { = \operatorname* { l i m i n f } _ { n \rightarrow \infty } n ^ { - 3 / 4 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \operatorname { \mathbb { E } } [ H _ { i } ] \geq \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow \infty } n ^ { - 3 / 4 } \int _ { 1 } ^ { n } c _ { * } x ^ { - 1 / 4 } \; d x = c _ { 1 } . } \end{array}
\left( \begin{array} { l l l l } { 2 \omega _ { \mathrm { a t } } + 2 \lambda } & { \lambda } & { ~ \lambda } & { 0 } \\ { \lambda } & { 2 \omega _ { \mathrm { a t } } + 2 \lambda } & { 0 } & { \lambda } \\ { \lambda } & { 0 } & { 2 \omega _ { \mathrm { a t } } + 2 \lambda } & { \lambda } \\ { 0 } & { \lambda } & { \lambda } & { 2 \omega _ { \mathrm { a t } } + 2 \lambda } \end{array} \right) .
\begin{array} { r } { \boldsymbol \mu = \left[ \begin{array} { l l l l } { \mu _ { 1 1 } } & { \mu _ { 1 2 } } & { \hdots } & { \mu _ { 1 N _ { s p h } } } \\ { \mu _ { 2 1 } } & { \mu _ { 2 2 } } & { \hdots } & { \mu _ { 2 N _ { s p h } } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \mu _ { N _ { s p h } 1 } } & { \mu _ { N _ { s p h } 2 } } & { \hdots } & { \mu _ { N _ { s p h } N _ { s p h } } } \end{array} \right] . } \end{array}
L _ { E ( { s u s y } ) } = \frac { \dot { q } ^ { 2 } } { 2 } + \frac { W ^ { 2 } \left( q \right) } { 2 } + \psi _ { + } \dot { \psi } _ { - } + W ^ { \prime } \left( q \right) \psi _ { + } \psi _ { - } ,
\gamma \frac { d f } { d \gamma } \; + \; \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \Big [ \lambda _ { n } \frac { d f } { d \lambda _ { n } } + \kappa _ { n } \frac { d f } { d \kappa _ { n } } + \bar { \kappa } _ { n } \frac { d f } { d \bar { \kappa } _ { n } } \Big ] \; \; = \; \; f \; .
\begin{array} { r l } { \mathbf { \hat { s } } _ { 1 } \left( \hat { \Phi } _ { \omega \left( \mathbf { v } \right) } ^ { s \left( \mathbf { v } \right) , 0 } \left( x \left( \mathbf { v } \right) \right) , \omega \left( \mathbf { v } \right) \right) } & { = \mathbf { \hat { s } } _ { 1 } \left( \Phi _ { \pi \left( \omega \left( \mathbf { v } \right) \right) } ^ { s \left( \mathbf { v } \right) } \left( x \left( \mathbf { v } \right) \right) , \omega \left( \mathbf { v } \right) \right) = \mathbf { t } \left( x \left( \mathbf { v } \right) , \omega \left( \mathbf { v } \right) \right) - s \left( \mathbf { v } \right) } \\ { \mathbf { s } _ { n } \left( \Phi _ { \pi \left( \omega \left( \mathbf { v } \right) \right) } ^ { s \left( \mathbf { v } \right) } \left( x \left( \mathbf { v } \right) \right) , \omega \left( \mathbf { v } \right) \right) } & { = \mathbf { s } _ { n } \left( \mathbf { R } \left( x \left( \mathbf { v } \right) , \omega \left( \mathbf { v } \right) \right) , \omega \left( \mathbf { v } \right) \right) \ , \; n \geq 1 \ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { 1 } } & { = \frac { \left( 6 w _ { 0 } - 1 \right) \left( u _ { i - 2 } + u _ { i + 2 } \right) - 2 \left( 1 8 w _ { 0 } - 1 \right) \left( u _ { i - 1 } - u _ { i + 1 } \right) } { 4 8 w _ { 0 } } , } \\ { D _ { 2 } } & { = \frac { \left( 2 w _ { 0 } - 3 \right) \left( u _ { i - 2 } + u _ { i + 2 } \right) - 2 \left( 2 w _ { 0 } + 9 \right) u _ { i } + 1 2 \left( u _ { i - 1 } + u _ { i + 1 } \right) } { 1 6 w _ { 0 } } , } \\ { D _ { 3 } } & { = \frac { - u _ { i - 2 } + 2 \left( u _ { i - 1 } - u _ { i + 1 } \right) + u _ { i + 2 } } { 1 2 w _ { 0 } } , } \\ { D _ { 4 } } & { = \frac { u _ { i - 2 } - 4 u _ { i - 1 } + 6 u _ { i } - 4 u _ { i + 1 } + u _ { i + 2 } } { 2 4 w _ { 0 } } , } \end{array}