harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\phi _ { \mathbf { q } } ( \mathbf { r } _ { i } , \mathbf { r } _ { j } ) = \sum _ { a , b } ^ { N } \sum _ { \mu , \nu } ^ { N _ { \mathrm { b a s i s } } ^ { A G P } } \lambda _ { \mu , \nu } ^ { a , b } \bar { \Psi } _ { a , \mu } ^ { A G P } ( \mathbf { r } _ { i } - \mathbf { q } _ { a } ) \bar { \Psi } _ { b , \nu } ^ { A G P } ( \mathbf { r } _ { j } - \mathbf { q } _ { b } ) .
\begin{array} { r l } { \displaystyle m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( j ) : } & { = \mathcal { C } _ { \alpha } \left( \frac { \Gamma \left( | j | + \frac { \alpha } { 2 } \right) } { \Gamma \left( 1 + | j | - \frac { \alpha } { 2 } \right) } - \frac { \Gamma \left( \frac { \alpha } { 2 } \right) } { \Gamma \left( 1 - \frac { \alpha } { 2 } \right) } \right) , \quad \displaystyle m _ { 2 , \alpha } ^ { \circ } ( j ) : = 2 \pi \frac { ( - 1 ) ^ { j } \Gamma ( 3 - \alpha ) } { \Gamma ( 2 + | j | - \frac { \alpha } { 2 } ) \Gamma ( 2 - | j | - \frac { \alpha } { 2 } ) } , } \end{array}
\left( \begin{array} { c c } { \frac { k _ { 0 } \chi } { 2 \kappa } \beta ^ { 2 } - ( \kappa ^ { 2 } + k _ { 0 } \kappa \chi ) } & { \mp \mathrm { ~ i ~ } k _ { z } \beta } \\ { \mp \mathrm { ~ i ~ } k _ { z } \beta } & { \left( 1 + \frac { k _ { 0 } } { 2 \kappa } \chi \right) \beta ^ { 2 } + k _ { 0 } ^ { 2 } \left( 1 - \frac { \kappa } { k _ { 0 } } \chi \right) } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { A _ { x } } \\ { A _ { z } } \end{array} \right) = 0 ,
\begin{array} { r } { \frac { \mathrm { d } \sigma } { \mathrm { d } \theta } = | g ( \theta ) | ^ { 2 } = \left| e ^ { - i \frac { \pi } { 4 } } \frac { \sqrt { 2 \hbar } } { \sqrt { \pi q } } \sum _ { m = - \infty } ^ { \infty } \sin { \delta _ { m } } e ^ { i m \theta - i \delta _ { m } } \right| ^ { 2 } . } \end{array}
D _ { \mathrm { K L } } ( p ( x | a ) p ( a ) \| m ( x , a ) ) = D _ { \mathrm { K L } } ( p ( a ) \| m ( a ) ) + \mathbb { E } _ { p ( a ) } \{ D _ { \mathrm { K L } } ( p ( x | a ) \| m ( x | a ) ) \} ,
\begin{array} { r } { { \cal O } ( { \cal D } ) = \operatorname* { l i m } _ { r \rightarrow 0 } \left( r \frac { { \cal D } } { \overline { { ( \delta u ) ^ { 2 } } } ^ { 2 } } \right) = } \\ { \operatorname* { l i m } _ { r \rightarrow 0 } \left( r \frac { \partial / \partial t \overline { { ( \delta u ) ^ { 3 } } } } { \overline { { ( \delta u ) ^ { 2 } } } ^ { 3 / 2 } \overline { { ( \delta u ) ^ { 2 } } } ^ { 1 / 2 } } \right) = } \\ { \left( \frac { { 1 - n } } { 2 } \sqrt { \frac { { 1 5 } } { - n } } { + 1 0 \frac { { ( 1 - n ) } } { { - n } } } \right) \frac { S _ { 3 } } { { { R e _ { \lambda } } } } . } \end{array}
\begin{array} { l c r } { { \varphi _ { j } ^ { - } = [ D ^ { -- } , \varphi _ { j } ^ { + } ] } } \\ { { \overline { { { \varphi } } } _ { j } ^ { - } = [ D ^ { -- } , \overline { { { \varphi } } } _ { j } ^ { + } ] . } } \end{array}
\begin{array} { r } { d ( t ; \boldsymbol { \alpha } ) = \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { c } } ( p _ { k } ( t ; \boldsymbol { \alpha } ) + i q _ { k } ( t ; \boldsymbol { \alpha } ) ) e ^ { i t \Omega _ { k } } , \ \ p _ { k } ( t ; \boldsymbol { \alpha } ) = \sum _ { b = 1 } ^ { N _ { b } } \hat { S } _ { b } ( t ) \alpha _ { b , k } ^ { ( p ) } , \ \ q _ { k } ( t ; \boldsymbol { \alpha } ) = \sum _ { b = 1 } ^ { N _ { b } } \hat { S } _ { b } ( t ) \alpha _ { b , k } ^ { ( q ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { d _ { \mathsf { W F R } } ^ { 2 } \left( \rho _ { 0 } , \rho _ { 1 } \right) } & { = \operatorname* { i n f } \bigg \{ \int _ { 0 } ^ { 1 } \int \Big [ \left\Vert v _ { t } \right\Vert ^ { 2 } + \Big ( \alpha _ { t } - \int \alpha _ { t } \mathrm { d } \rho _ { t } \Big ) ^ { 2 } \Big ] \mathrm { d } \rho _ { t } \mathrm { d } t : \left( \rho _ { t } , v _ { t } , \alpha _ { t } \right) _ { t \in [ 0 , 1 ] } \, \mathrm { s o l v e s } } \\ & { \qquad \qquad \qquad \partial _ { t } \rho _ { t } = - \mathsf { d i v } \left( \rho _ { t } v _ { t } \right) + \rho _ { t } \Big ( \alpha _ { t } - \int \alpha _ { t } \mathrm { d } \rho _ { t } \Big ) \bigg \} . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { Q _ { \Psi } } & { { } = } & { 1 - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } | \langle { \Psi _ { i } ^ { \mathrm { ~ B ~ o ~ b ~ } } } | { \Psi _ { i } ^ { \mathrm { ~ A ~ l ~ i ~ c ~ e ~ } } } \rangle | ^ { 2 } , } \\ { Q _ { \Phi } } & { { } = } & { 1 - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } | \langle { \Phi _ { i } ^ { \mathrm { ~ B ~ o ~ b ~ } } } { \Phi _ { i } ^ { \mathrm { ~ A ~ l ~ i ~ c ~ e ~ } } } \rangle | ^ { 2 } , } \end{array}
\left( \frac { { \cal A } _ { \mathrm { c l o s e d } } } { r _ { \operatorname * { m i n } } ^ { 6 } } \right) _ { \beta _ { H } \to \beta _ { S } } \: \simeq \: \frac { 1 6 } { 7 3 5 b } \: \left( \frac { \pi } { b } \right) ^ { 3 } \: \left( \frac { M _ { S } } { M _ { P L } } \right) ^ { 2 } \: \left( \frac { M _ { S } } { m _ { 0 } } \right) ^ { 2 } \: \ll \: 1
\begin{array} { l } { w = \int _ { p _ { F } } d ^ { 3 } p _ { 1 } \int _ { p _ { F } } d ^ { 3 } p _ { 2 } w _ { 1 , 2 } = ( N + 1 ) \gamma , } \\ { \gamma = \frac { y ^ { 3 } m ^ { 5 } c ^ { 9 } e ^ { 2 } } { 1 2 \pi ^ { 2 } \varepsilon _ { 0 } \hbar ^ { 3 } } \int _ { - 1 } ^ { 1 } d z \int _ { 0 } ^ { p _ { F } / m c } d x \frac { x ^ { 2 } } { x ^ { 2 } + 1 } \delta ( \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + 2 x y z + 1 } - \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } - 0 . 5 7 y ) , } \end{array}
\displaystyle \mathcal { H } _ { 5 } \left( X , P \right) = \delta _ { \nu } \left\{ X ^ { 2 } + P ^ { 2 } \right\} + g _ { 3 , 0 , l _ { 3 \nu _ { x } } } \left\{ X ^ { 3 } - 3 X P ^ { 2 } \right\} \cos { \left( \xi _ { 3 , 0 , l _ { 3 \nu _ { x } } } \right) } + \frac { 1 } { 2 } \alpha _ { j } \left\{ X ^ { 2 } + P ^ { 2 } \right\} ^ { 2 } ,
\Pi _ { f } = { \left( \begin{array} { l l } { A } & { B } \\ { C } & { D } \end{array} \right) } = \lambda { \left( \begin{array} { l l } { a } & { b } \\ { c } & { d } \end{array} \right) } , \qquad \lambda \in \mathbb { C } - \{ 0 \} , \det \Pi _ { f } = 1 ,
\hat { \mu } = D \Psi ^ { - 1 } \left( \begin{array} { l l } { \tilde { \mu } } & { 0 } \\ { 0 ^ { T } } & { 1 } \end{array} \right) ( D \Psi ^ { - 1 } ) ^ { T } = \left( \begin{array} { l l } { \tilde { \mu } + \frac { \hat { \mu } ^ { 3 \tilde { i } } \hat { \mu } ^ { 3 \tilde { j } } } { \hat { \mu } ^ { 3 3 } } } & { \hat { \mu } ^ { \tilde { i } 3 } } \\ { \hat { \mu } ^ { 3 \tilde { j } } } & { \hat { \mu } ^ { 3 3 } } \end{array} \right) , \quad \lvert \hat { \mu } \rvert = \hat { \mu } ^ { 3 3 } \lvert \tilde { \mu } \rvert .
\left\lfloor { \frac { q } { p } } \right\rfloor + \left\lfloor { \frac { 2 q } { p } } \right\rfloor + \dots + \left\lfloor { \frac { m q } { p } } \right\rfloor + \left\lfloor { \frac { p } { q } } \right\rfloor + \left\lfloor { \frac { 2 p } { q } } \right\rfloor + \dots + \left\lfloor { \frac { n p } { q } } \right\rfloor = m n .
\begin{array} { r } { \int _ { x _ { j , \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } } ^ { x _ { j , \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } { u _ { b , j } \frac { \partial g _ { 1 , i } } { \partial x _ { j } } r _ { 1 , i } } \mathrm { ~ d ~ } x _ { j } = u _ { b , j } g _ { 1 , i } r _ { 1 , i } \Big | _ { x _ { j } = x _ { j , \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } } ^ { x _ { j , \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } - \int _ { x _ { j , \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } } ^ { x _ { j , \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } { \frac { \partial ( u _ { b , j } r _ { 1 , i } ) } { \partial x _ { j } } g _ { 1 , i } } \mathrm { ~ d ~ } x _ { j } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { R } _ { i } } & { { } = R _ { i } + \dot { R } _ { i - 1 } \Delta t + \sum _ { j = 0 } ^ { i } \left( \frac { F _ { ( j - 2 ) \epsilon } + F _ { ( j - 1 ) \epsilon } } { 2 M } + \frac { F _ { j \epsilon } } { M } \right) \Delta t ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname { V a r } _ { \pi ^ { ( k ) } } [ \widehat { F } _ { \mathrm { ~ A ~ I ~ R ~ } , p } ^ { ( k ) } ] = c _ { \mathrm { ~ A ~ I ~ R ~ } } ^ { ( k ) } \operatorname { V a r } _ { \pi ^ { ( k ) } } [ \widehat { F } _ { \mathrm { ~ M ~ C ~ } , p } ^ { ( k ) } ] , \qquad c _ { \mathrm { ~ A ~ I ~ R ~ } } ^ { ( k ) } = 2 \left( 1 - \frac { \rho _ { \pi ^ { ( k ) } } ( F ^ { ( k ) } , F ^ { ( k - 1 ) } W _ { k } ) ^ { 2 } } { 1 + \eta _ { k } } \right) } \end{array}
A _ { d } ( g ) = \frac { 1 } { 2 } \mathrm { T r } \left\{ \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { n } } M ( g ) ^ { n } \right\} = - \frac { 1 } { 2 } \mathrm { T r } \left\{ \ln \left( 1 - M ( g ) \right) _ { d } \right\}
\begin{array} { r l } & { ( G _ { 1 1 } , G _ { 1 2 } , G _ { 1 3 } ) } \\ { = } & { \left( - \Gamma ( 1 - \alpha _ { 0 } ) \frac { \delta _ { 0 } } { \lambda _ { 0 } ^ { 1 - \alpha _ { 0 } } } ( \log ( \lambda _ { 0 } ) - \psi ( 1 - \alpha _ { 0 } ) ) , - \Gamma ( 1 - \alpha _ { 0 } ) \frac { 1 } { \lambda _ { 0 } ^ { 1 - \alpha _ { 0 } } } , - \Gamma ( 1 - \alpha _ { 0 } ) ( \alpha _ { 0 } - 1 ) \frac { \delta _ { 0 } } { \lambda _ { 0 } ^ { 2 - \alpha _ { 0 } } } \right) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { v } _ { P } } & { = [ { \dot { T } } ( t ) ] [ T ( t ) ] ^ { - 1 } \mathbf { P } ( t ) } \\ & { = { \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { v } _ { P } } \\ { 0 } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l } { { \dot { A } } } & { { \dot { \mathbf { d } } } } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l l } { A } & { \mathbf { d } } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } ^ { - 1 } { \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { P } ( t ) } \\ { 1 } \end{array} \right] } } \\ & { = { \left[ \begin{array} { l l } { { \dot { A } } } & { { \dot { \mathbf { d } } } } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right] } A ^ { - 1 } { \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { - \mathbf { d } } \\ { 0 } & { A } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { P } ( t ) } \\ { 1 } \end{array} \right] } } \\ & { = { \left[ \begin{array} { l l } { { \dot { A } } A ^ { - 1 } } & { - { \dot { A } } A ^ { - 1 } \mathbf { d } + { \dot { \mathbf { d } } } } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { P } ( t ) } \\ { 1 } \end{array} \right] } } \\ & { = { \left[ \begin{array} { l l } { { \dot { A } } A ^ { \mathrm { T } } } & { - { \dot { A } } A ^ { \mathrm { T } } \mathbf { d } + { \dot { \mathbf { d } } } } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { P } ( t ) } \\ { 1 } \end{array} \right] } } \\ { \mathbf { v } _ { P } } & { = [ S ] \mathbf { P } . } \end{array} }
\operatorname { V a r } _ { X _ { \sim i } } \left[ \mathbb { E } _ { X _ { i } } \left[ Y _ { k } \right] \right] = \sigma _ { Y _ { k } } ^ { 2 } \sum _ { \boldsymbol { \alpha } \in \mathcal { A } _ { i = 0 } ^ { \star } } \left( \sum _ { j = 1 } ^ { N ^ { \prime } } \phi _ { k j } a _ { j , \boldsymbol { \alpha } } \right) ^ { 2 }
\begin{array} { r l r } { { \mathbb { E } } ( \| \Gamma U _ { i } \| ^ { 6 } ) } & { = } & { \sum _ { 1 \leq j _ { 1 } \neq j _ { 2 } \neq j _ { 3 } \leq p } ( \Lambda _ { j _ { 1 } j _ { 1 } } \Lambda _ { j _ { 2 } j _ { 2 } } \Lambda _ { j _ { 3 } j _ { 3 } } + \Lambda _ { j _ { 1 } j _ { 2 } } ^ { 2 } \Lambda _ { j _ { 3 } j _ { 3 } } } \\ & { } & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ + \Lambda _ { j _ { 1 } j _ { 2 } } \Lambda _ { j _ { 1 } j _ { 3 } } \Lambda _ { j _ { 2 } j _ { 3 } } ) { \mathbb { E } } ( U _ { i , j _ { 1 } } ^ { 2 } ) { \mathbb { E } } ( U _ { i , j _ { 2 } } ^ { 2 } ) { \mathbb { E } } ( U _ { i , j _ { 3 } } ^ { 2 } ) \{ 1 + O ( p ^ { - 1 } ) \} } \\ & { = } & { p ^ { 3 } + O ( p ^ { 3 - \delta } ) \, } \end{array}
\omega = \mu _ { \tau } { \sqrt { k _ { n } ^ { 2 } - { \frac { k _ { g } ^ { 2 } } { \mu _ { g } ^ { 2 } } } } } = \mu _ { \tau } k { \sqrt { \cos ^ { 2 } \alpha - { \frac { \sin ^ { 2 } \alpha } { \mu _ { g } ^ { 2 } } } } }
\begin{array} { r l } & { C \int _ { 0 } ^ { \infty } h _ { \alpha } ( \theta ) ( 1 + \theta ) ^ { - N / 2 } d \theta \ge \int _ { 0 } ^ { \infty } h _ { \alpha } ( \theta ) e ^ { - r \theta } d \theta = E _ { \alpha , 1 } ( - r ) = : r _ { 1 } ( \alpha ) , } \\ & { C \alpha \int _ { 0 } ^ { \infty } \theta h _ { \alpha } ( \theta ) ( 1 + \theta ) ^ { - N / 2 } d \theta \ge \alpha \int _ { 0 } ^ { \infty } \theta h _ { \alpha } ( \theta ) e ^ { - r \theta } d \theta = E _ { \alpha , \alpha } ( - r ) = : r _ { 2 } ( \alpha ) . } \end{array}
\int d ^ { 4 } k \ k _ { \mu } \ f ( k ^ { 2 } ) = 0 \ , \ \int d ^ { 4 } k \ k _ { \lambda } k _ { \mu } f ( k ^ { 2 } ) = \delta _ { \lambda \mu } \int d ^ { 4 } k \frac { 1 } { 4 } ( - k ^ { 2 } ) f ( k ^ { 2 } ) .
\begin{array} { r l } & { | \operatorname { a r c c o s } ( \hat { l } ( \sigma ^ { 2 } ) ) - \operatorname { a r c c o s } ( \hat { l } ( a ^ { 2 } ) ) | = \left| \int _ { a } ^ { \sigma } \frac { - 2 x } { \sqrt { ( x ^ { 2 } - \eta _ { - } ^ { 2 } ) ( \eta ^ { 2 } - x ^ { 2 } ) } } d x \right| } \\ & { \geq \left| \int _ { a } ^ { \sigma } 2 \frac { - 1 } { \sqrt { \eta ^ { 2 } - x ^ { 2 } } } d x \right| = 2 | \operatorname { a r c c o s } ( \tilde { l } ( \sigma ) ) - \operatorname { a r c c o s } ( \tilde { l } ( a ) ) | . } \end{array}
\begin{array} { r l } { v _ { c } ^ { 3 } } & { = v _ { t e } ^ { 3 } \frac { 3 \sqrt { \pi } m _ { e } } { 4 m _ { \alpha } } Z _ { 1 } ~ \propto ~ \frac { T _ { e } ^ { 3 / 2 } } { n _ { e } } \sum _ { i } Z _ { i } ^ { 2 } n _ { i } , } \\ { \tau _ { s } } & { = \frac { 3 m _ { \alpha } m _ { e } } { 1 6 \sqrt { \pi } ( Z _ { \alpha } ) ^ { 2 } e ^ { 4 } \mathrm { l n } \Lambda } \frac { v _ { t e } ^ { 3 } } { n _ { e } } ~ \propto ~ \frac { T _ { e } ^ { 3 / 2 } } { n _ { e } } , } \\ { Z _ { 1 } } & { = \sum _ { i } \frac { n _ { i } Z _ { i } ^ { 2 } m _ { \alpha } } { n _ { e } m _ { i } } , } \end{array}
\frac { H _ { 0 , \, \mathrm { S N } } } { H _ { 0 , \, \mathrm { s t . \, c o s m . } } } = \frac { x _ { \star } ( \Omega _ { \Lambda } ) } { x _ { \mathrm { s t . \, c o s m . } } ( \Omega _ { \Lambda } ) } \, .
L _ { M } = - \frac { 1 } { 4 } F _ { \mu \nu } ^ { a } F ^ { a \mu \nu } - \frac { 1 } { 2 } D _ { \mu } \phi ^ { a } D ^ { \mu } \phi ^ { a } - \frac { 1 } { 4 } \lambda ( \phi ^ { a } \phi ^ { a } - v ^ { 2 } ) ^ { 2 } \ ,
\begin{array} { r l } { u ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } & { { } = \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } ( - 1 0 0 0 [ ( x _ { 1 } - 0 . 5 ) ^ { 2 } + ( x _ { 2 } - 0 . 5 ) ^ { 2 } ] ) } \end{array}
{ \delta \mathrm { { d i f } } } = \sqrt { ( \frac { \delta S _ { r - \mathrm { { i n s i t u } } } } { S _ { r - \mathrm { { G C S } } } } ) ^ { 2 } + ( \frac { S _ { r - \mathrm { { i n s i t u } } } \delta S _ { r - \mathrm { { G C S } } } } { S _ { r - \mathrm { { G C S } } } ^ { 2 } } ) ^ { 2 } } \times 1 0 0 \
\begin{array} { r l } { u ^ { \dagger } = 0 , \, w ^ { \dagger } = 0 , \, \theta ^ { \dagger } = 0 , \, \phi ^ { \dagger } = 0 \quad } & { \mathrm { ~ o n ~ } x = 0 , 1 , } \\ { \frac { \partial ^ { 2 } u ^ { \dagger } } { \partial x ^ { 2 } } - \frac { \partial p ^ { \dagger } } { \partial x } = 0 \quad } & { \mathrm { ~ o n ~ } x = 0 , 1 , } \end{array}
\frac { 3 \tilde { \textbf { u } } ^ { n + 1 } - 4 \textbf { u } ^ { n } + \textbf { u } ^ { n - 1 } } { 2 \Delta t } + \frac { q ^ { n + 1 } } { q ^ { n + 1 } } { { e x p } ( - \frac { t ^ { n + 1 } } { T } ) } \bar { \textbf { u } } ^ { n } \cdot \nabla \bar { \textbf { u } } ^ { n } - \nu \Delta \tilde { \textbf { u } } ^ { n + 1 } + \nabla p ^ { n } = \textbf { f } ^ { n + 1 } , \tilde { \textbf { u } } ^ { n + 1 } | _ { \partial \Omega } = 0 ;
\begin{array} { r l } { S _ { 2 } ( t , m ) } & { { } \approx S _ { 2 } ( t _ { e n d } , m ) + \frac { d S _ { 2 } } { d t } \bigg | _ { t _ { e n d } } ( t - t _ { e n d } ) = S _ { 2 } ( t _ { e n d } , m ) - \mu ( t _ { e n d } , m ) S _ { 2 } ( t _ { e n d } , m ) ( t - t _ { e n d } ) } \end{array}
L _ { A H M } = - { \frac { 1 } { 4 } } F ^ { \mu \nu } F _ { \mu \nu } + { \frac { 1 } { 2 } } ( D _ { \mu } \phi ) ^ { * } ( D ^ { \mu } \phi ) - { \frac { \lambda } { 4 } } ( \mid \phi \mid ^ { 2 } - F ^ { 2 } ) ^ { 2 } ,
V _ { \mathrm { e f f } } = - \frac { m _ { 1 } ^ { 2 } } { N g ^ { 2 } } r - \frac { m _ { 2 } ^ { 2 } } { N g ^ { 2 } } r ^ { - 1 } - i \Omega ^ { - 1 } \ln \mathrm { D e t } \, G ^ { - 1 } ,
{ \cal L } _ { P _ { \alpha } P _ { \beta } W W } = \frac { g ^ { 2 } } { 4 } ( 2 - \delta _ { a b } ) ( U _ { \alpha 1 } ^ { P } U _ { \beta 1 } ^ { P } + U _ { \alpha 2 } ^ { P } U _ { \beta 2 } ^ { P } ) W ^ { \mu + } W _ { \mu } ^ { - } P _ { \alpha } P _ { \beta } ;
P ( s , s ^ { \prime } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { p _ { t } ( 1 - q ( s ) ) , } & { \begin{array} { r l } & { f ^ { \prime } = [ f + 1 ] _ { F } , } \\ & { g ^ { \prime } \in \{ [ g + 1 ] _ { G } , g - 1 \} ; } \end{array} } \\ { p _ { r } ( 1 - q ( s ) ) , } & { f ^ { \prime } = [ f + 1 ] _ { F } , g ^ { \prime } = g ; } \\ { q ( ( s ) ) , } & { f ^ { \prime } = g ^ { \prime } = 0 . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { F _ { i j } ( \mathbf { r } , \omega ; \mathbf { r } ^ { \prime } , \omega ^ { \prime } ; t ) } & { { } = } & { \frac { 2 i } { \pi } \frac { \omega ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \mathrm { ~ I ~ m ~ } \left[ G _ { i l } ( \mathbf { r } , \mathbf { r } ^ { \prime } , \omega ) \right] } \end{array}
\frac { \alpha _ { s } ( Q ^ { 2 } ) } { 4 \pi } \simeq \frac { 1 } { \beta _ { 0 } \, \ln ( Q ^ { 2 } / \Lambda ^ { 2 } ) } \, - \, \frac { \beta _ { 1 } } { \beta _ { 0 } ^ { 3 } } \, \, \frac { \ln \ln ( Q ^ { 2 } / \Lambda ^ { 2 } ) } { [ \ln ( Q ^ { 2 } / \Lambda ^ { 2 } ) ] ^ { 2 } }
\sin ^ { 2 } \vartheta \approx ( \delta B _ { \perp , \mathrm { m } } / B ) ^ { 2 } \approx ( k _ { \parallel , \mathrm { m } } / k _ { \perp , \mathrm { m } } ) ^ { 2 } ( \delta B _ { \parallel , \mathrm { m } } / B ) ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { p _ { 1 } v _ { 0 1 } } & { = \boldsymbol { w } _ { 0 \dag } M _ { 1 } \boldsymbol { v } _ { 0 } = i B _ { 0 } \ell ^ { \prime } [ 1 + \ell ^ { 2 } + \Delta \eta ^ { - 2 } ( B _ { 0 } ^ { 2 } - \nu \eta - 2 \eta ^ { 2 } ) ] v _ { 0 4 } , } \\ { p _ { 1 } v _ { 0 4 } } & { = \boldsymbol { w } _ { 0 \ddag } M _ { 1 } \boldsymbol { v } _ { 0 } = i B _ { 0 } \ell ^ { \prime } ( 1 + \ell ^ { 2 } ) ^ { - 1 } v _ { 0 1 } . } \end{array}
\beta _ { n } = \sum _ { | l | = 1 } ^ { r } | I _ { i , j } | ^ { | l | - 1 } \int _ { I _ { i } , j } \left( \frac { \partial ^ { | l | } } { \partial x ^ { l _ { 1 } } \partial y ^ { l _ { 2 } } } P _ { n } ( x , y ) \right) ^ { 2 } { \mathrm { d } x \mathrm { d } y } , ~ n = 0 , \dots , 4 ,
\left[ \hat { L } _ { z } , \, \hat { L } _ { + } \right] = \hat { L } _ { + } ; \qquad \left[ \hat { L } _ { z } , \, \hat { L } _ { - } \right] = - \hat { L } _ { - } ; \qquad \left[ \hat { L } _ { + } , \, \hat { L } _ { - } \right] = 2 \hat { L } _ { z } .
d s ^ { 2 } = \sigma ^ { 2 } \left[ - \frac { N ^ { 2 } ( t ) } { a ^ { 2 } ( t ) } d t ^ { 2 } + a ^ { 2 } ( t ) d x ^ { 2 } + b ^ { 2 } ( t ) d y ^ { 2 } + c ^ { 2 } ( t ) d z ^ { 2 } \right]
+ \int _ { C } d \tau \left[ \lambda _ { + } \left( J ^ { + a } J _ { a } ^ { + } - l ^ { 2 } j _ { + } ^ { 2 } \right) + \lambda _ { - } \left( J ^ { - a } J _ { a } ^ { - } - l ^ { 2 } j _ { - } ^ { 2 } \right) \right]
{ \mathcal { F } } ( C ^ { ( 1 ) } x \star C ^ { ( 2 ) } y ) = ( { \mathcal { F } } C ^ { ( 1 ) } \bullet { \mathcal { F } } C ^ { ( 2 ) } ) ( x \otimes y ) = { \mathcal { F } } C ^ { ( 1 ) } x \circ { \mathcal { F } } C ^ { ( 2 ) } y
\left[ \nabla ^ { ( i ) } \right] _ { \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } \cdots \alpha _ { i } } = { \frac { \partial ^ { \, i } } { \partial r _ { \alpha _ { 1 } } \partial r _ { \alpha _ { 2 } } \cdots \partial r _ { \alpha _ { i } } } } \qquad \qquad { \mathrm { w h e r e } } \quad \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } , \cdots , \alpha _ { i } = 1 , 2 , \cdots , n \ .
Z [ A _ { + } ^ { \prime } ] = N \int \! D \theta e ^ { - \int \! d ^ { 2 } x \, [ + \frac { 1 } { 2 \pi } \partial _ { - } \theta \partial _ { + } \theta + \frac { 1 } { \pi } A _ { + } \partial _ { - } \theta ] } \quad .
\begin{array} { r l } { \nu _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } } ^ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } } } & { = v _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } } ^ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } } - \sum _ { \textsc { q } _ { 3 } } S _ { \textsc { p } _ { 2 } } ^ { \textsc { q } _ { 3 } } { v } _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 4 } } ^ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } } - \sum _ { \textsc { p } _ { 3 } } v _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } } ^ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 3 } } S _ { \textsc { q } _ { 2 } } ^ { \textsc { p } _ { 3 } } + \sum _ { \textsc { p } _ { 3 } \textsc { q } _ { 3 } } v _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 4 } } ^ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 3 } } S _ { \textsc { q } _ { 2 } } ^ { \textsc { p } _ { 3 } } S _ { \textsc { q } _ { 3 } } ^ { \textsc { p } _ { 2 } } , } \\ { \nu _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { p } _ { 4 } } ^ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } } } & { = v _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { p } _ { 4 } } ^ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } } - \sum _ { \textsc { q } _ { 3 } } v _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 4 } } ^ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } } S _ { \textsc { q } _ { 3 } } ^ { \textsc { p } _ { 4 } } , } \\ { \nu _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } } ^ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { q } _ { 4 } } } & { = v _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } } ^ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { q } _ { 4 } } - \sum _ { \textsc { p } _ { 3 } } v _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } } ^ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 3 } } S _ { \textsc { q } _ { 4 } } ^ { \textsc { p } _ { 3 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf J _ { s } = \frac { 1 } { T } \mathbf q + \alpha _ { 1 } \boldsymbol \Pi ^ { \textrm { d e v } } \cdot \mathbf q + \alpha _ { 2 } \nabla \mathbf q \cdot \mathbf q + \alpha _ { 3 } \nabla \boldsymbol \Pi ^ { \textrm { d e v } } : \boldsymbol \Pi ^ { \textrm { d e v } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \Vert \mathrm { f } \Vert _ { \mathcal { H } _ { r } ^ { k } } : = \left( \sum _ { \vert \alpha \vert + \vert \beta \vert \leq k } \int _ { \mathbb T ^ { d } } \int _ { \mathbb R ^ { d } } \langle v \rangle ^ { 2 r } \vert \partial _ { x } ^ { \alpha } \partial _ { v } ^ { \beta } \mathrm { f } ( x , v ) \vert ^ { 2 } \, \mathrm { d } x \, \mathrm { d } v \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } , } \end{array}
e ^ { \chi _ { 1 } { \cal X } _ { 1 } } = e ^ { a \chi _ { 1 } } \left( \begin{array} { c c c } { { e ^ { - a \chi _ { 1 } } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \cos { \eta _ { 1 } } } } & { { - \sqrt { \frac { n _ { 3 } } { n _ { 2 } } } \sin { \eta _ { 1 } } } } \\ { { 0 } } & { { \sqrt { \frac { n _ { 2 } } { n _ { 3 } } } \sin { \eta _ { 1 } } } } & { { \cos { \eta _ { 1 } } } } \end{array} \right) ,
S _ { C S } = \frac { 1 } { 4 \kappa ^ { 2 } \mu } \int d ^ { 3 } x \epsilon ^ { \lambda \mu \nu } \Gamma _ { \lambda \rho } ^ { \sigma } ( \partial _ { \mu } \Gamma _ { \sigma \nu } ^ { \rho } + \frac { 2 } { 3 } \Gamma _ { \mu \tau } ^ { \rho } \Gamma _ { \nu \sigma } ^ { \tau } ) .
\begin{array} { r l } { F _ { 1 } ( r ) } & { { } = \frac { r } { \rho ^ { 3 } } \left( \left( 1 - 3 \left( \frac { h } { \rho } \right) ^ { 2 } \right) \beta _ { 2 } + h \, \frac { \partial \beta _ { 2 } } { \partial h } \right) , } \\ { F _ { 2 } ( r ) } & { { } = \frac { h } { \rho ^ { 3 } } \left( \left( 2 - 3 \left( \frac { h } { \rho } \right) ^ { 2 } \right) \beta _ { 2 } + h \, \frac { \partial \beta _ { 2 } } { \partial h } - \beta _ { 1 } \right) + \frac { 1 } { \rho } \frac { \partial \beta _ { 1 } } { \partial h } . } \end{array}
\mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \; \; \; \; \int _ { 0 } ^ { 1 } L _ { { \mathcal { M } } } ( \gamma _ { t ^ { \prime } } ^ { k } , \dot { \gamma } _ { t ^ { \prime } } ^ { k } ) \mathrm { ~ d ~ } t ^ { \prime } = \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \| \dot { \gamma } _ { t ^ { \prime } } ^ { k } \| _ { h } ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { U _ { \pm } ^ { A } } & { { } = \frac { \mu \epsilon ^ { \prime } } { 2 } + \frac { \mu \omega } { 2 } \frac { \partial \epsilon ^ { \prime } } { \partial \omega } + \frac { 1 } { 2 } ( A _ { + } ^ { 2 } + A _ { - } ^ { 2 } ) + \frac { \mu ^ { 2 } ( \hat { \bf { k } } \cdot { \bf { b } } ) ^ { 2 } } { 8 \omega ^ { 2 } } + } \end{array}