harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { g _ { \mu \nu \kappa } } & { \lesssim N _ { \mu } N _ { \nu } N _ { \kappa } e ^ { - \theta _ { \mu \nu } d _ { \mu \nu } ^ { 2 } } \Big ( \frac { \pi ^ { 2 } } { \alpha _ { \mu \nu } \alpha _ { \kappa } } \Big ) ^ { 3 / 2 } \sum _ { k } ^ { l _ { \mu \nu } } | L _ { l _ { \mu } , l _ { \nu } } ^ { k } ( d _ { \mu \nu } ) | \frac { f _ { k + l _ { \kappa } } ( \theta _ { \mu \nu \kappa \omega } R ) ^ { k + l _ { \kappa } } e ^ { - \theta _ { \mu \nu \kappa \omega } R ^ { 2 } } } { \sqrt { \pi \theta _ { \mu \nu \kappa \omega } } R ^ { 2 } \alpha _ { \mu \nu } ^ { k } \alpha _ { \kappa } ^ { l _ { \kappa } } } } \\ & { \leq \frac { Q _ { \mu \nu } ( R ) N _ { \kappa } f _ { l } e ^ { - \theta _ { \mu \nu \kappa \omega } R ^ { 2 } } } { \sqrt { \pi \theta _ { \mu \nu \kappa \omega } } R ^ { 2 } } \Big ( \frac { \pi } { \alpha _ { \kappa } } \Big ) ^ { 3 / 2 } \Big ( \frac { \theta _ { \mu \nu \kappa \omega } R } { \alpha _ { \kappa } } \Big ) ^ { l _ { \kappa } } } \\ & { \leq \frac { Q _ { \mu \nu } ( R ) N _ { \kappa } f _ { l } e ^ { - \theta _ { \mu \nu \kappa \omega } R ^ { 2 } } } { \sqrt { \pi \theta _ { \mu \nu \kappa \omega } } R ^ { 2 } } \Big ( \frac { \pi } { \alpha _ { \kappa } } \Big ) ^ { 3 / 2 } \Big ( \frac { \omega ^ { 2 } R } { \alpha _ { \kappa } + \omega ^ { 2 } } \Big ) ^ { l _ { \kappa } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \mathcal S ( t _ { 2 } ) g ) ( \zeta ( t _ { 2 } ) ) + c t _ { 2 } - ( \mathcal S ( t _ { 1 } ) g ) ( \zeta ( t _ { 1 } ) ) - c t _ { 1 } \le } & { \, \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } \left( L \left( \zeta , \dot { \zeta } \right) + c \right) d \tau = S _ { c } ( \zeta ( t _ { 1 } ) , \zeta ( t _ { 2 } ) ) } \\ { = } & { \, w ( \zeta ( t _ { 2 } ) ) - w ( \zeta ( t _ { 1 } ) ) } \end{array}
f ( x , y ) = 0 . 5 + { \frac { \sin ^ { 2 } \left( x ^ { 2 } - y ^ { 2 } \right) - 0 . 5 } { \left[ 1 + 0 . 0 0 1 \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) \right] ^ { 2 } } }
\begin{array} { r l r } { p _ { x } ^ { 1 } } & { { } = } & { [ \beta _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ] _ { x x } ^ { 1 1 } [ E _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ c ~ } } ] _ { x } ^ { 1 } + [ \beta _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ] _ { x x } ^ { 1 2 } [ E _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ c ~ } } ] _ { x } ^ { 2 } \, , } \\ { p _ { x } ^ { 2 } } & { { } = } & { [ \beta _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ] _ { x x } ^ { 2 1 } [ E _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ c ~ } } ] _ { x } ^ { 1 } + [ \beta _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ] _ { x x } ^ { 2 2 } [ E _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ c ~ } } ] _ { x } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { W _ { 1 } C _ { 2 } } ( 0 , w , c ) } & { = \langle 0 | \delta \bigl ( \hat { W } _ { 1 } - w \bigr ) \delta \bigl ( \hat { C } _ { 2 } - c \bigr ) | | 0 \rangle } \\ & { = \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \int _ { \mathbb { R } } \mathrm { d } \alpha _ { 1 } \int _ { \mathbb { R } } \mathrm { d } \alpha _ { 2 } \, e ^ { - i \left( \alpha _ { 1 } w + \alpha _ { 2 } c \right) } \langle 0 | e ^ { i \alpha _ { 1 } \hat { W } _ { 1 } } \underbrace { e ^ { i \alpha _ { 2 } \hat { C } _ { 2 } } | 0 \rangle } _ { = \; | 0 \rangle } } \\ & { = \delta ( c ) \, \frac { 1 } { ( 2 \pi ) } \int _ { \mathbb { R } } \mathrm { d } \alpha _ { 1 } \, e ^ { - i \alpha _ { 1 } w } \langle 0 | e ^ { i \alpha _ { 1 } \hat { W } _ { 1 } } | 0 \rangle } \\ & { = p _ { W } ( 0 , w ) \, p _ { C } ( 0 , c ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { \alpha + \frac { 1 } { 2 } < \nu < \beta - \frac { 1 } { 2 } } \int _ { a } ^ { b } e ( f ( x ) - \nu x ) \, d x = \sum _ { \alpha + \frac { 1 } { 2 } < \nu < \beta - \frac { 1 } { 2 } } \frac { e ( f ( x _ { \nu } ) - \nu x _ { \nu } - 1 / 8 ) } { | f ^ { \prime \prime } ( x _ { \nu } ) | ^ { 1 / 2 } } } \\ & { \qquad + \sum _ { \alpha + \frac { 1 } { 2 } < \nu < \beta - \frac { 1 } { 2 } } \frac { 2 \cdot 3 ^ { 2 / 3 } } { \pi ^ { 2 / 3 } } h _ { 3 } ^ { 1 / 3 } \lambda _ { 2 } ^ { - 1 } \lambda _ { 3 } ^ { 1 / 3 } + \sum _ { \alpha + \frac { 1 } { 2 } < \nu < \beta - \frac { 1 } { 2 } } \frac { 1 } { \pi } \left( \frac { 1 } { | f ^ { \prime } ( a ) - \nu | } + \frac { 1 } { | f ^ { \prime } ( b ) - \nu | } \right) } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad = S _ { 1 } + S _ { 2 } + S _ { 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { D ^ { 3 } I _ { i } ( s , z ) = R e \Omega \Bigg [ \bigg ( \frac { 2 ( z - z _ { d } ) } { d ^ { 2 } } + \lambda _ { i } \bigg ) ^ { 2 } - \frac { 2 } { d ^ { 2 } } \Bigg ] \exp \bigg ( \displaystyle \frac { - ( z - z _ { d } ) ^ { 2 } } { d ^ { 2 } } \bigg ) \exp ( - \lambda _ { i } z ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { \gamma \in S _ { n } } \delta ( T _ { p _ { 3 } } \gamma ^ { - 1 } \sigma _ { 1 } \gamma \sigma _ { 2 } ^ { - 1 } ) } & { = \sum _ { \mu _ { 1 } \in S _ { n } } \delta \left( T _ { p _ { 3 } } ( \mu _ { 1 } \mu _ { 2 } ) ^ { - 1 } \sigma _ { 1 } ( \mu _ { 1 } \mu _ { 2 } ) \sigma _ { 2 } ^ { - 1 } \right) } \\ & { = \sum _ { \mu _ { 1 } \in S _ { n } } \delta \left( ( \mu _ { 2 } ^ { - 1 } \mu _ { 2 } ) T _ { p _ { 3 } } \mu _ { 2 } ^ { - 1 } \mu _ { 1 } ^ { - 1 } \sigma _ { 1 } \mu _ { 1 } \mu _ { 2 } \sigma _ { 2 } ^ { - 1 } \right) } \\ & { = \sum _ { \mu _ { 1 } \in S _ { n } } \delta \left( \underbrace { \mu _ { 2 } T _ { p _ { 3 } } \mu _ { 2 } ^ { - 1 } } _ { = T _ { p _ { 3 } } } \mu _ { 1 } ^ { - 1 } \sigma _ { 1 } \mu _ { 1 } \mu _ { 2 } \sigma _ { 2 } ^ { - 1 } \mu _ { 2 } ^ { - 1 } \right) } \\ & { = \frac { 1 } { n ! } \sum _ { \mu _ { 1 } , \mu _ { 2 } \in S _ { n } } \delta \left( T _ { p _ { 3 } } ( \mu _ { 1 } ^ { - 1 } \sigma _ { 1 } \mu _ { 1 } ) ( \mu _ { 2 } \sigma _ { 2 } ^ { - 1 } \mu _ { 2 } ^ { - 1 } ) \right) } \\ & { = \frac { 1 } { n ! } \delta \left( T _ { p _ { 3 } } \left( \sum _ { \mu _ { 1 } \in S _ { n } } \mu _ { 1 } ^ { - 1 } \sigma _ { 1 } \mu _ { 1 } \right) \left( \sum _ { \mu _ { 2 } \in S _ { n } } \mu _ { 2 } \sigma _ { 2 } ^ { - 1 } \mu _ { 2 } ^ { - 1 } \right) \right) } \\ & { = \frac { | \mathrm { A u t } _ { \mathcal { Z } } \left( p _ { 1 } \right) | | \mathrm { A u t } _ { \mathcal { Z } } \left( p _ { 2 } ^ { \prime } \right) | } { n ! } \delta \left( T _ { p _ { 3 } } T _ { p _ { 1 } } T _ { p _ { 2 } ^ { \prime } } \right) } \\ & { = \frac { n ! } { | T _ { p _ { 1 } } | | T _ { p _ { 2 } } | } \delta \left( T _ { p _ { 3 } } T _ { p _ { 1 } } T _ { p _ { 2 } } \right) \, . } \end{array}
\boldsymbol { c } ( \boldsymbol { a } ) = \left( A ^ { - 1 } - A ^ { - 1 } B ( B ^ { T } A ^ { - 1 } B ) ^ { - 1 } B ^ { T } A ^ { - 1 } \right) 2 ( P ^ { T } M ) ^ { T } P ^ { T } C _ { h } ( \Phi \boldsymbol { a } ) .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { \zeta \in \Xi } \left( \zeta - \lambda \left| \zeta - \widehat { \zeta } _ { i } \right| \right) = } & { \operatorname* { s u p } _ { \zeta \in ( A , B ) } \left( \zeta - \operatorname* { m a x } _ { | z _ { i } | \leq \lambda } z _ { i } \left( \zeta - \widehat { \zeta } _ { i } \right) \right) } \\ { = } & { \operatorname* { m i n } _ { | z _ { i } | \leq \lambda } \operatorname* { s u p } _ { \zeta \in ( A , B ) } \left( \zeta - z _ { i } \left( \zeta - \widehat { \zeta } _ { i } \right) \right) } \\ { = } & { \operatorname* { m i n } _ { | z _ { i } | \leq \lambda } \operatorname* { m a x } \left\{ ( \widehat { \zeta } _ { i } - A ) z _ { i } + A , ( \widehat { \zeta } _ { i } - B ) z _ { i } + B \right\} } \\ { = } & { \left\{ \begin{array} { l l } { \widehat { \zeta } _ { i } } & { \mathrm { ~ i f ~ } \lambda \geq 1 , } \\ { ( \widehat { \zeta } _ { i } - B ) \lambda + B } & { \mathrm { ~ i f ~ } \lambda < 1 . } \end{array} \right. } \end{array}
\left( \eta _ { \mu \nu } \partial _ { \mu } \partial _ { \nu } + m ^ { 2 } + \xi R + + { \frac { 1 } { 3 } } R _ { \alpha } ^ { \nu } y ^ { \alpha } \partial _ { \nu } - { \frac { 1 } { 3 } } R _ { \ \alpha \ \beta } ^ { \mu \ \nu } y ^ { \alpha } y ^ { \beta } \partial _ { \mu } \partial _ { \nu } + O ( R ^ { 2 } ) \right) \phi = 0
\begin{array} { r l } { A ( \sigma , x ) } & { { } = \int _ { 0 } ^ { \sigma } B ( \sigma ^ { \prime } , x ) \; \mathrm { d } \sigma ^ { \prime } , } \\ { I _ { 1 } ( \sigma , x ) } & { { } = \int _ { 0 } ^ { \sigma } ( \sigma - \sigma ^ { \prime } ) \, B ( \sigma ^ { \prime } , x ) \; \mathrm { d } \sigma ^ { \prime } \qquad { \mathrm { a n d } } } \\ { I _ { 2 } ( \sigma , x ) } & { { } = \int _ { 0 } ^ { \sigma } ( \sigma - \sigma ^ { \prime } ) \, { \frac { \partial B ( \sigma ^ { \prime } , x ) } { \partial x } } \; \mathrm { d } \sigma ^ { \prime } . } \end{array}
\tilde { \mathbf { h } } _ { m } ^ { ( l _ { i } , l _ { o } ) } = \sum _ { l _ { f } } \left( \mathbf { h } _ { l _ { i } , l _ { f } , l _ { o } } ( \mathbf { c } _ { l _ { i } , l _ { f } , l _ { o } } ) _ { m } \right)
\mathcal { C } _ { o } = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { w e e k d a y } , } & { t ( c _ { i x } = 0 ) \in \{ \mathrm { M o n d a y } , \mathrm { T u e s d a y } , \ldots , \mathrm { F r i d a y } \} } \\ { \mathrm { w e e k e n d } , } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { I ( \delta , \Delta \phi ) = } & { } & { \langle \mathrm { O u t p u t } | \mathrm { O u t p u t } \rangle } \\ { = } & { } & { \frac { 1 } { 2 } S _ { 0 } + \frac { 1 } { 2 } \cos ( \Delta \phi ) S _ { 1 } + \frac { 1 } { 2 } \sin ( \Delta \phi ) \cos \delta S _ { 2 } } \\ & { } & { + \frac { 1 } { 2 } \sin ( \Delta \phi ) \sin \delta S _ { 3 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { \Omega } \| \tilde { u } \| _ { H ^ { 1 } ( D _ { h } ) ^ { 2 } } ^ { 2 } \mathrm { d } \, \mathbb { P } } \\ & { \le ( H - m + 1 ) ^ { 2 } ( C _ { 4 } ( \omega , h ) + ( C _ { 5 } ( \omega , h ) + ( C _ { 6 } ( \omega , h , L _ { 0 } ) ) ^ { 2 } \int _ { \Omega } \| \tilde { g } \| _ { H ^ { 1 } ( D _ { h } ) ^ { 2 } } ^ { 2 } \mathrm { d } \, \mathbb { P } . } \end{array}
\frac { \partial \delta \vec { v } } { \partial t } = v _ { A } ^ { 2 } \partial _ { \| } \Big ( \frac { \delta \vec { B } _ { \perp } } { B } \Big ) - ( v _ { A } ^ { 2 } - { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } c _ { s } ^ { 2 } ) \nabla _ { \perp } \Big ( \frac { \delta B _ { \| } } { B _ { 0 } } \Big ) - \nabla \Big ( \frac { \delta p } { m \rho } \Big ) + { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } c _ { s } ^ { 2 } \partial _ { \| } \Big ( \frac { \delta B _ { \| } } { B } \Big ) \vec { e } _ { \| }
\begin{array} { r } { u _ { i } = u _ { \infty } - \sqrt { \sum _ { j } ( u _ { j } - u _ { i , j } ) ^ { 2 } } = u _ { \infty } - \sqrt { \sum _ { j } \bigg [ u _ { j } \bigg ( \frac { \Delta u _ { i , j } } { u _ { j } } \bigg ) \bigg ] ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \displaystyle \int _ { s - w } ^ { s + w } x g ( x ) d x \right| } & { { } \le \left| \displaystyle \int _ { s - w } ^ { s + w } x e ^ { - x ^ { 2 } / \sigma ^ { 2 } } d x \right| + \left| \displaystyle \int _ { s - w } ^ { s + w } x ( e ^ { - x ^ { 2 } / \sigma ^ { 2 } } - g ( x ) ) d x \right| } \end{array}
\partial _ { t } \hat { f } _ { n } + { \frac { v _ { 0 } } { 2 } } \left[ \nabla ^ { * } \hat { f } _ { n - 1 } + \nabla \hat { f } _ { n + 1 } \right] = - A \, n \, \pi \Gamma G _ { \beta } \left[ \hat { f } _ { n + 1 } \hat { f } _ { - 1 } - \hat { f } _ { n - 1 } \hat { f } _ { 1 } \right]
\beta = \frac { 1 } { 3 } \left[ { I \{ { G _ { b b } , Q _ { u u } } \} + I \{ { G _ { u u } , Q _ { b b } } \} - I \{ { G _ { b u } , Q _ { u b } } \} - I \{ { G _ { u b } , Q _ { b u } } \} } \right] ,
\begin{array} { r } { \mu _ { j + 1 , n } ^ { * ( 1 ) } ( \mathcal { Q } _ { I , n } ) = \frac { 1 } { I + n - j } \sum _ { i = - n } ^ { I - j - 1 } C _ { i , j } E ^ { * } ( F _ { i , j } ^ { * } | C _ { i , I - i } ^ { * } = C _ { i , I - i } ) = \frac { 1 } { I + n - j } \sum _ { i = - n } ^ { I - j - 1 } C _ { i , j } E ^ { * } ( F _ { i , j } ^ { * } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu _ { 1 } ^ { \mathrm { I I } } = } & { ~ \frac { 1 + \phi } { 2 } \rho _ { 1 } \tau _ { 1 } + \rho _ { 1 } \left( \frac { \kappa _ { 1 } } { \varepsilon } F ( \phi ) - \frac { \kappa _ { 1 } \varepsilon } { 2 } \| \nabla \phi \| ^ { 2 } \right) , } \\ { \mu _ { 2 } ^ { \mathrm { I I } } = } & { ~ \frac { 1 - \phi } { 2 } \rho _ { 2 } \tau _ { 2 } + \rho _ { 2 } \left( \frac { \kappa _ { 2 } } { \varepsilon } F ( \phi ) - \frac { \kappa _ { 2 } \varepsilon } { 2 } \| \nabla \phi \| ^ { 2 } \right) , } \\ { \tau _ { 1 } ^ { \mathrm { I I } } = } & { ~ \frac { 2 \kappa _ { 1 } } { \varepsilon } F ^ { \prime } ( \phi ) - 2 \kappa _ { 1 } \varepsilon \Delta \phi , } \\ { \tau _ { 2 } ^ { \mathrm { I I } } = } & { ~ - \frac { 2 \kappa _ { 2 } } { \varepsilon } F ^ { \prime } ( \phi ) + 2 \kappa _ { 2 } \varepsilon \Delta \phi , } \end{array}
\alpha _ { p } l ^ { D - 2 p } = \left\{ \begin{array} { l l } { { ( D - 2 p ) ^ { - 1 } \left( \begin{array} { c } { { n - 1 } } \\ { { p } } \end{array} \right) , } } & { { D = 2 n - 1 } } \\ { { \left( \begin{array} { c } { { n } } \\ { { p } } \end{array} \right) , } } & { { D = 2 n . } } \end{array} \right.
\chi _ { R } ^ { \dagger } = ( { \widetilde W ^ { + } } \, , { \widetilde { H } _ { 2 } ^ { + } } ) \, , \qquad \chi _ { L } = ( { \widetilde { W } ^ { - } } \, , { \widetilde { H } _ { 1 } ^ { - } } ) ^ { T } \: ,
\begin{array} { r l r } { p _ { e } } & { { } \approx } & { \frac { 1 } { 4 } \, m _ { e } c \, a _ { L } \, e ^ { - \nu _ { k e } t } \, , } \\ { v _ { e } } & { { } \approx } & { \frac { c p _ { e } } { \sqrt { m _ { e } ^ { 2 } c ^ { 2 } + p _ { e } ^ { 2 } } } } \end{array}
\nabla _ { \partial _ { a } } T = \sum _ { b , c } \frac { \partial T ^ { b c } } { \partial x ^ { a } } \partial _ { x ^ { b } } \otimes \partial _ { x ^ { c } } + \sum _ { b , c } \Gamma _ { a b } ^ { c } T ^ { b d } \partial _ { x ^ { c } } \otimes \partial _ { x ^ { d } } + \sum _ { b , c } \Gamma _ { a b } ^ { c } T ^ { d b } \partial _ { x ^ { c } } \otimes \partial _ { x ^ { d } } .
\begin{array} { r l } & { e ^ { - ( 1 / { \tau _ { e c o n } } + 1 / \tau ) t } } \\ { \sim \ } & { e ^ { - ( 1 / { \tau _ { e c o n } } + 1 / \tau ) t } e ^ { - \eta t } \left( \kappa ^ { * } + e ^ { ( 1 / { \tau _ { e c o n } } + 1 / \tau - \eta ) t } e ^ { - ( 1 / { \tau _ { e c o n } } + 1 / \tau ) t } \right) } \\ & { - e ^ { - ( 1 / { \tau _ { e c o n } } + 1 / \tau ) t } } \\ { \sim \ } & { e ^ { - ( 1 / { \tau _ { e c o n } } + 1 / \tau ) t } [ e ^ { - \eta t } \left( \kappa ^ { * } + e ^ { - \eta t } \right) - 1 ] } \end{array}
c ( l _ { 0 } + 1 , l _ { 1 } ; l _ { 0 } , l _ { 1 } ) = c ( l _ { 0 } , l _ { 1 } ; l _ { 0 } + 1 , l _ { 1 } ) = c _ { 0 } \sqrt { \frac { ( k _ { 1 } - l _ { 0 } - 1 ) ( k _ { 1 } + l _ { 0 } ) } { ( l _ { 1 } - l _ { 0 } ) ( l _ { 1 } - l _ { 0 } - 1 ) ( l _ { 1 } + l _ { 0 } ) ( l _ { 1 } + l _ { 0 } + 1 ) } } ,
\begin{array} { r l } { J _ { 3 } = } & { \: \frac { 1 } { 2 } ( r + 1 ) ^ { p - \frac { 3 } { 2 } } ( r - 1 ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \frac { d } { d r } ( r \Delta ( r ^ { 2 } - 1 ) ^ { - \frac { 3 } { 2 } } ) \widetilde { X } ( | \widetilde { u } | ^ { 2 } ) = \frac { 1 } { 2 } ( r + 1 ) ^ { p - 4 } ( 2 r - 1 ) \widetilde { X } ( | \widetilde { u } | ^ { 2 } ) } \\ { = } & { \: \frac { 1 } { 2 } \widetilde { X } ( ( r + 1 ) ^ { p - 4 } ( 2 r - 1 ) | \widetilde { u } | ^ { 2 } ) + \frac { 1 } { 2 } ( r + 1 ) ^ { p - 5 } ( ( 6 - 2 p ) ( r - 1 ) - p ) | \widetilde { u } | ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { t } ^ { i } = } & { Y _ { 0 } ^ { i } + \sqrt { 2 \lambda } \int _ { 0 } ^ { t } 1 _ { \{ s < T _ { \xi } \} } \tilde { Q } _ { j } ^ { i } ( s ) \nabla \varPsi ^ { j } ( \tilde { X } _ { s } ^ { \xi } , T - s ) \cdot \mathrm { d } B _ { s } } \\ & { - \int _ { 0 } ^ { t } 1 _ { \{ s < T _ { \xi } \} } \tilde { Q } _ { j } ^ { i } ( s ) F ^ { j } ( \tilde { X } _ { s } ^ { \xi } , T - s ) \mathrm { d } s . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { 1 } w ^ { - \frac { 1 } { 2 } } ( 1 - w ) ^ { - \frac { k + 1 } { 2 } } \Gamma \left( \frac { n } { 2 } , \frac { 1 } { 2 ( 1 - w ) } \right) \mathrm { d } w } & { \leq \Gamma \left( \frac { n } { 2 } \right) \int _ { 0 } ^ { 1 } w ^ { - \frac { 1 } { 2 } } ( 1 - w ) ^ { - 1 + \frac { 2 } { n ^ { \frac { k + 1 } { 2 } } } } \mathrm { d } w } \\ & { = \Gamma \left( \frac { n } { 2 } \right) B \left( \frac { 1 } { 2 } , \frac { 2 } { n ^ { \frac { k + 1 } { 2 } } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { | } & { \left( d _ { n } ( i _ { 2 } ) ( \omega , j ) - d _ { n } ( i _ { 2 } ) ( \omega , k ) \right) - \left( d _ { n } ( i _ { 1 } ) ( \omega , j ) - d _ { n } ( i _ { 1 } ) ( \omega , k ) \right) | } \\ & { \le _ { \mathtt { p e } } \varepsilon ^ { 2 } \rVert i _ { 1 } - i _ { 2 } \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { \mathtt { p } , 1 } } | \lambda _ { \alpha } ( j ) - \lambda _ { \alpha } ( k ) | + \varepsilon ^ { 3 } \gamma ^ { - 1 } \rVert i _ { 1 } - i _ { 2 } \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { \mathtt { p } , 1 } } } \\ & { \le _ { \mathtt { p e } } \varepsilon ^ { 3 } \gamma ^ { - 1 } \rVert i _ { 1 } - i _ { 2 } \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { \mathtt { p } , 1 } } | \lambda _ { \alpha } ( j ) - \lambda _ { \alpha } ( k ) | } \\ & { \le C ( { \mathtt { p e } } ) \varepsilon ^ { 3 } \gamma ^ { - 1 } \rVert i _ { 1 } - i _ { 2 } \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { \mathtt { p } , 1 } } | \lambda _ { \alpha } ( j ) - \lambda _ { \alpha } ( k ) | , } \end{array}
\begin{array} { r l } { h ( U _ { \rho ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } ) } & { = \Big ( \widetilde a _ { + } ^ { \varepsilon } - R _ { \rho ^ { \varepsilon } } - ( A _ { \rho ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } + M _ { \rho ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } ) \Big ) \Big ( R _ { \rho ^ { \varepsilon } } + a _ { - } ^ { \varepsilon } + ( A _ { \rho ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } + M _ { \rho ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } ) \Big ) } \\ & { \leq ( \widetilde a _ { + } ^ { \varepsilon } - R _ { \rho ^ { \varepsilon } } ) ( R _ { \rho ^ { \varepsilon } } + a _ { - } ^ { \varepsilon } ) + ( A _ { \rho ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } + M _ { \rho ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } ) ( \widetilde a _ { + } ^ { \varepsilon } - 2 R _ { \rho ^ { \varepsilon } } - a _ { - } ^ { \varepsilon } ) } \\ & { = ( A _ { \rho ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } + M _ { \rho ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } ) ( \widetilde a _ { + } ^ { \varepsilon } - 2 R _ { \rho ^ { \varepsilon } } - a _ { - } ^ { \varepsilon } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \everymath { \displaystyle } \left( { \begin{array} { c c } { \frac { \partial } { \partial \tau } + \nu k ^ { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { \partial } { \partial \tau } + \eta k ^ { 2 } } \end{array} } \right) } \left( { \begin{array} { c c } { G _ { u u } ^ { i j } } & { G _ { b u } ^ { i j } } \\ { G _ { u b } ^ { i j } } & { G _ { b b } ^ { i j } \rule { 0 ex } { 5 ex } } \end{array} } \right) } \\ & { { \everymath { \displaystyle } + i \left( { \begin{array} { c c } { - 2 M ^ { i k m } \int _ { \Delta } u _ { 0 0 } ^ { k } } & { 2 M ^ { i k m } \int _ { \Delta } b _ { 0 0 } ^ { k } } \\ { N ^ { i k m } \int _ { \Delta } b _ { 0 0 } ^ { k } } & { - N ^ { i k m } \int _ { \Delta } u _ { 0 0 } ^ { k } } \end{array} } \right) \left( { \begin{array} { c c } { G _ { u u } ^ { m j } } & { G _ { b u } ^ { m j } } \\ { G _ { u b } ^ { m j } } & { G _ { b b } ^ { m j } \rule { 0 ex } { 5 ex } } \end{array} } \right) } = \delta ^ { i j } \delta ( \tau - \tau ^ { \prime } ) \left( { \begin{array} { c c } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 \rule { 0 ex } { 5 ex } } \end{array} } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { - \sum _ { i = 0 } ^ { K } E \left[ C _ { I - i , i } \sum _ { k = i } ^ { K } \left( \prod _ { j = i } ^ { k - 1 } \widehat { f } _ { j , n } \right) \widehat \sigma _ { k , n } ^ { 2 } \left( \prod _ { h = k + 1 } ^ { K } \left( \widehat { f } _ { h , n } ^ { 2 } + \frac { \widehat \sigma _ { h , n } ^ { 2 } } { \epsilon ^ { h } } \right) \right) \right] \left( \prod _ { l = K + 1 } ^ { I + n - 1 } f _ { l } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { v ( t ) } & { { } = \frac { D _ { \alpha } } { \Gamma ( \alpha ) t ^ { 1 - \alpha } } \frac { 2 \operatorname { t a n h } [ q F b / ( 2 k _ { \mathrm { B } } T ) ] } { b } , } \end{array}
E _ { 3 } ^ { \prime } = \bigg ( \frac { \nu _ { 0 } ( \mu _ { 1 } - \mu _ { 0 } ) } { - \mu _ { 0 } \nu _ { 0 } + \mu _ { 1 } \nu _ { 1 } } , \frac { \mu _ { 0 } ( \nu _ { 1 } - \nu _ { 0 } ) } { - \mu _ { 0 } \nu _ { 0 } + \mu _ { 1 } \nu _ { 1 } } \bigg )
\begin{array} { r l } { { \mathbb E } [ \exp ( \langle \mathbf u ^ { s i g } , { \mathbb X } _ { \frac { T n } N } ^ { s i g } \rangle ) ] } & { \approx \sum _ { m = 0 } ^ { n } \binom n m ( 1 - \lambda ) ^ { n - m } \lambda ^ { m } \exp ( ( A _ { M } ^ { s i g , K } ) ^ { \circ m } ( \mathbf u ^ { s i g } ) _ { \emptyset } ) \qquad \mathrm { a n d } } \\ { { \mathbb E } [ \exp ( \langle \mathbf u ^ { p o w } , { \mathbb X } _ { \frac { T n } N } ^ { p o w } \rangle ) ] } & { \approx \sum _ { m = 0 } ^ { n } \binom n m ( 1 - \lambda ) ^ { n - m } \lambda ^ { m } \exp ( ( A _ { M } ^ { p o w , K } ) ^ { \circ m } ( \mathbf u ^ { p o w } ) _ { \emptyset } ) . } \end{array}
| \Phi \rangle \equiv \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \int d ^ { 3 } r _ { 1 } d ^ { 3 } r _ { 2 } \Phi ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { 1 } , \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { 2 } ) \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { 1 } ) \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { 2 } ) | 0 \rangle
\begin{array} { r l } & { \langle ( \hat { V } ^ { \prime } - V _ { 1 } - V _ { 2 } \cdot \hat { x } ) \otimes ( p _ { t } + \hat { y } ) ^ { T } \rangle } \\ & { = \langle ( \hat { V } ^ { \prime } - V _ { 1 } ) \otimes ( p _ { t } + \hat { y } ) ^ { T } \rangle - V _ { 2 } \cdot \langle \hat { x } \otimes ( p _ { t } + \hat { y } ) ^ { T } \rangle } \\ & { = ( \langle \hat { V } ^ { \prime } \rangle - V _ { 1 } ) \otimes p _ { t } ^ { T } + \langle \hat { V } ^ { \prime } \otimes \hat { y } ^ { T } \rangle - V _ { 2 } \cdot \langle \hat { x } \otimes \hat { y } ^ { T } \rangle } \\ & { = ( \langle \hat { V } ^ { \prime } \rangle - V _ { 1 } ) \otimes p _ { t } ^ { T } + \langle \hat { V } ^ { \prime \prime } \rangle \cdot \operatorname { C o v } ( \hat { q } , \hat { p } ) - V _ { 2 } \cdot \operatorname { C o v } ( \hat { q } , \hat { p } ) } \\ & { = ( \langle \hat { V } ^ { \prime } \rangle - V _ { 1 } ) \otimes p _ { t } ^ { T } + ( \langle \hat { V } ^ { \prime \prime } \rangle - V _ { 2 } ) \cdot \operatorname { C o v } ( \hat { q } , \hat { p } ) . } \end{array}
Q _ { p , e } = \underbrace { \Bigg [ \sum _ { n } 2 C _ { 2 } \overline { { \gamma } } _ { n _ { p , e } } ( k _ { \perp } ) \overline { { k } } _ { \perp n } \bigg ( \frac { b _ { k n } ^ { 3 } } { b _ { k i } ^ { 3 } } \bigg ) \delta ( \mathrm { l n } \overline { { k } } _ { \perp n } ) \Bigg ] } _ { \mathrm { e v a l u a t e d ~ f r o m ~ t h e ~ c o d e } } \frac { b _ { k i } ^ { 3 } } { \rho _ { p } } .
\mathbf { { P } } _ { d + 1 } ^ { K } \simeq \mathbf { { R } ^ { \prime } } _ { 1 } \mathbf { { P } } _ { 1 } ^ { K - d } + \mathbf { { R } ^ { \prime } } _ { 2 } \mathbf { { P } } _ { 2 } ^ { K - ( d - 1 ) } + . . . + \mathbf { { R ^ { \prime } } } _ { d } \mathbf { { P } } _ { d } ^ { K - 1 }
( \hat { g } _ { b , s _ { 1 } } ( \mathsf { S } ) , \hat { A } _ { b , s _ { 1 } } ( \mathsf { S } ) ) = ( 2 \delta _ { g _ { b } } ^ { * } \hat { \omega } _ { b , s _ { 1 } } ( \mathsf { S } ) , \ \widetilde { \mathcal { L } } _ { A _ { b } } ( \hat { \omega } _ { b , s _ { 1 } } ( \mathsf { S } ) ) ^ { \sharp } + d \hat { \phi } _ { b , s _ { 1 } } ( \mathsf { S } ) )
\begin{array} { r l } { \underset { x } { \operatorname* { m i n } } \ \ } & { { } f ( d ) } \\ { \mathrm { s . t . } \ \ } & { { } d _ { i } = \sum _ { b \in \mathcal { B } } \sum _ { j } D _ { i j } ^ { b } x _ { j } ^ { b } \ \ \mathrm { f o r \ a l l \ } i = 1 , 2 , \cdots , I , } \end{array}
\frac { 1 } { V } < H _ { A } ^ { \theta } > = \frac { 1 } { 4 } \int \frac { d ^ { 2 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } [ G ^ { - 1 } ( k ) + k ^ { 2 } G ( k ) - \frac { 4 \pi ^ { 2 } } { g ^ { 2 } } z k ^ { - 2 } G ^ { - 2 } ( k ) ]
\begin{array} { r } { \frac { \delta n _ { e } } { n _ { e } } = \frac { c ^ { 2 } k ^ { 2 } } { 2 \omega _ { p } ^ { 2 } } | \Gamma ( \Omega , \mathbf { k } ) ( \mathbf { a } _ { 0 } ^ { \mathrm { i n } } \cdot \mathbf { a } _ { 1 } ^ { \mathrm { i n } } ) | } \end{array}