harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \Xi _ { d } ^ { \bar { \lambda } } ( t , j ) } & { : = \big [ \Psi _ { d } ^ { \lambda } ( t , j ) - \Gamma _ { d } ^ { + } ( t , j ) \Sigma ^ { \bar { \lambda } } ( t , j ) \big ] } \\ { \Delta ^ { \bar { \lambda } } ( t , j ) } & { : = \frac { \gamma _ { d } \psi ^ { \bar { \lambda } } ( t , j ) H } { 1 + \gamma _ { d } | \psi ^ { \bar { \lambda } } ( t , j ) | ^ { 2 } } . } \end{array}
U ( r _ { i j } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 4 \epsilon _ { i j } \left[ \left( \frac { \sigma _ { i j } } { r _ { i j } } \right) ^ { 1 2 } - \left( \frac { \sigma _ { i j } } { r _ { i j } } \right) ^ { 6 } \right] + \epsilon } & { r < r _ { c } } \\ { 0 } & { r \geq r _ { c } } \end{array} \right. ,
\| x _ { k } - P _ { \mathrm { \mathcal { N } } } ( \mathit { \hat { w } } ^ { k } ) + P _ { \mathrm { \mathcal { M } } } ( \mathit { \hat { x } } ^ { k } ) \| - \| x _ { k } - P _ { \mathrm { \mathcal { N } } } ( \mathit { \hat { x } } ^ { k } ) + P _ { \mathrm { \mathcal { M } } } ( \mathit { \hat { w } } ^ { k } ) \| \leq \sigma _ { k } \| x _ { k } - P _ { \mathrm { \mathcal { N } } } ( \mathit { \hat { w } } ^ { k } ) + P _ { \mathrm { \mathcal { M } } } ( \mathit { \hat { x } } ^ { k } ) \|
{ \frac { P V } { T } } = \operatorname { c o n s t a n t } _ { 2 } = { \frac { 1 0 ^ { 5 } ~ { \mathrm { P a } } \times 1 0 ^ { - 3 } ~ { \mathrm { m } } ^ { 3 } } { 3 0 0 ~ { \mathrm { K } } } } = 0 . 3 3 3 ~ { \mathrm { P a } } \, { \mathrm { m } } ^ { 3 } { \mathrm { K } } ^ { - 1 } .
e ^ { - i \pi } \varphi ( e ^ { - i \sigma _ { 3 } \pi / 2 } ) : f _ { \pm } ^ { 3 / 2 } ( \theta , \phi ) \; \mapsto \; - e ^ { \pm 3 i \pi / 2 } f _ { \pm } ^ { 3 / 2 } ( \theta , \phi - \pi ) .
\delta \Psi _ { \mu \, A } = D _ { \mu } \varepsilon _ { A } + Z _ { A B \, \mu \nu } \gamma ^ { \nu } \varepsilon ^ { B } , \ \ \ \ \ \delta \chi _ { A B C } = Z _ { [ A B \, \mu \nu } \sigma ^ { \mu \nu } \varepsilon _ { C ] } ,
\psi _ { n , k } = 0 , \quad \mathrm { ~ o ~ n ~ } x = \pm \frac { L } { 2 a } , \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ o ~ n ~ } y = \pm \frac { \ell } { 2 a } , \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } n \neq \pm 1 .
( \mu ^ { \prime } + j , \stackrel { m ^ { \prime } } { \dots } , \mu ^ { \prime } + j , \mu ^ { \prime \prime } + j , \stackrel { m ^ { \prime } } { \dots } , \mu ^ { \prime \prime } + j , 2 \mathbb { Z } _ { 8 } , \stackrel { n ^ { \prime } } { \dots } , 2 \mathbb { Z } _ { 8 } , \mathbb { Z } _ { 8 } { \setminus } 2 \mathbb { Z } _ { 8 } , \stackrel { r ^ { \prime } } { \dots } , \mathbb { Z } _ { 8 } { \setminus } 2 \mathbb { Z } _ { 8 } )
M ^ { 2 } = \left( \begin{array} { c c c } { { g _ { L } ^ { 2 } ( v _ { L } ^ { 2 } + K ^ { 2 } ) / 2 } } & { { - g _ { L } g _ { R } K ^ { 2 } / 2 } } & { { - g _ { L } g _ { 1 } v _ { L } ^ { 2 } / 2 } } \\ { { - g _ { L } g _ { R } K ^ { 2 } / 2 } } & { { g _ { R } ^ { 2 } ( v _ { R } ^ { 2 } + K ^ { 2 } ) / 2 } } & { { - g _ { R } g _ { 1 } v _ { R } ^ { 2 } / 2 } } \\ { { - g _ { L } g _ { 1 } v _ { L } ^ { 2 } / 2 } } & { { - g _ { R } g _ { 1 } v _ { R } ^ { 2 } / 2 } } & { { g _ { 1 } ^ { 2 } ( v _ { L } ^ { 2 } + v _ { R } ^ { 2 } ) / 2 } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \int _ { z = ( x , y ) \in { \mathcal D } } H ( x ) \pi ( { \mathrm d } z ) } & { \leq 1 + \int _ { r _ { 1 } } ^ { \infty } H ^ { \prime } ( x ) \pi ( { \mathcal D } \cap [ x , \infty ) \times { \mathbb R } ^ { d } ) { \mathrm d } x \leq 1 + \int _ { r _ { 1 } } ^ { \infty } H ^ { \prime } ( x ) \mu ( x ) { \mathrm d } x } \\ & { = 1 + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \left( \int _ { r _ { n } } ^ { 1 + r _ { n } } H ^ { \prime } ( x ) \mu ( x ) { \mathrm d } x + \int _ { 1 + r _ { n } } ^ { r _ { n + 1 } } H ^ { \prime } ( x ) \mu ( x ) { \mathrm d } x \right) } \\ & { \leq 1 + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } r _ { n } ^ { - \varepsilon / 2 } + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } r _ { n } ^ { - \alpha } < \infty , } \end{array}
\begin{array} { r } { h _ { b } = \int \displaylimits _ { T _ { 0 } } ^ { T _ { b } } c _ { b } ( \bar { T } _ { b } ) \textrm { d } \bar { T } _ { b } + \frac { p _ { b } } { \rho _ { b } } + H _ { \textrm { m e t } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { t = T _ { 0 } } ^ { T _ { 0 } + m - 1 } \mathbb E \left[ \left. \lVert Q _ { t } \rVert _ { 2 } ^ { 2 } \right\rvert \mathcal F _ { T _ { 0 } } \right] } & { \ge \sum _ { t = T _ { 0 } } ^ { T _ { 0 } + m - 1 } \left( Q _ { T _ { 0 } , i ^ { * } } ^ { 2 } - M ^ { 2 } m ^ { 2 } \right) } \\ & { = m \lVert Q _ { T _ { 0 } } \rVert _ { \infty } ^ { 2 } - M ^ { 2 } m ^ { 3 } } \\ & { \stackrel { ( a ) } \ge m \cdot ( 2 M m - 2 M ) ^ { 2 } - M ^ { 2 } m ^ { 3 } } \\ & { \stackrel { ( b ) } \ge m \cdot \left( \frac 3 2 M m \right) ^ { 2 } - M ^ { 2 } m ^ { 3 } } \\ & { \ge M ^ { 2 } m ^ { 3 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { v _ { I } } _ { t } ( x , w ) } & { = \left( \Omega ^ { 2 } \mathcal { I } _ { x } ^ { 2 } ( x , w ) + \left( \Omega \left( \sin { ( \beta ) } \mathcal { I } _ { y } ( x , w ) + \cos { ( \beta ) } \mathcal { I } _ { z } ( x , w ) \right) + \cos { ( \beta ) } v _ { 0 } \right) ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } . } \end{array}
\prod _ { n = 2 } ^ { N + 1 } \int d ^ { D } x _ { n - 1 } ^ { i } = \prod _ { n = 2 } ^ { N + 1 } \left\{ \int d ^ { D } q _ { n - 1 } ^ { \mu } ~ \operatorname * { d e t } \left[ e _ { \mu } ^ { i } ( q _ { n - 1 } ) \right] \right\} .
\begin{array} { r l } { V _ { x y } ( t ) = } & { \mp \frac { I _ { 0 } \Delta R _ { A H E } H _ { \mathrm { f l } } H _ { y } } { 2 { H _ { k } } ^ { 2 } } } \\ & { \mp \frac { I _ { 0 } \Delta R _ { A H E } \left( 3 H _ { \mathrm { f l } } ^ { 2 } - 8 H _ { k } ^ { 2 } + 4 H _ { y } ^ { 2 } \right) } { 8 H _ { k } ^ { 2 } } \sin ( \omega t ) } \\ & { \pm \frac { I _ { 0 } \Delta R _ { A H E } H _ { \mathrm { f l } } H _ { y } } { 2 { H _ { k } } ^ { 2 } } \cos ( 2 \omega t ) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \Lambda _ { 0 0 } } & { = \gamma , } \\ { \Lambda _ { 0 i } = \Lambda _ { i 0 } } & { = - \gamma \beta _ { i } , } \\ { \Lambda _ { i j } = \Lambda _ { j i } } & { = ( \gamma - 1 ) { \frac { \beta _ { i } \beta _ { j } } { \beta ^ { 2 } } } + \delta _ { i j } = ( \gamma - 1 ) { \frac { v _ { i } v _ { j } } { v ^ { 2 } } } + \delta _ { i j } , } \end{array} }
\frac { d N _ { Q } ( j ) } { d t } = n _ { Q , \mathrm { L R } } ( t ) V _ { \mathrm { e } } ( j ) \nu ( n _ { \mathrm { H e } } ( t ) ) f _ { 2 } ( j ) ) - \frac { \nu ( n _ { \mathrm { H e } } ( t ) ) } { k _ { Q \mathrm { - } \mathrm { H e } } ( j ) } N _ { Q } ( j ) - \frac { \beta _ { Q \mathrm { - } Q } } { V _ { \mathrm { e } } ( j ) } N _ { Q } ^ { 2 } ( j ) - \Gamma _ { \mathrm { R R } } .
\begin{array} { r l r } { \mathrm { { r a d } } ^ { 2 } ( \widehat { G ( \sigma ) } ) } & { = } & { \sum _ { i , j \in [ k ] } \mu _ { i } \mu _ { j } \ensuremath { \left( \frac { 1 } { 2 } D ( \widehat { G ( p _ { i } ) } , \widehat { G ( p _ { j } ) } ) \right) } } \\ & { \geq } & { \sum _ { i , j \in [ k ] } \frac { \mu _ { i } \mu _ { j } } { 2 } \ensuremath { \left( ( 1 - { \varepsilon } ) D ( \widehat { p _ { i } } , \widehat { p _ { j } } ) \right) } } \end{array}
\| F _ { j } ^ { k } ( f \otimes f ) ( y , t _ { l } ) \| _ { L ^ { 2 } ( { \mathbb { R } } ^ { 2 } \times E _ { j , k } ) } \lesssim _ { \gamma } ( c 2 ^ { \frac { d \gamma k } { 2 } } + 1 ) j 2 ^ { j } \biggl ( \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } | f ( w ) | ^ { 2 } | f ( z ) | ^ { 2 } | w - z | ^ { - ( 2 \gamma - 1 ) } d w d z \biggl ) ^ { 1 / 2 } .
\mathbf { C } _ { D } = \left[ \begin{array} { l l } { \sum \beta _ { i } } & { - \sum ( x _ { i } - x _ { c } ) \beta _ { i } } \\ { - \sum ( x _ { i } - x _ { c } ) \beta _ { i } } & { \sum ( x _ { i } - x _ { c } ) ^ { 2 } \beta _ { i } } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } { T _ { t } = } & { \frac { 2 m _ { i } ( 1 + M _ { t } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { \gamma ^ { 2 } M _ { t } ^ { 2 } } \cdot \frac { q _ { \parallel , u } ^ { 2 } } { p _ { t o t , u } ^ { 2 } } } \\ & { \cdot \frac { ( 1 - f _ { c o o l i n g } ) ^ { 2 } } { ( 1 - f _ { m o m - l o s s } ) ^ { 2 } } \cdot \left( \frac { R _ { u } } { R _ { t } } \right) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left[ \begin{array} { c } { \left( \begin{array} { c } { E _ { \rightarrow } ^ { + } } \\ { E _ { \rightarrow } ^ { - } } \end{array} \right) _ { \mathrm { i n } } } \\ { \left( \begin{array} { c } { E _ { \leftarrow } ^ { + } } \\ { E _ { \leftarrow } ^ { - } } \end{array} \right) _ { \mathrm { o u t } } } \end{array} \right] } & { { } = \stackrel { \leftrightarrow } { \mathrm { T } } \left[ \begin{array} { c } { \left( \begin{array} { c } { E _ { \rightarrow } ^ { + } } \\ { E _ { \rightarrow } ^ { - } } \end{array} \right) _ { \mathrm { o u t } } } \\ { \left( \begin{array} { c } { E _ { \leftarrow } ^ { + } } \\ { E _ { \leftarrow } ^ { - } } \end{array} \right) _ { \mathrm { i n } } } \end{array} \right] ^ { \prime } , } \end{array}
R _ { n \kappa } ^ { \kappa ^ { \prime } L } = \int _ { 0 } ^ { \infty } \left[ f _ { n \kappa } { ( r ) } f _ { \varepsilon \kappa ^ { \prime } } { ( r ) } - g _ { n \kappa } { ( r ) } g _ { \varepsilon \kappa ^ { \prime } } { ( r ) } \right] j _ { L } { ( q r ) } d r \, ,
\begin{array} { r l } { i u _ { z } + | u | ^ { 2 } u + u _ { \tau \tau } - } & { { } ( \Delta + ( \phi ^ { \prime } ) ^ { 2 } ) u + 2 i u _ { \tau } \phi ^ { \prime } = - i ( 1 + \phi ^ { \prime \prime } ) u + i u _ { \mathrm { i n } } , } \end{array}
P ( \nu _ { e } \rightarrow \nu _ { \mu } ) = \frac { 1 } { 2 } s i n ^ { 2 } 2 \theta [ 1 - \frac { 1 } { 2 } ( e x p { ( - \frac { \alpha + \gamma - \delta _ { 2 } } { 2 } t ) } + e x p { ( - \frac { \alpha + \gamma + \delta _ { 2 } } { 2 } t ) } ) ] .
\left( \rho _ { M } \right) ^ { 2 } = \frac { d \; G _ { M } ^ { ( s ) } ( q ^ { 2 } ) } { d q ^ { 2 } } \biggl | _ { q ^ { 2 } = 0 } = - \frac { \pi m _ { N } } { ( 4 \pi F _ { \pi } ) ^ { 2 } M _ { K } } \; \frac { 1 } { 1 8 } \left( 5 D ^ { 2 } - 6 D F + 9 F ^ { 2 } \right) = - 0 . 0 2 7 \, \mathrm { f m } ^ { 2 } ~ .
\begin{array} { r l } { \tilde { \chi } _ { \varepsilon } ( x , t ) } & { { } = - \nu \frac { 1 } { \varepsilon ^ { 2 } } \phi ^ { \prime \prime } \left( \frac { x _ { 2 } } { \varepsilon } \right) \left. \frac { \partial } { \partial x _ { 2 } } \right| _ { x _ { 2 } = 0 + } u ^ { 1 } ( x , t ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \overline { { \alpha } } _ { m k } = \left( \begin{array} { l } { n } \\ { k } \end{array} \right) \alpha _ { m } \cos \left[ \frac { \pi } { 2 } ( m - k ) \right] \qquad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \qquad \overline { { \beta } } _ { m n } = \left( \begin{array} { l } { m } \\ { n } \end{array} \right) \beta _ { n } \sin \left[ \frac { \pi } { 2 } ( m - n ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \beta ^ { \pm } = \left[ 8 j k _ { 0 } \pm 2 k _ { x } ^ { 2 } S _ { \mathrm { ~ m ~ e ~ } } ^ { y z z x } \mp k _ { 0 } ^ { 2 } ( S _ { \mathrm { ~ m ~ e ~ } } ^ { y z z x } + 4 \chi _ { \mathrm { ~ e ~ m ~ } } ^ { x y } ) \right] ^ { 2 } \, , } \end{array}
\boxed { r _ { \parallel } = \frac { E _ { p , R } } { E _ { p , i } } = \cfrac { n _ { i } \cos ( \theta _ { T } ) - n _ { T } \cos ( \theta _ { i } ) } { n _ { i } \cos ( \theta _ { T } ) + n _ { T } \cos ( \theta _ { i } ) } }
\frac { 1 + \frac { 7 } { 9 } t ^ { 2 } + \frac { 6 4 } { 9 4 5 } t ^ { 4 } } { 1 + \frac { 1 0 } { 9 } t ^ { 2 } + \frac { 5 } { 2 1 } t ^ { 4 } }
\begin{array} { r l r } & { } & { \partial _ { t } \rho = - \frac { i } { \hbar } [ H _ { 0 } , \rho ( t ) ] - } \\ & { } & { - \langle M _ { 0 } \frac { 1 } { \hbar ^ { 2 } } [ H _ { V } ^ { I } ( t ) , \int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime } [ H _ { V } ^ { I } ( t ^ { \prime } ) , \rho ^ { I } ( t ) ] ] M _ { 0 } ^ { \dagger } \rangle _ { c } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ( A , \boldsymbol { a } ) \cdot w \cdot ( B , \boldsymbol { b } ) } \\ { = \; } & { ( A , \boldsymbol { a } ) ^ { m } ( B , \boldsymbol { b } ) ^ { m } } \\ { = \; } & { \left( I , ( I + A + \cdots + A ^ { ( m - 1 ) } ) ( A \boldsymbol { b } + \boldsymbol { a } ) \right) } \\ { = \; } & { \left( I , ( I + A + \cdots + A ^ { ( m - 1 ) } ) \boldsymbol { x } \right) } \\ { = \; } & { \left( I , m \boldsymbol { x } + \frac { m ( m - 1 ) } { 2 } \mu c \boldsymbol { v } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } 0 } & { { } = \int _ { - 1 } ^ { 1 } W ( X , H ( X ) ) \sqrt { 1 + \left( H ^ { \prime } ( X ) \right) ^ { 2 } } d X , } & { } & { { } \quad | X | < 1 , } \\ { C } & { { } = \frac { ( - \partial _ { X } H ( X ) ) \partial _ { X } W ( X , Y ) + \partial _ { Y } W ( X , Y ) } { \sqrt { 1 + ( \partial _ { X } H ( X ) ) ^ { 2 } } } \bigg | _ { Y = H ( X ) } , } & { } & { { } \quad | X | < 1 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { G } _ { \varnothing , \sigma } ^ { ( P _ { A _ { 1 } } ) } } & { = \exp \left( \sum _ { p > k } [ \log \mathbf { U } ^ { ( P _ { A _ { 1 } } ) } ] _ { p k } ( \hat { E } _ { p k } ^ { \sigma } - \hat { E } _ { k p } ^ { \sigma } ) \right) , } \\ { \hat { G } _ { \varnothing , \tau } ^ { ( P _ { B _ { 1 } } ) } } & { = \exp \left( \sum _ { q > l } [ \log \mathbf { V } _ { t } ^ { ( P _ { B _ { 1 } } ) } ] _ { q l } ( \hat { E } _ { q l } ^ { \tau } - \hat { E } _ { l q } ^ { \tau } ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ s ~ s ~ } } \rho = - } & { { } \frac { 1 } { 2 } \sum _ { j } \gamma _ { j } \left( n _ { j } \rho + \rho n _ { j } - 2 a _ { j } \rho a _ { j } ^ { \dagger } \right) } \end{array}
v \in \left( s , t \right) \subset \left( \overline { { s } } _ { m } , \overline { { s } } _ { m } + \frac { 1 } { p ^ { m } } \right) = \left( \overline { { s } } _ { m } , \overline { { s } } _ { m } + \sum _ { i = m + 1 } ^ { \infty } \frac { p - 1 } { p ^ { i } } \right) = \left( \overline { { s } } _ { m } , \overline { { x } } _ { m } + \sum _ { i = m + 1 } ^ { \infty } \frac { x _ { i } } { p ^ { i } } \right) = \left( \overline { { s } } _ { m } , x \right) .
\tau _ { E , \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } } = \frac { W _ { t h , \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } } } { P _ { l t h , \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } } } = \tau _ { E , \mathrm { ~ S ~ T ~ E ~ P ~ } } = \frac { W _ { t h , \mathrm { ~ S ~ T ~ E ~ P ~ } } } { P _ { l t h , \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } } }
k _ { \perp } v _ { \mathrm { A } } t _ { \mathrm { s } } ^ { \mathrm { d a } } \approx \frac { \sqrt { 6 } } { 4 \alpha \sqrt { \beta _ { \mathrm { i 0 } } } } \qquad \mathrm { a n d } \qquad k _ { \perp } v _ { \mathrm { A } } t _ { \mathrm { s } } ^ { \mathrm { s a } } \approx \frac { 1 2 \sqrt { 3 } } { 2 9 \alpha \sqrt { \beta _ { \mathrm { i 0 } } } } \simeq 1 . 1 7 k _ { \perp } v _ { \mathrm { A } } t _ { \mathrm { s } } ^ { \mathrm { d a } } .
\begin{array} { r l } { \bigg \vert \partial _ { i j } ^ { 2 } \mathrm { P } _ { s } \Big ( \frac { 1 } { \rho _ { \delta } } ( p _ { t } ( \cdot , y ) - \rho _ { t } ) \Big ) ( x ) \bigg \vert } & { = \bigg \vert \int _ { \mathcal { M } } \mathrm { d } \mathrm { m } ( w ) \, \partial _ { i j } ^ { 2 } p _ { s } ( x , w ) \frac { 1 } { \rho _ { \delta } ( w ) } ( p _ { t } ( w , y ) - \rho _ { t } ( w ) ) \bigg \vert } \\ & { \stackrel { , } { \lesssim } s ^ { - 2 } \int _ { \mathcal { M } } \mathrm { d } \mathrm { m } ( w ) \, \vert p _ { t } ( w , y ) - \rho _ { t } ( w ) \vert } \\ & { \lesssim s ^ { - 2 } , } \end{array}
\left( a _ { S } \equiv \right) \frac { G N _ { \mathrm { c } } { \triangle } _ { S } ^ { 2 } } { 8 { \pi } ^ { 2 } } = \left[ \left( 1 + \frac { m _ { t } ^ { 2 } } { { \triangle } _ { S } ^ { 2 } } \right) \ln \left( \frac { { \Lambda } ^ { \! 2 } } { { \triangle } _ { S } ^ { 2 } + m _ { t } ^ { 2 } } \right) - \frac { m _ { t } ^ { 2 } } { { \triangle } _ { S } ^ { 2 } } \ln \left( \frac { { \Lambda } ^ { \! 2 } } { m _ { t } ^ { 2 } } \right) \right] ^ { - 1 } \ \ \left( \sim 1 \right) \ .
\begin{array} { r l } & { \underline { { \mathrm { d } } } ( \alpha , \beta ) : = ( \mathrm { d } \alpha , \jmath ^ { * } \alpha - \mathrm { d } \beta ) , } \\ & { \underline { { \imath } } _ { V } ( \alpha , \beta ) : = ( \imath _ { V } \alpha , - \imath _ { \overline { { V } } } \beta ) , } \\ & { \underline { { \mathcal { L } } } _ { V } ( \alpha , \beta ) : = ( \mathcal { L } _ { V } \alpha , \mathcal { L } _ { \overline { { V } } } \beta ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \dot { \mathrm { B } } _ { p , q , \mathcal { H } _ { \mathfrak { t } } } ^ { s } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) = \dot { \mathrm { B } } _ { p , q , \mathcal { H } _ { \mathfrak { t } } } ^ { s , \sigma } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) \oplus \dot { \mathrm { B } } _ { p , q , \mathcal { H } _ { \mathfrak { t } } } ^ { s , \gamma } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) \mathrm { . ~ } } \end{array}
\overset { w _ { 0 } } { P ^ { 1 } } ( q , u , \eta ) = \nabla \cdot ( ( \sigma _ { q _ { 0 } , \eta _ { 0 } } - \varrho ) ( u - \dot { M } [ \eta ] e _ { 1 } ) ) - \mathfrak { g } \nabla \cdot ( ( v _ { w _ { 0 } } - \varrho ^ { \prime } e _ { 1 } / \mathfrak { g } ) \mathcal { E } \eta ) - \nabla \cdot ( \varrho \dot { M } [ \eta ] e _ { 1 } ) - \nabla \cdot ( \varrho ^ { \prime } \mathcal { E } \eta e _ { 1 } ) ,
\underset { \substack { k \, : \, | \widetilde { S } _ { 0 } ^ { ( \mathrm { i n t } ) } [ k ] | \gg 0 \, k \, : \, | \widetilde { S } _ { 0 } ^ { ( \mathrm { i n t } ) } [ k + N - 1 ] | \gg 0 } } { \langle \, \widehat { \Delta \varphi } \, \rangle } = \mathrm { A r g } \Bigg \langle \frac { \widetilde { S } _ { 0 } ^ { ( \mathrm { i n t } ) } [ k + N - 1 ] } { \widetilde { S } _ { 0 } ^ { ( \mathrm { i n t } ) } [ k ] } \Bigg \rangle \, .
\begin{array} { r l } { Q _ { ( 2 i - 1 ) , ( 2 i ) } ^ { \mathrm { Q } } } & { = 0 , \quad \forall i \ge 1 , } \\ { Q _ { ( 2 i - 1 ) , ( 2 j - 1 ) } ^ { \mathrm { Q } } } & { = Q _ { ( 2 i ) , ( 2 j ) } ^ { \mathrm { Q } } = \frac { P } { 2 } \left( 8 h _ { i , \mathrm { R } } h _ { j , \mathrm { R } } + 8 h _ { i , \mathrm { I } } h _ { j , \mathrm { I } } \right) , } \\ { Q _ { ( 2 i - 1 ) , ( 2 j ) } ^ { \mathrm { Q } } } & { = \frac { P } { 2 } \left( 8 h _ { i , \mathrm { I } } h _ { j , \mathrm { R } } - 8 h _ { i , \mathrm { R } } h _ { j , \mathrm { I } } \right) , } \\ { Q _ { ( 2 i ) , ( 2 j - 1 ) } ^ { \mathrm { Q } } } & { = \frac { P } { 2 } \left( - 8 h _ { i , \mathrm { I } } h _ { j , \mathrm { R } } + 8 h _ { i , \mathrm { R } } h _ { j , \mathrm { I } } \right) . } \end{array}
\left[ \frac { \Lambda } { 4 \left( \Lambda + \varphi ^ { 2 } ( x ) \right) } \right] ^ { 1 / 4 } \left( \frac { \varphi + \sqrt { \Lambda + \varphi ^ { 2 } } } { \sqrt { \Lambda } } \right) ^ { - 1 / 2 } = \sin \theta ( x ) \, .
\begin{array} { r } { E ( g ; \lambda ( f _ { 2 n , k , s } , \Phi ) ) = \int _ { N _ { n ^ { k } , 2 k n } ( F ) \backslash N _ { n ^ { k } , 2 k n } ( \mathbb { A } ) } \theta _ { \psi , k n ^ { 2 } } ^ { \Phi } ( l _ { T } ^ { 0 } ( u ) i _ { T } ^ { 0 } ( 1 , g ) ) E ( \tilde { g } ; f _ { 2 n , k , s } ) \psi _ { N _ { n ^ { k } , 2 k n } } ( u ) d u } \end{array}
\tau ( q ) = \left\{ \begin{array} { l l } { q } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } q \ge \gamma - 2 } \\ { \displaystyle ( q - 1 ) \frac { \gamma - 2 } { \gamma - 3 } } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } q < \gamma - 2 } \end{array} \right. ,
\begin{array} { r l } { R _ { n } } & { = \left[ \begin{array} { l l l } { R _ { n } ^ { [ 1 ] } } & { 0 _ { 4 \times 4 } } & { 0 _ { 4 \times 4 } } \\ { 0 _ { 4 \times 4 } } & { R _ { n } ^ { [ 2 ] } } & { 0 _ { 4 \times 4 } } \\ { 0 _ { 4 \times 4 } } & { 0 _ { 4 \times 4 } } & { R _ { n } ^ { [ 3 ] } } \end{array} \right] \times ( \hat { R } _ { n } \otimes I _ { 4 } ) } \\ & { = \left[ \begin{array} { l l l } { 0 _ { 4 \times 4 } } & { 0 _ { 4 \times 4 } } & { \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] } \\ { \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } & { 0 _ { 4 \times 4 } } & { 0 _ { 4 \times 4 } } \\ { 0 _ { 4 \times 4 } } & { \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right] } & { 0 _ { 4 \times 4 } } \end{array} \right] } \\ & { \quad + \alpha _ { n } ^ { \ell } P _ { \alpha _ { n } } ( \ell ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { f ( v ) = n t + n + 1 , } \\ & { f ( v _ { i , j } ) = i + n ( j - 1 ) \quad } & { \mathrm { ~ i f ~ } 1 \le i \le n , 1 \le j \le t + 1 , } \\ & { f ( v v _ { i , 1 } ) = n ( 2 t + 1 ) + 1 + i \quad } & { \mathrm { ~ i f ~ } 1 \le i \le n , } \\ & { f ( v _ { i , j - 1 } v _ { i , j } ) = n ( 2 t + 3 - j ) - i + 2 \quad } & { \mathrm { ~ i f ~ } 1 \le i \le n , 2 \le j \le t + 1 . } \end{array}
{ \left[ \begin{array} { l } { x _ { 1 } ( X _ { 1 } , X _ { 2 } , X _ { 3 } , t ) } \\ { x _ { 2 } ( X _ { 1 } , X _ { 2 } , X _ { 3 } , t ) } \\ { x _ { 3 } ( X _ { 1 } , X _ { 2 } , X _ { 3 } , t ) } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l l } { F _ { 1 1 } ( t ) } & { F _ { 1 2 } ( t ) } & { F _ { 1 3 } ( t ) } \\ { F _ { 2 1 } ( t ) } & { F _ { 2 2 } ( t ) } & { F _ { 2 3 } ( t ) } \\ { F _ { 3 1 } ( t ) } & { F _ { 3 2 } ( t ) } & { F _ { 3 3 } ( t ) } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { X _ { 1 } } \\ { X _ { 2 } } \\ { X _ { 3 } } \end{array} \right] } + { \left[ \begin{array} { l } { c _ { 1 } ( t ) } \\ { c _ { 2 } ( t ) } \\ { c _ { 3 } ( t ) } \end{array} \right] }
\forall \mathbf { \hat { a } } ^ { \dag } \quad \lVert \mathbf { t } _ { 1 } \rVert ^ { 2 p } \lvert \hat { a } _ { 1 } \rvert ^ { 2 p } + \lVert \mathbf { t } _ { 2 } \rVert ^ { 2 p } \lvert \hat { a } _ { 2 } \rvert ^ { 2 p } = \lvert \mathbf { \hat { a } } ^ { \dag } \mathbf { u } _ { 1 } \rvert ^ { 2 p } + \lvert \mathbf { \hat { a } } ^ { \dag } \mathbf { u } _ { 2 } \rvert ^ { 2 p } .
\int d ^ { d } \theta \; \theta ^ { 0 } \theta ^ { 1 } \theta ^ { 2 } \theta ^ { 3 } \theta ^ { 5 } . . . \theta ^ { d } = 1 , \quad d ^ { d } \theta = d \theta ^ { d } . . . d \theta ^ { 5 } d \theta ^ { 3 } d \theta ^ { 2 } d \theta ^ { 1 } d \theta ^ { 0 } .
\begin{array} { r } { \int _ { { \mathbf R } ^ { d } } F ( | \psi | ^ { 2 } ) \mathrm d x = \int _ { { \mathbf R } ^ { d } } F ( | \psi | ^ { 2 } ) \eta _ { \delta } ( | \psi | ) \mathrm d x + \int _ { { \mathbf R } ^ { d } } F ( | \psi | ^ { 2 } ) ( 1 - \eta _ { \delta } ( | \psi | ) ) \mathrm d x } \\ { \leq C \int _ { { \mathbf R } ^ { d } } \left| | \psi | - 1 \right| ^ { 2 } \mathrm d x + C \int _ { { \mathbf R } ^ { d } } \left( 1 + | \psi | ^ { 2 \alpha } \right) \left| | \psi | ^ { 2 } - 1 \right| ( 1 - \eta _ { \delta } ( | \psi | ) ) \mathrm d x , } \end{array}
\widehat { H } _ { \mathrm { T B } } = \sum _ { i \sigma } \epsilon _ { i } c _ { i \sigma } ^ { \dagger } c _ { j \sigma } - \sum _ { \left\langle i , j \right\rangle \sigma } \left( t _ { i j } + \beta _ { i j } \right) c _ { i \sigma } ^ { \dagger } c _ { j \sigma }
\hat { U } ^ { - 1 } ( \theta _ { 0 } ) | A _ { \bar { z } } ( z , \bar { z } ) > = e ^ { - \frac { i k } { 4 \pi } \int _ { T _ { 2 } } d z \wedge d \bar { z } \left[ \partial _ { \bar { z } } \chi \partial _ { z } \theta _ { 0 } - \partial _ { \bar { z } } \theta _ { 0 } \overline { { { \partial _ { \bar { z } } \chi } } } \, \right] } \| A _ { \bar { z } } ( z , \bar { z } ) + \partial _ { \bar { z } } \theta _ { 0 } ( z , \bar { z } ) > \ \ \ ,
\begin{array} { r l } { r } & { { } = { \sqrt { \rho ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } , } \\ { \theta } & { { } = \arctan { \frac { \rho } { z } } = \operatorname { a r c c o s } { \frac { z } { \sqrt { \rho ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } } , } \\ { \varphi } & { { } = \varphi . } \end{array}