harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ S _ { \alpha \beta } ^ { t h } = S _ { \alpha \beta } ^ { \uparrow \uparrow , t h } + S _ { \alpha \beta } ^ { \uparrow \downarrow , t h } + S _ { \alpha \beta } ^ { \downarrow \uparrow , t h } + S _ { \alpha \beta } ^ { \downarrow \downarrow , t h } } ,
\begin{array} { r l r } { \Phi _ { i , \epsilon } ^ { ( a , b , c , d ) } ( x ) } & { = } & { \frac { ( 1 - a x _ { i } ^ { \epsilon } ) ( 1 - b x _ { i } ^ { \epsilon } ) ( 1 - c x _ { i } ^ { \epsilon } ) ( 1 - d x _ { i } ^ { \epsilon } ) } { ( 1 - x _ { i } ^ { 2 \epsilon } ) ( 1 - q x _ { i } ^ { 2 \epsilon } ) } \prod _ { j \neq i } \frac { t x _ { i } ^ { \epsilon } - x _ { j } } { x _ { i } ^ { \epsilon } - x _ { j } } \frac { t x _ { i } ^ { \epsilon } x _ { j } - 1 } { x _ { i } ^ { \epsilon } x _ { j } - 1 } . } \end{array}
{ \phi } ^ { s e l f } ( x ^ { + } ) = \int _ { 0 } ^ { L } d y ^ { - } \int _ { 0 } ^ { L } d z ^ { - } \int _ { 0 } ^ { L } d { \eta } ^ { - } { \Phi } ^ { \star , + + } ( z ^ { - } , x ^ { + } | y ^ { - } , x ^ { + } ) i { \epsilon } ( y ^ { - } - { \eta } ^ { - } ) { \Phi } ^ { + + } ( { \eta } ^ { - } , x ^ { + } | z ^ { - } , x ^ { + } )
{ \begin{array} { r l } { \mathrm { X } _ { n } ( \varphi ) } & { = { \frac { 2 } { P } } \int _ { P } s ( x ) \cdot \cos \left( { \frac { 2 \pi } { P } } n x - \varphi \right) \, d x ; \quad \varphi \in [ 0 , 2 \pi ] } \\ & { = \cos ( \varphi ) \cdot \underbrace { { \frac { 2 } { P } } \int _ { P } s ( x ) \cdot \cos \left( { \frac { 2 \pi } { P } } n x \right) \, d x } _ { A _ { n } } + \sin ( \varphi ) \cdot \underbrace { { \frac { 2 } { P } } \int _ { P } s ( x ) \cdot \sin \left( { \frac { 2 \pi } { P } } n x \right) \, d x } _ { B _ { n } } } \\ & { = \cos ( \varphi ) \cdot A _ { n } + \sin ( \varphi ) \cdot B _ { n } } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { E = } & { { } } & { \sum _ { i = 1 } ^ { M } \sum _ { j = i + 1 } ^ { N } V _ { \mathrm { A r - A r } } ( | \Vec { r } _ { i } - \Vec { r } _ { j } | ) + \sum _ { i = 1 } ^ { N } V _ { \mathrm { B a F - A r } } ( | \Vec { r } _ { i } - \Vec { r } _ { 0 } | , \theta _ { i } ) . } \end{array}
\langle B | \bar { h } _ { v } ( i D _ { \alpha } ) ( i D _ { \nu _ { 1 } } ) \dots ( i D _ { \nu _ { n } } ) ( i D _ { \beta } ) h _ { v } | B \rangle = ( g _ { \alpha \beta } - v _ { \alpha } v _ { \beta } ) { \cal A } _ { \nu _ { 1 } \dots \nu _ { n } } .
( 4 0 ) [ h _ { j } , h _ { k } ] = 0 , \; \; \; [ h _ { j } , e _ { \alpha } ] = ( \alpha \cdot { \bf w } _ { j } ) e _ { \alpha } , \; \; \; [ e _ { \alpha } , e _ { \beta } ] = \chi ( \alpha , \beta ) e _ { \alpha + \beta } .
\begin{array} { r l } { Q _ { t , j } ^ { ( \ell ) } ( \lambda _ { 1 } , \ldots , \lambda _ { \ell } ) = } & { \, c _ { \ell } \left[ \sigma _ { j } ^ { - \ell } \overset { \ell } { \underset { k = 1 } { \prod } } e ^ { i t \lambda _ { k } } \widehat { \psi _ { R } } ( 2 ^ { j } \lambda _ { k } ) \sqrt { f _ { X } ( \lambda _ { k } ) } \right] 1 _ { \{ N ( \lambda _ { 1 : \ell } ) = \ell / 2 \} } , } \end{array}
L = \mathbf { Q } \left( { \sqrt [ [object Object] ] { 2 } } , \omega _ { 2 } \right) = \left\{ \left. a + b { \sqrt [ [object Object] ] { 2 } } + c { \sqrt [ [object Object] ] { 2 ^ { 2 } } } + d \omega _ { 2 } + e { \sqrt [ [object Object] ] { 2 } } \omega _ { 2 } + f { \sqrt [ [object Object] ] { 2 ^ { 2 } } } \omega _ { 2 } \right| a , b , c , d , e , f \in \mathbf { Q } \right\}
\begin{array} { r l } { t _ { \mathrm { R } } \frac { \partial E ( t , \tau ) } { \partial t } } & { = \left[ - \alpha + i ( \gamma L | E | ^ { 2 } - \delta _ { 0 } ) + i L \hat { \beta } _ { \mathrm { S } } \left( i \frac { \partial } { \partial \tau } \right) \right] E } \\ & { + \sqrt { \theta _ { + } } E _ { \mathrm { i n , + } } e ^ { - i \Omega _ { \mathrm { p } } \tau + i b _ { + } t / t _ { \mathrm { R } } } } \\ & { + \sqrt { \theta _ { - } } E _ { \mathrm { i n , - } } e ^ { i \Omega _ { \mathrm { p } } \tau + i b _ { - } t / t _ { \mathrm { R } } } . } \end{array}
Q _ { s } ( t , v _ { 1 } , \ldots , v _ { s } , w _ { 1 } , \ldots , w _ { s } ) : = \operatorname* { d e t } \left[ \begin{array} { l l l } { Q ( t , v _ { 1 } , w _ { 1 } ) } & { \cdots } & { Q ( t , v _ { 1 } , w _ { s } ) } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { Q ( t , v _ { s } , w _ { 1 } ) } & { \cdots } & { Q ( t , v _ { s } , w _ { s } ) } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } { \big [ \tilde { l } \tilde { a } ^ { \dagger } , \tilde { l } ^ { \dagger } \tilde { a } \big ] } & { = \tilde { l } \tilde { a } ^ { \dagger } \tilde { l } ^ { \dagger } \tilde { a } - \tilde { l } ^ { \dagger } \tilde { a } \tilde { l } \tilde { a } ^ { \dagger } . } \\ { \mathrm { U s i n g , \ensuremath { \quad } } \tilde { a } \tilde { a } ^ { \dagger } = \tilde { a } ^ { \dagger } \tilde { a } + 1 } \\ & { = \tilde { l } \tilde { a } ^ { \dagger } \tilde { l } ^ { \dagger } \tilde { a } - \tilde { l } ^ { \dagger } \tilde { l } ( \tilde { a } ^ { \dagger } \tilde { a } + 1 ) } \\ & { = \tilde { a } ^ { \dagger } \tilde { a } \cdot [ \tilde { l } , \tilde { l } ^ { \dagger } ] - \tilde { l } ^ { \dagger } \tilde { l } } \\ & { = \tilde { a } ^ { \dagger } \tilde { a } - \tilde { l } ^ { \dagger } \tilde { l } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \sin ( \theta ^ { ( + ) } ) = \frac { \beta ^ { ( + ) } } { \sigma ^ { \uparrow } } + x ^ { ( + ) } } \\ { \sin ( \theta ^ { ( - ) } ) = \frac { \beta ^ { ( - ) } } { \sigma ^ { \downarrow } } + x ^ { ( - ) } } \end{array} \right. \, , } \end{array}
\left\{ - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 \mu \rho _ { \xi } ^ { 2 } } \left[ \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \theta _ { \tau } ^ { 2 } } - \frac { j _ { \tau } ( j _ { \tau } + 1 ) } { \sin { \theta _ { \tau } } ^ { 2 } } - \frac { l _ { \tau } ( l _ { \tau } + 1 ) } { \cos { \theta _ { \tau } } ^ { 2 } } \right] + V _ { \tau } ( \rho _ { \xi } \sin { \theta _ { \tau } } ) \right\} \Upsilon _ { n } ( \theta _ { \tau } ; \rho _ { \xi } ) = \mathcal { E } _ { n } ( \rho _ { \xi } ) \Upsilon _ { n } ( \theta _ { \tau } ; \rho _ { \xi } ) ,
\begin{array} { r l r } { R _ { \mathrm { o u t } } ( t ) } & { = } & { \left| \cos \left( 2 \pi \frac { \Delta U ( t ) } { U _ { \lambda / 4 } } \right) \cos \left( 2 \alpha \right) - \frac { 1 } { 2 } \sin \left( 2 \pi \frac { \Delta U ( t ) } { U _ { \lambda / 4 } } \right) \sin \left( 4 \alpha \right) \right. } \\ & { } & { \left. + i \cdot \sin \left( 2 \pi \frac { \Delta U ( t ) } { U _ { \lambda / 4 } } \right) \sin \left( 2 \alpha \right) \right| ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { B } ^ { H } ( { \bf r } , t ) } & { = \hat { S } ^ { \dagger } ( t , t _ { 0 } ) \hat { B } ^ { I } ( { \bf r } , t ) \hat { S } ( t , t _ { 0 } ) } \\ & { \approx \hat { B } ^ { I } ( { \bf r } , t ) - \kappa \frac { i } { \hbar } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } \mathrm { d } t ^ { \prime } \, \int _ { \cal V } \mathrm { d } ^ { 3 } { \bf r } ^ { \prime } \, \left[ \hat { B } ^ { I } ( { \bf r } , t ) , \hat { A } ^ { \mathrm { I } } ( { \bf r } ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) \right] \cdot \hat { F } ^ { I } ( { \bf r } ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) } \\ & { \equiv \hat { B } _ { 0 } ^ { \mathrm { H } } ( { \bf r } , t ) + \kappa \Delta \hat { B } ^ { \mathrm { H } } ( { \bf r } , t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { a _ { i } ^ { \dagger } } & { { } \equiv \frac { 1 } { 2 } \left[ X _ { i + 1 } ^ { \leftarrow } \otimes ( X _ { i } \otimes Z _ { i - 1 } - i Y _ { i } ) \right] , } \\ { a _ { i } } & { { } \equiv \frac { 1 } { 2 } \left[ X _ { i + 1 } ^ { \leftarrow } \otimes ( X _ { i } \otimes Z _ { i - 1 } + i Y _ { i } ) \right] \, . } \end{array}
\lambda ^ { - 1 } ( \beta ) = { \left\{ \begin{array} { l } { 2 4 . 7 7 \beta - 1 8 . 2 2 \, , \quad \; \; \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ s ~ p ~ h ~ e ~ r ~ i ~ c ~ a ~ l ~ c ~ a ~ p ~ s ~ u ~ l ~ e ~ s ~ } \, , } \\ { \; 8 . 2 0 \beta - 4 . 6 3 \, , \qquad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ d ~ e ~ f ~ l ~ a ~ t ~ e ~ d ~ c ~ a ~ p ~ s ~ u ~ l ~ e ~ s ~ } \, . } \end{array} \right. }
[ E _ { 0 } , H _ { 1 } ] = - 2 E _ { 1 } \; , \; \; [ F _ { 0 } , H _ { 1 } ] = 2 F _ { 1 } \; , \; \; [ H _ { 0 } , F _ { 1 } ] = - 2 F _ { 1 } \; ,
Q = \mathbf { F } _ { A } \cdot { \frac { \partial \mathbf { v } _ { A } } { \partial { \dot { \theta } } } } - \mathbf { F } _ { B } \cdot { \frac { \partial \mathbf { v } _ { B } } { \partial { \dot { \theta } } } } = a ( \mathbf { F } _ { A } \cdot \mathbf { e } _ { A } ^ { \perp } ) - b ( \mathbf { F } _ { B } \cdot \mathbf { e } _ { B } ^ { \perp } ) .
\begin{array} { r l } { q _ { a } } & { = \sum _ { b } S _ { a b } \sqrt { \frac { 2 I _ { b } } { \omega _ { b } } } \sin \phi _ { b } \, , } \\ { p _ { a } } & { = \sum _ { b } \left( S _ { a b } \sqrt { 2 I _ { b } \omega _ { b } } \cos \phi _ { b } - Y _ { a } S _ { a b } \sqrt { \frac { 2 I _ { b } } { \omega _ { b } } } \sin \phi _ { b } \right) \, . } \end{array}
\hat { H } ^ { \mathrm { e f f } } = \hat { H } _ { \mathrm { m o l } } ^ { \mathrm { e f f } } + \hat { H } _ { \mathrm { c a v } } ^ { \mathrm { e f f } } + \hat { H } _ { \mathrm { c a v - m o l } } ^ { \mathrm { e f f } }
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \Gamma _ { F , m _ { F } } } & { = 3 \Gamma _ { s c } \sum _ { F ^ { \prime } , m _ { F ^ { \prime } } } \delta _ { m _ { F } , m _ { F ^ { \prime } } } ( 2 F + 1 ) ( 2 F ^ { \prime } + 1 ) } \\ & { \times \left| \left( \begin{array} { l l l } { F ^ { \prime } } & { 1 } & { F } \\ { m _ { F ^ { \prime } } } & { - q } & { - m _ { F } } \end{array} \right) \left\{ \begin{array} { l l l } { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { F ^ { \prime } } & { F } & { I } \end{array} \right\} \right| ^ { 2 } , } \end{array} } \end{array}
1 = { \frac { \partial q _ { 1 } } { \partial x } } { \frac { \partial x } { \partial q _ { 1 } } } + { \frac { \partial q _ { 1 } } { \partial y } } { \frac { \partial y } { \partial q _ { 1 } } } + { \frac { \partial q _ { 1 } } { \partial z } } { \frac { \partial z } { \partial q _ { 1 } } } = { \frac { \partial x } { \partial q _ { 1 } } } { \frac { \partial q _ { 1 } } { \partial x } } + { \frac { \partial y } { \partial q _ { 1 } } } { \frac { \partial q _ { 1 } } { \partial y } } + { \frac { \partial z } { \partial q _ { 1 } } } { \frac { \partial q _ { 1 } } { \partial z } }
\{ \boldsymbol { { \widehat { y } } } ^ { k } ( \mathbf { s } ) \} _ { \mathbf { s } \in \mathcal { D } ^ { k } } = \operatorname { C o n v } \Bigg ( \operatorname { C o n c a t } \Big ( \Big [ \operatorname { I n t e r p o l a t i o n } \big ( \{ \boldsymbol { { \widehat { y } } } ^ { k + 1 } ( \mathbf { s } ) \} _ { \mathbf { s } \in \mathcal { D } ^ { k + 1 } } \big ) , \{ \boldsymbol { { \widehat { y } } } ^ { k } ( \mathbf { s } ) \} _ { \mathbf { s } \in \mathcal { D } ^ { k } } \Big ] \Big ) \Bigg ) , \ \mathrm { ~ k ~ f r o m ~ ( K - 1 ) ~ t o ~ 1 ~ } ,
\begin{array} { r l } & { u _ { x } + v _ { y } = 0 , } \\ & { R e ~ ( u _ { t } + u ~ u _ { x } + v ~ u _ { y } ) = - p _ { x } + 2 + ( u _ { x x } + u _ { y y } ) - \mu ( v _ { x x } + v _ { y y } ) , } \\ & { R e ~ ( v _ { t } + u ~ v _ { x } + v ~ v _ { y } ) = - p _ { y } - 2 \cot \beta + ( v _ { x x } + v _ { y y } ) + \mu ( u _ { x x } + u _ { y y } ) , } \end{array}
\frac { d } { d t } \Omega \! \left( t \right) = \frac { \left( \frac { \kappa \beta \left( \Omega \left( t \right) ^ { 2 } - \Delta ^ { 2 } \right) \left( - \gamma - \zeta \beta \left( \Omega \left( t \right) ^ { 2 } - \Delta ^ { 2 } \right) \right) } { \gamma ^ { 2 } } - \sigma - \alpha \Omega \! \left( t \right) ^ { 2 } \right) \left( \Omega \! \left( t \right) ^ { 2 } - \Delta ^ { 2 } \right) } { \beta \left( 3 \Omega \! \left( t \right) ^ { 2 } - \Delta ^ { 2 } \right) } .
\begin{array} { r } { \sigma _ { R } ^ { k l } \, { \cal R } _ { k l m } \left( \Delta t \right) = \int _ { 0 } ^ { \Delta t } d \tau \, u _ { k l } \left( \tau \right) \, \sigma _ { R } ^ { k l } \left( u _ { k l } \left( \tau \right) \right) \, . } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l r l r l r l r l r l } { { 7 } a _ { 1 1 } x _ { 1 } } & { } & { \; + \; } & { } & { a _ { 1 2 } x _ { 2 } } & { } & { \; + \cdots + \; } & { } & { a _ { 1 n } x _ { n } } & { } & { \; \leq \; } & { } & & { b _ { 1 } } \\ { a _ { 2 1 } x _ { 1 } } & { } & { \; + \; } & { } & { a _ { 2 2 } x _ { 2 } } & { } & { \; + \cdots + \; } & { } & { a _ { 2 n } x _ { n } } & { } & { \; \leq \; } & { } & & { b _ { 2 } } \\ { \vdots \; \; \; } & { } & & { } & { \vdots \; \; \; } & { } & & { } & { \vdots \; \; \; } & { } & & { } & & { \; \vdots } \\ { a _ { m 1 } x _ { 1 } } & { } & { \; + \; } & { } & { a _ { m 2 } x _ { 2 } } & { } & { \; + \cdots + \; } & { } & { a _ { m n } x _ { n } } & { } & { \; \leq \; } & { } & & { b _ { m } } \end{array} }
\begin{array} { r } { g _ { n } ( x _ { 1 } , \cdots , x _ { n } , s _ { 1 } , \cdots , s _ { n } ) = \mathrm { d e t } \left[ \begin{array} { l l l } { g ( x _ { 1 } , x _ { 1 } , s _ { 1 } ) } & { \cdots } & { g ( x _ { 1 } , x _ { n } , s _ { 1 } ) } \\ { \cdots } & { g ( x _ { i } , x _ { j } , s _ { i } ) } & { \cdots } \\ { g ( x _ { n } , x _ { 1 } , s _ { n } ) } & { \cdots } & { g ( x _ { n } , x _ { n } , s _ { n } ) } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { C } = } & { ~ \frac { N _ { C } } { N } + \frac { N _ { C } ( N - N _ { C } ) } { 4 N ( N - 1 ) } \bigg \{ ( N - 2 + N w _ { R } ) } \\ & { \times ( 1 - b _ { \mathrm { P D } } ) } \\ & { + \frac { N ( k - 1 ) w _ { I } + N ( k + 1 ) w _ { I } w _ { R } + N - 2 k - N w _ { R } } { k } } \\ & { \times ( 1 + b _ { \mathrm { P D } } ) \bigg \} \delta \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \exp { ( s A ) } } & { = e ^ { s \lambda _ { + } } \frac { s A - s \lambda _ { - } \operatorname { I } _ { 2 } } { s \lambda _ { + } - s \lambda _ { - } } + e ^ { s \lambda _ { - } } \frac { s A - s \lambda _ { + } \operatorname { I } _ { 2 } } { s \lambda _ { - } - s \lambda _ { + } } = \frac { 1 } { \sqrt { \Delta } } \left( e ^ { s \lambda _ { + } } ( A - \lambda _ { - } \operatorname { I } _ { 2 } ) - e ^ { s \lambda _ { - } } ( A - \lambda _ { + } \operatorname { I } _ { 2 } ) \right) } \\ & { = \frac { 1 } { \sqrt { \Delta } } \left( ( e ^ { s \lambda _ { + } } - e ^ { s \lambda _ { - } } ) A + ( e ^ { s \lambda _ { - } } \lambda _ { + } - e ^ { s \lambda _ { + } } \lambda _ { - } ) \operatorname { I } _ { 2 } \right) } \\ & { = \frac { e ^ { s \lambda _ { + } } } { \sqrt { \Delta } } \left( ( 1 - e ^ { - s \sqrt { \Delta } } ) A + ( e ^ { - s \sqrt { \Delta } } \lambda _ { + } - \lambda _ { - } ) \operatorname { I } _ { 2 } \right) } \\ & { = s e ^ { s \lambda _ { + } } \biggl ( \frac { 1 - e ^ { - s \sqrt { \Delta } } } { s \sqrt { \Delta } } A - \lambda _ { - } \frac { 1 - e ^ { - s \sqrt { \Delta } } } { s \sqrt { \Delta } } \operatorname { I } _ { 2 } \biggr ) + e ^ { s \lambda _ { - } } \operatorname { I } _ { 2 } . } \end{array}
\bigg \langle \prod _ { i = 1 } ^ { n } \hat { A } _ { i } \bigg \rangle _ { c } = \sum _ { p \in \mathcal { P } } ( | p | - 1 ) ! ( - 1 ) ^ { | p | - 1 } \prod _ { B \in p } ^ { | p | } \bigg \langle \prod _ { m \in B } ^ { | B | } \hat { A } _ { m } \bigg \rangle ,
\begin{array} { r l } { 0 } & { = \delta S = \delta \int \ell ( { \mathbf { u } } ^ { L } , { D } , \rho ) \, d t } \\ & { = : \int \left< \frac { \delta \ell _ { \alpha ^ { 2 } } } { \delta { \mathbf { u } } ^ { L } } \, , \, \delta { \mathbf { u } } ^ { L } \right> + \left< \frac { \delta \ell _ { \alpha ^ { 2 } } } { \delta { D } } \, , \, \delta { D } \right> + \left< \frac { \delta \ell _ { \alpha ^ { 2 } } } { \delta \rho } \, , \, \delta \rho \right> + \mathcal { O } ( \alpha ^ { 2 } \epsilon ) \, , } \end{array}
A ( h _ { l } ) \equiv \frac { d \sigma ( h _ { l } , + , + ) - d \sigma ( h _ { l } , + , - ) - d \sigma ( h _ { l } , - , + ) + d \sigma ( h _ { l } , - , - ) } { d \sigma ( h _ { l } , + , + ) + d \sigma ( h _ { l } , + , - ) + d \sigma ( h _ { l } , - , + ) + d \sigma ( h _ { l } , - , - ) }
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ I ~ C ~ : ~ } } & { { } \quad u ( x , 0 ) = u _ { 0 } ( x ) } \\ { \mathrm { ~ B ~ C ~ : ~ } } & { { } \quad \alpha _ { 1 } u ( 0 , t ) + \beta _ { 1 } u _ { x } ( 0 , t ) = g _ { 1 } ( t ) \, \, \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \, \, \alpha _ { 2 } u ( L , t ) + \beta _ { 2 } u _ { x } ( L , t ) = g _ { 2 } ( t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { A _ { \mathrm { 0 + } } ^ { \mathrm { ( L ) } } e ^ { i \xi _ { \mathrm { L } } } + A _ { \mathrm { 0 - } } ^ { \mathrm { ( L ) } } e ^ { - i \xi _ { \mathrm { L } } } } & { = } & { \frac { k } { k _ { \mathrm { L } } ^ { \prime } } A _ { \mathrm { 0 t } } ^ { \mathrm { ( L ) } } \, , } \\ { A _ { \mathrm { 0 + } } ^ { \mathrm { ( I I ) } } e ^ { i \xi _ { \mathrm { T } } } - A _ { \mathrm { 0 - } } ^ { \mathrm { ( I I ) } } e ^ { - i \xi _ { \mathrm { T } } } } & { = } & { A _ { \mathrm { 0 t } } ^ { \mathrm { ( I I ) } } \, , } \\ { A _ { \mathrm { 0 + } } ^ { \mathrm { ( L ) } } e ^ { i \xi _ { \mathrm { L } } } - A _ { \mathrm { 0 - } } ^ { \mathrm { ( L ) } } e ^ { - i \xi _ { \mathrm { L } } } } & { = } & { A _ { \mathrm { 0 t } } ^ { \mathrm { ( L ) } } \, , } \\ { A _ { \mathrm { 0 + } } ^ { \mathrm { ( I I ) } } e ^ { i \xi _ { \mathrm { T } } } + A _ { \mathrm { 0 - } } ^ { \mathrm { ( I I ) } } e ^ { - i \xi _ { \mathrm { T } } } } & { = } & { \frac { k } { k _ { \mathrm { T } } ^ { \prime } } A _ { \mathrm { 0 t } } ^ { \mathrm { ( I I ) } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left( \begin{array} { c c c c c } { E \hat { I } - \hat { { \mathbf { H } } } _ { 1 , 1 } } & { - \hat { { \mathbf { B } } } _ { 1 , 2 } } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { - \hat { { \mathbf { B } } } _ { 2 , 1 } } & { E \hat { I } - \hat { { \mathbf { H } } } _ { 2 , 2 } } & { - \hat { { \mathbf { B } } } _ { 2 , 3 } } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { - \hat { { \mathbf { B } } } _ { 3 , 2 } } & { E \hat { I } - \hat { { \mathbf { H } } } _ { 3 , 3 } } & { \cdots } & { 0 } \\ & & & { \ddots } & \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { E \hat { I } - \hat { \mathbf { H } } _ { N , N } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { \Psi _ { 1 } } \\ { \Psi _ { 2 } } \\ { \Psi _ { 3 } } \\ { \vdots } \\ { \Psi _ { N } } \end{array} \right) } & { = } & { \left( \begin{array} { c } { \hat { \mathbf { B } } _ { 1 , 0 } \Psi _ { 0 } } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { \vdots } \\ { \hat { \mathbf { B } } _ { N , N + 1 } \Psi _ { N + 1 } } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \| v \| _ { L ^ { 2 } ( \partial K _ { i } ) } } & { \le } & { C \| v \| _ { L ^ { 2 } ( K _ { i } ) } ^ { 1 / 2 } \| v \| _ { H ^ { 1 } ( K _ { i } ) } ^ { 1 / 2 } + \sum _ { j = 1 } ^ { n } \| v \| _ { L ^ { 2 } ( \partial T _ { i j } ) } } \\ & { \le } & { C \| v \| _ { L ^ { 2 } ( K _ { i } ) } ^ { 1 / 2 } \| v \| _ { H ^ { 1 } ( K _ { i } ) } ^ { 1 / 2 } + C p h _ { K } ^ { - 1 / 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { n } \| v \| _ { L ^ { 2 } ( T _ { i j } ) } } \\ & { \le } & { C \| v \| _ { L ^ { 2 } ( K _ { i } ) } ^ { 1 / 2 } \| v \| _ { H ^ { 1 } ( K _ { i } ) } ^ { 1 / 2 } + C p h _ { K } ^ { - 1 / 2 } \mathsf { T } \left( \frac { 1 + 3 \eta _ { K } } { 1 - \eta _ { K } } \right) ^ { 3 p + 3 / 2 } \| v \| _ { L ^ { 2 } ( K _ { i } ) } . } \end{array}
\widehat { \sf z } \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \cdot ~ } \, \nabla \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \times ~ } \, { \bf u } \; = \; \frac { c } { B _ { 0 } } \, \nabla ^ { 2 } \Phi \; = \; \epsilon \, \Omega _ { 0 } \, \Psi _ { 1 } ^ { \prime } ( \psi ) .
\begin{array} { r l r } { K _ { i j } ^ { F U } } & { = } & { K _ { | | } ^ { U } d _ { i } d _ { j } + K _ { \perp } ^ { U } ( \delta _ { i j } - d _ { i } d _ { j } ) , } \\ { K _ { i j } ^ { M \itOmega } } & { = } & { K _ { | | } ^ { \itOmega } d _ { i } d _ { j } + K _ { \perp } ^ { \itOmega } ( \delta _ { i j } - d _ { i } d _ { j } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle R _ { c v } ^ { c } \rangle = 2 \sqrt { R ^ { * } } \mathcal { R } _ { c } | P _ { c v } | ^ { 2 } } & { \int _ { E _ { g } } ^ { + \infty } \frac { 1 } { 1 - e ^ { - 2 \pi \sqrt { R ^ { * } / ( \hbar \omega - E _ { g } ) } } } \times } \\ & { \frac { 1 } { \sigma } \frac { e ^ { ( E - \hbar \omega ) / \sigma } } { ( 1 + e ^ { ( E - \hbar \omega ) / \sigma } ) ^ { 2 } } d E . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \log M _ { t } = } & { \sum _ { j } 2 \Delta _ { \alpha _ { j } } \log | g _ { t } ^ { \prime } ( z _ { j } ) | - \frac { \alpha _ { j } ^ { 2 } } 2 \log ( 2 \Im Z _ { j } ) + \frac { 2 \alpha _ { j } } { \sqrt \kappa } \log | Z _ { j } - W | + \sum _ { 1 \leq j < k \leq m } \alpha _ { j } \alpha _ { k } G ( Z _ { j } , Z _ { k } ) . } \end{array}
o f t h e p r e v i o u s l a y e r , s e e E q . \ . N o t e t h a t i n o u r i m p l e m e n t a t i o n t h e c o n n e c t i o n s a m o n g c o n s e c u t i v e l a y e r s a r e i n t e r m e d i a t e d b y o n l y p o s i t i v e w e i g h t s , c o n t a i n e d i n t h e d i a g o n a l o f
1 = \frac { 8 } { \pi } \sqrt { 2 \gamma } \int _ { \mathcal { A } } ^ { \mathcal { A } + \gamma } \mathit { \Pi } ( \xi ) \bar { f } \left( \xi , \gamma , \mathcal { A } \right) \frac { \mathrm { ~ d ~ } \xi } { \gamma \sqrt { 1 - \left( \frac { \xi - \mathcal { A } } { \gamma } \right) ^ { 2 } } }
\boldsymbol { \psi } _ { n } ( z ) = \frac { c _ { n } } { \sqrt { \omega ^ { 2 } - \mu _ { n } ( z ) } } e ^ { \mathrm { ~ i ~ } \sum _ { \xi = 0 } ^ { \xi = z } q _ { n } ( \xi ) } \boldsymbol { \varphi } _ { n } ( z ) + o ( a ) ,
\begin{array} { r l } { \left\langle \hat { X } _ { 1 } ( 0 ) , \vec { Y } ( 0 ) \right\rangle } & { { } = \mathbf { A } L _ { \hat { X } _ { 1 } \vec { Y } } , } \\ { \left\langle \hat { X } _ { 1 } ( 0 ) , \vec { Y } ^ { \dagger } ( 0 ) \right\rangle } & { { } = \mathbf { A } ^ { * } L _ { \hat { X } _ { 1 } \vec { Y ^ { \dagger } } } , } \\ { \left\langle \hat { X } _ { 1 } ( 0 ) , \vec { X } ( 0 ) \right\rangle } & { { } = \mathbf { C } L _ { \hat { X } _ { 1 } \vec { X } } + \varepsilon L _ { \hat { X } _ { 1 } \vec { I } } . } \end{array}
A _ { a } ^ { \mu } ( 7 ) = { \frac { 1 } { 1 0 0 8 0 f _ { \pi } ^ { 5 } } } T r \left( \tau _ { a } [ { \tilde { \phi } } , [ { \tilde { \phi } } , [ { \tilde { \phi } } , [ { \tilde { \phi } } , [ { \tilde { \phi } } , [ { \tilde { \phi } } , \partial ^ { \mu } { \tilde { \phi } } ] ] ] ] ] ] \right) .
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } S } & { = D \nabla ^ { 2 } S + \mu N ( 1 - p ) - \mu S - \beta ( t ) \frac { I } { N } S , } \\ { \partial _ { t } I } & { = D \nabla ^ { 2 } I + \beta ( t ) \frac { I } { N } S - ( \nu + \mu ) I , } \\ { \partial _ { t } R } & { = D \nabla ^ { 2 } R + \nu I - \mu R , } \\ { \partial _ { t } V } & { = D \nabla ^ { 2 } V + \mu N p - \mu V , } \\ { \partial _ { t } N } & { = D \nabla ^ { 2 } N , } \end{array}
\sin ^ { 2 } { \frac { \alpha } { 2 } } + \sin ^ { 2 } { \frac { \beta } { 2 } } + \sin ^ { 2 } { \frac { \gamma } { 2 } } + 2 \sin { \frac { \alpha } { 2 } } \sin { \frac { \beta } { 2 } } \sin { \frac { \gamma } { 2 } } = 1 ,
I _ { 2 { ^ L _ { R } } } ( \mathbf { r } _ { 2 } ) = \langle \mathbf { r } _ { 2 } | \hat { \rho } _ { 2 } | \mathbf { r } _ { 2 } \rangle \left( 1 \mp \frac { 2 l } { \hbar } \operatorname { R e } \frac { \langle \mathbf { r } _ { 2 } | \hat { p } _ { 2 x } \hat { \rho } _ { 2 } | \mathbf { r } _ { 2 } \rangle } { \langle \mathbf { r } _ { 2 } | \hat { \rho } _ { 2 } | \mathbf { r } _ { 2 } \rangle } \right) .
d p \wedge d q , \quad \epsilon _ { { \underline { { a } } } } s \left( \frac { p ^ { 2 } } { 2 } + \frac { \epsilon _ { { \underline { { a } } } } \alpha ^ { 2 } } { 2 q ^ { 2 } } - { \cal E } _ { \underline { { a } } } \right) \approx 0 ,
\begin{array} { r } { \langle 0 | \hat { a } _ { \mu } \delta \bigl ( \hat { W } _ { 1 } - w \bigr ) \delta \bigl ( \hat { C } _ { 2 } - c \bigr ) \hat { a } _ { \nu } ^ { \dagger } | 0 \rangle = \int _ { \mathbb { R } } \frac { \mathrm { d } \alpha _ { 1 } } { 2 \pi } \int _ { \mathbb { R } } \frac { \mathrm { d } \alpha _ { 2 } } { 2 \pi } \, e ^ { - i \left( \alpha _ { 1 } w + \alpha _ { 2 } c \right) } \langle 0 | \hat { a } _ { \mu } e ^ { i \alpha _ { 1 } \hat { W } _ { 1 } } e ^ { i \alpha _ { 2 } \hat { C } _ { 2 } } \hat { a } _ { \nu } ^ { \dagger } | 0 \rangle . } \end{array}