harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\boldsymbol { H } _ { A } = \mathbf { I } _ { G } \boldsymbol { \omega } + \boldsymbol { c } \times \boldsymbol { p } = \mathbf { I } _ { G } \boldsymbol { \omega } + \boldsymbol { c } \times ( m \, \boldsymbol { v } _ { G } ) = \mathbf { I } _ { G } \boldsymbol { \omega } - m \boldsymbol { c } \times ( \boldsymbol { c } \times \boldsymbol { \omega } ) = \mathbf { I } _ { A } \boldsymbol { \omega }
\begin{array} { r l } { q _ { 0 } ( t ) } & { { } = \sqrt { 2 \hbar / \omega } \mathrm { \; R e } \; \alpha ( t ) = \sqrt { 2 \hbar / \omega } [ \mathrm { \; R e } \; \alpha \cos \omega t + \mathrm { \; I m } \; \alpha \sin \omega t ] = q _ { 0 } \cos \omega t + ( p _ { 0 } / \omega ) \sin \omega t } \\ { p _ { 0 } ( t ) } & { { } = \sqrt { 2 \hbar \omega } \mathrm { \; I m } \; \alpha ( t ) = \sqrt { 2 \hbar \omega } [ \mathrm { \; I m } \; \alpha \cos \omega t - \mathrm { \; R e } \; \alpha \sin \omega t ] = p _ { 0 } \cos \omega t - \omega q _ { 0 } \sin \omega t } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal { N } _ { 2 } ( s v , \lambda ) } \\ & { \approx 1 - \! 2 \lambda \! \! \int _ { 0 } ^ { \pi } \! \! \! \! \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \! \! r \mathrm { e } ^ { - \lambda \pi r ^ { 2 } } } \\ & { \quad \times \mathrm { e } ^ { 2 \lambda s v r ( \theta \cos \theta - \sin \theta ) } \cdot \mathrm { e } ^ { - \lambda s ^ { 2 } v ^ { 2 } ( \theta - \sin 2 \theta ) } \mathrm { d } r \mathrm { d } \theta + o ( v ^ { 2 } ) } \\ & { = - \, 2 \lambda \! \int _ { 0 } ^ { \pi } \! \! \! \! \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \! r \mathrm { e } ^ { - \lambda \pi r ^ { 2 } } \Big [ 2 \lambda s v r ( \theta \cos \theta - \sin \theta ) } \\ & { \quad + \lambda s ^ { 2 } v ^ { 2 } \big \{ 2 \lambda r ^ { 2 } ( \theta \cos \theta - \sin \theta ) ^ { 2 } - ( \theta - \sin 2 \theta ) \big \} \Big ] \mathrm { d } r \mathrm { d } \theta + o ( v ^ { 2 } ) } \\ & { = \frac { 4 \sqrt { \lambda } } { \pi } s v - \frac { 1 5 - \pi ^ { 2 } } { 6 \pi } \lambda s ^ { 2 } v ^ { 2 } + o ( v ^ { 2 } ) \; \; a s \; \; v \rightarrow 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \tilde { v } _ { \mathcal { X } _ { 1 } ^ { \epsilon } } ^ { X } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { \frac { \tilde { r } ( k _ { 1 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } r _ { 1 } ( k _ { 1 } ) } { 1 + r _ { 1 } ( k _ { 1 } ) r _ { 2 } ( k _ { 1 } ) } z _ { ( 0 ) } ^ { - 2 i \nu } e ^ { \frac { i z ^ { 2 } } { 2 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { \frac { - \bar { q } } { 1 + | q | ^ { 2 } } z _ { ( 0 ) } ^ { - 2 i \nu } e ^ { \frac { i z ^ { 2 } } { 2 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , } \\ & { \tilde { v } _ { \mathcal { X } _ { 2 } ^ { \epsilon } } ^ { X } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { - \tilde { r } ( k _ { 1 } ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } r _ { 2 } ( k _ { 1 } ) z _ { ( 0 ) } ^ { 2 i \nu } e ^ { - \frac { i z ^ { 2 } } { 2 } } } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { q z _ { ( 0 ) } ^ { 2 i \nu } e ^ { - \frac { i z ^ { 2 } } { 2 } } } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , } \\ & { \tilde { v } _ { \mathcal { X } _ { 3 } ^ { \epsilon } } ^ { X } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { - \tilde { r } ( k _ { 1 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } r _ { 1 } ( k _ { 1 } ) z _ { ( 0 ) } ^ { - 2 i \nu } e ^ { \frac { i z ^ { 2 } } { 2 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { \bar { q } z _ { ( 0 ) } ^ { - 2 i \nu } e ^ { \frac { i z ^ { 2 } } { 2 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , } \\ & { \tilde { v } _ { \mathcal { X } _ { 4 } ^ { \epsilon } } ^ { X } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { \frac { \tilde { r } ( k _ { 1 } ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } r _ { 2 } ( k _ { 1 } ) } { 1 + r _ { 1 } ( k _ { 1 } ) r _ { 2 } ( k _ { 1 } ) } z _ { ( 0 ) } ^ { 2 i \nu } e ^ { - \frac { i z ^ { 2 } } { 2 } } } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { \frac { - q } { 1 + | q | ^ { 2 } } z _ { ( 0 ) } ^ { 2 i \nu } e ^ { - \frac { i z ^ { 2 } } { 2 } } } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { \mathrm { S W - M S } } = \ } & { 2 \hbar \eta \Omega \hat { S } _ { \tilde { \phi } } \cos { ( \delta t ) } ( \hat { a } e ^ { - i \omega _ { z } t } + \hat { a } ^ { \dagger } e ^ { i \omega _ { z } t } ) \cos { \left( \Delta \phi / 2 \right) } } \\ & { + 2 \hbar \Omega \hat { S } _ { \tilde { \phi } } \cos { ( \delta t ) } \sin { \left( \Delta \phi / 2 \right) , } } \end{array}
p _ { n } ^ { \dagger } = \frac { \langle \psi _ { n } ^ { R } | \mathcal { P } ^ { \dagger } | \psi _ { n } ^ { L } \rangle } { \langle \psi _ { n } ^ { R } | \psi _ { n } ^ { L } \rangle } = \frac { \langle \psi _ { n } ^ { L * } | \mathcal { P } ^ { \dagger } | \psi _ { n } ^ { R * } \rangle } { \langle \psi _ { n } ^ { L * } | \psi _ { n } ^ { R * } \rangle } = \frac { \langle \psi _ { n } ^ { L * } | \mathcal { P } ^ { \dagger } \mathcal { P } \mathcal { P } | \psi _ { n } ^ { R * } \rangle } { \langle \psi _ { n } ^ { L * } | \mathcal { P } ^ { \dagger } \mathcal { P } | \psi _ { n } ^ { R * } \rangle } = \frac { \langle \psi _ { n } ^ { L } | \mathcal { P } | \psi _ { n } ^ { R } \rangle } { \langle \psi _ { n } ^ { L } | \psi _ { n } ^ { R } \rangle } = p _ { n } ,
\begin{array} { r l } { u _ { \lambda } } & { { } \leftarrow u _ { \lambda } + \sigma _ { \lambda } ( T \lambda - y _ { \lambda } ) , } \\ { u _ { \mu } } & { { } \leftarrow u _ { \mu } + \sigma _ { \mu } ( P \mu - y _ { \mu } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \left\langle \hat { a } _ { i n , k } ^ { \dagger } ( \omega ) \hat { a } _ { i n , k } ( \omega ^ { \prime } ) \right\rangle } & { = 0 } & { \left\langle \hat { b } _ { \mathrm { i n } } ^ { \dagger } ( \omega ) \hat { b } _ { \mathrm { i n } } ( \omega ^ { \prime } ) \right\rangle } & { = n _ { t h } \delta ( \omega + \omega ^ { \prime } ) } \\ { \left\langle \hat { a } _ { i n , k } ( \omega ) \hat { a } _ { i n , k } ^ { \dagger } ( \omega ^ { \prime } ) \right\rangle } & { = \delta ( \omega + \omega ^ { \prime } ) } & { \left\langle \hat { b } _ { \mathrm { i n } } ( \omega ) \hat { b } _ { \mathrm { i n } } ^ { \dagger } ( \omega ^ { \prime } ) \right\rangle } & { = ( n _ { t h } + 1 ) \delta ( \omega + \omega ^ { \prime } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { y _ { n } ( \tau ) } & { { } \sim } & { \frac { - ( \prod _ { j = 2 } ^ { n } \alpha _ { j } ) } { 2 \pi i } \tau ^ { 2 } \oint _ { \cal \tilde { C } } \frac { e ^ { z } } { z ^ { 3 } a _ { 2 } } d z } \end{array}
\begin{array} { r l } { K \left( \rho \right) } & { = a _ { 1 } b _ { 1 } \sin \left( \left( \alpha + \mu \right) \pi \right) + a _ { 1 } b _ { 2 } \rho ^ { \alpha + \beta } \sin \left( \left( 2 \alpha + \beta + \mu \right) \pi \right) } \\ & { \quad + a _ { 2 } b _ { 1 } \rho ^ { \alpha + \beta } \sin \left( \left( \mu - \beta \right) \pi \right) + a _ { 2 } b _ { 2 } \rho ^ { 2 \left( \alpha + \beta \right) } \sin \left( \left( \alpha + \mu \right) \pi \right) + a _ { 3 } b _ { 2 } \rho ^ { 2 \alpha + \beta + \mu } \sin \left( \left( \alpha + \beta \right) \pi \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { E _ { \rho \sigma } = C _ { \rho \sigma \mu \nu } \xi ^ { \mu } \xi ^ { \nu } } \\ { H _ { \rho \sigma } = \frac { 1 } { 2 } \epsilon _ { \rho \nu \alpha } C _ { \sigma \mu } ^ { \nu \alpha } \xi ^ { \mu } } \end{array}
\overline { { \boldsymbol X } } _ { t _ { \mathrm { ~ \tiny ~ c ~ y ~ c ~ } } } = \left[ ~ \mathcal L ( 0 ) , \mathcal L ( \frac { 1 } { \boldsymbol \nu - 1 } ) , \mathcal L ( \frac { 2 } { \boldsymbol \nu - 1 } ) , \cdots , \mathcal L ( 1 ) ~ \right] ^ { T }
\tau ( q ) = \left\{ \begin{array} { l l } { q \displaystyle \frac { \log ( m _ { \mathrm { g e n } } / \kappa ) } { \log \lambda } } & { \mathrm { f o r ~ } q \ge \displaystyle \frac { \log m _ { \mathrm { g e n } } } { \log \kappa } } \\ { ( q - 1 ) \displaystyle \frac { \log m _ { \mathrm { g e n } } } { \log \lambda } } & { \mathrm { f o r ~ } q < \displaystyle \frac { \log m _ { \mathrm { g e n } } } { \log \kappa } } \end{array} \right. ,
\begin{array} { r l } & { \Pi _ { N } \mathbb { G } _ { R C } \Pi _ { N } = - \mathbb { G } _ { R C } = 0 , } \\ & { \Pi _ { N } \mathbb { W } \Pi _ { N } = \mathbb { W } , } \\ & { \Pi _ { N } \frac { 1 } { \sqrt { \mathbb { C } } } \mathbb { S } \frac { 1 } { \sqrt { \mathbb { L } _ { x } } } = \frac { 1 } { \sqrt { \mathbb { C } } } \mathbb { S } \frac { 1 } { \sqrt { \mathbb { L } } _ { x } } \Pi _ { N - 1 } . } \end{array}
( \Delta r ) _ { r e m } ^ { t } = - \frac { \alpha } { 4 \pi \sin ^ { 2 } \theta _ { W } } \left( \cot ^ { 2 } \theta _ { W } - \frac { 1 } { 3 } \right) \ln { \frac { m _ { t } } { M _ { Z } } }
{ \hat { y } } _ { T + h | T } = y _ { T } + { \frac { h } { T - 1 } } \sum _ { t = 2 } ^ { T } ( y _ { t } - y _ { t - 1 } ) = y _ { T } + h \left( { \frac { y _ { T } - y _ { 1 } } { T - 1 } } \right) .
\begin{array} { l } { { p ^ { 0 0 } = 0 , } } \\ { { p ^ { 0 k } = - g ^ { i k } \partial _ { i } ( a e ^ { - \Phi } ) , } } \\ { { p ^ { i k } = \frac { 1 } { 2 } a e ^ { - \Phi } \left[ ( \dot { h } _ { l m } g ^ { l m } - 2 \dot { \varphi } ) g ^ { i k } + \dot { h } ^ { i k } \right] , } } \\ { { p _ { \varphi } = a e ^ { - \Phi } ( 2 \dot { \varphi } - \dot { h } _ { l m } g ^ { l m } ) . } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { h } _ { 0 } } & { { } = } & { \sum _ { { \bf k } } \omega _ { { \bf k } } \hat { a } _ { { \bf k } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { { \bf k } } + \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { A } } 2 \omega _ { j } \hat { a } _ { j } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j } , } \end{array}
\sigma _ { \mathrm { T L D } } ^ { 2 } \, = \, \frac { 3 } { 2 \sqrt { 2 } } \, \frac { \gamma } { \sqrt { \lambda } } \qquad \qquad k _ { \mathrm { T L D } } \, = \, \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } \, \frac { 1 } { \gamma \, \lambda ^ { 3 / 2 } } \qquad \mathrm { f o r } \, \, \, \, \alpha = \frac { 3 } { 2 } \, \, .
\begin{array} { r l r } { c _ { 0 } } & { { } = } & { \frac { \pi ^ { 4 } } { 1 5 } \approx 6 . 4 9 3 9 3 9 4 0 2 2 6 6 8 3 \ldots } \\ { c _ { 2 } } & { { } = } & { \frac { 8 \pi ^ { 6 } } { 6 3 } \approx 1 2 2 . 0 8 1 1 6 7 4 3 8 1 3 4 \ldots } \\ { c _ { 4 } } & { { } = } & { \frac { 8 \pi ^ { 8 } } { 1 5 } \approx 5 0 6 0 . 5 4 9 8 7 5 2 3 7 6 4 \ldots } \\ { c _ { 6 } } & { { } = } & { \frac { 1 2 8 \pi ^ { 1 0 } } { 3 3 } \approx 3 6 3 2 4 0 . 9 1 1 4 2 2 3 8 3 \ldots } \\ { c _ { 8 } } & { { } = } & { \frac { 1 7 6 8 9 6 \pi ^ { 1 2 } } { 4 0 9 5 } \approx 3 9 9 2 6 6 2 2 . 9 8 7 7 3 1 1 \ldots } \\ { c _ { 1 0 } } & { { } = } & { \frac { 2 0 4 8 \pi ^ { 1 4 } } { 3 } \approx 6 2 2 7 4 0 2 1 9 3 . 4 1 0 9 7 \ldots } \\ { c _ { 1 2 } } & { { } = } & { \frac { 3 7 0 3 8 0 8 \pi ^ { 1 6 } } { 2 5 5 } \approx 1 3 0 7 6 9 4 3 5 2 2 1 8 . 9 1 \ldots } \\ { c _ { 1 4 } } & { { } = } & { \frac { 1 4 3 7 4 3 3 8 5 6 \pi ^ { 1 8 } } { 3 5 9 1 } \approx 3 5 5 6 8 8 7 8 5 8 5 9 2 2 4 \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \bf P } _ { \theta } ( Y _ { t + 1 } ) \circ { \bf P } _ { \theta } ( Y _ { t } ) h ( x ) } \\ { = } & { \int _ { z \in \mathcal { X } } p _ { \theta } ( z , x ) f ( Y _ { t + 1 } ; \theta | x , Y _ { t } ) \times \bigg ( \int _ { s \in \mathcal { X } } p _ { \theta } ( s , z ) f ( Y _ { t } ; \theta | z , Y _ { t - 1 } ) h ( s ) Q ( d s ) \bigg ) Q ( d z ) . } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow \infty } \mathbb { E } [ \widehat { v } ( t , k ) \overline { { \widehat { v } ( t , k ^ { \prime } ) } } ] = \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow \infty } \mathbb { E } \left[ \widehat { u } \left( t , k + \pi c t \right) \overline { { \widehat { u } \left( t , k ^ { \prime } + \pi c t \right) } } \right] = \delta _ { k - k ^ { \prime } } \, C _ { f } ( 0 ) .
\left( \begin{array} { c } { \mathsf { k _ { u } } } \\ { \mathsf { k _ { v } } } \\ { \mathsf { k _ { w } } } \end{array} \right) = \mathsf { R } \left( \begin{array} { c } { \mathsf { k _ { d } } } \\ { \mathsf { k _ { e } } } \\ { \mathsf { k _ { f } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l r } { U } & { = } & { \frac { \epsilon _ { 0 } \epsilon _ { d } } { 2 } \int _ { V } E _ { 0 z } ^ { 2 } J _ { 0 } ( X _ { 0 1 } \rho / \rho _ { c } ) ^ { 2 } 2 \pi \rho d \rho } \\ & { = } & { \pi \epsilon _ { 0 } \epsilon _ { d } E _ { 0 z } ^ { 2 } \pi L _ { d } \rho _ { c } ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } J _ { 0 } ^ { 2 } ( X _ { 0 1 } x ) x d x . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \dot { x } _ { i } } & { = } & { \sum _ { \rho } \left[ ( \delta _ { i , \rho _ { p } } + \delta _ { i , \rho _ { c } } ) v _ { \rho } y _ { \rho } - ( \delta _ { i , \rho _ { s } } + \delta _ { i , \rho _ { c } } ) f _ { \rho } ( { \bf x } , { \bf y } ) \right] + F _ { i } ( \textbf { x } ; S _ { \mathrm { e x t } } , \alpha ) - ( \mu + d _ { i } ) x _ { i } , } \\ { \dot { y } _ { \rho } } & { = } & { f _ { \rho } ( { \bf x } , { \bf y } ) - v _ { \rho } y _ { \rho } - ( \mu + d _ { \rho } ) y _ { \rho } , } \end{array}
\vec { F } _ { j } ^ { n } = \frac { \rho } { \Delta t } \left( \vec { U } _ { \mathrm { ~ I ~ B ~ } , j } ^ { n } - \vec { U } _ { j } ^ { n - 1 } \right) + \vec { C } _ { j } ^ { n } + \vec { B } _ { j } ^ { n } - \vec { D } _ { j } ^ { n } - \rho \vec { g } ,
\begin{array} { r } { S = [ \boldsymbol { s } ^ { [ 1 ] } , \ldots , \boldsymbol { s } ^ { [ Q ] } ] ^ { \boldsymbol { \mathsf { T } } } \in \mathbb { R } ^ { Q \times M } , \quad B = [ \boldsymbol { b } ^ { [ 1 ] } , \ldots , \boldsymbol { b } ^ { [ K ] } ] ^ { \boldsymbol { \mathsf { T } } } \in \mathbb { R } ^ { K \times M } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ F ( x _ { k + 1 } ) - F ( x _ { k } ) | \mathcal { F } _ { k } ] } & { \le - \frac { \xi \alpha _ { k } } { 4 } \left( 2 \| \nabla F ( x _ { k } ) \| ^ { 2 } + \| q _ { k } ^ { x } \| ^ { 2 } \right) + \frac { T \mu _ { g } \alpha _ { k } \lambda _ { k } ^ { 2 } } { 3 2 } \left( 2 \| y _ { k + 1 } - y _ { \lambda , k } ^ { * } \| ^ { 2 } + \| z _ { k + 1 } - y _ { k } ^ { * } \| ^ { 2 } \right) } \\ & { \quad + \frac { \xi ^ { 2 } l _ { F , 1 } } { 2 } ( \alpha _ { k } ^ { 2 } \sigma _ { f } ^ { 2 } + \beta _ { k } ^ { 2 } \sigma _ { g } ^ { 2 } ) + \frac { \xi \alpha _ { k } } { 2 } \cdot 3 C _ { \lambda } ^ { 2 } \lambda _ { k } ^ { - 2 } , } \end{array}
L ^ { s h i f t } = \left( \begin{array} { l l l l l } { 2 } & { - 2 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { - 2 } & { 2 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \end{array} \right)
{ \frac { d x } { d \tau } } = \{ x , \lambda C \} , \; \; \; \; { \frac { d p } { d \tau } } = \{ p , \lambda C \} \; \; \; \; \; \; { \frac { d t } { d \tau } } = \{ t , \lambda C \} , \; \; \; \; { \frac { d p _ { t } } { d \tau } } = \{ p _ { t } , \lambda C \}
\begin{array} { r l } { \mathrm { S y m } _ { \Omega } = } & { \mathfrak { U } \left( r _ { \mathrm { E Q } } \right) \cup \left( 2 , 3 , 5 \right) ^ { - 1 } \mathfrak { U } \left( r _ { \mathrm { E Q } } \right) \cup \left( 4 , 5 \right) \mathfrak { U } \left( r _ { \mathrm { E Q } } \right) \cup \left( 2 , 3 , 4 , 5 \right) ^ { - 1 } \mathfrak { U } \left( r _ { \mathrm { E Q } } \right) } \\ & { \cup \left( 3 , 4 \right) \mathfrak { U } \left( r _ { \mathrm { E Q } } \right) \cup \left( 3 , 4 , 5 \right) ^ { - 1 } \mathfrak { U } \left( r _ { \mathrm { E Q } } \right) \cup \left( 3 , 5 , 4 \right) ^ { - 1 } \mathfrak { U } \left( r _ { \mathrm { E Q } } \right) } \\ & { \cup \left( 3 , 5 \right) \mathfrak { U } \left( r _ { \mathrm { E Q } } \right) \cup \left( 1 , 2 \right) \mathfrak { U } \left( r _ { \mathrm { E Q } } \right) \cup \left( 1 , 4 , 2 \right) ^ { - 1 } \mathfrak { U } \left( r _ { \mathrm { E Q } } \right) \cup \left( 1 , 2 \right) \left( 3 , 4 \right) \mathfrak { U } \left( r _ { \mathrm { E Q } } \right) } \\ & { \cup \left( 1 , 3 , 4 , 2 \right) ^ { - 1 } \mathfrak { U } \left( r _ { \mathrm { E Q } } \right) \cup \left( 1 , 4 , 3 , 2 \right) ^ { - 1 } \mathfrak { U } \left( r _ { \mathrm { E Q } } \right) \cup \left( 1 , 3 , 2 \right) ^ { - 1 } \mathfrak { U } \left( r _ { \mathrm { E Q } } \right) } \\ & { \cup \left( 1 , 3 , 2 \right) ^ { - 1 } \left( 4 , 5 \right) \mathfrak { U } \left( r _ { \mathrm { E Q } } \right) \cup \left( 1 , 3 , 5 , 4 , 2 \right) ^ { - 1 } \mathfrak { U } \left( r _ { \mathrm { E Q } } \right) \cup \left( 1 , 2 \right) \left( 3 , 5 , 4 \right) ^ { - 1 } \mathfrak { U } \left( r _ { \mathrm { E Q } } \right) } \\ & { \cup \left( 1 , 2 \right) \left( 3 , 4 , 5 \right) ^ { - 1 } \mathfrak { U } \left( r _ { \mathrm { E Q } } \right) \cup \left( 1 , 2 \right) \left( 3 , 5 \right) \mathfrak { U } \left( r _ { \mathrm { E Q } } \right) \cup \left( 1 , 2 \right) \left( 4 , 5 \right) \mathfrak { U } \left( r _ { \mathrm { E Q } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi _ { \mathbf { a } } ( { \bf r } ) = } & { { } \sum _ { \tilde { a } _ { x } = 0 } ^ { \tilde { a } _ { x } \leq a _ { x } } E _ { a _ { x } } ^ { \tilde { a } _ { x } } \sum _ { \tilde { a } _ { y } = 0 } ^ { \tilde { a } _ { y } \leq a _ { y } } E _ { a _ { y } } ^ { \tilde { a } _ { y } } \sum _ { \tilde { a } _ { z } = 0 } ^ { \tilde { a } _ { z } \leq a _ { z } } E _ { a _ { z } } ^ { \tilde { a } _ { z } } \Lambda _ { \mathbf { \tilde { a } } } ( \mathbf { r } ) \equiv \sum _ { \mathbf { \tilde { a } } } E _ { \mathbf { a } } ^ { \mathbf { \tilde { a } } } \Lambda _ { \mathbf { \tilde { a } } } ( \mathbf { r } ) , } \\ { \phi _ { \mathbf { a } } ( { \bf r } ) \phi _ { \mathbf { b } } ( { \bf r } ) = } & { { } \sum _ { \tilde { p } _ { x } = 0 } ^ { \tilde { p } _ { x } \leq a _ { x } + b _ { x } } \left( E _ { x } \right) _ { a _ { x } b _ { x } } ^ { \tilde { p } _ { x } } \sum _ { \tilde { p } _ { y } = 0 } ^ { \tilde { p } _ { y } \leq a _ { y } + b _ { y } } \left( E _ { y } \right) _ { a _ { y } b _ { y } } ^ { \tilde { p } _ { y } } \sum _ { \tilde { p } _ { z } = 0 } ^ { \tilde { p } _ { z } \leq a _ { z } + b _ { z } } \left( E _ { z } \right) _ { a _ { z } b _ { z } } ^ { \tilde { p } _ { z } } \Lambda _ { \mathbf { \tilde { p } } } ( \mathbf { r } ) \equiv \sum _ { \mathbf { \tilde { p } } } E _ { \mathbf { a } \mathbf { b } } ^ { \mathbf { \tilde { p } } } \Lambda _ { \mathbf { \tilde { p } } } ( \mathbf { r } ) , } \end{array}
h ( { m } _ { 1 } ^ { 2 } , { m } _ { 2 } ^ { 2 } ) \equiv { m } _ { 1 } ^ { 2 } \log \frac { 2 { m } _ { 1 } ^ { 2 } } { { m } _ { 1 } ^ { 2 } + { m } _ { 2 } ^ { 2 } } + { m } _ { 2 } ^ { 2 } \log \frac { 2 { m } _ { 2 } ^ { 2 } } { { m } _ { 1 } ^ { 2 } + { m } _ { 2 } ^ { 2 } } .
2 D ( c _ { 1 } + 6 c _ { 2 } + 4 2 c _ { 3 } ) H _ { 0 } ^ { 4 } - \{ 4 D - [ 3 c _ { 2 } + 4 ( 2 D - 1 ) c _ { 3 } ] \Lambda \} H _ { 0 } ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 1 2 } } \left[ ( D - 2 ) \Lambda - ( D - 4 ) \left( { \frac { 2 c _ { 1 } } { D ( D - 1 ) } } + { \frac { c _ { 2 } } { D } } + c _ { 3 } \right) \Lambda ^ { 2 } \right] = 0 .
c \in \mathrm { c o C o m m } \{ 1 \} ( w ) \otimes _ { S _ { w } } \bigoplus _ { i _ { 1 } , \ldots , i _ { w } } \mathrm { I n d } _ { S _ { i _ { 1 } } \times \ldots \times S _ { i _ { w } } } ^ { S _ { i _ { 1 } + \ldots + i _ { w } } } \mathrm { c o L i e } \{ 1 \} ( i _ { 1 } ) \otimes _ { k } \ldots \otimes _ { k } \mathrm { c o L i e } \{ 1 \} ( i _ { w } ) \: ;
e ^ { - F } = \int \prod _ { k } D \mu [ M _ { k } ] e ^ { - N ^ { 2 } S [ M ] } = \int \prod _ { k } D \mu [ M _ { k } ] e ^ { - N ^ { 2 } ( S [ M ] - S _ { 0 } [ M ] ) } e ^ { - N ^ { 2 } S _ { 0 } [ M ] } = e ^ { - F _ { 0 } } \Big < e ^ { - N ^ { 2 } ( S - S _ { 0 } ) } \Big > _ { S _ { 0 } } \; .
\bar { A } _ { n } ^ { ( \alpha ) } = \sum _ { k \in \mathcal { A } _ { n } \cap \mathcal { S } _ { \alpha } } c _ { n , k } ^ { ( \alpha ) } \left[ \frac { 1 } { M \cdot m _ { \alpha } } \sum _ { i = 1 } ^ { M \cdot m _ { \alpha } } P _ { k } ^ { ( i , \alpha ) } \right] ,
\begin{array} { r l r } { G ( s , t ) } & { = } & { \varPsi \left( \frac { s - 1 } { s } e ^ { r _ { k + 1 } ( t - \sum _ { i = 1 } ^ { k } \tau _ { i } ) } \right) } \\ & { = } & { \left[ \frac { \frac { 1 } { 1 - \frac { s - 1 } { s } e ^ { r _ { k + 1 } ( t - \sum _ { i = 1 } ^ { k } \tau _ { i } ) } } e ^ { - z } } { 1 - \frac { 1 } { 1 - \frac { s - 1 } { s } e ^ { r _ { k + 1 } ( t - \sum _ { i = 1 } ^ { k } \tau _ { i } ) } } ( 1 - e ^ { - z } ) } \right] ^ { n } } \\ & { = } & { \frac { s ^ { n } e ^ { - n \left[ r _ { k + 1 } t + \sum _ { i = 1 } ^ { k } ( r _ { i } - r _ { k } ) \tau _ { i } \right] } } { \left[ 1 - s \left( 1 - e ^ { - \left[ r _ { k + 1 } t + \sum _ { i = 1 } ^ { k } ( r _ { i } - r _ { k } ) \tau _ { i } \right] } \right) \right] ^ { n } } , } \end{array}
\left( \boldsymbol { u } _ { 1 } \otimes \boldsymbol { w } _ { 1 } \right) \boldsymbol { w } _ { 2 } = \boldsymbol { u } _ { 1 } \left( \boldsymbol { w } _ { 1 } \cdot _ { \mathbb { W } } \boldsymbol { w } _ { 2 } \right) ,
\psi _ { \mathrm { I V } } = T \psi _ { \mathrm { I } } , \ \ T = e ^ { i n _ { \mathrm { w g } } \omega \overline { { L } } / c } \left( \begin{array} { l l } { e ^ { i n _ { \mathrm { w g } } \omega \Delta L / c } \cos ( g _ { \mathrm { c o } } L _ { \mathrm { c o } } ) } & { i \sin ( g _ { \mathrm { c o } } L _ { \mathrm { c o } } ) } \\ { i \sin ( g _ { \mathrm { c o } } L _ { \mathrm { c o } } ) } & { e ^ { - i n _ { \mathrm { w g } } \omega \Delta L / c } \cos ( g _ { \mathrm { c o } } L _ { \mathrm { c o } } ) } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { P _ { \mathrm { o p } } } & { { } = - \frac { 1 } { L } \sum _ { k k ^ { \prime } } \int _ { 0 } ^ { L } \left[ \sin k x \; \hat { P } _ { k } - v | k | \cos k x \; \hat { Q } _ { k } \right] \left[ k ^ { \prime } \cos k ^ { \prime } x \; \hat { Q } _ { k ^ { \prime } } - \frac { k ^ { \prime } } { v | k ^ { \prime } | } \sin k ^ { \prime } x \; \hat { P } _ { k ^ { \prime } } \right] d x } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \left( \begin{array} { l } { \widetilde a _ { n } } \\ { \widetilde c _ { n - 1 } } \end{array} \right) \right| _ { \infty } } & { \le \frac { 3 ( \lambda + \mu ) ( n + 1 ) } { \mu 2 ^ { n } \left[ \left( \frac { n - 1 } 2 \right) ! \right] ^ { 2 } } \left| \left( \begin{array} { l } { \widetilde a _ { 1 } } \\ { \widetilde c _ { 0 } } \end{array} \right) \right| _ { \infty } + \frac { 9 ( \lambda + \mu ) ^ { 3 } \, n ( n + 2 ) ( n ^ { 2 } - 1 ) } { 4 \mu ^ { 3 } \, 2 ^ { n } \left[ \left( \frac { n - 1 } { 2 } \right) ! \right] ^ { 2 } } \left| \left( \begin{array} { l } { \widetilde b _ { 1 } } \\ { \widetilde d _ { 0 } } \end{array} \right) \right| _ { \infty } } \\ & { \le \frac { 3 ( 2 \lambda + 5 \mu ) ( \lambda + \mu ) ^ { 2 } \, ( n + 1 ) ( 3 n ^ { 3 } + 3 n ^ { 2 } - 6 n + 4 ) } { 4 \mu ^ { 3 } \, 2 ^ { n } \left[ \left( \frac { n - 1 } { 2 } \right) ! \right] ^ { 2 } } \, \operatorname* { m a x } \{ \widetilde a _ { - 1 } , \widetilde a _ { 1 } , \widetilde b _ { 1 } , \widetilde c _ { 0 } \} } \end{array}
O _ { 1 } = ( e _ { i 1 } ^ { \uparrow } , h _ { i 1 } ^ { \uparrow } , e _ { i 3 } ^ { \uparrow } , h _ { i 3 } ^ { \uparrow } , e _ { o 5 } ^ { \uparrow } , h _ { o 5 } ^ { \uparrow } )
\overline { { \overline { { \mathbf { T } } } } } _ { M } \left( \mathbf { r } , t \right) = \varepsilon \left( t \right) \left( \mathbf { E } \otimes \mathbf { E } - \frac { 1 } { 2 } \overline { { \overline { { \mathbf { I } } } } } \, \left( \mathbf { E } \cdot \mathbf { E } \right) \right) + \mu \left( t \right) \left( \mathbf { H } \otimes \mathbf { H } - \frac { 1 } { 2 } \overline { { \overline { { \mathbf { I } } } } } \left( \mathbf { H } \cdot \mathbf { H } \right) \right)
\pounds _ { \beta } \phi _ { \ell } = c _ { \phi } \Lambda _ { \beta } ^ { \ell } + \frac 1 T { \cal K } _ { \ell } \qquad \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } \quad \iota _ { \beta } { \cal K } _ { \ell } = 0 .