harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { - \frac { 1 } { \sqrt { n } } \frac { \partial } { \partial \beta _ { i } } U _ { n , \varepsilon } ( \theta ) \bigg | _ { \theta = \theta _ { 0 } } } & { = - \sum _ { k = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { \sqrt { n } } \frac { \partial } { \partial \beta _ { i } } \log \operatorname* { d e t } \Xi _ { k - 1 } ( \beta _ { 0 } ) } \\ & { \quad - \sum _ { k = 1 } ^ { n } \sqrt { n } \varepsilon ^ { - 2 } \Bigl ( P _ { k } ( \theta _ { 0 } ) \Bigr ) ^ { \top } \left( \frac { \partial } { \partial \beta _ { i } } \Xi _ { k - 1 } ^ { - 1 } ( \beta _ { 0 } ) \right) P _ { k } ( \theta _ { 0 } ) } \\ & { \quad + 2 \sum _ { k = 1 } ^ { n } \frac { \varepsilon ^ { - 2 } } { \sqrt { n } } \left( \frac { \partial } { \partial \beta _ { i } } b _ { t _ { k - 1 } , H _ { n } } \bigl ( \theta _ { 0 } \bigr ) \right) ^ { \top } \Xi _ { k - 1 } ^ { - 1 } ( \beta _ { 0 } ) P _ { k } ( \theta _ { 0 } ) } \\ & { = \colon \sum _ { k = 1 } ^ { n } \eta _ { k } ^ { i } ( \theta _ { 0 } ) . } \end{array}
{ \frac { \partial \Psi ( x , y , z , X , Y , Z ) } { \partial t } } = - i [ - { \frac { 1 } { 2 M } } \nabla _ { c . o . m . } ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 2 \mu } } \nabla _ { r e l } ^ { 2 } + V ( x , y , z ) ] \Psi
{ \frac { d } { d x } } x ^ { k + 1 } = { \frac { d } { d x } } ( x ^ { k } \cdot x ) = x ^ { k } \cdot { \frac { d } { d x } } x + x \cdot { \frac { d } { d x } } x ^ { k } = x ^ { k } + x \cdot k x ^ { k - 1 } = x ^ { k } + k x ^ { k } = ( k + 1 ) x ^ { k } = ( k + 1 ) x ^ { ( k + 1 ) - 1 }
\big \{ f , g \big \} = \Big ( \frac { \partial f } { \partial x _ { i } } \frac { \partial g } { \partial p _ { i } } - \frac { \partial g } { \partial x _ { i } } \frac { \partial f } { \partial p _ { i } } \Big ) + \theta \Big ( \frac { \partial f } { \partial x _ { 1 } } \frac { \partial g } { \partial x _ { 2 } } - \frac { \partial g } { \partial x _ { 1 } } \frac { \partial f } { \partial x _ { 2 } } \Big ) .
\frac { \delta S } { \delta \phi ( y ) } = \int d ^ { 4 } x \Big ( \frac { 1 } { 2 } \partial _ { \mu } \partial ^ { \mu } \phi ( x ) + \frac { 1 } { 2 } \delta ( x - y ) \partial _ { \mu } \partial ^ { \mu } \phi ( x ) + m ^ { 2 } \phi ( x ) \delta ( x - y ) \Big ) = \frac { 1 } { 2 } \partial _ { \mu , y } \partial ^ { \mu , y } \phi ( y ) + \frac { 1 } { 2 } \partial ^ { \mu , y } \partial _ { \mu , y } + m ^ { 2 } \phi ( y ) ,
W _ { 2 } ( k _ { 1 } ) = \frac { 1 } { 2 \pi R _ { c } } \left[ \int _ { 0 } ^ { \pi R _ { c } } d x \, < \frac { 1 } { N } \mathrm { T r } \, \left[ \, \Omega ^ { ( k _ { 1 } ) } ( x ) \, \right] \frac { 1 } { N } \mathrm { T r } \, \left[ \, \Omega ^ { ( - k _ { 1 } ) } ( 0 ) \, \right] > + \, k _ { 1 } \to - k _ { 1 } \right] .
\begin{array} { r l } { \mathscr D _ { x } \mathscr D _ { x } ^ { \prime } + \mathscr D _ { y } \mathscr D _ { y } ^ { \prime } } & { = \frac { ( t _ { x } - 1 ) ^ { 2 } ( t _ { x } + 1 ) ^ { 2 } } { 4 t _ { x } ^ { 2 } \Delta x ^ { 2 } } + \frac { ( t _ { y } - 1 ) ^ { 2 } ( t _ { y } + 1 ) ^ { 2 } } { 4 t _ { y } ^ { 2 } \Delta y ^ { 2 } } } \\ & { = \frac { ( \cos ^ { 2 } \beta _ { x } - 1 ) + ( \cos ^ { 2 } \beta _ { y } - 1 ) } { \Delta x ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { h _ { x } ( k ) } & { { } = } & { J _ { 1 } + J _ { 1 } ^ { \prime } \cos { k a } + J _ { 3 } \cos { k a } + J _ { 3 } ^ { \prime } \cos { 2 k a } , } \\ { h _ { y } ( k ) } & { { } = } & { J _ { 1 } ^ { \prime } \sin { k a } - J _ { 3 } \sin { k a } + J _ { 3 } ^ { \prime } \sin { 2 k a } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { F _ { \mathrm { ~ D ~ } } } ( \phi , R e _ { \mathrm { p } } ) = \frac { 1 0 \phi } { ( 1 - \phi ) ^ { 2 } } + ( 1 - \phi ) ^ { 2 } ( 1 + 1 . 5 \phi ^ { 0 . 5 } ) + } \end{array}
\hat { \cal A } = \hat { \cal A } _ { 1 } + \hat { \cal A } _ { 2 } = ( - 1 ) ^ { n + 1 } { \frac { 1 } { 2 ^ { 2 n - 1 } n ! } } ( { \frac { g } { \pi } } ) ^ { n } \epsilon _ { \mu _ { 1 } \nu _ { 1 } . . . \mu _ { n } \nu _ { n } } [ \hat { F } _ { \mu _ { 1 } \nu _ { 1 } } . . . \hat { F } _ { \mu _ { n } \nu _ { n } } - g \theta ^ { \alpha \beta } \partial _ { \beta } ( \hat { A } _ { \alpha } \hat { F } _ { \mu _ { 1 } \nu _ { 1 } } . . . \hat { F } _ { \mu _ { n } \nu _ { n } } ) ] .
{ \omega } _ { 2 } ( { \tau } ^ { ( 1 ) } , { \tau } ^ { ( 2 ) } ) \equiv - \frac { i } { 4 \pi } ( 1 - \mathrm { N } ^ { 2 } ) ( \frac { e _ { + } \mathrm { L } } { 2 { \pi } { \hbar } } ) ^ { 2 } \sum _ { p > 0 } p ( { \tau } _ { - } ^ { ( 1 ) } { \tau } _ { + } ^ { ( 2 ) } - { \tau } _ { + } ^ { ( 1 ) } { \tau } _ { - } ^ { ( 2 ) } )
{ \begin{array} { r l } { \Gamma ( z ) } & { = ( z - 1 ) ! } \\ & { = { \frac { 1 } { z } } \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } n ! { \frac { z ! } { ( n + z ) ! } } ( n + 1 ) ^ { z } } \\ & { = { \frac { 1 } { z } } \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } ( 1 \cdots n ) { \frac { 1 } { ( 1 + z ) \cdots ( n + z ) } } \left( { \frac { 2 } { 1 } } \cdot { \frac { 3 } { 2 } } \cdots { \frac { n + 1 } { n } } \right) ^ { z } } \\ & { = { \frac { 1 } { z } } \prod _ { n = 1 } ^ { \infty } \left[ { \frac { 1 } { 1 + { \frac { z } { n } } } } \left( 1 + { \frac { 1 } { n } } \right) ^ { z } \right] . } \end{array} }
\begin{array} { r } { \langle \hat { F } _ { I J } ^ { \mathrm { c o m p . } } \rangle = F _ { I a } \left( \langle \hat { F } _ { a b } ^ { \mathrm { s t n d } } \rangle \right) ^ { - 1 } F _ { b J } + \left( \langle \hat { F } _ { a b } ^ { \mathrm { s t n d } } \rangle \right) ^ { - 1 } \mathrm { C o v } \left[ \hat { F } _ { I a } ^ { \mathrm { d e r i v } } , \hat { F } _ { b J } ^ { \mathrm { d e r i v } } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nu _ { t } = \Tilde { \nu } f _ { v 1 } \, , \quad f _ { v 1 } = \frac { \chi ^ { 3 } } { \chi ^ { 3 } + c _ { v 1 } ^ { 3 } } \, , \quad \chi = \frac { \Tilde { \nu } } { \nu } \, } & { , \quad \Tilde { S } = \Omega + \frac { \Tilde { \nu } } { \kappa ^ { 2 } d ^ { 2 } } f _ { v 2 } \, , \quad \Omega = \sqrt { 2 W _ { i j } W _ { i j } } \, , } \\ { f _ { v 2 } = 1 - \frac { \chi } { 1 + \chi f _ { v 1 } } \, , \quad f _ { w } = g \left( \frac { 1 + c _ { w 3 } ^ { 6 } } { g ^ { 6 } + c _ { w 3 } ^ { 6 } } \right) ^ { 1 / 6 } \, } & { , \quad g = r + c _ { w 2 } ( r ^ { 6 } - r ) \, , \quad r = \operatorname* { m i n } \left( \frac { \Tilde { \nu } } { \Tilde { S } \kappa ^ { 2 } d ^ { 2 } } , 1 0 \right) } \\ { W _ { i j } = \frac { 1 } { 2 } ( \partial _ { j } U _ { i } - \partial _ { i } U _ { j } ) \, } & { , \quad f _ { t 2 } = c _ { t 3 } e ^ { - c _ { t 4 } \chi ^ { 2 } } } \end{array}
\hat { X _ { 1 } } = \frac { 1 } { 2 } \left( a + a ^ { \dagger } \right) \; \; \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \; \; \hat { X _ { 2 } } = \frac { 1 } { 2 i } \left( a - a ^ { \dagger } \right) .
\begin{array} { r l } { \hat { e } _ { c } } & { { } = \hat { e } _ { 0 } + \hat { e } _ { 1 } \, , } \\ { \Delta \hat { e } } & { { } = \hat { e } _ { 0 } - \hat { e } _ { 1 } \, , } \\ { \mathcal { L } } & { { } = \mathcal { J } ^ { l } \, , } \end{array}
\mathbf { - 1 . 1 0 2 \, 6 4 1 \, 5 8 1 \, 0 3 2 \, 5 7 7 \, 1 6 4 \, 1 1 8 \, 1 2 5 \, 0 0 } 2 \, 6 9 2 \, 6 5 2
{ \bf m _ { D } } = \left( \begin{array} { l l l } { { { \bf 0 } } } & { { \times } } & { { { \bf 0 } } } \\ { { \times } } & { { { \bf 0 } } } & { { \times } } \\ { { { \bf 0 } } } & { { \times } } & { { \times } } \end{array} \right) \ , \quad \left( \begin{array} { l l l } { { { \bf 0 } } } & { { \times } } & { { { \bf 0 } } } \\ { { \times } } & { { { \bf 0 } } } & { { \times } } \\ { { { \bf 0 } } } & { { { \bf 0 } } } & { { \times } } \end{array} \right) \ , \quad \left( \begin{array} { l l l } { { { \bf 0 } } } & { { \times } } & { { { \bf 0 } } } \\ { { \times } } & { { { \bf 0 } } } & { { { \bf 0 } } } \\ { { { \bf 0 } } } & { { \times } } & { { \times } } \end{array} \right) \ .
\left\{ \begin{array} { l l } { \Theta _ { B } } & { = \sum _ { k ^ { \prime } } \frac { k ^ { \prime } P ( k ^ { \prime } ) } { \langle k \rangle } ( \rho _ { k ^ { \prime } } ^ { B } + \rho _ { k ^ { \prime } } ^ { D _ { B } } + \rho _ { k ^ { \prime } } ^ { W _ { B } } ) , } \\ { \Theta _ { W } } & { = \sum _ { k ^ { \prime } } \frac { k ^ { \prime } P ( k ^ { \prime } ) } { \langle k \rangle } ( \rho _ { k ^ { \prime } } ^ { W } + \rho _ { k ^ { \prime } } ^ { W _ { B } } ) . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { | X | + | Y | } & { = | X | - | \overline { { X } } _ { a } | + | \overline { { X } } _ { a } | + | Y | - | \overline { { Y } } _ { a } | + | \overline { { Y } } _ { a } | } \\ & { < 2 ( \ell - | \overline { { Y } } _ { a } | ) + | \overline { { X } } _ { a } | + 2 ( \ell - | \overline { { X } } _ { a } | ) + | \overline { { Y } } _ { a } | } \\ & { = 4 \ell - | \overline { { Y } } _ { a } | - | \overline { { X } } _ { a } | \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { { u ^ { \textnormal { L } } } } = \frac { 1 } { T ^ { \textnormal { L } } } \int _ { 0 } ^ { T ^ { \textnormal { L } } } u ( x ( t ) , z ( t ) , t ) \, d t } & { = \frac { \epsilon } { T ^ { \textnormal { L } } k } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { \cosh ( \epsilon \cos \theta + { \alpha } ) \cos \theta } { \sinh { \alpha } - \epsilon \cosh ( \epsilon \cos \theta + { \alpha } ) \cos \theta } \, d \theta } \\ & { = \frac { c ( 1 + \mathcal { C } _ { \alpha } ^ { 2 } ) } { 2 } \epsilon ^ { 2 } . } \end{array}
R _ { 1 2 } ( u _ { 1 } , u _ { 2 } ) \ R _ { 1 3 } ( u _ { 1 } , u _ { 3 } ) \ R _ { 2 3 } ( u _ { 2 } , u _ { 3 } ) = R _ { 2 3 } ( u _ { 2 } , u _ { 3 } ) \ R _ { 1 3 } ( u _ { 1 } , u _ { 3 } ) \ R _ { 1 2 } ( u _ { 1 } , u _ { 2 } ) ,
\begin{array} { r l } { \Pi _ { \alpha \beta } ^ { \mathrm { e q , 2 } } } & { = \rho u _ { \alpha } u _ { \beta } + \rho c _ { s } ^ { 2 } \delta _ { \alpha \beta } \theta , } \\ { \Pi _ { \alpha \beta \gamma } ^ { \mathrm { e q , 2 } } } & { = \rho c _ { s } ^ { 2 } \left[ u _ { \alpha } \delta _ { \beta \gamma } \right] _ { \mathrm { c y c } } , } \end{array}
I _ { k } ^ { ( p , 0 ) } ( a , b , c ; \rho ; z ) = N _ { k } ^ { ( p , 0 ) } ( a , b , c ; \rho ) F _ { k } ( a , b , c ; \rho ; z ) = N _ { k } ^ { ( p , 0 ) } z ^ { \gamma _ { k } } f _ { k } ( z )
G F S ( B ) \left\{ \begin{array} { r c l } { { d s ^ { 2 } } } & { { = } } & { { 2 e ^ { 2 \hat { \varphi } } \left( d v + { \cal A } _ { \underline { { { i } } } } d x ^ { \underline { { { i } } } } \right) d u - d x ^ { \underline { { { i } } } } d x ^ { \underline { { { i } } } } \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { { \cal { B } } ^ { ( 1 ) } } } & { { = } } & { { e ^ { 2 \hat { \varphi } } \left[ \left( 1 - e ^ { - \frac { 1 } { 2 } \hat { \varphi } } \right) d v + { \cal A } _ { \underline { { { i } } } } d x ^ { \underline { { { i } } } } \right] \wedge d u \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { \hat { \varphi } } } & { { = } } & { { - \frac { 1 } { 2 } \log { ( 1 - { \cal A } _ { u } ) } \, . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \langle \beta ^ { n } \rangle } & { { } = } & { 0 } \\ { \langle \beta ^ { n } \beta ^ { \ell } \rangle } & { { } = } & { 2 \alpha \Delta { t } \, k _ { B } T \, \delta _ { n , \ell } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { c _ { A , k } ^ { \dagger } } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { A } } \tilde { P } _ { i k } \dag , a _ { i } ^ { \dagger } \dag ; \quad ( k = 1 , . . , n _ { A } ) \dag c _ { B , k } ^ { \dagger } } & { = \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { B } } \tilde { Q } _ { j k } \dag , a _ { j + n _ { A } } ^ { \dagger } \dag ; \quad ( k = 1 , . . , n _ { A } ) \dag c _ { B , l } ^ { \dagger } } & { = \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { B } } E _ { j l } \dag , a _ { j + n _ { A } } ^ { \dagger } \dag ; \quad ( l = n _ { A } + 1 , . . , N ) \dag , , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \Big [ e ^ { \mathsf { i } r C _ { n } ( t ) } ] } & { = \mathbb { E } \Big [ e ^ { - \mathsf { i } U _ { 0 } r \gamma \int _ { 0 } ^ { t } H _ { n } ( t - s ) e ^ { - \gamma s } \mathrm { d } s } \Big ] \cdot \mathbb { E } \Big [ e ^ { \mathsf { i } r ( I _ { 2 , n } + I _ { 3 , n } ) } \Big ] = e ^ { - | r | ^ { \alpha } \sigma _ { n } ^ { \alpha } ( t ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { S } ( e ) } & { { } : = | z _ { S , e } ( e ) | [ \operatorname* { l i m } _ { z \in \mathcal { D } _ { A } \to z _ { S } ( e ) } \partial _ { n } \phi - \operatorname* { l i m } _ { z \in \mathcal { D } _ { F } \to z _ { S } ( e ) } \partial _ { n } \phi ] } \\ { \sigma _ { B } ( e ) } & { { } : = | z _ { B , e } ( e ) | [ \operatorname* { l i m } _ { z \in \mathcal { D } _ { F } \to z _ { B } ( e ) } \partial _ { n } \phi - \operatorname* { l i m } _ { z \in \mathcal { D } _ { B } \to z _ { B } ( e ) } \partial _ { n } \phi ] = - | z _ { B , e } ( e ) | [ \operatorname* { l i m } _ { z \in \mathcal { D } _ { B } \to z _ { B } ( e ) } \partial _ { n } \phi ] \, . } \end{array}
\tilde { \epsilon } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { C } } [ n ] ( { \bf r } ) = \tilde { \epsilon } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { C } } ( r _ { s } ( { \bf r } ) , \zeta ( { \bf r } ) , s ( { \bf r } ) , \alpha ( { \bf r } ) , q ( { \bf r } ) ) \, ,
\begin{array} { r l } { \check { v } _ { 1 } } & { = \frac { 1 } { { P } _ { 0 + } } \frac { W } { 1 + W } \left\{ \check { v } _ { 1 c } + ( { T } _ { 1 + } - { P } _ { 1 + } { V } _ { 0 + } ) \left( \frac { 1 } { W } - \ln { | W | } \right) \right. } \\ & { \left. \quad - b ^ { 2 } { V } _ { 0 + } ^ { 2 } \frac { 1 + \gamma - B } { 4 } W ( 2 + W ) + \frac { { P } _ { 0 + } } { \nu } ( b ^ { 2 } { V } _ { 0 + } ( 1 - B ) - { P } _ { 1 + } ) \xi \right. } \\ & { \left. \quad + b ^ { 2 } \frac { d T _ { 0 } } { d z } \Big | _ { + } \left( \left( \frac { 1 } { W } - 1 - \ln { | W | } \right) \xi - \nu \frac { V _ { 0 + } } { P _ { 0 + } } \left( W + \frac { \ln { | W | } } { 2 } \right) \ln { | W | } \right) \right. } \\ & { \left. \quad - b ^ { 2 } V _ { 0 + } \nu \frac { d V _ { 0 } } { d z } \Big | _ { + } ( W + 2 \ln { | W | } ) \right\} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \beta _ { i j j } ^ { \mathrm { S H G } } ( \omega ) } & { = \beta _ { i j j } ( - 2 \omega , \omega , \omega ) , } \\ { \beta _ { i j j } ^ { \mathrm { O R } } ( \omega ) } & { = \beta _ { i j j } ( 0 , \omega , - \omega ) , } \\ { \gamma _ { i j j j } ^ { \mathrm { T H G } } ( \omega ) } & { = \gamma _ { i j j j } ( - 3 \omega ; \omega , \omega , \omega ) , } \\ { \gamma _ { i j j j } ^ { \mathrm { D F W M } } ( \omega ) } & { = \gamma _ { i j j j } ( - \omega ; \omega , \omega , - \omega ) , } \\ { \delta _ { i j j j j } ^ { \mathrm { F H G } } ( \omega ) } & { = \delta _ { i j j j } ( - 4 \omega ; \omega , \omega , \omega , \omega ) , } \\ { \delta _ { i j j j j } ^ { \mathrm { H S H G } } ( \omega ) } & { = \delta _ { i j j j } ( - 2 \omega ; \omega , \omega , \omega , - \omega ) , } \\ { \delta _ { i j j j j } ^ { \mathrm { H O R } } ( \omega ) } & { = \delta _ { i j j j } ( 0 ; \omega , \omega , - \omega , - \omega ) . } \end{array}
\Delta s ( v ) = \Delta s ^ { \star } \, \frac { \mathrm { P e } _ { + } \mathrm { P e } _ { 0 } \, \bigl [ \cosh ( \mathrm { P e } _ { + } ) - \cosh ( \mathrm { P e } _ { 0 } ) \bigr ] + \mathrm { P e } _ { - } \bigl [ \mathrm { P e } _ { 0 } \sinh ( \mathrm { P e } _ { + } ) - \mathrm { P e } _ { + } \sinh ( \mathrm { P e } _ { 0 } ) \bigr ] } { \mathrm { P e } _ { + } \mathrm { P e } _ { - } \cosh ( \mathrm { P e } _ { + } ) + ( \mathrm { P e } _ { + } ^ { 2 } + \mathrm { P e } _ { - } ^ { 2 } ) \sinh ( \mathrm { P e } _ { + } ) / 2 } \, .
\begin{array} { r l r } { 0 } & { = } & { \left( - \tilde { M } + \hat { M } \right) U ^ { T } U - U \left( - \tilde { M } + \hat { M } \right) ^ { T } U , } \\ & { = } & { \left( - \tilde { M } + \hat { M } \right) - U \left( - \tilde { M } + \hat { M } \right) ^ { T } U } \\ & { = } & { U ^ { T } \left( - \tilde { M } + \hat { M } \right) - \left( - \tilde { M } + \hat { M } \right) ^ { T } U } \end{array}
\begin{array} { r l } { r _ { \perp } } & { { } = \frac { n _ { \star } ^ { 2 } - w _ { \star } } { n _ { \star } ^ { 2 } + w _ { \star } } , \qquad r _ { \parallel } = \frac { 1 - w _ { \star } } { 1 + w _ { \star } } , } \\ { t _ { \perp } } & { { } = \frac { 2 n _ { \star } } { n _ { \star } ^ { 2 } + w _ { \star } } , \qquad t _ { \parallel } = \frac { 2 } { 1 + w _ { \star } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { { H ^ { 6 D } = 0 . 1 7 7 \cdot \frac { B _ { R } } { \sigma \sqrt [ 3 ] { G _ { V } } } - 4 1 . 9 7 2 \cdot \frac { \log { R _ { X } } } { A _ { W } } \cdot \sigma + 0 . 0 4 6 \cdot \frac { G _ { R } } { R _ { N } \log { e l } } } } \\ { { - 1 1 7 5 \cdot \frac { | B _ { R } - G _ { R } | } { \exp { A _ { N } } } + 0 . 0 4 7 \cdot \frac { D ^ { 3 } } { | B _ { V } - G _ { V } | } } } \\ { { - 0 . 9 6 3 \cdot \frac { A _ { X } } { A _ { W } } \cdot \sqrt { A _ { N } } + 3 . 8 1 5 } } \end{array}
a = - { \frac { G M _ { 1 } } { r ^ { 2 } } } \operatorname { s g n } ( r ) + { \frac { G M _ { 2 } } { ( R - r ) ^ { 2 } } } \operatorname { s g n } ( R - r ) + { \frac { G { \bigl ( } ( M _ { 1 } + M _ { 2 } ) r - M _ { 2 } R { \bigr ) } } { R ^ { 3 } } }
\begin{array} { c } { { \Delta _ { \nu } ^ { T E } ( x + \imath y ) = \displaystyle { - \, e ^ { \displaystyle { \frac { \imath \, \pi } { 2 } \, \left( \nu + 1 / 2 \right) } } \, { \sqrt { \frac { n _ { 1 } \pi R } { 2 a } } } \, } \displaystyle { { v } ^ { \frac { 3 } { 2 } } \, \left\{ K _ { \nu } ( \frac { n _ { 2 } \, R \, v } { a } ) \, \left[ - n _ { 1 } \, I _ { \nu } ( n _ { 2 } \, v ) \, I _ { \nu } ^ { \prime } ( n _ { 1 } \, v ) \right. \right. } } } \\ { { \displaystyle { \phantom { \frac { 1 } { 1 } } \left. \left. + n _ { 2 } \, I _ { \nu } ( n _ { 1 } \, v ) \, I _ { \nu } ^ { \prime } ( n _ { 2 } \, v ) \right] + I _ { \nu } ( \frac { n _ { 2 } \, R \, v } { a } ) \, \left[ n _ { 1 } \, K _ { \nu } ( n _ { 2 } \, v ) \, I _ { \nu } ^ { \prime } ( n _ { 1 } \, v ) - n _ { 2 } \, I _ { \nu } ( n _ { 1 } \, v ) \, K _ { \nu } ^ { \prime } ( n _ { 2 } \, v ) \right] \right\} } , } } \end{array}
f ( z ) = { \frac { 1 } { 2 \pi i } } \int _ { \gamma } { \frac { f ( w ) } { w - z } } \, d w , \quad f ^ { \prime } ( z ) = { \frac { 1 } { 2 \pi i } } \int _ { \gamma } { \frac { f ( w ) } { ( w - z ) ^ { 2 } } } \, d w , \quad \ldots , \quad f ^ { ( k ) } ( z ) = { \frac { k ! } { 2 \pi i } } \int _ { \gamma } { \frac { f ( w ) } { ( w - z ) ^ { k + 1 } } } \, d w .
f ( t ) = \frac { | x _ { 0 } - a | } { 2 \sqrt { \pi } } \frac { e ^ { - \frac { \big ( x _ { 0 } - a + M ( t ) \Big ) ^ { 2 } } { 4 S ( t ) } } } { S ^ { 3 / 2 } ( t ) } \frac { d } { d t } S ( t ) .
V \equiv \sum _ { \mu \in { \mathcal R } } g _ { | \rho | } ( \rho \cdot \mu ) ( \rho ^ { \vee } \! \cdot \nu ) \frac { \ell _ { \mu } ^ { j } - \ell _ { s _ { \rho } ( \mu ) } ^ { j } } { \ell _ { \mu } - \ell _ { s _ { \rho } ( \mu ) } } \, \ell _ { s _ { \rho } ( \nu ) } ^ { k } \check { s } _ { \rho } = 0 .
{ \tilde { \omega } } ^ { i } ( { \vec { v } } ) = { \frac { 1 } { 2 } } \, \left\langle { \frac { \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } \varepsilon ^ { i j k } \, ( { \vec { e } } _ { j } \times { \vec { e } } _ { k } ) } { { \vec { e } } _ { 1 } \cdot { \vec { e } } _ { 2 } \times { \vec { e } } _ { 3 } } } , { \vec { v } } \right\rangle ,
E _ { 0 } ( \boldsymbol { r } ) = \frac { g _ { 1 2 } ^ { d } N } { l _ { \rho } ^ { 2 } l _ { z } a _ { H } ^ { 3 } } \int \frac { d ^ { 3 } \mathbf { q } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \left[ \frac { 3 q _ { z } ^ { 2 } } { \Lambda ^ { 2 } q _ { \rho } ^ { 2 } + q _ { z } ^ { 2 } } - 1 \right] \exp \left[ - \frac { 1 } { 4 } \left( q _ { \rho } ^ { 2 } + q _ { z } ^ { 2 } \right) \right] \exp \left[ - j \mathbf { q } \cdot \mathbf { \tilde { r } } \right] ,
\begin{array} { r l } { K _ { 0 } ( \mathrm { R e p } ^ { \mathrm { a l g } } ( ^ { L } H _ { x , \vartheta } ) ) \otimes E } & { \cong K _ { 0 } ( ^ { + } \mathrm { S a t } _ { G , \mathscr G , x } ) \otimes E } \\ & { \rightarrow \operatorname { F u n } _ { c } ( G ( \mathscr O _ { x } ) \backslash \widetilde G _ { x } / G ( \mathscr O _ { x } ) , A \subset E ^ { \times } ) , } \end{array}
\vec { A } \left( \vec { r } \right) = \frac { J } { 4 \pi } \int _ { R _ { 1 } } ^ { R _ { 2 } } d r ^ { \prime } \int _ { Z _ { 1 } } ^ { Z _ { 2 } } d z ^ { \prime } \vec { \hat { A } } \left( \vec { r } \right) ,
\displaystyle \frac { d { f } } { d t } = \frac { { f } ( 1 - { f } ) } { \tau _ { 0 } } , ~ ~ ~ \displaystyle \frac { d { s } } { d t } = - \frac { { s } ( 1 - { s } ) } { \tau _ { 0 } } , ~ ~ ~ ~ s + f = 1
\begin{array} { r l } { Q } & { = \left\{ ( a , a ^ { \prime } , b , b ^ { \prime } ) \in \mathcal P _ { 1 } ^ { 2 } \times \mathcal P _ { 2 } ^ { 2 } \mid \exists \Delta \in \mathbf { R } : F ( a _ { x } , b _ { x } , \Delta ) = F ( a _ { x } ^ { \prime } , b _ { x } ^ { \prime } , \Delta ) = 0 \right\} , } \\ { Q _ { x } } & { = \left\{ ( a _ { x } , a _ { x } ^ { \prime } , b _ { x } , b _ { x } ^ { \prime } ) \in \mathcal { P } _ { 1 , x } ^ { 2 } \times \mathcal { P } _ { 2 , x } ^ { 2 } \mid \exists \Delta \in \mathbf { R } : F ( a _ { x } , b _ { x } , \Delta ) = F ( a _ { x } ^ { \prime } , b _ { x } ^ { \prime } , \Delta ) = 0 \right\} . } \end{array}
W _ { R } = \epsilon _ { i j } ( y _ { a b } ^ { U } Q _ { a } ^ { j } U _ { b } ^ { c } H _ { 2 } ^ { i } + y _ { a b } ^ { D } Q _ { a } ^ { j } D _ { b } ^ { c } H _ { 1 } ^ { i } + y _ { a b } ^ { L } L _ { a } ^ { j } E _ { b } ^ { c } H _ { 1 } ^ { i } + \mu H _ { 1 } ^ { i } H _ { 2 } ^ { j } ) ,
\begin{array} { r l } { E [ \ln p ( t ) ] = } & { { } A + B ( t _ { c } - t ) ^ { m } + C ( t _ { c } - t ) ^ { m } \cos ( \omega \ln ( t _ { c } - t ) - \phi ) } \\ { = } & { { } A + B ( t _ { c } - t ) ^ { m } + C _ { 1 } ( t _ { c } - t ) ^ { m } \cos ( \omega \ln ( t _ { c } - t ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Pi _ { 0 } ^ { \epsilon } G _ { \pm } v } & { = \Pi _ { 0 } G _ { \pm } v + \sum \left( { \epsilon } v _ { k } ^ { 1 } \; { v _ { k } ^ { 0 } } ^ { \ast } + v _ { k } ^ { 0 } \; { { \epsilon } v _ { k } ^ { 1 } } ^ { \ast } \right) G _ { \pm } v } \\ & { = \sum { \epsilon } v _ { k } ^ { 1 } \; g ( v _ { k } ^ { 0 } , G _ { \pm } v ) + \sum v _ { k } ^ { 0 } \; g ( { \epsilon } v _ { k } ^ { 1 } , G _ { \pm } v ) = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { Z } } & { = \sum _ { \boldsymbol { X } } \int \mathcal { D } \hat { \boldsymbol { H } } \prod _ { i } p ( x _ { i } ^ { 0 } ) \prod _ { t } \left\{ \delta ( \hat { h } _ { i } ^ { t } ) \left[ \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , I } \left( \delta _ { x _ { i } ^ { t } , I } ( 1 - r _ { i } ^ { t } ) + \delta _ { x _ { i } ^ { t } , S } \right) + \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , R } \left( \delta _ { x _ { i } ^ { t } , R } + \delta _ { x _ { i } ^ { t } , I } r _ { i } ^ { t } \right) \right] + \right. } \\ & { \qquad \left. + \delta ( \hat { h } _ { i } ^ { t } - \mathrm { i } ) \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) \left[ \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , S } \delta _ { x _ { i } ^ { t } , S } - \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , I } \delta _ { x _ { i } ^ { t } , S } \right] \right\} \prod _ { j > i } e ^ { \delta _ { x _ { j } ^ { t } , I } \nu _ { j i } ^ { t } ( - i \hat { h } _ { i } ^ { t } ) + \delta _ { x _ { i } ^ { t } , I } \nu _ { i j } ^ { t } ( - i \hat { h } _ { j } ^ { t } ) } } \end{array}
\begin{array} { c c c } { \displaystyle { s _ { 0 } = - \sqrt { 2 } \rho _ { 1 } - \rho _ { 2 } , \qquad s _ { 0 } ^ { \prime } = \frac { \sqrt { 2 } \, e ^ { 1 \! / 3 2 } } { 1 9 2 \, r _ { 0 } ( 0 ) } \Big [ \big ( 1 - 4 \sqrt { 2 } \rho _ { 1 } \big ) + \Big ( \frac { 1 } { 8 } - 4 \rho _ { 2 } \Big ) \Big ] , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Vert \varphi _ { \chi } \Vert _ { { \mathbb H } _ { N } ^ { B , \sigma } } ^ { 2 } } & { = \int _ { \mathbb R ^ { 2 } } \int _ { \mathscr D _ { N - 1 } ^ { \sigma } } \vert \varphi ( p , y ) \vert ^ { 2 } \mathrm { d } ^ { 2 } p \mathrm { d } \mu _ { N - 1 } ^ { B } ( y ) } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { \sigma \to 0 } \int _ { \mathbb R ^ { 2 } } \mathrm { e } ^ { - \sigma | p | ^ { 2 } } \bigg ( \int _ { \mathscr D _ { N - 1 } ^ { \sigma } } \! \vert \varphi ( p , y ) \vert ^ { 2 } \mathrm { d } \mu _ { N - 1 } ^ { B } ( y ) \bigg ) \mathrm { d } ^ { 2 } p . } \end{array}