harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \tilde { h } _ { s } ^ { \mathrm { e v e n } } } & { = \lambda ^ { 2 } \: h _ { s } ^ { \mathrm { e v e n } } ( x / \lambda ^ { 2 } , y / \lambda ^ { 2 } , z / \lambda ^ { 2 / \alpha } , t / \lambda ^ { 2 } ) , } \\ { \tilde { h } _ { s } ^ { \mathrm { o d d } } } & { = \lambda ^ { 2 / \alpha } \: h _ { s } ^ { \mathrm { o d d } } ( x / \lambda ^ { 2 } , y / \lambda ^ { 2 } , z / \lambda ^ { 2 / \alpha } , t / \lambda ^ { 2 } ) , } \\ { \tilde { \phi } } & { = \lambda ^ { 2 } \: \phi ( x / \lambda ^ { 2 } , y / \lambda ^ { 2 } , z / \lambda ^ { 2 / \alpha } , t / \lambda ^ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { | \langle 0 | ( a _ { j _ { 2 } } ( T ) a _ { j _ { 1 } } ^ { \dagger } ( 0 ) + a _ { j _ { 1 } } ^ { \dagger } ( 0 ) a _ { j _ { 2 } } ( T ) ) | 0 \rangle | ^ { 2 } } \\ { = } & { | \langle 0 | a _ { j _ { 2 } } ( T ) a _ { j _ { 1 } } ^ { \dagger } ( 0 ) | 0 \rangle | ^ { 2 } } \\ { = } & { | \langle j _ { 2 } | e ^ { - i \hat { H } _ { s 1 0 } t _ { 1 0 } } . . . e ^ { - i \hat { H } _ { s 2 } t _ { 2 } } e ^ { - i \hat { H } _ { s 1 } t _ { 1 } } | j _ { 1 } \rangle | ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta \langle \mathbf { J } ( \mathbf { r } , t ) \rangle } & { = \int d \omega ^ { \prime } \frac { \mathbf { \Gamma } \left( k , \omega ^ { \prime } \right) } { - \omega ^ { \prime } } e ^ { i \mathbf { k } r } \xi } \\ & { = - \int d \omega e ^ { i \mathbf { k } r } \xi \int d t e ^ { - i \omega \left( t - t ^ { \prime } \right) } \int d \mathbf { r } e ^ { i k \cdot ( r - r ^ { \prime } ) } \frac { \vec { k } } { k ^ { 2 } } \langle \left[ \rho ( r , t ) , \psi ^ { \dagger } \left( r ^ { \prime } , t ^ { \prime } \right) \right] \rangle } \\ & { = - e ^ { i \mathbf { k } r } \xi \int d \mathbf { r } e ^ { i \mathbf { k } \cdot \left( r - r ^ { \prime } \right) } \frac { \vec { k } } { k ^ { 2 } } \left\langle \left[ \rho ( r t ) , \psi ^ { \dagger } \left( r ^ { \prime } t \right) \right] \right\rangle } \\ & { = - e ^ { i k \cdot r } \xi \frac { k } { k ^ { 2 } } \left\langle \psi ^ { \dagger } ( r , t ) \right\rangle } \end{array}
\int { \cal D } { \vec { A } } _ { T } { \cal D } { \vec { \Pi } } _ { T } { \cal D } \Phi { \cal D } \Pi { \cal D } \Phi ^ { \dagger } { \cal D } \Pi ^ { \dagger } \exp \left[ i \int d ^ { 4 } x \left( \Pi \dot { \Phi } + \Pi ^ { \dagger } \dot { \Phi } ^ { \dagger } + { \vec { \Pi } } _ { T } \cdot \dot { { \vec { A } } } _ { T } \right) - i \int d t H \right] ~ .
\begin{array} { r l } { C \frac { 2 } { \tau _ { n } + \tau _ { n + 1 } } \Big ( \frac { y ^ { n + 1 } - y ^ { n } } { \tau _ { n + 1 } } - \frac { y ^ { n } - y ^ { n - 1 } } { \tau _ { n } } \Big ) } & { + B \Big ( \overline { { \sigma } } _ { n + 1 } \frac { y ^ { n + 1 } - y ^ { n } } { \tau _ { n + 1 } } + ( 1 - \overline { { \sigma } } _ { n + 1 } ) \frac { y ^ { n } - y ^ { n - 1 } } { \tau _ { n } } \Big ) } \\ & { + A \Big ( \overline { { \sigma } } _ { n + 1 } \frac { y ^ { n + 1 } + y ^ { n } } { 2 } + ( 1 - \overline { { \sigma } } _ { n + 1 } ) \frac { y ^ { n } + y ^ { n - 1 } } { 2 } \Big ) } \\ & { = \overline { { \sigma } } _ { n + 1 } f ^ { n + 1 / 2 } + ( 1 - \overline { { \sigma } } ) _ { n + 1 } f ^ { n - 1 / 2 } . } \end{array}
\mathbf { E } ^ { \hat { \mathbf { K } } \parallel \hat { \mathbf { z } } } ( \mathbf { r } ) = \underset { k _ { x } ^ { 2 } + k _ { y } ^ { 2 } \leq k ^ { 2 } } { \iint } \mathcal { F } ^ { \hat { \mathbf { K } } \parallel \hat { \mathbf { z } } } ( k _ { x } , k _ { y } ) \, e ^ { i \mathbf { k } \cdot \mathbf { r } } \, \mathrm { ~ d ~ } k _ { x } \, \mathrm { ~ d ~ } k _ { y } .
\begin{array} { r l } { \mathcal { A } _ { \nu } } & { = \{ f : T \rightarrow \mathcal { O } \mathrm { ~ s . t . ~ } f ( 1 , z ) \in \mathrm { C t } ( \mathbf { Z } _ { p } , \mathcal { O } ) ; \; f ( a \cdot t ) = \nu ( a ) f ( t ) \; \forall \; a \in \mathbf { Z } _ { p } ^ { \times } , \; t \in T \} } \\ { \mathcal { A } _ { \nu } ^ { \prime } } & { = \{ f : T ^ { \prime } \rightarrow \mathcal { O } \mathrm { ~ s . t . ~ } f ( p z , 1 ) \in \mathrm { C t } ( \mathbf { Z } _ { p } , \mathcal { O } ) ; \; f ( a \cdot t ) = \nu ( a ) f ( t ) \; \forall \; a \in \mathbf { Z } _ { p } ^ { \times } , \; t \in T ^ { \prime } \} . } \end{array}
i { \cal G } _ { 2 } ( p ) = - { \frac { 2 i e ^ { 2 } B ^ { 2 } p _ { \bot } ^ { 2 } } { ( p ^ { 2 } - m ^ { 2 } ) ^ { 4 } } } D + 2 e ^ { 3 } B ^ { 3 } \left[ { \frac { 1 } { ( p ^ { 2 } - m ^ { 2 } ) ^ { 4 } } } + { \frac { 4 p _ { \bot } ^ { 2 } } { ( p ^ { 2 } - m ^ { 2 } ) ^ { 5 } } } \right] \bar { D } ,
\Phi ^ { 0 , j ^ { \prime } } x _ { c _ { j ^ { \prime \prime } } } + \sum _ { \substack { c _ { 1 } \in \{ 1 , \dots , N \} } } \Phi _ { c _ { 1 } } ^ { 1 , j ^ { \prime } } x _ { c _ { 1 } } x _ { c _ { j ^ { \prime \prime } } } + \dots + \sum _ { \substack { c _ { j } \in \{ 1 , \dots , N \} , \, \forall j \in \{ 1 , \dots , m \} } } \Phi _ { c _ { 1 } \dots c _ { m } } ^ { m , j ^ { \prime } } \eta _ { c _ { 1 } , c _ { 2 } } x _ { c _ { 3 } } \dots x _ { c _ { m } } x _ { c _ { j ^ { \prime \prime } } }
\begin{array} { r l } { d _ { i } \bar { n } _ { s } } & { = \frac { 1 } { n _ { 0 } } \int \mathrm { d } \hat { \mathcal { W } } \hat { \mathcal { F } } _ { { e q } _ { s } } \mathcal { J } _ { 0 s } g _ { s } , } \\ { d _ { i } \bar { u } _ { s } } & { = \sqrt { \frac { \tau _ { s } \beta _ { e } } { 2 \sigma _ { s } } } \frac { 1 } { n _ { 0 } } \int \mathrm { d } \hat { \mathcal { W } } \hat { \mathcal { F } } _ { { e q } _ { s } } v _ { \parallel } \mathcal { J } _ { 0 s } g _ { s } , } \\ { d _ { i } \bar { p } _ { s } } & { = \tau _ { s } \frac { 1 } { n _ { 0 } } \int \mathrm { d } \hat { \mathcal { W } } \hat { \mathcal { F } } _ { { e q } _ { s } } v _ { \perp } ^ { 2 } \mathcal { J } _ { 1 s } g _ { s } , } \end{array}
\Phi _ { \mathrm { N } } ^ { ( \mathrm { i } 0 \mathrm { j } ) } ( \mu ^ { 2 } ) = \int _ { 0 } ^ { 1 } [ d x ] x _ { 1 } ^ { \mathrm { i } } x _ { 2 } ^ { 0 } x _ { 3 } ^ { \mathrm { j } } \Phi _ { \mathrm { N } } ( x _ { i } , \mu ^ { 2 } ) ,
\begin{array} { r l } { \frac { \tilde { \rho } ( k , t ) } { \tilde { \rho } ( k , 0 ) } } & { = e ^ { - t / \tau _ { \parallel } } \left[ \cos ( s _ { \mathrm { T } } k t ) + \frac { 1 } { s _ { \mathrm { T } } k \tau _ { \parallel } } \sin ( s _ { \mathrm { T } } k t ) \right] } \\ { \frac { \tilde { j } _ { \parallel } ( k , t ) } { \tilde { j } _ { \parallel } ( k , 0 ) } } & { = e ^ { - t / \tau _ { \parallel } } \left[ \cos ( s _ { \mathrm { T } } k t ) - \frac { 1 } { s _ { \mathrm { T } } k \tau _ { \parallel } } \sin ( s _ { \mathrm { T } } k t ) \right] } \\ { \frac { \tilde { j } _ { \perp } ( k , t ) } { \tilde { j } _ { \perp } ( k , 0 ) } } & { = e ^ { - t / \tau _ { \perp } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { L _ { y } , L _ { z } \rightarrow \infty } \gamma = \frac { \lambda ^ { 4 } \rho ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } d ^ { 4 } } ( 2 q \prime + 1 ) ^ { 2 } \bar { P } \left[ \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } \frac { \cos ^ { 2 q \prime } \alpha \tan \alpha \mathrm { d } \alpha } { \left[ \rho ^ { 2 } + ( 1 - \rho ^ { 2 } ) \cos ^ { 2 } \alpha \right] ^ { ( q \prime + 1 ) / 2 } } \right] ^ { 2 } . } \end{array}
I _ { i j } ^ { ( 1 ) \mu } = { \frac { i } { 2 } } \Psi ^ { \lambda } \Psi ^ { \sigma } ( f _ { i ~ \sigma } ^ { \nu } D _ { \nu } f _ { j ~ \lambda } ^ { \mu } + f _ { j ~ \sigma } ^ { \nu } D _ { \nu } f _ { i ~ \lambda } ^ { \mu } + { \frac { 1 } { 2 } } f _ { i } ^ { \mu \rho } c _ { j \lambda \sigma \rho } + f _ { j } ^ { \mu \rho } c _ { i \lambda \sigma \rho } )
\frac { \partial } { \partial z } = \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \partial } { \partial x ^ { 1 } } - i \frac { \partial } { \partial x ^ { 2 } } \right) , \qquad \frac { \partial } { \partial \overline { { z } } } = \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \partial } { \partial x ^ { 1 } } + i \frac { \partial } { \partial x ^ { 2 } } \right) .
\mathbf { A } = { \frac { 1 } { 2 } } ( ( x _ { 2 } y _ { 3 } - x _ { 3 } y _ { 2 } ) - ( x _ { 1 } y _ { 3 } - x _ { 3 } y _ { 1 } ) + ( x _ { 1 } y _ { 2 } - x _ { 2 } y _ { 1 } ) )
\begin{array} { r l } { ( U _ { 1 } , Z _ { 1 } ) } & { : ( H _ { 1 } , \pi _ { 1 } , D _ { 1 } , \Gamma _ { 1 } ) \to ( H _ { 2 } , \pi _ { 2 } , D _ { 2 } , \Gamma _ { 2 } ) , } \\ { ( U _ { 2 } , Z _ { 2 } ) } & { : ( H _ { 2 } , \pi _ { 2 } , D _ { 2 } , \Gamma _ { 2 } ) \to ( H _ { 3 } , \pi _ { 3 } , D _ { 3 } , \Gamma _ { 3 } ) , } \end{array}
\bar { \rho } _ { p } [ R ^ { \epsilon } ( \beta ) ] \leq \bar { \rho } _ { p } \Big [ r ^ { \epsilon } ( \beta ) + \frac { \log ( 2 \| \beta _ { 1 } \| _ { 1 } + 3 ) } { \sqrt { l } } \Big ] + \frac { 1 } { \sqrt { l } } \log \frac { 1 } { w _ { p } } + \frac { 1 } { \sqrt { l } } \Big \{ \log \bar { \alpha } + \frac { 3 \epsilon ^ { 2 } } { 2 ( 3 - \epsilon ) } + \log \frac { 1 } { \delta } \Big \} ,
\frac { P _ { E 1 M 1 } ^ { D / L } | _ { \omega = \Omega } } { P _ { E 1 M 1 } ^ { D / L } | _ { \omega = \Delta _ { 0 } / \hbar } } \simeq \frac { 2 \hbar \Omega \tilde { \Delta } \Gamma ^ { ^ { \prime } 2 } } { \Delta _ { 0 } ^ { 2 } \Gamma ^ { 2 } } , \qquad \frac { g _ { T } ^ { D / L } } { g _ { O } ^ { D / L } } \gtrsim \frac { 2 \hbar \Omega \tilde { \Delta } } { \Delta _ { 0 } ^ { 2 } \cos { \theta } } .
\begin{array} { r } { g _ { I } ^ { J } ( { \bf r } _ { \mathrm { t i p } } ) = \int \rho _ { I } ^ { J } ( { \bf r } ) \phi _ { \mathrm { p l } } ( { \bf r } - { \bf r } _ { \mathrm { t i p } } ) \, \mathrm { d } { \bf r } . } \end{array}
a ^ { ( e ) } ( v ) = a _ { g r a v } ^ { ( s ) } ( v ) + \frac { 8 } { 7 } \, _ { 2 } F _ { 1 } ( 4 , 5 ; 9 ; 1 - v ) - \frac { 1 6 } { 2 1 } \, _ { 2 } F _ { 1 } ( 4 , 4 ; 8 ; 1 - v ) .
\begin{array} { r l } { U _ { L } } & { { } = \sum _ { k _ { 1 } } A _ { k _ { 1 } } ^ { \dagger } \left[ \begin{array} { c c } { L _ { A } } & { 0 } \\ { 0 } & { - \mathbb { I } } \end{array} \right] A _ { k _ { 1 } } ; } \\ { U _ { R } } & { { } = \sum _ { k _ { 1 } } A _ { k _ { 1 } } ^ { \dagger } \left[ \begin{array} { c c } { - \mathbb { I } } & { 0 } \\ { 0 } & { R _ { B } } \end{array} \right] A _ { k _ { 1 } } ; } \\ { U _ { T } } & { { } = \sum _ { k _ { 2 } } B _ { k _ { 2 } } ^ { \dagger } \left[ \begin{array} { c c } { - \mathbb { I } } & { 0 } \\ { 0 } & { T _ { B } } \end{array} \right] B _ { k _ { 2 } } ; } \\ { U _ { B } } & { { } = \sum _ { k _ { 2 } } B _ { k _ { 2 } } ^ { \dagger } \left[ \begin{array} { c c } { D _ { A } } & { 0 } \\ { 0 } & { - \mathbb { I } } \end{array} \right] B _ { k _ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \frac { d Z } { d t } } = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { k } } { k + 1 } } \sum _ { s \in S _ { k } , i _ { k + 1 } \geq 0 } } & { { } t ^ { i _ { 1 } + j _ { 1 } + \cdots + i _ { k } + j _ { k } } { \frac { { \mathrm { a d } _ { X } } ^ { i _ { 1 } } { \mathrm { a d } _ { Y } } ^ { j _ { 1 } } \cdots { \mathrm { a d } _ { X } } ^ { i _ { k } } { \mathrm { a d } _ { Y } } ^ { j _ { k } } } { i _ { 1 } ! j _ { 1 } ! \cdots i _ { k } ! j _ { k } ! } } X } \\ { + } & { { } t ^ { i _ { 1 } + j _ { 1 } + \cdots + i _ { k } + j _ { k } + i _ { k + 1 } } { \frac { { \mathrm { a d } _ { X } } ^ { i _ { 1 } } { \mathrm { a d } _ { Y } } ^ { j _ { 1 } } \cdots { \mathrm { a d } _ { X } } ^ { i _ { k } } { \mathrm { a d } _ { Y } } ^ { j _ { k } } X ^ { i _ { k + 1 } } } { i _ { 1 } ! j _ { 1 } ! \cdots i _ { k } ! j _ { k } ! i _ { k + 1 } ! } } Y , \quad i _ { r } , j _ { r } \geq 0 , \quad i _ { r } + j _ { r } > 0 , \quad 1 \leq r \leq k , } \end{array}
\begin{array} { r } { \tau ^ { * } \! = \! \operatorname* { m a x } \! \left\{ \! G _ { \boldsymbol { \theta } , \boldsymbol { \sigma } } ^ { - 1 } \! \left( \beta ^ { * } \right) \! , H ^ { - 1 } \! \left( \frac { 1 } { ( 1 \! - \! \epsilon ) } \left[ \frac { K } { f _ { \operatorname* { m a x } } } \! - \! \frac { K } { \mu } \right] ^ { + } \! \right) \! \right\} , } \end{array}
\sigma _ { e e } = \frac { 0 . 1 5 } { 0 . 3 0 } \int _ { 0 } ^ { z _ { m a x } ^ { 2 } } d \tau \int _ { \tau / z _ { m a x } } ^ { z _ { m a x } } d y \ f ( y , \tau ) \ \sigma _ { \gamma \gamma }
\begin{array} { r l } { \mathcal { I } _ { n } ( m ) = \big \{ ( i _ { 0 } , i _ { 1 } , \dots , i _ { m } , i _ { m + 1 } ) \in \{ 1 \} \times \mathbb { N } ^ { m + 1 } : \; } & { i _ { m + 1 } \leq n - m , } \\ & { i _ { m } \leq i _ { m + 1 } , } \\ & { i _ { j - 1 } - 1 \leq i _ { j } \leq n - j \quad \forall 1 \leq j \leq m \big \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { A _ { j } } { L _ { j } ^ { 3 } } \left( \begin{array} { l } { E _ { j } ^ { ( 1 ) } } \\ { E _ { j } ^ { ( 3 ) ( 1 ) } } \\ { \vdots } \\ { E _ { j } ^ { ( 3 ) ( d ) } } \\ { E _ { j } ^ { ( 5 ) } } \\ { E _ { j } ^ { ( 2 ) } } \\ { E _ { j } ^ { ( 4 ) ( 1 ) } } \\ { \vdots } \\ { E _ { j } ^ { ( 4 ) ( d ) } } \\ { E _ { j } ^ { ( 6 ) } } \end{array} \right) = } & { \left( \begin{array} { l } { ( \mathbf { E } _ { \Re } ) _ { ( d + 2 ) ( j - 1 ) + 1 } } \\ { ( \mathbf { E } _ { \Re } ) _ { ( d + 2 ) ( j - 1 ) + 2 } } \\ { \vdots } \\ { ( \mathbf { E } _ { \Re } ) _ { ( d + 2 ) ( j - 1 ) + d + 1 } } \\ { ( \mathbf { E } _ { \Re } ) _ { ( d + 2 ) ( j - 1 ) + d + 2 } } \\ { ( \mathbf { E } _ { \Im } ) _ { ( d + 2 ) ( j - 1 ) + 1 } } \\ { ( \mathbf { E } _ { \Im } ) _ { ( d + 2 ) ( j - 1 ) + 2 } } \\ { \vdots } \\ { ( \mathbf { E } _ { \Im } ) _ { ( d + 2 ) ( j - 1 ) + d + 1 } } \\ { ( \mathbf { E } _ { \Im } ) _ { ( d + 2 ) ( j - 1 ) + d + 2 } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { \mathbf { F } _ { ( d + 2 ) ( j - 1 ) + 1 } } \\ { \mathbf { F } _ { ( d + 2 ) ( j - 1 ) + 2 } } \\ { \vdots } \\ { \mathbf { F } _ { ( d + 2 ) ( j - 1 ) + d + 1 } } \\ { \mathbf { F } _ { ( d + 2 ) ( j - 1 ) + d + 2 } } \\ { \mathbf { F } _ { ( d + 2 ) N + ( d + 2 ) ( j - 1 ) + 1 } } \\ { \mathbf { F } _ { ( d + 2 ) N + ( d + 2 ) ( j - 1 ) + 2 } } \\ { \vdots } \\ { \mathbf { F } _ { ( d + 2 ) N + ( d + 2 ) ( j - 1 ) + d + 1 } } \\ { \mathbf { F } _ { ( d + 2 ) N + ( d + 2 ) ( j - 1 ) + d + 2 } } \end{array} \right) = : \left( \begin{array} { l } { F _ { j } ^ { ( 1 ) } } \\ { F _ { j } ^ { ( 3 ) ( 1 ) } } \\ { \vdots } \\ { F _ { j } ^ { ( 3 ) ( d ) } } \\ { F _ { j } ^ { ( 5 ) } } \\ { F _ { j } ^ { ( 2 ) } } \\ { F _ { j } ^ { ( 4 ) ( 1 ) } } \\ { \vdots } \\ { F _ { j } ^ { ( 4 ) ( d ) } } \\ { F _ { j } ^ { ( 6 ) } } \end{array} \right) } \\ { \iff } & { \left( \begin{array} { l } { \beta _ { j } \cdot ( X _ { j } ) _ { s } - ( \gamma _ { j } ) _ { s } } \\ { - L _ { j } ( \beta _ { j } ) _ { s } - \frac { B _ { j } } { 2 L _ { j } } ( X _ { j } ) _ { s } } \\ { \frac { ( B _ { j } ) _ { s } } { 4 } - \frac { B _ { j } ( L _ { j } ) _ { s } } { 2 L _ { j } } } \\ { \frac { ( A _ { j } ) _ { s } } { A _ { j } } - \frac { ( L _ { j } ) _ { s } } { L _ { j } } } \\ { \frac { ( X _ { j } ) _ { s } } { L _ { j } } } \\ { \frac { ( L _ { j } ) _ { s } } { L _ { j } } } \end{array} \right) = \frac { L _ { j } ^ { 3 } } { A _ { j } } \Re \left( \begin{array} { l } { F _ { j } ^ { ( 1 ) } } \\ { F _ { j } ^ { ( 3 ) ( 1 , \dots , d ) } } \\ { F _ { j } ^ { ( 5 ) } } \\ { F _ { j } ^ { ( 2 ) } } \\ { F _ { j } ^ { ( 4 ) ( 1 , \dots , d ) } } \\ { F _ { j } ^ { ( 6 ) } } \end{array} \right) . } \end{array}
- { \frac { d } { d x } } { \frac { 1 } { \varepsilon ( \ln _ { k } ( x ) ) ^ { \varepsilon } } } = { \frac { 1 } { ( \ln _ { k } ( x ) ) ^ { 1 + \varepsilon } } } { \frac { d } { d x } } \ln _ { k } ( x ) = \cdots = { \frac { 1 } { x \ln ( x ) \cdots \ln _ { k - 1 } ( x ) ( \ln _ { k } ( x ) ) ^ { 1 + \varepsilon } } } ,
J \; = \; \tilde { J } ~ \frac { \Delta \tilde { m } _ { 2 1 } ^ { 2 } } { \Delta m _ { 2 1 } ^ { 2 } } \cdot \frac { \Delta \tilde { m } _ { 3 1 } ^ { 2 } } { \Delta m _ { 3 1 } ^ { 2 } } \cdot \frac { \Delta \tilde { m } _ { 3 2 } ^ { 2 } } { \Delta m _ { 3 2 } ^ { 2 } } \; \; ,
\begin{array} { r l } { \frac { \partial ^ { 2 { \nu } } } { \partial \chi _ { c } ^ { 2 { \nu } } } \left( \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } k \ k ^ { m } \sin ( k \chi _ { c } ) K _ { m } ^ { \prime } ( k ) \right) } & { { } = ( - 1 ) ^ { { \nu } } \ \times } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { I } _ { X , + } ( \Delta \omega , \phi ) } & { = \frac { \hat { I } _ { X _ { e } , \mathrm { o u t } } ( \Delta \omega ) + \left[ \hat { I } _ { X _ { o } , \mathrm { o u t } } ( \Delta \omega ) \cos \phi - \hat { I } _ { P _ { o } , \mathrm { o u t } } ( \Delta \omega ) \sin \phi \right] } { \sqrt { 2 } } , } \\ { \hat { I } _ { P , - } ( \Delta \omega , \phi ) } & { = \frac { \hat { I } _ { P _ { e } , \mathrm { o u t } } ( \Delta \omega ) - \left[ \hat { I } _ { X _ { o } , \mathrm { o u t } } ( \Delta \omega ) \sin \phi + \hat { I } _ { P _ { o } , \mathrm { o u t } } ( \Delta \omega ) \cos \phi \right] } { \sqrt { 2 } } . } \end{array}
\quad \xi _ { 1 } = i ( \sin \frac \vartheta 2 ) ^ { m } ( \cos \frac \vartheta 2 ) ^ { m + 1 } q ( \vartheta ) , \ \xi _ { 2 } = ( \sin \frac \vartheta 2 ) ^ { m + 1 } ( \cos \frac \vartheta 2 ) ^ { m } f ( \vartheta )
\begin{array} { r l } { \| x ^ { * } - x ^ { \prime } \| _ { 2 } ^ { 2 } } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n ^ { 2 } } | ( x ^ { * } ) _ { i } - ( x ^ { \prime } ) _ { i } | ^ { 2 } = \sum _ { i = 1 } ^ { n ^ { 2 } } \left( | ( x ^ { * } ) _ { i } | ^ { 2 } + | ( x ^ { \prime } ) _ { i } | ^ { 2 } - 2 | ( x ^ { * } ) _ { i } | | ( x ^ { \prime } ) _ { i } | \cos \theta _ { i } \right) , } \end{array}
\oint _ { \gamma } \tilde { A } ^ { ( n ) } = \oint _ { \partial \sigma } \tilde { A } ^ { ( n ) } = \int _ { \sigma } d \tilde { A } ^ { ( n ) } = \int _ { \sigma } \tilde { F } ^ { ( n ) } = \frac { 2 \pi n } { V e } S ,
\begin{array} { r l } { { \mathbb { E } } \binom { W _ { m _ { 1 } , m _ { 2 } } } { s } } & { = \sum _ { k = s } ^ { m _ { 2 } } \binom { k } s { \mathbb { P } } ( W _ { m _ { 1 } , m _ { 2 } } = k ) } \\ & { = \frac { 1 } { \binom { m _ { 1 } + m _ { 2 } } { m _ { 1 } } } \sum _ { k = s } ^ { m _ { 2 } } \binom { k } s \Big ( 2 ^ { k } \binom { m _ { 1 } + m _ { 2 } - k } { m _ { 1 } } - 2 ^ { k + 1 } \binom { m _ { 1 } + m _ { 2 } - k - 1 } { m _ { 1 } } \Big ) . } \end{array}
{ \frac { d \mathbf { A } } { d t } } = { \frac { q } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } } } { \frac { 1 } { | \mathbf { r } - \mathbf { r _ { s } } | ^ { 2 } \left( 1 - \mathbf { n } _ { s } \cdot { \boldsymbol { \beta } } _ { s } \right) ^ { 3 } } } \left[ { \boldsymbol { \beta } } _ { s } \left( \mathbf { n } _ { s } \cdot { \boldsymbol { \beta } } _ { s } - { \beta _ { s } } ^ { 2 } + ( \mathbf { r } - \mathbf { r _ { s } } ) \cdot { \dot { \boldsymbol { \beta } } } _ { s } / c \right) + | \mathbf { r } - \mathbf { r _ { s } } | { \dot { \boldsymbol { \beta } } } _ { s } ( 1 - \mathbf { n } _ { s } \cdot { \boldsymbol { \beta } } _ { s } ) / c \right]
\begin{array} { r l } { \Delta \Vec { k } ^ { L , R } ( \Theta ) = - \sin \Theta \ \hat { p } + \cos \Theta \ \hat { n } - \sum _ { m = - 1 } ^ { m = 1 } } & { ( \eta _ { r _ { m } } ^ { L , R } \sin \theta _ { r _ { m } } ^ { L , R } + \eta _ { { t _ { m } } } ^ { L , R } \sin \theta _ { t _ { m } } ^ { L , R } ) \hat { p } } \\ & { - ( \eta _ { r _ { m } } ^ { L , R } \cos \theta _ { r _ { m } } ^ { L , R } + \eta _ { { t _ { m } } } ^ { L , R } \cos \theta _ { t _ { m } } ^ { L , R } ) \hat { n } } \end{array}
\langle \hat { \cal { O } } _ { 1 , 2 , 3 , 4 } ^ { i } \rangle = \frac { { \mathrm { t r } } ( R ^ { i } \hat { \cal { O } } _ { 1 , 2 , 3 , 4 } ^ { i } ) } { { \mathrm { t r } } ( R ^ { i } ) } ,
\left\{ \psi _ { n } ^ { 0 } , \phi _ { n } ^ { ( 1 ) } , \phi _ { n t _ { 1 } } ^ { ( 1 ) } , \phi _ { n t _ { 2 } } ^ { ( 1 ) } , \phi _ { n } ^ { ( 2 ) } , \phi _ { n t _ { 1 } } ^ { ( 2 ) } , \phi _ { n t _ { 2 } } ^ { ( 2 ) } , \phi _ { n n n } ^ { ( 2 ) } , \phi _ { n t _ { 1 } t _ { 2 } } ^ { ( 2 ) } , \phi _ { n t _ { 1 } t _ { 1 } } ^ { ( 2 ) } + \frac { 1 } { 2 } \phi _ { n n n } ^ { ( 2 ) } \right\}
F _ { i j } ( r ) = \left\{ \begin{array} { l l } { k \left( r - b _ { i j } \right) } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \frac { r } { R _ { i } + R _ { j } } < 1 + \epsilon } \\ { - k \left( r - b _ { i j } - 2 \epsilon b _ { i j } \right) } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } 1 + \epsilon < \frac { r } { R _ { i } + R _ { j } } < 1 + 2 } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \mathrm { d } \widehat { Z } _ { t } ^ { s , u , v , \lambda } = - \lambda \left( \gamma \widehat { Z } _ { t } ^ { s , u , v , \lambda } + h _ { M Y , \epsilon } \left( \widehat { \zeta } _ { t } ^ { s , u , v , \lambda } \right) \right) \mathrm { d } t + \sqrt { 2 \gamma \lambda \beta ^ { - 1 } } \mathrm { ~ d } B _ { t } ^ { \lambda } , } \\ & { \mathrm { d } \widehat { \zeta } _ { t } ^ { s , u , v , \lambda } = \lambda \widehat { Z } _ { t } ^ { s , u , v , \lambda } \mathrm { d } t , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \frac 1 2 \partial _ { y } \big ( ( \partial _ { y } h ) ^ { 2 } \big ) } & { { } = ( \partial _ { y } h ) ( \partial _ { y } ^ { 2 } h ) \sim k _ { \pm } h ^ { - 1 } \partial _ { y } h = k _ { \pm } \partial _ { y } \log h } & { } & { { } \mathrm { ~ a ~ s ~ } \quad y \to s _ { \pm } ( t ) ^ { \mp } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \varepsilon = \left\{ \begin{array} { l l l l } { 5 , } & { \mathrm { ( i f ~ } 1 0 , 0 0 0 \leq e < 2 0 , 0 0 0 \mathrm { ) } , \qquad } & { 2 . 5 , } & { \mathrm { ( i f ~ } 2 0 , 0 0 0 \leq e < 3 0 , 0 0 0 \mathrm { ) } , } \\ { 1 . 2 5 , } & { \mathrm { ( i f ~ } 3 0 , 0 0 0 \leq e < 7 0 , 0 0 0 \mathrm { ) } , \qquad } & { 0 . 6 2 5 , } & { \mathrm { ( i f ~ } 7 0 , 0 0 0 \leq e < 1 0 0 , 0 0 0 \mathrm { ) } , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { i \frac { \partial } { \partial t } \mathbf { P } ^ { \mathrm { e } } ( t ) } & { = \left[ \mathbf { F } ^ { \mathrm { e } } ( t ) + \sum _ { k , \lambda } \varepsilon _ { k , \lambda } q _ { k , \lambda } \hat { \mu } _ { \lambda } ^ { \mathrm { e } } , \ \mathbf { P } ^ { \mathrm { e } } ( t ) \right] } \\ { i \frac { \partial } { \partial t } \mathbf { P } ^ { \mathrm { n } } ( t ) } & { = \left[ \mathbf { F } ^ { \mathrm { n } } ( t ) + \sum _ { k , \lambda } \varepsilon _ { k , \lambda } q _ { k , \lambda } \hat { \mu } _ { \lambda } ^ { \mathrm { n } } , \ \mathbf { P } ^ { \mathrm { n } } ( t ) \right] } \end{array}
Z _ { \alpha _ { 1 } , j } ^ { \alpha _ { 0 } } R _ { \beta _ { 0 } } ^ { j } + C _ { \beta _ { 0 } \gamma _ { 0 } } ^ { \alpha _ { 0 } } Z _ { \alpha _ { 1 } } ^ { \gamma _ { 0 } } + Z _ { \beta _ { 1 } } ^ { \alpha _ { 0 } } A _ { \beta _ { 0 } \alpha _ { 1 } } ^ { \beta _ { 1 } } = 0
\begin{array} { r l } { \Delta \widetilde U ^ { ( \boldsymbol { u } ^ { \prime } ) } } & { = C ^ { ' - 1 } ( L _ { i } ) \, C ^ { ' - 1 } ( L _ { j } ) \frac { \mathrm { d e t } \, \boldsymbol { u } } { \mathrm { d e t } \, \boldsymbol { u } ^ { \prime } } \Delta \widetilde U ^ { ( \boldsymbol { u } ) } , } \\ { C ^ { \prime } ( L ) } & { = \frac { \mathrm { d e t } \, \boldsymbol { u } } { \mathrm { d e t } \, \boldsymbol { u } ^ { \prime } } \frac { u _ { 1 1 } ^ { \prime } - u _ { 1 0 } ^ { \prime } K ( L ) } { u _ { 1 1 } - u _ { 1 0 } K ( L ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { n \in \mathbb { N } } \mathbb { E } \left[ \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , T ] } \| u _ { t } ^ { n } \| _ { H } ^ { p } + \left( \int _ { 0 } ^ { T } \| u _ { t } ^ { n } \| _ { V } ^ { 2 } d t \right) ^ { p / 2 } \right] } & { \leq C ( 1 + \| u _ { 0 } \| _ { H } ^ { p } ) . } \end{array}
\hat { \mathbf { F } } _ { \mathrm { e f f } } ( \omega ) = \widetilde { \mathbf { F } } _ { \mathrm { e f f } } ( s = i \omega ) = \widetilde { \mathbf { F } } _ { \mathrm { O } } + \mathbf { K } _ { \mathrm { O I } } ( \omega ^ { 2 } \mathbf { M } _ { \mathrm { I I } } - \mathbf { K } _ { \mathrm { I I } } ) ^ { - 1 } \widetilde { \mathbf { F } } _ { \mathrm { I } } \, .
P ( \zeta , \xi ) _ { \sigma _ { 2 } \tau _ { 2 } } ^ { \sigma _ { 1 } \tau _ { 1 } } = \delta ( \zeta \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } ^ { - 1 } ) \delta ( \xi \tau _ { 1 } \tau _ { 2 } ^ { - 1 } )