harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \widetilde { F } } & { : = \widetilde { f } + 2 \mathring { \delta } ^ { * } \mathbf { X } \in C ^ { \infty } ( \mathring { X } ; S ^ { 2 } T ^ { * } \mathring { X } ) , } \\ { J } & { : = H _ { L } + r ^ { - 1 } \iota _ { d r } \mathbf { X } \in C ^ { \infty } ( \mathring { X } ; T ^ { * } \mathring { X } ) , } \\ { N } & { : = \widetilde { K } + \mathring { d } \left( \frac { r } { k } K \right) + \iota _ { \mathbf { X } } \mathring { d } A \in C ^ { \infty } ( \mathring { X } ; T ^ { * } \mathring { X } ) . } \end{array}
\underline { { { J } } } \left( t , \underline { { { x } } } \right) \; = \; { \binom { ~ \sigma _ { L } ~ ~ ~ \sigma _ { H } } { - \sigma _ { H } ~ ~ \sigma _ { L } } } ~ ~ \underline { { { E } } } \left( t , \underline { { { x } } } \right) ~ ,
M _ { t } = X _ { 0 } + \int _ { T _ { 0 } } ^ { t } \frac { \mathrm { V a r } [ X _ { m ( s ) + 1 } \| X _ { 0 } , \ldots , X _ { m ( s ) } , I _ { t } ^ { ( n ) } ] \sqrt { H _ { 1 } ^ { \prime } ( s ) H _ { 2 } ( s ) - H _ { 1 } ( s ) H _ { 2 } ^ { \prime } ( s ) ) } } { H _ { 1 } ( T _ { m ( s ) + 1 } ) H _ { 2 } ( s ) - H _ { 1 } ( s ) H _ { 2 } ( T _ { m ( s ) + 1 } ) } \, \mathrm { d } W _ { s } .
\begin{array} { r l r } { p } & { : } & { p _ { x } , p _ { y } , p _ { z } } \\ { d } & { : } & { d _ { x x } , d _ { x y } , d _ { x z } , d _ { y y } , d _ { y z } , d _ { z z } } \\ { f } & { : } & { f _ { x x x } , f _ { x x y } , f _ { x x z } , f _ { x y y } , f _ { x y z } , f _ { x z z } , f _ { y y y } , f _ { y y z } , f _ { y z z } , f _ { z z z } } \\ { \vdots } \end{array}
\frac { x _ { 1 } ^ { \prime } - x _ { 1 } } { h } = \frac { a _ { 1 } } { 2 } ( x _ { 2 } ^ { \prime } x _ { 3 } + x _ { 2 } x _ { 3 } ^ { \prime } ) , \quad \frac { x _ { 2 } ^ { \prime } - x _ { 2 } } { h } = \frac { a _ { 2 } } { 2 } ( x _ { 1 } ^ { \prime } x _ { 3 } + x _ { 1 } x _ { 3 } ^ { \prime } ) , \quad \frac { x _ { 3 } ^ { \prime } - x _ { 3 } } { h } = \frac { a _ { 3 } } { 2 } ( x _ { 1 } ^ { \prime } x _ { 2 } + x _ { 1 } x _ { 2 } ^ { \prime } ) .
\begin{array} { r l } { h \left( E ^ { r } \otimes _ { i = 1 } ^ { d - r } X _ { i } \right) } & { = \operatorname* { l i m } _ { n _ { 1 } , . . . , n _ { d } \to \infty } \frac { \log \left| \mathcal { P } \left( \mathbb { Z } _ { n _ { 1 } \times \cdots \times n _ { d } } , E ^ { r } \otimes _ { i = 1 } ^ { d - r } X _ { i } \right) \right| } { n _ { 1 } \cdots n _ { d } } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { n _ { 1 } , . . . , n _ { d } \to \infty } \frac { \log \left| \mathcal { P } \left( \mathbb { Z } _ { n _ { r + 1 } \times \cdots \times n _ { d } } , \otimes _ { i = 1 } ^ { d - r } X _ { i } \right) \right| ^ { n _ { 1 } \cdots n _ { r } } } { n _ { 1 } \cdots n _ { d } } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { n _ { r + 1 } , . . . , n _ { d } \to \infty } \frac { \log \left| \mathcal { P } \left( \mathbb { Z } _ { n _ { r + 1 } \times \cdots \times n _ { d } } , \otimes _ { i = 1 } ^ { d - r } X _ { i } \right) \right| } { n _ { r + 1 } \cdots n _ { d } } } \\ & { = h \left( \otimes _ { i = 1 } ^ { d - r } X _ { i } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta Q [ Q _ { z z } ( \mathrm { { 1 0 a u } } ) ] } & { : = } & { \left( Q _ { z z } ( { \mathrm { S D T Q 1 5 \_ 4 a u } } ) - Q _ { z z } ( \mathrm { { S D T 1 5 \_ 4 a u } } ) \right) } \\ & { } & { \times \frac { \left( Q _ { z z } ( { \mathrm { S D T 1 5 \_ 1 0 a u } } ) - Q _ { z z } ( \mathrm { { S D 1 5 \_ 1 0 a u } } ) \right) } { \left( Q _ { z z } ( { \mathrm { S D T 1 5 \_ 4 a u } } ) - Q _ { z z } ( \mathrm { { S D 1 5 \_ 4 a u } } ) \right) } } \end{array}
\Vert \mathcal { E } _ { 2 , 2 } ( t _ { n } ) \Vert _ { X _ { \tau } ^ { 0 , b _ { 0 } - 1 } } \lesssim \Vert \mathcal { E } _ { 2 , 2 } ( t _ { n } ) \Vert _ { l _ { \tau } ^ { 2 } L ^ { 2 } } \lesssim \tau ^ { 2 } \operatorname* { s u p } _ { \vartheta \in [ 0 , \tau ] } \| \Pi _ { \tau } u ^ { \tau } ( t _ { n } + \vartheta ) \| _ { l _ { \tau } ^ { \infty } H ^ { \frac { 4 } { 5 } } } ^ { 5 } \lesssim \tau ^ { 2 } \| \Pi _ { \tau } u ^ { \tau } \| _ { L ^ { \infty } H ^ { \frac { 4 } { 5 } } } ^ { 5 } .
\begin{array} { r l } & { u ( t , x , 1 , 0 ) = u _ { 0 } ( x ) + \int _ { 0 } ^ { t } \nabla ^ { T } u ( r - , x , 1 , 0 ) a ( x ) \, \mathrm { d } r + \int _ { 0 } ^ { t } u ( r - , x , 1 , 0 ) b ( x ) \, \mathrm { d } r + c ( x ) t } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { t } \nabla ^ { T } u ( r - , x , 1 , 0 ) A ( x ) \circ \mathrm { d } W _ { r } + \int _ { 0 } ^ { t } u ( r - , x , 1 , 0 ) B ( x ) \circ \mathrm { d } W _ { r } + C ( x ) W _ { t } } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \| z \| \leq 1 } \Big ( \mathbf { e } ^ { \mathcal { Q } z } ( u ( r - , x , 1 , 0 ) ) - u ( r - , x , 1 , 0 ) \Big ) \, \tilde { N } ( \mathrm { d } z , \mathrm { d } r ) } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \| z \| \leq 1 } \Big ( \mathbf { e } ^ { \mathcal { Q } z } ( u ( r - , x , 1 , 0 ) ) - u ( r - , x , 1 , 0 ) - \mathcal { Q } u ( r - , x , 1 , 0 ) z \Big ) \, \nu ( \mathrm { d } z ) \, \mathrm { d } r . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int } & { d \omega _ { 1 } \omega _ { 1 } ( 2 \omega _ { P } - \omega _ { 1 } ) \mathcal { L } ( \omega _ { 1 } , 2 \omega _ { P } - \omega _ { 1 } ) } \\ & { \approx \pi \frac { \Gamma _ { 2 , S } \Gamma _ { 2 , I } } { \left( \Gamma _ { 2 , S } + \Gamma _ { 2 , I } \right) } \left( \omega _ { S } \omega _ { I } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { O v e r s h o o t } & { { } = l n ( \frac { l n ( \frac { | e ^ { S _ { \infty } } - 1 | } { e - 1 } ) } { 1 - S _ { \infty } + l n ( \frac { | e ^ { S _ { \infty } } - 1 | } { e - 1 } ) } ) - S _ { \infty } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla \psi } & { = \partial \psi / \partial x = i \hbar ^ { - 1 } \xi \psi , } \\ { \nabla ^ { T } \cdot m ^ { - 1 } \cdot \nabla \psi } & { = \frac { i } { \hbar } \left[ \left( \nabla ^ { T } \cdot m ^ { - 1 } \cdot \xi \right) \psi + ( \nabla ^ { T } \psi ) \cdot m ^ { - 1 } \cdot \xi \right] } \\ & { = \frac { i } { \hbar } \left[ \operatorname * { T r } \left( m ^ { - 1 } \cdot A _ { t } \right) + \frac { i } { \hbar } \xi ^ { T } \cdot m ^ { - 1 } \cdot \xi \right] \psi , } \end{array}
\begin{array} { r l } { g } & { = g _ { 1 } + \mathrm { i } g _ { 2 } = \operatorname { s i g n } ( c _ { 1 } ( x ) ) \left( \cos { ( x _ { 1 } ) } - \cos { ( x ) } \right) ^ { m _ { 1 } } } \\ & { \phantom { = } + \mathrm { i } \operatorname { s i g n } ( c _ { 2 } ( x ) ) \left( \cos { ( x _ { 2 } ) } - \cos { ( x ) } \right) ^ { m _ { 2 } } \left( \sin { ( x ) } \right) ^ { m _ { 0 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Gamma ( \omega ) } & { \sim \frac { \Lambda ^ { 2 } \ell ^ { 2 s } ( 2 N ) ^ { s } } { 2 \hbar ^ { 2 } } \sum _ { p = 1 } ^ { \infty } p \, \delta \big ( \omega - p \, \omega _ { \mathrm { F } } \big ) } \\ & { \quad \times \bigg | \oint \frac { \mathrm { d } \varphi } { 2 \pi } \cos \bigl ( n [ \varphi - \alpha ] \bigr ) \, \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } p f ( \varphi ) } \, f ^ { \prime } ( \varphi ) ^ { \frac { 2 + s } { 2 } } \bigg | ^ { 2 } . } \end{array}
\varepsilon : = \frac { ( q _ { 0 } - 2 \, k _ { 0 } ) ^ { 2 } - | { \bf p } | ^ { 2 } } { ( q _ { 0 } - 2 \, k _ { 0 } ) ^ { 2 } + | { \bf p } | ^ { 2 } } = \left[ 1 + 2 \, \frac { ( k _ { 0 L } - k _ { 0 L } ^ { \prime } ) ^ { 2 } + Q ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } } \tan ^ { 2 } { \frac { \theta _ { e } ^ { L } } { 2 } } \right] ^ { - 1 } .
\begin{array} { r l } { \Delta y _ { t } } & { = \sum _ { l = 1 } ^ { k } \log \frac { f _ { + } ( \xi _ { i , t } ^ { l } ) } { f _ { - } ( \xi _ { i , t } ^ { l } ) } } \\ & { = \mathrm { E } _ { \xi } \left[ \left. \sum _ { l = 1 } ^ { k } \log \frac { f _ { + } ( \xi _ { i , t } ^ { l } ) } { f _ { - } ( \xi _ { i , t } ^ { l } ) } \right| H \right] + \left( \sum _ { l = 1 } ^ { k } \log \frac { f _ { + } ( \xi _ { i , t } ^ { l } ) } { f _ { - } ( \xi _ { i , t } ^ { l } ) } - \mathrm { E } _ { \xi } \left[ \left. \sum _ { l = 1 } ^ { k } \log \frac { f _ { + } ( \xi _ { i , t } ^ { l } ) } { f _ { - } ( \xi _ { i , t } ^ { l } ) } \right| H \right] \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tilde { \mathcal { L } } _ { p r } ( r , t ) \tilde { \Psi } } & { { } = } & { \left( \frac { \partial u } { \partial r } \right) \left[ \frac { 1 } { 2 } \left( \cot { \tilde { \theta } } \sin { \tilde { \phi } } \frac { \partial \tilde { \Psi } } { \partial \tilde { \phi } } - \cos { \tilde { \phi } } \frac { \partial \tilde { \Psi } } { \partial \tilde { \theta } } \right) \right. } \end{array}
p _ { \mathrm { { q m } } } = \frac { 1 } { Z } \, p _ { ( \nu _ { x } , \nu _ { y } ) } \, e ^ { - \hbar \omega _ { ( x , y ) } ( \nu _ { x } + \nu _ { y } + 1 ) / ( k _ { B } T _ { \mathrm { { q m } } } ) } .
\widetilde { N } _ { F , \overline { { { \mathrm { \tiny ~ M S } } } } } ^ { ( 0 ) } ( \rho _ { i } ) \cong \left( 1 + { \frac { 5 } { \rho _ { i } { \exp ( { \frac { 5 } { 3 } } ) } } } \right) ^ { - 1 } \cong \left( 1 + { \frac { 1 } { \rho _ { i } } } \right) ^ { - 1 } .
\begin{array} { r l } { N ( x , t ) } & { \le M e ^ { \alpha ( t - t _ { 0 } ) } \| N ( \dot { , } t _ { 0 } ) \| _ { L ^ { \infty } ( \Omega ) } + c \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } e ^ { - \delta ( t - s ) } ( \| b \| _ { L ^ { 1 } ( \Omega ) } + \nu \| N ^ { * } ( t ) \| _ { L ^ { 1 } ( \Omega ) } ) d s } \\ & { = M e ^ { \alpha ( t - t _ { 0 } ) } \| N ( \cdot , t _ { 0 } ) \| _ { L ^ { \infty } ( \Omega ) } + \frac { c ( \| b \| _ { L ^ { 1 } ( \Omega ) } + \nu \| N ^ { * } ( t ) \| _ { L ^ { 1 } ( \Omega ) } ) } { \delta } ( 1 - e ^ { - \delta ( t - t _ { 0 } ) } ) } \\ & { \le M e ^ { \alpha ( t - t _ { 0 } ) } \| N ( \cdot , t _ { 0 } ) \| _ { L ^ { \infty } ( \Omega ) } + \frac { c ( \| b \| _ { L ^ { 1 } ( \Omega ) } + \nu \| N ^ { * } ( t ) \| _ { L ^ { 1 } ( \Omega ) } ) } { \delta } . } \end{array}
{ \frac { d ^ { \frac { 1 } { 2 } } } { d x ^ { \frac { 1 } { 2 } } } } x = { \frac { \Gamma ( 1 + 1 ) } { \Gamma \left( 1 - { \frac { 1 } { 2 } } + 1 \right) } } x ^ { 1 - { \frac { 1 } { 2 } } } = { \frac { \Gamma ( 2 ) } { \Gamma \left( { \frac { 3 } { 2 } } \right) } } x ^ { \frac { 1 } { 2 } } = { \frac { 1 } { \frac { \sqrt { \pi } } { 2 } } } x ^ { \frac { 1 } { 2 } } .
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 1 - E } \left[ Q _ { j } \right] } & { { } = \left( 1 + E + E ^ { 2 } \right) Q _ { j } } \\ { = Q _ { j } + q _ { j + 1 } } & { { } + \ldots = \left( 1 - \sum _ { i = 1 } ^ { j - 1 } q _ { i } \right) , } \end{array}
\delta _ { i } ( z _ { \mathrm { s p a r s e } } ) = \frac { 1 } { \sqrt { N z _ { \mathrm { s p a r s e } } \, s _ { i } ^ { * } } } \simeq \frac { 1 } { \sqrt { k \, s _ { i } ^ { * } } } = \frac { 1 } { \sqrt { k } } \qquad \forall i
\begin{array} { r l } { \tilde { \Gamma } _ { I J 0 } } & { = \left( \begin{array} { c c c } { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { - t g _ { i j } } & { - t a _ { i } } \\ { 1 } & { - t a _ { j } } & { 0 } \end{array} \right) \, , \quad \tilde { \Gamma } _ { I J \infty } = \left( \begin{array} { c c c } { 0 } & { t a _ { j } } & { 0 } \\ { t a _ { i } } & { - t ^ { 2 } \left( \frac { 1 } { 2 } \partial _ { \rho } g _ { i j } - \partial _ { ( i } a _ { j ) } \right) } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) \, , } \\ { \tilde { \Gamma } _ { I J k } } & { = \left( \begin{array} { c c c } { 0 } & { t g _ { j k } } & { t a _ { k } } \\ { t g _ { i k } } & { t ^ { 2 } \Gamma _ { i j k } } & { \frac { t ^ { 2 } } { 2 } \left( \partial _ { \rho } g _ { i k } + F _ { i k } \right) } \\ { t a _ { k } } & { \frac { t ^ { 2 } } { 2 } \left( \partial _ { \rho } g _ { j k } + F _ { j k } \right) } & { t ^ { 2 } \partial _ { \rho } a _ { k } } \end{array} \right) \, , } \end{array}
{ \Gamma } _ { 0 } = \frac { 1 } { 2 } \{ { \gamma } _ { L } , { \gamma } _ { R } \} = \frac { a ^ { 2 } } { 2 } [ \vec { J } ^ { 2 } - 2 l ( l + 1 ) - \frac { 1 } { 4 } ] .
U = \frac { \tau y } { \mu } + \Im \left( \frac { P } { \pi } \left( \frac { \tau } { \mu } - \gamma _ { M a } \right) \operatorname { a r c c o s } \left( \frac { \cos \left( \displaystyle \frac { \pi \theta } { P } \right) } { \cos \left( \displaystyle \frac { \pi \phi } { 2 } \right) } \right) - \theta \right) ,
( \widehat B _ { 1 } ) _ { i \pm \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { \mp , \mu } - B _ { 1 } ( x _ { i \pm \frac { 1 } { 2 } } , y _ { j } ^ { \mu } ) = { \mathcal O } ( h ^ { k } ) , \qquad ( \widehat B _ { 2 } ) _ { i , j \pm \frac { 1 } { 2 } } ^ { \mu , \mp } - B _ { 2 } ( x _ { i } ^ { \mu } , y _ { j \pm \frac { 1 } { 2 } } ) = { \mathcal O } ( h ^ { k } ) ,
\mathsf { A C V } ^ { 2 } G _ { \delta } = \mathsf { A C V } ^ { 2 } \bar { P } + ( \mathsf { A C V } ^ { 2 } \bar { P } ) ( \mathsf { A C V } ^ { 2 } \hat { P } _ { \delta } ^ { - 1 } ) + \mathsf { A C V } ^ { 2 } \hat { P } _ { \delta } ^ { - 1 } ,
e ^ { - 2 \rho } \rightarrow \left\{ \begin{array} { l l } { { - \lambda ^ { 2 } x ^ { + } x ^ { - } , } } & { { x ^ { + } - x _ { 0 } ^ { + } < 0 , } } \\ { { - \lambda ^ { 2 } x ^ { + } x ^ { - } - 4 \mu \sqrt { \frac { 1 + v } { 1 - v } } ( x ^ { + } - x _ { 0 } ^ { + } ) , } } & { { x ^ { + } - x _ { 0 } ^ { + } > 0 , } } \end{array} \right.
m _ { 1 } { \mathrm { s i n h } } ( s _ { 1 } ) + m _ { 2 } { \mathrm { s i n h } } ( s _ { 2 } ) = m _ { 1 } { \mathrm { s i n h } } ( s _ { 3 } ) + m _ { 2 } { \mathrm { s i n h } } ( s _ { 4 } )
\begin{array} { r l r } { \hat { x } ^ { 2 } } & { \rightarrow } & { \hat { x } _ { \tau } ^ { 2 } = \tau \hat { x } ^ { 2 } + ( 1 - \tau ) \hat { x } _ { \mathrm { e } } ^ { 2 } + \sqrt { \tau ( 1 - \tau ) } \{ \hat { x } , \hat { x } _ { \mathrm { e } } \} , } \\ { \hat { p } ^ { 2 } } & { \rightarrow } & { \hat { p } _ { \tau } ^ { 2 } = \tau \hat { p } ^ { 2 } + ( 1 - \tau ) \hat { p } _ { \mathrm { e } } ^ { 2 } + \sqrt { \tau ( 1 - \tau ) } \{ \hat { p } , \hat { p } _ { \mathrm { e } } \} , } \\ { \{ \hat { x } , \hat { p } \} } & { \rightarrow } & { \{ \hat { x } _ { \tau } , \hat { p } _ { \tau } \} = \tau \{ \hat { x } , \hat { p } \} + ( 1 - \tau ) \{ \hat { x } _ { \mathrm { e } } , \hat { p } _ { \mathrm { e } } \} } \\ & { + } & { \sqrt { \tau ( 1 - \tau ) } \left( \{ \hat { x } , \hat { p } _ { \mathrm { e } } \} + \{ \hat { p } , \hat { x } _ { \mathrm { e } } \} \right) . } \end{array}
I _ { 2 } = { \frac { i \pi ^ { 2 } } { 1 6 a } } \int _ { 1 } ^ { \lambda - 1 } { d r { \frac { 1 } { r } } \left[ { \frac { 1 } { ( B - i \delta ) ^ { 3 } } } - { \frac { 1 } { r } } { \frac { 1 } { ( B - i \delta ) } } \right] } ,
f ( r ) = \left\{ \begin{array} { l l } { { 1 - \sigma \alpha \frac { r ^ { 2 } } { R ^ { 2 } } , } } & { { \qquad r < R , } } \\ { { \frac { 1 - \sigma ( 2 + \alpha ) } { 2 } \left( \frac { r } { R } \right) ^ { \alpha } + \frac { 1 + \sigma ( 2 - \alpha ) } { 2 } \left( \frac { R } { r } \right) ^ { \alpha } , } } & { { \qquad r > R . } } \end{array} \right.
\sum _ { l } \left[ \frac { \partial ( \phi ^ { l } \rho ^ { l } \mathscr { E } ^ { l } ) } { \partial t } + \nabla \cdot ( \phi ^ { l } \rho ^ { l } \mathscr { E } ^ { l } \mathbf { u } ) - \frac { \phi ^ { l } \overline { { \Gamma } } } { \Gamma ^ { l } } ( - p ^ { l } \mathbf { I } + 2 G ^ { l } \mathrm { d e v } ( \mathbf { H } _ { e } ) ) : \nabla \mathbf { u } \right] = 0
\begin{array} { r l } { \mathcal { G } ( \boldsymbol { p } , \tilde { p } , \tilde { q } , \boldsymbol { \eta } , \boldsymbol { \xi } ) = } & { \hat { \mathcal { V } } _ { \alpha _ { m _ { 2 } } } ( p _ { i _ { 1 } } , \tilde { p } + p _ { i _ { 1 } } , \boldsymbol { \eta } ) \overline { { \hat { \mathcal { V } } _ { \tilde { \alpha } _ { m _ { 2 } } } ( p _ { i _ { 1 } } , \tilde { q } + p _ { i _ { 1 } } , \boldsymbol { \xi } ) } } } \\ & { \times \prod _ { i = 1 } ^ { n } \hat { \mathcal { V } } _ { \alpha _ { \iota ^ { * } ( \sigma _ { i } ) } } ( p _ { i } + \pi _ { \sigma _ { i } } ^ { 1 } ( \tilde { p } ) , p _ { \sigma _ { i } - 1 } + \pi _ { \sigma _ { i } } ^ { 2 } ( \tilde { p } ) , \boldsymbol { \eta } ) \overline { { \hat { \mathcal { V } } _ { \tilde { \alpha } _ { \iota ^ { * } ( \sigma _ { i } ) } } ( p _ { i } + \pi _ { \sigma _ { i } } ^ { 1 } ( \tilde { q } ) , p _ { \sigma _ { i } - 1 } + \pi _ { \sigma _ { i } } ^ { 2 } ( \tilde { q } ) , \boldsymbol { \xi } ) } } } \\ & { \times \prod _ { i = 0 } ^ { n } \prod _ { m = \sigma _ { i } + 1 } ^ { \sigma _ { i + 1 } - 1 } \hat { \mathcal { V } } _ { \alpha _ { \iota ^ { * } ( m ) } } ( p _ { i } + \pi _ { m } ^ { 1 } ( \tilde { p } ) , p _ { i } + \pi _ { m } ^ { 2 } ( \tilde { p } ) , \boldsymbol { \eta } ) \overline { { \hat { \mathcal { V } } _ { \tilde { \alpha } _ { \iota ^ { * } ( m ) } } ( p _ { i } + \pi _ { m } ^ { 1 } ( \tilde { q } ) , p _ { i } + \pi _ { m } ^ { 2 } ( \tilde { q } ) , \boldsymbol { \xi } ) } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H ^ { \mathrm { D C B } } = } & { \sum _ { p q } h _ { p q } a _ { p } ^ { \dagger } a _ { q } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { p q r s } \left( g _ { p q , r s } ^ { \mathrm { C , S D } } + g _ { p q , r s } ^ { \mathrm { B r e i t } } \right) \hat { a } _ { p } ^ { \dagger } \hat { a } _ { r } ^ { \dagger } \hat { a } _ { s } \hat { a } _ { q } } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { p q r s } g _ { p q , r s } ^ { \mathrm { C , S F } } \hat { a } _ { p } ^ { \dagger } \hat { a } _ { r } ^ { \dagger } \hat { a } _ { s } \hat { a } _ { q } } \end{array}
\int \langle \operatorname* { m a x } ( \lambda _ { 1 } , \lambda _ { 2 } ) \rangle ^ { \frac { \eta } { 4 } } \cdot \operatorname* { m a x } _ { \mathfrak n \in \mathcal N ^ { c h } \backslash Z } \langle \alpha _ { \mathfrak n } \rangle ^ { 1 - \frac { \eta } { 2 } } \big | \mathcal C \big ( \lambda _ { 1 } , \lambda _ { 2 } , \alpha [ \mathcal N ^ { c h } \backslash Z ] \big ) \big | \, \mathrm { d } \alpha [ \mathcal N ^ { c h } \backslash Z ] \mathrm { d } \lambda _ { 1 } \mathrm { d } \lambda _ { 2 } \leq C ^ { n } .
\begin{array} { r l } { \sum _ { i \in C _ { k } ^ { ( 1 ) } } \! \! } & { \Delta _ { k , l } ^ { \langle i \rangle } + \sum _ { i \in \mathcal { C } _ { 1 } } w _ { k , l } ^ { \langle i \rangle } + w _ { k , l } + S _ { k , l } + \sum _ { i \in C _ { k } ^ { ( 2 ) } } \! \! \Delta _ { k , l } ^ { \langle i \rangle } + \sum _ { i \in \mathcal { C } _ { 2 } } w _ { k , l } ^ { \langle i \rangle } - w _ { k , l } - S _ { k , l } } \\ & { = \sum _ { i \in C _ { k } ^ { ( 1 ) } \cup C _ { k } ^ { ( 2 ) } } \! \! \Delta _ { k , l } ^ { \langle i \rangle } + \sum _ { i \in \mathcal { C } _ { 1 } \cup \mathcal { C } _ { 2 } } w _ { k , l } ^ { \langle i \rangle } } \\ & { = \sum _ { i \in C _ { k } } \Delta _ { k , l } ^ { \langle i \rangle } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Bar W ( x _ { i } , y _ { j } , t _ { n + 1 } ) = \Bar W ( x _ { i } , y _ { j } , t _ { n } ) - } & { \frac { \Delta t } { \Delta x \Delta y } [ \frac { 1 } { \Delta t } \int _ { t _ { n } } ^ { t _ { n + 1 } } \int _ { y _ { j - \frac { 1 } { 2 } } } ^ { y _ { j + \frac { 1 } { 2 } } } F ( W ( x _ { i + \frac { 1 } { 2 } } , y , t ) ) - F ( W ( x _ { i - \frac { 1 } { 2 } } , y , t ) ) d y d t ] - } \\ & { \frac { \Delta t } { \Delta x \Delta y } [ \frac { 1 } { \Delta t } \int _ { t _ { n } } ^ { t _ { n + 1 } } \int _ { x _ { i - \frac { 1 } { 2 } } } ^ { x _ { i + \frac { 1 } { 2 } } } G ( W ( x , y _ { j + \frac { 1 } { 2 } } , t ) ) - G ( W ( x , y _ { j - \frac { 1 } { 2 } } , t ) ) d x d t ] , } \end{array}
S = a ^ { 4 } \sum _ { ( l , n ) } \left[ \frac { \Phi ^ { * } ( l ) - \Phi ^ { * } ( n ) } { a } \right] \left[ \frac { \Phi ( l ) - \Phi ( n ) } { a } \right] + m ^ { 2 } a ^ { 4 } \sum _ { n } \Phi ^ { * } ( n ) \Phi ( n ) \, ,
\begin{array} { r l } { ( H ^ { ( 2 ) } ( \boldsymbol { m } , \mathcal { P } ) ) _ { j , k } } & { = - \Re \left( \mathcal { G } _ { \boldsymbol { m } , \omega } \left( \begin{array} { l } { u _ { j , k } } \\ { u _ { j , k } \vert _ { \partial \Omega } } \end{array} \right) - \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { \left( \frac { \mathrm { i } \omega } { 4 m ^ { 3 / 2 } } \right) \beta _ { j } \beta _ { k } u } \end{array} \right) \, , \, \lambda ( \boldsymbol { m } , \mathcal { P } ) \right) _ { \Omega \times \partial \Omega } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { 1 2 } } & { { } = w \sqrt { \frac { 1 } { g _ { 1 } g _ { 2 } Z _ { 1 } Z _ { 2 } } } = 0 . 0 2 2 8 \, \Omega ^ { - 1 } , } \\ { J _ { 2 3 } } & { { } = w \sqrt { \frac { \pi } { 4 g _ { 2 } g _ { 3 } Z _ { 2 } Z _ { 3 } } } = 0 . 0 0 7 6 \, \Omega ^ { - 1 } , } \\ { K _ { 3 4 } } & { { } = \sqrt { \frac { \pi } { 4 } \frac { w Z _ { 3 } Z _ { 0 } } { g _ { 3 } g _ { 4 } } } = 2 7 . 9 5 \, \Omega , } \end{array}
\frac \partial { \partial t } \, \pounds _ { v } \log s _ { v } = - \frac 1 { s _ { v } ^ { 2 } } \, ( \pounds _ { v } s _ { v } ) \, \frac { \partial s _ { v } } { \partial t } + \frac { 1 } { s _ { v } } \, \frac \partial { \partial t } \, \pounds _ { v } s _ { v } \ .
\psi _ { m } ( r ) = r ^ { | m | } \, _ { 1 } F _ { 1 } \left( { \frac { 2 - g } { 4 } } + { \frac { | m | - m } { 2 } } - { \frac { \epsilon R ^ { 2 } } { 2 \delta } } , 1 + | m | , { \frac { \delta r ^ { 2 } } { R ^ { 2 } } } \right) e ^ { - { \frac { \delta r ^ { 2 } } { 2 R ^ { 2 } } } } \, .
\begin{array} { r l } { z ( r ) = } & { \underbrace { \frac { r ^ { 2 } } { R \left( 1 + \sqrt { 1 - ( 1 + \kappa ) r ^ { 2 } / R ^ { 2 } } \right) } + \alpha _ { 2 } r ^ { 2 } + \alpha _ { 4 } r ^ { 4 } + \cdots } _ { a s p h e r i c a l } } \\ & { + \underbrace { \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( a _ { i } x ^ { 2 i + 1 } + b _ { i } y ^ { 2 i + 1 } ) } _ { o d d - p o l y n o m i a l } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \pmb q ^ { \prime } ( x , r , \theta , t ) = \hat { \pmb q } ( x , r ) e ^ { i ( m \theta + \omega t ) } , } \\ { \pmb f _ { e } ( x , r , \theta , t ) = \hat { \pmb f } ( x , r ) e ^ { i ( m \theta + \omega t ) } . } \end{array}
\mathbb { E } \left[ \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq s \leq T } \| U ( s , \cdot ) \| _ { p } ^ { p } + \sum _ { j } \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \mathbb { T } ^ { 3 } } \left| \nabla \left( \left| U _ { j } ( s , x ) \right| ^ { p / 2 } \right) \right| ^ { 2 } d x d s \right] \leq C \mathbb { E } \left[ \left\| U _ { 0 } \right\| _ { p } ^ { p } \right] + C _ { T } .
\begin{array} { r } { - \frac { \delta { \cal S } _ { K } } { \delta P ( t ) } = \left[ \partial _ { t } ^ { 2 } + \omega _ { P } ^ { 2 } + m ( t ) \right] P ( t ) + \alpha P ^ { 3 } ( t ) - E ( t ) = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \lambda _ { g } ) _ { \ell } } & { \geq \gamma _ { \ell } + \frac { \gamma _ { \ell } ^ { 2 } F _ { g } } { 2 } + \frac { \gamma _ { \ell } \sqrt { 4 + 4 \gamma _ { \ell } F _ { g } + \gamma _ { \ell } ^ { 2 } F _ { g } ^ { 2 } } } { 2 } = 2 \gamma _ { \ell } + \gamma _ { \ell } ^ { 2 } F _ { g } \geq 2 \gamma _ { \ell } + \gamma _ { \ell } ^ { 2 } = \lambda _ { \ell } , } \end{array}
\mathbf { F } = { \frac { d \mathbf { P } } { d \tau } } = \gamma ( \mathbf { u } ) \left( { \frac { 1 } { c } } { \frac { d E } { d t } } , { \frac { d \mathbf { p } } { d t } } \right) = \gamma ( \mathbf { u } ) ( P / c , \mathbf { f } )
\Delta [ P _ { \mathrm { a } } ] = 4 \left( c _ { \mathrm { a } } ^ { 3 } k _ { \mathrm { a } } ^ { 3 } + \left( k _ { \mathrm { a } } ^ { 2 } - 1 \right) ^ { 2 } + c _ { \mathrm { a } } k _ { \mathrm { a } } \left( 5 k _ { \mathrm { a } } ^ { 2 } + 3 \right) \right) + c _ { \mathrm { a } } ^ { 2 } k _ { \mathrm { a } } ^ { 2 } \left( k _ { \mathrm { a } } ^ { 2 } + 1 2 \right) .
\begin{array} { l l l l } { { \zeta ^ { + } = \eta _ { z } ^ { + } \mathrm { e } ^ { \varphi } d z , } } & { { \zeta ^ { - } = \eta _ { z } ^ { - } \mathrm { e } ^ { \varphi } d z , } } & { { \tilde { \zeta } _ { + } = \eta _ { + \bar { z } } \mathrm { e } ^ { \varphi } d \bar { z } , } } & { { \tilde { \zeta } _ { - } = \eta _ { - \bar { z } } \mathrm { e } ^ { \varphi } d \bar { z } , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { 2 , \sigma } ( t ) } & { : = \sqrt { 2 } \operatorname* { m a x } \Big \{ 1 , \frac { 4 } { \sigma } \Big \} ^ { 3 } + 4 \sqrt { 2 } \bigg ( \frac { 1 2 } { \sigma } \bigg ) ^ { 3 } t C _ { \sigma } ( t ) } \\ & { = \sqrt { 2 } \operatorname* { m a x } \Big \{ 1 , \frac { 4 } { \sigma } \Big \} ^ { 3 } + 4 \sqrt { 2 } \bigg ( \frac { 1 2 } { \sigma } \bigg ) ^ { 3 } 1 7 0 \cdot \operatorname* { m a x } \bigg \{ 1 , \frac { 1 2 } { \sigma } \bigg \} ^ { 6 } t ^ { 2 } ( 1 + t ) ^ { 3 } e ^ { t } . } \end{array}