harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
t = E { \int } { d r \, \Bigl ( 1 + { \frac { 4 M } { r } } - { \frac { 4 q ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } } \Bigr ) \left( { E ^ { 2 } \Bigl ( 1 + { \frac { 4 M } { r } } - { \frac { 4 q ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } } \Bigr ) - { \frac { L ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } } - m ^ { 2 } \sqrt { 1 + { \frac { 4 M } { r } } - { \frac { 4 q ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } } } } \right) ^ { - 1 / 2 } } \ .
\begin{array} { r l r } & { } & { { \bf Y } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) = \left( \begin{array} { l l } { W ^ { p , p } } & { W ^ { p , v } } \\ { W ^ { v , p } } & { W ^ { v , v } } \end{array} \right) ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 1 } \\ { \frac { 1 } { \omega \rho _ { 0 } } { \cal H } _ { 1 } } & { - \frac { 1 } { \omega \rho _ { 0 } } { \cal H } _ { 1 } } \end{array} \right) ( { \bf x } _ { F } ) . } \end{array}
\mathcal { C } \tilde { a } _ { m } \| f \| _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \mathcal { O } ) } ^ { 2 } \leq \Vert ( \mathcal { A } _ { 0 } + \nu ) ^ { 1 / 2 } f \Vert _ { L _ { \mu } ^ { 2 } ( \mathcal { O } ) } ^ { 2 } \leq \operatorname* { m a x } ( \tilde { a } _ { M } , \tilde { c } _ { M } + \nu \mu _ { M } ) \| f \| _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \mathcal { O } ) } ^ { 2 } .
\Delta \overline { { { | { \cal M } _ { q _ { f } \to q _ { f } G G } ^ { 4 j e t } | ^ { 2 } } } } = \frac { 1 } { 3 } \cdot \frac { 1 } { 2 } \left( \sum _ { f = 1 } ^ { n _ { f } } e _ { f } ^ { 2 } \left( \Delta q _ { f } + \Delta \bar { q } _ { f } \right) \right) \otimes \Delta | { \cal M } _ { q _ { f } \to q _ { f } G G } | _ { A + B + C _ { 1 } + C _ { 2 } } ^ { 2 }
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { V a r } ( { \hat { Y } } _ { \mathrm { p w r } } ) } & { = { \frac { 1 } { n } } { \frac { 1 } { n - 1 } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( { \frac { y _ { i } } { p _ { i } } } - { \hat { Y } } _ { p w r } \right) ^ { 2 } } \\ & { = { \frac { 1 } { n } } { \frac { 1 } { n - 1 } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( { \frac { n } { n } } { \frac { y _ { i } } { p _ { i } } } - { \frac { n } { n } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } w _ { i } y _ { i } \right) ^ { 2 } = { \frac { 1 } { n } } { \frac { 1 } { n - 1 } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( n { \frac { y _ { i } } { \pi _ { i } } } - n { \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { n } w _ { i } y _ { i } } { n } } \right) ^ { 2 } } \\ & { = { \frac { n ^ { 2 } } { n } } { \frac { 1 } { n - 1 } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( w _ { i } y _ { i } - { \overline { { w y } } } \right) ^ { 2 } } \\ & { = { \frac { n } { n - 1 } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( w _ { i } y _ { i } - { \overline { { w y } } } \right) ^ { 2 } } \end{array} }
\vec { P } ( t ) = - \frac { 1 } { c ^ { 2 } ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d ^ { 3 } k ~ \Phi _ { 1 } ^ { * } ( \vec { k } ) \vec { J } _ { 2 } ( \vec { k } )
\begin{array} { r l } { \left[ \begin{array} { l } { \dot { p } _ { i } } \\ { \dot { v } _ { i } } \end{array} \right] = } & { \left[ \begin{array} { l l } { 0 _ { 2 \times 2 } } & { I _ { 2 } } \\ { 0 _ { 2 \times 2 } } & { 0 _ { 2 \times 2 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { { p } _ { i } } \\ { { v } _ { i } } \end{array} \right] + \left[ \begin{array} { l } { 0 _ { 2 \times 1 } } \\ { u _ { i } } \end{array} \right] , } \end{array}
\mathbf { E } ( \alpha _ { m } , \beta _ { n } , \gamma _ { p } ) ~ = ~ { \frac { j k \eta } { k ^ { 2 } - \alpha _ { m } ^ { 2 } - \beta _ { n } ^ { 2 } - \gamma _ { p } ^ { 2 } } } ~ \mathbf { G } _ { m n p } ~ \mathbf { J } ( \alpha _ { m } , \beta _ { n } , \gamma _ { p } ) ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ( 3 . 1 )
\begin{array} { r l } { \rho _ { 0 } ( K _ { 1 } ( k _ { 1 } ) ) f ( z _ { 1 } , z _ { 2 } , z _ { 3 } , z _ { 4 } ) } & { = f ( z _ { 1 } , z _ { 2 } , \left( \begin{array} { l l } { \cos ( k _ { 1 } ) } & { - 2 ^ { - 1 } \sin ( k _ { 1 } ) } \\ { 2 \sin ( k _ { 1 } ) } & { \cos ( k _ { 1 } ) } \end{array} \right) \binom { z _ { 3 } } { z _ { 4 } } ) . } \end{array}
\theta _ { \mathrm { ~ d ~ y ~ n ~ } } ( \lambda ) = 2 \int _ { 0 } ^ { \lambda } \frac { \mathsf { K } ( \widetilde { \lambda } ) + E ( \widetilde { \lambda } ) } { \mathsf { A } } \, d \widetilde { \lambda } \, , \qquad \mathsf { K } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { p _ { j } ^ { 2 } } { I _ { j } } \, ,
\frac { \partial { \theta } ^ { \prime } } { \partial t } + \mathbf { V _ { b } } \cdot \mathbf { \nabla } { \theta } ^ { \prime } + { \mathbf { v } } ^ { \prime } \cdot \mathbf { \nabla } \Theta _ { b } = \frac { 1 } { R a ^ { 1 / 2 } } \mathbf { \nabla } ^ { 2 } { \theta } ^ { \prime } .
D _ { \mathbb { F } , a _ { o } } ^ { \alpha } g \left( f _ { x _ { o } } \right) = F \operatorname* { l i m } _ { x \rightarrow x _ { o } } \frac { g ( f _ { x } ) - g ( f _ { x _ { o } } ) } { f ( x ) - f ( x _ { o } ) } \frac { f ( x ) - f ( x _ { o } ) } { S _ { F ^ { \prime } , a _ { o } } ^ { \alpha } ( x ) - S _ { F ^ { \prime } , a _ { o } } ^ { \alpha } ( x _ { o } ) } = 1 \, ,
\begin{array} { r l } { \beta _ { k _ { 1 } , k _ { 2 } , \cdots , k _ { n } } } & { = M \cdot \left( \begin{array} { l } { \tilde { \tilde { \beta } } _ { k _ { 1 } , k _ { 2 } , \cdots , k _ { n } } ^ { ( 1 ) } } \\ { \tilde { \tilde { \beta } } _ { k _ { 1 } , k _ { 2 } , \cdots , k _ { n } } ^ { ( 2 ) } } \\ { \vdots } \\ { \tilde { \tilde { \beta } } _ { k _ { 1 } , k _ { 2 } , \cdots , k _ { n } } ^ { ( N ) } } \end{array} \right) . } \end{array}
\int d \vec { r } \: \left[ \vec { \widetilde { E } } _ { m } ( \vec { r } ) \cdot \varepsilon _ { 0 } \frac { \partial \omega \varepsilon } { \partial \omega } \vec { \widetilde { E } } _ { m } ( \vec { r } ) - \vec { \widetilde { H } } _ { m } ( \vec { r } ) \cdot \mu _ { 0 } \frac { \partial \omega \mu } { \partial \omega } \vec { \widetilde { H } } _ { m } ( \vec { r } ) \right] = 1 ,
\begin{array} { r l } { < J _ { \phi } / R > ( \psi _ { N } ) = } & { c _ { I } \bigg ( \underbrace { I _ { p } ( 1 - \psi _ { \mathrm { N } } ) ^ { \alpha } } _ { \mathrm { \normalfont ~ P C 1 ~ s t a g e } } + } \\ & { \underbrace { < J _ { B S } / R > ( \psi _ { N } ) + < J _ { C D } / R > ( \psi _ { N } ) } _ { \mathrm { \normalfont ~ P C 2 ~ a d d i t i o n } } \bigg ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial ^ { 2 } y } { \partial x ^ { 2 } } } & { { } = \frac { \partial } { \partial x } \left[ v _ { 1 } w _ { 1 } f ^ { \prime } \big ( w _ { 1 0 } + w _ { 1 } x \big ) + v _ { 2 } w _ { 2 } f ^ { \prime } \big ( w _ { 2 0 } + w _ { 2 } x \big ) \right] } \end{array}
N _ { \mathrm { C L } } ^ { \mathrm { s e s s i l e } } ( t ) = 2 \pi c _ { \mathrm { i } } h _ { \mathrm { i } } R ^ { 2 } \left( \frac { 1 } { 4 } - \frac { 1 } { 2 } \frac { r _ { 0 } ( t ) ^ { 2 } } { R ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 4 } \frac { r _ { 0 } ( t ) ^ { 4 } } { R ^ { 4 } } \right) ,
\begin{array} { r l } { \langle R _ { c v } ^ { c } \rangle = 2 \sqrt { R ^ { * } } \mathcal { R } _ { c } | P _ { c v } | ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { + \infty } } & { \frac { 1 } { 1 - e ^ { - 2 \pi \sqrt { R ^ { * } / x } } } \times } \\ & { \frac { 1 } { \sigma } \frac { e ^ { y / \sigma } } { ( 1 + e ^ { y / \sigma } ) ^ { 2 } } d x . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \mathcal { F } ^ { A } = \mathrm { { d i v } } \mathcal { T } _ { A } ( v _ { A } , \Pi _ { A } ) , } \\ { \mathcal { F } ^ { B } = { \mathrm { d i v } } \mathcal { T } _ { B } ( v _ { B } , \Pi _ { B } ) , } \\ { \mathcal { F } ^ { S } = \mathrm { { d i v } } _ { \Gamma } \mathcal { T } _ { S } ( v _ { S } , \Pi _ { S } ) + \widetilde { \mathcal { T } } _ { B } ( v _ { B } , \Pi _ { B } ) n _ { \Gamma } - \widetilde { \mathcal { T } } _ { A } ( v _ { A } , \Pi _ { A } ) n _ { \Gamma } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { - i \omega \mathbf { D } ( \mathbf { r } , \omega ) } & { = \nabla \times \mathbf { H } ( \mathbf { r } , \omega ) , ~ ~ ~ \nabla \cdot \mathbf { D } ( \mathbf { r } , \omega ) = 0 , } \\ { i \omega \mathbf { B } ( \mathbf { r } , \omega ) } & { = \nabla \times \mathbf { E } ( \mathbf { r } , \omega ) , ~ ~ ~ \nabla \cdot \mathbf { B } ( \mathbf { r } , \omega ) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { ~ N ~ A ~ } = \left\{ \begin{array} { l l } { \left( 1 + 4 N _ { 1 } ^ { 2 } \right) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } , } & { D _ { 1 } \leq D _ { 2 } \leq \frac { f _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ d ~ } } D _ { 3 } } { f _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ t ~ } } - f _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ d ~ } } } } \\ { \left[ 1 + 1 6 N _ { 2 } ^ { 2 } \left( 1 + \mathcal { R } \right) ^ { 2 } \right] ^ { - \frac { 1 } { 2 } } , } & { D _ { 2 } \leq D _ { 1 } \leq \frac { f _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ d ~ } } D _ { 3 } } { f _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ t ~ } } - f _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ d ~ } } } } \\ { \left[ 1 + 4 N _ { 3 } ^ { 2 } \left( 1 + 2 \mathcal { R } \right) ^ { 2 } \right] ^ { - \frac { 1 } { 2 } } , } & { D _ { 1 } , D _ { 2 } \geq \frac { f _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ d ~ } } D _ { 3 } } { f _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ t ~ } } - f _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ d ~ } } } . } \end{array} \right. } \end{array}
\lvert \mathrm { T r i p l e t } \rangle = ( \lvert \uparrow \rangle _ { \mathrm { s } } \lvert \downarrow \rangle _ { \mathrm { o } } + \lvert \downarrow \rangle _ { \mathrm { s } } \lvert \uparrow \rangle _ { \mathrm { o } } ) / \sqrt { 2 }
\begin{array} { r l } { 2 ^ { n \alpha } \delta _ { x } ^ { j } ( v ) } & { = \mu _ { 1 } 2 ^ { n \alpha } \delta _ { x } ^ { j } ( u _ { 1 } ) + \mu _ { 2 } 2 ^ { n \alpha } \delta _ { x } ^ { j } ( u _ { 2 } ) } \\ & { \phantom { = } + \sum _ { i = 1 } ^ { l } \nu _ { i } 2 ^ { n _ { i } \alpha } \left( \delta _ { x } ^ { j } ( v _ { i } ) - \frac 1 2 ( \delta _ { x } ^ { j } ( v _ { i } ^ { - } ) + \delta _ { x } ^ { j } ( v _ { i } ^ { + } ) ) \right) \mathrm { , } } \end{array}
\phi ^ { 4 } = \left( \begin{array} { c c c c } { { k ^ { 1 } t \otimes 1 _ { N _ { 1 } \times N _ { 1 } } } } & { { 0 } } & { { \dots } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { k ^ { 2 } t \otimes 1 _ { N _ { 2 } \times N _ { 2 } } } } & { { \dots } } & { { 0 } } \\ { { \dots } } & { { \dots } } & { { \dots } } & { { \dots } } \\ { { 0 } } & { { \dots } } & { { \dots } } & { { k ^ { K } t \otimes 1 _ { N _ { K } \times N _ { K } } } } \end{array} \right)
R _ { W } ( y , M _ { W } ^ { 2 } ) = \frac { u ( x _ { a } , M _ { W } ^ { 2 } ) \bar { d } ( x _ { b } , M _ { W } ^ { 2 } ) + \bar { d } ( x _ { a } , M _ { W } ^ { 2 } ) u ( x _ { b } , M _ { W } ^ { 2 } ) } { d ( x _ { a } , M _ { W } ^ { 2 } ) \bar { u } ( x _ { b } , M _ { W } ^ { 2 } ) + \bar { u } ( x _ { a } , M _ { W } ^ { 2 } ) d ( x _ { b } , M _ { W } ^ { 2 } ) } ~ ,
D = { \frac { C \cdot A } { B } } = { \frac { 1 . 6 3 ~ { \mathrm { m } } \cdot 1 8 0 ~ { \mathrm { m } } } { 2 ~ { \mathrm { m } } } } = 1 4 6 . 7 ~ { \mathrm { m } }
\widetilde { \mathbf { T } } _ { \underline { { w } } } = = \left[ \begin{array} { c c c c c c } { \alpha _ { 0 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { \boldsymbol { \alpha } ( \lfloor 0 , 1 \rfloor ) } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { \boldsymbol { \alpha } ( \lfloor 0 , 2 \rfloor ) } & { - 1 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { \boldsymbol { \alpha } ( \lfloor 0 , 3 \rfloor ) } & { - 1 } & { - 1 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { \alpha _ { 0 } } & { - 2 } & { - 1 } & { - 1 } & { - 1 } & { 0 } \end{array} \right] .
\frac { d x ^ { i } } { d t } = \{ x ^ { i } , Q \} _ { 1 } = \xi ^ { i } \quad \frac { d \theta ^ { i } } { d t } = \{ \theta ^ { i } , Q \} _ { 1 } = \frac { \partial \xi ^ { i } } { \partial x ^ { j } } \theta ^ { j } .
\frac { d T _ { \mathrm { p o t } } } { d t } = \frac { H _ { \mathrm { i n t } } - 4 \pi R _ { p } ^ { 2 } F _ { p } } { d E _ { \mathrm { t h } } / d T _ { \mathrm { p o t } } - L d M _ { \mathrm { s o l } } / d T _ { \mathrm { p o t } } } .
\begin{array} { r l } { v _ { k } } & { { } = ( a _ { k - 1 } a _ { k - 2 } \dots a _ { 1 } b _ { 0 } ) + ( a _ { k - 1 } a _ { k - 2 } \dots a _ { 2 } b _ { 1 } ) + ( a _ { k - 1 } a _ { k - 2 } \dots a _ { 3 } b _ { 2 } ) + \dots } \end{array}
W ( 1 . 3 5 R e _ { h } ) = \ln { 1 . 3 5 R e _ { h } } - \ln { \ln { 1 . 3 5 R e _ { h } } } + \left( { \frac { \ln { \ln { 1 . 3 5 R e _ { h } } } } { \ln { 1 . 3 5 R e _ { h } } } } \right) + \left( { \frac { \ln { [ \ln { 1 . 3 5 R e _ { h } } ] ^ { 2 } - 2 \ln { \ln { 1 . 3 5 R e _ { h } } } } } { 2 [ \ln { 1 . 3 5 R e _ { h } } ] ^ { 2 } } } \right)
\begin{array} { r l } { S _ { I I , e } ( \omega _ { n } + \Omega _ { \mathrm { I F } } ) } & { { } = \frac { 1 } { 2 } ( S _ { X _ { e } X _ { e } } \left( - \omega _ { n } \right) + S _ { { P _ { e } P _ { e } } } \left( - \omega _ { n } \right) ) + N _ { e , \mathrm { a d d } } , } \\ { S _ { I I , o } ( \omega _ { n } + \Omega _ { \mathrm { I F } } ) } & { { } = \frac { 1 } { 2 } ( S _ { X _ { o } X _ { o } } \left( \omega _ { n } \right) + S _ { { P _ { o } P _ { o } } } \left( \omega _ { n } \right) ) + N _ { o , \mathrm { a d d } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { \mathcal { S } ^ { \prime } } \pi \left( \mathcal { S } \right) \mathcal { P } \left( \mathcal { S } \rightarrow \mathcal { S } ^ { \prime } \right) = \sum _ { \mathcal { S } ^ { \prime } } \pi \left( \mathcal { S } ^ { \prime } \right) \mathcal { P } \left( \mathcal { S } ^ { \prime } \rightarrow \mathcal { S } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { d i s t } ( P _ { 0 } ^ { 1 } , \, B _ { 1 } ( O _ { 2 } ) ) = | D \varphi _ { 2 } ( P _ { 0 } ^ { 1 } ) | - 1 \geq d _ { \mathrm { r e f } } \, . } \end{array}
Z = \int d [ \psi , \bar { \psi , } B _ { \mu } ] \exp i \int d ^ { 3 } x ( \bar { \psi } ( i \partial \! \! \! / \, + m + B \! \! \! \! / \, ) \psi + \frac { 1 } { 2 g ^ { 2 } } B ^ { \mu a } B _ { \mu } ^ { a } )
\begin{array} { r l } { x \in \sum _ { i < 0 } \prod _ { j < { m _ { i } } } a _ { i j } } & { \mathrm { ~ i f f ~ } x = 0 , } \\ { x \in \sum _ { i < p } \prod _ { j < { m _ { i } } } a _ { i j } } & { \mathrm { ~ i f f ~ } x \in y + z \mathrm { ~ f o r ~ s o m e ~ } y \in \sum _ { i < { p - 1 } } \prod _ { j < { m _ { i } } } a _ { i j } \mathrm { ~ a n d ~ } z \in \prod _ { j < m _ { p - 1 } } a _ { { p - 1 } , j } , \mathrm { i f } \ p \geq 1 . } \end{array}
- 0 . 8 8 9 \sin { \left( \Omega ^ { \mathrm { ~ P ~ 2 ~ } } \right) } + 3 . 4 5 8 \cos { \left( \Omega ^ { \mathrm { ~ P ~ 2 ~ } } \right) } + 2 . 1 8 6 \cos { \left( \omega ^ { \mathrm { ~ P ~ 2 ~ } } \right) }
C _ { 1 } ( \omega _ { \mathrm { { S } 0 } } , \omega _ { W 0 } ) \simeq \frac { 1 2 } { 3 5 } \simeq 0 . 3 4 , \; \; C _ { 2 } ( \omega _ { \mathrm { { S } 0 } } , \omega _ { W 0 } ) \simeq \frac { 6 } { 7 } \simeq 0 . 8 6 .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \psi } { \partial t } } & { = - ( 1 + i \zeta _ { 0 } ) \psi + \frac { i } { 2 } \partial _ { \theta } ^ { 2 } \psi + i | \psi | ^ { 2 } \psi + f } \\ & { + v _ { g } \partial _ { \theta } \psi - i \Delta _ { \bar { \mu } } \psi _ { \bar { \mu } } e ^ { i { \bar { m } } \theta } - i \tau \psi \partial _ { \theta } | \psi | ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \Gamma ( \phi \rightarrow \gamma K ^ { 0 } \bar { K ^ { 0 } } ) = } } & { { 2 . 0 3 \times 1 0 ^ { - 7 } \, \mathrm { M e V } } } \\ { { B R ( \phi \rightarrow \gamma K ^ { 0 } \bar { K ^ { 0 } } ) = } } & { { 4 . 5 8 \times 1 0 ^ { - 8 } } } \\ { { \displaystyle \frac { \Gamma ( \phi \rightarrow \gamma K ^ { 0 } \bar { K ^ { 0 } } ) } { \Gamma ( \phi \rightarrow K ^ { 0 } \bar { K ^ { 0 } } ) } = } } & { { 1 . 3 5 \times 1 0 ^ { - 7 } } } \end{array}
\begin{array} { r } { h _ { \mathrm { H N } } = \left[ \begin{array} { l l l l l l } { 0 } & { i J _ { l } } & { 0 } & { 0 } & { \hdots } & { - i x J _ { r } } \\ { - i J _ { r } } & { 0 } & { i J _ { l } } & { 0 } & { 0 } & { \hdots } \\ { 0 } & { - i J _ { r } } & { 0 } & { i J _ { l } } & { 0 } & { \hdots } \\ { 0 } & { 0 } & { - i J _ { r } } & { 0 } & { i J _ { l } } & { \dots } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { \infty } | \partial _ { t } ( t \mathbb { R } _ { t } ( n , m ) ) | d t } & { \le \frac { C } { m - n } \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { \frac { 1 } { n } } ^ { \frac { \pi } { 2 } } e ^ { - c t \theta ^ { 2 } } ( t \theta ^ { 2 } + 1 + t ^ { 2 } \theta ^ { 4 } ) d \theta d t \le \frac { C } { m - n } \int _ { \frac { 1 } { n } } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \frac { d \theta } { \theta ^ { 2 } } } \\ & { = C \frac { n } { m - n } . } \end{array}
R ( W , W ^ { \prime } , Q ^ { 2 } ) = \frac { P } { \pi } \int _ { W _ { t h r } } ^ { \infty } \frac { e ^ { - a ( W ^ { \prime \prime } ) } s i n \delta ( W ^ { \prime \prime } ) K ( W ^ { \prime \prime } , W ^ { \prime } , Q ^ { 2 } ) } { W ^ { \prime \prime } - W } d W ^ { \prime \prime } ,
\psi ( x ) \geq \! \! \! \! \sum _ { x ^ { 1 - \varepsilon } \leq p \leq x } \! \! \! \! \log p \geq \! \! \! \! \sum _ { x ^ { 1 - \varepsilon } \leq p \leq x } \! \! \! \! ( 1 - \varepsilon ) \log x = ( 1 - \varepsilon ) \left( \pi ( x ) + O \left( x ^ { 1 - \varepsilon } \right) \right) \log x .
\begin{array} { r l r } { \bar { p } _ { t + 1 , z } ^ { Q } } & { = } & { \frac { 1 } { \eta _ { z } } \left( \eta _ { z } \bar { p } _ { t z } ^ { Q } \bar { p } _ { t z } ^ { K , x } - \xi _ { z } \eta _ { z } \bar { p } _ { t z } ^ { Q } \bar { p } _ { t z } ^ { K , x } + \lambda _ { z } \eta _ { z } ( \eta _ { z } - 1 ) \bar { p } _ { t z } ^ { Q } \bar { p } _ { t z } ^ { H } \bar { p } _ { t z } ^ { K , x } + Q _ { z } ^ { i n i t } \bar { p } _ { t + 1 , z } ^ { s t a r t } \right) , } \\ & { = } & { \bar { p } _ { t z } ^ { Q } \bar { p } _ { t z } ^ { K , x } - \xi _ { z } \bar { p } _ { t z } ^ { Q } \bar { p } _ { t z } ^ { K , x } + \lambda _ { z } ( \eta _ { z } - 1 ) \bar { p } _ { t z } ^ { Q } \bar { p } _ { t z } ^ { H } \bar { p } _ { t z } ^ { K , x } + \frac { Q _ { z } ^ { i n i t } } { \eta _ { z } } \bar { p } _ { t + 1 , z } ^ { s t a r t } , } \\ & { = } & { \left( 1 - \xi _ { z } + \lambda _ { z } ( \eta _ { z } - 1 ) \bar { p } _ { t z } ^ { H } \right) \bar { p } _ { t z } ^ { Q } \bar { p } _ { t z } ^ { K , x } + \frac { Q _ { z } ^ { i n i t } } { \eta _ { z } } \bar { p } _ { t + 1 , z } ^ { s t a r t } . } \end{array}
U _ { L } = \left( \begin{array} { c c } { { U _ { \nu } ^ { \dagger } K } } & { { U _ { \nu } ^ { \dagger } J / M } } \\ { { - J ^ { \dagger } K / M } } & { { 1 } } \end{array} \right) + O \left( \frac { m _ { l } } { M } \right) ^ { 2 } ,
\begin{array} { r } { | 0 \mathrm { - } 1 \mathrm { - } 1 \mathrm { - } 1 \rangle , \quad | \mathrm { - } 1 0 \mathrm { - } 1 \mathrm { - } 1 \rangle , \quad | 1 0 \mathrm { - } 1 \mathrm { - } 1 \rangle , \quad | \mathrm { - } 1 \mathrm { - } 1 0 \mathrm { - } 1 \rangle , } \\ { | 0 1 0 \mathrm { - } 1 \rangle , \quad | 1 1 0 \mathrm { - } 1 \rangle , \quad | \mathrm { - } 1 \mathrm { - } 1 \mathrm { - } 1 0 \rangle , \quad | 0 \mathrm { - } 1 \mathrm { - } 1 0 \rangle , } \\ { | \mathrm { - } 1 0 \mathrm { - } 1 0 \rangle , \quad | 1 0 \mathrm { - } 1 0 \rangle , \quad | \mathrm { - } 1 0 1 0 \rangle , \quad | 1 0 1 0 \rangle , } \\ { | 0 1 1 0 \rangle , \quad | 1 1 1 0 \rangle , \quad | \mathrm { - } 1 \mathrm { - } 1 0 1 \rangle , \quad | 0 \mathrm { - } 1 0 1 \rangle , } \\ { | 1 1 0 1 \rangle , \quad | \mathrm { - } 1 0 1 1 \rangle , \quad | 1 0 1 1 \rangle , \quad | 0 1 1 1 \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { q \sigma _ { 1 } } { 2 } + \frac { q ( \sigma _ { 1 } \mod 2 ) } { 2 } - q c _ { 1 } - q - c _ { 2 } - \frac { q ( \sigma _ { 1 } \mod 2 ) } { 2 } < q c _ { 1 } - \frac { \sigma _ { 2 } } { 2 } - \frac { \sigma _ { 2 } \mod 2 } { 2 } + } \\ & { + c _ { 2 } + 1 - 1 + \frac { \sigma _ { 2 } \mod 2 } { 2 } } \end{array}
d s ^ { 2 } ~ = ~ \alpha ^ { \prime } \left( \frac { u ^ { 2 } h ( u ) } { R ^ { 2 } } ~ e ^ { \gamma A } d x _ { 0 } ^ { 2 } + \frac { u ^ { 2 } } { R ^ { 2 } } ~ e ^ { \gamma C } d x _ { i } ^ { 2 } + \frac { R ^ { 2 } } { u ^ { 2 } h ( u ) } ~ e ^ { \gamma B } d u ^ { 2 } + R ^ { 2 } ~ e ^ { \gamma D } d \Omega _ { 5 } ^ { 2 } \right) ~ ,
\begin{array} { r l } & { | \psi ( t ) \rangle \approx U _ { 0 } ( t , - \infty ) | \psi _ { 0 } ( - \infty ) \rangle } \\ & { \, \, \, \, \, - i \int _ { - \infty } ^ { t } d t ^ { \prime } U _ { 0 } ( t , t ^ { \prime } ) H _ { \mathrm { i n t } } ( t ^ { \prime } ) U _ { 0 } ( t ^ { \prime } , - \infty ) | \psi _ { 0 } ( - \infty ) \rangle } \\ & { = \sum _ { j } ^ { N } c _ { j } | j \rangle e ^ { - i \epsilon _ { j } t } - i \sum _ { j } ^ { N } \sumint _ { f } c _ { j } e ^ { - i \epsilon _ { f } t } | f \rangle \langle f | \hat { p } _ { z } | j \rangle } \\ & { \, \, \, \, \, \times \int _ { - \infty } ^ { t } d t ^ { \prime } A ( t ^ { \prime } ) e ^ { i \epsilon _ { f j } t ^ { \prime } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Delta _ { \perp } D _ { r } - \frac { D _ { r } } { r ^ { 2 } } - \frac { 2 } { r ^ { 2 } } \frac { \partial D _ { \phi } } { \partial \phi } = \frac { n _ { 0 } } { \gamma _ { 0 } } D _ { r } , } \\ & { \Delta _ { \perp } D _ { \phi } - \frac { D _ { \phi } } { r ^ { 2 } } + \frac { 2 } { r ^ { 2 } } \frac { \partial D _ { r } } { \partial \phi } = \frac { n _ { 0 } } { \gamma _ { 0 } } D _ { \phi } , } \end{array}
k ( { \boldsymbol { \mathbf { \mathit { u } } } } ^ { ( l ) } ( t ) , { \boldsymbol { \mathbf { \mathit { v } } } } _ { h } ) = f ^ { e x t } ( { \boldsymbol { \mathbf { \mathit { v } } } } _ { h } ; t ) + f ^ { p } ( { \boldsymbol { \mathbf { \mathit { u } } } } ^ { ( l - 1 ) } ( t ) , { \boldsymbol { \mathbf { \mathit { v } } } } _ { h } ) ,
\begin{array} { r l r } { \frac { 1 } { h } \int _ { - h } ^ { 0 } T ( t - r ) f ( 0 ) d r } & { = } & { T ( t ) \cdot \frac { 1 } { h } \int _ { - h } ^ { 0 } T ( - r ) f ( 0 ) d r } \\ & { = } & { - T ( t ) \cdot \frac { 1 } { h } \int _ { h } ^ { 0 } T ( r ) f ( 0 ) d r } \\ & { = } & { T ( t ) \frac { 1 } { h } \int _ { 0 } ^ { h } T ( r ) f ( 0 ) - f ( 0 ) d r + T ( t ) f ( 0 ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { T _ { x } T ^ { - 1 } + T ( k F _ { 1 } + F _ { 0 } ) T ^ { - 1 } = k J + f _ { 0 } + \frac { f _ { - 1 } } { k } + \frac { f _ { - 2 } } { k ^ { 2 } } , } \\ { T _ { x } T ^ { - 1 } + T ( k ^ { 2 } G _ { 2 } + k G _ { 1 } + G _ { 0 } ) T ^ { - 1 } = k ^ { 2 } J ^ { 2 } + k g _ { 1 } + g _ { 0 } + \frac { g _ { - 1 } } { k } + \frac { g _ { - 2 } } { k ^ { 2 } } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ W ^ { k + 1 } \right] - \mathbb { E } \left[ W ^ { k } \right] \leq } & { \alpha _ { k } b ^ { 2 } + \left( \frac { \alpha _ { k } ^ { 2 } L _ { f } } { n } + \frac { a _ { 3 } ( \alpha _ { k } , n ) M _ { f } } { L _ { y } } \right) \tilde { \sigma } _ { f } ^ { 2 } - \frac { \alpha _ { k } } { 2 } \mathbb { E } \left[ \left\| \nabla f ( x ^ { k } ) \right\| ^ { 2 } \right] } \\ & { + 4 \left( \alpha _ { k } M _ { f } ^ { 2 } + \frac { a _ { 2 } ( \alpha _ { k } , n ) M _ { f } } { L _ { y } } \right) \frac { T \beta _ { k } ^ { 2 } ( \sigma _ { g , 1 } ^ { 2 } + \sigma _ { g } ^ { 2 } ) } { n { S } } . } \end{array}
n ( t _ { w } ) \simeq { \frac { \xi _ { c } ^ { - 4 + \alpha } } { ( 1 - \alpha ) } } \left\{ \left[ w + { \frac { \sigma ^ { 2 } } { k _ { n } } } \left\{ \left( { \frac { t _ { w } } { \kappa M _ { p } } } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } - \left( { \frac { t _ { c } } { \kappa M _ { p } } } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } \right\} \right] ^ { ( 1 - \alpha ) } - w ^ { ( 1 - \alpha ) } \right\} .
\begin{array} { r } { \sigma _ { i j } = \underbrace { \frac { E } { 1 + \nu } } _ { \alpha } \left[ \underbrace { \frac { \nu } { 1 - 2 \nu } } _ { \beta } u _ { k k } \delta _ { i j } + u _ { i j } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { V _ { G } ( r , z ) = } & { - 2 \pi M _ { P } \rho _ { S } G \bigg ( 2 R _ { \mathrm { i n } } T + \frac { T ^ { 2 } } { 2 } \bigg ) } \\ & { \bigg ( \operatorname { t a n h } ^ { - 1 } \left( \frac { z - T } { \sqrt { ( H - z ) ^ { 2 } + ( R _ { \mathrm { i n } } - r ) ^ { 2 } } } \right) } \\ & { - \operatorname { t a n h } ^ { - 1 } \left( \frac { z } { \sqrt { ( R _ { \mathrm { i n } } - r ) ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } \right) \bigg ) } \end{array}