harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { u ( x , y , z ) } & { { } = } & { U _ { o } \sin { \left( \frac { 2 \pi x } { L } \right) } \cos { \left( \frac { 2 \pi y } { L } \right) } \cos { \left( \frac { 2 \pi z } { L } \right) } } \\ { v ( x , y , z ) } & { { } = } & { - U _ { o } \cos { \left( \frac { 2 \pi x } { L } \right) } \sin { \left( \frac { 2 \pi y } { L } \right) } \cos { \left( \frac { 2 \pi z } { L } \right) } } \\ { w ( x , y , z ) } & { { } = } & { 0 } \\ { p ( x , y , z ) } & { { } = } & { p _ { 0 } + \frac { \rho _ { 0 } U ^ { 2 } } { 1 6 } \left( \cos { \left( \frac { 4 \pi x } { L } \right) } + \cos { \left( \frac { 4 \pi y } { L } \right) } \right) \left( \cos { \left( \frac { 4 \pi z } { L } \right) } + 2 \right) , } \end{array}
- \frac { { \partial \left\langle { { { \bar { \mathcal E } } ^ { \dag } } } \right\rangle } } { { \partial t } } = - \left\langle { \bar { u } _ { i } ^ { \dag } { { \bar { S } } _ { i j } } \bar { u } _ { j } ^ { \dag } } \right\rangle - \left\langle { { { \bar { D } } ^ { \dag } } } \right\rangle + \left\langle { { { \bar { \Pi } } ^ { \dag } } } \right\rangle + \left\langle { { { \bar { J } } ^ { \dag } } } \right\rangle ,
\begin{array} { r } { \mathcal { E } ( T _ { N } ) = \sum _ { \lambda = ( j , k ) \in \mathcal { T } _ { N } } \sum _ { q > p _ { \operatorname* { m a x } } ( \lambda ) } \vert c _ { q , j , k } \vert ^ { 2 } + \sum _ { ( i , \ell ) \succ \lambda \in \mathcal { V } ( \mathcal { T } _ { N } ) } \sum _ { q \geq 0 } \vert c _ { q , i , \ell } \vert ^ { 2 } . } \end{array}
\Delta S = { \frac { i ( 2 \pi ) ^ { 4 } } { \sqrt { 2 E _ { 1 } V \cdot 2 E _ { 2 } V \cdot 2 q _ { 0 } V } } } \, \sum _ { n = - 2 } ^ { + 2 } { \cal M } ^ { ( n ) } \delta ^ { ( 4 ) } ( n k + p _ { 1 } - p _ { 2 } - q )
\begin{array} { r } { a _ { 1 } = \frac { \sin \left( \frac { S _ { E } } { S _ { { Q W } } } \right) } { \frac { q S _ { E } } { \hbar } } + \frac { \sin \left( k l + \frac { S _ { E } } { S _ { { Q W } _ { a t } } } \right) } { 4 k + \frac { 2 q S _ { E } } { \hbar } } + } \\ { \frac { \sin \left( k l - \frac { S _ { E } } { S _ { { Q W } } } \right) } { 4 k - \frac { 2 q S _ { E } } { \hbar } } + 2 R e \frac { \left( - \kappa l + i l \frac { S _ { E } } { S _ { { Q W } } } \right) } { \kappa - i \frac { S _ { E } } { S _ { { Q W } } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } = } & { \sum _ { p < q } \left[ J _ { z } ( \mathbf { r } _ { p q } ) \hat { \sigma } _ { p } ^ { z } \hat { \sigma } _ { q } ^ { z } + h _ { x } ( \mathbf { r } _ { p q } ) \hat { \sigma } _ { q } ^ { x } ( \mathbf { r } _ { p q } ) + h _ { z } ( \mathbf { r } _ { p q } ) \hat { \sigma } _ { q } ^ { z } \right] , } \\ { J _ { z } ( \mathbf { r } ) = } & { \frac { 1 } { 4 } \left( \tilde { V } _ { 1 1 } ^ { 1 1 } ( \mathbf { r } ) - \tilde { V } _ { 1 2 } ^ { 1 2 } ( \mathbf { r } ) - \tilde { V } _ { 2 1 } ^ { 2 1 } ( \mathbf { r } ) + \tilde { V } _ { 2 2 } ^ { 2 2 } ( \mathbf { r } ) \right) , } \\ { h _ { x } ( \mathbf { r } ) = } & { \frac { 1 } { 2 } \left( \tilde { V } _ { 1 1 } ^ { 1 2 } ( \mathbf { r } ) + \tilde { V } _ { 1 1 } ^ { 2 1 } ( \mathbf { r } ) + \tilde { V } _ { 1 2 } ^ { 1 1 } ( \mathbf { r } ) + \tilde { V } _ { 2 1 } ^ { 1 1 } ( \mathbf { r } ) \right. } \\ & { \left. + \tilde { V } _ { 1 2 } ^ { 2 2 } ( \mathbf { r } ) + \tilde { V } _ { 2 1 } ^ { 2 2 } ( \mathbf { r } ) + \tilde { V } _ { 2 2 } ^ { 1 2 } ( \mathbf { r } ) + \tilde { V } _ { 2 2 } ^ { 2 1 } ( \mathbf { r } ) \right) , } \\ { h _ { z } ( \mathbf { r } ) = } & { \frac { 1 } { 4 } \left( \tilde { V } _ { 2 2 } ^ { 2 2 } ( \mathbf { r } ) - \tilde { V } _ { 1 1 } ^ { 1 1 } ( \mathbf { r } ) \right) , } \end{array}
\Delta f _ { \mathrm { r } } ( T ) = \frac { 1 } { \pi Q _ { \mathrm { i , T L S } } } \left[ \mathrm { R e } \Psi \left( \frac { 1 } { 2 } + \frac { h f _ { \mathrm { r } } ( T ) } { 2 \pi i k _ { \mathrm { B } } T } \right) - \ln \left( \frac { h f _ { \mathrm { r } } ( T ) } { 2 \pi k _ { \mathrm { B } } T } \right) \right] f _ { \mathrm { r } } ( 0 ) ,
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } x _ { 1 } } & { { } = \alpha e ^ { Z } \cos ( X - t ) } \\ { \partial _ { t } z _ { 1 } } & { { } = \alpha e ^ { Z } \sin ( X - t ) } \\ { \partial _ { t } \phi _ { 1 } } & { { } = \alpha \lambda e ^ { Z } \cos ( X + 2 \Phi - t ) . } \end{array}
\widehat { \alpha } _ { n } \left( \varepsilon \right) = \frac { \mathrm { N u m b e r ~ o f ~ t i m e s } \left\{ R _ { n } ^ { \tau } \left( \theta _ { 0 } \right) \mathrm { ~ ( o r ~ } S _ { n } ^ { \beta } \left( \theta _ { 0 } \right) ) > \chi _ { 1 , 0 . 0 5 } ^ { 2 } = 3 . 8 4 1 4 6 \right\} } { \mathrm { N u m b e r ~ o f ~ s i m u l a t e d ~ s a m p l e s } } .
\begin{array} { r } { \Delta \theta _ { S } ( \boldsymbol { r } _ { d } , \omega ) = \theta _ { S } ^ { ( 1 ) } ( \boldsymbol { r } _ { d } , \omega ) - \theta _ { S } ^ { ( 2 ) } ( \boldsymbol { r } _ { d } , \omega ) \, , } \end{array}
d s ^ { 2 } = d x ^ { m } d x ^ { n } e _ { m } ^ { a } e _ { n } ^ { b } \eta _ { a b } = \left( { \frac { r } { R } } \right) ^ { 2 } d x ^ { i } \eta _ { i j } d x ^ { j } + \left( \frac R r \right) ^ { 2 } d r ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { Y _ { s , c } } & { { } \sim \mathrm { S t u d e n t T } _ { \nu = 4 } \left( \mu = Y _ { c } ^ { \dagger } , \sigma = \hat { \sigma } _ { c } \right) \quad w i t h } \\ { \hat { \sigma } _ { c } } & { { } \sim \mathrm { H a l f C a u c h y } ( \beta = 1 0 0 0 0 ) . } \end{array}
\sigma _ { \gamma p , r e s } ^ { h } ( s _ { \gamma ^ { * } p } ) = \sum _ { f ^ { \gamma } } \sum _ { f } \int d x _ { \gamma } d x \; f ^ { \gamma ( P ^ { 2 } ) } ( x _ { \gamma } , \mu _ { F } ^ { 2 } ) f ( x , \mu _ { F } ^ { 2 } ) \hat { \sigma } ^ { f ^ { \gamma } f } ( x _ { \gamma } x s _ { \gamma ^ { * } p } , m _ { h } ^ { 2 } , \mu _ { F } ^ { 2 } )
R \, = \, \left( \begin{array} { c c c c } { { Q ^ { - 1 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \lambda ^ { - 1 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \sigma } } & { { \lambda } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { - Q } } \end{array} \right) \, , \qquad \sigma \, = \, Q ^ { - 1 } - Q \, .
\boldsymbol { F } ( \boldsymbol { \rho } , \boldsymbol { \varrho } ) = \frac { \boldsymbol { F } ( \boldsymbol { \rho } ) + \boldsymbol { F } ( \boldsymbol { \varrho } ) } { 2 } - \frac { \boldsymbol { \varrho } - \boldsymbol { \rho } } { 2 } , \qquad \boldsymbol { G } ( \boldsymbol { \rho } , \boldsymbol { \varrho } ) = \frac { \boldsymbol { G } ( \boldsymbol { \rho } ) + \boldsymbol { G } ( \boldsymbol { \varrho } ) } { 2 } - \frac { \boldsymbol { \varrho } - \boldsymbol { \rho } } { 2 } .
\begin{array} { r l } & { \gamma ^ { ( 1 ) } + \gamma ^ { ( 2 ) } } \\ & { = \frac { [ ( \mathrm { R e } ( \sigma _ { x y } ) - \mathrm { I m } ( \sigma _ { x x } ) ) ^ { 2 } + ( \mathrm { I m } ( \sigma _ { x y } ) + \mathrm { R e } ( \sigma _ { x x } ) ) ^ { 2 } ] \omega _ { \mathrm { R } } \mu _ { 0 } } { \mathrm { R e } ( \sigma _ { x y } ) - \mathrm { I m } ( \sigma _ { x x } ) } } \end{array}
\begin{array} { r } { \delta \rho _ { \Lambda } = \varepsilon \rho _ { \Lambda } ^ { ( 1 ) } ( r ) e ^ { - i \omega t } , \quad \delta \rho _ { E } = \varepsilon \rho _ { E } ^ { ( 1 ) } ( r ) e ^ { - i \omega t } , \quad \delta \sigma _ { \mathrm { m } } = \varepsilon \sigma _ { \mathrm { m } } ^ { ( 1 ) } ( r ) e ^ { - i \omega t } . } \end{array}
[ \hat { \Pi } _ { a b } ^ { ( i ) } , \hat { \Pi } _ { c d } ^ { ( j ) } ] = \delta _ { i j } \left( \delta _ { b c } \hat { \Pi } _ { a d } ^ { ( i ) } - \delta _ { d a } \hat { \Pi } _ { c b } ^ { ( i ) } \right) .
\begin{array} { r l r } { \mathrm { n u m r } } & { { } = } & { 2 a _ { 3 } b ^ { - 4 / 3 } ( a _ { 1 } b ^ { - 2 / 3 } + a _ { 2 } + a _ { 3 } b ^ { 2 / 3 } ) } \end{array}
\bigg | f _ { 1 , Q } - \frac { \Gamma _ { 1 , \lambda } \operatorname { t a n h } ( \Gamma _ { 1 , \lambda } ) } { D \Gamma _ { 2 , \lambda } \operatorname { t a n h } ( \Gamma _ { 2 , \lambda } ) } g _ { 0 , R } \bigg | > 2 \sqrt { - \frac { \Gamma _ { 1 , \lambda } \operatorname { t a n h } ( \Gamma _ { 1 , \lambda } ) } { D \Gamma _ { 2 , \lambda } \cosh ( \Gamma _ { 1 , \lambda } ) \sinh ( \Gamma _ { 2 , \lambda } ) } f _ { 1 , R } g _ { 0 , Q } } \, ,
\xi _ { a } = \hbar \sqrt { \frac { 3 } { 2 } \frac { \sqrt { g _ { b b } } / m _ { a } + \sqrt { g _ { a a } } / m _ { b } } { \vert \delta g \vert \sqrt { g _ { a a } } n _ { a } ^ { ( 0 ) } } } , \quad \tau _ { a } = \frac { 3 \hbar } { 2 } \frac { \sqrt { g _ { a a } } + \sqrt { g _ { b b } } } { \vert \delta g \vert \sqrt { g _ { a a } } n _ { a } ^ { ( 0 ) } } , \quad \delta g = g _ { a b } + \sqrt { g _ { a a } g _ { b b } } .
{ \cal O } ( T e r m 6 ) \propto \frac { 3 \frac { \rho _ { s } } { \rho } \overline { { \left( \frac { \partial u } { \partial x } \right) ^ { 2 } \left( \frac { \partial F _ { \parallel } } { \partial x } \right) ^ { n s } } } } { { \overline { { \left( \frac { \partial u } { \partial x } \right) ^ { 2 } } } ^ { 2 } } }
\left[ ( h r ^ { 3 } \partial _ { r } ) ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } r ^ { 6 } f - { \frac { 8 h r ^ { 4 } r _ { \pm } ^ { 4 } } { ( r ^ { 2 } + r _ { \pm } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } \left( 1 + { \frac { r _ { 0 } ^ { 2 } } { r _ { \pm } ^ { 2 } } } \right) \right] \tilde { \phi } _ { \pm } = 0 ,
\omega _ { ( \varphi _ { 1 } \star \varphi _ { 2 } ) ^ { \star ( 2 ^ { n } ) } } ( p _ { Q } ) > \omega _ { ( \varphi _ { 1 } \star \varphi _ { 2 } ) ^ { \star \left( 2 ^ { n - 1 } \right) } } ( p _ { Q } ) > \cdots > \omega _ { \varphi _ { 1 } \star \varphi _ { 2 } } ( p _ { Q } ) > \omega _ { \overline { { ( \varphi _ { 1 } , \varphi _ { 2 } ) } } } ( p _ { Q } ) .
\delta _ { k } g ^ { \alpha _ { 1 } \cdots \alpha _ { p } } = - ( p - k + 1 ) \theta ( p - k - 1 ) g ^ { \alpha _ { 1 } \cdots \alpha _ { p - k } \alpha } l _ { \alpha } ^ { \alpha _ { p - k + 1 } \cdots \alpha _ { p } } ,
R _ { \mu \nu } ^ { a b } = \partial _ { \mu } \omega _ { \nu } ^ { a b } - \partial _ { \nu } \omega _ { \mu } ^ { a b } + \omega _ { \mu } ^ { a c } \omega _ { \nu c } \, ^ { b } - \omega _ { \mu } ^ { b c } \omega _ { \nu c } \, ^ { a }
\partial _ { \mu } { \mathcal { L } } = \partial _ { \nu } { \frac { \partial { \mathcal { L } } } { \partial ( \partial _ { \nu } \phi ) } } \partial _ { \mu } \phi + { \frac { \partial { \mathcal { L } } } { \partial ( \partial _ { \nu } \phi ) } } \partial _ { \mu } \partial _ { \nu } \phi
V _ { m n } = { \frac { 1 } { n ^ { m } } } \sum _ { i _ { 1 } = 1 } ^ { n } \cdots \sum _ { i _ { m } = 1 } ^ { n } h ( x _ { i _ { 1 } } , x _ { i _ { 2 } } , \dots , x _ { i _ { m } } ) ,
\hat { \tilde { p } } _ { r } ( k , s | x _ { 0 } ) = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } r ^ { n } e ^ { i k c ^ { n } x _ { 0 } } \prod _ { l = 0 } ^ { n } \hat { \tilde { p } } _ { 0 } ( k c ^ { l } , r + s ) .
\langle W ( C ) \rangle _ { \mathrm { l a d d e r s } } = \exp \biggl [ \biggl ( \frac { g ^ { 2 } N } { 4 \pi } - \frac { g ^ { 4 } N ^ { 2 } } { 8 \pi ^ { 3 } } \ln \frac { 1 } { g ^ { 2 } N } + \cdots \biggr ) \frac { T } { L } \biggr ] , \qquad g ^ { 2 } N \ll 1 ;
\begin{array} { r l } { \frac { \widetilde { X } ^ { \left( q \right) } } { \widetilde { \tau } ^ { \left( q \right) } } } & { = \frac { \frac { \alpha } { \left( \widetilde { \tau } ^ { \left( q \right) } \right) ^ { \beta ^ { \left( q \right) } + 2 } } \Gamma \left( \beta ^ { \left( q \right) } + 2 \right) } { \frac { \alpha } { \left( \widetilde { \tau } ^ { \left( q \right) } \right) ^ { \beta ^ { \left( q \right) } + 1 } } \Gamma \left( \beta ^ { \left( q \right) } + 1 \right) } + \mu , } \end{array}
\displaystyle \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { d x } { 2 \pi } \varphi _ { \pm } ^ { , } ( x ) { \cal Q } _ { \pm } ( x ) = \pm \left( \frac { \pi } { 1 2 } - \frac { { \cal Q } _ { \pm } ^ { 2 } ( \mp \infty ) } { 8 \pi ( 1 - \gamma / \pi ) } \right) \: .
\begin{array} { r l r } { \dot { x } } & { = } & { x \left( - x - y _ { 1 } - \frac { 1 0 y _ { 2 } } { 1 + 0 . 0 1 x } \right) , } \\ { \dot { y } _ { 1 } } & { = } & { ( 1 + y _ { 1 } ) \left( - 1 . 5 x - y _ { 1 } - \frac { y _ { 2 } } { 1 + 0 . 0 2 ( 1 + y _ { 1 } ) } \right) , } \\ { y _ { 2 } } & { = } & { \left( \frac { 5 x } { 1 + 0 . 0 1 x } + \frac { 0 . 5 ( 1 + y _ { 1 } ) } { 1 + 0 . 0 2 ( 1 + y _ { 1 } ) } - 1 - 0 . 1 y _ { 2 } \right) . } \end{array}
\triangle E \propto \alpha _ { m } \frac { \vec { s } _ { i } \cdot \vec { s } _ { j } } { m _ { i } m _ { j } } | \psi ( 0 ) | ^ { 2 } + \alpha _ { i } \frac { \vec { i } _ { i } \cdot \vec { i } _ { j } } { m _ { i } m _ { j } } | \psi ( 0 ) | ^ { 2 } + \alpha _ { s } \frac { \vec { \zeta } _ { i } \cdot \vec { \zeta } _ { j } } { m _ { i } m _ { j } } | \psi ( 0 ) | ^ { 2 }
\begin{array} { r l r } { \theta ( \tau _ { 2 } ^ { * } + \tau _ { 1 } ^ { * } ) } & { = } & { \left( \delta _ { \theta } - \frac { \eta } { a \eta + 1 } \right) e ^ { - ( a \eta + 1 ) \tau _ { 2 } ^ { * } } + \frac { \eta } { a \eta + 1 } \mathrm { ~ \normalsize ~ a n d ~ } } \\ { \psi ( \tau _ { 2 } ^ { * } + \tau _ { 1 } ^ { * } ) } & { = } & { \delta _ { \psi } } \end{array}
\left( \frac { k _ { 1 } } { k _ { j } } \right) ^ { \alpha } \dot { \phi _ { 1 } } + \sum _ { i = 2 } ^ { n } \left( \frac { k _ { i } } { k _ { 1 } } \right) ^ { \alpha } \dot { \phi _ { i } } = \left( \frac { k _ { 1 } } { k _ { j } } \right) ^ { \alpha } ( \omega _ { 1 } - \Omega ) + n \left( \frac { k _ { j } } { k _ { 1 } } \right) ^ { \alpha } ( \omega _ { j } - \Omega ) + \sigma \sum _ { i = 2 } ^ { n } \left( \sin ( \phi _ { 1 } - \phi _ { i } ) + \sin ( \phi _ { i } - \phi _ { 1 } ) \right) .
\begin{array} { r l } { V ( \phi ) } & { = \int _ { \{ | \nabla u | \neq 0 \} } \phi \left( x , \left( \frac { \nabla u ( x ) } { | \nabla u ( x ) | } \right) ^ { \perp } \right) d \mu ( x ) } \\ & { = \int _ { \{ | \nabla u | \neq 0 \} } \phi \left( x , I - \frac { \nabla u ( x ) } { | \nabla u ( x ) | } \otimes \frac { \nabla u ( x ) } { | \nabla u ( x ) | } \right) d \mu ( x ) , \quad \phi \in C _ { c } ( G _ { n } ( \Omega ) ) . } \end{array}
m _ { c } \equiv 1 - \left. \frac { v _ { f } } { v _ { i } } \right| _ { c } = - \frac { \lambda } { 4 } \frac { 1 \! + \! \left. v _ { f } / v _ { i } \right| _ { c } } { \left. v _ { f } / v _ { i } \right| _ { c } } ,
\begin{array} { r l } { \mathbf { u } ^ { ( 1 ) } } & { { } = H _ { p } \left[ H _ { e } \left[ \mathbf { u } ^ { n } + \Delta t L _ { 1 } ( \mathbf { u } ^ { n } ) \right] + \Delta t L _ { 2 } ( \mathbf { u } ^ { n } ) \right] , } \\ { \mathbf { u } ^ { ( 2 ) } } & { { } = H _ { p } \left[ H _ { e } \left[ \frac { 3 } { 4 } \mathbf { u } ^ { n } + \frac { 1 } { 4 } \mathbf { u } ^ { ( 1 ) } + \frac { 1 } { 4 } \Delta t L _ { 1 } ( \mathbf { u } ^ { ( 1 ) } ) \right] + \frac { 1 } { 4 } \Delta t L _ { 2 } ( \mathbf { u } ^ { ( 1 ) } ) \right] , } \\ { \mathbf { u } ^ { n + 1 } } & { { } = H _ { p } \left[ H _ { e } \left[ \frac { 1 } { 3 } \mathbf { u } ^ { n } + \frac { 2 } { 3 } \mathbf { u } ^ { ( 2 ) } + \frac { 2 } { 3 } \Delta t L _ { 1 } ( \mathbf { u } ^ { ( 2 ) } ) \right] + \frac { 2 } { 3 } \Delta t L _ { 2 } ( \mathbf { u } ^ { ( 2 ) } ) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Gamma _ { t } } & { = \mathbb { E } \Big [ F ( x _ { t } ) + g ( x _ { t } , y _ { t } ) - G ( x _ { t } ) + \frac { \gamma } { \eta _ { t - 1 } } \big ( \| \nabla _ { x } f ( x _ { t } , y _ { t } ) - u _ { t } \| ^ { 2 } + \| \Pi _ { C _ { f y } } \big [ \nabla _ { y } f ( x _ { t } , y _ { t } ) \big ] - h _ { t } \| ^ { 2 } } \\ & { \quad + \| \hat { \Pi } _ { C _ { g x y } } \big [ \nabla _ { x y } ^ { 2 } g ( x _ { t } , y _ { t } ) \big ] - G _ { t } \| ^ { 2 } + \| \mathcal { S } _ { [ \mu , L _ { g } ] } \big [ \nabla _ { y y } ^ { 2 } g ( x _ { t } , y _ { t } ) \big ] - H _ { t } \| ^ { 2 } \big ) + \frac { \lambda } { \eta _ { t - 1 } } \| \nabla _ { y } g ( x _ { t } , y _ { t } ) - v _ { t } \| ^ { 2 } \Big ] . } \end{array}
\langle e ^ { \sum _ { j } \lambda _ { j } x _ { j } } \rangle = \langle e ^ { t \sum _ { j } \lambda _ { j } z _ { j } } \rangle \simeq \int _ { z _ { 1 } < z _ { 2 } < \dots < z _ { N } } d z _ { 1 } \dots d z _ { N } e ^ { - \frac { t } { 4 } \sum _ { j = 1 } ^ { N } ( z _ { j } - c ( 2 j - N - 1 ) ) ^ { 2 } + t \sum _ { j = 1 } ^ { N } \lambda _ { j } z _ { j } + \sum _ { 1 \leq a < b \leq N } \log \frac { z _ { b } - z _ { a } } { z _ { b } - z _ { a } + 2 c } + f ( t ) }
m ^ { \prime } = \left\langle \frac { \partial \rho _ { 1 } ^ { \prime \mu } } { \partial \phi ^ { \prime } } \left[ \left( u _ { \mu } ^ { \prime } \oplus \nu _ { 1 \mu } ^ { \prime } \right) + q A _ { \mu } \right] \right\rangle _ { \phi ^ { \prime } } ,
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \mu ^ { 2 } } \log L _ { n } ( \theta ) } & { = } & { - \frac { n ( 1 - \rho ) } { \gamma ^ { 2 } ( 1 + \rho ) } , } \\ { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \mu \rho } \log L _ { n } ( \theta ) } & { = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( C _ { 1 } ( x _ { i - 1 } - \mu ) + C _ { 2 } ( x _ { i } - x _ { i - 1 } \rho - \mu ( 1 - \rho ) ) \right) , } \\ { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \mu \gamma ^ { 2 } } \log L _ { n } ( \theta ) } & { = } & { C _ { 3 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( x _ { i } - x _ { i - 1 } \rho - \mu ( 1 - \rho ) ) , } \\ { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \rho ^ { 2 } } \log L _ { n } ( \theta ) } & { = } & { \frac { n ( 1 + \rho ^ { 2 } ) } { ( 1 - \rho ^ { 2 } ) ^ { 2 } } + C _ { 4 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( x _ { i } - x _ { i - 1 } \rho - \mu ( 1 - \rho ) ) ( x _ { i - 1 } - \mu ) - \frac { 1 } { \gamma ^ { 2 } ( 1 - \rho ^ { 2 } ) } \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( x _ { i - 1 } - \mu ) ^ { 2 } } \\ & { } & { - \frac { 1 + 3 \rho ^ { 2 } } { \gamma ^ { 2 } ( 1 - \rho ^ { 2 } ) ^ { 3 } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( x _ { i } - x _ { i - 1 } \rho - \mu ( 1 - \rho ) ) ^ { 2 } , } \\ { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \rho \gamma ^ { 2 } } \log L _ { n } ( \theta ) } & { = } & { C _ { 5 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( x _ { i } - x _ { i - 1 } \rho - \mu ( 1 - \rho ) ) ( x _ { i - 1 } - \mu ) + \frac { \rho } { \gamma ^ { 4 } ( 1 - \rho ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( x _ { i } - x _ { i - 1 } \rho - \mu ( 1 - \rho ) ) ^ { 2 } , } \\ { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial ( \gamma ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \log L _ { n } ( \theta ) } & { = } & { \frac { n } { 2 \gamma ^ { 4 } } - \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( x _ { i } - x _ { i - 1 } \rho - \mu ( 1 - \rho ) ) ^ { 2 } } { \gamma ^ { 6 } ( 1 - \rho ^ { 2 } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { n _ { k } ( t ) } & { { } \rightarrow } & { \frac { n _ { k } } { 1 + n _ { l } \, \int _ { 0 } ^ { t } d \tau \, u _ { k l } ( t ) \, \sigma _ { R } ^ { k l } \left( u _ { k l } ( t ) \right) } } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m s u p } _ { t \to \infty } \frac { \P \left( \boldsymbol Z ^ { ( 1 ) } \in t A - \boldsymbol a \right) } { \P ( \boldsymbol Z ^ { ( 1 ) } \in t A ) } \leq \frac { c \mu _ { i } \left( \bigcap _ { j \in S } \left\{ \boldsymbol z \in \mathbb { R } _ { + } ^ { d } : z _ { j } > ( x _ { j } + \epsilon ) \right\} \right) } { c _ { i } \mu _ { i } \left( \bigcap _ { j \in S } \left\{ \boldsymbol z \in \mathbb { R } _ { + } ^ { d } : z _ { j } > x _ { j } \right\} \right) } \downarrow 0 \quad \mathrm { ~ a s ~ } \epsilon \downarrow 0 . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l } { { x _ { j } ^ { c } = \frac { 1 } { V _ { j } } \int _ { V _ { j } } x d x d y } } \\ { { y _ { j } ^ { c } = \frac { 1 } { V _ { j } } \int _ { V _ { j } } y d x d y } } \end{array} \right.
0 < \rho ^ { - 2 } K < { \frac { 1 } { 4 } } { \frac { f _ { 1 } ^ { 2 } ( \alpha ) } { f _ { 2 } ( \alpha ) } } { \frac { \sigma ^ { 2 } } { \rho ^ { 2 } } } { \frac { g ^ { 2 } C _ { 2 } } { 2 \pi ^ { 2 } } } ,
\mathrm { K L } ( { \bf C } | | { \bf \Xi } ( { \bf \Lambda } ) ) \approx \frac { 1 } { 2 } \left\{ \log \frac { | { \bf \Xi } ( { \bf \Lambda } ) | } { | { \bf C } | } + ( n + \nu ) \left[ \log \left( 1 + \frac { n \overline { { \mathrm { T r } [ \bf { C \Xi } ( { \bf \Lambda } ^ { - 1 } ) ] } } } { \nu - 2 } \right) - \log \left( 1 + \frac { n } { \nu - 2 } \right) \right] \right\}
S / 2 = { \frac { 1 + { \frac { 1 } { 2 } } + { \frac { 1 } { 4 } } + { \frac { 1 } { 8 } } + \cdots } { 2 } } = { \frac { 1 } { 2 } } + { \frac { 1 } { 4 } } + { \frac { 1 } { 8 } } + { \frac { 1 } { 1 6 } } + \cdots .
\begin{array} { r } { \beta _ { x } = { \tau } _ { x x } \tilde { u } + { \tau } _ { x y } \tilde { v } + { \tau } _ { x z } \tilde { w } - \overline { { q } } _ { x } \, \mathrm { , } } \\ { \beta _ { y } = { \tau } _ { x y } \tilde { u } + { \tau } _ { y y } \tilde { v } + { \tau } _ { y z } \tilde { w } - \overline { { q } } _ { y } \, \mathrm { , } } \\ { \beta _ { z } = { \tau } _ { x z } \tilde { u } + { \tau } _ { y z } \tilde { v } + { \tau } _ { z z } \tilde { w } - \overline { { q } } _ { z } \mathrm { . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { \delta \mathbf { X } } } & { { } = \left[ J \mathbf { f } ( \mathbf { x } _ { s } ) \otimes { \mathbb I } + d { \cal L } \otimes J \mathbf { g } ( \mathbf { x } _ { s } ) \right] \delta \mathbf { X } , } \end{array}
\rho { \frac { \mathrm { D } \mathbf { u } } { \mathrm { D } t } } = - \nabla { \bar { p } } + \mu \, \nabla ^ { 2 } \mathbf { u } + { \frac { 1 } { 3 } } \mu \, \nabla ( \nabla \cdot \mathbf { u } ) + \rho \mathbf { g } - \rho \left[ 2 \mathbf { \Omega } \times \mathbf { u } + \mathbf { \Omega } \times ( \mathbf { \Omega } \times \mathbf { x } ) + { \frac { \mathrm { d } \mathbf { U } } { \mathrm { d } t } } + { \frac { \mathrm { d } \mathbf { \Omega } } { \mathrm { d } t } } \times \mathbf { x } \right] .
\begin{array} { r l } & { \int ( \dots ) \ d q _ { \alpha \beta } = \exp \left\{ \frac { ( \beta ^ { 2 } \sigma _ { _ { J } } ^ { 2 } \sum _ { i } S _ { i } ^ { \alpha } S _ { i } ^ { \beta } ) ^ { 2 } } { 4 ( \frac { N \beta ^ { 2 } \sigma _ { _ { J } } ^ { 2 } } { 2 } - \gamma \sum _ { i } S _ { i } ^ { \alpha } S _ { i } ^ { \beta } ) } - ( \frac { \beta ^ { 2 } \sigma _ { _ { \Delta } } ^ { 2 } } { 2 N } + \frac { \beta ^ { 2 } \sigma _ { _ { \Delta } } ^ { 2 } } { 6 N ^ { 2 } } ) \sum _ { \alpha < \beta } \sum _ { i } S _ { i } ^ { \alpha } S _ { i } ^ { \beta } \right\} = } \\ & { \exp \left\{ \frac { \beta ^ { 2 } \sigma _ { _ { J } } ^ { 2 } } { 2 N } ( \sum _ { i } S _ { i } ^ { \alpha } S _ { i } ^ { \beta } ) ^ { 2 } + \frac { \gamma } { N ^ { 2 } } ( \sum _ { i } S _ { i } ^ { \alpha } S _ { i } ^ { \beta } ) ^ { 3 } - ( \frac { \beta ^ { 2 } \sigma _ { _ { \Delta } } ^ { 2 } } { 2 N } + \frac { \beta ^ { 2 } \sigma _ { _ { \Delta } } ^ { 2 } } { 6 N ^ { 2 } } ) \sum _ { \alpha < \beta } \sum _ { i } S _ { i } ^ { \alpha } S _ { i } ^ { \beta } \right\} , } \\ & { \int ( \dots ) \ d m _ { \alpha } = \exp \left\{ \frac { \beta \mu _ { _ { J } } } { 2 N } ( \sum _ { i } S _ { i } ^ { \alpha } ) ^ { 2 } + \frac { \gamma ^ { \prime } } { N ^ { 2 } } ( \sum _ { i } S _ { i } ^ { \alpha } ) ^ { 3 } - ( \frac { \beta \mu _ { _ { \Delta } } } { 2 N } + \frac { \beta \mu _ { _ { \Delta } } } { 6 N ^ { 2 } } ) \sum _ { \alpha } \sum _ { i } S _ { i } ^ { \alpha } + \beta h \sum _ { \alpha } \sum _ { i } S _ { i } ^ { \alpha } \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } \, \dot { m } _ { g } } { \mathrm { d } x } } & { { } = \dot { m } _ { t } , } \\ { c _ { p , g } \frac { \mathrm { d } \, \dot { m } _ { g } T _ { g } } { \mathrm { d } x } } & { { } = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \omega _ { i } h _ { i } + \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } x } \, \left( \lambda _ { g } \frac { \mathrm { d } T _ { g } } { \mathrm { d } x } \right) + \dot { h } _ { t } - \varrho _ { g } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \, c _ { p , i } Y _ { i } V _ { i } \, \frac { \mathrm { d } T _ { g } } { \mathrm { d } x } , } \\ { \frac { \mathrm { d } \, \dot { m } _ { g } Y _ { i } } { \mathrm { d } x } } & { { } = \omega _ { i } - \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } x } \, \left( \varrho _ { g } Y _ { i } V _ { i } \right) + \dot { Y } _ { i . t } , \; i = 1 , . . . , N . } \end{array}
D _ { 1 } ^ { + + } G ^ { ( 2 , 2 , 2 , 2 ) } ( 1 \vert 2 \vert 3 \vert 4 ) = 0 \ \ \mathrm { f o r ~ p o i n t s ~ 1 \neq ~ 2 \neq ~ 3 \neq ~ 4 ~ }