harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \big [ \mathscr { D } _ { t , m - 1 } ^ { \ell - 1 } , \nabla ^ { 2 } \bigr ] f = \sum _ { \ell ^ { \prime } = 1 } ^ { \ell - 1 } \sum _ { \ell ^ { \prime \prime } = 0 } ^ { \ell ^ { \prime } } c _ { \ell , \ell ^ { \prime } , \ell ^ { \prime \prime } } \bigl ( \mathrm { a d } \mathscr { D } _ { t , m - 1 } \bigr ) ^ { \ell ^ { \prime \prime } } ( \nabla ) \bigl ( \mathrm { a d } \mathscr { D } _ { t , m - 1 } \bigr ) ^ { \ell ^ { \prime } - \ell ^ { \prime \prime } } ( \nabla ) \mathscr { D } _ { t , m - 1 } ^ { \ell - 1 - \ell ^ { \prime } } f } \end{array}
\sigma _ { Y } ^ { 2 } = \operatorname { \mathbb { E } } [ \, \left( Y - \operatorname { \mathbb { E } } [ Y ] \right) ^ { 2 } \, ] = \operatorname { \mathbb { E } } [ \, Y ^ { 2 } \, ] - \left( \, \operatorname { \mathbb { E } } [ \, Y \, ] \right) ^ { 2 }
\frac { \partial | | B | | _ { 2 , 1 } } { \partial B } = ( \frac { \partial \sum _ { i = 1 } ^ { p } ( \boldsymbol { \beta _ { i } } ^ { T } \boldsymbol { \beta _ { i } } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } { \partial \boldsymbol { \beta _ { i } } } ) _ { p \times 1 } = \left[ \begin{array} { l l l l } { \frac { 1 } { | | \boldsymbol { \beta _ { 1 } } | | _ { 2 } } } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { 1 } { | | \boldsymbol { \beta _ { 2 } } | | _ { 2 } } } & { \cdots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { \frac { 1 } { | | \boldsymbol { \beta _ { p } } | | _ { 2 } } } \end{array} \right] B = \Sigma B .
\int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { 1 } { \sqrt { - 2 \rho \rho ^ { \prime } \cos ( \theta - \theta ^ { \prime } ) + { ( \rho ^ { \prime } ) } ^ { 2 } + \rho ^ { 2 } } } \, { \mathrm { d } } \theta ^ { \prime } \, { \mathrm { d } } \theta = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \, { \mathrm { d } } \theta ^ { \prime } 4 \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } \frac { 1 } { \sqrt { - 4 \rho \rho ^ { \prime } \sin ^ { 2 } ( \theta ) + ( { \rho ^ { \prime } } + \rho ) ^ { 2 } } } \, { \mathrm { d } } \theta
\begin{array} { r } { \frac { d } { d t } \rho ( t ) = - \frac { i } { \lambda } [ \hat { \mathcal { H } } ( t ) , \rho ( t ) ] + \kappa \Big ( \hat { a } \rho \hat { a } ^ { \dagger } - \frac { 1 } { 2 } \{ \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } , \rho \} \Big ) + \eta \Big ( \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } \rho \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } - \frac { 1 } { 2 } \{ ( \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } ) ^ { 2 } , \rho \} \Big ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { I _ { X P S } ( E _ { B } ) = \sum _ { f } | \langle f | a _ { c } | g \rangle | ^ { 2 } \frac { \Gamma _ { f } / \pi } { ( E _ { f } - E _ { g } - E _ { B } ) ^ { 2 } + \Gamma _ { f } ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Gamma ( z , t ) } & { = } & { \frac { \pi } { \tau _ { T } } \exp \left( - \sigma _ { 0 } \frac { \langle 2 \mathcal E ( z , t ) ^ { 2 } \rangle } { \omega ^ { 3 } } \right) \left[ \frac { 2 \kappa ^ { 3 } } { \sqrt { \langle 2 \mathcal E ( z , t ) ^ { 2 } \rangle } } \right] ^ { 2 Z / \kappa } } \\ & { \times } & { \exp \left[ - \frac { \mathcal E ( z , t ) ^ { 2 } } { 2 \omega ^ { 3 } } \sigma _ { 1 } \right] . } \end{array}
( M _ { i j } ) = 2 g ^ { Q q } \left( \begin{array} { c c c } { { - 3 / 4 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - 3 / 4 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { - 1 / 2 } } \end{array} \right) \ .
\begin{array} { r l } { \left\langle \sigma _ { \mathbf { 1 } } ( \ell , \ell ) \right\rangle _ { \mathbb { S } _ { L } } ^ { + - } } & { = 2 ^ { - 5 / 2 } \left( \frac { 2 L } { \pi } \right) ^ { - 1 / 1 6 } \frac { 7 + \cos { \frac { 2 \pi \ell } { L } } } { \left( \sin \frac { \pi \ell } { L } \right) ^ { 1 / 1 6 } } \, , } \\ { \left\langle \sigma _ { \varepsilon } ( \ell , \ell ) \right\rangle _ { \mathbb { S } _ { L } } ^ { + - } } & { = 2 ^ { - 5 / 2 } \left( \frac { 2 L } { \pi } \right) ^ { - 9 / 1 6 } \frac { 1 - 9 \cos { \frac { 2 \pi \ell } { L } } } { \left( \sin \frac { \pi \ell } { L } \right) ^ { 9 / 1 6 } } \, , } \\ { \left\langle \sigma _ { \mathbf { 1 } } ( \ell , \ell ) \right\rangle _ { \mathbb { S } _ { L } } ^ { + f } } & { = 2 ^ { 1 / 2 } \left( \frac { 2 L } { \pi } \right) ^ { - 1 / 1 6 } \frac { \cos { \frac { \pi \ell } { 4 L } } } { \left( \sin \frac { \pi \ell } { L } \right) ^ { 1 / 1 6 } } \, , } \\ { \left\langle \sigma _ { \varepsilon } ( \ell , \ell ) \right\rangle _ { \mathbb { S } _ { L } } ^ { + f } } & { = - 2 ^ { 1 / 2 } \left( \frac { 2 L } { \pi } \right) ^ { - 9 / 1 6 } \frac { \cos { \frac { 3 \pi \ell } { 4 L } } } { \left( \sin \frac { \pi \ell } { L } \right) ^ { 9 / 1 6 } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { \P \left( \boldsymbol Z ^ { ( 1 ) } + \boldsymbol Z ^ { ( 2 ) } \in t A \right) \geq \P \left( \bigcup _ { l = 1 } ^ { 2 ^ { | S | } } C _ { l } \right) \geq \sum _ { l = 1 } ^ { 2 ^ { | S | } } \P ( C _ { l } ) - \sum _ { 1 \leq l _ { 1 } < l _ { 2 } \leq 2 ^ { | S | } } \P ( C _ { l _ { 1 } } \cap C _ { l _ { 2 } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { \mathrm { S H G } , ( 1 ) } ^ { \nu \mu \alpha \beta } ( \omega ) } & { = \frac { i e ^ { 3 } } { 2 \hslash ^ { 2 } } \bigg ( \mathrm { t r } \left\{ \hat { v } ^ { \mu } \cdot \hat { \rho } _ { \hat { Q } ^ { \nu \alpha } , \hat { r } ^ { \beta } } ^ { ( 2 ) } ( 2 \omega ) \right\} } \\ & { \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, + \mathrm { t r } \left\{ \hat { v } ^ { \mu } \cdot \hat { \rho } _ { \hat { r } ^ { \alpha } , \hat { Q } ^ { \nu \beta } } ^ { ( 2 ) } ( 2 \omega ) \right\} } \\ & { \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, + \mathrm { t r } \left\{ \partial _ { t } \hat { Q } ^ { \nu \mu } \cdot \hat { \rho } _ { \hat { r } ^ { \alpha } , \hat { r } ^ { \beta } } ^ { ( 2 ) } ( \omega ) \right\} \bigg ) \mathrm { , } } \end{array}
G _ { T } = { \frac { 4 | y _ { 2 1 } | ^ { 2 } \Re { ( Y _ { L } ) } \Re { ( Y _ { S } ) } } { | ( y _ { 1 1 } + Y _ { S } ) ( y _ { 2 2 } + Y _ { L } ) - y _ { 1 2 } y _ { 2 1 } | ^ { 2 } } }
a _ { \gamma } ( u _ { h _ { \gamma } } ^ { \gamma } , v _ { h _ { \gamma } } ^ { \gamma } ) + \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } b _ { \gamma } ^ { i } ( \lambda _ { h } ^ { i } ( u _ { h _ { \gamma } } ^ { \gamma } ) , v _ { h _ { \gamma } } ^ { \gamma } ) = \int _ { \gamma } \rho v _ { h _ { \gamma } } ^ { \gamma } \, d x \qquad \forall v _ { h _ { \gamma } } ^ { \gamma } \in V _ { h _ { \gamma } } ^ { \gamma } .
\eta _ { \varepsilon } ( x ) = { \frac { 1 } { \pi } } \mathrm { I m } \left\{ { \frac { 1 } { x - \mathrm { i } \varepsilon } } \right\} = { \frac { 1 } { \pi } } { \frac { \varepsilon } { \varepsilon ^ { 2 } + x ^ { 2 } } } = { \frac { 1 } { 2 \pi } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \xi x - | \varepsilon \xi | } \; d \xi
\begin{array} { l l } { \frac { d { L } } { d { t } } } & { = { { e } _ { 2 } } { \dot { { e } _ { 2 } } } + { { e } _ { 3 } } { \dot { { e } _ { 3 } } } + { { e } _ { p } } { \dot { { e } _ { p } } } + { { e } _ { q } } { \dot { { e } _ { q } } } , } \\ { \frac { d { L } } { d { t } } } & { = - { \mu } _ { 1 } e _ { 2 } ^ { 2 } - { \mu } _ { 2 } e _ { 3 } ^ { 2 } + { e } _ { p } ( t ) ( - \dot { P } ( t ) + { x } _ { 1 d } ^ { 2 } { e } _ { 3 } ) + { e _ { q } ( t ) } ( - \dot { Q } ( t ) - { e } _ { 3 } ^ { 2 } ) . } \end{array}
d s ^ { 2 } = { \frac { \tau _ { 3 } } { 2 } } { \frac { \cosh ^ { 2 } \chi } { \rho ^ { 2 } } } e ^ { 2 A } d r ^ { 2 } + { \frac { \tau _ { 3 } } { 2 } } { L ^ { 2 } } { e ^ { 2 A } } \rho ^ { 2 } \left( { \cosh ^ { 2 } \! \chi } \, \sigma _ { 3 } ^ { 2 } + \sigma _ { 1 } ^ { 2 } + \sigma _ { 2 } ^ { 2 } \right) \ ,
\begin{array} { r } { \mathbf { R } _ { c l u s t } \left( \mathbf { P } \right) = \frac { 1 } { H W } \sum _ { n } \sum _ { i j } - \mathbf { P } _ { n i j } \log \left( \mathbf { P } _ { n i j } \right) + } \\ { \lambda \sum _ { n } \mathbf { \hat { P } } _ { n } \log \mathbf { \hat { P } } _ { n } } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\| f + g \right\| _ { \alpha , \beta , \gamma } = \left\| f + g \right\| _ { \gamma } + \left| f + g \right| _ { \alpha , \beta } \leq \left\| f \right\| _ { \gamma } + \left\| g \right\| _ { \gamma } + \left| f \right| _ { \alpha , \beta } + \left| g \right| _ { \alpha , \beta } = \left\| f \right\| _ { \alpha , \beta , \gamma } + \left\| g \right\| _ { \alpha , \beta , \gamma } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { I \times \alpha } \psi _ { k } ^ { i } ( y ) \varphi ( y ) \, H _ { r } \left( y , \frac { d P } { d | P | } \right) \, d | P | } & { = \int _ { I \times \alpha } \psi _ { k } ^ { i } ( y ) \varphi ( y ) \, H _ { r } \left( y , \frac { d P } { d | \Pi | } \right) \, d | \Pi | } \\ & { \geq \int _ { I \times \alpha } \psi _ { k } ^ { i } \varphi \, \Sigma _ { n , k } ^ { ( i ) } : \frac { d P } { d | \Pi | } \, d | \Pi | } \\ & { = \int _ { \alpha } \psi _ { k } ^ { i } \varphi \, \left( \Sigma _ { n , k } ^ { ( i ) } \nu _ { \alpha } ^ { i } \cdot ( \bar { u } _ { j } - \bar { u } _ { i } ) + b _ { 1 } ( \hat { \Sigma } _ { n , k } ^ { ( i ) } ) \partial _ { \nu _ { \alpha } ^ { i } } u _ { 3 } ^ { i , j } \right) d \mathcal { H } ^ { 1 } } \\ & { \to \int _ { \alpha } \psi _ { k } ^ { i } \varphi \, \left( \Sigma \nu _ { \alpha } ^ { i } \cdot ( \bar { u } _ { j } - \bar { u } _ { i } ) + b _ { 1 } ( \hat { \Sigma } ) \partial _ { \nu _ { \alpha } ^ { i } } u _ { 3 } ^ { i , j } \right) d \mathcal { H } ^ { 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \mathrm { E } _ { - } } = \frac { { 2 { k ^ { 2 } } \left( { \sqrt { 1 + { k ^ { 2 } } } - 1 } \right) + \left( { 1 + \sigma } \right) \Gamma - \sqrt { 4 { k ^ { 4 } } + 4 { k ^ { 2 } } \left( { 1 - \sigma } \right) \Gamma + { { \left( { 1 + \sigma } \right) } ^ { 2 } } { \Gamma ^ { 2 } } } } } { { 2 { k ^ { 2 } } } } , } \\ & { { \mathrm { E } _ { + } } = \frac { { 2 { k ^ { 2 } } \left( { \sqrt { 1 + { k ^ { 2 } } } - 1 } \right) + \left( { 1 + \sigma } \right) \Gamma + \sqrt { 4 { k ^ { 4 } } + 4 { k ^ { 2 } } \left( { 1 - \sigma } \right) \Gamma + { { \left( { 1 + \sigma } \right) } ^ { 2 } } { \Gamma ^ { 2 } } } } } { { 2 { k ^ { 2 } } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| L ^ { - 1 } \| _ { 2 } \leq \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { t } } \operatorname* { m a x } _ { i = 0 , \dots , N _ { t } - 1 } \| ( A ^ { i } ) ^ { - 1 } \| _ { 2 } ^ { j } } \\ & { \leq ( 1 + \gamma \Delta t ) \frac { ( 1 + \gamma \Delta t ) ^ { 2 N _ { t } } - 1 } { \gamma \Delta t } } \\ & { \leq \frac { 3 } { 2 } \frac { 1 } { \gamma \Delta t } e ^ { 2 \gamma T } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { R ( \mathcal { N } , \mathcal { M } ) } & { { } = } & { \frac { H ( \mathcal { N } ) + H ( \mathcal { M } ) - H ( \mathcal { N } , \mathcal { M } ) } { [ H ( \mathcal { N } ) + H ( \mathcal { M } ) ] / 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta _ { g , i n - w } ( o u t ) = } & { { } \frac { ( \mathbf { 1 } ^ { T } A \mathbf { 1 } ) ^ { 2 } - \mathbf { 1 } ^ { T } A ^ { T } A \mathbf { 1 } \cdot \mathbf { 1 } ^ { T } \mathbf { 1 } } { \mathbf { 1 } ^ { T } A \mathbf { 1 } \cdot \mathbf { 1 } ^ { T } \mathbf { 1 } } } \end{array}
\left( \begin{array} { l l l l } { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } & { { - \sqrt { 2 } \eta } } & { { \sqrt { 2 } \eta } } \\ { { 0 } } & { { \sqrt { 2 } \eta } } & { { 1 - \eta ^ { 2 } } } & { { \eta ^ { 2 } } } \\ { { 0 } } & { { \sqrt { 2 } \eta } } & { { - \eta ^ { 2 } } } & { { 1 + \eta ^ { 2 } } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r } { \rho _ { 2 } ( q _ { 2 } , q _ { 2 } ^ { \prime } ; \beta ) = B \exp \bigg \{ q _ { 2 } ^ { 2 } ( \Phi ^ { 2 } - \Xi ) } \\ { + q _ { 2 } q _ { 2 } ^ { \prime } ( 2 \Phi ^ { 2 } + \Psi ) + q _ { 2 } ^ { 2 } ( \Phi ^ { 2 } - \Xi ) \bigg \} , } \end{array}
S _ { 2 } ^ { \Delta , \mathrm { d i r } } ( \nu , Q ^ { 2 } ) = - { \frac { 1 } { 9 } } \left( \frac { G _ { 1 } } { M } \right) ^ { 2 } \left[ { \frac { 1 } { \nu - \Delta + i { \Gamma _ { \Delta } / 2 } } } + { \frac { 1 } { \nu + \Delta - i { \Gamma _ { \Delta } / 2 } } } \right] \ .
\begin{array} { r l } { \ell _ { \mathrm { s y m } } } & { = \ell _ { \mathrm { s y m } } ^ { ( 1 ) } + \alpha ^ { ( 1 ) } | \| v ^ { ( 1 ) } \| _ { \mathrm { a f f } ( Q ) } - 1 | ^ { 2 } } \\ & { = \ell _ { \mathrm { s y m } } ^ { ( 1 ) } + \alpha ^ { ( 1 ) } | \| M ^ { ( 1 ) } \| _ { \mathrm { F } } + \| b ^ { ( 1 ) } \| _ { 2 } - 1 | ^ { 2 } } \end{array}
\zeta _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ( \omega ) = \frac { \lambda _ { e } \lambda _ { \mu } \big \{ \lambda _ { e } [ ( A _ { n } + A _ { p } ) C _ { 1 } - A _ { 1 } C _ { 2 } ] ^ { 2 } + \lambda _ { \mu } [ ( A _ { n } + A _ { p } ) C _ { 2 } - A _ { 2 } C _ { 1 } ] ^ { 2 } \big \} + \omega ^ { 2 } ( \lambda _ { e } C _ { 1 } ^ { 2 } + \lambda _ { \mu } C _ { 2 } ^ { 2 } ) } { \big \{ \lambda _ { e } \lambda _ { \mu } [ A _ { 1 } A _ { 2 } - ( A _ { n } + A _ { p } ) ^ { 2 } ] - \omega ^ { 2 } \big \} ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } ( \lambda _ { e } A _ { 1 } + \lambda _ { \mu } A _ { 2 } ) ^ { 2 } } \, ,
\begin{array} { r l } & { { \pi } _ { 1 } ( \alpha ) = F _ { Y } ( z _ { I } - \alpha ) = F _ { Y } ( F _ { Z } ^ { - 1 } ( p _ { I } ) - \alpha ) , } \\ & { { \pi } _ { 2 } ( \alpha ) = F _ { Y } ( z _ { I I } - \alpha ) - F _ { Y } ( z _ { I } - \alpha ) = F _ { Y } ( F _ { Z } ^ { - 1 } ( p _ { I I } ) - \alpha ) - F _ { Y } ( F _ { Z } ^ { - 1 } ( p _ { I } ) - \alpha ) , } \\ & { { \pi } _ { 3 } ( \alpha ) = 1 - F _ { Y } ( z _ { I I } - \alpha ) = 1 - F _ { Y } ( F _ { Z } ^ { - 1 } ( p _ { I I } ) - \alpha ) . } \end{array}
J = \sum _ { k = 1 } ^ { N } u _ { k } ^ { T } \mathbf W _ { 1 } u _ { k } + \Delta u _ { k } ^ { T } \mathbf W _ { 2 } \Delta u _ { k } + e _ { k + 1 } ^ { T } \mathbf W _ { 3 } e _ { k + 1 } + \Delta e _ { k + 1 } ^ { T } \mathbf W _ { 4 } \Delta e _ { k + 1 }
\Delta { F } _ { h / q } ^ { ( g ) } ( y ; x ) = \frac { \alpha _ { s } } { 2 \pi } \int \frac { d k _ { \perp } ^ { 2 } } { k _ { \perp } ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d z } { z } P _ { q g } ( z / x ) \epsilon ( x - z ) \left\lbrack \theta ( x - z ) - f ( x - z ) \right\rbrack { F } _ { h / g } ( y ; z ) \; \; .
{ \begin{array} { r l } { \sinh ( x - y ) } & { = \sinh x \cosh y - \cosh x \sinh y } \\ { \cosh ( x - y ) } & { = \cosh x \cosh y - \sinh x \sinh y } \\ { \operatorname { t a n h } ( x - y ) } & { = { \frac { \operatorname { t a n h } x - \operatorname { t a n h } y } { 1 - \operatorname { t a n h } x \operatorname { t a n h } y } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { \quad k _ { j , i } + B _ { i , j } - B _ { j , i } } \\ & { = \sum _ { s \geq 0 } w _ { j , i } ^ { ( 2 ) } t ^ { - 1 - s } w _ { i , j } ^ { ( 1 ) } t ^ { 2 + s } + \sum _ { s \geq 0 } w _ { i , j } ^ { ( 1 ) } t ^ { 1 - s } w _ { j , i } ^ { ( 2 ) } t ^ { s } } \\ & { \quad - \sum _ { s \geq 0 } w _ { j , i } ^ { ( 1 ) } t ^ { - 1 - s } w _ { i , j } ^ { ( 2 ) } t ^ { 2 + s } - \sum _ { s \geq 0 } w _ { i , j } ^ { ( 2 ) } t ^ { 1 - s } w _ { j , i } ^ { ( 1 ) } t ^ { s } } \\ & { \quad - \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } w _ { i , j } ^ { ( 1 ) } t ^ { - s } w _ { j , i } ^ { ( 2 ) } t ^ { s + 1 } + \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } w _ { i , j } ^ { ( 2 ) } t ^ { - s + 1 } w _ { j , i } ^ { ( 1 ) } t ^ { s } } \\ & { \quad + \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } w _ { j , i } ^ { ( 1 ) } t ^ { - s - 1 } w _ { i , j } ^ { ( 2 ) } t ^ { s + 2 } - \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } w _ { j , i } ^ { ( 1 ) } t ^ { - s } w _ { i , j } ^ { ( 2 ) } t ^ { s + 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { p r } } & { { } = - \frac { m _ { e } c ^ { 2 } a ^ { 2 } } { 4 \left< \gamma \right> } \frac { \partial } { \partial r } \exp \left( - 2 \frac { r ^ { 2 } } { w ^ { 2 } } \right) } \end{array}
( H _ { 2 } ^ { 1 } , H _ { 2 } ^ { 2 } ) \left( \begin{array} { c c } { { \kappa _ { 1 } \langle S _ { 1 } \rangle } } & { { \kappa _ { 2 } \langle S _ { 2 } \rangle } } \\ { { \kappa _ { 4 } \langle S _ { 4 } \rangle } } & { { \kappa _ { 5 } \langle S _ { 5 } \rangle } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { H _ { 1 } ^ { 1 } } } \\ { { H _ { 1 } ^ { 2 } } } \end{array} \right) .
\operatorname* { l i m } _ { x \to \infty } x \left( { \frac { A } { x - 1 } } + { \frac { B x + C } { x ^ { 2 } + x + 1 } } \right) = \operatorname* { l i m } _ { x \to \infty } { \frac { A x } { x - 1 } } + \operatorname* { l i m } _ { x \to \infty } { \frac { B x ^ { 2 } + C x } { x ^ { 2 } + x + 1 } } = A + B ,
\begin{array} { r l } { A _ { z , n } ( x ) = } & { \frac { x ^ { 2 } - z ^ { 2 } } { 2 \gamma _ { n } ( z ) C _ { z , n } ( x ) } } \\ { B _ { z , n } ( x ) = } & { \frac { n - 2 \gamma _ { n } ( z ) } { 2 \gamma _ { n } ( z ) C _ { z , n } ( x ) } x } \\ { C _ { z , n } ( x ) = } & { x ^ { 2 } - z ^ { 2 } + \gamma _ { n } ( z ) + \gamma _ { n + 1 } ( z ) - n - \frac { 1 } { 2 } } \end{array}
\partial _ { t } \mathbf { u } _ { i } = - \left( \boldsymbol { \nabla } { \cdot } \mathbf { F } _ { \partial \Omega _ { k } } ( \mathbf { u } _ { i } ) + \boldsymbol { \nabla } { \cdot } { \mathbf { F } } _ { \partial \Omega _ { k } } ( \mathbf { u } _ { i } ) \right) + \mathbf { S _ { B } } ( \mathbf { u } _ { i } ) .
\begin{array} { r l } { \mathcal { B } _ { 0 } } & { = \Pi _ { S ^ { \perp } } \partial _ { x } O p ^ { W } \left( \mathtt { m } _ { \alpha } m _ { 1 , \alpha } ( \xi ) + \left( \frac { T _ { \alpha } } 4 + \mathfrak { m } _ { \le 0 } ( \xi ) \right) \right) } \\ & { = \Pi _ { S ^ { \perp } } \partial _ { x } O p ^ { W } \left( - \frac { 1 } { 2 } m _ { 1 , \alpha } ( \xi ) + \frac { T _ { \alpha } } 4 \right) + \Pi _ { S ^ { \perp } } \partial _ { x } O p ^ { W } \left( \left( \mathtt { m } _ { \alpha } + \frac { 1 } { 2 } \right) m _ { 1 , \alpha } ( \xi ) + \mathfrak { m } _ { \le 0 } ( \xi ) \right) } \\ & { = : \mathcal { B } _ { 0 , 1 } + \mathcal { B } _ { 0 , 2 } . } \end{array}
\begin{array} { c l } { \displaystyle \cos \left( 3 \psi _ { 3 } + \xi _ { 3 , 0 , l _ { 3 \nu _ { x } } } \right) } & { = \displaystyle \cos \left( 3 \psi + \xi _ { 3 , 0 , l _ { 3 \nu _ { x } } } - \Delta \psi \right) } \\ & { \displaystyle = \cos \left( 3 \psi + \xi _ { 3 , 0 , l _ { 3 \nu _ { x } } } \right) + O \left( \Delta \psi ^ { 2 } \right) } \\ & { \displaystyle \cong \cos \left( 3 \psi + \xi _ { 3 , 0 , l _ { 3 \nu _ { x } } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \tilde { \psi } _ { 0 } \left( \frac { \tilde { r } } { \tilde { r } _ { b } } \right) = \left\{ \begin{array} { c } { a _ { 1 } - \frac { \tilde { r } ^ { 2 } } { 4 } ~ ~ \tilde { r } < \tilde { r } _ { b } } \\ { a _ { 1 } + \frac { \tilde { r } } { 4 } ( \sqrt { \tilde { r } ^ { 2 } - \tilde { r } _ { b } ^ { 2 } } - \tilde { r } ) - \frac { \tilde { r } _ { b } ^ { 2 } } { 4 } \log \left( \frac { \tilde { r } } { \tilde { r } _ { b } } + \sqrt { \left( \frac { \tilde { r } } { \tilde { r } _ { b } } \right) ^ { 2 } - 1 } \right) ~ ~ \tilde { r } _ { b } < \tilde { r } \ll \infty } \end{array} \right. . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \hat { w } } _ { 1 } ( \sigma , s ) = } & { \sum _ { n = 1 } ^ { 2 } \left[ u _ { n } ^ { ( a ) } ( \sigma ) \hat { a } _ { n } ^ { ( a ) } ( s ) + v _ { n } ^ { ( a ) \ast } ( \sigma ) \hat { a } _ { n } ^ { ( a ) \dagger } ( s ) \right] } \\ & { + \int d k \, \left[ u _ { k } ^ { ( a ) } ( \sigma ) \hat { a } _ { k } ^ { ( a ) } ( s ) + v _ { k } ^ { ( a ) \ast } ( \sigma ) \hat { a } _ { k } ^ { ( a ) \dagger } ( s ) \right] , } \\ { { \hat { w } } _ { 2 } ( \sigma , s ) = } & { \sum _ { n = 1 } ^ { 2 } \left[ u _ { n } ^ { ( b ) } ( \sigma ) \hat { a } _ { n } ^ { ( b ) } ( s ) + v _ { n } ^ { ( b ) \ast } ( \sigma ) \hat { a } _ { n } ^ { ( b ) \dagger } ( s ) \right] } \\ & { + \int d k \, \left[ u _ { k } ^ { ( b ) } ( \sigma ) \hat { a } _ { k } ^ { ( b ) } ( s ) + v _ { k } ^ { ( b ) \ast } ( \sigma ) \hat { a } _ { k } ^ { ( b ) \dagger } ( s ) \right] , } \end{array}
p ^ { ( 1 ) } = \frac { { K ^ { ( 1 ) } } ^ { 2 } - ( l - 1 / 2 ) ( l + 1 / 2 ) } { ( l + 1 / 2 ) ( l + 3 / 2 ) - ( l - 1 / 2 ) ( l + 1 / 2 ) } .
\begin{array} { r l } { T _ { I } ^ { \mathrm { ~ I ~ } } } & { { } = \{ ( ( s _ { t - \kappa : t } ) , y _ { t } ) | t \sim U ( I ) \} } \\ { T _ { I } ^ { \mathrm { ~ I ~ I ~ } } } & { { } = \{ ( ( s _ { t - \kappa : t } , w _ { t - \kappa : t + \tau } ) , y _ { t } ) | t \sim U ( I ) \} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d \psi _ { s 0 } } { d \xi } } & { = - 2 \delta d _ { s } \psi _ { s 0 } + \frac { G _ { R } } { 2 f _ { p } } \left( \frac { r _ { e } } { r _ { s } } \right) ^ { 2 } \left[ 2 - \left( \frac { r _ { e } } { r _ { s } } \right) ^ { 2 } \right] \psi _ { s 0 } , } \\ { \frac { d r _ { s } } { d \xi } } & { = 2 \delta d _ { s } r _ { s } - \frac { G _ { R } } { 2 f _ { p } } \left( \frac { r _ { e } } { r _ { s } } \right) ^ { 2 } \left[ 1 - \left( \frac { r _ { e } } { r _ { s } } \right) ^ { 2 } \right] r _ { s } , } \\ { \frac { d d _ { s } } { d \xi } } & { = - 2 \delta d _ { s } ^ { 2 } - \frac { \gamma } { 4 } \left( \frac { \psi _ { s 0 } } { r _ { s } } \right) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 \delta } + \frac { \delta } { 2 r _ { s } ^ { 4 } } } \\ & { - \frac { 2 \Gamma } { f _ { p } } \left( \frac { r _ { e } ^ { 2 } } { r _ { s } ^ { 4 } } \right) \left[ 1 - \left( \frac { r _ { e } } { r _ { s } } \right) ^ { 2 } \right] , } \\ { \frac { d \phi _ { s } } { d \xi } } & { = - \frac { \delta } { r _ { s } ^ { 2 } } + \frac { 3 } { 4 } \gamma \psi _ { s 0 } ^ { 2 } + \frac { 2 \Gamma } { f _ { p } } \left( \frac { r _ { e } } { r _ { s } } \right) ^ { 2 } \left[ 2 - \left( \frac { r _ { e } } { r _ { s } } \right) ^ { 2 } \right] , } \end{array}
+ \frac { g ^ { 2 } } { ( 2 \pi ) ^ { D - 1 } } c _ { { \cal R } } \left( \frac { \vec { q } _ { 1 } ^ { \: 2 } \vec { q } _ { 2 } ^ { \: \prime \: 2 } + \vec { q } _ { 1 } ^ { \: \prime \: 2 } \vec { q } _ { 2 } ^ { \: 2 } } { ( \vec { q } _ { 1 } - \vec { q } _ { 2 } ) ^ { 2 } } - \vec { q } ^ { \: 2 } \right) \; .
\frac { d } { d t } \left\langle \left[ \begin{array} { l } { \mathcal { S } } \\ { \vec { \mathbf S } } \\ { 1 } \end{array} \right] \right\rangle = ( \mathcal { A } _ { 1 } + \mathbf { \widetilde { \Gamma } } ) \left\langle \left[ \begin{array} { l } { \mathcal { S } } \\ { \vec { \mathbf S } } \\ { 1 } \end{array} \right] \right\rangle \smallskip
\underset { \mathbf { w } } { \mathop { \operatorname* { m i n } } } ~ \mathcal { L } = \{ \frac { 1 } { T \times N } { \sum _ { t = 1 } ^ { T } } { \sum _ { n = 1 } ^ { N } } \frac { 1 } { \sigma _ { t , n } ^ { 2 } } | | ( \hat { y } _ { t , n } - \tilde { y } _ { t , n } ) m _ { t , n } | | _ { 2 } ^ { 2 } + \beta ( \frac { 1 } { T \times N } { \sum _ { t = 1 } ^ { T } } { \sum _ { n = 1 } ^ { N } } \mathrm { ~ l ~ o ~ g ~ } \sigma _ { t , n } ^ { 2 } - \tau ) \}
\begin{array} { r l } { \varphi _ { a , D 1 } - \varphi _ { b , D 1 } } & { { } \approx \left( \varphi _ { a } + \varphi _ { D 1 } \right) - \left( \varphi _ { b } + \varphi _ { D 1 } \right) } \end{array}
\mathbf { M } _ { \mathrm { { o r b } } } = { \frac { - e } { 2 m _ { e } } } \sum _ { n } \int _ { \mathrm { { B Z } } } { \frac { d ^ { 3 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } } \, \langle \psi _ { n \mathbf { k } } \vert \mathbf { r } \times \mathbf { p } \vert \psi _ { n \mathbf { k } } \rangle \, ,
\begin{array} { r l r } { I _ { \mathrm { i } , n , s } ^ { ( f ) } } & { { } = } & { \delta _ { n } \frac { q ^ { 2 } v } { 4 r _ { c } ^ { 2 } } \frac { Q _ { n } ^ { 2 } ( u ) } { \varepsilon _ { 0 } } \sum _ { p , p ^ { \prime } = \pm 1 } \left( 1 + p p ^ { \prime } \beta ^ { 2 } \varepsilon _ { 0 } \right) \frac { K _ { n + p ^ { \prime } } ( \gamma _ { 1 } u ) } { W _ { n + p ^ { \prime } } ^ { I } } } \end{array}