harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \mathbf { f } ( \mathbf { x } ) = \left[ \frac { 1 } { 4 } ( \nabla + \mathrm { i } \alpha \mathbf { k } _ { 0 } ) \chi _ { + } ^ { [ 1 ] } { \xi } _ { + } ^ { [ 1 ] } \mathrm { e } ^ { 2 \mathrm { i } ( \alpha \mathbf { k } _ { 0 } \cdot \mathbf { x } - \beta \omega _ { 0 } t ) } + \mathrm { c . c . } \right] + \left[ \frac { 1 } { 4 } ( \nabla + \mathrm { i } \alpha \mathbf { k } _ { 0 } ) \chi _ { + } ^ { [ 1 ] } \big ( \xi _ { + } ^ { [ 1 ] } \big ) ^ { * } + \mathrm { c . c . } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \lambda _ { \mathrm { c r i t } } \approx \lambda _ { \mathrm { c r i t , 0 } } \left[ 1 - \frac { 1 } { 2 } \frac { \ell _ { s } } { \ell _ { D } } \left( 1 + 2 \frac { \ell _ { s } } { \ell _ { D } } \right) \delta \right] + \mathcal { O } ( \delta ^ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { n = 2 } ^ { \infty } \mathsf { E } [ U _ { i } ( t _ { 0 } ^ { ( n ) } ) } & { \mid T ^ { ( n ) } > 0 , \theta = i ] p _ { f } ^ { n - 1 } = \sum _ { n = 2 } ^ { \infty } \mathsf { E } [ U _ { i } ( T _ { n - 1 } ) \! - \! C _ { 2 } \mid T ^ { ( n ) } > 0 , \theta \! = \! i ] p _ { f } ^ { n - 1 } } \\ & { = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \mathsf { E } [ U _ { i } ( T _ { n } ) \! - \! C _ { 2 } \mid T ^ { ( n + 1 ) } > 0 , \theta \! = \! i ] p _ { f } ^ { n } \ge \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \mathsf { E } [ U _ { i } ( T _ { n } ) \! - \! C _ { 2 } \mid T ^ { ( n ) } \! > \! 0 , \theta \! = \! i ] p _ { f } ^ { n } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left\langle \hat { N } _ { a b } \right\rangle } & { = \left\langle \hat { a } _ { 3 } ^ { \dag } \hat { a } _ { 3 } - \hat { b } _ { 3 } ^ { \dag } \hat { b } _ { 3 } \right\rangle = \left\langle A _ { 1 1 } \hat { a } _ { 0 } ^ { \dag } \hat { a } _ { 0 } \right\rangle , } & \\ { \left\langle \hat { N } _ { a b } ^ { 2 } \right\rangle } & { = A _ { 1 1 } ^ { 2 } \left\langle \hat { a } _ { 0 } ^ { \dag } \hat { a } _ { 0 } \hat { a } _ { 0 } ^ { \dag } \hat { a } _ { 0 } \right\rangle + A _ { 1 2 } A _ { 2 1 } \left\langle \hat { a } _ { 0 } ^ { \dag } \hat { b } _ { 0 } \hat { b } _ { 0 } ^ { \dag } \hat { a } _ { 0 } \right\rangle } & \\ & { + A _ { 1 3 } A _ { 3 1 } \left\langle \hat { a } _ { 0 } ^ { \dag } \hat { v } _ { a } \hat { v } _ { a } ^ { \dag } \hat { a } _ { 0 } \right\rangle + A _ { 1 4 } A _ { 4 1 } \left\langle \hat { a } _ { 0 } ^ { \dag } \hat { v } _ { b } \hat { v } _ { b } ^ { \dag } \hat { a } _ { 0 } \right\rangle } & \\ & { = A _ { 1 1 } ^ { 2 } N ^ { 2 } + ( A _ { 1 1 } ^ { 2 } + A _ { 1 2 } A _ { 2 1 } + A _ { 1 3 } A _ { 3 1 } + A _ { 1 4 } A _ { 4 1 } ) N , } & \\ { A _ { i j } } & { = k _ { i } ^ { \ast } k _ { j } - h _ { i } ^ { \ast } h _ { j } ( i , j = 1 , 2 , 3 , 4 ) . } & \end{array}
c _ { \mathbf { m } } ( \widetilde { \gamma } ) = \widetilde { \gamma } - ( \omega _ { N } - \omega _ { S } ) \frac { \mathbf { m } - 1 } { 2 \mathbf { m } } \neq \widetilde { \gamma } - \frac { \omega _ { N } - \omega _ { S } } { 2 } \cdot
( H - E _ { 0 } ) a _ { m _ { 1 } } ^ { \dagger } \ldots a _ { m _ { n } } ^ { \dagger } \mid 0 \rangle = E ( m _ { 1 } \ldots m _ { n } ) a _ { m _ { 1 } } ^ { \dagger } \ldots a _ { m _ { n } } ^ { \dagger } \mid 0 \rangle
\begin{array} { r l } { X _ { k } } & { { } = r _ { 0 } \cos \left( \frac { 2 \pi ( k - 1 ) } { N _ { \mathrm { b a t h } } } \right) \cos \left( \beta \right) , } \\ { Y _ { k } } & { { } = - r _ { 0 } \sin \left( \frac { 2 \pi ( k - 1 ) } { N _ { \mathrm { b a t h } } } \right) , } \\ { Z _ { k } } & { { } = r _ { 0 } \cos \left( \frac { 2 \pi ( k - 1 ) } { N _ { \mathrm { b a t h } } } \right) \sin \left( \beta \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } _ { k } [ \psi _ { 1 / \rho } ( x ^ { k + 1 } ) ] } \\ { = } & { \mathbb { E } _ { k } [ f ( \hat { x } ^ { k + 1 } ) + \omega ( \hat { x } ^ { k + 1 } ) + \frac { \rho } { 2 } \| \hat { x } ^ { k + 1 } - x ^ { k + 1 } \| ^ { 2 } ] } \\ { \leq } & { \mathbb { E } _ { k } [ f ( \hat { x } ^ { k } ) + \omega ( \hat { x } ^ { k } ) + \frac { \rho } { 2 } \| \hat { x } ^ { k } - x ^ { k + 1 } \| ^ { 2 } ] } \\ { \leq } & { \mathbb { E } _ { k } [ f ( \hat { x } ^ { k } ) + \omega ( \hat { x } ^ { k } ) + \frac { \rho } { 2 } \| \hat { x } ^ { k } - x ^ { k } \| ^ { 2 } ] - \frac { \rho ( \rho - 2 \lambda - \kappa ) } { 2 ( \gamma _ { k } - 2 \lambda - \kappa ) } \| \hat { x } ^ { k } - x ^ { k } \| ^ { 2 } } \\ & { + \frac { \rho \lambda } { \gamma _ { k } - 2 \lambda - \kappa } \mathbb { E } _ { k } [ \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k - \tau _ { k } } \| ^ { 2 } ] + \frac { 2 \rho L _ { f } } { \gamma _ { k } - 2 \lambda - \kappa } \mathbb { E } _ { k } [ \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k - \tau _ { k } } \| ] } \\ & { - \frac { \rho ( \gamma _ { k } - \rho ) } { 2 ( \gamma _ { k } - 2 \lambda - \kappa ) } \mathbb { E } _ { k } [ \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k } \| ^ { 2 } ] } \\ { = } & { \psi _ { 1 / \rho } ( x ^ { k } ) - \frac { \rho ( \rho - 2 \lambda - \kappa ) } { 2 ( \gamma _ { k } - 2 \lambda - \kappa ) } \| \hat { x } ^ { k } - x ^ { k } \| ^ { 2 } + \frac { \rho \lambda } { \gamma _ { k } - 2 \lambda - \kappa } \mathbb { E } _ { k } [ \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k - \tau _ { k } } \| ^ { 2 } ] } \\ & { + \frac { 2 \rho L _ { f } } { \gamma _ { k } - 2 \lambda - \kappa } \mathbb { E } _ { k } [ \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k - \tau _ { k } } \| ] - \frac { \rho ( \gamma _ { k } - \rho ) } { 2 ( \gamma _ { k } - 2 \lambda - \kappa ) } \mathbb { E } _ { k } [ \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k } \| ^ { 2 } ] . } \end{array}
( \overline { { { m } } } ^ { 2 } ) _ { 3 2 } \, \simeq \, - \frac { 1 } { 8 \pi ^ { 2 } } \, ( 3 \, m _ { 0 } ^ { 2 } \, + \, a _ { 0 } ^ { 2 } ) \, V _ { 3 3 } ^ { * } V _ { 3 2 } \, f _ { \nu _ { 3 } } ^ { 2 } \, \log ( \frac { M _ { G } } { M _ { \nu _ { 3 } } } )
\mathrm { T r \, L n } \, [ m ^ { 2 } + \nabla ^ { 2 } ] = - \int d ^ { 3 } x \int _ { 1 / \Lambda ^ { 2 } } ^ { \infty } \frac { d s } { s } \, \mathrm { t r } \, \langle x | \, e ^ { - i s \, [ m ^ { 2 } + \nabla ^ { 2 } ] } | x \rangle .
f = \sqrt { | a | \left( 2 \lambda - \frac { \nu _ { _ { D C } } + \xi _ { _ { D C } } } { 4 } | a | ^ { 2 } \right) \frac { 4 } { \left( | a | \chi _ { _ { D C } } \pm 2 \left( \zeta _ { _ { D C } } \lambda + \mu _ { _ { D C } } \right) \right) } } ,
F _ { d , i } = - \frac { \rho _ { a } } { \Delta _ { z } } \sum _ { k } \left[ \Gamma C _ { D } ( k ) \widetilde { u } _ { i } \left( ( \widetilde { u } _ { l } - c ( k ) ) \cdot \frac { \partial \widetilde { \eta } ( k ) } { \partial x _ { l } } \right) { \mathcal { H } \left\{ ( \widetilde { u } _ { l } - c ( k ) ) \cdot \frac { \partial \widetilde { \eta } ( k ) } { \partial x _ { l } } \right\} } + ( 1 - \Gamma ) \beta ( k ) \frac { ( a k u _ { * } ) ^ { 2 } } { 2 } \right]
\begin{array} { r l } { { \mathbb E } \{ \bar { S } _ { 3 } ( x ) [ 2 ^ { j } \lambda , 2 ^ { j } \lambda ^ { \prime } ] \} } & { = { \mathbb E } \{ \bar { S } _ { 3 } ( x ) [ \lambda , \lambda ^ { \prime } ] \} } \\ { { \mathbb E } \{ \bar { S } _ { 4 } ( x ) [ 2 ^ { j } \lambda , 2 ^ { j } \lambda ^ { \prime } , 2 ^ { j } \gamma ] \} } & { = { \mathbb E } \{ \bar { S } _ { 4 } ( x ) [ \lambda , \lambda ^ { \prime } , \gamma ] \} } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \operatorname* { l i m } _ { V \rightarrow 0 } \, \frac { 1 } { V } \, \int _ { V } d ^ { 3 } r \, \phi \left( \vec { r } , \vec { r } _ { k } \right) \, \phi \left( \vec { r } , \vec { r } _ { l } \right) = \delta _ { \vec { r } _ { k } , \vec { r } _ { l } } \, , } \\ & { } & { \operatorname* { l i m } _ { V \rightarrow 0 } \, \frac { 1 } { V } \, \int _ { V } d ^ { 3 } r \, \phi \left( \vec { r } , \vec { r } _ { k } \right) = \int d ^ { 3 } r \, \delta \left( \vec { r } - \vec { r } _ { k } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { a _ { 2 j } = } & { A _ { j } \left[ \frac { \xi _ { j } \beta _ { j } } { 2 } \left( \frac { 5 } { 1 6 } \xi _ { j } ^ { - 3 } + \frac { 5 \pi ^ { 2 } } { 1 2 8 } \xi _ { j } ^ { - 5 } + \frac { 2 4 5 \pi ^ { 4 } } { 6 1 4 4 } \xi _ { j } ^ { - 7 } \right) \right. } \\ & { \left. - \left( \frac { 1 } { 1 6 } \xi _ { j } ^ { - 3 } + \frac { 5 \pi ^ { 2 } } { 1 2 8 } \xi _ { j } ^ { - 5 } + \frac { 1 4 7 \pi ^ { 4 } } { 2 0 4 8 } \xi _ { j } ^ { - 7 } \right) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { L _ { \operatorname { Q C } } = \int \left\langle \Upsilon , i \hbar \partial _ { t } \Upsilon + ( \mathcal { A } - \mathcal { A } _ { B } ) \cdot \mathcal { X } \Upsilon - ( { \widehat { H } } - \mathcal { A } _ { B } \cdot { { X } } _ { \widehat { H } } ) \Upsilon + i \hbar { { X } } _ { \widehat { H } } \cdot \nabla \Upsilon \right\rangle \, { \mathrm { d } } r { \mathrm { d } } p , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Lambda _ { c i r } ^ { 2 } = q ^ { 2 } \frac { \omega \omega _ { t i } } { \omega _ { A } ^ { 2 } } \Big [ \Big ( 1 - \frac { \omega _ { \ast n i } } { \omega } \Big ) \Big ( } & { F \Big ( \frac { \omega } { \omega _ { t i } } \Big ) + \Delta F \Big ( \frac { \omega } { \omega _ { t i } } \Big ) \Big ) - \frac { \omega _ { \ast T i } } { \omega } \Big ( G \Big ( \frac { \omega } { \omega _ { t i } } \Big ) + \Delta G \Big ( \frac { \omega } { \omega _ { t i } } \Big ) \Big ) } \\ & { + \frac { \omega \omega _ { t i } } { 4 { \bar { \omega } } _ { D i } ^ { 2 } } \Big ( N _ { 1 } \big ( \frac { \omega } { \omega _ { t i } } \Big ) + \Delta N _ { 1 } \Big ( \frac { \omega } { \omega _ { t i } } \Big ) \Big ) { S _ { f } } ( \omega , { \bar { \omega } } _ { D i } , \omega _ { b i } , \omega _ { t i } ) \Big ] , } \end{array}
d ( \phi , \beta ) = \operatorname* { d e t } \left[ \mathbf { M } - \mathbf { M } ^ { K ^ { - } } \left( - \frac { \mathrm { t r ( } \mathbf { M } ) } { ( \nu + 1 ) \alpha _ { v } } , \phi , \beta \right) \right] = 0
\begin{array} { r l r } { d \sigma } & { = } & { \frac { 1 } { 4 E _ { T } E _ { I } \left\vert v _ { T } - v _ { I } \right\vert } \left( \prod _ { f } \frac { d ^ { 3 } p _ { f } } { \left( 2 \pi \right) ^ { 3 } } \frac { 1 } { 2 E _ { f } } \right) \times } \\ & { } & { \left\vert \mathcal { M } \left( p _ { T } , p _ { I } \longrightarrow \left\{ p _ { f } \right\} \right) \right\vert ^ { 2 } \left( 2 \pi \right) ^ { 4 } \delta ^ { \left( 4 \right) } \left( P _ { T } + P _ { I } - \sum p _ { f } \right) , } \end{array}
- \frac { 1 } { \rho _ { f } } \frac { \partial \widetilde { P } } { \partial x } - \frac { \partial ( \overline { { \widetilde { u _ { x } ^ { ' } } \widetilde { u _ { y } ^ { ' } } } } ) } { \partial y } + ( \nu + \nu _ { t } ) \frac { \partial ^ { 2 } ( \widetilde { U } _ { x } ) } { \partial y \partial y } - \overline { { \frac { \rho _ { p } f \phi _ { l } } { \rho _ { f } \tau _ { p } } ( \widetilde { u } _ { x } - \widetilde { v } _ { x } ) } } = 0 ,
\begin{array} { r l r } { \hat { H } _ { * } } & { = \sum _ { \mathbf { k } } \sum _ { i , j } \sum _ { a = 1 } ^ { B \nu _ { i } } \sum _ { b = 1 } ^ { B \nu _ { j } } \left[ \mathcal { R } _ { i } ^ { \phantom { \dagger } } t _ { \mathbf { k } , i j } \mathcal { R } _ { j } ^ { \dagger } \right] _ { a b } f _ { \mathbf { k } i a } ^ { \dagger } f _ { \mathbf { k } j b } ^ { \phantom { \dagger } } + \sum _ { \mathbf { k } } \sum _ { i } \sum _ { a , b = 1 } ^ { B { \nu } _ { i } } \left[ \Lambda _ { i } \right] _ { a b } f _ { \mathbf { k } i a } ^ { \dagger } f _ { \mathbf { k } i b } ^ { \phantom { \dagger } } \dag t _ { \mathbf { k } , i j } ^ { * } } & { = \Pi _ { i } t _ { \mathbf { k } } ^ { * } \Pi _ { j } = \mathcal { R } _ { i } \Pi _ { i } t _ { \mathbf { k } } \Pi _ { j } \mathcal { R } _ { j } ^ { \dagger } \dag , . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left[ \begin{array} { l } { V _ { N } / V _ { 0 } } \\ { I _ { N } / V _ { 0 } } \end{array} \right] = \mathbf { T } ^ { N } \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { Y } \end{array} \right] . } \end{array}
\gamma B _ { a } ^ { 0 i } = \partial _ { j } \eta _ { a } ^ { ( 2 ) i j } , \; \gamma B _ { a } ^ { i j } = \eta _ { a } ^ { ( 1 ) i j } , \; \gamma H _ { i } ^ { a } = C _ { i } ^ { ( 1 ) a } , \; \gamma H _ { 0 } ^ { a } = - \partial ^ { i } C _ { i } ^ { ( 2 ) a } ,
F _ { l } ^ { ( \varepsilon ) } ( z , x ) \sim - \pi ( l + 1 / 2 ) x ^ { - 2 ( l + 2 ) } , \quad F _ { l } ^ { ( p _ { \perp } ) } ( z , x ) \sim - \pi ( l + 1 ) x ^ { - 2 ( l + 1 ) } / 2 .
\begin{array} { r l } { v _ { 0 ; 0 } ^ { ( k ) } = 2 v _ { + 1 ; - 1 } ^ { ( k ) } = 2 v _ { - 1 ; + 1 } ^ { ( k ) } } & { { } = \frac { 1 - 3 \cos ^ { 2 } \theta _ { k } } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } | R _ { k } | ^ { 3 } } , } \\ { v _ { 0 ; \pm 1 } ^ { ( k ) } = v _ { \pm 1 ; 0 } ^ { ( k ) } } & { { } = \frac { \pm \frac { 3 } { \sqrt { 2 } } \sin \theta _ { k } \cos \theta _ { k } e ^ { \mp i \phi _ { k } } } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } | R _ { k } | ^ { 3 } } , } \\ { v _ { \pm 1 ; \pm 1 } ^ { ( k ) } } & { { } = \frac { - \frac { 3 } { 2 } \sin ^ { 2 } \theta _ { k } e ^ { \mp i 2 \phi _ { k } } } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } | R _ { k } | ^ { 3 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \sum _ { k = 1 } ^ { m - 1 } \frac { \psi _ { 0 } ( a + 2 k ) } { k } = \sum _ { k = 1 } ^ { m - 1 } \left( \frac { \psi _ { 0 } ( a + k + m ) } { k } + \frac { \psi _ { 0 } ( a + k ) } { k } + \frac { \psi _ { 0 } ( a + 2 k ) } { a + k } \right) + \mathrm { C F } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial \rho } { \partial t } + \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left( \rho u _ { j } \right) = 0 \, \mathrm { , } } \\ { \frac { \partial } { \partial t } \left( \rho u _ { i } \right) + \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left( \rho u _ { i } u _ { j } \right) + \frac { \partial p } { \partial x _ { i } } - \frac { \partial \tau _ { i j } } { \partial x _ { j } } = 0 \, \mathrm { , } } \\ { \frac { \partial e } { \partial t } + \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left[ \left( e + p \right) u _ { j } - \tau _ { i j } u _ { i } + q _ { j } \right] = 0 \, \mathrm { , } } \end{array}
\hat { H } = J _ { d } \sum _ { n \in o d d } \hat { \textbf { S } } _ { n } \cdot \hat { { \textbf { S } } } _ { n + 1 } + J _ { s } \sum _ { n \in e v e n } \hat { \textbf { S } } _ { n } \cdot \hat { \textbf { S } } _ { n + 1 } ,
\begin{array} { r l } & { \rho _ { 1 } ^ { \prime } \rightarrow \rho _ { 1 } ^ { \prime } \pm \frac { 1 } { N _ { 1 } } } \\ & { b _ { 1 1 } ^ { + - } \rightarrow b _ { 1 1 } \pm \frac { ( z _ { 1 1 } - 2 m _ { 1 1 } ) } { N _ { 1 } z _ { 1 1 } } } \\ & { b _ { 1 2 } ^ { - + } \rightarrow b _ { 1 2 } ^ { - + } \mp \frac { m _ { 1 2 } } { N _ { 1 } z _ { 1 2 } } } \\ & { b _ { 1 2 } ^ { + - } \rightarrow b _ { 1 2 } ^ { + - } \pm \frac { z _ { 1 2 } - m _ { 1 2 } } { N _ { 1 } z _ { 1 2 } } } \end{array}
\bar { \bf { J } } = \left[ \begin{array} { l l l } { \frac { a _ { 0 } } { a ( z ^ { \prime } ) } } & { 0 } & { - \frac { x } { a ( z ^ { \prime } ) } \frac { d a ( z ^ { \prime } ) } { d z ^ { \prime } } } \\ { 0 } & { \frac { b _ { 0 } } { b ( z ^ { \prime } ) } } & { - \frac { y } { b ( z ^ { \prime } ) } \frac { d b ( z ^ { \prime } ) } { d z ^ { \prime } } } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] .
I _ { \mathrm { i n t } } ( \mathbf { r } _ { d } , \omega ) \propto \big \lvert d _ { z } ^ { ( 1 ) } ( \omega ) \big \rvert \, \big \lvert d _ { z } ^ { ( 2 ) } ( \omega ) \big \rvert \, \cos \big [ \phi _ { d i p } ^ { ( 1 ) } ( \omega ) - \phi _ { d i p } ^ { ( 2 ) } ( \omega ) + \Delta \theta _ { \mathrm { o p t } } ( \mathbf { r } _ { d } , \omega ) \big ] ,
\begin{array} { r } { V _ { \mathrm { e x } } ( r ) = \left\{ \begin{array} { l l } { - \frac { 3 } { 2 } \alpha \left( \frac { 3 } { \pi } \right) ^ { 1 / 3 } \left[ \rho ( r ) \right] ^ { 1 / 3 } } & { r < r _ { \mathrm { L a t t e r } } , } \\ { - \frac { \alpha ( Z _ { p } - N _ { e } + 1 ) } { r } - V _ { \mathrm { n u c } } ( r ) - V _ { \mathrm { e l } } ( r ) } & { r \geq r _ { \mathrm { L a t t e r } } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { T _ { \mathrm { O N } , s } ( x , t ) } & { = \frac { 1 } { Z _ { \mathrm { O N } } } \sum _ { A \in \mathcal { A } ( x , t ) } \tau _ { s } ( t ) | A \cdot \frac { n _ { s } ( t ) | A } { \pi _ { s } ( t ) | A } } \\ { Z _ { \mathrm { O N } } } & { = \sum _ { A \in \mathcal { A } ( x , t ) } \frac { n _ { s } ( t ) | A } { \pi _ { s } ( t ) | A } , } \end{array}
\begin{array} { r } { - \frac { \Phi _ { \mathrm { E N Z } } ( t + \mathrm { d } t ) } { a \mathfrak { L } } + J ( 0 ) = - 2 a t _ { 0 } R ( \psi ) \sin \left[ \Phi _ { \mathrm { E N Z } } ( t + \mathrm { d } t ) - \theta ( \psi ) \right] } \\ { + 2 a t _ { 0 } P ( \psi ) \cos \left[ \Phi _ { \mathrm { E N Z } } ( t + \mathrm { d } t ) - \lambda ( \psi ) \right] \mathrm { d } t + O ( \mathrm { d } t ^ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { a _ { n } } & { = \frac { 2 } { J _ { 0 } ( j _ { 1 , n } ) ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } r f ( r ) J _ { 0 } ( j _ { 1 , n } r ) \, d r } \\ & { = - \frac { e ^ { - z ^ { 2 } } \frac { \Gamma _ { w } } { D _ { s } } z ^ { 2 } ( 9 6 J _ { 2 } ( j _ { 1 , n } ) - J _ { 1 } ( j _ { 1 , n } ) j _ { 1 , n } ( 2 4 + j _ { 1 , n } ^ { 2 } ) ) } { 3 J _ { 0 } ( j _ { 1 , n } ) ^ { 2 } j _ { 1 , n } ^ { 4 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { x ^ { 3 } g ^ { \prime } ( x ) = } & { ( - ( \lambda x + 1 + x ^ { 2 } ) \sqrt { \frac { \pi } { 2 } } e ^ { \frac { 1 } { 2 } ( \lambda + \frac { 1 } { x } ) ^ { 2 } } \frac { 1 } { x } ( C - e r f ( \frac { \lambda + \frac { 1 } { x } } { \sqrt { 2 } } ) + e r f ( \frac { \lambda + 1 } { \sqrt { 2 } } ) ) + 1 } \\ { = } & { - ( \lambda x + 1 + x ^ { 2 } ) g ( x ) + 1 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Omega _ { \epsilon } ^ { \prime } \, } & { = \, \Bigl \{ ( R , Z ) \in \Omega _ { \epsilon } \, ; \, \Phi _ { \epsilon } ^ { \prime } ( \zeta _ { * } ( R , Z ) ) < \exp \bigl ( \epsilon ^ { - 2 \sigma _ { 1 } } / 4 \bigr ) \Bigr \} \, , } \\ { \Omega _ { \epsilon } ^ { \prime \prime } \, } & { = \, \Bigl \{ ( R , Z ) \in \Omega _ { \epsilon } \setminus \Omega _ { \epsilon } ^ { \prime } \, ; \, \rho \le \epsilon ^ { - \sigma _ { 2 } } \Bigr \} \, , } \\ { \Omega _ { \epsilon } ^ { \prime \prime \prime } \, } & { = \, \Bigl \{ ( R , Z ) \in \Omega _ { \epsilon } \, ; \, \rho > \epsilon ^ { - \sigma _ { 2 } } \Bigr \} \, . } \end{array}
\left( \begin{array} { c c c } { { - \omega ^ { 2 } + E _ { k } ^ { 2 } + h _ { \mathrm { h . o . } } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - \omega ^ { 2 } + E _ { k } ^ { 2 } + h _ { \mathrm { h . o . } } } } & { { 2 i g B } } \\ { { 0 } } & { { - 2 i g B } } & { { - \omega ^ { 2 } + E _ { k } ^ { 2 } + h _ { \mathrm { h . o . } } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { \varphi ^ { 0 } } } \\ { { \varphi ^ { 1 } } } \\ { { \varphi ^ { 2 } } } \end{array} \right) = 0
\begin{array} { r } { \Lambda _ { \alpha \beta \mathbf { k } } = \frac { 1 } { V ^ { 4 } } \sum _ { u ^ { \prime } , u } | \langle u \mathbf { k } | \Phi _ { \beta \mathbf { k } } ( t _ { 0 } ) \rangle | ^ { 2 } | \langle \Phi _ { \alpha \mathbf { k } } ( t _ { 0 } ) | u ^ { \prime } \mathbf { k } \rangle | ^ { 2 } \bar { n } _ { u \mathbf { k } } ( 1 - \bar { n } _ { u ^ { \prime } \mathbf { k } } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } x _ { 2 } + \partial _ { T } X } & { = \alpha ^ { 2 } e ^ { 2 Z } + \nu \sin \Phi + \sigma ( \beta + Z ) } \\ { \partial _ { t } z _ { 2 } + \partial _ { T } Z } & { = \nu \cos \Phi - \nu _ { g } } \\ { \partial _ { t } \phi _ { 2 } + \partial _ { T } \Phi } & { = \alpha ^ { 2 } \lambda e ^ { 2 Z } [ \cos ( 2 \Phi ) + 2 \lambda \sin ^ { 2 } ( X - t + 2 \Phi ) ] - \frac { 1 } { 2 \Psi } \sin \Phi + \frac { \sigma } { 2 } ( 1 + \lambda \cos 2 \Phi ) . } \end{array}
\mathrm { ~ R ~ M ~ S ~ E ~ } = \frac { 1 } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \frac { \| z _ { \mathrm { ~ p ~ r ~ e ~ d ~ } , n } - z _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } , n } \| _ { 2 } } { \| z _ { \mathrm { ~ p ~ r ~ e ~ d ~ } , n } \| _ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { \nabla F ^ { * } ( \cdot , y ) } & { = ( \delta ^ { p - 1 } \! + \vert y \vert ) ^ { \frac { p ^ { \prime } - 2 } { 2 } } \big ( \frac { \nabla p ^ { \prime } \otimes y } { 2 } \ln ( \delta ^ { p - 1 } \! + \vert y \vert ) + \frac { p ^ { \prime } - 2 } { 2 } \frac { ( \nabla p \ln ( \delta ) \delta ^ { p - 1 } + \nabla \vert y \vert ) \otimes y } { \delta ^ { p - 1 } + \vert y \vert } + \nabla y \big ) \quad \mathrm { ~ a . e . \ i n ~ } \Omega \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { = 2 ^ { n \alpha } \left( \delta ( v ) - \sum _ { u \in V _ { n - 1 } } \Lambda _ { 2 ^ { - n + 1 } } ^ { d } ( u , v ) \delta ( u ) \right) } \\ & { \phantom { = } - 2 ^ { n \alpha - 1 } \left( \delta ( v _ { 2 ^ { - n } } ^ { i } ) - \sum _ { u \in V _ { n - 1 } } \Lambda _ { 2 ^ { - n + 1 } } ^ { d } ( u , v _ { 2 ^ { - n } } ^ { i } ) \delta ( u ) \right) } \\ & { \phantom { = } - 2 ^ { n \alpha - 1 } \left( \delta ( v _ { - 2 ^ { - n } } ^ { i } ) - \sum _ { u \in V _ { n - 1 } } \Lambda _ { 2 ^ { - n + 1 } } ^ { d } ( u , v _ { - 2 ^ { - n } } ^ { i } ) \delta ( u ) \right) \mathrm { . } } \end{array}
\sum _ { i = 1 } ^ { N } \int _ { Q _ { i } } z ^ { i } ( v - u ^ { \tau } ) \frac { 1 } { \sqrt { \tau } } h ^ { i , \tau } \, d x d t = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \int _ { a } ^ { b _ { i } } \frac { 1 } { \sqrt { \tau } } I _ { T } ^ { 1 - \gamma } \phi _ { z } ^ { i } ( 0 , \cdot ; v - u ^ { \tau } ) \frac { 1 } { \sqrt { \tau } } I _ { T } ^ { 1 - \gamma } \phi ^ { i , \tau } ( 0 , \cdot ; u ^ { \tau } ) \, d x .
{ \cal O } \equiv \int d ^ { 4 } x \, \mathrm { t r } \, \phi ^ { 2 } , \qquad \bar { Q } _ { \mu } { \cal O } , \qquad \bar { Q } _ { \mu } \bar { Q } _ { \nu } { \cal O } , \qquad \bar { Q } _ { \mu } \bar { Q } _ { \nu } \bar { Q } _ { \rho } { \cal O } , \qquad \bar { Q } _ { \mu } \bar { Q } _ { \nu } \bar { Q } _ { \rho } \bar { Q } _ { \sigma } { \cal O } .
\begin{array} { r l r } { \left[ \langle \hat { F } ( Q _ { i } ) \rangle _ { \delta _ { i } } \langle \hat { G } ( Q _ { i } ) \rangle _ { - \delta _ { i } } \right] } & { { } \neq } & { \left[ \langle \hat { F } ( Q _ { i } ) \rangle _ { - \delta _ { i } } \langle \hat { G } ( Q _ { i } ) \rangle _ { \delta _ { i } } \right] , } \\ { \left[ \langle \hat { F } ( Q _ { i } ) \rangle _ { \delta _ { i } } \langle \hat { G } ( Q _ { i } ) \rangle _ { - \delta _ { i } } \right] } & { { } = } & { \left[ \langle \hat { G } ( Q _ { i } ) \rangle _ { \delta _ { i } } \langle \hat { F } ( Q _ { i } ) \rangle _ { - \delta _ { i } } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \big ( 1 - \cos ( a ) \cos ( b ) \big ) ^ { 2 } - \sin ^ { 2 } ( a ) \sin ^ { 2 } ( b ) } & { { } = 1 + \cos ^ { 2 } ( a ) \cos ^ { 2 } ( b ) - 2 \cos ( a ) \cos ( b ) - \big ( 1 - \cos ^ { 2 } ( a ) \big ) \big ( 1 - \cos ^ { 2 } ( b ) \big ) } \end{array}
\phi ( \textbf { x } , 0 ) = \frac { 1 } { 2 } \bigg ( 1 + \operatorname { t a n h } \bigg ( \frac { r - R } { 2 \epsilon } \bigg ) \bigg ) \quad \mathrm { w i t h } \quad r = | | \textbf { x } | | ,
\frac { 1 } { Z ( \lambda ) } \frac { \partial Z ( \lambda ) } { \partial \lambda _ { i } } = - \frac { 1 } { Z ( \lambda ) } \int _ { \Phi } \mathcal { D } \phi \: \exp \left\{ - H [ \phi | \lambda ] \right\} \frac { \partial H [ \phi | \lambda ] } { \partial \lambda _ { i } } = - \int _ { \Phi } \mathcal { D } \phi \: p ( \phi | \lambda ) \frac { \partial H [ \phi | \lambda ] } { \partial \lambda _ { i } } ,
\boldsymbol { \mathcal { M } } _ { H } = \left[ \begin{array} { l l } { \boldsymbol { \mu } ^ { t t } } & { \boldsymbol { \mu } ^ { t r } } \\ { \boldsymbol { \mu } ^ { r t } } & { \boldsymbol { \mu } ^ { r r } } \end{array} \right] ,