harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \delta ( Q ) \geq \operatorname* { m i n } \{ d _ { G } ( v ) : v \in V ( Q ) \} - | S | \geq \frac { s _ { 0 } } { 2 } - | S | = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { n - 2 } { 2 } - | S | } & { \mathrm { ( i f ~ ( G 1 ) ~ h o l d s ) } } \\ { \frac { n + 2 k - 2 } { 4 } - | S | } & { \mathrm { ( i f ~ ( G 2 ) ~ h o l d s ) } . } \end{array} \right. } \end{array}
\frac { \partial n _ { d } ^ { ( 1 ) } } { \partial \tau } - V _ { 0 } \frac { \partial n _ { d } ^ { ( 2 ) } } { \partial \zeta } + \frac { \partial u _ { d } ^ { ( 2 ) } } { \partial \zeta } + \frac { \partial u _ { d } ^ { ( 1 ) } n _ { d } ^ { ( 1 ) } } { \partial \zeta } = 0 ,
\rho _ { \mathrm { i t e r } } ^ { \mathrm { a v e } } ( q _ { m _ { k } } ) = \frac { 1 } { N _ { \mathrm { m o d a l } } ^ { m _ { k } } } \sum _ { s ^ { m _ { k } } = 1 } ^ { N _ { \mathrm { m o d a l } } ^ { m _ { k } } } | \varphi _ { s ^ { m _ { k } } } ^ { m _ { k } } ( q _ { m _ { k } } ) | ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { \| e ^ { - i H _ { \mathrm { T B } } t } \| } & { = \left\Vert \sum _ { n } e ^ { - i E _ { n } t } \left( P _ { n } + \sum _ { i = 1 } ^ { m _ { n } ^ { g } } \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { i } - 1 } \frac { t ^ { j } } { j ! } N _ { n _ { i } } ^ { j } \right) \right\Vert } \\ & { \leq \sum _ { n } e ^ { \Im ( E _ { n } ) t } \left\Vert \left( P _ { n } + \sum _ { i = 1 } ^ { m _ { n } ^ { g } } \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { i } - 1 } \frac { t ^ { j } } { j ! } N _ { n _ { i } } ^ { j } \right) \right\Vert , } \end{array}
\int d z K _ { \Phi ^ { * } \Phi } \left| \partial _ { z } \Phi \pm K _ { \Phi ^ { * } \Phi } ^ { - 1 } W _ { \Phi ^ { * } } ^ { * } \right| ^ { 2 } \mp \left( W ( + \infty ) - W ( - \infty ) \right) .
\frac { \partial } { \partial r ^ { k } } \delta ( \widetilde { R } ^ { \mu } \widetilde { R } _ { \mu } - \sigma ^ { 2 } ) = - \frac { \widetilde { R } _ { k } } { \widetilde { R } ^ { \alpha } u _ { \alpha } ( s ^ { \prime } ) } \frac { d } { d s ^ { \prime } } \left\{ \frac { \delta ( s - s ^ { \prime } - s _ { r e t } ) } { 2 \left\vert \widetilde { R } ^ { \alpha } u _ { \alpha } ( s ^ { \prime } ) \right\vert } \right\} ,
\sum _ { | \alpha | \le 2 } | \partial ^ { \alpha } \eta _ { * } ( R , Z , t ) | \, \le \, C \, e ^ { - \gamma \rho ^ { 2 } / 4 } \, , \qquad \sum _ { | \alpha | = 1 } | \partial ^ { \alpha } \phi _ { * } ( R , Z , t ) | \, \le \, C \, , \qquad
\begin{array} { r l } { \Bigg [ ( 1 - \gamma ) \phi _ { i } + \mu _ { i } + \frac { 1 } { \lambda _ { i } } \sum _ { l = i + 1 } ^ { M } \left( \eta _ { i , l } - \tau _ { i , l } \right) } & { } \\ { - \frac { 1 } { \lambda _ { i } } \sum _ { l = 1 } ^ { i - 1 } \left( \eta _ { l , i } - \tau _ { l , i } \right) + \frac { \nu _ { i } } { \lambda _ { i } } \Bigg ] q _ { i } } & { = 0 , ~ \forall i . } \end{array}
\begin{array} { r } { - \frac { \partial ^ { 2 } \psi ^ { [ 1 ] } } { \partial t \partial z } + 3 \nu \frac { \partial ^ { 2 } \psi ^ { [ 1 ] } } { \partial x ^ { 2 } \partial z } + \nu \frac { \partial ^ { 2 } \psi ^ { [ 1 ] } } { \partial z ^ { 3 } } + g \frac { \partial \zeta ^ { [ 1 ] } } { \partial x } - \frac { \sigma } { \rho } \frac { \partial ^ { 3 } \zeta ^ { [ 1 ] } } { \partial x ^ { 3 } } = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } & { M ( e _ { m _ { 1 } } ^ { ( j _ { 1 } , \bar { j } _ { 1 } ) } , e _ { m _ { 2 } } ^ { ( j _ { 2 } , \bar { j } _ { 2 } ) } ) } \\ { = } & { \sum _ { k } \sum _ { l _ { 1 } , l _ { 2 } } \lambda _ { j _ { 1 } , \bar { j } _ { 1 } , 0 } ^ { - 1 } \lambda _ { j _ { 2 } , \bar { j } _ { 2 } , 0 } ^ { - 1 } \lambda _ { j _ { 1 } + j _ { 2 } , \bar { j } _ { 1 } + \bar { j } _ { 2 } , k } \sqrt { \frac { ( 2 j _ { 1 } + 1 ) ( 2 j _ { 2 } + 1 ) ( 2 \bar { j } _ { 1 } + 1 ) ( 2 \bar { j } _ { 2 } + 1 ) } { ( 2 j _ { 1 } + 2 j _ { 2 } + 1 ) ( 2 \bar { j } _ { 1 } + 2 \bar { j } _ { 2 } + 1 ) } } } \\ { \times } & { C _ { m _ { 1 } - l _ { 1 } , l _ { 1 } ; m _ { 1 } } ^ { j _ { 1 } , \bar { j } _ { 1 } ; j _ { 1 } + \bar { j } _ { 1 } } C _ { m _ { 2 } - l _ { 2 } , l _ { 2 } ; m _ { 2 } } ^ { j _ { 2 } , \bar { j } _ { 2 } ; j _ { 2 } + \bar { j } _ { 2 } } C _ { m _ { 1 } - l _ { 1 } , m _ { 2 } - l _ { 2 } ; m _ { 1 } + m _ { 2 } - l _ { 1 } - l _ { 2 } } ^ { j _ { 1 } , j _ { 2 } ; j _ { 1 } + j _ { 2 } } C _ { l _ { 1 } , l _ { 2 } ; l _ { 1 } + l _ { 2 } } ^ { \bar { j } _ { 1 } , \bar { j } _ { 2 } ; \bar { j } _ { 1 } + \bar { j } _ { 2 } } C _ { m _ { 1 } + m _ { 2 } - l _ { 1 } - l _ { 2 } , l _ { 1 } + l _ { 2 } ; m _ { 1 } + m _ { 2 } } ^ { j _ { 1 } + j _ { 2 } , \bar { j } _ { 1 } + \bar { j } _ { 2 } ; j _ { 1 } + j _ { 2 } + \bar { j } _ { 1 } + \bar { j } _ { 2 } - k } e _ { m _ { 1 } + m _ { 2 } } ^ { ( j _ { 1 } + j _ { 2 } - \frac { k } { 2 } , \bar { j } _ { 1 } + \bar { j } _ { 2 } - \frac { k } { 2 } ) } } \\ { = } & { \sum _ { k } \lambda _ { j _ { 1 } , \bar { j } _ { 1 } , 0 } ^ { - 1 } \lambda _ { j _ { 2 } , \bar { j } _ { 2 } , 0 } ^ { - 1 } \lambda _ { j _ { 1 } + j _ { 2 } , \bar { j } _ { 1 } + \bar { j } _ { 2 } , k } \sqrt { ( 2 j _ { 1 } + 1 ) ( 2 j _ { 2 } + 1 ) ( 2 \bar { j } _ { 1 } + 1 ) ( 2 \bar { j } _ { 2 } + 1 ) ( 2 j _ { 1 } + 2 \bar { j } _ { 1 } + 1 ) ( 2 j _ { 2 } + 2 \bar { j } _ { 2 } + 1 ) } } \\ { \times } & { \left\{ \begin{array} { l l l } { j _ { 1 } } & { j _ { 2 } } & { j _ { 1 } + j _ { 2 } } \\ { \bar { j } _ { 1 } } & { \bar { j } _ { 2 } } & { \bar { j } _ { 1 } + \bar { j } _ { 2 } } \\ { j _ { 1 } + \bar { j } _ { 1 } } & { j _ { 2 } + \bar { j } _ { 2 } } & { j _ { 1 } + j _ { 2 } + \bar { j } _ { 1 } + \bar { j } _ { 2 } - k } \end{array} \right\} C _ { m _ { 1 } , m _ { 2 } ; m _ { 1 } + m _ { 2 } } ^ { j _ { 1 } + \bar { j } _ { 1 } , j _ { 2 } + \bar { j } _ { 2 } ; j _ { 1 } + j _ { 2 } + \bar { j } _ { 1 } + \bar { j } _ { 2 } - k } e _ { m _ { 1 } + m _ { 2 } } ^ { ( j _ { 1 } + j _ { 2 } - \frac { k } { 2 } , \bar { j } _ { 1 } + \bar { j } _ { 2 } - \frac { k } { 2 } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { \partial } { \partial \tilde { y } } \big [ \tilde { u } _ { y } ( \tilde { y } , \theta ) \tilde { \Psi } ] + \frac { \partial } { \partial \theta } \big [ \tilde { \omega } ( \tilde { y } , \theta ) \tilde { \Psi } \big ] } \\ & { } & { \qquad \, \, \, = \frac { 4 } { 3 } \bigg ( \Delta _ { + } ( \alpha ) - \Delta _ { - } ( \alpha ) \cos { 2 \theta } \bigg ) \frac { \partial ^ { 2 } \tilde { \Psi } } { \partial \tilde { y } ^ { 2 } } + \Delta _ { R } ( \alpha ) \frac { \partial ^ { 2 } \tilde { \Psi } } { \partial \theta ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { r a n k } ( P 2 P _ { j k } ^ { ( L ) } ) } & { \leq \operatorname* { m i n } \{ \mathrm { r a n k } ( K _ { j i } ^ { ( L ) } ) , \mathrm { r a n k } ( K _ { i i } ^ { ( L ) } ) , \mathrm { r a n k } ( K _ { i k } ^ { ( L ) } \} } \\ & { \leq \mathcal { O } \left( N ^ { \frac { d ^ { \prime } } { d } } \log ^ { d } ( N ) \right) } \end{array}
I _ { 2 } : = \{ ( ( [ \ell ] , [ P _ { 1 } ] , [ P _ { 2 } ] ) , [ Z ] ) \in \mathbb P ( \mathcal Q _ { 2 } ) \times _ { G ( 2 , H ) } \mathbb P ( \mathcal Q _ { 2 } ) \backslash \Delta _ { \mathbb P ( \mathcal Q _ { 2 } ) } \times | \mathcal O _ { \mathbb P ^ { 5 } } ( 3 ) | , \ \ell \subset Z \ \mathrm { a n d } \ Z \cap P _ { i } = \ell , \ i = 1 , 2 \ \mathrm { s e t - t h e o r e t i c a l l y } \}
N _ { \mathrm { C L } } ^ { \mathrm { s e s s i l e } } ( t ) = c _ { \mathrm { i } } \int _ { r ^ { \star } } ^ { R } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { h ( r , t = 0 ) } r \mathrm { d } r \, \mathrm { d } \theta \, \mathrm { d } z + c _ { \mathrm { i } } \int _ { r _ { 0 } } ^ { r ^ { \star } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { h ( r ^ { \star } , t = 0 ) } r \mathrm { d } r \, \mathrm { d } \theta \, \mathrm { d } z ,
\Upsilon _ { 0 } ^ { 0 } = \Upsilon _ { 1 } ^ { 1 } + \Upsilon _ { 3 } ^ { 3 } , \Upsilon _ { 1 } ^ { 1 } = \Upsilon _ { 2 } ^ { 2 } = \Upsilon _ { 1 } , \Upsilon _ { 3 } ^ { 3 } = \Upsilon _ { 4 } ^ { 4 } = \Upsilon _ { 3 } ,
\mathcal { Q } _ { \mathfrak { N } } { = } \big \{ r _ { 1 } \! P _ { 1 } { + \dots + \, } r _ { s + 1 } \! P _ { s + 1 } | \displaystyle ( \sum _ { 1 \le i , j \le s { + } 1 } \! \! \! \! \mathfrak { n } _ { i j } r _ { i } m _ { j } ) ^ { 2 } { = } \cosh ^ { 2 } ( r ) \, ( \sum _ { 1 \le i , j \le s { + } 1 } \! \! \! \mathfrak { n } _ { i j } m _ { i } m _ { j } ) ( \sum _ { 1 \le i , j \le s { + } 1 } \! \! \! \mathfrak { n } _ { i j } r _ { i } r _ { j } ) \big \} .
{ \mathsf W } _ { - + } ^ { ( 4 5 ) } = \frac { 1 } { 2 ! } h _ { a b } ^ { ^ { ( 4 5 ) } } < \widehat { \Psi } _ { ( - ) a } ^ { * } | B \Sigma _ { \mu \nu } | \widehat { \Psi } _ { ( + ) b } > \Phi _ { \mu \nu }
\begin{array} { r l r } { \hat { r } \mathcal { R } ( \tau ^ { \prime } ) \hat { r } } & { = } & { \hat { r } \left[ \mathcal { M } _ { \bf u } \hat { r } \hat { r } e ^ { \hat { \kappa } _ { \bf d } \tau ^ { \prime } } - \mathcal { M } _ { \bf d } \hat { r } \hat { r } e ^ { - \hat { \kappa } _ { \bf u } ( \tau _ { c } - \tau ^ { \prime } ) } \right] \hat { r } } \\ & { = } & { \mathcal { M } _ { \bf d } e ^ { - \hat { \kappa } _ { \bf u } \tau ^ { \prime } } - \mathcal { M } _ { \bf u } e ^ { \hat { \kappa } _ { \bf d } ( \tau _ { c } - \tau ^ { \prime } ) } } \\ & { = } & { - \mathcal { R } ( \tau _ { c } - \tau ^ { \prime } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| U _ { 1 , n } - U _ { 1 } \| } & { \leq \sum _ { k } | h _ { 1 , k } | \| T _ { W _ { n } } ^ { ( k ) } - T _ { W } ^ { k } \| \| X _ { n } \| + \sum _ { k } | h _ { 1 , k } | \left| \left| T _ { W } ^ { ( k ) } \right| \right| \| X _ { n } - X \| } \\ & { \leq \sum _ { k } \operatorname* { m a x } ( | h _ { 1 , k } | ) \| T _ { W _ { n } } ^ { ( k ) } - T _ { W } ^ { k } \| \| X _ { n } \| + \sum _ { k } \operatorname* { m a x } ( | h _ { 1 , k } | ) \| T _ { W } ^ { ( k ) } \| \| X _ { n } - X \| . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { x } ( t + 1 ) } & { = \boldsymbol { M } \boldsymbol { x } ( t ) + \boldsymbol { B } \boldsymbol { \xi } ( t ) } \\ { \small { \textit { w i t h } } ~ \boldsymbol { M } } & { = \left( \begin{array} { l l l } { a } & { \epsilon } & { 0 } \\ { a } & { a } & { 0 } \\ { a } & { 0 } & { a } \end{array} \right) ; } \\ { \boldsymbol { B } } & { = \left( \begin{array} { l l l } { b } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { b } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { b } \end{array} \right) ; } \\ { \xi _ { i } ( t ) } & { \overset { \mathrm { i i d } } { \sim } \mathcal { N } ( 0 , 1 ) , ~ i = 1 , 2 , 3 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { \mathrm { b i a x i a l } } ^ { \mathrm { B F P } } ( y , z ) } & { = \ensuremath { \mathcal { F } } _ { z } \left\{ \ensuremath { \mathrm { A i } } \left( \frac { z } { z _ { 0 } } \right) \cdot \exp \left( \frac { a z } { z _ { 0 } } \right) \right\} \cdot \ensuremath { \mathcal { F } } _ { z } \left\{ \delta \left( z - \frac { y ^ { 2 } } { 2 r _ { d } } \right) \right\} \cdot \exp \left( - \frac { y ^ { 2 } } { w _ { 0 } ^ { 2 } } \right) } \\ & { \approx \exp \left( - \frac { z ^ { 2 } } { w _ { 0 } ^ { 2 } } \right) \cdot \exp \left[ i 2 \pi \alpha \left( \frac { z } { w _ { 0 } } \right) ^ { 3 } \right] \cdot \exp \left( - i \frac { \pi } { r _ { d } \lambda f } \cdot y ^ { 2 } z \right) \cdot \exp \left( \frac { - y ^ { 2 } } { w _ { 0 } ^ { 2 } } \right) } \\ & { = \exp \left( - \frac { z ^ { 2 } + y ^ { 2 } } { w _ { 0 } ^ { 2 } } \right) \cdot \exp \left[ i 2 \pi \alpha \left( \frac { z } { w _ { 0 } } \right) ^ { 3 } \right] \cdot \exp \left( - i \frac { \pi } { r _ { d } \lambda f } \cdot y ^ { 2 } z \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { J \partial _ { \varphi } z ( t , \varphi ) } & { = \partial _ { \varphi } z ( t , \varphi ) \times z ( t , \varphi ) } \\ & { = \partial _ { \varphi } f ( t , \varphi ) \left( \begin{array} { l } { \sin ( \varphi ) } \\ { - \cos ( \varphi ) } \\ { 0 } \end{array} \right) + \left( \begin{array} { l } { \cos \big ( \theta _ { 0 } + f ( t , \varphi ) \big ) \sin \big ( \theta _ { 0 } + f ( t , \varphi ) \big ) \cos ( \varphi ) } \\ { \cos \big ( \theta _ { 0 } + f ( t , \varphi ) \big ) \sin \big ( \theta _ { 0 } + f ( t , \varphi ) \big ) \sin ( \varphi ) } \\ { - \sin ^ { 2 } \big ( \theta _ { 0 } + f ( t , \varphi ) \big ) } \end{array} \right) . } \end{array}
\frac { \partial \overline { { u } } _ { i } } { \partial x _ { i } } = 0 , \, ~ ~ \frac { \partial \overline { { u } } _ { i } } { \partial t } + \frac { \partial } { \partial x _ { j } } ( \overline { { u _ { i } u _ { j } } } ) = - \frac { 1 } { \rho } \frac { \partial \overline { { p } } } { \partial x _ { i } } + \nu \frac { \partial ^ { 2 } \overline { { u } } _ { i } } { \partial x _ { j } \partial x _ { j } } ,
\begin{array} { r l r } { C _ { 1 } } & { : = } & { \{ ( i , r ) : i + r > i ^ { * } + r ^ { * } \mathrm { ~ a n d ~ } i \alpha p _ { r } < l _ { i } r \} } \\ { C _ { 2 } } & { : = } & { \{ ( i , r ) : i + r < i ^ { * } + r ^ { * } \mathrm { ~ a n d ~ } i \alpha p _ { r } < l _ { i } r \} } \\ { C _ { 3 } } & { : = } & { \{ ( i , r ) : i + r < i ^ { * } + r ^ { * } \mathrm { ~ a n d ~ } i \alpha p _ { r } > l _ { i } r \} } \\ { C _ { 4 } } & { : = } & { \{ ( i , r ) : i + r > i ^ { * } + r ^ { * } \mathrm { ~ a n d ~ } i \alpha p _ { r } > l _ { i } r \} . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { p _ { i 1 , i 2 } + p _ { i 1 , i 3 } + p _ { i 1 , i 4 } = \Phi _ { 1 } } \\ { p _ { i 1 , i 2 } + p _ { i 2 , i 3 } + p _ { i 2 , i 4 } = \Phi _ { 2 } } \\ { p _ { i 1 , i 3 } + p _ { i 2 , i 3 } + p _ { i 3 , i 4 } = \Phi _ { 3 } } \\ { p _ { i 1 , i 4 } + p _ { i 2 , i 4 } + p _ { i 3 , i 4 } = \Phi _ { 4 } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { q } & { = - \frac { 3 \sqrt { - \zeta ^ { 2 } \tilde { r } } \left( 9 \sqrt { 2 } \sqrt { - \zeta ^ { 2 } \tilde { r } } + 5 4 \zeta ^ { 2 } + 5 0 0 \right) ^ { 2 / 3 } } { 2 ^ { 5 / 6 } \left( 9 \zeta ^ { 2 } + 5 0 \right) ^ { 2 } } + \frac { \left( 9 \sqrt { 2 } \sqrt { - \zeta ^ { 2 } \tilde { r } } + 5 4 \zeta ^ { 2 } + 5 0 0 \right) ^ { 2 / 3 } } { \sqrt [ 3 ] { 2 } \left( 9 \zeta ^ { 2 } + 5 0 \right) } } \\ & { + \frac { 5 0 \ 2 ^ { 2 / 3 } \left( 9 \sqrt { 2 } \sqrt { - \zeta ^ { 2 } \tilde { r } } + 5 4 \zeta ^ { 2 } + 5 0 0 \right) ^ { 2 / 3 } } { 3 \left( 9 \zeta ^ { 2 } + 5 0 \right) ^ { 2 } } + \frac { \sqrt [ 3 ] { 9 \sqrt { 2 } \sqrt { - \zeta ^ { 2 } \tilde { r } } + 5 4 \zeta ^ { 2 } + 5 0 0 } } { 3 \ 2 ^ { 2 / 3 } } + \frac { 2 } { 3 } . } \end{array}
\lambda _ { 2 1 } ^ { \prime 1 , 2 } = \lambda _ { 2 1 } ^ { 1 , 2 } , \qquad \lambda _ { 2 2 } ^ { \prime 1 , 2 } = \lambda _ { 2 2 } ^ { 1 , 2 } - a ^ { \ast 1 , 2 } ,
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } & { \left\| { \frac { \partial } { \partial \theta } } \log { \frac { \pi _ { A } ( A | S ; \theta ^ { * } ) } { \pi _ { A } ( A | S ; \theta ) } } \right\| _ { 2 } = { \frac { 1 } { \pi _ { A } ( A | S ; \theta ) } } \left\| { \frac { \partial \pi ( A | S ; \theta ) } { \partial \theta } } \right\| _ { 2 } } \\ & { = [ 1 - \pi _ { A } ( A | S ; \theta ) ] \left\| x _ { A } + \sum _ { j \in S } \exp ( x _ { j } ^ { \top } \theta ) ( x _ { A } - x _ { j } ) \right\| _ { 2 } } \\ & { \le x _ { \operatorname* { m a x } } + 2 N x _ { \operatorname* { m a x } } \exp ( x _ { \operatorname* { m a x } } \theta _ { \operatorname* { m a x } } ) \doteq \mathsf { L } < + \infty . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \epsilon \partial _ { 0 } + \epsilon ^ { 2 } \omega _ { 1 } \partial _ { 0 } + \epsilon ^ { 3 } ( \omega _ { 2 } \partial _ { 0 } + \partial _ { 2 } ) ) \mathcal { D } ( t ) } & { { } = \gamma \left[ - \mathcal { D } ( t ) + ( I _ { 0 } + \epsilon I _ { 1 } \mathcal { D } ( t ) ) | \mathcal { E } ( t ) | ^ { 2 } \right] } \end{array}
\left[ { \mathfrak { x } } , { \mathfrak { y } } , \dots , 1 \right] = \left[ { \frac { x _ { 1 } } { x _ { n } } } , { \frac { x _ { 2 } } { x _ { n } } } , \dots , { \frac { x _ { n } } { x _ { n } } } \right]
i \frac { \partial } { \partial t } \left( \begin{array} { l } { { \Psi _ { e } } } \\ { { \Psi _ { \mu } } } \\ { { \Psi _ { \tau } } } \end{array} \right) = \left[ T _ { 2 3 } T _ { 1 3 } T _ { 1 2 } \left( \begin{array} { l l l } { { E _ { 1 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { E _ { 2 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { E _ { 3 } } } \end{array} \right) T _ { 1 2 } ^ { \dagger } T _ { 1 3 } ^ { \dagger } T _ { 2 3 } ^ { \dagger } + \left( \begin{array} { l l l } { { V _ { c } + V _ { n } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { V _ { n } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { V _ { n } } } \end{array} \right) \right] \left( \begin{array} { l } { { \Psi _ { e } } } \\ { { \Psi _ { \mu } } } \\ { { \Psi _ { \tau } } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { l } { { \phi _ { i } ( r ) = r ^ { i } e ^ { - \sigma r ^ { 2 } / 2 } \; , \; i = 1 , . . . , M \; , } } \\ { { \chi _ { j } ( r ) = r ^ { j } e ^ { - \sigma r ^ { 2 } / 2 } \; , \; j = 1 , . . . , N \; . } } \end{array}
\hat { J } = \hat { p } _ { \mathrm { v , s a t } } \sqrt { \frac { \hat { M } } { 2 \pi \hat { R } _ { g } \hat { T } _ { g } } } ( \frac { \hat { M } } { \hat { \rho } \hat { R } _ { g } \hat { T } _ { g } } ( \hat { p } - \hat { p } _ { g } ) + \frac { \hat { M } \hat { L } } { \hat { R } _ { g } \hat { T } _ { g } ^ { 2 } } ( \hat { T } _ { i } - \hat { T } _ { g } ) + l n ( \frac { 1 } { \chi _ { \mathrm { v a p o r } } } ) ) ,
a _ { j _ { 1 } i _ { 1 } } a _ { j _ { 2 } i _ { 2 } } . . . a _ { j _ { n } i _ { n } } \epsilon _ { i _ { 1 } i _ { 2 } . . . i _ { n } } = \epsilon _ { j _ { 1 } j _ { 2 } . . . j _ { n } }
\underline { { \underline { { S _ { \beta } } } } } = \left[ \begin{array} { l l l l l l } { \frac { 1 } { E _ { 1 1 } } , \beta _ { 1 1 } } & { - \frac { \nu _ { 1 2 } } { E _ { 2 2 } } , \beta _ { 2 2 } } & { - \frac { \nu _ { 1 2 } } { E _ { 3 3 } } , \beta _ { 3 3 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - \frac { \nu _ { 2 1 } } { E _ { 1 1 } } , \beta _ { 1 1 } } & { \frac { 1 } { E _ { 2 2 } } , \beta _ { 2 2 } } & { - \frac { \nu _ { 2 3 } } { E _ { 3 3 } } , \beta _ { 3 3 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - \frac { \nu _ { 3 1 } } { E _ { 1 1 } } , \beta _ { 1 1 } } & { - \frac { \nu _ { 3 2 } } { E _ { 2 2 } } , \beta _ { 2 2 } } & { \frac { 1 } { E _ { 3 3 } } , \beta _ { 3 3 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \frac { 1 } { G _ { 2 3 } } , \beta _ { 2 3 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \frac { 1 } { G _ { 3 1 } } , \beta _ { 3 1 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \frac { 1 } { G _ { 1 2 } } , \beta _ { 1 3 } } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } { \frac { I Z ^ { n _ { 1 } } J } { \sqrt { N ^ { n _ { 1 } + 2 } } } \frac { I Z ^ { n _ { 2 } } J } { \sqrt { N ^ { n _ { 2 } + 2 } } } \sim } & { \frac { 1 } { N } \left( \delta _ { n _ { 1 } , n _ { 2 } } + \sum _ { k \geq 0 } \frac { I Z ^ { n _ { 1 } + n _ { 2 } - 2 k } J } { \sqrt { N ^ { n _ { 1 } + n _ { 2 } - 2 k + 2 } } } + \sum _ { n _ { 3 } + n _ { 4 } = n _ { 1 } + n _ { 2 } - 2 k - 2 } \frac { I Z ^ { n _ { 3 } } J } { \sqrt { N ^ { n _ { 3 } + 2 } } } \frac { I Z ^ { n _ { 4 } } J } { \sqrt { N ^ { n _ { 4 } + 2 } } } + \dots \right) } \\ & { + O ( \frac { 1 } { N ^ { 2 } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle \bar { I } _ { \mathrm { e x t } } \rangle } & { = } & { \frac { 1 } { \tau } \sum _ { t } ^ { \tau } \bar { I } _ { i , \mathrm { e x t } } ( t ) , } \\ { \langle \bar { I } _ { \mathrm { c o u p } } \rangle } & { = } & { \frac { 1 } { \tau } \sum _ { t } ^ { \tau } \bar { I } _ { i , \mathrm { c o u p } } ( t ) . } \end{array}
\alpha _ { \overline { { K } } { } ^ { 0 } } , \ \beta _ { \overline { { K } } { } ^ { 0 } } \equiv - V _ { t b } V _ { t s } ^ { * } \left( a _ { 4 } \pm a _ { 6 } \, \frac { 2 \, m _ { \overline { { K } } { } ^ { 0 } } ^ { 2 } } { m _ { b } ( m _ { s } + m _ { d } ) } \right) \, .
\begin{array} { r } { - i h _ { 1 } ( t , z ) \simeq \frac { - g _ { L } \eta e ^ { i \chi } } { 2 \cosh ( x ) } + \frac { ( g _ { 0 } + g _ { L } ) } { 2 \pi } \eta e ^ { i \chi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d s \frac { \sin ( W s / 2 ) } { s \cosh ( x - \eta s ) } . } \end{array}
\left( - \pi , - \frac { 3 } { 4 } \pi , - \frac { 1 } { 2 } \pi , - \frac { 1 } { 4 } \pi , 0 , \frac { 1 } { 4 } \pi , \frac { 1 } { 2 } \pi , \frac { 3 } { 4 } \pi \right)
z ( \omega ) = \frac { 1 } { 2 } \left[ \Phi _ { 2 } ( \omega - \Omega ) ^ { 2 } + \Phi _ { 1 } ( \omega - \Omega ) + \Phi _ { 0 } + i | \log \mathcal { A } | ) \right] = k \pi + \frac { \pi } { 2 } , \quad k \in \mathbb { Z } ,
\rho _ { d e } = G f ^ { \prime } ( G ) - f ( G ) - 2 4 H ^ { 3 } \dot { f ^ { \prime } ( G ) } + 2 \frac { \partial g ( T ^ { 2 } ) } { \partial T ^ { 2 } } ( \rho ^ { 2 } + 4 \rho p + 3 p ^ { 2 } ) - g ( T ^ { 2 } ) ,
\begin{array} { r l } { | \Delta \phi ( \mathfrak { s } _ { 1 } \cdots \mathfrak { s } _ { 2 m } ) - \sum _ { i = 1 } ^ { m } I _ { \phi } ( d _ { i } ) | } & { = | \sum _ { i = 1 } ^ { m } \left( \Delta \phi ( \mathfrak { s } _ { 2 i - 1 } ^ { + } \mathfrak { s } _ { 2 i } \mathfrak { s } _ { 2 i + 1 } ^ { - } ) - I _ { \phi } ( d _ { i } ) \right) + \Delta \phi ( \tilde { \mathfrak { s } } _ { 1 } \cdots \tilde { \mathfrak { s } } _ { m } ) | } \\ & { \leq ( 2 m + 1 ) \epsilon _ { 1 } = \epsilon , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Upsilon _ { 1 S - 4 S } ( v ) } & { = 7 5 ~ 4 9 7 ~ 4 7 2 + 9 4 ~ 3 7 1 ~ 8 4 0 v - 1 1 5 ~ 6 0 5 ~ 5 0 4 v ^ { 2 } - 1 6 8 ~ 0 9 9 ~ 8 4 0 v ^ { 3 } - 2 9 ~ 1 9 6 ~ 2 8 8 v ^ { 4 } } \\ & { + 5 ~ 5 2 9 ~ 6 0 0 v ^ { 5 } - 4 9 2 ~ 0 1 1 ~ 5 2 0 v ^ { 6 } - 2 ~ 5 3 6 ~ 3 9 6 ~ 8 0 0 v ^ { 7 } - 2 ~ 3 3 1 ~ 4 1 2 ~ 4 8 0 v ^ { 8 } + 4 7 9 ~ 8 3 3 ~ 6 0 0 v ^ { 9 } } \\ & { + 9 2 5 ~ 7 6 7 ~ 5 8 8 v ^ { 1 0 } + 9 4 ~ 7 5 1 ~ 0 8 5 v ^ { 1 1 } - 7 6 ~ 6 6 6 ~ 3 7 1 v ^ { 1 2 } - 1 3 4 2 6 ~ 9 8 5 v ^ { 1 3 } + 1 8 9 ~ 6 0 3 v ^ { 1 4 } } \\ & { + 6 ~ 2 5 0 ~ 0 0 0 v ^ { 8 } ( 7 6 8 - 2 8 8 v ^ { 2 } + 2 3 v ^ { 4 } ) \: _ { 2 } F _ { 1 } \left( 1 , - v ; 1 - v ; \frac { ( v - 1 ) ( v - 4 ) } { ( v + 1 ) ( v + 4 ) } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { E ( k _ { x } , k _ { z } , \sigma ) = \frac { 1 } { L _ { y } } \int S _ { 3 D } ( k _ { x } , y , k _ { z } , \sigma ) \, d y = \int S _ { 4 D } ( k _ { x } , k _ { y } , k _ { z } , \sigma ) \, d k _ { y } \, . } \end{array}
\epsilon _ { \alpha \beta } = - \Delta G _ { \alpha \beta } = - \frac { \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { N - 2 } \sum _ { j = i + 2 } ^ { N } \Delta G _ { i j } \delta _ { \nu ( i ) \alpha } \delta _ { \nu ( j ) \beta } } { \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { N - 2 } \sum _ { j = i + 2 } ^ { N } \delta _ { \nu ( i ) \alpha } \delta _ { \nu ( j ) \beta } } ~ ,
R _ { i t i t } = \frac { - a a _ { t t } } { ( 1 + \frac { K } { 4 } \vec { x } \vec { x } ) ^ { 2 } } , \; \; \; \; \; \; R _ { i j i j } = \frac { a ^ { 2 } ( K + a _ { t } ^ { 2 } ) } { ( 1 + \frac { K } { 4 } \vec { x } \vec { x } ) ^ { 4 } } ; \; \; \; \; i \neq j
{ \begin{array} { r l } { { \frac { \delta \rho ( { \boldsymbol { r } } ) } { \delta \rho ( { \boldsymbol { r } } ^ { \prime } ) } } \equiv { \frac { \delta F } { \delta \rho ( { \boldsymbol { r } } ^ { \prime } ) } } } & { = { \frac { \partial \ \ } { \partial \rho ( { \boldsymbol { r } } ^ { \prime } ) } } \, [ \rho ( { \boldsymbol { r } } ^ { \prime } ) \delta ( { \boldsymbol { r } } - { \boldsymbol { r } } ^ { \prime } ) ] } \\ & { = \delta ( { \boldsymbol { r } } - { \boldsymbol { r } } ^ { \prime } ) . } \end{array} }
m _ { 2 } = M _ { 2 } + 2 . 5 \cdot K _ { 2 } \log _ { 1 0 } { \left( { \frac { d _ { B S } } { d _ { 0 } } } \right) } + 5 \log _ { 1 0 } { \left( { \frac { d _ { B O } } { d _ { 0 } } } \right) } ,
\psi _ { n } ( x ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { A \cos ( k _ { n } x ) , } & { n = 1 , 3 , 5 , \dots } \\ { B \sin ( k _ { n } x ) , } & { n = 2 , 4 , 6 , \dots } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } { \lambda _ { d } } & { = \mathrm { s g n } ( [ v _ { d } , v _ { d } ] ) [ v _ { d } , v _ { d } ] \lambda _ { d } = v _ { d } ^ { \top } J _ { D } \big ( \mathrm { s g n } ( [ v _ { d } , v _ { d } ] ) \lambda _ { i } v _ { d } \big ) = v _ { d } ^ { \top } J _ { D } C _ { x } J _ { D } v _ { d } } \\ & { = N ^ { - 1 } \sum _ { n \in [ N ] } [ x _ { n } , v _ { d } ] ^ { 2 } \geq 0 , } \end{array}