harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \sigma _ { \operatorname* { m i n } } ( J _ { \mu } ) } & { \geq \sigma _ { \operatorname* { m i n } } ( J _ { \mu } ^ { 0 } ) - \| J _ { \mu } - J _ { \mu } ^ { 0 } \| _ { 2 } \geq \sigma _ { \operatorname* { m i n } } ( J _ { \mu } ^ { 0 } ) - \frac { C } { 3 } \sqrt { \lambda _ { \operatorname* { m i n } } ( G ^ { 0 } ) } \geq \frac { 2 } { 3 } \sqrt { \lambda _ { \operatorname* { m i n } } ( G ^ { 0 } ) } , } \end{array}
r \, \frac { k S _ { k } } { \langle k \rangle } \sum _ { k ^ { \prime } } I _ { k ^ { \prime } } ( k ^ { \prime } - 1 ) \pi ( k ^ { \prime } ) = r \, S _ { k _ { 0 } } I _ { k _ { 0 } } ( k _ { 0 } - 1 )
\begin{array} { r l } & { \lesssim \left\| \| F _ { + } ^ { ( 3 , 0 ) } \| _ { L _ { v } ^ { 2 } } ( \| f \| _ { ( \mathcal H _ { \sigma ; \varepsilon } ^ { - } ) _ { \xi } } + \varepsilon \| f \| _ { ( \mathcal H _ { \sigma } ) _ { \xi } } ) \right\| _ { H _ { x } ^ { - 1 } } } \\ & { \quad + \varepsilon \left\| \| F _ { + } ^ { ( \frac { 7 } { 2 } , 0 ) } \| _ { ( \dot { \mathcal H } _ { \sigma } ) _ { v } } \| f \| _ { ( \mathcal H _ { \sigma } ) _ { \xi } } \right\| _ { H _ { x } ^ { - 1 } } } \\ & { \lesssim \| f \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \mathcal H _ { \sigma ; \varepsilon } ^ { - } ) _ { \xi } } + \varepsilon \langle \| F _ { + } \| _ { \mathfrak D } \rangle \| f \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \mathcal H _ { \sigma } ) _ { \xi } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { i } } & { = \sum _ { m _ { i } = 0 } ^ { N _ { I } - 1 } \binom { N _ { I } - 1 } { m _ { i } } y _ { i } ^ { m _ { i } } ( 1 - y _ { i } ) ^ { N _ { I } - 1 - m _ { i } } } \\ & { \mathrm { \quad } \times \sum _ { m _ { t } = 0 } ^ { N _ { T } } \binom { N _ { T } } { m _ { t } } y _ { t } ^ { m _ { t } } ( 1 - y _ { t } ) ^ { N _ { T } - m _ { t } } \Pi _ { i } ( m _ { i } + 1 , m _ { t } ) } \\ & { = \frac { r } { N _ { I } ( 1 - w ) } \frac { y _ { t } } { y _ { i } } \left\{ 1 - \left[ 1 + ( w - 1 ) y _ { i } \right] ^ { N _ { I } } \right\} + y _ { t } - 1 } \\ & { \mathrm { \quad } + v _ { I } - a v _ { I } . } \end{array}
\sum _ { k = 1 } ^ { m } { \frac { 1 } { \bar { T } _ { i } \bar { T } _ { k } } } \left( \bar { T } _ { i } \delta _ { i k } + X _ { i k } ^ { ( m ) } \right) A _ { k j } \ = \ \delta _ { i j } + { \frac { 1 } { { \bar { T } } _ { i } } } \left( X _ { i j } ^ { ( m ) } - X _ { i j } - \sum _ { k = 1 } ^ { m } { \frac { 1 } { { \bar { T } } _ { k } } } X _ { i k } ^ { ( m ) } X _ { k j } \right) = \delta _ { i j } \ .
\mathcal { L } _ { B L } ( Q , N ; \theta ) = - \sum _ { b \, \in \mathrm { ~ b ~ i ~ n ~ s ~ } } \left( N _ { b } \cdot \ln \left( \frac { \widehat { N } _ { b } ( Q ; \theta ) } { N _ { b } } \right) + \left( N _ { b } - \widehat { N } _ { b } ( Q ; \theta ) \right) \right) .
\rho \left[ { \frac { \partial { \overline { { u _ { i } } } } } { \partial t } } + { \overline { { u _ { j } } } } { \frac { \partial { \overline { { u _ { i } } } } } { \partial x _ { j } } } \right] = - { \frac { \partial { \bar { p } } } { \partial x _ { i } } } + { \frac { \partial } { \partial x _ { j } } } \left( \mu { \frac { \partial { \overline { { u _ { i } } } } } { \partial x _ { j } } } - \rho { \overline { { u _ { i } ^ { \prime } u _ { j } ^ { \prime } } } } \right) ,
\partial _ { z _ { + } } ^ { 3 } v ^ { + } ( z _ { + } ) = z _ { - } ^ { 2 } \partial _ { z _ { - } } \bigg ( z _ { - } ^ { 2 } \partial _ { z _ { - } } \bigg ( z _ { - } ^ { 2 } \partial _ { z _ { - } } \bigg ( z _ { - } ^ { - 2 } v ^ { - } ( z _ { - } ) \bigg ) \bigg ) \bigg ) = 0 ,
I _ { n , k , d } = \frac { \Gamma ( k - \epsilon + 1 ) \Gamma ( - k + \epsilon ) } { ( 4 \pi ) ^ { d / 2 } \Gamma ( d / 2 ) } \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( z _ { i } ^ { 2 } ) ^ { k - \epsilon } R _ { n , i } \, ,
\begin{array} { r l } { \left( 1 - \frac { \rho } { \sqrt { \zeta _ { 1 } } } \right) \log \zeta _ { 1 } \underset { n \to \infty } { \sim } } & { \frac { \log \rho } { \rho } \sqrt { \frac { 2 ( 1 - \rho ^ { 2 } ) } { \log n } } y + \frac { 1 } { 2 \rho ^ { 2 } } \frac { 2 \left( 1 - \rho ^ { 2 } \right) } { \log n } y ^ { 2 } } \\ & { - \frac { \log \rho } { 2 } \frac { \log \left( 4 \pi \log n \right) } { \log n } - \frac { 1 - \rho ^ { 2 } } { 2 } \log \rho \frac { y ^ { 2 } } { \log n } + o \left( { ( \log n ) } ^ { - 1 } \right) } \\ { = } & { \frac { \log \rho } { \rho } \sqrt { \frac { 2 ( 1 - \rho ^ { 2 } ) } { \log n } } y - \frac { \log \rho } 2 \frac { \log \left( 4 \pi \log n \right) } { \log n } } \\ & { + \left( \log \rho - \frac 2 { \rho ^ { 2 } } \right) \frac { 1 - \rho ^ { 2 } } { 2 \log n } y ^ { 2 } + o \left( { ( \log n ) } ^ { - 1 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mu ^ { m } } & { = } & { \left\langle ( \sigma _ { n n } - \left\langle \sigma _ { n n } \right\rangle ) ^ { m } \right\rangle \big \vert _ { \mathbf { \Sigma } _ { \mathrm { d e v } } } } \\ & { = } & { \left\langle \sigma _ { n n } ^ { m } \right\rangle \big \vert _ { \mathbf { \Sigma } _ { \mathrm { d e v } } } } \end{array}
\mathbf { F W } ^ { - 1 } = \Phi \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { \tilde { G } } } \\ { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { 0 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { \Psi } \mathbf { I } } & { \mathbf { 0 } } \\ { \frac { 1 } { \Gamma } \mathbf { I } } & { \frac { 1 } { \Gamma } \mathbf { I } } \end{array} \right] = \frac { \Phi } { \Gamma } \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { \tilde { G } } } & { \mathbf { \tilde { G } } } \\ { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { 0 } } \end{array} \right]
N _ { \mathrm { C S } } ( t ) - N _ { \mathrm { C S } } ( 0 ) = \frac { g ^ { 2 } } { 3 2 \pi ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime } \int d ^ { 3 } x F _ { \mu \nu } ^ { a } \tilde { F } ^ { \mu \nu a } .
\begin{array} { r l r } { f _ { \mu } ^ { K } ( x ) ^ { 2 } } & { : = } & { \operatorname* { m i n } _ { p \in P } \ensuremath { \left( D _ { K } ^ { 2 } ( x , p ) - w ( p ) \right) } } \\ & { = } & { \operatorname* { m i n } _ { p \in P } \ensuremath { \left( D _ { K } ^ { 2 } ( x , p ) + \frac { 1 } { | P | } \sum _ { y \in P } D _ { K } ^ { 2 } ( y , p ) - \frac { 1 } { 2 | P | ^ { 2 } } \sum _ { y , z \in P } D _ { K } ^ { 2 } ( y , z ) \right) } . } \end{array}
\left( \begin{array} { c } { \rho } \\ { \rho u } \\ { \rho v } \\ { E } \end{array} \right) _ { t } + \left( \begin{array} { c } { \rho u } \\ { \rho u ^ { 2 } + p } \\ { \rho u v } \\ { u ( E + p ) } \end{array} \right) _ { x } + \left( \begin{array} { c } { \rho v } \\ { \rho u v } \\ { \rho v ^ { 2 } + p } \\ { v ( E + p ) } \end{array} \right) _ { y } = 0 ,
E _ { 2 } ( a , \lambda ) = \int _ { m } ^ { \infty } \frac { d t } { 2 \pi } \frac { 1 } { \sqrt { t ^ { 2 } - m ^ { 2 } } } \left\{ t \ln \left[ 1 + \frac { \lambda } { t } + \frac { \lambda ^ { 2 } } { 4 t ^ { 2 } } \left( 1 - e ^ { - 4 t a } \right) \right] - \lambda \right\} \, .
\frac { \partial \hat { \psi } _ { \bf k } } { \partial t } = - i k ^ { 2 } \hat { \psi } _ { \bf k } - \sum _ { \bf 1 2 3 } \theta _ { k } \theta _ { 1 } \theta _ { 2 } \theta _ { 3 } \hat { \psi } _ { \bf 1 } ^ { * } \hat { \psi } _ { \bf 2 } \hat { \psi } _ { \bf 3 } \delta _ { 2 3 } ^ { 0 1 } ,
\begin{array} { r l r } { \left\langle f \right\vert N \left[ \, \overline { { \! { \psi } } } \left( x \right) \psi \left( x \right) \, \overline { { \! { \psi } } } \left( y \right) \psi \left( y \right) \right] \left\vert i \right\rangle } & { = } & { \left[ \, \overline { { \! { u } } } ^ { s ^ { \prime } } \left( p ^ { \prime } \right) u ^ { r } \left( q \right) \right] \left[ \, \overline { { \! { u } } } ^ { r ^ { \prime } } \left( q ^ { \prime } \right) u ^ { s } \left( p \right) \right] e ^ { i \cdot x \left( p ^ { \prime } - q \right) } e ^ { i \cdot y \left( q ^ { \prime } - p \right) } - } \\ & { } & { \left[ \, \overline { { \! { u } } } ^ { r ^ { \prime } } \left( q ^ { \prime } \right) u ^ { r } \left( q \right) \right] \left[ \, \overline { { \! { u } } } ^ { s ^ { \prime } } \left( p ^ { \prime } \right) u ^ { s } \left( p \right) \right] e ^ { i \cdot x \left( q ^ { \prime } - q \right) } e ^ { i \cdot y \left( p ^ { \prime } - p \right) } - } \\ & { } & { \left[ \, \overline { { \! { u } } } ^ { s ^ { \prime } } \left( p ^ { \prime } \right) u ^ { s } \left( p \right) \right] \left[ \, \overline { { \! { u } } } ^ { r ^ { \prime } } \left( q ^ { \prime } \right) u ^ { r } \left( q \right) \right] e ^ { i \cdot x \left( p ^ { \prime } - p \right) } e ^ { i \cdot y \left( q ^ { \prime } - q \right) } + } \\ & { } & { \left[ \, \overline { { \! { u } } } ^ { r ^ { \prime } } \left( q ^ { \prime } \right) u ^ { s } \left( p \right) \right] \left[ \, \overline { { \! { u } } } ^ { s ^ { \prime } } \left( p ^ { \prime } \right) u ^ { r } \left( q \right) \right] e ^ { i \cdot x \left( q ^ { \prime } - p \right) } e ^ { i \cdot y \left( p ^ { \prime } - q \right) } . } \end{array}
\mathcal { W } _ { 1 1 } ( \gamma , \sigma ) = \sigma \langle \partial _ { \sigma } \widehat { \mathcal { W } _ { 0 , \gamma } } ( \sigma ) | _ { ( 0 , 0 ) } \omega _ { s _ { 0 } } , \omega _ { s _ { 0 } } ^ { * } \rangle + \gamma \langle \partial _ { \gamma } \widehat { \mathcal { W } _ { 0 , \gamma } } ( \sigma ) | _ { ( 0 , 0 ) } \omega _ { s _ { 0 } } , \omega _ { s _ { 0 } } ^ { * } \rangle + o ( \gamma + \vert \sigma \vert ) .
\tilde { G } _ { J } ( \boldsymbol { x } , t ) = \sum _ { j = 1 } ^ { \tilde { N } } \tilde { u } _ { j } \tilde { \sigma } ( ( \boldsymbol { \tilde { k } } _ { j } ^ { x } ) ^ { \top } \boldsymbol { x } + \tilde { k } _ { j } ^ { t } t + \tilde { b _ { j } } )
\begin{array} { r l } & { v _ { 2 k + 1 , 6 k - 1 } ^ { A , k } \otimes v _ { 1 , 2 } } \\ & { + v _ { 2 k + 1 , 6 k - 2 } ^ { A , k } \otimes v _ { 1 , 3 } } \\ & { + v _ { 2 k + 1 , 6 k - 2 } ^ { B , k } \otimes v _ { 1 , 3 } } \\ & { + v _ { 2 k + 1 , 6 k - 3 } ^ { A , k } \otimes v _ { 1 , 4 } } \\ & { + v _ { 2 k , 6 k } ^ { B , k } \otimes v _ { 2 , 1 } } \\ & { + v _ { 2 k , 6 k } \otimes v _ { 2 , 1 } } \end{array}
\hat { \boldsymbol { C } } _ { 0 0 } ( y _ { 1 } , y _ { 2 } ; \alpha , \beta ) = \left[ \begin{array} { l l l } { \hat { \boldsymbol { C } } _ { 0 0 } ^ { v v } ( y _ { 1 } , y _ { 2 } ; \alpha , \beta ) } & { } & { \hat { \boldsymbol { C } } _ { 0 0 } ^ { v \eta } ( y _ { 1 } , y _ { 2 } ; \alpha , \beta ) } \\ { \hat { \boldsymbol { C } } _ { 0 0 } ^ { \eta v } ( y _ { 1 } , y _ { 2 } ; \alpha , \beta ) } & { } & { \hat { \boldsymbol { C } } _ { 0 0 } ^ { \eta \eta } ( y _ { 1 } , y _ { 2 } ; \alpha , \beta ) } \end{array} \right] \mathrm { ~ , ~ }
\begin{array} { r l } { \widehat { \mathcal { W } _ { 0 , \gamma } } ( \sigma ) \widehat { \mathcal { W } _ { 0 , \gamma _ { 1 } } } ( \sigma ) ^ { - 1 } } & { = \Big ( \widehat { \mathcal { W } _ { 0 , \gamma } } ( \sigma ) - \widehat { \mathcal { W } _ { 0 , \gamma _ { 1 } } } ( \sigma ) + \widehat { \mathcal { W } _ { 0 , \gamma _ { 1 } } } ( \sigma ) \Big ) \widehat { \mathcal { W } _ { 0 , \gamma _ { 1 } } } ( \sigma ) ^ { - 1 } } \\ & { = \Big ( \widehat { \mathcal { W } _ { 0 , \gamma } } ( \sigma ) - \widehat { \mathcal { W } _ { 0 , \gamma _ { 1 } } } ( \sigma ) \Big ) \widehat { \mathcal { W } _ { 0 , \gamma _ { 1 } } } ( \sigma ) ^ { - 1 } + I . } \end{array}
\big \| \mathrm { E C T } _ { f _ { \lambda } } - \mathrm { E C T } _ { g _ { \lambda } } \big \| \leq \big \| \mathrm { E C T } _ { f _ { \lambda - 1 } } - \mathrm { E C T } _ { g _ { \lambda - 1 } } \big \| + \big \| \mathrm { E C T } _ { \alpha _ { \lambda } } - \mathrm { E C T } _ { \beta _ { \lambda } } \big \| + ( 2 - m _ { \lambda } ) \varepsilon .
{ \frac { d r } { d \lambda } } = { \frac { d r } { d s } } { \frac { d s } { d \widetilde { \lambda } } } { \frac { d \widetilde { \lambda } } { d \lambda } } = ( 4 ^ { ( 1 / \beta ) } c o s h ^ { \left( { 2 / \beta } \right) } ( { \frac { \beta r } { 2 L } } ) ) ( C ^ { * } ) ( 4 ^ { ( - 2 / \beta ) } s e c h ^ { \left( { 4 / \beta } \right) } ( { \frac { \beta r } { 2 L } } ) ) = C s e c h ^ { \left( { 2 / \beta } \right) } ( { \frac { \beta r } { 2 L } } ) ,
\begin{array} { r l r } & { - } & { \int _ { 0 } ^ { T } \left( - r ( x ) \phi _ { x x } + \kappa ( x ) \phi _ { x x t } \right) _ { x } \vert _ { x = \ell } \ \eta ( \ell , t ) d t } \\ & { + } & { \int _ { 0 } ^ { \ell } \int _ { 0 } ^ { T } \Big ( \rho ( x ) \eta _ { t t } + \mu ( x ) \eta _ { t } + ( r ( x ) \eta _ { x x } ) _ { x x } + ( \kappa ( x ) \eta _ { x x t } ) _ { x x } \Big ) \phi ( x , t ) d t d x + \int _ { 0 } ^ { T } \left( g _ { \alpha } ( t ) - \bar { g } ( t ) \right) \phi ( \ell , t ) d t = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { Z _ { y ^ { \prime } x ^ { \prime } } - Z _ { y ^ { \prime } , - x ^ { \prime } } } \\ & { } & { \qquad = \frac { \left[ F _ { y ^ { \prime } } ( \Delta , \Delta , 0 ) + F _ { y ^ { \prime } } ( - \Delta , - \Delta , 0 ) - 2 F _ { y } ^ { \prime } ( 0 ) \right] } { \sqrt { 2 } \Delta } } \\ & { } & { = - \Bigl ( \frac { \partial Z _ { x x } } { \partial E _ { y } } - \frac { \partial Z _ { y x } } { \partial E _ { y } } \Bigr ) \Delta - \frac { 1 } { 2 } \, ( Z _ { x x } - Z _ { x , - x } + Z _ { x y } } \\ & { } & { \qquad - Z _ { x , - y } - Z _ { y x } + Z _ { y , - x } - Z _ { y y } + Z _ { y , - y } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { ( \mu _ { 2 } \otimes \mathbb { I } _ { N _ { 2 } } ) \circ ( \mathbb { I } _ { \mathcal { A } } \otimes f ) \circ \delta _ { N _ { 1 } } ^ { 1 } + ( \mu _ { 2 } \otimes \mathbb { I } _ { N _ { 2 } } ) \circ ( \mathbb { I } _ { \mathcal { A } } \otimes \delta _ { N _ { 2 } } ^ { 1 } ) \circ f + ( \mu _ { 1 } \otimes \mathbb { I } _ { N _ { 2 } } ) \circ f = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \sqrt 2 } s _ { 0 } \cdot \frac { e _ { 0 } } { K _ { M } } \cdot \frac { K _ { S } + s _ { 0 } } { K _ { M } + s _ { 0 } } \frac { K _ { M } + \widetilde s } { K _ { M } } \cdot \frac { K _ { M } + \widetilde s } { K _ { M } } } & { { } \leq \frac { 1 } { \sqrt 2 } s _ { 0 } \cdot \frac { e _ { 0 } } { K _ { M } } \cdot \frac { K _ { S } + s _ { 0 } } { K _ { M } + s _ { 0 } } \left( \frac { K _ { M } + s _ { 0 } } { K _ { M } } \right) ^ { 2 } } \end{array}
\widetilde { \mathcal { N S } } [ \mathbf { q } ( \mathbf { x } , t ) ; S ] = 0 \quad \Rightarrow \quad \mathcal { N S } [ \widetilde { \mathbf { q } } ; S ] + \nabla \cdot \mathcal { F } ( \widetilde { \mathbf { q } } , \mathbf { q } ^ { \prime } ) = 0
\begin{array} { r l } { \rho X } & { { } = \sum _ { i = 1 } ^ { Q } w _ { i } \prod _ { \alpha = 1 } ^ { D } Z _ { \alpha } ^ { c _ { i \alpha } } , } \\ { \rho u _ { \beta } X } & { { } = \sum _ { i = 1 } ^ { Q } w _ { i } c _ { i \beta } \prod _ { \alpha = 1 } ^ { D } Z _ { \alpha } ^ { c _ { i \alpha } } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \left[ { n \atop m } \right] } & { = \sum _ { k = m } ^ { n } \left[ { n + 1 \atop k + 1 } \right] { \binom { k } { m } } ( - 1 ) ^ { m - k } } \\ { \left[ { n + 1 \atop m + 1 } \right] } & { = \sum _ { k = m } ^ { n } \left[ { k \atop m } \right] { \frac { n ! } { k ! } } } \\ { \left[ { m + n + 1 \atop m } \right] } & { = \sum _ { k = 0 } ^ { m } ( n + k ) \left[ { n + k \atop k } \right] } \\ { \left[ { n \atop l + m } \right] { \binom { l + m } { l } } } & { = \sum _ { k } \left[ { k \atop l } \right] \left[ { n - k \atop m } \right] { \binom { n } { k } } . } \end{array} }
\frac { d F _ { \sigma } ( \vec { x } ( t ) ) } { d t } = \frac { 1 } { N } \sum _ { i } \delta _ { \sigma _ { i } ( t ) , \sigma } f ^ { \prime } ( x _ { i } ( t ) ) \dot { x } _ { i } ( t ) + \frac { T } { N ^ { 2 } } \sum _ { i } \delta _ { \sigma _ { i } ( t ) , \sigma } f ^ { \prime \prime } ( x _ { i } ( t ) ) + \frac { 1 } { N } \sum _ { i } f ( x _ { i } ( t ) ) \frac { d \delta _ { \sigma _ { i } ( t ) , \sigma } } { d t }
\cdot \big < 0 | b _ { f ^ { \prime } } ( \vec { p ^ { \prime } } , c ^ { \prime } , s _ { 1 } ^ { \prime } ) d _ { f ^ { \prime } } ( \vec { q ^ { \prime } } , c ^ { \prime } , s _ { 2 } ^ { \prime } ) d _ { f } ^ { + } ( \vec { q } , c , s _ { 2 } ) b _ { f } ^ { + } ( \vec { p } , c , s _ { 1 } ) | 0 \big > \big | _ { \vec { q } = T _ { 1 } , \ \ \vec { q ^ { \prime } } = T _ { 1 } ^ { \prime } }
\begin{array} { r l } { X _ { \mu \nu } ^ { \textrm { S F } , 0 , \vec { L } } = } & { \phantom { + } \int \left[ \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial f ^ { \mathrm { X C } } } { \partial \rho _ { \uparrow } ^ { \textrm { S F } } } + \frac { \partial f ^ { \mathrm { X C } } } { \partial \rho _ { \downarrow } ^ { \textrm { S F } } } \right] \xi _ { \mu } ^ { \vec { 0 } } ( \vec { r } ) ~ \xi _ { \nu } ^ { \vec { L } } ( \vec { r } ) ~ \textrm { d } ^ { 3 } r } \\ { - \int } & { \frac { 1 } { 2 } \left[ \frac { \partial f ^ { \mathrm { X C } } } { \partial \gamma _ { \uparrow \uparrow } ^ { \textrm { S F } } } + \frac { \partial f ^ { \mathrm { X C } } } { \partial \gamma _ { \downarrow \downarrow } ^ { \textrm { S F } } } + \frac { \partial f ^ { \mathrm { X C } } } { \partial \gamma _ { \uparrow \downarrow } ^ { \textrm { S F } } } \right] \vec { \nabla } \rho _ { \textrm { p } } \cdot } \\ & { \left[ \left\{ \vec { \nabla } \xi _ { \mu } ^ { \vec { 0 } } ( \vec { r } ) \right\} \xi _ { \nu } ^ { \vec { L } } ( \vec { r } ) + \xi _ { \mu } ^ { \vec { 0 } } ( \vec { r } ) \left\{ \vec { \nabla } \xi _ { \nu } ^ { \vec { L } } ( \vec { r } ) \right\} \right] \textrm { d } ^ { 3 } r } \\ { - \int } & { \left[ \frac { \partial f ^ { \mathrm { X C } } } { \partial \gamma _ { \uparrow \uparrow } ^ { \textrm { S F } } } - \frac { \partial f ^ { \mathrm { X C } } } { \partial \gamma _ { \downarrow \downarrow } ^ { \textrm { S F } } } \right] \frac { f _ { \nabla } } { 2 } \frac { \left( \vec { \nabla } \rho _ { \textrm { p } } \cdot \vec { \nabla } \vec { \rho } _ { \textrm { m } } \right) \circ \vec { \nabla } \vec { \rho } _ { \textrm { m } } } { \Gamma } ~ \cdot } \\ & { \left[ \left\{ \vec { \nabla } \xi _ { \mu } ^ { \vec { 0 } } ( \vec { r } ) \right\} \xi _ { \nu } ^ { \vec { L } } ( \vec { r } ) + \xi _ { \mu } ^ { \vec { 0 } } ( \vec { r } ) \left\{ \vec { \nabla } \xi _ { \nu } ^ { \vec { L } } ( \vec { r } ) \right\} \right] \textrm { d } ^ { 3 } r } \\ { + \int } & { \frac { 1 } { 2 } \left[ \frac { \partial f ^ { \mathrm { X C } } } { \partial \tau _ { \uparrow } ^ { \textrm { S F } } } + \frac { \partial f ^ { \mathrm { X C } } } { \partial \tau _ { \downarrow } ^ { \textrm { S F } } } \right] \left[ \vec { \nabla } \xi _ { \mu } ^ { \vec { 0 } } ( \vec { r } ) \right] \cdot \left[ \vec { \nabla } \xi _ { \nu } ^ { \vec { L } } ( \vec { r } ) \right] \textrm { d } ^ { 3 } r } \end{array}
\partial _ { 0 } X ^ { a } \partial _ { i } X ^ { a } + \partial _ { i } X ^ { - } - i \bar { \theta } \Gamma ^ { - } \partial _ { i } \theta + ( \partial _ { 0 } A _ { k } - i \bar { \theta } \Gamma ^ { - } \Gamma _ { 1 1 } \partial _ { k } \theta ) g ^ { k j } F _ { i j } = 0
\left[ \left\lVert \boldsymbol { v } \right\rVert _ { 2 } ^ { 4 } + \left\lVert \boldsymbol { f } \right\rVert _ { 2 } ^ { 2 } \right] U ^ { \mu - 1 } = \left[ \left\lVert \boldsymbol { v } \right\rVert _ { 2 } ^ { 4 } + \left\lVert \boldsymbol { f } \right\rVert _ { 2 } ^ { 2 } \right] U ^ { \frac { 5 r - 1 6 } { 5 r - 6 } } \leq \left\lVert \boldsymbol { v } \right\rVert _ { 2 } ^ { 4 } + \left\lVert \boldsymbol { f } \right\rVert _ { 2 } ^ { 2 } .
F _ { w } ^ { m } x = \left( x _ { n - m } \prod _ { j = 0 } ^ { m - 1 } w _ { n - j } \right) _ { n \in \mathbb { N } _ { 0 } } = \left( \underbrace { 0 , \ldots , 0 } _ { m \textrm { - t i m e s } } , x _ { 0 } \prod _ { j = 1 } ^ { m } w _ { 0 + j } , x _ { 1 } \prod _ { j = 1 } ^ { m } w _ { 1 + j } , x _ { 2 } \prod _ { j = 1 } ^ { m } w _ { 2 + j } , \ldots \right) .
\frac { \partial \rho } { \partial t } + v _ { x } \frac { \partial \rho } { \partial x } - \frac { k _ { \mathrm { t r a p } } ^ { x } } { m } x \frac { \partial \rho } { \partial v _ { x } } = \frac { \Gamma } { m } \frac { \partial v _ { x } \rho } { \partial v _ { x } } + \frac { \Gamma k _ { B } T } { m ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } \rho } { \partial v _ { x } ^ { 2 } } \, ,
\left( \begin{array} { c } { { \Phi _ { 1 } } } \\ { { \Phi _ { 2 } } } \end{array} \right) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \sum _ { n } e ^ { - i n \sigma } \left( \begin{array} { c c } { { i e ^ { i m H \alpha ^ { \prime } \tau } } } & { { - i e ^ { - i m H \alpha ^ { \prime } \tau } } } \\ { { e ^ { i m H \alpha ^ { \prime } \tau } } } & { { e ^ { - i m H \alpha ^ { \prime } \tau } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { C _ { 1 n } } } \\ { { C _ { 2 n } } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \nu _ { \eta } } & { = \frac { w _ { \eta } } { | | w _ { \eta } | | } = a ^ { t } ( s ) \partial _ { t } + B ^ { i } ( s ) \partial _ { s _ { i } } } \\ { | | a ^ { t } - 1 | | _ { C ^ { 1 , \alpha } ( Y ) } } & { \leq C | | \eta | | _ { C ^ { 2 , \alpha } ( Y ) } ^ { 2 } } \\ { | | B ^ { i } | | _ { C ^ { 1 , \alpha } ( Y ) } } & { \leq C | | \eta | | _ { C ^ { 2 , \alpha } ( Y ) } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l l } { { W _ { q { \overline { { { q ^ { \prime } } } } } } = } } & { { \sqrt { ( P _ { 1 } + { \frac { P _ { 2 } } { 2 } } ) ^ { 2 } } = } } & { { \sqrt { ( E _ { q } + { \frac { E _ { g } } { 2 } } ) ^ { 2 } - ( { \stackrel { \rightarrow } P _ { q } } + { \frac { \stackrel { \rightarrow } P _ { g } } { 2 } } ) ^ { 2 } } } } \\ { { W _ { { q ^ { \prime } } { \overline { { { q } } } } } = } } & { { \sqrt { ( P _ { 3 } + { \frac { P _ { 2 } } { 2 } } ) ^ { 2 } } = } } & { { \sqrt { ( E _ { \overline { { { q } } } } + { \frac { E _ { g } } { 2 } } ) ^ { 2 } - ( { \stackrel { \rightarrow } P _ { \overline { { { q } } } } } + { \frac { \stackrel { \rightarrow } P _ { g } } { 2 } } ) ^ { 2 } } } } \end{array} \right.
\omega = \mp \mathcal { S } ( \mathbf { k } ) \frac { k _ { z } } { k } \quad \textrm { o r } \quad \omega = \pm \cos \! \left( \theta \right) k ^ { 2 } \left[ \nu _ { o } - \nu _ { 4 } - \left( \nu _ { o } - 2 \nu _ { 4 } \right) \cos ^ { 2 } \theta \right] .
\begin{array} { r l r } { \Gamma ^ { ( k ) } ( z , f ) } & { { } = } & { \int _ { 0 } ^ { z } \mathrm { d } z ^ { \prime } \int \mathrm { d } f ^ { \prime } g _ { R } ( f , f ^ { \prime } ) \mathcal { L } ( z ^ { \prime } , f ^ { \prime } ) \sum _ { \{ n _ { j } \} } \prod _ { j = 1 } ^ { k - 1 } \frac { 1 } { n _ { j } ! } \left( \Gamma ^ { ( k _ { j } ) } ( z ^ { \prime } , f ^ { \prime } ) \right) ^ { n _ { j } } \: , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \mathbf { X } + \mathbf { Y } \right) \mathbf { w } _ { i } } & { { } = \mathbf { X } \mathbf { w } _ { i } + \mathbf { Y } \mathbf { w } _ { i } \quad i = { 1 , 2 , 3 } } \end{array}
\mathcal { U } ( 0 , x ) : = \mathcal { U } _ { 0 } ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \rho _ { 0 } ( x ) = 1 . 0 \quad \mathrm { i f ~ \, x \leq ~ 0 . 5 ~ , } \quad \rho _ { 0 } ( x ) = 0 . 1 2 5 \quad \mathrm { o t h e r w i s e } } \\ { u _ { 0 } ( x ) = 0 . 5 \quad \forall x } \\ { p _ { 0 } ( x ) = 1 . 0 \quad \mathrm { i f ~ \, x \leq ~ 0 . 5 ~ , } \quad p _ { 0 } ( x ) = 0 . 1 \quad \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { ( \mathbf { 0 } ) ^ { ( m ) } \equiv \, } & { ( - 2 \rho ) ^ { m } \frac { 2 \pi ^ { 5 / 2 } } { \zeta _ { p } \zeta _ { c } \sqrt { \zeta _ { p } + \zeta _ { c } } } F _ { m } ( \rho | \mathbf { R } _ { p } - \mathbf { R } _ { c } | ^ { 2 } ) , } \\ { F _ { m } ( x ) \equiv \, } & { \int _ { 0 } ^ { 1 } \, \mathrm { d } y \, y ^ { 2 m } \exp ( - x y ^ { 2 } ) , } \\ { \rho \equiv \, } & { \frac { \zeta _ { p } \zeta _ { c } } { \zeta _ { p } + \zeta _ { c } } . } \end{array}
{ \cal G } _ { ( \mathrm { I I } ) } ^ { a } \left( y \right) w ( x ) \Gamma = \frac 1 2 \partial _ { \mu } \delta \left( x - y \right) \left( e g ^ { \mu \nu } \frac { \delta \Gamma } { \delta B _ { a } ^ { * \nu } } \right) \left( y \right)