harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \operatorname* { m a x } \left\{ \frac { \sigma _ { r _ { 1 } + 1 } ^ { \star 2 } } { \sigma _ { r _ { 2 } } ^ { \star 2 } } , \ \frac { \widetilde { \sigma } _ { r _ { 1 } + 1 } ^ { 2 } } { \widetilde { \sigma } _ { r _ { 2 } } ^ { 2 } } \right\} \leq 8 \quad \mathrm { a n d } \quad \operatorname* { m i n } \left\{ \frac { \widetilde { \sigma } _ { r _ { 2 } } ^ { 2 } - \widetilde { \sigma } _ { r _ { 2 } + 1 } ^ { 2 } } { \widetilde { \sigma } _ { r _ { 2 } } ^ { 2 } } , \ \frac { \sigma _ { r _ { 2 } } ^ { \star 2 } - \sigma _ { r _ { 2 } + 1 } ^ { \star 2 } } { \sigma _ { r _ { 2 } } ^ { \star 2 } } \right\} \geq \frac { 1 } { 2 r } > 1 - \left( 1 - \frac { 1 } { 4 r } \right) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left< B _ { t , t + \tau } ^ { ( N ^ { * } ) } ( \Gamma ) \right> _ { S } } & { { } = } & { \left< \Omega _ { t , t + \tau / N } ( \Gamma ; 0 ) \right> _ { S } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { w _ { i } } { \delta t } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { Q } _ { \mathrm { M } j } \le Q _ { \mathrm { M } j } } & { { } = \hat { Q } _ { \mathrm { M } j } + ( Q _ { \mathrm { M } j } - \hat { Q } _ { \mathrm { M } j } ) } \\ { \sum _ { j = \pm 1 } ^ { \pm j _ { \operatorname* { m a x } } } \hat { Q } _ { \mathrm { M } j } \le \sum _ { j = \pm 1 } ^ { \pm \infty } Q _ { \mathrm { M } j } } & { { } = \sum _ { j = \pm 1 } ^ { \pm j _ { \operatorname* { m a x } } } \hat { Q } _ { \mathrm { M } j } + \underbrace { ( Q _ { \mathrm { M } + 1 } - \hat { Q } _ { \mathrm { M } + 1 } ) } _ { \le \frac { 2 } { e _ { 2 } ^ { 2 } } ( 1 - e _ { 2 } ) ^ { j _ { \operatorname* { m a x } } } } + \underbrace { \sum _ { j = 1 } ^ { j _ { \operatorname* { m a x } } } ( Q _ { \mathrm { M } - j } - \hat { Q } _ { \mathrm { M } - j } ) } _ { \le \frac { 1 } { e _ { 2 } ^ { 2 } } ( 1 - e _ { 2 } ) ^ { j _ { \operatorname* { m a x } } } } } \\ { \sum _ { j = \pm 1 } ^ { \pm j _ { \operatorname* { m a x } } } \hat { Q } _ { \mathrm { M } j } \mu _ { j , A } \le \sum _ { j = \pm 1 } ^ { \pm \infty } Q _ { \mathrm { M } j } \mu _ { j , A } } & { { } \le \sum _ { j = \pm 1 } ^ { \pm j _ { \operatorname* { m a x } } } \hat { Q } _ { \mathrm { M } j } \mu _ { j , A } + \sum _ { j = \pm 1 } ^ { \pm \infty } ( Q _ { \mathrm { M } j } - \hat { Q } _ { \mathrm { M } j } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { = \partial _ { t } \varrho + u \cdot \nabla _ { x } \varrho + \frac { \varrho } { 1 - \rho _ { f } } \left[ \mathrm { d i v } _ { x } j _ { f } - u \cdot \nabla _ { x } \rho _ { f } \right] + \varrho \mathrm { d i v } _ { x } \, u } \\ & { = \partial _ { t } \varrho + u \cdot \nabla _ { x } \varrho + \frac { \varrho } { 1 - \rho _ { f } } \mathrm { d i v } _ { x } \left[ j _ { f } - \rho _ { f } u \right] + \frac { \varrho } { 1 - \rho _ { f } } \rho _ { f } \mathrm { d i v } _ { x } \, u + \varrho \mathrm { d i v } _ { x } \, u } \\ & { = \partial _ { t } \varrho + u \cdot \nabla _ { x } \varrho + \frac { \varrho } { 1 - \rho _ { f } } \mathrm { d i v } _ { x } \left[ j _ { f } - \rho _ { f } u \right] + \frac { \varrho } { 1 - \rho _ { f } } \mathrm { d i v } _ { x } \, u . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { h ^ { \prime } ( x ) } & { = { \frac { f ^ { \prime } ( x ) - g ^ { \prime } ( x ) h ( x ) } { g ( x ) } } } \\ & { = { \frac { f ^ { \prime } ( x ) - g ^ { \prime } ( x ) \cdot { \frac { f ( x ) } { g ( x ) } } } { g ( x ) } } } \\ & { = { \frac { f ^ { \prime } ( x ) g ( x ) - f ( x ) g ^ { \prime } ( x ) } { g ( x ) ^ { 2 } } } . } \end{array} }
I _ { \mathrm { R C M } } ( \bf { r } ) \it = \left| \sum _ { \bf k _ { \mathrm { o u t } } , \bf k _ { \mathrm { i n } } } ^ { \mathrm { N A = 0 . 5 } } e ^ { i ( { \bf k } _ { \mathrm { o u t } } - { \bf k } _ { \mathrm { i n } } ) \cdot { \bf r } } R ( \bf k _ { \mathrm { o u t } } , \bf k _ { \mathrm { i n } } , \omega = \omega _ { \mathrm { R C M } } ) \right| ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { \nabla _ { \gamma ^ { \prime } ( \tau ) } ^ { \mathrm { F W } } \gamma ^ { \prime } ( \tau ) } & { = \nabla _ { \gamma ^ { \prime } ( \tau } \gamma ^ { \prime } ( \tau ) - \frac { 1 } { c ^ { 2 } } \langle \gamma ^ { \prime } ( \tau ) , \mathbf { a } ( \tau ) \rangle \gamma ^ { \prime } ( \tau ) + \frac { 1 } { c ^ { 2 } } \langle \gamma ^ { \prime } ( \tau ) , \gamma ^ { \prime } ( \tau ) \rangle \mathbf { a } ( \tau ) } \\ & { = \mathbf { a } ( \tau ) - \mathbf { a } ( \tau ) } \\ & { = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { x } _ { t } ^ { ( m ) } = x _ { \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { ( m ) } - \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { t - 1 } \eta \alpha _ { \ell } \nu _ { \ell } ^ { ( m ) } \quad \mathrm { a n d } \quad \bar { x } _ { t } = \bar { x } _ { \bar { t } _ { s - 1 } } - \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { t - 1 } \eta \alpha _ { \ell } \bar { \nu } _ { \ell } . } \end{array}
\frac { d \, f _ { p } ( x , \mu _ { \mathrm { f } } ^ { 2 } ) } { d \ln \mu _ { \mathrm { f } } ^ { 2 } } \: = \: \sum _ { l = 0 } ^ { m } \, a _ { \mathrm { s } } ^ { l + 1 } ( \mu _ { \mathrm { r } } ^ { 2 } ) \: { \cal P } _ { p p ^ { \prime } } ^ { ( l ) } \bigg ( x , \frac { \mu _ { \mathrm { f } } ^ { 2 } } { \mu _ { \mathrm { r } } ^ { 2 } } \bigg ) \otimes f _ { p ^ { \prime } } ( x , \mu _ { \mathrm { f } } ^ { 2 } ) \: \: .
\left( A _ { 1 } , A _ { 2 } \right) = - \frac { \mathrm { i } c } { \hbar } \int _ { 0 } ^ { \infty } \left( A _ { \nu _ { 1 } } ^ { * } \, \partial _ { \eta } A _ { \nu _ { 2 } } - A _ { \nu _ { 2 } } \, \partial _ { \eta } A _ { \nu _ { 1 } } ^ { * } \right) \mathrm { d } \rho \, .
{ \begin{array} { r l } & { p = { \frac { \mu } { \sigma ^ { 2 } } } , } \\ & { r = { \frac { \mu ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } - \mu } } , } \\ & { \operatorname* { P r } ( X = k ) = { \binom { k + { \frac { \mu ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } - \mu } } - 1 } { r - 1 } } \left( 1 - { \frac { \mu } { \sigma ^ { 2 } } } \right) ^ { k } \left( { \frac { \mu } { \sigma ^ { 2 } } } \right) ^ { \mu ^ { 2 } / ( \sigma ^ { 2 } - \mu ) } } \\ & { \operatorname { E } ( X ) = \mu } \\ & { \operatorname { V a r } ( X ) = \sigma ^ { 2 } . } \end{array} }
\langle \mathrm { T r } ( A ^ { T } A ^ { * } ) ^ { 3 } \rangle = \langle \mathrm { T r } [ ( a ^ { T } a + c ^ { T } c ) ( a ^ { \dagger } a ^ { * } + c ^ { \dagger } c ^ { * } ) ( a ^ { T } a + c ^ { T } c ) ( a ^ { \dagger } a ^ { * } + c ^ { \dagger } c ^ { * } ) ( a ^ { T } a + c ^ { T } c ) ( a ^ { \dagger } a ^ { * } + c ^ { \dagger } c ^ { * } ) ] \rangle .
\Psi ^ { \prime \prime } = ( g _ { 1 } \Psi ^ { 2 k } + g _ { 2 } ) \Psi ^ { m - k - 1 } \Psi ^ { \prime } + ( g _ { 3 } \Psi ^ { 4 k } + g _ { 4 } \Psi ^ { 2 k } + g _ { 5 } ) \Psi ^ { 2 m - 2 k - 1 }
\begin{array} { r l } { y _ { \Delta x } ( t ) } & { \rightarrow y ( t ) \mathrm { ~ i n ~ } L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) , } \\ { U _ { \Delta x } ( t ) } & { \rightarrow U ( t ) \mathrm { ~ i n ~ } L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) , } \\ { y _ { \Delta x , \xi } ( t ) } & { \rightarrow y _ { \xi } ( t ) \mathrm { ~ i n ~ } L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) , } \\ { U _ { \Delta x , \xi } ( t ) } & { \rightarrow U _ { \xi } ( t ) \mathrm { ~ i n ~ } L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) , } \\ { H _ { \Delta x , \xi } ( t ) } & { \rightarrow H _ { \xi } ( t ) \mathrm { ~ i n ~ } L ^ { 1 } ( \mathbb { R } ) \cap L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) , } \\ { g ( X _ { \Delta x } ) ( t ) } & { \rightarrow g ( X ) ( t ) \mathrm { ~ i n ~ } L ^ { 1 } ( \mathbb { R } ) \cap L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) , } \\ { \| H _ { \Delta x } ( t ) } & { - H ( t ) \| _ { \infty } \leq 2 \Delta x . } \end{array}
\langle e ^ { \lambda y } \rangle = e ^ { 2 \lambda t + 2 \lambda ^ { 2 } t } \left( \frac { 1 + 2 \lambda } { 1 + \lambda } - 2 \int _ { - \infty } ^ { - 2 t ( 1 + 2 \lambda ) } d \hat { y } \int _ { \mathbb { R } } \frac { d \hat { q } } { 2 \pi } \frac { 1 + 2 \lambda - 2 i \hat { q } } { 2 + 2 \lambda - 2 i \hat { q } } e ^ { - 2 t \hat { q } ^ { 2 } + i \hat { y } \hat { q } } \right)
\int \frac { 2 } { r } | W \widehat { \mathbf { u } } _ { \chi } | | \widetilde { \chi } _ { 1 } \mathcal { P } _ { \ell } ^ { \natural } \widehat { \mathbf { u } } _ { \chi } + ( 1 - \widetilde { \chi } _ { 1 } ) \chi _ { \sharp } \mathcal { P } _ { \ell } ^ { \sharp } \widehat { \mathbf { u } } _ { \chi } | \lesssim \mathcal { S } [ \widehat { \mathbf { u } } _ { \chi } ]
\frac { \partial } { \partial R _ { { \lambda } { \tau } } } \int d ^ { D } p \, \, \, e ^ { - \frac { 1 } { 2 } p \cdot R \cdot p } = - \frac { 1 } { 2 } ( 2 \pi ) ^ { D / 2 } \left[ \frac { \partial } { \partial R _ { { \lambda } { \tau } } } ( \operatorname * { d e t } R ) \right] ( \operatorname * { d e t } R ) ^ { - 3 / 2 }
\mathrm { s _ { A } ^ { 2 } \mathrm { \overline { { s } } _ { B } \mathrm { z _ { B } ( \mathrm { y _ { A } \mathrm { x _ { B } ^ { 2 } \mathrm { \overline { { y } } _ { B } - \mathrm { x _ { A } \mathrm { \overline { { x } } _ { B } \mathrm { y _ { B } ^ { 2 } ) + \mathrm { s _ { A } \mathrm { \overline { { z } } _ { A } \mathrm { s _ { B } ^ { 2 } ( \mathrm { x _ { A } \mathrm { y _ { A } ^ { 2 } \mathrm { \overline { { x } } _ { B } - \mathrm { x _ { A } ^ { 2 } \mathrm { y _ { A } \mathrm { \overline { { y } } _ { B } ) } } } } } } } } } } } } } } } } } }
\hat { Q } ^ { 2 } = i \hbar ( - 1 ) ^ { \varepsilon _ { i } } L _ { m } \sigma _ { , i \alpha } ^ { m } \left( \frac { \delta W } { \delta { \cal J } } + \frac { \hbar } { i } \frac { \delta } { \delta { \cal J } } , \psi \right) \left[ \left( \frac { \delta } { \delta \psi _ { \alpha } ^ { * } } + \frac { i } { \hbar } \frac { \delta { \cal W } } { { \delta \psi _ { \alpha } ^ { * } } } \right) \! \left( \frac { \delta } { \delta \varphi _ { i } ^ { * } } + \frac { i } { \hbar } \frac { \delta { \cal W } } { { \delta \varphi _ { i } ^ { * } } } \right) \right] .
\begin{array} { r l } { \ddot { \psi } } & { = f ( \psi , \, \theta , \, \phi , \, \dot { \psi } , \, \dot { \theta } \, \dot { \phi } ) } \\ { \ddot { \theta } } & { = g ( \psi , \, \theta , \, \phi , \, \dot { \psi } , \, \dot { \theta } \, \dot { \phi } ) } \\ { \ddot { \phi } } & { = h ( \psi , \, \theta , \, \phi , \, \dot { \psi } , \, \dot { \theta } \, \dot { \phi } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Psi _ { \Upsilon } ( f ) } & { = \sum _ { \alpha \in C ^ { \circ } ( \mathcal { A } ) } \Phi _ { \Upsilon } ( f | _ { \mathcal { M } _ { \alpha } } ) \cdot \lambda _ { \alpha } \, , } \\ { \Psi _ { \Upsilon } ^ { \smash { \mathrm { s d } } } ( h ) } & { = \sum _ { \theta \in C ^ { \smash { \mathrm { s d } } } ( \mathcal { A } ) \vphantom { ^ 0 } } \Phi _ { \Upsilon } ( h | _ { \mathcal { M } _ { \theta } ^ { \smash { \mathrm { s d } } } } ) \cdot \lambda _ { \smash { \theta } } ^ { \smash { \mathrm { s d } } } } \end{array}
f ( D ; l ) = \theta ( 1 / l - | D | ^ { \kappa } ) = \theta ( 1 - | D | ^ { \kappa } l ) , \quad \Theta ( D _ { e } , D _ { \bar { e } } ) = \theta ( | D _ { e } | - | D _ { \bar { e } } | ) = \theta ( 1 - \frac { D _ { \bar { e } } } { D _ { e } } ) .
\big ( R H S \big ) _ { \big < \rho ^ { \infty 2 } \big > } = - \big < \rho ^ { \infty 2 } \big > \mathbf { \nabla } \cdot \textbf { \emph { v } } + 2 \big < \rho ^ { \infty 2 } \big > \big < u ^ { \infty 2 } \big > ^ { \frac { 1 } { 2 } } \frac { 1 } { \rho } \textbf { \emph { \^ n } } \cdot \mathbf { \nabla } \rho - \frac { \big < u ^ { \infty 2 } \big > ^ { \frac { 1 } { 2 } } \big < \rho ^ { \infty 2 } \big > } { l _ { u } ^ { \infty } } ,
E _ { \pm } ( x ) \rightarrow \left\{ \begin{array} { l l } { \pm i \left[ e ^ { i k _ { 0 } x } + r _ { \pm } ( \omega ) e ^ { - i k _ { 0 } [ x + L + 2 N ( L + L _ { 0 } ) ] } \right] , } & { \quad x \rightarrow - \infty , } \\ { \pm i t _ { \pm } ( \omega ) e ^ { i k _ { 0 } [ x - L - 2 N ( L + L _ { 0 } ) ] } , } & { \quad x \rightarrow + \infty . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { a _ { 1 } } & { = \frac { 1 } { 2 c } , a _ { 2 } = - \sqrt { u _ { 3 3 } } , a _ { 3 } = \frac { - u _ { 3 3 } ^ { 3 } - 3 n u _ { 3 3 } ^ { 2 } - 3 n ^ { 2 } u _ { 3 3 } + ( m + 1 ) n ^ { 2 } + m n } { ( u _ { 3 3 } + n ) ^ { 3 } } + \frac { 1 } { 8 c u _ { 3 3 } } , } \\ { a _ { 4 } } & { = - \frac { 1 } { 2 \sqrt { u _ { 3 3 } } } , a _ { 5 } = \frac { 1 } { 8 u _ { 3 3 } ^ { \frac { 3 } { 2 } } } , b _ { 1 } = \frac { \theta } { 2 c } , b _ { 2 } = - \theta \sqrt { u _ { 3 3 } } , b _ { 3 } = - \frac { \theta } { 8 c u _ { 3 3 } } , b _ { 4 } = \frac { \theta } { 2 \sqrt { u _ { 3 3 } } } , } \\ { b _ { 5 } } & { = - c \theta , b _ { 6 } = \frac { \theta } { 1 6 c u _ { 3 3 } ^ { 2 } } , b _ { 7 } = - \frac { \theta } { 8 u _ { 3 3 } ^ { \frac { 3 } { 2 } } } . } \end{array}
\Pi ^ { \mu \nu } ( k ) = ( P _ { ( 1 ) } ^ { \mu \nu } + P _ { ( 2 ) } ^ { \mu \nu } ) \Pi ^ { ( 1 ) } ( k ^ { 2 } ) + m \sqrt { k ^ { 2 } } ( P _ { ( 1 ) } ^ { \mu \nu } - P _ { ( 2 ) } ^ { \mu \nu } ) \Pi ^ { ( 2 ) } ( k ^ { 2 } ) .
\begin{array} { r l } & { \left( \mathcal { L } _ { i , \, j } ^ { \mathrm { e d g e } } \equiv \mathcal { A } _ { f , \, i , \, j } ^ { \mathrm { f a c e } } \right) } \\ { \mathrm { a n d } } & { \left( \mathcal { L } _ { f , \, i } ^ { \mathrm { e d g e } } \equiv \mathcal { A } _ { f , \, i , \, j } ^ { \mathrm { f a c e } } \right) } \\ { \mathrm { a n d } } & { \left( \mathrm { n o t } ( \mathcal { L } _ { f , \, j } ^ { \mathrm { e d g e } } ) \equiv \mathcal { A } _ { f , \, i , \, j } ^ { \mathrm { f a c e } } \right) = t r u e . } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { \ell } ^ { \mathrm { 1 h } } } & { = \int _ { 0 } ^ { z _ { \mathrm { m a x } } } \mathrm { d } z \frac { \mathrm { d } V } { \mathrm { d } z } \int _ { M _ { \mathrm { m i n } } } ^ { M _ { \mathrm { m a x } } } \mathrm { d } M \frac { \mathrm { d } N } { \mathrm { d } M \mathrm { d } V } \, \frac { 2 } { 3 } \, \left| \, y _ { \ell } ^ { \mathrm { r k S Z } } ( M , z ) \, \right| ^ { 2 } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l } { C ^ { k } ( K ) } & { \subseteq C _ { c } ^ { k } ( U ) \subseteq C ^ { k } ( U ) } \\ { C ^ { k } ( K ) } & { \subseteq C ^ { k } ( L ) } & & { { \mathrm { i f ~ } } K \subseteq L } \\ { C ^ { k } ( K ) } & { \subseteq C ^ { j } ( K ) } & & { { \mathrm { i f ~ } } j \leq k } \\ { C _ { c } ^ { k } ( U ) } & { \subseteq C _ { c } ^ { j } ( U ) } & & { { \mathrm { i f ~ } } j \leq k } \\ { C ^ { k } ( U ) } & { \subseteq C ^ { j } ( U ) } & & { { \mathrm { i f ~ } } j \leq k } \end{array} }
\mathbf { I } ^ { \dagger } ( D _ { \theta ^ { x } } ) = - \mathbf { I } ( D _ { \theta ^ { x } } ) \mathcal { R } _ { x } \# , \qquad \mathbf { I } ( D _ { \theta ^ { x } } ) = - \mathbf { I } ^ { \dagger } ( D _ { \theta ^ { x } } ) \mathcal { R } _ { x } ^ { - 1 } \# .
\begin{array} { r l } { { } } & { { X ^ { + + } X ^ { + + } = X ^ { + - } X ^ { + + } = X ^ { + + } X ^ { - + } = 0 } } \\ { { } } & { { X ^ { + - } X ^ { - + } = X ^ { - + } X ^ { + - } = 0 } } \\ { { } } & { { X ^ { + + } X ^ { + - } = - { \frac { r ^ { 2 } } { 2 } } X ^ { + + } = - X ^ { - + } X ^ { + + } } } \\ { { } } & { { X ^ { + - } X ^ { + - } = - { \frac { r ^ { 2 } } { 2 } } X ^ { + - } \ , \qquad X ^ { - + } X ^ { - + } = { \frac { r ^ { 2 } } { 2 } } X ^ { - + } } } \\ { { } } & { { X ^ { + - } - X ^ { - + } = - { \frac { r ^ { 2 } } { 2 } } I . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \theta ( \eta , s ) = } & { { } 1 _ { \{ \eta _ { 2 } = 0 \} } \theta _ { 0 } ( \eta _ { 1 } ) + \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } p _ { \kappa } ( 0 , \xi , s , \eta ) \hat { \theta } ( \xi , 0 ) \mathrm { d } \xi } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { U } ^ { \mathrm { ~ E ~ O ~ L ~ } } } & { { } \approx \mathrm { E } _ { 0 } \mathcal { U } _ { n , m } e ^ { \mathrm { i } \omega t } - \mathrm { i } \frac { k w _ { 0 } ^ { 2 } m _ { S } } { 1 6 } \mathrm { E } _ { 0 } \bigg ( A _ { n } \mathcal { U } _ { n + 2 , m } e ^ { - 2 \mathrm { i } \Psi _ { 1 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \textnormal { \texttt { g } } _ { n + 1 } ( \delta , \underline { { x } } ) } & { \equiv g _ { 1 } ( \textnormal { \texttt { g } } ( \delta ) , \textnormal { \texttt { q } } ( \delta ) ^ { * } \underline { { x } } ) } \\ { \textnormal { \texttt { q } } _ { n + 1 } ( \delta , \underline { { x } } ) } & { \equiv q _ { 1 } ( \textnormal { \texttt { g } } ( \delta ) , \textnormal { \texttt { q } } ( \delta ) ^ { * } \underline { { x } } ) ^ { - 1 } } \end{array}
\operatorname* { s u p } _ { \tau \geq 0 } \left| e ^ { - \tau } v _ { 1 } \cos \tau + e ^ { - \tau } v _ { 2 } \sin \tau \right| = \operatorname* { s u p } _ { \tau \geq 0 } \operatorname* { l i m } _ { T \to \infty } \left\| e ^ { T A _ { 1 } } e ^ { \tau A _ { 0 } } \left( \begin{array} { l } { v _ { 1 } } \\ { v _ { 2 } } \end{array} \right) \right\|
\begin{array} { r l } & { x _ { k + 1 } ^ { \star } - \mathbb { E } [ x _ { k + 1 } ^ { \star } ] = \mathsf { A } _ { k } ( x _ { k } ^ { \star } - \mathbb { E } [ x _ { k } ^ { \star } ] ) + \sigma _ { k } w _ { k } , ~ x _ { 0 } ^ { \star } = x _ { 0 } , } \\ & { \mathbb { E } [ x _ { k + 1 } ^ { \star } ] = \bar { \mathsf { A } } _ { k } \mathbb { E } [ x _ { k } ^ { \star } ] + \big ( \sum _ { j \in \mathsf { N } } ( b _ { k } ^ { j } + \bar { b } _ { k } ^ { j } ) \bar { \delta } _ { k } ^ { j } + c _ { k } \big ) , } \end{array}
W _ { \lambda } ^ { \pm } = \frac { 1 } { 2 N } \sum _ { \lambda ^ { \prime } \lambda ^ { \prime \prime } } \left\{ \begin{array} { l } { 2 \left( f _ { 0 } ^ { \prime } - f _ { 0 } ^ { \prime \prime } \right) } \\ { f _ { 0 } ^ { \prime } + f _ { 0 } ^ { \prime \prime } + 1 } \end{array} \right\} \frac { \delta \left( \omega _ { \lambda } \pm \omega _ { \lambda \prime } - \omega _ { \lambda ^ { \prime \prime } } \right) } { \omega _ { \lambda } { \omega _ { \lambda \prime } } { \omega _ { \lambda ^ { \prime \prime } } } } .
\begin{array} { r l } & { P ( b _ { k ^ { * } } \mathrm { ~ e l i m . ~ i n ~ } l ) } \\ & { \le P ( \hat { \mu } _ { k ^ { B } } ^ { l } > \hat { \mu } _ { k ^ { M } } ^ { l } \mathrm { a n d } \, \, \hat { \mu } _ { k ^ { A } } ^ { l } | b _ { k ^ { * } } \in \{ k ^ { M } , \dots , k ^ { A } \} ) } \\ & { \quad + P ( \hat { \mu } _ { k ^ { N } } ^ { l } > \hat { \mu } _ { k ^ { M } } ^ { l } \mathrm { a n d } \, \, \hat { \mu } _ { k ^ { A } } ^ { l } | b _ { k ^ { * } } \in \{ k ^ { M } , \dots , k ^ { A } \} ) } \\ & { \le 2 P ( \hat { \mu } _ { k ^ { B } } ^ { l } > \hat { \mu } _ { k ^ { M } } ^ { l } \mathrm { a n d } \, \, \hat { \mu } _ { k ^ { A } } ^ { l } | b _ { k ^ { * } } \in \{ k ^ { M } , \dots , k ^ { A } \} ) , } \end{array}
\left[ \begin{array} { l } { \phi _ { k } ^ { - ( M - 1 ) / 2 } } \\ { \vdots } \\ { \phi _ { k } ^ { ( M - 1 ) / 2 } } \end{array} \right] = \overbrace { \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { - ( M - 1 ) / 2 } \\ { \vdots } & { \vdots } \\ { 1 } & { ( M - 1 ) / 2 } \end{array} \right] } ^ { \mathbf { H } } \left[ \begin{array} { l } { ( \phi _ { k } ^ { s i g } - \phi _ { k } ^ { L O } ) } \\ { \phi _ { k } ^ { R F } } \end{array} \right]
\frac { | M _ { 1 } - M _ { 2 } | } { m _ { K _ { 0 } } } = \frac { | m _ { K _ { 0 } } - m _ { { \overline { { { K } } } } _ { 0 } } | } { m _ { K _ { 0 } } } \leq 1 0 ^ { - 1 8 } ,
\begin{array} { r l } { ( g * B ) ( x ) = } & { { } \frac { 1 } { g _ { N } } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } \sigma } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } \sigma _ { 0 } } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } e ^ { - \frac { ( t - Q ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } - \frac { ( x - t - Q _ { 0 } ) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { 0 } ^ { 2 } } } H ( t ) d t } \end{array}
r _ { \mathbb { R } } ^ { i } = \frac { m i n ( \lambda _ { i + 1 } - \lambda _ { i } , \lambda _ { i } - \lambda _ { i - 1 } ) } { m a x ( \lambda _ { i + 1 } - \lambda _ { i } , \lambda _ { i } - \lambda _ { i - 1 } ) }
2 N \theta _ { 1 } ^ { \prime } ( \lambda _ { j } ) ( \lambda _ { j + 1 } - \lambda _ { j } ) = 2 \pi + [ \sum _ { l \neq 0 , j } \theta _ { 2 } ^ { \prime } ( \lambda _ { j } - \lambda _ { l } ) + \theta _ { 2 } ^ { \prime } ( \lambda _ { j } + \lambda _ { l } ) ] ( \lambda _ { j + 1 } - \lambda _ { j } ) .
{ \begin{array} { r l } { G ( s ) } & { \triangleq { \mathcal { F } } \{ g \} ( s ) = \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } g [ n ] \cdot e ^ { - i 2 \pi s n } \; , \quad s \in \mathbb { R } , } \\ { H ( s ) } & { \triangleq { \mathcal { F } } \{ h \} ( s ) = \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } h [ n ] \cdot e ^ { - i 2 \pi s n } \; , \quad s \in \mathbb { R } . } \end{array} }
\overline { { \mathrm { P _ { r a d } } } } \simeq \overline { { \mathcal { E } _ { \gamma } } } / ( \sqrt { 2 } \sigma _ { z } / c ) = 0 . 3 3 ( \alpha m c ^ { 2 } / \tau _ { c } ) \chi _ { e \, m a x } ^ { 2 / 3 }
\dot { \alpha } _ { ( 0 ) } ^ { \prime } - \dot { \gamma } _ { ( 0 ) } \alpha _ { ( 0 ) } ^ { \prime } - \dot { \alpha } _ { ( 0 ) } ( \beta _ { ( 0 ) } ^ { \prime } - \alpha _ { ( 0 ) } ^ { \prime } ) = - \frac { 1 } { 3 } \dot { \phi } _ { ( 0 ) } \phi _ { ( 0 ) } ^ { \prime } ,
\begin{array} { r l } { \left[ K ^ { - 1 } + V + \delta V \right] ^ { - 1 } } & { = \left( I + \delta V A \right) ^ { - 1 } A } \\ & { = \left( I - \delta V A + ( \delta V A ) ^ { 2 } \right) A + \mathcal { O } ( \delta V ^ { 3 } ) } \\ & { = \left( I - \delta V A + \delta V A \delta V A \right) A + \mathcal { O } ( \delta V ^ { 3 } ) } \\ & { = A - A \delta V A + A \delta V A \delta V A + \mathcal { O } ( \delta V ^ { 3 } ) . } \end{array}
{ \frac { \mathrm { d } \Gamma _ { 8 8 } } { \mathrm { d } x } } \bigg | _ { \mathrm { s i n g . } } = \Gamma _ { 0 } \, { \frac { C _ { 8 } ^ { 2 } } { 9 C _ { 7 } ^ { 2 } } } \, { \frac { \alpha _ { s } \, C _ { F } } { 2 \pi } } \, { \frac { 1 + ( 1 - x ) ^ { 2 } } { x } } \, \log { \frac { 1 } { r } } \, .
\operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \rightarrow 0 } \mu _ { \varepsilon } \left( f \right) = \mu _ { S _ { 0 } } \left( f \circ \Phi _ { 0 } ^ { \cdot } \right) = \int _ { \mathcal { M } } \mu _ { R _ { 0 } } \left( d x \right) \int _ { 0 } ^ { \tau _ { 0 } \left( x \right) } d s \frac { 1 } { \mu _ { R _ { 0 } } \left[ \tau _ { 0 } \right] } f \circ \Phi _ { 0 } ^ { s } \left( x \right) \ ,
{ \frac { - \hbar ^ { 2 } } { 2 m } } \nabla \cdot \left( i \mathbf { k } e ^ { i \mathbf { k } \cdot \mathbf { x } } u _ { \mathbf { k } } ( \mathbf { x } ) + e ^ { i \mathbf { k } \cdot \mathbf { x } } \nabla u _ { \mathbf { k } } ( \mathbf { x } ) \right) + U ( \mathbf { x } ) e ^ { i \mathbf { k } \cdot \mathbf { x } } u _ { \mathbf { k } } ( \mathbf { x } ) = E _ { \mathbf { k } } e ^ { i \mathbf { k } \cdot \mathbf { x } } u _ { \mathbf { k } } ( \mathbf { x } )
N _ { \mathrm { 3 D } } = \left( \frac { m } { 2 k _ { B } T } \right) ^ { 3 / 2 } \frac { \Gamma \left( \frac { 1 } { q - 1 } \right) } { \Gamma \left( \frac { 1 } { q - 1 } - \frac { 3 } { 2 } \right) } \left( \frac { q - 1 } { \pi } \right) ^ { 3 / 2 } .
A ( p _ { 1 } ^ { 2 } , p _ { 1 } ^ { 2 } , p _ { 2 } ^ { 2 } , q ^ { 2 } , q ^ { 2 } , \kappa ^ { 2 } ) = \int \frac { d s _ { 1 } } { s _ { 1 } - p _ { 1 } ^ { 2 } } \frac { d s _ { 1 } ^ { \prime } } { s _ { 1 } ^ { \prime } - p _ { 1 } ^ { 2 } } \tilde { A } ( s _ { 1 } , s _ { 1 } ^ { \prime } , p _ { 2 } ^ { 2 } , q ^ { 2 } , q ^ { 2 } , \kappa ^ { 2 } ) .
x ( t ) = x _ { 0 } \cdot e ^ { k t } = x _ { 0 } \cdot e ^ { t / \tau } = x _ { 0 } \cdot 2 ^ { t / T } = x _ { 0 } \cdot \left( 1 + { \frac { r } { 1 0 0 } } \right) ^ { t / p } ,
\mathrm { t a n } \; \delta _ { l } ( E , R ) = \frac { \kappa j ^ { \prime } ( \kappa R ) - \gamma _ { l } ( R ) j _ { l } ( \kappa R ) } { \kappa y ^ { \prime } ( \kappa R ) - \gamma _ { l } ( R ) y _ { l } ( \kappa R ) } ,
D _ { \mathrm { t h } } \left( g _ { 0 0 } ^ { 2 } , \ln { \frac { \Lambda ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } } } \right) = b _ { 0 } + b _ { 1 } g _ { 0 0 } ^ { 2 } + b _ { 2 } g _ { 0 0 } ^ { 4 } + b _ { 3 } g _ { 0 0 } ^ { 6 } + \cdots
\begin{array} { r l } { \langle \hat { x } \rangle } & { = \langle \hat { q } - q _ { t } \rangle = \langle \hat { q } \rangle - q _ { t } = 0 , } \\ { \langle \hat { x } \otimes \hat { x } ^ { T } \rangle } & { = \langle ( \hat { q } - q _ { t } ) \otimes ( \hat { q } - q _ { t } ) ^ { T } \rangle = \operatorname { C o v } ( \hat { q } ) } \end{array}