harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\hat { \mathbf { F } } _ { i + \frac { 1 } { 2 } } = \mathbf { f } _ { H L L C } \left\{ \mathbf { P } _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ^ { L } , \mathbf { P } _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ^ { R } , ( \hat { \xi } _ { t } ) _ { i + \frac { 1 } { 2 } } , ( \hat { \xi } _ { x } ) _ { i + \frac { 1 } { 2 } } , ( \hat { \xi } _ { y } ) _ { i + \frac { 1 } { 2 } } , ( \hat { \xi } _ { z } ) _ { i + \frac { 1 } { 2 } } \right\}
\mathcal { L } ( \theta ) = \frac { 1 } { { { N _ { c } } } } { \sum _ { i = 1 } ^ { { N _ { c } } } { \left[ { \hat { f } ( x _ { i } ^ { c } ; \theta ) } \right] } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { { { N _ { D } } } } { \sum _ { i = 1 } ^ { { N _ { D } } } { \left[ { \hat { h } \left( { x _ { i } ^ { D } ; \theta } \right) - g _ { i } ^ { * } } \right] } ^ { 2 } } .
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { P _ { J } ( w _ { n + 1 } \vert w _ { E } ) } & { \propto \exp \left[ - \left\vert \frac { w _ { E } - w _ { n + 1 } } { w _ { E } c _ { E } } \right\vert ^ { \gamma } \right. } \\ & { \left. - \log ( 1 + n ) \left( \frac { \rho _ { n } ( w _ { n + 1 } ) \Delta w } { c _ { \rho } } \right) \right] , } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { \mathrm { S W } } = \ } & { { } e ^ { - i \delta t } \hbar \eta \Omega \hat { S } _ { + } e ^ { i \tilde { \phi } } ( \hat { a } e ^ { - i \omega _ { z } t } + \hat { a } ^ { \dagger } e ^ { i \omega _ { z } t } ) \cos \left( \Delta \phi / 2 \right) } \end{array}
( \rho , u _ { x } , p ) = \left\{ \begin{array} { l l } { ( 1 , 0 , 1 0 0 0 ) , } & { 0 \leq x < 0 . 5 , } \\ { ( 1 , 0 , 0 . 0 1 ) , } & { 0 . 5 \leq x \leq 1 . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \mathcal { O } ( \log { n } ) = \Vert \mathcal { C } _ { n } ^ { - 1 } ( f ) \Delta _ { n } \Vert _ { F } } & { \leq \frac { 1 } { 2 } \Vert \mathcal { C } _ { n } ^ { - 1 } ( f ) \Delta _ { n } + \Delta _ { n } ^ { H } \mathcal { C } _ { n } ^ { - 1 } ( \bar { f } ) \Vert _ { F } } \\ & { \phantom { h s p a c e { 2 p c } } + \frac { 1 } { 2 } \Vert \mathcal { C } _ { n } ^ { - 1 } ( f ) \Delta _ { n } - \Delta _ { n } ^ { H } \mathcal { C } _ { n } ^ { - 1 } ( \bar { f } ) \Vert _ { F } . } \end{array}
\mathrm { s _ { A } \mathrm { z _ { A } \mathrm { \overline { { s } } _ { B } \mathrm { \overline { { z } } _ { B } ( \mathrm { x _ { A } \mathrm { y _ { A } ^ { 2 } \mathrm { \overline { { x } } _ { B } - \mathrm { x _ { A } ^ { 2 } \mathrm { y _ { A } \mathrm { \overline { { y } } _ { B } ) + \mathrm { s _ { A } \mathrm { z _ { A } \mathrm { \overline { { s } } _ { B } \mathrm { \overline { { z } } _ { B } ( \mathrm { y _ { A } \mathrm { x _ { B } ^ { 2 } \mathrm { \overline { { y } } _ { B } - x A \mathrm { \overline { { x } } _ { B } \mathrm { y _ { B } ^ { 2 } ) } } } } } } } } } } } } } } } } } } }
\begin{array} { r l r } { < T _ { \mathbb K , \rho } f , f > } & { = } & { \int _ { \pmb X } \left( \int _ { \pmb X } \sum _ { n \geq 1 } \lambda _ { n } \varphi _ { n } ( x ) \varphi _ { n } ( y ) \cdot \sum _ { k \geq m } \alpha _ { k } \varphi _ { k } ( y ) \frac { P ( y ) } { \rho ( y ) } d \rho ( y ) \right) \sum _ { j \geq m } \alpha _ { j } \varphi _ { j } ( x ) \frac { P ( x ) } { \rho ( x ) } d \rho ( x ) } \\ & { = } & { \int _ { \pmb X } \left( \sum _ { n \geq 1 , k \geq m } \varphi _ { n } ( x ) \int _ { \pmb X } \lambda _ { n } \cdot \alpha _ { k } \, \varphi _ { n } ( y ) \varphi _ { k } ( y ) d P ( y ) \right) \sum _ { j \geq m } \alpha _ { j } \varphi _ { j } ( x ) \frac { P ( x ) } { \rho ( x ) } d \rho ( x ) } \\ & { = } & { \int _ { \pmb X } \sum _ { k \geq m } \lambda _ { k } \cdot \alpha _ { k } \, \varphi _ { k } ( x ) \sum _ { j \geq m } \alpha _ { j } \varphi _ { j } ( x ) d P ( x ) } \\ & { = } & { \sum _ { k \geq m } \lambda _ { k } \cdot \alpha _ { k } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A ( t ) } & { = A ( 0 ) e ^ { \frac { 2 - d } { 4 } \left[ \log \left( 2 h ( t ) - \cos ( \xi ( t ) ) \sqrt { 4 h ( t ) ^ { 2 } - 1 } \right) - \log \left( 2 h ( 0 ) - \cos ( \xi ( 0 ) ) \sqrt { 4 h ( 0 ) ^ { 2 } - 1 } \right) \right] } } \\ & { = C \left( 2 h ( 0 ) - \cos ( \xi ( 0 ) - 4 t ) \sqrt { 4 h ( 0 ) ^ { 2 } - 1 } \right) ^ { \frac { 2 - d } { 4 } } , } \end{array}
{ \mathbf { k } } _ { \mathrm { u } } ^ { d } ( B ) - { \mathbf { k } } _ { \mathrm { c , u } } ^ { d } ( B ) + \sum _ { \substack { \sigma \in { \mathcal { L } } _ { + } \, \sigma \neq \sigma _ { 0 } } } { \mathbf { k } } _ { \mathrm { u } } ^ { d } ( B _ { \sigma } ) = \sum _ { \sigma \in { \mathcal { L } } _ { + } } { \mathbf { k } } _ { \mathrm { u } } ^ { d } ( B _ { \sigma } ) = \sum _ { \sigma \in { \mathcal { L } } _ { - } } { \mathbf { k } } _ { \mathrm { u } } ^ { d } ( B _ { \sigma } ) .
\begin{array} { r } { A _ { B } = \frac { 3 R _ { p } ^ { 2 } \left( R _ { p } \cosh \left( \frac { R _ { p } } { \sqrt { k } } \right) - \sqrt { k } \sinh \left( \frac { R _ { p } } { \sqrt { k } } \right) \right) } { 6 k ^ { 3 / 2 } \sinh \left( \frac { R _ { p } } { \sqrt { k } } \right) - 6 k R _ { p } \cosh \left( \frac { R _ { p } } { \sqrt { k } } \right) - 4 R _ { p } ^ { 3 } \cosh \left( \frac { R _ { p } } { \sqrt { k } } \right) } } \\ { B _ { B } = \frac { 6 k R _ { p } \cosh \left( \frac { R _ { p } } { \sqrt { k } } \right) + R _ { p } ^ { 3 } \cosh \left( \frac { R _ { p } } { \sqrt { k } } \right) - 6 k ^ { 3 / 2 } \sinh \left( \frac { R _ { p } } { \sqrt { k } } \right) - 3 \sqrt { k } R _ { p } ^ { 2 } \sinh \left( \frac { R _ { p } } { \sqrt { k } } \right) } { 1 2 k ^ { 3 / 2 } \sinh \left( \frac { R _ { p } } { \sqrt { k } } \right) - 1 2 k R _ { p } \cosh \left( \frac { R _ { p } } { \sqrt { k } } \right) - 8 R _ { p } ^ { 3 } \cosh \left( \frac { R _ { p } } { \sqrt { k } } \right) } } \end{array}
\overline { { \omega } } = \frac { p _ { \mathrm { t } 1 , \mathrm { r e f } } - p _ { \mathrm { t } } ( \overline { { \rho } } , \overline { { u } } , \overline { { v } } , \overline { { w } } , \overline { { p } } ) } { p _ { \mathrm { t } 1 , \mathrm { r e f } } - p _ { 2 , \mathrm { r e f } } } ,
\frac { \varepsilon _ { g } ( x _ { 1 } + s _ { n } ) } { g ( x _ { 1 } + s _ { n } ) } = \frac { \sin { \frac { x _ { 1 } + \widetilde { x } _ { 1 } } { 2 } } \sin { \frac { - \varepsilon _ { 1 } } { 2 } } } { \sin { \left( x _ { 1 } + \frac { s _ { n } } { 2 } \right) } \sin { \frac { s _ { n } } { 2 } } } \sum _ { i = 0 } ^ { m - 1 } \left( \frac { \sin { \frac { x _ { 1 } + s _ { n } + \widetilde { x } _ { 1 } } { 2 } } \sin { \frac { s _ { n } - \varepsilon _ { 1 } } { 2 } } } { \sin { \left( x _ { 1 } + \frac { s _ { n } } { 2 } \right) } \sin { \frac { s _ { n } } { 2 } } } \right) ^ { i } .
\bigg | { \frac { { \cal A } _ { n e w } } { { \cal A } _ { S M } } } \bigg | \simeq 1 0 ^ { - 5 } A ^ { \prime } { \frac { \cos ^ { 1 0 / 3 } \beta } { \sin ^ { 1 4 / 3 } \beta } } { \frac { I m [ ( V _ { L } N _ { U } ^ { \dagger } ) _ { s t } ( N _ { u } V _ { L } ^ { \dagger } ) _ { t d } ] } { m _ { b } ^ { 2 } } }
B _ { 1 } = F _ { 1 } b a ^ { - 1 } - \lambda _ { 1 3 } , \quad B _ { 2 } = F _ { 1 } b - \lambda _ { 1 3 } a , \quad B _ { 3 } = ( F _ { 1 } a + F _ { 2 } c ) b - \lambda _ { 1 3 } a ^ { 2 } ,
H _ { \mathrm { 2 D , e d g e } } ^ { \pm } = \hat { P } _ { \pm } H _ { g , \mathrm { 2 D } } \hat { P } _ { \pm } = t _ { 1 } \cos k _ { y } \pm i ( g + t _ { 2 } ^ { \prime } \sin k _ { y } )
\frac { Y _ { \mathrm { E L } } } { N } = \int _ { \lambda _ { 1 } } ^ { \lambda _ { 2 } } \! \! \! \int _ { h \nu } ^ { \infty } \! \! \frac { \sqrt { 2 \varepsilon / m } } { v _ { d } } \frac { d \sigma } { d \nu } \frac { d \nu } { d \lambda } \, f ( \varepsilon ) \, d \varepsilon \, d \lambda \; ,
\Gamma _ { 3 } ^ { U V } = \frac { \lambda ^ { 3 } } { 6 4 \pi ^ { 3 } } \frac { M ^ { 2 \epsilon } } { 2 \epsilon } \simeq \frac { 1 } { 6 4 \pi ^ { 3 } } \left[ \frac { 1 } { 2 \epsilon } + \mathrm { l n } \left( M \right) \right] ,
\begin{array} { r l } { \Theta _ { V } [ f ] ( x , k , t ) } & { \approx \Theta _ { V } ^ { T } [ f _ { N _ { k } } ] ( x , k , t ) = \sum _ { \nu = - N _ { k } / 2 + 1 } ^ { N _ { k } / 2 } c _ { \nu } ( x ) \, \alpha _ { \nu } ( x , t ) \, \psi _ { \nu } ( k ) , } \\ { c _ { \nu } ( x ) } & { = \int _ { \mathcal { K ^ { \prime } } } V _ { w } ( x , k ^ { \prime } ) \, \mathrm { e } ^ { - 2 \pi \mathrm { i } \nu k ^ { \prime } / L _ { k } } \, \mathrm { d } k ^ { \prime } , \quad \mathcal { K ^ { \prime } } = [ - L _ { k } , \, L _ { k } ] . } \end{array}
p _ { m , k , l } ^ { ( q ) } \left( | h _ { m , k } | ^ { 2 } , | h _ { m , k } ^ { J } | ^ { 2 } \right) = \frac { \left( 2 ^ { r _ { l } } - 1 \right) \ln \left( \frac { \beta _ { 1 } } { \varrho _ { 0 } ^ { ( q ) } } \right) \left( p _ { k } ^ { J } | h _ { m , k } ^ { J } | ^ { 2 } + \sigma ^ { 2 } \right) } { \beta _ { 2 } \left| h _ { m , k } \right| ^ { 2 } } .
U _ { P } ^ { + } = y ^ { + } + \Im \left( \frac { P ^ { + } } { \pi } \left( 1 - \gamma _ { M a } ^ { + } \right) \operatorname { a r c c o s } \left( \frac { \cos \left( \displaystyle \frac { \pi \theta ^ { + } } { P ^ { + } } \right) } { \cos \left( \displaystyle \frac { \pi \phi } { 2 } \right) } \right) - \theta ^ { + } \right) ,
i \frac { \partial } { \partial t } \mathbf { P } ^ { \mathrm { ~ n ~ } } = \left[ \mathbf { F } ^ { \mathrm { ~ n ~ } } + \sum _ { k , \lambda } \varepsilon _ { k , \lambda } q _ { k , \lambda } \hat { \mu } _ { \lambda } ^ { \mathrm { ~ n ~ } } , \ \mathbf { P } ^ { \mathrm { ~ n ~ } } \right]
\sum _ { p = 1 } ^ { s } \xi _ { p } = \ln \prod _ { p = 1 } ^ { s } { \frac { \delta _ { p } } { \left( 1 - \delta _ { p + 1 } \right) x _ { p } x _ { p - 1 } } } = \ln \prod _ { p = 1 } ^ { s } { \frac { \delta _ { p } } { \left( 1 - \delta _ { p } \right) x _ { p - 1 } ^ { 2 } } } + \ln { \frac { x _ { 0 } } { x _ { s } } } + \ln { \frac { 1 - \delta _ { 1 } } { 1 - \delta _ { s + 1 } } }
\delta M ^ { \prime } = \frac { 1 } { N _ { 1 1 } ^ { * 2 } } ( \delta M _ { 1 } ^ { 0 } - \sum _ { \alpha \ \mathrm { o r } \ \beta \neq 1 } N _ { 1 \alpha } ^ { * } \delta { \cal M } _ { \alpha \beta } ^ { 0 } N _ { 1 \beta } ^ { * } ) \, \, ,
\begin{array} { r l } { \{ \mathbf { T } _ { \boldsymbol { x } , i , j } ^ { k } \} _ { i = 1 } ^ { C } } & { = \operatorname { C o o r d T o L a t e n t } \left( \{ \mathbf { T } _ { i } ^ { k } \} _ { i = 1 } ^ { C } , \{ \boldsymbol { x } ^ { k } ( \mathbf { s } ) \} _ { \mathbf { s } \in \mathcal { D } _ { j } ^ { k } } \right) } \\ { \{ \mathbf { T } _ { \boldsymbol { y } , i , j } ^ { k } \} _ { i = 1 } ^ { C } } & { = \operatorname { S o l v e } \left( \{ \mathbf { T } _ { \boldsymbol { x } , i , j } ^ { k } \} _ { i = 1 } ^ { C } \right) } \\ { \{ \boldsymbol { { \widehat { y } } } ^ { k } ( \mathbf { s } ) \} _ { \mathbf { s } \in \mathcal { D } _ { j } ^ { k } } } & { = \operatorname { L a t e n t T o C o o r d } \left( \{ \boldsymbol { x } ^ { k } ( \mathbf { s } ) \} _ { \mathbf { s } \in \mathcal { D } _ { j } ^ { k } } , \{ \mathbf { T } _ { \boldsymbol { y } , i , j } ^ { k } \} _ { i = 1 } ^ { C } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { f _ { 0 } ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { - \sqrt { \frac { 2 n \Lambda } { n + 1 } } \cot \left[ \left( \sqrt { \frac { ( n + 1 ) \Lambda } { 2 n } } - \varepsilon _ { 0 } \right) r _ { - } ( x ) \right] } & { 0 < r _ { - } ( x ) \le \frac { \pi } { 2 } \left( \sqrt { \frac { ( n + 1 ) \Lambda } { 2 n } } - \varepsilon _ { 0 } \right) ^ { - 1 } } \\ { \sqrt { \frac { 2 n \Lambda } { n + 1 } } \cot \left[ \left( \sqrt { \frac { ( n + 1 ) \Lambda } { 2 n } } - \varepsilon _ { 0 } \right) r _ { + } ( x ) \right] } & { 0 < r _ { + } ( x ) \le \frac { \pi } { 2 } \left( \sqrt { \frac { ( n + 1 ) \Lambda } { 2 n } } - \varepsilon _ { 0 } \right) ^ { - 1 } } \\ { 0 } & { \mathrm { e l s e w h e r e } } \end{array} \right. . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \boldsymbol { p } _ { N } | V ( \boldsymbol { r } ) | \Psi _ { 0 } \rangle } & { { } = - \frac { 2 ^ { \frac { 3 } { 2 } } I _ { p } ^ { \frac { 5 } { 4 } } } { \pi } \frac { 1 } { \frac { \boldsymbol { p } _ { N } ^ { 2 } } { 2 } + I _ { p } } , } \\ { \langle \boldsymbol { p } _ { N } | \Psi _ { 0 } \rangle } & { { } = \frac { 2 I _ { p } ^ { \frac { 5 } { 4 } } } { \pi \sqrt { 2 } } \frac { 1 } { \left( \frac { \boldsymbol { p } _ { N } ^ { 2 } } { 2 } + I _ { p } \right) ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { m _ { \mathbf { p } + } ^ { ( 0 ) } } & { = } & { - \frac { i \left( 2 I _ { p } \right) ^ { 1 / 4 } } { 4 \pi ^ { 2 } } \int d ^ { 3 } \mathbf { r } d \eta \, { \cal S } ( \eta ) \, { \cal P } _ { + } \frac { \mathbf { r } \cdot \mathbf { E } ( \eta ) } { r } } \\ & { \times } & { \exp \left\{ - i \left[ \mathbf { p } + \mathbf { A } ( \eta ) + \frac { c ^ { 2 } - I _ { p } - \varepsilon } { c } \hat { \mathbf { k } } \right] \cdot \mathbf { r } \right. } \\ & { } & { - i \left. \int _ { \eta } d s \left[ \tilde { \varepsilon } + \frac { \mathbf { p } \cdot \mathbf { A } ( s ) + A ( s ) ^ { 2 } / 2 } { \tilde { \Lambda } } \right] + i ( I _ { p } - c ^ { 2 } ) \eta - \kappa r \right\} } \end{array}
\begin{array} { r } { { S _ { \alpha \beta } ^ { t h } = - \frac { 4 e ^ { 2 } } { h } \int d E [ T _ { \alpha \beta } f _ { \beta } ( 1 - f _ { \beta } ) + T _ { \beta \alpha } f _ { \alpha } ( 1 - f _ { \alpha } ) ] } , } \\ { { S _ { \alpha \beta } ^ { s h } = - \frac { 4 e ^ { 2 } } { h } \sum _ { \gamma , \delta } \int d E ( f _ { \gamma } - f _ { a } ) ( f _ { \delta } - f _ { b } ) T r ( s _ { \alpha \gamma } ^ { \dagger } s _ { \alpha \delta } s _ { \beta \delta } ^ { \dagger } s _ { \beta \gamma } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { A _ { 0 t } } & { { } = } & { \frac { \phi _ { 0 t } } { c } = A _ { 0 i } , } \\ { A _ { 0 r } } & { { } = } & { \frac { \phi _ { 0 r } } { c } = 0 , } \\ { \overline { { A } } _ { 0 r } } & { { } = } & { \overline { { A } } _ { 0 i } \frac { \cos \theta _ { i } - \sqrt { n ^ { 2 } - \sin ^ { 2 } \theta _ { i } } } { \cos \theta _ { i } + \sqrt { n ^ { 2 } - \sin ^ { 2 } \theta _ { i } } } , } \\ { \overline { { A } } _ { 0 t } } & { { } = } & { \overline { { A } } _ { 0 i } \frac { 2 \cos \theta _ { i } } { \cos \theta _ { i } + \sqrt { n ^ { 2 } - \sin ^ { 2 } \theta _ { i } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \cal L \ = } } & { { \! \displaystyle \sum _ { f = u p - t y p e } { \frac { \sqrt { 2 } } { v } } \ \left( s _ { w } \, \epsilon _ { f B } - c _ { w } \, \epsilon _ { f W } \right) \, \bar { f } \, \sigma ^ { \mu \nu } \, f \, \partial _ { \nu } \, Z _ { \mu } } } \\ { { + } } & { { \! \displaystyle \sum _ { f = u p - t y p e } { \frac { \sqrt { 2 } } { v } } \ \left( s _ { w } \, \tilde { \epsilon } _ { f B } - c _ { w } \, \tilde { \epsilon } _ { f W } \right) \, \bar { f } \, \sigma ^ { \mu \nu } \, i \, \gamma _ { 5 } \, f \, \partial _ { \nu } \, Z _ { \mu } } } \\ { { + } } & { { \! \displaystyle \sum _ { f = d o w n - t y p e } { \frac { \sqrt { 2 } } { v } } \ \left( s _ { w } \, \epsilon _ { f B } + c _ { w } \, \epsilon _ { f W } \right) \, \bar { f } \, \sigma ^ { \mu \nu } \, f \, \partial _ { \nu } \, Z _ { \mu } } } \\ { { + } } & { { \! \displaystyle \sum _ { f = d o w n - t y p e } { \frac { \sqrt { 2 } } { v } } \ \left( s _ { w } \, \tilde { \epsilon } _ { f B } + c _ { w } \, \tilde { \epsilon } _ { f W } \right) \, \bar { f } \, \sigma ^ { \mu \nu } \, i \, \gamma _ { 5 } \, f \, \partial _ { \nu } \, Z _ { \mu } \ + \cdots \ . } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \rho _ { 1 } ^ { \prime } = \frac { 1 } { N _ { 1 } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { 1 } } \frac { 1 + \sigma _ { i } } { 2 } } \\ & { \rho _ { 2 } ^ { \prime } = \frac { 1 } { N _ { 2 } } \sum _ { i = N _ { 1 } + 1 } ^ { N } \frac { 1 + \sigma _ { i } } { 2 } } \\ & { b _ { 1 1 } ^ { + - } = \frac { 1 } { N _ { 1 } z _ { 1 1 } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { 1 } } \; \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { 1 } } A _ { i j } \frac { 1 - \sigma _ { i } + \sigma _ { j } - \sigma _ { i } \sigma _ { j } } { 4 } } \\ & { b _ { 2 2 } ^ { + - } = \frac { 1 } { N _ { 2 } z _ { 2 2 } } \sum _ { i = N _ { 1 } + 1 } ^ { N } \; \sum _ { j = N _ { 1 } + 1 } ^ { N } A _ { i j } \frac { 1 - \sigma _ { i } + \sigma _ { j } - \sigma _ { i } \sigma _ { j } } { 4 } } \\ & { b _ { 1 2 } ^ { - + } = \frac { 1 } { N _ { 1 } z _ { 1 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { 1 } } \sum _ { j = N _ { 1 } + 1 } ^ { N } A _ { i j } \frac { 1 - \sigma _ { i } + \sigma _ { j } - \sigma _ { i } \sigma _ { j } } { 4 } } \\ & { b _ { 1 2 } ^ { + - } = \frac { 1 } { N _ { 1 } z _ { 1 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { 1 } } \sum _ { j = N _ { 1 } + 1 } ^ { N } A _ { i j } \frac { 1 + \sigma _ { i } - \sigma _ { j } - \sigma _ { i } \sigma _ { j } } { 4 } } \end{array}
_ { z } \mathcal { D } _ { b } ^ { \beta } g ( z ) = \frac { 1 } { \Gamma ( n - \beta ) } ( - D _ { \mathbf { F } } ^ { \alpha } ) ^ { n } \int _ { z } ^ { b } \frac { g ( \tau ) } { ( S _ { \mathbf { F } } ^ { \alpha } ( \tau ) - S _ { \mathbf { F } } ^ { \alpha } ( z ) ) ^ { - n + \beta + 1 } } d _ { \mathbf { F } } ^ { \alpha } \tau , ~ ~ ~ g \in C ^ { n } ( \mathbf { F } ) ,
\begin{array} { r l r } { h ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) - h ^ { \prime } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } & { = } & { - f ( [ x _ { 1 } , x _ { 2 } ] ) + [ x _ { 1 } , f ( x _ { 2 } ) ] + [ f ( x _ { 1 } ) , x _ { 2 } ] } \\ & { = } & { - f ( [ x _ { 1 } , x _ { 2 } ] ) + [ x _ { 1 } , f ( x _ { 2 } ) ] - ( - 1 ) ^ { x _ { 1 } x _ { 2 } } [ x _ { 2 } , f ( x _ { 1 } ) ] } \\ & { = } & { \delta ^ { 1 } ( f ) ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { z _ { j } } & { { } \equiv } & { \mathrm { e } ^ { i \theta _ { j } ( t ^ { \prime } ) } } \\ { \tilde { z } _ { j } } & { { } \equiv } & { \mathrm { e } ^ { i \theta _ { j } ( \tilde { t } ) } } \end{array}
\frac { \partial b } { \partial t } + \mathbf { u } \cdot \nabla b = \frac { 1 } { \sqrt { \Pi _ { s } \Pi _ { h } } } \nabla ^ { 2 } b - \frac { \cos \alpha } { \Pi _ { s } } \mathbf { g } \cdot \mathbf { u } .
\begin{array} { r c l } { { \delta C } } & { { = } } & { { \left( \Lambda ^ { ( \cdot ) } + m \lambda \right) e ^ { B } \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { G } } & { { = } } & { { d C - d B C + \frac { m } { 2 } e ^ { B } \, . } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { a < { p _ { \mathrm { s } } } } : = \sum _ { a _ { 1 } = 0 } ^ { { p _ { \mathrm { s } } } - 1 } \sum _ { a _ { 2 } = 0 } ^ { { p _ { \mathrm { s } } } - 1 } \sum _ { a _ { 3 } = 0 } ^ { { p _ { \mathrm { s } } } - 1 } , \quad \ell _ { a } ( \boldsymbol { \xi } ) : = \ell _ { a _ { 1 } } ( \xi _ { 1 } ) \ell _ { a _ { 2 } } ( \xi _ { 2 } ) \ell _ { a _ { 3 } } ( \xi _ { 3 } ) , \quad \boldsymbol { \omega } _ { a } ^ { p _ { \mathrm { s } } } : = \left( \omega _ { a _ { 1 } } ^ { p _ { \mathrm { s } } } , \omega _ { a _ { 2 } } ^ { p _ { \mathrm { s } } } , \omega _ { a _ { 3 } } ^ { p _ { \mathrm { s } } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \psi _ { 1 s } ^ { ( 2 ) } ( \mathbf { r } , t ) } & { = } & { \sum _ { k = 1 , m } \frac { \alpha _ { 0 k } ^ { 2 } \omega _ { k } ^ { 2 } } { 4 } \sum _ { j , l = 1 } ^ { 3 } \left[ \varepsilon _ { k j } \varepsilon _ { k l } \; w _ { j l , 1 0 0 } ( \Omega _ { k } ^ { \prime \, + } , \Omega _ { k } ^ { + } ; \mathbf { r } ) e ^ { - 2 i \omega _ { k } t } + \varepsilon _ { k j } ^ { * } \varepsilon _ { k l } ^ { * } \; w _ { j l , 1 0 0 } ( \Omega _ { k } ^ { \prime \, - } , \Omega _ { k } ^ { - } ; \mathbf { r } ) e ^ { 2 i \omega _ { k } t } \right. } \\ & { } & { \left. + \varepsilon _ { k j } \varepsilon _ { k l } ^ { * } \; \widetilde w _ { j l , 1 0 0 } ( E _ { 1 s } , \Omega _ { k } ^ { - } ; \mathbf { r } ) + \varepsilon _ { k j } ^ { * } \varepsilon _ { k l } \; \widetilde w _ { j l , 1 0 0 } ( E _ { 1 s } , \Omega _ { k } ^ { + } ; \mathbf { r } ) \right] } \\ & { } & { + \frac { \alpha _ { 0 1 } \alpha _ { 0 m } \omega _ { 1 } \omega _ { m } } { 4 } \sum _ { j , l = 1 } ^ { 3 } \left\{ \varepsilon _ { 1 j } \varepsilon _ { m l } [ w _ { l j , 1 0 0 } ( \Omega ^ { \prime \, + } , \Omega _ { 1 } ^ { + } ; \mathbf { r } ) + w _ { j l , 1 0 0 } ( \Omega ^ { \prime \, + } , \Omega _ { m } ^ { + } ; \mathbf { r } ) ] e ^ { - i ( \omega _ { 1 } + \omega _ { m } ) t } \right. } \\ & { } & { + \varepsilon _ { 1 j } ^ { * } \varepsilon _ { m l } ^ { * } [ w _ { l j , 1 0 0 } ( \Omega ^ { \prime \, - } , \Omega _ { 1 } ^ { - } ; \mathbf { r } ) + w _ { j l , 1 0 0 } ( \Omega ^ { \prime \, - } , \Omega _ { m } ^ { - } ; \mathbf { r } ) ] e ^ { i ( \omega _ { 1 } + \omega _ { m } ) t } } \\ & { } & { + \varepsilon _ { 1 j } \varepsilon _ { m l } ^ { * } [ w _ { l j , 1 0 0 } ( \Omega ^ { + } , \Omega _ { 1 } ^ { + } ; \mathbf { r } ) + w _ { j l , 1 0 0 } ( \Omega ^ { + } , \Omega _ { m } ^ { - } ; \mathbf { r } ) ] e ^ { - i ( \omega _ { 1 } - \omega _ { m } ) t } } \\ & { } & { \left. + \varepsilon _ { 1 j } ^ { * } \varepsilon _ { m l } [ w _ { l j , 1 0 0 } ( \Omega ^ { - } , \Omega _ { 1 } ^ { - } ; \mathbf { r } ) + w _ { j l , 1 0 0 } ( \Omega ^ { - } , \Omega _ { m } ^ { + } ; \mathbf { r } ) ] e ^ { i ( \omega _ { 1 } - \omega _ { m } ) t } \right\} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { D } _ { t t t t } } & { { } = 2 \alpha ^ { 2 } } \\ { \tilde { D } _ { t t t u } } & { { } = \tilde { D } _ { t t u t } = \tilde { D } _ { t u t t } = \tilde { D } _ { u t t t } = 2 \alpha \gamma } \\ { \tilde { D } _ { t t u u } } & { { } = \tilde { D } _ { u u t t } = \tilde { D } _ { u t t u } = \tilde { D } _ { t u u t } = 2 \gamma ^ { 2 } } \\ { \tilde { D } _ { t u t u } } & { { } = \tilde { D } _ { u t u t } = 2 \alpha \beta } \\ { \tilde { D } _ { t u u u } } & { { } = \tilde { D } _ { u t u u } = \tilde { D } _ { u u t u } = \tilde { D } _ { u u u t } = 2 \beta \gamma } \\ { \tilde { D } _ { u u u u } } & { { } = 2 \beta ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lefteqn { \le \operatorname* { s u p } _ { \partial B _ { R } } | \phi ^ { ( r ) } | \big ( \| g - \tilde { g } \| + \| f - \tilde { f } \| \big ) } } \\ & { + \operatorname* { s u p } _ { \bar { B } _ { R } } | \nabla \phi ^ { ( r ) } | \big ( W _ { 1 } ( \tilde { g } , \bar { g } ) + W _ { 1 } ( \tilde { f } , \bar { f } ) \big ) } \\ & { + \Big ( \int _ { \partial B _ { R } } ( \phi _ { r } ^ { ( r ) } - \phi ^ { ( r ) } ) ^ { 2 } \int _ { \partial B _ { R } } \bar { g } ^ { 2 } + \bar { f } ^ { 2 } \Big ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { Q } [ u , \theta , \eta ] } & { { } \geq \left[ \frac { \underline { { \alpha } } b } { 8 \mathrm { { R a } } } - a C \left( \left( \frac { 1 } { 1 } { { P r } } \left( \| u _ { 0 } \| _ { W ^ { 1 , r } } + \underline { { \alpha } } ^ { - 1 } \mathrm { { R a } } \right) \right) ^ { 2 } + \| \dot { \alpha } \| _ { \infty } ^ { 2 } + \| \dot { \kappa } \| _ { \infty } ^ { 2 } + 1 \right) \right] \left\langle \| u \| _ { H ^ { 1 } } ^ { 2 } \right\rangle } \end{array}
\delta h _ { \mathit { p i x e l } } \propto \frac { 2 \delta x _ { \mathit { p i x e l } } f ( 2 p + s ) } { s ( 2 \delta x _ { \mathit { p i x e l } } + s ) } \approx \frac { 2 \delta x _ { \mathit { p i x e l } } f ( 2 p + s ) } { s ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } & { { \boldsymbol \eta } ^ { \mathrm { m i n } } = \arg \operatorname* { m i n } _ { { \boldsymbol \eta } } \left\{ E ^ { ( 2 ) } ( { \bf R } , { \boldsymbol \eta } ) ~ \left\vert ~ \ \sum _ { I L } \eta _ { I L } \big \vert _ { l = 0 } = 0 \right. \right\} , } \\ & { \Delta \rho _ { \mathrm { m i n } } ( { \bf r } ) = \sum _ { I L } \eta _ { I L } ^ { \mathrm { m i n } } \phi _ { I L } ( { \bf r } ) . } \end{array}
g \langle 0 \vert \sum _ { q } \bar { q } \gamma _ { \alpha } ( 1 / 2 ) \lambda ^ { n } \tilde { G } _ { \alpha \beta } ^ { n } q \vert 0 \rangle _ { A } \equiv 3 h _ { 0 } A _ { \beta } , ~ ~ ~ q = u , d , s
\begin{array} { r l } { P } & { { } = s _ { 1 } s _ { 2 } = x _ { 0 } ^ { 2 } + x _ { 1 } ^ { 2 } + x _ { 2 } ^ { 2 } - ( x _ { 0 } x _ { 1 } + x _ { 1 } x _ { 2 } + x _ { 2 } x _ { 0 } ) , } \\ { S } & { { } = s _ { 1 } ^ { 3 } + s _ { 2 } ^ { 3 } = 2 ( x _ { 0 } ^ { 3 } + x _ { 1 } ^ { 3 } + x _ { 2 } ^ { 3 } ) - 3 ( x _ { 0 } ^ { 2 } x _ { 1 } + x _ { 1 } ^ { 2 } x _ { 2 } + x _ { 2 } ^ { 2 } x _ { 0 } + x _ { 0 } x _ { 1 } ^ { 2 } + x _ { 1 } x _ { 2 } ^ { 2 } + x _ { 2 } x _ { 0 } ^ { 2 } ) + 1 2 x _ { 0 } x _ { 1 } x _ { 2 } . } \end{array}