harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { | \mathrm { O u t p u t } \rangle } & { = } & { \hat { \mathcal { P } } ( \Delta \phi ) \hat { \mathcal { R } } _ { 1 } ^ { \prime } ( - \delta ) | \mathrm { I n p u t } \rangle } \\ & { = } & { \left( \begin{array} { c } { ( 1 + \cos ( \Delta \phi ) ) E _ { x } + \mathrm { e } ^ { - i \delta } \sin ( \Delta \phi ) E _ { y } } \\ { \sin ( \Delta \phi ) E _ { x } + ( 1 - \cos ( \Delta \phi ) ) \mathrm { e } ^ { - i \delta } E _ { y } } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal { F } _ { 6 } \big ( 2 4 p _ { 1 } ^ { 2 } p _ { 2 } ^ { 2 } \dots p _ { k } ^ { 2 } n + 3 p _ { 1 } ^ { 2 } p _ { 2 } ^ { 2 } \dots p _ { k } ^ { 2 } + 1 \big ) } \\ & { = \mathcal { F } _ { 6 } \left( 2 4 p _ { 1 } ^ { 2 } \left( p _ { 2 } ^ { 2 } \dots p _ { k } ^ { 2 } n + \frac { p _ { 2 } ^ { 2 } \dots p _ { k } ^ { 2 } - 1 } { 8 } \right) + 3 p _ { 1 } ^ { 2 } + 1 \right) } \\ & { \equiv \mathcal { F } _ { 6 } \left( 2 4 p _ { 2 } ^ { 2 } \dots p _ { k } ^ { 2 } n + 3 p _ { 2 } ^ { 2 } \dots p _ { k } ^ { 2 } + 1 \right) \pmod 2 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { r _ { 1 } } & { = c \left( \mathbb { E } [ \mathcal { N } ^ { ( 1 1 ) } ] \mathbb { E } \left[ \frac { 1 } { \mathcal { D } ^ { ( 1 ) } } \right] r _ { 1 } + \mathbb { E } [ \mathcal { N } ^ { ( 1 2 ) } ] \mathbb { E } \left[ \frac { 1 } { \mathcal { D } ^ { ( 2 ) } } \right] r _ { 2 } \right) + ( 1 - c ) s , } \\ { r _ { 2 } } & { = c \left( \mathbb { E } [ \mathcal { N } ^ { ( 2 1 ) } ] \mathbb { E } \left[ \frac { 1 } { \mathcal { D } ^ { ( 1 ) } } \right] r _ { 1 } + \mathbb { E } [ \mathcal { N } ^ { ( 2 2 ) } ] \mathbb { E } \left[ \frac { 1 } { \mathcal { D } ^ { ( 2 ) } } \right] r _ { 2 } \right) , } \end{array}
\tilde { \beta } = \frac { \int P \left( \mathbf { X ^ { ' } } \mid \mathbf { X } , \mathbf { Y } \right) d \mathbf { X ^ { ' } } } { \int P \left( \mathbf { Y } \mid \mathbf { X } , \mathbf { X ^ { ' } } \right) d \mathbf { X } d \mathbf { Y } }
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { 1 } ( t _ { 0 } ) - \mathcal { E } _ { 1 } ( t _ { 0 } - 1 ) } & { { } = \left( - \omega _ { 1 } - \frac { 2 } { \delta ^ { 2 } + 1 } \right) \partial _ { 0 } \mathcal { E } _ { 0 } ( t _ { 0 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Vert \widehat { g } _ { \alpha } - g _ { \alpha } \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } ^ { 2 } } & { \leq } & { T ^ { 2 } \Vert \widehat { g } _ { \alpha } ^ { \prime } - g _ { \alpha } ^ { \prime } \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } ^ { 2 } } \\ { \Vert \delta \phi ( \ell , . ) \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } ^ { 2 } } & { \leq } & { \frac { T ^ { 2 } \ell ^ { 3 } } { 6 } \Vert \delta \phi _ { x x t } \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( 0 , \ell ) ) } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma ^ { 2 } g _ { 1 } } & { { } = H _ { 1 } = H _ { 1 1 } + H _ { 1 2 } = 0 , } \\ { \sigma ^ { 2 } g _ { 2 } } & { { } = H _ { 2 } = H _ { 2 1 } + H _ { 2 2 } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { 1 } \frac { \partial t _ { n + 1 } } { \partial t _ { n } } = \; } & { 1 + \frac { \sigma ^ { 2 } } { t _ { n } ^ { 2 } } \Big ( \frac { t _ { n } ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } \, \mathrm { e x p } \big ( { \frac { t _ { n } ^ { 2 } - t _ { n - 1 } ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } \big ) - \mathrm { e x p } \big ( { \frac { t _ { n } ^ { 2 } - t _ { n - 1 } ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } \big ) + 1 \Big ) } \\ { = \; } & { 1 + \mathrm { e x p } \big ( { \frac { t _ { n } ^ { 2 } - t _ { n - 1 } ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } \big ) - \frac { \sigma ^ { 2 } } { t _ { n } ^ { 2 } } \Big ( \mathrm { e x p } \big ( { \frac { t _ { n } ^ { 2 } - t _ { n - 1 } ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } \big ) - 1 \Big ) . } \end{array}
m ( x , t ) = \int _ { 0 } ^ { + \infty } Q _ { t i m e } ( \tau ) \left( \int _ { y \in \Omega } Q _ { s p a c e } ( y ) i ( x - y , t - \tau ) \mathop { } \! \mathrm { d } y \right) \mathop { } \! \mathrm { d } \tau ,
\begin{array} { r l } { C } & { \ge \left[ \frac { \mathbb { E } [ S ] } { s _ { \operatorname* { m a x } } } H ( X ) - ( 1 - \alpha \delta ) H _ { b } \left( \frac { \mathbb { E } [ S ] } { ( 1 - \alpha \delta ) s _ { \operatorname* { m a x } } } \right) - \mathbb { E } [ S ] H ( X | Y ) \right] ^ { + } } \\ { C } & { \le \operatorname* { i n f } _ { n \ge 1 } \frac { 1 } { n } I ( { X } ^ { n } ; { Y } ^ { K _ { n } } , { A } ^ { n } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { D ( \prod _ { i = 1 } ^ { k } \alpha _ { i } ) } & { = } & { D ( \prod _ { i = 1 } ^ { k - 1 } \alpha _ { i } ) \tau ( \alpha _ { k } ) + \sigma ( \prod _ { i = 1 } ^ { k - 1 } \alpha _ { i } ) D ( \alpha _ { k } ) } \\ & { = } & { \left( \sum _ { i = 1 } ^ { k - 1 } \left( \prod _ { j = 1 } ^ { i - 1 } \sigma ( \alpha _ { j } ) \right) D ( \alpha _ { i } ) \left( \prod _ { j = i + 1 } ^ { k - 1 } \tau ( \alpha _ { j } ) \right) \right) \tau ( \alpha _ { k } ) + \sigma ( \prod _ { i = 1 } ^ { k - 1 } \alpha _ { i } ) D ( \alpha _ { k } ) } \\ & { = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { k - 1 } \left( \prod _ { j = 1 } ^ { i - 1 } \sigma ( \alpha _ { j } ) \right) D ( \alpha _ { i } ) \left( \prod _ { j = i + 1 } ^ { k } \tau ( \alpha _ { j } ) \right) + \sigma ( \prod _ { i = 1 } ^ { k - 1 } \alpha _ { i } ) D ( \alpha _ { k } ) } \\ & { = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { k } \left( \prod _ { j = 1 } ^ { i - 1 } \sigma ( \alpha _ { j } ) \right) D ( \alpha _ { i } ) \left( \prod _ { j = i + 1 } ^ { k } \tau ( \alpha _ { j } ) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { h ( \Omega , r , \alpha ) } & { = h ^ { ( 0 ) } + h ^ { ( 1 ) } \Omega + h ^ { ( 2 ) } \Omega ^ { 2 } + O ( \Omega ^ { 3 } ) } \\ & { = h _ { s } ( \Omega , \alpha ) + h ^ { ( 2 ) } ( \Omega , r ) \Omega ^ { 2 } + O ( \Omega ^ { 2 } \alpha + \Omega ^ { 4 } ) + . . . } \\ & { = h _ { s } ( \Omega , \alpha ) + \left[ \frac { 4 a ^ { 2 } \hat { \beta } } { ( 1 6 - B o ) \Gamma } \left( \frac { 4 a ^ { \sqrt { B o } } } { \sqrt { B o } \, r ^ { \sqrt { B o } } } - \frac { a ^ { 4 } } { r ^ { 4 } } \right) \right. } \\ & { \left. + \frac { \rho { a } ^ { 4 } } { 2 ( 4 - B o ) \Gamma } \left( \frac { a } { r ^ { 2 } } - \frac { 2 a ^ { \sqrt { B o } } } { \sqrt { B o } \, r ^ { \sqrt { B o } } } \right) \right] { \Omega ^ { 2 } } + O ( \Omega ^ { 2 } \alpha + \Omega ^ { 4 } ) + . . . , } \end{array}
\begin{array} { r } { \tau _ { n } = \frac { F _ { n } ^ { \prime } } { F _ { n } } = \frac { t _ { n } } { 1 - r _ { n } \rho _ { n } ^ { \prime } } \qquad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \qquad \rho _ { n } = \frac { B _ { n } } { F _ { n } } = \frac { r _ { n } - \rho _ { n } ^ { \prime } } { 1 - r _ { n } \rho _ { n } ^ { \prime } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { w _ { L } } & { { } = } & { \kappa \frac { w _ { j } + w _ { k } ^ { \prime } } { 2 } + ( 1 - \kappa ) \left[ w _ { j } + \overline { { \bf g } } _ { T } \cdot ( { \bf x } _ { T } - { \bf x } _ { j } ) \right] , } \\ { w _ { R } } & { { } = } & { \kappa \frac { w _ { j } ^ { \prime } + w _ { k } } { 2 } + ( 1 - \kappa ) \left[ w _ { k } + \overline { { \bf g } } _ { T } \cdot ( { \bf x } _ { T } - { \bf x } _ { k } ) \right] , } \end{array}
- i \tan z ( \omega ) = \sum _ { k = - \infty } ^ { + \infty } \frac { i } { \omega _ { k } \Phi _ { 2 } } \left( \frac { 1 } { \omega - \omega _ { k } ^ { + } } - \frac { 1 } { \omega - \omega _ { k } ^ { - } } \right) .
\begin{array} { l l l } { \dot { \mathbf { x } } _ { i } } & { = } & { \mathbf { f } _ { i } ( \mathbf { x _ { i } } ) + \sum _ { d = 1 } ^ { D } \sigma _ { d } \sum _ { j _ { 1 } , \dots , j _ { d } = 1 } ^ { N } a _ { i j _ { 1 } \dots j _ { d } } ^ { ( d ) } \mathbf { g } ^ { ( d ) } ( \mathbf { x } _ { i } , \mathbf { x } _ { j _ { 1 } } , \dots , \mathbf { x } _ { j _ { d } } ) , } \end{array}
- \frac { i \beta ^ { 2 } } { 4 } ( 2 \sigma _ { 1 } + \epsilon ) \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d t ^ { \prime \prime } G ( x , t ; 0 , t ^ { \prime \prime } ) G ( 0 , t ^ { \prime \prime } ; 0 , t ^ { \prime \prime } ) , G ( 0 , t ^ { \prime \prime } ; x ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) ,
\sigma _ { z } = \sqrt { \frac { k _ { B } T } { m _ { \mathrm { m o l } } } } \sqrt { \frac { \cosh ^ { 2 } ( \alpha t _ { \mathrm { T O F } } ) } { \omega _ { z } ^ { 2 } - \alpha ^ { 2 } } + \frac { \sinh ^ { 2 } ( \alpha t _ { \mathrm { T O F } } ) } { \alpha ^ { 2 } } } ,
\begin{array} { r } { W \left[ S _ { t } ^ { ( 1 ) } ( \textbf { k } ^ { \prime } , t _ { r } , s ) , \Delta E \right] = \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d \tau w ( \tau , 0 ) e ^ { - i S _ { t } ^ { ( 1 ) } ( \textbf { k } ^ { \prime } , t _ { r } , s ) \tau } = t _ { w } \sqrt { \pi } e ^ { - \left[ \frac { S _ { t } ^ { ( 1 ) } \left( \textbf { k } ^ { \prime } , t _ { r } , s \right) } { \Delta E } \right] ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { { \eta } _ { 1 } } } & { = } & { - \frac { 6 { { K } _ { \theta } } } { \kappa } , } \\ { { { \eta } _ { 3 } } } & { = } & { \frac { 2 } { \kappa } \left\{ 1 + 1 2 { { { { C } ^ { \prime } } } _ { 4 } } + \frac { 1 } { \left( { { { V } ^ { 2 } } } / { c _ { 0 , u } ^ { 2 } } \; \right) - 1 } \right\} , } \\ { { { \eta } _ { 5 } } } & { = } & { \frac { 1 } { 3 \kappa } \left\{ \frac { 1 } { \left( { { { V } ^ { 2 } } } / { c _ { 0 , u } ^ { 2 } } \; \right) - 1 } - 2 8 8 { { { { C } ^ { \prime } } } _ { 6 } } \right\} . } \end{array}
G _ { L } ^ { ( n ) } ( z _ { n } ) = z _ { n } ^ { 1 / 2 } \left( a _ { L } ^ { ( n ) } J _ { 1 / 2 + \nu } ( z _ { n } ) + b _ { L } ^ { ( n ) } J _ { - 1 / 2 - \nu } ( z _ { n } ) \right) ~ ,
\begin{array} { r l } { E x p _ { ( B _ { i } ) _ { i } , n } \colon \mathbb { F } _ { q ^ { m } } ^ { n } } & { \rightarrow \mathbb { F } _ { q } ^ { m n } } \\ { ( c _ { 1 } , c _ { 2 } , . . . , c _ { n } ) } & { \mapsto ( \phi _ { B _ { 1 } } ( c _ { 1 } ) , \phi _ { B _ { 2 } } ( c _ { 2 } ) , . . . , \phi _ { B _ { n } } ( c _ { n } ) ) , } \end{array}
Y _ { \infty } = \left( \frac { m } { \textrm { G e V } } \right) ^ { - 3 } \left[ 1 + \frac { 3 \ln ( m / \textrm { G e V } ) } { 1 5 } + \frac { \ln ( c _ { 2 } / 5 ) } { 1 5 } \right]
\begin{array} { r l } { \delta \langle Q \rangle _ { i } } & { { } = \frac { \Delta x _ { i } } { \Delta x _ { i - 1 } + \Delta x _ { i } + \Delta x _ { i + 1 } } \left( \frac { 2 \Delta x _ { i - 1 } + \Delta x _ { i } } { \Delta x _ { i } + \Delta x _ { i + 1 } } \left( \langle Q \rangle _ { i + 1 } - \langle Q \rangle _ { i } \right) + \frac { \Delta x _ { i } + 2 \Delta x _ { i + 1 } } { \Delta x _ { i - 1 } + \Delta x _ { i } } \left( \langle Q \rangle _ { i } - \langle Q \rangle _ { i - 1 } \right) \right) } \end{array}
\quad ( 3 ) \qquad \qquad { \bar { \rho } } _ { i } \left( t _ { 2 } \right) = { \frac { 1 } { x _ { i + { \frac { 1 } { 2 } } } - x _ { i - { \frac { 1 } { 2 } } } } } \int _ { x _ { i - { \frac { 1 } { 2 } } } } ^ { x _ { i + { \frac { 1 } { 2 } } } } \rho \left( x , t _ { 2 } \right) \, d x ,
\frac { \partial \vec { u } } { \partial t } + \boldsymbol { u } \cdot \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { u } = - \frac { 1 } { \rho } \boldsymbol { \nabla } p - \boldsymbol { \nabla } V _ { F } - \frac { { \hbar } ^ { 2 } } { 4 \rho } \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { s } \cdot \left[ \boldsymbol { \nabla } \cdot \left( \frac { 1 } { \rho } \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { s } \right) \right]
\begin{array} { r l } { L _ { a } ^ { 2 } ( \mathscr { R } ) } & { : = \{ \chi : ( r ^ { a } , ~ \, \chi ^ { 2 } ) < + \infty \} \quad a \in { \mathbb N } , } \\ { H _ { a } ^ { 1 } ( \mathscr { R } ) } & { : = \{ \chi : \chi \in L _ { a } ^ { 2 } ( \mathscr { R } ) , \; \nabla \chi \in [ L _ { a } ^ { 2 } ( \mathscr { R } ) ] ^ { 2 } \} } \end{array}
i \left< \bar { C } ^ { a } C ^ { b } A _ { \mu } ^ { c } A _ { \nu } ^ { d } \right> _ { \mathrm { b a r e } } = g ^ { 2 } \left[ \epsilon ^ { a d } \epsilon ^ { c b } + \epsilon ^ { a c } \epsilon ^ { d b } \right] g _ { \mu \nu } .
\left( a _ { 1 } \, _ { 0 } \mathrm { I } _ { t } ^ { \alpha } + a _ { 2 } \, _ { 0 } \mathrm { D } _ { t } ^ { \beta } \right) \sigma \left( t \right) = \left( b _ { 1 } \, _ { 0 } \mathrm { D } _ { t } ^ { \mu } + b _ { 2 } \, _ { 0 } \mathrm { D } _ { t } ^ { \alpha + \beta + \mu } \right) \varepsilon \left( t \right) ,
\mathbf { v } ^ { \prime } = { \frac { \mathbf { v } } { V } } , \quad p ^ { \prime } = p { \frac { 1 } { \rho V ^ { 2 } } } , \quad \mathbf { f } ^ { \prime } = \mathbf { f } { \frac { L } { V ^ { 2 } } } , \quad { \frac { \partial } { \partial t ^ { \prime } } } = { \frac { L } { V } } { \frac { \partial } { \partial t } } , \quad \nabla ^ { \prime } = L \nabla ,
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \frac { \partial u _ { \phi } ^ { ( k ) } } { \partial t } } & { { } + \frac { u _ { \xi } ^ { ( k ) } } { H _ { \xi } } \frac { \partial u _ { \phi } ^ { ( k ) } } { \partial \xi } + \frac { u _ { \phi } ^ { ( k ) } } { H _ { \phi } } \frac { \partial u _ { \phi } ^ { ( k ) } } { \partial \phi } + u _ { z } ^ { ( k ) } \frac { \partial u _ { \phi } ^ { ( k ) } } { \partial z } - 2 \frac { \sinh \xi } { \sin \phi _ { 0 } } u _ { \xi } ^ { ( k ) } u _ { \phi } ^ { ( k ) } + 2 \frac { \sin \phi } { \sin \phi _ { 0 } } \left( u _ { \xi } ^ { ( k ) } \right) ^ { 2 } } \\ { = } & { { } - \frac { 1 } { \rho _ { k } } \frac { 1 } { H _ { \phi } } \frac { \partial p ^ { ( k ) } } { \partial \phi } + \frac { 1 } { \mathrm { ~ R ~ e ~ } } \frac { \rho _ { 1 } } { \rho _ { 1 2 } \rho _ { k } } \frac { \mu _ { 1 2 } \mu _ { k } } { \mu _ { 1 } } \Biggl [ \frac { 1 } { H _ { \xi } H _ { \phi } } \frac { \partial } { \partial \xi } \biggl ( \frac { H _ { \phi } } { H _ { \xi } } \frac { \partial u _ { \phi } ^ { ( k ) } } { \partial \xi } \biggr ) } \end{array} } \end{array}
\int _ { \mathbb R } h _ { t } \mathscr { L } \partial _ { x } ^ { 4 } h \ d x = \frac { 1 } { 2 } \frac { d } { d t } \left\| \sqrt { \mathscr { L } } \partial _ { x } ^ { 2 } h \right\| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } , \quad - \int _ { \mathbb R } v _ { t } \partial _ { x } ^ { 6 } v \ d x = \frac { 1 } { 2 } \frac { d } { d t } \left\| \partial _ { x } ^ { 3 } v \right\| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { \langle \textbf { f } \! \left( \textbf { r } , t \right) \otimes \textbf { f } \! \left( \textbf { r } ^ { \prime } , t ^ { \prime } \right) \rangle } & { { } = \langle \textbf { f } ^ { \dag } \! \left( \textbf { r } , t \right) \otimes \textbf { f } ^ { \dag } \! \left( \textbf { r } ^ { \prime } , t ^ { \prime } \right) \rangle = } \\ { \langle \textbf { f } \! \left( \textbf { r } , t \right) } & { { } \otimes \textbf { f } ^ { \dag } \! \left( \textbf { r } ^ { \prime } , t ^ { \prime } \right) \rangle = \langle \textbf { f } ^ { * } \! \left( \textbf { r } , t \right) \otimes \textbf { f } ^ { \dag } \! \left( \textbf { r } ^ { \prime } , t ^ { \prime } \right) \rangle = 0 , } \\ { \langle \textbf { f } \! \left( \textbf { r } , t \right) \otimes \textbf { f } ^ { * } \! \left( \textbf { r } ^ { \prime } , t ^ { \prime } \right) \rangle } & { { } = \langle \textbf { f } ^ { \dag } \! \left( \textbf { r } , t \right) \otimes \textbf { f } ^ { \dag * } \! \left( \textbf { r } ^ { \prime } , t ^ { \prime } \right) \rangle = \delta \! \left( \textbf { r } - \textbf { r } ^ { \prime } \right) \delta \! \left( t - t ^ { \prime } \right) \mathbb { I } . } \end{array}
\emph { F } _ { g + 1 } ( u ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \emph { F } ^ { * } ( u ) } & { \mathrm { ~ u \in \mathcal { V } ( \mathcal { \tilde { G } } ^ { ( i , j ) } ( g - 1 ) ) ~ } } \\ { \emph { I } _ { e } ^ { \emph { F } ^ { * } ( e ) } ( u ) } & { \mathrm { ~ u \in \mathcal { V } ( \mathcal { K } _ q ^ { ( e ) } ) , ~ e \in \mathcal { E } ( \mathcal { \tilde { G } } ^ { ( i , j ) } ( g - 1 ) ) ~ } , } \end{array} \right.
\left\langle { \cal O } _ { 8 } ^ { J / \psi } \left( { } ^ { 3 } \! P _ { J } \right) \right\rangle = ( 2 J + 1 ) \left\langle { \cal O } _ { 8 } ^ { J / \psi } \left( { } ^ { 3 } \! P _ { 0 } \right) \right\rangle ,
\begin{array} { r l r } & { 1 , \quad } & { h = 1 , } \\ & { E _ { s _ { 2 } ^ { k } \sim B _ { 1 } ( \cdot \vert s _ { 1 } ^ { k } , a _ { 1 } ^ { k } ) } \left[ E _ { s _ { 3 } ^ { k } \sim B _ { 2 } ( \cdot \vert s _ { 2 } ^ { k } , a _ { 2 } ^ { k } ) } \left[ \cdots E _ { s _ { h } ^ { k } \sim B _ { h - 1 } ( \cdot \vert s _ { h - 1 } ^ { k } , a _ { h - 1 } ^ { k } ) } \left[ \cdot \right] \right] \right] , \quad } & { h \geq 2 . } \end{array}
\begin{array} { r } { Q _ { s o f t } ^ { \pi } \big ( s _ { t } , a _ { t } \big ) = r \big ( s _ { t } , a _ { t } \big ) + \gamma \mathbb { E } _ { s _ { t + 1 } , a _ { t + 1 } } \biggl [ Q _ { s o f t } ^ { \pi } \big ( s _ { t + 1 } , a _ { t + 1 } \big ) - \alpha \log \bigl ( \pi \big ( a _ { t + 1 } | \ s _ { t + 1 } \bigr ) \bigr ) \biggr ] } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { l i m } _ { z \to 1 } Q ( z ) = 1 = \operatorname* { l i m } _ { z \to 1 } \frac { \textsc { N u m } ^ { \prime } ( z ) } { \textsc { D e n } ^ { \prime } ( z ) } = \frac { \prod _ { i = 1 } ^ { C - 1 } ( 1 - z _ { i } ^ { * } ) \sum _ { u = 0 } ^ { C } s _ { u } ^ { ( n ) } \sum _ { i = 0 } ^ { u } q _ { i } ^ { ( n ) } } { \sum _ { u = 0 } ^ { C } s _ { u } ^ { ( n ) } u - Y ^ { \prime } ( 1 ) } } \\ { \Rightarrow } & { \sum _ { u = 0 } ^ { C } s _ { u } ^ { ( n ) } \sum _ { i = 0 } ^ { u } q _ { i } ^ { ( n ) } = \frac { \sum _ { u = 0 } ^ { C } s _ { u } ^ { ( n ) } u - Y ^ { \prime } ( 1 ) } { \prod _ { i = 1 } ^ { C - 1 } ( 1 - z _ { i } ^ { * } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega _ { n } } \frac { \partial ( \rho _ { 1 } \phi _ { 1 } ) _ { n } } { \partial t } \varphi _ { i } d \Omega } & { - \int _ { \Omega _ { n } } ( \rho _ { 1 } \phi _ { 1 } ) _ { n } \textbf { u } _ { n } \cdot \nabla \varphi _ { i } d \Omega + \oint _ { \partial \Omega _ { n } } \widehat { ( \rho _ { 1 } \phi _ { 1 } ) _ { n } \textbf { u } _ { n } } \cdot \widehat { \textbf { m } } \varphi _ { i } d S = } \\ & { = - \int _ { \Omega _ { n } } \nabla \varphi _ { i } \cdot \textbf { R } _ { 1 } d \Omega + \oint _ { \partial \Omega _ { n } } \widehat { \textbf { R } } _ { 1 } \cdot \widehat { \textbf { m } } \varphi _ { i } d S ; } \end{array}
F _ { i _ { 1 } , \dots , i _ { n } } ( \beta _ { 1 } , \dots , \beta _ { n } + 2 \pi i ) = \exp [ 2 \pi i \omega ( { \cal O } , \Psi ) ] F _ { i _ { n } , i _ { 1 } , \dots , i _ { n - 1 } } ( \beta _ { n } , \beta _ { 1 } , \dots , \beta _ { n - 1 } ) .
m a d e p i o n e e r i n g c o n t r i b u t i o n s t o t h e a p p l i c a t i o n o f 1 D l o g i s t i c e q u a t i o n o n b i o l o g i c a l a n d e c o l o g i c a l s t u d i e s . T h e s a m e e q u a t i o n w a s a l s o u s e d t o i n t e r p r e t , a n a l y z e a n d p r e d i c t d a t a a c c o r d i n g t o t h e C O V I D - 1 9 b y m a n y r e s e a r c h e r s
\begin{array} { r } { R _ { s 0 } = R _ { s 0 } ^ { c s } \frac { 1 + ( \Gamma _ { c 0 } ^ { c s } / \Gamma _ { c 0 } ^ { g p } ) ( R _ { s 0 } ^ { g p } / { R _ { s 0 } ^ { c s } ) } } { 1 + \Gamma _ { c 0 } ^ { c s } / \Gamma _ { c 0 } ^ { g p } } } \\ { \approx R _ { s 0 } ^ { c s } \left[ 1 - \frac { \Gamma _ { c 0 } ^ { c s } } { \Gamma _ { c 0 } ^ { g p } } \left( 1 - \frac { R _ { s 0 } ^ { g p } } { R _ { s 0 } ^ { c s } } \right) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \partial _ { t } { \rho _ { e g } } } & { = } & { - \Gamma \left[ \frac { 1 } { 2 } - i \left( \Delta + \Delta _ { G } \right) \right] \rho _ { e g } + \frac { i } { 2 } \frac { P } { \hbar } E , } \\ { \frac { 1 } { c } \partial _ { t } E + \partial _ { y } E } & { = } & { \frac { - 1 } { 2 i k } \nabla _ { \perp } ^ { 2 } E - \frac { k } { 2 i } ( n _ { e } ^ { 2 } - 1 ) E + i \eta \rho _ { e g } , } \end{array}
\tau _ { \mathrm { M F } } ^ { \mathrm { U A } } ( \vartheta ) \propto \exp \left[ - \beta ( H _ { \mathrm { S } } - Q S _ { 0 } ^ { 2 } ( c _ { 1 1 } \sin ^ { 2 } \vartheta + c _ { 3 3 } \cos ^ { 2 } \vartheta ) \right]
\begin{array} { r l } { \nu _ { \mathrm { H T S T } } } & { { } = \frac { \prod _ { i = 1 } ^ { 3 N - 3 } \, \nu _ { i } ^ { \mathrm { A } } } { \prod _ { j = 1 } ^ { 3 N - 4 } \, \nu _ { j } ^ { \mathrm { S } } } = \frac { \prod _ { i = 1 } ^ { 3 N - 3 } \, \frac { 1 } { 2 \pi } \sqrt { \lambda _ { i } ^ { \mathrm { A } } / m } } { \prod _ { j = 1 } ^ { 3 N - 4 } \, \frac { 1 } { 2 \pi } \sqrt { \lambda _ { i } ^ { \mathrm { S } } / m } } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \bar { F } } _ { \alpha \beta } } & { = { \frac { \partial { \bar { A } } _ { \beta } } { \partial { \bar { x } } ^ { \alpha } } } - { \frac { \partial { \bar { A } } _ { \alpha } } { \partial { \bar { x } } ^ { \beta } } } } \\ & { = { \frac { \partial } { \partial { \bar { x } } ^ { \alpha } } } \left( { \frac { \partial x ^ { \gamma } } { \partial { \bar { x } } ^ { \beta } } } A _ { \gamma } \right) - { \frac { \partial } { \partial { \bar { x } } ^ { \beta } } } \left( { \frac { \partial x ^ { \delta } } { \partial { \bar { x } } ^ { \alpha } } } A _ { \delta } \right) } \\ & { = { \frac { \partial ^ { 2 } x ^ { \gamma } } { \partial { \bar { x } } ^ { \alpha } \partial { \bar { x } } ^ { \beta } } } A _ { \gamma } + { \frac { \partial x ^ { \gamma } } { \partial { \bar { x } } ^ { \beta } } } { \frac { \partial A _ { \gamma } } { \partial { \bar { x } } ^ { \alpha } } } - { \frac { \partial ^ { 2 } x ^ { \delta } } { \partial { \bar { x } } ^ { \beta } \partial { \bar { x } } ^ { \alpha } } } A _ { \delta } - { \frac { \partial x ^ { \delta } } { \partial { \bar { x } } ^ { \alpha } } } { \frac { \partial A _ { \delta } } { \partial { \bar { x } } ^ { \beta } } } } \\ & { = { \frac { \partial x ^ { \gamma } } { \partial { \bar { x } } ^ { \beta } } } { \frac { \partial x ^ { \delta } } { \partial { \bar { x } } ^ { \alpha } } } { \frac { \partial A _ { \gamma } } { \partial x ^ { \delta } } } - { \frac { \partial x ^ { \delta } } { \partial { \bar { x } } ^ { \alpha } } } { \frac { \partial x ^ { \gamma } } { \partial { \bar { x } } ^ { \beta } } } { \frac { \partial A _ { \delta } } { \partial x ^ { \gamma } } } } \\ & { = { \frac { \partial x ^ { \delta } } { \partial { \bar { x } } ^ { \alpha } } } { \frac { \partial x ^ { \gamma } } { \partial { \bar { x } } ^ { \beta } } } \left( { \frac { \partial A _ { \gamma } } { \partial x ^ { \delta } } } - { \frac { \partial A _ { \delta } } { \partial x ^ { \gamma } } } \right) } \\ & { = { \frac { \partial x ^ { \delta } } { \partial { \bar { x } } ^ { \alpha } } } { \frac { \partial x ^ { \gamma } } { \partial { \bar { x } } ^ { \beta } } } F _ { \delta \gamma } . } \end{array} }
\langle \ | \pi ^ { \dagger } \pi | \ \rangle = \langle \ | \left( \frac { 1 } { 2 } p ^ { \dagger } p + \frac { 2 } { ( g \chi ) ^ { 2 } } G _ { \mathrm { r a d } } ^ { a } G _ { \mathrm { r a d } } ^ { a } \right) | \ \rangle \ .
\left[ \begin{array} { l } { { { \cal Z } ^ { ' } } } \\ { { { \cal \chi } ^ { ' } } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c c } { { a \ } } & { { b \ } } \\ { { c \ } } & { { d \ } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { { { \cal Z } } } \\ { { { \cal \chi } } } \end{array} \right] \ , \qquad \left[ \begin{array} { l } { { { \bar { \cal Z } } ^ { ' } } } \\ { { { \bar { \cal \chi } } ^ { ' } } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c c } { { d \ } } & { { - c \ } } \\ { { - b \ } } & { { a \ } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { { { \bar { \cal Z } } } } \\ { { { \bar { \cal \chi } } } } \end{array} \right] \ , \quad a d - b c = 1 \ ,
\left\{ \begin{array} { l l } & { Q \xi = - ( 2 \alpha ^ { 2 } + \operatorname { t r } h ^ { 2 } ) \xi + ( 2 b \sigma - e ( \sigma ) ) \varphi e - ( 2 a \sigma + ( \varphi e ) ( \sigma ) ) e , } \\ & { Q \varphi e = ( 2 b \sigma - e ( \sigma ) ) \xi + ( \alpha ^ { 2 } + \frac { r } { 2 } + \frac { \operatorname { t r } h ^ { 2 } } { 2 } + 2 \sigma \mu ) \varphi e + ( \xi ( \sigma ) + 2 \alpha \sigma ) e , } \\ & { Q e = - ( 2 a \sigma + ( \varphi e ) ( \sigma ) ) \xi + ( \xi ( \sigma ) + 2 \alpha \sigma ) \varphi e + ( \alpha ^ { 2 } + \frac { r } { 2 } + \frac { \operatorname { t r } h ^ { 2 } } { 2 } - 2 \sigma \mu ) e . } \end{array} \right.