harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \tau ( \xi ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { - \frac { 2 y _ { 0 , \xi } ( \xi ) } { U _ { 0 , \xi } ( \xi ) } , } & { \mathrm { i f ~ } U _ { 0 , \xi } ( \xi ) < 0 , } \\ { 0 , } & { \mathrm { i f ~ } y _ { 0 , \xi } ( \xi ) = U _ { 0 , \xi } ( \xi ) = 0 , } \\ { \infty , } & { \mathrm { o t h e r w i s e } , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \bigg [ \bar { u } ( k , z , s ) , \bar { w } ( k , z , s ) , \bar { p } ( k , z , s ) , \bar { \eta } ( k , s ) , \bar { \rho } ( k , z , s ) \bigg ] ^ { \intercal } } \\ & { } & { \equiv \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d t \exp [ - s t ] \int _ { - \infty } ^ { \infty } d k \exp [ - i k x ] \bigg [ u ( x , z , t ) , w ( x , z , t ) , p ( x , z , t ) , \eta ( x , t ) , \rho ( x , z , t ) \bigg ] ^ { \intercal } } \\ & { } & \end{array}
< \! \mu ( z , \bar { z } ) \mu ( 0 ) \! > ^ { 2 } = < \! \cos ( { \frac { \Phi ( z , \bar { z } ) } { 2 } } ) \cos ( { \frac { \Phi ( 0 ) } { 2 } } ) \! > = { \frac { 1 } { 2 } } \left( G ( { \frac { 1 } { 2 } } , - { \frac { 1 } { 2 } } ) + G ( { \frac { 1 } { 2 } } , { \frac { 1 } { 2 } } ) \right) ,
X _ { i , t } = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 , \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ p ~ r ~ o ~ b ~ a ~ b ~ i ~ l ~ i ~ t ~ y ~ } \vartheta } \\ { 0 , \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ p ~ r ~ o ~ b ~ a ~ b ~ i ~ l ~ i ~ t ~ y ~ } ( 1 - \vartheta ) , } \end{array} \right.
\left\langle \phi ( k _ { 1 } ) \phi ( k _ { 2 } ) \phi ( k _ { 3 } ) \phi ( k _ { 4 } ) \right\rangle = { \frac { \delta ( k _ { 1 } - k _ { 2 } ) } { k _ { 1 } ^ { 2 } } } { \frac { \delta ( k _ { 3 } - k _ { 4 } ) } { k _ { 3 } ^ { 2 } } } + { \frac { \delta ( k _ { 1 } - k _ { 3 } ) } { k _ { 3 } ^ { 2 } } } { \frac { \delta ( k _ { 2 } - k _ { 4 } ) } { k _ { 2 } ^ { 2 } } } + { \frac { \delta ( k _ { 1 } - k _ { 4 } ) } { k _ { 1 } ^ { 2 } } } { \frac { \delta ( k _ { 2 } - k _ { 3 } ) } { k _ { 2 } ^ { 2 } } }
\left( \begin{array} { l l l } { \ell _ { 1 } } & { \ell _ { 2 } } & { \ell _ { 3 } } \\ { m _ { 1 } } & { m _ { 2 } } & { m _ { 3 } } \end{array} \right) = ( - 1 ) ^ { \ell _ { 1 } + \ell _ { 2 } + \ell _ { 3 } } \left( \begin{array} { l l l } { \ell _ { 1 } } & { \ell _ { 2 } } & { \ell _ { 3 } } \\ { - m _ { 1 } } & { - m _ { 2 } } & { - m _ { 3 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } & { \rho \left( \frac { 1 } { \mathrm { S c } } \partial _ { t } v _ { 1 } + \mathrm { R e } v _ { 1 } \partial _ { y _ { 1 } } v _ { 1 } + \mathrm { R e } v _ { 3 } \partial _ { y _ { 3 } } v _ { 1 } \right) = \Delta v _ { 1 } - \partial _ { y _ { 1 } } p - \frac { \mathrm { R e } } { \mathrm { F r ^ { 2 } } } \rho \sin \theta , } \\ & { \rho \left( \frac { 1 } { \mathrm { S c } } \partial _ { t } v _ { 3 } + \mathrm { R e } v _ { 1 } \partial _ { y _ { 1 } } v _ { 3 } + \mathrm { R e } v _ { 3 } \partial _ { y _ { 3 } } v _ { 3 } \right) = \Delta v _ { 3 } - \partial _ { y _ { 3 } } p - \frac { \mathrm { R e } } { \mathrm { F r ^ { 2 } } } \rho \cos \theta , } \\ & { \partial _ { t } T + \mathrm { P e } _ { p } \mathbf { v } \cdot \nabla T = \Delta T , } \\ & { \frac { 1 } { \kappa _ { 2 } } \partial _ { t } \rho + \mathrm { P e } _ { s } \mathbf { v } \cdot \nabla \rho = \Delta \rho , \quad \left. \rho \right| _ { | \mathbf { y } | \rightarrow \infty } = \rho _ { 0 } - \Gamma _ { 0 } ( y _ { 1 } \sin \theta + y _ { 3 } \cos \theta ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { x _ { o 0 } = 0 , \, y _ { o 0 } = 0 , \, r _ { 0 } = 3 . 5 , } \\ & { x _ { o 1 } = 2 , \, y _ { o 1 } = 1 , \, r _ { 1 } = 1 , } \\ & { x _ { o 2 } = 0 , \, y _ { o 2 } = - 0 . 2 5 , \, r _ { 2 } = 0 . 5 , } \\ & { x _ { o 3 } = - 1 . 5 , \, y _ { o 3 } = 2 , \, r _ { 3 } = 0 . 7 5 , } \\ & { x _ { o 4 } = - 2 , \, y _ { o 4 } = 0 , \, r _ { 4 } = 0 . 7 5 , } \\ & { x _ { o 5 } = 1 . 5 , \, y _ { o 5 } = - 2 , \, r _ { 5 } = 0 . 7 5 , } \\ & { x _ { o 6 } = 0 . 5 , \, y _ { o 6 } = 2 . 5 , \, r _ { 6 } = 0 . 5 , } \\ & { x _ { o 7 } = - 1 , \, y _ { o 7 } = - 2 , \, r _ { 7 } = 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { \ } & { 8 \sigma ^ { 2 } / 3 + 8 \sigma _ { s } ^ { 2 } } & { > \sigma ^ { 2 } + 5 \sigma _ { s } ^ { 2 } + \sqrt { ( \sigma ^ { 2 } + \sigma _ { s } ^ { 2 } ) ( \sigma ^ { 2 } + 9 \sigma _ { s } ^ { 2 } ) } } \\ & { \iff } & { ( 5 \sigma ^ { 2 } + 9 \sigma _ { s } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } & { > 9 ( \sigma ^ { 2 } + \sigma _ { s } ^ { 2 } ) ( \sigma ^ { 2 } + 9 \sigma _ { s } ^ { 2 } ) } \\ & { \iff } & { 1 6 \sigma ^ { 4 } } & { > 0 \ . } \end{array}
\begin{array} { r } { \tilde { \mathbb { L } } _ { i j } = \left\{ \begin{array} { l l } { - b _ { i j } \cos ( \theta _ { i } ^ { ( 0 ) } - \theta _ { j } ^ { ( 0 ) } ) \, , i \neq j \, , } \\ { \sum _ { k } b _ { i k } \cos ( \theta _ { i } ^ { ( 0 ) } - \theta _ { k } ^ { ( 0 ) } ) \, , i = j \, . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \gamma ^ { - 1 } \dot { d } _ { 1 } } & { = } & { ( B + 1 ) d _ { 2 } / 2 - B d _ { 1 } ^ { 2 } d _ { 2 } } \\ { \gamma ^ { - 1 } \dot { d } _ { 2 } } & { = } & { ( B - 1 ) d _ { 1 } / 2 - B d _ { 1 } d _ { 2 } ^ { 2 } } \\ { \gamma ^ { - 1 } \dot { d } _ { 3 } } & { = } & { - B d _ { 1 } d _ { 2 } d _ { 3 } . } \end{array}
I _ { \mathrm { D } p } \; = \; \int d ^ { p + 1 } \zeta \; \left( T _ { ( p ) } \; e ^ { ( p - 3 ) \Phi / 4 } \; \sqrt { - \mathrm { d e t } \; { \widehat g } _ { \alpha \beta } } \; + \; \rho _ { ( p ) } \; \widehat C ^ { ( p + 1 ) } \right) .
\begin{array} { r l } { b _ { j ^ { \prime } k ^ { \prime } l ^ { \prime } } = } & { \int \left( \sum _ { s = e , i } q _ { s } n _ { s } ( r , \theta , \varphi ) \right) } \\ & { \Lambda _ { j ^ { \prime } } ( r ) \Lambda _ { k ^ { \prime } } ( \theta ) \Lambda _ { l ^ { \prime } } ( \varphi ) r \mathrm { d } r \mathrm { d } \theta \mathrm { d } \varphi } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { a } & { = { \frac { 1 } { 4 } } k ^ { 2 } ( s ^ { 2 } + r ^ { 2 } ) ^ { 2 } , } \\ { b } & { = { \frac { 1 } { 2 } } k ^ { 2 } ( s ^ { 4 } - r ^ { 4 } ) , } \\ { c } & { = { \frac { 1 } { 4 } } k ^ { 2 } ( 3 s ^ { 4 } - 1 0 s ^ { 2 } r ^ { 2 } + 3 r ^ { 4 } ) , } \\ { { \mathrm { A r e a } } } & { = { \frac { 1 } { 2 } } k ^ { 2 } c s r ( s ^ { 2 } - r ^ { 2 } ) , } \end{array} }
T _ { R H } \stackrel { < } { \sim } 5 0 \bigg [ \bigg ( { \frac { m _ { \nu _ { R 1 } } } { \mathrm { k e V } } } \bigg ) \bigg ( { \frac { \mathrm { T e V } } { M _ { Z ^ { \prime } } } } \bigg ) ^ { 4 } + 1 0 ^ { 3 } \eta ^ { 2 } \bigg ( { \frac { \mathrm { k e V } } { m _ { \nu _ { R 1 } } } } \bigg ) \bigg ] ^ { - { \frac { 1 } { 3 } } } \ { \mathrm { M e V } } .
\mathrm { g r a p h } ( \psi _ { \rho } ( u , \cdot ) ) = \left\{ \, v \in V \, \Big \vert \, \operatorname* { l i m s u p } _ { t \to \infty } \frac { 1 } { t } \ln { \Vert \varphi _ { t } ^ { \rho } ( u ) - \varphi _ { t } ^ { \rho } ( v ) \Vert _ { V } } \leq \mu \, \right\} ,
\widetilde { \Phi } _ { c } ^ { 2 } \simeq \frac { 4 ! N \widetilde { h } ^ { 2 } \widetilde { m } ^ { 2 } } { ( 4 \pi ) ^ { 2 } } \left( \frac { N \widetilde { h } ^ { 4 } } { ( 4 \pi ) ^ { 2 } } - \lambda \right) ^ { - 1 } \simeq \frac { 4 8 \widetilde { m } ^ { 2 } } { \widetilde { h } ^ { 2 } } , \ \ \ \ \ R _ { c } \simeq 1 2 \widetilde { m } ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { \Psi ^ { * } \hat { l } _ { + } ( r , \phi , z ) \hat { l } _ { - } ( r , \phi , z ) \Psi } & { { } = \hbar ^ { 2 } \left( \frac { z ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } m ^ { 2 } + 2 i k z + ( k r ) ^ { 2 } + m \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { C _ { 1 } ( \xi ) = \frac { \int _ { - \infty } ^ { \infty } c _ { I , 1 } ( x ) \mathrm { d } x } { \sigma \sqrt { 2 \pi } } e ^ { - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \xi } { \sigma } \right) ^ { 2 } } , \quad C _ { 2 } ( \xi ) = \frac { \int _ { - \infty } ^ { \infty } c _ { I , 2 } ( x ) \mathrm { d } x } { \sigma \sqrt { 2 \pi } } e ^ { - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \xi } { \sigma } \right) ^ { 2 } } . } \end{array}
\sigma ( 1 - \sigma ) T _ { n } ^ { \prime \prime } + ( 1 / 2 - 3 / 2 \sigma ) T _ { n } ^ { \prime } + \biggl [ \frac { k ^ { 2 } } { 4 } \frac { 1 - \sigma } { \sigma } - \frac { n ^ { 2 } } { 1 - \sigma } \biggr ] T _ { n } = 0 ,
\omega _ { \theta _ { 1 } } * \omega _ { \theta _ { 2 } } = \omega _ { \theta _ { 1 } + \theta _ { 2 } } ( t ) , \, 1 * \omega _ { \theta _ { 1 } } = \omega _ { 1 + \theta _ { 1 } } ( t ) , \, o m e g a _ { \theta _ { 1 } } ( t ) \geq C T ^ { \theta _ { 1 } - 1 } , \, \omega _ { \theta _ { 1 } } * k \leq C \omega _ { \theta _ { 1 } + 1 } \leq C \omega _ { \theta _ { 1 } } ,
G = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { n } \prod _ { k = 1 } ^ { n } { \frac { ( 2 k - 1 ) ^ { 2 } } { ( 2 k ) ^ { 2 } } } = 1 - { \frac { 1 ^ { 2 } } { 2 ^ { 2 } } } + { \frac { 1 ^ { 2 } \cdot 3 ^ { 2 } } { 2 ^ { 2 } \cdot 4 ^ { 2 } } } - { \frac { 1 ^ { 2 } \cdot 3 ^ { 2 } \cdot 5 ^ { 2 } } { 2 ^ { 2 } \cdot 4 ^ { 2 } \cdot 6 ^ { 2 } } } + \cdots
M _ { y } ^ { ( 1 ) } = \frac { \mathcal { I } } { 2 } + \frac { 1 - \lambda _ { y } ^ { 2 } } { 2 } \sum _ { p , q = 0 } ^ { \infty } ( - \lambda _ { y } ) ^ { p + q } \left| p \middle > \middle < q \right| \otimes \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \frac { \left| p m \middle > \middle < q m \right| - \left| m p \middle > \middle < m q \right| } { \sqrt { \Xi _ { y , m } ^ { + } \Xi _ { y , m } ^ { - } } } ,
B _ { \phi } = \left\{ \begin{array} { l l } { B _ { \phi , t u b e } , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } t _ { i n s e r t i o n } \le t \le t _ { i n s e r t i o n } + \Delta t } \\ { 0 , } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right.
\tilde { p } ( \mathbf { k } , t ; \mathbf { x } _ { i } ^ { \prime } ) = \int p ( \mathbf { x } , t ; \mathbf { x } _ { i } ^ { \prime } ) \mathrm { e x p } ( - i \mathbf { k } \cdot \mathbf { x } ) d ^ { N } \mathbf { x } , \quad i = 1 , 2
\mathrm { d } \mathbf { x } ^ { t } = \left[ f ( \mathbf { x } ^ { t } , t ) - g ^ { 2 } ( t ) \nabla _ { \mathbf { x } ^ { t } } \log p ( \mathbf { x } ^ { t } \mid t ) \right] \, \mathrm { d } t + g ( t ) \, \mathrm { d } W
R + \frac { \gamma } { 4 } ( \frac { ( D \Omega ) ^ { 2 } } { \Omega ^ { 2 } } - 2 \frac { D \cdot D \Omega } { \Omega } ) + ( 1 - \lambda ) \mu \Omega ^ { - \lambda } - \frac { 1 } { 4 } ( 1 - \frac { \epsilon } { 2 } ) \Omega ^ { - \epsilon / 2 } F ^ { 2 } = T _ { \Omega } ^ { X } ,
{ \mathrm { v a r i a n c e } } = { \frac { ( n - s + 1 ) ( s + 1 ) } { ( 3 + n ) ( 2 + n ) ^ { 2 } } } , { \mathrm { ~ w h i c h ~ f o r } } s = { \frac { n } { 2 } } { \mathrm { ~ r e s u l t s ~ i n ~ v a r i a n c e } } = { \frac { 1 } { 1 2 + 4 n } }
{ \begin{array} { r l } { \{ g _ { _ { P } } * h \} ( x ) \ } & { \triangleq \int _ { - \infty } ^ { \infty } g _ { _ { P } } ( x - \tau ) \cdot h ( \tau ) \ d \tau } \\ & { \equiv \int _ { P } g _ { _ { P } } ( x - \tau ) \cdot h _ { _ { P } } ( \tau ) \ d \tau ; \quad \quad \scriptstyle { \mathrm { i n t e g r a t i o n ~ o v e r ~ a n y ~ i n t e r v a l ~ o f ~ l e n g t h ~ } } P } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \left\langle \dot { \tilde { \hat { J } } } _ { + } \right\rangle } & { = - i \frac { g _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 \Delta _ { a } } A \left\langle \tilde { \hat { J } } _ { + } \right\rangle \left\langle \hat { J } _ { z } \right\rangle , } \\ { \left\langle \dot { \tilde { \hat { J } } } _ { - } \right\rangle } & { = i \frac { g _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 \Delta _ { a } } A ^ { * } \left\langle \tilde { \hat { J } } _ { - } \right\rangle \left\langle \hat { J } _ { z } \right\rangle , } \\ { \left\langle \dot { \hat { J } } _ { z } \right\rangle } & { = - \frac { g _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 \Delta _ { a } } \frac { A - A ^ { * } } { 2 i } \left\langle \tilde { \hat { J } } _ { + } \right\rangle \left\langle \tilde { \hat { J } } _ { - } \right\rangle , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d } { d x } ( R e _ { * } ^ { - 1 } \overline { { u v } } _ { o 2 } ) = \frac { d R e _ { * } ^ { - 1 } } { d x } \overline { { u v } } _ { o 3 } + R e _ { * } ^ { - 1 } \frac { \overline { { u v } } _ { o 2 } } { d x } } \\ { = - R e _ { * } ^ { - 2 } \frac { d R e _ { * } } { d x } \overline { { u v } } _ { o 3 } + R e _ { * } ^ { - 1 } \frac { d \overline { { u v } } _ { o 3 } } { d y _ { o } } y U _ { e } ( \frac { - 1 } { x ^ { 2 } u _ { * } } + \frac { - 1 } { x u _ { * } ^ { 2 } } \frac { d u _ { * } } { d x } ) } \\ { = - R e _ { * } ^ { - 2 } \frac { \overline { { u v } } _ { o 3 } } { \nu } \frac { 1 } { U _ { e } } ( u _ { * } ^ { 2 } + 2 x u _ { * } \frac { d u _ { * } } { d x } ) + R e _ { * } ^ { - 1 } \frac { d \overline { { u v } } _ { o 3 } } { d y _ { o } } y U _ { e } ( \frac { - 1 } { x ^ { 2 } u _ { * } } + \frac { - 1 } { x u _ { * } ^ { 2 } } \frac { d u _ { * } } { d x } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { [ L , \Lambda ] } & { = \left[ \sum _ { i } e _ { x _ { i } } e _ { y _ { i } } , \sum i _ { x _ { i } } i _ { y _ { i } } \right] = \sum _ { i = 1 } ^ { n } e _ { y _ { i } } i _ { y _ { i } } - \sum _ { i = 1 } ^ { n } i _ { x _ { i } } e _ { x _ { i } } } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } e _ { y _ { i } } i _ { y _ { i } } - \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( e _ { x _ { i } } i _ { x _ { i } } - 1 ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { D \times D } \mathrm { d } ^ { 2 } ( x , y ) \, \mathrm { d } ( ( T , T ) _ { \# } \pi ) ( x , y ) } & { = \int _ { \mathcal { M } \times \mathcal { M } } \mathrm { d } ^ { 2 } ( T ( x ) , T ( y ) ) \, \mathrm { d } \pi ( x , y ) } \\ & { \le L ^ { 2 } \int _ { \mathcal { M } \times \mathcal { M } } \mathrm { d } ^ { 2 } ( x , y ) \, \mathrm { d } \pi ( x , y ) . } \end{array}
\left[ { \begin{array} { r l r l r l r l r l r } { { 6 } 1 } & { } & { 0 } & { } & { - 3 } & { } & { 0 } & { } & { 2 } & { } & { 0 } \\ { 0 } & { } & { 1 } & { } & { 5 } & { } & { 0 } & { } & { - 1 } & { } & { 4 } \\ { 0 } & { } & { 0 } & { } & { 0 } & { } & { 1 } & { } & { 7 } & { } & { - 9 } \\ { 0 } & { } & { \; \; \; \; \; 0 } & { } & { \; \; \; \; \; 0 } & { } & { \; \; \; \; \; 0 } & { } & { \; \; \; \; \; 0 } & { } & { \; \; \; \; \; 0 } \end{array} } \, \right]
\begin{array} { r l r } & { } & { \left. B _ { 2 2 } + B _ { 3 2 } \right| _ { S c = 0 } = } \\ & { } & { \int _ { - \pi + \theta } ^ { \pi + \theta } \mathrm { c o s } ( \theta _ { 2 } - \theta ) \, \mathrm { e } ^ { i n _ { 2 } \theta _ { 2 } } \, d \theta _ { 2 } = \pi \mathrm { e } ^ { i n _ { 2 } \theta } \left[ \delta _ { n _ { 2 } , - 1 } + \delta _ { n _ { 2 } , 1 } \right] } \\ & { } & { \left. B _ { 2 3 } + B _ { 3 3 } \right| _ { S c = 0 } = } \\ & { } & { \int _ { - \pi + \theta } ^ { \pi + \theta } \mathrm { s i n } ( \theta _ { 2 } - \theta ) \, \mathrm { e } ^ { i n _ { 2 } \theta _ { 2 } } \, d \theta _ { 2 } = - i \, \pi \mathrm { e } ^ { i n _ { 2 } \theta } \left[ \delta _ { n _ { 2 } , - 1 } - \delta _ { n _ { 2 } , 1 } \right] } \end{array}
X ( \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } , \alpha _ { 1 } ^ { \prime } , \alpha _ { 2 } ^ { \prime } ) = \exp \left[ i \alpha _ { 1 } q ^ { 1 } { \frac { \partial } { \partial q ^ { 1 } } } + i \alpha _ { 2 } q ^ { 2 } { \frac { \partial } { \partial q ^ { 2 } } } + i \alpha _ { 1 } ^ { \prime } \overline { { { q } } } ^ { 1 } { \frac { \partial } { \partial \overline { { { q } } } ^ { 1 } } } + i \alpha _ { 2 } ^ { \prime } \overline { { { q } } } ^ { 2 } { \frac { \partial } { \partial \overline { { { q } } } ^ { 2 } } } \right]
\left[ \begin{array} { l l } { - ( \kappa ^ { 2 } + F _ { 1 } ) } & { F _ { 1 } } \\ { F _ { 2 } } & { - ( \kappa ^ { 2 } + F _ { 2 } ) } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \hat { \psi } _ { 1 } } \\ { \hat { \psi } _ { 2 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { \hat { q } _ { 1 } } \\ { \hat { q } _ { 2 } } \end{array} \right] .
\Tilde { \Omega } _ { m } ^ { \mathrm { ~ B ~ S ~ E ~ } } = ( \boldsymbol { X } _ { m } ^ { \mathrm { ~ B ~ S ~ E ~ } } ) ^ { \dag } \cdot \Delta \boldsymbol { \Xi } ( \Omega _ { m } ^ { \mathrm { ~ B ~ S ~ E ~ } } ) \cdot \boldsymbol { X } _ { m } ^ { \mathrm { ~ B ~ S ~ E ~ } }
Q E = \frac { \mathrm { ~ \# ~ o ~ f ~ e ~ m ~ i ~ t ~ t ~ e ~ d ~ p ~ h ~ o ~ t ~ o ~ n ~ s ~ } } { \mathrm { ~ \# ~ o ~ f ~ a ~ b ~ s ~ o ~ r ~ b ~ e ~ d ~ p ~ h ~ o ~ t ~ o ~ n ~ s ~ } } = \frac { L ( T \rightarrow 0 , \mu ) } { \alpha \cdot L _ { p u m p } ( T _ { p } ) }
\begin{array} { r } { m d \mathbf { V } ( t ) = - \gamma \mathbf { V } ( t ) d t + \mathbf { F } ( \mathbf { X } ( t ) ) d t + \sigma d \mathbf { W } ( t ) , \; \; \; d \mathbf { X } ( t ) = \mathbf { V } ( t ) d t . } \end{array}
\mathfrak { A } Q _ { x } ^ { 2 } + \mathfrak { B } Q _ { y } ^ { 2 } + \mathfrak { C } Q _ { x } Q _ { y } \equiv \mathbf { Q } _ { \perp } ^ { T } \mathcal { R } _ { \mathbf { \Phi } ( \mathbf { r } _ { A } ) } \mathbf { P } ^ { - 1 } ( \mathbf { r } _ { A } ) \, \mathcal { R } _ { \mathbf { \Phi } ( \mathbf { r } _ { A } ) } ^ { T } \mathbf { Q } _ { \perp } ,
\begin{array} { c l } { { } } & { { \mathrm { R e s } _ { z _ { 2 } = z _ { 1 } \tau ^ { 2 } } \cdots \mathrm { R e s } _ { z _ { n } = z _ { n - 1 } \tau ^ { 2 } } w _ { \alpha _ { 1 } \cdots \alpha _ { n } } ( z _ { 1 } , \cdots , z _ { n } ) } } \\ { { = } } & { { \delta _ { \alpha _ { 1 } n } \delta _ { \alpha _ { 2 } n - 1 } \cdots \delta _ { \alpha _ { n } 1 } z _ { 1 } ^ { n - 1 } ( \tau ^ { 2 } - 1 ) ^ { n - 1 } \tau ^ { ( n - 1 ) ^ { 2 } } \left[ n - 1 \right] ! ~ ~ v ^ { ( n \cdots 2 1 ) } , } } \end{array}
| \Psi _ { \pm } \rangle = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left\{ | 0 , 0 \rangle | \tilde { \Phi } _ { I } \rangle \pm e ^ { i \alpha _ { 0 } } | 1 , 1 \rangle | \tilde { \Phi } _ { I I } \rangle \right\} \, ,
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d z } \left[ \prod _ { \tau } H _ { i \leftarrow \tau } ( z ) \right] = } & { \sum _ { \tau } \left[ \left( \frac { d } { d z } H _ { i \leftarrow \tau } ( z ) \right) \prod _ { \nu \neq \tau } H _ { i \leftarrow \nu } ( z ) \right] } \\ { = } & { \left( \prod _ { \tau } H _ { i \leftarrow \tau } ( z ) \right) \left( \sum _ { \tau } \frac { H _ { i \leftarrow \tau } ^ { \prime } ( z ) } { H _ { i \leftarrow \tau } ( z ) } \right) . } \end{array}
w \approx \left[ { \frac { 2 \epsilon _ { r } \epsilon _ { 0 } } { q } } \left( { \frac { N _ { A } + N _ { D } } { N _ { A } N _ { D } } } \right) \left( V _ { b i } - V \right) \right] ^ { \frac { 1 } { 2 } }
\qquad \mathbf { z } _ { n + 1 } = \mathbf { z } _ { n } + \mathbf { \phi } ( t _ { n } , \mathbf { z } _ { n } ; h _ { n } ) + h _ { n } \sum _ { j = 1 } ^ { s } b _ { j } \mathbf { k } _ { j } , \quad { \mathrm { ~ w i t h ~ } } \quad \mathbf { k } _ { i } = \mathbf { q } ( t _ { n } , \mathbf { z } _ { n } ; { \mathrm { ~ } } t _ { n } + c _ { i } h _ { n } \mathbf { , } \mathbf h _ { n } \sum _ { j = 1 } ^ { i - 1 } a _ { i j } \mathbf { k } _ { j } ) ,
{ \bf I } _ { J } = \operatorname * { l i m } _ { \varepsilon \rightarrow + 0 } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } { \frac { d \lambda } { 2 \pi } } \exp \left\{ { i \lambda \left( { { \bf a } ^ { \dagger } { \bf a } - 2 J } \right) - \varepsilon { \bf a } ^ { \dagger } { \bf a } } \right\}
\begin{array} { r l } { \mathcal { S } = } & { { } \int _ { V } \mathrm { d } r \frac { \sum _ { i } \left\langle J _ { i } ^ { \mathrm { d } } \nabla { \mu } _ { i } ^ { a } \right\rangle } { \epsilon } - \int _ { V } \mathrm { d } r \sum _ { i } \left\langle \frac { \delta } { \delta { \phi _ { i } } } \nabla ^ { 2 } \mu _ { i } ^ { a } \right\rangle \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { E L B O : L _ { \phi } ( \textbf { y } ) } & { = \mathbb { E } _ { q _ { \phi } ( \textbf { x } | \textbf { y } ) } \Big [ \log p ( \textbf { y } , \textbf { x } ) - \log q _ { \phi } ( \textbf { x } | \textbf { y } ) \Big ] } \\ & { = \mathbb { E } _ { q _ { \phi } ( \textbf { x } | \textbf { y } ) } \Big [ \log p ( \textbf { y } , \textbf { x } ) \Big ] + H \Big [ q _ { \phi } ( \textbf { x } | \textbf { y } ) \Big ] } \\ & { \{ r e p a r a m e t e r i z i n g : \textbf { x } = g ( \textbf { z } ; \textbf { y } , \phi ) = N N _ { \phi } ( \textbf { y } ) + d i a g ( N N _ { \phi } ( \textbf { y } ) ) . \textbf { z } \} } \\ & { = \mathbb { E } _ { p ( \textbf { z } ) } \Big [ \log p ( \textbf { y } , g ( \textbf { z } ; \textbf { y } , \phi ) ) \Big ] + \log \Big [ d i a g ( N N _ { \phi } ( \textbf { y } ) ) \sqrt { 2 \pi e } \Big ] } \\ & { = \Big [ \frac { 1 } { N _ { \textbf { z } } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \textbf { z } } } \log p ( \textbf { y } , g ( \textbf { z } ^ { ( i ) } ; \textbf { y } , \phi ) ) \Big ] + \log \Big [ d i a g ( N N _ { \phi } ( \textbf { y } ) ) \sqrt { 2 \pi e } \Big ] } \end{array}
[ \hat { q } ^ { i } , \hat { \Pi } _ { j } ] _ { - } = \hbar \delta _ { j } ^ { i } , \quad [ \hat { \psi } ^ { i } , \hat { \psi } ^ { j } ] _ { + } = \hbar \delta ^ { i j } , [ \hat { \varphi } _ { m } , \hat { \varphi } _ { n } ] _ { + } = \hbar \delta _ { m n }
\begin{array} { r } { f ( \theta ) = \left\{ \begin{array} { l l } & { \frac { \operatorname { t a n h } ^ { - 1 } \! \left( \! \sqrt { 2 \beta ( \alpha ) / ( \beta ( \alpha ) + 1 ) } \cos \theta \right) } { \sqrt { 2 \beta ( \alpha ) ( \beta ( \alpha ) + 1 ) } } \, ; \quad \alpha > 1 \, , } \\ & { \frac { \tan ^ { - 1 } \! \left( \! \sqrt { - 2 \beta ( \alpha ) / ( \beta ( \alpha ) + 1 ) } \cos \theta \right) } { \sqrt { - 2 \beta ( \alpha ) ( \beta ( \alpha ) + 1 ) } } \, ; \quad \alpha < 1 \, \cdot } \end{array} \right. } \end{array}
\frac { s ( t _ { \ell } ^ { \dagger } ) } { s _ { 0 } } \leq \frac { k _ { - 1 } } { k _ { - 1 } + k _ { 2 } } + \frac { k _ { 2 } } { k _ { - 1 } + k _ { 2 } } \exp \left( - \frac { \varepsilon _ { S S l } K _ { M } } { ( K _ { M } + s _ { 0 } ) } ( 1 - \varepsilon _ { S S l } ) \cdot \log \left( \frac { k _ { 1 } K _ { M } } { \varepsilon _ { S S l } k _ { 2 } } \right) \right) .
\begin{array} { r l } { \| \mathrm { t r _ { 0 } } \mathcal { U } \| _ { [ L ^ { 2 } ( \rho _ { x } ^ { - 2 } , \mathbb { R } ^ { d } ) , L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) ] _ { 1 - \beta , 2 } } ^ { 2 } } & { \lesssim \int _ { 0 } ^ { \infty } { y ^ { \alpha } \| \rho _ { x } ^ { - 1 } \mathcal { U } ( y ) \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } ^ { 2 } \, d y } + \int _ { 0 } ^ { \infty } { y ^ { \alpha } \| \partial _ { y } \mathcal { U } ( y ) \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } ^ { 2 } \, d y } } \\ & { \lesssim \| \nabla \mathcal { U } \| _ { L ^ { 2 } ( y ^ { \alpha } , \mathbb { R } ^ { d } \times \mathbb { R } ^ { + } ) } ^ { 2 } , } \end{array}
\int d ^ { 4 } x \operatorname * { d e t } \left| \begin{array} { c c } { { \frac { \partial } { \partial \phi _ { i } } } } & { { \frac { \partial } { \partial \phi _ { j } } } } \\ { { \phi _ { i } } } & { { \phi _ { j } } } \end{array} \right| U ( \phi _ { 1 } , . . . , \phi _ { n } ) \mid _ { _ { \phi ( x ) = \bar { \phi } ( x ) } } = 0
D J ( g ; \varphi ) = \operatorname* { l i m } _ { \delta \to 0 } \frac { J ( g + \delta \varphi ) - J ( g ) } { \delta } = \frac { d J ( g + \delta \varphi ) } { d \delta } | _ { \delta = 0 } , \quad \forall \varphi \in U _ { a d } .
g ( y _ { i } , X _ { i } , \beta ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \vert \varepsilon _ { i } - X _ { i } ^ { T } ( \beta - \beta ^ { 0 } ) \vert ^ { 2 } } & { \mathrm { Q u a d r a t i c ~ l o s s , ~ } } \\ { H ( \varepsilon _ { i } - X _ { i } ^ { T } ( \beta - \beta ^ { 0 } ) ) } & { \mathrm { H u b e r ~ l o s s , } } \\ { \vert \varepsilon _ { i } - X _ { i } ^ { T } ( \beta - \beta ^ { 0 } ) \vert _ { \alpha } } & { \mathrm { Q u a n t i l e ~ l o s s , } } \end{array} \right.
\left[ \begin{array} { l l } { { a + b i } } & { { c + d i } } \\ { { e + f i } } & { { g + h i } } \end{array} \right] \mapsto \left[ \begin{array} { l l l l } { a } & { { - b } } & { c } & { { - d } } \\ { b } & { a } & { d } & { c } \\ { e } & { { - f } } & { g } & { { - h } } \\ { f } & { e } & { h } & { g } \end{array} \right]
{ \begin{array} { r l } { \mathrm { l e n g t h } ( a b ) } & { { } = { \sqrt { \left( d x + { \frac { \partial u _ { x } } { \partial x } } d x \right) ^ { 2 } + \left( { \frac { \partial u _ { y } } { \partial x } } d x \right) ^ { 2 } } } } \end{array} } \,