harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\gamma \equiv \left( \begin{array} { c c } { { \gamma _ { \Sigma } } } & { { \gamma _ { q \to G } } } \\ { { \gamma _ { G \to q } } } & { { \gamma _ { G \to G } } } \end{array} \right) \, \, \, \, \, , \, \, \, M \equiv \left( \begin{array} { c } { { \frac { 1 } { 2 N _ { F } } M _ { \Sigma } } } \\ { { M _ { G } } } \end{array} \right) \nonumber
U _ { q } = \left( \begin{array} { c c } { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { e ^ { i \delta _ { q } } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { { c _ { q } } } & { { s _ { q } } } \\ { { - s _ { q } } } & { { c _ { q } } } \end{array} \right) \ ,
M _ { R } = \left( \begin{array} { c c c } { { \lambda ^ { 1 5 } } } & { { \lambda ^ { 1 1 } } } & { { \lambda ^ { 7 } } } \\ { { \lambda ^ { 1 1 } } } & { { \lambda ^ { 1 0 } } } & { { 0 } } \\ { { \lambda ^ { 7 } } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) v _ { R }
P = \left\{ \begin{array} { l l } { P _ { \mathrm { E o S } } ( \rho ) } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \rho \leq \rho _ { v } } \\ { P _ { 0 } ( \rho _ { v } ) + \theta _ { m } ( \rho - \rho _ { v } ) ( \rho - \rho _ { l } ) ( \rho - \rho _ { m } ) } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \rho _ { v } \leq \rho \leq \rho _ { l } } \\ { P _ { \mathrm { E o S } } ( \rho ) } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \rho _ { l } \leq \rho } \end{array} \right.
\frac { \delta { \it S } _ { g r } } { \delta \tilde { g } ^ { \mu \nu } } = R _ { \alpha \beta } - \frac { 1 } { 2 } R g _ { \alpha \beta } \frac { 2 r + 1 } { 4 r + 1 } + \Lambda g _ { \alpha \beta } \frac { 1 } { 4 r + 1 } = 0
\tilde { V } _ { t t ^ { * } } ^ { x } ( \tilde { S } _ { t t ^ { * } } ^ { x } ) \leftarrow \frac { 1 } { \sum _ { \tilde { W } _ { t , t ^ { * } + 1 } \in \tilde { \Omega } _ { t , t ^ { * } + 1 } ^ { e } ( \tilde { S } _ { t t ^ { * } } ^ { x } ) } p ( \tilde { W } _ { t , t ^ { * } + 1 } ) } \cdot E _ { g } [ p ( \tilde { W } _ { t , t ^ { * } + 1 } ) / g ( \tilde { W } _ { t , t ^ { * } + 1 } ) \tilde { V } _ { t t ^ { * } } ( S ^ { M , x } ( \tilde { S } _ { t t ^ { * } } ^ { x } , { \tilde { W } _ { t , t ^ { * } + 1 } } ) ) ]
\begin{array} { r l } { \sigma ( J _ { i } , M _ { i } , q ) } & { { } = \zeta \sum _ { J _ { f } } \sum _ { M _ { f } } \sum _ { m _ { s } } \int \mathrm { d } \Omega _ { k } | \langle J _ { f } M _ { f } | \langle \psi _ { c } | \hat { D } _ { q } | J _ { i } M _ { i } \rangle | ^ { 2 } } \end{array}
{ \left[ \begin{array} { l l l } { 1 } & { 3 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] } + { \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 5 } \\ { 7 } & { 5 } & { 0 } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l l } { 1 + 0 } & { 3 + 0 } & { 1 + 5 } \\ { 1 + 7 } & { 0 + 5 } & { 0 + 0 } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l l } { 1 } & { 3 } & { 6 } \\ { 8 } & { 5 } & { 0 } \end{array} \right] }
Z = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { \omega } } \\ { { \star } } & { { 0 } } \end{array} \right) , \quad { \overline { { Z } } } = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { \star } } \\ { { { \tilde { \omega } } } } & { { 0 } } \end{array} \right)
P _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ u ~ s ~ } } = \operatorname* { m i n } \{ 1 , \frac { 1 - \lambda _ { k } } { \lambda _ { k } } \frac { \operatorname* { d e t } ( g _ { C } ^ { s _ { 1 } , s _ { 2 } } ) } { \operatorname* { d e t } ( g _ { C + i } ^ { s _ { 1 } , s _ { 2 } } ) } \}
{ \frac { \partial \mathbf { u } } { \partial t } } + \left( \mathbf { u } \cdot \nabla \right) \mathbf { u } = - { \frac { 1 } { \rho _ { 0 } } } \nabla ( p - \rho _ { 0 } \mathbf { g } \cdot \mathbf { z } ) + \nu \nabla ^ { 2 } \mathbf { u } - \mathbf { g } \alpha ( T - T _ { 0 } ) .
\Pi ^ { \mu \nu } = \frac { 1 } { 3 } \sum _ { \lambda } e ^ { \mu * } ( p , \lambda ) e ^ { \nu } ( p , \lambda ) = \frac { 1 } { 3 } \left( \frac { p ^ { \mu } p ^ { \nu } } { M ^ { 2 } } - g ^ { \mu \nu } \right) .
( \mathbf { v } \times \mathbf { B } ) \cdot \mathrm { d } \mathbf { l } = ( ( \mathbf { v } _ { t } + \mathbf { v } _ { l } ) \times \mathbf { B } ) \cdot \mathrm { d } \mathbf { l } = ( \mathbf { v } _ { t } \times \mathbf { B } + \mathbf { v } _ { l } \times \mathbf { B } ) \cdot \mathrm { d } \mathbf { l } = ( \mathbf { v } _ { l } \times \mathbf { B } ) \cdot \mathrm { d } \mathbf { l }
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { T } ( \theta , \mathcal { S } ) ^ { 2 } } & { { } = \mathcal { E } _ { T } ^ { i n t 1 } ( \theta , \mathcal { S } _ { i n t } ) ^ { 2 } + \mathcal { E } _ { T } ^ { i n t 2 } ( \theta , \mathcal { S } _ { i n t } ) ^ { 2 } + \mathcal { E } _ { T } ^ { i n t 3 } ( \theta , \mathcal { S } _ { i n t } ) ^ { 2 } + \mathcal { E } _ { T } ^ { t b 1 } ( \theta , \mathcal { S } _ { t b } ) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { u ( x , y , t ) = } & { { } \bar { f } x \sec ( \bar { f } t ) - \bar { f } x \tan ( \bar { f } t ) + y \left[ \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \tan ( \bar { f } t ) - \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \sec ( \bar { f } t ) \right] , } \\ { v ( x , y , t ) = } & { { } - \bar { f } x , } \\ { h ( x , y , t ) = } & { { } \frac { h _ { 0 } } { \bar { f } } \left[ \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \tan ( \bar { f } t ) - \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \sec ( \bar { f } t ) \right] . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } & { a w + a ^ { * } w ^ { * } = 1 \Longleftrightarrow 2 \operatorname { R e } \{ a w \} = 1 \Longleftrightarrow \operatorname { R e } \{ a \} \operatorname { R e } \{ w \} - \operatorname { I m } \{ a \} \operatorname { I m } \{ w \} = { \frac { 1 } { 2 } } } \\ { \Longleftrightarrow } & { \operatorname { I m } \{ w \} = { \frac { \operatorname { R e } \{ a \} } { \operatorname { I m } \{ a \} } } \cdot \operatorname { R e } \{ w \} - { \frac { 1 } { 2 \cdot \operatorname { I m } \{ a \} } } . } \end{array} }
\nabla \times { \bf V = } 2 \pi \sum _ { i = 1 } ^ { m } \beta _ { i } \eta _ { i } \int _ { L _ { i } } \delta ^ { 3 } ( \vec { r } - \vec { r } _ { i } ( v ) ) \frac { \vec { D } ( \frac \phi x ) } { D ( \phi / u ) _ { \Sigma } } d v .
\begin{array} { r l } { s _ { n } } & { { } \leq H _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } ^ { \varepsilon _ { \mathrm { ~ s ~ } } } ( B ^ { n } | E ^ { n } ) _ { \sigma ^ { n } } + 2 \log _ { 2 } ( 2 \varepsilon _ { \mathrm { ~ h ~ } } ) } \end{array}
{ \hat { p } } \pm z ^ { * } { \sqrt { \frac { { \hat { p } } ( 1 - { \hat { p } } ) } { n } } } \Rightarrow ( 0 . 6 8 ) \pm ( 1 . 9 6 ) { \sqrt { \frac { ( 0 . 6 8 ) ( 1 - 0 . 6 8 ) } { ( 4 0 0 ) } } } \Rightarrow 0 . 6 8 \pm 1 . 9 6 { \sqrt { 0 . 0 0 0 5 4 4 } }
\Gamma _ { 4 V } ^ { [ r , 0 ] } \ = \ - ( C _ { 1 } ^ { [ r ] } ) _ { 2 V , 2 V } \ - ( C _ { 2 } ^ { [ r ] } ) _ { 2 V , 2 V } \ - ( C _ { 3 } ^ { [ r ] } ) _ { 2 V , 2 V } \ + V _ { 4 V } ^ { [ r , 0 ] } ,
\begin{array} { r } { p _ { W _ { 1 } C _ { 2 } } ( N , w , c ) = \langle N [ \phi ] | \delta \bigl ( \hat { W } _ { 1 } - w \bigr ) \delta \bigl ( \hat { C } _ { 2 } - c \bigr ) | N [ \phi ] \rangle . } \end{array}
\nabla _ { x , y , \lambda } { \mathcal { L } } ( x , y , \lambda ) = 0 \quad \iff \quad { \left\{ \begin{array} { l l } { 2 x y + 2 \lambda x = 0 } \\ { x ^ { 2 } + 2 \lambda y = 0 } \\ { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 3 = 0 } \end{array} \right. } \quad \iff \quad { \left\{ \begin{array} { l l } { x ( y + \lambda ) = 0 } & { { \mathrm { ( i ) } } } \\ { x ^ { 2 } = - 2 \lambda y } & { { \mathrm { ( i i ) } } } \\ { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 3 } & { { \mathrm { ( i i i ) } } } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } { \mathbf { M } \mathbf { W } } & { = - \mathbf { H } \mathbf { \Lambda } } \\ { \left( \mathbf { H } ^ { \dagger } \mathbf { M } ^ { - 1 } \right) \mathbf { M } \mathbf { W } } & { = - \left( \mathbf { H } ^ { \dagger } \mathbf { M } ^ { - 1 } \right) \mathbf { H } \mathbf { \Lambda } } \\ { \mathbf { H } ^ { \dagger } \mathbf { W } } & { = - \left( \mathbf { H } ^ { \dagger } \mathbf { M } ^ { - 1 } \mathbf { H } \right) \mathbf { \Lambda } . } \end{array}
\begin{array} { l } { B = 2 a _ { 2 1 } ^ { 2 } ( - 2 \gamma _ { 1 1 } a _ { 1 2 } \gamma _ { 2 1 } + a _ { 1 2 } a _ { 1 1 } \gamma _ { 2 1 } ] \gamma _ { 2 2 } - 2 a _ { 1 1 } \gamma _ { 1 1 } \gamma _ { 2 2 } - 2 a _ { 1 2 } a _ { 2 1 } \gamma _ { 1 1 } \gamma _ { 2 2 } ) + 4 a _ { 1 1 } ^ { 2 } \gamma _ { 2 1 } ^ { 2 } } \\ { - 4 a _ { 2 1 } ( a _ { 1 1 } \gamma _ { 1 1 } \gamma _ { 2 1 } - a _ { 1 2 } a _ { 1 1 } \gamma _ { 2 1 } ^ { 2 } - a _ { 1 1 } ^ { 2 } \gamma _ { 2 2 } \gamma _ { 2 1 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { D _ { t } ^ { * } \rho = - \rho \partial _ { \alpha } u _ { \alpha } , } \\ & { D _ { t } ^ { * } u _ { \alpha } = - \frac { 1 } { \rho } \partial _ { \alpha } p , } \\ & { D _ { t } ^ { * } p = - \frac { 5 } { 3 } p ( \partial _ { \alpha } u _ { \alpha } ) - \frac { 2 } { 3 } ( \partial _ { \alpha } q _ { \alpha } ) . } \\ & { D _ { t } ^ { * } q _ { \alpha } = - \frac { 5 } { 2 } R p \partial _ { \alpha } T - \frac { 7 } { 5 } q _ { \alpha } \partial _ { \beta } u _ { \beta } - \frac { 7 } { 5 } q _ { \beta } \partial _ { \beta } u _ { \alpha } - \frac { 2 } { 5 } q _ { \beta } \partial _ { \alpha } u _ { \beta } + R _ { \alpha } ^ { q \mathcal { G } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \beta } ^ { 0 0 } ( t _ { d } ) = } & { \gamma ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { t _ { d } } d t _ { 1 } \int _ { 0 } ^ { t _ { d } } d t _ { 2 } f _ { 0 } ( t _ { 1 } ) f _ { 0 } ( t _ { 2 } ) } \\ & { \hphantom { \gamma ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { t _ { d } } d t _ { 1 } \int _ { 0 } ^ { t _ { d } } d t _ { 2 } f _ { G } } \times \left\langle \Delta \boldsymbol { x } ( t _ { 1 } ) \Delta \boldsymbol { x } ( t _ { 2 } ) \right\rangle } \\ { = } & { \gamma ^ { 2 } \int _ { \mathbb { - \infty } } ^ { \infty } \frac { d \omega } { 2 \pi } \left| F _ { 0 } ( \omega , t _ { d } ) \right| ^ { 2 } \boldsymbol { S } ( \omega ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi = } & { { } \frac { x - Q _ { n - m } } { \sqrt { 2 } \sigma _ { n - m } } , } \\ { \omega = } & { { } \frac { x - Q _ { n - m } - \alpha \sigma _ { n - m } ^ { 2 } } { \sqrt { 2 } \sigma _ { n - m } } . } \end{array}
P _ { i j } ( k ^ { ( 0 ) } ) = P _ { 1 1 } ( k ^ { ( 0 ) } ) \delta _ { i j } \, , \qquad P _ { i 4 } ( k ^ { ( 0 ) } ) = P _ { 4 j } ( k ^ { ( 0 ) } ) = 0 \, , \quad i , j = 1 , 2 , 3 \, ,
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { \| b _ { e } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \boldsymbol { w } _ { h } \| _ { 0 , e } ^ { 2 } = \left\langle \boldsymbol { w } _ { h } , b _ { e } \boldsymbol { w } _ { h } \right\rangle _ { e } } } \\ & { = } & { \left\langle [ [ \alpha { p } _ { h } ] ] _ { e } , \tilde { \boldsymbol { w } } _ { b } \right\rangle _ { e } } \\ & { = } & { \left\langle [ [ \alpha ( p _ { h } - \mathrm { c u r l } ~ \boldsymbol { u } ) ] ] _ { e } , \tilde { \boldsymbol { w } } _ { b } \right\rangle _ { e } } \\ & { = } & { \sum _ { \tau \in \omega _ { e } } \left[ \left( \boldsymbol { c u r l } \left( \alpha ( p _ { h } - \mathrm { c u r l } ~ \boldsymbol { u } ) \right) , \tilde { \boldsymbol { w } } _ { b } \right) _ { \tau } - \left( \alpha ( p _ { h } - \mathrm { c u r l } ~ \boldsymbol { u } ) , \mathrm { c u r l } ~ \tilde { \boldsymbol { w } } _ { b } \right) _ { \tau } \right] } \\ & { = } & { \sum _ { \tau \in \omega _ { e } } \left[ \left( \boldsymbol { c u r l } ~ \alpha p _ { h } - \boldsymbol { c u r l } ~ \alpha \mathrm { c u r l } ~ \boldsymbol { u } + \boldsymbol { f } - \boldsymbol { f } + \beta \boldsymbol { u } - \beta \boldsymbol { u } + \beta \boldsymbol { u } _ { h } - \beta \boldsymbol { u } _ { h } , \tilde { \boldsymbol { w } } _ { b } \right) _ { \tau } \right. } \\ & { } & { \left. - \left( \alpha ( p _ { h } - \mathrm { c u r l } ~ \boldsymbol { u } ) , \mathrm { c u r l } ~ \tilde { \boldsymbol { w } } _ { b } \right) _ { \tau } \right] } \\ & { = } & { \sum _ { \tau \in \omega _ { e } } \left[ \left( \boldsymbol { c u r l } ~ \alpha p _ { h } + \beta \boldsymbol { u } _ { h } - \boldsymbol { f } , \tilde { \boldsymbol { w } } _ { b } \right) _ { \tau } + \left( \beta \boldsymbol { u } - \beta \boldsymbol { u } _ { h } , \tilde { \boldsymbol { w } } _ { b } \right) _ { \tau } \right. } \\ & { } & { \left. - \left( \alpha ( p _ { h } - \mathrm { c u r l } ~ \boldsymbol { u } ) , \mathrm { c u r l } ~ \tilde { \boldsymbol { w } } _ { b } \right) _ { \tau } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { c } _ { \mathrm { ~ I ~ S ~ A ~ I ~ R ~ } } ^ { ( k ) } = \hat { c } _ { \mathrm { ~ A ~ I ~ R ~ } } ( \widetilde { F } ^ { ( k ) } , \widetilde { F } ^ { ( k - 1 ) } , \tilde { \pi } ^ { ( k ) } , \tilde { \pi } ^ { ( k - 1 ) } ) \times c _ { \mathrm { ~ I ~ S ~ } } ^ { ( k ) } } \end{array}
\nabla \varphi \times ( \nabla \varphi \times [ \mathbf { H } ] ) - { \frac { \varepsilon } { c } } \, \varphi _ { t } \, ( \nabla \varphi \times [ \mathbf { E } ] ) = ( \nabla \varphi \cdot [ \mathbf { H } ] ) \, \nabla \varphi - \| \nabla \varphi \| ^ { 2 } \, [ \mathbf { H } ] + { \frac { \varepsilon \mu } { c ^ { 2 } } } \varphi _ { t } ^ { 2 } \, [ \mathbf { H } ] = 0
\left\{ \begin{array} { l } { \partial _ { i } \left( \rho \left( m ^ { - 1 } \right) _ { i j } \partial _ { j } \phi \right) - \nabla \cdot ( \rho \tilde { \Omega } \times r ) = 0 } \\ { \frac { 1 } { 2 } \left( m ^ { - 1 } \right) _ { i j } m ^ { - 1 } \partial _ { i } \phi \partial _ { j } \phi + \frac { V } { m } + \frac { g \rho } { m } - v \cdot ( \tilde { \Omega } \times r ) = 0 } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r l } { \partial _ { t } \rho + \nabla \cdot ( \rho \mathbf v ) } & { = 0 } & { \rho } & { \colon \mathbb R _ { 0 } ^ { + } \times \mathbb R ^ { d } \to \mathbb R ^ { + } } \\ { \partial _ { t } ( \rho \mathbf v ) + \nabla \cdot ( \rho \mathbf v \otimes \mathbf v + p \mathbb { 1 } ) } & { = 0 } & { \mathbf v } & { \colon \mathbb R _ { 0 } ^ { + } \times \mathbb R ^ { d } \to \mathbb R ^ { d } } \\ { \partial _ { t } e + \nabla \cdot ( \mathbf v ( e + p ) ) } & { = 0 } & { p } & { \colon \mathbb R _ { 0 } ^ { + } \times \mathbb R ^ { d } \to \mathbb R ^ { + } } \end{array}
{ \frac { d ( P _ { 2 } / T ) } { d t } } \simeq { \frac { P _ { 2 } } { T } } \left[ { \frac { 5 . 5 T ^ { 2 } } { M _ { P } } } - { \frac { 1 } { L _ { 2 } } } { \frac { d L _ { 2 } } { d t } } \right] .
\operatorname { L i } _ { 2 } ( 1 - z ) + \operatorname { L i } _ { 2 } \left( 1 - { \frac { 1 } { z } } \right) = - { \frac { 1 } { 2 } } ( \ln z ) ^ { 2 } \qquad ( z \not \in ~ ] - \infty ; 0 ] ) ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \tau b _ { - } \left[ \left( 1 - \frac { \omega _ { * i } } { \omega } \right) _ { - } \frac { ( 1 - \Gamma _ { - } ) } { b _ { - } } \delta \phi _ { - } - \left( \frac { V _ { A } ^ { 2 } k _ { \parallel } b k _ { \parallel } } { b \omega ^ { 2 } } \right) _ { - } \delta \psi _ { - } \right] } \\ & { = } & { i \frac { \Lambda _ { 0 } ^ { s } } { 2 \omega _ { - } } \gamma _ { - } \delta \phi _ { s } \delta \phi _ { 0 } ^ { * } , } \end{array}
\beta = \left( \frac { 1 } { 2 \sqrt { 2 } } \frac { ( 1 - R ) I _ { 0 } ( f ) L _ { e f f } } { 1 + \left( \frac { d _ { s } - f } { z _ { 0 } ( f ) } \right) ^ { 2 } } \right) ^ { - 1 } \left( 1 - T \right) .
\begin{array} { r l } { D _ { A } ^ { z } \equiv } & { ~ \sigma _ { A } ^ { \dagger } \sigma _ { A } - \sigma _ { A } \sigma _ { A } ^ { \dagger } + \sigma _ { 4 4 } - \sigma _ { 3 3 } + \sigma _ { 2 2 } - \sigma _ { 1 1 } } \\ { = } & { D _ { A } ^ { \dagger } D _ { A } - D _ { A } D _ { A } ^ { \dagger } } \\ { D _ { B } ^ { z } \equiv } & { ~ \sigma _ { B } ^ { \dagger } \sigma _ { B } - \sigma _ { B } \sigma _ { B } ^ { \dagger } + \sigma _ { 4 4 } - \sigma _ { 2 2 } + \sigma _ { 3 3 } - \sigma _ { 1 1 } } \\ { = } & { D _ { B } ^ { \dagger } D _ { B } - D _ { B } D _ { B } ^ { \dagger } . } \end{array}
0 = \sum _ { m = 1 } ^ { N } \frac { e _ { m } ^ { * } \tilde { e } _ { m } ( \lambda _ { i } - \lambda _ { j } ) } { \big ( \lambda _ { m } - \lambda _ { i } + \mathrm { i } \big ) \big ( \lambda _ { m } - \lambda _ { j } + \mathrm { i } \big ) } = \sum _ { m = 1 } ^ { N } \frac { e _ { m } ^ { * } \tilde { e } _ { m } } { \big ( \lambda _ { m } - \lambda _ { i } + \mathrm { i } \big ) } - \sum _ { m = 1 } ^ { N } \frac { e _ { m } ^ { * } \tilde { e } _ { m } } { \big ( \lambda _ { m } - \lambda _ { j } + \mathrm { i } \big ) } .
C ( R ) \; \approx \; 2 ( N _ { c } ^ { 2 } - 1 ) \left( { \frac { \lambda _ { G ^ { 2 } } } { m _ { \mathrm { e l } } ^ { 3 } } } \right) ^ { 2 } \left( { \frac { e ^ { - m _ { \mathrm { m a g } } R } } { 4 \pi R ^ { 3 } } } \right) ^ { 2 } \left[ 6 + 1 2 m _ { \mathrm { m a g } } R + 1 0 ( m _ { \mathrm { m a g } } R ) ^ { 2 } + 4 ( m _ { \mathrm { m a g } } R ) ^ { 3 } \right]
\begin{array} { r l } { v _ { p h } ^ { ( L ) , ( \infty ) } = } & { \pm \sqrt { \frac { 4 { \hat { c } _ { v } } + 7 + F } { 2 ( 1 + \hat { c } _ { v } ) } } c _ { s } , } \\ { \alpha ^ { ( L ) , ( \infty ) } = } & { \pm \frac { \sqrt { 2 ( 1 + { \hat { c } _ { v } } ) ^ { 3 } } \left\{ F \left( 4 + { \hat { c } _ { v } } \right) - 2 2 - 1 1 { \hat { c } _ { v } } + 2 { \hat { c } _ { v } } ^ { 2 } \right\} } { 9 \hat { c } _ { v } \tau _ { \sigma } c _ { s } \sqrt { 7 + 4 { \hat { c } _ { v } } + F } \left( 7 + 4 { \hat { c } _ { v } } - F \right) ^ { 2 } F } } \\ & { \quad \left\{ 4 { \hat { c } _ { v } } + \frac { 3 { \hat { c } _ { v } } \left( 8 + 2 { \hat { c } _ { v } } - F \right) } { \hat { \tau } _ { q } } + \frac { - 3 + 2 { \hat { c } _ { v } } } { \hat { \tau } _ { \Pi } } \right\} , } \end{array}
s = \left( \begin{array} { c c } { \exp \left[ \frac { i } { 2 } \nu \tau _ { b } \right] s _ { d } ^ { 2 } - \exp \left[ - \frac { i } { 2 } \nu \tau _ { b } \right] \left\vert s _ { a } \right\vert ^ { 2 } } & { - i \exp \left[ \frac { i } { 2 } \nu \tau _ { b } \right] s _ { a } s _ { d } - i \exp \left[ - \frac { i } { 2 } \nu \tau _ { b } \right] s _ { a } s _ { d } ^ { \ast } } \\ { - i \exp \left[ \frac { i } { 2 } \nu \tau _ { b } \right] s _ { a } ^ { \ast } s _ { d } - i \exp \left[ - \frac { i } { 2 } \nu \tau _ { b } \right] s _ { a } ^ { \ast } s _ { d } ^ { \ast } } & { \exp \left[ - \frac { i } { 2 } \nu \tau _ { b } \right] s _ { d } ^ { \ast 2 } - \exp \left[ \frac { i } { 2 } \nu \tau _ { b } \right] \left\vert s _ { a } \right\vert ^ { 2 } } \end{array} \right) .
\frac { \partial c _ { \ell } } { \partial \zeta } \cong \frac { { \left( c _ { \ell } \right) } _ { j + 1 } ^ { n } - { \left( c _ { \ell } \right) } _ { j - 1 } ^ { n } } { 2 \triangle \zeta } , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \ell = 1 , 2
\begin{array} { r l } { r _ { i } } & { { } = \left( \frac { 3 \mathrm { I } _ { \circ } G } { R ^ { 5 } } \right) \frac { \alpha ^ { 2 } } { ( \gamma + \alpha ) ^ { 2 } } \left( \frac { 1 } { \eta } + \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { \eta _ { i } } \right) \times A _ { i } , } \\ { k _ { E } } & { { } = \left( \frac { 3 \mathrm { I } _ { \circ } G } { R ^ { 5 } } \right) \frac { 1 } { \gamma + \alpha } . } \end{array}
\langle \chi _ { k ^ { \prime } } | [ P _ { A \alpha } , H _ { \mathrm { e } } ] | \chi _ { k } \rangle _ { ( \mathbf { r } ) } = i Z _ { A } \sum _ { i } \left\langle \chi _ { k ^ { \prime } } \left| { \frac { ( \mathbf { r } _ { i A } ) _ { \alpha } } { r _ { i A } ^ { 3 } } } \right| \chi _ { k } \right\rangle _ { ( \mathbf { r } ) } \quad { \mathrm { w i t h } } \quad \mathbf { r } _ { i A } \equiv \mathbf { r } _ { i } - \mathbf { R } _ { A } .
\begin{array} { r l } { R _ { n } } & { = \left[ \begin{array} { l l l } { 0 _ { 4 \ell \times 4 \ell } } & { 0 _ { 4 \ell \times 4 \ell } } & { \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { \Gamma _ { n } } \\ { \Gamma _ { n } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } \\ { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { \Gamma _ { n } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } \\ { 0 _ { \ell \times \ell } } & { \Gamma _ { n } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } \end{array} \right] } \\ { \left[ \begin{array} { l l l l } { \Gamma _ { n } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } \\ { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { \Gamma _ { n } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } \\ { 0 _ { \ell \times \ell } } & { \Gamma _ { n } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } \\ { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { \Gamma _ { n } } \end{array} \right] } & { 0 _ { 4 \ell \times 4 \ell } } & { 0 _ { 4 \ell \times 4 \ell } } \\ { 0 _ { 4 \ell \times 4 \ell } } & { \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 _ { \ell \times \ell } } & { \Gamma _ { n } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } \\ { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { \Gamma _ { n } } \\ { \Gamma _ { n } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } \\ { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { \Gamma _ { n } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } \end{array} \right] } & { 0 _ { 4 \ell \times 4 \ell } } \end{array} \right] + P _ { \alpha _ { n } } ( 1 ) , } \end{array}
\| J _ { Z } ( \lambda , t ) - I \| = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathcal { O } ( \mathrm { e } ^ { - c t } ) , } & { \qquad \lambda \in \gamma _ { 1 } \cup \gamma _ { \pm 2 } \, \, \textrm { o u t s i d e t h e d i s c } \, \, D ( - 2 \lambda _ { 0 } , \delta ) } \\ { \mathcal { O } ( t ^ { - 1 } ) , } & { \qquad \lambda \in \partial D ( - 2 \lambda _ { 0 } , \delta ) . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { a _ { 1 } } & { = ( \tilde { \omega } _ { A } + \tilde { \omega } _ { D _ { 1 } } ) / 2 , } \\ { a _ { 2 } } & { = ( \tilde { \omega } _ { A } + \tilde { \omega } _ { D _ { 2 } } ) / 2 , } \\ { a _ { 3 } } & { = b _ { 1 } = V _ { 2 } / 2 , } \\ { a _ { 4 } } & { = b _ { 2 } = V _ { 1 } / 2 , } \\ { b _ { 3 } } & { = - ( \tilde { \omega } _ { D _ { 1 } } + \tilde { \omega } _ { D _ { 2 } } ) / 2 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \lambda _ { n } \| _ { 1 } = } & { { } \frac { 1 } { 4 } \sum _ { \alpha } ( d _ { \alpha } - b _ { \alpha } ) ^ { 2 } , } \\ { \| \lambda _ { n } \| _ { \infty } = } & { { } \frac { 1 } { 2 } \operatorname* { s u p } _ { \alpha } ( d _ { \alpha } - b _ { \alpha } ) . } \end{array}
\Delta G = - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { 1 / \epsilon _ { i n } } { \epsilon _ { o u t } } \right) \sum _ { i , j } \frac { q _ { i } q _ { j } } { \sqrt { r _ { i j } + R _ { i } R _ { j } e x p \left( \frac { - r _ { i j } ^ { 2 } } { 4 R _ { i } R _ { j } } \right) } }
1 4 \mathrm { B } 9 _ { \mathrm { h e x } } = ( 1 \times 1 6 ^ { 3 } ) + ( 4 \times 1 6 ^ { 2 } ) + ( \mathrm { B } \times 1 6 ^ { 1 } ) + ( 9 \times 1 6 ^ { 0 } ) \qquad ( = 5 3 0 5 _ { \mathrm { d e c } } ) ,
\begin{array} { r l } { H _ { i j } = } & { { } \frac { 1 - 3 \cos ^ { 2 } \theta _ { i j } } { 2 R _ { i j } ^ { 3 } } \left( 2 \hat { d } _ { 0 } \hat { d } _ { 0 } + \hat { d } _ { 1 } \hat { d } _ { - 1 } + \hat { d } _ { - 1 } \hat { d } _ { 1 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { T _ { \rightarrow } = | \langle a _ { 2 } ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } / a _ { 1 } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } \rangle | ^ { 2 } = | S _ { 2 1 } ( \omega ) | ^ { 2 } = \gamma _ { 1 } \gamma _ { 2 } | C _ { 1 } | ^ { 2 } , } \\ { T _ { \leftarrow } = | \langle a _ { 1 } ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } / a _ { 2 } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } \rangle | ^ { 2 } = | S _ { 1 2 } ( \omega ) | ^ { 2 } = \gamma _ { 1 } \gamma _ { 2 } | A _ { 2 } | ^ { 2 } , } \end{array}