harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \rho ^ { ( 2 ) } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } & { = \frac { ( 6 \pi ^ { 2 } ) ^ { 2 / 3 } } { 5 } \rho ^ { 8 / 3 } | x _ { 1 } - x _ { 2 } | ^ { 2 } \biggl ( 1 - \frac { 3 ( 6 \pi ^ { 2 } ) ^ { 2 / 3 } } { 3 5 } \rho ^ { 2 / 3 } | x _ { 1 } - x _ { 2 } | ^ { 2 } } \\ & { \qquad + O ( N ^ { - 1 / 3 } ) + O ( s ^ { - 2 } ) + O ( N ^ { - 1 / 3 } \rho ^ { 2 / 3 } | x _ { 1 } - x _ { 2 } | ^ { 2 } ) + O ( \rho ^ { 4 / 3 } | x _ { 1 } - x _ { 2 } | ^ { 4 } ) \biggr ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \log p _ { x } ( \mathbf { x } ) } \\ & { = \mathbb { E } _ { q _ { a } } [ \log p ( \mathbf { x } , \mathbf { a } ) ] + D _ { \operatorname { K L } } [ q ( \mathbf { a } ) | | p ( \mathbf { a } | \mathbf { x } ) ] + H _ { a } } \\ & { \geq \mathbb { E } _ { q _ { a } } [ \log p ( \mathbf { x } , \mathbf { a } ) ] + H _ { a } , } \end{array}
\eta = \frac { \left| \int _ { A } E _ { \mathrm { R S O A } } ^ { * } \cdot E _ { \mathrm { t a p e r } } d A \right| ^ { 2 } } { \int _ { A } { \left| E _ { \mathrm { R S O A } } \right| ^ { 2 } d A \cdot \int _ { A } \left| E _ { \mathrm { t a p e r } } \right| ^ { 2 } d A } } ,
\frac { 1 } { \Delta t } \int _ { \Omega } \mathrm { D } _ { \Delta t } u _ { i } ( t _ { k } ) \phi _ { i } \mathrm { d } x + \int _ { \Omega } ( \gamma \nabla u _ { i } + u _ { i } \nabla p _ { i } ( u ) ) ( t _ { k } ) \cdot \nabla \phi _ { i } \mathrm { d } x = \frac { ( \Delta t ) ^ { 2 } } { 3 } \int _ { \Omega } \partial _ { t } ^ { 3 } u _ { i } ( \xi _ { k } ) \phi _ { i } \mathrm { d } x .
A _ { i } ^ { ( 2 ) } = A _ { i } ^ { ( 2 ) } | _ { M _ { W } = 0 } + { \frac { M _ { W } ^ { 2 } } { M _ { t } ^ { 2 } } } \, A _ { i } ^ { ( 2 ) } | _ { M _ { W } ^ { 2 } } + { \frac { M _ { W } ^ { 4 } } { M _ { t } ^ { 4 } } } \, A _ { i } ^ { ( 2 ) } | _ { M _ { W } ^ { 4 } } + \ldots \, ,
{ \dot { \mathbf { S } } } ( t ) = - \mathbf { S } ( t ) \mathbf { A } - \mathbf { A } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { S } ( t ) + \mathbf { S } ( t ) \mathbf { B } \mathbf { R } ^ { - 1 } \mathbf { B } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { S } ( t ) - \mathbf { Q }
( \alpha _ { 2 } ^ { 0 } - \beta _ { 2 } ^ { 0 } ) ( \alpha _ { 1 } ^ { 0 } + \beta _ { 1 } ^ { 0 } ) - ( \alpha _ { 2 } ^ { 0 } + \beta _ { 2 } ^ { 0 } ) ( \alpha _ { 1 } ^ { 0 } - \beta _ { 1 } ^ { 0 } ) = 0
g = \left( \! \! \begin{array} { c } { { X _ { 0 } + i X _ { 3 } \ X _ { 1 } - i X _ { 2 } } } \\ { { X _ { 1 } + i X _ { 2 } \ X _ { 0 } - i X _ { 3 } } } \end{array} \! \! \right) = \sum _ { a = 0 } ^ { 3 } X _ { a } \tau _ { a } \, ,
{ \cal Z } = \int d \mu ( z ) \left[ e ^ { - \beta g { \ensuremath { \mu _ { \mathrm { B } } } } s B _ { z } } \left( \frac { e ^ { \beta g \mu _ { B } B _ { z } } + | z | ^ { 2 } } { 1 + | z | ^ { 2 } } \right) ^ { 2 s } \right] ,
{ \bf H } _ { \mathrm { ~ K ~ a ~ g ~ o ~ m ~ e ~ G ~ r ~ a ~ p ~ h ~ e ~ n ~ e ~ } } ^ { \mathrm { ~ N ~ N ~ N ~ } } = \left( \begin{array} { l l l } { \mathbf { 0 } } & { } & { { \bf H } _ { \mathrm { ~ N ~ N ~ N ~ } } } \\ { { \bf H } _ { \mathrm { ~ N ~ N ~ N ~ } } ^ { \dagger } } & { } & { \mathbf { 0 } } \end{array} \right) \, ,
\begin{array} { r } { \mathcal { S } ^ { * } \sim \frac { \omega ^ { 2 } } { \big \vert \boldsymbol { q } ^ { l } \big \vert ^ { 2 } } \chi \, , ~ ~ ~ \mathrm { ~ a ~ s ~ } ~ \sigma \rightarrow 0 \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { | \delta \psi _ { \pm } \rangle } & { { } = } & { \frac { 1 } { H _ { \mathrm { e f f } } - E _ { 0 } \pm \omega } \, \sum _ { k } | \Psi _ { k } \rangle \langle \Psi _ { k } | D | \Psi _ { 0 } \rangle } \end{array}
\bar { \Pi } _ { i k } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } = \frac { \Pi _ { i k } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } } { \sum _ { k = 1 } ^ { m } \Pi _ { i k } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } } = \frac { 1 } { s _ { i } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } } \sum _ { j = 1 } ^ { m } W _ { j i } \delta _ { p _ { j } , k } \quad , \qquad \bar { \Pi } _ { i k } ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } = \frac { \Pi _ { i k } ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } } { \sum _ { k = 1 } ^ { m } \Pi _ { i k } ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } } \frac { 1 } { s _ { i } ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } } \sum _ { j = 1 } ^ { m } W _ { i j } \delta _ { p _ { j } , k } \quad ,
\begin{array} { r l r } { n ( t ) } & { = \frac { n _ { s } + n _ { e } e ^ { \zeta ( t - t _ { 0 } ) } } { 1 + e ^ { \zeta ( t - t _ { 0 } ) } } \, , } & \\ { S ( t ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { S _ { * } S _ { h } ( t , t _ { * } ) + \int _ { t _ { * } } ^ { t } d t ^ { \prime } D n _ { s } S _ { h } ( t , t ^ { \prime } ) \qquad } & { \mathrm { ~ f o r ~ } t \le t _ { 0 } } \\ { S _ { c } S _ { h } ( t , t _ { 0 } ) + \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } d t ^ { \prime } D n _ { e } S _ { h } ( t , t ^ { \prime } ) \qquad } & { \mathrm { ~ f o r ~ } t > t _ { 0 } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { a _ { x } = k \sqrt { \tilde { \epsilon } _ { x } \left( \beta _ { x } M _ { 5 1 } ^ { 2 } - 2 \alpha _ { x } M _ { 5 1 } M _ { 5 2 } + ( 1 + \alpha _ { x } ^ { 2 } ) M _ { 5 2 } ^ { 2 } / \beta _ { x } \right) } , } \end{array}
\phi _ { n 0 } ( | \stackrel { \rightarrow } { q } | ) = \frac { 1 } { 4 \omega _ { 1 } \omega _ { 2 } ( M - \omega _ { 1 } - \omega _ { 2 } ) } \left\{ m _ { 1 } m _ { 2 } \int \left[ 4 V _ { v } ( \stackrel { \rightarrow } { q } , \stackrel { \rightarrow } { k } ) - 4 V _ { s } ( \stackrel { \rightarrow } { q } , \stackrel { \rightarrow } { k } ) \right] \phi _ { n 0 } ( | \stackrel { \rightarrow } { k } | ) d \stackrel { \rightarrow } { k } \right\} .
\begin{array} { r l } { c _ { i j } \left[ \boldsymbol { x } _ { i } , \hat { \boldsymbol { h } } _ { i } | \boldsymbol { \mathcal { O } } \right] } & { = \frac { p \left( x _ { i } ^ { 0 } \right) } { \mathcal { Z } _ { i j } [ \boldsymbol { \mathcal { O } } ] } \prod _ { t = 0 } ^ { T - 1 } \left\{ \left[ \delta \left( \hat { h } _ { i } ^ { t } - \mathrm { i } \right) \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) \left( \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , x _ { i } ^ { t } } - \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , 1 } \right) + \delta \left( \hat { h } _ { i } ^ { t } \right) \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , 1 } \right] p \left( { O } _ { i } ^ { t } | x _ { i } ^ { t } \right) \right\} } \\ & { \quad \times \prod _ { k \in \partial i \setminus j } \left[ \sum _ { \boldsymbol { x } _ { k } } \int D \hat { \boldsymbol { h } } _ { k } c _ { k i } \left[ \boldsymbol { x } _ { k } , \hat { \boldsymbol { h } } _ { k } | \boldsymbol { \mathcal { O } } \right] e ^ { - \mathrm { i } \sum _ { t } \left( x _ { k } ^ { t } \nu _ { k i } ^ { t } \hat { h } _ { i } ^ { t } + x _ { i } ^ { t } \nu _ { i k } ^ { t } \hat { h } _ { k } ^ { t } \right) } \right] p \left( { O } _ { i } ^ { T } \mid x _ { i } ^ { T } \right) } \\ & { \approx \frac { p \left( x _ { i } ^ { 0 } \right) } { \mathcal { Z } _ { i j } [ \boldsymbol { \mathcal { O } } ] } \prod _ { t = 0 } ^ { T - 1 } \left\{ \left[ \delta \left( \hat { h } _ { i } ^ { t } - \mathrm { i } \right) \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) \left( \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , x _ { i } ^ { t } } - \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , 1 } \right) + \delta \left( \hat { h } _ { i } ^ { t } \right) \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , 1 } \right] p \left( { O } _ { i } ^ { t } | x _ { i } ^ { t } \right) \right\} } \\ & { \quad \times \prod _ { k \in \partial i \setminus j } \sum _ { \boldsymbol { x } _ { k } } \int D \hat { \boldsymbol { h } } _ { k } c _ { k i } \left[ \boldsymbol { x } _ { k } , \hat { \boldsymbol { h } } _ { k } | \boldsymbol { \mathcal { O } } \right] \left\{ 1 - \mathrm { i } \sum _ { t } \left( x _ { k } ^ { t } \nu _ { k i } ^ { t } \hat { h } _ { i } ^ { t } + x _ { i } ^ { t } \nu _ { i k } ^ { t } \hat { h } _ { k } ^ { t } \right) \right. } \\ & { \qquad \left. + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { t , t ^ { \prime } } \left( x _ { k } ^ { t } \nu _ { k i } ^ { t } \left( - \mathrm { i } \hat { h } _ { i } ^ { t } \right) + x _ { i } ^ { t } \nu _ { i k } ^ { t } \left( - \mathrm { i } \hat { h } _ { k } ^ { t } \right) \right) \left( x _ { k } ^ { t ^ { \prime } } \nu _ { k i } ^ { t ^ { \prime } } \left( - \mathrm { i } \hat { h } _ { i } ^ { t ^ { \prime } } \right) + x _ { i } ^ { t ^ { \prime } } \nu _ { i k } ^ { t ^ { \prime } } \left( - \mathrm { i } \hat { h } _ { k } ^ { t ^ { \prime } } \right) \right) \right\} p \left( { O } _ { i } ^ { T } \mid x _ { i } ^ { T } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \allowdisplaybreaks h ^ { 0 } ( \mathbb { P } ( E ) , m H ) } & { = \sum _ { a _ { 1 } + \cdots + a _ { r } = m } h ^ { 0 } ( X , a _ { 1 } L _ { 1 } + \cdots + a _ { r } L _ { r } ) } \\ & { \geq \sum _ { a _ { 1 } + \cdots + a _ { r } = m } \operatorname* { m i n } \{ h ^ { 0 } ( X , \lfloor m / r \rfloor L _ { i } ) \mid 1 \leq i \leq r \} } \\ & { = \binom { m + r - 1 } { r - 1 } \operatorname* { m i n } \{ h ^ { 0 } ( X , \lfloor m / r \rfloor L _ { i } ) \mid 1 \leq i \leq r \} . } \end{array}
E ( n ) = - { \frac { \left( { \frac { \mu } { m _ { 0 } \varepsilon _ { r } ^ { 2 } } } R _ { \mathrm { y } } \right) } { n ^ { 2 } } } \equiv - { \frac { R _ { \mathrm { X } } } { n ^ { 2 } } }
\vec { \omega } ^ { n + 1 } = [ \vec { \Phi } _ { \mathrm { ~ b ~ u ~ l ~ k ~ } } ^ { n + 1 } , \vec { c } _ { \mathrm { ~ S ~ C ~ L ~ } } ^ { n + 1 } , \vec { \Phi } _ { \mathrm { ~ S ~ C ~ L ~ } } ^ { n + 1 } ] ^ { \mathrm { ~ T ~ } }
\mathrm { S I N R } _ { k , K + 1 - k } = \frac { \beta _ { k } p _ { K + 1 - k } | \mathbf { h ^ { \prime } } _ { k } ^ { \mathrm { T } } \mathbf { g } _ { k } | ^ { 2 } } { \beta _ { k } \sum _ { k ^ { \prime } \neq K + 1 - k } ^ { K } p _ { k ^ { \prime } } | \mathbf { h ^ { \prime } } _ { k } ^ { \mathrm { T } } \mathbf { g } _ { k ^ { \prime } } | ^ { 2 } + 1 } .
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } M _ { 2 , 0 } ( g ( t ) ) } & { \leq - \frac { 1 } { 3 } M _ { 2 , 0 } ( g ( t ) ) + \frac { 4 } { 3 } M _ { 0 , 0 } ( g ( t ) ) + 2 K _ { 0 } ( 1 - \gamma ) M _ { 1 , - \alpha } ( g ( t ) ) M _ { 1 , \beta } ( g ( t ) ) . } \\ { \partial _ { t } M _ { 1 , - \alpha } ( g ( t ) ) } & { \leq ( \frac { 1 } { 3 } + \alpha ) M _ { 1 , - \alpha } ( g ( t ) ) - \frac { ( 1 - \gamma ) \lambda } { 2 } \int _ { \{ a \geq 2 c _ { 0 } v ^ { \frac { 2 } { 3 } } \} } a ^ { \mu + 1 } v ^ { \sigma - \alpha } g ( \eta , t ) \textup { d } \eta } \\ & { \leq - M _ { 1 , - \alpha } ( g ( t ) ) + 6 c _ { 0 } M _ { 0 , \frac { 2 } { 3 } - \alpha } ( g ( t ) ) } \\ & { + 3 \int _ { \{ a \geq 2 c _ { 0 } v ^ { \frac { 2 } { 3 } } \} } a v ^ { - \alpha } g ( \eta , t ) \textup { d } \eta - \frac { ( 1 - \gamma ) \lambda } { 2 } \int _ { \{ a \geq 2 c _ { 0 } v ^ { \frac { 2 } { 3 } } \} } a ^ { \mu + 1 } v ^ { \sigma - \alpha } g ( \eta , t ) \textup { d } \eta } \\ & { \leq - M _ { 1 , - \alpha } ( g ( t ) ) + 3 \delta _ { 1 } M _ { 2 , 0 } ( g ( t ) ) + 3 M _ { 0 , m _ { 1 } } ( g ( t ) ) + 6 c _ { 0 } M _ { 0 , \frac { 2 } { 3 } - \alpha } ( g ( t ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { D _ { R e s } \sim 1 . 3 \times 1 0 ^ { 3 1 } A _ { m } ^ { 1 / 2 } \epsilon ^ { 6 } q ^ { 3 } n _ { 0 } ^ { - 3 / 2 } R _ { 0 } ^ { - 1 } \frac { T _ { E } ^ { 2 } } { T _ { i } ^ { 2 } } \frac { \overline { { \gamma _ { L } } } } { \omega _ { T } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \displaystyle \sum _ { \alpha = 1 , 2 } \phi _ { \alpha } \nabla \mu _ { \alpha } ^ { \mathrm { I } } = } & { ~ \frac { \phi } { 2 } \nabla \left( \mu _ { 1 } ^ { \mathrm { I } } - \mu _ { 2 } ^ { \mathrm { I } } \right) + \frac { 1 } { 2 } \nabla \left( \mu _ { 1 } ^ { \mathrm { I } } + \mu _ { 2 } ^ { \mathrm { I } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { p } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 \sqrt { s } } \, \sqrt { \left( s - ( m _ { k } ^ { 2 } + m _ { l } ^ { 2 } ) \, c ^ { 2 } \right) ^ { 2 } - 4 \, m _ { k } ^ { 2 } m _ { l } ^ { 2 } \, c ^ { 4 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { = } & { { } - \frac { 2 g _ { B } ^ { 2 } } { \Delta } [ D _ { B } ^ { \dagger } D _ { B } + ( D _ { B } ^ { \dagger } D _ { B } - D _ { B } D _ { B } ^ { \dagger } ) b ^ { \dagger } b ] , } \end{array}
{ \cal G } = \left\{ \begin{array} { c c c } { g _ { 1 1 } } & { = } & { \langle 0 , 1 / 2 , 1 / 2 , 1 \rangle ; } \\ { g _ { 1 2 } } & { = } & { \langle 1 / 2 , 0 , 1 , 1 / 2 \rangle ; } \\ { g _ { 2 1 } } & { = } & { \langle 1 / 2 , 1 , 0 , 1 / 2 \rangle ; } \\ { g _ { 2 2 } } & { = } & { \langle 1 , 1 / 2 , 1 / 2 , 0 \rangle . } \end{array} \right\} \, .
\begin{array} { r l } & { \frac { d ^ { 2 } X _ { 2 , 1 } } { d t ^ { 2 } } + ( \tau _ { z } ^ { - 1 } + \tau _ { x } ^ { - 1 } ) \frac { d X _ { 2 , 1 } } { d t } } \\ & { ~ ~ ~ ~ + \tau _ { z } ^ { - 1 } \tau _ { x } ^ { - 1 } ( 1 - p _ { 2 , 1 } q _ { 2 , 1 } \tau _ { z } \tau _ { x } X _ { b , 1 } X _ { b , 2 } ) X _ { 2 , 1 } = 0 . } \end{array}
{ \cal L } _ { \mathrm { D B I } } = - 2 \pi \alpha ^ { \prime } \frac { \mu _ { 5 } } { g } \Bigl | 2 \pi n - \theta _ { B } \Bigr | \biggl ( Z ^ { - 1 } - \frac { 1 } { 2 } e ^ { \psi } | v | ^ { 2 } \biggr ) \ .
\begin{array} { r l } { \langle A ( y ) , y \rangle } & { = \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \left( \sum _ { k = - j } ^ { j } \sum _ { k ^ { \prime } = - j } ^ { j } y _ { j ^ { 2 } + j + 1 + k } d _ { j } ( k , k ^ { \prime } ) \overline { { y _ { j ^ { 2 } + j + 1 + k ^ { \prime } } } } \right) } \\ & { = \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \langle D _ { j } ( y ^ { j } ) , y ^ { j } \rangle _ { { \mathbb C } ^ { 2 j + 1 } } , \qquad y ^ { j } = \left( y _ { j ^ { 2 } + 1 } , \ldots , y _ { j ^ { 2 } + 2 j + 1 } \right) \in { \mathbb C } ^ { 2 j + 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ \langle v _ { k } , y ^ { * } ( x _ { k + 1 } ) - y ^ { * } ( x _ { k } ) \rangle | \mathcal { F } _ { k } ] } & { \le ( \xi \alpha _ { k } \eta _ { k } + M \xi ^ { 2 } l _ { * , 1 } ^ { 2 } \beta _ { k } ^ { 2 } ) \mathbb { E } [ \| v _ { k } \| ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { k } ] } \\ & { \quad + \left( \frac { \xi \alpha _ { k } l _ { * , 0 } ^ { 2 } } { 4 \eta _ { k } } + \frac { \xi ^ { 2 } \alpha _ { k } ^ { 2 } } { 4 } \right) \mathbb { E } [ \| q _ { k } ^ { x } \| ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { k } ] + \frac { \xi ^ { 2 } } { 4 } ( \alpha _ { k } ^ { 2 } \sigma _ { f } ^ { 2 } + \beta _ { k } ^ { 2 } \sigma _ { g } ^ { 2 } ) , } \end{array}
\lambda _ { g } = \frac { c \left( \varepsilon \sigma _ { a , g } + { \sigma _ { s , g } \mathord { \left/ { \vphantom { \sigma _ { s , g } \varepsilon } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } \varepsilon } \right) } { \varepsilon } \to o \left( \varepsilon ^ { - 2 } \right) \mathrm { , } \; \; e ^ { - \lambda _ { g } \left( t - t _ { n } \right) } \to 0
\begin{array} { r l } { \Delta F ( h ) } & { = - \frac { 1 } { 2 \pi } m e ^ { B } \epsilon _ { + } ( i ) } \\ & { = - \frac { 1 } { 2 \pi } h ^ { 2 } u ( i ) G _ { - } ( 0 ) ^ { 2 } \left( 1 - \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \omega ^ { \prime } \frac { e ^ { 2 i \omega ^ { \prime } B } u ( \omega ^ { \prime } ) \varrho ( \omega ^ { \prime } ) } { \omega ^ { \prime } - i } \right) \, , } \end{array}
f _ { q } ( \tau ) = \frac 1 2 \left[ 1 + \frac { 1 } { \nu } \; \left( \frac 3 2 - { \frac { q ^ { 2 } } { 4 h ^ { 2 } } } - i { \frac { \omega _ { q } } { h } } \right) + { \cal O } \left( \frac 1 { \nu ^ { 2 } } \right) \right] \; e ^ { ( \nu - 3 / 2 ) h \tau } \; .
\begin{array} { r l } { \beta _ { 1 } } & { = \mathbb { E } _ { Y \sim \rho } \left[ \log \left( \frac { \mathrm { d } \mu } { \mathrm { d } \rho } ( Y ) \right) \mathbb { E } _ { X \sim \nu } \left[ \frac { \phi ( X - Y ) } { ( \rho * \phi ) ( X ) } \right] \right] } \\ & { = \mathbb { E } _ { Y \sim \rho } \left[ \log \left( \frac { \mathrm { d } \mu } { \mathrm { d } \rho } ( Y ) \right) \cdot \frac { \mathrm { d } \rho ^ { \mathrm { F R } , 1 } } { \mathrm { d } \rho } ( Y ) \right] = \mathbb { E } _ { Y \sim \rho ^ { \mathrm { F R } , 1 } } \left[ \log \left( \frac { \mathrm { d } \mu } { \mathrm { d } \rho } ( Y ) \right) \right] } \\ & { = \mathbb { E } _ { Y \sim \rho ^ { \mathrm { F R } , 1 } } \left[ \log \left( \frac { \mathrm { d } \mu } { \mathrm { d } \rho ^ { \mathrm { F R } , 1 } } ( Y ) \right) \right] + \mathbb { E } _ { Y \sim \rho ^ { \mathrm { F R } , 1 } } \left[ \log \left( \frac { \mathrm { d } \rho ^ { \mathrm { F R } , 1 } } { \mathrm { d } \rho } ( Y ) \right) \right] } \\ & { = - \mathsf { K L } \left( \rho ^ { \mathrm { F R } , 1 } \, \Vert \, \mu \right) + \mathsf { K L } \left( \rho ^ { \mathrm { F R } , 1 } \, \Vert \, \rho \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { C \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 N - 3 } } \lambda ( x , y , \mathbf { \hat { x } } ) ^ { - 2 } f _ { \infty } ( x , \mathbf { \hat { x } } ; 4 R ) f _ { \infty } ( y , \mathbf { \hat { x } } ; 4 R ) \big ( \Phi ( x , y , \mathbf { \hat { x } } ) + | \nabla \Phi ( x , y , \mathbf { \hat { x } } ) | \big ) \, d \mathbf { \hat { x } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial { \bf v } } { \partial t } + ( { \bf v } \cdot \nabla ) { \bf v } } & { = } & { - \nabla p + ( \nabla \times { \bf B } ) \times { \bf B } + \frac { 1 } { R _ { F } ^ { A } } \nabla ^ { 2 } { \bf v } ~ , } \\ { \frac { \partial { \bf B } } { \partial t } } & { = } & { \nabla \times ( \textbf { v } \times { \bf B } ) - d _ { H } \nabla \times ( ( \nabla \times { \bf B } ) \times { \bf B } ) ~ , } \\ { \nabla \cdot { \bf v } } & { = } & { 0 ~ , } \\ { \nabla \cdot { \bf B } } & { = } & { 0 ~ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { 2 \, \Gamma ( \tilde { g } _ { \delta } ^ { i } ) _ { t t } ^ { n - 1 } = \, } & { 2 \, ( \partial _ { t } \, \tilde { g } _ { \delta } ^ { i } ) ( \partial _ { n - 1 } , \partial _ { t } ) - ( \partial _ { n - 1 } \, \tilde { g } _ { \delta } ^ { i } ) ( \partial _ { t } , \partial _ { t } ) + O ( \delta ) = O ( \delta ) , } \\ { 2 \, \Gamma ( \tilde { g } ^ { i } ) _ { t t } ^ { n - 1 } = \, } & { 2 \, ( \partial _ { t } \, \tilde { g } ^ { i } ) ( \partial _ { n - 1 } , \partial _ { t } ) - ( \partial _ { n - 1 } \, \tilde { g } ^ { i } ) ( \partial _ { t } , \partial _ { t } ) + O ( \delta ) = O ( \delta ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { h _ { j - 2 } \cdots h _ { i + 1 } h _ { i } ( h _ { i + 1 } h _ { i + 3 } \cdots h _ { j - 2 } ) } \\ { = } & { t _ { j - 1 , j } ^ { \frac { j - i - 3 } { 2 } } t _ { i + 1 , i + 2 } ^ { - 1 } t _ { i + 3 , i + 4 } ^ { - 1 } \cdots t _ { j - 2 , j - 1 } ^ { - 1 } h _ { j - 2 } \cdots h _ { i + 3 } h _ { i + 1 } t _ { i , i + 1 } ( h _ { i + 1 } h _ { i + 3 } \cdots h _ { j - 2 } ) } \\ & { \cdot h _ { j - 3 } \cdots h _ { i + 2 } h _ { i } } \end{array}
F _ { g } ^ { \mu \nu } ( q ) = { \frac { 1 } { 2 \pi } } \int { \frac { d \bar { q } ^ { 2 } } { \bar { q } ^ { 2 } } } \, d x \, d \phi \ { \cal W } _ { g } ^ { \mu \nu } ( \bar { q } ^ { 2 } , x , \phi ) ,
\begin{array} { r l } { F _ { A } ^ { \star } } & { = \delta \, \mathrm { d } A - \frac { { \mathrm { i } } } { 1 2 } \, e \ast _ { \textrm { \tiny H } } \big ( \bar { \psi } \star V \star \psi + \mathsf { R } _ { \alpha } ( \bar { \psi } ) \star V \star \mathsf { R } ^ { \alpha } ( \psi ) \big ) \ , } \\ { F _ { \psi } ^ { \star } } & { = \frac 1 6 \, \ast _ { \textrm { \tiny H } } \big [ \big ( \mathrm { d } \bar { \psi } + \frac { { \mathrm { i } } } { 2 } \, e \, \bar { \psi } \star A + \frac { { \mathrm { i } } } { 2 } \, e \, \mathsf { R } _ { \alpha } ( \bar { \psi } ) \star \mathsf { R } ^ { \alpha } ( A ) \big ) \wedge _ { \star } V \big ] = \frac { 1 } { 1 2 } \ast _ { \textrm { \tiny H } } \big [ \big ( D ^ { \mathrm { \tiny ~ L } } \bar { \psi } + D ^ { \mathrm { \tiny ~ R } } \bar { \psi } \big ) \wedge _ { \star } V \big ] \ , } \\ { F _ { \bar { \psi } } ^ { \star } } & { = - \frac { 1 } { 1 2 } \ast _ { \textrm { \tiny H } } \big [ V \wedge _ { \star } \big ( D ^ { \mathrm { \tiny ~ L } } \psi + D ^ { \mathrm { \tiny ~ R } } \psi \big ) \big ] \ , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { q _ { \tau } ^ { * } ( \tau ) } & { \sim \operatorname { G a m m a } ( \tau \mid a _ { N } , b _ { N } ) } \\ { a _ { N } } & { = a _ { 0 } + { \frac { N + 1 } { 2 } } } \\ { b _ { N } } & { = b _ { 0 } + { \frac { 1 } { 2 } } \operatorname { E } _ { \mu } \left[ \sum _ { n = 1 } ^ { N } ( x _ { n } - \mu ) ^ { 2 } + \lambda _ { 0 } ( \mu - \mu _ { 0 } ) ^ { 2 } \right] } \end{array} }
{ \begin{array} { r l } { r } & { = \lVert \mathbf { x } \rVert , } \\ { \theta } & { = \arcsin { \frac { \lVert \mathbf { y } \rVert } { \lVert \mathbf { x } \rVert } } = \operatorname { a r c c o s } { \frac { \lVert \mathbf { z } \rVert } { \lVert \mathbf { x } \rVert } } = \arctan { \frac { \lVert \mathbf { y } \rVert } { \lVert \mathbf { z } \rVert } } . } \end{array} }
\begin{array} { r l r l } { \dot { x } } & { = p _ { x } + y , \quad } & { \dot { p } _ { x } } & { = p _ { y } - \frac { 1 - \mu } { r _ { 1 } ^ { 3 } } ( x - \mu ) - \frac { \mu } { r _ { 2 } ^ { 3 } } ( x - \mu + 1 ) , } \\ { \dot { y } } & { = p _ { y } - x , \quad } & { \dot { p } _ { y } } & { = - p _ { x } - \frac { 1 - \mu } { r _ { 1 } ^ { 3 } } y - \frac { \mu } { r _ { 2 } ^ { 3 } } y , } \\ { \dot { z } } & { = p _ { z } , \quad } & { \dot { p } _ { z } } & { = - \frac { 1 - \mu } { r _ { 1 } ^ { 3 } } z - \frac { \mu } { r _ { 2 } ^ { 3 } } z , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \partial _ { t } \mathbf { d } = \widetilde { \mathbf { D } } ^ { 1 } \mathbf { h } - \mathbf { j } , } \\ & { \mathbf { K } _ { 1 } \mathbf { e } = \widetilde { \mathbf { M } } _ { 1 / \epsilon } ^ { 2 } \mathbf { d } , } \\ & { \partial _ { t } \mathbf { b } = - \mathbf { D } ^ { 1 } \mathbf { e } , } \\ & { \widetilde { \mathbf { K } } _ { 1 } \mathbf { h } = \mathbf { M } _ { 1 / \mu } ^ { 2 } \mathbf { b } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tau _ { t } } & { { } = } & { M \tau _ { a } = M \left( 1 - \frac { h _ { 0 } } { h } \right) \tau _ { w 0 } + M \frac { h _ { 0 } } { h } \tau _ { t 0 } . } \end{array}
\hat { \mathcal { L } } _ { V I } ( \theta ) = - \frac { N } { M } \sum _ { i \in \mathcal { S } } \int p ( \boldsymbol { \epsilon } ) \log p \big ( \boldsymbol { y } _ { i } | \boldsymbol { f } ^ { g ( \theta , \boldsymbol { \epsilon } ) } ( \boldsymbol { X } _ { i } ) \big ) d \boldsymbol { \epsilon } + K L \big ( q _ { \theta } ( \boldsymbol { \omega } ) \big | \big | p ( \boldsymbol { \omega } ) \big ) .
\oint { d } \hat { s } ( \xi ^ { \prime \prime } ) { \hat { K } _ { D } } ( \xi , \xi ^ { \prime \prime } ) { \hat { G } _ { K } } ( \xi ^ { \prime \prime } , \xi ^ { \prime } ) = { \hat { \delta } _ { B } } ( \xi - \xi ^ { \prime } ) - { \frac { 1 } { \oint { d } \hat { s } ( \xi ^ { \prime \prime \prime } ) } } .
\operatorname { E } \left[ g ( X _ { 1 } , \dots , X _ { d } ) \right] = \int _ { [ 0 , 1 ] ^ { d } } g ( F _ { 1 } ^ { - 1 } ( u _ { 1 } ) , \dots , F _ { d } ^ { - 1 } ( u _ { d } ) ) \cdot c ( u _ { 1 } , \dots , u _ { d } ) \, d u _ { 1 } \cdots \mathrm { d } u _ { d } ,
\begin{array} { r l } { \underline { { \mathsf { G } } } _ { [ x , \widehat { x } ] } ( w , \widehat { w } ) } & { = [ \underline { { A } } ( x , \widehat { x } ) ] ^ { + } w + [ \underline { { A } } ( x , \widehat { x } ) ] ^ { - } \widehat { w } \le [ \underline { { A } } ( y , \widehat { y } ) ] ^ { + } w + [ \underline { { A } } ( y , \widehat { y } ) ] ^ { - } \widehat { w } } \\ & { \le [ \underline { { A } } ( y , \widehat { y } ) ] ^ { + } v + [ \underline { { A } } ( y , \widehat { y } ) ] ^ { - } \widehat { v } = \underline { { \mathsf { G } } } _ { [ y , \widehat { y } ] } ( v , \widehat { v } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { i \frac { d a } { d t } = } & { { } \left( \omega _ { 0 } - i \left( \tilde { \gamma } + \Gamma _ { 1 } \right) \right) a [ t ] - \sqrt { 2 \Gamma _ { 1 } } E _ { i n } [ t ] , } \\ { E _ { T h } [ t ] = } & { { } E _ { i n } [ t ] + i \sqrt { 2 \Gamma _ { 1 } } a [ t ] , } \\ { E _ { D r } [ t ] = } & { { } e ^ { i \pi m } i \sqrt { 2 \Gamma _ { 2 } } a [ t ] . } \end{array}