harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\mathrm { U } _ { 0 } ( \tau ) = \exp \{ \frac { i } { \hbar } \hat { \mathrm { G } } _ { 0 } { \tau } _ { 0 } + \frac { i } { \hbar } \sum _ { p > 0 } ( \hat { \mathrm { G } } _ { + } \tau _ { + } + \hat { \mathrm { G } } _ { - } \tau _ { - } ) \}
\operatorname* { P r } ( R \leq r _ { 0 } \mid X _ { 1 } , \ldots , X _ { n } ) = { \frac { ( n + 1 ) ! } { S ! ( n - S ) ! } } \int _ { 0 } ^ { r _ { 0 } } r ^ { S } ( 1 - r ) ^ { n - S } \, d r .
\begin{array} { r l } { \Psi _ { L } } & { = \Psi _ { R } } \\ { \Phi _ { L } } & { = - \Phi _ { R } } \\ { \rho _ { L } } & { = - \rho _ { R } } \\ { \mathbf { E } _ { L } ^ { * } } & { = - \mathbf { E } _ { R } ^ { * } + 2 ( \mathbf { E } _ { R } ^ { * } \cdot \mathbf { \hat { n } } ) \mathbf { \hat { n } } } \\ { \mathbf { B } _ { L } ^ { * } } & { = + \mathbf { B } _ { R } ^ { * } - 2 ( \mathbf { B } _ { R } ^ { * } \cdot \mathbf { \hat { n } } ) \mathbf { \hat { n } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left< \overline { { \delta ^ { 2 } ( \Delta ) } } \right> } & { = } & { \frac { 1 } { T - \Delta } \int _ { 0 } ^ { T - \Delta } \left( \frac { 2 v ^ { 2 } } { \Gamma ( \alpha ) \Gamma ( 2 + \alpha ) } \, _ { 2 } F _ { 1 } \left( 1 , 1 - \alpha ; 2 + \alpha ; - \frac { \Delta } { t } \right) \frac { \Delta ^ { 1 + \alpha } } { t ^ { 1 - \alpha } } \right. } \\ & { } & { \left. + \frac { \Gamma ( 1 + 2 H ) } { \Gamma ( \alpha ) \Gamma ( 2 - \alpha + 2 H \alpha ) } \, _ { 2 } F _ { 1 } \left( 1 , 1 - \alpha ; 2 - \alpha + 2 H \alpha ; - \frac { \Delta } { t } \right) \frac { \Delta ^ { 1 - \alpha + 2 H \alpha } } { t ^ { 1 - \alpha } } \right) d t . } \end{array}
\begin{array} { r } { \varphi _ { G } ( \vec { x } ) = - k \int _ { \tau _ { 0 } } ^ { \tau } \Big \{ \frac { 2 } { c ^ { 2 } } \Big ( U _ { \mathrm { E } } ( \tau ^ { \prime } ) + u _ { \mathrm { E } } ^ { \tt t i d a l } ( \tau ^ { \prime } ) \Big ) + \frac { 4 } { c ^ { 3 } } ( k _ { \epsilon } w _ { \mathrm { E } } ^ { \epsilon } ( \tau ^ { \prime } ) ) + { \cal O } ( G ^ { 2 } ) \Big \} d \tau ^ { \prime } \equiv \varphi _ { G } ^ { \tt E } ( \vec { x } ) + \varphi _ { G } ^ { \tt t i d a l } ( \vec { x } ) + \varphi _ { G } ^ { \tt S } ( \vec { x } ) + { \cal O } ( G ^ { 2 } ) . ~ } \end{array}
\frac { \partial \textbf { U } } { \partial t } + \frac { \partial \textbf { G } } { \partial x } = \epsilon \frac { \partial } { \partial x } \left[ \left\{ \frac { \partial } { \partial \textbf { U } } \left\langle v ^ { 2 } \textbf { f } ^ { e q } \right\rangle - \left( \frac { \partial \textbf { G } } { \partial \textbf { U } } \right) ^ { 2 } \right\} \frac { \partial \textbf { U } } { \partial x } \right] + O ( \epsilon ^ { 2 } )
\begin{array} { r l } { | \nabla K | ^ { 2 } } & { = \nabla _ { m } K _ { i j } \cdot \nabla _ { m } K _ { i j } } \\ & { = \frac { 1 } { 4 } ( H _ { m i k } h _ { k j } - H _ { m j k } h _ { k i } ) ( H _ { m i l } h _ { l j } - H _ { m j l } h _ { l i } ) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } H _ { k l } ^ { 2 } h _ { k j } h _ { l j } - \frac { 1 } { 2 } H _ { m i k } H _ { m j l } h _ { k j } h _ { l i } } \\ & { = 2 R _ { k l } h _ { k j } h _ { l j } + 2 \langle \mathring { R } ( h ) , h \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { C _ { \bf x } } & { = } & { \left. \nabla \left\langle e ^ { i { \bf p } \cdot { \bf x } } \right\rangle \right\rvert _ { { \bf p } = { \boldsymbol 0 } } , } \\ { C _ { { \bf x } { \bf x } } } & { = } & { \left. \nabla _ { p } \otimes \nabla _ { p } \left\langle e ^ { i { \bf p } \cdot ( { \bf x } - C _ { \bf x } ) } \right\rangle \right\rvert _ { { \bf p } = { \boldsymbol 0 } } } \\ { C _ { { \bf x } { \bf x } { \bf x } } } & { = } & { \left. \nabla _ { p } \otimes \nabla _ { p } \otimes \nabla _ { p } \left\langle e ^ { i { \bf p } \cdot ( { \bf x } - C _ { \bf x } ) } \right\rangle \right\rvert _ { { \bf p } = { \boldsymbol 0 } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left[ \begin{array} { l } { u _ { j } } \\ { v _ { j } } \\ { b _ { j } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { U _ { j } } \\ { V _ { j } } \\ { B _ { j } } \end{array} \right] w _ { j } = \left[ \begin{array} { l } { - { m _ { j } ( \omega _ { j } k _ { j } + \textnormal { i } l _ { j } f _ { j } ) } { / [ \omega _ { j } ( k _ { j } ^ { 2 } + l _ { j } ^ { 2 } ) ] } } \\ { - { m _ { j } ( \omega _ { j } l _ { j } - \textnormal { i } k _ { j } f _ { j } ) } { / [ \omega _ { j } ( k _ { j } ^ { 2 } + l _ { j } ^ { 2 } ) ] } } \\ { - \textnormal { i } { N ^ { 2 } } { / \omega _ { j } } } \end{array} \right] w _ { j } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Dot { \theta } _ { [ 3 4 ] } = - \sigma ^ { \downarrow } \left( \sin ( \theta _ { [ 3 4 ] } - \theta _ { [ 1 3 ] } - \theta _ { [ 2 3 ] } ) - \sin ( \theta _ { [ 3 4 ] } ) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int I ( x , y ) \, \mathrm { d } \bar { F } ( y ) } & { = \bar { p } I ( x , y _ { 1 } ) + ( 1 - \bar { p } ) I ( x , y _ { 2 } ) } \\ & { = \frac { I ( x , y _ { 1 } ) I ( x , y _ { 2 } ) } { I ( x , y _ { 2 } ) - I ( x , y _ { 1 } ) } + \frac { - I ( x , y _ { 2 } ) I ( x , y _ { 1 } ) } { I ( x , y _ { 2 } ) - I ( x , y _ { 1 } ) } = 0 , } \end{array}
r _ { s } ( t ) = \left\{ \begin{array} { r l r } & { - \phi , \ } & { \mathrm { a g e n t ~ i s ~ o u t ~ o f ~ t h e ~ f l o w ~ d o m a i n } } \\ & { \varepsilon e _ { \mathrm { b a s i c } } , \ } & { x _ { \mathrm { a g e n t } } ^ { t } > x _ { \mathrm { a g e n t } } ^ { t - 1 } } \\ & { 0 , \ } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \mathcal O _ { K } [ \alpha ] \cap \mathfrak p \mathcal O _ { L } = \mathcal O _ { K } [ \alpha ] \cdot ( \mathcal O _ { K } [ \alpha ] \cap \mathfrak p \mathcal O _ { L } ) } & { = ( \mathfrak f + \mathfrak p \mathcal O _ { K } [ \alpha ] ) ( \mathcal O _ { K } [ \alpha ] \cap \mathfrak p \mathcal O _ { L } ) } \\ & { \stackrel { ( 1 ) } { \subset } \mathfrak f \cdot ( \mathcal O _ { K } [ \alpha ] \cap \mathfrak p \mathcal O _ { L } ) + \mathfrak p \mathcal O _ { K } [ \alpha ] \cdot ( \mathcal O _ { K } [ \alpha ] \cap \mathfrak p \mathcal O _ { L } ) } \\ & { \stackrel { ( 2 ) } { \subset } \mathfrak f \cdot ( \mathcal O _ { K } [ \alpha ] \cap \mathfrak p \mathcal O _ { L } ) + \mathfrak p \mathcal O _ { K } [ \alpha ] } \\ & { \stackrel { ( 3 ) } { \subset } \mathfrak f \mathfrak p \mathcal O _ { L } + \mathfrak p \mathcal O _ { K } [ \alpha ] } \\ & { \stackrel { ( 4 ) } { = } \mathfrak f \mathfrak p + \mathfrak p \mathcal O _ { K } [ \alpha ] } \\ & { \stackrel { ( 5 ) } { \subset } \mathfrak p \mathcal O _ { K } [ \alpha ] . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \bigl | } \sec \theta + \tan \theta \, { \bigr | } } & { = \left| { \frac { 1 } { \cos \theta } } + { \frac { \sin \theta } { \cos \theta } } \right| = \left| { \frac { 1 + t ^ { 2 } } { 1 - t ^ { 2 } } } + { \frac { 2 t } { 1 - t ^ { 2 } } } \right| = \left| { \frac { ( 1 + t ) ^ { 2 } } { ( 1 + t ) ( 1 - t ) } } \right| } \\ & { = \left| { \frac { 1 + t } { 1 - t } } \right| . } \end{array} }
\begin{array} { c c } { { \mathrm { l o n g ~ r o o t s : } } } & { { \pm \, e _ { 1 } \pm e _ { 2 } } } \\ { { \mathrm { s h o r t ~ r o o t s : } } } & { { \pm \, e _ { 1 } ~ , \; \pm e _ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathcal F } _ { E S } ( \sigma _ { 1 } , \sigma _ { 2 } , R ) } & { = 4 \pi \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } R _ { i } ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \sigma _ { i } } \! \! \! d \sigma _ { i } ~ \psi ( \sigma _ { 1 } , \sigma _ { 2 } , R _ { i } ) } \\ & { \longrightarrow \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } 4 \pi R _ { i } ^ { 2 } ~ \sigma _ { i } ~ \psi \left( \sigma _ { 1 } , \sigma _ { 2 } , R _ { i } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \sigma _ { \mathrm { s n } } ^ { 2 } \triangleq \sigma _ { \mathrm { s n , x } } ^ { 2 } + \sigma _ { \mathrm { s n , y } } ^ { 2 } = \xi \tilde { \eta } _ { \mathrm { s n } } \sigma _ { \mathrm { A S E } } ^ { 2 } P ^ { 2 } = 3 \xi \tilde { \eta } _ { \mathrm { s s } } \sigma _ { \mathrm { A S E } } ^ { 2 } P ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \ldots , x ^ { ( t - T - 1 ) } , \overbrace { \underbrace { x ^ { ( t - T ) } , \ldots , x ^ { ( t - 1 ) } } _ { \mathrm { c o n t e x t } } , \underbrace { x ^ { ( t ) } } _ { \mathrm { c e n t e r } } , \underbrace { x ^ { ( t + 1 ) } , \ldots , x ^ { ( t + T ) } } _ { \mathrm { c o n t e x t } } } ^ { \mathrm { S l i d i n g ~ w i n d o w } } , x ^ { ( t + T + 1 ) } , \ldots } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial ( p _ { \parallel } , p _ { \perp } ) } { \partial ( p , \xi ) } = \left| \frac { \partial p _ { \parallel } } { \partial p } \frac { \partial p _ { \perp } } { \partial \xi } - \frac { \partial p _ { \parallel } } { \partial \xi } \frac { \partial p _ { \perp } } { \partial p } \right| = \left| - \xi \frac { p \xi } { \sqrt { 1 - \xi ^ { 2 } } } - p \sqrt { 1 - \xi ^ { 2 } } \right| = \frac { p } { \sqrt { 1 - \xi ^ { 2 } } } . } \end{array}
\frac { \sqrt { \sum _ { i \in V } D _ { i i } ^ { 2 } } } { \sum _ { i \in V } D _ { i i } } \leq \frac { \sqrt { \sum _ { i \in V } d _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 } } } { \sum _ { i \in V } d _ { \operatorname* { m i n } } } = \frac { 1 } { \sqrt { n } } \cdot \frac { d _ { \operatorname* { m a x } } } { d _ { \operatorname* { m i n } } } = O \left( \frac { 1 } { \sqrt { n } } \right)
u ( x , \mu ^ { 2 } ) \sim \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { ( \bar { \alpha _ { s } } \ln \frac { 1 } { x } l n \frac { \mu ^ { 2 } } { k _ { 0 } ^ { 2 } } ) ^ { k } } { k ! k ! }
{ \begin{array} { r l } { { \hat { \varepsilon } } _ { i } } & { = y _ { i } - { \hat { y } } _ { i } = y _ { i } - ( { \hat { \alpha } } + { \hat { \beta } } x _ { i } ) = { \mathrm { r e s i d u a l s } } = { \mathrm { e s t i m a t e d ~ e r r o r s } } , } \\ { { \mathrm { S S R } } } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } { { \hat { \varepsilon } } _ { i } } ^ { 2 } = { \mathrm { s u m ~ o f ~ s q u a r e s ~ o f ~ r e s i d u a l s } } . } \end{array} }
\frac { a _ { 2 } } { a _ { 1 } } \leqslant \frac { b _ { 2 } } { b _ { 1 } } \frac { \cos \frac { \left( 1 - 3 \alpha - \gamma + 2 \mu \right) \pi } { 4 } } { \cos \frac { \left( 1 + \alpha - \gamma - 2 \mu \right) \pi } { 4 } } \frac { \sin \frac { \left( 1 - 3 \alpha - \gamma + 2 \mu \right) \pi } { 4 } } { \sin \frac { \left( 1 + \alpha - \gamma - 2 \mu \right) \pi } { 4 } } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \frac { a _ { 3 } } { a _ { 2 } } \leqslant \frac { b _ { 3 } } { b _ { 2 } } \frac { \sin \frac { \left( 1 + 3 \alpha + \gamma - 2 \mu \right) \pi } { 4 } } { \sin \frac { \left( 1 - \alpha + \gamma + 2 \mu \right) \pi } { 4 } } \frac { \cos \frac { \left( 1 + 3 \alpha + \gamma - 2 \mu \right) \pi } { 4 } } { \cos \frac { \left( 1 - \alpha + \gamma + 2 \mu \right) \pi } { 4 } } ,
{ { E } ^ { \mathrm { ~ N ~ S ~ } } } ( k , t = 0 ) = A { { k } ^ { 4 } } \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } \left[ - 2 { { \left( \frac { k } { { { k } _ { p } } } \right) } ^ { 2 } } \right] , A = \frac { 3 2 } { 3 \sqrt { 2 \pi } } \frac { { { U } _ { 0 } } ^ { 2 } } { { { k } _ { p } } ^ { 5 } } ,
\small \begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { \rho } \nabla p \approx \frac { 1 } { \rho _ { 0 } } \nabla p + \left( \frac { 1 } { \rho } - \frac { 1 } { \rho _ { 0 } } \right) \nabla p ^ { * } , \qquad \frac { \mu } { \rho } \nabla ^ { 2 } \textbf { u } \approx \nu _ { m } \nabla ^ { 2 } \textbf { u } - \left( \frac { \mu } { \rho } - \nu _ { m } \right) \nabla \times \nabla \times \textbf { u } ^ { * } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { B } ( F ) ( \omega , \tau ) } & { = q ^ { A } s ^ { C } \prod _ { d | N } \prod _ { m = 1 } ^ { \infty } \Big ( 1 - s ^ { m d } \Big ) ^ { \mathrm { m u l t } _ { d } ( 0 , 0 ) } \prod _ { n = 1 } ^ { \infty } \Big ( 1 - q ^ { n d } \Big ) ^ { \mathrm { m u l t } _ { d } ( 0 , 0 ) } } \\ & { = \prod _ { d | N } \eta ( d \tau ) ^ { b _ { d } } \eta ( d \omega ) ^ { b _ { d } } . } \end{array}
\left\lVert \mathbf { m } \right\rVert _ { T V } = \left\lVert \nabla \mathbf { m } \right\rVert = \frac { 1 } { h } \sum _ { x , z } \sqrt { ( m _ { x + 1 , z } - m _ { x , z } ) ^ { 2 } + ( m _ { x , z + 1 } - m _ { x , z } ) ^ { 2 } + \epsilon } ,
\Vert \boldsymbol { b } - \boldsymbol { A } \hat { \boldsymbol { x } } \Vert \leq \mathcal { O } ( \varepsilon _ { w } ) ( \Vert \boldsymbol { A } \Vert \Vert \hat { \boldsymbol { x } } \Vert + \Vert \boldsymbol { b } \Vert + \Vert \boldsymbol { A } \Vert \left\Vert \vert \boldsymbol { Z } _ { k } \vert \, \vert \boldsymbol { y } \vert \right\Vert + \left\Vert \boldsymbol { A } \boldsymbol { Z } _ { k } \right\Vert \Vert \boldsymbol { y } \Vert ) .
\begin{array} { r } { H _ { \mathrm { f u l l } } ^ { \mathrm { R W A } } = \hbar \Omega _ { \mathrm { v } } b ^ { \dagger } b + \hbar \omega _ { \mathrm { c a v } } a ^ { \dagger } a + \hbar \omega _ { \mathrm { L } } l ^ { \dagger } l + \hbar g _ { 0 } a ^ { \dagger } a ( b ^ { \dagger } + b ) + \hbar J ( a ^ { \dagger } l + a l ^ { \dagger } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \omega _ { \mathrm { \pm , e f f } } ( \mu ) = \frac { 1 } { 2 } ( \omega _ { \mathrm { a , e f f } } ( \mu ) + \omega _ { \mathrm { b , e f f } } ( \mu ) ) \pm \frac { 1 } { 2 } \sqrt { ( \omega _ { \mathrm { a , e f f } } ( \mu ) - \omega _ { \mathrm { b , e f f } } ( \mu ) ) ^ { 2 } + 4 \gamma ( \mu ) ^ { 2 } } } \end{array}
M ( t ) = \left( \begin{array} { l l l l l l l l } { - \frac { \kappa _ { e } } { 2 } } & { 0 } & { 0 } & { - i g ( t ) } & { - i g ^ { * } ( t ) } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - \frac { \kappa _ { e } } { 2 } } & { + i g ^ { * } ( t ) } & { 0 } & { 0 } & { i g ( t ) } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - i g ( t ) } & { i \delta _ { o } - \frac { \kappa _ { o } } { 2 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { i g ^ { * } ( t ) } & { 0 } & { 0 } & { - i \delta _ { o } - \frac { \kappa _ { o } } { 2 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - i g ( t ) } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { i \delta _ { t } - \frac { \kappa _ { t } } { 2 } } & { 0 } & { - i J } & { 0 } \\ { 0 } & { i g ^ { * } ( t ) } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - i \delta _ { t } - \frac { \kappa _ { t } } { 2 } } & { 0 } & { i J } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - i J } & { 0 } & { i \delta _ { \mathrm { t m } } - \frac { \kappa _ { \mathrm { t m } } } { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { i J } & { 0 } & { - i \delta _ { \mathrm { t m } } - \frac { \kappa _ { \mathrm { t m } } } { 2 } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { P _ { 2 \gamma } ^ { g _ { c } } \left( x _ { j } Y _ { h } \right) = } & { \mu _ { h + 1 } ( 2 \gamma ) \left( x _ { j } \mathcal { Y } _ { h } + \frac { | x | ^ { 2 } } { 1 - n - 2 h } \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \mathcal { Y } _ { h } \right) \bigg | _ { S ^ { n } } } \\ & { - \mu _ { h - 1 } ( 2 \gamma ) \left( \frac { | x | ^ { 2 } } { 1 - n - 2 h } \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \mathcal { Y } _ { h } \right) \bigg | _ { S ^ { n } } . } \end{array}
\Sigma = { \frac { i \pi ^ { d / 2 } } { ( 2 \pi ) ^ { d } } } \Gamma ( 1 - d / 2 ) 6 g ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { d \lambda } { ( \lambda ^ { 2 } + 2 \lambda \delta + m _ { \pi } ^ { 2 } ) ^ { 1 - d / 2 } } }
\mathcal { F } _ { 1 2 } ^ { ( 1 ) } = \mathcal { F } _ { 1 2 } ^ { ( 2 ) } = \ldots = \mathcal { F } _ { 1 2 } ^ { ( N ) } , \quad \mathcal { F } _ { 3 4 } ^ { ( 1 ) } = \mathcal { F } _ { 3 4 } ^ { ( 2 ) } = \ldots = \mathcal { F } _ { 3 4 } ^ { ( N ) } , \quad \mathcal { F } _ { 5 6 } ^ { ( 1 ) } = \mathcal { F } _ { 5 6 } ^ { ( 2 ) } = \ldots = \mathcal { F } _ { 5 6 } ^ { ( N ) } .
\begin{array} { r } { { \bf E } \approx \left( i \omega \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } A , - \omega \frac { \sigma } { \sqrt { 2 } } A , - v _ { 0 } \left( \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \partial _ { x } A + \frac { i \sigma } { \sqrt { 2 } } \partial _ { y } A \right) \right) . } \end{array}
{ \frac { \Delta T } { T ^ { 2 } } } \sum _ { p } \epsilon _ { p } ^ { 2 } { v } _ { p } ^ { 4 } { \frac { 1 } { { \sigma } _ { p } ^ { 2 } } } = \sum _ { p } \Delta n _ { p } \epsilon _ { p } { v } _ { p } ^ { 2 } { \frac { 1 } { { \sigma } _ { p } ^ { 2 } } } .
{ \frac { \nu _ { e } } { \nu _ { \mu } } } \, \approx { \frac { 1 } { 2 } } , \; \; { \frac { \bar { \nu } _ { \mu } } { \nu _ { \mu } } } \, \approx 1 , \; \; \mathrm { a n d } \; \; { \frac { \bar { \nu _ { e } } } { \nu _ { e } } } \, \approx \, { \frac { \mu ^ { - } } { \mu ^ { + } } } \, < \, 1 .
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { c } { \phi ^ { ( + , R ) } } \\ { \phi ^ { ( - , R ) } } \end{array} \right) = \mathcal { M } \left( \begin{array} { c } { \phi ^ { ( + , L ) } } \\ { \phi ^ { ( - , L ) } } \end{array} \right) , } \end{array}
\partial _ { t } \langle \hat { n } _ { s } ^ { i } ( t ) \rangle = \langle \hat { n } _ { s } ^ { i } | \hat { W } ( A ( t ) ) | \Phi ( t ) \rangle = \langle \mathbf { 1 } | [ \hat { n } _ { s } ^ { i } , \hat { W } ] | \Phi ( t ) \rangle \, ,
\begin{array} { r l } { - n \frac { \partial Y } { \partial \mathbb { A } } = { } } & { { } \left[ \begin{array} { l l } { A _ { 1 } } & { A _ { n } + A _ { p } } \\ { A _ { n } + A _ { p } } & { A _ { 2 } } \end{array} \right] ^ { - 1 } , } \\ { - \frac { \partial Y } { \partial v } = { } } & { { } \left[ \begin{array} { l l } { A _ { 1 } } & { A _ { n } + A _ { p } } \\ { A _ { n } + A _ { p } } & { A _ { 2 } } \end{array} \right] ^ { - 1 } \left[ \begin{array} { l } { C _ { 1 } } \\ { C _ { 2 } } \end{array} \right] , } \\ { \Xi = { } } & { { } \left[ \begin{array} { l l } { \lambda _ { e } } & { 0 } \\ { 0 } & { \lambda _ { \mu } } \end{array} \right] . } \end{array}
\langle M _ { 1 2 } ^ { \mathring { A } _ { 1 } } \mathring { \Phi } \rangle = \langle { \mathcal { B } } _ { 1 2 } ^ { - 1 } [ M _ { 1 } \mathring { A } _ { 1 } M _ { 2 } ] \mathring { \Phi } \rangle = \langle M _ { 1 } \mathring { A } _ { 1 } M _ { 2 } { \mathcal { X } } _ { 1 2 } [ \mathring { \Phi } ] \rangle = \langle M _ { 1 } \mathring { A } _ { 1 } M _ { 2 } \mathring { \Phi } \rangle = \langle \mathring { A } _ { 1 } M _ { 2 } \rangle \, ,
\mathbf { A } = { \left( \begin{array} { l l l } { a _ { 1 1 } } & { a _ { 1 2 } } & { a _ { 1 3 } } \\ { a _ { 2 1 } } & { a _ { 2 2 } } & { a _ { 2 3 } } \\ { a _ { 3 1 } } & { a _ { 3 2 } } & { a _ { 3 3 } } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 3 } \\ { 1 1 } & { 5 } & { 2 } \\ { 6 } & { 1 2 } & { - 5 } \end{array} \right) }
\begin{array} { r l } { \alpha } & { { } = 1 . 2 1 \pm 0 . 0 7 , } \\ { \beta } & { { } = 1 . 6 1 \pm 0 . 1 1 , } \\ { \gamma } & { { } = 1 . 0 0 \pm 0 . 0 7 , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { k _ { y } , m } { g _ { \bf k } } \mu _ { 0 } ( \hat { c } _ { k _ { x } , m } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \bf k } + \hat { c } _ { k _ { x } , m } \hat { a } _ { \bf k } ^ { \dagger } ) \sin \Big ( y \frac { \pi } { N _ { y } } \cdot \big ( m - \frac { 1 } { 2 } \big ) \Big ) } \\ & { \approx \sum _ { k _ { y } \in \mathcal { K } _ { c } } { g _ { \bf k } } \mu _ { 0 } \sum _ { m } ( \hat { c } _ { k _ { x } , m } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \bf k } + \hat { c } _ { k _ { x } , m } \hat { a } _ { \bf k } ^ { \dagger } ) \Bigg [ \sin \Big ( \frac { y \pi m } { N _ { y } } \Big ) \cos ( \frac { y \pi } { 2 N _ { y } } ) - \cos \Big ( \frac { y \pi m } { N _ { y } } \Big ) \sin \Big ( \frac { y \pi } { 2 N _ { y } } \Big ) \Bigg ] ~ , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \nu _ { k e } \left( u _ { k e } \right) } \\ & { \approx } & { \frac { e _ { k } ^ { 2 } e _ { e } ^ { 2 } \, n _ { e } } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } ^ { 2 } m _ { e } ^ { 2 } \, \gamma _ { e } ^ { 2 } \, u _ { e } ^ { 3 } } \, \left[ \ln \left( \frac { u _ { e } ^ { 2 } + B } { B } \right) - \frac { u _ { e } ^ { 2 } } { u _ { e } ^ { 2 } + B } \right] \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { x _ { i } ( t + 1 ) } & { = \frac { \sum _ { j \in V _ { i } ^ { + } ( t ) } x _ { j } ( t ) + \sum _ { j \in U _ { i } ( t ) } ( x _ { j } ( t ) - c ) + \sum _ { j \in L _ { i } } ( x _ { j } ( t ) + c ) } { | V _ { i } ^ { + } ( t ) | + | U _ { i } ( t ) + | L _ { i } ( t ) | } } \\ & { = \frac { \sum _ { j \in \left( V _ { i } ^ { + } ( t ) \cup U _ { i } ( t ) \cup L _ { i } ( t ) \right) } x _ { j } ( t ) + \left( | L _ { i } ( t ) | - | U _ { i } ( t ) | \right) c } { | V _ { i } ^ { + } ( t ) | + | U _ { i } ( t ) + | L _ { i } ( t ) | } } \\ & { = \frac { \sum _ { j \in \left( V _ { i } ^ { + } ( t ) \cup U _ { i } ( t ) \cup L _ { i } ( t ) \right) \setminus W ( t ) } x _ { j } ( t ) + \sum _ { j \in W ( t ) } \overline { { W } } ( t ) + \left( | L _ { i } ( t ) | - | U _ { i } ( t ) | \right) c } { | V _ { i } ^ { + } ( t ) | + | U _ { i } ( t ) + | L _ { i } ( t ) | } } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \left[ \partial _ { x } \frac { 1 } { \varepsilon ( x , y ) } \partial _ { x } + \partial _ { y } \frac { 1 } { \varepsilon ( x , y ) } \partial _ { y } \right] \mathcal { H } _ { z } ( x , y ) } & { { } = \frac { \omega ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \mathcal { H } _ { z } ( x , y ) , } \\ { - \frac { 1 } { \varepsilon ( x , y ) } \left( \partial _ { x } ^ { 2 } + \partial _ { y } ^ { 2 } \right) \mathcal { E } _ { z } ( x , y ) } & { { } = \frac { \omega ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \mathcal { E } _ { z } ( x , y ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { D _ { \mathrm { t h e o r y } } \left( g _ { 0 0 } ^ { 2 } , \, \ln { \frac { \Lambda ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } } } \right) } & { = } & { { \frac { g _ { 0 0 } ^ { 2 } } { \pi } } } \\ { D _ { \mathrm { p h y s . } } \left( g _ { 0 } ^ { 2 } ( \Lambda ) , \, \ln { \frac { \Lambda ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } } } \right) } & { = } & { { \frac { g _ { 0 } ^ { 2 } ( \Lambda ) } { \pi } } = { \frac { 1 } { \pi \beta _ { 0 } \ln { \frac { \Lambda ^ { 2 } } { \lambda _ { P } ^ { 2 } } } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { r } \frac { \partial } { \partial r } \left[ r \frac { \partial D _ { x } ^ { ( 1 ) } } { \partial r } \right] + \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } D _ { x } ^ { ( 1 ) } } { \partial \phi ^ { 2 } } = D _ { x } ^ { ( 1 ) } + g \nu r K _ { 1 } ( r ) \left[ 1 + \cos ( 2 \phi ) \right] , } \\ & { \frac { 1 } { r } \frac { \partial } { \partial r } \left[ r \frac { \partial D _ { y } ^ { ( 1 ) } } { \partial r } \right] + \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } D _ { y } ^ { ( 1 ) } } { \partial \phi ^ { 2 } } = D _ { y } ^ { ( 1 ) } + g \nu r K _ { 1 } ( r ) \sin ( 2 \phi ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { S _ { x } = \operatorname { I m } \{ \left( - C i \left( I _ { 1 1 } I _ { 1 0 } ^ { * } + I _ { 1 1 } ^ { * } I _ { 1 0 } \right) \sin \phi \right) \} } \\ & { S _ { y } = \operatorname { I m } \{ \left( C i \left( I _ { 1 1 } I _ { 1 0 } ^ { * } + I _ { 1 1 } ^ { * } I _ { 1 0 } \right) \cos \phi \right) \} } \\ & { S _ { z } = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { B } ^ { + } \left( \mathbf { r } \right) } & { { } = \frac { \mu _ { 0 } } { \pi } \sum _ { { \nu } = 0 } ^ { \infty } \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \ \frac { f _ { 2 { \nu } + m + 1 , m } } { \rho _ { c } ^ { 2 { \nu } + m + 1 } } \mathbf { B } _ { 2 { \nu } + m + 1 , m } \left( \mathbf { r } \right) , } \\ { \mathbf { B } ^ { - } \left( \mathbf { r } \right) } & { { } = \frac { \mu _ { 0 } } { \pi } \sum _ { { \nu } = 1 } ^ { \infty } \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \ \frac { f _ { 2 { \nu } + m , m } } { \rho _ { c } ^ { 2 { \nu } + m } } \mathbf { B } _ { 2 { \nu } + m , m } \left( \mathbf { r } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d } { d t } \theta ( t ) } & { = } & { \sin ^ { 2 } { \theta } + \cos { \theta } \tan { \psi } + g _ { 2 } ( t ) \cos ^ { 2 } { \theta } , } \\ { \frac { d } { d t } \psi ( t ) } & { = } & { - \sin { \theta } \sin ^ { 2 } { \psi } - \cos { \theta } \cos { \psi } } \\ & { } & { \times \big [ g _ { 1 } ( t ) \cos { \psi } + ( g _ { 2 } ( t ) - 1 ) \sin { \theta } \sin { \psi } \big ] , } \\ { \frac { d } { d t } \big ( t \lambda _ { 3 } ( t ) \big ) } & { = } & { - \sin { \theta } \sin { \psi } \cos { \psi } + \cos { \theta } \cos { \psi } } \\ & { } & { \! \! \! \times \big [ g _ { 1 } ( t ) \sin { \psi } - ( g _ { 2 } ( t ) - 1 ) \sin { \theta } \cos { \psi } \big ] . } \end{array}