harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\frac { 8 \pi d N _ { q \overline { { { q } } } \gamma } } { d \Omega _ { \vec { n _ { 2 } } } } \approx \frac { 1 } { N _ { C } } \; W _ { + - } ( { \vec { n _ { 2 } } } ) \int _ { E _ { m i n } } ^ { E _ { m a x } } \frac { d E _ { 2 } } { E _ { 2 } } \gamma _ { 0 } ^ { 2 } ( k _ { 2 p } ^ { t } ) N _ { g } ( k _ { 2 p } ^ { t } / Q _ { 0 } ) .
\begin{array} { r l } { \phi _ { P _ { S _ { \eta } } } ( t | n _ { R } , n _ { U } ) } & { = \mathbb { E } \Big [ \exp ( j t P _ { S _ { \eta } } ) \Big ] } \\ & { \stackrel { ( a ) } { = } \mathbb { E } \Bigg [ \exp \bigg \{ j t \bigg ( \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { R } } P _ { S , i } + \eta \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { R } } P _ { I _ { 1 } , i } \bigg ) \bigg \} \Bigg ] } \\ & { = \mathbb { E } \Bigg [ \prod _ { i = 1 } ^ { n _ { R } } \exp \Big ( j t P _ { S , i } \Big ) \exp \Big ( j t \eta P _ { I _ { 1 } , i } \Big ) \Bigg ] } \\ & { \stackrel { ( b ) } { = } \Bigg ( \mathbb { E } \bigg [ \exp \Big ( j t P _ { S , i } \Big ) \exp \Big ( j t \eta P _ { I _ { 1 } , i } \Big ) \bigg ] \Bigg ) ^ { n _ { R } } } \\ & { \stackrel { ( c ) } { = } \Bigg ( \mathbb { E } _ { r } \bigg [ \phi _ { T } ( t | n _ { R } , n _ { U } , r ) \phi _ { V } ( \eta t | n _ { R } , n _ { U } , r ) \bigg ] \Bigg ) ^ { n _ { R } } } \\ & { \stackrel { ( d ) } { = } \Bigg [ \int _ { r _ { 0 } } ^ { r _ { 1 } } \phi _ { T } ( t | n _ { R } , n _ { U } , r ) \phi _ { V } ( \eta t | n _ { R } , n _ { U } , r ) \frac { 2 r } { r _ { 1 } ^ { 2 } - r _ { 0 } ^ { 2 } } d r \Bigg ] ^ { n _ { R } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta U _ { 3 } ^ { \mathrm { B O } } [ \mathrm { C C S D ( T ) } ] } & { = U _ { 3 } ^ { \mathrm { B O } } [ \mathrm { C C S D ( T ) } ] - U _ { 3 } ^ { \mathrm { B O } } [ \mathrm { H F } ] , } \\ { \Delta U _ { 3 } ^ { \mathrm { B O } } [ \mathrm { C C S D T } ] } & { = U _ { 3 } ^ { \mathrm { B O } } [ \mathrm { C C S D T } ] - U _ { 3 } ^ { \mathrm { B O } } [ \mathrm { C C S D ( T ) } ] , } \\ { \Delta U _ { 3 } ^ { \mathrm { B O } } [ \mathrm { F C I } ] } & { = U _ { 3 } ^ { \mathrm { B O } } [ \mathrm { F C I } ] - U _ { 3 } ^ { \mathrm { B O } } [ \mathrm { C C S D T } ] . } \end{array}
D _ { \theta } ( x , \sigma ) = \frac { \sigma _ { \mathrm { d a t a } } ^ { 2 } } { \sigma _ { \mathrm { d a t a } } ^ { 2 } + \sigma ^ { 2 } } x + \frac { \sigma _ { \mathrm { d a t a } } \sigma } { \sqrt { \sigma _ { \mathrm { d a t a } } ^ { 2 } + \sigma ^ { 2 } } } F _ { \theta } \left( \frac { x } { \sqrt { \sigma _ { \mathrm { d a t a } } ^ { 2 } + \sigma ^ { 2 } } } , \frac { 1 } { 4 } \log ( \sigma ) \right) ,
( ( \tilde { d } _ { k _ { o } , i } ^ { \mathrm { o f f } } ) ^ { \mathrm { p o p } } , ( \tilde { d } _ { i } ^ { \mathrm { m e c } } ) ^ { \mathrm { p o p } } , ( d _ { k , n } ^ { \mathrm { o f f } } ) ^ { \mathrm { p o p } } , ( d _ { k , n } ^ { \mathrm { l o c } } ) ^ { \mathrm { p o p } } , ( d _ { n } ^ { \mathrm { m e c } } ) ^ { \mathrm { p o p } } )
\begin{array} { r l r } { { \cal I } _ { a b } ( \vec { r } , \vec { r } _ { 0 } ) } & { = } & { - \Big \{ \Big ( 2 m _ { a } m _ { b } + k _ { a } k _ { b } \Big ) \frac { 1 } { r \big ( r + ( { \vec { k } } \cdot { \vec { r } } ) \big ) } + \Big ( k _ { a } k _ { b } - m _ { a } m _ { b } \Big ) \frac { ( { \vec { k } } \cdot { \vec { r } } ) } { r ^ { 3 } } + \Big ( k _ { a } m _ { b } + k _ { b } m _ { a } \Big ) \frac { b } { r ^ { 3 } } \Big \} \Big | _ { r _ { 0 } } ^ { r } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left( { { \bf y } } _ { _ { \mathrm { \footnotesize { d d } } } } \right) _ { k M + l + 1 } } & { = } & { { { y } } _ { _ { \mathrm { \footnotesize { d d } } } } [ k , l ] } \\ { \left( { { \bf x } } _ { _ { \mathrm { \footnotesize { d d } } } } \right) _ { k M + l + 1 } } & { = } & { { { x } } _ { _ { \mathrm { \footnotesize { d d } } } } [ k , l ] } \\ { \, \, \, \left( { { \bf n } } _ { _ { \mathrm { \footnotesize { d d } } } } \right) _ { k M + l + 1 } } & { = } & { { { n } } _ { _ { \mathrm { \footnotesize { d d } } } } [ k , l ] , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { \Delta t } \int _ { \Omega _ { i } } { \rho } ^ { n + \frac { 1 } { 3 } } d \Omega = \int _ { \Omega _ { i } } b _ { \rho } ^ { n + 1 } d \Omega - \int _ { \partial \Omega _ { i } } \rho ^ { n } \mathbf u ^ { n } \cdot d \textbf { A } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { d } } & { = \hbar \sqrt { \kappa _ { 1 } } \left( \alpha _ { d } \hat { a } ^ { \dagger } + \alpha _ { d } ^ { * } \hat { a } \right) - \hbar \delta _ { d } \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } - \hbar \Delta _ { a } \int \hat { \psi } _ { e } ^ { \dagger } ( Z ) \hat { \psi } _ { e } ( Z ) \, d Z + \sum _ { \tau = g , e } \int \hat { \psi } _ { \tau } ^ { \dagger } ( Z ) \frac { \hat { p } ^ { 2 } } { 2 m } \hat { \psi } _ { \tau } ( Z ) \, d Z } \\ & { + \hbar g _ { 0 } \int \cos ( k Z ) \left[ \hat { a } \hat { \psi } _ { e } ^ { \dagger } ( Z ) \hat { \psi } _ { g } ( Z ) + \hat { a } ^ { \dagger } \hat { \psi } _ { g } ^ { \dagger } ( Z ) \hat { \psi } _ { e } ( Z ) \right] \, d Z . } \end{array}
X ( u ) = { \frac { \left( \pm i + e ^ { 3 \eta } \right) \left( - 1 + { e ^ { u } } \right) \left( 1 + { e ^ { u } } \right) x _ { 1 } } { 2 { e ^ { u } } \left( \pm i + { e ^ { 3 \eta + u } } \right) } } ,
\begin{array} { r l } { \dot { n _ { \alpha } } } & { { } = \pi \epsilon ^ { 2 } \int \! \! d \beta d \gamma \ \sigma _ { \alpha } ^ { \beta \gamma } \left( \sigma _ { \beta } ^ { \alpha \gamma } n _ { \alpha } n _ { \gamma } + \sigma _ { \gamma } ^ { \alpha \beta } n _ { \beta } n _ { \alpha } + \sigma _ { \alpha } ^ { \beta \gamma } n _ { \beta } n _ { \gamma } \right) \delta \left( \Omega _ { \alpha \beta \gamma } \right) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { A _ { 0 } = } & { { \frac { 2 A } { \pi } } } \\ { A _ { n } = } & { { \left\{ \begin{array} { l l } { { \frac { - 4 A } { \pi } } { \frac { 1 } { n ^ { 2 } - 1 } } } & { \quad n { \mathrm { ~ e v e n } } } \\ { 0 } & { \quad n { \mathrm { ~ o d d } } } \end{array} \right. } } \\ { B _ { n } = } & { 0 } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 8 } \Big [ 8 + \alpha _ { 1 } - 2 ( \alpha _ { 2 } + \alpha _ { 3 } + \alpha _ { 5 } + \alpha _ { 6 } ) - 2 ( \alpha _ { 2 } + \alpha _ { 3 } - \alpha _ { 5 } + \alpha _ { 6 } ) \cos { 2 \theta _ { B } } } \\ { - \alpha _ { 1 } \cos { 4 \theta _ { B } } \Big ] u _ { 1 z z } - p _ { 0 x } } & { = 0 , } \\ { p _ { 0 z } } & { = 0 , } \\ { \hat { N } \theta _ { 1 z z } } & { = 0 , } \\ { u _ { 1 x } + w _ { 1 z } } & { = 0 , } \\ { p _ { 0 } + \frac { \gamma } { 2 } h _ { 0 x x } } & { = 0 , } \\ { - \frac { 1 } { 2 } ( \alpha _ { 1 } \cos { 2 \theta _ { B } } - \alpha _ { 5 } + \alpha _ { 6 } ) \sin { 2 \theta _ { B } } u _ { 0 x } } \\ { + \frac { 1 } { 4 } \Big [ 4 - 2 ( \alpha _ { 2 } - \alpha _ { 5 } ) \cos ^ { 2 } { \theta _ { B } } + 2 ( \alpha _ { 3 } + \alpha _ { 6 } ) \sin ^ { 2 } { \theta _ { B } } + \alpha _ { 1 } \sin ^ { 2 } { 2 \theta _ { B } } \Big ] u _ { 1 z } } & { = 0 , } \\ { w _ { 1 } - \frac { 1 } { 2 } ( h _ { 1 t } + u _ { 1 } h _ { 0 x } + u _ { 0 } h _ { 1 x } ) } & { = 0 , } \\ { \theta _ { 1 } } & { = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { p ( \epsilon , \theta , \ell ) } & { { } = \frac { \sqrt { 2 } \ell } { 3 ^ { 3 / 4 } } ( 1 + \epsilon ) \bigg ( 2 \left( 1 + t \right) + \sqrt { 1 + ( t ( \theta ) - \sqrt { 3 } ) ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r } { ( \boldsymbol { U } ^ { \star } \boldsymbol { V } ^ { \star \mathrm { T } } - \boldsymbol { X } ) \boldsymbol { V } ^ { \star } + \lambda ( \boldsymbol { U } ^ { \star } - \boldsymbol { V } ^ { \star } ) + \boldsymbol { G } = \boldsymbol { 0 } , } \\ { ( \boldsymbol { U } ^ { \star } \boldsymbol { V } ^ { \star \mathrm { T } } - \boldsymbol { X } ) ^ { \mathrm { T } } \boldsymbol { U } ^ { \star } - \lambda ( \boldsymbol { U } ^ { \star } - \boldsymbol { V } ^ { \star } ) + \boldsymbol { H } = \boldsymbol { 0 } , } \end{array}
\begin{array} { c } { { \displaystyle g _ { \pm } ( \vartheta ) = \operatorname * { l i m } _ { l \rightarrow 0 } \, g \left( \left. \vartheta \pm \log \displaystyle \frac { 2 } { l } \right| \vartheta _ { k } \right) = \pm 2 \chi _ { \infty } ( S - S ^ { \pm } ) + 2 \pi l _ { W } ^ { \pm } + \displaystyle \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { H } ^ { \pm } } \chi ( \vartheta - h _ { k } ^ { \pm } ) + } } \\ { { - \displaystyle \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { S } ^ { \pm } } \left( \chi ( \vartheta - \hat { y } _ { k } ^ { \pm } + i \eta ) + \chi ( \vartheta - \hat { y } _ { k } ^ { \pm } - i \eta ) \right) - \displaystyle \sum _ { k = 1 } ^ { M _ { C } ^ { \pm } } \chi ( \vartheta - c _ { k } ^ { \pm } ) - \displaystyle \sum _ { k = 1 } ^ { M _ { W } ^ { \pm } } \chi _ { I I } ( \vartheta - w _ { k } ^ { \pm } ) \, ; } } \\ { { l _ { W } ^ { \pm } = \pm \textrm { s i g n } ( p - 1 ) \, \displaystyle \frac { 1 } { 2 } \, ( M _ { W } - M _ { W } ^ { \pm } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Tilde { b } _ { L P } ^ { \dagger } = } & { { } \sum _ { p } \frac { C _ { p } ^ { L P } { b } _ { p } ^ { \dagger } } { \sqrt { \sum _ { m } | C _ { m } ^ { L P } | ^ { 2 } } } } \\ { \Tilde { b } _ { U P } ^ { \dagger } = } & { { } \sum _ { p } \frac { C _ { p } ^ { U P } { b } _ { p } ^ { \dagger } } { \sqrt { \sum _ { m } | C _ { m } ^ { U P } | ^ { 2 } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \rho m _ { 1 } \partial _ { t } \mathbf q + \nabla \frac { 1 } { T } + \nabla \cdot \mathbf B } & { { } = l \mathbf q , } \\ { - \rho m _ { 2 } \partial _ { t } \mathbf Q } & { { } = L _ { 1 1 } \mathbf Q + L _ { 1 2 } \nabla \mathbf q , } \\ { \mathbf B = L _ { 2 1 } \mathbf Q + L _ { 2 2 } \nabla \mathbf q , } \end{array}
\operatorname * { s u p } _ { x } \frac { | f ( x ) - f ( p ) | } { \mathrm { d i s t } ( x , p ) } \leq \operatorname * { s u p } _ { x } \operatorname * { l i m } _ { p \to x } \frac { | f ( x ) - f ( p ) | } { \mathrm { d i s t } ( p , q ) } ~ .
\operatorname* { m a x } _ { a _ { 0 } } \left\{ F ( x _ { 0 } , a _ { 0 } ) + \beta \left[ \operatorname* { m a x } _ { \left\{ a _ { t } \right\} _ { t = 1 } ^ { \infty } } \sum _ { t = 1 } ^ { \infty } \beta ^ { t - 1 } F ( x _ { t } , a _ { t } ) : a _ { t } \in \Gamma ( x _ { t } ) , \; x _ { t + 1 } = T ( x _ { t } , a _ { t } ) , \; \forall t \geq 1 \right] \right\}
\tilde { { u } } _ { i } ( \boldsymbol { x } ) = \iint _ { S } { l _ { i j } ( \boldsymbol { x } - \boldsymbol { x } _ { s } ) E _ { j } ( \boldsymbol { x } _ { s } ) } \, \mathrm { d } \boldsymbol { x } _ { s } .
\begin{array} { r } { \delta _ { 2 , \alpha } ^ { M } ( \underline { { X } } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { c _ { 0 , 2 } X _ { 2 } , } & { \mathrm { ~ i f } \quad c _ { 0 , 1 } X _ { 1 } \leq c _ { 0 , 2 } X _ { 2 } } \\ { \frac { p _ { 1 } } { p _ { 2 } } ( 1 - \alpha ) c _ { 0 , 1 } X _ { 1 } + ( 1 - \frac { p _ { 1 } } { p _ { 2 } } ( 1 - \alpha ) ) c _ { 0 , 2 } X _ { 2 } , } & { \mathrm { ~ i f } \quad c _ { 0 , 1 } X _ { 1 } > c _ { 0 , 2 } X _ { 2 } } \end{array} \right. , \; \; \alpha \in \Re . } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { \pi } d \theta { \frac { ( \sin \theta ) ^ { ( d - 4 ) } } { ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta ) ^ { ( d - 2 ) / 2 } } } = { \frac { ( d - 3 ) ! ! } { 2 ^ { ( d - 2 ) / 2 } \left( ( d - 2 ) / 2 ) \right) ! } } { \frac { 1 } { a ( b ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) ^ { ( d - 3 ) / 2 } } }
P ^ { v i r } = \frac { N ( N - 1 ) } { 4 V } 2 \pi { ( 2 \sigma ) } ^ { 2 } \hat { g } ( 2 \sigma ) \left\langle \frac { { \big [ { v ^ { r } } _ { 1 } - { v ^ { r } } _ { 2 } \big ] } ^ { 2 } } { 2 } H ( \textbf { v } ) \right\rangle
\frac { { \partial \phi } } { { \partial t } } + { \bf { u } } \cdot \nabla \phi = { M _ { \phi } } \left[ { { \nabla ^ { 2 } } \phi - \frac { { \left( { \nabla \phi \cdot \nabla } \right) \left| { \nabla \phi } \right| } } { { \left| { \nabla \phi } \right| } } - \left| { \nabla \phi } \right| \nabla \cdot \left( { \frac { { \nabla \phi } } { { \left| { \nabla \phi } \right| } } } \right) } \right] .
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \Tilde { x } } ( t + 1 ) } & { = \boldsymbol { \Tilde { M } } \boldsymbol { \Tilde { x } } ( t ) + \boldsymbol { \Tilde { B } } \boldsymbol { \xi } ( t ) } \\ { \small { \textit { w i t h } } ~ \boldsymbol { \Tilde { M } } } & { = \left( \begin{array} { l l l l } { \phi _ { 1 } } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { \phi _ { 2 } } & { \cdots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { \phi _ { N } } \end{array} \right) ; } \\ { \boldsymbol { \Tilde { B } } } & { = \left( \begin{array} { l l l l } { \Tilde { \sigma } _ { 1 } } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { \Tilde { \sigma } _ { 2 } } & { \cdots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { \Tilde { \sigma } _ { N } } \end{array} \right) ; } \\ { \xi _ { i } ( t ) } & { \overset { \mathrm { i i d } } { \sim } \mathcal { N } ( 0 , 1 ) , ~ i = 1 , . . . , N . } \end{array}
\begin{array} { l } { E ( r ) = E _ { e } ( r ) + E _ { p } ( r ) , } \\ { E _ { e l } ( r ) = \frac { V ( r ) } { 2 \pi ^ { 2 } \hbar ^ { 3 } } \int _ { o } ^ { p _ { F } ( r ) } d p p ^ { 2 } \left( \sqrt { p ^ { 2 } c ^ { 2 } + m _ { e } ^ { 2 } c ^ { 4 } } - m _ { e } c ^ { 2 } \right) , } \\ { E _ { p r } p ( r ) = \frac { V ( r ) } { 2 \pi ^ { 2 } \hbar ^ { 3 } } \int _ { o } ^ { p _ { F } ( r ) } d p p ^ { 2 } \left( \sqrt { p ^ { 2 } c ^ { 2 } + m _ { p } ^ { 2 } c ^ { 4 } } - m _ { p } c ^ { 2 } \right) , } \end{array}
T _ { \alpha } , \quad G _ { a } = \frac { 1 } { 1 2 } \sigma _ { a } ^ { \alpha \dot { \beta } } ( R _ { \, \, \dot { \beta } \alpha \gamma } ^ { \gamma } + R _ { \, \, \alpha \dot { \beta } \dot { \gamma } } ^ { \dot { \gamma } } ) , \quad W _ { \alpha \beta \gamma } = \sigma _ { ( \alpha \dot { \delta } } ^ { a } \sigma _ { \beta } ^ { b \dot { \delta } } T _ { a b \gamma ) }
\begin{array} { r l } { p ( s ) } & { { } = p ( s _ { 0 } ) \prod _ { i = 1 } ^ { N } \prod _ { a , a ^ { \prime } } p \Big ( s _ { \mathrm { i } } ^ { a ^ { \prime } } \Big | s _ { \mathrm { i - 1 } } ^ { a } \Big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { A _ { 0 i } \sin \theta _ { i } + A _ { 0 r } \sin \theta _ { i } + \overline { { A } } _ { 0 r } \cos \theta _ { i } } & { { } = } & { A _ { 0 t } \sin \theta _ { i } , } \\ { A _ { 0 i } \cos \theta _ { i } - A _ { 0 r } \cos \theta _ { i } + \overline { { A } } _ { 0 r } \sin \theta _ { i } } & { { } = } & { A _ { 0 t } \cos \theta _ { i } , } \\ { \left( c A _ { 0 i } - \phi _ { 0 i } + c A _ { 0 r } - \phi _ { 0 r } \right) \sin \theta _ { i } + c \overline { { A } } _ { 0 r } \cos \theta _ { i } } & { { } = } & { 0 , } \\ { i k \left( - c A _ { 0 i } + \phi _ { 0 i } + c A _ { 0 r } - \phi _ { 0 r } \right) \cos \theta _ { i } - i k c \overline { { A } } _ { 0 r } \sin \theta _ { i } } & { { } = } & { \frac { \Sigma _ { 0 } } { \varepsilon _ { 0 } } , } \\ { i k \overline { { A } } _ { 0 r } } & { { } = } & { \mu _ { 0 } K _ { T 0 } , } \\ { \phi _ { 0 i } + \phi _ { 0 r } } & { { } = } & { \phi _ { 0 t } , } \end{array}
C ^ { i j k l } = \left[ \begin{array} { l l l l l l } { C ^ { 1 1 } } & { C ^ { 1 2 } } & { C ^ { 1 3 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { * } & { C ^ { 1 1 } } & { C ^ { 1 3 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { * } & { * } & { C ^ { 3 3 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { * } & { * } & { * } & { C ^ { 4 4 } } & { 0 } & { 0 } \\ { * } & { * } & { * } & { * } & { C ^ { 4 4 } } & { 0 } \\ { * } & { * } & { * } & { * } & { * } & { C ^ { 6 6 } \, } \end{array} \right]
\begin{array} { r l r } { S _ { \mathrm { ~ f ~ i ~ } } ^ { ( 0 ) } } & { { } = } & { - i e N _ { \mathrm { ~ f ~ i ~ } } \! \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } \overline { { u } } _ { p ^ { \prime } , s ^ { \prime } } \, M _ { n } \, v _ { p , s } } \end{array}
B ^ { ( k ) } = \left( \begin{array} { l l } { \hat { a } _ { k , k } ^ { ( k ) } } & { \hat { A } _ { k , : } ^ { ( k ) } } \\ { \hat { A } _ { : , k } ^ { ( k ) } } & { B ^ { ( k + 1 ) } + \hat { A } _ { k + 1 : n , k } ^ { ( k ) } \hat { A } _ { k , k + 1 : n } ^ { ( k ) } / \hat { a } _ { k , k } ^ { ( k ) } } \end{array} \right) \quad \mathrm { f o r ~ } k = 1 , . . . , n - 1 .
\begin{array} { r l } { C ^ { t o t } ( t + d t ) } & { = C ^ { t o t } ( t ) + \frac { C ^ { \alpha } ( t ) } { Q ^ { \alpha } ( t ) } ( D ^ { \alpha } ( t + d t ) - Q ^ { \alpha } ( t ) ) } \\ & { = C ^ { t o t } ( t ) + C ^ { \alpha } ( t ) [ \frac { 1 } { Q ^ { \alpha } ( t ) } ( I ^ { \alpha } ( t + d t ) } \\ & { + P ^ { \alpha } ( t + d t ) + \delta ^ { - } S ^ { \alpha } ( t + d t ) } \\ { + } & { \Delta I ^ { \alpha } ( t + d t ) ) - 1 ] } \\ & { = C ^ { t o t } ( t ) ( 1 + f ^ { \alpha } ( t ) [ \frac { 1 } { Q ^ { \alpha } ( t ) } ( I ^ { \alpha } ( t + d t ) } \\ & { + P ^ { \alpha } ( t + d t ) + \delta ^ { - } S ^ { \alpha } ( t ) } \\ { + } & { \frac { I ^ { \alpha } ( t + d t ) } { I ^ { \alpha } ( t ) } \Delta I ^ { \alpha } ( t ) ) - 1 ] ) } \end{array}
\frac { \mathrm { d } E } { \mathrm { d } t } = \int _ { \mathcal { V } } \nabla \psi \cdot \nabla \psi _ { t } \, \textrm { d } V = \int _ { \mathcal { V } } \nabla \cdot \left[ \psi \nabla \psi _ { t } \right] \, \textrm { d } V = - \int _ { \mathcal { A } } \left. \psi \frac { \partial ^ { 2 } \psi } { \partial z \partial t } \right| _ { z = 0 } \! \! \! \! \, \textrm { d } A + \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \! \! \! \oint _ { \partial \mathcal { A } } \psi \nabla \psi _ { t } \cdot \hat { \textbf { n } } \, \textrm { d } l \, \textrm { d } z .
\begin{array} { r l } { u _ { i } ( { \bf x } ) } & { = u _ { i } ^ { ( 0 ) } ( { \bf x } ) + \int _ { \Omega } d { \bf x } ^ { \prime } H _ { i J } ^ { ( 0 ) } ( { \bf x } , { \bf x } ^ { \prime } ) \Delta c _ { J K } ( { \bf x } ^ { \prime } ) \epsilon _ { K } ( { \bf x } ^ { \prime } ) } \\ & { + \omega ^ { 2 } \int _ { \Omega } d { \bf x } ^ { \prime } G _ { i j } ^ { ( 0 ) } ( { \bf x } , { \bf x } ^ { \prime } ) \Delta \rho ( { \bf x } ^ { \prime } ) u _ { j } ( { \bf x } ^ { \prime } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { q } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 \sqrt { s } } \, \sqrt { \left( s - ( m _ { k ^ { \, ^ { \prime } } } ^ { 2 } + m _ { l ^ { \, ^ { \prime } } } ^ { 2 } ) \, c ^ { 2 } \right) ^ { 2 } - 4 \, m _ { k ^ { \, ^ { \prime } } } ^ { 2 } m _ { l ^ { \, ^ { \prime } } } ^ { 2 } \, c ^ { 4 } } \; . } \end{array}
( \hat { { \cal X } } _ { 1 2 } ^ { - 1 } \tilde { \gamma } _ { A } \hat { { \cal X } } _ { 2 1 } ^ { - 1 } ) _ { \alpha \beta } = \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } \epsilon _ { \alpha \beta \gamma \delta } ( \hat { { \cal X } } _ { 2 1 } \gamma _ { A } \hat { { \cal X } } _ { 1 2 } ) ^ { \gamma \delta }
x _ { i } = \operatorname* { m i n } \Bigg [ \operatorname* { m i n } _ { k \in \mathcal { I } _ { i } ^ { \mathrm { e s } } } \Big [ \frac { 1 } { \alpha _ { i k } } \Pi _ { i k } \Big ] , \: \beta _ { i } + \frac { 1 } { \alpha _ { i } } \sum _ { k \in \mathcal { I } _ { i } ^ { \mathrm { n e } } } \Pi _ { i k } , \; \frac { 1 } { \alpha _ { l _ { i } } } l _ { i } , \; \frac { 1 } { \alpha _ { c _ { i } } } c _ { i } \; \Bigg ] \, .
M = \left[ \begin{array} { c c c } { { u } } & { { u } } & { { \widehat { z } } } \\ { { \widehat { u } } } & { { v } } & { { w } } \\ { { z } } & { { \widehat { w } } } & { { \widehat { w } } } \end{array} \right]
\begin{array} { r } { - \frac { 1 } { 4 \pi } \int _ { S } \overline { { Y _ { i } ^ { j } } } \mathrm { d } \boldsymbol { p } + C _ { i , j } \left[ 1 + \tau D _ { r } i ( i + 1 ) \right] + \mathrm { P e } _ { f } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \sum _ { m = - n } ^ { n } C _ { n , m } \int _ { S } \overline { { Y _ { i } ^ { j } } } \mathcal { H } ( Y _ { n } ^ { m } ) \mathrm { d } \boldsymbol { p } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { c ( \theta ) \equiv C ( \zeta ^ { ( 1 ) } , \zeta ^ { ( 2 ) } , \zeta ^ { ( 3 ) } , \zeta ^ { ( 4 ) } ) } \\ { = } & { - \frac { 1 } { ( \cos \theta + 1 ) s ^ { 4 } } ( ( - \frac { \cos ( { \theta } / { 2 } ) } { 4 \cos \theta } - \cos ( { \theta } / { 2 } ) \cos \theta + \frac { 3 } { 4 \cos ( { \theta } / { 2 } ) } + \frac { \cos ( { \theta } / { 2 } ) } { 2 \cos \theta } ) \frac { 1 } { s } } \\ & { + ( 1 - \frac { 1 } { 2 \cos \theta } - \cos ( { \theta } / { 2 } ) \cos \theta + \frac { 5 } { 2 \cos \theta } ) } \\ & { + ( - 9 \cos ( { \theta } / { 2 } ) - \frac { 1 } { 4 \cos ( { \theta } / { 2 } ) \cos \theta } + \frac { \cos ( { \theta } / { 2 } ) } { \cos \theta } + \frac { 1 1 } { 4 \cos ( { \theta } / { 2 } ) } - \cos ( { \theta } / { 2 } ) \cos \theta ) s + \mathcal { O } ( s ^ { 2 } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \dot { x _ { i } } = \sum _ { \alpha : i \in E _ { \alpha } } \sum _ { j \in E _ { \alpha } } \sin ( x _ { j } - x _ { i } ) = \sum _ { j = 1 } ^ { N } ( B ^ { \top } B ) _ { i j } \sin ( x _ { j } - x _ { i } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \neg { \mathcal A } _ { \mathrm { m a r k - g i a n t } } ( n , \overline { { w } } ) \subseteq \{ { \mathcal C } _ { \mathrm { b b } } \nsubseteq { \mathcal C } _ { n } ^ { \scriptscriptstyle ( 1 ) } \} \cup \{ \exists v \in \Xi _ { n } [ \overline { { w } } , \infty ) : v \not \leftrightarrow { \mathcal C } _ { \mathrm { b b } } , { \mathcal C } _ { \mathrm { b b } } \subseteq { \mathcal C } _ { n } ^ { \scriptscriptstyle ( 1 ) } \} . } \end{array}
\mathbf { a } ( t ) = \left( \begin{array} { l } { a _ { 1 } ( t ) } \\ { a _ { 2 } ( t ) } \\ { \vdots } \\ { a _ { m } ( t ) } \end{array} \right) , \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \mathbf { b } ( t ) = \left( \begin{array} { l } { b _ { 1 } ( t ) } \\ { b _ { 2 } ( t ) } \\ { \vdots } \\ { b _ { m } ( t ) } \end{array} \right) ,
\chi _ { 2 } ^ { i } ( F , G ; { \bf p ^ { \prime } , q } ) = - \frac { 3 \mu + 1 } { ( 1 + \mu ) ^ { 3 } } \frac { q ^ { i } } { 1 2 \pi ^ { 2 } } \tilde { f } { \bf ( p ^ { \prime } } ) \tilde { g } ( { \bf - p ^ { \prime } - q } ) .
\begin{array} { r l } { T } & { { } = \mathcal { T } _ { 0 } + \mathrm { ~ P ~ e ~ } \, \mathcal { T } _ { 1 } + \ldots } \\ { m } & { { } = m _ { 0 } + \mathrm { ~ P ~ e ~ } \, m _ { 1 } + \ldots } \\ { \psi } & { { } = \mathrm { ~ P ~ e ~ } \, \psi _ { 1 } + \ldots } \end{array}
\tilde { j } _ { \Omega } ( { \bf p } ) = \pi ^ { 3 / 2 } a ^ { 2 } b \exp \left\{ \frac { 1 } { 4 } \left[ - a ^ { 2 } ( p _ { x } ^ { 2 } + p _ { y } ^ { 2 } ) - b ^ { 2 } p _ { z } ^ { 2 } \right] \right\} .
\begin{array} { r l } { \displaystyle \int _ { I _ { n } } \xi ^ { \prime \prime } \xi ^ { \prime } d t = } & { \displaystyle \int _ { I _ { n } } \left( f ( t , u , u ^ { \prime } ) - f ( t , U , U ^ { \prime } ) \right) \pi ^ { r _ { n } - 2 } \xi ^ { \prime } d t } \\ { \le } & { L \left\{ \displaystyle \int _ { I _ { n } } \left( | u - U | + | u ^ { \prime } - U ^ { \prime } | \right) ^ { 2 } d t \right\} ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left\{ \displaystyle \int _ { I _ { n } } | \pi ^ { r _ { n } - 2 } \xi ^ { \prime } | ^ { 2 } d t \right\} ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \\ { \leq } & { \sqrt { 2 } L \left\{ \displaystyle \int _ { I _ { n } } \left( | u - U | ^ { 2 } + | u ^ { \prime } - U ^ { \prime } | ^ { 2 } \right) d t \right\} ^ { \frac { 1 } { 2 } } \| \pi ^ { r _ { n } - 2 } \xi ^ { \prime } \| _ { L ^ { 2 } ( I _ { n } ) } } \\ { = } & { \sqrt { 2 } L \| e \| _ { H ^ { 1 } ( I _ { n } ) } \| \pi ^ { r _ { n } - 2 } \xi ^ { \prime } \| _ { L ^ { 2 } ( I _ { n } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { 0 ; 0 , } ^ { \operatorname { c u r l } ; 1 } ( Q ) : = } & { L ^ { 2 } ( 0 , T ; H _ { 0 } ( \operatorname { c u r l } ; \Omega ) ) \cap H _ { 0 , } ^ { 1 } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbb R ^ { d } ) ) , } \\ { H _ { 0 ; , 0 } ^ { \operatorname { c u r l } ; 1 } ( Q ) : = } & { L ^ { 2 } ( 0 , T ; H _ { 0 } ( \operatorname { c u r l } ; \Omega ) ) \cap H _ { , 0 } ^ { 1 } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbb R ^ { d } ) ) , } \end{array}