harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \psi _ { k } ^ { \mathrm { v b } } ( \tau ) ^ { * } \psi _ { k } ^ { \mathrm { c b } } ( \tau ) } \\ & { \approx | \psi _ { k } ^ { \mathrm { v b } } | | \psi _ { k } ^ { \mathrm { c b } } | \frac { G ( \mu + \nu - \lambda ) G ( - \mu + \nu + \lambda ) G ( - \mu + \nu - \lambda ) } { G ( - \mu - \nu - \lambda ) G ( 2 \nu ) ^ { 2 } } } \\ & { \quad \times \exp \biggl \{ \mathrm { i } \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } \tau \left[ \varepsilon _ { \mathrm { D } } ( k - q A _ { \mathrm { S } } ( \tau ) ) - \varepsilon _ { \mathrm { D } } ( k - q A _ { \mathrm { S } } ( \infty ) ) \right] \biggr \} } \\ & { \quad \times \exp \biggl [ - \mathrm { i } \int _ { 0 } ^ { \tau } \mathrm { d } \tau ^ { \prime } \varepsilon ( k - q A ( \tau ^ { \prime } ) ) \biggr ] } \end{array}
\sum _ { \boldsymbol { R } } e ^ { i ( \boldsymbol { q } + \boldsymbol { q } ^ { \prime } - \boldsymbol { k } - \boldsymbol { G } ) \cdot \boldsymbol { R } } = N \delta _ { \boldsymbol { k } , \boldsymbol { q } + \boldsymbol { q } ^ { \prime } }
\begin{array} { r l } { B _ { 3 } } & { \lesssim \sum _ { i , r } \sum _ { j _ { 1 } \neq j _ { 3 } } \alpha _ { i i j _ { 1 } j _ { 1 } } \alpha _ { i i j _ { 3 } j _ { 3 } } \, \Omega _ { i j _ { 1 } } \Omega _ { i j _ { 3 } } } \\ & { \lesssim \sum _ { k } \sum _ { i \in S _ { k } } \sum _ { r \in [ N _ { i } ] } \sum _ { j _ { 1 } \neq j _ { 3 } } \frac { 1 } { M _ { k } } \mu _ { j _ { 1 } } \cdot \frac { 1 } { M _ { k } } \mu _ { j _ { 3 } } \cdot \Omega _ { i j _ { 1 } } \Omega _ { i j _ { 3 } } } \\ & { \lesssim \sum _ { k } \sum _ { j _ { 1 } \neq j _ { 3 } } \frac { 1 } { M _ { k } } \mu _ { j _ { 1 } } \cdot \frac { 1 } { M _ { k } } \mu _ { j _ { 3 } } \cdot M _ { k } \Sigma _ { k j _ { 1 } j _ { 3 } } \lesssim \sum _ { k } \frac { \mu ^ { \prime } \Sigma _ { k } \mu } { M _ { k } } . } \end{array}
\operatorname* { s u p } _ { \gamma \in \Gamma ( M ) } \int _ { M } \hat { q _ { 1 } } ( x ) \hat { q _ { 2 } } ( \gamma ( x ) ) \sqrt { | D \gamma | } \langle \overline { { q _ { 1 } } } ( x ) , \overline { { q _ { 2 } } } ( \gamma ( x ) ) \rangle d m \leq \operatorname* { s u p } _ { ( A , B ) \in \mathcal { A } } \sum _ { i = 1 } ^ { t _ { 1 } } \sum _ { j = 1 } ^ { t _ { 0 } } \sqrt { A _ { i j } B _ { i j } } \langle u _ { i } , v _ { j } \rangle .
\begin{array} { r l } { \mathcal { F } } & { { } = \gamma ^ { 4 } R ^ { 2 } \Big ( \Omega ^ { 4 } - \Omega ^ { 2 } \left( 2 \omega ^ { 2 } - \Gamma _ { 1 } \Gamma _ { 2 } - 2 \Gamma _ { 2 } ^ { 2 } \right) } \end{array}
\Gamma ( \phi _ { _ T } \to \ell \, \overline { { { \ell } } } ) = ( 3 . 0 5 \times 1 0 ^ { 4 } { \mathrm { G e V } } ) \times { \frac { ( f _ { _ R } ^ { \ell } ) ^ { 2 } + ( f _ { _ L } ^ { \ell } ) ^ { 2 } } { ( f _ { _ R } ^ { \ell } ) ^ { 2 } + \displaystyle { \left( { \frac { g _ { _ L } } { g _ { _ R } } } \right) ^ { 2 } } ( f _ { _ L } ^ { \ell } ) ^ { 2 } } } \times \mathrm { B r } ( Z \to \phi _ { _ T } \ell \, \overline { { { \ell } } } )
g ^ { c } \in \mathrm { F } ^ { \mathrm { n u } } ( \gamma ) , \quad c \in \mathrm { c o C o m m } ^ { \mathrm { c u } } \{ 1 \} ( w ) \otimes _ { S _ { w } } \bigoplus _ { i _ { 1 } , \ldots , i _ { w } } \mathrm { I n d } _ { S _ { i _ { 1 } } \times \ldots \times S _ { i _ { w } } } ^ { S _ { i _ { 1 } + \ldots + i _ { w } } } \mathrm { c o L i e } \{ 1 \} ( i _ { 1 } ) \otimes _ { k } \ldots \otimes _ { k } \mathrm { c o L i e } \{ 1 \} ( i _ { w } ) \: .
\begin{array} { r l r } { \frac { c _ { 1 } q _ { 1 } ^ { 2 } \mu _ { 2 } } { m _ { 1 } q _ { 2 } ( c _ { 2 } q _ { 2 } - a _ { 2 } \mu _ { 2 } ) \left( \frac { a _ { 1 } \mu _ { 2 } } { c _ { 2 } q _ { 2 } - a _ { 2 } \mu _ { 2 } } + 1 \right) ^ { 2 } } } & { + } & { \frac { a _ { 2 } c _ { 1 } q _ { 1 } ^ { 2 } \mu _ { 2 } ^ { 2 } } { m _ { 1 } q _ { 2 } ( c _ { 2 } q _ { 2 } - a _ { 2 } \mu _ { 2 } ) ^ { 2 } \left( \frac { a _ { 1 } \mu _ { 2 } } { c _ { 2 } q _ { 2 } - a _ { 2 } \mu _ { 2 } } + 1 \right) ^ { 2 } } } \\ { - \frac { q _ { 1 } \mu _ { 1 } } { m _ { 1 } q _ { 2 } \left( \frac { a _ { 1 } \mu _ { 2 } } { c _ { 2 } q _ { 2 } - a _ { 2 } \mu _ { 2 } } + 1 \right) } } & { - } & { \frac { a _ { 2 } q _ { 1 } \mu _ { 1 } \mu _ { 2 } } { m _ { 1 } q _ { 2 } ( c _ { 2 } q _ { 2 } - a _ { 2 } \mu _ { 2 } ) \left( \frac { a _ { 1 } \mu _ { 2 } } { c _ { 2 } q _ { 2 } - a _ { 2 } \mu _ { 2 } } + 1 \right) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega _ { s q } } & { \simeq \sqrt { \omega _ { m } ^ { 2 } + \mathfrak { R e } \left( \frac { \gamma _ { 0 } \gamma _ { 1 } \gamma _ { + } ^ { 2 } \mathcal { X } \mathcal { H } } { ( \gamma _ { -- } i \omega _ { m } ) ( \gamma _ { + } - i \omega _ { m } ) } \right) } = } \\ & { = \sqrt { \omega _ { m } ^ { 2 } + \frac { \gamma _ { 0 } \gamma _ { 1 } \gamma _ { + } ^ { 2 } ( \gamma _ { + } \gamma _ { -- } \omega _ { m } ^ { 2 } ) \mathcal { X } \mathcal { H } } { ( \gamma _ { - } ^ { 2 } + \omega _ { m } ^ { 2 } ) ( \gamma _ { + } ^ { 2 } + \omega _ { m } ^ { 2 } ) } } , } \\ { \Gamma _ { s q } } & { \simeq \kappa _ { m } + \frac { 1 } { \omega _ { m } } \mathfrak { I m } \left( \frac { \gamma _ { 0 } \gamma _ { 1 } \gamma _ { + } ^ { 2 } \mathcal { X } \mathcal { H } } { ( \gamma _ { -- } i \omega _ { m } ) ( \gamma _ { + } - i \omega _ { m } ) } \right) . } \end{array}
\begin{array} { l l } { \mathrm { m i n i m i z e ~ } } & { \left\| ( \mathbf { P o p } / \sum _ { i = 1 } ^ { C } \mathrm { P o p } _ { i } ) N - \mathbf { x } \right\| _ { 1 } + \lambda _ { \mathrm { i n f } } \operatorname* { m a x } \left( 0 , \sum _ { i = 1 } ^ { C } x _ { i } - N \right) } \\ { \mathrm { s u b j e c t ~ t o } } & { x _ { i } \geq n _ { i } , \quad \forall i \in \mathcal { C } } \\ & { x _ { i } \in { \mathrm { \bf ~ Z } } , \quad x _ { i } \geq 1 , \quad \forall i \in \mathcal { C } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l } { u _ { r } = \frac { \dot { R } _ { 0 } R _ { 0 } ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } - \left( 1 - \frac { R _ { 0 } ^ { 3 } } { r ^ { 3 } } \right) \dot { z } _ { c } \cos \theta ^ { \prime } } \\ { u _ { \theta } = \left( 1 + \frac { R _ { 0 } ^ { 3 } } { 2 r ^ { 3 } } \right) \dot { z } _ { c } \sin \theta ^ { \prime } } \end{array} \right. .
\begin{array} { r l } { c _ { t } f _ { 0 } ^ { 2 } ( T _ { b } ) } & { = \epsilon _ { 0 } + \Delta \epsilon ( T _ { b } ) + \frac { c _ { 2 } z ( T _ { b } ) ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } + \frac { c _ { 3 } t ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } , } \\ & { = \epsilon _ { 0 } + \frac { c _ { 3 } t ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } + \frac { c _ { 2 } \sqrt [ 3 ] { \eta z _ { 0 } } } { r ^ { 2 } } - ( 1 - \sqrt [ 3 ] { \frac { z _ { 0 } ^ { 2 } } { \eta } } ) \frac { k _ { 1 } t ^ { 2 } ( 1 + \nu ) } { 1 2 r ^ { 2 } } - \frac { \pi ^ { 2 } } { 8 r ^ { 2 } } ( \sqrt [ 3 ] { \eta ^ { 2 } z _ { 0 } ^ { 2 } } - z _ { 0 } ^ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { \beta _ { \mathrm { l o s s } } \rightarrow \infty } P _ { \mathrm { l o s s } } \left( U _ { \eta } = r _ { 1 } \right) } & { = 0 , } \\ { \operatorname* { l i m } _ { \beta _ { \mathrm { l o s s } } \rightarrow \infty } P _ { \mathrm { l o s s } } \left( U _ { \eta } = r _ { 2 } \right) } & { = \frac { 1 } { \vert \mathbf { H } \left( M \right) \vert - Z _ { \eta } \left( M \right) } , } \end{array}
\left( \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { 2 } I } & { - I } \\ { 0 } & { I } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l } { 2 A } & { B } \\ { B } & { \frac { 1 } { 2 } A } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l } { I } & { \frac { 1 } { 2 } I } \\ { 0 } & { I } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { A - B } & { 0 } \\ { B } & { \frac { 1 } { 2 } ( A + B ) } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathsf { \Gamma } _ { [ [ [ u t ] _ { F } s ] _ { J } , [ [ p q ] _ { C } r ] _ { D } ] _ { K } } ^ { B A } = } \\ & { } & { = \langle A \| \, [ [ [ b _ { p } ^ { \dagger } \otimes b _ { q } ^ { \dagger } ] _ { C } \otimes b _ { r } ^ { \dagger } ] _ { D } \otimes [ [ b _ { u } \otimes b _ { t } ] _ { F } \otimes b _ { s } ] _ { J } ] _ { K } \| B \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r } { \psi _ { n } = \left\{ \begin{array} { l l } { r _ { 0 } e ^ { - i q ( n - L ) } + r _ { 1 } e ^ { i q ( n - L ) } , } & { \quad \mathrm { ~ n ~ \geq ~ L ~ } } \\ { t e ^ { - i q n } , } & { \quad \mathrm { ~ n ~ \leq ~ 0 ~ } } \end{array} \right. , } \end{array}
- { \frac { 1 } { 4 } } \int d ^ { 4 } x F _ { \mu \nu } F ^ { \mu \nu } = - { \frac { 1 } { 4 } } \int d ^ { 4 } x \left( \partial _ { \mu } A _ { \nu } - \partial _ { \nu } A _ { \mu } \right) \left( \partial ^ { \mu } A ^ { \nu } - \partial ^ { \nu } A ^ { \mu } \right)
\begin{array} { r l r } { \langle { \bf \hat { S } } \rangle } & { = } & { \hbar \left( \begin{array} { c } { | \alpha _ { \mathrm { H } } | ^ { 2 } + | \alpha _ { \mathrm { V } } | ^ { 2 } } \\ { \alpha _ { \mathrm { H } } ^ { * } \alpha _ { \mathrm { V } } + \alpha _ { \mathrm { V } } ^ { * } \alpha _ { \mathrm { H } } } \\ { - i ( \alpha _ { \mathrm { H } } ^ { * } \alpha _ { \mathrm { V } } - \alpha _ { \mathrm { V } } ^ { * } \alpha _ { \mathrm { H } } ) } \end{array} \right) } \\ & { = } & { \hbar N \left( \begin{array} { c } { \cos \gamma } \\ { \sin \gamma \cos \delta } \\ { \sin \gamma \sin \delta } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \rho , \mu \in L ^ { \infty } ( 0 , \ell ) , \ r , \kappa \in H ^ { 2 } ( 0 , \ell ) , \ g \in H ^ { 1 } ( 0 , T ) , \, g ( 0 ) = 0 , } \\ { 0 < \rho _ { 0 } \leq \rho ( x ) \leq \rho _ { 1 } , \ \ \ 0 < r _ { 0 } \leq r ( x ) \leq r _ { 1 } , } \\ { 0 \leq \mu _ { 0 } \leq \mu ( x ) \leq \mu _ { 1 } , \ \ \ 0 < \kappa _ { 0 } \leq \kappa ( x ) \leq \kappa _ { 1 } . } \end{array} \right. } \end{array}
\varphi _ { \mu , \nu } ( X ) = \left( \varphi _ { \mu } \otimes { \overline { { \varphi _ { \nu } } } } \right) ( X ) = \varphi _ { \mu } ( X ) \otimes \operatorname { I d } _ { \nu + 1 } + \operatorname { I d } _ { \mu + 1 } \otimes { \overline { { \varphi _ { \nu } ( X ) } } } , \qquad X \in { \mathfrak { s l } } ( 2 , \mathbb { C } )
| \vec { x } _ { m } - \vec { x } _ { n } | \approx R _ { E } \sqrt { \left( \theta _ { m } - \theta _ { n } \right) ^ { 2 } + \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { m } + \theta _ { n } } { 2 } \right) ( \phi _ { m } - \phi _ { n } ) ^ { 2 } } .
[ ( x _ { 1 2 } \partial _ { 1 } x _ { 1 2 } \partial _ { 2 } + x _ { 2 3 } \partial _ { 3 } x _ { 2 3 } \partial _ { 2 } + x _ { 3 1 } \partial _ { 1 } \partial _ { 3 } x _ { 3 1 } ) ; ( 2 \log x _ { 1 2 } x _ { 2 3 } x _ { 3 1 } + 2 \log \partial _ { 1 } \partial _ { 2 } \partial _ { 3 } + \partial _ { 2 } ^ { - 1 } ( x _ { 1 2 } ^ { - 1 } - x _ { 2 3 } ^ { - 1 } ) ] = 0 ,
\begin{array} { r l r } { w _ { L } } & { { } = } & { w _ { j } + \frac { 1 } { 2 } \left( \overline { { \bf g } } _ { T } + \overline { { \bf g } } _ { j } \right) \cdot ( { \bf x } _ { T } - { \bf x } _ { j } ) , } \\ { w _ { R } } & { { } = } & { w _ { k } + \frac { 1 } { 2 } \left( \overline { { \bf g } } _ { T } + \overline { { \bf g } } _ { k } \right) \cdot ( { \bf x } _ { T } - { \bf x } _ { k } ) , } \end{array}
Q = \left\{ \begin{array} { c c c } { { P \left[ - \alpha h \theta + \beta \left( h \theta \right) ^ { 2 } \right] \, , } } & { { \; \; \; } } & { { \theta < 0 \, , } } \\ { { 0 \, , \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; } } & { { \; \; \; } } & { { \theta \geq 0 \, . } } \end{array} \right.
\Psi _ { \underline { { { o } } } } ^ { \prime } ( \vec { \sigma } _ { 2 o } ) \sum _ { \underline { { { n } } } } \, c _ { \underline { { { n } } } } \Psi _ { \underline { { { n } } } } ^ { \prime } ( \vec { \sigma } _ { 1 o } ) = - \Psi _ { \underline { { { o } } } } ^ { \prime } ( \vec { \sigma } _ { 2 o } ) \frac { R } { \cal N } = - \frac { n _ { o } ( \vec { \sigma } _ { 2 o } ) } { \cal N } .
\begin{array} { r l } { P _ { n | k } ^ { \mathrm { ( i r ) } } } & { = \frac { \tau _ { \mathrm { m } } } { \tau _ { \mathrm { d } } } \binom { k } { n } B _ { n \frac { \tau _ { \mathrm { d } } } { \tau _ { \mathrm { m } } } , ( n + 1 ) \frac { \tau _ { \mathrm { d } } } { \tau _ { \mathrm { m } } } } \left( k - n + 1 , n + 1 \right) } \end{array}
P _ { \alpha \beta } = \left\vert \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } U _ { \alpha i } ^ { m } \exp \left[ - \frac { \Delta \Tilde { m } _ { i 1 } ^ { 2 } L } { 2 E } \right] U _ { \beta i } ^ { m ^ { \ast } } \right\vert ^ { 2 } \; ,
\partial _ { t } \boldsymbol { m } = - \gamma _ { 0 } \boldsymbol { m } \times \boldsymbol { h } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } + \alpha ( \boldsymbol { m } \times \partial _ { t } \boldsymbol { m } ) + \boldsymbol { \tau } _ { \mathrm { ~ d ~ } } ,
\begin{array} { r l r } { \left[ - \frac { P } { \beta } a + P b + c \right] \left[ \beta a + \gamma ^ { f } b + \sigma \right] } & { = } & { - P a - \frac { P } { \beta } \gamma ^ { f } a b - \frac { P } { \beta } a \sigma + P \beta a b } \\ & { + } & { P \gamma ^ { f } b + P b \sigma + \beta a c + \gamma ^ { f } b c + c \sigma } \\ & { = } & { [ . . . ] a + [ . . . ] b + [ . . . ] \sigma } \\ & { + } & { \left[ - \frac { 1 } { 2 } ( \alpha - \beta ) P + \beta ^ { 2 } + \delta ^ { f } \right] c . } \end{array}
\begin{array} { r l } { _ { a } \mathcal { I } _ { \theta } ^ { \beta } ( J ( \theta ) - J ( a ) ) ^ { \nu } } & { = \frac { ( J ( \theta ) - J ( a ) ) ^ { \beta + \nu } } { \Gamma ( \beta ) } \int _ { D ( 0 , 1 ) } ( 1 - \zeta ) ^ { \beta - 1 } \zeta ^ { \nu } d _ { F } ^ { \alpha } \zeta } \\ & { = \frac { B ( \nu + 1 , \beta ) } { \Gamma ( \beta ) } ( J ( \theta ) - J ( a ) ) ^ { \beta + \nu } } \\ & { = \frac { \Gamma ( \nu + 1 ) } { \Gamma ( \beta + \nu + 1 ) } ( J ( \theta ) - J ( a ) ) ^ { \beta + \nu } , } \end{array}
\begin{array} { r } { f _ { T ^ { l } , K ^ { l } } ^ { A } ( \cdot \ensuremath { \; | \; } \overrightarrow { k t } ^ { l - 1 } ) \equiv f _ { T ^ { l } , K ^ { l } } ^ { B } ( \cdot \ensuremath { \; | \; } \overrightarrow { k t } ^ { l - 1 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { H } & { = J \sum _ { j = 1 } ^ { N - 1 } \left( a _ { j + 1 } ^ { \dagger } a _ { j } + b _ { j + 1 } ^ { \dagger } b _ { j } \right) } \\ & { \, \, \, \, \, + \sum _ { j = 1 } ^ { N } \left[ \epsilon _ { j } \left( a _ { j } ^ { \dagger } a _ { j } + b _ { j } ^ { \dagger } b _ { j } \right) + U a _ { j } ^ { \dagger } a _ { j } b _ { j } ^ { \dagger } b _ { j } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { ( C ( q , q ^ { \prime } , k ) + C ( q ^ { \prime } , q , k ) ) } { M } = } & { { } \frac { 1 } { 2 } \left( - i \omega _ { k , q + q ^ { \prime } } + \frac { \omega _ { p h } ^ { 2 } ( q ) + \omega _ { p h } ^ { 2 } ( q ^ { \prime } ) } { - i \omega _ { k , q + q ^ { \prime } } } \right) \left( A ( q , q ^ { \prime } , k ) + A ( q ^ { \prime } , q , k ) \right) , } \\ { = } & { { } \frac { - \omega _ { k , q + q ^ { \prime } } ^ { 2 } + \omega _ { p h } ^ { 2 } ( q ) + \omega _ { p h } ^ { 2 } ( q ^ { \prime } ) } { - i 2 \omega _ { k , q + q ^ { \prime } } } \left( A ( q , q ^ { \prime } , k ) + A ( q ^ { \prime } , q , k ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \partial _ { t } \rho _ { \sigma } ( x , t ) = } & { } & { \partial _ { x } [ \rho _ { \sigma } ( x , t ) ( - v _ { 0 } \sigma + x - 2 g \fint d y \frac { 1 } { x - y } \rho _ { \sigma } ( y , t ) ) ] - \gamma \rho _ { \sigma } ( x , t ) + \gamma \rho _ { - \sigma } ( x , t ) } \\ & { } & { + \frac { T } { N } ( 1 - \frac { \beta } { 2 } ) \partial _ { x } ^ { 2 } \rho _ { \sigma } ( x , t ) + \frac { 1 } { N } \partial _ { x } [ \sqrt { 2 T \rho _ { \sigma } ( x , t ) } \eta _ { \sigma } ( x , t ) ] + \frac { \sigma } { \sqrt { N } } \zeta ( x , t ) \; . } \end{array}
C _ { \pm } ( \mu ) = \left[ \frac { \alpha _ { s } ( M _ { W } ) } { \alpha _ { s } ( \mu ) } \right] ^ { \gamma _ { \pm } ^ { ( 0 ) } / ( 2 \beta _ { 0 } ) } \left( 1 + \frac { \alpha _ { s } ( \mu ) } { 4 \pi } B _ { \pm } \right) \left( 1 + \frac { \alpha _ { s } ( M _ { W } ) - \alpha _ { s } ( \mu ) } { 4 \pi } ( B _ { \pm } - J _ { \pm } ) \right)
\begin{array} { r l } { \| q _ { k + 1 } - q ^ { * } \| ^ { 2 } } & { \leq \big \| q _ { k } - q ^ { * } - \gamma _ { k + 1 } \big ( g _ { k } + \zeta _ { k } \big ) \big \| ^ { 2 } } \\ & { = \| q _ { k } - q ^ { * } \| ^ { 2 } - 2 \gamma _ { k + 1 } \big ( g _ { k } + \zeta _ { k } \big ) ^ { \top } ( q _ { k } - q ^ { * } ) } \\ & { \quad + \gamma _ { k + 1 } ^ { 2 } \| g _ { k } + \zeta _ { k } \| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial h ^ { * } } { \partial t } + \nabla \cdot \left( h ^ { * } \mathbf { U } \right) = } & { - \nabla \cdot \left[ h _ { \mathrm { l } } ^ { * } \phi \left( \mathbf { u ^ { * } } - \mathbf { U ^ { * } } \right) \right] - N ^ { * } g ^ { * } \frac { \Delta v _ { \mathrm { l } } } { v _ { \mathrm { 0 } } } \phi { u _ { r } ^ { * } } + \nabla ^ { 2 } T ^ { * } } \\ & { + q ^ { * } + \nabla \cdot \left[ \kappa _ { \mathrm { e d d } } ^ { * } \nabla \left( h ^ { * } \right) \right] \, , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { 1 } e ^ { x \cdot \ln a + ( 1 - x ) \cdot \ln b } \, d x } & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( { \frac { a } { b } } \right) ^ { x } \cdot b \, d x } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } a ^ { x } \cdot b ^ { 1 - x } \, d x } \\ & { = { \frac { a - b } { \ln a - \ln b } } \qquad { \mathrm { f o r ~ } } a > 0 , \ b > 0 , \ a \neq b } \end{array} }
\begin{array} { r l } { K _ { p p \beta } ^ { + } } & { { } = h _ { p p } + \sum _ { r s } D _ { r s } [ ( p p | r s ) - \frac { 1 } { 2 } ( p r | p s ) ] + ( p p | p p ) = - ( \mathrm { ~ E ~ A ~ } ) _ { p } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d x _ { 1 } } { d t } } & { = - x _ { 1 } + \frac { \widetilde { \beta } _ { 2 } } { 2 } ( 1 - x _ { 1 } ) \left[ ( x _ { 1 } + x _ { 2 } ) + \epsilon _ { 2 } ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) \right] } \\ & { + \frac { \widetilde { \beta } _ { 3 } } { 4 } ( 1 - x _ { 1 } ) \left[ ( x _ { 1 } + x _ { 2 } ) ^ { 2 } + \epsilon _ { 3 } ( 3 x _ { 1 } ^ { 2 } - 2 x _ { 1 } x _ { 2 } - x _ { 2 } ^ { 2 } ) \right] , } \\ { \frac { d x _ { 2 } } { d t } } & { = - x _ { 2 } + \frac { \widetilde { \beta } _ { 2 } } { 2 } ( 1 - x _ { 2 } ) \left[ ( x _ { 1 } + x _ { 2 } ) + \epsilon _ { 2 } ( x _ { 2 } - x _ { 1 } ) \right] } \\ & { + \frac { \widetilde { \beta } _ { 3 } } { 4 } ( 1 - x _ { 2 } ) \left[ ( x _ { 1 } + x _ { 2 } ) ^ { 2 } + \epsilon _ { 3 } ( 3 x _ { 2 } ^ { 2 } - 2 x _ { 1 } x _ { 2 } - x _ { 1 } ^ { 2 } ) \right] . } \end{array}
U _ { \mathrm { p , v } } = ( \kappa _ { \mathrm { p } } { C _ { \mathrm { p } } } ^ { 2 } + \kappa _ { \mathrm { s i d e } } { C _ { \mathrm { s i d e } } } ^ { 2 } ) a _ { \mathrm { p } } / 2
{ \left( \begin{array} { l l } { H ( x , \lambda ) } & { - J ( x ) ^ { T } } \\ { \operatorname { d i a g } ( \lambda ) J ( x ) } & { \operatorname { d i a g } ( c ( x ) ) } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { p _ { x } } \\ { p _ { \lambda } } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l } { - \nabla f ( x ) + J ( x ) ^ { T } \lambda } \\ { \mu 1 - \operatorname { d i a g } ( c ( x ) ) \lambda } \end{array} \right) } ,
{ \cal D } _ { A } ^ { [ A ^ { \prime } } \mu ^ { B ^ { \prime } ] } = \frac { 1 } { 2 } \varepsilon ^ { A ^ { \prime } B ^ { \prime } } { \cal D } _ { L ^ { \prime } A } \mu ^ { L } = i \varepsilon ^ { A ^ { \prime } B ^ { \prime } } \lambda _ { C ^ { \prime } } ,
\begin{array} { r l } { m _ { i \setminus j } ^ { t } } & { = \sum _ { \boldsymbol { x } _ { i } } x _ { i } ^ { t } \frac { p \left( x _ { i } ^ { 0 } \right) } { \tilde { \mathcal { Z } } _ { i j } } \prod _ { t ^ { \prime } = 0 } ^ { T - 1 } \left[ \left\{ \delta _ { x _ { i } ^ { t ^ { \prime } + 1 } , x _ { i } ^ { t ^ { \prime } } } \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t ^ { \prime } } \right) e ^ { \sum _ { k \in \partial i \setminus j } m _ { k \setminus i } ^ { t ^ { \prime } } \nu _ { k i } ^ { t ^ { \prime } } } + \delta _ { x _ { i } ^ { t ^ { \prime } + 1 } , 1 } \left[ 1 - \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t ^ { \prime } } \right) e ^ { \sum _ { k \in \partial i \setminus j } m _ { k \setminus i } ^ { t ^ { \prime } } \nu _ { k i } ^ { t ^ { \prime } } } \right] \right\} \right. } \\ & { \qquad \left. \times e ^ { \sum _ { k \in \partial i \setminus j } x _ { i } ^ { t ^ { \prime } } \nu _ { i k } ^ { t ^ { \prime } } \mu _ { k \setminus i } ^ { t ^ { \prime } } } p \left( { O } _ { i } ^ { t ^ { \prime } } | x _ { i } ^ { t ^ { \prime } } \right) \right] p \left( { O } _ { i } ^ { T } \mid x _ { i } ^ { T } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \Psi \rangle } & { { } = \frac { 1 } { 8 \sqrt { 2 } } \int d \boldsymbol { r } _ { 1 } \int d \boldsymbol { r } _ { 2 } \int d \boldsymbol { r } _ { 3 } \int d \boldsymbol { r } _ { 4 } \eta ( \boldsymbol { r } _ { 1 } ) \eta ( \boldsymbol { r } _ { 2 } ) \eta ( \boldsymbol { r } _ { 3 } ) \eta ( \boldsymbol { r } _ { 4 } ) } \end{array}
\tilde { \tau } _ { n \mathbf { k } \rightarrow m \mathbf { k } + \mathbf { q } } ^ { - 1 } = \frac { 2 \pi } { \hbar } \lvert g _ { n m } ( \mathbf { k } , \mathbf { q } ) \rvert ^ { 2 } \delta ( \varepsilon _ { n \mathbf { k } } - \varepsilon _ { m \mathbf { k } + \mathbf { q } } )
\left\{ \begin{array} { l l } { \left\langle f ^ { \mathrm { X } } , \nu ^ { \mathrm { X } } ( t ) \right\rangle } & { = \mathcal { L } _ { B } ^ { \mathrm { X } } \nu ^ { \mathrm { X } } ( t ) + } \\ { \left\langle f ^ { \mathrm { Y } } , \nu ^ { \mathrm { Y } } ( t ) \right\rangle } & { = \mathcal { L } _ { B } ^ { \mathrm { Y } } \nu ^ { \mathrm { Y } } ( t ) + } \end{array} \right.
m _ { n } ( \bar { a } _ { n - 1 } \epsilon , \dots , \bar { a } _ { k + 1 } \epsilon , a _ { 0 } , \bar { a } _ { 1 } \epsilon , \dots , \bar { a } _ { k } \epsilon ) = \sum _ { \sigma \in S h ( k , n - 1 - k ) } ( \pm ) m _ { n } ( a _ { 0 } , \bar { a } _ { \sigma ^ { - 1 } ( 1 ) } \epsilon , \dots , \bar { a } _ { \sigma ^ { - 1 } ( n - 1 ) } \epsilon ) ,
\omega _ { 0 } ( t ) = { \frac { 2 5 } { 5 1 2 } } - { \frac { 5 3 1 } { 3 2 0 } } t ^ { 2 } + { \frac { 2 2 1 } { 6 4 } } t ^ { 4 } - { \frac { 1 1 0 5 } { 5 7 6 } } t ^ { 6 } ,
\begin{array} { r l } { \vec { N } ( t _ { x } , t _ { y } ) } & { = \vec { T _ { x } } ( t _ { x } , t _ { y } ) \times \vec { T _ { y } } ( t _ { x } , t _ { y } ) } \\ & { = \sum _ { i } ^ { m } { \sum _ { j } ^ { m } { B _ { i , n } ^ { ' } ( t _ { x } ) B _ { j , n } ( t _ { y } ) P _ { i , j } } } } \\ & { \times \sum _ { i } ^ { m } { \sum _ { j } ^ { m } { B _ { i , n } ( t _ { x } ) B _ { j , n } ^ { ' } ( t _ { y } ) P _ { i , j } } } } \end{array}
d s ^ { 2 } = { \frac { \operatorname { R e } ( d z \otimes d { \bar { z } } ) } { \left( 1 + | \mathbf { z } | { \vphantom { l } } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } } = { \frac { d x ^ { 2 } + d y ^ { 2 } } { \left( 1 + r ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } } = { \frac { 1 } { 4 } } ( d \varphi ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } \varphi \, d \theta ^ { 2 } ) = { \frac { 1 } { 4 } } \, d s _ { u s } ^ { 2 }
d z = \frac { 1 } { 2 \pi } \sum _ { i } N _ { i } \frac { d } { d S _ { i } } G d x = - \frac { 1 } { 2 \pi i } \sum _ { i } N _ { i } \frac { d } { d S _ { i } } \Big [ R \Big ( x + i \frac { m } { 2 } \Big ) - R \Big ( x - i \frac { m } { 2 } \Big ) \Big ] \ ,
{ \cal L } _ { 1 } = \frac { 1 } { 8 } P _ { \mu } ^ { 2 } , \mathrm { ~ } { \cal L } _ { 2 } = N ( \theta ^ { n } ) + a , \mathrm { ~ } { \cal L } _ { 3 } = \frac { 1 } { 2 } ( \frac { P } { 2 } - L ) ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { J _ { \Lambda } ^ { \mu } = } & { { } - g \left( F ^ { \mu \nu } { - } \frac { f } { 2 v } \epsilon ^ { \mu \nu \rho } A _ { \rho } \right) \partial _ { \nu } \Lambda { - } \frac { v f } { 2 H } \Lambda \epsilon ^ { \mu \nu \rho } \partial _ { \nu } A _ { \rho } \, . } \end{array}
U \left( \begin{array} { c c c } { { \mu _ { 1 } ^ { 2 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \mu _ { 2 } ^ { 2 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { \mu _ { 3 } ^ { 2 } } } \end{array} \right) U ^ { \dagger } = U ^ { ( 0 ) } \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \delta m _ { 2 1 } ^ { 2 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { \delta m _ { 3 1 } ^ { 2 } } } \end{array} \right) U ^ { ( 0 ) \dagger } + \left( \begin{array} { c c c } { { a } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) .