harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } f \mathrm { t r _ { 0 } } { \mathcal { U } ^ { \mathcal { Y } } } \; d x } & { \leq s ^ { - 1 } \left\| f \right\| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } s \left\| \mathrm { t r _ { 0 } } { \mathcal { U } ^ { \mathcal { Y } } } \right\| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } \leq s ^ { - 1 } \left\| f \right\| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } \left\| \mathcal { U } ^ { \mathcal { Y } } \right\| _ { \mathbb { H } _ { \mathcal { Y } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \Vert x _ { m k } \Vert ^ { p } } & { \leq \left( ( 1 + \epsilon ) h ^ { ( m ) } ( p ) \right) ^ { k } \mathbb { E } \Vert x _ { 0 } \Vert ^ { p } + \frac { 1 - ( ( 1 + \epsilon ) h ^ { ( m ) } ( p ) ) ^ { k } } { 1 - ( 1 + \epsilon ) h ^ { ( m ) } ( p ) } \frac { ( 1 + \epsilon ) ^ { \frac { p } { p - 1 } } - ( 1 + \epsilon ) } { \left( ( 1 + \epsilon ) ^ { \frac { 1 } { p - 1 } } - 1 \right) ^ { p } } \mathbb { E } \left\Vert q _ { 1 } ^ { ( m ) } \right\Vert ^ { p } . } \end{array}
e ^ { i k _ { 1 } \cdot X } e ^ { i k _ { 2 } \cdot X } \sim \left( \tau - \tau ^ { \prime } \right) ^ { 2 \alpha ^ { \prime } g ^ { \mu \nu } k _ { 1 \mu } \cdot k _ { 2 \nu } } \times e ^ { i \left( k _ { 1 } + k _ { 2 } \right) \cdot X } + \cdots .
\begin{array} { r l } { T _ { n , m } } & { = \sum _ { ( i , j , k ) \in I _ { m } } W _ { i k } W _ { j k } , \qquad \mathrm { ~ a n d ~ } \qquad T _ { n , 0 } = 0 , } \\ { Z _ { n , m } } & { = \sqrt { \frac { n - 1 } { 2 n ( n - 2 ) } } \frac { T _ { n , m } } { ( n - 1 ) \alpha _ { n } ( 1 - \alpha _ { n } ) } , \qquad \mathrm { ~ a n d ~ } \qquad Z _ { n , 0 } = 0 . } \end{array}
\hat { \sigma } _ { i * } ( \theta _ { i } ^ { k } ) = \arg \operatorname* { m i n } _ { \hat { \sigma } _ { i } ( \theta _ { i } ) \in X _ { i } } \int _ { \Theta _ { - i } } f _ { i } ( \hat { \sigma } ( \theta _ { i } ^ { k } ) , H ( \hat { \sigma } _ { i } ( \theta _ { i } ^ { k } ) , \sigma _ { - i } ( \theta _ { - i } ) ) , \theta _ { i } ^ { k } ) \frac { \int _ { \theta _ { i } ^ { k - 1 } } ^ { \theta _ { i } ^ { k } } p ( \theta _ { i } , \theta _ { - i } ) d \theta _ { i } } { \hat { P } _ { i } ( \theta _ { i } ^ { k } ) } d \theta _ { - i } .
\begin{array} { r l } & { 8 \pi + \sqrt { \frac { 3 + 2 \sqrt { 2 } + 2 \sqrt { 4 + 3 \sqrt { 2 } } } { \pi } } \Gamma ^ { 2 } \left( \frac { 1 } { 4 } \right) = } \\ & { - \psi _ { e ^ { 1 6 \pi } } \left( \frac { 1 } { 8 } \right) - \psi _ { e ^ { 1 6 \pi } } \left( \frac { 3 } { 8 } \right) + \psi _ { e ^ { 1 6 \pi } } \left( \frac { 5 } { 8 } \right) + \psi _ { e ^ { 1 6 \pi } } \left( \frac { 7 } { 8 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \varphi _ { n } ^ { 3 } = \frac { 3 } { 8 } \sum _ { \alpha , \beta } \left( 2 - \delta _ { \alpha \beta } \right) A _ { \alpha } \left| A _ { \beta } \right| ^ { 2 } e ^ { i [ k _ { \alpha } n - \omega _ { \alpha } t ] } } \\ { + \frac { 3 } { 4 } A _ { p } ^ { * } A _ { s } A _ { i } e ^ { i [ ( k _ { s } + k _ { i } - k _ { p } ) n - \omega _ { p } t ] } + \frac { 3 } { 8 } A _ { p } ^ { 2 } A _ { i } ^ { * } e ^ { i [ ( 2 k _ { p } - k _ { i } ) n - \omega _ { s } t ] } } \\ { + \frac { 3 } { 8 } A _ { p } ^ { 2 } A _ { s } ^ { * } e ^ { i [ ( 2 k _ { p } - k _ { s } ) n - \omega _ { i } t ] } + c . c . . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \big ( ( \bar { T } ) ^ { T } T \big ) ( 0 ) = } & { \left( \begin{array} { l l l l l } { 1 } & { 1 } & { \bar { \hat { e } } ^ { * } { \cdot } \hat { e } _ { 2 } ( 0 ) } & { \dots } & { \bar { \hat { e } } ^ { * } { \cdot } \hat { e } _ { N - 1 } ( 0 ) } \\ { 1 } & { 1 } & { \bar { \hat { e } } ^ { * } { \cdot } \hat { e } _ { 2 } ( 0 ) } & { \dots } & { \bar { \hat { e } } ^ { * } { \cdot } \hat { e } _ { N - 1 } ( 0 ) } \\ { \bar { \hat { e } } _ { 2 } ( 0 ) { \cdot } \hat { e } ^ { * } } & { \bar { \hat { e } } _ { 2 } ( 0 ) { \cdot } \hat { e } ^ { * } } & { 1 } & { \dots } & { \bar { \hat { e } } _ { 2 } ( 0 ) { \cdot } \hat { e } _ { N - 1 } ( 0 ) } \\ { : } & { : } & { : } & { \dots } & { : } \\ { \bar { \hat { e } } _ { N - 1 } ( 0 ) { \cdot } \hat { e } ^ { * } } & { \bar { \hat { e } } _ { N - 1 } ( 0 ) { \cdot } \hat { e } ^ { * } } & { \bar { \hat { e } } _ { N - 1 } ( 0 ) { \cdot } \hat { e } _ { 2 } ( 0 ) } & { \dots } & { 1 } \end{array} \right) \, , } \end{array}
M ^ { \mu \nu } ( p , p ^ { \prime } ; q , q ^ { \prime } ) = \sum _ { a } e _ { a } ^ { 2 } \int e ^ { - i ( Q z ) } \langle p ^ { \prime } | ( \bar { \psi } _ { a } ( z / 2 ) \gamma ^ { \mu } S ^ { c } ( z ) \gamma ^ { \nu } \psi _ { a } ( - z / 2 )
\begin{array} { r } { [ \mathbf { W } _ { 2 } ^ { - 1 } ] _ { 1 } = \left( \mathbf { W } _ { 1 } - \mathbf { W } _ { \mathrm { 1 S } } \mathbf { W } _ { \mathrm { S S } } ^ { - 1 } \mathbf { W } _ { \mathrm { S 1 } } \right) ^ { - 1 } } \\ { = \mathbf { W } _ { 1 } ^ { - 1 } \left( \mathbf { I } - \mathbf { W } _ { \mathrm { 1 S } } \mathbf { W } _ { \mathrm { S S } } ^ { - 1 } \mathbf { W } _ { \mathrm { S 1 } } \mathbf { W } _ { 1 } ^ { - 1 } \right) ^ { - 1 } = \mathbf { W } _ { 1 } ^ { - 1 } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \left( \mathbf { W } _ { \mathrm { 1 S } } \mathbf { W } _ { \mathrm { S S } } ^ { - 1 } \mathbf { W } _ { \mathrm { S 1 } } \mathbf { W } _ { 1 } ^ { - 1 } \right) ^ { k } } \\ { = \mathbf { W } _ { 1 } ^ { - 1 } + \mathbf { W } _ { 1 } ^ { - 1 } \mathbf { W } _ { \mathrm { 1 S } } \mathbf { W } _ { \mathrm { S S } } ^ { - 1 } \mathbf { W } _ { \mathrm { S 1 } } \mathbf { W } _ { 1 } ^ { - 1 } + \mathbf { W } _ { 1 } ^ { - 1 } \left( \mathbf { W } _ { \mathrm { 1 S } } \mathbf { W } _ { \mathrm { S S } } ^ { - 1 } \mathbf { W } _ { \mathrm { S 1 } } \mathbf { W } _ { 1 } ^ { - 1 } \right) ^ { 2 } + \dots } \end{array}
\begin{array} { r l } { C G ( j _ { 1 } , m _ { 1 } ; j _ { 2 } , m _ { 2 } \mid j _ { 3 } , m _ { 3 } ) } & { = ( - 1 ) ^ { j _ { 1 } + j _ { 2 } - j _ { 3 } } \; C G ( j _ { 1 } , - m _ { 1 } ; j _ { 2 } , - m _ { 2 } \mid j _ { 3 } , - m _ { 3 } ) } \\ & { = ( - 1 ) ^ { j _ { 1 } + j _ { 2 } - j _ { 3 } } \; C G ( j _ { 2 } , m _ { 2 } ; j _ { 1 } , m _ { 1 } \mid j _ { 3 } , m _ { 3 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { f } J \left( \partial _ { t } \hat { \mathbf { u } } + \hat { \nabla } \hat { \mathbf { u } } \mathbf { F } ^ { - 1 } \left( \hat { \mathbf { u } } - \partial _ { t } \hat { \mathbf { d } } _ { f } \right) \right) - \operatorname { d i v } \left( J \hat { \boldsymbol { \sigma } } \left( \hat { \mathbf { u } } , \hat { p } \right) \mathbf { F } ^ { - T } \right) } & { = J \rho _ { f } \vec { g } \quad } \\ { \operatorname { d i v } \left( J \mathbf { F } ^ { - 1 } \hat { \mathbf { u } } \right) } & { = 0 \quad } \end{array}
\dot { \rho _ { 1 } } = - \frac { 2 \rho _ { 1 } \rho _ { 2 } \sin \theta } { \sqrt { \chi } } - \rho _ { 1 } , \quad \dot { \rho _ { 2 } } = \frac { \rho _ { 1 } ^ { 2 } \sin \theta } { \sqrt { \chi } } + \frac { 1 } { 4 \rho _ { 2 } } + \frac { \zeta _ { 1 } ( t ) } { \sqrt { 2 } } , \quad \dot { \theta } = \frac { \rho _ { 1 } ^ { 2 } - 4 \rho _ { 2 } ^ { 2 } } { \rho _ { 2 } \sqrt { \chi } } \cos \theta + \frac { \zeta _ { 2 } ( t ) } { \sqrt { 2 } \rho _ { 2 } } ,
V _ { o u t } ( t ) _ { t > t _ { c } } = I _ { 0 } \frac { R _ { f } G _ { 0 } } { 1 + G _ { 0 } } e ^ { - \frac { t } { \tau } } \Bigg ( \frac { t } { \tau } ( e ^ { \frac { t _ { c } } { \tau } } - 1 ) ( \frac { \tau _ { z } + \tau } { \tau } ) + \frac { e ^ { \frac { t _ { c } } { \tau } } ( \tau ^ { 2 } - t _ { c } ( \tau - \tau _ { z } ) ) } { \tau ^ { 2 } } - 1 \Bigg ) ~ .
\begin{array} { r l } { G ( \theta _ { B } ) = } & { \; \alpha _ { 1 } - 2 \alpha _ { 2 } + 2 \alpha _ { 3 } + 8 + 2 \alpha _ { 5 } + 2 \alpha _ { 6 } - \alpha _ { 1 } \cos ( 4 \theta _ { B } ) } \\ & { - 2 \cos ( 2 \theta _ { B } ) ( \alpha _ { 2 } + \alpha _ { 3 } - \alpha _ { 5 } + \alpha _ { 6 } ) , } \\ { F ( \theta _ { B } ) = } & { \; \alpha _ { 1 } ( - \alpha _ { 2 } + \alpha _ { 3 } + 8 + 2 \alpha _ { 5 } + 2 \alpha _ { 6 } ) - \alpha _ { 2 } ( 8 + \alpha _ { 5 } + 3 \alpha _ { 6 } ) } \\ & { + \alpha _ { 3 } ( 8 + \alpha _ { 5 } + \alpha _ { 6 } ) + 3 2 + \alpha _ { 5 } ( 1 6 + 2 \alpha _ { 5 } + 4 \alpha _ { 6 } ) + \alpha _ { 6 } ( 1 6 + 2 \alpha _ { 6 } ) } \\ & { - 2 \cos ( 2 \theta _ { B } ) ( \alpha + 4 + \alpha _ { 5 } + \alpha _ { 6 } ) ( \alpha _ { 2 } + \alpha _ { 3 } - \alpha _ { 5 } + \alpha _ { 6 } ) } \\ & { - \cos ( 4 \theta _ { B } ) \Big [ \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } - \alpha _ { 1 } \alpha _ { 3 } + ( \alpha _ { 2 } + \alpha _ { 3 } ) ( \alpha _ { 5 } - \alpha _ { 6 } ) \Big ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { U _ { j } } & { ( t + 1 ) - U _ { j } ( t ) } \\ & { = \log _ { 2 } ( 2 q ) - \log _ { 2 } \left( 1 + ( q - p ) \frac { \Delta - \rho _ { j } ( y ^ { t } ) } { 1 - \rho _ { j } ( y ^ { t } ) } \right) } \\ & { \le \log _ { 2 } ( 2 q ) \! - \! \log _ { 2 } \left( 1 \! + \! ( q \! - \! p ) \frac { 2 \rho _ { j } ( y ^ { t } ) + 2 \rho _ { l } ( t ) \! - \! 1 \! - \! \rho _ { j } ( y ^ { t } ) } { 1 \! - \! \rho _ { j } ( y ^ { t } ) } \right) } \\ & { = \log _ { 2 } ( 2 q ) \! - \! \log _ { 2 } \left( 1 \! - \! ( q \! - \! p ) \! + \! ( q \! - \! p ) \frac { 2 \rho _ { l } ( t ) } { 1 \! - \! \rho _ { j } ( y ^ { t } ) } \right) } \\ & { < \log _ { 2 } ( 2 q ) - \log _ { 2 } \left( 1 - ( q - p ) \right) = C _ { 2 } \, . } \end{array}
u _ { j } ( x , y , z ) = \sum _ { \substack { m , p \in \mathbb { Z } \, n \in \mathbb { W } } } \hat { u } _ { m , n , p , j } T _ { n } ( y ) e ^ { 2 \pi i \left( { m x } / { L _ { x } } + { p z } / { L _ { z } } \right) } \; ; \quad j = 1 , 2 , 3 ,
\begin{array} { r } { \mathrm { T r } \big ( \gamma ^ { \mu } \, \tilde { \mathsf { S } } ^ { + } ( p _ { 3 } ) \big ) \ \tilde { \mathsf { D } } ( p _ { 1 } ) \, \tilde { \mathsf { \Pi } } _ { \mu \nu } ( p _ { 1 } ) \ \big ( \tilde { \mathsf { S } } ^ { - } ( k _ { 2 } ) \, \gamma ^ { \nu } \, \tilde { \mathsf { S } } ^ { + } ( k _ { 3 } ) \big ) _ { s _ { 1 } s _ { 2 } } \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ( \xi ) = } & { { } \overbrace { \Big ( \int _ { - \infty } ^ { \xi } p _ { 0 } ( \xi _ { 0 } ) d \xi _ { 0 } \Big ) } ^ { P _ { 0 } ( \xi ) } \overbrace { \Big ( 1 - \int _ { - \infty } ^ { \xi } p _ { \mathrm { ~ r ~ } } ( \xi _ { \mathrm { ~ r ~ } } ) d \xi _ { \mathrm { ~ r ~ } } \Big ) } ^ { 1 - P _ { \mathrm { ~ r ~ } } ( \xi ) } } \\ { = } & { { } \Big ( 1 - \exp \Big [ - \frac { k _ { 0 \mathrm { ~ f ~ } } } { \dot { F } _ { \mathrm { ~ f ~ } } \beta \chi _ { \mathrm { ~ f ~ } } ^ { \ddag } } \mathrm { e } ^ { \beta \chi _ { \mathrm { ~ f ~ } } ^ { \ddag } \kappa _ { \mathrm { ~ f ~ } } \xi } \Big ] \Big ) \times } \end{array}
\begin{array} { r } { \dot { v } = \{ v ^ , H \} = \Pi ^ { v ^ { i } x ^ { i } } \frac { \partial H } { \partial x ^ { j } } + \Pi ^ { v ^ { i } v ^ { j } } \frac { \partial H } { \partial v ^ { j } } = - \delta ^ { i j } \frac { \partial H } { \partial x ^ { j } } + \epsilon ^ { i j k } \frac { \partial H } { \partial v ^ { i } } = \frac { \partial \phi } { \partial x ^ { i } } + \epsilon ^ { i j k } v _ { j } B _ { k } } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { \mathrm { ~ b ~ a ~ s ~ e ~ } } ( t ) } & { { } = R _ { 0 } \exp \left( \sum _ { n } \gamma _ { n } ( t ) \right) } \\ { R _ { 0 } } & { { } \sim \mathrm { ~ L ~ o ~ g ~ N ~ o ~ r ~ m ~ a ~ l ~ } \left( \mu = 1 , \sigma = 1 \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { E N C } ^ { 2 } } & { = 2 q ( I _ { \mathrm { l e a k } } + I _ { k } ) F _ { i } \tau _ { \mathrm { p } } + 4 k T R _ { \mathrm { e q } } C _ { \mathrm { e q } } ^ { 2 } \frac { F _ { \nu } } { \tau _ { \mathrm { p } } } } \\ & { \; \; \; + 2 \pi A _ { f } C _ { \mathrm { e q } } ^ { 2 } F _ { \nu f } , } \end{array}
W ( z ) = \frac 1 2 \bigg ( Q ^ { \prime } - \frac { P ^ { \prime \prime } } 2 \bigg ) + \frac 1 { 4 P } \bigg ( Q - \frac { P ^ { \prime } } 2 \bigg ) \bigg ( Q - \frac { 3 P ^ { \prime } } 2 \bigg ) + c \, z ^ { 2 } \, ,
\begin{array} { r l } { \nabla _ { \mathbf { w } } \mathcal { L } _ { M F } ( \pmb { \theta } , \mathbf { w } ) } & { { } = \left\{ { M ^ { \prime } ( w _ { H R } ^ { i } ) \left\| \mathcal { N } ( \mathbf { y } _ { H } ( \mathbf { x } _ { H R } ^ { i } ) ) \right\| ^ { 2 } } \right\} _ { i = 1 } ^ { N _ { H R } } } \end{array}
A ( p _ { 1 } , \ldots , p _ { n } ) = n ! \left( { \frac { \lambda } { 8 } } \right) ^ { \frac { n - 1 } { 2 } } \left[ 1 - \left( { \frac { 5 } { 6 } } - { \frac { 1 } { 6 ( n - 1 ) } } \right) E \right]
\begin{array} { r l r } { \Delta P } & { = } & { \exp { \left( - \frac { \beta } { N } n ( t ) \Delta t \right) } - \exp { \left( - \frac { \beta } { N } \left[ n ( t ) \Delta t + n ^ { \prime } ( t ) \frac { \Delta t ^ { 2 } } { 2 } \right] \right) } } \\ & { = } & { \exp { \left( - \frac { \beta } { N } n ( t ) \Delta t \right) } \left[ 1 - \exp { \left( - \frac { \beta } { N } n ^ { \prime } ( t ) \frac { \Delta t ^ { 2 } } { 2 } \right) } \right] \approx \frac { \beta n ^ { \prime } ( t ) } { 2 N } \Delta t ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { O } _ { 1 } ( p _ { x } , p _ { y } , z , x , c ) } & { { } = - \frac { x ^ { 2 } } { c } + \frac { \gamma + 1 } { 2 c } ( 2 x - p _ { x } ) p _ { x } - \frac { \gamma - 1 } { c } \Big ( z + \frac { p _ { y } ^ { 2 } } { 2 ( c - x ) ^ { 2 } } \Big ) \, , } \\ { \mathcal { O } _ { 2 } ( p _ { x } , p _ { y } , z , x , c ) } & { { } = - \frac { 2 ( p _ { x } + c - x ) p _ { y } } { c ( c - x ) ^ { 2 } } \, , } \\ { \mathcal { O } _ { 3 } ( p _ { x } , p _ { y } , z , x , c ) } & { { } = \frac { 1 } { c ( c - x ) ^ { 2 } } \Big ( ( 2 c - x ) x - ( \gamma - 1 ) \big ( z + ( c - x ) p _ { x } - \frac { p _ { x } ^ { 2 } } { 2 } \big ) + \frac { ( \gamma - 1 ) p _ { y } ^ { 2 } } { 2 ( c - x ) ^ { 2 } } \Big ) \, , } \\ { \mathcal { O } _ { 4 } ( p _ { x } , p _ { y } , z , x , c ) } & { { } = \frac { 1 } { c - x } \Big ( x - \frac { \gamma - 1 } { c } \big ( z + ( c - x ) p _ { x } + \frac { p _ { x } ^ { 2 } } { 2 } + \frac { ( \gamma + 1 ) p _ { y } ^ { 2 } } { 2 ( \gamma - 1 ) ( c - x ) ^ { 2 } } \big ) \Big ) \, , } \\ { \mathcal { O } _ { 5 } ( p _ { x } , p _ { y } , z , x , c ) } & { { } = - \frac { 2 ( p _ { x } + c - x ) p _ { y } } { c ( c - x ) ^ { 3 } } \, . } \end{array}
n ! ! \sim { \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle { \sqrt { \pi n } } \left( { \frac { n } { e } } \right) ^ { n / 2 } } & { { \mathrm { i f ~ } } n { \mathrm { ~ i s ~ e v e n } } , } \\ { \displaystyle { \sqrt { 2 n } } \left( { \frac { n } { e } } \right) ^ { n / 2 } } & { { \mathrm { i f ~ } } n { \mathrm { ~ i s ~ o d d } } . } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } { \left( \frac { c _ { \mathrm { A I R } } } { 2 } - 1 \right) \left( \frac { c _ { \mathrm { A I R } } } { 2 } + 1 \right) = - \rho ^ { 2 } \quad } & { \Longrightarrow \quad \frac { c _ { \mathrm { A I R } } ^ { 2 } } { 4 } = 1 - \rho ^ { 2 } } \\ & { \Longrightarrow \quad c _ { \mathrm { A I R } } = 2 \sqrt { 1 - \rho ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { e ^ { - K \widehat s _ { j } / 2 } = e ^ { - \frac { K } { 2 L } \widehat s _ { 0 } } \le \frac { 1 } { 1 6 } } \\ & { } & { \left( \frac { \varepsilon _ { j } - \hat { \varepsilon } _ { j } } { \varepsilon _ { j } } \right) ^ { K / 2 } = \left( 1 - \frac { \frac { \widehat \varepsilon _ { 0 } } { L } } { \varepsilon _ { 1 } - 2 ( j - 1 ) \frac { \widehat \varepsilon _ { 0 } } { L } } \right) ^ { K / 2 } \le \left( 1 - \frac { { \widehat \varepsilon _ { 0 } } } { \varepsilon _ { 1 } L } \right) ^ { K / 2 } \le e ^ { - \frac { K { \widehat \varepsilon _ { 0 } } } { 2 \varepsilon _ { 1 } L } } \le \frac { 1 } { 1 6 } } \end{array}
\int _ { B _ { r } } \left( \int _ { - 2 r } ^ { 2 r } \frac { | \widetilde { u } ( x ) - \widetilde { u } ( x + \varrho \, \omega ) | ^ { 2 } } { | \varrho | ^ { 1 + 2 \, s } } \, d \varrho \right) \, d x \le A _ { 2 } \, \int _ { 0 } ^ { 2 r } \left( \frac { \mathcal { K } ( t , u ) } { t ^ { s } } \right) ^ { 2 } \, \frac { d t } { t } , \quad \mathrm { ~ f o r ~ e v e r y ~ } \omega \in \mathbb { S } ^ { N - 1 } .
\begin{array} { r l r } { \epsilon _ { A \pm } ^ { s } } & { = } & { \left( 1 - \frac { \omega _ { * } } { \omega } \right) _ { \pm } \frac { 1 - \Gamma _ { s } } { b _ { s } } - \left( \frac { V _ { A } ^ { 2 } } { b _ { s } } \frac { k _ { \parallel s } b _ { s } k _ { \parallel s } } { \omega _ { \pm } ^ { 2 } } \right) \sigma _ { * \pm } ^ { s } , } \\ { \sigma _ { * \pm } ^ { s } } & { \simeq } & { \left[ 1 + \tau - \tau \Gamma _ { s } \left( 1 - \omega _ { * i } / \omega \right) _ { \pm } \right] / ( 1 - \omega _ { * e } / \omega ) _ { \pm } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { a } _ { p } } & { = \nabla _ { \mathbf { u } ( s ) } \mathbf { u } ( s ) } \\ & { = \left( 1 - \frac { 2 M } { R _ { A } } \right) ^ { - 1 } \nabla _ { \partial _ { t } } \partial _ { t } } \\ & { = \left( 1 - \frac { 2 M } { R _ { A } } \right) ^ { - 1 } \sum _ { c } \Gamma _ { 0 0 } ^ { c } \left. \partial _ { r } \right\vert _ { p } } \\ & { = \frac { M } { R _ { A } ^ { 2 } } \left( 1 - \frac { 2 M } { R _ { A } } \right) ^ { - 1 } \left( 1 - \frac { 2 M } { R _ { A } } \right) \left. \partial _ { r } \right\vert _ { p } } \\ & { = \frac { M } { R _ { A } ^ { 2 } } \partial _ { r } \vert _ { p } } \\ & { = \frac { M } { R _ { A } ^ { 2 } } \left\vert \partial _ { r } \right\vert e _ { r } } \\ & { = \frac { M } { R _ { A } ^ { 2 } } \left( 1 - \frac { 2 M } { R _ { A } } \right) ^ { - 1 / 2 } e _ { r } , } \end{array}
D _ { \mathrm { M e r c } } = \frac { G _ { 0 } ^ { 2 } p _ { 2 } } { \pi ^ { 2 } \epsilon ^ { 2 } } \left\{ \frac { 3 \eta ^ { 2 } } { 2 } - 2 B _ { 2 0 } - 2 p _ { 2 } \left( 1 + \frac { 2 G _ { 0 } ^ { 2 } \eta ^ { 2 } } { \Bar { \iota } _ { 0 } ^ { 2 } } \mathcal { I } \left[ \frac { \eta } { \kappa } , \sigma \right] \right) \right\} ,
f ( r ) = a _ { 1 } \exp \left( - \frac { ( r - b _ { 1 } ) ^ { 2 } } { 2 c _ { 1 } ^ { 2 } } \right) + a _ { 2 } \exp \left( - \frac { ( r - b _ { 2 } ) ^ { 2 } } { 2 c _ { 2 } ^ { 2 } } \right) + d
\begin{array} { r l r } { { \cal E } _ { N } ^ { ( 1 ) } } & { = } & { E _ { N } ^ { ( 1 ) } - E _ { 0 } ^ { ( 1 ) } } \\ & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \int _ { \Omega _ { L } } \int _ { \Omega _ { L } } \ensuremath { \mathrm { T r } } [ \ensuremath { \mathbf { w } } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \Delta \ensuremath { \mathbf { n } } _ { 2 } ^ ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) ] \ensuremath { \mathrm { d } } x _ { 1 } \ensuremath { \mathrm { d } } x _ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { r } } & { = \frac { \Delta t } { 2 } \left( s _ { r } ^ { n } + s _ { r } ^ { n + 1 } \right) } \\ & { = \frac { \Delta t } { 2 } \left[ \frac { ( \rho E _ { r } ^ { t r } ) ^ { n } - ( \rho { E _ { r } } ) ^ { n } } { Z _ { r } \tau } + \frac { ( \rho E _ { r } ^ { M } ) ^ { n } - ( \rho E _ { r } ^ { t r } ) ^ { n } } { Z _ { v } \tau } \right] } \\ & { + \frac { \Delta t } { 2 } \left[ \frac { ( \rho E _ { r } ^ { t r } ) ^ { n + 1 } - ( \rho { E _ { r } } ) ^ { n + 1 } } { Z _ { r } \tau } + \frac { ( \rho E _ { r } ^ { M } ) ^ { n + 1 } - ( \rho E _ { r } ^ { t r } ) ^ { n + 1 } } { Z _ { v } \tau } \right] , } \\ { S _ { v } } & { = \frac { \Delta t } { 2 } \left( s _ { v } ^ { n } + s _ { v } ^ { n + 1 } \right) = \frac { \Delta t } { 2 } \left[ \frac { ( \rho E _ { v } ^ { M } ) ^ { n } - ( \rho E _ { v } ) ^ { n } } { Z _ { v } \tau } + \frac { ( \rho E _ { v } ^ { M } ) ^ { n + 1 } - ( \rho E _ { v } ) ^ { n + 1 } } { Z _ { v } \tau } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { c _ { k } ( t ) } & { = \alpha _ { k } ^ { N } ( 1 + \frac { \beta _ { k } } { 2 } t ) e ^ { - \frac { \beta _ { k } } { 2 } t } + ( \vec { \psi } , \vec { \varphi } _ { k } ) _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \sigma } ) } t e ^ { - \frac { \beta _ { k } } { 2 } t } + \int _ { 0 } ^ { t } ( t - s ) e ^ { \frac { \beta _ { k } } { 2 } ( s - t ) } f ( s ) \, \mathrm d s . } \end{array}
D _ { p e a k } \approx V L _ { I } \left( 1 . 6 3 - 1 . 2 7 \left( \frac { L _ { I } } { L _ { D } } \right) + 0 . 3 \left( \frac { L _ { I } } { L _ { D } } \right) ^ { 2 } \right) .
\begin{array} { r l r } { 0 } & { { } = } & { b ^ { \prime } - { \frac { 2 z ( b ^ { 2 } - z ^ { 2 } ) } { ( d - 2 ) b ( f - \bar { f } ) ^ { 2 } } } f ^ { \prime } \bar { f } ^ { \prime } + { \frac { 2 \omega ( b ^ { 2 } - z ^ { 2 } ) } { ( d - 2 ) b ( f - \bar { f } ) ^ { 2 } } } ( \bar { f } ^ { \prime } + f ^ { \prime } ) + { \frac { 2 \omega ^ { 2 } z } { ( d - 2 ) b ( f - \bar { f } ) ^ { 2 } } } , } \\ { 0 } & { { } = } & { - f ^ { \prime \prime } - { \frac { 2 z ( b ^ { 2 } + z ^ { 2 } ) } { ( d - 2 ) b ^ { 2 } ( f - \bar { f } ) ^ { 2 } } } f ^ { 2 } \bar { f } ^ { \prime } + { \frac { 2 } { ( f - \bar { f } ) } } \left( 1 + { \frac { \omega ( b ^ { 2 } + z ^ { 2 } ) } { ( d - 2 ) b ^ { 2 } ( f - \bar { f } ) } } \right) f ^ { 2 } } \end{array}
D _ { \sigma , \sigma ^ { \prime } } ^ { q q } ( k _ { 1 } - k _ { 2 } ) = \frac 2 3 M _ { 0 0 } + \frac { 2 \sqrt 2 } 3 M _ { 0 8 } + \frac 1 3 M _ { 8 8 } \quad ,
\begin{array} { r l } { s _ { m } ( 0 ) = } & { { } ~ \frac { 1 } { \langle T p ^ { 2 } \rangle } \bigg ( \nu _ { 0 0 } ( \psi p ) _ { \mathrm { ~ h ~ f ~ s ~ } } - \frac { ( \psi p ) _ { \mathrm { ~ s ~ r ~ } } [ I ] } { 1 2 \pi \langle N \rangle } } \end{array}
\frac { d l o g ( k ^ { 2 } ) } { d r } F _ { 1 } + \frac { d F _ { 1 } } { d r } + \frac { 2 } { r } F _ { 1 } + \frac { j ( j + 1 ) } { r } F _ { 2 } + + e ( W + e V ) G = - e Q \frac { d V } { d r } ,
\begin{array} { r l r } & { } & { H ^ { 2 } \equiv \left( \frac { \dot { a } } { a } \right) ^ { 2 } = \frac { 8 \pi G } { 3 } \, \rho - \frac { K } { a ^ { 2 } } \, , } \\ & { } & \\ & { } & { \frac { \ddot { a } } { a } = - \, \frac { 4 \pi G } { 3 } \left( \rho + 3 P \right) \, , } \\ & { } & \\ & { } & { \dot { \rho } + 3 H \left( P + \rho \right) = 0 \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { u _ { 4 } ^ { 4 } - u _ { 2 } u _ { 6 } = 0 , \ u _ { 4 } ^ { 2 } u _ { 5 } - u _ { 2 } u _ { 7 } = 0 , \ u _ { 4 } ^ { 2 } u _ { 6 } - u _ { 1 } u _ { 5 } = 0 , \ u _ { 5 } ^ { 2 } - u _ { 2 } u _ { 3 } = 0 , \ u _ { 5 } u _ { 6 } - u _ { 4 } ^ { 2 } u _ { 7 } = 0 , } \\ { u _ { 5 } u _ { 7 } - u _ { 3 } u _ { 4 } ^ { 2 } = 0 , \ u _ { 6 } ^ { 2 } - u _ { 1 } u _ { 7 } = 0 , \ u _ { 6 } u _ { 7 } - u _ { 1 } u _ { 3 } = 0 , \ u _ { 7 } ^ { 2 } - u _ { 3 } u _ { 6 } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { E } _ { D } ( \mathbf { r } , \mathbf { r } _ { D } , \omega ) = \omega ^ { 2 } \mu _ { 0 } \hat { \mathbf { G } } ( \mathbf { r } , \mathbf { r } _ { D } , \omega ) \cdot \mathbf { p } _ { D } ( \omega ) = \omega ^ { 2 } \mu _ { 0 } p _ { D } ( \omega ) \hat { \mathbf { G } } ( \mathbf { r } , \mathbf { r } _ { D } , \omega ) \cdot \mathbf { n } _ { D } \, } \end{array}
\begin{array} { r } { \| \operatorname { c u r l } \mathbf { T } - \operatorname { c u r l } \mathbf { T } _ { \mathrm { 2 D / 1 D } } \| _ { \rho } ^ { 2 } + \| \sigma \gamma - \operatorname { c u r l } \mathbf { T } \| _ { \rho } ^ { 2 } = \| \sigma \gamma - \operatorname { c u r l } \mathbf { T } _ { \mathrm { 2 D / 1 D } } \| _ { \rho } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } _ { n } \bigg [ \operatorname* { s u p } _ { 0 \le t \le T } \bigg | \int _ { 0 } ^ { t } E _ { s } ^ { n } ( h ) d s \bigg | ^ { 2 } \bigg ] } \\ & { \quad \lesssim \theta ( n ) ^ { 2 } \alpha _ { n } ^ { 2 } c _ { 3 } ^ { 2 } \beta _ { n } ^ { 2 } \bigg [ \frac { T ^ { 2 } } { n ^ { 2 } } \| \mathscr { A } _ { n } h \| _ { 2 , n } ^ { 2 } + \bigg ( \frac { T ^ { 2 } \ell } { \theta ( n ) n ^ { 2 } } + \frac { T } { n ^ { 2 } \ell } \bigg ) \| \mathscr { E } _ { n } h \| _ { 2 , n } ^ { 2 } + \frac { T } { \theta ( n ) n ^ { 2 } } \sum _ { j \in \mathbb { Z } } h \bigg ( \frac { j } { n } , \frac { j + 1 } { n } \bigg ) ^ { 2 } \bigg ] . } \end{array}