harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathsf { r e x p r } _ { n } } & { ( \bar { y } , \mathsf { i n t e r p } _ { \bar { z } } ( \bar { y } ) ) } \\ & { = \mathsf { o b j } _ { A ( n ) } ( i \mapsto \mathsf { r e x p r } _ { n . i } ( \bar { y } , \mathsf { i n t e r p } _ { \bar { z } } ( \bar { y } ) ) , \mathsf { v a r s } _ { n } ( \mathsf { i n t e r p } _ { \bar { z } } ( \bar { y } ) ) ) } \\ & { \quad \mathrm { b y ~ d e f i n i t i o n ~ o f ~ \mathsf { r e x p r } ~ } } \\ & { = \mathsf { o b j } _ { A ( n ) } ( i \mapsto \mathsf { r e x p r } _ { n . i } ( \bar { y } , \mathsf { i n t e r p } _ { \bar { z } } ( \bar { y } ) ) , \mathsf { s o l } _ { A ( n ) } ( i \mapsto \mathsf { r e x p r } _ { n . i } ( \bar { y } , \mathsf { i n t e r p } _ { \bar { z } } ( \bar { y } ) ) ) ) } \\ & { \quad \mathrm { b y ~ d e f i n i t i o n ~ o f ~ \mathsf { i n t e r p } ~ } } \\ & { = \mathsf { o b j } _ { A ( n ) } ( i \mapsto \mathsf { o e x p r } _ { n . i } ( \bar { y } ) , \mathsf { s o l } _ { A ( n ) } ( i \mapsto \mathsf { o e x p r } _ { n . i } ( \bar { y } ) ) ) } \\ & { \quad \mathrm { b y ~ t h e ~ i n d u c t i v e ~ h y p o t h e s i s } } \\ & { = \mathsf { e x p r } _ { A ( n ) } ( i \mapsto \mathsf { o e x p r } _ { n . i } ( \bar { y } ) ) } \\ & { \quad \mathrm { b y ~ s o l u t i o n ~ c o r r e c t n e s s } } \\ & { = \mathsf { o e x p r } _ { n } ( \bar { y } ) } \\ & { \quad \mathrm { b y ~ d e f i n i t i o n ~ o f ~ \mathsf { o e x p r } ~ . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { I } { \bf \ddot { R } } _ { I } = } & { - \frac { \partial } { \partial { \bf R } _ { I } } { \cal U } ^ { ( 1 ) } ( { \bf R } , n ^ { ( 0 ) } ) \Big \vert _ { n ^ { ( 0 ) } } , } \\ { { \ddot { n } } ^ { ( 0 ) } ( { \bf r } ) = } & { - \omega ^ { 2 } \int K ^ { ( 0 ) } ( { \bf r , r ^ { \prime } } ) \left( \rho _ { \mathrm { m i n } } [ n ^ { ( 0 ) } ] ( { \bf r ^ { \prime } } ) - n ^ { ( 0 ) } ( { \bf r ^ { \prime } } ) \right) d { \bf r ^ { \prime } } . } \end{array}
C _ { 1 u } = - \frac { 1 } { 2 } + \frac { 4 } { 3 } \sin ^ { 2 } \theta _ { W } , \; \; \; C _ { 1 d } = \frac { 1 } { 2 } - \frac { 2 } { 3 } \sin ^ { 2 } \theta _ { W } ,
\frac { d } { d t } \big ( \phi , \psi \big ) _ { \Omega } = \big ( \phi _ { t } , \psi \big ) _ { \Omega } + \big ( \phi , \psi _ { t } \big ) _ { \Omega } + \big ( \phi , \big ( n ^ { T } \dot { x } \big ) \psi \big ) _ { \partial \Omega }
\begin{array} { r l } & { C \mathbb { E } \int _ { 0 } ^ { T } \| \varphi ^ { ( n - 1 ) } \varphi _ { V } B ( V ) \| _ { - 1 , q } ^ { p } d t \leq C \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \mathbb { E } \left[ \int _ { 0 } ^ { T } \left\| \varphi ^ { ( n - 1 ) } \varphi _ { V } V _ { i } V \right\| _ { q } ^ { p } d s \right] } \\ { \leq } & { C \mathbb { E } \left[ \int _ { 0 } ^ { T } \varphi ^ { ( n - 1 ) } \varphi _ { V } \left\| V \right\| _ { r } ^ { p } \| V \| _ { l } ^ { p } d s \right] \leq C \mathbb { E } \left[ \int _ { 0 } ^ { T } \varphi ^ { ( n - 1 ) } \varphi _ { V } \left\| V \right\| _ { p } ^ { 2 p } d s \right] \leq C _ { T } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\Vert \nabla _ { y } g ^ { ( j ) } \left( y , z \right) \right\Vert _ { 2 } } & { \leq \left| 1 - \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { \phi \left( X _ { i } - z _ { j } \right) } { \sum _ { l = 1 } ^ { m } y _ { l } \phi \left( X _ { i } - z _ { l } \right) } \right| + \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left| \frac { y _ { j } \phi \left( X _ { i } - z _ { j } \right) } { \left[ \sum _ { l = 1 } ^ { m } y _ { l } \phi \left( X _ { i } - z _ { l } \right) \right] ^ { 2 } } \right| \sqrt { m } \left\Vert \phi \right\Vert _ { \infty } } \\ & { \leq 1 + \frac { \left\Vert \phi \right\Vert _ { \infty } } { \delta } + \frac { \left( 1 + \varepsilon \right) \sqrt { m } } { \delta ^ { 2 } } \left\Vert \phi \right\Vert _ { \infty } ^ { 2 } = 1 + \frac { 1 } { \left( 2 \pi \right) ^ { d / 2 } \delta } + \frac { \left( 1 + \varepsilon \right) \sqrt { m } } { \left( 2 \pi \right) ^ { d } \delta ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \Pi _ { n } \left( I - d _ { i } ( \mathcal { F } _ { \omega } ) ( i _ { n } ) T ( i _ { n } ) ) \Pi _ { n } Z _ { n } \right) | _ { s _ { 0 } } } & { \le | \left( I - d _ { i } ( \mathcal { F } _ { \omega } ) ( i _ { n } ) T ( i _ { n } ) ) \Pi _ { n } Z _ { n } \right) | _ { s _ { 0 } } } \\ & { \overset { \le _ { \mathtt { p _ { e } } } } \varepsilon ^ { 2 b - 1 } \gamma ^ { - 2 } \left( 1 + \varepsilon ^ { 7 } \gamma ^ { - 4 } | \mathfrak { I } _ { n } | _ { s _ { 0 } + \mu _ { \mathtt { p } } } \right) | Z _ { n } | _ { s _ { 0 } + \mu _ { \mathtt { p } } } | \Pi _ { n } Z _ { n } | _ { s _ { 0 } + \mu _ { \mathtt { p } } } } \\ & { \overset { , \gamma = \varepsilon ^ { 2 b } } { \le _ { \mathtt { p _ { e } } } } \varepsilon ^ { 2 b - 1 } \gamma ^ { - 2 } ( 1 + \varepsilon ^ { 1 3 - 1 2 b } ) | Z _ { n } | _ { s _ { 0 } + \mu _ { \mathtt { p } } } ^ { 2 } } \\ & { \overset { , } { \le _ { \mathtt { p _ { e } } } } \varepsilon ^ { 1 1 - 6 b } N _ { n - 1 } ^ { - 2 \sigma _ { 5 } } } \\ & { \overset \le \varepsilon ^ { 6 - 2 b } N _ { n } ^ { - \sigma _ { 4 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Omega _ { N _ { s } } } & { \sim \int { \left( \prod _ { k = 1 } ^ { N _ { e } } { \mathrm { d } \Delta q _ { k } } \right) } } \\ & { \qquad \quad \times \delta \left( \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { e } } { \mu _ { k } \Delta q _ { k } ^ { 2 } } + \tilde { w } _ { N _ { s } } \Big [ \varepsilon + b _ { \varepsilon } \gamma ^ { 2 } \Big ] \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \rho ^ { n + 1 } - \rho ^ { n } } { \Delta t } } & { = - \nabla \cdot \left( \rho ^ { n } \mathbf { u } ^ { n } \right) , } \\ { \frac { \rho ^ { n + 1 } \mathbf { u } ^ { n + 1 } - \rho ^ { n } \mathbf { u } ^ { n } } { \Delta t } } & { = - \nabla \cdot \left[ \rho ^ { n } \mathbf { u } ^ { n } \otimes \mathbf { u } ^ { n } + ( p ^ { n } + p _ { r } ^ { n } ) \mathbf { I } \right] , } \\ { \frac { \rho ^ { n + 1 } e _ { t } ^ { * } - \rho ^ { n } e _ { t } ^ { n } } { \Delta t } } & { = - \nabla \cdot \left[ ( \rho ^ { n } e _ { t } ^ { n } + p ^ { n } + p _ { r } ^ { n } ) \mathbf { u } ^ { n } \right] + p _ { r } ^ { n } \nabla \cdot \mathbf { u } ^ { n } . } \end{array}
H _ { 2 } = p _ { x } ^ { 2 } / 2 \gamma + \gamma ( \omega _ { 1 } ^ { 2 } + \omega _ { 2 } ^ { 2 } ) x ^ { 2 } / 2 - \gamma \omega _ { 1 } ^ { 2 } \omega _ { 2 } ^ { 2 } q ^ { 2 } / 2 + p _ { q } x + \gamma \omega _ { 1 } ^ { 2 } \omega _ { 2 } ^ { 2 } q p _ { \lambda } .
T r K _ { \bf a } ^ { ( 1 ) } \simeq - { \frac { 1 } { 2 } } f ( p ) = - { \frac { 1 } { \ln ( t k _ { 0 } ^ { 2 } ) } } + { \frac { \sqrt { t } k _ { 0 } } { t k _ { 0 } ^ { 2 } - 1 } } ~ ~ .
\hat { \psi } ( t , z ) = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { | \mathscr { D } ( s _ { n } ) | ^ { \prime } } \exp { ( s _ { n } t ) } \sum _ { i = 1 } ^ { 6 } \exp { ( \lambda _ { i } ( s _ { n } ) z ) } \Bigg [ \sum _ { j = 1 } ^ { 6 } A d j ( \mathscr { D } ( s _ { n } ) ) _ { i j } \mathscr { R } _ { j } ( s _ { n } ) \Bigg ]
\begin{array} { r l } { M ^ { \prime } } & { = S \left[ \begin{array} { l l } { A _ { 1 } } & { B _ { 1 } } \\ { C _ { 1 } } & { D _ { 1 } } \end{array} \right] S ^ { - 1 } S \left[ \begin{array} { l l } { A _ { 2 } } & { B _ { 2 } } \\ { C _ { 2 } } & { D _ { 2 } } \end{array} \right] S ^ { - 1 } \cdots S \left[ \begin{array} { l l } { A _ { n } } & { B _ { n } } \\ { C _ { n } } & { D _ { n } } \end{array} \right] S ^ { - 1 } } \\ & { = S \left[ \begin{array} { l l } { A } & { B } \\ { C } & { D } \end{array} \right] S ^ { - 1 } = \left[ \begin{array} { l l } { A } & { - B } \\ { - C } & { D } \end{array} \right] } \end{array}
\Gamma ^ { \mu } ( p _ { 2 } , p _ { 1 } ) = \frac { { \alpha } } { 4 \pi } \int { \frac { d ^ { 4 } q } { { i } { \pi } ^ { 2 } } } \frac { N ^ { \mu } ( p _ { 2 } , p _ { 1 } ) } { [ ( q - k ) ^ { 2 } - m ^ { 2 } + i { \epsilon } ] [ q ^ { 2 } - m ^ { 2 } + i { \epsilon } ] [ ( q - p _ { 2 } ) ^ { 2 } - { \lambda } ^ { 2 } + i { \epsilon } ] } ,
\begin{array} { r l r } { E _ { \vartheta } ^ { ( \alpha ) } ( \boldsymbol { r } _ { d } , \omega ) } & { { } = } & { \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi \, | y _ { d } | } \, N _ { \alpha } \, \, \hat { \ddot { d } } _ { z } ( \omega ) \, \, e ^ { i \frac { \omega } { c } ( y _ { d } - y _ { \alpha } ) } \, e ^ { - i \frac { \omega } { c } \, x _ { \alpha } \, \Omega _ { X } } \, e ^ { - i \frac { \omega } { c } \, z _ { \alpha } \, \Omega _ { Z } } } \end{array}
I _ { \mathrm { ~ s ~ y ~ n ~ } } = - g _ { \mathrm { ~ s ~ y ~ n ~ } } \big ( v _ { \mathrm { ~ p ~ r ~ e ~ } } ( t ) , t \big ) \big [ v _ { \mathrm { ~ p ~ o ~ s ~ t ~ } } ( t ) - E _ { \mathrm { ~ s ~ y ~ n ~ } } \big ] \ ,
\begin{array} { r l } { [ \boldsymbol { \Psi } _ { \mathrm { R } } ^ { \phi } ] _ { q , \beta } = } & { \frac { 1 } { \sqrt { N _ { \mathrm { R } } } } e ^ { j \left( \frac { 2 \pi l _ { \beta } ^ { x } } { L _ { \mathrm { R } } ^ { x } } r _ { q } ^ { x } + \frac { 2 \pi l _ { \beta } ^ { y } } { L _ { \mathrm { R } } ^ { y } } r _ { q } ^ { y } + \gamma _ { \mathrm { R } } ( l _ { \beta } ^ { x } , l _ { \beta } ^ { y } ) r _ { q } ^ { z } \right) } } \\ & { \times F _ { \mathrm { R } , q } ^ { \phi } \left( \hat { \theta } _ { \mathrm { R } } ( l _ { \beta } ^ { x } , l _ { \beta } ^ { y } ) , \hat { \phi } _ { \mathrm { R } } ( l _ { \beta } ^ { x } , l _ { \beta } ^ { y } ) \right) , } \end{array}
X _ { a } ( R ^ { c } { } _ { b \mu \nu } ) - X _ { b } ( R ^ { c } { } _ { a \mu \nu } ) + f ^ { c } { } _ { a d } R ^ { d } { } _ { b \mu \nu } + f ^ { d } { } _ { b a } R ^ { c } { } _ { d \mu \nu } - f ^ { c } { } _ { b d } R ^ { d } { } _ { a \mu \nu } = 0 .
\frac { d } { d t } \int _ { \mathcal { O } } \varphi ( v ) F ( v , t ) \, d v = \frac { 1 } { 2 N ^ { 2 } } \int _ { \mathcal { O } } \int _ { \mathcal { O } } \left\langle \varphi ( v ^ { \prime } ) + \varphi ( v _ { \ast } ^ { \prime } ) - \varphi ( v ) - \varphi ( v _ { \ast } ) \right\rangle \mathbf { f } ^ { T } ( v , t ) \mathbf { M } \mathbf { f } ( v _ { \ast } , t ) \, d v \, d v _ { \ast }
\begin{array} { r } { Z = \frac { 1 } { M ! } \int \mathrm { d } \mathbf { r } ^ { N } \, \exp \left\{ - \beta \hat { H } _ { 0 } ( \mathbf { r } ^ { N } ) + \hat { W } ( \mathbf { r } ^ { N } ) \right\} , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { U ( \vec { r } ) } & { { } = } & { \frac { G M } { r } \Big ( 1 + \sum _ { \ell = 2 } ^ { \infty } \sum _ { k = 0 } ^ { + \ell } \Big ( \frac { R } { r } \Big ) ^ { \ell } P _ { \ell k } ( \cos \theta ) ( C _ { \ell k } \cos k \psi + S _ { \ell k } \sin k \psi ) \Big ) + { \cal O } ( c ^ { - 4 } ) , } \end{array}
J ( \mathbf { u } _ { p } ( \theta ) ) = \frac { 1 } { 2 } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \left[ \frac { 1 } { \rho _ { \infty } ^ { 2 } } \left( \rho ( t , x ; \theta ) - \overline { { \rho } } \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { u _ { \infty } ^ { 2 } } \left( u ( t , x ; \theta ) - \overline { { u } } \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { T _ { \infty } ^ { 2 } } \left( T ( t , x ; \theta ) - \overline { { T } } \right) ^ { 2 } \right] \, d x ,
\frac { \kappa _ { \alpha } } { 2 } \partial v _ { \alpha } v _ { \alpha } ^ { - 1 } = \frac { \kappa _ { \alpha } } { 2 } e _ { - } + V _ { \alpha } + \frac { 1 } { 2 } \mathrm { a d } ( \mu ^ { * } ) \frac { 1 } { I _ { V _ { a v } } } c .
\boldsymbol { \mathcal { B } } = \left[ \begin{array} { l l } { \frac { \Delta x } { 2 } \frac { 2 } { c \Delta t } + \frac { \mu } { 2 } + \frac { \Sigma \Delta x } { 2 } } & { \mu ( \frac { 1 } { 2 } - e ^ { - i \omega } ) } \\ { \mu ( e ^ { i \omega } - \frac { 1 } { 2 } ) } & { \frac { \Delta x } { 2 } \frac { 2 } { c \Delta t } + \frac { \mu } { 2 } + \frac { \Sigma \Delta x } { 2 } } \end{array} \right] \; .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } f ( \overline { { \mathbf { x } ^ { t + 1 } } } ) } & { \leq \mathbb { E } f ( \overline { { \mathbf { x } ^ { t } } } ) - \frac { \eta K } { 2 } \mathbb { E } \left\| \nabla f ( \overline { { \mathbf { x } ^ { t } } } ) \right\| ^ { 2 } + \frac { \eta L ^ { 2 } K C _ { 1 } } { 2 } + 8 \eta ^ { 3 } K ^ { 2 } L ^ { 2 } ( \frac { 2 L ^ { 2 } C _ { 3 } \eta ^ { 2 } + 2 ( 1 - \lambda ) ^ { 2 } ) \mathbb { E } \left\| \nabla f ( \overline { { \mathbf { x } ^ { t } } } ) \right\| ^ { 2 } } { ( 1 - \lambda ) ^ { 2 } - 3 2 L ^ { 2 } \eta ^ { 2 } K ^ { 2 } } ) } \\ & { + \frac { 3 \eta ^ { 2 } K L } { 2 } \left( L ^ { 2 } \rho ^ { 2 } + \sigma _ { l } ^ { 2 } + \frac { 1 } { m } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \mathbb { E } \| \nabla f ( \mathbf { x } ^ { t } ( i ) \| ^ { 2 } \right) } \\ & { \overset { a ) } { \leq } \mathbb { E } f ( \overline { { \mathbf { x } ^ { t } } } ) + ( 1 6 \eta ^ { 3 } K ^ { 2 } L ^ { 2 } - \frac { \eta K } { 2 } + 3 \eta ^ { 2 } K L ) \mathbb { E } \left\| \nabla f ( \overline { { \mathbf { x } ^ { t } } } ) \right\| ^ { 2 } + \frac { 3 \eta ^ { 2 } K L } { 2 } \left( L ^ { 2 } \rho ^ { 2 } + \sigma _ { l } ^ { 2 } \right) } \\ & { + \frac { \eta K L ^ { 2 } C _ { 1 } } { 2 } + \frac { 1 6 \eta ^ { 5 } K ^ { 2 } L ^ { 4 } C _ { 3 } + 3 \eta ^ { 4 } K L ^ { 3 } C _ { 3 } } { ( 1 - \lambda ) ^ { 2 } } . } \end{array}
\Xi = \left[ C _ { h } ( \boldsymbol { u } _ { h } ( t ^ { 0 } ) ) , C _ { h } ( \boldsymbol { u } _ { h } ( t ^ { 0 } + \Delta t ) ) , . . . , C _ { h } ( \boldsymbol { u } _ { h } ( t ^ { 0 } + ( n _ { s } - 1 ) \Delta t ) ) \right] .
S _ { C l a s s } = \int d ^ { 4 } x \sqrt { - g } \{ - R - 2 \frac { \partial _ { \mu } \lambda \partial ^ { \mu } \overline { { { \lambda } } } } { ( \lambda - \overline { { { \lambda } } } ) ^ { 2 } } + [ i \lambda ( F ^ { + 2 } + G ^ { + 2 } ) + c . c . ] \}
g ^ { \mu \nu } \partial _ { \mu } \partial _ { \nu } \psi + g ^ { \mu \nu } \lbrace _ { \mu \nu } ^ { \alpha } \rbrace \partial _ { \alpha } \psi - g ^ { \mu \nu } \partial _ { \mu } \phi \partial _ { \nu } \psi = m ^ { 2 } ( \phi ) \psi ,
\frac { 1 } { \pi \Gamma ( N + 1 ) } \left( \frac { \Gamma ( \alpha N + 1 ) } { | x _ { \varepsilon } ^ { N } | ^ { \alpha N + 1 } } + \frac { \Gamma ( \alpha ( N + 1 ) + 1 ) } { | x _ { \varepsilon } ^ { N } | ^ { \alpha ( N + 1 ) + 1 } } \right) \approx \frac { 2 } { \pi \Gamma ( N + 1 ) } \frac { \Gamma ( \alpha N + 1 ) } { | x _ { \varepsilon } ^ { N } | ^ { \alpha N + 1 } } .
W _ { \alpha } ^ { \mathrm { p h o t } } = \exp \left[ - g ^ { 2 } \frac { N - 1 } { 4 N } \oint _ { C } ^ { } d x _ { \mu } \oint _ { C } ^ { } d x _ { \mu } ^ { \prime } D _ { 0 } \left( \vec { x } - \vec { x } ^ { \prime } \right) \right] .
\begin{array} { r l } { ( S _ { j + 1 } ^ { G } - 1 ) ! ! } & { = \prod _ { p = 0 } ^ { \frac { S _ { j + 1 } ^ { G } } { 2 } - 1 } ( S _ { j + 1 } ^ { G } - 1 - 2 p ) } \\ & { = \prod _ { p = 0 } ^ { \frac { S _ { j + 1 } ^ { G } } { 2 } - 1 } \left( S _ { k + 1 } ^ { G } - 2 \left( \frac { S _ { k + 1 } ^ { G } - S _ { j + 1 } ^ { G } } { 2 } \right) - 1 - 2 p \right) } \\ & { = \prod _ { p = \frac { S _ { k + 1 } ^ { G } - S _ { j + 1 } ^ { G } } { 2 } } ^ { \frac { S _ { k + 1 } ^ { G } } { 2 } - 1 } \left( S _ { k + 1 } ^ { G } - 1 - 2 p \right) . } \end{array}
{ \left( \begin{array} { l } { w _ { 2 } } \\ { x _ { 2 } } \\ { y _ { 2 } } \\ { z _ { 2 } } \end{array} \right) } * { \left( \begin{array} { l } { w _ { 1 } } \\ { x _ { 1 } } \\ { y _ { 1 } } \\ { z _ { 1 } } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l } { { w _ { 2 } w _ { 1 } - x _ { 2 } x _ { 1 } - y _ { 2 } y _ { 1 } - z _ { 2 } z _ { 1 } } } \\ { { w _ { 2 } x _ { 1 } + x _ { 2 } w _ { 1 } + y _ { 2 } z _ { 1 } - z _ { 2 } y _ { 1 } } } \\ { { w _ { 2 } y _ { 1 } - x _ { 2 } z _ { 1 } + y _ { 2 } w _ { 1 } + z _ { 2 } x _ { 1 } } } \\ { { w _ { 2 } z _ { 1 } + x _ { 2 } y _ { 1 } - y _ { 2 } x _ { 1 } + z _ { 2 } w _ { 1 } } } \end{array} \right) }
\hat { J } ^ { + } = ( \nu + 1 ) \theta + \theta ^ { 2 } \frac { \partial } { \partial \theta } , \quad \hat { J } ^ { - } = \frac { \partial } { \partial \theta } , \quad \hat { J } ^ { 3 } = \frac { 1 } { 2 } ( \nu + 1 ) + \theta \frac { \partial } { \partial \theta } ,
\begin{array} { r l } { | \tilde { \Phi } \rangle } & { = \Bigr [ ( | 0 2 0 \rangle + | 2 0 0 \rangle ) / \sqrt { 2 } + \frac { \lambda } { \sqrt { 2 } \Delta _ { 0 } } ( 1 + \Delta _ { 2 } / \Delta _ { 0 } ) ( | 0 2 0 \rangle - | 2 0 0 \rangle ) + \frac { i \lambda C ^ { D / L } K ^ { 3 / 2 } } { 2 \hbar \omega _ { 0 } \Delta _ { 0 } } ( 1 + \Delta _ { 2 } / \Delta _ { 0 } ) } \\ & { \times ( | 0 0 1 \rangle - 2 | 1 1 1 \rangle ) \Bigr ] \downarrow \: + \: \Bigr [ \frac { \lambda } { \sqrt { 2 } \Delta _ { 0 } } ( 1 + 3 \hbar \Omega / \Delta _ { 0 } ) | 0 1 1 \rangle + \frac { \delta } { \sqrt { 2 } \Delta _ { 0 } ^ { 2 } } ( \hbar \Omega + \lambda / 2 ) | 1 0 1 \rangle } \\ & { + \frac { - i C ^ { D / L } K ^ { 3 / 2 } \lambda } { 2 \hbar \omega _ { 0 } \Delta _ { 0 } } ( 1 + 3 \hbar \Omega / \Delta _ { 0 } ) ( | 2 1 0 \rangle - \sqrt { 3 } | 0 3 0 \rangle - \sqrt { 2 } | 1 0 0 \rangle ) + \frac { i C ^ { D / L } K ^ { 3 / 2 } \delta } { 2 \hbar \omega _ { 0 } \Delta _ { 0 } ^ { 2 } } } \\ & { \times ( \hbar \Omega + \lambda / 2 ) ( | 1 2 0 \rangle - \sqrt { 3 } | 3 0 0 \rangle - \sqrt { 2 } | 0 1 0 \rangle ) \Bigr ] \uparrow } \\ { | \tilde { \Phi } ^ { \prime } \rangle } & { = \Bigr [ ( | 0 2 0 \rangle + | 2 0 0 \rangle ) / \sqrt { 2 } + \frac { - \lambda } { \sqrt { 2 } \Delta _ { 0 } } ( 1 + \Delta _ { 2 } / \Delta _ { 0 } ) ( | 0 2 0 \rangle - | 2 0 0 \rangle ) + \frac { - i \lambda C ^ { D / L } K ^ { 3 / 2 } } { 2 \hbar \omega _ { 0 } \Delta _ { 0 } } ( 1 + \Delta _ { 2 } / \Delta _ { 0 } ) } \\ & { \times ( | 0 0 1 \rangle - 2 | 1 1 1 \rangle ) \Bigr ] \uparrow \: + \: \Bigr [ \frac { - \lambda } { \sqrt { 2 } \Delta _ { 0 } } ( 1 - 3 \hbar \Omega / \Delta _ { 0 } ) | 1 0 1 \rangle + \frac { \delta } { \sqrt { 2 } \Delta _ { 0 } ^ { 2 } } ( \hbar \Omega - \lambda / 2 ) | 0 1 1 \rangle } \\ & { + \frac { - i C ^ { D / L } K ^ { 3 / 2 } \lambda } { 2 \hbar \omega _ { 0 } \Delta _ { 0 } } ( 1 - 3 \hbar \Omega / \Delta _ { 0 } ) ( | 1 2 0 \rangle - \sqrt { 3 } | 3 0 0 \rangle - \sqrt { 2 } | 0 1 0 \rangle ) + \frac { - i C ^ { D / L } K ^ { 3 / 2 } \delta } { 2 \hbar \omega _ { 0 } \Delta _ { 0 } ^ { 2 } } } \\ & { \times ( \hbar \Omega - \lambda / 2 ) ( | 2 1 0 \rangle - \sqrt { 3 } | 0 3 0 \rangle - \sqrt { 2 } | 1 0 0 \rangle ) \Bigr ] \downarrow } \\ { | \tilde { \Psi } \rangle } & { = \cos { \theta / 2 } | \tilde { \Phi } ^ { \prime } \rangle + \sin { \theta / 2 } | \tilde { \Phi } \rangle , \qquad K = \hbar / ( 2 m _ { e } \omega _ { 0 } ) . } \end{array}
\int _ { \mathrm { L S } } d { \bf r } [ { \bf F } _ { \mathrm { e x t } } \cdot { \bf u } ] = \int _ { \mathrm { L S } } d { \bf r } [ { \bf F } _ { \mathrm { d r a g } } \cdot { \bf u } ] = f _ { 1 } U F _ { \mathrm { d r a g } } ,
\begin{array} { r l } { J _ { \mathrm { i n t } } } & { = \frac { 1 } { 4 ( f _ { 0 } \tau _ { \mathrm { r e s t } } ) ^ { 3 } } \frac { J ( 0 ) } { M ( 0 ) ^ { 3 } } \frac { \tau _ { \mathrm { i n t } } } { \tau _ { \mathrm { r e s t } } } \left( \frac { \delta T } { \Delta T } \right) ^ { 2 } } \\ { a } & { = - \frac { M ^ { \prime } ( 0 ) } { M ( 0 ) ^ { 3 } } \frac { 1 } { 2 ( f _ { 0 } \tau _ { \mathrm { r e s t } } ) ^ { 2 } } \frac { \delta T } { \Delta T } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { d } \langle y _ { t } ^ { \beta } , p _ { t } \rangle } & { = \langle y _ { t } ^ { \beta } , \mathrm { d } p _ { t } \rangle + \langle p _ { t } , \mathrm { d } y _ { t } ^ { \beta } \rangle } \\ & { = \big [ - \nu \langle \Phi _ { u } ^ { \ast } ( t , u _ { t } ^ { \alpha } , \alpha ) \Phi ( t , u _ { t } ^ { \alpha } , \alpha ) , y _ { t } ^ { \beta } \rangle - \langle \mathcal { L } ^ { \prime } ( t , u _ { t } ^ { \alpha } ) , y _ { t } ^ { \beta } \rangle } \\ & { \qquad + \langle \Phi _ { \alpha } ( t , u _ { t } ^ { \alpha } , \alpha ) \beta , p _ { t } \rangle \big ] \mathrm { d } t . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \widehat { \mathcal { A } } ^ { \prime } ( h ^ { - 1 } ( t _ { * } ) ) e _ { \alpha } , e _ { \beta } \rangle _ { \mathbb { R } ^ { n } } } & { = \langle g \mathcal { A } ^ { \prime } ( t _ { * } ) h ^ { - 1 } ( e _ { \alpha } ) , e _ { \beta } \rangle _ { \mathbb { R } ^ { n } } = \langle \mathcal { A } ^ { \prime } ( t _ { * } ) h ^ { - 1 } ( e _ { \alpha } ) , g ^ { \dag } ( e _ { \beta } ) \rangle } \\ & { = \langle ( \widehat { \mathcal { H } _ { K } } ( t _ { * } ) - \mathcal { E } _ { \mathrm { C C } } ( t _ { * } ) ) U _ { \alpha } \Phi _ { 0 } , V _ { \beta } \Phi _ { 0 } \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { \lambda } _ { n , i } ^ { * } ( 0 ) \equiv \operatorname* { l i m } _ { \rho ^ { * } \to 0 } \bar { \lambda } _ { n , i } ^ { * } ( \rho ^ { * } ) } & { { } = \frac { \binom { n } { i } \Gamma ( i ) \int _ { 0 } ^ { \infty } \lambda ^ { i } p _ { \lambda | n } \mathrm { d } \lambda } { \binom { n } { i } \Gamma ( i ) \int _ { 0 } ^ { \infty } \lambda ^ { i - 1 } p _ { \lambda | n } \mathrm { d } \lambda } = \frac { E \left[ \lambda ^ { i } | n \right] } { E \left[ \lambda ^ { i - 1 } | n \right] } \; . } \end{array}
B _ { i } = \left\{ \begin{array} { l l } { - 2 / 9 } & { i = 1 } \\ { 1 / 5 4 } & { i = 2 , . . . \, , 7 } \\ { 1 / 2 7 } & { i = 8 , . . . \, , 1 9 } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { F _ { k } ^ { - 1 } } & { \leq \frac { 1 - 1 / \lambda } { 1 - 1 / \lambda ^ { \Delta T } } \sum _ { i = k - 1 } ^ { k + \Delta T - 2 } F _ { i + 1 } ^ { - 1 } } \\ & { \leq \frac { 1 - 1 / \lambda } { 1 - 1 / \lambda ^ { \Delta T } } \left( \frac { 1 } { \lambda } \sum _ { i = k - 1 } ^ { k + \Delta T - 2 } F _ { i } ^ { - 1 } + \frac { \kappa } { \lambda } \epsilon _ { 2 } I \right) } \\ & { \leq \frac { 1 - 1 / \lambda } { 1 - 1 / \lambda ^ { \Delta T } } \left( \frac { 1 } { \lambda ^ { k } } \sum _ { i = 0 } ^ { \Delta T - 1 } F _ { i } ^ { - 1 } + \frac { \kappa } { \lambda } \frac { 1 - 1 / \lambda ^ { k } } { 1 - 1 / \lambda } \epsilon _ { 2 } I \right) } \\ & { \leq \lambda ^ { \Delta T - k } F _ { \Delta T - 1 } ^ { - 1 } + \frac { \kappa } { \lambda } \frac { 1 - 1 / \lambda ^ { k } } { 1 - 1 / \lambda ^ { \Delta T } } \epsilon _ { 2 } I } \\ & { \leq F _ { \Delta T - 1 } ^ { - 1 } + \frac { \kappa \epsilon _ { 2 } I } { \lambda ( 1 - 1 / \lambda ^ { \Delta T } ) } } \\ & { = F _ { \operatorname* { m i n } } ^ { - 1 } I } \end{array}
R _ { \mu } = R _ { \mu } ^ { a } { \frac { \rho _ { a } } { 2 } } = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \left( \begin{array} { l l } { { \hat { R } _ { \mu } - { \frac { S _ { \mu } \times 1 } { \sqrt { 1 2 } } } } } & { { V _ { \mu } } } \\ { { V _ { \mu } ^ { + } } } & { { \sqrt { \frac { 3 } { 4 } } S _ { \mu } } } \end{array} \right) \, ,
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { j } ^ { \mathrm { l o w } } } & { : = \big \{ k \in \mathbb { Z } ^ { d } : \ \mathrm { d i s t } ( k , M _ { j } E _ { L } ^ { c } ) \geq s \big \} ; } \\ { \mathcal { L } _ { j } ^ { \mathrm { m e d } } } & { : = \big \{ k \in \mathbb { Z } ^ { d } : \ \mathrm { d i s t } ( k , M _ { j } E _ { L } ) < s \mathrm { , ~ a n d ~ } \mathrm { d i s t } ( k , M _ { j } E _ { L } ^ { c } ) < s \} ; } \\ { \mathcal { L } _ { j } ^ { \mathrm { h i g h } } } & { : = \big \{ k \in \mathbb { Z } ^ { d } : \ \mathrm { d i s t } ( k , M _ { j } E _ { L } ) \geq s \big \} . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { u _ { i } ( { \bf x } ) } & { { } = u _ { i } ^ { ( 0 ) } ( { \bf x } ) + \int _ { \Omega } d { \bf x } ^ { \prime } H _ { i J } ^ { ( 0 ) } ( { \bf x } , { \bf x } ^ { \prime } ) \Delta c _ { J K } ( { \bf x } ^ { \prime } ) \epsilon _ { K } ( { \bf x } ^ { \prime } ) } \end{array}
| D \varphi _ { 2 } | ^ { 2 } - | D \varphi | ^ { 2 } = \frac { 2 \left( \rho ^ { \gamma - 1 } - 1 \right) } { \gamma - 1 } + ( \varphi - \varphi _ { 2 } ) \geq \frac { 2 d _ { 0 } } { \gamma + 1 } + ( \varphi - \varphi _ { 2 } ) \, .