harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \left. \langle v _ { 1 , r } \rangle \right| _ { r = 1 } } & { = \left. \frac { 1 } { r \sin \theta } \frac { \partial ( \langle \varphi _ { 1 } \rangle \sin \theta ) } { \partial \theta } \right| _ { r = 1 } = 0 ~ } \\ { \left. \langle v _ { 1 , \theta } \rangle \right| _ { r = 1 } } & { = - \left. \frac { 1 } { r } \frac { \partial ( r \langle \varphi _ { 1 } \rangle ) } { \partial r } \right| _ { r = 1 } = - \frac { \kappa } { M ^ { 2 } } \sin 2 \theta ~ G _ { 1 } ( \zeta ) F ( m ) F ^ { * } ( m ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \boldsymbol { A } ( \boldsymbol { r } , t ) } & { \underset { r \gg r ^ { \prime } } { = } } & { \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi r } \, \boldsymbol { \dot { d } } ( t - r / c ) \, . } \\ { \Phi ( \boldsymbol { r } , t ) } & { = } & { \frac { Q _ { e } } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } r } + \frac { \mu _ { 0 } c } { 4 \pi r } \, \, \hat { \mathrm { \textbf { e } } } _ { r } \cdot \boldsymbol { \dot { d } } ( t - r / c ) \, , } \end{array}
A = \frac { y _ { 2 } } { W ( y _ { 1 } , y _ { 2 } ) } \frac { 1 } { R ^ { 7 } u ^ { \prime } \sqrt { { u ^ { \prime } } ^ { 6 } - ( 1 + \theta ) { u ^ { \prime } } ^ { 2 } + \theta } } , B = \frac { y _ { 1 } } { W ( y _ { 1 } , y _ { 2 } ) } \frac { 1 } { R ^ { 7 } u ^ { \prime } \sqrt { { u ^ { \prime } } ^ { 6 } - ( 1 + \theta ) { u ^ { \prime } } ^ { 2 } + \theta } } .
\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle d v ( t ) = \left( \mathcal { A } v ( t ) + \mathcal { F } ^ { \theta } ( t ) \right) d t + \int _ { \mathbb { Z } } \overline { { G } } ( z , x , t - ) \tilde { N } ( d t , d z ) , } \\ { v ( 0 ) = u _ { 0 } ^ { \theta } , } \end{array} \right.
\kappa ^ { 2 } g ^ { 2 } \alpha ^ { \prime } \left( - \frac { 1 } { 2 } ( \frac { 2 \cdot 2 ^ { 8 } \sqrt { 2 } } { 3 ^ { 5 } } ) ^ { 2 } \right) \left( A _ { i } A _ { j } \right) ^ { 2 } = - \kappa ^ { 2 } g ^ { 2 } \alpha ^ { \prime } \left( \frac { 6 5 5 3 6 } { 5 9 0 4 9 } \right) \left( 2 A _ { i } A _ { i } A _ { j } A _ { j } \right) .
\begin{array} { r l r } { T ( u , v ) = } & { { } } & { z _ { i _ { 0 } , k } ^ { j _ { 0 } , \ell } + n _ { u } \left( z _ { i _ { 0 } , k + 1 } ^ { j _ { 0 } , \ell } - z _ { i _ { 0 } , k } ^ { j _ { 0 } , \ell } \right) \frac { u - u _ { i _ { 0 } , k } } { u _ { i _ { 0 } + 1 } - u _ { i _ { 0 } } } } \end{array}
Y _ { a , \alpha } \left( \theta , \varphi \right) Y _ { b , \beta } \left( \theta , \varphi \right) = { \sqrt { \frac { \left( 2 a + 1 \right) \left( 2 b + 1 \right) } { 4 \pi } } } \sum _ { c = 0 } ^ { \infty } \sum _ { \gamma = - c } ^ { c } \left( - 1 \right) ^ { \gamma } { \sqrt { 2 c + 1 } } { \left( \begin{array} { l l l } { a } & { b } & { c } \\ { \alpha } & { \beta } & { - \gamma } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l l l } { a } & { b } & { c } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) } Y _ { c , \gamma } \left( \theta , \varphi \right) .
\biggl [ \frac { I m { M } _ { 1 2 } } { m _ { K } } \biggr ] _ { H } = \frac { 1 } { 2 } \frac { g _ { H } ^ { 2 } } { M _ { H _ { 0 } } ^ { 2 } } I m [ C _ { K } ] f _ { K } ^ { 2 } R _ { K } < 2 \cdot 1 0 ^ { - 1 7 } .
\Pi _ { a } = \frac { 1 } { 2 \pi } \sum _ { E } b _ { a E } \left( 1 + \frac { \alpha _ { a } } { 2 \pi } C _ { a } ^ { G } + \sum _ { b } \frac { \alpha _ { b } } { \pi } C _ { a } ^ { E } C _ { b } ( R _ { E } ) \right) \ln \frac { \mu _ { s } } { m _ { E } } ,
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \mathcal { E } } ( \mathcal { D } , \mathcal { B } , \boldsymbol { \Phi } ) = \ } & { - \epsilon \| \mathcal { D } _ { x } \boldsymbol { \Phi } \| _ { \mathcal { P } } ^ { 2 } - \epsilon \Phi _ { s } \Phi _ { s x } - \frac { 1 } { 2 } ( \dot { x } _ { s } - 1 ) \Phi _ { s } ^ { 2 } + \Phi _ { s } \big [ \epsilon \Phi _ { x s } - ( 1 - \dot { x } _ { s } ) \Phi _ { s } \big ] } \\ { \ } & { + \epsilon \Phi _ { e } \Phi _ { e x } + \frac { 1 } { 2 } ( \dot { x } _ { e } - 1 ) \Phi _ { e } ^ { 2 } + \big [ - \epsilon \Phi _ { x e } + \frac { 1 } { 2 } ( 1 - \dot { x } _ { e } ) \Phi _ { e } \big ] \Phi _ { e } } \\ { = \ } & { - \epsilon \| \mathcal { D } _ { x } \boldsymbol { \Phi } \| _ { \mathcal { P } } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } ( 1 - \dot { x } _ { s } ) \Phi _ { s } ^ { 2 } \leq 0 , } \end{array}
\begin{array} { r } { - \overline { { \delta u _ { \parallel } ^ { s } ( \delta u _ { i } ^ { s } ) ^ { 2 } } } - \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { r } s ^ { 2 } { \cal L S } ^ { s } d s + 2 \nu _ { s } \frac { d } { d r } \overline { { ( \delta u _ { i } ^ { s } ) ^ { 2 } } } = \frac { 4 } { 3 } \overline { { \epsilon } } ^ { s } r , } \end{array}
\begin{array} { r } { H _ { \mathrm { e f f } } ( t ) = - \frac 1 2 \Delta + \sum _ { j = 1 } ^ { N } v ( r _ { j } ) + \epsilon f ( t ) v _ { \mathcal { P } } ( r _ { j } ) + \rho ^ { { \Phi } } ( t ) \ast \frac { 1 } { | \cdot | } ( r _ { j } ) + v _ { \mathrm { x c } } [ \rho ^ { { \Phi } } ; \Psi _ { 0 } ; \Phi _ { 0 } ] ( t , r _ { j } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \lambda _ { n } \Delta \mu _ { n } ^ { n } / \left\{ \lambda _ { n } ^ { * } ( M _ { n } ^ { \prime } ) ^ { 1 / 2 } \right\} - \Delta \mu _ { n } ^ { * } / ( M _ { n } ^ { \prime } ) ^ { 1 / 2 } \to 0 , } \\ { \biggr [ ( \lambda _ { n } ^ { * } - \lambda _ { n } ) \Delta \mu _ { n } \Delta \mu _ { n } ^ { * } + \lambda _ { n } \Delta v _ { n } - \lambda _ { n } ^ { * } \Delta v _ { n } ^ { * } \biggr ] / \left\{ \lambda _ { n } ^ { * } M _ { n } ^ { \prime } \right\} \to 0 . } \end{array}
\dot { u } = \frac { A _ { d } } { N } \left[ \frac { 3 u ^ { \prime } + 2 y u ^ { \prime \prime } } { 1 + u + 2 y u ^ { \prime } } + ( N - 1 ) \frac { u ^ { \prime } } { 1 + u } \right] + 2 u + ( 2 - d ) y u ^ { \prime } .
\hat { T } _ { 0 0 } = \frac { 1 } { 2 } \left[ \dot { \phi } ^ { 2 } + \left( \vec { \nabla } \phi \right) ^ { 2 } + m ^ { 2 } \phi ^ { 2 } + \sigma \phi ^ { 2 } \right] = \frac { 1 } { 2 } \int d ^ { d } y \phi ( y ) \left( \hat { T } _ { x } ^ { ( 0 ) } + \hat { T } _ { x } ^ { ( 1 ) } \right) \phi ( y )
\begin{array} { r l } { \nabla \times ( \nabla \times { \mathbf a } ) = } & { { } \left| \begin{array} { c c c } { { \mathbf i } } & { { \mathbf j } } & { { \mathbf k } } \\ { \frac { \partial } { \partial x } } & { \frac { \partial } { \partial y } } & { \frac { \partial } { \partial z } } \\ { \frac { \partial a _ { z } } { \partial y } - \frac { \partial a _ { y } } { \partial z } } & { \frac { \partial a _ { x } } { \partial z } - \frac { \partial a _ { z } } { \partial x } } & { \frac { \partial a _ { y } } { \partial x } - \frac { \partial a _ { x } } { \partial y } } \end{array} \right| } \\ { = } & { { } { \mathbf i } \left( \frac { \partial ^ { 2 } a _ { y } } { \partial x \partial y } - \frac { \partial ^ { 2 } a _ { x } } { \partial y ^ { 2 } } - \frac { \partial ^ { 2 } a _ { x } } { \partial z ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } a _ { z } } { \partial x \partial z } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { T } | \omega | \int _ { \Omega } \left| | \mathbf { F } _ { m } | ^ { q } \boldsymbol { \Gamma } _ { m } - | \mathbf { F } | ^ { q } \boldsymbol { \Pi } \right| = \int _ { 0 } ^ { T } | \omega | \int _ { \Omega } \left| \left( | \mathbf { F } _ { m } | ^ { q } - | \mathbf { F } | ^ { q } \right) \boldsymbol { \Gamma } _ { m } + | \mathbf { F } | ^ { q } \left( \boldsymbol { \Gamma } _ { m } - \boldsymbol { \Pi } \right) \right| } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { T } | \omega | \int _ { \Omega } \left| \left( | \mathbf { F } + ( \mathbf { F } _ { m } - \mathbf { F } ) | ^ { q } - | \mathbf { F } | ^ { q } \right) \boldsymbol { \Gamma } _ { m } + | \mathbf { F } | ^ { q } \left( \boldsymbol { \Gamma } _ { m } - \boldsymbol { \Pi } \right) \right| } \\ & { \leq C \int _ { 0 } ^ { T } | \omega | \int _ { \Omega } | \mathbf { F } _ { m } - \mathbf { F } | ^ { q } | \boldsymbol { \Gamma } _ { m } | + \int _ { 0 } ^ { T } | \omega | \int _ { \Omega } | \mathbf { F } | ^ { q } | \boldsymbol { \Gamma } _ { m } - \boldsymbol { \Pi } | } \\ & { \leq C \int _ { 0 } ^ { T } | \omega | \, | | \mathbf { F } _ { m } - \mathbf { F } | | _ { L ^ { \frac { 6 } { 5 } q } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 } ) } ^ { q } | | \boldsymbol { \Gamma } _ { m } | | _ { L ^ { 6 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 } ) } + \int _ { 0 } ^ { T } | \omega | \, | | \mathbf { F } | | _ { L ^ { \frac { 6 } { 5 } q } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 } ) } ^ { q } | | \boldsymbol { \Gamma } _ { m } - \boldsymbol { \Pi } | | _ { L ^ { 6 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 } ) } } \\ & { \leq C | | \omega | | _ { L ^ { \infty } ( 0 , T ) } | | \mathbf { F } _ { m } - \mathbf { F } | | _ { L ^ { q } ( 0 , T ; L ^ { \frac { 6 } { 5 } q } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 } ) ) } | | \boldsymbol { \Gamma } _ { m } | | _ { L ^ { 6 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 } ) } } \\ & { + C | | \omega | | _ { L ^ { \infty } ( 0 , T ) } | | \mathbf { F } | | _ { L ^ { q } ( 0 , T ; L ^ { \frac { 6 } { 5 } q } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 } ) ) } | | \boldsymbol { \Gamma } _ { m } - \boldsymbol { \Pi } | | _ { H ^ { 1 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 } ) } \to 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { a _ { 3 1 } c _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 } + \frac { a _ { 3 2 } c _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 } + \frac { a _ { 3 3 } c _ { 3 } ^ { 2 } } { 2 } } & { \ne \frac { 1 } { 6 } , } \\ { \frac { 1 } { 6 } - c _ { 1 } a _ { 3 2 } a _ { 1 1 } - c _ { 1 } a _ { 3 3 } a _ { 2 1 } - c _ { 2 } a _ { 3 3 } a _ { 2 2 } } & { \ne 0 . } \end{array}
\hat { \pi } _ { i } = \mathbb { P } ( \hat { X } = i | \tilde { Y } \in [ 0 , N ) ) = \frac { \int _ { 0 } ^ { N } \left[ Q \left( \frac { i - u } { \sigma } \right) - Q \left( \frac { i + 1 - u } { \sigma } \right) \right] \cdot \left[ Q \left( \frac { - u } { \sigma } \right) - Q \left( \frac { N - u } { \sigma } \right) \right] \, d u } { \int _ { 0 } ^ { N } \left[ Q \left( \frac { - u } { \sigma } \right) - Q \left( \frac { N - u } { \sigma } \right) \right] ^ { 2 } \, d u . }
\begin{array} { r } { \rho _ { 1 } ^ { \textnormal { v e r t } } ( \alpha , \beta , \sigma ) = \frac { R _ { 1 } ^ { \textnormal { v e r t } } ( \alpha , \beta , \sigma ) } { \sqrt { R _ { 1 } ^ { \textnormal { v e r t } } ( \alpha , \alpha , \sigma ) R _ { 1 } ^ { \textnormal { v e r t } } ( \beta , \beta , \sigma ) } } = \frac { R _ { 1 } ^ { \textnormal { v e r t } } ( \alpha , \beta , \sigma ) } { R _ { 1 } ^ { \textnormal { v e r t } } ( 1 , 1 , \sigma ) } } \end{array}
\frac { \partial M _ { i } ( t , \boldsymbol { x } , \mathbf { g } ) } { \partial t } + \frac { \partial F _ { i \alpha } ( t , \boldsymbol { x } , \mathbf { g } ) } { \partial x _ { \alpha } } \neq \frac { \Tilde { M } _ { i } ( t , \boldsymbol { x } , \mathbf { g } ) - M _ { i } ( t , \boldsymbol { x } , \mathbf { g } ) } { \tau } .
\begin{array} { r l } { A _ { 1 } ^ { ( \ell ) } \widetilde { X } ^ { ( \ell ) } + \widetilde { X } ^ { ( \ell ) } A _ { 2 } ^ { ( \ell ) } } & { = B ^ { ( \ell ) } + R ^ { ( \ell ) } , } \\ { A _ { 1 } ^ { ( h ) } \delta \widetilde { X } ^ { ( h ) } + \delta \widetilde { X } ^ { ( h ) } A _ { 2 } ^ { ( h ) } } & { = \tilde { \Xi } ^ { ( h ) } + R ^ { ( h ) } . } \end{array}
\left( \begin{array} { l l l } { \theta _ { 1 , 1 } } & { \theta _ { 1 , 2 } } & { \theta _ { 1 , 3 } } \\ { \theta _ { 2 , 1 } } & { \theta _ { 2 , 2 } } & { \theta _ { 2 , 3 } } \\ { \theta _ { 3 , 1 } } & { \theta _ { 3 , 2 } } & { \theta _ { 3 , 3 } } \end{array} \right) = \theta _ { 1 , 1 } \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { - 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - 1 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) + \theta _ { 1 , 2 } \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 1 } & { - 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } & { 1 } \end{array} \right) + \theta _ { 2 , 1 } \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { - 1 } \\ { - 1 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) + \theta _ { 2 , 2 } \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { - 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 1 } \end{array} \right)
\hat { A } _ { n m } ( \omega ) = { \frac { 2 \coth ( { \frac { \omega } { 2 } } ) \sinh \Bigl ( ( \nu - \operatorname * { m a x } ( n , m ) ) { \frac { \omega } { 2 } } \Bigr ) \sinh \Bigl ( ( \operatorname * { m i n } ( n , m ) ) { \frac { \omega } { 2 } } \Bigr ) } { \sinh ( { \frac { \nu \omega } { 2 } } ) } }
\begin{array} { r l } { \Delta ( f , x ) } & { = \langle g ( x ) , H ^ { - 1 } ( x ) g ( x ) \rangle ^ { 1 / 2 } = \langle g ( x ) , - n ( x ) \rangle ^ { 1 / 2 } } \\ & { = \langle n ( x ) , n ( x ) \rangle _ { x } ^ { 1 / 2 } = \vert \vert n ( x ) \vert \vert _ { x } = \operatorname* { s u p } _ { \vert \vert d \vert \vert _ { x } = 1 } \langle d , n ( x ) \rangle _ { x } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { d P _ { \gamma } ^ { + } h } & { = \frac { \alpha } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } ( \mathcal D _ { \gamma } - i z ) ^ { - 1 } [ W _ { h } , ( \mathcal D _ { \gamma } - i z ) ^ { - 1 } ] d z } \\ & { = \frac { \alpha } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } ( \mathcal D _ { \gamma } - i z ) ^ { - 1 } ( \mathcal D _ { \gamma } - i z ) ^ { - 1 } [ W _ { h } , \mathcal D _ { \gamma } ] ( \mathcal D _ { \gamma } - i z ) ^ { - 1 } d z } \end{array}
T _ { i j } ^ { \left( 2 \right) , \dag } = \sum _ { n = 1 } ^ { N } { { { \left( { I - G } \right) } ^ { n - 1 } } \otimes \left( { \overline { { \bar { u } _ { i } ^ { \dag } \overline { { u _ { j } ^ { * } } } } } - \overline { { \bar { u } _ { i } ^ { \dag } } } u _ { j } ^ { * } } \right) } ,
\varphi _ { 1 1 } ( \theta ) = \varphi _ { 2 2 } ( \theta ) = \frac { - \sqrt { 3 } } { 2 \cosh \theta + 1 } \qquad \mathrm { a n d } \qquad \varphi _ { 1 2 } ( \theta ) = \frac { \sqrt { 3 } } { 1 - 2 \cosh \theta } \, .
\alpha = \frac { \int _ { \lambda _ { 1 } } ^ { \lambda _ { 2 } } F _ { \lambda } ^ { l a m p } \sigma _ { \lambda } ^ { p h d } d \lambda } { \int _ { \lambda _ { 1 } } ^ { \lambda _ { 2 } } F _ { \lambda } ^ { l a m p } d \lambda } \cdot 1 . 9 9 2 1 \times 1 0 ^ { 8 } \; \mathrm { { s ^ { - 1 } } }
\forall \varphi \in \mathbb { T } , \quad \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \left| \sin \left( \frac { \varphi - \varphi ^ { \prime } } { 2 } \right) \right| ^ { - 1 } | \varphi - \varphi ^ { \prime } | ^ { \alpha } d \varphi ^ { \prime } \leqslant C \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \left| \sin \left( \frac { \varphi ^ { \prime } } { 2 } \right) \right| ^ { - ( 1 - \alpha ) } d \varphi ^ { \prime } < \infty .
\begin{array} { r } { Q _ { k } = 2 \pi \vec { k } \cdot \vec { Q } _ { \vec { k } } = - \left[ \frac { 8 \pi ^ { 2 } } k \int n _ { \vec { k } _ { 1 } } n _ { \vec { k } _ { 3 } } \delta ( \varOmega ) \times \right. } \\ { \left. \times \left( \left| T _ { \vec { k } , \vec { k } _ { 1 } } ^ { \vec { k } , \vec { k } _ { 3 } } \right| ^ { 2 } ( \vec { q } \cdot \vec { k } ) ^ { 2 } \right) \mathrm d \vec { k } _ { 1 } \mathrm d \vec { k } _ { 3 } \right] \frac { \partial n _ { k } } { \partial k } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { \boldsymbol D } ^ { \perp } ( \boldsymbol r ) = i \sum _ { \boldsymbol k , \lambda } \sqrt { \frac { \hbar \omega _ { \boldsymbol k } \epsilon _ { 0 } } { 2 V } } \boldsymbol e _ { k , \lambda } \left[ \hat { d } _ { \boldsymbol k , \lambda } e ^ { i \boldsymbol k \cdot \boldsymbol r } - \hat { d } _ { \boldsymbol k , \lambda } ^ { \dagger } e ^ { - i \boldsymbol k \cdot \boldsymbol r } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \lambda _ { 1 } } & { = } & { \frac { r \ e ^ { \alpha L _ { g } N ^ { * } } } { \cos ^ { 2 } \Big ( \frac { r \Phi ^ { * } } { 2 } \Big ) + e ^ { 2 \alpha L _ { g } N ^ { * } } \ \sin ^ { 2 } \Big ( \frac { r \Phi ^ { * } } { 2 } \Big ) } , } \\ { \lambda _ { 2 } } & { = } & { - e ^ { - T _ { \mathrm { r t } } / T _ { 1 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { H _ { P ( \Phi _ { X } , \Phi _ { Y } ) } ^ { j } ( X \times Y , \Omega _ { X \times Y } ^ { i } ( \log \Delta _ { X \times Y } ) ( - \Delta _ { X \times Y } ) ) } \\ & { \to H _ { \mathrm { p r } _ { X \times Y } ^ { - 1 } ( P ( \Phi _ { X } , \Phi _ { Y } ) ) } ^ { j } ( X \times Y \times Z , \Omega _ { X \times Y \times Z } ^ { i } ( \log \mathrm { p r } _ { X \times Y } ^ { * } \Delta _ { X \times Y } ) ( - \mathrm { p r } _ { X } ^ { * } \Delta _ { X } ) ) } \end{array}
r _ { i + 1 } = r _ { i - 1 } - r _ { i } q _ { i } = ( a s _ { i - 1 } + b t _ { i - 1 } ) - ( a s _ { i } + b t _ { i } ) q _ { i } = ( a s _ { i - 1 } - a s _ { i } q _ { i } ) + ( b t _ { i - 1 } - b t _ { i } q _ { i } ) = a s _ { i + 1 } + b t _ { i + 1 } .
\begin{array} { r l } & { v _ { 7 } = v _ { 7 } ^ { ( 1 ) } v _ { 8 } ^ { ( 1 ) } v _ { 9 } ^ { ( 1 ) } , \; \; \; v _ { 8 } ^ { ( 1 ) } = I + v _ { 8 , r } ^ { ( 1 ) } , \; \; \; v _ { 8 , r } ^ { ( 1 ) } = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { - r _ { 1 , r } ( k ) e ^ { - \theta _ { 2 1 } } } & { h _ { 2 } ( \omega ^ { 2 } k ) e ^ { - \theta _ { 3 1 } } } \\ { - r _ { 2 , r } ( k ) e ^ { \theta _ { 2 1 } } } & { r _ { 1 , r } ( k ) r _ { 2 , r } ( k ) } & { g _ { 2 } ( \omega ^ { 2 } k ) e ^ { - \theta _ { 3 2 } } } \\ { h _ { 1 } ( \omega ^ { 2 } k ) e ^ { \theta _ { 3 1 } } } & { g _ { 1 } ( \omega ^ { 2 } k ) e ^ { \theta _ { 3 2 } } } & { g ( \omega ^ { 2 } k ) } \end{array} \right) , } \\ & { v _ { 7 } ^ { ( 1 ) } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { - r _ { 2 , a } ( k ) e ^ { \theta _ { 2 1 } } } & { 1 } & { 0 } \\ { r _ { 1 , a } ( \omega ^ { 2 } k ) e ^ { \theta _ { 3 1 } } } & { r _ { 1 , a } ( \frac { 1 } { \omega k } ) e ^ { \theta _ { 3 2 } } } & { 1 } \end{array} \right) , \quad v _ { 9 } ^ { ( 1 ) } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { - r _ { 1 , a } ( k ) e ^ { - \theta _ { 2 1 } } } & { r _ { 2 , a } ( \omega ^ { 2 } k ) e ^ { - \theta _ { 3 1 } } } \\ { 0 } & { 1 } & { r _ { 2 , a } ( \frac { 1 } { \omega k } ) e ^ { - \theta _ { 3 2 } } } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) . } \end{array}
g _ { \pm } \equiv \frac { ( \langle m _ { \nu } \rangle \pm m _ { 2 } s _ { 1 } ^ { 2 } c _ { 3 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } - ( m _ { 1 } c _ { 1 } ^ { 2 } c _ { 3 } ^ { 2 } - m _ { 3 } s _ { 3 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { 4 m _ { 1 } m _ { 3 } c _ { 1 } ^ { 2 } s _ { 3 } ^ { 2 } c _ { 3 } ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { ( B _ { 1 } \varphi ) ( \zeta ) } & { = - \frac { 1 } { 8 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \ln \Big ( 4 \sin ^ { 2 } \frac { \zeta - s } { 2 } \Big ) \sin 2 ( \zeta - s ) \varphi ( s ) \, \mathrm { d } s - \frac { 1 } { 8 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } m _ { 1 } ( \zeta , s ) \varphi ( s ) \mathrm { d } s , } \\ { ( B _ { 2 } \varphi ) ( \zeta ) } & { = - \frac { 1 } { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \ln \Big ( 4 \sin ^ { 2 } \frac { \zeta - s } { 2 } \Big ) \big [ \cos 2 ( \zeta - s ) - 1 \big ] \varphi ( s ) \, \mathrm { d } s } \\ & { \quad - \frac { 1 } { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } m _ { 2 } ( \zeta , s ) \varphi ( s ) \mathrm { d } s } \end{array}
\begin{array} { r } { ( \eta ^ { * } - \eta ) \sum _ { \alpha = 1 } ^ { M } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left[ \frac { \partial f _ { i } ^ { [ \alpha ] } } { \partial y _ { i } ^ { [ \alpha ] } } ( ( U \psi ) _ { i } ^ { [ \alpha ] } + \eta ) \right. } \\ { - \left. \frac { \partial f _ { i } ^ { [ \alpha ] } } { \partial y _ { i } ^ { [ \alpha ] } } ( \eta ) \right] \leq | \eta ^ { * } - \eta | \sum _ { \alpha = 1 } ^ { M } \sum _ { i = 1 } ^ { N } L _ { i } ^ { [ \alpha ] } | ( U \psi ) _ { i } ^ { [ \alpha ] } | . } \end{array}
\frac { i } { 2 } \: , \: \frac { j } { 2 } \: , \frac { k } { 2 } \: \Leftrightarrow \frac { i } { 2 } \vert i \: , \: \frac { j } { 2 } \vert i \: , \: \frac { k } { 2 } \vert i
\begin{array} { r l } { \langle \widetilde { \rho } _ { \alpha } ( \boldsymbol { k } ) \widetilde { \rho } _ { \beta } ^ { * } ( \boldsymbol { k } ) \rangle } & { = \left\langle q _ { \alpha } q _ { \beta } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \alpha } } \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { \beta } } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \boldsymbol { k \cdot } ( \boldsymbol { r } _ { i } - \boldsymbol { r } _ { j } ) } \right\rangle } \\ & { = N _ { \alpha } N _ { \beta } q _ { \alpha } q _ { \beta } \left\langle \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \boldsymbol { k \cdot } ( \boldsymbol { r } _ { i } - \boldsymbol { r } _ { j } ) } \right\rangle } \\ & { = q _ { \alpha } q _ { \beta } \int \mathrm { d } ( 1 2 ) \, g _ { \alpha \beta } ( 1 2 ) \, \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \boldsymbol { k \cdot } ( \boldsymbol { r } _ { i } - \boldsymbol { r } _ { j } ) } } \\ & { = V n _ { \alpha } n _ { \beta } q _ { \alpha } q _ { \beta } \widetilde { G } _ { \alpha \beta } ( \boldsymbol { k } ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { C ( r , \tau ) = } & { \frac { c _ { 0 } \tilde { \tau } _ { c } ^ { d / 2 - 1 } } { 4 \tilde { \omega } _ { d } } \left[ \frac { \beta _ { f } \, \mathrm { e } ^ { - \frac { \beta _ { s } \lvert \tau \rvert } { 2 \tilde { \tau } _ { c } } - \frac { r ^ { 2 } \tilde { \tau } _ { c } } { 2 b \lvert \tau \rvert \, \beta _ { s } + 4 \epsilon \tilde { \tau } _ { c } } } } { \left( 2 \pi b \beta _ { s } \lvert \tau \rvert + 4 \pi \epsilon \tilde { \tau } _ { c } \right) ^ { d / 2 } } - \frac { \beta _ { s } \, \mathrm { e } ^ { - \frac { \beta _ { f } \lvert \tau \rvert } { 2 \tilde { \tau } _ { c } } - \frac { r ^ { 2 } \tilde { \tau } _ { c } } { 2 b \lvert \tau \rvert \beta _ { f } + 4 \epsilon \tilde { \tau } _ { c } } } } { \left( 2 \pi b \, \beta _ { f } \lvert \tau \rvert + 4 \pi \epsilon \tilde { \tau } _ { c } \right) ^ { d / 2 } } \, \right] , } \\ { \mathrm { w h e r e } } & { \; \beta _ { s } = 1 - 2 \tilde { \tau } _ { c } \tilde { \omega } _ { d } , \; \beta _ { f } = 1 + 2 \tilde { \tau } _ { c } \tilde { \omega } _ { d } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \textbf { h } _ { s g _ { s } } = \delta } & { \bigg ( m _ { 0 } \, \textbf { a } _ { \mathrm { T } } ( \phi _ { s g } , \theta _ { s g } ) + \sum _ { l = 1 } ^ { N _ { \mathrm { c l } } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \mathrm { r a y } } } m _ { l i } \textbf { a } _ { \mathrm { T } } ( \phi _ { s g , l i } , \theta _ { s g , l i } ) \bigg ) , } \end{array}
R ( u , O ( t , \mathbf { x } ) , \rho ( t , \mathbf { x } ) , n ( t , \mathbf { x } ) ) = \underbrace { P ( u , O ( t , \mathbf { x } ) , \rho ( t , \mathbf { x } ) , n ( t , \mathbf { x } ) ) } _ { \textup { p r o l i f e r a t i o n } } - \underbrace { S ( u , O ( t , \mathbf { x } ) ) } _ { \textup { s e l e c t i o n } } - \underbrace { N ( O ( t , \mathbf { x } ) ) } _ { \textup { n e c r o s i s } } .
\begin{array} { r l } { P ( \varphi , x ) = } & { \left( P ( \varphi , x ) - \Delta x \frac { \partial P } { \partial x } + O ( \Delta x ^ { 2 } ) \right) \left( 1 - \Delta x \left[ \frac { x _ { T } } { 4 \xi ^ { 2 } } \varphi ^ { 2 } - i q ( x ) \varphi - 2 z \cos \varphi \right] + O ( \Delta x ^ { 2 } ) \right) } \\ & { + \frac { \Delta x } { x _ { T } } \frac { \partial ^ { 2 } P } { \partial x ^ { 2 } } ( 1 + O ( \Delta x ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Hat { G } _ { i j } ^ { T } ( \vec { k } , \omega ) } & { { } = \frac { \delta _ { i j } - k _ { i } k _ { j } / k ^ { 2 } } { \eta ( k ^ { 2 } + \alpha ^ { 2 } ) } \, , \quad \alpha ^ { 2 } = \frac { - i \omega \rho } { \eta } } \\ { \Hat { G } _ { i j } ^ { L } ( \vec { k } , \omega ) } & { { } = \frac { k _ { i } k _ { j } \lambda ^ { 2 } } { \eta \alpha ^ { 2 } k ^ { 2 } ( k ^ { 2 } + \lambda ^ { 2 } ) } \, , \quad \lambda ^ { 2 } = \frac { - i \omega \rho } { 4 \eta / 3 + \zeta + i \rho c ^ { 2 } \ \omega } \, . } \end{array}