harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } \mathcal { J } _ { k ; k _ { 1 } , k _ { 2 } ; l } ^ { a ; \mu , \nu ; j _ { 1 } , j _ { 2 } } ( t , \xi ) d t = \sum _ { n = 1 , 2 } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } e ^ { i t _ { n } \Phi _ { \mu , \nu } ^ { a } ( \xi , \eta ) } \frac { ( - 1 ) ^ { n } q _ { \mu , \nu } ^ { a } ( \xi - \eta , \eta ) } { i \Phi _ { \mu , \nu } ^ { a } ( \xi , \eta ) } \widehat { h _ { 1 ; j _ { 1 } , k _ { 1 } } ^ { \mu } } ( t _ { n } , \xi - \eta ) \widehat { h _ { 2 ; j _ { 2 } , k _ { 2 } } ^ { \nu } } ( t _ { n } , \eta ) } \\ & { \times \varphi _ { l ; - m / 2 + \delta m } ( l _ { \mu , \nu } ( \xi , \eta ) ) \psi _ { k } ( \xi ) d \eta - \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } e ^ { i t \Phi _ { \mu , \nu } ^ { a } ( \xi , \eta ) } \frac { q _ { \mu , \nu } ^ { a } ( \xi - \eta , \eta ) \psi _ { k } ( \xi ) } { i \Phi _ { \mu , \nu } ^ { a } ( \xi , \eta ) } } \\ & { \times \partial _ { t } \big ( \widehat { h _ { 1 ; j _ { 1 } , k _ { 1 } } ^ { \mu } } ( t , \xi - \eta ) \widehat { h _ { 2 ; j _ { 2 } , k _ { 2 } } ^ { \nu } } ( t , \eta ) \big ) \varphi _ { l ; - m / 2 + \delta m } ( l _ { \mu , \nu } ( \xi , \eta ) ) d \eta d t . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { G } \; : } & { \; \mathbb { Z } \times \mathbb { L } ^ { \infty } ( \mathcal { U } ) \longrightarrow \mathbb { L } ^ { \infty } ( \mathcal { U } ) } \\ & { ( z , u ) \mapsto ( \textbf { g } _ { 1 } ( z , u _ { 1 } ) , \textbf { g } _ { 2 } ( z , u _ { 2 } ) , \textbf { g } _ { 3 } ( z , u _ { 3 } ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { w } & { = } & { - ( 1 + u ) \mathrm { K } _ { \frac { 1 } { 3 } } ( \rho ^ { \prime } ) + ( 2 + 2 u + u ^ { 2 } ) \mathrm { K } _ { \frac { 2 } { 3 } } ( \rho ^ { \prime } ) , } \\ { \mathbf { f } } & { = } & { u \mathrm { I n t K } _ { \frac { 1 } { 3 } } ( \rho ^ { \prime } ) \hat { { \mathbf v } } \times \hat { { \mathbf a } } , } \\ { \mathbf { g } } & { = } & { - ( 1 + u ) \left[ \mathrm { K } _ { \frac { 1 } { 3 } } ( \rho ^ { \prime } ) - 2 \mathrm { K } _ { \frac { 2 } { 3 } } ( \rho ^ { \prime } ) \right] \mathbf { S } _ { i } - ( 1 + u ) u } \\ & { } & { \times \mathrm { I n t K } _ { \frac { 1 } { 3 } } ( \rho ^ { \prime } ) \hat { { \mathbf v } } \times \hat { { \mathbf a } } - u ^ { 2 } \left[ \mathrm { K } _ { \frac { 1 } { 3 } } ( \rho ^ { \prime } ) - \mathrm { K } _ { \frac { 2 } { 3 } } ( \rho ^ { \prime } ) \right] ( \mathbf { S } _ { i } \cdot \hat { { \mathbf v } } ) \hat { { \mathbf v } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \varepsilon } _ { c r } \left( s \right) } & { { } = \frac { a _ { 3 } } { b _ { 2 } } \frac { 1 } { s ^ { 1 + \nu - \alpha } } \frac { 1 + \frac { a _ { 2 } } { a _ { 3 } } \frac { 1 } { s ^ { \alpha + \beta } } + \frac { a _ { 1 } } { a _ { 3 } } \frac { 1 } { s ^ { 2 \left( \alpha + \beta \right) } } } { 1 + \frac { b _ { 1 } } { b _ { 2 } } \frac { 1 } { s ^ { \alpha + \beta } } } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { - \varepsilon ^ { 2 } n ^ { \prime \prime } ( z ) = n ( z ) [ R ( z ) - \rho ( n ) ] + \tau n ( z ) \displaystyle \int _ { \Omega } \frac { n ( y ) } { \rho } H ( z - y ) \ \mathrm { d y } , \quad z \in \Omega , } \\ { n ( z ) = 0 , \quad z \in \partial \Omega , } \\ { n ( z ) > 0 , \quad z \in \Omega , } \\ { \rho ( n ) = \displaystyle \int _ { \Omega } n ( z ) \mathrm { d z } . } \end{array} \right.
S _ { \mathrm { W Z } } ^ { ( M 5 ) } = \int d ^ { 6 } \xi \biggl [ { \textstyle { \frac { 1 } { 7 0 } } } \tilde { C } + { \textstyle { \frac { 3 } { 4 } } } { \cal H } C \biggr ] \, ,
( { \cal M } ) _ { i _ { 1 } } ^ { j _ { 1 } } ( { \cal M } ) _ { i _ { 2 } } ^ { j _ { 2 } } \cdots ( { \cal M } ) _ { i _ { F - n } } ^ { j _ { F - n } } \epsilon ^ { i _ { 1 } i _ { 2 } \cdots i _ { F - n } i _ { F - n + 1 } \cdots i _ { F } } \epsilon ^ { j _ { 1 } j _ { 2 } \cdots j _ { F - n } j _ { F - n + 1 } \cdots j _ { F } } = B ^ { i _ { F - n + 1 } \cdots i _ { F } } \bar { B } _ { j _ { F - n + 1 } \cdots j _ { F } } .
W _ { N R } = \lambda ^ { \prime } N H _ { u } H _ { d } \frac { M \overline { { { M } } } } { M _ { P } ^ { 2 } } - k ^ { \prime } \phi N ^ { 2 } \frac { \overline { { { M } } } ^ { 2 } } { M _ { P } ^ { 2 } } + c \frac { ( M \overline { { { M } } } ) ^ { 3 } } { M _ { P } ^ { 3 } } + d \frac { ( N \overline { { { M } } } ) ^ { 5 } ( M \overline { { { M } } } ) ^ { 2 } } { M _ { P } ^ { 1 1 } } + \cdots
S [ q ] = \operatorname * { l i m } _ { T \rightarrow \infty } \left\{ \int _ { - T } ^ { T } d t \; \left[ \frac 1 2 m \dot { q } ^ { 2 } - \frac 1 4 m \omega _ { 0 } ^ { 2 } q ^ { 2 } \right] - \frac 1 8 m \omega _ { 0 } ^ { 2 } \ell _ { 0 } ^ { 2 } T \sin \left[ { \frac { 2 } { T } } \int _ { - T } ^ { T } d t { \frac { q ^ { 2 } } { \ell _ { 0 } ^ { 2 } } } \right] \right\} \; .
( \boldsymbol E _ { P _ { l } ^ { m } } \boldsymbol y ) [ \mu ] = \left\{ \begin{array} { l l } { y [ { \hat { \mu } } ] \, , } & { \mathrm { i f } \; \exists \hat { \mu } \in \hat { Z } _ { l } ( P _ { l } ^ { m } ) : \; \mu = \operatorname { d o f } ( K , \hat { \mu } ) \, , } \\ { 0 \, , } & { \mathrm { i f } \; \mu \not \in Z _ { l } ( P _ { l } ^ { m } ) \, . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { m _ { \phi } } & { = \sum _ { P \in S ^ { \mathrm { ( g e o ) } } } | X _ { P } | \leq \sum _ { P \in S ^ { \mathrm { ( g e o ) } } } \left( 2 \left\lceil \frac { \sqrt { C ^ { \prime } q ( b _ { d } + c _ { d } \delta _ { 1 } ^ { d } ) } } { \epsilon _ { 1 } } \right\rceil + 1 \right) ^ { q ( b _ { d } + c _ { d } \delta _ { 1 } ^ { d } ) } } \\ & { = 2 ^ { \mathcal { O } ( \mathrm { p o l y l o g } ( 1 / \epsilon _ { 1 } ) ) } \mathcal { O } ( n ) , } \end{array}
J _ { i } = - \sum _ { j = 0 } ^ { n p - 1 } \sum _ { t = 1 } ^ { r } c ( t ) \left( f _ { i } ^ { ( j ) } ( \alpha _ { n _ { t - 1 } + 1 } ) + \cdots + f _ { i } ^ { ( j ) } ( \alpha _ { n _ { t } } ) \right) .
\gamma _ { u } = \gamma _ { \mathbf { v } \oplus \mathbf { u } ^ { \prime } } = \left[ 1 - { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } } { \frac { 1 } { ( 1 + { \frac { \mathbf { v } \cdot \mathbf { u } ^ { \prime } } { c ^ { 2 } } } ) ^ { 2 } } } \left( ( \mathbf { v } + \mathbf { u } ^ { \prime } ) ^ { 2 } - { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } } ( v ^ { 2 } u ^ { 2 } - ( \mathbf { v } \cdot \mathbf { u } ^ { \prime } ) ^ { 2 } ) \right) \right] ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } } = \gamma _ { v } \gamma _ { u } ^ { \prime } \left( 1 + { \frac { \mathbf { v } \cdot \mathbf { u } ^ { \prime } } { c ^ { 2 } } } \right) , \quad \quad \gamma _ { u } ^ { \prime } = \gamma _ { v } \gamma _ { u } \left( 1 - { \frac { \mathbf { v } \cdot \mathbf { u } } { c ^ { 2 } } } \right)
( \operatorname { d i v } T ) ( Y _ { 1 } , \ldots , Y _ { q - 1 } ) = { \operatorname { t r a c e } } { \Big ( } X \mapsto \sharp ( \nabla T ) ( X , \cdot , Y _ { 1 } , \ldots , Y _ { q - 1 } ) { \Big ) } ;
{ \mathfrak { o } } ( 2 l , F ) = \{ x \in { \mathfrak { g l } } ( 2 l , F ) | s x = - x ^ { t } s , s = { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { I _ { l } } \\ { I _ { l } } & { 0 } \end{array} \right) } \}
\begin{array} { r l } { { \sigma } _ { ^ { 2 S _ { i } + 1 } L _ { i } ; ^ { 2 S _ { f } + 1 } L _ { f } } ^ { { M } _ { { L } _ { i } } ; { M } _ { { L } _ { f } } } ( n l , { \omega } _ { \mathrm { i n } } ) = } & { \frac { 4 \pi ^ { 2 } } { 3 { \omega } _ { \mathrm { i n } } } \alpha { ( { \varepsilon } _ { n l } - { \varepsilon } _ { c } ) ^ { 2 } } \sum _ { { l } _ { c } = \left\vert { l } - 1 \right\vert } ^ { { l } + 1 } { l } _ { > } \left\vert \int _ { 0 } ^ { \infty } d r { u } _ { { \varepsilon } _ { c } { l } _ { c } } ^ { \ast } ( r ) r { u } _ { { n } { l } } ( r ) \right\vert ^ { 2 } } \\ & { \times \sum _ { { M } _ { { S } _ { f } } } \left\vert C ( { l } , { l } _ { c } , 1 ; { M } _ { { L } _ { i } } - { M } _ { { L } _ { f } } , { M } _ { { L } _ { f } } - { M } _ { { L } _ { i } } , 0 ) \ensuremath { \left\langle { L } _ { f } { S } _ { f } { M } _ { { L } _ { f } } { M } _ { { S } _ { f } } \left\lvert { \hat { c } } _ { j } \right\rvert { L } _ { i } { S } _ { i } { M } _ { { L } _ { i } } { S } _ { i } \right\rangle } \right\vert ^ { 2 } . } \end{array}
{ \frac { \partial f _ { i } } { \partial t } } + { \vec { e } } _ { i } \cdot \nabla f _ { i } + \left( { \frac { 1 } { 2 } } { \vec { e } } _ { i } { \vec { e } } _ { i } : \nabla \nabla f _ { i } + { \vec { e } } _ { i } \cdot \nabla { \frac { \partial f _ { i } } { \partial t } } + { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { \partial ^ { 2 } f _ { i } } { \partial t ^ { 2 } } } \right) = { \frac { 1 } { \tau } } ( f _ { i } ^ { e q } - f _ { i } ) .
\operatorname * { l i m } _ { R \rightarrow 0 } R f ( R ) = - \frac { \pi } { 6 R } c _ { e f f } \, \, \, \, \, \, \, \, \textnormal { w i t h } \, \, \, \, \, \, \, \, c _ { e f f } : = c - 1 2 ( \Delta _ { 0 } + \bar { \Delta } _ { 0 } ) ,
\begin{array} { r l } { P _ { \beta } ( \{ q _ { \mathrm { i } } \} ) } & { { } = \frac { 1 } { Z ( \beta ) } \delta \left( 1 - \sum _ { \mathrm { i = 1 } } ^ { S } q _ { \mathrm { i } } \right) \prod _ { \mathrm { i = 1 } } ^ { S } q _ { \mathrm { i } } ^ { \beta - 1 } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { z : \ } & { \rho \left( { \partial _ { t } u _ { z } } + u _ { x } { \partial _ { x } u _ { z } } + u _ { y } { \partial _ { y } u _ { z } } + u _ { z } { \partial _ { z } u _ { z } } \right) } \\ & { \quad = - { \partial _ { z } p } + \mu \left( { \partial _ { x } ^ { 2 } u _ { z } } + { \partial _ { y } ^ { 2 } u _ { z } } + { \partial _ { z } ^ { 2 } u _ { z } } \right) + { \frac { 1 } { 3 } } \mu \ \partial _ { z } \left( { \partial _ { x } u _ { x } } + { \partial _ { y } u _ { y } } + { \partial _ { z } u _ { z } } \right) + \rho g _ { z } . } \end{array} }
I _ { \mathrm { ~ d ~ C ~ o ~ M ~ } } ( \mathbf { r } _ { p } ) = \nabla _ { p } \cdot \mathbf { I } _ { \mathrm { ~ C ~ o ~ M ~ } } ( \mathbf { r } _ { p } ) = \frac { \partial I _ { \mathrm { ~ C ~ o ~ M ~ } x } ( \vec { r } _ { p } ) } { \partial x _ { p } } + \frac { \partial I _ { \mathrm { ~ C ~ o ~ M ~ } y } ( \vec { r } _ { p } ) } { \partial y _ { p } }
\begin{array} { r l } & { - \frac { 1 } { 2 } \frac { f [ x ( i + 1 ) ] + f [ x ( i - 1 ) ] - 2 f [ x ( i ) ] } { \Delta x ^ { 2 } } + \frac { ( l ^ { \prime } + 1 / 2 ) ^ { 2 } } { 2 } + r [ x ( i ) ] ^ { 2 } ( V _ { e f f } [ x ( i ) ] - \epsilon _ { i } + i \omega ) f [ x ( i ) ] } \\ { = \, } & { G _ { l ^ { \prime } L l } ^ { m ^ { \prime } M m } r [ x ( i ) ] ^ { 5 / 2 } \left( \epsilon _ { i - r a d } ^ { ( 1 ) } \delta _ { l l ^ { \prime } } \delta _ { m m ^ { \prime } } - V _ { \mu } ^ { ( 1 ) } [ x ( i ) ] \right) u _ { i , l } [ x ( i ) ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( y ^ { \prime \prime 2 } y ( x ) , \phi ( x ) ) _ { C _ { 0 } ^ { \infty } ( 0 , b ) } } & { = ( \psi _ { \mathfrak { I } _ { N } } ^ { H } ( \rho , x ) , \phi ^ { \prime \prime 2 } \phi ( b - x ) ) _ { C _ { 0 } ^ { \infty } ( 0 , b ) } } \\ & { = ( q ( x ) \psi _ { \mathfrak { I } _ { N } } ^ { H } ( \rho , x ) , \phi ( b - x ) ) _ { C _ { 0 } ^ { \infty } ( 0 , b ) } + \sum _ { k = 0 } ^ { N } \alpha _ { k } \psi _ { \mathfrak { I } _ { N } } ^ { H } ( \rho , x _ { k } ) \phi ( b - x _ { k } ) } \\ & { = ( q ( b - x ) y ( x ) , \phi ( x ) ) _ { C _ { 0 } ^ { \infty } ( 0 , b ) } + \sum _ { k = 0 } ^ { N } \alpha _ { k } y ( b - x _ { k } ) \phi ( b - x _ { k } ) , } \end{array}
\ensuremath { \hat { \mathbf { M } } } \dot { \ensuremath { \boldsymbol { \rho } } } + \Pi ^ { \top } [ \bigl ( \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { \rho } } \rho _ { i } \ensuremath { \hat { \mathbf { N } } } ( \ensuremath { \mathbf { w } } _ { i } ) \bigr ) \ensuremath { \boldsymbol { \rho } } + \ensuremath { \hat { \mathbf { A } } } \ensuremath { \boldsymbol { \rho } } - \ensuremath { \mathbf { f } } ] = 0 ,
\begin{array} { r l } { C _ { 1 1 } } & { = \frac { ( \zeta _ { 0 } ^ { ( 1 ) } + \zeta _ { 0 } ^ { ( 2 ) } + \zeta _ { 0 } ^ { ( 3 ) } ) ^ { 2 } } { | \zeta ^ { ( 1 ) } + \zeta ^ { ( 2 ) } + \zeta ^ { ( 3 ) } | _ { g ^ { * } } ^ { 2 } } ( \frac { ( \zeta _ { 0 } ^ { ( 1 ) } + \zeta _ { 0 } ^ { ( 2 ) } ) ^ { 2 } } { | \zeta ^ { ( 1 ) } + \zeta ^ { ( 2 ) } | _ { g ^ { * } } ^ { 2 } } + \frac { ( \zeta _ { 0 } ^ { ( 1 ) } + \zeta _ { 0 } ^ { ( 3 ) } ) ^ { 2 } } { | \zeta ^ { ( 1 ) } + \zeta ^ { ( 3 ) } | _ { g ^ { * } } ^ { 2 } } + \frac { ( \zeta _ { 0 } ^ { ( 2 ) } + \zeta _ { 0 } ^ { ( 3 ) } ) ^ { 2 } } { | \zeta ^ { ( 2 ) } + \zeta ^ { ( 3 ) } | _ { g ^ { * } } ^ { 2 } } ) } \\ & { = R _ { 1 2 3 } ( \frac { 1 } { ( \cos \theta - 1 ) } I _ { 1 } - \frac { 1 } { 4 \sin ^ { 2 } \theta } ) = R _ { 1 2 3 } ( \frac { 1 } { - 2 s ^ { 2 } } I _ { 1 } - \frac { 1 } { 8 \cos ( { \theta } / { 2 } ) } \frac { 1 } { s } ) } \\ & { = - \frac { 1 } { 4 ( \cos \theta + 1 ) s ^ { 4 } } ( 3 \cos ( { \theta } / { 2 } ) s ^ { 2 } + \mathcal { O } ( s ^ { 3 } ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { a } _ { h } ^ { 0 } = { \mathbf a } ^ { \top } { \mathbf \Lambda } ^ { 0 } , } \\ & { ( { \mathbf a } _ { h } ^ { 1 } ) ^ { \top } = ( \underbrace { a _ { 1 , 0 } , \cdots , a _ { 1 , N _ { 1 } ^ { 1 } - 1 } } _ { = : { \mathbf a } _ { 1 } ^ { \top } } , \underbrace { a _ { 2 , 0 } , \cdots , a _ { 2 , N _ { 2 } ^ { 1 } - 1 } } _ { = : { \mathbf a } _ { 2 } ^ { \top } } , \underbrace { a _ { 3 , 0 } , \cdots , a _ { 3 , N _ { 3 } ^ { 1 } - 1 } } _ { = : { \mathbf a } _ { 3 } ^ { \top } } ) \left( \begin{array} { l l l } { { \mathbf \Lambda } _ { 1 } ^ { 1 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { { \mathbf \Lambda } _ { 2 } ^ { 1 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { { \mathbf \Lambda } _ { 3 } ^ { 1 } } \end{array} \right) = : { \mathbf a } ^ { \top } \mathbb { \Lambda } ^ { 1 } , } \\ & { ( { \mathbf a } _ { h } ^ { 2 } ) ^ { \top } = ( \underbrace { a _ { 1 , 0 } , \cdots , a _ { 1 , N _ { 1 } ^ { 2 } - 1 } } _ { = : { \mathbf a } _ { 1 } ^ { \top } } , \underbrace { a _ { 2 , 0 } , \cdots , a _ { 2 , N _ { 2 } ^ { 2 } - 1 } } _ { = : { \mathbf a } _ { 2 } ^ { \top } } , \underbrace { a _ { 3 , 0 } , \cdots , a _ { 3 , N _ { 3 } ^ { 2 } - 1 } } _ { = : { \mathbf a } _ { 3 } ^ { \top } } ) \left( \begin{array} { l l l } { { \mathbf \Lambda } _ { 1 } ^ { 1 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { { \mathbf \Lambda } _ { 2 } ^ { 1 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { { \mathbf \Lambda } _ { 3 } ^ { 1 } } \end{array} \right) = : { \mathbf a } ^ { \top } \mathbb { \Lambda } ^ { 2 } , } \\ & { { a } _ { h } ^ { 3 } = { \mathbf a } ^ { \top } { \mathbf \Lambda } ^ { 3 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde { G } _ { e i } ( \boldsymbol { k } ) } & { { } = \frac { 1 } { n _ { i } } \frac { k _ { e } ^ { 2 } } { k ^ { 2 } + k _ { e } ^ { 2 } } \left( 1 + n _ { i } \widetilde { G } _ { i i } ( \boldsymbol { k } ) \right) , } \\ { \widetilde { G } _ { e e } ( \boldsymbol { k } ) } & { { } = \frac { 1 } { n _ { i } } \left( \frac { k _ { e } ^ { 2 } } { k ^ { 2 } + k _ { e } ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } \left( 1 + n _ { i } \widetilde { G } _ { i i } ( \boldsymbol { k } ) \right) - \frac { 1 } { n _ { e } } \frac { k _ { e } ^ { 2 } } { k ^ { 2 } + k _ { e } ^ { 2 } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla _ { c } \widehat { q } _ { a b } = } & { { } \frac { D } { D t } \left( \nabla _ { c } q _ { a b } \right) + d _ { d c } \nabla _ { d } q _ { a b } + w _ { d c } \nabla _ { d } q _ { a b } + w _ { d b } \nabla _ { c } q _ { a d } + w _ { d a } \nabla _ { c } q _ { d b } } \end{array}
[ \langle q \rangle ] = \Big [ \sum _ { \sigma } \sum _ { \tau } q _ { \sigma \tau } p _ { \sigma , \tau } \Big ] = \Big [ \sum _ { \rho } m _ { \rho } p _ { \rho } ^ { \textrm { e f f } } \Big ] = \big [ \langle m \rangle _ { \textrm { e f f } } \big ] ,
\begin{array} { r } { \sigma _ { s } = \mathbf q \left( - \rho m \dot { \mathbf q } + \nabla \frac { 1 } { T } \right) \geq 0 , \quad - \rho m \dot { \mathbf q } + \nabla \frac { 1 } { T } = l \mathbf q , \quad \tau = \frac { \rho m } { l } , \quad \lambda = \frac { 1 } { l T ^ { 2 } } , \quad l \in \mathbb R ^ { + } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { z _ { + } e \psi } & { + k _ { B } T \left[ \ln \left( { \frac { a _ { + } ^ { 3 } c _ { + } } { 1 - a _ { - } ^ { 3 } c _ { - } - a _ { + } ^ { 3 } c _ { + } } } \right) - \ln \left( { \frac { a _ { + } ^ { 3 } z _ { - } c _ { 0 } } { 1 - a _ { - } ^ { 3 } z _ { + } c _ { 0 } - a _ { + } ^ { 3 } z _ { - } c _ { 0 } } } \right) \right] } \\ & { + u _ { L J } ^ { + } ( x ) - u _ { L J } ^ { + } ( L / 2 ) = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l r } { H _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } } & { { } \approx } & { \hbar \omega _ { \mathrm { ~ p ~ h ~ } } \mathcal { A } _ { \mathrm { ~ p ~ h ~ } } ^ { \dagger } \mathcal { A } _ { \mathrm { ~ p ~ h ~ } } + \hbar \Omega _ { \mathrm { ~ v ~ } } b ^ { \dagger } b + \hbar g _ { 0 } \bigg ( \frac { J } { \Delta } \bigg ) \sqrt { n _ { \mathrm { ~ L ~ } } } \cdot } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { J } _ { i j } ^ { k } \equiv V ^ { - 1 } \int _ { V } \! \mathrm { d } \boldsymbol { r } ^ { \prime } \int _ { V } \! \mathrm { d } \boldsymbol { r } \frac { \delta \boldsymbol { J } _ { i } ^ { \mathrm { d } } ( \boldsymbol { r } , t ) } { \delta { \phi _ { j } } ^ { * } ( \boldsymbol { r } ^ { \prime } , t ) } \, \mathrm { e x p } \{ i \boldsymbol { q } ^ { k } ( \boldsymbol { r } ^ { \prime } - \boldsymbol { r } ) \} . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \pi } & { = 6 \sin ^ { - 1 } \left( { \frac { 1 } { 2 } } \right) = 6 \left( { \frac { 1 } { 2 } } + { \frac { 1 } { 2 \cdot 3 \cdot 2 ^ { 3 } } } + { \frac { 1 \cdot 3 } { 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 2 ^ { 5 } } } + { \frac { 1 \cdot 3 \cdot 5 } { 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 2 ^ { 7 } } } + \cdots \! \right) } \\ & { = { \frac { 3 } { 1 6 ^ { 0 } \cdot 1 } } + { \frac { 6 } { 1 6 ^ { 1 } \cdot 3 } } + { \frac { 1 8 } { 1 6 ^ { 2 } \cdot 5 } } + { \frac { 6 0 } { 1 6 ^ { 3 } \cdot 7 } } + \cdots \! = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { 3 \cdot { \binom { 2 n } { n } } } { 1 6 ^ { n } ( 2 n + 1 ) } } } \\ & { = 3 + { \frac { 1 } { 8 } } + { \frac { 9 } { 6 4 0 } } + { \frac { 1 5 } { 7 1 6 8 } } + { \frac { 3 5 } { 9 8 3 0 4 } } + { \frac { 1 8 9 } { 2 8 8 3 5 8 4 } } + { \frac { 6 9 3 } { 5 4 5 2 5 9 5 2 } } + { \frac { 4 2 9 } { 1 6 7 7 7 2 1 6 0 } } + \cdots } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { E ^ { * } \left( \left( \prod _ { j _ { 1 } = i _ { 1 } } ^ { I + n - 1 } \widehat f _ { j _ { 1 } , n } ^ { * } - \prod _ { j _ { 1 } = i _ { 1 } } ^ { K } \widehat f _ { j _ { 1 } , n } ^ { * } \right) \left( \prod _ { j _ { 2 } = i _ { 2 } } ^ { I + n - 1 } \widehat f _ { j _ { 2 } , n } ^ { * } - \prod _ { j _ { 2 } = i _ { 2 } } ^ { K } \widehat f _ { j _ { 2 } , n } ^ { * } \right) \right) } \\ & { = E ^ { * } \left( \left( \prod _ { j _ { 1 } = i _ { 1 } } ^ { i _ { 2 } - 1 } \widehat f _ { j _ { 1 } , n } ^ { * } \right) \left( \prod _ { j _ { 2 } = i _ { 2 } } ^ { I + n - 1 } \widehat f _ { j _ { 2 } , n } ^ { * 2 } \right) \right) - 2 E ^ { * } \left( \left( \prod _ { j _ { 1 } = i _ { 1 } } ^ { i _ { 2 } - 1 } \widehat f _ { j _ { 1 } , n } ^ { * } \right) \left( \prod _ { j _ { 2 } = i _ { 2 } } ^ { K } \widehat f _ { j _ { 2 } , n } ^ { * 2 } \right) \left( \prod _ { j _ { 3 } = K + 1 } ^ { I + n - 1 } \widehat f _ { j _ { 3 } , n } ^ { * } \right) \right) } \\ & { \quad + E ^ { * } \left( \left( \prod _ { j _ { 1 } = i _ { 1 } } ^ { i _ { 2 } - 1 } \widehat f _ { j _ { 1 } , n } ^ { * } \right) \left( \prod _ { j _ { 2 } = i _ { 2 } } ^ { K } \widehat f _ { j _ { 2 } , n } ^ { * 2 } \right) \right) } \\ & { = \left( \prod _ { j _ { 1 } = i _ { 1 } } ^ { i _ { 2 } - 1 } \widehat f _ { j _ { 1 } , n } \right) \left( \prod _ { j _ { 2 } = i _ { 2 } } ^ { I + n - 1 } \left( \widehat f _ { j _ { 2 } , n } ^ { 2 } + \frac { \widehat \sigma _ { j _ { 2 } , n } ^ { 2 } } { \sum _ { k = - n } ^ { I - { j _ { 2 } } - 1 } C _ { k , j _ { 2 } } } \right) \right) } \\ & { - 2 \left( \prod _ { j _ { 1 } = i _ { 1 } } ^ { i _ { 2 } - 1 } \widehat f _ { j _ { 1 } , n } \right) \left( \prod _ { j _ { 2 } = i _ { 2 } } ^ { K } \left( \widehat f _ { j _ { 2 } , n } ^ { 2 } + \frac { \widehat \sigma _ { j _ { 2 } , n } ^ { 2 } } { \sum _ { k = - n } ^ { I - { j _ { 2 } } - 1 } C _ { k , j _ { 2 } } } \right) \right) \left( \prod _ { j _ { 3 } = K + 1 } ^ { I + n - 1 } \widehat f _ { j _ { 3 } , n } \right) } \\ & { \quad + \left( \prod _ { j _ { 1 } = i _ { 1 } } ^ { i _ { 2 } - 1 } \widehat f _ { j _ { 1 } , n } \right) \left( \prod _ { j _ { 2 } = i _ { 2 } } ^ { K } \left( \widehat f _ { j _ { 2 } , n } ^ { 2 } + \frac { \widehat \sigma _ { j _ { 2 } , n } ^ { 2 } } { \sum _ { k = - n } ^ { I - { j _ { 2 } } - 1 } C _ { k , j _ { 2 } } } \right) \right) , } \end{array}
\left[ \begin{array} { l l l l l } { I } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - ( I + h A ) } & { I } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - ( I + h A ) } & { I } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - I } & { I } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - I } & { I } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { x ( 0 ) } \\ { x ( h ) } \\ { x ( 2 h ) } \\ { x ( 3 h ) } \\ { x ( 4 h ) } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { x _ { \mathrm { i n i t } } } \\ { b h } \\ { b h } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right]
\mathcal { L } = \frac { 1 } { 2 n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( \| \kappa _ { \theta } ( u _ { i } ^ { o b s } ) - \kappa _ { i } ^ { e x a c t } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } + \alpha \| u ( \kappa _ { \theta } ( u _ { i } ^ { o b s } ) ) - u _ { i } ^ { o b s } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } \right)
\frac { \lVert g \rVert _ { \varrho , 0 } } { c } \stackrel { ! } { < } \frac { 1 } { 2 } \frac { \varrho } { c d } \Bigl ( \frac { \varrho } { c d } \Bigr ) ^ { \frac { 1 } { \alpha } } - \Bigl ( \frac { 1 } { 2 } \Bigl ( \frac { \varrho } { c d } \Bigr ) ^ { \frac { 1 } { \alpha } } \Bigr ) ^ { \alpha + 1 } = \frac { 1 } { 2 } \Bigl ( \frac { \varrho } { c d } \Bigr ) ^ { 1 + \frac { 1 } { \alpha } } \bigl ( 1 - 2 ^ { - \alpha } \bigr ) ,
\rho ( \mathbf { y } \mid \mathbf { X } , { \boldsymbol { \beta } } , \sigma ^ { 2 } ) \propto ( \sigma ^ { 2 } ) ^ { - n / 2 } \exp \left( - { \frac { 1 } { 2 \sigma ^ { 2 } } } ( \mathbf { y } - \mathbf { X } { \boldsymbol { \beta } } ) ^ { \mathrm { { T } } } ( \mathbf { y } - \mathbf { X } { \boldsymbol { \beta } } ) \right) .
n _ { \pm } = \sqrt { \mu \epsilon - \left( \frac { \mu } { { 4 \omega } } | \mathbf { a } | | \mathbf { c } | \cos \varphi \right) ^ { 2 } } \pm \mathrm { i } \frac { \mu } { { 4 \omega } } | \mathbf { a } | | \mathbf { c } | \cos \varphi \, .
\begin{array} { r } { - \frac { \sqrt { 2 } - 1 } { 2 } \leq 3 P _ { 1 _ { 1 } 0 _ { 2 } } ( \theta ) - P _ { 1 _ { 1 } 0 _ { 2 } } ( 3 \theta ) \leq \frac { \sqrt { 2 } + 1 } { 2 } . } \end{array}
N \simeq \left( \frac { M _ { s } } { M _ { P } } \right) ^ { 2 } \frac { ( M _ { s } ^ { 3 } \, A _ { T } ) ^ { 3 / 2 } } { ( 2 \pi ) ^ { 7 / 2 } g _ { s } ^ { 3 / 2 } \, V _ { 6 } ^ { 1 / 6 } \, F } \frac { \Psi _ { * } } { M _ { s } } \, .
\lambda ( t ) = \operatorname* { l i m } _ { d t \rightarrow 0 } { \frac { \operatorname* { P r } ( t \leq T < t + d t ) } { d t \cdot S ( t ) } } = { \frac { f ( t ) } { S ( t ) } } = - { \frac { S ^ { \prime } ( t ) } { S ( t ) } } .
\begin{array} { r l } { P ( A ) } & { = \frac { e ^ { - H ( A ) } } { Z ( A ) } = } \\ & { = \prod _ { i , j < i } \frac { \left( x _ { i } ^ { \rightarrow } x _ { j } ^ { \leftarrow } \right) ^ { a _ { i j } ^ { \rightarrow } } \left( x _ { i } ^ { \leftarrow } x _ { j } ^ { \rightarrow } \right) ^ { a _ { i j } ^ { \leftarrow } } \left( x _ { i } ^ { \leftrightarrow } x _ { j } ^ { \leftrightarrow } \right) ^ { a _ { i j } ^ { \leftrightarrow } } } { 1 + x _ { i } ^ { \rightarrow } x _ { j } ^ { \leftarrow } + x _ { i } ^ { \leftarrow } x _ { j } ^ { \rightarrow } + x _ { i } ^ { \leftrightarrow } x _ { j } ^ { \leftrightarrow } } } \end{array}
\delta _ { t } ^ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ C ~ R ~ } } = c \delta _ { t } ^ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ H ~ F ~ } } , \: \: \: \delta _ { b } ^ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ C ~ R ~ } } = c \delta _ { b } ^ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ H ~ F ~ } } .