harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { l l l } & { \displaystyle \int _ { 0 } ^ { T } \phi { \mathcal D } _ { t } ^ { \gamma } y \; \mathrm { d } t = \int _ { 0 } ^ { T } y { \mathbb D } _ { T ^ { - } } ^ { \gamma } \phi \; \mathrm { d } t + \left[ y ( t ) I _ { T ^ { - } } ^ { 1 - \gamma } \phi ( t ) \right] _ { t = 0 } ^ { t = T } , } \\ & { \displaystyle \int _ { 0 } ^ { T } y { \mathbb D } _ { t } ^ { \gamma } \phi \; d t = \displaystyle \int _ { 0 } ^ { T } \phi ( { \mathcal D } _ { T ^ { - } } ^ { \gamma } y ) \; d t + \left[ ( I _ { 0 ^ { + } } ^ { 1 - \gamma } \phi ) ( t ) y ( t ) \right] _ { t = 0 } ^ { t = T } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } _ { H } \left[ \left\Vert \left( I - \frac { \eta _ { i } } { b } H \right) e _ { 1 } \right\Vert ^ { s } \right] = \mathbb { E } _ { X , Y } \left[ \left( \left( 1 - \frac { \eta _ { i } \sigma ^ { 2 } } { b } X \right) ^ { 2 } + \frac { \eta _ { i } ^ { 2 } \sigma ^ { 4 } } { b ^ { 2 } } X Y \right) ^ { s / 2 } \right] , } \\ & { \mathbb { E } _ { H } \left[ \log \left\Vert \left( I - \frac { \eta _ { i } } { b } H \right) e _ { 1 } \right\Vert \right] = \frac { 1 } { 2 } \mathbb { E } _ { X , Y } \left[ \log \left( \left( 1 - \frac { \eta _ { i } \sigma ^ { 2 } } { b } X \right) ^ { 2 } + \frac { \eta _ { i } ^ { 2 } \sigma ^ { 4 } } { b ^ { 2 } } X Y \right) \right] , } \end{array}
\{ 2 . 4 \times 1 0 ^ { - 7 } , 4 . 8 \times 1 0 ^ { - 7 } , 7 . 2 \times 1 0 ^ { - 7 } , 9 . 6 \times 1 0 ^ { - 7 } , 1 . 2 \times 1 0 ^ { - 6 } , 1 . 4 4 \times 1 0 ^ { - 6 } , 1 . 6 8 \times 1 0 ^ { - 6 } , 1 . 9 2 \times 1 0 ^ { - 6 } , 2 . 1 6 \times 1 0 ^ { - 6 } , 2 . 4 \times 1 0 ^ { - 6 } \}
\begin{array} { r l } { H _ { i j } = } & { R ^ { - 5 } \left[ \frac { 3 5 } { 8 } \sin ^ { 4 } \theta \left( q _ { 2 } q _ { 2 } e ^ { 4 i \phi } + \mathrm { h . c . } \right) + \frac { 1 5 } { 4 } \sqrt { 7 } \sin ^ { 3 } \theta \cos \theta \left[ \left( q _ { 2 } q _ { 1 } + q _ { 1 } q _ { 2 } \right) e ^ { - 3 i \phi } + \mathrm { h . c . } \right] \right. } \\ & { \left. + \frac { 5 } { 4 } \sin ^ { 2 } \theta ( 7 \cos ^ { 2 } \theta - 1 ) \left[ \left( \sqrt { \frac { 3 } { 2 } } q _ { 2 } q _ { 0 } + \sqrt { \frac { 3 } { 2 } } q _ { 0 } q _ { 2 } + 2 q _ { 1 } q _ { 1 } \right) e ^ { 2 i \phi } + \mathrm { h . c . } \right] \right. } \\ & { \left. + \frac { 1 5 } { 4 } \sin \theta \cos \theta ( \frac { 7 } { 3 } \cos ^ { 2 } \theta - 1 ) \left[ \left( q _ { 2 } q _ { - 1 } + q _ { - 1 } q _ { 2 } + \sqrt { 6 } q _ { 1 } q _ { 0 } + q _ { 0 } q _ { 1 } \right) e ^ { i \phi } + \mathrm { h . c . } \right] \right. } \\ & { \left. + \frac { 3 } { 8 } ( \frac { 3 5 } { 3 } \cos ^ { 4 } \theta - 1 0 \cos ^ { 2 } \theta + 1 ) \left[ \left( q _ { 2 } q _ { - 2 } + q _ { - 2 } q _ { 2 } + 4 ( q _ { 1 } q _ { - 1 } + q _ { - 1 } q _ { 1 } ) + 6 q _ { 0 } q _ { 0 } \right) \right] \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { U _ { j k } } & { = \frac { N _ { 0 } } { 2 } \left( \sqrt { 2 } \cos ( \frac { 2 \pi j k } { N } ) + \sqrt { 2 } \sin ( \frac { 2 \pi j k } { N } ) \right) } \\ & { = N _ { 0 } \sin \left( \frac { 2 \pi j k } { N } + \frac { \pi } { 4 } \right) } \\ & { = \sqrt { \frac { 2 } { N } } \sin \left( \frac { 2 \pi j k } { N } + \frac { \pi } { 4 } \right) } \end{array}
x = \frac { 2 \sqrt { \textrm { l n } 2 } } { \gamma _ { G } } \omega , x _ { 0 } = \frac { 2 \sqrt { \textrm { l n } 2 } } { \gamma _ { G } } \omega _ { 0 } , y = \frac { \gamma _ { L } \sqrt { \textrm { l n } 2 } } { \gamma _ { G } } ,
\begin{array} { l } { { \mathrm { f o r ~ f > 0 ~ a n d ~ a < 2 ~ t h e ~ z e r o - m o d e ~ i s ~ c o n c e n t r a t e d ~ a t ~ x _ { 5 } = 0 ~ ; } } } \\ { { \mathrm { f o r ~ f > 0 ~ a n d ~ a > 2 ~ t h e ~ z e r o - m o d e ~ i s ~ c o n c e n t r a t e d ~ a t ~ x _ { 5 } = \tilde { ~ } x _ { 5 } ~ n e a r ~ x _ { 5 } = 0 ~ ; } } } \\ { { \mathrm { f o r ~ f < 0 ~ a n d ~ a < 2 ~ t h e ~ z e r o - m o d e ~ i s ~ c o n c e n t r a t e d ~ a t ~ x _ { 5 } = L ~ ; } } } \\ { { \mathrm { f o r ~ f < 0 ~ a n d ~ a > 2 ~ t h e ~ z e r o - m o d e ~ i s ~ c o n c e n t r a t e d ~ a t ~ x _ { 5 } = L - \tilde { ~ } x _ { 5 } ~ n e a r ~ x _ { 5 } = L ~ . } } } \end{array}
\langle \tilde { D } _ { - } \tilde { A } _ { k } | \dot { \tilde { A } } _ { k } \rangle = i \frac { 1 } { 2 } \sum _ { p > 0 } \big [ ( a _ { k } ^ { p } ) ^ { \dagger } \dot { a } _ { k } ^ { p } - ( \dot { a } _ { k } ^ { p } ) ^ { \dagger } a _ { k } ^ { p } \big ] ,
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 2 } \frac { d } { d t } \| w \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } + \nu \| w \| _ { H ^ { 1 } } ^ { 2 } } & { = - \left< B ( w , u ) , w \right> _ { V ^ { \prime } , V } - \mu \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \| P _ { m } w \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } \chi _ { n , \tau } } \\ & { \quad - \mu \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( P _ { m } ( w ( t _ { n } ) - w ) , w ) _ { L ^ { 2 } } \chi _ { n , \tau } . } \end{array}
\delta F _ { r } ^ { \mathrm { ~ t ~ r ~ i ~ a ~ l ~ } } ( q ; \omega _ { 3 } , \omega _ { 4 } ) < \delta F _ { r } ^ { \mathrm { ~ S ~ H ~ } } ( q ; \omega _ { 3 } ^ { \mathrm { ~ S ~ H ~ } } , \omega _ { 4 } ^ { \mathrm { ~ S ~ H ~ } } )
\begin{array} { r l } { \rVert } & { \left( d _ { i } \mathcal { F } _ { \omega } ( i _ { 0 } ) \circ T ( i _ { 0 } ) - I \right) [ g ] \rVert _ { s } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } } \\ & { \le \varepsilon ^ { 2 b - 1 } \gamma ^ { - 2 } \left( \rVert Z \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { \mathtt { p } } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } \rVert g \rVert _ { s + \mu _ { \mathtt { p } } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } + ( \rVert Z \rVert _ { s + \mu _ { \mathtt { p } } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } + \varepsilon ^ { 7 } \gamma ^ { - 4 } \rVert Z \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { \mathtt { p } } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } \rVert \mathfrak { I } _ { 0 } \rVert _ { s + \mu _ { \mathtt { p } } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } ) \rVert g \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { \mathtt { p } } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { \alpha \in \Lambda ^ { L } ( m , n ) } c _ { \ell _ { r , s } ^ { n } } ( \alpha ) | z ^ { \alpha } | } & { \prec _ { C ^ { m } } 3 ^ { m } \Big ( \frac { 2 ( m - L ) } { m } \Big ) ^ { m / r } \log ( m - L ) ^ { m ( \frac 1 { s } - \frac 1 { r } ) } \sum _ { \alpha \in \Lambda ^ { L } ( m , n ) } | [ \alpha ] | ^ { 1 / r } | z ^ { \alpha } | } \\ & { \prec _ { C ^ { m } } \left( \Big ( \frac { m - L } { m } \Big ) ^ { m / r } \log ( m - L ) ^ { m ( \frac 1 { s } - \frac 1 { r } ) } \left| \Lambda ^ { L } ( m , n ) \right| ^ { 1 / r ^ { \prime } } \right) \| z \| _ { \ell _ { r } } ^ { m } } \\ & { \prec _ { C ^ { m } } \| z \| _ { \ell _ { r } } ^ { m } \Big ( \frac { m - L } { m } \Big ) ^ { m / r } \log ( m - L ) ^ { m ( \frac 1 { s } - \frac 1 { r } ) } \left( \frac { n } { L } \right) ^ { L / r ^ { \prime } } } \\ & { \prec _ { C ^ { m } } \| z \| _ { \ell _ { r } } ^ { m } \Big ( \frac { n } { m } \Big ) ^ { m / r ^ { \prime } } \log ( m - L ) ^ { m ( \frac 1 { s } - \frac 1 { r } ) } \Big ( \frac { m ^ { \frac { m - L } { r ^ { \prime } } - \frac { m } { r } } } { n ^ { \frac { m - L } { r ^ { \prime } } } } \Big ) ( m - L ) ^ { \frac { m } { r } } \, , } \end{array}
\left| { \int _ { h } ^ { \infty } { { r ^ { b - 1 } } { e ^ { - \mu r } } \mathrm d r } } \right| \le \int _ { h } ^ { \infty } { { r ^ { b - 1 } } { e ^ { - \mathfrak { R } \mu r } } \mathrm d r } \le \int _ { h } ^ { \infty } { { e ^ { - { \frac { \mathfrak { R } \mu r } { 2 } } } } \mathrm d r } = { \frac { 2 { e ^ { - { \frac { \mathfrak { R } \mu h } { 2 } } } } } { \mathfrak { R } \mu } } .
{ \frac { 1 } { 5 } } = 2 . 0 1 2 1 0 1 2 1 \dots _ { 3 } { \mathrm { ~ o r ~ } } { \frac { 1 } { 1 5 } } = 2 0 . 1 2 1 0 1 2 1 \dots _ { 3 } .
q ( x , t ) = \frac { h ^ { 3 } } { 3 } \left( 2 - 2 h _ { x } \cot \theta + \frac { h _ { x x x } } { \mathrm { ~ \textit ~ { ~ C ~ a ~ } ~ } } \right) + \mathrm { ~ \textit ~ { ~ R ~ e ~ } ~ } \left( \frac { 8 h ^ { 6 } h _ { x } } { 1 5 } - \frac { 2 h ^ { 4 } f } { 3 } \right) ,
\begin{array} { r } { \tilde { \mathbf { p } } ( t ) = e ^ { - \gamma ^ { B O } \delta t / 2 } \tilde { \mathbf { p } } ( t - \delta t / 2 ) } \\ { + \int \displaylimits _ { t - \delta t / 2 } ^ { t } d t ^ { \prime } e ^ { \gamma ^ { B O } ( t ^ { \prime } - t ) } [ \textbf { f } ( t - \delta t / 2 ) + \boldsymbol { \eta } ( t ^ { \prime } ) ] ; } \end{array}
R _ { \mu \nu } = g _ { \mu \nu } + \frac { 1 } { \kappa ^ { 2 } } k _ { \mu } k _ { \nu } - \frac { \omega } { \kappa ^ { 2 } } ( u _ { \mu } k _ { \nu } + k _ { \mu } u _ { \nu } ) + \frac { k ^ { 2 } } { \kappa ^ { 2 } } u _ { \mu } u _ { \nu } \, ,
\begin{array} { r l } { \hat { h } ^ { \alpha _ { 1 } \hdots \alpha _ { n } } } & { { } \to \frac { 1 } { 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { n } ( q _ { j } ) _ { \nu } \hat { \mathcal { D } } ^ { \alpha _ { 1 } \hdots \alpha _ { j - 1 } \alpha _ { j + 1 } \hdots \alpha _ { n } } \left[ \hat { \mathcal { H } } \right. , \left. \hat { Q } ^ { \nu \alpha _ { j } } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial t } \left[ \begin{array} { l } { s ^ { \pm } ( z , t ) } \\ { \pi ^ { \pm } ( z , t ) } \end{array} \right] } & { = \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { - \frac { \partial } { \partial z } } \\ { - \frac { \partial } { \partial z } } & { 0 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { p ^ { \pm } ( z , t ) } \\ { v ^ { \pm } ( z , t ) } \end{array} \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { F _ { f l } } { m } } & { { } = - \frac { \sqrt 2 \xi \, \hslash \omega _ { 0 } \sqrt { \gamma _ { 1 } } B } { m \gamma _ { + } } \cdot \frac { \sqrt { \gamma _ { 1 } } \, b _ { a } + \sqrt { \gamma _ { 0 } } \, c _ { a } } { \gamma _ { + } - i \Omega } - } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { Y } _ { 1 } } & { = ( - 1 ) ^ { S + S ^ { \prime } - Q } \sqrt { 3 ( 2 k + 1 ) ( 2 K + 1 ) } \left( \begin{array} { l l l } { K } & { 1 } & { k } \\ { Q } & { m } & { - q } \end{array} \right) \left\{ \begin{array} { l l l } { K } & { 1 } & { k } \\ { S } & { S ^ { \prime } } & { S ^ { \prime \prime } } \end{array} \right\} } \\ { \mathcal { Y } _ { 2 } } & { = ( - 1 ) ^ { S + S ^ { \prime } - Q + K + k } \sqrt { 3 ( 2 k + 1 ) ( 2 K + 1 ) } \left( \begin{array} { l l l } { K } & { 1 } & { k } \\ { Q } & { m } & { - q } \end{array} \right) \left\{ \begin{array} { l l l } { 1 } & { K } & { k } \\ { S } & { S ^ { \prime } } & { S ^ { \prime \prime } } \end{array} \right\} \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { s _ { 1 } ^ { \sigma } ( t , \zeta ) } & { = - \frac { 1 } { 2 \pi } J _ { 0 } ( \kappa _ { \sigma } | \gamma ( t ) - \gamma ( \zeta ) | ) , } \\ { s _ { 2 } ^ { \sigma } ( t , \zeta ) } & { = m ^ { \sigma } ( t , \zeta ) - m _ { 1 } ^ { \sigma } ( t , \zeta ) \ln \Big ( 4 \sin ^ { 2 } \frac { t - \zeta } { 2 } \Big ) , } \\ { k _ { 1 } ^ { \sigma } ( t , \zeta ) } & { = \frac { \kappa _ { \sigma } } { 2 \pi } n ( t ) \cdot \big [ \gamma ( t ) - \gamma ( \zeta ) \big ] \frac { J _ { 1 } ( \kappa _ { \sigma } | \gamma ( t ) - \gamma ( \zeta ) | ) } { | \gamma ( t ) - \gamma ( \zeta ) | } , } \\ { k _ { 2 } ^ { \sigma } ( t , \zeta ) } & { = k ^ { \sigma } ( t , \zeta ) - k _ { 1 } ^ { \sigma } ( t , \zeta ) \ln \Big ( 4 \sin ^ { 2 } \frac { t - \zeta } { 2 } \Big ) } \end{array}
\frac { \partial F } { \partial \rho _ { n } } = \sum _ { \rho _ { m } \in \mathcal { B } _ { R } ^ { n } } \frac { \partial F } { \partial \overline { { \tilde { \rho } } } _ { m } } \frac { \partial \overline { { \tilde { \rho } } } _ { m } } { \partial \widetilde { \rho } _ { m } } \frac { \partial \tilde { \rho } _ { m } } { \partial \rho _ { n } } .
\psi ( \mathbf { r } , \theta ) \xrightarrow { \mathrm { ~ l ~ a ~ r ~ g ~ e ~ } r } \frac { 1 } { L ^ { 3 / 2 } } \left[ e ^ { i \mathbf { k } \cdot \mathbf { r } } + \frac { e ^ { i k r } } { r } f ( \mathbf { k } ^ { \prime } , \mathbf { k } ) \right] ,
\begin{array} { r } { { a } _ { \alpha \beta } = { \bf { a } } _ { \alpha } \cdot { \bf { a } } _ { \beta } , \qquad \qquad { \kappa } _ { \alpha \beta } = \frac { 1 } { 2 } ( { \bf { a } } _ { \alpha } \cdot { \bf { a } } _ { 3 , \beta } + { \bf { a } } _ { \beta } \cdot { \bf { a } } _ { 3 , \alpha } ) . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { P _ { l } ^ { * } ( S _ { l } , S _ { r } ) = \frac { \exp { \left( \frac { L } { \lambda } \right) } \left( \exp { \left( \frac { L } { \lambda } \right) } \xi S _ { l } - S _ { r } \eta _ { r } ^ { \prime } \right) } { \xi \left( \exp { \left( \frac { 2 L } { \lambda } \right) } - \eta _ { l } ^ { \prime } \eta _ { r } ^ { \prime } \right) } } \\ { P _ { r } ^ { * } ( S _ { l } , S _ { r } ) = - \frac { \exp { \left( \frac { L } { \lambda } \right) } \left( - \exp { \left( \frac { L } { \lambda } \right) } S _ { r } + \xi S _ { l } \eta _ { l } ^ { \prime } \right) } { \xi \left( \exp { \left( \frac { 2 L } { \lambda } \right) } - \eta _ { r } ^ { \prime } \eta _ { l } ^ { \prime } \right) } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \sigma \nabla p | _ { \partial M } } & { = \sum _ { i = 0 } ^ { n } ( \psi _ { i } ( \sigma \nabla p _ { i } ) ) | _ { \partial M } = \sum _ { i = 0 } ^ { n } \psi _ { i } ( \sigma \nabla p _ { i } | _ { \partial M \cap W _ { i } } ) } \\ & { = \sum _ { i = 0 } ^ { n } \psi _ { i } ( f | _ { \partial M \cap W _ { i } } ) = \sum _ { i = 0 } ^ { n } ( \psi _ { i } f ) | _ { \partial M } = f | _ { \partial M } . } \end{array}
{ \frac { x ^ { 2 } } { r ^ { 2 } - a ^ { 2 } } } + { \frac { y ^ { 2 } } { r ^ { 2 } - b ^ { 2 } } } + { \frac { z ^ { 2 } } { r ^ { 2 } - c ^ { 2 } } } \, = \, 1 \, .
- \int _ { t _ { 0 } ^ { - } } ^ { t _ { 0 } ^ { + } } \, \, d t \, \nabla \times \mathbf { E } \left( \mathbf { r } , t \right) = \int _ { t _ { 0 } ^ { - } } ^ { t _ { 0 } ^ { + } } d t \, \, \partial _ { t } \mathbf { B } \left( \mathbf { r } , t \right) = \mathbf { B } \left( \mathbf { r } , t _ { 0 } ^ { + } \right) - \mathbf { B } \left( \mathbf { r } , t _ { 0 } ^ { - } \right)
\begin{array} { r } { i \partial _ { z } \psi + \partial _ { t } ^ { 2 } \psi + 2 | \psi | ^ { 2 } \psi = i g _ { 0 } \psi / 2 - i \epsilon _ { 3 } | \psi | ^ { 2 } \psi + \epsilon _ { R } \psi \partial _ { t } | \psi | ^ { 2 } , } \end{array}
\Gamma _ { s } ( u ^ { - 1 } ) ^ { T } \mathcal { C } \gamma ^ { a } = \Gamma _ { s } ( u ^ { - 1 } ) ^ { T } \tilde { \mathcal { C } } \Gamma _ { s } ( P ^ { a } ) = \tilde { \mathcal { C } } \Gamma _ { s } ( u ) \Gamma _ { s } ( P ^ { a } ) \, .
\mathbf { F } _ { \mathrm { r a d } } = { \frac { \mu _ { 0 } q ^ { 2 } } { 6 \pi c } } \mathbf { \dot { a } } = { \frac { q ^ { 2 } } { 6 \pi \epsilon _ { 0 } c ^ { 3 } } } \mathbf { \dot { a } }
\Sigma _ { \mathrm { m i n } } ^ { ( 3 ) } = - \frac { k _ { \mathrm { B } } } { 2 } \ln \left[ 1 + \frac { \tau } { 2 \Delta t } \ln \frac { T _ { \mathrm { R } } + T _ { f } } { T _ { \mathrm { R } } + T _ { i } } \right] + \frac { k _ { \mathrm { B } } } { 2 } \left( 1 - \frac { 1 } { 1 + \frac { \tau } { 2 \Delta t } \ln \frac { T _ { \mathrm { R } } + T _ { f } } { T _ { \mathrm { R } } + T _ { i } } } \right) ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \delta W [ C , \Gamma ] = \left\langle \exp \left( \frac { \imath \sum _ { k } \Delta \vec { C } _ { k } \cdot \vec { F } _ { k } } { \sqrt { 2 \nu ( t + t _ { 0 } ) } } \right) J ( t ) \right\rangle _ { \mathbb { E } ( N ) } ; } \\ & { } & { J ( t ) = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { d \gamma } { 2 \pi } \exp \left( - \imath \frac { \gamma } { \nu } \Gamma \right) \int _ { \omega } \frac { d \lambda } { 2 \pi } R _ { N } ( \gamma , \lambda ) \frac { \sum _ { k } \Delta \vec { C } _ { k } \cdot \vec { G } _ { k } ( \lambda ) } { \nu ( t + t _ { 0 } ) ^ { \lambda } } } \end{array}
B _ { n } ^ { ( m ) } ( \theta _ { 1 } ) + K _ { n , n + 1 } ( \theta _ { 2 } ) \to K _ { n , n + 1 } ( \theta _ { 2 } ) + B _ { n + 1 } ^ { ( m ) } ( \theta _ { 1 } ) \, , \quad \theta _ { 1 } > \theta _ { 2 }
2 \int _ { - \pi / 2 + \varepsilon ^ { * } } ^ { \pi / 2 - \varepsilon ^ { * } } h _ { a , b , c ^ { * } } ( \psi ) d \psi = 2 F _ { a , b } ( c ^ { * } , \frac { - c ^ { * } } { b } ) = 2 F _ { a , b } ( - b u ^ { * } , u ^ { * } ) = 2 \pi .
\begin{array} { r } { \mathcal { H } _ { 0 } = G _ { a b c d } \pi ^ { a b } \pi ^ { c d } - \vert g \vert ^ { 1 / 2 } R [ g ] + \mathcal { C } _ { 0 , m a t t e r } } \\ { \mathcal { H } _ { a } = - 2 \nabla _ { b } \pi _ { a } ^ { b } + \mathcal { C } _ { a , m a t t e r } \, , } \end{array}
{ \cal S } _ { D ( - 1 ) } = \frac { 1 } { 2 \pi \alpha ^ { \prime } g _ { s } } \left( \int B _ { ( 2 ) } + \mathrm { i } \int C _ { ( 2 ) } \right) = - \, \frac { \mathrm { i } } { 2 \pi \alpha ^ { \prime } g _ { s } } \gamma = - \, 2 \pi \mathrm { i } \, \tau
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } ( \omega , \mathbf { r } ) } & { = \sum _ { \tau = 1 , 2 } \sum _ { l = 1 } ^ { \infty } \sum _ { m = - l } ^ { l } ( a _ { \tau l m } \mathbf { v } _ { \tau l m } ( \kappa \mathbf { r } ) } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad + f _ { \tau l m } \mathbf { u } _ { \tau l m } ( \kappa \mathbf { r } ) ) . } \end{array}
( b ^ { 2 } - 4 a c ) ^ { 1 / 2 } \approx p ^ { \prime } ( 1 - p ^ { \prime } ) + \frac { 2 ( 1 - p ^ { \prime } ) ^ { 3 } A + 2 p ^ { 3 } B } { p ^ { \prime } ( 1 - p ^ { \prime } ) }
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } } & { { } = \partial _ { t } ^ { ( 1 ) } + \epsilon \partial _ { t } ^ { ( 2 ) } + \mathcal { O } ( \epsilon ^ { 2 } ) , } \\ { f _ { i } ^ { \lambda } } & { { } = f _ { i } ^ { \lambda , ( 0 ) } + \epsilon f _ { i } ^ { \lambda , ( 1 ) } + \epsilon ^ { 2 } f _ { i } ^ { \lambda , ( 2 ) } + \mathcal { O } ( \epsilon ^ { 3 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { G _ { 1 } ^ { \mu } } & { = } & { - \; \mu _ { 0 } ( \widehat { \sf z } / \Omega _ { 0 } ) \, \mathrm { \boldmath ~ \cdot ~ } \, \nabla \, \mathrm { \boldmath ~ \times ~ } \, { \bf u } \; + \; ( \Omega _ { 0 } / B _ { 0 } ) \; \partial \overline { { S } } _ { 3 } / \partial \zeta _ { 0 } , } \\ { G _ { 1 } ^ { \zeta } } & { = } & { - \; ( \Omega _ { 0 } / B _ { 0 } ) \; \partial S _ { 3 } / \partial \mu _ { 0 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { q _ { i } } & { \to \tilde { q } _ { i } = q _ { j } + \frac { c _ { j } - c _ { i } } { 2 } , } & { q _ { j } } & { \to \tilde { q } _ { j } = q _ { i } + \frac { c _ { i } - c _ { j } } { 2 } , } \\ { q _ { i } ^ { \prime } } & { \to \tilde { q } _ { i } ^ { \prime } = q _ { j } ^ { \prime } + \frac { c _ { j } - c _ { i } } { 2 } , } & { q _ { j } ^ { \prime } } & { \to \tilde { q } _ { j } ^ { \prime } = q _ { i } ^ { \prime } + \frac { c _ { i } - c _ { j } } { 2 } , } \\ { q _ { i } } & { \to \tilde { q } _ { i } = - q _ { j } ^ { \prime } - \frac { c _ { i } + c _ { j } } { 2 } , } & { q _ { j } ^ { \prime } } & { \to \tilde { q } _ { j } ^ { \prime } = - q _ { i } - \frac { c _ { i } + c _ { j } } { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left\Vert ( u _ { n } - u ^ { * } ) - \alpha _ { n } \nabla _ { H ^ { 1 } } ^ { \mathcal { R } } E ( u _ { n } ) \right\Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } ^ { 2 } } \\ { \leq } & { ( 1 + L _ { g } ^ { 2 } \alpha _ { n } ^ { 2 } ) \delta _ { n } ^ { 2 } + \alpha _ { n } \left( \gamma ^ { * } - \frac { \lambda _ { 1 } - \lambda _ { 0 } } { 4 } \right) \frac { 1 } { \gamma ^ { * } } \int _ { \Omega } \left( | \nabla e _ { n } | ^ { 2 } + V | e _ { n } | ^ { 2 } + \beta | u ^ { * } | ^ { 2 } | e _ { n } | ^ { 2 } \right) } \\ & { \qquad \qquad - \alpha _ { n } \int _ { \Omega } \left( | \nabla e _ { n } | ^ { 2 } + V | e _ { n } | ^ { 2 } + \beta | u ^ { * } | ^ { 2 } | e _ { n } | ^ { 2 } \right) + \frac { \alpha _ { n } \beta C _ { 1 } ^ { 4 } } { 2 } \delta _ { n } ^ { 4 } } \\ { \leq } & { ( 1 + L _ { g } ^ { 2 } \alpha _ { n } ^ { 2 } ) \delta _ { n } ^ { 2 } - \alpha _ { n } \frac { \lambda _ { 1 } - \lambda _ { 0 } } { 4 \gamma ^ { * } } \int _ { \Omega } \left( | \nabla e _ { n } | ^ { 2 } + V | e _ { n } | ^ { 2 } + \beta | u ^ { * } | ^ { 2 } | e _ { n } | ^ { 2 } \right) + \frac { \alpha _ { n } \beta C _ { 1 } ^ { 4 } } { 2 } \delta _ { n } ^ { 4 } } \\ { \leq } & { \left( 1 + L _ { g } ^ { 2 } \alpha _ { n } ^ { 2 } - \alpha _ { n } \frac { \lambda _ { 1 } - \lambda _ { 0 } } { 4 \lambda _ { 0 } } \right) \delta _ { n } ^ { 2 } + \frac { \alpha _ { n } \beta C _ { 1 } ^ { 4 } } { 2 } \delta _ { n } ^ { 4 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( ( \lambda + \mu ) \cdot _ { 1 } g ) _ { i + j } } & { = ( ( \lambda \cdot _ { 1 } g ) ( \mu \cdot _ { 1 } g ) ( \lambda \mu \cdot _ { 2 } ( g ( - g ) ) ) _ { i + j } , } \\ & { \mathrm { a n d } } \\ { ( ( \lambda \cdot _ { 1 } g ) ( \mu \cdot _ { 1 } h ) ) _ { i + j } } & { = ( ( \mu \cdot _ { 1 } h ) ( \lambda \cdot _ { 1 } g ) ( \lambda \mu \cdot _ { 1 } [ g , h ] ) ) _ { i + j } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } ( Z _ { n } ) } & { \leq c + \frac { n } { c } \sqrt { \frac { 2 } { \pi } } \int _ { c } ^ { \infty } x \exp \left( - \frac { x ^ { 2 } } { 2 } \right) \, d x } \\ & { = c + \frac { n } { c } \sqrt { \frac { 2 } { \pi } } e ^ { - c ^ { 2 } / 2 } } \\ & { = \sqrt { 2 \log n } + \sqrt { \frac { 2 } { \pi } } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \log n } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { v _ { 3 } + v _ { 4 } ^ { \mathrm { h } 1 } \leq v _ { 5 } ^ { \mathrm { h } 0 } + 2 v _ { 6 } ^ { \mathrm { h } 0 } + v _ { 6 } ^ { \mathrm { h } 1 } + 2 v _ { 7 } ^ { \mathrm { h } 0 } + 2 v _ { 7 } ^ { \mathrm { h } 1 } + v _ { 7 } ^ { \mathrm { h } 2 } + 2 v _ { 8 } + 3 v _ { 9 } ^ { \mathrm { h } 0 } + } \\ { 2 v _ { 9 } ^ { \mathrm { h } 1 } + 2 v _ { 9 } ^ { \mathrm { h } 2 } + v _ { 9 } ^ { \mathrm { h } 3 } + \sum _ { i = 1 0 } ^ { n - 1 } \lfloor i / 3 \rfloor v _ { i } . } \end{array}
T r D _ { \mu \nu } ( x - x ^ { \prime } ) = { \int } d ^ { 4 } x \left[ 3 { \int } \frac { d ^ { 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \frac { 1 } { p ^ { 2 } + e ^ { 2 } < \rho > ^ { 2 } } + \frac { \delta ^ { 4 } ( 0 ) } { e ^ { 2 } < \rho > ^ { 2 } } \right] .
\delta \, t \partial _ { t } \eta + \Bigl \{ \phi \, , \frac { \eta } { 1 + \epsilon R } \Bigr \} - \frac { \epsilon \bar { r } } { \Gamma } \Bigl ( \dot { \bar { r } } \, \partial _ { R } \eta + \dot { \bar { z } } \, \partial _ { Z } \eta \Bigr ) \, = \, \delta \Bigl [ \mathcal { L } \eta + \partial _ { R } \Bigl ( \frac { \epsilon \eta } { 1 + \epsilon R } \Bigr ) \Bigr ] \, .
{ \frac { d w } { d x } } = - { \frac { ( 1 - \rho ) [ \alpha + ( 1 - \alpha ) k ^ { - \rho } ] - \alpha ( 1 - \rho ) } { ( 1 - \rho - \tau ) [ \alpha + ( 1 - \alpha ) k ^ { - \rho } ] - \alpha ( 1 - \rho ) } }
\begin{array} { r l } { \| \omega _ { N } ^ { \prime } \mathcal { W } \| _ { L ^ { 2 } ( y ^ { \alpha } , \mathbb { R } ^ { d } \times \mathbb { R } ^ { + } ) } } & { \leq ( \ell - \varepsilon ) \| y ^ { \ell - 1 - \varepsilon } \tilde { \chi } _ { N } \mathcal { W } \| _ { L ^ { 2 } ( y ^ { \alpha } , \mathbb { R } ^ { d } \times \mathbb { R } ^ { + } ) } + \| y ^ { \ell - \varepsilon } \tilde { \chi } _ { N } ^ { \prime } \mathcal { W } \| _ { L ^ { 2 } ( y ^ { \alpha } , \mathbb { R } ^ { d } \times \mathbb { R } ^ { + } ) } } \\ & { \lesssim \ell \| y ^ { \ell - 1 - \varepsilon } \mathcal { W } \| _ { L ^ { 2 } ( y ^ { \alpha } , \mathbb { R } ^ { d } \times \mathbb { R } ^ { + } ) } + \frac { 1 } { N ^ { 2 } } \int _ { N } ^ { 2 N } { \underbrace { y ^ { 2 } } _ { \lesssim 4 N ^ { 2 } } y ^ { \alpha + 2 \ell - 2 - 2 \varepsilon } \| \mathcal { W } ( y ) \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } ^ { 2 } \, d y } } \\ & { \lesssim \ell \| y ^ { \ell - 1 - \varepsilon } \mathcal { W } \| _ { L ^ { 2 } ( y ^ { \alpha } , \mathbb { R } ^ { d } \times \mathbb { R } ^ { + } ) } + \int _ { 0 } ^ { \infty } { y ^ { \alpha + 2 \ell - 2 - 2 \varepsilon } \| \mathcal { W } ( y ) \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } ^ { 2 } \, d y } , } \end{array}
f ( \eta ) = \eta \cdot e ^ { - \frac { \eta ^ { 2 } } { 4 D } } \left( c _ { 1 } M \left[ 1 - \alpha , \frac { 3 } { 2 } , \frac { \eta ^ { 2 } } { 4 D } \right] + c _ { 2 } U \left[ 1 - \alpha , \frac { 3 } { 2 } , \frac { \eta ^ { 2 } } { 4 D } \right] \right) ,