harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mu _ { p q } ^ { ( r ) } = } & { - \int \mathrm { d } { \widetilde { \mathbf { \Gamma } } } \medspace c ^ { p } w ^ { q } ( \mathbf { c } \cdot \mathbf { w } ) ^ { r } \mathcal { I } _ { { \widetilde { \mathbf { \Gamma } } } } [ \phi , \phi ] } \\ { = } & { - \frac { 1 } { 2 } \int \mathrm { d } { \widetilde { \mathbf { \Gamma } } } _ { 1 } \int \mathrm { d } { \widetilde { \mathbf { \Gamma } } } _ { 2 } \int _ { + } \mathrm { d } \widehat { \boldsymbol { \sigma } } \medspace ( \mathbf { c } _ { 1 2 } \cdot \widehat { \boldsymbol { \sigma } } ) \phi ( { \widetilde { \mathbf { \Gamma } } } _ { 1 } ) \phi ( { \widetilde { \mathbf { \Gamma } } } _ { 2 } ) } \\ & { \times ( \mathcal { B } _ { 1 2 , \widehat { \boldsymbol { \sigma } } } - 1 ) \left[ c _ { 1 } ^ { p } w _ { 1 } ^ { q } ( \mathbf { c } _ { 1 } \cdot \mathbf { w } _ { 1 } ) ^ { r } + c _ { 2 } ^ { p } w _ { 2 } ^ { q } ( \mathbf { c } _ { 2 } \cdot \mathbf { w } _ { 2 } ) ^ { r } \right] } \end{array}
\delta = \frac { t _ { \mathrm { ~ f ~ a ~ l ~ l ~ } } - t _ { c } } { t _ { c } } \approx \frac { q ^ { 2 } } { 2 } = \frac { \hbar ^ { 2 } } { 1 6 g x m ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } \ .
{ \begin{array} { r l } { c _ { 1 } ^ { \dagger } | 1 _ { 1 } , 1 _ { 2 } \rangle = } & { { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } ( c _ { 1 } ^ { \dagger } \psi _ { 1 } \psi _ { 2 } - c _ { 1 } ^ { \dagger } \psi _ { 2 } \psi _ { 1 } ) } \\ { = } & { { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \left( { \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } } \psi _ { 1 } \otimes _ { - } \psi _ { 1 } \psi _ { 2 } - { \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } } \psi _ { 1 } \otimes _ { - } \psi _ { 2 } \psi _ { 1 } \right) } \\ { = } & { { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \left( { \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } } ( \psi _ { 1 } \psi _ { 1 } \psi _ { 2 } - \psi _ { 1 } \psi _ { 1 } \psi _ { 2 } + \psi _ { 1 } \psi _ { 2 } \psi _ { 1 } ) - { \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } } ( \psi _ { 1 } \psi _ { 2 } \psi _ { 1 } - \psi _ { 2 } \psi _ { 1 } \psi _ { 1 } + \psi _ { 2 } \psi _ { 1 } \psi _ { 1 } ) \right) } \\ { = } & { 0 . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \sin \theta _ { j i k } } { \partial \boldsymbol { r } _ { i } } } & { = s g n ( \hat { z } \cdot ( \boldsymbol { r } _ { i j } \times \boldsymbol { r } _ { i k } ) ) \frac { \hat { z } \times \boldsymbol { r } _ { j k } } { | \boldsymbol { r } _ { i j } | | \boldsymbol { r } _ { i k } | } } \\ & { \quad - \sin \theta _ { j i k } \frac { \boldsymbol { r } _ { i j } } { r _ { i j } } - \sin \theta _ { j i k } \frac { \boldsymbol { r } _ { i k } } { r _ { i k } } } \end{array}
\Gamma ^ { + } ( \partial _ { + } - \frac { 1 } { 2 } A \partial _ { - } ) \psi _ { I } + \Gamma ^ { - } \partial _ { - } \rho _ { I } + \Gamma ^ { J } \partial _ { J } ( \psi _ { I } + \rho _ { I } ) = J _ { I } - \frac { 1 } { 8 } \Gamma _ { I } \Gamma ^ { J } J _ { J } ~ ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } 2 \pi r d r \left( \Psi _ { n } ^ { m } ( r , \phi , z ) \right) ^ { * } \hat { l } _ { + } ( r , \phi , z ) \hat { l } _ { - } ( r , \phi , z ) \Psi _ { n } ^ { m } ( r , \phi , z ) } \\ & { } & { = \hbar ^ { 2 } \left( 2 \left( \frac { z } { w _ { 0 } } \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } ( k w _ { 0 } ) ^ { 2 } \right) ( 2 n + | m | + 1 ) + \hbar ^ { 2 } ( m - 1 ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { L } _ { \mathcal { P } } = \frac { 1 } { N } \sum _ { k = 1 } ^ { N } \left( \left[ \frac { \partial } { \partial x _ { i } } \left( a _ { i j } ( \boldsymbol x ^ { k } ) \frac { \partial \chi _ { \mathtt { N N } } ^ { m } ( \boldsymbol x ^ { k } ; \boldsymbol \Theta ) } { \partial x _ { j } } \right) + \frac { \partial a _ { i m } ( \boldsymbol x ^ { k } ) } { \partial x _ { i } } \right] \right) ^ { 2 } \, . } \end{array}
\delta G ^ { ( 2 , 2 , 2 , 2 ) } ( 1 \vert 2 \vert 3 \vert 4 ) = - \lambda \cdot \partial G ^ { ( 2 , 2 , 2 , 2 ) } ( 1 \vert 2 \vert 3 \vert 4 ) + 2 ( \Lambda ( 1 ) + \Lambda ( 2 ) + \Lambda ( 3 ) + \Lambda ( 4 ) ) G ^ { ( 2 , 2 , 2 , 2 ) } ( 1 \vert 2 \vert 3 \vert 4 ) \; .
\frac { \partial } { \partial \gamma } \left( \dot { \gamma } _ { \mathrm { a c c } } f _ { \mathrm { f r e e } } \right) + \frac { f _ { \mathrm { f r e e } } } { t _ { \mathrm { e s c } } } = Q _ { \mathrm { i n j } } \delta ( \gamma - \gamma _ { \mathrm { i n j } } ) ,
\begin{array} { r l r } { v _ { 0 } ( T ) } & { { } = } & { - \frac { \sqrt { \pi } } { T ^ { 1 / 2 } } , \qquad v _ { 1 } ( T ) = - \frac { \pi } { 2 T ^ { 2 } } , } \\ { v _ { 2 } ( T ) } & { { } = } & { - \frac { \pi } { T } \left[ \frac { 1 } { 2 } - \frac { \sqrt { \pi } } { 2 } ( 1 + \ln ( 2 ) ) \frac { 1 } { T ^ { 1 / 2 } } + \left( \frac { C } { 2 } + \ln ( 3 ) - \frac { 1 } { 3 } + \frac { \pi ^ { 2 } } { 2 4 } \right) \frac { 1 } { T } \right. } \\ { v _ { 3 } ( T ) } & { { } = } & { - \frac { 3 \pi ^ { 3 / 2 } } { 2 T ^ { 7 / 2 } } . } \end{array}
\sum _ { j , j ^ { \prime } \in J _ { n } } \sum _ { k , k ^ { \prime } \in J _ { m } } C _ { I _ { Z } } ( ( x _ { j } ^ { n } , x _ { k } ^ { m } ) , ( x _ { j ^ { \prime } } ^ { n } , x _ { k ^ { \prime } } ^ { m } ) ) C _ { M } ( ( I _ { j } ^ { n } \cap I _ { k } ^ { m } ) \times ( I _ { j ^ { \prime } } ^ { n } \cap I _ { k ^ { \prime } } ^ { m } ) ) .
\frac { \overline { { { C } } } _ { b q ^ { \prime \prime } } } { \overline { { { C } } } _ { b q ^ { \prime \prime } } ^ { \mathrm { ( K M ) } } } \, \sim \, \left\{ \begin{array} { l l } { { \displaystyle \left( \frac { v } { M _ { Q } } \right) ^ { 2 } \frac { X _ { b q ^ { \prime \prime } } } { V _ { t b } ^ { \ast } V _ { t q ^ { \prime \prime } } } \ , \qquad } } & { { \mathrm { f o r ~ t h e ~ s o f t ~ b r e a k i n g ~ m o d e l s } \ , } } \\ { { \displaystyle \left( \frac { v } { \kappa } \right) ^ { 2 } \frac { x _ { 3 } x _ { q ^ { \prime \prime } } ^ { \ast } } { V _ { t b } ^ { \ast } V _ { t q ^ { \prime \prime } } } \ , \qquad } } & { { \mathrm { f o r ~ t h e ~ A s p o n ~ m o d e l } \ , } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { p ( T ) } & { = } & { \exp \bigg [ c _ { 1 } + \frac { c _ { 2 } } { T } + c _ { 3 } \ln T + c _ { 4 } T ^ { c _ { 5 } } \bigg ] } \\ { \Rightarrow \frac { \mathrm { d } p ( T ) } { \mathrm { d } T } } & { = } & { p ( T ) \bigg ( \frac { - c _ { 2 } } { T ^ { 2 } } + \frac { c _ { 3 } } { T } + c _ { 4 } c _ { 5 } T ^ { c _ { 5 } - 1 } \bigg ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \left\{ \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq j \leq \tilde { T } } \left| \frac { { 1 } } { \tilde { T } h } \sum _ { k = 1 } ^ { \tilde { T } } \gamma _ { h } ( x _ { j } , x _ { k } ) \left| \zeta _ { k } \right| \right| ^ { 2 } \right\} = \mathbb { E } \left\{ \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq j \leq \tilde { T } } \left| \frac { { 1 } } { \tilde { T } h } \sum _ { k = 1 } ^ { \tilde { T } } \gamma _ { h } ( x _ { j } , x _ { k } ) \left| \zeta _ { k } ^ { \prime } \right| \right| ^ { 2 } \right\} } \\ { \leq } & { 2 \mathbb { E } \left\{ \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq j \leq \tilde { T } } \left| \frac { { 1 } } { \tilde { T } h } \sum _ { k = 1 } ^ { \tilde { T } } \gamma _ { h } ( x _ { j } , x _ { k } ) \left| \eta _ { k } \right| \right| ^ { 2 } \right\} + 2 \mathbb { E } \left\{ \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq j \leq \tilde { T } } \left| \frac { { 1 } } { \tilde { T } h } \sum _ { k = 1 } ^ { \tilde { T } } \gamma _ { h } ( x _ { j } , x _ { k } ) \left| \theta _ { k } \right| \right| ^ { 2 } \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r } { { q _ { 1 } } = \left[ \begin{array} { l } { \left( { { D _ { 2 1 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } } } - { D _ { 2 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } } } + { D _ { 2 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } } } - { D _ { 2 1 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } } } + { D _ { 2 1 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } } } } \right) } \\ { + \left( { { D _ { 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 2 1 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } } } - { D _ { 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 2 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } } } + { D _ { 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 2 2 ^ { \prime } } } - { D _ { 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 2 1 2 ^ { \prime } } } + { D _ { 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 2 1 } } } \right) } \\ { - \left( { { D _ { 2 1 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } } } - { D _ { 2 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } } } + { D _ { 2 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } } } - { D _ { 2 1 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } } } + { D _ { 2 1 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } } } } \right) } \\ { - \left( { { D _ { 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 2 1 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } } } - { D _ { 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 2 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } } } + { D _ { 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 2 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } } } - { D _ { 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 2 1 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } } } + { D _ { 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 2 1 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } } } } \right) } \end{array} \right] { D _ { 2 1 } } , } \end{array}
{ { \mathbf { \xi } } ^ { 1 } } = \left( \begin{array} { l } { \xi _ { 1 } ^ { 1 } } \\ { \xi _ { 2 } ^ { 1 } } \\ { \xi _ { 3 } ^ { 1 } } \\ { \vdots } \\ { \xi _ { N } ^ { 1 } } \end{array} \right)
\frac { \delta } { \delta \phi _ { 1 } ( \textbf { x } ) } \mathcal { S } _ { g y } ^ { p } \circ \hat { \chi } ( \textbf { x } ) = \int \frac { \delta } { \delta \phi _ { 1 } ( \textbf { x } ) } d \Omega _ { g y } d t \mathcal { H } F _ { e } .
I _ { q } ( \mathbf { r } ) = \left[ \begin{array} { l l } { T ( \mathbf { r } , \omega ) F ( \omega ) } & { T ^ { * } ( \mathbf { r } , \omega ) F ^ { * } ( \omega ) } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { G ^ { * } ( \omega ) } \\ { G ( \omega ) } \end{array} \right] ,
\gamma = \gamma _ { \underline { { { a } } } } ^ { 1 } I ^ { \underline { { { a } } } } + \gamma _ { \underline { { { a } } } \underline { { { b } } } } ^ { 1 } I ^ { \underline { { { a } } } } I ^ { \underline { { { b } } } } + . . . , \mathrm { ~ a n d ~ } Q _ { \mu } = q _ { \mu , \underline { { { a } } } } ^ { 1 } I ^ { \underline { { { a } } } } + q _ { \mu , \underline { { { a } } } \underline { { { b } } } } ^ { 2 } I ^ { \underline { { { a } } } } I ^ { \underline { { { b } } } } + . . .
\frac { \mathrm { d } \widehat { w } } { \mathrm { d } \tilde { s } } = \frac { \beta _ { m } ^ { 3 } } { 3 ( \widehat { w } + G _ { \Sigma } ) ^ { 2 } } + \frac { \chi \beta _ { \tilde { m } } ^ { 4 } } { 4 ( \widehat { w } + G _ { \Sigma } ) ^ { 3 } } .
\begin{array} { r l } { \mathbf { p } ( \mathbf { r } ) } & { { } = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \, \int _ { V } q _ { i } \left[ \delta \left( \mathbf { r } _ { 0 } - \left( \mathbf { r } _ { i } + \mathbf { d } _ { i } \right) \right) - \delta \left( \mathbf { r } _ { 0 } - \mathbf { r } _ { i } \right) \right] \, \left( \mathbf { r } _ { 0 } - \mathbf { r } \right) \ d ^ { 3 } \mathbf { r } _ { 0 } } \end{array}
A + B = - \frac { s \left( 2 \alpha _ { - } ^ { 2 } \right) } { s \left( \alpha _ { - } ^ { 2 } \right) } \frac { \Gamma \left( 2 - 2 \alpha _ { - } ^ { 2 } \right) } { \Gamma ^ { 2 } \left( 1 - \alpha _ { - } ^ { 2 } \right) } A _ { n m } ^ { \alpha } A _ { 1 2 } ^ { \alpha }
G _ { { \cal Q } ^ { 4 } } ( x _ { p } ) = \frac { 3 ^ { 3 } \, \Gamma ( 1 1 ) } { 2 ^ { 7 } \left( \pi ^ { 3 } \Gamma ( 4 ) \right) ^ { 4 } } \: g ^ { 8 } e ^ { - \frac { 8 \pi ^ { 2 } } { g ^ { 2 } } + i \theta } \, x _ { 1 2 } ^ { 4 } x _ { 3 4 } ^ { 4 } \prod _ { p < q } \frac { \partial } { \partial x _ { p q } ^ { 2 } } B ( x _ { p q } ) \, ,
\begin{array} { r } { \int \mathrm { d } \mathbf { r } ^ { \prime } \, u ( \vert \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } \vert ) u ^ { - 1 } ( \vert \mathbf { r } ^ { \prime } - \mathbf { r } ^ { \prime \prime } \vert ) = \int \mathrm { d } \mathbf { r } ^ { \prime } \, \delta ( \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } ) \delta ( \mathbf { r } ^ { \prime } - \mathbf { r } ^ { \prime \prime } ) = \delta ( \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime \prime } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial P _ { i } } { \partial t } = } & { { } - V \frac { \partial P _ { i } } { \partial r } - \gamma _ { i } \frac { 1 } { A } \frac { \partial \left( A V \right) } { \partial r } P _ { i } + ( \gamma _ { i } - 1 ) Q _ { i } } \end{array}
- \frac { N _ { d } g _ { w } ^ { 3 } D 6 } { 1 8 0 } f _ { a b c } F _ { i j } ^ { a } F _ { j k } ^ { b } F _ { k i } ^ { c } - \frac { N _ { d } g _ { w } ^ { 2 } D 6 } { 1 5 } ( D _ { i } F _ { i j } ) ^ { a } ( D _ { k } F _ { k j } ) ^ { a } \, .
( - \partial _ { t } \bar { \mathcal { E } } _ { t } ) \bar { \mathcal { E } } _ { t } ^ { - \frac 1 \alpha } \geq c \mathcal { M } _ { 3 } ( t ) ^ { - \frac { 1 } { \alpha } } L ^ { - \frac { d \beta + p \gamma } { \alpha } } ( 1 + t ) ^ { \frac { ( \beta + \gamma ) d } { 2 \alpha } } e ^ { \frac { \beta + \gamma } { \alpha C _ { 0 } L ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { t } \mathcal { M } _ { 4 } ( s ) ^ { - 1 } \, d s } \Xi _ { t } ^ { - \frac { \beta + \gamma } { \alpha } } .
{ \frac { \partial \varphi ( x , t ) } { \partial t } } = \nabla \cdot { \bigl ( } D ( x ) \nabla \varphi ( x , t ) { \bigr ) } = \sum _ { i , j = 1 } ^ { 3 } \left( D _ { i j } ( x ) { \frac { \partial ^ { 2 } \varphi ( x , t ) } { \partial x _ { i } \partial x _ { j } } } + { \frac { \partial D _ { i j } ( x ) } { \partial x _ { i } } } { \frac { \partial \varphi ( x , t ) } { \partial x _ { i } } } \right) .
\begin{array} { r } { \! \! \! \! \left\{ \begin{array} { l } { \! d _ { l } ^ { d } \! = \! \infty , d _ { l } ^ { r } \! = \! - \infty , d _ { l } ^ { d } + d _ { l } ^ { r } \! = \! d _ { l } , \! \mathrm { i f ~ } \lambda ^ { d } \! < \! \frac { d } { \sum _ { k \in \mathcal { G } } \! ( c _ { k } + \epsilon _ { k } ) ^ { - 1 } } } \\ { \! d _ { l } ^ { d } \! = \! - \infty , d _ { l } ^ { r } \! = \! \infty , d _ { l } ^ { d } + d _ { l } ^ { r } \! = \! d _ { l } , \mathrm { i f ~ } \lambda ^ { d } \! > \! \frac { d } { \sum _ { k \in \mathcal { G } } \! ( c _ { k } + \epsilon _ { k } ) ^ { - 1 } } } \\ { \! d _ { l } ^ { d } + d _ { l } ^ { r } = d _ { l } , \quad \mathrm { ~ i f ~ } \lambda ^ { d } = \frac { d } { \sum _ { k \in \mathcal { G } } \! ( c _ { k } + \epsilon _ { k } ) ^ { - 1 } } } \end{array} \right. } \end{array}
i f ^ { B } { } _ { i A } \, \chi _ { B } + \frac { i } \kappa [ \chi _ { A } , N _ { i } ] - [ x _ { 0 } , [ \chi _ { A } , N _ { i } ] ] = f ^ { B } { } _ { 0 A } \, [ N _ { i } , \chi _ { B } ] ,
{ \begin{array} { r l } { | C _ { n } - A B | } & { = { \biggl | } \sum _ { i = 0 } ^ { n } a _ { n - i } ( B _ { i } - B ) + ( A _ { n } - A ) B { \biggr | } } \\ & { \leq \sum _ { i = 0 } ^ { N - 1 } \underbrace { | a _ { \underbrace { \scriptstyle n - i } _ { \scriptscriptstyle \geq M } } | \, | B _ { i } - B | } _ { \leq \, \varepsilon / ( 3 N ) { \mathrm { ~ b y ~ ( 3 ) } } } + \underbrace { \sum _ { i = N } ^ { n } | a _ { n - i } | \, | B _ { i } - B | } _ { \leq \, \varepsilon / 3 { \mathrm { ~ b y ~ ( 2 ) } } } + \underbrace { | A _ { n } - A | \, | B | } _ { \leq \, \varepsilon / 3 { \mathrm { ~ b y ~ ( 4 ) } } } \leq \varepsilon \, . } \end{array} }
I ( Z _ { 1 } , t _ { 1 } ; Z _ { 2 } , t _ { 2 } ) = \sum _ { l } e ^ { i \alpha _ { l } } \int d \lambda _ { l } e ^ { i S [ \lambda _ { l } ( Z _ { 1 } , t _ { 1 } ; Z _ { 2 } , t _ { 2 } ) ] / \hbar } ,
G ^ { m e a n } ( t ) = \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sigma _ { i } ^ { 2 } ( { \bf L } { \bf M } _ { t } { \bf B } ) } { \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sigma _ { i } ^ { 2 } ( { \bf L } { \bf B } ) } \mathrm { ~ . ~ }
{ \frac { \partial \Gamma _ { \mathrm { r e n } } ( m , \rho , \mu ) } { \partial m ^ { 2 } } } = { \frac { \rho ^ { 2 } } { 2 } } \ln ( m \rho ) + { \frac { \rho ^ { 2 } } { 2 } } ( \gamma + { \frac { 1 } { 2 } } - \ln 2 ) + { \cal O } ( m ^ { 2 } \rho ^ { 4 } ) .
\begin{array} { r l } { \phi _ { \mathrm { F } } - \phi _ { \mathrm { R } } } & { = \mathrm { a r g } \left( \frac { \langle i _ { 1 } | \psi \rangle \langle \psi | U ^ { \dagger } | f _ { 1 } \rangle } { \langle i _ { 1 } | U ^ { \dagger } | \psi \rangle \langle \psi | f _ { 1 } \rangle } \right) = \mathrm { A r g } \left( \langle i _ { 1 } | \psi \rangle \right) + \mathrm { A r g } \left( \langle \psi | U ^ { \dagger } | f _ { 1 } \rangle \right) - \mathrm { A r g } \left( \langle i _ { 1 } | U ^ { \dagger } | \psi \rangle \right) - \mathrm { A r g } \left( \langle \psi | f _ { 1 } \rangle \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left\| \mathcal { M } _ { 3 } ( - \partial _ { z } ^ { 2 } - ( \partial _ { v } - t \partial _ { z } ) ^ { 2 } ) ^ { \frac 1 2 } P _ { \neq } ( \Upsilon _ { 2 } \Pi _ { l , 2 } ) \right\| _ { L ^ { 2 } } } \\ & { \lesssim \left\| \mathcal { M } _ { 3 } ( - \partial _ { z } ^ { 2 } - ( \partial _ { v } - t \partial _ { z } ) ^ { 2 } ) ^ { \frac 1 2 } \mathring { \mathcal { T } } _ { 2 , N } ^ { - 1 } [ P _ { \neq } \Xi _ { 2 } ] \right\| _ { L ^ { 2 } } } \\ & { \quad + \left\| \mathcal { M } _ { 3 } ( - \partial _ { z } ^ { 2 } - ( \partial _ { v } - t \partial _ { z } ) ^ { 2 } ) ^ { \frac 1 2 } \mathring { \mathcal { T } } _ { j , N } ^ { - 1 } P _ { \neq } \big [ \mathcal { S } _ { 2 } [ \Pi _ { l , 2 } ] \big ] \right\| _ { 2 } } \\ & { \quad + \left\| \mathcal { M } _ { 3 } ( - \partial _ { z } ^ { 2 } - ( \partial _ { v } - t \partial _ { z } ) ^ { 2 } ) ^ { \frac 1 2 } \mathring { \mathcal { T } } _ { j , N } ^ { - 1 } P _ { \neq } \big [ \mathcal { S } _ { a } [ \Pi _ { l , 2 } ] \big ] \right\| _ { 2 } } \\ & { \lesssim \epsilon ^ { 2 } + \left\| \mathcal { M } _ { 3 } ( - \partial _ { z } ^ { 2 } - ( \partial _ { v } - t \partial _ { z } ) ^ { 2 } ) ^ { - \frac 1 2 } [ P _ { \neq } \Xi _ { 2 } ] \right\| _ { L ^ { 2 } } + \epsilon \left\| \mathcal { M } _ { 3 } ( - \partial _ { z } ^ { 2 } - ( \partial _ { v } - t \partial _ { z } ) ^ { 2 } ) ^ { \frac 1 2 } P _ { \neq } ( \Upsilon _ { 2 } \Pi _ { l , 2 } ) \right\| _ { L ^ { 2 } } } \\ & { \quad { + \epsilon \left\| \mathcal { M } _ { 3 } ( \partial _ { z } ^ { 2 } + ( \partial _ { v } - t \partial _ { z } ) ^ { 2 } ) P _ { \neq } ( \Upsilon _ { 1 } \Pi _ { l , 2 } ) \right\| _ { 2 } } , } \end{array}
\frac { i } { \Gamma ^ { \mu } p _ { \mu } - M } \qquad \mathrm { w h e r e } \qquad \Gamma ^ { \mu } = \left( \begin{array} { l l } { { 0 } } & { { - \gamma ^ { \mu } \gamma ^ { 0 } } } \\ { { \gamma ^ { 0 } \gamma ^ { \mu } } } & { { 0 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \frac { \partial Q ( j ; t ) } { \partial t } } & { = \left( E ^ { - 1 } - 1 \right) \left[ W ^ { + } \thinspace Q ( j ; t ) \right] + \left( E - 1 \right) \left[ W ^ { - } \thinspace Q ( j ; t ) \right] } \\ & { - Q ( j ; t ) \left( W ( 1 ) \thinspace Q ( 1 ; t ) + W ^ { + } ( N ) \thinspace Q ( N ; t ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { H } _ { T B } = \sum _ { x = - \infty } ^ { \infty } J \big ( c _ { x } ^ { \dagger } c _ { x + 1 } + c _ { x + 1 } ^ { \dagger } c _ { x } \big ) + \omega _ { o } c _ { x } ^ { \dagger } c _ { x } , } \end{array}
\frac { \mathrm { d } ^ { 2 } c ^ { 2 } } { \mathrm { d } \varphi _ { a b } ^ { 2 } } = \mp \frac { c _ { \pm } ^ { 4 } \left[ 4 \tilde { \gamma } _ { 1 1 } ( 1 - \tilde { \gamma } _ { 1 1 } ) + c _ { \pm } ^ { 2 } ( c _ { \pm } ^ { 2 } - 2 ) \right] } { \sqrt { 1 - 4 \left[ | \tilde { \gamma } _ { 1 2 } | ^ { 2 } + \left( \tilde { \gamma } _ { 1 1 } - \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } \right] } } \, .
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \pi } _ { a _ { } } } & { { } \approx a _ { } \Delta t { } \, \mathbf { f } _ { b _ { } } + \Delta t { } \! \! \int _ { 0 } ^ { c _ { } } \! \! \mathbf { w } _ { \alpha { } } \boldsymbol { \pi } _ { 0 } \, \mathrm { d } \alpha { } + \Delta t { } \! \! \int _ { c _ { } } ^ { a _ { } } \! \! \mathbf { w } _ { \alpha { } } \boldsymbol { \pi } _ { a _ { } } \, \mathrm { d } \alpha { } + \boldsymbol { \pi } _ { 0 } } \end{array}
\mathbf { U } _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ^ { L } = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { U } _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ^ { L , L i n e a r } } & { \mathrm { i f ~ } \left( \mathbf { U } _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ^ { L , L i n e a r } - \mathbf { U } _ { i } \right) \left( \mathbf { U } _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ^ { L , L i n e a r } - \mathbf { U } _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ^ { L , M P } \right) \leq 1 0 ^ { - 2 0 } , } \\ { \mathbf { U } _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ^ { L , N o n - L i n e a r } } & { \mathrm { o t h e r w i s e } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \left\| \bar { A } _ { i } - \mathbb { E } \left[ A _ { i } \left( O _ { t _ { 2 } , k _ { 2 } } ^ { ( i ) } \right) \mid \mathcal { F } _ { k _ { 1 } } ^ { t _ { 1 } } \right] \right\| } & { = \left\| \lVert \mathbb { E } \left[ A _ { i } \left( O _ { t _ { 2 } , k _ { 2 } } ^ { ( i ) } \right) \mid \mathcal { F } _ { k _ { 1 } } ^ { t _ { 1 } } \right] - \mathbb { E } _ { O _ { t _ { 2 } , k _ { 2 } } ^ { ( i ) } \sim \pi ^ { ( i ) } } \left[ A _ { i } \left( O _ { t _ { 2 } , k _ { 2 } } ^ { ( i ) } \right) \mid \mathcal { F } _ { k _ { 1 } } ^ { t _ { 1 } } \right] \right\| } \\ & { = \Bigg \lVert \sum _ { s _ { t _ { 2 } , k _ { 2 } } ^ { ( i ) } , s _ { t _ { 2 } + 1 , k _ { 2 } + 1 } ^ { ( i ) } } \left( \pi ^ { ( i ) } ( s _ { t _ { 2 } , k _ { 2 } } ^ { ( i ) } ) P ( s _ { t _ { 2 } + 1 , k _ { 2 } + 1 } ^ { ( i ) } \mid s _ { t _ { 2 } , k _ { 2 } } ^ { ( i ) } ) \right. } \\ & { \left. - P ( s _ { t _ { 2 } , k _ { 2 } } ^ { ( i ) } = \cdot \mid s _ { t _ { 1 } , k _ { 1 } } ^ { ( i ) } ) P ( s _ { t _ { 2 } + 1 , k _ { 2 } + 1 } ^ { ( i ) } \mid s _ { t _ { 2 } , k _ { 2 } } ^ { ( i ) } ) \right) A _ { i } ( O _ { t _ { 2 } , k _ { 2 } } ^ { ( i ) } ) \Bigg \rVert } \\ & { \leq \sum _ { s _ { t _ { 2 } , k _ { 2 } } ^ { ( i ) } } \left| \pi ^ { ( i ) } ( s _ { t _ { 2 } , k _ { 2 } } ^ { ( i ) } ) - P ( s _ { t _ { 2 } , k _ { 2 } } ^ { ( i ) } = \cdot \mid s _ { t _ { 1 } , k _ { 1 } } ^ { ( i ) } ) \right| \left\| A _ { i } ( O _ { t _ { 2 } , k _ { 2 } } ^ { ( i ) } ) \right\| } \\ & { \stackrel { ( b ) } \le 2 c _ { 1 } d _ { T V } \left( \mathbb { P } \left( s _ { t _ { 2 } , k _ { 2 } } ^ { ( i ) } = \cdot \mid s _ { t _ { 1 } , k _ { 1 } } ^ { ( i ) } = s \right) , \pi ^ { ( i ) } \right) } \\ & { \le 2 c _ { 1 } m _ { i } \rho _ { i } ^ { ( t _ { 2 } - t _ { 1 } ) K + k _ { 2 } - k _ { 1 } } } \end{array}
| \zeta | ^ { n } \leq \| a \| _ { p } \left( | \zeta | ^ { q ( n - 1 ) } + \cdots + | \zeta | ^ { q } + 1 \right) ^ { \frac { 1 } { q } } = \| a \| _ { p } \left( { \frac { | \zeta | ^ { q n } - 1 } { | \zeta | ^ { q } - 1 } } \right) ^ { \frac { 1 } { q } } \leq \| a \| _ { p } \left( { \frac { | \zeta | ^ { q n } } { | \zeta | ^ { q } - 1 } } \right) ^ { \frac { 1 } { q } } ,
E _ { \theta } = \frac { i E _ { A } } { 4 \pi } \frac { e ^ { - i k r } } { r } \sin \theta , \qquad E _ { r } = \frac { E _ { A } } { 2 \pi } \frac { e ^ { - i k r } } { k r ^ { 2 } } \cos \theta ,
\begin{array} { r l } { \mathbf { F } _ { i j } ^ { C } } & { = A \omega _ { c } ( r _ { i j } ) \mathbf { e } _ { i j } + B \left( \rho _ { i } + \rho _ { j } \right) \omega _ { d } ( \mathbf { r } _ { i j } ) \mathbf { e } _ { i j } , } \\ { \mathbf { F } _ { i j } ^ { D } } & { = - \gamma \omega _ { D } ( r _ { i j } ) \left( \mathbf { e } _ { i j } \cdot \mathbf { v } _ { i j } \right) \mathbf { e } _ { i j } , } \\ { \mathbf { F } _ { i j } ^ { R } } & { = \beta \omega _ { R } ( r _ { i j } ) ( d t ) ^ { - 1 / 2 } \xi _ { i j } \mathbf { e } _ { i j } . } \end{array}