harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { { \cal E } ( { \bf R } , D , P ) = \sum _ { \sigma } \mathrm { T r } \left[ H _ { 0 } ^ { \sigma } ( D ^ { \sigma } - D _ { 0 } ^ { \sigma } ) \right] } \\ & { ~ ~ ~ ~ + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { I , J } ^ { N } ( 2 q _ { I } - { n } _ { I } ) \gamma _ { I J } { n } _ { J } } \\ & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { I } \sum _ { l , l ^ { \prime } } ( 2 m _ { l } ^ { ( I ) } - s _ { l } ^ { ( I ) } ) J _ { l } ^ { ( I ) } s _ { l } ^ { ( I ) } } \\ & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ - \sum _ { \sigma } T _ { e } { \cal S } [ D ^ { \sigma } ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m a x } \ } & { b ^ { \top } \alpha + ( B _ { x } x + B _ { h } h + b _ { 0 } ) ^ { \top } \beta } \\ { \mathrm { s . t . } \ } & { \left( \begin{array} { l l } { A ^ { \top } } & { B ^ { \top } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \alpha } \\ { \beta } \end{array} \right) = c , } \\ & { \alpha , \beta \geq 0 , } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { A _ { \mathrm { D N } } ( \omega _ { a } , \omega _ { b } ) } } & { { = } } & { { \displaystyle \frac { \left[ \int _ { \omega _ { a } } ^ { \omega _ { b } } d \omega - \int _ { \omega _ { a } + \pi } ^ { \omega _ { b } + \pi } d \omega \right] \sigma ( \omega ) } { \left[ \int _ { \omega _ { a } } ^ { \omega _ { b } } d \omega + \int _ { \omega _ { a } + \pi } ^ { \omega _ { b } + \pi } d \omega \right] \sigma ( \omega ) } } } \\ { { } } & { { = } } & { { \displaystyle \frac { N ( \omega _ { b } ) - N ( \omega _ { a } ) } { D ( \omega _ { b } ) - D ( \omega _ { a } ) } , } } \end{array}
\widetilde { \partial } _ { n } ^ { A } f _ { \widetilde { e } } ( \widetilde { v } , t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { b _ { \widetilde { e } } ^ { 2 } ( 0 ) \big ( f _ { \widetilde { e } } ^ { \prime } ( 0 ) + i \big ( \frac { \langle g _ { e } , t \rangle } { l _ { e } } + A _ { \widetilde { e } } ( 0 ) \big ) f _ { \widetilde { e } } ( 0 ) \big ) , } & { \quad \widetilde { e } = ( \widetilde { v } , \widetilde { u } ) ; } \\ { - b _ { \widetilde { e } } ^ { 2 } ( l _ { e } ) \big ( f _ { \widetilde { e } } ^ { \prime } ( l _ { e } ) + i \big ( \frac { \langle g _ { e } , t \rangle } { l _ { e } } + A _ { \widetilde { e } } ( l _ { e } ) \big ) f _ { \widetilde { e } } ( l _ { e } ) \big ) , } & { \quad \widetilde { e } = ( \widetilde { u } , \widetilde { v } ) ; } \\ { 0 , \quad } & { \quad \mathrm { o t h e r w i s e } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \Phi _ { 6 } ^ { - 1 } \mathcal { B } _ { 0 , * } \Phi _ { 6 } } & { = \Phi _ { 6 } ^ { - 1 } ( \mathcal { B } _ { 0 , * } + \varepsilon ^ { 2 } \mathcal { B } _ { 0 , * } A _ { 1 , * } + \varepsilon ^ { 4 } \mathcal { A } _ { 2 , * } ) } \\ & { = \mathcal { B } _ { 0 , * } - \varepsilon ^ { 2 } A _ { 1 } \mathcal { B } _ { 0 , * } + \varepsilon ^ { 4 } \tilde { \mathcal { A } } _ { 2 , * } \mathcal { B } _ { 0 , * } + \varepsilon ^ { 2 } \mathcal { B } _ { 0 , * } A _ { 1 } + \varepsilon ^ { 4 } \tilde { \mathcal { A } } _ { 1 , * } \mathcal { B } _ { 0 , * } A _ { 1 , * } + \varepsilon ^ { 4 } \Phi _ { 6 } ^ { - 1 } \mathcal { A } _ { 2 , * } } \\ & { = \mathcal { B } _ { 0 , * } + \varepsilon ^ { 2 } [ \mathcal { B } _ { 0 , * } , A _ { 1 , * } ] + \varepsilon ^ { 4 } ( \tilde { \mathcal { A } } _ { 2 , * } \mathcal { B } _ { 0 , * } + \tilde { \mathcal { A } } _ { 1 , * } \mathcal { B } _ { 0 , * } A _ { 1 , * } + \Phi _ { 6 } ^ { - 1 } \mathcal { B } _ { 0 , * } \mathcal { A } _ { 2 , * } ) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { 2 } \dim C } & { = { \frac { \mathrm { e l e c t r i c ~ c h a r g e } } { \mathrm { e l e c t r i c ~ p o t e n t i a l ~ d i f f e r e n c e } } } } \\ & { = { \frac { { \mathsf { T } } { \mathsf { I } } } { { \mathsf { T ^ { - 3 } } } { \mathsf { L ^ { 2 } } } { \mathsf { M } } { \mathsf { I ^ { - 1 } } } } } } \\ & { = { \frac { { \mathsf { T ^ { 4 } } } { \mathsf { I ^ { 2 } } } } { { \mathsf { L ^ { 2 } } } { \mathsf { M } } } } } \\ & { = { \mathsf { T ^ { 4 } } } { \mathsf { L ^ { - 2 } } } { \mathsf { M ^ { - 1 } } } { \mathsf { I ^ { 2 } } } . } \end{array} }
I _ { M 2 } = < - \frac { 1 } { 2 } \partial _ { m } \phi \partial ^ { m } \phi - \frac { 1 } { 2 . 4 ! } G _ { m n p q } G ^ { m n p q } - \frac { m } { 3 ! } \epsilon ^ { m n p q } C _ { m n p } \partial _ { q } \phi > ,
\begin{array} { r l r } { w } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \left[ 1 - \cos \left( \alpha + \phi _ { g } \right) \right] , } \\ { \phi _ { g } } & { { } = } & { \left( n + 1 \right) \mathbf { k } \cdot \mathbf { g } T ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { G _ { X } ( s ) } & { { } = { \frac { s \, p } { 1 - s \, ( 1 - p ) } } , } \\ { G _ { Y } ( s ) } & { { } = { \frac { p } { 1 - s \, ( 1 - p ) } } , \quad | s | < ( 1 - p ) ^ { - 1 } . } \end{array}
P ( \Delta \varphi ) = \int _ { \delta _ { \mathrm { c t } } } ^ { \Delta \varphi + 2 \pi } \exp ( \frac { V ( \Delta \varphi ^ { \prime } ) - V ( \Delta \varphi ) } { T _ { \mathrm { e f f } } } ) d \Delta \varphi ^ { \prime } .
\begin{array} { r l } { \delta ^ { 2 } \phi _ { i j } \Delta x ^ { 2 } } & { { } = \frac { E I \omega ( r _ { i j } ) ( \Delta x ) ^ { 2 } } { r _ { i j } ^ { 4 } \int _ { 0 } ^ { \delta } \omega ( x ) d x } ( \delta u _ { j } + \delta u _ { j ^ { \prime } } - 2 \delta u _ { i } ) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { h _ { \parallel } ^ { \parallel , \, \alpha \beta } } & { = } & { \frac { 3 \chi u ^ { \alpha } u ^ { \beta } + \lambda _ { \perp } \Delta ^ { \alpha \beta } + \delta \lambda \, l ^ { \alpha } l ^ { \beta } } { 4 \varepsilon } , } \\ { h _ { \nu } ^ { \parallel , \, \alpha \beta } } & { = } & { ( \chi + \lambda _ { \perp } ) u ^ { ( \alpha } \delta _ { \nu } ^ { \beta ) } + \delta \lambda \, l ^ { ( \alpha } u ^ { \beta ) } l _ { \nu } , } \\ { h _ { \parallel } ^ { \mu , \, \alpha \beta } } & { = } & { \frac { ( \chi _ { \perp } + \lambda _ { \perp } ) \Delta ^ { \mu ( \alpha } u ^ { \beta ) } + ( \delta \lambda + \delta \chi ) \, l ^ { \mu } l ^ { ( \alpha } u ^ { \beta ) } } { 4 \varepsilon } , } \\ { h _ { \nu } ^ { \mu , \, \alpha \beta } } & { = } & { C _ { \nu } ^ { \mu \alpha \beta } , } \\ { h _ { b } ^ { a , \, \alpha \beta } } & { = } & { \delta _ { b } ^ { a } g ^ { \alpha \beta } , \mathrm { ~ w h e r e ~ } \delta _ { b } ^ { a } = \delta _ { \lambda } ^ { \mu } \delta _ { \sigma } ^ { \nu } \mathrm { ~ w h e n ~ } a = \mu \nu \mathrm { ~ a n d ~ } b = \lambda \sigma , } \\ { h _ { \parallel } ^ { a , \, \alpha \beta } } & { = } & { h _ { \mu } ^ { a , \, \alpha \beta } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { u _ { x } } & { { } = [ \sin ( k _ { 0 } y ) - \cos ( k _ { 0 } z ) ] } \\ { u _ { y } } & { { } = [ \sin ( k _ { 0 } z ) - \cos ( k _ { 0 } x ) ] } \\ { u _ { z } } & { { } = [ \sin ( k _ { 0 } x ) - \cos ( k _ { 0 } y ) ] } \end{array}
\begin{array} { r } { \overline { { \mathbf { W } } } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { p } ) = \mathbf { W } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { p } ) - \mathbf { W } _ { t _ { 0 } } ( \mathbf { p } ) , \quad \dot { \overline { { \mathbf { W } } } } _ { t _ { 0 } } ( \mathbf { p } ) = \dot { \mathbf { W } } _ { t _ { 0 } } ( \mathbf { p } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { k } \| h ^ { k + 1 } - u ^ { k + 1 } \| ^ { 2 } } & { \leq \left( 1 - \delta _ { 1 } \right) \| h ^ { k } - u ^ { k } \| ^ { 2 } + \frac { \delta _ { 1 } } { n ^ { 2 } } \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \| h _ { \tau } ^ { k } - u _ { \tau } ^ { k } \| ^ { 2 } } \\ & { + \frac { 1 } { m ^ { 3 } n } \left( \frac { R ^ { 2 } } { \delta _ { 1 } } + \frac { R _ { m } ^ { 2 } } { n } \right) \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \| { \tilde { y } } _ { i \tau } ^ { k } - y _ { i \tau } ^ { k } \| ^ { 2 } . } \end{array}
\mathrm { L o g } _ { V _ { \textup { \bf f } } ^ { + } } \, \colon \, H _ { \mathrm { I w } } ^ { 1 } ( { \mathbb { Q } _ { p } } ( \mu _ { p ^ { \infty } } ) , V _ { \textup { \bf f } } ^ { + } ) \stackrel { \sim } { \longrightarrow } { \bf D } ( V _ { \textup { \bf f } } ^ { + } ) { \, \widehat \otimes \, } _ { \mathbb { Z } _ { p } } \Lambda ( \Gamma _ { \textup { c y c } } )
\exists \epsilon > 0 : \forall \delta _ { \epsilon } > 0 , \, \exists x _ { \delta _ { \epsilon } } : 0 < | x _ { \delta _ { \epsilon } } - x _ { 0 } | < \delta _ { \epsilon } \implies | f ( x _ { \delta _ { \epsilon } } ) - f ( x _ { 0 } ) | > \epsilon
| - s _ { 0 2 } s _ { 0 3 } s _ { 1 3 } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } ( \delta _ { 0 2 } - \delta _ { 0 3 } + \delta _ { 1 3 } ) } + c _ { 0 2 } c _ { 1 3 } s _ { 1 2 } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \delta _ { 1 2 } } | ^ { 2 } c _ { 0 3 } ^ { 2 } s _ { 1 3 } ^ { 2 } > 0 . 2 0 5 ,
\mathbf { D } = \left[ \begin{array} { c c c c c c c c c c } { \mathrm { x } _ { 1 } ^ { 2 } } & { \mathrm { y } _ { 1 } ^ { 2 } } & { \mathrm { z } _ { 1 } ^ { 2 } } & { \mathrm { x } _ { 1 } \mathrm { y } _ { 1 } } & { \mathrm { y } _ { 1 } \mathrm { z } _ { 1 } } & { \mathrm { z } _ { 1 } \mathrm { x } _ { 1 } } & { \mathrm { x } _ { 1 } } & { \mathrm { y } _ { 1 } } & { \mathrm { z } _ { 1 } } & { 1 } \\ { \mathrm { x } _ { 2 } ^ { 2 } } & { \mathrm { y } _ { 2 } ^ { 2 } } & { \mathrm { z } _ { 1 } ^ { 2 } } & { \mathrm { x } _ { 2 } \mathrm { y } _ { 2 } } & { \mathrm { y } _ { 2 } \mathrm { z } _ { 2 } } & { \mathrm { z } _ { 2 } \mathrm { x } _ { 2 } } & { \mathrm { x } _ { 2 } } & { \mathrm { y } _ { 2 } } & { \mathrm { z } _ { 2 } } & { 1 } \\ { \mathrm { x } _ { 3 } ^ { 2 } } & { \mathrm { y } _ { 3 } ^ { 2 } } & { \mathrm { z } _ { 1 } ^ { 2 } } & { \mathrm { x } _ { 3 } \mathrm { y } _ { 3 } } & { \mathrm { y } _ { 3 } \mathrm { z } _ { 3 } } & { \mathrm { z } _ { 3 } \mathrm { x } _ { 3 } } & { \mathrm { x } _ { 3 } } & { \mathrm { y } _ { 3 } } & { \mathrm { z } _ { 3 } } & { 1 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { \mathrm { x } _ { \mathrm { N } } ^ { 2 } } & { \mathrm { y } _ { \mathrm { N } } ^ { 2 } } & { \mathrm { z } _ { 1 } ^ { 2 } } & { \mathrm { x } _ { \mathrm { N } } \mathrm { y } _ { \mathrm { N } } } & { \mathrm { y } _ { \mathrm { N } } \mathrm { z } _ { \mathrm { N } } } & { \mathrm { z } _ { \mathrm { N } } \mathrm { x } _ { \mathrm { N } } } & { \mathrm { x } _ { \mathrm { N } } } & { \mathrm { y } _ { \mathrm { N } } } & { \mathrm { z } _ { \mathrm { N } } } & { 1 } \end{array} \right]
\begin{array} { r } { \bar { Q } = \frac { \log n } { n } \left[ \begin{array} { l l l l l l } { Q _ { 0 , 0 } } & { Q _ { 0 , 1 } } & { Q _ { 0 , 2 } } & { Q _ { 0 , 3 } } & { Q _ { 0 , 4 } } & { Q _ { 0 , 5 } } \\ { Q _ { 1 , 0 } } & { Q _ { 1 , 1 } } & { Q _ { 1 , 2 } } & { Q _ { 1 , 3 } } & { Q _ { 1 , 4 } } & { Q _ { 1 , 5 } } \\ { Q _ { 2 , 0 } } & { Q _ { 2 , 1 } } & { Q _ { 2 , 2 } } & { Q _ { 2 , 3 } } & { Q _ { 2 , 4 } } & { Q _ { 2 , 5 } } \\ { Q _ { 3 , 0 } } & { Q _ { 3 , 1 } } & { Q _ { 3 , 2 } } & { Q _ { 3 , 3 } } & { Q _ { 3 , 4 } } & { Q _ { 3 , 5 } } \\ { Q _ { 4 , 0 } } & { Q _ { 4 , 1 } } & { Q _ { 4 , 2 } } & { Q _ { 4 , 3 } } & { Q _ { 4 , 4 } } & { Q _ { 4 , 5 } } \\ { Q _ { 5 , 0 } } & { Q _ { 5 , 1 } } & { Q _ { 5 , 2 } } & { Q _ { 5 , 3 } } & { Q _ { 5 , 4 } } & { Q _ { 5 , 5 } } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta L _ { i } } & { = \sqrt { \left[ r _ { 0 } + \left( i + 1 \right) \Delta r _ { 0 } \right] ^ { 2 } - \left( r _ { 0 } + i \Delta r _ { 0 } \right) ^ { 2 } \left( 1 - \mu _ { i } ^ { 2 } \right) } - \left( r _ { 0 } + i \Delta r _ { 0 } \right) \mu _ { i } , } \\ { \mu _ { i } ^ { 2 } } & { = 1 - \left( \frac { r _ { 0 } + \Delta r _ { 0 } } { r _ { 0 } + \left( i + 1 \right) \Delta r _ { 0 } } \right) ^ { 2 } \left( \frac { n _ { 0 } } { n _ { i } } \right) ^ { 2 } \left( 1 - \mu _ { 0 } ^ { 2 } \right) , } \\ { n _ { i } } & { = \frac { \eta _ { i } } { \eta _ { 0 } } \left( n _ { 0 } - 1 \right) + 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { e ^ { - } + p } & { { } \rightarrow } & { e ^ { - } + p + \pi ^ { 0 } } \\ { e ^ { - } + p } & { { } \rightarrow } & { e ^ { - } + n + \pi ^ { + } } \\ { e ^ { + } + p } & { { } \rightarrow } & { e ^ { + } + p + \pi ^ { 0 } } \\ { e ^ { + } + p } & { { } \rightarrow } & { e ^ { + } + n + \pi ^ { + } } \end{array}
\Xi = 2 , \cos \left( \frac { 1 } { 2 } , { \Omega } \right) ^ { 2 } \cos \left( \frac { 1 } { 2 } , { \tau } \right) ^ { 2 } - 2 , \sin \left( \frac { 1 } { 2 } , { \Omega } \right) ^ { 2 } \sin \left( \frac { 1 } { 2 } , { \tau } \right) ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { \overline { d } ^ { \star } } & { \geq \operatorname* { m a x } ( A x ^ { \star } - p , 0 ) = ( A x ^ { \star } - p ) _ { + } , } \\ { \underline { d } ^ { \star } } & { \geq \operatorname* { m a x } ( - ( A x ^ { \star } - p ) , 0 ) = - \operatorname* { m i n } ( A x ^ { \star } - p , 0 ) = ( A x ^ { \star } - p , 0 ) _ { - } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ( \{ \mathbf { y } \} ; t ) } & { = \oint _ { 0 } . . . \oint _ { 0 } ( \prod _ { j = 1 } ^ { N } e ^ { \frac { t } { z _ { j } } - t } ) \sum _ { \sigma \in \mathcal { S } _ { N } } \epsilon ( \sigma ) \prod _ { i = 1 } ^ { N } ( 1 - z _ { \sigma ( i ) } ) ^ { \sigma ( i ) - i } z _ { \sigma ( i ) } ^ { y _ { i } - x _ { \sigma ( i ) } - 1 } d z _ { 1 } . . . d z _ { N } } \\ & { = \sum _ { \sigma \in \mathcal { S } _ { N } } \epsilon ( \sigma ) \prod _ { i = 1 } ^ { N } \oint _ { 0 } e ^ { \frac { t } { z _ { \sigma ( i ) } } - t } ( 1 - z _ { \sigma ( i ) } ) ^ { \sigma ( i ) - i } z _ { \sigma ( i ) } ^ { y _ { i } - x _ { \sigma ( i ) } - 1 } d z _ { \sigma ( i ) } } \\ & { = \sum _ { \sigma \in \mathcal { S } _ { N } } \epsilon ( \sigma ) \prod _ { i = 1 } ^ { N } F _ { i - \sigma ( i ) } ( y _ { i } - x _ { \sigma ( i ) } ; t ) } \\ & { = D e t ( ( F _ { i - j } ( y _ { i } - x _ { j } ; t ) ) _ { i j } ) } \end{array}
\left( \begin{array} { l } { \dot { \alpha } _ { p } } \\ { \dot { \beta } _ { p } } \end{array} \right) = \frac { 1 } { x _ { \alpha } ^ { 2 } + y _ { \alpha } ^ { 2 } } \left( \begin{array} { l l } { x _ { \alpha } } & { y _ { \alpha } } \\ { - y _ { \alpha } } & { x _ { \alpha } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \Phi _ { x } ^ { \mathrm { ~ p ~ h ~ y ~ s ~ } } - x _ { t } } \\ { \Phi _ { y } ^ { \mathrm { ~ p ~ h ~ y ~ s ~ } } - y _ { t } } \end{array} \right) .
m _ { s } n _ { s } \frac { \partial \vec { v } _ { 1 s } } { \partial t } \times \vec { B } _ { 0 } = q _ { s } n _ { s } \left[ \vec { E } _ { 1 } \times \vec { B } _ { 0 } - \vec { v } _ { 1 \perp s } B _ { 0 } ^ { 2 } \right] - \vec { \nabla } p _ { s 0 } \times \vec { B } _ { 1 } .
\begin{array} { r l } { \omega _ { C } } & { = \omega _ { N } \frac { \big ( 1 - \cos ( \theta _ { 1 } ) \big ) \big ( 1 + \cos ( \theta _ { 1 } ) \big ) - \big ( 1 - \cos ( \theta _ { 2 } ) \big ) \big ( 1 + \cos ( \theta _ { 2 } ) \big ) } { \big ( \cos ( \theta _ { 2 } ) - \cos ( \theta _ { 1 } ) \big ) \big ( 1 + \cos ( \theta _ { 1 } ) \big ) } } \\ & { = \omega _ { N } \frac { \cos ^ { 2 } ( \theta _ { 2 } ) - \cos ^ { 2 } ( \theta _ { 1 } ) } { \big ( \cos ( \theta _ { 2 } ) - \cos ( \theta _ { 1 } ) \big ) \big ( 1 + \cos ( \theta _ { 1 } ) \big ) } } \\ & { = \omega _ { N } \frac { \cos ( \theta _ { 1 } ) + \cos ( \theta _ { 2 } ) } { 1 + \cos ( \theta _ { 1 } ) } \cdot } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d Z } { d z } } & { = - 1 - z Z , } \\ { \frac { d ^ { 2 } Z } { d z ^ { 2 } } } & { = z + ( z ^ { 2 } - 1 ) Z , } \\ { \frac { d ^ { 3 } Z } { d z ^ { 3 } } } & { = 2 - z ^ { 2 } + ( 3 z - z ^ { 2 } ) Z , } \\ { \frac { d ^ { 4 } Z } { d z ^ { 4 } } } & { = - 5 z + z ^ { 3 } + ( z ^ { 4 } - 6 z ^ { 2 } + 3 ) Z . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \frac { 1 } { \mu _ { 0 } r } ~ \Delta ^ { * } \psi } & { = J _ { 0 } } & & { \mathrm { i n } \quad \Omega ^ { V } , } \\ { \frac { 1 } { \mu _ { 0 } r } ~ \Delta ^ { * } \psi } & { = 0 } & & { \mathrm { i n } \quad \Omega \setminus \Omega ^ { V } , } \\ { \psi } & { = 0 , } & & { \mathrm { o n } \quad \partial \Omega ; } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { B _ { R A } = ( \Psi ^ { - 1 } - I + W V ^ { T } ) C _ { R A } - W C _ { A A } , } \\ { B _ { A A } = C _ { A A } - V ^ { T } C _ { R A } . } \end{array} \right. } \end{array}
\nonumber d s _ { 5 } ^ { 2 } = e ^ { - 2 | y | / \ell } \left[ - e ^ { 2 \nu } d t ^ { 2 } + e ^ { 2 \psi } ( d \phi - \omega d t ) ^ { 2 } + e ^ { 2 \mu _ { 2 } } ( d x _ { 2 } ) ^ { 2 } + e ^ { 2 \mu _ { 3 } } ( d x _ { 3 } ) ^ { 2 } \right] + d y ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l r } { q _ { n } } & { = \sum _ { m \in \mathcal { M } _ { n } } g _ { m } - d _ { n } , } & { \forall n \in \mathcal { N } } \\ { \sum _ { n = 1 } ^ { N } q _ { n } } & { = 0 } & \\ { u _ { m } g _ { m } ^ { \operatorname* { m i n } } } & { \leq g _ { m } \leq u _ { g } g _ { m } ^ { \operatorname* { m a x } } , } & { \forall m \in \mathcal { M } } \\ { - f _ { l } ^ { \operatorname* { m a x } } } & { \leq \sum _ { n = 1 } ^ { N } h _ { l n } q _ { n } \leq f _ { l } ^ { \operatorname* { m a x } } , } & { \forall l \in \mathcal { L } } \\ { u _ { m } } & { \in \{ 0 , 1 \} , } & { \forall m \in \mathcal { M } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Pi ( S _ { \mathrm { s k } } ^ { n } ) } & { \cong \dots \to 0 \to 0 \, \xrightarrow { \, \, \, \, } \mathbb { Z } \to 0 \to \dots \to 0 \to * , } \\ { \Pi ( D _ { \mathrm { s k } } ^ { n + 1 } ) } & { \cong \dots \to 0 \to \mathbb { Z } \xrightarrow { \mathrm { i d } } \mathbb { Z } \to 0 \to \dots \to 0 \to * . } \end{array}
\begin{array} { l } { { N = 4 , \quad \alpha = 4 , 2 , 1 , - 1 } } \\ { { \displaystyle T ( f ) = f \partial _ { t } + \frac { 1 } { 4 } f ^ { \prime } ( x \partial _ { x } + 2 y \partial _ { y } ) } } \\ { { \displaystyle \qquad \qquad \qquad - \frac { 1 } { 4 } ( w f ^ { \prime } + x y f ^ { \prime \prime } ) \partial _ { w } , } } \\ { { \displaystyle Y ( g ) = g \partial _ { y } - \frac { 1 } { 2 } x g ^ { \prime } \partial _ { w } , } } \\ { { \displaystyle X ( h ) = h \partial _ { x } - y h ^ { \prime } \partial _ { w } , \quad W ( k ) = k \partial _ { w } . } } \end{array}
\mathcal { F I D } ( I , G ) = | | \mu _ { I } - \mu _ { G } | | _ { 2 } ^ { 2 } + T r ( \Sigma _ { I } + \Sigma _ { G } - 2 ( \Sigma _ { I } \Sigma _ { G } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } ) ,
{ \frac { \partial L ^ { \prime } } { \partial \mathbf { r } _ { k } } } - { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } } { \frac { \partial L ^ { \prime } } { \partial { \dot { \mathbf { r } } } _ { k } } } = 0 \quad \Rightarrow \quad { \frac { \partial L } { \partial \mathbf { r } _ { k } } } - { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } } { \frac { \partial L } { \partial { \dot { \mathbf { r } } } _ { k } } } + \sum _ { i = 1 } ^ { C } \lambda _ { i } { \frac { \partial f _ { i } } { \partial \mathbf { r } _ { k } } } = 0 \, ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } } & { = \mathcal { J } ( u , \hat { u } ) - \int _ { \Omega } u _ { i } \partial _ { j } \sigma _ { i j } ^ { v } - Y u _ { i } v _ { i } + \int _ { \partial \Omega } \left( u _ { i } \sigma _ { i j } ^ { v } - v _ { i } \sigma _ { i j } ^ { u } \right) n _ { j } - v _ { i } ( \sigma _ { i j } ^ { u } n _ { j } + \sigma n _ { i } ) } \\ & { = \mathcal { J } ( u , \hat { u } ) - \int _ { \Omega } u _ { i } ( \mathcal { F } v ) _ { i } + \int _ { \partial \Omega } \left( u _ { i } \sigma _ { i j } ^ { v } - v _ { i } \sigma _ { i j } ^ { u } \right) n _ { j } } \end{array}
\begin{array} { r l } { y } & { = \lvert ( \mathbf { R } \mathbf { a } ) ^ { \dag } \mathbf { R } \mathbf { t } _ { 1 } \rvert ^ { 2 p } + \lvert ( \mathbf { R } \mathbf { a } ) ^ { \dag } \mathbf { R } \mathbf { t } _ { 2 } \rvert ^ { 2 p } } \\ & { = \lVert \mathbf { t } _ { 1 } \rVert ^ { 2 p } \lvert \mathbf { \hat { a } } ^ { \dag } \mathbf { l } _ { 1 } \rvert ^ { 2 p } + \lVert \mathbf { t } _ { 2 } \rVert ^ { 2 p } \lvert \mathbf { \hat { a } } ^ { \dag } \mathbf { l } _ { 2 } \rvert ^ { 2 p } } \\ & { = \lVert \mathbf { t } _ { 1 } \rVert ^ { 2 p } \lvert \hat { a } _ { 1 } \rvert ^ { 2 p } + \lVert \mathbf { t } _ { 2 } \rVert ^ { 2 p } \lvert \hat { a } _ { 2 } \rvert ^ { 2 p } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { h ( \widetilde { U } ^ { n + 1 } ) : = } & { \sum _ { K \in \mathcal { T } _ { h } } \int _ { K } U _ { h } ^ { 0 } d K - \sum _ { K \in \mathcal { T } _ { h } } \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { k } } \widetilde { U } _ { j } ^ { K , ( n + 1 ) } \int _ { K } \phi _ { j } ^ { K } ( \pmb { x } ) d K , } \\ { g ( \widetilde { U } ^ { n + 1 } ) : = } & { ( g _ { 1 } ^ { K _ { 1 } } ( \widetilde { U } ^ { n + 1 } ) , \cdots , g _ { N _ { p } } ^ { K _ { 1 } } ( \widetilde { U } ^ { n + 1 } ) , \cdots , g _ { 1 } ^ { K _ { N _ { e } } } ( \widetilde { U } ^ { n + 1 } ) , \cdots , g _ { N _ { p } } ^ { K _ { N _ { e } } } ( \widetilde { U } ^ { n + 1 } ) ) , } \end{array}
\Phi ( x , \lambda ) : = \frac { \sigma ( x + \lambda ) } { \sigma ( x ) \sigma ( \lambda ) } , \mathrm { ~ \ \ \ \ ~ } \ b _ { j } : = \prod _ { k \neq j } f ( x _ { j } - x _ { k } ) , \ \ \ \mathrm { ~ \ \ \ ~ } ( E _ { i j } ) _ { k l } = \delta _ { i k } \delta _ { j l } .
\begin{array} { r } { A ( f , t ) = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } { \mathbb { E } } _ { \mathfrak { m } } \left( \frac { S _ { n } ( f , T ) } { n } \right) \quad \, \, \, \mathrm { a n d } \quad \, \, \, \sigma ^ { 2 } ( f , T ) = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } { \mathbb { E } } _ { \mathfrak { m } } \left( \frac { S _ { n } ( f , T ) - n \, A ( f , T ) } { \sqrt { n } } \right) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { D _ { t t } ( { \bf k } ) = \frac { \beta } { N } \langle \sum _ { i \neq j } e ^ { i q ( { \bf r } _ { i } - { \bf r } _ { j } ) } ( { \bf e } _ { t } \cdot \nabla _ { j } ) ( { \bf e } _ { t } \cdot \nabla _ { i } ) U ( { \bf r } _ { i } , \ldots , { \bf r } _ { j } ) \rangle ~ ~ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m a x } _ { 0 \le k \le m } \mathcal { H } _ { \theta } ( G _ { ( T g ) ^ { ( k ) } } , G _ { ( T h ) ^ { ( k ) } } ) } & { \le \frac { \alpha _ { j } } { a ^ { k } - 3 \alpha _ { j } } [ \operatorname* { m a x } _ { 0 \le k \le m } \mathcal { H } _ { \theta } ( G _ { g ^ { ( k ) } } , G _ { ( T g ) ^ { ( k ) } } ) } \\ & { + \operatorname* { m a x } _ { 0 \le k \le m } \mathcal { H } _ { \theta } ( G _ { h ^ { ( k ) } } , G _ { ( T h ) ^ { ( k ) } } ) ] } \end{array}
\begin{array} { r } { p _ { n } ( \epsilon | \theta _ { 1 , n } ) \leq \left\{ \begin{array} { l l } { e ^ { - n } , } & { \mathrm { i f } ~ \hat { \kappa } _ { 1 } ( n ) \geq \mu _ { 1 } - \epsilon , } \\ { h ( \mu _ { 1 } , \epsilon , n ) , } & { \mathrm { i f } ~ \hat { \kappa } _ { 1 } ( n ) \in K ( \epsilon ) , \alpha _ { 1 , n } \leq \alpha _ { 1 } + \rho , } \\ { C _ { 1 } ( \mu _ { 1 } , \epsilon , n ) G _ { k } ( 1 / \alpha _ { 1 , n } ; n ) + 1 - G _ { k } ( 1 / \alpha _ { 1 , n } ; n ) } & { \mathrm { i f } ~ \hat { \kappa } _ { 1 } ( n ) \in K ( \epsilon ) , \alpha _ { 1 , n } \geq \alpha _ { 1 } + \rho , } \end{array} \right. } \end{array}
\hat { H } = - J \sum _ { \langle i , j \rangle } \sum _ { \sigma } \hat { c } _ { i \sigma } ^ { \dagger } \hat { c } _ { j \sigma } + U \sum _ { i } \hat { n } _ { i } ^ { \uparrow } \hat { n } _ { i } ^ { \downarrow } + \hat { H } ^ { x } ( t ) \, ,
\begin{array} { r l } { k _ { x } } & { { } = - \omega z x \epsilon \frac { \alpha ^ { 2 } } { 2 } , } \\ { k _ { y } } & { { } = - \omega z y \epsilon \frac { \alpha ^ { 2 } } { 2 } , } \\ { k _ { z } } & { { } = \omega + \epsilon \frac { \alpha ^ { 2 } } { 2 \omega } . } \end{array}