harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m a x } _ { \vec { T } \in \mathcal { P } _ { 2 , 2 } ^ { \epsilon } } d _ { \mathrm { h } } ^ { 2 } \left( \mathbf { T } p , \mathbf { T } q \right) } & { \asymp \left\{ \begin{array} { l l } { \epsilon ^ { 2 } \cdot d _ { \mathrm { T V } } ^ { 2 } ( p , q ) , } & { \mathrm { i f ~ } \epsilon \leq 1 } \\ { \operatorname* { m i n } \left( e ^ { \epsilon } \cdot d _ { \mathrm { T V } } ^ { 2 } ( p , q ) , d _ { \mathrm { h } } ^ { 2 } ( p , q ) \right) , } & { \mathrm { o t h e r w i s e . } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { s u p } \Big | e ^ { i Q ( D _ { x } , D _ { \eta } ) / 2 R } u _ { 3 } ( x _ { 0 } , \eta _ { 0 } ) - \sum _ { j = 0 } ^ { k - 1 } \frac { ( i Q ( D _ { x } , D _ { \eta } ) / 2 R ) ^ { j } } { j ! } u _ { 3 } ( x _ { 0 } , \eta _ { 0 } ) \Big | } \\ & { \leq \frac { C ( 2 R ) ^ { - k } } { k ! } \Big ( \sum _ { | \alpha | \leq s } \| Q ( D _ { x } , D _ { \eta } ) ^ { k } D ^ { \alpha } u _ { 3 } \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } \Big ) ^ { 1 / 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Dot { \theta } _ { [ 1 3 ] } = } & { - \sigma ^ { \downarrow } \left( \sin ( \theta _ { [ 1 3 ] } + \theta _ { [ 1 2 ] } ) + \sin ( \theta _ { [ 1 3 ] } + \theta _ { [ 2 3 ] } - \theta _ { [ 3 4 ] } ) \right) } \\ & { + \sigma ^ { \uparrow } \sin ( \theta _ { [ 1 2 ] } - \theta _ { [ 1 3 ] } + \theta _ { [ 2 3 ] } ) } \end{array}
\langle { A ^ { ( 1 ) } } ^ { 2 } \rangle _ { { \bf k } \omega } = { \frac { \pi } { { \omega ^ { ( 0 ) } } ^ { 2 } } } [ \delta ( \omega ^ { ( 0 ) } - \omega _ { \bf k } ) + \delta ( \omega ^ { ( 0 ) } + \omega _ { \bf k } ) ] I _ { \bf k } ,
\begin{array} { r } { \frac { \partial \Phi } { \partial t } + \frac { 1 } { 2 } \nabla \Phi \cdot \nabla \Phi + \eta = } \\ { = r \left( f _ { x } \cos { \left( \Omega t \right) } \cos { \theta } + f _ { y } \sin { \left( \Omega t \right) } \sin { \theta } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta r } & { { } = \frac { E _ { y 0 } } { B } t _ { \mathrm { a c c } } + \frac { 2 ( 1 + \langle Z \rangle ) T q } { \langle m _ { i } \rangle c _ { s } } t _ { \mathrm { a c c } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathcal { E } \left( \infty , 0 , t _ { \mathrm { p o l } } ^ { \prime } , 0 , t ^ { \prime } \right) d t ^ { \prime } } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\langle \left( \xi _ { x } - { \bar { \xi } _ { x } } | _ { a } - \beta _ { x } \right) \left( { \bar { \xi } _ { x } } | _ { a } - \alpha _ { x } \right) \right\rangle = \left\langle \left( { \bar { \xi } _ { x } } | _ { a } - { \bar { \xi } _ { x } } | _ { a } - \langle \beta _ { x } \rangle _ { \beta } \right) \left( { \bar { \xi } _ { x } } | _ { a } - \alpha _ { x } \right) \right\rangle _ { a , \alpha } \; . } \end{array}
K _ { i } ( s , z ) = \int \exp \bigg ( \displaystyle \frac { - ( z - z _ { d } ) ^ { 2 } } { d ^ { 2 } } \bigg ) \exp ( - \lambda _ { i } z ) d z = \frac { 1 } { 2 } d \sqrt { \pi } \exp \big ( d ^ { 2 } \lambda _ { i } ^ { 2 } / 4 - \lambda _ { i } z _ { d } \big ) \mathrm { E r f } \, { \bigg ( \frac { d \lambda _ { i } } { 2 } + \frac { z - z _ { d } } { d } \bigg ) }
| \phi ^ { \prime } > = u _ { 1 } ( u _ { 2 } d _ { 3 } - u _ { 3 } d _ { 2 } ) / { \sqrt 2 } ; \quad | \phi " > = ( - 2 d _ { 1 } u _ { 2 } u _ { 3 } + u _ { 1 } d _ { 2 } u _ { 3 } + u _ { 1 } u _ { 2 } d _ { 3 } ) / { \sqrt 6 }
V _ { \mathrm { i n t } } \approx \phi ( \mathbf { 0 } ) \int _ { \mathcal { V } } \rho ( \mathbf { r } ) d ^ { 3 } r - \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } F _ { i } \int _ { \mathcal { V } } \rho ( \mathbf { r } ) r _ { i } d ^ { 3 } r \equiv q \phi ( \mathbf { 0 } ) - \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \mu _ { i } F _ { i } = q \phi ( \mathbf { 0 } ) - { \boldsymbol { \mu } } \cdot \mathbf { F } ,
\begin{array} { r l } { \displaystyle \int _ { s - w } ^ { s + w } g ( x ) d x } & { { } \ge \displaystyle \int _ { s - w } ^ { s + w } e ^ { - x ^ { 2 } / \sigma ^ { 2 } } d x - \displaystyle \int _ { s - w } ^ { s + w } | e ^ { - x ^ { 2 } / \sigma ^ { 2 } } - g ( x ) | d x } \end{array}
\begin{array} { r } { q _ { z \pm } ^ { \prime } = \sqrt { \varepsilon _ { q _ { \pm } ^ { \prime } } ^ { 2 } / c ^ { 2 } - m _ { \mathrm { e } } ^ { 2 } c ^ { 2 } / \hbar ^ { 2 } - q _ { \parallel \pm } ^ { \prime \, 2 } } } \end{array}
\Sigma _ { H ^ { + } G ^ { + } } ( 0 ) - Z _ { H ^ { + } H ^ { + } } ^ { 1 / 2 } Z _ { H ^ { + } G ^ { + } } ^ { 1 / 2 } ( M _ { H ^ { + } } ^ { 2 } + \delta M _ { H ^ { + } } ^ { 2 } ) - \frac { T _ { \delta } } { v } = 0
\operatorname* { l i m } _ { h \to \infty } \hat { H } _ { \boldsymbol j } ^ { \operatorname { t a n h } } = i \operatorname { s g n } \big ( \langle \boldsymbol j , \boldsymbol k \rangle \big ) , \qquad \qquad \operatorname* { l i m } _ { h \to \infty } \hat { H } _ { \boldsymbol j } ^ { \coth } = - i \operatorname { s g n } \big ( \langle \boldsymbol j , \boldsymbol k \rangle \big ) .
\begin{array} { r l } { \mathcal { M } S = } & { \{ y \mid A y - b \in S \} } \\ { \supseteq } & { \left\{ y \mid A y - b \in B \left( c , \frac { 1 } { \beta } \right) \right\} } \\ { = } & { \left\{ y \mid \| A y - b - c \| ^ { 2 } \leq \frac { 1 } { \beta ^ { 2 } } \right\} } \\ { \supseteq } & { B \left( c _ { 0 } , \frac { 1 } { \beta } \frac { \sqrt { \lambda _ { \operatorname* { m a x } } ( A ^ { * } A ) } } { \lambda _ { \operatorname* { m i n } } ( A ^ { * } A ) } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { T _ { 2 \parallel } } & { { } = } & { T _ { 1 \parallel } \left( \frac { n _ { 2 } B _ { 1 } } { n _ { 1 } B _ { 2 } } \right) ^ { 2 } , } \\ { T _ { 2 \perp } } & { { } = } & { T _ { 1 \perp } \frac { B _ { 1 } } { B _ { 2 } } . } \end{array}
\left\vert \left\vert \left\vert e ^ { N } \right\vert \right\vert \right\vert ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \left\Vert e ^ { n } - e ^ { \ast n - 1 } \right\Vert ^ { 2 } \leq \left\vert \left\Vert e ^ { 0 } \right\Vert \right\vert ^ { 2 } + C \left( \tau _ { \operatorname* { m a x } } ( h ^ { 2 m } + h ^ { 2 \left( s + 1 \right) } ) + \frac { h ^ { 2 \left( m + 1 \right) } } { \Delta t } \right) .
\begin{array} { r l } { \nabla \cdot \textbf { u } } & { { } = 0 } \\ { \frac { \partial \textbf { u } } { \partial T } + ( \textbf { u } \cdot \nabla ) \textbf { u } } & { { } = - \frac { 1 } { \rho } \nabla p + \nu \nabla ^ { 2 } \textbf { u } , } \end{array}
H _ { l a t t } ^ { e O B C } = - J \sum _ { i = 2 } ^ { N } \left[ \psi _ { i } ^ { \dagger } \psi _ { i - 1 } + \psi _ { i - 1 } ^ { \dagger } \psi _ { i } \right] - J \left[ \psi _ { 1 } ^ { \dagger } \psi _ { 1 } + \psi _ { N } ^ { \dagger } \psi _ { N } \right] .
m _ { \widetilde \lambda _ { 1 } } \simeq 1 . 1 \, m _ { \widetilde \lambda _ { 2 } } \simeq 1 . 6 \, m _ { \widetilde \lambda _ { 3 } } \simeq 1 . 6 \, m _ { Q } \simeq 1 . 9 \, m _ { L } \simeq 2 \, m _ { U } \simeq 2 . 2 \, m _ { E } \simeq 2 . 4 \, m _ { D } \, .
\langle e ^ { - I _ { \mathrm { b n d y } } } \cdots \rangle = \langle P \exp [ - \int d t d \theta \Gamma T ( { \bf X } ) ] _ { \Gamma - \mathrm { e v e n } } \cdots \rangle = \langle P \cosh [ \int d t d \theta T ( { \bf X } ) ] \cdots \rangle ~ ,
\begin{array} { r l } { \frac { \partial u ( x , t ) } { \partial t } = } & { { } \mathcal { F } _ { N N } \left( u ( x , t ) , \frac { \partial u ( x , t ) } { \partial x } , \frac { \partial ^ { 2 } u ( x , t ) } { \partial x ^ { 2 } } , . . . , \frac { \partial ^ { d } u ( x , t ) } { \partial x ^ { d } } , x , t ; \phi \right) + y ( x , t ) \; , } \\ { \frac { \partial y ( x , t ) } { \partial t } = } & { { } \mathcal { D } _ { N N } \left( u ( x , t ) , \frac { \partial u ( x , t ) } { \partial x } , \frac { \partial ^ { 2 } u ( x , t ) } { \partial x ^ { 2 } } , . . . , \frac { \partial ^ { d } u ( x , t ) } { \partial x ^ { d } } , x , t ; \theta \right) } \\ { u ( x , t ) = } & { { } h ( x , t ) , - \tau \leq t \leq 0 \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \mathcal { B } ( u ( x , t ) ) = g ( x , t ) , x \in \partial \Omega , t \geq 0 } \\ { y ( x , 0 ) = } & { { } \int _ { - \tau } ^ { 0 } \mathcal { D } _ { N N } \left( h ( x , s ) , \frac { \partial h ( x , s ) } { \partial x } , \frac { \partial ^ { 2 } h ( x , s ) } { \partial x ^ { 2 } } , . . . , \frac { \partial ^ { d } h ( x , s ) } { \partial x ^ { d } } x , s ; \theta \right) d s \, . } \end{array}
\frac { \partial f ( \rho _ { 1 } , ~ \rho _ { 2 } ) } { \partial \rho _ { 1 } } = - \frac { g _ { 1 } ^ { 2 } } { 8 \pi ^ { 2 } } \rho _ { 1 } f ( \rho _ { 1 } , ~ \rho _ { 2 } )
\begin{array} { r } { \frac { \Delta _ { c } } { \gamma } = \frac { 3 \epsilon } { 4 } \left( q \, \left( \frac { \cos ( k r ) } { ( k r ) ^ { 3 } } + \frac { \sin ( k r ) } { ( k r ) ^ { 2 } } \right) - \frac { p \cos ( k r ) } { k r } \right) , } \\ { \frac { \Gamma _ { c } } { \gamma } = 1 - \frac { 3 \epsilon } { 2 } \left( q \, \left( \frac { \sin ( k r ) } { ( k r ) ^ { 3 } } - \frac { \cos ( k r ) } { ( k r ) ^ { 2 } } \right) - \frac { p \sin ( k r ) } { k r } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { 1 } } & { \left[ \begin{array} { l l } { \omega ^ { t } } & { \gamma ^ { t } } \\ { \chi ^ { t } } & { \zeta ^ { t } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { A } & { C } \\ { C ^ { t } } & { B } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { \omega } & { \chi } \\ { \gamma } & { \zeta } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { \omega ^ { t } A + \gamma ^ { t } C ^ { t } } & { \omega ^ { t } C + \gamma ^ { t } B } \\ { \chi ^ { t } A + \zeta ^ { t } C ^ { t } } & { \chi ^ { t } C + \zeta ^ { t } B } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { \omega } & { \chi } \\ { \gamma } & { \zeta } \end{array} \right] } \\ & { = \left[ \begin{array} { l l } { \omega ^ { t } A \omega + \gamma ^ { t } C ^ { t } \omega + \omega ^ { t } C \gamma + \gamma ^ { t } B \gamma } & { \omega ^ { t } A \chi + \gamma ^ { t } C ^ { t } \chi + \omega ^ { t } C \zeta + \gamma ^ { t } B \zeta } \\ { \chi ^ { t } A \omega + \zeta ^ { t } C ^ { t } \omega + \chi ^ { t } C \gamma + \zeta ^ { t } B \gamma } & { \chi ^ { t } A \chi + \zeta ^ { t } C ^ { t } \chi + \chi ^ { t } C \zeta + \zeta ^ { t } B \zeta } \end{array} \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } & { T _ { j _ { 2 } m _ { 2 } \lambda _ { 2 } } ^ { j _ { 1 } m _ { 1 } \lambda _ { 1 } } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ) = } \\ & { \frac { 1 } { k _ { 2 } } \delta ( k _ { 1 } - k _ { 2 } ) \Big ( T _ { u } ^ { N N } ( k _ { 2 } ) _ { j _ { 2 } m _ { 2 } } ^ { j _ { 1 } m _ { 1 } } + \lambda _ { 1 } T _ { u } ^ { M N } ( k _ { 2 } ) _ { j _ { 2 } m _ { 2 } } ^ { j _ { 1 } m _ { 1 } } + \lambda _ { 2 } T _ { u } ^ { N M } ( k _ { 2 } ) _ { j _ { 2 } m _ { 2 } } ^ { j _ { 1 } m _ { 1 } } + \lambda _ { 1 } \lambda _ { 2 } T _ { u } ^ { M M } ( k _ { 2 } ) _ { j _ { 2 } m _ { 2 } } ^ { j _ { 1 } m _ { 1 } } \Big ) } \end{array}
p _ { 1 } ( k _ { 1 } ) = \frac { 1 } { \eta _ { \kappa } ( v _ { \mathrm { ~ t ~ h ~ } } ) } \left[ 1 + \frac { 2 k _ { 1 } } { m _ { 1 } v _ { \mathrm { ~ t ~ h ~ } } ^ { 2 } ( \kappa - \frac { 3 } { 2 } ) } \right] ^ { - ( \kappa + 1 ) } ,
\hat { G } _ { w } ^ { ( P ) } ( x , 0 , \omega _ { P } ) = \frac { 1 } { 2 \pi \rho c _ { T } ^ { 4 } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { \omega _ { P } ^ { 2 } \sqrt { \kappa _ { P } ^ { 2 } - \frac { \omega _ { P } ^ { 2 } } { c _ { L } ^ { 2 } } } } { 4 \kappa _ { P } ^ { 2 } \sqrt { \left( \kappa _ { P } ^ { 2 } - \frac { \omega _ { P } ^ { 2 } } { c _ { T } ^ { 2 } } \right) \left( \kappa _ { P } ^ { 2 } - \frac { \omega _ { P } ^ { 2 } } { c _ { L } ^ { 2 } } \right) } - \left( 2 \kappa _ { P } ^ { 2 } - \frac { \omega _ { P } ^ { 2 } } { c _ { T } ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \kappa _ { P } x } \mathrm { ~ d } \kappa _ { P } .
{ \dot { y } } = { \frac { \partial y } { \partial x _ { j } } } { \dot { x } } _ { j } + { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { \partial ^ { 2 } y } { \partial x _ { k } \, \partial x _ { l } } } g _ { k m } g _ { m l } .
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } _ { 0 , y } U _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } } & { = \mathbf { E } _ { 0 , y } R _ { \tau ^ { \varepsilon } } + \mathbf { E } _ { 0 , y } A _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } } \\ & { = \mathbf { E } _ { 0 , y } R _ { \rho ^ { \varepsilon } } + \Big ( \mathbf { E } _ { 0 , y } R _ { \tau ^ { \varepsilon } } - \mathbf { E } _ { 0 , y } R _ { \rho ^ { \varepsilon } } \Big ) + \mathcal O ( \varepsilon ^ { 3 } ) , } \end{array}
g ( \vec { z } _ { 1 } ^ { \prime } , \dots , \vec { z } _ { 2 n } ^ { \prime } \, | \, \vec { z } _ { 1 } , \dots , \vec { z } _ { 2 n } ) \propto \prod _ { i = 1 } ^ { 2 n } \exp \! \left( - \frac { \lVert \vec { z } _ { i } ^ { \prime } - \vec { z } _ { i } \rVert ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } \right) \prod _ { i = 1 } ^ { n } \exp \! \left( - \frac { \lVert \vec { z } _ { 2 i } ^ { \prime } - \vec { y } _ { i } \rVert ^ { 2 } + \lVert \vec { y } _ { 2 i + 1 } ^ { \prime } - \vec { y } _ { i } \rVert ^ { 2 } } { 2 w ^ { 2 } } \right) ,
\partial _ { + } ( e ^ { - \sqrt { 2 } f _ { 1 } - 2 \rho } \Omega ^ { 5 / 3 } F _ { 1 + - } ) = \partial _ { - } ( e ^ { - \sqrt { 2 } f _ { 1 } - 2 \rho } \Omega ^ { 5 / 3 } F _ { 1 + - } ) = 0 ,
\psi _ { - } ^ { a } = \frac { 1 } { i \partial _ { - } } \left[ { \frac { 1 } { 2 } } \left( i \gamma ^ { \perp } \partial _ { \perp } + m + \sigma - i \pi \gamma _ { 5 } \right) \gamma ^ { + } \psi _ { + } ^ { a } \right] ~ ,
\begin{array} { r l } { \dot { \varepsilon } _ { c r } \left( t \right) } & { { } = \frac { 1 } { b _ { 2 } \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { \rho ^ { \xi } } \left( \frac { b _ { 1 } } { b _ { 2 } } \frac { a _ { 1 } \sin \left( \xi \pi \right) + a _ { 2 } \rho ^ { \lambda } \sin \left( \left( \xi - \lambda \right) \pi \right) + a _ { 3 } \rho ^ { \kappa } \sin \left( \left( \xi - \kappa \right) \pi \right) } { \left\vert \rho ^ { \alpha + \beta } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \left( \alpha + \beta \right) \pi } + \frac { b _ { 1 } } { b _ { 2 } } \right\vert ^ { 2 } } \right. } \end{array}
\mathcal { D } ^ { P } = \{ ( u _ { j } , y _ { j } ) , P _ { j } \} _ { j = 1 } ^ { N } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ / ~ o ~ r ~ } \quad \mathcal { D } ^ { N u } = \{ ( u _ { j } , y _ { j } ) , N u _ { j } \} _ { j = 1 } ^ { N } .
M ( \psi _ { 1 } , \psi _ { 2 } ) = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { 1 } { 8 \cos ^ { 2 } \frac { 1 } { 2 } ( \mathrm { i } t + \psi _ { 1 } ) \cos \frac { 1 } { 2 } ( \mathrm { i } t + \psi _ { 2 } ) } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \kappa _ { 0 } r _ { i } \cosh t } \mathrm { d } \, t .
\underbrace { \partial _ { t } \rho ( x , t ) } _ { \substack { \mathrm { ~ t ~ r ~ a ~ n ~ s ~ i ~ e ~ n ~ t ~ } } } + \underbrace { \partial _ { x } ( u _ { p } ( x , t ) \rho ( x , t ) ) } _ { \substack { \mathrm { ~ a ~ d ~ v ~ e ~ c ~ t ~ i ~ o ~ n ~ } } } - \underbrace { \partial _ { x } ( D ( x , t ) \partial _ { x } ( \sigma _ { p } ^ { 2 } ( x , t ) \rho ( x , t ) ) ) } _ { \substack { \mathrm { ~ d ~ i ~ f ~ f ~ u ~ s ~ i ~ o ~ n ~ } } } = 0 ,
\begin{array} { r l } { \hat { \Pi } _ { \mu j } ( \vec { r } , \omega ) } & { = \frac { m _ { 0 } } { \hbar ( 2 I _ { g } + 1 ) } \frac { 1 } { \omega + \Delta _ { \mu } - \Delta _ { j } + i \gamma / 2 } \vec { d } _ { \mu j } ^ { * } \cdot \hat { B } _ { - } ( \vec { r } , \omega ) } \\ { \hat { \Pi } _ { j \mu } ( \vec { r } , \omega ) } & { = - \frac { m _ { 0 } } { \hbar ( 2 I _ { g } + 1 ) } \frac { 1 } { \omega - \Delta _ { \mu } + \Delta _ { j } + i \gamma / 2 } \vec { d } _ { \mu j } \cdot \hat { B } _ { + } ( \vec { r } , \omega ) . } \end{array}
< g ; l + \frac { 1 } { 2 } | T _ { m _ { s } - } ^ { \frac { 1 } { 2 } } | g ; l > = D _ { m _ { s } - } ^ { \frac { 1 } { 2 } } = < \frac { 1 } { 2 } , m _ { s } | { \psi } _ { - } ^ { ( \frac { 1 } { 2 } ) } > .
\begin{array} { r l r } { \int _ { \Omega } { N _ { l m } ^ { f } } ^ { * } \cdot N _ { l ^ { \prime } m ^ { \prime } } ^ { g } d \Omega = \delta _ { l l ^ { \prime } } \delta _ { m m ^ { \prime } } \left( f _ { l } ^ { * } ( u ) g _ { l } ( u ) + \frac { 1 } { u ^ { 2 } } \frac { \partial } { \partial u } \left( u f _ { l } ^ { * } ( u ) \frac { \partial } { \partial u } \left( u g _ { l } ( u ) \right) \right) \right) , } & { } & { \int _ { \Omega } { M _ { l m } ^ { f } } ^ { * } \cdot M _ { l ^ { \prime } m ^ { \prime } } ^ { g } d \Omega = f _ { l } ^ { * } ( u ) g _ { l } ( u ) \delta _ { l l ^ { \prime } } \delta _ { m m ^ { \prime } } . } \end{array}
\hat { h } _ { \mu \nu } ^ { \mathrm { o d d } } = \left( \begin{array} { c c c c } { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { h _ { 0 } ( r ) } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { h _ { 1 } ( r ) } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { h _ { 0 } ( r ) } } & { { h _ { 1 } ( r ) } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) e ^ { - i \omega t } \sin \theta { \frac { d P _ { l } ( \theta ) } { d \theta } }
\begin{array} { r l } { \| \b { x } ( t ) - \mathbb { P } \b { x } ( t ) \| _ { \mathcal { L } _ { 2 } } ^ { 2 } } & { = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \| \b { H } ( i \omega ) \hat { \b { f } } ( \omega ) - \mathbb { P } \b { H } ( i \omega ) \hat { \b { f } } ( \omega ) \| _ { 2 } ^ { 2 } ~ \mathrm { d } \omega } \\ & { = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \| ( \b { I } - \mathbb { P } ) \b { H } ( i \omega ) \hat { \b { f } } ( \omega ) \| _ { 2 } ^ { 2 } ~ \mathrm { d } \omega } \\ & { \le \| ( \b { I } - \mathbb { P } ) \b { H } ( s ) \| _ { \mathcal { H } _ { \infty } } ^ { 2 } ~ \| \b { f } ( t ) \| _ { \mathcal { L } _ { 2 } } ^ { 2 } , } \end{array}
\mathbf { F } _ { A B } ^ { R 2 } = \left( \frac { d _ { A } + d _ { B } } { d _ { A } } \right) ^ { 1 / 2 } \left( - \frac { 2 0 \eta } { 3 } \frac { k _ { B } T } { \sigma _ { A } \sigma _ { B } r _ { A B } } \frac { \partial { W } } { \partial { r _ { A B } } } \right) ^ { 1 / 2 } d \overline { { \mathscr { W } } } _ { A B } \cdot \mathbf { e } _ { A B }
\! \! \frac { d ^ { 2 } N _ { \gamma } ( u , a , D ) } { N _ { 0 } \, d u d \psi d \varphi } = \frac { 3 } { \pi a } \! \sum _ { k = k _ { m } } ^ { \infty } \! \! \left[ \left( 1 \! + \! \frac { u u ^ { \prime } } { 2 } \right) g _ { k } \! + \! \frac { u u ^ { \prime } } { 4 D ^ { 2 } } j _ { z k } ^ { 2 } \right] \! ,
\begin{array} { c c c } { { \phi _ { 1 } = 3 D A _ { 1 } = 3 D A _ { 2 } = 3 D 0 } } & { { , } } & { { \phi _ { 2 } ( x ) = 3 D \phi _ { 2 } ( x _ { 3 } , x _ { 4 } = ) } } \\ { { A _ { 3 } ( x ) = 3 D A _ { 3 } ( x _ { 3 } , x _ { 4 } ) } } & { { ; } } & { { A _ { 4 } ( x ) = 3 D A _ { 4 } ( x _ { 3 } , x _ { 4 } ) } } \end{array}
{ { \cal G } } ( a _ { 1 } , . . . , a _ { n } ) = { G } ^ { ( 0 ) } ( a _ { 1 } , . . . , a _ { n } ) - g \sum _ { b } { { \cal G } } ( a _ { 1 } , . . . , a _ { n } , \underbrace { b , . . . , b } _ { r } )
\begin{array} { r } { F ( s ; a , b , N ) = \int _ { 0 } ^ { s } p _ { T e s _ { N } } ( s ^ { \prime } ; \mu _ { t _ { a } } , \mu _ { t _ { b } } , \sigma _ { a } , \sigma _ { b } , N ) d s ^ { \prime } } \end{array}
m _ { L R } ^ { \nu } = \left( \begin{array} { c c c } { { a ^ { \prime } } } & { { a } } & { { d } } \\ { { b ^ { \prime } } } & { { b } } & { { e } } \\ { { c ^ { \prime } } } & { { c } } & { { f } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } & { \| R _ { i n t 1 } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } = \| \hat { u } _ { t } - \hat { v } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } \leq \| \hat { u } \| _ { H ^ { 1 } ( \Omega ) } + \| \hat { v } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } } \\ & { \qquad \leq C _ { 1 , k , d + 1 , u } \lambda _ { 1 , u } ( N ) N ^ { - k + 1 } + C _ { 0 , k - 1 , d + 1 , v } \lambda _ { 0 , v } ( N ) N ^ { - k + 1 } \lesssim \mathrm { l n } N N ^ { - k + 1 } , } \\ & { \| R _ { i n t 2 } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } = \| \hat { v } _ { t } - \Delta \hat { u } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } \leq \| \hat { v } \| _ { H ^ { 1 } ( \Omega ) } + \| \hat { u } \| _ { H ^ { 2 } ( \Omega ) } } \\ & { \qquad \leq C _ { 2 , k , d + 1 , u } \lambda _ { 2 , u } ( N ) N ^ { - k + 2 } + C _ { 1 , k - 1 , d + 1 , v } \lambda _ { 1 , v } ( N ) N ^ { - k + 2 } \lesssim \mathrm { l n } ^ { 2 } N N ^ { - k + 2 } , } \\ & { \| \nabla R _ { i n t 1 } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } = \| \nabla ( \hat { u } _ { t } - \hat { v } ) \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } \leq \| \hat { u } \| _ { H ^ { 2 } ( \Omega ) } + \| \hat { v } \| _ { H ^ { 1 } ( \Omega ) } } \\ & { \qquad \leq C _ { 2 , k , d + 1 , u } \lambda _ { 2 , u } ( N ) N ^ { - k + 2 } + C _ { 1 , k - 1 , d + 1 , v } \lambda _ { 1 , v } ( N ) N ^ { - k + 2 } \lesssim \mathrm { l n } ^ { 2 } N N ^ { - k + 2 } , } \\ & { \| R _ { t b 1 } \| _ { L ^ { 2 } ( D ) } \leq C _ { h _ { \Omega } , d + 1 , \rho _ { \Omega } } \| \hat { u } \| _ { H ^ { 1 } ( \Omega ) } \lesssim \mathrm { l n } N N ^ { - k + 1 } , } \\ & { \| R _ { t b 2 } \| _ { L ^ { 2 } ( D ) } , \| R _ { s b 1 } \| _ { L ^ { 2 } ( \partial D \times [ 0 , t ] ) } \leq C _ { h _ { \Omega } , d + 1 , \rho _ { \Omega } } \| \hat { v } \| _ { H ^ { 1 } ( \Omega ) } \lesssim \mathrm { l n } N N ^ { - k + 2 } , } \\ & { \| \nabla R _ { t b 1 } \| _ { L ^ { 2 } ( D ) } , \| R _ { s b 2 } \| _ { L ^ { 2 } ( \partial D \times [ 0 , t ] ) } \leq C _ { h _ { \Omega } , d + 1 , \rho _ { \Omega } } \| \hat { u } \| _ { H ^ { 2 } ( \Omega ) } \lesssim \mathrm { l n } ^ { 2 } N N ^ { - k + 2 } . } \end{array}
P _ { \mathrm { { a v g } } } = U _ { \mathrm { r m s } } I _ { \mathrm { r m s } } \cos \phi = I _ { \mathrm { r m s } } ^ { 2 } \operatorname { R e } ( Z ) = U _ { \mathrm { r m s } } ^ { 2 } \operatorname { R e } ( Y ^ { * } )
\begin{array} { r l r } { v _ { \mathrm { w } } ( x ) } & { { } = } & { \frac { Q } { \pi R ^ { 2 } ( x ) } , } \\ { \rho _ { i } ( x ) v _ { i } ( x ) } & { { } = } & { \frac { J _ { i } } { \pi R ^ { 2 } ( x ) } . } \end{array}
\Big \langle O \big ( x , \hat { x } , f , \hat { f } , h , \hat { h } , w , \hat { \mu } \big ) \Big \rangle = \frac { \displaystyle \int D y D z D \big [ x \hat { x } f \hat { f } h \hat { h } w \hat { \mu } \big ] O e ^ { \mathcal { L } _ { * } } } { \displaystyle \int D y D z D \big [ x \hat { x } f \hat { f } h \hat { h } w \hat { \mu } \big ] e ^ { \mathcal { L } _ { * } } } \, , \qquad \mathcal { L } _ { * } = \sum _ { \tau = 0 } ^ { T - 1 } \big [ L _ { * } ( \tau ) + S _ { * } ( \tau ) \big ]
\Delta S _ { \mathrm { ~ X ~ U ~ V ~ } } = \frac { L _ { \mathrm { ~ X ~ U ~ V ~ } } } { E _ { \mathrm { ~ R ~ y ~ d ~ b ~ e ~ r ~ g ~ } } } \, \frac { R _ { \mathrm { ~ t ~ e ~ r ~ r ~ } } ^ { 2 } } { 4 \, a _ { \mathrm { ~ t ~ e ~ m ~ p ~ } } ^ { 2 } } \, t _ { \mathrm { ~ b ~ r ~ a ~ k ~ e ~ } }
\int \frac { \mathrm { d } ^ { 3 } { \bf Q } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \int \frac { \mathrm { d } z } { 2 \pi i } N ( z ) \frac { N ^ { \mu \nu \lambda \sigma } ( { \bf k } _ { i } = 0 , { \bf Q } , z ) } { ( z ^ { 2 } - q ^ { 2 } ) ^ { 4 } } ,
\ddot { \bf d } _ { \mathrm { X X } } ^ { \uparrow } ( t ) = \int { \left( \frac { \delta H _ { \mathrm { X X } } } { \delta \phi _ { k } ^ { \uparrow } } \nabla \phi _ { k } ^ { \uparrow } + \frac { \delta H _ { \mathrm { X X } } } { \delta \phi _ { k } ^ { \uparrow * } } \nabla \phi _ { k } ^ { \uparrow * } \right) \ \mathrm { d } { \bf x } } = - \sum _ { k , l } { n _ { k } ^ { \uparrow } n _ { l } ^ { \uparrow } \iint { \phi _ { k } ^ { ^ \uparrow * } ( { \bf x } ) \phi _ { l } ^ { ^ \uparrow * } ( { \bf x } ^ { \prime } ) \nabla { \cal V } _ { \mathrm { e e } } ( { \bf x } - { \bf x } ^ { \prime } ) \phi _ { k } ^ { \uparrow } ( { \bf x } ^ { \prime } ) \phi _ { l } ^ { \uparrow } ( { \bf x } ) \ \mathrm { d } { \bf x } ^ { \prime } \mathrm { d } { \bf x } } } .
\begin{array} { r l } { x _ { k } ^ { ( l ) } } & { = \left( 1 - a \Delta t \right) x _ { k - 1 } ^ { ( l ) } + \Delta t f ( W ^ { ( l - 1 ) } x _ { k } ^ { ( l - 1 ) } + W ^ { ( l ) } x _ { k - 1 } ) \qquad l > 1 } \\ & { } \\ { x _ { k } ^ { \mathrm { o u t } } } & { = g ( W ^ { \mathrm { o u t } } [ x _ { k } ; u _ { k } ] ) \, , } \end{array}
{ \hat { f } } ( \xi ) \cdot e ^ { i 2 \pi \xi x } = A e ^ { i \theta } \cdot e ^ { i 2 \pi \xi x } = \underbrace { A e ^ { i ( 2 \pi \xi x + \theta ) } } _ { \mathrm { p o l a r ~ c o o r d i n a t e ~ f o r m } } = \underbrace { A \cos ( 2 \pi \xi x + \theta ) + i A \sin ( 2 \pi \xi x + \theta ) } _ { \mathrm { r e c t a n g u l a r ~ c o o r d i n a t e ~ f o r m } } .