harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { l l l l l l l l l } { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { V _ { 0 0 , 0 0 } } } & { { = } } & { { \omega _ { 4 } \; , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { V _ { + 0 , + 0 } } } & { { = } } & { { V _ { 0 - , 0 - } } } & { { = } } & { { \omega _ { 1 } e a b ^ { - 1 } \; , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { V _ { 0 + , 0 + } } } & { { = } } & { { V _ { - 0 , - 0 } } } & { { = } } & { { \omega _ { 1 } e ^ { - 1 } a ^ { - 1 } b \; , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { V _ { + - , 0 0 } } } & { { = } } & { { V _ { 0 0 , + - } } } & { { = } } & { { \omega _ { 2 } \tilde { e } ^ { - 1 } a b ^ { - 1 } \; , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { V _ { - + , 0 0 } } } & { { = } } & { { V _ { 0 0 , - + } } } & { { = } } & { { \omega _ { 2 } \tilde { e } a ^ { - 1 } b \; , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { V _ { + + , + + } } } & { { = } } & { { V _ { -- , -- } } } & { { = } } & { { \omega _ { 5 } + \omega _ { 7 } \; , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { V _ { + - , - + } } } & { { = } } & { { V _ { - + , + - } } } & { { = } } & { { \omega _ { 6 } + \omega _ { 7 } \; , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { V _ { + - , + - } } } & { { = } } & { { \omega _ { 6 } \tilde { e } ^ { - 2 } a ^ { 2 } b ^ { - 2 } + \omega _ { 5 } e ^ { 2 } a ^ { 2 } b ^ { - 2 } \; , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { V _ { - + , - + } } } & { { = } } & { { \omega _ { 6 } \tilde { e } ^ { 2 } a ^ { - 2 } b ^ { 2 } + \omega _ { 5 } e ^ { - 2 } a ^ { - 2 } b ^ { - 2 } \; , } } \\ { { V _ { + 0 , 0 + } } } & { { = } } & { { V _ { 0 + , + 0 } } } & { { = } } & { { V _ { 0 - , - 0 } } } & { { = } } & { { V _ { - 0 , 0 - } } } & { { = } } & { { \omega _ { 3 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { q } & { { } = \underbrace { v _ { y } ^ { \prime } \rho c _ { P } T ^ { \prime } } _ { \mathrm { e x p e r i m e n t a l ~ v a l u e } } = - k _ { \mathrm { t u r b } } { \frac { \partial { \overline { { T } } } } { \partial y } } \, ; } \\ { \tau } & { { } = \underbrace { - \rho { \overline { { v _ { y } ^ { \prime } v _ { x } ^ { \prime } } } } } _ { \mathrm { e x p e r i m e n t a l ~ v a l u e } } = \mu _ { \mathrm { t u r b } } { \frac { \partial { \overline { { v } } } _ { x } } { \partial y } } \, ; } \end{array}
\left| \frac { 1 } { T } \int _ { 0 } ^ { T } \mathbb { E } _ { x } [ f ( \bar { X } _ { \underline { { s } } } ^ { \gamma , x _ { 0 } } ) ] - \pi ^ { \gamma } ( f ) \mathrm { d } s \right| ^ { 2 } \le c _ { r , \delta } \frac { [ f ] _ { 1 } ^ { 2 } \mathfrak { C } _ { \mathrm { b i a s } } ^ { ( 1 ) } } { T ^ { 2 } } \quad \textnormal { w i t h } \quad \mathfrak { C } _ { \mathrm { b i a s } } ^ { ( 1 ) } = \left( \underline { { c } } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \vee \underline { { c } } ^ { - 3 - \frac { 4 \delta } { 1 - \delta } } \right) \bar { \Psi } ^ { { 1 + 3 r } + \frac { 4 \delta r } { 1 - \delta } } .
R \triangleq \left\{ \mathbf { x } \in \mathbb { R } ^ { n } : x _ { i } = c _ { i } \ ( { \mathrm { f o r ~ } } i \in S ) { \mathrm { ~ a n d ~ } } a _ { i } \leq x _ { i } \leq b _ { i } \ ( { \mathrm { f o r ~ } } i \notin S ) \right\}
\begin{array} { r } { \rho _ { i } ^ { ( N ) } ( t ; Y ) = \frac { L } { x _ { i + 1 } ^ { ( N ) } ( t ; Y ) - x _ { i } ^ { ( N ) } ( t ; Y ) } , \qquad i = 1 , \, \dots , \, N - 1 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \sum _ { i = 1 } ^ { d } \frac { \nabla _ { t , i } ^ { 2 } } { b _ { t , i } } \right) \left( \sum _ { i = 1 } ^ { d } b _ { t , i } \right) } & { \geq \left( \sum _ { i = 1 } ^ { d } \left\Vert \nabla _ { t , i } \right\Vert \right) ^ { 2 } = \left\Vert \nabla f ( x _ { t } ) \right\Vert _ { 1 } ^ { 2 } } \\ { \Rightarrow \left( \sum _ { i = 1 } ^ { d } \frac { \nabla _ { t , i } ^ { 2 } } { b _ { t , i } } \right) } & { \geq \frac { \left\Vert \nabla f ( x _ { t } ) \right\Vert _ { 1 } ^ { 2 } } { \left\Vert b _ { t } \right\Vert _ { 1 } } \geq \frac { \left\Vert \nabla f ( x _ { t } ) \right\Vert _ { 1 } ^ { 2 } } { \left\Vert b _ { T } \right\Vert _ { 1 } } . } \end{array}
\mathbf { A } ( \mathbf { r } _ { m } ^ { s } ) = \sum _ { \mathbf { k } , \hat { \lambda } _ { \mathbf { k } } } \sqrt { \frac { 2 \pi \hbar c ^ { 2 } } { \omega _ { \mathbf { k } } ^ { \mathrm { p h } } } } \left[ \mathbf { f } _ { \mathbf { k } } ^ { \hat { \lambda } _ { \mathbf { k } } } ( \mathbf { r } _ { m } ^ { s } ) c _ { \mathbf { k } } ^ { \hat { \lambda } _ { \mathbf { k } } } + { \mathbf { f } _ { \mathbf { k } } ^ { \hat { \lambda } _ { \mathbf { k } } * } } ( \mathbf { r } _ { m } ^ { s } ) { c _ { \mathbf { k } } ^ { \hat { \lambda } _ { \mathbf { k } } \dagger } } \right]
\begin{array} { r } { \lambda ^ { * } ( \| \Delta \mu ^ { * } \| ^ { 2 } + \| \Delta \widehat { \mu } _ { n } \| ^ { 2 } + \| \Delta \Sigma ^ { * } \| + \| \Delta \widehat { \Sigma } _ { n } \| ) ( \| \widehat { \mu } _ { n } - \mu ^ { * } \| ^ { 2 } + \| \widehat { \Sigma } _ { n } - \Sigma ^ { * } \| ) = \mathcal { O } ( n ^ { - 1 / 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \epsilon _ { \mathrm { ~ n ~ u ~ m ~ } } } & { { } = } & { \int _ { \Omega } \left[ u _ { i } \left( \mathcal { R } ^ { ( \rho u _ { i } ) } - \mathcal { R } _ { \mathrm { ~ o ~ , ~ e ~ x ~ } } ^ { ( \rho u _ { i } ) } \right) - \frac { 1 } { 2 } u _ { i } ^ { 2 } \left( \mathcal { R } ^ { ( \rho ) } - \mathcal { R } _ { \mathrm { ~ o ~ , ~ e ~ x ~ } } ^ { ( \rho ) } \right) \right] d \Omega , \quad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \ \left\{ \begin{array} { r c l } { \mathcal { R } _ { \mathrm { ~ A ~ D ~ } } ^ { \prime } } & { = } & { \mathcal { R } _ { \mathrm { ~ o ~ } } + \mathcal { D } _ { \mathrm { ~ f ~ i ~ l ~ } } ( Q ) } \\ { \mathcal { R } _ { \mathrm { ~ R ~ F ~ } } ^ { \prime } } & { = } & { \mathcal { G } _ { \mathrm { ~ f ~ i ~ l ~ } } \mathcal { R } _ { \mathrm { ~ o ~ } } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \partial _ { t } u _ { 1 } + \nabla P _ { 1 } = \Delta u _ { 1 } + f } & { \mathrm { ~ i n ~ } ( - 4 , 0 ) \times \Omega } \\ { \operatorname { d i v } u _ { 1 } = 0 } & { \mathrm { ~ i n ~ } ( - 4 , 0 ) \times \Omega } \\ { u _ { 1 } = 0 } & { \mathrm { ~ o n ~ } ( - 4 , 0 ) \times \partial \Omega } \\ { u _ { 1 } \bigr \rvert _ { t = - 4 } = 0 } & { \mathrm { ~ i n ~ } \Omega } \end{array} \right. } \end{array}
\Phi ( t _ { 0 } , t _ { 1 } ) = - \frac { 1 } { 4 N } \left| \frac { f ^ { \prime } } { \delta ^ { \prime } } \right| ^ { 2 } \left[ ( t _ { 1 } - t _ { 0 } ) \delta ^ { \prime } - \sin \delta ^ { \prime } ( t _ { 1 } - t _ { 0 } ) \right] .
a _ { { \epsilon } ^ { \prime } } = \frac { 1 - { \vert } { \lambda } _ { f } { \vert } ^ { 2 } } { 1 + { \vert } { \lambda } _ { f } { \vert } ^ { 2 } } , \; a _ { { \epsilon } + { \epsilon } ^ { \prime } } = \frac { - 2 \mathrm { I m } ( { \lambda } _ { f } ) } { 1 + { \vert } { \lambda } _ { f } { \vert } ^ { 2 } } , \; { \lambda } _ { f } = \frac { V _ { t b } ^ { \ast } V _ { t d } } { V _ { t b } V _ { t d } ^ { \ast } } \frac { { \langle } f { \vert } { \cal H } _ { e f f } { \vert } { \overline { { { B } } } } ^ { 0 } { \rangle } } { { \langle } f { \vert } { \cal H } _ { e f f } { \vert } B ^ { 0 } { \rangle } } ,
\begin{array} { r l } & { E ( x , x ^ { \sf d } ) = \operatorname* { m a x } _ { { \bf f } , { \bf g } \in { \mathbb R } ^ { N } } \ Q ( { \bf f } , { \bf g } ; x ) , } \\ & { Q ( { \bf f } , { \bf g } ; x ) : = { \bf f } ^ { \top } ( { \bf 1 } _ { N } / N ) + { \bf g } ^ { \top } ( { \bf 1 } _ { N } / N ) - \varepsilon ( \mathrm { e } ^ { { \bf f } / \varepsilon } ) ^ { \top } { \boldsymbol K } ( x ) \mathrm { e } ^ { { \bf g } / \varepsilon } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \begin{array} { l l } { a ( z ) } & { b ( z ) } \\ { c ( z ) } & { d ( z ) } \end{array} \right) } & { = \prod _ { \alpha = 1 } ^ { M } \left( \begin{array} { c c } { \frac { z - Y _ { \alpha } } { z - Y _ { \alpha } ^ { * } } } & { \phi _ { \alpha } } \\ { \phi _ { \alpha } ^ { * } \frac { z - Y _ { \alpha } } { z - Y _ { \alpha } ^ { * } } } & { 1 } \end{array} \right) } \\ & { = \left( \begin{array} { c c } { \frac { z - Y _ { 1 } } { z - Y _ { 1 } ^ { * } } } & { \phi _ { 1 } } \\ { \phi _ { 1 } ^ { * } \frac { z - Y _ { 1 } } { z - Y _ { 1 } ^ { * } } } & { 1 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { \frac { z - Y _ { 2 } } { z - Y _ { 2 } ^ { * } } } & { \phi _ { 2 } } \\ { \phi _ { 2 } ^ { * } \frac { z - Y _ { 2 } } { z - Y _ { 2 } ^ { * } } } & { 1 } \end{array} \right) \cdots \left( \begin{array} { c c } { \frac { z - Y _ { M } } { z - Y _ { M } ^ { * } } } & { \phi _ { M } } \\ { \phi _ { M } ^ { * } \frac { z - Y _ { M } } { z - Y _ { M } ^ { * } } } & { 1 } \end{array} \right) . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l } { \displaystyle - \partial _ { t } V - \frac { 1 } { 2 } \Delta V + \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } H ^ { i } ( x ^ { i } , n D _ { i } V ) = F ( \mathbf { x } ) , \quad ( t , \mathbf { x } ) \in [ 0 , T ) \times ( { \mathbb R } ^ { d } ) ^ { n } , } \\ { \displaystyle V ( T , \mathbf { x } ) = G ( \mathbf { x } ) , \quad \mathbf { x } \in ( { \mathbb R } ^ { d } ) ^ { n } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { E _ { i } } & { { } = } & { - \partial _ { i } A _ { 0 } + \partial _ { 0 } A _ { i } + [ A _ { i } , A _ { 0 } ] } \\ { B _ { x } } & { { } = } & { \partial _ { y } A _ { z } - \partial _ { z } A _ { y } - [ A _ { y } , A _ { z } ] } \end{array}
\mathbf { F } ( \mathbf { r } ) = { \frac { q } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } q _ { i } { \frac { \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { i } } { | \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { i } | ^ { 3 } } } = { \frac { q } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } q _ { i } { \frac { { \hat { \mathbf { R } } } _ { i } } { | \mathbf { R } _ { i } | ^ { 2 } } } ,
\begin{array} { r l r } { \left( n _ { k } ^ { i } - n _ { l } ^ { i } \right) \, \Delta R \, \sigma _ { R 0 } ^ { k l } } & { { } \approx } & { \frac { N _ { k } ^ { 0 } \, \sigma _ { 0 } ^ { k l } } { 2 \pi \, L \, \Delta R \, \left( N _ { > } - i \right) } \gg 1 } \end{array}
x \frac { d v } { d x } = x \left[ \frac { y ^ { \prime } } { y } + \frac { x y ^ { \prime \prime } } { y } - \frac { x y ^ { \prime \, 2 } } { y ^ { 2 } } \right] = x \frac { y ^ { \prime } } { y } + x ^ { 3 - p } y ^ { p - 1 } - x ^ { 2 } \frac { y ^ { \prime \, 2 } } { y ^ { 2 } } = v + u v - v ^ { 2 } ,
G \left( a _ { n } - { \frac { B ( r ) } { r ^ { \alpha } } } { \binom { n + \beta - 1 } { n } } ( 1 / r ) ^ { n } ; x \right) = G ( a _ { n } ; x ) - { \frac { B ( r ) } { r ^ { \alpha } } } \left( 1 - { \frac { x } { r } } \right) ^ { - \beta } \, .
\begin{array} { r } { H = \frac 1 2 I _ { i j } ^ { - 1 } M _ { i } M _ { j } + \frac 1 2 \lambda _ { i j } [ R _ { k i } R _ { k j } - \delta _ { i j } ] + v _ { i j } P _ { i j } + \varphi _ { i j } \pi _ { i j } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle ( N L ) J ( s ~ s _ { 3 } ) S ; } & { \mathcal { J } \mathcal { M } | \left[ \left[ \hat { s } \otimes \hat { s } _ { 3 } \right] ^ { ( 2 ) } \otimes C ^ { ( 2 ) } ( \hat { R } ) \right] _ { 0 } ^ { ( 0 ) } | ( N ^ { \prime } L ^ { \prime } ) J ^ { \prime } ( s ^ { \prime } ~ s _ { 3 } ) S ^ { \prime } ; \mathcal { J } \mathcal { M } \rangle = } \\ & { \delta _ { N , N ^ { \prime } } \delta _ { s , s ^ { \prime } } ( - 1 ) ^ { J ^ { \prime } + S + \mathcal { J } + N + L ^ { \prime } + J + L } \left[ L , L ^ { \prime } , J , J ^ { \prime } , S , S ^ { \prime } \right] ^ { 1 / 2 } } \\ & { \times \left\{ \begin{array} { c c c } { J } & { 2 } & { J ^ { \prime } } \\ { L ^ { \prime } } & { N } & { L } \end{array} \right\} \left\{ \begin{array} { c c c } { s } & { s ^ { \prime } } & { 1 } \\ { s _ { 3 } } & { s _ { 3 } } & { 1 } \\ { S } & { S ^ { \prime } } & { 2 } \end{array} \right\} \left( \begin{array} { c c c } { L } & { 2 } & { L ^ { \prime } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) \sqrt { s ( s + 1 ) ( 2 s + 1 ) s _ { 3 } ( s _ { 3 } + 1 ) ( 2 s _ { 3 } + 1 ) } . } \end{array}
\Sigma ( p _ { 0 } , | \vec { p } | ) = \frac { \alpha } { N _ { f } } \int \frac { d ^ { 3 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } D _ { \beta } ( k _ { 0 } , | \vec { k } | ) S _ { \beta } ( p _ { 0 } - k _ { 0 } , | \vec { p } - \vec { k } | )
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } _ { j } \| x _ { i + 1 } - x ^ { * } \| _ { 2 } ^ { 2 } } \\ { = } & { \mathbb { E } _ { j } \| x _ { i } - \frac { \langle A _ { j } , x _ { i } \rangle - b _ { j } } { \| A _ { j } \| ^ { 2 } } ( A _ { j } ) ^ { \top } - x ^ { * } \| _ { 2 } ^ { 2 } } \\ { \leq } & { \left( 1 - \frac { \sigma _ { \operatorname* { m i n } } ^ { 2 } ( A ) } { \| A \| _ { F } ^ { 2 } } \right) \| x _ { i } - x ^ { * } \| _ { 2 } ^ { 2 } . } \end{array}
\left| \widetilde R _ { N } ^ { \mathrm { ( p o l e s ) } } \right| _ { \mathrm { ( I I ) } } < 2 \sqrt { 2 } A ^ { \prime } \left( N + 1 + { \frac { 1 } { 2 \sqrt { 2 } } } \right) { \frac { \beta ^ { N + 1 } } { x } } .
{ \begin{array} { r l } { t H _ { 0 } } & { = \int _ { 0 } ^ { a } { \frac { \mathrm { d } a ^ { \prime } } { \sqrt { \Omega _ { 0 , \mathrm { M } } a ^ { - 1 } } } } } \\ { t H _ { 0 } { \sqrt { \Omega _ { 0 , \mathrm { M } } } } } & { = \left. \left( { \frac { 2 } { 3 } } a ^ { \frac { 3 } { 2 } } \right) \, \right| _ { 0 } ^ { a } } \\ { \left( { \frac { 3 } { 2 } } t H _ { 0 } { \sqrt { \Omega _ { 0 , \mathrm { M } } } } \right) ^ { \frac { 2 } { 3 } } } & { = a ( t ) } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { C \mathrm { = } \frac { 1 } { { { \left[ { { T } _ { 2 } } \left( V + { { \xi } _ { E } } + { { \chi } _ { t o t } } \right) \right] } ^ { 2 } } } \big \{ A { { \chi } _ { h e t } } ^ { 2 } + B + 1 + 2 { { \chi } _ { h e t } } } \\ & { \times [ V \sqrt { B } + { { T } _ { 2 } } ( V + { { \xi } _ { E } } + { { \chi } _ { l i n e } } ) ] + 2 { { T } _ { 2 } } \left( { { V } ^ { 2 } } - 1 \right) \big \} , } \\ & { D = { { \left( \frac { V + \sqrt { B } { { \chi } _ { h e t } } } { { { T } _ { 2 } } \left( V + { { \xi } _ { E } } + { { \chi } _ { t o t } } \right) } \right) } ^ { 2 } } . } \end{array}
f _ { i } ^ { g } ( \theta _ { 1 } ) = \int \delta ( 1 - x ) d x ( 1 - y ^ { 2 } ) ^ { - 1 + \epsilon / 2 } d y \sin ^ { \epsilon } \theta _ { 2 } d \theta _ { 2 } f _ { i } ^ { g } ( x , y , \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) ,
\begin{array} { r } { \widehat { F } _ { \mathrm { M F } , p } ^ { ( k ) } : = \operatorname { M F } ( F ^ { ( k ) } , G ^ { ( k ) } , \pi ^ { ( k ) } , p ) = \left( \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } F ^ { ( k ) } ( \xi _ { i } ) \right) + \alpha \left( \frac { 1 } { m } \sum _ { i = 1 } ^ { m } G ^ { ( k ) } ( \xi _ { i } ) - \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } G ^ { ( k ) } ( \xi _ { i } ) \right) } \end{array}
\tilde { { \cal H } } _ { 0 } \; \subseteq \; \tilde { { \cal H } } _ { 1 } \; \subseteq \; \cdots \; \subseteq \; \tilde { { \cal H } } _ { n } \; \subseteq \; \cdots \; \subseteq \; \tilde { { \cal H } }
\begin{array} { r } { \Delta n _ { e } ( \mathbf { r } ) _ { \mathbf { q } , A } = \chi _ { \mathrm { K S } } ( \mathbf { q } ) \Delta v _ { \mathrm { K S } } ( \mathbf { r } ) _ { \mathbf { q } , A } \ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d A _ { 1 } } { d t } } & { { } = 1 0 ( A _ { 2 } - A _ { 1 } ) } \\ { \frac { d A _ { 2 } } { d t } } & { { } = A _ { 1 } ( 2 8 - A _ { 3 } ) - A _ { 2 } } \\ { \frac { d A _ { 3 } } { d t } } & { { } = A _ { 1 } A _ { 2 } - \frac { 8 } { 3 } A _ { 3 } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { p ( \mu \mid \sigma ^ { 2 } ; \mu _ { 0 } , n _ { 0 } ) } & { \sim { \mathcal { N } } ( \mu _ { 0 } , \sigma ^ { 2 } / n _ { 0 } ) = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi { \frac { \sigma ^ { 2 } } { n _ { 0 } } } } } } \exp \left( - { \frac { n _ { 0 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } ( \mu - \mu _ { 0 } ) ^ { 2 } \right) } \\ & { \propto ( \sigma ^ { 2 } ) ^ { - 1 / 2 } \exp \left( - { \frac { n _ { 0 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } ( \mu - \mu _ { 0 } ) ^ { 2 } \right) } \\ { p ( \sigma ^ { 2 } ; \nu _ { 0 } , \sigma _ { 0 } ^ { 2 } ) } & { \sim I \chi ^ { 2 } ( \nu _ { 0 } , \sigma _ { 0 } ^ { 2 } ) = I G ( \nu _ { 0 } / 2 , \nu _ { 0 } \sigma _ { 0 } ^ { 2 } / 2 ) } \\ & { = { \frac { ( \sigma _ { 0 } ^ { 2 } \nu _ { 0 } / 2 ) ^ { \nu _ { 0 } / 2 } } { \Gamma ( \nu _ { 0 } / 2 ) } } ~ { \frac { \exp \left[ { \frac { - \nu _ { 0 } \sigma _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } \right] } { ( \sigma ^ { 2 } ) ^ { 1 + \nu _ { 0 } / 2 } } } } \\ & { \propto { ( \sigma ^ { 2 } ) ^ { - ( 1 + \nu _ { 0 } / 2 ) } } \exp \left[ { \frac { - \nu _ { 0 } \sigma _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } \right] . } \end{array} }
E ( \omega ) = \int \int d \textrm { K } _ { 0 x } ^ { s t } d \textrm { K } _ { 0 y } ^ { s t } g ( \textrm { K } _ { 0 x } ^ { s t } , \textrm { K } _ { 0 y } ^ { s t } , \omega ) e ^ { - i S ( \textrm { K } _ { 0 x } ^ { s t } , \textrm { K } _ { 0 y } ^ { s t } , \omega ) }
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m i n } _ { i \in \mathcal { I } _ { k } ^ { n } } \big ( Y _ { i } - X _ { k h _ { n } } \big ) - \operatorname* { m a x } _ { i \in \mathcal { I } _ { k } ^ { n } } \big ( X _ { t _ { i } ^ { n } } - \big ( X _ { k h _ { n } } + \sigma _ { ( k - 1 ) h _ { n } } ( W _ { t _ { i } ^ { n } } - W _ { k h _ { n } } ) \big ) \big ) } \\ & { \quad \le \operatorname* { m i n } _ { i \in \mathcal { I } _ { k } ^ { n } } \big ( \sigma _ { ( k - 1 ) h _ { n } } ( W _ { t _ { i } ^ { n } } - W _ { k h _ { n } } ) + \epsilon _ { i } \big ) \, . } \end{array}
L _ { n } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { m } \alpha _ { n - m } ^ { \mu } \alpha _ { m \mu } \ \ , \ \ \bar { L } _ { n } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { m } \bar { \alpha } _ { n - m } ^ { \mu } \bar { \alpha } _ { m \mu } \ .
S _ { G _ { k } } [ g _ { 1 } g _ { 2 } ] = S _ { G _ { k } } [ g _ { 1 } ] + S _ { G _ { k } } [ g _ { 2 } ] + \frac { k } { 2 \pi } \int d ^ { 2 } \xi T r ( g _ { 1 } ^ { - 1 } \partial g _ { 1 } \bar { \partial } g _ { 2 } g _ { 2 } ^ { - 1 } )
\frac { 1 } { p _ { 1 } } + \frac { 1 } { p _ { 2 } } + \frac { 1 } { p _ { 3 } } + \frac { d } { p _ { 4 } } \le d + 1 , \quad \frac { 1 } { p _ { 1 } } + \frac { 1 } { p _ { 2 } } + \frac { d } { p _ { 3 } } + \frac { 1 } { p _ { 4 } } \le d + 1 , \quad \frac { 1 } { p _ { 1 } } + \frac { d } { p _ { 2 } } + \frac { 1 } { p _ { 3 } } + \frac { 1 } { p _ { 4 } } \le d + 1 ,
f _ { 1 } ( e ^ { - \pi / t } ) = \sqrt { t } f _ { 1 } ( e ^ { - \pi t } ) , \; \; \; f _ { 2 } ( e ^ { - \pi / t } ) = f _ { 4 } ( e ^ { - \pi t } ) , \; \; \; f _ { 3 } ( e ^ { - \pi / t } ) = f _ { 3 } ( e ^ { - \pi t } ) .
\begin{array} { r l } { \textsf { P } } & { = \int \! \mathrm { d } \tau \, W , } \\ { W } & { = \sum _ { n = n ^ { \star } } ^ { \infty } \int _ { s _ { n } ^ { - } } ^ { s _ { n } ^ { + } } \! \mathrm { d } s \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \! \mathrm { d } \phi \, \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } W _ { n } } { \mathrm { d } s \mathrm { d } \phi } } \end{array}
{ \frac { a _ { n } x ^ { n + 1 } } { n + 1 } } + { \frac { a _ { n - 1 } x ^ { n } } { n } } + \ldots + { \frac { a _ { 2 } x ^ { 3 } } { 3 } } + { \frac { a _ { 1 } x ^ { 2 } } { 2 } } + a _ { 0 } x + c = c + \sum _ { i = 0 } ^ { n } { \frac { a _ { i } x ^ { i + 1 } } { i + 1 } }
\begin{array} { r l } { | X _ { \beta } - X _ { \alpha } | ^ { k } } & { = | X _ { \beta } - X _ { \alpha } | ^ { k } 1 _ { X _ { \alpha } \geq x } + | X _ { \beta } - X _ { \alpha } | ^ { k } 1 _ { X _ { \beta } \geq x > X _ { \alpha } } + | X _ { \beta } - X _ { \alpha } | ^ { k } 1 _ { x > X _ { \beta } } } \\ & { \leq 2 ^ { k - 1 } \Big ( ( X _ { \beta } - x ) ^ { k } 1 _ { X _ { \alpha } \geq x } - ( X _ { \alpha } - x ) ^ { k } 1 _ { X _ { \alpha } \geq x } + ( X _ { \beta } - x ) ^ { k } 1 _ { X _ { \beta } \geq x > X _ { \alpha } } } \\ & { + ( X _ { \alpha } - x ) ^ { k } 1 _ { X _ { \beta } \geq x > X _ { \alpha } } + ( X _ { \alpha } - x ) ^ { k } 1 _ { x > X _ { \beta } } - ( X _ { \beta } - x ) ^ { k } 1 _ { x > X _ { \beta } } \Big ) } \\ & { = 2 ^ { k - 1 } \Big ( ( X _ { \beta } - x ) ^ { k } 1 _ { X _ { \beta } \geq x } - ( X _ { \alpha } - x ) ^ { k } 1 _ { X _ { \alpha } \geq x } \Big ) } \\ & { + 2 ^ { k - 1 } \Big ( ( X _ { \alpha } - x ) ^ { k } 1 _ { x > X _ { \alpha } } - ( X _ { \beta } - x ) ^ { k } 1 _ { x > X _ { \beta } } \Big ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } & { \frac { \partial } { \partial t } ( \rho ^ { \sigma } E _ { T } ^ { \sigma } ) + \frac { \partial } { \partial r _ { \alpha } } ( \rho ^ { \sigma } E _ { T } ^ { \sigma } + p ^ { \sigma } ) u _ { \alpha } ^ { \sigma } } \\ & { + \frac { \partial } { \partial r _ { \beta } } [ u _ { \beta } ^ { \sigma } ( P _ { \alpha \beta } ^ { \sigma } + U _ { \alpha \beta } ^ { \sigma } ) - \kappa ^ { \sigma } \frac { \partial T ^ { \sigma } } { \partial r _ { \alpha } } + Y _ { \alpha } ^ { \sigma } ] = 0 . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { l } { E = \sum _ { \mathbf { p } } \varepsilon ( \mathbf { p } ) f ( \varepsilon ( \mathbf { p } ) ) } \\ { = \frac { V } { ( 2 \pi \hbar ) ^ { 3 } } \int d ^ { 3 } \mathbf { p } \varepsilon ( \mathbf { p } ) f ( \varepsilon ( \mathbf { p } ) ) } \\ { = \int _ { 0 } ^ { p _ { F } } d p \int _ { 0 } ^ { \pi } d \theta \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \phi p ^ { 2 } s i n \theta \varepsilon ( \mathbf { p } ) \frac { V } { ( 2 \pi \hbar ) ^ { 3 } } } \\ { = \frac { V } { 2 \pi ^ { 2 } \hbar ^ { 3 } } \int _ { 0 } ^ { p _ { F } } d p p ^ { 2 } \varepsilon ( p ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { q ( t _ { 0 } ) ^ { \frac { 2 } { 3 } } = \frac { 3 D ^ { * } } { 2 { \varepsilon } } N _ { p r e } ^ { \frac { 2 } { 3 } } \int _ { t _ { * } } ^ { t _ { 0 } } d t ^ { \prime } ( S ( t ^ { \prime } ) - 1 ) + q ( t _ { * } ) ^ { \frac { 2 } { 3 } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial t ^ { 2 } } \Big | _ { t = 0 } R _ { i j } } & { = \frac { \partial } { \partial t } \Big | _ { t = 0 } \Big ( - \frac { 1 } { 2 } \triangle u _ { t } ( g _ { t } ) _ { i j } - \frac { 1 } { 2 } \nabla _ { i } \nabla _ { j } u _ { t } \Big ) } \\ & { = \Big ( - \frac { 1 } { 2 } \triangle ^ { \prime } u _ { t } ( g _ { t } ) _ { i j } - \frac { 1 } { 2 } \triangle u _ { t } ^ { \prime } ( g _ { t } ) _ { i j } - \frac { 1 } { 2 } \triangle u _ { t } ( g _ { t } ) _ { i j } ^ { \prime } - \frac { 1 } { 2 } ( \nabla _ { i } \nabla _ { j } ) ^ { \prime } u _ { t } -- \frac { 1 } { 2 } \nabla _ { i } \nabla _ { j } u _ { t } ^ { \prime } \Big ) \Big | _ { t = 0 } } \\ & { = ( \frac { u } { 2 } \triangle u - \frac { 1 } { 4 } | \nabla u | ^ { 2 } ) g _ { i j } + \frac { 1 } { 2 } \triangle ( u ) ^ { 2 } g _ { i j } - \frac { 1 } { 2 } u \triangle u g _ { i j } + \frac { 1 } { 2 } \nabla _ { i } u \nabla _ { j } u - \frac { 1 } { 4 } | \nabla u | ^ { 2 } g _ { i j } + \frac { 1 } { 2 } \nabla _ { i } \nabla _ { j } ( u ) ^ { 2 } } \\ & { = u \triangle u g _ { i j } + \frac { 1 } { 2 } | \nabla u | ^ { 2 } g _ { i j } + \frac { 3 } { 2 } \nabla _ { i } u \nabla _ { j } u + u \nabla _ { i } \nabla _ { j } u } \\ & { = ( \frac { 1 } { 2 } | \nabla u | ^ { 2 } - 4 u ^ { 2 } \mu ) g _ { i j } + \frac { 3 } { 2 } \nabla _ { i } u \nabla _ { j } u + u \nabla _ { i } \nabla _ { j } u , } \end{array}