harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { u } ( \mathbf { X } , t ) } & { = \mathbf { x } ( \mathbf { X } , t ) - \mathbf { X } } \\ { \nabla _ { \mathbf { X } } \mathbf { u } } & { = \mathbf { F } - \mathbf { I } } \\ { \mathbf { F } } & { = \nabla _ { \mathbf { X } } \mathbf { u } + \mathbf { I } } \end{array} } \qquad { \mathrm { o r } } \qquad { \begin{array} { r l } { u _ { i } } & { = x _ { i } - \delta _ { i J } X _ { J } } \\ { \delta _ { i J } U _ { J } } & { = x _ { i } - \delta _ { i J } X _ { J } } \\ { x _ { i } } & { = \delta _ { i J } \left( U _ { J } + X _ { J } \right) } \\ { { \frac { \partial x _ { i } } { \partial X _ { K } } } } & { = \delta _ { i J } \left( { \frac { \partial U _ { J } } { \partial X _ { K } } } + \delta _ { J K } \right) } \end{array} }
M _ { x _ { i } ^ { t } x _ { i } ^ { t + 1 } } ^ { i \setminus j } = \left( \begin{array} { c c } { M _ { t , 0 0 } ^ { i \setminus j } } & { M _ { t , 0 1 } ^ { i \setminus j } } \\ { M _ { t , 1 0 } ^ { i \setminus j } } & { M _ { t , 1 1 } ^ { i \setminus j } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c c } { \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) e ^ { \sum _ { k \in \partial i \setminus j } m _ { k \setminus i } ^ { t } { \nu } _ { k i } ^ { t } } p \left( O _ { i } ^ { t } \mid 0 \right) } & { } & { \left[ 1 - \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) e ^ { \sum _ { k \in \partial i \setminus j } m _ { k \setminus i } ^ { t } { \nu } _ { k i } ^ { t } } \right] p \left( O _ { i } ^ { t } \mid 0 \right) } \\ { 0 } & { } & { e ^ { \sum _ { k \in \partial i \setminus j } \nu _ { i k } ^ { t } \mu _ { k \setminus i } ^ { t } } p \left( O _ { i } ^ { t } \mid 1 \right) } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { R _ { 2 } [ F _ { a l l } ] } & { = R _ { 2 } [ F _ { 3 m o d e } ] + R _ { 2 } [ F _ { j } ] + R _ { 2 } [ F _ { \tilde { w } } ] + R _ { 2 } [ F _ { j ( k _ { 0 } \pm 1 ) } ] + R _ { 2 } [ F _ { u _ { 3 } } ] } \\ & { = 2 0 c _ { 1 } + 2 0 \tilde { c } _ { 1 } + 2 0 c ^ { 2 } c _ { 2 } } \\ & { + \frac c \beta c _ { 1 } + \frac c \beta ( c _ { 2 } + \tilde { c } _ { 1 } ) + 4 \frac { c ^ { \gamma _ { 2 } } } { \kappa _ { k _ { 0 } } \eta ^ { 1 + \gamma _ { 1 } } } j ( k _ { 0 } , s _ { 0 } ) } \\ & { + c ^ { 2 } ( \tilde { w } ( 2 ) + \tilde { w } ( - 2 ) ) } \\ & { + \frac { 2 c } { \kappa \xi \eta } j ( k _ { \pm 1 } , \tilde { s } _ { 0 } ) + \frac c { \beta \kappa \xi } ( \tilde { w } ( 1 ) + c _ { 1 } ^ { \ast } + c _ { 2 } ^ { \ast } ) } \\ & { + 2 c \tilde { w } ( 1 ) } \\ & { < 2 1 c _ { 1 } + 2 1 \tilde { c } _ { 1 } + \frac c { \beta \wedge 1 } c _ { 2 } + N . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } f + v \cdot \nabla _ { x } f + \mathrm { d i v } _ { v } \big [ f ( u - v ) - f \nabla _ { x } p ( \varrho ) \big ] } & { = 0 , } \\ { \partial _ { t } ( \alpha \varrho ) + \mathrm { d i v } _ { x } ( \alpha \varrho u ) } & { = 0 , } \\ { \partial _ { t } ( \alpha \varrho u ) + \mathrm { d i v } _ { x } ( \alpha \varrho u \otimes u ) + \alpha \nabla _ { x } p - \mathrm { d i v } _ { x } ( \tau ) } & { = j _ { f } - \rho _ { f } u . } \end{array}
\tilde { \xi } ^ { \pm } ( \boldsymbol { k } , \boldsymbol { k } ^ { \prime } ) = \mathcal { N } \tilde { \eta } ( \boldsymbol { k } ) \tilde { \eta } ( \boldsymbol { k } ^ { \prime } ) \left[ e ^ { i m ( \tilde { \varphi } - \tilde { \varphi } ^ { \prime } ) } \pm e ^ { - i m ( \tilde { \varphi } - \tilde { \varphi } ^ { \prime } ) } \right] e ^ { - i k _ { z } z _ { 0 } } .
\begin{array} { r l } & { H _ { i } ( \lambda ) = H _ { \alpha P } ( \mathbf { p } , \mathbf { q } ) } \\ & { + \sum _ { i \in A } \sum _ { j = 1 } ^ { \alpha } g ( \lambda ) ( \textbf { q } _ { i } ^ { ( j P ) } - \textbf { q } _ { i } ^ { ( j P - P + 1 ) } ) ^ { 2 } } \\ & { + ( h ( \lambda ) - 1 ) ( \textbf { q } _ { i } ^ { ( j P ) } - \textbf { q } _ { i } ^ { ( j P + 1 ) } ) ^ { 2 } , } \end{array}
C _ { j } ( r , \tau ) = \frac { \tilde { \tau } _ { c } ^ { d / 2 } \, \mathrm { e } ^ { - \frac { \beta _ { j } \lvert \tau \rvert } { 2 \tilde { \tau } _ { c } } } \, \mathrm { e } ^ { - \frac { r ^ { 2 } \tilde { \tau } _ { c } } { 2 b \lvert \tau \rvert \beta _ { j } + 4 \epsilon \tilde { \tau } _ { c } } } } { \left( 2 \pi b \, \beta _ { j } \lvert \tau \rvert + 4 \pi \epsilon \tilde { \tau } _ { c } \right) ^ { d / 2 } } .
\begin{array} { r l } { \Tilde { \lambda } _ { p \overline { { p } } } } & { = D _ { X } ^ { 2 } u _ { p \overline { p } } - \Gamma _ { j i p \overline { p } } ^ { k } u _ { t _ { j } } X ^ { i } X ^ { k } - \Gamma _ { j i p } ^ { k } u _ { t _ { j } t _ { \overline { p } } } X ^ { i } X ^ { k } - \Gamma _ { j i \overline { p } } ^ { k } u _ { t _ { j } t _ { p } } X ^ { i } X ^ { k } } \\ & { \geq D _ { X } ^ { 2 } u _ { p \overline { p } } - C _ { 1 } ( \Tilde { \lambda } + 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { I ( q ) } & { { } = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \ f _ { i } ( q ) \ f _ { j } ( q ) \ \frac { \sin ( q \times r _ { i j } ) } { q \times r _ { i j } } \ \ \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } } \\ { q } & { { } = } & { \frac { \sin \theta } { \lambda } , } \end{array}
\begin{array} { l } { { < \phi _ { q } ^ { 4 } > = \frac 1 { 1 2 8 \pi ^ { 3 } C } \log \left[ 1 + \frac { \Lambda ^ { 2 } } { ( m _ { r } ^ { 2 } + ( \xi _ { r } - \frac 1 8 ) R - 1 2 \kappa _ { r } \phi _ { c } ^ { 2 } + 1 5 \lambda _ { r } ^ { 2 } \phi _ { c } ^ { 4 } + \frac Q C ) } \right] } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { L } _ { X } \left( \frac { \partial } { \partial t _ { 1 } } \land \dotsc \land \frac { \partial } { \partial t _ { k + l } } \right) = - \left( \sum _ { i } \frac { \partial ( \{ g _ { 1 } , \dotsc , g _ { m - 1 } , t _ { i } \} ) } { \partial t _ { i } } \right) \frac { \partial } { \partial t _ { 1 } } \land \dotsc \land \frac { \partial } { \partial t _ { k + l } } . } \end{array}
\psi _ { 0 \ell \ell } ( \vec { \lambda } ) = { \frac { \alpha _ { \lambda } ^ { \ell + 3 / 2 } \lambda _ { + } ^ { \ell } } { { \pi ^ { 3 / 4 } } \sqrt { \ell ! } } } e ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } \alpha _ { \lambda } ^ { 2 } \lambda ^ { 2 } }
y ( t ) = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \left[ \operatorname* { l i m } _ { r \to 0 } \left( { \frac { x ^ { n } } { n ! } } { \frac { \mathrm { d } ^ { \, n - 1 } } { \mathrm { d } r ^ { \, n - 1 } } } \left[ r ^ { n } \left( { \frac { 7 } { 2 } } ( \arcsin ( { \sqrt { r } } ) - { \sqrt { r - r ^ { 2 } } } ) \right) ^ { - { \frac { 2 } { 3 } } n } \right] \right) \right] .
\operatorname { R } = \epsilon _ { 1 } \operatorname { R i c } _ { 1 1 } + \epsilon _ { 2 } \operatorname { R i c } _ { 2 2 } = \epsilon _ { 1 } ^ { 2 } \epsilon _ { 2 } K + \epsilon _ { 2 } K = 2 \epsilon _ { 2 } K = - \frac { 1 } { \sqrt { \mathsf { G } _ { 1 } \mathsf { G } _ { 2 } } } \left[ \epsilon _ { 1 } \left( \frac { \mathsf { G } _ { 2 , 1 } } { \sqrt { \mathsf { G } _ { 1 } \mathsf { G } _ { 2 } } } \right) _ { , 1 } + \epsilon _ { 2 } \left( \frac { \mathsf { G } _ { 1 , 2 } } { \sqrt { \mathsf { G } _ { 1 } \mathsf { G } _ { 2 } } } \right) _ { , 2 } \right] \, .
\vec { A } _ { i } ^ { \pm } ( t ) = \hat { \epsilon } _ { i } \frac { A _ { i } } { 2 } e ^ { - \sigma _ { i } ^ { 2 } ( t - t _ { i } ) ^ { 2 } / 2 } e ^ { \pm i \left[ ( \omega - \omega _ { i } ) t + \varphi _ { i } \right] }
x ( t ) \approx \left\{ \begin{array} { l l } { \left( { b ^ { 9 } } / { L _ { p } } \right) ^ { 1 / 8 } \left( t / { \tau } \right) ^ { 3 / 8 } } & { \tau \lesssim t \lesssim \tilde { \tau } _ { f } } \\ { L _ { p } \left( t / { \tilde { \tau } _ { f } } \right) ^ { 1 / 4 } } & { \tilde { \tau } _ { f } \lesssim t \lesssim \tau _ { R } } \\ { ( D t ) ^ { 1 / 2 } } & { t \gtrsim \tau _ { R } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \overline { d } \, \overline { W } ( X _ { 1 } , \ldots , X _ { q + 1 } ) } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { q + 1 } ( - ) ^ { i + 1 } \nabla _ { X _ { i } } \left( \overline { W } ( X _ { 1 } , \ldots \widehat { X _ { i } } , \ldots , X _ { q + 1 } ) \right) } \\ & { \quad + \sum _ { i < j } ( - ) ^ { i + j } \overline { W } \left( [ X _ { i } , X _ { j } ] , \ldots , \widehat { X _ { i } } , \ldots , \widehat { X _ { j } } , \ldots \right) , \quad X _ { 1 } , \ldots , X _ { q + 1 } \in \Gamma ( \mathscr C ) . } \end{array}
d s ^ { 2 } = { \displaystyle - f \, { \it d T } ^ { 2 } + f ^ { - 1 } \, { \it d R } ^ { 2 } + R ^ { 2 } \, \left( { \it d \theta } ^ { 2 } + \sinh ^ { 2 } ( \theta ) \, { \it d \phi } ^ { 2 } \right) } ,
\begin{array} { r } { q _ { 0 } ( \vec { p } \, ) = \frac { 1 } { T _ { 1 } } \int _ { 0 } ^ { T _ { 1 } } \sqrt { m ^ { 2 } + p _ { x } ^ { 2 } + [ p _ { y } - e A _ { 1 } ( t ) ] ^ { 2 } } \, d t \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { \mathrm { I } } } & { = \left[ \frac { p + q } { 2 } - \frac { q - p } { 2 } \cos ( \frac { 2 A } { \omega } \sin \omega t ) \right] S _ { x } ^ { 2 } + \left[ \frac { p + q } { 2 } + \frac { q - p } { 2 } \cos ( \frac { 2 A } { \omega } \sin \omega t ) \right] S _ { y } ^ { 2 } } \\ & { \quad + \frac { q - p } { 2 } \sin ( \frac { 2 A } { \omega } \sin \omega t ) ( S _ { x } S _ { y } + S _ { y } S _ { x } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial E _ { 1 } } { \partial t } = \left( - \frac { \alpha } { 2 } - i \Delta _ { 1 } - i \frac { L \mathcal { F } \beta _ { 2 } } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \tau ^ { 2 } } + i \gamma L \mathcal { F } | E _ { 1 } | ^ { 2 } \right) E _ { 1 } + \sqrt { \kappa \mathcal { F } } E _ { \mathrm { i n , 1 } } , } \\ & { \frac { \partial E _ { 2 } } { \partial t } = \left( - \frac { \alpha } { 2 } - i \Delta _ { 2 } - \tau _ { d } \mathcal { F } \frac { \partial } { \partial \tau } - i \frac { L \mathcal { F } \beta _ { 2 } } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \tau ^ { 2 } } + i \gamma L \mathcal { F } | E _ { 2 } | ^ { 2 } \right) E _ { 2 } + \sqrt { \kappa \mathcal { F } } E _ { \mathrm { i n , 2 } } + \theta \mathcal { F } E _ { 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { c ( F ^ { * } ) - c ( X _ { q ^ { \prime } } ) - d _ { q ^ { \prime } + 1 } \cdot \mu ( F ^ { * } \setminus X _ { q ^ { \prime } } ) } { \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( X _ { q ^ { \prime } } ) } } & { < \Delta , \ \mathrm { a n d } } \\ { \frac { c ( F ^ { * } ) - c ( F _ { q ^ { \prime } } ) - d _ { q ^ { \prime } + 1 } \cdot \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { q ^ { \prime } } ) } { \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { q ^ { \prime } } ) } } & { > \Delta . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { A E 1 } } & { = | | \psi _ { b f } ( z , \bar { x } , \bar { y } , t ) - \psi _ { b f } ( z , \bar { x } , \bar { y } , t ; \theta _ { A E 1 } ) | | _ { 2 } , } \\ { \mathcal { L } _ { A E 2 } } & { = | | \psi _ { n d g } ( z , \bar { x } , \bar { y } , t ) - \psi _ { n d g } ( z , \bar { x } , \bar { y } , t ; \theta _ { A E 2 } ) | | _ { 2 } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l } { x _ { 1 } } & { = ( x , y ) + R ( \cos \alpha , \sin \alpha ) } & { v _ { 1 } } & { = \left( { \dot { x } } , { \dot { y } } \right) + R { \dot { \alpha } } ( - \sin \alpha , \cos \alpha ) } \\ { x _ { 2 } } & { = ( x , y ) - R ( \cos \alpha , \sin \alpha ) } & { v _ { 2 } } & { = \left( { \dot { x } } , { \dot { y } } \right) - R { \dot { \alpha } } ( - \sin \alpha , \cos \alpha ) } \end{array} }
M _ { 3 \times 3 } ^ { \prime } = \left( \begin{array} { c c c } { { \gamma v ^ { 2 } - \frac { h ^ { \prime } v v _ { u } } { 2 V } } } & { { \gamma v \langle \tilde { N } _ { 1 } ^ { 0 } \rangle } } & { { h ^ { \prime } \langle \tilde { N } _ { 1 } ^ { 0 } \rangle / 2 } } \\ { { \gamma v \langle \tilde { N } _ { 1 } ^ { 0 } \rangle + } } & { { \gamma \langle \tilde { N } _ { 1 } ^ { 0 } \rangle ^ { 2 } - \frac { h ^ { \prime } v v _ { u } } { 2 V } } } & { { h ^ { \prime } v / 2 } } \\ { { h ^ { \prime } \langle \tilde { N } _ { 1 } ^ { 0 } \rangle / 2 } } & { { - h ^ { \prime } v / 2 } } & { { h ^ { \prime } \frac { \langle \tilde { N } _ { 1 } ^ { 0 } \rangle v _ { d } - v V } { 2 v _ { u } } } } \end{array} \right) .
t = \frac { 1 } { 2 \hat { s } } \Big ( ( m _ { \ell ^ { f } } ^ { 2 } + m _ { q _ { o \! u \! t } } ^ { 2 } - \hat { s } ) \hat { s } + ( m _ { \ell ^ { f } } ^ { 2 } - m _ { q _ { o \! u \! t } } ^ { 2 } + \hat { s } ) m _ { q _ { i \! n } } ^ { 2 } + ( \hat { s } - m _ { q _ { i \! n } } ^ { 2 } ) \cos \vartheta ^ { C \! M } \sqrt { . . . \phantom { | } } ~ \Big ) \, .
\frac { d \sigma _ { j } } { d t } = \left( \frac { \alpha _ { e l m } } { 4 w ^ { 4 } } \left| A _ { j } \right| ^ { 2 } \Phi ^ { 2 } \right) \: Z ^ { 2 } \: \left[ 3 \: F _ { 1 } ( t ) \right] ^ { 2 } \: , \quad j = T , \: L ,
G ( W , Z ) = 1 + { \frac { P } { [ { \frac { 4 } { ( c - 2 ) ^ { 2 } } } W ^ { 2 - c } + { \frac { 4 } { ( d - 2 ) ^ { 2 } } } Z ^ { 2 - d } ] ^ { \frac { c d - c - d } { ( c - 2 ) ( d - 2 ) } } } } , \ \ ( c \neq 2 \neq d ) ,
A _ { N } = \frac { { \cal N } _ { N } } { 2 \pi ^ { 3 } ( 2 \pi ^ { 2 } ) } \int _ { 0 } ^ { 1 } d z \frac { z } { \sqrt { z } \sqrt { 1 - z } } \int _ { 0 } ^ { z ^ { 2 } } \frac { d y } { y } \left( \frac { - \ln ( y ) } { 4 \pi ^ { 2 } } \right) ^ { { \textstyle { \frac { k + 1 - D } { 2 } } } } e ^ { { \textstyle 1 6 l y } }
\begin{array} { r l r } { \beta _ { + } } & { = } & { \tau ( \Gamma _ { s } - \Gamma _ { 0 } ) + \tau \left( \frac { \omega _ { * i } } { \omega } \right) _ { s } } \\ & { \times } & { \left[ F _ { + } - \Gamma _ { s } - \left( \frac { k _ { \parallel } b k _ { \parallel } } { \omega ^ { 2 } } \right) _ { + } \frac { \tau V _ { A } ^ { 2 } F _ { + } } { ( 1 - \omega _ { * e } / \omega ) _ { + } } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { n ^ { ( 1 ) } ( r ) } & { { } = \frac { | \phi ( r ) | ^ { 2 } } { \Delta } \sum _ { L L ^ { \prime } } Y _ { L } ( r ) V _ { L ^ { \prime } } P _ { L L ^ { \prime } } + \mathrm { ~ C ~ . ~ C ~ . ~ } } \\ { P _ { L L ^ { \prime } } } & { { } = \sum _ { i \in V B } \sum _ { j \in C B } C _ { L _ { j } L _ { i } L } C _ { L _ { i } L _ { j } L ^ { \prime } } , } \end{array}
\textstyle \mathcal { G } ^ { ( 2 ) } \stackrel { = } | \hat { P } _ { + } ^ { \prime } \rangle \! \rangle \langle \! \langle \hat { P } _ { + } | + | \hat { P } _ { - } ^ { \prime } \rangle \! \rangle \langle \! \langle \hat { P } _ { - } | = \mathcal { G } ^ { { ( 2 ) } \dag } \quad \mathrm { w i t h } \quad \hat { P } _ { \pm } ^ { \prime } : = \frac { 1 } { \operatorname { T r } \hat { P } _ { \pm } } \hat { P } _ { \pm } = \frac { 2 } { N ( N \pm 1 ) } \hat { P } _ { \pm }
E _ { f } ( X , q ) = E _ { \mathrm { ~ t ~ o ~ t ~ } } ( X , q ) - E _ { \mathrm { ~ h ~ o ~ s ~ t ~ } } - \sum _ { i } n _ { i } \mu _ { i } + q \left( \varepsilon _ { \mathrm { ~ V ~ B ~ M ~ } } + \varepsilon _ { F } \right) ,
\beta f ^ { \mathrm { E F H } } v _ { 0 } = \frac { \phi _ { \mathrm { s } } } { N _ { \mathrm { s } } } \ln \phi _ { \mathrm { s } } + \frac { 1 - \phi _ { \mathrm { s } } } { N _ { \mathrm { s } } } \ln ( 1 - \phi _ { \mathrm { s } } ) + \frac { \phi _ { \mathrm { p } } } { N _ { \mathrm { p } } } \ln \left( \frac { \phi _ { \mathrm { p } } } { 1 - \phi _ { \mathrm { s } } } \right) + ( 1 - \phi _ { \mathrm { s } } - \phi _ { \mathrm { p } } ) \ln \left( \frac { 1 - \phi _ { \mathrm { s } } - \phi _ { \mathrm { p } } } { 1 - \phi _ { \mathrm { s } } } \right) ,
\begin{array} { r l } { \Delta h _ { P } ^ { Q } = } & { \frac { 1 } { 2 } \big ( L _ { P R T } ^ { Q S U } - L _ { P R T } ^ { S Q U } - L _ { P R T } ^ { U S Q } \big ) } \\ & { \times \big ( \gamma _ { S } ^ { R } \gamma _ { U } ^ { T } - \gamma _ { U } ^ { R } \gamma _ { S } ^ { T } \big ) } \\ { = } & { - \frac { 1 } { 2 } \big ( \Delta U _ { P R } ^ { Q S } - \Delta U _ { P R } ^ { S Q } \big ) \gamma _ { S } ^ { R } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \iiint _ { Q _ { r } } ( f \varphi ) ( v , x , t ) \, \mathrm { d } v \, \mathrm { d } x \, \mathrm { d } t } \\ & { \quad \ge - \textup { \texttt { c } } _ { \mathrm { o } } \iiint _ { Q _ { r } } u ^ { \gamma - 1 } ( v , x , t ) \, \mathrm { d } v \, \mathrm { d } x \, \mathrm { d } t - \lvert Q _ { r } \rvert \| \textup { \texttt { h } } \| _ { L ^ { \infty } ( Q _ { r } ) } . } \end{array}
x _ { d } = \Lambda _ { - } \cosh ^ { - 1 } \left[ \frac { \cosh \bigg ( \frac { L } { 2 \Lambda _ { - } } \bigg ) - 1 + \frac { 1 } { \alpha _ { y y } } \bigg ( e ^ { - 1 } \bigg [ m ^ { - } + \alpha _ { y y } \bigg ( 1 - \cosh \bigg ( \frac { L } { 2 \Lambda _ { - } } \bigg ) \cosh \bigg ( \frac { L } { 2 \lambda _ { \pm } } \bigg ) \bigg ) \bigg ] - m ^ { - } \bigg ) } { 1 - \cosh \bigg ( \frac { L } { 2 \Lambda _ { \mp } } \bigg ) } \right] .
\begin{array} { r l } { \| R _ { h } v \| _ { W ^ { 1 , p } ( \varOmega ) } = \| R _ { h } ^ { * } ( w + v ) \| _ { W ^ { 1 , p } ( \varOmega ) } } & { \leqslant C _ { p } \| w + v \| _ { W ^ { 1 , p } ( \varOmega ) } } \\ & { \leqslant C _ { p } \| I - A _ { h } \| _ { L ^ { \infty } ( \varOmega ) } \| v - R _ { h } v \| _ { W ^ { 1 , p } ( \varOmega ) } + C _ { p } \| v \| _ { W ^ { 1 , p } ( \varOmega ) } } \\ & { \leqslant C _ { p } h \| R _ { h } v \| _ { W ^ { 1 , p } ( \varOmega ) } + C _ { p } \| v \| _ { W ^ { 1 , p } ( \varOmega ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { K _ { \nu } ^ { a p p } ( x ) = e ^ { - \left( \frac { x } { \lambda ( \nu ) } \right) ^ { \gamma ( \nu ) } } x ^ { - \nu } \Gamma ( \nu ) 2 ^ { \nu - 1 } } \\ { \lambda ( \nu ) = \gamma ( \nu ) \sqrt { \pi } \frac { \Gamma ( \nu + 1 / 2 ) } { \Gamma ( \nu ) \Gamma ( 1 / \gamma ( \nu ) ) } } \\ { \gamma ( \nu ) = 2 \frac { ( 2 \nu ) ^ { c ( \nu ) } } { 1 + ( 2 \nu ) ^ { c ( \nu ) } } } \\ { c ( \nu ) = \frac { 0 . 2 1 6 8 + 0 . 9 3 2 \nu } { 0 . 3 9 2 + \nu } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { S _ { \beta } ^ { * } ( b ) } & { = } & { \frac 1 { | \mathcal { S } ^ { d - 1 } | } \int _ { \mathcal { S } ^ { d - 1 } } S _ { \beta } ( u , b ) h ( u ) \; \mathrm { d } \sigma ( u ) } \\ & { = } & { \frac 1 { | \mathcal { S } ^ { d - 1 } | } \int _ { \mathcal { S } ^ { d - 1 } } \left( ( b ^ { \top } u ) ^ { \beta } - \psi _ { d } ( \beta ) \right) P _ { m } ^ { \, d } ( \theta ^ { \top } u ) \; \mathrm { d } \sigma ( u ) } \\ & { = } & { \lambda _ { d } ( \beta , m ) P _ { m } ^ { \, d } ( \theta ^ { \top } b ) , } \end{array}
\left[ { \begin{array} { r r r r r r r r } { 6 2 } & { 6 5 } & { 5 7 } & { 6 0 } & { 7 2 } & { 6 3 } & { 6 0 } & { 8 2 } \\ { 5 7 } & { 5 5 } & { 5 6 } & { 8 2 } & { 1 0 8 } & { 8 7 } & { 6 2 } & { 7 1 } \\ { 5 8 } & { 5 0 } & { 6 0 } & { 1 1 1 } & { 1 4 8 } & { 1 1 4 } & { 6 7 } & { 6 5 } \\ { 6 5 } & { 5 5 } & { 6 6 } & { 1 2 0 } & { 1 5 5 } & { 1 1 4 } & { 6 8 } & { 7 0 } \\ { 7 0 } & { 6 3 } & { 6 7 } & { 1 0 1 } & { 1 2 2 } & { 8 8 } & { 6 0 } & { 7 8 } \\ { 7 1 } & { 7 1 } & { 6 4 } & { 7 0 } & { 8 0 } & { 6 2 } & { 5 6 } & { 8 1 } \\ { 7 5 } & { 8 2 } & { 6 7 } & { 5 4 } & { 6 3 } & { 6 5 } & { 6 6 } & { 8 3 } \\ { 8 1 } & { 9 4 } & { 7 5 } & { 5 4 } & { 6 8 } & { 8 1 } & { 8 1 } & { 8 7 } \end{array} } \right] .
\begin{array} { r } { \Big \lVert \bar { \theta } _ { l + 1 } - \theta ^ { * } \Big \rVert \le ( 1 + 3 \alpha c _ { 1 } ) \Big \lVert \bar { \theta } _ { l } - \theta ^ { * } \Big \rVert + \frac { 3 \alpha c _ { 1 } } { N K } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \Big \lVert \theta _ { l , k } ^ { ( i ) } - \bar { \theta } _ { l } \Big \rVert + 3 \alpha \Big \lVert \frac { 1 } { N K } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } Z _ { i } ( O _ { l , k } ^ { ( i ) } ) \Big \rVert + 2 \alpha c _ { 1 } \Gamma ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { c } { P _ { m k } ^ { c } = \sum _ { n = n _ { 1 } [ 2 ] } ^ { n _ { 2 } } \sum _ { l = 0 } ^ { L } \Xi _ { n m k } ( a , i , \gamma ) \phantom { } _ { l } \Delta \alpha _ { n m } , } \\ { P _ { m k } ^ { s } = \sum _ { n = n _ { 1 } [ 2 ] } ^ { n _ { 2 } } \sum _ { l = 0 } ^ { L } \Xi _ { n m k } ( a , i , \gamma ) \phantom { } _ { l } \Delta \beta _ { n m } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { | \delta T ( \omega ) | = \frac { 2 \Delta _ { 0 } \kappa _ { \mathrm { e x } } \sqrt { ( \kappa - \kappa _ { \mathrm { e x } } ) ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } } } { \left( \frac { \kappa ^ { 2 } } { 4 } + \Delta _ { 0 } ^ { 2 } \right) \sqrt { \left( \frac { \kappa ^ { 2 } } { 4 } + \Delta _ { 0 } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } \right) ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } \kappa ^ { 2 } } } | \delta \Delta ( \omega ) | . } \end{array}
\begin{array} { r } { { \bf D } _ { [ 1 ] } ^ { 2 } = \mathcal { L } _ { [ 1 ] } = \left( \begin{array} { c c c } { { \bf L } _ { [ 0 ] } } & { { \bf 0 } } & { { \bf 0 } } \\ { { \bf 0 } } & { { \bf L } _ { [ 1 ] } ^ { d o w n } } & { { \bf 0 } } \\ { { \bf 0 } } & { { \bf 0 } } & { { \bf 0 } } \end{array} \right) , } \\ { { \bf D } _ { [ 2 ] } ^ { 2 } = \mathcal { L } _ { [ 2 ] } = \left( \begin{array} { c c c } { { \bf 0 } } & { { \bf 0 } } & { { \bf 0 } } \\ { { \bf 0 } } & { { \bf L } _ { [ 1 ] } ^ { u p } } & { { \bf 0 } } \\ { { \bf 0 } } & { { \bf 0 } } & { { \bf L } _ { [ 2 ] } ^ { d o w n } } \end{array} \right) . } \end{array}
S [ \phi , \psi ] = \int \operatorname { d } ^ { n } x \left[ { \frac { 1 } { 2 } } \partial ^ { \mu } \phi \partial _ { \mu } \phi - V ( \phi ) + { \bar { \psi } } \left( i \partial \! \! \! / - m \right) \psi - g { \bar { \psi } } \phi \psi \right] ~ .
\begin{array} { r l } { \mathcal { S } _ { I I } } & { { } = \Delta _ { I } - i \, \Gamma _ { I } / 2 \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } ~ I = J ~ , } \\ { \mathcal { S } _ { I J } } & { { } = - i \, \sqrt { \Gamma _ { I } \, \Gamma _ { J } } \, / 2 \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } ~ I \neq J ~ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left[ \bar { Z } \right] _ { 1 1 } \partial _ { t } \bar { B } _ { s } ( t ) + } & { \left[ \bar { Z } \right] _ { 1 2 } \bar { E } _ { s } ( t ) = - \left[ \bar { Z } \right] _ { 1 3 } \bar { E } _ { n s } ( t ) } \\ { \left[ \bar { Z } \right] _ { 2 1 } \partial _ { t } \bar { E } _ { s } ( t ) - } & { \left[ \bar { Z } \right] _ { 2 2 } \bar { B } _ { s } ( t ) = - \partial _ { t } \bar { G } ( t ) - \left[ \bar { Z } \right] _ { 2 3 } \partial _ { t } \bar { E } _ { n s } ( t ) } \end{array}
\begin{array} { r } { { \left\{ \begin{array} { l l } { \langle S , f ^ { \bullet } \rangle : V \to \mathbb { F } } \\ { y \mapsto \langle S , f ^ { y } \rangle } \end{array} \right. } } \\ { { \left\{ \begin{array} { l l } { \langle T , f _ { \bullet } \rangle : U \to \mathbb { F } } \\ { x \mapsto \langle T , f _ { x } \rangle } \end{array} \right. } } \end{array}
\begin{array} { l c r } { { J _ { 0 } ^ { q } = \int { \frac { d z } { 2 i \pi } } J ^ { q } ( z ) } } \\ { { \bar { J } _ { 0 } ^ { q } = \int { \frac { d { \bar { z } } } { 2 i \pi } } { \bar { J } } ^ { q } ( \bar { z } ) . } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \omega _ { 2 } } & { = \omega _ { 1 } + \alpha t } \\ { \theta } & { = \omega _ { 1 } t + { \frac { 1 } { 2 } } \alpha t ^ { 2 } } \\ { \omega _ { 2 } ^ { 2 } } & { = \omega _ { 1 } ^ { 2 } + 2 \alpha \theta } \\ { \theta } & { = { \frac { 1 } { 2 } } \left( \omega _ { 2 } + \omega _ { 1 } \right) t } \end{array} }
\begin{array} { r l } { P _ { \mathrm { ~ S ~ R ~ G ~ M ~ } } ( \mathbf { A } ) } & { { } = P _ { \mathrm { ~ R ~ G ~ M ~ } } ( \mathbf { A } ) \cdot \frac { P _ { \mathrm { ~ S ~ R ~ G ~ M ~ } } ( \mathbf { A } ) } { P _ { \mathrm { ~ R ~ G ~ M ~ } } ( \mathbf { A } ) } } \end{array}
\mathbf { M } ^ { \mathrm { b } } = \left( \begin{array} { c c } { \boldmath { \Theta } ^ { \mathrm { b } } } & { m _ { \mathrm { b } } \widetilde { \mathbf { d } } _ { \mathrm { b } } } \\ { - m _ { \mathrm { b } } \widetilde { \mathbf { d } } _ { \mathrm { b } } } & { m _ { \mathrm { b } } \mathbf { I } } \end{array} \right) , \ \ \mathbf { M } ^ { i } = \left( \begin{array} { c c } { \boldmath { \Theta } ^ { i } } & { m _ { i } \widetilde { \mathbf { d } } _ { i } } \\ { - m _ { i } \widetilde { \mathbf { d } } _ { i } } & { m _ { i } \mathbf { I } } \end{array} \right)