harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { x _ { 1 } } & { = R \sin ( \alpha _ { 1 } ) \sin ( \alpha _ { 2 } ) \sin ( \alpha _ { 3 } ) \sin ( \alpha _ { 4 } ) \sin ( \alpha _ { 5 } ) ~ , } \\ { x _ { 2 } } & { = R \cos ( \alpha _ { 1 } ) \sin ( \alpha _ { 2 } ) \sin ( \alpha _ { 3 } ) \sin ( \alpha _ { 4 } ) \sin ( \alpha _ { 5 } ) ~ , } \\ { x _ { 3 } } & { = R \cos ( \alpha _ { 2 } ) \sin ( \alpha _ { 3 } ) \sin ( \alpha _ { 4 } ) \sin ( \alpha _ { 5 } ) ~ , } \\ { x _ { 4 } } & { = R \cos ( \alpha _ { 3 } ) \sin ( \alpha _ { 4 } ) \sin ( \alpha _ { 5 } ) ~ , } \\ { x _ { 5 } } & { = R \cos ( \alpha _ { 4 } ) \sin ( \alpha _ { 5 } ) ~ , } \\ { x _ { 6 } } & { = R \cos ( \alpha _ { 5 } ) ~ , } \end{array}
s _ { n } = \left| \Delta ^ { ( 1 / 2 ) } \left( H _ { 1 / 2 } - \frac { H _ { 1 } } { 2 } \right) + \Delta ^ { ( 1 ) } \left( \frac { H _ { 1 } } { 2 } - \frac { H _ { 1 / 2 } } { 2 } \right) \right|
\begin{array} { r l } { \mathcal { F } ( \rho _ { 1 } , \rho _ { 3 } ) } & { : = \alpha _ { 1 3 } \xi \left( \frac { \rho _ { 3 } } { \rho _ { 1 } + \varepsilon } \right) \rho _ { 1 } \rho _ { 3 } , } \\ { \mathcal { G } ( \rho _ { 1 } , \rho _ { 2 } ) } & { : = \alpha _ { 1 2 } \xi \left( \frac { \rho _ { 2 } } { \rho _ { 1 } + \varepsilon } \right) \rho _ { 1 } \rho _ { 2 } , } \\ { \mathcal { H } ( \rho _ { 2 } , \rho _ { 3 } ) } & { : = \left( \alpha _ { 2 3 } \xi \left( \frac { \rho _ { 3 } } { \rho _ { 2 } + \varepsilon } \right) - \alpha _ { 3 2 } \xi \left( \frac { \rho _ { 2 } } { \rho _ { 3 } + \varepsilon } \right) \right) \rho _ { 2 } \rho _ { 3 } . } \end{array}
\langle c _ { \vec { r } _ { i } , \uparrow } ^ { \dag } c _ { \vec { r } _ { j } , \downarrow } ^ { \dag } - c _ { \vec { r } _ { j } , \uparrow } ^ { \dag } c _ { \vec { r } _ { i } , \downarrow } ^ { \dag } \rangle = \delta _ { \vec { r } _ { i } , \vec { \rho } } \, \delta _ { \vec { r } _ { j } , \vec { \rho } } \, \Phi ( \vec { r } _ { i } , \vec { r } _ { j } )
| \Lambda , \Xi \rangle _ { o r b } = c o n s t \sum _ { \nu , \nu ^ { \prime } , \nu _ { i } } ( - 1 ) ^ { \nu } ( - 1 ) ^ { \frac { s _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 } } | \lambda , \Xi + \nu \beta _ { 0 } + \nu ^ { \prime } \beta _ { \gamma } + \nu _ { 1 } \beta ^ { ( 1 ) } + \dots + \nu _ { r } \beta ^ { ( r ) } \rangle .
\frac { \partial P _ { t } ( v , x ) } { \partial t } = \mathcal { L } _ { \mathrm { F P } } P _ { t } ( v , x ) , \mathcal { L } _ { \mathrm { F P } } : = - \frac { \partial } { \partial x } v + \frac { \gamma } { M } \left[ \frac { \partial } { \partial v } \left( v + \frac { d U ( x ) } { d x } \right) + \frac { T } { M } \frac { \partial } { \partial v } \right] .
\begin{array} { r l r } { \tilde { \ell } _ { 2 } ( \Pi _ { h } \boldsymbol { v } ) } & { = } & { \ell _ { 2 } ( \Pi _ { h } \boldsymbol { v } ) - d ( \Pi _ { h } \boldsymbol { v } , \boldsymbol { p } _ { h } ) - c ( \tilde { \boldsymbol { u } } _ { h } , \Pi _ { h } \boldsymbol { v } ) } \\ & { = } & { \ell _ { 2 } ( \Pi _ { h } \boldsymbol { v } ) - d ( \Pi _ { h } \boldsymbol { v } , \boldsymbol { p } _ { h } ) - c ( \boldsymbol { u } _ { h } , \Pi _ { h } \boldsymbol { v } ) + c ( \boldsymbol { u } _ { h } - \tilde { \boldsymbol { u } } _ { h } , \Pi _ { h } \boldsymbol { v } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { u ( x , t ) } & { = \int K ( y , x ) \wedge \omega ( y , t ) \mathrm { d } y } \\ & { = \int \mathbb { E } \left[ K ( X _ { t } ^ { z } , x ) \wedge \omega ( z , 0 ) \right] \mathrm { d } z + \int _ { 0 } ^ { t } \iint K ( y , x ) \wedge g ( \xi , s ) p ( s , \xi , t , y ) \mathrm { d } y \mathrm { d } \xi \mathrm { d } s } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { \alpha _ { 0 } } } & { = \hat { H } _ { 0 } + \hat { V } , } \\ { \hat { H } _ { 0 } } & { = \hbar \omega _ { z } \hat { J } _ { z } - \hbar \Delta _ { d } \hat { b } ^ { \dagger } \hat { b } , } \\ { \hat { V } } & { = \frac { \hbar g _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 \Delta _ { a } } \left( \hat { J } _ { + } + \hat { J } _ { - } \right) \left( \alpha _ { 0 } \hat { b } ^ { \dagger } + \alpha _ { 0 } ^ { * } \hat { b } \right) , } \\ { \hat { L } } & { = \sqrt { \kappa } \hat { b } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { \boldsymbol { x } \in \mathcal { X } _ { \neq } ^ { k } } \mathcal { I } _ { 0 , 0 } ^ { \gamma } ( k , \boldsymbol { x } , t ; \hbar ) \varphi ( x ) - \mathcal { I } _ { \infty } ^ { \gamma } ( k , \boldsymbol { x } , t ; \hbar ) \varphi ( x ) = \sum _ { \nu = 1 } ^ { k } \mathcal { I } _ { \infty , \nu } ^ { \gamma } ( k , t ; \hbar ) \varphi ( x ) , } \end{array}
\frac { 1 } { 2 } \left\{ \sigma _ { \mu \nu } , \sigma _ { \alpha \beta } \right\} = \delta _ { \mu \alpha } \delta _ { \nu \beta } - \delta _ { \mu \beta } \delta _ { \nu \alpha } + i \epsilon _ { \mu \nu \alpha \beta } \gamma _ { 5 } .
\begin{array} { r l } { A ( q ) } & { { } = - 4 q \int _ { 0 } ^ { R } f ( t ) \sin ( q t ) \, \mathrm { d } t \, , } \\ { B ( q ) } & { { } = - 4 q \int _ { 0 } ^ { R } g ( t ) \cos ( q t ) \, \mathrm { d } t \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { \partial \boldsymbol { \omega } } { \partial t } = . . . + \nabla \times \left( - u _ { z } \frac { \partial u _ { y } ^ { S } } { \partial z } \mathbf { \hat { y } } \right) \rightarrow } \\ & { } & { \rightarrow \frac { \omega _ { r m s } } { t _ { t u r n } } \approx k _ { f } ~ u _ { r m s } ~ k _ { f } ~ u ^ { S } \rightarrow \frac { k _ { \omega } } { k _ { f } } \approx A ~ t _ { t u r n } ~ k _ { f } ~ . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { E } [ \lambda _ { Z _ { 0 } } X _ { T } ^ { Z _ { 0 } } ] = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \mathbb { E } [ \lambda _ { Z _ { 0 } } X _ { T } ^ { Z _ { 0 } } | Z _ { 0 } = k ] P ( Z _ { 0 } = k ) = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \lambda _ { k } \mu _ { k } ( 0 ) \mathbb { E } [ X _ { T } ^ { k } ] = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \mathbf { u } _ { k } \mathbb { E } [ X _ { T } ^ { k } ] } \end{array}
\begin{array} { r } { \lVert \dot { \lambda } ( t ) + \rho ( \lambda ( t ) - \eta ) \rVert _ { Y } ^ { 2 } + ( \rho ^ { 2 } - \alpha \rho + \beta ) \lVert \lambda ( t ) - \eta \rVert _ { Y } ^ { 2 } } \\ { + \, 2 ( \alpha - 2 \rho ) \int _ { 0 } ^ { t } \lVert \dot { \lambda } ( \tau ) + \rho ( \lambda ( \tau ) - \eta ) \rVert _ { Y } ^ { 2 } \, \mathrm { d } \tau \leq C \mathrm { e } ^ { - 2 \rho t } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbf { W } \cdot { \mathbf B } = } & { ~ 0 } & { \qquad \mathrm { i n } \quad \Omega ^ { W } , } \\ { \nabla ^ { 2 } { \varphi } = } & { ~ \nabla \cdot \left( \mathbf { W } \times { \mathbf B } \right) } & { \qquad \mathrm { i n } \quad \Omega ^ { W } , } \\ { \mathbf { Z } = } & { ~ \nabla \varphi - \mathbf { W } \times { \mathbf B } } & { \qquad \mathrm { i n } \quad \Omega ^ { W } , } \\ { \nabla \times \mathbf { Z } = } & { - \nabla \times ( \mathbf { W } \times { \mathbf B } ) = ~ \mathbf { 0 } } & { \qquad \mathrm { i n } \quad \Omega ^ { W } , } \\ { \mathbf { W } = } & { ~ \mathbf { 0 } } & { \qquad \mathrm { o n } \quad \partial \Omega ^ { W } , } \\ { \varphi = } & { ~ 0 } & { \qquad \mathrm { o n } \quad \partial \Omega ^ { W } , } \\ { \mathbf { Z } = } & { ~ \mathbf { 0 } } & { \qquad \mathrm { o n } \quad \partial \Omega ^ { W } . } \end{array}
e = \frac { 1 } { 2 } \cdot \frac { \overline { { \Delta } } ^ { 2 } } { 1 2 } \frac { \partial \overline { { u } } _ { i } } { \partial x _ { j } } \frac { \partial \overline { { u } } _ { i } } { \partial x _ { j } } ,
a _ { 1 1 } \frac { \Gamma S _ { 1 1 } S _ { 2 2 } - \Gamma S _ { 1 2 } S _ { 2 1 } - S _ { 1 1 } } { \Gamma S _ { 2 2 } - 1 } = \frac { \Gamma _ { N , a } - a _ { 1 2 } } { 1 - ( a _ { 2 1 } / a _ { 1 1 } ) \Gamma _ { N , a } } .
\begin{array} { r l } & { R \overset { ( a ) } { \leq } \operatorname* { m i n } \Big \{ \big ( H ( Y _ { 1 } , S _ { 1 } | Y _ { 2 } , S _ { 2 } ) - H ( S _ { 1 } | Y _ { 1 } , Y _ { 2 } , S _ { 2 } ) \big ) , \quad I ( X ; Y _ { 1 } | S _ { 1 } ) \Big \} } \\ & { = \operatorname* { m i n } \big \{ H ( Y _ { 1 } | Y _ { 2 } , S _ { 2 } ) , \quad I ( X ; Y _ { 1 } | S _ { 1 } ) \big \} } \end{array}
k _ { j x } ( \mathbf { r } _ { 1 } - l \mathbf { e } _ { y } , \mathbf { r } _ { 2 } - l \mathbf { e } _ { y } ) \approx \frac { 1 } { 2 l } \arcsin \frac { I _ { j R } - I _ { j L } } { I _ { j R } + I _ { j L } } .
\begin{array} { r l r } { \ensuremath { \mathbf { n } } _ { 2 } ^ { \ensuremath { \mathrm { ~ e ~ l ~ } } } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } & { { } = } & { \ensuremath { \mathbf { n } } _ { 1 } ^ { \ensuremath { \mathrm { ~ e ~ l ~ } } } ( x _ { 1 } , x _ { 1 } ) \otimes \ensuremath { \mathbf { n } } _ { 1 } ^ { \ensuremath { \mathrm { ~ e ~ l ~ } } } ( x _ { 2 } , x _ { 2 } ) } \end{array}
\frac { E _ { u d } ( \tau _ { A _ { 1 } } ) } { E _ { 0 } } = \frac { \dot { x } _ { u d } ( \tau _ { A _ { 1 } } ) ^ { 2 } } { \omega _ { 0 } ^ { 2 } x _ { 0 } ^ { 2 } } = 1 0 ^ { - \delta } \, .
A _ { s } = { \frac { H _ { I } ^ { 2 } } { \pi \epsilon _ { 1 } M _ { P l } ^ { 2 } } } \, , \ \ \ \ \ \ \ A _ { t } = { \frac { 1 6 H _ { I } ^ { 2 } } { \pi M _ { P l } ^ { 2 } } } \, ,
I _ { \mathbf { a } } ^ { \hat { \mathbf { n } } } = I _ { 0 } ^ { \hat { \mathbf { n } } } e ^ { - 2 | \mathbf { a } _ { \hat { \mathbf { n } } } | ^ { 2 } / W _ { \hat { \mathbf { n } } } ^ { 2 } }
\kappa ( t ) = \frac { \sigma _ { \mathrm { ~ m ~ e ~ a ~ s ~ , ~ 7 ~ 0 ~ 0 ~ } } ( t ) } { \sigma _ { \mathrm { ~ m ~ e ~ a ~ s ~ , ~ 5 ~ 1 ~ 5 ~ } } ( t ) } = \frac { \sqrt { \sigma _ { \mathrm { ~ p ~ o ~ p ~ } } ^ { 2 } ( t ) + \sigma _ { 7 0 0 } ^ { 2 } } } { \sqrt { \sigma _ { \mathrm { ~ p ~ o ~ p ~ } } ^ { 2 } ( t ) + \sigma _ { 5 1 5 } ^ { 2 } } }
\hat { \eta } ^ { ( 1 ) } ( f ) \propto g ^ { 2 } ( 2 \pi ) ^ { - 4 } f ^ { - 5 } \exp \left( - \frac { 5 } { 4 } \left( \frac { f } { f _ { p } } \right) ^ { - 4 } \right) \gamma ^ { \beta } \quad \textrm { w i t h } \quad \beta = \exp \left( \frac { - ( f / f _ { p } - 1 ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } \right) ,
\begin{array} { r l r } { | \Psi \rangle } & { { } = } & { . . . \Big [ e ^ { \tau _ { L } } \Big ] _ { \delta } . . . \Big [ e ^ { \tau _ { K } } \Big ] _ { \gamma } . . . \Big [ e ^ { \tau _ { J } } \Big ] _ { \beta } . . . | \Psi _ { H F } \rangle } \\ { | \Psi \rangle } & { { } = } & { \prod _ { \alpha = 1 } ^ { N _ { T } } \Big [ e ^ { \tau _ { I } } \Big ] _ { \alpha } | \Psi _ { H F } \rangle } \end{array}
\langle { \cal O } _ { \mu _ { 1 } \cdots \mu _ { s } } ( x ) ~ { \cal O } _ { \nu _ { 1 } \cdots \nu _ { s } } ( 0 ) \rangle = c _ { s } \frac { 1 } { ( | x | \mu ) ^ { 2 h _ { s } } } { \prod } _ { \mu _ { 1 } \cdots \mu _ { s } , \nu _ { 1 } \cdots \nu _ { s } } ^ { ( s ) } \left( \frac { 1 } { | x | ^ { 4 } } \right) ,
\left[ \begin{array} { l l } { E \, \mathbf { I } - \mathbf { H } _ { e f f } } & { 0 } \\ { 0 } & { - E \, \mathbf { I } + \mathbf { H } _ { e f f } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { B } ^ { c } ( E ) } & { \mathbf { B } ^ { < } ( E ) } \\ { \mathbf { B } ^ { > } ( E ) } & { \mathbf { B } ^ { \tilde { c } } ( E ) } \end{array} \right] = \mathbf { I } ,
\begin{array} { r l } & { ( j + \left| \kappa \right| - \kappa ) a _ { j } = - \left( W _ { n \kappa } - m _ { e } \right) b _ { j - 1 } + \sum _ { m = 0 } ^ { j - 1 } v _ { m } b _ { j - 1 - m } } \\ & { ( j + \left| \kappa \right| + \kappa ) b _ { j } = \left( W _ { n \kappa } + m _ { e } \right) a _ { j - 1 } - \sum _ { m = 0 } ^ { j - 1 } v _ { m } a _ { j - 1 - m } } \end{array}
I _ { \ell _ { A } + \ell _ { B } } ^ { - ( m _ { A } + m _ { B } ) } ( \mathbf { R } _ { A B } ) \equiv \left[ { \frac { 4 \pi } { 2 \ell _ { A } + 2 \ell _ { B } + 1 } } \right] ^ { 1 / 2 } \; { \frac { Y _ { \ell _ { A } + \ell _ { B } } ^ { - ( m _ { A } + m _ { B } ) } \left( { \widehat { \mathbf { R } } } _ { A B } \right) } { R _ { A B } ^ { \ell _ { A } + \ell _ { B } + 1 } } } ,
\begin{array} { r l r } { \bar { q } ^ { 1 / 2 } \left| \frac { 1 } { N } \hat { \bf e } _ { 0 } ^ { H } { \bf e } _ { N , 1 } \right| } & { \leq } & { \Delta t ^ { 4 } C _ { 1 1 } + \Delta t ^ { 5 } C _ { 1 2 } , } \\ { \left| \frac { 1 } { N } \hat { \bf e } _ { 0 } ^ { H } { \bf e } _ { N , 2 } \right| } & { \leq } & { \Delta t ^ { 3 } C _ { 2 1 } + \Delta t ^ { 4 } C _ { 2 2 } , } \end{array}
\mathbf { B } ( \mathbf { r } , t ) = - { \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi } } \int \left[ { \frac { \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } } { | \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } | ^ { 3 } } } \times \mathbf { J } ( \mathbf { r } ^ { \prime } , t _ { r } ) + { \frac { \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } } { | \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } | ^ { 2 } } } \times { \frac { 1 } { c } } { \frac { \partial \mathbf { J } ( \mathbf { r } ^ { \prime } , t _ { r } ) } { \partial t } } \right] d V ^ { \prime } ,
\arctan ( z ) = i \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { 2 n - 1 } } \left( { \frac { 1 } { ( 1 + 2 i / z ) ^ { 2 n - 1 } } } - { \frac { 1 } { ( 1 - 2 i / z ) ^ { 2 n - 1 } } } \right) ,
( \delta _ { 1 2 } ) ^ { 2 } ( \delta _ { 3 4 } ) ^ { 2 } = \delta _ { \{ A _ { 1 } B _ { 1 } \} } ^ { A _ { 2 } B _ { 2 } } \delta _ { \{ A _ { 3 } B _ { 3 } \} } ^ { A _ { 4 } B _ { 4 } } \; , \qquad \delta _ { 1 3 } \delta _ { 1 4 } \delta _ { 2 3 } \delta _ { 2 4 } = \delta _ { \{ A _ { 1 } B _ { 1 } \} } ^ { \{ A _ { 3 } \{ B _ { 4 } } \delta _ { \{ A _ { 2 } B _ { 2 } \} } ^ { A _ { 4 } \} B _ { 3 } \} } \; ,
\begin{array} { r l } { \{ u _ { 1 } , u _ { 4 } , u _ { 5 } \} = } & { - \frac { 7 8 7 0 9 2 5 8 5 9 6 4 1 1 } { 2 8 3 9 9 3 1 6 8 7 6 8 } u _ { 2 } ^ { 4 } - \frac { 3 3 3 4 4 9 3 2 2 9 7 4 7 3 } { 3 6 3 9 5 0 2 3 6 0 } u _ { 4 } ^ { 2 } u _ { 1 } + \frac { 5 3 7 0 9 4 2 8 4 1 4 0 9 7 } { 1 4 5 5 8 0 0 9 4 4 0 } u _ { 4 } ^ { 2 } u _ { 2 } + \frac { 1 3 3 2 4 5 6 3 7 7 6 1 8 8 8 } { 7 2 1 0 7 6 4 0 5 0 7 5 } u _ { 3 } ^ { 2 } } \\ & { - \frac { 2 0 0 7 1 8 5 5 4 1 0 9 3 } { 7 2 1 0 7 6 4 0 5 0 7 5 } u _ { 5 } ^ { 2 } + \frac { 7 7 8 6 5 0 9 7 8 7 2 6 2 4 3 } { 1 4 4 2 1 5 2 8 1 0 1 5 0 } u _ { 1 } ^ { 3 } u _ { 2 } + \frac { 6 4 6 9 8 4 7 5 0 7 0 5 2 9 } { 9 2 2 9 7 7 7 9 8 4 9 6 } u _ { 2 } ^ { 3 } u _ { 1 } + \frac { 3 0 5 8 1 0 2 7 7 1 6 7 2 2 3 } { 4 4 3 7 3 9 3 2 6 2 0 0 } u _ { 1 } ^ { 2 } u _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { - \frac { 7 0 7 0 3 1 9 9 3 2 0 3 3 7 } { 7 2 1 0 7 6 4 0 5 0 7 5 } u _ { 1 } ^ { 2 } u _ { 3 } + \frac { 3 0 4 9 9 6 0 7 8 5 0 8 4 } { 7 2 1 0 7 6 4 0 5 0 7 5 } u _ { 1 } ^ { 2 } u _ { 5 } - \frac { 1 7 2 8 2 6 8 7 7 4 2 0 6 9 3 9 } { 2 3 0 7 4 4 4 4 9 6 2 4 0 } u _ { 2 } ^ { 2 } u _ { 3 } - \frac { 2 6 6 9 6 0 9 2 2 2 1 2 0 7 } { 5 7 6 8 6 1 1 2 4 0 6 0 } u _ { 2 } ^ { 2 } u _ { 4 } } \\ & { - \frac { 6 3 5 8 5 2 1 3 6 8 5 5 4 2 } { 7 2 1 0 7 6 4 0 5 0 7 5 } u _ { 3 } u _ { 5 } , } \end{array}
[ \mathcal { A } _ { i } ( { \bf k } ) ] _ { m , n } = - \mathrm { i } \left< u _ { m } ( { \bf k } ) \vphantom { \partial _ { k _ { i } } } \vphantom { u _ { n } ( { \bf k } ) } \left| \partial _ { k _ { i } } \vphantom { u _ { m } ( { \bf k } ) } \vphantom { u _ { n } ( { \bf k } ) } \right| u _ { n } ( { \bf k } ) \vphantom { u _ { m } ( { \bf k } ) } \vphantom { \partial _ { k _ { i } } } \right>
p ( \theta _ { 1 } , \cdots , \theta _ { m } ) = C \prod _ { 1 \leq i \leq m } ( 1 - \sigma \cos \theta _ { i } ) \prod _ { 1 \leq k < j \leq m } ( \cos \theta _ { k } - \cos \theta _ { j } ) ^ { 2 } ~ .
\begin{array} { r l } { \phi ( r , \theta , z ) } & { = \sum _ { n = - N } ^ { N } \Phi ^ { ( n ) } ( r , z ) \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } n \theta } , } \\ { \Phi ^ { ( n ) } } & { = S ^ { ( n ) } G ^ { ( n ) } ( r , r _ { 1 } , z - z _ { 1 } ) , } \\ { G ^ { ( n ) } ( r , r _ { 1 } , x ) } & { = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } n \theta _ { 1 } } } { 4 \pi R } \, \mathrm { d } \theta _ { 1 } = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { \cos n \theta _ { 1 } } { 4 \pi R } \, \mathrm { d } \theta _ { 1 } , } \\ { R ^ { 2 } } & { = r ^ { 2 } + r _ { 1 } ^ { 2 } - 2 r r _ { 1 } \cos \theta _ { 1 } + x ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { i \partial _ { t } \tilde { a } \left( e , \mathbf { p } , t \right) } & { = } & { \left( \frac { p ^ { 2 } } { 2 M \hbar } - i M \mathbf { g \cdot } \partial _ { \mathbf { p } } + \frac { \left\vert \Omega _ { 2 } \right\vert ^ { 2 } } { 4 \Delta } \right) \tilde { a } \left( e , \mathbf { p } , t \right) + \frac { \Omega } { 2 } \exp \left[ - i \left( \tilde { \delta } t + \phi \left( t \right) \right) \right] f ^ { 2 } \left( t \right) \tilde { a } \left( g , \mathbf { p } - \hbar \mathbf { k } , t \right) , } \\ { i \partial _ { t } \tilde { a } \left( g , \mathbf { p } , t \right) } & { = } & { \left( \frac { p ^ { 2 } } { 2 M \hbar } - i M \mathbf { g \cdot } \partial _ { \mathbf { p } } + \frac { \left\vert \Omega _ { 1 } \right\vert ^ { 2 } } { 4 \Delta } \right) \tilde { a } \left( g , \mathbf { p } , t \right) + \frac { \Omega ^ { \ast } } { 2 } \exp \left[ i \left( \tilde { \delta } t + \phi \left( t \right) \right) \right] f ^ { 2 } \left( t \right) \tilde { a } \left( e , \mathbf { p } + \hbar \mathbf { k } , t \right) , } \end{array}
\operatorname { S t e k } _ { D } ( { \mathbb { D } } _ { \scriptscriptstyle { \frac { 1 } { 2 } } } ( 2 \mathbf L _ { 3 } ) ) = \operatorname { S t e k } _ { D } ( { \mathbb { D } } _ { \scriptscriptstyle { \frac { 1 } { 2 } } } ( \mathbf L _ { 3 } ) ) \sqcup \operatorname { S t e k } _ { D N } ( { \mathbb { D } } _ { \scriptscriptstyle { \frac { 1 } { 4 } } } ( \mathbf L _ { 3 } ) )
T _ { b 2 } ^ { A B } T _ { b 2 } ^ { C D } , \quad T _ { b 2 } ^ { C D } T _ { b 2 } ^ { A B } , \quad T _ { b 2 } ^ { A C } T _ { b 2 } ^ { B D } , \quad T _ { b 2 } ^ { B D } T _ { b 2 } ^ { A C } , \quad T _ { b 2 } ^ { A D } T _ { b 2 } ^ { B C } , \quad T _ { b 2 } ^ { B C } T _ { b 2 } ^ { A D }
\begin{array} { r l } { \rho _ { 1 2 , D } ( \Delta _ { c } ) = } & { } \\ { ~ \frac { \Delta v _ { c } } { v _ { \sigma } \sqrt { 2 \pi } } } & { \sum _ { v _ { i } = v _ { \uparrow } } ^ { 3 v _ { \sigma } } \rho _ { 1 2 } \left( v _ { i } , \Delta _ { c } \right) e ^ { \frac { - v _ { i } ^ { 2 } } { 2 v _ { \sigma } ^ { 2 } } } } \\ { + \frac { \Delta v _ { f } } { v _ { \sigma } \sqrt { 2 \pi } } } & { \sum _ { v _ { i } = v _ { \downarrow } } ^ { v _ { \uparrow } } \rho _ { 1 2 } \left( v _ { i } , \Delta _ { c } \right) e ^ { \frac { - v _ { i } ^ { 2 } } { 2 v _ { \sigma } ^ { 2 } } } } \\ { + \frac { \Delta v _ { c } } { v _ { \sigma } \sqrt { 2 \pi } } } & { \sum _ { v _ { i } = - 3 v _ { \sigma } } ^ { v _ { \downarrow } } \rho _ { 1 2 } \left( v _ { i } , \Delta _ { c } \right) e ^ { \frac { - v _ { i } ^ { 2 } } { 2 v _ { \sigma } ^ { 2 } } } } \end{array} \, \, \, \, \, .
g ^ { 2 } \left( \begin{array} { c c } { { - \frac { 1 } { \bar { D } ^ { 2 } } \delta _ { \sigma \nu } + \frac { 1 } { \bar { D } ^ { 2 } } \bar { D } _ { \sigma } \left( \frac { 1 - \beta } { ( 1 - \beta ) E + \beta } \right) \bar { D } _ { \nu } \frac { 1 } { \bar { D } ^ { 2 } } } } & { { \frac { 1 } { \bar { D } ^ { 2 } } \bar { D } _ { \sigma } \left( \frac { - i } { ( 1 - \beta ) E + \beta } \right) } } \\ { { \left( \frac { i } { ( 1 - \beta ) E + \beta } \right) \bar { D } _ { \nu } \frac { 1 } { \bar { D } ^ { 2 } } } } & { { \left( \frac { 1 - E } { ( 1 - \beta ) E + \beta } \right) } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \cos ( \theta ) } & { { } = \left| \boldsymbol { p } \cdot \boldsymbol { \hat { g } } \right| } \\ { \cos ( \psi ) } & { { } = \left| \frac { \left[ \left( \mathbb { 1 } - \boldsymbol { p } \boldsymbol { p } \right) \cdot \boldsymbol { \hat { g } } \right] \cdot \boldsymbol { p ^ { \prime } } } { | \left( \mathbb { 1 } - \boldsymbol { p } \boldsymbol { p } \right) \cdot \boldsymbol { \hat { g } } | } \right| } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \mathbb { E } ( \widehat { T } _ { 1 } ) } & { \; = \; \mathbb { E } \big ( \widehat { T } _ { 1 } \, \big | \, \widehat { y } _ { \widehat { T } _ { - , + } } \geq \widehat { y } _ { + } \big ) \, \mathbb { P } \big ( \big \{ \widehat { y } _ { \widehat { T } _ { - , + } } \geq \widehat { y } _ { + } \big \} \big ) } \\ & { \qquad + \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \mathbb { E } \big ( \widehat { T } _ { 1 } \, \big | \, \widehat { y } _ { m } \leq \widehat { y } _ { - } \, , \widehat { T } _ { - , + } = m \big ) \, \mathbb { P } \big ( \big \{ \widehat { y } _ { m } \leq \widehat { y } _ { - } \, , \widehat { T } _ { - , + } = m \big \} \big ) } \\ & { \; = \; \mathbb { P } \big ( \big \{ \widehat { y } _ { \widehat { T } _ { - , + } } \geq \widehat { y } _ { + } \big \} \big ) \, \mathbb { E } \big ( \widehat { T } _ { 1 } \, \big | \, \widehat { y } _ { \widehat { T } _ { - , + } } \geq \widehat { y } _ { + } \big ) } \\ & { \qquad + \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \mathbb { P } \big ( \big \{ \widehat { y } _ { m } \leq \widehat { y } _ { - } \, , \widehat { T } _ { - , + } = m \big \} \big ) \mathbb { E } \big ( m + 1 + \widehat { T } _ { 1 } ^ { ( m ) } \, \big | \, \widehat { y } _ { m } \leq \widehat { y } _ { - } \, , \widehat { T } _ { - , + } = m \big ) } \\ & { \; = \; \mathbb { P } \big ( \big \{ \widehat { y } _ { \widehat { T } _ { - , + } } \geq \widehat { y } _ { + } \big \} \big ) \, \mathbb { E } \big ( \widehat { T } _ { - , + } + 3 \, \big | \, \widehat { y } _ { \widehat { T } _ { - , + } } \geq \widehat { y } _ { + } \big ) } \\ & { \qquad + \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \mathbb { P } \big ( \big \{ \widehat { y } _ { m } \leq \widehat { y } _ { - } \, , \widehat { T } _ { - , + } = m \big \} \big ) \left( \mathbb { E } \big ( \widehat { T } _ { - , + } \, \big | \, \widehat { y } _ { \widehat { T } _ { - , + } } \leq \widehat { y } _ { - } \, , \widehat { T } _ { - , + } = m \big ) + 1 + \mathbb { E } ( \widehat { T } _ { 1 } ) \right) } \\ & { \; = \; \mathbb { E } ( \widehat { T } _ { - , + } ) \, + \, 3 \, \mathbb { P } \big ( \big \{ \widehat { y } _ { \widehat { T } _ { - , + } } \geq \widehat { y } _ { + } \big \} \big ) \, + \, \left( 1 - \mathbb { P } \big ( \big \{ \widehat { y } _ { \widehat { T } _ { - , + } } \geq \widehat { y } _ { + } \big \} \big ) \right) \left( 1 + \mathbb { E } ( \widehat { T } _ { 1 } ) \right) \, , } \end{array} } \end{array}
\left[ \begin{array} { l l l l l l l } { 1 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { - 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { - 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \Gamma } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \mathcal { F } } \\ { \mathcal { P } } \\ { \mathcal { E } } \\ { \mathcal { B } } \\ { \mathcal { P } _ { \rho } } \\ { \Phi ^ { \bar { K } _ { \rho } } } \\ { \chi } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 . 0 0 3 5 \theta } \\ { 0 } \end{array} \right] \ \Longrightarrow \ \left[ \begin{array} { l } { \mathcal { F } } \\ { \mathcal { P } } \\ { \mathcal { E } } \\ { \mathcal { B } } \\ { \mathcal { P } _ { \rho } } \\ { \Phi ^ { \bar { K } _ { \rho } } } \\ { \chi } \end{array} \right] = 0 . 0 3 5 \theta \left[ \begin{array} { l } { 1 + \Gamma } \\ { 1 + \Gamma } \\ { 1 } \\ { \Gamma } \\ { \Gamma } \\ { \Gamma } \\ { \Gamma } \end{array} \right] ,
( I - \Lambda ) ^ { - 1 } = \frac { 1 } { 1 - \Lambda _ { 1 2 } \Lambda _ { 2 1 } } \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { \Lambda _ { 1 2 } } \\ { \Lambda _ { 2 1 } } & { 1 } \end{array} \right) \, .
\begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { a } \left( r \chi _ { m , \alpha } ^ { \prime } \chi _ { m , \beta } ^ { \prime } + \frac { m ^ { 2 } } { r } \chi _ { m , \alpha } \chi _ { m , \beta } \right) d r } \\ { = } & { \int _ { 0 } ^ { a } \left( \frac { m ^ { 2 } } { r } \chi _ { m , \alpha } - \chi _ { m , \alpha } ^ { \prime } - r a \chi _ { m , \alpha } ^ { \prime \prime } \right) \chi _ { m , \beta } d r } \\ { = } & { S _ { m , \alpha } \delta _ { \alpha \beta } } \end{array}