harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { L ( \rho , \theta , \eta , \epsilon ) } & { = 2 8 8 \eta ^ { 4 } \left( \rho ^ { 2 } - 1 \right) ^ { 2 } + 4 8 \eta ^ { 2 } \rho ^ { 2 } \left( \rho ^ { 2 } - 1 \right) ( ( \epsilon - 2 ) \cos ( 2 \theta ) + \epsilon + 2 ) } \\ & { + \rho ^ { 4 } ( 4 \cos ( 2 \theta ) + 3 ( ( 3 - 4 \epsilon ) \cos ( 4 \theta ) + 4 \epsilon + 9 ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \delta _ { \boldsymbol 0 , \boldsymbol k } = \sum _ { j = 1 } ^ { N } w _ { j } \sum _ { \boldsymbol \ell \in \mathcal I _ { \b { 2 M } } } \, \mathrm { s i n c } \left( 2 M \pi \left( \boldsymbol x _ { j } - \boldsymbol y _ { \boldsymbol \ell } \right) \right) \, \mathrm e ^ { 2 \pi \mathrm i \boldsymbol k \boldsymbol y _ { \boldsymbol \ell } } , \quad \boldsymbol k \in \mathcal I _ { \b { 2 M } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overleftarrow { \tilde { F } } _ { 0 } ( \sigma _ { q _ { m } } ) = } & { { } \sum _ { m ^ { \prime } < M } \lambda ( \overleftarrow { \tilde { F } } _ { 0 } ( \sigma _ { q _ { m } } ) , Q _ { m ^ { \prime } } ) P _ { m ^ { \prime } } } \\ { = } & { { } P _ { m } + \sum _ { m ^ { \prime } < m } \lambda ( \overleftarrow { \tilde { F } } _ { 0 } ( \sigma _ { q _ { m } } ) , Q _ { m ^ { \prime } } ) P _ { m ^ { \prime } } , } \end{array}
\lambda ( g , \alpha ) = \frac { f ( g , \alpha ) } { \phi ( g ) } = \frac { \sum _ { \mathbf { c } } \kappa ( g , \mathbf { c } , \alpha ) \phi ( g , \mathbf { c } ) Q ( g , \mathbf { c } ) } { \sum _ { \mathbf { c } } \phi ( g , \mathbf { c } ) Q ( g , \mathbf { c } ) } ,
\begin{array} { r l } { \textstyle ( \mathcal { S } _ { - n } ) ^ { * } ( z _ { 1 } , z _ { 2 } ) } & { \textstyle = \bigl ( \prod _ { i = 1 } ^ { n - 1 } \alpha _ { i } ^ { + } \bigr ) ^ { - 1 } \frac { \theta ^ { z _ { 1 } - z _ { 2 } } } { 2 \pi \mathrm { i } } \oint _ { \Gamma _ { 0 } } \mathrm { d } u \, \frac { [ \frac { u ( \alpha - u ) } { 1 + \kappa u } ] ^ { M } [ \frac { u ( \beta - u ) } { 1 + \kappa u } ] ^ { n - M } } { u ^ { z _ { 1 } - z _ { 2 } + 2 n + 1 } } ( 1 + \kappa u ) \psi ( u ) , } \\ { \textstyle \bar { \mathcal { S } } _ { [ 1 , n ] } ( z _ { 1 } , z _ { 2 } ) } & { \textstyle = - \bigl ( \prod _ { i = 1 } ^ { n - 1 } \alpha _ { i } ^ { + } \bigr ) \frac { \theta ^ { z _ { 1 } - z _ { 2 } } } { 2 \pi \mathrm { i } } \oint _ { \Gamma _ { \alpha , \beta } } \mathrm { d } w \, \frac { w ^ { z _ { 2 } - z _ { 1 } + 2 n - 1 } } { [ \frac { w ( \alpha - w ) } { 1 + \kappa w } ] ^ { M } [ \frac { w ( \beta - w ) } { 1 + \kappa w } ] ^ { n - M } } ( 1 + \kappa w ) ^ { - 1 } \psi ( w ) ^ { - 1 } , } \end{array}
< \varphi _ { v } ^ { 2 } > \simeq \int _ { 0 } ^ { \frac { m } { \alpha } } { \frac { k ^ { 2 } d k } { ( 2 \pi ^ { 2 } ) } } { \frac { T } { m } } { \frac { 1 } { m } } = { \frac { 1 } { 6 \pi ^ { 2 } } } { \frac { m T } { \alpha ^ { 3 } } } .
\begin{array} { r l } & { \ell ( \boldsymbol { \mu } , \boldsymbol { \theta } , \boldsymbol { \widehat { \widehat { \sigma _ { u } ^ { 2 } } } } ) = \ell _ { p } ( \boldsymbol { \mu } , \boldsymbol { \theta } ) = \log { P ( \boldsymbol { y } | \boldsymbol { \mu } , \boldsymbol { \theta } ) } } \\ & { \phantom { { = } } - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left( 1 + \frac { 1 } { 2 \varepsilon _ { i } ^ { 2 } } \right) \log { \left[ 1 + 2 \varepsilon _ { i } ^ { 2 } \frac { \left( u _ { i } - \theta _ { i } \right) ^ { 2 } } { v _ { i } } \right] } \, . } \end{array}
\frac { \partial h } { \partial \tilde { c } } = \frac { \partial h } { \partial \eta } \frac { \partial \eta } { \partial \tilde { c } } = - \frac { c } { \tilde { c } ^ { 2 } } \frac { \partial \mu _ { c } } { \partial c } \frac { \partial \bar { h } } { \partial \eta } .
D _ { l } : = \frac { c ( 2 \pi ) ^ { 2 } } { \omega _ { 0 } \mu _ { 0 } a l k _ { 0 } } | A _ { l } | ^ { 2 } = \frac { 2 \pi c } { \mu _ { 0 } a l k _ { 0 } } \bigg ( \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi } c ( l k _ { 0 } ) ^ { 2 } \bigg ) ^ { 2 } = \frac { Z _ { 0 } c ^ { 2 } ( l k _ { 0 } ) ^ { 4 } } { 8 \pi ( a l k _ { 0 } ) } ,
K ( u ) = \left( \begin{array} { l l } { \hat { \pi } ^ { H } \left( \mathfrak { G } _ { \bullet , \lambda _ { H } , \gamma , \beta _ { G } } \right) ( u ) } & { \hat { \pi } ^ { H } \left( \mathfrak { G } _ { \bullet , \lambda _ { H } , \gamma , \beta _ { G } } \right) ( u ) } \\ { \hat { \pi } ^ { H } \left( \mathfrak { L } _ { \bullet , \lambda _ { H } , \gamma } \right) ( u ) \hat { \pi } ^ { W } \left( \mathfrak { L } _ { \bullet , \lambda _ { W } , \gamma } \right) ( u ) } & { \left( 1 + \hat { \pi } ^ { H } \left( \mathfrak { L } _ { \bullet , \lambda _ { H } , \gamma } \right) ( u ) \right) \hat { \pi } ^ { W } \left( \mathfrak { L } _ { \bullet , \lambda _ { W } , \gamma } \right) ( u ) } \end{array} \right) .
U = \left[ \begin{array} { l l } { e ^ { i ( \alpha - \beta / 2 - \delta / 2 ) } \cos ( \theta ) ~ ~ } & { e ^ { i ( \alpha - \beta / 2 + \delta / 2 ) } \sin ( \theta ) } \\ { e ^ { i ( \alpha + \beta / 2 - \delta / 2 ) } \sin ( \theta ) ~ ~ } & { e ^ { i ( \alpha + \beta / 2 + \delta / 2 ) } \cos ( \theta ) } \end{array} \right] .
\begin{array} { r } { N _ { \mathrm { e } } ^ { \mathrm { v a c } } = \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \ensuremath { \mathrm { t r } } [ \ensuremath { \mathbf { P } } _ { + } ^ { 0 } ( x ^ { \prime } , x ) \ensuremath { \mathbf { n } } _ { 1 } ^ { \mathrm { v p } } ( x , x ^ { \prime } ) ] \ensuremath { \mathrm { d } } x \ensuremath { \mathrm { d } } x ^ { \prime } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( y \frac { d } { d y } - \frac { 1 } { 2 } y + \kappa \right) W _ { \kappa , \mu } ( y ) } & { = - W _ { \kappa + 1 , \mu } ( y ) , } \\ { \left( y \frac { d } { d y } + \frac { 1 } { 2 } y - \kappa \right) W _ { \kappa , \mu } ( y ) } & { = - \left( \mu ^ { 2 } - \left( \kappa - \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } \right) W _ { \kappa - 1 , \mu } ( y ) , } \\ { W _ { \mu + \frac { 1 } { 2 } , \mu } ( y ) } & { = y ^ { \mu + \frac { 1 } { 2 } } \exp \left( - \frac { y } { 2 } \right) , } \\ { W _ { \kappa , \mu } ( y ) } & { = W _ { \kappa , - \mu } ( y ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { 0 } ^ { \mathrm { r o t } } = } & { { } - v _ { 0 } \sum _ { \langle i j \rangle \sigma } \left\{ \mathcal { A } _ { i j } ^ { ( 0 ) } \hat { g } _ { i j \sigma } + [ \mathcal { B } _ { i j } ^ { ( 0 ) } \hat { h } _ { i j \sigma } ^ { \dagger } + h . c . ] \right\} } \end{array}
P ( \rho , \eta , \j ) = p ( \rho , \eta ) + \frac { 1 } { 2 } \left( \rho \alpha ^ { \prime } ( \rho ) - \alpha ( \rho ) \right) \left\vert \left\vert \j \right\vert \right\vert ^ { 2 } , \quad p ( \rho , \eta ) = \rho ^ { 2 } \frac { \partial \varepsilon } { \partial \rho } .
\begin{array} { r l } { \mathcal { J } ( \theta ^ { \prime } , \phi ^ { \prime } , \Theta _ { \mathrm { i } } ) } & { = \left| \begin{array} { l l } { [ 1 . 8 ] \frac { \partial \theta ^ { \parallel } } { \partial \theta ^ { \prime } } } & { \frac { \partial \theta ^ { \parallel } } { \partial \phi ^ { \prime } } } \\ { \frac { \partial \phi ^ { \parallel } } { \partial \theta ^ { \prime } } } & { \frac { \partial \phi ^ { \parallel } } { \partial \phi ^ { \prime } } } \end{array} \right| } \end{array}
\begin{array} { r l } { e _ { 2 } ^ { t } A _ { 2 k + 1 } } & { e _ { 1 } = \frac { 1 } { S _ { k } } \frac { ( \lambda ^ { - 1 } - a ) ( \lambda - a ) \lambda ^ { n + 1 } - ( \lambda - a ) ( \lambda ^ { - 1 } - a ) \lambda ^ { - n + 1 } } { b ( 1 - \lambda ^ { 2 } ) } } \\ & { = \frac { 1 - \lambda } { \lambda ^ { - k } - \lambda ^ { k + 1 } } \frac { ( \lambda ^ { - 1 } - a ) ( \lambda - a ) \lambda ^ { n + 1 } - ( \lambda - a ) ( \lambda ^ { - 1 } - a ) \lambda ^ { - n + 1 } } { b ( 1 - \lambda ^ { 2 } ) } } \\ & { = \frac { 1 } { \lambda ^ { - k } - \lambda ^ { k + 1 } } \frac { ( \lambda ^ { - 1 } - a ) ( \lambda - a ) ( \lambda ^ { 2 k + 2 } - \lambda ^ { - 2 k } ) } { b ( 1 + \lambda ) } } \\ & { = - \frac { ( \lambda ^ { - 1 } - a ) ( \lambda - a ) ( \lambda ^ { k + 1 } + \lambda ^ { - k } ) } { b ( 1 + \lambda ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { n _ { B } ( q _ { B } ) = \frac { C _ { 2 } } { q _ { B } ^ { 4 } } + \frac { C _ { 3 } ^ { ' } } { q _ { B } ^ { D + 2 } } } \\ & { } & { + \frac { C _ { 3 } } { q _ { B } ^ { D + 2 } } \cos \! \left[ 2 s _ { 0 } \log \left( \frac { q _ { B } / \kappa _ { 0 } ^ { * } } { ( 4 \mu _ { A } \mu _ { B } ) ^ { 1 / 4 } } \right) \! + \! \Phi \right] + \cdots , \ \ \ } \end{array}
m ^ { 2 } ( \Lambda ) = { \frac { 1 } { 2 4 } } g ^ { 2 } ( \mu ) T ^ { 2 } \; \Bigg \{ 1 \; + \; \left[ - 3 \log { \frac { \mu } { 4 \pi T } } + 4 \log { \frac { \Lambda } { 4 \pi T } } + 2 - \gamma + 2 { \frac { \zeta ^ { \prime } ( - 1 ) } { \zeta ( - 1 ) } } \right] { \frac { g ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } } \Bigg \} ,
\sqrt { 1 - \gamma ^ { 2 } } e ^ { \mu _ { 3 } + \frac { | A | ^ { 2 } } { 2 } \left( e ^ { 2 \mu _ { 2 } } - 1 \right) } e ^ { - \frac { i } { \hslash } \gamma g A e ^ { \mu _ { 1 } } t \hat { b } _ { 1 } ^ { \dagger } } e ^ { e ^ { \mu _ { 1 } - \mu _ { 2 } } \gamma \hat { b } _ { 1 } ^ { \dagger } \hat { b } _ { 2 } ^ { \dagger } } \left\vert 0 _ { R } \right\rangle \left\vert e ^ { \mu _ { 2 } } A \right\rangle .
H ^ { ( 2 ) } = \int d ^ { 3 } { x } \, \biggl [ \, \, \frac { 1 } { 2 } \mathrm { t r } \, \left( P - \frac { \theta } { 8 \pi ^ { 2 } } \, B ^ { ( + ) } \right) ^ { 2 } + \left( a _ { s } ^ { ( 0 ) } ( S , P ) - \frac { \theta } { 8 \, \pi ^ { 2 } } \, B _ { s } ^ { ( - ) } \right) ^ { 2 } + \, \frac { 1 } { 2 } V ( S ) \ \biggr ] \, ,
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 4 } ( 1 + a ^ { 2 } ) ^ { 2 } ( 2 a | m \omega | \Lambda ^ { - 1 } + 1 ) ^ { 2 } - \frac { a ^ { 2 } } { 3 } ( 1 - 2 m ^ { 2 } \Lambda ^ { - 1 } ) \geq } & { \: \frac { 1 } { 4 } ( 1 + a ^ { 2 } ) ^ { 2 } ( 2 a | m \omega | \Lambda ^ { - 1 } ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } ( 1 + a ^ { 2 } ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 3 } a ^ { 2 } } \\ { \geq } & { \: \frac { 1 } { 4 } ( 1 + a ^ { 2 } ) ^ { 2 } ( 2 a | m \omega | \Lambda ^ { - 1 } ) ^ { 2 } } \end{array}
\mathrm { P r } ^ { b } = \operatorname* { P r } _ { x \sim p } \left[ x _ { \pi ( i ) } = b , x _ { \overline { { S ( \pi ) } } } = y _ { \overline { { S ( \pi ) } } } \right] \quad \mathrm { a n d } \quad \mathrm { P r } ^ { c } = \operatorname* { P r } _ { x \sim p } \left[ x _ { \pi ( i ) } = c , x _ { \overline { { S ( \pi ) } } } = y _ { \overline { { S ( \pi ) } } } \right] ,
\begin{array} { r l } { f ( t , X _ { t } ^ { 1 } , \ldots , X _ { t } ^ { d } ) = { } } & { { } f ( 0 , X _ { 0 } ^ { 1 } , \ldots , X _ { 0 } ^ { d } ) + \int _ { 0 } ^ { t } { \dot { f } } ( { s _ { - } } , X _ { s _ { - } } ^ { 1 } , \ldots , X _ { s _ { - } } ^ { d } ) d { s } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \bigg \| \frac { \rho ( T ) } { \| \rho ( T ) \| } - \frac { \rho _ { q } ^ { N _ { t } } } { \| \rho _ { q } ^ { N _ { t } } \| } \bigg \| } \\ & { \leq } & { \bigg \| \frac { \rho ( T ) } { \| \rho ( T ) \| } - \frac { \rho _ { c } ^ { N _ { t } } } { \| \rho _ { c } ^ { N _ { t } } \| } \bigg \| + \bigg \| \frac { \rho _ { c } ^ { N _ { t } } } { \| \rho _ { c } ^ { N _ { t } } \| } - \frac { \rho _ { q } ^ { N _ { t } } } { \| \rho _ { q } ^ { N _ { t } } \| } \bigg \| } \\ & { \leq } & { \epsilon / 2 + \epsilon / 2 = \epsilon , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { n _ { 0 e } } \int \mathrm { d } ^ { 3 } \vec { v } \: v _ { \parallel } \left( \frac { v ^ { 2 } } { v _ { \mathrm { t h } e } ^ { 2 } } - \frac { 3 } { 2 } \right) h _ { e } ^ { ( 1 ) } = \left( 1 + \frac { c _ { 2 } } { c _ { 1 } } \right) u _ { \parallel e } + \frac { \delta q _ { e } } { n _ { 0 e } T _ { 0 e } } , } \end{array}
\partial _ { t } \mathbf { v } _ { A } ^ { \pm } + \mathbf { v } _ { A } ^ { \pm } \cdot \nabla \mathbf { v } _ { A } ^ { \pm } - \operatorname { d i v } ( 2 \nu ( c _ { A } ^ { \pm } ) D \mathbf { v } _ { A } ^ { \pm } ) + \nabla p _ { A } ^ { \pm } = O ( \ensuremath { \varepsilon } ^ { N + \frac 5 4 } ) \quad \mathrm { i n ~ } L ^ { 2 } ( \Omega ^ { \pm } \setminus \Gamma ( 2 \delta ) ) ,
\begin{array} { r l } { \langle \mathrm { o u t p u t } | { \bf \hat { S } } | \mathrm { o u t p u t } \rangle } & { { } = \hbar N \left( \begin{array} { c } { \sin \theta ^ { ' } \sin ( \phi ^ { ' } + \delta _ { \mathrm { s f } } ) } \\ { \cos \theta ^ { ' } } \\ { \sin \theta ^ { ' } \cos ( \phi ^ { ' } + \delta _ { \mathrm { s f } } ) } \end{array} \right) . } \end{array}
U = { \frac { 1 } { v } } \qquad { \frac { 1 } { 1 + { \frac { V } { v } } } } - { \frac { 1 } { 1 + u v } } = \frac { v \ddot { v } - ( \dot { v } ) ^ { 2 } + \alpha ( v ^ { 4 } - 1 ) } { \dot { v } ) ^ { 2 } + R ( v ) }
J _ { 2 } ( 1 , 1 , 0 ) = \mathrm { i } \pi ^ { 2 - \varepsilon } m ^ { - 2 \varepsilon } \, \Gamma ( 1 + \varepsilon ) \left\{ \frac { 1 } { \varepsilon } + 2 - 2 f \left( \frac { p _ { 3 } ^ { 2 } } { p _ { 3 } ^ { 2 } - 4 m ^ { 2 } } \right) + { \cal O } ( \varepsilon ) \right\} ,
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { T } e ^ { - 2 \gamma t } \| \widetilde { H } ( t ) \| _ { \mathrm { L } ^ { 2 } ( \mathbb T ^ { d } ) } ^ { 2 } \, \mathrm { d } t \leq \| H \| _ { \mathrm { L } ^ { 2 } ( \mathbb R \times \mathbb T ^ { d } ) } ^ { 2 } } & { \leq \Lambda ( M _ { \mathrm { i n } } ) ^ { 2 } \Vert \mathcal { R } \Vert _ { \mathrm { L } ^ { 2 } ( \mathbb R \times \mathbb T ^ { d } ) } ^ { 2 } \leq \Lambda ( M _ { \mathrm { i n } } ) ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { T } e ^ { - 2 \gamma t } \| \widetilde { \mathcal { R } } ( t ) \| _ { \mathrm { L } ^ { 2 } ( \mathbb T ^ { d } ) } ^ { 2 } \, \mathrm { d } t , } \end{array}
\begin{array} { r l } { 1 _ { A _ { i } } ( n ) } & { = \sum _ { 0 \leq k \leq K - 1 } 1 _ { \alpha _ { 2 } n + \beta _ { 2 } \in [ k / K , ( k + 1 ) / K ) \, \mathrm { m o d ~ } 1 } 1 _ { u _ { i } - \gamma \{ \alpha _ { 1 } n + \beta _ { 1 } \} \in ( - k / K , 1 - k / K ) } } \\ & { + O \left( 1 _ { u _ { i } - \gamma \{ \alpha _ { 1 } n + \beta _ { 1 } \} - \alpha _ { 2 } n - \beta _ { 2 } \in [ - 1 / K , 1 / K ] \, \mathrm { m o d ~ } 1 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varepsilon ^ { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \alpha _ { i } \partial \alpha _ { j } } U _ { n , \varepsilon } ( \theta ) } & { = - 2 \sum _ { k = 1 } ^ { n } \Bigg [ \bigg ( \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \alpha _ { i } \partial \alpha _ { j } } b _ { t _ { k - 1 } , H _ { n } } ( \theta ) \bigg ) ^ { \top } \Xi _ { k - 1 } ^ { - 1 } ( \beta ) } \\ & { \qquad \Big \{ P _ { k } ( \theta _ { 0 } ) + \frac { 1 } { n } \Big ( b _ { t _ { k - 1 } , H _ { n } } ( \theta _ { 0 } ) - b _ { t _ { k - 1 } , H _ { n } } ( \theta ) \Big ) \Big \} \Bigg ] } \\ & { \quad + \frac { 2 } { n } \sum _ { k = 1 } ^ { n } \bigg ( \frac { \partial } { \partial \alpha _ { i } } b _ { t _ { k - 1 } , H _ { n } } ( \theta ) \bigg ) ^ { \top } \Xi _ { k - 1 } ^ { - 1 } ( \beta ) \bigg ( \frac { \partial } { \partial \alpha _ { j } } b _ { t _ { k - 1 } , H _ { n } } ( \theta ) \bigg ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \nabla \phi _ { L } ( s , e ) - \nabla \phi _ { L } ( t , e ) \right| } & { \leq \left| \int _ { t } ^ { s } \nabla \left( \nabla \cdot V ^ { \prime } ( \nabla \phi _ { L } ) \right) ( s ^ { \prime } , e ) \, d s ^ { \prime } \right| + \left| \nabla B _ { t } ( e ) - \nabla B _ { s } ( e ) \right| } \\ & { \leq \int _ { t - \frac { 1 } { 2 T } } ^ { t + \frac { 1 } { 2 T } } \sum _ { e ^ { \prime } \cap e \neq \emptyset } \left| V ^ { \prime } \left( \nabla \phi _ { L } \left( s ^ { \prime } , e ^ { \prime } \right) \right) \right| \, d s ^ { \prime } + \frac 1 2 } \\ & { \leq 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle } & { \mathcal { K } _ { \mathrm { K P } } ( t _ { * } ^ { 1 } + r ^ { 1 } , \lambda ) , \Theta _ { \alpha } r ^ { 1 } \rangle } \\ & { \ge \widetilde { \gamma } \| r ^ { 1 } \| _ { \mathbb { V } } ^ { 2 } - ( \Delta ( t _ { * } ^ { 1 } ) + M _ { \delta } \delta ) \| t _ { * } ^ { \angle } + r ^ { \angle } \| _ { \mathbb { V } } \| \Pi _ { 0 } \Theta _ { \alpha } r ^ { 1 } \| _ { \mathbb { V } } } \\ & { \ge \widetilde { \gamma } \| r ^ { 1 } \| _ { \mathbb { V } } ^ { 2 } - \frac { \Delta ( t _ { * } ^ { 1 } ) + M _ { \delta } \delta } { 2 } ( \| t _ { * } ^ { \angle } + r ^ { \angle } \| _ { \mathbb { V } } ^ { 2 } + \| \Pi _ { 0 } \Theta _ { \alpha } r ^ { 1 } \| _ { \mathbb { V } } ^ { 2 } ) } \\ & { \ge ( 1 - g ) \widetilde { \gamma } ( \| r ^ { 0 } \| _ { \mathbb { V } } ^ { 2 } + \| r ^ { \angle } \| _ { \mathbb { V } } ^ { 2 } ) - \frac { \Delta ( t _ { * } ^ { 1 } ) + M _ { \delta } \delta } { 2 } \left( \varkappa ^ { 2 } + 2 \varkappa \| r ^ { \angle } \| _ { \mathbb { V } } + \| r ^ { \angle } \| _ { \mathbb { V } } ^ { 2 } + \| \Pi _ { 0 } \Theta _ { \alpha } r ^ { 1 } \| _ { \mathbb { V } } ^ { 2 } \right) } \\ & { \ge \left( ( 1 - g ) \widetilde { \gamma } - \frac { \Delta ( t _ { * } ^ { 1 } ) + M _ { \delta } \delta } { 2 } \Big ( 1 + \operatorname* { m a x } \{ \varepsilon + 2 ( 1 + \varepsilon ^ { - 1 } ) \theta _ { 0 } , 2 ( 1 + \varepsilon ^ { - 1 } ) \theta _ { \angle } \} \Big ) \right) } \\ & { \quad \times ( \| r ^ { 0 } \| _ { \mathbb { V } } ^ { 2 } + \| r ^ { \angle } \| _ { \mathbb { V } } ^ { 2 } ) - \frac { \Delta ( t _ { * } ^ { 1 } ) + M _ { \delta } \delta } { 2 } ( \varkappa ^ { 2 } + \sqrt { 2 } \varkappa ( \delta - \varkappa ) ) } \\ & { \ge \left( ( 1 - g ) \widetilde { \gamma } - \frac { \Delta ( t _ { * } ^ { 1 } ) + M _ { \delta } \delta } { 2 } \operatorname* { m a x } \{ \varepsilon + 2 ( 1 + \varepsilon ^ { - 1 } ) \theta _ { 0 } , 2 ( 1 + \varepsilon ^ { - 1 } ) \theta _ { \angle } \} \right) \frac { ( \delta - \varkappa ) ^ { 2 } } { 2 } - \frac { \Delta ( t _ { * } ^ { 1 } ) + M _ { \delta } \delta } { 2 } \left( \varkappa + \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } ( \delta - \varkappa ) \right) ^ { 2 } . } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { \delta \to 0 } \left( \int _ { - \varepsilon } ^ { - \delta } z ^ { - 2 } \left( \varphi _ { \varepsilon } ( z ) - \varphi _ { \varepsilon } ( 0 ) \right) \mathop { } \! { d { z } } + \int _ { \delta } ^ { \varepsilon } z ^ { - 2 } \left( \varphi _ { \varepsilon } ( z ) - \varphi _ { \varepsilon } ( 0 ) \right) \mathop { } \! { d { z } } \right)
\begin{array} { r } { \hat { \boldsymbol { \beta } } _ { \mathrm { e f f } } ^ { y y } = \alpha _ { 0 } \frac { \Gamma _ { 1 } } { 2 } \left[ \begin{array} { l l } { - \omega + \omega _ { 1 } - i \Gamma _ { 1 } / 2 - \tilde { S } _ { y y } ^ { 1 1 } } & { - \tilde { S } _ { y y } ^ { 1 2 } } \\ { - \tilde { S } _ { y y } ^ { 1 2 } } & { - \omega + \omega _ { 2 } - i \Gamma _ { 2 } / 2 - \tilde { S } _ { y y } ^ { 1 1 } } \end{array} \right] ^ { - 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { t } \theta ( n ) \alpha _ { n } A \mathcal { X } _ { s } ^ { n } ( \varphi ) d s } \\ & { \quad = \frac { \theta ( n ) \alpha _ { n } } { n ^ { 3 / 2 } } \int _ { 0 } ^ { t } \sum _ { j \in \mathbb { T } _ { n } } \big ( ( 2 + 2 \lambda \mathfrak { u } _ { n } ) \overline { { \xi } } _ { j } ( s ) + \mathfrak { u } _ { n } \overline { { \xi } } _ { j } ( s ) \overline { { \xi } } _ { j + 1 } ( s ) \big ) \partial _ { x } T _ { v _ { n } s } ^ { - } \varphi _ { j } ^ { n } d s + E _ { t } ^ { n } , } \end{array}
{ \frac { ( z _ { 1 } - z _ { 3 } ) ( z _ { 2 } - z _ { 4 } ) } { ( z _ { 2 } - z _ { 3 } ) ( z _ { 1 } - z _ { 4 } ) } } = { \frac { ( w _ { 1 } - w _ { 3 } ) ( w _ { 2 } - w _ { 4 } ) } { ( w _ { 2 } - w _ { 3 } ) ( w _ { 1 } - w _ { 4 } ) } } .
m \frac { d ^ { 2 } } { d t ^ { 2 } } \boldsymbol { x } - \boldsymbol { F } _ { \mathrm { e x t } } - q \boldsymbol { E } _ { \mathrm { s c } } ^ { \mathrm { s m } } - \boldsymbol { F } _ { \mathrm { f r } } = \boldsymbol { F } _ { \mathrm { L } } \, ,
{ \begin{array} { r l } & { \left( \sum _ { n = 0 } ^ { p - 1 } { \mathrm { b i t } } _ { n } \times 2 ^ { - n } \right) \times 2 ^ { e } } \\ { = } & { \left( 1 \times 2 ^ { - 0 } + 1 \times 2 ^ { - 1 } + 0 \times 2 ^ { - 2 } + 0 \times 2 ^ { - 3 } + 1 \times 2 ^ { - 4 } + \cdots + 1 \times 2 ^ { - 2 3 } \right) \times 2 ^ { 1 } } \\ { \approx } & { 1 . 5 7 0 7 9 6 4 \times 2 } \\ { \approx } & { 3 . 1 4 1 5 9 2 8 } \end{array} }
\Delta K _ { p e } = \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { E } { c ^ { 2 } } \right) c _ { * } = \frac { g _ { e } E _ { g s } } { 8 \alpha } \omega _ { C } \tau _ { L } = \frac { g _ { e } E _ { g s } } { 2 } ,
\begin{array} { r l } & { \bar { u } _ { 1 \ } ^ { \ 1 } = \frac { w _ { 2 \ } ^ { \ 1 1 } U _ { 2 } ( U _ { 1 } + w _ { 2 \ } ^ { \ 1 1 } U _ { 2 } + w _ { 3 \ } ^ { \ 1 2 } U _ { 3 } ) } { ( 1 - w _ { 2 \ } ^ { \ 1 1 } w _ { \ 2 } ^ { 1 \ } w _ { 1 \ } ^ { \ 1 } ) ( w _ { 2 \ } ^ { \ 1 1 } U _ { 2 } + w _ { 3 \ } ^ { \ 1 2 } U _ { 3 } ) } } \\ & { \bar { u } _ { 1 \ } ^ { \ 2 } = \frac { w _ { 3 \ } ^ { \ 1 2 } U _ { 3 } ( U _ { 1 } + w _ { 2 \ } ^ { \ 1 1 } U _ { 2 } + w _ { 3 \ } ^ { \ 1 2 } U _ { 3 } ) } { ( 1 - w _ { 3 \ } ^ { \ 1 2 } w _ { \ 3 } ^ { 2 \ } w _ { 1 \ } ^ { \ 2 } ) ( w _ { 2 \ } ^ { \ 1 1 } U _ { 2 } + w _ { 3 \ } ^ { \ 1 2 } U _ { 3 } ) } } \end{array}
A [ \phi ^ { + } , \phi ^ { - } ] = - { \frac { 1 } { i } } \ln \int { \cal D } \xi _ { 2 } P [ \xi _ { 2 } ] \exp \bigg \{ i S _ { \mathrm { e f f } } [ \phi ^ { + } , \phi ^ { - } , \xi _ { 2 } ] \bigg \} ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { V a r } ( Z _ { 4 b } ^ { * } ) } & { \lesssim \frac { 1 } { \| \theta \| _ { 1 } ^ { 4 } } \bigg ( \sum _ { i j k \ell s t } \big [ \beta _ { j } ^ { 2 } \beta _ { k } ^ { 2 } \theta _ { i } ^ { 2 } \theta _ { j } ^ { 2 } \theta _ { k } ^ { 2 } \theta _ { \ell } ^ { 2 } \theta _ { s } \theta _ { t } + \beta _ { k } ^ { 2 } \beta _ { \ell } \beta _ { j } \theta _ { i } ^ { 2 } \theta _ { j } ^ { 3 } \theta _ { k } ^ { 3 } \theta _ { \ell } ^ { 3 } \theta _ { s } ^ { 2 } \theta _ { t } + \beta _ { j } \beta _ { k } ^ { 2 } \beta _ { \ell } \theta _ { i } ^ { 2 } \theta _ { j } ^ { 3 } \theta _ { k } ^ { 3 } \theta _ { \ell } ^ { 3 } \theta _ { s } ^ { 2 } \theta _ { t } \bigg ) } \\ & { \lesssim \frac { \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } \| \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } } { \| \theta \| _ { 1 } ^ { 2 } } . } \end{array}
\left( \pm a ^ { \frac { p + 1 } { 4 } } \right) ^ { 2 } = a ^ { \frac { p + 1 } { 2 } } = a \cdot a ^ { \frac { p - 1 } { 2 } } \equiv a \left( { \frac { a } { p } } \right) = a { \bmod { p } } .
T = \frac { \Lambda } { ( \Lambda \tau ) ^ { 1 / 3 } } \left( 1 - \frac { \tilde { \eta } _ { l l } + 3 \tilde { \eta } _ { \perp } } { 8 ( \Lambda \tau ) ^ { 2 / 3 } } - \frac { ( \tilde { \eta } _ { l l } + 3 \tilde { \eta } _ { \perp } ) ( 5 \tilde { \chi } - \tilde { \chi } _ { \perp } ) } { 6 4 ( \Lambda \tau ) ^ { 2 / 3 } } + \cdots \right) \, ,
\begin{array} { r } { c ( \xi , \overline { { \xi } } ) = { \frac { 2 } { \xi ( 1 - \xi ) } } \left[ { \frac { 2 E ( \xi ) } { K ( \xi ) } } - 1 \right] + { \frac { \pi ^ { 2 } q \, \widetilde { c } ( q ( \xi ) , \overline { { q } } ( \overline { { \xi } } ) ) } { 2 \xi ( 1 - \xi ) K ( \xi ) ^ { 2 } } } , \quad \quad \widetilde { c } ( q , \overline { { q } } ) \equiv { \frac { \partial \widehat { \mathcal { S } } _ { 0 , 4 } ^ { \ast } } { \partial q } } \, . } \end{array}
\int \phi ^ { + } ( \vec { \xi } _ { A } ) \phi ^ { + } ( \vec { \xi } _ { B } ) ( H - E ) \Phi ( \vec { \xi } _ { A } , \vec { \xi } _ { B } , \vec { R } _ { A B } ) d ^ { 3 } \xi _ { A } d ^ { 3 } \xi _ { B } = 0 \ ,
\mathsf { E } ( \mathsf { f } ) = \mathsf { C } \left( \mathrm { 1 } - \rho _ { \mathsf { f } } \right) \, , \quad \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } \quad \mathsf { C } _ { i j } = \partial _ { x } G ( x _ { i } - x _ { j } ) \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \left( \rho _ { \mathsf { f } } \right) _ { i } = \frac { 1 } { n _ { v } } \sum _ { j } \mathsf { f } _ { i j } \, ,
\Phi _ { \mathrm { ~ o ~ n ~ } } ( \tau ) = \int _ { \tau } ^ { \infty } \varphi _ { \mathrm { ~ \mathrm { ~ o ~ n ~ } ~ } } ( \tau ^ { \prime } ) \mathrm { d } \tau ^ { \prime } \; \; \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \; \; \Phi _ { \mathrm { ~ o ~ f ~ f ~ } } ( \tau ) = \int _ { \tau } ^ { \infty } \varphi _ { \mathrm { ~ \mathrm { ~ o ~ f ~ f ~ } ~ } } ( \tau ^ { \prime } ) \mathrm { d } \tau ^ { \prime } .