harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathbf { A } _ { i } \boldsymbol { u } _ { i } ^ { B } = } & { [ \boldsymbol { 0 } _ { ( ( i - 1 ) ( Q _ { t } + 1 ) Q _ { x } ) } ^ { \top } , \tilde { \boldsymbol { b } } _ { i } ^ { \top } , - ( \boldsymbol { u } _ { i } ^ { B } ) ^ { \top } \mathbf { \Phi } _ { i , 1 } ^ { \top } , \mathbf { 0 } _ { ( ( ( N _ { t } - i ) ( Q _ { t } + 1 ) - 1 ) Q _ { x } ) } ^ { \top } ] ^ { \top } } \\ { = } & { [ \boldsymbol { 0 } _ { ( ( i - 1 ) ( Q _ { t } + 1 ) Q _ { x } ) } ^ { \top } , ( \boldsymbol { u } _ { i - 1 } ^ { B } ) ^ { \top } \mathbf { \Phi } _ { i - 1 , 1 } ^ { \top } , \boldsymbol { f } _ { i } ^ { \top } , - ( \boldsymbol { u } _ { i } ^ { B } ) ^ { \top } \mathbf { \Phi } _ { i , 1 } ^ { \top } , \mathbf { 0 } _ { ( ( ( N _ { t } - i ) ( Q _ { t } + 1 ) - 1 ) Q _ { x } ) } ^ { \top } ] ^ { \top } } \\ { = } & { [ \boldsymbol { 0 } _ { ( ( i - 1 ) ( Q _ { t } + 1 ) Q _ { x } ) } ^ { \top } , ( \boldsymbol { u } _ { i - 1 } ^ { B } ) ^ { \top } \mathbf { \Phi } _ { i - 1 , 1 } ^ { \top } , \mathbf { 0 } _ { ( ( ( N _ { t } - i + 1 ) ( Q _ { t } + 1 ) - 1 ) Q _ { x } ) } ^ { \top } ] ^ { \top } + } \\ & { [ \boldsymbol { 0 } _ { ( ( ( i - 1 ) ( Q _ { t } + 1 ) + 1 ) Q _ { x } ) } ^ { \top } , \boldsymbol { f } _ { i } ^ { \top } , \mathbf { 0 } _ { ( ( N _ { t } - i ) ( Q _ { t } + 1 ) Q _ { x } ) } ^ { \top } ] ^ { \top } - } \\ & { [ \boldsymbol { 0 } _ { ( i ( Q _ { t } + 1 ) Q _ { x } ) } ^ { \top } , ( \boldsymbol { u } _ { i } ^ { B } ) ^ { \top } \mathbf { \Phi } _ { i , 1 } ^ { \top } , \mathbf { 0 } _ { ( ( ( N _ { t } - i ) ( Q _ { t } + 1 ) - 1 ) Q _ { x } ) } ^ { \top } ] ^ { \top } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { R _ { \oplus } ^ { 2 } b \Big ( \frac { 1 } { r ^ { 3 } } - \frac { 1 } { r _ { 0 } ^ { 3 } } \Big ) } & { = } & { R _ { \oplus } ^ { 2 } \frac { r r _ { 0 } } { r + r _ { 0 } } \frac { | [ \vec { n } \times \vec { n } _ { 0 } ] | } { \Big ( 1 - \frac { 2 r r _ { 0 } } { ( r + r _ { 0 } ) ^ { 2 } } \Big ( 1 + ( \vec { n } \cdot \vec { n } _ { 0 } ) \Big ) \Big ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \Big ( \frac { 1 } { r ^ { 3 } } - \frac { 1 } { r _ { 0 } ^ { 3 } } \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \frac { \partial R _ { n s } } { \partial x _ { i } } } & { { } = - \cos \left( \theta _ { n s } \right) \delta _ { i n } } & { \frac { \partial \theta _ { n s } } { \partial x _ { i } } } & { { } = + \frac { \sin \left( \theta _ { n s } \right) } { R _ { n s } } \delta _ { i n } } \\ { \frac { \partial R _ { n s } } { \partial y _ { i } } } & { { } = - \sin \left( \theta _ { n s } \right) \delta _ { i n } } & { \frac { \partial \theta _ { n s } } { \partial y _ { i } } } & { { } = - \frac { \cos \left( \theta _ { n s } \right) } { R _ { n s } } \delta _ { i n } } \\ { \frac { \partial R _ { n s } } { \partial r _ { i } } } & { { } = 0 } & { \frac { \partial \theta _ { n s } } { \partial r _ { i } } } & { { } = 0 } \end{array}
g ^ { 2 } \left( \langle \! \langle F _ { \mu \nu } ( z _ { 1 } ) F _ { \lambda \rho } ( z _ { 2 } ) \rangle \! \rangle - \langle \! \langle F _ { \mu \nu } ( z _ { 1 } ) \rangle \! \rangle \langle \! \langle F _ { \lambda \rho } ( z _ { 2 } ) \rangle \! \rangle \right) = - i g { \frac { \delta } { \delta S ^ { \lambda \rho } ( z _ { 2 } ) } } \langle \! \langle F _ { \mu \nu } ( z _ { 1 } ) \rangle \! \rangle .
\begin{array} { r l } { \tilde { \rho } _ { p q } ^ { 0 1 , r } } & { { } = \left[ L _ { 1 1 } \right] _ { p r } \left[ L _ { 2 2 } \right] _ { q r } - \left[ L _ { 1 2 } \right] _ { p r } \left[ L _ { 2 1 } \right] _ { q r } , } \\ { \tilde { \kappa } _ { p q } ^ { 0 1 , r } } & { { } = \left[ L _ { 1 1 } \right] _ { p r } \left[ L _ { 1 2 } \right] _ { q r } - \left[ L _ { 1 2 } \right] _ { p r } \left[ L _ { 1 1 } \right] _ { q r } , } \\ { \left( \tilde { \kappa } _ { p q } ^ { 1 0 , r } \right) ^ { * } } & { { } = \left[ L _ { 2 2 } \right] _ { p r } \left[ L _ { 2 1 } \right] _ { q r } - \left[ L _ { 2 1 } \right] _ { p r } \left[ L _ { 2 2 } \right] _ { q r } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { T V } _ { \boldsymbol { \Lambda } ^ { x y , t } } ( \mathbf { x } ) } & { : = \| \boldsymbol { \Lambda } ^ { x y , t } \nabla \mathbf { x } \| _ { 1 } = \sum _ { z \in \mathcal { I } } | \boldsymbol { \Lambda } ^ { x y , t } ( z ) \nabla \mathbf { x } ( z ) | _ { 1 } } \\ & { : = \sum _ { z \in \mathcal { I } } \boldsymbol { \Lambda } ^ { x y } ( z ) | \nabla _ { x } \mathbf { x } ( z ) | + \boldsymbol { \Lambda } ^ { x y } ( z ) | \nabla _ { y } \mathbf { x } ( z ) | + \boldsymbol { \Lambda } ^ { t } ( z ) | \nabla _ { t } \mathbf { x } ( z ) | . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( z ) } & { = 1 - z \left( 2 + \Delta t ^ { 2 } \Big ( \mathscr D _ { x } \mathscr D _ { x } ^ { \prime } + \mathscr D _ { y } \mathscr D _ { y } ^ { \prime } \right) \Big ) + z ^ { 2 } } \\ { f ^ { * } ( z ) } & { = f ( z ) \qquad \Rightarrow \qquad f _ { 1 } ( z ) \equiv 0 } \\ { f ^ { \prime } ( z ) } & { = - \left( 2 + \Delta t ^ { 2 } \Big ( \mathscr D _ { x } \mathscr D _ { x } ^ { \prime } + \mathscr D _ { y } \mathscr D _ { y } ^ { \prime } \right) \Big ) + 2 z } \end{array}
F _ { \pi } ( Q ^ { 2 } ) = \frac { 1 } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \frac { 1 } { f _ { \pi } ^ { 2 } } \frac { s _ { 0 } ^ { \prime } } { ( 1 + Q ^ { 2 } / 2 s _ { 0 } ^ { \prime } ) ^ { 2 } }
x _ { h } ^ { P } ( t _ { n + 1 } ) = \sum _ { k = 0 } ^ { m - 1 } \frac { t _ { n + 1 } ^ { k } x _ { 0 } ^ { ( k ) } } { k ! } + \frac { h ^ { \alpha } } { \Gamma ( \alpha + 1 ) } \sum _ { j = 0 } ^ { n } F _ { j } \cdot b _ { n - j } .
\begin{array} { r l r } & { } & { 0 = \partial _ { \rho } \left( \partial _ { \rho } \mu ^ { ( 1 ) } - W ^ { ( 1 ) } \partial _ { \rho } U ^ { ( 0 ) } \right) , } \\ & { } & { \mu ^ { ( 1 ) } = - \partial _ { \rho \rho } U ^ { ( 1 ) } + \kappa \partial _ { \rho } U ^ { ( 0 ) } + q ^ { \prime \prime } ( U ^ { ( 0 ) } ) U ^ { ( 1 ) } . } \end{array}
{ \cal L } _ { \phi } = \frac { 9 } { 8 } v _ { b } ^ { 2 } ( \partial _ { \mu } \tilde { \phi } ) ^ { 2 } - 6 \, { g _ { \mathrm { \scriptscriptstyle P l } } ^ { 2 } } \, v _ { a } ^ { 2 } v _ { b } ^ { 2 } \, \tilde { \phi } ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } ( \partial _ { \mu } \phi ) ^ { 2 } - \frac { 8 } { 3 } \, { g _ { \mathrm { \scriptscriptstyle P l } } ^ { 2 } } \, v _ { a } ^ { 2 } \, \phi ^ { 2 } ,
\begin{array} { r } { \left( { \boldsymbol u } ( m ) ^ { T } R ( 0 , z ) { \boldsymbol u } ( m ) \right) = \left( { \boldsymbol u } ( m ) ^ { T } R ( \theta , z ) { \boldsymbol u } ( m ) \right) + \theta \sqrt { \lambda } \sum _ { \ell = 1 } ^ { k } \left( { \boldsymbol u } ( m ) ^ { T } R ( \theta , z ) { \boldsymbol u } ( \ell ) \right) \left( { \boldsymbol u } ( \ell ) ^ { T } R ( 0 , z ) { \boldsymbol u } ( m ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \tilde { u } _ { t } ^ { n } - \tilde { u } _ { t } \| _ { H } ^ { 2 } } & { = 2 \int _ { 0 } ^ { t } \langle A ( \tilde { u } _ { s } ^ { n } - \tilde { u } _ { s } ) , \tilde { u } _ { s } ^ { n } - \tilde { u } _ { s } \rangle d s + \int _ { 0 } ^ { t } \langle \mathcal { F } ( \tilde { u } _ { s } ^ { n } ) - \mathcal { F } ( \tilde { u } _ { s } ) , \tilde { u } _ { s } ^ { n } - \tilde { u } _ { s } \rangle _ { H } d s } \\ & { \quad + \int _ { 0 } ^ { t } \langle G ^ { n } ( s , \tilde { u } _ { s } ^ { n } ) - \hat { G } ( s , \tilde { u } _ { s } ) , \tilde { u } _ { s } ^ { n } - \tilde { u } _ { s } \rangle _ { H } d s } \\ & { \leq - 2 \int _ { 0 } ^ { t } \| \tilde { u } _ { s } ^ { n } - \tilde { u } _ { s } \| _ { V } ^ { 2 } d s + 2 \int _ { 0 } ^ { t } \| \tilde { u } _ { s } ^ { n } - \tilde { u } _ { s } \| _ { H } ^ { 2 } d s } \\ & { \quad + \int _ { 0 } ^ { t } \| \mathcal { F } ( \tilde { u } _ { s } ^ { n } ) - \mathcal { F } ( \tilde { u } _ { s } ) \| _ { H } ^ { 2 } d s + \int _ { 0 } ^ { t } \| G ^ { n } ( s , \tilde { u } _ { s } ^ { n } ) - \hat { G } ( s , \tilde { u } _ { s } ) \| _ { H } ^ { 2 } d s . } \end{array}
\begin{array} { r l } { m ( t _ { n } ) = } & { \sum _ { i } ^ { N _ { p } } \left[ \left( G ( 0 ) + G ( \theta ) + \cdots G ( \theta ( N _ { v } - 1 ) ) \right) \sigma _ { i } ( t _ { n } ) \right. } \\ & { \left. + \left( G ( \theta N _ { v } ) + G ( \theta ( N _ { v } + 1 ) ) + \cdots G ( \theta ( 2 N _ { v } - 1 ) ) \right) \sigma _ { i } ( t _ { n - 1 } ) \right. } \\ & { \left. + \cdots \right] , } \end{array}
\gamma ( r ) = 1 - ( 3 - a ^ { 2 } ) { \frac { M } { r } } + 4 ( 1 + M { \frac { 1 + a ^ { 2 } } { 2 r } } ) ^ { \frac { 3 - a ^ { 2 } } { 1 + a ^ { 2 } } } - 4 \ ,
\begin{array} { r } { M _ { \infty } = ( \epsilon / \eta ) ( k T / e ) [ ( \beta \widetilde { \zeta } ) + 4 \mathrm { l n \, c o s h } ( \widetilde { \zeta } / 4 ) ] , } \\ { \Phi _ { 1 } ( \lambda _ { 1 } = \kappa ^ { - 1 } / r _ { c } ) = 1 / ( 1 - \alpha \lambda _ { 1 } ) , } \\ { \Phi _ { 2 } ( \lambda _ { 2 } = a _ { 2 } / h ) = 1 - \gamma \lambda _ { 2 } ^ { 3 } + \delta \lambda _ { 2 } ^ { 5 } , } \end{array}
k _ { * } \approx \left( \frac { 1 } { 5 . 3 \times 1 0 ^ { - 4 } } \frac { \sqrt { 3 } g } { 8 \lambda } \frac { m ^ { 2 } } { M _ { P } ^ { 2 } } \right) ^ { 1 / 3 } m .
\begin{array} { r } { \sigma ^ { ( 2 c ) } ( \omega ) = \frac { \pi } { 1 8 c \omega } \int _ { 0 } ^ { \infty } \ensuremath { \mathrm { d } } q \; \Biggl [ \frac { Z ^ { 5 } } { q ^ { 2 } } \frac { \ensuremath { \mathrm { d } } ^ { 3 } } { \ensuremath { \mathrm { d } } E ^ { 3 } } \tilde { \rho } _ { 3 , \mathrm { W } } \left( Z q , \sqrt { 2 E } / Z \right) \phantom { x x x x x x x x } } \\ { - \frac { 3 Z ^ { 6 } } { q } \frac { \ensuremath { \mathrm { d } } ^ { 3 } } { \ensuremath { \mathrm { d } } E ^ { 3 } } \tilde { \tau } _ { 5 , \mathrm { W } } \left( Z q , \sqrt { 2 E } / Z \right) \phantom { x x x x x } } \\ { + \frac { Z ^ { 6 } } { q } \frac { \ensuremath { \mathrm { d } } ^ { 3 } } { \ensuremath { \mathrm { d } } E ^ { 3 } } \tilde { \rho } _ { 5 , \mathrm { W } } \left( Z q , \sqrt { 2 E } / Z \right) \Biggl ] _ { E = E ( \omega , q ) } . \; \; \; \; \; } \end{array}
\mathcal { \hat { H } } _ { \infty } ^ { \mathrm { ~ H ~ F ~ } } = U \sum _ { i } \left( \hat { n } _ { i \uparrow } \hat { n } _ { i \downarrow } - \frac { n _ { i } ^ { \mathrm { ~ H ~ F ~ } } } { 2 } \hat { n } _ { i } \right)
\theta _ { t } = \{ [ n _ { X } R n _ { e } ] _ { t } , T _ { r o t } ^ { l o } { _ t } , T _ { v i b } ^ { l o } { _ t } , T _ { r o t } ^ { h i } { _ t } , T _ { v i b } ^ { h i } { _ t } , \alpha _ { t } \}
g _ { T , L } ^ { n , \nu } ( \hat { Q } , \hat { M } ) = \frac 1 { 2 \pi } \sum _ { n ^ { \prime } } \int d \nu ^ { \prime } \psi _ { T , L } ^ { n ^ { \prime } , \nu ^ { \prime } } ( \hat { Q } , \hat { M } ) \ { \cal I } _ { p _ { T } } ^ { n , n ^ { \prime } , \nu , \nu ^ { \prime } } .
\begin{array} { r } { Q _ { n = 1 } = ( \Delta P - I _ { 2 } ) / I _ { 1 } , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ } \\ { \mathrm { { w h e r e } ~ ~ I _ { 1 } = - 2 4 \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { 1 } { ( h - R _ { 0 } ) ^ { 2 } ( 3 h ^ { 2 } + 3 R _ { 0 } h + R _ { 0 } ^ { 2 } ) } d Z , } } \\ { I _ { 2 } = - 2 4 \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { U _ { s } ( Z ) h ^ { 2 } } { ( h - R _ { 0 } ) ^ { 2 } ( 3 h ^ { 2 } + 3 R _ { 0 } h + R _ { 0 } ^ { 2 } ) } d Z . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \| \hat { g } ( \theta ^ { t + 1 } , \xi ) \| ^ { 2 } } & { \leq } & { ( Q ( s , a ; \theta ^ { t + 1 } ) - r ( s , a ) - \gamma Q ( s ^ { \prime } , a ^ { \prime } ; \theta ^ { t + 1 } ) ) ^ { 2 } } \\ & { \overset { ( i ) } { \leq } } & { 9 ( 1 + \gamma ^ { 2 } ) \| \theta ^ { 0 } \| ^ { 2 } + 9 R _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 } + 3 ( 1 + \gamma ^ { 2 } ) \| \theta ^ { t + 1 } - \theta ^ { 0 } \| ^ { 2 } } \\ & { \leq } & { 9 ( 1 + \gamma ^ { 2 } ) \| \theta ^ { 0 } \| ^ { 2 } + 9 R _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 } + \frac { 1 2 ( 1 + \gamma ) ^ { 2 } ( 1 + \gamma ^ { 2 } ) } { ( 1 - \gamma ) ^ { 2 } \lambda _ { 0 } } \| Q ^ { 0 } - Q ^ { \pi } \| _ { \mu } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \varepsilon \frac { d } { d t } ( \| g _ { \alpha } ^ { ( s ) } \| _ { L _ { x , \xi } ^ { 2 } } ^ { 2 } + \kappa _ { 3 } \mathscr G _ { r e g } ) + \frac { 1 } { C } \| g _ { \alpha } ^ { ( s ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \mathcal H _ { \sigma } \cap \mathcal H _ { \sigma ; \varepsilon } ^ { - } ) _ { \xi } } ^ { 2 } } \\ & { \quad \leq C _ { \eta } \| g _ { \alpha + 1 } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \mathcal H _ { \sigma } \cap \mathcal H _ { \sigma ; \varepsilon } ^ { - } ) _ { \xi } } ^ { 2 } } \\ & { \quad \quad + C \{ \varepsilon \langle \| \partial _ { t } a \| _ { L _ { x } ^ { 2 } } + \| F _ { + } \| _ { \mathfrak D } ^ { 2 } \rangle \| g _ { \alpha } ^ { ( s ) } \| _ { L _ { x , \xi } ^ { 2 } } ^ { 2 } + \varepsilon ^ { 2 } \langle \| F _ { + } \| _ { \mathfrak D } \rangle ^ { 2 } \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { 2 \mu \int _ { \Omega } { \bf D } \bar { \bf u } : { \bf D } { \bf v } \, d { \bf x } + \lambda \int _ { \Omega } ( \mathrm { d i v } \, \bar { \bf u } ) ( \mathrm { d i v } \, { \bf v } ) \, d { \bf x } } \\ & { \qquad = 2 \mu \int _ { \Omega } { \bf D } { \bf u } : { \bf D } \bar { \bf v } \, d { \bf x } + \lambda \int _ { \Omega } ( \mathrm { d i v } \, { \bf u } ) ( \mathrm { d i v } \, \bar { \bf v } ) \, d { \bf x } = \int _ { \partial \Omega } { \bf g } \cdot \bar { \bf v } \, d S = \int _ { \partial \Omega } { \bf g } \cdot { \bf v } \, d S \, . } \end{array}
\Pi _ { \mathrm { \tiny ~ Q E D } } ^ { { \cal { O } } ( \alpha ^ { 2 } ) } ( q ^ { 2 } ) \, = \, \frac { q ^ { 2 } } { \pi } \, \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { \mathrm { d } { q ^ { \prime } } ^ { 2 } } { { q ^ { \prime } } ^ { 2 } } \, \frac { 1 } { { q ^ { \prime } } ^ { 2 } - q ^ { 2 } - i \epsilon } \, \mathrm { I m } \Pi _ { \mathrm { \tiny ~ Q E D } } ^ { { \cal { O } } ( \alpha ^ { 2 } ) } ( { q ^ { \prime } } ^ { 2 } ) \, .
\begin{array} { r l r } { E ( \sigma _ { \phi } ^ { 2 } ) _ { \mathrm C } } & { = } & { E \left( { \frac { 1 } { N + 1 } } \sum _ { i = 0 } ^ { N } \phi _ { i } ^ { 2 } \right) - E \left( \left[ { \frac { 1 } { N + 1 } } \sum _ { i = 0 } ^ { N } \phi _ { i } \right] ^ { 2 } \right) } \\ & { = } & { { \frac { 5 N ^ { 2 } - 6 N + 1 } { 3 N ( N + 1 ) } } \mathcal { T } ^ { 2 } - { \frac { ( N - 1 ) } { 2 ( N + 1 ) } } \mathcal { T } ^ { 2 } } \\ & { = } & { { \frac { ( 7 N - 2 ) ( N - 1 ) } { 6 N ( N + 1 ) } } \mathcal { T } ^ { 2 } \, . } \end{array}
z _ { a } ( x ) = - P _ { a } ( { \bf x } ) \delta ( x _ { 0 } ) - F _ { a } ( { \bf x } ) \delta ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) , \qquad z _ { a } ( k ) = i k _ { 0 } F _ { a } ( { \bf k } ) - P _ { a } ( { \bf k } ) .
\begin{array} { r l } { \left( \begin{array} { l l } { e ^ { i \phi _ { \pm } ^ { L } } \cos \frac { \theta _ { \pm } ^ { L } } { 2 } } & { \sin \frac { \theta _ { \pm } ^ { L } } { 2 } } \end{array} \right) } & { = \left( \begin{array} { l l } { - e ^ { i \phi _ { \mp } ^ { R } } \sin \frac { \theta _ { \mp } ^ { R } } { 2 } } & { \cos \frac { \theta _ { \mp } ^ { R } } { 2 } } \end{array} \right) = \frac { 1 } { \sqrt { \langle \psi _ { \pm } ^ { L } | \psi _ { \pm } ^ { L } \rangle } } \sqrt { \frac { h _ { - } ^ { * } } { h _ { - } } } \langle \psi _ { \pm } ^ { L } | . } \end{array}
\Delta ^ { ( m ) } ( x | z ^ { ( n ) } | \cdots | z ^ { ( 2 ) } | z ^ { ( 1 ) } ) = \operatorname * { d e t } \left( A _ { \lambda } ^ { ( m ) } ( x _ { \mu } | z ^ { ( n ) } | \cdots | z ^ { ( 2 ) } | z ^ { ( 1 ) } ) \right) _ { 1 \leq \lambda , \mu \leq M }
r _ { n , n + 1 } = \frac { 1 - \frac { k _ { n + 1 } } { k _ { n } } + i \frac { \gamma } { k _ { n } } Z _ { n } } { 1 + \frac { k _ { n + 1 } } { k _ { n } } - i \frac { \gamma } { k _ { n } } Z _ { n } } , \ \ \ \ r _ { n + 1 , n } = \frac { \frac { k _ { n + 1 } } { k _ { n } } - 1 + i \frac { \gamma } { k _ { n } } Z _ { n } } { 1 + \frac { k _ { n + 1 } } { k _ { n } } - i \frac { \gamma } { k _ { n } } Z _ { n } } .
\begin{array} { r } { \mathbf { h } _ { r } ^ { H } \mathbf { \Phi } _ { N } \mathbf { H } _ { m n } ^ { H } \mathbf { \Phi } _ { M } \mathbf { h } _ { t , k } ^ { H } = \sum _ { m = 1 } ^ { M } \sum _ { n = 1 } ^ { N } { h } _ { r n } ^ { * } e ^ { - j \psi _ { n } } { H } _ { m n } ^ { * } e ^ { - j \eta _ { m } } { h } _ { t , k m } ^ { * } , } \end{array}
\Phi ( r ) = \frac { C _ { 1 } } { 2 } \displaystyle \int \frac { d r } { r ^ { 2 } + r C _ { 1 } } = \frac { 1 } { 2 } \mathrm { ~ l ~ n ~ } \left( \frac { r } { r + C _ { 1 } } \right) + C _ { 2 }
\begin{array} { r } { \{ \mathcal { F } , \mathcal { G } \} ( \vec { v } , \Sigma ) = \int _ { \Omega ( t ) } \big \langle \nabla \times \vec { v } , \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta \vec { v } } \times \frac { \delta \mathcal { G } } { \delta \vec { v } } \big \rangle d ^ { 3 } x + \int _ { \Sigma ( t ) } \big ( \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta \Sigma } \frac { \delta \mathcal { G } } { \delta \phi } - \frac { \delta \mathcal { G } } { \delta \Sigma } \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta \phi } \big ) d s , } \end{array}
- i D _ { \mu \nu } ^ { \alpha \beta } ( a _ { c } , k ) = \left( - i \delta _ { \alpha \beta } k ^ { - 2 } \left( 1 - \exp ( a _ { c } ^ { 2 } k ^ { 2 } ) \right) ^ { - 1 } \right) \left[ g _ { \mu \nu } - ( 1 - \xi ) k _ { \mu } k _ { \nu } k ^ { - 2 } \right] ,
\begin{array} { r } { E _ { \mathrm { v K C } } ^ { ( 1 ) } = \frac { \mathcal { E } } { i k \lambda _ { \mathrm { D } } } \left( A \, e ^ { - i \omega _ { 0 } t } - A ^ { * } e ^ { - i \omega _ { 0 } ^ { * } t } \right) + E _ { \mathrm { v K } } , } \end{array}
Z _ { \Phi } ^ { - 1 } = \langle \Psi | \Psi \rangle = 1 + \sum _ { n _ { 1 } } { ' } \frac { | \langle n _ { 1 } | H _ { I } ^ { \prime } | \Phi \rangle | ^ { 2 } \, } { \, ( p ^ { -- } p _ { n _ { 1 } } ^ { - } ) ^ { 2 } \, } + \cdots \, .
\begin{array} { r } { \Upsilon ( x , t ) = e ^ { i \omega t } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d x ^ { \prime } \int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime } t ^ { \alpha - 1 } e ^ { - i \omega t ^ { \prime } } { \cal { G } } _ { \alpha , \mu } ^ { ( \alpha ) } ( x ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) { \cal { G } } _ { \alpha , \mu } ^ { ( \alpha ) } ( x - x ^ { \prime } , t - t ^ { \prime } ) \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb E ( \bar { X } ) } & { = \mathbb E \left( \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { n } X _ { i } } { n } \right) = \frac 1 n \mathbb E \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } X _ { i } \right) = \frac 1 n \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathbb E ( X _ { i } ) = \frac 1 n \cdot n \mathbb E ( X _ { i } ) = \mathbb E ( X _ { i } ) = \mu } \\ { \mathrm { V a r } ( \bar { X } ) } & { = \mathrm { V a r } \left( \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { n } X _ { i } } { n } \right) = \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \mathrm { V a r } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } X _ { i } \right) = \frac 1 { n ^ { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathrm { V a r } ( X _ { i } ) = \frac 1 { n ^ { 2 } } \cdot n \sigma ^ { 2 } = \frac { \sigma ^ { 2 } } { n } } \end{array}
F _ { e _ { x } + \frac { 1 } { 2 } , e _ { y } , j } \gets ( 1 - \overline { { \alpha } } ) F _ { e _ { x } + \frac { 1 } { 2 } , e _ { y } , j } ^ { \mathrm { ~ L ~ W ~ } } + \overline { { \alpha } } f _ { e _ { x } + \frac { 1 } { 2 } , e _ { y } , j }
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } \left( X , \dot { X } , t \right) } & { = \mathcal { L } _ { \mathrm { 1 s t } } \left( X , \dot { X } , t \right) + \mathcal { L } _ { \mathrm { 2 n d } } \left( X , \dot { X } , t \right) - \left[ \mathcal { L } _ { \mathrm { 2 n d } } \left( X , \dot { X } , t \right) \right] _ { \mu = 0 } } \\ & { = e ^ { \alpha + \gamma } \left( \left( 1 + \mu e ^ { \beta } \right) D _ { h } \left( X + e ^ { - \alpha } V , X \right) - e ^ { \beta } f ( X ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Phi \circ Q _ { \mathfrak { g } } ( x \cdot y ) } & { = \Phi \left( - \mathrm { d } _ { \mathfrak g } ( x ) \cdot y ) - ( - 1 ) ^ { ( | x | - 1 ) ( | y | - 1 ) } \mathrm { d } _ { \mathfrak g } ( y ) \cdot x + ( - 1 ) ^ { | x | } [ x , y ] _ { \mathfrak g } \right) } \\ & { = - \Phi _ { 1 } ( \mathrm { d } _ { \mathfrak g } ( x ) \cdot y ) - \Phi _ { 0 } ( \mathrm { d } _ { \mathfrak g } ( x ) ) \cdot \Phi _ { 0 } ( y ) - ( - 1 ) ^ { ( | x | - 1 ) ( | y | - 1 ) } \left( \Phi _ { 1 } ( \mathrm { d } _ { \mathfrak g } ( y ) \cdot x ) - \Phi _ { 0 } ( \mathrm { d } _ { \mathfrak g } ( y ) ) \cdot \Phi _ { 0 } ( x ) \right) } \\ & { \quad + ( - 1 ) ^ { | x | } \Phi _ { 0 } ( [ x , y ] _ { \mathfrak g } ) } \end{array}
\langle \vec { r } _ { 1 2 } \cdot \vec { r } _ { 2 3 } \rangle _ { R } = \langle - r _ { 2 } ^ { 2 } \rangle _ { R } = - \frac { \int _ { 0 } ^ { R } r _ { 2 } ^ { 2 } \cdot 4 \pi r _ { 2 } ^ { 2 } d r _ { 2 } } { \int _ { 0 } ^ { R } 4 \pi r _ { 2 } ^ { 2 } d r _ { 2 } } = - \frac { 3 } { 5 } R ^ { 2 } .
{ \begin{array} { r l } { { \sigma _ { 0 } ^ { 2 } } ^ { \prime } } & { = { \frac { 1 } { { \frac { n } { \sigma ^ { 2 } } } + { \frac { 1 } { \sigma _ { 0 } ^ { 2 } } } } } } \\ { \mu _ { 0 } ^ { \prime } } & { = { \frac { { \frac { n { \bar { x } } } { \sigma ^ { 2 } } } + { \frac { \mu _ { 0 } } { \sigma _ { 0 } ^ { 2 } } } } { { \frac { n } { \sigma ^ { 2 } } } + { \frac { 1 } { \sigma _ { 0 } ^ { 2 } } } } } } \\ { { \bar { x } } } & { = { \frac { 1 } { n } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i } } \end{array} }
v _ { \mu } { } ^ { j } { } _ { i } + n _ { a } ^ { j } N _ { \mu } { } ^ { a } { } _ { i } = Z ^ { \prime } { } ^ { j } { } _ { l } f ^ { \prime } { } _ { \mu } { } ^ { l } { } _ { i } + Z ^ { j } { } _ { k } f _ { \mu } { } ^ { k } { } _ { i }
\begin{array} { r l r l } { \frac { d ( - K ( h ) \frac { d h } { d x } ) } { d x } } & { { } = 0 , \qquad } & { x } & { { } \in [ 0 , L ] } \\ { h } & { { } = h _ { 0 } , } & { x } & { { } = 0 } \\ { h } & { { } = h _ { 1 } , } & { x } & { { } = L } \end{array}
\tilde { H } ^ { ( 1 V ) } ( \tilde { x } , \xi ) | _ { a = 0 } = A \, \frac { ( 1 - | \tilde { x } | ) ^ { 3 } } { ( 1 - \xi ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \, \theta ( | \tilde { x } | \geq \xi ) \, + A \, \frac { \xi + 2 - 3 \tilde { x } ^ { 2 } / \xi } { 2 ( 1 + \xi ) ^ { 2 } } \, \theta ( | \tilde { x } | \leq \xi ) \, .
\begin{array} { r l r } { \boldsymbol \nabla \cdot \boldsymbol E } & { = } & { \frac { \rho } { \epsilon _ { 0 } } - c g _ { a \gamma \gamma } \boldsymbol B \cdot \boldsymbol \nabla a , } \\ { \boldsymbol \nabla \times \boldsymbol B - \frac { \dot { \boldsymbol E } } { c ^ { 2 } } } & { = } & { \mu _ { 0 } \boldsymbol J + \frac { g _ { a \gamma \gamma } } { c } \left( \boldsymbol B \dot { a } - \boldsymbol E \times \boldsymbol \nabla a \right) , } \\ { \boldsymbol \nabla \cdot \boldsymbol B } & { = } & { 0 , } \\ { \boldsymbol \nabla \times \boldsymbol E + \dot { \boldsymbol B } } & { = } & { 0 , } \\ { \ddot { a } - c ^ { 2 } \boldsymbol \nabla ^ { 2 } a + \frac { m _ { a } ^ { 2 } c ^ { 4 } } { \hbar ^ { 2 } } a } & { = } & { \hbar c ^ { 3 } \sqrt { \frac { \epsilon _ { 0 } } { \mu _ { 0 } } } g _ { a \gamma \gamma } \boldsymbol E \cdot \boldsymbol B . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle S _ { \infty | - \infty } \right\rangle } & { = 2 \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { d } u ^ { \prime \prime } \ \int _ { - \infty } ^ { u ^ { \prime \prime } } \mathrm { d } u ^ { \prime } \ e ^ { - 2 ( V ( u ^ { \prime } ) - V ( u ^ { \prime \prime } ) ) } = \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } y \ \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { d } z \ e ^ { - 2 \left( V \left( \frac { 1 } { 2 } \left( z - y \right) \right) - V \left( \frac { 1 } { 2 } \left( z + y \right) \right) \right) } = } \\ & { = 2 ^ { 1 / 3 } \pi ^ { 2 } \left( \mathrm { A } _ { 1 } ^ { 2 } \left[ - 2 ^ { 2 / 3 } \alpha \right] + \mathrm { A } _ { 2 } ^ { 2 } \left[ - 2 ^ { 2 / 3 } \alpha \right] \right) = : M ( \alpha ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { 2 c } ^ { ( 1 ) } } & { { } = \frac { i p ^ { 4 } ( D - 1 0 ) ( D - 8 ) ( D - 6 ) ( D - 4 ) ( D - 2 ) D \pi ^ { D / 2 + 1 } } { 3 2 \sin \big ( \frac { \pi D } { 2 } \big ) m _ { f } ^ { 1 2 - D } } \bigg ( \prod _ { k = 1 } ^ { D - 2 } \frac { \Gamma \big ( \frac { D - k } { 2 } \big ) } { \Gamma \big ( \frac { D - k + 1 } { 2 } \big ) } \bigg ) } \end{array}
| j _ { z } ( \omega , k _ { z } ) | ^ { 2 } = \frac { 2 \pi s ^ { 2 } e ^ { 2 } } { ( \omega - k _ { z } s ) ^ { 2 } } \frac { | \omega | / \kappa } { e ^ { \frac { 2 \pi | \omega | } { \kappa } } - 1 } \, .