harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \sum _ { t \in \mathcal { T } _ { l } } f ^ { * } - f ( \mathbf { x } _ { t } ) } \\ { \leq } & { \sum _ { t \in \mathcal { T } _ { l } } 4 \operatorname* { m a x } _ { \mathbf { x } \in \mathcal { D } _ { l - 1 } } \tilde { w } _ { l - 1 } ( \mathbf { x } ) } \\ { \leq } & { 4 T _ { l } \operatorname* { m a x } _ { \mathbf { x } \in \mathcal { D } _ { l - 1 } } w _ { l - 1 } ( \mathbf { x } ) } \\ { \overset { ( a ) } { \leq } } & { 4 T _ { l } \operatorname* { m a x } _ { \mathbf { x } \in \mathcal { D } _ { l - 1 } } w _ { l - 1 } ( \mathbf { x } ) + 4 T _ { l } \cdot \frac { G _ { 1 } \gamma _ { T } \sqrt { 2 \log ( 1 / \beta ) } } { | U _ { l - 1 } | } } \\ { \leq } & { 4 T _ { l } \operatorname* { m a x } _ { \mathbf { x } \in \mathcal { D } _ { l - 1 } } w _ { l - 1 } ( \mathbf { x } ) + 4 G _ { 1 } \gamma _ { T } \sqrt { 2 \log ( 1 / \beta ) } 2 ^ { ( 1 - \alpha ) ( l - 1 ) } } \\ { \leq } & { 4 \sqrt { 2 \kappa ^ { 2 } \log ( 1 / \beta ) } \sqrt { 2 ^ { ( 2 - \alpha ) ( l - 1 ) } } + 8 \sigma C \sqrt { 2 \gamma _ { T } \log ( 1 / \beta ) } \sqrt { 2 ^ { ( 1 - \alpha ) ( l - 1 ) } } + 8 \sigma B C \sqrt { \gamma _ { T } 2 ^ { l - 1 } } } \\ & { + 4 G _ { 1 } \gamma _ { T } \sqrt { 2 \log ( 1 / \beta ) } 2 ^ { ( 1 - \alpha ) ( l - 1 ) } , } \end{array}
A ( m , n ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { 0 [ m ] n } & { { \mathrm { , ~ i f ~ } } m = 0 } \\ { 2 [ m ] ( n + 3 ) - 3 } & { { \mathrm { , ~ i f ~ } } m > 0 } \end{array} \right. }
{ \left| \begin{array} { l l l l } { a } & { b } & { c } & { d } \\ { e } & { f } & { g } & { h } \\ { i } & { j } & { k } & { l } \\ { m } & { n } & { o } & { p } \end{array} \right| } = a \, { \left| \begin{array} { l l l } { f } & { g } & { h } \\ { j } & { k } & { l } \\ { n } & { o } & { p } \end{array} \right| } - b \, { \left| \begin{array} { l l l } { e } & { g } & { h } \\ { i } & { k } & { l } \\ { m } & { o } & { p } \end{array} \right| } + c \, { \left| \begin{array} { l l l } { e } & { f } & { h } \\ { i } & { j } & { l } \\ { m } & { n } & { p } \end{array} \right| } - d \, { \left| \begin{array} { l l l } { e } & { f } & { g } \\ { i } & { j } & { k } \\ { m } & { n } & { o } \end{array} \right| } .
K _ { \mathrm { f } } = \phi ( K - K _ { 0 } ) \left[ \left( 1 - \frac { K _ { 0 } } { K _ { \mathrm { s } } } \right) ^ { 2 } - \frac { ( 1 - \phi ) ( K - K _ { 0 } ) } { K _ { \mathrm { s } } } + \frac { K _ { 0 } ( K - K _ { 0 } ) } { { K _ { \mathrm { s } } } ^ { 2 } } \right] ^ { - 1 } .
H = \left( \begin{array} { c c c c } { { r _ { 5 } } } & { { 0 } } & { { r _ { 3 } + i r _ { 4 } } } & { { r _ { 1 } + i r _ { 2 } } } \\ { { 0 } } & { { r _ { 5 } } } & { { - r _ { 1 } + i r _ { 2 } } } & { { r _ { 3 } - i r _ { 4 } } } \\ { { r _ { 3 } - i r _ { 4 } } } & { { - r _ { 1 } - i r _ { 2 } } } & { { - r _ { 5 } } } & { { 0 } } \\ { { r _ { 1 } - i r _ { 2 } } } & { { r _ { 3 } + i r _ { 4 } } } & { { 0 } } & { { - r _ { 5 } } } \end{array} \right) .
\rho { c _ { p } } \left( { { h _ { i } } + \Delta t { D _ { i } } { h _ { i } } + \frac { { \Delta { t ^ { 2 } } } } { 2 } \hat { d } _ { i } ^ { 2 } { h _ { i } } } \right) - { h _ { i } } = \left( { \rho { c _ { p } } - 1 } \right) \left( { { h _ { i } } + \Delta t { { \hat { d } } _ { i } } { h _ { i } } + \frac { { \Delta { t ^ { 2 } } } } { 2 } \hat { d } _ { i } ^ { 2 } { h _ { i } } } \right) - \frac { 1 } { { { \tau _ { h } } } } \left( { { h _ { i } } - h _ { i } ^ { e q } } \right) + \Delta t { \widehat F _ { i } } ,
P _ { \mathrm { S H G } } ( 2 \omega ) = \frac { 1 6 \sqrt { 2 } S \big | \chi ^ { ( 2 ) } \big | ^ { 2 } \omega ^ { 2 } } { c ^ { 3 } \epsilon _ { 0 } ^ { 2 } f \pi r ^ { 2 } t _ { \mathrm { f w h m } } ( 1 + n _ { 2 } ) ^ { 6 } } P _ { 1 } ^ { 2 } ( \omega )
( \nabla _ { \mu } ^ { l } ) ^ { 2 } \xi + \frac { 1 } { 4 } [ u _ { \mu } ^ { l } , [ u ^ { l \mu } , \xi ] ] = \frac { - i } { 4 } \left( \{ S ( x ) , \chi _ { - } ^ { l } \} - \frac { 2 } { N _ { f } } \langle S ( x ) \chi _ { - } ^ { l } \rangle \right) + { \cal O } \left( \xi ^ { 3 } , S ( x ) \xi ^ { 2 } \right) \, .
\begin{array} { r l } { u ( x , t ) = } & { { } \int _ { 0 } ^ { \varepsilon } \left[ \phi \left( \frac { \xi _ { 2 } } { \varepsilon } \right) \int _ { - \infty } ^ { \infty } \varLambda _ { 2 } ( \xi , x ) \wedge \sigma ( \xi _ { 1 } , t ) \mathrm { d } \xi _ { 1 } \right] \mathrm { d } \xi _ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial M _ { \mathrm { L } } } { \partial t } } & { { } = } & { 2 \kappa _ { \mathrm { d i f f } } M _ { \mathrm { L } } ^ { \prime \prime } + 2 \bigg ( \frac { 4 \kappa _ { \mathrm { d i f f } } } { r } + \kappa _ { \mathrm { d i f f } } ^ { \prime } \bigg ) M _ { \mathrm { L } } ^ { \prime } } \end{array}
\Lambda _ { \gamma } ^ { L R } = V _ { { q _ { \gamma } } d } ^ { L * } V _ { { q _ { \gamma } } s } ^ { R } \ , \qquad \Lambda _ { \delta } ^ { R L } = V _ { { q _ { \delta } } d } ^ { R * } V _ { { q _ { \delta } } s } ^ { L } \ , \qquad q _ { \gamma , \delta } = ( u , c , t , U , C , T ) \ ,
{ \cal L } _ { e f f } = - V _ { c b } \frac { 4 G _ { F } } { \sqrt { 2 } } \left[ ( \bar { c } \gamma _ { \mu } P _ { L } b ) ( \bar { l } \gamma ^ { \mu } P _ { L } \nu _ { l } ) - R ( \bar { c } P _ { R } b ) ( \bar { l } P _ { R } \nu _ { l } ) \right] ,
\cos \theta _ { 1 , i } = \frac { ( \vec { z } ^ { ( k ) } - \vec { z } ^ { ( \mathrm { ~ P ~ } _ { i } ) } ) \cdot ( \vec { z } ^ { ( \mathrm { ~ P ~ } _ { i } ) } - \vec { z } ^ { ( \mathrm { ~ P ~ } _ { i + 1 } ) } ) } { | ( \vec { z } ^ { ( k ) } - \vec { z } ^ { ( \mathrm { ~ P ~ } _ { i } ) } ) | | ( \vec { z } ^ { ( \mathrm { ~ P ~ } _ { i } ) } - \vec { z } ^ { ( \mathrm { ~ P ~ } _ { i + 1 } ) } ) | } .
\left[ \phi _ { i j } ( x ^ { - } , x _ { \perp } ) , \partial _ { - } \phi _ { k l } ( y ^ { - } , y _ { \perp } ) \right] = \left\{ \psi _ { i j } ( x ^ { - } , x _ { \perp } ) , \psi _ { k l } ( y ^ { - } , y _ { \perp } ) \right\} = \frac { 1 } { 2 } \delta ( x ^ { - } - y ^ { - } ) \delta ( x _ { \perp } - y _ { \perp } ) \delta _ { i l } \delta _ { j k } .
e _ { ( 2 ) } = { \frac { 1 } { \sqrt { 4 + 2 ( x ^ { 3 } ) ^ { 2 } } } } \left[ \left( x ^ { 3 } + { \sqrt { 2 + ( x ^ { 3 } ) ^ { 2 } } } \right) \partial _ { 0 } + \left( 1 + ( x ^ { 3 } ) ^ { 2 } + x ^ { 3 } { \sqrt { 2 + ( x ^ { 3 } ) ^ { 2 } } } \right) \partial _ { 1 } + \partial _ { 2 } \right]
\rho \left( x , y , 0 \right) = 1 , \qquad p \left( x , y , 0 \right) = \frac { 1 0 ^ { 5 } } { \gamma } , \qquad { u } _ { 1 } \left( x , y , 0 \right) = \left\lbrace \begin{array} { l c } { \operatorname { t a n h } \left[ \hat { \rho } ( \hat { y } - 0 . 2 5 ) \right] } & { \mathrm { i f } \; \hat { y } \le 0 . 5 , } \\ { \operatorname { t a n h } \left[ \hat { \rho } ( 0 . 7 5 - \hat { y } ) \right] } & { \mathrm { i f } \; \hat { y } > 0 . 5 , } \end{array} \right. \quad { u } _ { 2 } \left( x , y , 0 \right) = \delta \sin \left( 2 \pi \hat { x } \right)
\begin{array} { r l } { t _ { S } } & { { } = - \frac { \kappa _ { S } T } { \varepsilon + b _ { \varepsilon } \gamma ^ { 2 } } } \\ { G _ { S } } & { { } = - 2 D b _ { \varepsilon } \kappa _ { S } T \frac { \varepsilon - b _ { \varepsilon } \gamma ^ { 2 } } { ( \varepsilon + b _ { \varepsilon } \gamma ^ { 2 } ) ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \langle \mathrm { \bf ~ r } _ { 1 } ^ { \prime } , \dots , \mathrm { \bf ~ r } _ { N } ^ { \prime } | \mathrm { \bf ~ r } _ { 1 } , \dots , \mathrm { \bf ~ r } _ { N } \rangle = | c o n s t _ { N } | ^ { 2 } \langle 0 | \hat { \psi } ( \mathrm { \bf ~ r } _ { N } ^ { \prime } ) , . . . \hat { \psi } ( \mathrm { \bf ~ r } _ { 1 } ^ { \prime } ) \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } _ { 1 } ) \dots \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } _ { N } ) | 0 \rangle = } \\ & { } & { \; \; \; \; \; \; \; \; = | c o n s t _ { N } | ^ { 2 } \langle 0 | \hat { \psi } ( \mathrm { \bf ~ r } _ { N } ^ { \prime } ) , . . . \hat { \psi } ( \mathrm { \bf ~ r } _ { 2 } ^ { \prime } ) \sum _ { a = 1 } ^ { N } \delta ( \mathrm { \bf ~ r } _ { 1 } ^ { \prime } - \mathrm { \bf ~ r } _ { a } ) \prod _ { b \ne a } ^ { N } \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } _ { b } ) | 0 \rangle = } \\ & { } & { = | c o n s t _ { N } | ^ { 2 } \langle 0 | \hat { \psi } ( \mathrm { \bf ~ r } _ { N } ^ { \prime } ) , . . . \hat { \psi } ( \mathrm { \bf ~ r } _ { 3 } ^ { \prime } ) \sum _ { a = 1 } ^ { N } \delta ( \mathrm { \bf ~ r } _ { 1 } ^ { \prime } - \mathrm { \bf ~ r } _ { a } ) \sum _ { b = 1 , b \ne a } ^ { N } \delta ( \mathrm { \bf ~ r } _ { 2 } ^ { \prime } - \mathrm { \bf ~ r } _ { b } ) \prod _ { c = 1 , c \ne a , b } ^ { N } \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } _ { c } ) | 0 \rangle = } \\ & { } & { = . . . = | c o n s t _ { N } | ^ { 2 } \sum _ { a = 1 } ^ { N } \delta ( \mathrm { \bf ~ r } _ { 1 } ^ { \prime } - \mathrm { \bf ~ r } _ { a } ) \sum _ { b = 1 , b \ne a } ^ { N } \delta ( \mathrm { \bf ~ r } _ { 2 } ^ { \prime } - \mathrm { \bf ~ r } _ { b } ) \sum _ { d = 1 , d \ne a , b , c } ^ { N } \delta ( \mathrm { \bf ~ r } _ { 3 } ^ { \prime } - \mathrm { \bf ~ r } _ { d } ) . . \langle 0 | 0 \rangle = } \\ & { } & { = | c o n s t _ { N } | ^ { 2 } \sum _ { P } \prod _ { a = 1 } ^ { N } \delta ( \mathrm { \bf ~ r } _ { a } ^ { \prime } - \mathrm { \bf ~ r } _ { P a } ) } \end{array}
{ \frac { \chi _ { X } } { \chi _ { T } \nabla _ { \mathrm { a d } } } } ( \nabla _ { X } - \nabla _ { X , \mathrm { c r i t } } ) = { \frac { 8 } { \mathrm { R a _ { T } } } } \left( { \frac { H _ { P } } { \ell } } \right) ^ { 4 } \mathrm { P e } ^ { 2 } .
\mathrm { d } s ^ { 2 } = \mathrm { d } t ^ { 2 } - { \frac { ( R ^ { \prime } ) ^ { 2 } } { 1 + 2 E } } \mathrm { d } r ^ { 2 } - R ^ { 2 } \, \mathrm { d } \Omega ^ { 2 }
\partial _ { t } { \cal P } _ { t } ( \vec { x } , \vec { \sigma } ) = \sum _ { k } \partial _ { x _ { k } } [ ( - v _ { 0 } \sigma _ { k } + x _ { k } - \frac { 2 } { N } \sum _ { l \neq k } \frac { g _ { \sigma _ { k } , \sigma _ { l } } } { x _ { k } - x _ { l } } ) { \cal P } _ { t } ] - N \gamma { \cal P } _ { t } + \gamma \sum _ { k } \tau _ { k } ^ { 1 } { \cal P } _ { t }
\begin{array} { r l } { \frac { \partial ^ { 2 } \mu ( r , \phi , \varphi ) } { \partial r ^ { 2 } } = } & { \; \frac { \pi } { 2 D ^ { 2 } } \left( 2 f _ { 1 } ( r , \beta ) - \frac { 1 6 D ^ { 2 } } { { \pi } \sqrt { r ^ { 4 } + \frac { D ^ { 2 } ( 4 \beta - 2 ) r ^ { 2 } } { { \pi } } + \frac { D ^ { 4 } } { { \pi } ^ { 2 } } } } + \frac { 4 D ^ { 2 } \left( 3 \pi ^ { 2 } r ^ { 4 } + 2 \pi D ^ { 2 } ( 4 \beta - 2 ) r ^ { 2 } + D ^ { 4 } \right) } { { \pi } ^ { 3 } \left( r ^ { 4 } + \frac { D ^ { 2 } ( 4 \beta - 2 ) r ^ { 2 } } { { \pi } } + \frac { D ^ { 4 } } { { \pi } ^ { 2 } } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbb { R } } \tilde { u } ( x ) \bigg ( \mathbb { L } _ { e } + D \mathbb { G } _ { e } ( \tilde { u } ) \bigg ) ^ { - 1 } \tilde { u } ( x ) d x } & { \le \int _ { \Omega _ { 0 } } u _ { 0 } v + \epsilon \| u _ { 0 } \| _ { 2 } + 2 \mathcal { C } _ { 1 } ( \| \tilde { u } \| _ { 2 } + r _ { 0 } ) r _ { 0 } d x } \\ & { = | \Omega _ { 0 } | \sum _ { n \in \mathbb { Z } } ( U _ { 0 } ) _ { n } V _ { n } + \epsilon \| u _ { 0 } \| _ { 2 } + 2 \mathcal { C } _ { 1 } ( \| u _ { 0 } \| _ { 2 } + r _ { 0 } ) r _ { 0 } } \end{array}
\mathcal { L } _ { \mathrm { c G A N } } ( D , G ) = \mathbb { E } _ { y \sim p _ { \mathrm { d a t a } } ( y ) } [ \log D ( y | x ) ] + \mathbb { E } _ { \hat { y } \sim p _ { \mathrm { d a t a } } ( \hat { y } ) } [ \log ( 1 - D ( G ( \hat { y } | x ) ) ) ]
< \frac { \hbar } { 2 } \vec { \sigma } > = \frac { \hbar } { 2 } \int \psi ^ { \dagger } \vec { \sigma } \psi d ^ { 3 } x = \frac { \hbar } { 2 } \int \left( \frac { \psi ^ { \dagger } \vec { \sigma } \psi } { \rho _ { p } } \right) \rho _ { p } d ^ { 3 } x
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \| \mathcal { S } _ { [ \mu , L _ { g } ] } \big [ \nabla _ { y y } ^ { 2 } g ( x _ { t + 1 } , y _ { t + 1 } ) \big ] - H _ { t + 1 } \| ^ { 2 } } & { \leq ( 1 - \tilde { \alpha } _ { t + 1 } ) \mathbb { E } \| \mathcal { S } _ { [ \mu , L _ { g } ] } \big [ \nabla _ { y y } ^ { 2 } g ( x _ { t } , y _ { t } ) \big ] - H _ { t } \| ^ { 2 } + \tilde { \alpha } _ { t + 1 } ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } \\ & { \quad + 2 L _ { g y y } ^ { 2 } \eta _ { t } ^ { 2 } / \tilde { \alpha } _ { t + 1 } \big ( \mathbb { E } \| \tilde { x } _ { t + 1 } - x _ { t } \| ^ { 2 } + \mathbb { E } \| \tilde { y } _ { t + 1 } - y _ { t } \| ^ { 2 } \big ) . } \end{array}
\beta F ( \beta ) = \operatorname * { l i m } _ { w _ { 0 } \rightarrow \infty } \sum _ { w < w _ { 0 } } \left[ - \frac 1 2 \operatorname * { l i m } _ { \nu \rightarrow 0 } { \frac { d } { d \nu } } \zeta ( \nu | \omega , \beta ) - { \frac { \beta \omega } { 2 } } \right] .
B R _ { \phi \gamma } / P _ { \gamma } = g _ { \gamma \rho } ^ { 2 } \cdot \left[ B R _ { \phi \rho ^ { 0 } } / P _ { \rho ^ { 0 } } + \frac { 1 } { 9 } B R _ { \phi \omega } / P _ { \omega } + \frac { 2 } { 3 } c o s \beta \sqrt { B R _ { \phi \rho ^ { 0 } } / P _ { \rho ^ { 0 } } \cdot \frac { 1 } { 9 } B R _ { \phi \omega } / P _ { \omega } } \right] ,
\mathbf { u } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) = \left( \begin{array} { l } { - \pi \sin ( \pi x _ { 1 } ) \cos ( \pi x _ { 2 } ) } \\ { \pi \cos ( \pi x _ { 1 } ) \sin ( \pi x _ { 2 } ) } \end{array} \right) , \quad p ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) = \frac { 1 0 \, ( 1 - x _ { 1 } ) } { ( x _ { 1 } - 0 . 0 9 ) ^ { 2 } + ( x _ { 2 } - 0 . 0 9 ) ^ { 2 } } - p _ { 0 } \, ,
\begin{array} { r l } { \Big ( [ \mathrm { A } ] + \Delta ( [ \mathrm { A } ] ) \Big ) \Big ( \hat { \rho } _ { \mathrm { A } } + \Delta ( \hat { \rho } _ { \mathrm { A } } ) \Big ) - [ \mathrm { A } ] \hat { \rho } _ { \mathrm { A } } } & { = \Delta ( [ \mathrm { A } ] \hat { \rho } _ { \mathrm { A } } ) ; } \\ { \Big ( [ \mathrm { A B } ] + \Delta ( [ \mathrm { A B } ] ) \Big ) \Big ( \hat { \rho } _ { \mathrm { A B } } + \Delta ( \hat { \rho } _ { \mathrm { A B } } ) \Big ) - [ \mathrm { A B } ] \hat { \rho } _ { \mathrm { A B } } } & { = \Delta ( [ \mathrm { A B } ] \hat { \rho } _ { \mathrm { A B } } ) . } \end{array}
\Delta _ { V _ { 3 } } = \frac { 1 } { 6 } \, \mathrm { d e t } \left( \vec { n } _ { 1 } , \ \vec { n } _ { 2 } , \ \vec { n } _ { 3 } , \ \vec { \mathbb { 1 } } _ { 4 } \right) ,
\left( \begin{array} { l l l } { \sigma _ { x x } } & { \sigma _ { x y } } & { \sigma _ { x z } } \\ { \sigma _ { y x } } & { \sigma _ { y y } } & { \sigma _ { y z } } \\ { \sigma _ { z x } } & { \sigma _ { z y } } & { \sigma _ { z z } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l l } { \mathrm { D I A } _ { x x } } & { \mathrm { D I A } _ { x y } } & { \mathrm { D I A } _ { x z } } \\ { \mathrm { D I A } _ { y x } } & { \mathrm { D I A } _ { y y } } & { \mathrm { D I A } _ { y z } } \\ { \mathrm { D I A } _ { z x } } & { \mathrm { D I A } _ { z y } } & { \mathrm { D I A } _ { z z } } \end{array} \right) + \left( \begin{array} { l l l } { \mathrm { P A R A } _ { x x } } & { \mathrm { P A R A } _ { x y } } & { \mathrm { P A R A } _ { x z } } \\ { \mathrm { P A R A } _ { y x } } & { \mathrm { P A R A } _ { y y } } & { \mathrm { P A R A } _ { y z } } \\ { \mathrm { P A R A } _ { z x } } & { \mathrm { P A R A } _ { z y } } & { \mathrm { P A R A } _ { z z } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { 2 } \frac { d } { d t } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \| w _ { i } \| ^ { 2 } = \sum _ { i = 1 } ^ { m } \int _ { \Omega } ( a u _ { i } w _ { i } + c w _ { i } - b w _ { i } ^ { 2 } ) \, d x } \\ { \leq } & { \, \sum _ { i = 1 } ^ { m } \int _ { \Omega } \left[ \left( \frac { a ^ { 2 } } { b } u _ { i } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } b \, w _ { i } ^ { 2 } \right) + \left( \frac { c ^ { 2 } } { b } + \frac { 1 } { 4 } b \, w _ { i } ^ { 2 } \right) - b \, w _ { i } ^ { 2 } \right] d x } \\ { = } & { \, \sum _ { i = 1 } ^ { m } \frac { a ^ { 2 } } { b } \int _ { \Omega } u _ { i } ^ { 2 } ( t , x ) \, d x - \frac { b } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \| w _ { i } \| ^ { 2 } + \frac { m c ^ { 2 } } { b } | \Omega | . } \end{array}
b = \sqrt { \frac { 2 } { g } } \, \frac { M _ { \mathrm { { P l } } } ^ { 3 } } { m ^ { 2 } } = 0 . 7 2 5 1 \times 1 0 ^ { 1 0 } \, \sqrt { \frac { 2 } { g } } \, \left( \frac { 1 5 \mathrm { k e V } } { m } \right) ^ { 2 } M _ { \odot } \, .
\Omega \approx \frac { 4 \sqrt { 6 } } { \xi } e ^ { - \frac { 2 R _ { c } } { \xi } } \left[ 1 - \frac { \lambda T \xi ^ { 3 } } { 8 } F [ \frac { R _ { c } } { \xi } ] \right] - \frac { \lambda T ^ { 2 } \xi ^ { 2 } } { 4 } C [ \frac { R _ { c } } { \xi } ] + \cdots
\begin{array} { r l r } { \boldsymbol { \nabla } \cdot \mathbf { u } } & { { } = } & { 0 , } \\ { \frac { D \mathbf { u } } { D t } } & { { } = } & { - \boldsymbol { \nabla } p + \frac { 1 } { \mathrm { R e } } \nabla ^ { 2 } \mathbf { u } + \mathrm { R i } \, \rho \, { \bf \hat { g } } - \boldsymbol { F } _ { u } , } \\ { \frac { D \rho } { D t } } & { { } = } & { \frac { 1 } { \mathrm { R e \ P r } } \nabla ^ { 2 } \rho - F _ { \rho } , } \end{array}
\int _ { \partial \Omega } \left( \mu { \frac { \partial \mathbf { u } } { \partial { \hat { \mathbf { n } } } } } - p { \hat { \mathbf { n } } } \right) \cdot \mathbf { v } = \underbrace { \int _ { \Gamma _ { D } } \left( \mu { \frac { \partial \mathbf { u } } { \partial { \hat { \mathbf { n } } } } } - p { \hat { \mathbf { n } } } \right) \cdot \mathbf { v } } _ { \mathbf { v } = \mathbf { 0 } { \mathrm { ~ o n ~ } } \Gamma _ { D } \ } + \int _ { \Gamma _ { N } } \underbrace { { \vphantom { \int _ { \Gamma _ { N } } } } \left( \mu { \frac { \partial \mathbf { u } } { \partial { \hat { \mathbf { n } } } } } - p { \hat { \mathbf { n } } } \right) } _ { = \mathbf { h } { \mathrm { ~ o n ~ } } \Gamma _ { N } } \cdot \mathbf { v } = \int _ { \Gamma _ { N } } \mathbf { h } \cdot \mathbf { v } .
\begin{array} { r l r } { \log \tilde { P } _ { s s } } & { \simeq } & { \nu _ { 0 } \int d l \left( \frac { n _ { 1 } s _ { 1 } ( l ) } { \tau _ { 1 } } + \frac { n _ { 2 } s _ { 2 } ( l ) } { \tau _ { 2 } } \right) } \\ & { \simeq } & { - \frac { 2 \nu _ { 0 } \alpha } { \omega + 1 } \log X + \frac { \nu _ { 0 } n _ { 1 } n _ { 2 } } { \beta _ { 2 } } \left( \frac { 1 } { \tau _ { 1 } } - \frac { 1 } { \tau _ { 2 } } \right) Y + C _ { 2 } } \end{array}
2 8 { \cal T } _ { 4 } ( p _ { 1 } ^ { \prime } , p _ { 1 } ; p _ { 2 } ^ { \prime } , p _ { 2 } ) = 2 i E \int \frac { d ^ { 2 } z } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } e ^ { i q \cdot z } { \cal T } _ { 2 } ( p _ { 2 } ^ { \prime } , p _ { 2 } | h ^ { C } ) \, ,
\begin{array} { r l r } { \frac { { \tilde { n } } _ { g } ^ { \mathrm { R J } } } { N } ( \mu ) } & { = } & { \frac { g } { ( \mu - \beta _ { \mathrm { m a x } } ) \sum _ { p } ( \mu - \beta _ { p } ) ^ { - 1 } } , } \\ { \frac { E ( \mu ) } { E _ { \mathrm { m i n } } } } & { = } & { \frac { \sum _ { p } \frac { \beta _ { p } } { \beta _ { p } - \mu } } { \sum _ { p } \frac { \beta _ { 0 } } { \beta _ { p } - \mu } } . } \end{array}
R = \mathrm { ~ d ~ i ~ a ~ g ~ } ( \mathbf { r } ) \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \mathbf { r } = ( r ( \mathbf { x } _ { 1 } ) , r ( \mathbf { x } _ { 2 } ) , \ldots , r ( \mathbf { x } _ { n } ) ) ^ { T }
\left( \left( r _ { \mathrm { d 1 8 O , p r e c } } ^ { \mathrm { M o d e l } } - r _ { \mathrm { d 1 8 O , p r e c } } ^ { \mathrm { i H a d C M 3 } } \right) ^ { 2 } + \left( r _ { \mathrm { d 1 8 O , t s u r f } } ^ { \mathrm { M o d e l } } - r _ { \mathrm { d 1 8 O , t s u r f } } ^ { \mathrm { i H a d C M 3 } } \right) ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } }
\varepsilon - \varepsilon _ { 0 } + \frac { 1 } { 2 } ( p + p _ { 0 } ) ( \nu - \nu _ { 0 } ) + \frac { \varkappa ^ { 2 } } { 2 } \frac { \left( \theta ^ { 2 } - \theta _ { 0 } ^ { 2 } \right) ( \nu - \nu _ { 0 } ) } { ( p - p _ { 0 } ) } = 0 .
\begin{array} { r l } { \tilde { u } _ { 0 } ( t = 0 ) = } & { { } \tilde { u } _ { x } ( t = 0 ) = \tilde { u } _ { y } ( t = 0 ) = 0 , \; \; } \\ { \tilde { h } _ { 0 } ( t = 0 ) = } & { { } h _ { 0 } . } \end{array}
\bigl ( \phi _ { 1 } \star \phi _ { 2 } \bigr ) \star \phi _ { 3 } = \phi _ { 1 } \star \bigl ( \phi _ { 2 } \star \phi _ { 3 } \bigr ) = \phi _ { 1 } \star \phi _ { 2 } \star \phi _ { 3 }
\mathcal { L } _ { A } ( L ^ { 2 } ( \mathbb { G } ) \otimes A ) \otimes \mathcal { L } _ { B } ( L ^ { 2 } ( \mathbb { H } ) \otimes B ) \rightarrow \mathcal { L } _ { A \otimes B } \big ( L ^ { 2 } ( \mathbb { G } ) \otimes L ^ { 2 } ( \mathbb { H } ) \otimes A \otimes B \big ) = \mathcal { L } _ { A \otimes B } ( L ^ { 2 } ( \mathbb { F } ) \otimes C )
\hat { \mathcal { L } } _ { \mathbf q g } = \left\{ \begin{array} { l l } { \hat { \mathcal L } _ { { \mathbf q g } } ^ { ( \mathrm { e } ) } } & { \mathrm { f o r } ~ { 1 \le { g } \le n _ { \mathbf { q } g } } , } \\ { \hat { \mathcal L } _ { { \mathbf q g ^ { \prime } } } ^ { ( \mathrm { o } ) } } & { \mathrm { f o r } ~ { n _ { \mathbf { q } g } + 1 \leq { g } \le { 2 n _ { \mathbf { q } g } } } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { c c } { V } & { 2 T } \\ { 2 T } & { \alpha ^ { 2 } U - 4 T } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { \vec { a } _ { k } } \\ { \vec { b } _ { k } } \end{array} \right) = \frac { E _ { k } } { \mathrm { ~ H ~ a ~ } } \left( \begin{array} { c c } { S } & { 0 } \\ { 0 } & { 2 \alpha ^ { 2 } T } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { \vec { a } _ { k } } \\ { \vec { b } _ { k } } \end{array} \right) , \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ a ~ l ~ l ~ } k = 1 , \dots , M \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { \partial _ { t } \Omega - 4 \partial _ { \xi } ^ { 2 } \Omega \geq g ( t ) \int _ { 0 } ^ { \xi } \bar { h } _ { \epsilon } ^ { \prime } ( \eta ) \partial _ { \eta } \Omega ( t , \eta ) d \eta , \quad } & & { ( t , \xi ) \in ( 0 , \infty ) \times ( 0 , \infty ) , } \\ & { \Omega ( 0 , \xi ) \geq 0 , \quad } & & { \xi \geq 0 , } \\ & { \Omega ( t , 0 ) \geq 0 , \quad } & & { t \geq 0 , } \end{array}
\begin{array} { r } { E \left( \widehat f _ { c , n } ^ { 2 } | \mathcal { B } _ { I , n } ( c ) \right) = \frac { \sigma _ { c } ^ { 2 } } { \sum _ { k = - n } ^ { I - c - 1 } C _ { k , c } } + f _ { c } ^ { 2 } \leq \frac { \sigma _ { c } ^ { 2 } } { ( I + n - c ) \epsilon ^ { c } } + f _ { c } ^ { 2 } \leq \frac { \sigma _ { c } ^ { 2 } } { \epsilon ^ { c } } + f _ { c } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { 2 } ( \mathcal { S } , K ) = } & { \left\{ \mathbf { E } \in \mathbb { R } ^ { N } \mid \mathbf { E } = \sum _ { k = 1 } ^ { K } \left( \omega _ { k } ^ { + } \mathcal { S } _ { k } ^ { + } + \omega _ { k } ^ { - } \mathcal { S } _ { k } ^ { - } \right) , \right. } \\ & { \qquad \sum _ { k = 1 } ^ { K } \left( \omega _ { k } ^ { + } + \omega _ { k } ^ { - } \right) = 1 , } \\ & { \qquad 0 \leq \omega _ { k } ^ { + } \leq 1 , \; 0 \leq \omega _ { k } ^ { - } \leq 1 , } \\ & { \qquad k \in \{ 1 , \ldots , K \} \Bigg \} } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int K ( t , t ^ { \prime } ) X ( t ^ { \prime } ) ~ d t ^ { \prime } } \\ & { = \int \sum _ { n } ^ { \infty } \sigma _ { n } \psi _ { n } ( t ) \phi _ { n } ( t ^ { \prime } ) \sum _ { n } ^ { \infty } x _ { n } \phi _ { n } ( t ^ { \prime } ) ~ d t ^ { \prime } } \\ & { = \int \sum _ { n } ^ { \infty } \sigma _ { n } x _ { n } \psi _ { n } ( t ) | \phi _ { n } ( t ^ { \prime } ) | ^ { 2 } } \\ & { + \sum _ { n ^ { \prime } \neq n } ^ { \infty } \sigma _ { n } x _ { n ^ { \prime } } \psi _ { n } ( t ) \phi _ { n } ( t ^ { \prime } ) \phi _ { n ^ { \prime } } ^ { * } ( t ^ { \prime } ) ~ d t ^ { \prime } } \\ & { = \sum _ { n } ^ { \infty } c _ { n } \psi _ { n } ( t ) = C ( t ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { { I I } } = E \left\{ \left( { \frac { 1 } { N + 1 } } \sum _ { i = 0 } ^ { N } \phi _ { i } \right) ^ { 2 } \right\} } & { = } & { { \frac { 1 } { ( N + 1 ) ^ { 2 } } } \left[ { \frac { N ( N + 1 ) ( 2 N + 1 ) } { 6 } } - { \frac { N ( N + 1 ) ^ { 2 } } { 4 } } \right] \Psi ^ { 2 } = { \frac { N ( N - 1 ) } { 1 2 ( N + 1 ) } } \Psi ^ { 2 } \, . } \end{array}
M _ { P } ^ { 2 } = M ^ { 3 } r _ { c } \int _ { - \pi } ^ { \pi } d \phi \; \mathrm { e } ^ { - 2 k r _ { c } | \phi | } = \frac { M ^ { 3 } } { k } ( 1 - \mathrm { e } ^ { - 2 k r _ { c } \pi } ) \; .