harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \gamma _ { \uparrow \uparrow , \downarrow \downarrow } ^ { \textrm { S F } } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 4 } \left[ \vec { \nabla } \rho _ { \textrm { p } } \cdot \vec { \nabla } \rho _ { \textrm { p } } + \vec { \nabla } \vec { \rho } _ { \textrm { m } } \odot \vec { \nabla } \vec { \rho } _ { \textrm { m } } \right] \pm \frac { f _ { \nabla } } { 2 } \Gamma , } \\ { \Gamma } & { { } = } & { \sqrt { \left( \vec { \nabla } \rho _ { \textrm { p } } \cdot \vec { \nabla } \vec { \rho } _ { \textrm { m } } \right) \circ \left( \vec { \nabla } \rho _ { \textrm { p } } \cdot \vec { \nabla } \vec { \rho } _ { \textrm { m } } \right) } , } \\ { \gamma _ { \uparrow \downarrow } ^ { \textrm { S F } } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 4 } \left[ \vec { \nabla } \rho _ { \textrm { p } } \cdot \vec { \nabla } \rho _ { \textrm { p } } - \vec { \nabla } \vec { \rho } _ { \textrm { m } } \odot \vec { \nabla } \vec { \rho } _ { \textrm { m } } \right] , } \\ { f _ { \nabla } } & { { } = } & { \textrm { s g n } \left( \left[ \vec { \nabla } \rho _ { \textrm { p } } \cdot \vec { \nabla } \vec { \rho } _ { \textrm { m } } \right] \circ \vec { \rho } _ { \textrm { m } } \right) , } \\ { \tau _ { \uparrow , \downarrow } ^ { \textrm { S F } } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \tau _ { \textrm { p } } \pm \frac { f _ { \tau } } { 2 } | \vec { \tau } _ { \textrm { m } } | , } \\ { f _ { \tau } } & { { } = } & { \textrm { s g n } \left( \vec { \tau } _ { \textrm { m } } \circ \vec { \rho } _ { \textrm { m } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { S } } & { { } = \frac { S + 2 D f _ { 1 } } { T } , } \\ { \sigma _ { D } } & { { } = \frac { D + 2 S ^ { 2 } G + 4 D S G f _ { 1 } + 2 D ^ { 3 } f _ { 1 } / S ^ { 2 } } { T } } \end{array}
C _ { L } = \frac { 1 - C _ { L } / N _ { L } } { 1 - C _ { 0 } / N _ { L } } C _ { 0 } \, \mathrm { e x p } \left( \frac { \overline { { V } } _ { H } \sigma _ { H } } { R T } \right) = \frac { 1 } { 1 + \frac { C _ { 0 } / N _ { L } } { 1 - C _ { 0 } / N _ { L } } \mathrm { e x p } \left( \frac { \overline { { V } } _ { H } \sigma _ { H } } { R T } \right) } \cdot C _ { 0 } \, \mathrm { e x p } \left( \frac { \overline { { V } } _ { H } \sigma _ { H } } { R T } \right)
\chi _ { T } ^ { \star } ( \rho _ { 0 } , \alpha ) = \frac { \chi _ { T } ^ { \mathrm { i d } } } { 1 + \frac { \pi } { 6 } \frac { \rho _ { 0 } \alpha d _ { c } ^ { 4 } } { k _ { B } T } } \equiv \frac { \chi _ { T } ^ { \mathrm { i d } } } { 1 + \frac { E _ { 0 } } { k _ { B } T } } ,
( e _ { i } ^ { g } ) ^ { 2 } \; = \; g _ { a b } t ^ { a } t ^ { b } ( d t ) _ { | \partial M _ { i } } ^ { 2 } \; \; \; , \; \; \; \varphi _ { i } \; = \; \varphi _ { | \partial M _ { i } } \; \; \; , \; \; \; x _ { i } ^ { \mu } \; = \; x _ { | \partial M _ { i } } ^ { \mu } \; \; \; .
\begin{array} { r l } { c _ { 1 } } & { { } = r _ { \mathrm { { i } } } \left[ \frac { p _ { \mathrm { { i } } } r _ { \mathrm { { i } } } ^ { 2 } } { 2 \pi B \alpha } + c _ { 2 } \lambda \left( \frac { \lambda r _ { \mathrm { { i } } } I _ { 0 } \left( \gamma _ { \mathrm { { i } } } \right) } { \alpha } - I _ { 1 } \left( \gamma _ { \mathrm { { i } } } \right) \right) \right] , } \\ { c _ { 2 } } & { { } = \frac { p _ { \mathrm { { i } } } r _ { \mathrm { { i } } } ^ { 3 } \beta - p _ { \mathrm { { o } } } r _ { \mathrm { { o } } } ^ { 3 } \alpha } { 2 \pi B \lambda \left[ \alpha \left( \beta \left( r _ { \mathrm { { i } } } I _ { 1 } \left( \gamma _ { \mathrm { { i } } } \right) - r _ { \mathrm { { o } } } I _ { 1 } \left( \gamma _ { \mathrm { { o } } } \right) \right) + \lambda r _ { \mathrm { { o } } } ^ { 2 } I _ { 0 } \left( \gamma _ { \mathrm { { o } } } \right) \right) - \lambda r _ { \mathrm { { i } } } ^ { 2 } \beta I _ { 0 } \left( \gamma _ { \mathrm { { i } } } \right) \right] } } \end{array}
\boldsymbol { \beta } _ { i } = [ A _ { S _ { i , . } } , K _ { S _ { i , . } } , B _ { S _ { i , . } } , H _ { S _ { i , . } } ] ^ { T } , \; \; \mathcal { D } _ { i } ^ { T } = \left[ \begin{array} { l } { \partial _ { t } \mathbf { d } _ { s _ { q _ { I } ( i ) } } ^ { k } } \\ { \mathbf { d } _ { s _ { q _ { I } ( i ) } } ^ { k } } \\ { \mathbf { u } _ { q _ { F S } ( i ) } ^ { k } } \\ { { \mathbf { u } _ { q _ { F S } ( i ) } ^ { k } } ^ { 2 } } \end{array} \right] , \; \; \mathbf { y } _ { i } ^ { m + 1 } = [ \partial _ { t } { d } _ { s _ { i } } ^ { t = 2 } \; . . . \; \partial _ { t } { d } _ { s _ { i } } ^ { t = n _ { T _ { 1 } } } ] ^ { T } .
\begin{array} { r l } { f ( \theta , \theta _ { i } , \sigma _ { i } ) } & { = f _ { 1 } ( \theta , 0 ) f _ { 1 } ( \theta , \pi ) f _ { 1 } ( \theta , 2 \pi ) \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } \sigma _ { i } } e ^ { \displaystyle - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \theta - \theta _ { i } - 2 \pi n } { \sigma _ { i } } \right) ^ { 2 } } } \\ & { = f _ { 1 } ( \theta , 0 ) f _ { 1 } ( \theta , \pi ) f _ { 1 } ( \theta , 2 \pi ) \frac { 1 } { 2 \pi } \vartheta _ { 3 } \left( \frac { 1 } { 2 } \left( \theta - \theta _ { i } \right) , e ^ { \displaystyle - \frac { \sigma _ { i } ^ { 2 } } { 2 } } \right) , } \end{array}
\sf A _ { \tau } \left[ \sf X \right] = \sf { Q ^ { \prime \prime } } \left[ \tau \right] \sf { X } + \sf { Q ^ { \prime \prime } } \left[ \tau \right] \sf { U } _ { \sf X } \left[ \tau \right] + 2 \sf { Q ^ { \prime } } \left[ \tau \right] \sf { U ^ { \prime } } _ { \sf X } \left[ \tau \right] + \sf { Q } \left[ \tau \right] \sf { U ^ { \prime \prime } } _ { \sf X } \left[ \tau \right] .
\begin{array} { r l } { \| x _ { t _ { j } } \| } & { \leq \left( \sqrt { \gamma _ { 0 } / 2 } \right) ^ { j - j _ { s } - 1 } \| x _ { t _ { j _ { s - 1 } } } \| + \frac { \beta w _ { \operatorname* { m a x } } } { 1 - \sqrt { \gamma _ { 0 } / 2 } } } \\ { \| x _ { t _ { j } } \| ^ { 2 } } & { \leq \gamma _ { 0 } ^ { j - j _ { s - 1 } } \| x _ { t _ { j _ { s - 1 } } } \| ^ { 2 } + \frac { 2 \beta ^ { 2 } w _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 } } { 1 - \gamma _ { 0 } } } \\ { \| x _ { t _ { j } } \| ^ { 4 } } & { \leq ( 2 \gamma _ { 0 } ^ { 2 } ) ^ { j - j _ { s - 1 } } \| x _ { t _ { j _ { s - 1 } } } \| ^ { 4 } + \frac { 8 \beta ^ { 4 } w _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 4 } } { 1 - 2 \gamma _ { 0 } ^ { 2 } } } \end{array}
m = \int \sum _ { i = 1 } ^ { 9 - p } n ^ { i } \left[ \sum _ { j = 1 } ^ { 9 - p } ( \partial _ { j } h _ { i j } - \partial _ { i } h _ { j j } ) - \sum _ { a = 1 } ^ { p } \partial _ { i } h _ { a a } \right] r ^ { 8 - p } d \Omega ,
\begin{array} { r l } { i 2 k \partial _ { z } W _ { i j } ( \vec { x } _ { 1 } , \vec { x } _ { 2 } , z , \omega ) } & { + \left( \nabla _ { X _ { 2 } } ^ { 2 } - \nabla _ { X _ { 1 } } ^ { 2 } \right) W _ { i j } ( \vec { x } _ { 1 } , \vec { x } _ { 2 } , z , \omega ) } \\ & { + \frac { i k _ { 0 } ^ { 3 } } { 2 } \left[ A ( 0 , z ) - A ( \vec { x } _ { 2 } - \vec { x } _ { 1 } , z ) \right] W _ { i j } ( \vec { x } _ { 1 } , \vec { x } _ { 2 } , z , \omega ) = 0 } \end{array}
\begin{array} { r } { h _ { t } ( \exp { H } ) \, \asymp \, t ^ { - \frac { n } { 2 } } \, \Big \lbrace { \prod _ { \alpha \in \Sigma _ { r } ^ { + } } ( 1 + t + \langle { \alpha , H } \rangle ) ^ { \frac { m _ { \alpha } + m _ { 2 \alpha } } { 2 } - 1 } } \Big \rbrace \, \varphi _ { 0 } ( \exp { H } ) e ^ { - | \rho | ^ { 2 } t - \frac { | H | ^ { 2 } } { 4 t } } } \end{array}
R _ { \mu \nu } = \frac { \partial ^ { 2 } \ln \sqrt { - g } } { \partial x ^ { \mu } \partial x ^ { \nu } } - \frac { \partial \Gamma _ { \mu \nu } ^ { \sigma } } { \partial x ^ { \sigma } } + \Gamma _ { \mu \sigma } ^ { \lambda } \Gamma _ { \nu \lambda } ^ { \sigma } - \Gamma _ { \mu \nu } ^ { \sigma } \frac { \partial \ln \sqrt { - g } } { \partial x ^ { \sigma } } ,
\begin{array} { r l } { J ( T ; X ) } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i } ^ { \; \; \beta > \beta _ { c } ^ { ( i ) } } \frac { \sqrt { \beta ( 1 - \lambda _ { i } ) } - 1 } { \lambda _ { i } } } \\ { J ( T ; Y ) } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i } ^ { \; \; \beta > \beta _ { c } ^ { ( i ) } } \frac { 1 - \lambda _ { i } } { \lambda _ { i } } \frac { \sqrt { \beta ( 1 - \lambda _ { i } ) } - 1 } { \sqrt { \beta ( 1 - \lambda _ { i } ) } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widehat { P V } = } & { - \sum _ { \substack { \textbf { \textsc { p } } \textbf { \textsc { q } } } } v _ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } } ^ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } } \hat { E } _ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } } \hat { E } _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } } } \\ & { - \sum _ { \textbf { \textsc { p } } \textbf { \textsc { q } } } S _ { \textsc { p } _ { 4 } } ^ { \textsc { q } _ { 1 } } { v } _ { p _ { 3 } \textsc { q } _ { 2 } } ^ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } } \hat { e } _ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } \textsc { p } _ { 3 } \textsc { p } _ { 4 } } \hat { E } _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } } } \\ & { - \sum _ { \textbf { \textsc { p } } \textbf { \textsc { q } } } S _ { \textsc { q } _ { 4 } } ^ { \textsc { p } _ { 1 } } { v } _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } } ^ { \textsc { q } _ { 3 } \textsc { p } _ { 2 } } \hat { E } _ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } } \hat { e } _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } \textsc { q } _ { 3 } \textsc { q } _ { 4 } } } \\ & { - \sum _ { \textbf { \textsc { p } } \textbf { \textsc { q } } } { v } _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } } ^ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } } S _ { \textsc { p } _ { 4 } } ^ { \textsc { q } _ { 3 } } S _ { \textsc { q } _ { 4 } } ^ { \textsc { p } _ { 3 } } \hat { e } _ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } \textsc { p } _ { 3 } \textsc { p } _ { 4 } } \hat { e } _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } \textsc { q } _ { 3 } \textsc { q } _ { 4 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad [ W _ { p , q } ^ { ( 1 ) } t ^ { s } , W _ { i , j } ^ { ( 1 ) } t ^ { u } ] } \\ & { = \delta _ { q , i } W _ { p , j } ^ { ( 1 ) } t ^ { s + u } - \delta _ { p , j } W _ { i , q } ^ { ( 1 ) } t ^ { s + u } + \delta _ { q , i } \delta _ { p , j } s ( \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } ) | 0 \rangle t ^ { s + u - 1 } + 2 \delta _ { p , q } \delta _ { i , j } s | 0 \rangle t ^ { s + u - 1 } } \\ & { = \delta _ { q , i } W _ { p , j } ^ { ( 1 ) } t ^ { s + u } - \delta _ { p , j } W _ { i , q } ^ { ( 1 ) } t ^ { s + u } + \delta _ { s + u , 0 } \delta _ { q , i } \delta _ { p , j } s ( \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } ) + 2 \delta _ { s + u , 0 } \delta _ { p , q } \delta _ { i , j } s , } \end{array}
\begin{array} { r l r l r } { \mathbf { A } ^ { 3 } = - \mathbf { A } \, , } & { { } } & { \mathbf { B } ^ { 3 } = - \mathbf { B } \, , } & { { } } & { \mathbf { A } \mathbf { B } = \mathbf { B } \mathbf { A } = 0 \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { + \infty } \frac { W _ { f } ( w , x ) } { \sqrt { w } } \mathrm { d } w } & { = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \left( \int _ { 0 } ^ { + \infty } \frac { 1 } { w } \hat { \psi } ( \frac { k } { w } ) \mathrm { d } w \right) \hat { f } ( k ) e ^ { - i k x } \mathrm { d } k . } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { S } \int _ { \Omega } ( w _ { t } w ^ { + } - \Delta { w } w ^ { + } ) = \int _ { 0 } ^ { S } \int _ { \Omega } \frac { \partial } { \partial { t } } \frac { ( w ^ { + } ) ^ { 2 } } { 2 } + | \nabla ( w ^ { + } ) ^ { 2 } | d x d t - \int _ { 0 } ^ { S } \int _ { \partial \Omega } \frac { \partial { w } } { \partial { n } } w ^ { + } d S d t
\begin{array} { r l } & { { R _ { \alpha } \Bigg ( \bigotimes _ { \ell = 1 } ^ { d } P _ { 0 \ell } \, \Bigg | \, \bigotimes _ { \ell = 1 } ^ { d } P _ { 1 \ell } \, , \, \bigotimes _ { \ell = 1 } ^ { d } P _ { 2 \ell } \Bigg ) } + 1 } \\ & { = \frac { \displaystyle \int \left( \frac { d \bigotimes _ { \ell = 1 } ^ { d } P _ { 1 \ell } } { d \bigotimes _ { \ell = 1 } ^ { d } P _ { 0 \ell } } \right) ^ { \alpha } \left( \frac { d \bigotimes _ { \ell = 1 } ^ { d } P _ { 2 \ell } } { d \bigotimes _ { \ell = 1 } ^ { d } P _ { 0 \ell } } \right) ^ { \alpha } d \left( \bigotimes _ { \ell = 1 } ^ { d } P _ { 0 \ell } \right) } { \displaystyle \int \left( \frac { d \bigotimes _ { \ell = 1 } ^ { d } P _ { 1 \ell } } { d \bigotimes _ { \ell = 1 } ^ { d } P _ { 0 \ell } } \right) ^ { \alpha } d \left( \bigotimes _ { \ell = 1 } ^ { d } P _ { 0 \ell } \right) \int \left( \frac { d \bigotimes _ { \ell = 1 } ^ { d } P _ { 2 \ell } } { d \bigotimes _ { \ell = 1 } ^ { d } P _ { 0 \ell } } \right) ^ { \alpha } d \left( \bigotimes _ { \ell = 1 } ^ { d } P _ { 0 \ell } \right) } } \\ & { = \prod _ { \ell = 1 } ^ { d } \frac { \displaystyle \int \left( \frac { d P _ { 1 \ell } } { d P _ { 0 \ell } } \right) ^ { \alpha } \left( \frac { d P _ { 2 \ell } } { d P _ { 0 \ell } } \right) ^ { \alpha } d P _ { 0 \ell } } { \displaystyle \int \left( \frac { d P _ { 1 \ell } } { d P _ { 0 \ell } } \right) ^ { \alpha } d P _ { 0 \ell } \int \left( \frac { d P _ { 2 \ell } } { d P _ { 0 \ell } } \right) ^ { \alpha } d P _ { 0 \ell } } } \\ & { = \prod _ { \ell = 1 } ^ { d } { R _ { \alpha } } ( P _ { 0 \ell } | P _ { 1 \ell } , P _ { 2 \ell } ) + 1 . } \end{array}
T = 2 \pi { \sqrt { \frac { \ell } { g } } } \left( 1 + { \frac { 1 } { 1 6 } } \theta _ { 0 } ^ { 2 } + { \frac { 1 1 } { 3 \, 0 7 2 } } \theta _ { 0 } ^ { 4 } + { \frac { 1 7 3 } { 7 3 7 \, 2 8 0 } } \theta _ { 0 } ^ { 6 } + { \frac { 2 2 \, 9 3 1 } { 1 \, 3 2 1 \, 2 0 5 \, 7 6 0 } } \theta _ { 0 } ^ { 8 } + { \frac { 1 \, 3 1 9 \, 1 8 3 } { 9 5 1 \, 2 6 8 \, 1 4 7 \, 2 0 0 } } \theta _ { 0 } ^ { 1 0 } + { \frac { 2 3 3 \, 5 2 6 \, 4 6 3 } { 2 \, 0 0 9 \, 0 7 8 \, 3 2 6 \, 8 8 6 \, 4 0 0 } } \theta _ { 0 } ^ { 1 2 } + \cdots \right) ,
\Gamma = \frac { \Gamma _ { 0 } } 2 \left[ 1 + \frac { \lambda _ { 1 } - 9 \lambda _ { 2 } } { 2 m _ { b } ^ { 2 } } - \frac { 2 \alpha _ { s } } { 3 \pi } \left( \pi ^ { 2 } - \frac { 2 5 } { 4 } \right) \right] .
V \approx \frac { m } { 4 \pi } g ^ { 2 } \{ ( 1 + \frac { m ^ { 2 } } { 8 M ^ { 2 } } ) \phi + \frac { m ^ { 2 } } { 4 M ^ { 2 } } \mathrm { \boldmath ~ \ s i g m a ~ } ^ { ( 1 ) } \cdot \mathrm { \boldmath ~ \ s i g m a ~ } ^ { ( 2 ) } \phi \}
( y , p _ { y } ) , ( x _ { 1 } , p _ { 1 } ) , ( x _ { 2 } , p _ { 2 } ) \mapsto ( Y , P _ { Y } ) , ( R , P _ { R } ) , ( \overline { { { \Theta } } } , \overline { { { P } } } _ { \overline { { { \Theta } } } } )
{ \begin{array} { r l } { { \frac { d } { d \alpha } } \mathbf { I } ( \alpha ) } & { = \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } { \frac { \partial } { \partial \alpha } } \left( { \frac { \ln ( 1 + \cos \alpha \cos x ) } { \cos x } } \right) \, d x } \\ & { = - \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } { \frac { \sin \alpha } { 1 + \cos \alpha \cos x } } \, d x } \\ & { = - \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } { \frac { \sin \alpha } { \left( \cos ^ { 2 } { \frac { x } { 2 } } + \sin ^ { 2 } { \frac { x } { 2 } } \right) + \cos \alpha \left( \cos ^ { 2 } { \frac { x } { 2 } } - \sin ^ { 2 } { \frac { x } { 2 } } \right) } } \, d x } \\ & { = - { \frac { \sin \alpha } { 1 - \cos \alpha } } \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } { \frac { 1 } { \cos ^ { 2 } { \frac { x } { 2 } } } } { \frac { 1 } { { \frac { 1 + \cos \alpha } { 1 - \cos \alpha } } + \tan ^ { 2 } { \frac { x } { 2 } } } } \, d x } \\ & { = - { \frac { 2 \sin \alpha } { 1 - \cos \alpha } } \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } { \frac { { \frac { 1 } { 2 } } \sec ^ { 2 } { \frac { x } { 2 } } } { { \frac { 2 \cos ^ { 2 } { \frac { \alpha } { 2 } } } { 2 \sin ^ { 2 } { \frac { \alpha } { 2 } } } } + \tan ^ { 2 } { \frac { x } { 2 } } } } \, d x } \\ & { = - { \frac { 2 \left( 2 \sin { \frac { \alpha } { 2 } } \cos { \frac { \alpha } { 2 } } \right) } { 2 \sin ^ { 2 } { \frac { \alpha } { 2 } } } } \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } { \frac { 1 } { \cot ^ { 2 } { \frac { \alpha } { 2 } } + \tan ^ { 2 } { \frac { x } { 2 } } } } \, d \left( \tan { \frac { x } { 2 } } \right) } \\ & { = - 2 \cot { \frac { \alpha } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } { \frac { 1 } { \cot ^ { 2 } { \frac { \alpha } { 2 } } + \tan ^ { 2 } { \frac { x } { 2 } } } } \, d \left( \tan { \frac { x } { 2 } } \right) } \\ & { = - 2 \arctan \left( \tan { \frac { \alpha } { 2 } } \tan { \frac { x } { 2 } } \right) { \bigg | } _ { 0 } ^ { \pi / 2 } } \\ & { = - \alpha . } \end{array} }
\begin{array} { r } { \Delta ( \zeta , k ) = \left( \begin{array} { l l l } { \Delta _ { 1 1 } ( \zeta , k ) } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \Delta _ { 2 2 } ( \zeta , k ) } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \Delta _ { 3 3 } ( \zeta , k ) } \end{array} \right) , \quad \zeta \in \mathcal { I } , \; k \in \mathbb { C } \setminus \partial { \mathbb D } , } \end{array}
R _ { L R } = 2 \, [ \langle n _ { 1 } \ell _ { 1 } | r ^ { 2 } | n _ { 1 } \ell _ { 1 } \rangle ^ { 1 / 2 } + \langle n _ { 2 } \ell _ { 2 } | r ^ { 2 } | n _ { 2 } \ell _ { 2 } \rangle ^ { 1 / 2 } ] \, \, ,
C _ { 1 1 } = \frac { 1 } { \Delta _ { S } } \frac { 1 - \nu _ { v } ^ { 2 } E _ { h } / E _ { v } } { 1 + \nu _ { h } } , \qquad C _ { 1 1 } - C _ { 1 2 } = \frac { E _ { h } } { 1 + \nu _ { h } } , \qquad C _ { 3 3 } = \frac { 1 } { \Delta _ { S } } \frac { 1 - \nu _ { h } } { E _ { h } } E _ { v } , \qquad C _ { 1 2 } = \frac { \nu _ { v } } { \Delta _ { S } } , \qquad
) i s s h o w n b y t h e n u m e r i c a l a n a l y s i s w h i c h i s p e r f o r m e d u s i n g P y t h o n s o u r c e c o d e t h a t i n c o r p o r a t e s t h e g r o w i n g - d o m a i n e f f e c t s i n a g e n e r a l r e a c t i o n - d i f f u s i o n s y s t e m , p a t t e r n d i s p e r s i o n i s n o t c o n f i r m e d b y t h e n u m e r i c a l s o l u t i o n s o f t h e s y s t e m (
\begin{array} { r l } { \mathcal { G } _ { < } ^ { \flat } : = } & { \: \left\{ ( \omega , m , \Lambda ) \in \mathcal { G } ^ { \flat } \, \big | \, | \omega | \leq \omega _ { \mathrm { h i g h } } | m | , \: \Lambda \leq \epsilon _ { \mathrm { w i d t h } } ^ { - 1 } \omega _ { \mathrm { h i g h } } ^ { 2 } m ^ { 2 } , \: \left| m \widetilde { \omega } \right| < \eta _ { \flat } m ^ { 2 } \right\} , } \\ { \mathcal { G } _ { > } ^ { \flat } : = } & { \: \left\{ ( \omega , m , \Lambda ) \in \mathcal { G } ^ { \flat } \, \big | \, | \omega | \leq \omega _ { \mathrm { h i g h } } , \: \Lambda \leq \epsilon _ { \mathrm { w i d t h } } ^ { - 1 } \omega _ { \mathrm { h i g h } } ^ { 2 } , \: \left| m \widetilde { \omega } \right| \geq \eta _ { \flat } m ^ { 2 } \right\} . } \end{array}
\ln J = \alpha \frac { 1 } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \int d ^ { 4 } x \left( - ( E + B ) ^ { 2 } + \frac { ( E ^ { 2 } - B ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { 1 2 M ^ { 4 } } + O ( M ^ { - 8 } ) \right)
\begin{array} { c } { { \begin{array} { l l l } { { ( 1 , 2 , 3 ) ^ { ( - ) } = 1 2 / 1 7 , } } & { { ( 1 , 4 , 5 ) ^ { ( - ) } = 6 / 1 7 , } } & { { ( 1 , 7 , 6 ) ^ { ( - ) } = - 8 / 5 1 , } } \\ { { ( 2 , 4 , 6 ) ^ { ( - ) } = 3 / 1 7 , } } & { { ( 3 , 5 , 7 ) ^ { ( - ) } = 8 / 5 1 , } } & { { ( 3 , 4 , 7 ) ^ { ( - ) } = - 2 / 5 1 , } } \\ { { ( 4 , 6 , 7 ) ^ { ( - ) } = 4 / 5 1 , } } & { { ( 1 , 7 , 3 ) ^ { ( - ) } = - 2 / 3 , } } & { { ( 1 , 4 , 3 ) ^ { ( - ) } = - 8 / 5 1 , } } \end{array} } } \\ { { \begin{array} { l l l } { { ( 1 , 2 , 4 ) ^ { ( - ) } = - 4 / 5 1 , } } & { { ( 1 , 5 , 6 ) ^ { ( - ) } = - 4 / 5 1 , } } & { { ( 1 , 2 , 5 ) ^ { ( - ) } = - 3 1 / 5 1 , } } \\ { { ( 1 , 2 , 7 ) ^ { ( - ) } = - 2 / 5 1 , } } & { { ( 3 , 1 , 5 ) ^ { ( - ) } = - 2 / 5 1 , } } & { { ( 1 , 4 , 6 ) ^ { ( - ) } = - 4 6 / 5 1 , } } \\ { { ( 1 , 4 , 7 ) ^ { ( - ) } = - 3 / 1 7 , } } & { { ( 2 , 5 , 7 ) ^ { ( - ) } = - 4 / 5 1 , } } & { { ( 2 , 4 , 7 ) ^ { ( - ) } = - 5 0 / 5 1 , } } \\ { { ( 2 , 5 , 3 ) ^ { ( - ) } = - 6 / 1 7 , } } & { { ( 4 , 6 , 5 ) ^ { ( - ) } = - 8 / 5 1 , } } & { { ( 1 , 7 , 5 ) ^ { ( - ) } = - 1 2 / 1 7 , } } \\ { { ( 3 , 6 , 1 ) ^ { ( - ) } = - 3 / 1 7 , } } & { { } } & { { ( 3 , 6 , 2 ) ^ { ( - ) } = - 1 0 / 1 7 , } } \\ { { ( 2 , 4 , 5 ) ^ { ( - ) } = - 2 / 5 1 , } } & { { ( 2 , 4 , 3 ) ^ { ( - ) } = 0 , } } & { { ( 3 , 4 , 5 ) ^ { ( - ) } = - 4 7 / 5 1 } } \\ { { ( 3 , 4 , 6 ) ^ { ( - ) } = - 6 / 1 7 , } } & { { ( 3 , 6 , 5 ) ^ { ( - ) } = 0 , } } & { { ( 2 , 5 , 6 ) ^ { ( - ) } = - 1 2 / 1 7 , } } \\ { { ( 2 , 3 , 7 ) ^ { ( - ) } = - 3 / 1 7 , } } & { { ( 2 , 6 , 7 ) ^ { ( - ) } = 0 , } } & { { ( 3 , 6 , 7 ) ^ { ( - ) } = - 1 2 / 1 7 , } } \\ { { ( 1 , 2 , 6 ) ^ { ( - ) } = - 6 / 1 7 , } } & { { ( 4 , 5 , 7 ) ^ { ( - ) } = 0 , } } & { { ( 6 , 5 , 7 ) ^ { ( - ) } = - 3 5 / 5 1 . } } \end{array} } } \end{array}
\rho \frac { \partial { \overline { { u _ { i } } } } } { \partial { t } } + \rho \overline { { u _ { k } } } \frac { \partial { \overline { { u _ { i } } } } } { \partial { x _ { k } } } = - \frac { \partial { \overline { { p } } } } { \partial { x _ { i } } } + \frac { \partial } { \partial { x } _ { k } } \left[ \mu \frac { \partial { \overline { { u _ { i } } } } } { \partial { x } _ { k } } - \overline { { \rho { u _ { i } ^ { \prime } } { u _ { k } ^ { \prime } } } } \right] ,
\begin{array} { r } { \frac { \partial \Sigma _ { k } ^ { ( N , G ) } } { \partial G } = \frac { - G + ( 2 G - 1 ) \left( H _ { N - 2 + \frac { 1 } { G } } - H _ { k - 2 + \frac { 1 } { G } } \right) } { G ( 2 G - 1 ) ^ { 2 } } \frac { \Gamma ( N ) } { \Gamma ( k ) } \frac { \Gamma ( k - 1 + 1 / G ) } { \Gamma ( N - 1 + 1 / G ) } + \frac { k } { ( 2 G - 1 ) ^ { 2 } N } = \underbrace { \frac { 1 } { ( 2 G - 1 ) ^ { 2 } } } _ { > 0 } f _ { k , N } ( G ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 . 5 } & { { } \overline { { \Delta } } _ { \mathrm { ~ J ~ M ~ L ~ , ~ 1 ~ } } ( x , y ) + 0 . 5 \overline { { \Delta } } _ { \mathrm { ~ J ~ M ~ L ~ , ~ 1 ~ } } ( x ^ { \prime } , y ) > \overline { { \Delta } } _ { \mathrm { ~ J ~ M ~ L ~ , ~ 1 ~ } } ( 0 . 5 x + 0 . 5 x ^ { \prime } , y ) , } \\ { 0 . 5 } & { { } \overline { { \Delta } } _ { \mathrm { ~ J ~ M ~ L ~ , ~ 2 ~ } } ( x , y ) + 0 . 5 \overline { { \Delta } } _ { \mathrm { ~ J ~ M ~ L ~ , ~ 2 ~ } } ( x ^ { \prime } , y ) > \overline { { \Delta } } _ { \mathrm { ~ J ~ M ~ L ~ , ~ 2 ~ } } ( 0 . 5 x + 0 . 5 x ^ { \prime } , y ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { \frac { \delta S } { \delta \Lambda } } & { = 0 \Rightarrow } & { \frac { \partial \rho } { \partial t } + \nabla \cdot \mathbf { J } } & { = 0 } \\ { \frac { \delta S } { \delta \Phi } } & { = 0 \Rightarrow } & { - \epsilon _ { 0 } \nabla ^ { 2 } \Phi - \nabla \cdot \frac { \partial \mathbf { A } } { \partial t } } & { = \rho } & { \Leftrightarrow \nabla \cdot \mathbf { E } } & { = \frac { \rho } { \epsilon _ { 0 } } } \\ { \frac { \delta S } { \delta \mathbf { A } } } & { = 0 \Rightarrow } & { - \frac { 1 } { \mu _ { 0 } } \nabla \times \nabla \times \mathbf { A } - \epsilon _ { 0 } \frac { \partial \nabla \Phi } { \partial t } - \epsilon _ { 0 } \frac { \partial ^ { 2 } \mathbf { A } } { \partial t ^ { 2 } } } & { = - \mathbf { J } } & { \Leftrightarrow \nabla \times \mathbf { B } } & { = \mu _ { 0 } \mathbf { J } + \mu _ { 0 } \epsilon _ { 0 } \frac { \partial \mathbf { E } } { \partial t } } \\ { \frac { \delta S } { \delta \rho } } & { = 0 \Rightarrow } & { - \Phi + \partial _ { t } \Lambda + \frac { \partial \mathcal { L } _ { Q } } { \partial \rho } } & { = 0 } \\ { \frac { \delta S } { \delta \mathbf { J } } } & { = 0 \Rightarrow } & { \mathbf { A } + \nabla \Lambda + \frac { \partial \mathcal { L } _ { Q } } { \partial \mathbf { J } } } & { = 0 , } \end{array}
\frac { 1 } { A } \frac { \mathrm { d } A } { \mathrm { d } Z } = - \frac { k _ { | | } | A | ^ { 2 } } { 2 } \left[ i \left( \alpha + \frac { 1 } { 1 - \beta } \right) + \frac { k _ { | | } \eta _ { 0 } } { \rho _ { 0 } v _ { A } } \left( 3 - 4 \alpha \right) \right] .
\nabla _ { \boldsymbol { x } } \left. \boldsymbol { u } _ { J } ^ { \prime } \right| _ { \boldsymbol { \xi } = 0 } = \nabla _ { \boldsymbol { x } } \boldsymbol { j } \ \Theta ( x _ { 3 } - h ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) ) + \boldsymbol { j } \otimes \left( \boldsymbol { e } _ { 3 } - \nabla _ { \boldsymbol { x } } h ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \right) \phi ( x _ { 3 } - h ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) ) ,
W _ { l } ^ { \mathrm { e w } } ( s , M ^ { 2 } ) = \frac { g ^ { 2 } ( s ) } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \! \! \left[ \! \left( T _ { i } ( T _ { i } + 1 ) + \tan ^ { 2 } \! \theta _ { \mathrm { w } } \frac { Y _ { i } ^ { 2 } } { 4 } \right) \log ^ { 2 } \frac { s } { M ^ { 2 } } \right]