harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\frac { 1 } { 2 \mathcal { C _ { R } } } \sum _ { \mu \in \mathcal { R } } [ \ell _ { \mu } ^ { + } \ell _ { \mu } ^ { - } , P _ { N } ( \ell ^ { + } ) ] = [ P _ { N } ( \ell ^ { + } ) , S ] + N \omega P _ { N } ( \ell ^ { + } ) ,
\begin{array} { r } { \frac { \partial c _ { 0 } } { \partial \tau } - \omega ^ { 1 - 2 \gamma } \nabla _ { \mathbf y } \cdot ( \textbf { D } \nabla _ { \mathbf y } c _ { 0 } ) + \omega ^ { 1 - \gamma - \alpha } \nabla _ { \mathbf y } \cdot ( c _ { 0 } \mathbf v _ { 0 } ) = 0 , \quad \mathbf y \in \Omega _ { p } , \, \tau \in \textbf { I } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \nabla _ { \mathbf { H } } f _ { 3 } \right) _ { p q } ^ { + } } & { = 2 \left[ p \ge b \right] S _ { p p } ^ { - 1 / 2 } \sum _ { i = b } ^ { b + a - 1 } \frac { H _ { i q } / \Delta t _ { q } ^ { 2 } } { \sqrt { S _ { i i } } } } \\ { \left( \nabla _ { \mathbf { H } } f _ { 3 } \right) _ { p q } ^ { - } } & { = 2 \left[ p \ge b \right] S _ { p p } ^ { - 3 / 2 } \frac { H _ { p q } } { \Delta t _ { q } ^ { 2 } } \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \frac { H _ { p k } } { \Delta t _ { k } } \sum _ { i = b } ^ { b + a - 1 } \frac { H _ { i k } / \Delta t _ { k } } { \sqrt { S _ { i i } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { 2 } ( x , + 1 ) } & { = f _ { 2 } ^ { + } ( 0 ) + \int _ { 0 } ^ { x } \left( \left( \frac { \lambda _ { r } } { 2 } + ( - \partial \psi ( y ) ) _ { + } \right) g ( y ) - \frac { \mathcal { L } _ { 2 } ^ { * } \mu ( y , + 1 ) } { \mu ( y , + 1 ) } \right) d y , } \\ { f _ { 2 } ( x , - 1 ) } & { = f _ { 2 } ( x , + 1 ) + g ( x ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { S _ { A , x } S _ { B , y } } & { { } \mapsto } & { + S _ { B , x } S _ { A , y } , } \\ { S _ { A , x } S _ { B , z } } & { { } \mapsto } & { - S _ { B , x } S _ { A , z } , } \\ { S _ { A , y } S _ { B , z } } & { { } \mapsto } & { - S _ { B , y } S _ { A , z } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \delta \Theta _ { \mathtt { S F } } ( \phi ) = \delta ( \imath _ { B } \mathrm { v o l } _ { g } ) = \delta ( B ^ { \alpha } n _ { \alpha } \wedge \mathrm { v o l } _ { \gamma } ) = \delta \phi \wedge n ^ { \alpha } \nabla _ { \alpha } \delta \phi \; \mathrm { v o l } _ { \gamma } = \delta \phi \wedge \mathcal { L } _ { n } \delta \phi \; \mathrm { v o l } _ { \gamma } , } \end{array}
W _ { 0 } = \int { d ^ { D } x } \left[ - { \frac { N } { 2 \lambda } } \bar { \varphi } ^ { 2 } ( 1 + \delta Z _ { D } ) - N \alpha \bar { \varphi } ^ { j } \delta _ { j 1 } + i N { \frac { D } { 2 } } \int { \frac { d ^ { D } p } { ( 2 \pi ) ^ { D } } } \log ( p ^ { 2 } + \bar { \varphi } ^ { 2 } ) \right]
\begin{array} { r l } { h ( x , y , z ) } & { { } = h ( \langle x \rangle , \langle y \rangle , \langle z \rangle ) + ( x - \langle x \rangle ) h _ { x } + ( y - \langle y \rangle ) h _ { y } + ( z - \langle z \rangle ) h _ { z } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left( \frac { d \sigma } { d \Omega } \right) _ { S } = \frac { \sigma _ { 0 } } { 4 \pi } \left( 1 - \frac { \beta } { 2 } \sqrt { \frac { 4 \pi } { 5 } } \left[ Y _ { 2 0 } ( \theta _ { p } , \phi _ { p } ) - \frac { P \sqrt { 6 } } { 2 } \left( Y _ { 2 - 2 } ( \theta _ { p } , \phi _ { p } ) + Y _ { 2 + 2 } ( \theta _ { p } , \phi _ { p } ) \right) \right] + \left( \delta + \frac { \gamma } { 5 } \right) \sqrt { \frac { 4 \pi } { 3 } } Y _ { 1 0 } ( \theta _ { p } , \phi _ { p } ) - \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \Omega = \Omega _ { f } ^ { \varepsilon } \cup \Omega _ { m } ^ { \varepsilon } \cup \Omega _ { * } ^ { \varepsilon } \cup \Gamma ^ { \varepsilon } \; , \quad \Omega _ { f } ^ { \varepsilon } \cap \Omega _ { m } ^ { \varepsilon } \cap \Omega _ { * } ^ { \varepsilon } = \emptyset \; , } \\ { \Omega _ { s } \equiv \Omega _ { m * } = \Omega _ { m } ^ { \varepsilon } \cup \Omega _ { * } ^ { \varepsilon } \cup \Gamma _ { * } ^ { \varepsilon } \; , \quad \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } \Omega _ { * } ^ { \varepsilon } = \bigcup _ { \alpha } \Omega _ { * } ^ { { \alpha } , \varepsilon } \; , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \mathbb K } _ { 1 } } & { = } & { \left( \begin{array} { r r r r } { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , } \\ { { \mathbb K } _ { 2 } } & { = } & { \left( \begin{array} { r r r r } { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , } \\ { { \mathbb K } _ { 3 } } & { = } & { \left( \begin{array} { r r r r } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { \mathrm { m u l t i } } ( \theta ) = \: } & { { } \mathbb { E } _ { ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } , \, . . . , \, \mathbf { x } _ { t _ { j } } ) } \left[ \sum _ { k = i + 1 } ^ { j - 1 } | | \mathbf { x } _ { t _ { k } } - \mathbf { x } _ { t _ { k } } ^ { \mathrm { O D E , F } } ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } ) | | _ { 2 } ^ { 2 } + | | \mathbf { x } _ { t _ { k } } - \mathbf { x } _ { t _ { k } } ^ { \mathrm { O D E , B } } ( \mathbf { x } _ { t _ { j } } ) | | _ { 2 } ^ { 2 } \right] } \\ { \mathrm { ~ s ~ . ~ t ~ . ~ } \quad } & { { } \mathbf { x } _ { t _ { j } } ^ { \mathrm { O D E , F } } = \mathbf { x } _ { t _ { i } } + \int _ { t _ { i } } ^ { t _ { j } } \mathcal { P } ( \mathbf { x } _ { t } ^ { \mathrm { O D E , F } } ) - \frac { 1 } { 2 } g ^ { 2 } ( t ) s _ { \theta } ( \mathbf { x } _ { t } ^ { \mathrm { O D E , F } } , t ) d t , } \\ { \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad } & { { } \mathbf { x } _ { t _ { i } } ^ { \mathrm { O D E , B } } = \mathbf { x } _ { t _ { j } } + \int _ { t _ { j } } ^ { t _ { i } } \mathcal { P } ( \mathbf { x } _ { t } ^ { \mathrm { O D E , B } } ) - \frac { 1 } { 2 } g ^ { 2 } ( t ) s _ { \theta } ( \mathbf { x } _ { t } ^ { \mathrm { O D E , B } } , t ) d t . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { G _ { l 3 , n } ( \omega , k _ { z } , r , r _ { 0 } ) } & { = } & { - \sum _ { p } \frac { p ^ { l - 1 } } { i ^ { l } } C _ { n } ^ { ( p ) } H _ { n + p } ( \lambda _ { 1 } r ) , \; l = 1 , 2 , } \\ { G _ { 3 3 , n } ( \omega , k _ { z } , r , r _ { 0 } ) } & { = } & { \frac { J _ { n } ( \lambda _ { 0 } r _ { 0 } ) } { r _ { c } V _ { n } ^ { H } } H _ { n } ( \lambda _ { 1 } r ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varphi ^ { \mathrm { ~ s ~ } } ( \alpha , t ) } & { { } = \Phi ^ { \mathrm { ~ p ~ h ~ y ~ s ~ } } ( \xi ^ { \mathrm { ~ s ~ } } ( \alpha , t ) , \eta ^ { \mathrm { ~ s ~ } } ( \alpha , t ) , t ) = \varphi ^ { \mathrm { ~ s ~ } , \mathrm { ~ p ~ h ~ y ~ s ~ } } ( \xi ^ { \mathrm { ~ s ~ } } ( \alpha , t ) , t ) , } \\ { \varphi ^ { \mathrm { ~ b ~ } } ( \alpha , t ) } & { { } = \Phi ^ { \mathrm { ~ p ~ h ~ y ~ s ~ } } ( \xi ^ { \mathrm { ~ b ~ } } ( \alpha , t ) , \eta ^ { \mathrm { ~ b ~ } } ( \alpha , t ) , t ) , } \\ { \psi ^ { \mathrm { ~ s ~ } } ( \alpha , t ) } & { { } = \Psi ^ { \mathrm { ~ p ~ h ~ y ~ s ~ } } ( \xi ^ { \mathrm { ~ s ~ } } ( \alpha , t ) , \eta ^ { \mathrm { ~ s ~ } } ( \alpha , t ) , t ) = \psi ^ { \mathrm { ~ s ~ } , \mathrm { ~ p ~ h ~ y ~ s ~ } } ( \xi ^ { \mathrm { ~ s ~ } } ( \alpha , t ) , t ) , } \\ { \psi ^ { \mathrm { ~ b ~ } } ( \alpha , t ) } & { { } = \Psi ^ { \mathrm { ~ p ~ h ~ y ~ s ~ } } ( \xi ^ { \mathrm { ~ b ~ } } ( \alpha , t ) , \eta ^ { \mathrm { ~ b ~ } } ( \alpha , t ) , t ) , } \end{array}
\left[ \begin{array} { c } { E _ { x } ^ { 0 } } \\ { E _ { y } ^ { 0 } } \\ { E _ { z } ^ { 0 } } \end{array} \right] _ { A z i } = A \left[ \begin{array} { c } { \left( i I _ { 1 2 } \right) \sin \phi } \\ { \left( - i I _ { 1 2 } \right) \cos \phi } \\ { 0 } \end{array} \right]
c _ { \widetilde { T } _ { \beta } } ^ { \; a } ( \kappa ) = \frac { \underset { b \in \mathcal { S } ^ { d - 1 } } { \operatorname* { m a x } } \gamma _ { \kappa } ^ { 2 } ( b ) } { \underset { b \in \mathcal { S } ^ { d - 1 } } { \operatorname* { m a x } } \rho _ { \beta } ( b , b ) } = \frac { \underset { b \in \mathcal { S } ^ { d - 1 } } { \operatorname* { m a x } } \gamma _ { \kappa } ^ { 2 } ( b ) } { \sum _ { j = 1 } ^ { \beta } \lambda _ { j } \nu _ { d } ( j ) } , \quad \kappa > 0 ,
\begin{array} { r l r l } { \frac { \partial S _ { \epsilon } } { \partial v _ { p } } } & { = - \int \nabla _ { v _ { p } } \sum _ { p } w _ { p } \psi _ { \epsilon } ( v - v _ { p } ) l n \sum _ { k } w _ { k } \psi _ { \epsilon } ( v - v _ { k } ) } & & { } \\ & { = - \int \sum _ { p } w _ { p } \psi ^ { ' } ( v - v _ { p } ) \delta _ { p q } l n \sum _ { k } w _ { k } \psi ( v - v _ { k } ) } & & { } \\ & { - \int \sum _ { q } w _ { q } \psi ( v - v _ { q } ) \frac { 1 } { \sum _ { k } w _ { k } \psi ( v - v _ { k } ) } \sum _ { k } w _ { k } \psi ( v - v _ { k } ) \delta _ { k p } } & & { } \\ & { = - \int w _ { p } \psi ^ { ' } ( v - v _ { p } ) l n \sum _ { k } w _ { k } \psi ( v - v _ { k } ) } & & { } \\ & { - \int \sum _ { q } w _ { q } \psi ( v - v _ { q } ) \frac { w _ { p } \psi ^ { \prime } ( v - v _ { p } ) } { \sum _ { k } w _ { k } \psi ( v - v _ { k } ) } } & & { } \\ & { = - \int w _ { p } \psi ^ { \prime } ( v - v _ { p } ) l n \sum _ { k } w _ { k } \psi ( v - v _ { k } ) - \int w _ { p } \psi ^ { \prime } ( v - v _ { p } ) } & & { } \\ & { = - \int w _ { p } \psi ^ { \prime } ( v - v _ { p } ) ( 1 + l n \sum _ { k } w _ { k } \psi ( v - v _ { k } ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { A _ { 5 } ^ { \ast } \underset { n \longrightarrow \infty } { \overset { \mathcal { P } } { \longrightarrow } } - \frac { 1 } { \left( 2 \pi \right) ^ { m \tau / 2 } } \frac { 1 } { 2 } \left\vert \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) \right\vert ^ { - \frac { \tau } { 2 } } \frac { 1 } { \left( 1 + \tau \right) ^ { m / 2 } } t r a c e \left( \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { j } } \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { i } } \right) } \\ & { } & { + \frac { 1 } { \left( 2 \pi \right) ^ { m \tau / 2 } } \frac { 1 } { 2 } \left\vert \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) \right\vert ^ { - \frac { \tau } { 2 } } \frac { 1 } { \left( 1 + \tau \right) ^ { m / 2 } } t r a c e \left( \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial ^ { 2 } \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { i } \partial \theta } \right) } \\ & { } & { - \frac { 1 } { \left( 2 \pi \right) ^ { m \tau / 2 } } \frac { 1 } { 2 } \left\vert \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) \right\vert ^ { - \frac { \tau } { 2 } } \frac { 1 } { \left( 1 + \tau \right) ^ { m / 2 } } t r a c e \left( \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { j } } \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { i } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { 2 } \frac { d } { d t } \Big ( \| \partial _ { t } ^ { k } u \| _ { L _ { \varrho ( \varphi ) } ^ { 2 } } ^ { 2 } + \mu \| \nabla \partial _ { t } ^ { k } u \| ^ { 2 } + \mu _ { 0 } \| \partial _ { t } ^ { k } \varphi \| ^ { 2 } + \mu _ { 1 } \| \nabla \partial _ { t } ^ { k } \varphi \| ^ { 2 } + \gamma \lambda \| \Delta \partial _ { t } ^ { k } \varphi \| ^ { 2 } \Big ) + \frac { 7 \mu } { 8 } \| \nabla \partial _ { t } ^ { k } u \| ^ { 2 } } \\ & { + \frac { 7 } { 8 } \| \partial _ { t } ^ { k } u _ { t } \| _ { L _ { \varrho ( \varphi ) } ^ { 2 } } ^ { 2 } + \frac { 2 \gamma \lambda } { \varepsilon ^ { 2 } } \| \partial _ { t } ^ { k } \varphi \| ^ { 2 } + \mu _ { 2 } \| \nabla \partial _ { t } ^ { k } \varphi \| ^ { 2 } + \| \partial _ { t } ^ { k } \varphi _ { t } \| ^ { 2 } + \gamma \lambda \| \Delta \partial _ { t } ^ { k } \varphi \| ^ { 2 } + \| \nabla \partial _ { t } ^ { k } \varphi _ { t } \| ^ { 2 } } \\ & { \leq C \sum _ { 0 \leq j \leq k - 1 } \mathcal { D } _ { j } ( t ) + C \sum _ { 0 \leq j \leq k } ( 1 + \mathcal { E } _ { j } ( t ) ) \mathcal { E } _ { j } ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( t ) \mathcal { D } _ { j } ( t ) \, . } \end{array}
p _ { 2 } ^ { \prime } = F ( p _ { 2 } ) = \pm \sqrt { c _ { 2 } \, ( p _ { 2 } ^ { 2 } + \mu ^ { 2 } ) + \mathrm { s g n } ( \mathsf { A } ) \mathsf { A } ^ { 2 } c _ { 1 } ^ { 2 } } \, ,
P ^ { \mu } ( { \cal A } ) = \frac { 4 } { 3 } \left[ { \cal A } _ { \nu } \partial _ { \rho } { \cal A } _ { \sigma } + \partial _ { \rho } { \cal A } _ { \sigma } { \cal A } _ { \nu } + \frac { 3 } { 2 } { \cal A } _ { \nu } { \cal A } _ { \rho } { \cal A } _ { \sigma } \right] \epsilon ^ { \mu \nu \rho \sigma }
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { x \to \infty } \frac { x f ( x ) } { 1 - F ( x ) } = \frac { 1 } { \gamma } , \quad \gamma > 0 , } \\ { \operatorname* { l i m } _ { x \to x ^ { * } } \frac { ( x ^ { * } - x ) f ( x ) } { 1 - F ( x ) } = - \frac { 1 } { \gamma } , \quad \gamma < 0 , } \\ { \operatorname* { l i m } _ { x \to x ^ { * } } \frac { f ( x ) \int _ { x } ^ { x ^ { * } } ( 1 - F ( v ) d v ) } { ( 1 - F ( x ) ) ^ { 2 } } = 0 , \quad \gamma = 0 , } \end{array}
p ^ { \mu } \left( { \frac { \partial } { \partial x ^ { \mu } } } - g \, f ^ { a b c } \, A _ { \mu } ^ { b } ( x ) { \tilde { Q } } _ { c } { \frac { \partial } { \partial { \tilde { Q } } ^ { a } } } \right) { \tilde { f } } ^ { ( 1 ) } ( x , p , { \tilde { Q } } ) = p ^ { \mu } { \tilde { Q } } _ { a } \, ^ { * } F _ { \mu 0 } ^ { a } ( x ) { \frac { d } { d p _ { 0 } } } { \tilde { f } } ^ { ( 0 ) } ( p _ { 0 } ) \ .
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega _ { s } } G ^ { ( s , y ) } ( u _ { t } - \Delta u ) d ( t , x ) } & { = \int _ { \Omega } G ^ { ( s , y ) } ( s , x ) u ( s , x ) - G ^ { ( s , y ) } ( 0 , x ) u ( 0 , x ) d x - \int _ { \Omega _ { s } } G _ { t } ^ { ( s , y ) } u \ d ( t , x ) } \\ & { - \int _ { 0 } ^ { s } \int _ { \partial \Omega } G ^ { ( s , y ) } \frac { \partial u } { \partial \nu } - u \frac { \partial G ^ { ( s , y ) } } { \partial \nu } d S d t - \int _ { \Omega _ { s } } u \Delta G ^ { ( s , y ) } d ( t , x ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { N _ { t t } ^ { ( 1 ) } + \mathscr { L } N ^ { ( 1 ) } } & { { } = \left( N ^ { ( 0 ) } N _ { x } ^ { ( 0 ) } + \left[ \mathscr { L } , \mathscr { N } N ^ { ( 0 ) } \right] N ^ { ( 0 ) } \right) _ { x } - 2 \left( N ^ { ( 0 ) } N _ { t } ^ { ( 0 ) } \right) _ { x } . } \end{array}
F [ a ] = \int d ^ { 9 } x ~ \left\{ \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { 7 } ( \alpha ^ { \prime } ) ^ { 5 } g _ { s } } \sum _ { b } \sqrt { 1 + \left( 2 \pi \alpha ^ { \prime } e _ { b } \vec { \nabla } a ( \vec { x } ) \right) ^ { 2 } } + \sum _ { b , c } V _ { \mathrm { e f f } } \Bigl [ ( e _ { b } - e _ { c } ) a ( \vec { x } ) \Bigr ] + \dots \right\}
{ \cal B } _ { \mathrm { t h } } ( B \to K ^ { * } \gamma ) \simeq ( 7 . 2 \pm 1 . 1 ) \times 1 0 ^ { - 5 } \, \left( \frac { \tau _ { B } } { 1 . 6 ~ \mathrm { p s } } \right) \left( \frac { m _ { b , \mathrm { p o l e } } } { 4 . 6 5 ~ \mathrm { G e V } } \right) ^ { 2 } \left( \frac { \xi _ { \perp } ^ { ( K ^ { * } ) } } { 0 . 3 5 } \right) ^ { 2 } = ( 7 . 2 \pm 2 . 7 ) \times 1 0 ^ { - 5 } ,
\frac { 1 } { 2 } \sum _ { i } ( f _ { i } ^ { \sigma } - f _ { i } ^ { \sigma , e q } ) ( \mathbf { v } _ { i } ^ { * } \cdot \mathbf { v } _ { i } ^ { * } + \eta _ { i } ^ { \sigma 2 } ) \mathbf { v } _ { i } ^ { * }
\begin{array} { r } { { \bf y } _ { N } ( t ) = { \bf C } _ { 0 } + { \bf V } _ { 0 } t + { \bf x } _ { N \Vert } ( 0 ) + | { \bf x } _ { N \bot } ( 0 ) | \left[ { \bf e } _ { 1 } \cos ( | \boldsymbol { \omega } | t ) + { \bf e } _ { 2 } \sin ( | \boldsymbol { \omega } | t ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda } & { = 8 \frac { R _ { a } ^ { 2 } } { w _ { z } ^ { 2 } } \frac { \exp \left( - 4 \frac { R _ { a } ^ { 2 } } { w _ { z } ^ { 2 } } \right) { I } _ { 1 } \left( 4 \frac { R _ { a } ^ { 2 } } { w _ { z } ^ { 2 } } \right) } { 1 - \exp \left( - 4 \frac { R _ { a } ^ { 2 } } { w _ { z } ^ { 2 } } \right) { I } _ { 0 } \left( 4 \frac { R _ { a } ^ { 2 } } { w _ { z } ^ { 2 } } \right) } } \\ & { \times \left[ \ln \left( \frac { 2 \eta } { 1 - \exp \left[ - 4 \frac { R _ { a } ^ { 2 } } { w _ { z } ^ { 2 } } \right] { I } _ { 0 } \left( 4 \frac { R _ { a } ^ { 2 } } { w _ { z } ^ { 2 } } \right) } \right) \right] ^ { - 1 } , } \\ { R } & { = R _ { a } \left[ \ln \left( \frac { 2 \eta } { 1 - \exp \left( - 4 \frac { R _ { a } ^ { 2 } } { w _ { z } ^ { 2 } } \right) { I } _ { 0 } \left( 4 \frac { R _ { a } ^ { 2 } } { w _ { z } ^ { 2 } } \right) } \right) \right] ^ { - \frac { 1 } { \lambda } } . } \end{array}
e ^ { 2 i \pi A ( 0 } = \left( \begin{array} { c c c c c } { { 1 } } & { { i \pi X _ { 1 } } } & { { - i \pi X _ { 2 } } } & { { . . . } } & { { i \pi X _ { 2 3 } } } \\ { { 0 } } & { { 1 + 2 i \pi X _ { 1 } } } & { { - 2 i \pi X _ { 2 } } } & { { . . . } } & { { 2 i \pi X _ { 2 3 } } } \\ { { 0 } } & { { 2 ^ { 2 } i \pi X _ { 1 } } } & { { 1 - 2 ^ { 2 } i \pi X _ { 2 } } } & { { . . . } } & { { 2 ^ { 2 } i \pi X _ { 2 3 } } } \\ { { . . . } } & { { . . . } } & { { . . . } } & { { . . . } } & { { . . . } } \\ { { 0 } } & { { 2 ^ { 2 3 } i \pi X _ { 1 } } } & { { 2 ^ { 2 3 } i \pi X _ { 2 } } } & { { . . . } } & { { 1 + 2 ^ { 2 3 } i \pi X _ { 2 3 } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { 1 - \Phi ( z ) } & { = \int _ { z } ^ { \infty } \frac { e ^ { - x ^ { 2 } / 2 } } { \sqrt { 2 \pi } } d x \le \int _ { z } ^ { \infty } \frac { x } { z } \cdot \frac { e ^ { - x ^ { 2 } / 2 } } { \sqrt { 2 \pi } } d x = \frac 1 z \cdot \frac { e ^ { - z ^ { 2 } / 2 } } { \sqrt { 2 \pi } } ; } \\ { 1 - \Phi ( z ) } & { \ge \int _ { z } ^ { z + 1 } \frac { e ^ { - x ^ { 2 } / 2 } } { \sqrt { 2 \pi } } d x \ge \int _ { z } ^ { z + 1 } \frac { x } { z + 1 } \cdot \frac { e ^ { - x ^ { 2 } / 2 } } { \sqrt { 2 \pi } } d x = \frac { 1 - e ^ { - 1 / 2 - z } } { 1 + 1 / z } \cdot \frac { e ^ { - z ^ { 2 } / 2 } } { z \sqrt { 2 \pi } } , } \end{array}
\tilde { u } = v ^ { 2 N - 4 } \left\langle \mathrm { T r } ( \tilde { q } q \tilde { q } q ) - { \frac { 1 } { 2 } } \mathrm { T r } ( \tilde { q } q ) \mathrm { T r } ( \tilde { q } q ) \right\rangle \ .
\begin{array} { r l r } { m \ddot { z } _ { n } + m \gamma \dot { z } _ { n } } & { = } & { - \left( m \Omega ^ { 2 } + 2 \sum _ { l = 1 } ^ { N } K _ { l } \right) z _ { n } } \\ & { } & { + \sum _ { l = 1 } ^ { N } \left[ \left( K _ { l } + \bar { K } _ { l } \right) z _ { n - l } + \left( K _ { l } - \bar { K } _ { l } \right) z _ { n + l } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 3 } \sum _ { k \in \mathbb { Z } } e ^ { - \gamma _ { p } | \tau - k \Lambda | } } & { { } { } = { } } & { } & { { } \sum _ { k \in \mathbb { Z } } e ^ { - \gamma _ { p } | \tau _ { m } - k \Lambda | } , } \end{array}
0 = \mathcal { L } _ { { \tilde { B } } } ( d t \wedge \iota _ { \partial _ { t } } { \tilde { \mu } } ) = ( \mathcal { L } _ { { \tilde { B } } } d t ) \wedge \iota _ { \partial _ { t } } { \tilde { \mu } } + d t \wedge \mathcal { L } _ { { \tilde { B } } } \iota _ { \partial _ { t } } { \tilde { \mu } } = d t \wedge \mathcal { L } _ { { \tilde { B } } } \iota _ { \partial _ { t } } { \tilde { \mu } } .
H ^ { \prime } = J _ { 1 } \sum _ { \langle i j \rangle } ( - \hat { \sigma } _ { x } ^ { i } \hat { \sigma } _ { x } ^ { j } - \hat { \sigma } _ { y } ^ { i } \hat { \sigma } _ { y } ^ { j } + \hat { \sigma } _ { z } ^ { i } \hat { \sigma } _ { z } ^ { j } ) + J _ { 2 } \sum _ { \llangle i j \rrangle } \hat { \boldsymbol { \sigma } } _ { i } \cdot \hat { \boldsymbol { \sigma } } _ { j } .
W _ { Y } ^ { u } = \frac { 1 } { 4 } C ^ { \prime } \cdot 1 0 \cdot 1 0 H + \frac { 1 } { 4 } \frac { B ^ { \prime } } { M } \cdot 1 0 \cdot 1 0 \cdot \Sigma H + \frac { A ^ { \prime } } { M ^ { 2 } } \cdot 1 0 \cdot 1 0 \cdot \Sigma ^ { 2 } H ~ ,
\begin{array} { r l } { \frac { d ^ { 2 } h } { d \rho ^ { 2 } } = \frac { 1 } { \rho ^ { \prime } } \left( \frac { d h } { d \rho } \right) ^ { \prime } } & { = \frac { 2 e ^ { - \varphi / 2 } } { \varphi ^ { \prime } } \frac { d } { d u } \sqrt { \frac { 4 } { \varphi ^ { 2 } } - 1 } } \\ & { = - 8 e ^ { - \varphi / 2 } \frac { \varphi ^ { \prime \prime } } { \varphi ^ { 3 } \sqrt { 4 - \varphi ^ { 2 } } } . } \end{array}
\int \mathrm { d } { \Vec p } _ { n } \, \delta [ p ^ { + } - x p ^ { + } - p _ { n } ^ { + } ] = 2 \pi \int _ { p _ { m i n } } ^ { \infty } \mathrm { d } \vert { \Vec p } _ { n } \vert \, \vert { \Vec p } _ { n } \vert ,
\begin{array} { r } { R ( k ) : = - 4 k ^ { 2 } \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { \frac { \omega } { ( k ^ { 2 } - 1 ) ( k ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } ) } } & { 0 } \\ { \frac { \omega ^ { 2 } } { ( k ^ { 2 } - 1 ) ( k ^ { 2 } - \omega ) } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \frac { 1 } { ( k ^ { 2 } - \omega ) ( k ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } ) } } \end{array} \right) . } \end{array}
F ( x , y ) = - C \left[ e ^ { - \frac { ( x - x _ { 0 } ) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { x } ^ { 2 } } } e ^ { - \frac { ( y - y _ { 0 } ) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { y } ^ { 2 } } } + e ^ { - \frac { ( x - x _ { 1 } ) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { x } ^ { 2 } } } e ^ { - \frac { ( y - y _ { 1 } ) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { y } ^ { 2 } } } \right]
n { \bar { m } } = { \frac { n \sum _ { M _ { J } = - J } ^ { J } { \mu _ { M _ { J } } e ^ { { - E _ { M _ { J } } } / { k _ { \mathrm { B } } T } \; } } } { \sum _ { M _ { J } = - J } ^ { J } { e ^ { { - E _ { M _ { J } } } / { k _ { \mathrm { B } } T } \; } } } } = { \frac { n \sum _ { M _ { J } = - J } ^ { J } { M _ { J } g _ { J } \mu _ { \mathrm { B } } e ^ { { M _ { J } g _ { J } \mu _ { \mathrm { B } } H } / { k _ { \mathrm { B } } T } \; } } } { \sum _ { M _ { J } = - J } ^ { J } { e ^ { { M _ { J } g _ { J } \mu _ { \mathrm { B } } H } / { k _ { \mathrm { B } } T } \; } } } } .
\begin{array} { r l } & { \left. \frac { 1 } { 2 } \int _ { M } u ^ { 2 } ( \phi ^ { r } ) ^ { 2 } e ^ { - 2 f } \, d V \right| _ { a } ^ { b } } \\ & { - \int _ { a } ^ { b } \int _ { M } u ^ { 2 } \phi ^ { r } \phi _ { t } ^ { r } e ^ { - 2 f } \, d V _ { t } d t + \int _ { a } ^ { b } \int _ { M } u ^ { 2 } ( \phi ^ { r } ) ^ { 2 } f _ { t } e ^ { - 2 f } \, d V _ { t } d t + \frac { 1 } { 2 } \int _ { a } ^ { b } \int _ { M } u ^ { 2 } ( \phi ^ { r } ) ^ { 2 } R e ^ { - 2 f } \, d V _ { t } d t } \\ { = } & { \int _ { a } ^ { b } \int _ { M } \left\{ - | \nabla ( u \phi ^ { r } ) | ^ { 2 } + | \nabla \phi ^ { r } | ^ { 2 } u ^ { 2 } + \langle \nabla u ^ { 2 } , \nabla f \rangle ( \phi ^ { r } ) ^ { 2 } \right\} e ^ { - 2 f } d V _ { t } d t } \\ { = } & { \int _ { a } ^ { b } \int _ { M } \left\{ - | \nabla ( u \phi ^ { r } ) | ^ { 2 } + | \nabla \phi ^ { r } | ^ { 2 } u ^ { 2 } + ( 2 | \nabla f | ^ { 2 } - \Delta f ) u ^ { 2 } ( \phi ^ { r } ) ^ { 2 } - 2 u ^ { 2 } \phi ^ { r } \langle \nabla \phi ^ { r } , \nabla f \rangle \right\} e ^ { - 2 f } d V _ { t } d t . } \end{array}