harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\iiiint _ { { \mathcal { F M } } } a ^ { 2 } | X _ { \sharp } ( \widehat { w } * { \widehat { u } } ) - \widehat { w } * ( X _ { \sharp } ( { \widehat { u } } ) ) | ^ { 2 } \lesssim \operatorname* { s u p } _ { ( r , \theta ) } \left( a _ { 1 } ^ { 2 } \lVert \widehat { w } \rVert _ { { \mathbb { W } _ { \! \omega \! , m } ^ { 1 \! , 1 \! ; { - \! q } } } } ^ { 2 } \chi _ { \underline { { r } } ^ { \sharp } \! , \overline { { r } } ^ { \sharp } } \right) \iint _ { \mathcal { A } } a _ { 2 } ^ { 2 } \left\lVert { \widehat { u } } \right\rVert _ { { \mathbb { H } _ { \! \omega \! , m } ^ { 0 ; { q } } } } ^ { 2 } \chi _ { \underline { { r } } ^ { \sharp } \! , \overline { { r } } ^ { \sharp } }
\begin{array} { r l } { P _ { s c } } & { = \frac { 1 } { 2 } \Re \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \boldsymbol { E } _ { s c } \times \boldsymbol { H } _ { s c } ^ { * } \rho d \varphi } \\ & { = \frac { \eta ^ { 2 } k ^ { 2 } \rho } { 1 6 } \frac { 2 } { \pi k \rho } | e ^ { - j k \rho - j \frac { \pi } { 4 } } | ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \varphi \left| I _ { 1 } e ^ { - j \frac { k d \cos ( \varphi ) } { 2 } } + I _ { 2 } e ^ { j \frac { k d \cos ( \varphi ) } { 2 } } \right| ^ { 2 } } \end{array}
\left[ \begin{array} { l } { q _ { v x } } \\ { q _ { v y } } \end{array} \right] = \mathrm { R T } ( q _ { \psi } ) \cdot \left[ \begin{array} { l } { q _ { v x } ^ { B } } \\ { q _ { v y } ^ { B } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { \cos q _ { \psi } } & { - \sin q _ { \psi } } \\ { \sin q _ { \psi } } & { \cos q _ { \psi } } \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array} { l } { q _ { v x } ^ { B } } \\ { q _ { v y } ^ { B } } \end{array} \right]
\hat { T } = \sum _ { i a } t _ { i } ^ { a } \hat { a } _ { a } ^ { \dagger } \hat { a } _ { i } + \frac { 1 } { 4 } \sum _ { i j a b } t _ { i j } ^ { a b } \hat { a } _ { a } ^ { \dagger } \hat { a } _ { b } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j } \hat { a } _ { i }
G ( x , \zeta ) = \left\{ \begin{array} { l l } { { F ( x , \xi = 1 / \zeta ) } } & { { \mathrm { f o r ~ 0 < \ z e t a ~ \leq ~ 1 / \ n u ~ } } } \\ { { { \cal S } : \mathrm { S o u t h ~ P o l e } } } & { { \mathrm { f o r ~ \ z e t a ~ = 0 ~ } } } \end{array} \right.
G _ { 1 } ( \lambda ) = I _ { 2 } \, \, , \, \, J ( \lambda ) = \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { - \underset { i = 1 } { \overset { g } { \sum } } \frac { \check { p } _ { i } } { \lambda - \check { q } _ { i } } \underset { j \neq i } { \prod } \frac { 1 } { \check { q } _ { i } - \check { q } _ { j } } } & { \frac { 1 } { \underset { j = 1 } { \overset { g } { \prod } } ( \lambda - \check { q } _ { j } ) } } \end{array} \right)
\delta { \cal { S } } _ { \delta \xi } [ \xi , t _ { 1 } , t _ { 0 } ] = \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { 1 } } \left( { \frac { \partial { \cal { L } } } { \partial \mathbf { q } } } - { \frac { d } { d t } } { \frac { \partial { \cal { L } } } { \partial \mathbf { \dot { q } } } } \right) \delta \xi \, d t + { \frac { \partial { \cal { L } } } { \partial \mathbf { \dot { q } } } } \, \delta \xi { \Biggl | } _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { 1 } } ,
\begin{array} { r l } { C ( \tau , \tau ^ { \prime } ) } & { = D \int _ { 0 } ^ { \tau } \int _ { 0 } ^ { \tau ^ { \prime } } \left( \frac { \tau } { s } \right) ^ { - \frac { \alpha } { \alpha - 1 } } \left( \frac { \tau ^ { \prime } } { s ^ { \prime } } \right) ^ { - \frac { \alpha } { \alpha - 1 } } d W _ { s } d W _ { s ^ { \prime } } } \\ & { = D \int _ { 0 } ^ { \mathrm { m i n } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) } \left( \frac { \tau } { s } \right) ^ { - \frac { \alpha } { \alpha - 1 } } \left( \frac { \tau ^ { \prime } } { s } \right) ^ { - \frac { \alpha } { \alpha - 1 } } d s } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { D \frac { ( \alpha - 1 ) \tau ^ { \frac { 1 } { \alpha - 1 } + 2 } \tau ^ { - \frac { \alpha } { \alpha - 1 } } } { 3 \alpha - 1 } } & { \qquad \mathrm { f o r } \ \tau < \tau ^ { \prime } } \\ { D \frac { ( \alpha - 1 ) \tau ^ { \frac { 1 } { \alpha - 1 } + 2 } \tau ^ { - \frac { \alpha } { \alpha - 1 } } } { 3 \alpha - 1 } } & { \qquad \mathrm { f o r } \ \tau > \tau ^ { \prime } } \\ { D \langle L _ { 1 } ^ { 2 } ( \tau ) \rangle } & { \qquad \mathrm { f o r } \ \tau = \tau ^ { \prime } } \end{array} \right. \qquad \mathrm { a n d } \ \alpha < 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } & { R \left( \{ \mathbf S _ { i , j } ^ { t + 1 } \} , \{ \tau _ { j } ^ { t + 1 } \} , \{ \rho _ { k } ^ { t + 1 } \} , \{ \mathbf v _ { j } ^ { t } \} \right) } \\ & { = r _ { 2 } \left( \{ \mathbf S _ { i , j } ^ { t + 1 } \} , \{ \tau _ { j } ^ { t + 1 } \} , \{ \rho _ { k } ^ { t + 1 } \} , \{ \mathbf v _ { j } ^ { t } \} , \{ \mu _ { k , j } ^ { t } \} \right) } \\ & { = r _ { 2 } ^ { \mathrm { l b } } \left( \{ \mathbf S _ { i , j } ^ { t + 1 } \} , \{ \tau _ { j } ^ { t + 1 } \} , \{ \rho _ { k } ^ { t + 1 } \} , \{ \mathbf v _ { j } ^ { t } \} , \{ \mu _ { k , j } ^ { t } \} \right) } \\ & { \leq r _ { 2 } ^ { \mathrm { l b } } \left( \{ \mathbf S _ { i , j } ^ { t + 1 } \} , \{ \tau _ { j } ^ { t + 1 } \} , \{ \rho _ { k } ^ { t + 1 } \} , \{ \mathbf v _ { j } ^ { t + 1 } \} , \{ \mu _ { k , j } ^ { t + 1 } \} \right) } \\ & { \leq r _ { 2 } \left( \{ \mathbf S _ { i , j } ^ { t + 1 } \} , \{ \tau _ { j } ^ { t + 1 } \} , \{ \rho _ { k } ^ { t + 1 } \} , \{ \mathbf v _ { j } ^ { t + 1 } \} , \{ \mu _ { k , j } ^ { t + 1 } \} \right) } \\ & { = R \left( \{ \mathbf S _ { i , j } ^ { t + 1 } \} , \{ \tau _ { j } ^ { t + 1 } \} , \{ \rho _ { k } ^ { t + 1 } \} , \{ \mathbf v _ { j } ^ { t + 1 } \} \right) . } \end{array}
\pi _ { i } = \mathbb { P } ( \hat { X } = i ) = \int _ { i } ^ { i + 1 } p _ { X } ( x ) ~ d x = \frac { \int _ { i } ^ { i + 1 } \left[ Q \left( \frac { - x } { \sigma } \right) - Q \left( \frac { N - x } { \sigma } \right) \right] ~ d x } { \int _ { 0 } ^ { N } \left[ Q \left( - \frac { t } { \sigma } \right) - Q \left( \frac { N - t } { \sigma } \right) \right] ~ d t } , ~ ~ ~ i \in \mathbb { Z } _ { N } .
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { c } { \varphi _ { 1 } ( m ) } \\ { - \varphi _ { 1 } ( m ) + \frac { 1 } { 3 } \varphi _ { 2 } ( m ) } \\ { \varphi _ { 1 } ( m ) + \frac { 1 } { 4 5 } ( \varphi _ { 4 } ( m ) - 2 0 \varphi _ { 2 } ( m ) ) } \\ { - \varphi _ { 1 } ( m ) + \frac { 1 } { 9 4 5 } ( 4 6 2 \varphi _ { 2 } ( m ) - 4 2 \varphi _ { 4 } ( m ) + 2 \varphi _ { 6 } ( m ) ) } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { t } | ( T f _ { 1 } ) ( y ) - ( T f _ { 2 } ) ( y ) | ~ ~ ~ ~ ~ \forall t > 0 } \\ { = } & { \frac { 1 } { t } | \int _ { 0 } ^ { y } G ( y , u ) ~ g ( u , f _ { 1 } ( u ) ) ~ d u - \int _ { 0 } ^ { y } G ( y , u ) ~ g ( u , f _ { 2 } ( u ) ) ~ d u | ~ ~ ~ ~ ~ \forall t > 0 } \\ { = } & { \frac { 1 } { t } | \int _ { 0 } ^ { y } G ( y , u ) [ g ( u , f _ { 1 } ( u ) ) - g ( u , f _ { 2 } ( u ) ) ] ~ d u | ~ ~ ~ ~ ~ \forall t > 0 } \\ { \leq } & { \int _ { 0 } ^ { y } \frac { G ( y , u ) } { t } | g ( u , f _ { 1 } ( u ) ) - g ( u , f _ { 2 } ( u ) ) | ~ d u | ~ ~ ~ ~ ~ \forall t > 0 } \\ { \leq } & { \int _ { 0 } ^ { y } G ( y , u ) ~ w ^ { 2 } ~ \phi ( \frac { | f _ { 1 } ( u ) - f _ { 2 } ( u ) | } { t } ) ~ d u ~ ~ ~ ~ ~ \forall t > 0 ~ ~ ~ ( \mathrm { b y } ~ ( ) ) } \\ { \leq } & { ~ w ^ { 2 } ~ \phi ( P ( f _ { 1 } , f _ { 2 } , t ) ) ~ \underset { y \in [ 0 , T ] } { \operatorname* { s u p } } \int _ { 0 } ^ { y } G ( y , u ) ~ d u ~ ~ ~ ~ ~ \forall t > 0 } \\ { = } & { ~ w ^ { 2 } ~ \phi ( P ( f _ { 1 } , f _ { 2 } , t ) ) ~ \underset { y \in [ 0 , T ] } { \operatorname* { s u p } } \int _ { 0 } ^ { y } \frac { 1 } { w } \sin ( w ( y - u ) ) ~ d u ~ ~ ~ ~ ~ \forall t > 0 } \\ { = } & { ~ \phi ( P ( f _ { 1 } , f _ { 2 } , t ) ) ~ \underset { y \in [ 0 , T ] } { \operatorname* { s u p } } ~ [ 1 - \cos ( w y ) ] ~ ~ ~ ~ ~ \forall t > 0 } \\ { \leq } & { ~ \phi ( P ( f _ { 1 } , f _ { 2 } , t ) ) ~ ~ ~ ~ ~ \forall t > 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb E \left[ L _ { t } ^ { \alpha } \right] } & { \le \operatorname* { m a x } \left\{ M ^ { \alpha } , \sum _ { s = 1 } ^ { t } \mathbb E \left[ \left\lvert Q _ { s , i } - Q _ { s - 1 , i } \right\rvert ^ { \alpha } \right] \right\} } \\ & { \le \operatorname* { m a x } \left\{ M ^ { \alpha } , 2 K T M ^ { \alpha } \right\} } \\ & { = 2 K T M ^ { \alpha } . } \end{array}
W _ { l } = 1 / S _ { l } = \left[ \sum _ { i , j , k } \frac { 1 } { \left[ R _ { \mathrm { S P H } } ( i , j , k ) \right] ^ { 3 } } \mathcal { S } \left( \frac { d _ { l } } { R _ { \mathrm { S P H } } ( i , j , k ) } \right) \right] ^ { - 1 } \; .
\begin{array} { r } { \frac { \sum _ { k = 1 } ^ { N } \lambda _ { k } ^ { 4 + 2 \gamma } \left( \int _ { 0 } ^ { T } u _ { k } ( t ) d t \right) ^ { 2 } } { \sum _ { k = 1 } ^ { N } \lambda _ { k } ^ { 4 + 2 \gamma } \mathbb E \left( \int _ { 0 } ^ { T } u _ { k } ( t ) d t \right) ^ { 2 } } \longrightarrow 1 \mathrm { ~ i n ~ p r o b a b i l i t y ~ w h e n ~ } \, N , T \rightarrow \infty . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { B } _ { \tau _ { 2 } } ^ { \mathbf { C } } \cdot s ^ { \mathbf { C C } } \cdot \left( \ln \mathbf { B } _ { \tau _ { 2 } } ^ { \mathbf { C } } \cdot s ^ { \mathbf { C C } } - \ln \mathbf { C } \right) = \mathbf { B } _ { \tau _ { 2 } } ^ { \mathbf { D } } \cdot s ^ { \mathbf { C C } } \cdot \left( \ln \mathbf { B ^ { \mathbf { D } } } _ { \tau _ { 1 } } \cdot s ^ { \mathbf { C C } } - \ln \mathbf { C } \right) } \end{array}
I : = \sigma _ { I } : = \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] , \quad X : = \sigma _ { x } : = \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right] , \quad Y : = \sigma _ { y } : = \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { - \mathrm { i } } \\ { \mathrm { i } } & { 0 } \end{array} \right] , \quad Z : = \sigma _ { z } : = \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right] .
\left[ d p _ { 1 } \right] \left[ d p _ { 2 } \right] \delta ( x - q \cdot \, \, n ) = \frac { d p ^ { + } d ^ { 2 } p _ { \bot } d ^ { 2 } K _ { \bot } } { P ^ { + } ( 2 \pi ) ^ { 6 } } \, ,
\begin{array} { r l } & { \sum _ { m _ { i } = 0 } ^ { N _ { I } - 1 } \binom { N _ { I } } { m _ { i } + 1 } y _ { i } ^ { m _ { i } } ( 1 - y _ { i } ) ^ { N _ { I } - 1 - m _ { i } } \left( 1 - w ^ { m _ { i } + 1 } \right) } \\ { = } & { \sum _ { k _ { i } = 1 } ^ { N _ { I } } \binom { N _ { I } } { k _ { i } } y _ { i } ^ { k _ { i } - 1 } ( 1 - y _ { i } ) ^ { N _ { I } - k _ { i } } \left( 1 - w ^ { k _ { i } } \right) } \\ { = } & { \frac { 1 } { y _ { i } } \sum _ { k _ { i } = 1 } ^ { N _ { I } } \binom { N _ { I } } { k _ { i } } y _ { i } ^ { k _ { i } } ( 1 - y _ { i } ) ^ { N _ { I } - k _ { i } } \left( 1 - w ^ { k _ { i } } \right) } \\ { = } & { \frac { 1 } { y _ { i } } \left[ \sum _ { k _ { i } = 0 } ^ { N _ { I } } \binom { N _ { I } } { k _ { i } } y _ { i } ^ { k _ { i } } ( 1 - y _ { i } ) ^ { N _ { I } - k _ { i } } \left( 1 - w ^ { k _ { i } } \right) \right. } \\ & { \left. - \binom { N _ { I } } { 0 } y _ { i } ^ { 0 } ( 1 - y _ { i } ) ^ { N _ { I } } \left( 1 - w ^ { 0 } \right) \right] } \\ { = } & { \frac { 1 } { y _ { i } } \left[ \sum _ { k _ { i } = 0 } ^ { N _ { I } } \binom { N _ { I } } { k _ { i } } y _ { i } ^ { k _ { i } } ( 1 - y _ { i } ) ^ { N _ { I } - k _ { i } } \left( 1 - w ^ { k _ { i } } \right) \right] } \\ { = } & { \frac { 1 } { y _ { i } } \left[ ( y _ { i } + 1 - y _ { i } ) ^ { N _ { I } } - \sum _ { k _ { i } = 0 } ^ { N _ { I } } \binom { N _ { I } } { k _ { i } } y _ { i } ^ { k _ { i } } ( 1 - y _ { i } ) ^ { N _ { I } - k _ { i } } w ^ { k _ { i } } \right] } \\ { = } & { \frac { 1 } { y _ { i } } \left[ 1 - \sum _ { k _ { i } = 0 } ^ { N _ { I } } \binom { N _ { I } } { k _ { i } } ( w y _ { i } ) ^ { k _ { i } } ( 1 - y _ { i } ) ^ { N _ { I } - k _ { i } } \right] } \\ { = } & { \frac { 1 } { y _ { i } } \left[ 1 - ( w y _ { i } + 1 - y _ { i } ) ^ { N _ { I } } \right] } \\ { = } & { \frac { 1 } { y _ { i } } \left[ 1 - ( 1 + ( w - 1 ) y _ { i } ) ^ { N _ { I } } \right] . } \end{array}
\sigma _ { J } ( k _ { t } ^ { c } ) = \int _ { s x _ { A } x _ { B } > 4 ( k _ { t } ^ { c } ) ^ { 2 } } { \frac { d \sigma _ { J } } { d x _ { A } d x _ { B } d ^ { 2 } k _ { t } } } d x _ { A } d x _ { B } d ^ { 2 } k _ { t }
\begin{array} { r l } { [ ( F _ { t } \otimes F _ { t ^ { \prime } } ) * k _ { \mathrm { v } } ] ( x , x ^ { \prime } ) } & { = \frac { 1 } { 4 \pi t } \frac { 1 } { 4 \pi t ^ { \prime } } \int _ { S ( 0 , 1 ) } \int _ { S ( 0 , 1 ) } k _ { 0 } ( | x - t \gamma | ^ { 2 } , | x ^ { \prime } - t ^ { \prime } \gamma ^ { \prime } | ^ { 2 } ) { t ^ { \prime } } ^ { 2 } d \Omega ^ { \prime } t ^ { 2 } d \Omega } \\ & { = \frac { 1 } { 4 \pi t } \frac { \mathrm { s g n } ( t ^ { \prime } ) } { 4 | x ^ { \prime } | } \int _ { S ( 0 , 1 ) } \sum _ { \varepsilon ^ { \prime } \in \{ - 1 , 1 \} } \varepsilon ^ { \prime } k _ { 0 } ^ { 1 } ( | x - t \gamma | ^ { 2 } , ( | x ^ { \prime } | + \varepsilon ^ { \prime } | t ^ { \prime } | ) ^ { 2 } ) t ^ { 2 } d \Omega } \\ & { = \frac { \mathrm { s g n } ( t t ^ { \prime } ) } { 1 6 r r ^ { \prime } } \sum _ { \varepsilon , \varepsilon ^ { \prime } \in \{ - 1 , 1 \} } \varepsilon \varepsilon ^ { \prime } K _ { \mathrm { v } } \big ( ( r + \varepsilon | t | ) ^ { 2 } , ( r ^ { \prime } + \varepsilon ^ { \prime } | t ^ { \prime } | ) ^ { 2 } \big ) } \end{array}
\left( \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial t ^ { 2 } } - v _ { A } ^ { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial z ^ { 2 } } \right) v _ { 1 } = 2 v _ { A } ^ { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } v _ { 0 } } { \partial Z \partial z } + v _ { A } ^ { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial z ^ { 2 } } \left( v _ { 0 } w _ { 0 } \right) + \frac { \eta _ { 0 } } { \rho _ { 0 } } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial t \partial z } \left( \frac { \partial v _ { 0 } ^ { 3 } } { \partial z } - 2 v _ { 0 } \frac { \partial w _ { 0 } } { \partial z } \right) .
\begin{array} { r l } { t = } & { { } - \frac { \sqrt { A + B \sigma } } { A \sigma } + \frac { B \, } { ( - A ) ^ { 3 / 2 } } \mathrm { a r c t a n } \left( \frac { \sqrt { A + B \sigma } } { \sqrt { - A } } \right) - \frac { \sqrt { A + B } } { A } + \frac { B \, } { ( - A ) ^ { 3 / 2 } } \mathrm { a r c t a n } \left( \frac { \sqrt { A + B } } { \sqrt { - A } } \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal K ( \tau _ { 1 } \mu _ { 1 } + \tau _ { 2 } \mu _ { 2 } | \mu ) } & { = \tau _ { 1 } \mathcal K ( \mu _ { 1 } | \mu ) + \tau _ { 2 } \mathcal K ( \mu _ { 2 } | \mu ) } \\ & { \quad - \tau _ { 1 } \mathcal K ( \mu _ { 1 } | \tau _ { 1 } \mu _ { 1 } + \tau _ { 2 } \mu _ { 2 } ) - \tau _ { 2 } \mathcal K ( \mu _ { 2 } | \tau _ { 1 } \mu _ { 1 } + \tau _ { 2 } \mu _ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { C _ { v } ^ { \delta } ( \tau ) / C _ { v } ^ { \delta } ( \tau = 0 ) = \frac { ( \eta + 1 ) ^ { \alpha _ { \mathrm { F } } } + | 1 - \eta | ^ { \alpha _ { \mathrm { F } } } - 2 } { 2 \eta ^ { \alpha _ { \mathrm { F } } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { c _ { k } ^ { < , + } \mapsto \left( \bigotimes _ { l = 1 } ^ { k - 1 } \sigma _ { l } ^ { z } \right) \otimes \sigma _ { k } ^ { + } } & { \mathrm { ~ a n d ~ } c _ { k } ^ { > , + } \mapsto \sigma _ { k } ^ { + } \otimes \left( \bigotimes _ { l = k + 1 } ^ { K } \sigma _ { l } ^ { z } \right) } \\ { c _ { k } ^ { < , - } \mapsto \left( \bigotimes _ { l = 1 } ^ { k - 1 } \sigma _ { l } ^ { z } \right) \otimes \sigma _ { k } ^ { - } } & { \mathrm { ~ a n d ~ } c _ { k } ^ { > , - } \mapsto \sigma _ { k } ^ { - } \otimes \left( \bigotimes _ { l = k + 1 } ^ { K } \sigma _ { l } ^ { z } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { V _ { \boldsymbol { \theta } , j } ^ { t t ^ { \prime } } ( k , p ) \equiv \frac { 2 \mu k _ { 0 } } { \operatorname* { d e t } \boldsymbol { u } } \big [ V ^ { t t ^ { \prime } } ( k , p ; \boldsymbol { \theta } ) - V _ { j } ^ { t t ^ { \prime } } ( k , p ) \big ] , } \end{array}
{ \overset { 4 \times 2 { \mathrm { ~ m a t r i x } } } { \left[ \begin{array} { l l } { a _ { 1 1 } } & { a _ { 1 2 } } \\ { \cdot } & { \cdot } \\ { a _ { 3 1 } } & { a _ { 3 2 } } \\ { \cdot } & { \cdot } \end{array} \right] } } { \overset { 2 \times 3 { \mathrm { ~ m a t r i x } } } { \left[ \begin{array} { l l l } { \cdot } & { b _ { 1 2 } } & { b _ { 1 3 } } \\ { \cdot } & { b _ { 2 2 } } & { b _ { 2 3 } } \end{array} \right] } } = { \overset { 4 \times 3 { \mathrm { ~ m a t r i x } } } { \left[ \begin{array} { l l l } { \cdot } & { c _ { 1 2 } } & { \cdot } \\ { \cdot } & { \cdot } & { \cdot } \\ { \cdot } & { \cdot } & { c _ { 3 3 } } \\ { \cdot } & { \cdot } & { \cdot } \end{array} \right] } }
\begin{array} { r } { \Ddot { Q } _ { 1 } - \lambda \dot { Q } _ { 2 } + \omega _ { 1 } ^ { 2 } Q _ { 1 } = 0 \, , } \\ { \Ddot { Q } _ { 2 } + \lambda \dot { Q } _ { 1 } + \omega _ { 2 } ^ { 2 } Q _ { 2 } = 0 \, . } \end{array}
\overline { { S ^ { \prime } } } ( x , y ; z ) = S _ { S S } ( x , y ; z , 0 ) + \frac { 1 } { N } \sum _ { j = 0 } ^ { N - 1 } S _ { M S } ( x , y ; z , z _ { d , j } ) * \exp \left[ - i \phi ( x , y ; z , z _ { d , j } ) \right] ,
\begin{array} { r l } { \dot { n } _ { r } } & { { } = i \frac { \Omega } { 2 } ( { \sigma } _ { g r } - { \sigma } _ { r g } ) - \gamma { n } _ { r } , } \\ { \dot { n } _ { s } } & { { } = i \frac { \Omega } { 2 } ( { \sigma } _ { g s } - { \sigma } _ { s g } ) - \gamma { n } _ { s } , } \\ { \dot { \sigma } _ { g r } } & { { } = i \frac { \Omega } { 2 } ( 2 { n } _ { r } + { n } _ { s } + { \sigma } _ { s r } - 1 ) + i \left( \Delta _ { r } - E _ { \mathrm { N L } } + i \frac { \gamma } { 2 } \right) { \sigma } _ { g r } , } \\ { \dot { \sigma } _ { g s } } & { { } = i \frac { \Omega } { 2 } ( 2 { n } _ { s } + { n } _ { r } + { \sigma } _ { r s } - 1 ) + i \left( \Delta _ { s } - E _ { \mathrm { N L } } + i \frac { \gamma } { 2 } \right) { \sigma } _ { g s } , } \\ { \dot { \sigma } _ { r s } } & { { } = i \frac { \Omega } { 2 } ( { \sigma } _ { g s } - { \sigma } _ { r g } ) - i ( \Delta _ { r } - \Delta _ { s } - i { \gamma } ) { \sigma } _ { r s } , } \end{array}
\lVert \delta \tilde { { \boldsymbol { \theta } } } _ { t + \Delta t } \rVert \leq \frac { L } { m _ { \mathrm { ~ t ~ h ~ r ~ } } } \lVert \tilde { { \boldsymbol { \theta } } } _ { t } - { \boldsymbol { \theta } } _ { t + \Delta t } ^ { * } \rVert ^ { 2 } .
\delta \mathbf { p } _ { \overline { { { \rho u } } } } = - \mathbf { Q } _ { p } ^ { - 1 } \left( \frac { \partial \mathbf { R } } { \partial \mathbf { p } } \right) ^ { * } A ^ { - 1 * } \mathbf { Q } _ { q } ( 0 , \frac { \nabla _ { \overline { { \rho u } } } \mu _ { i } ^ { 2 } } { \mu _ { i } ^ { 2 } } , 0 , 0 ) ^ { T } , \; \; \; \delta \mathbf { p } _ { \mathbf { A } } = 2 \mathbf { Q } _ { p } ^ { - 1 } \operatorname { R e } \left( \mathbf { \tilde { H } } ^ { * } \mathbf { \mathcal { R } } ^ { * } \mathbf { Q } _ { q } \mathbf { \check { q } } \right) .
\gamma ( y , k _ { x } , k _ { z } ) = \left( \frac { \int _ { \Delta T ^ { * } } \left| \mathscr { F } _ { x , z } \{ \boldsymbol { u } _ { \mathrm { f i l t } } ( \boldsymbol { x } , t ) - \boldsymbol { \tilde { u } } ( \boldsymbol { x } , t ) \} \right| ^ { 2 } d t } { \int _ { \Delta T ^ { * } } \left| \mathscr { F } _ { x , z } \{ \boldsymbol { u } _ { \mathrm { f i l t } } ( \boldsymbol { x } , t ) \} \right| ^ { 2 } d t } \right) ^ { 1 / 2 } ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { X } _ { 1 } } & { = ( - 1 ) ^ { S + S ^ { \prime } - Q } \sqrt { 3 ( 2 k + 1 ) ( 2 K + 1 ) } \left( \begin{array} { l l l } { K } & { 1 } & { k } \\ { Q } & { - Q } & { 0 } \end{array} \right) \left\{ \begin{array} { l l l } { K } & { 1 } & { k } \\ { S } & { S ^ { \prime } } & { S ^ { \prime \prime } } \end{array} \right\} } \\ { \mathcal { X } _ { 2 } } & { = ( - 1 ) ^ { S + S ^ { \prime } - Q + K + k } \sqrt { 3 ( 2 k + 1 ) ( 2 K + 1 ) } \left( \begin{array} { l l l } { K } & { 1 } & { k } \\ { Q } & { - Q } & { 0 } \end{array} \right) \left\{ \begin{array} { l l l } { 1 } & { K } & { k } \\ { S } & { S ^ { \prime } } & { S ^ { \prime \prime } } \end{array} \right\} \, . } \end{array}
\tau = \epsilon _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { 2 + \operatorname* { m i n } _ { i = 0 , 1 , \cdots , M } \operatorname* { i n f } _ { B _ { 1 } } s _ { i } ( x ) } } \ \ \mathrm { a n d } \ \ K = 1 + | | u | | _ { L ^ { \infty } ( B _ { 1 } ) } + | | f | | _ { L ^ { \infty } ( B _ { 1 } ) } ^ { \frac { 1 } { 1 + \operatorname* { m i n } _ { i = 0 , 1 , \cdots , M } \operatorname* { i n f } _ { B _ { 1 } s _ { i } ( x ) } } } .
\begin{array} { r } { F _ { i j } = \mu _ { a , i } C _ { a b } ^ { - 1 } \mu _ { b , j } + \frac { 1 } { 2 } \left[ C _ { a b } ^ { - 1 } C _ { b c , i } C _ { c d } ^ { - 1 } C _ { c a , j } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \mathcal H } ( t , Y _ { t } ) = { \mathcal H } ( 0 , Y _ { 0 } ) + \int _ { 0 } ^ { t } \partial _ { s } { \mathcal H } ( s , Y _ { s } ) d s + \int _ { 0 } ^ { t } \partial _ { y } { \mathcal H } ( s , Y _ { s } ) F _ { s } d s } \\ & { \quad + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { A } \big ( { \mathcal H } ( s , Y _ { s - } + f ( s , x ) ) - { \mathcal H } ( s , Y _ { s - } ) \big ) q ( d s , d x ) } \\ & { \quad + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { A } \big ( { \mathcal H } ( s , Y _ { s } + f ( s , x ) ) - { \mathcal H } ( s , Y _ { s } ) - \partial _ { y } { \mathcal H } ( s , Y _ { s } ) f ( s , x ) \big ) \nu ( d s , d x ) } \\ & { \quad + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \Lambda } \big ( { \mathcal H } ( s , Y _ { s - } + k ( s , x ) ) - { \mathcal H } ( s , Y _ { s - } ) \big ) N ( d s , d x ) , \quad t \geq 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \pi } & { { } = 2 \left( 1 + { \cfrac { 1 } { 3 } } + { \cfrac { 1 \cdot 2 } { 3 \cdot 5 } } + { \cfrac { 1 \cdot 2 \cdot 3 } { 3 \cdot 5 \cdot 7 } } + { \cfrac { 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 } { 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 } } + { \cfrac { 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 } { 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 1 1 } } + \cdots \right) } \end{array}
v _ { p o } = - \frac { \beta ^ { 2 } } { 6 \pi } \int _ { V _ { f } } \frac { \left( \mathbf { \nabla } C \right) ^ { 2 } \mathbf { \nabla } C \cdot \left( \mathbf { v } _ { 1 } - \mathbf { e } _ { x } \right) } { C ^ { 3 } } d V ,
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } \lbrace \alpha _ { - } , \alpha _ { + } \rbrace \sqrt { 1 + ( h ^ { \prime } ) ^ { 2 } } u _ { i } ^ { 2 } } & { \leq \frac { 5 } { 1 6 } \| \partial _ { 2 } u \| _ { L ^ { 2 } ( \gamma ^ { - } , \gamma ^ { + } ) } ^ { 2 } + ( 2 \alpha _ { - } + \kappa _ { - } ) \sqrt { 1 + ( h ^ { \prime } ) ^ { 2 } } u _ { - } ^ { 2 } } \\ & { \qquad + ( 2 \alpha _ { + } + \kappa _ { + } ) \sqrt { 1 + ( h ^ { \prime } ) ^ { 2 } } u _ { + } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { l } { \displaystyle { J = \frac { L } { \xi ^ { 2 } } D ^ { 4 } \frac { m } { ( 1 + m ) ^ { 2 } } \frac { I _ { 0 } ( m ) } { K ( m ) } , \qquad J _ { 2 } = L D ^ { 2 } \frac { m } { ( 1 + m ) } \frac { I _ { 2 } ( m ) } { K ( m ) } , \qquad J _ { 4 } = L D ^ { 4 } \frac { m ^ { 2 } } { ( 1 + m ) ^ { 2 } } \frac { I _ { 4 } ( m ) } { K ( m ) } . } } \end{array}
\delta _ { c } \approx { \frac { 2 + 2 w } { 5 + 3 w } } { \frac { k ^ { 2 } } { { \cal H } ^ { 2 } } } { \cal R } _ { c } + { \frac { 1 } { a ^ { 2 } { \cal H } } } ( a ^ { 2 } { \cal H } \delta _ { c } ) _ { ( i ) } ,
\begin{array} { r l } & { \forall ( \overline { { M _ { 1 } } } , \overline { { M _ { 2 } } } ) \in C ^ { 2 } , \quad \eta _ { n } ( \overline { { M _ { 1 } } } + \overline { { M _ { 2 } } } ) \geq \eta _ { n } ( \overline { { M _ { 1 } } } ) + \eta _ { n } ( \overline { { M _ { 2 } } } ) , } \\ & { \forall ( \overline { { M } } , h ) \in C \times { \mathbb { R } } _ { \geq 0 } , \quad \eta _ { n } ( h \overline { { M } } ) = h \eta _ { n } ( \overline { { M } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { N } ^ { 1 } ( M \setminus \Omega ) \! \! } & { \subset } & { \! \! \mathcal { N } ^ { 1 } \overline { \Sigma } \, , } \\ { \mathcal { N } ^ { 1 } ( M \setminus \Omega ) \cap \big ( \mathcal { N } ^ { 1 } \overline { \Sigma } \, \, \llcorner \Sigma \big ) \! \! } & { = } & { \! \! \big \{ ( x , - \nu _ { \Omega } ^ { * } ( x ) ) : x \in \Sigma \big \} \, . } \end{array}