harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { | \Psi \rangle _ { \mathrm { V } } } & { { } = \exp \Big \{ \frac { \xi } { 8 } \int \! \! \mathrm { d } \omega _ { i } \mathrm { d } \omega _ { s } \Big [ F _ { 1 } ( \omega _ { i } , \omega _ { s } ) \, \mathrm { e } ^ { 2 \mathrm { i } \phi _ { 1 } } \, \hat { b } _ { 1 } ^ { \dagger } ( \omega _ { i } ) \, \hat { b } _ { 1 } ^ { \dagger } ( \omega _ { s } ) - \, F _ { 2 } ( \omega _ { i } , \omega _ { s } ) \, \hat { b } _ { 2 } ^ { \dagger } ( \omega _ { i } ) \, \hat { b } _ { 2 } ^ { \dagger } ( \omega _ { s } ) \Big \} | \mathrm { v a c } \rangle \, , } \end{array}
\Theta _ { j _ { 1 } , m _ { 1 } } ( z ) \tilde { \Phi } _ { j _ { 2 } , m _ { 2 } } ( w ) \sim \left| z - w \right| ^ { - \frac 4 { k - 2 } j _ { 1 } j _ { 2 } } ( \tilde { \Phi } _ { j _ { 1 } + j _ { 2 } , m _ { 1 } + m _ { 2 } } ( w ) - \frac { 2 j _ { 1 } } { k - 2 } \ln \left| z - w \right| \Theta _ { j _ { 1 } + j _ { 2 } , m _ { 1 } + m _ { 2 } } ( w ) ) + . . .
\begin{array} { r l } { \dot { \Pi } + \left( \frac { 2 \hat { c } _ { v } - 3 } { 3 \hat { c } _ { v } } p + \frac { 5 \hat { c } _ { v } - 3 } { 3 \hat { c } _ { v } } \Pi \right) \partial _ { k } v _ { k } + \frac { 2 \hat { c } _ { v } - 3 } { 3 \hat { c } _ { v } } \Pi _ { \langle i k \rangle } \partial _ { \langle i } v _ { k \rangle } - \frac { 5 } { 3 } \frac { 1 } { ( 1 + \hat { c } _ { v } ) ^ { 2 } } \frac { \textrm { d } \hat { c } _ { v } } { \textrm { d } T } q _ { k } \partial _ { k } T + \frac { 2 \hat { c } _ { v } - 3 } { 3 \hat { c } _ { v } ( 1 + \hat { c } _ { v } ) } \partial _ { k } q _ { k } } & { = - \frac { 1 } { \tau _ { \Pi } } \Pi , } \\ { \dot { \Pi } _ { \langle i j \rangle } + \Pi _ { \langle i j \rangle } \partial _ { k } v _ { k } + 2 \partial _ { k } v _ { \langle i } \Pi _ { \langle j \rangle k \rangle } + 2 ( p + \Pi ) \partial _ { \langle i } v _ { j \rangle } - \frac { 2 } { ( 1 + \hat { c } _ { v } ) ^ { 2 } } \frac { \textrm { d } \hat { c } _ { v } } { \textrm { d } T } \partial _ { k } T q _ { \langle i } \delta _ { j \rangle k } + \frac { 2 } { 1 + \hat { c } _ { v } } \partial _ { \langle j } q _ { i \rangle } } & { = - \frac { 1 } { \tau _ { S } } \Pi _ { \langle i j \rangle } , } \end{array}
\mathbf { E ( r ) } = { \frac { 1 } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } { \frac { q _ { i } \left( \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { i } \right) } { \left| \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { i } \right| ^ { 3 } } }
\delta ( t ) = \delta ( t _ { 0 } ) + \frac { k } { 6 H ^ { 2 } a ^ { 2 } ( t _ { 0 } ) } + \frac { \dot { \delta } ( t _ { 0 } ) } { 3 H } - \frac { k } { 2 H ^ { 2 } a ^ { 2 } ( t _ { 0 } ) } e ^ { - 2 H ( t - t _ { 0 } ) } + \left[ \frac { k } { 3 H ^ { 2 } a ^ { 2 } ( t _ { 0 } ) } - \frac { \dot { \delta } ( t _ { 0 } ) } { 3 H } \right] e ^ { - 3 H ( t - t _ { 0 } ) }
\begin{array} { r l } { \sigma _ { i j } = } & { { } - 2 \mathrm { K n } \left[ \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \partial v _ { i } } { \partial x _ { j } } + \frac { \partial v _ { j } } { \partial x _ { i } } \right) - \frac { 1 } { 3 } \delta _ { i j } \frac { \partial v _ { \ell } } { \partial x _ { \ell } } \right] } \\ { q _ { i } = } & { { } - \frac { c _ { p } \mathrm { K n } } { \mathrm { P r } } \left( \frac { \partial T } { \partial x _ { i } } + \alpha _ { 0 } \frac { \partial \sigma _ { i j } } { \partial x _ { j } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Hat { u } ( x , t _ { k + 1 } ) } & { { } = \sum _ { ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) \in D } A _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } \omega _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } \frac { 1 } { N } \sum _ { m = 1 } ^ { N } K _ { \delta } ( x , X _ { t _ { k } } ^ { m ; i _ { 1 } , i _ { 2 } } ) 1 _ { \{ t _ { k } < \zeta ( X ^ { m ; i _ { 1 } , i _ { 2 } } \circ \tau _ { t _ { k } } ) \} } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { P _ { m } } & { { } = } & { u , } \\ { P _ { e } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } u ^ { 2 } - \frac { 1 } { 3 } \epsilon \left( c _ { 3 } - \frac { 1 } { 2 } c _ { 2 } \right) u ^ { 3 } , } \\ { Q _ { m } } & { { } = } & { 3 u ^ { 2 } + u _ { x x } + \epsilon \left( \frac { 1 } { 3 } c _ { 1 } u ^ { 3 } + c _ { 3 } u u _ { x x } + \frac { 1 } { 2 } \left( c _ { 2 } - c _ { 3 } \right) u _ { x } ^ { 2 } + c _ { 4 } u _ { x x x x } \right) , } \\ { Q _ { e } } & { { } = } & { 2 u ^ { 3 } + u u _ { x x } - \frac { 1 } { 2 } u _ { x } ^ { 2 } + \epsilon \left[ \frac { 1 } { 4 } c _ { 1 } u ^ { 4 } + \frac { 1 } { 2 } c _ { 2 } u ^ { 2 } u _ { x x } + c _ { 4 } u u _ { x x x x } - c _ { 4 } u _ { x } u _ { x x x } + \frac { 1 } { 2 } c _ { 4 } u _ { x x } ^ { 2 } \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { \mu \nu } ( { \mathbf { R } } ) = } & { ( \chi _ { \mu } ( { \mathbf { R } } ) | \chi _ { \nu } ( { \mathbf { R } } ) ) } \\ { : = } & { \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \chi _ { \mu } ^ { * } ( { \mathbf { R } } , \boldsymbol { x } ) \chi _ { \nu } ( { \mathbf { R } } , \boldsymbol { x } ) \, d ^ { 3 } \boldsymbol { x } . } \end{array}
\frac { \partial H } { \partial \chi } = \frac { 1 } { 8 \pi } [ 1 - \frac { \alpha _ { r } ( m ^ { 2 } ) } { m ^ { 2 } } ( \frac { \chi } { m ^ { 2 } } ) ^ { \beta ^ { 2 } / 8 \pi - 1 } ]
\begin{array} { r l } { \sigma _ { \alpha \beta } ^ { s } } & { { } = \left( f - \mu \frac { ( \phi + 1 ) } { 2 } \right) \delta _ { \alpha \beta } - \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta \left( \partial _ { \beta } \phi \right) } \partial _ { \alpha } \phi } \end{array}
\begin{array} { r } { A ( k , \omega _ { 0 } t ) = k | f _ { T } ( k \cos \omega _ { 0 } t , k \sin \omega _ { 0 } t ) | , \ \phi ( k , \omega _ { 0 } t ) = \mathrm { A r g } [ f _ { T } ( k \cos \omega _ { 0 } t , k \sin \omega _ { 0 } t ) ] . \ } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { a } T _ { i j } ^ { a } T _ { k l } ^ { a } } & { = - n ^ { - 1 } \delta _ { i j } \delta _ { k l } + \left\{ \begin{array} { l l } { \delta _ { i l } \delta _ { j k } , } & { \mathrm { A I I I } , } \\ { \frac 1 2 ( \delta _ { i l } \delta _ { j k } + \delta _ { i k } \delta _ { j l } ) , } & { \mathrm { C I I } , } \\ { \frac 1 2 ( \delta _ { i l } \delta _ { j k } + C _ { i k } C _ { j l } ) , } & { \mathrm { B D I } . } \end{array} \right. } \end{array}
\left( \begin{array} { c } { { \nu _ { 1 } } } \\ { { \nu _ { 2 } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c } { { \cos \theta } } & { { \sin \theta } } \\ { { - \sin \theta } } & { { \cos \theta } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { N _ { 1 } } } \\ { { N _ { 2 } } } \end{array} \right)
. T h i s r e p r e s e n t a t i o n w i l l b e a p p l i e d t o u n i q u e l y p r e s e n t e a c h a d d i t i v e c y c l i c c o d e b y a t m o s t t w o g e n e r a t o r p o l y n o m i a l s . W e d e t e r m i n e t h e g e n e r a t o r p o l y n o m i a l s o f a l l d i f f e r e n t a d d i t i v e c y c l i c c o d e s . A m i n i m u m d i s t a n c e l o w e r b o u n d f o r a d d i t i v e c y c l i c c o d e s w i l l a l s o b e p r o v i d e d u s i n g l i n e a r c y c l i c c o d e s o v e r
\begin{array} { r l } & { \Omega _ { 1 1 } ^ { 1 1 } = \Omega _ { 2 2 } ^ { 1 1 } = \Omega _ { 1 2 } ^ { 1 2 } = \Omega _ { 1 3 } ^ { 1 3 } = \Omega _ { 3 1 } ^ { 1 3 } = \Omega _ { 2 1 } ^ { 2 1 } = \Omega _ { 1 1 } ^ { 2 2 } = \Omega _ { 2 2 } ^ { 2 2 } = \Omega _ { 3 3 } ^ { 2 2 } } \\ { = \, } & { \Omega _ { 2 3 } ^ { 2 3 } = \Omega _ { 1 3 } ^ { 3 1 } = \Omega _ { 3 1 } ^ { 3 1 } = \Omega _ { 3 2 } ^ { 3 2 } = \Omega _ { 2 2 } ^ { 3 3 } = \Omega _ { 3 3 } ^ { 3 3 } = \Omega _ { 1 1 } ^ { 4 4 } = \Omega _ { 3 3 } ^ { 4 4 } = \frac { 1 } { 2 } , } \end{array}
{ ( { \hat { E } } - q \phi ) } ^ { 2 } \psi = c ^ { 2 } { ( { \hat { \mathbf { p } } } - q \mathbf { A } ) } ^ { 2 } \psi + ( m c ^ { 2 } ) ^ { 2 } \psi \quad \rightleftharpoons \quad \left[ { ( { \hat { P } } _ { \mu } - q A _ { \mu } ) } { ( { \hat { P } } ^ { \mu } - q A ^ { \mu } ) } - { ( m c ) } ^ { 2 } \right] \psi = 0 .
\mathcal { V } _ { \mathrm { m i x } } = - \frac { \kappa } { 2 } v _ { 1 } v _ { 2 } v _ { 1 } ^ { \prime } v _ { 2 } ^ { \prime } \cos \left( \frac { \phi } { f } - \frac { \phi ^ { \prime } } { f ^ { \prime } } \right) = \frac { \kappa v v ^ { \prime } } { 4 f f ^ { \prime } } ( f ^ { \prime } \phi - f \phi ^ { \prime } ) ^ { 2 } + \dots
\begin{array} { r } { \mathcal { H } = \left[ \begin{array} { l l l l } { \omega _ { c } } & { g _ { 1 } } & { \dots } & { g _ { n } } \\ { g _ { 1 } } & { \Delta E _ { 1 } } & { \dots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { g _ { n } } & { 0 } & { \dots } & { \Delta E _ { n } } \end{array} \right] . } \end{array}
\cdots { \xleftarrow { d _ { 0 } } } A _ { 0 } { \xleftarrow { d _ { 1 } } } A _ { 1 } { \xleftarrow { d _ { 2 } } } A _ { 2 } { \xleftarrow { d _ { 3 } } } A _ { 3 } { \xleftarrow { d _ { 4 } } } A _ { 4 } { \xleftarrow { d _ { 5 } } } \cdots
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } \hat { v } _ { r } } { \mathrm { ~ d } r } + \frac { \hat { v } _ { r } } { r } + \frac { \beta \hat { v } _ { \theta } } { r } + k \hat { v } _ { z } = } & { { } 0 , } \\ { \operatorname { R e } \left[ - \omega \hat { v } _ { r } + k \bar { v } _ { z } \hat { v } _ { r } \right] = } & { { } \frac { \mathrm { d } \hat { p } } { \mathrm { ~ d } r } - \mathrm { i e } ^ { M \bar { c } } \left[ \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } \hat { v } _ { r } } { \mathrm { ~ d } r ^ { 2 } } + \frac { 1 } { r } \frac { \mathrm { d } \hat { v } _ { r } } { \mathrm { ~ d } r } - \left( \frac { \beta ^ { 2 } + 1 } { r ^ { 2 } } + k ^ { 2 } \right) \hat { v } _ { r } \right. } \\ { \operatorname { R e } \left[ - \omega \hat { v } _ { \theta } + k \bar { v } _ { z } \hat { v } _ { \theta } \right] = } & { { } \frac { - \beta \hat { p } } { r } - \mathrm { i e } ^ { M \bar { c } } \left[ \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } \hat { v } _ { \theta } } { \mathrm { d } r ^ { 2 } } + \frac { 1 } { r } \frac { \mathrm { d } \hat { v } _ { \theta } } { \mathrm { d } r } - \left( \frac { \beta ^ { 2 } + 1 } { r ^ { 2 } } + k ^ { 2 } \right) \hat { v } _ { \theta } \right. } \\ { \operatorname { R e } \left[ - \omega \hat { v } _ { z } + k \bar { v } _ { z } \hat { v } _ { z } + \frac { \mathrm { d } \bar { v } _ { z } } { \mathrm { ~ d } r } \hat { v } _ { r } \right] = } & { { } - k \hat { p } - \mathrm { i e } { } ^ { M \bar { c } } \left[ \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } \hat { v } _ { z } } { \mathrm { ~ d } r ^ { 2 } } + \frac { 1 } { r } \frac { \mathrm { d } \hat { v } _ { z } } { \mathrm { ~ d } r } - \left( \frac { \beta ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } + k ^ { 2 } \right) \hat { v } _ { z } \right. } \\ { P e \left[ - \omega \hat { c } + k \bar { v } _ { z } \hat { c } + \frac { \mathrm { d } \bar { c } } { \mathrm { ~ d } r } \hat { v } _ { r } \right] = } & { { } - \mathrm { i } \left[ \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } \hat { c } } { \mathrm { ~ d } r ^ { 2 } } + \frac { 1 \mathrm { ~ d } \hat { c } } { \mathrm { ~ d } r } - \left( \frac { \beta ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } + k ^ { 2 } \right) \hat { c } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { y ^ { 2 : T } \in \{ 0 , 1 \} ^ { T - 1 } } \sum _ { x ^ { 2 : T } \in \{ 0 , 1 \} ^ { T - 1 } } \phi _ { x _ { 1 } } ( y ^ { T } , x ^ { 2 : T } ) } \\ & { \times \prod _ { t = 3 } ^ { T } F ( \theta x _ { t } + \alpha ) ^ { y _ { t } } [ 1 - F ( \theta x _ { t } + \alpha ) ] ^ { 1 - y _ { t } } G _ { y ^ { t } , x ^ { t } } ^ { t } ( \alpha ) ^ { x _ { t } } [ 1 - G _ { y ^ { t } , x ^ { t } } ^ { t } ( \alpha ) ] ^ { 1 - x _ { t } } } \\ & { \times F ( \theta x _ { 2 } + \alpha ) ^ { y _ { 2 } } [ 1 - F ( \theta x _ { 2 } + \alpha ) ] ^ { 1 - y _ { 2 } } ( - 1 ) ^ { 1 - x _ { 2 } } } \\ & { \times F ( \theta x _ { 1 } + \alpha ) ^ { y _ { 1 } } [ 1 - F ( \theta x _ { 1 } + \alpha ) ] ^ { 1 - y _ { 1 } } = 0 . } \end{array}
M ^ { \prime } : = \left[ \begin{array} { l l l l l l l l l } { 1 } & { \dots } & { 1 } & { 1 } & { \dots } & { 1 } & { 1 } & { \dots } & { 1 } \\ { \tilde { \lambda } _ { 1 } ^ { 1 } } & { \dots } & { \tilde { \lambda } _ { r } ^ { 1 } } & { \tilde { \theta } _ { r + 1 } ^ { 1 } } & { \dots } & { \tilde { \theta } _ { p } ^ { 1 } } & { \tilde { \mu } _ { r + 1 } ^ { 1 } } & { \dots } & { \tilde { \mu } _ { q } ^ { 1 } } \\ { \tilde { \lambda } _ { 1 } ^ { 2 } } & { \dots } & { \tilde { \lambda } _ { r } ^ { 2 } } & { \tilde { \theta } _ { r + 1 } ^ { 2 } } & { \dots } & { \tilde { \theta } _ { p } ^ { 2 } } & { \tilde { \mu } _ { r + 1 } ^ { 2 } } & { \dots } & { \tilde { \mu } _ { q } ^ { 2 } } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \tilde { \lambda } _ { 1 } ^ { m } } & { \dots } & { \tilde { \lambda } _ { r } ^ { m } } & { \tilde { \theta } _ { r + 1 } ^ { m } } & { \dots } & { \tilde { \theta } _ { p } ^ { m } } & { \tilde { \mu } _ { r + 1 } ^ { m } } & { \dots } & { \tilde { \mu } _ { q } ^ { m } } \end{array} \right]
{ \mathcal { S } } = \int \left( - { \begin{array} { l } { { \frac { 1 } { 4 \mu _ { 0 } } } } \end{array} } F _ { \mu \nu } F ^ { \mu \nu } - J ^ { \mu } A _ { \mu } \right) \mathrm { d } ^ { 4 } x
\begin{array} { r l } { \Gamma _ { w } = } & { - \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } \Bigg ( A _ { i } \hat { \Omega } _ { i } J _ { i } A _ { i } ^ { \top } + A _ { i } J _ { i } \hat { \Omega } _ { i } ^ { \top } A _ { i } ^ { \top } + m _ { i } \left( \hat { \mu } _ { i } ^ { \top } \widehat { A _ { i } \hat { \Omega } _ { i } \kappa _ { i } } + \widehat { A _ { i } \hat { \Omega } _ { i } \kappa _ { i } } ^ { \top } \hat { \mu } _ { i } \right) - m _ { i } A _ { i } \hat { \kappa } _ { i } \hat { \Omega } _ { i } A _ { i } ^ { \top } \hat { \mu } _ { i } \Bigg ) \Omega _ { B } } \\ & { + \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } \Bigg ( A _ { i } \widehat { A _ { i } ^ { \top } \Omega _ { B } } J _ { i } + m _ { i } \widehat { A _ { i } ^ { \top } \hat { \mu } _ { i } \Omega _ { B } } \hat { \kappa } _ { i } + m _ { i } \hat { \Omega } _ { B } \hat { \mu } _ { i } A _ { i } \hat { \kappa } _ { i } + \hat { \Omega } _ { B } A _ { i } J _ { i } \Bigg ) \Omega _ { i } + \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } \bigg ( m _ { i } A _ { i } \hat { \Omega } _ { i } \hat { \kappa } _ { i } ^ { \top } A _ { i } ^ { \top } \hat { \mu } _ { i } \Omega _ { B } } \\ & { - \left( 2 A _ { i } J _ { i } - m _ { i } \hat { \mu } _ { i } A _ { i } \hat { \kappa } _ { i } \right) \dot { \Omega } _ { i } \bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H \left( t ^ { ( k ) } \right) } & { = H ( I ) + H _ { 1 } \left( t ^ { ( k ) } - I \right) + \frac { 1 } { 2 } H _ { 2 } \left( t ^ { ( k ) } - I \right) ^ { 2 } + O \left( \left( t ^ { ( k ) } - I \right) ^ { 3 } \right) } \\ & { = I - \left( t ^ { ( k ) } - I \right) + \frac { 1 } { 2 } H _ { 2 } \left( t ^ { ( k ) } - I \right) ^ { 2 } + O \left( \left( t ^ { ( k ) } - I \right) ^ { 3 } \right) } \\ & { = I - \left( X _ { 1 } e _ { k } + T _ { 2 } e _ { k } ^ { 2 } \right) + \frac { 1 } { 2 } H _ { 2 } X _ { 1 } ^ { 2 } e _ { k } ^ { 2 } + O \left( e _ { k } ^ { 3 } \right) } \\ & { = I - X _ { 1 } e _ { k } + \left( \frac { 1 } { 2 } H _ { 2 } X _ { 1 } ^ { 2 } - T _ { 2 } \right) e _ { k } ^ { 2 } + O \left( e _ { k } ^ { 3 } \right) . } \end{array}
\nabla _ { \mathbf { p } } \mathrm { g } ( \hat { \mathbf { b } } , \mathbf { p } ) = \mathrm { g } _ { \mathbf { p } } + \mathrm { g } _ { \hat { \mathbf { b } } } \left( \hat { \mathbf { T } } ^ { - 1 } \left[ \hat { \mathbf { a } } _ { \mathbf { p } } ^ { 0 } - \hat { \mathbf { T } } _ { \mathbf { p } } \hat { \mathbf { b } } \right] \right)
\begin{array} { r l r l } { { 2 } \nabla \, \cdot \, \underline { { u } } } & { { } = 0 } & { } & { { } \qquad \textnormal { i n } \: \Omega \times [ 0 , T _ { e } ] , } \\ { \frac { \partial \underline { { u } } } { \partial t } + ( \underline { { u } } \, \cdot \, \nabla ) \underline { { u } } - 2 \nu \nabla \, \cdot \, \epsilon ( \underline { { u } } ) + \nabla p } & { { } = \underline { { f } } } & { } & { { } \qquad \textnormal { i n } \: \Omega \times [ 0 , T _ { e } ] , } \\ { \underline { { u } } } & { { } = \underline { { u } } _ { 0 } } & { } & { { } \qquad \textnormal { i n } \: \Omega , t = 0 , } \\ { \underline { { u } } } & { { } = 0 } & { } & { { } \qquad \textnormal { i n } \: \partial \Omega _ { D } \times [ 0 , T _ { e } ] , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { F } _ { \perp } ^ { s } = - \frac { \zeta \vert \nabla S \vert } { 3 } \mathbf { m } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \mathbf { F } _ { \perp } ^ { t } = \frac { 2 \zeta \vert \nabla S \vert } { 3 } \mathbf { m } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { C _ { \varepsilon _ { W } 1 } = C _ { 1 } C _ { \varepsilon 1 } = 0 . 3 4 \times 1 . 4 = 0 . 4 8 , } \\ & { } & { C _ { \varepsilon _ { W } 2 } = C _ { 1 } C _ { \varepsilon 2 } = 0 . 3 4 \times 1 . 9 = 0 . 6 5 , } \\ & { } & { C _ { \varepsilon _ { W } 3 } = C _ { \varepsilon _ { W } 4 } = C _ { 2 } = 0 . 8 6 . } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { s _ { 0 } ( T ) } \; d s \, \, \frac { 1 } { \pi } \; I m \Pi _ { 0 } ( s , T ) | _ { R E S } = \frac { 1 } { 8 \pi ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { s _ { 0 } ( T ) } \; d s \, \, t a n h ( \frac { \sqrt { s } } { 4 T } ) \, \, + \frac { T ^ { 2 } } { 1 8 } \, \, ,
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { Y _ { \alpha } ^ { \sigma } } & { = [ \frac { D + I ^ { \sigma } + 2 } { 2 } \rho ^ { \sigma } R ^ { \sigma } ( T ^ { \sigma } - T ) ( u _ { \alpha } ^ { \sigma } - u _ { \alpha } ) } \\ & { - \frac { D + I ^ { \sigma } + 4 } { 2 ( D + I ^ { \sigma } ) } \rho ^ { \sigma } ( u _ { \alpha } ^ { \sigma } - u _ { \alpha } ) ^ { 2 } u _ { \alpha } ^ { \sigma } } \\ & { + \rho ^ { \sigma } u _ { \alpha } ^ { \sigma } ( u _ { \alpha } ^ { \sigma } - u _ { \alpha } ) u _ { \alpha } ^ { \sigma } - \rho ^ { \sigma } u _ { \beta } ^ { \sigma } ( u _ { \alpha } u _ { \beta } - u _ { \alpha } u _ { \beta } ^ { \sigma } ) ] } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } \rho ^ { \sigma } ( u _ { \alpha } ^ { 2 } - u _ { \alpha } ^ { \sigma 2 } ) u _ { \alpha } . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r } { 2 \delta t \textbf { L } ( t ) = \sum _ { i } ^ { N } \textbf { r } _ { i } ( t ) \times ( m _ { i } \textbf { r } _ { i } ( t + \delta t ) - m _ { i } \textbf { r } _ { i } ( t - \delta t ) ) } \\ { = \sum _ { i } ^ { N } m _ { i } \textbf { r } _ { i } ( t ) \times ( 2 \textbf { r } _ { i } ( t ) - 2 \textbf { r } _ { i } ( t - \delta t ) ) } \\ { = \sum _ { i } ^ { N } m _ { i } \textbf { r } _ { i } ( t - \delta t ) \times ( \textbf { r } _ { i } ( t ) + \textbf { r } _ { i } ( t ) ) } \\ { = \sum _ { i } ^ { N } m _ { i } \textbf { r } _ { i } ( t - \delta t ) \times ( \textbf { r } _ { i } ( t ) - \textbf { r } _ { i } ( t - 2 \delta t ) ) } \\ { = 2 \delta t \textbf { L } ( t - \delta t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { c d } ^ { ( 2 ) } } & { = \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { 4 } \sum _ { \lambda \lambda ^ { \prime } } \int d \boldsymbol { k } _ { A } \int d \boldsymbol { k } _ { B } ^ { \prime } \left[ \tilde { \xi } _ { \lambda , \lambda ^ { \prime } } ^ { * } \left( \boldsymbol { k } _ { A } , \boldsymbol { k } _ { B } ^ { \prime } \right) \tilde { \xi } _ { \lambda ^ { \prime } , \lambda } \left( \boldsymbol { \bar { k } } _ { B } ^ { \prime } , \boldsymbol { \bar { k } } _ { A } \right) + \tilde { \xi } _ { \lambda ^ { \prime } , \lambda } ^ { * } \left( \boldsymbol { \bar { k } } _ { B } ^ { \prime } , \boldsymbol { \bar { k } } _ { A } \right) \tilde { \xi } _ { \lambda , \lambda ^ { \prime } } \left( \boldsymbol { k } _ { A } , \boldsymbol { k } _ { B } ^ { \prime } \right) \right] , } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { 4 } \sum _ { \lambda \lambda ^ { \prime } } \int d \boldsymbol { r } _ { A } \int d \boldsymbol { r } _ { B } ^ { \prime } \left[ \xi _ { \lambda , \lambda ^ { \prime } } ^ { * } \left( \boldsymbol { r } _ { A } , \boldsymbol { r } _ { B } ^ { \prime } , t \right) \xi _ { \lambda ^ { \prime } , \lambda } \left( \boldsymbol { \bar { r } } _ { B } ^ { \prime } , \boldsymbol { \bar { r } } _ { A } , t \right) + \xi _ { \lambda ^ { \prime } , \lambda } ^ { * } \left( \boldsymbol { \bar { r } } _ { B } ^ { \prime } , \boldsymbol { \bar { r } } _ { A } , t \right) \xi _ { \lambda , \lambda ^ { \prime } } \left( \boldsymbol { r } _ { A } , \boldsymbol { r } _ { B } ^ { \prime } , t \right) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left[ \langle N | \hat { V } _ { 4 } \hat { R } _ { 4 } ^ { ( + 4 ) } \hat { V } _ { 4 } | N \rangle \right] } & { = } & { \frac { 1 } { 2 4 } \sum _ { i , j , k , l } ^ { { \mathrm { d e n o m . } \neq 0 } } \frac { F _ { i j k l } F _ { i j k l } } { - \omega _ { i } - \omega _ { j } - \omega _ { k } - \omega _ { l } } \Big [ \langle Q _ { i } \rangle _ { - 1 } \langle Q _ { i } \rangle _ { 1 } \Big ] \Big [ \langle Q _ { j } \rangle _ { - 1 } \langle Q _ { j } \rangle _ { 1 } \Big ] \Big [ \langle Q _ { k } \rangle _ { - 1 } \langle Q _ { k } \rangle _ { 1 } \Big ] \Big [ \langle Q _ { l } \rangle _ { - 1 } \langle Q _ { l } \rangle _ { 1 } \Big ] } \\ & { = } & { \frac { 1 } { 2 4 } \sum _ { i , j , k , l } ^ { { \mathrm { d e n o m . } \neq 0 } } \frac { \tilde { F } _ { i j k l } \tilde { F } _ { i j k l } } { - \omega _ { i } - \omega _ { j } - \omega _ { k } - \omega _ { l } } ( f _ { i } + 1 ) ( f _ { j } + 1 ) ( f _ { k } + 1 ) ( f _ { l } + 1 ) , } \end{array}
{ \frac { \partial s _ { c } } { \partial t } } = \mathbf { J } _ { u } \cdot \nabla ( 1 / T ) + \mathbf { J } _ { \rho } \cdot \nabla ( - \mu / T ) = \sum _ { \alpha } \mathbf { J } _ { \alpha } \cdot \nabla f _ { \alpha }
\begin{array} { r l } { w _ { 0 } ^ { \mathrm { T O R } } } & { = u _ { 0 } ^ { \mathrm { T O R } } \, , } \\ { w _ { i + 1 } ^ { \mathrm { T O R } } } & { = w _ { i } ^ { \mathrm { T O R } } + ( u _ { i + 1 } ^ { \mathrm { T O R } } - u _ { i } ^ { \mathrm { T O R } } ) - \left\lfloor \frac { w _ { i } ^ { \mathrm { T O R } } + ( u _ { i + 1 } ^ { \mathrm { T O R } } - u _ { i } ^ { \mathrm { T O R } } ) } { L _ { i + 1 } } + \frac { \alpha } { 2 } \right\rfloor L _ { i + 1 } \, . } \end{array}
M ^ { ( L ) } = \pm \Lambda \; \mathrm { d i a g } ( 1 , 1 , 1 ) \, , \, M ^ { ( D ) } = U \; \mathrm { d i a g } ( \lambda _ { 1 } , \lambda _ { 2 } , \lambda _ { 3 } ) U ^ { \dagger } \, , \, M ^ { ( R ) } = 0 \, ,
\begin{array} { r l } { v _ { k } ^ { c } } & { \mapsto \sum _ { i , j } C G ( \frac { a } { 2 } , \frac { a } { 2 } - i ; \, \frac { b } { 2 } , \frac { b } { 2 } - j \, | \, \frac { c } { 2 } , \frac { c } { 2 } - k ) \, v _ { i } ^ { a } \otimes v _ { j } ^ { b } , } \\ & { \mapsto \sum _ { i , j } ( - 1 ) ^ { b - j } C G ( \frac { a } { 2 } , \frac { a } { 2 } - i ; \, \frac { b } { 2 } , \frac { b } { 2 } - j \, | \, \frac { c } { 2 } , \frac { c } { 2 } - k ) \, v _ { i } ^ { a } \otimes ( v _ { b - j } ^ { b } ) ^ { * } , } \\ & { \mapsto \sum _ { i , j } ( - 1 ) ^ { j } C G ( \frac { a } { 2 } , \frac { a } { 2 } - i ; \, \frac { b } { 2 } , - \frac { b } { 2 } + j \, | \, \frac { c } { 2 } , \frac { c } { 2 } - k ) \, \, v _ { i } ^ { a } \otimes ( v _ { j } ^ { b } ) ^ { * } } \end{array}
{ \bf f } ( x ) = \left( \begin{array} { c } { { u _ { - } ( x ) } } \\ { { u _ { + } ( x ) } } \end{array} \right) , \; \; \hat { x } ^ { \mu } = x ^ { \mu } { \bf I } \; , \; \; \hat { \pi } _ { \mu } = - \imath \partial _ { \mu } { \bf I } \; , \; \; \hat { \psi } ^ { a } = \frac { \imath } { 2 } \gamma ^ { a } ,
\begin{array} { r l } { \lambda _ { a , b } ^ { 2 } - m ^ { 2 } } & { = \operatorname* { i n f } _ { \stackrel [ \psi \not = 0 ] { \psi \in \mathsf { D } ( T _ { a , b } ) } } \frac { \| \partial _ { 1 } \psi \| ^ { 2 } + \| \partial _ { 2 } \psi \| ^ { 2 } + m \| \gamma u \| _ { O A } ^ { 2 } + m \| \gamma u \| _ { O B } ^ { 2 } + m \| \gamma u \| _ { A B } ^ { 2 } } { \| \psi \| ^ { 2 } } . } \end{array}