harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { F _ { t o t } = \frac { 1 } { 4 \sigma ^ { 2 } } - \frac { | \gamma | d ( 4 \sigma ^ { 2 } - s ^ { 2 } ) } { 1 6 \sigma ^ { 4 } } - \frac { | \gamma | ^ { 2 } d ^ { 2 } s ^ { 2 } } { 8 ( 1 + | \gamma | ^ { 2 } + 2 d | \gamma | ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ^ { ( j ) } \left( y , z \right) } & { = \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { \phi \left( X _ { i } - z _ { j } \right) } { \sum _ { l = 1 } ^ { m } y _ { l } \phi \left( X _ { i } - z _ { l } \right) } \left( X _ { i } - z _ { j } \right) , } \\ { g ^ { ( j ) } \left( y , z \right) } & { = - \left[ 1 - \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { \phi \left( X _ { i } - z _ { j } \right) } { \sum _ { l = 1 } ^ { m } y _ { l } \phi \left( X _ { i } - z _ { l } \right) } \right] y _ { j } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { s _ { i } s _ { i + 1 } \xrightarrow { \alpha } s _ { i } s _ { i } \, \, \, \mathrm { i f } \, \, \, i \in \{ 1 , 2 , 3 , 4 \} \, \, \, \mathrm { i n \, \, \, a \, \, \, c y c l i c \, \, \, m a n n e r } } \\ & { s _ { 5 } s _ { 6 } \xrightarrow { \beta } s _ { 6 } s _ { 5 } } \\ & { s _ { 1 } s _ { 5 } \xrightarrow { \gamma } s _ { 1 } s _ { 1 } , \, s _ { 3 } s _ { 5 } \xrightarrow { \gamma } s _ { 3 } s _ { 3 } , \, s _ { 2 } s _ { 6 } \xrightarrow { \gamma } s _ { 2 } s _ { 2 } , \, s _ { 4 } s _ { 6 } \xrightarrow { \gamma } s _ { 4 } s _ { 4 } , \, \, \, \mathrm { a n d } \, \, \, s _ { 5 } s _ { 2 } \xrightarrow { \gamma } s _ { 5 } s _ { 5 } , \, s _ { 5 } s _ { 4 } \xrightarrow { \gamma } s _ { 5 } s _ { 5 } , \, s _ { 6 } s _ { 1 } \xrightarrow { \gamma } s _ { 6 } s _ { 6 } , \, s _ { 6 } s _ { 3 } \xrightarrow { \gamma } s _ { 6 } s _ { 6 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { L ( z , \dot { z } ) = } & { ( \dot { z } - b ( z ) ) V ( z ) ( \dot { z } - b ( z ) ) + \mathtt { d i v } b ( z ) - \frac { 1 } { 6 } R ( z ) } \\ { = } & { \Theta ^ { 2 } + \mathtt { d i v } b ( z ) - \frac { 1 } { 6 } R ( z ) } \\ { = } & { \theta _ { 1 } ^ { 2 } + \theta _ { 2 } ^ { 2 } + \mathtt { d i v } b ( x , y ) + \epsilon ^ { 2 } x ^ { 2 } - 2 \epsilon x \theta _ { 1 } . } \end{array}
P _ { k } ^ { a p x } = - \overline { { u _ { i } ^ { \prime } u _ { j } ^ { \prime } } } \frac { \partial u _ { i } } { \partial x _ { j } } = \nu _ { t } \left( \frac { \partial u _ { i } } { \partial x _ { j } } + \frac { \partial u _ { j } } { \partial x _ { i } } \right) \frac { \partial u _ { i } } { \partial x _ { j } } .
\left\{ \begin{array} { l l } { \partial _ { t } u ( t , x ) = \partial _ { x } ^ { 2 } u ( t , x ) , } & { x \in ( 0 , 1 ) , t > 0 ; } \\ { u ( t , x ) = 0 , } & { x \in \{ 0 , 1 \} , t > 0 ; } \\ { u ( t , x ) = u _ { 0 } ( x ) , } & { x \in ( 0 , 1 ) , t = 0 . } \end{array} \right.
\mathcal { P } _ { 1 } = ( y _ { 0 } ^ { \mathcal { P } _ { 1 } } , \phi ^ { \mathcal { P } _ { 1 } } , b ^ { \mathcal { P } _ { 1 } } , h _ { G } ^ { \mathcal { P } _ { 1 } } ) > \mathcal { P } _ { 2 } = ( y _ { 0 } ^ { \mathcal { P } _ { 2 } } , \phi ^ { \mathcal { P } _ { 2 } } , b ^ { \mathcal { P } _ { 2 } } , h _ { G } ^ { \mathcal { P } _ { 2 } } )
\begin{array} { r l } { \nabla \cdot \left( e ^ { \kappa } \nabla \boldsymbol { T } \right) } & { = f \quad \mathrm { i n ~ } \Omega , } \\ { \boldsymbol { T } \left( x , 0 \right) } & { = 2 \left( 1 - x \right) , } \\ { \boldsymbol { T } \left( x , 1 \right) } & { = 2 x , } \\ { \nabla \boldsymbol { T } \cdot \boldsymbol { n } } & { = 0 \quad \mathrm { o n ~ } \partial \Omega \setminus \left\{ y = 0 , y = 1 \right\} . } \end{array}
C _ { R T N , 1 , { i , j } } ^ { \prime } = \left\{ \begin{array} { l l } { \sigma _ { T } ^ { \prime } = \left( \sigma _ { T } + \sigma _ { \Delta x } \right) ^ { 2 } } & { , \ i = j = 1 } \\ { C _ { R T N , 1 , { i , j } } } & { , \ \mathrm { ~ e ~ l ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right. .
{ \cal L } ^ { \mathrm { \scriptsize ~ V / A } } = { \cal L } _ { 2 } ^ { \mathrm { \scriptsize ~ V / A } } \left( \frac { \alpha _ { s } } { \pi } \right) ^ { 2 } + { \cal L } _ { 3 } ^ { \mathrm { \scriptsize ~ V / A } } \left( \frac { \alpha _ { s } } { \pi } \right) ^ { 3 } + \cdots .
\begin{array} { r l } { ( i i ) : \mathbb { E } [ \| y _ { \lambda , k + 1 } ^ { * } - y _ { \lambda , k } ^ { * } \| ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { k } ] } & { \le \frac { 4 \delta _ { k } ^ { 2 } } { \lambda _ { k } ^ { 2 } \lambda _ { k + 1 } ^ { 2 } } \frac { l _ { f , 0 } ^ { 2 } } { \mu _ { g } ^ { 2 } } + l _ { * , 0 } ^ { 2 } \mathbb { E } [ \| x _ { k + 1 } - x _ { k } \| ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { k } ] } \\ & { \le \frac { 4 \delta _ { k } ^ { 2 } } { \lambda _ { k } ^ { 4 } } \frac { l _ { f , 0 } ^ { 2 } } { \mu _ { g } ^ { 2 } } + \xi ^ { 2 } l _ { * , 0 } ^ { 2 } ( \alpha _ { k } ^ { 2 } \mathbb { E } [ \| q _ { k } ^ { x } \| ^ { 2 } ] + \alpha _ { k } ^ { 2 } \sigma _ { f } ^ { 2 } + \beta _ { k } ^ { 2 } \sigma _ { f } ^ { 2 } ) . } \end{array}
M _ { d } \sim \left( \begin{array} { c c c } { { \lambda ^ { 6 } } } & { { \lambda ^ { 4 } } } & { { \lambda ^ { 5 } } } \\ { { \lambda ^ { 4 } } } & { { \lambda ^ { 3 } } } & { { \lambda ^ { 3 } } } \\ { { \lambda ^ { 7 } } } & { { \lambda ^ { 5 } } } & { { 1 } } \end{array} \right)
\begin{array} { c } { { \Gamma ^ { ( 1 ) } = \displaystyle - { \frac { 1 } { 2 } } \zeta _ { \overline { { { \Theta } } } / \mu ^ { 2 } } ^ { \prime } ( 0 ) + \zeta _ { - \overline { { { D } } } ^ { 2 } / \mu ^ { 2 } } ^ { \prime } ( 0 ) = } } \\ { { \begin{array} { l l } { { \displaystyle - { \frac { \Omega } { 8 \pi ^ { 2 } } } \sum _ { a = 1 } ^ { N ^ { 2 } - 1 } 2 ( \omega ^ { a } ) ^ { 2 } } } & { { \displaystyle \left\{ { \frac { a _ { 0 } } { 2 } } { \frac { 1 1 } { 1 2 } } \ln \left( \frac { \mu ^ { 2 } } { 2 \omega ^ { a } } \right) + { \frac { a _ { 0 } } { 2 } } \left[ { \frac { 1 1 } { 1 2 } } - \zeta _ { H } ^ { \prime } \left( - 1 , { \frac { 3 } { 2 } } \right) - \zeta _ { H } ^ { \prime } \left( - 1 , { \frac { 1 } { 2 } } \right) + { \frac { 1 } { 2 } } \ln \left( \frac { 1 } { 2 } \right) + i { \frac { \pi } { 2 } } \right] \right. } } \\ { { } } & { { \displaystyle \left. + { \frac { 1 } { 2 \widehat { \omega } ^ { a } } } \left[ - { \frac { ( a _ { 0 } + a _ { 1 } ) } { 2 } } \ln 2 + i { \frac { a _ { 1 } } { 2 } } \pi \right] + O \left( \frac { 1 } { ( 2 \widehat { \omega } ^ { a } ) ^ { 2 } } \right) \right\} . } } \end{array} } } \end{array}
H = \left( \begin{array} { l l } { { P H P } } & { { P H Q } } \\ { { Q H P } } & { { Q H Q } } \end{array} \right) \quad \longrightarrow \quad H _ { \mathrm { e f f } } = \left( \begin{array} { l l } { { P H _ { \mathrm { e f f } } P } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { Q H _ { \mathrm { e f f } } Q } } \end{array} \right) ,
V \approx \frac { 2 \pi w _ { 0 } ^ { 2 } z _ { \mathrm { R } } } { 9 } \left[ \sqrt { \frac { \eta _ { 0 } } { 3 } - 1 } \left( \frac { \eta _ { 0 } } { 3 } + 5 \right) - 6 \tan ^ { - 1 } \left( \sqrt { \frac { \eta _ { 0 } } { 3 } - 1 } \right) \right] .
\begin{array} { r } { \theta _ { 2 } ( Y _ { \alpha } ) = \frac { Y _ { \alpha } - Y _ { 1 } ^ { * } } { Y _ { \alpha } - Y _ { 1 } } \frac { \lambda _ { 1 } ^ { ( 1 ) } - \lambda _ { \alpha } ^ { ( 1 ) } } { ( \lambda _ { 1 } ^ { ( 1 ) } ) ^ { * } \lambda _ { \alpha } ^ { ( 1 ) } - 1 } \equiv \lambda _ { \alpha } ^ { ( 2 ) } \ \ \ ( \alpha = 2 , 3 , \cdots , M ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { Z } ^ { \ast } ( l _ { T } , s ) = \int _ { \mathrm { G L } _ { n } ( F ) \cap \mathrm { M a t } _ { n } ( \mathcal { O } _ { F } ) } l _ { T } ( \pi ( m ( a ) ) v _ { 0 } ) | \operatorname* { d e t } a | ^ { - 2 n - 1 } \lambda ( f _ { \mathcal { W } ( \tau , 2 n , \psi ^ { - 1 } ) , s } ) ( m ( a ) ) d a . } \end{array}
\begin{array} { r } { L _ { i j } = w _ { i } ( 1 + c _ { i } c _ { j } / c _ { s } ^ { 2 } ) } \\ { Q _ { i j k } = w _ { i } Q _ { i } c _ { j } c _ { k } / 2 c _ { s } ^ { 4 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \bar { g } ( x ) | } & { \leq \operatorname* { s u p } _ { | y | < \frac { \pi } { 2 \theta } } \left| \frac { 1 } { C _ { g } } u ( y ) \right| \leq \operatorname* { s u p } _ { | y | < \frac { \pi } { 2 \theta } } \left| \frac { 1 } { C _ { g } } u ( y ) - \frac { 1 } { C _ { g } } g ( y ) \right| + \operatorname* { s u p } _ { | y | < \frac { \pi } { 2 \theta } } \left| \frac { 1 } { C _ { g } } g ( y ) \right| \le \frac { \epsilon } { 3 C _ { g } } + 1 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { = } & { { } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d z \int _ { 0 } ^ { L _ { y } } d y \int _ { - \infty } ^ { \infty } d z ^ { \prime } \int _ { 0 } ^ { L _ { y } } d y ^ { \prime } u _ { 0 } ( z ^ { \prime } ) u _ { 0 } ( z ) \left\langle \tilde { \eta } ( z ^ { \prime } , y ^ { \prime } , t ) \partial _ { z } \rho _ { 1 } ( z , y , t ) \right\rangle } \\ { = } & { { } T \int _ { - \infty } ^ { \infty } d z \int _ { 0 } ^ { L _ { y } } d y \int _ { - \infty } ^ { \infty } d z ^ { \prime } \int _ { 0 } ^ { L _ { y } } d y ^ { \prime } u _ { 0 } ( z ^ { \prime } ) u _ { 0 } ( z ) \partial _ { z } \left[ \delta ( z - z ^ { \prime } ) \delta ( y - y ^ { \prime } ) - \frac { u _ { 0 } ( z ) u _ { 0 } ( z ^ { \prime } ) } { ( u _ { 0 } , u _ { 0 } ) L _ { y } } \right] } \\ { = } & { { } 0 . } \end{array}
\langle A ( \Vec { r } \, ) \rangle _ { } ^ { l } = \int _ { V _ { a c t } } d ^ { 3 } \Vec { r } \, R _ { a b s } ^ { l } ( \Vec { r } \, ) A ( \Vec { r } \, ) / \int _ { V _ { a c t } } d ^ { 3 } \Vec { r } \, R _ { a b s } ^ { l } ( \Vec { r } \, )
\left. \tilde { \Phi } [ \tilde { x } , \phi , e _ { 0 } ] \right| _ { \phi = n x _ { c l } } = \Phi [ x _ { c o m b } , e _ { 0 } ] , \qquad \left. \tilde { I } [ \tilde { x } , \phi , e _ { 0 } ] \right| _ { \phi = n x _ { c l } } = I [ x _ { c o m b } , e _ { 0 } ] .
\begin{array} { r } { W _ { 3 { \bf k } } ^ { 1 2 } = - \frac { \alpha } { 2 } \left[ \frac { 1 } { | { \bf k } _ { 1 } - { \bf k } | ^ { 2 } + \Lambda } + \frac { 1 } { | { \bf k } _ { 2 } - { \bf k } | ^ { 2 } + \Lambda } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \partial _ { x } } & { { } = } & { \cos \phi \partial _ { r } - \frac { 1 } { r } \sin \phi \partial _ { \phi } } \\ { \partial _ { y } } & { { } = } & { \sin \phi \partial _ { r } + \frac { 1 } { r } \cos \phi \partial _ { \phi } , } \end{array}
{ \lambda _ { 1 } } \ge { \frac { m _ { t } } { v } } , \quad { \lambda _ { 2 } } \ge { \frac { m _ { t } } { v } } , \quad \mathrm { o r } \quad { \lambda _ { 1 } \lambda _ { 2 } } \ge { 2 } \left( \frac { m _ { t } } { v } \right) ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { D ( \tilde { \mathcal { C } _ { r } } ( \mathcal { P } ) \| \sigma ) = } & { \operatorname* { m i n } _ { \rho \in \tilde { \mathcal { C } _ { r } } ( \mathcal { P } ) } \| \rho - \sigma \| _ { 1 } \le \operatorname* { m i n } _ { \rho \in \mathcal { C } _ { r } ^ { ( 0 ) \ast } ( \mathcal { P } ) } \| \rho - \sigma \| _ { 1 } . } \end{array}
M _ { l } ^ { ( \mathrm { H ) } } \; = \; c _ { l } ^ { ~ } \left( \begin{array} { l l l } { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right)
{ \left( \begin{array} { l l } { M } & { 0 } \\ { 0 } & { N + Q ^ { T } M ^ { - 1 } Q } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l } { I } & { 0 } \\ { Q ^ { T } M ^ { - 1 } } & { I } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l l } { M } & { Q } \\ { - Q ^ { T } } & { N } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l l } { I } & { - M ^ { - 1 } Q } \\ { 0 } & { I } \end{array} \right) } .
\begin{array} { r } { \frac { \partial f } { \partial t } + \frac { \mathbf { p } } { m } \cdot \frac { \partial f } { \partial \mathbf { x } } + \mathbf { F } \cdot \frac { \partial f } { \partial \mathbf { p } } = \left( \frac { \partial f } { \partial t } \right) _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ l ~ l ~ } } , } \end{array}
a _ { 1 } = 6 C _ { 2 } | z _ { t r } | \mathrm { , ~ } a _ { 2 } = \frac { 2 7 } { | z _ { t r } | ^ { 2 } } + 1 5 C _ { 2 } \mathrm { , ~ } a _ { 3 } = \frac { 8 1 } { | z _ { t r } | ^ { 3 } } + \frac { 2 0 C _ { 2 } } { | z _ { t r } | } .
\boldsymbol \alpha _ { n - 1 } ^ { ( p ) } = \left[ \begin{array} { c c c c } { \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \beta ^ { ( p ) } \ell _ { n } } } & { \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \beta ^ { ( p ) } \ell _ { n } } } & { \mathrm { e } ^ { \beta ^ { ( p ) } \ell _ { n } } } & { \mathrm { e } ^ { - \beta ^ { ( p ) } \ell _ { n } } } \\ { \mathrm { i } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \beta ^ { ( p ) } \ell _ { n } } } & { - \mathrm { i } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \beta ^ { ( p ) } \ell _ { n } } } & { \mathrm { e } ^ { \beta ^ { ( p ) } \ell _ { n } } } & { - \mathrm { e } ^ { - \beta ^ { ( p ) } \ell _ { n } } } \\ { - \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \beta ^ { ( p ) } \ell _ { n } } } & { - \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \beta ^ { ( p ) } \ell _ { n } } } & { \mathrm { e } ^ { \beta ^ { ( p ) } \ell _ { n } } } & { \mathrm { e } ^ { - \beta ^ { ( p ) } \ell _ { n } } } \\ { - \mathrm { i } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \beta ^ { ( p ) } \ell _ { n } } } & { \mathrm { i } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \beta ^ { ( p ) } \ell _ { n } } } & { \mathrm { e } ^ { \beta ^ { ( p ) } \ell _ { n } } } & { - \mathrm { e } ^ { - \beta ^ { ( p ) } \ell _ { n } } } \end{array} \right] , \; \boldsymbol \zeta _ { n } ^ { ( p ) } = \left[ \begin{array} { c c c c } { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { \mathrm { i } } & { - \mathrm { i } } & { 1 } & { - 1 } \\ { - 1 } & { - 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { - \mathrm { i } } & { \mathrm { i } } & { 1 } & { - 1 } \end{array} \right] , \; \boldsymbol \gamma _ { n } ^ { ( p ) } = \left[ \begin{array} { c } { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { \hat { F } _ { n } ^ { ( p ) } \chi ^ { ( p ) } } \end{array} \right] ,
{ \boldsymbol { \zeta } } = { \frac { \mathrm { { d } } { \boldsymbol { \alpha } } } { \mathrm { { d } } t } } = \mathbf { \hat { n } } { \frac { \mathrm { { d } } ^ { 2 } \omega } { \mathrm { { d } } t ^ { 2 } } } = \mathbf { \hat { n } } { \frac { \mathrm { { d } } ^ { 3 } \theta } { \mathrm { { d } } t ^ { 3 } } }
\begin{array} { r } { \mathbb { E } _ { n } \bigg [ \operatorname* { s u p } _ { 0 \le t \le T } \bigg | \int _ { 0 } ^ { t } \frac { 2 } { n } \sum _ { j ^ { \prime } \neq j , j + 1 } \Psi _ { j } ( s ) \overline { { \xi } } _ { j ^ { \prime } } ( s ) h _ { j , j ^ { \prime } } d s \bigg | ^ { 2 } \bigg ] \lesssim \frac { T ^ { 2 } } { \theta ( n ) } \| h \| _ { 2 , n } ^ { 2 } . } \end{array}
r ^ { \frac { n } { \alpha } - N _ { p , r } } \left\| \left\{ \| f \chi _ { Q _ { r , k } } \| _ { L ^ { p ( \cdot ) } } \right\} _ { k \in \mathbb { Z } ^ { n } } \right\| _ { \ell ^ { q } } \sim \left\| r ^ { \frac { n } { \alpha } - \frac { n } { p ( \cdot ) } - \frac { n } { q } } \| f \chi _ { B ( \cdot , r ) } \| _ { L ^ { p ( \cdot ) } } \right\| _ { L ^ { q } } ,
\theta _ { \alpha \beta } ^ { q } | _ { \phi ^ { * } = 0 } = \sigma X _ { \alpha \beta } | _ { \phi ^ { * } = 0 } = ( X _ { \alpha \beta } , W ) | _ { \phi ^ { * } = 0 } - i \hbar \Delta X _ { \alpha \beta } | _ { \phi ^ { * } = 0 } \ .
\begin{array} { r } { \exp ( - j _ { \hat { \theta } , s t } \hat { h } _ { s } \hat { h } _ { t } / ( 2 n ) ) \propto \phi _ { d } ( \hat { h } ; 0 , \hat { \Omega } ) = \phi _ { d _ { \mathcal { C } } } ( \hat { h } _ { \mathcal { C } } ; 0 , \hat { \Omega } _ { \mathcal { C } \mathcal { C } } ) \phi _ { d - d _ { \mathcal { C } } } ( \hat { h } _ { \bar { \mathcal { C } } } ; \Lambda _ { \mathcal { C } } \hat { h } _ { \mathcal { C } } , \bar { \Omega } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \big ( K ^ { 2 } \sqrt { k ^ { \prime } } \big ( \big ( k \big ( \sqrt { 1 - k } - \sqrt { 1 + k } \big ) + 2 \big ( \sqrt { 1 - k } + \sqrt { 1 + k } \big ) \big ) K - 2 \big ( \sqrt { 1 - k } + \sqrt { 1 + k } \big ) E \big ) \big ) \big / } \\ & { \big ( \pi ^ { 2 } ( K ^ { \prime } ( E - K ) + E ^ { \prime } K ) \big ) } \end{array}
\langle x | 0 \rangle \overset { \footnotesize ( ) } { = } \langle x | \underbrace { \frac { M } { \lambda _ { 0 } } \sum _ { y } | y \rangle \langle y | } _ { 1 } 0 \rangle \overset { \footnotesize ( ) } { = } \langle x | \underbrace { \frac { M } { \lambda _ { 0 } } \sum _ { y } | y \rangle \langle y | } _ { 1 } \underbrace { \frac { M } { \lambda _ { 0 } } \sum _ { z } | z \rangle \langle z | } _ { 1 } 0 \rangle
f ( x ; u , \gamma , \tau ) ~ \equiv ~ { \frac { s i n h \big ( { \frac { \pi i } { \tau } } ( 1 - \gamma ) x \big ) ~ s i n h \big ( { \frac { 2 \pi i } { \tau } } \gamma u x \big ) ~ s i n h \big ( { \frac { \pi i ( N - 1 ) } { \tau } } \gamma x \big ) } { x ~ s i n h \big ( { \frac { \pi i } { \tau } } x \big ) ~ s i n h \big ( { \frac { \pi i N } { \tau } } \gamma x \big ) } } \ .
Q = { \Delta \mathrm { H } } = n \, c _ { p } \, \Delta \mathrm { T } = 8 1 . 2 4 3 8 \times 2 9 . 1 0 0 6 \times 3 0 0 = 7 0 9 , 2 7 4 { \mathrm { ~ J } }
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial t } \int _ { V } \mathbf { R } ^ { V } d V + \oint _ { A } \mathbf { n } \cdot \mathbf { u } \otimes \mathbf { R } ^ { V } d A } & { = } \\ & { \underbrace { - \int _ { V } \mathbf { P } d V - \int _ { V } \mathbf { \Phi } d V - \oint _ { A } \mathbf { n } \cdot \mathbf { D } d A + \int _ { V } \boldsymbol { \varepsilon } d V } _ { S o u r c e \ t e r m \ b y \ s e c o n d - o r d e r \ m o m e n t \ e q u a t i o n } } \\ & { \underbrace { + \int _ { V } P _ { k } \otimes \frac { 2 } { 3 } \mathbf { I } d V + \oint _ { A } \mathbf { n } \cdot D _ { k } \otimes \frac { 2 } { 3 } \mathbf { I } d A - \int _ { V } \varepsilon \otimes \frac { 2 } { 3 } \mathbf { I } d V } _ { S o u r c e \ t e r m \ b y \ t u r b u l e n t \ k i n e t i c \ e n e r g y \ e q u a t i o n } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal { G } ( \boldsymbol { p } , \boldsymbol { \tilde { p } } , \boldsymbol { \tilde { q } } , \boldsymbol { \eta } , \boldsymbol { \xi } , \tilde { \eta } , \tilde { \xi } , \sigma ) = \overline { { \hat { V } ( \tilde { \eta } ) } } \hat { V } ( \tilde { \xi } ) \hat { \mathcal { V } } _ { \alpha _ { \beta + k } } ( p _ { n - 1 } + \tilde { \eta } , \tilde { p } _ { \beta - 1 } + \tilde { \eta } , \boldsymbol { \eta } ) \overline { { \hat { \mathcal { V } } _ { \tilde { \alpha } _ { \beta + k } } ( p _ { n - 1 } + \tilde { \xi } , \tilde { q } _ { \beta - 1 } + \tilde { \xi } , \boldsymbol { \xi } ) } } } \\ & { \times \Big \{ \prod _ { m = - 2 } ^ { \beta - 1 } \hat { \mathcal { V } } _ { \alpha _ { m + k } } ( \tilde { p } _ { m } + \tilde { \eta } , \tilde { p } _ { m - 1 } + \tilde { \eta } , \boldsymbol { \eta } ) \overline { { \hat { \mathcal { V } } _ { \tilde { \alpha } _ { m + k } } ( \tilde { q } _ { m } + \tilde { \xi } , \tilde { q } _ { m - 1 } + \tilde { \xi } , \boldsymbol { \xi } ) } } \Big \} \hat { \mathcal { V } } _ { \alpha _ { k - 3 } } ( \tilde { p } _ { - 3 } + \tilde { \eta } , p _ { n - 2 } + \tilde { \eta } , \boldsymbol { \eta } ) } \\ & { \times \overline { { \hat { \mathcal { V } } _ { \tilde { \alpha } _ { k - 3 } } ( \tilde { q } _ { - 3 } + \tilde { \xi } , p _ { n - 2 } + \tilde { \xi } , \boldsymbol { \eta } ) } } \prod _ { i = 1 } ^ { n - 2 } \hat { \mathcal { V } } _ { \alpha _ { \sigma _ { i } } } ( p _ { i } + \pi _ { \sigma _ { i } } ( \tilde { \eta } ) , p _ { i - 1 } \pi _ { \sigma _ { i } - 1 } ( \tilde { \eta } ) , \boldsymbol { \eta } ) \overline { { \hat { \mathcal { V } } _ { \tilde { \alpha } _ { \sigma _ { i } } } ( p _ { i } + \pi _ { \sigma _ { i } } ( \tilde { \xi } ) , p _ { i - 1 } + \pi _ { \sigma _ { i } - 1 } ( \tilde { \xi } ) , \boldsymbol { \xi } ) } } } \\ & { \times \prod _ { m = \sigma _ { i } + 1 } ^ { \sigma _ { i + 1 } - 1 } \hat { \mathcal { V } } _ { \alpha _ { m } } ( p _ { i } + \pi _ { m } ( \tilde { \eta } ) , p _ { i } + \pi _ { m } ( \tilde { \eta } ) , \boldsymbol { \eta } ) \overline { { \hat { \mathcal { V } } _ { \tilde { \alpha } _ { m } } ( p _ { i } + \pi _ { m } ( \tilde { \xi } ) , p _ { i } + \pi _ { m } ( \tilde { \xi } ) , \boldsymbol { \xi } ) } } \prod _ { m = 1 } ^ { \sigma _ { 1 } - 1 } \hat { \mathcal { V } } _ { \alpha _ { m } } ( p _ { 0 } , p _ { 0 } , \boldsymbol { \eta } ) \overline { { \hat { \mathcal { V } } _ { \tilde { \alpha } _ { m } } ( p _ { 0 } , p _ { 0 } , \boldsymbol { \xi } ) } } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \Gamma ( s ) \eta ( s ) } & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { x ^ { s - 1 } } { e ^ { x } + 1 } } \, d x = \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { x } { \frac { x ^ { s - 2 } } { e ^ { x } + 1 } } \, d y \, d x } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { ( t + r ) ^ { s - 2 } } { e ^ { t + r } + 1 } } d r \, d t = \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { \left( - \log ( x y ) \right) ^ { s - 2 } } { 1 + x y } } \, d x \, d y . } \end{array} }
\sigma _ { \mathrm { ~ t ~ o ~ t ~ } , \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } , k } = \sqrt { \left( \frac { \sigma _ { \mathrm { ~ p ~ o ~ i ~ s ~ } , \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } , k } } { A } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { c _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } , k } } { A } \cdot \sigma _ { A } \right) ^ { 2 } }
\begin{array} { r l r l } { \frac { 1 } { \mu _ { 0 } R } ~ \Delta ^ { * } \psi } & { = J _ { 0 } } & & { \mathrm { i n } \quad \Omega ^ { V } , } \\ { \frac { 1 } { \mu _ { 0 } R } ~ \Delta ^ { * } \psi } & { = 0 } & & { \mathrm { i n } \quad \Omega \setminus \Omega ^ { V } , } \\ { \psi } & { = 0 , } & & { \mathrm { o n } \quad \partial \Omega ; } \end{array}
z _ { 1 2 } ^ { \Delta } { \Phi _ { 1 } ( z _ { 1 } ) } { \Phi _ { 2 } ( z _ { 2 } ) } = z _ { 2 1 } ^ { \Delta } { \Phi _ { 2 } ( z _ { 2 } ) } { \Phi _ { 1 } ( z _ { 1 } ) } = \Phi ( z ) ,
\begin{array} { r } { \delta ^ { * } \big ( [ p ] [ u ] - \frac 1 4 h ^ { 2 } ( \delta p ) \delta u \big ) = ( \delta ^ { * } [ p ] ) u + p \delta ^ { * } [ u ] , } \\ { \delta ^ { * } ( w [ p ] ) = ( \delta ^ { * } w ) p + [ w \delta p ] ^ { * } , } \\ { \delta ^ { * } ( \Pi [ u ] ) = ( \delta ^ { * } \Pi ) u + [ \Pi \delta u ] ^ { * } . } \end{array}
\tan { \frac { \gamma } { 2 } } \mathbf { C } = { \frac { \tan { \frac { \beta } { 2 } } \mathbf { B } + \tan { \frac { \alpha } { 2 } } \mathbf { A } + \tan { \frac { \beta } { 2 } } \tan { \frac { \alpha } { 2 } } \mathbf { B } \times \mathbf { A } } { 1 - \tan { \frac { \beta } { 2 } } \tan { \frac { \alpha } { 2 } } \mathbf { B } \cdot \mathbf { A } } } .
\left\lbrace \begin{array} { r l } { \partial _ { t } w } & { = \Delta w + \mathrm { d i v } [ \beta ( m - 1 ) ( \nabla J * ( w - v ) ) w ] + F ( \frac { 1 } { 2 } ( w + v ) ) , } \\ { \partial _ { t } v } & { = \Delta v + \mathrm { d i v } [ \beta ( m + 1 ) ( \nabla J * ( w - v ) ) v ] + F ( \frac { 1 } { 2 } ( w + v ) ) , } \\ { m } & { = \frac { 1 } { 2 } ( w - v ) , } \end{array} \right. \quad ( t , x ) \in Q _ { T } .
\begin{array} { r l } { \Tilde { Z } _ { N } \left( t _ { k } ^ { + } , t _ { k } ^ { - } \right) } & { = \Tilde { Z } _ { \infty } \left( t _ { k } ^ { + } , t _ { k } ^ { - } \right) \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { m } } { \left( m ! \right) ^ { 2 } } [ 1 ] \Bigg \{ \prod _ { i = 1 } ^ { m } \left( \frac { u _ { i } } { v _ { i } } \right) ^ { N + 1 } \cdot \operatorname* { d e t } \left( \frac { 1 } { 1 - u _ { i } / v _ { j } } \right) _ { i , j = 1 , \dots , m } ^ { 2 } \cdot } \\ & { \cdot \exp \left[ \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \left( \frac { t _ { k } ^ { - } } { k } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \left( u _ { i } ^ { k } - v _ { i } ^ { k } \right) + \frac { t _ { k } ^ { + } } { k } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \left( v _ { i } ^ { - k } - u _ { i } ^ { - k } \right) \right) \right] \Bigg \} . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { \mathrm { I d e n t i t y \ I I : } \ } & { \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \frac { 1 } { 2 } | k | e ^ { \frac { \lambda } { 4 } k ^ { 2 } } { _ 1 F _ { 1 } } ( 1 ; 1 ; - \frac { \lambda } { 2 } \sigma _ { \gamma } ^ { 2 } k ^ { 2 } ) e ^ { i k x } d k = \frac { 2 } { 2 \lambda \sigma _ { \gamma } ^ { 2 } - \lambda } - \frac { 4 x } { ( 2 \lambda \sigma _ { \gamma } ^ { 2 } - \lambda ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } D \big ( \frac { x } { \sqrt { 2 \lambda \sigma _ { \gamma } ^ { 2 } - \lambda } } \big ) ; } \end{array}