harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { g _ { \lambda } ( x ) = } & { { } \sqrt { 2 } \frac { 1 } { x } \Sigma _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { n + 1 } } { ( n + 1 ) ! } ( \Sigma _ { m = 0 } ^ { n } { \binom { n } { m } } H _ { n } ( \frac { \lambda } { \sqrt { 2 } } ) 2 ^ { \frac { 1 } { 2 } ( n - m ) } x ^ { m - n } ) 2 ^ { - \frac { 1 } { 2 } ( n + 1 ) } \Sigma _ { k = 0 } ^ { n + 1 } \binom { n + 1 } { k } x ^ { k - n - 1 } \lambda ^ { k } } \\ { = } & { { } \Sigma _ { n = 0 } ^ { \infty } \Sigma _ { m = 0 } ^ { n } \Sigma _ { r = 0 } ^ { \lfloor \frac { n } { 2 } \rfloor } \Sigma _ { k = 0 } ^ { n + 1 } \frac { ( - 1 ) ^ { n + 1 } } { ( n + 1 ) ! } \binom { n } { m } \binom { n } { 2 r } \binom { n + 1 } { k } \frac { ( 2 r ) ! } { r ! } 2 ^ { \frac { 1 } { 2 } ( n - m - 2 r ) } H _ { n - 2 i } ( \lambda ) \lambda ^ { k } x ^ { k + m - 2 ( n + 1 ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { k _ { t } ( x , x ^ { \prime } ) } & { = \int \int \langle \Phi ( y ) , \Phi ( y ^ { \prime } ) \rangle \, \rho _ { t } ( x , d y ) \, \rho _ { t } ( x ^ { \prime } , d y ^ { \prime } ) = \left\langle \int \Phi ( y ) \, \rho _ { t } ( x , d y ) , \int \Phi ( y ^ { \prime } ) \, \rho _ { t } ( x ^ { \prime } , d y ^ { \prime } ) \right\rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \textnormal { \texttt { g } } _ { n + 1 } ( \textnormal { \texttt { f } } ( \gamma ) , \textnormal { \texttt { f } } _ { m + 1 } ( \gamma , x ) ) } & { \equiv g ( \textnormal { \texttt { g } } ( \textnormal { \texttt { f } } ( \gamma ) ) , \textnormal { \texttt { q } } ( \textnormal { \texttt { f } } ( \gamma ) ) ^ { * } \textnormal { \texttt { f } } _ { m + 1 } ( \gamma , x ) ) } \\ & { = g ( \textnormal { \texttt { g } } ( \textnormal { \texttt { f } } ( \gamma ) ) , \textnormal { \texttt { f } } ( \textnormal { \texttt { p } } ( \gamma ) ) ^ { * } \textnormal { \texttt { f } } _ { m + 1 } ( \gamma , x ) ) } \\ & { = \textnormal { \texttt { p } } ( \gamma ) ^ { * } x } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { - d } ^ { d } e ^ { - a | y _ { 1 } - x _ { 1 } | } e ^ { - a | y _ { 1 } - z _ { 1 } - 2 d n _ { 1 } | } d y _ { 1 } } & { = \int _ { - d } ^ { x _ { 1 } } e ^ { - a ( x _ { 1 } - y _ { 1 } ) } e ^ { - a ( 2 d n _ { 1 } + z _ { 1 } - y _ { 1 } ) } d y _ { 1 } + \int _ { x _ { 1 } } ^ { d } e ^ { - a ( y _ { 1 } - x _ { 1 } ) } e ^ { - a ( 2 d n _ { 1 } + z _ { 1 } - y _ { 1 } ) } d y _ { 1 } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 a } e ^ { - a ( 2 d n _ { 1 } + z _ { 1 } + x _ { 1 } ) } \left( e ^ { 2 a x _ { 1 } } - e ^ { - 2 a d } \right) + ( d - x _ { 1 } ) e ^ { - a ( 2 d n _ { 1 } + z _ { 1 } - x _ { 1 } ) } } \\ & { = e ^ { - a ( 2 d n _ { 1 } + z _ { 1 } - x _ { 1 } ) } \left( d - x _ { 1 } + \frac { 1 } { 2 a } \right) - \frac { e ^ { - a ( 2 d ( n _ { 1 } + 1 ) + z _ { 1 } + x _ { 1 } ) } } { 2 a } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ( X ( 0 ) \neq Y ( 0 ) \lor X ( 0 ) = 0 ) } \\ & { ( \exists x ) ( ( x < m ) \land ( X ( x ) > m - 1 \lor Y ( x ) > m - 1 ) ) } \\ & { ( \exists x ) ( ( x < m ) \land ( ( X ( x ) = x \land Y ( x ) \neq x ) \lor ( X ( x ) \neq x \land Y ( x ) = x ) ) ) } \\ & { ( \exists x ) ( ( x < m ) \land ( Y ( X ( x ) ) \neq x \land X ( X ( x ) ) \neq x ) \lor ( X ( Y ( x ) ) \neq x \land Y ( Y ( x ) ) \neq x ) ) ) } \\ & { ( \exists x ) ( ( 0 < x < m ) \land ( X ( x ) = Y ( x ) \land X ( x ) \neq x ) ) , } \end{array}
+ \Bigl ( \frac 1 c \left( - { \bf j } _ { m } \times { \bf B } + { \bf j } _ { e } \times { \bf E } \right) - \rho _ { m } { \bf E } - \rho _ { e } { \bf B } \Bigr ) \otimes \varepsilon ^ { 1 } \vee \varepsilon ^ { 2 } \Biggr ]
\begin{array} { r l } { ( x ^ { 2 } + 2 x + 1 ) ( 2 x + 1 ) } & { = 2 x ^ { 3 } + 5 x ^ { 2 } + 4 x + 1 , } \\ { \bigl [ \begin{array} { c c c } { 1 } & { 2 } & { 1 } \end{array} \bigr ] * \bigl [ \begin{array} { c c } { 2 } & { 1 } \end{array} \bigr ] } & { = \bigl [ \begin{array} { c c c c } { 2 } & { 5 } & { 4 } & { 1 } \end{array} \bigr ] , } \end{array}
\mathbf { G } = ( 1 + 3 g ) ^ { - \frac { 1 } { 3 } } \left( \begin{array} { l l l } { 1 + g } & { g } & { g } \\ { g } & { 1 + g } & { g } \\ { g } & { g } & { 1 + g } \end{array} \right) \, ,
\begin{array} { r } { \bigg \langle \widetilde { \mathbf { U } _ { i } ( \mathbf { x } + \mathbf { \ell } , t ) } \widetilde { \mathbf { U } _ { j } ( \mathbf { x } + \mathbf { \ell } , t ) } \bigg \rangle = \widetilde { \bigg \langle \mathbf { U } _ { i } ( \mathbf { x } , t ) } \widetilde { \mathbf { U } _ { j } ( \mathbf { x } , t ) } \bigg \rangle } \end{array}
\left( \rho \frac { \partial \mathcal { A } } { \partial \rho } - \mathcal { A } \right) \bigg \vert _ { \rho _ { l } } = \left( \rho \frac { \partial \mathcal { A } } { \partial \rho } - \mathcal { A } \right) \bigg \vert _ { \rho _ { v } }
\left\{ \begin{array} { l l } { \sigma _ { e , i k } n _ { k } = \left[ - K \alpha T _ { 0 } ( \boldsymbol { r } ) \delta _ { i k } + K u _ { e , l l } \delta _ { i k } + \left. 2 \mu \left( u _ { e , i k } - \frac { 1 } { 3 } \delta _ { i k } u _ { e , l l } \right) \right. \right] n _ { k } = 0 } & { \mathrm { F r e e ~ p a r t } } \\ { u _ { e , k } n _ { k } = 0 } & { \mathrm { C o n t a c t ~ p a r t } } \end{array} \right.
\psi _ { \pm } ( \mathbf { k } , \mathbf { r } ) \sim \frac { 1 } { 2 \pi } e ^ { i \mathbf { k } . \mathbf { r } } + \frac { 1 } { 2 \pi \sqrt { r } } f _ { \pm } ( k , \theta ) e ^ { i k r } ,
\begin{array} { r l } { \hat { x } } & { = \mathrm { p r o x } _ { \tau g } \left( x - \tau A ^ { * } \left( \hat { y } _ { i } + \frac { 1 } { p _ { i } } ( \hat { y } _ { i } - y _ { i } ) \right) \right) , \quad \hat { y } _ { i } = \mathrm { p r o x } _ { \sigma _ { i } f _ { i } ^ { * } } ( y _ { i } + \sigma _ { i } A _ { i } x ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { Q _ { t , j } ^ { ( \ell ) } ( \lambda _ { 1 } , \lambda _ { 2 } , \ldots , \lambda _ { \ell } ) = ( - 2 ) ^ { \frac { \ell } { 2 } } \ ( \frac { \ell } { 2 } ! ) ( \ell ! ) ^ { - 1 } \ c _ { A , \frac { \ell } { 2 } } \sigma _ { j } ^ { - \ell } q _ { R , t } ^ { \otimes \ell } ( \lambda _ { 1 : \ell } ) 1 _ { \{ N ( \lambda _ { 1 : \ell } ) = \ell / 2 \} } . } \end{array}
\Delta _ { \varepsilon , \overline { { { \varepsilon } } } } ^ { ( 1 ) } = \frac { \sigma ^ { 2 } } 2 \cdot \frac { m - i \varepsilon \widehat { p } } { 2 m } \cdot \frac { m - i \overline { { { \varepsilon } } } \overline { { { p } } } } { 2 m } \cdot \left( 1 - \sigma _ { p } ^ { 2 } \right) = \Psi _ { \varepsilon , \overline { { { \varepsilon } } } } \cdot \overline { { { \Psi } } } _ { \varepsilon , \overline { { { \varepsilon } } } }
\begin{array} { r l } { \frac { d U _ { 1 } } { d t } } & { { } = [ - 1 + i ( \alpha \vert U _ { 1 } \vert ^ { 2 } + \beta \vert U _ { 2 } \vert ^ { 2 } - \Delta ) ] U _ { 1 } + f , } \\ { \frac { d U _ { 2 } } { d t } } & { { } = [ - 1 + i ( \alpha \vert U _ { 2 } \vert ^ { 2 } + \beta \vert U _ { 1 } \vert ^ { 2 } - \Delta ) ] U _ { 2 } + f . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { i \neq j } \sum _ { m } | ( Z _ { m i } ^ { \xi } ) ^ { * } Z _ { m j } ^ { \xi } r _ { \xi , m } | ^ { 2 } = \, } & { { } \sum _ { i \neq j } \sum _ { m } ( Z _ { m i } ^ { \xi } ) ^ { * } Z _ { m j } ^ { \xi } r _ { \xi , m } \sum _ { n } ( Z _ { n j } ^ { \xi } ) ^ { * } Z ^ { x } i _ { n i } r _ { \xi , n } } \\ { = \, } & { { } \sum _ { m n } r _ { \xi , m } r _ { \xi , n } \sum _ { i \neq j } ( Z _ { m i } ^ { \xi } Z _ { n j } ^ { \xi } ) ^ { * } Z _ { n i } ^ { \xi } Z _ { m j } ^ { \xi } . } \end{array}
\mathcal { P } _ { 3 } ( x ) = - \frac { x ^ { 9 } } { 9 } + \frac { 4 x ^ { 7 } } { 7 } - \frac { 6 x ^ { 5 } } { 5 } + \frac { 4 x ^ { 3 } } { 3 } - x + \frac { 1 2 8 } { 3 1 5 }
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg \| \big ( \nu _ { t } ^ { ( m ) } - \bar { \nu } _ { t } \big ) \bigg \| ^ { 2 } \leq \frac { 4 \hat { L } ^ { 2 } } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg \| y _ { t } ^ { ( m ) } - y _ { x _ { t } ^ { ( m ) } } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } + 8 \zeta ^ { 2 } + 4 G _ { 1 } ^ { 2 } + \frac { 4 G _ { 2 } ^ { 2 } } { b _ { x } } } \end{array}
\lambda _ { h _ { - } } = h _ { - } ( 1 ) = ( C _ { 2 } - C _ { 3 } ) + \left( \frac { 1 } { 2 m _ { b } } + \frac { 1 } { 2 m _ { c } } \right) ( 2 \eta - 1 ) \bar { \Lambda } \, .
\begin{array} { r } { \mathbf { Q } \boldsymbol { \sigma } = \rho _ { e } \boldsymbol { \Ddot { u } } } \\ { \mathbf { Q } \boldsymbol { \Sigma } = \rho _ { p } \boldsymbol { \Ddot { U } } } \\ { \nabla _ { 2 } \Delta _ { r } + \Delta _ { r } + \left( \frac { 1 } { \sin \theta } \right) \frac { \partial } { \partial \theta } \left( \Delta _ { \theta } \sin \theta \right) + \left( \frac { 1 } { r \sin \theta } \right) \frac { \partial } { \partial \Theta } \left( \Delta _ { \Theta } \right) = 0 } \end{array}
T _ { \mathrm { n } } ( \mathbf { R } ) _ { k ^ { \prime } k } \equiv { \big ( } \mathbb { H } _ { \mathrm { n } } ( \mathbf { R } ) { \big ) } _ { k ^ { \prime } k } = \delta _ { k ^ { \prime } k } T _ { \mathrm { n } } - \sum _ { A , \alpha } { \frac { 1 } { M _ { A } } } \langle \chi _ { k ^ { \prime } } | P _ { A \alpha } | \chi _ { k } \rangle _ { ( \mathbf { r } ) } P _ { A \alpha } + \langle \chi _ { k ^ { \prime } } | T _ { \mathrm { n } } | \chi _ { k } \rangle _ { ( \mathbf { r } ) } .
J = \left( \begin{array} { l l l l } { - 1 - A _ { + } - 4 ( 1 - \Delta ) U _ { + } V _ { + } } & { B _ { + } - 4 ( 1 - \Delta ) V _ { + } ^ { 2 } } & { - 4 \Delta U _ { - } V _ { + } } & { - 4 \Delta V _ { + } V _ { - } } \\ { - C _ { + } + 4 ( 1 - \Delta ) U _ { + } ^ { 2 } } & { - 1 + A _ { + } + 4 ( 1 - \Delta ) U _ { + } V _ { + } } & { 4 \Delta U _ { + } U _ { - } } & { 4 \Delta U _ { + } V _ { - } } \\ { - 4 ( 1 - \Delta ) U _ { + } V _ { - } } & { - 4 ( 1 - \Delta ) V _ { + } V _ { - } } & { - 1 - A _ { - } - 4 \Delta U _ { - } V _ { - } } & { B _ { - } - 4 \Delta V _ { - } ^ { 2 } } \\ { 4 ( 1 - \Delta ) U _ { + } U _ { - } } & { 4 ( 1 - \Delta ) U _ { - } V _ { + } } & { - C _ { - } + 4 \Delta U _ { - } ^ { 2 } } & { - 1 + A _ { - } + 4 \Delta U _ { - } V _ { - } } \end{array} \right)
\begin{array} { r } { \langle \psi _ { \varepsilon } \rangle _ { Y } \equiv \frac { 1 } { | Y | } \int _ { \mathcal { B } ( \mathbf x ) } \psi _ { \varepsilon } \mathrm { d } \mathbf { y } , \quad \langle \psi _ { \varepsilon } \rangle _ { \mathcal { B } } \equiv \frac { 1 } { | \mathcal { B } | } \int _ { \mathcal { B } ( \mathbf x ) } \psi _ { \varepsilon } \mathrm { d } \mathbf { y } , \, \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \, \, \langle \psi _ { \varepsilon } \rangle _ { \Gamma } \equiv \frac { 1 } { | \Gamma | } \int _ { \Gamma ( \mathbf x ) } \psi _ { \varepsilon } \mathrm { d } \mathbf { y } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal M _ { i i } } & { = \frac { 1 } { 8 } ( p \sigma _ { i } ) ^ { 2 } \int d ^ { 2 } z ( z \bar { z } ) ^ { - \chi } \frac { 1 } { | z - z _ { i } | ^ { 2 } } , } \\ { \mathcal N _ { i i } } & { = \frac { 1 } { 8 } ( p \sigma _ { i } ) ^ { 2 } \int d ^ { 2 } z ( z \bar { z } ) ^ { - \chi } \frac { 1 } { ( \bar { z } - \overline { { z _ { i } } } ) ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { Z _ { q } ( ( e _ { 1 } - g _ { 1 } ) g _ { 1 } ) } & { = ( 1 - q ) ^ { 2 } \sum _ { 0 < m < n } \frac { q ^ { n } } { 1 - q ^ { n } } = ( 1 - q ) ^ { 2 } \sum _ { 0 < n , l } ( n - 1 ) q ^ { n l } } \\ & { = ( 1 - q ) ^ { 2 } \sum _ { 0 < l } \frac { q ^ { 2 l } } { ( 1 - q ^ { l } ) ^ { 2 } } = Z _ { q } ( g _ { 2 } ) , } \end{array}
r ( \sigma ) = \left\{ \begin{array} { r l } { { \frac { r _ { 0 } } { \left[ \cos \frac { \nu ( 5 - p ) } { 2 } \sigma \right] ^ { \frac { 2 } { 5 - p } } } , } } & { { \mathrm { f o r ~ 0 \le ~ \ s i g m a ~ \le ~ \ p i ~ , } } } \\ { { \frac { r _ { 0 } } { \left[ \cos \frac { \nu ( 5 - p ) } { 2 } ( 2 \pi - \sigma ) \right] ^ { \frac { 2 } { 5 - p } } } , } } & { { \mathrm { f o r ~ \ p i \le ~ \ s i g m a ~ \le ~ 2 \ p i ~ . } } } \end{array} \right.
c _ { m } = \sqrt { \frac { \gamma _ { m } p } { \rho } } , \quad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \quad \gamma _ { m } = \frac { q _ { d } c _ { v d } + q _ { v } c _ { v v } + ( q _ { c } + q _ { r } ) c _ { l } + q _ { d } R _ { d } + q _ { v } R _ { v } } { q _ { d } c _ { v d } + q _ { v } c _ { v v } + ( q _ { c } + q _ { r } ) c _ { l } } .
\begin{array} { r } { F _ { 0 } ( x ) = \sum _ { k } \hat { P } ( k ) x ^ { k } = \frac { 1 } { f } \sum _ { k ^ { \prime } = k _ { \mathrm { m i n } } } ^ { k _ { \mathrm { c u t } } } P ( k ^ { \prime } ) ( \hat { f } x + 1 - \hat { f } ) ^ { k ^ { \prime } } - \frac { \Delta f } { f } P ( k _ { \mathrm { c u t } } ) ( \hat { f } x + 1 - \hat { f } ) ^ { k _ { \mathrm { c u t } } } , } \\ { F _ { 1 } ( x ) = \sum _ { k } \hat { Q } ( k ) x ^ { k } = \frac { 1 } { \hat { f } } \sum _ { k ^ { \prime } = k _ { \mathrm { m i n } } - 1 } ^ { k _ { \mathrm { c u t } } - 1 } Q ( k ^ { \prime } ) ( \hat { f } x + 1 - \hat { f } ) ^ { k ^ { \prime } } - \frac { \Delta f } { \hat { f } } Q ( k _ { \mathrm { c u t } } - 1 ) ( \hat { f } x + 1 - \hat { f } ) ^ { k _ { \mathrm { c u t } } - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle { \Delta E } \right\rangle } & { = \Delta _ { B } \left[ \left\langle { \sin ^ { 2 } \left( \frac { \alpha } { 2 } \right) } \right\rangle \left\langle { \cos ^ { 2 } \left( \frac { \beta } { 2 } \right) } \right\rangle + \left\langle { \sin ^ { 2 } \left( \frac { \beta } { 2 } \right) } \right\rangle \left\langle { \cos ^ { 2 } \left( \frac { \alpha } { 2 } \right) } \right\rangle \right] , } \end{array}
T ^ { a = i } = { \frac { 1 } { \sqrt { N _ { D } } } } \left( \begin{array} { c c c c } { { { \frac { \tau ^ { i } } { 2 } } } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { { \frac { \tau ^ { i } } { 2 } } } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { { \frac { \tau ^ { i } } { 2 } } } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { { \frac { \tau ^ { i } } { 2 } } } } \end{array} \right)
\ensuremath { \boldsymbol { \xi } } ( \theta = \ensuremath { \boldsymbol { v } } _ { 0 } ) = \left( \ensuremath { \boldsymbol { x } } ( \delta _ { t } ; \theta ) ^ { \top } , \ensuremath { \boldsymbol { x } } ( 2 \delta _ { t } ; \theta ) ^ { \top } , \dots , \ensuremath { \boldsymbol { x } } ( 1 0 0 \delta _ { t } ; \theta ) ^ { \top } \right) ^ { \top } ,
\begin{array} { r l } { \mu _ { H , c } ( x ) ( \gamma ) } & { \geq 2 \mathrm { o r d } ( g ) \left| c \right| + 1 } \\ & { \geq \mathrm { o r d } ( g ) ( \left| \gamma \right| + \left| c \right| ) } \\ & { = \mathrm { o r d } ( \gamma ) \left| \gamma \right| + \mathrm { o r d } ( g ) \left| c \right| } \\ & { \geq \mathrm { o r d } ( \gamma ) \left| \gamma \right| + \mu _ { H , c } ( y ) ( \gamma ) . } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { z \to x } { \frac { f ( z ) - f ( x ) } { z - x } } = \operatorname* { l i m } _ { q \to 1 } { \frac { f ( q x ) - f ( x ) } { q x - x } } = \operatorname* { l i m } _ { q \to 1 } { \frac { f ( q x ) - f ( x ) } { ( q - 1 ) x } } .
\frac { z _ { m } - z _ { n } } { d } = ( q j ^ { \prime } + l ^ { \prime } ) - ( q j + l ) - 2 \delta \sin { ( 2 \pi \beta \frac { l + l ^ { \prime } } { 2 } + \theta ) } \sin { ( 2 \pi \beta \frac { l ^ { \prime } - l } { 2 } ) } .
\begin{array} { r l r } { \langle C _ { P r } \rangle } & { } & { = \sum _ { P e r m u t a t e : \tilde { t } _ { 1 } , \tilde { t } _ { 3 } , \tilde { t } _ { 5 } , \tilde { t } _ { 7 } } \int _ { \tilde { t } _ { 1 } < \tilde { t } _ { 3 } < \tilde { t } _ { 5 } < \tilde { t } _ { 7 } < T } [ k _ { + } ^ { g l y } c _ { g l y } k _ { + } ^ { g l u } c _ { g l u } ] ^ { 2 } d \tilde { t } _ { 1 } d \tilde { t } _ { 3 } d \tilde { t } _ { 5 } d \tilde { t } _ { 7 } e ^ { - k _ { + } ^ { g l y } c _ { g l y } \tilde { t } _ { 1 } } e ^ { - k _ { + } ^ { g l y } c _ { g l y } \tilde { t } _ { 3 } } e ^ { - k _ { + } ^ { g l u } c _ { g l u } \tilde { t } _ { 5 } } e ^ { - k _ { + } ^ { g l u } c _ { g l u } \tilde { t } _ { 7 } } } \\ & { } & { C _ { P r } ( T , g ( \tilde { t } _ { 1 } , \tilde { t } _ { 3 } , \tilde { t } _ { 5 } , \tilde { t } _ { 7 } ) ) } \\ { \langle C _ { P r } ^ { 2 } \rangle } & { } & { = \sum _ { P e r m u t a t e : \tilde { t } _ { 1 } , \tilde { t } _ { 3 } , \tilde { t } _ { 5 } , \tilde { t } _ { 7 } } \int _ { \tilde { t } _ { 1 } < \tilde { t } _ { 3 } < \tilde { t } _ { 5 } < \tilde { t } _ { 7 } < T } [ k _ { + } ^ { g l y } c _ { g l y } k _ { + } ^ { g l u } c _ { g l u } ] ^ { 2 } d \tilde { t } _ { 1 } d \tilde { t } _ { 3 } d \tilde { t } _ { 5 } d \tilde { t } _ { 7 } e ^ { - k _ { + } ^ { g l y } c _ { g l y } \tilde { t } _ { 1 } } e ^ { - k _ { + } ^ { g l y } c _ { g l y } \tilde { t } _ { 3 } } e ^ { - k _ { + } ^ { g l u } c _ { g l u } \tilde { t } _ { 5 } } e ^ { - k _ { + } ^ { g l u } c _ { g l u } \tilde { t } _ { 7 } } } \\ & { } & { C _ { P r } ^ { 2 } ( T , g ( \tilde { t } _ { 1 } , \tilde { t } _ { 3 } , \tilde { t } _ { 5 } , \tilde { t } _ { 7 } ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \chi ( \mathbf { x } , t ) = ~ } & { { } \frac { 1 } { 2 } \chi _ { + } ^ { [ j ] } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } j ( \alpha \mathbf { k } _ { 0 } \cdot \mathbf { x } - \beta \omega _ { 0 } t ) } + \mathrm { ~ c ~ . ~ c ~ . ~ } , } \end{array}
\underset { \theta } { \mathrm { a r g m i n } } \frac { 1 } { N _ { s } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { s } } \frac { | | y ^ { ( i ) } - \mu ^ { ( i ) } | | _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 ( i ) } } + \frac { l o g \sigma ^ { ( i ) } } { 2 }
S \left( t _ { 0 } \right) > 0 , A \left( t _ { 0 } \right) \geq 0 , I \left( t _ { 0 } \right) \geq 0 , R \left( t _ { 0 } \right) \geq 0 \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } D \left( t _ { 0 } \right) \geq 0
{ V ( r ) = - \frac { g ^ { 2 } C _ { F } } { 4 \pi r } \left[ 1 + \frac { g ^ { 2 } } { 4 \pi } \frac { C _ { A } } { 2 \pi } \left( { 4 } - \frac 1 3 \right) \log ( \mu r ) \right] } \, .
\delta N _ { \alpha } ( { q } , t ) = w _ { \alpha } J ( { q } ) [ \frac { { c } _ { \alpha } ^ { j } { F } ^ { j } ( { q } , t ) } { T _ { 0 } } + ( \frac { { c } _ { \alpha } ^ { j } { c } _ { \alpha } ^ { k } } { T _ { 0 } } - \delta ^ { j k } ) \frac { \delta { \Pi } ^ { j k } ( { q } , t ) } { T _ { 0 } } ]
\begin{array} { r } { \mathbf { Q } _ { k } ^ { \left( q \right) } = \sum _ { \lambda _ { k } ^ { \left( q \right) } } \Theta \left( \frac { 1 } { \widehat { \tau } ^ { \left( q \right) } } - \lambda _ { k } ^ { \left( q \right) } \right) \lambda _ { k } ^ { \left( q \right) } \big \vert \lambda _ { k } ^ { \left( q \right) } \big \rangle \big \langle \lambda _ { k } ^ { \left( q \right) } \big \vert , } \end{array}
V ( \frac 1 2 \{ \bar { \phi } , \phi \} ) = m ^ { 2 } ( \frac 1 2 \{ \bar { \phi } , \phi \} ) - b m ^ { 2 } g ^ { 2 } ( \frac 1 2 \{ \bar { \phi } , \phi \} ) ^ { 2 } + c m ^ { 2 } g ^ { 4 } ( \frac 1 2 \{ \bar { \phi } , \phi \} ) ^ { 3 } \ .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m s u p } _ { k \rightarrow \infty } | T _ { 1 } ( \mu _ { n _ { k } } , \nu _ { n _ { k } } , c _ { n _ { k } } ) - T _ { 1 } ( \mu _ { \infty } , \nu _ { \infty } , c _ { \infty } ) | } & { = \operatorname* { l i m s u p } _ { k \rightarrow \infty } | O T ( \mu _ { n _ { k } } , \nu _ { n _ { k } } , { c _ { n _ { k } } } ) - O T ( \mu _ { \infty } , \nu _ { \infty } , { c _ { \infty } } ) | } \\ & { = \operatorname* { l i m s u p } _ { k \rightarrow \infty } | \pi _ { n _ { k } } ( c _ { n _ { k } } ) - \pi _ { \infty } ( c _ { \infty } ) | } \\ & { \leq \operatorname* { l i m s u p } _ { k \rightarrow \infty } | ( \pi _ { n _ { k } } - \pi _ { \infty } ) ( c _ { \infty } ) | + \left\| c _ { n _ { k } } - c _ { \infty } \right\| _ { \infty } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { P } _ { 1 2 } \, \Phi _ { a } ( 1 ) \, \Phi _ { i } ( 2 ) } & { { } = \Phi _ { i } ( 1 ) \, \Phi _ { a } ( 2 ) \mathrm { ~ , ~ } } \\ { \hat { P } _ { 2 3 1 } \, \Phi _ { a } ( 1 ) \, \Phi _ { i } ( 2 ) \, \Phi _ { j } ( 3 ) } & { { } = \Phi _ { i } ( 1 ) \, \Phi _ { j } ( 2 ) \, \Phi _ { a } ( 3 ) \mathrm { ~ , ~ } } \\ { \hat { P } _ { 3 1 2 } \, \Phi _ { a } ( 1 ) \, \Phi _ { i } ( 2 ) \, \Phi _ { j } ( 3 ) } & { { } = \Phi _ { j } ( 1 ) \, \Phi _ { a } ( 2 ) \, \Phi _ { i } ( 3 ) \mathrm { ~ , ~ } } \\ { \hat { P } _ { 1 3 2 } \, \Phi _ { a } ( 1 ) \, \Phi _ { i } ( 2 ) \, \Phi _ { j } ( 3 ) } & { { } = \Phi _ { a } ( 1 ) \, \Phi _ { j } ( 2 ) \, \Phi _ { i } ( 3 ) \mathrm { ~ , ~ } } \\ { \hat { P } _ { 2 1 3 } \, \Phi _ { a } ( 1 ) \, \Phi _ { i } ( 2 ) \, \Phi _ { j } ( 3 ) } & { { } = \Phi _ { i } ( 1 ) \, \Phi _ { a } ( 2 ) \, \Phi _ { j } ( 3 ) \mathrm { ~ , ~ } } \\ { \hat { P } _ { 3 2 1 } \, \Phi _ { a } ( 1 ) \, \Phi _ { i } ( 2 ) \, \Phi _ { j } ( 3 ) } & { { } = \Phi _ { j } ( 1 ) \, \Phi _ { i } ( 2 ) \, \Phi _ { a } ( 3 ) \mathrm { ~ . ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l } { C ( A { \, : \, } C ) _ { \rho } = } & { \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \to 0 } \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \left[ \frac { 1 } { n } C _ { F } ^ { \varepsilon } ( A ^ { n } { \, : \, } C ^ { n } ) _ { \rho ^ { \otimes n } } \right] } \\ { = } & { \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \to 0 } \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \left[ \frac { 1 } { n } C _ { U , F } ^ { \varepsilon } ( A ^ { n } { \, : \, } C ^ { n } ) _ { \rho ^ { \otimes n } } \right] } \\ { = } & { \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \to 0 } \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \left[ \frac { 1 } { n } \widetilde { C } _ { F } ^ { \varepsilon } ( A ^ { n } { \, : \, } C ^ { n } ) _ { \rho ^ { \otimes n } } \right] \ . } \end{array}
f _ { i } ^ { k , e q } ( \vec { x } , t ) = \rho ^ { k } \left[ \phi _ { i } ^ { k } + \varphi _ { i } \bar { \alpha } + w _ { i } \left( \frac { \vec { c } _ { i } \cdot \vec { u } } { c _ { s } ^ { 2 } } + \frac { ( \vec { c } _ { i } \cdot \vec { u } ) ^ { 2 } } { 2 c _ { s } ^ { 4 } } - \frac { \vec { u } ^ { 2 } } { 2 c _ { s } ^ { 2 } } \right) \right] ,
r = \frac { r ^ { \prime } } { R } , \ \ \ y = \frac { y ^ { \prime } } { b } , \ \ \ z = \frac { z ^ { \prime } } { R } , \ \ \ u = \frac { u _ { \varphi } ^ { \prime } } { a \Omega } , \ \ \ v = \frac { u _ { r } ^ { \prime } } { a \Omega \left( b / R \right) } , \ \ \ w = \frac { u _ { z } ^ { \prime } } { a \Omega ^ { 2 } } , \ \ \ p = \frac { p ^ { \prime } } { \rho R a \Omega ^ { 2 } } .
{ \left[ \begin{array} { l l } { - 2 c } & { 0 } \\ { c } & { d } \end{array} \right] } ^ { - 1 } { \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { 3 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l l } { - 2 c } & { 0 } \\ { c } & { d } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 3 } \end{array} \right] } , \qquad c , d \in \mathbb { R }
\begin{array} { r l } { C _ { 1 } } & { = \frac { L ^ { 2 } \rho _ { c } | \mathbf { g } | } { u _ { c } \mu } , } \\ { C _ { 2 } } & { = A ^ { \frac { 1 } { n } } \left( \frac { u _ { c } } { L } \right) ^ { 1 - 1 / n } \mu \tau ^ { \frac { 1 } { n } } , } \\ { C _ { 3 } } & { = \frac { \mu u _ { c } ^ { 2 } } { G _ { c } L } . } \end{array}
T _ { \mathrm { e q } } \left( V _ { \mathrm { G S } } , V _ { \mathrm { D S } } \right) = \left. T _ { \mathrm { ~ u ~ n ~ i ~ f ~ o ~ r ~ m ~ } } \left( V _ { \mathrm { G S } } , V _ { \mathrm { D S } } \right) \right| _ { @ I _ { \mathrm { D S } , \mathrm { ~ s ~ e ~ l ~ f ~ - ~ h ~ e ~ a ~ t ~ i ~ n ~ g ~ } } = I _ { \mathrm { D S } , \mathrm { ~ u ~ n ~ i ~ f ~ o ~ r ~ m ~ } } } .
\tau _ { \mathrm { B H } } \approx 8 8 9 5 \left( \frac { M _ { 0 } } { m _ { \mathrm { P } } } \right) ^ { 3 } t _ { \mathrm { P } } \approx 1 . 1 5 9 \times 1 0 ^ { 6 7 } \left( \frac { M _ { 0 } } { M _ { \odot } } \right) ^ { 3 } \mathrm { y e a r s } .
\begin{array} { r l } { \int \, \bar { u } ^ { ( e , r ) } ( v ) \, F _ { r e } ( d v ; e , r ) } & { = \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial e \, \partial r } \int \, \bar { u } ^ { ( e , r ) } ( v ) \, F ( d v ; e , r ) } \\ & { = \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial e \, \partial r } \left[ \bar { u } ^ { ( e , r ) } ( 0 ) ( 1 - e ) + e \int \, \bar { u } ^ { ( e , r ) } ( v ) \, F ( d v ; r ) \right] } \\ & { = \frac { \partial } { \partial r } \int \, \bar { u } ^ { ( e , r ) } ( v ) \, F ( d v ; r ) } \\ & { = 0 } \end{array}