harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \beta _ { 0 } = \frac { 1 } { 4 } \left( f _ { i - 1 } - f _ { i + 1 } \right) ^ { 2 } + \frac { 1 3 } { 1 2 } \left( f _ { i - 1 } - 2 f _ { i } + f _ { i + 1 } \right) ^ { 2 } , } \\ & { \beta _ { 1 } = \frac { 1 } { 4 } \left( 3 f _ { i } - 4 f _ { i + 1 } + f _ { i + 2 } \right) ^ { 2 } + \frac { 1 3 } { 1 2 } \left( f _ { i } - 2 f _ { i + 1 } + f _ { i + 2 } \right) ^ { 2 } , } \\ & { \beta _ { 2 } = \frac { 1 } { 4 } \left( f _ { i - 2 } - 4 f _ { i - 1 } + 3 f _ { i } \right) ^ { 2 } + \frac { 1 3 } { 1 2 } \left( f _ { i - 2 } - 2 f _ { i - 1 } + f _ { i } \right) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { g ( k ) } & { > g ( k - 1 ) > \cdots > g ( [ \sqrt { k } - \frac { 1 } { 2 } ] + 1 ) } \\ { \Rightarrow g ( k ) } & { \geq g ( [ \sqrt { k } - \frac { 1 } { 2 } ] + 1 ) + k - 1 - [ \sqrt { k } - \frac { 1 } { 2 } ] } \\ & { \geq 1 + k - 1 - [ \sqrt { k } - \frac { 1 } { 2 } ] = k - [ k - \frac { 1 } { 2 } ] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \textrm { d } \hat { X } _ { \tau } } & { = } & { [ \frac { \omega } { ( 1 + \omega ) } \frac { \hat { X } _ { \tau } } { ( \tau - r + 1 ) } } \\ & { } & { + \frac { r ( 2 p - 1 ) } { 1 + \omega } \{ \frac { 2 \cdot ( 2 n + 1 ) ! } { ( n ! ) ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { 2 } + \frac { \hat { X } _ { \tau } } { 2 r ( \tau - r + 1 ) } } x ^ { n } ( 1 - x ) ^ { n } d x - 1 \} ] \textrm { d } \tau + \sqrt { \epsilon } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { H } _ { 0 } } & { = 1 , } \\ { \mathcal { H } _ { 1 } } & { = x , } \\ { \mathcal { H } _ { 2 } } & { = x ^ { 2 } - 1 , } \\ { \mathcal { H } _ { 3 } } & { = x ^ { 3 } - 3 x , } \\ { \mathcal { H } _ { 4 } } & { = x ^ { 4 } - 6 x ^ { 2 } + 3 , } \\ { \mathcal { H } _ { 5 } } & { = x ^ { 5 } - 1 0 x ^ { 3 } + 1 5 x , } \\ { \mathcal { H } _ { 6 } } & { = x ^ { 6 } - 1 5 x ^ { 4 } + 4 5 x ^ { 2 } - 1 5 . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { C ^ { k } ( K ) } & { { } \subseteq C _ { c } ^ { k } ( U ) \subseteq C ^ { k } ( U ) } \\ { C ^ { k } ( K ) } & { { } \subseteq C ^ { k } ( L ) } & { } & { { } { \mathrm { i f ~ } } K \subseteq L } \\ { C ^ { k } ( K ) } & { { } \subseteq C ^ { j } ( K ) } & { } & { { } { \mathrm { i f ~ } } j \leq k } \\ { C _ { c } ^ { k } ( U ) } & { { } \subseteq C _ { c } ^ { j } ( U ) } & { } & { { } { \mathrm { i f ~ } } j \leq k } \\ { C ^ { k } ( U ) } & { { } \subseteq C ^ { j } ( U ) } & { } & { { } { \mathrm { i f ~ } } j \leq k } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \mathcal { Z } ^ { ( 1 | 1 ) } ( g _ { \mathrm { s } } ) } { \mathcal { Z } ^ { ( 0 | 0 ) } ( g _ { \mathrm { s } } ) } \simeq \frac { 1 } { g _ { \mathrm { s } } } \, \frac { { \mathrm { i } } } { 2 \pi } \left( V _ { \mathrm { h ; e f f } } ( x _ { 1 } ^ { \star } ) - V _ { \mathrm { h ; e f f } } ( a ) \right) + 0 + g _ { \mathrm { s } } \, \frac { { \mathrm { i } } } { 2 4 \pi } \, \Bigg \lbrace \frac { 3 \left( a - x _ { 1 } ^ { \star } \right) M ^ { \prime } ( a ) + M ( a ) } { M ( a ) ^ { 2 } \left( x _ { 1 } ^ { \star } - a \right) ^ { 3 / 2 } } - } \\ & { - \frac { 4 \left( a - x _ { 1 } ^ { \star } \right) ^ { 2 } M ^ { \prime \prime } ( x _ { 1 } ^ { \star } ) ^ { 2 } - 2 \left( a - x _ { 1 } ^ { \star } \right) M ^ { \prime } ( x _ { 1 } ^ { \star } ) \left\{ 2 \left( a - x _ { 1 } ^ { \star } \right) M ^ { ( 3 ) } ( x _ { 1 } ^ { \star } ) + M ^ { \prime \prime } ( x _ { 1 } ^ { \star } ) \right\} + 1 9 M ^ { \prime } ( x _ { 1 } ^ { \star } ) ^ { 2 } } { 8 \left( x _ { 1 } ^ { \star } - a \right) ^ { 5 / 2 } M ^ { \prime } ( x _ { 1 } ^ { \star } ) ^ { 3 } } \Bigg \rbrace + o ( g _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E 1 _ { P V } } & { { } = } & { \sum _ { a } \frac { \langle f | d | a \rangle \langle a | h _ { w } | i \rangle } { \epsilon _ { i } - \epsilon _ { a } } + \sum _ { a } \frac { \langle f | h _ { w } | a \rangle \langle a | d | i \rangle } { \epsilon _ { f } - \epsilon _ { a } } } \end{array}
{ \mathcal { L } } \supset - { \frac { 1 } { 4 } } F ^ { \prime \mu \nu } F _ { \mu \nu } ^ { \prime } + { \frac { 1 } { 2 } } m _ { A ^ { \prime } } ^ { 2 } A ^ { \prime \mu } A _ { \mu } ^ { \prime } + \epsilon e A ^ { \prime \mu } J _ { \mu } ^ { E M }
V _ { p , i } = \frac { 3 N _ { c } \, k \pi R ^ { 2 } R _ { c } ^ { 2 } \, z _ { p , i } } { 2 ( R _ { c } ^ { 2 } + z _ { p , i } ^ { 2 } ) ^ { 5 / 2 } } \, \sqrt { 2 g ( z _ { 0 } - z _ { p , i } ) } \, \, .
\begin{array} { r l } { H _ { n } \left( \hat { q } \sqrt { \frac { m \omega } { \hbar } } \right) } & { { } = - i \sqrt { \frac { 2 } { \hbar \omega } } \hat { A } ^ { \dagger } ( - i ) ^ { n - 1 } \sqrt { \frac { 2 ^ { n - 1 } } { ( \hbar \omega ) ^ { n - 1 } } } ( \hat { A } ^ { \dagger } ) ^ { n - 1 } | \psi _ { 0 } \rangle } \end{array}
E \left( \begin{array} { l } { { { \Psi _ { 1 } } } } \\ { { { \Psi _ { 2 } } } } \\ { { { \Psi _ { 3 } } } } \\ { { { \Psi _ { 4 } } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l l l } { { V + 1 } } & { { 0 } } & { { - \partial _ { z } } } & { { - \partial _ { \rho } - { \frac { m _ { z } } { \rho } } + \it { A } } } \\ { { 0 } } & { { V + 1 } } & { { - \partial _ { \rho } + { \frac { m _ { z } } { \rho } } - \it { A } } } & { { \partial _ { z } } } \\ { { \partial _ { z } } } & { { \partial _ { \rho } + { \frac { m _ { z } } { \rho } } - \it { A } } } & { { V - 1 } } & { { 0 } } \\ { { \partial _ { \rho } - { \frac { m _ { z } } { \rho } } + \it { A } } } & { { - \partial _ { z } } } & { { 0 } } & { { V - 1 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { { { \Psi _ { 1 } } } } \\ { { { \Psi _ { 2 } } } } \\ { { { \Psi _ { 3 } } } } \\ { { { \Psi _ { 4 } } } } \end{array} \right) .
{ \binom { 4 } { 2 } } _ { q } = { \frac { ( 1 - q ^ { 4 } ) ( 1 - q ^ { 3 } ) } { ( 1 - q ) ( 1 - q ^ { 2 } ) } } = ( 1 + q ^ { 2 } ) ( 1 + q + q ^ { 2 } ) = 1 + q + 2 q ^ { 2 } + q ^ { 3 } + q ^ { 4 }
\tilde { M } = \frac { 1 } { t _ { 1 , 2 } } \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { r _ { 1 , 2 } } \\ { r _ { 1 , 2 } } & { 1 } \end{array} \right) M _ { 2 } M _ { 3 } . . . M _ { N - 1 }
P ( r , r _ { m } , T ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 \ \ \ \ } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } r < r _ { m } \medskip } \\ { \exp ( - ( r - r _ { m } ) / T ) \ \ } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } r > r _ { m } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \vec { \psi } _ { i } { ^ { \vec { k } } } ( \vec { r } ) = \sum _ { \mu } \left( \begin{array} { l } { c _ { \mu i } ^ { \alpha , \vec { k } } } \\ { c _ { \mu i } ^ { \beta , \vec { k } } } \end{array} \right) \phi _ { \mu } ^ { \vec { k } } ( \vec { r } ) = \left( \begin{array} { l } { \psi _ { i } ^ { \alpha , \vec { k } } ( \vec { r } ) } \\ { \psi _ { i } ^ { \beta , \vec { k } } ( \vec { r } ) } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { i } - \langle I _ { i } \rangle } & { = \Tilde { E } _ { 1 } \Tilde { E } _ { 2 } ^ { * } U _ { i h } U _ { i k } ^ { * } + \Tilde { E } _ { 1 } ^ { * } \Tilde { E } _ { 2 } U _ { i h } ^ { * } U _ { i k } } \\ { I _ { j } - \langle I _ { j } \rangle } & { = \Tilde { E } _ { 1 } \Tilde { E } _ { 2 } ^ { * } U _ { j h } U _ { j k } ^ { * } + \Tilde { E } _ { 1 } ^ { * } \Tilde { E } _ { 2 } U _ { j h } ^ { * } U _ { j k } } \end{array}
\begin{array} { r l } { p ^ { \bullet } \left( y ^ { \bullet } ; t ^ { \bullet } \right) } & { = \widetilde { p } ^ { \bullet } \left( y ^ { \bullet } \right) e ^ { - \mathrm { i } t ^ { \bullet } } } \\ { v ^ { \bullet } \left( r ^ { \bullet } ; y ^ { \bullet } ; t ^ { \bullet } \right) } & { = \widetilde { v } ^ { \bullet } \left( r ^ { \bullet } ; y ^ { \bullet } \right) e ^ { - \mathrm { i } t ^ { \bullet } } } \\ { \tau ^ { \bullet } \left( r ^ { \bullet } ; y ^ { \bullet } ; t ^ { \bullet } \right) } & { = \widetilde { \tau } ^ { \bullet } \left( r ^ { \bullet } ; y ^ { \bullet } \right) e ^ { - \mathrm { i } t ^ { \bullet } } } \end{array}
H = \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } \frac { \left[ \mathbf { \tilde { p } } _ { i } - Q _ { i } \mathbf { A } ( \mathbf { r } _ { i } , t ) \right] ^ { 2 } } { 2 m _ { i } } + \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \sum _ { j = i + 1 } ^ { 4 } \frac { Q _ { i } Q _ { j } } { | \mathbf { r } _ { i } - \mathbf { r } _ { j } | } + \sum _ { i = 2 } ^ { 4 } V _ { H , i } .
F ( s ) = \exp \left[ \frac { s } { \pi } \int _ { 4 m _ { \pi } ^ { 2 } } ^ { s _ { 1 } } d s ^ { \prime } \frac { \delta _ { 0 } ^ { 0 } ( s ^ { \prime } ) } { s ^ { \prime } ( s ^ { \prime } - s - i \epsilon ) } \right] \ ,
\begin{array} { r l } { \mu _ { i } } & { { } = \delta _ { \zeta _ { i } } } \\ { { \Sigma } _ { B , i j } } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l } { \sigma _ { \zeta _ { i } } \sigma _ { \zeta _ { j } } \quad } & { \zeta _ { i } = \zeta _ { j } } \\ { 0 \quad } & { \zeta _ { i } \neq \zeta _ { j } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathscr { D } _ { t , m - 1 } \nabla T _ { m - 1 } ^ { ( i ) } } & { = \kappa _ { m - 1 } \Delta \nabla T _ { m - 1 } ^ { ( i ) } - \nabla \ensuremath { \mathbf { b } } _ { m - 1 } \cdot \nabla T _ { m - 1 } ^ { ( i ) } } \\ & { \qquad + { \bf 1 } _ { \{ i \geq 1 \} } \nabla \nabla \cdot \bigl ( \mathbf { K } _ { m } - \kappa _ { m - 1 } \ensuremath { \mathrm { I } _ { 2 } } + \mathbf { s } _ { m - 1 } \bigr ) \nabla T _ { m - 1 } ^ { ( i - 1 ) } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { a _ { 1 } | 0 \rangle } & { { } \rightarrow \frac 1 2 ( - a _ { 1 } ^ { \dagger } + a _ { 2 } ^ { \dagger } + a _ { 3 } ^ { \dagger } + a _ { 4 } ^ { \dagger } ) | 0 \rangle = ( A + \frac 1 2 ( a _ { 3 } ^ { \dagger } + a _ { 4 } ^ { \dagger } ) ) | 0 \rangle . } \end{array}
\xi _ { j } \frac { \partial f } { \partial x _ { j } } = \xi _ { 1 } \frac { \partial f } { \partial x _ { 1 } } + \xi _ { 2 } \frac { \partial f } { \partial x _ { 2 } } + \xi _ { 3 } \frac { \partial f } { \partial x _ { 3 } } .
\begin{array} { r l } { \| \Psi \| ^ { 2 } } & { \textstyle = \langle \Psi | \Psi \rangle \stackrel { = } \sum _ { s _ { 1 } , \dotsc , s _ { L } } \langle 0 | \hat { A } _ { L } ^ { s _ { L } \dag } \dotsb \ \hat { A } _ { 2 } ^ { s _ { 2 } \dag } \hat { A } _ { 1 } ^ { s _ { 1 } \dag } | 0 \rangle \, \langle 0 | \hat { A } _ { 1 } ^ { s _ { 1 } } \hat { A } _ { 2 } ^ { s _ { 2 } } \dotsb \hat { A } _ { L } ^ { s _ { L } } | 0 \rangle } \\ & { \stackrel { = } \textstyle \sum _ { s _ { 2 } , \dotsc , s _ { L } } \langle 0 | \hat { A } _ { L } ^ { s _ { L } \dag } \dotsb \ \hat { A } _ { 2 } ^ { s _ { 2 } \dag } \hat { A } _ { 2 } ^ { s _ { 2 } } \dotsb \hat { A } _ { L } ^ { s _ { L } } | 0 \rangle = \dots = 1 , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \big ( G _ { 1 } \mathcal { S } \big [ ( G _ { 1 } - M _ { 1 } ) \mathring { A } _ { 1 } ^ { { 1 , 2 } } \big ] G _ { 2 } \big ) _ { \boldsymbol { x } \boldsymbol { y } } \quad \mathrm { a n d } } \\ & { c _ { \sigma } ( \mathcal { X } _ { 1 2 } [ \mathring { A } _ { 1 } ^ { { 1 , 2 } } ] M _ { 2 } ) c _ { \sigma } ( \Phi _ { \sigma } ) \big ( G _ { 1 } E _ { \sigma } G _ { 2 } - M ( w _ { 1 } , E _ { \sigma } , w _ { 2 } ) \big ) _ { \boldsymbol { x } \boldsymbol { y } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { n } ( t , x ) } & { \le 2 \sum _ { i = 0 } ^ { n } a ^ { i } \int _ { 0 } ^ { t } \ensuremath { \mathrm { d } } s \, \widetilde h _ { i } ( s ) \iint _ { U ^ { 2 } } | \nu | ( \ensuremath { \mathrm { d } } z ) | \nu | ( \ensuremath { \mathrm { d } } z ^ { \prime } ) } \\ & { \quad \times C \frac { e ^ { - 2 \mu _ { 1 } t } } { 1 \wedge t ^ { d } } e ^ { - c _ { 1 } \frac { | x - z | ^ { 2 } + | x - z ^ { \prime } | ^ { 2 } } { t } } \left( 1 \wedge \frac { ( t - s ) s } { t } \right) ^ { - \beta / 2 } } \\ & { = 2 C e ^ { - 2 \mu _ { 1 } t } J _ { c _ { 1 } } ^ { 2 } ( t , x ) \sum _ { i = 0 } ^ { n } a ^ { i } \int _ { 0 } ^ { t } \ensuremath { \mathrm { d } } s \left( 1 \wedge \frac { ( t - s ) s } { t } \right) ^ { - \beta / 2 } \widetilde { h } _ { i } ( s ) } \\ & { = 2 C e ^ { - 2 \mu _ { 1 } t } J _ { c _ { 1 } } ^ { 2 } ( t , x ) \sum _ { i = 0 } ^ { n } a ^ { i } \, \widetilde h _ { i + 1 } ( t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { a _ { x y y } ^ { ( 1 ) } } & { { } = u _ { x } a _ { y y } ^ { ( 1 ) } + 2 u _ { y } a _ { x y } ^ { ( 1 ) } , } \\ { a _ { x x y } ^ { ( 1 ) } } & { { } = u _ { y } a _ { x x } ^ { ( 1 ) } + 2 u _ { x } a _ { x y } ^ { ( 1 ) } , } \\ { a _ { x x y y } ^ { ( 1 ) } } & { { } = u _ { y } a _ { x x y } ^ { ( 1 ) } + { u _ { x } } ^ { 2 } a _ { y y } ^ { ( 1 ) } + u _ { x } u _ { y } a _ { x y } ^ { ( 1 ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H ( N _ { e } , A _ { e } ) } & { = \frac { 1 } { 2 } \int \mathrm { d } x \mathrm { d } y \, \left( \rho _ { s } ^ { 2 } N _ { e } ^ { 2 } - A _ { e } \mathcal { L } _ { U _ { e } } ( A _ { e } ) - N _ { e } ( G _ { 1 0 e } \mathcal { L } _ { \phi } ( N _ { e } ) \right. } \\ & { ~ ~ ~ \left. - \rho _ { s } ^ { 2 } 2 G _ { 2 0 e } \mathcal { L } _ { B } ( N _ { e } ) ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { V a r } \left< \hat { \mathcal X } \right> } & { = } & { t _ { \mathrm { m } } N \, \frac { \epsilon _ { 0 } \hbar } { \rho _ { N } \left| \boldsymbol d _ { 1 , 2 } \right| ^ { 2 } } \mathrm { I m } \, \chi ( \omega _ { p } ) } \\ & { = } & { \frac { 4 t _ { \mathrm { m } } N } { \left( \gamma _ { 2 } + \frac { \omega _ { p } \sigma } { c } \Gamma \right) + \frac { \Omega _ { C } ^ { 2 } \gamma } { \Omega _ { L O } ^ { 2 } + \gamma ^ { 2 } } } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { a ( t ) } & { = a _ { i } \exp \left( ( t - t _ { i } ) H _ { 0 } { \sqrt { \Omega _ { 0 , \Lambda } } } \right) } \\ { { \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } a ( t ) } { \mathrm { d } t ^ { 2 } } } } & { = a _ { i } \left( H _ { 0 } \right) ^ { 2 } \Omega _ { 0 , \Lambda } \exp \left( ( t - t _ { i } ) H _ { 0 } { \sqrt { \Omega _ { 0 , \Lambda } } } \right) } \end{array} }
- ( \frac { m } { e } ) ^ { 2 } [ \partial _ { \mu } \hat { P } _ { \nu } ^ { a } - \partial _ { \nu } \hat { P } _ { \mu } ^ { a } + \frac { m } { e } \epsilon ^ { a b c } \hat { P } _ { \mu } ^ { b } \hat { P } _ { \nu } ^ { c } ] = m ^ { 2 } \tilde { W } _ { \mu \nu } ^ { a } .
\begin{array} { r l } { [ \phi , f ] } & { = \frac { 1 } { \mathcal { J } } \epsilon _ { i j k } b _ { i } \frac { \partial \phi } { \partial \xi ^ { j } } \frac { \partial f } { \partial \xi ^ { k } } , } \\ { \nabla _ { \parallel } f } & { = b ^ { j } \frac { \partial f } { \partial \xi ^ { j } } , } \\ { \mathcal { C } ( f ) } & { = \frac { B } { 2 \mathcal { J } } \frac { \partial c _ { m } } { \partial \xi ^ { j } } \frac { \partial f } { \xi ^ { k } } \epsilon _ { k j m } , } \\ { \nabla _ { \perp } ^ { 2 } f } & { = \frac { 1 } { \mathcal { J } } \frac { \partial } { \partial \xi ^ { k } } \bigg ( \mathcal { J } ^ { - 1 } \epsilon _ { k l m } \epsilon _ { i \alpha \beta } g _ { m i } b _ { l } b _ { \alpha } \frac { \partial f } { \partial \xi ^ { \beta } } \bigg ) , } \end{array}
L _ { S S I M } = \frac { ( 2 \mu _ { o } \mu _ { \hat { o } } + c _ { 1 } ) ( 2 \sigma _ { o } \sigma _ { \hat { o } } + c _ { 2 } ) } { ( \mu _ { o } ^ { 2 } + \mu _ { \hat { o } } ^ { 2 } + c _ { 1 } ) ( \sigma _ { o } ^ { 2 } + \sigma _ { \hat { o } } ^ { 2 } + c _ { 2 } ) }
\begin{array} { r } { \mathbf { V } _ { \mathrm { N S I } } = V _ { \mathrm { C C } } \left( \begin{array} { l l l } { \varepsilon _ { e e } } & { \varepsilon _ { e \mu } } & { \varepsilon _ { e \tau } } \\ { \varepsilon _ { e \mu } ^ { \ast } } & { \varepsilon _ { \mu \mu } } & { \varepsilon _ { \mu \tau } } \\ { \varepsilon _ { e \tau } ^ { \ast } } & { \varepsilon _ { \mu \tau } ^ { \ast } } & { \varepsilon _ { \tau \tau } } \end{array} \right) \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { m n } = \langle | J _ { m n } | ^ { 2 } \rangle } & { = \iiiint \langle E ( \vec { \rho } ) E ^ { * } ( \vec { \rho } ^ { \prime } ) \rangle \psi ( \vec { \rho } - \vec { r } ) \psi ^ { * } ( \vec { \rho } ^ { \prime } - \vec { r } ^ { \prime } ) \phi _ { m n } ^ { * } ( \vec { r } ) \phi _ { m n } ( \vec { r } ^ { \prime } ) \ \mathrm { d } \vec { \rho } \mathrm { d } \vec { \rho } ^ { \prime } \mathrm { d } \vec { r } \mathrm { d } \vec { r } ^ { \prime } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { V } ( t ) \le } & { - \frac { r _ { d } } { 4 } { \lambda _ { \mathrm { m i n } } ( Q _ { 1 } ) } | { X } ( t ) | ^ { 2 } } \\ & { - \bigg ( \frac { { 1 } } { 2 } q _ { 1 } { e ^ { - { \delta } } } - q _ { 2 } { r _ { a } } { e ^ { { \delta } } } q ^ { 2 } \bigg ) \alpha ( 1 , t ) ^ { 2 } } \\ & { - \left( \frac { 1 } { 2 } q _ { 2 } { r _ { a } } - \frac { r _ { d } | P _ { 1 } B | ^ { 2 } } { { \lambda _ { \mathrm { m i n } } ( Q _ { 1 } ) } } - \frac { p ^ { 2 } q _ { 1 } } { 2 } \right) \beta { ( 0 , t ) ^ { 2 } } } \\ & { - r _ { a } \left( \frac { 1 } { 2 } { \delta } q _ { 2 } - d _ { 4 } \right) \int _ { 0 } ^ { 1 } { { e ^ { { \delta } x } } } \beta { ( x , t ) ^ { 2 } } d x } \\ & { - \left( \frac { 1 } { 2 } { \delta } q _ { 1 } - d _ { 1 } \right) \int _ { 0 } ^ { 1 } { { e ^ { - { \delta } x } } } \alpha { ( x , t ) ^ { 2 } } d x } \\ & { - \left( \frac { { r _ { c } } } { 2 D } - q _ { 2 } { r _ { a } } { e ^ { { \delta } } } c _ { 0 } ^ { 2 } \right) \hat { u } { ( 1 , t ) } ^ { 2 } } \\ & { - \frac { { r _ { c } } } { 2 D } \int _ { 0 } ^ { 1 } { { e ^ { x } } } \hat { u } { ( x , t ) ^ { 2 } } d x . } \end{array}
\mathcal { F } \left( \xi \right) = \frac { 2 J _ { 1 } \left( \xi \right) } { \xi J _ { 0 } \left( \xi \right) } = 1 + \frac { J _ { 2 } \left( \xi \right) } { J _ { 0 } \left( \xi \right) } .
\left| \zeta ( x ) ^ { 3 } \zeta ( x + i y ) ^ { 4 } \zeta ( x + 2 i y ) \right| = \exp \left( \sum _ { n , p } { \frac { 3 + 4 \cos ( n y \log p ) + \cos ( 2 n y \log p ) } { n p ^ { n x } } } \right) \geq 1
\begin{array} { r l } { \hat { W } _ { n } ( z ) } & { = \bigl ( f _ { n } , \, \hat { \Phi } ( \mathbf { x } , z , 0 ) \bigr ) } \\ & { = \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } f _ { n } ( \mathbf { x } ) \hat { \Phi } ( \mathbf { x } , z , 0 ) \, \mathrm { d } \mathbf { x } } \\ & { = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \sum _ { \mu } \left( \hat { a } _ { \mu } f _ { n \mu } ^ { * } + \hat { a } _ { \mu } ^ { \dagger } f _ { n \mu } \right) , \qquad \qquad ( n = 1 , 2 , \ldots , M ) , } \end{array}
P _ { Q \rightarrow S G 2 } = \varrho \left( u _ { n } ( \vec { x } ) ; c _ { Q \rightarrow S G 2 } , u _ { n } ^ { Q \rightarrow S G 2 } \right) \cdot \exp \left( - \lambda _ { Q \rightarrow S G 2 } u _ { t } ( \vec { x } ) \right) \ ,
( \Phi _ { \nu } ^ { \mathrm { E S } } ) _ { \mathrm { S - K } } = \left( 2 . 3 5 \pm 0 . 0 2 \mathrm { ( s t a t . ) } \pm 0 . 0 8 \mathrm { ( s y s t . ) } \right) \times 1 0 ^ { 6 } \, \mathrm { c m } ^ { - 2 } \, \mathrm { s } ^ { - 1 } \, .
\begin{array} { r l } { \| \alpha _ { \theta } \cdot \nabla _ { \theta } u _ { \theta ^ { \prime } } - F [ u _ { \theta ^ { \prime } } ] \| _ { 2 } } & { \leq \| \alpha _ { \theta } \nabla _ { \theta } u _ { \theta ^ { \prime } } - \alpha _ { \theta } \nabla _ { \theta } u _ { \theta } \| _ { 2 } + \| \alpha _ { \theta } \nabla _ { \theta } u _ { \theta } - F [ u _ { \theta } ] \| _ { 2 } + \| F [ u _ { \theta } ] - F [ u _ { \theta ^ { \prime } } ] \| _ { 2 } \leq \delta + \bar { \varepsilon } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha _ { a b } = } & { \sum _ { C } J _ { C } \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { C } } S _ { i _ { n + 1 } ^ { C } i _ { n } ^ { C } } \leq \sum _ { C } \frac { J _ { C } } { 4 N _ { C } \tan \frac { \pi } { N _ { C } } } \ell _ { C } ^ { 2 } } \\ { \leq } & { \frac { \operatorname* { m a x } _ { C } \ell _ { C } } { 4 \pi } \sum _ { C } J _ { C } \ell _ { C } = \frac { \operatorname* { m a x } _ { C } \ell _ { C } } { 4 \pi } \sum _ { ( i , j ) } J _ { i j } \ell _ { i j } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { e _ { i j } ^ { 0 } } & { { } = \left( ( x _ { i } - x _ { j } ) _ { 1 } , \, ( x _ { i } - x _ { j } ) _ { 2 } , \, ( x _ { i } - x _ { j } ) _ { 3 } , \, ( x _ { i } - x _ { j } ) _ { 4 } , \, ( x _ { i } - x _ { j } ) _ { 5 } , \, ( x _ { i } ) _ { 6 } , \, ( x _ { j } ) _ { 6 } , \, v _ { i n l e t } \right) } \\ { e _ { i j } ^ { t } } & { { } = \left( ( x _ { i } - x _ { j } ) _ { 1 } , \, ( x _ { i } - x _ { j } ) _ { 2 } , \, ( \psi _ { \gamma } ( h _ { i } ^ { t } ) - \psi _ { \gamma } ( h _ { j } ^ { t } ) ) _ { 1 } , \, ( \psi _ { \gamma } ( h _ { i } ^ { t } ) - \psi _ { \gamma } ( h _ { j } ^ { t } ) ) _ { 2 } , \, ( \psi _ { \gamma } ( h _ { i } ^ { t } ) - \psi _ { \gamma } ( h _ { j } ^ { t } ) ) _ { 3 } , \, g _ { i } , \, g _ { j } , \, v _ { i n l e t } \right) } \end{array}
\left. \begin{array} { c } { { \operatorname * { l i m } _ { \sigma _ { 3 } \rightarrow \sigma _ { k } } j + ( k 3 ) \rightarrow ( j k 3 ) } } \\ { { \operatorname * { l i m } _ { \sigma _ { 3 } \rightarrow \sigma _ { j } } k + ( j 3 ) \rightarrow ( j k 3 ) } } \end{array} \right\} \quad \Rightarrow \quad m _ { ( j k 3 ) } \sim m e ^ { \left| \sigma _ { j k } \right| / 2 } ,
\begin{array} { r l } { { \boldsymbol { \sigma } } } & { { } = { \cfrac { 2 } { J } } ~ \left[ \left( { \cfrac { \partial W } { \partial { \bar { I } } _ { 1 } } } + { \bar { I } } _ { 1 } ~ { \cfrac { \partial W } { \partial { \bar { I } } _ { 2 } } } \right) ~ { \bar { \boldsymbol { B } } } - { \cfrac { \partial W } { \partial { \bar { I } } _ { 2 } } } ~ { \bar { \boldsymbol { B } } } \cdot { \bar { \boldsymbol { B } } } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\| ( I - \Pi _ { \hat { \cal F } _ { k } } ) f ^ { * } \right\| ^ { 2 } } & { = \left\| \Pi _ { \hat { \cal F } _ { k _ { \lambda } } } ( I - \Pi _ { \hat { \cal F } _ { k } } ) f ^ { * } \right\| ^ { 2 } + \left\| ( I - \Pi _ { \hat { \cal F } _ { k _ { \lambda } } } ) ( I - \Pi _ { \hat { \cal F } _ { k } } ) f ^ { * } \right\| ^ { 2 } } \\ & { = \left\| ( \Pi _ { \hat { \cal F } _ { k _ { \lambda } } } - \Pi _ { \hat { \cal F } _ { k } } ) f ^ { * } \right\| ^ { 2 } + \left\| ( I - \Pi _ { \hat { \cal F } _ { k _ { \lambda } } } ) f ^ { * } \right\| ^ { 2 } } \\ & { \leq \left\| ( \Pi _ { \hat { \cal F } _ { k _ { \lambda } } } - \Pi _ { \hat { \cal F } _ { k } } ) f ^ { * } \right\| ^ { 2 } + 2 \left\| ( I - \Pi _ { \hat { \cal F } _ { k _ { \lambda } } } ) \Pi _ { \cal F } f ^ { * } \right\| ^ { 2 } + \left\| ( I - \Pi _ { \cal F } ) f ^ { * } \right\| ^ { 2 } } \\ & { \leq \left| k - k _ { \lambda } \right| \left\| f ^ { * } \right\| ^ { 2 } + 2 \left\| ( I - \Pi _ { \hat { \cal F } _ { k _ { \lambda } } } ) \Pi _ { \cal F } f ^ { * } \right\| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \big [ U ( z ) U ( z ^ { \prime } ) \big ] } & { = \mathbb { E } \Bigg [ \sum _ { | k | \leq 1 } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } ( - 1 ) ^ { | k | } \partial ^ { k } U ^ { 0 } ( x - y ) \mu _ { k } ^ { t } ( d y ) ) \sum _ { | k ^ { \prime } | \leq 1 } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } ( - 1 ) ^ { | k ^ { \prime } | } \partial ^ { k ^ { \prime } } U ^ { 0 } ( x - y ) \mu _ { k ^ { \prime } } ^ { t ^ { \prime } } ( d y ^ { \prime } ) \Bigg ] } \\ & { = \sum _ { | k | , | k ^ { \prime } | \leq 1 } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } ( - 1 ) ^ { | k | } ( - 1 ) ^ { | k ^ { \prime } | } \partial _ { 1 } ^ { k } \partial _ { 2 } ^ { k ^ { \prime } } \mathbb { E } \big [ U ^ { 0 } ( x - y ) U ^ { 0 } ( x ^ { \prime } - y ^ { \prime } ) \big ] \mu _ { k } ^ { t } ( d y ) \mu _ { k ^ { \prime } } ^ { t ^ { \prime } } ( d y ^ { \prime } ) } \\ & { = \sum _ { | k | , | k ^ { \prime } | \leq 1 } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } ( - 1 ) ^ { | k | } ( - 1 ) ^ { | k ^ { \prime } | } \partial _ { 1 } ^ { k } \partial _ { 2 } ^ { k ^ { \prime } } k _ { \mathrm { u } } ( x - y , x ^ { \prime } - y ^ { \prime } ) \mu _ { k } ^ { t } ( d y ) \mu _ { k ^ { \prime } } ^ { t ^ { \prime } } ( d y ^ { \prime } ) } \\ & { = \bigg [ \Big ( \sum _ { | k | \leq 1 } \partial ^ { k } \mu _ { k } ^ { t } \otimes \sum _ { | k ^ { \prime } | \leq 1 } \partial ^ { k ^ { \prime } } \mu _ { k ^ { \prime } } ^ { t ^ { \prime } } \Big ) * k _ { \mathrm { u } } \bigg ] ( x , x ^ { \prime } ) = [ ( \Dot { F } _ { t } \otimes \dot { F } _ { t ^ { \prime } } ) * k _ { \mathrm { u } } ] ( x , x ^ { \prime } ) } \end{array}