harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { { R _ { U } } ( u ) = } & { \frac { { 4 \cos { { \left[ { \frac { u } { 2 } } \right] } ^ { 2 } } \left( { - 8 7 + 3 6 \cos \left[ u \right] - 1 0 2 \cos \left[ { 2 u } \right] - 4 8 \cos \left[ { 3 u } \right] - 1 5 \cos \left[ { 4 u } \right] } \right) \sin { { \left[ { \frac { u } { 2 } } \right] } ^ { 4 } } } } { { 3 { u ^ { 2 } } } } } \\ { + } & { \frac { { 4 \cos { { \left[ { \frac { u } { 2 } } \right] } ^ { 2 } } \sin { { \left[ { \frac { u } { 2 } } \right] } ^ { 4 } } \left( { - 3 2 4 \sin \left[ u \right] + 2 4 \left( { \sin \left[ { 2 u } \right] + \sin \left[ { 3 u } \right] } \right) - 3 \sin \left[ { 4 u } \right] } \right) } } { { 3 u } } } \\ { + } & { \frac { { 4 \cos { { \left[ { \frac { u } { 2 } } \right] } ^ { 2 } } \sin { { \left[ { \frac { u } { 2 } } \right] } ^ { 4 } } \left( { - 1 3 2 \sin \left[ u \right] + 7 2 \sin \left[ { 2 u } \right] + 4 8 \sin \left[ { 3 u } \right] + 1 5 \sin \left[ { 4 u } \right] } \right) } } { { 3 { u ^ { 3 } } } } } \\ { + } & { \frac { 4 } { 3 } \cos { \left[ { \frac { u } { 2 } } \right] ^ { 2 } } \sin { \left[ { \frac { u } { 2 } } \right] ^ { 4 } } \left\{ \begin{array} { l } { 7 2 + 5 6 \cos \left[ u \right] + 1 6 \cos \left[ { 2 u } \right] } \\ { + 4 8 \left[ \begin{array} { l } { \left( { 7 + 6 \cos \left[ u \right] - \cos \left[ { 2 u } \right] } \right) \mathrm { { C i } } \left[ u \right] - 2 \left( { 5 + 3 \cos \left[ u \right] - 2 \cos \left[ { 2 u } \right] } \right) { \mathrm { C i } } \left[ { 2 u } \right] + \cos \left[ { 2 u } \right] \log \left[ { \frac { { 2 7 } } { { 1 6 } } } \right] } \\ { + \log \left[ { \frac { { 1 0 2 4 } } { { 2 7 } } } \right] + \cos \left[ u \right] \log \left[ { 6 4 } \right] + 6 \mathrm { { C i } } \left[ { 3 u } \right] \sin { \left[ u \right] ^ { 2 } } } \\ { - 3 \left( { \sin \left[ u \right] + \sin \left[ { 2 u } \right] } \right) \left( { { \mathrm { S i } } \left[ u \right] - 2 \mathrm { { S i } } \left[ { 2 u } \right] + { \mathrm { S i } } \left[ { 3 u } \right] } \right) } \end{array} \right] } \end{array} \right\} . } \end{array}
\mathrm { ~ D ~ i ~ f ~ f ~ u ~ s ~ i ~ o ~ o ~ s ~ m ~ o ~ t ~ i ~ c ~ w ~ a ~ l ~ l ~ s ~ l ~ i ~ p ~ b ~ o ~ u ~ n ~ d ~ a ~ r ~ y ~ c ~ o ~ n ~ d ~ i ~ t ~ i ~ o ~ n ~ : ~ } u = \frac { \Gamma _ { w } } { D _ { s } } \frac { \partial \ln c } { \partial x } ~ \mathrm { ~ a ~ t ~ } ~ y = \pm \frac { 1 } { 2 } .
\lambda _ { 1 } - r ( p ( A ) v _ { 1 } ) = \lambda _ { 1 } - { \frac { v _ { 1 } ^ { * } \sum _ { k = 1 } ^ { n } d _ { k } p ^ { * } ( \lambda _ { k } ) \lambda _ { k } p ( \lambda _ { k } ) z _ { k } } { v _ { 1 } ^ { * } \sum _ { k = 1 } ^ { n } d _ { k } p ^ { * } ( \lambda _ { k } ) p ( \lambda _ { k } ) z _ { k } } } = \lambda _ { 1 } - { \frac { \sum _ { k = 1 } ^ { n } | d _ { k } | ^ { 2 } \lambda _ { k } p ( \lambda _ { k } ) ^ { * } p ( \lambda _ { k } ) } { \sum _ { k = 1 } ^ { n } | d _ { k } | ^ { 2 } p ( \lambda _ { k } ) ^ { * } p ( \lambda _ { k } ) } } = { \frac { \sum _ { k = 1 } ^ { n } | d _ { k } | ^ { 2 } ( \lambda _ { 1 } - \lambda _ { k } ) \left| p ( \lambda _ { k } ) \right| ^ { 2 } } { \sum _ { k = 1 } ^ { n } | d _ { k } | ^ { 2 } \left| p ( \lambda _ { k } ) \right| ^ { 2 } } } .
f _ { 2 } ( e ) = \sqrt { 1 - e ^ { 2 } } \, X _ { 0 } ^ { - 8 , 0 } ( e ) = \frac { 1 + \frac { 1 5 } { 2 } e ^ { 2 } + \frac { 4 5 } { 8 } e ^ { 4 } + \frac { 5 } { 1 6 } e ^ { 6 } } { ( 1 - e ^ { 2 } ) ^ { 6 } } \ ,
\begin{array} { r l } { \frac 1 2 \sum _ { i = 1 } ^ { m _ { * } } \| \theta _ { i } - \theta _ { 0 } \| _ { 2 } ^ { 2 } } & { \leq \sum _ { i = 1 } ^ { m _ { * } } t ( \| \theta _ { i } \| _ { 2 } ) \| \theta _ { i } - \theta _ { 0 } \| _ { 2 } ^ { 2 } = \sum _ { i = 1 } ^ { m _ { * } } \big \| E _ { \theta _ { i } } \big [ \widetilde \theta \big ] - E _ { \theta _ { 0 } } \big [ \widetilde \theta \big ] \big \| _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { \leq \operatorname* { m a x } _ { i = 1 , \ldots , m _ { * } } \sum _ { j = 1 } ^ { m _ { * } } \big | e ^ { n \langle \theta _ { i } - \theta _ { 0 } , \theta _ { j } - \theta _ { 0 } \rangle } - 1 \big | \sum _ { j = 1 } ^ { m _ { * } } \operatorname { V a r } _ { \theta _ { 0 } } \big ( \widetilde \theta _ { j } \big ) . } \end{array}
+ q { \tilde { d } } a _ { 1 } b _ { 1 } + q ( r - 1 ) a _ { 1 } f _ { 1 } + { \tilde { d } } ( r - 1 ) f _ { 1 } b _ { 1 } + \frac { \phi _ { 1 } ^ { 2 } } { 4 } - \frac { h ^ { 2 } } { 4 } = 0 ;
\frac { \partial f ^ { \prime } } { \partial \kappa } = \frac { \partial \mathcal { U } } { \partial \kappa } ~ ~ , ~ ~ \frac { \partial \mathcal { U } ^ { \prime } } { \partial \kappa } = \frac { \partial \mathcal { V } } { \partial \kappa } ~ ~ , ~ ~ \frac { \partial \mathcal { V } ^ { \prime } } { \partial \kappa } = ( \alpha - 2 ) \frac { \partial \mathcal { V } } { \partial \kappa } ~ \frac { ( - \mathcal { V } ) ^ { ( 1 - \alpha ) } } { \alpha ( \alpha + 1 ) } f + \frac { ( - \mathcal { V } ) ^ { ( 2 - \alpha ) } } { \alpha ( \alpha + 1 ) } ~ \frac { \partial f } { \partial \kappa } ,
{ \bf \check { R } } _ { \alpha } ( \lambda ) = ( \phi _ { \alpha } \otimes \phi _ { \alpha } ) ^ { - 1 } { \bf \check { R } } ( \lambda ) ( \phi _ { \alpha } \otimes \phi _ { \alpha } ) = F _ { \alpha } \, { \bf \check { R } } ( \lambda ) ( F _ { \alpha } ) ^ { - 1 } \, .
\frac { 1 } { 2 \pi } \bigl \{ \beta _ { \epsilon } P _ { 2 } \eta _ { 0 } + L P _ { 2 } \eta _ { 0 } + Q _ { 2 } \eta _ { 0 } \, , \eta _ { 0 } \bigr \} \, = \, \frac { \beta _ { \epsilon } } { 1 6 \pi } \, R Z \eta _ { 0 } + R Z \chi _ { 8 } ( \rho ) \, .
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { d T B } = } & { \sum _ { x \ne - 1 , 0 } J \big ( c _ { x } ^ { \dagger } c _ { x + 1 } + c _ { x + 1 } ^ { \dagger } c _ { x } \big ) + \sum _ { x \ne 0 } \omega _ { o } c _ { x } ^ { \dagger } c _ { x } + \hat { H } _ { e } } \\ & { + ( g _ { L } c _ { - 1 } ^ { \dagger } + g _ { R } c _ { 1 } ^ { \dagger } ) \sigma + \sigma ^ { \dagger } ( g _ { L } c _ { - 1 } + g _ { R } c _ { 1 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { \mathrm { i n t } } } & { = \hat { H } _ { + } + \hat { H } _ { - } } \\ & { \approx 2 \hbar N \chi _ { + } ( \hat { c } _ { \- - k , - 1 } ^ { \dagger } \hat { c } _ { + k , + 1 } ^ { \dagger } + \mathrm { h . c . } ) } \\ & { + 2 \hbar N \chi _ { - } ( \hat { c } _ { \- - k , + 1 } ^ { \dagger } \hat { c } _ { + k , - 1 } ^ { \dagger } + \mathrm { h . c . } ) , } \end{array}
A ^ { \prime } \left( r _ { b } \right) \frac { d ^ { 2 } r _ { b } } { d \xi ^ { 2 } } + B ^ { \prime } \left( r _ { b } \right) r _ { b } \left( \frac { d r _ { b } } { d \xi } \right) ^ { 2 } + C ^ { \prime } \left( r _ { b } \right) r _ { b } = \frac { \lambda ( \xi ) } { r _ { b } } ,
\begin{array} { r l } { \left| { \bf { a } } _ { \mathrm { { L } } } ^ { H } ( \phi _ { l } ) { \bf { a } } _ { \mathrm { L } } ( \phi _ { m } ) \right| } & { = \frac { 1 } { N } \left| \sum _ { n = - \widetilde { N } } ^ { \widetilde { N } } e ^ { j n k d ( \sin \phi _ { m } - \sin \phi _ { l } ) } \right| } \\ & { = \left| \Xi _ { N } ( k d ( \sin \phi _ { m } - \sin \phi _ { l } ) ) \right| , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \psi ^ { \prime } ( \frac { \pi } { 2 \lambda } ) \rangle } & { = \mathrm { e x p } ( - i H _ { \mathrm { e f f , p h } } \frac { \pi } { 2 \lambda } ) | \psi _ { 0 , 1 } \rangle } \\ & { = | g g \rangle \otimes ( C _ { g g } | 1 \rangle + C _ { e g } | 2 \rangle + C _ { g e } | 3 \rangle + C _ { e e } | 4 \rangle ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { B _ { 1 } } v \nabla ( } & { \varphi v ) \cdot ( A ( x ) - A ^ { T } ( x ) ) \nabla \varphi \, d x } \\ & { \le \left( \int _ { B _ { 1 } } | v \, ( A ( x ) - A ^ { T } ( x ) ) \nabla \varphi | ^ { 2 } \, d x \right) ^ { \frac 1 2 } \left( \int _ { B _ { 1 } } | \nabla ( \varphi v ) | ^ { 2 } \, d x \right) ^ { \frac 1 2 } } \\ & { \le 2 \frac { \Lambda } { \lambda ^ { \frac 1 2 } } \left( \int _ { B _ { 1 } } | v \nabla \varphi | ^ { 2 } \, d x \right) ^ { \frac 1 2 } \left( \int _ { B _ { 1 } } \nabla ( \varphi v ) A ( x ) \nabla ( \varphi v ) \, d x \right) ^ { \frac 1 2 } } \\ & { \le \frac 1 2 \int _ { B _ { 1 } } \nabla ( \varphi v ) A ( x ) \nabla ( \varphi v ) \, d x + 2 \frac { \Lambda ^ { 2 } } { \lambda } \int _ { B _ { 1 } } | v \nabla \varphi | ^ { 2 } \, d x , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E _ { t + 1 } - E _ { t } } & { \leq f ( x ^ { t + 1 } ) - \operatorname* { i n f } f + \frac { 1 } { 2 \gamma } \Vert x ^ { t + 1 } - x ^ { * } \Vert ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 \gamma } \Vert x ^ { t } - x ^ { * } \Vert ^ { 2 } } & { \mathrm { u s i n g ~ } } \\ & { \leq f ( x ^ { t + 1 } ) - \operatorname* { i n f } f - ( f ( x ^ { t + 1 } ) - \operatorname* { i n f } f ) } & { \mathrm { u s i n g ~ } } \\ & { \leq 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { p r } } & { = - \frac { m _ { e } c ^ { 2 } a ^ { 2 } } { 4 \left< \gamma \right> } \frac { \partial } { \partial r } \exp \left( - 2 \frac { r ^ { 2 } } { w ^ { 2 } } \right) } \\ & { = \frac { m _ { e } c ^ { 2 } a _ { 0 } ^ { 2 } w _ { 0 } ^ { 2 } r } { w ^ { 4 } \left< \gamma \right> } \exp \left( - 2 \frac { r ^ { 2 } } { w ^ { 2 } } \right) , } \end{array}
\left\langle a \right| N \left( \psi _ { L } ^ { \dagger } \psi _ { L } \psi _ { R } ^ { \dagger } \psi _ { R } \right) \left| B , a \right\rangle = \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 2 } \left| z \right| ^ { 2 } } \left( \frac { \sinh ^ { 2 } \left( \frac { \alpha } { 2 } \log \left| z \right| \right) } { \sinh ^ { 2 } \left( \log \left| z \right| \right) } - \frac { \alpha ^ { 2 } } { 4 } \right) .
\begin{array} { r l } & { \left\vert \int \frac { 1 } { 1 + s \underline { { g } } ( z _ { n ^ { \prime } } ) + t \underline { { m } } ( z _ { n ^ { \prime } } ) } \mathrm { d } H ( s , t ) - \int \frac { 1 } { 1 + s \underline { { g } } _ { 0 } } \mathrm { d } H ( s , t ) \right\vert } \\ { = } & { \left\vert \int \frac { s ( \underline { { g } } _ { 0 } - \underline { { g } } ( z _ { n ^ { \prime } } ) ) - t \underline { { m } } ( z _ { n ^ { \prime } } ) } { ( 1 + s \underline { { g } } ( z _ { n ^ { \prime } } ) + t \underline { { m } } ( z _ { n ^ { \prime } } ) ) ( 1 + s \underline { { g } } _ { 0 } ) } \mathrm { d } H ( s , t ) \right\vert } \\ { \leq } & { \vert \underline { { g } } _ { 0 } - \underline { { g } } ( z _ { n ^ { \prime } } ) \vert \sqrt { A _ { 1 } ( n ^ { \prime } ) A _ { 1 } ( 0 ) } + \vert \underline { { m } } ( z _ { n ^ { \prime } } ) \vert \vert z _ { n ^ { \prime } } \vert \sqrt { B _ { 1 } ( n ^ { \prime } ) B _ { 1 } ( 0 ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { 0 } ( x , t ) } & { { } = - \frac { \gamma } { 2 } h _ { 0 x x } , } \\ { u _ { 1 } ( x , z , t ) } & { { } = \frac { p _ { 0 x } } { F ( \theta _ { B } ) } \left( \frac { z ^ { 2 } } { 2 } - \frac { h _ { 0 } } { 2 } z \right) - \frac { A ( \theta _ { B } , u _ { 0 x } ) } { B ( \theta _ { B } ) } z + K ( x , t ) , } \\ { \theta _ { 1 } ( x , z , t ) } & { { } = 0 , } \end{array}
\left( 1 + \frac { \gamma _ { 1 } } { 2 \pi } \alpha _ { 3 } ( m _ { b } ^ { d } ) \right) \Delta \ln ( m _ { b } ^ { d } / M ) = \Delta \ln ( \hat { m } _ { b } / M ) + \frac { \gamma _ { 1 } } { b _ { 1 } } \frac { \alpha _ { 3 } ( m _ { b } ^ { d } ) } { \alpha _ { 3 } ( M ) } \Delta \ln \alpha _ { 3 } ( M ) .
\begin{array} { r l r } & { } & { \tilde { \textbf { \emph { E } } } ( b , h ) \simeq W ( 0 , \sqrt { 4 \emph { b } } ) / 2 - W ( h \sqrt { 4 \emph { b } } , 0 ) I _ { 0 } ( \sqrt { 4 b } ) } \\ & { } & { + \ln \big ( [ 1 + \sqrt { 1 + 1 / h ^ { 2 } } ] / 2 \big ) \cdot \big ( 1 + b \big ) } \\ & { } & { + { \frac { 1 } { 2 h \sqrt { b } } } \big ( I _ { 0 } ( \sqrt { 4 b } ) - 1 \big ) \cdot \exp ( - 2 h \sqrt { b } ) \big ( 1 + { \frac { 1 } { 2 h \sqrt { b } } } \big ) } \\ & { } & { - { \frac { 1 } { 4 h ^ { 2 } } } - { \frac { b } { 2 } } \cdot \big ( 1 + { \frac { 1 } { 8 h ^ { 2 } } } \big ) + b \cdot h ^ { 2 } \big ( - 1 + \sqrt { 1 / h ^ { 2 } + 1 } \big ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \mathrm { I F T } } \left\{ \mathrm { R e } [ \tilde { I } _ { + } ( k ) ] \right\} = \mathrm { R e } \left\{ { \mathrm { I F T } } [ \tilde { I } _ { + } ( k ) ] \right\} = g _ { \mathrm { r e } } ( r ) , } \\ & { { \mathrm { I F T } } \left\{ \mathrm { I m } [ \tilde { I } _ { + } ( k ) ] \right\} = \mathrm { I m } \left\{ { \mathrm { I F T } } [ \tilde { I } _ { + } ( k ) ] \right\} = g _ { \mathrm { i m } } ( r ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathsf { P } ^ { \mathcal { C } } = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \qquad \mathrm { a n d } \quad \mathsf { P } ^ { \mathcal { L } } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { \boldsymbol b _ { 1 } = 2 \pi \frac { \boldsymbol a _ { 2 } \times \boldsymbol a _ { 3 } } { \boldsymbol a _ { 1 } \cdot [ \boldsymbol a _ { 2 } \times \boldsymbol a _ { 3 } ] } \, , \quad \boldsymbol b _ { 2 } = 2 \pi \frac { \boldsymbol a _ { 3 } \times \boldsymbol a _ { 1 } } { \boldsymbol a _ { 1 } \cdot [ \boldsymbol a _ { 2 } \times \boldsymbol a _ { 3 } ] } \quad \mathrm { ~ a n d ~ } \quad \boldsymbol b _ { 3 } = 2 \pi \frac { \boldsymbol a _ { 1 } \times \boldsymbol a _ { 2 } } { \boldsymbol a _ { 1 } \cdot [ \boldsymbol a _ { 2 } \times \boldsymbol a _ { 3 } ] } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { \tau } ( r > \lfloor \tau \rfloor + 2 ) } & { { } = 0 \, , } \\ { P _ { \tau } ( r = \lfloor \tau \rfloor + 2 ) } & { { } = \frac { \epsilon ^ { 3 } } { 6 } \, , } \\ { P _ { \tau } ( r = \lfloor \tau \rfloor + 1 ) } & { { } = \frac { ( 1 + \epsilon ) ^ { 3 } } { 6 } - \frac 2 3 \epsilon ^ { 3 } \, , } \\ { P _ { \tau } ( r = \lfloor \tau \rfloor ) } & { { } = \frac { \epsilon ^ { 3 } } { 2 } - \epsilon ^ { 2 } + \frac 2 3 \, , } \\ { P _ { \tau } ( r = \lfloor \tau \rfloor - 1 ) } & { { } = \frac { ( 1 - \epsilon ) ^ { 3 } } { 6 } \, , } \\ { P _ { \tau } ( r < \lfloor \tau \rfloor - 1 ) } & { { } = 0 \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { b , k } } & { { } = - \frac 2 { 2 ( D - 1 ) \pi } \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { v } } \left[ ( \boldsymbol { \nabla } p ) _ { j } \cdot \frac { \boldsymbol { r } _ { k j } } { r _ { k j } ^ { D } } \right] \delta V _ { j } + \frac 2 { 2 ( D - 1 ) \pi } \sum _ { k ^ { \prime } = 1 } ^ { N _ { b } } p _ { b , k ^ { \prime } } \left( \frac { \boldsymbol { r } _ { k k ^ { \prime } } } { r _ { k k ^ { \prime } } ^ { D } } \cdot \delta \boldsymbol { S } _ { k ^ { \prime } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \frac { \pi } { 4 } } = } & { { } 1 8 3 \arctan { \frac { 1 } { 2 3 9 } } + 3 2 \arctan { \frac { 1 } { 1 0 2 3 } } - 6 8 \arctan { \frac { 1 } { 5 8 3 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d \vec { r } _ { k } } { d t } } & { { } \approx } & { \vec { u } _ { k } \, , } \\ { \frac { d \vec { u } _ { k } } { d t } } & { { } \approx } & { - \sum _ { l = 1 } ^ { N } \nu _ { k l } \left( u _ { k l } \right) \, \left( \vec { u } _ { k } - \vec { u } _ { k l } ^ { \, s } \right) \, \delta _ { \vec { r } _ { k } , \vec { r } _ { l } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Gamma = \left\langle \int d ^ { 3 } v v _ { d r } f _ { 1 } \right\rangle = \frac { 3 } { 8 } I _ { 1 } \nu \rho ^ { 2 } \frac { q ^ { 2 } } { \epsilon ^ { 2 } } n ( \kappa _ { n } + \kappa _ { t } ) , } \\ & { Q = \left\langle \int d ^ { 3 } v \frac { 1 } { 2 } m v ^ { 2 } v _ { d r } f _ { 1 } \right\rangle = \frac { 5 T } { 2 } \left( \Gamma + \frac { 3 } { 8 } I _ { 1 } \nu \rho ^ { 2 } \frac { q ^ { 2 } } { \epsilon ^ { 2 } } n \kappa _ { T } \right) , } \\ & { j _ { b } = \left\langle \int d ^ { 3 } v \frac { v _ { \parallel } } { h } f _ { 1 } \right\rangle = \frac { 3 } { 4 } I _ { 3 } \frac { c } { B _ { p 0 } } \frac { d p } { d r } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { A _ { 0 i } \sin \theta _ { i } + A _ { 0 r } \sin \theta _ { i } + \overline { { A } } _ { 0 r } \cos \theta _ { i } } & { { } = } & { A _ { 0 t } \sin \theta _ { i } - \overline { { A } } _ { 0 t } \cos \overline { { \theta } } _ { t } , } \\ { A _ { 0 i } \cos \theta _ { i } - A _ { 0 r } \cos \theta _ { i } + \overline { { A } } _ { 0 r } \sin \theta _ { i } } & { { } = } & { A _ { 0 t } \cos \theta _ { i } + \overline { { A } } _ { 0 t } \sin \overline { { \theta } } _ { t } , } \\ { \left( c A _ { 0 i } - \phi _ { 0 i } + c A _ { 0 r } - \phi _ { 0 r } \right) \sin \theta _ { i } + c \overline { { A } } _ { 0 r } \cos \theta _ { i } } & { { } = } & { - c \overline { { A } } _ { 0 t } \cos \overline { { \theta } } _ { t } , } \\ { \left( - c A _ { 0 i } + \phi _ { 0 i } + c A _ { 0 r } - \phi _ { 0 r } \right) \cos \theta _ { i } - c \overline { { A } } _ { 0 r } \sin \theta _ { i } } & { { } = } & { - \frac { \varepsilon } { \varepsilon _ { 0 } } c \overline { { A } } _ { 0 t } \sin \overline { { \theta } } _ { t } , } \\ { \overline { { A } } _ { 0 t } \sin \theta _ { i } } & { { } = } & { \frac { \mu } { \mu _ { 0 } } \overline { { A } } _ { 0 r } \sin \overline { { \theta } } _ { t } , } \\ { \phi _ { 0 i } + \phi _ { 0 r } } & { { } = } & { \phi _ { 0 t } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \hat { u } _ { t + 1 } ^ { j } - \hat { u } _ { t } ^ { j } } { \delta t } = \frac { ( \hat { u } _ { t } ^ { j + 1 } - \hat { u } _ { t } ^ { j } ) - ( \hat { u } _ { t } ^ { j } - \hat { u } _ { t } ^ { j - 1 } ) } { \delta x ^ { 2 } } , x _ { j } \neq \{ x _ { 1 } , x _ { d } \} } \\ & { \hat { u } _ { t + 1 } ^ { j } = f _ { t + 1 } ( x _ { j } ) , x _ { j } = \{ x _ { 1 } , x _ { d } \} } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m i n } _ { K } - K ^ { T } \mathbb { E } \left[ \widetilde { \mathcal { X } } _ { n } \right] + \frac { 1 } { 2 } K ^ { T } \mathbb { E } \left[ \widetilde { \mathcal { X } } _ { n } \widetilde { \mathcal { X } } _ { n } ^ { T } \right] K } \\ & { \mathrm { s . t . } \; K ^ { T } \mathbf { 1 } - 1 = 0 ; } \\ & { \; \; \; \; \; - K ^ { T } e _ { i } \leq 0 , \; i = 1 , 2 , \ldots , m } \end{array}
\frac { 1 } { 2 } \frac { d } { d T } \int _ { - \infty } ^ { \infty } u _ { 0 } ^ { 2 } ( \mathbf { \Phi } ) d \mathbf { \Phi } = \epsilon \int _ { - \infty } ^ { \infty } u _ { 0 } ( \mathbf { \Phi } ) \frac { d f } { d \mathbf { \Phi } } ( \mathbf { \Phi } + X ) d \mathbf { \Phi } .
H _ { 1 , 2 1 } = R _ { 2 2 } ^ { V } \frac { \partial u _ { 1 } } { \partial x _ { 2 } } + \underbrace { R _ { 2 1 } ^ { V } \frac { \partial u _ { 1 } } { \partial x _ { 1 } } + R _ { 1 2 } ^ { V } \frac { \partial u _ { 2 } } { \partial x _ { 2 } } } _ { \nabla \cdot \mathbf { u } = 0 } + R _ { 1 1 } ^ { V } \frac { \partial u _ { 2 } } { \partial x _ { 1 } } = R _ { 2 2 } ^ { V } \frac { \partial u _ { 1 } } { \partial x _ { 2 } } + R _ { 1 1 } ^ { V } \frac { \partial u _ { 2 } } { \partial x _ { 1 } } ,
\frac { \partial } { \partial t } g ( t ) = \varphi ^ { * } ( t ) \frac { \partial } { \partial t } \bar { g } ( t ) + \varphi ^ { * } ( t ) \mathcal { L } _ { \frac { \partial \varphi ( t ) } { \partial t } } \bar { g } ( t ) = - 2 \operatorname { R i c } ( \varphi ^ { * } ( t ) \bar { g } ( t ) ) = - 2 \varphi ^ { * } ( t ) \operatorname { R i c } ( \bar { g } ( t ) ) .
\boxed { \left\langle \mathcal { O } _ { \mathbf { r } , \mu _ { 1 } , \nu _ { 1 } } ^ { R } ( X _ { l } A _ { l } ) \left( \mathcal { O } _ { \mathbf { s } , \mu _ { 2 } , \nu _ { 2 } } ^ { S } ( X _ { l } A _ { l } ) \right) ^ { \dagger } \right\rangle = h \delta ^ { R S } \delta _ { \mathbf { r } \mathbf { s } } \delta _ { \nu _ { 1 } \nu _ { 2 } } \mathcal { O } _ { \mathbf { r } , \mu _ { 1 } , \mu _ { 2 } } ^ { R } ( B _ { l } ) }
A _ { 2 } ^ { \prime } = \int d y \left\langle c \bar { c } V _ { - 1 , - 1 } ( \zeta ^ { ( 1 ) } , k _ { 1 } ) ( c + \bar { c } ) V _ { 0 , 0 } ( \zeta ^ { ( 2 ) } , k _ { 2 } ) ( i y ) \right\rangle .
\begin{array} { r l } { i \partial _ { t } G ^ { < } ( t , t ) } & { { } = [ h ^ { \textrm { H F } } ( t ) , G ^ { < } ( t , t ) ] + I _ { 1 } ^ { < } ( t , t ) - I _ { 2 } ^ { < } ( t , t ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \varphi } \big ( w ( v _ { 1 } \otimes \dots \otimes v _ { d } \otimes y ) \big ) } & { = { \varphi } \big ( ^ { w } ( v _ { 1 } \otimes \dots \otimes v _ { d } ) \otimes ( \mathtt { s g n } ( w ) w y ) \big ) } \\ & { = \mathtt { s g n } ( w ) \sigma _ { V } ^ { \otimes d } \big ( ^ { w } ( v _ { 1 } \otimes \dots \otimes v _ { d } ) \big ) \otimes w y } \\ & { = ^ { w } \big ( \sigma _ { V } ^ { \otimes d } ( v _ { 1 } \otimes \dots \otimes v _ { d } ) \big ) \otimes w y } \\ & { = w { \varphi } ( v _ { 1 } \otimes \dots \otimes v _ { d } \otimes y ) } \end{array}
\begin{array} { l c l c l c l } { { \langle \Delta _ { L / R } \rangle } } & { { = } } & { { \left( \begin{array} { l l } { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { v _ { L / R } } } & { { 0 } } \end{array} \right) \, , } } & { { \; \; \; } } & { { \langle \phi \rangle } } & { { = } } & { { \left( \begin{array} { l c } { { \kappa _ { 1 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \kappa _ { 2 } e ^ { \dot { \imath } \alpha } } } \end{array} \right) \, , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \xi _ { t } = \int _ { 0 } ^ { 1 } \underline { { \lambda } } _ { D ^ { 2 } U \left( \lambda X _ { t } + ( 1 - \lambda ) \bar { X } _ { t } \right) } \mathrm { d } \lambda } & { \ge \underline { { c } } \int _ { 0 } ^ { 1 } U ^ { - r } \left( \lambda X _ { t } + ( 1 - \lambda ) \bar { X } _ { t } \right) \mathrm { d } \lambda } \\ & { \ge \underline { { c } } \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( \lambda U \left( X _ { t } \right) + ( 1 - \lambda ) U \left( \bar { X } _ { t } \right) \right) ^ { - r } \mathrm { d } \lambda } \\ & { \ge \underline { { c } } \left( \int _ { 0 } ^ { 1 } \lambda U \left( X _ { t } \right) + ( 1 - \lambda ) U \left( \bar { X } _ { t } \right) \mathrm { d } \lambda \right) ^ { - r } } \\ & { \ge 2 ^ { r } \underline { { c } } \left( U \left( X _ { t } \right) + U \left( \bar { X } _ { t } \right) \right) ^ { - r } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { Q _ { \alpha } \gamma ( x , y ) } & { = x ^ { \alpha } \gamma ( x , y ) , D _ { x } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \gamma ( x , y ) } & { = \sqrt { x \frac { \partial \gamma ( x , y ) } { \partial x } } . \sqrt { \gamma ( x , y ) } S _ { x } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \gamma ( x , y ) } & { = \sqrt { \int _ { 0 } ^ { x } \frac { \gamma ( x , y ) _ { x = t } } { t } d t } . \sqrt { \gamma ( x , y ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \nabla ^ { \alpha } \phi ) \mathrm { v o l } _ { g } } & { = : \nabla _ { \alpha } B ^ { \alpha } \mathrm { v o l } _ { g } = \mathcal { L } _ { B } \mathrm { v o l } _ { g } = \mathrm { d } ( \imath _ { B } \mathrm { v o l } _ { g } ) , } \\ { \overline { { \theta } } _ { \mathtt { S F } } ( \phi ) } & { = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { x } & { { } = ( - \frac { N _ { x } } { 2 } : \frac { N _ { x } } { 2 } - 1 ) \Delta x } \\ { y } & { { } = ( - \frac { N _ { y } } { 2 } : \frac { N _ { y } } { 2 } - 1 ) \Delta y } \end{array}
\left( \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial t ^ { 2 } } - c _ { o } ^ { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x _ { i } \partial x _ { i } } \right) \left( H ( f ) \rho ^ { \prime } \right) = \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x _ { i } \partial x _ { j } } \left( T _ { i j } H ( f ) \right) - \frac { \partial } { \partial x _ { i } } \left( F _ { i } \delta ( f ) \right) + \frac { \partial } { \partial t } \left( Q \delta ( f ) \right)
\dot { E } ^ { p } ( x , y , z , t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { E ^ { p } } { T _ { p } } \mathcal { F } _ { v } ( x , y , z ) } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } t ^ { \prime } \in \left[ 0 , T _ { p } \right] } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right. \; \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \int _ { V } \mathcal { F } _ { v } d V = 1 \, \mathrm { ~ , ~ }