harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
g ^ { ( 2 ) } ( k _ { \operatorname* { m a x } } , k _ { \operatorname* { m a x } } ) = \frac { e Z } { \Omega \epsilon } \sqrt { \frac { \hbar } { 2 M \omega _ { \mathrm { ~ A ~ } } } } \sqrt { \frac { \hbar } { 2 M \omega _ { \mathrm { ~ O ~ } } } } .
\begin{array} { r l r l r } { \tilde { \mathrm { { C } } } _ { \mathrm { i n c } } ^ { \sigma } = \sigma \sum _ { l m } | C _ { l m } ^ { \sigma } | ^ { 2 } G _ { j _ { l } j _ { l } } , } & { } & { \tilde { \mathrm { { C } } } _ { \mathrm { s c a } } ^ { \sigma } = \sigma \sum _ { l m } | C _ { l m } ^ { \sigma } | ^ { 2 } \mathrm { R e } \{ a _ { l m } { b _ { l m } } ^ { * } \} G _ { h _ { l } h _ { l } } , } & { } & { \tilde { \mathrm { { C } } } _ { \mathrm { i n t } } ^ { \sigma } = \sigma \sum _ { l m } | C _ { l m } ^ { \sigma } | ^ { 2 } \mathrm { R e } \{ \left( a _ { l m } + b _ { l m } \right) G _ { j _ { l } h _ { l } } \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { q } ( T ; X ) } & { = \frac { - 1 } { 2 \bar { q } } \sum _ { i } ^ { \; \; \beta > \beta _ { c } ^ { ( i ) } } \ln \frac { ( 1 + u _ { i } ) ^ { q } } { 1 + ( 1 - \bar { q } ^ { 2 } ) u _ { i } } } \\ { I _ { q } ( T ; Y ) } & { = \frac { - 1 } { 2 \bar { q } } \sum _ { i } ^ { \; \; \beta > \beta _ { c } ^ { ( i ) } } \ln \frac { ( 1 + \lambda _ { i } u _ { i } ) ^ { \bar { q } } ( 1 + u _ { i } ) ^ { q } } { 1 + [ 1 - \bar { q } ^ { 2 } ( 1 - \lambda _ { i } ) ] u _ { i } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ln M ( t _ { d } ) = } & { { } - \frac { 1 } { 2 } G ^ { 2 } \beta _ { G G } ( t _ { d } ) - G \beta _ { 0 G } ( t _ { d } ) \left\langle G _ { 0 } \right\rangle } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { a _ { 1 } ^ { \prime \prime } \equiv d _ { 1 } + d _ { 2 } + \dotsc + d _ { t } \bmod p , } \\ { a _ { 2 } ^ { \prime \prime } \equiv d _ { 1 } ^ { 2 } + d _ { 2 } ^ { 2 } + \dotsc + d _ { t } ^ { 2 } \bmod p , } \\ { \vdots } \\ { a _ { t } ^ { \prime \prime } \equiv d _ { 1 } ^ { t } + d _ { 2 } ^ { t } + \dotsc + d _ { t } ^ { t } \bmod p . } \end{array} \right.
\frac { d } { d t } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { 1 } { 2 } u _ { j } ^ { 2 } | \Omega _ { j } | = \sum _ { j = 1 } ^ { N } u _ { j } \frac { d u _ { j } } { d t } | \Omega _ { j } | = \sum _ { j } u _ { j } N _ { j } | \Omega _ { j } | \le 0 .
S = S ^ { 0 } + \phi _ { i } ^ { * } R ^ { i } { } _ { a } c ^ { a } + ( - ) ^ { b } \frac { 1 } { 2 } c _ { a } ^ { * } T _ { b c } ^ { a } c ^ { c } c ^ { b } + ( - ) ^ { i + a } \frac { 1 } { 4 } \phi _ { i } ^ { * } \phi _ { j } ^ { * } E _ { a b } ^ { j i } c ^ { b } c ^ { a } + . . . \ .
\begin{array} { r l } { \hat { S } _ { 2 } = } & { \mathcal { P } \hat { H } _ { \Omega } \hat { \mathcal { D } } \hat { H } _ { \Omega } \hat { \mathcal { D } } - \hat { \mathcal { D } } \hat { H } _ { \Omega } \hat { \mathcal { D } } \hat { H } _ { \Omega } \hat { \mathcal { P } } - \hat { \mathcal { P } } \hat { H } _ { \Omega } \hat { \mathcal { P } } \hat { H } _ { \Omega } \hat { \mathcal { D } } ^ { 2 } } \\ & { + \hat { \mathcal { D } } ^ { 2 } \hat { H } _ { \Omega } \hat { \mathcal { P } } \hat { H } _ { \Omega } \hat { \mathcal { P } } . } \end{array}
\| u \| _ { C _ { \phi , \varphi } ^ { k , \alpha } ( \Omega ) } : = \operatorname* { s u p } _ { x \in \Omega } \big ( \sum _ { j = 0 } ^ { k } \varphi ( x ) \phi ^ { j } ( x ) \| \mathring \nabla ^ { j } u \| _ { C ^ { 0 } ( B _ { \phi ( x ) } ( x ) ) } + \varphi ( x ) \phi ^ { k + \alpha } ( x ) [ \mathring \nabla ^ { k } u ] _ { 0 , \alpha ; B _ { \phi ( x ) } ( x ) } \big )
{ \frac { d { e } _ { 1 } ( s ) } { d s } } = - { e } _ { 2 } ^ { * } ( s ) e _ { 3 } ( s ) , \quad { \frac { d { e } _ { 2 } ( s ) } { d s } } = - { e } _ { 1 } ^ { * } ( s ) { e } _ { 3 } ( s ) , \quad { \frac { d { e } _ { 3 } ( s ) } { d s } } = - { e } _ { 1 } ( s ) e _ { 2 } ( s ) .
\begin{array} { r l } & { \quad \left\| \mathrm { s i g n } ( A ) - P _ { \varepsilon _ { \mathrm { s i g n } } , \Delta } ^ { \mathrm { s i g n } } ( \tilde { A } ) \right\| } \\ & { \leq \left\| \mathrm { s i g n } ( A ) - P _ { \varepsilon _ { \mathrm { s i g n } } , \Delta } ^ { \mathrm { s i g n } } ( A ) \right\| + \left\| P _ { \varepsilon _ { \mathrm { s i g n } } , \Delta } ^ { \mathrm { s i g n } } ( A ) - P _ { \varepsilon _ { \mathrm { s i g n } } , \Delta } ^ { \mathrm { s i g n } } ( \tilde { A } ) \right\| } \\ & { \leq \varepsilon _ { \mathrm { s i g n } } + \sqrt { 3 } D \varepsilon _ { \mathrm { t r i } } \equiv \varepsilon ^ { \prime } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { N - 1 , N - 3 } } & { = \frac { 1 } { r ( N - 1 ) + 1 } , } \\ { p _ { N - 1 , N } } & { = \frac { 2 r } { r ( N - 1 ) + 1 } , } \\ { p _ { N - 1 , N - 1 } } & { = 1 - p _ { N - 1 , N - 3 } - p _ { N - 1 , N } = \frac { r ( N - 3 ) } { r ( N - 1 ) + 1 } , } \\ { p _ { N - 1 , j } } & { = 0 \mathrm { ~ i f ~ } j \neq N - 3 , N - 1 , N . } \end{array}
\begin{array} { r } { F ( \mu _ { 0 } , \mu _ { 1 } , \mu _ { 2 } , \mu _ { 3 } ) = \left( \begin{array} { c c c c } { \frac 1 { \mu _ { 0 } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac 1 { \mu _ { 1 } } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \frac 1 { \mu _ { 2 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \frac 1 { \mu _ { 3 } } } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \sigma _ { \textup { e f f } } \equiv \int _ { E _ { \textup { t h r e s h o l d } } ^ { \textup { r e c o i l } } } ^ { E _ { R } ^ { \textup { m a x } } } \frac { d \sigma } { d E _ { R } } \, \epsilon \, d E _ { R } \, , } \end{array}
\mathbb { P } ( \mathcal { D } | \boldsymbol { \vartheta } ) = \prod _ { n = 1 } ^ { N _ { s } } \mathbb { P } ( \boldsymbol { P } _ { n } ^ { * } | \boldsymbol { \vartheta } , \boldsymbol { \varphi } _ { n } ^ { * } ) .
\begin{array} { r l } { Q _ { \mathrm { e v } } } & { = Q _ { 0 } \left( \frac { T _ { \infty } } { T _ { \mathrm { i } } } 1 0 ^ { B \left( [ C + T _ { \infty } ] ^ { - 1 } - [ C + T _ { \mathrm { i } } ] ^ { - 1 } \right) } - \mathcal { R } _ { \mathrm { H } } \right) , } \\ { \tau } & { = \tau _ { 0 } \left( \frac { T _ { \infty } } { T _ { \mathrm { i } } } 1 0 ^ { B \left( [ C + T _ { \infty } ] ^ { - 1 } - [ C + T _ { \mathrm { i } } ] ^ { - 1 } \right) } - \mathcal { R } _ { \mathrm { H } } \right) ^ { - 1 } , } \end{array}
\mathrm { L i } _ { 2 } ( e ^ { 2 \pi i p / q } ) = \frac { 1 } { q ^ { 2 } } \sum _ { k = 1 } ^ { q - 1 } e ^ { 2 \pi i k p / q } ~ \psi ^ { ( 1 ) } \left( \frac { k } { q } \right) + \frac { \pi ^ { 2 } } { 6 q ^ { 2 } } ,
\mathbf { A } = { \left[ \begin{array} { l l l l } { \mathbf { A } _ { 1 1 } } & { \mathbf { A } _ { 1 2 } } & { \cdots } & { \mathbf { A } _ { 1 s } } \\ { \mathbf { A } _ { 2 1 } } & { \mathbf { A } _ { 2 2 } } & { \cdots } & { \mathbf { A } _ { 2 s } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \mathbf { A } _ { q 1 } } & { \mathbf { A } _ { q 2 } } & { \cdots } & { \mathbf { A } _ { q s } } \end{array} \right] }
\begin{array} { r l } { [ c ] \alpha _ { 1 } - 1 } & { = - \frac { 2 } { \lambda } + \frac { 2 } { \lambda ^ { 2 } } + \frac { 8 } { \lambda ^ { 3 } } + \dots , } \\ { \alpha _ { 2 } - 1 } & { = - 1 - \frac { 1 } { \lambda } + \frac { 5 } { \lambda ^ { 3 } } + \dots , } \\ { \alpha _ { 3 } - 1 } & { = - 2 - \frac { 2 } { \lambda } - \frac { 2 } { \lambda ^ { 2 } } + \frac { 8 } { \lambda ^ { 3 } } + \dots , } \\ { \alpha _ { 4 } - 1 } & { = \lambda - 1 + \frac { 5 } { \lambda } + \dots . } \end{array} \quad \begin{array} { r l } { [ c ] \alpha _ { 1 } + 1 } & { = 2 - \frac { 2 } { \lambda } + \frac { 2 } { \lambda ^ { 2 } } + \frac { 8 } { \lambda ^ { 3 } } + \dots , } \\ { \alpha _ { 2 } + 1 } & { = 1 - \frac { 1 } { \lambda } + \frac { 5 } { \lambda ^ { 3 } } + \dots , } \\ { \alpha _ { 3 } + 1 } & { = - \frac { 2 } { \lambda } - \frac { 2 } { \lambda ^ { 2 } } + \frac { 8 } { \lambda ^ { 3 } } + \dots , } \\ { \alpha _ { 4 } + 1 } & { = \lambda + 1 + \frac { 5 } { \lambda } + \dots , } \end{array}
\frac { E \, d \delta \hat { \sigma } _ { a b } ^ { c } } { d p ^ { 3 } } \equiv \frac { 1 } { 2 } \Bigg [ \frac { E \, d \delta \hat { \sigma } _ { a b } ^ { c } } { d p ^ { 3 } } ( \uparrow \uparrow ) - \frac { E \, d \delta \hat { \sigma } _ { a b } ^ { c } } { d p ^ { 3 } } ( \uparrow \downarrow ) \Bigg ] \; .
\begin{array} { r } { \widetilde \Xi ( \mathcal { Q } _ { I , \infty } ) = \sum _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } = 0 } ^ { \infty } C _ { I - i _ { 1 } , i _ { 1 } } C _ { I - i _ { 2 } , i _ { 2 } } \sum _ { j = \operatorname* { m a x } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) } ^ { \infty } \frac { \sigma _ { j } ^ { 2 } } { \mu _ { j } } \prod _ { l = \operatorname* { m a x } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) , l \neq j } ^ { \infty } f _ { l } ^ { 2 } \prod _ { m = \operatorname* { m i n } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) } ^ { \operatorname* { m a x } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) - 1 } f _ { m } = O _ { P } ( 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \eta _ { 4 k n - 4 k + 1 + i } = } & { \eta _ { i - 4 k + 1 } \prod _ { s = 0 } ^ { n - 1 } \frac { a ^ { k s + \lfloor \frac { i } { 4 } \rfloor } + b \left( \prod _ { j = 0 } ^ { k - 1 } { \eta _ { \tau ( i ) - 4 k + 1 + 4 j } } \right) ( \frac { 1 - a ^ { k s + \lfloor \frac { i } { 4 } \rfloor } } { 1 - a } ) } { a ^ { k s + \lfloor \frac { i } { 4 } \rfloor + 1 } + b \left( \prod _ { j = 0 } ^ { k - 1 } { \eta _ { \tau ( i ) - 4 k + 1 + 4 j } } \right) ( \frac { 1 - a ^ { k s + \lfloor \frac { i } { 4 } \rfloor + 1 } } { 1 - a } ) } } \end{array}
\Gamma ( \mathbf { r } , \mathbf { r } _ { 2 } ; \mathbf { r } , \mathbf { r } _ { 2 } ) = P ( \mathbf { r } , \mathbf { r } _ { 2 } ) = \frac { 1 } { 2 } \rho ^ { W F } ( \mathbf { r } ) \big [ \rho ^ { W F } ( \mathbf { r } _ { 2 } ) + \rho _ { X C } ^ { W F } ( \mathbf { r } , \mathbf { r } _ { 2 } ) \big ]
\begin{array} { r l } { U _ { S } ( \xi ) } & { = \int _ { Y } \int _ { \Theta } p ( y | \xi ) \cdot p ( \theta | y , \xi ) \cdot \log \frac { p ( \theta | y , \xi ) } { p ( \theta ) } \, d \theta \, d y } \\ & { = \int _ { Y } \int _ { \Theta } p ( y | \xi ) \cdot p ( \theta | y , \xi ) \cdot \log ( p ( \theta | y , \xi ) ) \, d \theta \, d y - \int _ { Y } \int _ { \Theta } \underbrace { p ( y | \xi ) \cdot p ( \theta | y , \xi ) } _ { { p ( \theta , y | \xi ) = p ( \theta ) p ( y | \theta , \xi ) } } \cdot \log ( p ( \theta ) ) \, d \theta \, d y } \\ & { = \int _ { Y } p ( y | \xi ) \int _ { \Theta } p ( \theta | y , \xi ) \cdot \log ( p ( \theta | y , \xi ) ) \, d \theta \, d y - \int _ { \Theta } p ( \theta ) \cdot \log ( p ( \theta ) ) \int _ { Y } p ( y | \theta , \xi ) \, d y \, d \theta } \\ & { = - \mathbb { E } _ { Y \sim p ( y | \xi ) } \{ H ( \Theta | Y , \xi ) \} + H ( \Theta ) } \\ & { = I ( \Theta ; Y | \xi ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla \times \mathbf { H } _ { k } + \nabla \times \mathbf { H } _ { k - 1 } + j \omega \mathbf { D } _ { k } } & { { } = \mathbf { J } _ { k } } \\ { \nabla \times \mathbf { E } _ { k } + \nabla \times \mathbf { E } _ { k - 1 } - j \omega \mathbf { B } _ { k } } & { { } = 0 } \\ { \nabla \cdot \mathbf { D } _ { k } + \nabla \cdot \mathbf { D } _ { k - 1 } } & { { } = \rho _ { k } } \\ { \nabla \cdot \mathbf { B } _ { k } + \nabla \cdot \mathbf { B } _ { k - 1 } } & { { } = 0 } \\ { \nabla \cdot \mathbf { J } _ { k } + \nabla \cdot \mathbf { J } _ { k - 1 } - j \omega \rho _ { k } } & { { } = 0 \, , } \end{array}
W ( x ) = { \cal W } ( x , 0 ) = \langle \, 0 | \phi ( x ) \phi ( 0 ) | 0 \, \rangle = \Delta _ { + } ( x ) = { \displaystyle \int \! \! \frac { \mathrm { d } ^ { 4 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } } \, \, \delta ( k ^ { 2 } - m ^ { 2 } ) \, \theta ( k ^ { 0 } ) \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } k x } \, .
\begin{array} { r l } { \sum _ { k \geq 1 } \frac { c _ { k } d _ { k } } { \alpha _ { k } } = } & { \langle \mathcal { A } ^ { - 1 } \lambda _ { c } , \lambda _ { d } \rangle _ { L ^ { 2 } ( [ 0 , 1 ] ) } = \langle \mathcal { A } ^ { - 1 } \lambda _ { c } , \mathcal { A } \mathtt { 1 } \rangle _ { L ^ { 2 } ( [ 0 , 1 ] ) } = \langle \lambda _ { c } , \mathcal { A } ^ { - 1 } \mathcal { A } \mathtt { 1 } \rangle _ { L ^ { 2 } ( [ 0 , 1 ] ) } } \\ { = } & { \langle \lambda _ { c } , \mathtt { 1 } \rangle _ { L ^ { 2 } ( [ 0 , 1 ] ) } = \int _ { 0 } ^ { 1 } \lambda _ { c } ( x ) \mathtt { 1 } ( x ) d x = \gamma . } \end{array}
\mathrm { ~ V ~ a ~ r ~ } _ { \chi } [ \mathcal { I } _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ c ~ } } ( \sigma , \eta ) ] = \mathbb { E } _ { \chi } [ | \mathcal { F } _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ c ~ } } ( \sigma , \eta ) | ^ { 2 } ] - | \mathbb { E } _ { \chi } [ \mathcal { F } _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ c ~ } } ( \sigma , \eta ) ] | ^ { 2 } = 1 - ( 1 - \mathcal { I } ) ^ { 2 } = 2 \mathcal { I } - \mathcal { I } ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { \Phi _ { t + 1 } - \Phi _ { t } } & { \leq \operatorname* { P r } _ { x \sim X } [ x \in Q _ { t } ] \Big ( V ( \gamma ^ { \prime } , Y _ { Q _ { t } } ) ( \gamma ^ { \prime } - \gamma _ { t } ^ { * } ) - \frac { ( V ( \gamma , Y _ { Q _ { t } } ) ) ^ { 2 } } { 2 L } \Big ) } \\ & { \leq \operatorname* { P r } _ { x \sim X } [ x \in Q _ { t } ] \Big ( | V ( \gamma ^ { \prime } , Y _ { Q _ { t } } ) | | \gamma ^ { \prime } - \gamma _ { t } ^ { * } | - \frac { ( V ( \gamma , Y _ { Q _ { t } } ) ) ^ { 2 } } { 2 L } \Big ) } \\ & { \leq \operatorname* { P r } _ { x \sim X } [ x \in Q _ { t } ] \Big ( L | \gamma ^ { \prime } - \gamma _ { t } ^ { * } | ^ { 2 } - \frac { ( V ( \gamma , Y _ { Q _ { t } } ) ) ^ { 2 } } { 2 L } \Big ) , } \end{array}
{ \frac { \operatorname { V o l } ( B _ { \varepsilon } ( p ) \subset M ) } { \operatorname { V o l } \left( B _ { \varepsilon } ( 0 ) \subset { \mathbb { R } } ^ { n } \right) } } = 1 - { \frac { S } { 6 ( n + 2 ) } } \varepsilon ^ { 2 } + O \left( \varepsilon ^ { 4 } \right) .
\begin{array} { r l r } { \frac { d } { d t } \hat { \boldsymbol D } } & { { } = } & { - \frac { g _ { a \gamma \gamma } } { \hbar c ^ { 2 } } \hat { \pi } ( t ) { \boldsymbol B } + c ^ { 2 } \boldsymbol \nabla \times { \boldsymbol B } _ { f } + c ^ { 2 } \boldsymbol \nabla \times { \boldsymbol M } + \mathcal O \left( g _ { a \gamma \gamma } \hat { \boldsymbol B } _ { f } \right) , } \\ { \frac { d } { d t } \hat { \boldsymbol B } _ { f } } & { { } = } & { - \boldsymbol \nabla \times { \boldsymbol D } , } \end{array}
\begin{array} { r } { z _ { h } ^ { \textit { r t } } = \boldsymbol { \mathcal { A } } _ { h } ( \cdot , \nabla _ { \! h } u _ { h } ^ { \textit { c r } } ) - \frac { f _ { h } } { d } \big ( \textup { i d } _ { \mathbb { R } ^ { d } } - \Pi _ { h } \textup { i d } _ { \mathbb { R } ^ { d } } \big ) \quad \mathrm { ~ i n ~ } \mathcal { R } T _ { N } ^ { 0 } ( \mathcal { T } _ { h } ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { a _ { h } ^ { V M S } ( ( \underline { { \underline { { \sigma } } } } _ { h } , \underline { { \underline { { g } } } } _ { h } ) , ( \underline { { \underline { { \tau } } } } _ { h } , \underline { { \underline { { l } } } } _ { h } ) ) = } & { { } \sum _ { T \in \mathcal { T } } \bigg ( \int _ { T } \frac { 1 } { 2 ( \nu + \nu _ { t } ) } \big ( \underline { { \underline { { \sigma } } } } _ { h } + 2 \nu _ { t } \underline { { \underline { { g } } } } _ { h } \big ) : ( \underline { { \underline { { \tau } } } } _ { h } + 2 \nu _ { t } \underline { { \underline { { l } } } } _ { h } ) \: d \underline { { x } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { j } & { = i _ { 0 } ( c _ { s , i } ) \, \psi ( \Delta \phi , c _ { s , i } ) , \qquad \textrm { w h e r e } } \\ { i _ { 0 } ( c _ { s , i } ) ) } & { = F k _ { 0 } c _ { e } ^ { \alpha _ { a } } \left( c _ { s , i , m a x } - c _ { s , i } \right) ^ { \alpha _ { a } } c _ { s , i } ^ { \alpha _ { c } } , } \\ { \psi ( \Delta \phi , c _ { s , i } ) ) } & { = \exp \left[ \frac { \alpha _ { a } F } { R T } \left( \Delta \phi - { U _ { e q } ^ { i } } ( c _ { s , i } ) \right) \right] - \exp \left[ - \frac { \alpha _ { c } F } { R T } \left( \Delta \phi - { U _ { e q } ^ { i } } ( c _ { s , i } ) \right) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { 3 } \, } & { { } = \, - \frac { 1 } { 3 2 } ( R + R ^ { \prime } ) \Bigl ( ( R - R ^ { \prime } ) ^ { 2 } + 3 ( Z - Z ^ { \prime } ) ^ { 2 } \Bigr ) \, , } \\ { Q _ { 3 } \, } & { { } = \, - \frac { 1 } { 4 8 } ( R + R ^ { \prime } ) \Bigl ( ( R + R ^ { \prime } ) ^ { 2 } - 6 ( Z - Z ^ { \prime } ) ^ { 2 } \Bigr ) \, , } \end{array}
\begin{array} { c } { { W = X _ { A C } X _ { C D } X _ { D A } - X _ { A C } X _ { C B } X _ { B A } + X _ { C A } X _ { A B } X _ { B C } - X _ { C A } X _ { A D } X _ { D C } } } \\ { { + X _ { B D } X _ { D C } X _ { C B } - X _ { B D } X _ { D A } X _ { A B } - X _ { D B } X _ { B C } X _ { C D } , } } \end{array}
\begin{array} { r } { \sqrt { k } ( \widehat { R } _ { k , n } - R _ { k , n } ) = \sqrt { k } \left( \ln \frac { k } { n } - \ln ( 1 - F _ { 0 } ( X _ { ( n - k ) } ) ) \right) } \\ { - \frac { 1 } { \sqrt { k } } \sum _ { i = n - k + 1 } ^ { n } \left[ \ln \left( 1 - F _ { 0 } \Big ( u _ { 0 } + \frac { X _ { ( i ) } - X _ { ( n - k ) } } { X _ { ( n - k ) } - X _ { ( n - 2 k ) } } ( u _ { 0 } - \hat { u } _ { 0 } ) \Big ) \right) - \ln ( 1 - F _ { 0 } ( X _ { ( i ) } ) ) \right] , } \end{array}
a ^ { \prime } ( t ; s ) = \mathbb { 1 } _ { ( - \infty , \bar { t } ) } ( t ) a _ { 0 } ^ { \prime } ( t ) s + \mathbb { 1 } _ { ( \bar { t } , \infty ) } ( t ) a _ { 1 } ^ { \prime } ( t ) s + \mathbb { 1 } _ { \{ \bar { t } \} } ( t ) [ \mathbb { 1 } _ { ( 0 , \infty ) } ( s ) a _ { 1 } ^ { \prime } ( \bar { t } ) s + \mathbb { 1 } _ { ( - \infty , 0 ) } ( s ) a _ { 0 } ^ { \prime } ( \bar { t } ) s ] .
{ \textstyle \bigwedge } ( V ) = { \textstyle \bigwedge } ^ { \! 0 } ( V ) \oplus { \textstyle \bigwedge } ^ { \! 1 } ( V ) \oplus { \textstyle \bigwedge } ^ { \! 2 } ( V ) \oplus \cdots \oplus { \textstyle \bigwedge } ^ { \! n } ( V )
{ \frac { g _ { \tiny \mathrm { U V } } ^ { ( a ) } } { g _ { \tiny \mathrm { I R } } ^ { ( a ) } } } = { \frac { \sin { \frac { \pi a } { k + l + 2 } } } { \sin { \frac { \pi } { k + l + 2 } } } } { \frac { \sin { \frac { \pi } { k + 2 } } } { \sin { \frac { \pi a } { k + 2 } } } } = { \frac { g _ { ( 1 , a ) } ^ { [ l , k ] } } { g _ { ( a , 1 ) } ^ { [ l , k ] } } } ,
\begin{array} { l } { \displaystyle { z ( x ) = z _ { 1 } + \frac { r ( z _ { 2 } - z _ { 1 } ) } { r - \mathrm { s n } ^ { 2 } \Big ( \displaystyle { s \, \frac { x } { \xi } } , m \Big ) } , } } \end{array}
\left( \begin{array} { l } { { \bf \tilde { a } } } \\ { { \bf \tilde { q } } _ { 1 } } \\ { { \bf \tilde { q } } _ { 2 } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l l } { { \bf G } _ { 0 0 } } & { { \bf G } _ { 0 1 } } & { { \bf G } _ { 0 2 } } \\ { { \bf G } _ { 1 0 } } & { { \bf G } _ { 1 1 } } & { { \bf G } _ { 1 2 } } \\ { { \bf G } _ { 2 0 } } & { { \bf G } _ { 2 1 } } & { { \bf G } _ { 2 2 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { { \bf \tilde { f } } _ { 0 } } \\ { { \bf \tilde { f } } _ { 1 } } \\ { { \bf \tilde { f } } _ { 2 } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l r } { T _ { s } ( z ) } & { { } = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } [ H ( z - z ^ { i } ) - H ( z - z ^ { i + 1 } ) ] \, S ( T _ { s } ^ { i } , T _ { s } ^ { i + 1 } , b _ { s } ^ { i } , b _ { s } ^ { i + 1 } , z ^ { i } , z ^ { i + 1 } , z ) , } \\ { T _ { l } ( z ) } & { { } = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } [ H ( z - z ^ { i } ) - H ( z - z ^ { i + 1 } ) ] \, S ( T _ { l } ^ { i } , T _ { l } ^ { i + 1 } , b _ { l } ^ { i } , b _ { l } ^ { i + 1 } , z ^ { i } , z ^ { i + 1 } , z ) , } \end{array}
\mathcal { M } _ { s p a c e -- t i m e } = \left\{ \begin{array} { l c l } { { A d S _ { p + 2 } } } & { { ; } } & { { \mathrm { n e g a t i v e ~ c u r v a t u r e } } } \\ { { \mathrm { M i n k o w s k i _ { p + 2 } } } } & { { ; } } & { { \mathrm { z e r o ~ c u r v a t u r e } } } \\ { { \mathrm { d S _ { p + 2 } } } } & { { ; } } & { { \mathrm { p o s i t i v e ~ c u r v a t u r e } \ } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { H _ { D } } & { { } = } & { - K _ { L L } \, \sum _ { a \neq b = 1 } ^ { 4 } \, ( \vec { Q } _ { L i } \times \vec { Q } _ { L j } ) ^ { 2 } - K _ { L R } \, \sum _ { a \neq b = 1 } ^ { 4 } \, ( \vec { Q } _ { L i } \times \vec { Q } _ { R j } ) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { E _ { \mathrm { ~ c ~ a ~ l ~ 2 ~ } } = a _ { 1 } ^ { \prime } E _ { \mathrm { ~ c ~ a ~ l ~ 1 ~ } } + a _ { 2 } ^ { \prime } E _ { \mathrm { ~ c ~ a ~ l ~ 1 ~ } } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { A _ { \Omega } ( z ) = \mathsf { F } [ A ( z , t ) ] \equiv \frac { 1 } { T } \int _ { - T / 2 } ^ { T / 2 } A ( z , t ) \, e ^ { i \Omega t } ~ \mathrm { { d } } t , } \\ & { A ( z , t ) = \mathsf { F } ^ { - 1 } [ A _ { \Omega } ( z ) ] \equiv \sum _ { \Omega } A _ { \Omega } ( z ) \, e ^ { - i \Omega t } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { P } _ { s } ( z ) } & { = \sum _ { j = - \infty } ^ { \infty } B _ { j } e ^ { i k _ { j } z } , } \\ { B _ { - j } } & { = \bar { B } _ { j } , } \\ { B _ { j } } & { = \frac { \mathcal { P } _ { j } } { 2 } - i \frac { \tilde { \mathcal { P } } _ { j } } { 2 } \mathrm { ~ , ~ } j > 0 , } \\ { B _ { 0 } } & { = \mathcal { P } _ { 0 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { F _ { 1 } ( x , Q ^ { 2 } ) } & { { } } & { = \frac { M } { \alpha _ { \mathrm { e m } } } \sum _ { q } e _ { q } ^ { 2 } f _ { q } ( x ) , } \\ { F _ { 2 } ( x , Q ^ { 2 } ) } & { { } } & { = 2 x F _ { 1 } ( x , Q ^ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \Phi _ { \sigma } ( \beta _ { \sigma } ) < b < \Phi _ { \sigma } ( \zeta _ { \sigma } ) , \qquad \mathrm { ~ f o r ~ } \quad \sigma \in ( \underline { \sigma } , \sigma _ { 0 } ] , } \\ { \Phi _ { \sigma } ( \alpha _ { \sigma } ) < b < \Phi _ { \sigma } ( \zeta _ { \sigma } ) , \qquad \mathrm { ~ f o r ~ } \quad \sigma \in [ \sigma _ { 0 } , \overline { \sigma } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { H } \left[ \left\Vert \left( I - \frac { \eta _ { l } } { b } H \right) e _ { 1 } \right\Vert ^ { 2 } \right] } & { = \mathbb { E } \left[ 1 - \frac { 2 \eta _ { l } \sigma ^ { 2 } } { b } X + \frac { \eta _ { l } ^ { 2 } \sigma ^ { 4 } } { b ^ { 2 } } ( X ^ { 2 } + X Y ) \right] } \\ & { = 1 - 2 \eta _ { l } \sigma ^ { 2 } + \frac { \eta _ { l } ^ { 2 } \sigma ^ { 4 } } { b } ( d + b + 1 ) , } \end{array}
\begin{array} { l } { { \displaystyle { \cal L } ( { \bf R } , { \bf \dot { R } } , \nu , { \dot { \nu } } ) = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { I } M _ { l } { \dot { R } } _ { I } ^ { 2 } - { \cal U } _ { \mathrm { B O + U } } ( { \bf R } , \nu ) } } \\ { ~ ~ } \\ { { \displaystyle ~ + \frac { \mu } { 2 } \mathrm { t r } [ { \dot { \nu } } ^ { 2 } ] - \frac { \mu \omega ^ { 2 } } { 2 } \mathrm { t r } [ ( \varrho _ { \mathrm { 0 } } [ \nu ] - \nu ) ^ { T } { \cal T } ( \varrho _ { 0 } [ \nu ] - \nu ) ] } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Big \langle [ [ L _ { b } , t _ { b , * } ] , t _ { b , * } ] ( \dot { g } _ { 1 } ^ { \prime } , \dot { A } _ { 1 } ^ { \prime } ) + 2 [ L _ { b } , t _ { b , * } ] ( \check { g } _ { 1 } ^ { \prime } , \check { A } _ { 1 } ^ { \prime } ) , \ ( \dot { g } _ { 1 } ^ { * } , \dot { A } _ { 1 } ^ { * } ) \Big \rangle } \\ & { \quad = \Big \langle [ [ L _ { b } , t _ { b , * } ] , t _ { b , * } ] ( \check { g } _ { 1 } , \check { A } _ { 1 } ) - [ [ L _ { b } , t _ { b , * } ] , t _ { b , * } ] ( \dot { g } _ { 2 } , \dot { A } _ { 2 } ) + 2 [ L _ { b } , t _ { b , * } ] ( \bar { \dot { g } } , \bar { \dot { A } } ) , \ ( \dot { g } _ { 1 } ^ { * } , \dot { A } _ { 1 } ^ { * } ) \Big \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { 4 } ( x ) } & { = \frac { 1 } { U _ { 4 } ( x ) } \left( \begin{array} { l l l l } { { P _ { 4 } ( x ) } } & { { C _ { 3 } ( x ) } } & { { C _ { 2 } ( x ) } } & { { C _ { 1 } ( x ) } } \\ { { C _ { 3 } ( x ) } } & { { P _ { 4 } ( x ) } + { C _ { 2 } ( x ) } } & { { C _ { 1 } ( x ) } + { C _ { 3 } ( x ) } } & { { C _ { 2 } ( x ) } } \\ { { C _ { 2 } ( x ) } } & { { C _ { 1 } ( x ) } + { C _ { 3 } ( x ) } } & { { P _ { 4 } ( x ) } + { C _ { 2 } ( x ) } } & { { C _ { 3 } ( x ) } } \\ { { C _ { 1 } ( x ) } } & { { C _ { 2 } ( x ) } } & { { C _ { 3 } ( x ) } } & { { P _ { 4 } ( x ) } } \end{array} \right) . } \end{array}