harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { - \overline { { \delta u _ { \parallel } ^ { n } ( \delta u _ { i } ^ { n } ) ^ { 2 } } } - \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { r } s ^ { 2 } { \cal L S } ^ { n } d s + 2 \nu _ { n } \frac { d } { d r } \overline { { ( \delta u _ { i } ^ { n } ) ^ { 2 } } } = \frac { 4 } { 3 } \overline { { \epsilon } } ^ { n } r , } \end{array}
T _ { C } = 2 . 3 6 7 \, s , \, \quad \, T _ { P } \left( { \varepsilon = 0 . 6 } \right) = 2 . 2 0 6 \, s , \quad \, T _ { P } \left( { \varepsilon = 0 . 3 } \right) = 2 . 3 3 1 \, s .
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } ( Q ) } & { \ge \frac { \mathbb { P } ( \sigma _ { i } \sigma _ { k } \ne \sigma _ { i } ^ { \prime } \sigma _ { k } ^ { \prime } ) + \mathbb { P } ( \sigma _ { i } ^ { \prime } \sigma _ { k } ^ { \prime } \ne \sigma _ { i } ^ { \prime \prime } \sigma _ { k } ^ { \prime \prime } ) } { 4 r } } \\ & { \ge \frac { \mathbb { P } ( \sigma _ { i } \sigma _ { k } \ne \sigma _ { i } ^ { \prime \prime } \sigma _ { k } ^ { \prime \prime } ) } { 4 r } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \frac { 1 } { c ^ { 2 } ( x ) } \partial _ { t } ^ { 2 } \mathcal { U } ^ { ( N ) } - \Delta \mathcal { U } ^ { ( N ) } - B _ { N } ( \beta _ { 1 } , \ldots , \beta _ { N - 1 } ; u _ { 1 } , \ldots , u _ { N } ) } & { = 0 , } & { \ } & { \mathrm { i n ~ } ( 0 , T ) \times \Omega , } \\ { \mathcal { U } ^ { ( N ) } } & { = 0 , } & { \ } & { \mathrm { o n ~ } ( 0 , T ) \times \partial \Omega , } \\ { \mathcal { U } ^ { ( N ) } = { \partial _ { t } \mathcal { U } ^ { ( N ) } } } & { = 0 , } & { \ } & { \mathrm { o n ~ } \{ t = 0 \} , } \end{array}
{ \cal L } = \partial _ { + } \phi \partial _ { - } \phi - \frac { 1 } { 2 } ( \vec { \nabla } \phi ) ^ { 2 } - \frac { m ^ { 2 } } { 2 } \phi ^ { 2 } - \frac { \lambda } { 4 ! } \phi ^ { 4 }
T ( P _ { 3 } ) = \mathrm { e x p } \left( - { \frac { \sigma _ { u n } } { \lambda _ { t h . } } } \lambda N d \right) \mathrm { c o s h } \left( { \frac { \sigma _ { p } } { \lambda _ { t h } } } \lambda P _ { 3 } N d \right) .
\left[ D \, { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } m } } , m \right] = D \, { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } m } } \, m - m \, D \, { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } m } } = D + m \, D \, { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } m } } - m \, D \, { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } m } } = D .
\begin{array} { r l } { \vec { S } _ { \mathrm { ~ p ~ - ~ p ~ o ~ l ~ } } } & { { } = \frac { 1 } { \mu _ { 0 } } \left( E _ { y } B _ { z } , - E _ { x } B _ { z } , 0 \right) ^ { \top } } \\ { \Rightarrow \vec { S } _ { \mathrm { ~ p ~ - ~ p ~ o ~ l ~ } } ^ { \prime } } & { { } = \frac { 1 } { \mu _ { 0 } } ( E _ { y } ^ { \prime } B _ { z } ^ { \prime } , \underbrace { - E _ { x } ^ { \prime } B _ { z } ^ { \prime } } _ { = 0 } , 0 ) ^ { \top } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { H _ { n m } ( x , p ) } & { { } = } & { \langle \alpha | n \rangle \langle m | \alpha \rangle = \frac { 1 } { \sqrt { n ! m ! } } e ^ { - \frac { x ^ { 2 } + p ^ { 2 } } { 2 \lambda } } \Big ( \frac { x - i p } { \sqrt { 2 \lambda } } \Big ) ^ { n } \Big ( \frac { x + i p } { \sqrt { 2 \lambda } } \Big ) ^ { m } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \bar { \Theta } \equiv 4 \sqrt { \frac { 2 } { \pi } } \left| \int _ { 0 } ^ { \bar { z } } d \bar { z } ^ { \prime } \bar { \tilde { B } } ( \bar { z } ) \right| \left( \frac { \bar { \omega } } { \langle \bar { v } _ { \perp } \rangle } \right) ^ { 3 / 2 } \bar { E } _ { 0 } ^ { 1 / 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bigl ( D _ { 0 } ^ { ( i ) } \bigr ) ^ { 2 } } & { \leq { \bf 1 } _ { i = 1 } \frac { C \varepsilon _ { m - 1 } ^ { 4 \delta } \mathcal { F } ^ { 4 } } { \mathsf { A } _ { m - 1 , 1 } ^ { 2 } } + { \bf 1 } _ { i \geq 2 } \biggl ( \frac { C \mathsf { A } _ { m - 1 , i - 1 } ^ { 2 } } { \mathsf { A } _ { m - 1 , i } ^ { 2 } } \Bigl ( \varepsilon _ { m - 1 } ^ { 4 \delta } \mathcal { F } ^ { 4 } + \varepsilon _ { m - 1 } ^ { 2 \delta } \mathcal { F } ^ { 2 } \Bigr ) + \frac { C \mathsf { A } _ { m - 1 , i - 2 } ^ { 2 } } { \mathsf { A } _ { m - 1 , i } ^ { 2 } } \varepsilon _ { m - 1 } ^ { 4 \delta } \mathcal { F } ^ { 4 } \biggr ) } \\ & { \leq { \bf 1 } _ { i \in \{ 1 , 2 \} } \frac { C } { C _ { 0 } ^ { 2 } } + { \bf 1 } _ { i = 2 } C \varepsilon _ { m - 1 } ^ { 2 \delta } \mathcal { F } ^ { 2 } \bigl ( 1 + \varepsilon _ { m - 1 } ^ { 2 \delta } \mathcal { F } ^ { 2 } \bigr ) + { \bf 1 } _ { i \geq 3 } \frac { C \bigl ( 1 + \varepsilon _ { m - 1 } ^ { 2 \delta } \mathcal { F } ^ { 2 } \bigr ) } { C _ { 0 } } \leq \frac { 2 C } { C _ { 0 } } \, . } \end{array}
{ \cal E } ^ { ( 0 ) } ( J ) = 4 \ln J + 4 \gamma _ { E } - 2 \ln 2 - \frac { 3 } { 2 } , \qquad { \cal E } ^ { ( 1 ) } ( n ) = 2 \sqrt { 2 } \left( 3 \sqrt { 2 } - \frac { 1 } { 2 } - n \right) .
\begin{array} { r l } & { \| \mathbf { C } _ { n } ^ { \prime } \mathbf { C } _ { n } ^ { \top } \mathbf { G } _ { n } \mathbf { F } _ { n } - \mathbf { C } _ { n } ^ { \prime } \mathbf { C } _ { n } ^ { \top } \| _ { F } } \\ & { \leq ( \sqrt { 2 \operatorname* { m a x } \{ I _ { n } ^ { \prime \prime } - \mu _ { n } , \mu _ { n } + K \} ( \mu _ { n } + K ) } \gamma \beta + 1 ) \Delta _ { \mu _ { n } + 1 } ( \mathbf { C } _ { n } , 1 ) , } \end{array}
I = \left( \begin{array} { l l l l } { { 0 } } & { { 1 } } & { { 1 } } & { { 1 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) , \quad \quad \hat { \tau } ( \vec { \alpha } ) = \left( \begin{array} { l } { { q ^ { 2 } \alpha _ { 1 } } } \\ { { q ^ { 2 } \alpha _ { 2 } } } \\ { { \alpha _ { 3 } } } \\ { { \alpha _ { 4 } } } \end{array} \right) , \quad \quad \omega ( \vec { \alpha } ) = \left( \begin{array} { l } { { \alpha _ { 1 } } } \\ { { \alpha _ { 4 } } } \\ { { \alpha _ { 2 } } } \\ { { \alpha _ { 3 } } } \end{array} \right) \, .
\begin{array} { r l } & { \operatorname { s i g n } ( c _ { 1 } ( x ) ) \left( \sin { \frac { x - x _ { 0 } } { 2 } } \right) ^ { m _ { 1 } } \left( \sin { \frac { x + x _ { 0 } } { 2 } } \right) ^ { m _ { 1 } } } \\ & { = \operatorname { s i g n } ( c _ { 1 } ( x ) ) \frac { 1 } { 2 ^ { \frac { m _ { 1 } } { 2 } } } \left( \cos { ( x _ { 0 } ) } - \cos { ( x ) } \right) ^ { m _ { 1 } } . } \end{array}
p ( { M } _ { L _ { f } } \vert L _ { f } ) = { \sigma } _ { ^ { 2 S _ { i } + 1 } L _ { i } ; ^ { 2 S _ { f } + 1 } L _ { f } } ^ { { M } _ { { L } _ { i } } ; { M } _ { { L } _ { f } } } / \sum _ { { M } _ { L _ { f } } } { \sigma } _ { ^ { 2 S _ { i } + 1 } L _ { i } ; ^ { 2 S _ { f } + 1 } L _ { f } } ^ { { M } _ { { L } _ { i } } ; { M } _ { { L } _ { f } } }
\chi _ { \mathrm { b o r e x i n o } } ^ { 2 } = \sum _ { i , j = 1 } ^ { N _ { \mathrm { b i n s } } } ( N _ { i } ^ { \mathrm { t h } } - D _ { i } ) ( V _ { i j } ^ { \mathrm { b o r e x } } ) ^ { - 1 } ( N _ { j } ^ { \mathrm { t h } } - D _ { j } ) \, .
{ \cal M } _ { k , \mathrm { p o w e r } } ^ { ( J ) } = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \, { \frac { 1 } { m _ { \tau } ^ { 2 n } } } \, I _ { k , n } ( \nabla ) \, \langle O _ { 2 n } ^ { ( J ) } ( m _ { \tau } ^ { 2 } ) \rangle \, ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left( \hat { \tau } _ { k } \right) } & { = \frac { 2 V _ { \mathrm { n o } } N } { m \alpha ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \left( 2 k \pi / N \right) } } \\ & { \times \left( 1 + \frac { m } { N } \frac { \tau \lbrack \alpha \cos \left( 2 k \pi / N \right) ] ^ { 2 } } { 2 V _ { \mathrm { n o } } } \right) } \\ & { = \tau + \mathcal { O } ( 1 / m ) , } \\ { \mathrm { V a r } \left( \hat { \tau } _ { k } \right) } & { : = \sigma _ { k } ^ { 2 } = \left( \frac { 2 V _ { \mathrm { n o } } N } { m \alpha ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \left( 2 k \pi / N \right) } \right) ^ { 2 } } \\ & { \times 2 \left( 1 + 2 \frac { m } { N } \frac { \tau \lbrack \alpha \cos \left( 2 k \pi / N \right) ] ^ { 2 } } { 2 V _ { \mathrm { n o } } } \right) } \\ & { = 8 \tau \frac { N } { m } \frac { V _ { \mathrm { n o } } } { \alpha ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \left( 2 k \pi / N \right) } + \mathcal { O } ( 1 / m ^ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { D \big ( \theta _ { 0 } + f _ { 2 } ( \varphi ) , \theta _ { 0 } + f _ { 2 } ( \varphi ^ { \prime } ) , \varphi , \varphi ^ { \prime } \big ) - D \big ( \theta _ { 0 } + f _ { 1 } ( \varphi ) , \theta _ { 0 } + f _ { 1 } ( \varphi ^ { \prime } ) , \varphi , \varphi ^ { \prime } \big ) } \\ & { = 2 \sin ^ { 2 } \left( \frac { f _ { 2 } ( \varphi ) - f _ { 2 } ( \varphi ^ { \prime } ) } { 2 } \right) - 2 \sin ^ { 2 } \left( \frac { f _ { 1 } ( \varphi ) - f _ { 1 } ( \varphi ^ { \prime } ) } { 2 } \right) } \\ & { \quad + 2 \sin ^ { 2 } \left( \frac { \varphi - \varphi ^ { \prime } } { 2 } \right) \Big \{ \sin \big ( \theta _ { 0 } + f _ { 2 } ( \varphi ) \big ) \sin \big ( \theta _ { 0 } + f _ { 2 } ( \varphi ^ { \prime } ) \big ) - \sin \big ( \theta _ { 0 } + f _ { 1 } ( \varphi ) \big ) \sin \big ( \theta _ { 0 } + f _ { 1 } ( \varphi ^ { \prime } ) \big ) \Big \} } \\ & { \leqslant 2 \left| \sin \left( \frac { f _ { 2 } ( \varphi ) - f _ { 2 } ( \varphi ^ { \prime } ) } { 2 } \right) \right| \left| \sin \left( \frac { f _ { 2 } ( \varphi ) - f _ { 2 } ( \varphi ^ { \prime } ) } { 2 } \right) - \sin \left( \frac { f _ { 1 } ( \varphi ) - f _ { 1 } ( \varphi ^ { \prime } ) } { 2 } \right) \right| } \\ & { \quad + 2 \left| \sin \left( \frac { f _ { 1 } ( \varphi ) - f _ { 1 } ( \varphi ^ { \prime } ) } { 2 } \right) \right| \left| \sin \left( \frac { f _ { 2 } ( \varphi ) - f _ { 2 } ( \varphi ^ { \prime } ) } { 2 } \right) - \sin \left( \frac { f _ { 1 } ( \varphi ) - f _ { 1 } ( \varphi ^ { \prime } ) } { 2 } \right) \right| } \\ & { \quad + 2 \sin ^ { 2 } \left( \frac { \varphi - \varphi ^ { \prime } } { 2 } \right) \left| \sin \big ( \theta _ { 0 } + f _ { 2 } ( \varphi ) \big ) \right| \left| \sin \big ( \theta _ { 0 } + f _ { 2 } ( \varphi ^ { \prime } ) \big ) - \sin \big ( \theta _ { 0 } + f _ { 1 } ( \varphi ^ { \prime } ) \big ) \right| } \\ & { \quad + 2 \sin ^ { 2 } \left( \frac { \varphi - \varphi ^ { \prime } } { 2 } \right) \left| \sin \big ( \theta _ { 0 } + f _ { 1 } ( \varphi ^ { \prime } ) \big ) \right| \left| \sin \big ( \theta _ { 0 } + f _ { 2 } ( \varphi ) \big ) - \sin \big ( \theta _ { 0 } + f _ { 1 } ( \varphi ) \big ) \right| } \\ & { \leqslant C \| f _ { 2 } - f _ { 1 } \| _ { C ^ { 1 + \alpha } ( \mathbb { T } ) } \sin ^ { 2 } \left( \frac { \varphi - \varphi ^ { \prime } } { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left[ m u - \left( 2 \cos \left( \frac { m \omega _ { 2 } } { 2 } \right) \cos \left( \frac { ( 2 - m ) \omega _ { 2 } } { 2 } \right) \right) \right] ^ { 2 } } & { = 0 } \\ { \Rightarrow m u - 2 ( - 1 ) ^ { n } \cos \left( \pm \frac { 4 n \pi } { m - 2 } \right) } & { = 0 } \\ { \Rightarrow u = \frac { 2 ( - 1 ) ^ { n } } { m } \cos \left( \frac { 4 n \pi } { m - 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { { } \approx f ( \mathbf { a } + \mathbf { v } + \mathbf { w } ) - f ( \mathbf { a } + \mathbf { v } ) - f ( \mathbf { a } + \mathbf { w } ) + f ( \mathbf { a } ) } \end{array}
\sqrt { 3 } \hat { T } _ { R } = { \frac { - { \frac { f _ { 1 } + f _ { 2 } } { 2 } } + f _ { 3 } } { \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } f _ { k } } } = { \frac { - { \frac { f _ { 1 } f _ { 2 } ( f _ { 1 } + f _ { 2 } ) } { 2 } } + 1 } { f _ { 1 } f _ { 2 } ( f _ { 1 } + f _ { 2 } ) + 1 } }
\begin{array} { r } { \mathcal { E } _ { m , n } ( u _ { \mathrm { m i n } ; m , n } ) \leq \mathcal { E } _ { m , n } ( v ) \leq \int _ { \Omega } \theta | \nabla v | ^ { p _ { n } } \, d x + 2 P _ { h } \mathrm { V o l } ( \Omega \setminus \Omega _ { \mathrm { i } } ) - \int _ { \Omega _ { \mathrm { t } } } \rho _ { s } U ^ { \mathrm { v d W } } \, d x + \| \psi _ { v } \| _ { \infty } \| \rho \| _ { \infty } \mathrm { V o l } ( \Omega _ { \mathrm { i } } ) \leq C _ { 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { ~ T ~ R ~ } \left\lbrack \vec { E } \right\rbrack \left( \vec { r } , t \right) } & { { } = } & { \vec { E } \left( \vec { r } , - t \right) , } \\ { \mathrm { ~ T ~ R ~ } \left\lbrack \vec { B } \right\rbrack \left( \vec { r } , t \right) } & { { } = } & { - \vec { B } \left( \vec { r } , - t \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \delta H _ { s e } ^ { ( 2 ) } \simeq - i \frac { \Lambda _ { k _ { 0 } } ^ { k _ { 1 } ^ { * } } } { \omega _ { 0 } } \frac { e } { T _ { e } } F _ { M } \delta \phi _ { 0 } \delta \psi _ { 1 ^ { * } } . } \end{array}
{ \bf J } ^ { \prime } \frac { \partial } { \partial x _ { 1 } } = \frac { \partial } { \partial p _ { m } } , \qquad { \bf J } ^ { \prime } \frac { \partial } { \partial x _ { m } } = \frac { \partial } { \partial p _ { 1 } } , \qquad { \bf J } ^ { \prime } \frac { \partial } { \partial p _ { 1 } } = - \frac { \partial } { \partial x _ { m } } , \qquad { \bf J } ^ { \prime } \frac { \partial } { \partial p _ { m } } = - \frac { \partial } { \partial x _ { 1 } } , \qquad
i \overline { { { \psi } } } \gamma ^ { \mu } \psi \longleftrightarrow - \frac { 1 } { \sqrt { \pi } } \epsilon ^ { \mu \nu } \partial _ { \nu } \Lambda \; \; \; , \; \; \; i \overline { { { \psi } } } \gamma ^ { \mu } \gamma _ { 3 } \psi \longleftrightarrow \frac { 1 } { \sqrt { \pi } } \partial ^ { \mu } \Lambda .
\begin{array} { r l } { p G _ { 0 } } & { = - \nu k ^ { 2 } G _ { 0 } - \frac { k } { 2 } \frac { k ^ { 2 } } { 1 + k ^ { 2 } } \, G _ { - 1 } + \frac { k } { 2 } \frac { k ^ { 2 } } { 1 + k ^ { 2 } } \, G _ { 1 } + \frac { i k B _ { 0 } } { 2 \eta } \, k ^ { 2 } H _ { - 1 } + \frac { i k B _ { 0 } } { 2 \eta } \, k ^ { 2 } H _ { 1 } , } \\ { p H _ { 0 } } & { = - \eta k ^ { 2 } H _ { 0 } - \frac { k } { 2 } \, H _ { - 1 } + \frac { k } { 2 } \, H _ { 1 } + \frac { i k B _ { 0 } } { 2 \eta } \frac { 1 } { 1 + k ^ { 2 } } \, G _ { - 1 } + \frac { i k B _ { 0 } } { 2 \eta } \frac { 1 } { 1 + k ^ { 2 } } \, G _ { 1 } , } \\ { p G _ { \pm 1 } } & { = - \nu ( 1 + k ^ { 2 } ) G _ { \pm 1 } \pm \frac { k } { 2 } \, \frac { 1 - k ^ { 2 } } { k ^ { 2 } } \, G _ { 0 } \pm i B _ { 0 } ( 1 + k ^ { 2 } ) H _ { \pm 1 } + \frac { i k B _ { 0 } } { 2 \eta } ( - 1 + k ^ { 2 } ) H _ { 0 } , } \\ { p H _ { \pm 1 } } & { = - \eta ( 1 + k ^ { 2 } ) H _ { \pm 1 } \mp \frac { k } { 2 } \, H _ { 0 } \pm i B _ { 0 } \, \frac { 1 } { 1 + k ^ { 2 } } \, G _ { \pm 1 } + \frac { i k B _ { 0 } } { 2 \eta } \frac { 1 } { k ^ { 2 } } \, G _ { 0 } . } \end{array}
\mathrm { t y p e ~ I : } \qquad D _ { \alpha } ^ { i } \Phi _ { a } = { \frac { 1 } { 8 } } \gamma _ { a \dot { b } } ^ { i } \tilde { \gamma } _ { \dot { b } c } ^ { j } D _ { \alpha } ^ { j } \Phi _ { c } \; .
f _ { 1 } ( s ) = \frac { m ^ { 2 } ( s ) } { v ^ { 2 } } \left[ \hat { \alpha } ( s ) + \delta \lambda ^ { f i n . } \right] + 2 \hat { \gamma } ( s ) + \frac { v ^ { 2 } } { m ^ { 2 } ( s ) } \left[ \hat { \beta } ( s ) - 2 \frac { s - m ^ { 2 } ( s ) } { v ^ { 2 } } \left( \delta Z _ { \sigma } - \delta Z _ { \pi } \right) \right]
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { s u p } _ { \theta \in \Theta ( s ) } \big | \operatorname { B i a s } _ { \theta } ( \widehat { \| \theta \| _ { 2 } ^ { 2 } } ) \big | \leq \gamma s \log \Big ( \frac n { s ^ { 2 } } \Big ) , } \\ & { \operatorname { V a r } _ { 0 } \big ( \widehat { \| \theta \| _ { 2 } ^ { 2 } } \big ) \leq \frac { 8 } { \sqrt { \gamma \log ( n / s ^ { 2 } ) } } n \Big ( \frac { s ^ { 2 } } { n } \Big ) ^ { \frac { \gamma } 2 } , \mathrm { ~ a n d , } } \\ & { \operatorname { V a r } _ { \theta } \big ( \widehat { \| \theta \| _ { 2 } ^ { 2 } } \big ) \leq \| \theta \| _ { 2 } ^ { 2 } + 3 s + \frac { 8 } { \sqrt { \gamma \log ( n / s ^ { 2 } ) } } n \Big ( \frac { s ^ { 2 } } { n } \Big ) ^ { \frac { \gamma } 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { s } & { = } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { - i \exp \left( i \arg \Omega _ { 1 , 0 } \right) } \\ { - i \exp \left( i \arg \Omega _ { 1 , 0 } \right) } & { 1 } \end{array} \right) , } \\ { \nu _ { r } } & { = } & { - \left( \mathbf { k \cdot g } - \alpha \right) T _ { 1 , 0 } , } \\ { \phi _ { 1 , 0 } \left( \mathbf { p } _ { + , T _ { 1 , 0 } + \tau } ^ { \left( 1 , 0 \right) } + \hbar \mathbf { k } / 2 \right) } & { = } & { \phi _ { 1 , 0 } + \left( \delta _ { 1 , 0 } - \frac { \mathbf { k } } { M } \mathbf { \cdot p } _ { + , T _ { 1 , 0 } + \tau } ^ { \left( 1 , 0 \right) } - \omega _ { k } \right) T _ { 1 , 0 } - \frac { 1 } { 2 } \left( \mathbf { k \cdot g } - \alpha \right) T _ { 1 , 0 } ^ { 2 } , } \\ { s _ { d } ^ { \prime } } & { = } & { \frac { i \sqrt { 2 } } { \pi } , } \end{array}
\phi ( \mathbf { x } _ { \widetilde { r } } ) = \tau ( \mathbf { x } ^ { * } , \mathbf { x } _ { \widetilde { r } } ) - \tau ( \mathbf { x } _ { \widetilde { r } } , \mathbf { x } ) = \pm \tau ( \mathbf { x } , \mathbf { x } ^ { * } )
w _ { t t } ^ { \epsilon } + \mathscr { L } w ^ { \epsilon } = \left( \mathcal { J } ^ { \epsilon } \left( ( 1 + \mathcal { J } ^ { \epsilon } w ^ { \epsilon } ) \mathcal { J } ^ { \epsilon } w _ { x } ^ { \epsilon } \right) + \left[ \mathscr { L } , \mathscr { N } w ^ { \epsilon } \right] w ^ { \epsilon } \right) _ { x } - 2 \mathcal { J } ^ { \epsilon } \left( ( 1 + \mathcal { J } ^ { \epsilon } w ^ { \epsilon } ) \mathcal { J } ^ { \epsilon } w _ { t } ^ { \epsilon } \right) _ { x } .
\sigma ^ { i } = \sigma ^ { i } ( S M ) + \sum _ { V = \gamma , \, Z } \left( a _ { 3 } ^ { i V } \, h _ { 3 } ^ { V } + a _ { 4 } ^ { i V } \, h _ { 4 } ^ { V } \right) + \sum _ { V , V ^ { \prime } = \gamma , \, Z } \sum _ { j , k = 3 , 4 } b _ { j k } ^ { i V V ^ { \prime } } \, h _ { j } ^ { V } \, h _ { k } ^ { V ^ { \prime } } .
L = { \left[ \begin{array} { l l l l l } { \ell _ { 1 , 1 } } & { } & { } & { } & { 0 } \\ { \ell _ { 2 , 1 } } & { \ell _ { 2 , 2 } } & { } & { } & { } \\ { \ell _ { 3 , 1 } } & { \ell _ { 3 , 2 } } & { \ddots } & { } & { } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \ddots } & { } \\ { \ell _ { n , 1 } } & { \ell _ { n , 2 } } & { \ldots } & { \ell _ { n , n - 1 } } & { \ell _ { n , n } } \end{array} \right] }
{ \begin{array} { r l } { { \frac { \mathrm { d } x } { \mathrm { d } t } } } & { = \sigma ( y - x ) , } \\ { { \frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } t } } } & { = x ( \rho - z ) - y , } \\ { { \frac { \mathrm { d } z } { \mathrm { d } t } } } & { = x y - x y _ { 1 } - \beta z , } \\ { { \frac { \mathrm { d } y _ { 1 } } { \mathrm { d } t } } } & { = x z - 2 x z _ { 1 } - d _ { 0 } y _ { 1 } , } \\ { { \frac { \mathrm { d } z _ { 1 } } { \mathrm { d } t } } } & { = 2 x y _ { 1 } - 4 \beta z _ { 1 } . } \end{array} }
\mathrm { I m } f _ { 3 3 } ^ { P } = \frac { \Gamma _ { \Delta } } { 2 q } \, \frac { \Gamma _ { \Delta } / 2 } { ( \nu _ { \Delta } - \nu ) ^ { 2 } + ( \Gamma _ { \Delta } / 2 ) ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { q _ { 1 } } & { { } = \alpha = - 2 { D _ { 3 \bar { 1 } ^ { \prime } 2 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } } } + { D _ { 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } 3 \bar { 1 } ^ { \prime } 2 } } + { D _ { 3 \bar { 1 } ^ { \prime } 2 } } + { D _ { 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } } } - 1 , } \\ { q _ { 1 ^ { ' } } } & { { } = \beta = { D _ { 3 \bar { 1 } ^ { \prime } 2 3 \bar { 1 } ^ { \prime } 2 } } - 2 { D _ { 3 \bar { 1 } ^ { \prime } 2 } } + 1 , } \end{array}
\frac { 4 \pi } { d ( \cos \theta ) d \chi } \, \frac { d ^ { 4 } \hat { \sigma } _ { g g \to \mu ^ { + } \mu ^ { - } \gamma } ^ { ( G ) } } { d x _ { 1 } d x _ { 2 } } = \frac { \alpha \kappa ^ { 4 } } { 2 5 6 0 \pi ^ { 2 } } \, \frac { \hat { s } ^ { 3 } } { ( \hat { s } - m _ { G } ^ { 2 } ) ^ { 2 } + ( m _ { G } \Gamma _ { G } ) ^ { 2 } } \, \frac { Z ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , \cos \theta , \chi ) } { ( 1 - 2 x _ { 1 } ) ( 1 - 2 x _ { 2 } ) ( 1 - 2 x _ { 3 } ) } ,
\begin{array} { r l } { \| u _ { 1 } u _ { 2 } \| _ { L ^ { 2 } ( s , T ; L ^ { 3 } ) } } & { \leq { { \bf 1 } } _ { \{ \sigma > s \} } \| u _ { 1 } \| _ { L ^ { \infty } ( s , \sigma \wedge T ; L ^ { 6 } ) } \| u _ { 2 } \| _ { L ^ { 2 } ( s , \sigma \wedge T ; L ^ { 6 } ) } } \\ & { \stackrel { ( i ) } { \lesssim } { { \bf 1 } } _ { \{ \sigma > s \} } \| u _ { 1 } \| _ { L ^ { \infty } ( s , \sigma \wedge T ; L ^ { 6 } ) } \| u _ { 2 } \| _ { L ^ { 2 } ( s , \sigma \wedge T ; H ^ { 1 } ) } \stackrel { ( i i ) } { < } \infty \ \mathrm { a . s . } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | K ( \varphi , \varphi ^ { \prime } ) | } & { { } \leqslant C \| f _ { 1 } - f _ { 2 } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { T } ) } \int _ { 0 } ^ { 1 } \Big [ | 1 - t | + \sqrt { t } \left| \sin \left( \frac { \varphi - \varphi ^ { \prime } } { 2 } \right) \right| \Big ] ^ { - 1 } d t } \end{array}
\mathbf { H } ( \Lambda ) = { \left[ \begin{array} { l l } { { \frac { \partial ^ { 2 } \Lambda } { \partial \lambda ^ { 2 } } } } & { { \frac { \partial ^ { 2 } \Lambda } { \partial \lambda \partial \mathbf { x } } } } \\ { \left( { \frac { \partial ^ { 2 } \Lambda } { \partial \lambda \partial \mathbf { x } } } \right) ^ { \mathsf { T } } } & { { \frac { \partial ^ { 2 } \Lambda } { \partial \mathbf { x } ^ { 2 } } } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l l l l } { 0 } & { { \frac { \partial g } { \partial x _ { 1 } } } } & { { \frac { \partial g } { \partial x _ { 2 } } } } & { \cdots } & { { \frac { \partial g } { \partial x _ { n } } } } \\ { { \frac { \partial g } { \partial x _ { 1 } } } } & { { \frac { \partial ^ { 2 } \Lambda } { \partial x _ { 1 } ^ { 2 } } } } & { { \frac { \partial ^ { 2 } \Lambda } { \partial x _ { 1 } \, \partial x _ { 2 } } } } & { \cdots } & { { \frac { \partial ^ { 2 } \Lambda } { \partial x _ { 1 } \, \partial x _ { n } } } } \\ { { \frac { \partial g } { \partial x _ { 2 } } } } & { { \frac { \partial ^ { 2 } \Lambda } { \partial x _ { 2 } \, \partial x _ { 1 } } } } & { { \frac { \partial ^ { 2 } \Lambda } { \partial x _ { 2 } ^ { 2 } } } } & { \cdots } & { { \frac { \partial ^ { 2 } \Lambda } { \partial x _ { 2 } \, \partial x _ { n } } } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { { \frac { \partial g } { \partial x _ { n } } } } & { { \frac { \partial ^ { 2 } \Lambda } { \partial x _ { n } \, \partial x _ { 1 } } } } & { { \frac { \partial ^ { 2 } \Lambda } { \partial x _ { n } \, \partial x _ { 2 } } } } & { \cdots } & { { \frac { \partial ^ { 2 } \Lambda } { \partial x _ { n } ^ { 2 } } } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { { \frac { \partial g } { \partial \mathbf { x } } } } \\ { \left( { \frac { \partial g } { \partial \mathbf { x } } } \right) ^ { \mathsf { T } } } & { { \frac { \partial ^ { 2 } \Lambda } { \partial \mathbf { x } ^ { 2 } } } } \end{array} \right] }
E _ { m n } ( x , y , z ) = E _ { 0 } { \frac { w _ { 0 } } { w } } H _ { m } \left( { \frac { { \sqrt { 2 } } x } { w } } \right) H _ { n } \left( { \frac { { \sqrt { 2 } } y } { w } } \right) \exp \left[ - ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) \left( { \frac { 1 } { w ^ { 2 } } } + { \frac { j k } { 2 R } } \right) - j k z - j ( m + n + 1 ) \zeta \right]
\hat { \lambda } _ { w } \left( \boldsymbol { \hat { n } _ { l } } \cdot \hat { \nabla } \hat { T } _ { w } \right) \bigg \vert _ { \hat { \xi } } = \hat { \lambda } \left( \boldsymbol { \hat { n } _ { l } } \cdot \hat { \nabla } \hat { T } \right) \bigg \vert _ { \hat { \xi } } .
\begin{array} { r l } { f _ { \psi } ( \xi _ { 1 } ) } & { { } = \sin \left[ \xi _ { 1 } - \theta ( \psi ) \right] + 1 \geq 0 } \\ { f _ { \psi } ( \xi _ { 2 } ) } & { { } = \sin \left[ \xi _ { 2 } - \theta ( \psi ) \right] - 1 \leq 0 . } \end{array}
S = { \frac { 1 } { 1 6 \pi G _ { 1 0 } } } \int d x ^ { 1 0 } \sqrt { - g } \left( R - { \frac { 1 } { 2 } } ( \nabla \phi ) ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 1 2 } } e ^ { \phi } { \cal H } ^ { 2 } \right)
\begin{array} { c } { \sqrt { | x | ^ { 2 } + | y | ^ { 2 } } = \operatorname* { m a x } _ { p _ { 1 } , p _ { 2 } \in \mathbb C } \left\{ \Re \left( p _ { 1 } ^ { * } x + p _ { 2 } ^ { * } y \right) : | p _ { 1 } | ^ { 2 } + | p _ { 2 } | ^ { 2 } \leq 1 \right\} } \\ { | x | = \operatorname* { m a x } _ { p \in \mathbb C } \left\{ \Re \left( p ^ { * } x \right) : | p | \leq 1 \right\} ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ } \end{array}