harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\sqrt { 1 - \gamma ^ { 2 } } e ^ { \mu _ { 3 } } e ^ { - \frac { i } { \hslash } g t \hat { \sigma } \hat { b } _ { 2 } } e ^ { \mu _ { 1 } \hat { b } _ { 1 } ^ { \dagger } \hat { b } _ { 1 } + \mu _ { 2 } \left( \hat { \sigma } ^ { \dagger } \hat { \sigma } - \hat { b } _ { 2 } ^ { \dagger } \hat { b } _ { 2 } \right) } e ^ { \gamma \hat { b } _ { 1 } ^ { \dagger } \hat { b } _ { 2 } ^ { \dagger } } \left\vert 0 _ { R } \right\rangle \left\vert A \right\rangle .
\begin{array} { r l } { \bigl \| V _ { \boldsymbol { \omega } } ^ { * } - \hat { V } ( \boldsymbol { \beta } ^ { * } ) \bigr \| _ { \infty } } & { \leq \bigl \| V _ { \boldsymbol { \omega } } ^ { * } - \hat { V } ( \bar { \boldsymbol { \beta } } ) \bigr \| _ { \infty } + \| \hat { V } ( \bar { \boldsymbol { \beta } } ) - \hat { V } ( \boldsymbol { \beta } ^ { * } ) \bigr \| _ { \infty } } \\ & { \leq \varepsilon ^ { \prime } + \frac { \kappa + \kappa \gamma ^ { T } } { 1 - \kappa \gamma ^ { T } } \, \varepsilon ^ { \prime } } \\ & { \leq \frac { 1 + \kappa } { 1 - \kappa \gamma ^ { T } } \, \varepsilon ^ { \prime } . } \end{array}
\frac { u _ { i } ^ { * } - u _ { i } ^ { n } } { \Delta t } = \frac { 3 } { 2 } \mathrm { ~ H ~ } _ { i } ^ { n } - \frac { 1 } { 2 } \mathrm { ~ H ~ } _ { i } ^ { n - 1 } + \frac { g _ { i } } { \mathrm { ~ F ~ r ~ } ^ { 2 } } + \mathrm { ~ S ~ } _ { u _ { i } } ^ { \Gamma } + \mathrm { ~ S ~ } _ { u _ { i } } ^ { \mathrm { ~ O ~ } }
\begin{array} { r l } & { l _ { 0 } : = \operatorname* { i n f } \{ x \in { \mathbb R } : m ( x ) > - \infty \} , \quad r _ { 0 } : = \operatorname* { s u p } \{ x \in { \mathbb R } : m ( x ) < \infty \} , } \\ & { l : = \operatorname* { i n f } \{ x > l _ { 0 } : m ( x ) > m ( l _ { 0 } ) \} , \quad r : = \operatorname* { s u p } \{ x < r _ { 0 } : m ( x ) < m ( r _ { 0 } - ) \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d p _ { 4 , 3 } } { d t } = } & { ~ R _ { p } ( - p _ { 4 , 3 } c _ { 4 , 3 \leftrightarrow 3 ^ { \prime } , 3 ^ { \prime } } + \frac { 1 } { 1 6 } [ p _ { 4 , 3 } c _ { 4 , 3 \leftrightarrow 3 ^ { \prime } , 3 ^ { \prime } } } \\ & { ~ + p _ { 4 , 2 } c _ { 4 , 2 \leftrightarrow 3 ^ { \prime } , 2 ^ { \prime } } + p _ { 4 , 1 } c _ { 4 , 1 \leftrightarrow 3 ^ { \prime } , 1 ^ { \prime } } + p _ { 4 , 0 } c _ { 4 , 0 \leftrightarrow 3 ^ { \prime } , 0 ^ { \prime } } } \\ & { ~ + p _ { 4 , - 1 } c _ { 4 , - 1 \leftrightarrow 3 ^ { \prime } , - 1 ^ { \prime } } + p _ { 4 , - 2 } c _ { 4 , - 2 \leftrightarrow 3 ^ { \prime } , - 2 ^ { \prime } } } \\ & { ~ + p _ { 4 , - 3 } c _ { 4 , - 3 \leftrightarrow 3 ^ { \prime } , - 3 ^ { \prime } } ] ) - \Gamma _ { 1 } p _ { 4 , 3 } + \frac { \Gamma _ { 1 } } { 1 6 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { q _ { 1 / 4 } ( n , \frac { i \Gamma + \Delta } { \hbar \omega } ) = } & { { } ( \frac { 2 } { 9 } ) ^ { 1 / 4 } \frac { 4 \sqrt { \zeta _ { n } - \zeta _ { 0 } } } { 5 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| X ( \mu ) \| } & { \le \frac { 2 n } { \lambda _ { \operatorname* { m i n } } ( S ( 1 ) ) } \le 2 n \lambda _ { \operatorname* { m a x } } ( X ( 1 ) ) , } \\ { \| S ( \mu ) \| } & { \le \frac { 2 n } { \lambda _ { \operatorname* { m i n } } ( X ( 1 ) ) } \le 2 n \lambda _ { \operatorname* { m a x } } ( S ( 1 ) ) , } \end{array}
\Gamma ( \phi _ { 0 } ) = \int d ^ { 3 } { \bf x } \left\{ \frac { 1 } { 2 } ( \partial _ { i } \phi _ { 0 } ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \mu _ { R } ^ { 2 } \phi _ { 0 } ^ { 2 } + \frac { \lambda _ { R } T } { 4 } \phi _ { 0 } ^ { 4 } + \frac { ( N + 2 6 ) } { 9 } \frac { \lambda _ { R } ^ { 3 } \zeta ( 3 ) } { 2 ^ { 9 } \pi ^ { 4 } } \phi _ { 0 } ^ { 6 } , \right\} .
\left\{ \begin{array} { r l r } & { \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } } { \mathrm { d } x ^ { 2 } } v _ { i , n } ^ { * } + \frac { \rho _ { \mathrm { r } } ( \omega + n \Omega ) ^ { 2 } } { \kappa _ { \mathrm { r } } } v _ { i , n } ^ { * * } = 0 } & { \mathrm { ~ i n ~ } D + L \mathbb { Z } , } \\ & { \pm \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } x } v _ { i , n } ^ { * } ( x _ { i } ^ { \pm } , \alpha ) = \delta \mathcal { T } ^ { k ^ { n } , \alpha } [ v _ { n } ] _ { i } ^ { \pm } } & { \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } i \in \mathbb { Z } , } \\ & { v _ { n } ( x + L , \alpha ) = \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \alpha L } v _ { n } ( x , \alpha ) } & { \mathrm { ~ f o r ~ a l m o s t ~ e v e r y ~ } x \in D + L \mathbb { Z } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \mathbf { H } = } & { \sqrt { N _ { \mathrm { R } } N _ { \mathrm { S } } } \times } \\ & { \sum _ { l _ { x } , l _ { y } } \sum _ { m _ { x } , m _ { y } } H _ { \mathrm { a } } ( l _ { x } , l _ { y } , m _ { x } , m _ { y } ) \mathbf { a } _ { \mathrm { R } } ( l _ { x } , l _ { y } ) \mathbf { a } _ { \mathrm { S } } ^ { \mathrm { H } } ( m _ { x } , m _ { y } ) , } \end{array}
\bar { s } _ { 0 } = p _ { 1 } \Bigl ( 1 + \bar { p } _ { 1 } \log ( \bar { p } _ { 1 } ) - \bar { p } _ { 1 } \log ( 1 \! + \! \bar { p } _ { 1 } ) \Bigr ) \frac { p _ { T } \bar { l } _ { p } d _ { w } } { d _ { p } } , \qquad \bar { p } _ { 1 } = \frac { p _ { 1 } } { \Delta \bar { \rho } } , \qquad \tau _ { 0 } = \frac { \Delta \bar { \rho } \sqrt { p _ { T } \bar { l } _ { p } } } { \beta } .
- { \frac { 1 } { 2 } } \nabla ^ { 2 } F ^ { - 1 } + \partial ^ { i } \phi \partial _ { i } F ^ { - 1 } = 0 \ , \ \ \ \ \ - { \frac { 1 } { 2 } } \nabla ^ { 2 } K + \partial ^ { i } \phi \partial _ { i } K + \partial _ { u } \nabla _ { i } { \cal A } ^ { i } = 0 \ ,
\begin{array} { r l } & { 2 n _ { d } m _ { i , d } ( v _ { 0 } - v _ { c } ) ^ { 2 } + p _ { d } + p _ { d } ^ { \prime } = p _ { 2 } + \frac { ( \alpha B _ { 0 } ) ^ { 2 } } { 8 \pi } } \\ { \iff } & { \left( \frac { M _ { A } } { R _ { n } } \right) ^ { 2 } \left( 1 - \frac { v _ { c } } { v _ { 0 } } \right) ^ { 2 } = \alpha ^ { 2 } + \beta _ { 2 } - \beta _ { d } \ , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \mathbf { u } _ { 1 } } & { { } = \mathbf { a } _ { 1 } , } & { \mathbf { e } _ { 1 } } & { { } = { \frac { \mathbf { u } _ { 1 } } { \| \mathbf { u } _ { 1 } \| } } } \\ { \mathbf { u } _ { 2 } } & { { } = \mathbf { a } _ { 2 } - \operatorname { p r o j } _ { \mathbf { u } _ { 1 } } \, \mathbf { a } _ { 2 } , } & { \mathbf { e } _ { 2 } } & { { } = { \frac { \mathbf { u } _ { 2 } } { \| \mathbf { u } _ { 2 } \| } } } \\ { \mathbf { u } _ { 3 } } & { { } = \mathbf { a } _ { 3 } - \operatorname { p r o j } _ { \mathbf { u } _ { 1 } } \, \mathbf { a } _ { 3 } - \operatorname { p r o j } _ { \mathbf { u } _ { 2 } } \, \mathbf { a } _ { 3 } , } & { \mathbf { e } _ { 3 } } & { { } = { \frac { \mathbf { u } _ { 3 } } { \| \mathbf { u } _ { 3 } \| } } } \\ { \mathbf { u } _ { k } } & { { } = \mathbf { a } _ { k } - \sum _ { j = 1 } ^ { k - 1 } \operatorname { p r o j } _ { \mathbf { u } _ { j } } \, \mathbf { a } _ { k } , } & { \mathbf { e } _ { k } } & { { } = { \frac { \mathbf { u } _ { k } } { \| \mathbf { u } _ { k } \| } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } \left\{ \frac { - \kappa ^ { ( i ) } } { \varepsilon _ { 0 } c _ { p , k } ^ { ( i ) } } \partial _ { t } \tilde { Q } _ { p , k } ^ { ( i ) } \partial _ { t } ( \mathrm { d } _ { \rho } Q _ { p , k } ^ { ( i ) } ) + \frac { \kappa ^ { ( i ) } a _ { p , k } ^ { ( i ) } } { \varepsilon _ { 0 } c _ { p , k } ^ { ( i ) } } \partial _ { t } \tilde { Q } _ { p , k } ^ { ( i ) } ( \mathrm { d } _ { \rho } Q _ { p , k } ^ { ( i ) } ) + \kappa ^ { ( i ) } \partial _ { t } \tilde { Q } _ { p , k } ^ { ( i ) } ( \mathrm { d } _ { \rho } E _ { k } ) \right\} } & { = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { B } } & { \gets \mathbf { I } - \theta _ { t } \mathbf { W } _ { t } \mathbf { H } , } \\ { \tau _ { t } ^ { 2 } } & { \gets \frac { 1 } { 2 N } \mathrm { t r } ( \mathbf { B } \mathbf { B } ^ { T } ) v _ { t } ^ { 2 } + \frac { \theta ^ { 2 } } { 4 N } \mathrm { t r } ( \mathbf { W } _ { t } \mathbf { W } _ { t } ^ { T } ) \sigma ^ { 2 } . } \end{array}
\omega _ { 3 } ( t , { \mathbf { u } } _ { b } ) \sim \pm \frac { 2 u _ { 1 } u _ { 2 } - 9 } { \sqrt { 4 u _ { 1 } ^ { 4 } + 2 8 u _ { 2 } ^ { 2 } u _ { 1 } ^ { 2 } + u _ { 2 } ^ { 4 } - 7 2 } \left( t - t _ { b } \right) } \, , \qquad t \to t _ { b } = \frac { 1 } { 6 } \left( 4 u _ { 1 } ^ { 2 } - 5 u _ { 2 } ^ { 2 } \pm \sqrt { 4 u _ { 1 } ^ { 4 } + 2 8 u _ { 2 } ^ { 2 } u _ { 1 } ^ { 2 } + u _ { 2 } ^ { 4 } - 7 2 } \right) \, .
\left. { \frac { 1 } { ( p + k ) ^ { 2 } + m ^ { 2 } } } \right| _ { p _ { 0 } = E _ { p } } = { \frac { 1 } { \vec { k } ^ { 2 } + 2 \vec { k } \cdot \vec { p } - k _ { 0 } ^ { 2 } - 2 E _ { p } k _ { 0 } } }
\begin{array} { r l r } { \left[ \langle N | \hat { V } _ { 2 } \hat { R } \hat { V } _ { 4 } | N \rangle \right] } & { = } & { \left[ \langle N | \hat { V } _ { 2 } \hat { R } _ { 2 } ^ { ( - 2 ) } \hat { V } _ { 4 } | N \rangle \right] + \left[ \langle N | \hat { V } _ { 2 } \hat { R } _ { 2 } ^ { ( \pm 0 ) } \hat { V } _ { 4 } | N \rangle \right] } \\ & { } & { + \left[ \langle N | \hat { V } _ { 2 } \hat { R } _ { 2 } ^ { ( + 2 ) } \hat { V } _ { 4 } | N \rangle \right] } \end{array}
\frac { \partial \rho _ { m } \epsilon _ { m } } { \partial t } + \nabla \cdot \left( \rho _ { m } \epsilon _ { m } \mathbf { u } _ { m } \right) - \nabla \cdot \left( \frac { \mu _ { m , t } } { \sigma _ { \epsilon } } \nabla \epsilon _ { m } \right) = \rho _ { m } \frac { \epsilon _ { m } } { \kappa _ { m } } \left( C _ { \epsilon , 1 } G _ { m , \epsilon } - C _ { \epsilon , 2 } \epsilon _ { m } \right) + C _ { \epsilon , 3 } \frac { \epsilon _ { m } } { \kappa _ { m } } S _ { m , \kappa } \ ,
A ( R ) \equiv 2 \times \frac { R ( P ; \Delta m _ { 1 3 } ^ { 2 } > 0 ) - R ( P ; \Delta m _ { 1 3 } ^ { 2 } < 0 ) } { R ( P ; \Delta m _ { 1 3 } ^ { 2 } > 0 ) + R ( P ; \Delta m _ { 1 3 } ^ { 2 } < 0 ) } .
\begin{array} { r l } { t _ { d ( A / i ) } = } & { \hat { t } _ { d i } \left( \frac { { n _ { i } } _ { 0 } } { { n _ { i } } } \right) ^ { \frac { \gamma _ { i } + 1 } { 2 } } \left( 1 + a _ { \gamma i } \frac { | { u _ { d } } - { u _ { i } } | ^ { 2 } } { c _ { s i } ^ { 2 } } \right) ^ { - \frac 1 2 } } \\ { \zeta _ { s ( A / i ) } = } & { \frac { 1 + \gamma _ { i } + 2 a _ { \gamma i } \hat { w } _ { i } ^ { 2 } } { 2 ( 1 + a _ { \gamma i } \hat { w } _ { i } ^ { 2 } ) } } \\ { \zeta _ { w ( A / i ) } = } & { \frac { a _ { \gamma i } \hat { w } _ { i } ^ { 2 } } { 1 + a _ { \gamma i } \hat { w } _ { i } ^ { 2 } } } \end{array}
\mathit { l o s s } _ { \mathit { s u p p o r t } } = \lambda _ { \mathit { s u p p o r t } } \sum _ { \mathit { x , y } } \mathit { m a s k } _ { \mathit { b a c k g r o u n d } } ( x , y ) ( h ( x , y ) - h _ { 0 } ) ^ { 2 } ,
- 1 / ( \rho _ { 0 } c _ { 0 } ^ { 2 } ) = - 1 / ( 1 . 1 4 9 3 \cdot 3 5 1 . 3 1 ^ { 2 } ) = - 0 . 0 0 0 0 0 7 ~ \mathrm { m s ^ { 2 } / k g }
\begin{array} { r } { \interleave \mathbb { V } , \langle \pmb { \rho } ^ { K \, Q } \rangle \interleave _ { a S , b S ^ { \prime } } = \sum _ { c S ^ { \prime \prime } } \mathcal { X } _ { 1 } V _ { a S , c S ^ { \prime \prime } } ^ { - Q } \langle \rho _ { c S ^ { \prime \prime } , b S ^ { \prime } } ^ { K \, Q } \rangle + \mathcal { X } _ { 2 } \langle \rho _ { a S , c S ^ { \prime \prime } } ^ { K \, Q } \rangle V _ { c S ^ { \prime \prime } , b S ^ { \prime } } ^ { - Q } \, , } \end{array}
U _ { j } \frac { \partial U _ { i } } { \partial x _ { j } } + \frac { 1 } { \rho } \frac { \partial P } { \partial x _ { i } } - \frac { \partial ( 2 \nu S _ { i j } ) } { \partial x _ { j } } + \frac { \partial \overline { { { u _ { i } } ^ { \prime } { u _ { j } } ^ { \prime } } } } { \partial x _ { j } } - h _ { i } = 0
i \hbar \frac { \partial } { \partial t } \theta ( \vec { x } , t ) = m _ { 0 } c _ { 1 } ^ { 2 } \theta ( \vec { x } , t ) - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m _ { 0 } } \nabla ^ { 2 } \theta ( \vec { x } , t )
\begin{array} { r l } { \mathrm { c o s t } ( \mathbb { S } _ { H } ^ { D } | \mathcal { X } ) } & { = 1 - \mathbb { E } _ { N } \big [ \| P _ { H } ( x _ { n } ) \| _ { 2 } ^ { 2 } \big ] } \\ & { \stackrel { \mathrm { ( a ) } } { = } 1 - \mathbb { E } _ { N } [ 1 - \sum _ { k \in [ K ^ { \prime } ] } \langle x _ { n } , h _ { k } ^ { \prime } \rangle ^ { 2 } ] = \mathbb { E } _ { N } [ \sum _ { k \in [ K ^ { \prime } ] } \langle x _ { n } , h _ { k } ^ { \prime } \rangle ^ { 2 } ] } \\ & { \stackrel { \mathrm { ( b ) } } { = } \sum _ { k \in [ K ^ { \prime } ] } { h _ { k } ^ { \prime } } ^ { \top } C _ { x } h _ { k } ^ { \prime } } \end{array}
w = \sqrt [ 3 ] { \frac { 2 \varepsilon _ { \gamma } } { 3 ( \varepsilon _ { e } - \varepsilon _ { \gamma } ) \chi _ { e } } } ; \qquad \varepsilon _ { \gamma } = \frac { 3 \varepsilon _ { e } \chi _ { e } w ^ { 3 } } { 2 + 3 \chi _ { e } w ^ { 3 } } ,
\bigotimes _ { 0 } ^ { n - 1 } H \bigotimes _ { 0 } ^ { n - 1 } | 0 \rangle = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 ^ { n } } } } { \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 1 } \\ { \vdots } \\ { 1 } \end{array} \right] } = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 ^ { n } } } } { \Big ( } | 0 \rangle + | 1 \rangle + \dots + | 2 ^ { n } - 1 \rangle { \Big ) } = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 ^ { n } } } } \sum _ { i = 0 } ^ { 2 ^ { n } - 1 } | i \rangle
\begin{array} { r } { \Psi ( \mathbf { x } , 0 ) = \int _ { \mathrm { B Z } } \mathrm { d } \mathbf { k } \psi _ { v , \mathbf { k } } ( \mathbf { x } ) a _ { v } ( \mathbf { k } , t = 0 ) = w _ { v } ( \mathbf { x } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { s } ^ { ( \mathrm { e x . } ) } ( \textbf { r } , \tau ) } & { = \sum _ { e , e ^ { \prime } , g } T _ { { g e } s } \rho _ { { e e ^ { \prime } } } ( \textbf { r } , \tau ) T _ { { e ^ { \prime } g } s } , } \\ { \rho _ { s } ^ { ( \mathrm { g r . } ) } ( \textbf { r } , \tau ) } & { = \sum _ { g , g ^ { \prime } , e } T _ { { e g } s } \rho _ { { g g ^ { \prime } } } ( \textbf { r } , \tau ) T _ { { g ^ { \prime } e } s } . } \end{array}
\frac 1 { ( 2 \pi ) ^ { 2 s } } \int _ { 0 } ^ { \infty } x ^ { s - 1 } { \frac { 1 } { 2 } } ( \vartheta _ { 4 } ( 0 , i x / \pi ) - 1 ) \frac { \pi ^ { 4 } } { \tau _ { 2 } ^ { 2 } x ^ { 2 } } \, d x \, = 2 ^ { - 2 s } \pi ^ { 2 - s } \tau _ { 2 } ^ { - 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } y ^ { 2 s - 5 } ( \vartheta _ { 4 } ( 0 , i y ^ { 2 } ) - 1 ) \, d y \; .
\begin{array} { r l r } { \mathcal { S } _ { [ 0 , n - 1 ] } ^ { \ell , m } } & { = } & { \sum _ { \tiny \begin{array} { c } { j _ { 1 } = 0 , \ 1 \leq j _ { 2 } < \ldots < j _ { \ell } \leq n - 1 } \\ { \eta = ( \eta _ { 1 } , \ldots \eta _ { \ell } ) \in \{ 0 , 1 \} ^ { \ell } } \\ { | \eta | = m } \end{array} } A _ { \eta _ { 1 } } ^ { ( 0 ) } \prod _ { k = 2 } ^ { \ell } A _ { \eta _ { k } } ^ { ( j _ { k } ) } + \chi _ { \ell \neq n } \, \mathcal { S } _ { [ 1 , n - 1 ] } ^ { \ell , m } } \end{array}
\langle \Psi | P _ { R } | \Psi ^ { \prime } \rangle = \langle \Psi | \int _ { 0 } ^ { \infty } d t \; \eta ( t ) \mathrm { e } ^ { - t H _ { 0 } ^ { x } } | \Psi ^ { \prime } \rangle \; \; \; .
D _ { 3 } = \left| \begin{array} { l l l } { a _ { 1 } } & { a _ { 3 } } & { a _ { 5 } } \\ { 1 } & { a _ { 2 } } & { a _ { 4 } } \\ { 0 } & { a _ { 1 } } & { a _ { 3 } } \end{array} \right| > 0 , . . . , D _ { k } = \left| \begin{array} { l l l l } { a _ { 1 } } & { a _ { 3 } } & { . . . } & { . . . } \\ { 1 } & { a _ { 2 } } & { a _ { 4 } } & { . . . } \\ { 0 } & { a _ { 1 } } & { a _ { 3 } } & { . . . } \\ { 0 } & { 1 } & { a _ { 2 } } & { . . . } \\ { . . . } & { . . . } & { . . . } & { . . . } \\ { 0 } & { 0 } & { . . . } & { a _ { k } } \end{array} \right| > 0 ,
\Pi _ { \mu \nu } ( p ) \rightarrow i ( p _ { \mu } p _ { \nu } - p ^ { 2 } g _ { \mu \nu } ) \frac { e ^ { 2 } } { 1 2 \pi m } + i ^ { 2 } \epsilon _ { \mu \nu \rho } p ^ { \rho } \frac { e ^ { 2 } } { 4 \pi } ,
\begin{array} { r l } & { - 2 \left( \int x \eta g \right) \left( \int q g ^ { \prime } \right) \left( \int q ^ { 2 } g \right) - 2 \left( \int x q g \right) \left( \int \eta g ^ { \prime } \right) \left( \int q ^ { 2 } g \right) + 2 \gamma \left( \int \eta g ^ { \prime } \right) \left( \int q g ^ { \prime } \right) \left( \int q ^ { 2 } g \right) } \\ & { + 4 \left( \int q \eta g \right) \left( \int x q g \right) \left( \int q g ^ { \prime } \right) - 2 \gamma \left( \int q g ^ { \prime } \right) ^ { 2 } \left( \int q \eta g \right) = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \psi ( \tau ) \rangle = } & { \frac { 1 } { 2 ^ { N } } \sum _ { k _ { 1 } , k _ { 2 } = 0 } ^ { N } \sqrt { \binom { N } { k _ { 1 } } \binom { N } { k _ { 2 } } } | k _ { 1 } , k _ { 2 } \rangle } \\ & { \times \left| \alpha \cos \left( k _ { 1 } - k _ { 2 } \right) \tau \right\rangle _ { c } \left| - i \alpha \sin \left( k _ { 1 } - k _ { 2 } \right) \tau \right\rangle _ { d } . } \end{array}
e ( \boldsymbol { x } _ { i } ) \equiv e _ { i } = \frac { \left| \left| U _ { i } ^ { t _ { \mathrm { e n d } } } \right| - \left| U _ { i , \mathrm { t r u e } } ^ { t _ { \mathrm { e n d } } } \right| \right| } { \left| U _ { i , \mathrm { t r u e } } ^ { t _ { \mathrm { e n d } } } \right| } , \quad \left| U _ { i } \right| = \sqrt { u _ { i } ^ { 2 } + v _ { i } ^ { 2 } }
\sigma _ { \mathrm { P _ { l } ^ { * } } } = \sqrt { \sigma _ { \mathrm { f P _ { l } ^ { * } } } ^ { 2 } + \left( \frac { \partial P _ { \mathrm { l } } ^ { * } ( S _ { \mathrm { l } } , S _ { \mathrm { r } } ) } { \partial S _ { \mathrm { l } } } \sigma _ { \mathrm { S _ { l } } } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { \partial P _ { \mathrm { l } } ^ { * } ( S _ { \mathrm { l } } , S _ { \mathrm { r } } ) } { \partial S _ { \mathrm { r } } } \sigma _ { \mathrm { S _ { r } } } \right) ^ { 2 } } \ ,
\begin{array} { r l } { \sum _ { l = 1 } ^ { k } B _ { p , l } D _ { l , q } = } & { ~ \sum _ { l = 1 } ^ { k } \sum _ { i = 1 } ^ { m } y _ { i } y _ { i } ^ { \top } ( x _ { i } ^ { \top } u _ { t , p } ) \cdot ( u _ { * , q } ^ { \top } u _ { t , l } ) \cdot ( u _ { t , l } ^ { \top } x _ { i } ) } \\ { = } & { ~ \sum _ { i = 1 } ^ { m } y _ { i } y _ { i } ^ { \top } ( x _ { i } ^ { \top } u _ { t , p } ) \cdot u _ { * , q } ^ { \top } \sum _ { l = 1 } ^ { k } ( u _ { t , l } \cdot u _ { t , l } ^ { \top } ) x _ { i } } \\ { = } & { ~ \sum _ { i = 1 } ^ { m } \underbrace { y _ { i } y _ { i } ^ { \top } } _ { \mathrm { m a t r i x } } \cdot \underbrace { ( x _ { i } ^ { \top } u _ { t , p } ) } _ { \mathrm { s c a l a r } } \cdot \underbrace { u _ { * , q } ^ { \top } U _ { t } U _ { t } ^ { \top } x _ { i } } _ { \mathrm { s c a l a r } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal { G } ( f ) : = \mathcal { G } _ { 2 } ( f ) + \mathcal { G } _ { 4 } ( f ) , \mathrm { ~ w h e r e ~ } } \\ & { \mathcal { G } _ { 2 } ( f ) : = \frac { 1 } { 2 } \int _ { \mathbb { T } } ( \partial _ { x } f ) ^ { 2 } ( x ) d x , } \\ & { \mathcal { G } _ { 4 } ( f ) : = \sum _ { \substack { j _ { 1 } , j _ { 2 } , j _ { 3 } , j _ { 4 } \in \mathbb { Z } \backslash \left\{ 0 \right\} } } G ( { j _ { 1 } , j _ { 2 } , j _ { 3 } , j _ { 4 } } ) f _ { j _ { 1 } } f _ { j _ { 2 } } f _ { j _ { 3 } } f _ { j _ { 4 } } \mathrm { ~ f o r ~ s o m e ~ G : \mathbb { Z } ^ 4 \mapsto ~ \mathbb { C } ~ } . } \end{array}
P _ { L } ^ { - 1 } ( m , { \mathrm { c o n s t } } _ { x } , { \mathrm { c o n s t } } _ { y } , n ) , \textrm { a n d } P _ { L } ^ { - 1 } \big ( \Gamma _ { { \langle \gamma ^ { X } , \gamma ^ { Y } \rangle } } ^ { M } ( m ) , { \mathrm { c o n s t } } _ { x ^ { \prime } } , { \mathrm { c o n s t } } _ { y ^ { \prime } } , \Gamma _ { { \langle \gamma ^ { X } , \gamma ^ { Y } \rangle } } ^ { N } ( n ) \big ) ,
\alpha ( 3 , r _ { o p t } ) = \frac { 1 5 \sqrt { \frac { 3 } { 2 } } } { 3 1 \sqrt { \frac { 3 } { 2 } } - 3 0 } \approx 2 . 3 0 5 9 , \ \ \ s ( 3 , r _ { o p t } ) = \frac { 8 5 \sqrt { \frac { 3 } { 2 } } - 9 0 } { 3 1 \sqrt { \frac { 3 } { 2 } } - 3 0 } \approx 1 . 7 7 0 2 .
\begin{array} { r l } & { \mathcal { W } _ { \Lambda _ { 0 } , p } \bigg ( A ( t ; ( \tilde { \mathcal { G } } _ { 0 } , x ) ) , \tilde { \mathcal { G } } \bigg ) = \mathcal { W } _ { \Lambda _ { 0 } , p } \bigg ( A ( t ; ( U _ { 0 } , x ) ) , \tilde { \mathcal { G } } \bigg ) } \\ & { = \mathcal { W } _ { \Lambda _ { 0 } , p } \bigg ( \Big ( \begin{array} { l } { A _ { 0 } ( t ; U _ { 0 } ) } \\ { A _ { + } ( t ; ( U _ { 0 } , x ) ) } \end{array} \Big ) , \tilde { \mathcal { G } } \bigg ) = \mathcal { W } _ { \Lambda _ { 0 } , p } \bigg ( \Big ( \begin{array} { l } { A _ { 0 } ( t ; U _ { 0 } ) } \\ { A _ { + } ( t ; ( U _ { 0 } , x ) ) } \end{array} \Big ) , \Big ( \begin{array} { l } { A _ { 0 } ( t ; \tilde { \mathcal { G } } ) } \\ { A _ { + } ( t ; \tilde { \mathcal { G } } ) } \end{array} \Big ) \bigg ) } \\ & { = \mathcal { W } _ { \Lambda _ { 0 } , p } \bigg ( \Big ( \begin{array} { l } { A _ { 0 } ( t ; U _ { 0 } ) } \\ { A _ { + } ( t ; ( U _ { 0 } , x ) ) } \end{array} \Big ) , \Big ( \begin{array} { l } { A _ { 0 } ( t ; \tilde { \mathcal { G } } _ { 0 } ) } \\ { A _ { + } ( t ; \tilde { \mathcal { G } } ) } \end{array} \Big ) \bigg ) } \\ & { \leqslant \int _ { \mathbb { R } } \int _ { \mathbb { R } \times \ell _ { 2 } ( \Lambda ) } \mathcal { W } _ { \Lambda _ { 0 } , p } \bigg ( \Big ( \begin{array} { l } { A _ { 0 } ( t ; u ) } \\ { A _ { + } ( t ; ( u , x ) ) } \end{array} \Big ) , \Big ( \begin{array} { l } { A _ { 0 } ( t ; v ) } \\ { A _ { + } ( t ; ( v , y ) ) } \end{array} \Big ) \bigg ) \pi ( U _ { 0 } \in \mathrm { d } u , ( \tilde { \mathcal { G } } _ { 0 } , \tilde { \mathcal { G } } _ { + } ) \in ( \mathrm { d } v , \mathrm { d } y ) ) } \\ & { = { \sqrt { 2 } } \int _ { \mathbb { R } } \int _ { \mathbb { R } \times \ell _ { 2 } ( \Lambda ) } \Big ( \| \Lambda d ( t ; x - y ) \| + e ^ { - \gamma t } | u - v | \Big ) \pi ( U _ { 0 } \in \mathrm { d } u , \tilde { \mathcal { G } } \in ( \mathrm { d } v , \mathrm { d } y ) ) } \end{array}
\left( { { { \hat { v } } _ { \alpha } } , { { \hat { c } } _ { \alpha } } , { { \hat { u } } _ { \alpha } } } \right) = \frac { { \left( { { v _ { \alpha } } , { c _ { \alpha } } , { u _ { \alpha } } } \right) } } { { { \sqrt { R { T _ { 0 } } } } } } , \quad \hat { B } = \frac { { B { L _ { 0 } } } } { { { t _ { 0 } } } } \sqrt { { \mu _ { 0 } } { \rho _ { 0 } } } ,
\begin{array} { r l } { I _ { n m } } & { = \left[ \frac { \sinh ( \alpha ) } { \alpha } \right] ^ { 2 } D \tau _ { \mathrm { o t } , x } \left[ e ^ { - | t _ { n } - t _ { m } | / \tau _ { \mathrm { o t } , x } } - e ^ { - ( t _ { n } + t _ { m } ) / \tau _ { \mathrm { o t } , x } } \right] + D \tau _ { \mathrm { o t } , x } \frac { \alpha - \cosh ( \alpha ) \sinh ( \alpha ) } { \alpha ^ { 2 } } \delta _ { n m } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { \pi ^ { ( k ) } } [ \widehat { F } _ { \mathrm { ~ A ~ I ~ R ~ } , p } ^ { ( k ) } ] } & { { } = \mathbb { E } _ { \pi ^ { ( k - 1 ) } } [ \mathbb { E } _ { \pi ^ { ( k ) } } [ \widehat { F } _ { \mathrm { ~ A ~ I ~ R ~ } , p } ^ { ( k ) } | \widehat { F } _ { \mathrm { ~ A ~ I ~ R ~ } , p } ^ { ( k - 1 ) } ] ] = \mathbb { E } _ { \pi ^ { ( k - 1 ) } } \left[ \mathbb { E } _ { \pi ^ { ( k ) } } [ F ^ { ( k ) } ] + \gamma ( \widehat { F } _ { \mathrm { ~ A ~ I ~ R ~ } , p } ^ { ( k - 1 ) } - \mathbb { E } _ { \pi ^ { ( k ) } } [ F ^ { ( k - 1 ) } W _ { k } ] ) \right] } \end{array}
\left[ \begin{array} { l } { \frac { m _ { \mathrm { ~ o ~ , ~ t ~ o ~ t ~ } } } { \mathcal { W } _ { \mathrm { ~ o ~ } } } } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { d _ { \mathrm { ~ T ~ } } ^ { 2 } L _ { \mathrm { ~ T ~ } } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l l l l } { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { - 1 } & { \nu _ { \mathrm { ~ l ~ } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \nu _ { \mathrm { ~ v ~ } } } & { - 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \frac { - 4 } { \pi } } & { d _ { \mathrm { ~ T ~ } } ^ { 2 } - D _ { \mathrm { ~ d ~ t ~ } } ^ { 2 } + d _ { \mathrm { ~ d ~ t ~ } } ^ { 2 } } \\ { \frac { 4 } { \pi } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { d _ { \mathrm { ~ T ~ } } ^ { 2 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { V _ { \mathrm { ~ l ~ } } } \\ { n _ { \mathrm { ~ l ~ } } } \\ { n _ { \mathrm { ~ v ~ } } } \\ { V _ { \mathrm { ~ v ~ } } } \\ { L _ { \mathrm { ~ d ~ t ~ } } } \end{array} \right] .