harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
G _ { c d } = { \frac { 1 } { 2 } } \epsilon _ { a b c d } F ^ { a b } = { \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { B _ { x } } & { B _ { y } } & { B _ { z } } \\ { - B _ { x } } & { 0 } & { { \frac { 1 } { c } } E _ { z } } & { - { \frac { 1 } { c } } E _ { y } } \\ { - B _ { y } } & { - { \frac { 1 } { c } } E _ { z } } & { 0 } & { { \frac { 1 } { c } } E _ { x } } \\ { - B _ { z } } & { { \frac { 1 } { c } } E _ { y } } & { - { \frac { 1 } { c } } E _ { x } } & { 0 } \end{array} \right] }
\mathbf { \hat { r } } { \hat { T } } ( \mathbf { x } ) | \mathbf { r } \rangle = { \hat { \mathbf { r } } } | \mathbf { x } + \mathbf { r } \rangle = ( \mathbf { x } + \mathbf { r } ) | \mathbf { x } + \mathbf { r } \rangle
M _ { a b } \left( q , \dot { q } \right) : = \frac { \partial ^ { 2 } L \left( q , \dot { q } \right) } { \partial \dot { q } ^ { a } \partial \dot { q } ^ { b } } , \quad \mathrm { a n d ~ } \quad F _ { a b } \left( q , \dot { q } \right) : = \frac { \partial ^ { 2 } L \left( q , \dot { q } \right) } { \partial \dot { q } ^ { a } \partial q ^ { b } } - \frac { \partial ^ { 2 } L \left( q , \dot { q } \right) } { \partial \dot { q } ^ { b } \partial q ^ { a } } .
\begin{array} { r } { { \rho _ { k , m } } = \frac { { \left| { { \bf { h } } _ { k } ^ { H } \left( { \bf { \Theta } } \right) { { \bf { h } } _ { m } } \left( { \bf { \Theta } } \right) } \right| } } { { \left\| { { { \bf { h } } _ { m } } \left( { \bf { \Theta } } \right) } \right\| \left\| { { { \bf { h } } _ { k } } \left( { \bf { \Theta } } \right) } \right\| } } , } \end{array}
w = { \tilde { A } } e ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } \beta _ { i k } x _ { i } x _ { k } } \, ; \; \; \; \; \ \beta _ { i k } = \beta _ { k i } = - { \frac { 1 } { k } } { \frac { \partial ^ { 2 } S } { \partial x _ { i } \partial x _ { k } } } \, ,
\begin{array} { r l } { | S _ { 3 } | } & { \le C _ { 1 } \mu _ { 1 } \left( \frac { 5 } { 8 2 } \right) t ^ { 2 7 / 1 6 4 } + C _ { 2 } \mu _ { 2 } \left( \frac { 1 7 } { 3 2 8 } \right) h ^ { 1 7 K ( t _ { 1 } ) / 3 2 8 } t ^ { 1 0 5 / 6 5 6 } } \\ & { \qquad \qquad + E _ { 1 } \mu _ { 1 } \left( \frac { 8 7 } { 1 6 4 } \right) t ^ { 2 7 / 3 2 8 } + E _ { 2 } \mu _ { 2 } \left( \frac { 5 } { 2 4 6 } \right) h ^ { 5 K ( t _ { 1 } ) / 2 4 6 } t ^ { 5 5 / 4 9 2 } + E _ { 3 } K ( t _ { 1 } ) , } \end{array}
g = G { \frac { M _ { \oplus } } { r ^ { 2 } } } = 6 . 6 7 4 \cdot 1 0 ^ { - 1 1 } \mathrm { { m } ^ { 3 } \, { k g } ^ { - 1 } { s } ^ { - 2 } } \times { \frac { 6 \times 1 0 ^ { 2 4 } \mathrm { k g } } { ( 6 . 4 \times 1 0 ^ { 6 } \mathrm { m } ) ^ { 2 } } } = 9 + { \frac { 7 9 5 } { 2 ^ { 1 0 } } } \approx 9 . 7 7 6 3 7 \, \mathrm { { m } \, { s } ^ { - 2 } }
\begin{array} { r l } { \phi _ { \mathrm { n l } } = \big [ } & { y ( t - 2 ) ^ { 2 } u _ { 1 } ( t - 2 ) , \ y ( t - 2 ) ^ { 2 } u _ { 2 } ( t - 2 ) , } \\ & { y ( t - 2 ) ^ { 2 } u _ { 1 } ( t - 1 ) , \ y ( t - 2 ) ^ { 2 } u _ { 2 } ( t - 1 ) , } \\ & { y ( t - 2 ) ^ { 2 } u _ { 1 } ( t ) , \ y ( t - 2 ) ^ { 2 } u _ { 2 } ( t ) , \ \mathrm { s i n } ( y ( t - 1 ) ) \big ] ^ { \top } . } \end{array}
\sigma _ { i } ( \gamma ^ { * } \pi \rightarrow q _ { i } \bar { q } _ { j } ) = \frac { g _ { A } ^ { 2 } } { f ^ { 2 } } \frac { \sigma _ { \circ } } { 3 2 \pi ^ { 2 } } ( 1 - \frac { e _ { \pi } } { e _ { q } } ) \frac { 1 } { K ^ { 2 } } \int _ { - \Lambda ^ { 2 } } ^ { t _ { 2 } } d t \frac { a _ { 2 } ^ { i } + b _ { 2 } ^ { i } t + c _ { 2 } ^ { i } t ^ { 2 } } { ( t - m _ { q } ^ { 2 } ) ( t + a _ { \circ } ^ { i } ) }
\begin{array} { r l } { I _ { 1 } } & { = \mu \left\{ \bar { A } _ { j } ( T ) \right\} ^ { - 1 } \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } \hat { \rho } ( x , T ) \left\{ A ( x , T ) \right\} ^ { \frac { 2 } { \gamma - 1 } } r ( x , T ) d x } \\ & { \quad + o ( { \varDelta } x ) \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } \hat { \rho } ( x , T ) \left\{ A ( x , T ) \right\} ^ { \frac { 2 } { \gamma - 1 } } d x . } \end{array}
\mathrm { s _ { A } ^ { 2 } \mathrm { z _ { A } \mathrm { \overline { { s } } _ { B } ( \mathrm { y _ { A } \mathrm { x _ { B } ^ { 2 } \mathrm { \overline { { y } } _ { B } - \mathrm { x _ { A } \mathrm { \overline { { x } } _ { B } \mathrm { y _ { B } ^ { 2 } ) + \mathrm { s _ { A } \mathrm { s _ { B } ^ { 2 } \mathrm { \overline { { z } } _ { B } ( \mathrm { x _ { A } \mathrm { y _ { A } ^ { 2 } \mathrm { \overline { { x } } _ { B } - \mathrm { x _ { A } ^ { 2 } \mathrm { y _ { A } \mathrm { \overline { { y } } _ { B } ) } } } } } } } } } } } } } } } } } }
\theta _ { i } ( i = 1 , \cdots , N ) = \left\{ \begin{array} { l c l } { { \pi } } & { { } } & { { \cdots N = \mathrm { e v e n } , } } \\ { { { \frac { N - 1 } { N } } \pi , } } & { { ( \mathrm { o r } ~ ~ { \frac { N + 1 } { N } } \pi ) } } & { { \cdots N = \mathrm { o d d } . } } \end{array} \right.
W _ { e f f } = ( N _ { c } ^ { \prime } - N _ { c } - 1 ) \left[ \frac { \Lambda ^ { \prime 6 ( N _ { c } ^ { \prime } - 1 ) - 2 N _ { c } } } { \operatorname * { d e t } ( q _ { a } q _ { b } ) } \right] ^ { \frac { 1 } { 2 ( N _ { c } ^ { \prime } - 1 ) - 2 N _ { c } } } .
\begin{array} { r l } { \tau ^ { \prime } } & { { } : = \hat { \tau } - w \sqrt { \mathrm { v a r } ( \hat { \tau } ) } \simeq \tau - 2 w \sqrt { \frac { 2 \tau ^ { 2 } + \tau \sigma _ { z } ^ { 2 } / \sigma _ { x } ^ { 2 } } { m _ { p } } } , } \\ { \bar { n } ^ { \prime } } & { { } : = \widehat { \bar { n } } + w \sqrt { \mathrm { v a r } ( \widehat { \bar { n } } ) } \simeq \bar { n } + w \frac { \sigma _ { z } ^ { 2 } } { \sqrt { 2 m _ { p } } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { ( \mathbf { M } + \mathbf { A } ) \ddot { \mathbf { x } } ( t ) + \int _ { 0 } ^ { t } \mathbf { K } ( t - \tau ) \dot { \mathbf { x } } ( \tau ) d \tau + \mathbf { C } \mathbf { x } ( t ) + \mathbf { f } _ { m o o r } ( \mathbf { x } ( t ) , \dot { \mathbf { x } } ( t ) ) = \mathbf { f } _ { w a } ( \eta ( t ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \bf E } ^ { ( 1 ) } ( z ) } & { = } & { E _ { 0 } ^ { ( 1 ) } \left( { \bf A } _ { + } ^ { ( 1 ) } e ^ { i k z + i \Delta \phi } + { \bf A } _ { - } ^ { ( 1 ) } e ^ { - i k z - i \Delta \phi } \right) \, , } \\ { { \bf E } ^ { ( 2 ) } ( z ) } & { = } & { E _ { 0 } ^ { ( 2 ) } \left( { \bf A } _ { + } ^ { ( 2 ) } e ^ { i k z } + { \bf A } _ { - } ^ { ( 2 ) } e ^ { - i k z } \right) . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { ~ R ~ e ~ } ( A _ { f } ) = \frac { \varepsilon _ { \omega } F _ { t h } } { m _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } } \frac { \omega _ { 0 } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } ( 1 + \Gamma \tau ) } { [ ( \omega _ { 0 } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } ) ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } \Gamma ^ { 2 } ] ( 1 + \omega ^ { 2 } \tau ^ { 2 } ) } , } \\ { \mathrm { ~ I ~ m ~ } ( A _ { f } ) = \frac { \varepsilon _ { \omega } F _ { t h } } { m _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } } \frac { - \omega [ ( \omega _ { 0 } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } ) \tau + \Gamma ] } { [ ( \omega _ { 0 } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } ) ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } \Gamma ^ { 2 } ] ( 1 + \omega ^ { 2 } \tau ^ { 2 } ) } , } \end{array} \right.
\times \int D x _ { \mu } ( \xi ) \exp \left[ - ( \pi \eta ) ^ { 2 } \int d ^ { 4 } x \int d ^ { 4 } y \hat { \Sigma } _ { \mu \nu } ( x ) D _ { m } ^ { ( 4 ) } ( x - y ) \hat { \Sigma } _ { \mu \nu } ( y ) \right] .
\begin{array} { r l r } { \pi _ { m } ( \Theta _ { \Sigma \cup J _ { v } } ^ { \Sigma ^ { \prime } \setminus J _ { v } } ( H _ { \infty } / F ) \cdot u _ { \infty } ) } & { = } & { \Theta _ { \Sigma \cup J _ { v } } ^ { \Sigma ^ { \prime } \setminus J _ { v } } ( H _ { m } / F ) v _ { m } , \qquad \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } m \geq n , } \\ { \mathrm { e v } _ { \Omega ( G _ { n } ) } ( u _ { n } ) } & { = } & { \mathrm { e v } _ { \Omega ( G _ { n } ) } ( e _ { v , p } + ( 1 - e _ { v , p } ) b _ { n } ) , \qquad \mathrm { ~ i n ~ } \frac { 1 } { | I _ { v , p } | } R _ { \Omega ( G _ { n } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \Delta } ^ { \mu \nu } ( \mathbf { k } ) } & { { } = - \frac { 3 \pi \Gamma _ { a } c } { \omega _ { a } } \textrm { R e } \left[ \hat { \boldsymbol { \wp } } ^ { * } \cdot \hat { \mathbf { S } } ^ { \mu \nu } ( \mathbf { k } _ { | | } , \omega _ { a } ) \cdot \hat { \boldsymbol { \wp } } \right] } \\ { \hat { \Gamma } ^ { \mu \nu } ( \mathbf { k } ) } & { { } = \frac { 6 \pi \Gamma _ { a } c } { \omega _ { a } } \textrm { I m } \left[ \hat { \boldsymbol { \wp } } ^ { * } \cdot \hat { \mathbf { S } } ^ { \mu \nu } ( \mathbf { k } _ { | | } , \omega _ { a } ) \cdot \hat { \boldsymbol { \wp } } \right] . } \end{array}
\left( \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial t ^ { 2 } } - v _ { A } ^ { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial z ^ { 2 } } \right) V _ { x } = - v _ { A } ^ { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial z ^ { 2 } } \left( \frac { b } { B _ { 0 } } V _ { z } \right) - \frac { \partial } { \partial t } \left( \frac { \delta \rho } { \rho _ { 0 } } \frac { \partial V _ { x } } { \partial t } + V _ { z } \frac { \partial V _ { x } } { \partial z } \right) + \frac { 3 \eta _ { 0 } } { \rho _ { 0 } } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial t \partial z } \left( \frac { b } { B _ { 0 } } \left[ \frac { b } { B _ { 0 } } \frac { \partial V _ { x } } { \partial z } + \frac { 2 } { 3 } \frac { \partial V _ { z } } { \partial z } \right] \right) + O ( \epsilon ^ { 5 / 2 } ) .
\begin{array} { r } { \mathbf { F } _ { \mathrm { ~ t ~ e ~ n ~ } } = \frac { \delta E _ { \mathrm { ~ t ~ e ~ n ~ } } } { \delta \phi } \frac { \nabla \phi } { \epsilon | \nabla \phi | ^ { 2 } } = \frac { \gamma } { \epsilon } \left( - \epsilon \nabla ^ { 2 } \phi + \frac { 1 } { \epsilon } G ^ { \prime } ( \phi ) \right) \frac { \nabla \phi } { | \nabla \phi | ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \sigma _ { x x } } } & { = } & { { \sigma _ { \perp } } { \cos ^ { 2 } } \phi + { \sigma _ { \parallel } } { \sin ^ { 2 } } \phi , } \\ { { \sigma _ { z z } } } & { = } & { { \sigma _ { \parallel } } { \cos ^ { 2 } } \phi + { \sigma _ { \perp } } { \sin ^ { 2 } } \phi , } \\ { { \sigma _ { x z } } } & { = } & { { \sigma _ { z x } } = \left( { { \sigma _ { \perp } } - { \sigma _ { \parallel } } } \right) \cos \phi \sin \phi . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { d } X _ { t } ^ { i } } & { = a ( X _ { t } ^ { i } ) \mathrm { d } t + \sigma ( X _ { t } ^ { i } ) \mathrm { d } B _ { t } ^ { i } } \\ & { \qquad + { { \sf K } _ { t } ^ { ( N ) } ( X _ { t } ^ { i } ) \circ ( \mathrm { d } Z _ { t } - \frac { h ( X _ { t } ^ { i } ) + { h } _ { t } ^ { ( N ) } } { 2 } \mathrm { d } t ) } , } \\ { X _ { 0 } ^ { i } } & { \overset { \mathrm { i . i . d } } { \sim } p _ { 0 } , \quad \quad i = 1 , \ldots N , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widehat { \vartheta } _ { \mathfrak { c } } } & { = \widehat { \vartheta } _ { \mathtt { A L } } ^ { 2 } - \mathfrak { c } \binom { n } { 2 } ^ { - 1 } h ^ { - d - 2 } \nu ^ { \prime } \widehat { \Delta } \nu } \\ & { = \frac { ( n - 2 ) ^ { 2 } } { n ^ { 2 } ( n - 1 ) } S _ { N } ^ { 2 } - \mathfrak { c } \binom { n } { 2 } ^ { - 1 } \left[ \binom { n } { 2 } ^ { - 1 } \sum _ { i < j } u _ { i j } ^ { 2 } \right] } \\ & { = ( 2 - \mathfrak { c } ) \binom { n } { 2 } ^ { - 1 } \mathbb { E } [ q _ { 1 2 } ^ { 2 } ] + \frac { 1 + o ( 1 ) } { n } \mathbb { E } [ \ell _ { 1 } ^ { 2 } ] + \frac { 1 + o ( 1 ) } { n ^ { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \big [ ( \ell _ { i } ^ { 2 } - \mathbb { E } [ \ell _ { 1 } ^ { 2 } ] ) + 4 g _ { i } \big ] } \\ & { \qquad + \frac { 1 + o ( 1 ) } { n } 4 \binom { n } { 2 } ^ { - 1 } \sum _ { i < j } \varphi _ { i j } + \frac { 1 + o ( 1 ) } { n } \mathcal { S } _ { \mathfrak { c } } + \mathfrak { c } \binom { n } { 2 } ^ { - 1 } \mathcal { Q } _ { \mathfrak { c } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { A \times B } e ^ { - n \alpha } d R _ { 0 } = \int _ { B } e ^ { - n \alpha } Q ( A | x _ { 0 } ) \mu _ { n } ( d x ) \le \int _ { B } Q ( A | x ) \mu _ { n } ( d x ) = R ( A \times B ) } \\ & { \quad = \int _ { A \times B } \tilde { q } d R _ { 0 } = \int _ { B } Q ( A | x ) \mu _ { n } ( d x ) \le \int _ { B } e ^ { n \alpha } Q ( A | x _ { 0 } ) \mu _ { n } ( d x ) = \int _ { A \times B } e ^ { n \alpha } d R _ { 0 } . } \end{array}
N _ { \star } \approx 1 . 1 \times 1 0 ^ { 5 } \, \left( \frac { T _ { \star } } { 1 \, \mathrm { K } } \right) ^ { - 1 } \left( \frac { \ell _ { \star } } { 1 . 4 \, \AA } \right) ^ { - 2 } .
\begin{array} { r l r } & { } & { { { { \mathrm { \boldmath ~ { \cal ~ T } ~ } } } } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) = \left( \begin{array} { l l } { { \bf J } _ { 1 1 } \{ { { \bar { \bf F } } } ^ { - } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) \} ^ { * } { \bf J } _ { 1 1 } ^ { - 1 } } & { { \bf F } ^ { + } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) } \\ { { \bf J } _ { 1 1 } \{ { { \bar { \bf F } } } ^ { + } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) \} ^ { * } { \bf J } _ { 1 1 } ^ { - 1 } } & { { \bf F } ^ { - } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) } \end{array} \right) . } \end{array}
{ \frac { d H } { d t } } = { \frac { \partial H } { \partial { \boldsymbol { p } } } } \cdot \left( - { \frac { \partial H } { \partial { \boldsymbol { q } } } } \right) + { \frac { \partial H } { \partial { \boldsymbol { q } } } } \cdot { \frac { \partial H } { \partial { \boldsymbol { p } } } } + 0 = 0
\begin{array} { r l } { \tilde { M } h ( x ) } & { : = \operatorname* { s u p } _ { \xi \in U } e ^ { c ( x , \xi ) } h ( \xi ) , \quad x \in E , } \\ { \tilde { P } _ { \delta } ^ { m } h ( x ) } & { : = \mathbb { E } _ { x } \left[ e ^ { \int _ { 0 } ^ { \delta } f ( X _ { s } ) d s } \left( 1 _ { \{ X _ { \delta } \in B _ { m } \} } h ( X _ { \delta } ) + 1 _ { \{ X _ { \delta } \notin B _ { m } \} } \tilde { M } h ( X _ { \delta } ) \right) \right] , \quad x \in B _ { m } , } \\ { \tilde { T } _ { \delta } ^ { m } h ( x ) } & { : = \operatorname* { m a x } \left( \tilde { P } _ { \delta } ^ { m } h ( x ) , \tilde { M } \tilde { P } _ { \delta } ^ { m } h ( x ) \right) , \quad x \in B _ { m } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { W ( I ; \tau , \tilde { \tau } ) } & { = \sum _ { \sigma \in \mathfrak { S } _ { n } } U ( e _ { \sigma ( 1 ) } , \dotsc , e _ { \sigma ( n ) } ; \tau , \tilde { \tau } ) \cdot e _ { \sigma ( 1 ) } * \cdots * e _ { \sigma ( n ) } \, , } \\ { W ^ { \smash { \mathrm { s d } } } ( I ; \tau , \tilde { \tau } ) } & { = \sum _ { x \in P _ { I } } U ^ { \smash { \mathrm { s d } } } ( x _ { 1 } , \dotsc , x _ { n } ; \tau , \tilde { \tau } ) \cdot x _ { 1 } * \cdots * x _ { n } } \end{array}
\{ v _ { 1 } = ( n _ { 1 } , l _ { 1 } ) , v _ { 2 } = ( n _ { 2 } , l _ { 1 } ) , v _ { 3 } = ( n _ { 3 } , l _ { 1 } ) , v _ { 4 } = ( n _ { 4 } , l _ { 1 } ) , v _ { 5 } = ( n _ { 5 } , l _ { 1 } ) , v _ { 6 } = ( n _ { 1 } , l _ { 2 } ) , v _ { 7 } = ( n _ { 2 } , l _ { 2 } ) , v _ { 8 } = ( n _ { 3 } , l _ { 2 } ) , v _ { 9 } = ( n _ { 4 } , l _ { 2 } ) , v _ { 1 0 } = ( n _ { 6 } , l _ { 2 } ) \}
\begin{array} { r l } { f _ { + , \omega } ^ { \mathrm { A d d } } = } & { \left[ - \kappa _ { s x } \kappa _ { d x } + \sigma _ { s x } \sigma _ { d x } e ^ { i \Delta \phi } \right] f _ { - , \omega } ^ { \mathrm { A d d } } } \\ & { + i \left[ \kappa _ { s x } \sigma _ { d x } + \sigma _ { s x } \kappa _ { d x } e ^ { i \Delta \phi } \right] f _ { - , \omega } ^ { \mathrm { I n } } \ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { S ^ { \ast } ( s ) } & { = \left( \begin{array} { c c } { \vert \frac s \eta \vert ^ { \gamma _ { 1 } } } & { \vert \frac s \eta \vert ^ { \gamma _ { 2 } } } \\ { \frac { \gamma _ { 1 } } { c } \vert \frac s \eta \vert ^ { \gamma _ { 1 } - 1 } } & { \frac { \gamma _ { 2 } } { c } \vert \frac s \eta \vert ^ { \gamma _ { 2 } - 1 } } \end{array} \right) , } \end{array}
Q ^ { T } ( z ) = A _ { 0 } ( z ) + \int _ { 0 } ^ { \infty } d s \frac { A _ { 1 } ( s ; z ) } { s - p ^ { 2 } } \, + \int _ { 0 } ^ { \infty } d s _ { 1 } \int _ { 0 } ^ { \infty } d s _ { 2 } \, \frac { A _ { 2 } ( s _ { 1 } , s _ { 2 } ; z ) } { ( s _ { 1 } - p ^ { 2 } ) ( s _ { 2 } - p ^ { 2 } ) } \, .
\begin{array} { r l } { w ( E _ { j } ^ { n } ( u ) ) = } & { \frac { \displaystyle \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } m ^ { \varDelta } ( x , t _ { n - } ) d x + \left( \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } { \rho } ^ { \varDelta } ( x , t _ { n - } ) d x \right) ^ { \theta } / \theta } { \displaystyle \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } { \rho } ^ { \varDelta } ( x , t _ { n - } ) d x } } \\ { = } & { \frac { \displaystyle \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } { m } _ { \dagger } ^ { \varDelta } ( x , t _ { n - } ) d x + \left( \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } { \rho } _ { \dagger } ^ { \varDelta } ( x , t _ { n - } ) d x \right) ^ { \theta } / \theta } { \displaystyle \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } { \rho } _ { \dagger } ^ { \varDelta } ( x , t _ { n - } ) d x } } \\ & { + \frac { \displaystyle \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } { \rho } ^ { \varDelta } ( x , t _ { n - } ) \left\{ \int _ { - \infty } ^ { x _ { j - 1 } } \eta _ { \ast } \left( { u } ^ { \varDelta } ( y , t _ { n - } ) \right) d y \right\} d x } { \displaystyle \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } { \rho } ^ { \varDelta } ( x , t _ { n - } ) d x } } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial ^ { \alpha } } { \partial t ^ { \alpha } } \psi ( \vec { r } , t ) = \frac { 1 } { \Gamma \left( 1 - \alpha \right) } \int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime } \frac { 1 } { ( t - t ^ { \prime } ) ^ { \alpha } } \frac { \partial } { \partial t } \psi ( \vec { r } , t ) , } \end{array}
\zeta _ { 0 } ^ { [ r ] } , \, \zeta _ { 1 } ^ { [ r ] } , \, . . . \, \zeta _ { r \, + \, 1 } ^ { [ r ] } \, \, ; \qquad \eta _ { 1 } ^ { [ r ] } , \, \eta _ { 2 } ^ { [ r ] } , \, . . . \, \eta _ { r } ^ { [ r ] }
2 V ^ { - 1 } < H > = \frac { 1 } { 2 } ~ \int ~ \frac { d ^ { 2 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \left[ D ^ { - 1 } ( p ) + ( p ^ { 2 } + 4 \kappa ^ { 2 } ) D ( p ) \frac { \xi } { \kappa p ^ { 2 } D ( p ) + \xi } \right]
\frac { \zeta ^ { 2 } / 2 \left[ k _ { 1 } - \zeta ^ { 2 } / 2 ) \right] } { \lambda _ { 0 } + \lambda _ { 1 } } + \frac { \lambda _ { 1 } } { 2 } \left[ \frac { k _ { 1 } - \zeta ^ { 2 } / 2 } { \lambda _ { 0 } + \lambda _ { 1 } } - \frac { p ^ { 2 } - q ^ { 2 } } { 2 q ^ { \prime } \lambda _ { 1 } } \right] ^ { 2 } + \frac { \lambda _ { 0 } } { 2 } \left[ \frac { k _ { 1 } - \zeta ^ { 2 } / 2 } { \lambda _ { 0 } + \lambda _ { 1 } } \right] ^ { 2 }
c = \sqrt [ 3 ] { \frac { \frac { 4 \pi } { 3 } - \frac { 4 \pi } { 3 } k _ { x _ { 0 } } ( r ) \varepsilon ^ { 3 } } { \frac { 4 \pi } { 3 } - | \Omega _ { x _ { 0 } , r } ^ { + } | } } \leq \sqrt [ 3 ] { \frac { \frac { 4 \pi } { 3 } } { \frac { 4 \pi } { 3 } - | \Omega _ { x _ { 0 } , r } ^ { + } | } } \leq 1 + \frac { 3 } { 2 \pi } | \Omega _ { x _ { 0 } , r } ^ { + } | ,
{ \frac { c } { \Lambda ^ { 2 } } } \left( { Q } ( c _ { 1 } \chi _ { d } ^ { 1 } + c _ { 2 } \chi _ { d } ^ { 2 } ) D ^ { c } \right) \left( { Q } ( f _ { 1 } \chi _ { d } ^ { 1 } + f _ { 2 } \chi _ { d } ^ { 2 } ) D ^ { c } \right) ^ { \dagger }
\left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } w _ { i } x _ { i } ^ { - p } \right) ^ { - 1 / p } = \left( { \frac { 1 } { \sum _ { i = 1 } ^ { n } w _ { i } { \frac { 1 } { x _ { i } ^ { p } } } } } \right) ^ { 1 / p } \leq \left( { \frac { 1 } { \sum _ { i = 1 } ^ { n } w _ { i } { \frac { 1 } { x _ { i } ^ { q } } } } } \right) ^ { 1 / q } = \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } w _ { i } x _ { i } ^ { - q } \right) ^ { - 1 / q }
\begin{array} { r l } { \frac { 2 \pi } { T } \left\langle \left| a \left( \omega \right) \right| ^ { 2 } \right\rangle } & { { } = \frac { 1 } { \left( 1 + \omega ^ { 2 } \right) } . } \\ { \left\langle \left| a _ { i n } \left( \omega \right) \right| ^ { 2 } \right\rangle } & { { } = \frac { 1 } { 2 } } \\ { \left\langle \left| a _ { o u t } \left( \omega \right) \right| ^ { 2 } \right\rangle } & { { } = \frac { 1 } { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { L } _ { \bf d } + \mathcal { L } _ { \bf u } } & { = } & { \hat { 1 } } \\ { \mathcal { L } _ { \bf d } ^ { 2 } = \mathcal { L } _ { \bf d } \quad } & { \mathrm { a n d } } & { \quad \mathcal { L } _ { \bf u } ^ { 2 } = \mathcal { L } _ { \bf u } } \\ { \mathcal { L } _ { \bf d } \mathcal { L } _ { \bf u } = \breve { 0 } \quad } & { \mathrm { a n d } } & { \quad \mathcal { L } _ { \bf u } \mathcal { L } _ { \bf d } = \breve { 0 } } \\ { \hat { r } \mathcal { L } _ { \bf d } \hat { r } = \mathcal { L } _ { \bf u } \quad } & { \mathrm { a n d } } & { \quad \hat { r } \mathcal { L } _ { \bf u } \hat { r } = \mathcal { L } _ { \bf d } . } \end{array}
\begin{array} { l l } { \psi _ { \omega } \sim e ^ { i \omega r _ { \ast } } , } & { r _ { \ast } \to \infty , } \\ { \frac { d \psi _ { \omega } } { d n } ( r _ { \ast } ) + \frac { a } { 2 } \psi _ { \omega } ( r _ { \ast } ) = 0 , } & { r _ { \ast } \to 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi ( s + t _ { k } ^ { 1 } - t _ { k } ^ { 2 } , x _ { k } ^ { 2 } , u _ { k } ^ { 2 } ) } & { = \phi \big ( s + t _ { k } ^ { 1 } - t _ { k } ^ { 2 } , \phi ( t _ { k } ^ { 2 } , x _ { k } , u _ { k } ) , u _ { k } ( \cdot + t _ { k } ^ { 2 } ) \big ) } \\ & { = \phi \big ( s , \phi ( t _ { k } ^ { 1 } - t _ { k } ^ { 2 } , \phi ( t _ { k } ^ { 2 } , x _ { k } , u _ { k } ) , u _ { k } ( \cdot + t _ { k } ^ { 2 } ) ) , u _ { k } ( \cdot + t _ { k } ^ { 1 } ) \big ) } \\ & { = \phi \big ( s , \phi ( t _ { k } ^ { 1 } , x _ { k } , u _ { k } ) , u _ { k } ( \cdot + t _ { k } ^ { 1 } ) \big ) } \\ & { = \phi ( s , x _ { k } ^ { 1 } , u _ { k } ^ { 1 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { A } = } & { { } - k _ { 1 } R \, A - k _ { 2 } C \, A + m _ { 1 } k _ { 5 } B } \\ { \dot { B } = } & { { } 2 k _ { 3 } R \, C - k _ { 5 } B } \\ { \dot { C } = } & { { } k _ { 1 } R \, A - k _ { 2 } C \, A + k _ { 3 } R C - k _ { 4 } C ^ { 2 } } \end{array}
A _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } } ( t ) = C _ { 0 } \exp \left\{ - \frac { i } { \hbar } \left[ \frac { \hbar ^ { 2 } \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } _ { \perp } ^ { 2 } } { 2 m } \; t \; \; + \; \; \frac { 1 } { 6 m F } ( p + F t ) ^ { 3 } \right] \right\} \; ,
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { r } ( t ) } & { \equiv \mathbf { r } ( x , y , z ) \equiv x ( t ) \mathbf { \hat { e } } _ { x } + y ( t ) \mathbf { \hat { e } } _ { y } + z ( t ) \mathbf { \hat { e } } _ { z } } \\ & { \equiv \mathbf { r } ( r , \theta , \phi ) \equiv r ( t ) \mathbf { \hat { e } } _ { r } { \big ( } \theta ( t ) , \phi ( t ) { \big ) } } \\ & { \equiv \mathbf { r } ( r , \phi , z ) \equiv r ( t ) \mathbf { \hat { e } } _ { r } { \big ( } \phi ( t ) { \big ) } + z ( t ) \mathbf { \hat { e } } _ { z } , } \end{array} }
\omega = ( 2 2 5 t ) ^ { - \frac { 2 ( \alpha - 1 ) } { 5 } } , \qquad s ( t ) = ( 2 2 5 \, t ) ^ { \frac 1 5 } \left\{ \begin{array} { l l } { \big ( 1 + O \big ( t ^ { \frac { - 2 ( \alpha - 1 ) } { 5 } } \big ) \big ) } & { \mathrm { i f ~ } \alpha \ne \frac 7 2 , } \\ { \big ( 1 + O ( t ^ { - 1 } \log t ) \big ) } & { \mathrm { i f ~ } \alpha = \frac 7 2 . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \mu _ { 1 } = \operatorname { t r } ( \mathbf { J } ) = \Psi _ { l , l } } \\ & { \mu _ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } \left[ \operatorname { t r } ( \mathbf { J } ) ^ { 2 } - \operatorname { t r } \left( \mathbf { J } ^ { 2 } \right) \right] = \frac { 1 } { 2 } \left( \Psi _ { i , i } \Psi _ { j , j } - \Psi _ { i , j } \Psi _ { j , i } \right) , } \\ & { \mu _ { 3 } = \det ( \mathbf { J } ) = \frac { 1 } { 6 } \varepsilon _ { i k l } \varepsilon _ { j m n } \Psi _ { j , i } \Psi _ { m , k } \Psi _ { n , l } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Lambda ( \mathbf { k } _ { | | } ) = \textrm { s i g n } \left( - \Delta _ { x x } ^ { 1 2 } \right) \sqrt { \left( - \Delta _ { x x } ^ { 1 2 } ( \mathbf { k } _ { | | } ) + i \frac { \Gamma _ { x x } ^ { 1 2 } ( \mathbf { k } _ { | | } ) } { 2 } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { \omega _ { 1 } - \omega _ { 2 } } { 2 } \right) ^ { 2 } } } \end{array}