harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { ( \psi p ) _ { \mathrm { ~ s ~ r ~ } } } & { { } \approx 6 \pi \langle N \rangle \left\langle T p ^ { 2 } \right\rangle \left( \frac { s ^ { 8 7 } \nu _ { 0 0 } ^ { 8 5 } - s ^ { 8 5 } \nu _ { 0 0 } ^ { 8 7 } } { 3 \nu _ { 0 0 } ^ { 8 7 } - 2 \nu _ { 0 0 } ^ { 8 5 } } \right) , } \end{array}
\frac { D \boldsymbol { \omega } } { D t } = ( \boldsymbol { \omega \cdot \nabla } ) \boldsymbol { u } - \boldsymbol { \omega } ( \boldsymbol { \nabla \cdot u } ) + \frac { \boldsymbol { \nabla } \rho \boldsymbol { \times \nabla } p } { \rho ^ { 2 } } + \boldsymbol { \nabla \times } \bigg ( \frac { 1 } { \rho } \boldsymbol { \nabla \cdot \tau } \bigg ) + \boldsymbol { \nabla \times F _ { \sigma } }
\begin{array} { r l r } { \chi _ { e , c } ^ { 2 } ( V _ { \alpha \beta } , \boldsymbol { \theta } , o ) = } & { } & { \underset { \left\{ \xi _ { s } , \{ \xi _ { b , c , k } \} \right\} } { \mathrm { m i n } } \left\{ 2 \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { e } } \left[ N _ { e , c , i } ^ { \mathrm { t e s t } } ( V _ { \alpha \beta } , \boldsymbol { \theta } , o , \xi _ { s } , \{ \xi _ { b , c , k } \} ) \right. \right. } \\ & { } & { \left. \left. - N _ { e , c , i } ^ { \mathrm { t r u e } } \left( 1 + \ln \frac { N _ { e , c , i } ^ { \mathrm { t e s t } } ( V _ { \alpha \beta } , \boldsymbol { \theta } , o , \xi _ { s } , \{ \xi _ { b , c , k } \} ) } { N _ { e , c , i } ^ { \mathrm { t r u e } } } \right) \right] + \xi _ { s } ^ { 2 } + \sum _ { k } \xi _ { b , c , k } ^ { 2 } \right\} \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle { \dot { \sigma } } ( t ) \rangle } & { = \sum _ { x _ { E } ^ { \prime } , x _ { D } ^ { \prime } , x _ { E } , x _ { D } } K _ { x _ { E } , x _ { D } } ^ { x _ { E } ^ { \prime } , x _ { D } ^ { \prime } } p _ { x _ { E } ^ { \prime } , x _ { D } ^ { \prime } } ( t ) \ln \frac { K _ { x _ { E } , x _ { D } } ^ { x _ { E } ^ { \prime } , x _ { D } ^ { \prime } } p _ { x _ { E } ^ { \prime } , x _ { D } ^ { \prime } } ( t ) } { K _ { x _ { E } ^ { \prime } , x _ { D } ^ { \prime } } ^ { x _ { E } , x _ { D } } \, p _ { x _ { E } , x _ { D } } ( t ) } } \\ & { = \sum _ { x _ { E } ^ { \prime } , x _ { D } ^ { \prime } , x _ { E } , x _ { D } } K _ { x _ { E } , x _ { D } } ^ { x _ { E } ^ { \prime } , x _ { D } ^ { \prime } } \, p _ { x _ { E } ^ { \prime } , x _ { D } ^ { \prime } } ( t ) \ln \frac { p _ { x _ { E } ^ { \prime } , x _ { D } ^ { \prime } } ( t ) } { p _ { x _ { E } , x _ { D } } ( t ) } } \\ & { = - \sum _ { x _ { E } ^ { \prime } , x _ { D } ^ { \prime } , x _ { E } , x _ { D } } K _ { x _ { E } , x _ { D } } ^ { x _ { E } ^ { \prime } , x _ { D } ^ { \prime } } \, p _ { x _ { E } ^ { \prime } , x _ { D } ^ { \prime } } ( t ) \ln p _ { x _ { E } , x _ { D } } ( t ) } \\ & { = - \sum _ { x _ { E } , x _ { D } ^ { \prime } , x _ { D } } K _ { x _ { E } , x _ { D } } ^ { x _ { E } , x _ { D } ^ { \prime } } \, p _ { x _ { E } , x _ { D } ^ { \prime } } ( t ) \ln p _ { x _ { E } , x _ { D } } ( t ) } \\ & { = \frac { d } { d t } S ( X _ { E } , S _ { D } ) } \end{array}
f _ { R I B } ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \; x \in [ x _ { p } - R _ { p } , x _ { p } + R _ { p } ] } \\ { 1 } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \; x \in [ - x _ { p } - R _ { p } , - x _ { p } + R _ { p } ] } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ e ~ l ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { G ( a _ { c } ) + G ^ { \prime } ( a _ { c } ) \alpha + \frac { 1 } { 2 a _ { c } } } & { \alpha ^ { 2 } + o ( \alpha ^ { 2 } ) } \\ { = } & { \left( 1 + \frac { \epsilon } { \beta _ { c } } \right) ( a _ { c } - 1 + \alpha ) \left( a _ { c } - 1 + \frac { 1 } { \beta _ { c } } + \alpha - \frac { \epsilon } { \beta _ { c } ^ { 2 } } + \frac { \epsilon ^ { 2 } } { \beta _ { c } ^ { 3 } } + o ( \epsilon ^ { 2 } ) \right) , } \end{array}
\sum _ { k = 1 } ^ { n } \varphi ( k ) = { \frac { 1 } { 2 } } \left( 1 + \sum _ { k = 1 } ^ { n } \mu ( k ) \left\lfloor { \frac { n } { k } } \right\rfloor ^ { 2 } \right) = { \frac { 3 } { \pi ^ { 2 } } } n ^ { 2 } + O \left( n ( \log n ) ^ { \frac { 2 } { 3 } } ( \log \log n ) ^ { \frac { 4 } { 3 } } \right)
F _ { 2 } \left( \phi _ { x } , J _ { 2 } , s \right) = \left( \phi _ { x } - \int _ { 0 } ^ { s } { \frac { 1 } { \beta _ { x } \left( \tau \right) } d \tau } + \frac { 2 \pi } { L } s \nu _ { x } \right) J _ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { F } & { { } = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { \phi _ { i } } { L _ { i } } \log \phi _ { i } + ( 1 - \phi _ { \mathrm { ~ T ~ } } ) \log ( 1 - \phi _ { \mathrm { ~ T ~ } } ) } \\ { \mu _ { i } } & { { } = \frac { 1 } { L _ { i } } \log \phi _ { i } - \log ( 1 - \phi _ { \mathrm { ~ T ~ } } ) - \left( 1 - \frac { 1 } { L _ { i } } \right) + \sum _ { j = 1 } ^ { N } \epsilon _ { i j } \phi _ { j } } \\ { P } & { { } = - \log ( 1 - \phi _ { \mathrm { ~ T ~ } } ) + \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { \phi _ { i } } { L _ { i } } - \phi _ { \mathrm { ~ T ~ } } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \epsilon _ { i j } \phi _ { i } \phi _ { j } } \\ { \frac { \partial \mu _ { i } } { \partial \phi _ { j } } } & { { } = \frac { \delta _ { i j } } { L _ { i } \phi _ { i } } + \frac { 1 } { 1 - \phi _ { \mathrm { ~ T ~ } } } + \epsilon _ { i j } , } \end{array}
G ( x , y ) \sim \frac { \textrm { i } \sqrt { n } } { \sqrt { 2 \pi } \left( 1 - n ^ { 2 } \right) } \frac { \mathrm { e } ^ { i k _ { - } \left| x _ { 1 } - y _ { 1 } \right| + \mathrm { i } \pi / 4 } } { \left( k _ { + } \left| x _ { 1 } - y _ { 1 } \right| \right) ^ { 3 / 2 } } - \frac { \textrm { i } } { \sqrt { 2 \pi } \left( n ^ { 2 } - 1 \right) } \frac { \mathrm { e } ^ { i k _ { + } \left| x _ { 1 } - y _ { 1 } \right| + \mathrm { i } \pi / 4 } } { \left( k _ { + } \left| x _ { 1 } - y _ { 1 } \right| \right) ^ { 3 / 2 } } ,
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial \tilde { u } _ { y } } { \partial \tilde { y } } = \frac { \partial \tilde { u } _ { y } ^ { \mathrm { ( s t ) } } } { \partial \tilde { y } } , } \\ & { \frac { \partial \tilde { u } _ { y } } { \partial \theta } = P e _ { s } \cos \theta + \frac { \partial \tilde { u } _ { y } ^ { \mathrm { ( s t ) } } } { \partial \theta } , } \\ & { \frac { \partial \tilde { \omega } } { \partial \tilde { y } } = \frac { P e _ { f } } { \tilde { H } } \left( 1 - \beta ( \alpha ) \cos 2 \theta \right) } \\ & { \frac { \partial \tilde { \omega } } { \partial \theta } = - P e _ { f } \beta ( \alpha ) \sin 2 \theta \left( 1 - 2 \frac { \tilde { y } } { \tilde { H } } \right) , } \end{array}
\hat { T } { \bf f } = 0 \; , \; \; \hat { T } = \frac { \imath s m } { 2 \hat { \omega } } \hat { \zeta } \Sigma ^ { 3 } \left[ \hat { \zeta } \hat { \omega } \Sigma ^ { 3 } + \imath \partial _ { 1 } ( \imath s \Sigma ^ { 2 } ) + \imath \partial _ { 2 } ( - \imath s \Sigma ^ { 1 } ) - s m \right] \; .
\rho _ { + } = 1 0 0 0 , \quad \rho _ { - } = 1 , \quad \mu _ { + } = 1 0 , \quad \mu _ { - } = 0 . 1 , \quad \gamma = 1 . 9 6 , \quad \vec { g } = ( 0 , - 0 . 9 8 ) ^ { T } .
\begin{array} { r l } { \hat { v } _ { 1 } ^ { ( k ) } ( s ) } & { = - \theta _ { 1 } ^ { * } \left( \hat { t } _ { 1 , 1 } \hat { v } _ { 1 } ^ { ( k - 1 ) } ( s ) + \hat { t } _ { 1 , 2 } \hat { v } _ { 2 } ^ { ( k - 1 ) } ( s ) - \hat { t } _ { 1 , 3 } \hat { v } _ { 3 } ^ { ( k - 1 ) } ( s ) \right) , } \\ { \hat { v } _ { i } ^ { ( k ) } ( s ) } & { = - \theta _ { i } ^ { * } \left( \hat { t } _ { i , i } \hat { v } _ { i } ^ { ( k - 1 ) } ( s ) + \hat { t } _ { i , i + 1 } \hat { v } _ { i + 1 } ^ { ( k - 1 ) } ( s ) + \hat { t } _ { i , i - 1 } \hat { v } _ { i - 1 } ^ { ( k - 1 ) } ( s ) - \hat { t } _ { i , i + 2 } \hat { v } _ { i + 2 } ^ { ( k - 1 ) } ( s ) - \hat { t } _ { i , i - 2 } \hat { v } _ { i - 2 } ^ { ( k - 1 ) } ( s ) \right) , } \\ { \hat { v } _ { N - 1 } ^ { ( k ) } ( s ) } & { = - \theta _ { N - 1 } ^ { * } \left( \hat { t } _ { N - 1 , N - 1 } \hat { v } _ { N - 1 } ^ { ( k - 1 ) } ( s ) + \hat { t } _ { N - 1 , N - 2 } \hat { v } _ { N - 2 } ^ { ( k - 1 ) } ( s ) - \hat { t } _ { N - 1 , N - 3 } \hat { v } _ { N - 3 } ^ { ( k - 1 ) } ( s ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d w _ { i j } } { d t } } & { { } = \phi \big ( | x _ { i } - x _ { j } | \big ) \, \big ( w _ { i j } + N ^ { - 1 } ( w ^ { 2 } ) _ { i j } \big ) \, ( 1 - w _ { i j } ) - \big ( 1 - \phi \big ( | x _ { i } - x _ { j } | \big ) \big ) \, w _ { i j } } \end{array}
\left\langle \hat { b } _ { 2 } ^ { \dagger } \hat { b } _ { 2 } \right\rangle = \frac { \left\langle \psi \right\vert \hat { b } _ { 2 } ^ { \dagger } \hat { b } _ { 2 } \left\vert \psi \right\rangle } { \left\langle \psi | \psi \right\rangle } = \frac { \gamma ^ { 2 } } { 1 - \gamma ^ { 2 } } + \frac { \gamma ^ { 2 } | \beta | ^ { 2 } } { \left( 1 - \gamma ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } .
4 s _ { \mathrm { o b } } a _ { 0 2 0 0 } ^ { 3 } ( 2 s _ { \mathrm { i m } } a _ { 0 2 0 0 } + 1 ) - 4 s _ { \mathrm { i m } } a _ { 0 4 0 0 } + a _ { 0 3 0 1 }
\begin{array} { r } { \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mu _ { t } \cdot ( \lambda _ { t } - b _ { t } ( x _ { t } ^ { \prime } ) ) + \kappa \cdot \sum _ { t = \zeta _ { A } + 1 } ^ { T } b _ { t } ( x _ { t } ^ { \prime } ) \leq \operatorname* { m a x } \{ E ( T , 0 ) , E ( T , \kappa ) \} + \kappa \bar { b } + \kappa \cdot \left( \left\{ \sum _ { t = 1 } ^ { T } \lambda _ { t } \right\} - B \right) ^ { + } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { M S E } = } & { \sum _ { b = 0 , 1 } { \mathrm { V a r } \left( \left\{ t _ { s _ { i } } \middle | s _ { i } \in S _ { b } \right\} \right) \frac { N _ { S _ { b } } } { N _ { S } } } } \\ { = } & { \sum _ { b = 0 , 1 } { ( \frac { 1 } { N _ { S } } \sum _ { s _ { i } \in S _ { b } } t _ { s _ { i } } ^ { 2 } - \frac { 1 } { N _ { S } N _ { S _ { b } } } ( \sum _ { s _ { i } \in S _ { b } } t _ { s _ { i } } ) ^ { 2 } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathcal K } ( \mathfrak { a } , \mathfrak { b } ) = } & { \operatorname* { i n f } _ { m \geq 0 } \; m ( \mathfrak { a } - \frac { 1 } { 2 } \| \mathfrak { b } \| ^ { 2 } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 \quad \quad } & { \mathrm { ~ i f ~ } \mathfrak { a } - \frac { 1 } { 2 } \| \mathfrak { b } \| ^ { 2 } \geq 0 } \\ { - \infty \quad } & { \mathrm { ~ o t h e r w i s e . } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { 1 2 } } & { = w \sqrt { \frac { 1 } { g _ { 1 } g _ { 2 } Z _ { 1 } Z _ { 2 } } } = 0 . 0 2 2 8 \, \Omega ^ { - 1 } , } \\ { J _ { 2 3 } } & { = w \sqrt { \frac { \pi } { 4 g _ { 2 } g _ { 3 } Z _ { 2 } Z _ { 3 } } } = 0 . 0 0 7 6 \, \Omega ^ { - 1 } , } \\ { K _ { 3 4 } } & { = \sqrt { \frac { \pi } { 4 } \frac { w Z _ { 3 } Z _ { 0 } } { g _ { 3 } g _ { 4 } } } = 2 7 . 9 5 \, \Omega , } \end{array}
\begin{array} { r l } { I } & { = - \int u _ { t t } D ^ { \alpha } a D _ { \alpha } u } \\ & { = - \int ( \Delta u - u ^ { 3 } + \mathcal { N } ) D ^ { \alpha } a D _ { \alpha } u } \\ & { = - \int D ^ { \beta } D _ { \beta } u D ^ { \alpha } a D _ { \alpha } u - \frac { 1 } { 4 } D ^ { \alpha } a D _ { \alpha } ( u ^ { 4 } ) + \mathcal { N } D ^ { \alpha } a D _ { \alpha } u } \\ & { = \int D ^ { \beta } D ^ { \alpha } a D _ { \alpha } u D _ { \beta } u + \frac { 1 } { 2 } D ^ { \alpha } a D _ { \alpha } ( | \nabla u | ^ { 2 } ) - \frac { 1 } { 4 } D ^ { \alpha } a D _ { \alpha } ( u ^ { 4 } ) + \mathcal { N } D ^ { \alpha } a D _ { \alpha } u } \\ & { = \int D ^ { \beta } D ^ { \alpha } a D _ { \alpha } u D _ { \beta } u - \frac { 1 } { 2 } \Delta a | \nabla u | ^ { 2 } - \frac { 1 } { 4 } \Delta a u ^ { 4 } - \mathcal { N } D ^ { \alpha } a D _ { \alpha } u } \\ & { \geq - \frac { 1 } { 2 } \| \nabla u \| _ { 2 } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 4 } \| u \| _ { 4 } ^ { 4 } - \| \mathcal { N } \nabla u \| _ { 1 } } \\ { I I } & { = - \int u _ { t } D ^ { \alpha } a D _ { \alpha } u _ { t } } \\ & { = - \int \frac { 1 } { 2 } D ^ { \alpha } a D _ { \alpha } u _ { t } ^ { 2 } } \\ & { = \int \frac { 1 } { 2 } \Delta a u _ { t } ^ { 2 } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \| u _ { t } \| _ { 2 } ^ { 2 } } \\ { I I I } & { = - u _ { t t } u \frac { \Delta a } { 2 } } \\ & { = - \int \frac { 1 } { 2 } ( \Delta u - u ^ { 3 } + \mathcal { N } ) u } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \| \nabla u \| _ { 2 } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \| u \| _ { 4 } ^ { 4 } - \frac { 1 } { 2 } \int \mathcal { N } u } \\ & { \geq \frac { 1 } { 2 } \| \nabla u \| _ { 2 } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \| u \| _ { 4 } ^ { 4 } - \| \mathcal { N } u \| _ { 1 } } \\ { I V } & { = - \frac { 1 } { 2 } \| u _ { t } \| _ { 2 } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { { S ^ { \prime } } ^ { 0 } } & { { } = { \Lambda ^ { 0 } } _ { \alpha } S ^ { \alpha } = { \Lambda ^ { 0 } } _ { 0 } S ^ { 0 } + { \Lambda ^ { 0 } } _ { i } S ^ { i } = \gamma \left( S ^ { 0 } - \beta _ { i } S ^ { i } \right) } \\ { { S ^ { \prime } } ^ { i } } & { { } = { \Lambda ^ { i } } _ { \alpha } S ^ { \alpha } = { \Lambda ^ { i } } _ { 0 } S ^ { 0 } + { \Lambda ^ { i } } _ { j } S ^ { j } } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { 2 } ( \Bar { y } , \Bar { z } ) } & { { } \equiv \frac { \int _ { | \bar { y } | } ^ { \infty } \mathrm { d } x \left( x ^ { 2 } - \bar { y } ^ { 2 } \right) \left( x ^ { 2 } - 5 / 2 \right) k ( x , \bar { y } , \bar { z } ) } { \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } x \: 0 . 5 x ^ { 3 } \left( x ^ { 2 } - 5 / 2 \right) e ^ { - x ^ { 2 } } [ \Xi ( x ) - \Psi ( x ) ] } } \end{array}
{ \frac { d N } { d k } } \sim { \frac { \alpha } { \pi k } } \bigg ( \ln { \big ( { \frac { 1 + \sqrt { 1 + 4 k _ { L P M } / k } } { 2 } } \big ) } + { \frac { 2 } { 1 + \sqrt { 1 + 4 k _ { L P M } / k } } } - 1 \bigg )
\begin{array} { r l } { \dot { \psi } _ { i j } ^ { k - 1 } } & { \geq - \alpha _ { i j } ^ { k } ( \psi _ { i j } ^ { k - 1 } ) } \\ { \implies \frac { \partial \psi _ { i j } ^ { k - 1 } } { \partial t } + \frac { \partial \psi _ { i j } ^ { k - 1 } } { \partial x _ { i } } \dot { x } _ { i } + \frac { \partial \psi _ { i j } ^ { k - 1 } } { \partial x _ { j } } \dot { x } _ { j } } & { \geq - \alpha _ { i j } ^ { k - 1 } ( \psi _ { i j } ^ { k } ) } \end{array}
\frac { k _ { 0 } } { 2 \kappa } \frac { \mathrm { ~ d ~ } ^ { 2 } } { \mathrm { ~ d ~ } x ^ { 2 } } ( \chi H _ { x } ) - ( \kappa ^ { 2 } + k _ { 0 } \kappa \chi ) H _ { x } - \mathrm { ~ i ~ } k _ { z } \frac { \mathrm { ~ d ~ } H _ { z } } { \mathrm { ~ d ~ } x } = 0 ,
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { P r } ( Y _ { 1 } > 3 \mid Y _ { 2 } , \ldots , Y _ { N - 1 } < 3 ) } \\ { = } & { \operatorname E ( \operatorname* { P r } ( Y _ { 1 } > 3 \mid I ) \mid Y _ { 2 } , \ldots , Y _ { N - 1 } < 3 ) } \\ { = } & { \phantom { + } \operatorname* { P r } ( Y _ { 1 } > 3 \mid I = 0 \ \& \ Y _ { 2 } , \ldots , Y _ { N - 1 } < 3 ) \operatorname* { P r } ( I = 0 \mid Y _ { 2 } , \ldots , Y _ { N - 1 } < 3 ) } \\ & { + \operatorname* { P r } ( Y _ { 1 } > 3 \mid I = 1 \ \& \ Y _ { 2 } , \ldots , Y _ { N - 1 } < 3 ) \operatorname* { P r } ( I = 1 \mid Y _ { 2 } , \ldots , Y _ { N - 1 } < 3 ) } \\ { = } & { 0 + \operatorname* { P r } ( Y _ { 1 } > 3 \mid I = 1 \ \& \ Y _ { 2 } , \ldots , Y _ { N - 1 } < 3 ) \operatorname* { P r } ( I = 1 \mid Y _ { 2 } , \ldots , Y _ { N - 1 } < 3 ) } \\ { = } & { \operatorname* { P r } ( Y _ { 1 } > 3 \mid I = 1 \ \& \ Y _ { 2 } , \ldots , Y _ { N - 1 } < 3 ) \operatorname* { P r } ( Y _ { 1 } > 3 ) } \\ { < } & { \operatorname* { P r } ( Y _ { 1 } > 3 ) . } \end{array}
\mathbf { N } = \left( \mathbf { I } + \textbf { B } + \frac { \mathbf { B } ^ { 2 } } { 2 } \right) \mathbf { N _ { 0 } } = \left[ \begin{array} { l l l } { 1 - \eta _ { 0 } + \frac { \eta _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 } } & { 0 } & { 0 } \\ { \mu _ { 0 } \left( 1 - \frac { \eta _ { 0 } } { 2 } - \frac { \eta _ { 1 } } { 2 } \right) } & { 1 - \eta _ { 1 } + \frac { \eta _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 } } & { 0 } \\ { \frac { \mu _ { 0 } \mu _ { 1 } } { 2 } } & { \mu _ { 1 } \left( 1 - \frac { \eta _ { 1 } } { 2 } \right) } & { 1 \, , } \end{array} \right] \mathbf { N _ { 0 } } \, .
{ \operatorname * { d e t } ( \eta _ { \mu \nu } + F _ { \mu \nu } ) | } _ { B P S , \eta } = \left| \begin{array} { c } { { \begin{array} { c c } { { \begin{array} { c c c } { { \begin{array} { c c c c } { { \begin{array} { c c c c c } { { \begin{array} { c c c c c c } { { - 1 } } & { { E _ { 1 } } } & { { E _ { 2 } } } & { { E _ { 3 } } } & { { 0 } } & { { \partial _ { 0 } \eta } } \\ { { - E _ { 1 } } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { E _ { 1 } } } & { { \partial _ { 1 } \eta } } \\ { { - E _ { 2 } } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { E _ { 2 } } } & { { \partial _ { 2 } \eta } } \\ { { - E _ { 3 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { E _ { 3 } } } & { { \partial _ { 3 } y } } \\ { { 0 } } & { { - E _ { 1 } } } & { { - E _ { 2 } } } & { { - E _ { 3 } } } & { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { - \partial _ { 0 } \eta } } & { { - \partial _ { 1 } \eta } } & { { - \partial _ { 2 } \eta } } & { { - \partial _ { 3 } \eta } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} } } \end{array} } } \end{array} } } \end{array} } } \end{array} } } \end{array} \right|
\eta ^ { 2 } - 1 \approx - \sum _ { s } \frac { \omega _ { p s } ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } } + \xi _ { 1 } \left( \frac { E _ { 0 } } { E _ { c } } \right) ^ { 2 } \left[ \sum _ { s } \frac { \omega _ { p s } ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } } \right] ^ { 2 } \, .
\begin{array} { r l r } { A } & { = } & { \frac { 2 \cos \omega - 2 \omega \sin \omega } { 4 \lambda \omega ^ { 2 } + 1 } \frac { 1 } { \sqrt { \lambda } \sinh \frac { 1 } { 2 \sqrt { \lambda } } + 2 \lambda \cosh \frac { 1 } { 2 \sqrt { \lambda } } } } \\ { \frac { B } { i } } & { = } & { \frac { 2 \omega \cos \omega } { 4 \lambda \omega ^ { 2 } + 1 } \frac { 1 } { \sqrt { \lambda } \cosh \frac { 1 } { 2 \sqrt { \lambda } } } . } \end{array}
\Psi ( x ^ { \prime } ) = \exp \left( \sum _ { \alpha = 1 } ^ { M } \varphi _ { \alpha } ( x ) \times \prod _ { \bar { i } \in \{ i , j , ( k , l ) \} } \left( \frac { \epsilon _ { \alpha , \bar { i } , x _ { \bar { i } } ^ { \prime } } } { \epsilon _ { \alpha , \bar { i } , x _ { \bar { i } } } } \right) \right) ,
\begin{array} { r l } & { \textstyle \frac { 1 } { K } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \mathop { \mathbb { E } } \tilde { f } ( \bar { x } ^ { k } ) \leq \frac { \| \bar { e } _ { x } ^ { 0 } \| ^ { 2 } } { \alpha K } + \frac { 3 c _ { 1 } ^ { 2 } L } { 2 n K } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \mathop { \mathbb { E } } \| \hat { { \mathbf { x } } } ^ { k } \| ^ { 2 } + \frac { \alpha \sigma ^ { 2 } } { n } . } \end{array}
m _ { b } \rightarrow \frac { r _ { b } ^ { 6 } - 5 N ^ { 2 } r _ { b } ^ { 4 } + 1 5 N ^ { 4 } r _ { b } ^ { 2 } + 5 N ^ { 6 } } { 1 0 r _ { b } } = \frac { 3 0 6 1 } { 4 0 } N ^ { 5 }
\mathcal { P } _ { l } ^ { \mathrm { { D G } } } = \sum _ { m = 1 } ^ { M } \hat { \mathbf { e } } _ { m } \otimes ( \bigotimes _ { l ^ { \prime } = 0 } ^ { L - 1 } \delta _ { l l ^ { \prime } } \hat { \mathbf { e } } _ { m } ^ { \top } )
\begin{array} { r l } { A _ { 1 , i i } ^ { ( \ell ) } \widetilde { X } _ { i , j } ^ { ( \ell ) } + \widetilde { X } _ { i , j } ^ { ( \ell ) } A _ { 2 , j j } ^ { ( \ell ) } } & { = B _ { i , j } ^ { ( \ell ) } + R _ { i j } ^ { ( \ell ) } , } \\ { A _ { 1 , i i } ^ { ( h ) } \delta \widetilde { X } _ { i , j } ^ { ( h ) } + \delta \widetilde { X } _ { i , j } ^ { ( h ) } A _ { 2 , j j } ^ { ( h ) } } & { = \tilde { \Xi } _ { i j } ^ { ( h ) } + R _ { i j } ^ { ( h ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \lesssim \int _ { 2 | v ^ { \prime } | < | v | } \frac { | P _ { \nu ^ { \perp } } v | ^ { 2 } + | P _ { \nu ^ { \perp } } v | ^ { 2 } } { | v - v ^ { \prime } | ^ { 3 } } G ( v ^ { \prime } ) d v ^ { \prime } } \\ & { \lesssim \frac { | P _ { \nu ^ { \perp } } v | ^ { 2 } } { | v | ^ { 3 } } \| G \| _ { L ^ { 1 } } + \frac { 1 } { | v | ^ { 3 } } \| | v ^ { \prime } | ^ { 2 } G \| _ { L ^ { 1 } } } \\ & { \lesssim ( \frac { | P _ { v ^ { \perp } } \nu | ^ { 2 } } { | v | } + \frac { 1 } { | v | ^ { 3 } } ) \| \langle v ^ { \prime } \rangle ^ { 5 } G ( v ^ { \prime } ) \| _ { L _ { v ^ { \prime } } ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r } { k _ { 1 } = \frac { \omega ^ { \prime } ( a _ { \mathrm { c r } } , \lambda _ { \mathrm { c r } } ) } { \lambda _ { \mathrm { c r } } ^ { 2 } D ( a _ { \mathrm { c r } } ) } , \quad k _ { 2 } = \frac { k \gamma ( a _ { \mathrm { c r } } , \lambda _ { \mathrm { c r } } ) } { \lambda _ { \mathrm { c r } } ^ { 2 } D ( a _ { \mathrm { c r } } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \delta L _ { \mathtt { P T } } ( e , \widehat { \omega } , S ) \! = \mathrm { E } _ { \mathtt { P T } } ^ { ( 1 ) } ( e , \widehat { \omega } , S ) _ { I } \wedge \delta \mathrm { e } ^ { I } \! + \mathrm { E } _ { \mathtt { P T } } ^ { ( 2 ) } ( e , \widehat { \omega } , S ) _ { I J } \wedge \delta \widehat { \omega } ^ { I J } \! + \mathrm { E } _ { \mathtt { P T } } ^ { ( 3 ) } ( e , \widehat { \omega } , S ) _ { I J } \wedge \delta S ^ { I J } \! + \mathrm { d } \Theta _ { \mathtt { P T } } ^ { \mathtt { ( t ) } } , } \\ & { \delta \ell _ { \mathtt { P T } } ( e , \widehat { \omega } , S ) - \jmath ^ { * } \Theta _ { \mathtt { P T } } ^ { \mathtt { ( t ) } } = \overline { { b } } _ { \mathtt { P T } } ( \mathrm { e } ) _ { I } \wedge \delta \overline { { \mathrm { e } } } ^ { I } - \mathrm { d } \Theta _ { \mathtt { P T } } ^ { \mathtt { ( t ) } } , } \end{array}
V _ { \mathrm { o u t } } = { \frac { \left( R _ { \mathrm { f } } + R _ { 1 } \right) R _ { \mathrm { g } } } { \left( R _ { \mathrm { g } } + R _ { 2 } \right) R _ { 1 } } } V _ { 2 } - { \frac { R _ { \mathrm { f } } } { R _ { 1 } } } V _ { 1 } = \left( { \frac { R _ { 1 } + R _ { \mathrm { f } } } { R _ { 1 } } } \right) \cdot \left( { \frac { R _ { \mathrm { g } } } { R _ { \mathrm { g } } + R _ { 2 } } } \right) V _ { 2 } - { \frac { R _ { \mathrm { f } } } { R _ { 1 } } } V _ { 1 } .
\begin{array} { r l r } { r _ { \mathrm { p } } + \theta } & { \rightarrow } & { r _ { \mathrm { p } } } \\ { 2 r _ { \mathrm { p } } ^ { 2 } + G _ { \mathrm { T } } \theta r _ { \mathrm { p } } + G _ { \mathrm { T } } \theta ^ { 2 } } & { \rightarrow } & { 2 r _ { \mathrm { p } } ^ { 2 } } \\ { \mathrm { E q u a t i o n } ~ ( ) \Rightarrow \dot { Q } } & { \rightarrow } & { 4 \pi k ^ { * } ( T _ { \mathrm { p } } - T _ { \mathrm { g } } ) r _ { \mathrm { p } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { k } \equiv \sqrt { \gamma _ { k } } \mathcal { O } _ { k } } & { \rightarrow \hat { \mathcal { L } } _ { k } = \sqrt { \gamma _ { k } } \left( \mathcal { O } _ { k } + a _ { k } \mathbb { I } \right) \, \, , } \\ { H } & { \rightarrow \hat { H } = H + \frac { \gamma _ { k } } { 2 i } \sum _ { k } \left( a _ { k } ^ { * } \mathcal { L } _ { k } - a _ { k } \mathcal { L } _ { k } ^ { \dagger } \right) \, \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { A } \ltimes \mathcal { B } } & { = \mathrm { f o l d } \left[ \mathrm { c i r c } \left( \mathrm { u n f o l d \left( \mathcal { A } \otimes \mathcal { I } _ { k } \right) } \right) \cdot \mathrm { u n f o l d } \left( \mathcal { B } \right) \right] } \\ & { = \mathrm { f o l d } \left[ \mathrm { c i r c } \left( \mathrm { u n f o l d \left( \mathcal { A } \right) } \right) \ltimes \mathrm { u n f o l d } \left( \mathcal { B } \right) \right] } \end{array}
\chi _ { 1 } \equiv \Pi _ { 0 } - m ^ { 2 } \theta , ~ ~ \chi _ { 2 } \equiv \partial _ { i } \Pi _ { i } + { \frac { \mu } { 2 } } \epsilon _ { i j } \partial _ { i } A _ { j } + m ^ { 2 } A _ { 0 } + \Pi _ { \theta } .
{ \cal L } = \psi ^ { \dagger } i \partial _ { t } \psi + \psi ^ { \dagger } \frac { \nabla ^ { 2 } } { 2 M } \psi - \frac { 1 } { 2 } C _ { 0 } ( \psi ^ { \dagger } \psi ) ^ { 2 } \, - \frac { 1 } { 2 } C _ { 2 } ( \psi ^ { \dagger } \nabla ^ { 2 } \psi ) ( \psi ^ { \dagger } \psi ) + h . c . + \ldots .
\begin{array} { r l } { | \psi _ { \pm } \rangle } & { = \frac { 1 } { d _ { 1 } + i d _ { 2 } } \left( \begin{array} { c } { d _ { 3 } \mp t _ { 0 } } \\ { d _ { 1 } + i d _ { 2 } } \end{array} \right) , } \\ { \langle \chi _ { \pm } | } & { = \frac { 1 } { d _ { 1 } - i d _ { 2 } } ( d _ { 3 } \mp t _ { 0 } , d _ { 1 } - i d _ { 2 } ) , } \end{array}