harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { A } ( \boldsymbol { r } , t ) } & { = \int d ^ { 3 } \boldsymbol { k } \boldsymbol { A } ( \boldsymbol { k } , t ) , } \\ { \boldsymbol { A } ( \boldsymbol { k } , t ) } & { = R e \{ \boldsymbol { a } ( \boldsymbol { k } ) e ^ { \dot { \iota } ( \boldsymbol { k \cdot r } - \omega _ { \boldsymbol { k } } t ) } \} . } \end{array}
\ddot { x } ^ { 2 } \big [ \acute { x } { } ^ { 2 } x \! \! \dot { } \, \acute { } \, { } ^ { a } - ( \acute { x } x \! \! \dot { } \, \acute { } \, ) \acute { x } { } ^ { a } \big ] - \acute { x } ^ { 2 } ( \ddot { x } x \! \! \dot { } \, \dot { } \, \acute { } \, ) \dot { x } { } ^ { a } = 0 .
\begin{array} { r l } & { \frac { ( \beta n _ { \mathrm { s i t e s } } + \alpha n _ { \mathrm { v e s } } + \gamma ) ^ { 2 } } { ( 2 \alpha \beta ) ^ { 2 } } - \frac { n _ { \mathrm { v e s } } n _ { \mathrm { s i t e s } } } { \alpha \beta } } \\ & { = \frac { 1 } { ( 2 \alpha \beta ) ^ { 2 } } \left[ ( \beta n _ { \mathrm { s i t e s } } + \alpha n _ { \mathrm { v e s } } ) ^ { 2 } + 2 ( \beta n _ { \mathrm { s i t e s } } + \alpha n _ { \mathrm { v e s } } ) \gamma + \gamma ^ { 2 } - 2 \alpha \beta n _ { \mathrm { v e s } } n _ { \mathrm { s i t e s } } \right] } \\ & { = \frac { 1 } { ( 2 \alpha \beta ) ^ { 2 } } \left[ ( \beta n _ { \mathrm { s i t e s } } ) ^ { 2 } + ( \alpha n _ { \mathrm { v e s } } ) ^ { 2 } + 2 ( \beta n _ { \mathrm { s i t e s } } + \alpha n _ { \mathrm { v e s } } ) \gamma + \gamma ^ { 2 } \right] } \\ & { \geq 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \sigma ^ { k } = \frac { \delta 4 L q _ { k } ^ { 2 } } { \epsilon } \left[ \beta \mathrm { R e } \left\langle { \phi } _ { A } ^ { k } { \phi } _ { B } ^ { - k } \right\rangle + ( \kappa + \delta ) \Big \langle \vert { \phi } _ { A } ^ { k } \vert ^ { 2 } \Big \rangle \right] \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi ( x _ { 1 } , \dots x _ { d } , t ) } & { = \int _ { - \infty } ^ { ( 1 ) } ( x _ { d } - x _ { d } ^ { \prime } , t ) \int _ { - \infty } ^ { ( 1 ) } ( x _ { d - 1 } - x _ { d - 1 } ^ { \prime } , t ) \, \dots } \\ & { \qquad \dots \, \int _ { - \infty } ^ { ( 1 ) } ( x _ { 2 } - x _ { 2 } ^ { \prime } , t ) \int _ { - \infty } ^ { ( 1 ) } ( x _ { 1 } - x _ { 1 } ^ { \prime } , t ) \, \psi _ { 0 } ( x _ { 1 } ^ { \prime } , \dots , x _ { d } ^ { \prime } ) \, d x _ { 1 } ^ { \prime } \dots d x _ { d } ^ { \prime } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l l l l l l l l l l l l l l l l } { \displaystyle { \mathcal D } _ { t } ^ { \gamma } y ^ { i } ( 0 , y ^ { 0 } ) + \mathcal { D } _ { b _ { i } ^ { - } } ^ { \alpha } ( \beta ^ { i } \mathbb { D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } y ^ { i } ( 0 , y ^ { 0 } ) ) + q ^ { i } y ^ { i } ( 0 , y ^ { 0 } ) } & { = } & { f ^ { i } } & { \mathrm { i n } } & { Q _ { i } , \, i = 1 , \dots , N , } \\ { \displaystyle I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } y ^ { i } ( a ^ { + } ; 0 , y ^ { 0 } ) - I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } y ^ { j } ( a ^ { + } ; 0 , y ^ { 0 } ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { i n } } & { ( 0 , T ) , ~ i \neq j = 1 , \dots , N , } \\ { \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { N } \beta ^ { i } ( a ) \mathbb { D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } y ^ { i } ( a ^ { + } ; 0 , y ^ { 0 } ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { i n } } & { ( 0 , T ) , } \\ { \displaystyle I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } y ^ { i } ( b _ { i } ^ { - } ; 0 , y ^ { 0 } ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { i n } } & { ( 0 , T ) , \; i = 1 , \dots , m } \\ { \displaystyle \beta ^ { i } ( b _ { i } ) \mathbb { D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } y ^ { i } ( b _ { i } ^ { - } ; 0 , y ^ { 0 } ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { i n } } & { ( 0 , T ) , \; i = m + 1 , \dots , N , } \\ { \displaystyle y ^ { i } ( 0 , \cdot ; 0 , y ^ { 0 } ) } & { = } & { y ^ { 0 , i } } & { \mathrm { i n } } & { ( a , b _ { i } ) , ~ ~ i = 1 , \dots , N , } \end{array} \right.
F _ { m } \left[ u ; m , w , F _ { 1 } ( \vec { x } ) , F _ { 2 } ( \vec { x } ) \right] = y ( u , c , w ) F _ { 1 } ( \vec { x } ) + \left[ 1 - z ( u , c , w ) \right] F _ { 2 } ( \vec { x } )
\begin{array} { r l } { { \tilde { x } } ^ { k + 1 } } & { = x ^ { k + 1 } - \eta e ^ { k + 1 } } \\ & { = x ^ { k } - \eta ( \partial g ( x ^ { k + 1 } ) + h ^ { k } + \Delta ^ { k } ) - \eta e ^ { k + 1 } } \\ & { = x ^ { k } - \eta ( \partial g ( x ^ { k + 1 } ) + e ^ { k } - e ^ { k + 1 } + u ^ { k } + m ( u ^ { k + 1 } - u ^ { k } ) - e ^ { k + 1 } ) } \\ & { = { \tilde { x } } ^ { k } - \eta ( \partial g ( x ^ { k + 1 } ) + u ^ { k } + m ( u ^ { k + 1 } - u ^ { k } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { m _ { \alpha } } & { = \frac { 2 ^ { \alpha } \Gamma \left( \frac { \alpha + 1 } { 2 } \right) \Gamma \left( \nu + \frac { \alpha + 1 } { 2 } \right) } { \Gamma \left( \nu \right) } } \\ { m _ { \alpha } ^ { a p p } } & { = \Gamma \left( \frac { 1 + \alpha } { \gamma ( \nu ) } \right) \frac { \lambda ( \nu ) ^ { 1 + \alpha } } { \gamma ( \nu ) } } \end{array}
{ \mathbf x } ( t ) = \left( \begin{array} { l } { e ^ { t } - 1 } \\ { t \, ( t + 1 ) } \end{array} \right) \; \; \; , \; \; \; { \mathbf v } ( { \mathbf x } , t ) = \left( \begin{array} { l } { x + 1 } \\ { 2 \, t + 1 } \end{array} \right)
i G ^ { \mu \nu } = - \frac { i g ^ { \mu \nu } } { p ^ { 2 } } \bigg [ \biggl ( 1 - \frac { p ^ { 2 } } { M _ { \gamma } ^ { 2 } } \biggr ) - \biggl ( 1 - \frac { 2 p ^ { 2 } } { M _ { \gamma } ^ { 2 } } \biggr ) e ^ { 2 } \Pi _ { L } ( p ^ { 2 } ) - \frac { e ^ { 2 } p ^ { 2 } } { M _ { f } ^ { 2 } } \psi ( p ^ { 2 } ) - \delta _ { 3 } \biggr ] \ ,
\begin{array} { c c l } { | \Psi ^ { \mathrm { ~ p ~ h ~ o ~ } } ( z _ { j } , t ) \rangle } & { = } & { \sum _ { m } ^ { N + n _ { \mathrm { ~ m ~ o ~ d ~ e ~ } } } c _ { m } ( t ) \times \mathcal { F T } ^ { - 1 } \left[ \sum _ { p } ^ { n _ { \mathrm { ~ m ~ o ~ d ~ e ~ } } } ( \hat { a } _ { p } ^ { \dagger } | \phi _ { 0 } \rangle \langle \phi _ { 0 } | \hat { a } _ { p } ) | \psi ^ { m } \rangle \right] } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { A _ { 0 } = } & { { \frac { A } { \pi } } } \\ { A _ { n } = } & { { \left\{ \begin{array} { l l } { { \frac { - 2 A } { \pi } } { \frac { 1 } { n ^ { 2 } - 1 } } } & { \quad n { \mathrm { ~ e v e n } } } \\ { 0 } & { \quad n { \mathrm { ~ o d d } } } \end{array} \right. } } \\ { B _ { n } = } & { { \left\{ \begin{array} { l l } { { \frac { A } { 2 } } } & { \quad n = 1 } \\ { 0 } & { \quad n > 1 } \end{array} \right. } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { u _ { N } ( t , z ) } & { { } = e ^ { - \gamma t } \mathbb { E } \left[ \exp \left\{ \sum _ { k = 1 } ^ { N } c _ { k } \int _ { 0 } ^ { t } \mathcal { Z } _ { k } ^ { z _ { k } } ( s ) d s \right\} \right] = e ^ { - \gamma t } \mathbb { E } \left[ \prod _ { k = 1 } ^ { N } \exp \left\{ c _ { k } \int _ { 0 } ^ { t } \mathcal { Z } _ { k } ^ { z _ { k } } ( s ) d s \right\} \right] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Lambda _ { 1 } } & { = } & { \frac { \gamma _ { 1 } \tau _ { 3 } } { \mu } \, , \Lambda _ { 2 } = \frac { \gamma _ { 2 } \tau _ { 2 } } { 3 \mu } \, , \Lambda _ { 3 } = \frac { 2 \gamma _ { 3 } \tau _ { 2 } } { 3 \mu } \, , } \\ { \Lambda _ { 4 } } & { = } & { \frac { \gamma _ { 4 } \tau _ { 1 } } { 3 \mu } \mathrm { ~ a n d ~ } \Lambda _ { 5 } = \frac { \gamma _ { 5 } \tau _ { 0 } } { \mu } \, , } \\ { \tilde { \lambda } _ { 1 } } & { : = } & { { \lambda _ { 1 } ( 1 - \eta ) } = \frac { \beta _ { 1 } \langle k \rangle } { \mu } ( 1 - \eta ) , \lambda _ { 2 } = \frac { \beta _ { 2 } \eta \langle k \rangle } { \mu } \, . } \end{array}
p _ { i , d e l , 1 s } = \left\{ \begin{array} { l l } { p _ { i , d e l , 1 s } + \epsilon } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad \pi _ { i , d e l , 1 s } ^ { C } > \pi _ { i , d e l , 1 s } ^ { D } } \\ { p _ { i , d e l , 1 s } + \epsilon } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad \pi _ { i , d e l , 1 s } ^ { C } < \pi _ { i , d e l , 1 s } ^ { D } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \| Q ( \theta ^ { K } ) - Q ^ { \pi } \| _ { \mu } } & { \leq \left( 1 - \frac { ( 1 - \gamma ) \beta } { 2 } \right) ^ { K } \| Q ( \theta ^ { 0 } ) - Q ^ { \pi } \| _ { \mu } } \\ & { + \frac { 8 \tau _ { 3 } } { ( 1 - \gamma ) ^ { 2 } } \left( \omega + \sqrt { \frac { 3 \log ( 3 K / \delta ) } { N } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial E ^ { + } } { \partial z } + \frac { 1 } { v } \frac { \partial E ^ { + } } { \partial t } } & { { } = } & { - \frac { \alpha _ { \mathrm { L } } } { 2 } E ^ { + } + g P _ { 0 } ^ { + } , } \\ { - \frac { \partial E ^ { - } } { \partial z } + \frac { 1 } { v } \frac { \partial E ^ { - } } { \partial t } } & { { } = } & { - \frac { \alpha _ { \mathrm { L } } } { 2 } E ^ { - } + g P _ { 0 } ^ { - } , } \\ { \frac { \partial P _ { 0 } ^ { + } } { \partial t } } & { { } = } & { \mathrm { \ p i \ d e l t a _ { h o m } } ( 1 + i \alpha ) \left[ - P _ { 0 } ^ { + } + i f _ { 0 } \varepsilon _ { 0 } \varepsilon _ { \mathrm { b } } \left( 1 + i \alpha \right) \left( N _ { 0 } E ^ { + } + N _ { 1 } ^ { + } E ^ { - } \right) \right] , } \\ { \frac { \partial P _ { 0 } ^ { - } } { \partial t } } & { { } = } & { \mathrm { \ p i \ d e l t a _ { h o m } } ( 1 + i \alpha ) \left[ - P _ { 0 } ^ { - } + i f _ { 0 } \varepsilon _ { 0 } \varepsilon _ { \mathrm { b } } \left( 1 + i \alpha \right) \left( N _ { 0 } E ^ { - } + N _ { 1 } ^ { - } E ^ { + } \right) \right] , } \\ { \frac { \partial N _ { 0 } } { \partial t } } & { { } = } & { \frac { I } { e V } - \frac { N _ { 0 } } { \tau _ { \mathrm { e } } } + \frac { i } { 4 \hbar } \left[ E ^ { + * } P _ { 0 } ^ { + } + E ^ { - * } P _ { 0 } ^ { -- } E ^ { + } P _ { 0 } ^ { + * } - E ^ { - } P _ { 0 } ^ { - * } \right] , } \\ { \frac { \partial N _ { 1 } ^ { + } } { \partial t } } & { { } = } & { - \frac { N _ { 1 } ^ { + } } { \tau _ { \mathrm { e } } } + \frac { i } { 4 \hbar } \left[ E ^ { - * } P _ { 0 } ^ { + } - E ^ { + } P _ { 0 } ^ { - * } \right] . } \end{array}
A _ { p } ^ { \pi ^ { + } - \pi ^ { - } } ( x , Q ^ { 2 } ) { \Bigl | } _ { Z } = \frac { ( 4 \delta u _ { V } - \delta d _ { V } ) \int _ { Z } ^ { 1 } d z _ { h } [ 1 + \otimes \frac { \alpha _ { s } } { 2 \pi } \delta C _ { q q } \otimes ] ( D _ { 1 } - D _ { 2 } ) } { ( 4 u _ { V } - d _ { V } ) \int _ { Z } ^ { 1 } d z _ { h } [ 1 + \otimes \frac { \alpha _ { s } } { 2 \pi } \tilde { C } _ { q q } \otimes ] ( D _ { 1 } - D _ { 2 } ) } ,
\begin{array} { r l } { x _ { 1 } = } & { { } \frac { r ^ { 2 } ( 7 2 r ^ { 3 } + 2 0 2 r ^ { 2 } + 1 4 5 r + 6 ) } { 5 ( 7 2 r ^ { 5 } + 4 9 0 r ^ { 4 } + 1 0 2 5 r ^ { 3 } + 1 0 7 0 r ^ { 2 } + 8 8 0 r + 2 8 8 ) } } \end{array}
\beta _ { i i } ( \mathbf { r } _ { A } ; \mathbf { r } _ { D } ; \omega ) = \frac { | \hat { \mathbf { G } } _ { i i } ^ { s c } ( \mathbf { r } _ { A } ; \mathbf { r } _ { D } ; \omega ) + \hat { \mathbf { G } } _ { i i } ^ { 0 } ( \mathbf { r } _ { A } ; \mathbf { r } _ { D } ; \omega ) | ^ { 2 } } { | \hat { \mathbf { G } } _ { i i } ^ { 0 } ( \mathbf { r } _ { A } ; \mathbf { r } _ { D } ; \omega ) | ^ { 2 } } \ ( i = x , y , z )
\rho _ { \mathrm { p h } } ^ { \mathrm { ( t h ) } } = \prod _ { j } \rho _ { j } ^ { \mathrm { ( t h ) } } = \prod _ { j } \frac { e ^ { - \omega _ { j } \hat { b } _ { j } ^ { \dagger } \hat { b } _ { j } / k _ { \mathrm { B } } T } } { \mathrm { T r } \left[ e ^ { - \omega _ { j } \hat { b } _ { j } ^ { \dagger } \hat { b } _ { j } / k _ { \mathrm { B } } T } \right] } ,
H _ { s } = \left( \begin{array} { l l l l l l l } { 2 8 0 } & { - 1 0 6 } & { 8 } & { - 5 } & { 6 } & { - 8 } & { - 4 } \\ { - 1 0 6 } & { 4 2 0 } & { 2 8 } & { 6 } & { 2 } & { 1 3 } & { 1 } \\ { 8 } & { 2 8 } & { 0 } & { - 6 2 } & { - 1 } & { - 9 } & { 1 7 } \\ { - 5 } & { 6 } & { - 6 2 } & { 1 7 5 } & { - 7 0 } & { - 1 9 } & { - 5 7 } \\ { 6 } & { 2 } & { - 1 } & { - 7 0 } & { 3 2 0 } & { 4 0 } & { - 2 } \\ { - 8 } & { 1 3 } & { - 9 } & { - 1 9 } & { 4 0 } & { 3 6 0 } & { 3 2 } \\ { - 4 } & { 1 } & { 1 7 } & { - 5 7 } & { - 2 } & { 3 2 } & { 2 6 0 } \end{array} \right) .
x ^ { q _ { \epsilon } ( \alpha + \beta - d _ { 1 } / { p _ { \epsilon } ^ { \prime } } ) } \lesssim \frac { \| f \| _ { p _ { \epsilon } } ^ { q _ { \epsilon } } } { \lambda ^ { q _ { \epsilon } } } \implies x \lesssim \left( \frac { \| f \| _ { p _ { \epsilon } } ^ { q _ { \epsilon } } } { \lambda ^ { q _ { \epsilon } } } \right) ^ { \frac { 1 } { q _ { \epsilon } ( \alpha + \beta - d _ { 1 } / { p _ { \epsilon } ^ { \prime } } ) } }
\hat { f } ^ { r } = \frac { \gamma } { \gamma ^ { r } } e ^ { - \nu \frac { \Delta t } { 2 } } \widetilde { f } + \left( 1 - \frac { \gamma } { \gamma ^ { r } } e ^ { - \nu \frac { \Delta t } { 2 } } \right) f ^ { t } .
\begin{array} { r l } { \mathrm { p r e c i s i o n } ( a _ { n } > 1 ) } & { = \frac { \mathrm { t r u e ~ p o s i t i v e } } { \mathrm { t r u e ~ p o s i t i v e } + \mathrm { f a l s e ~ p o s i t i v e } } = \frac { \mathrm { i n s t a n c e s ~ o f ~ A } } { \mathrm { i n s t a n c e s ~ o f ~ A } + \mathrm { i n s t a n c e s ~ o f ~ C } } , } \\ { \mathrm { r e c a l l } ( a _ { n } > 1 ) } & { = \frac { \mathrm { t r u e ~ p o s i t i v e } } { \mathrm { t r u e ~ p o s i t i v e } + \mathrm { f a l s e ~ n e g a t i v e } } = \frac { \mathrm { i n s t a n c e s ~ o f ~ A } } { \mathrm { i n s t a n c e s ~ o f ~ A } + \mathrm { i n s t a n c e s ~ o f ~ B } } , } \end{array}
\Gamma _ { \alpha } = \frac { \alpha } { 2 } \left( - \cos \theta \, V _ { \sigma } + 6 \sin \theta \, V _ { s } - \frac { 1 } { 2 } \sin 2 \theta \, V _ { \varphi } \, e ^ { \alpha \chi / 2 } \right) - \frac { \alpha ^ { 2 } } { 4 } \, \dot { \sigma } ^ { 2 } \, \cos ^ { 2 } \theta \, - \alpha ^ { 2 } \, \dot { \sigma } ^ { 2 } \, \sin ^ { 2 } \theta \, .
\bar { \Lambda } _ { c } - \frac { 4 } { 3 } \, \frac { \alpha _ { s } ( m _ { c } ) } { \pi } \, m _ { c } ( m _ { c } ) = \bar { \Lambda } _ { b } - \frac { 4 } { 3 } \, \frac { \alpha _ { s } ( m _ { b } ) } { \pi } \, m _ { b } ( m _ { b } )
\begin{array} { r l } { Z } & { \le \Big ( \prod _ { j = 1 } ^ { \ell } \mathbb { E } [ \mathbb { P } _ { a _ { j } , a _ { j } + t } ( \mathfrak { A } ^ { k } ( a _ { j } ) , \mathfrak { A } ^ { k } ( a _ { j } + t ) , \mathfrak { A } _ { k + 1 } ) ] ^ { - \ell } \Big ) ^ { 1 / \ell } } \\ & { = \mathbb { E } [ \mathbb { P } _ { 0 , t } ( \mathfrak { A } ^ { k } ( 0 ) , \mathfrak { A } ^ { k } ( t ) , \mathfrak { A } _ { k + 1 } ) ] ^ { - \ell } \le e ^ { O _ { k } ( \ell ^ { 5 } t ^ { 3 } ) } . } \end{array}
{ \cal L } \supset - \int d ^ { 2 } \theta W ( \phi ) = - \frac { 1 } { 2 } \left. \frac { \partial ^ { 2 } W } { \partial \phi _ { i } \partial \phi _ { j } } \right| _ { \phi _ { i } = A _ { i } } \psi ^ { i } \psi ^ { j } + \left. \frac { \partial W } { \partial \phi _ { i } } \right| _ { \phi _ { i } = A _ { i } } F _ { i } .
D ( \xi ) = \left( 1 - \frac { 4 } { \xi } - \frac { 8 } { \xi ^ { 2 } } \right) \log ( 1 + \xi ) + \frac { 1 } { 2 } + \frac { 8 } { \xi } - \frac { 1 } { 2 ( 1 + \xi ) ^ { 2 } } .
Q _ { \alpha \beta } = \frac { 1 } { N } \sum _ { N } \frac { 1 } { N _ { b } - 1 } \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { b } - 1 } \frac { { b _ { j \alpha } \; b _ { j \beta } } } { \left\| b \right\| ^ { 2 } } ,
s ^ { 2 } ( M _ { Z } ) = s _ { 0 } ^ { 2 } ( M _ { Z } ) - 0 . 8 8 \times 1 0 ^ { - 7 } { \mathrm { ~ G e V } } ^ { - 2 } \left[ ( m _ { t } ^ { p o l e } ) ^ { 2 } - ( m _ { t _ { 0 } } ^ { p o l e } ) ^ { 2 } \right] ,
\ell _ { 2 C } ( x _ { i } , y _ { i } ) = - ~ \log ( \frac { \exp { ( S _ { c } ( h ( x _ { i } ) ^ { \top } e ( y _ { i } ) ) ) } + \sum _ { k = 1 } ^ { m } \mathbf { 1 } _ { k = i } . \exp { ( S _ { c } ( h ( x _ { i } ) ^ { \top } h ( x _ { k } ) ) ) } } { \exp { ( S _ { c } ( h ( x _ { i } ) ^ { \top } e ( y _ { i } ) ) ) } + \sum _ { k = 1 } ^ { m } \mathbf { 1 } _ { k \neq i } . \exp { ( S _ { c } ( h ( x _ { i } ) ^ { \top } h ( x _ { k } ) ) ) } } ) .
\begin{array} { r l } & { \ln \left( \frac { r _ { 0 } } { 2 r _ { c } } \right) \frac { d \ln \bar { q } } { d s } - 1 + \gamma \frac { \rho _ { g } } { \rho } \frac { p } { \left[ r _ { 0 } / ( 2 r _ { c } ) \right] } + \frac { 4 \, O h } { \bar { q } \, r _ { 0 } \dot { r } _ { 0 } ( 0 ) } = 0 \, } \\ & { \ln \left( \frac { r _ { 0 } } { 2 r _ { c } } \right) \frac { d } { d s } \left[ \ln \left( \frac { r _ { 0 } } { 2 r _ { c } } \right) \right] - 1 + \frac { 1 } { 2 } \frac { \rho _ { g } } { \rho } \frac { p } { \left[ r _ { 0 } / ( 2 r _ { c } ) \right] } + \frac { 4 \, O h } { \bar { q } \, r _ { 0 } \dot { r } _ { 0 } ( 0 ) } = 0 \, , } \\ & { \mathrm { a n d } \quad \frac { d \, t } { d s } = - \frac { e ^ { - 2 s } } { r _ { 0 } \dot { r } _ { 0 } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { f _ { \mathrm { c h } } ( z ) = \int _ { - \theta _ { \mathrm { L } } } ^ { \theta _ { \mathrm { L } } } \rho ( \theta , z ) \mathrm { d } \theta = \mathrm { e r f } \left( { \frac { \theta _ { \mathrm { L } } } { \sqrt { 4 D z } } } \right) } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { D \to \infty } C _ { 1 } ( B , D ) = \frac { 4 } { 3 \pi } \frac { \alpha ^ { 2 } } { \log ( \sec \alpha ) } , \qquad \operatorname* { l i m } _ { B , D \to \infty } C _ { 1 } ( B , D ) = \frac { 8 } { 3 \pi } .
{ \cal A } _ { b } = \frac { 1 } { 4 \pi b ^ { 2 } } \int d ^ { 2 } x \left[ \frac 1 { 2 } ( \partial _ { \mu } \tilde { \varphi } ) ^ { 2 } + ( m k ( G ) ) ^ { 2 } \sum _ { i = 0 } ^ { r } e ^ { e _ { i } \cdot \tilde { \varphi } } \right] + O ( 1 ) .
\langle D \rangle _ { H } \equiv \frac { \sum _ { i , j = 1 } ^ { N } A _ { i j } ( H ) d _ { i j } } { \sum _ { i , j = 1 } ^ { N } A _ { i j } ( H ) } = \frac { \sum _ { i , j = 1 } ^ { N } A _ { i j } ( H ) d _ { i j } } { 2 \, \mathcal { E } ( H ) } ,
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { F } } & { = { \frac { \gamma ( \mathbf { v } ) ^ { 3 } m _ { 0 } v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } \, \mathbf { a } _ { \parallel } + \gamma ( \mathbf { v } ) m _ { 0 } \, ( \mathbf { a } _ { \parallel } + \mathbf { a } _ { \perp } ) } \\ & { = \gamma ( \mathbf { v } ) ^ { 3 } m _ { 0 } \left( { \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } + { \frac { 1 } { \gamma ( \mathbf { v } ) ^ { 2 } } } \right) \mathbf { a } _ { \parallel } + \gamma ( \mathbf { v } ) m _ { 0 } \, \mathbf { a } _ { \perp } } \\ & { = \gamma ( \mathbf { v } ) ^ { 3 } m _ { 0 } \left( { \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } + 1 - { \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } \right) \mathbf { a } _ { \parallel } + \gamma ( \mathbf { v } ) m _ { 0 } \, \mathbf { a } _ { \perp } } \\ & { = \gamma ( \mathbf { v } ) ^ { 3 } m _ { 0 } \, \mathbf { a } _ { \parallel } + \gamma ( \mathbf { v } ) m _ { 0 } \, \mathbf { a } _ { \perp } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \frac { \partial n _ { d + } } { \partial t } } & { = - \nabla \cdot \left( n _ { d + } \mathbf { b } v _ { | | d + } \right) } \\ & { + \underbrace { S _ { \textrm { P I } } } _ { \texttt { u p s t r e a m \_ d e n s i t y \_ f e e d b a c k } } + \underbrace { n _ { e } n _ { d } \left< \sigma v \right> _ { i z } } _ { \texttt { d + e - > d + + 2 e } } - \underbrace { n _ { e } n _ { d + } \left< \sigma v \right> _ { r c } } _ { \texttt { d + + e - > d } } } \\ { \frac { \partial p _ { d + } } { \partial t } } & { = - \nabla \cdot \left( p _ { d + } \mathbf { b } v _ { | | d + } \right) - \frac { 2 } { 3 } p _ { d + } \nabla \cdot \left( \mathbf { b } v _ { | | d + } \right) + \nabla \cdot \left( \kappa _ { | | d + } \mathbf { b } \mathbf { b } \cdot \nabla T _ { d + } \right) } \\ & { + \underbrace { n _ { e } n _ { d } \left< \sigma v \right> _ { i z } \left[ e T _ { d } + \frac { 1 } { 2 } m _ { d } \left( v _ { | | , d } - v _ { | | , d + } \right) ^ { 2 } \right] } _ { \texttt { d + e - > d + + 2 e } } } \\ & { + \underbrace { n _ { d + } n _ { d } \left< \sigma v \right> _ { c x } \left[ e \left( T _ { d } - T _ { d + } \right) + \frac { 1 } { 2 } m _ { d } \left( v _ { | | , d } - v _ { | | , d + } \right) ^ { 2 } \right] } _ { \texttt { d + d + - > d + + d } } } \\ & { - \underbrace { n _ { e } n _ { d + } \left< \sigma v \right> _ { r c } e T _ { d + } } _ { \texttt { d + + e - > d } } + \underbrace { W _ { d + } } _ { \texttt { c o l l i s i o n s } } } \\ { \frac { \partial } { \partial t } \left( m _ { d + } n _ { d + } v _ { | | d + } \right) } & { = - \nabla \cdot \left( m _ { d + } n _ { d + } v _ { | | d + } \mathbf { b } v _ { | | d + } \right) - \mathbf { b } \cdot \nabla p _ { d + } + q _ { d + } n _ { d + } E _ { | | } } \\ & { + \underbrace { n _ { e } n _ { d } \left< \sigma v \right> _ { i z } m _ { d } v _ { | | d } } _ { \texttt { d + e - > d + + 2 e } } - \underbrace { n _ { e } n _ { d + } \left< \sigma v \right> _ { r c } m _ { d + } v _ { | | d + } } _ { \texttt { d + + e - > d } } } \\ & { + \underbrace { n _ { d + } n _ { d } \left< \sigma v \right> _ { c x } m _ { d + } \left( v _ { | | d } - v _ { | | d + } \right) } _ { \texttt { d + d + - > d + + d } } + \underbrace { F _ { d + } } _ { \texttt { c o l l i s i o n s } } } \end{array}
S _ { n } ( q ^ { 2 } ) \equiv a ( q ^ { 2 } ) f ^ { ( n ) } ( q ^ { 2 } ) = a ( q ^ { 2 } ) \left[ 1 + r _ { 1 } ( q ^ { 2 } ) a ( q ^ { 2 } ) + r _ { 2 } ( q ^ { 2 } ) a ^ { 2 } ( q ^ { 2 } ) + \cdots + r _ { n } ( q ^ { 2 } ) a ^ { n } ( q ^ { 2 } ) \right] \ .
\begin{array} { r l } { \mu _ { i \setminus j } ^ { t } } & { { } = \sum _ { \boldsymbol { x } _ { i } } \frac { p \left( { O } _ { i } ^ { T } \mid x _ { i } ^ { T } \right) p \left( x _ { i } ^ { 0 } \right) } { \tilde { \mathcal { Z } } _ { i j } } } \end{array}
\hat { \mathbf { G } } _ { x z } ^ { s c } ( \mathbf { r } _ { A } ; \mathbf { r } _ { D } ; \omega ) \approx \frac { i } { 8 { \pi } ^ { 2 } } ( \frac { \omega } { c } ) P V \int _ { 1 } ^ { \infty } T _ { - } ^ { p } ( \kappa ) I _ { 1 } ( \kappa ) d { \kappa } = - \hat { \mathbf { G } } _ { z x } ^ { s c } ( \mathbf { r } _ { A } ; \mathbf { r } _ { D } ; \omega ) ,
\begin{array} { r l } { Y _ { i } ^ { \{ S \} } } & { = \varphi _ { 0 } ( c _ { i } ^ { \{ S \} } z ^ { \{ F \} } ) y _ { n } + ( z ^ { \{ E \} } + z ^ { \{ I \} } ) \sum _ { j = 1 } ^ { i - 1 } \eta _ { i , j } ( z ^ { \{ F \} } ) Y _ { j } ^ { \{ S \} } + z ^ { \{ I \} } \sum _ { j = 1 } ^ { i } \gamma _ { i , j } Y _ { j } ^ { \{ S \} } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d { \mathbf { p } } } { d t } } & { { } = } & { \frac { q } { m } ( \mathbf { E } + \boldsymbol { \beta } \times \mathbf { B } ) , } \\ { \frac { d \mathbf { x } } { d t } } & { { } = } & { \frac { \mathbf { p } } { \gamma } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { S ( t ) } & { { } = S _ { 1 } ( t ) } & { t \leq t _ { o n } } \\ { S ( t ) } & { { } = S _ { 1 } ( t _ { o n } ) S _ { 2 } ( t ) } & { t _ { o n } \leq t \leq t _ { e n d } } \\ { S ( t ) } & { { } = S _ { 1 } ( t _ { o n } ) S _ { 2 } ( t _ { e n d } ) S _ { 3 } ( t ) } & { t _ { e n d } \leq t . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ~ \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \rightarrow 0 } \epsilon ^ { - 1 } \big \vert \boldsymbol { q } ^ { l } \big \vert ^ { - 2 } \mathrm { t r } \, { \mathrm { C o v } ( \Pi _ { 0 } { \phi } ^ { l } ) } } \\ { = } & { ~ \big \vert \boldsymbol { q } ^ { l } \big \vert ^ { - 2 } V \sum _ { i } \big \langle \, ( \Pi _ { 0 } \Delta \bar { \phi } ^ { l } ) _ { i } ( \Pi _ { 0 } \Delta { \phi } ^ { l } ) _ { i } \, \big \rangle } \\ { = } & { ~ \big \vert \boldsymbol { q } ^ { l } \big \vert ^ { - 2 } V \sum _ { i j n m u } \big \langle ( \Pi _ { 0 } ) _ { i j } T _ { j n } \Delta \bar { \psi } _ { n } ^ { l } ( \Pi _ { 0 } ) _ { i m } T _ { m u } \Delta \psi _ { u } ^ { l } \big \rangle } \\ { = } & { ~ \vert \boldsymbol { q } ^ { l } \vert ^ { - 2 } V \sum _ { i j n } ( \Pi _ { 0 } \bar { \hat { e } } _ { i } ) _ { j } ( \Pi _ { 0 } \hat { e } _ { n } ) _ { j } \big \langle \Delta \psi _ { i } ^ { l } \Delta \psi _ { n } ^ { l } \big \rangle } \\ { = } & { ~ 2 \sum _ { i , j > 0 } \frac { \Pi _ { 0 } \bar { \hat { e } } _ { i } \cdot \Pi _ { 0 } \hat { e } _ { j } } { \vert \operatorname* { d e t } T \vert ^ { 2 } } \frac { \big ( \mathrm { a d j } \bar { T } ^ { T } \mathrm { a d j } T ^ { T } \big ) _ { i j } } { \bar { \lambda } _ { i } + \lambda _ { j } } \, , } \end{array}
0 \sim M _ { L } ^ { 2 } = P _ { L } ^ { 2 } \ \ , \ \ Q ^ { 2 } \ll P _ { H } ^ { 2 } = M _ { H } ^ { 2 } = m _ { Q } ^ { 2 } \left( 1 + O \left( { \frac { \Lambda _ { Q C D } } { m _ { Q } } } \right) \right) ,