harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { { \mathbb S } _ { 1 } } & { { } \equiv \frac { 1 } { 2 } \left( { \mathbb O } _ { 3 4 } + { \mathbb O } _ { 1 2 } \right) , \quad { \mathbb D } _ { 1 } } & { \equiv \frac { 1 } { 2 } \left( { \mathbb O } _ { 3 4 } - { \mathbb O } _ { 1 2 } \right) , } \\ { { \mathbb S } _ { 2 } } & { { } \equiv \frac { 1 } { 2 } \left( { \mathbb O } _ { 4 2 } + { \mathbb O } _ { 1 3 } \right) , \quad { \mathbb D } _ { 2 } } & { \equiv \frac { 1 } { 2 } \left( { \mathbb O } _ { 4 2 } - { \mathbb O } _ { 1 3 } \right) , } \\ { { \mathbb S } _ { 3 } } & { { } \equiv \frac { 1 } { 2 } \left( { \mathbb O } _ { 2 3 } + { \mathbb O } _ { 1 4 } \right) , \quad { \mathbb D } _ { 3 } } & { \equiv \frac { 1 } { 2 } \left( { \mathbb O } _ { 2 3 } - { \mathbb O } _ { 1 4 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { A ( 1 ) \rightarrow X ( 0 ) } } & { = A _ { A ( 1 ) } ^ { \mathrm { t o t a l } } \frac { \ensuremath { \eta } _ { A ( 1 ) \rightarrow X ( 0 ) } } { \sum _ { v = 0 } ^ { 1 1 } \ensuremath { \eta } _ { A ( 1 ) \rightarrow X ( v ) } } } \\ & { = ( 3 . 7 3 \pm 0 . 3 7 ) \times 1 0 ^ { 5 } \, \mathrm { s } ^ { - 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { | k _ { 1 } ( t , y ) | } \\ & { \leq \int _ { 0 } ^ { t } d \tau _ { 1 } \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { \infty } d \tau F ( \tau , \tau _ { 1 } ) \left| \frac { 2 } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \pi } d \eta k _ { 2 } ( t - \tau _ { 1 } , \eta ) \sum _ { n \geq 1 } \exp ( - \lambda n ^ { 2 } \tau ) \sin ( n \eta ) \sin ( n y ) \right| } \\ & { \leq \int _ { 0 } ^ { t } d \tau _ { 1 } \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { \infty } d \tau F ( \tau , \tau _ { 1 } ) \left\| k _ { 2 } ( t - \tau _ { 1 } , . ) \right\| _ { L ^ { \infty } ( 0 , \pi ) } } \\ & { \leq \left\| k _ { 2 } ( . , . ) \right\| _ { L ^ { \infty } ( 0 , t ; L ^ { \infty } ( 0 , \pi ) ) } \int _ { 0 } ^ { t } d \tau _ { 1 } \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { \infty } d \tau F ( \tau , \tau _ { 1 } ) . } \end{array}
E _ { 2 } = E _ { \nu } - \omega \ , p _ { 2 z } = \sqrt { E _ { 2 } ^ { 2 } - m _ { \nu } ^ { 2 } - n _ { \alpha } ^ { 2 } \omega ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta } \ , \beta _ { 2 } = p _ { 2 z } / E _ { 2 } \ , \mathrm { a n d \ \ } \gamma _ { 2 } = E _ { 2 } / m _ { \nu } \ .
\begin{array} { r l } { \vec { w } _ { \perp } } & { { } = \sum _ { l m } a _ { l m } ( r , t ) \vec { \Phi } _ { l m } ; } \\ { \vec { w } _ { \parallel } } & { { } = \sum _ { l m } \nabla \left( b _ { l m } ( r , t ) Y _ { l m } \right) } \end{array}
\left\langle \hat { b } _ { 1 } ^ { \dagger } \hat { b } _ { 1 } \right\rangle = \frac { \tilde { \gamma } ^ { 2 } } { 1 - \tilde { \gamma } ^ { 2 } } + \frac { \left( \gamma g A t \right) ^ { 2 } } { \hslash ^ { 2 } } \frac { e ^ { 2 \mu _ { 1 } } } { \left( 1 - \tilde { \gamma } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l r } { E } & { { } = } & { \frac { \sqrt { 1 4 } } { 9 } \frac { \langle 1 | | r ( 1 ) | | 0 \rangle ^ { 2 } } { R _ { 1 2 } ^ { 3 } } \frac { \langle 1 | | r ( 2 ) | | 0 \rangle ^ { 2 } } { R _ { 1 3 } ^ { 3 } } \frac { \langle 1 | | r ( 3 ) | | 0 \rangle ^ { 2 } } { R _ { 2 3 } ^ { 3 } } \times } \end{array}
B + N _ { t } G ( \mu _ { \mathrm { T T } } , \sigma _ { \mathrm { T T } } ^ { 2 } ) + N _ { K } G ( \mu _ { K } , \sigma _ { K } ^ { 2 } ) + H ( \mu _ { \mathrm { T T } } + 2 \sigma _ { \mathrm { T T } } ) \left( b _ { S } + N _ { S } e ^ { - \frac { t - ( \mu _ { \mathrm { T T } } + 2 \sigma _ { \mathrm { T T } } ) } { \tau _ { S } } } \right)
\begin{array} { r l r } & { \! \! \! \! \! \! \! \! \operatorname* { m a x } _ { \mathbf { w } _ { k } , \boldsymbol { \Theta } _ { k } } } & { \! \! \! \! \sum _ { k = 1 } ^ { K } R _ { k } } \\ & { \! \! \! \! \! \! \! \! \mathrm { s . t . } } & { \! \! \! \! \sum _ { k = 1 } ^ { K } \Vert \mathbf { w } _ { k } \Vert ^ { 2 } \leq P _ { \operatorname* { m a x } } , } \\ & { } & { \! \! \! \! \sum _ { k = 1 } ^ { K } ( \Vert \boldsymbol { \Theta } _ { k } \mathbf { H } \mathbf { w } _ { k } \Vert ^ { 2 } \! + \! \Vert \boldsymbol { \Theta } _ { k } \mathbf { I } _ { M } \Vert _ { F } ^ { 2 } \sigma _ { s } ^ { 2 } ) \! \leq \! P _ { o } , } \\ & { } & { \! \! \! \! \beta _ { m } ^ { r } + \beta _ { m } ^ { t } \le \beta _ { \mathrm { { m a x } } } , ~ 0 \le \beta _ { m } ^ { p } \le \beta _ { \operatorname* { m a x } } , ~ \forall m , ~ \forall p , } \\ & { } & { \! \! \! \! R _ { k } \ge R _ { k } ^ { \operatorname* { m i n } } , ~ \theta _ { m } ^ { p } \in [ 0 , 2 \pi ) , ~ ( ) , ~ \forall k , ~ \forall m , ~ \forall p , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \sigma _ { L } ^ { 2 } ( \tau ) } & { = : \left[ D \right] \; \gamma ^ { \frac { \beta } { 1 - \alpha } } \langle \tilde { L } _ { 1 } ^ { 2 } ( \tau ) \rangle + \ \cdots } \\ & { \quad \ + \mathrm { V a r } \left[ D \right] \gamma ^ { \frac { 2 \beta - 2 } { 1 - \alpha } } \langle \tilde { L } _ { 2 } ( \tau ) \rangle ^ { 2 } } \end{array}
K _ { \nu } ( x ) = \sqrt { \frac { \pi } { 2 x } } \; e ^ { - x } \; \left[ 1 + { \frac { 4 \nu ^ { 2 } - 1 } { 8 x } } + { \frac { ( 4 \nu ^ { 2 } - 1 ) ( 4 \nu ^ { 2 } - 3 ^ { 2 } ) } { 2 ! \; ( 8 x ) ^ { 2 } } } + \dots \right] \; ,
\begin{array} { r } { ( i - \gamma ) \frac { \partial \psi } { \partial t } = \Biggl [ - \nabla ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } \{ ( 1 + \epsilon _ { x } ) x ^ { 2 } + ( 1 + \epsilon _ { y } ) y ^ { 2 } \} } \\ { + C | \psi | ^ { 2 } - \mu + i \Omega ( { x } \partial _ { y } - { y } \partial _ { x } ) \Biggr ] \psi , } \end{array}
\begin{array} { r l } { R ( T ) } & { \leq 2 \rho \cdot \mathbb { E } \left[ \sum _ { t = T _ { 0 } + 1 } ^ { T } \sum _ { X \in { \bf X } _ { { \bf S } _ { t } , Y } } \left\| \boldsymbol { V } _ { t , X } \right\| _ { M _ { t - 1 , X } ^ { - 1 } } L _ { f _ { X } } ^ { ( 1 ) } \right] + p _ { \mathrm { e r r o r } } ( T - T _ { 1 } ) + T _ { 1 } . } \end{array}
\mathrm { B r } ( K ^ { + } \to \pi ^ { + } \pi ^ { 0 } P ) \sim 4 \cdot 1 0 ^ { - 4 } \; , ~ ~ ~ ~ \mathrm { B r } ( K _ { S } ^ { 0 } \to \pi \pi P ) \sim 1 0 ^ { - 3 } \; , \nonumber
\begin{array} { r l } { \frac { \ln r } { r } } & { = - \frac { 1 } { \sqrt { \pi } } \, \int _ { 0 } ^ { \infty } d t \, ( 2 \ln t + \gamma _ { E } + \ln 4 ) \, e ^ { - r ^ { 2 } t ^ { 2 } } , } \\ { \frac { \ln r } { r ^ { 2 } } } & { = - \int _ { 0 } ^ { \infty } d t \, t \, ( 2 \ln t + \gamma _ { E } ) \, e ^ { - r ^ { 2 } t ^ { 2 } } . } \end{array}
V _ { T } ( \bar { t } _ { 0 } , \bar { y } _ { 0 } ) \leq \frac { 1 } { 2 } \int _ { \bar { t } _ { 0 } } ^ { \bar { t } _ { 0 } + T } \mathbb { E } \left[ \ell ( t , \bar { y } ( t ) ) \right] \, d t + \frac { \beta } { 2 } \int _ { \bar { t } _ { 0 } } ^ { \bar { t } _ { 0 } + T } \mathbb { E } \left[ | \bar { \mathbf { u } } ( t ) | _ { \ell _ { 2 } } ^ { 2 } \right] d t ,
\dot { N } _ { k } ( t ) = \frac { g \phi ^ { 2 } ( 0 ) } { w _ { k } ^ { 2 } ( 0 ) } \left[ 1 - \frac { \phi ^ { 2 } ( t ) } { \phi ^ { 2 } ( 0 ) } \right] \frac { d | V _ { k } ( t ) | ^ { 2 } } { d t }
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { n ^ { 2 ( a ( \beta + 1 ) - \beta ) } } \mathbb { E } \big [ S _ { n } S _ { n } ^ { T } \big ] - } & { \bigg ( \frac { a ( \beta + 1 ) } { \beta - a ( \beta + 1 ) } \bigg ) ^ { 2 } \frac { \Gamma ( 2 ( a - 1 ) ( \beta + 1 ) + 1 ) } { \Gamma ( ( 2 a - 1 ) ( \beta + 1 ) + 1 ) ^ { 2 } } \cdot \frac { 1 } { d } I d } \\ & { \quad \quad \quad \sim - ( C _ { 1 } n ^ { - 4 ( a ( \beta + 1 ) - \beta ) + 1 } + C _ { 2 } n ^ { - 2 ( a ( \beta + 1 ) - \beta ) } ) \quad \mathrm { a s } \quad n \to \infty . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \Pi } _ { \mu j } ( \vec { r } , \omega ) } & { { } = \frac { m _ { 0 } } { \hbar ( 2 I _ { g } + 1 ) } \frac { 1 } { \omega + \Delta _ { \mu } - \Delta _ { j } + i \gamma / 2 } \vec { d } _ { \mu j } ^ { * } \cdot \hat { B } _ { - } ( \vec { r } , \omega ) } \\ { \hat { \Pi } _ { j \mu } ( \vec { r } , \omega ) } & { { } = - \frac { m _ { 0 } } { \hbar ( 2 I _ { g } + 1 ) } \frac { 1 } { \omega - \Delta _ { \mu } + \Delta _ { j } + i \gamma / 2 } \vec { d } _ { \mu j } \cdot \hat { B } _ { + } ( \vec { r } , \omega ) . } \end{array}
\partial _ { t _ { i } } \partial _ { t _ { j } } \Pi - \sum _ { k = 1 } ^ { r } { C _ { i j } } ^ { k } ( t ) \partial _ { t _ { k } } \partial _ { t _ { r } } \Pi + \sum _ { k = 1 } ^ { r } { D _ { i j } } ^ { k } ( t ) \mu \partial _ { \mu } \partial _ { t _ { k } } \Pi = 0 .
\begin{array} { r } { M _ { \infty } ^ { 2 } \big ( 2 h ( \tau _ { \mathrm { d } } ) + ( \tau _ { \mathrm { d } } ^ { 2 } - 1 ) h ^ { \prime } ( \tau _ { \mathrm { d } } ) \big ) - 2 h ( \tau _ { \mathrm { d } } ) \big ( 2 h ( \tau _ { \mathrm { d } } ) + \tau _ { \mathrm { d } } ( \tau _ { \mathrm { d } } + 1 ) h ^ { \prime } ( \tau _ { \mathrm { d } } ) \big ) = 0 \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \sigma _ { i j } } & { = } & { - \overline { { \rho } } \left[ \langle { \langle u _ { i } \rangle \langle u _ { j } \rangle } \rangle - \langle u _ { i } \rangle \langle u _ { j } \rangle \right] } \\ & { } & { - \overline { { \rho } } \left[ \langle \langle u _ { i } \rangle \rangle \langle u _ { j } \rangle - \langle \langle u _ { i } \rangle \rangle \langle \langle u _ { j } \rangle \rangle + \langle u _ { i } \rangle \langle \langle u _ { j } \rangle \rangle - \langle \langle u _ { i } \rangle \langle \langle u _ { j } \rangle \rangle \right] } \\ & { } & { - \overline { { \rho } } \left[ \langle u _ { i } \rangle \langle u _ { j } \rangle - \langle u _ { i } \rangle \langle \langle u _ { j } \rangle \rangle - \langle \langle u _ { i } \rangle \rangle \langle u _ { j } \rangle + \langle \langle u _ { i } \rangle \rangle \langle \langle u _ { j } \rangle \rangle \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { t } \| V _ { \Delta x , \xi } ( s ) - V _ { \xi } ( s ) \| _ { L ^ { 1 } ( \mathbb { R } ) } \, d s } & { \leq ( 1 + \alpha ) t \| H _ { \xi } ( 0 ) - H _ { \Delta x , \xi } ( 0 ) \| _ { 1 } } \\ & { \quad + t \| g ( X ( 0 ) ) - g ( X _ { \Delta x } ( 0 ) ) \| _ { 1 } } \\ & { \quad + 2 \alpha \sqrt { 2 \left( 1 + \frac { 1 } { 4 } t ^ { 2 } \right) G _ { \infty } ( 0 ) } \| U _ { \xi } ( 0 ) - U _ { \Delta x , \xi } ( 0 ) \| _ { 2 } . } \end{array}
\overline { { { g } } } ^ { 2 } ( q ^ { 2 } ) \; \; = \; \; \frac { g ^ { 2 } } { 1 \; + \frac { 1 1 C _ { G } } { 3 ( 4 \pi ) ^ { 2 } } \, g ^ { 2 } \, \ln \left( q ^ { 2 } / \kappa ^ { 2 } \right) } \; \; + \; \; O \left( g ^ { 4 } \right) \; \; = \; \; \frac { 1 } { 1 \; + \frac { 1 1 C _ { G } } { 3 ( 4 \pi ) ^ { 2 } } \, \, \ln \left( q ^ { 2 } / \Lambda _ { \mathrm { Q C D } } ^ { 2 } \right) } \; ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } } & { { } = - \sum _ { i } \left( \beta _ { i } ^ { o u t } s _ { i } ^ { o u t } + \beta _ { i } ^ { i n } s _ { i } ^ { i n } \right) + \sum _ { i , j \neq i } a _ { i j } \ln ( \beta _ { i } ^ { o u t } + \beta _ { j } ^ { i n } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } \mathrm { S } } { \mathrm { d } t } } & { = - ( B + C ) \left( \mathrm { S } - \frac { C \mathrm { S } _ { E } } { B + C } \right) ( 1 + \mathrm { S } ) + a ( 1 + \mathrm { S } ) u } \\ { \mathrm { d } u } & { = - \frac { 1 } { \tau _ { d } } \left( u - \bar { u } \right) \mathrm { d } t + \sqrt { \frac { 2 } { \tau _ { d } } } \sigma _ { u } \mathrm { d } W _ { t } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \Delta g _ { \mathrm { 3 e l , B } } ^ { ( 2 ) } = \frac { 1 } { m _ { a } } \sum _ { b _ { 1 } , b _ { 2 } } \sum _ { P , Q } ( - 1 ) ^ { P + Q } { \sum _ { n } } ^ { \prime } \frac { \langle \xi _ { P a } P b _ { 1 } | I ( \Delta _ { P a Q a } ) | Q a n \rangle \langle n P b _ { 2 } | I ( \Delta _ { P b _ { 2 } Q b _ { 2 } } ) | Q b _ { 1 } Q b _ { 2 } \rangle } { \varepsilon _ { P a } + \varepsilon _ { P b _ { 1 } } - \varepsilon _ { Q a } - \varepsilon _ { n } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \gamma _ { 0 } = \gamma _ { 4 5 } } & { = \frac { \Delta \omega } { g _ { 4 } g _ { 5 } } , } \\ { \beta _ { k , k + 1 } } & { = \frac { \Delta \omega } { 2 \gamma _ { 0 } \sqrt { g _ { k } g _ { k + 1 } } } , \; \; \; k = 1 \dots 3 , } \\ { \beta _ { p } } & { = \frac { g _ { 4 } g _ { 5 } } { 2 g _ { 0 } g _ { 1 } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left| \mathrm { { R a } } \int _ { \Omega } T \partial _ { 1 } ( | \hat { \omega } | ^ { p - 2 } \hat { \omega } ) \right| \leq \frac { p - 1 } { 2 } \left( { \mathrm { R a } } ^ { 2 } | \Omega | ^ { \frac { 2 } { p } } \| \hat { \omega } \| _ { p } ^ { p - 2 } + \int _ { \Omega } | \nabla \hat { \omega } | ^ { 2 } | \hat { \omega } | ^ { p - 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda _ { 0 } ( \alpha ) } & { = \frac { 2 } { \ell _ { 1 } s _ { 1 } } \left( 1 - \cos \left( \frac { \alpha L } { 2 } \right) \right) = \frac { 4 } { \ell _ { 1 } s _ { 1 } } \sin ^ { 2 } \left( \frac { \alpha L } { 4 } \right) , } \\ { \lambda _ { 1 } ( \alpha ) } & { = \frac { 2 } { \ell _ { 1 } s _ { 1 } } \left( 1 + \cos \left( \frac { \alpha L } { 2 } \right) \right) = \frac { 4 } { \ell _ { 1 } s _ { 1 } } \cos ^ { 2 } \left( \frac { \alpha L } { 4 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { R _ { \oplus } ^ { 2 } b \Big ( \frac { 1 } { r ^ { 3 } } - \frac { 1 } { r _ { 0 } ^ { 3 } } \Big ) } & { { } = } & { R _ { \oplus } ^ { 2 } \frac { r r _ { 0 } } { r + r _ { 0 } } \frac { | [ \vec { n } \times \vec { n } _ { 0 } ] | } { \Big ( 1 - \frac { 2 r r _ { 0 } } { ( r + r _ { 0 } ) ^ { 2 } } \Big ( 1 + ( \vec { n } \cdot \vec { n } _ { 0 } ) \Big ) \Big ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \Big ( \frac { 1 } { r ^ { 3 } } - \frac { 1 } { r _ { 0 } ^ { 3 } } \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { 0 } } & { { } = \sum _ { n } \left( \omega _ { m , n } b _ { n } ^ { \dagger } b _ { n } + \omega _ { c , n } a _ { n } ^ { \dagger } a _ { n } \right) , } \\ { H _ { J _ { 0 } } } & { { } = - \frac { J _ { 0 } } { 2 } \sum _ { n } \left( a _ { n } ^ { \dagger } a _ { n + 1 } + a _ { n } a _ { n + 1 } ^ { \dagger } \right) , } \\ { H _ { J _ { m } } } & { { } = - \frac { J _ { m } ( \phi ) } { 2 } \sum _ { n } \left( b _ { n } ^ { \dagger } b _ { n + 1 } + b _ { n } b _ { n + 1 } ^ { \dagger } \right) , } \\ { H _ { i n t } } & { { } = - \sum _ { n } g _ { n } a _ { n } ^ { \dagger } a _ { n } \left( b _ { n } ^ { \dagger } + b _ { n } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| j ^ { * } f \| _ { H ^ { k } ( \Omega ) } } & { = \frac { \| j ^ { * } f \| _ { H ^ { k } ( \Omega ) } ^ { 2 } } { \| j ^ { * } f \| _ { H ^ { k } ( \Omega ) } } = \frac { | \langle j f , j ^ { * } f \rangle _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } | } { \| j ^ { * } f \| _ { H ^ { k } ( \Omega ) } } = \frac { | \langle f , j ^ { * } f \rangle _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } | } { \| j ^ { * } f \| _ { H ^ { k } ( \Omega ) } } } \\ & { \leq \operatorname* { s u p } _ { u \in { H ^ { k } ( \Omega , \mathbb { R } ) } } \frac { | \langle f , u \rangle _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } | } { \| u \| _ { H ^ { k } ( \Omega ) } } = \| F \| _ { H ^ { - k } ( \Omega ) } \, . } \end{array}
{ F } _ { d , i } = - C _ { D } \frac { \rho _ { a } } { \Delta _ { z } } \widetilde { u } _ { i } U ^ { \Delta } \left( \widehat { n } _ { u , k } \cdot \frac { \partial \widetilde { \eta } } { \partial x _ { k } } \right) { \mathcal { H } \left\{ \widehat { n } _ { u , k } \cdot \frac { \partial \widetilde { \eta } } { \partial x _ { k } } \right\} } \qquad i = x , y ,
\begin{array} { r l } { \Delta \mathbf { g } ^ { k + 1 } } & { = \left[ I _ { h } \left( \mathbf { w } ^ { k } \cdotp \nabla \mathbf { w } ^ { k } \right) + I _ { h } \left( \mathbf { u } \cdotp \nabla \mathbf { w } ^ { k } \right) + I _ { h } \left( \mathbf { w } ^ { k } \cdotp \nabla \mathbf { u } \right) \right] _ { t = t _ { k + 1 } } . } \end{array}
\pi = \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 - \varepsilon _ { 0 } ( a _ { 1 } ) } \frac { ( 1 - b \cos ^ { 2 } ( \psi ) ) d \psi } { \sqrt { ( b \cos ^ { 2 } ( \psi ) + a _ { 1 } ) b \cos ^ { 2 } ( \psi ) } } = \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 - \varepsilon _ { 0 } ( a _ { 2 } ) } \frac { ( 1 - b \cos ^ { 2 } ( \psi ) ) d \psi } { \sqrt { ( b \cos ^ { 2 } ( \psi ) + a _ { 2 } ) b \cos ^ { 2 } ( \psi ) } } .
\Phi _ { j , k , g } ^ { n + 1 } = \frac { c l _ { k } } { \varepsilon \Delta t } \int _ { t _ { n } } ^ { t _ { n + 1 } } \left\langle \mu ^ { \prime } I _ { g } \right\rangle \left( t , 0 , 0 \right) d t
\mu _ { v } ^ { \mathrm { a } } \left[ \frac { \mu _ { 2 } ^ { \mathrm { b } } } { \mu _ { 1 } ^ { \mathrm { b } } } k + \frac { \alpha _ { \mathrm { b } } } { \operatorname { t a n h } \left( \alpha _ { \mathrm { b } } d \right) } \right] + \mu _ { v } ^ { \mathrm { b } } \left[ \frac { \mu _ { 2 } ^ { \mathrm { a } } } { \mu _ { 1 } ^ { \mathrm { a } } } k + \frac { \alpha _ { \mathrm { a } } } { \operatorname { t a n h } \left( \alpha _ { \mathrm { a } } d \right) } \right] = 0
\frac 1 { \sqrt { - G } } \partial _ { \mu } \left( \sqrt { - G } G ^ { \mu \nu } \partial _ { \nu } \phi \left( x \right) \right) = \frac 1 { F ^ { d } } \partial _ { \mu } \left( F ^ { d - 2 } \eta ^ { \mu \nu } \partial _ { \nu } \phi \left( x \right) \right) = 0 .
| | { \textbf { x } } | | = \left| \left| \sum _ { i = 1 } ^ { n } e _ { i } \cdot x _ { i } \right| \right| \leq \sum _ { i = 1 } ^ { n } | | e _ { i } | | \cdot | x _ { i } | \leq { \sqrt { \sum _ { i = 1 } ^ { n } | | e _ { i } | | ^ { 2 } } } \cdot { \sqrt { \sum _ { i = 1 } ^ { n } | x _ { i } | ^ { 2 } } } = \beta \cdot | | { \textbf { x } } | | _ { 2 }
\partial _ { \mu } ^ { 2 } \varphi + \varphi + \lambda \varphi ^ { 3 } = 0 , \, \, \, \, \varphi _ { k } ( t \to + \infty ) = \frac { \beta _ { k } ^ { * } } { \sqrt { 2 \omega } } \mathrm { e } ^ { i \omega t } , \, \, \, \, \varphi _ { k } ( t \to - \infty ) \sim a _ { k } \mathrm { e } ^ { i \omega t }
\log L ( \{ t _ { i } , m _ { i } \} ) = \sum _ { i } \left[ \log \lambda ^ { * } ( t _ { i } ) + \log f ^ { * } ( m _ { i } | t _ { i } ) - \int _ { t _ { i - 1 } } ^ { t _ { i } } \lambda ^ { * } ( t ) d t \right] .
\begin{array} { r l } & { X _ { h } = \{ \ v \in H ^ { 1 } ( \Omega _ { h } ) \ : \ v | _ { \Omega _ { h } ^ { e } } \in \Pi _ { K } ( \Omega _ { h } ^ { e } ) , \ 1 \leqslant e \leqslant N _ { e } \ \} , } \\ & { X _ { h 0 } ^ { E } = \{ \ v \in X _ { h } \ : \ v | _ { \partial \Omega _ { s e h } } = 0 \ \} , } \\ & { X _ { h 0 } ^ { P } = \{ \ v \in X _ { h } \ : \ v | _ { \partial \Omega _ { o h } } = 0 \ \} , } \\ & { X _ { h 0 } ^ { u } = \{ \ v \in X _ { h } \ : \ v | _ { \partial \Omega _ { s h } } = 0 \ \} . } \end{array}
\omega ( \tilde { t } ) \le 4 - ( n _ { h _ { 1 } } + n _ { h _ { 2 } } + n _ { u _ { 1 } } + n _ { u _ { 2 } } + n _ { \tilde { u } _ { 1 } } + n _ { \tilde { u } _ { 2 } } - 2 l ) - ( d _ { 1 } + d _ { 2 } - a ) + ( r + s ) \, .
{ \tilde { \epsilon } } = ( \epsilon _ { x x } , \epsilon _ { y y } , \epsilon _ { z z } , \gamma _ { y z } , \gamma _ { x z } , \gamma _ { x y } ) \equiv ( \epsilon _ { 1 } , \epsilon _ { 2 } , \epsilon _ { 3 } , \epsilon _ { 4 } , \epsilon _ { 5 } , \epsilon _ { 6 } ) ,
s = 4 E ^ { 2 } - { \bf P } _ { \Phi } ^ { 2 } , \ \ q ^ { 2 } = 4 E ^ { 2 } - 4 E \omega - { \bf P } _ { \Phi } ^ { 2 } \bigl ( 1 - \frac { \omega } { E } \cos { \theta } \bigr ) + 2 \omega | { \bf P } _ { \Phi } | \sin { \theta } \cos { \phi } \ ,
\begin{array} { r l } { \| x _ { * } - x _ { k + 1 } ^ { \mathrm { ( p ) } } \| } & { \leq \| x _ { * } - \widehat { x } _ { k + 1 } ^ { \mathrm { ( p ) } } \| + \| \widehat { x } _ { k + 1 } ^ { \mathrm { ( p ) } } - x _ { k + 1 } ^ { \mathrm { ( p ) } } \| } \\ & { = \| \Delta x ^ { \mathrm { ( p ) } } \| + \left| \| \widehat { x } _ { k + 1 } ^ { \mathrm { ( p ) } } \| - 1 \right| } \\ & { \leq 2 \| \Delta x ^ { \mathrm { ( p ) } } \| } \\ & { \leq \frac { 4 ( \| C \| + 1 ) } { \sigma _ { n } ( \widehat { J } _ { * } ) } \epsilon ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { x } _ { n + 1 } } & { = x _ { n } + K _ { n } ( \hat { y } _ { n } - H _ { n } \hat { x } _ { n } ) , } \\ { K _ { n } } & { = P _ { n } { H _ { n } } ^ { T } [ ( H _ { n } P _ { n } { H _ { n } } ^ { T } ) + R _ { n } ] ^ { - 1 } , } \\ { P _ { n + 1 } } & { = [ I - K _ { n } H _ { n } ] P _ { n } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { [ \Omega _ { 0 i } } & { , S ] = ( t \partial _ { i } + x _ { i } \partial _ { t } ) ( t \partial _ { t } + \sum _ { j } x _ { j } \partial _ { j } ) - ( t \partial _ { t } + \sum _ { j } x _ { j } \partial _ { j } ) ( t \partial _ { i } + x _ { i } \partial _ { t } ) } \\ & { = ( t \partial _ { i } + x _ { i } \partial _ { t } ) ( t ) \partial _ { t } + \sum _ { j } ( t \partial _ { i } + x _ { i } \partial _ { t } ) ( x _ { j } ) \partial _ { j } ) - ( t \partial _ { t } + \sum _ { j } x _ { j } \partial _ { j } ) ( t ) \partial _ { i } - ( t \partial _ { t } + \sum _ { j } x _ { j } \partial _ { j } ) ( x _ { i } ) \partial _ { t } } \\ & { = x _ { i } \partial _ { t } + t \partial _ { i } - t \partial _ { i } - x _ { i } \partial _ { t } = 0 . } \end{array}
\mathrm { d } F _ { 1 } / \mathrm { d } \bar { z } = \mathrm { d } F _ { 2 } / \mathrm { d } z \, , \qquad \mathrm { d } F _ { 1 } / \mathrm { d } \bar { z } = m ^ { 2 } \hat { \theta } \, .
\begin{array} { r l r } { { \left( u \right) _ { 1 , j , k } } } & { { = } } & { { u _ { j } \, \mathrm { , } } } \\ { { \left( v \right) _ { 1 , j , k } } } & { { = } } & { { \left( v \right) _ { 2 , j , k } \, \mathrm { , } } } \\ { { \left( w \right) _ { 1 , j , k } } } & { { = } } & { { \left( w \right) _ { 2 , j , k } \, \mathrm { . } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \alpha _ { \mathrm { ~ e ~ s ~ c ~ } } \sim 6 \times 1 0 ^ { - 4 } \frac { \bar { \varepsilon } ^ { 2 } \bar { \varepsilon } _ { t } ^ { 2 } } { \bar { \varepsilon } ^ { 2 } + \bar { \varepsilon } _ { t } ^ { 2 } } \left[ \left( 1 - \frac { \bar { \varepsilon } _ { t 0 } ^ { 2 } } { \bar { \varepsilon } _ { t } ^ { 2 } } \right) \frac { 1 0 \bar { \varepsilon } _ { t } ^ { 2 } } { 1 0 \bar { \varepsilon } _ { t } ^ { 2 } + \bar { \varepsilon } ^ { 2 } } + \frac { \bar { \varepsilon } _ { t 0 } ^ { 2 } } { \bar { \varepsilon } _ { t } ^ { 2 } } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb E [ f _ { 1 } ( \Xi , \Psi _ { \Xi } ) \cdot f _ { 2 } ( \Xi , \Psi _ { \Xi } ) ] = \mathbb E \big [ \mathbb E [ f _ { 1 } ( \Xi , \Psi _ { \Xi } ) \cdot f _ { 2 } ( \Xi , \Psi _ { \Xi } ) \mid \Xi ] \big ] } & { \ge \mathbb E \big [ \mathbb E [ f _ { 1 } ( \Xi , \Psi _ { \Xi } ) \mid \Xi ] \cdot \mathbb E [ f _ { 2 } ( \Xi , \Psi _ { \Xi } ) \mid \Xi ] \big ] } \\ & { \ge \mathbb E [ f _ { 1 } ( \Xi , \Psi _ { \Xi } ) \big ] \cdot \mathbb E [ f _ { 2 } ( \Xi , \Psi _ { \Xi } ) ] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { A _ { 0 i } \sin \theta _ { i } + A _ { 0 r } \sin \theta _ { i } + \overline { { A } } _ { 0 r } \cos \theta _ { i } } & { = } & { A _ { 0 t } \sin \theta _ { i } , } \\ { A _ { 0 i } \cos \theta _ { i } - A _ { 0 r } \cos \theta _ { i } + \overline { { A } } _ { 0 r } \sin \theta _ { i } } & { = } & { A _ { 0 t } \cos \theta _ { i } , } \\ { \left( c A _ { 0 i } - \phi _ { 0 i } + c A _ { 0 r } - \phi _ { 0 r } \right) \sin \theta _ { i } + c \overline { { A } } _ { 0 r } \cos \theta _ { i } } & { = } & { 0 , } \\ { i k \left( - c A _ { 0 i } + \phi _ { 0 i } + c A _ { 0 r } - \phi _ { 0 r } \right) \cos \theta _ { i } - i k c \overline { { A } } _ { 0 r } \sin \theta _ { i } } & { = } & { \frac { \Sigma _ { 0 } } { \varepsilon _ { 0 } } , } \\ { i k \overline { { A } } _ { 0 r } } & { = } & { \mu _ { 0 } K _ { T 0 } , } \\ { \phi _ { 0 i } + \phi _ { 0 r } } & { = } & { \phi _ { 0 t } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { Q _ { \mathrm { e f f } } | _ { \kappa _ { \mathrm { i n } } R \to 0 } } & { { } = } & { Q \frac { 2 \eta _ { \mathrm { i n } } + 3 \eta _ { \mathrm { o u t } } } { 2 ( \eta _ { \mathrm { i n } } + \eta _ { \mathrm { o u t } } ) } - 2 \pi R ^ { 2 } \sigma _ { R } \frac { \eta _ { \mathrm { o u t } } } { \eta _ { \mathrm { i n } } + \eta _ { \mathrm { o u t } } } , } \\ { Q _ { \mathrm { e f f } } | _ { \kappa _ { \mathrm { i n } } R \to \infty } } & { { } = } & { Q \frac { 2 \eta _ { \mathrm { i n } } + \eta _ { \mathrm { o u t } } } { 2 ( \eta _ { \mathrm { i n } } + \eta _ { \mathrm { o u t } } ) } - \frac { 1 0 \pi R \sigma _ { R } } { \kappa _ { \mathrm { i n } } } \frac { \eta _ { \mathrm { o u t } } } { \eta _ { \mathrm { i n } } + \eta _ { \mathrm { o u t } } } . } \end{array}