harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \frac { 8 a ^ { 3 } I _ { 2 3 } } { m _ { 0 } R ^ { 5 } } } & { { } = } & { \sin \theta \sum _ { k } \Big [ K ( k n - \omega ) ( \cos \theta \left( 2 X _ { k } ^ { - 3 , 0 } - e ^ { \mathrm { i } 2 \varpi } X _ { k } ^ { - 3 , 2 } - e ^ { - \mathrm { i } 2 \varpi } X _ { k } ^ { - 3 , - 2 } \right) - \left( e ^ { \mathrm { i } 2 \varpi } X _ { k } ^ { - 3 , 2 } - e ^ { - \mathrm { i } 2 \varpi } X _ { k } ^ { - 3 , - 2 } \right) ) \left( e ^ { \mathrm { i } 2 \varpi } X _ { k } ^ { - 3 , - 2 } - e ^ { - \mathrm { i } 2 \varpi } X _ { k } ^ { - 3 , 2 } \right) } \end{array}
H ( t ) I ( \rho ) J ( z ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi ( \delta t ) ^ { 2 } } } \exp \left( - \frac { ( t - t _ { 0 } ) ^ { 2 } } { 2 ( \delta t ) ^ { 2 } } - \frac { \rho ^ { 2 } } { 2 R _ { G } ^ { 2 } } - \frac { z ^ { 2 } } { 2 L _ { G } ^ { 2 } } \right) \, .
\begin{array} { r l } & { \sum _ { y _ { T } = 0 } ^ { 1 } \sum _ { x _ { T } = 0 } ^ { 1 } \phi _ { x _ { 1 } } ( y ^ { T } , x ^ { 2 : T } ) F ( \theta x _ { T } + \alpha ) ^ { y _ { T } } [ 1 - F ( \theta x _ { T } + \alpha ) ] ^ { 1 - y _ { T } } ( - 1 ) ^ { 1 - x _ { T } } } \\ & { \times \prod _ { t = 2 } ^ { T - 1 } F ( \theta x _ { t } + \alpha ) ^ { y _ { t } } [ 1 - F ( \theta x _ { t } + \alpha ) ] ^ { 1 - y _ { t } } G _ { y ^ { t - 1 } , x ^ { t - 1 } } ^ { t } ( \alpha ) ^ { x _ { t } } [ 1 - G _ { y ^ { t - 1 } , x ^ { t - 1 } } ^ { t } ( \alpha ) ] ^ { 1 - x _ { t } } } \\ & { \times F ( \theta x _ { 1 } + \alpha ) ^ { y _ { 1 } } [ 1 - F ( \theta x _ { 1 } + \alpha ) ] ^ { 1 - y _ { 1 } } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal F ( x , y _ { m } , z _ { l } , \rho ) = } & { { } a \, \frac { \int _ { D } \rho ( x ^ { \prime } , t ) \phi ( | x ^ { \prime } - x | ) ( x ^ { \prime } - x ) \, d x ^ { \prime } } { \int _ { D } \rho ( x ^ { \prime } , t ) \phi ( | x ^ { \prime } - x | ) \, d x ^ { \prime } } } \end{array}
H _ { c } \simeq 1 . 8 \times 1 0 ^ { 1 9 } g _ { 3 } \left( \frac { T _ { c } } { 1 0 0 \mathrm { ~ M e V } } \right) \left( \frac { \mu / 3 } { 3 0 0 \mathrm { ~ M e V } } \right) \left( 1 - \frac { T } { T _ { c } } \right) \mathrm { ~ G } \ .
\begin{array} { r l } { M _ { \tau } } & { { } = U _ { \tau } ^ { ' \dagger } U _ { \tau } = \left( \mathrm { M a t } _ { 0 } ( C _ { \tau } ^ { ' } \times _ { 1 } U _ { \tau _ { 1 } } ^ { ' } \times _ { 2 } U _ { \tau _ { 2 } } ^ { ' } ) ^ { T } \right) ^ { \dagger } \mathrm { M a t } _ { 0 } ( C _ { \tau } \times _ { 1 } U _ { \tau _ { 1 } } \times _ { 2 } U _ { \tau _ { 2 } } ) ^ { T } } \end{array}
+ \int d x ^ { 5 } \varepsilon ^ { \alpha \beta \gamma \delta \sigma } \left[ C _ { \alpha \beta \gamma \delta \sigma } ^ { ( 5 ) } + { \frac { 1 } { 2 4 } } F _ { \alpha \beta \gamma } C _ { \delta \sigma } ^ { ( 2 ) } \right] ,
\begin{array} { r l } { 0 } & { = \sum _ { j = 1 , 2 } \left( \beta _ { - , j } ( \Lambda _ { \mathrm { s o m } } ^ { \infty } ) \, f _ { j } ^ { \infty } - \alpha _ { + , j } ( \Lambda _ { \mathrm { s o m } } ^ { \infty } ) \, f _ { j } ^ { \infty } \, ( 1 - \rho _ { j } ^ { \infty } ) \right) , } \\ { 0 } & { = \beta _ { + , j } ( \Lambda _ { j } ^ { \infty } ) \, f _ { j } ^ { \infty } - \alpha _ { - , j } ( \Lambda _ { j } ^ { \infty } ) \, f _ { j } ^ { \infty } \, ( 1 - \rho _ { j } ^ { \infty } ) - c _ { j } \, h _ { j } ( \Lambda _ { j } ^ { \infty } , L _ { j } ^ { \infty } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { 1 + r _ { + } \mathrm { e } ^ { - 2 i ( \mathbf { K } + \mathbf { k } ) \cdot \mathbf { r } _ { j } } } & { = } & { c _ { + } ^ { + } \mathrm { e } ^ { - i ( \mathbf { k } - \mathbf { q } ) \cdot \mathbf { r } _ { j } } + c _ { + } ^ { - } \mathrm { e } ^ { - i ( 2 \mathbf { K } + \mathbf { k } + \mathbf { q } ) \cdot \mathbf { r } _ { j } } , } \\ { 1 - r _ { + } \mathrm { e } ^ { - 2 i ( \mathbf { K } + \mathbf { k } ) \cdot \mathbf { r } _ { j } } } & { = } & { \alpha c _ { + } ^ { + } \mathrm { e } ^ { - i ( \mathbf { k } - \mathbf { q } ) \cdot \mathbf { r } _ { j } } - \alpha c _ { + } ^ { - } \mathrm { e } ^ { - i ( 2 \mathbf { K } + \mathbf { k } + \mathbf { q } ) \cdot \mathbf { r } _ { j } } , } \end{array}
{ \cal L } _ { D e b y e } = \frac { 3 } { 2 } \, m _ { g } ^ { 2 } \int \frac { d \hat { p } } { 4 \pi } \; t r \left( G _ { \alpha \beta } \frac { p ^ { \beta } p ^ { \gamma } } { - ( p \cdot D ) ^ { 2 } } G _ { \alpha \gamma } \right) \; .
\mathrm { d } { \mathcal { L } } = \sum _ { i } \left( { \frac { \partial { \mathcal { L } } } { \partial q ^ { i } } } \mathrm { d } q ^ { i } + p _ { i } \mathrm { d } { \dot { q } } ^ { i } \right) + { \frac { \partial { \mathcal { L } } } { \partial t } } \mathrm { d } t
\begin{array} { r } { \left[ ( \omega - \omega _ { E } - \omega _ { D } ) + k _ { \perp } ^ { 2 } \rho _ { e } ^ { 2 } ( \omega - \omega _ { E } - 2 \omega _ { D } ) \right] \widetilde { n _ { e } } + \frac { \epsilon _ { 0 } \omega _ { r f } \overline { { E _ { h } ^ { 2 } } } } { 2 m _ { e } \omega _ { c e } ^ { 2 } } k _ { \perp } ^ { 2 } } \\ { = \left[ \omega _ { * } - \omega _ { D } + k _ { \perp } ^ { 2 } \rho _ { e } ^ { 2 } ( \omega - \omega _ { E } - 2 \omega _ { D } ) \right] \frac { e n _ { e } } { T _ { e } } \widetilde { \varphi } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \le L \left| \sqrt { \sum _ { k _ { 1 } = 0 } ^ { m _ { 1 } - 1 } \cdots \sum _ { k _ { d } = 0 } ^ { m _ { 1 } } \left| \frac { k _ { 1 } } { m _ { 1 } - 1 } - u _ { 1 } \right| ^ { 2 } P _ { k _ { 1 } , m _ { 1 } - 1 } ( u _ { 1 } ) \cdots P _ { k _ { d } , m _ { 1 } } ( u _ { d } ) \times \sum _ { k _ { 1 } = 0 } ^ { m _ { 1 } - 1 } \cdots \sum _ { k _ { d } = 0 } ^ { m _ { 1 } } P _ { k _ { 1 } , m _ { 1 } - 1 } ( u _ { 1 } ) \cdots P _ { k _ { d } , m _ { 1 } } ( u _ { d } ) } \right. } \\ & { \quad + \left. \sqrt { \sum _ { k _ { 1 } = 0 } ^ { m _ { 1 } - 1 } \cdots \sum _ { k _ { d } = 0 } ^ { m _ { 1 } } \sum _ { \ell = 2 } ^ { d } \left| \frac { k _ { \ell } } { m _ { 1 } } - u _ { \ell } \right| ^ { 2 } P _ { k _ { 1 } , m _ { 1 } - 1 } ( u _ { 1 } ) \cdots P _ { k _ { d } , m _ { 1 } } ( u _ { d } ) \times \sum _ { k _ { 1 } = 0 } ^ { m _ { 1 } - 1 } \cdots \sum _ { k _ { d } = 0 } ^ { m _ { 1 } } \sum _ { \ell = 2 } ^ { d } P _ { k _ { 1 } , m _ { 1 } - 1 } ( u _ { 1 } ) \cdots P _ { k _ { d } , m _ { 1 } } ( u _ { d } ) } \right| } \\ & { \quad + L \left| m _ { 1 } \sum _ { k _ { 1 } = 0 } ^ { m _ { 1 } - 1 } \cdots \sum _ { k _ { d } = 0 } ^ { m _ { 1 } } \left\{ \frac { 1 + 2 k _ { 1 } } { 2 m _ { 1 } ^ { 2 } } - \frac { k _ { 1 } } { m _ { 1 } ( m _ { 1 } - 1 ) } \right\} P _ { k _ { 1 } , m _ { 1 } - 1 } ( u _ { 1 } ) \cdots P _ { k _ { d } , m _ { 1 } } ( u _ { d } ) \right| } \\ & { = L \left| \sqrt { { \mathbb { E } } \left[ \frac { B _ { 1 } } { m _ { 1 } - 1 } - u _ { 1 } \right] ^ { 2 } } + \sqrt { ( d - 1 ) \sum _ { \ell = 2 } ^ { d } { \mathbb { E } } \left[ \frac { B _ { 2 } } { m _ { 1 } } - u _ { \ell } \right] ^ { 2 } } \right| + L \left| \frac { 1 } { 2 m _ { 1 } } - \frac { u _ { 1 } } { m _ { 1 } } \right| } \\ & { = L \left\{ \sqrt { \frac { u _ { 1 } ( 1 - u _ { 1 } ) } { m _ { 1 } - 1 } } + \sqrt { ( d - 1 ) \sum _ { \ell = 2 } ^ { d } \frac { u _ { \ell } ( 1 - u _ { \ell } ) } { m _ { 1 } } } \right\} + L \left| \frac { 1 } { 2 m _ { 1 } } - \frac { u _ { 1 } } { m _ { 1 } } \right| } \\ & { = O \left( m _ { 1 } ^ { - 1 / 2 } \right) . } \end{array}
D ( a ) = { \left( \begin{array} { l l l l } { D ( a ) _ { 1 1 } } & { D ( a ) _ { 1 2 } } & { \cdots } & { D ( a ) _ { 1 n } } \\ { D ( a ) _ { 2 1 } } & { D ( a ) _ { 2 2 } } & { \cdots } & { D ( a ) _ { 2 n } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { D ( a ) _ { n 1 } } & { D ( a ) _ { n 2 } } & { \cdots } & { D ( a ) _ { n n } } \end{array} \right) }
\frac { \partial \rho } { \partial t } + v _ { x } \frac { \partial \rho } { \partial x } - \frac { k _ { \mathrm { t r a p } } } { m } x \frac { \partial \rho } { \partial v _ { x } } = \frac { \Gamma } { m } \frac { \partial v _ { x } \rho } { \partial v _ { x } } + \frac { \Gamma k _ { B } T } { m ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } \rho } { \partial v _ { x } ^ { 2 } } \, ,
\underbrace { K _ { u , \delta } \, { \phi } _ { \delta } ^ { n + 1 } } _ { \mathrm { ~ F ~ l ~ u ~ x ~ a ~ t ~ } \delta _ { \mathrm { a } } } = u _ { \star } ^ { 2 } \, e _ { \tau } ^ { \mathrm { f r e e } } \quad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } u _ { \star } = \mathrm { B U L K } ( \underbrace { u ^ { n } ( \delta _ { \mathrm { a } } ) } _ { \mathrm { ~ R ~ e ~ c ~ o ~ n ~ s ~ t ~ r ~ u ~ c ~ t ~ i ~ o ~ n ~ a ~ t ~ } \delta _ { \mathrm { a } } } )
S \left( \mathbf { k } _ { 0 } , t ^ { \prime } , t \right) = \int _ { t ^ { \prime } } ^ { t } \left[ \mathcal { E } _ { e h } \left( \mathbf { k } _ { 0 } + \mathbf { A } \left( t ^ { \prime \prime } \right) \right) \right] d t ^ { \prime \prime }
\begin{array} { r } { \lambda _ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } = \exp \left( - \frac { 1 } { 2 ( 1 - a ) } + \log ( 1 - a ) - \frac { 3 } { 2 } + \frac { ( 1 - a ) ( \pi ^ { 2 } - 1 5 ) } { 3 } + . . . \right) } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \left( x ^ { 0 } , \, x ^ { 1 } , \, x ^ { 2 } , \, x ^ { 3 } \right) \ } & { \leftrightarrow \ \left. x ^ { 0 } \mathbf { e } _ { 0 } \right| _ { p } + \left. x ^ { 1 } \mathbf { e } _ { 1 } \right| _ { p } + \left. x ^ { 2 } \mathbf { e } _ { 2 } \right| _ { p } + \left. x ^ { 3 } \mathbf { e } _ { 3 } \right| _ { p } } \\ & { \leftrightarrow \ \left. x ^ { 0 } \mathbf { e } _ { 0 } \right| _ { q } + \left. x ^ { 1 } \mathbf { e } _ { 1 } \right| _ { q } + \left. x ^ { 2 } \mathbf { e } _ { 2 } \right| _ { q } + \left. x ^ { 3 } \mathbf { e } _ { 3 } \right| _ { q } } \end{array} }
Q _ { 0 } = \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \frac { \pi \ \sigma } { \varepsilon _ { 0 } \ f _ { 1 0 p } } } \frac { b \left( a ^ { 2 } + d ^ { 2 } \right) ^ { 3 / 2 } } { a d \left( a ^ { 2 } + d ^ { 2 } \right) + 2 b \left( a ^ { 3 } + d ^ { 3 } \right) }
c _ { 0 } ^ { K } = Z _ { K } ( 0 ) + \mathrm { d i m ~ } ( \mathrm { k e r ~ } L ) \qquad c _ { 0 } ^ { H } = Z _ { H } ( 0 ) + \mathrm { d i m ~ } ( \mathrm { k e r ~ } L ^ { \dag } ) .
I : = \left\{ ( k _ { R } , k _ { \theta } ) \, \bigg | \, k _ { R } ^ { 2 } \pm k _ { R } M _ { E } \sin k _ { \theta } + \frac { M _ { E } ^ { 2 } } { 4 } \le \Lambda _ { \mathrm { U V } } ^ { 2 } \right\} .
{ { \bf D } ^ { ( t ) } } ( { \bf r } , t ) = \mathrm { ~ R ~ e ~ } \left\{ { { \bf d } ^ { ( t ) } } ( { \bf k } ) e ^ { i \left[ { \bf k } \cdot { \bf r } - \omega _ { 2 } ( t - \tau ) \right] } \right\}
\begin{array} { r l } { \mathcal { Q } [ u , \theta , \eta ] } & { \geq \frac { \underline { { \alpha } } } { \mathrm { { R a } } } \left[ \frac { b } { 8 } - a _ { 0 } C \left( \| u _ { 0 } \| _ { W ^ { 1 , r } } ^ { 2 } + \| \dot { \alpha } \| _ { \infty } ^ { 2 } + \| \dot { \kappa } \| _ { \infty } ^ { 2 } + 1 \right) \right] \left\langle \| u \| _ { H ^ { 1 } } ^ { 2 } \right\rangle } \\ & { \qquad + \frac { 1 } { 2 { \mathrm { R a } } } \left[ b - 2 a _ { 0 } ^ { 2 } \right] \langle | \omega | ^ { 2 } \rangle + \left( \frac { b } { 8 \mathrm { { R a } } } - C \delta ^ { 6 } a _ { 0 } ^ { - 1 } { \mathrm { R a } } ^ { \frac { 3 } { 2 } } \right) \langle | \nabla u | ^ { 2 } \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { D _ { x } } & { = x \frac { \partial ( \gamma ( x , y ) ) } { \partial x } , \; \; D _ { y } } & { = y \frac { \partial ( \gamma ( x , y ) ) } { \partial y } , \; \; S _ { x } } & { = \int _ { 0 } ^ { x } \frac { \gamma ( x , y ) _ { x = t } } { t } d t , \; \; S _ { y } } & { = \int _ { 0 } ^ { y } \frac { \gamma ( x , y ) _ { y = t } } { t } d t , \; \; J ( \gamma ( x , y ) ) } & { = \gamma ( x , y ) _ { x = y } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ { \mathrm { c o m p r e s s i o n ~ r a t i o } } ] } & { = \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } ( { \mathrm { c o m p r e s s i o n ~ r a t i o ~ o f ~ } } k { \mathrm { - r u n } } ) \cdot \mathbb { P } [ { \mathrm { b i t ~ i s ~ p a r t ~ o f ~ } } k { \mathrm { - r u n } } ] } \\ & { = \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } { \frac { b + 1 + \lfloor 2 ^ { - b } ( k - 1 ) \rfloor } { k } } \cdot k p ^ { k - 1 } ( 1 - p ) ^ { 2 } } \\ & { = ( 1 - p ) ^ { 2 } \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } ( b + 1 + j ) \cdot \sum _ { i = j 2 ^ { b } + 1 } ^ { ( j + 1 ) 2 ^ { b } } p ^ { i - 1 } } \\ & { = ( 1 - p ) ^ { 2 } \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } ( b + 1 + j ) \cdot \left( p ^ { 2 ^ { b } j } - p ^ { 2 ^ { b } ( j + 1 ) } \right) } \\ & { = ( 1 - p ) \cdot \left( b + \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } p ^ { 2 ^ { b } m } \right) } \\ & { = ( 1 - p ) \cdot \left( b + { \left( 1 - p ^ { 2 ^ { b } } \right) } ^ { - 1 } \right) } \end{array} }
y _ { n } ^ { i + 1 } = e ^ { - h L } y _ { n } ^ { 0 } + h \sum _ { j = 0 } ^ { i } a _ { i j } ( - h L ) F ( t _ { n } + c _ { j } h , y _ { n } ^ { j } ) \quad i = 0 , \dots , s - 1 .
\dot { m } ^ { 3 } = \frac { \pi ^ { 2 } g } { 3 2 } \cdot { \underbrace { \frac { \rho _ { \mathrm { m } } ^ { 2 } \beta _ { \mathrm { m } } } { c _ { \mathrm { p , m } } } } _ { \mathrm { F l u i d ~ p r o p e r t i e s } } } \cdot \underbrace { \dot { Q } \Delta z D ^ { 5 } } _ { \mathrm { C o n f i g u r a t i o n } } \cdot \underbrace { \frac { 1 } { \Sigma ( f _ { \mathrm { i } } L _ { \mathrm { i } } ) } } _ { \mathrm { V i s c o u s ~ l o s s e s } } .
\begin{array} { r l } { \Psi _ { a b } ^ { \prime } } & { = 2 \pi K G _ { - } \mu _ { 2 } ( \Psi _ { a } ^ { \mathbb { P } ^ { 1 } } , \Psi _ { b } ^ { \mathbb { P } ^ { 1 } } ) = e ^ { i Y } \Theta ( r - \operatorname* { m a x } ( r _ { a } , r _ { b } ) ) + q e ^ { - i Y } \Theta ( \operatorname* { m i n } ( r _ { a } , r _ { b } ) - r ) } \end{array}
F \left( a , b , c \right) = g _ { c } ^ { - 1 } \left( g _ { c } \left( a \right) * g _ { c } \left( b \right) \right) = r ^ { - 1 } \left( r \left( a \right) * \left[ r \left( c \right) \right] ^ { - 1 } * r \left( b \right) \right) ,
\begin{array} { r } { ( \bar { \nu } ^ { n + 1 } \nabla { \bf \eta } _ { j } ^ { n + 1 } , \nabla { \bf \phi } _ { j } ^ { n + 1 } ) \le | \bar { \nu } ^ { n + 1 } | _ { \infty } \left( \frac { \| \nabla { \bf \eta } _ { j } ^ { n + 1 } \| ^ { 2 } } { 2 \epsilon _ { 9 } } + \frac { \epsilon _ { 9 } \| \nabla { \bf \phi } _ { j } ^ { n + 1 } \| ^ { 2 } } { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { H } ^ { \mathrm { ~ v ~ } } = - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { D } \sum _ { l = 1 } ^ { D } G _ { k l } \frac { \partial } { \partial \xi _ { k } } \frac { \partial } { \partial \xi _ { l } } - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { l = 1 } ^ { D } B _ { l } \frac { \partial } { \partial \xi _ { l } } + U + V \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb E \left[ \nu _ { h _ { \infty } ( \mathbb R ) } ^ { \frac { 2 } { \gamma } ( Q - \alpha - \frac { 1 } { 2 } \beta ) } \right] } & { = \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \downarrow 0 } \mathbb E \left[ \left( \int _ { \mathbb R } \varepsilon ^ { \frac { \gamma ^ { 2 } } { 4 } } e ^ { \frac { \gamma } { 2 } h _ { \varepsilon } ( x ) } e ^ { \frac { \gamma } { 2 } [ ( \beta - \frac { 4 } { \gamma } ) \log | x | _ { + } + \alpha \widetilde G _ { \mathbb H } ( x , i ) ] } d x \right) ^ { \frac { 2 } { \gamma } ( Q - \alpha - \frac { 1 } { 2 } \beta ) } \right] } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \downarrow 0 } \mathbb E \left[ \left( \int _ { \mathbb R } e ^ { \frac { \gamma } { 2 } h _ { \varepsilon } ( x ) - \frac { \gamma ^ { 2 } } { 2 } \mathbb E [ h _ { \varepsilon } ( x ) ^ { 2 } ] } \frac { | x | _ { + } ^ { \gamma \alpha + \frac { \gamma \beta } { 2 } - 2 } } { | x - i | ^ { \gamma \alpha } } d x \right) ^ { \frac { 2 } { \gamma } ( Q - \alpha - \frac { 1 } { 2 } \beta ) } \right] } \\ & { = \mathbb E \left[ \left( \int _ { \mathbb R } e ^ { \frac { \gamma } { 2 } h _ { \varepsilon } ( x ) - \frac { \gamma ^ { 2 } } { 2 } \mathbb E [ h _ { \varepsilon } ( x ) ^ { 2 } ] } \frac { | x | _ { + } ^ { \gamma \alpha + \frac { \gamma \beta } { 2 } - 2 } } { | x - i | ^ { \gamma \alpha } } d x \right) ^ { \frac { 2 } { \gamma } ( Q - \alpha - \frac { 1 } { 2 } \beta ) } \right] } \\ & { = \mathbb E \left[ \left( \int _ { \mathbb R } e ^ { \frac { \gamma } { 2 } h ( x ) } \frac { | x | _ { + } ^ { \gamma \alpha + \frac { \gamma \beta } { 2 } - 2 } } { | x - i | ^ { \gamma \alpha } } d x \right) ^ { \frac { 2 } { \gamma } ( Q - \alpha - \frac { 1 } { 2 } \beta ) } \right] } \\ & { = \overline { G } ( \alpha , \beta ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \phi _ { o p } ( x ) } & { = } & { \sqrt { \frac { 1 } { L } } \sum _ { k } \left[ \sin k x \; \hat { Q } _ { k } + \frac { 1 } { v | k | } \cos k x \; \hat { P } _ { k } \right] } \\ { \pi _ { o p } ( x ) } & { = } & { \sqrt { \frac { 1 } { L } } \sum _ { k } \left[ \sin k x \; \hat { P } _ { k } - v | k | \cos k x \; \hat { Q } _ { k } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d n _ { k } } { d t } } & { \approx } & { - n _ { k } \, \sum _ { l = 1 } ^ { N } n _ { l } \, u _ { k l } \, \sigma _ { R } ^ { k l } \left( u _ { k l } \right) \, \delta _ { \vec { r } _ { k } , \vec { r } _ { l } } \, , } \\ { \frac { d \vec { r } _ { k } } { d t } } & { \approx } & { \vec { u } _ { k } \, , } \\ { \frac { d \vec { p } _ { k } } { d t } } & { \approx } & { \frac { q _ { k } } { V } \, \int _ { V } d ^ { 3 } r \, \phi \left( \vec { r } , \vec { r } _ { k } \right) \, \left( \vec { E } _ { k } + \vec { u } _ { k } \times \vec { B } _ { k } \right) } \\ & { } & { - \sum _ { l = 1 } ^ { N } \nu _ { k l } \left( u _ { k l } \right) \, \left( \vec { p } _ { k } - \vec { p } _ { k l } ^ { \, s } \right) \, \delta _ { \vec { r } _ { k } , \vec { r } _ { l } } \, , } \end{array}
\mathcal { L } = \beta ^ { 2 } \sqrt { 1 + \frac { m ^ { 2 } } { \beta ^ { 2 } } A _ { \mu } A ^ { \mu } } - \frac { 1 } { 4 } B _ { \mu \nu } B ^ { \mu \nu } - \frac { \chi \theta } { 2 } \varepsilon ^ { \mu \nu \rho \lambda } \partial _ { \mu } B _ { \nu \rho } A _ { \lambda } \; .
\begin{array} { r l } { \mathrm { P r } _ { + } } & { = N _ { - } \left( 1 - p \right) \frac { 4 \prod _ { i = 0 } ^ { 2 } \left( N _ { + } - i \right) } { \prod _ { i = 0 } ^ { 3 } \left( N - i \right) } + \frac { \prod _ { i = 0 } ^ { 3 } \left( N _ { - } - i \right) \, p } { \prod _ { i = 0 } ^ { 3 } \left( N - i \right) } , } \\ { \mathrm { P r } _ { - } } & { = N _ { + } \left( 1 - p \right) \frac { 4 \prod _ { i = 0 } ^ { 2 } \left( N _ { - } - i \right) } { \prod _ { i = 0 } ^ { 3 } \left( N - i \right) } + \frac { \prod _ { i = 0 } ^ { 3 } \left( N _ { + } - i \right) \, p } { \prod _ { i = 0 } ^ { 3 } \left( N - i \right) } . } \end{array}
{ \frac { \partial P _ { e } } { \partial X } } = { \frac { \partial P _ { e } } { \partial Y _ { e } } } { \frac { \partial Y _ { e } } { \partial X } } = { \frac { \partial P _ { e } } { \partial Y _ { e } } } \left[ { \frac { Z _ { 1 } } { A _ { 1 } } } - { \frac { Z _ { 2 } } { A _ { 2 } } } \right] ,
( m \delta _ { I J } - \Theta _ { \alpha \beta } \mathcal { A } _ { I } ^ { \alpha } \mathcal { A } _ { J } ^ { \beta } ) \ddot { r } ^ { J } - \frac { 1 } { R } \Theta _ { 3 \beta } \mathcal { A } _ { K } ^ { \beta } \dot { r } ^ { K } \mathcal { A } _ { J } ^ { \bar { I } } \dot { r } ^ { J } = 0 , \ \ I = 4 , 5
\begin{array} { r } { F ( \mathrm { ~ \boldmath ~ z ~ } ) = \sum _ { i < j } \log \left( \sum _ { A _ { i j } \in \{ 0 , 1 \} } ( z _ { i } z _ { j } ) ^ { A _ { i j } } \right) = \sum _ { i < j } \log \left( 1 + z _ { i } z _ { j } \right) . } \end{array}
V _ { \mathrm { o u t } } ( t _ { 1 } ) = V _ { \mathrm { o u t } } ( t _ { 0 } ) - { \frac { 1 } { R C } } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { 1 } } V _ { \mathrm { i n } } ( t ) \, d t ,
\frac { 1 } { h } \int _ { 0 } ^ { h } u ( z ) \mathrm { d } z = \frac { 1 } { h _ { \mathrm { e f f } } } \int _ { 0 } ^ { h _ { \mathrm { e f f } } } u ^ { \ast } ( z ) \mathrm { d } z ,
W ^ { j + { \frac { 1 } { 2 } } } = - { \frac { j + 1 } { 2 j + 3 } } \int { \frac { d ^ { 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } } ~ J ^ { \mu _ { 1 } \cdots \mu _ { j } } ( - p ) ~ { \Big [ } \gamma ^ { 0 } { \frac { ~ \gamma ^ { \alpha } ~ \Pi _ { \mu _ { 1 } \cdots \mu _ { j } \alpha \nu _ { 1 } \cdots \nu _ { j } \beta } ~ \gamma ^ { \beta } } { p ^ { 2 } - m ^ { 2 } } } { \Big ] } ~ J ^ { \nu _ { 1 } \cdots \nu _ { j } } ( p ) .
\frac { \partial P \left( \vec { z } \right) } { \partial t } = - \sum _ { j } \frac { \partial \left\{ a _ { j } \left( \vec { z } \right) P \left( \vec { z } \right) \right\} } { \partial z _ { j } } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { j , k } \frac { \partial ^ { 2 } \left\{ D _ { j , k } \left( \vec { z } \right) P \left( \vec { z } \right) \right\} } { \partial z _ { j } \partial z _ { k } } , \ \vec { z } \in \mathbb { C } ^ { n } ,
\varepsilon _ { u } ^ { + } = i \eta _ { 1 } \gamma ^ { 1 } \varepsilon _ { l } ^ { - } , \ \ \ \ \, v a r e p s i l o n _ { u } ^ { + } = i \eta _ { 1 3 } \gamma ^ { 1 3 } \varepsilon _ { l } ^ { + } , \ \ \ \ \, v a r e p s i l o n _ { u } ^ { + } = - \eta _ { p } \varepsilon _ { l } ^ { + } , \ \ \ \ \, v a r e p s i l o n _ { u } ^ { + } = \eta _ { 3 } \gamma ^ { 3 } \varepsilon _ { l } ^ { - } ,
T _ { d } ^ { ( 2 ) } = \left| \frac { a + \delta a } { i ( ( x _ { 0 } + \delta x _ { 0 } ) - x ) + ( \Gamma + \delta \Gamma ) } + \frac { a - \delta a } { i ( ( x _ { 0 } - \delta x _ { 0 } ) - x ) + ( \Gamma - \delta \Gamma ) } \right| ^ { 2 } + p ( x - x _ { 0 } ) .
\begin{array} { r } { d b _ { i j } = \bigg ( \frac { M _ { i j } } { A } - \frac { b _ { i j } b _ { k l } M _ { k l } } { A } - \frac { b _ { i j } K _ { p q k l } K _ { p q k l } } { 2 A ^ { 2 } } - \frac { b _ { p q } K _ { p q k l } K _ { i j k l } } { A ^ { 2 } } } \\ { + \frac { 3 } { 2 } \frac { b _ { i j } b _ { p q } K _ { p q k l } b _ { m n } K _ { m n k l } } { A ^ { 2 } } \bigg ) d t + \bigg ( \frac { K _ { i j k l } } { A } - \frac { b _ { i j } b _ { p q } K _ { p q k l } } { A } \bigg ) \; d W _ { k l } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { E } ( s ^ { 2 } ) } & { = { \frac { 1 } { n - 1 } } \left[ \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( \sigma ^ { 2 } + \mu ^ { 2 } \right) - n \left( { \frac { \sigma ^ { 2 } } { n } } + \mu ^ { 2 } \right) \right] } \\ & { = { \frac { 1 } { n - 1 } } \left[ n \sigma ^ { 2 } + n \mu ^ { 2 } - \sigma ^ { 2 } - n \mu ^ { 2 } \right] } \\ & { = { \frac { 1 } { n - 1 } } ( n - 1 ) \sigma ^ { 2 } } \\ & { = \sigma ^ { 2 } . } \end{array} }
( { \mathbf { \mathbf { \mathbf { K } } } } \otimes { \mathbf { \mathbf { \mathbf { I } } } } _ { N _ { t } } ) : { \mathbf { \mathbf { \mathbf { U } } } } ^ { ( 0 ) } = { \mathbf { \mathbf { \mathbf { F } } } } ^ { e x t }
\left( \hat { \psi } _ { 1 } ^ { * } , \hat { \gamma } _ { 3 } ^ { * } , \hat { \ell } _ { 3 } ^ { * } , \hat { \Psi } _ { 1 } ^ { * } , \hat { \Gamma } _ { 3 } ^ { * } , \hat { L } _ { 3 } ^ { * } \right) = \hat { S } _ { \pm } \left( \hat { \psi } _ { 1 } , \hat { \gamma } _ { 3 } , \hat { \ell } _ { 3 } , \hat { \Psi } _ { 1 } , \hat { \Gamma } _ { 3 } , \hat { L } _ { 3 } \right)
\begin{array} { r l r l r l } { p _ { 1 2 } } & { = \frac { v _ { 1 } + w _ { 1 } } { 2 } \geq 0 } & { p _ { 1 3 } } & { = \frac { v _ { 2 } + w _ { 2 } } { 2 } \geq 0 } & { p _ { 1 4 } } & { = \frac { v _ { 3 } + w _ { 3 } } { 2 } \geq 0 } \\ { p _ { 3 4 } } & { = \frac { v _ { 1 } - w _ { 1 } } { 2 } \geq 0 } & { p _ { 2 4 } } & { = \frac { w _ { 2 } - v _ { 2 } } { 2 } \geq 0 } & { p _ { 2 3 } } & { = \frac { v _ { 3 } - w _ { 3 } } { 2 } \geq 0 } \end{array}