harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r c l } { { } } & { { } } & { { Z _ { m } ^ { n } Z _ { m } ^ { n } \propto Z _ { m } ^ { n } ~ , } } \\ { { } } & { { } } & { { S _ { m } w S _ { m } \propto S _ { m } ~ , ~ ~ ~ \forall w \in A _ { 2 m } ~ , } } \\ { { } } & { { } } & { { Y _ { m } w Y _ { m } \propto Y _ { m } ~ , ~ ~ ~ \forall w \in A _ { n } ~ , } } \\ { { } } & { { } } & { { Y _ { m } Y _ { m } \not = 0 ~ . } } \end{array}
{ H ^ { 2 D } = 0 . 1 4 7 \cdot \frac { B _ { V } } { \sigma \sqrt [ 3 ] { G _ { R } } } - 1 . 1 3 6 \cdot \frac { B _ { R } \log { R _ { X } } } { A _ { W } } - 5 . 6 7 9 }
\Delta \omega _ { \beta } ( \mathbf { n } , \mathbf { n ^ { \prime } } ) = \Delta \omega _ { \beta } ^ { ( 1 ) } \left( n _ { z } + \frac { 1 } { 2 } \right) + \Delta \omega _ { \beta } ^ { ( 2 ) } ( n _ { \bot } + 1 ) ,
\bar { t } _ { \mathrm { ~ p ~ } } = \alpha _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ , ~ p ~ } } ( \kappa _ { \mathrm { ~ p ~ } } / 2 - \kappa _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ , ~ p ~ } } - i \Delta _ { \mathrm { ~ p ~ } } ) / ( \kappa _ { \mathrm { ~ p ~ } } / 2 - i \Delta _ { \mathrm { ~ p ~ } } )
\begin{array} { r l } { u _ { t } - 6 u u _ { x x } + u _ { x x x } } & { { } = 0 , } \\ { \left( u _ { t } - 6 u u _ { x x } + u _ { x x x } \right) _ { x } + 3 \sigma ^ { 2 } u _ { y y } } & { { } = 0 . } \end{array}
\bar { \chi } ^ { A } = \kappa \sigma _ { 1 } ^ { ( 3 ) } \otimes . . \otimes \sigma _ { 2 A } ^ { ( 3 ) } \otimes \sigma _ { 2 A + 1 } ^ { ( + ) } \otimes 1 _ { 2 A + 2 } . . \otimes 1 _ { 2 n + 1 } ,
\operatorname* { m i n } _ { a > 1 } - \lambda _ { a } = 4 k \operatorname* { m i n } _ { a > 1 } \sin ^ { 2 } \left( \frac { \pi ( a - 1 ) } { n } \right) = 4 k \sin ^ { 2 } \left( \frac { \pi } { n } \right) \, .
a ^ { * } ( k , s ) = \frac { i \sigma g ( s ) } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \int d ^ { 4 } x e ^ { i ( k \cdot x + \sigma \kappa \tau ) } \varepsilon _ { s } \cdot [ \stackrel { \leftrightarrow } { \partial _ { \tau } } a ( x , \tau ) ]
\overline { { { \rho } } } _ { 1 } ^ { 2 } = r _ { 0 } ^ { 2 } , \quad \overline { { { \eta } } } _ { 1 } ^ { 2 } = \left( \frac { r _ { 0 } } { \sigma } \right) ^ { 2 } \quad \mathrm { w i t h } \quad \, \, r _ { 0 } ^ { 2 } = \frac { \sigma B _ { 1 } } { A ^ { 4 } | X | ^ { 2 } } .
\varepsilon ^ { 2 } \{ U _ { n , \varepsilon } ( \alpha , \beta ) - U _ { n , \varepsilon } ( \alpha _ { 0 } , \beta ) \} \xrightarrow { P } \int _ { 0 } ^ { 1 } B _ { s } ^ { \top } ( \theta _ { 0 } , \theta ) [ \sigma \sigma ^ { \top } ] ^ { - 1 } ( X _ { s } ^ { 0 } , H ( X _ { s - \cdot } ^ { 0 } ) , \beta _ { 0 } ) B _ { s } ( \theta _ { 0 } , \theta ) \, \mathrm { d } s ,
\begin{array} { r l } { K _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } } & { { } = f _ { K } K _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ w ~ e ~ r ~ } } ^ { \mathrm { ~ H ~ S ~ } } + ( 1 - f _ { K } ) K _ { \mathrm { ~ u ~ p ~ p ~ e ~ r ~ } } ^ { \mathrm { ~ H ~ S ~ } } , } \\ { \mu _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } } & { { } = f _ { \mu } \mu _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ w ~ e ~ r ~ } } ^ { \mathrm { ~ H ~ S ~ } } + ( 1 - f _ { \mu } ) \mu _ { \mathrm { ~ u ~ p ~ p ~ e ~ r ~ } } ^ { \mathrm { ~ H ~ S ~ } } , } \end{array}
D _ { \mathrm { L O } } ^ { \mathrm { I R } } ( \alpha , \sigma _ { 1 } ) = \frac { 1 6 \pi \mathrm { i } \, C _ { F } } { 3 \beta _ { 0 } } \left[ x _ { 1 } ^ { 2 } \left( \frac { 1 } { \beta _ { 0 } \alpha } - \frac { 7 } { 4 } \right) - x _ { 1 } ( 1 + x _ { 1 } ) \left( \frac { \log ( 1 + x _ { 1 } ) } { \beta _ { 0 } \alpha } + \mathrm { L i } _ { 2 } ( - x _ { 1 } ) \right) \right] \, ,
\mathbf { F } ^ { \prime } = \mathbf { F } - 2 m \mathbf { \Omega } \times \mathbf { v } _ { B } - m \mathbf { \Omega } \times ( \mathbf { \Omega } \times \mathbf { x } _ { B } ) - m { \frac { d \mathbf { \Omega } } { d t } } \times \mathbf { x } _ { B } \ ,
\begin{array} { r } { C _ { R } ( i ) = \frac { 1 } { N - 1 } \sum _ { j : 0 < n ^ { o u t } ( i , j ) < \infty } \frac { \sum _ { k = 1 } ^ { n ^ { o u t } ( i , j ) } w _ { i } ^ { ( k ) } ( j ) } { n ^ { o u t } ( i , j ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \nu _ { 1 } = - \frac { 1 } { 2 \pi } \ln ( 1 + r _ { 1 } ( \omega k _ { 4 } ) r _ { 2 } ( \omega k _ { 4 } ) ) , \qquad \nu _ { 2 } = - \frac { 1 } { 2 \pi } \ln ( 1 + r _ { 1 } ( \omega ^ { 2 } k _ { 2 } ) r _ { 2 } ( \omega ^ { 2 } k _ { 2 } ) ) , } \\ & { \nu _ { 3 } = - \frac { 1 } { 2 \pi } \ln ( f ( \omega k _ { 4 } ) ) , \qquad \nu _ { 4 } = - \frac { 1 } { 2 \pi } \ln ( f ( \omega ^ { 2 } k _ { 2 } ) ) , \qquad \nu _ { 5 } = - \frac { 1 } { 2 \pi } \ln ( f ( \omega k _ { 2 } ) ) , } \end{array}
\langle { \bf k } \vert V \vert { \bf k } ^ { \prime } \rangle = { \frac { 1 } { w _ { 1 } + w _ { 2 } + w _ { 1 } ^ { \prime } + w _ { 2 } ^ { \prime } } } \langle { \bf k } \vert U \vert { \bf k } ^ { \prime } \rangle = \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \frac { \hat { I } _ { a b } ^ { \mathrm { i n s t } } ( { \bf k } , { \bf k } ^ { \prime } ) } { 4 \sqrt { w _ { 1 } w _ { 2 } w _ { 1 } ^ { \prime } w _ { 2 } ^ { \prime } } } \, \sigma _ { 1 } ^ { a } \sigma _ { 2 } ^ { b }
\begin{array} { r l } { H _ { f r e e } = } & { \omega _ { 1 } { a _ { 1 } } ^ { \dagger } a _ { 1 } + \omega _ { 2 } { a _ { 2 } } ^ { \dagger } a _ { 2 } + \omega _ { m } b ^ { \dagger } b , } \\ { H _ { i n t } = } & { g _ { 1 } { a _ { 1 } } ^ { \dagger } a _ { 1 } ( b ^ { \dagger } + b ) + g _ { 2 } { a _ { 2 } } ^ { \dagger } a _ { 2 } ( b ^ { \dagger } + b ) , } \\ { H _ { d r i v e } = } & { i \sqrt { \kappa _ { e x 1 } } \epsilon _ { l 1 } e ^ { - i \omega _ { l 1 } t } { a _ { 1 } } ^ { \dagger } + i \sqrt { \kappa _ { e x 2 } } \epsilon _ { l 2 } e ^ { - i \omega _ { l 2 } t } { a _ { 2 } } ^ { \dagger } + H . c . , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { - \mathbf n \cdot \textbf { D } \left[ ( \mathbf I + \omega ^ { 1 - \gamma } \nabla _ { \mathbf y } \boldsymbol \chi ) \cdot \nabla _ { \mathbf x } c _ { 0 } + \omega ^ { 1 - \gamma } \nabla _ { \mathbf y } \lambda \frac { \partial c _ { 0 } } { \partial t } \right] = \omega ^ { \beta } ( c _ { 0 } ^ { a } - 1 ) . } \end{array}
\left. \begin{array} { l l r } { { \gamma _ { 1 , 3 , ( \pm 1 , 0 , 0 ) } } } & { { = } } & { { { \bf 1 } _ { 1 } } } \\ { { \gamma _ { 1 , { \tilde { 7 } } _ { 3 } , ( \pm 1 ) } } } & { { = } } & { { - \alpha { \bf 1 } _ { 1 } } } \\ { { \gamma _ { 1 , 7 _ { 4 } , ( 0 ) } } } & { { = } } & { { - \alpha { \bf 1 } _ { 2 } } } \\ { { \gamma _ { 1 , 7 _ { 5 } , ( 0 ) } } } & { { = } } & { { \alpha ^ { 2 } { \bf 1 } _ { 3 } } } \end{array} \right.
N _ { \mathrm { N O w a v e } } ( { \bar { \theta } } _ { \mathrm { B V } } , r ) = N _ { \mathrm { a l l } } ( { \bar { \theta } } _ { \mathrm { B V } } , r ) - N _ { \mathrm { w a v e } } ( { \bar { \theta } } _ { \mathrm { B V } } , r )
w _ { d } \equiv \frac { M _ { d } } { Q _ { d } } , \quad b _ { d } \equiv \frac { B _ { d } M _ { d } } { Q _ { d } ^ { 2 } } , \; \textrm { a n d } \quad r _ { d } \equiv \sqrt { \frac { Q _ { u } ^ { 2 } } { M _ { u } } + \frac { Q _ { d } ^ { 2 } } { M _ { d } } } .
H = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \{ - i \alpha _ { i } P _ { i } + m \beta _ { i } \} - \frac { g } { 2 } \sum _ { i \neq j } ^ { n } ( 1 - \alpha _ { i } \alpha _ { j } ) \delta ( x _ { i } - x _ { j } ) ,
\begin{array} { r } { \frac { \operatorname* { s u p } _ { B ( p , 4 r ) } | u | } { \operatorname* { s u p } _ { B ( p , 2 r ) } | u | } \leq \frac { \operatorname* { s u p } _ { B ( q , 8 r ) } | u | } { \operatorname* { s u p } _ { B ( q , r ) } | u | } = \frac { \operatorname* { s u p } _ { B ( q , 8 r ) } | u | } { \operatorname* { s u p } _ { B ( q , 4 r ) } | u | } \cdot \frac { \operatorname* { s u p } _ { B ( q , 4 r ) } | u | } { \operatorname* { s u p } _ { B ( q , 2 r ) } | u | } \cdot \frac { \operatorname* { s u p } _ { B ( q , 2 r ) } | u | } { \operatorname* { s u p } _ { B ( q , r ) } | u | } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| f + g \| _ { ( L ^ { p ( \cdot ) } , L ^ { q } ) ^ { \alpha } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } } & { = \operatorname* { s u p } _ { r > 0 } \left\| | B | ^ { \frac { 1 } { \alpha } - \frac { 1 } { p ( \cdot ) } - \frac { 1 } { q } } \| ( f + g ) \chi _ { B } \| _ { L ^ { p ( \cdot ) } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } \right\| _ { L ^ { q } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } } \\ & { \leq \operatorname* { s u p } _ { r > 0 } \left\| | B | ^ { \frac { 1 } { \alpha } - \frac { 1 } { p ( \cdot ) } - \frac { 1 } { q } } \| f \chi _ { B } \| _ { L ^ { p ( \cdot ) } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } \right\| _ { L ^ { q } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } + \operatorname* { s u p } _ { r > 0 } \left\| | B | ^ { \frac { 1 } { \alpha } - \frac { 1 } { p ( \cdot ) } - \frac { 1 } { q } } \| g \chi _ { B } \| _ { L ^ { p ( \cdot ) } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } \right\| _ { L ^ { q } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } } \\ & { = \| f \| _ { ( L ^ { p ( \cdot ) } , L ^ { q } ) ^ { \alpha } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } + \| g \| _ { ( L ^ { p ( \cdot ) } , L ^ { q } ) ^ { \alpha } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } . } \end{array}
S _ { 0 } ( x ) = \left[ \frac { 1 } { 4 } + \frac { 9 } { 4 ( 1 - x ) } - \frac { 3 } { 2 ( 1 - x ) ^ { 2 } } \right] - \frac { 3 x ^ { 2 } } { 2 ( 1 - x ) ^ { 3 } } ~ l n x
\begin{array} { r l } { - \log \vert \operatorname* { d e t } ( 1 - \mathcal { L } _ { \tau _ { 0 } , \tau _ { 1 } , s } ^ { 2 } ) \vert } & { \ll \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \vert \mathrm { t r } ( \mathcal { L } _ { \tau _ { 0 } , \tau _ { 1 } , s } ^ { 2 n } ) \vert } \\ & { \ll \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } ( C \tau _ { 0 } \tau _ { 1 } ) ^ { 2 n ( \sigma - \delta ) } } \\ & { = \frac { ( C \tau _ { 0 } \tau _ { 1 } ) ^ { 2 ( \sigma - \delta ) } } { 1 - ( C \tau _ { 0 } \tau _ { 1 } ) ^ { 2 ( \sigma - \delta ) } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \kappa _ { \mathrm { e f f } } ^ { w } } & { = \frac { 1 } { t _ { p } } \frac { c } { \varepsilon } \int _ { t ^ { n + 1 } - t _ { p } } ^ { t ^ { n + 1 } } \frac { 1 } { 3 } c _ { 2 } ( t ) \mathrm { d } t } \\ & { = - \frac { c } { 3 \sigma _ { l } } \left( 1 - e ^ { - \frac { c \sigma } { \varepsilon ^ { 2 } } t _ { p } } - \frac { c \sigma } { \varepsilon ^ { 2 } } t _ { p } e ^ { - \frac { c \sigma } { \varepsilon ^ { 2 } } t _ { p } } - \frac { c ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { 2 \varepsilon ^ { 4 } } t _ { p } ^ { 2 } \mathrm { e } ^ { - \frac { c \sigma } { \varepsilon ^ { 2 } } t _ { p } } \right) } \\ & { = - \frac { c } { 3 \sigma _ { l } } \mathcal { L } _ { p } , } \end{array}
[ \alpha ( x _ { 1 } x _ { 3 } + x _ { 2 } x _ { 4 } ) - \beta x _ { 2 } ] ^ { 2 } + [ - \alpha ( x _ { 1 } x _ { 4 } - x _ { 2 } x _ { 3 } ) - \beta x _ { 1 } ] ^ { 2 } + [ \delta - \gamma ( x _ { 1 } ^ { 2 } + x _ { 2 } ^ { 2 } ) ] ^ { 2 }
A _ { x } \longrightarrow - A _ { - x - 1 } , \ E _ { x } \longrightarrow - E _ { - x - 1 } , \ \psi _ { x } \longrightarrow ( - 1 ) ^ { x } \psi _ { - x } , \ \psi _ { x } ^ { \dag } \longrightarrow ( - 1 ) ^ { x } \psi _ { - x } ^ { \dag }
L ( q _ { 1 } , q _ { 2 } ; E , k ) = \int _ { q _ { 1 } } ^ { q _ { 2 } } \left[ \frac { 1 } { ( 1 - E - \frac { 1 } { 2 } k q ^ { 2 } ) ^ { 2 } } - 1 \right] ^ { - 1 / 2 } \mathrm { d } q = \int _ { q _ { 1 } } ^ { q _ { 2 } } \frac { 2 ( 1 - E ) - k q ^ { 2 } } { \left[ ( 2 E + k q ^ { 2 } ) ( 4 - 2 E - k q ^ { 2 } ) \right] ^ { 1 / 2 } } \mathrm { d } q .
\begin{array} { r l } { S ( g ) } & { { } \approx K _ { S } ( - 2 . 6 g \bar { g } _ { 0 } + 1 2 . 9 g \bar { g } _ { 1 } - 6 . 9 g \bar { g } _ { 2 } ) e \cdot \mathrm { ~ f ~ m ~ } ^ { 3 } \, , } \\ { S ( \bar { \theta } ) } & { { } \approx - K _ { S } \bar { \theta } \ e \cdot \mathrm { ~ f ~ m ~ } ^ { 3 } \, , } \\ { S ( \tilde { d } ) } & { { } \approx 1 0 ^ { 4 } K _ { S } ( 0 . 5 0 \tilde { d } _ { u } - 0 . 5 4 \tilde { d } _ { d } ) \ e \cdot \mathrm { ~ f ~ m ~ } ^ { 2 } \, , } \end{array}
P _ { i } ^ { ( n ) } = \left\{ \begin{array} { l l } { \left( \frac { 1 } { L } \sum _ { k = i - L + 1 } ^ { k = i } P _ { k } \right) ^ { ( n - 1 ) } } & { i \geq { L - 1 } , } \\ { \left( \frac { 1 } { i + 1 } \sum _ { k = 0 } ^ { k = i } P _ { k } \right) ^ { ( n - 1 ) } } & { i < { L - 1 } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { I _ { N } } ( s ) } & { = \exp \left\{ - 2 \: \pi \: \lambda _ { \mathrm { U C } } \sum _ { \epsilon = 1 } ^ { 4 } \mathbb { P } _ { \epsilon } \int _ { R } ^ { \infty } \left( 1 - p _ { \mathrm { { L O S } } } \left( r \right) \right) \right. } \\ & { \qquad \left. \left( 1 - \left( 1 + \frac { s P G _ { \epsilon } ( r ^ { 2 } + h ^ { 2 } ) ^ { \frac { - \alpha _ { N } } { 2 } } } { m _ { N } } \right) ^ { - m _ { N } } \right) r d r \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { P } _ { x , y } \Big ( \Big | \frac { 1 } { K } \sum _ { k = 1 } ^ { [ K \lambda / \varepsilon ^ { 2 } ] } \Delta _ { k } ^ { \varepsilon } \Big | > \frac { C _ { 1 } \lambda } { 2 } \Big ) \leq \frac { 4 } { C _ { 1 } ^ { 2 } K ^ { 2 } \lambda ^ { 2 } } \mathbf { E } _ { x , y } \Big | \sum _ { k = 1 } ^ { [ K \lambda / \varepsilon ^ { 2 } ] } \Delta _ { k } ^ { \varepsilon } \Big | ^ { 2 } \leq \frac { 4 C _ { 2 } \varepsilon ^ { 2 } } { C _ { 1 } ^ { 2 } K \lambda } } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { p _ { \mathrm { 0 D } } ^ { \mathrm { i n , R H } } = p _ { \mathrm { R A } } ^ { \mathrm { i n } } , } & & { Q _ { \mathrm { 0 D } } ^ { \mathrm { i n , R H } } = - Q _ { \mathrm { V E N } } ^ { \mathrm { S Y S } } , } \\ & { p _ { \mathrm { 0 D } } ^ { \mathrm { o u t , R H } } = p _ { \mathrm { A R } } ^ { \mathrm { P U L } } + R _ { \mathrm { u p s t r e a m } } ^ { \mathrm { P U L } } Q _ { \mathrm { P V } } , } & & { Q _ { \mathrm { 0 D } } ^ { \mathrm { o u t , R H } } = Q _ { \mathrm { P V } } , } \\ & { p _ { \mathrm { 0 D } } ^ { \mathrm { i n , L H } } = p _ { \mathrm { L A } } ^ { \mathrm { i n } } , } & & { Q _ { \mathrm { 0 D } } ^ { \mathrm { i n , L H } } = - Q _ { \mathrm { V E N } } ^ { \mathrm { P U L } } , } \\ & { p _ { \mathrm { 0 D } } ^ { \mathrm { o u t , L H } } = p _ { \mathrm { A R } } ^ { \mathrm { S Y S } } + R _ { \mathrm { u p s t r e a m } } ^ { \mathrm { S Y S } } Q _ { \mathrm { A V } } , } & & { Q _ { \mathrm { 0 D } } ^ { \mathrm { o u t , L H } } = Q _ { \mathrm { A V } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \psi _ { 1 2 } ( \textbf { r } , \textbf { r } ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 ( 1 + S ^ { 2 } ) } } [ \varphi _ { 1 } ( \textbf { r } _ { 1 } ) \varphi _ { 2 } ( \textbf { r } _ { 2 } ) + \varphi _ { 1 } ( \textbf { r } _ { 2 } ) \varphi _ { 2 } ( \textbf { r } _ { 1 } ) ] [ \chi _ { \uparrow } ( 1 ) \chi _ { \downarrow } ( 2 ) - \chi _ { \downarrow } ( 1 ) \chi _ { \uparrow } ( 2 ) ] . } \end{array}
\boldsymbol { \phi } ^ { T } ( \boldsymbol { \psi } , \boldsymbol { y _ { \mathrm { o b s } } } ) = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { \partial \ell } { \partial y _ { i } } \Bigr | _ { \boldsymbol { y _ { \mathrm { o b s } } } } \, \times \, V \, ,
\begin{array} { r l r } { \delta { \cal L } _ { \mathrm { g c } } } & { { } = } & { \int \left( { \cal F } _ { \mathrm { g c } } \, \delta L _ { \mathrm { g c } } - B _ { \| } ^ { * } \, \delta { \sf S } \left\{ { \cal F } _ { \mathrm { g c } } / B _ { \| } ^ { * } , \frac { } { } { \cal H } _ { \mathrm { g c } } \right\} _ { \mathrm { g c } } \right) d ^ { 4 } P } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { k , l = 0 } ^ { d - 1 } \lambda ^ { k + l } e _ { k } \otimes e _ { l } } & { = e _ { 0 } \otimes e _ { 0 } + \lambda ( e _ { 0 } \otimes e _ { 1 } + e _ { 1 } \otimes e _ { 0 } ) + \lambda ^ { 2 } ( e _ { 0 } \otimes e _ { 2 } + e _ { 1 } \otimes e _ { 1 } + e _ { 2 } \otimes e _ { 0 } ) + \ldots } \\ & { { \quad \quad } \ldots + \lambda ^ { 2 d - 3 } ( e _ { d - 1 } \otimes e _ { d - 2 } + e _ { d - 2 } \otimes e _ { d - 1 } ) + \lambda ^ { 2 d - 2 } e _ { d - 1 } \otimes e _ { d - 1 } } \\ & { = \sum _ { s = 0 } ^ { 2 d - 2 } \lambda ^ { s } \sum _ { ( k , l ) \sim s } e _ { k } \otimes e _ { l } , } \end{array}
W _ { R _ { p } } = W _ { M S S M } + \frac { \kappa _ { i j k l } ^ { \prime } } { M } \widehat { Q } _ { i } \widehat { Q } _ { j } \widehat { Q } _ { k } \widehat { L } _ { l } + h _ { \nu } \widehat { L } \widehat { H } _ { u } \widehat { S } + M _ { S } \widehat { S } \widehat { S }
{ \cal L } _ { D G L } = - \frac { 1 } { 4 } ( \partial _ { \mu } \vec { B } _ { \nu } - \partial _ { \nu } \vec { B } _ { \mu } ) ^ { 2 } + \sum _ { a = 1 } ^ { 3 } [ | ( \partial _ { \mu } + i g \vec { \alpha } _ { a } { \cdot } \vec { B } _ { \mu } ) \chi _ { a } | ^ { 2 } \! \! - \lambda ( | \chi _ { a } | ^ { 2 } - v ^ { 2 } ) ^ { 2 } ] ,
\int x ^ { 2 } \operatorname { a r c c o t } ( a x ) \, d x = { \frac { x ^ { 3 } \operatorname { a r c c o t } ( a x ) } { 3 } } - { \frac { \ln \left( a ^ { 2 } x ^ { 2 } + 1 \right) } { 6 \, a ^ { 3 } } } + { \frac { x ^ { 2 } } { 6 \, a } } + C
\chi _ { n } = \mathrm { ~ i ~ } \frac { 2 } { \delta _ { n } ^ { 2 } } \left( \frac { 1 - \beta _ { n } } { \beta _ { n } } \right) = 1 2 \left[ \frac { \mathrm { ~ i ~ } } { 6 \delta _ { n } ^ { 2 } } \left( \frac { \frac { 2 \delta _ { n } } { 1 + \mathrm { ~ i ~ } } \operatorname { t a n h } { \frac { 1 + \mathrm { ~ i ~ } } { 2 \delta _ { n } } } } { 1 - \frac { 2 \delta _ { n } } { 1 + \mathrm { ~ i ~ } } \operatorname { t a n h } { \frac { 1 + \mathrm { ~ i ~ } } { 2 \delta _ { n } } } } \right) \right] .
\begin{array} { r l } { 0 } & { = \frac { \gamma } { \gamma - 1 } \left\{ \left[ \frac { d } { d z } \left( T _ { 1 } + \frac { q } { L e } Y _ { 1 } \right) \right] + q \left( 1 - \frac { 1 } { L e } \right) Y _ { 1 - } \right\} } \\ & { \quad + ( 1 + \alpha ) [ V _ { 0 } P _ { 1 } ] + \alpha T _ { 1 + } + \frac { \alpha } { \lambda } \frac { d T _ { 0 } } { d z } \Big | _ { - } - \alpha \int _ { - \infty } ^ { 0 - } \mathrm { e } ^ { \lambda \eta } \frac { d \hat { \theta } _ { 1 } } { d \eta } d \eta } \\ & { \quad - b ^ { 2 } V _ { 0 + } ^ { 2 } \alpha \left\{ \frac { \gamma } { 2 } \alpha + \nu \left( 1 + \frac { \gamma - 1 } { \gamma } \alpha \right) \left( 1 + \frac { \alpha } { 2 } \right) + \frac { \nu } { V _ { 0 + } } \frac { d V _ { 0 } } { d z } \Big | _ { + } \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \omega \, \rho _ { { \bf k } } ( \omega ) \kappa _ { { \bf k } , q _ { p } } ^ { A } \kappa _ { { \bf k } , q _ { p } } ^ { B } e ^ { - i \omega \tau } } & { \simeq } & { \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \omega \, \rho _ { { \bf k } } ( \omega _ { 0 } ^ { X } ) \kappa _ { { \bf k } } ^ { A } \kappa _ { { \bf k } } ^ { B } e ^ { - i \omega \tau } = \rho _ { { \bf k } } ( \omega _ { 0 } ^ { X } ) \kappa _ { { \bf k } } ^ { A } \kappa _ { { \bf k } } ^ { B } \delta ( \tau ) , } \end{array}
\frac { \mathrm { d } \theta _ { t } } { \mathrm { d } t } = \frac { 1 } { 2 } \Bigl [ I + C _ { t } \mathbb { E } _ { \rho _ { a _ { t } } } [ \nabla _ { \theta } \nabla _ { \theta } \log \rho _ { \mathrm { p o s t } } ] \Bigr ] ( \theta _ { t } - m _ { t } ) + C _ { t } \mathbb { E } _ { \rho _ { a _ { t } } } [ \nabla _ { \theta } \log \rho _ { \mathrm { p o s t } } ] .
\begin{array} { r l } { \displaystyle T ( S ; Y ) } & { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { y \in \mathcal { Y } } P _ { Y } ( y ) \sum _ { s \in \mathcal { S } } P _ { S } ( s ) | l ( s , y ) - 1 | \leq \frac { 1 } { 2 } \sum _ { y \in \mathcal { Y } } P _ { Y } ( y ) \sum _ { s \in \mathcal { S } } P _ { S } ( s ) | \Lambda ( y ) - 1 | } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { y \in \mathcal { Y } } P _ { Y } ( y ) | \Lambda ( y ) - 1 | \leq \frac { 1 } { 2 } \sum _ { y \in \mathcal { Y } } P _ { Y } ( y ) | \mathrm { e } ^ { \varepsilon _ { u } } - 1 | = \frac { 1 } { 2 } ( \mathrm { e } ^ { \varepsilon _ { u } } - 1 ) . } \end{array}
\Delta ^ { s y s + b a t h } ( N , P , T ) = { \frac { \beta P V _ { 0 } ^ { M - N } } { \Lambda ^ { 3 M } N ! ( M - N ) ! } } \int d V V ^ { N } \exp ( { - \beta P V } ) \int d \mathbf { s } ^ { N } \exp ( - \beta U ( \mathbf { s } ) )
\operatorname* { l i m } _ { \kappa \to \infty } \kappa \int _ { \mathbb D } \bigl ( \mathcal L ( x , \mathcal R ^ { \kappa } ( x ) ) - \mathcal L ( x , \mathcal R ( x ) ) \bigr ) \, h ( x ) \, d x = \int _ { \mathcal D } Q ( x ^ { \prime } ) \, h \Bigl ( \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { x ^ { \prime } } \end{array} \right) \Bigr ) \, d x ^ { \prime } < 0
{ \cal Z } _ { 2 N } = N ^ { 2 } { \cal Z } _ { s p h e r e } + N ^ { 1 } { \cal Z } _ { R P ^ { 2 } } + N ^ { 0 } ( { \cal Z } _ { t o r u s } + { \cal Z } _ { K l e i n \ b o t t l e } ) + \cdots
\begin{array} { r } { \displaystyle \sum _ { \alpha = 1 , 2 } \nabla \phi _ { \alpha } \otimes \frac { \partial \hat { \Psi } _ { \alpha } ^ { \mathrm { I } } } { \partial \nabla \phi _ { \alpha } } = \nabla \phi \otimes \frac { \partial \hat { \Psi } ^ { \mathrm { I } } } { \partial \nabla \phi } = \left( \frac { \sigma _ { 1 } \varepsilon } { 2 } + \frac { \sigma _ { 2 } \varepsilon } { 2 } \right) \nabla \phi \otimes \nabla \phi . } \end{array}
{ \mathcal A } _ { \alpha \beta , \gamma \delta } ^ { [ 0 ] } ( x , \tilde { x } ) = \log \frac { \left( \upzeta _ { \alpha } - \tilde { \upzeta } _ { \gamma } \right) \left( \upzeta _ { \beta } - \tilde { \upzeta } _ { \delta } \right) } { \left( \upzeta _ { \alpha } - \tilde { \upzeta } _ { \delta } \right) \left( \upzeta _ { \beta } - \tilde { \upzeta } _ { \gamma } \right) } .
\begin{array} { r l r } & { } & { k _ { m - F G R } = k _ { 1 \rightarrow 2 } ^ { a v } = \frac { 2 } { \hbar ^ { 2 } } \mathrm { R e } \Bigg [ \int _ { 0 } ^ { \infty } d t e ^ { i t ( \langle E _ { 2 } \rangle - \langle E _ { 1 } \rangle ) / \hbar } } \\ & { } & { \times e ^ { - ( t / \tau _ { e } - ( 1 - e ^ { - t / \tau _ { e } } ) ) \langle \delta E ^ { 2 } \rangle \tau _ { e } ^ { 2 } / \hbar ^ { 2 } } e ^ { - t / \tau _ { f } } } \\ & { } & { \times T r _ { b } \left\{ e ^ { i ( \hat { B } _ { 2 } + \hat { H } _ { b } ) t / \hbar } \hat { J } e ^ { - i ( \hat { B } _ { 1 } + \hat { H } _ { b } ) t / \hbar } \hat { \rho } _ { b , 1 } \hat { J } ^ { \dagger } \right\} \Bigg ] . } \end{array}
K _ { s s ^ { \prime } } = \frac { c r ^ { 2 } } { 4 \pi ^ { 2 } \epsilon _ { 0 } } \left[ \frac { \omega _ { s ^ { \prime } } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \overleftrightarrow { G } ^ { * } \left( \mathbf { r } , \mathbf { r } _ { s ^ { \prime } } ; \omega _ { s ^ { \prime } } \right) \cdot \mathbf { d } _ { s ^ { \prime } } \right] \cdot \left[ \frac { \omega _ { s ^ { \prime } } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \overleftrightarrow { G } \left( \mathbf { r } , \mathbf { r } _ { s } ; \omega _ { s } \right) \cdot \mathbf { d } _ { s } ^ { * } \right] .
\begin{array} { r l } { \bigg [ \bigg ( \bigg ( \frac { \partial } { \partial { t } } } & { + \omega _ { \nu } \bigg ) \left( \frac { \partial } { \partial { t } } + \omega _ { \eta } \right) + \omega _ { M } ^ { 2 } \bigg ) ^ { 2 } \left( \frac { \partial } { \partial { t } } + \omega _ { \kappa } \right) + \omega _ { C } ^ { 2 } \left( \frac { \partial } { \partial { t } } + \omega _ { \eta } \right) ^ { 2 } \left( \frac { \partial } { \partial { t } } + \omega _ { \kappa } \right) \bigg ] \hat { u } _ { x } } \\ & { = \bigg [ - \omega _ { C } \omega _ { A } ^ { 2 } \frac { k _ { z } k } { k _ { x } ^ { 2 } + k _ { z } ^ { 2 } } \left( \frac { \partial } { \partial { t } } + \omega _ { \eta } \right) ^ { 2 } } \\ & { + \omega _ { A } ^ { 2 } \frac { k _ { x } k _ { y } } { k _ { x } ^ { 2 } + k _ { z } ^ { 2 } } \left( \frac { \partial } { \partial { t } } + \omega _ { \eta } \right) \bigg ( \left( \frac { \partial } { \partial { t } } + \omega _ { \nu } \right) \left( \frac { \partial } { \partial { t } } + \omega _ { \eta } \right) + \omega _ { M } ^ { 2 } \bigg ) \bigg ] \hat { u } _ { y } , } \end{array}
{ \frac { h _ { 1 } } { h _ { 2 } } } - \sqrt { \frac { \rho _ { 1 } } { \rho _ { 2 } } } = \alpha \, \, \, \Longrightarrow \, \, \, { \frac { c _ { m } ^ { E } - c _ { m } } { c _ { m } ^ { E } - c _ { 0 } } } = O ( \alpha ) \, , \quad \mathrm { a n d } \quad { \frac { \zeta _ { m } - \zeta _ { m } ^ { E } } { \zeta _ { m } ^ { E } } } = O ( \alpha ) \, ,