harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
D _ { \psi _ { i } } = \sum _ { N = 0 } ^ { + \infty } { \left( \frac { \Gamma _ { i } e ^ { - { \frac { \hbar \omega _ { i } } { k T } } } } { 1 - \left( 1 - \Gamma _ { i } \right) e ^ { - { \frac { \hbar \omega _ { i } } { k T } } } } \right) } ^ { N } \left| \rho _ { i } ^ { N } \right> \left< \rho _ { i } ^ { N } \right| \; .
\begin{array} { r } { \mathbf { n } \times \mathbf { H } ^ { \mathcal { S } } = \operatorname* { l i m } _ { \mathbf { x } \to S } \mathbf { n } \times \int _ { S ^ { \prime } } \mathbf { J } ( \mathbf { x } ^ { \prime } ) \times \nabla ^ { \prime } G ( \mathbf { x } , \mathbf { x } ^ { \prime } ) d S ^ { \prime } = \frac { 1 } { 2 } \mathbf { J } + \mathbf { n } \times \int _ { S ^ { \prime } } \mathbf { J } ( \mathbf { x } ^ { \prime } ) \times \nabla ^ { \prime } G ( \mathbf { x } , \mathbf { x } ^ { \prime } ) d S ^ { \prime } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { N ^ { n + 1 } } & { = \frac { N ^ { n } + \phi ( h ) \Lambda } { 1 + \phi ( h ) \, \mu } = N ^ { n } - \Bigl ( N ^ { n } - \frac { \Lambda } { \mu } \Bigr ) \frac { \phi ( h ) \, \mu } { 1 + \phi ( h ) \, \mu } } \\ & { = N ^ { n } + \Bigl ( N ^ { n } - \frac { \Lambda } { \mu } \Bigr ) \Bigl ( \frac { 1 } { 1 + \phi ( h ) \, \mu } - 1 \Bigr ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \operatorname* { l i m } _ { T \to 0 } \Omega ^ { ( 0 ) } } & { { } = } & { \operatorname* { l i m } _ { T \to 0 } U ^ { ( 0 ) } = V _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } + \sum _ { i } \frac { \omega _ { i } } { 2 } , } \end{array}
\Gamma _ { 4 } ^ { ( c ) } ( \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r } _ { 2 } ; z ) = \left\langle I ^ { ( c ) } ( \mathbf { r } _ { 1 } ; z ) I ^ { ( c ) } ( \mathbf { r } _ { 2 } ; z ) \right\rangle
\begin{array} { r l } { \overline { { \phi } } } & { { } = \sum _ { k = 1 } ^ { M _ { p } } w _ { k } \overline { { \phi } } _ { k } , } \\ { \overline { { \xi ^ { \prime } \eta ^ { \prime } } } } & { { } = \sum _ { k = 1 } ^ { M _ { p } } w _ { k } \overline { { \xi ^ { \prime } \eta ^ { \prime } } } _ { k } + \sum _ { k = 1 } ^ { M _ { p } } w _ { k } ( \overline { { \xi } } _ { k } - \overline { { \xi } } ) ( \overline { { \eta } } _ { k } - \overline { { \eta } } ) , } \end{array}
I \sim g ^ { 2 } T \ln \Big ( { \frac { M _ { \mathrm { e f f } } } { \mu } } \Big ) { \frac { p r } { q _ { 0 } M _ { \mathrm { e f f } } ^ { 2 } } } \sim \Gamma { \frac { p r } { q _ { 0 } M _ { \mathrm { e f f } } ^ { 2 } } } \; .
\begin{array} { r l } { { \epsilon } ( t ) } & { = \int _ { 0 } ^ { t } \Theta ( t - t ^ { \prime } ) \Big ( \frac { P _ { u } ( t ^ { \prime } ) } { \eta _ { 0 } } + \frac { 1 } { G _ { 0 } } \frac { d } { d t ^ { \prime } } \Big ) \sigma ( t ^ { \prime } ) d t ^ { \prime } } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { t } \Big ( \Theta ( t - t ^ { \prime } ) \frac { P _ { u } ( t ^ { \prime } ) } { \eta _ { 0 } } + \frac { 2 \delta ( t - t ^ { \prime } ) } { G _ { 0 } } \Big ) \sigma ( t ^ { \prime } ) d t ^ { \prime } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \pi } & { { } = 6 \sin ^ { - 1 } \left( { \frac { 1 } { 2 } } \right) = 6 \left( { \frac { 1 } { 2 } } + { \frac { 1 } { 2 \cdot 3 \cdot 2 ^ { 3 } } } + { \frac { 1 \cdot 3 } { 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 2 ^ { 5 } } } + { \frac { 1 \cdot 3 \cdot 5 } { 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 2 ^ { 7 } } } + \cdots \! \right) } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { \left( ( q - q ^ { - 1 } ) f \right) ^ { p } \left( ( q - q ^ { - 1 } ) e \right) ^ { p } } } & { { = } } & { { \left( ( \sigma u ^ { p } - 1 ) ( \sigma - u ^ { - p } ) - ( \sigma t ^ { p } - 1 ) ( \sigma - t ^ { - p } ) \right) } } \\ { { } } & { { = } } & { { \displaystyle \prod _ { i = 0 } ^ { p - 1 } \left( \sigma u - q ^ { i } \right) \left( \sigma - q ^ { - i } u ^ { - 1 } \right) - ( \sigma t ^ { p } - 1 ) ( \sigma - t ^ { - p } ) } } \\ { { } } & { { = } } & { { \displaystyle \prod _ { i = 0 } ^ { p - 1 } \left( C ( q - q ^ { - 1 } ) ^ { 2 } - \sigma ( q ^ { i } + q ^ { - i } ) + 2 \right) - ( \sigma t ^ { p } - 1 ) ( \sigma - t ^ { - p } ) ~ . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { 1 } + \mathrm { l n } \phi _ { 1 } } & { { } = \mathrm { l n } \frac { \phi _ { C } } { N } - 1 + ( 1 - N ) ( 1 - \phi _ { C } ) + \chi N ( 1 - \phi _ { C } ) ^ { 2 } } \end{array}
\sigma = \frac { \sqrt { s ( s - 4 m _ { t } ^ { 2 } ) } } { 3 2 \pi s ^ { 2 } } \int _ { - 1 } ^ { 1 } \bar { \sum } | M | ^ { 2 } \mathrm { d \ c o s } \theta = \sigma _ { 0 } + \delta \sigma ,
\begin{array} { r l } & { Q ^ { \pi _ { 2 } } ( s _ { 1 } , a _ { 1 } , \eta _ { 2 } ) = C ( s _ { 1 } , a _ { 1 } ) + \gamma \lambda \eta _ { 2 } + \gamma \mathbb { E } _ { s _ { 2 } } ^ { s _ { 1 } , a _ { 1 } } \mathbb { E } _ { ( a _ { 2 } , \eta _ { 3 } ) \sim \pi _ { 2 } ( \cdot , \cdot | s _ { 2 } , \eta _ { 2 } ) } \Big [ \Big \{ \frac { \lambda } { \alpha } [ C ( s _ { 2 } , a _ { 2 } ) - \eta _ { 2 } ] _ { + } } \\ & { + ( 1 - \lambda ) C ( s _ { 2 } , a _ { 2 } ) + \gamma \lambda \eta _ { 3 } + \gamma \mathbb { E } _ { s _ { 3 } } ^ { s _ { 2 } , a _ { 2 } } \mathbb { E } _ { ( a _ { 3 } , \eta _ { 4 } ) \sim \pi _ { 2 } ( \cdot , \cdot | s _ { 3 } , \eta _ { 3 } ) } \Big [ \Big \{ \frac { \lambda } { \alpha } [ C ( s _ { 3 } , a _ { 3 } ) - \eta _ { 3 } ] _ { + } } \\ & { + ( 1 - \lambda ) C ( s _ { 3 } , a _ { 3 } ) + \gamma \lambda \eta _ { 4 } + \cdots \Big \} \Big ] \Big \} \Big ] , } \end{array}
) ( a s s h o w n i n t h e b o t t o m r o w ) . C o l o r - b a r a t t h e r i g h t - h a n d s i d e s t a n d s f o r v a r i o u s g r o w t h r a t e \mu _ { 0 } , w h i l e c i r c l e s w i t h f o u r d i f f e r e n t s i z e s i n t h e l e g e n d r e p r e s e n t , f r o m t h e s m a l l e s t t o t h e b i g g e s t , t o p o l o g i c a l t y p e s o f s i n k , s o u r c e , s a d d l e , a n d n o n - h y p e r b o l e . W e m a y s e e t h a t \omega _ { 0 } a n d \omega _ { 1 } a t t h e f i x e d p o i n t s E _ { 1 } ^ { \prime } w e r e p u r e r e a l n u m b e r s w i t h a b s o l u t e v a l u e s g r e a t e r t h a n 1 , m a k i n g t h e f i x e d p o i n t a s o u r c e f o r a l l \mu _ { 0 } . W h i l e \omega _ { 0 } a n d \omega _ { 1 } a t t h e f i x e d p o i n t s E _ { 2 } ^ { \prime } w e r e a l s o p u r e r e a l n u m b e r s , t h e a b s o l u t e v a l u e s v a r y a c r o s s 1 , m a k i n g t h e f i x e d p o i n t E _ { 2 } ^ { \prime } t o p o l o g i c a l t y p e s o f s i n k , s o u r c e , a n d s a d d l e , w i t h p o s s i b l e n o n - h y p e r b o l e s o c c u r r i n g a t e i t h e r l o w \mu _ { 0 } = 1 o r h i g h \mu _ { 0 } = 3 . 7 5 i f w e a p p l y T h e o r e m
\begin{array} { r l } { B _ { 1 } } & { = L ^ { 2 d } ( \delta L ^ { 2 \gamma } ) ^ { - 1 } \int _ { \mathbb R ^ { 2 } } \bigg | \sum _ { ( g , h ) \in \mathbb Z ^ { 2 d } \setminus \{ 0 \} } \int _ { \mathbb R ^ { d } \times \mathbb R ^ { d } } \Phi ( t _ { 1 } , u _ { 1 } , x - a _ { 1 } , y - b _ { 1 } ) } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \times e ^ { \pi i \left[ x _ { 1 } \cdot ( \xi _ { 1 } - L g ) + y _ { 1 } \cdot ( \rho _ { 1 } - L h ) + u _ { 1 } ( x _ { 1 } \cdot y _ { 1 } ) + \delta L ^ { 2 \gamma } t _ { 1 } r \cdot \zeta _ { 1 } \right] } \, \mathrm { d } x \mathrm { d } y \bigg | \, \mathrm { d } t _ { 1 } \mathrm { d } u _ { 1 } , } \\ { B _ { 2 } } & { = L ^ { 2 d } ( \delta L ^ { 2 \gamma } ) ^ { - 1 } \int _ { \mathbb R ^ { 2 } } \bigg | \int _ { \mathbb R ^ { d } \times \mathbb R ^ { d } } \Phi ( t _ { 1 } , u _ { 1 } , x - a _ { 1 } , y - b _ { 1 } ) e ^ { \pi i \left[ x _ { 1 } \cdot \xi _ { 1 } + y _ { 1 } \cdot \rho _ { 1 } + u _ { 1 } ( x _ { 1 } \cdot y _ { 1 } ) + \delta L ^ { 2 \gamma } t _ { 1 } r \cdot \zeta _ { 1 } \right] } \, \mathrm { d } x \mathrm { d } y \bigg | \, \mathrm { d } t _ { 1 } \mathrm { d } u _ { 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { 3 } = } & { - \frac { 2 H ^ { 3 } } { 3 } \frac { \partial ^ { 2 } b _ { 1 } } { \partial x \partial t } + \frac { H ^ { 2 } } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } b _ { 2 } } { \partial x \partial t } - \frac { \partial ^ { 2 } p _ { l } } { \partial x ^ { 2 } } \bigg ( \frac { - \xi ^ { 3 } } { 3 } + \frac { \zeta \xi ^ { 2 } } { 2 } \bigg ) - \frac { \partial p _ { l } } { \partial x } \bigg ( \frac { \xi ^ { 2 } } { 2 } \frac { \partial \zeta } { \partial x } - \xi ^ { 2 } \frac { \partial \xi } { \partial x } + \xi \zeta \frac { \partial \xi } { \partial x } \bigg ) } \\ & { + \left( \epsilon ^ { 2 } C _ { l } \right) ^ { - 1 } \left( \frac { \xi ^ { 2 } } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } \sigma } { \partial x ^ { 2 } } + \xi \frac { \partial \xi } { \partial x } \frac { \partial \sigma } { \partial x } \right) - H \xi \frac { \partial ^ { 2 } b _ { 2 } } { \partial x \partial t } + H ^ { 2 } \xi \frac { \partial ^ { 2 } b _ { 1 } } { \partial x \partial t } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Gamma _ { 1 } ( \pmb { v } , \pmb { r } ) = ( \Delta t \Delta x \Delta y \Delta z ) \pmb { \rho } ^ { T } ( I _ { m } \otimes [ I _ { n } | I _ { n } | I _ { n } ] ) ( \pmb { v } \odot \pmb { v } ) , } \\ & { \Gamma _ { 2 } ( \pmb { v } , \pmb { r } ) = ( \Delta t \Delta x \Delta y \Delta z ) \pmb { \rho } ^ { T } ( \pmb { r } \odot \pmb { r } \odot \pmb { \chi } ) , } \\ & { \Gamma _ { 3 } ( \pmb { v } , \pmb { r } ) = ( \Delta x \Delta y \Delta z ) \| \pmb { \rho _ { m } } - \pmb { \rho _ { 1 } ^ { i m g } } \| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { - i { \binom { h _ { 1 } ( t , z ) e ^ { - i \chi } } { - h _ { 1 } ^ { \ast } ( t , z ) e ^ { i \chi } } } \simeq \frac { - g _ { L } \eta } { 2 \cosh ( x ) } { \binom { 1 } { 1 } } + \frac { ( g _ { 0 } + g _ { L } ) } { 2 \pi } \eta { \binom { 1 } { 1 } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d s \frac { \sin ( W s / 2 ) } { s \cosh ( x - \eta s ) } . } \\ & { } & \end{array}
\begin{array} { r } { S = \ln \left[ \frac { \Omega ~ ! } { \displaystyle \prod _ { l } G _ { c } ( l ) ! } \right] - \lambda \left( N _ { c } - \sum _ { l } l G _ { c } ( l ) \right) - \gamma \left( \Omega - \sum _ { l } G _ { c } ( l ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { Q _ { \mathrm { s l o w } } = \int _ { t _ { \mathrm { r } } + 3 0 ~ \mathrm { n s } } ^ { t _ { \mathrm { r } } + t _ { \mathrm { w } } } \frac { V ( t ) } { z } ~ d t , } \end{array}
= B ^ { \alpha } { \cal T } _ { \alpha } + \frac { 1 } { 2 } B ^ { \beta } B ^ { \alpha } U _ { \alpha \beta } ^ { \gamma } \Pi _ { \gamma } ( - 1 ) ^ { \varepsilon _ { \beta } + \varepsilon _ { \gamma } } + \Pi _ { * } ^ { \alpha } \bar { \cal P } _ { \alpha } ( - 1 ) ^ { \varepsilon _ { \alpha } } - \Pi _ { * } ^ { \beta } B ^ { \alpha } U _ { \alpha \beta } ^ { \gamma } B _ { \gamma } ^ { * } ( - 1 ) ^ { \varepsilon _ { \beta } } ,
( ( \mathrm { y _ { A } ^ { 2 } + \mathrm { y _ { B } ^ { 2 } ) \mathrm { x _ { A } \mathrm { \overline { { x } } _ { B } - ( \mathrm { x _ { A } ^ { 2 } + \mathrm { x _ { B } ^ { 2 } ) \mathrm { y _ { A } \mathrm { \overline { { y } } _ { B } ) \mathrm { s _ { A } \mathrm { \overline { { s } } _ { B } \mathrm { z _ { A } \mathrm { \overline { { z } } _ { B } } } } } } } } } } } } }
\begin{array} { r l } { \mathbf { c } } & { = \left( \mathbf { Q } ^ { \mathsf { T } } \sqrt { | \vec { A } - z _ { j } \vec { I } | } \cdot \sqrt { | \vec { A } - z _ { j } \vec { I } | } \mathbf { Q } \right) ^ { - 1 } \cdot \mathbf { Q } ^ { \mathsf { T } } \sqrt { | \vec { A } - z _ { j } \vec { I } | } \cdot \sqrt { | \vec { A } - z _ { j } \vec { I } | } \cdot r _ { j } ( \mathbf { A } ) \mathbf { b } } \\ & { = \left( \mathbf { Q } ^ { \mathsf { T } } ( \mathbf { A } - z _ { j } \mathbf { I } ) \mathbf { Q } \right) ^ { - 1 } \mathbf { Q } ^ { \mathsf { T } } ( \mathbf { A } - z _ { j } \mathbf { I } ) \cdot r _ { j } ( \mathbf { A } ) \mathbf { b } } \\ & { = \left( \mathbf { Q } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { A } \mathbf { Q } - z _ { j } \mathbf { I } \right) ^ { - 1 } \mathbf { Q } ^ { \mathsf { T } } ( \mathbf { A } - z _ { j } \mathbf { I } ) \cdot ( \mathbf { A } - z _ { j } \mathbf { I } ) ^ { - 1 } r _ { j - 1 } ( \mathbf { A } ) \mathbf { b } } \\ & { = ( \mathbf { T } - z _ { j } \mathbf { I } ) ^ { - 1 } \mathbf { Q } ^ { \mathsf { T } } \cdot r _ { j - 1 } ( \mathbf { A } ) \mathbf { b } . } \end{array}
{ \dot { \bf X } } = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { \partial { \bf X } } { \partial q _ { i } } { \dot { q } } _ { i } + \frac { \partial { \bf X } } { \partial t } = { \dot { \bf X } } ( { \bf q } , { \dot { \bf q } } , t )
H = \sum _ { \vec { k } } \left\{ { \frac { 1 } { 2 } } \vec { \Pi } _ { \vec { k } } . \vec { \Pi } _ { - \vec { k } } + { \frac { 1 } { 2 } } W _ { k } ^ { 2 } ( t ) \vec { \Phi } _ { \vec { k } } . \vec { \Phi } _ { - \vec { k } } \right\} ,
\mathrm { ~ M ~ A ~ T ~ - ~ r ~ T ~ F ~ D ~ } \left( \mathbb { S } _ { \mathrm { ~ C ~ R ~ E ~ S ~ T ~ } } , \mathbb { S } _ { \mathrm { ~ P ~ D ~ B ~ } } \right) = \frac { 1 } { \lvert \mathbb { S } _ { \mathrm { ~ P ~ D ~ B ~ } } \rvert } \sum _ { \mathbf { R } ^ { \prime } \in \mathbb { S } _ { \mathrm { ~ P ~ D ~ B ~ } } } \operatorname* { m i n } _ { \mathbf { R } \in \mathbb { S } _ { \mathrm { ~ C ~ R ~ E ~ S ~ T ~ } } } \mathrm { ~ r ~ T ~ F ~ D ~ } \left( \mathbf { R } , \mathbf { R } ^ { \prime } \right)
\begin{array} { l l } { { L = L _ { + } + L _ { - } = } } \\ { { = \epsilon ^ { \mu \nu \rho \sigma } \Bigg [ \tau ^ { + } { { R ^ { + } } _ { \mu \nu } } ^ { a b } { R ^ { + } } _ { \rho \sigma a b } + i G _ { \mu \nu } ^ { + a b } \bigg ( R _ { \rho \sigma a b } ^ { + } - ( \partial _ { \rho } \omega _ { \sigma a b } ^ { + } - \partial _ { \sigma } \omega _ { \rho a b } ^ { + } + [ \omega _ { \rho } ^ { + } , \omega _ { \sigma } ^ { + } ] _ { a b } ) \bigg ) \Bigg ] } } \\ { { + \epsilon ^ { \mu \nu \rho \sigma } \Bigg [ \tau ^ { - } { { R ^ { - } } _ { \mu \nu } } ^ { a b } { R ^ { - } } _ { \rho \sigma a b } + i G _ { \mu \nu } ^ { - a b } \bigg ( R _ { \rho \sigma a b } ^ { - } - ( \partial _ { \rho } \omega _ { \sigma a b } ^ { - } - \partial _ { \sigma } \omega _ { \rho a b } ^ { - } + [ \omega _ { \rho } ^ { - } , \omega _ { \sigma } ^ { - } ] _ { a b } ) \bigg ) \Bigg ] , } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l } { \nu _ { x _ { 1 } } = - \frac { x _ { 1 } - x _ { 1 } ^ { p } } { \sqrt { ( x _ { 1 } - x _ { 1 } ^ { p } ) ^ { 2 } + ( x _ { 2 } - x _ { 2 } ^ { p } ) ^ { 2 } } } , } \\ { \nu _ { x _ { 2 } } = - \frac { x _ { 2 } - x _ { 2 } ^ { p } } { \sqrt { ( x _ { 1 } - x _ { 1 } ^ { p } ) ^ { 2 } + ( x _ { 2 } - x _ { 2 } ^ { p } ) ^ { 2 } } } , } \end{array} \right.
\mathrm { M A P E } _ { p } = \frac { 1 } { | \mathbf { C } | N ^ { 2 } } \sum _ { \vec { c } \in \mathbf { C } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { | \tilde { p } _ { i j } ( \vec { c } ) - \bar { p } _ { i j } ( \vec { c } ) | } { \bar { p } _ { i j } ( \vec { c } ) } ,
1 0 0 \sqrt { \frac { \sum _ { k = 1 } ^ { k _ { \mathrm { v a l } } } ( x _ { \mathrm { m e a n } , k } ^ { \mathrm { o u t } - i } - x _ { k } ^ { \mathrm { v a l } - i } ) ^ { 2 } } { \sum _ { k = 1 } ^ { k _ { \mathrm { v a l } } } ( x _ { k } ^ { \mathrm { v a l } - i } ) ^ { 2 } } }
\| \eta \| _ { \mathcal { X } _ { \epsilon } } ^ { 2 } \, \le \, C _ { 6 } E _ { \epsilon } [ \eta ] + C _ { 7 } \bigl ( \beta _ { \epsilon } \mu _ { 0 } ^ { 2 } + \mu _ { 1 } ^ { 2 } + \mu _ { 2 } ^ { 2 } \bigr ) \, ,
\phi _ { 0 } = m ^ { 2 } - \frac { k C ^ { 2 } k } { 2 } \frac { \cosh e b s - \cosh v e b s } { e b s \sinh e b s } - \frac { k B ^ { 2 } k } { 2 } \frac { \cos v e a s - \cos e a s } { e a s \sin e a s } .
\begin{array} { r } { H = \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { \hbar \omega } { 2 } \sigma _ { j } ^ { z } + \sum _ { j = 1 } ^ { N - 1 } \hbar g ( \sigma _ { j } ^ { + } \sigma _ { j + 1 } ^ { - } + \sigma _ { j } ^ { - } \sigma _ { j + 1 } ^ { + } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \mathrm { J } _ { 0 } ( k k _ { c } r ) } { k + k _ { 0 } } \, \mathrm { d } k = \frac { \pi } { 2 } C _ { 0 } ( k _ { 0 } k _ { c } r ) \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } k _ { 0 } \in \mathbb { C } \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \mathrm { ~ I ~ m ~ } ( k _ { 0 } ) \neq 0 . } \end{array}
\cup _ { \delta ^ { \prime } \in [ 0 , \delta ] } \cup _ { x \in \mathcal { X } _ { \textrm { s r c } } ^ { \delta - \delta ^ { \prime } } } \{ \Gamma _ { x } ^ { \delta ^ { \prime } } \} = \cup _ { \delta ^ { \prime } \in [ 0 , \delta ] } \cup _ { x \in \mathcal { X } _ { \textrm { d s t } } ^ { \delta - \delta ^ { \prime } } } \{ \tilde { \Gamma } _ { x } ^ { \delta ^ { \prime } } \} .
\frac { h _ { 2 } } { h _ { 1 } } \partial _ { 1 } \rho _ { 1 } - \partial _ { 2 } \rho _ { 1 } = - \rho _ { 1 } \partial _ { 1 } \frac { h _ { 2 } } { h _ { 1 } } , \quad \rho _ { 2 } = \frac { h _ { 2 } } { h _ { 1 } } \rho _ { 1 } .
E ^ { \mathrm { m i n } } = 3 \left( { \frac { R _ { 9 } } { g } } \right) _ { \mathrm { f i x } } | Q _ { 1 } | = 3 g _ { \mathrm { f i x } } | Q _ { 5 } | = 3 { \frac { | N | } { ( R _ { 9 } ) _ { \mathrm { f i x } } } } \ .
\begin{array} { r l } { D } & { \, { = } \, \frac { \mathrm { f l u o r e s c e n c e } _ { \mathrm { p u m p } } - \mathrm { f l u o r e s c e n c e } _ { \mathrm { n o ~ p u m p } } } { \mathrm { f l u o r e s c e n c e } _ { \mathrm { n o ~ p u m p } } } } \\ & { \approx \frac { N _ { f , 1 } - N _ { i , 1 } } { N _ { i , 1 } } \, { = } \, \frac { N _ { P } } { N _ { i , 1 } } \approx \frac { N _ { i , 0 } \cdot P \cdot B _ { 1 } } { N _ { i , 1 } } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l } { \left( B _ { p , q _ { 0 } } ^ { s _ { 0 } } , B _ { p , q _ { 1 } } ^ { s _ { 1 } } \right) _ { \theta , q } } & { = B _ { p , q } ^ { s _ { \theta } } , } & & { s _ { 0 } \neq s _ { 1 } . } \\ { \left( B _ { p , q _ { 0 } } ^ { s } , B _ { p , q _ { 1 } } ^ { s } \right) _ { \theta , q } } & { = B _ { p , q _ { \theta } } ^ { s } . } \\ { \left( B _ { p _ { 0 } , q _ { 0 } } ^ { s _ { 0 } } , B _ { p _ { 1 } , q _ { 1 } } ^ { s _ { 1 } } \right) _ { \theta , q _ { \theta } } } & { = B _ { p _ { \theta } , q _ { \theta } } ^ { s _ { \theta } } , } & & { s _ { 0 } \neq s _ { 1 } , p _ { \theta } = q _ { \theta } . } \end{array} }
. T h e p a r a m e t e r \, \beta _ { i } ^ { \prime } = \beta _ { i } \int ^ { X _ { i } } d \tilde { X } _ { i } \int _ { \mathbb { R } ^ { m } } d \mathbf { Y } P ( \mathbf { Y } | \tilde { X } _ { i } ) \ln p ( \mathbf { Y } )
\begin{array} { r l } { \alpha _ { j } ^ { q } = } & { \big \langle \tau ^ { - 1 } ( q \cdot \tau ( \mu _ { \alpha _ { j } } ) ) , \tau ^ { - 1 } ( q \cdot \tau ( \eta _ { \alpha _ { j } } + \mu _ { \alpha _ { j } } ) ) } \\ & { \quad - \tau ^ { - 1 } ( q \cdot \tau ( \mu _ { \alpha _ { j } } ) ) , \zeta ^ { - 1 } ( q \cdot \zeta ( \nu _ { \alpha _ { j } } ) ) \big \rangle , } \end{array}
\frac { D K } { D t } > 0 \; \; \; ( \mathrm { ~ a ~ t ~ u ~ p ~ s ~ t ~ r ~ e ~ a ~ m ~ r ~ e ~ g ~ i ~ o ~ n ~ o ~ f ~ v ~ a ~ r ~ i ~ a ~ b ~ l ~ e ~ d ~ e ~ n ~ s ~ i ~ t ~ y ~ j ~ e ~ t ~ s ~ } ) .
\begin{array} { r l } & { \sigma _ { \mathrm { b r i d g e } } ^ { 2 } ( s , L ) = } \\ & { = \sigma _ { \mathrm { f r e e } } ^ { 2 } ( s ) \left( 1 - \frac { ( \sigma _ { \mathrm { f r e e } } ^ { 2 } ( L ) + \sigma _ { \mathrm { f r e e } } ^ { 2 } ( s ) - \sigma _ { \mathrm { f r e e } } ^ { 2 } ( L - s ) ) ^ { 2 } } { 4 \sigma _ { \mathrm { f r e e } } ^ { 2 } ( s ) \sigma _ { \mathrm { f r e e } } ^ { 2 } ( L ) } \right) , } \end{array}
{ \frac { \pi } { 4 } } \approx 1 - { \frac { 1 } { 3 } } + { \frac { 1 } { 5 } } - \cdots ( - 1 ) ^ { ( n - 1 ) / 2 } { \frac { 1 } { n } } + ( - 1 ) ^ { ( n + 1 ) / 2 } f _ { i } ( n + 1 )
H _ { V } = { \frac { g _ { 2 } ^ { 2 } } { 8 } } \int d ^ { 4 } x i D _ { F } ^ { \mu \nu } ( x , M _ { w } ) T \left( \bar { d } ( x ) \gamma _ { \mu } u ( x ) \bar { u } ( 0 ) \gamma _ { \nu } s ( 0 ) \right)
\begin{array} { r l r } { \frac { d } { d t } \theta ( t ) } & { = } & { - \cos { \theta } \tan { \psi } - \sin ^ { 2 } { \theta } , } \\ { \frac { d } { d t } \psi ( t ) } & { = } & { \sin { \theta } \sin { \psi } \big ( \sin { \psi } - \cos { \theta } \cos { \psi } \big ) } \\ & { } & { + \cos ^ { 2 } { \psi } \big [ g _ { 1 } ( t ) \cos { \theta } + g _ { 2 } ( t ) \sin { \theta } \big ] , } \\ { \frac { d } { d t } \big ( t \lambda _ { 2 } ( t ) \big ) } & { = } & { \sin { \theta } \cos { \theta } \cos ^ { 2 } { \psi } + \sin { \psi } \cos { \psi } } \\ & { } & { \times \big [ g _ { 1 } ( t ) \cos { \theta } + ( g _ { 2 } ( t ) - 1 ) \sin { \theta } \big ] . } \end{array}
\begin{array} { r } { | v | = \sqrt { v _ { 1 } v ^ { 1 } + v _ { 2 } v ^ { 2 } } = \frac { 2 R ^ { 2 } | 4 \pi \eta \rho _ { 0 } - K _ { 0 } \eta | | z | } { R ^ { 2 } + | z | ^ { 2 } } , } \end{array}
{ \cal I } _ { a } ^ { 1 } = \phi _ { a } , \quad { \cal Q } _ { a } ^ { 1 } = { \cal Q } _ { a } , \quad { \cal D } ^ { 1 } = { \cal D } - \phi ^ { a } I _ { a } + \frac { 1 } { 2 } g ^ { a b } I _ { a } I _ { b } + c ^ { a } Q _ { a } .
\begin{array} { r l r } { \iota _ { 5 ; 6 } } & { = } & { \Phi ( \iota _ { 4 ; 7 } ) = \Phi ( \Delta ( l _ { 1 } l _ { 2 } ) ( 1 2 3 ) ^ { 2 } ) = y 2 \bar { y } \bar { 2 } \cdot ( 2 3 4 ) ^ { 2 } } \\ & { = } & { y 2 \underline { { \bar { y } 3 4 } } 2 3 4 } \\ & { \stackrel { \mathrm { D I S } } { = } } & { y 2 3 4 \bar { y } 2 3 4 } \end{array}
Y = \frac { \frac { \alpha } { r + \mu } \varepsilon _ { 0 } \Lambda } { \alpha + \frac { \mu n ^ { * } } { Y } } + ( 1 - p _ { I } ) \frac { \frac { \alpha } { r + \mu } \varepsilon _ { 1 } \Lambda } { \alpha + \frac { \mu n ^ { * } } { Y } } + ( 1 - p _ { I } ) \frac { \frac { \alpha } { r + \mu } ( 1 - p _ { S } ) \varepsilon _ { 2 } \Lambda } { \alpha ( 1 - p _ { S } ) + \frac { \mu n ^ { * } } { Y } } ,
\begin{array} { r l } { \kappa _ { m } \bigl \langle \mathbf { F } ^ { t } \mathbf { F } \bigr \rangle ( t ) } & { { } = \kappa _ { m } \ensuremath { \mathrm { I } _ { 2 } } + \kappa _ { m } \sum _ { k \in 2 \ensuremath { \mathbb { Z } } + 1 } \xi _ { m , k } ^ { 2 } ( t ) \, \Bigl \langle \bigl ( \bigl ( \nabla { \boldsymbol { \chi } } _ { m , k } \bigr ) ^ { t } \nabla { \boldsymbol { \chi } } _ { m , k } \bigr ) \circ X _ { m - 1 , l _ { k } } ^ { - 1 } \Bigr \rangle ( t ) } \end{array}
A _ { \infty } = \frac { 1 } { ( 1 + q ) Q } \left[ \sqrt { 4 s ^ { 2 } - 2 ( 1 + q ) Q c } \frac { 1 + \left( \frac { k - 1 } { k + 1 } \right) ^ { \sqrt { 4 s ^ { 2 } - 2 ( 1 + q ) Q c } / D } } { 1 - \left( \frac { k - 1 } { k + 1 } \right) ^ { \sqrt { 4 s ^ { 2 } - 2 ( 1 + q ) Q c } / D } } - 2 s \right]
\begin{array} { r } { \mathbb { L } _ { k , i } = \left( \Pi _ { 1 } \left( \frac { S ( \boldsymbol \eta - \boldsymbol \eta _ { k } ) } { \hat { n } _ { h } ^ { 3 } ( \boldsymbol \eta ) } { D F ^ { \top } ( \boldsymbol \eta ) } { \mathbf e } _ { 1 } \right) \right) _ { i } , } \\ { \mathbb { L } _ { k + K , i } = \left( \Pi _ { 1 } \left( \frac { S ( \boldsymbol \eta - \boldsymbol \eta _ { k } ) } { \hat { n } _ { h } ^ { 3 } ( \boldsymbol \eta ) } { D F ^ { \top } ( \boldsymbol \eta ) } { \mathbf e } _ { 2 } \right) \right) _ { i } , } \\ { \mathbb { L } _ { k + 2 K , i } = \left( \Pi _ { 1 } \left( \frac { S ( \boldsymbol \eta - \boldsymbol \eta _ { k } ) } { \hat { n } _ { h } ^ { 3 } ( \boldsymbol \eta ) } { D F ^ { \top } ( \boldsymbol \eta ) } { \mathbf e } _ { 3 } \right) \right) _ { i } . } \end{array}
\mathbf { F } _ { i j } = { \frac { G m _ { i } m _ { j } } { \left\| \mathbf { q } _ { j } - \mathbf { q } _ { i } \right\| ^ { 2 } } } \cdot { \frac { \left( \mathbf { q } _ { j } - \mathbf { q } _ { i } \right) } { \left\| \mathbf { q } _ { j } - \mathbf { q } _ { i } \right\| } } = { \frac { G m _ { i } m _ { j } \left( \mathbf { q } _ { j } - \mathbf { q } _ { i } \right) } { \left\| \mathbf { q } _ { j } - \mathbf { q } _ { i } \right\| ^ { 3 } } } ,
\ddot { y } _ { i } = - \frac { \Gamma _ { i } } { 2 \pi ^ { 2 } a ^ { 2 } } \underset { i \neq j } { \sum _ { j } } \, \Gamma _ { j } \frac { ( y _ { i } - y _ { j } ) } { r _ { i j } ^ { 2 } } - \frac { \dot { x } _ { i } } { \pi a ^ { 2 } } \biggr [ \underset { i \neq j } { \sum _ { j } } \left( I _ { y _ { i j } } - I _ { x _ { i j } } \right) + \Gamma _ { i } \biggr ]