harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \cal H } _ { n } ^ { ( 2 ) } = { } - \frac 1 2 \frac { d ^ { 2 } } { d r ^ { 2 } } + \frac { c ^ { 2 } } { 3 2 } r ^ { 6 } + \frac { c _ { 0 } c } 8 r ^ { 4 } + \frac 1 8 \left( c _ { 0 } ^ { 2 } - 2 c ( 2 n - m ) \right) r ^ { 2 } + \frac { m ^ { 2 } - \frac 1 4 } { 2 r ^ { 2 } } - \frac 1 2 ( n - m ) c _ { 0 } .
W _ { ( 0 ) } ( x _ { \mu } ) - W _ { ( 0 ) } ( x _ { \mu } ^ { ' } ) = \int _ { x _ { \mu } } ^ { x _ { \mu } ^ { ' } } \partial _ { \mu } W _ { ( 0 ) } d x ^ { \mu } = \left\{ Q _ { W } , \int _ { x _ { \mu } } ^ { x _ { \mu } ^ { ' } } W _ { ( 1 ) } \right\} ,
\begin{array} { r l } { 0 } & { \geq \mathcal { E } _ { k + 1 } - \mathcal { E } _ { k } } \\ & { \quad + \left\langle \nabla f \left( x _ { k + 1 } \right) , \left( A _ { k + 1 } - A _ { k } \right) \left( x ^ { * } - x _ { k + 1 } \right) + A _ { k } \left( x _ { k } - x _ { k + 1 } \right) + A _ { k + 1 } \left( x _ { k + 1 } - y _ { k } \right) \right\rangle } \\ & { \quad + \left( A _ { k + 1 } - A _ { k } \right) \left\langle \mu \nabla h \left( x _ { k + 1 } \right) - \mu \nabla h \left( z _ { k + 1 } \right) - \nabla f \left( x _ { k + 1 } \right) , x ^ { * } - z _ { k + 1 } \right\rangle } \\ & { \quad + \frac { 1 + \mu A _ { k } } { p } \left\Vert z _ { k + 1 } - z _ { k } \right\Vert ^ { p } } \\ & { \quad + \mu \left( A _ { k + 1 } - A _ { k } \right) \left\langle \nabla h \left( z _ { k + 1 } \right) - \nabla h \left( x _ { k + 1 } \right) , x ^ { * } - z _ { k + 1 } \right\rangle + M A _ { k + 1 } s ^ { \frac { 1 } { p - 1 } } \left\Vert \nabla f \left( x _ { k + 1 } \right) \right\Vert ^ { \frac { p } { p - 1 } } } \\ & { = \mathcal { E } _ { k + 1 } - \mathcal { E } _ { k } } \\ & { \quad + \left\langle \nabla f \left( x _ { k + 1 } \right) , \left( A _ { k + 1 } - A _ { k } \right) \left( z _ { k + 1 } - x _ { k + 1 } \right) + A _ { k } \left( x _ { k } - x _ { k + 1 } \right) + A _ { k + 1 } \left( x _ { k + 1 } - y _ { k } \right) \right\rangle } \\ & { \quad + \frac { 1 + \mu A _ { k } } { p } \left\Vert z _ { k + 1 } - z _ { k } \right\Vert ^ { p } + M A _ { k + 1 } s ^ { \frac { 1 } { p - 1 } } \left\Vert \nabla f \left( x _ { k + 1 } \right) \right\Vert ^ { \frac { p } { p - 1 } } . } \end{array}
\nabla _ { x , y , \lambda } { \mathcal { L } } ( x , y , \lambda ) = 0 \iff { \left\{ \begin{array} { l l } { \nabla _ { x , y } f ( x , y ) = \lambda \, \nabla _ { x , y } g ( x , y ) } \\ { g ( x , y ) = 0 } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } { \rho _ { R ( X ) } ( g _ { k } ) } & { = \rho _ { R ( X ) } ( b a ) \left( \rho _ { R ( X ) } ( a ) \right) ^ { k - 1 } } \\ & { = \frac { 1 } { 1 - R ( X ) g _ { 1 } } e ^ { \hbar b X } g _ { 1 } \left( \frac { 1 } { 1 - R ( X ) g _ { 1 } } ( a + \hbar R ( X ) g _ { 1 } ) \right) ^ { k - 1 } } \\ & { \equiv \frac { 1 } { 1 - R ( X ) g _ { 1 } } e ^ { \hbar b X } g _ { 1 } \left( \frac { 1 } { 1 - R ( X ) g _ { 1 } } a \right) ^ { k - 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { I ( 0 , 0 ) = \frac { 1 } { 2 } ( S _ { 0 } + S _ { 1 } ) \equiv I _ { 0 } } \\ & { } & { I ( 0 , \pi ) = \frac { 1 } { 2 } ( S _ { 0 } - S _ { 1 } ) \equiv I _ { 1 } } \\ & { } & { I ( 0 , \pi / 2 ) = \frac { 1 } { 2 } ( S _ { 0 } + S _ { 2 } ) \equiv I _ { 2 } } \\ & { } & { I ( \pi / 2 , \pi / 2 ) = \frac { 1 } { 2 } ( S _ { 0 } + S _ { 3 } ) \equiv I _ { 3 } . } \end{array}
F _ { r } ( \kappa ) = \left\{ \prod _ { A = 1 } ^ { 9 } m _ { \pm } ( \beta _ { A } f _ { A } ^ { \mathrm { i n } } ) \right\} \times \left\{ \prod _ { i = 2 , 3 } p ( \beta _ { i } ^ { \mathrm { v a c } } f _ { i } ^ { \mathrm { v a c } } ) \right\} \ .
H _ { s q } = \hbar \left( \begin{array} { l l l l l l } { - \Delta _ { m } } & { 0 } & { \frac { \Omega e ^ { - i \phi } } { 2 } } & { 0 } & { \frac { \Omega e ^ { - i \phi } } { 2 \sqrt { 3 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \frac { \Omega e ^ { - i \phi } } { 2 \sqrt { 3 } } } & { 0 } & { \frac { \Omega e ^ { - i \phi } } { 2 } } \\ { \frac { \Omega e ^ { i \phi } } { 2 } } & { 0 } & { - 3 \Delta _ { r } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { \Omega e ^ { i \phi } } { 2 \sqrt { 3 } } } & { 0 } & { - 2 \Delta _ { r } } & { 0 } & { 0 } \\ { \frac { \Omega e ^ { i \phi } } { 2 \sqrt { 3 } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - \Delta _ { r } } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { \Omega e ^ { i \phi } } { 2 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) .
\footnote { C h a n n e l a g i n g i s C S I i n a c c u r a c y d u e t o t i m e v a r i a t i o n o f w i r e l e s s c h a n n e l s a n d d e l a y s i n t h e c o m p u t a t i o n ~ . I n t h i s w o r k , w e a c t i v e l y i n t r o d u c e C S I i n a c c u r a c y b y u s i n g a n I - I R S . T o d i f f e r e n t i a t e , w e c a l l i t a c t i v e c h a n n e l a g i n g . }
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { l } { q ( z ) } \\ { j ( z ) } \\ { d ( z ) } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l l } { \mathcal { M } _ { q Q } } & { \mathcal { M } _ { q J } } & { \mathcal { M } _ { q D } } \\ { \mathcal { M } _ { j Q } } & { \mathcal { M } _ { j J } } & { \mathcal { M } _ { j D } } \\ { \mathcal { M } _ { d Q } } & { \mathcal { M } _ { d J } } & { \mathcal { M } _ { d D } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { - \Delta P _ { x } } \\ { - \Delta \Phi _ { x } } \\ { - \Delta \mu _ { x } } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { v _ { B } ^ { \tau } } & { { } = } & { - \frac { d _ { B } } { d _ { A } } ( v _ { A } ^ { \tau } - v _ { s } - v _ { C } ^ { \tau } ) + v _ { s } + v _ { C } ^ { \tau } } \\ { v _ { B } ^ { n } } & { { } = } & { - \frac { d _ { B } } { d _ { A } } ( v _ { A } ^ { n } - v _ { C } ^ { n } ) + v _ { C } ^ { n } . } \end{array}
< p ^ { \prime } , j | { \cal L } _ { e f f } | p , i > = \bar { u } _ { j } ( p ^ { \prime } ) i \sigma _ { \lambda \rho } q ^ { \rho } [ ( \mu _ { i j } - \mu _ { j i } ) + i ( d _ { i j } - d _ { j i } ) \gamma _ { 5 } ] u _ { i } ( p ) A ^ { \lambda }
{ \cal B } _ { \mathrm { ~ c ~ c ~ } } = { \cal B } _ { \mathrm { ~ c ~ c ~ } } ( E _ { l } , x _ { m } ) = { \cal B } _ { \mathrm { ~ c ~ c ~ } } ( \frac { E _ { a } } { 1 + u } , \frac { x _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ } } } { 1 + u } ) \approx D _ { 0 } + D _ { 1 } u
\begin{array} { r l r } { \left[ \langle N | \hat { V } _ { 4 } \hat { R } \hat { V } _ { 4 } | N \rangle \right] } & { { } = } & { \left( \left[ \langle N | \hat { V } _ { 4 } \hat { R } _ { 4 } ^ { ( - 4 ) } \hat { V } _ { 4 } | N \rangle \right] \right) + \left( \left[ \langle N | \hat { V } _ { 4 } \hat { R } _ { 4 } ^ { ( - 2 ) } \hat { V } _ { 4 } | N \rangle \right] + \left[ \langle N | \hat { V } _ { 4 } \hat { R } _ { 2 } ^ { ( - 2 ) } \hat { V } _ { 4 } | N \rangle \right] \right) + \left( \left[ \langle N | \hat { V } _ { 4 } \hat { R } _ { 4 } ^ { ( \pm 0 ) } \hat { V } _ { 4 } | N \rangle \right] + \left[ \langle N | \hat { V } _ { 4 } \hat { R } _ { 2 } ^ { ( \pm 0 ) } \hat { V } _ { 4 } | N \rangle \right] \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial P _ { _ R } } { \partial t } } & { = - } & { v \frac { \partial P _ { _ R } } { \partial x } - \frac { \alpha } { 2 } P _ { _ R } + \frac { \alpha } { 2 } P _ { _ L } - \gamma P _ { _ R } , } \\ { \frac { \partial P _ { _ L } } { \partial t } } & { = } & { v \frac { \partial P _ { _ L } } { \partial x } - \frac { \alpha } { 2 } P _ { _ L } + \frac { \alpha } { 2 } P _ { _ R } - \gamma P _ { _ L } , } \\ { \frac { \partial P _ { _ B } } { \partial t } } & { = } & { \gamma ( P _ { _ R } + P _ { _ L } ) . } \end{array}
\hat { L } ( \lambda ) = \left( \begin{array} { l l } { - \frac { 1 } { 2 } t _ { \infty , 2 r _ { \infty } - 2 } } & { 0 } \\ { \frac { 1 } { 4 } ( t _ { \infty , 2 r _ { \infty } - 3 } ) ^ { 2 } } & { - \frac { 1 } { 2 } t _ { \infty , 2 r _ { \infty } - 2 } } \end{array} \right) \lambda ^ { r _ { \infty } - 2 } + \left( \begin{array} { l l } { - \frac { 1 } { 2 } t _ { \infty , 2 r _ { \infty } - 4 } } & { 1 } \\ { X } & { - \frac { 1 } { 2 } t _ { \infty , 2 r _ { \infty } - 4 } } \end{array} \right) \lambda ^ { r _ { \infty } - 3 } + O \left( \lambda ^ { r _ { \infty } - 4 } \right) .
\begin{array} { r } { V ^ { \mathrm { ~ u ~ n ~ w ~ a ~ n ~ t ~ e ~ d ~ } } = \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } \left\{ V _ { 1 , 3 } , \; V _ { 2 , 8 } , \; V _ { 3 , 1 4 } , \; V _ { 8 , 1 0 } , \; V _ { 1 , 4 } , \; V _ { 1 0 , 1 5 } , \; V _ { 8 , 1 1 } \right\} , } \end{array}
\begin{array} { r } { \nu _ { \mathrm { c r i t } } ^ { 2 } \approx \nu _ { \mathrm { c r i t , 0 } } ^ { 2 } \left[ 1 + \frac { 1 } { 8 } \left( 1 + 2 \frac { \ell _ { s } } { \ell _ { D } } \right) ^ { 2 } \delta \right] + \mathcal { O } ( \delta ^ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega _ { N } } \varphi ( s , \eta ) ( \eta ( x ) - \eta ( y ) ) f ( \eta ) \nu _ { \gamma } ^ { N } ( \mathrm { d } \eta ) } & { = \frac 1 2 \int _ { \Omega _ { N } } \varphi ( s , \eta ) ( \eta ( x ) - \eta ( y ) ) ( f ( \eta ) - f ( \eta ^ { x , y } ) ) \nu _ { \gamma } ^ { N } ( \mathrm { d } \eta ) } \\ & { + \frac 1 2 \int _ { \Omega _ { N } } \varphi ( s , \eta ) ( \eta ( x ) - \eta ( y ) ) ( f ( \eta ) + f ( \eta ^ { x , y } ) ) \nu _ { \gamma } ^ { N } ( \mathrm { d } \eta ) . } \end{array}
| \Psi ( \beta ^ { \prime } ) | \leq { \frac { \sqrt { 2 } } { ( R - 1 ) ^ { 1 / 2 } } } \exp \left[ { \frac { ( R - 1 ) ^ { 2 } } { 4 \rho R } } \right] ( 1 + O ( \rho R / ( R - 1 ) ^ { 2 } ) ) .
\begin{array} { r l } { \varepsilon } & { : \mathcal { D } _ { t } ^ { ( 1 ) } f _ { i } ^ { ( 0 ) } = - \frac { \delta t } { \bar { \tau } } f _ { i } ^ { ( 1 ) } + { f ^ { * } } _ { i } ^ { ( 1 ) } , } \\ { \varepsilon ^ { 2 } } & { : \partial _ { t } ^ { ( 2 ) } f _ { i } ^ { ( 0 ) } + \mathcal { D } _ { t } ^ { ( 1 ) } \left( 1 - \frac { \delta t } { 2 \bar { \tau } } \right) f _ { i } ^ { ( 1 ) } = - \frac { \delta t } { \bar { \tau } } f _ { i } ^ { ( 2 ) } + { f ^ { * } } _ { i } ^ { ( 2 ) } - \frac { 1 } { 2 } \mathcal { D } _ { t } ^ { ( 1 ) } { f ^ { * } } _ { i } ^ { ( 1 ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Gamma _ { 1 } } & { = \frac { 2 } { \alpha ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } q \left( \left( q ^ { 2 } + \alpha ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } - q \right) \sin ( q t ) J _ { 1 } ( q r ) \, \mathrm { d } q \, , } \\ { \Gamma _ { 2 } } & { = \frac { 2 } { \alpha ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } q ^ { 2 } \, \frac { \left( q ^ { 2 } + \alpha ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } - q } { \left( q ^ { 2 } + \alpha ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \, \cos ( q t ) J _ { 0 } ( q r ) \, \mathrm { d } q \, . } \end{array}
{ \cal Q } _ { \alpha } = \sum _ { | \psi _ { j } ^ { \alpha } \rangle \in \mathrm { b u l k } } \mathrm { s g n } [ \mathrm { R e } ( E _ { j } ) ] | \psi _ { j } ^ { \alpha } \rangle \langle \widetilde { \psi } _ { j } ^ { \alpha } | ,
f _ { \pi } { \frac { \frac { 1 } { 2 \pi ^ { 2 } } M ^ { 6 } E _ { 2 } ( x ) + \frac { 5 } { 9 \pi ^ { 2 } } M ^ { 4 } E _ { 1 } ( x ) \delta ^ { 2 } + \frac { 1 } { 1 2 } M ^ { 2 } E _ { 0 } ( x ) \langle 0 | \frac { \alpha _ { s } } { \pi } G ^ { 2 } | 0 \rangle } { - { \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 2 } } } M ^ { 4 } E _ { 1 } ( x _ { N } ) \langle 0 | \overline { { q } } q | 0 \rangle + { \frac { 1 } { 2 4 } } \langle 0 | \overline { { q } } q | 0 \rangle \langle 0 | \frac { \alpha _ { s } } { \pi } G ^ { 2 } | 0 \rangle } } = g _ { \pi N N } + A _ { N } ^ { \prime } M ^ { 2 } ,
| B _ { \psi } ( { \bf s } ) \rangle ^ { \hat { \mu } } = \left\{ \begin{array} { l l } { { \psi _ { - 1 / 2 } ^ { \bar { \mu } } | 0 \rangle _ { \mathrm { N S } } \otimes \widetilde { | \psi _ { \bf s } \rangle } _ { \mathrm { R } } , } } & { { \quad ( s _ { 4 } , s _ { 5 } ) = ( 1 / 2 , - 1 / 2 ) , ( - 1 / 2 , 1 / 2 ) } } \\ { { \psi _ { - 1 / 2 } ^ { \mu } | 0 \rangle _ { \mathrm { N S } } \otimes \widetilde { | \psi _ { \bf s } \rangle } _ { \mathrm { R } } , } } & { { \quad ( s _ { 4 } , s _ { 5 } ) = ( 1 / 2 , 1 / 2 ) , ( - 1 / 2 , - 1 / 2 ) } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \overline { \rho } _ { 1 2 D } ( \omega _ { p } ) } & { = } & { \int _ { - \infty } ^ { \infty } d v \int _ { 0 } ^ { \infty } d x ( - i ) \frac { c _ { 1 } } { \sqrt { 2 \pi } \sigma } e ^ { i ( c _ { 2 } - v ) x } e ^ { - \frac { v ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } } \\ & { = } & { ( - i ) \frac { c _ { 1 } } { \sqrt { 2 \pi } \sigma } \sqrt { 2 \pi } \sigma \int _ { 0 } ^ { \infty } d x e ^ { - \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } x ^ { 2 } + i c _ { 2 } x } } \\ & { = } & { ( - i ) \frac { c _ { 1 } } { \sqrt { 2 \pi } \sigma } \sqrt { 2 \pi } \sigma e ^ { - \frac { c _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d x e ^ { - \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } x ^ { 2 } + i c _ { 2 } x + \frac { c _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } } \\ & { = } & { ( - i ) \frac { c _ { 1 } } { \sqrt { 2 \pi } \sigma } \sqrt { 2 \pi } \sigma e ^ { - \frac { c _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d x e ^ { - \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } \left( x - i \frac { c _ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } } } \\ & { = } & { ( - i ) \frac { c _ { 1 } } { \sqrt { 2 \pi } \sigma } \sqrt { 2 \pi } \sigma e ^ { - \frac { c _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } \int _ { - i \frac { c _ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } } ^ { \infty } d x e ^ { - \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } x ^ { 2 } } } \\ & { = } & { ( - i ) \frac { c _ { 1 } } { \sqrt { 2 \pi } \sigma } \sqrt { 2 \pi } \sigma e ^ { - \frac { c _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } \frac { \sqrt { 2 } } { \sigma } \int _ { - i \frac { c _ { 2 } } { \sqrt { 2 } \sigma } } ^ { \infty } d x e ^ { - x ^ { 2 } } } \\ & { = } & { ( - i ) c _ { 1 } \frac { \sqrt { 2 } } { \sigma } e ^ { - \frac { c _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } \frac { \sqrt { \pi } } { 2 } \left[ 1 - \mathrm { e r f } \left( - i \frac { c _ { 2 } } { \sqrt { 2 } \sigma } \right) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega ^ { 2 } = } & { \frac { \left[ \left( \frac { m _ { 1 } + m _ { 2 } } { l _ { 1 } } + \frac { m _ { 2 } } { l _ { 2 } } \right) I _ { 2 } + \frac { m _ { 2 } } { l _ { 2 } } I _ { 1 } \right] g R ^ { 2 } } { 2 I _ { 1 } I _ { 2 } } \left\{ 1 \pm \sqrt { 1 - \frac { 4 I _ { 1 } I _ { 2 } \frac { m _ { 1 } + m _ { 2 } } { l _ { 1 } } \frac { m _ { 2 } } { l _ { 2 } } } { \left[ \left( \frac { m _ { 1 } + m _ { 2 } } { l _ { 1 } } + \frac { m _ { 2 } } { l _ { 2 } } \right) I _ { 2 } + \frac { m _ { 2 } } { l _ { 2 } } I _ { 1 } \right] ^ { 2 } } } \right\} . } \end{array}
\boldsymbol { \sigma } ^ { ( 1 ) } = \eta _ { 0 } ( \boldsymbol { \nabla } \mathbf { u } ^ { ( 1 ) } + \boldsymbol { \nabla } \mathbf { u } ^ { { ( 1 ) } ^ { T } } ) = - \eta _ { 0 } { a } ^ { 2 } / r ^ { 2 } ( \mathbf { e } _ { r } \mathbf { e } _ { \theta } + \mathbf { e } _ { \theta } \mathbf { e } _ { r } )
\begin{array} { r l } { \underset { \theta } { \mathrm { m i n } } \quad } & { \frac { 1 } { 2 T } \sum _ { i = 1 } ^ { d _ { 1 } } \| \mathbf { w } _ { 1 : T } ^ { \mathrm { \scriptscriptstyle T } } \theta _ { i } - Y _ { i , 1 : T } \| _ { 2 } ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 T } \| \mathbf { w } _ { 1 : T } ^ { \mathrm { \scriptscriptstyle T } } \theta - Y \| _ { F } ^ { 2 } , } \\ { \mathrm { s u b j e c t ~ t o } \quad } & { \mathbf { 0 } _ { T } \leq \mathbf { w } _ { 1 : T } ^ { \mathrm { \scriptscriptstyle T } } \theta _ { i } \leq \mathbf { 1 } _ { T } , \ i \in [ d _ { 1 } ] , } \\ & { e _ { f _ { j , \ell } , d } ^ { \mathrm { \scriptscriptstyle T } } \theta e _ { i , d _ { 1 } } + e _ { f _ { i , \ell } , d } ^ { \mathrm { \scriptscriptstyle T } } \theta e _ { j , d _ { 1 } } \leq \delta _ { 2 , \ell } ( i , j ) , \ ( i , j ) \in I _ { 2 , \ell } , \ \ell \in [ \tau ] , } \\ & { e _ { f _ { j , \ell } , d } ^ { \mathrm { \scriptscriptstyle T } } \theta e _ { i , d _ { 1 } } + e _ { f _ { k , \ell } , d } ^ { \mathrm { \scriptscriptstyle T } } \theta e _ { j , d _ { 1 } } + e _ { f _ { i , \ell } , d } ^ { \mathrm { \scriptscriptstyle T } } \theta e _ { k , d _ { 1 } } \leq \delta _ { 3 , \ell } ( i , j , k ) , \ ( i , j , k ) \in I _ { 3 , \ell } , \ \ell \in [ \tau ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ^ { N } } & { \! \left\{ \exists x \in \mathcal { X } _ { j } , V _ { \gamma } ( x ) > \hat { V } _ { \gamma } ( x ) + \frac { 2 } { \gamma } \hat { \mathcal { R } } _ { N } ( \mathcal { F } ( \mathcal { X } _ { j } ) ) + 3 \sqrt { \frac { \log \frac { 2 } { \delta } } { 2 N } } \right\} } \\ & { \quad \leq \delta . } \end{array}
{ \frac { \mathrm { d } \Gamma } { \mathrm { d } s _ { H } } } = { \frac { G _ { F } ^ { 2 } \, m _ { b } ^ { 5 } } { 1 9 2 \pi ^ { 3 } } } \, | V _ { u b } | ^ { 2 } \, S ( s _ { H } ) \, .
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } N _ { A } ( t ) = - \frac { 1 } { \hbar ^ { 2 } } } & { { } \int _ { 0 } ^ { t } \mathrm { d } t ^ { \prime } \Big ( C _ { A A } ( t - t ^ { \prime } ) N _ { A } ( t ^ { \prime } ) } \end{array}
0 = v _ { j } ^ { T } \cdot ( \mathcal { A } ^ { \prime } \cdot \mathcal { B } ^ { \prime } + \mathcal { B } ^ { \prime } \cdot \mathcal { A } ^ { \prime } ) \cdot v _ { k } = ( \lambda _ { j } + \lambda _ { k } ) v _ { j } ^ { T } \cdot \mathcal { A } ^ { \prime } \cdot v _ { k } .
\ddot { \Phi } - \frac { 2 } { a } \, \dot { \Phi } _ { , r } + \frac { 1 } { a ^ { 2 } } \, \Phi _ { , r r } + H \dot { \Phi } + \frac { 2 } { a ^ { 2 } } \left( \frac { 1 } { r } - \dot { a } \right) \Phi _ { , r } = 8 \pi G \, \dot { \varphi } \left( \delta \dot { \varphi } - \frac { 1 } { a } \, \delta \varphi _ { , r } \right) \ .
i { \cal M } _ { f i } = ( i g ) ^ { 2 } { \frac { i } { P ^ { 2 } - M ^ { 2 } + i \varepsilon } } - ( i g ) ^ { 2 } { \frac { i } { ( P ^ { 2 } - M ^ { 2 } + i \varepsilon ) } } i \Pi ( P ^ { 2 } ) { \frac { i } { ( P ^ { 2 } - M ^ { 2 } + i \varepsilon ) } }
\psi _ { 3 } ( x , t ) = c _ { 1 } \psi _ { 1 } ( x , t ) + c _ { 2 } \psi _ { 2 } ( x , t ) = { \frac { 1 } { a } } \left( \psi _ { 2 } ( x _ { 0 } , 0 ) \cdot \psi _ { 1 } ( x , 0 ) - \psi _ { 1 } ( x _ { 0 } , 0 ) \cdot \psi _ { 2 } ( x , 0 ) \right) \cdot e ^ { - i E _ { g } t / \hbar }
\mathcal { L } _ { \boldsymbol { \alpha } } [ q _ { j } ] = 2 \mu _ { j } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } ) } \left( p _ { j } - \frac { 1 } { 2 } P _ { 1 } ( q _ { j } ) + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { s = 1 } ^ { n } \frac { \hbar r _ { s } } { q _ { j } - X _ { s } } \right) - \hbar \nu _ { \infty , 0 } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } ) } - \hbar \nu _ { \infty , - 1 } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } ) } q _ { j } - \hbar \sum _ { i \neq j } \frac { \mu _ { j } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } ) } + \mu _ { i } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } ) } } { q _ { j } - q _ { i } } .
\begin{array} { r l } { \Pi _ { 2 } \tilde { v } _ { \omega } ^ { + } } & { = \Pi _ { 2 } ( M + K + K _ { L } ) ( \rho _ { \alpha ( \epsilon ) } ^ { * } + J _ { \epsilon } ) \tilde { v } _ { \omega } ^ { + } + \Pi _ { 2 } \mathcal R _ { \omega } ^ { + } v _ { \omega } + \Pi _ { 2 } \tilde { f } _ { \omega } ^ { + } } \\ & { = \widetilde K \rho _ { \alpha ( \epsilon ) } ^ { * } \Pi _ { 2 } \tilde { v } _ { \omega } ^ { + } + \Pi _ { 2 } \tilde { f } _ { \omega } ^ { + } + \mathcal R _ { 2 } v _ { \omega } } \end{array}
r \arctan \left( { \frac { y } { x } } \right) = { \frac { 1 } { 1 } } \cdot { \frac { r y } { x } } - { \frac { 1 } { 3 } } \cdot { \frac { r y ^ { 3 } } { x ^ { 3 } } } + { \frac { 1 } { 5 } } \cdot { \frac { r y ^ { 5 } } { x ^ { 5 } } } - \cdots , { \mathrm { ~ w h e r e ~ } } { \frac { y } { x } } \leq 1 .
\begin{array} { r l } { \mathrm { c o v } ( \mathbf { x } ) } & { = \mathbb { E } [ \mathrm { c o v } ( \mathbf { x } \vert z ) ] + \mathrm { c o v } ( \mathbb { E } [ \mathbf { x } \vert z ] ) } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { m } \omega _ { i } \boldsymbol { \Sigma } _ { i } + \sum _ { i = 1 } ^ { m } \omega _ { i } ( \boldsymbol { \mu } _ { i } - \sum _ { i = 1 } ^ { m } \omega _ { i } \boldsymbol { \mu } _ { i } ) ^ { 2 } } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { m } \omega _ { i } \boldsymbol { \Sigma } _ { i } . } \end{array}
E _ { \mathrm { G S } } ^ { ( 2 ) } = - \frac { \kappa ^ { 2 } } { 4 } \left( \frac { 1 } { \omega } + \frac { 1 } { \omega + \Omega } + \frac { 1 } { \omega + 3 \Omega } + \frac { 1 } { \omega + 4 \Omega } \right) ,
\begin{array} { r l r } { \left( 1 - \frac { S } { B _ { 0 } } - \frac { A _ { p } r } { B _ { 0 } } \right) \frac { \partial f _ { 0 } } { \partial t } } & { = } & { - \left[ \frac { \partial \delta f _ { p } } { \partial t } + i p \Omega _ { d } \delta f _ { p } + \left( \frac { 8 r ^ { 2 } \dot { A } _ { p } } { 2 1 B _ { 0 } } - i p \frac { \mu A _ { p } } { q B _ { 0 } \gamma } + \frac { r \dot { S } } { 2 B _ { 0 } } \delta _ { p 0 } \right) \frac { \partial f _ { 0 } } { \partial r } \right] } \\ & { - } & { \sum _ { m } \left[ \left( i \frac { m \mu A _ { p - m } } { q B _ { 0 } \gamma r } - \frac { m r \dot { A } _ { p - m } } { 7 B _ { 0 } ( p - m ) } \right) \delta f _ { m } - \left( \frac { S } { B _ { 0 } } \delta _ { p - m , 0 } + \frac { A _ { p - m } r } { B _ { 0 } } \right) \frac { \partial \delta f _ { m } } { \partial t } \right] } \\ & { - } & { \sum _ { m } \left( \frac { 8 r ^ { 2 } \dot { A } _ { p - m } } { 2 1 B _ { 0 } } - i ( p - m ) \frac { \mu A _ { p - m } } { q B _ { 0 } \gamma } + \frac { r \dot { S } } { 2 B _ { 0 } } \delta _ { p - m , 0 } \right) \frac { \partial \delta f _ { m } } { \partial r } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { i j } } & { = \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } \sum _ { \ell = 1 } ^ { 3 } \left( C _ { i j k \ell } ^ { u } - 2 N ^ { ( 1 , 2 ) } \alpha _ { i j } ^ { ( 1 ) } \alpha _ { k \ell } ^ { ( 2 ) } \right) e _ { k \ell } + \left( N ^ { ( 1 , 2 ) } \alpha _ { i j } ^ { ( 2 ) } - N ^ { ( 1 ) } \alpha _ { i j } ^ { ( 1 ) } \right) \zeta ^ { ( 1 ) } + \left( N ^ { ( 1 , 2 ) } \alpha _ { i j } ^ { ( 1 ) } - N ^ { ( 2 ) } \alpha _ { i j } ^ { ( 2 ) } \right) \zeta ^ { ( 2 ) } \, , } \\ { p _ { f } ^ { ( 1 ) } } & { = \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } \sum _ { \ell = 1 } ^ { 3 } \left( N ^ { ( 1 , 2 ) } \alpha _ { k \ell } ^ { ( 2 ) } - N ^ { ( 1 ) } \alpha _ { k \ell } ^ { ( 1 ) } \right) e _ { k \ell } + N ^ { ( 1 ) } \zeta ^ { ( 1 ) } - N ^ { ( 1 , 2 ) } \zeta ^ { ( 2 ) } \, , } \\ { p _ { f } ^ { ( 2 ) } } & { = \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } \sum _ { \ell = 1 } ^ { 3 } \left( N ^ { ( 1 , 2 ) } \alpha _ { k \ell } ^ { ( 1 ) } - N ^ { ( 2 ) } \alpha _ { k \ell } ^ { ( 2 ) } \right) e _ { k \ell } + N ^ { ( 2 ) } \zeta ^ { ( 2 ) } - N ^ { ( 1 , 2 ) } \zeta ^ { ( 1 ) } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { x \in \mathbb X } \bigg ( n _ { x } \kappa _ { E } \frac { \mu ( x ) } { \alpha ( x ) } + n _ { x } \sum _ { \nu _ { j } \to \nu _ { j } ^ { \prime } } \kappa _ { j } \binom { x - \nu _ { j } ^ { \prime } + \nu _ { j } } { \nu _ { j } } } & { \frac { \alpha ( x - \nu _ { j } ^ { \prime } + \nu _ { j } ) } { \alpha ( x ) } \bigg ) } \\ & { = \sum _ { x \in \mathbb X } \bigg ( n _ { x } \kappa _ { E } + n _ { x } \sum _ { \nu _ { j } \to \nu _ { j } ^ { \prime } } \kappa _ { j } \binom { x } { \nu _ { j } } \bigg ) . } \end{array}
\int \delta ( x ( s ) - x ( s ^ { \prime } ) ) \, f ( s ^ { \prime } ) \, d s ^ { \prime } \, = \operatorname * { l i m } _ { \Delta \to 4 } ( 4 - \Delta ) \int \frac { f ( s ^ { \prime } ) \, d s ^ { \prime } } { | x ( s ) - x ( s ^ { \prime } ) | ^ { \Delta } } = 0 \; ,
\begin{array} { r } { I _ { C } = \overline { { I } } _ { C } + \overline { { I I } } _ { C } ^ { - 1 } , \qquad I I _ { C } = \overline { { I } } _ { C } \overline { { I I } } _ { C } ^ { - 1 } + \overline { { I I } } _ { C } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \Delta P _ { z } } & { { } = - ( G + 1 / T _ { 1 } ) \Delta P _ { z } - \alpha ( | P _ { 1 , T } | ^ { 2 } - | P _ { 2 , T } | ^ { 2 } ) / 2 , } \\ { \frac { d } { d t } ( | P _ { 1 , T } | ^ { 2 } - | P _ { 2 , T } | ^ { 2 } ) } & { { } = ( \alpha \bar { P } _ { z } - 2 / T _ { 2 } ) ( | P _ { 1 , T } | ^ { 2 } - | P _ { 2 , T } | ^ { 2 } ) + 2 \alpha | \bar { P } _ { T } | ^ { 2 } \Delta P _ { z } . } \end{array}