harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \tilde { \chi } _ { 0 } = \frac { \left[ 4 \left( 1 + \frac { 2 k _ { p } h } { \sinh { ( 2 k _ { p } h ) } } \right) - 2 \right] } { \left( 1 + \frac { 2 k _ { p } h } { \sinh { ( 2 k _ { p } h ) } } \right) ^ { 2 } \operatorname { t a n h } { k _ { p } h } - 4 k _ { p } h } \quad , } \\ { \frac { \sqrt { \tilde { \chi } _ { 1 } } } { 2 } = \frac { 3 - \operatorname { t a n h } ^ { 2 } { ( k _ { p } h ) } } { 2 \operatorname { t a n h } ^ { 3 } { ( k _ { p } h ) } } \quad . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { V _ { N } } { V _ { 0 } } = \frac { \lambda ^ { N } \left( - Y v _ { 1 } v _ { 2 } + v _ { 1 } \right) + \left( Y v _ { 1 } v _ { 2 } - v _ { 2 } \right) \lambda ^ { - N } } { v _ { 1 } - v _ { 2 } } . } \end{array}
I ( \Theta ^ { \frac { 1 } { m } } ; \frac { 1 } { n } + m , 1 - \frac { 1 } { n } ) = \frac { B ( \Theta ^ { \frac { 1 } { m } } ; \frac { 1 } { n } + m , 1 - \frac { 1 } { n } ) } { B ( \frac { 1 } { n } + m , 1 - \frac { 1 } { n } ) }
U _ { o p } | \Phi \rangle = \frac { 1 } { \sqrt { N ! } } \int \prod _ { a = 1 } ^ { N } d ^ { 3 } r _ { a } \Phi ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { 1 } , \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { 2 } , \dots , \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { N } ) \int d ^ { 3 } r \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) U ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \hat { \psi } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \; \prod _ { a = 1 } ^ { N } \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { a } ) | 0 \rangle
\overline { { \overline { { { P _ { O } } } } } } = { c _ { 1 } } \overline { { \overline { { { P _ { P } } } } } } - { c _ { 2 } } \overline { { \overline { { { P _ { A } } } } } } = { c _ { 1 } } \frac { { \overline { { \overline { { { P _ { O } } } } } } - \operatorname* { m i n } \left( { \overline { { \overline { { { P _ { O } } } } } } } \right) } } { { \operatorname* { m a x } \left( { \overline { { \overline { { { P _ { O } } } } } } } \right) - \operatorname* { m i n } \left( { \overline { { \overline { { { P _ { O } } } } } } } \right) } } - { c _ { 2 } } \overline { { \bar { E } } } ,
c ( r ^ { * } , t ^ { * } ) = c _ { \mathrm { ~ s ~ a ~ t ~ } } + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } a _ { n } \mathrm { e } ^ { - D _ { \mathrm { ~ s ~ a ~ t ~ } } t ^ { * } \lambda _ { n } ^ { 2 } } J _ { 0 } ( \lambda _ { n } r ) ,
\begin{array} { r l r } { W _ { ( \mathcal { C } ^ { \bot } , \pi ) } ( x , y ; \widetilde { \mathbb { P } } ) } & { = } & { x ^ { 4 } + \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \frac { 2 \times 5 ^ { \pi ( i + 1 ) + \cdots + \pi ( 2 ) } } { 5 } \sum _ { j = 1 } ^ { 2 } \left( \frac { y } { x } \right) ^ { 4 - 2 i + j } \left[ \beta _ { i j } W _ { ( \mathcal { C } _ { i } , \pi ) } ( x , x ; \mathbb { P } ) + L W _ { \mathcal { C } _ { i } ^ { ' } , \pi } ^ { j } x ^ { 4 } \right] } \\ & { = } & { x ^ { 4 } + 2 x ^ { 3 } y + 2 x ^ { 2 } y ^ { 2 } + 1 0 x y ^ { 3 } + 1 0 y ^ { 4 } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { g ( Z , w ) = } & { 9 1 1 2 5 Z ^ { 6 } } \\ & { + ( - 1 3 3 6 5 0 w ^ { 2 } + 6 1 5 6 0 w - 1 9 3 5 3 6 ) Z ^ { 5 } } \\ & { + ( - 6 6 8 2 5 w ^ { 4 } + 1 4 2 5 6 0 w ^ { 3 } + 1 3 3 0 5 6 w ^ { 2 } - 6 1 1 4 0 w + 1 0 2 4 0 0 ) Z ^ { 4 } } \\ & { + ( 5 9 4 0 w ^ { 6 } + 4 7 5 2 w ^ { 5 } + 6 3 3 6 0 w ^ { 4 } - 1 4 0 8 0 0 w ^ { 3 } ) Z ^ { 3 } } \\ & { + ( - 1 4 8 5 w ^ { 8 } + 3 1 6 8 w ^ { 7 } - 1 0 5 6 0 w ^ { 6 } ) Z ^ { 2 } } \\ & { + ( - 6 6 w ^ { 1 0 } + 4 4 0 w ^ { 9 } ) Z } \\ & { + w ^ { 1 2 } } \\ { h ( Z , w ) = } & { ( 1 2 1 5 w - 6 4 8 ) Z ^ { 4 } } \\ & { + ( - 5 4 0 w ^ { 3 } - 2 1 6 w ^ { 2 } - 1 1 5 2 w + 6 4 0 ) Z ^ { 3 } } \\ & { + ( 3 7 8 w ^ { 5 } - 5 0 4 w ^ { 4 } + 9 6 0 w ^ { 3 } ) Z ^ { 2 } } \\ & { + ( 3 6 w ^ { 7 } - 1 6 8 w ^ { 6 } ) Z } \\ & { + w ^ { 9 } } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { \textbf { i } _ { \{ L 1 + \} } \circ \mathbb { L } ^ { + } = } & { } & { ( L _ { 1 0 } ^ { + } \textbf { i } _ { \{ L 1 + \} } + i L _ { 1 } ^ { i + } \textbf { i } _ { \{ L 1 + \} } \circ \textbf { i } _ { \{ L 1 i + \} } - L _ { 1 } ^ { + } ) } \\ & { } & { + k _ { e g } \textbf { i } _ { \{ L 1 + \} } \circ ( \textbf { L } _ { 2 0 } ^ { + } + i L _ { 2 } ^ { i + } \textbf { I } _ { \{ L 2 i + \} } + L _ { 2 } ^ { + } \textbf { I } _ { \{ L 2 + \} } ) ~ , } \end{array}
= \gamma ^ { 2 } c ^ { 2 } \Delta t ^ { \, 2 } - \gamma ^ { 2 } v ^ { 2 } \Delta t ^ { \, 2 } - \gamma ^ { 2 } \Delta x ^ { \, 2 } + \gamma ^ { 2 } { \frac { v ^ { 2 } \Delta x ^ { \, 2 } } { c ^ { 2 } } }
\begin{array} { r l r } & { } & { s _ { i } \rho _ { j } } \\ & { = } & { ( \rho _ { i - 1 } \rho _ { i - 2 } \dots \rho _ { 2 } \rho _ { 1 } ) ( \rho _ { i } \rho _ { i - 1 } \dots \rho _ { 3 } \rho _ { 2 } ) s _ { 1 } ( \rho _ { 2 } \rho _ { 3 } \dots \rho _ { i - 1 } \rho _ { i } ) ( \rho _ { 1 } \rho _ { 2 } \dots \rho _ { i - 2 } \rho _ { i - 1 } ) \rho _ { j } } \\ & { = } & { ( \rho _ { i - 1 } \rho _ { i - 2 } \dots \rho _ { 2 } \rho _ { 1 } ) ( \rho _ { i } \rho _ { i - 1 } \dots \rho _ { 3 } \rho _ { 2 } ) s _ { 1 } ( \rho _ { 2 } \dots \rho _ { i - 1 } \rho _ { i } ) ( \rho _ { 1 } \rho _ { 2 } \dots \rho _ { j } \rho _ { j + 1 } \rho _ { j } \dots \rho _ { i - 1 } ) ~ \mathrm { ~ ( B y ~ ) } } \\ & { = } & { ( \rho _ { i - 1 } \rho _ { i - 2 } \dots \rho _ { 2 } \rho _ { 1 } ) ( \rho _ { i } \rho _ { i - 1 } \dots \rho _ { 3 } \rho _ { 2 } ) s _ { 1 } ( \rho _ { 2 } \dots \rho _ { i - 1 } \rho _ { i } ) ( \rho _ { 1 } \dots \rho _ { j + 1 } \rho _ { j } \rho _ { j + 1 } \dots \rho _ { i - 1 } ) ~ \mathrm { ~ ( B y ~ ) } } \\ & { = } & { ( \rho _ { i - 1 } \rho _ { i - 2 } \dots \rho _ { 2 } \rho _ { 1 } ) ( \rho _ { i } \rho _ { i - 1 } \dots \rho _ { 3 } \rho _ { 2 } ) s _ { 1 } ( \rho _ { 2 } \dots \rho _ { j + 1 } \rho _ { j + 2 } \rho _ { j + 1 } \dots \rho _ { i } ) ( \rho _ { 1 } \dots \rho _ { i - 1 } ) ~ \mathrm { ~ ( B y ~ ) } } \\ & { = } & { ( \rho _ { i - 1 } \rho _ { i - 2 } \dots \rho _ { 2 } \rho _ { 1 } ) ( \rho _ { i } \rho _ { i - 1 } \dots \rho _ { 3 } \rho _ { 2 } ) s _ { 1 } ( \rho _ { 2 } \dots \rho _ { j + 2 } \rho _ { j + 1 } \rho _ { j + 2 } \dots \rho _ { i } ) ( \rho _ { 1 } \dots \rho _ { i - 1 } ) ~ \mathrm { ~ ( B y ~ ) } } \\ & { = } & { ( \rho _ { i - 1 } \rho _ { i - 2 } \dots \rho _ { 2 } \rho _ { 1 } ) ( \rho _ { i } \dots \rho _ { j + 2 } \rho _ { j + 1 } \rho _ { j + 2 } \dots \rho _ { 2 } ) s _ { 1 } ( \rho _ { 2 } \dots \rho _ { i } ) ( \rho _ { 1 } \dots \rho _ { i - 1 } ) ~ \mathrm { ~ ( B y ~ a n d ~ ) } } \\ & { = } & { ( \rho _ { i - 1 } \rho _ { i - 2 } \dots \rho _ { 2 } \rho _ { 1 } ) ( \rho _ { i } \dots \rho _ { j + 1 } \rho _ { j + 2 } \rho _ { j + 1 } \dots \rho _ { 2 } ) s _ { 1 } ( \rho _ { 2 } \dots \rho _ { i } ) ( \rho _ { 1 } \dots \rho _ { i - 1 } ) ~ \mathrm { ~ ( B y ~ ) } } \\ & { = } & { ( \rho _ { i - 1 } \dots \rho _ { j + 1 } \rho _ { j } \rho _ { j + 1 } \dots \rho _ { 1 } ) ( \rho _ { i } \dots \rho _ { 2 } ) s _ { 1 } ( \rho _ { 2 } \dots \rho _ { i } ) ( \rho _ { 1 } \dots \rho _ { i - 1 } ) ~ \mathrm { ( B y ~ ) } } \\ & { = } & { ( \rho _ { i - 1 } \dots \rho _ { j } \rho _ { j + 1 } \rho _ { j } \dots \rho _ { 1 } ) ( \rho _ { i } \dots \rho _ { 2 } ) s _ { 1 } ( \rho _ { 2 } \dots \rho _ { i } ) ( \rho _ { 1 } \dots \rho _ { i - 1 } ) ~ \mathrm { ~ ( B y ~ ) } } \\ & { = } & { \rho _ { j } ( \rho _ { i - 1 } \dots \rho _ { 1 } ) ( \rho _ { i } \dots \rho _ { 2 } ) s _ { 1 } ( \rho _ { 2 } \dots \rho _ { i } ) ( \rho _ { 1 } \dots \rho _ { i - 1 } ) ~ \mathrm { ~ ( B y ~ ) } } \\ & { = } & { \rho _ { j } s _ { i } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { V } } & { = 2 \ \left( \hat { P } _ { i n a c t } \hat { P } _ { i m p } \hat { P } _ { a c t i v e } + \hat { P } _ { a c t i v e } \hat { P } _ { i m p } \hat { P } _ { i n a c t } - \hat { P } _ { v i r t } \hat { P } _ { i m p } \hat { P } _ { a c t i v e } - \hat { P } _ { a c t i v e } \hat { P } _ { i m p } \hat { P } _ { v i r t } \right) } \end{array}
S = { \frac { 1 } { 4 } } \int _ { 0 } ^ { T } d \tau \dot { x } ^ { 2 } ( \tau ) + { \frac { 1 } { 4 L } } \int _ { 0 } ^ { T } d \sigma _ { 1 } \int _ { 0 } ^ { T } d \sigma _ { 2 } B ( \sigma _ { 1 } , \sigma _ { 2 } | \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) x ( \sigma _ { 1 } ) \cdot x ( \sigma _ { 2 } ) ,
\begin{array} { r l } { \rho _ { r } } & { { } = \gamma _ { r } ^ { \Pi } \Pi , } \\ { \rho _ { r } ^ { \mu } } & { { } = \gamma _ { r } ^ { n } n ^ { \mu } , } \\ { \rho _ { r } ^ { \mu \nu } } & { { } = \gamma _ { r } ^ { \pi } \pi ^ { \mu \nu } , } \\ { \rho _ { r } ^ { \mu \nu \alpha } } & { { } = \gamma _ { r } ^ { \Omega } \Omega ^ { \mu \nu \alpha } , } \\ { \rho _ { r } ^ { \mu \nu \alpha \beta } } & { { } = \gamma _ { r } ^ { \Theta } \Theta ^ { \mu \nu \alpha \beta } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { S } = } & { { } ~ { \epsilon ^ { - 1 } } \sum _ { i j } \big [ U ^ { T } ( \eta \eta ^ { T } ) ^ { - 1 } U \big ] _ { i j } \Big \langle \! ( F _ { i } ( \Delta x ^ { \prime } ) F _ { j } ( \Delta { x } ^ { \prime } ) \! \Big \rangle } \end{array}
\begin{array} { r } { H = \int \! d ^ { 2 } x \Big [ \, \bar { \psi } i \nu \gamma ^ { a } \left( \partial _ { a } + i \mathcal { A } _ { a } \gamma _ { 5 } + i \mathcal { S } _ { a } i \gamma _ { 3 } \right) \psi } \\ { - \bar { \psi } \gamma ^ { 0 } \mathcal { A } _ { 0 } \gamma _ { 5 } \psi - \bar { \psi } \gamma ^ { 0 } \mathcal { S } _ { 0 } i \gamma _ { 3 } \psi \Big ] \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Gamma _ { n } ^ { e e } } & { { } = } & { N \frac { | \psi _ { n } ( 0 ) | ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } \qquad \qquad N = \frac { 4 \pi \alpha ^ { 2 } } { 3 } \cdot 3 \cdot e _ { q } ^ { 2 } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A ^ { n + 1 } } & { { } = A ^ { n } - \Delta t \, \boldsymbol { \tilde { b } } ^ { T } \, \partial _ { x } ( \boldsymbol { A u } ) } \\ { ( A u ) ^ { n + 1 } } & { { } = ( A u ) ^ { n } - \Delta t \, \boldsymbol { \tilde { b } } ^ { T } \, \partial _ { x } \left( \boldsymbol { A u ^ { 2 } } \right) - \Delta t \, \boldsymbol { \tilde { b } } ^ { T } \, \frac { \boldsymbol { A } } { \rho } \partial _ { x } \boldsymbol { p } } \\ { p ^ { n + 1 } } & { { } = p ^ { n } - \Delta t \, \boldsymbol { b } ^ { T } E _ { 0 } \boldsymbol { G } ( \boldsymbol { A } ) \partial _ { x } ( \boldsymbol { A u } ) - \frac { \Delta t \, \boldsymbol { b } ^ { T } } { \tau _ { r } } \left( \boldsymbol { p } - \boldsymbol { F } ( \boldsymbol { A } ) \right) . } \end{array}
M = { \left( \begin{array} { l l l l l } { \mathbf { x } _ { 1 } } & { \mathbf { x } _ { 2 } } & { \mathbf { y } _ { 1 } } & { \mathbf { y } _ { 2 } } & { \mathbf { y } _ { 3 } } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l l l l } { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 3 } & { - 1 5 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - 9 } & { 3 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 9 } & { - 1 } & { 0 } & { 3 } & { - 2 } \\ { - 3 } & { - 4 5 } & { 9 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) } ,
\left\vert 0 _ { U } \right\rangle = \sqrt { 1 - \gamma ^ { 2 } } e ^ { \gamma \hat { b } _ { 1 } ^ { \dagger } \hat { b } _ { 2 } ^ { \dagger } } \left\vert 0 _ { R } \right\rangle = \sqrt { 1 - \gamma ^ { 2 } } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \gamma ^ { n } \left\vert n n \right\rangle ,
\begin{array} { r l } { E _ { \rho } } & { = A \frac { p \pi a } { x _ { \nu n } d } J _ { \nu } ^ { \prime } \left( \frac { x _ { \nu n } } { a } \rho \right) e ^ { - i \nu \phi } \sin \left( \frac { p \pi z } { d } \right) } \\ { E _ { \phi } } & { = - A \frac { i \nu a ^ { 2 } } { x _ { \nu n } ^ { 2 } \rho } \frac { p \pi } { d } J _ { \nu } \left( \frac { x _ { \nu n } } { a } \rho \right) e ^ { - i \nu \phi } \sin \left( \frac { p \pi z } { d } \right) } \\ { E _ { z } } & { = A J _ { \nu } \left( \frac { x _ { \nu n } } { a } \rho \right) e ^ { - i \nu \phi } \cos \left( \frac { p \pi z } { d } \right) } \\ { H _ { \rho } } & { = A \frac { \omega \epsilon \nu a ^ { 2 } } { x _ { \nu n } ^ { 2 } \rho } J _ { \nu } \left( \frac { x _ { \nu n } } { a } \rho \right) e ^ { - i \nu \phi } \cos \left( \frac { p \pi z } { d } \right) } \\ { H _ { \phi } } & { = - A \frac { i \omega \epsilon a } { x _ { \nu n } } J _ { \nu } ^ { \prime } \left( \frac { x _ { \nu n } } { a } \rho \right) e ^ { - i \nu \phi } \cos \left( \frac { p \pi z } { d } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { u } _ { \ensuremath { \varepsilon } } ( x , t ) \approx \sum _ { k \in \frac 1 2 \ensuremath { \mathbb { N } } _ { 0 } } \mathbf { u } _ { k } ( x , t ) \ensuremath { \varepsilon } ^ { k } , \quad g _ { \ensuremath { \varepsilon } } ( x , t ) \approx \sum _ { k \in \frac 1 2 \ensuremath { \mathbb { N } } _ { 0 } } g _ { k } ( x , t ) \ensuremath { \varepsilon } ^ { k } , \quad \mathbf { l } _ { \ensuremath { \varepsilon } } ( x , t ) \approx \sum _ { k \in \frac 1 2 \ensuremath { \mathbb { N } } _ { 0 } } \mathbf { l } _ { k } ( x , t ) \ensuremath { \varepsilon } ^ { k } } \end{array}
\frac { \mathrm d R _ { \mathrm { b } } } { \mathrm d t } = \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { 1 2 \alpha _ { \mathrm { l } } } { \pi t } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \frac { \rho _ { \mathrm { l } } c _ { \mathrm { l } } \left( T _ { \mathrm { l } } - T _ { \mathrm { s a t } } \left( P _ { \mathrm { l } } \right) \right) } { L _ { \mathrm { v } } \rho _ { \mathrm { v } } } ,
( \mathbf { A } - \mathbf { B D } ^ { - 1 } \mathbf { C } ) ^ { - 1 } \mathbf { B D } ^ { - 1 } = \mathbf { A } ^ { - 1 } \mathbf { B } ( \mathbf { D } - \mathbf { C A } ^ { - 1 } \mathbf { B } ) ^ { - 1 }
L _ { o r t h o } ( { \mathcal W } , \{ \mathbf x _ { i } \} ) = \sum _ { \alpha < \beta } ^ { N _ { g } } \left( \sum _ { p } { \mathcal W } _ { \alpha } ^ { ( p ) } { \mathcal W } _ { \beta } ^ { ( p ) } \right) ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { = } & { { } \int _ { 0 } ^ { f _ { i } } \langle \varphi _ { i } | \hat { H } ^ { \mathrm { D F T } } ( s ) | \varphi _ { i } \rangle d s - \int _ { 0 } ^ { f _ { i } } \langle \varphi _ { i } | v _ { \mathrm { H x c } } [ s n _ { i } ] | \varphi _ { i } \rangle d s } \\ { = } & { { } \int _ { 0 } ^ { f _ { i } } \langle \varphi _ { i } | \hat { H } ^ { \mathrm { D F T } } ( s ) | \varphi _ { i } \rangle d s - E _ { \mathrm { H x c } } [ f _ { i } n _ { i } ] } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \eta _ { t } + \nabla \! \cdot \! ( ( D + \varepsilon \eta ) \mathbf { u } ) + \sigma ^ { 2 } \nabla \! \cdot \! [ \bar { a } D ^ { 2 } \nabla ( \nabla \! \cdot \! ( D \mathbf { u } ) ) + \bar { b } D ^ { 3 } \nabla ( \nabla \! \cdot \! \mathbf { u } ) ] = 0 \ , } \\ & { \mathbf { u } _ { t } + \nabla \eta + \varepsilon ( \mathbf { u } \cdot \nabla ) \mathbf { u } - \sigma ^ { 2 } [ \bar { c } D \nabla ( \nabla \! \cdot \! ( D \mathbf { u } _ { t } ) ) + \bar { d } D ^ { 2 } \nabla ( \nabla \! \cdot \! \mathbf { u } _ { t } ) ] = 0 \ , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { s u p } _ { v \in S ^ { d - 1 } } { \mathbf E } _ { \rho _ { v } } \left| \operatorname { M e d } \left( | \langle X _ { 1 } , \theta \rangle | , \ldots , | \langle X _ { N } , \theta \rangle | \right) - \Phi ^ { - 1 } ( 3 / 4 ) \sqrt { \theta ^ { \top } \Sigma \theta } \right| } \\ & { \leqslant \operatorname* { s u p } _ { v \in S ^ { d - 1 } } { \mathbf E } _ { \rho _ { v } } \left| \operatorname { Q u a n t } _ { \frac { 1 } { 2 } + \varepsilon } \left( | \langle Y _ { 1 } , \theta \rangle | , \ldots , | \langle Y _ { N } , \theta \rangle | \right) - \Phi ^ { - 1 } ( 3 / 4 ) \sqrt { \theta ^ { \top } \Sigma \theta } \right| } \\ & { \qquad + \operatorname* { s u p } _ { v \in S ^ { d - 1 } } { \mathbf E } _ { \rho _ { v } } \left| \operatorname { Q u a n t } _ { \frac { 1 } { 2 } - \varepsilon } \left( | \langle Y _ { 1 } , \theta \rangle | , \ldots , | \langle Y _ { N } , \theta \rangle | \right) - \Phi ^ { - 1 } ( 3 / 4 ) \sqrt { \theta ^ { \top } \Sigma \theta } \right| . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \pi _ { \mathcal { P } } ( \overline { { s _ { i } } } ) = w _ { i } } & { < _ { h } \pi _ { \mathcal { P } } ( x ) } \\ { \pi _ { \mathcal { P } } ( \overline { { r _ { i + 1 } } } ) = v _ { i + 1 } } & { \leq _ { v } \pi _ { \mathcal { P } } ( x ) < _ { v } v _ { i } = \pi _ { \mathcal { P } } ( \overline { { r _ { i } } } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { H _ { \mathrm { Q O } } } & { = } & { H _ { 0 } + H _ { \mathrm { d i p - d i p } } + H _ { \mathrm { d r i v e } } } \\ & { = } & { - \sum _ { i \sigma } \delta b _ { p i \sigma } ^ { \dagger } b _ { p i \sigma } - \Gamma _ { 0 } \sum _ { i j \sigma \sigma ^ { \prime } } G _ { i j } ( b _ { p i \sigma } ^ { \dagger } b _ { s i \sigma } ) ( b _ { s j \sigma ^ { \prime } } ^ { \dagger } b _ { p j \sigma ^ { \prime } } ) - \sum _ { i \sigma } \left[ \Omega _ { i } b _ { p i \sigma } ^ { \dagger } b _ { s i \sigma } + h . c . \right] . } \end{array}
F _ { 1 } ( { \bf \Delta P } , \Delta E ) = \frac { ( { \bf \Delta P } ) ^ { 2 } } { 4 } + \frac { 1 } { ( { \bf v } _ { i } - { \bf v } _ { f } ) ^ { 2 } } \left[ \Delta E - \frac { 1 } { 2 } ( { \bf v } _ { i } - { \bf v } _ { f } ) { \bf \Delta P } \right] ^ { 2 }
\begin{array} { r } { \nabla \times \left( \frac { 1 } { \epsilon ( { \bf r } ) } \nabla \times { \bf H } ( { \bf r } ) \right) = \left( \frac { \omega } { c } \right) ^ { 2 } { \bf H } ( { \bf r } ) , } \\ { \nabla \times \nabla \times { \bf E } ( { \bf r } ) = \left( \frac { \omega } { c } \right) ^ { 2 } \epsilon ( { \bf r } ) { \bf E } ( { \bf r } ) . } \end{array}
\left( \mathcal { E } ^ { 2 } - m ^ { 2 } c ^ { 4 } \right) \mu _ { A } ( x , y ) = - \hbar ^ { 2 } c ^ { 2 } \left( \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial y ^ { 2 } } \right) \mu _ { A } ( x , y ) ,
J _ { s } = \sum _ { \varphi \in \pmb { v } } \lambda _ { \mathrm { v } } | | \varphi _ { z z } | | _ { 2 } ^ { 2 } + \lambda _ { \mathrm { h } } \left( | | \varphi _ { y y } | | _ { 2 } ^ { 2 } + | | \varphi _ { x x } | | _ { 2 } ^ { 2 } \right) ,
\mathrm { ~ N } _ { 2 } \left( \mathrm { ~ A } _ { 3 } , \mathrm { ~ B } _ { 3 } , \mathrm { C } _ { 3 } , \mathrm { a } _ { 1 } \right) + \mathrm { C H } _ { 4 } \longrightarrow \mathrm { N } _ { 2 } + \mathrm { C H } _ { 3 } + \mathrm { H }
K _ { \mu \nu } ^ { \mathbf { k } } = \sum _ { \lambda \sigma \mathbf { q } P Q } u _ { \mu } ^ { \mathbf { k } } ( \mathbf { r } _ { P } ) ^ { * } u _ { \lambda } ^ { \mathbf { k } + \mathbf { q } } ( \mathbf { r } _ { P } ) M _ { P Q } ^ { \mathbf { q } } u _ { \sigma } ^ { \mathbf { k } + \mathbf { q } } ( \mathbf { r } _ { Q } ) ^ { * } u _ { \nu } ^ { \mathbf { k } } ( \mathbf { r } _ { Q } ) P _ { \lambda \sigma } ^ { \mathbf { k } + \mathbf { q } }
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \phi + a \partial _ { x } u } & { { } = A _ { 1 1 } ^ { a } \partial _ { x x } \phi + A _ { 1 2 } ^ { a } \partial _ { x x } u } \\ { \partial _ { t } u + a \partial _ { x } \phi } & { { } = A _ { 2 1 } ^ { a } \partial _ { x x } \phi + A _ { 2 2 } ^ { a } \partial _ { x x } u } \end{array}
- k \big ( \omega _ { N } + \widetilde { \mathtt { r } } _ { \mathbf { m } } \big ) = \omega _ { S } + \widetilde { \mathtt { r } } _ { k \mathbf { m } } , \qquad \widetilde { \mathtt { r } } _ { n } \triangleq 2 n \mathtt { r } _ { n } ( \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) > 0 .
{ \begin{array} { r l } { \left( A _ { \rho } { \frac { \partial B _ { \rho } } { \partial \rho } } + { \frac { A _ { \varphi } } { \rho } } { \frac { \partial B _ { \rho } } { \partial \varphi } } + A _ { z } { \frac { \partial B _ { \rho } } { \partial z } } - { \frac { A _ { \varphi } B _ { \varphi } } { \rho } } \right) } & { { \hat { \boldsymbol { \rho } } } } \\ { + \left( A _ { \rho } { \frac { \partial B _ { \varphi } } { \partial \rho } } + { \frac { A _ { \varphi } } { \rho } } { \frac { \partial B _ { \varphi } } { \partial \varphi } } + A _ { z } { \frac { \partial B _ { \varphi } } { \partial z } } + { \frac { A _ { \varphi } B _ { \rho } } { \rho } } \right) } & { { \hat { \boldsymbol { \varphi } } } } \\ { + \left( A _ { \rho } { \frac { \partial B _ { z } } { \partial \rho } } + { \frac { A _ { \varphi } } { \rho } } { \frac { \partial B _ { z } } { \partial \varphi } } + A _ { z } { \frac { \partial B _ { z } } { \partial z } } \right) } & { { \hat { \mathbf { z } } } } \end{array} }
\mathrm { ~ A ~ R ~ E ~ } ( g ^ { b } ) = \frac { 1 } { 1 0 1 } \sum _ { \alpha = 0 } ^ { 1 0 0 } | D _ { V F } J _ { \theta } ( \alpha g ^ { b } ) - D _ { F D } J _ { \theta } ( \alpha g ^ { b } ) | / | D _ { F D } J _ { \theta } ( \alpha g ^ { b } ) |
\left( \mathbf { \hat { k } } \times \left( \mathbf { \hat { k } } \times \Delta \mathbf { r } _ { i } \right) \right) \cdot \left( \mathbf { \hat { k } } \times \left( \mathbf { \hat { k } } \times \Delta \mathbf { r } _ { i } \right) \right) \equiv \left( \left( \mathbf { \hat { k } } \times \left( \mathbf { \hat { k } } \times \Delta \mathbf { r } _ { i } \right) \right) \times \mathbf { \hat { k } } \right) \cdot \left( \mathbf { \hat { k } } \times \Delta \mathbf { r } _ { i } \right) ,
\begin{array} { r l } { - \int _ { M } } & { ( \partial _ { t } u ( t ) ) ^ { 3 } d \mu _ { g ( t ) } \le \int _ { M } | \partial _ { t } u ( t ) | ^ { 3 } \mathrm { e } ^ { 2 u ( t ) } d \mu _ { \bar { g } } \le \mathrm { e } ^ { 2 \mathcal { N } } \| \partial _ { t } u ( t ) \| _ { L ^ { 3 } ( M , \bar { g } ) } ^ { 3 } } \\ & { \le \mathrm { e } ^ { 2 \mathcal { N } } C _ { \mathrm { G N L } } \| \partial _ { t } u ( t ) \| _ { L ^ { 2 } ( M , \bar { g } ) } ^ { 2 } \| \partial _ { t } u ( t ) \| _ { H ^ { 1 } ( M , \bar { g } ) } } \\ & { = \mathrm { e } ^ { 2 \mathcal { N } } C _ { \mathrm { G N L } } \int _ { M } | \partial _ { t } u ( t ) | ^ { 2 } \mathrm { e } ^ { - 2 u ( t ) } d \mu _ { g ( t ) } \left( \int _ { M } | \partial _ { t } u ( t ) | ^ { 2 } \mathrm { e } ^ { - 2 u ( t ) } d \mu _ { g ( t ) } + \int _ { M } | \nabla _ { g ( t ) } \partial _ { t } u ( t ) | ^ { 2 } d \mu _ { g ( t ) } \right) ^ { \frac 1 2 } } \\ & { \le \mathrm { e } ^ { 6 \mathcal { N } } C _ { \mathrm { G N L } } \int _ { M } | \partial _ { t } u ( t ) | ^ { 2 } d \mu _ { g ( t ) } \left( \int _ { M } | \partial _ { t } u ( t ) | ^ { 2 } d \mu _ { g ( t ) } + \int _ { M } | \nabla _ { g ( t ) } \partial _ { t } u ( t ) | ^ { 2 } d \mu _ { g ( t ) } \right) ^ { \frac 1 2 } } \\ & { = \mathrm { e } ^ { 6 \mathcal { N } } C _ { \mathrm { G N L } } F ( t ) \Bigl ( F ( t ) + G ( t ) \Bigr ) ^ { \frac 1 2 } \le \frac { \bigl ( \mathrm { e } ^ { 6 \mathcal { N } } C _ { \mathrm { G N L } } \bigr ) ^ { 2 } } { 2 } F ^ { 2 } ( t ) + \frac { 1 } { 2 } \Bigl ( F ( t ) + G ( t ) \Bigr ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \widetilde \rho = f ( \widehat { S } ^ { - 1 } \widetilde { H } _ { \mathrm { ~ K ~ S ~ } } ) \widehat { S } ^ { - 1 } = } \\ { f ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( \widehat { S } ^ { - 1 } \widetilde { H } _ { \mathrm { ~ K ~ S ~ } } ) \widehat { S } ^ { - 1 } f ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( \widetilde { H } _ { \mathrm { ~ K ~ S ~ } } \widehat { S } ^ { - 1 } ) ~ . } \end{array}
\mathbf { n _ { i } ^ { i } } \gets ( \mathbf { R _ { i + 1 } ^ { i } } \bigodot \mathbf { n _ { i + 1 } ^ { i + 1 } } ) \bigoplus ( \mathbf { c _ { i } ^ { i } } \bigotimes \mathbf { F _ { i } ^ { i } } ) \bigoplus ( \mathbf { p _ { i - 1 , i } ^ { i } } \bigotimes ( \mathbf { R _ { i + 1 } ^ { i } } \bigodot \mathbf { f _ { i + 1 } ^ { i + 1 } } ) ) \bigoplus \mathbf { N _ { i } ^ { i } }
\hat { \mathcal { R } } _ { O _ { 2 } } ( 2 { \it \Delta \phi } _ { 1 } ) \hat { \mathcal { R } } _ { O _ { 2 } } ( 2 { \it \Delta \phi } _ { 2 } ) = \hat { \mathcal { R } } _ { O _ { 2 } } ( 2 ( { \it \Delta \phi } _ { 1 } + { \it \Delta \phi } _ { 2 } ) )
\begin{array} { r l } { ( ( U - \lambda I _ { Y } ) \phi ) ( \theta _ { n _ { m } } ) } & { = ( f ( \theta _ { n _ { m } } ) - \lambda ) \phi ( \theta _ { n _ { m } } ) } \\ & { = ( f ( \theta _ { n _ { m } } ) - \lambda _ { n _ { m } } + \lambda _ { n _ { m } } - \lambda ) \phi ( \theta _ { n _ { m } } ) } \\ & { = ( \lambda _ { n _ { m } } - \lambda ) \phi ( \theta _ { n _ { m } } ) \to 0 , } \end{array}
G ^ { + } ( z _ { 1 } ) \gamma ( z _ { 2 } ) = - \frac { ( \gamma \gamma ) } { z _ { 1 2 } ^ { 2 } } + \left[ \frac { 2 } { 3 ( 1 + c _ { 1 } ) } ( G ^ { - } \gamma \gamma \gamma ) - \frac { 2 } { 1 + c _ { 1 } } ( J _ { w } \gamma \gamma ) + ( \gamma ^ { \prime } \gamma ) \right] \frac { 1 } { z _ { 1 2 } } \; .