harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { 1 } ^ { 2 3 } \left( \tilde { \gamma } _ { 2 } , \tilde { \psi } _ { 1 } , \tilde { \gamma } _ { 3 } , \tilde { \ell } _ { 3 } , \tilde { \Gamma } _ { 2 } \right) = } & { \int _ { - \infty } ^ { \infty } \Big ( H _ { 1 } ^ { 2 3 } \left( Z ^ { 0 } \left( t , \tilde { \gamma } _ { 2 } , \tilde { \psi } _ { 1 } , \tilde { \gamma } _ { 3 } , \tilde { \ell } _ { 3 } , \tilde { \Gamma } _ { 2 } , \tilde { \Psi } _ { 1 } , \tilde { \Gamma } _ { 3 } , \tilde { L } _ { 3 } \right) \right) } \\ & { \quad - H _ { 1 } ^ { 2 3 } \left( Z _ { * } ^ { 0 } \left( t , \tilde { \gamma } _ { 2 } , \tilde { \psi } _ { 1 } , \tilde { \gamma } _ { 3 } , \tilde { \ell } _ { 3 } , \tilde { \Gamma } _ { 2 } , \tilde { \Psi } _ { 1 } , \tilde { \Gamma } _ { 3 } , \tilde { L } _ { 3 } \right) \right) \Big ) \, d t } \\ { = } & { \left( 1 + \sqrt { 1 - \delta _ { 2 } ^ { 2 } } \, \cos v _ { 3 } \right) ^ { 3 } \kappa \left( \frac { \pi \, \tilde { \Gamma } _ { 2 } } { A _ { 2 } L _ { 1 } ^ { 2 } } \right) } \\ & { \quad \times \left[ A _ { 1 } \left( \tilde { \gamma } _ { 3 } , \tilde { \psi } _ { 1 } , v _ { 3 } \right) \, \cos \tilde { \gamma } _ { 2 } + B _ { 1 } \left( \tilde { \gamma } _ { 3 } , \tilde { \psi } _ { 1 } , v _ { 3 } \right) \, \sin \tilde { \gamma } _ { 2 } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \exp ( i \theta H ) = { } } & { { } \left[ - { \frac { 1 } { 3 } } I \sin \left( \varphi + { \frac { 2 \pi } { 3 } } \right) \sin \left( \varphi - { \frac { 2 \pi } { 3 } } \right) - { \frac { 1 } { 2 { \sqrt { 3 } } } } ~ H \sin ( \varphi ) - { \frac { 1 } { 4 } } ~ H ^ { 2 } \right] { \frac { \exp \left( { \frac { 2 } { \sqrt { 3 } } } ~ i \theta \sin ( \varphi ) \right) } { \cos \left( \varphi + { \frac { 2 \pi } { 3 } } \right) \cos \left( \varphi - { \frac { 2 \pi } { 3 } } \right) } } } \end{array}
A _ { i } ^ { \prime } \, \left( A + \delta _ { \lambda } A \right) - A _ { i } ^ { \prime } \, \left( A \right) - \partial _ { i } \lambda ^ { \prime } - i \left[ \lambda ^ { \prime } , A _ { i } \right] - i \left[ \lambda , A _ { i } ^ { \prime } \right] = - \frac { 1 } { 2 } \theta ^ { k l } \left( \partial _ { k } \lambda \partial _ { l } A _ { i } + \partial _ { l } A _ { i } \partial _ { k } \lambda \right) + o \left( \theta ^ { 2 } \right) ,
\begin{array} { r c l } { E [ I _ { t } ] } & { = } & { \pi ^ { t } I _ { 0 } } \\ { V a r ( I _ { t } ) } & { = } & { \beta ( 1 + R _ { 0 } ^ { - 1 } ) \frac { \pi ^ { t - 1 } ( 1 - \pi ^ { t } ) } { 1 - \pi } I _ { 0 } , } \end{array}
W ( t ) = \frac { 1 } { 2 h _ { 0 } } \sqrt { \frac { 3 \Lambda ( t ) } { \chi h _ { 0 } } } , ~ ~ ~ ~ v ( t ) = c _ { 0 } + \frac { c _ { 0 } \Lambda ( t ) } { 2 h _ { 0 } } ( 2 k ^ { 2 } - 1 ) .
{ \mathcal { X } } = { \left( \begin{array} { l l } { X _ { 1 ( p \times p ) } } & { - { \overline { { X } } } _ { 2 } } \\ { X _ { 2 } } & { { \overline { { X } } } _ { 1 } } \end{array} \right) } , \quad { \mathcal { Y } } = { \left( \begin{array} { l l } { Y _ { 1 ( q \times q ) } } & { - { \overline { { Y } } } _ { 2 } } \\ { Y _ { 2 } } & { { \overline { { Y } } } _ { 1 } } \end{array} \right) } , \quad { \mathcal { Z } } = { \left( \begin{array} { l l } { Z _ { 1 ( p \times q ) } } & { - { \overline { { Z } } } _ { 2 } } \\ { Z _ { 2 } } & { { \overline { { Z } } } _ { 1 } } \end{array} \right) } ,
\begin{array} { r l } { \Vert \bar { p } _ { \alpha } ( t - u , \cdot - y ) \bar { p } _ { \alpha } ( u - s , x - \cdot ) \Vert _ { L ^ { \ell ^ { \prime } } } } & { = \mathfrak { I } ^ { \frac { 1 } { \ell ^ { \prime } } } \lesssim \left[ \frac { 1 } { ( t - u ) ^ { \frac { d } { \alpha } \frac { \ell ^ { \prime } - 1 } { \ell ^ { \prime } } } } + \frac { 1 } { ( u - s ) ^ { \frac { d } { \alpha } \frac { \ell ^ { \prime } - 1 } { \ell ^ { \prime } } } } \right] \bar { p } _ { \alpha } ( t - s , x - y ) } \\ & { \lesssim \left[ \frac { 1 } { ( t - u ) ^ { \frac { d } { \alpha \ell } } } + \frac { 1 } { ( u - s ) ^ { \frac { d } { \alpha \ell } } } \right] \bar { p } _ { \alpha } ( t - s , x - y ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 4 } ( | \bar { V } _ { n + 1 } ^ { \lambda } | ^ { 2 } - | \bar { V } _ { n } ^ { \lambda } | ^ { 2 } ) } & { \leq - \frac { \lambda \gamma } { 2 } | \bar { V } _ { n } ^ { \lambda } | ^ { 2 } + \frac { \lambda ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } } { 4 } | \bar { V } _ { n } ^ { \lambda } | ^ { 2 } + \frac { \lambda } { 2 } | \langle \sqrt { \gamma } \bar { V } _ { n } ^ { \lambda } , \sqrt { \gamma ^ { - 1 } } h _ { t a m , \gamma } ( \bar { \theta } _ { n } ^ { \lambda } ) \rangle | + \frac { \lambda ^ { 2 } } { 4 } | h _ { t a m , \gamma } ( \bar { \theta } _ { n } ^ { \lambda } ) | ^ { 2 } } \\ & { + \sqrt { \frac { \lambda \gamma } { 2 \beta } } \langle E _ { n } , \xi _ { n + 1 } \rangle + \frac { \lambda \gamma } { 2 \beta } | \xi _ { n + 1 } | ^ { 2 } } \\ & { \leq - \frac { \lambda \gamma } { 2 } | \bar { V } _ { n } ^ { \lambda } | ^ { 2 } + \frac { \lambda ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } } { 4 } | \bar { V } _ { n } ^ { \lambda } | ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } \lambda \gamma | \bar { V } _ { n } ^ { \lambda } | ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } \lambda \gamma ^ { - 1 } | h _ { t a m , \gamma } ( \bar { \theta } _ { n } ^ { \lambda } ) | ^ { 2 } } \\ & { + \frac { \lambda ^ { 2 } } { 4 } | h _ { t a m , \gamma } ( \bar { \theta } _ { n } ^ { \lambda } ) | ^ { 2 } + \sqrt { \frac { \lambda \gamma } { 2 \beta } } \langle E _ { n } , \xi _ { n + 1 } \rangle + \frac { \lambda \gamma } { 2 \beta } | \xi _ { n + 1 } | ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { q } _ { 1 } = } & { \frac { \mathbf { G } _ { k } } { \left\| \mathbf { G } _ { k } \right\| _ { \mathbf { x } _ { k } } } , } \\ { \langle \mathbf { q } _ { i } , \mathbf { H } _ { k } [ \mathbf { q } _ { j } ] \rangle _ { \mathbf { x } _ { k } } = } & { \left( \mathbf { T } _ { l } \right) _ { i , j } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \boldsymbol { x } = \left( \begin{array} { r l } & { 0 } \\ & { \frac { \sqrt { v _ { 0 } ^ { 2 } + u _ { 0 } ^ { 2 } } \sin \phi - \sqrt { 1 + v _ { 0 } ^ { 2 } / \mathbb { C } ^ { 2 } } u _ { 0 } } { \left( 1 - u _ { 0 } ^ { 2 } / \mathbb { C } ^ { 2 } \right) \Omega } } \\ & { u _ { 0 } t + \frac { \sqrt { v _ { 0 } ^ { 2 } + u _ { 0 } ^ { 2 } } } { \sqrt { 1 - u _ { 0 } ^ { 2 } / \mathbb { C } ^ { 2 } } \Omega } \cos \phi - \frac { v _ { 0 } } { \Omega } } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { f ( \omega , x ) } & { { } = } & { \mathrm { C i } ( 2 \, k \, x ) \sin ( 2 \, k \, x ) - \left( \mathrm { s i } ( 2 \, k \, x ) - \frac { \pi } { 2 } \right) \cos ( 2 \, k \, x ) , } \\ { g ( \omega , x ) } & { { } = } & { \mathrm { - C i } ( 2 \, k \, x ) \cos ( 2 \, k \, x ) - \left( \mathrm { s i } ( 2 \, k \, x ) - \frac { \pi } { 2 } \right) \sin ( 2 \, k \, x ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { E \biggl [ \int _ { 0 } ^ { T } ( \hat { Y } ( t ) - Y ^ { u _ { 2 } } ( t ) ) ^ { T } \biggl \{ \hat { q } ^ { 2 } ( t ) \hat { q } ^ { 2 } ( t ) ^ { T } + \int _ { \mathbb { R } _ { 0 } } \hat { r } ^ { 2 } ( t - , z ) \hat { r } ^ { 2 } ( t - , z ) ^ { T } \nu ( d z ) } \\ & { \qquad \qquad + \hat { w } ^ { 2 } ( t ) D i a g ( \mu ( t ) ) \hat { w } ^ { 2 } ( t ) ^ { T } \biggr \} ( \hat { Y } ( t ) - Y ^ { u _ { 2 } } ( t ) ) ^ { T } d t \biggr ] < \infty , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { C } _ { 2 } } & { { } = } & { \hat { C } _ { 1 } \left( 2 \hat { C } _ { 1 } - \frac { 1 1 } { 6 } \right) = \frac { 1 0 } { 9 } , } \end{array}
\cfrac { d } { d t } ( z - s ) \leq \varepsilon _ { S S l } k _ { 1 } s _ { 0 } \bigg [ ( z - s ) + ( K _ { S } + s _ { 0 } ) \exp ( - k _ { 1 } ( K _ { M } + s _ { \mathrm { c r o s s } } ) t ) \bigg ] , \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ a ~ l ~ l ~ } t \leq t _ { \mathrm { c r o s s } } .
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l } { 4 \left( S ^ { ( 1 ) } \right) ^ { 3 } + 2 \eta ^ { 2 } x _ { 2 } S ^ { ( 1 ) } + \eta ^ { 3 } x _ { 1 } + 1 2 S ^ { ( 1 ) } \partial _ { 1 } S ^ { ( 1 ) } + 4 \partial _ { 1 } ^ { 2 } S ^ { ( 1 ) } = 0 , } \\ { \eta S ^ { ( 2 ) } - \partial _ { 1 } S ^ { ( 1 ) } - \left( S ^ { ( 1 ) } \right) ^ { 2 } = 0 . } \end{array} \right. } \end{array}
h _ { 3 } ( V _ { 1 } V _ { 2 } ^ { 2 } V _ { 3 } + V _ { 1 } ^ { 2 } V _ { 2 } V _ { 3 } + c . c ) + h _ { 4 } ( V _ { 3 } ^ { 2 } V _ { 1 } V _ { 2 } + c . c )
\chi ( k ) = \Bigg \{ \begin{array} { l l } { \frac { C _ { \beta } } { 2 \sqrt { g } } a _ { \star } k ^ { - 5 / 2 } \quad } & { \mathrm { f o r } \quad k _ { p } < k < k _ { n } \quad \mathrm { ( e q u i l i b r i u m ) } \, , } \\ { C _ { B } k ^ { - 3 } \quad } & { \mathrm { f o r } \quad k _ { n } < k < k _ { i } \quad \mathrm { ( s a t u r a t i o n ) } \, , } \end{array}
- p _ { \mu } ^ { r } p _ { \nu } ^ { r } \eta ^ { \mu \sigma } \eta ^ { \nu \lambda } T _ { \sigma \lambda } ^ { G } = \eta _ { \rho \sigma } [ p _ { r } ^ { 2 } k _ { 1 } \cdot k _ { 2 } - 2 p ^ { r } \cdot k _ { 1 } p ^ { r } \cdot k _ { 2 } ] + k _ { 1 \sigma } k _ { 2 \rho } [ p _ { r } ^ { 2 } - 2 k _ { 1 } \cdot k _ { 2 } ] \, ,
\Gamma _ { k } [ \Phi ] = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { n ! } \int \left( \prod _ { j = 0 } ^ { n } d ^ { d } x _ { j } \left[ \Phi ( x _ { j } ) - \Phi _ { 0 } \right] \right) \Gamma _ { k } ^ { ( n ) } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } ) \; .
w _ { \mathrm { p c } } ( \tilde { z } ) = \frac { s R _ { 0 } ^ { 2 } } { \mu } \left( \frac { 1 } { 4 } \left( \tilde { R } ^ { 2 } - | \tilde { z } | ^ { 2 } \right) + \frac { 1 } { N } \tilde { R } ^ { 2 } \tau ( \tilde { z } ) \right)
{ \begin{array} { r l } { J _ { x } } & { = \sigma _ { x x } E _ { x } + \sigma _ { x y } E _ { y } + \sigma _ { x z } E _ { z } } \\ { J _ { y } } & { = \sigma _ { y x } E _ { x } + \sigma _ { y y } E _ { y } + \sigma _ { y z } E _ { z } } \\ { J _ { z } } & { = \sigma _ { z x } E _ { x } + \sigma _ { z y } E _ { y } + \sigma _ { z z } E _ { z } } \end{array} } .
\begin{array} { r l } { \varepsilon ^ { * } \Delta _ { 1 } } & { = \left[ \begin{array} { c c c } { - 0 . 9 9 9 2 } & { - 0 . 0 9 8 3 } & { 0 . 0 6 3 6 } \\ { 0 . 0 7 3 2 } & { - 0 . 2 2 9 6 } & { 0 . 2 1 1 1 } \\ { 0 . 0 5 0 6 } & { - 0 . 1 2 8 2 } & { 0 . 1 1 6 6 } \end{array} \right] , \quad \varepsilon ^ { * } \Delta _ { 0 } = \left[ \begin{array} { c c c } { - 0 . 0 0 0 6 } & { 0 . 2 0 2 0 } & { - 0 . 1 9 4 0 } \\ { - 0 . 4 9 0 1 } & { - 0 . 0 4 5 9 } & { - 0 . 0 1 2 9 } \\ { - 0 . 2 6 7 4 } & { 0 . 0 1 2 0 } & { - 0 . 0 3 9 7 } \end{array} \right] . } \end{array}
\varphi ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { - \gamma + \beta S _ { \infty } + \beta \alpha \nu P _ { \infty } + \beta \alpha \nu T _ { \infty } - \beta \alpha \nu T _ { \infty } \frac { ( 1 - e ^ { - x } ) } { x } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } x > 0 } \\ { - \gamma + \beta S _ { \infty } + \beta \alpha \nu P _ { \infty } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } x = 0 . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { a _ { \pm } } & { = \mp 2 \kappa \, , } \\ { A _ { \pm } } & { = \frac { 8 ^ { \pm 1 } } { \pi } \sin ( \mp \kappa ) \frac { \Gamma ( \pm \kappa ) } { \Gamma ( \mp \kappa ) } = - \frac { 8 ^ { \pm 1 } } { \Gamma ( \mp \kappa ) \Gamma ( 1 \mp \kappa ) } \, , } \\ { \beta _ { 1 } ^ { - } } & { = - \beta _ { 2 } ^ { - } = - 4 \kappa \, . } \end{array}
\mathcal { F } = 0 . 5 f _ { \mathrm { a s p } } ^ { 2 } + 0 . 5 f _ { \mathrm { m i n r } } ^ { 2 } + f _ { \langle B \rangle } ^ { 2 } + f _ { \bar { \iota } } ^ { 2 } + ( 7 0 f _ { \mathrm { b a l l } } ) ^ { 2 } ,
\sqrt { T } = \eta \cos ( \delta _ { 1 } - \delta _ { 2 } ) , \ \ \ \ \psi ^ { T } = \delta _ { 1 } + \delta _ { 2 } , \ \ \ \ \sqrt { R ^ { r / l } } = \left| \eta \sin ( \delta _ { 1 } - \delta _ { 2 } ) \pm \sqrt { \eta ^ { 2 } - 1 } \right| , \ \ \ \ \psi ^ { R } = \psi ^ { T } + \frac { \pi } { 2 } ,
\left\vert e ^ { 2 \pi i \eta _ { j , k } ( \boldsymbol { \xi } ) } - e ^ { 2 \pi i \eta _ { 0 , 0 } ( \boldsymbol { \xi } ) } \right\vert = \left\vert e ^ { 2 \pi i ( \eta _ { j , k } ( \boldsymbol { \xi } ) - \eta _ { 0 , 0 } ( \boldsymbol { \xi } ) ) } - 1 \right\vert \leq 2 \pi \left\vert \eta _ { j , k } ( \boldsymbol { \xi } ) - \eta _ { 0 , 0 } ( \boldsymbol { \xi } ) \right\vert \, ,
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { p \mathrm { { P r } } } \frac { d } { d t } \| \hat { \omega } \| _ { p } ^ { p } \leq \frac { p - 1 } { 2 } \mathrm { { R a } } ^ { 2 } | \Omega | ^ { \frac { 2 } { p } } \| \hat { \omega } \| _ { p } ^ { p - 2 } - 2 \frac { p - 1 } { p ^ { 2 } C _ { p } ^ { 2 } } \| \hat { \omega } \| _ { p } ^ { p } \, , } \end{array}
m _ { \nu } ^ { ( l ) } \simeq { \frac { m _ { \nu } ^ { D } m _ { \nu } ^ { D } { } ^ { T } } { m _ { N } } } \simeq \left( \begin{array} { c c c } { { \epsilon _ { 1 } ^ { 4 } } } & { { \epsilon _ { 2 } \epsilon _ { 1 } ^ { 2 } } } & { { \epsilon _ { 2 } \epsilon _ { 1 } ^ { 2 } } } \\ { { \epsilon _ { 1 } ^ { 2 } \epsilon _ { 2 } } } & { { \epsilon _ { 2 } ^ { 2 } } } & { { \epsilon _ { 2 } ^ { 2 } } } \\ { { \epsilon _ { 1 } ^ { 2 } \epsilon _ { 2 } } } & { { \epsilon _ { 2 } ^ { 2 } } } & { { \epsilon _ { 2 } ^ { 2 } } } \end{array} \right) { \frac { v ^ { 2 } } { M _ { R } } } .
\begin{array} { r } { \int _ { G } { | \nabla x | ^ { 2 } } d z = - \int _ { G } { x \Delta x } d z \leq \left( \int _ { G } { x } ^ { 2 } d z \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left( \int _ { G } ( \Delta x ) ^ { 2 } d z \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \leq } \\ { \left( \frac { 1 } { \mu _ { 1 } } \int _ { G } | { \nabla x } | ^ { 2 } d z \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left( \int _ { G } ( \Delta x ) ^ { 2 } d z \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { V _ { 1 } ^ { \prime } \propto } & { \cos \left[ ( \Delta \omega + \omega _ { \mathrm { L O } } ) t + \tilde { \psi } _ { 1 } ( t ) - \tilde { \psi } _ { 1 } ( t + \tau ) \right. } \\ & { \left. + \tilde { \phi } _ { \mathrm { A O M } } ( t ) - \tilde { \phi } _ { \mathrm { f i b e r } } ( t ) + \tilde { \phi } _ { \mathrm { L O } } ( t ) \right] . } \end{array}
g _ { \bar { i } } = \frac { k _ { \bar { i } } } { 1 + k _ { \bar { i } } } 2 \mathrm { w } _ { i } C _ { \mathrm { e q } } + \frac { 1 - k _ { \bar { i } } } { 1 + k _ { \bar { i } } } g _ { i } .
F ^ { L ( R ) } = 1 - { \frac { c _ { 1 2 } ^ { L ( R ) } c _ { 3 4 } ^ { L ( R ) } } { s u } } - { \frac { c _ { 2 3 } ^ { L ( R ) } c _ { 4 1 } ^ { L ( R ) } } { t u } } \ .
\left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 1 } & { 0 } \\ { \omega _ { \mathrm { E I } } } & { - \omega _ { \mathrm { A I } } } & { \omega _ { \mathrm { A R } } } \\ { \omega _ { \mathrm { E I } } ^ { 2 } } & { \left( \omega _ { \mathrm { A I } } ^ { 2 } - \omega _ { \mathrm { A R } } ^ { 2 } \right) } & { - 2 \omega _ { \mathrm { A R } } \omega _ { \mathrm { A I } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { C _ { 1 \rho n } } \\ { C _ { 2 \rho n } } \\ { C _ { 3 \rho n } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { I _ { 1 n } } \\ { I _ { 2 n } } \\ { I _ { 3 n } } \end{array} \right) .
I = \int \frac { d ^ { d } k } { ( 2 \pi ) ^ { d } } \frac { k ^ { 2 a } } { ( k ^ { 2 } - \Delta ( p ^ { 2 } ) ) ^ { b } } = \frac { i } { ( 4 \pi ) ^ { d / 2 } } \frac { ( - 1 ) ^ { a - b } } { \Delta ( p ^ { 2 } ) ^ { b - a - d / 2 } } \frac { \Gamma ( a + d / 2 ) \Gamma ( b - a - d / 2 ) } { \Gamma ( b ) \Gamma ( d / 2 ) } ,
\overline { { C ( N , N _ { 0 } , \alpha , \beta ) _ { U C } } } = \frac { 1 } { R + 1 } + \frac { R } { R + 1 } \frac { \Gamma ( N _ { 0 } ) \Gamma ( N - \alpha - \beta ) } { \Gamma ( N _ { 0 } - \alpha - \beta ) \Gamma ( N ) } .
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \nabla } \cdot \mathbf { A } = } & { { } - \frac { 1 } { c } \frac { \partial \Phi } { \partial t } } \\ { \mathbf { E } = } & { { } - \frac { 1 } { c } \frac { \partial \mathbf { A } } { \partial t } - \boldsymbol { \nabla } \Phi } \end{array}
\begin{array} { r l } { \textbf { P } ( \textbf { x } , t ) } & { \equiv 1 6 \, \kappa \left[ \left( \textbf { E } ^ { 2 } - \textbf { B } ^ { 2 } \right) \textbf { E } + 2 \beta \left( \textbf { E } \cdot \textbf { B } \right) \textbf { B } \right] , } \\ { \textbf { M } ( \textbf { x } , t ) } & { \equiv 1 6 \, \kappa \left[ \left( \textbf { E } ^ { 2 } - \textbf { B } ^ { 2 } \right) \textbf { B } - 2 \beta \left( \textbf { E } \cdot \textbf { B } \right) \textbf { E } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E 1 _ { P V } } & { = } & { \sum _ { I \ne i } \frac { \langle \Phi _ { 0 } | a _ { f } \Omega _ { 0 } ^ { ( 0 ) \dagger } D \Omega _ { 0 } ^ { ( 0 ) } \Omega _ { 0 } ^ { ( 0 ) \dagger } H _ { W } \Omega _ { 0 } ^ { ( 0 ) } a _ { i } ^ { \dagger } | \Phi _ { 0 } \rangle } { { \cal N } _ { i f } ( E _ { f } ^ { ( 0 ) } - E _ { I } ^ { ( 0 ) } - \omega ) } } \\ & { + } & { \sum _ { I \ne i } \frac { \langle \Phi _ { 0 } | a _ { f } \Omega _ { f } ^ { ( 0 ) \dagger } D \Omega _ { 0 } ^ { ( 0 ) } \Omega _ { 0 } ^ { ( 0 ) \dagger } H _ { W } \Omega _ { i } ^ { ( 0 ) } a _ { i } ^ { \dagger } | \Phi _ { 0 } \rangle } { { \cal N } _ { i f } ( E _ { f } ^ { ( 0 ) } - E _ { I } ^ { ( 0 ) } - \omega ) } } \\ & { + } & { \sum _ { I \ne i } \frac { \langle \Phi _ { 0 } | a _ { f } \Omega _ { 0 } ^ { ( 0 ) \dagger } D \Omega _ { 0 } ^ { ( 0 ) } \Omega _ { 0 } ^ { ( 0 ) \dagger } H _ { W } \Omega _ { i } ^ { ( 0 ) } a _ { i } ^ { \dagger } | \Phi _ { 0 } \rangle } { { \cal N } _ { i f } ( E _ { f } ^ { ( 0 ) } - E _ { I } ^ { ( 0 ) } - \omega ) } } \\ & { + } & { \sum _ { I \ne i } \frac { \langle \Phi _ { 0 } | a _ { f } \Omega _ { f } ^ { ( 0 ) \dagger } D \Omega _ { 0 } ^ { ( 0 ) } \Omega _ { 0 } ^ { ( 0 ) \dagger } H _ { W } \Omega _ { 0 } ^ { ( 0 ) } a _ { i } ^ { \dagger } | \Phi _ { 0 } \rangle } { { \cal N } _ { i f } ( E _ { f } ^ { ( 0 ) } - E _ { I } ^ { ( 0 ) } - \omega ) } } \\ & { + } & { \sum _ { I \ne i } \frac { \langle \Phi _ { 0 } | a _ { f } \Omega _ { 0 } ^ { ( 0 ) \dagger } D \Omega _ { I } ^ { ( 0 ) } \Omega _ { I } ^ { ( 0 ) \dagger } H _ { W } \Omega _ { 0 } ^ { ( 0 ) } a _ { i } ^ { \dagger } | \Phi _ { 0 } \rangle } { { \cal N } _ { i f } ( E _ { f } ^ { ( 0 ) } - E _ { I } ^ { ( 0 ) } - \omega ) } } \\ & { + } & { \sum _ { I \ne i } \frac { \langle \Phi _ { 0 } | a _ { f } \Omega _ { f } ^ { ( 0 ) \dagger } D \Omega _ { I } ^ { ( 0 ) } \Omega _ { I } ^ { ( 0 ) \dagger } H _ { W } \Omega _ { i } ^ { ( 0 ) } a _ { i } ^ { \dagger } | \Phi _ { 0 } \rangle } { { \cal N } _ { i f } ( E _ { f } ^ { ( 0 ) } - E _ { I } ^ { ( 0 ) } - \omega ) } } \\ & { + } & { \sum _ { I \ne i } \frac { \langle \Phi _ { 0 } | a _ { f } \Omega _ { 0 } ^ { ( 0 ) \dagger } D \Omega _ { I } ^ { ( 0 ) } \Omega _ { I } ^ { ( 0 ) \dagger } H _ { W } \Omega _ { i } ^ { ( 0 ) } a _ { i } ^ { \dagger } | \Phi _ { 0 } \rangle } { { \cal N } _ { i f } ( E _ { f } ^ { ( 0 ) } - E _ { I } ^ { ( 0 ) } - \omega ) } } \\ & { + } & { \sum _ { I \ne i } \frac { \langle \Phi _ { 0 } | a _ { f } \Omega _ { f } ^ { ( 0 ) \dagger } D \Omega _ { I } ^ { ( 0 ) } \Omega _ { I } ^ { ( 0 ) \dagger } H _ { W } \Omega _ { 0 } ^ { ( 0 ) } a _ { i } ^ { \dagger } | \Phi _ { 0 } \rangle } { { \cal N } _ { i f } ( E _ { f } ^ { ( 0 ) } - E _ { I } ^ { ( 0 ) } - \omega ) } } \\ & { + } & { \sum _ { I \ne i } \frac { \langle \Phi _ { 0 } | a _ { f } \Omega _ { 0 } ^ { ( 0 ) \dagger } D \Omega _ { I } ^ { ( 0 ) } \Omega _ { 0 } ^ { ( 0 ) \dagger } H _ { W } \Omega _ { 0 } ^ { ( 0 ) } a _ { i } ^ { \dagger } | \Phi _ { 0 } \rangle } { { \cal N } _ { i f } ( E _ { f } ^ { ( 0 ) } - E _ { I } ^ { ( 0 ) } - \omega ) } } \end{array}
\beta R _ { 1 } = 1 - \exp \left( W \left( - \frac { 1 } { 4 } \right) \right) \simeq 0 . 3 0 , ~ ~ ~ \beta R _ { 2 } = 1 - \exp \left( W _ { - 1 } \left( - \frac { 1 } { 4 } \right) \right) \simeq 0 . 8 8 .
\begin{array} { r l } { \xi ( { \boldsymbol x } ) } & { = \sum _ { m , n = 0 } ^ { \infty } \cos \left( n { \boldsymbol b _ { 1 } } \cdot { \boldsymbol x } \right) \left[ \alpha _ { m , n } \cos \left( n { \boldsymbol b _ { 2 } } \cdot { \boldsymbol x } \right) + \beta _ { m , n } \sin \left( n { \boldsymbol b _ { 2 } } \cdot { \boldsymbol x } \right) \right] } \\ & { + \sum _ { m , n = 0 } ^ { \infty } \sin \left( m { \boldsymbol b _ { 1 } } \cdot { \boldsymbol x } \right) \left[ \gamma _ { m , n } \cos \left( n { \boldsymbol b _ { 2 } } \cdot { \boldsymbol x } \right) + \delta _ { m , n } \sin \left( n { \boldsymbol b _ { 2 } } \cdot { \boldsymbol x } \right) \right] \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { \widetilde { Q } _ { w } ^ { * } = \widetilde { Q } _ { n , w } ^ { c o r r } = \frac { Q _ { n , w } ^ { c o r r } } { \sum _ { w = 1 } ^ { W } Q _ { n , w } ^ { c o r r } } = \frac { \sum _ { p _ { w } = 1 } ^ { P _ { w } } \rho _ { w } V _ { n , p _ { w } } f _ { n , w } } { \sum _ { w = 1 } ^ { W } \left( \sum _ { p _ { w } = 1 } ^ { P _ { W } } \rho _ { w } V _ { n , p _ { w } } f _ { n , w } \right) } \qquad \qquad w = 1 , 2 , . . . , W } \end{array}
\lambda _ { 1 } \le \frac { \langle \rho _ { e q } ^ { 1 / 2 } \eta \rvert \hat { \tilde { \Gamma } } \lvert \rho _ { e q } ^ { 1 / 2 } \eta \rangle } { \langle \rho _ { e q } ^ { 1 / 2 } \eta \rvert \rho _ { e q } ^ { 1 / 2 } \eta \rangle } = D \frac { \langle \eta ^ { \prime } \rvert \rho _ { e q } \lvert \eta ^ { \prime } \rangle } { \langle \rho _ { e q } ^ { 1 / 2 } \eta \rvert \rho _ { e q } ^ { 1 / 2 } \eta \rangle } .
\begin{array} { r } { u _ { r } = w , \quad u _ { \theta } = - \frac { 1 } { \sin \theta } \frac { \partial \psi } { \partial \phi } - \frac { \partial g } { \partial \theta } , \quad u _ { \phi } = - \frac { 1 } { \sin \theta } \frac { \partial g } { \partial \phi } + \frac { \partial \psi } { \partial \theta } } \\ { \sigma _ { r \theta } = - \frac { 1 } { \sin \theta } \frac { \partial \sigma _ { 1 } } { \partial \phi } - \frac { \partial \sigma _ { 2 } } { \partial \theta } , \quad \sigma _ { r \phi } = - \frac { 1 } { \sin \theta } \frac { \partial \sigma _ { 2 } } { \partial \phi } + \frac { \partial \sigma _ { 1 } } { \partial \theta } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { K _ { \, t \, t } ^ { \phantom { \, t } \phantom { \, t } } } & { = } & { \frac { a ^ { 4 } + a ^ { 2 } r ^ { 2 } + 2 \, m r ^ { 3 } } { a ^ { 2 } - 2 \, m r + r ^ { 2 } } } \\ { K _ { \, t \, { \phi } } ^ { \phantom { \, t } \phantom { \, { \phi } } } } & { = } & { - \frac { a ^ { 3 } + a r ^ { 2 } } { a ^ { 2 } - 2 \, m r + r ^ { 2 } } } \\ { K _ { \, r \, r } ^ { \phantom { \, r } \phantom { \, r } } } & { = } & { - a ^ { 2 } + 2 \, m r } \\ { K _ { \, { \theta } \, { \theta } } ^ { \phantom { \, { \theta } } \phantom { \, { \theta } } } } & { = } & { \frac { { \left( 4 \, \pi ^ { 2 } - 4 \, \pi \mu + \mu ^ { 2 } \right) } r ^ { 4 } } { 4 \, \pi ^ { 2 } } } \\ { K _ { \, { \phi } \, t } ^ { \phantom { \, { \phi } } \phantom { \, t } } } & { = } & { - \frac { a ^ { 3 } + a r ^ { 2 } } { a ^ { 2 } - 2 \, m r + r ^ { 2 } } } \\ { K _ { \, { \phi } \, { \phi } } ^ { \phantom { \, { \phi } } \phantom { \, { \phi } } } } & { = } & { \frac { a ^ { 2 } r ^ { 2 } - 2 \, m r ^ { 3 } + r ^ { 4 } + a ^ { 2 } } { a ^ { 2 } - 2 \, m r + r ^ { 2 } } } \end{array}
w _ { n } ^ { \prime } = \left\{ \begin{array} { l l } { { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } , } } & { { n = 0 } } \\ { { ( - 1 ) ^ { n / 2 } , } } & { { n \; \mathrm { e v e n } , \; n > 0 } } \\ { { 0 , } } & { { n \; \mathrm { o d d } } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { ( U _ { i } ) _ { j + \frac { 1 } { 2 } , L } } & { = } & { ( U _ { i } ) _ { j } + \frac { 1 } { 2 } \phi ( \Delta _ { j } ^ { + } \widetilde { f } _ { 1 i } ^ { e q } + \Delta _ { j } ^ { + } \widetilde { f } _ { 2 i } ^ { e q } , \Delta _ { j } ^ { - } \widetilde { f } _ { 1 i } ^ { e q } + \Delta _ { j } ^ { - } \widetilde { f } _ { 2 i } ^ { e q } ) } \\ & { = } & { ( U _ { i } ) _ { j } + \frac { 1 } { 2 } \phi ( \Delta _ { j } ^ { + } U _ { i } , \Delta _ { j } ^ { - } U _ { i } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d f } { d t } = \frac { d f } { d \xi } \frac { d \xi } { d t } = ( 1 - v _ { z } ) \frac { d f } { d \xi } = \frac { 1 + \psi } { \gamma } \frac { d f } { d \xi } . } \end{array}
\begin{array} { c c c } { { V ^ { r } = r ^ { m + { \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } } } \cos ( \delta + ( p - 1 ) \varphi ) , } } & { { } } & { { V ^ { \varphi } = r ^ { m - { \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } } } \sin ( \delta + ( p - 1 ) \varphi ) . } } \end{array}