harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { c ^ { ( r ) } } & { = \frac { \mathbb { E } _ { H } \left[ \left\Vert \left( I - \frac { \eta _ { l } } { b } H \right) e _ { 1 } \right\Vert ^ { 2 } \right] ( 1 - p + ( 2 p - 1 ) \mathbb { E } _ { H } \left[ \left\Vert \left( I - \frac { \eta _ { u } } { b } H \right) e _ { 1 } \right\Vert ^ { 2 } \right] ) } { 2 ( 1 - ( 1 - p ) \mathbb { E } _ { H } \left[ \left\Vert \left( I - \frac { \eta _ { u } } { b } H \right) e _ { 1 } \right\Vert ^ { 2 } \right] ) } } \\ & { \qquad + \frac { \mathbb { E } _ { H } \left[ \left\Vert \left( I - \frac { \eta _ { u } } { b } H \right) e _ { 1 } \right\Vert ^ { 2 } \right] ( 1 - p + ( 2 p - 1 ) \mathbb { E } _ { H } \left[ \left\Vert \left( I - \frac { \eta _ { l } } { b } H \right) e _ { 1 } \right\Vert ^ { 2 } \right] ) } { 2 ( 1 - ( 1 - p ) \mathbb { E } _ { H } \left[ \left\Vert \left( I - \frac { \eta _ { l } } { b } H \right) e _ { 1 } \right\Vert ^ { 2 } \right] ) } . } \end{array}
S _ { s t a t } = 2 \pi \left( 4 \alpha ^ { \prime } Q _ { 1 } Q _ { 2 } - 2 \sum _ { i = 1 } ^ { [ { \frac { D - 1 } { 2 } } ] } J _ { i } ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } .
| P _ { \mathrm { s s } , P _ { 0 } } ^ { \lambda } \rangle ( t ) = | R _ { 0 , \mathrm { D } } ^ { \lambda } \rangle + \sum _ { j = 1 } ^ { n - 1 } \mathrm { e } ^ { + i t \mathrm { I m } ( \theta _ { j , \mathrm { D } } ^ { \lambda } ) } | R _ { j , \mathrm { D } } ^ { \lambda } \rangle \langle L _ { j , \mathrm { D } } ^ { \lambda } | P _ { 0 } \rangle \, .
\frac { 1 } { n } H \left( \nu ^ { ( \cdot , n ^ { \prime } ( \cdot ) ) } , { \mathcal D } _ { ( q + 1 ) n } \right) = H _ { n } ( \nu ^ { ( \cdot , n ^ { \prime } ( \cdot ) ) } ) + \frac { 1 } { n } H \left( \nu ^ { ( \cdot , n ^ { \prime } ( \cdot ) ) } , { \mathcal D } _ { ( q + 1 ) n } | { \mathcal D } _ { n } \right) \overset { \mathbb P } { \longrightarrow } \alpha .
\begin{array} { r } { G ( { a } , \lambda ) = \int _ { A } ^ { B } w ( \bar { \lambda } _ { 1 } , \lambda ) \, R \, d R - \frac { 1 } { 2 } P A ^ { 2 } { a } ^ { 2 } \lambda - \frac { N } { 2 \pi } \lambda . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varphi ( t _ { 1 } , t _ { 2 } , \ldots , t _ { k } ) } & { { } = ( 2 \pi ) ^ { - N / 2 } \left( \prod _ { j = 1 } ^ { N } \int d U _ { j } \right) e ^ { i \sum _ { i = 1 } ^ { k } t _ { i } \cdot Q _ { i } } \cdot e ^ { - \sum _ { j = 1 } ^ { N } U _ { j } ^ { 2 } / 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { v _ { i } = \frac { 1 } { 1 6 \pi \eta _ { 0 } } \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } F _ { j } \left[ \delta _ { i j } G _ { 0 } - x _ { j } \frac { \partial G _ { 0 } } { \partial x _ { i } } + \frac { a _ { j } ^ { 2 } } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } G _ { 1 } } { \partial x _ { i } \partial x _ { j } } \right] } \\ { v _ { i } = \frac { 3 } { 6 4 \pi \eta _ { 0 } } \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \left( \boldsymbol { T \times \nabla } \right) _ { j } \left[ \delta _ { i j } G _ { 1 } - x _ { j } \frac { \partial G _ { 1 } } { \partial x _ { i } } + \frac { a _ { j } ^ { 2 } } { 4 } \frac { \partial ^ { 2 } G _ { 2 } } { \partial x _ { i } \partial x _ { j } } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { i } ^ { j + 1 } } & { { } = \frac { \rho _ { i - 1 } ^ { j } + \rho _ { i + 1 } ^ { j } } { 2 } - \frac { \Delta t } { 2 \Delta x } \left( c ( x _ { i + 1 } ) V ( h _ { i + 1 } ^ { j } ) \rho _ { i + 1 } ^ { j } - c ( x _ { i - 1 } ) V ( h _ { i - 1 } ^ { j } ) \rho _ { i - 1 } ^ { j } \right) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { | S ( \delta t ) | ^ { 2 } } & { = | \left\langle \psi ( 0 ) | \psi ( \delta t ) \right\rangle | ^ { 2 } = \sum _ { n , m } | c _ { n } | ^ { 2 } | c _ { m } | ^ { 2 } e ^ { - i { \frac { \delta t } { \hbar } } \left( E _ { n } - E _ { m } \right) } = } \\ & { = \sum _ { n , m } | c _ { n } | ^ { 2 } | c _ { m } | ^ { 2 } \cos \left( { \frac { \delta t } { \hbar } } \left( E _ { n } - E _ { m } \right) \right) , } \end{array} }
{ \boldsymbol { \beta } } = ( \beta _ { 1 } , \, \beta _ { 2 } , \, \beta _ { 3 } ) = { \frac { 1 } { c } } ( v _ { 1 } , \, v _ { 2 } , \, v _ { 3 } ) = { \frac { 1 } { c } } \mathbf { v } \, .
S _ { 1 } = \frac { 1 } { 2 \pi } \int \! \sqrt { - \hat { g } } d ^ { 2 } x e ^ { - 2 \phi } \left( \hat { R } + 4 \hat { g } ^ { \mu \nu } \partial _ { \mu } \phi \partial _ { \nu } \phi + \Lambda e ^ { - 2 \phi } \right) ,
\begin{array} { r l } { \frac { P ( Y = k ) } { P ( X = k ) } } & { = \frac { { \binom { M } { k - x _ { i } ^ { \prime } } } p ^ { k - x _ { i } ^ { \prime } } ( 1 - p ) ^ { M - k + x _ { i } ^ { \prime } } } { { \binom { M } { k - x _ { i } } } p ^ { k - x _ { i } } ( 1 - p ) ^ { M - k + x _ { i } } } } \\ & { = \frac { ( k - x _ { i } ^ { \prime } + 1 ) ( k - x _ { i } ^ { \prime } + 2 ) \cdots ( k - x _ { i } ) } { ( N - k + x _ { i } + 1 ) ( N - k + x _ { i } + 2 ) \cdots ( N - k + x _ { i } ^ { \prime } ) } ( \frac { 1 - p } { p } ) ^ { x _ { i } ^ { \prime } - x _ { i } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { k \left( L _ { 0 } \right) = \frac { d a ( L _ { 0 } ) } { d L _ { 0 } } = \gamma \frac { d L _ { 0 } ^ { \alpha } } { d L _ { 0 } } = \gamma \alpha L _ { 0 } ^ { \alpha - 1 } = \gamma \alpha \left( ( 1 - \alpha ) \gamma \tau \right) ^ { - 1 } \ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { d t } & { = \sinh ( a \overline { { t } } ) d \overline { { x } } + ( 1 + a \overline { { x } } ) \cosh ( a \overline { { t } } ) d \overline { { t } } , } \\ { d x } & { = \cosh ( a \overline { { t } } ) d \overline { { x } } + ( 1 + \overline { { x } } a ) \sinh ( a \overline { { t } } ) d \overline { { t } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { P _ { i + 1 / 2 , j , k } ^ { n } = P ( | \overrightarrow { S } | _ { i + 1 / 2 , j , k } ^ { n } ) , | \overrightarrow { S } | _ { i + 1 / 2 , j , k } ^ { n } = \frac { | \overrightarrow { S } | _ { i , j , k } ^ { n } + | \overrightarrow { S } | _ { i \pm 1 , j , k } ^ { n } } { 2 } , } \end{array}
W e = \frac { \rho V _ { 0 } ^ { 2 } D _ { 0 } } { \gamma } , \quad R e = \frac { \rho V _ { 0 } D _ { 0 } } { \mu } , \quad F r = \frac { V _ { 0 } ^ { 2 } } { g D _ { 0 } }
\Xi = \sqrt { \frac { x _ { T } ^ { M } } { ( 2 \pi ) ^ { M } \mathrm { d e t } ( C ) } } \cdot \sum _ { S _ { 1 } , \dots , S _ { M } } z ^ { \sum _ { i } | S _ { i } | } \int \mathrm { d } \varphi e ^ { - \frac { x _ { T } } { 2 } \varphi ^ { T } C ^ { - 1 } \varphi + i ( S + q ) ^ { T } \varphi } ,
\begin{array} { r l } & { T B P ( x , y ) = 0 . 0 0 5 4 x ^ { 4 } + 0 . 0 0 9 1 x ^ { 3 } y - 0 . 1 1 7 7 x ^ { 3 } - 0 . 0 0 4 1 x ^ { 2 } y ^ { 2 } - 0 . 1 4 3 3 x ^ { 2 } y } \\ & { + 0 . 9 3 0 4 x ^ { 2 } - 0 . 0 4 6 9 x y ^ { 3 } + 0 . 1 9 0 5 x y ^ { 2 } + 0 . 5 3 4 2 x y - 3 . 2 6 9 x - 0 . 0 9 9 y ^ { 4 } } \\ & { + 0 . 6 1 5 y ^ { 3 } - 1 . 4 2 2 y ^ { 2 } + 0 . 2 5 3 7 y + 4 . 7 2 . } \end{array}
\lambda ( z ) = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \sigma _ { c } R \, d \theta = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { \epsilon _ { 0 } ( \Delta V - 2 \rho J z ) \sqrt { l ^ { 2 } - R ^ { 2 } } } { 2 \cosh ^ { - 1 } ( l / R ) \, ( l + R \cos \theta ) } \, d \theta .
\Delta _ { \kappa \; \mu \nu } ^ { a b } ( x , y ) \; \equiv \; - i \, \frac { \delta } { \delta { \cal J } _ { a } ^ { \mu } ( x ) } \, \langle \; { \cal A } _ { \nu } ^ { b } ( y ) \; \rangle _ { \kappa } \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \left[ \; \Delta _ { \kappa } ^ { - 1 } \; \right] _ { \mu \nu } ^ { a b } ( x , y ) \; = \; i \, \frac { \delta } { \delta \langle \, { \cal A } _ { a } ^ { \mu } ( x ) \, \rangle _ { \kappa } } \, { \cal J } _ { \nu } ^ { b } ( y ) \; .
\mathcal { I } \left[ \Bar { \eta } = \frac { \eta } { \kappa } , \sigma \right] = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { \Bar { \eta } ^ { 4 } + \Bar { \eta } ^ { 2 } + \sigma ^ { 2 } } { \Bar { \eta } ^ { 4 } + 2 \Bar { \eta } ^ { 2 } + ( 1 + \sigma ^ { 2 } ) } \mathrm { d } \phi ,
\begin{array} { r l r } { I _ { \mathrm { F } } ( \theta ) } & { = } & { \sum _ { x , y = \pm 1 } \frac { 1 } { p ( x , y | \theta ) } \left( \frac { \partial p ( x , y | \theta ) } { \partial \theta } \right) ^ { 2 } = \frac { 1 } { 1 - E _ { 1 2 } ^ { 2 } ( \theta ) } \left( \frac { \partial E _ { 1 2 } ( \theta ) } { \partial \theta } \right) ^ { 2 } > 0 \; , } \end{array}
\mathcal { D } _ { G } ( a ) = N _ { G } ( a ) \exp \left( \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d t } { t } \left[ \frac { a ^ { 2 } } { 2 } e ^ { - 2 t } - \sum _ { \alpha > 0 } \Psi _ { \alpha } ( t ) \mathcal { F } _ { \alpha } ( a , t ) \right] \right)
\begin{array} { r l } { \alpha _ { n } = } & { \int _ { \Delta _ { n } } \left( 1 - 1 _ { \widetilde { \textrm { s u p p } } ( { q } _ { \theta } ) } ( \phi ) \right) p ( \phi ) \, \mathcal { D } [ \phi ] } \\ { = } & { \frac { 1 } { Z } \int _ { \Delta _ { n } } \left( 1 - 1 _ { \widetilde { \textrm { s u p p } } ( { q } _ { \theta } ) } ( \phi ) \right) e ^ { - S ( \phi ) } \, \mathcal { D } [ \phi ] } \\ { = } & { \frac { 1 } { Z } \left( \int _ { \Delta _ { n } } e ^ { - S ( \phi ) } \, \mathcal { D } [ \phi ] - \int _ { { \Delta _ { n } } \cap \, { \widetilde { \textrm { s u p p } } ( { q } _ { \theta } ) } } e ^ { - S ( \phi ) } \, \mathcal { D } [ \phi ] \right) \, , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \Xi _ { l } ( p ) = \displaystyle \sum _ { \alpha , \beta } \big \vert \Xi _ { p } ( \alpha , \beta , p ) \big \vert , \mathrm { ~ w h e r e ~ } \vert \alpha - \beta \vert < 2 5 } \\ { \Xi _ { n } ( p ) = \displaystyle \sum _ { \alpha , \beta } \big \vert \Xi _ { p } ( \alpha , \beta , p ) \big \vert , \mathrm { ~ w h e r e ~ } \vert \alpha - \beta \vert \ge 2 5 } \end{array} \right. .
\left( \begin{array} { c c } { \Gamma _ { n ( z ) } } \\ { \xi _ { n ( z ) } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c } { \Psi _ { n ( z ) } + i \Omega _ { n ( z ) } } \\ { \Psi _ { n ( z ) } - i \Omega _ { n ( z ) } } \end{array} \right) = \sqrt { \frac { \pi z } { 2 } } \left( \begin{array} { c c } { J _ { n + 1 / 2 \, ( z ) } + i Y _ { n + 1 / 2 \, ( z ) } } \\ { J _ { n + 1 / 2 \, ( z ) } - i Y _ { n + 1 / 2 \, ( z ) } } \end{array} \right)
\Psi _ { { \bf p } } ^ { ( - ) } ( { \bf x } , t ) = \mathrm { e } ^ { + i w _ { { \bf p } } t } \, \Psi _ { { \bf p } } ^ { ( - ) } ( { \bf x } ) = \frac { 1 } { { 2 \pi } } \frac { w _ { { \bf p } } + m } { \sqrt { 4 m w _ { { \bf p } } } } \left( \begin{array} { c } { { \frac { m - w _ { { \bf p } } } { m + w _ { { \bf p } } } } } \\ { { 1 } } \end{array} \right) \mathrm { e } ^ { \, - i { \bf p } \cdot { \bf x } + i w _ { { \bf p } } t } \; ,
\begin{array} { r l } { Z _ { \eta } \left( M \right) } & { { } = 2 ^ { \binom { M } { 2 } } + \sum _ { k = 2 } ^ { \infty } \frac { \left( - 1 \right) ^ { k + 1 } } { k } \left[ \sum _ { M _ { 1 } + \ldots + M _ { k } = M } \binom { M } { M _ { 1 } , \ldots , M _ { k } } 2 ^ { \sum _ { i = 1 } ^ { k } \binom { M _ { i } } { 2 } } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r } { \delta _ { 3 } = - \theta ( p ^ { 2 } = 0 ) = - \biggl [ e ^ { 2 } \Pi _ { L } ( 0 ) + \frac { e ^ { 2 } m ^ { 2 } } { M _ { f } ^ { 2 } } \phi ( 0 ) \biggr ] \, \ . } \end{array}
\left. \overline { { v } } _ { 1 } \right\vert _ { \underline { { \eta } } = 0 } = \frac { \left( 2 \mathrm { i } F ^ { \prime \prime } ( 0 ) \alpha _ { 1 } x _ { 1 } T _ { w } / \mu _ { w } \right) ^ { 2 / 3 } \mathrm { A i } ^ { \prime } ( \eta _ { 0 } ) \mu _ { w } \widetilde A _ { v } } { 2 x _ { 1 } T _ { w } \left( T _ { w } ^ { 2 } ( 2 x _ { 1 } ) ^ { 1 / 2 } - \mathrm { i } \widetilde A _ { v } \alpha _ { 1 } F ^ { \prime \prime } ( 0 ) \right) } .
( m _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ a ~ g ~ e ~ n ~ t ~ e ~ s ~ } } - m _ { \mathrm { ~ p ~ r ~ o ~ d ~ u ~ t ~ o ~ s ~ } } ) c ^ { 2 } = E ( ^ { 8 9 } \mathrm { ~ K ~ r ~ } ) + E ( ^ { 1 4 4 } \mathrm { ~ B ~ a ~ } ) - E ( ^ { 2 3 5 } \mathrm { ~ U ~ } ) > 0 .
\eta ^ { \mathrm { n u m } } = \left\{ \begin{array} { l l } { D _ { 0 } Z ( 0 . 4 7 1 4 2 \alpha - 0 . 1 4 6 2 9 ) , ~ ~ \alpha \leq 0 . 5 5 } \\ { D _ { 0 } Z ( 0 . 1 8 0 9 3 \alpha + 0 . 0 1 3 4 7 ) , ~ ~ \alpha > 0 . 5 5 } \end{array} \right.
\frac { 1 } { x } F _ { 2 , L } ^ { h } ( x , P ^ { 2 } ) = 2 e _ { h } ^ { 2 } \; \frac { \alpha _ { s } ( \mu _ { F } ^ { 2 } ) } { 2 \pi } \int _ { a x } ^ { 1 } \frac { d x ^ { \prime } } { x ^ { \prime } } \; C _ { 2 , L } \left( \frac { x } { x ^ { \prime } } , \rho \right) g ( x ^ { \prime } , \mu _ { F } ^ { 2 } )
| \Psi _ { 2 } ^ { 2 } ( p ) \rangle = \int [ 1 2 3 ] \tilde { \delta } ( p - p _ { 1 2 3 } ) \frac { f _ { \lambda } } { p ^ { - } - p _ { 1 2 3 } ^ { - } } V _ { \lambda } ^ { 3 1 } | 1 2 3 \rangle \; ,
- 7 2 5 3 1 8 4 a ^ { 9 } N + 9 0 6 6 4 8 a ^ { 9 } N ^ { 2 } - 1 6 2 7 1 7 8 8 3 2 3 a N ^ { 2 } - 6 0 9 7 8 7 5 9 9 1 a N ^ { 4 } + 5 2 1 2 6 7 5 3 5 a N ^ { 6 }
\begin{array} { l } { { \displaystyle \varrho = \sum _ { i } f _ { i } c _ { i } c _ { i } ^ { \dagger } , ~ ~ } { \displaystyle 2 \sum _ { i } f _ { i } = N _ { e } , ~ ~ f _ { i } \in [ 0 , 1 ] , } } \\ { { \displaystyle \sum _ { i , j } c _ { i } ^ { \dagger } s _ { i , j } c _ { j } = \delta _ { i , j } , ~ ~ } { \displaystyle s _ { i j } = \int \phi _ { i } ^ { * } ( { \bf r } ) \phi _ { j } ( { \bf r } ) d { \bf r } } , } \end{array}
F _ { h } ( \phi ^ { n + 1 } ) - F _ { h } ( \phi ^ { n } ) \leq - \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { 2 } \| \nabla _ { h } ( \phi ^ { n + 1 } - \phi ^ { n } ) \| _ { 2 } ^ { 2 } - s \| \nabla _ { h } \mu ^ { n + 1 } \| _ { 2 } ^ { 2 } - \frac { s } { \gamma } ( \| \boldsymbol { u } ^ { n + 1 } \| _ { 2 } ^ { 2 } + \| \nabla _ { h } \boldsymbol { u } ^ { n + 1 } \| _ { 2 } ^ { 2 } ) .
\begin{array} { r } { \rho _ { \phi , \mathrm { W } } ( q , p , \ensuremath { \mathbf { q } } \cdot \ensuremath { \mathbf { p } } ) = \sum _ { i = 1 } ^ { M } c _ { i } ^ { 2 } f _ { i , i } ( q , p ) + \sum _ { i = 1 } ^ { M } \sum _ { j = i + 1 } ^ { M } c _ { i } c _ { j } f _ { i , j } ( q , p , \ensuremath { \mathbf { q } } \cdot \ensuremath { \mathbf { p } } ) , } \end{array}
\Delta \bar { \delta } = 2 \tau _ { \delta } \left( \frac { \dot { \delta } _ { \kappa , 2 } - \dot { \delta } _ { \kappa , 1 } } { 2 } \right) _ { c o u n t e r } = \frac { 2 \tau _ { \delta } A \kappa _ { t } } { \pi L ^ { 2 } } ( \bar { \delta } \Delta \theta _ { p } - \Delta \bar { T } _ { 0 } ) \ .
\sigma _ { 2 3 } ^ { 2 } = - 1 ~ , ~ ~ \sigma _ { 1 3 } \sigma _ { 2 3 } = \sigma _ { 2 1 } ~ , ~ ~ \sigma _ { 1 2 3 } ~ \left( \sigma _ { 2 3 } , \sigma _ { 1 3 } , \sigma _ { 1 2 } \right) = - \left( \sigma _ { 1 } , \sigma _ { 2 } , \sigma _ { 3 } \right) ~ ,
\begin{array} { r l } { Q _ { \pm , \mu \nu } ^ { R R } = } & { { } \langle \partial _ { \mu } \psi _ { \pm } ^ { R } | \partial _ { \nu } \psi _ { \pm } ^ { R } \rangle - \langle \partial _ { \mu } \psi _ { \pm } ^ { R } | \psi _ { \pm } ^ { R } \rangle \langle \psi _ { \pm } ^ { R } | \partial _ { \nu } \psi _ { \pm } ^ { R } \rangle } \\ { \Omega _ { n } ^ { z , R R } = } & { { } i \Big ( \langle \partial _ { k _ { x } } \psi _ { n } ^ { R } | \partial _ { k _ { y } } \psi _ { n } ^ { R } \rangle - \langle \partial _ { k _ { y } } \psi _ { n } ^ { R } | \partial _ { k _ { x } } \psi _ { n } ^ { R } \rangle \Big ) } \end{array}
F _ { \mathrm { ~ c ~ } } ( l ) = A _ { \mathrm { ~ c ~ } } \exp ( - l / L _ { \mathrm { ~ c ~ } } ) , \, \, \, \, F _ { \mathrm { ~ g ~ } } ( l ) = A _ { \mathrm { ~ g ~ } } \exp ( - l / L _ { \mathrm { ~ g ~ } } ) ,
\begin{array} { r l } { R H S = } & { \sum _ { k = \tau + 1 } ^ { \omega - 1 } P _ { k , \omega } ( 1 ) \pi _ { k } + \sum _ { k = \tau + 2 } ^ { \omega } P _ { k , \omega + 1 } ( 1 ) \pi _ { k } + \cdots + } \\ & { \sum _ { k = \omega - 1 } ^ { \omega + t _ { m a x } - 2 } P _ { k , \omega + t _ { m a x } - 1 } ( 1 ) \pi _ { k } + } \\ & { \sum _ { k = \omega } ^ { \omega + t _ { m a x } - 1 } P _ { k , \omega + t _ { m a x } } ( 1 ) \pi _ { k } + \cdots } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Sigma _ { K K } = } & { { } \left[ \begin{array} { l l } { \Lambda _ { R | A } ^ { - 1 } , } & { \Lambda _ { R | A } ^ { - 1 } W \Omega ^ { 1 / 2 } ( I - \Omega ) ^ { 1 / 2 } } \\ { \Omega ^ { 1 / 2 } ( I - \Omega ) ^ { 1 / 2 } V ^ { T } \Lambda _ { R | A } ^ { - 1 } , } & { \Omega + \Omega ^ { 1 / 2 } ( I - \Omega ) ^ { 1 / 2 } V ^ { T } \Lambda _ { R | A } ^ { - 1 } W \Omega ^ { 1 / 2 } ( I - \Omega ) ^ { 1 / 2 } } \end{array} \right] , } \\ { \Lambda _ { R | A } = } & { { } \Psi ^ { - 1 } + W \Omega V ^ { T } , } \end{array}
J = I m ( V _ { u d } V _ { u b } ^ { * } V _ { t d } ^ { * } V _ { t b } ) = s _ { 1 } s _ { 2 } s _ { 3 } ^ { 2 } s i n \phi = \sqrt { \frac { m _ { d } } { m _ { s } } } \sqrt { \frac { m _ { u } } { m _ { c } } } V _ { c b } ^ { 2 } s i n \phi = ( 2 . 6 \pm 0 . 9 ) 1 0 ^ { - 5 } s i n \phi .
\begin{array} { r } { \mathcal { J } : = \left\lbrace ( k , k ^ { \prime } ) \in { \mathbb N } ^ { 2 } : \ \exists ( j , j ^ { \prime } ) \mathrm { ~ w i t h ~ } a _ { j , j ^ { \prime } , k , k ^ { \prime } } > 0 \right\rbrace , } \\ { \mathcal { F } : = \left\lbrace ( k , k ^ { \prime } ) \in { \mathbb N } ^ { 2 } : \ a _ { k , k ^ { \prime } , j , j ^ { \prime } } > 0 \ \forall ( j , j ^ { \prime } ) \right\rbrace . } \end{array}
[ P ^ { i } , - i A _ { ( 0 ) } ^ { j } { \bf 1 } - i A ^ { j } ( Z _ { k } ) ] = - i [ \nabla ^ { i } , \nabla ^ { j } - i A _ { ( 0 ) } ^ { j } { \bf 1 } - i A ^ { j } ( Z _ { k } ) ] .
\begin{array} { r l } { C _ { \mathrm { ~ D ~ , ~ S ~ t ~ o ~ k ~ e ~ s ~ } , \parallel } } & { { } = \cfrac { 6 4 } { R e _ { \mathrm { ~ p ~ } } \alpha ^ { 1 / 3 } } \cfrac { 1 } { \cfrac { - 2 \alpha } { \alpha ^ { 2 } - 1 } + \cfrac { 2 \alpha ^ { 2 } - 1 } { \left( \alpha ^ { 2 } - 1 \right) ^ { 3 / 2 } } \ln \left( \cfrac { \alpha + \sqrt { \alpha ^ { 2 } - 1 } } { \alpha - \sqrt { \alpha ^ { 2 } - 1 } } \right) } \, , } \\ { C _ { \mathrm { ~ D ~ , ~ S ~ t ~ o ~ k ~ e ~ s ~ } , \perp } } & { { } = \cfrac { 6 4 } { R e _ { \mathrm { ~ p ~ } } \alpha ^ { 1 / 3 } } \cfrac { 1 } { \cfrac { \alpha } { \alpha ^ { 2 } - 1 } + \cfrac { 2 \alpha ^ { 2 } - 3 } { \left( \alpha ^ { 2 } - 1 \right) ^ { 3 / 2 } } \ln \left( { \alpha + \sqrt { \alpha ^ { 2 } - 1 } } \right) } \, . } \end{array}
\hat { H } _ { h } ( r , \mu ) \sim \frac { 4 \pi N g _ { s } ^ { B } \alpha ^ { \prime 2 } \, { \Gamma ( 1 + \mu R ) } } { 1 6 R r } \, e ^ { - \mu r } \, ( 1 + \mu R \log ( 2 \mu r ) + \ldots )
\begin{array} { r l r } & { } & { [ C _ { N } ^ { I I I } ( x ) - C _ { N } ^ { I I } ( x ) ] _ { 1 1 } [ C _ { N } ^ { I I I } ( x ) ] _ { 1 1 } [ C _ { N } ^ { I I I } ( - x ) ] _ { 1 1 } } \\ & { } & { + [ C _ { N } ^ { I I } ( x ) ] _ { 1 1 } [ C _ { N } ^ { I I I } ( x ) - C _ { N } ^ { I I } ( x ) ] _ { 1 1 } [ C _ { N } ^ { I I I } ( - x ) ] _ { 1 1 } } \\ & { } & { \quad + [ C _ { N } ^ { I I } ( x ) ] _ { 1 1 } [ C _ { N } ^ { I I } ( x ) ] _ { 1 1 } [ C _ { N } ^ { I I I } ( - x ) - C _ { N } ^ { I I } ( - x ) ] _ { 1 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sin ( n \theta ) } & { = \sum _ { r = 0 } ^ { \lfloor ( n - 1 ) / 2 \rfloor } ( - 1 ) ^ { r } \binom { n } { 2 r + 1 } \cos ^ { n - 2 r - 1 } ( \theta ) \sin ^ { 2 r + 1 } ( \theta ) } \\ & { = \cos ^ { n } ( \theta ) \sum _ { r = 0 } ^ { \lfloor ( n - 1 ) / 2 \rfloor } ( - 1 ) ^ { r } \binom { n } { 2 r + 1 } \tan ^ { 2 r + 1 } ( \theta ) , } \end{array}
\left\Vert \mathbf { W } _ { \mathrm { T R } } \right\Vert _ { 2 } = \left\Vert \mathbf { W } _ { \mathrm { R T } } \right\Vert _ { 2 } \leq \sqrt { N _ { \mathrm { ~ T ~ } } N _ { \mathrm { ~ R ~ } } } \frac { k ^ { 2 } } { 4 \epsilon \delta } \left| \mathrm { ~ H ~ } _ { 0 } ^ { ( 2 ) } \left( k D _ { \mathrm { ~ R ~ T ~ } } \right) \right|
F _ { j _ { 1 } , m _ { 1 } , j _ { 2 } , m _ { 2 } } ^ { j _ { 1 } + j _ { 2 } - 1 , m _ { 1 } + m _ { 2 } } = ( j _ { 2 } m _ { 1 } - j _ { 1 } m _ { 2 } )
\begin{array} { r l } & { \mathrm { O c c } _ { \tilde { P _ { 4 } } , \mathcal { P } } ( z ) = \sum _ { n \in \mathbb { N } } \sum _ { H \in \mathcal { R } _ { \mathcal { P } _ { n } } } \sum _ { H ^ { \prime } \sim H } \frac { \mathrm { O c c } _ { \tilde { P _ { 4 } } } ( H ) z ^ { N ( H ) - 4 } } { N ( H ) ! } = \sum _ { n \in \mathbb { N } } \sum _ { H \in \mathcal { R } _ { \mathcal { P } _ { n } } } \frac { \mathrm { O c c } _ { \tilde { P _ { 4 } } } ( H ) z ^ { N ( H ) - 4 } } { | \mathrm { A u t } ( H ) | } } \end{array}
T _ { \alpha _ { 1 } } ^ { i j } \longleftrightarrow \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { { \displaystyle - \frac { 1 } { 2 } \epsilon _ { \mu \nu \rho \sigma } f _ { b c } ^ { a } \delta ^ { 4 } ( x - z ) } } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \mathrm { { N u } } = } & { \langle n \cdot \nabla T \rangle _ { \gamma ^ { - } } } \\ { = } & { \langle ( u T - \nabla T ) \cdot n _ { + } \rangle _ { \gamma ( x _ { 2 } ) } } \\ { \geq } & { \frac { 1 } { 1 + \operatorname* { m a x } h - \operatorname* { m i n } h } \langle ( u _ { 2 } - \partial _ { 2 } ) T \rangle \, . } \end{array}
\bar { R } _ { \mathrm { i n } } ^ { ( n ) } ( \mathbf { r } _ { \parallel } , \mathbf { k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { i n } } ) = e ^ { - \mathbf { k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { i n } } \cdot \mathbf { r } _ { \parallel } } \sum _ { \mathbf { k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { o u t } } } e ^ { i \mathbf { k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { o u t } } \cdot \mathbf { r } _ { \parallel } } \Tilde { R } ^ { ( n ) } ( { \mathbf { k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { o u t } } } , \mathbf { k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { i n } } )
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial t } \left\langle a \right\rangle = } & { { } \left\langle \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial a ^ { 2 } } a \, \right\rangle = 0 } \\ { \frac { \partial } { \partial t } \left\langle a ^ { 2 } \right\rangle = } & { { } \left\langle \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial a ^ { 2 } } a ^ { 2 } \, \right\rangle = 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { a } { ( b + c ) ^ { 2 } } + \frac { b } { ( a + c ) ^ { 2 } } + \frac { c } { ( b + a ) ^ { 2 } } } & { = \frac { a ^ { 2 } } { a ( b + c ) ^ { 2 } } + \frac { b ^ { 2 } } { b ( a + c ) ^ { 2 } } + \frac { c ^ { 2 } } { c ( b + a ) ^ { 2 } } } \\ & { \ge \left( \frac { a } { b + c } + \frac { b } { a + c } + \frac { c } { b + a } \right) ^ { 2 } } \\ & { = \left( \frac { 1 } { b + c } + \frac { 1 } { a + c } + \frac { 1 } { b + a } - 3 \right) ^ { 2 } } \\ & { \ge \left( \frac { 3 } { 2 } - 3 \right) ^ { 2 } } \\ & { = \frac { 9 } { 4 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { i \partial _ { t } \Psi _ { 1 } = } & { { } \ \left[ - \frac { 1 } { 2 } \nabla ^ { 2 } + V ( \mathbf { x } ) + | \Psi _ { 1 } | ^ { 2 } + g _ { 1 2 } | \Psi _ { 2 } | ^ { 2 } - \mu _ { 1 } \right] \Psi _ { 1 } , } \\ { i \partial _ { t } \Psi _ { 2 } = } & { { } \ \left[ - \frac { 1 } { 2 m _ { 2 } } \nabla ^ { 2 } + V ( \mathbf { x } ) + g _ { 2 } | \Psi _ { 2 } | ^ { 2 } + g _ { 1 2 } | \Psi _ { 1 } | ^ { 2 } - \mu _ { 2 } \right] \Psi _ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { H } } & { { } = } & { \sum _ { \vec { u } , \vec { v } } J _ { \sigma ( \vec { u } ) , \sigma ( \vec { v } ) } ( 1 - \delta _ { \sigma ( \vec { u } ) , \sigma ( \vec { v } ) } ) + \lambda _ { \mathrm { ~ a ~ r ~ e ~ a ~ } } ( a _ { \sigma } - A _ { \sigma } ) ^ { 2 } } \end{array}
\sin { \frac { \pi } { 6 5 5 3 5 \times 2 ^ { 0 } } } = { \frac { \sqrt { 2 - 2 \cos ( { \frac { \pi } { 2 5 5 } } - { \frac { \pi } { 2 5 7 } } ) } } { 2 } } ;
\psi _ { \mathrm { I } } \propto \left( \sqrt { \frac { \sin ( \alpha + \phi _ { m } ) } { 2 \sin \alpha \cos \phi _ { m } } } , \ \ \mp \sqrt { \frac { \sin ( \alpha - \phi _ { m } ) } { 2 \sin \alpha \cos \phi _ { m } } } \right) ^ { \mathbf { T } } , \ \ \phi _ { m } = 2 \pi \epsilon m , \ \ \alpha = \mp \operatorname { a r c c o s } \left[ \cos ( g _ { \mathrm { c o } } L _ { \mathrm { c o } } ) \cos \phi _ { m } \right]