harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { G _ { i j k } ^ { ( 3 ) } ( \boldsymbol { r } _ { 1 } , \boldsymbol { r } _ { 2 } , \boldsymbol { r } _ { 3 } ) } & { = \sum _ { \lambda _ { 1 } \lambda _ { 2 } \lambda _ { 3 } } \left\langle \tilde { \Psi } \right| \hat { \psi } _ { i , \lambda _ { 1 } } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { r } _ { 1 } ) \hat { \psi } _ { j , \lambda _ { 2 } } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { r } _ { 2 } ) \hat { \psi } _ { k , \lambda _ { 3 } } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { r } _ { 3 } ) \hat { \psi } _ { k , \lambda _ { 3 } } ( \boldsymbol { r } _ { 3 } ) \hat { \psi } _ { j , \lambda _ { 2 } } ( \boldsymbol { r } _ { 2 } ) \hat { \psi } _ { i , \lambda _ { 1 } } ( \boldsymbol { r } _ { 1 } ) \left| \tilde { \Psi } \right\rangle , } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } | \eta ( \boldsymbol { r } _ { 1 } ) | ^ { 2 } | \eta ( \boldsymbol { r } _ { 2 } ) | ^ { 2 } | \eta ( \boldsymbol { r } _ { 3 } ) | ^ { 2 } \left[ \delta _ { i j } ( 1 - \delta _ { j k } ) ( 1 - \delta _ { j , A } \delta _ { k , B } - \delta _ { j , B } \delta _ { k , A } - \delta _ { j , C } \delta _ { k , D } - \delta _ { j , D } \delta _ { k , C } ) + | \epsilon _ { i j k } | \right] , } \end{array}
\begin{array} { r } { g _ { \mathrm { i } } ( r ) = \frac { \pi } { 2 } \varpi ^ { 2 } r ^ { - \nu } \int _ { r } ^ { \infty } \d u \, [ J _ { \nu } ( \varpi r ) Y _ { \nu } ( \varpi u ) - Y _ { \nu } ( \varpi r ) J _ { \nu } ( \varpi u ) ] u ^ { \nu + 1 } j ( u ) , } \end{array}
\hat { b } _ { i } ( \vec { x } , \eta ) = \int \frac { d ^ { 3 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 3 / 2 } } \sum _ { \alpha } e _ { i } ^ { \alpha } \bigl [ \hat { a } _ { k , \alpha } b ( k \eta ) e ^ { i \vec { k } \cdot \vec { x } } + \hat { a } _ { - k , \alpha } ^ { \dagger } b ^ { \ast } ( k \eta ) e ^ { - i \vec { k } \cdot \vec { x } } \bigr ] ,
{ \bf m _ { _ D } ^ { \prime } } = { \bf O } ( x ) { \bf m _ { _ D } } = m _ { 3 } \, \left( \begin{array} { l l l } { { x ^ { 2 } y } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { x } } & { { x } } \\ { { 0 } } & { { - x ^ { 2 } } } & { { 1 } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { P r } \{ X ^ { n } \in \mathcal { B } _ { n } ( \gamma ) \} } \\ { * } & { = \operatorname* { P r } \{ X ^ { n } \in ( \mathcal { B } _ { n } ( \gamma ) \cap \mathcal { C } _ { n } ^ { \mathrm { c } } ) \} + \operatorname* { P r } \{ X ^ { n } \in ( \mathcal { B } _ { n } ( \gamma ) \cap \mathcal { C } _ { n } ) \} } \\ & { \leq \operatorname* { P r } \{ X ^ { n } \in \mathcal { C } _ { n } ^ { \mathrm { c } } \} + \operatorname* { P r } \{ X ^ { n } \in ( \mathcal { B } _ { n } ( \gamma ) \cap \mathcal { C } _ { n } ) \} } \\ & { \leq \mathrm { P } _ { \mathrm { e } , n } + \operatorname* { P r } \{ X ^ { n } \in ( \mathcal { B } _ { n } ( \gamma ) \cap \mathcal { C } _ { n } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathrm { F o r ~ e v e r y ~ } m > k \mathrm { , ~ i f ~ } ( V _ { 0 } , \ldots , V _ { k } , \ldots , V _ { m } ) \mathrm { ~ i s ~ a d m i s s i b l e ~ a n d ~ } } \\ & { \sigma ( V _ { 0 } , \ldots , V _ { m } ) = ( K _ { m + 1 } , U _ { m + 1 } ) \mathrm { , ~ t h e n ~ } K _ { m + 1 } \cap \bigcup \{ F _ { i } : i \geq 1 \} = \emptyset } \end{array}
C _ { V } ^ { \mathrm { ( t h ) } } ( t ) \simeq \frac { 2 } { \Gamma ( 1 / 4 ) \Gamma ( - 1 / 4 ) } ( \sigma Y ) ^ { 2 } \tau ^ { - 2 } \left( \frac { t } { \tau } \right) ^ { - 5 / 4 }
\begin{array} { r l } & { \frac { d } { d t } \left[ \int _ { \mathbb { R } } | u _ { x } | ^ { 2 } d x + \int _ { \mathbb { R } } | v _ { x } | ^ { 2 } d x + \frac { 1 } { p + 1 } \int _ { \mathbb { R } } | u | ^ { 2 ( p + 1 ) } d x + \frac { 1 } { p + 1 } \int _ { \mathbb { R } } | v | ^ { 2 ( p + 1 ) } d x \right. } \\ & { \qquad \left. + \frac { 2 \beta } { p + 1 } \int _ { \mathbb { R } } | u | ^ { p + 1 } | v | ^ { p + 1 } d x \right] = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { G _ { 0 } ( X , Y ) } & { = I ( Y ; U ^ { * } ) } \\ & { = I ( X , Y ; U ^ { * } ) - I ( X ; U ^ { * } | Y ) } \\ & { = I ( Y ; U ^ { * } | X ) - I ( X ; U ^ { * } | Y ) } \\ & { \geq H ( Y | X ) - H ( Y | X , U ^ { * } ) - H ( X | Y ) } \\ & { = H ( Y | X ) - H ( X | Y ) } \\ & { = H ( Y ) - H ( X ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \frac { ( 1 - e ^ { - C _ { 1 } \tau } ) } \tau } & { V ^ { \tau , h } ( t _ { 0 } , y _ { 0 } ) \leq - H \left( t _ { 0 } + \tau , y _ { 0 } , 2 C _ { T , \delta } ( q _ { y _ { 0 } } + p _ { 0 } ) \right) } \\ & { + C C _ { T , \delta } h ( | x _ { 0 } - y _ { 0 } | ^ { 2 } + | z _ { 0 } - y _ { 0 } | ^ { 2 } + 1 ) + C h } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { v } _ { i } = } & { { } \medspace \frac { f _ { j } } { \mathrm { K n } } \left( \frac { \delta _ { i j } } { k ^ { 2 } } - \frac { k _ { i } k _ { j } } { k ^ { 4 } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial E _ { \mathrm { A } } } { \partial t } = } & { - \left( \frac { \kappa } { 2 } + i \delta \omega _ { \mathrm { A } } \right) E _ { \mathrm { A } } - v _ { \mathrm { g } } \frac { \partial E _ { \mathrm { A } } } { \partial z } - i \frac { \beta _ { 2 } v _ { \mathrm { g } } ^ { 3 } } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } E _ { \mathrm { A } } } { \partial z ^ { 2 } } } \\ & { + i g _ { \mathrm { c o } } v _ { \mathrm { g } } \chi _ { \mathrm { c o } } ( z ) E _ { \mathrm { B } } + i g _ { \mathrm { N L } } \vert E _ { \mathrm { A } } \vert ^ { 2 } E _ { \mathrm { A } } + F } \\ { \frac { \partial E _ { \mathrm { B } } } { \partial t } = } & { - \left( \frac { \kappa } { 2 } + i \delta \omega _ { \mathrm { B } } \right) E _ { \mathrm { B } } - v _ { \mathrm { g } } \frac { \partial E _ { \mathrm { B } } } { \partial z } - i \frac { \beta _ { 2 } v _ { \mathrm { g } } ^ { 3 } } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } E _ { \mathrm { B } } } { \partial z ^ { 2 } } } \\ & { + i g _ { \mathrm { c o } } v _ { \mathrm { g } } \chi _ { \mathrm { c o } } ( z ) E _ { \mathrm { A } } + i g _ { \mathrm { N L } } \vert E _ { \mathrm { B } } \vert ^ { 2 } E _ { \mathrm { B } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } { \bf M } ( { \bf x } , t ) = } & { - \frac { \gamma \mu _ { 0 } } { 1 + \alpha ^ { 2 } } { \bf M } \times { \bf H } _ { \mathrm { e f f } } - \frac { \alpha \gamma \mu _ { 0 } } { M _ { s } ( 1 + \alpha ^ { 2 } ) } { \bf M } \times \left( { \bf M } \times { \bf H } _ { \mathrm { e f f } } \right) } \\ & { + \frac { \hbar P \gamma } { 4 M _ { s } ^ { 2 } e D } J ( { \bf x } , t ) { \bf M } \times \left( { \bf M } \times { \bf m } _ { \mathrm { f } } \right) . } \end{array}
\Pi _ { q } ^ { \bullet } ( A ^ { \bullet } , B ^ { \bullet } ) ( f ^ { \bullet } ) \triangleq \mathsf { l a m } ^ { \mathsf { n f } } ( \lambda a \mapsto \mathsf { l e t } \ a ^ { \bullet } = A _ { u } ^ { \bullet } ( \mathsf { v a r } ^ { \mathsf { n e } } ( a ) ) \ \mathsf { i n } \ B _ { q } ^ { \bullet } ( a ^ { \bullet } , f ^ { \bullet } ( a ^ { \bullet } ) ) ) .
\begin{array} { r l } { \Leftrightarrow } & { { } \left\langle \pi _ { 1 } \right\rangle _ { \begin{array} { l } { \delta = 0 } \\ { s _ { 1 } = 1 } \end{array} } - \left\langle \sum _ { j , l \in V } e _ { 1 j } ^ { [ R ] } e _ { j l } ^ { [ R ] } \pi _ { l } \right\rangle _ { \begin{array} { l } { \delta = 0 } \\ { s _ { 1 } = 1 } \end{array} } > 0 } \\ { \Leftrightarrow } & { { } ~ \pi ^ { ( 0 , 0 ) } - \pi ^ { ( 0 , 2 ) } > 0 \, . } \end{array}
\Delta t = \mathrm { C F L } \times \operatorname* { m i n } \left[ \operatorname* { m i n } _ { \mathrm { ~ c ~ e ~ l ~ l ~ s ~ } } \left( \frac { 1 } { | U | + c \| \nabla \xi \| } , \frac { 1 } { | V | + c \| \nabla \eta \| } , \frac { 1 } { | W | + c \| \nabla \zeta \| } \right) \right. , \frac { 1 } { \alpha } \left. \operatorname* { m i n } _ { \mathrm { ~ c ~ e ~ l ~ l ~ s ~ } } \left( \frac { 1 } { \mu \| \nabla \xi \| ^ { 2 } } , \frac { 1 } { \mu \| \nabla \eta \| ^ { 2 } } , \frac { 1 } { \mu \| \nabla \zeta \| ^ { 2 } } \right) \right]
\widehat { u } _ { R } = - \frac { 1 } { 2 \pi } \frac { \int _ { z = 0 } ^ { z = H } \int _ { \phi = - \frac { \pi } { 2 } } ^ { \phi = \frac { \pi } { 2 } } \rho _ { 0 } V _ { S R } \cos { \phi } d \phi d z } { \int _ { z = 0 } ^ { z = H } \rho _ { 0 } d z } = \frac { \widehat { V _ { S R } } } { \pi } ,
\Delta \vec { a } _ { 2 - 2 ^ { \prime } } = \vec { \cal F } ( \vec { r } \, ) \left( \frac { M _ { 1 } } { m _ { H } ^ { 2 } } \right) \left[ g _ { p } ^ { 2 } \left( \frac { Z _ { 1 } } { \mu _ { 1 } } \right) + g _ { n } ^ { 2 } \left( \frac { N _ { 1 } } { \mu _ { 1 } } \right) \right] \left[ g _ { p } ^ { 2 } \Delta \left( \frac { Z } { \mu } \right) _ { 2 - 2 ^ { \prime } } + g _ { n } ^ { 2 } \Delta \left( \frac { N } { \mu } \right) _ { 2 - 2 ^ { \prime } } \right] ,
\begin{array} { r l } { \bigg \langle \left( ( \widetilde { I } ^ { X } ) ^ { [ 2 ] } ( \theta , \Delta t ) \right) ^ { 2 } \bigg \rangle } & { { } = \bigg \langle \left( ( I ^ { X } ) ^ { [ 1 ] } ( \Delta t ) \right) ^ { 2 } \bigg \rangle } \\ { \bigg \langle \left( ( \widetilde { I } ^ { X } ) ^ { [ 2 ] } ( \theta , \Delta t ) ( \widetilde { I } ^ { U } ) ^ { [ 2 ] } ( \theta , \Delta t ) \right) \bigg \rangle } & { { } = \bigg \langle ( I ^ { U } ) ^ { [ 1 ] } ( \Delta t ) ( I ^ { X } ) ^ { [ 1 ] } ( \Delta t ) \bigg \rangle ~ , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \{ ( x ^ { \prime } , \alpha ) \in \ell ( K ^ { + } ) \times \mathbb { P } \mid \forall \, y \in K : \; x ^ { \prime } ( y ) - \alpha \psi ( y ) \geq 0 \} } \\ & { = \{ ( x ^ { \prime } , \alpha ) \in \ell ( K ^ { + } ) \times \mathbb { P } \mid \forall \, y \in K : \; \alpha \psi ( y ) \leq 0 \} = \emptyset , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { d _ { i } = 2 \left( \hat { \mathbf { W } } _ { i + 1 } - 2 \hat { \mathbf { W } } _ { i } + \hat { \mathbf { W } } _ { i - 1 } \right) - 0 . 5 \Delta x \left( \mathbf { W } _ { i + 1 } ^ { \prime } - \mathbf { W } _ { i - 1 } ^ { \prime } \right) } \\ & { d _ { i + 1 / 2 } ^ { M } = \operatorname { m i n m o d } \left( d _ { i } , d _ { i + 1 } \right) } \\ & { \mathbf { W } _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ^ { M D } = \frac { 1 } { 2 } \left( \hat { \mathbf { W } } _ { i } + \hat { \mathbf { W } } _ { i + 1 } \right) - \frac { 1 } { 2 } d _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ^ { M } } \\ & { \mathbf { W } _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ^ { U L } = \hat { \mathbf { W } } _ { i } + \alpha \left( \hat { \mathbf { W } } _ { i } - \hat { \mathbf { W } } _ { i - 1 } \right) } \\ & { \mathbf { W } _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ^ { L C } = \frac { 1 } { 2 } \left( 3 \hat { \mathbf { W } } _ { i } - \hat { \mathbf { W } } _ { i - 1 } \right) + \frac { 4 } { 3 } d _ { i - \frac { 1 } { 2 } } ^ { M } } \\ & { \mathbf { W } _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ^ { \operatorname* { m i n } } = \operatorname* { m a x } \left[ \operatorname* { m i n } \left( \hat { \mathbf { W } } _ { i } , \hat { \mathbf { W } } _ { i + 1 } , \mathbf { W } _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ^ { M D } \right) , \operatorname* { m i n } \left( \hat { \mathbf { W } } _ { i } , \mathbf { W } _ { i + 1 / 2 } ^ { U L } , \mathbf { W } _ { i + 1 / 2 } ^ { L C } \right) \right] } \\ & { \mathbf { W } _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ^ { \operatorname* { m a x } } = \operatorname* { m i n } \left[ \operatorname* { m a x } \left( \hat { \mathbf { W } } _ { i } , \hat { \mathbf { W } } _ { i + 1 } , \mathbf { W } _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ^ { M D } \right) , \operatorname* { m a x } \left( \hat { \mathbf { W } } _ { i } , \mathbf { W } _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ^ { U L } , \mathbf { W } _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ^ { L C } \right) \right] } \\ & { } \end{array}
R _ { l } ( r ) = \frac { u _ { l } ( r ) } { r ^ { ( D _ { 0 } - 1 ) / 2 } } \stackrel { ( r \rightarrow 0 ) } { \sim } \mathrm { \boldmath \large ~ \left\{ ~ \right. ~ } \! \! \! r ^ { \alpha _ { + , l } } \mathrm { \boldmath \large ~ , ~ } \! r ^ { \alpha _ { - , l } } \mathrm { \boldmath \large ~ \left. ~ \right\} ~ } \! \! \; ,
\bar { \theta } _ { L } ^ { ( 2 ) } = \left\{ \begin{array} { l l } { \eta \, \, { : } } & { \bar { x } = 0 } \\ { 0 \, \, { : } } & { \bar { x } = 1 } \end{array} \right. \quad \mathrm { a n d } \quad \theta _ { L } ^ { ( 2 ) } ( \bar { x } , \bar { t } = \bar { t } _ { 1 } ) = \theta _ { L } ^ { ( 1 ) } ( \bar { x } , \bar { t } _ { 1 } )
\Phi _ { I J } : = \left( \begin{array} { c c c } { \Phi _ { 0 0 } } & { \Phi _ { 0 j } } & { 0 } \\ { \Phi _ { i 0 } } & { \Phi _ { i j } } & { \Phi _ { i \infty } } \\ { 0 } & { \Phi _ { j \infty } } & { 0 } \end{array} \right) = \rho ^ { m } \left( \begin{array} { c c c } { \phi _ { 0 0 } ( x ) } & { t \phi _ { 0 j } ( x ) } & { 0 } \\ { t \phi _ { 0 i } ( x ) } & { t ^ { 2 } \phi _ { i j } ( x ) } & { t ^ { 2 } a _ { i } ^ { ( m ) } ( x ) } \\ { 0 } & { t ^ { 2 } a _ { j } ^ { ( m ) } ( x ) } & { 0 } \end{array} \right) \, ,
{ \bf Y } _ { \mathrm { t m p } } ^ { ( 0 ) } = \left( 2 { \bf X } ^ { ( 0 ) } \left( { \bf X } ^ { ( 0 ) } - { \bf I } \right) + { \bf I } \right) ^ { - 1 } ~ ~ \mathrm { ~ D ~ i ~ a ~ g ~ o ~ n ~ a ~ l ~ m ~ a ~ t ~ r ~ i ~ x ~ i ~ n ~ v ~ e ~ r ~ s ~ i ~ o ~ n ~ }
\Lambda \eta _ { 1 } + \delta \bigl ( { \textstyle \frac 1 2 } - \mathcal { L } \bigr ) \eta _ { 1 } \, = \, \Bigl ( \frac { { r _ { 0 } } } { \Gamma } \, \dot { \bar { z } } _ { 0 } - \frac { \beta _ { \epsilon } - 1 } { 4 \pi } \Bigr ) \partial _ { Z } \eta _ { 0 } - \frac { 3 } { 2 } \, ( \partial _ { Z } \phi _ { 0 } ) \eta _ { 0 } - \frac { 1 } { 2 } \, \phi _ { 0 } \partial _ { Z } \eta _ { 0 } \, .
\psi _ { + } ( x ^ { - } ) = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 L } } } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } b ( n ) e ^ { - i k _ { - } ( n ) x ^ { - } } + d ^ { * } ( n ) e ^ { i k _ { - } ( n ) x ^ { - } }
\begin{array} { r l r } & { } & { p _ { i } : = { \sum } _ { j = 1 } ^ { n } P ( x _ { i } , x _ { j } ) , \quad q _ { j } : = { \sum } _ { i = 1 } ^ { n } P ( x _ { i } , x _ { j } ) , } \\ & { } & { \theta _ { i , j } : = P ( x _ { i } , x _ { j } ) - p _ { i } q _ { j } , } \\ & { } & { { \sum } _ { i = 1 } ^ { n } \theta _ { i , j } = { \sum } _ { j = 1 } ^ { n } \theta _ { i , j } = 0 , \qquad | \theta _ { i , j } | \leq p _ { i } q _ { j } . } \end{array}
T ^ { R } ( p ^ { 2 } ) = T ( p ^ { 2 } ) - T ( 0 ) - p ^ { 2 } \left. \frac { d } { d p ^ { 2 } } T ( p ^ { 2 } ) \right| _ { p ^ { 2 } = 0 } = \frac { p ^ { 4 } } { \pi } \int _ { 4 m ^ { 2 } } ^ { \infty } \! \! \frac { d t } { t - p ^ { 2 } } \frac { 1 } { t ^ { 2 } } I m T ( t )
\begin{array} { r l r } { U _ { \mu } ( r ) } & { = } & { r ^ { - 1 / 2 } \, \left[ a _ { \mu } \, J _ { \mu } \left( { r \sqrt { E } } \right) + b _ { \mu } \, N _ { \mu } \left( r \sqrt { E } \right) \right] } \\ { T _ { \nu } ( \theta , Y ) } & { = } & { c _ { \nu } \, \cos \left[ \sqrt { E _ { 1 } } \; \theta + d _ { \nu } \right] } \end{array}
M _ { Z ^ { \prime } } = \Lambda \sqrt { \alpha _ { e m } / \cos ^ { 2 } \theta } \ > \ \left\{ \ { 3 7 0 \ \mathrm { G e V } \ \ \ \mathrm { A L E P H } } \atop { 3 7 0 \ \mathrm { G e V } \ \ \ \mathrm { O P A L } } \right\} \ .
\langle T _ { U U } \rangle _ { \mathrm { n o n e x t r e m a l } } ^ { \mathrm { B o u l w a r e } } \sim \left\{ \begin{array} { l l } { { ( r - r _ { + } ) ^ { - 2 } \sim U ^ { - 2 } } } & { { \mathrm { i f ~ m \le ~ 1 ~ } } } \\ { { ( r - r _ { + } ) ^ { - 1 - m } \sim U ^ { - 1 - m } } } & { { \mathrm { o t h e r w i s e } } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { { \mathrm { { I } } : } } & { { \quad i , j \in \{ 1 , \dots , m \} \, \qquad { \mathrm { a n d } } \qquad \lfloor \frac { \Lambda _ { i } - \Lambda _ { j } - 1 } { 2 } \rfloor \geq \ell \, , } } \\ { { \mathrm { { I I } } : } } & { { \quad i \in \{ 1 , \dots , m \} \, , j \in \{ m + 1 , \dots , N \} \, \qquad { \mathrm { a n d } } \qquad | \Lambda _ { i } - \Lambda _ { j } | - 1 \geq \ell \, , } } \\ { { \mathrm { { I I I } } : } } & { { \quad i , j \in \{ m + 1 , \dots , N \} \, \qquad { \mathrm { a n d } } \qquad \lfloor \frac { \Lambda _ { i } - \Lambda _ { j } } { 2 } \rfloor \geq \ell \, . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi _ { 2 , 2 } } & { \le C \left( \| q _ { 0 } \| _ { H ^ { 2 r } ( \Omega ) } + \| f \| _ { H ^ { 2 r - 2 } ( [ 0 , T ] \times \Omega ) } \right) + \delta \psi _ { 2 , 2 } + C _ { 1 } \sqrt { 2 ^ { r - 1 } } \delta \psi _ { 2 , 2 } } \\ & { \quad \quad + C \phi _ { 1 } ( f ) + C \sum _ { i \ge r } \frac { ( i + 1 ) ^ { r } } { ( i + 1 ) ! } \epsilon ^ { i + 1 } \| t ^ { i + 1 - r } \partial _ { t } ^ { i } f \| _ { L _ { t , x } ^ { 2 } ( [ 0 , T ] \times \Omega ) } } \\ & { \quad \quad \quad \quad + C \sum _ { i + k \ge r - 2 } \frac { ( i + k + 2 ) ^ { r } } { ( i + k + 2 ) ! } \epsilon ^ { i } \bar { \epsilon } ^ { k + 2 } \| t ^ { i + k + 2 - r } \partial _ { t } ^ { i } \bar { \partial } ^ { k } f \| _ { L _ { t , x } ^ { 2 } ( [ 0 , T ] \times \Omega ) } . } \end{array}
R = { \frac { P ^ { 2 } t ^ { 2 } } { B } } { \frac { \partial } { \partial \kappa } } \left( { \frac { B } { P ^ { 2 } t ^ { 2 } } } { \frac { \partial } { \partial \kappa } } ( P ^ { 2 } t ^ { 2 } ) \right) .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { \Xi } F ( \Xi ) = } & { { } \sum _ { M = 0 } ^ { + \infty } \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \Omega } \int _ { 0 } ^ { t _ { M } } \int _ { \Omega } \cdots \int _ { 0 } ^ { t _ { 2 } } \int _ { \Omega } \exp \left( - \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \Omega } \lambda ( s , \omega ) \mathrm { d } \mu _ { \omega } \mathrm { d } s \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { { \bf e } _ { 1 } ^ { \prime \prime } = { \bf e } _ { 1 } ^ { \prime } , \quad { \bf e } _ { 2 } ^ { \prime \prime } = { \bf e } _ { 2 } ^ { \prime } \cos \theta + { \bf e } _ { 3 } ^ { \prime } \sin \theta , \quad { \bf e } _ { 3 } ^ { \prime \prime } = - { \bf e } _ { 2 } ^ { \prime } \sin \theta + { \bf e } _ { 3 } ^ { \prime } \cos \theta ; } \\ { { \bf e } _ { 2 } ^ { \prime } = { \bf e } _ { 2 } ^ { \prime \prime } \cos \theta - { \bf e } _ { 3 } ^ { \prime \prime } \sin \theta , \quad { \bf e } _ { 3 } ^ { \prime } = { \bf e } _ { 2 } ^ { \prime \prime } \sin \theta + { \bf e } _ { 3 } ^ { \prime \prime } \cos \theta ; } \\ { \dot { \bf e } _ { 1 } ^ { \prime \prime } = \dot { \bf e } _ { 1 } ^ { \prime } = \dot { \varphi } { \bf e } _ { 2 } ^ { \prime } , \quad \dot { \bf e } _ { 2 } ^ { \prime \prime } = - { \bf e } _ { 1 } ^ { \prime } \dot { \varphi } \cos \theta - { \bf e } _ { 2 } ^ { \prime } \dot { \theta } \sin \theta + { \bf e } _ { 3 } ^ { \prime } \dot { \theta } \cos \theta , \quad \dot { \bf e } _ { 3 } ^ { \prime \prime } = { \bf e } _ { 1 } ^ { \prime } \dot { \varphi } \sin \theta - { \bf e } _ { 2 } ^ { \prime } \dot { \theta } \cos \theta - { \bf e } _ { 3 } ^ { \prime } \dot { \theta } \sin \theta . } \end{array}
V = \int _ { 0 } ^ { T } d \tau \, \bigl [ \dot { x } ^ { \mu } \varepsilon _ { \mu } - 2 \mathrm { i } \psi ^ { \mu } \psi ^ { \nu } k _ { \mu } \varepsilon _ { \nu } \bigr ] \mathrm { e x p } [ i k x ( { \tau } ) ] .
\begin{array} { r } { d _ { g _ { i } } ( x _ { i } , x _ { i } ^ { - \tau _ { i } } ) \le \int _ { - \tau _ { i } } ^ { 0 } | \partial _ { t } x _ { i } ^ { t } | _ { g _ { i } } \, d t = \int _ { - \tau _ { i } } ^ { 0 } \frac { | \nabla _ { g _ { i } } f _ { i } | _ { g _ { i } } } { 1 - t } ( x _ { i } ^ { t } ) \, d t \le \int _ { - \tau _ { i } } ^ { 0 } \sqrt { f _ { i } ( x _ { i } ^ { t } ) } \, d t \le s _ { i } ^ { \frac 1 2 } \tau _ { i } \le s _ { i } ^ { \frac 1 2 } r _ { i } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \rho K } { 6 4 L ^ { 2 } } \bigg ( \frac { \mathbb { E } \| \bar { e } _ { \tau + 1 } \| ^ { 2 } } { \eta _ { \tau + 1 , I - 1 } } - \frac { \mathbb { E } \| \bar { e } _ { \tau } \| ^ { 2 } } { \eta _ { \tau , I - 1 } } \bigg ) } & { \leq - \sum _ { i = 0 } ^ { I - 1 } \frac { 3 \eta _ { \tau + 1 , i } } { 2 \rho } \mathbb { E } \| \bar { e } _ { \tau + 1 , i } \| ^ { 2 } + \sum _ { i = 0 } ^ { I - 1 } \frac { \eta _ { \tau + 1 , i } \rho } { 8 } \mathbb { E } \| \tilde { d } _ { \tau + 1 , i } \| ^ { 2 } + \sum _ { i = 0 } ^ { I - 1 } \frac { \sigma ^ { 2 } c ^ { 2 } \eta _ { \tau + 1 , i } ^ { 3 } \rho } { 1 6 L ^ { 2 } } } \\ & { \qquad \qquad + \frac { 5 I ( I - 1 ) } { 4 K \rho } \sum _ { \ell = 1 } ^ { I } \eta _ { \tau + 1 , \ell } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } \| \nu _ { \tau + 1 , \ell } ^ { ( k ) } - \bar { \nu } _ { \tau + 1 , \ell } \| ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { d _ { k } ^ { ( 0 , 0 ) } } & { \sim \frac { \Gamma ( k + 2 ) } { ( - 1 ) ^ { k } } \bigg [ \frac 4 9 + \frac { 1 0 } { 2 7 } \frac { 1 } { k } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \bigg ( \frac { - 1 } { k } \bigg ) ^ { n } \bigg ] + { \mathcal O } ( 2 ^ { - k } ) } \\ & { = \frac { \Gamma ( k + 2 ) } { ( - 1 ) ^ { k } } \bigg [ \frac 4 9 + \frac { 1 0 } { 2 7 } \frac { 1 } { k + 1 } \bigg ] + { \mathcal O } ( 2 ^ { - k } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { G } _ { t , \sigma } ^ { ( A _ { 1 \mathrm { m } } ) } } & { { } = \exp \left( \sum _ { p > k } [ \log \mathbf { U } _ { t } ^ { ( 1 \mathrm { m } ) } ] _ { p k } ( \hat { E } _ { p k } ^ { \sigma } - \hat { E } _ { k p } ^ { \sigma } ) \right) , } \\ { \hat { G } _ { t , \tau } ^ { ( B _ { 1 \mathrm { m } } ) } } & { { } = \exp \left( \sum _ { q > l } [ \log \mathbf { V } _ { t } ^ { ( 1 \mathrm { m } ) } ] _ { q l } ( \hat { E } _ { q l } ^ { \tau } - \hat { E } _ { l q } ^ { \tau } ) \right) . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l } { i \partial _ { t } \varphi _ { \pm } \pm \langle \nabla \rangle _ { \alpha } \varphi _ { \pm } \pm \varepsilon ^ { 2 p } \langle \nabla \rangle _ { \alpha } ^ { - 1 } f \left( \frac { 1 } { 2 } \varphi _ { + } + \frac { 1 } { 2 } \varphi _ { - } \right) = 0 , } \\ { \varphi _ { \pm } ( t = 0 ) = u _ { 0 } \mp i \langle \nabla \rangle ^ { - 1 } v _ { 0 } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { w _ { 0 } ^ { S B } ( t ) = - \operatorname* { i n f } _ { { z } } \left\{ - w ^ { P } ( t ) \cdot \sum _ { n = 1 } ^ { N } A _ { n } { \alpha } ^ { \star , n } ( z ) + \sum _ { n = 1 } ^ { N } c _ { n } ^ { \mathrm { m } } ( { \alpha } ^ { \star } ( z ) ) - f ^ { \star } ( \mathcal { M } ( z , x , w ^ { P } ( t ) , 0 ) ) \right\} \; , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { E } = 2 \pi \int _ { - L } ^ { L } \Big ( w ( \lambda _ { 1 } , g ( \lambda _ { 1 } ) ) - \frac { 1 } { 2 } P ^ { * } \lambda _ { 1 } ^ { 2 } g ( \lambda _ { 1 } ) - N ^ { * } g ( \lambda _ { 1 } ) + \frac { 1 } { 2 } \frac { w _ { 2 } ( \lambda _ { 1 } , g ( \lambda _ { 1 } ) ) } { g ( \lambda _ { 1 } ) } r ^ { 2 } \Big ) \, d Z . } \end{array}
\mathbf { M } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ( \omega ) = \mathbf { M } _ { \mathrm { ~ O ~ O ~ } } - \frac { 1 } { \omega ^ { 2 } } \left[ \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ O ~ I ~ } } \left( \omega ^ { 2 } \mathbf { M } _ { \mathrm { ~ I ~ I ~ } } - \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ I ~ I ~ } } \right) ^ { - 1 } \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ I ~ O ~ } } + \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ O ~ O ~ } } \right] \, ,
\left[ \begin{array} { l } { \frac { d \bar { a } _ { 2 } } { d t } } \\ { \frac { d \bar { a } _ { 4 } } { d t } } \\ { \frac { d { a } _ { 3 } } { d t } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l l } { - \mathcal { V } _ { 2 } } & { 0 } & { \bar { { \mathcal { M } } } _ { 2 } \bar { A } _ { 1 } } \\ { 0 } & { - \mathcal { V } _ { 4 } } & { \bar { \mathcal { N } } _ { 4 } \bar { A } _ { 5 } } \\ { { \mathcal { M } } _ { 3 } { A } _ { 1 } } & { { \mathcal { N } } _ { 3 } { A } _ { 5 } } & { - \mathcal { V } _ { 3 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \bar { a } _ { 2 } } \\ { \bar { a } _ { 4 } } \\ { { a } _ { 3 } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r } { \mathrm { C } ( \gamma _ { 1 } ) = \oint _ { \gamma _ { 1 } } U _ { i } ( x , t ) d x ^ { i } , ~ ~ ~ ~ \mathrm { C } ( \gamma _ { 2 } ) = \oint _ { \gamma _ { 2 } } U _ { j } ( y , t ) d y ^ { i } } \end{array}
\begin{array} { r } { z _ { \mathrm { m i n } } \approx \frac { 1 } { 2 } \left[ \frac { 1 } { \lambda _ { \mathrm { e x } } } + \frac { 1 } { \lambda _ { \mathrm { e m } } } \left( 1 - \cos \Theta \right) \right] ^ { - 1 } } \end{array}
P ( A ) = \prod _ { j < i } \left( p _ { i j } ^ { \rightarrow } \right) ^ { a _ { i j } ^ { \rightarrow } } \left( p _ { i j } ^ { \leftarrow } \right) ^ { a _ { i j } ^ { \leftarrow } } \left( p _ { i j } ^ { \leftrightarrow } \right) ^ { a _ { i j } ^ { \leftrightarrow } } \left( p _ { i j } ^ { \nleftrightarrow } \right) ^ { a _ { i j } ^ { \nleftrightarrow } }