harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \begin{array} { r l } { { \frac { \delta T _ { \mathrm { T F } } } { \delta \rho ( { \boldsymbol { r } } ) } } } & { = C _ { \mathrm { F } } { \frac { \partial \rho ^ { 5 / 3 } ( \mathbf { r } ) } { \partial \rho ( \mathbf { r } ) } } } \\ & { = { \frac { 5 } { 3 } } C _ { \mathrm { F } } \rho ^ { 2 / 3 } ( \mathbf { r } ) \, . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \langle \hat { V } _ { \mathrm { e f f } } \rangle } & { = \langle \hat { V } _ { \mathrm { a p p r } } \rangle = v _ { 0 } + \operatorname { T r } ( v _ { 2 } \cdot \Sigma _ { t } ) / 2 \mathrm { , \ } } \\ { \langle \hat { V } _ { \mathrm { e f f } } ^ { \prime } \rangle } & { = \langle \hat { V } _ { \mathrm { a p p r } } ^ { \prime } \rangle = v _ { 1 } \mathrm { , \ } } \\ { \langle \hat { V } _ { \mathrm { e f f } } ^ { \prime \prime } \rangle } & { = \langle \hat { V } _ { \mathrm { a p p r } } ^ { \prime \prime } \rangle = v _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { e e } } & { { } = \frac { 2 \gamma _ { 2 } \Omega ^ { 2 } } { \gamma ( \gamma _ { 2 } ^ { 2 } + \Delta _ { 2 } + 4 ( \gamma _ { 2 } / \gamma ) \Omega ^ { 2 } ) } } \\ { \rho _ { g e } } & { { } = - \frac { \Omega ( i \gamma _ { 2 } + \Delta ) } { \gamma _ { 2 } ^ { 2 } + \Delta ^ { 2 } + 4 ( \gamma _ { 2 } / \gamma ) \Omega ^ { 2 } } } \end{array}
\vec { E } ( \vec { r } _ { 0 } ) = \frac { 1 } { 4 \pi \epsilon } \iiint _ { V } d ^ { 3 } \vec { r } \frac { \rho ( \vec { r } ) } { | \vec { r } - \vec { r } _ { 0 } | ^ { 3 } } ( \vec { r } - \vec { r } _ { 0 } )
\begin{array} { r l } { { q _ { 1 } } = } & { - { D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 2 } } + { D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 2 2 ^ { \prime } 2 } } + { D _ { 2 ^ { \prime } 2 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 2 } } + { D _ { 2 ^ { \prime } 2 } } - { D _ { 2 ^ { \prime } 2 2 ^ { \prime } 2 3 3 ^ { \prime } } } - { D _ { 2 ^ { \prime } 2 2 ^ { \prime } 2 } } , } \\ { { q _ { 1 ^ { \prime } } } = } & { - { D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 2 3 3 ^ { \prime } } } + { D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 2 } } + { D _ { 2 ^ { \prime } 2 3 3 ^ { \prime } } } - { D _ { 2 ^ { \prime } 2 } } } \end{array}
\big ( \mathrm { p r o x } _ { \tau f _ { 2 } ^ { \ast } } ( \mathbf { q } ) \big ) _ { i } = \left\{ \begin{array} { r l r l } { - } & { ( \boldsymbol { \Lambda } _ { \Theta } ) _ { i } , \quad } & { \mathbf { q } _ { i } } & { \in \big ( - \infty , - ( \boldsymbol { \Lambda } _ { \Theta } ) _ { i } \big ) } \\ & { \mathbf { q } _ { i } , \quad } & { \mathbf { q } _ { i } } & { \in \big [ - ( \boldsymbol { \Lambda } _ { \Theta } ) _ { i } , ( \boldsymbol { \Lambda } _ { \Theta } ) _ { i } ) \big ] } \\ & { ( \boldsymbol { \Lambda } _ { \Theta } ) _ { i } , } & { \mathbf { q } _ { i } } & { \in \big ( ( \boldsymbol { \Lambda } _ { \Theta } ) _ { i } , \infty \big ) } \end{array} \right. ,
\begin{array} { r l } & { V ^ { \top } ( X ) = ( X , \mathbf { v ^ { \top } } ) \mathrm { ~ w h e r e ~ } \forall x \in X : \mathbf { v ^ { \top } } ( x ) = \mathbf { L } , } \\ & { V ^ { \bot } ( X ) = ( X , \mathbf { v ^ { \bot } } ) \mathrm { ~ w h e r e ~ } \forall x \in X : \mathbf { v ^ { \bot } } ( x ) = \langle 0 , 1 \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { m _ { ^ 2 \mathrm { H } } \, c ^ { 2 } } & { = ( m _ { p } + m _ { n } ) \, c ^ { 2 } - E ( ^ { 2 } \mathrm { H } ) , } \\ { m _ { ^ 3 \mathrm { H } } \, c ^ { 2 } } & { = ( m _ { p } + 2 m _ { n } ) \, c ^ { 2 } - E ( ^ { 3 } \mathrm { H } ) , } \\ { m _ { ^ 4 \mathrm { H e } } \, c ^ { 2 } } & { = ( 2 m _ { p } + 2 m _ { n } ) \, c ^ { 2 } - E ( ^ { 4 } \mathrm { H e } ) , } \end{array}
A _ { \varepsilon } = \left( \begin{array} { c c c c c c } & { \mathbf 0 } & & & { \mathbf 0 } & \\ & & & { \mu _ { 1 , 1 } \, \varepsilon ^ { d - 2 + 2 k _ { 1 } } } & & { \mathbf 0 } \\ & { \mathbf 0 } & & & { \ddots } & \\ & & & { \mathbf 0 } & & { \mu _ { 1 , m _ { 1 } } \, \varepsilon ^ { d - 2 + 2 k _ { 1 } } } \end{array} \right) + o \left( \varepsilon ^ { d - 2 + 2 k _ { 1 } } \right) .
S = \int d ^ { 2 } x \int d \theta _ { L } d \theta _ { R } \biggl [ g _ { I J } D ^ { \alpha } X ^ { I } D _ { \alpha } X ^ { J } + B _ { I J } D ^ { \alpha } X ^ { I } ( \gamma ^ { 5 } D ) _ { \alpha } X ^ { J } \biggr ] ,
\begin{array} { r l } { Z ^ { \prime } : = } & { \sum _ { n \in N ^ { \oplus } } c _ { n } z ^ { m ^ { \prime } + \omega _ { 1 } ^ { \prime } ( \sigma n ) } } \\ { = } & { \sum _ { p \in { M ^ { \prime } } ^ { \oplus } } \left( \sum _ { \sigma n \in { \omega _ { 1 } ^ { \prime } } ^ { - 1 } ( p ) } c _ { n } \right) z ^ { m ^ { \prime } + p } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \rho } _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ s ~ s ~ y ~ } } } & { { } = \mathscr { E } _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ s ~ s ~ } } ( \hat { \rho } _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } ) = \sum _ { n _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ s ~ s ~ } } = 0 } ^ { n _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } K ^ { ( n _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ s ~ s ~ } } ) } \hat { \rho } _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } K ^ { ( n _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ s ~ s ~ } } ) \dag } , } \\ { K ^ { ( n _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ s ~ s ~ } } ) } } & { { } = \sum _ { n _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } , n _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } = 0 } ^ { n _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } K _ { n _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } , n _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } } ^ { ( n _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ s ~ s ~ } } ) } \vert n _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } \rangle \langle n _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } \vert } \\ { K _ { n _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } , n _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } } ^ { ( n _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ s ~ s ~ } } ) } } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l } { \sqrt { \binom { n _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } } { n _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } } \mu ^ { n _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } } ( 1 - \mu ) ^ { n _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ s ~ s ~ } } } } } & { \quad \mathrm { ~ i ~ f ~ } n _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } - n _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } = n _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ s ~ s ~ } } } \\ { 0 } & { \quad \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } & { V ( \tilde { \Phi } , \Phi ) } \\ { \leq } & { \operatorname* { s u p } _ { \theta } \left| \int _ { \mathcal { I } } ^ { \theta } \left( \tilde { \Phi } \left( e ^ { i \theta } \right) - \breve { \tilde { \Phi } } \left( e ^ { i \theta } \right) \right) d \theta \right| } \\ { + } & { \operatorname* { s u p } _ { \theta } \left| \int _ { \mathcal { I } } ^ { \theta } \left( \breve { \tilde { \Phi } } \left( e ^ { i \theta } \right) - \breve { \Phi } \left( e ^ { i \theta } \right) \right) d \theta \right| } \\ { + } & { \operatorname* { s u p } _ { \theta } \left| \int _ { \mathcal { I } } ^ { \theta } \left( \breve { \Phi } \left( e ^ { i \theta } \right) - \Phi \left( e ^ { i \theta } \right) \right) d \theta \right| } \\ { = } & { V ( \tilde { \Phi } , \breve { \tilde { \Phi } } ) + V ( \breve { \tilde { \Phi } } , \breve { \Phi } ) + V ( \breve { \Phi } , \Phi ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { S _ { 1 2 } = S _ { 1 3 } = \frac { 1 } { 8 s ^ { 2 } } + \frac { 3 } { 8 s } - \frac { 1 } { 4 } - \frac { 9 } { 1 6 } s + \frac { 1 } { 2 } s ^ { 2 } + \mathcal { O } ( s ^ { 3 } ) , } \\ & { S _ { 2 3 } = - \frac { 1 } { 4 s ^ { 2 } } - \frac { 1 } { 4 } - \frac { 1 } { 4 } s ^ { 2 } + \mathcal { O } ( s ^ { 4 } ) , } \\ & { S _ { 2 4 } = S _ { 3 4 } = - \frac { 1 } { 1 6 s ^ { 3 } } - \frac { 3 } { 1 6 s ^ { 2 } } - \frac { 9 } { 3 2 s } - \frac { 8 3 } { 1 2 8 } s + \mathcal { O } ( s ^ { 2 } ) , } \\ & { S _ { 1 4 } = \frac { 1 } { 4 s ^ { 3 } } - \frac { 1 } { 2 s ^ { 2 } } - \frac { 3 } { 8 s } + \frac { 2 7 } { 3 2 } s + \mathcal { O } ( s ^ { 3 } ) . } \end{array}
\psi ( x ) \geq \! \! \! \! \sum _ { \stackrel { x ^ { 1 - \varepsilon } \leq p \leq x } { p { \mathrm { ~ i s ~ p r i m e } } } } \! \! \! \! \log p \geq \! \! \! \! \sum _ { \stackrel { x ^ { 1 - \varepsilon } \leq p \leq x } { p { \mathrm { ~ i s ~ p r i m e } } } } \! \! \! \! ( 1 - \varepsilon ) \log x = ( 1 - \varepsilon ) \left( \pi ( x ) + O \left( x ^ { 1 - \varepsilon } \right) \right) \log x \; .
\mathop { \operatorname { a r g \, m a x } } _ { \theta } { \frac { 1 } { h } } { \mathcal { L } } ( \theta \mid x \in [ x _ { j } , x _ { j } + h ] ) = \mathop { \operatorname { a r g \, m a x } } _ { \theta } { \frac { 1 } { h } } \operatorname* { P r } ( x _ { j } \leq x \leq x _ { j } + h \mid \theta ) = \mathop { \operatorname { a r g \, m a x } } _ { \theta } { \frac { 1 } { h } } \int _ { x _ { j } } ^ { x _ { j } + h } f ( x \mid \theta ) \, d x ,
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \dot { p } = - \frac { \partial \tilde { H } } { \partial x } = - \omega _ { c } ^ { 2 } x - \frac { \hbar g } { 2 } \sqrt { \frac { 2 \omega _ { c } } { \hbar } } ( c _ { 1 1 } ^ { * } c _ { 2 1 } + c _ { 1 1 } ^ { * } c _ { 1 2 } + c _ { 2 1 } ^ { * } c _ { 2 2 } + c _ { 1 2 } ^ { * } c _ { 2 2 } + c _ { 2 1 } ^ { * } c _ { 1 1 } + c _ { 1 2 } ^ { * } c _ { 1 1 } + c _ { 2 2 } ^ { * } c _ { 2 1 } + c _ { 2 2 } ^ { * } c _ { 1 2 } ) } \\ { \dot { x } = \frac { \partial \tilde { H } } { \partial p } = p . } \end{array} \right. } \end{array}
f ( b ) _ { \mathrm { m i n } } \approx 3 0 \, \mathrm { G p c } \, \left( \frac { b } { R } \right) \left( \frac { R } { 1 0 0 \, \mathrm { k p c } } \right) ^ { 2 } \left( \frac { 1 0 ^ { 1 2 } M _ { \odot } } { M } \right) \ ,
D _ { \underline { { \mu } } } = \pi _ { \underline { { \mu } } } - i \bar { \theta } _ { \underline { { { \nu } } } } ( p _ { \underline { { m } } } \Gamma ^ { \underline { { m } } } ) _ { ~ ~ \underline { { { \mu } } } } ^ { \underline { { { \nu } } } } = 0 .
\begin{array} { r } { B _ { l } ^ { ( 1 ) } = \eta _ { \omega , 0 } ^ { ( 1 ) } R _ { l } ^ { ( 1 ) } ( \bar { Q } _ { 0 } ) ; \, \, B _ { l } ^ { ( 2 ) } = \frac { \sigma _ { G } ^ { 2 D } } { \sigma _ { M } } \eta _ { \omega , 0 } ^ { ( 2 ) } R _ { l } ^ { ( 2 ) } ( \bar { Q } _ { 0 } ) ; \, \, B _ { l } ^ { ( 3 ) } = \frac { \sigma _ { O } ^ { 2 D } } { \sigma _ { M } } \eta _ { \omega , 0 } ^ { ( 2 ) } R _ { l } ^ { ( 3 ) } \left( \frac { \bar { Q } _ { 0 } } { \xi _ { 0 } } \right) \exp \left( i \frac { \bar { Q } _ { 0 } } { f } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname { I B i a s } _ { f _ { \theta } } ^ { 2 } \big ( \widehat f \big ) } & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \big ( E _ { f _ { \theta } } [ \widehat f ( x ) ] - f _ { \theta } ( x ) \big ) ^ { 2 } \, d x } \\ & { = \big \| E _ { f _ { \theta } } [ \widehat f ] - f _ { \theta } \big \| _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { = \big \| E _ { f _ { \theta } } [ \widetilde f ] - f _ { \theta } \big \| _ { 2 } ^ { 2 } + \big \| E _ { f _ { \theta } } \big [ \widehat f - \widetilde f \big ] \big \| _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { \geq \big \| E _ { f _ { \theta } } [ \widetilde f ] - f _ { \theta } \big \| _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { = \operatorname { I B i a s } _ { f _ { \theta } } ^ { 2 } \big ( \widetilde f \big ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { G _ { \mathrm { W i e n e r } } \left( \omega \right) } & { = \frac { H ^ { * } \left( \omega \right) S _ { x , x } \left( \omega \right) } { \left| H \left( \omega \right) \right| ^ { 2 } S _ { x , x } \left( \omega \right) + S _ { \xi , \xi } \left( \omega \right) } } \\ & { = \frac { 1 } { H \left( \omega \right) } \left( 1 + \frac { 1 } { \left| H \left( \omega \right) \right| ^ { 2 } \mathrm { S N R } \left( \omega \right) } \right) ^ { - 1 } . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l r } { W = D W = D ^ { 2 } \widetilde { \Theta } - V _ { c } M _ { s } D \widetilde { \Theta } - V _ { c } n _ { s } \frac { \ensuremath { \mathrm { d } } M _ { s } } { \ensuremath { \mathrm { d } } G _ { s } } G } & { = } & { 0 , \, \mathrm { a t } \qquad z = 0 , } \\ { W = D ^ { 2 } W = D ^ { 2 } \widetilde { \Theta } - V _ { c } M _ { s } D \widetilde { \Theta } - V _ { c } n _ { s } \frac { \ensuremath { \mathrm { d } } M _ { s } } { \ensuremath { \mathrm { d } } G _ { s } } G } & { = } & { 0 , \, \mathrm { a t } \qquad z = 1 , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } \operatorname* { s u p } _ { x _ { d } : | x _ { d } | \leq \eta _ { t } L } f ( w _ { d } - x _ { d } ) \mathrm { d } w _ { d } } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \eta _ { t } L } \operatorname* { s u p } _ { x _ { d } : | x _ { d } | \leq \eta _ { t } L } f ( w _ { d } - x _ { d } ) \mathrm { d } w _ { d } \mathrm { d } w ^ { d - 1 } + \int _ { \eta _ { t } L } ^ { \infty } \operatorname* { s u p } _ { x _ { d } : | x _ { d } | \leq \eta _ { t } L } f ( w _ { d } - x _ { d } ) \mathrm { d } w _ { d } } \\ & { = \eta _ { t } L f ( 0 ) + \frac { 1 } { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ^ { P } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } & { = - 2 4 e ^ { x _ { 2 } } ( \cos x _ { 2 } - x _ { 1 } ^ { 2 } \sin x _ { 2 } ) - x _ { 1 } ^ { 2 } e ^ { x _ { 2 } } \cos x _ { 2 } , } \\ { f ^ { S } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } & { = - 2 e ^ { x _ { 1 } } ( \sin x _ { 1 } + x _ { 2 } ^ { 2 } \cos x _ { 1 } ) - x _ { 2 } ^ { 2 } e ^ { x _ { 1 } } \sin x _ { 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Phi _ { \tau } ( \mathbf { X } ) } & { = } & { \int _ { \Omega } d \mathbf { X } ^ { \prime } G _ { \tau } ( \mathbf { X } , \mathbf { X } ^ { \prime } ) \Phi _ { 0 } ( \mathbf { X } ^ { \prime } ) } \\ & { = } & { \mathrm { V o l } ( \Omega ) \times G _ { \tau } \left( \mathbf { X } , \mathbf { Y } ( \mathbf { X } ) \right) \Phi _ { 0 } ( \mathbf { Y } ( \mathbf { X } ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { g _ { k , N _ { k } } ( u _ { k , N _ { k } } ) \rightarrow g ( u ) \mathrm { ~ u n i f o r m l y ~ i n ~ } D _ { j } ^ { \circ } , } \\ & { } & { \frac { g _ { k , N _ { k } } ^ { \prime } ( u _ { k , N _ { k } } ) } { g _ { k , N _ { k } } ( u _ { k , N _ { k } } ) } \rightarrow \frac { g ^ { \prime } ( u ) } { g ( u ) } \mathrm { ~ u n i f o r m l y ~ i n ~ } D _ { j } ^ { \circ } , } \\ & { } & { \nabla \frac { \mu _ { k , N _ { k } } } { g _ { k , N _ { k } } ( u _ { k , N _ { k } } ) } \rightharpoonup \zeta \mathrm { ~ w e a k l y ~ i n ~ } L ^ { 2 } ( D _ { j } ^ { \circ } ) , } \\ & { } & { \mu _ { k , N _ { k } } \rightharpoonup \mu \mathrm { ~ w e a k l y ~ i n ~ } L ^ { 2 } ( \Omega _ { T } ) , } \\ & { } & { \nabla u _ { k , N _ { k } } \rightarrow \nabla u \mathrm { ~ s t r o n g l y ~ i n ~ } L ^ { 2 } ( \Omega _ { T } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathfrak { w } ^ { \prime \prime } - \widetilde { V } _ { \mathrm { s t a t } } ( r ( r _ { * } ) ) \mathfrak { w } = } & { \: 0 , } \\ { \widetilde { V } _ { \mathrm { s t a t } } ( r ) : = } & { \: - \frac { 1 } { 4 } m ^ { 2 } + ( r ^ { 2 } + 1 ) ^ { - 2 } \left[ m ^ { 2 } a ^ { 2 } ( 2 r - 1 ) + \Lambda _ { + , m \ell } \Delta \right] + ( r ^ { 2 } + 1 ) ^ { - 3 } \Delta ( 3 r ^ { 2 } - 4 r + 1 ) } \\ & { - 3 ( r ^ { 2 } + 1 ) ^ { - 4 } \Delta ^ { 2 } r ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \bar { \Delta } _ { 0 } ^ { \mathrm { C , M } } = \frac { 1 \! - \! F } { 2 } + } \\ & { \frac { F ^ { 2 } \! \! - \! \! 1 } { 1 2 } \eta \! \Bigg [ \! \! \int _ { 0 } ^ { C _ { \epsilon } } \! \! \! \! \! \exp \! \Big ( \! \! - \! \! z \! + \! g _ { \theta } ^ { C _ { \epsilon } } \! ( ( 1 , \! 0 ) , \! z ; \! \alpha , \! \epsilon ) \! + \! g _ { \theta , 1 } ^ { C _ { \epsilon } } \! ( ( 1 , \! \frac { \epsilon } { \delta } , \! 1 ) , \! z ; \! \alpha , \! \epsilon ) \! \Big ) \! \mathrm { d } \! z } \\ & { + \! \! \int _ { C _ { \epsilon } } ^ { \infty } \! \! \! \exp \! \Big ( \! \! - \! \! z \! + \! g _ { \theta } ^ { C _ { \epsilon } } \! ( ( 1 , \! \frac { \epsilon } { \delta } ) , \! z ; \! \alpha , \! \epsilon ) \! + \! g _ { \theta , \! - \! 1 } ^ { C _ { \epsilon } } \! ( ( 1 , \! 0 , \! 1 ) , \! z ; \! \alpha , \! \epsilon ) \! \Big ) \! \mathrm { d } \! z \Bigg ] } \\ & { + \frac { F } { \eta } \! \Bigg [ \! \! \int _ { 0 } ^ { C _ { \epsilon } } \! \! \! \! \! \exp \! \Big ( \! \! - \! \! z \! + \! g _ { \theta } ^ { C _ { \epsilon } } \! ( ( 0 , \! 0 ) , \! z ; \! \alpha , \! \epsilon ) \! + \! g _ { \theta , 1 } ^ { C _ { \epsilon } } \! ( ( 0 , \! \frac { \epsilon } { \delta } , \! - \! 1 ) , \! z ; \! \alpha , \! \epsilon ) \! \Big ) \! \mathrm { d } \! z } \\ & { + \! \! \int _ { C _ { \epsilon } } ^ { \infty } \! \! \! \exp \! \Big ( \! \! - \! \! z \! + \! g _ { \theta } ^ { C _ { \epsilon } } \! ( ( 0 , \! \frac { \epsilon } { \delta } ) , \! z ; \! \alpha , \! \epsilon ) \! + \! g _ { \theta , \! - \! 1 } ^ { C _ { \epsilon } } \! ( ( 1 , \! 0 , \! - \! 1 ) , \! z ; \! \alpha , \! \epsilon ) \! \Big ) \! \mathrm { d } \! z \! \Bigg ] \! , } \end{array}
\begin{array} { r } { \langle u _ { x } \rangle ( z , t ) = \frac { 1 } { L _ { x } L _ { y } } \int _ { 0 } ^ { L _ { y } } \int _ { 0 } ^ { L _ { y } } u _ { x } \, \mathrm { ~ d ~ } x \, \mathrm { ~ d ~ } y } \end{array}
\begin{array} { r } { V _ { \xi } = \left( \xi _ { 2 } , - \xi _ { 1 } , 0 \right) ^ { \top } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad W _ { \xi } = \left( 0 , - \xi _ { 3 } , \xi _ { 2 } \right) ^ { \top } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 2 } \partial _ { t } \bar { \mathcal { N } } _ { t } } & { = \frac 1 2 \int _ { t } ^ { \infty } K _ { s - t } \partial _ { s } \mathcal { N } _ { s } \, d s } \\ & { = \frac 1 2 \int _ { t } ^ { \infty } K _ { s - t } \partial _ { s } \mathcal { N } _ { s } \, d s } \\ & { = - \int _ { t } ^ { \infty } K _ { s - t } \sum _ { e \in E \left( \mathbb { T } _ { L } \right) } \nabla \left( \rho ^ { p } P _ { \mathbf { a } } \right) ( s , e ) \mathbf { a } ( s , e ) \nabla P _ { \mathbf { a } } ( s , e ) \, d s . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E \left( b _ { 2 i } = + 1 \right) } & { = \frac { 1 } { \sigma \sqrt { 2 \pi } } \mathrm { e } ^ { - ( r _ { 1 , \, i } - A ) ^ { 2 } / ( 2 \sigma ^ { 2 } ) } } \\ { E \left( c _ { \pi ( 2 i ) } = + 1 \right) } & { = \frac { 1 } { \sigma \sqrt { 2 \pi } } \mathrm { e } ^ { - ( r _ { 2 , \, i } - A ) ^ { 2 } / ( 2 \sigma ^ { 2 } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho ^ { \phi } ( z ^ { \prime } ) } & { { } = \frac { \prod _ { i } m _ { i } ^ { - 1 / 2 } } { Z } \int \mathrm { d } \ensuremath { { \widetilde { \mathbf { x } } } } \ e ^ { - \beta U ( \ensuremath { { \widetilde { \mathbf { x } } } } ) } \ \delta [ \phi ( \ensuremath { { \widetilde { \mathbf { x } } } } ) - z ^ { \prime } ] } \\ { \rho ^ { \phi } ( z ^ { \prime } ) } & { { } = | f ^ { \prime } ( f ^ { - 1 } ( z ^ { \prime } ) ) | ^ { - 1 } \ \rho ^ { \xi } ( f ^ { - 1 } ( z ^ { \prime } ) ) \ , } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l l l l l } { u _ { 1 } \vert _ { A _ { 1 } } } & { \! \! \! \! = \overline { { u } } } & { \mathrm { a n d } \quad \, \, \, \, u _ { 2 } \vert _ { A _ { 1 } } \to \mathrm { f r e e } } & { \quad ( \mathrm { p r e s c r i b e d ~ d i s p . ~ - ~ g r e e n } ) } & { \mathrm { o n } } & { A _ { 1 } } \\ { * u \vert _ { A _ { 2 } } } & { \! \! \! \! = u \vert _ { B _ { 1 } } } & { \mathrm { a n d } \quad \sigma \, n \vert _ { A _ { 2 } } = \sigma \, n \vert _ { B _ { 1 } } } & { \quad ( \mathrm { p e r f e c t ~ c o n t a c t ~ - ~ r e d } ) } & { \mathrm { o n } } & { A _ { 2 } \equiv B _ { 1 } } \\ { * u \vert _ { B _ { 2 } } } & { \! \! \! \! = u \vert _ { C _ { 1 } } } & { \mathrm { a n d } \quad \sigma \, n \vert _ { B _ { 2 } } = \sigma \, n \vert _ { C _ { 1 } } } & { \quad ( \mathrm { p e r f e c t ~ c o n t a c t ~ - ~ r e d } ) } & { \mathrm { o n } } & { B _ { 2 } \equiv C _ { 1 } } \\ { * \sigma \, n } & { \! \! \! \! = 0 } & & { \quad ( \mathrm { s t r e s s ~ f r e e ~ - ~ b l a c k } ) } & { \mathrm { o n } } & { A _ { 3 } , A _ { 4 } , B _ { 3 } , B _ { 4 } , } \\ { * } & & & & & { C _ { 2 } , C _ { 3 } , C _ { 4 } , D _ { 1 } } \end{array} } \end{array}
\frac { \partial U ^ { - 1 } } { \partial z _ { \alpha } } + \frac { 1 } { 2 \pi \kappa } \sum _ { \beta \neq \alpha } \frac { \hat { Q } ^ { a } ( \xi _ { \alpha } , \bar { \xi } _ { \alpha } ) \hat { Q } ^ { a } ( \xi _ { \beta } , \bar { \xi } _ { \beta } ) } { z _ { \alpha } - z _ { \beta } } U ^ { - 1 } = 0
\begin{array} { r l } { \Pi _ { i } ^ { \mathrm { K I P Z } } = } & { - \int _ { 0 } ^ { f _ { i } } \langle \varphi _ { i } | \hat { H } _ { i } ^ { \mathrm { P Z } } ( s ) | \varphi _ { i } \rangle d s + f _ { i } \int _ { 0 } ^ { 1 } \langle \varphi _ { i } | \hat { H } _ { i } ^ { \mathrm { P Z } } ( s ) | \varphi _ { i } \rangle d s - E _ { \mathrm { H x c } } [ \rho _ { i } ] } \end{array}
\rho _ { \mathrm { { d m } } } ( r ) = \rho _ { 0 } \left( \frac { R _ { 0 } } { r } \right) ^ { \gamma } \left[ \frac { 1 + ( R _ { 0 } / a ) ^ { \alpha } } { 1 + ( r / a ) ^ { \alpha } } \right] ^ { ( \beta - \gamma ) / \alpha } ,
\begin{array} { r l } { X _ { t } ^ { 1 } ~ } & { = ~ \beta _ { 1 } ^ { 1 } X _ { t - 1 } ^ { 1 } + \cdots + \beta _ { L } ^ { 1 } X _ { t - L } ^ { 1 } + U _ { t } ^ { 1 } \, ; } \\ & { ~ \, \vdots } \\ { X _ { t } ^ { M } ~ } & { = ~ \beta _ { 1 } ^ { M } X _ { t - 1 } ^ { M } + \cdots + \beta _ { L } ^ { M } X _ { t - L } ^ { M } + U _ { t } ^ { M } \, . } \end{array}
\begin{array} { c c c } { \mathbf { t } : = \left[ \begin{array} { c } { t _ { 0 } } \\ { \vdots } \\ { t _ { M } } \end{array} \right] , \phantom { \quad } } & { \mathbf { u } : = \left[ \begin{array} { c c c } { u _ { 1 } ( t _ { 0 } ) } & { \cdots } & { u _ { d } ( t _ { 0 } ) } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { u _ { 1 } ( t _ { M } ) } & { \cdots } & { u _ { d } ( t _ { M } ) } \end{array} \right] , \phantom { \quad } } & { \Theta ( \mathbf { u } ) : = \left[ \begin{array} { c c c } { f _ { 1 } ( u ( t _ { 0 } ) ) } & { \cdots } & { f _ { J } ( u ( t _ { 0 } ) ) } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { f _ { 1 } ( u ( t _ { M } ) ) } & { \cdots } & { f _ { J } ( u ( t _ { M } ) ) } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hbar \omega ^ { 1 } ( t ) } & { { } = E _ { 1 } ^ { 0 } - E _ { 0 } ^ { 0 } + \left\langle \phi _ { 1 } \left| \hat { V } ^ { \prime } \right| \phi _ { 1 } \right\rangle - \left\langle \phi _ { 0 } \left| \hat { V } ^ { \prime } \right| \phi _ { 0 } \right\rangle } \end{array}
{ \frac { 1 } { 2 \pi } } \sum _ { l = 1 / 2 } ^ { \infty } 2 l e ^ { - { \frac { l ^ { 2 } } { \rho ^ { 2 } } } t } = { \frac { \rho ^ { 2 } } { 4 \pi t } } + { \frac { \rho ^ { 2 } } { ( 4 \pi t ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } } \mathrm { P } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d x ( { \frac { x } { 2 \rho } } \mathrm { c o s e c } { \frac { x } { 2 \rho } } - 1 ) e ^ { - { \frac { x ^ { 2 } } { 4 t } } } ,
\begin{array} { r l r } { \mathrm { S N R } } & { = \frac { R _ { \mathrm { o s c } } I _ { \mathrm { w } } ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } = \frac { 3 6 \times R _ { \mathrm { o s c } } ^ { 2 } I _ { \mathrm { w } } ^ { 2 } } { \Delta V _ { \mathrm { n o i s e , ~ p - 2 - p } } ^ { 2 } } } & { ( / ) } \\ & { = 1 0 \times \mathrm { l o g } _ { 1 0 } \left( \frac { 3 6 \times R _ { \mathrm { o s c } } ^ { 2 } I _ { \mathrm { w } } ^ { 2 } } { \Delta V _ { \mathrm { n o i s e , ~ p - 2 - p } } ^ { 2 } } \right) } & { ( \mathrm { d B } ) } \\ & { = 2 0 \times \mathrm { l o g } _ { 1 0 } \left( \frac { 6 \times R _ { \mathrm { o s c } } I _ { \mathrm { w } } } { \Delta V _ { \mathrm { n o i s e , ~ p - 2 - p } } } \right) } & { ( \mathrm { d B } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { E _ { n m } ( x , y , z ) } { E _ { 0 } } = H _ { n } \left( \frac { \sqrt { 2 } x } { w ( z ) } \right) H _ { m } \left( \frac { \sqrt { 2 } y } { w ( z ) } \right) \mathrm { e x p } \left[ - \frac { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } { w ^ { 2 } ( z ) } \right] } \\ { \frac { w _ { 0 } } { w ( z ) } \mathrm { e x p } \left( - i \left[ k z - ( n + m + 1 ) \mathrm { a r c t a n } \frac { z } { z _ { R } } + \frac { k ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) } { 2 R ( z ) } \right] \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ~ ~ ~ \left| { \widetilde { \bf { b } } } ^ { H } ( r _ { l } , \theta , \phi ) { \widetilde { \bf { b } } } ( r _ { m } , \theta , \phi ) \right| } \\ & { = \left| \sum _ { n _ { 1 } } \sum _ { n _ { 2 } } e ^ { j k ( n _ { 1 } ^ { 2 } d ^ { 2 } ( 1 - \cos ^ { 2 } \theta ) + n _ { 2 } ^ { 2 } d ^ { 2 } ( 1 - \sin ^ { 2 } \theta \sin ^ { 2 } \phi ) ) ( \frac { 1 } { 2 r _ { l } } - \frac { 1 } { 2 r _ { m } } ) } \right| } \\ & { \approx \left| G ( \beta _ { 1 } ) G ( \beta _ { 2 } ) \right| , } \end{array}