harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
H _ { 0 \leftarrow \tau } ( z ) = \mathcal P \left( \varnothing \right) + \mathcal P \left( 1 \right) + \mathcal P \left( 2 \right) + \mathcal P \left( 3 \right) + \mathcal P \left( 1 , 2 \right) + \mathcal P \left( 1 , 3 \right) + \mathcal P \left( 2 , 3 \right) + \mathcal P \left( 1 , 2 , 3 \right) .
\left( \begin{array} { l } { \dot { \theta } } \\ { \dot { \psi } } \\ { \dot { \phi } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { c _ { \psi } } & { - s _ { \psi } } \\ { 1 } & { - s _ { \psi } c _ { \theta } / s _ { \theta } } & { - c _ { \psi } c _ { \theta } / s _ { \theta } } \\ { 0 } & { \hphantom { + } s _ { \psi } / s _ { \theta } } & { c _ { \psi } / s _ { \theta } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \hat { \Omega } _ { 1 } ^ { f } } \\ { \hat { \Omega } _ { 2 } ^ { f } } \\ { \hat { \Omega } _ { 3 } ^ { f } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } & { \boldsymbol { \phi } ( \boldsymbol { \theta } _ { v } ) } \\ & { = \frac { 1 } { n } \sum _ { j = 1 } ^ { n } \lbrace k ( \boldsymbol { \theta } _ { v \, j } ^ { l } , \boldsymbol { \theta } _ { v } ) \nabla _ { \boldsymbol { \theta } _ { v \, j } ^ { l } } \log P ( \boldsymbol { \theta } _ { v \, j } ^ { l } | { \bf d } ) + \nabla _ { \boldsymbol { \theta } _ { v \, j } ^ { l } } k ( \boldsymbol { \theta } _ { v \, j } ^ { l } , \boldsymbol { \theta } _ { v } ) \rbrace . } \end{array}
\left[ \begin{array} { l l } { \boldsymbol { J } _ { \beta } ( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } ) } & { \boldsymbol { M } ( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } ) } \\ { \boldsymbol { M } ^ { T } ( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } ) } & { \boldsymbol { 0 } _ { p \times p } } \end{array} \right] \sqrt { n } \left[ \begin{array} { l } { \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } - \boldsymbol { \theta } _ { 0 } } \\ { \boldsymbol { \lambda } _ { n , \beta } ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } ) } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { \sqrt { n } \boldsymbol { U } _ { n , \beta } ( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } ) } \\ { \boldsymbol { 0 } _ { r } } \end{array} \right] + o ( \sqrt { n } \left\Vert \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } - \boldsymbol { \theta } _ { 0 } \right\Vert ^ { 2 } \boldsymbol { 1 } _ { r } ) .
\begin{array} { r l } { \hat { V } } & { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \textbf { \textsc { p } } , \textbf { \textsc { q } } } \left( v _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } } ^ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } } \hat { E } _ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } } \hat { E } _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } } + \mathrm { h . c . } \right) , } \\ { \hat { P } } & { = - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \substack { \textbf { \textsc { p } } , \textbf { \textsc { q } } } } \left( S _ { \textsc { q } _ { 2 } } ^ { \textsc { p } _ { 1 } } S _ { \textsc { q } _ { 1 } } ^ { \textsc { p } _ { 2 } } \hat { E } _ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } } \hat { E } _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } } + \mathrm { h . c . } \right) , \, } \\ { \widehat { V P } _ { \mathrm { s } } } & { = - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \substack { \textbf { \textsc { p } } , \textbf { \textsc { q } } } } \left( \nu _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } } ^ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } } \hat { E } _ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } } \hat { E } _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } } + \mathrm { h . c . } \right) } \\ & { - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \substack { \textbf { \textsc { p } } , \textbf { \textsc { q } } } } \left( \nu _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { p } _ { 4 } } ^ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } } S _ { \textsc { q } _ { 2 } } ^ { \textsc { p } _ { 3 } } \hat { E } _ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } } \hat { E } _ { \textsc { p } _ { 3 } \textsc { p } _ { 4 } } \hat { E } _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } } + \mathrm { h . c . } \right) } \\ & { - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \substack { \textbf { \textsc { p } } , \textbf { \textsc { q } } } } \left( \nu _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } } ^ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { q } _ { 4 } } S _ { \textsc { p } _ { 2 } } ^ { \textsc { q } _ { 3 } } \hat { E } _ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } } \hat { E } _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } } \hat { E } _ { \textsc { q } _ { 3 } \textsc { q } _ { 4 } } + \mathrm { h . c . } \right) } \\ & { - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \substack { \textbf { \textsc { p } } , \textbf { \textsc { q } } } } \left( v _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } } ^ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } } S _ { \textsc { q } _ { 4 } } ^ { \textsc { p } _ { 3 } } S _ { \textsc { p } _ { 4 } } ^ { \textsc { q } _ { 3 } } \hat { E } _ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } } \hat { E } _ { \textsc { p } _ { 3 } \textsc { p } _ { 4 } } \hat { E } _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } } \hat { E } _ { \textsc { q } _ { 3 } \textsc { q } _ { 4 } } + \mathrm { h . c . } \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { h _ { \mathbf { b a } } ^ { ( 1 ) } } & { { } = ( \Delta \omega _ { \mathbf { a } } - \mathrm { i } \gamma / 2 ) \delta _ { \mathbf { a } , \mathbf { b } } } \\ { h _ { \mathbf { b a } } ^ { ( 2 ) } } & { { } = V _ { \mathbf { b a } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathcal { S } _ { \omega } ^ { G a u s s i a n } ( \xi ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } s _ { \omega } ( \xi , r ) f ( r ) r d r / \int _ { 0 } ^ { \infty } f ( r ) r d r } \\ & { } & { \simeq \mathcal { S } _ { \omega } ^ { A p p r o x i m a t e d } ( \xi ) } \\ & { } & { = \int _ { 0 } ^ { \sigma _ { 0 A } } s _ { \omega A } ( \xi , r ) f _ { A } ( r ) r d r / \int _ { 0 } ^ { \sigma _ { 0 A } } f _ { A } ( r ) r d r } \\ & { } & { = \int _ { 0 } ^ { \sigma _ { 0 A } } \left( \int _ { 0 } ^ { \sigma _ { z A } / 2 c } \frac { d ^ { 2 } W } { d t d \xi } d t \right) f _ { A } ( r ) r d r / \int _ { 0 } ^ { \sigma _ { 0 A } } f _ { A } ( r ) r d r } \\ & { } & { = \frac { 2 \sqrt { 2 } \alpha \sigma _ { z } } { \sqrt { 3 } \pi \tau _ { c } \gamma c } k _ { 2 / 3 } \left( 2 + \frac { \xi ^ { 2 } } { 1 - \xi } \right) b _ { 0 } ^ { 2 } \ \Gamma \left[ - \frac { 8 } { 3 } , b _ { 0 } \right] , } \end{array}
\langle \: { \hat { \phi } } _ { \bar { t } } \prod _ { i \in S } \phi _ { i } \: \rangle _ { g , \: { \Delta _ { 2 } } } \; = \; \frac { 1 } { 2 } \: \sum _ { r = 0 } ^ { g } \: \sum _ { X \cup Y = S } { \bar { C } } _ { \bar { t } } ^ { \alpha \beta } \: \langle \phi _ { \alpha } \: \prod _ { j \in X } \phi _ { j } \rangle _ { r } \: \langle \phi _ { \beta } \: \prod _ { k \in Y } \phi _ { k } \rangle _ { g - r } \,
{ \frac { \ddot { a } } { a } } = - { \frac { 4 } { 3 } } \pi G \left( \rho ^ { \prime } + 3 p ^ { \prime } \right) = - { \frac { 4 } { 3 } } \pi G ( 1 + 3 w ^ { \prime } ) \rho ^ { \prime }
\begin{array} { l l l l } { { g x ( \alpha \cdot q , \xi ) } } & { { \rightarrow } } & { { - m \exp ( { \frac { \alpha \cdot Q } { 2 } } ) } } & { { \mathrm { s i m p l e ~ r o o t s } } } \\ { { } } & { { \rightarrow } } & { { { m Z } \exp ( - { \frac { \alpha \cdot Q } { 2 } } ) } } & { { \mathrm { h i g h e s t ~ r o o t } } } \\ { { } } & { { \rightarrow } } & { { 0 } } & { { \mathrm { o t h e r w i s e } } } \\ { { g y ( \alpha \cdot q , \xi ) } } & { { \rightarrow } } & { { - { \frac { m } { 2 } } \exp ( { \frac { \alpha \cdot Q } { 2 } } ) } } & { { \mathrm { s i m p l e ~ r o o t s } } } \\ { { } } & { { \rightarrow } } & { { - { \frac { m Z } { 2 } } \exp ( - { \frac { \alpha \cdot Q } { 2 } } ) } } & { { \mathrm { h i g h e s t ~ r o o t } } } \\ { { } } & { { \rightarrow } } & { { 0 } } & { { \mathrm { o t h e r w i s e } } } \end{array}
u ^ { \prime } ( 4 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } ) = s ^ { 4 - D } u ( \frac { 4 ^ { \prime } } { s } \frac { 3 ^ { \prime } } { s } \frac { 2 ^ { \prime } } { s } \frac { 1 ^ { \prime } } { s } ) = s ^ { 4 - D } u ( 4 3 2 1 ) .
\begin{array} { l } { \displaystyle { z _ { \pm } = \frac { 1 } { 4 } \left( q + \frac { 3 } { 2 } \, G \pm 2 \sqrt { q ^ { 2 } + \frac { 3 } { 2 } \, q G } \right) , \qquad z _ { m 1 } = \frac { 3 } { 8 } \big ( 2 q - G \big ) , } } \end{array}
E \gg \frac { 4 } { 3 \sqrt { \pi } } n _ { 0 } \varepsilon _ { 0 } \left( \ln \frac { \eta _ { \mathrm { m a x } } } { \eta _ { \mathrm { m i n } } } \right) ^ { 3 / 2 } \left[ 1 + \mathcal { O } \left( \frac { \eta _ { \mathrm { m i n } } } { \eta _ { \mathrm { m a x } } } \right) \right] .
\begin{array} { r } { \hat { S } ^ { - 1 } \mathcal { H } \hat { S } = \frac { ( \hat { \mathbf { P } } - \hat { \mathbf { P } } _ { \mathrm { B } } ) ^ { 2 } } { 2 } + \sum _ { \mathbf { k } } \omega _ { \mathbf { k } } \hat { b } _ { \mathbf { k } } ^ { \dagger } \hat { b } _ { \mathbf { k } } + n V _ { \mathrm { 1 2 } } ( \mathbf { k } = 0 ) + \frac { \sqrt { n } } { \sqrt { V } } \sum _ { \mathbf { k \neq 0 } } V _ { \mathrm { 1 2 } } ( \mathbf { k } ) W _ { \mathbf { k } } \left( \hat { b } _ { \mathbf { k } } + \hat { b } _ { - \mathbf { k } } ^ { \dagger } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega _ { 0 } ^ { \prime \prime } } & { = \frac { 2 c ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } ( W - 1 ) ^ { 2 } ( 4 W ^ { 4 } - 4 W ^ { 3 } - 4 W \alpha ^ { 2 } + \alpha ^ { 2 } ) } { \Omega _ { e } ( 2 W ^ { 3 } - 4 W ^ { 2 } + \alpha ^ { 2 } + 2 W ) ^ { 3 } } \, , } \\ { \omega _ { 2 } } & { = \frac { \alpha ^ { 4 } \Omega _ { e } ^ { 4 } W ^ { 2 } ( W - 1 ) ( 2 W ^ { 3 } - 2 W ^ { 2 } - \alpha ^ { 2 } ) } { c ^ { 4 } ( V ^ { 2 } - \nu ^ { 2 } ) ( 2 W ^ { 3 } - 4 W ^ { 2 } + \alpha ^ { 2 } + 2 W ) ^ { 2 } } } \end{array}
\int _ { \bar { z } _ { j } - h / 2 } ^ { \bar { z } _ { j } + h / 2 } \frac { 2 f _ { j } } { \left( \bar { z } _ { i } - \bar { z } _ { 0 } \right) ^ { 3 } } d \bar { z } _ { 0 } = f _ { j } \left[ \frac { 1 } { \left( \bar { z } _ { i } - \bar { z } _ { j } - h / 2 \right) ^ { 2 } } - \frac { 1 } { \left( \bar { z } _ { i } - \bar { z } _ { j } + h / 2 \right) ^ { 2 } } \right] \, ,
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { l i m s u p } _ { T \rightarrow \infty } \frac { 1 } { N T } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { t = 1 } ^ { T } a _ { i } ( t ) } \\ { = } & { \operatorname* { l i m s u p } _ { T \rightarrow \infty } \! \frac { 1 } { N T } \! \bigg ( \! \sum _ { i = 1 } ^ { N } \! \! \sum _ { j = 1 } ^ { D _ { i } ( T ) } \frac { I _ { i } ( j ) ( I _ { i } ( j ) \! + \! 1 ) } { 2 } \! + \! \frac { R _ { i } ( R _ { i } \! + \! 1 ) } { 2 } \! \bigg ) \! } \\ { = } & { \operatorname* { l i m s u p } _ { T \rightarrow \infty } \frac { 1 } { 2 N T } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \! \sum _ { j = 1 } ^ { D _ { i } ( T ) } { I _ { i } ^ { 2 } ( j ) } + \frac { 1 } { 2 N T } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \! \sum _ { j = 1 } ^ { D _ { i } ( T ) } { I _ { i } ( j ) } } \\ { \geq } & { \operatorname* { l i m s u p } _ { T \rightarrow \infty } \frac { 1 } { 2 N T } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { 1 } { D _ { i } ( T ) } \bigg ( \sum _ { j = 1 } ^ { D _ { i } ( T ) } I _ { i } ( j ) \bigg ) ^ { 2 } } \\ & { \qquad \quad + \frac { 1 } { 2 N T } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j = 1 } ^ { D _ { i } ( T ) } { I _ { i } ( j ) } } \\ { = } & { \operatorname* { l i m s u p } _ { T \rightarrow \infty } \frac { 1 } { 2 N T } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { 1 } { D _ { i } ( T ) } ( T - R _ { i } ) ^ { 2 } } \\ & { \qquad \quad + \frac { 1 } { 2 N T } \sum _ { i = 1 } ^ { N } ( T - R _ { i } ) } \\ { = } & { \operatorname* { l i m s u p } _ { T \rightarrow \infty } \frac { T } { 2 N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { 1 } { D _ { i } ( T ) } + \frac { 1 } { 2 } } \\ { = } & { \operatorname* { l i m s u p } _ { T \rightarrow \infty } \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { N } D _ { i } ( T ) } { 2 N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { 1 } { D _ { i } ( T ) } + \frac { 1 } { 2 } } \\ { \geq } & { \frac { N } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } } \end{array}
X _ { k } = { \frac { 1 } { 2 } } ( x _ { 0 } + ( - 1 ) ^ { k } x _ { N - 1 } ) + \sum _ { n = 1 } ^ { N - 2 } x _ { n } \cos \left[ { \frac { \pi } { N - 1 } } n k \right] \quad \quad k = 0 , \dots , N - 1 .
\mathrm { ~ s ~ i ~ m ~ } ( \mathcal { O } ( \mathcal { D } ) , \mathcal { O } ( \mathcal { D ^ { \prime } } ) ) = \frac { \mathcal { O } ( \mathcal { D } ) \cdot \mathcal { O } ( \mathcal { D ^ { \prime } } ) } { | | \mathcal { O } ( \mathcal { D } ) | | ~ | | \mathcal { O } ( \mathcal { D ^ { \prime } } ) | | } .
\begin{array} { r l } & { \dot { \overline { { \phi S _ { 1 } } } } + \phi S _ { 1 } \nabla \cdot \boldsymbol { v } _ { s } + \nabla \cdot \boldsymbol { w } _ { 1 } = - \nabla \cdot \boldsymbol { h } ^ { 1 } , } \\ & { \dot { \overline { { \phi S _ { 2 } } } } + \phi S _ { 2 } \nabla \cdot \boldsymbol { v } _ { s } + \nabla \cdot \boldsymbol { w } _ { 2 } = - \nabla \cdot \boldsymbol { h } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { 0 } ^ { \infty } k \, d \, { k } \big ( V _ { k } ^ { \prime \prime } [ 0 ] - \mathrm { M a } \, k ^ { 2 } \, h ^ { 2 } [ r ] \, \Theta _ { k } [ 0 ] \big ) \, J _ { 0 } [ k r / h ] = 0 \, , \, } \\ { \int _ { 0 } ^ { \infty } k \, d \, { k } \big ( V _ { k } ^ { \prime \prime } [ 1 ] + \mathrm { M a } \, k ^ { 2 } \, h ^ { 2 } [ r ] \, \Theta _ { k } [ 1 ] \big ) \, J _ { 0 } [ k r / h ] = 0 \, . \, } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { q ^ { 2 } } { \epsilon _ { z } ( \omega ) } + \frac { \kappa ^ { 2 } } { \epsilon _ { t } ( \omega ) } } & { = } & { \frac { \omega ^ { 2 } } { \epsilon _ { 0 } c ^ { 2 } } , } \\ { \tan \left( \frac { \kappa d } { 2 } \right) } & { = } & { - \frac { \kappa } { \epsilon _ { t } \sqrt { q ^ { 2 } - \frac { \omega ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { E } ^ { \infty } ( g _ { { \bf z } ^ { ( 1 ) } , \ldots , { \bf z } ^ { ( N ) } } ^ { \lambda _ { 1 } , \ldots , \lambda _ { N } , \lambda } ) - \operatorname* { i n f } _ { g : \mathcal { M } _ { 1 } ^ { + } ( \mathcal { X } ) \to \left\{ f : \mathcal { X } \to \mathbb { R } \right\} } \mathcal { E } ^ { \infty } ( g ) \leq \frac { \log \frac { 4 } { \delta } } { \delta ^ { 2 } } \mathcal { O } ( N ^ { - \frac { 1 } { 1 + c _ { 6 } } } ) \left( \mathcal { O } ( { n ^ { - \frac { 1 } { 1 + c _ { 3 } } } } ) + \mathcal { O } ( 1 ) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu _ { [ C ] } ^ { m a x } ( \mathcal { G } _ { i - 1 } ) \geq \mu _ { [ C ] } ( \mathcal { G } _ { i - 1 } ) } & { = \frac { c _ { 1 } ( T _ { \mathcal { S } ^ { \prime } / B } ) \cdot C - c _ { 1 } ( T _ { \mathcal { S } ^ { \prime } / B } / \mathcal { G } _ { i - 1 } ) \cdot C } { r } } \\ & { = \frac { c _ { 1 } ( T _ { \mathcal { S } ^ { \prime } / B } ) \cdot C - c _ { 1 } ( T _ { \mathcal { S } ^ { \prime } } / \mathcal { G } _ { i - 1 } ) \cdot C + 2 g ( B ) - 2 } { r } } \\ & { \geq \frac { \dim ( \mathcal { S } ^ { \prime } ) ( \Gamma ^ { + } + 2 g ( B ) + \gamma - 1 ) - ( \dim ( \mathcal { S } ^ { \prime } ) - r ) ( \Gamma _ { i } + 2 g ( B ) + \gamma - 1 ) } { r } } \\ & { \geq \Gamma ^ { + } + 2 g ( B ) + \gamma - 1 } \\ & { \geq \Gamma _ { i - 1 } + 2 g ( B ) + \gamma - 1 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \phi + a \partial _ { x } u } & { { } = A _ { 1 1 } ^ { b } \partial _ { x x } \phi + A _ { 1 2 } ^ { b } \partial _ { x x } u } \\ { \partial _ { t } u + a \partial _ { x } \phi } & { { } = A _ { 2 1 } ^ { b } \partial _ { x x } \phi } \end{array}
\hat { \bf { H } } ( \hat { \bf { Q } } , \hat { \bf { P } } ) = \frac { 1 } { 2 } \hat { \bf { P } } ^ { \intercal } \hat { \bf { P } } + \frac { 1 } { 2 } \hat { \bf { Q } } ^ { \intercal } \boldsymbol { \Omega } ^ { 2 } \hat { \bf { Q } }
\begin{array} { r l r } { ( i ) \textrm { Q M - L } } & { { } \& } & { \textrm { Q M - I C } } \\ { ( i i ) \textrm { Q M - N L } } & { { } \& } & { \textrm { Q M - I C } } \\ { ( i i i ) \textrm { Q M - N L } } & { { } \& } & { \textrm { Q M - C } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta \omega ( V _ { \mathrm { ~ t ~ } } ) } & { { } = \Delta \omega ( 0 ) + ( K _ { 2 } - K _ { 1 } ) ( 2 V _ { 0 } V _ { \mathrm { ~ t ~ } } - V _ { \mathrm { ~ t ~ } } ^ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { F } _ { 1 } : = \frac { 1 } { \rho c _ { s W } ^ { 2 } } = \frac { \alpha _ { 2 } ( \gamma _ { 1 } - 1 ) c _ { p 1 } r _ { 1 } + \alpha _ { 1 } ( \gamma _ { 2 } - 1 ) c _ { p 2 } r _ { 2 } } { \theta ( \gamma _ { 1 } - 1 ) c _ { p 1 } r _ { 1 } ( \gamma _ { 2 } - 1 ) c _ { p 2 } r _ { 2 } } , } \\ { \mathcal { F } _ { 2 } = \frac { \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } ( c _ { p 1 } r _ { 1 } - c _ { p 2 } r _ { 2 } ) ^ { 2 } } { \rho c _ { p } \theta c _ { p 1 } r _ { 1 } c _ { p 2 } r _ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { t = 1 } ^ { k } \gamma _ { t } Q ( w _ { t } , w ) \leq } & { \gamma _ { 1 } \eta _ { 1 } \mathrm { K L } ( p \| p _ { 0 } ) - \gamma _ { k } ( \eta _ { k } + \lambda _ { 2 } ) \mathrm { K L } ( p \| p _ { k } ) + \gamma _ { 1 } \tau _ { 1 } \mathrm { K L } ( q \| q _ { 0 } ) - \gamma _ { k } ( \tau _ { k } + \lambda _ { 2 } ) \mathrm { K L } ( q \| q _ { k } ) } \\ & { - \gamma _ { k } \eta _ { k } \mathrm { K L } ( p _ { k } \| p _ { k - 1 } ) - \gamma _ { k } \iint ( p _ { k } - p _ { k - 1 } ) ( x ) f ( x , y ) ( q _ { k } - q ) ( y ) d x d y + 4 \sum _ { t = 1 } ^ { k } \gamma _ { t } ( 1 + \mu _ { t } ) \epsilon } \\ & { + \sum _ { t = 1 } ^ { k } \gamma _ { t } \{ ( \tau _ { t } + 2 \tau _ { t + 1 } + \lambda _ { 2 } ) \left[ \delta _ { t , 1 } ( q ) + \delta _ { t , 2 } ( q ) \right] + ( \eta _ { t } + 2 \eta _ { t + 1 } + \lambda _ { 2 } ) \left[ \delta _ { t , 1 } ( p ) + \delta _ { t , 2 } ( p ) \right] \} . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { ~ \mathbb { S } ~ } _ { + } ^ { \ell } } & { = } & { \mathrm { t h e ~ c o n e ~ o f ~ p o s i t i v e ~ s e m i d e f i n i t e ~ m a t r i c e s ~ i n ~ \mathrm { ~ \mathbb { S } ~ } ^ { \ell } ~ } , } \\ { \mathrm { ~ \mathbb { S } ~ } _ { + + } ^ { \ell } } & { = } & { \mathrm { t h e ~ c o n e ~ o f ~ p o s i t i v e ~ m a t r i c e s ~ i n ~ \mathrm { ~ \mathbb { S } ~ } ^ { \ell } ~ } , } \end{array}
B _ { 2 } ^ { f } = - \frac { V } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \frac { 2 ^ { 1 - 2 \nu } } { \nu \Gamma ( \nu ) ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d t \, t ^ { 2 \nu + 3 } \, \frac { K _ { \nu } ^ { \prime } ( t ) } { I _ { \nu } ^ { \prime } ( t ) } > 0 ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { W } _ { 1 } } & { = \{ 1 , 2 , 3 , 5 , 8 \} , \: \mathcal { W } _ { 2 } = \{ 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 7 \} , \: \mathcal { W } _ { 3 } = \{ 1 , 2 , 3 \} , \: \mathcal { W } _ { 4 } = \{ 1 , 4 , 5 , 7 \} } \\ { \mathcal { W } _ { 5 } } & { = \{ 1 , 2 , 4 , 5 , 6 , 8 \} , \: \mathcal { W } _ { 6 } = \{ 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 \} } \end{array}
\begin{array} { r } { I _ { m , n } = e ^ { \omega ^ { 2 } - \psi ^ { 2 } } \left( \Gamma \left( \frac { m } { 2 } \right) M \left( \frac { 1 - m } { 2 } , \frac { 1 } { 2 } , - \omega ^ { 2 } \right) \right. } \\ { \left. + 2 | \omega | \Gamma \left( \frac { m + 1 } { 2 } \right) M \left( 1 - \frac { m } { 2 } , \frac { 3 } { 2 } , - \omega ^ { 2 } \right) \right) . } \end{array}
- \frac { V _ { J J } } { V } = \frac { 1 } { 3 } \Big [ \beta + \frac { 1 } { J } \Big ] ^ { 2 } \bigg ( 1 + \Big [ \beta + \frac { 1 } { J } \Big ] \Big [ J + \frac { 1 } { r _ { O M } } \Big ( \frac { 6 V ^ { 4 } } { d } \Big ) ^ { 1 / 3 } \Big ] \bigg ) \; ,
\left\langle \tilde { \psi } _ { 1 } ^ { 2 } ( \textbf { X } _ { g y } + \boldsymbol { \rho } ) \right\rangle = \psi _ { 1 } ^ { 2 } ( \textbf { X } _ { g y } ) + \frac { \rho ^ { 2 } } { 2 } \left| \nabla _ { \perp } \psi _ { 1 } ^ { 2 } \right| - 2 \psi _ { 1 } ^ { 2 } ( \textbf { X } _ { g y } ) + \psi _ { 1 } ^ { 2 } ( \textbf { X } _ { g y } ) = \frac { \rho ^ { 2 } } { 2 } \left| \nabla _ { \perp } \psi _ { 1 } \right| ^ { 2 } ,
\nu _ { 1 } = \sum _ { l _ { 1 } , s _ { 1 } , s } q ^ { C _ { s } } ~ | \phi _ { l _ { 1 } , s _ { 1 } , s } ^ { ( 2 ) } \rangle \langle \phi _ { l _ { 1 } , s _ { 1 } , s } ^ { ( 1 ) } |
\times \; \prod _ { i = 1 } ^ { n _ { b } ^ { \prime } } \overline { { { \psi } } } ^ { ( b ) } ( { x ^ { \prime } } _ { i } ^ { ( b ) } ) P _ { + } \psi ^ { ( b ) } ( { x ^ { \prime } } _ { i } ^ { ( b ) } ) \prod _ { i = 1 } ^ { m _ { b } ^ { \prime } } \overline { { { \psi } } } ^ { ( b ) } ( { y ^ { \prime } } _ { i } ^ { ( b ) } ) P _ { - } \psi ^ { ( b ) } ( { y ^ { \prime } } _ { i } ^ { ( b ) } ) \Big \rangle _ { 0 }
\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = \operatorname * { l i m } _ { \mu _ { f } , \mu _ { g } \to 0 } \int _ { 0 } ^ { \infty } d | { \bf p } | \: { \tilde { f } } _ { { \mu } _ { f } } ( | { \bf p } | ) \cdot \frac { \partial } { \partial | { \bf p } | } { \tilde { g } } _ { { \mu } _ { g } } ( | { \bf p } | ) .
( \mathcal { L } ^ { n } \mathbin { \vrule h e i g h t 1 . 6 e x d e p t h 0 p t w i d t h 0 . 1 3 e x \vrule h e i g h t 0 . 1 3 e x d e p t h 0 p t w i d t h 1 . 3 e x } \Omega , \eta _ { \varepsilon } ) \rightharpoonup ^ { * } ( \mathcal { L } ^ { n } \mathbin { \vrule h e i g h t 1 . 6 e x d e p t h 0 p t w i d t h 0 . 1 3 e x \vrule h e i g h t 0 . 1 3 e x d e p t h 0 p t w i d t h 1 . 3 e x } \Omega , \eta )
{ } ^ { ( n - 1 ) } R _ { A B C D } = { } ^ { ( n ) } R _ { A ^ { \prime } B ^ { \prime } C ^ { \prime } D ^ { \prime } } ^ { \pm } \; \; q ^ { A ^ { \prime } } { } _ { A } \; q ^ { B ^ { \prime } } { } _ { B } \; q ^ { C ^ { \prime } } { } _ { C } \; q ^ { D ^ { \prime } } { } _ { D } \; + K _ { A C } ^ { \pm } \; K _ { B D } ^ { \pm } - K _ { A D } ^ { \pm } \; K _ { B C } ^ { \pm } .
\beta ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 , } & { \mathrm { i f } \; \operatorname* { m a x } ( | \lambda _ { k } | ) \le 1 \; \mathrm { a n d } \; 1 \notin \{ \lambda _ { k } \} , } \\ { x , } & { \mathrm { i f } \; \operatorname* { m a x } ( | \lambda _ { k } | ) = 1 \; \mathrm { a n d } \; 1 \in \{ \lambda _ { k } \} , } \\ { | \lambda _ { m } | ^ { x / 2 } , } & { \mathrm { i f } \; \operatorname* { m a x } ( | \lambda _ { k } | ) > 1 . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \rho ( \mathbf { \tilde { G } } ^ { \mathrm { s y m } } ) \geq \rho ( \mathbf { \tilde { C } } ^ { \mathrm { s y m } } ) \iff \rho ( \mathbf { \tilde { G } } ) \geq \rho ( \mathbf { \tilde { C } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \mathcal { F } _ { 6 } ( 2 n ) q ^ { n } } & { \equiv \frac { ( q ; q ) _ { \infty } ^ { 2 } ( q ^ { 2 } ; q ^ { 2 } ) _ { \infty } ^ { 2 } ( q ^ { 6 } ; q ^ { 6 } ) _ { \infty } ^ { 2 } } { ( q ^ { 3 } ; q ^ { 3 } ) _ { \infty } ^ { 1 0 } } \equiv \frac { ( q ^ { 2 } ; q ^ { 2 } ) _ { \infty } ^ { 3 } } { ( q ^ { 6 } ; q ^ { 6 } ) _ { \infty } ^ { 3 } } \pmod 2 . } \end{array}
\int \operatorname { a r s i n h } ( a x ) ^ { n } \, d x = - { \frac { x \operatorname { a r s i n h } ( a x ) ^ { n + 2 } } { ( n + 1 ) ( n + 2 ) } } + { \frac { { \sqrt { a ^ { 2 } x ^ { 2 } + 1 } } \operatorname { a r s i n h } ( a x ) ^ { n + 1 } } { a ( n + 1 ) } } + { \frac { 1 } { ( n + 1 ) ( n + 2 ) } } \int \operatorname { a r s i n h } ( a x ) ^ { n + 2 } \, d x \quad ( n \neq - 1 , - 2 )
\times \exp \left( \frac { 1 } { 2 } \sum _ { b = 1 } ^ { N } \sum _ { j = 1 } ^ { m _ { b } } \sum _ { j ^ { \prime } = 1 } ^ { m _ { b } } ( 1 - \delta _ { j j ^ { \prime } } ) \ln ( y _ { j } ^ { ( b ) } - y _ { j ^ { \prime } } ^ { ( b ) } ) ^ { 2 } \right) \; .
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 0 } ^ { T - 1 } \mathbb { E } [ \mathcal { G } _ { t } ] } & { \leq \bigg [ \frac { 9 6 L I ^ { 2 } } { T } + \frac { 2 L } { K ^ { 2 / 3 } T ^ { 2 / 3 } } \bigg ] ( f ( x _ { 0 } ) - f ^ { \ast } ) + \bigg [ \frac { 7 2 I ^ { 4 } } { b T } + \frac { 3 I ^ { 2 } } { 2 b K ^ { 2 / 3 } T ^ { 2 / 3 } } \bigg ] \sigma ^ { 2 } } \\ & { \quad + 1 9 2 ^ { 2 } \times \bigg ( \frac { 4 8 I ^ { 2 } } { T } + \frac { 1 } { K ^ { 2 / 3 } T ^ { 2 / 3 } } \bigg ) \bigg ( \frac { \sigma ^ { 2 } } { 4 b _ { 1 } } + \frac { 2 \zeta ^ { 2 } } { 2 1 } \bigg ) \log ( T + 1 ) . } \end{array}