harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
Q _ { i + 1 / 2 } ^ { l } = \frac { 1 } { 6 0 } \left( 2 { { { \bar { Q } } } _ { i - 2 } } - 1 3 { { { \bar { Q } } } _ { i - 1 } } + 4 7 { { { \bar { Q } } } _ { i } } + 2 7 { { { \bar { Q } } } _ { 1 } } - 3 { { { \bar { Q } } } _ { i + 2 } } \right)
s _ { o u t } = s _ { o u t , 0 } e ^ { i \omega _ { l } t } + s _ { o u t , - 1 } e ^ { i ( \omega _ { l } - \Omega ) t } + s _ { o u t , + 1 } e ^ { i ( \omega _ { l } + \Omega ) t } + s _ { o u t , r } e ^ { i ( \omega _ { l } + \Omega _ { r } ) t }
Q _ { j k } ^ { ( i ) } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { D ^ { 2 } \left| \left\langle L _ { \widehat { F } ^ { ( i ) } } \widehat { e } _ { k } , \widehat { e } _ { j } \right\rangle \right| ^ { 2 } } { \xi ^ { 2 } \, \left| \Re \left( \left\langle L _ { \widehat { F } ^ { ( i ) } } \widehat { e } _ { j } , \widehat { e } _ { j } \right\rangle \right) \right| \left| \Re \left( \left\langle L _ { \widehat { F } ^ { ( i ) } } \widehat { e } _ { k } , \widehat { e } _ { k } \right\rangle \right) \right| } } & { \, \textrm { i f } | \alpha ( j ) | = | \alpha ( k ) | } \\ { \frac { \sum _ { l = 1 } ^ { \infty } \left| \left\langle L _ { \widehat { F } ^ { ( i ) } } \widehat { e } _ { l } , \widehat { e } _ { j } \right\rangle \right| \sum _ { l = 1 } ^ { \infty } \left| \left\langle L _ { \widehat { F } ^ { ( i ) } } \widehat { e } _ { k } , \widehat { e } _ { l } \right\rangle \right| } { \kappa ^ { 2 } \left| \Re \left( \left\langle L _ { \widehat { F } ^ { ( i ) } } \widehat { e } _ { j } , \widehat { e } _ { j } \right\rangle \right) \right| \left| \Re \left( \left\langle L _ { \widehat { F } ^ { ( i ) } } \widehat { e } _ { k } , \widehat { e } _ { k } \right\rangle \right) \right| } } & { \textrm { i f } | \alpha ( k ) | \neq | \alpha ( j ) | \, \textrm { a n d } \left\langle L _ { \widehat { F } ^ { ( i ) } } \widehat { e } _ { k } , \widehat { e } _ { j } \right\rangle \neq 0 } \\ { 0 } & { \textrm { o t h e r w i s e . } } \end{array} \right.
\left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { T _ { 1 } \omega ^ { 0 } { \, { \wedge } \; } \omega ^ { 1 } } & { T _ { 2 } \omega ^ { 0 } { \, { \wedge } \; } \omega ^ { 1 } + C _ { 2 } \omega ^ { 0 } { \, { \wedge } \; } \omega ^ { 2 } } \\ { 0 } & { 0 } & { C _ { 1 } \omega ^ { 0 } { \, { \wedge } \; } \omega ^ { 2 } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \rho _ { \mathrm { N H _ { 3 } } } } & { = \left( \mathbf { 1 } _ { 1 } \otimes \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \end{array} \right) \otimes \mathbf { 1 } _ { 3 } \right) \rho _ { \mathrm { N H _ { 4 } } } \left( \mathbf { 1 } _ { 1 } \otimes \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) \otimes \mathbf { 1 } _ { 3 } \right) } \\ & { + \left( \mathbf { 1 } _ { 1 } \otimes \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \otimes \mathbf { 1 } _ { 3 } \right) \rho _ { \mathrm { N H _ { 4 } } } \left( \mathbf { 1 } _ { 1 } \otimes \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right) \otimes \mathbf { 1 } _ { 3 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { U ( \mathbf { 0 } , r _ { 1 2 } \hat { \textbf { k } } , R _ { 2 } R _ { 1 } \boldsymbol { \Delta } _ { 1 3 } , R _ { 2 } R _ { 1 } \boldsymbol { \Delta } _ { 1 4 } ) } \\ & { } & { \qquad = U ( \mathbf { 0 } , r _ { 1 2 } \hat { \textbf { k } } , R _ { 2 } R _ { 1 } \boldsymbol { \Delta } _ { 1 3 } , Q R _ { 2 } R _ { 1 } \boldsymbol { \Delta } _ { 1 4 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \Delta } & { \partial _ { t } ^ { k } u \| ^ { 2 } + \| \partial _ { t } ^ { k } p \| _ { 1 } ^ { 2 } + \| \nabla \Delta \partial _ { t } ^ { k } \varphi \| ^ { 2 } } \\ & { \leq c ( \| \partial _ { t } ^ { k } u _ { t } \| _ { L ^ { 2 } ( \varrho ( \varphi ) ) } ^ { 2 } + \| \nabla \partial _ { t } ^ { k } \varphi \| ^ { 2 } + \| \nabla \partial _ { t } ^ { k } \varphi _ { t } \| ^ { 2 } ) + C \sum _ { 0 \leq j \leq k } ( 1 + \mathcal { E } _ { j } ^ { 2 } ( t ) ) \mathcal { E } _ { j } ( t ) \mathcal { D } _ { j } ( t ) \, . } \end{array}
\bar { h } _ { \mathrm { t o t } } = \int _ { 3 0 0 \, \mathrm { K } } ^ { T } c _ { \mathrm { p } } \mathrm { d } T + \left( h _ { \mathrm { c h e m } } - \Delta H _ { \mathrm { f } } ^ { 0 } \right) + \frac { 1 } { 2 } u _ { \mathrm { \infty } } ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { \Delta \Tilde { G } ^ { L , \mathrm { c o r r } } ( \omega ) } & { = \frac { \lambda ^ { 2 } } { 1 2 \pi \eta \alpha ^ { 2 } } \left[ \sum _ { \vec { n } , \vec { n } \neq 0 } \frac { \mathrm { e } ^ { - \lambda n L } } { n L } \right] - \frac { 1 } { 3 \eta \alpha ^ { 2 } L ^ { 3 } } } \\ & { = \frac { \lambda ^ { 2 } } { 1 2 \pi \eta \alpha ^ { 2 } } \operatorname* { l i m } _ { \vec { r } \to 0 } \left[ \sum _ { \vec { k } , \vec { k } \neq \vec { 0 } } \frac { 4 \pi \mathrm { e } ^ { i \vec { k } \cdot \vec { r } } } { L ^ { 3 } ( k ^ { 2 } + \lambda ^ { 2 } ) } - \frac { \mathrm { e } ^ { - \lambda r } } { r } \right] \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { D _ { b } ( \Tilde { p } , R ) \leq \epsilon ~ \mathrm { a n d } ~ D _ { b } ( \Tilde { p } , Q ) \leq \epsilon ~ \mathrm { f o r ~ e a c h } ~ \Tilde { p } \in P ~ \mathrm { a n d ~ f o r ~ a l l } ~ \epsilon \in \mathcal { M } } \\ & { \implies } & { D _ { b } ( \Tilde { p } , R ) \leq \operatorname* { i n f } \mathcal { M } = H _ { b } ( P , R , Q ) ~ \mathrm { a n d } ~ D _ { b } ( p , Q ) \leq \operatorname* { i n f } \mathcal { M } } \\ & { \implies } & { \underset { \Tilde { p } \in P } { \operatorname* { s u p } } D _ { b } ( \Tilde { p } , R ) \leq H _ { b } ( P , R , Q ) ~ ~ \mathrm { a n d } ~ ~ \underset { \Tilde { p } \in P } { \operatorname* { s u p } } D _ { b } ( \Tilde { p } , Q ) \leq H _ { b } ( P , R , Q ) } \\ & { \implies } & { \operatorname* { m a x } \left\{ \underset { \Tilde { p } \in P } { \operatorname* { s u p } } D _ { b } ( \Tilde { p } , R ) , ~ \underset { \Tilde { p } \in P } { \operatorname* { s u p } } D _ { b } ( \Tilde { p } , Q ) \right\} \leq H _ { b } ( P , R , Q ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { a _ { 1 s } } & { = \frac { ( - i \Delta _ { a } + \kappa _ { 2 } ) ( - i g _ { m a } m _ { s } + \sqrt { 2 \eta _ { a } \kappa _ { 1 } } \varepsilon _ { l } ) } { ( i \Delta _ { a } + \kappa _ { 1 } ) ( - i \Delta _ { a } + \kappa _ { 2 } ) - J ^ { 2 } } , } \\ { m _ { s } } & { = \frac { - i g _ { m a } a _ { 1 s } } { i \Delta _ { m } ^ { \prime } + \kappa _ { m } } , } \\ { b _ { s } } & { = \frac { - i g _ { m b } | m _ { s } | ^ { 2 } } { i \omega _ { b } + \kappa _ { b } } , } \\ { a _ { 2 s } } & { = \frac { i J a _ { 1 s } } { ( - i \Delta _ { a } + \kappa _ { 2 } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Omega = \Omega _ { f } ^ { \varepsilon } \cup \Omega _ { m } ^ { \varepsilon } \cup \Omega _ { * } ^ { \varepsilon } \cup \Gamma ^ { \varepsilon } \; , \quad \Omega _ { f } ^ { \varepsilon } \cap \Omega _ { m } ^ { \varepsilon } \cap \Omega _ { * } ^ { \varepsilon } = \emptyset \; , } \\ { \Omega _ { s } \equiv \Omega _ { m * } = \Omega _ { m } ^ { \varepsilon } \cup \Omega _ { * } ^ { \varepsilon } \cup \Gamma _ { * } ^ { \varepsilon } \; , \quad \mathrm { ~ w h e r e ~ } \Omega _ { * } ^ { \varepsilon } = \bigcup _ { \alpha } \Omega _ { * } ^ { { \alpha } , \varepsilon } \; , } \end{array}
A ^ { \varphi } = \left( { \begin{array} { l l } { I _ { p } } & { 0 } \\ { 0 } & { - I _ { q } } \end{array} } \right) \left( { \begin{array} { l l } { A _ { 1 1 } } & { \cdots } \\ { \cdots } & { A _ { n n } } \end{array} } \right) ^ { \mathrm { T } } \left( { \begin{array} { l l } { I _ { p } } & { 0 } \\ { 0 } & { - I _ { q } } \end{array} } \right) ,
{ \frac { H ^ { 2 } } { H _ { 0 } ^ { 2 } } } = \Omega _ { 0 , R } a ^ { - 4 } + \Omega _ { 0 , M } a ^ { - 3 } + \Omega _ { 0 , k } a ^ { - 2 } + \Omega _ { 0 , \Lambda } .
\left\{ \begin{array} { l l } { \eta _ { \mathrm { r ^ { \prime } } } = \frac { \eta _ { \mathrm { r } } } { 1 - \eta _ { \mathrm { l } } } } \\ { \eta _ { \mathrm { l ^ { \prime } } } = \frac { \eta _ { \mathrm { l } } } { 1 - \eta _ { \mathrm { r } } } \ , } \end{array} \right. \qquad \qquad \left\{ \begin{array} { l l } { S _ { \mathrm { 0 ^ { \prime } } } = \xi _ { \mathrm { l } } S _ { \mathrm { 0 } } ( 1 - \eta _ { \mathrm { l } } ) } \\ { \xi = \frac { \xi _ { \mathrm { r } } ( 1 - \eta _ { \mathrm { r } } ) } { \xi _ { \mathrm { l } } ( 1 - \eta _ { \mathrm { l } } ) } \ . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { } & { = \sum _ { J , K } \sum _ { \gamma \in S _ { m } \times S _ { n } } ( A _ { x } ^ { \dagger } ) _ { k _ { \gamma ^ { - 1 } ( 1 ) } } ^ { j _ { 1 } } ( A _ { x } ) _ { j _ { \sigma _ { 1 } \gamma \sigma _ { 2 } ^ { - 1 } ( 1 ) } } ^ { k _ { 1 } } \dots ( A _ { x } ^ { \dagger } ) _ { k _ { \gamma ^ { - 1 } ( m ) } } ^ { j _ { m } } ( A _ { x } ) _ { j _ { \sigma _ { 1 } \gamma \sigma _ { 2 } ^ { - 1 } ( m ) } } ^ { k _ { m } } } \\ { } & { \qquad \qquad \qquad \qquad \times ( A _ { y } ^ { \dagger } ) _ { k _ { \gamma ^ { - 1 } ( m + 1 ) } } ^ { j _ { m + 1 } } ( A _ { y } ) _ { j _ { \sigma _ { 1 } \gamma \sigma _ { 2 } ^ { - 1 } ( m + 1 ) } } ^ { k _ { m + 1 } } \dots ( A _ { y } ^ { \dagger } ) _ { k _ { \gamma ^ { - 1 } ( m + n ) } } ^ { j _ { m + n } } ( A _ { y } ) _ { j _ { \sigma _ { 1 } \gamma \sigma _ { 2 } ^ { - 1 } ( m + n ) } } ^ { k _ { m + n } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { = { } } & { { } z \cdot { \frac { ( 1 - z ^ { 5 } ) ( 1 - z ^ { 1 0 } ) \cdots } { ( 1 - z ) ( 1 - z ^ { 2 } ) \cdots } } \times ( 1 + z ^ { 5 } + z ^ { 1 0 } + \cdots ) ( 1 + z ^ { 1 0 } + z ^ { 2 0 } + \cdots ) \cdots } \\ { = { } } & { { } z + \sum _ { n \geq 2 } p ( n - 1 ) z ^ { n } , } \end{array}
\gamma ^ { 0 } = \left( \begin{array} { l l } { { 0 } } & { { - i } } \\ { { i } } & { { 0 } } \end{array} \right) , \qquad \gamma ^ { i } = i \left( \begin{array} { l l } { { 0 } } & { { \sigma ^ { i } } } \\ { { \sigma ^ { i } } } & { { 0 } } \end{array} \right) ,
u ( { \mathbf \xi } ) = \int _ { \Gamma _ { i } } q ^ { * } \left( \mathbf { x } , { \mathbf \xi } \right) u \left( \mathbf { x } \right) \ d \Gamma _ { \mathbf { x } } - \int _ { \Gamma _ { i } } u ^ { * } \left( \mathbf { x } , { \mathbf \xi } \right) q \left( \mathbf { x } \right) \ d \Gamma _ { \mathbf { x } } + \int _ { \Omega _ { i } } b \ u ^ { * } \left( \mathbf { x } , { \mathbf \xi } \right) \ d \Omega _ { \mathbf { x } } ,
\partial _ { i } \, \partial _ { 0 } \, { \cal A } _ { i , m n } = 0 , \; \; \Leftrightarrow \; \; \partial _ { i } \, { \cal E } _ { i , n } = 0 , \; \; \; \partial _ { i } \, \tilde { \cal E } _ { i , n } = 0 .
\begin{array} { r } { - \left( ( \tilde { \rho } _ { \alpha } \chi _ { \alpha } + p \phi _ { \alpha } ) \mathbf { I } + \tilde { \rho } _ { \alpha } \nabla \phi _ { \alpha } \otimes \frac { \partial \hat { \psi } _ { \alpha } } { \partial \nabla \phi _ { \alpha } } + \hat { \mathbf { T } } _ { \alpha } \right) : \nabla \mathbf { v } _ { \alpha } \leq 0 . } \end{array}
T _ { 2 2 } ^ { a b \; k } \; = \frac { \Theta } { 4 \ell _ { P } ^ { 7 } } < s _ { K } ^ { a } s _ { K } ^ { b } \; \epsilon ^ { i j k } \epsilon ^ { I J K } \langle W , \xi | \hat { w } _ { i I \Delta } ( v ) \hat { w } _ { j J \Delta } ( v ) | W , \xi \rangle >
\begin{array} { r l } { \Delta U _ { \lambda ^ { * } } ^ { i } } & { { } = \int _ { 0 } ^ { t _ { f } } d t \frac { [ \lambda _ { i } ^ { * } ( t ) ] ^ { 2 } } { 4 \gamma _ { i } k _ { \mathrm { B } } T } } \end{array}
\frac { \overline { { \epsilon } } \left( \omega \right) } { \epsilon _ { 0 } } = \mathbf { 1 } + \frac { \omega _ { p } ^ { 2 } } { \omega } \left[ - \omega \mathbf { 1 } + i \omega _ { c } \mathbf { \hat { z } } \times \mathbf { 1 } _ { t } \right] ^ { - 1 } = \left[ \begin{array} { l l l } { \epsilon _ { t } } & { - i \epsilon _ { g } } & { 0 } \\ { i \epsilon _ { g } } & { \epsilon _ { t } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \epsilon _ { z } } \end{array} \right] ,
\langle \tilde { Z } ^ { \{ i \} } ( \nu , z , f ) \rangle = \langle \tilde { Z } ( \nu , z , \hat { N } _ { \mathrm { s d } } ^ { \{ 1 \} } , \ldots , \hat { N } _ { \mathrm { s d } } ^ { \{ i - 1 \} } , f \hat { N } _ { \mathrm { s d } } ^ { \{ i \} } , \hat { N } _ { \mathrm { s d } } ^ { \{ i + 1 \} } , \ldots , \hat { N } _ { \mathrm { s d } } ^ { \{ n \} } ) \rangle .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } \quad } & { \sum _ { n = 1 } ^ { N } F ^ { n } ( X ^ { n } , Z ^ { n } ) } \\ { \textrm { s . t . } \quad } & { h _ { i } ( X ^ { n } , Z ^ { n } , t ) = 0 , \forall n \in \mathcal { N } , \forall t \in \mathcal { T } , \forall i \in \mathcal { I } } \\ { \quad } & { g _ { j } ( X ^ { n } , Z ^ { n } , t ) \le 0 , \forall n \in \mathcal { N } , \forall t \in \mathcal { T } , \forall j \in \mathcal { J } } \\ { \quad } & { H ^ { e } ( Z ^ { e } ) = 0 , \forall e \in \mathcal { E } } \\ { \quad } & { G ^ { e } ( Z ^ { e } ) \le 0 , \forall e \in \mathcal { E } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { | \mathrm { o u t p u t } \rangle = \hat { \mathcal { R } } _ { \mathrm { L R } } ( \Delta \phi ) | \mathrm { i n p u t } \rangle } \\ & { } & { = \mathrm { e } ^ { i \beta } \mathrm { e } ^ { i \overline { { k } } d } \left( \begin{array} { c } { \mathrm { e } ^ { - i \frac { \phi + \Delta \phi } { 2 } } \cos ( \theta / 2 ) } \\ { \mathrm { e } ^ { + i \frac { \phi + \Delta \phi } { 2 } } \sin ( \theta / 2 ) \ } \end{array} \right) | \mathrm { i n p u t } \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r } { V _ { \mathrm { v o s } } = \frac { V _ { g } } { 1 + \frac { V _ { g } t _ { 0 } } { L _ { \mathrm { d i s p } } } p _ { 0 } } \approx 1 . 3 7 7 \times 1 0 ^ { - 4 } c , } \end{array}
\left[ { \begin{array} { l l l l l l } { - \lambda _ { 1 } } & { \lambda _ { 1 } } & { 0 } & { \dots } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - \lambda _ { 2 } } & { \lambda _ { 2 } } & { \ddots } & { 0 } & { 0 } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { \ddots } & { - \lambda _ { k - 2 } } & { \lambda _ { k - 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \dots } & { 0 } & { - \lambda _ { k - 1 } } & { \lambda _ { k - 1 } } \\ { 0 } & { 0 } & { \dots } & { 0 } & { 0 } & { - \lambda _ { k } } \end{array} } \right] \; .
\Delta E _ { \mathrm { F S } , i a } = \langle \psi _ { a } | \delta V _ { i a } | \psi _ { a } \rangle + \sum _ { n \neq a } \frac { | \langle \psi _ { a } | \delta V _ { i a } | \psi _ { n } \rangle | ^ { 2 } } { E _ { a } - E _ { n } } \ .
\begin{array} { r } { \mathrm { i } \, \mathcal { I } _ { _ { S C } } \, \xi = < \hat { \mathbf { q } } _ { 1 } ^ { A _ { 1 } \dagger } , \boldsymbol { \hat { \mathcal { F } } } _ { 3 } ^ { | B _ { 1 } | ^ { 2 } A _ { 1 } } > = } \\ { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( \overline { { \hat { \eta } } } _ { 1 } ^ { A _ { 1 } \dagger } \hat { \mathcal { F } } _ { 3 _ { \mathrm { d y n } } } ^ { | B _ { 1 } | ^ { 2 } A _ { 1 } } + \overline { { \hat { \Phi } } } _ { 1 } ^ { A _ { 1 } \dagger } \hat { \mathcal { F } } _ { 3 _ { \mathrm { k i n } } } ^ { | B _ { 1 } | ^ { 2 } A _ { 1 } } \right) \, r \mathrm { d } r . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { z _ { f } \left( s \right) } & { { } = } & { \int d \, \overline { { \psi } } _ { f } ^ { \, \ast } \left( s \right) \, \int d \, \overline { { \psi } } _ { f } \left( s \right) \, e ^ { - \overline { { \psi } } _ { f } ^ { \, \ast } \, \left( s \right) \, a \left( s \right) \, \overline { { \psi } } _ { f } \left( s \right) } } \end{array}
\left[ \begin{array} { l l } { ( 1 + \nu _ { t } ) ( 1 + \zeta _ { t } ) - \rho _ { t } ^ { 2 } - 2 \lambda _ { t } ^ { ( 1 ) } L _ { t } m _ { t } } & { \lambda _ { t } ^ { ( 1 ) } \left( L _ { t } + m _ { t } \right) - \alpha _ { t } ( 1 + \nu _ { t } ) ( 1 + \zeta _ { t } ) } \\ { \lambda _ { t } ^ { ( 1 ) } \left( L _ { t } + m _ { t } \right) - \alpha _ { t } ( 1 + \nu _ { t } ) ( 1 + \zeta _ { t } ) } & { \alpha _ { t } ^ { 2 } ( 1 + \nu _ { t } ) ( 1 + \zeta _ { t } ) - 2 \lambda _ { t } ^ { ( 1 ) } } \end{array} \right] \preceq 0 .
\epsilon _ { \mu } ^ { 2 } ( p ) \! = \! { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \left( { \frac { i p _ { 1 } p _ { 2 } \! + \! E ^ { 2 } \! + \! p _ { 3 } E \! - \! p _ { 1 } ^ { 2 } } { E ( E + p _ { 3 } ) } } , { \frac { - p _ { 1 } p _ { 2 } \! - \! i E ^ { 2 } \! - \! i p _ { 3 } E \! + \! i p _ { 2 } ^ { 2 } } { E ( E + p _ { 3 } ) } } , { \frac { \! - p _ { 1 } \! + \! i p _ { 2 } } { E } } , 0 \right) , \quad ( 2 )
\begin{array} { r l } { \overline { { \phi } } } & { = \sum _ { k = 1 } ^ { M _ { p } } w _ { k } \overline { { \phi } } _ { k } , } \\ { \overline { { \xi ^ { \prime } \eta ^ { \prime } } } } & { = \sum _ { k = 1 } ^ { M _ { p } } w _ { k } \overline { { \xi ^ { \prime } \eta ^ { \prime } } } _ { k } + \sum _ { k = 1 } ^ { M _ { p } } w _ { k } ( \overline { { \xi } } _ { k } - \overline { { \xi } } ) ( \overline { { \eta } } _ { k } - \overline { { \eta } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \overline { { \Phi } } _ { S } \left( x \right) = \varphi _ { S } \left( x \right) \, \zeta _ { S } \quad \mathrm { w i t h } \quad \zeta _ { S } ^ { \, \dag } \, \zeta _ { S } = 1 } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \binom { n } { n \rho } } } & { = \sum _ { i = 0 } ^ { \lfloor \frac { n \rho } { 2 } \rfloor } { \binom { n \rho } { i } } { \binom { n - n \rho } { n \rho - i } } + \sum _ { i = \lfloor \frac { n \rho } { 2 } \rfloor + 1 } ^ { { n \rho } } { \binom { n \rho } { i } } { \binom { n - n \rho } { n \rho - i } } } \\ & { = \sum _ { i = 0 } ^ { \lfloor \frac { n \rho } { 2 } \rfloor } { \binom { n \rho } { i } } { \binom { n - n \rho } { n \rho - i } } + \sum _ { i = \lfloor \frac { n \rho } { 2 } \rfloor + 1 } ^ { { n \rho } } { \binom { n \rho } { n \rho - i } } { \binom { n - n \rho } { n \rho - i } } } \\ & { = \sum _ { i = 0 } ^ { \lfloor \frac { n \rho } { 2 } \rfloor } { \binom { n \rho } { i } } { \binom { n - n \rho } { n \rho - i } } + \sum _ { i = 0 } ^ { n \rho - \lfloor \frac { n \rho } { 2 } \rfloor - 1 } { \binom { n \rho } { i } } { \binom { n - n \rho } { i } } . } \end{array}
H = t _ { 0 } [ \sum _ { i , j , k } ( \sqrt { i } b _ { i - 1 j k } ^ { \dagger } + \sqrt { j } b _ { i j - 1 k } ^ { \dagger } + \sqrt { k } b _ { i j k - 1 } ^ { \dagger } ) a _ { i j k } + h . c . ] ,
\sqrt { ( \Delta m ) ^ { 2 } } { { E _ { \nu } = { \left( \frac { 4 e V } { \sqrt { { { m _ { \nu } } ^ { 2 } + { p _ { \nu } ^ { 2 } } } } } \right) } \cdot 1 0 ^ { 2 1 } \, e V . } \nonumber }
y _ { i } = \beta _ { 0 } + \beta _ { 1 } x _ { i } + \beta _ { 2 } x _ { i } ^ { 2 } + \cdots + \beta _ { m } x _ { i } ^ { m } + \epsilon _ { i } = \sum _ { j = 0 } ^ { m } \beta _ { j } x _ { i } ^ { j } + \epsilon _ { i } .
\begin{array} { r l r } { \left[ \langle N | \hat { V } _ { 2 } \hat { R } \hat { V } _ { 2 } | N \rangle \right] } & { { } = } & { \left[ \langle N | \hat { V } _ { 2 } \hat { R } _ { 2 } ^ { ( - 2 ) } \hat { V } _ { 2 } | N \rangle \right] + \left[ \langle N | \hat { V } _ { 2 } \hat { R } _ { 2 } ^ { ( \pm 0 ) } \hat { V } _ { 2 } | N \rangle \right] } \end{array}
\begin{array} { r l r l r } { \chi _ { \mathrm { s p i n } } ^ { - } } & { { } = - \frac { 1 } { \phi _ { 0 } ( 1 - 2 \phi _ { 0 } ) } } & { \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } } & { { } } & { \chi _ { \mathrm { s p i n } } ^ { + } = \frac { 1 } { \phi _ { 0 } } \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \epsilon ( - \omega ^ { * } , \boldsymbol { k } ) } & { { } = \epsilon ( \omega , \boldsymbol { k } ) ^ { * } , } \\ { \epsilon ( \omega , \boldsymbol { k } ) } & { { } = \epsilon ( \omega , - \boldsymbol { k } ) \, . } \end{array}
N = \sum _ { p } n _ { p } ^ { e q } \to ( T / \beta _ { 0 } ^ { 2 } ) \int _ { 0 } ^ { \beta _ { \mathrm { m a x } } } d x \int _ { 0 } ^ { \beta _ { \mathrm { m a x } } - x } d y ( x + y + \beta _ { 0 } - \mu ) ^ { - 1 }
\begin{array} { r } { \int d x f ( x ) \partial _ { t } \rho _ { \sigma } ( x , t ) = \int d x f ( x ) \left( \partial _ { x } ( \rho _ { \sigma } ( x , t ) [ - v _ { 0 } \sigma + W ^ { \prime } ( x ) + \int d y N \tilde { \rho } ( y , t ; \sigma ) \tilde { V } ^ { \prime } ( x - y ) ] ) \right. } \\ { \left. + \frac { T } { N } \partial _ { x } ^ { 2 } \rho _ { \sigma } ( x , t ) + \frac { 1 } { N } \hat { \zeta } _ { \sigma } ( x , t ) - \frac { 1 } { N } \partial _ { x } \Xi _ { \sigma } ( x , t ) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \dot { m } _ { o u t } } & { { } = } & { \rho \left[ U _ { A 0 } \beta _ { l o c a l } ( x ) + U _ { A 0 } \frac { \mathrm { d } \beta _ { l o c a l } ( x ) } { \mathrm { d } x } \mathrm { d } x \right] \left[ \delta ( x ) + \frac { \mathrm { d } \delta ( x ) } { \mathrm { d } x } \mathrm { d } x \right] W } \\ { \dot { m } _ { o u t } } & { { } = } & { \rho U _ { A 0 } \beta _ { l o c a l } ( x ) \delta ( x ) W + \rho U _ { A 0 } \beta _ { l o c a l } ( x ) \frac { \mathrm { d } \delta ( x ) } { \mathrm { d } x } \mathrm { d } x W + } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \widehat { y } _ { - } ^ { \prime } } & { \; : = \; \mathbb { E } \big ( \widehat { y } _ { \widehat { T } _ { - , + } } \, \big | \, \widehat { y } _ { \widehat { T } _ { - , + } } \leq \widehat { y } _ { - } \big ) \, , } & { \qquad } & { \widehat { y } _ { - } ^ { \prime \prime } \; : = \; \frac { 1 } { C _ { 0 } \nu } \log \Big ( \mathbb { E } \big ( e ^ { C _ { 0 } \nu \widehat { y } _ { \widehat { T } _ { - , + } } } \, \big | \, \widehat { y } _ { \widehat { T } _ { - , + } } \leq \widehat { y } _ { - } \big ) \Big ) \, , } \\ { \widehat { y } _ { + } ^ { \prime } } & { \; : = \; \mathbb { E } \big ( \widehat { y } _ { \widehat { T } _ { - , + } } \, \big | \, \widehat { y } _ { \widehat { T } _ { - , + } } \geq \widehat { y } _ { + } \big ) \, , } & { \qquad } & { \widehat { y } _ { + } ^ { \prime \prime } \; : = \; \frac { 1 } { C _ { 0 } \nu } \log \Big ( \mathbb { E } \big ( e ^ { C _ { 0 } \nu \widehat { y } _ { \widehat { T } _ { - , + } } } \, \big | \, \widehat { y } _ { \widehat { T } _ { - , + } } \geq \widehat { y } _ { + } \big ) \Big ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mu _ { i 1 } ^ { 2 } = ( \mathrm { ~ t ~ } _ { 1 } - \mathrm { ~ t ~ } _ { 2 } ) ^ { 2 } \mu _ { i 1 } ^ { 2 } \quad \rightarrow \quad 1 = ( \mathrm { ~ t ~ } _ { 1 } - \mathrm { ~ t ~ } _ { 2 } ) ^ { 2 } \quad \rightarrow \quad \mathrm { ~ t ~ } _ { 1 } = \pm \frac { 1 } { 2 } + \tau _ { 0 } , \quad \mathrm { ~ t ~ } _ { 2 } = \mp \frac { 1 } { 2 } + \tau _ { 0 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \, \Big | \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \left( \| \tilde { u } _ { x } \| ^ { 2 } + \| \tilde { v } _ { x } \| ^ { 2 } \right) \Big | } \\ { \le } & { \, C \big ( \| \tilde { u } _ { x } \| ^ { 2 } + \| \tilde { v } _ { x } \| ^ { 2 } + \| \tilde { u } _ { x x } \| ^ { 2 } + \| \tilde { v } _ { x x } \| ^ { 2 } + | \beta _ { 1 } - \beta _ { 2 } | + | \alpha ^ { \prime } | + | \beta _ { 1 } ^ { \prime } | + | \beta _ { 2 } ^ { \prime } | \big ) , } \end{array}
F _ { \tiny \mathrm { d i v } } ^ { C } [ g , \beta , D ] = - \eta \, { \frac { \Gamma \left( 1 - \frac D 2 \right) } { ( 4 \pi ) ^ { D / 2 } } } \, \, { \frac { \pi ^ { 2 } m ^ { D - 4 } } { 3 \kappa \beta ^ { 2 } } } \, \, \int _ { \Sigma } \left[ f _ { 1 } m ^ { 2 } - \left( p _ { 1 } { \frac { 4 \pi ^ { 2 } } { \kappa ^ { 2 } \beta ^ { 2 } } } { \cal P } + p _ { 2 } R + p _ { 3 } { \cal Q } ) \right) \right] ~ ~ ~ .
\left( \begin{array} { l l } { \boldsymbol { A } ^ { \mathrm { ~ B ~ S ~ E ~ } } } & { \boldsymbol { B } ^ { \mathrm { ~ B ~ S ~ E ~ } } } \\ { - \boldsymbol { B } ^ { \mathrm { ~ B ~ S ~ E ~ } } } & { - \boldsymbol { A } ^ { \mathrm { ~ B ~ S ~ E ~ } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \boldsymbol { X } _ { m } ^ { \mathrm { ~ B ~ S ~ E ~ } } } \\ { \boldsymbol { Y } _ { m } ^ { \mathrm { ~ B ~ S ~ E ~ } } } \end{array} \right) = \Omega _ { m } ^ { \mathrm { ~ B ~ S ~ E ~ } } \left( \begin{array} { l } { \boldsymbol { X } _ { m } ^ { \mathrm { ~ B ~ S ~ E ~ } } } \\ { \boldsymbol { Y } _ { m } ^ { \mathrm { ~ B ~ S ~ E ~ } } } \end{array} \right)
x \otimes y = ( x _ { 1 } y _ { 1 } , x _ { 1 } y _ { 2 } , \ldots , x _ { 1 } y _ { m } , x _ { 2 } y _ { 1 } , \ldots , x _ { 2 } y _ { m } , \ldots , x _ { n } y _ { 1 } , \ldots , x _ { n } y _ { m } ) ^ { \mathrm { ~ T ~ } }