harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \small { \left( \! \left( \! \! \begin{array} { c c c c c } { \{ 1 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } \\ { \{ 1 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } \\ { \{ 1 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } \\ { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } \\ { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } \end{array} \! \! \right) , \left( \! \! \begin{array} { c c c c c } { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } \\ { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } \\ { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 1 \} } \\ { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 0 \} } & { \{ 1 \} } \\ { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 1 \} } \end{array} \! \! \right) \! \right) , } } \end{array}
\displaystyle { \frac { \phi ^ { ( 0 ) } ( a , b + 1 , c | u , v , w + 1 / 4 ) } { \phi ^ { ( 0 ) } ( a , b - 1 , c | u , v , w + 1 / 4 ) } } = \displaystyle { \frac { W ( a , b + 1 | A _ { 0 } ) \, \overline { { { W } } } ( b + 1 , c | B _ { 0 } ) } { W ( a , b - 1 | A _ { 0 } ) \, \overline { { { W } } } ( b - 1 , c | B _ { 0 } ) } } .
\hat { q } | q \rangle = \hat { q } e ^ { - \frac { i } { \hbar } q \hat { p } } | 0 _ { q } \rangle = e ^ { - \frac { i } { \hbar } q \hat { p } } e ^ { \frac { i } { \hbar } q \hat { p } } \hat { q } e ^ { - \frac { i } { \hbar } q \hat { p } } | 0 _ { q } \rangle = e ^ { - \frac { i } { \hbar } q \hat { p } } ( \hat { q } + q ) | 0 _ { q } \rangle = q e ^ { - \frac { i } { \hbar } q \hat { p } } | 0 _ { q } \rangle = q | q \rangle ,
\begin{array} { r l } { I _ { d } \left( \boldsymbol { q } _ { 0 } , \boldsymbol { s } \right) } & { { } = \left| \int P \left( \boldsymbol { x } \right) O \left( \boldsymbol { x } - \boldsymbol { s } \right) \exp \left[ - i 2 \pi \boldsymbol { q } _ { 0 } \boldsymbol { x } \right] d \boldsymbol { x } \right| ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \langle \theta ( t ) \rangle } _ { R } = \arctan \left[ \frac { \langle \sin \theta \rangle } { \langle \cos \theta \rangle } \right] ; } \\ & { \langle \sin \theta \rangle = \frac { 1 } { n } \sum _ { j \in \{ R \} } \sin \theta _ { j } ; \ \ \langle \cos \theta \rangle = \frac { 1 } { n } \sum _ { j \in \{ R \} } \cos \theta _ { j } } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { M } d k \, k \, e ^ { - k ^ { 2 } t } \sum _ { l } ( J _ { \scriptscriptstyle { W } } ^ { 2 } - J _ { \scriptscriptstyle { l } } ^ { 2 } ) = ( 1 - e ^ { - M ^ { 2 } t } ) \, g ( \mu r ) / 2 t \, .
P _ { l \rightarrow l + 1 } : \left\{ \begin{array} { l } { \hat { u } _ { l + 1 , 2 i } = \bar { u } _ { l , i } + \sum _ { k = 1 } ^ { m } \gamma _ { k } \left( \bar { u } _ { l , i + k } + \bar { u } _ { l , i - k } \right) , } \\ { \hat { u } _ { l + 1 , 2 i + 1 } = \bar { u } _ { l , i } - \sum _ { k = 1 } ^ { m } \gamma _ { k } \left( \bar { u } _ { l , i + k } + \bar { u } _ { l , i - k } \right) . } \end{array} \right.
\hat { H } _ { j } = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } { \frac { d \theta } { 2 \pi } } \, \mathrm { e } ^ { i \theta ( n _ { 1 } - m ) } \left\{ 4 v _ { 0 } B _ { j 1 } + \Gamma R \pi \left[ 2 B _ { j 2 } + i ( n _ { 2 } - n _ { 1 } ) B _ { j 3 } \right] \right\}
\begin{array} { r l } { U ( t , \xi ) } & { = \cos ( \pi \bar { y } ( \xi ) ) - \pi - \frac { 1 } { 8 } \left( b ( t ) + b \left( \tau ( \xi ) \right) \right) } \\ & { \quad + \frac { \pi } { 8 } \left( 2 \pi \bar { y } ( \xi ) - \sin \left( 2 \pi \bar { y } ( \xi ) \right) \right) \left( t - \alpha ( t - \tau ( \xi ) ) \right) - \frac { \pi ^ { 2 } } { 8 } ( 2 - \alpha ) ( t - \tau ( \xi ) ) . } \end{array}
\dot { \xi } ( \tau ) = \frac { u \sqrt { \alpha ^ { \prime } } } { 2 } \psi ^ { 1 } ( \tau ) \Rightarrow \xi ( \tau ) = \frac { u \sqrt { \alpha ^ { \prime } } } { 2 } \frac { 1 } { \partial _ { \tau } } \psi ^ { 1 } ( \tau )
\psi _ { + } = { \frac { 1 } { { \sqrt { 2 \left| { \vec { a } } \right| \ ( a _ { 3 } + \left| { \vec { a } } \right| ) \ } } \ } } { \left[ \begin{array} { l } { a _ { 3 } + \left| { \vec { a } } \right| } \\ { a _ { 1 } + i a _ { 2 } } \end{array} \right] } ; \qquad \psi _ { - } = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 | { \vec { a } } | ( a _ { 3 } + | { \vec { a } } | ) } } } { \left[ \begin{array} { l } { i a _ { 2 } - a _ { 1 } } \\ { a _ { 3 } + | { \vec { a } } | } \end{array} \right] } ~ .
\sum _ { k = 0 } ^ { N } c _ { k } e ^ { 2 \pi i n k / ( N + 1 ) } = a ^ { n } \sqrt { \frac { e ^ { \frac { 1 } { 2 a } \operatorname { t a n h } r } } { 4 { \cosh r } } } \frac { \sqrt { ( 2 n ) ! } } { n ! } = : f _ { n } ,
\begin{array} { r l } & { \int _ { \Omega } f ( x , y , z ) \bar { Q } _ { k } ( x , y , z ) d \Omega = L _ { z } \int _ { \Omega _ { 2 D } } \hat { f } _ { k } ( x , y ) l ( x , y ) d \Omega _ { 2 D } } \\ & { \int _ { \Omega } \nabla f ( x , y , z ) \cdot \nabla \bar { Q } _ { k } ( x , y , z ) d \Omega = L _ { z } \int _ { \Omega _ { 2 D } } \left[ \nabla _ { 2 D } \hat { f } _ { k } ( x , y ) \cdot \nabla _ { 2 D } l ( x , y ) + \beta _ { k } ^ { 2 } \hat { f } _ { k } ( x , y ) l ( x , y ) \right] d \Omega _ { 2 D } } \\ & { \int _ { \Omega } \textbf { u } \cdot \nabla \bar { Q } _ { k } d \Omega = L _ { z } \int _ { \Omega _ { 2 D } } \left[ \nabla _ { 2 D } l ( x , y ) \cdot \hat { \textbf { u } } _ { 2 D , k } - i \beta _ { k } l ( x , y ) \hat { u } _ { z , k } \right] d \Omega _ { 2 D } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle a _ { i j } ( \tau ) \, a _ { i j } ( 0 ) \rangle } & { { } = } & { 1 \times 1 \times p _ { + + } ( \tau , 0 ) + 1 \times 0 \times p _ { + - } ( \tau , 0 ) + 0 \times 1 \times p _ { - + } ( \tau , 0 ) + 0 \times 0 \times p _ { -- } ( \tau , 0 ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { 1 } { 2 4 } \sum _ { i } F _ { i i i i } \left[ \langle N | Q _ { i } ^ { 4 } | N \rangle \right] } & { = } & { \frac { 1 } { 2 4 } \sum _ { i } F _ { i i i i } \left[ \langle { Q _ { i } ^ { 4 } } \rangle _ { 0 } \right] } \\ & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i } \tilde { F } _ { i i i i } { ( f _ { i } + 1 / 2 ) ^ { 2 } } , } \end{array}
\hat { V } ( r ; \lambda ) = V ( r ) - 2 [ \ln ( I _ { 0 } + \lambda ) ] ^ { \prime \prime } = V ( r ) - \frac { 4 u _ { 0 } u _ { 0 } ^ { \prime } } { I _ { 0 } + \lambda } + \frac { 2 u _ { 0 } ^ { 4 } } { ( I _ { 0 } + \lambda ) ^ { 2 } } ,
P ( A _ { \mathrm { g } } , A _ { \mathrm { r } } | I , K _ { \mathrm { e l o } } ) = \sum _ { G _ { \mathrm { g } } , G _ { \mathrm { r } } } P ( A _ { \mathrm { g } } | G _ { \mathrm { g } } ) P ( A _ { \mathrm { r } } | G _ { \mathrm { r } } ) P ( G _ { \mathrm { g } } , G _ { \mathrm { r } } | I , K _ { \mathrm { e l o } } ) ,
S = \int d ^ { 6 } x \sqrt { g } \left[ { \frac { 1 } { 2 } } ( \partial \phi ) ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } m ^ { 2 } \phi ^ { 2 } + { \frac { g _ { 4 } } { 4 ! } } \phi ^ { 4 } + \cdots \right] + \int d ^ { 4 } x \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { \lambda _ { 2 n } } { ( 2 n ) ! } } \phi ^ { 2 n }
3 3 : x + { \frac { 2 } { 3 } } x + { \frac { 1 } { 2 } } x + { \frac { 1 } { 7 } } x = 3 7 \; \; \; \rightarrow \; \; \; x = 1 6 + { \frac { 1 } { 5 6 } } + { \frac { 1 } { 6 7 9 } } + { \frac { 1 } { 7 7 6 } }
\begin{array} { r l } { c _ { k } } & { = \frac { 1 } { n } \displaystyle \sum _ { j = 0 } ^ { m } \left[ \frac { 2 \pi \left( j + \frac { n } { 2 } \right) } { n } - \xi \right] \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } k j 2 \pi / n } + \frac { 1 } { n } \displaystyle \sum _ { j = m + 1 } ^ { n - 1 } \left[ \frac { 2 \pi \left( j - \frac { n } { 2 } \right) } { n } - \xi \right] \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } k j 2 \pi / n } } \\ & { = \frac { 1 } { n } \displaystyle \sum _ { j = 0 } ^ { m } \left[ \frac { 2 \pi \left( j + \frac { n } { 2 } \right) } { n } - \xi \right] \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } k j 2 \pi / n } } \\ & { \phantom { 2 p c } + \frac { 1 } { n } \displaystyle \sum _ { j = m + 1 - n } ^ { - 1 } \left[ \frac { 2 \pi \left( j + \frac { n } { 2 } \right) } { n } - \xi \right] \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } k ( j + n ) 2 \pi / n } } \\ & { = \frac { 1 } { n } \displaystyle \sum _ { j = m + 1 - n } ^ { m } \left[ \frac { 2 \pi \left( j + \frac { n } { 2 } \right) } { n } - \xi \right] \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } k j 2 \pi / n } } \\ & { = \frac { 1 } { n } \displaystyle \sum _ { j = 0 } ^ { n - 1 } \left[ \frac { 2 \pi \left( j + m + 1 - \frac { n } { 2 } \right) } { n } - \xi \right] \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } k ( j + m + 1 - n ) 2 \pi / n } } \\ & { = \frac { 1 } { n } \left( \frac { 2 \pi \left( m + \frac { 1 } { 2 } \right) } { n } - \xi \right) \displaystyle \sum _ { j = 0 } ^ { n - 1 } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } k ( j + m + 1 ) 2 \pi / n } } \\ & { \phantom { 2 p c } + \frac { 1 } { n } \displaystyle \sum _ { j = 0 } ^ { n - 1 } \frac { 2 \pi \left( j + \frac { 1 } { 2 } - \frac { n } { 2 } \right) } { n } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } k ( j + m + 1 ) 2 \pi / n } } \\ & { = S _ { k } ^ { ( 1 ) } + S _ { k } ^ { ( 2 ) } . } \end{array}
O ( { \varepsilon ^ { 2 } } ) : { \partial _ { t 2 } } { { \bf { m } } ^ { e q } } + ( { \bf { I } } { \partial _ { t 1 } } + { { \bf { D } } _ { 1 } } ) ( { \bf { I } } - \frac { { \bf { S } } } { 2 } ) { { \bf { m } } ^ { ( 1 ) } } = - \frac { { \bf { S } } } { { \Delta t } } { { \bf { m } } ^ { ( 2 ) } } .
\begin{array} { r l r } { H _ { T i j } } & { { } = } & { \left( - \frac { 1 } { 2 \mu } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial R ^ { 2 } } + V _ { i } ( R ) - i \frac { 1 } { 2 } \Gamma _ { i } ( R ) - \frac { \sqrt { \ell ( \ell + 1 ) } } { 2 \mu R ^ { 2 } } \right) \delta _ { i j } } \end{array}
N _ { \mathrm { ~ r ~ a ~ d ~ } } \approx \frac { 2 \pi ^ { 2 } n ^ { 2 } J _ { 1 } ( k _ { 2 } r _ { 2 } ) } { l \mu _ { 0 } ( \omega _ { 0 } \alpha _ { 0 } ) ^ { 2 } ( \theta _ { 2 } - \theta _ { 3 } ) ^ { 2 } \Big ( - \cos ( k _ { 2 } r _ { 2 } ) + \sin ( k _ { 2 } r _ { 2 } ) \Big ) } \frac { ( r _ { 2 } \omega _ { 0 } ) ^ { 3 / 2 } } { c _ { 3 } \sqrt { c _ { 2 } } } .
\begin{array} { r l r l } { \nabla \cdot { \bf D } } & { { } = 0 \, , \quad } & { \nabla \cdot { \bf B } } & { { } = 0 \, , } \\ { \nabla \times { \bf E } } & { { } = - \frac { \partial { \bf B } } { \partial t } \, , \quad } & { \nabla \times { \bf H } } & { { } = \frac { \partial { \bf D } } { \partial t } \, , } \end{array}
\mathbf { L } _ { t - 1 } ^ { \mathrm { c o n d i t i o n a l } } = \mathbb { E } _ { \mathbf { x } _ { 0 } , \epsilon \sim \mathcal { N } ( \mathbf { 0 } , \mathbf { I } ) } \left[ \left\| \epsilon - \epsilon _ { \theta } \left( \sqrt { \bar { \alpha } _ { t } } \mathbf { x } _ { 0 } + \sqrt { 1 - \bar { \alpha } _ { t } } \epsilon , \mathbf { m } , t \right) \right\| ^ { 2 } \right] .
\begin{array} { r l r } { L ^ { ( N , G ) } \left( \frac { i } { N } \right) } & { = } & { 1 - \Sigma _ { N - i } ^ { ( N , G ) } } \\ & { = } & { \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle 1 - \frac { 1 - G } { 2 G - 1 } \left( \frac { G } { 1 - G } \frac { \Gamma ( N ) } { \Gamma ( N - 1 + 1 / G ) } \frac { \Gamma ( N - i - 1 + 1 / G ) } { \Gamma ( N - i ) } - \frac { N - i } { N } \right) , } & { \mathrm { i f ~ } G \neq \frac { 1 } { 2 } , } \\ { \displaystyle 1 - \frac { N - i } { N } \left( 1 + H _ { N } - H _ { N - i } \right) , } & { \mathrm { i f ~ } G = \frac { 1 } { 2 } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla _ { \mathrm { T } } = \nabla _ { \mathrm { a d } } \qquad } & { \mathrm { f o r } \ \ r _ { 0 } \leq r \leq r _ { \mathrm { p e n } } } \\ { \nabla _ { \mathrm { T } } = f ^ { t } ( r ) \nabla _ { \mathrm { a d } } + \left[ 1 - f ^ { t } ( r ) \right] \nabla _ { \mathrm { r a d } } \qquad } & { \mathrm { f o r } \ \ r _ { \mathrm { p e n } } < r \leq r _ { \mathrm { C B M } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \delta v _ { i } = \sum _ { j \neq i } \frac { w _ { j } ^ { T } ( 0 ) ( \omega \delta T ) v _ { i } ( 0 ) } { w _ { j } ^ { T } ( 0 ) v _ { j } ( 0 ) \left[ \beta _ { i } ( 0 ) - \beta _ { j } ( 0 ) \right] } v _ { j } ( 0 ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { p ^ { \prime } ( \varrho ) \mathrm { O p } ^ { \gamma } ( a _ { f } ) ( \mathrm { J } _ { \varepsilon } H ) } & { = \mathrm { O p } ^ { \gamma } ( \widetilde { a } _ { \varepsilon , f , \varrho } ) ( H ) , } \\ { \widetilde { a } _ { \varepsilon , f , \varrho } ( t , x , \eta ) } & { : = p ^ { \prime } ( \varrho ( t , x ) ) a _ { f } ( t , x , \eta ) \frac { 1 } { 1 + \vert \varepsilon k \vert ^ { 2 } } , } \end{array}
= { \frac { e ^ { 4 } } { ( k - k ^ { \prime } ) ^ { 4 } } } { \Big ( } \left( { \bar { v } } _ { k ^ { \prime } } \gamma ^ { \mu } v _ { k } \right) \left( { \bar { u } } _ { p } \gamma _ { \mu } u _ { p ^ { \prime } } \right) { \Big ) } { \Big ( } \left( { \bar { v } } _ { k } \gamma ^ { \nu } v _ { k ^ { \prime } } \right) \left( { \bar { u } } _ { p ^ { \prime } } \gamma _ { \nu } u _ { p } \right) { \Big ) }
\begin{array} { r c l l } { \left\{ \begin{array} { l l } { s ^ { 2 \nu } \hat { u } _ { i } ^ { ( k ) } = \kappa _ { i } \partial _ { x x } \hat { u } _ { i } ^ { ( k ) } , } & { \textrm { i n } \Omega _ { i } , } \\ { \hat { u } _ { i } ^ { ( k ) } = \hat { w } _ { i - 1 } ^ { ( k - 1 ) } , } & { \textrm { a t } x _ { i - 1 } , i \neq 1 , } \\ { \hat { u } _ { i } ^ { ( k ) } = \hat { w } _ { i } ^ { ( k - 1 ) } , } & { \textrm { a t } x _ { i } , i \neq N , } \end{array} \right. } \end{array} \! \! \! \! \begin{array} { r c l l } { \left\{ \begin{array} { l l } { s ^ { 2 \nu } \hat { \psi } _ { i } ^ { ( k ) } = \kappa _ { i } \partial _ { x x } \hat { \psi } _ { i } ^ { ( k ) } , } & { \textrm { i n } \Omega _ { i } , } \\ { - \kappa _ { i } \partial _ { x } \hat { \psi } _ { i } ^ { ( k ) } = \kappa _ { i - 1 } \partial _ { x } \hat { \psi } _ { i - 1 } ^ { ( k ) } - \kappa _ { i } \partial _ { x } \hat { \psi } _ { i } ^ { ( k ) } , } & { \textrm { a t } x _ { i - 1 } , i \neq 1 , } \\ { \kappa _ { i } \partial _ { x } \hat { \psi } _ { i } ^ { ( k ) } = \kappa _ { i } \partial _ { x } \hat { \psi } _ { i } ^ { ( k ) } - \kappa _ { i + 1 } \partial _ { x } \hat { \psi } _ { i + 1 } ^ { ( k ) } , } & { \textrm { a t } x _ { i } , i \neq N , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } \tilde { t } } { \mathrm { d } \eta } } & { { } = \xi _ { 0 } ^ { 2 } \frac { \exp [ - 2 \lambda ( \eta , s ) ] } { F _ { \eta } ( \eta , s ) } \, , } \\ { \frac { \mathrm { d } \lambda } { \mathrm { d } \eta } } & { { } = \frac { F _ { \lambda } ( \eta , s ) } { F _ { \eta } ( \eta , s ) } \, , } \\ { \frac { \mathrm { d } \zeta } { \mathrm { d } \eta } } & { { } = \frac { F _ { \zeta } ( \eta , s ) } { F _ { \eta } ( \eta , s ) } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { i } } & { \approx \frac { \frac { 1 } { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } y _ { A } ^ { ( j ) } y _ { C ^ { ( i ) } } ^ { ( j ) } - \left( \frac { 1 } { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } y _ { A } ^ { ( j ) } \right) \left( \frac { 1 } { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } y _ { C ^ { ( i ) } } ^ { ( j ) } \right) } { \frac { 1 } { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \left( y _ { A } ^ { ( j ) } \right) ^ { 2 } - \left( \frac { 1 } { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } y _ { A } ^ { ( j ) } \right) ^ { 2 } } , } \\ { T _ { i } } & { \approx 1 - \frac { \frac { 1 } { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } y _ { B } ^ { ( j ) } y _ { C ^ { ( i ) } } ^ { ( j ) } - \left( \frac { 1 } { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \left( \frac { y _ { B } ^ { ( j ) } + y _ { C ^ { ( i ) } } ^ { ( j ) } } { 2 } \right) \right) ^ { 2 } } { \frac { 1 } { 2 N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \left( \left( y _ { B } ^ { ( j ) } \right) ^ { 2 } + \left( y _ { C ^ { ( i ) } } ^ { ( j ) } \right) ^ { 2 } \right) - \left( \frac { 1 } { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \left( \frac { y _ { B } ^ { ( j ) } + y _ { C ^ { ( i ) } } ^ { ( j ) } } { 2 } \right) \right) ^ { 2 } } . } \end{array}
w = \left[ \begin{array} { l } { - ( w _ { 2 } + w _ { 3 } + w _ { 4 } ) } \\ { w _ { 2 } } \\ { w _ { 3 } } \\ { w _ { 4 } } \\ { - C _ { P } w _ { 2 } - C _ { Z } w _ { 3 } - C _ { D } w _ { 4 } } \\ { ( w _ { 2 } + w _ { 3 } + w _ { 4 } ) / \rho _ { w } } \end{array} \right]
\beta \bar { B } _ { r } ( \tilde { e } , \tilde { r } ) = \beta \int \, h ( \bar { u } ^ { ( \tilde { e } , \tilde { r } ) } ( v ) ) \, F _ { r } ( d v ; \tilde { e } , \tilde { r } ) - \mu \int \, \bar { u } ^ { ( \tilde { e } , \tilde { r } ) } ( v ) \, F _ { r r } ( d v ; \tilde { e } , \tilde { r } ) .
\frac { c _ { 1 } r _ { 0 } } { 2 } - \sum _ { i = 1 } ^ { n + 1 } ( a _ { i } c _ { 2 i } 2 ^ { ( 1 - \nu ) i } ) ^ { \frac { \mu - d _ { 0 } } { \mu - w _ { i } } } \frac { \mu - w _ { i } } { \mu - d _ { 0 } } - \frac { c _ { 2 ( n + 1 ) } ( \mu - w _ { n + 1 } ) } { \mu - d _ { 0 } } - \frac { c _ { 4 } ( \mu - 2 w _ { n + 1 } ) } { 2 ( \mu - d _ { 0 } ) } > 0
S = \int d ^ { D } x \, \sqrt { - g } \left[ - \sum _ { k = 1 } ^ { N } \overline { { { \psi } } } _ { k } \gamma ^ { \mu } \nabla _ { \mu } \psi _ { k } + \frac { \lambda _ { 0 } } { 2 N } ( \sum _ { k = 1 } ^ { N } \overline { { { \psi } } } _ { k } \psi _ { k } ) ^ { 2 } \right] ,
\begin{array} { r } { \int _ { \{ v > \frac { R } { 2 } \} } v ^ { \gamma } g ( a , v , t ) \textup { d } v \textup { d } a \leq \bigg ( \frac { R } { 2 } \bigg ) ^ { \gamma - 1 } \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } v g ( a , v , t ) \textup { d } v \textup { d } a \leq \bigg ( \frac { R } { 2 } \bigg ) ^ { \gamma - 1 } M _ { 0 , 1 } ( g _ { \textup { i n } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma } & { { } = \frac { 1 } { \tau _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ s ~ t ~ } } } \left( \frac { \nu ^ { 2 } ( 1 - 4 \rho ) } { 4 } \right) ^ { 1 / 3 } } \\ { \omega } & { { } = \frac { 1 } { \Delta V } \left( \frac { ( 1 - 4 \rho ) } { 4 \nu ^ { 4 } } \right) ^ { 1 / 6 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { y x } ^ { \textrm { Q } ( 2 ) } ( t , t ^ { \prime } ) } & { { } = \frac { 1 } { \omega N } \sum _ { \mathbf { k } } \sum _ { a , b , c , d } \sum _ { \sigma , \sigma ^ { \prime } } v _ { a b \sigma } ^ { ( \textrm { Q } ) y } ( \mathbf { k } , t ) v _ { c d \sigma ^ { \prime } } ^ { ( \textrm { C } ) x } ( \mathbf { k } , t ^ { \prime } ) } \end{array}
\operatorname* { m i n } _ { \{ v _ { \mathrm { ~ x ~ c ~ } , \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \} } \sum _ { \sigma = 1 } ^ { 2 } \int w _ { \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \left( \rho _ { \sigma } ^ { \mathrm { ~ d ~ a ~ t ~ a ~ } } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) - \rho _ { \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \right) ^ { 2 } \, d \boldsymbol { \textbf { r } } \, ,
\begin{array} { r l } { S _ { 1 , l o n g } ( t , m ) } & { { } = S _ { 1 } ( t , m = 0 ) = S _ { 1 } ( t , m ) } \\ { S _ { 2 , l o n g } ( t , m ) } & { { } = S _ { 2 } ( t , m = 0 ) } \\ { S _ { 3 , l o n g } ( t , m ) } & { { } = S _ { 3 } ( t , m ) . } \end{array}
\eta _ { E } ^ { \prime } = \left( \begin{array} { c } { { \eta _ { E } ^ { + } } } \\ { { \eta _ { E } ^ { - } } } \end{array} \right) , \quad \eta _ { M } ^ { \prime } = \left( \begin{array} { c } { { \eta _ { M } ^ { + } } } \\ { { \eta _ { M } ^ { - } } } \end{array} \right) ,
B _ { \mathrm { S L } } = { \frac { \Gamma ( \bar { B } \to X \, e \, \bar { \nu } ) } { \sum _ { \ell } \Gamma ( \bar { B } \to X \, \ell \, \bar { \nu } ) + \Gamma _ { \mathrm { N L } } + \Gamma _ { \mathrm { r a r e } } } } \, ,
\frac { d \mathbf { P } } { d t } = C _ { P } ( \mathbf { P } ) \left[ J _ { + } - J _ { - } + \beta J _ { \ell } ^ { n c } \right] , \qquad C _ { P } ( \mathbf { P } ) = - \left( { \frac { d \mathcal { M } } { d \mathbf { P } } } \right) ^ { - 1 } \, .
Q _ { f } = f _ { \mu _ { 1 } \dots \mu _ { r } } \Pi ^ { \mu _ { 1 } } \psi ^ { \mu _ { 2 } } \dots \psi ^ { \mu _ { r } } + \frac { i } { r + 1 } ( - 1 ) ^ { r + 1 } f _ { [ \mu _ { 1 } \dots \mu _ { r } ; \mu _ { r + 1 } ] } \psi ^ { \mu _ { 1 } } \dots \psi ^ { \mu _ { r + 1 } } . \nonumber
\left( \Psi _ { p _ { 1 } ^ { \prime } \sigma _ { 1 } ^ { \prime } n _ { 1 } ^ { \prime } ; p _ { 2 } ^ { \prime } \sigma _ { 2 } ^ { \prime } n _ { 2 } ^ { \prime } ; \cdots } , \Psi _ { p _ { 1 } \sigma _ { 1 } n _ { 1 } ; p _ { 2 } \sigma _ { 2 } n _ { 2 } ; \cdots } \right) = \delta ^ { 3 } ( \mathbf { p } _ { 1 } ^ { \prime } - \mathbf { p } _ { 1 } ) \delta _ { \sigma _ { 1 } ^ { \prime } \sigma _ { 1 } } \delta _ { n _ { 1 } ^ { \prime } n _ { 1 } } \delta ^ { 3 } ( \mathbf { p } _ { 2 } ^ { \prime } - \mathbf { p } _ { 2 } ) \delta _ { \sigma _ { 2 } ^ { \prime } \sigma _ { 2 } } \delta _ { n _ { 2 } ^ { \prime } n _ { 2 } } \cdots \quad \pm { \mathrm { ~ p e r m u t a t i o n s } } .
\ddot { \bar { c } } + Q \dot { \bar { c } } \ \left\{ \begin{array} { l l } { { \le 0 } } & { { \mathrm { f o r ~ c > 2 5 ~ } } } \\ { { \ge 0 } } & { { \mathrm { f o r ~ c \le 1 ~ } , } } \end{array} \right. \ \ \ \mathrm { w i t h } \ \ \ Q ^ { 2 } = { \frac { 1 } { 3 } } \vert c - 2 5 \vert .
S _ { Q } ^ { ( 1 ) } = - \mu ^ { - \epsilon } \int d ^ { 4 } \theta d ^ { d } x \partial _ { \alpha \dot { \alpha } } \sigma \partial ^ { \alpha \dot { \alpha } } \bar { \sigma } ( \frac { 1 8 \xi _ { 1 } ^ { 2 } { ( 4 \pi ) } ^ { 4 } } { Q ^ { 4 } \epsilon } + f i n ) \equiv S _ { Q _ { d i v } } ^ { ( 1 ) } + S _ { Q _ { f i n } } ^ { ( 1 ) }
\begin{array} { r l } { \sigma ^ { k } ( \overline { { \mathbf e } } ) } & { = 1 \mathbf w _ { 2 - i _ { n - \ell + 3 } } \cdots \mathbf w _ { 2 - i _ { n + p - \ell + 1 } } \mathbf w _ { 2 - i _ { n + p - \ell + 2 } } \cdots \mathbf w _ { 2 - i _ { n } } 1 } \\ & { \succ 1 \mathbf w _ { i _ { 1 } } \cdots \mathbf w _ { i _ { p - 1 } } \mathbf w _ { i _ { p } } \cdots \mathbf w _ { i _ { n } } 0 } \\ & { = \mathbf d , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { Z } _ { m , n } ^ { \kappa , \rho } ( z , \overline { { z } } ) } & { = \sum _ { j = 0 } ^ { m \wedge ^ { * } ( n + \rho ) } \frac { ( - 1 ) ^ { j } m ! \Gamma ( n + \rho + 1 ) \Gamma ( \kappa + m + 1 ) } { j ! ( m - j ) ! \Gamma ( n + \rho - j + 1 ) \Gamma ( \kappa + j + 1 ) } \left( 1 - | z | ^ { 2 } \right) ^ { j } z ^ { n - j } \overline { { z } } ^ { m - j } . } \end{array}
\epsilon _ { u { \mathrm { - } } U } \sim 0 . 1 ~ , ~ ~ 0 \leq \kappa _ { i } , ~ \kappa _ { i } ^ { \prime } \leq 1 ~ , ~ ~ 0 \leq \alpha _ { i } , ~ \alpha _ { i } ^ { \prime } < 2 \pi ~ , ~ ~
\mathrm { ~ P ~ } _ { f } ( X _ { 0 : T } \mid f ) \propto \exp \left( - \frac { 1 } { 2 \mathrm { ~ d ~ } t } \sum _ { t } \| X _ { t + \mathrm { ~ d ~ } t } - X _ { t } - f ( X _ { t } ) \mathrm { ~ d ~ } t \| _ { \sigma ^ { 2 } } ^ { 2 } \right) .
\overline { { \epsilon } } _ { c u t - o f f } \left( \omega , \mathbf { k } \right) = \epsilon _ { 0 } \mathbf { 1 } + \frac { 1 } { 1 + k ^ { 2 } / k _ { m a x } ^ { 2 } } \left( \overline { { \epsilon } } _ { l o c } ( \omega ) - \epsilon _ { 0 } \mathbf { 1 } \right) ,
\begin{array} { r l r l r l } { { 5 } } & { \| v - \pi _ { h } ^ { * } v \| _ { k , T } \lesssim h ^ { r - k } | v | _ { r , T } } & & { \quad \forall \, T \in \mathcal { T } _ { h } , } & & { \quad 0 \leqslant k \leqslant r , } \\ & { \| v - \pi _ { h } ^ { * } v \| _ { k , F } \lesssim h ^ { r - k - 1 / 2 } | v | _ { r , F } } & & { \quad \forall \, F \in \mathcal { F } _ { h } , } & & { \quad 0 \leqslant k \leqslant r - 1 / 2 , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { O ( k _ { o } ^ { 2 } ) : } & { \quad ( \nabla S ) ^ { 2 } = n ^ { 2 } , } \\ { O ( k _ { o } ) : } & { \quad 2 \nabla S \cdot \nabla A _ { 0 } + A _ { 0 } \nabla ^ { 2 } S = 0 , } \\ { O ( 1 ) : } & { \quad 2 \nabla S \cdot \nabla A _ { 1 } + A _ { 1 } \nabla ^ { 2 } S = - \nabla ^ { 2 } A _ { 0 } , } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \lambda \langle \Sigma _ { r } ^ { - 1 } , V _ { 1 } \rangle _ { F } } & { \le - \langle \Sigma _ { r } ^ { - 1 } B _ { r } B _ { r } ^ { \top } \Sigma _ { r } ^ { - 1 } , V _ { 1 } \rangle _ { F } - \langle \Pi _ { M _ { r } } \left( \Sigma _ { 2 , n - r } ^ { - 1 } \right) , V _ { 1 } \rangle _ { F } \le 0 , } \\ { \lambda \langle \Sigma _ { r } , V _ { 1 } \rangle _ { F } } & { = \langle \Sigma _ { r } B _ { r } B _ { r } ^ { \top } \Sigma _ { r } , V _ { 1 } \rangle _ { F } - \langle \Pi _ { M _ { r } } \left( \Sigma _ { 2 , n - r } \right) , V _ { 1 } \rangle _ { F } . } \end{array}