harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { q _ { 1 } ( \gamma , \pi _ { 1 } \underline { { u } } ^ { \prime } ) } & { = f _ { 1 } ( \gamma , g _ { 1 } ( \gamma , \beta _ { 1 } ( f _ { 1 } ( \gamma , \pi _ { 1 } u ) , f _ { 2 } ( \gamma , \pi _ { 1 } u , \pi _ { 2 } u ) ) ) ) \bullet q _ { 1 } ( \gamma , f _ { 1 } ( \gamma , \pi _ { 1 } u ) ) \bullet \beta _ { 1 } ( f _ { 1 } ( \gamma , \pi _ { 1 } u ) , f _ { 2 } ( \gamma , \pi _ { 1 } u , \pi _ { 2 } u ) ) ^ { - 1 } } \\ & { = f _ { 1 } ( \gamma , g _ { 1 } ( \gamma , \beta _ { 1 } ( f _ { 1 } ( \gamma , \pi _ { 1 } u ) , f _ { 2 } ( \gamma , \pi _ { 1 } u , \pi _ { 2 } u ) ) ) ) \bullet f _ { 1 } ( \gamma , p _ { 1 } ( \gamma , \pi _ { 1 } u ) ) \bullet \beta _ { 1 } ( f _ { 1 } ( \gamma , \pi _ { 1 } u ) , f _ { 2 } ( \gamma , \pi _ { 1 } u , \pi _ { 2 } u ) ) ^ { - 1 } } \\ & { = f _ { 1 } ( \gamma , g _ { 1 } ( \gamma , \beta _ { 1 } ( f _ { 1 } ( \gamma , \pi _ { 1 } u ) , f _ { 2 } ( \gamma , \pi _ { 1 } u , \pi _ { 2 } u ) ) ) \bullet p _ { 1 } ( \gamma , \pi _ { 1 } u ) ) \bullet \beta _ { 1 } ( f _ { 1 } ( \gamma , \pi _ { 1 } u ) , f _ { 2 } ( \gamma , \pi _ { 1 } u , \pi _ { 2 } u ) ) ^ { - 1 } } \\ & { \equiv f _ { 1 } ( \gamma , p ) \bullet \beta _ { 1 } ( f _ { 1 } ( \gamma , \pi _ { 1 } u ) , f _ { 2 } ( \gamma , \pi _ { 1 } u , \pi _ { 2 } u ) ) ^ { - 1 } } \end{array}
0 0 g _ { 1 } , \ldots , 0 0 g _ { k _ { 2 } } , 0 1 g _ { k _ { 2 } } , \ldots , 0 1 g _ { 1 } , 1 1 g _ { 1 } , \ldots , 1 1 g _ { k _ { 2 } } ,
\operatorname { e r f i } ( z ) \sim \operatorname { s g n } ( \Im z ) i + \frac { 1 } { \sqrt \pi \, z } e ^ { z ^ { 2 } } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { ( 1 / 2 ) _ { k } } { z ^ { 2 k } } ,
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { a _ { } } \! \! \, \boldsymbol { \varphi } ( \alpha { } ) \, \mathrm { d } \alpha { } } & { { } \approx \boldsymbol { \varphi } ( b _ { } ) \! \! \int _ { 0 } ^ { a _ { } } \! \mathrm { d } \alpha { } = a _ { } \boldsymbol { \varphi } ( b _ { } ) , } \end{array}
\Delta ^ { ( a , b , c , d ) } ( x ) = \prod _ { i = 1 } ^ { N } \prod _ { \alpha \in \{ a , b , c , d \} } \frac { ( \frac { q } { x _ { i } ^ { 2 } } ; q ) _ { \infty } } { ( \frac { q } { \alpha x _ { i } } ; q ) _ { \infty } } \prod _ { 1 \leq i < j \leq N } \prod _ { \epsilon = \pm 1 } \frac { ( \frac { q x _ { j } ^ { \epsilon } } { x _ { i } } ; q ) _ { \infty } } { ( \frac { q x _ { j } ^ { \epsilon } } { t x _ { i } } ; q ) _ { \infty } } .
\begin{array} { r } { \langle Q \rangle = \left[ \begin{array} { l l l } { - 1 . 1 7 } & { 1 . 9 3 } & { 0 . 6 5 } \\ { 0 . 5 2 } & { - 3 . 8 6 } & { 0 . 5 2 } \\ { 0 . 6 5 } & { 1 . 9 3 } & { - 1 . 1 7 } \end{array} \right] } \end{array}
\left. \begin{array} { c c l } { { D ^ { A } F _ { A B } ^ { 3 } } } & { { = } } & { { 0 } } \\ { { D ^ { A } F _ { A B } ^ { i } } } & { { = } } & { { M ^ { 2 } A _ { B } ^ { i } } } \end{array} \right\}
\begin{array} { r l } { \bigl ( D _ { n } ^ { ( i ) } \bigr ) ^ { 2 } } & { { } \leq \frac { C } { \mathcal { F } ^ { 2 } } \bigl ( D _ { n - 1 } ^ { ( i ) } \bigr ) ^ { 2 } + \frac { C } { \mathcal { F } ^ { 4 } } \sum _ { k = 0 } ^ { n - 2 } 2 ^ { - 2 ( n - 2 - k ) } \bigl ( D _ { k } ^ { ( i ) } \bigr ) ^ { 2 } + \frac { C \varepsilon _ { m - 1 } ^ { 2 \delta } \mathsf { A } _ { m - 1 , i - 1 } } { \mathsf { A } _ { m - 1 , i } } \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } 2 ^ { - ( n - 1 - k ) } D _ { k } ^ { ( i ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \Delta \beta \right) ^ { 2 } } & { \approx \frac { e ^ { 2 \Gamma \tau } } { 4 f ^ { 2 } \tau ^ { 2 } e ^ { 2 r } } \Bigg [ 1 + \frac { \sigma ^ { 2 } \tau ^ { 2 } } { 3 } } \\ & { + \frac { \sigma ^ { 2 } } { g ^ { 2 } } \left( r - \frac { 1 - e ^ { - 2 r } } { 2 } \right) + \frac { \sigma ^ { 2 } \tau } { g } \frac { 1 - e ^ { - 2 r } } { 2 } \Bigg ] } \\ & { + \frac { \sigma ^ { 2 } \tau ^ { 2 } } { 2 e ^ { 2 r } } \left( 1 + \frac { \sinh ( r ) e ^ { r } } { g \tau } \right) ^ { 2 } \left( \bar { n } _ { z } + \frac { 1 } { 2 } \right) } \\ & { + \frac { f ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } \tau ^ { 4 } } { 9 e ^ { 2 r } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \Sigma ^ { Z } ( q ^ { 2 } ) _ { H } = - \frac { \alpha } { 4 \pi c _ { w } ^ { 2 } s _ { w } ^ { 2 } } [ B _ { 2 2 } ( q ^ { 2 } ; M _ { H } , M _ { Z } ) - M _ { Z } ^ { 2 } B _ { 0 } ( q ^ { 2 } ; M _ { H } , M _ { Z } ) - \frac { 1 } { 4 } A ( M _ { H } ) ] , } \\ { \Sigma ^ { W } ( q ^ { 2 } ) _ { H } = - \frac { \alpha } { 4 \pi s _ { w } ^ { 2 } } [ B _ { 2 2 } ( q ^ { 2 } ; M _ { H } , M _ { W } ) - M _ { W } ^ { 2 } B _ { 0 } ( q ^ { 2 } ; M _ { H } , M _ { W } ) - \frac { 1 } { 4 } A ( M _ { H } ) ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \left( G _ { \infty } ( \psi ) - G _ { \infty } ( \psi _ { n } ) \right) \right| \, | \nabla v | } & { \rightarrow 0 \quad \mathrm { a . e . ~ i n } \quad [ 0 , T ) \times { \mathbf R } ^ { 3 } , } \\ { \left| \left( G _ { q } ( \psi ) - G _ { q } ( \psi _ { n } ) \right) \right| \, | \nabla v | } & { \rightarrow 0 \quad \mathrm { a . e . ~ i n } \quad [ 0 , T ) \times { \mathbf R } ^ { 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { s u p } _ { \hbar \in I } \sum _ { k = 0 } ^ { k _ { 0 } } \mathbb { E } \Big [ \big \lVert \sum _ { \boldsymbol { x } \in \mathcal { X } _ { \neq } ^ { k } } \mathcal { I } _ { 0 , 0 } ( k , \boldsymbol { x } , \iota , t ; \hbar ) \varphi _ { \hbar } \big \rVert _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } ^ { 2 } \Big ] ^ { \frac { 1 } { 2 } } \leq C , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| Q ^ { k + 1 } - Q ^ { \pi } \| _ { \mu } = } & { \ \| Q ^ { k + 1 } - Q ^ { k } + Q ^ { k } - Q ^ { \pi } \| _ { \mu } } \\ { = } & { \ \| - \beta ( Q ^ { k } - T Q ^ { k } ) + Q ^ { k } - Q ^ { \pi } \| _ { \mu } } \\ { \leq } & { \ ( 1 - \beta ) \| Q ^ { k } - Q ^ { \pi } \| _ { \mu } + \beta \| T Q ^ { k } - T Q ^ { \pi } \| _ { \mu } } \\ { \leq } & { \ ( 1 - ( 1 - \gamma ) \beta ) \| Q ^ { k } - Q ^ { \pi } \| _ { \mu } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \! \! \! \mathcal { L } ^ { \prime } \sim \left( \begin{array} { l l l l l l } { 0 } & { m _ { 1 } } & { m _ { 2 } } & { m _ { 3 } } & { \dots } & { m _ { N - 1 } } \\ { 0 } & { \lambda _ { 1 } } & { 0 } & { 0 } & { \dots } & { 0 } \\ { 0 } & { o _ { 2 } } & { \lambda _ { 2 } } & { 0 } & { \dots } & { 0 } \\ { : } & { : } & { \dots } & { : } & { : } \\ { 0 } & { o _ { N - 1 } } & { \dots } & { 0 } & { \dots } & { \lambda _ { N - 1 } } \end{array} \right) , ~ ~ \mathrm { a s } ~ \lambda _ { 1 } \rightarrow 0 , } \end{array}
\int _ { \frac { 1 } { k } } ^ { \frac { 1 } { T } } { \frac { d z ^ { \prime } } { ( k z ^ { \prime } ) ^ { 3 } } } \psi _ { m } ( z ^ { \prime } ) G _ { p } ( z , z ^ { \prime } ) \sim \psi _ { m } ( z ) \left[ { \frac { 1 } { p ^ { 2 } + m _ { n } ^ { 2 } } } + { \lambda _ { 2 } } ( k z ) ^ { 2 } \right] ,
\begin{array} { r } { \frac { F _ { \mathrm { ~ J ~ Z ~ G ~ } } } { V } = \rho \epsilon \sum _ { i = 1 } ^ { 8 } \frac { a _ { i } ( \rho \sigma ^ { 3 } ) ^ { i } } { i } + \rho \epsilon \sum _ { i = 1 } ^ { 6 } b _ { i } G _ { i } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \log \prod _ { m = m _ { * } + 1 } ^ { M } \Bigl ( 1 - C \varepsilon _ { m - 1 } ^ { \delta } \Bigr ) = \sum _ { m = m _ { * } + 1 } ^ { M } \log \Bigl ( 1 - C \varepsilon _ { m - 1 } ^ { \delta } \Bigr ) \geq - 2 C \sum _ { m = m _ { * } + 1 } ^ { M } \varepsilon _ { m - 1 } ^ { \delta } \geq - C \varepsilon _ { m _ { * } } ^ { \delta } \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { q = - 2 \log L ( \hat { \mu } , \hat { \boldsymbol { \theta } } , \widehat { \widehat { \boldsymbol { \sigma _ { u } ^ { 2 } } } } ) = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left[ \frac { ( y _ { i } - \hat { \mu } - \hat { \theta } _ { i } ) ^ { 2 } } { \sigma _ { y _ { i } } ^ { 2 } } \right. } \\ { \left. + \left( 1 + \frac { 1 } { 2 \varepsilon _ { i } ^ { 2 } } \right) \log \left( 1 + 2 \varepsilon _ { i } ^ { 2 } \frac { ( u _ { i } - \hat { \theta } _ { i } ) ^ { 2 } } { v _ { i } } \right) \right] \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { x } [ w _ { t + 1 } ^ { 2 } | w _ { t } ] } & { = w _ { t } ^ { 2 } \mathbb { E } _ { x } \left( 1 - \lambda \frac { 1 } { S } \sum _ { i } ^ { S } x _ { i } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } \\ & { = w _ { t } ^ { 2 } \left( 1 - 2 \lambda \mathbb { E } [ x ^ { 2 } ] + \frac { \lambda ^ { 2 } } { S ^ { 2 } } \sum _ { i , j } ^ { S } \mathbb { E } [ x _ { i } ^ { 2 } x _ { j } ^ { 2 } ] \right) } \\ & { = w _ { t } ^ { 2 } \left( 1 - 2 \lambda \mathbb { E } [ x ^ { 2 } ] + \frac { \lambda ^ { 2 } } { S ^ { 2 } } \mathbb { E } [ x ^ { 4 } ] + \frac { \lambda ^ { 2 } ( S - 1 ) ^ { 2 } } { S ^ { 2 } } \mathbb { E } [ x ^ { 2 } ] ^ { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { 1 1 1 } + P _ { 1 1 2 } + P _ { 1 2 1 } + P _ { 1 2 2 } } & { = p ( y _ { 1 } | x _ { 1 } ) } \\ { P _ { 1 2 1 } + P _ { 1 2 2 } + P _ { 2 2 1 } + P _ { 2 2 2 } } & { = p ( y _ { 2 } | x _ { 2 } ) } \\ { P _ { 1 1 1 } + P _ { 1 2 1 } + P _ { 2 1 1 } + P _ { 2 2 1 } } & { = p ( y _ { 1 } | x _ { 3 } ) } \\ { P _ { 1 1 1 } + P _ { 1 1 2 } + P _ { 1 2 1 } + P _ { 1 2 2 } + P _ { 2 1 1 } + P _ { 2 1 2 } + P _ { 2 2 1 } + P _ { 2 2 2 } } & { = 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \int _ { T _ { j k } } { \bf f } \, d s } & { { } = } & { { \bf f } ( { \bf x } _ { T } ) | { \bf n } _ { T } | + \frac { 1 } { 2 4 } \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } ( { \bf x } _ { i } - { \bf x } _ { T } ) ^ { t } \nabla ^ { 2 } { \bf f } _ { T } ( { \bf x } _ { i } - { \bf x } _ { T } ) | { \bf n } _ { T } | } \end{array}
\begin{array} { r } { \dot { m } \, c _ { f } \, \theta + \Big ( \mathbf { q } ^ { + } ( \mathbf { x } ) \cdot \widehat { \mathbf { n } } ^ { + } ( \mathbf { x } ) + \mathbf { q } ^ { - } ( \mathbf { x } \Big ) \cdot \widehat { \mathbf { n } } ^ { - } ( \mathbf { x } ) ) \, t \, d s = \dot { m } \, c _ { f } \, \left( \theta + \frac { d \theta } { d s } d s \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { L _ { S } ( w ) } & { \ge \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \| { \tilde { W } } f _ { \theta } ( x _ { i } ) \pm { \tilde { W } } f _ { \theta } ( { \bar { x } } _ { i } ) \| - \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \| \varphi ( x _ { i } ) \| } \\ & { = \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \| { \tilde { W } } f _ { \theta } ( { \bar { x } } _ { i } ) - ( { \tilde { W } } f _ { \theta } ( { \bar { x } } _ { i } ) - { \tilde { W } } f _ { \theta } ( x _ { i } ) ) \| - \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \| \varphi ( x _ { i } ) \| } \\ & { \ge \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \| { \tilde { W } } f _ { \theta } ( { \bar { x } } _ { i } ) \| - \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \| { \tilde { W } } f _ { \theta } ( { \bar { x } } _ { i } ) - { \tilde { W } } f _ { \theta } ( x _ { i } ) \| - \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \| \varphi ( x _ { i } ) \| } \\ & { = \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \| { \tilde { W } } f _ { \theta } ( { \bar { x } } _ { i } ) \| - \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \| { \tilde { W } } ( f _ { \theta } ( { \bar { x } } _ { i } ) - f _ { \theta } ( x _ { i } ) ) \| - \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \| \varphi ( x _ { i } ) \| } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { P } _ { i j } - \sum _ { u \in \mathbb { C } _ { j } } \mathcal { P } _ { j u } } & { = p _ { j } ^ { c } - p _ { j } ^ { g } } \\ { \mathcal { Q } _ { i j } - \sum _ { u \in \mathbb { C } _ { j } } \mathcal { Q } _ { j u } } & { = q _ { j } ^ { c } - q _ { j } ^ { g } } \\ { V _ { i } ^ { 2 } - V _ { j } ^ { 2 } } & { = 2 ( r _ { i j } \mathcal { P } _ { i j } + x _ { i j } \mathcal { Q } _ { i j } ) . } \end{array}
\overline { { k _ { n n } ^ { ( m ) } } } ( h ) = \sum _ { h _ { 1 } , h _ { 2 } \ldots h _ { m } } \bigg ( \frac { \overline { { k ^ { ( m ) } } } ( h _ { 1 } ) + \overline { { k ^ { ( m ) } } } ( h _ { 2 } ) \ldots + \overline { { k ^ { ( m ) } } } ( h _ { m } ) } { m } \bigg ) p ( h _ { 1 } , h _ { 2 } \ldots h _ { m } | h ) ,
I _ { \mathrm { p r } } = \frac { q } { \eta } \frac { \gamma _ { c } } { 2 \beta _ { \mathrm { e f f } } } \quad \mathrm { ~ ( ~ t ~ h ~ r ~ e ~ s ~ h ~ o ~ l ~ d ~ w ~ i ~ t ~ h ~ p ~ h ~ o ~ t ~ o ~ n ~ r ~ e ~ c ~ y ~ c ~ l ~ i ~ n ~ g ~ ) ~ }
\operatorname* { l i m } _ { N _ { s } \to \infty } \frac { 1 } { N _ { s } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { s } } \frac { { \rho _ { \vec { G } \neq 0 } ^ { i } ( \vec { q } ) } } { A } = \operatorname* { l i m } _ { N _ { s } \to \infty } \frac { 1 } { N _ { s } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { s } } { \chi _ { \vec { G } \neq 0 } ^ { i } ( \vec { q } ) } = 0 \ .
\begin{array} { r l } { [ c ] \alpha _ { 1 } + 1 } & { = 2 - \frac { 2 } { \lambda } + \frac { 2 } { \lambda ^ { 2 } } + \frac { 8 } { \lambda ^ { 3 } } + \dots , } \\ { \alpha _ { 2 } + 1 } & { = 1 - \frac { 1 } { \lambda } + \frac { 5 } { \lambda ^ { 3 } } + \dots , } \\ { \alpha _ { 3 } + 1 } & { = - \frac { 2 } { \lambda } - \frac { 2 } { \lambda ^ { 2 } } + \frac { 8 } { \lambda ^ { 3 } } + \dots , } \\ { \alpha _ { 4 } + 1 } & { = \lambda + 1 + \frac { 5 } { \lambda } + \dots , } \end{array}
\mathbf { q } ( \mathbf { x } , 0 ) = \left[ \begin{array} { l } { \rho } \\ { u } \\ { v } \\ { B _ { x } } \\ { B _ { y } } \\ { P } \end{array} \right] = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { q } _ { e } , \quad \mathrm { i f } \ \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \leq 0 . 1 , } \\ { \mathbf { q } _ { a } , \quad \mathrm { e l s e } , } \end{array} \right. \quad \mathrm { w h e r e } \quad \mathbf { q } _ { e } = \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { B _ { 0 } } \\ { 0 } \\ { P _ { e } } \end{array} \right] \quad \mathrm { a n d } \quad \mathbf { q } _ { a } = \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { B _ { 0 } } \\ { 0 } \\ { P _ { a } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } { \frac { \delta v _ { \mathrm { A } } ^ { \mathrm { F D E } } ( \mathbf { r } _ { \mathrm { a } } ) } { \delta \rho _ { \mathrm { A } } ( \mathbf { r } _ { \mathrm { a } } ^ { \prime } ) } = } & { \frac { \delta ^ { 2 } E ^ { \mathrm { Q M } } [ \rho _ { \mathrm { t o t } } ] } { \delta \rho _ { \mathrm { t o t } } ( \mathbf { r } _ { \mathrm { a } } ) \delta \rho _ { \mathrm { t o t } } ( \mathbf { r } _ { \mathrm { a } } ^ { \prime } ) } - \frac { \delta ^ { 2 } E ^ { \mathrm { Q M } } [ \rho _ { \mathrm { A } } ] } { \delta \rho _ { \mathrm { A } } ( \mathbf { r } _ { \mathrm { a } } ) \delta \rho _ { \mathrm { A } } ( \mathbf { r } _ { \mathrm { a } } ^ { \prime } ) } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { Y _ { 1 } ^ { - 1 } ( \theta , \varphi ) } & { = { \frac { 1 } { 2 } } { \sqrt { \frac { 3 } { 2 \pi } } } \, \sin \theta \, e ^ { - i \varphi } } \\ { Y _ { 1 } ^ { 0 } ( \theta , \varphi ) } & { = { \frac { 1 } { 2 } } { \sqrt { \frac { 3 } { \pi } } } \, \cos \theta } \\ { Y _ { 1 } ^ { 1 } ( \theta , \varphi ) } & { = { \frac { - 1 } { 2 } } { \sqrt { \frac { 3 } { 2 \pi } } } \, \sin \theta \, e ^ { i \varphi } } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { \lambda _ { 1 } } & { { } = } & { \frac { \bar { a } _ { 1 1 } + \sqrt { \bar { a } _ { 1 1 } ^ { 2 } + 4 \bar { a } _ { 1 2 } \bar { a } _ { 2 1 } } } { 2 } = \bar { \mu } + i \bar { w } , } \\ { \lambda _ { 2 } } & { { } = } & { \frac { \bar { a } _ { 1 1 } - \sqrt { \bar { a } _ { 1 1 } ^ { 2 } + 4 \bar { a } _ { 1 2 } \bar { a } _ { 2 1 } } } { 2 } = \bar { \mu } - i \bar { w } , } \end{array}
\sum _ { k = S } ^ { \infty } r ^ { k ^ { 2 } } = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } r ^ { ( k + S ) ^ { 2 } } = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } r ^ { k ^ { 2 } + 2 k S + S ^ { 2 } } = r ^ { S ^ { 2 } } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } r ^ { k ^ { 2 } } r ^ { 2 k S } \leq r ^ { S ^ { 2 } } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } r ^ { k ^ { 2 } }
\begin{array} { r } { \frac { ( q / m ) _ { \overline { { p } } } } { ( q / m ) _ { p } } = - \frac { 1 } { R } \frac { \nu _ { c , \overline { { p } } } } { \nu _ { c , H ^ { - } } } } \\ { \frac { \mu _ { \overline { { p } } } } { \mu _ { N } } = - \frac { g _ { \overline { { p } } } } { 2 } \frac { m _ { p } } { m _ { \overline { { p } } } } = - \frac { \nu _ { L , \overline { { p } } } } { \nu _ { c , \overline { { p } } } } \frac { m _ { p } } { m _ { \overline { { p } } } } , } \end{array}
\Omega ( \rho ) \, = \, \psi _ { + } ( \rho ) \int _ { 0 } ^ { \rho } \frac { r } { w _ { 0 } } \, \psi _ { - } ( r ) \frac { a ( r ) } { n \varphi ( r ) } \, \mathrm { d } r + \psi _ { - } ( \rho ) \int _ { \rho } ^ { \infty } \frac { r } { w _ { 0 } } \, \psi _ { + } ( r ) \frac { a ( r ) } { n \varphi ( r ) } \, \mathrm { d } r \, ,
\begin{array} { r l r } { T _ { 1 } } & { { } = } & { 4 \omega k \frac { A } { B ^ { 3 / 2 } } ( A k ^ { 2 } - D ) , } \\ { T _ { 2 } } & { { } = } & { \omega ^ { 2 } ( A k ^ { 2 } - 2 D ) , } \\ { T _ { 3 } } & { { } = } & { \frac { 1 } { B ^ { 3 } } \left( A D \frac { \omega } { k } \right) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { s i n c } ( M \pi ( \boldsymbol x _ { j } - \boldsymbol x ) ) = \sum _ { \boldsymbol \ell \in \mathbb Z ^ { d } } \mathrm { s i n c } ( M \pi ( \boldsymbol x _ { j } - \boldsymbol M ^ { - 1 } \odot { \boldsymbol \ell } ) ) \, \mathrm { s i n c } \left( M \pi \left( \boldsymbol x - \boldsymbol M ^ { - 1 } \odot { \boldsymbol \ell } \right) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { G _ { \mathrm { q H N C } } ( \boldsymbol { k } , \omega ) } & { = - \frac { 1 } { n } \int \frac { d ^ { 3 } q } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \frac { \chi _ { \boldsymbol { k } , \boldsymbol { q } , \omega } ^ { 0 } } { \chi _ { \boldsymbol { k } , \omega } ^ { 0 } } \frac { k ^ { 2 } } { q ^ { 2 } } \left[ S ( \boldsymbol { k } - \boldsymbol { q } ) - 1 \right] } \\ & { \quad \times \left\{ 1 - \left[ { G } ( \boldsymbol { q } , \omega ) - 1 \right] \left[ S ( \boldsymbol { q } ) - 1 \right] \right\} \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { l = \operatorname* { l i m } _ { r \to \infty } \frac { 1 } { 4 \pi | \psi | ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \Im \left[ \psi ^ { * } \partial _ { \phi } \psi \right] d \phi = \langle \psi | \hat { L } _ { z } | \psi \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l } { [ H _ { \mathrm { ~ P ~ G ~ } } ( t _ { 2 } ) , H _ { \mathrm { ~ P ~ G ~ } } ( t _ { 1 } ) ] = } & { { } [ H _ { x } ( t _ { 2 } ) , H _ { x } ( t _ { 1 } ) ] + [ H _ { y } ( t _ { 2 } ) , H _ { y } ( t _ { 1 } ) ] } \\ { + } & { { } [ H _ { x } ( t _ { 2 } ) , H _ { y } ( t _ { 1 } ) ] + [ H _ { y } ( t _ { 2 } ) , H _ { x } ( t _ { 1 } ) ] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial I _ { \mathrm { F } } ( \theta ) } { \partial \theta } } & { { } = } & { \frac { 2 } { 1 - E _ { 1 2 } ^ { 2 } ( \theta ) } \frac { \partial E _ { 1 2 } ( \theta ) } { \partial \theta } \left[ \frac { \partial ^ { 2 } E _ { 1 2 } ( \theta ) } { \partial \theta ^ { 2 } } + \frac { E _ { 1 2 } ( \theta ) } { 1 - E _ { 1 2 } ^ { 2 } ( \theta ) } \left( \frac { \partial E _ { 1 2 } ( \theta ) } { \partial \theta } \right) ^ { 2 } \right] = 0 \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varepsilon = + 1 \ } & { : \quad \rho , \lambda \in \mathbb { R } _ { + } \, , \ \chi \in [ 0 , \frac { \pi } { 2 } ) \quad \Leftrightarrow \quad \textrm { n o r t h e r n h e m i s p h e r e } \ S _ { + } ^ { 3 } } \\ { \varepsilon = - 1 \ } & { : \quad \rho , \lambda \in \mathbb { R } _ { - } \, , \ \chi \in ( \frac { \pi } { 2 } , \pi ] \quad \Leftrightarrow \quad \textrm { s o u t h e r n h e m i s p h e r e } \ S _ { - } ^ { 3 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { A f ( \theta , \rho , \rho _ { \mathrm { p o s t } } ) } \\ & { \quad = A P ( \theta , \rho ) \nabla _ { \theta } \log \rho _ { \mathrm { p o s t } } ( \theta ) + A ( D ( \theta , \rho ) - P ( \theta , \rho ) ) \nabla _ { \theta } \log \rho ( \theta ) - A d ( \theta , \rho ) } \\ & { \quad = A P ( \theta , \rho ) A ^ { T } \nabla _ { \tilde { \theta } } \log \tilde { \rho } _ { \mathrm { p o s t } } ( \tilde { \theta } ) + \bigl ( A D ( \theta , \rho ) - A P ( \theta , \rho ) \bigr ) A ^ { T } \nabla _ { \tilde { \theta } } \log \tilde { \rho } ( \tilde { \theta } ) - A d ( \theta , \rho ) } \\ & { \quad = P ( \tilde { \theta } , \tilde { \rho } ) \nabla _ { \tilde { \theta } } \log \tilde { \rho } _ { \mathrm { p o s t } } ( \tilde { \theta } ) + \bigl ( D ( \tilde { \theta } , \tilde { \rho } ) - P ( \tilde { \theta } , \tilde { \rho } ) \bigr ) \nabla _ { \tilde { \theta } } \log \tilde { \rho } ( \tilde { \theta } ) - d ( \tilde { \theta } , \tilde { \rho } ) } \\ & { \quad = f ( \tilde { \theta } , \tilde { \rho } , \tilde { \rho } _ { \mathrm { p o s t } } ) . } \end{array}
y = \frac { 1 } { 2 } \left( \begin{array} { c c c c } { { 0 1 0 1 } } & { { 0 1 0 1 } } & { { 0 1 0 1 } } & { { 0 1 0 1 } } \\ { { 0 0 0 0 } } & { { 0 0 0 0 } } & { { 1 1 1 1 } } & { { 1 1 1 1 } } \\ { { 0 0 0 0 } } & { { 1 1 1 1 } } & { { 0 0 0 0 } } & { { 1 1 1 1 } } \\ { { 0 0 1 1 } } & { { 0 0 1 1 } } & { { 0 0 1 1 } } & { { 0 0 1 1 } } \end{array} \right) \ .
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbb S ^ { 2 } } m ( \Omega ) \left[ \big ( \partial _ { t } + \Omega \cdot \nabla _ { x } \big ) I ( t , x , \Omega ) - L \big ( I ( t , x , \cdot ) \big ) ( \Omega ) \right] \, \mathrm { d } \Omega } & { { } = 0 , \quad \forall t \in ] 0 , T [ , \ \forall x \in \mathbb { R } ^ { 3 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { x _ { k } ( \tau ) } & { = \mathrm { t a n h } \Big ( \sum _ { j \in \mathcal { T } } J _ { k j } ^ { ( t t ) } ( \tau ) x _ { j } ( \tau ) + \sum _ { \ell \in \mathcal { O } } J _ { k \ell } ^ { ( t o ) } ( \tau ) x _ { \ell } ( \tau ) \Big ) } \\ & { \simeq \mathrm { t a n h } \Big ( \sum _ { j \in \mathcal { T } } J _ { k j } ^ { ( t t ) } ( \tau ) x _ { j } ( \tau ) + \sum _ { \ell \in \mathcal { O } } J _ { k \ell } ^ { ( t o ) } ( \tau ) \Big ( \sum _ { j \in \mathcal { T } } J _ { \ell j } ^ { ( o t ) } ( \tau ) x _ { j } ( \tau ) \Big ) \Big ) } \\ & { \simeq \mathrm { t a n h } \Big ( \sum _ { j \in \mathcal { T } } x _ { j } ( \tau ) \Big [ J _ { k j } ^ { ( t t ) } ( \tau ) + \sum _ { \ell \in \mathcal { O } } J _ { k \ell } ^ { ( t o ) } ( \tau ) J _ { \ell j } ^ { ( o t ) } ( \tau ) \Big ] \Big ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \bar { \theta } ( z _ { s } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \bar { \theta } ^ { ( 0 ) } ( z _ { s } ) + { O } \! \left( { \varepsilon } \right) } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \alpha = 0 } \\ { 1 + { \varepsilon } \bar { \theta } ^ { ( 1 ) } ( z _ { s } ) + { O } \! \left( { \varepsilon } ^ { 2 } \right) } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \alpha = 1 } \end{array} \right. \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { \underline { { q ^ { 0 } } } : = \displaystyle \operatorname* { m i n } _ { 1 \leq i \leq n } q ^ { 0 , i } , \quad \underline { { \beta ^ { 0 } } } : = \displaystyle \operatorname* { m i n } _ { 1 \leq i \leq n } \beta ^ { 0 , i } , } \\ { \overline { { q } } : = \displaystyle \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq n } \| q ^ { i } \| _ { \infty } , \quad \overline { { \beta } } : = \displaystyle \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq n } \| \beta ^ { i } \| _ { \infty } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \{ R _ { i j } , P _ { a b } \} = \tilde { R } _ { i a } ^ { T } \delta _ { j b } + \tilde { R } _ { i b } ^ { T } \delta _ { j a } , \qquad \{ M _ { k } , P _ { a b } \} = - 2 M _ { k } ( \tilde { R } \tilde { R } ^ { T } ) _ { a b } + \delta _ { k a } ( \tilde { R } \tilde { R } ^ { T } { \bf M } ) _ { b } + \delta _ { k b } ( \tilde { R } \tilde { R } ^ { T } { \bf M } ) _ { a } , } \\ { \{ P _ { i j } , P _ { a b } \} = - ( \tilde { R } \tilde { R } ^ { T } ) _ { i a } \epsilon _ { j b n } M _ { n } - ( \tilde { R } \tilde { R } ^ { T } ) _ { j b } \epsilon _ { j a n } M _ { n } + ( a \leftrightarrow b ) . \qquad \qquad \qquad \qquad } \end{array}
\begin{array} { c } { { g _ { + } ( - \infty ) = g _ { 0 } ( + \infty ) = 2 \chi _ { \infty } ( S - 2 S ^ { + } ) + 2 \pi k _ { W } ^ { + } } } \\ { { g _ { - } ( + \infty ) = g _ { 0 } ( - \infty ) = - 2 \chi _ { \infty } ( S - 2 S ^ { - } ) + 2 \pi k _ { W } ^ { - } } } \end{array}
{ \diamondsuit } _ { t } ( f _ { 1 } , f _ { 2 } , f _ { 3 } , f _ { 4 } ) = \frac { 1 } { q ^ { d } | S _ { t } | | S _ { t } ^ { d - 2 } | ^ { 2 } } \sum _ { x ^ { 1 } \in S _ { t } } \left( \sum _ { x ^ { 3 } \in S _ { t } } S _ { t } ( x ^ { 1 } - x ^ { 3 } ) \right) \lesssim \frac { 1 } { q ^ { d } | S _ { t } ^ { d - 2 } | } \sim q ^ { - 2 d + 2 } .