harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { e _ { o 6 } ^ { \uparrow } = e ^ { i k _ { e } l _ { 2 } } e ^ { \frac { i \phi l _ { 2 } } { L } } e _ { o R } ^ { \uparrow } , e _ { i R } ^ { \uparrow } = e ^ { i k _ { e } l _ { 2 } } e ^ { \frac { - i \phi l _ { 2 } } { L } } e _ { i 6 } ^ { \uparrow } , } \\ { h _ { o 6 } ^ { \uparrow } = e ^ { i k _ { h } l _ { 2 } } e ^ { \frac { - i \phi l _ { 2 } } { L } } h _ { o R } ^ { \uparrow } , h _ { i R } ^ { \uparrow } = e ^ { i k _ { h } l _ { 2 } } e ^ { \frac { i \phi l _ { 2 } } { L } } h _ { i 6 } ^ { \uparrow } , } \end{array}
H = \left( \begin{array} { l l l } { \omega _ { \mathrm { c } } } & { g _ { \mathrm { v } } } & { g _ { \mathrm { e } } } \\ { g _ { \mathrm { v } } } & { \omega _ { \mathrm { v } } } & { 0 } \\ { g _ { \mathrm { e } } } & { 0 } & { \omega _ { \mathrm { e } } } \end{array} \right)
u ( x = a , t ) = \alpha ( t ) = \frac { \mathrm { ~ u ~ } _ { 1 } + \mathrm { ~ u ~ } _ { 0 } } { 2 } \quad \rightarrow \quad \mathrm { ~ u ~ } _ { 0 } = 2 \alpha ( t ) - \mathrm { ~ u ~ } _ { 1 } .
\begin{array} { r l } { u _ { \pm } ^ { 2 } } & { = ( M - \kappa ^ { 2 } ) u _ { \pm } - \kappa ^ { 2 } = \frac { 2 \kappa ^ { 2 } ( M - \kappa ^ { 2 } ) } { M - \kappa ^ { 2 } \mp \sqrt { ( M - \kappa ^ { 2 } ) ^ { 2 } - 4 \kappa ^ { 2 } } } - \kappa ^ { 2 } } \\ & { = \kappa ^ { 2 } \left\{ \frac { 2 ( M - \kappa ^ { 2 } ) } { M - \kappa ^ { 2 } \mp \sqrt { ( M - \kappa ^ { 2 } ) ^ { 2 } - 4 \kappa ^ { 2 } } } - 1 \right\} , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \lvert q _ { j } \rvert \cos ( \omega _ { \mathrm { d } } t + \theta _ { j } ) \times \cos { \omega _ { \mathrm { d } } t } } \\ { = } & { \frac { \lvert q _ { j } \rvert } { 2 } \left[ \cos ( 2 \omega _ { \mathrm { d } } t + \theta _ { j } ) + \cos ( \theta _ { j } ) \right] , } \\ & { \lvert q _ { j } \rvert \cos ( \omega _ { \mathrm { d } } t + \theta _ { j } ) \times \cos { ( \omega _ { \mathrm { d } } t + \frac { \pi } { 2 } ) } } \\ { = } & { \frac { \lvert q _ { j } \rvert } { 2 } \left[ - \sin ( 2 \omega _ { \mathrm { d } } t + \theta _ { j } ) + \sin ( \theta _ { j } ) \right] . } \end{array}
T _ { r e l } = { \frac { 4 \sqrt { 2 } } { \sqrt { z _ { 0 } + 2 } } } \left[ ( z _ { 0 } + 2 ) E \left( \sqrt { \frac { z _ { 0 } } { z _ { 0 } + 2 } } \right) - K \left( \sqrt { \frac { z _ { 0 } } { z _ { 0 } + 2 } } \right) \right] \, .
\operatorname * { d e t } \left[ \left( I - \mu _ { 0 } ^ { < 1 > } \right) \left( I - \mu _ { 2 } ^ { < 1 > } \right) R ^ { q } \left( I + \mu _ { 1 } ^ { < 1 > } \right) ^ { T } R ^ { q - 1 } + z \right] = P ^ { - } ( z )
R ( P _ { e d g e } ) = c o s h ^ { \left( { 2 / \beta } \right) } ( { \frac { \beta c } { 2 L } } ) \int _ { - c } ^ { b } \, \, s e c h ^ { \left( { 2 / \beta } \right) } ( { \frac { \beta r } { 2 L } } ) \, \, d r .
\begin{array} { r l } & { a = a \left( \langle \eta \rangle , \langle \eta ^ { 2 } \rangle \right) = \frac { \langle \eta \rangle - \langle \eta ^ { 2 } \rangle } { \langle \eta ^ { 2 } \rangle - \langle \eta \rangle ^ { 2 } } \langle \eta \rangle , } \\ & { b = b \left( \langle \eta \rangle , \langle \eta ^ { 2 } \rangle \right) = a \left( \langle \eta \rangle , \langle \eta ^ { 2 } \rangle \right) \left( \frac { 1 } { \langle \eta \rangle } - 1 \right) . } \end{array}
\left\langle { ^ 0 t } , \left( w - w _ { \Lambda } \right) x ^ { \alpha _ { 1 } } x ^ { \alpha _ { 2 } } \right\rangle = - \left( { D ( \Lambda ) ^ { \alpha _ { 1 } } } _ { \beta _ { 1 } } { D ( \Lambda ) ^ { \alpha _ { 2 } } } _ { \beta _ { 2 } } - \delta _ { \beta _ { 1 } } ^ { \alpha _ { 1 } } \delta _ { \beta _ { 2 } } ^ { \alpha _ { 2 } } \right) c ^ { \beta _ { 1 } \beta _ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { \sum _ { k = 0 } ^ { n } \gamma _ { k } \left\Vert g _ { k } \right\Vert ^ { 2 } } & { = \sum _ { k = r } ^ { n } \gamma _ { k } \left\Vert g _ { k } \right\Vert ^ { 2 } + \sum _ { k = 0 } ^ { r - 1 } \gamma _ { k } \left\Vert g _ { k } \right\Vert ^ { 2 } } \\ & { \leq 2 \sqrt { \sum _ { k = r } ^ { n } \left\Vert g _ { k } \right\Vert ^ { 2 } } + \frac { 1 } { \| g _ { 0 } \| } \sum _ { k = 0 } ^ { r - 1 } \left\Vert g _ { k } \right\Vert ^ { 2 } } \\ & { \le 2 \sqrt { \sum _ { k = 0 } ^ { n } \left\Vert g _ { k } \right\Vert ^ { 2 } } + \frac { 2 } { \| g _ { 0 } \| } \left\Vert g _ { r - 1 } \right\Vert ^ { 2 } } \\ & { \le 2 \sqrt { \sum _ { k = 0 } ^ { n } \left\Vert g _ { k } \right\Vert ^ { 2 } } + 2 \frac { G ^ { 2 } } { \| g _ { 0 } \| } . } \end{array}
\begin{array} { r } { u _ { t } + u u _ { x } + v u _ { y } + \frac { 1 } { M ^ { 2 } } \frac { 2 } { \gamma - 1 } c c _ { x } = \frac { 1 } { R e } ( u _ { x x } + u _ { y y } ) } \\ { v _ { t } + u v _ { x } + v v _ { y } + \frac { 1 } { M ^ { 2 } } \frac { 2 } { \gamma - 1 } c c _ { y } = \frac { 1 } { R e } ( v _ { x x } + v _ { y y } ) } \\ { c _ { t } + u c _ { x } + v c _ { y } + \frac { \gamma - 1 } { 2 } c ( u _ { x } + v _ { y } ) = 0 } \end{array}
W \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \Gamma \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! * \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! W \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! - \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \Gamma \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! . \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\left[ \begin{array} { l } { { \bf Q } _ { v } } \\ { { \bf P } _ { v } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { { \bf Q } _ { 1 } } & { { \bf Q } _ { 2 } } \\ { { \bf P } _ { 1 } } & { { \bf P } _ { 2 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { { \bf C } _ { 0 } } \\ { - { \bf Y } _ { 0 } } \end{array} \right] \, ,
\begin{array} { r l r } { M _ { x x } } & { = } & { \frac { q _ { 0 } } { \pi ^ { 2 } \left( \frac { 1 } { a ^ { 2 } } + \frac { 1 } { b ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } } \left( \frac { 1 } { a ^ { 2 } } + \frac { \nu } { b ^ { 2 } } \right) \sin \frac { \pi x } { a } \sin \frac { \pi y } { b } } \\ { M _ { y y } } & { = } & { \frac { q _ { 0 } } { \pi ^ { 2 } \left( \frac { 1 } { a ^ { 2 } } + \frac { 1 } { b ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } } \left( \frac { \nu } { a ^ { 2 } } + \frac { 1 } { b ^ { 2 } } \right) \sin \frac { \pi x } { a } \sin \frac { \pi y } { b } } \\ { M _ { x y } } & { = } & { \frac { q _ { 0 } ( 1 - \nu ) } { \pi ^ { 2 } \left( \frac { 1 } { a ^ { 2 } } + \frac { 1 } { b ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } a b } \left( \frac { \nu } { a ^ { 2 } } + \frac { 1 } { b ^ { 2 } } \right) \cos \frac { \pi x } { a } \cos \frac { \pi y } { b } } \\ { Q _ { x x } } & { = } & { \frac { q _ { 0 } } { \pi a \left( \frac { 1 } { a ^ { 2 } } + \frac { 1 } { b ^ { 2 } } \right) } \cos \frac { \pi x } { a } \sin \frac { \pi y } { b } } \\ { Q _ { y y } } & { = } & { \frac { q _ { 0 } } { \pi a \left( \frac { 1 } { a ^ { 2 } } + \frac { 1 } { b ^ { 2 } } \right) } \sin \frac { \pi x } { a } \sin \frac { \pi y } { b } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { \widetilde { T } } \| \nabla f ( w _ { \widetilde { T } } ) \| ^ { 2 - \beta } } & { = \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \| \nabla f ( w _ { t } ) \| ^ { 2 - \beta } } \\ & { \le \frac { 2 } { T \gamma } \big ( f ( w _ { 0 } ) - f ^ { * } \big ) + \frac { 1 } { 2 } \epsilon ^ { 2 - \beta } , } \end{array}
\frac { d } { d t } \rho _ { 1 2 } = - \frac { \Omega ^ { 2 } } { 2 \Gamma } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \phi ( t ) } - \left( \frac { \Omega ^ { 2 } } { \Gamma } + \mathrm { i } \delta \right) \rho _ { 1 2 } .
Z _ { k | k } ^ { ( 4 , N ) } ( q , p ) = \frac { { \mathrm { P f } } \left[ \begin{array} { l l } { \displaystyle \widehat \mathrm { K } _ { 1 } ( p _ { m } , p _ { n } ) } & { \widehat \mathrm { K } _ { 2 } ( p _ { m } , q _ { n } ) } \\ { - \widehat \mathrm { K } _ { 2 } ( p _ { n } , q _ { m } ) } & { \widehat \mathrm { K } _ { 3 } ( q _ { m } , q _ { n } ) } \end{array} \right] _ { 1 \leq m , n \leq k } } { \operatorname* { d e t } \left[ \displaystyle \frac { 1 } { i v ^ { T } ( q _ { m } ) \sigma _ { 2 } v ( p _ { n } ) } \right] _ { 1 \leq m , n \leq k } } \ .
{ \displaystyle T _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } ( { \bf r , r ^ { \prime } } ) = \sum _ { \sigma ^ { \prime \prime } } \int K _ { \sigma \sigma ^ { \prime \prime } } ^ { \dagger } ( { \bf r } , { \bf r ^ { \prime \prime } } ) K _ { \sigma ^ { \prime \prime } \sigma ^ { \prime } } ( { \bf r ^ { \prime \prime } } , { \bf r ^ { \prime } } ) d { \bf r ^ { \prime \prime } } } ,
\begin{array} { r l } { \gamma _ { n } } & { \le a \cdot ( 2 G ) ^ { s ( \mathcal { C } ) } ~ , } \\ { \delta _ { n } } & { \le a \cdot ( 4 0 L G ) ^ { s ( \mathcal { C } ) } ~ , } \\ { \epsilon _ { n } } & { \le a \cdot ( 1 6 0 L G ) ^ { 3 s ( \mathcal { C } ) } ~ , } \\ { S _ { n } } & { \le \frac { 2 L } { a } \cdot ( 2 G ) ^ { s ( \mathcal { C } ) } ~ . } \end{array}
\frac 3 4 \ln \left( 1 + \frac { L ^ { \prime \, 2 } } { m ^ { 2 } } \right) + \frac { L ^ { \prime } } { 2 m } \arctan \frac m { L ^ { \prime } } - \frac 1 8 \frac { L ^ { \prime \, 2 } / m ^ { 2 } } { 1 + L ^ { \prime \, 2 } / m ^ { 2 } } = 1 , 1 1 5 .
\sum _ { l _ { 1 } } \frac { \bar { g } _ { 1 l _ { 1 } } } { 2 I + 1 } C _ { \sigma _ { 1 } \sigma _ { 1 } ^ { \prime } } C _ { \sigma _ { 2 } \sigma _ { 2 } ^ { \prime } } \delta _ { k m _ { I } } \left\{ \begin{array} { l l l } { { j _ { 1 } } } & { { j _ { 2 } } } & { { I } } \\ { { j _ { 1 } } } & { { j _ { 2 } } } & { { l _ { 1 } } } \end{array} \right\} \left( \begin{array} { l l l } { { j _ { 1 } } } & { { j _ { 2 } } } & { { I } } \\ { { \sigma _ { 1 } ^ { \prime } } } & { { \sigma _ { 2 } ^ { \prime } } } & { { m } } \end{array} \right) .
\begin{array} { l } { m _ { 4 } ^ { ( 1 ) } = - \frac { { \Delta t } } { { { s _ { \nu } } } } \rho c _ { s } ^ { 2 } ( { \partial _ { x 1 } } { u _ { y } } + { \partial _ { y 1 } } { u _ { x } } ) , ~ m _ { 5 } ^ { ( 1 ) } = - \frac { { \Delta t } } { { { s _ { \nu } } } } \rho c _ { s } ^ { 2 } ( { \partial _ { x 1 } } { u _ { z } } + { \partial _ { z 1 } } { u _ { x } } ) , ~ m _ { 7 } ^ { ( 1 ) } = - \frac { { 2 \Delta t } } { { { s _ { b } } } } \rho c _ { s } ^ { 2 } ( { \partial _ { x 1 } } { u _ { x } } + { \partial _ { y 1 } } { u _ { y } } + { \partial _ { z 1 } } { u _ { z } } ) , } \\ { m _ { 8 } ^ { ( 1 ) } = - \frac { { 2 \Delta t } } { { { s _ { \nu } } } } \rho c _ { s } ^ { 2 } ( { \partial _ { x 1 } } { u _ { x } } - { \partial _ { y 1 } } { u _ { y } } ) , ~ m _ { 9 } ^ { ( 1 ) } = - \frac { { 2 \Delta t } } { { { s _ { \nu } } } } \rho c _ { s } ^ { 2 } ( { \partial _ { x 1 } } { u _ { x } } - { \partial _ { z 1 } } { u _ { z } } ) . } \end{array}
\psi _ { \alpha \beta w } ( r , \theta ) = e ^ { i \left( p r \cos \theta - \nu ( { \bar { \theta } } - \pi ) \right) } - \sin \nu \pi e ^ { - i ( [ \nu ] + 1 ) \theta } \int _ { - \infty } ^ { \infty } { \frac { d t } { \pi } } e ^ { i p r \cosh t } { \frac { e ^ { - \{ \nu \} t } } { e ^ { - i \theta } - e ^ { - t } } } \ ,
a ( t ) = a _ { 0 } ( m t ) ^ { 2 / 3 } [ 1 + \frac { \cos { m t } } { 6 ( m t ) ^ { 2 } } - \frac { 1 } { 2 4 ( m t ) ^ { 2 } } + O ( ( \frac { H } { m } ) ^ { 3 } ) ]
\left( 1 - \frac { 1 } { 4 V ^ { 2 } } \left( V _ { m } ^ { 2 } + \frac { V _ { e s c } ^ { 2 } } { r } \right) \right) \frac { \partial } { \partial r } V ^ { 2 } = - \frac { 1 } { 2 } \left( V _ { m } ^ { 2 } - V ^ { 2 } + \frac { V _ { e s c } ^ { 2 } } { r } \right) \frac { \partial } { \partial r } \ln B - \frac { 3 } { 4 } \frac { V _ { e s c } ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r } { Y = Y _ { m } \cup Y _ { f } \cup Y _ { * } \cup \Gamma _ { Y } \; , \quad Y _ { i } \cap Y _ { j } = \emptyset \, \mathrm { ~ f o r ~ } j \not = i \mathrm { ~ w i t h ~ } i , j \in \{ c , m , * \} \; , } \\ { Y _ { * } = \bigcup _ { \alpha } Y _ { * } ^ { \alpha } \; , \quad Y _ { * } ^ { \alpha } \cap Y _ { * } ^ { { \alpha } ^ { \prime } } = \emptyset \, \mathrm { ~ f o r ~ } { \alpha } \not = { \alpha } ^ { \prime } \; , \quad Y _ { s } \equiv Y _ { m * } = Y _ { m } \cap Y _ { * } \; , } \end{array}
[ a ^ { - 1 } ] _ { 1 } \mathord { \vrule w i d t h 1 2 p t h e i g h t 3 p t d e p t h - 1 . 5 p t } [ \mathsf { a } _ { 1 } ] _ { 1 } \mathord { \vrule w i d t h 1 2 p t h e i g h t 3 p t d e p t h - 1 . 5 p t } [ \mathsf { a } _ { 2 } ] _ { 1 } \mathord { \vrule w i d t h 1 2 p t h e i g h t 3 p t d e p t h - 1 . 5 p t } \cdots \mathord { \vrule w i d t h 1 2 p t h e i g h t 3 p t d e p t h - 1 . 5 p t } [ \mathsf { a } _ { 2 r } ] _ { 1 } \mathord { \vrule w i d t h 1 2 p t h e i g h t 3 p t d e p t h - 1 . 5 p t } [ a ^ { - 1 } ] _ { 1 } ,
\begin{array} { r l } { \delta _ { 4 } ( n ) } & { = - \frac { 1 } { 2 } \gamma ^ { 2 } r \mathbb { E } \langle \bar { x } _ { n } ^ { \lambda } + \lambda \bar { Y } _ { n } ^ { \lambda } , e _ { n } \rangle + C _ { 2 2 } ( \lambda ) } \\ & { \leq C _ { 4 } ^ { \prime } \lambda ^ { 2 } \gamma ^ { 4 } \mathbb { E } | \bar { x } _ { n } ^ { \lambda } + \lambda \bar { Y } _ { n } ^ { \lambda } | ^ { 2 } + C _ { 4 } ^ { \prime } \frac { 1 } { \lambda ^ { 2 } } \mathbb { E } | e _ { n } | ^ { 2 } + \frac { d } { 3 } \lambda ^ { 3 } } \\ & { \leq C _ { 5 } ^ { \prime } \lambda ^ { 2 } \gamma ^ { 4 } \big ( \mathbb { E } | h _ { t a m , \gamma } ( \bar { x } _ { n } ^ { \lambda } ) | ^ { 2 } + \mathbb { E } | \bar { Y } _ { n } ^ { \lambda } | ^ { 2 } + \mathbb { E } | \bar { x } _ { n } ^ { \lambda } | ^ { 2 } \big ) . } \end{array}
[ \mathbf { M } ] ^ { - 1 } = \left( \begin{array} { l l l l l l l l l } { \frac { 1 } { 9 } } & { \frac { - 1 } { 9 } } & { \frac { 1 } { 9 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { \frac { 1 } { 9 } } & { \frac { - 1 } { 3 6 } } & { \frac { - 1 } { 1 8 } } & { \frac { 1 } { 6 } } & { \frac { - 1 } { 6 } } & { 0 } & { 0 } & { \frac { 1 } { 4 } } & { 0 } \\ { \frac { 1 } { 9 } } & { \frac { - 1 } { 3 6 } } & { \frac { - 1 } { 1 8 } } & { 0 } & { 0 } & { \frac { 1 } { 6 } } & { \frac { 1 } { 6 } } & { \frac { - 1 } { 4 } } & { 0 } \\ { \frac { 1 } { 9 } } & { \frac { - 1 } { 3 6 } } & { \frac { - 1 } { 1 8 } } & { \frac { - 1 } { 6 } } & { \frac { 1 } { 6 } } & { 0 } & { 0 } & { \frac { 1 } { 4 } } & { 0 } \\ { \frac { 1 } { 9 } } & { \frac { - 1 } { 3 6 } } & { \frac { - 1 } { 1 8 } } & { 0 } & { 0 } & { \frac { - 1 } { 6 } } & { \frac { 1 } { 6 } } & { \frac { - 1 } { 4 } } & { 0 } \\ { \frac { 1 } { 9 } } & { \frac { 1 } { 1 8 } } & { \frac { 1 } { 3 6 } } & { \frac { 1 } { 6 } } & { \frac { 1 } { 1 2 } } & { \frac { 1 } { 6 } } & { \frac { 1 } { 1 2 } } & { 0 } & { \frac { 1 } { 4 } } \\ { \frac { 1 } { 9 } } & { \frac { 1 } { 1 8 } } & { \frac { 1 } { 3 6 } } & { \frac { - 1 } { 6 } } & { \frac { - 1 } { 1 2 } } & { \frac { 1 } { 6 } } & { \frac { 1 } { 1 2 } } & { 0 } & { \frac { - 1 } { 4 } } \\ { \frac { 1 } { 9 } } & { \frac { 1 } { 1 8 } } & { \frac { 1 } { 3 6 } } & { \frac { - 1 } { 6 } } & { \frac { - 1 } { 1 2 } } & { \frac { - 1 } { 6 } } & { \frac { - 1 } { 1 2 } } & { 0 } & { \frac { 1 } { 4 } } \\ { \frac { 1 } { 9 } } & { \frac { 1 } { 1 8 } } & { \frac { 1 } { 3 6 } } & { \frac { 1 } { 6 } } & { \frac { 1 } { 1 2 } } & { \frac { - 1 } { 6 } } & { \frac { - 1 } { 1 2 } } & { 0 } & { \frac { - 1 } { 4 } } \end{array} \right)
\Delta _ { \mu \nu } = \frac { 1 } { p ^ { 2 } - m _ { a } ^ { 2 } } \{ - g _ { \mu \nu } + \frac { p _ { \mu } p _ { \nu } } { m _ { a } ^ { 2 } } \} - { \frac { 1 } { m _ { a } ^ { 2 } } } \frac { p _ { \mu } p _ { \nu } } { p ^ { 2 } - m _ { \phi } ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { F } _ { \mathrm { L L } } = \ } & { { } \left[ \frac { 1 } { 2 } \sin 2 \theta \cos 2 \theta | \boldsymbol { \nabla } ( \Delta \phi ) | ^ { 2 } - { \hbar } ^ { 2 } \nabla ^ { 2 } \theta \right] \boldsymbol { \nabla } \theta } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { i n t } } & { { } = \bigg [ \sum _ { \sigma } g _ { 1 } ( \hat { b } _ { \sigma } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \sigma } + \hat { a } _ { \sigma } ^ { \dagger } \hat { b } _ { \sigma } ) \bigg ] ( \beta _ { 1 } ^ { \dagger } + \beta _ { 1 } ) + ( 1 \rightarrow 2 ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi _ { i } ( r , \theta ) } & { = b ^ { 2 } V \left( A \, \frac { r } { b } + B \left( \frac { r } { b } \right) ^ { 2 } + C \left( \frac { r } { b } \right) ^ { 4 } + D \, \frac { b } { r } \right) \sin ^ { 2 } \theta \, , } \\ { \psi ( r , \theta ) } & { = b ^ { 2 } V \left( E \, \frac { r } { b } + G \left( \frac { r } { b } \right) ^ { 2 } + H \, \frac { b } { r } \right) \sin ^ { 2 } \theta \, , } \end{array}
\langle a _ { \Delta } ^ { 2 } \rangle = \frac { k _ { \mathrm { B } } T } { K _ { \Delta } } + 2 k _ { \mathrm { B } } T \xi _ { \Delta } g ^ { 2 } q _ { \Delta } ^ { 2 } \int _ { \infty } ^ { \infty } d \Omega \frac { \Omega ^ { 2 } } { | P _ { \Sigma } | ^ { 2 } | P _ { \Delta } | ^ { 2 } } .
\left( \begin{array} { c c } { { u } } & { { i \alpha } } \\ { { i \beta } } & { { \bar { u } } } \end{array} \right) = \frac { 1 } { \sqrt { r _ { + } ^ { 2 } + r _ { - } ^ { 2 } } } \left( \begin{array} { c c } { { e ^ { i ( r _ { + } \phi + r _ { - } t ) } \sqrt { r ^ { 2 } + r _ { - } ^ { 2 } } } } & { { i e ^ { r _ { - } \phi - r _ { + } t } \sqrt { r _ { + } ^ { 2 } - r ^ { 2 } } } } \\ { { i e ^ { - r _ { - } \phi + r _ { + } t } \sqrt { r _ { + } ^ { 2 } - r ^ { 2 } } } } & { { e ^ { - i ( r _ { + } \phi + r _ { - } t ) } \sqrt { r ^ { 2 } + r _ { - } ^ { 2 } } } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } & { \langle \alpha _ { 1 i } ( t ) \alpha _ { 1 j } ( t ) \rangle = \langle \frac { u _ { 1 i } u _ { 1 j } k ^ { 2 } } { \xi ^ { 2 } } e ^ { - A ( \sigma _ { i } + \sigma _ { j } ) t } } \\ & { \times \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { t } N _ { 1 } ( \tau ) N _ { 1 } ( s ) e ^ { A ( \sigma _ { i } \tau + \sigma _ { j } s ) } d \tau d s \rangle } \\ & { - \langle \frac { 2 u _ { 1 i } u _ { 1 j } k } { \xi ^ { 2 } } e ^ { - A ( \sigma _ { i } + \sigma _ { j } ) t } } \\ & { \times \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { t } N _ { 1 } ( \tau ) f ( s ) e ^ { A ( \sigma _ { i } \tau + \sigma _ { j } s ) } d \tau d s \rangle } \\ & { + \langle \frac { u _ { 1 i } u _ { 1 j } } { \xi ^ { 2 } } e ^ { - A ( \sigma _ { i } + \sigma _ { j } ) t } } \\ & { \times \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { t } f ( \tau ) f ( s ) e ^ { A ( \sigma _ { i } \tau + \sigma _ { j } s ) } d \tau d s \rangle } \end{array}
e ^ { - 2 \pi \big ( 1 - \frac { g } { \pi + g N } \big ) \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { a } } \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { a } } \Big [ \big ( 1 \! - \! \delta _ { i j } \big ) \big ( C ^ { 0 , S } ( x _ { i } ^ { ( a ) } , x _ { j } ^ { ( a ) } ) + C ^ { 0 , S } ( y _ { i } ^ { ( a ) } , y _ { j } ^ { ( a ) } ) \big ) - 2 C ^ { 0 , S } ( x _ { i } ^ { ( a ) } , y _ { j } ^ { ( a ) } ) \Big ] }
\left\langle \widetilde { \Lambda } _ { 2 } \widetilde { \textbf { f } } ^ { e q } \right\rangle = \textbf { P } \widetilde { \Lambda } _ { 2 } \widetilde { \textbf { f } } ^ { e q } = \textbf { G } _ { 2 } \Rightarrow \textbf { P } \widetilde { \Lambda } _ { 2 } \boldsymbol { \alpha } _ { 0 } = 0 , \textbf { P } \widetilde { \Lambda } _ { 2 } \boldsymbol { \alpha } _ { 1 } = 0 , \textbf { P } \widetilde { \Lambda } _ { 2 } \boldsymbol { \alpha } _ { 2 } = I
\| \varLambda \| ^ { 2 } = \operatorname* { s u p } _ { u \in W , \, u \not = 0 } \frac { \| \varLambda u \| _ { H ^ { 1 / 2 } ( \Gamma ) ^ { 2 } } ^ { 2 } } { \| u \| _ { H ^ { - 1 / 2 } ( \Gamma ) ^ { 2 } } ^ { 2 } } = \operatorname* { s u p } _ { u \in W , \, u \not = 0 } \frac { \int _ { \mathbb { R } } | M ^ { - 1 } \hat { u } | ^ { 2 } ( 1 + \xi ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } } { \int _ { \mathbb { R } } | \hat { u } | ^ { 2 } ( 1 + \xi ^ { 2 } ) ^ { - 1 / 2 } } .
[ a _ { m } , a _ { m } ^ { \dagger } ] - [ \psi _ { \dot { \alpha } } , \; \psi _ { \dot { \alpha } } ^ { \dagger } ] _ { + } = [ \tilde { a } _ { m } , \tilde { a } _ { m } ^ { \dagger } ] - [ \tilde { \psi } _ { \dot { \alpha } } , \; \tilde { \psi } _ { \dot { \alpha } } ^ { \dagger } ] _ { + } = B - F - 1 + \mid 0 \rangle \langle 0 \mid .
\Delta ( Q _ { o } , k ) \approx { \frac { - 1 } { k ^ { 2 } + 3 m ^ { 2 } \left[ 1 - \frac { 1 } { 2 } { \frac { Q _ { o } } { k } } \ln \left( { \frac { Q _ { o } + k } { Q _ { o } - k } } \right) \right] } } \; .
S _ { i j } ^ { \mathrm { a c t } } = S ^ { \mathrm { a } } ( t ^ { \mathrm { a } } , l ^ { \mathrm { { c } } } ) \ { \mathrm { e } } _ { i } ^ { \mathrm { f 0 } } { \mathrm { e } } _ { j } ^ { \mathrm { f 0 } } ,
\begin{array} { r l } & { \hat { b } ( X ) = \alpha } \\ & { \Longleftrightarrow \eta ( X ) \eta ( B ) = \alpha ( B ) \mathrm { ~ a n d ~ } \eta ( B ) \iota _ { X } \mu - \eta ( X ) \iota _ { B } \mu = \alpha \wedge \eta } \\ & { \Longleftrightarrow \eta ( X ) = \frac { \alpha ( B ) } { \eta ( B ) } \mathrm { ~ a n d ~ } \iota _ { X } \mu = \frac { \alpha \wedge \eta } { \eta ( B ) } + \frac { \alpha ( B ) } { \eta ( B ) ^ { 2 } } \iota _ { B } \mu . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbf { \dot { p } } } & { = } & { - \pmb { \nabla } H + T \pmb { \nabla } \overline { { S } } = - \frac { \partial } { \partial \mathbf { q } } ( H - T \overline { { S } } ) } \\ { \mathbf { \dot { q } } } & { = } & { - T \pmb { \nabla } \overline { { S } } + \pmb { \nabla } H = \; \; \frac { \partial } { \partial \mathbf { p } } ( H - T \overline { { S } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf h _ { i } ^ { \ell + 1 } = \operatorname { t a n h } \left( \mathbf V ^ { \ell } \mathbf f _ { i } ^ { \ell } + \mathbf b _ { i } ^ { \ell } \right) + \mathbf h _ { i } ^ { \ell } \ , } \\ { \mathbf h _ { i j } ^ { \ell + 1 } = \operatorname { t a n h } \left( \mathbf W ^ { \ell } \mathbf h _ { i j } ^ { \ell } + \mathbf c _ { i } ^ { \ell } \right) + \mathbf h _ { i j } ^ { \ell } \ . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \{ \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { i } \hat { a } _ { j } \} } & { { } = } & { \{ \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j } \hat { a } _ { i } \} = \{ \hat { a } _ { i } \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j } \} } \end{array}
\cosh \theta = \frac { 1 } { \sqrt { 1 - \exp ( - \beta | q _ { 0 } | ) } } ; \ \ \ \sinh \theta = \frac { \exp ( - \beta | q _ { 0 } | / 2 ) } { \sqrt { 1 - \exp ( - \beta | q _ { 0 } | ) } } .
A = \int \frac { d z _ { 1 } \, d z _ { 2 } \, d ^ { 2 } z _ { 3 } } { V _ { C K G } } \langle V _ { 1 } ( z _ { 1 } ) V _ { 2 } ( z _ { 2 } ) V _ { 3 } ( z _ { 3 } , \bar { z } _ { 3 } ) \rangle
f ^ { \mathrm { t w i t c h } } \left( t ^ { \mathrm { a } } , l ^ { \mathrm { s } } \right) = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { t ^ { \mathrm { a } } < 0 , } \\ { \mathrm { t a n h } ^ { 2 } \left( \frac { t ^ { \mathrm { a } } } { \tau ^ { \mathrm { r } } } \right) \mathrm { t a n h } ^ { 2 } \left( \frac { t ^ { \mathrm { m a x } } - t ^ { \mathrm { a } } } { \tau ^ { \mathrm { d } } } \right) } & { 0 \leq t ^ { \mathrm { a } } \leq t ^ { \mathrm { m a x } } , } \\ { 0 } & { t ^ { \mathrm { a } } > t ^ { \mathrm { m a x } } , } \end{array} \right.
\varepsilon _ { 1 } = \operatorname* { s u p } \{ \varepsilon _ { 0 } + 1 , \omega ^ { \varepsilon _ { 0 } + 1 } , \omega ^ { \omega ^ { \varepsilon _ { 0 } + 1 } } , \omega ^ { \omega ^ { \omega ^ { \varepsilon _ { 0 } + 1 } } } , \dots \} ,
\int _ { 0 } ^ { 1 } \! d z \, D _ { c \rightarrow H } ( z ) = \frac { 8 \alpha _ { s } ^ { 2 } | R ( 0 ) | ^ { 2 } } { 2 7 \pi m _ { c } } \! \int _ { 0 } ^ { \infty } \! d s \! \int _ { 0 } ^ { 1 } \! d z \, \Theta ( s - \frac { 4 m _ { c } ^ { 2 } } { z } - \frac { m _ { b } ^ { 2 } } { 1 - z } ) F ( s , z ) ,
m _ { B } ^ { 2 } + \frac { \lambda } { 2 } [ < \pi ^ { 2 } > ( t ) _ { B } + \phi ^ { 2 } ( t ) ] = m _ { R } ^ { 2 } + \frac { \lambda _ { R } } { 2 } [ < \pi ^ { 2 } > ( t ) _ { R } + \phi ^ { 2 } ( t ) ] = { \cal M } _ { R \; \pi } ^ { 2 } ( t ) \; .
\begin{array} { r } { n ^ { ( 1 ) } ( x , t , k ) = \left( \begin{array} { l l l } { O ( 1 ) } & { O ( 1 ) } & { O ( 1 ) } \end{array} \right) v _ { 7 } ^ { ( 1 ) } = \left( \begin{array} { l l l } { O ( 1 ) } & { O ( 1 ) } & { O ( 1 ) } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { O ( b _ { 1 2 , a } ) } & { O ( \frac { 1 } { f ( \omega ^ { 2 } k ) } ) } \\ { 0 } & { 1 } & { O ( \frac { k - \omega } { f ( \omega ^ { 2 } k ) } ) } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , } \end{array}