harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \partial _ { \varphi } \Big ( d _ { f } \Psi \{ f \} [ h ] \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) , \varphi \big ) \Big ) } \\ & { = \frac { \omega _ { N } - \omega _ { S } } { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { \partial _ { \varphi } \big [ D \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) , \theta _ { 0 } + f ( \varphi ^ { \prime } ) , \varphi , \varphi ^ { \prime } \big ) \big ] + \partial _ { \varphi ^ { \prime } } \big [ D \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) , \theta _ { 0 } + f ( \varphi ^ { \prime } ) , \varphi , \varphi ^ { \prime } \big ) \big ] } { D \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) , \theta _ { 0 } + f ( \varphi ^ { \prime } ) , \varphi , \varphi ^ { \prime } \big ) } \sin \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ^ { \prime } ) \big ) h ( \varphi ^ { \prime } ) d \varphi ^ { \prime } } \\ & { \quad - \frac { \omega _ { N } - \omega _ { S } } { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { \partial _ { \varphi ^ { \prime } } \big [ D \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) , \theta _ { 0 } + f ( \varphi ^ { \prime } ) , \varphi , \varphi ^ { \prime } \big ) \big ] } { D \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) , \theta _ { 0 } + f ( \varphi ^ { \prime } ) , \varphi , \varphi ^ { \prime } \big ) } \sin \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ^ { \prime } ) \big ) h ( \varphi ^ { \prime } ) d \varphi ^ { \prime } } \\ & { = \frac { \omega _ { N } - \omega _ { S } } { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { \partial _ { \varphi } \big [ D \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) , \theta _ { 0 } + f ( \varphi ^ { \prime } ) , \varphi , \varphi ^ { \prime } \big ) \big ] + \partial _ { \varphi ^ { \prime } } \big [ D \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) , \theta _ { 0 } + f ( \varphi ^ { \prime } ) , \varphi , \varphi ^ { \prime } \big ) \big ] } { D \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) , \theta _ { 0 } + f ( \varphi ^ { \prime } ) , \varphi , \varphi ^ { \prime } \big ) } \sin \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ^ { \prime } ) \big ) h ( \varphi ^ { \prime } ) d \varphi ^ { \prime } } \\ & { \quad + \frac { \omega _ { N } - \omega _ { S } } { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \log \Big ( D \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) , \theta _ { 0 } + f ( \varphi ^ { \prime } ) , \varphi , \varphi ^ { \prime } \big ) \Big ) \partial _ { \varphi ^ { \prime } } \Big ( \sin \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ^ { \prime } ) \big ) h ( \varphi ^ { \prime } ) \Big ) d \varphi ^ { \prime } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { p _ { x } ^ { t o t } } & { { } = } & { \alpha _ { 0 } \frac { \Gamma _ { 1 } } { 2 } \frac { - 2 \omega + \omega _ { 1 } + \omega _ { 2 } - i \Gamma _ { 1 } / 2 - i \Gamma _ { 2 } / 2 + 2 ( \tilde { S } _ { x x } ^ { 1 2 } - \tilde { S } _ { x x } ^ { 1 1 } ) } { \left( - \omega + \omega _ { 1 } - i \Gamma _ { 1 } / 2 - \tilde { S } _ { x x } ^ { 1 1 } \right) \left( - \omega + \omega _ { 2 } - i \Gamma _ { 2 } / 2 - \tilde { S } _ { x x } ^ { 1 1 } \right) - ( \tilde { S } _ { x x } ^ { 1 2 } ) ^ { 2 } } E _ { 0 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { P _ { \mathcal { A } } = \operatorname* { m i n } \bigr \{ 1 , \frac { t _ { i j } } { \mathcal { A } ( i \rightarrow j ) } \left( \tau _ { i r a } - \tau _ { \mathrm { m i n } } \right) } \\ { \times K ( \mathcal { S } \rightarrow \mathcal { S } ^ { \prime } ) \exp \left[ - \Delta U _ { \mathrm { l o c } } \right] \bigr \} } \end{array}
S \sp c = { \frac { 1 } { 3 2 \pi \sp 2 } } \int \sb 0 \sp \infty d e \sb 0 \left( \operatorname * { d e t } \frac { \sinh \frac { e \sb 0 g F } { 2 } } { g F } \right) \sp { - \frac { 1 } { 2 } } \Psi ( x \sb { o u t } , \, x \sb { i n } , \, e \sb 0 ) e \sp { { i } I \lbrack x \sb { c l } , e \sb 0 \rbrack } \, ,
\left( \int _ { - \infty } ^ { \infty } x ^ { 2 } | f ( x ) | ^ { 2 } \, d x \right) \left( \int _ { - \infty } ^ { \infty } \xi ^ { 2 } | { \hat { f } } ( \xi ) | ^ { 2 } \, d \xi \right) \geq { \frac { \| f \| _ { 2 } ^ { 4 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r l r } { y _ { 1 } \left( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } , \xi _ { 1 } , \ldots , \xi _ { m } \right) } & { = } & { f _ { I } ^ { 1 } \left( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } \right) \xi ^ { I } } \\ { y _ { 2 } \left( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } , \xi _ { 1 } , \ldots , \xi _ { m } \right) } & { = } & { f _ { I } ^ { 2 } \left( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } \right) \xi ^ { I } } \\ { \ldots } & { } & \\ { y _ { l } \left( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } , \xi _ { 1 } , \ldots , \xi _ { m } \right) } & { = } & { f _ { I } ^ { l } \left( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } \right) \xi ^ { I } } \\ { \eta _ { 1 } \left( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } , \xi _ { 1 } , \ldots , \xi _ { m } \right) } & { = } & { f _ { I } ^ { l + 1 } \left( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } \right) \xi ^ { I } } \\ { \ldots } & { } & \\ { \eta _ { k } \left( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } , \xi _ { 1 } , \ldots , \xi _ { m } \right) } & { = } & { f _ { I } ^ { l + k } \left( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } \right) \xi ^ { I } . } \end{array}
\varkappa = \frac { \sigma } { e ^ { 2 } } \int \frac { d \omega d ^ { 2 } q } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \left( \frac { 2 \pi e ^ { 2 } } { \epsilon q } \right) e ^ { - q d } \frac { q ^ { 2 } ( \omega ^ { 2 } + \omega _ { \nu } ^ { 2 } ) \omega \Im ( \Gamma _ { + } \Gamma _ { - } ^ { * } ) } { | \Gamma _ { + } | ^ { 2 } | \Gamma _ { - } | ^ { 2 } }
d s _ { D } ^ { 2 } = \frac { 1 } { ( \sum _ { i = 1 } ^ { n } \, | z _ { i } | / L + 1 ) ^ { 2 } } \, \Big ( \eta _ { \mu \nu } d x ^ { \mu } d x ^ { \nu } + \sum _ { j = 1 } ^ { n } \, ( d z _ { j } ) ^ { 2 } \Big ) \, .
\begin{array} { r l } & { \Big | p \theta _ { \rho } ( \| u _ { n } \| _ { s - 1 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v _ { n } - \partial _ { z } v _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \left\| \frac { \partial _ { x } ^ { s } v _ { n } } { \sqrt { \partial _ { z } v _ { n } } } \right\| ^ { p - 2 } \frac 1 2 \int \frac { | \partial _ { x } ^ { s } v _ { n } | ^ { 2 } } { | \partial _ { z } v _ { n } | ^ { 2 } } \big ( v _ { n } \partial _ { x } v _ { n } - \partial _ { x } u _ { n } \partial _ { z } v _ { n } - \frac 1 n \partial _ { z } \Delta v _ { n } \big ) d x d z \Big | } \\ { \leq } & { C _ { p , \kappa } \theta _ { \rho } ( \| u _ { n } \| _ { s - 1 } ) \left\| \frac { \partial _ { x } ^ { s } v _ { n } } { \sqrt { \partial _ { z } v _ { n } } } \right\| ^ { p } ( 1 + \| v _ { n } \| _ { W ^ { 3 , \infty } } ^ { 2 } ) } \\ { \leq } & { C _ { p , \rho , \kappa } \left\| \frac { \partial _ { x } ^ { s } v _ { n } } { \sqrt { \partial _ { z } v _ { n } } } \right\| ^ { p } \leq C _ { p , \rho , \kappa } \| v _ { n } \| _ { \widetilde H ^ { s } } ^ { p } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \sum _ { p = 1 } ^ { P _ { k } ^ { ( i ) } } \left\{ \frac { - \kappa ^ { ( i ) } } { \varepsilon _ { 0 } c _ { p , k } ^ { ( i ) } } \partial _ { t } \tilde { Q } _ { p , k } ^ { ( i ) } \partial _ { t } ( \mathrm { d } _ { \rho } Q _ { p , k } ^ { ( i ) } ) + \frac { \kappa ^ { ( i ) } a _ { p , k } ^ { ( i ) } } { \varepsilon _ { 0 } c _ { p , k } ^ { ( i ) } } \partial _ { t } \tilde { Q } _ { p , k } ^ { ( i ) } ( \mathrm { d } _ { \rho } Q _ { p , k } ^ { ( i ) } ) + \mathrm { c . c . } \right\} } \\ { + \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \sum _ { p = 1 } ^ { P _ { k } ^ { ( i ) } } 2 \kappa ^ { ( i ) } \Re \left\{ \partial _ { t } \tilde { Q } _ { p , k } ^ { ( i ) } \right\} ( \mathrm { d } _ { \rho } E _ { k } ) } & { = 0 , } \end{array}
\lambda _ { j } ^ { ( k + 1 ) } = \frac { \lambda _ { j } ^ { ( k ) } } { \sum _ { i \in \mathcal { I } } { n _ { i } a _ { i } \chi _ { i j } } } \sum _ { \epsilon \in \mathcal { E } } { \frac { n _ { i _ { \epsilon } } \chi _ { ( i t ) _ { \epsilon } , j } } { \sum _ { j ^ { \prime } \in \mathcal { J } _ { \epsilon } } n _ { i _ { \epsilon } } \chi _ { ( i t ) _ { \epsilon } , j ^ { \prime } } \lambda _ { j ^ { \prime } } ^ { ( k ) } + \hat { b } _ { i _ { \epsilon } } ^ { * } } } .
\begin{array} { r l } & { \left. { n } _ { \mathrm { i n d } } ^ { ( 2 l ) } ( \boldsymbol { x } ) \right| _ { \boldsymbol { X } , A } = \sum _ { m = 1 } ^ { l } \left. { n } _ { \mathrm { i n d } } ^ { ( 2 l ) } ( 2 m \boldsymbol { X } ) \right| _ { A } \delta _ { \boldsymbol { x } , 2 m \boldsymbol { X } } \, , } \\ & { \left. { n } _ { \mathrm { i n d } } ^ { ( 2 l - 1 ) } ( \boldsymbol { x } ) \right| _ { \boldsymbol { X } , A } = \sum _ { m = 1 } ^ { l } \left. { n } _ { \mathrm { i n d } } ^ { ( 2 l - 1 ) } [ ( 2 m - 1 ) \boldsymbol { X } ] \right| _ { A } \delta _ { \boldsymbol { x } , ( 2 m - 1 ) \boldsymbol { X } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \partial _ { t } \sigma } & { { } = - v _ { \sigma } , } & { \partial _ { t } s _ { i } t _ { i } } & { { } = - v _ { \bot } + \sigma J ^ { - 1 } \cdot \nabla _ { \! \bot } v _ { \sigma } , } \end{array}
\left( \begin{array} { c c } { R _ { \infty } - R _ { 0 } } & { 1 - R _ { \infty } R _ { 0 } } \\ { ( 1 - R _ { \infty } R _ { 1 } ) e ^ { \alpha t } } & { ( R _ { \infty } - R _ { 1 } ) e ^ { - \alpha t } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { A } \\ { B } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c } { \frac { 2 } { 1 + \beta } \bar { U } _ { 0 } } \\ { 0 } \end{array} \right)
{ { \varphi } _ { { { q } _ { y } } } } \left( x \right) = { { \varphi } _ { \mathrm { s o u r c e } } } \left( x \right) + \frac { 1 } { i \omega } \int { d \mathrm { { r } ^ { \prime } } { { G } _ { { { q } _ { y } } } } \left( x - { x } ^ { \prime } \right) \left[ - q _ { y } ^ { 2 } \sigma \left( { { x } ^ { \prime } } \right) + \frac { \partial } { \partial { x } ^ { \prime } } \sigma \left( { { x } ^ { \prime } } \right) \frac { \partial } { \partial { x } ^ { \prime } } \right] { { \varphi } _ { { { q } _ { y } } } } \left( { { x } ^ { \prime } } \right) }
\left\{ \begin{array} { l l } { N _ { R R E A } ^ { 2 } = N _ { 0 } ( \nu _ { e ^ { - } } + \nu _ { e ^ { - } \gamma } \nu _ { \gamma e ^ { - } } ) , } \\ { N _ { \gamma } ^ { 2 } = N _ { 0 } ( \nu _ { e ^ { - } } \nu _ { e ^ { - } \gamma } + \nu _ { \gamma e ^ { - } } \nu _ { e ^ { - } \gamma } ^ { 2 } ) } \end{array} \right.
B _ { 2 n } ^ { 2 } = \frac { \psi _ { 2 n } ^ { 2 } ( x _ { m i n } ) D _ { 2 n } } { \tilde { \psi } _ { 2 n } ^ { 2 } ( x _ { m i n } ) } \ \cos ^ { - 2 } \left( D _ { 2 n } \int _ { 0 } ^ { x _ { m i n } } \frac { d \xi } { \tilde { \psi } _ { 2 n } ^ { 2 } ( \xi ) } \right)
\left\langle \frac { \delta \tilde { \rho } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ; t ) } { \delta \tilde { \beta } ( x , y ) } \right\rangle _ { E } = - \frac { i } { 2 \pi \hbar } \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { - \frac { i 2 J ( \cos ( k _ { 1 } ) - \cos ( k _ { 2 } ) ) } { \hbar } ( t - \tau ) } \int _ { - \pi } ^ { \pi } d q d q ^ { \prime } \left[ \delta ( k _ { 1 } - x ) \delta ( q - y ) \delta ( q ^ { \prime } - k _ { 2 } ) - \delta ( q ^ { \prime } - x ) \delta ( k _ { 2 } - y ) \delta ( q - k _ { 1 } ) \right] \langle \tilde { \rho } ( q , q ^ { \prime } ; \tau ) \rangle _ { E } d \tau .
\begin{array} { r l } { p \left( x _ { \mathbf { j } \in \Omega } , \{ \pmb { \mathscr { G } } ^ { ( d ) } \} _ { d = 1 } ^ { D } , \tau \right) } & { = \operatorname { G a m } ( \tau | \alpha _ { 0 } , \beta _ { 0 } ) } \\ & { \cdot \prod _ { d = 1 } ^ { D } \prod _ { k = 1 } ^ { r _ { d - 1 } } \prod _ { l = 1 } ^ { r _ { d } } \left( \pmb { \mathscr { G } } _ { k , : , l } ^ { ( d ) } \bigg | \mathbf { m } _ { \pmb { \mathscr { G } } _ { k , : , l } ^ { ( d ) } } , v \mathbf { I } \right) } \\ & { \cdot \prod _ { \mathbf { j } \in \Omega } \mathcal { N } \left( x _ { \mathbf { j } } \big | \prod _ { d = 1 } ^ { D } \pmb { \mathscr { G } } _ { j _ { d } } ^ { ( d ) } , \tau ^ { - 1 } \right) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } & { K ( \mathbf { Q } , \mathbf { P } , t ) = H ( \mathbf { q } , \mathbf { p } , t ) + { \frac { \partial } { \partial t } } G _ { 1 } ( \mathbf { q } , \mathbf { Q } , t ) } \\ & { K ( \mathbf { Q } , \mathbf { P } , t ) = H ( \mathbf { q } , \mathbf { p } , t ) + { \frac { \partial } { \partial t } } G _ { 2 } ( \mathbf { q } , \mathbf { P } , t ) } \\ & { K ( \mathbf { Q } , \mathbf { P } , t ) = H ( \mathbf { q } , \mathbf { p } , t ) + { \frac { \partial } { \partial t } } G _ { 3 } ( \mathbf { p } , \mathbf { Q } , t ) } \\ & { K ( \mathbf { Q } , \mathbf { P } , t ) = H ( \mathbf { q } , \mathbf { p } , t ) + { \frac { \partial } { \partial t } } G _ { 4 } ( \mathbf { p } , \mathbf { P } , t ) } \end{array} }
f ^ { ( 5 ) } ( T ) = { \frac { 5 1 2 \pi ^ { 2 } } { ( T - { \bar { T } } ) ^ { 3 } } } \sum _ { \ell = 1 } ^ { 6 } \int \frac { d ^ { 2 } \tau } { \tau _ { 2 } ^ { \; 3 / 2 } } \bar { C } _ { \ell } ( \bar { \tau } ) \, \partial _ { \bar { \tau } } \left[ \tau _ { 2 } ^ { 2 } \partial _ { \bar { \tau } } ( \tau _ { 2 } ^ { \; 3 / 2 } \sum _ { p _ { L } , p _ { R } \in \Gamma _ { \ell } } p _ { L } ^ { 3 } { p } _ { R } \, e ^ { \pi i \tau \, | p _ { L } | ^ { 2 } } \, e ^ { - \pi i \bar { \tau } \, p _ { R } ^ { 2 } } ) \right] \, .
p ( f ) = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } { \frac { e ^ { - \lambda / 2 } ( \lambda / 2 ) ^ { k } } { B \left( { \frac { \nu _ { 2 } } { 2 } } , { \frac { \nu _ { 1 } } { 2 } } + k \right) k ! } } \left( { \frac { \nu _ { 1 } } { \nu _ { 2 } } } \right) ^ { { \frac { \nu _ { 1 } } { 2 } } + k } \left( { \frac { \nu _ { 2 } } { \nu _ { 2 } + \nu _ { 1 } f } } \right) ^ { { \frac { \nu _ { 1 } + \nu _ { 2 } } { 2 } } + k } f ^ { \nu _ { 1 } / 2 - 1 + k }
\begin{array} { r l } { \pi ( x ) F _ { g } ( x , y ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \pi ( x ) L ( x , y ) , \quad \textrm { i f } L ( x , y ) = L _ { \pi } ( x , y ) , } \\ { g ( 0 ) \pi ( x ) L _ { \pi } ( x , y ) , \quad \textrm { i f } L ( x , y ) = 0 \textrm { a n d } L _ { \pi } ( x , y ) > 0 , } \\ { g \left( \frac { L _ { \pi } ( x , y ) } { L ( x , y ) } \right) \pi ( x ) L ( x , y ) , \quad \textrm { o t h e r w i s e } , } \end{array} \right. } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \pi ( y ) L ( y , x ) , \quad \textrm { i f } L ( x , y ) = L _ { \pi } ( x , y ) , } \\ { g ( 0 ) \pi ( y ) L ( y , x ) , \quad \textrm { i f } L ( x , y ) = 0 \textrm { a n d } L _ { \pi } ( x , y ) > 0 , } \\ { g \left( \frac { L _ { \pi } ( y , x ) } { L ( y , x ) } \right) \pi ( y ) L ( y , x ) , \quad \textrm { o t h e r w i s e } , } \end{array} \right. } \\ & { = \pi ( y ) F _ { g } ( y , x ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { P \left( ( a , 1 ) , V \right) } { V ( a , 1 ) } \leq \eta } & { \iff \frac { r ^ { a - 1 } + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } p ( n ) r ^ { n } } { r ^ { a } + r } \leq \eta } \\ & { \iff \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } p ( n ) r ^ { n } - \eta r \leq r ^ { a - 1 } \left( \eta r - 1 \right) } \\ & { \iff a \geq \frac { 1 } { \ln ( r ) } \ln \left( \frac { \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } p ( n ) r ^ { n } - \eta r } { \eta r - 1 } \right) + 1 . } \end{array}
\left[ \begin{array} { l } { \phi _ { k } ^ { s _ { 1 } } } \\ { \phi _ { k } ^ { s _ { 2 } } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { h } _ { 1 } ^ { T } / | | \mathbf { h } _ { 1 } | | ^ { 2 } } \\ { \mathbf { h } _ { 2 } ^ { T } / | | \mathbf { h } _ { 2 } | | ^ { 2 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \phi _ { k } ^ { - ( M - 1 ) / 2 } } \\ { \vdots } \\ { \phi _ { k } ^ { ( M - 1 ) / 2 } } \end{array} \right]
0 < Q ^ { 2 } < \frac { 1 6 } { 3 \omega _ { 4 } ^ { 2 } } \, \biggl [ - \frac { \ell ^ { 2 } } { 3 } \left( \omega _ { 4 } M + \frac { 2 \ell ^ { 2 } } { 9 } \right) + \frac { 2 \ell } { 3 \sqrt { 3 } } \left( \omega _ { 4 } M + \frac { \ell ^ { 2 } } { 3 } \right) ^ { 3 / 2 } \biggr ] \, ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ M ~ M ~ D ~ } ^ { 2 } = } & { { } \frac { 1 } { N _ { p } ( N _ { p } - 1 ) } \sum _ { i , j \ne i } k ( z _ { \mathrm { ~ p ~ r ~ e ~ d ~ } , i } , z _ { \mathrm { ~ p ~ r ~ e ~ d ~ } , j } ) - \frac { 2 } { N _ { p } N _ { r } } \sum _ { i , j } k ( z _ { \mathrm { ~ p ~ r ~ e ~ d ~ } , i } , z _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } , j } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tilde { W } _ { 1 } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ) } & { = } & { \tilde { W } _ { 1 } ( k _ { 2 } , k _ { 1 } ) } \\ { \tilde { W } _ { 2 } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ) } & { = } & { \tilde { W } _ { 2 } ( k _ { 2 } , k _ { 1 } ) } \\ { \tilde { W } _ { 4 } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ) } & { = } & { \tilde { W } _ { 4 } ( k _ { 2 } , k _ { 1 } ) } \\ { \tilde { W } _ { 3 } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ) } & { = } & { - \tilde { W } _ { 3 } ( k _ { 2 } , k _ { 1 } ) \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { l m } } & { { } = { \frac { ( 2 l + 1 ) ( l + | m | ) ! } { 2 ^ { m } | m | ! ( l - | m | ) ! } } } \\ { g ( \gamma ) } & { { } = { \frac { 3 } { 2 \gamma } } \left( 1 + { \frac { 1 } { 2 \gamma ^ { 2 } } } \sinh ^ { - 1 } ( \gamma ) - { \frac { \sqrt { 1 + \gamma ^ { 2 } } } { 2 \gamma } } \right) } \\ { | C _ { n ^ { * } l ^ { * } } | ^ { 2 } } & { { } = { \frac { 2 ^ { 2 n ^ { * } } } { n ^ { * } \Gamma ( n ^ { * } + l ^ { * } + 1 ) \Gamma ( n ^ { * } - l ^ { * } ) } } } \end{array}
U _ { o } = \frac { U - U _ { e } } { u _ { * } } , \ V _ { o } = \frac { V U _ { e } } { u _ { * } ^ { 2 } } , \ y _ { o } = \frac { y U _ { e } } { x u _ { * } } , \ \overline { { u v } } _ { o } = \frac { \overline { { u v } } } { u _ { * } ^ { 2 } } , \ \overline { { u _ { o } ^ { 2 } } } = \frac { \overline { { u ^ { 2 } } } } { u _ { * } ^ { 2 } } , \ \overline { { v _ { o } ^ { 2 } } } = \frac { \overline { { v ^ { 2 } } } } { u _ { * } ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { F ^ { \mathrm { P W } } ( t ; k \omega ) } & { = \int _ { - ( k + 1 ) \omega } ^ { - ( k - 1 ) \omega } \tilde { F } ^ { \mathrm { P W } } ( \omega ^ { \prime } ) \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \omega ^ { \prime } t } \mathrm { d } \omega ^ { \prime } } \\ & { + \int _ { ( k - 1 ) \omega } ^ { ( k + 1 ) \omega } \tilde { F } ^ { \mathrm { P W } } ( \omega ^ { \prime } ) \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \omega ^ { \prime } t } \mathrm { d } \omega ^ { \prime } , } \end{array}
v ^ { \mathrm { ~ L ~ } } ( f ^ { \mathrm { ~ L ~ } } t , r / R _ { \mathrm { ~ b ~ } } ) = v _ { 0 } ^ { \mathrm { ~ L ~ } } ( \xi _ { R } , \xi _ { f } ) g ( f ^ { \mathrm { ~ L ~ } } t , r / R _ { \mathrm { ~ b ~ } } ) ,
\begin{array} { r l } { Q _ { n } ( \frac { i \Gamma + \Delta } { \hbar \omega } , } & { \frac { U _ { \mathrm { p } } } { \hbar \omega } ) = 2 i ^ { n } \exp \{ i [ q _ { 1 / 4 } ( n , \frac { i \Gamma + \Delta } { \hbar \omega } ) ( \frac { \hbar \omega } { U _ { \mathrm { p } } } ) ^ { 1 / 4 } } \\ & { + q _ { 3 / 4 } ( n , \frac { i \Gamma + \Delta } { \hbar \omega } ) ( \frac { \hbar \omega } { U _ { \mathrm { p } } } ) ^ { 3 / 4 } ] \} } \\ & { ( \frac { U _ { \mathrm { p } } } { \hbar \omega } ) ^ { \frac { D - 2 } { 8 } } \frac { \exp [ - i \arg [ q _ { 0 } ( n , \frac { i \Gamma + \Delta } { \hbar \omega } ) ] / 2 ] } { \sqrt { | q _ { 0 } ( n , \frac { i \Gamma + \Delta } { \hbar \omega } ) | } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| y _ { 2 } - y _ { 1 } \| _ { 2 } = \| \varphi ( x _ { 2 } ) - \varphi ( x _ { 1 } ) \| _ { 2 } \geq \| x _ { 2 } - x _ { 1 } \| _ { 2 } - \| f ( x _ { 2 } ) - f ( x _ { 1 } ) \| _ { 2 } \geq ( 1 - c ) \| x _ { 2 } - x _ { 1 } \| _ { 2 } , } \\ & { \| \varphi ^ { - 1 } ( y _ { 2 } ) - \varphi ^ { - 1 } ( y _ { 1 } ) \| _ { 2 } = \| x _ { 2 } - x _ { 1 } \| _ { 2 } \leq ( 1 - c ) ^ { - 1 } \| y _ { 2 } - y _ { 1 } \| _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { - \infty } ^ { \infty } x ^ { 2 n } e ^ { - \alpha x ^ { 2 } } \, d x } & { { } = \left( - 1 \right) ^ { n } \int _ { - \infty } ^ { \infty } { \frac { \partial ^ { n } } { \partial \alpha ^ { n } } } e ^ { - \alpha x ^ { 2 } } \, d x = \left( - 1 \right) ^ { n } { \frac { \partial ^ { n } } { \partial \alpha ^ { n } } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } e ^ { - \alpha x ^ { 2 } } \, d x } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { v _ { z , p } ^ { \nu + 1 } - v _ { z , p } ^ { \nu } } { \Delta \tau _ { p } ^ { \nu } } + \Tilde { \mu } _ { p } \frac { B ^ { \nu + 1 } - B ^ { \nu } } { v _ { z , p } ^ { \nu + 1 / 2 } \Delta \tau _ { p } ^ { \nu } } = \frac { q _ { p } } { m _ { p } } \left( \frac { E _ { \xi } } { J _ { \xi } } \right) _ { p } ^ { \nu + 1 / 2 } , } \end{array}
\left( \rho _ { \exp _ { s } \left( \xi \left( t \right) \right) } ^ { \left( s \right) } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial } { \partial t } \exp _ { s } \left( \xi \left( t \right) \right) = U _ { \xi \left( t \right) } ^ { \left( s \right) } \left( 1 \right) \int _ { 0 } ^ { 1 } U _ { \xi \left( t \right) } ^ { \left( s \right) } \left( \tau ^ { \prime } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial \xi \left( t \right) } { \partial t } d \tau ^ { \prime } .
\left( \begin{array} { l } { x _ { N } } \\ { x _ { N } ^ { \prime } } \\ { y _ { N } } \\ { y _ { N } ^ { \prime } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l l l } { \frac { 1 } { \sqrt { \beta _ { x } } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { \frac { \alpha _ { x } } { \sqrt { \beta _ { x } } } } & { \sqrt { \beta _ { x } } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \frac { 1 } { \sqrt { \beta _ { y } } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \frac { \alpha _ { y } } { \sqrt { \beta _ { y } } } } & { \sqrt { \beta _ { y } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { x } \\ { x ^ { \prime } } \\ { y } \\ { y ^ { \prime } } \end{array} \right) ,
F _ { 1 } ^ { ( E = 0 ) } \equiv F _ { 1 } ^ { ( 0 ) } = \frac { D _ { - } ^ { ( 0 ) } \frac { j _ { \ell + 1 } ( D _ { - } ^ { ( 0 ) } ) } { j _ { \ell } ( D _ { - } ^ { ( 0 ) } ) } - \kappa _ { c } ^ { ( 0 ) } \frac { K _ { \ell + 3 / 2 } ^ { ( + ) } ( \kappa _ { c } ^ { ( 0 ) } ) } { K _ { \ell + 1 / 2 } ( \kappa _ { c } ^ { ( 0 ) } ) } } { D _ { + } ^ { ( 0 ) } \frac { j _ { \ell + 1 } ( D _ { + } ^ { ( 0 ) } ) } { j _ { \ell } ( D _ { + } ^ { ( 0 ) } ) } - \kappa _ { c } ^ { ( 0 ) } \frac { K _ { \ell + 3 / 2 } ^ { ( + ) } ( \kappa _ { c } ^ { ( 0 ) } ) } { K _ { \ell + 1 / 2 } ^ { ( + ) } ( \kappa _ { c } ^ { ( 0 ) } ) } } \; .
\begin{array} { r l } { \vec { A } ( \omega _ { a } ) } & { { } = \frac { t \vec { X } _ { a } \left( 1 + r \right) \cos \left( \frac { \omega _ { a } L } { 2 c } \right) } { 1 + 2 r \cos ( \frac { \omega _ { a } L } { c } ) + r ^ { 2 } } \, , } \\ { \vec { B } ( \omega _ { a } ) } & { { } = \frac { t \vec { X } _ { a } \left( 1 - r \right) \sin \left( \frac { \omega _ { a } L } { 2 c } \right) } { 1 + 2 r \cos ( \frac { \omega _ { a } L } { c } ) + r ^ { 2 } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { U _ { \hbar , \lambda } ( - t ) = } & { U _ { \hbar , \lambda } ( - \frac { t ( \tau _ { 0 } - 1 ) } { \tau _ { 0 } } ) \Big [ U _ { \hbar , 0 } ( - t _ { 0 } ) + \sum _ { i = 0 } ^ { 2 } \sum _ { j = \operatorname* { m i n } ( 1 , i ) } ^ { i } \sum _ { k = k _ { i j } } ^ { k _ { 0 } } \sum _ { \iota \in \mathcal { Q } _ { k , i , j } } \sum _ { \boldsymbol { x } \in \mathcal { X } _ { \neq } ^ { k - i } } \mathcal { T } ( \iota , k , \boldsymbol { x } , t _ { 0 } ; \hbar ) \Big ] } \\ & { + U _ { \hbar , \lambda } ( - \frac { t ( \tau _ { 0 } - 1 ) } { \tau _ { 0 } } ) \big [ \mathcal { R } _ { 1 } ^ { \mathrm { r e c } } ( k _ { 0 } ; \hbar ) + \sum _ { i = 0 } ^ { 2 } \sum _ { j = \operatorname* { m i n } ( 1 , i ) } ^ { i } \mathcal { R } _ { 1 , i , j } ^ { k _ { 0 } } ( N ; \hbar ) \big ] , } \end{array}
{ \tilde { V } } _ { m n } ^ { e i } = - \int { d z \int { d z { ' } \frac { 2 \pi e ^ { 2 } } { { \varepsilon } _ { 0 } } \left| z - z { ' } \right| { \varphi } _ { m } ^ { * } ( z ) } { \varphi } _ { n } ( z ) { \rho } _ { i } ( z { ' } ) } .
\begin{array} { r l } & { r ( 1 - \sqrt { \delta } ) \geq \sqrt { \delta } c \lambda _ { n } + \frac { c \lambda _ { n } } { 2 } \Rightarrow r \geq \frac { \sqrt { \delta } c \lambda _ { n } + \frac { c \lambda _ { n } } { 2 } } { 1 - \sqrt { \delta } } , } \\ & { v - \frac { 1 } { 2 \eta } \geq 0 \Rightarrow \eta \geq \frac { 1 } { 2 v } , } \\ & { \frac { c \hat { \lambda _ { 1 } } } { 2 } - \frac { \eta \gamma ^ { 2 } } { 2 } - \frac { r \delta } { 1 - \sqrt { \delta } } - \frac { \delta c \lambda _ { n } } { 1 - \sqrt { \delta } } \geq 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \widetilde { \psi } ^ { \prime } \left( \boldsymbol { x } \right) = \mathcal { R } \left( \boldsymbol { R } \right) \, \widetilde { \psi } \left( \boldsymbol { R } ^ { - 1 } \boldsymbol { x } \right) } \end{array}