harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { X _ { \mathrm { s } } } & { = \frac { 1 } { 1 + v _ { 0 } \rho _ { \mathrm { s } } n X _ { \mathrm { s } } \alpha _ { \mathrm { s s } } e ^ { - \beta \epsilon _ { \mathrm { s s } } } + v _ { 0 } \rho _ { \mathrm { p } } N _ { \mathrm { p } } X _ { \mathrm { p } } e ^ { - \beta \epsilon _ { \mathrm { s p } } } } , } \\ { X _ { \mathrm { p } } } & { = \frac { 1 } { 1 + v _ { 0 } \rho _ { \mathrm { s } } n X _ { \mathrm { s } } e ^ { - \beta \epsilon _ { \mathrm { s p } } } + v _ { 0 } \rho _ { \mathrm { p } } N _ { \mathrm { p } } X _ { \mathrm { p } } e ^ { - \beta \varepsilon _ { \mathrm { p p } } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \rho } ( S _ { N } ^ { \pm } , N \Delta t ) } & { { } = \sum _ { S _ { 0 } ^ { \pm } } \sum _ { S _ { 1 } ^ { \pm } } \cdots \sum _ { S _ { N - 1 } ^ { \pm } } \tilde { \rho } ( S _ { 0 } ^ { \pm } , 0 ) P _ { S _ { 0 } ^ { \pm } , S _ { 1 } ^ { \pm } \ldots S _ { N } ^ { \pm } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \textbf { G } _ { n w , 1 } ^ { + } = } & { { } } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } v _ { n } d v _ { n } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d v _ { t } \int _ { 0 } ^ { \infty } d I \ f ^ { e q } ( v _ { n } , v _ { t } ) } \\ { = } & { { } } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } v _ { n } d v _ { n } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d v _ { t } \ \hat { f } _ { 1 } ^ { e q } ( v _ { n } , v _ { t } ) } \\ { = } & { { } } & { ( \lambda _ { 1 1 } n _ { 1 } + \lambda _ { 2 1 } n _ { 2 } ) ^ { + } f _ { 1 1 } ^ { e q } + ( - \lambda _ { 1 1 } n _ { 1 } + \lambda _ { 2 1 } n _ { 2 } ) ^ { + } f _ { 2 1 } ^ { e q } + } \end{array}
( I \partial _ { \varphi } - G \partial _ { \theta } ) B = - \epsilon G _ { 0 } \partial _ { \theta } B _ { 1 } + \epsilon ^ { 2 } ( I _ { 2 } B _ { 0 } ^ { \prime } - G _ { 0 } \partial _ { \theta } B _ { 2 } ) + O ( \epsilon ^ { 3 } ) ,
\begin{array} { r } { N \left( \left[ \begin{array} { l } { \rho ^ { * } } \\ { \rho ^ { * } \mathbf { u } ^ { * } } \\ { \rho ^ { * } e _ { t } ^ { * } } \\ { E _ { r } ^ { * } } \\ { T ^ { * } } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { l } { \rho } \\ { \rho \mathbf { u } } \\ { \rho e _ { t } } \\ { E _ { r } } \\ { T } \end{array} \right] \right) = \left[ \begin{array} { l } { - \nabla \cdot \left( \rho ^ { * } \mathbf { u } ^ { * } \right) } \\ { - \nabla \cdot \left[ \rho ^ { * } \mathbf { u } ^ { * } \otimes \mathbf { u } ^ { * } + ( p ^ { * } + p _ { r } ^ { * } ) \mathbf { I } \right] } \\ { - \nabla \cdot \left[ ( \rho ^ { * } e _ { t } ^ { * } + p ^ { * } + p _ { r } ^ { * } ) \mathbf { u } ^ { * } \right] + p _ { r } ^ { * } \nabla \cdot \mathbf { u } ^ { * } + \sigma _ { E } ^ { * } c E _ { r } - \sigma _ { p } ^ { * } a c T ^ { 4 } } \\ { - \nabla \cdot \left( E _ { r } ^ { * } \mathbf { u } ^ { * } \right) - p _ { r } ^ { * } \nabla \cdot \mathbf { u } ^ { * } + \nabla \cdot D ^ { * } \nabla E _ { r } - \sigma _ { E } ^ { * } c E _ { r } + \sigma _ { p } ^ { * } a c T ^ { 4 } } \\ { \left[ \sigma _ { E } ^ { * } c E _ { r } - \sigma _ { p } ^ { * } a c T ^ { 4 } + \mathcal { L } _ { T } ( \rho ^ { * } , \mathbf { u } ^ { * } , e _ { t } ^ { * } ) \right] / ( \rho ^ { * } c _ { v } ^ { * } ) } \end{array} \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta ( v \circ r ) ( x ) } & { = \nabla \cdot \nabla ( v \circ r ) ( x ) } \\ & { = \nabla \cdot \left( v ^ { \prime } \circ r ( x ) \nabla r ( x ) \right) } \\ & { = \nabla r ( x ) \cdot \nabla ( v ^ { \prime } \circ r ) ( x ) + ( v ^ { \prime } \circ r ) ( x ) \Delta r ( x ) } \\ & { = v ^ { \prime \prime } \circ r ( x ) \| \nabla r ( x ) \| ^ { 2 } + v ^ { \prime } \circ r ( x ) \Delta r ( x ) } \\ & { = v ^ { \prime \prime } \circ r ( x ) + \frac { n - 1 } { r ( x ) } v ^ { \prime } \circ r ( x ) } \\ & { = v ^ { \prime \prime } ( r ( x ) ) + \frac { n - 1 } { r ( x ) } v ^ { \prime } ( r ( x ) ) } \end{array}
Q ^ { \alpha \beta } = \rho v ^ { \alpha } v ^ { \beta } + 2 \eta v ^ { \alpha } \epsilon _ { \mu } ^ { \beta } \nabla ^ { \mu } \sigma + \eta ^ { 2 } \frac { 1 } { \rho } \epsilon _ { \mu } ^ { \alpha } \epsilon _ { \nu } ^ { \beta } \nabla ^ { \mu } \sigma \nabla ^ { \nu } \sigma
\begin{array} { r l r } { \dot { S } } & { = } & { S _ { \mathrm { e x t } } ( \frac { T } { n _ { T } } ) ^ { \alpha } - \phi ( n _ { T } + n _ { X } ) S \frac { X } { n _ { X } } - \mu S , } \\ { \dot { T } } & { = } & { \phi _ { S } n _ { T } v \frac { \phi _ { S } / n _ { X } } { \phi _ { S } v + \mu } S X - \phi T X + \phi n _ { T } v \frac { \phi / n _ { X } } { \phi v + \mu } X ^ { 2 } - \mu T , } \\ { \dot { X } } & { = } & { \frac { n _ { X } \phi _ { S } v - ( n _ { T } + n _ { X } ) \mu } { \phi _ { S } v + \mu } \phi _ { S } S \frac { X } { n _ { X } } + \frac { \phi v - \mu } { \phi v + \mu } \phi T X - \phi \frac { 2 ( n _ { T } + n _ { X } ) \mu + n _ { T } v \phi } { \phi v + \mu } X ^ { 2 } / n _ { X } - \mu X . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal { C } _ { n } ^ { - 1 } \left( \frac { f } { g } \right) T _ { n } ^ { - 1 } ( g ) T _ { n } ( f ) T _ { n } ( \bar { f } ) T _ { n } ^ { - 1 } ( \bar { g } ) \mathcal { C } _ { n } ^ { - 1 } \left( \frac { \bar { f } } { \bar { g } } \right) = } \\ & { \mathcal { C } _ { n } ^ { - 1 } \left( \frac { f } { g } \right) T _ { n } ^ { - 1 } ( g ) \left[ T _ { n } ( g ) T _ { n } \left( \frac { f } { g } \right) + L _ { 1 } \right] } \\ & { \phantom { \mathcal { C } _ { n } ^ { - 1 } \left( \frac { f } { g } \right) T _ { n } ^ { - 1 } ( g ) } \left[ T _ { n } \left( \frac { \bar { f } } { \bar { g } } \right) T _ { n } ( \bar { g } ) + L _ { 1 } ^ { H } \right] T _ { n } ^ { - 1 } ( \bar { g } ) \mathcal { C } _ { n } ^ { - 1 } \left( \frac { \bar { f } } { \bar { g } } \right) = } \\ & { \left[ \mathcal { C } _ { n } ^ { - 1 } \left( \frac { f } { g } \right) T _ { n } \left( \frac { f } { g } \right) + L _ { 2 } \right] \left[ T _ { n } \left( \frac { \bar { f } } { \bar { g } } \right) \mathcal { C } _ { n } ^ { - 1 } \left( \frac { \bar { f } } { \bar { g } } \right) + L _ { 2 } ^ { H } \right] = } \\ & { \mathcal { C } _ { n } ^ { - 1 } \left( \frac { f } { g } \right) T _ { n } \left( \frac { f } { g } \right) T _ { n } \left( \frac { \bar { f } } { \bar { g } } \right) \mathcal { C } _ { n } ^ { - 1 } \left( \frac { \bar { f } } { \bar { g } } \right) + L _ { 3 } . } \end{array}
- \Omega ^ { \prime \prime } ( \rho ) - \frac { 1 } { \rho } \, \Omega ^ { \prime } ( \rho ) + \frac { n ^ { 2 } } { \rho ^ { 2 } } \, \Omega ( \rho ) \, = \, \omega ( \rho ) ~ , \qquad \rho > 0 ~ .
| f _ { P } ( x _ { \mathrm { i n } } ^ { \prime } ; x _ { \mathrm { o u t } } ^ { \prime } ) - f _ { P } ( x _ { \mathrm { i n } } ^ { \prime } ; x _ { \mathrm { o u t } } ) | \leq | \alpha _ { P } | \frac { \epsilon } { 2 } .
\begin{array} { r l } { \langle \eta _ { T } ^ { H } , g \rangle } & { = \langle \eta _ { 0 } ^ { H } , f _ { 0 } \rangle + \lambda _ { H } \int _ { 0 } ^ { T } \langle \eta _ { t } ^ { H } , \mathbf { s } \mathbf { i } \left( f _ { t } ^ { \mathcal { I } } - f _ { t } \right) \rangle d t } \\ & { + \lambda _ { W } \int _ { 0 } ^ { T } \frac { 1 } { s _ { W } ( t ) } \langle \eta _ { t } ^ { W } , \mathbf { s } \mathbf { i } \rangle \langle \eta _ { t } ^ { H } , \mathbf { s } \left( f _ { t } ^ { \mathcal { I } } - f _ { t } \right) \rangle d t + \beta _ { G } \int _ { 0 } ^ { T } \frac { i _ { H } ( t ) } { n _ { H } } \langle \eta _ { t } ^ { H } , \mathbf { s } \left( f _ { t } ^ { \mathcal { I } } - f _ { t } \right) \rangle d t . } \end{array}
f ( \nu ) = \int _ { - \infty } ^ { + \infty } { { \frac { \exp { [ - ( t - \nu _ { \circ } ) ^ { 2 } / { \Gamma _ { \mathrm { G } } ^ { \mathrm { 2 } } } \ln 2 ] } } { ( t - \nu ) ^ { 2 } + { \Gamma _ { \mathrm { L } } ^ { \mathrm { 2 } } } } } } d t
\Delta b = \frac { N _ { 0 } ^ { 2 } } { 1 + \alpha } \frac { \delta _ { \mathrm { o v } } ^ { 1 + \alpha } } { L ^ { \alpha } } \, \, \Rightarrow \, \, \frac { 1 + \alpha } { 2 } \frac { u _ { \mathrm { c z } } ^ { 2 } } { L ^ { 2 } N _ { 0 } ^ { 2 } } \sim \left( \frac { \delta _ { \mathrm { o v } } } { L } \right) ^ { 2 + \alpha } \, \, \Rightarrow \, \, \left( \frac { \delta _ { \mathrm { o v } } } { L } \right) \sim \ensuremath { \mathcal { S } } _ { \mathrm { d y n } } ^ { - 1 / ( 2 + \alpha ) } .
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { 4 } \left( { h } _ { i , j } ^ { 2 } + { h } _ { i + m , j } ^ { 2 } \right) - \frac { 1 } { 2 } h _ { i , j } ^ { 2 } = \frac { 1 } { 4 } ( h _ { i , j } + h _ { i + m , j } ) ( h _ { i + m , j } - h _ { i , j } ) , } \\ & { \frac { 1 } { 2 } \left( ( h b ) _ { i , j } + ( h b ) _ { i + m , j } \right) - \frac { 1 } { 4 } \left( { h } _ { i , j } + { h } _ { i + m , j } \right) \left( { b } _ { i , j } + { b } _ { i + m , j } \right) + \frac { 1 } { 2 } h _ { i , j } \left( { b } _ { i , j } + { b } _ { i + m , j } \right) - ( h b ) _ { i , j } } \\ & { = \frac { 1 } { 4 } \left( h _ { i , j } + h _ { i + m , j } \right) \left( b _ { i + m , j } - b _ { i , j } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \hat { f } _ { 0 , i + 1 / 2 } = \frac { 1 } { 6 } \left( - f _ { i - 1 } + 5 f _ { i } + 2 f _ { i + 1 } \right) , } \\ & { \hat { f } _ { 1 , i + 1 / 2 } = \frac { 1 } { 6 } \left( 2 f _ { i } + 5 f _ { i + 1 } - f _ { i + 2 } \right) , } \\ & { \hat { f } _ { 2 , i + 1 / 2 } = \frac { 1 } { 6 } \left( 2 f _ { i - 2 } - 7 f _ { i - 1 } + 1 1 f _ { i } \right) . } \end{array}
\left( \left\langle i \left| H ^ { \mathrm { e f f } } \right| h \right\rangle = 0 \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } N _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } < i , h \leqslant N _ { \mathrm { ~ t ~ o ~ t ~ a ~ l ~ } } \right)
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } _ { \nu _ { N } } \left[ \| f - m _ { N } ^ { f } \| _ { H _ { \mu ^ { y } } ^ { \beta } ( U ) } \mathrm { I } _ { \{ h _ { D _ { N } , B _ { i } } \, \leq \, h _ { 0 } ( B _ { i } ) , 1 \leq i \leq n \} } \right] } \\ & { \leq C _ { \mathrm { T h m } } ^ { \prime } \left( \left( \operatorname* { s u p } _ { u \in U _ { N } } \pi ^ { y } ( u ) \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } + \sum _ { i = 1 } ^ { r } \left( \operatorname* { s u p } _ { u \in B _ { i } } \pi ^ { y } ( u ) \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \, \mathbb { E } _ { \nu _ { N } } \left[ h _ { D _ { N } , B _ { i } } ^ { \tau - \beta } \right] \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { x } _ { n + 1 } } & { { } = x _ { n } + K _ { n } ( \hat { y } _ { n } - H _ { n } \hat { x } _ { n } ) , } \\ { K _ { n } } & { { } = P _ { n } { H _ { n } } ^ { T } [ ( H _ { n } P _ { n } { H _ { n } } ^ { T } ) + R _ { n } ] ^ { - 1 } , } \\ { P _ { n + 1 } } & { { } = [ I - K _ { n } H _ { n } ] P _ { n } , } \end{array}
W _ { \alpha \beta } ( \mathbf { k } ) \equiv \sum _ { \mathbf { m } } ( 1 - \delta _ { \alpha \beta } \delta _ { \mathbf { m 0 } } ) S _ { \mathbf { 0 } , \alpha \leftarrow \mathbf { m } , \beta } e ^ { i \mathbf { k } \cdot \mathbf { R _ { m } } }
\varphi _ { \mathrm { i n s t } } ^ { x _ { \mathrm { i n s t } } ( \cdot ) } ( 0 , L ) = \int _ { x ( \cdot ) \in B ( 0 , L ) } \mathrm { e } ^ { \int _ { 0 } ^ { L } \left\lbrack \frac { i m } { 2 } \dot { x } ( \tau ) ^ { 2 } + g \eta \vert S _ { \mathrm { i n s t } } ^ { x _ { \mathrm { i n s t } } ( \cdot ) } ( x ( \tau ) , \tau , 1 ) \vert ^ { 2 } \right\rbrack \, d \tau } \mathscr { D } x ,
J _ { M } = e ^ { i \eta _ { M } / 2 } \left( \begin{array} { l l } { c o s ^ { 2 } \theta _ { M } + e ^ { i \eta _ { M } } s i n ^ { 2 } \theta _ { M } } & { ( 1 - e ^ { i \eta _ { M } } ) c o s \theta _ { M } s i n \theta _ { M } } \\ { ( 1 - e ^ { i \eta _ { M } } ) c o s \theta _ { M } s i n \theta _ { M } } & { s i n ^ { 2 } \theta _ { M } + e ^ { i \eta _ { M } } c o s ^ { 2 } \theta _ { M } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { P E } _ { \mathrm { N C o M } } } & { { } = \eta _ { \mathrm { i n } , a } \gamma \frac { S _ { \mathrm { i n c } , a } } { | E _ { \mathrm { i n c } , a } | ^ { 2 } } | \chi _ { a } | ^ { 2 } \frac { 2 } { \epsilon _ { 0 } \epsilon V _ { a } } } \\ { \mathrm { L D O S C } _ { \mathrm { N C o M } } } & { { } = \eta _ { \mathrm { o u t } , a } \gamma \frac { 3 \pi c ^ { 3 } } { 2 n ^ { 3 } \omega ^ { 2 } } \frac { | \chi _ { a } | ^ { 2 } } { V _ { a } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { m ( s _ { 1 } , s _ { 1 } ) } & { { } = 0 , \quad \left. { \frac { d m ( s _ { 1 } , s _ { 2 } ) } { d s _ { 2 } } } \right| _ { s _ { 2 } = s _ { 1 } } = 1 , } \\ { M ( s _ { 1 } , s _ { 1 } ) } & { { } = 1 , \quad \left. { \frac { d M ( s _ { 1 } , s _ { 2 } ) } { d s _ { 2 } } } \right| _ { s _ { 2 } = s _ { 1 } } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial ( \phi ^ { l } \rho ^ { l } ) } { \partial t } + \nabla \cdot ( \phi ^ { l } \rho ^ { l } \mathbf { u } ) } & { { } = } & { 0 } \\ { \frac { \partial ( \rho \mathbf { u } ) } { \partial t } + \nabla \cdot ( \rho \mathbf { u } \otimes \mathbf { u } ) } & { { } = } & { \nabla \cdot \boldsymbol \sigma } \\ { \frac { \partial ( \rho E ) } { \partial t } + \nabla \cdot ( \rho E \mathbf { u } ) } & { { } = } & { \nabla \cdot ( \boldsymbol \sigma \mathbf { u } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda _ { 1 } ^ { \pm } } & { = - 2 \Delta _ { 1 } \left( \frac { \rho _ { 1 } ^ { 2 } } { 1 - \rho _ { 1 } ^ { 2 } } \right) \pm \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { 1 - \rho _ { 1 } ^ { 2 } } { \rho _ { 1 } } \right) \left| \mu \right| , } \\ { \lambda _ { 2 } ^ { \pm } } & { = \pm \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { 3 \rho _ { 1 } ^ { 2 } + 1 } { \rho _ { 1 } } \right) \left| \mu \right| . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d L } { d t } } & { = } & { \frac { 1 } { \tilde { \xi } ^ { 1 / 2 } } \frac { \cosh \left( \tilde { \xi } ^ { 1 / 2 } L \right) - 1 } { \sinh \left( \tilde { \xi } ^ { 1 / 2 } L \right) } ( \sigma _ { f } + \sigma _ { b } ) - \tilde { \chi } \int _ { x _ { b } } ^ { x _ { f } } \frac { \sinh \left[ \tilde { \xi } ^ { 1 / 2 } ( x _ { f } - x ^ { \prime } ) \right] + \sinh \left[ \tilde { \xi } ^ { 1 / 2 } ( x ^ { \prime } - x _ { b } ) \right] } { \sinh \left( \tilde { \xi } ^ { 1 / 2 } L \right) } c ( x ^ { \prime } , t ) d x ^ { \prime } } \\ & { } & { + ( v _ { p } ^ { + } + v _ { p } ^ { - } ) . } \end{array}
\frac { 1 } { p _ { 3 } . p _ { 5 } \; p _ { 4 } . p _ { 5 } } = \frac { 1 } { p _ { 1 } . p _ { 5 } + p _ { 2 } . p _ { 5 } } \left( \frac { 1 } { p _ { 3 } . p _ { 5 } } + \frac { 1 } { p _ { 4 } . p _ { 5 } } \right)
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { a } _ { \mathrm { A } } } & { = \mathbf { a } _ { \mathrm { B } } + \ 2 \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } v _ { j } { \boldsymbol { \Omega } } \times \mathbf { u } _ { j } ( t ) + \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } x _ { j } { \frac { d { \boldsymbol { \Omega } } } { d t } } \times \mathbf { u } _ { j } \ + \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } x _ { j } { \boldsymbol { \Omega } } \times \left[ { \boldsymbol { \Omega } } \times \mathbf { u } _ { j } ( t ) \right] } \\ & { = \mathbf { a } _ { \mathrm { B } } + 2 { \boldsymbol { \Omega } } \times \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } v _ { j } \mathbf { u } _ { j } ( t ) + { \frac { d { \boldsymbol { \Omega } } } { d t } } \times \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } x _ { j } \mathbf { u } _ { j } + { \boldsymbol { \Omega } } \times \left[ { \boldsymbol { \Omega } } \times \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } x _ { j } \mathbf { u } _ { j } ( t ) \right] . } \end{array} }
\phi ^ { \ast } ( \mathbf { m } ) = \frac { 1 } { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } [ \nabla _ { \mathbf { m } _ { j , t } } \log \pi ( \mathbf { m } _ { j , t } ) k ( \mathbf { m } _ { j , t } , \mathbf { m } ) + \nabla _ { \mathbf { m } _ { j , t } } k ( \mathbf { m } _ { j , t } , \mathbf { m } ) ]
{ \cal L } = f _ { \pi } ^ { 2 } \mathrm { t r } \left[ \left( \hat { \alpha } _ { \mu \perp } \right) ^ { 2 } \right] + a f _ { \pi } ^ { 2 } \mathrm { t r } \left[ \left( \hat { \alpha } _ { \mu \parallel } \right) ^ { 2 } \right] - \frac { 1 } { 2 } \mathrm { t r } \left[ V _ { \mu \nu } V ^ { \mu \nu } \right] \ ,
\Rightarrow ( { \cal K } _ { 0 } { \cal J } ) ^ { - 1 } { \cal K } _ { 0 } \left( { \bf D } [ { \bf X } ] { \bf S } - { \bf X } \right) \approx \sum _ { i , j } ^ { m } { \bf V } _ { i } M _ { i j } \langle { \bf W } _ { j } , { \bf W } _ { 0 } \rangle
\sigma _ { u s } \equiv \left\{ \begin{array} { l } { \frac { 2 } { \chi _ { \parallel 1 } ^ { 2 } } ( 1 - A _ { 1 } ) , ~ \mathrm { w h e n } ~ A _ { 1 } < 1 ~ ( \mathrm { f i r e h o s e } ~ \mathrm { s t a b i l i t y } ) , } \\ { \frac { 2 } { \chi _ { \parallel 1 } ^ { 2 } } ( A _ { 1 } - 1 ) , ~ \mathrm { w h e n } ~ A _ { 1 } > 1 ~ ( \mathrm { m i r r o r } ~ \mathrm { s t a b i l i t y } ) . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { E _ { + } ( z ) } & { = } & { \exp \left( - \frac { \omega z ^ { 2 } } { 2 c L } \right) \exp \left[ i \frac { \omega } { c } z \left( 1 - \frac { c } { \omega L } \right) \right] \, , } \\ { E _ { - } ( z ) } & { = } & { \exp \left( - \frac { \omega z ^ { 2 } } { 2 c L } \right) \exp \left[ i \frac { \omega } { c } z \right] \, , } \end{array}
\delta _ { 0 } = 3 . 8 \, \mathrm { n m } \left( \frac { 5 . 9 \times 1 0 ^ { 7 } \, \mathrm { S / m } } { \sigma } \right) ^ { 1 / 2 } \left( \frac { \lambda _ { \mathrm { s o u r c e } } } { 1 0 0 0 \, \mathrm { n m } } \right) ^ { 1 / 2 } \, .
\boldsymbol { \omega } ^ { 2 } ( \mathbf { x } , 0 ) = 2 \int \frac { k ^ { 2 } J ( k ) } { \tau } d ^ { 3 } \mathbf { k } = \int \boldsymbol { \omega } _ { k } ^ { 2 } \frac { d ^ { 3 } \mathbf { k } } { k ^ { 3 } }
{ S _ { \alpha \alpha } ^ { \sigma \sigma ^ { \prime } , t h } } = \frac { 4 e ^ { 2 } } { h } \int d E f _ { \alpha } ( 1 - f _ { \alpha } ) ( M _ { \alpha } \delta _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } - R _ { \alpha \alpha } ^ { \sigma \sigma ^ { \prime } } ) .
\begin{array} { r } { \alpha ^ { 2 } \Vert \widehat { g } _ { \alpha } ^ { \prime \prime \prime } - g _ { \alpha } ^ { \prime \prime \prime } \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } ^ { 2 } \leq C _ { 1 0 } ^ { 2 } C _ { 9 } ^ { 2 } \Vert \delta g ^ { \prime \prime \prime } \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } ^ { 2 } + \frac { 4 T ^ { 7 } \ell ^ { 3 } } { 3 r _ { 0 } } C _ { 6 } ^ { 2 } \exp ( T / \rho _ { 0 } ) \Vert \delta \omega \Vert _ { H ^ { 2 } ( 0 , T ) } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { l i m } _ { \delta \to 0 } \frac { \operatorname* { d e t } ( I - ( h _ { \Omega _ { \delta } ( \tilde { \gamma } _ { 1 } ^ { \delta } [ 0 , t \wedge \tilde { \tau } _ { U } ^ { \delta } ] ) } ( z _ { i } ^ { \delta , + } ( \tilde { \gamma } _ { 1 } ^ { \delta } [ 0 , t \wedge \tilde { \tau } _ { U } ^ { \delta } ] ) ; ( x _ { 2 j } ^ { \delta } x _ { 2 j + 1 } ^ { \delta } ) ) ) _ { 1 \le i , j \le n - 1 } ) } { h _ { \Omega _ { \delta } ( \tilde { \gamma } _ { 1 } ^ { \delta } [ 0 , t \wedge \tilde { \tau } _ { U } ^ { \delta } ] ) } ( z _ { 1 } ^ { \delta , + } ( \tilde { \gamma } _ { 1 } ^ { \delta } [ 0 , t \wedge \tilde { \tau } _ { U } ^ { \delta } ] ) ; ( x _ { 2 n } ^ { \delta } x _ { 1 } ^ { \delta } ) ) \times \Pi _ { i = 2 } ^ { n - 1 } h _ { \Omega _ { \delta } } ( z _ { i } ^ { \delta , + } ; ( x _ { 2 n } ^ { \delta } x _ { 1 } ^ { \delta } ) ) } } \\ { = } & { \frac { \operatorname* { d e t } \left( \left( h _ { i j } ( t ) \right) _ { 1 \le i , j \le n - 1 } \right) } { h _ { 1 , n } ( t ) \times \Pi _ { i = 2 } ^ { n - 1 } h _ { i , n } ( 0 ) } \times \Pi _ { i = 2 } ^ { n - 1 } ( \tilde { g } _ { t \wedge \tilde { \tau } _ { U } } ^ { \prime } ( \varphi ( z _ { i , t } ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { \mathrm { C C } } ( t _ { * } ) r _ { 0 } + \langle \mathcal { H } _ { K } ( t _ { * } ) R \Phi _ { 0 } , \Phi _ { 0 } \rangle } & { { } = \mathcal { E } r _ { 0 } } \\ { \mathcal { H } _ { K } ( t _ { * } ) _ { \mathfrak { V } } R \Phi _ { 0 } } & { { } = \mathcal { E } R \Phi _ { 0 } } \end{array}
S = \frac { 1 } { N } \int \mathrm { d } ^ { 3 } \mathbf { r } n ( \mathbf { r } ) \exp \left[ - \frac { i \mathcal { E } ( \mathbf { r } ) t } { \hbar } + \frac { 4 i } { 3 } \sqrt { \frac { n ( \mathbf { r } ) a _ { 1 1 } ^ { 3 } } { \pi } } \left( \frac { a _ { 1 2 } } { a _ { 1 1 } } \right) ^ { 2 } \mathcal { R } \left( \frac { 8 \pi \hbar a _ { 1 1 } n ( \mathbf { r } ) t } { m } \right) \right] ,
\ ^ { * } ( d x ^ { \mu _ { 1 } } \wedge . . . \wedge d x ^ { \mu _ { p } } ) = \frac { \sqrt { | g | } } { ( n - p ) ! } \epsilon _ { \mu _ { p + 1 } . . . \mu _ { n } } ^ { \mu _ { 1 } . . . \mu _ { p } } d x ^ { \mu _ { p + 1 } } \wedge . . . \wedge d x ^ { \mu _ { n } }
\mathbb { P } ( X _ { n } = i _ { n } | X _ { 0 } = i _ { 0 } , \cdots , X _ { n - 1 } = i _ { n - 1 } ) \, = \mathbb { P } ( X _ { n } = i _ { n } | X _ { n - 1 } = i _ { n - 1 } ) , \forall n \geqslant 1 , i _ { 0 } , \cdots , i _ { n } \in \mathcal { S } ,
\vec { \kappa } _ { i } ( \tau ) + Q _ { i a } ( \tau ) \vec { A } _ { a } ( \tau , \vec { \eta } _ { i } ( \tau ) ) = \check { \vec { \kappa } } _ { i } ( \tau ) + \check { Q } _ { i a } ( \tau ) \check { \vec { A } } _ { a \perp } ( \tau , \vec { \eta } _ { i } ( \tau ) ) .
f ( t + \Delta t , c ; r ) = f ( t , c ; r ) + \Delta t \int _ { 0 } ^ { 1 } p ( c - c ^ { \prime } , c ^ { \prime } ) f ( t , c ^ { \prime } ; r ) W ( t , c ^ { \prime } , r ) d c ^ { \prime } - \Delta t \int _ { 0 } ^ { 1 } p ( c ^ { \prime } , c ) f ( t , c ; r ) W ( t , c , r ) d c ^ { \prime } .
\begin{array} { r l } { E [ v , \mathbf { A } ] = \operatorname* { i n f } _ { \psi } \big \{ \langle \psi | H _ { 0 } | \psi \rangle - \langle \mathbf { a } [ \psi ; \mathbf { j } ] \cdot \mathbf { A } , \rho _ { \psi } \rangle } & { { } } \\ { + \langle \mathbf { A } , \mathbf { j } \rangle + \langle v + \frac 1 2 \vert \mathbf { A } \vert ^ { 2 } , \rho _ { \psi } \rangle \big \} } & { { } . } \end{array}
\left( - { \frac { d ^ { 2 } } { d x ^ { 2 } } } + { \frac { 1 } { 4 } } x ^ { 2 } + 2 \mu _ { i } ^ { ( N ) } - N + { \frac { 1 } { 2 } } \right) u _ { i } ( x ) = 0 .
\begin{array} { r l } & { \tilde { f } _ { 1 } = d _ { 1 } u _ { 2 } ^ { * } - ( d _ { 1 } + q _ { 1 } ) u _ { 1 } ^ { * } = - r _ { 1 } u _ { 1 } ^ { * } \left( 1 - \frac { u _ { 1 } ^ { * } } { k _ { 1 } } \right) < 0 , } \\ & { \tilde { f } _ { 2 } = d _ { 1 } u _ { 3 } ^ { * } - ( d _ { 2 } + q _ { 2 } ) u _ { 2 } ^ { * } = r _ { 3 } \left( 1 - \frac { u _ { 3 } ^ { * } } { k _ { 3 } } \right) < 0 , } \\ & { \tilde { f } _ { 2 } - \tilde { f } _ { 1 } = - r _ { 2 } u _ { 2 } ^ { * } \left( 1 - \frac { u _ { 2 } ^ { * } } { k _ { 2 } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \partial _ { i } \rightarrow D _ { i } ^ { \mathrm { ( u p ) } } = \left\{ \begin{array} { l l } { D _ { + i } - \frac { 1 } { 2 } \Delta x _ { i } D _ { + i } D _ { + i } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \beta ^ { i } > 0 } \\ { D _ { - i } + \frac { 1 } { 2 } \Delta x _ { i } D _ { - i } D _ { - i } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \beta ^ { i } < 0 } \end{array} \right. . } \end{array}
\Sigma ^ { \mathrm { t r } } ( \varepsilon ) = \frac { 4 \pi } { p ^ { 2 } } \sum _ { \ell = 0 } ^ { \infty } ( \ell + 1 ) \sin ^ { 2 } ( \delta _ { \varepsilon \ell } - \delta _ { \varepsilon \ell + 1 } ) .
\begin{array} { r l } { { \boldsymbol { v } } _ { A B } ^ { * } \cdot { \boldsymbol { n } } - b _ { A B } } & { { } \geq 0 } \\ { N } & { { } \geq 0 } \\ { N ( { \boldsymbol { v } } _ { A B } ^ { * } \cdot { \boldsymbol { n } } - b _ { A B } ) } & { { } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { { L } } ( \tau ) } & { { } = \left[ D ^ { \frac { 1 } { 2 - \beta } } \right] M _ { 1 } ( \tau ) \quad \mathrm { a n d } } \\ { ( \sigma _ { L } ) ^ { 2 } ( \tau ) } & { { } = \left[ D ^ { \frac { 2 } { 2 - \beta } } \right] M _ { 2 } ( \tau ) - \left[ D ^ { \frac { 1 } { 2 - \beta } } \right] ^ { 2 } M _ { 1 } ^ { 2 } ( \tau ) \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \big \| \pi _ { \rho ^ { \prime } , \frac { \rho } { 2 } } E _ { \rho , \rho ^ { \prime } } ( s , \lambda ) \pi _ { \rho ^ { \prime } , \frac { \rho } { 2 } } ^ { * } \big \| } & { { } \; \leq \; \kappa \| [ H , D _ { 0 } ] \| + 2 \lambda \| [ ( H ^ { * } \oplus H ) , G _ { \rho } ( D ) ] \| \cdot \| H ^ { s } \| } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta _ { D } } & { { } = ( \mathbf { u } , \mathbf { D } _ { 2 } \mathbf { u } ) _ { \omega } - ( \bar { \mathbf { u } } , \bar { \mathbf { D } } _ { 2 } \bar { \mathbf { u } } ) _ { \Omega } } \end{array}