harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } & { } & { I _ { q } ( u ) \equiv \int _ { 1 } ^ { u } d u ^ { \prime } \frac { u ^ { q + 2 } - 1 } { ( 1 - u ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } } = - \frac { u _ { o b s } } { \sqrt { 1 - { u _ { o b s } ^ { 2 } } } } - \frac { i \sqrt { \pi } \Gamma \left( - \frac { q } { 2 } \right) } { \Gamma \left( - \frac { 1 } { 2 } - \frac { q } { 2 } \right) } - \frac { e ^ { - \frac { 1 } { 2 } i ( 3 + q ) \pi } \Gamma \left( - \frac { q } { 2 } \right) \Gamma \left( \frac { 3 + q } { 2 } \right) } { \sqrt { \pi } } } \\ & { + } & { \frac { e ^ { - \frac { 1 } { 2 } i ( 3 + q ) \pi } u _ { o b s } ^ { 3 + q } \ _ { 2 } F _ { 1 } \left( \frac { 3 } { 2 } , \frac { 3 + q } { 2 } , \frac { 5 + q } { 2 } , u _ { o b s } ^ { 2 } \right) \left( - i \cos \left( \frac { q \pi } { 2 } \right) + \sin \left( \frac { q \pi } { 2 } \right) \right) } { 3 + q } } \end{array}
\oint \mathbf { v } \cdot d \mathbf { x } = \oint { \boldsymbol { \omega } } \times \mathbf { x } \cdot d \mathbf { x } = \oint { \boldsymbol { \omega } } \cdot \mathbf { x } \times d \mathbf { x } = 2 \oint { \boldsymbol { \omega } } \cdot d \mathbf { A } = 2 { \boldsymbol { \omega } } \cdot \mathbf { A }
\langle f \mid g \rangle + \langle g \mid f \rangle = \langle { \hat { A } } { \hat { B } } \rangle - \langle { \hat { A } } \rangle \langle { \hat { B } } \rangle + \langle { \hat { B } } { \hat { A } } \rangle - \langle { \hat { A } } \rangle \langle { \hat { B } } \rangle = \langle \{ { \hat { A } } , { \hat { B } } \} \rangle - 2 \langle { \hat { A } } \rangle \langle { \hat { B } } \rangle .
\operatorname* { l i m } _ { \beta \to \infty } \frac { \cosh \left( \beta ( \overline { { \epsilon } } _ { k } - \mu ) \right) } { \sinh \left( \beta \delta _ { k } \right) } = \left\{ \begin{array} { l l } { \infty \qquad } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \left| \overline { { \epsilon } } _ { k } - \mu \right| > \delta _ { k } } \\ { 0 \qquad } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \left| \overline { { \epsilon } } _ { k } - \mu \right| < \delta _ { k } } \\ { 1 \qquad } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \left| \overline { { \epsilon } } _ { k } - \mu \right| = \delta _ { k } . } \end{array} \right.
{ \begin{array} { r l r l } { - i \pi ^ { 2 } } & { = \left( \int _ { R } + \int _ { M } + \int _ { N } + \int _ { r } \right) f ( z ) \, d z } \\ & { = \left( \int _ { M } + \int _ { N } \right) f ( z ) \, d z } & & { \int _ { R } , \int _ { r } { \mathrm { ~ v a n i s h } } } \\ & { = - \int _ { \infty } ^ { 0 } \left( { \frac { \log ( - x + i \varepsilon ) } { 1 + ( - x + i \varepsilon ) ^ { 2 } } } \right) ^ { 2 } \, d x - \int _ { 0 } ^ { \infty } \left( { \frac { \log ( - x - i \varepsilon ) } { 1 + ( - x - i \varepsilon ) ^ { 2 } } } \right) ^ { 2 } \, d x } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } \left( { \frac { \log ( - x + i \varepsilon ) } { 1 + ( - x + i \varepsilon ) ^ { 2 } } } \right) ^ { 2 } \, d x - \int _ { 0 } ^ { \infty } \left( { \frac { \log ( - x - i \varepsilon ) } { 1 + ( - x - i \varepsilon ) ^ { 2 } } } \right) ^ { 2 } \, d x } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } \left( { \frac { \log x + i \pi } { 1 + x ^ { 2 } } } \right) ^ { 2 } \, d x - \int _ { 0 } ^ { \infty } \left( { \frac { \log x - i \pi } { 1 + x ^ { 2 } } } \right) ^ { 2 } \, d x } & & { \varepsilon \to 0 } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { ( \log x + i \pi ) ^ { 2 } - ( \log x - i \pi ) ^ { 2 } } { \left( 1 + x ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } } \, d x } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { 4 \pi i \log x } { \left( 1 + x ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } } \, d x } \\ & { = 4 \pi i \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { \log x } { \left( 1 + x ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } } \, d x } \end{array} }
\begin{array} { r } { J ^ { \pi } ( s _ { 1 } ) - J ^ { \pi ^ { \prime } } ( s _ { 1 } ) = \mathbb { E } _ { \tau \sim \mathrm { P r } ^ { \pi ^ { \prime } } ( \tau | s _ { 1 } ) } \Big [ A ^ { \pi } ( s _ { 1 } , a _ { 1 } , \eta _ { 2 } ) + \sum _ { t = 2 } ^ { \infty } \gamma ^ { t - 1 } \hat { A } ^ { \pi _ { 2 } } ( s _ { t } , \eta _ { t } , a _ { t } , \eta _ { t + 1 } ) \Big ] . } \end{array}
\frac { \partial ( 1 - \Phi _ { v } ) \rho _ { g } \textbf { u } _ { g } } { \partial t } + \nabla \mathbf { \cdot } \left[ ( 1 - \Phi _ { v } ) \left( \rho _ { g } \textbf { u } _ { g } \textbf { u } _ { g } + \textbf { R } _ { g } \right) \right] = ( 1 - \Phi _ { v } ) \nabla \mathbf { \cdot } \left( \mathbf { \sigma } _ { g } - p _ { g } \textbf { I } \right) + \textbf { F } _ { p } ,
W ^ { V } ( \tau , Q ^ { 2 } ) = \sum _ { f } C _ { f } ^ { V } \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { d x _ { a } } { x _ { a } } } { \frac { d x _ { b } } { x _ { b } } } F _ { f / h _ { 1 } } ( x _ { a } , Q ^ { 2 } ) F _ { { \bar { f } } / h _ { 2 } } ( x _ { b } , Q ^ { 2 } ) \omega _ { f { \bar { f } } } ( \tau / x _ { a } x _ { b } , \alpha ) ,
F _ { Z } = \frac { c _ { w } ^ { 4 } } { m _ { W } ^ { 2 } ( m _ { Z } ^ { 2 } - t ) } \left( - \sum _ { f } \frac { f _ { \phi } C _ { V } ^ { f } N _ { c } Q _ { f } } { c _ { w } ^ { 2 } } F _ { f } ^ { 1 / 2 } + v _ { \phi } F _ { Z } ^ { 1 } - \frac { s _ { \phi } c _ { 2 w } } { 2 c _ { w } ^ { 2 } } F ^ { 0 } \right) ,
S ^ { c } = \frac { 1 } { 3 2 \pi ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d e _ { 0 } \left( \operatorname * { d e t } \frac { \sinh \frac { g e _ { 0 } F } { 2 } } { g F } \right) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \Phi [ x _ { c o m b } , e _ { 0 } ] e ^ { I [ x _ { c o m b } , e _ { 0 } ] } ,
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { P r } _ { \gamma _ { X _ { j } } \sim \mathcal { U } [ 0 , 1 ] } \left\{ X _ { j } = 1 | { \it d o } ( X _ { i } = 1 ) , \boldsymbol { \gamma } _ { - X _ { j } } , \varepsilon \right\} - \operatorname* { P r } _ { \gamma _ { X _ { j } } \sim \mathcal { U } [ 0 , 1 ] } \left\{ X _ { j } = 0 | { \it d o } ( X _ { i } = 0 ) , \boldsymbol { \gamma } _ { - X _ { j } } , \varepsilon \right\} } \\ & { = \operatorname* { P r } _ { \gamma _ { X _ { j } } \sim \mathcal { U } [ 0 , 1 ] } \left\{ f _ { X _ { j } } ( \boldsymbol { \it p a } _ { 1 } ( X _ { j } ) \cdot \boldsymbol { \theta } _ { X _ { j } } ^ { * } ) \geq \gamma _ { X _ { j } } + \varepsilon _ { X _ { j } } | \varepsilon _ { X _ { j } } \right\} - \operatorname* { P r } _ { \gamma _ { X _ { j } } \sim \mathcal { U } [ 0 , 1 ] } \left\{ f _ { X _ { j } } ( \boldsymbol { \it p a } _ { 0 } ( X _ { j } ) \cdot \boldsymbol { \theta } _ { X _ { j } } ^ { * } ) \geq \gamma _ { X _ { j } } + \varepsilon _ { X _ { j } } | \varepsilon _ { X _ { j } } \right\} } \\ & { = \left( f _ { X _ { j } } ( \boldsymbol { \it p a } _ { 1 } ( X _ { j } ) \cdot \boldsymbol { \theta } _ { X _ { j } } ^ { * } ) - \varepsilon _ { X _ { j } } \right) - \left( f _ { X _ { j } } ( \boldsymbol { \it p a } _ { 0 } ( X _ { j } ) \cdot \boldsymbol { \theta } _ { X _ { j } } ^ { * } ) - \varepsilon _ { X _ { j } } \right) } \\ & { \geq \kappa \theta _ { X _ { i } , X _ { j } } ^ { * } \geq \kappa \theta _ { \operatorname* { m i n } } ^ { * } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P } & { = \int _ { \cal D } \mathrm { d } ^ { 3 } { \bf r } _ { 1 } \int _ { \cal D } \mathrm { d } ^ { 3 } { \bf r } _ { 2 } \int \mathrm { d } \omega \, \overline { { \overline { { D } } } } ( { \bf r } _ { 1 } , { \bf r } _ { 2 } , \omega ) \cdot \cdot \, \overline { { \overline { { E } } } } ( { \bf r } _ { 1 } , { \bf r } _ { 2 } , \omega ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial E _ { i j } ^ { \mathrm { G S } } } { \partial t } = \check { P } _ { i j } ^ { \mathrm { G S } } - \check { \varepsilon } _ { i j } ^ { \mathrm { G S } } + \check { \Phi } _ { i j } ^ { \mathrm { G S } } + \check { D } _ { i j } ^ { \mathrm { p , G S } } + \check { D } _ { i j } ^ { \mathrm { t , G S } } + \check { D } _ { i j } ^ { \mathrm { v , G S } } - \check { \varepsilon } _ { i j } ^ { \mathrm { S G S } } + \check { D } _ { i j } ^ { \mathrm { S G S } } + \check { T } _ { i j } ^ { \mathrm { G S } } , } \end{array}
\overline { { \psi } } _ { b } \left( s ^ { \prime } \right) = A \left( s \right) ^ { 1 / 2 } \overline { { \phi } } _ { b } \left( s ^ { \prime } \right) \; \; , \; \; \overline { { \psi } } _ { b } \left( s \right) = A \left( s \right) ^ { - 1 / 2 } \overline { { F } } _ { b } \left( s \right)
J ( \vec { p } _ { 1 } ^ { \: 2 } , \vec { p } _ { 2 } ^ { \: 2 } ; ( \vec { p } _ { 1 } - \vec { p } _ { 2 } ) ^ { 2 } ) = \frac { ( \vec { p } _ { 1 } - \vec { p } _ { 2 } ) ^ { 2 } } { \pi } \int d \vec { p } \; \frac { \ln ( \vec { p } _ { 1 } ^ { \: 2 } / \vec { p } ^ { \: 2 } ) \ln ( \vec { p } _ { 2 } ^ { \: 2 } / \vec { p } ^ { \: 2 } ) } { ( \vec { p } - \vec { p } _ { 1 } ) ^ { 2 } ( \vec { p } - \vec { p } _ { 2 } ) ^ { 2 } } \; ,
\begin{array} { r l } { U ^ { * } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) } & { = \bar { U } ^ { * } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) } \\ & { = \operatorname* { m a x } _ { a } \, \mathbb { E } \bigl [ R ( x _ { 0 } , y _ { 0 } , a , \boldsymbol { \pi } ^ { * } ) + \gamma ^ { T } \, \bar { U } ^ { * } ( x _ { T } , y _ { T } ) \bigr ] } \\ & { = \operatorname* { m a x } _ { a } \, \mathbb { E } \left[ r ( x _ { 0 } , y _ { 0 } , a ) + \sum _ { t = 1 } ^ { T - 1 } \gamma ^ { t } \, r ( x _ { t } , y _ { t } , \pi _ { t } ^ { * } ) + \gamma ^ { T } \, U ^ { * } ( x _ { T } , y _ { T } ) \right] } \\ & { = \operatorname* { m a x } _ { a } \, \mathbb { E } \Bigl [ r ( x _ { 0 } , y _ { 0 } , a ) + \gamma \, \bigl ( H ^ { T - 1 } U ^ { * } \bigr ) ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) \Bigr ] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathscr { L } ( z _ { i } ) \; \le \; \operatorname* { m a x } \{ \mathscr { L } ( z _ { i j } ) , \mathscr { L } ( z _ { j } ) \} \; \in \; s _ { i j } ^ { \prime } \cup s _ { j j } } \\ & { \Longrightarrow } & { \mathscr { L } ( z _ { i } ) \; \in \; \{ \sigma \in s _ { i i } | \sigma \leq \operatorname* { m a x } ( s _ { i j } ^ { \prime } \cup s _ { j j } ) \} ; } \\ & { } & { \operatorname* { m i n } s _ { i j } ^ { \prime } \; \le \; \mathscr { L } ( z _ { i j } ) \; \le \; \operatorname* { m a x } \{ \mathscr { L } ( z _ { i } ) , \mathscr { L } ( z _ { j } ) \} , } \\ & { \Longrightarrow } & { \mathscr { L } ( z _ { i } ) \; \in \; \{ \sigma \in s _ { i i } | \operatorname* { m i n } s _ { i j } ^ { \prime } \le \operatorname* { m a x } ( \{ \sigma \} \cup s _ { j j } ) ; } \\ & { } & { \operatorname* { m i n } s _ { j j } \; \le \; \mathscr { L } ( z _ { j } ) \; \le \; \operatorname* { m a x } \{ \mathscr { L } ( z _ { i } ) , \mathscr { L } ( z _ { i j } ) \} , } \\ & { \Longrightarrow } & { \mathscr { L } ( z _ { i } ) \; \in \; \{ \sigma \in s _ { i i } | \operatorname* { m i n } s _ { j j } \le \operatorname* { m a x } ( \{ \sigma \} \cup s _ { i j } ^ { \prime } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \lVert \kappa _ { k _ { 1 } , k _ { 2 } } ^ { ( 1 , 1 ) } ( \gamma ) \lVert _ { \mathcal { H } ^ { ( 1 , 1 ) } } ^ { 2 } = \mathbb { E } k _ { 1 } ( X , Y ) k _ { 2 } ( X , Y ) + \mathbb { E } k _ { 1 } ( X , Y ) k _ { 2 } ( X ^ { \prime } , Y ^ { \prime } ) - 2 \mathbb { E } k _ { 1 } ( X , Y ) k _ { 2 } ( X ^ { \prime } , Y ) , } \end{array}
G ^ { ( H ) } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } , x _ { 4 } ) = \langle { \cal C } ^ { 1 1 } ( x _ { 1 } ) { \cal C } _ { 1 1 } ^ { \dagger } ( x _ { 2 } ) { \cal C } ^ { 2 2 } ( x _ { 3 } ) { \cal C } _ { 2 2 } ^ { \dagger } ( x _ { 4 } ) \rangle \;
H ( A ) = \sum _ { w _ { i } > 0 } w _ { i } h ( a _ { i } ) = \sum _ { w _ { i } > 0 } w _ { i } \log _ { 2 } { \frac { 1 } { w _ { i } } } = - \sum _ { w _ { i } > 0 } w _ { i } \log _ { 2 } { w _ { i } } .
\begin{array} { r l } & { v _ { 4 k - 2 - 2 i , 2 k - 2 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 1 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 - 2 i , 2 k - 4 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 3 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 - 2 i , 2 k - 6 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 5 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 - 2 i , 2 k - 2 + 6 i } ^ { B , i } \otimes v _ { 1 , 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \Im m _ { 1 } \left\langle { A _ { 1 } ( \Im G _ { 2 } ^ { t } - \Im m _ { 2 } I ) A _ { 2 } } \right\rangle | } & { \leq \rho _ { 1 } | \left\langle { \Im G _ { 2 } ^ { t } - \Im m _ { 2 } I } \right\rangle \left\langle { A _ { 2 } A _ { 1 } } \right\rangle | + \rho _ { 1 } | \left\langle { \Im G _ { 2 } ^ { t } ( A _ { 2 } A _ { 1 } ) ^ { \circ } } \right\rangle | } \\ & { \prec \frac { \rho _ { 1 } \rho _ { 2 } } { L } + \rho _ { 1 } \rho _ { 2 } \left( \frac { \Lambda _ { k } } { \sqrt { N L } } + \frac { \Lambda _ { k + 3 } } { N L } \right) \, . } \end{array}
| r ^ { \lambda _ { 1 } } U | _ { p , S } ( u , { \underline { { u } } } ) \lesssim | r ^ { \lambda _ { 1 } } U | _ { p , S } ( u , { \underline { { u } } } _ { * } ) + \int _ { { \underline { { u } } } } ^ { { \underline { { u } } } _ { * } } | r ^ { \lambda _ { 1 } } F | _ { p , S } ( u , { \underline { { u } } } ^ { \prime } ) d { \underline { { u } } } ^ { \prime } .
\begin{array} { r l } { S } & { { } \simeq 5 . 8 6 \times 1 0 ^ { 3 3 } \, \mathrm { k g \, m } ^ { 2 } \, \mathrm { s } ^ { - 1 } , } \\ { \delta S } & { { } \simeq 7 . 3 \times 1 0 ^ { 3 0 } \, \mathrm { k g \, m } ^ { 2 } \, \mathrm { s } ^ { - 1 } , } \end{array}
\left\langle \hat { f } _ { i } ( \mathbf { k } , \omega ) \hat { f } _ { j } ( \mathbf { k } ^ { \prime } , \omega ^ { \prime } ) \right\rangle = \left[ \frac { D _ { 0 } } { k ^ { 3 } } P _ { i j } ( \mathbf { k } ) + \mathrm { i } \frac { D _ { 1 } } { k ^ { 5 } } \epsilon _ { i j k } k _ { k } \right] \delta ( \mathbf { k } + \mathbf { k } ^ { \prime } ) \delta ( \omega + \omega ^ { \prime } ) ,
\begin{array} { r } { A ^ { \mathcal { Y } } ( \mathcal { U } ^ { \mathcal { Y } } , \mathcal { V } ^ { \mathcal { Y } } ) = d _ { \beta } \big ( f , \mathrm { t r _ { 0 } } { \mathcal { V } ^ { \mathcal { Y } } } \big ) _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } \quad \mathrm { f o r ~ a l l ~ } \mathcal { V } ^ { \mathcal { Y } } \in H _ { \rho } ^ { 1 } ( y ^ { \alpha } , \mathbb { R } ^ { d } \times ( 0 , \mathcal { Y } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb P ^ { \Pi } [ G ( x ) > \epsilon ] = } \\ & { \int _ { y = x - \frac { \epsilon } { 2 } } ^ { x } n f ( y ) \left( 1 - \int _ { z = y } ^ { y + \epsilon } f ( z ) \, d z \right) ^ { n - 1 } \, d y } \\ & { + \int _ { y = x } ^ { x + \frac { \epsilon } { 2 } } n f ( y ) \left( 1 - \int _ { z = y - \epsilon } ^ { y } f ( z ) \, d z \right) ^ { n - 1 } \, d y } \\ & { \mathrm + \left( 1 - \int _ { y = x - \frac { \epsilon } { 2 } } ^ { x + \frac { \epsilon } { 2 } } f ( y ) \, d y \right) ^ { n } + R _ { n } . } \end{array}
D ( k ) = 2 \pi k \int _ { 0 , k _ { 1 } \ll k } ^ { + \infty } n _ { k _ { 1 } } ^ { 2 } k _ { 1 } ^ { 9 / 2 } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } | T _ { \vec { k } _ { 1 } \vec { k } } ^ { \vec { k } _ { 3 } \vec { k } } | ^ { 2 } ( \cos \beta - \cos \alpha ) ^ { 2 } \mathrm d \alpha \mathrm d \beta \mathrm d k _ { 1 }
{ \begin{array} { r l } { \int _ { a } ^ { x } { \frac { f ^ { ( k + 1 ) } ( t ) } { k ! } } ( x - t ) ^ { k } \, d t = } & { - \left[ { \frac { f ^ { ( k + 1 ) } ( t ) } { ( k + 1 ) k ! } } ( x - t ) ^ { k + 1 } \right] _ { a } ^ { x } + \int _ { a } ^ { x } { \frac { f ^ { ( k + 2 ) } ( t ) } { ( k + 1 ) k ! } } ( x - t ) ^ { k + 1 } \, d t } \\ { = } & { \ { \frac { f ^ { ( k + 1 ) } ( a ) } { ( k + 1 ) ! } } ( x - a ) ^ { k + 1 } + \int _ { a } ^ { x } { \frac { f ^ { ( k + 2 ) } ( t ) } { ( k + 1 ) ! } } ( x - t ) ^ { k + 1 } \, d t . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \langle D _ { \beta } Q _ { 1 } , Q _ { 2 } \rangle _ { L ^ { 2 } ( \Omega , \mathbb { R } ) } } & { = \langle \mathbb { D } \mathfrak { q } _ { 1 } , \mathbb { W } _ { m , n } \mathfrak { q } _ { 2 } \rangle = \mathfrak { q } _ { 1 } ^ { \top } \mathbb { D } _ { \beta } ^ { \top } \mathbb { W } _ { m , n } \mathfrak { q } _ { 2 } = \mathfrak { q } _ { 1 } ^ { \top } \mathbb { W } _ { m , n } \mathbb { W } _ { m , n } ^ { - 1 } \mathbb { D } _ { \beta } ^ { \top } \mathbb { W } _ { m , n } \mathfrak { q } _ { 2 } } \\ & { = \langle \mathbb { W } _ { m , n } ^ { \top } \mathfrak { q } _ { 1 } , \mathbb { D } _ { \beta } ^ { * } \mathfrak { q } _ { 2 } \rangle = \langle \mathfrak { q } _ { 1 } , \mathbb { W } _ { m , n } \mathbb { D } _ { \beta } ^ { * } \mathfrak { q } _ { 2 } \rangle = \langle Q _ { 1 } , D _ { \beta } ^ { * } Q _ { 2 } \rangle _ { L ^ { 2 } ( \Omega , \mathbb { R } ) } \, , } \end{array}
\begin{array} { l l } { { F _ { V L Q } ^ { \ell } = } } & { { \pm F _ { A L Q } ^ { \ell } = \frac { g _ { L Q , X } ^ { 2 } } { 3 2 \pi ^ { 2 } } N _ { c } { \displaystyle \sum _ { j , q } } { M _ { \ell q } ^ { j } } ^ { \dagger } M _ { q \ell } ^ { j } } } \\ { { } } & { { \left\{ \frac { g _ { X } ^ { q } } { 2 } - s _ { W } c _ { W } Q _ { Z } ^ { j } - \left( g _ { X } ^ { q } + 2 s _ { W } c _ { W } Q _ { Z } ^ { j } \right) ~ \frac { M ^ { 2 } - m _ { q } ^ { 2 } } { M _ { Z } ^ { 2 } } \left[ - \frac { 1 } { 2 } \ln \left( \frac { M ^ { 2 } } { m _ { q } ^ { 2 } } \right) + \bar { B _ { 0 } } ( 0 , m _ { q } ^ { 2 } , M ^ { 2 } ) \right] \right. } } \\ { { } } & { { + 2 s _ { W } c _ { W } Q _ { Z } ^ { j } \frac { M ^ { 2 } - m _ { q } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } M _ { Z } ^ { 2 } } { M _ { Z } ^ { 2 } } \left[ - \ln \left( \frac { M ^ { 2 } } { m _ { q } ^ { 2 } } \right) + \bar { B _ { 0 } } ( M _ { Z } ^ { 2 } , M ^ { 2 } , M ^ { 2 } ) \right] } } \\ { { } } & { { + g _ { X } ^ { q } \frac { M ^ { 2 } - m _ { q } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } M _ { Z } ^ { 2 } } { M _ { Z } ^ { 2 } } \bar { B _ { 0 } } ( M _ { Z } ^ { 2 } , m _ { q } ^ { 2 } , m _ { q } ^ { 2 } ) + g _ { X } ^ { \ell } \bar { B _ { 1 } } ( 0 , m _ { q } ^ { 2 } , M ^ { 2 } ) } } \\ { { } } & { { + \left[ g _ { - X } ^ { q } m _ { q } ^ { 2 } + g _ { X } ^ { q } \frac { ( M ^ { 2 } - m _ { q } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { M _ { Z } ^ { 2 } } \right] C _ { 0 } ( 0 , M _ { Z } ^ { 2 } , 0 , M ^ { 2 } , m _ { q } ^ { 2 } , m _ { q } ^ { 2 } ) } } \\ { { } } & { { \left. - 2 s _ { W } c _ { W } Q _ { Z } ^ { j } \frac { ( M ^ { 2 } - m _ { q } ^ { 2 } ) ^ { 2 } + m _ { q } ^ { 2 } M _ { Z } ^ { 2 } } { M _ { Z } ^ { 2 } } C _ { 0 } ( 0 , M _ { Z } ^ { 2 } , 0 , m _ { q } ^ { 2 } , M ^ { 2 } , M ^ { 2 } ) \right\} \; , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { S } ^ { \mathrm { c l } } ( 1 ) = } & { { } \left( \sqrt { \frac { A B } { 4 A B - C ^ { 2 } } } + \frac { 1 } { 2 } \right) \ln \left( \sqrt { \frac { A B } { 4 A B - C ^ { 2 } } } + \frac { 1 } { 2 } \right) } \\ { \tilde { S } ^ { \mathrm { c l } } ( 1 , 2 ) } & { { } = 0 \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( F _ { \Phi } \psi ) ( \mathbf { x } ) } & { { } = - \frac 1 2 \triangle \psi ( \mathbf { x } ) + V ( \mathbf { x } ) \psi ( \mathbf { x } ) + \left( \sum _ { i = 1 } ^ { N } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } w ( \mathbf { x } - \mathbf { y } ) | \varphi _ { i } ( \mathbf { y } ) | ^ { 2 } \right) \psi ( \mathbf { x } ) - \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left( \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } w ( \mathbf { x } - \mathbf { y } ) \overline { { \varphi _ { i } ( \vec { y } ) } } \psi ( \mathbf { y } ) \, \mathrm { d } \vec { y } \right) \varphi _ { i } ( \mathbf { x } ) } \end{array}
\tilde { a } ( \omega _ { i } , \mathbf { k } _ { i } ) = \frac { d t d \mathbf { x } } { \left[ 2 \pi \right] ^ { d / 2 } } \sum _ { j _ { 1 } \ldots j _ { d } } \exp \left[ i \left( \omega _ { i _ { 1 } } t _ { j _ { 1 } } - \mathbf { k } _ { \mathbf { i } } \cdot \mathbf { x } _ { \mathbf { j } } \right) \right] a ( t _ { j _ { 1 } } , \mathbf { x } _ { \mathbf { j } } )
\left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { Q } _ { \mathrm { t h } } = f _ { \mathrm { t h } } ^ { Q } ( \mathbf { X } _ { \mathrm { t h } } ) = f _ { \mathrm { t h } } ^ { Q } ( \operatorname { G A P } _ { \mathrm { i n } } \left( \mathbf { F } _ { l - 1 } \right) ) , } \\ { \mathbf { K } _ { \mathrm { t h } } = f _ { \mathrm { t h } } ^ { K } ( \mathbf { X } _ { \mathrm { t h } } ) = f _ { \mathrm { t h } } ^ { K } ( \operatorname { G A P } _ { \mathrm { i n } } \left( \mathbf { F } _ { l - 1 } \right) ) , } \\ { \mathbf { V } _ { \mathrm { t h } } = f _ { \mathrm { t h } } ^ { V } ( \mathbf { X } _ { \mathrm { t h } } ) = f _ { \mathrm { t h } } ^ { V } ( \operatorname { G A P } _ { \mathrm { i n } } \left( \mathbf { F } _ { l - 1 } \right) ) , } \end{array} \right.
\overline { { { \mathrm { \Large ~ v ~ } } } } _ { 4 } ( x ) = { \frac { 4 \pi ^ { 2 } } { g ^ { 2 } \Lambda ^ { 2 } } } x - \left( { \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } - { \frac { { \cal E } ^ { 2 } } { 3 } } \right) E _ { i } ( - x ) + { \frac { 1 } { 2 } } ( 1 - x ) { \mathrm e } ^ { - x } - { \frac { 1 } { 2 } } \ ,
\mathrm { d } S _ { r } = \left\| { \frac { \partial r { \hat { \mathbf { r } } } } { \partial \theta } } \times { \frac { \partial r { \hat { \mathbf { r } } } } { \partial \varphi } } \right\| \mathrm { d } \theta \, \mathrm { d } \varphi = r ^ { 2 } \sin \theta \, \mathrm { d } \theta \, \mathrm { d } \varphi ~ .
p ^ { \mu } T _ { \mu \nu \rho \sigma } ^ { A } ( p ) = \mp \frac { 1 } { 4 } p ^ { 2 } T _ { 1 } \ \varepsilon _ { \nu \tau } p ^ { \tau } ( p _ { \rho } p _ { \sigma } - g _ { \rho \sigma } p ^ { 2 } ) \, .
{ \frac { r _ { 1 } ( t ) - a _ { 1 } } { d r _ { 1 } ( t ) / d t } } = { \frac { r _ { 2 } ( t ) - a _ { 2 } } { d r _ { 2 } ( t ) / d t } } = \cdots = { \frac { r _ { n } ( t ) - a _ { n } } { d r _ { n } ( t ) / d t } }
\bar { M } = \frac { C } { 3 } \left( \begin{array} { c c c } { { 1 } } & { { 1 } } & { { 1 } } \\ { { 1 } } & { { 1 } } & { { 1 } } \\ { { 1 } } & { { 1 } } & { { 1 } } \end{array} \right) \, .
L _ { g h } ^ { f } ( x _ { f } ) = J _ { \psi } L _ { g h } ( x ) = J _ { \psi } < ( e ^ { \mu } \partial _ { \mu } C ) ^ { + } , e ^ { \nu } \partial _ { \nu } C > = J _ { \psi } S ( B _ { f } ) ^ { 2 } ( D _ { l } C _ { f } ) ^ { + } D _ { l } C _ { f } .
\left\langle \phi _ { \ell } ^ { 1 } \right\rangle = \left( \begin{array} { c c c } { { u _ { 1 } e ^ { i \alpha _ { 1 } } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { u _ { 2 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { v } } \end{array} \right) ~ ~ \mathrm { a n d } ~ ~ \left\langle \phi _ { \ell } ^ { 2 } \right\rangle = \left( \begin{array} { c c c } { { u _ { 3 } e ^ { i \alpha _ { 3 } } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { u _ { 4 } ~ e ^ { i \alpha _ { 4 } } } } & { { u _ { 5 } ~ e ^ { i \alpha _ { 5 } } } } \\ { { 0 } } & { { w } } & { { x ~ e ^ { i \alpha _ { x } } } } \end{array} \right)
\left. \frac { \langle \varphi _ { 4 } ^ { 2 } \rangle } { M _ { p , e f f } ^ { 2 } } \right\vert _ { t = t _ { p } } \sim C _ { 0 } ^ { 2 } \left( \frac { H ^ { 2 } } { M _ { p } ^ { 2 } } \right) \left( \frac { p } { H } \right) ^ { \frac { 3 \Delta + 8 } { \Delta + 2 } } .
\begin{array} { r l r } { \psi ( r ) } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } r ^ { 2 } + \operatorname* { s u p } _ { x : \ c \| x \| _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( 0 , \pi ) } \leq c r } \int _ { 0 } ^ { \pi } \int _ { 0 } ^ { x ( z ) } { f ( y ) d y } d z } \\ & { \leq } & { \frac { 1 } { 2 } r ^ { 2 } + \operatorname* { s u p } _ { x : \ \| x \| _ { C ( 0 , \pi ) } \leq c r } \int _ { 0 } ^ { \pi } \int _ { 0 } ^ { x ( z ) } { f ( y ) d y } d z \leq \psi _ { 2 } ( r ) , } \end{array}
\mathbf { a } = \mathbf { u } _ { \rho } \left[ - \rho \left( { \frac { \mathrm { d } \theta } { \mathrm { d } t } } \right) ^ { 2 } \right] + \mathbf { u } _ { \theta } \left[ \rho { \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } \theta } { \mathrm { d } t ^ { 2 } } } \right] = \mathbf { u } _ { \rho } \left[ - { \frac { v ^ { 2 } } { r } } \right] + \mathbf { u } _ { \theta } \left[ { \frac { \mathrm { d } v } { \mathrm { d } t } } \right]