harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \Phi ( \mathbf { r } ) } & { { } = { \frac { 1 } { 4 \pi } } \int _ { V } { \frac { \nabla ^ { \prime } \cdot \mathbf { F } ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) } { | \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } | } } \, \mathrm { d } V ^ { \prime } - { \frac { 1 } { 4 \pi } } \oint _ { S } \mathbf { \hat { n } } ^ { \prime } \cdot { \frac { \mathbf { F } ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) } { | \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } | } } \, \mathrm { d } S ^ { \prime } } \\ { \mathbf { A } ( \mathbf { r } ) } & { { } = { \frac { 1 } { 4 \pi } } \int _ { V } { \frac { \nabla ^ { \prime } \times \mathbf { F } ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) } { | \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } | } } \, \mathrm { d } V ^ { \prime } - { \frac { 1 } { 4 \pi } } \oint _ { S } \mathbf { \hat { n } } ^ { \prime } \times { \frac { \mathbf { F } ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) } { | \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } | } } \, \mathrm { d } S ^ { \prime } } \end{array}
e _ { e f f } ^ { 2 } ( Q ) = e ^ { 2 } \left\lbrace 1 + Q ^ { 2 } \left[ \frac { 1 } { M _ { \gamma } ^ { 2 } } + \frac { e ^ { 2 } } { 6 \pi ^ { 2 } M _ { \gamma } ^ { 2 } } \ln \left( \frac { Q ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } \right) - \frac { 5 1 7 e ^ { 2 } } { 6 4 0 \pi ^ { 2 } M _ { f } ^ { 2 } } \ln \left( \frac { Q ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } \right) \right] + e ^ { 2 } \left( \frac { 1 } { 1 2 \pi ^ { 2 } } \ln \left( \frac { Q ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } \right) \right) \right\rbrace
\begin{array} { r l } { \left| \phi \ast \rho _ { r } ( x ) - \phi ( x ) \right| } & { = \left| \int _ { \mathbf { R } ^ { d } } \phi ( y ) \rho _ { r } ( x - y ) \mathrm { d } y - \phi ( x ) \right| } \\ & { = \left| \int _ { \mathbf { R } ^ { d } } \phi ( y ) \rho _ { r } ( x - y ) \mathrm { d } y - \int _ { \mathbf { R } ^ { d } } \phi ( x ) \rho _ { r } ( x - y ) \mathrm { d } y \right| } \\ & { = \left| \int _ { \mathbf { R } ^ { d } } \left( \phi ( y ) - \phi ( x ) \right) \rho _ { r } ( x - y ) \mathrm { d } y \right| } \\ & { \le \int _ { \mathbf { R } ^ { d } } \left| \phi ( y ) - \phi ( x ) \right| \rho _ { r } ( x - y ) \mathrm { d } y } \\ & { \le \omega _ { \phi } ( r ) . } \end{array}
\left[ \begin{array} { l l l l l l l l l } { \mathbf { B } _ { 0 } ^ { 0 } } & { \mathbf { B } _ { 0 } ^ { 1 } } & { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { 0 } } & { \cdots } & { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { 0 } } \\ { \mathbf { C } _ { 0 } ^ { 0 } \mathbf { K } ^ { 0 } } & { \mathbf { C } _ { 0 } ^ { 1 } \mathbf { K } _ { 1 1 } ^ { 1 } } & { \mathbf { C } _ { 0 } ^ { 1 } \mathbf { K } _ { 1 2 } ^ { 1 } } & { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { 0 } } & { \cdots } & { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { 0 } } \\ { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { B } _ { 1 } ^ { 1 } } & { \mathbf { B } _ { 1 } ^ { 2 } } & { \mathbf { 0 } } & { \cdots } & { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { 0 } } \\ { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { C } _ { 1 } ^ { 1 } \mathbf { K } _ { 2 1 } ^ { 1 } } & { \mathbf { C } _ { 1 } ^ { 1 } \mathbf { K } _ { 2 2 } ^ { 1 } } & { \mathbf { C } _ { 1 } ^ { 2 } \mathbf { K } _ { 1 1 } ^ { 2 } } & { \mathbf { C } _ { 1 } ^ { 2 } \mathbf { K } _ { 1 2 } ^ { 2 } } & { \cdots } & { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { 0 } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { 0 } } & { \cdots } & { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { B } _ { n } ^ { n } } & { \mathbf { B } _ { n } ^ { n + 1 } } \\ { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { 0 } } & { \cdots } & { \mathbf { C } _ { n } ^ { n } \mathbf { K } _ { 2 1 } ^ { n } } & { \mathbf { C } _ { n } ^ { n } \mathbf { K } _ { 2 2 } ^ { n } } & { \mathbf { C } _ { n } ^ { n + 1 } \mathbf { K } ^ { n + 1 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { u } _ { 0 } ^ { 0 } } \\ { \mathbf { u } _ { 0 } ^ { 1 } } \\ { \mathbf { u } _ { 1 } ^ { 1 } } \\ { \mathbf { u } _ { 1 } ^ { 2 } } \\ { \mathbf { u } _ { 2 } ^ { 2 } } \\ { \vdots } \\ { \mathbf { u } _ { n - 1 } ^ { n } } \\ { \mathbf { u } _ { n } ^ { n } } \\ { \mathbf { u } _ { n } ^ { n + 1 } } \end{array} \right] = \mathbf { V } \mathbf { U } = \mathbf { 0 } ,
\eta ^ { j } = \operatorname* { i n f } \left\lbrace t \geq 0 : \, \| u ^ { j } ( t ) \| _ { s ^ { \prime } - 1 } \equiv \| u ^ { j } ( t ) \| _ { s } \geq \frac \rho 2 \right\rbrace \wedge \operatorname* { i n f } \left\lbrace t \geq 0 : \, \| \partial _ { z z } u ^ { j } ( t ) - \partial _ { z z } u _ { 0 } ^ { j } \| _ { L ^ { \infty } } \geq \frac \kappa 4 \right\rbrace .
s ( \Gamma ) \equiv \int ( \frac { \delta \Gamma } { \delta \varrho } \frac { \delta \Gamma } { \delta A } + B \frac { \delta \Gamma } { \delta \bar { c } } + \frac { \delta \Gamma } { \delta \sigma } \frac { \delta \Gamma } { \delta c } + \frac { \delta \Gamma } { \delta \bar { Y } } \frac { \delta \Gamma } { \delta \psi } + \frac { \delta \Gamma } { \delta \bar { \psi } } \frac { \delta \Gamma } { \delta Y } = 0
\begin{array} { r l } & { V _ { h } ( t , x , \xi ) = ( \partial _ { \xi } \psi ( p _ { \tilde { m } , h } ) ) ( x , \nabla _ { x } S _ { h } ( t , x ) ) , } \\ & { f _ { h } ( t , x , \xi ) = \frac { 1 } { 2 } t r [ \nabla _ { \xi } ^ { 2 } \psi ( p _ { \tilde { m } , h } ) ( x , \nabla _ { x } S _ { h } ) \cdot \nabla _ { x } ^ { 2 } S _ { h } ] + i q _ { 1 , h } ( x , \nabla _ { x } S _ { h } ) , } \\ & { g _ { r , h } ( t , x , \xi ) = i \sum _ { k + j + l = r + 1 , j \leq r - 1 } ( q _ { k , h } \triangleleft a _ { j , h } ) _ { l } . } \end{array}
T _ { \mu \nu } ^ { ( \sigma ) } = 8 g _ { \pi } ^ { 2 } Z _ { \pi } ^ { - 1 } f _ { 1 } ^ { a b } { \cal L } _ { 1 \mu \nu } m ^ { 2 } Q _ { 3 } ( s ) \frac { [ 2 I _ { 2 } ( s ) + ( s - 2 m _ { \pi } ^ { 2 } ) I _ { 3 } ( p _ { 3 } , - p _ { 4 } ) ] } { \left[ \frac { \hat { m } } { 4 m G } + ( 4 m ^ { 2 } - s ) I _ { 2 } ( s ) \right] } .
\begin{array} { r l } & { \check { q } ^ { P k } \left( z ^ { ( k ) } \right) \overset { d e f } { = } q ^ { P } \left( s \cdot z ^ { ( k ) } + o ^ { ( k ) } \right) = \sum _ { j = 0 } ^ { N } \tilde { q } _ { j } ^ { P } \psi _ { j } \left( s \cdot z ^ { ( k ) } + o ^ { ( k ) } \right) , } \\ & { z ^ { ( k ) } \in [ - 1 , 1 ] , \quad k = 1 , 2 , } \end{array}
{ \frac { \partial U _ { i } } { \partial t } } + { \frac { \partial U _ { i } U _ { j } } { \partial x _ { j } } } - U _ { i } { \frac { \partial U _ { j } } { \partial x _ { j } } } = - { \frac { 1 } { \rho } } { \frac { \partial P } { \partial x _ { i } } } + \nu { \frac { \partial ^ { 2 } U _ { i } } { \partial x _ { j } ^ { 2 } } } ~ ~ ; ~ i , j = 1 , 2 , 3
\begin{array} { r l } & { y \leq 2 \sum _ { i \in A _ { p } } \mathrm { l i l } ( T _ { i } ( p - 1 ) , \omega _ { 2 } ) \leq 2 \sum _ { i \in A _ { p } } \frac { 1 } { \omega } \mathrm { l i l } ( T _ { i } ( p - 1 ) , \omega _ { 1 } ) } \\ { \Longrightarrow \quad } & { \rho \cdot y \leq 2 \sum _ { i \in A _ { p } } \mathrm { l i l } ( T _ { i } ( p - 1 ) , \omega _ { 1 } ) } \\ { \Longrightarrow \quad } & { \mathcal { F } _ { p } ( \rho y , \omega _ { 1 } ) } \end{array}
U = \frac { 4 \pi } { 3 } r ^ { 3 } \biggl [ f _ { 1 } ( \tilde { \kappa } ) \frac { 1 } { 2 \rho _ { 0 } c _ { 0 } ^ { 2 } } \langle p _ { 1 \mathrm { b g } } ^ { 2 } \rangle - f _ { 2 } ( \tilde { \rho } ) \frac { 3 } { 4 } \rho _ { 0 } \langle \underline { { v } } _ { 1 \mathrm { b g } } ^ { 2 } \rangle \biggr ] ,
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { K u r t } [ X + Y ] = { \frac { 1 } { \sigma _ { X + Y } ^ { 4 } } } { \big ( } } & { \sigma _ { X } ^ { 4 } \operatorname { K u r t } [ X ] + 4 \sigma _ { X } ^ { 3 } \sigma _ { Y } \operatorname { C o k u r t } [ X , X , X , Y ] } \\ & { + 6 \sigma _ { X } ^ { 2 } \sigma _ { Y } ^ { 2 } \operatorname { C o k u r t } [ X , X , Y , Y ] } \\ & { + 4 \sigma _ { X } \sigma _ { Y } ^ { 3 } \operatorname { C o k u r t } [ X , Y , Y , Y ] + \sigma _ { Y } ^ { 4 } \operatorname { K u r t } [ Y ] { \big ) } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { \underset { \{ \mathbf { F } _ { k , \mathrm { p } } \} } { \operatorname* { m i n } } \sum _ { k = 1 } ^ { K } { \mathrm { t r } \left( \mathbf { C } _ { k } \right) } } \\ & { \mathrm { s } . \mathrm { t } . \left\| \mathbf { F } _ { k , \mathrm { p } } \right\| ^ { 2 } \leqslant p _ { k } \, \, \forall k = 1 , \dots , K } \end{array}
b ( z , t = 0 ) = \left\{ \begin{array} { l l } { N _ { \mathrm { s u r f } } ^ { 2 } \, z } & { \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \, \, z > - 4 8 \, \textrm { m } } \\ { N _ { \mathrm { m i d } } ^ { 2 } \, z } & { \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \, \, - 7 2 \, \textrm { m } > z > - 4 8 \, \textrm { m } } \\ { N _ { \mathrm { d e e p } } ^ { 2 } \, z } & { \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \, \, z < - 7 2 \, \textrm { m } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \frac { d U } { d z } } & { { } = \frac { \boldsymbol { \varsigma . } \boldsymbol { \omega } } { 1 - M _ { \mathrm { ~ a ~ } } ^ { 2 } } , } \\ { \frac { d p } { d z } } & { { } = - \rho U \frac { \boldsymbol { \varsigma . } \boldsymbol { \omega } } { 1 - M _ { \mathrm { ~ a ~ } } ^ { 2 } } , } \\ { \frac { d v } { d z } } & { { } = \frac { 1 } { \rho U } \frac { \boldsymbol { \varsigma . } \boldsymbol { \omega } } { 1 - M _ { \mathrm { ~ a ~ } } ^ { 2 } } , } \\ { \frac { d \mathbf { y } } { d z } } & { { } = \frac { \boldsymbol { \omega } } { U } , } \\ { \frac { d t _ { \mathrm { ~ m ~ } } } { d z } } & { { } = \frac { 1 } { U } , } \end{array}
K = \int d { \textbf { k } } \ Q ( k ; \tau , \tau ) - \int d { \textbf { k } } \int _ { - \infty } ^ { \tau } \! \! d \tau _ { 1 } \ G ( k , { \textbf { X } } ; \tau , \tau _ { 1 } ) \frac { D Q ( k , { \textbf { X } } ; \tau , \tau _ { 1 } ) } { D T } ,
\begin{array} { r l } { \eta \frac { \nu _ { \mathrm { L 1 } } } { d } \rho _ { \mathrm { L 1 } } \cdot n _ { \mathrm { L 1 } } ^ { - \frac { \nu _ { \mathrm { L 1 } } + d } { d } } = \lambda C _ { \mathrm { L 1 } } } & { { } \Rightarrow n _ { \mathrm { L 1 } } \propto ( \frac { \nu _ { \mathrm { L 1 } } \rho _ { \mathrm { L 1 } } } { C _ { \mathrm { L 1 } } } ) ^ { \frac { d } { \nu _ { \mathrm { L 1 } } + d } } } \\ { \eta \frac { \nu _ { \mathrm { L 2 } } } { d } \rho _ { \mathrm { L 2 } } \cdot n _ { \mathrm { L 2 } } ^ { - \frac { \nu _ { \mathrm { L 2 } } + d } { d } } = \lambda C _ { \mathrm { L 2 } } } & { { } \Rightarrow n _ { \mathrm { L 2 } } \propto ( \frac { \nu _ { \mathrm { L 2 } } \rho _ { \mathrm { L 2 } } } { C _ { \mathrm { L 2 } } } ) ^ { \frac { d } { \nu _ { \mathrm { L 2 } } + d } } } \\ { \eta \frac { \nu _ { \mathrm { H F } } } { d } n _ { \mathrm { H F } } ^ { - \frac { \nu _ { \mathrm { H F } } + d } { d } } = \lambda C _ { \mathrm { H F } } } & { { } \Rightarrow n _ { \mathrm { H F } } \propto ( \frac { \nu _ { \mathrm { H F } } } { C _ { \mathrm { H F } } } ) ^ { \frac { d } { \nu _ { \mathrm { H F } } + d } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { \tau } \mu _ { A } ( \tau ) } & { = \alpha k _ { 1 A } - k _ { 2 A } \mu _ { A } ( \tau ) - \alpha k _ { 3 } \mu _ { A } ( \tau ) \mu _ { B } ( \tau ) + ( - \alpha k _ { 3 } ) ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \tau } d \tau ^ { \prime } R _ { 0 A } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) R _ { 0 B } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) \mu _ { A } ( \tau ^ { \prime } ) \mu _ { B } ( \tau ^ { \prime } ) } \\ { \partial _ { \tau } \mu _ { B } ( \tau ) } & { = \alpha k _ { 1 B } - k _ { 2 B } \mu _ { B } ( \tau ) - \alpha k _ { 3 } \mu _ { A } ( \tau ) \mu _ { B } ( \tau ) + ( - \alpha k _ { 3 } ) ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \tau } d \tau ^ { \prime } R _ { 0 A } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) R _ { 0 B } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) \mu _ { A } ( \tau ^ { \prime } ) \mu _ { B } ( \tau ^ { \prime } ) } \\ { \partial _ { \tau } \mu _ { C } ( \tau ) } & { = \alpha k _ { 1 C } - k _ { 2 C } \mu _ { C } ( \tau ) + \alpha k _ { 3 } \mu _ { A } ( \tau ) \mu _ { B } ( \tau ) - ( \alpha k _ { 3 } ) ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \tau } d \tau ^ { \prime } R _ { 0 A } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) R _ { 0 B } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) \mu _ { A } ( \tau ^ { \prime } ) \mu _ { B } ( \tau ^ { \prime } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d \rho _ { 2 } } { d t } \bigg | _ { \rho _ { 1 \infty } = 0 } \approx - p _ { 2 1 } h _ { 2 } + x ( 1 - \rho _ { 2 } ) - q _ { 2 } h _ { 2 } = 0 } \end{array}
\widetilde { \gamma } _ { i } ^ { ( u ) } \gamma _ { j } ^ { ( u ) } \otimes \widetilde { \gamma } _ { k } ^ { ( v ) } \gamma _ { l } ^ { ( v ) } \bigotimes _ { w \in V \setminus \{ u , v \} } \mathbb { I } _ { 2 ^ { n } } ^ { ( w ) } = \widetilde { \gamma } _ { i + ( u - 1 ) n } \gamma _ { j + ( u - 1 ) n } \widetilde { \gamma } _ { k + ( v - 1 ) n } \gamma _ { l + ( v - 1 ) n } .
w _ { 2 } ( y ^ { \prime } , \tau ^ { \prime } | x ^ { \prime } ) = \left\{ \begin{array} { l } { { \frac { w _ { 0 } } { \sqrt { 2 \pi } \sigma } } e ^ { - { \frac { ( y ^ { \prime } - x ^ { \prime } - \lambda ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } } \delta ( \tau ^ { \prime } - \tau _ { 0 } - \mu y ^ { \prime } ) , \quad y ^ { \prime } > 0 , \tau ^ { \prime } > 0 \; , } \\ { 0 , \quad y ^ { \prime } < 0 \mathrm { ~ o r ~ } \tau ^ { \prime } < 0 \; . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \left| t _ { \theta } ( z ) - \tilde { t } _ { \theta } ( j ) \right| } & { \le \int _ { \mathcal X } | s _ { \theta } ( x ) | \left| \frac { q ( z | x ) } { q _ { \theta } ( z ) } - \frac { \tilde { q } ( j | x ) } { \tilde { q } _ { \theta } ( j ) } \right| p _ { \theta } ( x ) d x } \\ & { \le { \mathbb E } _ { \theta } [ | s _ { \theta } | ] \operatorname* { s u p } _ { x \in \mathcal X } \left| \frac { q ( z | x ) } { q _ { \theta } ( z ) } - \frac { \tilde { q } ( j | x ) } { q _ { \theta } ( z ) } + \frac { \tilde { q } ( j | x ) } { q _ { \theta } ( z ) } - \frac { \tilde { q } ( j | x ) } { \tilde { q } _ { \theta } ( j ) } \right| } \\ & { \le { \mathbb E } _ { \theta } [ | s _ { \theta } | ] \operatorname* { s u p } _ { x \in \mathcal X } \left( e ^ { \alpha } | q ( z | x ) - \tilde { q } ( j | x ) | + e ^ { 3 \alpha } \left| q _ { \theta } ( z ) - \tilde { q } _ { \theta } ( j ) \right| \right) } \\ & { \le 2 e ^ { 3 \alpha } { \mathbb E } _ { \theta } [ | s _ { \theta } | ] \operatorname* { s u p } _ { x \in \mathcal X } | q ( z | x ) - \tilde { q } ( j | x ) | . } \end{array}
V _ { n m } ^ { < } ( B ) = \frac { - 1 } { 2 \pi ^ { 2 } l ^ { 3 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } d \eta \int _ { 0 } ^ { 1 } d u \, \frac { u ^ { 2 } \left[ f ( u ; r ) \right] ^ { n - 2 m } \left[ g ( u ; r ) \right] ^ { m } } { \left[ ( r u + \frac { \pi } { 2 } ) ^ { 2 } + \bar { c } ^ { 2 } \right] ^ { n } } .
\begin{array} { r l } { \displaystyle - \, \nu \, \Delta \mathbf { u } + ( \nabla \mathbf { u } ) \mathbf { u } + \alpha \, \mathbf { u } + \mathtt { F } \, | \mathbf { u } | ^ { \mathrm { p } - 2 } \mathbf { u } + \nabla p } & { = \mathbf { f } \quad \, \, \mathrm { ~ i n } \quad \Omega \, , } \\ { \mathrm { d i v } ( \mathbf { u } ) } & { = 0 \quad \, \, \, \, \mathrm { i n } \quad \Omega \, , } \\ { \mathbf { u } } & { = \mathbf { u } _ { \mathrm { D } } \quad \mathrm { o n } \quad \Gamma \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { \ensuremath { \mathbf { n } } _ { 1 } ^ { \ensuremath { \mathrm { v p } } } ( x ) \! = - \! \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \! \frac { \ensuremath { \mathrm { d } } k } { \pi } \frac { \kappa } { k ^ { 2 } + \kappa ^ { 2 } } \frac { \varepsilon _ { k } + m c ^ { 2 } } { 2 m c ^ { 2 } } \left( \begin{array} { l l } { - s _ { k } ^ { 2 } f _ { k } ( x ) } & { - \ensuremath { \mathrm { i } } s _ { k } g _ { k } ( x ) } \\ { \ensuremath { \mathrm { i } } s _ { k } g _ { k } ( x ) } & { f _ { k } ( x ) } \end{array} \right) , \; \; } \end{array}
\begin{array} { l l } { \Delta E = } & { { \frac { 1 } { 2 } } \alpha _ { 0 } \left( T - T _ { 0 } \right) \left( P _ { x } ^ { 2 } + P _ { y } ^ { 2 } + P _ { z } ^ { 2 } \right) + { \frac { 1 } { 4 } } \alpha _ { 1 1 } \left( P _ { x } ^ { 4 } + P _ { y } ^ { 4 } + P _ { z } ^ { 4 } \right) } \end{array}
\mathcal { F } = \left( \begin{array} { l } { \mathcal { F } _ { y _ { 0 } } } \\ { \mathcal { F } _ { y _ { 1 } } } \\ { \mathcal { F } _ { y _ { 0 } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { \alpha x _ { 0 } [ y _ { 0 } + ( 1 - p _ { I } ) ( y _ { 1 } + y _ { 2 } ) ] / n ^ { * } } \\ { \alpha x _ { 1 } [ y _ { 0 } + ( 1 - p _ { I } ) ( y _ { 1 } + y _ { 2 } ) ] / n ^ { * } } \\ { \alpha ( 1 - p _ { S } ) x _ { 2 } [ y _ { 0 } + ( 1 - p _ { I } ) ( y _ { 1 } + y _ { 2 } ) ] / n ^ { * } } \end{array} \right) ,
R _ { A A } \equiv \frac { \psi _ { 5 } ( 0 ) | _ { u } ^ { s } } { \psi _ { 5 } ( 0 ) | _ { u } ^ { d } } = \frac { 1 } { 2 } \; \frac { m _ { s } + m _ { u } } { m _ { u } + m _ { d } } \; ( 1 + \frac { < \bar { s } s > } { < \bar { u } u > } ) \; ,
\begin{array} { r l } { \varepsilon \left( T _ { \mathfrak { p } _ { 2 } } [ T _ { p _ { 1 } } [ \mathfrak { b } _ { 1 } ] ] - \mathfrak { b } _ { 1 } \right) } & { = \varepsilon \sum _ { j _ { k } \in S } C _ { j _ { k } } ( \xi ) \sqrt { j _ { k } \zeta _ { k } } \left( e ^ { \mathrm { i } ( \mathtt { l } ( j _ { k } ) \cdot ( \varphi + \tilde { p } _ { 1 } ( \varphi ) ) + j _ { k } ( x + \mathfrak { p } _ { 2 } ( \varphi , j _ { k } ) ) ) } - e ^ { \mathrm { i } ( \mathtt { l } ( j _ { k } ) \cdot \varphi + j _ { k } x ) } \right) } \\ & { = \varepsilon \sum _ { j _ { k } \in S } C _ { j _ { k } } ( \xi ) \sqrt { j _ { k } \zeta _ { k } } e ^ { \mathrm { i } ( \mathtt { l } ( j _ { k } ) \cdot \varphi + j _ { k } x ) } \left( e ^ { \mathrm { i } ( \mathtt { l } ( j _ { k } ) \cdot ( \tilde { p } _ { 1 } ( \varphi ) ) + j _ { k } \mathfrak { p } _ { 2 } ( \varphi , j _ { k } ) ) } - 1 \right) } \\ & { = \varepsilon \sum _ { j _ { k } \in S } C _ { j _ { k } } ( \xi ) \sqrt { j _ { k } \zeta _ { k } } e ^ { \mathrm { i } ( \mathtt { l } ( j _ { k } ) \cdot \varphi + j _ { k } x ) } \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( \mathrm { i } ( \mathtt { l } ( j _ { k } ) \cdot ( \tilde { p } _ { 1 } ( \varphi ) ) + j _ { k } \mathfrak { p } _ { 2 } ( \varphi , j _ { k } ) ) \right) e ^ { t \left( \mathrm { i } ( \mathtt { l } ( j _ { k } ) \cdot ( \tilde { p } _ { 1 } ( \varphi ) ) + j _ { k } \mathfrak { p } _ { 2 } ( \varphi , j _ { k } ) ) \right) } d t } \end{array}
\Pi ^ { \mathrm { \scriptsize ~ p Q C D } } ( s ) = \frac { d } { 1 2 \pi ^ { 2 } } \sum _ { n = 0 } ^ { 3 } \left( \frac { \alpha _ { s } ( \mu ^ { 2 } ) } { \pi } \right) ^ { n } \Pi ^ { ( n ) } ( s ; \mu ^ { 2 } )
\begin{array} { r } { R _ { \mathrm { ~ f ~ } } \lesssim 2 d _ { \mathrm { ~ s ~ k ~ i ~ n ~ } } \quad \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } \quad d _ { \mathrm { ~ s ~ k ~ i ~ n ~ } } = ( \mu _ { 0 } \sigma | \omega _ { \mathrm { ~ f ~ } } - \omega _ { \mathrm { ~ r ~ } } | ) ^ { - 1 / 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { N _ { n } ( F _ { v } ) \backslash \mathrm { S p } _ { 2 n } ( F _ { v } ) } \int _ { N _ { n ^ { k - 1 } , k n } ^ { 0 } ( F _ { v } ) } l _ { T } ( \pi _ { v } ( h ) \xi _ { 0 } ) \omega _ { \psi , v } ( \alpha _ { T } ^ { k } ( u ) i _ { T } ( 1 , h ) ) \Phi _ { 0 } ( 1 _ { n } ) f _ { 0 , s } ( \eta u t ( 1 , h ) ) d u d h } \\ { = } & { l _ { T } ( \xi _ { 0 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { { 4 } } & { { } \textbf { S y s t e m A } \: \: \: \: } & { } & { { } V _ { 1 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } & { } & { { } = 0 . 5 \cdot k _ { 1 } ( x _ { 1 } - x _ { 1 } ^ { \circ } ) ^ { 2 } } \end{array}
\frac { 1 } { \varepsilon } \operatorname* { s u p } _ { \xi \in \mathbf R ^ { 3 } } \Big | ( \Phi _ { i j } * G ) ( \frac { \xi } { \varepsilon } ) \xi _ { i } \xi _ { j } \Big | \lesssim \frac { k _ { G } } { \varepsilon } \sigma _ { i j } ( \frac { \xi } { \varepsilon } ) \xi _ { i } \xi _ { j } \lesssim \frac { k _ { G } | \xi | ^ { 2 } } { \varepsilon \langle \xi / \varepsilon \rangle ^ { 3 } } \leq \frac { k _ { G } \varepsilon } { \langle \xi / \varepsilon \rangle } .
\begin{array} { r l r } { L _ { i j } = - \overline { { \rho } } \left( \, \langle { \langle u _ { i } \rangle \langle u _ { j } \rangle } \rangle - \langle u _ { i } \rangle \langle u _ { j } \rangle \, \right) } & { { } \rightarrow } & { \mathrm { ~ L ~ e ~ o ~ n ~ a ~ r ~ d ~ t ~ e ~ n ~ s ~ o ~ r ~ } } \\ { C _ { i j } = - \overline { { \rho } } \left( \, \langle { \langle u _ { i } \rangle u _ { j } ^ { \prime \prime } } \rangle + \langle { \langle u _ { j } \rangle u _ { i } ^ { \prime \prime } } \rangle \, \right) } & { { } \rightarrow } & { \mathrm { ~ C ~ l ~ a ~ r ~ c ~ k ~ t ~ e ~ n ~ s ~ o ~ r ~ } } \\ { R _ { i j } = - \overline { { \rho } } \langle { u _ { j } ^ { \prime \prime } u _ { i } ^ { \prime \prime } } \rangle } & { { } \rightarrow } & { \mathrm { ~ R ~ e ~ y ~ n ~ o ~ l ~ d ~ s ~ t ~ e ~ n ~ s ~ o ~ r ~ } } \end{array}
\Psi ( x , { \bf k _ { \bot } } ) \approx \Psi ^ { s } ( x ^ { \prime } , { \bf k _ { \bot } ^ { \prime } } ) + \int d x ^ { \prime } d ^ { 2 } k _ { \bot } ^ { \prime } K _ { g e } ( x , { \bf k _ { \bot } } ; x ^ { \prime } , { \bf k _ { \bot } ^ { \prime } } ) \Psi ^ { s } ( x ^ { \prime } , { \bf k _ { \bot } ^ { \prime } } )
s o l u t i o n ~ I V : \left\{ \begin{array} { l } { { \tan \phi _ { m } ^ { \prime } = \pm \sqrt { { \frac { \displaystyle - \cos ( 2 \theta _ { m } ^ { \prime \prime } ) } { \displaystyle \cos ( 2 \theta _ { m } ^ { \prime } ) \cos ( 2 \theta _ { m } ^ { \prime \prime } - 2 \theta _ { m } ^ { \prime } ) } } } ~ } } \\ { { \tan \phi _ { m } ^ { \prime \prime } = \pm \sqrt { { \frac { \displaystyle - \cos ( 2 \theta _ { m } ^ { \prime } ) } { \displaystyle \cos ( 2 \theta _ { m } ^ { \prime \prime } ) \cos ( 2 \theta _ { m } ^ { \prime \prime } - 2 \theta _ { m } ^ { \prime } ) } } } ~ } } \end{array} \right.
\mathcal { L } ^ { - 1 } \left[ \frac { 1 } { s ^ { \xi } } \frac { 1 } { s ^ { \alpha + \beta } + \frac { b _ { 1 } } { b _ { 2 } } } \right] \left( t \right) = \frac { 1 } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { \rho ^ { \xi } } \frac { \rho ^ { \alpha + \beta } \sin \left( \left( \alpha + \beta + \xi \right) \pi \right) + \frac { b _ { 1 } } { b _ { 2 } } \sin \left( \xi \pi \right) } { \left\vert \rho ^ { \alpha + \beta } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \left( \alpha + \beta \right) \pi } + \frac { b _ { 1 } } { b _ { 2 } } \right\vert ^ { 2 } } \mathrm { e } ^ { - \rho t } \mathrm { d } \rho .
\begin{array} { r l } { j _ { 1 } ^ { h } [ u ] : = } & { \: h \Re ( u ^ { \prime } \overline { { u } } ) - \frac { 1 } { 2 } h ^ { \prime } | u | ^ { 2 } , } \\ { j _ { 2 } ^ { y } [ u ] : = } & { \: y ( | u ^ { \prime } | ^ { 2 } + ( \omega ^ { 2 } - V ) | u | ^ { 2 } ) , } \\ { j _ { 3 } ^ { f } [ u ] : = } & { \: j _ { 1 } ^ { f ^ { \prime } } [ u ] + j _ { 2 } ^ { f } [ u ] = f ( | u ^ { \prime } | ^ { 2 } + ( \omega ^ { 2 } - V ) | u | ^ { 2 } ) + f ^ { \prime } \Re ( u ^ { \prime } \overline { { u } } ) - \frac { 1 } { 2 } f ^ { \prime \prime } | u | ^ { 2 } , } \\ { j _ { \infty } ^ { g _ { \infty } } [ u ] : = } & { \: \frac { 1 } { 2 } g _ { \infty } | u ^ { \prime } - i \omega u | ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } g _ { \infty } V | u | ^ { 2 } , } \\ { j _ { + } ^ { g _ { + } } [ u ] : = } & { \: \frac { 1 } { 2 } g _ { + } | u ^ { \prime } + i \widetilde { \omega } u | ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } g _ { + } \widetilde { V } | u | ^ { 2 } , } \\ { j ^ { T } [ u ] : = } & { \: - \omega \Re ( i u ^ { \prime } \overline { { u } } ) , } \\ { j ^ { K } [ u ] : = } & { \: - \widetilde { \omega } \Re ( i u ^ { \prime } \overline { { u } } ) . } \end{array}
a _ { \mu } ^ { \mathrm { S U G R A } } ( \theta _ { B } , \phi _ { 1 } ) = a _ { \mu } ^ { \mathrm { S U G R A } } ( 0 , 0 ) \frac { \cos \theta _ { B } } { | \cos \theta _ { B } | } Q ( \phi _ { 1 } )
i \hbar \frac { d } { d t } \left( \begin{array} { l } { \phi _ { 1 } } \\ { \phi _ { 2 } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { H _ { 1 1 } } & { H _ { 1 2 } } \\ { H _ { 2 1 } } & { H _ { 2 2 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \phi _ { 1 } } \\ { \phi _ { 2 } } \end{array} \right) \, .