harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
2 \pi \int _ { z _ { j e t } } ^ { z _ { j e t } + r _ { j e t } } q _ { \infty } \left( 1 + | \Delta \, q ( z ) | \right) d z \approx 2 \pi r _ { j e t } ^ { 2 } \frac { d z _ { j e t } } { d \tau } \quad \Rightarrow \quad r _ { j e t } \frac { d z _ { j e t } } { d \tau } \simeq 1 . 7 q _ { \infty } \, ,
\begin{array} { r } { G ( \boldsymbol { \mathbf { \rho } } _ { \mathrm { c } } ) = I _ { \mathrm { m a x } } ( \boldsymbol { \mathbf { \rho } } _ { \mathrm { c } } ) - I _ { \mathrm { m i n } } ( \boldsymbol { \mathbf { \rho } } _ { \mathrm { c } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ( r ) } & { = P ( \mathrm { S u c c e s s ~ } \cap \mathrm { ~ S u b c a s e ~ 1 } ) + P ( \mathrm { S u c c e s s ~ } \cap \mathrm { ~ S u b c a s e ~ 2 } ) + P ( \mathrm { S u c c e s s ~ } \cap \mathrm { ~ S u b c a s e ~ 3 } ) } \\ & { = \left( \frac { r - 1 } { n ( n - 1 ) } \right) \left( ( n - r + 1 ) + 2 \sum _ { i = r } ^ { n - 1 } \frac { n - i } { i - 1 } \right) } \\ & { = \left( \frac { r - 1 } { n } \right) \left( 2 \sum _ { i = r } ^ { n } \frac { 1 } { i - 1 } - \left( \frac { n - r + 1 } { n - 1 } \right) \right) } \\ & { \approx 2 \cdot \left( \frac { r - 1 } { n } \right) \sum _ { i = r } ^ { n } \frac { 1 } { i - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { ~ S ~ N ~ R ~ } ^ { 2 } = \Delta \bar { \boldsymbol { v } } ^ { \mathrm { ~ T ~ } } \boldsymbol { K } _ { \boldsymbol { v } } ^ { - 1 } \Delta \bar { \boldsymbol { v } } . } \end{array}
\sum _ { k = 1 } ^ { N } m _ { k } \mathbf { a } _ { k } \cdot { \frac { \partial \mathbf { r } _ { k } } { \partial q _ { j } } } = { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } } { \frac { \partial T } { \partial { \dot { q } } _ { j } } } - { \frac { \partial T } { \partial q _ { j } } } \, .
p - \alpha \eta - \frac { F _ { E } ^ { 2 } } { 2 } = - \frac { F _ { E } ^ { 2 } } { 1 + \alpha ^ { 2 } \beta ( \eta _ { x } ) ^ { 2 } } \Big [ \alpha ^ { 2 } \beta ( \eta _ { x } ) ^ { 2 } T _ { 1 1 } - 2 \alpha \sqrt { \beta } \eta _ { x } T _ { 1 2 } + T _ { 2 2 } \Big ] - B \alpha \beta \frac { \eta _ { x } ^ { 2 } } { ( 1 + \alpha ^ { 2 } \beta ( \eta _ { x } ) ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } } ,
\begin{array} { r l } { a } & { { } = \mu _ { 2 } / \mu _ { 1 } , } \\ { q ( \lambda ) } & { { } = \frac { ( \lambda - N \varepsilon _ { 1 } ) ( N - 1 ) } { \mu _ { 1 } } , } \\ { \alpha } & { { } = - N , } \\ { \beta } & { { } = \frac { ( N - 1 ) \varepsilon _ { 1 } } { \mu _ { 1 } } , } \\ { \gamma } & { { } = - ( N - 1 ) \left( 1 + \frac { \varepsilon _ { 2 } } { \mu _ { 2 } } \right) , } \end{array}
\lambda ( x , t ) = \frac { 3 N } { 4 \eta ^ { 3 } } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } \sigma } \int _ { x - \eta } ^ { x + \eta } e ^ { \frac { - t ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } [ \eta ^ { 2 } - ( x - t ) ^ { 2 } ] \, d t
\rho = w ^ { 0 } , \quad v _ { i } = \sqrt { 3 } w _ { i } ^ { 0 } , \quad \theta = - \sqrt { \frac { 2 } { 3 } } w ^ { 1 } , \quad \sigma _ { i j } = \sqrt { 1 5 } w _ { i j } ^ { 0 } , \quad q _ { i } = - \sqrt { \frac { 1 5 } { 2 } } w _ { i } ^ { 1 } ,
\begin{array} { r l } & { I _ { 1 } ( t ) + I _ { 2 } ( t ) \leq \mathbb { E } \left[ \left( - \frac { 1 } { 2 } \sqrt { 2 \beta ^ { - 1 } } c _ { f } e ^ { - c _ { f } | Z _ { t } ^ { \tau _ { j } } | } + K e ^ { - c _ { f } | Z _ { t } ^ { \tau _ { j } } | } | Z _ { T _ { k } } ^ { \tau _ { j } } | \right) \textbf { 1 } _ { \{ | Z _ { T _ { k } } ^ { \tau _ { j } } | \leq R , | Z _ { t } ^ { \tau _ { j } } | \leq R _ { 1 } \} } \textbf { 1 } _ { \{ t < \tau _ { j } \} } \right] } \\ & { + e ^ { - c _ { f } R _ { 1 } } \left( - \frac { 1 } { 2 } \sqrt { 2 \beta ^ { - 1 } } c _ { f } \, \mathbb { P } \left( | Z _ { t } ^ { \tau _ { j } } | \leq R _ { 1 } , | Z _ { T _ { k } } ^ { \tau _ { j } } | \leq R , t < \tau _ { j } \right) + K R \, \mathbb { P } \left( | Z _ { T _ { k } } ^ { \tau _ { j } } | \leq R , | Z _ { t } ^ { \tau _ { j } } | > R _ { 1 } , t < \tau _ { j } \right) \right) } \\ & { = : J _ { 1 } ( t ) + J _ { 2 } ( t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { R } _ { p } } & { = \phantom { \rho } \mu _ { u } | u | \partial _ { x x } p \phantom { ( - 1 ) } + \gamma p \bigg ( \frac { M ^ { \- 2 } } { \rho | v | } \mu _ { 1 1 } \partial _ { x x } p + \mu _ { 1 2 } \partial _ { x x } u \bigg ) \phantom { + \big ( M ^ { \- 2 } \mu _ { 2 1 } \partial _ { x x } p + \rho | v | \mu _ { 2 2 } \partial _ { x x } u \big ) } } \\ { \mathcal { R } _ { u } } & { = \rho \mu _ { u } | u | \partial _ { x x } u \phantom { + ( \gamma - 1 ) p \big ( \frac { M ^ { \- 2 } } { \rho | v | } \mu _ { 1 1 } \partial _ { x x } p + \mu _ { 1 2 } \partial _ { x x } u \big ) } + \big ( M ^ { \- 2 } \mu _ { 2 1 } \partial _ { x x } p + \rho | v | \mu _ { 2 2 } \partial _ { x x } u \big ) } \\ { \mathcal { R } _ { v } } & { = \phantom { \rho } \mu _ { u } | u | \partial _ { x x } v } \\ { \mathcal { R } _ { s } } & { = \phantom { \rho } \mu _ { u } | u | \partial _ { x x } s - ( \gamma - 1 ) p \bigg ( \frac { M ^ { \- 2 } } { \rho | v | } \mu _ { 1 1 } \partial _ { x x } p + \mu _ { 1 2 } \partial _ { x x } u \bigg ) } \end{array}
\tilde { a } _ { X } | 0 \rangle _ { X Y \bar { c } c } = \tilde { a } _ { Y } | 0 \rangle _ { X Y \bar { c } c } = \hat { c } | 0 \rangle _ { X Y \bar { c } c } = \hat { \bar { c } } | 0 \rangle _ { X Y \bar { c } c } = 0
\scriptstyle \mathrm { { D F T } } \displaystyle \{ x _ { _ { N } } * y \} = \ \scriptstyle \mathrm { { D F T } } \displaystyle \{ x _ { _ { N } } \} \cdot \ \scriptstyle \mathrm { { D F T } } \displaystyle \{ y _ { _ { N } } \} ,
\begin{array} { r l } { 8 \pi \, T _ { \, \, \, 0 } ^ { 0 } = } & { R _ { \, \, \, 0 } ^ { 0 } - \frac { 1 } { 2 } R } \\ { = } & { 3 \, g ^ { 0 0 } \left( \frac { \dot { a } } { a } \right) ^ { 2 } + 2 \, g ^ { i i } \frac { \partial _ { i } ^ { 2 } R } { R } - g ^ { i i } \left( \frac { \partial _ { i } R } { R } \right) ^ { 2 } } \\ { = } & { 3 \, g ^ { 0 0 } \left( \frac { \dot { a } } { a } \right) ^ { 2 } - \frac { 2 } { a ^ { 2 } R ^ { 2 } } \frac { \partial _ { i } ^ { 2 } R } { R } + \frac { 1 } { a ^ { 2 } R ^ { 2 } } \left( \frac { \partial _ { i } R } { R } \right) ^ { 2 } , } \end{array}
\frac { 1 } { g _ { a } ^ { 2 } ( p ^ { 2 } ) } = \frac { k _ { a } } { g _ { M _ { s t r i n g } } ^ { 2 } } + \frac { b _ { a } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \ln \frac { M _ { s t r i n g } ^ { 2 } } { p ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \triangle _ { a } ,
\begin{array} { r l r } { \langle ( x ( t ) - \mu ) ^ { 4 } \rangle } & { { } = } & { \frac { 3 \Gamma ( 1 + 4 H ) } { \Gamma ( 1 + 4 H \alpha ) } t ^ { 4 H \alpha } + \left( \frac { 6 \Gamma ( 3 + 2 H ) v ^ { 2 } } { \Gamma ( 1 + 2 H \alpha + 2 \alpha ) } - \frac { 1 2 \Gamma ( 3 + 2 H ) v ^ { 2 } } { ( 2 + 2 H ) \Gamma ( 1 + 2 H \alpha + \alpha ) \Gamma ( 1 + \alpha ) } \right. } \end{array}
\Gamma ^ { ( 4 , \mathrm { r e n } ) } ( l , p ) : = \Gamma ^ { ( 4 , \mathrm { r e n } ) } [ ( l - p ) ^ { 2 } ] = \frac { \lambda } { 2 } + \lambda ^ { 2 } L ^ { ( \mathrm { r e n } ) } [ ( l - p ) ^ { 2 } ] .
\begin{array} { l } { { < \chi ^ { 0 } \parallel d \hat { \omega } \parallel \chi > = } } \\ { { = \S _ { i _ { 1 } < \ldots < i _ { k } } \left\{ \S _ { \lambda , \mu = 1 } ^ { 2 } \right\} _ { 1 } ^ { k } \S _ { r _ { 1 } ^ { \lambda \mu } , \ldots , r _ { k } ^ { \lambda \mu } = 1 } ^ { N _ { \lambda \mu } } \bar { c } ( r _ { 1 } ^ { \lambda \mu } , \ldots r _ { k } ^ { \lambda \mu } ) { ( d T ( r _ { 1 } ^ { \lambda \mu } , \ldots , r _ { k } ^ { \lambda \mu } ) } _ { i _ { 1 } \ldots i _ { k } } ) \wedge d \Phi _ { r _ { 1 } ^ { \lambda \mu } } ^ { i _ { 1 } } \wedge \cdots \wedge { d \Phi } _ { r _ { k } ^ { \lambda \mu } } ^ { i _ { k } } . } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { D ^ { 2 } \mathcal { A } ( \psi , \psi ) } \\ & { = \int _ { W } | \nabla \psi | ^ { 2 } + ( H ^ { 2 } - | A | ^ { 2 } - R i c ( N , N ) - \mu H - N ( \mu ) ) } \\ & { = \int _ { W } | \nabla \psi | ^ { 2 } + ( \frac { 1 } { 2 } H ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } | A | ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } ( S c ( W ) - S c ( V ) ) - \mu H - N ( \mu ) ) \psi ^ { 2 } d \sigma } \\ & { \ge 0 } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { 0 \longrightarrow \widetilde { H } _ { \mathrm { f } } ^ { 1 } ( G _ { K , \Sigma _ { K } } , T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } , \Delta _ { \mathrm { B D P } } ) \otimes _ { \mathcal { R } _ { \textup { \bf f } } } \mathcal { R } _ { 2 } \longrightarrow \widetilde { H } _ { \mathrm { f } } ^ { 1 } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , T _ { 2 } ^ { \dagger } , \Delta _ { \mathbf { g } } ) \longrightarrow \widetilde { H } _ { \mathrm { f } } ^ { 1 } } & { ( G _ { K , \Sigma _ { K } } , T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } \, \widehat \otimes \, \Psi _ { \mathrm { a d } } , \Delta _ { \mathrm { B D P } } ) } \\ & { \longrightarrow \widetilde { H } _ { \mathrm { f } } ^ { 2 } ( G _ { K , \Sigma _ { K } } , T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } , \Delta _ { \mathrm { B D P } } ) \otimes _ { \mathcal { R } _ { \textup { \bf f } } } \mathcal { R } _ { 2 } \, . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { | F _ { x } ( \check { \eta } _ { x } ^ { \lambda } ) | } & { \lesssim \| \check { \eta } \| _ { \infty } \lambda ^ { \bar { \alpha } } } \\ & { \quad + \sum _ { n = 0 } ^ { N _ { \lambda } } 2 ^ { - n d } \| \check { \eta } \| _ { \infty } 2 ^ { n d } \left( \frac { \lambda } { 2 ^ { - n } } \right) ^ { \lfloor \bar { \alpha } \rfloor + 1 } 2 ^ { - n \bar { \alpha } } } \\ & { \quad + \sum _ { n = N _ { \lambda } + 1 } ^ { + \infty } 2 ^ { - n d } 2 ^ { ( n - N _ { \lambda } ) d } \| \check { \eta } \| _ { C ^ { \tilde { r } + 1 } } 2 ^ { - n ( \tilde { r } + 1 ) } \left( 2 ^ { - n \alpha } \lambda ^ { \gamma - \alpha } + 2 ^ { - n \bar { \alpha } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { A } & { = \left[ \begin{array} { l l l l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { - 4 . 4 4 1 \times 1 0 ^ { 7 } / 4 5 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 8 5 0 0 / 4 5 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 1 / 4 5 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 / 7 5 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - 8 . 2 \times 1 0 ^ { 6 } / 4 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 1 8 0 0 / 4 0 } & { 0 . 2 5 / 4 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 1 / 0 . 0 0 2 5 } \end{array} \right] , } \\ { b } & { = \left[ \begin{array} { l l l l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 / 0 . 0 0 2 5 } \end{array} \right] ^ { T } , } \end{array}
R \equiv R _ { \alpha } ^ { \alpha } = \frac { 1 } { 2 ~ A } \Biggl \{ 2 ( \frac { \dot { A } } { A } ) ^ { 2 } + ( \frac { \dot { B } } { B } ) ^ { 2 } - ( \frac { \dot { C } } { C } ) ^ { 2 } - 2 \frac { \ddot { A } } { A } - 4 \frac { \ddot { B } } { B } - 2 ( \frac { A ^ { \prime } } { A } ) ^ { 2 } - ( \frac { B ^ { \prime } } { B } ) ^ { 2 } + ( \frac { C ^ { \prime } } { C } ) ^ { 2 } + 2 \frac { A ^ { \prime \prime } } { A } + 4 \frac { B ^ { \prime \prime } } { B } \Biggr \} .
b _ { \mathbf { k } _ { l } } | 0 _ { \mathbf { k } _ { 1 } } , 0 _ { \mathbf { k } _ { 2 } } , 0 _ { \mathbf { k } _ { 3 } } . . . 0 _ { \mathbf { k } _ { l } } , . . . \rangle = 0
\mathbf { H } _ { G W } = \frac { \partial \mathbf { h } _ { G W } } { \partial \ln \mathbf { K } } , \quad \mathbf { H } _ { S P - G W } = \frac { \partial \mathbf { h } _ { S P } } { \partial \ln \mathbf { K } } , \quad \mathbf { H } _ { S P - M T } = \frac { \partial \mathbf { h } _ { S P } } { \partial \ln \rho } , \quad \mathbf { H } _ { M T } = \frac { \partial \mathbf { h } _ { M T } } { \partial \ln \rho }
\begin{array} { r } { E ( k _ { x } , k _ { z } , \sigma ) \propto \, u _ { 0 } ^ { 2 } \left[ ( 1 - \sigma _ { 0 } ^ { * 2 } ) \frac { k _ { x } ^ { 2 } } { k _ { \perp , 0 } ^ { 2 } } + \sigma _ { 0 } ^ { * 2 } \right] \frac { 1 } { \sqrt { k _ { \perp , 0 } ^ { 2 } - k _ { x } ^ { 2 } } } \delta ( \sigma \pm \sigma _ { 0 } ) \delta ( k _ { z } \pm k _ { \parallel , 0 } ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { m \frac { \partial ^ { 2 } ( v _ { n + 1 } + v _ { n - 1 } ) } { \partial t ^ { 2 } } = K _ { 2 } ( 2 u _ { n } + v _ { n + 2 } + v _ { n - 2 } - 2 v _ { n + 1 } - 2 v _ { n - 1 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { h _ { l } ^ { ( 1 ) } ( X _ { 1 } ) = } & { \mathbb { E } [ h _ { l } ( X _ { [ 2 ] } ) | X _ { 1 } ] = ( 2 F _ { d } ( x _ { 1 , d } ) - 1 ) ( 2 F _ { d ^ { \prime } } ( x _ { 1 , d ^ { \prime } } ) - 1 ) , } \\ { h _ { l } ^ { ( 2 ) } ( X _ { [ 2 ] } ) = } & { h _ { l } ( X _ { [ 2 ] } ) - h _ { l } ^ { ( 1 ) } ( X _ { 1 } ) - h _ { l } ^ { ( 1 ) } ( X _ { 2 } ) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \left( A - A ^ { \mathsf { T } } \right) \mathbf { e } _ { 1 } } & { = { \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { a _ { 3 } } \\ { - a _ { 2 } } \end{array} \right] } = \mathbf { a } \times \mathbf { e } _ { 1 } } \\ { \left( A - A ^ { \mathsf { T } } \right) \mathbf { e } _ { 2 } } & { = { \left[ \begin{array} { l } { - a _ { 3 } } \\ { 0 } \\ { a _ { 1 } } \end{array} \right] } = \mathbf { a } \times \mathbf { e } _ { 2 } } \\ { \left( A - A ^ { \mathsf { T } } \right) \mathbf { e } _ { 3 } } & { = { \left[ \begin{array} { l } { a _ { 2 } } \\ { - a _ { 1 } } \\ { 0 } \end{array} \right] } = \mathbf { a } \times \mathbf { e } _ { 3 } } \end{array} }
\mathcal { F } ^ { \acute { e } t } [ \beta ^ { - 1 } ] \cong \operatorname * { c o l i m } \left( \mathcal { F } ^ { \acute { e } t } \overset { \cdot \beta } { \longrightarrow } \Sigma ^ { - 2 } \mathcal { F } ^ { \acute { e } t } \overset { \cdot \beta } { \longrightarrow } \Sigma ^ { - 4 } \mathcal { F } ^ { \acute { e } t } \overset { \cdot \beta } { \longrightarrow } \cdots \right) \mathrm { . }
\left. \frac { \partial _ { \alpha } \partial ^ { \beta } \mathcal { V } } { \mathcal { V } } \right| _ { 0 } = \left( \begin{array} { l l l } { { 2 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) \, , \qquad \left. \partial _ { \alpha } \partial _ { \beta } \mathcal { V } \right| _ { 0 } = 0 \, .
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { l i m } _ { A \to \infty } \int _ { \Gamma _ { 0 } ( A ) } \left\{ G ( x , y ) \frac { \partial u ^ { s } ( y ) } { \partial y _ { 2 } } - u ^ { s } ( y ) \frac { \partial G ( x , y ) } { \partial y _ { 2 } } \right\} d s ( y ) } \\ & { = \int _ { \Gamma _ { a } } \left\{ G ( x , y ) \frac { \partial u ^ { s } ( y ) } { \partial y _ { 2 } } - u ^ { s } ( y ) \frac { \partial G ( x , y ) } { \partial y _ { 2 } } \right\} d s ( y ) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { \mathrm { ~ p ~ a ~ i ~ r ~ } } ^ { \mathrm { ~ D ~ C ~ } } \approx } & { { } \left( \frac { L L _ { \mathrm { ~ D ~ C ~ } } } { 4 L _ { 1 } L _ { 2 } } \right) ^ { 2 } R _ { \mathrm { ~ p ~ a ~ i ~ r ~ } } ^ { \mathrm { ~ r ~ i ~ n ~ g ~ } } \ , } \end{array}
\sigma _ { i k } = - P _ { t h e r m o } ~ \delta _ { i k } + \mu \displaystyle \left( \frac { \partial u _ { i } } { \partial x _ { k } } + \frac { \partial u _ { k } } { \partial x _ { i } } - \frac { 2 } { 3 } \frac { \partial u _ { j } } { \partial x _ { j } } \delta _ { i k } \right) + \mu _ { b } \frac { \partial u _ { j } } { \partial x _ { j } } \delta _ { i k }
C l _ { 3 , 0 } ~ [ \sim M _ { 2 } ( { \cal C } ) ] ~ , ~ ~ ~ C l _ { 1 , 2 } ~ [ \sim M _ { 2 } ( { \cal C } ) ] ~ , ~ ~ ~ C l _ { 0 , 3 } ~ [ \sim { \cal H } \oplus { \cal H } ] ~ , ~ ~ ~ C l _ { 2 , 1 } ~ [ \sim M _ { 2 } ( { \cal R } ) \oplus M _ { 2 } ( { \cal R } ) ] ~ .
\begin{array} { r l } { f _ { n } ^ { \prime } ( z ) } & { = \frac { n } { z } f _ { n } ( z ) - f _ { n + 1 } ( z ) , \quad n = 0 , 1 , 2 , \cdots , } \\ { d f _ { 1 } ( z ) / { z } } & { = f _ { 0 } ( z ) + f _ { 2 } ( z ) , \quad d = 2 , 3 , } \\ { \Phi _ { \alpha } ( x , y ) } & { = \frac { \mathrm { i } \sigma _ { \alpha } } { 4 \pi } f _ { 0 } ( k _ { \alpha } | x - y | ) , \quad \alpha = p , s . } \end{array}
\sum _ { k = 1 } ^ { N } { \frac { \tilde { \mu } _ { k , x } } { ( v _ { j } - 2 \mathrm { i } \tilde { \mu } _ { k } ) ^ { 2 } } } = - { \frac { 1 } { 4 } } , \quad \sum _ { k = 1 } ^ { N } { \frac { \tilde { \mu } _ { k , t } } { ( v _ { j } - 2 \mathrm { i } \tilde { \mu } _ { k } ) ^ { 2 } } } = { \frac { v _ { j } } { 4 } } , \quad ( j = 1 , 2 , . . . , N ) . \eqno ( 4 . 2 4 )
\begin{array} { r l } { U _ { E } ( \mathbf { r } ) } & { { } = k _ { 0 } z ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } k _ { 0 } ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) , } \\ { \widetilde { U } _ { E } ( \mathbf { r } ) } & { { } = k _ { 1 } ( x ^ { 2 } - y ^ { 2 } ) + V _ { R F } / 2 , } \end{array}
\sum _ { m = - \infty } ^ { \infty } e ^ { ( - t / 2 ) m ^ { 2 } + i x m } = \sqrt { \frac { 2 \pi } { t } } \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } e ^ { ( - 1 / 2 t ) ( x - 2 \pi n ) ^ { 2 } } ,
N _ { A } ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { x - x _ { A - 1 } } { x _ { A } - x _ { A - 1 } } , } & { x _ { A - 1 } < x < x _ { A } } \\ { \frac { x _ { A + 1 } - x } { x _ { A + 1 } - x _ { A } } , } & { x _ { A } < x < x _ { A + 1 } } \\ { 0 , } & { \mathrm { o t h e r w i s e } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { { \mathrm { i } } \, \hbar \, { \mathsf \Delta } _ { \textrm { \tiny B V } } \, \mathsf { H } \big ( \delta _ { x _ { 1 } } ^ { \psi _ { s _ { 1 } } } \odot _ { \star } \mathtt { v } _ { \nu } \, \mathtt { e } ^ { k _ { 1 } } \odot _ { \star } \mathtt { u } _ { r } \, \mathtt { e } ^ { k _ { 2 } } \big ) = \frac 2 3 \, { \mathrm { i } } \, \hbar \, { \mathrm { e } } ^ { \, { \mathrm { i } } \, k _ { 2 } \cdot x _ { 1 } } \, { \mathrm { e } } ^ { - { \mathrm { i } } \, k _ { 1 } \cdot \theta \, k _ { 2 } } \, \tilde { \mathsf { S } } _ { s _ { 1 } r } ^ { - } ( k _ { 2 } ) \, \mathtt { v } _ { \nu } \, \mathtt { e } ^ { k _ { 1 } } \ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \chi _ { x x } } & { { } = \frac { \omega _ { p } ^ { 2 } } { \omega \Omega } \int _ { 0 } ^ { \infty } 2 \pi v _ { \perp } ^ { \prime } d v _ { \perp } ^ { \prime } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d v _ { \parallel } ^ { \prime } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { O C E _ { s _ { h + 1 } ^ { k } \sim P _ { h } ( \cdot \vert s _ { h } ^ { k } , a _ { h } ^ { k } ) } ^ { u } \left( \hat { V } _ { h + 1 } ^ { k } ( s _ { h + 1 } ^ { k } ) \right) - O C E _ { s _ { h + 1 } ^ { k } \sim P _ { h } ( \cdot \vert s _ { h } ^ { k } , a _ { h } ^ { k } ) } ^ { u } \left( V _ { h + 1 } ^ { \pi ^ { k } } ( s _ { h + 1 } ^ { k } ) \right) } \\ & { \leq E _ { s _ { h + 1 } ^ { k } \sim B _ { h } ( \cdot \vert s _ { h } ^ { k } , a _ { h } ^ { k } ) } \left[ \hat { V } _ { h + 1 } ^ { k } ( s _ { h + 1 } ^ { k } ) - V _ { h + 1 } ^ { \pi ^ { k } } ( s _ { h + 1 } ^ { k } ) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r } { I _ { 3 } [ \dot { \psi } + \dot { \varphi } \cos \theta ] = m _ { \psi } = \mathrm { ~ c ~ o ~ n ~ s ~ t ~ } , } \\ { \frac { d } { d t } [ I _ { 2 } \dot { \varphi } \sin ^ { 2 } \theta + m _ { \psi } \cos \theta ] + b k _ { 2 } \sin \theta \sin \varphi = 0 , } \\ { - I _ { 2 } \ddot { \theta } + I _ { 2 } \dot { \varphi } ^ { 2 } \sin \theta \cos \theta - m _ { \psi } \sin \theta \dot { \varphi } + b [ k _ { 3 } \sin \theta + k _ { 2 } \cos \theta \cos \varphi ] = 0 . } \end{array}
\mathrm { e q . \ r e f { ( 7 . 1 ) } } = \operatorname * { l i m } _ { \Lambda \to \infty } \int d ^ { 4 } p \, { \frac { 1 } { p ^ { 2 } + \kappa ^ { 2 } } } \left\{ { \frac { \Phi ( p / \Lambda ) } { \left( p ^ { 2 } + M ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } } \right\} .
\left. \frac { \partial \mathcal { L } [ P _ { q } ] } { \partial \psi } \right| _ { \psi _ { q } } = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { \Omega } p _ { q } ^ { q } ( G _ { i } , \psi _ { q } ) \, C ( G _ { i } ) } { \sum _ { i = 1 } ^ { \Omega } p _ { q } ^ { q } ( G _ { i } , \psi _ { q } ) } = C ^ { * }
\operatorname* { s u p } _ { ( p , q , \pi _ { p } , \pi _ { q } ) \in \Pi } \mathbb { E } \left[ R ( { \widetilde { C } } ) - R ( C ^ { \ast } ) \right] \leq 2 ^ { \alpha + 3 } C _ { 1 } C _ { d } \left( \sum _ { u = 0 } ^ { q } A _ { u } C ( t _ { u } ) ( N 2 ^ { - m } ) ^ { \beta _ { u } ^ { \ast \ast } } + \sum _ { u = 0 } ^ { q } B _ { u } N ^ { - \beta _ { u } ^ { \ast } / t _ { u } } \right) ^ { \alpha + 1 } ,
\begin{array} { r l } { P _ { \mathrm { t i d y } } ( z ) } & { = \frac { z ^ { 5 } } { 1 0 } + \frac { 2 z ^ { 5 } } { 2 } + \frac { z ^ { 4 } } { 2 } + 2 \sum _ { k \geq 3 } \frac { z ^ { 2 k } } { k ! } + 4 \frac { z ^ { 5 } } { 2 } + 8 \sum _ { k \geq 3 } \frac { z ^ { 2 k + 1 } } { 2 ( k - 1 ) ! } } \\ & { = z ^ { 5 } + \frac { z ^ { 5 } } { 1 0 } + ( 2 + 4 z ^ { 3 } ) \exp ( z ^ { 2 } ) - 2 - 2 z ^ { 2 } - 4 z ^ { 3 } - \frac { z ^ { 4 } } { 2 } - 2 z ^ { 5 } . } \end{array}
f _ { X } ( \mathbf { x } ; { \boldsymbol { \mu } } , { \boldsymbol { \Sigma } } ) = { \frac { 1 } { | 2 \pi { \boldsymbol { \Sigma } } | ^ { \frac { 1 } { 2 } } } } \, { \frac { 1 } { \prod _ { i = 1 } ^ { D } \left( x _ { i } ( 1 - x _ { i } ) \right) } } \, e ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } \left\{ \log \left( { \frac { \mathbf { x } } { 1 - \mathbf { x } } } \right) - { \boldsymbol { \mu } } \right\} ^ { \top } { \boldsymbol { \Sigma } } ^ { - 1 } \left\{ \log \left( { \frac { \mathbf { x } } { 1 - \mathbf { x } } } \right) - { \boldsymbol { \mu } } \right\} }
- \operatorname* { d e t } X = \xi _ { 1 } ^ { 2 } + \xi _ { 2 } ^ { 2 } + \xi _ { 3 } ^ { 2 } - \xi _ { 4 } ^ { 2 } = x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } - t ^ { 2 } .
N P E = \frac { ( 2 3 9 0 - 1 5 0 . 7 ) \times 0 . 2 } { 1 . 6 \times 1 0 ^ { - 7 } \times 2 0 \times 6 . 7 7 \times 1 0 ^ { 5 } } = 2 0 6 . 7
n _ { \mathrm { S i _ { 3 } N _ { 4 } } } ^ { 2 } - 1 = \frac { 3 . 0 2 4 9 \lambda ^ { 2 } } { \lambda ^ { 2 } - 0 . 1 3 5 3 4 0 6 ^ { 2 } } + \frac { 4 0 3 1 4 \lambda ^ { 2 } } { \lambda ^ { 2 } - 1 2 3 9 . 8 4 2 ^ { 2 } }
{ \alpha _ { i } } = \frac { 1 } { { { B _ { i } } - { \alpha _ { i - 1 } } } } , ~ ~ { \xi _ { i } } = \frac { { { \xi _ { i - 1 } } - { G _ { i } } } } { { { B _ { i } } - { \alpha _ { i - 1 } } } } .
\begin{array} { r } { A _ { p q } ^ { n } = \left\{ \begin{array} { l l } & { - \alpha _ { p } ^ { i , n } , \quad q = p + ( N + 1 ) ^ { i - 1 } , \, \, i = 1 , \dots , d , } \\ & { \beta _ { p } ^ { n } , \quad \quad \, \, q = p , } \\ & { - \gamma _ { p } ^ { i , n } , \quad q = p - ( N + 1 ) ^ { i - 1 } , \, \, i = 1 , \dots , d } \\ & { 0 , \quad \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. } \end{array}
\frac { d \overline { { \phi } } _ { j } } { d t } = \omega _ { j } - \omega ^ { * } - \sum _ { j ^ { \prime } ( j ^ { \prime } \ne j ) } ^ { N } K _ { j , j ^ { \prime } } \sin ( \overline { { \phi } } _ { j } - \overline { { \phi } } _ { j ^ { \prime } } ) - 2 K _ { s } \sin ( 2 \overline { { \phi } } _ { j } )
d s ^ { 2 } = - \left( 1 - \frac { r _ { + } ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } \right) d { \hat { t } } ^ { 2 } + \left( 1 - \frac { r _ { - } ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } \right) d { \hat { x } } ^ { 2 } + { \left( 1 - \frac { r _ { + } ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } \right) } ^ { - 1 } { \left( 1 - \frac { r _ { - } ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } \right) } ^ { - 1 } \frac { l ^ { 2 } d r ^ { 2 } } { r ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { - ( 2 \alpha _ { - } + \kappa _ { - } ) } & { \sqrt { 1 + ( h ^ { \prime } ) ^ { 2 } } u _ { - } ^ { 2 } - ( 2 \alpha _ { + } + \kappa _ { + } ) \sqrt { 1 + ( h ^ { \prime } ) ^ { 2 } } u _ { + } ^ { 2 } } \\ & { = - ( 2 \alpha _ { - } + \kappa _ { - } ) \sqrt { 1 + ( h ^ { \prime } ) ^ { 2 } } u _ { - } ^ { 2 } + ( \kappa _ { -- } 2 \alpha _ { + } ) \sqrt { 1 + ( h ^ { \prime } ) ^ { 2 } } u _ { + } ^ { 2 } } \\ & { \leq ( \kappa _ { -- } 2 \alpha _ { + } ) ( 1 + \epsilon ^ { - 1 } ) \sqrt { 1 + ( h ^ { \prime } ) ^ { 2 } } \| \partial _ { 2 } u \| _ { L ^ { 2 } ( \gamma ^ { - } , \gamma ^ { + } ) } ^ { 2 } } \\ & { \qquad - \left[ 2 \alpha _ { - } + 2 \alpha _ { + } - \epsilon ( \kappa _ { -- } 2 \alpha _ { + } ) \right] \sqrt { 1 + ( h ^ { \prime } ) ^ { 2 } } u _ { - } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { Y } _ { 1 } \subseteq \mathcal { Y } _ { 2 } \; \Rightarrow \; \mathcal { Y } _ { 2 } \mathrm { ~ - ~ I ~ B ~ } \subseteq \mathcal { Y } _ { 1 } \mathrm { ~ - ~ I ~ B ~ } . } \end{array}