harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
V _ { i j } = { \frac { N ( x ^ { \prime } ) } { N ( x ) N _ { 1 } ( x ^ { \prime } ) } } \sum _ { i ^ { \prime } j ^ { \prime } } c _ { i ^ { \prime } i } ( R _ { \perp } ) K _ { i ^ { \prime } j ^ { \prime } } c _ { j ^ { \prime } j } ( R _ { \perp } ^ { \prime } ) , \qquad N _ { 1 } ( x ^ { \prime } ) = { \frac { \alpha \pi } { m ^ { 2 } } } x ^ { \prime } ( 1 - x ^ { \prime } ) .
\widehat { \Delta } _ { W \mu \nu } ( q ) \ = \ \frac { t _ { \mu \nu } ( q ) } { q ^ { 2 } - M _ { W } ^ { 2 } - \widehat { \Pi } _ { T } ^ { W } ( q ^ { 2 } ) } \ - \ \frac { \ell _ { \mu \nu } ( q ) } { M _ { W } ^ { 2 } - \widehat { \Pi } _ { L } ^ { W } ( q ^ { 2 } ) } .
\! \! D _ { 2 } \eta ( { \xi } _ { 1 } , . . , { \xi } _ { q - 1 } ) ( { \phi } _ { 1 } , . . , { \phi } _ { p + 1 } ) = { \displaystyle \sum _ { i } } \eta \left( { \phi } _ { i } , { \xi } _ { 1 } , . . , { \xi } _ { q - 1 } \right) \left( { \phi } _ { 1 } , . . , \widehat { { \phi } _ { i } } , . . , { \phi } _ { p + 1 } \right) ,
\operatorname * { d e t } ( { \cal M } _ { N } ^ { R } ) = [ \alpha ( h + 1 / 4 8 - c / 2 4 ) ] ^ { P _ { 1 / 2 } ( N ) } \prod _ { r , s } [ ( h - h _ { r , s } ^ { R } ) ( h - h _ { s , r } ^ { R } ) ] ^ { P _ { 1 / 2 } ( N - { r s / 4 } ) } { } ~ ,
r ^ { l } Y _ { l } ^ { m } = F _ { l } ^ { | m | } * r ^ { l } r _ { x y } ^ { - | m | } P _ { l } ^ { | m | } * \left\{ \begin{array} { l l } { r _ { x y } ^ { | m | } \sin { ( | m | \phi ) } } & { \mathrm { i f ~ m ~ < ~ 0 ~ } } \\ { r _ { x y } ^ { 0 } / \sqrt { 2 } } & { \mathrm { i f ~ m ~ = ~ 0 ~ } } \\ { r _ { x y } ^ { m } \cos { ( m \phi ) } } & { \mathrm { i f ~ m ~ > ~ 0 ~ } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { b _ { 0 } ^ { \prime } } & { + } & { b _ { 1 } ^ { \prime } \, g _ { 0 0 } ^ { 2 } + b _ { 2 } ^ { \prime } \, g _ { 0 0 } ^ { 4 } + b _ { 3 } ^ { \prime } \, g _ { 0 0 } ^ { 6 } } \\ & { = } & { \left[ \beta _ { 0 } \, g _ { 0 } ^ { 4 } ( \Lambda ) + \beta _ { 1 } \, g _ { 0 } ^ { 6 } ( \Lambda ) + \beta _ { 2 } \, g _ { 0 } ^ { 8 } ( \Lambda ) \cdots \right] } \\ & { \times } & { \left[ b _ { 1 } + 2 b _ { 2 } \, g _ { 0 0 } ^ { 2 } + 3 b _ { 3 } \, g _ { 0 0 } ^ { 4 } \cdots \right] } \end{array}
\begin{array} { r } { \underbrace { \nabla _ { { \bf { x } } _ { t } } \log { p ( { \bf { x } } _ { t } \mid { \bf { y } } ) } } _ { \textit { p o s t e r i o r s c o r e } } = \underbrace { \nabla _ { { \bf { x } } _ { t } } \log { p ( { \bf { x } } _ { t } ) } } _ { \textit { p r i o r s c o r e } } + \underbrace { \nabla _ { { \bf { x } } _ { t } } \log { p ( { \bf { y } } \mid { \bf { x } } _ { t } } ) } _ { \textit { l i k e l i h o o d s c o r e } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \langle 0 | \mathrm { T } [ \psi ( 1 ) \cdots \psi ( 2 k ) ] | 0 \rangle ^ { ( 0 ) } = \frac 1 { k ! \, 2 ^ { k } } \, \sum _ { \sigma \in S _ { 2 k } } \, \mathrm { s g n } ( \sigma ) \ \prod _ { a = 1 } ^ { k } \, \langle 0 | \mathrm { T } \big [ \psi \big ( \sigma ( 2 a - 1 ) \big ) \, \psi \big ( \sigma ( 2 a ) \big ) \big ] | 0 \rangle ^ { ( 0 ) } \ , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { F } & { { } = \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { i } \end{array} \right) , } & { S } & { { } = \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , } \\ { F ^ { \mathrm { ~ M ~ C ~ } } } & { { } = \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) , } & { S ^ { \mathrm { ~ M ~ C ~ } } } & { { } = \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , } \end{array}
u ^ { 2 } ( C _ { D } ) = \frac { 4 } { \rho ^ { 2 } S ^ { 2 } \left( \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { n } v _ { i } ^ { 4 } \right) ^ { 2 } } \left( \left( \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { n } { F _ { p } } _ { i } v _ { i } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \left( \frac { u ^ { 2 } ( \rho ) } { \rho ^ { 2 } } + \frac { u ^ { 2 } ( S ) } { S ^ { 2 } } \right) + \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { n } v _ { i } ^ { 4 } u ^ { 2 } ( { F _ { p } } _ { i } ) \right) .
j ~ = ~ { \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } } \; \left( \begin{array} { c c } { { 1 } } & { { - \mathrm { A d } ( g ) } } \\ { { - \mathrm { A d } ( g ) ^ { - 1 } } } & { { 1 } } \end{array} \right) ~ ~ ~ .
\begin{array} { r l } { F ( \rho ) } & { = \rho u _ { x } } \\ { F \left( p _ { x } \right) } & { = \rho \left( u _ { x } ^ { 2 } + a ^ { 2 } + \left( b ^ { 2 } - a ^ { 2 } \right) \cos ^ { 2 } \theta \right) } \\ { F \left( p _ { y } \right) } & { = \rho \left( u _ { x } u _ { y } + \left( b ^ { 2 } - a ^ { 2 } \right) \sin \theta \cos \theta \right) } \\ { F \left( p _ { z } \right) } & { = \rho u _ { x } u _ { z } } \\ { F \left( e _ { p l a s m a } \right) } & { = \rho u _ { x } \left( \left( u _ { x } ^ { 2 } + u _ { y } ^ { 2 } + u _ { z } ^ { 2 } \right) / 2 + \left( 4 a ^ { 2 } + b ^ { 2 } \right) / 2 + \left( b ^ { 2 } - a ^ { 2 } \right) \cos ^ { 2 } \theta \right) } \\ { F ( \mu ) } & { = \frac { \rho } { B } \left( u _ { x } a ^ { 2 } \right) } \\ { F \left( S _ { \| } \right) } & { = \frac { B ^ { 2 } } { \rho } \left( u _ { x } b ^ { 2 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla \cdot \left( q \nabla ^ { \perp } \frac { \delta C } { \delta \omega } \right. } & { - \left. q \nabla \frac { \delta C } { \delta D } + r \nabla ^ { \perp } \frac { \delta C } { \delta b } \right) = \nabla \cdot \left( q \nabla ^ { \perp } \Psi ( r ) + r \nabla ^ { \perp } \big ( \Phi ^ { \prime } ( r ) + q \Psi ^ { \prime } ( r ) \big ) \right) } \\ & { = \Phi ^ { \prime \prime } ( r ) ( \nabla r \cdot \nabla ^ { \perp } r ) + r ( \nabla \cdot \nabla ^ { \perp } ) \Phi ^ { \prime } ( r ) + \Psi ^ { \prime } ( r ) ( \nabla q \cdot \nabla ^ { \perp } r ) + \Psi ^ { \prime } ( r ) ( \nabla r \cdot \nabla ^ { \perp } q ) } \\ & { \quad + r \Psi ^ { \prime \prime } ( r ) ( \nabla r \cdot \nabla ^ { \perp } q ) + r \Psi ^ { \prime \prime } ( r ) ( \nabla q \cdot \nabla ^ { \perp } r ) } \\ & { = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } u - \Delta u } & { { } = 3 u - u ^ { 3 } + \xi } \\ { u ( t , 0 ) } & { { } = u ( t , 1 ) } \\ { u ( 0 , x ) } & { { } = u _ { 0 } ( x ) , ( t , x ) \in [ 0 , T ] \times [ 0 , 1 ] } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \Big [ \Big ( ( - s \Delta ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \mathrm { P } _ { s + t } ( \mu ^ { n } - \rho ) ( x ) \Big ) ^ { 2 p } \Big ] ^ { \frac { 1 } { p } } } \\ & { \lesssim p ^ { 2 } \bigg ( \frac { \zeta ( s , t ) } { n } ( 1 + \log ^ { \frac { 1 } { \eta } } ( n ) s ^ { \frac { 1 } { 2 \log ( n ) } } \zeta ( s , t ) ^ { 1 - \frac { 1 } { \log ( n ) } } ) + \frac { \operatorname* { s u p } _ { y \in \mathcal { M } } \vert \omega _ { s + t } ( x , y ) \vert + \log ^ { 2 } ( n ) } { n ^ { 2 } } \bigg ) \quad \mathrm { f o r ~ a n y ~ s \in ~ ( 0 , \infty ) ~ , } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \dot { \theta } _ { 1 } } & { = } & { - u _ { 1 } S _ { 1 } - \frac { v _ { 1 } S _ { 1 } } { \sqrt { 1 - S _ { 1 } ^ { 2 } } } \cos \theta _ { 1 } - u _ { 1 2 } S _ { 2 } , } \\ { \dot { S } _ { 1 } } & { = } & { v _ { 1 } \sqrt { 1 - S _ { 1 } ^ { 2 } } \sin \theta _ { 1 } , } \\ { \dot { \theta } _ { 2 } } & { = } & { - u _ { 2 } S _ { 2 } - \frac { v _ { 2 } S _ { 2 } } { \sqrt { 1 - S _ { 2 } ^ { 2 } } } \cos \theta _ { 2 } - u _ { 1 2 } S _ { 1 } , } \\ { \dot { S } _ { 2 } } & { = } & { v _ { 2 } \sqrt { 1 - S _ { 2 } ^ { 2 } } \sin \theta _ { 1 } . } \end{array}
E \gg ( a + 1 ) \left[ \int _ { \eta _ { \mathrm { m i n } } } ^ { \eta _ { \mathrm { m a x } } } \mathrm { d } \eta \, \frac { \eta ^ { a + 1 } \rho ( \eta ) } { A \Gamma ( a + 1 ) } \right] ^ { 1 / ( a + 1 ) } \int _ { \eta _ { \mathrm { m i n } } } ^ { \eta _ { \mathrm { m a x } } } \mathrm { d } \eta \, \rho ( \eta ) .
\tilde { \mathbf { u } } _ { a } = \tilde { \mathbf { u } } _ { \theta } + \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } \left( \theta ^ { 2 } - \frac { 1 } { 3 } \right) \tilde { \nabla } ( \tilde { \nabla } \cdot \tilde { \mathbf { u } } _ { \theta } ) + \sigma ^ { 2 } \left( \theta - \frac { 1 } { 2 } \right) \tilde { \nabla } \tilde { \zeta } _ { \tilde { t } } + O ( \sigma ^ { 4 } , \varepsilon \sigma ^ { 2 } , \beta \sigma ^ { 2 } ) \ .
\begin{array} { r l } { \left| \log \left| \frac { \log { 2 \lambda x } } { \log { \lambda ( \mu + 1 ) } } \right| \right| } & { = \left| \log \left| 1 + \frac { \log { 2 x / ( \mu + 1 ) } } { \log { \lambda ( \mu + 1 ) } } \right| \right| } \\ & { = \log \left( 1 + \left| \frac { \log { 2 x / ( \mu + 1 ) } } { \log { \lambda ( \mu + 1 ) } } \right| \right) } \\ & { \le \left| \frac { \log { 2 x / ( \mu + 1 ) } } { \log { \lambda ( \mu + 1 ) } } \right| . } \end{array}
\mathcal { L } ( \boldsymbol { \theta } _ { 1 } , \boldsymbol { \theta } _ { 2 } ) = \alpha \left[ \mathcal { L } _ { p } ( \boldsymbol { \theta _ { 1 } } ) + \mathcal { L } _ { v } ( \boldsymbol { \theta _ { 2 } } ) \right] + \beta \mathcal { L } _ { s } ( \boldsymbol { \theta _ { 1 } } , \boldsymbol { \theta _ { 2 } } )
\begin{array} { r } { \begin{array} { l l } { \operatorname* { m i n } _ { \pi } } & { \mathbf { E } _ { x _ { 0 } , w } \sum _ { t = 0 } ^ { \mathcal { T } - 1 } c _ { t } ( x ( t ) , u ^ { S _ { t } } ( t ) ) + c _ { \mathcal { T } } ( x ( \mathcal { T } ) ) } \\ { \mathrm { s u b j e c t \ t o } } & { x ( t + 1 ) = f _ { \theta _ { t } } ^ { S _ { t } } ( x ( t ) , u ^ { S _ { t } } ( t ) , w ( t ) ) } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { c } { { - \frac 1 2 ( \tau ^ { + } ) \int d ^ { 4 } x \epsilon ^ { \mu \nu \alpha \beta } { } ^ { + } \Omega _ { \mu \nu } ^ { \tau \lambda } { } ^ { + } G _ { \alpha \beta } ^ { \sigma \rho } { } \epsilon _ { \tau \lambda \sigma \rho } + \frac 1 2 ( \tau ^ { - } ) \int d ^ { 4 } x \epsilon ^ { \mu \nu \alpha \beta } { } ^ { - } \Omega _ { \mu \nu } ^ { \tau \lambda } { } ^ { - } G _ { \alpha \beta } ^ { \sigma \rho } { } \epsilon _ { \tau \lambda \sigma \rho } } } \\ { { = \frac 1 2 \int d ^ { 4 } x \epsilon ^ { \mu \nu \alpha \beta } { } \Omega _ { \mu \nu } ^ { \tau \lambda } { } B _ { \alpha \beta } ^ { \sigma \rho } { } \epsilon _ { \tau \lambda \sigma \rho } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle 0 | \hat { a } _ { \mu } \exp \left( i \sum _ { n = 1 } ^ { M } \alpha _ { n } \hat { W } _ { n } \right) \hat { a } _ { \nu } ^ { \dagger } | 0 \rangle } & { { } = \langle 0 | \hat { a } _ { \mu } e ^ { \hat { A } + \hat { B } } \hat { a } _ { \nu } ^ { \dagger } | 0 \rangle } \end{array}
\frac { \partial v _ { 5 } } { \partial C } = A _ { 0 } ( 2 - \alpha ) ( k _ { 5 } ) ^ { 1 - \alpha } \frac { \partial k _ { 5 } } { \partial C } + ( k _ { 5 } ) ^ { 2 - \alpha } ~ ~ , ~ ~ \frac { \partial v _ { 5 } } { \partial E } = A _ { 0 } ( 2 - \alpha ) ( k _ { 5 } ) ^ { 1 - \alpha } \frac { \partial k _ { 5 } } { \partial E } ~ ~ , ~ ~ \frac { \partial v _ { 5 } } { \partial \kappa } = 0 .
\begin{array} { r l r } { f _ { 1 } ( x ) } & { { } = } & { 1 . 6 9 7 7 7 1 4 3 0 0 1 5 5 6 \times \sin \left\{ \sin \left[ 3 . 1 2 5 6 5 9 4 6 5 7 8 9 7 9 \times \exp \left( \frac { - 1 . 0 6 5 7 2 9 0 2 2 0 2 6 0 6 } { x ^ { 1 . 0 3 7 4 5 0 6 7 1 1 9 5 9 8 } } \right) \right] \right\} } \\ { f _ { 2 } ( x ) } & { { } = } & { 1 . 4 8 6 4 7 6 6 5 9 7 7 4 7 8 \times \sin \left\{ 3 . 1 1 7 2 3 2 5 6 1 1 1 1 4 5 \times \exp \left[ \frac { - 1 . 0 5 3 4 7 2 7 5 7 3 3 9 4 8 } { x } \right] \right\} . } \end{array}
E ^ { \mathrm { F F } } = E _ { \mathrm { b o n d s } } + E _ { \mathrm { a n g l e s } } + E _ { \mathrm { t o r s i o n s } } + E _ { \mathrm { i m p r o p e r } } + E _ { \mathrm { v d W } } + E _ { \mathrm { e l e } }
\begin{array} { r l } { \frac 1 2 } & { \frac { d } { d t } F ( t ) = \frac 1 2 \frac { d } { d t } \int _ { M } | \partial _ { t } u ( t ) | ^ { 2 } \mathrm { e } ^ { 2 u ( t ) } d \mu _ { \bar { g } } = \int _ { M } \bigl ( \partial _ { t } u ( t ) \partial _ { t t } u ( t ) + | \partial _ { t } u ( t ) | ^ { 2 } \partial _ { t } u ( t ) \bigr ) d \mu _ { g ( t ) } } \\ & { = \int _ { M } \Bigl ( - ( \partial _ { t } u ( t ) ) ^ { 3 } + 2 \bigl ( f - \alpha ( t ) \bigr ) ( \partial _ { t } u ( t ) ) ^ { 2 } + \partial _ { t } u ( t ) \Delta _ { g ( t ) } \partial _ { t } u ( t ) \Bigr ) d \mu _ { g ( t ) } } \\ & { \le - \int _ { M } ( \partial _ { t } u ( t ) ) ^ { 3 } d \mu _ { g ( t ) } + 2 \bigl ( \| f \| _ { L ^ { \infty } ( M , \bar { g } ) } + \alpha _ { 0 } \bigr ) F ( t ) - G ( t ) } \end{array}
{ \bf { S } } = d i a g ( { s _ { 0 } } , { s _ { 1 } } , { s _ { 1 } } , { s _ { 1 } } , { s _ { 2 } } , { s _ { 2 } } , { s _ { 2 } } , { s _ { 2 b } } , { s _ { 2 } } , { s _ { 2 } } , { s _ { 3 } } , { s _ { 3 } } , { s _ { 3 } } , { s _ { 3 } } , { s _ { 3 } } , { s _ { 3 } } , { s _ { 3 b } } , { s _ { 4 } } , { s _ { 4 } } , { s _ { 4 } } , { s _ { 4 b } } , { s _ { 4 b } } , { s _ { 4 b } } , { s _ { 5 } } , { s _ { 5 } } , { s _ { 5 } } , { s _ { 6 } } ) ,
\begin{array} { r l r } { r _ { k } ^ { i + 1 } } & { \approx } & { r _ { k } ^ { i } - \Delta R ^ { i } \, , } \\ { u _ { k } ^ { i + 1 } } & { \approx } & { \left\{ \begin{array} { l l } { u _ { k } ^ { i } \, \left( 1 - 3 \, \nu _ { k } ^ { i } \, \Delta t _ { i } \right) ^ { \frac { 1 } { 3 } } \, , } & { \Delta t _ { i } < \frac { 1 } { 3 \, \nu _ { k } ^ { i } } } \\ { 0 \, , } & { \mathrm { e l s e } } \end{array} \right. \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { P r } ( \mathbf { A } _ { k } = \mathbf { a } _ { k } ) } & { = \operatorname* { P r } ( A _ { 1 } = a _ { 1 } , \dots , A _ { k } = a _ { k } ) } \\ & { = \operatorname* { P r } ( \cap _ { j = 1 } ^ { k } \{ a _ { j } \le Y _ { j } < a _ { j } + 1 \} ) } \\ & { = \operatorname* { P r } ( \cap _ { j = 1 } ^ { k } \{ ( - 1 ) ^ { j - 1 } [ \mathbf { a } _ { j } ] \le ( - 1 ) ^ { j - 1 } Y _ { 1 } < ( - 1 ) ^ { j - 1 } [ \mathbf { a } _ { j } + \mathbf { e } _ { j } ] \} ) . } \end{array}
M _ { A D M } ^ { 2 } = ( 8 G _ { N } ) ^ { - 1 } \left( { } { \cal M } _ { \infty \, a b } ( { \vec { v } } ^ { a \, T } \mu _ { + } { \vec { v } } ^ { b } ) + \left[ { 2 } { \cal L } _ { a c } { \cal L } _ { b d } ( { \vec { v } } ^ { a \, T } \mu _ { + } { \vec { v } } ^ { b } ) ( { \vec { v } } ^ { c \, T } \mu _ { + } { \vec { v } } ^ { d } ) \right] ^ { \frac { 1 } { 2 } } \right) ,
\textbf { E } _ { \textrm { S t a r k } } ( x , y , t ) = \sqrt { 2 } [ \hat { \textbf { e } } _ { s 1 } E _ { s 1 } ( x ) + \hat { \textbf { e } } _ { s 2 } E _ { s 2 } ( y ) ] \cos ( \omega _ { s } t )
\begin{array} { r l } { \mathcal { R } \int _ { 0 } ^ { t } \mathcal { A } \mathcal { S } ( t - s ) \mathcal { F } ( u ( s ) ) d s } & { = \int _ { 0 } ^ { t } \mathcal { R } \mathcal { A } \mathcal { S } ( t - s ) \mathcal { F } ( u ( s ) ) d s } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { t } \theta \mathcal { R } \mathcal { S } ( t - s ) \mathcal { F } ( u ( s ) ) d s - \int _ { 0 } ^ { t } \mathcal { S } ( t - s ) \mathcal { F } ( u ( s ) ) d s } \\ & { = \mathcal { R } \int _ { 0 } ^ { t } \theta \mathcal { S } ( t - s ) \mathcal { F } ( u ( s ) ) d s - \int _ { 0 } ^ { t } \mathcal { S } ( t - s ) \mathcal { F } ( u ( s ) ) d s . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { S ( \mathbf { Q } ^ { \prime } , \mathbf { Q } ) } & { = } & { K ( \mathbf { Q } ^ { \prime } , \mathbf { Q } ) + U ( \mathbf { Q } ^ { \prime } , \mathbf { Q } ) , } \\ { K ( \mathbf { Q } ^ { \prime } , \mathbf { Q } ) } & { = } & { \frac { 3 N \hbar } { 2 } \ln ( 4 \pi \lambda \tau / \hbar ) + \frac { \hbar ^ { 2 } s ^ { 2 } ( \mathbf { Q } ^ { \prime } , \mathbf { Q } ) } { 4 \lambda \tau } , } \end{array}
\xi _ { n } ( r ) : = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { \mathrm { i f } \quad r \in [ 0 , n ^ { - 2 } ) \, , } \\ { \displaystyle \frac { \log ( n ^ { 2 } r ) } { \log ( n ) } } & { \mathrm { i f } \quad r \in [ n ^ { - 2 } , n ^ { - 1 } ) \, , } \\ { 1 } & { \mathrm { i f } \quad r \in [ n ^ { - 1 } , n ) \, , } \\ { \displaystyle \frac { \log ( n ^ { - 2 } r ) } { \log ( n ^ { - 1 } ) } } & { \mathrm { i f } \quad r \in [ n , n ^ { 2 } ) \, , } \\ { 0 } & { \mathrm { i f } \quad r \in [ n ^ { 2 } , \infty ) \, . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { W _ { 2 } ^ { 2 } ( \mu , \nu ) } & { \leq \int _ { \mathbb { R } ^ { d } \times \mathbb { R } ^ { d } } \| x - y \| _ { 2 } ^ { 2 } \, \mathrm { d } \pi ( x , y ) = \int _ { \mathbb { R } ^ { d } \times \mathbb { R } ^ { d } } ( \| x \| _ { 2 } - \| y \| _ { 2 } ) ^ { 2 } \, \mathrm { d } \pi ( x , y ) } \\ & { = \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } ( \| x \| _ { 2 } - \| y \| _ { 2 } ) ^ { 2 } \mathrm { d } \pi _ { x } ( y ) \, \mathrm { d } \mu ( x ) = \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } ( x - y ) ^ { 2 } \, \mathrm { d } \tilde { \pi } _ { x } ( y ) \, \mathrm { d } \tilde { \mu } ( x ) } \\ & { = \int _ { \mathbb { R } ^ { d } \times \mathbb { R } ^ { d } } ( x - y ) ^ { 2 } \, \mathrm { d } \tilde { \pi } ( x , y ) = W _ { 2 } ^ { 2 } ( \tilde { \mu } , \tilde { \nu } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { | W ( v _ { n } ) - W ( v ) | ^ { ( p ^ { * } ) ^ { \prime } } } & { \le c ( | W ( v _ { n } ) | ^ { ( p ^ { * } ) ^ { \prime } } + | W ( v ) | ^ { ( p ^ { * } ) ^ { \prime } } ) } \\ & { \le c \bigl ( | V | ^ { p ^ { * } / ( p ^ { * } - 1 ) } | v _ { n } | ^ { p ^ { * } ( k - \alpha ) / \alpha ( p ^ { * } - 1 ) } + | V | ^ { p ^ { * } / ( p ^ { * } - 1 ) } | v | ^ { p ^ { * } ( k - \alpha ) / \alpha ( p ^ { * } - 1 ) } \bigr ) } \\ & { \le c \bigl ( | V | ^ { r } + | v _ { n } | ^ { p ^ { * } } + | v | ^ { p ^ { * } } \bigr ) \le c \bigl ( | V | ^ { r } + U ^ { p ^ { * } } + | v | ^ { p ^ { * } } \bigr ) \in L ^ { 1 } ( \mathbb R ^ { N } ) . } \end{array}
\Delta _ { \pm } = \displaystyle \frac { 1 } { 2 } \displaystyle \frac { n _ { \pm } ^ { 2 } } { R ^ { 2 } } + \displaystyle \frac { 1 } { 8 } m ^ { 2 } R ^ { 2 } \pm \displaystyle \frac { n _ { \pm } m } { 2 } + N _ { \pm } \, \, ,
\leq \mathbb { E } _ { X ^ { n } } \left\{ { \frac { 1 } { M } } \sum _ { m } { \mathrm { T r } } \left\{ \Pi _ { \rho , \delta } ^ { n } \rho _ { X ^ { n } \left( m \right) } \Pi _ { \rho , \delta } ^ { n } \right\} \right\} + \epsilon
\prod _ { [ \phi ] \in \mathrm { C M } ( \mathcal { O } _ { K } , \iota ) } \left( J ^ { ( \delta _ { 1 } , \cdots , \delta _ { r - 1 } ) } ( \phi ) - J ^ { ( \delta _ { 1 } , \cdots , \delta _ { r - 1 } ) } ( \varphi ) \right) = \prod _ { [ \phi ] \in \mathrm { C M } ( \mathcal { O } _ { K } , \iota ) } J ^ { ( \delta _ { 1 } , \cdots , \delta _ { r - 1 } ) } ( \phi ) .
( b _ { 1 } , b _ { 2 } , b _ { 3 } , b _ { 4 } , b _ { 5 } , b _ { 6 } ) = ( a _ { 8 } , a _ { 3 } , a _ { 4 } , a _ { 5 } , a _ { 6 } , a _ { 7 } ) , \quad c = a _ { 1 } \, ,
\begin{array} { r } { \hat { \boldsymbol { \Xi } } _ { b } = \sum _ { \boldsymbol { q } n } \frac { l _ { B } \boldsymbol { q } } { 2 } \left( \hat { X } _ { \boldsymbol { q } n } ^ { 2 } + \hat { P } _ { \boldsymbol { q } n } ^ { 2 } \right) , \; \; \epsilon _ { \boldsymbol { q } n } = \frac { \omega _ { \boldsymbol { q } n } } { \omega _ { c } } + \frac { l _ { B } ^ { 2 } q ^ { 2 } } { 2 } , \; \; \xi _ { \boldsymbol { q } n } = \sqrt { \frac { 2 \omega _ { \boldsymbol { q } n } } { \omega _ { c } ^ { 3 } } } \frac { g _ { \boldsymbol { q } n } } { q l _ { B } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { m } _ { t } } & { = \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { F } } \dot { N } _ { p , k } \; \frac { \mathrm { d } m _ { p , k } } { \mathrm { d } t } \, \frac { 1 } { u _ { p , k } } , } \\ { \dot { h } _ { t } } & { = \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { F } } \dot { N } _ { p , k } \; \frac { \mathrm { d } H _ { p , k } } { \mathrm { d } t } \, \frac { 1 } { u _ { p , k } } , } \\ { \dot { Y } _ { i , t } } & { = \dot { m } _ { t } , \; \textbf { i f } i = \mathrm { O 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \alpha _ { 1 } \oplus _ { _ { T } } \alpha _ { 2 } \oplus _ { _ { T } } \cdots \oplus _ { _ { T } } \alpha _ { n } } \\ { = } & { \left\langle S ^ { ( n ) } ( \mu _ { 1 } , \ldots , \mu _ { n } ) , T ^ { ( n ) } ( \eta _ { 1 } \! + \nu _ { 1 } , \ldots , \eta _ { n } \! + \nu _ { n } ) \right. } \\ & { \left. \quad \! - T ^ { ( n ) } ( \nu _ { 1 } , \ldots , \nu _ { n } ) , T ^ { ( n ) } ( \nu _ { 1 } , \ldots , \nu _ { n } ) \right\rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \pi _ { ( m , n ) } ( J _ { i } ) } & { { } = 1 _ { ( 2 m + 1 ) } \otimes J _ { i } ^ { ( n ) } + J _ { i } ^ { ( m ) } \otimes 1 _ { ( 2 n + 1 ) } } \\ { \pi _ { ( m , n ) } ( K _ { i } ) } & { { } = i \left( 1 _ { ( 2 m + 1 ) } \otimes J _ { i } ^ { ( n ) } - J _ { i } ^ { ( m ) } \otimes 1 _ { ( 2 n + 1 ) } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \overline { { T } } _ { \perp } } & { = } & { \frac { 3 2 ( 1 + \delta ^ { 2 } ) + 8 \delta ^ { 4 } + \delta ^ { 8 } } { 6 4 ( 1 + \delta ^ { 2 } ) + 1 6 \delta ^ { 4 } + \delta ^ { 8 } } , } \\ { \mathcal { D C T } _ { \perp } } & { = } & { \frac { 1 6 ( 4 - \delta ^ { 4 } ) } { 3 2 \left( 1 + \delta ^ { 2 } \right) + 8 \delta ^ { 4 } + \delta ^ { 8 } } , } \end{array}
\mathcal { L } = \mathcal { H } = \Lambda _ { \rho } = \frac { 1 } { 4 \mu _ { o } } \mathbb { F } ^ { \alpha \beta } \mathbb { F } _ { \alpha \beta } = \frac { 1 } { 2 \mu _ { o } } \mathbb { F } ^ { 0 \gamma } \partial ^ { 0 } \mathbb { A } _ { \gamma }
{ \left[ \begin{array} { l l l l l } { 1 } & { 2 } & { 3 } & { 4 } & { 5 } \\ { 2 } & { 3 } & { 5 } & { 1 } & { 4 } \\ { 3 } & { 5 } & { 4 } & { 2 } & { 1 } \\ { 4 } & { 1 } & { 2 } & { 5 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } & { 1 } & { 3 } & { 2 } \end{array} \right] } \quad { \left[ \begin{array} { l l l l l } { 1 } & { 2 } & { 3 } & { 4 } & { 5 } \\ { 2 } & { 4 } & { 1 } & { 5 } & { 3 } \\ { 3 } & { 5 } & { 4 } & { 2 } & { 1 } \\ { 4 } & { 1 } & { 5 } & { 3 } & { 2 } \\ { 5 } & { 3 } & { 2 } & { 1 } & { 4 } \end{array} \right] }
q ^ { 0 } = q ^ { 0 } ( q ^ { 0 } , q ^ { k } ) , \quad q ^ { i } = q ^ { i } ( q ^ { 0 } , q ^ { k } ) , \quad { q ^ { \prime } } _ { 0 } ^ { i } = \left( { \frac { \partial q ^ { i } } { \partial q ^ { j } } } q _ { 0 } ^ { j } + { \frac { \partial q ^ { i } } { \partial q ^ { 0 } } } \right) \left( { \frac { \partial q ^ { 0 } } { \partial q ^ { j } } } q _ { 0 } ^ { j } + { \frac { \partial q ^ { 0 } } { \partial q ^ { 0 } } } \right) ^ { - 1 } .
\mathcal { G } _ { i , 1 } = [ \rho _ { i } ] \xi _ { 1 } , \quad \mathcal { G } _ { i , k + 1 } = \frac { \partial \rho _ { w i } } { \partial y _ { k } } \xi _ { 2 } + \frac { \partial \rho _ { o i } } { \partial y _ { k } } \xi _ { 3 } - \lambda \frac { \partial \rho _ { r i } } { \partial y _ { k } } \quad \mathrm { ~ a n d ~ } \quad \mathcal { G } _ { i , 4 } = F _ { i } ,
{ \cal H } = | { \bf p } + e { \bf A } | + i e A _ { 0 } = | { \bf p } | + i e A _ { 0 } + e ( { \bf v } \cdot { \bf A } ) + { \frac { e ^ { 2 } } { 2 | { \bf p } | } } \left( { \bf A } ^ { 2 } - ( { \bf v } \cdot { \bf A } ) ^ { 2 } \right) + \ldots
{ \begin{array} { r l } { l ^ { \prime } } & { = - x \operatorname { s h } u + l \operatorname { c h } u , } \\ { x ^ { \prime } } & { = x \operatorname { c h } u - l \operatorname { s h } u , } \\ { y ^ { \prime } } & { = y , \quad z ^ { \prime } = z , } \\ { \operatorname { c h } u } & { = { \frac { 1 } { \sqrt { 1 - \left( { \frac { v } { c } } \right) ^ { 2 } } } } } \end{array} }
\rho _ { 1 } \otimes \rho _ { 2 } ( 1 , 1 ) = \rho _ { 1 } ( 1 ) \otimes \rho _ { 2 } ( 1 ) = { \left( \begin{array} { l l l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - i } & { 0 } & { - i \omega } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - i \omega } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - i \omega ^ { 2 } } \\ { i } & { 0 } & { i \omega } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { i \omega } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { i \omega ^ { 2 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) }
- { \cal L } _ { m a s s } = \sum _ { i , A } \left( \mu _ { L } ^ { 2 } \vert \phi _ { A } ^ { i } \vert ^ { 2 } + \mu _ { R } ^ { 2 } \vert { \bar { \phi } } _ { i } ^ { A } \vert ^ { 2 } \right) .
\Delta _ { S ^ { n - 1 } } f ( \xi , \phi ) = ( \sin \phi ) ^ { 2 - n } { \frac { \partial } { \partial \phi } } \left( ( \sin \phi ) ^ { n - 2 } { \frac { \partial f } { \partial \phi } } \right) + ( \sin \phi ) ^ { - 2 } \Delta _ { \xi } f