harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\langle { u ^ { \prime } { } ^ { i } u ^ { \prime } { } ^ { j } - b ^ { \prime } { } ^ { i } b ^ { \prime } { } ^ { j } } \rangle = + \frac { 2 } { 3 } K _ { \mathrm { { R } } } \delta ^ { i j } - \nu _ { \mathrm { { K } } } { \cal { S } } ^ { i j } + \nu _ { \mathrm { { M } } } { \cal { M } } ^ { i j } + [ \Gamma ^ { i } \Omega _ { \ast } ^ { j } + \Gamma ^ { j } \Omega _ { \ast } ^ { i } ] _ { \mathrm { { D } } } ,
\rho _ { \pm } ^ { * } = \frac { \Lambda - \lambda _ { 1 } - \lambda _ { 2 } \pm \sqrt { { ( \Lambda - \lambda _ { 1 } - \lambda _ { 2 } ) } ^ { 2 } - 4 ( \Lambda + \tilde { \Lambda } ) ( 1 - \lambda _ { 1 } ) } } { 2 ( \Lambda + \tilde { \Lambda } ) \, } ,
F _ { 1 } ( x , Q ^ { 2 } ) = m ^ { 2 } \, \delta ( W ^ { 2 } - M ^ { 2 } ) \, \left[ | G _ { + } ( Q ^ { 2 } ) | ^ { 2 } + | G _ { - } ( Q ^ { 2 } ) | ^ { 2 } \right] \, ,
\begin{array} { r l r } { \hat { \bf S } _ { z } } & { = } & { \epsilon \int d ^ { 3 } { \bf r } \ ( \hat { \bf E } \times \hat { \bf A } ) } \\ & { = } & { ( - i ) \hbar \hat { \bf z } \left( \hat { a } _ { \mathrm { H } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { V } } - \hat { a } _ { \mathrm { V } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { H } } \right) , } \end{array}
\frac { d \hat { \mathbf { e } } _ { 1 } } { d s } ( s ) = h _ { 1 } ( s ) \hat { \mathbf { n } } ( s ) \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \frac { d \hat { \bf e } _ { 2 } } { d s } ( s ) = h _ { 2 } ( s ) \hat { \bf n } ( s ) \, .
\begin{array} { r } { \dot { \mathbf { x } } _ { r } ( t ) = \mathbf { A } _ { r } \mathbf { x } _ { r } ( t ) + \mathbf { B } _ { r } u ( t ) \ \ ; \ \ \mathbf { y } ( t ) = \mathbf { C } _ { r } \mathbf { x } _ { r } ( t ) , } \end{array}
- \frac { \boldsymbol { \nabla } V ( \boldsymbol { \Theta } _ { 0 } ) } { \mid \boldsymbol { \nabla } V ( \boldsymbol { \Theta } _ { 0 } ) \mid } \sqrt { \frac { E ^ { 2 } } { V _ { 0 } } - V _ { 0 } }
\begin{array} { r l } & { \dot { \gamma } ^ { 2 } \frac { c _ { i } ^ { 2 } } { \omega _ { i } ^ { 2 } } k _ { B } T \Bigl [ \sin \Bigl ( \Bigl ( \omega _ { i } - \frac { \dot { \gamma } } { 2 } - \frac { \dot { \gamma } ^ { 2 } } { 8 \omega _ { i } } \Bigr ) t \Bigr ) \sin \Bigl ( \Bigl ( \omega _ { i } + \frac { \dot { \gamma } } { 2 } - \frac { \dot { \gamma } ^ { 2 } } { 8 \omega _ { i } } \Bigr ) t ^ { \prime } \Bigr ) \Bigr ) + \sin \Bigl ( \Bigl ( ( \omega _ { i } + \frac { \dot { \gamma } } { 2 } - \frac { \dot { \gamma } ^ { 2 } } { 8 \omega _ { i } } \Bigr ) t \Bigr ) \sin \Bigl ( \Bigl ( \omega _ { i } - \frac { \dot { \gamma } } { 2 } - \frac { \dot { \gamma } ^ { 2 } } { 8 \omega _ { i } } \Bigr ) t ^ { \prime } \Bigr ) \Bigr ) } \\ & { + \sin \Bigl ( \Bigl ( ( \omega _ { i } - \frac { \dot { \gamma } } { 2 } - \frac { \dot { \gamma } ^ { 2 } } { 8 \omega _ { i } } \Bigr ) t \Bigr ) \sin \Bigl ( \Bigl ( \omega _ { i } - \frac { \dot { \gamma } } { 2 } - \frac { \dot { \gamma } ^ { 2 } } { 8 \omega _ { i } } \Bigr ) t ^ { \prime } \Bigr ) ) + \sin \Bigl ( \Bigl ( ( \omega _ { i } + \frac { \dot { \gamma } } { 2 } - \frac { \dot { \gamma } ^ { 2 } } { 8 \omega _ { i } } \Bigr ) t \Bigr ) \sin \Bigl ( \Bigl ( \omega _ { i } + \frac { \dot { \gamma } } { 2 } - \frac { \dot { \gamma } ^ { 2 } } { 8 \omega _ { i } } \Bigr ) t ^ { \prime } \Bigr ) \Bigr ] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { [ \hat { P } _ { \mathrm { f i e l d } , k } , \hat { E } _ { j } ( \mathrm { \bf ~ r } ) ] } & { = } & { \frac { \epsilon _ { 0 } } { 2 } \sum _ { n = 1 } ^ { 3 } \int d ^ { 3 } r ^ { \prime } \left\{ [ \hat { E } _ { n } ( \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } ) \partial _ { k } ^ { \prime } \hat { A } _ { n } ( \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } ) , \hat { E } _ { j } ( \mathrm { \bf ~ r } ) ] + . . . \right\} = } \\ & { = } & { - \epsilon _ { 0 } \sum _ { n = 1 } ^ { 3 } \int d ^ { 3 } r ^ { \prime } \hat { E } _ { n } ( \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } ) ) \partial _ { k } ^ { \prime } \frac { - i \hbar \delta _ { n j } } { \epsilon _ { 0 } } \delta ( \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } - \mathrm { \bf ~ r } ) ) = - i \hbar \partial _ { k } \hat { E } _ { j } ( \mathrm { \bf ~ r } ) } \end{array}
\operatorname* { m a x } _ { m \in \{ 0 , \ldots , M - 1 \} } \operatorname* { m a x } \biggl \{ \frac { \kappa _ { m } } { \kappa _ { m } ^ { \prime } } \, , \frac { \kappa _ { m } ^ { \prime } } { \kappa _ { m } } \biggr \} \, .
m _ { \eta _ { 8 } } ^ { 2 } = { \frac { 4 } { 3 } } m _ { K } ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 3 } } m _ { \pi } ^ { 2 } \approx ( 0 . 5 7 \, \, \mathrm { G e V } ) ^ { 2 }
\begin{array} { r l r } { \bar { C } _ { d 1 } } & { { } = } & { \frac { \left\langle \Pi _ { u } \right\rangle } { U ^ { 3 } / L } , } \\ { \bar { C } _ { d 2 } } & { { } = } & { \frac { \left\langle \lvert ( { \bf u \cdot \nabla } ) { \bf u } \rvert \right\rangle } { U ^ { 2 } / L } , } \end{array}
{ \Psi } _ { \mu } ^ { ( 1 ) } ( { \alpha } , { \bf n } , t , { \bf x } ) = { \frac { 1 } { { ( 2 \pi ) } ^ { 3 / 2 } } } \sum _ { \mu ^ { ' } = - 1 } ^ { 1 } \int \frac { d { \bf p } } { p _ { 0 } } \, { \xi } _ { \bf p \mu \mu ^ { ' } } ^ { ( 1 ) } ( { \alpha } , { \bf n } ) \, \exp [ - i ( p \cdot { x } ) ] { \Psi } _ { \mu ^ { ' } } ^ { ( 1 ) } ( { \bf p } ) .
U _ { c } N _ { c } ^ { \mathrm { g h } } = ( N _ { 1 } + N _ { 2 } - 3 ) U _ { 1 } G P U _ { 2 } ^ { \dagger } + U _ { 1 } \left[ G , N _ { 1 } ^ { \mathrm { g h } } + N _ { E } ^ { \mathrm { g h } } \right] P U _ { 2 } ^ { \dagger } \ .
I _ { 3 } \equiv \frac { - q ^ { 2 } } { \pi ^ { d } } \int \frac { d ^ { d } ~ k _ { 1 } ~ d ^ { d } ~ k _ { 2 } } { k _ { 1 } ^ { 2 } [ k _ { 2 } ^ { 2 } - m ^ { 2 } ] [ ( k _ { 1 } - q ) ^ { 2 } - m ^ { 2 } ] ( k _ { 2 } - q ) ^ { 2 } [ ( k _ { 1 } - k _ { 2 } ) ^ { 2 } - m ^ { 2 } ] } .
f ^ { - 1 } ( y ) = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { y ^ { n / 3 } } { n ! } } \operatorname* { l i m } _ { \theta \to 0 } \left( { \frac { \mathrm { d } ^ { \, n - 1 } } { \mathrm { d } \theta ^ { \, n - 1 } } } \left( { \frac { \theta } { \sqrt [ [object Object] ] { \theta - \sin ( \theta ) } } } \right) ^ { n } \right) .
\begin{array} { r l } { \| u ( t , x ) - \widetilde { u } ( t , x ) \| _ { 2 } ^ { 2 } } & { \le \lambda ^ { 2 } L _ { \sigma } ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } \ensuremath { \mathrm { d } } s \iint _ { U ^ { 2 } } \ensuremath { \mathrm { d } } y \, \ensuremath { \mathrm { d } } y ^ { \prime } G _ { D } ( t - s , x , x , y _ { 1 } , y _ { 1 } ^ { \prime } ) f ( y - y ^ { \prime } ) } \\ & { \quad \times \| u ( s , y ) - \widetilde { u } ( s , y ) \| _ { 2 } \| u ( s , y ^ { \prime } ) - \widetilde { u } ( s , y ^ { \prime } ) \| _ { 2 } . } \end{array}
8 \lambda \zeta ^ { 2 } \left( \begin{array} { c c c } { { x ^ { 2 } } } & { { x y } } & { { x z } } \\ { { y x } } & { { y ^ { 2 } } } & { { y z } } \\ { { z x } } & { { z y } } & { { z ^ { 2 } } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } & { \mathcal { E } \left( t _ { \mathrm { p e } } ^ { \prime } , t _ { \mathrm { e x p } } ^ { \prime } , t _ { \mathrm { p o l } } ^ { \prime } , 0 , t ^ { \prime } \right) } \\ & { = e ^ { - t ^ { \prime } } \left\{ e ^ { - t _ { \mathrm { e x p } } } \mathfrak { E i } \left[ \left( 1 + \frac { i } { t _ { \mathrm { p o l } } ^ { \prime } } \right) t ^ { \prime \prime } \right] - \frac { 1 } { t _ { \mathrm { p e } } ^ { \prime } } e ^ { t ^ { \prime } } \frac { \sin { \left( \frac { t ^ { \prime \prime } } { t _ { \mathrm { p o l } } ^ { \prime } } \right) } - \frac { 1 } { t _ { \mathrm { p o l } } ^ { \prime } } \cos { \left( \frac { t ^ { \prime \prime } } { t _ { \mathrm { p o l } } ^ { \prime } } \right) } } { 1 + { t ^ { \prime } } _ { \mathrm { p o l } } ^ { - 2 } } \right\} _ { 0 } ^ { \mathrm { m i n } ( t ^ { \prime } , t _ { \mathrm { p e } } ^ { \prime } ) } } \\ & { = e ^ { - t ^ { \prime } } \left( \epsilon \left( t _ { \mathrm { p e } } ^ { \prime } , t _ { \mathrm { e x p } } ^ { \prime } , t _ { \mathrm { p o l } } ^ { \prime } , \mathrm { m i n } ( t ^ { \prime } , t _ { \mathrm { p e } } ^ { \prime } ) \right) - \epsilon \left( t _ { \mathrm { p e } } ^ { \prime } , t _ { \mathrm { e x p } } ^ { \prime } , t _ { \mathrm { p o l } } ^ { \prime } , 0 ) \right) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \frac { 1 } { 1 } { { P r } } ( \partial _ { t } \hat { \omega } + u \cdot \nabla \hat { \omega } ) - \Delta \hat { \omega } } & { { } = \mathrm { { R a } } \partial _ { 1 } T } & { \textnormal { i n } } & { { } \Omega } \\ { \hat { \omega } } & { { } = \Lambda - \Lambda = 0 } & { \textnormal { o n } } & { { } \gamma ^ { + } \cup \gamma ^ { - } } \\ { \hat { \omega } _ { 0 } } & { { } = | \omega _ { 0 } | - \Lambda } & { \textnormal { i n } } & { { } \Omega \, . } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } { \frac { \int _ { a } ^ { b } e ^ { n f ( x ) } \, d x } { e ^ { n f ( x _ { 0 } ) } { \sqrt { \frac { 2 \pi } { n ( - f ^ { \prime \prime } ( x _ { 0 } ) ) } } } } } \leq \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } ( b - a ) e ^ { - \eta n } { \sqrt { \frac { n ( - f ^ { \prime \prime } ( x _ { 0 } ) ) } { 2 \pi } } } + { \sqrt { \frac { - f ^ { \prime \prime } ( x _ { 0 } ) } { - f ^ { \prime \prime } ( x _ { 0 } ) - \varepsilon } } } = { \sqrt { \frac { - f ^ { \prime \prime } ( x _ { 0 } ) } { - f ^ { \prime \prime } ( x _ { 0 } ) - \varepsilon } } }
{ \cal M } _ { b } ^ { u u } = \frac { i g ^ { 4 } } { 2 } [ T ^ { a } T ^ { b } \otimes T _ { a } T _ { b } ] \int \frac { d ^ { 2 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \left[ \frac { T ( k , p _ { 1 } ) T ^ { * } ( k , p _ { 3 } ) } { w _ { k } - w _ { p } } \right]
D _ { \alpha } ( \theta , \epsilon ) = - \i \nu \int _ { \theta } ^ { \theta + 2 \epsilon } d \phi \left( 1 - \frac { \left| \theta + \epsilon - \phi \right| } { \epsilon } \right) P _ { \alpha } ^ { \prime } ( \phi ) = - \i \nu \int _ { - 1 } ^ { 1 } d \mu \mathrm { ~ s g n } ( \mu ) P _ { \alpha } \left( \theta + \epsilon ( 1 + \mu ) \right)
{ \begin{array} { r l } { \ln a b = \int _ { 1 } ^ { a b } { \frac { 1 } { x } } \, d x } & { = \int _ { 1 } ^ { a } { \frac { 1 } { x } } \, d x + \int _ { a } ^ { a b } { \frac { 1 } { x } } \, d x } \\ & { = \int _ { 1 } ^ { a } { \frac { 1 } { x } } \, d x + \int _ { 1 } ^ { b } { \frac { 1 } { a t } } a \, d t } \\ & { = \int _ { 1 } ^ { a } { \frac { 1 } { x } } \, d x + \int _ { 1 } ^ { b } { \frac { 1 } { t } } \, d t } \\ & { = \ln a + \ln b . } \end{array} }
\begin{array} { r } { \Pi _ { N } ^ { \mathrm { ( i i ) } } ( \alpha ; \tau _ { 2 } ) = 1 - \sum _ { k = 0 } ^ { N - 1 } F _ { k } \left[ \alpha ; \eta _ { \mathrm { i r } } ( \tau _ { 2 } ; N - 1 ) \right] } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { Q _ { n } } & { { \overset { \mathrm { d e f } } { = } } { \frac { 1 } { \Gamma \left( { \frac { 1 } { 2 } } \right) } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \tau ( \tau - 1 ) \cdots ( \tau - n + 1 ) \tau ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } } e ^ { - \tau } \, d \tau } \\ & { = \sum _ { k = 0 } ^ { n } \left( { \frac { 1 } { 2 } } \right) ^ { \bar { k } } s ( n , k ) , } \end{array} }
\left\{ \begin{array} { l l } { x _ { 1 } ^ { m _ { 1 } } + \dots + x _ { k } ^ { m _ { 1 } } = y _ { 1 } ^ { m _ { 1 } } + \dots + y _ { k } ^ { m _ { 1 } } } \\ { \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots } \\ { x _ { 1 } ^ { m _ { s } } + \dots + x _ { k } ^ { m _ { s } } = y _ { 1 } ^ { m _ { s } } + \dots + y _ { k } ^ { m _ { s } } } \\ { x _ { 1 } ^ { n } + \dots + x _ { k } ^ { n } = y _ { 1 } ^ { n } + \dots + y _ { k } ^ { n } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { { \bf u } _ { \mathrm { l f } } ( { \bf r } ) } & { { } = \frac { 3 v } { 2 } \frac { a ^ { 3 } } { r ^ { 3 } } \left[ P _ { 1 } ( { \bf t } \cdot { \bf \hat { r } } ) \, { \bf \hat { r } } - \frac { \bf t } { 3 } \right] + 3 \, \beta _ { 2 0 } ^ { r } \left( \frac { a ^ { 4 } } { r ^ { 4 } } - \frac { a ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } \right) \, P _ { 2 } ( { \bf t } \cdot { \bf \hat { r } } ) \, { \bf \hat { r } } } \\ { p _ { \mathrm { l f } } ( { \bf r } ) } & { { } = - 2 \eta \, \beta _ { 2 0 } ^ { r } \, \frac { a ^ { 2 } } { r ^ { 3 } } \, P _ { 2 } \left( { \bf t } \cdot { \bf \hat { r } } \right) \, , } \end{array}
E ( n , \alpha , N ^ { \prime } ) _ { N L } = \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } \sum _ { \rho = 2 } ^ { N _ { i } ^ { N L } + 1 } \alpha ^ { \rho } \sum _ { j = 0 } ^ { \rho } s _ { j , \rho } ^ { N L } ( i ) \ln ^ { j } n ,
\begin{array} { r } { \left< r \right> = \left< \frac { \operatorname* { m i n } \left( \Delta _ { n } , \Delta _ { n + 1 } \right) } { \operatorname* { m a x } \left( \Delta _ { n } , \Delta _ { n + 1 } \right) } \right> . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { d } E } & { = \left( \mu \frac { \partial E } { \partial \epsilon } + \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } E } { \partial \epsilon ^ { 2 } } \right) \mathrm { d } t + \sigma \frac { \partial E } { \partial \epsilon } \mathrm { d } { W } } \\ & { = ( 2 \epsilon \mu + \sigma ^ { 2 } ) \mathrm { d } t + 2 \sigma \epsilon \mathrm { d } { W } } \\ & { = ( - E \left[ { \Gamma _ { 0 } + \Gamma _ { \mathrm { m } } ( E ) } \right] + { \Gamma _ { 0 } k _ { \mathrm { B } } T _ { 0 } } ) \mathrm { d } t + \sqrt { 2 E \Gamma _ { 0 } k _ { \mathrm { B } } T _ { 0 } } \mathrm { d } { W } \mathrm { . } } \end{array}
\begin{array} { r } { T _ { m } = \mathrm { i } ( \lambda _ { m } ^ { P } ) ^ { 5 } + 2 ( \lambda _ { m } ^ { P } ) ^ { 4 } \omega _ { \eta } - \mathrm { i } ( \lambda _ { m } ^ { P } ) ^ { 3 } ( \omega _ { C } ^ { 2 } + \omega _ { \eta } ^ { 2 } + 2 \omega _ { M } ^ { 2 } ) - 2 \omega _ { \eta } ( \lambda _ { m } ^ { P } ) ^ { 2 } ( 2 \omega _ { C } ^ { 2 } + \omega _ { M } ^ { 2 } ) } \\ { + \mathrm { i } \lambda _ { m } ^ { P } ( \omega _ { C } ^ { 2 } \omega _ { \eta } ^ { 2 } + \omega _ { M } ^ { 4 } ) , \quad m = 1 , 2 . . . 5 . } \end{array}
P ( C \, | \, \boldsymbol \uprho , \vec { w } ) = \sum _ { j } w _ { j } \int _ { \mathrm { S O } ( 3 ) } \prod _ { i } \left( 1 - Q \left( m _ { i } - 1 , N \! \! \int _ { D _ { i } } \! \! \mathcal \lvert F \{ \rho _ { j } \} ( \vec { R } \vec { k } ) \rvert ^ { 2 } \, \mathrm d \vec { k } \right) \right) \mathrm d \vec { R } ,
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { l i m } _ { u \to \frac { \pi } { 2 } } \frac { r ^ { 2 } A _ { 2 } \cos ( \theta _ { * } - \theta ) } { \sin ^ { 2 } [ r A _ { 2 } \sin ( \theta _ { * } - \theta ) ] } \frac { \cos ^ { 4 } u } { \sin u } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { u \to \frac { \pi } { 2 } } \frac { m n \sin ^ { 4 } ( \pi / 2 - u ) } { A _ { 2 } \sin ^ { 2 } [ 2 \theta _ { * } \sin ^ { 2 } ( \frac { \pi / 2 - u } { 2 } ) ] } = \frac { 4 m n } { A _ { 2 } \theta _ { * } ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { u _ { 1 } ^ { \mathcal { C } } \left[ r , \tau \right] } & { : = r \left( \cos \circ ~ \Omega \left[ \tau \right] - 1 \right) - \sin \circ ~ \Omega \left[ \tau \right] U _ { 2 } ^ { \mathcal { C } } \left[ r , \tau \right] , } \\ { u _ { 2 } ^ { \mathcal { C } } \left[ r , \tau \right] } & { : = r \sin \circ ~ \Omega \left[ \tau \right] + \cos \circ ~ \Omega \left[ \tau \right] U _ { 2 } ^ { \mathcal { C } } \left[ r , \tau \right] . } \end{array}
Z _ { i } = \sum _ { n \in \mathcal { V } _ { r } } \sum _ { n ^ { \prime } \in \mathcal { V } _ { a } } \hat { U } _ { n n ^ { \prime } } ( t _ { i } , t _ { i - 1 } ) P _ { n ^ { \prime } } ( t _ { i - 1 } )
\tilde { E } _ { c } = - \frac { 1 } { 4 } \sum _ { i j a b } \frac { | \tilde { \mathbb { I } } _ { i j a b } | ^ { 2 } } { ( \varepsilon _ { a } + \varepsilon _ { b } - \tilde { \varepsilon } _ { i } - \tilde { \varepsilon } _ { j } ) }
\begin{array} { r l } { \underset { k \in \dot { \mathbb Z } ^ { d } } { \operatorname* { s u p } } \underset { 0 \leq s \leq T } { \operatorname* { s u p } } \int _ { s } ^ { T } \frac { ( t - s ) ^ { 2 q } \vert k \vert ^ { 1 + 2 q } } { ( 1 + \vert k \vert ( t - s ) ) ^ { \alpha _ { 1 } } } \, \mathrm { d } t } & { = \underset { k \in \dot { \mathbb Z } ^ { d } } { \operatorname* { s u p } } \underset { 0 \leq s \leq T } { \operatorname* { s u p } } \int _ { 0 } ^ { \vert k \vert ( T - s ) } \frac { \tau ^ { 2 q } } { ( 1 + \tau ) ^ { \alpha _ { 1 } } } \, \mathrm { d } \tau \leq \int _ { 0 } ^ { + \infty } \frac { \tau ^ { 2 q } } { ( 1 + \tau ) ^ { \alpha _ { 1 } } } \, \mathrm { d } \tau , } \end{array}
\mathbf { G } ^ { * } = \frac { 1 } { p _ { 2 } ^ { 2 } + \mu ^ { 2 } } \, d p _ { 2 } \otimes d p _ { 2 } + \mathrm { s g n } ( \mathsf { A } ) \frac { p _ { 2 } ^ { 2 } + \mu ^ { 2 } } { \mathsf { A } ^ { 2 } } \, d \psi _ { 2 } \otimes d \psi _ { 2 } \, ,
\begin{array} { r l } { { \cal H } ^ { ( 0 ) } ( { \bf k } ) } & { \! = \! \left( \begin{array} { l l l l } { m ( { \bf k } ) } & { A _ { 1 } k _ { z } } & { 0 } & { A _ { 2 } k _ { - } } \\ { A _ { 1 } k _ { z } } & { - m ( { \bf k } ) } & { A _ { 2 } k _ { - } } & { 0 } \\ { 0 } & { A _ { 2 } k _ { + } } & { m ( { \bf k } ) } & { - A _ { 1 } k _ { z } } \\ { A _ { 2 } k _ { + } } & { 0 } & { - A _ { 1 } k _ { z } } & { - m ( { \bf k } ) } \end{array} \right) } \\ & { \! = \! m ( { \bf k } ) \sigma _ { 0 } \otimes \tau _ { z } \! + \! \! A _ { 1 } k _ { z } \sigma _ { z } \otimes \tau _ { x } \! + \! A _ { 2 } k _ { x } \sigma _ { x } \otimes \tau _ { x } \! + \! A _ { 2 } k _ { y } \sigma _ { y } \otimes \tau _ { x } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { s _ { L } } & { { } = 1 + \frac { A } { 2 } \left( \cos ( 2 \theta ) - 1 \right) , } \\ { s _ { R } } & { { } = 1 + \frac { A } { 2 } \left( \cos ( 2 ( \theta + \phi ) ) - 1 \right) . } \end{array}
Q _ { k } = \sum _ { i = 1 } ^ { m } \mathbf { F } _ { i } \cdot { \frac { \partial \mathbf { r } _ { i } } { \partial q _ { k } } } + \sum _ { j = 1 } ^ { n } \mathbf { M } _ { j } \cdot { \frac { \partial \mathbf { \phi } _ { j } } { \partial q _ { k } } } , \quad k = 1 , 2 , . . . , f .
\begin{array} { r l } { \left[ \overline { { \overline { { Q } } } } _ { 0 } \delta ( z ) \right] \cdot \nabla } & { { } = \left( \overline { { \overline { { Q } } } } _ { 0 } \cdot \nabla _ { t } \right) \delta ^ { ( 0 ) } ( z ) + \left( \overline { { \overline { { Q } } } } _ { 0 } \cdot \mathbf { \hat { z } } \right) \delta ^ { ( 1 ) } ( z ) } \\ { \left[ \overline { { \overline { { S } } } } _ { 0 } \delta ( z ) \right] \cdot \nabla } & { { } = \left( \overline { { \overline { { S } } } } _ { 0 } \cdot \nabla _ { t } \right) \delta ^ { ( 0 ) } ( z ) + \left( \overline { { \overline { { S } } } } _ { 0 } \cdot \mathbf { \hat { z } } \right) \delta ^ { ( 1 ) } ( z ) \, , } \end{array}
\mathbb { 1 } _ { \alpha } ( \ensuremath { \boldsymbol { { x } } } ) = \left\{ \begin{array} { l c r } { 1 } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } } & { \ensuremath { \boldsymbol { { x } } } \in W _ { \alpha } } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } } & { \ensuremath { \boldsymbol { { x } } } \notin W _ { \alpha } . } \end{array} \right.
\Delta F _ { \mathrm { R P } } ^ { \ddagger } = - k _ { \mathrm { B } } T \ln \frac { \rho ( z _ { \mathrm { T S } } ) \left< \lambda _ { \xi } \right> _ { z _ { \mathrm { T S } } } } { \mathcal { P } ( \mathrm { R } ) } \ ,
\mathbf { F } ( \mathbf { r } , \mathbf { m } _ { 1 } , \mathbf { m } _ { 2 } ) = { \frac { 3 \mu _ { 0 } } { 4 \pi | \mathbf { r } | ^ { 4 } } } \left[ \mathbf { m } _ { 2 } ( \mathbf { m } _ { 1 } \cdot { \hat { \mathbf { r } } } ) + \mathbf { m } _ { 1 } ( \mathbf { m } _ { 2 } \cdot { \hat { \mathbf { r } } } ) + { \hat { \mathbf { r } } } ( \mathbf { m } _ { 1 } \cdot \mathbf { m } _ { 2 } ) - 5 { \hat { \mathbf { r } } } ( \mathbf { m } _ { 1 } \cdot { \hat { \mathbf { r } } } ) ( \mathbf { m } _ { 2 } \cdot { \hat { \mathbf { r } } } ) \right] ,
\boldsymbol { \Sigma } : = \hbar \left( \begin{array} { l l } { \boldsymbol { 0 } _ { m \times m } } & { \boldsymbol { 1 } _ { m \times m } } \\ { - \boldsymbol { 1 } _ { m \times m } } & { \boldsymbol { 0 } _ { m \times m } } \end{array} \right) .
\left[ \begin{array} { l l l l } { - 1 } & { 0 } & { T _ { f } ^ { + } } & { \mathbf { 0 } _ { \mathrm { V } } ^ { \intercal } } \\ { \mathbf { 0 } _ { \mathrm { V } } } & { \mathbf { 0 } _ { \mathrm { V } } } & { R _ { f } ^ { + } } & { - I } \\ { \mathbf { 0 } _ { \mathrm { V } } } & { \mathbf { 0 } _ { \mathrm { V } } } & { - I } & { R _ { b } ^ { - } } \\ { 0 } & { - 1 } & { \mathbf { 0 } _ { \mathrm { V } } ^ { \intercal } } & { T _ { b } ^ { - } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \alpha ^ { + } } \\ { \beta ^ { - } } \\ { \mathbf { A } ^ { ( 0 ) } } \\ { \mathbf { B } ^ { ( 0 ) } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { - R _ { b } ^ { + } \beta ^ { + } } \\ { - T _ { b } ^ { + } \beta ^ { + } } \\ { - T _ { f } ^ { - } \alpha ^ { - } } \\ { - R _ { f } ^ { - } \alpha ^ { - } } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l } { \nu _ { d + } = } & { { } \nu _ { d + , d + } + \frac { m _ { e } } { m _ { d + } } \nu _ { e , d + } + n _ { d } \left< \sigma v \right> _ { c x } } \\ { \nu _ { e } = } & { { } \nu _ { e , d + } + \nu _ { e , e } } \\ { \nu _ { d } = } & { { } n _ { d + } \left< \sigma v \right> _ { c x } + n _ { d } a _ { 0 } \sqrt { 2 e T _ { d } / m _ { d } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \widetilde { \Omega } = \Omega - ( \eta ^ { * } ) ( \eta ^ { * } ) ^ { \prime } , \qquad \mathrm { w h e r e } \quad \eta ^ { * } = \frac { 1 } { \sqrt { v _ { 0 } } } \Omega { \bf 1 } _ { n } , \; \; v _ { 0 } = { \bf 1 } _ { n } ^ { \prime } \Omega { \bf 1 } _ { n } ; } \\ & { \delta _ { i j } = \eta _ { i } ( \eta _ { j } - \tilde { \eta } _ { j } ) + \eta _ { j } ( \eta _ { i } - \tilde { \eta } _ { i } ) , \qquad \mathrm { w h e r e } \quad \eta = \frac { 1 } { \sqrt { v } } ( \mathbb { E } A ) { \bf 1 } _ { n } , \; \; \tilde { \eta } = \frac { 1 } { \sqrt { v } } A { \bf 1 } _ { n } , \; \; v = { \bf 1 } _ { n } ^ { \prime } ( \mathbb { E } A ) { \bf 1 } _ { n } ; } \\ & { r _ { i j } = ( \eta _ { i } ^ { * } \eta _ { j } ^ { * } - \eta _ { i } \eta _ { j } ) - ( \eta _ { i } - \tilde { \eta } _ { i } ) ( \eta _ { j } - \tilde { \eta } _ { j } ) + ( 1 - \frac { v } { V } ) \tilde { \eta } _ { i } \tilde { \eta } _ { j } , \qquad \mathrm { w h e r e } \; \; V = { \bf 1 } _ { n } ^ { \prime } A { \bf 1 } _ { n } . } \end{array}
u _ { i } ^ { n + 1 } = u _ { i } ^ { n } - \frac { 3 } { 4 } \frac { \Delta t } { \Delta x } u _ { i } ^ { n } ( u _ { i } ^ { n } - u _ { i - 1 } ^ { n } ) + 6 \frac { \Delta t } { \Delta x } v _ { i } ^ { n } ( v _ { i } ^ { n } - v _ { i - 1 } ^ { n } ) + \frac { 1 } { 1 6 } \frac { \Delta t } { ( \Delta x ) ^ { 3 } } ( u _ { i + 2 } ^ { n } - 2 u _ { i + 1 } ^ { n } + 2 u _ { i - 1 } ^ { k } - u _ { i - 2 } ^ { k } )
\begin{array} { r l r } { A ^ { \infty } ( m ) } & { { } = } & { m ^ { 2 } ( \Delta - \ln \frac { m ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } + 1 ) , \ \Delta = \frac { 2 } { \epsilon } - \gamma + \ln ( 4 \pi ) , } \end{array}
\overline { { \mathbf { B } } } _ { \xi } = \frac { 1 } { J } \left[ \begin{array} { c c c c c } { U } & { \rho \xi _ { x } } & { \rho \xi _ { y } } & { \rho \xi _ { z } } & { 0 } \\ { 0 } & { U } & { 0 } & { 0 } & { \frac { \xi _ { x } } { \rho } } \\ { 0 } & { 0 } & { U } & { 0 } & { \frac { \xi _ { y } } { \rho } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { U } & { \frac { \xi _ { z } } { \rho } } \\ { 0 } & { \gamma p \xi _ { x } } & { \gamma p \xi _ { y } } & { \gamma p \xi _ { z } } & { U } \end{array} \right] , \quad \overline { { \mathbf { B } } } _ { \eta } = \frac { 1 } { J } \left[ \begin{array} { c c c c c } { V } & { \rho \eta _ { x } } & { \rho \eta _ { y } } & { \rho \eta _ { z } } & { 0 } \\ { 0 } & { V } & { 0 } & { 0 } & { \frac { \eta _ { x } } { \rho } } \\ { 0 } & { 0 } & { V } & { 0 } & { \frac { \eta _ { y } } { \rho } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { V } & { \frac { \eta _ { z } } { \rho } } \\ { 0 } & { \gamma p \eta _ { x } } & { \gamma p \eta _ { y } } & { \gamma p \eta _ { z } } & { V } \end{array} \right] \mathrm { a n d }
\begin{array} { r } { \mathbb { D } \left( P _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ s ~ s ~ } } \Vert P _ { \mathrm { ~ f ~ r ~ e ~ e ~ } } \right) = \log \left( \frac { \vert \mathbf { H } \left( M \right) \vert } { \vert \mathbf { H } \left( M \right) \vert - Z _ { \eta } \left( M \right) } \right) . } \end{array}