harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { y = } & { W ^ { ( \ell ) } g ( W ^ { ( \ell - 1 ) } g ( \cdots g ( W ^ { ( 0 ) } x + b ^ { ( 0 ) } ) + \cdots ) + b ^ { ( \ell - 1 ) } ) + b ^ { ( \ell ) } + x } \\ { = } & { W ^ { ( \ell ) } g ( W ^ { ( \ell - 1 ) } g ( \cdots g ( W ^ { ( 0 ) } x + b ^ { ( 0 ) } ) + \cdots ) + b ^ { ( \ell - 1 ) } ) + b ^ { ( \ell ) } } \\ & { + I _ { m } g ( I _ { m } g ( \cdots g ( I _ { m } x ) + \cdots ) ) + ( - I _ { m } ) g ( I _ { m } g ( \cdots g ( - I _ { m } x ) + \cdots ) ) } \\ { = } & { ( W ^ { ( \ell ) } , I _ { m } , - I _ { m } ) g ( \left[ \begin{array} { l l l } { W ^ { ( \ell - 1 ) } } & & \\ & { I _ { m } } & \\ & & { - I _ { m } } \end{array} \right] g ( \cdots g ( \left[ \begin{array} { l } { W ^ { ( 0 ) } } \\ { I _ { m } } \\ { - I _ { m } } \end{array} \right] x + \left[ \begin{array} { l } { b ^ { ( 0 ) } } \\ { 0 _ { m } } \\ { 0 _ { m } } \end{array} \right] ) + \cdots ) } \\ & { + \left[ \begin{array} { l } { b ^ { ( \ell - 1 ) } } \\ { 0 _ { m } } \\ { 0 _ { m } } \end{array} \right] ) + b ^ { ( l ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { \mathrm { ~ p ~ a ~ i ~ r ~ } } ^ { \mathrm { ~ r ~ i ~ n ~ g ~ } } } & { { } = \left( \gamma _ { \mathrm { ~ N ~ L ~ } } P _ { P } \right) ^ { 2 } \frac { 2 v _ { g } ^ { 4 } } { \omega ^ { 3 } } \frac { Q ^ { 3 } } { L ^ { 2 } } \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname { h } ( W _ { 1 } ) } & { { } = - \int _ { \mathbb { R } } p _ { W _ { 1 } } ( 1 , w ) \ln \bigl [ p _ { W _ { 1 } } ( 1 , w ) \bigr ] \, \mathrm { ~ d ~ } w , } \\ { \operatorname { H } ( C _ { 2 } ) } & { { } = - P \ln P - ( 1 - P ) \ln ( 1 - P ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 = } & { { } - \frac { \pi a _ { 0 } } { 9 } - \frac { a _ { 0 } } { 6 } + \frac { \sqrt { 3 } a _ { 0 } } { 3 } - a _ { 1 } - \frac { \pi a _ { 2 } } { 9 } - \frac { a _ { 2 } } { 6 } + } \end{array}
\hat { J } _ { m } ^ { ( a p p ) } = - ( N - 1 ) R \sum _ { n _ { 1 } , n _ { 2 } } \hat { P } _ { n _ { 1 } } \hat { P } _ { n _ { 2 } } \, \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } { \frac { d \theta } { 2 \pi } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \theta _ { 2 } \, v _ { r e l } \, \int _ { - \pi / 2 } ^ { \pi / 2 } d \phi \, \mathrm { c o s } \phi \; \mathrm { e } ^ { i \theta ( n _ { 1 } - m ) + i n _ { 2 } \theta _ { 2 } }
\left\| \frac { x ^ { * } ( t ) - x _ { 0 } } { t } - v _ { 0 } \right\| = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \left\| \frac { x _ { \delta _ { n } } ( t ) - x _ { 0 } } { t } - v _ { 0 } \right\| = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \| \dot { x } _ { \delta _ { n } } ( c _ { n } ) - v _ { 0 } \| \le \frac { \bar { K } } { \operatorname* { m i n } _ { s \in ( 0 , t ] } \gamma ( s ) } ,
\begin{array} { r l } { r _ { b } ( x ^ { k + 1 } ) - r _ { b } ( z ^ { k } ) } & { = A \left( x ^ { k + 1 } - z ^ { k } \right) = A \left( x ( \alpha _ { k } ) + \Delta x - z ^ { k } \right) } \\ & { = A \left( z ^ { k } - \dot { z } \sin \left( \alpha _ { k } \right) + \ddot { z } \left( 1 - \cos \left( \alpha _ { k } \right) \right) + \Delta x - z ^ { k } \right) } \\ & { = - A \dot { z } \sin ( \alpha _ { k } ) } \\ & { = - r _ { b } ( z ^ { k } ) \sin ( \alpha _ { k } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { R H S } _ { i } } & { = } & { \underset { r = r _ { s } - i } { \overset { r _ { s } - 1 } { \sum } } ( t _ { X _ { s } ^ { ( 2 ) } , 2 r _ { s } - 1 - i - r } t _ { X _ { s } ^ { ( 1 ) } , r _ { s } - 1 - j + r } - t _ { X _ { s } ^ { ( 1 ) } , 2 r _ { s } - 1 - i - r } t _ { X _ { s } ^ { ( 2 ) } , r _ { s } - 1 - j + r } ) \delta _ { 1 \leq r \leq j } } \\ & { = } & { \underset { r = r _ { s } - i } { \overset { r _ { s } - 1 } { \sum } } t _ { X _ { s } ^ { ( 2 ) } , 2 r _ { s } - 1 - i - r } t _ { X _ { s } ^ { ( 1 ) } , r _ { s } - 1 - j + r } \delta _ { 1 \leq r \leq j } } \\ & { } & { - \underset { r = r _ { s } - i } { \overset { r _ { s } - 1 } { \sum } } t _ { X _ { s } ^ { ( 1 ) } , 2 r _ { s } - 1 - i - r } t _ { X _ { s } ^ { ( 2 ) } , r _ { s } - 1 - j + r } ) \delta _ { 1 \leq r \leq j } } \\ & { = } & { \underset { r = r _ { \infty } - i } { \overset { j } { \sum } } t _ { X _ { s } ^ { ( 2 ) } , 2 r _ { s } - 1 - i - r } t _ { X _ { s } ^ { ( 1 ) } , r _ { s } - 1 - j + r } - \underset { r = r _ { \infty } - i } { \overset { j } { \sum } } t _ { X _ { s } ^ { ( 1 ) } , 2 r _ { s } - 1 - i - r } t _ { X _ { s } ^ { ( 2 ) } , r _ { s } - 1 - j + r } ) } \\ & { \overset { u = r _ { \infty } + j - i - r } { = } } & { \underset { r = r _ { s } - i } { \overset { j } { \sum } } t _ { X _ { s } ^ { ( 2 ) } , 2 r _ { s } - 1 - i - r } t _ { X _ { s } ^ { ( 1 ) } , r _ { s } - 1 - j + r } - \underset { u = r _ { s } - i } { \overset { j } { \sum } } t _ { X _ { s } ^ { ( 1 ) } , r _ { s } - 1 - j + u } t _ { X _ { s } ^ { ( 2 ) } , 2 r _ { s } - 1 - i - u } ) } \\ & { = } & { 0 } \end{array}
{ \frac { d ^ { 2 } \sigma } { d x _ { 1 } d x _ { 2 } } } = { \frac { 4 \pi \alpha ^ { 2 } } { 9 s ~ x _ { 1 } x _ { 2 } } } \sum _ { a } e _ { a } ^ { 2 } [ q _ { a } ( x _ { 1 } ) \bar { q } _ { a } ( x _ { 2 } ) + \bar { q } _ { a } ( x _ { 1 } ) q _ { a } ( x _ { 2 } ) ] .
( \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } | \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } ) = \int \mathrm { d } \mathbf { r } _ { i } \mathrm { d } \mathbf { r } _ { j } \; \phi _ { \textsc { p } _ { 1 } } ^ { * } ( \mathbf { r } _ { i } ) \phi _ { \textsc { p } _ { 2 } } ( \mathbf { r } _ { i } ) r _ { i j } ^ { - 1 } \phi _ { \textsc { q } _ { 1 } } ^ { * } ( \mathbf { r } _ { j } ) \phi _ { \textsc { q } _ { 2 } } ( \mathbf { r } _ { j } )
\begin{array} { r l } & { \left\| e _ { j } ^ { \top } ( \hat { \Theta } _ { k } - \Theta ) \right\| ^ { 2 } = \left\| V _ { k } ^ { - 1 } S _ { j , k } \right\| \leq \left\| V _ { k } ^ { - 1 } \right\| \| S _ { j , k } \| _ { ( I + V _ { k } ) ^ { - 1 } } } \\ & { \leq 2 \left\| V _ { k } ^ { - 1 } \right\| \log \left( \operatorname* { d e t } ( I + V _ { k } ) ^ { 1 / 2 } / \delta \right) } \\ & { \leq 2 \left\| V _ { k } ^ { - 1 } \right\| \left[ \log \left( \frac { 1 } { \delta } \right) + \frac { n } { 2 } \log ( 1 + \| V _ { k } \| ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { p = 1 } ^ { n } \cos ^ { 4 } ( p \theta ) } & { = n - 2 \sum _ { p = 1 } ^ { n } \cos ^ { 2 } ( p \theta ) + \sum _ { p = 1 } ^ { n } \cos ^ { 4 } ( p \theta ) \, } \\ { \sum _ { p = 1 } ^ { n } \cos ^ { 4 } ( p \theta ) } & { = \sum _ { p = 1 } ^ { n } \left[ 1 - \cos ^ { 2 } ( p \theta ) \right] ^ { 2 } \, } \\ { \sum _ { p = 1 } ^ { n } \cos ^ { 4 } ( p \theta ) } & { = \sum _ { p = 1 } ^ { n } \sin ^ { 4 } ( p \theta ) \, . } \end{array}
A = \frac { F _ { 1 } } { 2 \sqrt { x } } l n \frac { F - F _ { 1 } } { F _ { 0 } - F _ { 1 } } - \frac { F _ { 2 } } { 2 \sqrt { x } } l n \frac { F _ { 2 } - F } { F _ { 2 } - F _ { 0 } } \; .
\begin{array} { r l } { E \left[ \left| X _ { t - s } ^ { \varepsilon } - X _ { t _ { k - 1 } - s } ^ { \varepsilon } \right| ^ { p } \bigg | \mathcal { F } _ { t _ { k - 1 } } \right] } & { \leq C _ { p } \int _ { t _ { k - 1 } - s } ^ { t - s } E \left[ \left| X _ { u } ^ { \varepsilon } - X _ { t _ { k - 1 } } ^ { \varepsilon } \right| ^ { p } | \mathcal { F } _ { t _ { k - 1 } } \right] \, \mathrm { d } u } \\ & { \quad + C _ { p } \int _ { t _ { k - 1 } - s } ^ { t - s } E \left[ \left| H \left( X _ { u - \cdot } ^ { \varepsilon } \right) - H \big ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ^ { \varepsilon } \big ) \right| ^ { p } \bigg | \mathcal { F } _ { t _ { k - 1 } } \right] \, \mathrm { d } u } \\ & { \quad + R _ { k - 1 } \Big ( \big ( t - t _ { k - 1 } \big ) ^ { p } \Big ) + R _ { k - 1 } \Big ( \varepsilon ^ { p } \big ( t - t _ { k - 1 } \big ) ^ { p / 2 } \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \rho ^ { 2 } X _ { 0 } } & { = } & { - \left[ 2 M _ { H } r ( p _ { r } + E ) + \rho ^ { 2 } E \right] \frac { \partial } { \partial t } - \left( a _ { H } p _ { r } + \frac { L _ { z } } { \sin ^ { 2 } \vartheta } \right) \frac { \partial } { \partial \varphi } } \\ & { - } & { \frac { M _ { H } m } { C } \sqrt { 1 - k ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \chi } \frac { \partial } { \partial \chi } - \frac { \sqrt { L ^ { 2 } - \hat { L } _ { z } ^ { 2 } } } { \cos \vartheta _ { 1 } } \sqrt { 1 - k _ { 1 } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \phi } \frac { \partial } { \partial \phi } , } \\ { \rho ^ { 2 } X _ { 3 } } & { = } & { 2 a _ { H } \left[ - 2 a _ { H } \cos ^ { 2 } \vartheta M _ { H } r ( p _ { r } + E ) + \rho ^ { 2 } \hat { L } _ { z } \right] \frac { \partial } { \partial t } + 2 \left[ - a _ { H } ^ { 3 } \cos ^ { 2 } \vartheta ( p _ { r } + E ) + \frac { r ^ { 2 } } { \sin ^ { 2 } \vartheta } ( \hat { L } _ { z } + a _ { H } \cos ^ { 2 } \vartheta E ) \right] \frac { \partial } { \partial \varphi } } \\ & { - } & { 2 \frac { M _ { H } m } { C } a _ { H } ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \vartheta \sqrt { 1 - k ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \chi } \frac { \partial } { \partial \chi } + 2 r ^ { 2 } \frac { \sqrt { L ^ { 2 } - \hat { L } _ { z } ^ { 2 } } } { \cos \vartheta _ { 1 } } \sqrt { 1 - k _ { 1 } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \phi } \frac { \partial } { \partial \phi } , } \end{array}
E = \sum _ { n = 1 } ^ { N } { \frac { \mathbf { p } _ { n } \cdot \mathbf { p } _ { n } } { 2 m _ { n } } } + V ( \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r } _ { 2 } , \ldots , \mathbf { r } _ { N } , t ) = H \,
\begin{array} { c c } { < j _ { 1 a } j _ { b 2 } j _ { 1 2 } m _ { 1 2 } | j _ { 1 a } j _ { b 2 } m _ { 1 a } m _ { b 2 } > = \sqrt { \frac { ( 2 j _ { 1 2 } + 1 ) ( j _ { 1 a } + j _ { b 2 } - j _ { 1 2 } ) ! ( j _ { 1 2 } + j _ { 1 a } - j _ { b 2 } ) ! ( j _ { 1 2 } + j _ { b 2 } - j _ { 1 a } ) ! } { ( j _ { 1 a } + j _ { b 2 } + j _ { 1 2 } + 1 ) ! } } } \\ { \cdot \sum _ { z } ( - 1 ) ^ { z } \frac { \sqrt { ( j _ { 1 a } + m _ { 1 a } ) ! ( j _ { 1 a } - m _ { 1 a } ) ! ( j _ { b 2 } + m _ { b 2 } ) ! ( j _ { b 2 } - m _ { b 2 } ) ! ( j _ { 1 2 } + m _ { 1 2 } ) ! ( j _ { 1 2 } - m _ { 1 2 } ) ! } } { z ! ( j _ { 1 a } + j _ { b 2 } - j _ { 1 2 } - z ) ! ( j _ { 1 a } - m _ { 1 a } - z ) ! ( j _ { b 2 } + m _ { b 2 } - z ) ! ( j _ { 1 2 } - j _ { b 2 } + m _ { 1 a } + z ) ! ( j _ { 1 2 } - j _ { 1 a } - m _ { b 2 } + z ) ! } } \end{array}
\Gamma _ { \mathrm { b a d } } ^ { \mathrm { g a i n } } ( \mathbf { r } _ { 0 } , \omega _ { \mathrm { a } } ) = \frac { 2 } { \hbar \epsilon _ { 0 } } \mathbf { d } \cdot \left[ \int _ { V _ { \mathrm { G } } } { \mathrm d } { \bf s } | \epsilon _ { I } ( \mathbf { s } , \omega _ { a } ) | \mathbf { G } ( \mathbf { r } _ { 0 } , \mathbf { s } , \omega _ { a } ) \mathbf { G } ^ { * } ( \mathbf { s } , \mathbf { r } _ { 0 } , \omega _ { a } ) \right] \cdot \mathbf { d } ,
\forall k \in \{ 1 , 2 \} , \quad \partial _ { t } f _ { k } ( t , \varphi ) = \frac { \partial _ { \varphi } \Big ( \Psi \big ( t , z _ { k } ( t , \theta ) \big ) \Big ) } { \sin \big ( \theta _ { 0 } + f _ { k } ( t , \varphi ) \big ) } \cdot
\left| S \right\rangle = \bigotimes _ { I } \left| S _ { I } \right\rangle \qquad \mathrm { w i t h } \qquad \left\{ \begin{array} { l l } { { d _ { n - \nu _ { I } } ^ { I } \left| S _ { I } \right\rangle = 0 } } & { { n > \nu _ { I } } } \\ { { \overline { { { d } } } _ { m + \nu _ { I } } ^ { \overline { { { I } } } } \left| S _ { I } \right\rangle = 0 } } & { { m > - \nu _ { I } } } \end{array} \right. ~ .
\begin{array} { r l } & { \prod _ { i = 1 } ^ { s } \left( [ z ^ { 0 } ] ( \partial + 2 \gamma d + ( ( q - 1 ) \gamma - \frac { 1 } { 2 } ) d ^ { ' } + * _ { g } ) ^ { 2 k _ { i } - 1 } g ( z ) \right) } \\ { - } & { ( 2 k _ { 1 } - 2 + 2 q \gamma ) ( 2 k _ { 1 } - 2 + 2 \gamma ) ( 2 k _ { 1 } - 4 - 2 q \gamma ) ( 2 k _ { 1 } - 4 + 2 \gamma ) . . . ( 2 + 2 q \gamma ) ( 2 + 2 \gamma ) 2 q \gamma \cdot k _ { 2 k _ { 1 } } \cdot \mathrm { I } _ { s = 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( v , t ) } & { = \frac { 1 } { v ^ { 3 } + v _ { c } ^ { 3 } } \frac { \tau _ { s 0 } S _ { 0 } } { 1 + ( v _ { c 0 } ^ { 3 } - v _ { c } ^ { 3 } ) e ^ { - 3 G ( t ) } } \mathrm { U } ( v _ { \alpha } - v ) = } \\ & { = \frac { \tau _ { s 0 } S _ { 0 } } { v ^ { 3 } + v _ { c } ^ { 3 } ( 1 - e ^ { - 3 \int \tau _ { s } ^ { - 1 } \mathrm { d } t } ) + v _ { c 0 } ^ { 3 } e ^ { - 3 \int \tau _ { s } ^ { - 1 } \mathrm { d } t } } \mathrm { U } ( v _ { \alpha } - v ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { n = 1 } ^ { + \infty } { \frac { 1 } { \left| w _ { k } w _ { \varphi \left( k \right) } . . . w _ { \varphi ^ { n - 1 } \left( k \right) } \right| ^ { p } } } < + \infty , } \\ { \sum _ { n = 1 } ^ { + \infty } { \left| w _ { \varphi ^ { - 1 } \left( k \right) } w _ { \varphi ^ { - 2 } \left( k \right) } . . . w _ { \varphi ^ { - n } \left( k \right) } \right| } ^ { p } < + \infty . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | I _ { O } ^ { 3 } | \le } & { 2 \sum _ { \ell , \beta } | r _ { \ell \beta } | \gamma _ { \ell } ( \delta _ { \ell } ) \gamma _ { \ell } ^ { \prime } ( \delta _ { \ell } ) \sqrt { \omega ( B ^ { \dagger } B ) } \| \mathcal { D } _ { \ell } ^ { \mathrm { L o c } } \left[ O _ { t , s } \right] \| } \\ & { \times \int _ { 0 } ^ { t } d s \, \sqrt { \omega ^ { A ^ { \dagger } A } \left( e ^ { s \mathcal { L } _ { N } } \left[ ( m _ { \beta } ^ { N } - m _ { \beta } ( s ) ) ^ { 2 } \right] \right) } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { I _ { i a , c d n } ^ { \mathrm { h h } } } & { = \delta _ { a c } M _ { d i , n } ^ { \mathrm { h h } } } & { J _ { i a , c d n } ^ { \mathrm { h h } } } & { = \delta _ { a d } M _ { c i , n } ^ { \mathrm { h h } } } \\ { K _ { i a , k l n } ^ { \mathrm { p p } } } & { = \delta _ { i l } M _ { a k , n } ^ { \mathrm { p p } } } & { L _ { i a , k l n } ^ { \mathrm { p p } } } & { = \delta _ { i k } M _ { a l , n } ^ { \mathrm { p p } } } \end{array}
\left( \mathbb { F } _ { b _ { 1 } , b _ { 2 } } ^ { \tilde { m } } , \mathbb { F } _ { b _ { 1 } , b _ { 2 } } ^ { \tilde { m } , ( I _ { 1 } ) } , \ldots , \mathbb { F } _ { b _ { 1 } , b _ { 2 } } ^ { \tilde { m } , ( I _ { H } ) } \right) \rightsquigarrow \left( \mathbb { F } , \mathbb { F } ^ { ( I _ { 1 } ) } , \ldots , \mathbb { F } ^ { ( I _ { H } ) } \right) ,
\mathcal { C } = \left( \begin{array} { l l l } { \sigma _ { \ell } ^ { 2 } } & { } & { \sigma _ { \ell v } } \\ { \sigma _ { \ell v } } & { } & { \sigma _ { v } ^ { 2 } } \end{array} \right) = \sigma _ { v } ^ { 2 } \left( \begin{array} { l l l } { 1 / \omega _ { 0 } ^ { 2 } } & { } & { 0 } \\ { 0 } & { } & { 1 } \end{array} \right) .
h _ { 1 } = - f _ { \; b c } ^ { a } \left( \frac { 1 } { 2 } A _ { j } ^ { b } A _ { k } ^ { c } B _ { a } ^ { j k } + \left( \partial ^ { l } B _ { 0 l } ^ { b } \right) \left( B _ { a } ^ { 0 i } A _ { i } ^ { c } + \eta _ { a } ^ { \left( 2 \right) i } { \cal P } _ { i } ^ { \left( 2 \right) c } + \eta _ { a } { \cal P } ^ { c } \right) \right) ,
S _ { 1 2 } ^ { q } = S _ { 3 4 } ^ { q } = \frac { 1 - R } { 1 + R } S _ { 1 4 } ^ { q } , \quad S _ { 2 3 } ^ { q } = S _ { 2 3 } ^ { t h } = S _ { 1 4 } ^ { q } .
\begin{array} { r l } { c _ { \mathfrak { I } _ { N } } ^ { h } ( \rho , x ) } & { = \cos ( \rho x ) + \int _ { 0 } ^ { x } G _ { \mathfrak { I } _ { N } } ^ { h } ( x , t ) \cos ( \rho t ) d t , } \\ { s _ { \mathfrak { I } _ { N } } ( \rho , x ) } & { = \frac { \sin ( \rho x ) } { \rho } + \int _ { 0 } ^ { x } S _ { \mathfrak { I } _ { N } } ( x , t ) \frac { \sin ( \rho t ) } { \rho } d t , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta | P | ^ { 2 } \, } & { = \, 2 \nabla _ { i } ( P _ { j k } \nabla _ { i } P _ { j k } ) } \\ & { = \, 2 | \nabla P | ^ { 2 } + 2 P _ { j k } \Delta P _ { j k } } \\ & { = \, 2 | \nabla P | ^ { 2 } - 2 P _ { j k } \nabla _ { i j } ^ { 2 } P _ { k i } - 2 P _ { j k } \nabla _ { i k } ^ { 2 } P _ { i j } } \\ & { = \, 2 | \nabla P | ^ { 2 } + 4 P _ { j k } \nabla _ { i j } ^ { 2 } P _ { i k } } \\ & { = \, 2 | \nabla P | ^ { 2 } + 4 P _ { j k } \left( \nabla _ { j i } ^ { 2 } P _ { i k } + { \mathrm R } _ { i j i s } P _ { s k } + { \mathrm R } _ { i j k s } P _ { i s } \right) } \\ & { = \, 2 | \nabla P | ^ { 2 } + 4 P _ { j k } \left( \nabla _ { j } ( \mathrm { d i v } \, P ) _ { k } + { \mathrm R } _ { j s } P _ { s k } + { \mathrm R } _ { i j k s } P _ { i s } \right) \, . } \end{array}
\dot { Q } = 8 \pi r _ { \mathrm { ~ p ~ } } ^ { 2 } k ^ { * } ( T _ { \mathrm { ~ p ~ } } - T _ { \mathrm { ~ g ~ } } ) \bigg ( \frac { r _ { \mathrm { ~ p ~ } } + \theta } { 2 r _ { \mathrm { ~ p ~ } } ^ { 2 } + G _ { \mathrm { ~ T ~ } } \theta r _ { \mathrm { ~ p ~ } } + G _ { \mathrm { ~ T ~ } } \theta ^ { 2 } } \bigg )
\Sigma _ { \mathrm { m i n } } ^ { ( 2 ) } = \frac { k _ { \mathrm { B } } } { 2 } \ln \frac { T _ { \mathrm { R } } + T _ { f } } { T _ { \mathrm { R } } + T _ { i } } - \frac { k _ { \mathrm { B } } \ln \frac { T _ { \mathrm { R } } + T _ { f } } { T _ { \mathrm { R } } + T _ { i } } } { 2 \left( 1 + \frac { \tau } { 2 \Delta t } \ln \frac { T _ { \mathrm { R } } + T _ { f } } { T _ { \mathrm { R } } + T _ { i } } \right) } .
d _ { p , \uparrow } ^ { \theta } ( x , s ) = \operatorname* { s u p } _ { y ^ { \prime } \geq y } \left\{ \mathcal { B } _ { \uparrow } ^ { \theta } ( ( y ^ { \prime } , t ) , p ) + \mathcal { L } ( x , s ; y ^ { \prime } , t ) \right\} - \operatorname* { s u p } _ { y ^ { \prime } \leq y } \left\{ \mathcal { B } _ { \uparrow } ^ { \theta } ( ( y ^ { \prime } , t ) , p ) + \mathcal { L } ( x , s ; y ^ { \prime } , t ) \right\} .
\tilde { \varepsilon } _ { c r } \left( s \right) = \frac { 1 } { s ^ { 1 + \beta + \nu } } \frac { \phi _ { \sigma } \left( s \right) } { \phi _ { \varepsilon } \left( s \right) } = \frac { 1 } { s ^ { 1 + \beta + \nu } } \frac { a _ { 1 } + a _ { 2 } s ^ { \alpha + \beta } + a _ { 3 } s ^ { 2 \left( \alpha + \beta \right) } } { b _ { 1 } + b _ { 2 } s ^ { \alpha + \beta } }
\frac { d n _ { e x } ^ { T } } { d t } = D _ { e x } ^ { T } \nabla _ { r } ^ { 2 } n _ { e x } ^ { T } - \left( k _ { r } ^ { T } + k _ { n r } ^ { T } + k _ { e } ^ { T } n + k _ { h } ^ { T } p + k _ { T S } n _ { e x } ^ { S } \right) n _ { e x } ^ { T } - ( \gamma _ { T S } + \gamma _ { T T } ) { n _ { e x } ^ { T } } ^ { 2 } + G _ { e x } ^ { T } ,
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial n _ { i } } { \partial t } + \frac { \partial } { \partial x } ( n _ { i } v _ { i } ) } & { = } & { 0 , } \\ { n _ { i } \frac { d v _ { i } } { d t } } & { = } & { - \sigma \frac { \partial n _ { i } } { \partial x } - n _ { i } \frac { \partial \phi } { \partial x } , } \\ { \frac { \partial ^ { 2 } \phi } { \partial x ^ { 2 } } } & { = } & { n _ { e } - \delta _ { i } n _ { i } + \delta _ { d } z _ { d } + \rho ( x - v _ { s } t ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { g _ { \mathrm { e x t e n d } } ^ { N } ( x ) = \mathbf { w } _ { 0 } + \mathbf { w } _ { \mathrm { s i n } } \left[ \begin{array} { l } { \sin ( x ) } \\ { \vdots } \\ { \sin ( \frac { N } { 2 } x ) } \end{array} \right] + \mathbf { w } _ { \mathrm { c o s } } \left[ \begin{array} { l } { \cos ( x ) } \\ { \vdots } \\ { \cos ( \frac { N } { 2 } x ) } \end{array} \right] = \sum _ { k = - \frac { N } { 2 } } ^ { \frac { N } { 2 } } \left( \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } g _ { \mathrm { e x t e n d } } ( t ) e ^ { - i k { t } } \mathrm { d } { { t } } \right) e ^ { i { k } { x } } , \forall x \in \mathbb { R } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { m _ { \theta } ^ { y , \dagger } = } & { m _ { \theta } + ( \mathcal { O } \mathcal { M } \Sigma _ { \theta } ) ^ { \ast } \left( ( \mathcal { O } \mathcal { M } ) \Sigma _ { \theta } ( \mathcal { O } \mathcal { M } ) ^ { \ast } + \Sigma _ { \varepsilon } \right) ^ { - 1 } ( y - \mathcal { O } \mathcal { M } m _ { \theta } - \mathcal { O } \delta ^ { \dagger } ) } \\ { \Sigma _ { \theta } ^ { y , \dagger } = } & { \Sigma _ { \theta } - ( \mathcal { O } \mathcal { M } \Sigma _ { \theta } ) ^ { \ast } \left( ( \mathcal { O } \mathcal { M } ) \Sigma _ { \theta } ( \mathcal { O } \mathcal { M } ) ^ { \ast } + \Sigma _ { \varepsilon } \right) ^ { - 1 } ( \mathcal { O } \mathcal { M } \Sigma _ { \theta } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { V _ { \mathrm { e f f } } } & { = \sum _ { i , j } \left( \frac { \omega _ { P } ^ { 2 } } { 2 } \delta _ { i j } + 2 \pi Z _ { p } ^ { 2 } \frac { k _ { i } k _ { j } } { k ^ { 2 } } \right) P _ { i } P _ { j } } \\ & { + u _ { p } ( \sum _ { i } P _ { i } ^ { 2 } ) ^ { 2 } + v _ { p } \sum _ { i } P _ { i } ^ { 4 } } \\ & { - \sum _ { i , j } \left[ \frac { \gamma _ { 1 } } { 2 } \overline { { Q _ { j } ^ { 2 } } } P _ { i } ^ { 2 } + \frac { \gamma _ { 2 } } { 2 } \overline { { Q _ { i } Q _ { j } } } P _ { i } P _ { j } + \frac { \gamma _ { 3 } } { 2 } \overline { { Q _ { i } ^ { 2 } } } P _ { i } ^ { 2 } \right] } \\ & { \equiv \frac { 1 } { 2 } ( \tilde { \omega } _ { P } ^ { 2 } ) _ { i j } P _ { i } P _ { j } + u _ { P } ( \sum _ { i } P _ { i } ^ { 2 } ) ^ { 2 } + v _ { P } \sum _ { i } P _ { i } ^ { 4 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r } { \Delta Y _ { t _ { n + 1 } } = \mathbb { E } _ { t _ { n } } \{ \Delta Y _ { t _ { n + 1 } } \} + \int _ { t _ { n } } ^ { t _ { n + 1 } } ( \Delta Z _ { t } ) ^ { \mathsf { T } } d W _ { t } + \int _ { t _ { n } } ^ { t _ { n + 1 } } \int _ { E } \Delta U _ { t } ( e ) \tilde { \mu } ( d e , ( t _ { n } , t _ { n + 1 } ] ) . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { K \left( \rho \right) } & { { } = a _ { 1 } b _ { 1 } \sin \left( \left( \alpha - \mu \right) \pi \right) + a _ { 1 } b _ { 2 } \rho ^ { \alpha - \beta } \sin \left( \left( 2 \alpha - \beta - \mu \right) \pi \right) } \end{array}
I ^ { \mathrm { ~ a ~ b ~ s ~ } } ( E , k _ { z } ) \propto \sum _ { t } ^ { s } \left[ \sum _ { m } ^ { N + n _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } + 1 } | \alpha _ { p , t } ^ { m } | ^ { 2 } \exp [ - \frac { ( E - \Delta E _ { t } ^ { m } ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } ] \right]
\operatorname* { d e t } \left( J _ { \Gamma _ { \hat { \pi } \hat { \mathcal { G } } } ^ { 1 } } ( \pi \mathbf { v } ) \right) = \operatorname* { d e t } ( \boldsymbol { \pi } ) \operatorname* { d e t } \left( J _ { \Gamma _ { \hat { \mathcal { G } } } ^ { 1 } } ( \mathbf { v } ) \right) = \pm \operatorname* { d e t } \left( J _ { \Gamma _ { \hat { \mathcal { G } } } ^ { 1 } } ( \mathbf { v } ) \right)
\begin{array} { r l r } { A _ { k } ^ { i } } & { = } & { W _ { t o t } \Delta t \, \int d \Omega \, \Delta p _ { k } ^ { i } \, \omega \left( \Delta \vec { p } _ { k } \right) \, , } \\ { B _ { k } ^ { i j } } & { = } & { W _ { t o t } \Delta t \, \int d \Omega \, \Delta p _ { k } ^ { i } \Delta p _ { k } ^ { j } \, \omega \left( \Delta \vec { p } _ { k } \right) \, , } \end{array}
T _ { \mu } ^ { ( 1 ) } = ( p _ { 2 \mu } - { \bar { P } } _ { \mu } ) [ { \delta m } ^ { 2 } - M ^ { 2 } - \Delta _ { 2 } ] - k ^ { 2 } p _ { 2 \mu } / 2 + ( \Delta _ { 1 } - \Delta _ { 1 } ^ { \prime } ) k _ { \mu } / 4
\begin{array} { r l } { u _ { 1 } } & { { } = { \frac { v _ { 1 } + u _ { 1 } ^ { \prime } } { 1 + v _ { 1 } u _ { 1 } ^ { \prime } } } , } \\ { u _ { 2 } } & { { } = { \frac { u _ { 2 } ^ { \prime } } { ( 1 + v _ { 1 } u _ { 1 } ^ { \prime } ) } } { \frac { 1 } { V _ { 0 } } } = { \frac { u _ { 2 } ^ { \prime } } { 1 + v _ { 1 } u _ { 1 } ^ { \prime } } } { \sqrt { 1 - v _ { 1 } ^ { 2 } } } , } \\ { u _ { 3 } } & { { } = 0 . } \end{array}
\mathrm { d } _ { t } \boldsymbol { b } _ { \perp } = v _ { \mathrm { A } } \partial _ { z } \boldsymbol { u } _ { \perp } + \boldsymbol { b } _ { \perp } \cdot \nabla _ { \perp } \boldsymbol { u } _ { \perp } + d _ { i } \hat { \boldsymbol { z } } \times \nabla _ { \perp } \mathrm { d } _ { t } u _ { z } + \eta \nabla _ { \perp } ^ { 2 } \boldsymbol { b } _ { \perp } ,
\frac { \partial ^ { 2 } \Omega } { \partial r ^ { 2 } } + \frac { 1 } { r } \frac { \partial \Omega } { \partial r } + \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } \Omega } { \partial \theta ^ { 2 } } = \frac { R e } { 2 } \left( u \frac { \partial \Omega } { \partial r } + \frac { v } { r } \frac { \partial \Omega } { \partial \theta } + \frac { \partial \Omega } { \partial t } \right) ,