harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { H ( { \mathbf X } , { \mathbf P } , { \mathbf a } ) } & { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { K } w _ { k } | { \mathbf p } _ { k } | ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { K } w _ { k } | { \mathbf A } _ { h } ( { \mathbf x } _ { k } ) | ^ { 2 } - \sum _ { k = 1 } ^ { K } w _ { k } { \mathbf p } _ { k } \cdot { \mathbf A } _ { h } ( { \mathbf x } _ { k } ) + H _ { e } + \frac { 1 } { 2 } { \mathbf a } ^ { \top } \mathbb { C } ^ { \top } \mathbb { M } _ { 2 } \mathbb { C } { \mathbf a } , } \\ { H _ { e } } & { = T \int { n } _ { h } \ln { n } _ { h } \mathrm { d } { \mathbf x } \approx T \sum _ { j } w _ { j } \left( \sum _ { k } w _ { k } S ( { \mathbf x } _ { j } - { \mathbf x } _ { k } ) \right) \ln \left( \sum _ { k } w _ { k } S ( { \mathbf x } _ { j } - { \mathbf x } _ { k } ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \tau = \frac { L d } { 2 } \mathrm { e } ^ { - ( E _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } + E _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } ) / 2 k _ { B } T } I _ { 0 } \left[ \frac { E _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } - E _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } } { 2 k _ { B } T } \right] , } \end{array}
p _ { \tau } ^ { n } ( z ) = \sum _ { \gamma \leq \alpha } \underbrace { \Pi _ { x } \mathcal { J } ^ { n } ( x ) ( \mathcal { Q } _ { \gamma } \Gamma _ { x , y } \tau ) ( x z ) } _ { = : q _ { \tau , 1 } ^ { n , \gamma } ( z ) } - \underbrace { \Pi _ { x } \Gamma _ { x , y } \mathcal { J } ^ { n } ( y ) \tau ( x z ) } _ { = : q _ { \tau , 2 } ^ { n } ( z ) }
{ \cal R } \equiv \left( \begin{array} { c c c c } { { R ^ { ( 1 ) } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { R ^ { ( 3 ) } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { R ^ { ( 2 ) \; - 1 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { { \cal P } R ^ { ( 4 ) } { \cal P } } } \end{array} \right) \quad . \qquad
\begin{array} { r l r } { \underline { { \underline { { \mathbf { \Pi } } } } } _ { s } } & { = } & { \kappa \rho _ { s } ^ { \Gamma } \left[ 1 - \alpha _ { s } D \right] \underline { { \underline { { \mathbf { I } } } } } - \alpha _ { s } 2 F \kappa ^ { 2 } \rho _ { s } ^ { 2 \Gamma - 1 } \underline { { \underline { { \mathbf { I } } } } } } \\ & { } & { - 2 \alpha _ { s } F \kappa ^ { 2 } \rho _ { s } ^ { 2 \Gamma - 1 } \left[ \mathbf { e } _ { R } \mathbf { e } _ { R } + \mathbf { e } _ { \varphi } \mathbf { e } _ { \varphi } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \gamma _ { \mathrm { A B } } ^ { \mathrm { X A } } } & { = \frac { \gamma _ { \mathrm { G X } } ^ { \mathrm { A } } ( { \bf r } _ { \mathrm { t i p } } ) } { \gamma _ { \mathrm { G S } } + \gamma _ { \mathrm { G S } } ^ { 0 } } \gamma _ { \mathrm { A B } } ^ { 0 } , } \\ { \gamma _ { \mathrm { A B } } ^ { \mathrm { Y A } } } & { = \frac { \gamma _ { \mathrm { G Y } } ^ { \mathrm { A } } ( { \bf r } _ { \mathrm { t i p } } ) } { \gamma _ { \mathrm { G S } } + \gamma _ { \mathrm { G S } } ^ { 0 } } \gamma _ { \mathrm { A B } } ^ { 0 } , } \\ { \gamma _ { \mathrm { A B } } ^ { \mathrm { X B } } } & { = \frac { \gamma _ { \mathrm { G X } } ^ { \mathrm { B } } ( { \bf r } _ { \mathrm { t i p } } ) } { \gamma _ { \mathrm { G S } } + \gamma _ { \mathrm { G S } } ^ { 0 } } \gamma _ { \mathrm { A B } } ^ { 0 } , } \\ { \gamma _ { \mathrm { A B } } ^ { \mathrm { Y B } } } & { = \frac { \gamma _ { \mathrm { G Y } } ^ { \mathrm { B } } ( { \bf r } _ { \mathrm { t i p } } ) } { \gamma _ { \mathrm { G S } } + \gamma _ { \mathrm { G S } } ^ { 0 } } \gamma _ { \mathrm { A B } } ^ { 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathfrak { F } _ { ( D , s _ { 0 } ) } } & { { } \equiv } & { i \frac { 2 ^ { D / 2 + 1 } \pi ^ { D - 1 } \ \Gamma \big [ \mathcal { F } _ { ( D , s _ { 0 } ) } \big ] \, \Gamma \big [ \mathcal { F } _ { ( D , s _ { 0 } ) } ^ { * } \big ] } { ( D - 2 ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { S } \Big [ \sqrt { h ^ { 2 } ( p _ { 1 } ( \cdot | S ) , p _ { 2 } ( \cdot | S ) ) } \Big ] } & { \leq \mathbb { E } _ { S } \Big [ \sqrt { h ^ { 2 } ( p _ { 1 } ( \cdot | S ) , p _ { 3 } ( \cdot | S ) ) } \Big ] + \mathbb { E } _ { S } \Big [ \sqrt { h ^ { 2 } ( p _ { 2 } ( \cdot | S ) , p _ { 3 } ( \cdot | S ) ) } \Big ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { y _ { 0 } ( x ) } & { \sim \left( - \frac { x } { 6 } \right) ^ { 1 / 2 } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { y _ { 0 , n } } { ( - x ) ^ { 5 n / 2 } } , } \\ { \mathcal { H } _ { 0 } ( x ) } & { \sim 4 \left( - \frac { x } { 6 } \right) ^ { 3 / 2 } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { h _ { 0 , n } } { ( - x ) ^ { 5 n / 2 } } . } \end{array}
C _ { \parallel } ( f _ { s c } ) = \frac { | \delta B _ { \parallel } ( f _ { s c } ) | ^ { 2 } } { | \delta B _ { \parallel } ( f _ { s c } ) | ^ { 2 } + | \delta B _ { \perp } ( f _ { s c } ) | ^ { 2 } } \sim 0 . 3 4
\left| { X } _ { A _ { 2 } } + i { P } _ { A _ { 2 } } \right\rangle = \left| \sqrt { \left( 1 \mathrm { ~ + ~ } \sigma \mathrm { ~ + ~ } \varphi \right) } { { X } _ { A _ { 1 } } } \mathrm { ~ + ~ } i \sqrt { \left( 1 \mathrm { ~ + ~ } \sigma \mathrm { ~ + ~ } \varphi \right) } { { P } _ { A _ { 1 } } } \right\rangle .
I l l ( r , \theta , t ) = \iint _ { M } e ^ { i \overrightarrow { k } \cdot \overrightarrow { r } } = \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } i ^ { n } \iint _ { M ( r _ { d } , \theta _ { d } ) } J _ { n } \left( \frac { 2 \pi } { \lambda f } r _ { d } r \right) \cdot e ^ { i n \theta } e ^ { i n \Omega t } \cdot e ^ { i \omega _ { 0 } t } r _ { d } \mathrm { d } r _ { d } \mathrm { d } \theta _ { d }
\begin{array} { r l } { \widetilde { F } } & { : = \widetilde { f } + 2 \mathring { \delta } ^ { * } \mathbf { X } \in C ^ { \infty } ( \mathring { X } ; S ^ { 2 } T ^ { * } \mathring { X } ) , } \\ { J } & { : = H _ { L } + \frac { 1 } { 2 } H _ { T } + r ^ { - 1 } \iota _ { d r } \mathbf { X } \in C ^ { \infty } ( \mathring { X } ; T ^ { * } \mathring { X } ) , } \\ { N } & { : = \widetilde { K } + \mathring { d } \left( \frac { r } { k } K \right) + \iota _ { \mathbf { X } } \mathring { d } A \in C ^ { \infty } ( \mathring { X } ; T ^ { * } \mathring { X } ) } \end{array}
M _ { 1 2 } ^ { \mathrm { c h a r g i n o } } \simeq - \frac { K _ { 1 3 } K _ { 2 3 } \alpha _ { W } } { 2 1 6 m _ { \tilde { q } } ^ { 2 } } \frac { 1 } { 3 } m _ { K } f _ { K } ^ { 2 } ( \delta _ { 1 3 } ^ { u } ) _ { L R } ( \delta _ { 2 3 } ^ { u } ) _ { L R } \left[ - 1 3 2 \left( \frac { m _ { K } } { m _ { s } + m _ { d } } \right) ^ { 2 } x \, f _ { 6 } ( x ) \right] ,
\begin{array} { r c l } { { e ^ { 0 } } } & { { = } } & { { { \displaystyle \frac { \lambda ^ { 1 / 2 } } { R ( r , u ) } \left[ d t - \left( 2 N u - a ( \aleph ^ { 2 } - u ^ { 2 } ) \right) d \varphi \right] } \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { e ^ { 1 } } } & { { = } } & { { { \displaystyle \frac { R ( r , u ) } { \lambda ^ { 1 / 2 } } d r } \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { e ^ { 2 } } } & { { = } } & { { { \displaystyle \frac { R ( r , u ) } { { \cal S } ^ { 1 / 2 } ( u ) } d u } \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { e ^ { 3 } } } & { { = } } & { { { \displaystyle \frac { { \cal S } ^ { 1 / 2 } ( u ) } { R ( r , u ) } \left[ ( r ^ { 2 } + N ^ { 2 } + \aleph ^ { 2 } a ^ { 2 } ) d \varphi \, + \, a d t \right] } \, , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { { P } } _ { \mathrm { h c } } } & { = \left[ \frac { 1 } { ( w - 1 ) \left( \frac { ( r + 1 ) ( N _ { I } [ 1 - r ] + r N _ { T } v _ { T } ) } { N _ { T } v _ { T } \left( r \left[ w ^ { N _ { I } } - 1 \right] + N _ { I } ( w - 1 ) \right) } - \frac { r } { w ^ { N _ { I } } - 1 } \right) } \right. } \\ & { \quad \left. - a ( N _ { I } v _ { I } + N _ { T } v _ { T } ) \right] \frac { 1 } { N _ { I } + N _ { T } } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { d _ { 2 , 2 } ^ { 2 } } & { = { \frac { 1 } { 4 } } \left( 1 + \cos \theta \right) ^ { 2 } } \\ { d _ { 2 , 1 } ^ { 2 } } & { = - { \frac { 1 } { 2 } } \sin \theta \left( 1 + \cos \theta \right) } \\ { d _ { 2 , 0 } ^ { 2 } } & { = { \sqrt { \frac { 3 } { 8 } } } \sin ^ { 2 } \theta } \\ { d _ { 2 , - 1 } ^ { 2 } } & { = - { \frac { 1 } { 2 } } \sin \theta \left( 1 - \cos \theta \right) } \\ { d _ { 2 , - 2 } ^ { 2 } } & { = { \frac { 1 } { 4 } } \left( 1 - \cos \theta \right) ^ { 2 } } \\ { d _ { 1 , 1 } ^ { 2 } } & { = { \frac { 1 } { 2 } } \left( 2 \cos ^ { 2 } \theta + \cos \theta - 1 \right) } \\ { d _ { 1 , 0 } ^ { 2 } } & { = - { \sqrt { \frac { 3 } { 8 } } } \sin 2 \theta } \\ { d _ { 1 , - 1 } ^ { 2 } } & { = { \frac { 1 } { 2 } } \left( - 2 \cos ^ { 2 } \theta + \cos \theta + 1 \right) } \\ { d _ { 0 , 0 } ^ { 2 } } & { = { \frac { 1 } { 2 } } \left( 3 \cos ^ { 2 } \theta - 1 \right) } \end{array} }
{ \widetilde { \varphi } } ( s ) = \frac { \gamma } { s + \gamma } \, f r a c { c \ ( 1 - e ^ { - c ( b - a ) } ) \ ( 1 - k _ { + } - e ^ { c ( b - a ) } ) } { c k _ { - } \cosh { ( c _ { _ 0 } a ) } - c _ { _ 0 } q k _ { + } \sinh { ( c _ { _ 0 } a ) } } ,
\begin{array} { r l } & { \mathrm { T r } \left[ \mathbf { \eta } ^ { ( 0 ) } ( \mathbf { A + B } ) \right] } \\ { = } & { \mathrm { T r } \left[ ( \mathbf { \eta } ^ { ( 0 ) } ) ^ { - 1 } ( \mathbf { A - B } ) \right] } \\ { = } & { \mathrm { T r } \left[ \left( ( \mathbf { A - B } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( \mathbf { A + B } ) ( \mathbf { A - B } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \right] = \mathrm { T r } \left[ \mathbf { \Omega } \right] . } \end{array}
{ \mathfrak { T } } _ { \beta } ^ { \alpha } = \left( \operatorname* { d e t } { \left[ { \frac { \partial { \bar { x } } ^ { \iota } } { \partial { x } ^ { \gamma } } } \right] } \right) ^ { W } \, { \frac { \partial { x } ^ { \alpha } } { \partial { \bar { x } } ^ { \delta } } } \, { \frac { \partial { \bar { x } } ^ { \epsilon } } { \partial { x } ^ { \beta } } } \, { \bar { \mathfrak { T } } } _ { \epsilon } ^ { \delta } \, ,
\begin{array} { r } { \delta H _ { s i } ^ { ( 2 ) } \simeq - i \frac { \Lambda _ { k _ { 0 } } ^ { k _ { 1 } ^ { * } } } { \omega _ { 0 } } \frac { e } { T _ { i } } F _ { M } \frac { k _ { \parallel s } v _ { \parallel } } { \omega _ { s } - k _ { \parallel s } v _ { \parallel } } J _ { 0 } J _ { 1 } \delta \phi _ { 0 } \delta \phi _ { 1 ^ { * } } . } \end{array}
\psi _ { \mathrm { ~ t ~ o ~ t ~ a ~ l ~ } } ^ { \mathrm { ~ I ~ } } = A _ { 0 } ^ { \mathrm { ~ I ~ } } e ^ { - j k z } \ln \rho + \sum _ { n _ { 1 } = 0 } ^ { \infty } B _ { n _ { 1 } } ^ { \mathrm { ~ I ~ } } \psi _ { n _ { 1 } } ^ { \mathrm { ~ I ~ } } ,
\begin{array} { r l } { \sqrt { s } \nabla f \left( y _ { k - 1 } \right) } & { = \sqrt { s } \nabla f ( X ( t _ { k } ) ) + o \left( \sqrt { s } \right) } \\ { \sqrt { s } \nabla f \left( y _ { k } \right) } & { = \sqrt { s } \nabla f \left( y _ { k - 1 } \right) + o \left( \sqrt { s } \right) = \sqrt { s } \nabla f ( X ( t _ { k } ) ) + o \left( \sqrt { s } \right) . } \end{array}
A ( \alpha , \beta , \gamma ) = \frac { e ^ { - | \alpha | \frac { \pi } { 2 } + i \frac { \pi } { 2 } ( \beta + 1 ) \operatorname { s i g n } ( \gamma ) } } { | \gamma | ^ { i \alpha + ( \beta + 1 ) } } \Gamma ( i \alpha + ( \beta + 1 ) ) \, .
\begin{array} { r } { C X _ { p 1 } = n _ { H } Q _ { p 1 } ^ { C X } v } \\ { C _ { 1 2 } = ( n _ { p } Q _ { 1 2 } ^ { P } + n _ { H } Q _ { 1 2 } ^ { H } + n _ { e } Q _ { 1 2 } ^ { E } ) v } \\ { C _ { 1 3 } = ( n _ { p } Q _ { 1 3 } ^ { P } + n _ { H } Q _ { 1 3 } ^ { H } + n _ { e } Q _ { 1 3 } ^ { E } ) v } \\ { C _ { 1 p } = ( n _ { p } Q _ { 1 p } ^ { P } + n _ { H } Q _ { 1 p } ^ { H } + n _ { e } Q _ { 1 p } ^ { E } ) v } \end{array}
\begin{array} { r l } { \log { \frac { p ^ { s ( s - 1 ) / 2 } } { F _ { p } ( 2 p ^ { r + s - 1 } / \log { n } ) ( s - 1 ) ^ { s - 1 } } } } & { \geq \frac { s ^ { 2 } } { 2 } \log { p } - \frac { 1 } { 2 \log { p } } \Big ( \log \frac { p ^ { r + s - 1 } } { \log { \sqrt { n } } } \Big ) ^ { 2 } - s \log { p s } + O ( 1 ) } \\ & { \geq s \log { \frac { \log { \sqrt { n } } } { p ^ { r } s } } - \frac { \left( \log \log { \sqrt { n } } \right) ^ { 2 } } { 2 \log { p } } + O ( 1 ) . } \end{array}
\frac { p ( \Omega _ { t , t + \tau } ( \Gamma ; 0 ) = A \tau ) } { p ( \Omega _ { t , t + \tau } ( \Gamma ; 0 ) = - A \tau ) } = e ^ { A \tau } \left< e ^ { - \Omega _ { 0 , t } ( \Gamma ; 0 ) } e ^ { - \Omega _ { t + \tau , 2 t + \tau } ( \Gamma ; 0 ) } \right> _ { \Omega _ { t , t + \tau } ( \Gamma ; 0 ) = - A \tau } .
{ G _ { i } } = - \frac { { \delta { { \tilde { x } } ^ { 2 } } } } { { \delta \tilde { t } } } \tilde { T } _ { i } ^ { n } , ~ ~ { B _ { i } } = 2 + \frac { { \delta { { \tilde { x } } ^ { 2 } } } } { { \delta \tilde { t } } } - Q \delta { \tilde { x } ^ { 2 } } .
H [ m , n ] = \left( { \begin{array} { r r r r r r r r } { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { - 1 } & { - 1 } & { - 1 } & { - 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { - 1 } & { - 1 } & { - 1 } & { - 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { - 1 } & { - 1 } & { 1 } & { 1 } & { - 1 } & { - 1 } \\ { 1 } & { - 1 } & { - 1 } & { 1 } & { 1 } & { - 1 } & { - 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { - 1 } & { - 1 } & { 1 } & { - 1 } & { 1 } & { 1 } & { - 1 } \\ { 1 } & { - 1 } & { 1 } & { - 1 } & { - 1 } & { 1 } & { - 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { - 1 } & { 1 } & { - 1 } & { 1 } & { - 1 } & { 1 } & { - 1 } \end{array} } \right)
\begin{array} { r } { \mathrm { I } _ { P D } = - \frac { m _ { S } \mathrm { E } _ { 0 } ^ { 2 } } { 8 } \delta z _ { 0 } \left( e ^ { 2 \mathrm { i } \Psi _ { 1 } } e ^ { \mathrm { i } \Omega t } + e ^ { - 2 \mathrm { i } \Psi _ { 1 } } e ^ { - \mathrm { i } \Omega t } \right) \left( n ^ { 2 } + m ^ { 2 } + n + m + 2 \right) } \end{array}
\ddot { \delta } ( t ) = \left( - \frac { \operatorname { A r s i n h } ( t ) } { ( D ^ { 2 } + 1 ) ^ { 3 / 2 } \sqrt { t ^ { 2 } + 1 } \left( \frac { \operatorname { A r s i n h } ^ { 2 } ( t ) } { D ^ { 2 } + 1 } + 1 \right) ^ { 3 / 2 } } , 0 , \frac { 1 } { \sqrt { D ^ { 2 } + 1 } \sqrt { t ^ { 2 } + 1 } \left( \frac { \operatorname { A r s i n h } ^ { 2 } ( t ) } { D ^ { 2 } + 1 } + 1 \right) ^ { 3 / 2 } } \right)
\begin{array} { r } { \mathrm { d } _ { 1 } \phi = \bigg ( \begin{array} { l } { \big ( [ \phi , B _ { a } ] \big ) _ { a \in \underline { { \sf 4 } } } } \\ { \phi \, I } \end{array} \bigg ) \qquad \mathrm { a n d } \qquad \mathrm { d } _ { 2 } \bigg ( \begin{array} { l } { ( b _ { a } ) _ { a \in \underline { { \sf 4 } } } } \\ { i } \end{array} \bigg ) = \big ( [ b _ { \alpha } , B _ { \beta } ] + [ B _ { \alpha } , b _ { \beta } ] \big ) _ { ( \alpha , \beta ) \in \underline { { \sf 3 } } ^ { \perp } } \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \vec { D } ^ { \pm } } & { = i \frac { \kappa } { c \, \omega \mu } \vec { k } _ { \pm } \wedge \vec { E } ^ { \pm } + \left( \varepsilon - \frac { \kappa ^ { 2 } } { c ^ { 2 } \mu } \right) \vec { E } ^ { \pm } , } \\ { \vec { B } ^ { \pm } } & { = \frac { 1 } { \omega } \vec { k } _ { \pm } \wedge \vec { E } ^ { \pm } , } \\ { \vec { H } ^ { \pm } } & { = \frac { 1 } { \omega \mu } \vec { k } _ { \pm } \wedge \vec { E } ^ { \pm } + i \frac { \kappa } { c \mu } \vec { E } ^ { \pm } . } \end{array}
{ \mathcal { A } } = \left\{ f \, { \bigg | } \, \exists t \ \forall x _ { 1 } \cdots \forall x _ { n } : \ f ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } ) < A ( t , \operatorname* { m a x } _ { i } x _ { i } ) \right\}
\frac { 1 } { 1 1 } \frac { M ^ { 2 } } { m _ { Z } ^ { 2 } } \ln \left( \frac { \tilde { Z } _ { 1 } } { Z _ { 1 } } \right) < \Delta \frac { \tan ^ { 2 } \beta - 1 } { \tan ^ { 2 } \beta + 1 }
\overrightarrow { X } \circ { \cal P } _ { \overrightarrow { Y } } \, = \, { \bf i } _ { \overrightarrow { X } } \, d { \cal P } _ { \overrightarrow { Y } } \, = \, X ^ { u } \, { \frac { \partial } { \partial q ^ { u } } } \, { \cal P } _ { \overrightarrow { Y } } \,
\tilde { C } _ { \gamma _ { 1 } \gamma _ { 2 } \gamma _ { 3 } \gamma _ { 4 } } ^ { N _ { 1 } N _ { 2 } N _ { 3 } N _ { 4 } \, \Lambda } \ = \ C _ { \gamma _ { 1 } \gamma _ { 3 } \gamma _ { 2 } \gamma _ { 4 } } ^ { N _ { 1 } N _ { 3 } N _ { 2 } N _ { 4 } \, \Lambda } .
J = C \sqrt { 2 } \sum _ { h } \left( \sum _ { i } Y _ { i } ^ { 2 } v _ { i } ^ { 2 } L _ { h } - \sum _ { i } L _ { i } Y _ { i } v _ { i } ^ { 2 } Y _ { h } \right) v _ { h } \mathrm { I m } \{ \Phi _ { h } \} ,
\theta ^ { i j } = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { \mathrm { d i a g } ( \theta _ { 1 } , \dots , \theta _ { n } ) } } \\ { { - \mathrm { d i a g } ( \theta _ { 1 } , \dots , \theta _ { n } ) } } & { { 0 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r } { - 2 \omega t _ { o , n , \nu } = \omega t _ { f , n , \nu } = \frac { 2 } { \sqrt { 3 } } \left( \frac { 2 n E _ { \mathrm { p h } } } { U _ { \nu } } \right) ^ { 1 / 4 } , } \end{array}
\nabla ^ { 2 } \equiv \frac { 1 } { \rho } \frac { \partial } { \partial \rho } ( \rho \frac { \partial } { \partial \rho } ) + \frac { 1 } { \rho ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \phi ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial z ^ { 2 } }
| V ( t ^ { \prime \prime } ) - V ( t ^ { \prime } ) | \leq \operatorname* { s u p } _ { x \in X } | f ( x , t ^ { \prime \prime } ) - f ( x , t ^ { \prime } ) | = \operatorname* { s u p } _ { x \in X } \left\vert \int _ { t ^ { \prime } } ^ { t ^ { \prime \prime } } f _ { t } ( x , t ) d t \right\vert \leq \int _ { t ^ { \prime } } ^ { t ^ { \prime \prime } } \operatorname* { s u p } _ { x \in X } | f _ { t } ( x , t ) | d t \leq \int _ { t ^ { \prime } } ^ { t ^ { \prime \prime } } b ( t ) d t .
d s ^ { 2 } \; = \; N ^ { 2 } ( \sigma ) d \sigma ^ { 2 } \, - \, \eta ^ { 2 } ( \sigma ) \overline { { { g } } } _ { i j } d x ^ { i } d x ^ { j } \, - \, R ^ { 2 } ( \sigma ) h _ { m n } d y ^ { m } d y ^ { n } \; ,
V _ { P 0 } = \tilde { V } _ { P 0 } \left( 1 + \frac { 1 } { \pi } \, Q _ { 3 3 } ^ { - 1 } \ln { \bigg | \frac { f } { f _ { 0 } } \bigg | } + \frac { 1 } { 2 \pi ^ { 2 } } \, Q _ { 3 3 } ^ { - 2 } \ln ^ { 2 } { \bigg | \frac { f } { f _ { 0 } } \bigg | } \right) ,
\begin{array} { r l } { \| u ( t _ { T } ) - \bar { u } ( t _ { T } ) \| _ { L ^ { \infty } ( M , \bar { g } ) } ^ { \frac 3 2 } } & { \le d _ { 5 } \| u ( t _ { T } ) - \bar { u } ( t _ { T } ) \| _ { W ^ { 2 , \frac 3 2 } ( M , \bar { g } ) } ^ { \frac 3 2 } \le d _ { 6 } \| \nabla _ { \bar { g } } ^ { 2 } u ( t _ { T } ) \| _ { L ^ { \frac 3 2 } ( M , \bar { g } ) } ^ { \frac 3 2 } } \\ & { \le d _ { 7 } \| \Delta _ { \bar { g } } u ( t _ { T } ) \| _ { L ^ { \frac 3 2 } ( M , \bar { g } ) } ^ { \frac 3 2 } \le d _ { 8 } \mathrm { e } ^ { d _ { 9 } \| f \| _ { L ^ { \infty } ( M , \bar { g } ) } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } \big ( \forall v \in { \mathcal S } ( u ) : \widehat \varphi _ { u , v } \le z _ { u , v } } & { \mid u \in \widehat \Xi _ { n } ^ { \scriptscriptstyle ( \mathrm { s u r e } ) } [ 2 w _ { \mathrm { h h } } , \infty ) \big ) } \\ & { : = \mathbb { P } \big ( \forall v \in { \mathcal S } ( u ) : U _ { u , v } \le z _ { u , v } \mid \exists v \in { \mathcal S } ( u ) : U _ { u , v } \le r _ { k } \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \hat { L } _ { a } | \Psi _ { f } ^ { ( a ) } ( \sigma ) \rangle = \lambda _ { f } ^ { ( a ) } | \Psi _ { f } ^ { ( a ) } ( \sigma ) \rangle , } \\ & { } & { \hat { L } _ { b } | \Psi _ { f } ^ { ( b ) } ( \sigma ) \rangle = \lambda _ { f } ^ { ( b ) } | \Psi _ { f } ^ { ( b ) } ( \sigma ) \rangle , } \end{array}
{ \frac { 8 } { 1 0 } } = { \frac { 2 } { 3 } } + { \frac { 1 } { 1 0 } } + { \frac { 1 } { 3 0 } } \; \; \; ; \; \; \; { \frac { 9 } { 1 0 } } = { \frac { 2 } { 3 } } + { \frac { 1 } { 5 } } + { \frac { 1 } { 3 0 } }
\begin{array} { r l } { \Big ( \frac { 1 - e ^ { - \lambda _ { 1 } ( t _ { N } - u ) } } { 1 - \frac { d _ { 1 } } { b _ { 1 } } e ^ { - \lambda _ { 1 } ( t _ { N } - u ) } } \Big ) ^ { i _ { N } - 1 } } & { = \exp \Big ( ( i _ { N } - 1 ) \log \left( 1 - \frac { \lambda _ { 1 } } { b _ { 1 } } \frac { e ^ { - \lambda _ { 1 } ( t _ { N } - u ) } } { 1 - \frac { d _ { 1 } } { b _ { 1 } } e ^ { - \lambda _ { 1 } ( t _ { N } - u ) } } \right) \Big ) } \\ & { \leq \exp \Big ( - ( i _ { N } - 1 ) \frac { \lambda _ { 1 } } { b _ { 1 } } e ^ { - \lambda _ { 1 } ( t _ { N } - u ) } \Big ) } \end{array}
V _ { \mathrm { \ a l p h a \ b e t a } } = \mathcal { G } _ { \alpha \beta } \frac { e ^ { - m _ { \alpha \beta } ^ { \prime } d } } { 4 \pi d } \times \left\{ \begin{array} { l l l } { N _ { e } } & { , } & { \mathrm { f o r } ~ \alpha , \beta = e , \mu ~ \mathrm { o r } ~ e , \tau } \\ { N _ { n } } & { , } & { \mathrm { f o r } ~ \alpha , \beta = \mu , \tau } \end{array} \right. \; ,
\begin{array} { r c l } { \mathrm { ~ R ~ M ~ S ~ } } & { = } & { \sqrt { \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left( u _ { i } ^ { e x a c } - u _ { i } ^ { a p p r o x } \right) ^ { 2 } } { N } } . } \end{array}
\left\langle \mathcal { O } ^ { \textrm { h a r } } \right\rangle = \operatorname* { l i m } _ { N \rightarrow \infty } \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \mathcal { O } ( X _ { i } ^ { \textrm { h a r } } ) .
\begin{array} { r } { \sum _ { i = 0 , 1 } \int _ { \Sigma _ { i } } \theta d | D u | + \sum _ { i = 0 , 1 } \int _ { \Sigma _ { i , r } } \theta d | D u | \geq \sum _ { i = 0 , 1 } \int _ { \Sigma _ { i } } \theta | i - T _ { r } u | \, d \mathcal H ^ { 2 } + \sum _ { i = 0 , 1 } \int _ { \Sigma _ { i , r } } \theta \left| T _ { r } u - \widetilde { T } _ { r } u \right| \, d \mathcal H ^ { 2 } . } \end{array}
\textbf { \emph { R H S } } = \left( \begin{array} { c c c c c c c c c } { \big ( R H S \big ) _ { \big < z ^ { \infty \pm 2 } \big > } } & { \big ( R H S \big ) _ { E _ { D } ^ { \infty } } } & { \big ( R H S \big ) _ { L _ { \infty } ^ { \pm } } } & { \big ( R H S \big ) _ { L _ { D } ^ { \infty } } } & { \big ( R H S \big ) _ { \big < \rho ^ { \infty 2 } \big > } } & \\ { \big ( R H S \big ) _ { \big < z ^ { * \pm 2 } \big > } } & { \big ( R H S \big ) _ { E _ { D } ^ { * } } } & { \big ( R H S \big ) _ { L _ { * } } } & { \big ( R H S \big ) _ { L _ { D } ^ { * } } } \end{array} \right) ^ { T } ,
\begin{array} { r l } { \| e _ { z } ^ { 2 , 0 } \| _ { \mathcal { V } } ^ { 2 } } & { = - Q ( e _ { z } ^ { 2 , 0 } , \overline { { e _ { z } ^ { 2 , 0 } } } ) } \\ & { = - Q ( e ^ { 2 , 1 } + z e ^ { 1 , 0 } , e ^ { 1 , 2 } + \overline { { z } } e ^ { 0 , 1 } ) } \\ & { = i ( \overline { { z } } - z ) } \\ & { = 2 \mathrm { I m } ( z ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \lambda P ^ { \mathrm { i n } } ( \widehat { L } ) } & { = - \frac { \partial } { \partial \widehat { L } } \left( f ( \widehat { L } ) Q ( \widehat { L } ) \right) + \frac { D } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \widehat { L } ^ { 2 } } Q ( \widehat { L } ) } \\ { Q ( \widehat { L } _ { \mathrm { t s } } ) } & { = 0 \ . } \end{array}
U _ { e o } ( R ) \, H _ { e } ( x ; { \mathbf { r } } , { \mathbf { p } } ) \, U _ { e o } ( R ) ^ { \dagger } = H _ { e } \bigl ( x ; R ^ { - 1 } { \mathbf { r } } , R ^ { - 1 } { \mathbf { p } } \bigr ) = H _ { e } ( R x ; { \mathbf { r } } , { \mathbf { p } } ) ,
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \left[ x ( k _ { 0 } + 1 ) \right] } \\ { = } & { \mathbb { E } \left[ x ( k _ { 0 } ) \right] + \omega _ { k _ { 0 } } \left( \mathbb { E } \left[ x _ { T } \right] - \mathbb { E } \left[ x ( k _ { 0 } ) \right] \right) } \\ { = } & { a ( k _ { 0 } ) \mathbb { E } \left[ x ( k _ { 0 } ) \right] + \mathbb { E } \left[ u ( k _ { 0 } ) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { 1 } \psi ^ { n + 1 } } & { { } = f _ { 1 } ( \zeta ^ { n } , \tilde { C } _ { \psi } ^ { n } ) } \\ { A _ { 2 } \zeta ^ { n + 1 } } & { { } = f _ { 2 } ( \zeta ^ { n } , u ^ { n + 1 } , v ^ { n + 1 } , R e , \tilde { C } _ { \zeta } ^ { n + 1 } , \tilde { C } _ { \zeta } ^ { n } ) } \\ { A _ { 3 } T ^ { n + 1 } } & { { } = f _ { 3 } ( T ^ { n } , u ^ { n + 1 } , v ^ { n + 1 } , R e , P r , \tilde { C } _ { T } ^ { n + 1 } , \tilde { C } _ { T } ^ { n } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { s \downarrow s _ { 1 } + \frac { 1 } { j } } \gamma _ { j } ^ { \prime } ( s ) = \operatorname* { l i m } _ { s \downarrow s _ { 1 } + \frac { 1 } { j } } \gamma ^ { \prime } ( - s + s _ { 1 } + s _ { 3 } + \frac { 2 } { j } ) = \gamma ^ { \prime } ( s _ { 3 } + \frac { 1 } { j } ) = \gamma ^ { \prime } ( s _ { 1 } + \frac { 1 } { j } ) ; } \end{array}