harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \hat { U } _ { \mathrm { n u c } } ^ { \dagger } \hat { H } _ { \mathrm { p \cdot A } } \hat { U } _ { \mathrm { n u c } } = \sum _ { u } \frac { \hat { \bf P } _ { u } ^ { 2 } } { 2 m _ { \mathrm { n } } } + \sum _ { j } \frac { ( \hat { \bf p } _ { j } + e \hat { \bf A } ( \hat { \bf r } _ { j } ) ) ^ { 2 } } { 2 m _ { e } } + V _ { \mathrm { c o u l } } ( \{ { { \bf r } _ { j } , { \bf Q } _ { j } } \} ) + \sum _ { { \boldsymbol k } , { \bf \xi } } \Big ( \hat { U } _ { \mathrm { n u c } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { { \boldsymbol k } , { \bf \xi } } ^ { \dagger } \hat { U } _ { \mathrm { n u c } } \Big ) \Big ( \hat { U } _ { \mathrm { n u c } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { { \boldsymbol k } , { \boldsymbol { \xi } } } \omega _ { \boldsymbol k } \hat { U } _ { \mathrm { n u c } } \Big ) \omega _ { \boldsymbol k } } \\ & { = \hat { T } _ { \bf Q } + \sum _ { j } \frac { ( \hat { \bf p } _ { j } + e \hat { \bf A } ( \hat { \bf r } _ { j } ) ) ^ { 2 } } { 2 m _ { e } } + V _ { \mathrm { c o u l } } ( \{ { { \bf r } _ { j } , { \bf Q } _ { j } } \} ) + \sum _ { { \boldsymbol k } , { \bf \xi } } \Big ( \hat { a } _ { { \boldsymbol k } , { \bf \xi } } ^ { \dagger } + i \sum _ { u } e \hat { \bf Q } _ { u } \mathcal { A } _ { { \boldsymbol k } , { \boldsymbol \xi } } ^ { * } ( { \bf R } _ { u } ) \Big ) \Big ( \hat { a } _ { { \boldsymbol k } , { \boldsymbol { \xi } } } - i \sum _ { u } e \hat { \bf Q } _ { u } \mathcal { A } _ { { \boldsymbol k } , { \boldsymbol \xi } } ( { \bf R } _ { u } ) \Big ) \omega _ { \boldsymbol k } ~ ~ ~ ~ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathsf { E r r } _ { 4 , 3 } } & { { } = - \kappa _ { m - 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 2 } } \nabla \partial ^ { \boldsymbol { \alpha } } V _ { m - 1 } ^ { ( i ) } \cdot { \mathbf { Q } } _ { m } \Delta \nabla \partial ^ { \aa } V _ { m - 1 } ^ { ( i - 1 ) } } \end{array}
- \left( u , \partial _ { t } \eta \right) _ { Q _ { T } ^ { * } } + \left( \frac { \gamma } { 2 } \partial _ { p } u ^ { 2 } , \partial _ { p } \eta \right) _ { Q _ { T } ^ { * } } = \left( - \gamma ( \partial _ { p } u ) ^ { 2 } , \eta \right) _ { Q _ { T } ^ { * } } + \left( - \left( \frac { \partial _ { p } \gamma } { 2 } \right) \partial _ { p } u ^ { 2 } , \eta \right) _ { Q _ { T } ^ { * } } + \left( g _ { 0 } u , \eta \right) _ { Q _ { T } ^ { * } } + \left( \varphi _ { 0 } , \eta ( p , 0 ) \right) _ { \Omega ^ { * } } .
\begin{array} { r l } { \left( \lambda \boldsymbol { \alpha } [ ^ { ( 1 ) } U _ { M } ^ { \pm } ] + ( 1 - \lambda ) ^ { ( \pm ) } \boldsymbol { \alpha } [ ^ { ( 1 ) } V _ { M + 1 } ^ { \pm } ] \right) \cdot \left( \delta x \, \tilde { \mathbf { f } } _ { \hphantom { ( } k } ^ { ( 1 ) } \right) = } & { \left( \lambda \boldsymbol { \alpha } [ ^ { ( 0 ) } U _ { M } ^ { \pm } ] + ( 1 - \lambda ) ^ { ( \pm ) } \boldsymbol { \alpha } [ ^ { ( 0 ) } V _ { M + 1 } ^ { \pm } ] \right) \cdot \mathbf { f } _ { \hphantom { ( } k } ^ { ( 0 ) } } \\ & { + \lambda \boldsymbol { \alpha } [ ^ { ( 2 ) } U _ { M } ^ { \pm } ] \cdot \left( \delta x ^ { 2 } \, \mathbf { f } _ { \hphantom { ( } k } ^ { ( 2 ) } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { \boldsymbol D } ^ { \perp } ( \boldsymbol r ) = i \sum _ { \boldsymbol k , \lambda } \sqrt { \frac { \hbar \omega _ { \boldsymbol k } \epsilon _ { 0 } } { 2 V } } \boldsymbol e _ { k , \lambda } \left[ \hat { d } _ { \boldsymbol k , \lambda } ^ { \prime } e ^ { i \boldsymbol k \cdot \boldsymbol r } - \hat { d } _ { \boldsymbol k , \lambda } ^ { \prime \dagger } e ^ { - i \boldsymbol k \cdot \boldsymbol r } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \phi _ { 2 } ( r , z , T _ { 0 } , T _ { 2 } ) = \left[ \frac { \nu _ { 1 q } ( T _ { 2 } ) ^ { 2 } - \mu _ { 1 q } ( T _ { 2 } ) ^ { 2 } } { 2 } \sin \left( 2 T _ { 0 } \right) + \mu _ { 1 q } ( T _ { 2 } ) \nu _ { 1 q } ( T _ { 2 } ) \cos \left( 2 T _ { 0 } \right) \right] \mathrm { J _ { 0 } } ^ { 2 } ( l _ { q } ) } \\ & { } & { + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \left[ \xi _ { n , q } ^ { ( 2 ) } \sin ( \omega _ { n , q } T _ { 0 } ) + \xi _ { n , q } ^ { ( 3 ) } \left( \mu _ { 1 q } ( T _ { 2 } ) , \nu _ { 1 q } ( T _ { 2 } ) \right) \cos ( 2 T _ { 0 } ) + \right. } \\ & { } & { \left. \xi _ { n , q } ^ { ( 4 ) } \left( \mu _ { 1 q } ( T _ { 2 } ) , \nu _ { 1 q } ( T _ { 2 } ) \right) \sin ( 2 T _ { 0 } ) \right] \exp ( \alpha _ { n , q } z ) \mathrm { J _ { 0 } } ( \alpha _ { n , q } r ) } \\ & { } & { \mathrm { a n d } } \\ & { } & { \eta _ { 2 } ( r , T _ { 0 } , T _ { 2 } ) = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \left[ \zeta _ { n , q } ^ { ( 1 ) } \cos ( \omega _ { n , q } T _ { 0 } ) + \zeta _ { n , q } ^ { ( 3 ) } ( \mu _ { 1 q } ( T _ { 2 } ) , \nu _ { 1 q } ( T _ { 2 } ) ) \cos ( 2 T _ { 0 } ) + \right. } \\ & { } & { \left. \zeta _ { n , q } ^ { ( 4 ) } ( \mu _ { 1 q } ( T _ { 2 } ) , \nu _ { 1 q } ( T _ { 2 } ) ) \sin ( 2 T _ { 0 } ) + \zeta _ { n , q } ^ { ( 5 ) } ( \mu _ { 1 q } ( T _ { 2 } ) , \nu _ { 1 q } ( T _ { 2 } ) ) \right] \mathrm { J _ { 0 } } ( \alpha _ { n , q } r ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \rho P \omega \| _ { C _ { c } ^ { 1 - ( Q / p ) } ( B ^ { \prime } ) } } & { \lesssim \| \omega \| _ { C ^ { 0 } ( B ) } , } \\ { \| \rho P \mathrm { d } _ { c } \omega \| _ { C _ { c } ^ { 1 - ( Q / p ) } ( B ^ { \prime } ) } } & { \lesssim \| \mathrm { d } _ { c } \omega \| _ { C ^ { 0 } ( B ) } , } \\ { \| \rho S \omega \| _ { C _ { c } ^ { 1 - ( Q / p ) } ( B ^ { \prime } ) } } & { \lesssim \| \omega \| _ { C ^ { 0 } ( B ) } + \| \mathrm { d } _ { c } \omega \| _ { C ^ { 0 } ( B ) } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { \partial R ^ { g } ( \omega _ { \tau } , T _ { w } , \omega _ { t } ) } { \partial \omega _ { \tau } } | _ { \omega _ { \tau } = \omega _ { \tau } ^ { \textrm { m a x } } } } \\ & { = } & { \frac { - C ( 0 ) \omega _ { \tau } + C ( T _ { w } ) \omega _ { t } } { C ^ { 2 } ( 0 ) - C ^ { 2 } ( T _ { w } ) } \times R ^ { g } ( \omega _ { \tau } , T _ { w } , \omega _ { t } ) = 0 . } \end{array}
i \hbar \frac { \partial } { \partial t } \varphi _ { 2 } ( u , t ) = \left[ \frac { \hat { p } ^ { 2 } } { 2 M _ { n } } - \frac { \hat { p } } { M _ { n } } G ( t ) + V _ { M } ( u ) - \frac { \alpha _ { 1 } F _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 } u \right] \varphi _ { 2 } ( u , t ) ,
\tilde { W } _ { L G } = \sum _ { a = 1 } ^ { 3 } F ^ { ( a ) } ( \sum _ { i = 0 } ^ { 7 } Q _ { i } ^ { ( a ) } Y _ { i } - t ^ { a } ) + ( W _ { L G } \equiv ) \sum _ { i = 0 } ^ { 7 } e ^ { - Y _ { i } }
{ \cal A } _ { e v e n } \sim \frac { { \hat { \mu } } ^ { 2 } } 4 \cos 3 \left( \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } \right) = e _ { 1 } e _ { 2 } + g _ { 1 } g _ { 2 } \; , \; \; { \cal A } _ { o d d } \sim \frac { { \hat { \mu } } ^ { 2 } } 4 \sin 3 \left( \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } \right) = e _ { 1 } g _ { 2 } - g _ { 1 } e _ { 2 }
x \displaystyle \frac { d } { d x } \ln \left( \displaystyle \frac { I _ { l } } { K _ { l + N } } \right) = x \displaystyle \frac { I _ { l } ^ { \prime } } { I _ { l } } + l + N + 0 \left( \displaystyle \frac { 1 } { N + l } \right) > l + N + 0 \left( \displaystyle \frac { 1 } { N + l } \right) ,
\biggl [ \biggl ( t ^ { \prime } { \frac { d } { d t ^ { \prime } } } \biggr ) ^ { 2 4 } + \sum _ { i = 1 } ^ { 2 3 } { \bf B } _ { i } ( t ^ { \prime } ) \biggl ( t ^ { \prime } { \frac { d } { d t ^ { \prime } } } \biggr ) ^ { i } \biggr ] \tilde { \Pi } ( t ^ { \prime } ) = 0 ,
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { c } { \hat { a } _ { \mathrm { D } } ^ { \dagger } } \\ { \hat { a } _ { \mathrm { A } } ^ { \dagger } } \end{array} \right) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { - 1 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { \hat { a } _ { \mathrm { H } } ^ { \dagger } } \\ { \hat { a } _ { \mathrm { V } } ^ { \dagger } } \end{array} , \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Gamma _ { \nu \lambda } ^ { \mu } \equiv \frac { 1 } { 2 } g ^ { \mu \alpha } \left( g _ { \alpha \nu , \lambda } + g _ { \alpha \lambda , \nu } - g _ { \nu \lambda , \alpha } \right) \, } \\ & { \Gamma _ { i j } ^ { 0 } \equiv \frac { 1 } { 2 } g ^ { 0 0 } \left( g _ { 0 j , i } + g _ { i 0 , j } - g _ { i j , 0 } \right) = \frac { 1 } { 2 } ( - 1 ) \left( - \frac { d a ^ { 2 } } { d x ^ { 0 } } \gamma _ { i j } \right) = \frac { a \dot { a } } { \tilde { c } } \gamma _ { i j } } \\ & { \Gamma _ { 0 j } ^ { i } = \frac { 1 } { \tilde { c } } \frac { \dot { a } } { a } \delta _ { j } ^ { i } \quad , \quad \Gamma _ { j k } ^ { i } = ^ { s } \Gamma _ { j k } ^ { i } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { P _ { z _ { 1 1 } , m _ { 1 1 } } ^ { 1 1 - } = B _ { z _ { 1 1 } , m _ { 1 1 } } ( p _ { 1 1 - } ) } \\ & { P _ { z _ { 1 1 } , m _ { 1 1 } } ^ { 1 1 + } = B _ { z _ { 1 1 } , z _ { 1 1 } - m _ { 1 1 } } ( p _ { 1 1 + } ) } \\ & { P _ { z _ { 2 2 } , m _ { 2 2 } } ^ { 2 2 - } = B _ { z _ { 2 2 } , m _ { 2 2 } } ( p _ { 2 2 - } ) } \\ & { P _ { z _ { 2 2 } , m _ { 2 2 } } ^ { 2 2 + } = B _ { z _ { 2 2 } , z _ { 2 2 } - m _ { 2 2 } } ( p _ { 2 2 + } ) } \\ & { P _ { z _ { 1 2 } , m _ { 1 2 } } ^ { 1 2 - } = B _ { z _ { 1 2 } , m _ { 1 2 } } ( p _ { 1 2 - } ) } \\ & { P _ { z _ { 1 2 } , m _ { 1 2 } } ^ { 1 2 + } = B _ { z _ { 1 2 } , z _ { 1 2 } - m _ { 1 2 } } ( p _ { 1 2 + } ) } \\ & { P _ { z _ { 2 1 } , m _ { 2 1 } } ^ { 2 1 - } = B _ { z _ { 2 1 } , m _ { 2 1 } } ( p _ { 2 1 - } ) } \\ & { P _ { z _ { 2 1 } , m _ { 2 1 } } ^ { 2 1 + } = B _ { z _ { 2 1 } , z _ { 2 1 } - m _ { 2 1 } } ( p _ { 2 1 + } ) } \end{array}
\widehat { B } _ { n } = \left( \begin{array} { l l } { V _ { n / 2 } } & { U _ { n / 2 } } \\ { U _ { n / 2 } ^ { H } } & { V _ { n / 2 } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { V _ { n / 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { V _ { n / 2 } } \end{array} \right) + \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { U _ { n / 2 } } \\ { U _ { n / 2 } ^ { H } } & { 0 } \end{array} \right) = A _ { n } ^ { \prime } + B _ { n } .
\begin{array} { r l } { \langle \tilde { b } ^ { \dagger } b c ^ { \dagger } c \rangle = } & { { } \delta \langle \tilde { b } ^ { \dagger } b c ^ { \dagger } c \rangle + \langle \tilde { b } ^ { \dagger } \rangle \delta \langle b c ^ { \dagger } c \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } & { E _ { V } = ( S _ { a 1 } - S _ { a 0 } ) \bigg ( \sum _ { \langle a \rangle } S _ { i } - \sum _ { \langle b \rangle } S _ { i } \bigg ) - ( S _ { a 1 } - S _ { a 0 } ) ^ { 2 } , } \\ & { E _ { J } = ( \sigma _ { a 1 } - \sigma _ { a 0 } ) \bigg ( \sum _ { \langle a \rangle } \sigma _ { i } - \sum _ { \langle b \rangle } \sigma _ { i } \bigg ) + ( \sigma _ { a 1 } - \sigma _ { a 0 } ) ( \sigma _ { b 1 } - \sigma _ { b 0 } ) . } \end{array}
\mathcal { L } \eta _ { \mathrm { a p p } } + \epsilon \partial _ { R } \bigl ( S _ { 4 } \eta _ { \mathrm { a p p } } \bigr ) - t \partial _ { t } \eta _ { \mathrm { a p p } } - \frac { 1 } { \delta } \, \bigl \{ \phi _ { \mathrm { a p p } } \, , S _ { 4 } \eta _ { \mathrm { a p p } } \bigr \} + \frac { \epsilon \bar { r } } { \delta \Gamma } \Bigl ( \dot { \bar { r } } \, \partial _ { R } \eta _ { \mathrm { a p p } } + \dot { \bar { z } } \, \partial _ { Z } \eta _ { \mathrm { a p p } } \Bigr ) \, ,
\begin{array} { r } { \underline { { \underline { { \bf T } } } } = \left( \begin{array} { l l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { \frac { m _ { 1 } ^ { m } } { \rho ^ { m } } } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { \frac { m _ { 2 } ^ { m } } { \rho ^ { m } } } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { \frac { m _ { 3 } ^ { m } } { \rho ^ { m } } } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { \frac { E ^ { m } } { \rho ^ { m } } } & { \frac { m _ { 1 } ^ { m } } { \rho ^ { m } } } & { \frac { m _ { 2 } ^ { m } } { \rho ^ { m } } } & { \frac { m _ { 3 } ^ { m } } { \rho ^ { m } } } & { 1 } \end{array} \right) , } \end{array}
\rho _ { \epsilon } ( x ) = C _ { \epsilon , r } \sum _ { m = 2 } ^ { \infty } \sum _ { l = 1 , 2 } \frac { \hat { \rho } ( T _ { \epsilon , l } ^ { - 1 } T _ { \epsilon , 2 } ^ { - 1 } T _ { \epsilon , 1 } ^ { - ( m - 2 ) } x ) } { | D T _ { \epsilon } ^ { m } ( T _ { \epsilon , l } ^ { - 1 } T _ { \epsilon , 2 } ^ { - 1 } T _ { \epsilon , 1 } ^ { - ( m - 2 ) } x ) | }
\mathbf { \psi } _ { n } = \left[ \begin{array} { l } { \psi _ { n , k , j , L } \; \psi _ { n , k , j , R } \; \psi _ { n , k + 1 / 2 , j , L } \; \psi _ { n , k + 1 / 2 , j , R } } \end{array} \right] ^ { T } \; ,
\begin{array} { r l } & { \Bigl ( \frac { ( | x _ { 1 } - z _ { 1 } | + | y _ { 1 } - z _ { 1 } | ) 2 ^ { k ^ { 2 } } \ell ( I ^ { 2 } ) } { | x _ { 3 } - z _ { 3 } | } + \frac { | x _ { 3 } - z _ { 3 } | } { ( | x _ { 1 } - z _ { 1 } | + | y _ { 1 } - z _ { 1 } | ) 2 ^ { k ^ { 2 } } \ell ( I ^ { 2 } ) } \Bigr ) ^ { - \theta } } \\ & { \qquad \qquad \times ( | x _ { 1 } - z _ { 1 } | + | y _ { 1 } - z _ { 1 } | ) ^ { - 2 } } \\ & { \le \Bigl ( \frac { ( | x _ { 1 } - z _ { 1 } | + | y _ { 1 } - z _ { 1 } | ) 2 ^ { k ^ { 2 } } \ell ( I ^ { 2 } ) } { | x _ { 3 } - z _ { 3 } | } \Bigr ) ^ { - \theta } ( | x _ { 1 } - z _ { 1 } | + | y _ { 1 } - z _ { 1 } | ) ^ { - 2 } \chi _ { \{ | x _ { 1 } - z _ { 1 } | 2 ^ { k ^ { 2 } } \ell ( I ^ { 2 } ) \ge | x _ { 3 } - z _ { 3 } | \} } } \\ & { + \Bigl ( \frac { | x _ { 3 } - z _ { 3 } | } { ( | x _ { 1 } - z _ { 1 } | + | y _ { 1 } - z _ { 1 } | ) 2 ^ { k ^ { 2 } } \ell ( I ^ { 2 } ) } \Bigr ) ^ { - \theta } ( | x _ { 1 } - z _ { 1 } | + | y _ { 1 } - z _ { 1 } | ) ^ { - 2 } \chi _ { \{ | x _ { 1 } - z _ { 1 } | 2 ^ { k ^ { 2 } } \ell ( I ^ { 2 } ) < | x _ { 3 } - z _ { 3 } | \} } . } \end{array}
< b \mid U ^ { ( n ) } \mid a > = i ^ { n } \exp ( i ( Q _ { b } ^ { 0 } z - Q _ { a } ^ { 0 } z _ { 0 } ) ) I _ { a b } ^ { ( n ) } \times \left\{ \begin{array} { c c } { { \left( - \mid k \mid \right) ^ { n / 2 } } } & { { a = b } } \\ { { V _ { b a } \left( - \mid k \mid \right) ^ { ( n - 1 ) / 2 } } } & { { a \not = b } } \end{array} \right.
\rho _ { \mathrm { c r i t } } = { \frac { 3 H _ { 0 } ^ { 2 } } { 8 \pi G } } = 1 . 8 7 8 \; 4 7 ( 2 3 ) \times 1 0 ^ { - 2 6 } \; h ^ { 2 } \; { \mathrm { k g } } \; { \mathrm { m } } ^ { - 3 } ,
\begin{array} { r l r } { R \sin \phi _ { 1 } } & { = } & { \int _ { \phi _ { 0 } } ^ { \phi _ { 1 } } \frac { \cos \phi } { \sqrt { \frac { 2 P _ { 0 } } { B } [ \sin \phi - \sin \phi _ { 0 } ] } } \, d \phi , } \\ { R - R \cos \phi _ { 1 } } & { = } & { \int _ { \phi _ { 0 } } ^ { \phi _ { 1 } } \frac { \sin \phi } { \sqrt { \frac { 2 P _ { 0 } } { B } [ \sin \phi - \sin \phi _ { 0 } ] } } \, d \phi . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { r _ { k + 1 } = \frac { r _ { k } } { 1 + \delta t \frac { ( \nabla f ( \theta _ { k } ) , \nabla f ( \theta _ { k } ) ) } { 2 ( f ( \theta _ { k } ) + C ) } } , } \\ & { \theta _ { k + 1 } = \theta _ { k } - { \delta t } \frac { r _ { k + 1 } } { \sqrt { f ( \theta _ { k } ) + C } } \nabla f ( \theta _ { k } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { W _ { 0 } ( s , \lambda ) + \delta _ { 0 } } & { \geq r ( s , \lambda , h ) , } \\ { W _ { - j } ( s , \lambda ) + \delta _ { j } } & { \geq W _ { - ( j - 1 ) } ( f ( s , h , \lambda ) , \lambda ) , j = 1 , . . . , k , } \\ { W \left( \frac { 1 } { k } , s , \lambda \right) + \delta _ { k + 1 } } & { \geq W _ { - k } ( s , \lambda ) , } \\ { \bar { \nu } + A \alpha + B \alpha ^ { 2 } + C \alpha ^ { 2 } + . . . + \delta _ { \infty } } & { \geq W \left( \alpha , s _ { 1 } , \lambda \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi _ { \mathrm { L a r g e S e g } | f = f _ { \mathrm { b } } } } & { { } = \phi _ { \mathrm { A A _ { 1 } } | f = f _ { \mathrm { b } } } + \phi _ { \mathrm { A _ { 1 } B } | f = f _ { \mathrm { b } } } + \phi _ { \mathrm { B B _ { 1 } } | f = f _ { \mathrm { b } } } } \end{array}
4 \sum _ { a = 1 } ^ { \eta } \int \textrm { d } \mathbf r _ { 1 } \, \textrm { d } \mathbf r _ { 2 } \frac { | \phi \left( \mathbf r _ { 1 } \right) | ^ { 2 } | \psi _ { a } \left( \mathbf r _ { 2 } \right) | ^ { 2 } } { \left| \mathbf r _ { 1 } - \mathbf r _ { 2 } \right| } \, ,
\alpha ^ { \prime } R \approx \frac { 1 } { g _ { \mathrm { e f f } } } \sim \frac { 1 } { \sqrt { \tilde { g } \tilde { b } u ^ { 3 } } } \sim \frac { 1 } { { \hat { g } } ^ { 2 } ( a u ) ^ { 3 / 2 } } .
\widetilde { S } _ { 0 } ^ { ( D _ { 0 } ) } ( k ) = - \frac { 1 + i \left( 2 \omega _ { _ \mathrm { ( g s ) } } ^ { - 1 } / \pi - Q _ { _ \mathrm { ( g s ) } } \right) } { 1 - i \left( 2 \omega _ { _ \mathrm { ( g s ) } } ^ { - 1 } / \pi - Q _ { _ \mathrm { ( g s ) } } \right) } \; ,
\frac { d | \mathbb { P } _ { x } ( t ) | } { d t } = a _ { x } \sum _ { J \in P ( M _ { x } ) } R _ { J } ^ { x } ( t ) + \sum _ { \{ y | ( x , y ) \in E _ { 1 } \} } B _ { x , y } | \mathbb { P } _ { x } ( t ) | | \mathbb { P } _ { y } ( t ) | - \sum _ { \{ y | ( y , x ) \in E _ { 1 } \} } C _ { y , x } | \mathbb { P } _ { y } ( t ) | | \mathbb { P } _ { x } ( t ) | - d _ { x } | \mathbb { P } _ { i } ( t ) | .
\begin{array} { r l } { \sum _ { \alpha } w _ { \alpha } = } & { 1 ; } \\ { \sum _ { \alpha } w _ { \alpha } c _ { \alpha } ^ { i } c _ { \alpha } ^ { j } = } & { T _ { 0 } \delta ^ { i j } \equiv T _ { 0 } \triangle ^ { ( 2 ) , i j } ; } \\ { \sum _ { \alpha } w _ { \alpha } c _ { \alpha } ^ { i } c _ { \alpha } ^ { j } c _ { \alpha } ^ { k } c _ { \alpha } ^ { l } = } & { T _ { 0 } ^ { 2 } \bigg [ \delta ^ { i j } \delta ^ { k l } + \delta ^ { i k } \delta ^ { j l } + \delta ^ { i l } \delta ^ { j k } \bigg ] \equiv T _ { 0 } ^ { 2 } \triangle ^ { ( 4 ) , i j k l } ; } \\ { \sum _ { \alpha } w _ { \alpha } c _ { \alpha } ^ { i } c _ { \alpha } ^ { j } c _ { \alpha } ^ { k } c _ { \alpha } ^ { l } c _ { \alpha } ^ { m } c _ { \alpha } ^ { n } = } & { T _ { 0 } ^ { 3 } \bigg [ \delta ^ { i j } \triangle ^ { ( 4 ) , k l m n } + \delta ^ { i k } \triangle ^ { ( 4 ) , j l m n } + \delta ^ { i l } \triangle ^ { ( 4 ) , j k l n } + \delta ^ { i n } \triangle ^ { ( 4 ) , j k l m } \bigg ] \equiv } \\ { \equiv } & { T _ { 0 } ^ { 3 } \triangle ^ { ( 6 ) , i j k l m n } . } \end{array}
\langle \tilde { Q } _ { + } Q _ { + } \rangle = \left[ v ^ { 2 } - \frac { \mu ^ { 3 } \Lambda _ { 1 } ^ { 3 } } { v ( - \operatorname * { d e t } h ) } \right] ^ { 1 / 2 } = \left[ v ^ { 2 } - \frac { 4 \mu \, s \, } { ( - \operatorname * { d e t } h ) } \right] ^ { 1 / 2 } \, ,
\begin{array} { r l r } { C ^ { 1 2 } } & { { } = } & { C ^ { 6 6 } \ ; \ \quad C ^ { 1 3 } = C ^ { 5 5 } \ ; \ \quad C ^ { 1 4 } = C ^ { 6 5 } } \\ { C ^ { 2 3 } } & { { } = } & { C ^ { 4 4 } \ ; \ \quad C ^ { 2 5 } = C ^ { 6 4 } \ ; \ \quad C ^ { 3 6 } = C ^ { 5 4 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \vert j ( k _ { 0 } , \tilde { s } _ { 1 } ) \vert } & { \le c ^ { 2 } \kappa _ { k _ { 0 } } \eta ^ { 2 } \exp ( - \kappa _ { k _ { 0 } } \eta ^ { 3 } ) j ( k _ { 0 } , \tilde { s } _ { 0 } ) } \\ & { + \frac { 2 ^ { 5 } } \beta \frac 1 { \eta ^ { 2 } } ( c _ { 1 } + c _ { 2 } + \tilde { c } _ { 1 } + \tilde { c } _ { 2 } ) . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \frac { \partial N } { \partial \tau } = \left( \displaystyle \frac { r _ { 1 } } { 1 + k P } - q N - \displaystyle \frac { \alpha ( 1 - \eta ) P } { a + b ( 1 - \eta ) N + c P } - d \right) N + d _ { 1 } \Delta N , } \\ { \displaystyle \frac { \partial P } { \partial \tau } = \left( r _ { 2 } - \displaystyle \frac { \beta P } { ( 1 - \eta ) N + \gamma } \right) P + d _ { 2 } \Delta P } \end{array} \right.
< \chi \mid \chi > = \S _ { \begin{array} { l } { { { \scriptstyle n _ { 1 } , . . . , n _ { N } = 0 } } } \\ { { { \scriptstyle m _ { 1 } , . . . , m _ { M } = 0 } } } \\ { { { \scriptstyle q _ { 1 } , . . . , q _ { Q } = 0 } } } \\ { { { \scriptstyle t _ { 1 } , . . . , t _ { T } = 0 } } } \end{array} } ^ { 1 } { \left| c ^ { \prime } ( { \{ n _ { r } \} } _ { 1 } ^ { N } ; { \{ m _ { r } \} } _ { 1 } ^ { M } ; { \{ q _ { r } \} } _ { 1 } ^ { Q } ; { \{ t _ { r } \} } _ { 1 } ^ { T } ) \right| } ^ { 2 } .
a = R - \frac { \tan \left( \sqrt { k _ { 0 } ^ { 2 } } R \right) } { \sqrt { k _ { 0 } ^ { 2 } } } = R \left( 1 - \frac { \tan \left( \sqrt { 2 v _ { 0 } } \right) } { \sqrt { 2 v _ { 0 } } } \right) ,
\begin{array} { r l r } { { \cal E } _ { 1 } ^ { \ensuremath { \mathrm { v p } } , ( 1 ) , \mathrm { D C } } \! } & { = } & { \! - \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \! \! \! \mathrm { d } x \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \! \frac { \mathrm d k } { \pi } \frac { \kappa ^ { 2 } e ^ { - 2 \kappa | x | } } { k ^ { 2 } + \kappa ^ { 2 } } f _ { k } ( x ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { { \mathbb { P } } ( { T } _ { n } ^ { c } > n ^ { 1 / 2 } | { \boldsymbol \theta } | _ { \infty } - q _ { 1 - \alpha } ^ { B } \mid H _ { 1 } ) \leq { \mathbb { P } } ( { T } _ { n } ^ { c } > n ^ { 1 / 2 } | { \boldsymbol \theta } | _ { \infty } - q _ { 1 - \alpha + \beta _ { n , p } } \mid H _ { 1 } ) + o ( 1 ) \, . } \end{array}
\nabla _ { \mu } = \frac { \delta } { \delta X ^ { \mu } } + \omega _ { \mu a b } [ X ] \left( \chi ^ { a } ( \sigma ) \overline { { { \chi } } } ^ { b } ( \sigma ) + \overline { { { \chi } } } ^ { a } ( \sigma ) \chi ^ { b } ( \sigma ) \right)
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { \mu , d , b , \lambda } } & { \; d _ { * } } \\ { \mathrm { s . t . } \; \; } & { d _ { s } ^ { k } \geq | | x _ { s } - \mu ^ { k } | | _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { - N _ { 1 } ( 1 - b _ { s } ^ { k } ) \leq d _ { s } ^ { * } - d _ { s } ^ { k } \leq 0 } \\ & { d _ { * } \geq d _ { s } ^ { * } } \\ & { \sum _ { k \in \mathcal { K } } b _ { s } ^ { k } = 1 } \\ & { b _ { s } ^ { k } \in \{ 0 , 1 \} } \\ & { - N _ { 2 } ( 1 - \lambda _ { s } ^ { k } ) \leq x _ { s } - \mu ^ { k } \leq N _ { 2 } ( 1 - \lambda _ { s } ^ { k } ) } \\ & { \sum _ { s \in \mathcal { S } } \lambda _ { s } ^ { k } = 1 } \\ & { \lambda _ { s } ^ { k } \in \{ 0 , 1 \} } \\ & { b _ { s } ^ { k } \geq \lambda _ { s } ^ { k } } \\ & { s \in \mathcal { S } , k \in \mathcal { K } } \end{array}
p _ { \mathrm { ~ f ~ i ~ r ~ s ~ t ~ - ~ n ~ u ~ c ~ } } [ T ( t ) ] \equiv \int _ { T ( t _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } ) } ^ { T ( 0 ) } d T \, p _ { \mathrm { ~ f ~ i ~ r ~ s ~ t ~ - ~ n ~ u ~ c ~ } } ( T ; T ( t ) ) = 1
\langle ( \epsilon ( t ) - \epsilon ( 0 ) ) ^ { 2 } \rangle _ { \rho } = \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { J } ( \epsilon ( t ) - \epsilon ( 0 ) ) ^ { 2 } W _ { i } ( 0 ) } { \sum _ { i = 1 } ^ { J } W _ { i } ( 0 ) } \mathrm { ~ , ~ }
\begin{array} { r l } { \mathrm { V a r } \left[ E ^ { \mathrm { o b s } } \right] } & { = \mathbb { E } \left[ \mathrm { V a r } \left[ E ^ { \mathrm { o b s } } | \theta \right] \right] + \mathrm { V a r } \left[ \mathbb { E } \left[ E ^ { \mathrm { o b s } } | \theta \right] \right] \ , } \\ & { = \underbrace { \mathbb { E } _ { \theta } \left[ \sigma _ { \theta , E } ^ { 2 } ( x ) \right] } _ { \mathrm { a l e a t o r i c } } + \underbrace { \mathrm { V a r } _ { \theta } \left( E _ { \theta } ( x ) \right) } _ { \mathrm { e p i s t e m i c } } \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { k \leq 2 } | ( ( r - 1 ) \widetilde { X } ) ^ { k } u _ { m \ell } ( r ) | \leq } & { \: C ( | B _ { + } | + | B _ { - } | ) \sum _ { k \leq 2 } \operatorname* { s u p } _ { r ^ { \prime } } | r ^ { \prime } F _ { m \ell } ( r ^ { \prime } ) | } \\ { \sum _ { k \leq 2 } | X ( ( r - 1 ) \widetilde { X } ) ^ { k } u _ { m \ell } ( r ) | \leq } & { \: C ( | B _ { + } | + | B _ { - } | ) ( r - 1 ) ^ { - \frac { 3 } { 2 } + \sqrt { \alpha _ { m \ell } } } ( \operatorname* { s u p } _ { r ^ { \prime } } | F _ { m \ell } ( r ^ { \prime } ) | + \operatorname* { s u p } _ { r ^ { \prime } \leq 2 } | \widetilde { X } F _ { m \ell } ( r ^ { \prime } ) | ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { M _ { t } ^ { p } ( m ) = \frac { \prod _ { i = 1 } ^ { t } \exp \{ \phi _ { p } ( \lambda _ { i } ( X _ { i } - m ) ) \} } { \prod _ { i = 1 } ^ { t } \left( 1 + \lambda _ { i } ( \mu ( P ) - m ) + \frac { \lambda _ { i } ^ { p } } { p } \left( 4 \kappa + | \mu ( P ) - m | ^ { p } \right) + ( p - 1 / p ) \varepsilon \right) } . } \end{array}