harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \implies } & { \sum _ { i } \alpha ^ { \frac { q } { q - 1 } } \lVert c ^ { * } \rVert _ { q } ^ { - q } ( c _ { i } ^ { * } ) ^ { q } = \sum _ { i } ( b _ { i } + \lambda ) ^ { \frac { q } { q - 1 } } \mathbf { 1 } ( b _ { i } \geq - \lambda ) , } \\ & { \qquad \mathrm { ( t a k i n g ~ q / ( q - 1 ) ~ t h ~ p o w e r ~ a n d ~ s u m m i n g ) } } \\ { \implies } & { \alpha ^ { p } = \sum _ { i = 1 } ^ { A } ( b _ { i } + \lambda ) ^ { p } \mathbf { 1 } ( b _ { i } \geq - \lambda ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { v } _ { b } ^ { c _ { } } } & { { } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \left[ c _ { } \Delta t { } \mathbf { w } _ { b } \right] ^ { n } = \sum _ { n = 0 } ^ { N _ { \mathrm { } } - 1 } \left[ c _ { } \Delta t { } \mathbf { w } _ { b } \right] ^ { n } + \mathcal { O } \left( \left[ \Delta t { } \omega _ { b } \right] ^ { N _ { \mathrm { } } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { x \left( j _ { p } ^ { 1 } \sigma \right) } & { { } = x ( p ) = x } \\ { u \left( j _ { p } ^ { 1 } \sigma \right) } & { { } = u ( \sigma ( p ) ) = u ( \sigma ( x ) ) = \sigma ( x ) } \\ { u _ { 1 } \left( j _ { p } ^ { 1 } \sigma \right) } & { { } = \left. { \frac { \partial \sigma } { \partial x } } \right| _ { p } = \sigma ^ { \prime } ( x ) } \end{array}
\widetilde F ^ { \alpha } = \left\{ \left\{ \begin{array} { l l } { { \epsilon ^ { \alpha \beta } \mathrm { } ^ { * } F ^ { \beta } , } } & { { i f D = 4 k } } \\ { { \sigma _ { 1 } ^ { \alpha \beta } \mathrm { } ^ { * } F ^ { \beta } , } } & { { i f D = 4 k + 2 } } \end{array} \right. \right.
\begin{array} { r l } & { B ( f , \overline { { g } } ) ( x ) } \\ & { = \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 n } } \left( \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \vartheta _ { k } ( \xi ) \overline { { \vartheta _ { k } ( - \eta ) } } b _ { 1 } ( \xi ) \overline { { b _ { 2 } ( - \eta ) } } \right) \widehat { f } ( \xi ) \, \widehat { g } ( - \eta ) \, e ^ { i x \cdot ( \xi + \eta ) } \, e ^ { i \varphi ( \xi ) - i \varphi ( \eta ) } \, \, \mathrm { d } \xi \, \, \mathrm { d } \eta } \\ & { = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \left( \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } \vartheta _ { k } ( \xi ) b _ { 1 } ( \xi ) \widehat { f } ( \xi ) \, e ^ { i x \cdot \xi } \, e ^ { i \varphi ( \xi ) } \, \, \mathrm { d } \xi \right) \left( \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } \overline { { \vartheta _ { k } ( - \eta ) b _ { 2 } ( - \eta ) \widehat { g } ( - \eta ) } } \, e ^ { i x \cdot \eta } \, e ^ { - i \varphi ( \eta ) } \, \, \mathrm { d } \eta \right) } \\ & { = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \left( \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } \vartheta _ { k } ( \xi ) b _ { 1 } ( \xi ) \widehat { f } ( \xi ) \, e ^ { i x \cdot \xi } \, e ^ { i \varphi ( \xi ) } \, \, \mathrm { d } \xi \right) \overline { { \left( \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } \vartheta _ { k } ( \xi ) b _ { 2 } ( \xi ) \widehat { g } ( \xi ) \, e ^ { i x \cdot \xi } \, e ^ { i \varphi ( \xi ) } \, \, \mathrm { d } \xi \right) } } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { V } & { = 1 / 3 \times { \mathrm { ~ b a s e ~ } } \times { \mathrm { ~ h e i g h t ~ } } } \\ & { = 1 / 3 \times { \mathrm { ~ A r e a ~ } } ( \triangle b c d ) \times { \mathrm { ~ h e i g h t ~ } } } \\ & { = 1 / 3 \times 8 4 \times { \sqrt { 2 4 0 { \frac { 6 1 5 } { 3 1 3 6 } } } } } \\ & { \approx 4 3 3 . 9 5 1 3 2 2 2 } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { \Omega _ { R } ^ { p } ( L _ { 1 } ) \oplus \cdots \oplus \Omega _ { R } ^ { p } ( L _ { r } ) \oplus \Omega _ { R } ^ { p } ( N _ { 1 } ) \oplus \cdots \oplus \Omega _ { R } ^ { p } ( N _ { s } ) } \\ { \cong } & { \ L _ { 1 } \oplus \cdots \oplus L _ { r } \oplus N _ { 1 } \oplus \cdots \oplus N _ { t } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lVert \bar { A } _ { i } - \bar { A } _ { j } \rVert } & { = \lVert \Phi ^ { \top } D ^ { ( i ) } ( \Phi - \gamma P ^ { ( i ) } \Phi ) - \Phi ^ { \top } D ^ { ( j ) } ( \Phi - \gamma P ^ { ( j ) } \Phi ) \rVert } \\ & { \le \lVert \Phi ^ { \top } D ^ { ( i ) } ( \Phi - \gamma P ^ { ( i ) } \Phi ) - \Phi ^ { \top } D ^ { ( i ) } ( \Phi - \gamma P ^ { ( j ) } \Phi ) + \Phi ^ { \top } D ^ { ( i ) } ( \Phi - \gamma P ^ { ( j ) } \Phi ) - \Phi ^ { \top } D ^ { ( j ) } ( \Phi - \gamma P ^ { ( j ) } \Phi ) \rVert } \\ & { \le \lVert \Phi ^ { \top } D ^ { ( i ) } ( \Phi - \gamma P ^ { ( i ) } \Phi ) - \Phi ^ { \top } D ^ { ( i ) } ( \Phi - \gamma P ^ { ( j ) } \Phi ) \rVert } \\ & { + \lVert \Phi ^ { \top } D ^ { ( i ) } ( \Phi - \gamma P ^ { ( j ) } \Phi ) - \Phi ^ { \top } D ^ { ( j ) } ( \Phi - \gamma P ^ { ( j ) } \Phi ) \rVert } \\ & { \stackrel { ( a ) } { \le } \gamma \lVert \Phi \rVert ^ { 2 } \lVert D ^ { ( i ) } \rVert \lVert P ^ { ( i ) } - P ^ { ( j ) } \rVert + \lVert \Phi \rVert ^ { 2 } \lVert D ^ { ( i ) } - D ^ { ( j ) } \rVert \lVert ( I - \gamma P ^ { ( j ) } ) \rVert } \\ & { \stackrel { ( b ) } { \le } \gamma \sqrt { n } \epsilon + ( 1 + \gamma ) [ 2 ( n - 1 ) \epsilon + \mathcal { O } ( \epsilon ^ { 2 } ) ] , } \end{array}
\Sigma _ { \rho h } ^ { \mu \nu } ( q ) = \int \frac { d ^ { 3 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \frac { 1 } { 2 \omega _ { h } ( p ) } \left[ f ^ { h } ( \omega _ { h } ( p ) ) - f ^ { R } ( k _ { 0 } ) \right] \ { \cal M } _ { \rho h } ^ { \mu \nu } ( p , q )
\delta _ { B } ( \left[ v ^ { 3 } \theta ^ { 2 } \right] ) = - i v ^ { 2 } \left( \left( \frac { d } { \phi d \phi } \right) f _ { 1 } ^ { ( 2 ) } v ^ { i } \phi ^ { j } \phi ^ { k } + f _ { 1 } ^ { ( 2 ) } v ^ { i } \delta ^ { j k } \right) ( \epsilon \gamma ^ { k } \theta ) ( \theta \gamma ^ { i j } \theta ) .
\begin{array} { r } { e ^ { \vert v \vert ^ { 2 } } f \in \mathscr { C } \left( [ 0 , T ] ; \mathcal { H } _ { 0 } ^ { m - 1 } \right) , \ \ \varrho \in \mathrm { L } ^ { 2 } ( 0 , T ; \mathrm { H } ^ { m } ) , \ \ u \in \mathscr { C } \left( [ 0 , T ] ; \mathrm { H } ^ { m } \right) \cap \mathrm { L } ^ { 2 } ( 0 , T ; \mathrm { H } ^ { m + 1 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { V _ { 0 } \frac { d C _ { 0 } } { d t } } & { = \overbrace { \gamma _ { 0 } Q C _ { 1 } ^ { \prime } } ^ { \mathrm { f r o m \ F C U } } - \overbrace { \gamma _ { 0 } Q C _ { 0 } } ^ { \mathrm { t o \ c e i l i n g \ z o n e } } + N F , } \\ { V _ { 1 } \frac { d C _ { 1 } } { d t } } & { = \underbrace { q ^ { \prime } \phi } _ { \mathrm { f r o m \ c e i l i n g \ z o n e } } - \underbrace { ( \gamma _ { 1 } q + q ^ { \prime } ) C _ { 1 } } _ { \mathrm { t o \ F C U } } . } \end{array}
Z _ { I I } ( z ) = A _ { 1 } e ^ { i z \sqrt { - \frac { \omega ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } + k _ { x } ^ { 2 } + k _ { y } ^ { 2 } + B + A } } + B _ { 1 } e ^ { - i z \sqrt { - \frac { \omega ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } + k _ { x } ^ { 2 } + k _ { y } ^ { 2 } + B + A } } ,
\begin{array} { r l } { \bar { c } _ { 1 , n _ { 0 } } ^ { ( i _ { 0 } ) } } & { = \operatorname* { m a x } _ { 0 \le m \le i _ { 0 } } \left\{ \operatorname* { l i m s u p } _ { t \to \infty } \frac { b _ { 1 } ^ { ( n _ { 0 } - 1 ) \leftarrow } ( t ) b _ { i _ { 0 } - 1 } ^ { \leftarrow } ( t ) } { b _ { m } ^ { ( n _ { 0 } - 1 ) \leftarrow } ( t ) b _ { i _ { 0 } - m } ^ { \leftarrow } ( t ) } \right\} } \\ & { = \operatorname* { m a x } \left\{ 0 , 1 , \operatorname* { m a x } _ { 2 \le m \le i _ { 0 } - 1 } \operatorname* { l i m s u p } _ { t \to \infty } \frac { t ^ { \alpha } \ell ( t ) \cdot t ^ { ( i _ { 0 } - 1 ) ( \alpha + \gamma ) } } { b _ { m } ^ { ( n _ { 0 } - 1 ) \leftarrow } ( t ) \cdot t ^ { ( i _ { 0 } - m ) ( \alpha + \gamma ) } } , \operatorname* { l i m s u p } _ { t \to \infty } \frac { t ^ { \alpha } \ell ( t ) \cdot t ^ { ( i _ { 0 } - 1 ) ( \alpha + \gamma ) } } { b _ { i _ { 0 } } ^ { ( n _ { 0 } - 1 ) \leftarrow } ( t ) b _ { 0 } ^ { ( 1 ) \leftarrow } ( t ) } \right\} } \\ & { = \operatorname* { m a x } \left\{ 0 , 1 , \operatorname* { l i m s u p } _ { t \to \infty } \frac { t ^ { i _ { 0 } \alpha + ( i _ { 0 } - 1 ) \gamma } \ell ( t ) } { t ^ { i _ { 0 } ( \alpha + \gamma ) } } , \operatorname* { l i m s u p } _ { t \to \infty } \frac { t ^ { i _ { 0 } \alpha + ( i _ { 0 } - 1 ) \gamma } \ell ( t ) } { t ^ { i _ { 0 } ( \alpha + \gamma ) } } \right\} = 1 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left[ \begin{array} { l l } { \boldsymbol { M } } & { - \boldsymbol { K } } \\ { - \boldsymbol { K } ^ { T } } & { \boldsymbol { 0 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \boldsymbol { \lambda } } \\ { \boldsymbol { U } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { \boldsymbol { u } _ { s } } \\ { - \boldsymbol { F } } \end{array} \right] , } \end{array}
+ 4 0 ( 1 3 3 7 6 0 0 u ^ { 1 8 } + 1 2 5 4 7 4 3 5 2 u ^ { 1 5 } v - 8 1 2 7 1 9 9 0 8 u ^ { 1 2 } v ^ { 2 } + 1 3 3 8 6 5 5 4 1 0 u ^ { 9 } v ^ { 3 } + 7 5 9 1 4 3 7 8 5 5 u ^ { 6 } v ^ { 4 }
\begin{array} { r l } { l _ { \mathrm { D D E S } } } & { = l _ { \mathrm { R A N S } } - f _ { d } \operatorname* { m a x } { \{ 0 , \left( l _ { \mathrm { R A N S } } - l _ { \mathrm { L E S } } \right) \} } } \\ { \mathrm { w i t h } \ \ \ f _ { d } } & { = 1 - \operatorname { t a n h } { \left[ { \left( 1 6 r _ { d } \right) } ^ { 3 } \right] } \ \ \ } \\ { \mathrm { a n d } \ \ \ r _ { d } } & { = \frac { \nu + \nu _ { t } } { \kappa ^ { 2 } d _ { w } ^ { 2 } \cdot { [ \sum _ { i , j } { \left( \partial u _ { i } / \partial x _ { j } \right) } ^ { 2 } ] } ^ { 1 / 2 } } \ \ \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \eta _ { I } ^ { \left[ 1 \right] } \left( \mu \right) } & { = \mathbb { E } _ { \left( \mathbf { z } , \lambda \right) \sim \mu } \left[ \delta _ { \lambda , 1 } \left( \sum _ { i \in \mathcal { N } } \pi _ { i } ^ { \left[ 1 \right] } z _ { i } - \mathbf { z } _ { I } \right) \right] + \sum _ { \left( R , \alpha \right) } p _ { \left( R , \alpha \right) } ^ { \circ } \left( L \right) \eta _ { \widetilde { \alpha } \left( I \right) } ^ { \left[ L \right] } \left( \mu \right) ; } \\ { \eta _ { I } ^ { \left[ \beta \right] } \left( \mu \right) } & { = \mathbb { E } _ { \left( \mathbf { z } , \lambda \right) \sim \mu } \left[ \delta _ { \lambda , \beta } \left( \sum _ { i \in \mathcal { N } } \pi _ { i } ^ { \left[ \beta \right] } z _ { i } - \mathbf { z } _ { I } \right) \right] } \\ & { \quad + \sum _ { \left( R , \alpha \right) } p _ { \left( R , \alpha \right) } ^ { \circ } \left( \beta - 1 \right) \eta _ { \widetilde { \alpha } \left( I \right) } ^ { \left[ \beta - 1 \right] } \left( \mu \right) ; \quad \left( 1 < \beta \leqslant L \right) } \\ { \sum _ { i \in \mathcal { N } } \pi _ { i } ^ { \left[ \beta \right] } \eta _ { i } ^ { \left[ \beta \right] } \left( \mu \right) } & { = 0 \textrm { f o r s o m e } \beta \in \mathcal { L } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde { T } _ { i s } } & { ( \vec { r } _ { i } , \omega _ { p } - \omega _ { s } , \vec { e } _ { i } ; \vec { r } _ { s } , \omega _ { s } , \vec { e } _ { s } ) = \frac { 1 } { \mu _ { 0 } ^ { 2 } } \sum _ { q _ { i } , q _ { s } } e _ { i , q _ { i } } e _ { s , q _ { s } } } \\ & { \times \sum _ { m , n = 1 } ^ { \infty } \xi _ { m , n } ( \omega _ { s } , \omega _ { p } ) \widetilde { E } _ { m , q _ { i } } ( \vec { r } _ { i } ) \widetilde { E } _ { n , q _ { s } } ( \vec { r } _ { s } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \tau ^ { 2 } \partial _ { t } ^ { 2 } \left[ 1 - \lambda _ { s } ^ { 2 } \nabla \nabla \cdot + \lambda ^ { 2 } \nabla \times \nabla \times \right] \vec { w } - 4 \left[ \lambda _ { d } ^ { 2 } \nabla \nabla \cdot \right] \vec { w } } \\ & { + 2 \tau \partial _ { t } \left[ 1 - \left( \lambda _ { s } ^ { 2 } + \lambda _ { d } ^ { 2 } \right) \nabla \nabla \cdot + \lambda ^ { 2 } \nabla \times \nabla \times - \right. } \\ & { \left. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ - \frac { f \rho \gamma } { 3 a \zeta T } \left( 1 - \frac { \tau ^ { 2 } } { 1 5 a ^ { 2 } } \vec { w } ^ { 2 } \right) \right] \vec { w } = 0 \ , } \end{array}
\Gamma ( \varphi , \Sigma , \psi , \phi ^ { * } , \bar { \phi } ) = { \cal W } ( { \cal J } , L , \psi , \phi ^ { * } , \bar { \phi } ) - { \cal J } _ { i } \varphi ^ { i } - L _ { m } \bigg ( \Sigma ^ { m } + \sigma ^ { m } ( \varphi , \psi ) \bigg ) ,
\begin{array} { r l } { k _ { r } = } & { \left\{ \begin{array} { l l } { 2 . 1 8 c m ^ { - 1 } } & { A _ { W } = 0 } \\ { 1 . 8 7 c m ^ { - 1 } } & { A _ { W } = 1 } \end{array} \right. } \\ { \omega _ { 1 } = } & { \left\{ \begin{array} { l l } { \pm 6 3 9 0 s ^ { - 1 } } & { A _ { W } = 0 } \\ { \pm 4 4 6 0 s ^ { - 1 } } & { A _ { W } = 1 } \end{array} \right. } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l r l } { \mathbf { U } \; } & { { } = f _ { a c t } ( \mathbf { W } ^ { U } \mathbf { x } + \mathbf { b } ^ { U } ) } & { } & { { } } \\ { \mathbf { V } \; } & { { } = f _ { a c t } ( \mathbf { W } ^ { V } \mathbf { x } + \mathbf { b } ^ { V } ) } & { } & { { } } \\ { \mathbf { y } ^ { 1 } } & { { } = f _ { a c t } ( \mathbf { W } ^ { 1 } \mathbf { x } + \mathbf { b } ^ { 1 } ) } & { } & { { } } \\ { \mathbf { Z } ^ { l } } & { { } = f _ { a c t } ( \mathbf { W } ^ { l } \mathbf { y } ^ { l - 1 } + \mathbf { b } ^ { l } ) , } & { } & { { } 2 \le l \le L } \\ { \mathbf { y } ^ { l } } & { { } = ( 1 - \mathbf { Z } ^ { l } ) \odot \mathbf { U } + \mathbf { Z } ^ { l } \odot \mathbf { V } , } & { } & { { } 2 \le l \le L } \\ { \mathbf { y } \; } & { { } = \mathbf { y } ^ { L + 1 } = \mathbf { W } ^ { L + 1 } \mathbf { y } ^ { L } + \mathbf { b } ^ { L + 1 } } & { } & { { } } \end{array} \right. ,
\begin{array} { r l } { { \mathcal K } ( \mathfrak { a } , \mathfrak { b } ) = } & { \operatorname* { i n f } _ { m \geq 0 } \; m ^ { 2 } + ( \mathfrak { a } - \| \mathfrak { b } \| ^ { 2 } ) m = \left\{ \begin{array} { l l } { - \frac { 1 } { 4 } \bigl ( \mathfrak { a } - \| \mathfrak { b } \| ^ { 2 } \bigr ) ^ { 2 } \quad } & { \mathrm { ~ i f ~ } \mathfrak { a } - \| \mathfrak { b } \| ^ { 2 } \geq 0 } \\ { 0 \quad } & { \mathrm { ~ o t h e r w i s e . ~ } } \end{array} \right. } \end{array}
\epsilon _ { 1 } = \epsilon _ { 1 } ^ { \mathrm { S M } } + \Delta \rho _ { L R } , \ \epsilon _ { 3 } = \epsilon _ { 3 } ^ { \mathrm { S M } } + c _ { W } ^ { 2 } \Delta \rho _ { L R } + ( c _ { W } ^ { 2 } - s _ { W } ^ { 2 } ) \Delta k _ { L R } ,
S [ \psi ] = - \int d ^ { 2 } x \left\{ \frac { 1 } { 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \bar { \psi } ^ { j } \gamma \cdot \partial \psi ^ { j } + \frac { \lambda } { 8 N } \sum _ { i j = 1 } ^ { N } \bar { \psi } ^ { i } * \psi ^ { i } * \bar { \psi } ^ { j } * \psi ^ { j } \right\}
I _ { o } = \cos ^ { 2 } i \, \cos ^ { 2 } ( i { - } s ) + \sin ^ { 2 } i \, \sin ^ { 2 } ( i { - } s ) + { \frac { 1 } { 2 } } \sin 2 i \, \sin 2 ( i { - } s ) \cos \phi \, ,
\begin{array} { r l } { h ( \mu , T ) } & { { } = \frac { 5 } { 2 } \frac { P } { n } = \frac { 5 } { 2 } k _ { \mathrm { B } } T \frac { f _ { P } ( x ) } { f _ { P } ^ { \prime } ( x ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { t } } & { = \frac { ( X _ { 0 } + 1 ) \phi ( I _ { t } ^ { ( 1 ) } - X _ { 0 } - g _ { 1 } ( t ) ) \frac { 1 } { 2 } + ( X _ { 0 } - 1 ) \phi ( I _ { t } ^ { ( 1 ) } - X _ { 0 } + g _ { 1 } ( t ) ) \frac { 1 } { 2 } } { \phi ( I _ { t } ^ { ( 1 ) } - X _ { 0 } - g _ { 1 } ( t ) ) \frac { 1 } { 2 } + \phi ( I _ { t } ^ { ( 1 ) } - X _ { 0 } + g _ { 1 } ( t ) ) \frac { 1 } { 2 } } , } \\ & { = X _ { 0 } + \frac { \phi ( I _ { t } ^ { ( 1 ) } - X _ { 0 } - g _ { 1 } ( t ) ) - \phi ( I _ { t } ^ { ( 1 ) } - X _ { 0 } + g _ { 1 } ( t ) ) } { \phi ( I _ { t } ^ { ( 1 ) } - X _ { 0 } - g _ { 1 } ( t ) ) + \phi ( I _ { t } ^ { ( 1 ) } - X _ { 0 } + g _ { 1 } ( t ) ) } , } \\ & { = X _ { 0 } + \operatorname { t a n h } \left( \frac { I _ { t } ^ { ( 1 ) } - X _ { 0 } } { T _ { 1 } - t } \right) . } \end{array}
\overline { { u } } _ { i } = \mu _ { l } ^ { - 1 } [ G _ { l } z _ { 0 } / 2 + \rho _ { a } u ^ { * 2 } ] z _ { 0 } = \frac { z _ { 0 } } { 4 \mu _ { l } } \rho _ { a } u ^ { * 2 }
{ { F } _ { i + 1 / 2 , j } } \left( { { \mathbf { W } } ^ { n } } , { { t } _ { n } } \right) = F _ { _ { i + 1 / 2 , j } } ^ { n } + { { \partial } _ { t } } F _ { _ { i + 1 / 2 , j } } ^ { n } \left( t - { { t } _ { n } } \right) .
{ \cal M } ^ { \nu } \ = \ \left( \begin{array} { c c c c } { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { m _ { 1 } } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { m _ { 2 } } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { M } } \\ { { m _ { 1 } } } & { { m _ { 2 } } } & { { M } } & { { \mu } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } & { - \Big \langle [ L _ { b } , t _ { b , * } ] ( \check { g } _ { 1 } ^ { \prime \prime } , \check { A } _ { 1 } ^ { \prime \prime } ) + \frac { 1 } { 2 } [ [ L _ { b } , t _ { b , * } ] , t _ { b , * } ] ( \dot { g } _ { 1 } ^ { \prime \prime } , \dot { A } _ { 1 } ^ { \prime \prime } ) , ( \dot { g } ^ { * } , \dot { A } ^ { * } ) \Big \rangle + \Big \langle [ L _ { b } , t _ { b , * } ] ( \dot { g } _ { 2 } ^ { \prime \prime } , \dot { A } _ { 2 } ^ { \prime \prime } ) , ( \dot { g } ^ { * } , \dot { A } ^ { * } ) \Big \rangle } \\ & { \quad \quad = \langle \int _ { \mathbb { R } } t _ { b , * } f ( t _ { b , * } ) \, d t _ { b , * } , \ ( \dot { g } ^ { * } , \dot { A } ^ { * } ) \rangle \quad \mathrm { f o r ~ a l l } \quad ( \dot { g } ^ { * } , \dot { A } ^ { * } ) \in \mathcal { K } _ { b } ^ { * } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { K } ^ { \varepsilon } \mathbf { g } \left( \gamma _ { t } \right) } & { = \mathbf { g } \left( \theta ^ { \varepsilon } \left( \gamma _ { t } \right) \right) = \mathbf { g } \left( \gamma _ { t + \varepsilon } \right) , \; \forall t \times T , } \\ { \mathcal { K } _ { t } ^ { t + \varepsilon } \mathbf { g } \left( \gamma _ { t } \right) } & { = \mathbf { g } \left( \theta _ { t } ^ { t + \varepsilon } \left( \gamma _ { t } \right) \right) = \mathbf { g } \left( \gamma _ { t + \varepsilon } \right) , \; \forall t \leq t + \varepsilon \in T , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } \Big ( \operatorname* { s u p } _ { f \in \mathcal { H } _ { i j } } \big ( \widetilde { R } _ { n , \upsilon } ( f _ { \mathcal { F } } ^ { * } ) - \widetilde { R } _ { n , \upsilon } ( f ) - \widetilde { R } _ { \upsilon } ( f _ { \mathcal { F } } ^ { * } ) + \widetilde { R } _ { \upsilon } ( f ) \big ) \geq M ( i , j ) \Big ) } \\ { = } & { \mathbb { P } \Big ( \operatorname* { s u p } _ { f \in \mathcal { H } _ { i j } } \big [ \frac { 1 } { n } \sum _ { u = 1 } ^ { n } \big ( G _ { f _ { \mathcal { F } } ^ { * } } ( u ) - G _ { f } ( u ) \big ) - \mathbb { E } \big ( G _ { f _ { \mathcal { F } } ^ { * } } ( u ) - G _ { f } ( u ) \big ) \big ] \geq M ( i , j ) \Big ) } \\ { = } & { \mathbb { P } \Big ( \operatorname* { s u p } _ { f \in \mathcal { H } _ { i j } } \big [ \frac { 1 } { n } \sum _ { u = 1 } ^ { n } \big ( D G _ { f } ( u ) \big ) - \mathbb { E } \big ( D G _ { f } ( u ) \big ) \big ] \geq M ( i , j ) \Big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } k _ { \alpha \beta , i j } ^ { \left( \alpha \right) } ( \boldsymbol { \xi } , \boldsymbol { \xi } _ { \ast } ) \, d \boldsymbol { \xi } _ { \ast } } \\ & { \leq } & { \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \frac { C } { \left\vert \mathbf { g } \right\vert } \sum _ { k , l = 1 } ^ { r _ { \beta } } R \exp \left( - \frac { m _ { \beta } } { 8 } \left( R + 2 \left\vert \boldsymbol { \xi } \right\vert \cos \varphi + 2 \chi _ { i k , j l } ^ { \alpha \beta } ( R ) \right) ^ { 2 } - \frac { m _ { \alpha } ^ { 2 } } { 8 m _ { \beta } } R ^ { 2 } \right) d \mathbf { g } } \\ & { = } & { C \sum _ { k , l = 1 } ^ { r _ { \beta } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { \pi } R \exp \left( - \frac { m _ { \beta } } { 8 } \left( R + 2 \left\vert \boldsymbol { \xi } \right\vert \cos \varphi + 2 \chi _ { i k , j l } ^ { \alpha \beta } ( R ) \right) ^ { 2 } - \frac { m _ { \alpha } ^ { 2 } } { 8 m _ { \beta } } R ^ { 2 } \right) } \\ & { } & { \times \sin \varphi \, d \varphi d R } \\ & { = } & { \frac { C } { \left\vert \boldsymbol { \xi } \right\vert } \sum _ { k , l = 1 } ^ { r _ { \beta } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { R + 2 \chi _ { i k , j l } ^ { \alpha \beta } ( R ) - 2 \left\vert \boldsymbol { \xi } \right\vert } ^ { R + 2 \chi _ { i k , j l } ^ { \alpha \beta } ( R ) + 2 \left\vert \boldsymbol { \xi } \right\vert } R e ^ { - m _ { \beta } \eta ^ { 2 } / 8 } e ^ { - m _ { \alpha } ^ { 2 } R ^ { 2 } / \left( 8 m _ { \beta } \right) } d \eta d R } \\ & { \leq } & { \frac { C } { \left\vert \boldsymbol { \xi } \right\vert } \int _ { 0 } ^ { \infty } R e ^ { - m _ { \alpha } ^ { 2 } R ^ { 2 } / \left( 8 m _ { \beta } \right) } \, d R \int _ { - \infty } ^ { \infty } e ^ { - m _ { \beta } ^ { 2 } \eta / 8 } d \eta = \frac { C } { \left\vert \boldsymbol { \xi } \right\vert } \mathrm { . } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { H _ { N } ^ { \mathrm { d i p } } } & { = } & { - \left( \sum _ { i = 1 } ^ { N } \mathbf { m } _ { 1 } ( i ) + \sum _ { i < j } \mathbf { m } _ { 2 } ( i , j ) + \right. } \\ & { } & { \left. \sum _ { i < j < k } \mathbf { m } _ { 3 } ( i , j , k ) + \ldots \right) \cdot \mathbf { E } _ { 0 } } \\ { H _ { N } ^ { \mathrm { p o l } } } & { = } & { - \frac { 1 } { 2 } \mathbf { E } _ { 0 } \cdot \left( \sum _ { i = 1 } ^ { N } \boldsymbol { \alpha } _ { 1 } ( i ) + \sum _ { i < j } \boldsymbol { \alpha } _ { 2 } ( i , j ) + \right. } \\ & { } & { \left. \sum _ { i < j < k } \boldsymbol { \alpha } _ { 3 } ( i , j , k ) + \ldots \right) \cdot \mathbf { E } _ { 0 } , } \end{array}
F _ { + } ^ { ( 0 , 2 ) } ( A ) = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad - \frac { 1 } { 2 } \bar { \Omega } _ { \bar { i } \bar { j } \bar { k } \bar { l } } F ^ { ( 2 , 0 ) \bar { k } \bar { l } } = 4 F _ { \bar { i } \bar { j } } ^ { ( 0 , 2 ) } .
\begin{array} { r l r } { \int \! \! { \frac { d ^ { \, 4 } p } { ( p ^ { 2 } \! \! + \! \! q ^ { 2 } x ( 1 - x ) \! \! - \! \! m ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } } & { } & { \! \! \! \! \! \! \! \Big [ 2 p _ { \mu } p _ { \nu } \! \! - \! \! \delta _ { \mu \nu } ( p ^ { 2 } \! \! + \! \! q ^ { 2 } x ( 1 - x ) \! \! - m ^ { 2 } ) } \\ & { } & { \! \! \! \! \! \! - 2 q _ { \mu } q _ { \nu } x ( 1 - x ) \! \! + \! \! 2 \delta _ { \mu \nu } q ^ { 2 } x ( 1 - x ) \Big ] } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { S _ { 1 1 } = \frac { 1 } { \Delta } \frac { C _ { 1 1 } \! - \! C _ { 1 3 } ^ { 2 } / C _ { 3 3 } } { C _ { 1 1 } \! - \! C _ { 1 2 } } , \qquad S _ { 1 2 } = - \frac { 1 } { \Delta } \frac { C _ { 1 2 } \! - \! C _ { 1 3 } ^ { 2 } / C _ { 3 3 } } { C _ { 1 1 } \! - \! C _ { 1 2 } } , \qquad S _ { 1 3 } = - \frac { 1 } { \Delta } \frac { C _ { 1 3 } } { C _ { 3 3 } } , } \\ & { } & { S _ { 3 3 } = \frac { 1 } { \Delta } \frac { C _ { 1 1 } \! + \! C _ { 1 2 } } { C _ { 3 3 } } , \qquad S _ { 4 4 } = \frac { 1 } { C _ { 4 4 } } , \qquad \Delta = C _ { 1 1 } \! + \! C _ { 1 2 } \! - \! 2 C _ { 1 3 } ^ { 2 } / C _ { 3 3 } . } \end{array}
d t ^ { d - 1 } f ( \mathbf x ) = \frac { \partial } { \partial t } ( t ^ { d } f ( \mathbf x ) ) = \frac { \partial } { \partial t } f ( t \mathbf x ) = \sum _ { i } \frac { \partial f ( t \mathbf x ) } { \partial ( t x _ { i } ) } \frac { \partial ( t x _ { i } ) } { \partial t } = \sum _ { i } x _ { i } \frac { \partial f ( t \mathbf x ) } { \partial ( t x _ { i } ) }
g _ { k m , l } ( r , r ^ { \prime } ) = \kappa \left[ f _ { k , l } ^ { \alpha + } ( r ) f _ { m , l } ^ { \alpha - } ( r ^ { \prime } ) \Theta ( r - r ^ { \prime } ) + f _ { k , l } ^ { \alpha - } ( r ) f _ { m , l } ^ { \alpha + } ( r ^ { \prime } ) \Theta ( r ^ { \prime } - r ) \right] \; ,
\begin{array} { r } { K _ { G } ( \alpha , \beta ) = \frac { \prod _ { C \in \mathcal { C } _ { G } ^ { + } } \Gamma ( | \alpha _ { C } | + \beta ) } { \Gamma ^ { m } ( \beta ) \prod _ { i \in V } \Gamma ( \alpha _ { i } ) \prod _ { S \in \mathcal { S } _ { G } ^ { - } } \left( \Gamma ( | \alpha _ { S } | + \beta ) \right) ^ { \nu _ { S } } } . } \end{array}