harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\left\{ \begin{array} { r l r } & { \partial _ { t } \tilde { u } _ { n } = \partial _ { x } \left( \gamma \tilde { u } _ { n } \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } \right) - \gamma \left( \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } \right) ^ { 2 } - \frac { \partial _ { x } \gamma } { 2 } \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } ^ { 2 } + g _ { 0 } \left( \tilde { u } _ { n } - \frac { 1 } { n } \right) , } & { \mathrm { i n ~ } \Omega } \\ & { \tilde { u } _ { n } ( x , t ) = \frac { 1 } { n } , } & { \mathrm { o n ~ } \partial \Omega } \\ & { \tilde { u } _ { n } ( x , 0 ) = \varphi _ { 0 } ( x ) + \frac { 1 } { n } , } & { \mathrm { i n ~ } \Omega } \end{array} \right.
\frac { \left[ \zeta ^ { 2 } / 2 + p ^ { \prime } + q ^ { \prime } \right] \left[ \mu ^ { \prime } - p ^ { \prime } - q ^ { \prime } - \zeta ^ { 2 } / 2 ) \right] } { ( \lambda _ { 0 } + \lambda _ { 1 } ) } + \frac { \left[ \mu ^ { \prime } - p ^ { \prime } - q ^ { \prime } - \zeta ^ { 2 } / 2 \right] ^ { 2 } } { 2 ( \lambda _ { 0 } + \lambda _ { 1 } ) }
\begin{array} { r } { M _ { 1 3 } = - \int _ { \mathbb R } \partial _ { x } ^ { 3 } ( w w _ { x x } ) \partial _ { x } ^ { 3 } w _ { t } \ d x = - \int _ { \mathbb R } w \partial _ { x } ^ { 5 } w \partial _ { x } ^ { 3 } w _ { t } \ d x + \texttt { l . o . t } , } \end{array}
\left[ \begin{array} { l l l } { a _ { 1 1 } } & { 0 } & { 0 } \\ { a _ { 2 1 } } & { a _ { 2 2 } } & { 0 } \\ { a _ { 3 1 } } & { a _ { 3 2 } } & { a _ { 3 3 } } \end{array} \right]
{ \cal A } _ { 2 } ( x ) = \frac { 1 } { \ln ^ { 2 } x } - p _ { 2 } ( x ) \, ; \ \ \, p _ { 2 } ( x ) = \frac { x } { ( 1 - x ) ^ { 2 } } = p _ { 2 } \left( \frac { 1 } { x } \right) \, ;
\begin{array} { r l } { e ^ { 2 m t } \left| X _ { t } \right| ^ { 2 } } & { = \left| X _ { 0 } \right| ^ { 2 } + \int _ { 0 } ^ { t } \left( e ^ { 2 m s } \left\langle - \nabla U \left( X _ { s } \right) , 2 X _ { s } \right\rangle + e ^ { 2 m s } \frac { 2 d } { \beta } + 2 m e ^ { 2 m s } \left| X _ { s } \right| ^ { 2 } \right) \mathrm { d } s } \\ & { \quad + \sqrt { 2 \beta ^ { - 1 } } \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { 2 m s } \left\langle 2 X _ { s } , \mathrm { d } B _ { s } ^ { \prime } \right\rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H ( X } & { | Y ) = \sum _ { y } P ( Y = y ) H ( X | Y = y ) } \\ & { = - \sum _ { y } \left( \prod _ { i = 1 } ^ { B } \frac { 1 } { \binom { P / B } { \hat { y } _ { i } } } \sum _ { x : \hat { x } _ { i } = \hat { y } _ { i } , \forall i } P ( X = x ) \right) } \\ & { \qquad \times \sum _ { x : \hat { x } _ { i } = \hat { y } _ { i } , \forall i } \frac { P ( X = x ) } { \sum _ { x : \hat { x } _ { i } = \hat { y } _ { i } , \forall i } P ( X = x ) } \log \frac { P ( X = x ) } { \sum _ { x : \hat { x } _ { i } = \hat { y } _ { i } , \forall i } P ( X = x ) } } \\ & { = - \sum _ { \hat { y } : \sum _ { i = 1 } ^ { B } \hat { y } _ { i } = P r } \prod _ { i = 1 } ^ { B } \binom { P / B } { \hat { y } _ { i } } \left( \prod _ { i = 1 } ^ { B } \frac { 1 } { \binom { P / B } { \hat { y } _ { i } } } \sum _ { x : \hat { x } _ { i } = \hat { y } _ { i } , \forall i } P ( X = x ) \right) } \\ & { \qquad \times \sum _ { x : \hat { x } _ { i } = \hat { y } _ { i } , \forall i } \frac { P ( X = x ) } { \sum _ { x : \hat { x } _ { i } = \hat { y } _ { i } , \forall i } P ( X = x ) } \log \frac { P ( X = x ) } { \sum _ { x : \hat { x } _ { i } = \hat { y } _ { i } , \forall i } P ( X = x ) } } \\ & { = - \sum _ { \hat { y } : \sum _ { i = 1 } ^ { B } \hat { y } _ { i } = P r } \sum _ { x : \hat { x } _ { i } = \hat { y } _ { i } , \forall i } P ( X = x ) \sum _ { x : \hat { x } _ { i } = \hat { y } _ { i } , \forall i } \frac { P ( X = x ) } { \sum _ { x : \hat { x } _ { i } = \hat { y } _ { i } , \forall i } P ( X = x ) } \log \frac { P ( X = x ) } { \sum _ { x : \hat { x } _ { i } = \hat { y } _ { i } , \forall i } P ( X = x ) } } \\ & { = - \sum _ { \hat { x } : \sum _ { i = 1 } ^ { B } \hat { x } _ { i } = P r } \sum _ { x \in \hat { x } } P ( X = x ) \sum _ { x \in \hat { x } } \frac { P ( X = x ) } { \sum _ { x \in \hat { x } } P ( X = x ) } \log \frac { P ( X = x ) } { \sum _ { x \in \hat { x } } P ( X = x ) } , } \end{array}
v ( \omega ) = \frac { i u ^ { 2 } } { N } \sum _ { i , j } \big \langle V _ { i j } \big \rangle \big | _ { \boldsymbol { \phi } = 0 } - \frac { u ^ { 3 } } { N } \sum _ { i , j , k } \big \langle V _ { i k } V _ { k j } \big \rangle \big | _ { \boldsymbol { \phi } = 0 } - \frac { i u ^ { 4 } } { N } \sum _ { i , j , k , l } \big \langle V _ { i k } V _ { k l } V _ { l j } \big \rangle \big | _ { \boldsymbol { \phi } = 0 } + \cdots
S _ { C S } = \frac { 1 } { 2 \phi _ { * } } \int _ { \widetilde { \mathrm { D } p } } d x ^ { p } \frac { d \phi } { d x ^ { p } } \wedge C _ { p } = \int _ { \mathrm { D } ( p - 1 ) } C _ { p } ,
\begin{array} { r l r } { n ^ { \mathrm { v p } , ( 1 ) } ( x ) } & { = } & { \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \frac { \ensuremath { \mathrm { d } } u } { 2 \pi } \; \mathrm { t r } [ \Delta \ensuremath { \mathbf { G } } ^ { ( 1 ) } ( x , x ; \ensuremath { \mathrm { i } } u ) ] } \\ & { = } & { - \frac { Z m ^ { 2 } c ^ { 2 } } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } \ensuremath { \mathrm { d } } u \; \frac { e ^ { - 2 \sqrt { m ^ { 2 } c ^ { 4 } + u ^ { 2 } } | x | / c } } { m ^ { 2 } c ^ { 4 } + u ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varsigma ( x ; a , b , \bar { x } ) } & { { } = 1 - \exp \left( - \left( a + \frac { 1 } { 1 + \exp ( 2 \cdot b \cdot ( x - \bar { x } ) ) } \right) \Delta t \right) \ , \ \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } } \\ { \varrho ( x ; c , \bar { x } ) } & { { } = 1 - \exp \left( - \operatorname* { m a x } \left( c \cdot \frac { x - \bar { x } } { 1 - \bar { x } } , 0 \right) \Delta t \right) \ . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \tau ^ { n } } & { = } & & { \partial _ { t } q ( x _ { j } , t ^ { n } ) + \lambda \partial _ { x } q ( x _ { j } , t ^ { n } ) - \partial _ { x } \left[ \alpha ( x _ { j } , t ^ { n } ) \partial _ { x } q ( x _ { j } , t ^ { n } ) \right] - \beta q ( x _ { j } , t ^ { n } ) } \\ & { } & { + } & { \frac { \Delta t } { 2 } \left[ \phantom { \frac { b } { b } } \! \! \! \partial _ { t } ^ { ( 2 ) } q ( x _ { j } , t ^ { n } ) + \lambda \partial _ { x } \left[ - \lambda \partial _ { x } q ( x _ { j } , t ^ { n } ) + \beta q ( x _ { j } , t ^ { n } ) \right] \right. } \\ & { } & { - } & { \left. \beta \left[ - \lambda \partial _ { x } q ( x _ { j } , t ^ { n } ) + \beta q ( x _ { j } , t ^ { n } ) \right] \phantom { \frac { b } { b } } \! \! \! \right] - \frac { \Delta t } { 2 } \left\lbrace \phantom { \frac { b } { b } } \! \! \! \partial _ { x } \left[ \partial _ { t } \alpha ( x _ { j } , t ^ { n } ) \partial _ { x } q ( x _ { j } , t ^ { n } ) \right] \right. } \\ & { } & { - } & { \left. \lambda \partial _ { x } \left[ \alpha ( x _ { j } , t ^ { n } ) \partial _ { x } ^ { ( 2 ) } q ( x _ { j } , t ^ { n } ) \right] + \partial _ { x } \left\lbrace \alpha ( x _ { j } , t ^ { n } ) \partial _ { x } ^ { ( 2 ) } \left[ \alpha ( x _ { j } , t ^ { n } ) \partial _ { x } q ( x _ { j } , t ^ { n } ) \right] \right\rbrace \right. } \\ & { } & { + } & { \left. \beta \partial _ { x } \left[ \alpha ( x _ { j } , t ^ { n } ) \partial _ { x } q ( x _ { j } , t ^ { n } ) \right] \phantom { \frac { b } { b } } \! \! \! \right\rbrace - \frac { \beta \Delta t } { 2 } \partial _ { x } \left[ \alpha ( x _ { j } , t ^ { n } ) \partial _ { x } q ( x _ { j } , t ^ { n } ) \right] } \\ & { } & { + } & { \frac { \Delta t } { 2 } \partial _ { x } ^ { ( 2 ) } \left[ \alpha ( x _ { j } , t ^ { n } ) \partial _ { x } q ( x _ { j } , t ^ { n } ) \right] + \mathcal { O } \left( \Delta t ^ { 2 } \right) + \mathcal { O } \left( \Delta x ^ { 2 } \right) + \mathcal { O } \left( \Delta x \Delta t \right) } \\ & { = } & & { \mathcal { O } \left( \Delta t ^ { 2 } \right) + \mathcal { O } \left( \Delta x ^ { 2 } \right) + \mathcal { O } ( \Delta x \Delta t ) . } \end{array}
\Phi _ { k } = { \tt P O D } _ { m } \left( \left[ \gamma _ { k - w } - \psi _ { k - 1 } , \gamma _ { k - w + 1 } - \psi _ { k - 1 } , \ldots , \gamma _ { k - 2 } - \psi _ { k - 1 } , \gamma _ { k - 1 } - \psi _ { k - 1 } \right] \right) \mathrm { ~ , ~ }
i ( V _ { 4 } ) _ { 2 } = [ i ( V _ { 4 } ) _ { 1 } ] ^ { * } , \; \; i ( V _ { 2 } ) _ { 2 } = [ i ( V _ { 2 } ) _ { 1 } ] ^ { * } , \; \; i ( V _ { 4 } ^ { \prime } ) _ { 2 } = [ i ( V _ { 4 } ^ { \prime } ) _ { 1 } ] ^ { * } .
\begin{array} { r l } { \Delta _ { e ^ { - l n ^ { 4 } n } / n \ll t < T - c _ { 2 } / n ^ { 2 / 3 } } \arg p ( \zeta ( t ) ) } & { = \frac { 1 } { 2 } \Delta \arg _ { e ^ { - l n ^ { 4 } n } / n \ll t < T - c _ { 2 } / n ^ { 2 / 3 } } g ( \zeta ( t ) ) + \frac { | c + p | \pi } { 2 } + \eta + C } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \left( \Delta _ { \gamma _ { 1 } } \arg g ( \zeta ) + ( c + p + 5 / 2 ) \pi \right) + \frac { | c + p | \pi } { 2 } + \eta + C } \\ & { = - \frac { n \pi } { 2 } + \frac { c + p + | c + p | } { 2 } \pi - \frac { \pi } { 4 } + \eta + C , } \end{array}
\begin{array} { l l } { { \langle 0 | T \eta _ { \Sigma ^ { 0 } } ( x ) { \bar { \eta } } ^ { \Lambda } ( 0 ) | 0 \rangle _ { F } = - { \frac { 2 } { \sqrt { 3 } } } \mathrm { i } \epsilon ^ { a b c } \epsilon ^ { a ^ { \prime } b ^ { \prime } c ^ { \prime } } \{ } } & { { \gamma _ { 5 } \gamma ^ { \mu } S _ { s } ^ { a a ^ { \prime } } ( x ) \gamma _ { \nu } C [ S _ { u } ^ { b b ^ { \prime } } ( x ) ] ^ { T } C \gamma _ { \mu } S _ { d } ^ { c c ^ { \prime } } ( x ) \gamma ^ { \nu } \gamma _ { 5 } } } \\ { { } } & { { - \gamma _ { 5 } \gamma ^ { \mu } S _ { s } ^ { a a ^ { \prime } } ( x ) \gamma _ { \nu } C [ S _ { d } ^ { b b ^ { \prime } } ( x ) ] ^ { T } C \gamma _ { \mu } S _ { u } ^ { c c ^ { \prime } } ( x ) \gamma ^ { \nu } \gamma _ { 5 } \} } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E ( a _ { 1 } , a _ { 2 } ) } & { \! = \! } & { { \frac { 1 } { 4 a _ { 1 } a _ { 2 } } } \, { \frac { 1 } { 2 \pi \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } } } \int _ { - a _ { 1 } } ^ { a _ { 1 } } d x _ { 1 } \int _ { - a _ { 2 } } ^ { a _ { 2 } } d x _ { 2 } \ e ^ { - { \frac { x _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { 1 } ^ { 2 } } } - { \frac { x _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { 2 } ^ { 2 } } } } } \\ & { \! = \! } & { { \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 2 } } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d u _ { 1 } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d u _ { 2 } \, { \frac { \sin a _ { 1 } u _ { 1 } } { a _ { 1 } u _ { 1 } } } \, { \frac { \sin a _ { 2 } u _ { 2 } } { a _ { 2 } u _ { 2 } } } \, e ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } \sigma _ { 1 } ^ { 2 } u _ { 1 } ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 2 } } \sigma _ { 2 } ^ { 2 } u _ { 2 } ^ { 2 } } } \\ & { \! = \! } & { { \frac { 1 } { 4 a _ { 1 } a _ { 2 } } } \mathrm { E r f } \Big [ { \frac { a _ { 1 } } { \sigma _ { 1 } \sqrt 2 } } \Big ] \mathrm { E r f } \Big [ { \frac { a _ { 2 } } { \sigma _ { 2 } \sqrt 2 } } \Big ] \, . } \end{array}
\mathbf { A \cdot x } = \left( \begin{array} { l l l l l } { 1 } & { g ( 1 ; 1 , v [ 1 ] ) } & { g ( 1 ; 1 , v [ 2 ] ) } & { \cdots } & { g ( 1 ; 1 , v [ J ] ) } \\ { 1 } & { g ( 2 ; 1 , v [ 1 ] ) } & { g ( 2 ; 1 , v [ 2 ] ) } & { \cdots } & { g ( 2 ; 1 , v [ J ] ) } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 1 } & { g ( I ; 1 , v [ 1 ] ) } & { g ( I ; 1 , v [ 2 ] ) } & { \cdots } & { g ( I ; 1 , v [ J ] ) } \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array} { l } { x _ { 0 } } \\ { x _ { 1 } } \\ { x _ { 2 } } \\ { \vdots } \\ { x _ { J } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { Q ( \pi ; \boldsymbol { \phi } _ { \mathbf { u } } ) } & { { } = \sigma ( - \mathbf { G } ( \pi ) ) } \\ { \mathbf { G } ( \pi ) } & { { } = \sum _ { \tau = 1 } ^ { H } \mathbf { G } _ { t + \tau } ( \mathbf { u } _ { t + \tau - 1 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { L _ { \infty } ( \lambda ) } & { = } & { { \operatorname { d i a g } } \left( - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { 2 r _ { \infty } - 2 } ( - 1 ) ^ { k } t _ { \infty , k } z ^ { k - 2 } + \frac { 1 } { 4 z ^ { 2 } } , - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { 2 r _ { \infty } - 2 } ( - 1 ) ^ { k } t _ { \infty , k } z ^ { k - 2 } + \frac { 1 } { 4 z ^ { 2 } } \right) + O ( 1 ) } \\ & { = } & { { \operatorname { d i a g } } \left( - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { 2 r _ { \infty } - 2 } t _ { \infty , k } \lambda ^ { \frac { k } { 2 } - 1 } + \frac { 1 } { 4 \lambda } , - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { 2 r _ { \infty } - 2 } ( - 1 ) ^ { k } t _ { \infty , k } \lambda ^ { \frac { k } { 2 } - 1 } + \frac { 1 } { 4 \lambda } \right) + O ( 1 ) } \\ & { } & \end{array}
\operatorname { s g n } f = { \left\{ \begin{array} { l l } { + 1 , } & { { \mathrm { i f ~ } } f { \mathrm { ~ i s ~ e v e n } } } \\ { - 1 , } & { { \mathrm { i f ~ } } f { \mathrm { ~ i s ~ o d d } } . } \end{array} \right. }
D ( x - y ) = \frac { 1 } { 2 \pi } \sum _ { n = - \infty } ^ { + \infty } K _ { 0 } \left( \mu \sqrt { ( x _ { 0 } - y _ { 0 } - n \beta ) ^ { 2 } + ( x _ { 1 } - y _ { 1 } ) ^ { 2 } } \right) .
\tilde { \omega } _ { 0 } = \omega _ { 0 } - \frac { d } { 2 \pi } \int _ { - \pi / d } ^ { + \pi / d } \mathrm { d } q \, \frac { \xi _ { q } ^ { 2 } } { \omega _ { q } ^ { \mathrm { p h } } - \omega _ { 0 } } ,
| S _ { 2 p , n , \beta } ^ { c } | \le { \frac { K ^ { n } } { n ! } } \sum _ { \{ \underline { \tau } \} , { \cal G } ^ { r _ { m a x } } , { \cal T } } \ \sum _ { \{ { \sigma } \} } ^ { \prime } \prod _ { i = 1 } ^ { n } \chi _ { i } ( { \sigma } ) \prod _ { \ell \in { \cal T } } \gamma ^ { 2 r _ { \ell } } \prod _ { f } \gamma ^ { - r _ { f } / 2 - l _ { f } / 4 } ,
\begin{array} { r l } & { \widehat { D } _ { \mathrm { C S } } ( p ( \mathbf { y } | \mathbf { x } ) ; q ( \mathbf { y } | \mathbf { x } ) ) \approx \log \left( \sum _ { j = 1 } ^ { M } \left( \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { M } K _ { j i } ^ { p } L _ { j i } ^ { p } } { ( \sum _ { i = 1 } ^ { M } K _ { j i } ^ { p } ) ^ { 2 } } \right) \right) } \\ & { + \log \left( \sum _ { j = 1 } ^ { N } \left( \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { N } K _ { j i } ^ { q } L _ { j i } ^ { q } } { ( \sum _ { i = 1 } ^ { N } K _ { j i } ^ { q } ) ^ { 2 } } \right) \right) } \\ & { - \log \left( \sum _ { j = 1 } ^ { M } \left( \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { N } K _ { j i } ^ { p q } L _ { j i } ^ { p q } } { ( \sum _ { i = 1 } ^ { M } K _ { j i } ^ { p } ) ( \sum _ { i = 1 } ^ { N } K _ { j i } ^ { p q } ) } \right) \right) } \\ & { - \log \left( \sum _ { j = 1 } ^ { N } \left( \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { M } K _ { j i } ^ { q p } L _ { j i } ^ { q p } } { ( \sum _ { i = 1 } ^ { M } K _ { j i } ^ { q p } ) ( \sum _ { i = 1 } ^ { N } K _ { j i } ^ { q } ) } \right) \right) } \end{array}
{ \mathrm { M i n i m i z e } } = { \left\{ \begin{array} { l l } { f _ { 1 } \left( x , y \right) = 2 + \left( x - 2 \right) ^ { 2 } + \left( y - 1 \right) ^ { 2 } } \\ { f _ { 2 } \left( x , y \right) = 9 x - \left( y - 1 \right) ^ { 2 } } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } { y ^ { \prime \prime } ( x ) } & { - q _ { 1 } ( x ) y ^ { \prime } ( x ) + q _ { 2 } q _ { 0 } ( x ) y ( x ) } \\ & { = \left[ \exp \left\{ - q _ { 2 } \int _ { 0 } ^ { x } v ( t ) \, d t \right\} \cdot \left( - q _ { 2 } v ( x ) \right) \right] ^ { \prime } - q _ { 1 } ( x ) \left[ \exp \left\{ - q _ { 2 } \int _ { 0 } ^ { x } v ( t ) \, d t \right\} \cdot \left( - q _ { 2 } v ( x ) \right) \right] } \\ & { \qquad \qquad + q _ { 2 } q _ { 0 } ( x ) \exp \left\{ - q _ { 2 } \int _ { 0 } ^ { x } v ( t ) \, d t \right\} } \\ & { = \left[ \exp \left\{ - q _ { 2 } \int _ { 0 } ^ { x } v ( t ) \, d t \right\} \cdot \left( - q _ { 2 } v ( x ) \right) ^ { 2 } + \exp \left\{ - q _ { 2 } \int _ { 0 } ^ { x } v ( t ) \, d t \right\} \cdot \left( - q _ { 2 } v ^ { \prime } ( x ) \right) \right] } \\ & { \qquad \qquad + q _ { 2 } q _ { 1 } ( x ) v ( x ) \exp \left\{ - q _ { 2 } \int _ { 0 } ^ { x } v ( t ) \, d t \right\} + q _ { 2 } q _ { 0 } ( x ) \exp \left\{ - q _ { 2 } \int _ { 0 } ^ { x } v ( t ) \, d t \right\} } \\ & { = q _ { 2 } \exp \left\{ - q _ { 2 } \int _ { 0 } ^ { x } v ( t ) \, d t \right\} \left[ q _ { 2 } v ^ { 2 } ( x ) - v ^ { \prime } ( x ) + q _ { 1 } ( x ) v ( x ) + q _ { 0 } ( x ) \right] } \\ & { = 0 . } \end{array}
\lVert ( \underline { { a } } , \underline { { b } } , w ) \rVert = \lVert ( \underline { { a } } , \underline { { b } } , w ) - ( \tilde { \underline { { a } } } , \tilde { \underline { { b } } } , w ) + ( \tilde { \underline { { a } } } , \tilde { \underline { { b } } } , w ) \rVert \leq \lVert ( \underline { { a } } - \tilde { \underline { { a } } } , \underline { { b } } - \tilde { \underline { { b } } } ) \rVert + \lVert ( \tilde { \underline { { a } } } , \tilde { \underline { { b } } } , w ) \rVert .
\begin{array} { r l r } { | \mathrm { P o r t \ 4 ^ { \prime } } \rangle } & { { } = } & { \hat { \mathcal { D } } ( { \bf \hat { n } _ { 1 } } , \delta \phi _ { \mathrm { p } } ) | \mathrm { P o r t \ 4 } \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { u ( x , t ) } & { = } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 a ( t + t _ { * } ) } } F \left( \widehat { \psi } \left( x , t \right) ; C \sqrt { 2 a ( t + t _ { * } ) } \partial _ { x } \widehat { \psi } \left( x , t \right) \right) } \\ & { = } & { C F \left( \widehat { \psi } \left( x , t \right) ; \partial _ { x } \widehat { \psi } \left( x , t \right) \right) } \\ & { = } & { \frac { C \partial _ { x } \widehat { \psi } ( x , t ) } { 1 - \frac { C } { 2 \nu } \widehat { \psi } ( x , t ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { \nu } ( t ) } & { { } = \left\lVert f ^ { \nu } - \bar { f } \right\rVert _ { L ^ { 1 } ( 0 , t ; L ^ { 2 } ( \Omega ) ) } + \nu \left\lVert \nabla \bar { u } \right\rVert _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , t ) \times \Omega ) } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \vert F _ { Y } ( x ) - F _ { Y } ( x _ { 0 } ) \vert } & { \leq P \left( Y \in ( x _ { 0 } - t , x _ { 0 } + t ] \right) } \\ & { = P \left( f ( X ) \in ( x _ { 0 } - t , x _ { 0 } + t ] \right) } \\ & { = P \left( X \in f ^ { - 1 } ( ( x _ { 0 } - t , x _ { 0 } + t ] ) \right) } \\ & { \leq P \left( X \in f ^ { - 1 } ( ( x _ { 0 } - t , x _ { 0 } + t ] ) \cap [ - M , M ] \right) + P ( \vert X \vert > M ) } \\ & { = P \left( X \in f ^ { - 1 } ( ( x _ { 0 } - t , x _ { 0 } + t ] ) \cap [ - M , M ] \right) + \frac { \varepsilon } { 2 } } \\ & { \leq P \left( X \in \bigcup _ { i } ( s _ { i } ^ { \prime } - k , s _ { i } ^ { \prime } + k ] \right) + \frac { \varepsilon } { 2 } } \\ & { \leq \sum _ { i } \vert F _ { X } ( s _ { i } ^ { \prime } + k ) - F _ { X } ( s _ { i } ^ { \prime } - k ) \vert + \frac { \varepsilon } { 2 } } \\ & { \leq \sum _ { i } \frac { \varepsilon } { 2 N } + \frac { \varepsilon } { 2 } } \\ & { = \frac { \varepsilon } { 2 } + \frac { \varepsilon } { 2 } } \\ & { = \varepsilon } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ell _ { 2 } } & { = \mathbb { E } _ { \Pi , \tilde { \Pi } \sim \mu } \biggl [ \prod _ { i < j } \Bigl ( 1 + \frac { p _ { i j } \delta _ { i j } \tilde { \delta } _ { i j } } { 1 - p _ { i j } } \Bigr ) \cdot 1 \{ \Pi \in { \cal M } , \widetilde { \Pi } \in { \cal M } \} \biggr ] } \\ & { = \mathbb { E } _ { \Pi , \tilde { \Pi } \sim \mu } \biggl [ \exp \biggl ( \sum _ { i < j } \ln \Bigl ( 1 + \frac { p _ { i j } \delta _ { i j } \tilde { \delta } _ { i j } } { 1 - p _ { i j } } \Bigr ) \biggr ) \cdot 1 \{ \Pi \in { \cal M } , \widetilde { \Pi } \in { \cal M } \} \biggr ] } \\ & { \leq \mathbb { E } _ { \Pi , \tilde { \Pi } \sim \mu } \biggl [ \exp ( X ) \cdot 1 \{ \Pi \in { \cal M } , \widetilde { \Pi } \in { \cal M } \} \biggr ] , \quad \mathrm { w i t h } \; \; X \equiv \sum _ { i < j } \frac { p _ { i j } \delta _ { i j } \tilde { \delta } _ { i j } } { 1 - p _ { i j } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla _ { X } Y ( x _ { 0 } ) } & { = \sum _ { i , j = 1 } ^ { n - 1 } X ^ { i } ( x _ { 0 } ) \Gamma _ { i j } ^ { k } ( x _ { 0 } ) Y ^ { j } ( x _ { 0 } ) \frac { \partial } { \partial x ^ { k } } ( x _ { 0 } ) + X ^ { i } ( x _ { 0 } ) \frac { \partial Y ^ { j } } { \partial x ^ { j } } ( x _ { 0 } ) \frac { \partial } { \partial x ^ { j } } ( x _ { 0 } ) } \\ & { = \sum _ { i , j = 1 } ^ { n - 1 } X ^ { i } ( x _ { 0 } ) \frac { \partial Y ^ { j } } { \partial x ^ { j } } ( x _ { 0 } ) \frac { \partial } { \partial x ^ { j } } ( x _ { 0 } ) \in T _ { x _ { 0 } } E } \end{array}
\operatorname* { P r } _ { R } [ | p _ { R } ^ { \prime } ( x , y ) - p ( x , y ) | \geq 0 . 1 ] \leq 2 \exp ( - 2 ( 0 . 1 ) ^ { 2 } \cdot 1 0 0 n ) < 2 ^ { - 2 n }
\begin{array} { r l } { \mathbf { B } _ { \mathbf { C } _ { u 0 } } ^ { \perp } \widetilde { \mathbf { V } } [ \mathbf { B } _ { \mathbf { C } _ { p 0 } } ^ { \perp } ] ^ { T } \mathbf { v } _ { 0 } } & { \stackrel { d } { = } \frac { \| [ \mathbf { B } _ { \mathbf { C } _ { p 0 } } ^ { \perp } ] ^ { T } \mathbf { v } _ { 0 } \| } { \| \mathbf { Z } _ { q 0 } \| } \, \, \mathbf { B } _ { \mathbf { C } _ { u 0 } } ^ { \perp } \mathbf { Z } _ { q 0 } } \\ & { = \left[ \frac { \| [ \mathbf { B } _ { \mathbf { C } _ { p 0 } } ^ { \perp } ] ^ { T } \mathbf { v } _ { 0 } \| } { \| \mathbf { Z } _ { q 0 } \| } - \sqrt { \rho _ { q 0 } } \right] \mathbf { B } _ { \mathbf { C } _ { u 0 } } ^ { \perp } \, \mathbf { Z } _ { q 0 } - \sqrt { \rho _ { q 0 } } \, \mathbf { B } _ { \mathbf { C } _ { u 0 } } \, \breve { \mathbf { Z } } _ { q 0 } + \sqrt { \rho _ { q 0 } } \, \mathbf { O } _ { q 0 } \, \overline { { \mathbf { Z } } } _ { q 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { \infty } \cos ( q t ) J _ { 1 } ( q r ) \, \mathrm { d } q } & { = \frac { 1 } { r } - \frac { t H ( t - r ) } { r \left( t ^ { 2 } - r ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } , } \\ { \int _ { 0 } ^ { \infty } \sin ( q t ) J _ { 0 } ( q r ) \, \mathrm { d } q } & { = \frac { H ( t - r ) } { \left( t ^ { 2 } - r ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { h = \left\{ \begin{array} { l l } { z | _ { \langle u \rangle = 0 } } & { \mathrm { w h e n ~ z | _ { \langle ~ u ~ \rangle ~ = ~ 0 } ~ \leq ~ z | _ { \langle ~ \phi ~ \rangle ~ = ~ 0 } ~ \ o r \ \ ~ z | _ { \langle ~ \phi ~ \rangle ~ = ~ 0 } ~ < ~ z _ { u , n } ~ } , } \\ { z | _ { \langle \phi \rangle = 0 } } & { \mathrm { w h e n ~ z _ { u , n } ~ < ~ z | _ { \langle ~ \phi ~ \rangle ~ = ~ 0 } ~ \leq ~ z | _ { \langle ~ u ~ \rangle ~ = ~ 0 } ~ } . } \end{array} \right. } \end{array}