harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \operatorname { t r } \left( \rho ^ { \left( n \right) } \mathbf { U } _ { \tau } ^ { \left( n \right) } \right) } \\ { = } & { \int \big \langle \mathbf { x } _ { 0 } \big \vert \mathbf { U } _ { \tau } ^ { \left( n \right) } \big \vert \mathbf { x } _ { 0 } \big \rangle \mathsf { d } \mathbf { x } _ { 0 } , } \\ { = } & { \int \Bigg \langle \mathbf { x } _ { 0 } \Bigg \vert \left( \oint _ { \Gamma } \exp \left( - \frac { i } { \hbar } \int _ { 0 } ^ { \tau } - i \hbar \mathbf { L } ^ { \left( n \right) } \mathsf { d } \varepsilon \right) \mathsf { d } \mathbf { x } _ { \varepsilon } \right) \Bigg \vert \mathbf { x } _ { 0 } \Bigg \rangle \mathsf { d } \mathbf { x } _ { 0 } , } \end{array}
\vert \vert F _ { t , h _ { 1 } } - F _ { t , h _ { 2 } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } = O ( \frac { | \kappa - \widehat { \kappa } | ^ { \frac { 1 } { 2 } } } { \kappa _ { k } ^ { \frac { p } { 2 r } + \frac { 1 } { 2 } } } ) = O _ { p } ( \frac { T ^ { - \frac { r } { 2 r + p } } } { \kappa _ { k } ^ { \frac { p } { 2 r } + \frac { 1 } { 2 } } } \log ^ { \frac { r } { 2 r + p } } ( T ) ) ,
\begin{array} { r } { { \bf E } ( { \bf r } , \omega ) = \sum _ { n } \int d { \bf r } ^ { \prime } G ( { \bf r } , { \bf r } ^ { \prime } , \omega , \omega _ { n } ) \cdot { \bf J } ( { \bf r } ^ { \prime } , \omega _ { n } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { T _ { \mathrm { L K T } } [ n ( \vec { r } ) ] } & { { } = \int { \mathrm { d } } \vec { r } ~ \tau _ { \mathrm { T F } } [ n ( \vec { r } ) ] F _ { \mathrm { L K T } } ( s ( \vec { r } ) , q ( \vec { r } ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { Q } & { { } \equiv 2 \int _ { r _ { 1 } } ^ { r _ { 2 } } \overline { { w } } r \, \textnormal { d } r , } & { B } & { { } \equiv 2 \ \int _ { r _ { 1 } } ^ { r _ { 2 } } \overline { { b } } r \, \textnormal { d } r , } & { } & { { } } \\ { M } & { { } \equiv 2 \ \int _ { r _ { 1 } } ^ { r _ { 2 } } \overline { { w } } ^ { 2 } r \, \textnormal { d } r , } & { M ^ { \prime } } & { { } \equiv 2 \ \int _ { r _ { 1 } } ^ { r _ { 2 } } \overline { { w ^ { 2 } } } r \, \textnormal { d } r , } & { P } & { { } \equiv 2 \ \int _ { r _ { 1 } } ^ { r _ { 2 } } \overline { { p } } r \, \textnormal { d } r , } \\ { F } & { { } \equiv 2 \int _ { r _ { 1 } } ^ { r _ { 2 } } \overline { { w } } \overline { { b } } r \, \textnormal { d } r , } & { F ^ { \prime } } & { { } \equiv 2 \int _ { r _ { 1 } } ^ { r _ { 2 } } \overline { { w ^ { \prime } b ^ { \prime } } } r \, \textnormal { d } r , } & { } & { { } } \end{array}
\begin{array} { r } { E _ { \mathrm { { l o c } } } ( \Psi _ { k } ^ { w } ) = \frac { \langle \Psi _ { \mathrm { T } } | \hat { H } | \Psi _ { k } ^ { w } \rangle } { \langle \Psi _ { \mathrm { T } } | \Psi _ { k } ^ { w } \rangle } = E _ { 1 } ( \Psi _ { k } ^ { w } ) + E _ { \mathrm { H } } ( \Psi _ { k } ^ { w } ) + E _ { \mathrm { X } } ( \Psi _ { k } ^ { w } ) } \end{array}
b _ { 2 } = - \zeta \cdot \frac { 4 y _ { 2 } ( y _ { 1 } y _ { 2 } + ( y _ { 1 } ^ { 2 } + y _ { 2 } ^ { 2 } ) \arctan { y _ { 2 } / y _ { 1 } } ) } { y _ { 1 } ( y _ { 1 } ^ { 2 } + y _ { 2 } ^ { 2 } ) } + \zeta \cdot f ( y _ { 1 } ) y _ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { Q ( t ) = } & { { } - \frac { \mathcal { L } } { \beta \eta } \left[ \int _ { - L } ^ { L } \frac { d z } { R ^ { 4 } ( z ) } \right] ^ { - 1 } \int _ { - L } ^ { L } R ^ { - 2 } ( z ) \partial _ { z } [ R ^ { - 2 } ( z ) p ( z , t ) ] d z . } \end{array}
_ 2 \tilde { F } _ { 1 } ( a _ { 1 } , a _ { 2 } ; b _ { 1 } ; z ) = \frac { \, _ { 2 } F _ { 1 } ( a _ { 1 } , a _ { 2 } ; b _ { 1 } ; z ) } { \Gamma ( b _ { 1 } ) } = \frac { 1 } { \Gamma ( b _ { 1 } ) } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { ( a _ { 1 } ) ^ { ( n ) } ( a _ { 2 } ) ^ { ( n ) } } { ( b _ { 1 } ) ^ { ( n ) } } \frac { z ^ { n } } { n ! } \, .
\begin{array} { r l r l } & { \Delta _ { 2 2 , + } ( \zeta , k ) = \Delta _ { 2 2 , - } ( \zeta , k ) ( 1 + r _ { 1 } ( k ) r _ { 2 } ( k ) ) , } & & { k \in \Gamma _ { 2 } ^ { ( 2 ) } , } \\ & { \Delta _ { 2 2 , + } ( \zeta , k ) = \Delta _ { 2 2 , - } ( \zeta , k ) \frac { 1 } { 1 + r _ { 1 } ( k ) r _ { 2 } ( k ) } , } & & { k \in \Gamma _ { 5 } ^ { ( 2 ) } , } \\ & { \Delta _ { 2 2 , + } ( \zeta , k ) = \Delta _ { 2 2 , - } ( \zeta , k ) \frac { f ( \omega ^ { 2 } k ) } { f ( k ) } , } & & { k \in \Gamma _ { 1 0 } ^ { ( 2 ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { v _ { \theta } ( r ) } & { = } & { v _ { \theta } ( R _ { 1 } + R _ { 2 } - r ) , \theta = 0 } \\ { v _ { r } ( r ) } & { = } & { v _ { r } ( R _ { 1 } + R _ { 2 } - r ) , \theta = 0 } \\ { v _ { \theta } ( \theta = \pi ) } & { = } & { v _ { \theta } ( { \theta = 0 } ) } \\ { v _ { r } ( \theta = \pi ) } & { = } & { v _ { r } ( \theta = 0 ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { q _ { j } ( s ) } & { = \frac { 1 } { | \Gamma _ { j } ( s ) | } \left| \int _ { \Gamma _ { j } ( s ) } U ( s ) \, d z \right| = \frac { 1 } { | \Gamma _ { j } ( s ) | } \left| \int _ { \Gamma _ { j } ( s ) } \partial _ { z } w ( s ) \, d z + i \Omega \int _ { \Gamma _ { j } ( s ) } \overline { { z } } \, d z - \int _ { \Gamma _ { j } ( s ) } c \, d z \right| } \\ & { = \frac { 1 } { | \Gamma _ { j } ( s ) | } \left| \gamma _ { j } - 2 \Omega A _ { j } ( s ) \right| , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { 1 } \partial _ { t } f _ { + } \, \varphi _ { + } \, \textup { d } y + \frac { D _ { T } } { L ^ { 2 } ( t ) } \, \int _ { 0 } ^ { 1 } \partial _ { y } f _ { + } \, \partial _ { y } \varphi _ { + } \, \textup { d } y } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { v _ { 0 } } { L ( t ) } \, \bigl ( f _ { + } \, ( 1 - \rho ) \bigr ) _ { \mathrm { t r } } \, \partial _ { y } \varphi _ { + } + \left( \lambda ( f _ { - } - f _ { + } ) + \frac { L ^ { \prime } ( t ) } { L ( t ) } \, y \, \partial _ { y } f _ { + } \right) \varphi _ { + } \, \textup { d } y } \\ & { \qquad - \beta _ { + } ( \Lambda ) \, f _ { + } ( t , 1 ) \, \varphi _ { + } ( 1 ) + \alpha _ { + } ( \Lambda _ { \mathrm { s o m } } ) \, g _ { + } ( \boldsymbol { f } ( t , 0 ) ) \, \varphi _ { + } ( 0 ) . } \end{array}
\alpha = \frac { 2 ^ { 6 } \lambda M L ^ { 5 } } { \hbar ^ { 2 } \pi ^ { 5 } } ; \ \ \beta = \frac { \hbar ^ { 2 } \pi ^ { 2 } } { 8 M L ^ { 2 } k _ { B } T } ; \ \ \omega = \frac { 4 \sqrt { 2 M \mu } L ^ { 2 } \Omega } { \hbar \pi ^ { 2 } } ; \ \ \mu = \frac { M _ { 1 } M _ { 2 } } { M _ { 1 } + M _ { 2 } }
\begin{array} { r l } { \mathcal { I } _ { z } ( x , w ) } & { { } = - \frac { 1 } { 4 \pi } \iint _ { \mathcal { S } _ { p } } \frac { ( w - u ) \cos { ( \beta ) } } { \left( \left( x - v \right) ^ { 2 } + \left( w - u \right) ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \mathrm { d } u \mathrm { d } v } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left\langle { \bf { S } } \right\rangle \! } & { { } = } & { \! \frac { { \bf { E } } ^ { 2 } } { 2 \mu ^ { \prime } } \, { \bf k } ^ { \prime } \; , } \\ { \left\langle u _ { E M } \right\rangle \! } & { { } = } & { \! \frac { 1 } { 4 } \left[ \epsilon ^ { \prime } + \omega \, \frac { \partial \epsilon ^ { \prime } } { \partial \omega } + \frac { | { \bf { k } } | ^ { 2 } } { \mu \omega ^ { 2 } } \right] { \bf { E } } ^ { 2 } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| u \| _ { L ^ { 2 } ( \{ | x _ { 1 } | \leq h ^ { 1 / 2 } \epsilon ^ { - 2 } ( h ) \} \} ) } } & { \leq h ^ { \frac { 1 } { 4 } } \epsilon ^ { - 1 } ( h ) \| u \| _ { L ^ { \infty } ( \{ | x _ { 1 } | \leq h ^ { \frac { 1 } { 2 } } \epsilon ^ { - 3 } ( h ) \} ; L _ { y ^ { \prime } } ^ { 2 } \} ) } } \\ & { \leq C \epsilon ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( h ) \left( \| u \| _ { L _ { x _ { 1 } , y ^ { \prime } } ^ { 2 } ( \{ h ^ { 1 / 2 } \epsilon ^ { - 3 } ( h ) \leq | x _ { 1 } | \leq 2 h ^ { 1 / 2 } \epsilon ^ { - 3 } ( h ) \} ) } \right. } \\ & { \qquad \left. + h ^ { - 1 } \epsilon ^ { - 6 } ( h ) \| f \| _ { L _ { x _ { 1 } , y ^ { \prime } } ^ { 2 } ( \{ | x _ { 1 } | \leq 2 h ^ { 1 / 2 } \epsilon ^ { - 3 } ( h ) \} ) } \right) } \\ & { \leq C \epsilon ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( h ) ( \| u \| _ { L ^ { 2 } } + h ^ { - 1 } \epsilon ^ { - 6 } ( h ) \| f \| _ { L ^ { 2 } } ) } \\ & { \leq 2 C \epsilon ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( h ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { V a r } ( \hat { o } ) } & { \leq e ^ { 2 } \left( \eta / k \right) ^ { k } \left( \eta / k - 1 \right) ^ { k } \sum _ { a = 0 } ^ { k } \binom { k } { a } \left( \eta / k - 1 \right) ^ { - a } \frac { \left( \eta - 2 k + a \right) ! } { \left( \eta - k \right) ! } } \\ & { \leq e ^ { 3 } \left( \eta / k \right) ^ { k } \left( \eta / k - 1 \right) ^ { k } \sum _ { a = 0 } ^ { k } \binom { k } { a } \left( \eta / k - 1 \right) ^ { - a } \left( \frac { 2 e } { \eta } \right) ^ { k } \left( \frac { 2 e } { \eta } \right) ^ { - a } } \\ & { \leq e ^ { 3 } \left( \eta ^ { 2 } / k ^ { 2 } \right) ^ { k } \sum _ { a = 0 } ^ { k } \binom { k } { a } \left( \frac { \eta } { 2 k } \right) ^ { - a } \left( \frac { 2 e } { \eta } \right) ^ { k } \left( \frac { 2 e } { \eta } \right) ^ { - a } } \\ & { = e ^ { 3 } \left( \frac { 2 e \eta } { k ^ { 2 } } \right) ^ { k } \sum _ { a = 0 } ^ { k } \binom { k } { a } \left( \frac { e } { k } \right) ^ { - a } . } \end{array}
\psi _ { n } \sim \left\{ \begin{array} { r l } { \bigg [ L _ { 0 } ( Y ) \log { ( n ) } + Q _ { 0 } ( Y ) + \frac { \log { ( n ) } } { n } L _ { 1 } ( Y ) + } & { { } \cdots \bigg ] \frac { \Gamma ( \frac { n } { 2 } - 1 ) } { \chi ^ { n / 2 - 1 } } \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ n ~ e ~ v ~ e ~ n ~ } , } \\ { \bigg [ R _ { 0 } ( Y ) + \frac { \log { ( n ) } } { n } M _ { 1 } ( Y ) + \frac { R _ { 1 } ( Y ) } { n } + } & { { } \cdots \bigg ] \frac { \Gamma ( \frac { n - 1 } { 2 } ) } { \chi ^ { ( n - 1 ) / 2 } } \quad ~ \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ n ~ o ~ d ~ d ~ } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { G ( t , \tau ) } & { { } = } & { \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { j } } { j ! } \left( \frac { 1 } { 1 - \tau } \right) ^ { j + m + 1 } \left( t \tau \right) ^ { j } } \end{array}
{ \vec { W } } _ { i } ^ { n + 1 } = { \vec { W } } _ { i } ^ { n } - \frac { \Delta t } { \Omega _ { i } } \sum _ { j \in N ( i ) } { { \vec { F } } _ { i j } ^ { e q } { \cal A } _ { i j } } + \frac { \Delta t } { \Omega _ { i } } \boldsymbol { W } _ { i } ^ { f r } ,
\begin{array} { r l r } { \hat { H } _ { \mathrm { e f f } } = } & { } & { \sum _ { j = 1 } ^ { N } \left[ - \Delta _ { p } \hat { \sigma } _ { e e } ^ { j } ( \mathbf { r } , t ) - ( \Delta _ { p } + \Delta _ { c } ) \hat { \sigma } _ { r r } ^ { j } ( \mathbf { r } , t ) + \frac { \Omega _ { p } } { 2 } \hat { \sigma } _ { e g } ^ { j } ( \mathbf { r } , t ) \right. } \\ & { } & { \left. + \frac { \Omega _ { c } } { 2 } \hat { \sigma } _ { r e } ^ { j } ( \mathbf { r } , t ) + \sum _ { k \neq j } ^ { N } \frac { V _ { j k } } { 2 } \hat { \sigma } _ { r r } ^ { j } \hat { \sigma } _ { r r } ^ { k } + \mathrm { H . c . } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { 1 } } & { = \{ 1 , 2 , \ldots , \kappa _ { 1 } ^ { ( 1 ) } , \kappa _ { 1 } ^ { ( 1 ) } + 1 , \ldots , \kappa _ { 1 } ^ { ( 1 ) } + \kappa _ { 2 } ^ { ( 1 ) } , \ldots , \sum _ { j = 1 } ^ { r _ { 1 } } \kappa _ { j } ^ { ( 1 ) } = b _ { 1 } \} , I _ { 1 } = \{ \kappa _ { 1 } ^ { ( 1 ) } , \ldots , \kappa _ { r _ { 1 } } ^ { ( 1 ) } \} } \\ { J _ { 2 } } & { = \{ b _ { 1 } + 1 , b _ { 1 } + 2 , \ldots , b _ { 2 } = b _ { 1 } + \sum _ { j = 1 } ^ { r _ { 2 } } \kappa _ { j } ^ { ( 2 ) } \} , I _ { 2 } = \{ \kappa _ { 1 } ^ { ( 2 ) } , \ldots , \kappa _ { r _ { 2 } } ^ { ( 2 ) } \} } \\ { \cdots } & { \cdots } \\ { J _ { s } } & { = \{ b _ { s - 1 } + 1 , b _ { t - 1 } + 2 , \ldots , b _ { t } = S \} , I _ { s } = \{ \kappa _ { 1 } ^ { ( s ) } , \ldots , \kappa _ { r _ { s } } ^ { ( s ) } \} } \end{array}
\begin{array} { r } { \delta ^ { \prime } ( v ) = \left\{ \begin{array} { l l } { - \delta ( u ) } & { \mathrm { i f ~ v = u ~ , } } \\ { \delta ( v ) - b _ { v , u } [ - \delta ( u ) ] _ { + } } & { \mathrm { i f ~ b _ { v , u } > 0 ~ , } } \\ { \delta ( v ) - b _ { v , u } [ \delta ( u ) ] _ { + } } & { \mathrm { i f ~ b _ { v , u } < 0 ~ . } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { N _ { k } ^ { i + 1 } } & { { } = } & { N _ { k } ^ { i } - \Delta N _ { k } ^ { i } \, , } \\ { u _ { k } ^ { i + 1 } } & { { } = } & { u _ { k } ^ { i } \, \left( 1 - \nu _ { k } ^ { i } \, \Delta t ^ { i } \right) ^ { \frac { 1 } { 3 } } \, , } \\ { R _ { k } ^ { i + 1 } } & { { } = } & { R _ { k } ^ { i } - \Delta R _ { k } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\lceil \frac { n } { 3 } \right\rceil } & { \geqslant \left| A ^ { \prime \prime } \right| + | B _ { 1 } | } \\ & { > \frac { 7 \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } \right| } { 6 } - \frac { n } { 3 6 } - 4 + | B _ { 1 } | } \\ & { \geqslant \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } \right| + | B _ { 1 } | } \\ & { = | A | , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \gamma _ { Z } ^ { 2 } } & { { } = } & { \left( \frac { c } { B _ { 0 } } k _ { Z } k _ { \theta 0 } \lvert A _ { 0 } \rvert \right) ^ { 2 } \frac { b _ { 0 } } { b _ { Z } } \frac { \epsilon _ { 0 } } { \Lambda _ { T } } \frac { 4 \omega _ { 0 } / \omega _ { A } ^ { 2 } } { \partial D _ { 0 } / \partial \omega _ { 0 } } \left[ \frac { \Delta _ { T } } { \omega _ { 0 } } \frac { \omega _ { 0 } ^ { 2 } } { \omega _ { A } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { \hat { \chi } _ { i Z } } \left( \frac { \omega _ { 0 } ^ { 2 } } { \omega _ { A } ^ { 2 } } - \frac { 1 } { 4 } \right) \right] - \Delta _ { T } ^ { 2 } , } \end{array}
\hat { H } _ { 1 } = 2 v _ { 0 } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } { \frac { d \theta } { 2 \pi } } \int _ { - 4 \, S c + \theta } ^ { 4 \, S c + \theta } d \theta _ { 2 } \, \int _ { \Omega } d \phi \, \mathrm { c o s } \phi \, \left| \mathrm { s i n } { \frac { \Delta } { 2 } } \right| { \frac { \mathrm { s i n h } \beta } { 1 + \mathrm { s i n h } ^ { 2 } \beta } } { \frac { 1 + \mu ^ { 2 } } { \mu } } \mathrm { e } ^ { i S }
\mathcal { P } _ { \mathrm { r a d } } ^ { ( \mathrm { p } ) } = - \frac { n _ { 1 } I } { 2 c } \frac { n _ { 2 } ^ { 2 } - n _ { 1 } ^ { 2 } } { n _ { 1 } } \left[ ( \sin ^ { 2 } \theta _ { \mathrm { i } } + \cos ^ { 2 } \theta _ { \mathrm { t } } ) t _ { \mathrm { p } } ^ { 2 } \right] .
\begin{array} { r l } { \mathrm { K } ( } & { \tilde { \mathbf { X } } _ { A } = ^ { \mathcal { T } } \mathbf { X } _ { A } , \tilde { \mathbf { X } } _ { B } = ^ { \mathcal { T } } \mathbf { X } _ { B } ; \boldsymbol { \rho } ) = } \\ & { \mathrm { e x p } \Big ( - \frac { 1 } { 2 } ( \tilde { \mathbf { X } } _ { A } - \tilde { \mathbf { X } } _ { B } ) ^ { \mathrm { T } } \mathbf { P } ( \tilde { \mathbf { X } } _ { A } - \tilde { \mathbf { X } } _ { B } ) \Big ) } \\ & { \mathrm { w h e r e } \ \mathbf { P } = \mathbf { I } _ { n } \left[ \begin{array} { l } { \rho _ { 1 } ^ { - 2 } } \\ { \rho _ { 2 } ^ { - 2 } } \\ { \vdots } \\ { \rho _ { n } ^ { - 2 } } \end{array} \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { = c _ { i _ { 2 } } ( X _ { i _ { 1 } + 1 } ) - c _ { i _ { 2 } } ( X _ { i _ { 2 } + 1 } ) } \\ { } & { = c ( X _ { i _ { 1 } + 1 } ) - c ( X _ { i _ { 2 } + 1 } ) - d _ { i _ { 2 } } \! \cdot \! \big ( \mu ( X _ { i _ { 1 } + 1 } \cap F ^ { * } ) - \mu ( X _ { i _ { 2 } + 1 } \cap F ^ { * } ) \! \big ) - D _ { i _ { 2 } } \! \cdot \! \big ( \mu ( X _ { i _ { 1 } + 1 } ) - \mu ( X _ { i _ { 2 } + 1 } ) \big ) } \\ { } & { = c ( X _ { i _ { 1 } + 1 } ) - c ( X _ { i _ { 2 } + 1 } ) - d _ { i _ { 2 } } \cdot 0 - D _ { i _ { 2 } } \cdot 0 } \\ { } & { = c ( X _ { i _ { 1 } + 1 } ) - c ( X _ { i _ { 2 } + 1 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \| \bar { u } - \bar { u } _ { h } \| _ { s } \lesssim h ^ { \gamma } | \log h | ^ { \varphi } , \quad \| \bar { p } - \bar { p } _ { h } \| _ { s } \lesssim h ^ { \gamma } | \log h | ^ { \varphi } , \quad \gamma = \operatorname* { m i n } \{ s , \frac { 1 } { 2 } \} . } \\ { \| \bar { u } - \bar { u } _ { h } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } \lesssim h ^ { 2 \gamma } | \log h | ^ { 2 \varphi } , \qquad \| \bar { p } - \bar { p } _ { h } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } \lesssim h ^ { 2 \gamma } | \log h | ^ { 2 \varphi } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { \sigma } _ { \mathrm { M P } } ^ { 2 } } & { = \frac { \sigma _ { 1 _ { \mathrm { M P } } } ^ { 2 } + \sigma _ { 2 _ { \mathrm { M P } } } ^ { 2 } } { 2 } } \\ & { \geq \frac { 2 s ^ { 2 } \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) \left( L ^ { 6 } - 1 6 L ^ { 3 } \left( x ^ { 3 } - 3 x y ^ { 2 } \right) + 6 4 \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) ^ { 3 } \right) } { 3 B L ^ { 2 } \left( 5 L ^ { 4 } \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) - 4 L ^ { 3 } \left( x ^ { 3 } - 3 x y ^ { 2 } \right) - 2 8 L ^ { 2 } \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) ^ { 2 } + 6 4 \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) ^ { 3 } \right) } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { R } & { \geq } & { \frac { 1 } { \sqrt { \pi } } L ^ { 2 } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } e ^ { - ( | y _ { l - 1 } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) | L + 2 L ^ { - 1 } ) ^ { 2 } - 4 L ^ { - 1 } } ( x _ { l } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) } \\ & { } & { \times ( y _ { l } ( \Gamma ) - y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) ( 1 - C _ { 4 } K _ { 0 } ^ { 3 } T ^ { 3 } r _ { s } ^ { - 1 \slash 2 5 } - 3 0 0 L e ^ { 2 0 L ^ { 2 } } T ^ { - 1 } ) _ { + } . } \end{array}
\sigma _ { \phi } = \int d z \left[ \frac { 1 } { 2 } ( \vec { \nabla } \phi ) ^ { 2 } + \frac { \lambda } { 4 } ( \phi ^ { 2 } - v ^ { 2 } ) ^ { 2 } \right] = \frac { 2 \sqrt { 2 } } { 3 } v ^ { 3 } \sqrt { \lambda } .
\nabla V = \frac { A _ { 0 } ^ { 0 } \, e ^ { i ( S ( \mathbf { x } ) - E t ) / \hbar } } { \sqrt { J } \sqrt { \varepsilon _ { \mathrm { a v g } } \left| \frac { \partial S } { \partial \mathbf { x } } \right| } } e ^ { - \frac { | z | } { \hbar } \left| \frac { \partial S } { \partial \mathbf { x } } \right| } \left( \frac { i } { \hbar } \frac { \partial S } { \partial \mathbf { x } } , - \frac { 1 } { \hbar } \left| \frac { \partial S } { \partial \mathbf { x } } \right| \right) ,
\begin{array} { r l r } { \frac { { \mathrm { d } } \rho } { { \mathrm { d } } t } } & { = } & { - \rho \nabla \cdot \mathbf { v } , } \\ { \rho \frac { { \mathrm { d } } \mathbf { v } } { { \mathrm { d } } t } } & { = } & { - \nabla p + \eta \nabla ^ { 2 } \mathbf { v } + \frac { \eta } { 3 } \nabla \nabla \cdot \mathbf { v } + \rho \mathbf { f } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { g _ { m } } & { { } = \int h _ { m } ^ { T h } ( \mathbf { r } ) f ^ { T h } ( \mathbf { r } ) + h _ { m } ^ { R a } ( \mathbf { r } ) f ^ { R a } ( \mathbf { r } ) ~ d ^ { 3 } r + \psi _ { m } + n _ { m } } \end{array}
\begin{array} { r } { \! \! \! \! \! \! \! \left. \frac { \Delta E _ { \mathrm { t o t } } } { E _ { \mathrm { t o t } } } \right| _ { \mathrm { n u c } } \simeq - \frac { E _ { \mathrm { M S } } } { E _ { \mathrm { t o t } } } \frac { \Delta m _ { N } } { m _ { N } } + \frac { E _ { \mathrm { F S } } } { E _ { \mathrm { t o t } } } \frac { \Delta \left< r _ { N } ^ { 2 } \right> } { \left< r _ { N } ^ { 2 } \right> } \, . } \end{array}
{ \left| \begin{array} { l l l } { x - x _ { 1 } } & { y - y _ { 1 } } & { z - z _ { 1 } } \\ { x _ { 2 } - x _ { 1 } } & { y _ { 2 } - y _ { 1 } } & { z _ { 2 } - z _ { 1 } } \\ { x _ { 3 } - x _ { 1 } } & { y _ { 3 } - y _ { 1 } } & { z _ { 3 } - z _ { 1 } } \end{array} \right| } = { \left| \begin{array} { l l l } { x - x _ { 1 } } & { y - y _ { 1 } } & { z - z _ { 1 } } \\ { x - x _ { 2 } } & { y - y _ { 2 } } & { z - z _ { 2 } } \\ { x - x _ { 3 } } & { y - y _ { 3 } } & { z - z _ { 3 } } \end{array} \right| } = 0 .
\begin{array} { r l } & { f _ { p } ( z _ { p } ^ { t , e + 1 } ) - f _ { p } ( z _ { p } ) - \langle \lambda _ { p } ^ { t + 1 } , z _ { p } ^ { t , e + 1 } - z _ { p } \rangle \leq \rho ^ { t } \langle z _ { p } ^ { t + 1 } - z _ { p } ^ { t , e + 1 } , z _ { p } ^ { t , e + 1 } - z _ { p } \rangle + } \\ & { \frac { 1 } { 2 ( 1 / \eta ^ { t } - L ) } \| \tilde { \xi } _ { p } ^ { t , e } \| ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 \eta ^ { t } } \Big ( \| z _ { p } - z _ { p } ^ { t , e } \| ^ { 2 } - \| z _ { p } - z _ { p } ^ { t , e + 1 } \| ^ { 2 } \Big ) + \langle \tilde { \xi } _ { p } ^ { t , e } , z _ { p } - z _ { p } ^ { t , e } \rangle , \ \forall z _ { p } \in \mathcal { W } . } \end{array}
\frac { d R } { d E _ { R } } = \sigma _ { N } ^ { S I } \frac { A ^ { 2 } m _ { A } N _ { T } \rho _ { \chi } } { 2 m _ { \chi } \mu _ { N } ^ { 2 } } F ^ { 2 } ( E _ { R } ) \int _ { { \nu } _ { m i n } ( E _ { R } ) } ^ { \infty } \frac { d ^ { 3 } \overrightarrow { \nu } } { \nu } f _ { \oplus } ( \overrightarrow { \nu } , \overrightarrow { \nu _ { o b s } } )
S ^ { v } + S ^ { l o g } = \sum _ { ( i , j ) } \left( \frac { \left( \pi _ { i j } ^ { ( l ) } \right) ^ { 2 } } { 2 s ^ { 2 } \left( l _ { i j } \right) ^ { 2 } } w _ { l } V _ { l } - \frac { 1 } { 2 } l o g ( w _ { l } ) \right)
\begin{array} { r l } { d S ^ { { \tt A } { \tt B } } } & { { } = \sum _ { \alpha } \left( \beta _ { \alpha } ^ { { \tt A } } \, d { Q } _ { \alpha } ^ { { \tt A } } + \beta _ { \alpha } ^ { { \tt B } } \, d { Q } _ { \alpha } ^ { { \tt B } } \right) } \end{array}
S [ A _ { \mu } ^ { a } , \bar { \psi } , \psi , \bar { C } ^ { a } , C ^ { a } ] = S _ { 0 } [ A _ { 0 } ^ { a \mu } , \bar { \psi } _ { 0 } , \psi _ { 0 } , \bar { C } _ { 0 } ^ { a } , C _ { 0 } ^ { a } ]
\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \psi \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 1 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 2 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! - \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \beta \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 1 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \eta \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 1 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\int d ^ { 2 } z \frac { ( z - z _ { i } ) ^ { 1 / 2 } } { ( \bar { z } - \overline { { z _ { i } } } ) ^ { 1 / 2 } } \frac { 1 } { \bar { z } - \overline { { z _ { i } } } } \frac { 1 } { z - z _ { i } } \frac { 1 } { z } = \int d ^ { 2 } z \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \frac { z ^ { 1 / 2 } } { \bar { z } ^ { 1 / 2 } } \frac { 1 } { z + z _ { i } } = 2 \pi \int _ { \delta } ^ { \infty } d r \frac { r } { r ^ { 3 } } = 2 \pi \frac { r _ { i } ^ { - \chi } } { a }
\begin{array} { r l } { 0 } & { = \operatorname* { l i m } _ { h \to 0 } \frac { W _ { 2 } ( \gamma ( t + h ) , ( \mathrm { I d } + h v _ { t } ) _ { \# } \gamma ( t ) ) } { | h | } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { h \to 0 } \frac { W _ { 2 } ( ( Q _ { \gamma ( t + h ) } ) _ { \# } \lambda _ { ( 0 , 1 ) } , \bigl ( Q _ { \gamma ( t ) } + h ( v _ { t } \circ Q _ { \gamma ( t ) } ) \bigr ) _ { \# } \lambda _ { ( 0 , 1 ) } ) } { | h | } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { h \to 0 } \Big \| \frac { Q _ { \gamma ( t + h ) } - Q _ { \gamma ( t ) } } { h } - v _ { t } \circ Q _ { \gamma ( t ) } \Big \| _ { L _ { 2 } } = \| \partial _ { t } Q _ { \gamma ( t ) } - v _ { t } \circ Q _ { \gamma ( t ) } \| _ { L _ { 2 } } . } \end{array}