harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \Sigma _ { k } ( \gamma , b ) } & { : = } & { \operatorname* { s u p } \{ \sigma _ { k } ( \Omega , g ) L ( \partial \Omega , g ) : ( \Omega _ { \gamma , b } , g ) \in \mathcal { C } ( \gamma , b ) \} , } \\ { \Sigma _ { k } ^ { * } ( \gamma , b ) } & { : = } & { \operatorname* { s u p } \{ \sigma _ { k } ( \Omega _ { \gamma , b } , { \rho } g ) L _ { \rho } ( \partial \Omega , g ) : ( \Omega , g ) \in \mathcal { L } ( \gamma , b ) , 0 \le \rho \in L ^ { \infty } ( \partial \Omega ) \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \Delta \omega ( \xi ; L _ { \mathrm { m o d } } ) } { \omega _ { L } } } & { = - L _ { \mathrm { m o d } } \frac { 2 c ^ { 2 } } { \omega _ { L } ^ { 2 } w _ { 0 } ^ { 2 } } \left\langle \frac { \partial } { \partial \xi } \frac { \delta n ( r , \xi ; | a _ { s } | ^ { 2 } ) } { \Delta n } \right\rangle _ { \perp } } \end{array}
b \vert 0 > = \alpha _ { 0 } \vert p - 1 , 0 , 0 > \ \ \ \, d \vert 0 > = \beta _ { 0 } \vert 0 , p - 1 , 0 > \ \ \ \ \ \Delta ^ { \prime } \vert 0 > = \gamma _ { 0 } \vert 0 , 0 , r - 1 >
\begin{array} { r } { I ( \textbf { x } , \overline { { \textbf { x } } } , \phi ) = \frac { p ( \textbf { x } - \overline { { \textbf { x } } } ) } { p ( \textbf { x } ) } \frac { \langle \Psi _ { T } | \hat { B } ( \textbf { x } - \overline { { \textbf { x } } } ) | \phi \rangle } { \langle \Psi _ { T } | \phi \rangle } \, . } \end{array}
S _ { n } ^ { m } \left( \mathbf { x } \right) = x _ { p } \: S _ { n - 1 } ^ { m - 1 } \left( \mathbf { x } \backslash x _ { p } \right) + S _ { n } ^ { m - 1 } \left( \mathbf { x } \backslash x _ { p } \right) ,
K = 2 \frac { { E _ { \mathrm { g } } W _ { \mathrm { g } } D _ { \mathrm { g } } ^ { 3 } } } { { L _ { \mathrm { g } } ^ { 3 } } } + 3 \frac { { E _ { \mathrm { g } } W _ { \mathrm { g } } D _ { \mathrm { g } } } } { { L _ { \mathrm { g } } ^ { 3 } } } \delta _ { Z 0 } ^ { 2 } + 2 \frac { { { \sigma _ { 0 } } W _ { \mathrm { g } } D _ { \mathrm { g } } } } { { L _ { \mathrm { g } } } }
\begin{array} { r l } & { z _ { 1 } \int _ { ( 0 ^ { - } ) } ^ { \left( l n ^ { 5 } n / n \right) \pm i \epsilon } \psi ( z _ { 1 } e ^ { z } ) e ^ { - n \phi ( z _ { 1 } e ^ { z } , t ) } e ^ { z } d z } \\ { + } & { z _ { 1 } \int _ { \left( \ln ^ { 5 } n / n \right) + i \epsilon } ^ { + \infty + i \epsilon } \psi ( z _ { 1 } e ^ { z } ) e ^ { - n \phi ( z _ { 1 } e ^ { z } , t ) } e ^ { z } d z } \\ { + } & { z _ { 1 } \int _ { + \infty - i \epsilon } ^ { \left( \ln ^ { 5 } n / n \right) - i \epsilon } \psi ( z _ { 1 } e ^ { z } ) \frac { 2 i \pi h _ { p } ( z _ { 2 } - z _ { 1 } ) ^ { c + i n t } } { z _ { 1 } ^ { n - p } 2 ^ { c + i n t } ( z _ { 2 } + z _ { 1 } ) ^ { c + i n t } n ^ { c + p + 1 + i n t } \Gamma ( - c - p - i n t ) } e ^ { - n \phi ( z _ { 1 } e ^ { z } , t ) } e ^ { z } d z . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tau _ { n } } & { = \frac { 3 } { \pi B } [ ( \phi _ { 1 } + 2 \pi k _ { 1 } ) \alpha _ { 1 } ( \alpha _ { 1 } - 1 ) } \\ & { \quad + ( \phi _ { 2 } + 2 \pi k _ { 2 } ) \alpha _ { 2 } ( 2 \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } - 1 ) ] } \\ & { = \frac { 3 } { \pi B } [ ( \phi _ { 1 } ) \alpha ( \alpha - 1 ) + ( \phi _ { 2 } + 2 \pi k _ { 2 } ) ( 1 - \alpha ) ( \alpha ) ] } \\ & { = \frac { 3 } { \pi B } [ ( - \phi _ { 1 } + \phi _ { 2 } + 2 \pi k _ { 2 } ) \alpha ( 1 - \alpha ) ] } \end{array}
C _ { i j \sigma , k l \tau } = ( \varepsilon _ { i \sigma } - \varepsilon _ { j \sigma } ) ^ { 2 } \delta _ { i j } \delta _ { j l } \delta _ { \sigma \tau } + 2 \sqrt { \varepsilon _ { i \sigma } - \varepsilon _ { j \sigma } } \sqrt { \varepsilon _ { k \tau } - \varepsilon _ { l \tau } } K _ { i j \sigma , k l \tau }
\begin{array} { r l } & { \eta _ { n } \mathbb { E } \left[ E ^ { \lambda , \psi } ( { \bf u } ^ { n } ) \! - E ^ { \lambda , \psi } ( { \bf u } ) \right] } \\ { \leq } & { \frac { \mathbb { E } \left[ \| { \bf u } ^ { n } \! \! - \! { \bf u } \| _ { \mathcal { H } } ^ { 2 } \! - \! \| { \bf u } ^ { n + 1 } \! \! - { \bf u } \| _ { \mathcal { H } } ^ { 2 } \! + 2 \epsilon _ { n } \| { \bf u } ^ { n } \! - \! { \bf u } \| _ { \mathcal { H } } \right] } { 2 } \! + \! \mathbb { E } [ \eta _ { n } ^ { 2 } \| \nabla _ { { \bf u } } E _ { n } ^ { \lambda , \psi } ( { \bf u } ^ { n } ) \| _ { \mathcal { H } } ^ { 2 } ] + { \epsilon _ { n } ^ { 2 } } , } \\ { \leq } & { \frac { \mathbb { E } \left[ \| { \bf u } ^ { n } \! - { \bf u } \| _ { \mathcal { H } } ^ { 2 } \! - \| { \bf u } ^ { n + 1 } \! \! - { \bf u } \| _ { \mathcal { H } } ^ { 2 } \! + 2 \epsilon _ { n } \| { \bf u } ^ { n } \! - { \bf u } \| _ { \mathcal { H } } \right] } { 2 } + 4 \eta _ { n } ^ { 2 } \kappa ^ { 2 } C ^ { 2 } + \epsilon _ { n } ^ { 2 } , } \end{array}
\mu _ { 0 } H _ { z } ^ { r f } ( u , z , ~ p \rightarrow 0 ) = \frac { \Sigma } { 2 } \ln \left( \frac { \left( u - \frac { w } { 2 } \right) ^ { 2 } + z ^ { 2 } } { \left( u + \frac { w } { 2 } \right) ^ { 2 } + z ^ { 2 } } \right)
\begin{array} { r l } { \mathrm { f o r ~ } 1 \leq i , j \leq n , ~ ~ ~ U _ { i j } ^ { b a } } & { = \frac { U _ { i x } ^ { b } U _ { j x } ^ { b } } { \sum _ { k } ^ { m } y _ { k } + \sum _ { k } ^ { n } U _ { k x } ^ { b } } } \\ { \mathrm { f o r ~ } 1 \leq i , j \leq m , ~ ~ ~ Y _ { i j } ^ { b a } } & { = \frac { y _ { i } ^ { a } y _ { j } ^ { a } } { \sum _ { k } ^ { m } y _ { k } + \sum _ { k } ^ { n } U _ { k x } ^ { b } } } \\ { \mathrm { f o r ~ } 1 \leq i , j \leq n , ~ ~ ~ U _ { i j } ^ { b } } & { = \frac { u _ { i } u _ { j } } { \sum _ { k } ^ { n } u _ { k } + x } } \\ { \mathrm { f o r ~ } 1 \leq i \leq n , ~ ~ ~ U _ { i x } ^ { b } } & { = \frac { u _ { i } x } { \sum _ { k } ^ { n } u _ { k } + x } } \end{array}
( \mathrm S _ { 4 } \times \mathrm S _ { 4 } ) _ { \bullet } \mathrm C _ { 2 } , \ \ \ ( ( \mathrm A _ { 4 } \times \mathrm A _ { 4 } ) _ { \bullet } \mathrm C _ { 2 } ) _ { \bullet } \mathrm C _ { 2 } , \ \ \ ( ( \mathrm V _ { 4 } \times \mathrm V _ { 4 } ) _ { \bullet } \mathrm S _ { 3 } ) _ { \bullet } \mathrm C _ { 2 } , \ \ \ { \mathrm S _ { 4 } } _ { \bullet } \mathrm C _ { 2 }
\begin{array} { r l } { \hbar \frac { d \mathbf { k } } { d t } } & { { } = \mathbf { F } } \\ { \hbar \frac { d \mathbf { r } } { d t } } & { { } = \nabla _ { \mathbf { k } } E - \mathbf { F } \times \mathbf { \Omega } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { c } { x = R \cos t } \\ { y = R \sin t } \\ { z = A \cos \left[ n \left( t - \frac { \pi - \mathrm { a r c } \tan \left( \frac { m \tan ^ { 2 } \left( n \frac { t } { 2 } \right) + m + 2 \tan \left( n \frac { t } { 2 } \right) } { \tan ^ { 2 } \left( n \frac { t } { 2 } \right) - 1 } \right) } { n } \right) \right] } \\ { + m A \sin \left[ \mathrm { a r c } \tan \left( \frac { m \tan ^ { 2 } \left( n \frac { t } { 2 } \right) + m + 2 \tan \left( n \frac { t } { 2 } \right) } { \tan ^ { 2 } \left( n \frac { t } { 2 } \right) - 1 } \right) \right] } \end{array} \right.
\Gamma ( \rho ^ { 0 } \rightarrow \pi ^ { 0 } \gamma ) = \frac { \alpha g ^ { 2 } } { 9 4 f _ { \omega } ^ { 2 } } ( \frac { m _ { \rho } ^ { 2 } - m _ { \pi ^ { 0 } } ^ { 2 } } { m _ { \rho } } ) ^ { 3 }
\begin{array} { r l r } { \mathcal { Q } _ { 4 1 } } & { = } & { \frac { 1 } { 3 2 \sigma ^ { 5 } \nu ^ { 2 } } \{ ( 3 \sigma ^ { 6 } - 2 0 \sigma ^ { 4 } - 2 1 \sigma ^ { 2 } + 5 4 ) ( \sigma ^ { 2 } - 1 ) ^ { 5 } \kappa ^ { 5 } } \\ & { } & { - \sigma ( 1 1 \sigma ^ { 8 } - 9 9 \sigma ^ { 6 } - 6 1 \sigma ^ { 4 } + 7 \sigma ^ { 2 } + 2 7 0 ) ( \sigma ^ { 2 } - 1 ) ^ { 3 } \kappa ^ { 4 } } \\ & { } & { + 2 \sigma ^ { 2 } ( \sigma ^ { 2 } - 1 ) ( 7 \sigma ^ { 1 0 } - 5 8 \sigma ^ { 8 } + 3 8 \sigma ^ { 6 } + 5 2 \sigma ^ { 4 } - 1 8 1 \sigma ^ { 2 } + 2 7 0 ) \kappa ^ { 3 } } \\ & { } & { - 2 \sigma ^ { 3 } ( 3 \sigma ^ { 1 0 } + 1 8 \sigma ^ { 8 } - 1 4 6 \sigma ^ { 6 } - 1 7 2 \sigma ^ { 4 } + 1 8 3 \sigma ^ { 2 } - 2 7 0 ) \kappa ^ { 2 } } \\ & { } & { - \sigma ^ { 4 } ( \sigma ^ { 8 } - 1 0 9 \sigma ^ { 6 } + 5 1 7 \sigma ^ { 4 } + 2 1 7 \sigma ^ { 2 } + 2 7 0 ) \kappa } \\ & { } & { + \sigma ^ { 5 } ( \sigma ^ { 6 } - 4 0 \sigma ^ { 4 } + 1 9 3 \sigma ^ { 2 } + 5 4 ) \} } \\ { \mathcal { Q } _ { 4 2 } } & { = } & { \frac { 1 } { 3 2 \sigma ^ { 5 } \nu ^ { 2 } } \{ - ( 3 \sigma ^ { 6 } + 7 \sigma ^ { 4 } - 1 1 \sigma ^ { 2 } + 9 ) ( \sigma ^ { 2 } - 1 ) ^ { 5 } \kappa ^ { 5 } } \\ & { } & { + \sigma ( 1 1 \sigma ^ { 8 } - 4 8 \sigma ^ { 6 } + 6 6 \sigma ^ { 4 } + 8 \sigma ^ { 2 } + 2 7 ) ( \sigma ^ { 2 } - 1 ) ^ { 3 } \kappa ^ { 4 } } \\ & { } & { - 2 \sigma ^ { 2 } ( \sigma ^ { 2 } - 1 ) ( 7 \sigma ^ { 1 0 } - 7 9 \sigma ^ { 8 } + 2 8 2 \sigma ^ { 6 } - 1 5 4 \sigma ^ { 4 } - \sigma ^ { 2 } + 9 ) \kappa ^ { 3 } } \\ & { } & { + 2 \sigma ^ { 3 } ( 3 \sigma ^ { 1 0 } - 6 3 \sigma ^ { 8 } + 3 1 4 \sigma ^ { 6 } - 2 1 8 \sigma ^ { 4 } + 1 9 \sigma ^ { 2 } + 9 ) \kappa ^ { 2 } } \\ & { } & { + \sigma ^ { 4 } ( \sigma ^ { 8 } + 2 0 \sigma ^ { 6 } - 1 5 8 \sigma ^ { 4 } - 2 8 \sigma ^ { 2 } - 2 7 ) \kappa - \sigma ^ { 5 } ( \sigma ^ { 6 } - 7 \sigma ^ { 4 } + 7 \sigma ^ { 2 } - 9 ) \} } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { S ( ( n - 1 , j , 1 ) , \mathrm { T e a m ~ } A \mathrm { ~ w i n s } ) } & { = p _ { A } , } & { Q ( ( n - 1 , j , 1 ) , ( n - 1 , j + 1 , 2 ) ) } & { = q _ { A } , } \\ { S ( ( n - 1 , j , 2 ) , \mathrm { T e a m ~ } A \mathrm { ~ w i n s } ) } & { = p _ { A } , } & { Q ( ( n - 1 , j , 2 ) , ( n - 1 , j + 1 , 3 ) ) } & { = q _ { A } , } \\ { Q ( ( n - 1 , j , 3 ) , ( n - 1 , j + 1 , 3 ) ) } & { = p _ { B } , } & { Q ( ( n - 1 , j , 3 ) , ( n - 1 , j , 4 ) ) } & { = q _ { B } , } \\ { Q ( ( n - 1 , j , 4 ) , ( n - 1 , j + 1 , 4 ) ) } & { = p _ { B } , } & { Q ( ( n - 1 , j , 4 ) , ( n - 1 , j , 1 ) ) } & { = q _ { B } , } \end{array}
T ( R ) \delta _ { A B } = T r ( R _ { A } R _ { B } ) , \quad C ( G ) \delta _ { A B } = f _ { A C D } f _ { B C D } \quad \mathrm { a n d } \quad C ( R ) _ { j } ^ { i } = ( R _ { A } R _ { A } ) _ { j } ^ { i } .
\begin{array} { r } { \hat { H } _ { U } = \frac { \left[ \hat { \boldsymbol { p } } \! + \! e \boldsymbol { A } _ { s } ( \hat { \boldsymbol { r } } ) \! + \! e \hat { \boldsymbol { A } } ( \boldsymbol { 0 } ) \! - \! \hat { \boldsymbol { P } } _ { b } \right] ^ { 2 } } { 2 m } + \hat { H } _ { \mathrm { p o l } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \int _ { 0 } ^ { T } \left( f , \partial _ { t } \zeta \right) _ { p } d t - \left( f _ { 0 } , \zeta _ { 0 } \right) _ { p } } & { = \int _ { 0 } ^ { T } \langle \nabla _ { p } \cdot \Phi , f W \nabla _ { p } \zeta \rangle _ { p k } d t + \int _ { 0 } ^ { T } \langle \Phi , f W \nabla _ { p } \nabla _ { p } \zeta \rangle _ { p k } d t } \\ { - \int _ { 0 } ^ { T } \left( W , \partial _ { t } \xi \right) _ { k } d t - \left( W _ { 0 } , \xi _ { 0 } \right) _ { k } } & { = - \int _ { 0 } ^ { T } \langle \nabla _ { p } \cdot \Phi , f W \xi \nabla _ { p } E \rangle _ { p k } d t - \int _ { 0 } ^ { T } \langle \Phi , f W \xi \nabla _ { p } \nabla _ { p } E \rangle _ { p k } d t . } \end{array}
\bar { \mathcal { A } } _ { j } = \mathcal { P } _ { \overline { { \mathbb { V } } } } \xi _ { j } - \left( \mathcal { A } _ { j } ^ { ( 2 2 ) } - \mathcal { B } ^ { ( 2 1 ) } \mathcal { A } _ { j } ^ { ( 1 2 ) } - \mathcal { A } _ { j } ^ { ( 2 1 ) } [ \mathcal { B } ^ { ( 2 1 ) } ] ^ { \dagger } + \mathcal { B } ^ { ( 2 1 ) } \mathcal { A } _ { j } ^ { ( 1 1 ) } [ \mathcal { B } ^ { ( 2 1 ) } ] ^ { \dagger } \right) \mathcal { P } ^ { ( 2 ) } ,
\phi _ { \rho T } = \phi _ { \rho n } - \phi _ { T n } = \arctan \left( \frac { \left( \omega _ { \mathrm { A I } } ^ { 2 } + \omega _ { \mathrm { A R } } ^ { 2 } \right) \sin { 2 \phi _ { \mathrm { \ r h o u } } } } { \left( \omega _ { \mathrm { A I } } ^ { 2 } + \omega _ { \mathrm { A R } } ^ { 2 } \right) \cos { 2 \phi _ { \mathrm { \ r h o u } } } + k ^ { 2 } } \right) .
\begin{array} { r } { h \big ( k x , k ^ { 2 } , k \big ) = \sigma \big ( \frac { k x } { \delta } - \frac { k ^ { 2 } } { \delta } + k \big ) - \sigma \big ( \frac { k x } { \delta } - \frac { k ^ { 2 } } { \delta } \big ) + \sigma \big ( - \frac { k x } { \delta } + \frac { k ^ { 2 } } { \delta } + \frac { k } { \delta } \big ) - \sigma \big ( - \frac { k x } { \delta } + \frac { k ^ { 2 } } { \delta } + \frac { k } { \delta } - k \big ) - k = h _ { k } ( x ) } \end{array}
{ \frac { \operatorname { d } { \boldsymbol { P } } } { \operatorname { d } t } } = \left[ { \frac { \operatorname { d } { \boldsymbol { P } } } { \operatorname { d } t } } \right] + { \boldsymbol { \omega } } \times { \boldsymbol { P } } \ ,
\begin{array} { r l } { \| \tilde { z } \| _ { X } } & { = \frac 1 { m ^ { 1 / r } } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } \| ( \alpha _ { i \bullet } ) ^ { 1 / r } \| _ { \ell _ { s } ^ { k } } ^ { r } \right) ^ { 1 / r } \le \frac 1 { m ^ { 1 / r } } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { m - L } \| ( ( \alpha ^ { * } ) _ { i \bullet } ) ^ { 1 / r } \| _ { \ell _ { s } ^ { k } } ^ { r } + \sum _ { i = m - L + 1 } ^ { L } 1 \right) ^ { 1 / r } , } \\ & { \le \frac 1 { m ^ { 1 / r } } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { m - L } ( 2 ( m - L ) ) ^ { r ( \frac 1 { s } - \frac 1 { r } ) } \| ( ( \alpha ^ { * } ) _ { i \bullet } ) ^ { 1 / r } \| _ { \ell _ { r } ^ { k } } ^ { r } + ( 2 L - m ) \right) ^ { 1 / r } } \\ & { = \frac 1 { m ^ { 1 / r } } \left( ( 2 ( m - L ) ) ^ { r ( \frac 1 { s } - \frac 1 { r } ) } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { m - L } \sum _ { j = 1 } ^ { k } ( \alpha ^ { * } ) _ { i j } \right) + ( 2 L - m ) \right) ^ { 1 / r } } \\ & { = \frac 1 { m ^ { 1 / r } } \left( ( 2 ( m - L ) ) ^ { r ( \frac 1 { s } - \frac 1 { r } ) } \left( m - ( 2 L - m ) \right) + ( 2 L - m ) \right) ^ { 1 / r } } \\ & { = \left( 2 ^ { \frac { r } { s } } \frac { ( m - L ) ^ { \frac { r } { s } } } { m } + \frac { ( 2 L - m ) } { m } \right) ^ { 1 / r } \prec \frac { ( m - L ) ^ { \frac 1 { s } } } { m ^ { \frac 1 { r } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { U ^ { [ 2 ] } ( \vec { r } ) } & { = } & { G M \frac { 3 { \cal T } ^ { < a b > } } { 2 r ^ { 5 } } x ^ { a } x ^ { b } = G M \frac { 3 } { 2 r ^ { 5 } } \Big ( { \cal T } _ { 1 1 } x ^ { 2 } + 2 { \cal T } _ { 1 2 } x y + 2 { \cal T } _ { 1 3 } x z + 2 { \cal T } _ { 2 3 } y z + { \cal T } _ { 2 2 } y ^ { 2 } + { \cal T } _ { 3 3 } z ^ { 2 } \Big ) . ~ ~ ~ } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { 1 } c _ { 1 } \partial _ { t } T _ { 1 } + \nabla \cdot \mathbf q _ { 1 } } & { = - h ( T _ { 2 } - T _ { 1 } ) + Q _ { 1 } , \quad \mathbf q _ { 1 } = - \lambda _ { 1 } \nabla T _ { 1 } , } \\ { \rho _ { 2 } c _ { 2 } \frac { \textrm { d } T _ { 2 } } { \textrm { d } t } } & { = h ( T _ { 2 } - T _ { 1 } ) + Q _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { E } | \widetilde \xi _ { N , \delta } ^ { n } ( \Pi _ { N } \widetilde { \xi } _ { 0 } ; \Pi _ { N } \xi _ { 0 } ) - \xi _ { N , \delta } ^ { n } ( \Pi _ { N } \xi _ { 0 } ) | ^ { 2 } \leq \tilde { c } \frac { \exp \left( C ( \nu ^ { 3 } \beta ) ^ { - 1 / 2 } | \xi _ { 0 } | ^ { 2 } \right) } { ( 1 + \beta \delta ) ^ { 3 n / 4 } } | \widetilde { \xi } _ { 0 } - \xi _ { 0 } | ^ { 2 } , } \end{array}
\tilde { \varkappa } _ { g } ^ { n } = \varkappa _ { g } ^ { n } + \frac { 1 } { c \Delta t ^ { n } } , \quad Q _ { g } ^ { n } = \varkappa _ { g } ^ { n } B _ { g } ^ { n } + \frac { 1 } { c \Delta t ^ { n } } I _ { g } ^ { n - 1 } \, ,
a \left( { \dot { y } } _ { 1 } { \dot { y } } _ { 2 } ( y _ { 1 } - y _ { 2 } ) - x _ { 2 } { \dot { y } } _ { 1 } { \dot { x } } _ { 2 } + x _ { 1 } { \dot { x } } _ { 1 } { \dot { y } } _ { 2 } \right) + b \left( { \dot { x } } _ { 1 } { \dot { x } } _ { 2 } ( x _ { 2 } - x _ { 1 } ) - y _ { 1 } { \dot { y } } _ { 1 } { \dot { x } } _ { 2 } + y _ { 2 } { \dot { x } } _ { 1 } { \dot { y } } _ { 2 } \right) = 0 .
T = \left( \begin{array} { c c c } { 0 } & { 0 } & { - b ^ { 2 } } \\ { a ^ { 2 } } & { - b ^ { 2 } } & { 2 b ^ { 2 } - c ^ { 2 } } \\ { - a ^ { 2 } } & { b ^ { 2 } - c ^ { 2 } } & { c ^ { 2 } - b ^ { 2 } } \end{array} \right) \; \; \mathrm { ~ a n d ~ } \; \; N = \left( \begin{array} { c } { - b ^ { 2 } } \\ { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } - c ^ { 2 } } \\ { - a ^ { 2 } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { t \geq d _ { 1 } \quad } & { \implies \quad \mathrm { E C T } _ { \gamma _ { e } } ( v , t ) \geq 1 , } \\ { t \geq d _ { 4 } \quad } & { \implies \quad \mathrm { E C T } _ { \gamma _ { e } } ( v , t ) = 1 , } \\ { t < d _ { 1 } \quad } & { \implies \quad \mathrm { E C T } _ { \gamma _ { e } } ( v , t ) = 0 , } \\ { t \geq d _ { 2 } \quad } & { \implies \quad \mathrm { E C T } _ { b _ { e } } ( v , t ) = 1 , } \\ { t < d _ { 2 } \quad } & { \implies \quad \mathrm { E C T } _ { b _ { e } } ( v , t ) = 0 . } \end{array}
N _ { z } = \frac { 1 } { \tau } \left\{ \frac { 3 } { 4 \pi } - \frac { 3 } { 4 \pi } \sqrt { 1 + \tau ^ { 2 } } \left[ \tau ^ { 2 } \mathsf { K } \left( \frac { 1 } { \sqrt { 1 + \tau ^ { 2 } } } \right) + \left( 1 - \tau ^ { 2 } \right) \mathsf { E } \left( \frac { 1 } { \sqrt { 1 + \tau ^ { 2 } } } \right) \right] + \tau \right\} ,
\mathcal { H } = \frac { \chi } { v } \int \mathrm { d } { \mathbf { r } } \hat { \phi } _ { \mathrm { p } } ( \mathbf { r } ) \hat { \phi } _ { \mathrm { s } } ( \mathbf { r } ) + \frac { 1 } { 2 } \int \mathrm { d } { \mathbf { r } } \int \mathrm { d } { \mathbf { r ^ { ' } } } \hat { \rho } ( \mathbf { r } ) C ( \mathbf { r } , \mathbf { r ^ { ' } } ) \hat { \rho } ( \mathbf { r } ^ { ' } )
\begin{array} { r l } & { A ^ { \prime \prime } ( 1 ) - A ^ { \prime } ( 1 ) ^ { 2 } + A ^ { \prime } ( 1 ) } \\ & { = \frac { - 4 ( \Bar { \Bar { \Bar { S } } } ^ { ( n ) } - \Bar { \Bar { \Bar { Y } } } ^ { ( n ) } ) ( \Bar { S } ^ { ( n ) } - \Bar { Y } ^ { ( n ) } ) + 3 ( \Bar { \Bar { S } } ^ { ( n ) } + \Bar { \Bar { Y } } ^ { ( n ) } ) ^ { 2 } - [ 6 ( { \Bar { \Bar { S } } } ^ { ( n ) } - { \Bar { \Bar { Y } } } ^ { ( n ) } ) - 1 ] ( \Bar { S } ^ { ( n ) } - \Bar { Y } ^ { ( n ) } ) ^ { 2 } - ( \Bar { S } ^ { ( n ) } - \Bar { Y } ^ { ( n ) } ) ^ { 4 } } { 1 2 ( \Bar { S } ^ { ( n ) } - \Bar { Y } ^ { ( n ) } ) ^ { 2 } } } \end{array}
H _ { q q q q } = { \frac { g ^ { 2 } } { 8 \pi } } \int d ^ { 2 } x ^ { \perp } \int _ { - \infty } ^ { \infty } { \frac { d p ^ { + } } { ( p ^ { + } ) ^ { 2 } } } { \tilde { j } ^ { + a } } _ { q } ( p ^ { + } , x _ { \perp } ) { \tilde { j } ^ { + a } } _ { q } ( - p ^ { + } , x _ { \perp } ) .
\begin{array} { r l } { 1 + ( z + w ) \sum _ { p , q = 0 } ^ { \infty } s _ { ( p | q ) ; a , b } ( x / y ) ( 1 - a _ { p + 1 } b _ { p + 1 } ) \frac { ( z | b ) ^ { p } } { ( z ; a ) ^ { p + 1 } } \frac { ( w | b ^ { \prime } ) ^ { q } } { ( w ; a ^ { \prime } ) ^ { q + 1 } } } & { = \prod _ { i } \frac { 1 + y _ { i } z } { 1 - x _ { i } z } \frac { 1 + x _ { i } w } { 1 - y _ { i } w } , } \\ { 1 + ( z + w ) \sum _ { p , q = 0 } ^ { \infty } \widehat { s } _ { ( p | q ) ; a , b } ( x / y ) ( 1 - a _ { q + 1 } ^ { \prime } b _ { q + 1 } ^ { \prime } ) \frac { ( z | a ) ^ { p } } { ( z ; b ) ^ { p + 1 } } \frac { ( w | a ^ { \prime } ) ^ { q } } { ( w ; b ^ { \prime } ) ^ { q + 1 } } } & { = \prod _ { i } \frac { 1 + x _ { i } w } { 1 - x _ { i } z } \frac { 1 + y _ { i } z } { 1 - y _ { i } w } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\lVert \widetilde { V } ^ { * } \beta ^ { ( - ) } \right\rVert _ { w ^ { k - 1 } } ^ { 2 } = \left\langle \widetilde { V } ^ { * } \beta ^ { ( - ) } , \widetilde { V } ^ { * } \beta ^ { ( - ) } \right\rangle _ { w ^ { k - 1 } } = \left\langle \widetilde { V } \widetilde { V } ^ { * } \beta ^ { ( - ) } , \beta ^ { ( - ) } \right\rangle _ { w ^ { k - 1 } } \, , } \end{array}
\mathbf { t } _ { 0 } = \mathbf { t } { \frac { d { \Gamma } } { d \Gamma _ { 0 } } } = { \boldsymbol { N } } ^ { T } \cdot \mathbf { n } _ { 0 } = { \boldsymbol { P } } \cdot \mathbf { n } _ { 0 }
\mathbf \Lambda _ { ( \hat { n } \cdot ) } = \operatorname { d i a g } \left( \mathbf \Lambda _ { ( \hat { n } \cdot ) \mathrm { W } } , \mathbf \Lambda _ { ( \hat { n } \cdot ) \mathrm { E } } , \mathbf \Lambda _ { ( \hat { n } \cdot ) \mathrm { S } } , \mathbf \Lambda _ { ( \hat { n } \cdot ) \mathrm { N } } , \mathbf \Lambda _ { ( \hat { n } \cdot ) \mathrm { B } } , \mathbf \Lambda _ { ( \hat { n } \cdot ) \mathrm { T } } \right) \, ,
\Gamma ( B \longrightarrow K ^ { \star } \gamma ) = \frac { \left| C \right| ^ { 2 } ( m _ { B } ^ { 2 } - m _ { K ^ { \star } } ^ { 2 } ) ^ { 3 } m _ { b } ^ { 2 } } { 4 \pi m _ { B } ^ { 3 } } \left| A ( 0 ) + B ( 0 ) \right| ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { ( \eta _ { t + 1 } - \eta _ { t + 1 } ^ { * } ) ^ { 2 } } & { \leq ( \eta _ { t } - \eta _ { t } ^ { * } ) ^ { 2 } - 2 \gamma _ { t } ( \eta _ { t } - \eta _ { t } ^ { * } ) F ^ { \prime } ( \eta _ { t } ) + 2 \gamma _ { t } ( \eta _ { t } - \eta _ { t } ^ { * } ) ( F ^ { \prime } ( \eta _ { t } ) - f _ { t } ) + 2 ( \eta _ { t } - \eta _ { t } ^ { * } ) ( \eta _ { t } ^ { * } - \eta _ { t + 1 } ^ { * } ) } \\ & { \qquad + 2 ( \eta _ { t } ^ { * } - \eta _ { t + 1 } ^ { * } ) ^ { 2 } + 2 ( \gamma _ { t } f _ { t } ) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { \int _ { B _ { 2 R } } | \partial _ { 1 } w _ { 1 } | ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \, \mathrm { d } x + \int _ { B _ { 2 R } } \Theta | \partial _ { 2 } w _ { 1 } | ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \, \mathrm { d } x } } \\ & { = } & { - 2 \int _ { B _ { 2 R } - B _ { R } } \eta \partial _ { 1 } w _ { 1 } \, \partial _ { 1 } \eta \, w _ { 1 } \, \mathrm { d } x - 2 \int _ { B _ { 2 R } - B _ { R } } \Theta \, \eta \, \partial _ { 2 } w _ { 1 } \, \partial _ { 2 } \eta \, w _ { 1 } \, \mathrm { d } x . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \delta n _ { i } ( \tau ) \delta n _ { i } ( \tau ^ { \prime } ) \rangle = \langle n _ { i } ( \tau ) n _ { i } ( \tau ^ { \prime } ) \rangle - \langle n _ { i } ( \tau ) \rangle \langle n _ { i } ( \tau ^ { \prime } ) \rangle } & { { } = C _ { i } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) + \langle \phi _ { i } ( \tau ) \tilde { \phi } ( \tau _ { + } ^ { \prime } ) \phi _ { i } ( \tau ^ { \prime } ) \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { V ^ { \gamma } ( x ) - V ^ { \gamma } ( y ) } & { = \operatorname* { m a x } _ { s \geq 0 } \| e ^ { \gamma s } T ( s ) x \| _ { X } - \operatorname* { m a x } _ { s \geq 0 } \| e ^ { \gamma s } T ( s ) y \| _ { X } } \\ & { \leq \operatorname* { m a x } _ { s \geq 0 } \big ( \| e ^ { \gamma s } T ( s ) x \| _ { X } - \| e ^ { \gamma s } T ( s ) y \| _ { X } \big ) } \\ & { \leq \operatorname* { m a x } _ { s \geq 0 } \big | \| e ^ { \gamma s } T ( s ) x \| _ { X } - \| e ^ { \gamma s } T ( s ) y \| _ { X } \big | } \\ & { \leq \operatorname* { m a x } _ { s \geq 0 } \| e ^ { \gamma s } T ( s ) ( x - y ) \| _ { X } \leq M \| x - y \| _ { X } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \int _ { \mathcal { L } } ( S _ { n } ( t , x ) + R _ { n } ( t , x ) + \epsilon ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } d x } \\ { \geqslant } & { \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \mathbb { E } \int _ { \mathcal { L } } \frac { \Lambda ( x ) } { ( S _ { n } ( 1 , x ) + R _ { n } ( 1 , x ) + \epsilon ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } d x d s } \\ { - } & { N _ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \mathbb { E } \int _ { \mathcal { L } } ( S _ { n } ( t , x ) + R _ { n } ( t , x ) ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } d x d s . } \end{array}
{ \hat { R } } = { \frac { \hat { Y } } { \hat { Z } } } = { \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { n } w _ { i } y _ { i } ^ { \prime } } { \sum _ { i = 1 } ^ { n } w _ { i } z _ { i } ^ { \prime } } } \approx R + { \frac { 1 } { Z } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( { \frac { y _ { i } ^ { \prime } } { \pi _ { i } } } - R { \frac { z _ { i } ^ { \prime } } { \pi _ { i } } } \right)
0 \; = \; \left( \frac { d } { d a } \right) ^ { n } ( p ^ { 2 } - a ) \: T _ { a } ( p ) \; = \; ( p ^ { 2 } - a ) \: T _ { a } ^ { ( n ) } ( p ) \: - \: n \: T _ { a } ^ { ( n - 1 ) } ( p )
\begin{array} { r l } { S \left( P _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ s ~ s ~ } } , P _ { \mathrm { ~ f ~ r ~ e ~ e ~ } } \right) = } & { { } S \left( P _ { \mathrm { ~ f ~ r ~ e ~ e ~ } } \right) - \beta _ { \mathrm { ~ f ~ r ~ e ~ e ~ } } \left( U _ { \mathrm { ~ f ~ r ~ e ~ e ~ } } - U _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ s ~ s ~ } } \right) . } \end{array}
\{ A ( x ) , B ( y ) \} _ { D } = \{ A ( x ) , B ( y ) \} - \int d ^ { 2 } z d ^ { 2 } z ^ { \prime } \{ A ( x ) , \Omega _ { k } ( z ) \} \Delta ^ { k k ^ { \prime } } \{ \Omega _ { k ^ { \prime } } ( z ^ { \prime } ) , B ( y ) \}