harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { I ( n ) } & { = \frac 1 2 \int _ { - \pi } ^ { \pi } \exp \left( \frac { \cos t } { 8 } \right) \cos \left( \frac { \sin t } { 8 } \right) \cos ( n t ) d t } \\ & { = \frac 1 2 \Re \left[ \int _ { - \pi } ^ { \pi } \exp \left( \frac { \cos t } { 8 } \right) \exp \left( \frac { i \sin t } { 8 } \right) \cos ( n t ) d t \right] } \\ & { = \frac 1 2 \Re \left[ \int _ { - \pi } ^ { \pi } \exp \left( \frac { \cos t + i \sin t } { 8 } \right) \cos ( n t ) d t \right] } \\ & { = \frac 1 2 \Re \left[ \int _ { - \pi } ^ { \pi } \exp \left( \frac { e ^ { i t } } { 8 } \right) \left( \frac { e ^ { i n t } + e ^ { - i n t } } 2 \right) d t \right] } \\ & { = \frac 1 4 \Re \left[ \oint _ { | z | = 1 } e ^ { z / 8 } \left( z ^ { n } + \frac 1 { z ^ { n } } \right) \frac { d z } { i z } \right] \qquad { ( 1 ) } } \\ & { = \frac 1 4 \Re \left[ 2 \pi i \operatorname * { R e s } _ { z = 0 } \frac { e ^ { z / 8 } } { i z ^ { n + 1 } } \right] } \\ & { = \frac 1 4 \cdot 2 \pi \cdot \frac 1 { 8 ^ { n } n ! } } \\ & { = \frac { \pi } { 2 ^ { 3 n + 1 } n ! } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta t } & { < } & { \frac { 1 } { 3 \, \nu _ { k l } ( t ) } } \\ { \vec { u } _ { k l } ^ { \, s } ( t ) } & { = } & { \frac { m _ { k } \, \vec { u } _ { k } ( t ) + m _ { l } \, \vec { u } _ { l } ( t ) } { m _ { k } + m _ { l } } \, , } \\ { \nu _ { k l } } & { = } & { \frac { e _ { k } ^ { 2 } e _ { l } ^ { 2 } \, n _ { l } } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } ^ { 2 } m _ { k l } ^ { 2 } u _ { k l } ^ { 3 } \left( t \right) } \, \ln \Lambda _ { k l } \, , } \\ { u _ { k l } ( t ) } & { = } & { \left| \vec { u } _ { k } ( t ) - \vec { u } _ { l } ( t ) \right| \, . } \end{array}
\Delta \bar { s } _ { W } ^ { 2 } \simeq - \bar { c } _ { W } ^ { 2 } \xi \left( { \frac { \bar { s } _ { W } ^ { 2 } } { \bar { c } _ { W } ^ { 2 } - \bar { s } _ { W } ^ { 2 } } } { \frac { M _ { M ^ { \prime } } ^ { 2 } } { m _ { Z } ^ { 2 } } } { \frac { \xi } { \cos ^ { 2 } \chi } } - \bar { s } _ { W } \tan \chi \right) .
\begin{array} { r l } & { V ( x , y , z , \tau ) = } \\ & { \quad - V _ { \mathrm { X } } I _ { \mathrm { s e l f } } \cos ^ { 2 } ( k x + \vartheta / 2 ) } \\ & { \quad - V _ { \mathrm { X i n t } } I _ { \mathrm { s e l f } } \cos ^ { 2 } ( k x ) } \\ & { \quad - V _ { \mathrm { Y } } \cos ^ { 2 } ( k y ) } \\ & { \quad - V _ { \mathrm { Z } } \cos ^ { 2 } ( k z ) } \\ & { \quad - \sqrt { V _ { \mathrm { X i n t } } V _ { \mathrm { Z } } } \cos ( k z ) \cos [ k x + \varphi ( \tau ) ] } \\ & { \quad - I _ { \mathrm { X Z } } \sqrt { V _ { \mathrm { X i n t } } ( \tau ) V _ { \mathrm { Z } } } \cos ( k z ) \cos [ k x - \varphi ( \tau ) ] ~ , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \mathcal A } \left( x _ { 1 } , \Xi \right) : = \left\{ \left( A , a \right) \in { \mathbb R } ^ { n _ { 2 } \times m } \times { \mathbb R } ^ { n _ { 2 } } : A _ { 1 } ^ { \mathrm { i n } } x _ { 1 } + A _ { 2 } ^ { \mathrm { i n } } \left( A { \xi } + a \right) + A _ { 3 } ^ { \mathrm { i n } } { \xi } \leq b ^ { \mathrm { i n } } \quad \forall { \xi } \in \Xi \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \textbf { E } = \frac { q } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } \frac { r } { \left( \textbf { r } \cdot \textbf { u } \right) ^ { 3 } } \left[ \left( c ^ { 2 } - v ^ { 2 } \right) \textbf { u } + \textbf { r } \times \left( \textbf { u } \times \textbf { a } \right) \right] , } \\ & { \textbf { B } = \frac { 1 } { c r } \textbf { r } \times \textbf { E } . } \end{array}
\frac { d \Gamma } { d \hat { s } d \hat { t } } = \frac { \alpha G _ { F } ^ { 2 } | V _ { c s } | ^ { 2 } } { 1 4 4 \pi ^ { 2 } } \frac { f _ { D _ { s } } ^ { 2 } } { m _ { D _ { s } } ^ { 3 } } \frac { \hat { s } } { ( m _ { D _ { s } } ^ { 2 } - \hat { s } ) ^ { 2 } } \left[ x _ { s } ( m _ { D _ { s } } ^ { 2 } - \hat { s } - \hat { t } ) ^ { 2 } + x _ { c } \hat { t } ^ { 2 } \right] ,
\begin{array} { r } { q ^ { - { \lambda ^ { 2 } } - s _ { 1 } \lambda - \phi ^ { 2 } - s _ { 2 } \phi + \lambda \phi } \sum _ { e = 0 } ^ { \lambda _ { - 1 } - \lambda } \frac { ( - 1 ) ^ { e } q ^ { - \binom { e } { 2 } + e ( - \lambda - s _ { 1 } + \phi - 1 ) } } { \eta ( e ) \eta ( \lambda _ { - 1 } - \lambda - e ) \eta ( \phi _ { - 1 } - \phi ) } \prod _ { i = 0 } ^ { \phi _ { - 1 } - \phi - 1 } ( 1 - q ^ { - \phi - 1 - s _ { 2 } + \lambda + e - i } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \{ a \geq c _ { 0 } v ^ { \frac { 2 } { 3 } } \} } \frac { a ^ { \mu } \operatorname* { m a x } \{ v ^ { \sigma } , L \delta \} } { 1 + \delta a ^ { \mu } } ( c _ { 0 } v ^ { \frac { 2 } { 3 } } - a ) g ( \eta , t ) v ^ { l } \textup { d } \eta } & { \leq \int _ { \{ a \geq 2 c _ { 0 } v ^ { \frac { 2 } { 3 } } \} } \frac { a ^ { \mu } \operatorname* { m a x } \{ v ^ { \sigma } , L \delta \} } { 1 + \delta a ^ { \mu } } ( c _ { 0 } v ^ { \frac { 2 } { 3 } } - a ) g ( \eta , t ) v ^ { l } \textup { d } \eta } \\ & { \leq - \frac { 1 } { 2 } \int _ { \{ a \geq 2 c _ { 0 } v ^ { \frac { 2 } { 3 } } \} } \frac { a ^ { \mu } \operatorname* { m a x } \{ v ^ { \sigma } , L \delta \} } { 1 + \delta a ^ { \mu } } a v ^ { - | l | } g ( \eta , t ) \textup { d } \eta . } \end{array}
2 d x \sqrt { W ^ { 2 } ( x ) + f _ { 2 } ( x ) } = 2 d x g \sqrt { ( x ^ { 2 } - { 0 ^ { + } } ^ { 2 } ) ( x ^ { 2 } + x _ { 1 } ^ { 2 } ) ( x ^ { 2 } + x _ { 2 } ^ { 2 } ) } .
\begin{array} { r } { \sqrt { \frac { \mathsf { b } _ { \{ 2 \} } } { \bar { \mathsf { d } } _ { \{ 2 \} } } } \asymp \frac { | s ^ { ( 1 ) } + s ^ { ( 2 ) } | } { | s ^ { ( 2 ) } - s ^ { ( 1 ) } | } \cdot \frac { 1 } { | 1 - s ^ { ( 1 ) } s ^ { ( 2 ) } | } ~ ~ ~ ~ ~ ~ \mathrm { a n d } ~ ~ ~ ~ ~ ~ \sqrt { \frac { \mathsf { b } _ { \{ 1 , 2 \} } } { \bar { \mathsf { d } } _ { \{ 1 , 2 \} } } } \asymp \frac { | s ^ { ( 1 ) } + s ^ { ( 2 ) } | } { | s ^ { ( 2 ) } - s ^ { ( 1 ) } | } . } \end{array}
q _ { m p } = \left\{ \begin{array} { c c } { \big [ \frac { D L _ { c } } { p - 1 } \big ( 1 - \frac { 1 } { 2 ( p - 1 ) } \big ) \big ] ^ { 1 / 2 } } & { \mathrm { ~ f ~ r ~ o ~ m ~ m ~ o ~ d ~ e ~ s ~ } m \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } g _ { m } = g _ { p } - 1 } \\ { \big [ \frac { D L _ { c } } { p + 1 } \big ( 1 + \frac { 1 } { 2 ( p - 1 ) } \big ) \big ] ^ { 1 / 2 } } & { \mathrm { ~ f ~ r ~ o ~ m ~ m ~ o ~ d ~ e ~ s ~ } m \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } g _ { m } = g _ { p } + 1 , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } & { } & { S ( n , q ) = ( - 1 ) ^ { n } \varphi ( q ) - ( - 4 ) ^ { n } \sum _ { j = 1 } ^ { n } \frac { B _ { 2 j } \varphi _ { 2 j } ( q ) \mathrm { B e r n S u m } ( n , n - j ) } { ( 2 j ) ! } ; } \\ & { } & { \varphi _ { l } ( m ) = m ^ { l } \prod _ { p | m } \left( 1 - \frac { 1 } { p ^ { l } } \right) ; } \end{array}
\begin{array} { r l } { R } & { { } = { \left[ \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \cos \alpha } & { - \sin \alpha } \\ { 0 } & { \sin \alpha } & { \cos \alpha } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l l l } { \cos \beta } & { 0 } & { \sin \beta } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { - \sin \beta } & { 0 } & { \cos \beta } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l l l } { \cos \gamma } & { - \sin \gamma } & { 0 } \\ { \sin \gamma } & { \cos \gamma } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } } \end{array}
\Psi _ { N \times N } \ni \left( \begin{array} { l l } { { . \qquad . \qquad . } } & { { . } } \\ { { . \qquad . \qquad . } } & { { . } } \\ { { . \quad \, \, \, \, \, \Psi \quad \, \, \, . } } & { { | \theta \rangle } } \\ { { . \qquad . \qquad . } } & { { . } } \\ { { . \qquad . \qquad . } } & { { . } } \\ { { . \quad \, \, \, \langle \theta | \, \, \, \quad . } } & { { \psi } } \end{array} \right) _ { ( N + 1 ) \times ( N + 1 ) } .
\begin{array} { r l } & { \left( \begin{array} { l } { E _ { 0 , \parallel } } \\ { E _ { 0 , \perp } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { \mathbf { E } _ { 0 } \cdot \mathbf { e } _ { \parallel } } \\ { \mathbf { E } _ { 0 } \cdot \mathbf { e } _ { \perp } } \end{array} \right) } \\ & { \qquad \qquad \propto | \mathbf { p } | \exp \left( - i \mathbf { q } \cdot \boldsymbol { \rho } _ { d } - i w _ { d } z _ { d } - i w f \right) } \\ & { \qquad \left( \begin{array} { l } { - t _ { \parallel } \sin \beta \sin ( \phi - \alpha ) } \\ { t _ { \perp } \left[ \sin \beta \cos \theta \cos ( \phi - \alpha ) - \cos \beta \sin \theta \right] } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { a } _ { n } } & { = i \left[ - \omega _ { c } + g ( b _ { n } ^ { \dagger } + b _ { n } ) \right] a _ { n } + i \frac { J _ { 0 } } { 2 } ( a _ { n + 1 } + a _ { n - 1 } ) , } \\ { \dot { b } _ { n } } & { = - i \omega _ { m } b _ { n } + i g | a _ { n } | ^ { 2 } + i \frac { J _ { m } ( \phi ) } { 2 } ( b _ { n + 1 } + b _ { n - 1 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { I _ { 1 } : = P _ { \gamma _ { n - 2 } } ^ { + } ( P _ { \gamma _ { n - 1 } } ^ { + } - P _ { \gamma _ { n - 2 } } ^ { + } - d P _ { \gamma _ { n - 2 } } ^ { + } ( \gamma _ { n - 1 } - \gamma _ { n - 2 } ) ) P _ { \gamma _ { n - 2 } } ^ { + } \gamma _ { n - 1 } P _ { \gamma _ { n - 1 } } ^ { + } P _ { \gamma } ^ { + } , } \\ & { I _ { 2 } : = ( P _ { \gamma } ^ { + } - P _ { \gamma _ { n - 2 } } ^ { + } ) ( P _ { \gamma _ { n - 1 } } ^ { + } - P _ { \gamma _ { n - 2 } } ^ { + } ) P _ { \gamma _ { n - 2 } } ^ { + } \gamma _ { n - 1 } P _ { \gamma _ { n - 1 } } ^ { + } P _ { \gamma } ^ { + } . } \end{array}
F _ { 2 } = \frac { \mathcal { R } \left( 1 + \mathcal { R } \right) } { \left( 1 - \mathcal { R } \right) \left( 1 - \mathcal { R } ^ { N } \right) } - \frac { N ^ { 2 } \mathcal { \mathcal { R } } ^ { N } \left( 1 - \mathcal { \mathcal { R } } \right) + 2 N \mathcal { R } ^ { N + 1 } } { \left( 1 - \mathcal { R } ^ { N } \right) ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { \hat { \mathcal { R } } _ { N } ( \mathcal { F } ) } & { \leq \mathbb { E } \operatorname* { s u p } _ { x \in \mathcal { X } } \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sigma _ { i } \psi ( \theta _ { i } ) ^ { \top } \phi ( x ) } \\ & { = \frac { 1 } { N } \mathbb { E } \operatorname* { s u p } _ { x \in \mathcal { X } } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sigma _ { i } \psi ( \theta _ { i } ) \right) ^ { \top } \phi ( x ) } \\ & { \leq \frac { 1 } { N } \mathbb { E } \operatorname* { s u p } _ { x \in \mathcal { X } } \left\| \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sigma _ { i } \psi ( \theta _ { i } ) \right\| \, \| \phi ( x ) \| } \\ & { = \frac { \Lambda } { N } \mathbb { E } \left\| \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sigma _ { i } \psi ( \theta _ { i } ) \right\| , } \end{array}
{ \frac { \partial } { \partial \theta } } \underline { { S } } \, = \, 0 \, \, \, \, ; \, \, \, \, { \frac { \partial } { \partial \theta } } \underline { { M } } _ { 1 } \, = \, i \underline { { \Delta } } \, \, \underline { { S } }
\begin{array} { r l r } { A } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } A } { \partial \mu _ { i j } \partial \mu _ { l m } } \mu _ { i j } \mu _ { l m } + \frac { 1 } { 6 } \frac { \partial ^ { 3 } A } { \partial \mu _ { i j } \partial \mu _ { l m } \partial \mu _ { p q } } \mu _ { i j } \mu _ { l m } \mu _ { p q } + \frac { 1 } { 2 4 } \frac { \partial ^ { 4 } A } { \partial \mu _ { i j } \partial \mu _ { l m } \partial \mu _ { p q } \partial \mu _ { r s } } \mu _ { i j } \mu _ { l m } \mu _ { p q } \mu _ { r s } + \cdots } \\ & { = } & { \frac { 1 } { 2 } C _ { i j l m } ^ { ( 2 ) } \mu _ { i j } \mu _ { l m } + \frac { 1 } { 6 } C _ { i j l m p q } ^ { ( 3 ) } \mu _ { i j } \mu _ { l m } \mu _ { p q } + \frac { 1 } { 2 4 } C _ { i j l m p q r s } ^ { ( 4 ) } \mu _ { i j } \mu _ { l m } \mu _ { p q } \mu _ { r s } + \cdots , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { - 2 x _ { 1 } \left( \frac { c _ { 3 } - c _ { 2 } y _ { 3 } } { c _ { 1 } } \right) + \left( \frac { c _ { 3 } - c _ { 2 } y _ { 3 } } { c _ { 1 } } \right) ^ { 2 } - 2 y _ { 1 } y _ { 3 } + y _ { 3 } ^ { 2 } = c _ { 4 } } \\ & { - \frac { 2 x _ { 1 } c _ { 3 } } { c _ { 1 } } + \left( \frac { 2 x _ { 1 } c _ { 2 } } { c _ { 1 } } \right) y _ { 3 } + \frac { c _ { 3 } ^ { 2 } } { c _ { 1 } ^ { 2 } } - \left( \frac { 2 c _ { 2 } c _ { 3 } } { c _ { 1 } ^ { 2 } } \right) y _ { 3 } + \left( \frac { c _ { 2 } ^ { 2 } } { c _ { 1 } ^ { 2 } } \right) y _ { 3 } ^ { 2 } - 2 y _ { 1 } y _ { 3 } + y _ { 3 } ^ { 2 } = c _ { 4 } } \\ & { \left( \frac { c _ { 2 } ^ { 2 } } { c _ { 1 } ^ { 2 } } + 1 \right) y _ { 3 } ^ { 2 } + \left( \frac { 2 x _ { 1 } c _ { 2 } } { c _ { 1 } } - \frac { 2 c _ { 2 } c _ { 3 } } { c _ { 1 } ^ { 2 } } - 2 y _ { 1 } \right) y _ { 3 } - \frac { 2 x _ { 1 } c _ { 3 } } { c _ { 1 } } + \frac { c _ { 3 } ^ { 2 } } { c _ { 1 } ^ { 2 } } - c _ { 4 } = 0 } \\ & { c _ { 5 } y _ { 3 } ^ { 2 } + c _ { 6 } y _ { 3 } + c _ { 7 } = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \ell ; N , S , J , M | T _ { q = 0 } ^ { 1 } ( N ) T _ { q = 0 } ^ { 1 } ( S ) } & { | \ell ^ { \prime } ; N ^ { \prime } , S , J ^ { \prime } , M ^ { \prime } \rangle } \\ & { = \delta _ { J , J ^ { \prime } } \delta _ { N , N ^ { \prime } } \delta _ { M , M ^ { \prime } } \delta _ { \ell , \ell ^ { \prime } } \times \ell } \\ & { \times ( - 1 ) ^ { J + N ^ { \prime } + S } \left\{ \begin{array} { c c c } { N } & { S } & { J } \\ { S } & { N } & { 1 } \end{array} \right\} } \\ & { \times ( - 1 ) ^ { N - \ell } \left( \begin{array} { c c c } { N } & { 1 } & { N } \\ { - \ell } & { 0 } & { \ell } \end{array} \right) ( 2 N + 1 ) } \\ & { \times \sqrt { S ( S + 1 ) ( 2 S + 1 ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { k _ { l } ^ { N , M } } & { \longleftrightarrow \frac { k _ { 2 l } } { 2 } \gamma ^ { l - 1 } \; \mathrm { f o r } \ l = 1 , 2 , . . . , M } \\ { M } & { \longleftrightarrow - \gamma } \\ { \frac { N } { M } } & { \longleftrightarrow q } \\ { N ^ { n } a _ { n } } & { \longleftrightarrow c _ { n } } \\ { m _ { 2 k } } & { \longleftrightarrow m _ { k } ^ { ' } \cdot ( - N ) ^ { k } , } \end{array}
\psi _ { m = 1 } = \frac { u _ { 0 } ( r ) } { r } Y _ { 0 } ^ { 0 } ( { \Omega } ) \chi _ { 1 } ^ { 1 } + \frac { u _ { 2 } ( r ) } { r } \left\{ \sqrt { \frac { 3 } { 5 } } Y _ { 2 } ^ { 2 } ( { \Omega } ) \chi _ { 1 } ^ { - 1 } - \sqrt { \frac { 3 } { 1 0 } } Y _ { 2 } ^ { 1 } ( { \Omega } ) \chi _ { 1 } ^ { 0 } + \sqrt { \frac { 1 } { 1 0 } } Y _ { 2 } ^ { 0 } ( { \Omega } ) \chi _ { 1 } ^ { 1 } \right\} ,
\begin{array} { r c l } { { \tau ^ { \prime } ( \omega ) } } & { { = } } & { { { \displaystyle \frac { a \tau ( \omega ) + b } { c \tau ( \omega ) + d } } = { \displaystyle \frac { a { \cal H } + b } { c { \cal H } + d } } \equiv { \cal H } ^ { \prime } \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { g _ { \omega \bar { \omega } } ^ { \prime } } } & { { = } } & { { g _ { \omega \bar { \omega } } = \Im \mathrm { m } ( \tau ) = { \displaystyle \frac { \Im \mathrm { m } ( \tau ^ { \prime } ) } { | - c \tau ^ { \prime } + a | ^ { 2 } } } = { \displaystyle \frac { \Im \mathrm { m } ( { \cal H } ^ { \prime } ) } { | - c { \cal H } ^ { \prime } + a | ^ { 2 } } } \, . } } \end{array}
\frac { \sin \phi _ { 1 } } { 1 - \cos \phi _ { 1 } } = \frac { \int _ { \phi _ { 0 } } ^ { \phi _ { 1 } } \frac { \cos \phi } { \sqrt { ( \sin \phi - \sin \phi _ { 0 } ) } } d \phi } { \int _ { \phi _ { 0 } } ^ { \phi _ { 1 } } \frac { \sin \phi } { \sqrt { ( \sin \phi - \sin \phi _ { 0 } ) } } d \phi } .
{ \hat { F } } = \gamma _ { 1 } \, \delta { \hat { L } } _ { x } \, \sigma _ { 1 } + \gamma _ { 2 } \, \delta { \hat { L } } _ { y } \, \sigma _ { 2 } + \gamma _ { 3 } \, \delta { \hat { L } } _ { z } \, \sigma _ { 3 } .
\widetilde { \chi } _ { m } ^ { \omega } - \widetilde { \chi } _ { m ^ { \prime } } ^ { \omega ^ { \prime } } = \widetilde { \chi } _ { m ^ { \prime } \! m } ^ { m ^ { \prime } \! \omega } - \widetilde { \chi } _ { m ^ { \prime } \! m } ^ { m \omega ^ { \prime } } \lesssim \frac { \left| m ^ { \prime } \omega - m \omega ^ { \prime } \right| } { \operatorname* { m a x } \left( \left| m ^ { \prime } \omega \right| , | m ^ { \prime } m | , | m \omega ^ { \prime } | \right) } \cdot \operatorname* { m a x } ( \operatorname* { s u p } | \widetilde { \chi } | , \operatorname* { s u p } _ { \omega } | \partial _ { \omega } ( \widetilde { \chi } ( \omega , 1 ) ) | )
\begin{array} { r l r } { \chi ^ { 2 } } & { = } & { { \stackrel [ \displaystyle { \xi _ { l } ^ { \pm } } ] { \mathrm { m i n } } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { E _ { \mu } ^ { o b s } } } \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { \cos \theta _ { \mu } ^ { o b s } } } \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { E _ { h a d } ^ { o b s } } } \left\{ 2 \left[ \left( T _ { i j k } ^ { + } - D _ { i j k } ^ { + } \right) - D _ { i j k } ^ { + } \ln \left( \frac { T _ { i j k } ^ { + } } { D _ { i j k } ^ { + } } \right) \right] + \right. } \\ & { } & { \left. 2 \left[ \left( T _ { i j k } ^ { - } - D _ { i j k } ^ { - } \right) - D _ { i j k } ^ { - } \ln \left( \frac { T _ { i j k } ^ { - } } { D _ { i j k } ^ { - } } \right) \right] \right\} + \sum _ { l ^ { + } = 1 } ^ { 5 } \xi _ { l ^ { + } } ^ { 2 } + \sum _ { l ^ { - } = 1 } ^ { 5 } \xi _ { l ^ { - } } ^ { 2 } ~ , } \end{array}
\partial _ { t } \overline { { u } } _ { i } ^ { \ell } + \partial _ { j } \left( \overline { { u } } _ { i } ^ { \ell } \overline { { u } } _ { j } ^ { \ell } + \overline { { p } } ^ { \ell } \delta _ { i j } - 2 \nu \overline { { S } } _ { i j } ^ { \ell } + \tau _ { i j } ^ { \ell } \right) = \overline { { f } } _ { i } ^ { \ell } \ ,
\begin{array} { r } { P \left( ( i , j ) \in { \cal D } ^ { \mathrm { ~ d ~ a ~ t ~ a ~ } } \right) = \frac { 1 } { 2 T } \sum _ { \tau = - T , \tau \neq 0 } ^ { T } P ( x ^ { ( t ) } = i , x ^ { ( t + \tau ) } = j ) . } \end{array}
\rho \frac { \partial \langle { u _ { i } } \rangle } { \partial t } + \rho \langle { u _ { j } } \rangle \frac { \partial \langle { u _ { i } } \rangle } { \partial x _ { j } } = - \frac { \partial \langle { p } \rangle } { \partial x _ { i } } + \mu \frac { \partial ^ { 2 } \langle { u _ { i } } \rangle } { \partial x _ { k } ^ { 2 } } - \rho \frac { \partial \langle { u _ { i } ^ { \prime \prime } u _ { j } ^ { \prime \prime } } \rangle } { \partial x _ { j } }
\begin{array} { r l } { C _ { i , j } \left[ 1 + \tau D _ { r } i ( i + 1 ) \right] + \; \; } & { } \\ { \mathrm { P e } _ { f } \sum _ { n = 1 } ^ { 1 0 0 } \sum _ { m = - n } ^ { n } C _ { n , m } \int _ { S } \overline { { Y _ { i } ^ { j } } } } & { \mathcal { H } ( Y _ { n } ^ { m } ) \mathrm { d } \boldsymbol { p } = } \\ { - } & { \mathrm { P e } _ { f } C _ { 0 , 0 } \int _ { S } \overline { { Y _ { i } ^ { j } } } \mathcal { H } ( Y _ { 0 } ^ { 0 } ) \mathrm { d } \boldsymbol { p } . , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { - X _ { i } ^ { \mathrm { r d } } u _ { i t } ^ { \mathrm { o } } - X _ { i } ^ { \mathrm { s d } } u _ { i t } ^ { \mathrm { d } } \leq x _ { i t } ^ { \mathrm { g } } - x _ { i \left( t - 1 \right) } ^ { \mathrm { g } } \leq X _ { i } ^ { \mathrm { r u } } u _ { i ( t - 1 ) } ^ { \mathrm { o } } + X _ { i } ^ { \mathrm { s u } } u _ { i t } ^ { \mathrm { u } } } \end{array}
T = { \frac { 1 } { 2 } } M { \dot { x } } ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } m \left( { \dot { x } } _ { \mathrm { p e n d } } ^ { 2 } + { \dot { y } } _ { \mathrm { p e n d } } ^ { 2 } \right)
Z _ { \alpha } = \int { \cal D } x \, \, \, \Gamma _ { \alpha } ( A ) \displaystyle { e } ^ { i \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } d t ( { \frac { 1 } { 2 } } { \dot { x } } ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 2 } } V ^ { 2 } ) } .
\delta _ { T , S } ^ { ' } ( x ) = \left[ - \beta _ { T , S } ^ { 2 } x ^ { 2 } + 2 \beta _ { T , S } x \right] \mathbb { I } _ { \left\{ 0 < x \leq \frac { 1 } { \beta _ { T , S } } \right\} } + \mathbb { I } _ { \left\{ x \geq \frac { 1 } { \beta _ { T , S } } \right\} } ~ \mathrm { a n d } ~ \delta _ { T , S } ^ { ' } ( - x ) = - \delta _ { T , S } ^ { ' } ( x )
\left| \frac { \Delta \sin ^ { 2 } 2 \theta _ { 2 3 } } { \sin ^ { 2 } 2 \theta _ { 2 3 } } \right| = \frac { 1 } { \sqrt { \Phi _ { \nu _ { \mu } } } } \frac { \sqrt { 1 - \sin ^ { 2 } 2 \theta _ { 2 3 } \sin ^ { 2 } \hat { \Delta } _ { 3 1 } } } { \sin ^ { 2 } 2 \theta _ { 2 3 } \sin ^ { 2 } \hat { \Delta } _ { 3 1 } } = f ( \frac { L } { E _ { \mu } } ) E _ { \mu } ^ { - 1 / 2 } ~ .
\begin{array} { r l r } { \tilde { \mathcal { L } } _ { p r } ( r , t ) \tilde { \Psi } } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial u } { \partial r } \left( \cot { \tilde { \theta } } \sin { \tilde { \phi } } \frac { \partial \tilde { \Psi } } { \partial \tilde { \phi } } - \cos { \tilde { \phi } } \frac { \partial \tilde { \Psi } } { \partial \tilde { \theta } } \right) } \\ & { } & { + d _ { r } \left( 2 \xi ( - 2 \cos { \tilde { \theta } } \tilde { \Psi } - \sin { \tilde { \theta } } \frac { \partial \tilde { \Psi } } { \partial \tilde { \theta } } ) - \nabla _ { \mathbf { p } _ { R } } ^ { 2 } \tilde { \Psi } \ \right) } \end{array}
u _ { \varepsilon } \left( \xi , \eta , z \right) = { \frac { w _ { 0 } } { w \left( z \right) } } \mathrm { C } _ { p } ^ { m } \left( i \xi , \varepsilon \right) \mathrm { C } _ { p } ^ { m } \left( \eta , \varepsilon \right) \exp \left[ - i k { \frac { r ^ { 2 } } { 2 q \left( z \right) } } - \left( p + 1 \right) \zeta \left( z \right) \right] ,
\begin{array} { r l } { \dot { w } _ { j } ^ { r } } & { { = } { - } \delta _ { j } ^ { w r } w _ { j } ^ { r } { + } \textstyle \sum _ { \ell = 1 } ^ { q } \alpha _ { \ell j } ^ { r } w _ { \ell } ^ { k } { - } w _ { j } ^ { r } \textstyle \sum _ { \ell = 1 } ^ { q } \alpha _ { j \ell } ^ { r } { + } \textstyle \sum _ { \ell = 1 } ^ { n } c _ { j \ell } ^ { w r } ( t ) x _ { \ell } ^ { r } , } \end{array}
\mathrm { d } S > { \frac { \delta Q } { T _ { s u r r } } } \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, { \mathrm { ( c l o s e d ~ s y s t e m , ~ a c t u a l l y ~ p o s s i b l e , ~ i r r e v e r s i b l e ~ p r o c e s s ) . } }
{ \vec { W } } _ { i } ^ { n + 1 } = { \vec { W } } _ { i } ^ { n } - \frac { \Delta t } { \Omega _ { i } } \sum _ { j \in N ( i ) } { \vec { F } } _ { i j } ^ { e q } { \cal A } _ { i j } - \frac { \Delta t } { \Omega _ { i } } \sum _ { j \in N ( i ) } { \vec { F } } _ { i j } ^ { f r , h } { \cal A } _ { i j } + \frac { \Delta t } { \Omega _ { i } } \boldsymbol { W } _ { i } ^ { f r , p } + \boldsymbol { S } _ { i } .
E _ { X } = - \sum _ { i j \mathbf { k } \mathbf { q } P Q } u _ { i } ^ { \mathbf { k } } ( \mathbf { r } _ { P } ) ^ { * } u _ { j } ^ { \mathbf { k } + \mathbf { q } } ( \mathbf { r } _ { P } ) M _ { P Q } ^ { \mathbf { q } } u _ { j } ^ { \mathbf { k } + \mathbf { q } } ( \mathbf { r } _ { Q } ) ^ { * } u _ { i } ^ { \mathbf { k } } ( \mathbf { r } _ { Q } )
\begin{array} { r l } { \textnormal { N L T } } & { = \nabla _ { h } ^ { 2 } \frac { \partial ( \textbf { u } . \nabla w ) } { \partial t } + \nabla _ { h } ^ { 2 } ( \textbf { u } . \nabla b ) - \frac { \partial ^ { 3 } ( \textbf { u } . \nabla u ) } { \partial x \partial z \partial t } } \\ & { + f \frac { \partial ^ { 2 } ( \textbf { u } . \nabla u ) } { \partial y \partial z } - f \frac { \partial ^ { 2 } ( \textbf { u } . \nabla v ) } { \partial x \partial z } - \frac { \partial ^ { 3 } ( \textbf { u } . \nabla v ) } { \partial y \partial z \partial t } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial c _ { 0 } } { \partial t } = - \left\langle \frac { \partial c _ { 1 } } { \partial \tau } \right\rangle _ { \mathcal { I B } } + \nabla _ { \mathbf x } \cdot ( \textbf { D } \nabla _ { \mathbf x } \langle c _ { 0 } \rangle _ { \mathcal { I B } } ) - \omega ^ { - \alpha } \nabla _ { \mathbf x } \cdot ( c _ { 0 } \langle \mathbf v _ { 0 } \rangle _ { \mathcal { I B } } ) - \mathcal { K } ^ { \star } \omega ^ { \beta - \gamma } ( c _ { 0 } ^ { a } - 1 ) , } \end{array}
\boldsymbol { R _ { u } } = \boldsymbol { S } ^ { H } \left[ \boldsymbol { R _ { u } ^ { B } } - \boldsymbol { R _ { u } ^ { B } } \boldsymbol { \hat { \nabla } } \left( \boldsymbol { \hat { \nabla } } ^ { T } \boldsymbol { R _ { u } ^ { B } } \boldsymbol { \hat { \nabla } } \right) ^ { - 1 } \boldsymbol { \hat { \nabla } } ^ { T } \boldsymbol { R _ { u } ^ { B } } \right] \boldsymbol { S } .