harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { | J _ { 9 } | } & { \leq \sum _ { i , j , k , \ell } | \eta _ { k } \widetilde { \Omega } _ { \ell i } | | G _ { i } G _ { j } ^ { 2 } G _ { k } G _ { \ell } | } \\ & { \lesssim \sum _ { i , j , k , \ell } ( \theta _ { i } \theta _ { k } \theta _ { \ell } ) \frac { \sqrt { \theta _ { i } \theta _ { j } ^ { 2 } \theta _ { k } \theta _ { \ell } \| \theta \| _ { 1 } ^ { 5 } [ \log ( n ) ] ^ { 5 } } } { \sqrt { v ^ { 5 } } } } \\ & { \lesssim \frac { [ \log ( n ) ] ^ { 5 / 2 } } { \sqrt { \| \theta \| _ { 1 } ^ { 5 } } } \Bigl ( \sum _ { i } \theta _ { i } ^ { 3 / 2 } \Bigr ) \Bigl ( \sum _ { j } \theta _ { j } \Bigr ) \Bigl ( \sum _ { k } \theta _ { k } ^ { 3 / 2 } \Bigr ) \Bigl ( \sum _ { \ell } \theta _ { \ell } ^ { 3 / 2 } \Bigr ) } \\ & { \lesssim \frac { [ \log ( n ) ] ^ { 5 / 2 } } { \sqrt { \| \theta \| _ { 1 } ^ { 3 } } } \Bigl ( \sum _ { i } \theta _ { i } ^ { 3 / 2 } \Bigr ) ^ { 3 } } \\ & { \lesssim \frac { [ \log ( n ) ] ^ { 5 / 2 } } { \sqrt { \| \theta \| _ { 1 } ^ { 3 } } } \Bigl ( \sum _ { i } \theta _ { i } ^ { 2 } \Bigr ) ^ { 3 / 2 } \Bigl ( \sum _ { i } \theta _ { i } \Bigr ) ^ { 3 / 2 } } \\ & { \lesssim [ \log ( n ) ] ^ { 5 / 2 } \| \theta \| ^ { 3 } . } \end{array}
\rho \left( x , y , 0 \right) = \left\lbrace \begin{array} { l r } { 1 } & { \mathrm { i f } \; r \le 0 . 5 , } \\ { 0 . 1 2 5 } & { \mathrm { i f } \; r > 0 . 5 , } \end{array} \right. \qquad p \left( x , y , 0 \right) = \left\lbrace \begin{array} { l r } { 1 } & { \mathrm { i f } \; r \le 0 . 5 , } \\ { 0 . 1 } & { \mathrm { i f } \; r > 0 . 5 , } \end{array} \right. \qquad \mathbf { u } \left( x , y , 0 \right) = 0 ,
\begin{array} { r l } { C _ { 4 2 } } & { \lesssim \sum _ { k \neq k ^ { \prime } } \sum _ { j _ { 1 } \neq j _ { 2 } } \frac { M _ { k } M _ { k ^ { \prime } } } { M ^ { 2 } } \Sigma _ { k j _ { 1 } j _ { 2 } } ^ { 2 } \mu _ { j _ { 1 } } \mu _ { j _ { 2 } } + \sum _ { k \neq k ^ { \prime } } \sum _ { j _ { 1 } \neq j _ { 2 } } \frac { M _ { k } M _ { k ^ { \prime } } } { M ^ { 2 } } \Sigma _ { j _ { 1 } j _ { 2 } } ^ { 2 } \mu _ { j _ { 1 } } \mu _ { j _ { 2 } } } \\ & { \lesssim \sum _ { k \neq k ^ { \prime } } \frac { M _ { k } M _ { k ^ { \prime } } } { M ^ { 2 } } \big ( \mu ^ { \prime } \Sigma _ { k } ^ { \circ 2 } \mu + \mu ^ { \prime } \Sigma ^ { \circ 2 } \mu \big ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \bigg ( \int _ { I _ { j } } | g ( t ) | ^ { r } \mu _ { k _ { t } + 1 } ^ { \mathrm { G R } } ( \mathrm { d } t ) \bigg ) ^ { \smash { 1 / r } } \lesssim \tau ^ { \frac { r - s } { r s } } \bigg ( \int _ { I _ { j } } | g ( t ) | ^ { s } \mu _ { k _ { t } + 1 } ^ { \mathrm { G R } } ( \mathrm { d } t ) \bigg ) ^ { \smash { 1 / s } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \! \! \operatorname* { m a x } _ { \theta _ { j } ^ { r } , \lambda ^ { r } } \ \! \pi _ { j } \! \left( \theta _ { j } ^ { r } , \lambda ^ { d } \! \left( d ^ { d } \right) , \lambda ^ { r } \! \! \left( \theta _ { j } ^ { r } ; \overline { { \theta } } _ { - j } ^ { r } , d ^ { r } \right) \right) \textrm { s . t . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \mathscr { R } _ { g _ { b } } \dot { g } ) _ { \mu \nu } } & { = \mathrm { R i e m } ( g _ { b } ) _ { \ \mu \nu } ^ { \alpha \ \ \beta } \dot { g } _ { \alpha \beta } + \frac 1 2 \left( \mathrm { R i c } ( g _ { b } ) _ { \mu } ^ { \ \kappa } \dot { g } _ { \nu \kappa } + \mathrm { R i c } ( g _ { b } ) _ { \nu } ^ { \ \kappa } \dot { g } _ { \mu \kappa } \right) , } \\ { D _ { g _ { b } , d A _ { b } } T ( \dot { g } , d \dot { A } ) } & { = \left( ( g _ { b } ) ^ { \alpha \beta } ( d \dot { A } ) _ { \mu \alpha } ( d A _ { b } ) _ { \nu \beta } + ( g _ { b } ) ^ { \alpha \beta } ( d A _ { b } ) _ { \mu \alpha } ( d \dot { A } ) _ { \nu \beta } \right) \! \! - \! \frac 1 2 ( g _ { b } ) _ { \mu \nu } ( d \dot { A } ) _ { \alpha \beta } ( d A _ { b } ) ^ { \alpha \beta } } \\ & { \quad - \dot { g } ^ { \alpha \beta } ( d A _ { b } ) _ { \mu \alpha } ( d A _ { b } ) _ { \nu \beta } - \frac 1 4 \left( \dot { g } _ { \mu \nu } ( d A _ { b } ) _ { \alpha \beta } ( d A _ { b } ) ^ { \alpha \beta } \! \! - \! 2 ( g _ { b } ) _ { \mu \nu } \dot { g } ^ { \kappa \alpha } ( d A _ { b } ) _ { \alpha \beta } ( d A _ { b } ) _ { \kappa } ^ { ~ \beta } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \to 0 } \left| N ( u _ { \varepsilon } ) ( t ) - N ( u ) ( t ) \right| } & { \lesssim \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \to 0 } \left\| \sum _ { j \geq - 1 } \left| ( 1 - 2 ^ { - \varepsilon j } ) k _ { j } \right| 2 ^ { j s } \left| \Delta _ { j } u ( t ) \right| \right\| _ { { L } ^ { 1 } } = 0 . } \end{array}
a ( \eta ) = \ell _ { 0 } \exp \biggl ( \int ^ { \eta } \mathrm { d } \tau \biggl \{ C + \frac { 1 } { 2 } \int ^ { \tau } \mathrm { d } \tau ^ { \prime } [ 1 + 3 \omega ( \tau ^ { \prime } ) ] \biggr \} ^ { - 1 } \biggr ) ,
\begin{array} { r } { \mathbb { E } \left[ \lambda _ { s } \big | \tilde { \mu } ^ { ( - s ) } \right] = \mathbb { E } \left[ \tilde { b } _ { s } ^ { * } ( \tilde { \mu } ) \biggr | \ \tilde { \mu } ^ { ( - s ) } \right] \quad \mathrm { ~ a n d ~ } \quad \mathbb { E } \left[ \beta _ { s } \big | \ \tilde { \mu } ^ { ( - s ) } \right] = \mathbb { E } \left[ \mathbb { E } _ { \hat { \gamma } \sim \tilde { \mathcal { P } } _ { t } } \left[ \hat { b } _ { s } ^ { * } ( \tilde { \mu } ) \right] \biggr | \ \tilde { \mu } ^ { ( - s ) } \right] \, . } \end{array}
{ \mathcal L } _ { m } \; = \; \frac { 1 } { 2 } m _ { e l } ^ { 2 } \, A _ { 0 } ( x , \tau ) A _ { 0 } ( x , \tau ) \; + \; \frac { 1 } { 2 } m _ { m a g } ^ { 2 } \, A _ { j } ( x , \tau ) \delta _ { j k } ^ { \perp } A _ { k } ( x , \tau )
\begin{array} { r l } { \rho _ { 1 } + \rho _ { 2 } + \rho _ { 3 } } & { = - k _ { \mathrm { a } } , } \\ { \rho _ { 1 } \rho _ { 2 } + \rho _ { 1 } \rho _ { 3 } + \rho _ { 2 } \rho _ { 3 } } & { = - \left( 1 + c _ { \mathrm { a } } k _ { \mathrm { a } } \right) , } \\ { \rho _ { 1 } \rho _ { 2 } \rho _ { 3 } } & { = k _ { \mathrm { a } } . } \end{array}
H _ { o p } = \sum _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } \int d ^ { 3 } r \; \hat { \psi } _ { \sigma } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } ) \left[ - \delta _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } \nabla ^ { 2 } + U _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } ( \mathrm { \bf ~ r } ) \right] \hat { \psi } _ { \sigma ^ { \prime } } ( \mathrm { \bf ~ r } ) = \sum _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } \int d ^ { 3 } r \, \hat { \psi } _ { \sigma ^ { \prime } } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } ) h _ { \sigma ^ { \prime } \sigma } \hat { \psi } _ { \sigma } ( \mathrm { \bf ~ r } )
S _ { D 0 } = m \int _ { { \cal M } ^ { 1 } } \left( E ^ { i } i _ { \delta } f ^ { i } - f ^ { i } i _ { \delta } E ^ { i } - 2 i ( E ^ { A 1 } - E ^ { A 2 } ) i _ { \delta } ( E ^ { A 1 } - E ^ { A 2 } ) \right) ,
\begin{array} { r } { \mathcal { Z } [ \nabla _ { \beta _ { n } \cdots \beta _ { 1 } } \bar { J } ( x ) \, \gamma ^ { \dagger \beta _ { 1 } \cdots \beta _ { n } } \, , \, \gamma ^ { \alpha _ { n } \cdots \alpha _ { 1 } } \nabla _ { \alpha _ { n } \cdots \alpha _ { 1 } } J ( x ) ] = \frac { Z [ \nabla _ { \beta _ { n } \cdots \beta _ { 1 } } \bar { J } ( x ) \, \gamma ^ { \dagger \beta _ { 1 } \cdots \beta _ { n } } \, , \, \gamma ^ { \alpha _ { n } \cdots \alpha _ { 1 } } \nabla _ { \alpha _ { n } \cdots \alpha _ { 1 } } J ( x ) ] } { Z [ 0 , 0 ] } \, . } \end{array}
\chi ( y ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 \qquad \mathrm { ~ i ~ f ~ } \qquad \ { y } \, \, \in \Omega _ { 1 } } \\ { 0 \qquad \mathrm { ~ i ~ f ~ } \qquad \ { y } \, \, \in \Omega _ { 2 } . } \end{array} \right.
J _ { q } ^ { ( 1 ) } = { \frac { \alpha _ { s } } { \pi } } \int _ { \bar { x } _ { q } } ^ { 1 } { \frac { d y } { y } } \left( { \frac { x } { y } } \right) ^ { 2 } \left( 1 - { \frac { x } { y } } \right) \sqrt { 1 - { \frac { 4 m _ { q } ^ { 2 } x } { Q ^ { 2 } ( y - x ) } } } y g ( y , Q ^ { 2 } )
\begin{array} { r l } { \underset { - } { q } } & { { } = ( \varepsilon _ { x x } , \varepsilon _ { y y } , \varepsilon _ { x y } , v _ { x } , v _ { y } , \alpha ) ^ { T } , } \\ { \underset { - } { F } } & { { } = ( v _ { x } , 0 , \frac { 1 } { 2 } v _ { y } , \sigma _ { x x } / \rho , \sigma _ { x y } / \rho , 0 ) ^ { T } , } \\ { \underset { - } { G } } & { { } = ( 0 , v _ { y } , \frac { 1 } { 2 } v _ { x } , \sigma _ { x y } / \rho , \sigma _ { y y } / \rho , 0 ) ^ { T } , } \\ { \underset { - } { s } } & { { } = ( 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , \overset { \cdot } { \alpha } ) , } \end{array}
U = { \frac { \sum _ { n } \hbar \omega n e ^ { - \beta n \hbar \omega } } { \sum _ { n } e ^ { - \beta n \hbar \omega } } } = { \frac { \hbar \omega e ^ { - \beta \hbar \omega } } { 1 - e ^ { - \beta \hbar \omega } } } , \; \; \; \mathrm { { w h e r e } } \; \; \beta = { \frac { 1 } { k T } } ,
\begin{array} { r l r } & { \partial _ { t } ^ { 2 } u ( x , t ) - \alpha ^ { 2 } \partial _ { x } ^ { 2 } u ( x , t ) = 0 , } & { \quad x , t \in [ x _ { 0 } , x _ { 1 } ] \times [ 0 , T ] , } \\ & { u ( x _ { 0 } , t ) = u ( x _ { 1 } , t ) = 0 . } & { \quad t \in [ 0 , T ] , } \\ & { u ( x , 0 ) = g _ { 1 } ( x ) , } & { \quad x \in [ x _ { 0 } , x _ { 1 } ] , } \\ & { \partial _ { t } u ( x , 0 ) = g _ { 2 } ( x ) , } & { \quad x \in [ x _ { 0 } , x _ { 1 } ] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { \eta _ { b _ { 1 } } } ^ { \eta _ { b _ { 2 } } } \frac { \cos \eta } { \, \sqrt { \kappa ^ { 2 } - \sin ^ { 2 } ( \eta / 2 ) } } \, \mathrm { ~ d ~ } \eta = 8 E ( \kappa ^ { 2 } ) - 4 K ( \kappa ^ { 2 } ) , } \end{array}
\mathrm { H } _ { m n } = \sum _ { i < j } J _ { i j } \left( \sum _ { \alpha = x , y , z } \sum _ { k } ( \mathrm { I } _ { i \alpha } ) _ { m k } ( \mathrm { I } _ { j \alpha } ) _ { k n } \right) = \sum _ { i < j } ( \mathrm { J } _ { 0 } ) _ { i j } \left( \sum _ { \alpha = x , y , z } \sum _ { k } \mathrm { S } _ { i \alpha m k } \mathrm { S } _ { j \alpha k n } \right) .
M _ { N \pi } ^ { 2 } ( y , k _ { \perp } ^ { 2 } ) = \frac { m _ { N } ^ { 2 } + k _ { \perp } ^ { 2 } } { y } + \frac { m _ { \pi } ^ { 2 } + k _ { \perp } ^ { 2 } } { 1 - y } .
\delta K _ { a b } = - { \frac { \delta N } { N } } K _ { a b } - { \frac { 1 } { 2 N } } \left( \gamma _ { a c } \; \partial _ { b } \delta N ^ { c } + \gamma _ { b c } \; \partial _ { a } \delta N ^ { c } + N ^ { c } \partial _ { c } \delta \gamma _ { a b } \right) \ .
\begin{array} { r l } { \Omega _ { N _ { s } } ( \varepsilon , \gamma ) } & { : = \int { \left( \prod _ { n = N _ { s } } ^ { N _ { \mathrm { d o f } } } { \mathrm { d } \Delta \tilde { r } _ { n } } \right) \delta \big ( G _ { N _ { s } } \big ) } } \\ & { = \int { \left( \prod _ { n = N _ { s } } ^ { N _ { \mathrm { d o f } } } { \mathrm { d } \Delta \tilde { r } _ { n } } \right) } } \\ & { \qquad \times \delta \Bigg ( \frac { 1 } { 2 } \sum _ { m , n = N _ { s } } ^ { N _ { \mathrm { d o f } } } { \tilde { M } _ { N _ { s } m n } \Delta \tilde { r } _ { m } \Delta \tilde { r } _ { n } } } \\ & { \qquad \qquad \quad \qquad \qquad + \tilde { w } _ { N _ { s } } \Big [ \varepsilon + b _ { \varepsilon } \gamma ^ { 2 } \Big ] \Bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \delta ^ { 2 } \mu _ { 1 } ( b , c , a ) } & { = } & { - \mu _ { 1 } ( b , [ c , a ] ) - [ b , \mu _ { 1 } ( c , a ) ] } \\ & { } & { + \mu _ { 1 } ( [ b , c ] , a ) + ( - 1 ) ^ { b c } \mu _ { 1 } ( c , [ b , a ] ) + [ \mu _ { 1 } ( b , c ) , a ] + ( - 1 ) ^ { b c } [ c , \mu _ { 1 } ( b , a ) ] } \\ & { = } & { ( - 1 ) ^ { a c } \mu _ { 1 } ( b , [ a , c ] ) + ( - 1 ) ^ { a c } [ b , \mu _ { 1 } ( a , c ) ] } \\ & { } & { - ( - 1 ) ^ { a b + a c } \mu _ { 1 } ( a , [ b , c ] ) + ( - 1 ) ^ { a b + a c } \mu _ { 1 } ( [ a , b ] , c ) } \\ & { } & { - ( - 1 ) ^ { a b + a c } [ a , \mu _ { 1 } ( b , c ) ] + ( - 1 ) ^ { a b + a c } [ \mu _ { 1 } ( a , b ) , c ] } \\ & { = } & { ( - 1 ) ^ { a b + a c } \{ - \mu _ { 1 } ( a , [ b , c ] ) - [ a , \mu _ { 1 } ( b , c ) ] } \\ & { } & { + \mu _ { 1 } ( [ a , b ] , c ) + ( - 1 ) ^ { a b } \mu _ { 1 } ( b , [ a , c ] ) + [ \mu _ { 1 } ( a , b ) , c ] + ( - 1 ) ^ { a b } [ b , \mu _ { 1 } ( a , c ) ] \} } \\ & { = } & { ( - 1 ) ^ { a b + a c } \delta ^ { 2 } \mu _ { 1 } ( a , b , c ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \widehat { \gamma } _ { \left( m + n + r - 1 \right) \varepsilon } = \operatorname { D e c o d e r } \left( \mathbf { g } _ { \mathcal { U } } \left( \widehat { \gamma } _ { \left( m + n + r - 1 \right) \varepsilon } \right) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { t } } & { { } = \frac { \langle { \bf \hat { E } _ { o u t } ^ { - } ( { \bf r } ) } { \bf \hat { E } _ { o u t } ^ { + } ( { \bf r } ) } \rangle _ { s s } } { \langle { \bf \hat { E } _ { i n } ^ { - } ( { \bf r } ) } { \bf \hat { E } _ { i n } ^ { + } ( { \bf r } ) } \rangle _ { s s } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \rho _ { g e } ( \textbf { r } , \tau ) \quad \to \quad \frac { 1 } { 2 } \left( \rho _ { g e } ( \textbf { r } , \tau ) + \rho _ { e g } ^ { * } ( \textbf { r } , \tau ) \right) , } \\ { \rho _ { e g } ( \textbf { r } , \tau ) \quad \to \quad \frac { 1 } { 2 } \left( \rho _ { e g } ( \textbf { r } , \tau ) + \rho _ { g e } ^ { * } ( \textbf { r } , \tau ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { i j } } & { = E \Big [ - 4 \int d \vec { q } d \vec { q } ^ { \prime } q _ { i } q _ { j } ^ { \prime } e ^ { i ( \vec { q } ^ { \prime } + \vec { q } ) \cdot \vec { x } } \int _ { 1 , 2 , 3 , 4 \mathrm { ~ s m a l l } } d \vec { k } _ { 1 } d \vec { k } _ { 2 } d \vec { k } _ { 3 } d \vec { k } _ { 4 } } \\ & { T _ { \vec { k } + \vec { q } / 2 , \vec { k } _ { 1 } } ^ { \vec { k } - \vec { q } / 2 , \vec { k } _ { 3 } } T _ { \vec { k } + \vec { q } / 2 , \vec { k } _ { 2 } } ^ { \vec { k } - \vec { q } / 2 , \vec { k } _ { 4 } } b _ { \mathbf 1 } ^ { * } b _ { \mathbf 2 } ^ { * } b _ { \mathbf 3 } b _ { \mathbf 4 } \int _ { - T } ^ { 0 } e ^ { i ( \vec { q } ^ { \prime } \cdot \partial _ { \vec { k } } \omega + \omega _ { 2 } - \omega _ { 4 } ) s } d s \delta ( \vec { q } + \vec { k } _ { 1 } - \vec { k } _ { 3 } ) \delta ( \vec { q } ^ { \prime } + \vec { k } _ { 2 } - \vec { k } _ { 4 } ) \Big ] } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { m \rightarrow \infty } \tilde { \ensuremath { { \mathbb E } } } \left[ \int _ { 0 } ^ { T } \| \mathcal { F } ( \tilde { u } _ { t } ^ { n , m _ { K } } ) - \mathcal { F } ( \tilde { u } _ { t } ^ { n } ) \| _ { H } ^ { 2 } d t \right] = 0 \quad \tilde { \mathbb { P } } \mathrm { - a . s . ~ a n d ~ i n ~ } L ^ { p } ( \tilde { \Omega } , \tilde { \mathbb { P } } ) , } \end{array}
V ( z ) = \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \epsilon _ { k } \left| \left\langle k _ { \widehat { z } } - k _ { 0 } , \widehat { e } _ { k } \right\rangle \right| ^ { 2 } = \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \epsilon _ { k } \left| \left\langle k _ { \widehat { z } } , \widehat { e } _ { k } \right\rangle \right| ^ { 2 } = \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \epsilon _ { k } \left\vert \left( P ^ { - 1 } z \right) ^ { \alpha ( k ) } \right\vert ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { { \frac { 1 } { 2 ^ { 2 n - 2 } } } } & { { } \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { x ^ { 4 n } ( 1 - x ) ^ { 4 n } } { 1 + x ^ { 2 } } } \, d x } \\ { = { } } & { { } \sum _ { j = 0 } ^ { 2 n - 1 } { \frac { ( - 1 ) ^ { j } } { 2 ^ { 2 n - j - 2 } ( 8 n - j - 1 ) { \binom { 8 n - j - 2 } { 4 n + j } } } } + ( - 1 ) ^ { n } \left( \pi - 4 \sum _ { j = 0 } ^ { 3 n - 1 } { \frac { ( - 1 ) ^ { j } } { 2 j + 1 } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname { V a r } ( \mathscr { H } ) = \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( \mathscr { H } _ { i } - \left\langle \mathscr { H } \right\rangle \right) ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { + } } & { { } = e ^ { - i ( k + k _ { - } ) s } \left( c _ { 1 } + c _ { 2 } e ^ { 2 i k s } \right) \, , } \\ { J _ { - } } & { { } = - \frac { 2 e ^ { - i ( k - k _ { + } ) s } } { \kappa ^ { 2 } \xi } \left[ c _ { 1 } ( \tau + k ) + c _ { 2 } ( \tau - k ) e ^ { 2 i k s } \right] \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } ( t ) } & { = \frac { 4 } { ( T - t ) ^ { 2 } } \operatorname { c s c h c } ^ { 2 } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } ( T - t ) \right) \left( f ( X ( t ) ) - f ( X ( T ) ) \right) } \\ & { \quad - \frac { 8 } { ( T - t ) ^ { 4 } } \operatorname { c s c h c } ^ { 4 } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } ( T - t ) \right) \left\Vert X ( t ) - X ( T ) \right\Vert ^ { 2 } } \\ & { \quad + \frac { 8 } { ( T - t ) ^ { 4 } } \operatorname { c s c h c } ^ { 2 } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } ( T - t ) \right) \operatorname { c o t h c } ^ { 2 } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } ( T - t ) \right) } \\ & { \qquad \times \left\Vert X ( t ) + \frac { T - t } { 2 } \operatorname { t a n h c } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } ( T - t ) \right) \dot { X } ( t ) - X ( T ) \right\Vert ^ { 2 } . } \end{array}
\left( \frac { a } { a ^ { 7 } + 1 } \right) ^ { 7 } + \left( \frac { b } { b ^ { 7 } + 1 } \right) ^ { 7 } + \left( \frac { a ^ { 6 } b ^ { 6 } } { 1 + a ^ { 7 } b ^ { 7 } } \right) ^ { 7 } \leq \left( \frac { a } { a ^ { 1 1 } + 1 } \right) ^ { 7 } + \left( \frac { b } { b ^ { 1 1 } + 1 } \right) ^ { 7 } + \left( \frac { a ^ { 1 0 } b ^ { 1 0 } } { 1 + a ^ { 1 1 } b ^ { 1 1 } } \right) ^ { 7 }
\begin{array} { r l } { g _ { \bar { i } } } & { = \frac { 2 \mathrm { w } _ { i } \ \frac { \gamma k _ { \mathrm { r } } } { c _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } \mathbf { e } _ { \bar { i } } \cdot \mathbf { n } } \ C _ { \mathrm { e q } } } { \frac { \gamma k _ { \mathrm { r } } } { c _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } \mathbf { e } _ { \bar { i } } \cdot \mathbf { n } } + 1 } + \frac { - \frac { \gamma k _ { \mathrm { r } } } { c _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } \mathbf { e } _ { \bar { i } } \cdot \mathbf { n } } + 1 } { \frac { \gamma k _ { \mathrm { r } } } { c _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } \mathbf { e } _ { \bar { i } } \cdot \mathbf { n } } + 1 } \tilde { g } _ { i } } \\ & { = \frac { 2 \mathrm { w } _ { i } \ k _ { i } ^ { ( \mathrm { P , J } ) } \ C _ { \mathrm { e q } } } { k _ { i } ^ { ( \mathrm { P , J } ) } + 1 } + \frac { - k _ { i } ^ { ( \mathrm { P , J } ) } + 1 } { k _ { i } ^ { ( \mathrm { P , J } ) } + 1 } \tilde { g } _ { i } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { p ( { \bf x } ) } & { { } = } & { \int _ { \partial \mathbb { D } _ { F } } \bar { F } ^ { p * } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) p ^ { + } ( { \bf x } _ { F } ) \mathrm { d } ^ { 2 } { \bf x } _ { F } + \int _ { \partial \mathbb { D } _ { F } } F ^ { p } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) p ^ { - } ( { \bf x } _ { F } ) \mathrm { d } ^ { 2 } { \bf x } _ { F } , } \\ { v _ { 3 } ( { \bf x } ) } & { { } = } & { - \int _ { \partial \mathbb { D } _ { F } } \bar { F } ^ { v * } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) p ^ { + } ( { \bf x } _ { F } ) \mathrm { d } ^ { 2 } { \bf x } _ { F } + \int _ { \partial \mathbb { D } _ { F } } F ^ { v } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) p ^ { - } ( { \bf x } _ { F } ) \mathrm { d } ^ { 2 } { \bf x } _ { F } , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { d } u _ { t } ^ { G , n } = [ - \Delta _ { n } u _ { t } ^ { { G } , n } + P _ { n } \mathcal { F } ( u _ { t } ^ { { G } , n } ) + P _ { n } { G } ( t , u _ { t } ^ { { G } , n } ) ] \mathrm { d } t + \sigma P _ { n } \mathrm { d } W _ { t } } \\ { u _ { 0 } ^ { { G } , n } = P _ { n } u \in S _ { n } , } \end{array} \right.
\int _ { - \infty } ^ { \infty } { \frac { d \epsilon } { 2 \pi } } e ^ { \tau \epsilon / 2 \pi } \left\{ { \frac { 1 } { 1 + e ^ { \beta ( \epsilon - \mu ) } } } - \theta ( - \epsilon ) \right\} = { \frac { 1 } { \tau } } \left\{ { \frac { ( { \frac { \tau T } { 2 } } ) } { \sin ( { \frac { \tau T } { 2 } } ) } } e ^ { \tau \mu / 2 \pi } - 1 \right\} , \quad 0
\left[ \begin{array} { l l l l l l } { 2 k - m _ { 1 } \, \omega ^ { 2 } } & { 2 k _ { c } } & { - k } & { - k _ { c } } & { - k } & { - k _ { c } } \\ { 2 k _ { c } } & { 2 k _ { t } - I _ { m 1 } \, \omega ^ { 2 } } & { - k _ { c } } & { - k _ { t } } & { - k _ { c } } & { - k _ { t } } \\ { - k } & { - k _ { c } } & { 2 k - m _ { 2 } \, \omega ^ { 2 } } & { 2 k _ { c } } & { - k } & { - k _ { c } } \\ { - k _ { c } } & { - k _ { t } } & { 2 k _ { c } } & { 2 k _ { t } - I _ { m 2 } \, \omega ^ { 2 } } & { - k _ { c } } & { - k _ { t } } \\ { - k } & { - k _ { c } } & { - k } & { - k _ { c } } & { 2 k - M _ { 0 } \, \omega ^ { 2 } } & { 2 k _ { c } } \\ { - k _ { c } } & { - k _ { t } } & { - k _ { c } } & { - k _ { t } } & { 2 k _ { c } } & { 2 k _ { t } - I _ { 0 } \, \omega ^ { 2 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \bar { x } _ { 1 } } \\ { \bar { \theta } _ { 1 } } \\ { \bar { x } _ { 2 } } \\ { \bar { \theta } _ { 2 } } \\ { \bar { X } } \\ { \bar { \Theta } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { \bar { F } _ { m 1 } } \\ { \bar { T } _ { m 1 } } \\ { \bar { F } _ { m 2 } } \\ { \bar { T } _ { m 2 } } \\ { \bar { F } } \\ { \bar { T } } \end{array} \right] \, .
\begin{array} { r l } { \langle \hat { a } _ { \mathrm { H } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { H } } \rangle } & { = | \alpha _ { \mathrm { H } } | ^ { 2 } = N _ { \mathrm { H } } = N \cos ^ { 2 } \alpha } \\ { \langle \hat { a } _ { \mathrm { V } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { V } } \rangle } & { = | \alpha _ { \mathrm { V } } | ^ { 2 } = N _ { \mathrm { V } } = N \sin ^ { 2 } \alpha , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { h ( x , \phi ( x ) ) } & { = } & { - k \phi ( x ) + x ^ { \tilde { N } } \tilde { a } ( x , \phi ( x ) ) + x \phi ( x ) \tilde { b } ( x , \phi ( x ) ) + \phi ^ { 2 } ( x ) \tilde { c } ( \phi ( x ) ) } \\ & { = } & { - k x ^ { M } ( a _ { M } + a _ { M + 1 } x + \dots ) + x ^ { \tilde { N } } ( \tilde { a } ( 0 , 0 ) + \dots ) + } \\ & { } & { x ^ { M + 1 } ( a _ { M } \tilde { b } ( 0 , 0 ) + \dots ) + a _ { M } ^ { 2 } x ^ { 2 M } ( \tilde { c } ( 0 ) + \dots ) . } \end{array}
( \rho , u , v , p ) ( x , y , 0 ) \left\{ \begin{array} { l l l } { \left( 1 . 5 , 0 , 0 , 1 . 5 \right) , } & { x > 0 . 5 , } & { y > 0 . 5 , } \\ { \left( 0 . 5 3 2 3 , 1 . 2 0 6 , 0 , 0 . 3 \right) , } & { x < 0 . 5 , } & { y > 0 . 5 , } \\ { \left( 1 , 1 . 2 0 6 , 1 . 2 0 6 , 0 . 0 2 9 \right) , } & { x < 0 . 5 , } & { y < 0 . 5 , } \\ { \left( 0 . 5 3 2 3 , 0 , 1 . 2 0 6 , 0 . 3 \right) , } & { x > 0 . 5 , } & { y < 0 . 5 . } \end{array} \right.
( P _ { \mu } p _ { 1 } ^ { \mu } + P _ { \mu } p _ { 2 } ^ { \mu } + P _ { \mu } \Omega ^ { \mu } ) \Psi ( p _ { 1 } , p _ { 2 } ; P ) \chi _ { S } ( \vec { p } _ { 1 } , \vec { p } _ { 2 } ) = M ^ { 2 } \Psi ( p _ { 1 } , p _ { 2 } ; P ) \chi _ { S } ( \vec { p } _ { 1 } , \vec { p } _ { 2 } )
\begin{array} { r l } { \rho _ { S } D _ { t } ^ { S } h _ { S } } & { = \rho _ { S } D _ { t } ^ { S } e _ { S } + \rho _ { S } D _ { t } ^ { S } \bigg ( \frac { \pi _ { S } } { \rho _ { S } } \bigg ) } \\ & { = \mathrm { { d i v } } _ { \Gamma } q _ { S } + e _ { D _ { S } } + q _ { B } \cdot n _ { \Gamma } - q _ { A } \cdot n _ { \Gamma } + D _ { t } ^ { S } \pi _ { S } . } \end{array}
\sum _ { | I | + | J | \leq k } | | r ^ { - 1 } \partial ^ { I } \Omega ^ { J } v _ { T } | | _ { L ^ { 2 } ( \widetilde H _ { \rho } ) } \lesssim C _ { b } \varepsilon \rho ^ { - \frac 3 2 + \alpha + k \delta } , \quad \sum _ { | I | + | J | \leq k } | | r ^ { - 1 } \partial ^ { I } \Omega ^ { J } v _ { T } | | _ { L ^ { 2 } ( \Sigma _ { \rho } ^ { e } ) } \lesssim C _ { b } \varepsilon \rho ^ { - \frac 3 2 + \alpha + k \delta } .
\begin{array} { r } { \bigg \langle \left[ \epsilon _ { 1 } ( \vec { x } _ { 2 } , z ) - \epsilon _ { 1 } ( \vec { x } _ { 1 } , z ) \right] E _ { i } ( \vec { x } _ { 1 } , z , \omega ) _ { T } E _ { j } ^ { * } ( \vec { x } _ { 2 } , z , \omega ) _ { T } \bigg \rangle \approx \frac { i k _ { 0 } } { 2 } \left[ A ( 0 , z ) - A ( \vec { x } _ { 2 } - \vec { x } _ { 1 } , z ) \right] W _ { i j } ( \vec { x } _ { 1 } , \vec { x } _ { 2 } , z , \omega ) } \end{array}