harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } ( \rho _ { \mathrm { i m } } , \phi _ { \mathrm { i m } } , z _ { \mathrm { i m } } ) \propto \int \displaylimits _ { 0 } ^ { \theta _ { \mathrm { f f , m a x } } } \int \displaylimits _ { 0 } ^ { 2 \pi } } & { \sqrt { \frac { n _ { \mathrm { a i r } } \cos ( \theta _ { \mathrm { a i r } } ) } { n _ { \mathrm { g l a s s } } \cos ( \theta _ { \mathrm { f f } } ) } } \Bigl ( \mathbf { \hat { e } } _ { s } \mathbf { E } _ { \mathrm { p , f f } } ( \theta _ { \mathrm { f f } } , \phi _ { \mathrm { f f } } ) + \mathbf { \hat { e } } _ { p } \mathbf { E } _ { \mathrm { s , f f } } ( \theta _ { \mathrm { f f } } , \phi _ { \mathrm { f f } } ) \Bigr ) } \\ & { e ^ { \mathrm { i } k z \cos ( \theta _ { \mathrm { f f } } ) } e ^ { \mathrm { i } k \rho \sin ( \theta _ { \mathrm { f f } } ) \cos ( \phi _ { \mathrm { f f } } - \phi _ { \mathrm { i m } } ) } \sin ( \theta _ { \mathrm { f f } } ) \mathrm { d } \phi _ { \mathrm { f f } } \mathrm { d } \theta _ { \mathrm { f f } } , } \end{array}
\bigg ( { \frac { 1 + w } { 2 w } } \bigg ) _ { \mathrm { p a r t o n } } = \bigg ( { \frac { 1 + w } { 2 w } } \bigg ) _ { \mathrm { h a d r o n } } \, \bigg [ 1 - { \frac { ( w - 1 ) } { w ^ { 2 } } } \, { \frac { \bar { \Lambda } } { m _ { c } } } + \ldots \bigg ] \, .
\begin{array} { r l } { \big ( \psi _ { 1 } \circ b _ { \lambda _ { 0 } + \epsilon } ^ { ( 1 ) } \big ) ( x ) } & { = x + \mathbf r ( \lambda _ { 0 } ) + \epsilon \beta _ { \epsilon } ^ { ( 1 ) } ( x ) + \epsilon p _ { 1 } \big ( x + \mathbf r ( \lambda _ { 0 } ) + \epsilon \beta _ { \epsilon } ^ { ( 1 ) } ( x ) \big ) } \\ & { = \psi _ { 1 } ( x ) + \mathbf r ( \lambda _ { 0 } ) + \epsilon \alpha _ { 1 } + \epsilon ^ { 2 } \beta _ { \epsilon } ^ { ( 2 ) } ( \psi _ { 1 } ( x ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \Pi } _ { n } ^ { \mathrm { ( r ) } } } & { = \sum _ { f = 1 } ^ { n } \hat { F } _ { f } [ \eta _ { \mathrm { r r } } ( n ) ] \binom { n - 1 } { f - 1 } p ^ { n - f } ( 1 { - } p ) ^ { f } } \\ & { + \sum _ { f = 0 } ^ { n - 1 } \sum _ { k = 0 } ^ { f } \Big \{ \hat { F } _ { k } [ \eta _ { \mathrm { r r } } ( n ) ] - \hat { F } _ { k } [ \eta _ { \mathrm { r r } } ( n - 1 ) ] \Big \} } \\ & { \times \binom { n - 1 } { f } p ^ { n - f - 1 } ( 1 { - } p ) ^ { f } , } \end{array}
\bar { h } ( \boldsymbol { X } ) : = \frac { 1 } { T } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { 0 } + T } h ( \boldsymbol { X } , t ) d t = \left( \begin{array} { l } { - k _ { R } V P + g _ { V } W _ { V } + \bar { k } _ { U } R } \\ { \bar { k } _ { F } R - g _ { V } W _ { V } } \\ { \bar { k } _ { F } R - g _ { P } W _ { P } } \\ { k _ { R } V P - \bar { k } _ { F } R - \bar { k } _ { U } R } \\ { - k _ { R } V P + g _ { P } W _ { P } + \bar { k } _ { U } R } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { Q \tilde { { \gamma } } } & { = \frac 1 2 Q \mu _ { 2 } ( { \gamma } , { \gamma } ) = \mu _ { 2 } ( { \gamma } , Q { \gamma } ) = \mu _ { 2 } ( { \gamma } , Q \Psi + 2 \pi Q K G _ { - } \tilde { { \gamma } } ) } \\ & { = \mu _ { 2 } ( { \gamma } , 2 \pi G _ { - } \tilde { { \gamma } } ) + \mu _ { 2 } ( { \gamma } , 2 \pi K G _ { - } Q \tilde { { \gamma } } ) = \pi \mu _ { 2 } ( { \gamma } , G _ { - } \mu _ { 2 } ( { \gamma } , { \gamma } ) ) + \mu _ { 2 } ( { \gamma } , 2 \pi K G _ { - } Q \tilde { { \gamma } } ) } \\ & { = \frac \pi 3 G _ { - } \mu _ { 2 } ( { \gamma } , \mu _ { 2 } ( { \gamma } , { \gamma } ) ) + \mu _ { 2 } ( { \gamma } , 2 \pi K G _ { - } Q \tilde { { \gamma } } ) . } \end{array}
\frac { - d ^ { 2 } f _ { 1 } } { d x ^ { 2 } } ( \tau , x ) + V _ { o } ( x ) f _ { 1 } ( \tau , x ) + V _ { 1 } ( x ) f _ { o } ( \tau , x ) = - \tau ^ { 2 } f _ { 1 } ( \tau , x ) .
S _ { \mathrm { T } } = \int d ^ { 4 } z \, d ^ { 4 } \bar { z } \, \mathrm { t r } \Bigr \{ \mathrm { ~ \frac { 1 } { 1 2 } ~ } \Bigr ( \epsilon ^ { a b } F _ { \! ~ ~ ~ ~ a b } ^ { A B } \epsilon ^ { c d } F _ { A B c d } - \epsilon _ { A B } F _ { \! ~ ~ ~ ~ a b } ^ { A B } \epsilon _ { C D } F ^ { C D a b } - F _ { \! ~ ~ ~ ~ a b } ^ { A B } F _ { A B } ^ { \! ~ ~ ~ ~ b a } \Bigr ) \Bigr \} ,
V = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \sum _ { m = 0 } ^ { 4 } V _ { n , k , m } R ^ { n - 1 } \frac { v ^ { k } \psi ^ { 2 m } } { r ^ { 3 n + 2 k + 3 m - 4 } }
R ( \tau ) = \stackrel [ i , j = 1 ] { N } { \sum } \left[ p _ { i } ^ { * } \left( e ^ { - \tau \hat { L } _ { R W } } \right) _ { i j } - p _ { i } ^ { * } p _ { j } ^ { * } \right] \delta \left( g _ { i } , g _ { j } \right) ,
\begin{array} { r l r } { \hat { H } } & { = } & { - \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x _ { 1 } ^ { 2 } } - \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x _ { 2 } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 } \omega _ { 0 } ^ { 2 } x _ { 1 } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \omega _ { 0 } ^ { 2 } x _ { 2 } ^ { 2 } + \delta ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) , \; \; \; \; \; \; \; } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\lVert - 2 t ( x , y ) \left\{ \operatorname { \mathbb E } _ { p _ { \theta _ { 1 } } ( Y \mid x ) } [ t ( x , Y ) ] - \operatorname { \mathbb E } _ { p _ { \theta _ { 2 } } ( Y \mid x ) } [ t ( x , Y ) ] \right\} ^ { \top } \right\rVert _ { 2 } \le 2 \left\lVert t ( x , y ) \right\rVert _ { 2 } \left\lVert \operatorname { \mathbb E } _ { p _ { \theta _ { 1 } } ( Y \mid x ) } [ t ( x , Y ) ] - \operatorname { \mathbb E } _ { p _ { \theta _ { 2 } } ( Y \mid x ) } [ t ( x , Y ) ] \right\rVert _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| c _ { 2 } ^ { 2 } p _ { 0 } ^ { - 1 } r ( \xi ) - f _ { \sigma } ^ { 2 } ( E _ { 0 } - \xi ) \right| } & { = c _ { 2 } ^ { 2 } p _ { 0 } ^ { - 1 } \sum _ { j = 1 } ^ { N - 1 } p _ { j } f _ { \sigma } ^ { 2 } ( E _ { j } - \xi ) } \\ & { \le c _ { 2 } ^ { 2 } p _ { 0 } ^ { - 1 } \operatorname* { m a x } _ { 1 \le j \le N - 1 } f _ { \sigma } ^ { 2 } ( E _ { j } - \xi ) } \\ & { \le c _ { 2 } ^ { 2 } p _ { 0 } ^ { - 1 } \cdot 2 \epsilon ^ { \prime \prime } c _ { 2 } ^ { - 2 } } \\ & { = 2 p _ { 0 } ^ { - 1 } \epsilon ^ { \prime \prime } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { y } \triangleq } & { \mathbf { W } _ { \mathrm { R X } } ^ { \mathrm { H } } \mathbf { P } _ { \mathrm { R X } } ^ { \mathrm { H } } \mathbf { H } _ { \mathrm { R } } \mathbf { P } _ { \mathrm { T X } } \mathbf { W } _ { \mathrm { T X } } \mathbf { V } \mathbf { s } } \\ & { + ( \mathbf { W } _ { \mathrm { R X } } ^ { \mathrm { H } } \mathbf { P } _ { \mathrm { R X } } ^ { \mathrm { H } } \mathbf { H } _ { \mathrm { S I } } \mathbf { P } _ { \mathrm { T X } } \mathbf { W } _ { \mathrm { T X } } + \mathbf { D } ) \mathbf { V } \mathbf { s } + \mathbf { W } _ { \mathrm { R X } } ^ { \mathrm { H } } \mathbf { P } _ { \mathrm { R X } } ^ { \mathrm { H } } \mathbf { n } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bigl ( y ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } ) \bigr ) \sigma \langle k _ { \sigma ( 1 ) } , \ldots , k _ { \sigma ( n ) } \rangle } & { = ( y \sigma ) ( x _ { \sigma ( 1 ) } , \ldots , x _ { \sigma ( n ) } ) , } \\ { \bigl ( y ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } ) \bigr ) ( \tau _ { 1 } \times \cdots \times \tau _ { n } ) } & { = y ( x _ { 1 } \tau _ { 1 } , \ldots , x _ { n } \tau _ { n } ) , } \end{array}
u _ { e _ { i } } = I _ { L } \: \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } \big ( u _ { 0 } , \overline { { u } } _ { L _ { i } } \big ) + I _ { G } \: \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } \big ( u _ { 0 } , \overline { { u } } _ { G _ { i } } \big )
\begin{array} { r l } { \Big | \frac { \Gamma ( z , x ) } { x ^ { z } } \Big | } & { = \Big | e ^ { - x } \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - x s } ( 1 + s ) ^ { z - 1 } d s \Big | } \\ & { \le \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { e ^ { - x } } { x - z + 1 } , } & { \ z > 1 } \\ { \frac { e ^ { - x } } { x } , } & { \ z \le 1 } \end{array} . \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { I _ { 1 } } & { \leq \smash { c _ { \varepsilon } \, \| F _ { h } ( \cdot , \nabla v _ { h } ) - F _ { h } ( \cdot , \nabla u ) \| _ { 2 , \omega _ { S } } ^ { 2 } + \varepsilon \, \rho _ { ( \varphi _ { h } ) _ { \vert \nabla v _ { h } \vert } , \omega _ { S } } ( \lambda _ { S , T } ) } \, , } \\ { I _ { 3 } } & { \leq \smash { c _ { \varepsilon } \, \rho _ { ( ( \varphi _ { h } ) _ { \vert \nabla v _ { h } \vert } ) ^ { * } , \omega _ { S } } ( h _ { \mathcal { T } } f ) + \varepsilon \, \rho _ { ( \varphi _ { h } ) _ { \vert \nabla v _ { h } \vert } , \omega _ { S } } ( \lambda _ { S , T } ) } \, , } \\ { I _ { 4 } } & { \leq \smash { c _ { \varepsilon } \, \textup { o s c } ( f , v _ { h } , \omega _ { S } ) + \varepsilon \, \rho _ { ( \varphi _ { h } ) _ { \vert \nabla v _ { h } \vert } , \omega _ { S } } ( \lambda _ { S , T } ) } \, . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { C _ { j } } & { : = C _ { j - 1 } + 1 , } & & { 1 \le j \le k - 1 , } \\ { x _ { j } } & { : = \operatorname* { m a x } \{ ( f ^ { \prime } ) ^ { - 1 } ( C _ { j } - \Delta ) , a \} , } & & { 1 \le j \le k , } \\ { y _ { j } } & { : = \operatorname* { m i n } \{ ( f ^ { \prime } ) ^ { - 1 } ( C _ { j } + \Delta ) , a + N \} , } & & { 0 \le j \le k . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \omega _ { x , n } = \omega _ { x , 0 } \left( 1 + \varepsilon \sum _ { k = 1 } ^ { m } \varepsilon _ { k } \cos \left( \Omega _ { k } n \right) \right) \, , } \\ & { \omega _ { y , n } = \omega _ { y , 0 } \left( 1 + \varepsilon \sum _ { k = 1 } ^ { m } \varepsilon _ { k } \cos \left( \Omega _ { k } n \right) \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { T } U } & { = U \times \mathbb { R } ^ { n } } \\ { { T } ^ { 2 } U } & { = U \times \mathbb { R } ^ { n } \times \mathbb { R } ^ { n } \times \mathbb { R } ^ { n } } \\ { { T } ^ { k } U } & { = U \times ( \mathbb { R } ^ { n } ) ^ { 2 ^ { k } - 1 } } \\ { { T } _ { 2 } U } & { = U \times \mathbb { R } ^ { n } \times \mathbb { R } ^ { n } } \\ { { T } _ { k } U } & { = U \times ( \mathbb { R } ^ { n } ) ^ { k } \, . } \end{array}
\sqrt { F ( x , y ) } \, \theta _ { s } ( x , y ) \! = \! \sqrt { \frac { \hat { \mathcal { L } } ^ { - 1 } \varrho ( x , y ) } { T ( x , y ) \, M ( x , y ) } } , ~ \textrm { w h e r e } ~ \hat { \mathcal { L } } \! = \! - \nabla _ { \perp } ^ { 2 } .
\begin{array} { r } { \cos \Theta = \cos \angle O P Q = \frac { \overline { { O P } } ^ { 2 } + \overline { { P Q } } ^ { 2 } - \overline { { O Q } } ^ { 2 } } { 2 \overline { { O P } } \cdot \overline { { P Q } } } = \frac { H _ { \mathrm { u } } ^ { 2 } - L t \cos \alpha } { \sqrt { \left( H _ { \mathrm { u } } ^ { 2 } + L ^ { 2 } \right) \left( H _ { \mathrm { u } } ^ { 2 } + t ^ { 2 } \right) } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } N _ { \mathrm { H } } ( t ) } & { = k _ { \mathrm { H } } ^ { \mathrm { g r } } N _ { \mathrm { D } } ( t ) - k _ { \mathrm { H } } ^ { \mathrm { b g } } N _ { \mathrm { H } } ( t ) } \\ { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } N _ { \mathrm { D } } ( t ) } & { = - k _ { \mathrm { H } } ^ { \mathrm { g r } } N _ { \mathrm { D } } ( t ) - k _ { \mathrm { D } } ^ { \mathrm { b g } } N _ { \mathrm { D } } ( t ) , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { c } { \zeta _ { 1 \mp 2 } ^ { + } = - 2 \pi \phantom { } _ { 0 } f _ { 2 } t _ { 0 } - \omega _ { e 0 } \pm 2 \omega _ { o 0 } - \phantom { } _ { 0 } \gamma _ { 2 1 \mp 2 } , } \\ { \zeta _ { 1 \mp 2 } ^ { - } = - 2 \pi \phantom { } _ { 0 } f _ { 2 } t _ { 0 } + \omega _ { e 0 } \mp 2 \omega _ { o 0 } + \phantom { } _ { 0 } \gamma _ { 2 1 \mp 2 } , } \end{array} \right.
\sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { n + 1 } } { \sqrt { n } } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { n } } { \sqrt { n + 1 } } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( \frac { 1 } { \sqrt { n + \frac { 1 } { 2 } } } - \frac { 1 } { \sqrt { n + 1 } } ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \zeta ( \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 2 } ) - \zeta ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ) \right) ,
S _ { B H } = \frac { 2 \pi A _ { 9 } } { \kappa ^ { 2 } } = \frac { 2 \pi A _ { 3 } } { \kappa _ { 5 } ^ { 2 } } = \frac { 8 \sqrt { 2 } \pi ^ { 3 } m ^ { 3 / 2 } } { \kappa ^ { 2 } } S _ { 1 2 } S _ { 3 4 } S _ { 5 6 } \times \cosh \alpha _ { 1 } \times \cosh \alpha _ { 2 } \times \cosh \alpha _ { 3 }
M _ { d } \, { M _ { d } } ^ { \dagger } \cong \mathrm { d i a g } \left( \frac { { { m _ { d } } ^ { 0 } } ^ { 2 } { { m _ { b ^ { \prime } } } ^ { 0 } } ^ { 2 } } { { { m _ { b ^ { \prime } } } ^ { 0 } } ^ { 2 } + \left| J _ { d } \right| ^ { 2 } } \: , \: { { m _ { s } } ^ { 0 } } ^ { 2 } \: , \: \frac { { { m _ { b } } ^ { 0 } } ^ { 2 } \left( { { m _ { b ^ { \prime } } } ^ { 0 } } ^ { 2 } + \left| J _ { d } \right| ^ { 2 } \right) } { M ^ { 2 } } \: , \: M ^ { 2 } \right) \: .
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } [ \hat { \alpha } _ { a } \geq \alpha _ { a } + \epsilon _ { a , u } ( \epsilon ) , \mathcal { K } _ { a , N _ { a } ( t ) } ( \epsilon ) , N _ { a } ( t ) = n ] } & { \leq \mathbb { P } \left[ \sum _ { s = 1 } ^ { n } \log \frac { r _ { a , s } } { \kappa _ { a } } \leq \frac { n } { \alpha _ { a } + \epsilon _ { a , u } ( \epsilon ) } + n \log \frac { r _ { 1 } ^ { \prime } } { \kappa } \cap \mathcal { K } \right] } \\ & { \leq \mathbb { P } \left[ \sum _ { s = 1 } ^ { n } \log \frac { r _ { a , s } } { \kappa } \leq \frac { n } { \alpha _ { a } + \epsilon _ { a , u } ( \epsilon ) } + n \log \frac { \kappa _ { a } + \epsilon } { \kappa _ { a } } \right] } \\ & { \leq \mathbb { P } \left[ \sum _ { s = 1 } ^ { n } \log \frac { r _ { a , s } } { \kappa _ { a } } \leq \frac { n } { \alpha _ { a } + \epsilon _ { a , u } ( \epsilon ) } + \frac { n \epsilon } { \kappa _ { a } } \right] } \\ & { \leq \mathbb { P } \left[ \frac { 1 } { n } \sum _ { s = 1 } ^ { n } \log \frac { r _ { a , s } } { \kappa _ { a } } - \frac { 1 } { \alpha _ { a } } \leq - \epsilon \right] , } \end{array}
\mathrm { H } _ { n } \left( { \frac { 1 } { n } } , \ldots , { \frac { 1 } { n } } \right) = \mathrm { H } _ { k } \left( { \frac { b _ { 1 } } { n } } , \ldots , { \frac { b _ { k } } { n } } \right) + \sum _ { i = 1 } ^ { k } { \frac { b _ { i } } { n } } \, \mathrm { H } _ { b _ { i } } \left( { \frac { 1 } { b _ { i } } } , \ldots , { \frac { 1 } { b _ { i } } } \right) .
\mu ( A ) \leq \sum _ { i \in I } \mu ( \mathcal { C } _ { r _ { i } } ^ { \alpha } ( x _ { i } , t _ { i } ) ) \leq \omega ( \delta _ { 0 } ) \sum _ { i \in I } r _ { i } ^ { s } \leq \omega ( \delta _ { 0 } ) \varepsilon .
\begin{array} { r l } { \bigg [ \bigg ( B _ { 0 } + \frac { \delta _ { 0 } } { 4 } \bigg ) \log ^ { 2 } { ( n ) } + \bigg ( B _ { 1 } + \frac { \delta _ { 1 } } { 4 } - \frac { \delta _ { 0 } } { 2 } \log { ( \bar { y } ) } \bigg ) \log ( n ) \quad ~ } & { { } } \\ { + \bigg ( B _ { 2 } - \frac { \delta _ { 1 } } { 2 } \log ( \bar { y } ) \bigg ) \bigg ] \Gamma \Big ( \frac { n - 1 } { 2 } \Big ) \quad } & { { } \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ n ~ e ~ v ~ e ~ n ~ } , } \\ { \bigg [ \bigg ( A _ { 1 } + \frac { \delta _ { 2 } } { 4 } \bigg ) \log ( n ) + \bigg ( A _ { 2 } - \frac { \delta _ { 2 } } { 2 } \log ( \bar { y } ) \bigg ) \bigg ] \Gamma \Big ( \frac { n } { 2 } \Big ) \quad } & { { } \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ n ~ o ~ d ~ d ~ } . } \end{array}
\boldsymbol { \sigma } = \eta _ { 0 } \mathbf { A } _ { 1 } - 0 . 5 \Psi _ { 1 , 0 } \mathbf { A } _ { 2 } + ( \Psi _ { 1 , 0 } + \Psi _ { 2 , 0 } ) \mathbf { A } _ { 1 } ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { H _ { \mathrm { m i s } } = } & { { } ~ H _ { \mathrm { 0 , m i s } } + H _ { \mathrm { I } } , } \\ { H _ { \mathrm { 0 , m i s } } = } & { { } ~ \omega _ { \mathrm { A } } ( \sigma _ { A } ^ { \dagger } \sigma _ { A } + | 3 \rangle \langle 3 | + | 4 \rangle \langle 4 | ) + \omega _ { \mathrm { o p } } a ^ { \dagger } a } \\ { H _ { \mathrm { I } } = } & { { } ~ g _ { A } ( a ^ { \dagger } D _ { A } + D _ { A } ^ { \dagger } a ) + g _ { B } ( b ^ { \dagger } D _ { B } + D _ { B } ^ { \dagger } b ) , } \end{array}
e = 3 . 1 \left( { \frac { S _ { \mathrm { y } } } { 1 } } \right) ^ { \frac { 5 } { 8 } } \left( { \frac { 1 } { E ^ { \prime } } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left( { \frac { 1 } { v } } \right) ^ { \frac { 1 } { 4 } } \left( { \frac { 1 } { \rho } } \right) ^ { \frac { 1 } { 8 } }
\| r _ { A } ^ { ( k ) } \| \leq 2 \| S _ { A } \| { \mathrm { d i s t } } ( { \mathrm { s p a n } } \{ \bigl [ \begin{array} { l l } { \tilde { V } ^ { ( k ) } } & { \tilde { V } ^ { ( k ) } } \\ { \tilde { U } ^ { ( k ) } } & { - \tilde { U } ^ { ( k ) } } \end{array} \bigr ] \} , { \mathrm { s p a n } } \{ \bigl [ \begin{array} { l l } { V _ { p } } & { V _ { p } } \\ { U _ { p } } & { - U _ { p } } \end{array} \bigr ] \} ) .
\psi _ { \mathrm { I } } \propto ( \cos ( g _ { \mathrm { c o } } L _ { \mathrm { c o } } / 2 ) , \sin ( g _ { \mathrm { c o } } L _ { \mathrm { c o } } / 2 ) ) ^ { \mathbf { T } } , \ \ \psi _ { \mathrm { c o } } \propto ( 1 , 0 ) ^ { \mathbf { T } } , \ \ \mathrm { o r } \ \ \psi _ { \mathrm { I } } \propto ( \sin ( g _ { \mathrm { c o } } L _ { \mathrm { c o } } / 2 ) , - \cos ( g _ { \mathrm { c o } } L _ { \mathrm { c o } } / 2 ) ) ^ { \mathbf { T } } , \ \ \psi _ { \mathrm { c o } } \propto ( 0 , - 1 ) ^ { \mathbf { T } } , \
\begin{array} { r l r } { \frac { G } { G _ { 0 } } } & { { } \simeq } & { \frac { G _ { 0 K , o f f } } { G _ { 0 } } = \frac { \Gamma _ { g } ^ { 2 } } { \varepsilon _ { 0 } ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { H } & { { } = } & { \frac { p _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 } + \frac { q _ { 1 } ^ { 4 } } { 4 } + \frac { p _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 } + \frac { q _ { 2 } ^ { 4 } } { 4 } + K _ { Q } \left( q _ { 1 } - q _ { 2 } \right) ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { E } } & { { } = } & { u _ { \mu } u _ { \nu } T ^ { \mu \nu } \, , } \\ { M } & { { } = } & { T ^ { \mu \nu } u _ { \mu } l _ { \nu } \; , } \\ { \mathcal { P } _ { l } } & { { } = } & { T ^ { \mu \nu } l _ { \mu } l _ { \nu } \; , } \\ { \mathcal { P } _ { \perp } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \, T ^ { \mu \nu } \Xi _ { \mu \nu } \; , } \\ { W _ { \perp u } ^ { \mu } } & { { } = } & { \Xi _ { \alpha } ^ { \mu } T ^ { \alpha \beta } u _ { \beta } \; , } \\ { W _ { \perp l } ^ { \mu } } & { { } = } & { - \Xi _ { \alpha } ^ { \mu } T ^ { \alpha \beta } l _ { \beta } \; , } \\ { \pi _ { \perp } ^ { \mu \nu } } & { { } = } & { \frac { \left( \Xi _ { \alpha } ^ { \mu } \Xi _ { \beta } ^ { \nu } + \Xi _ { \beta } ^ { \mu } \Xi _ { \alpha } ^ { \nu } - \Xi ^ { \mu \nu } \Xi _ { \alpha \beta } \right) } { 2 } \, T ^ { \alpha \beta } \equiv \Xi _ { \alpha \beta } ^ { \mu \nu } T ^ { \alpha \beta } \; . } \end{array}
\mathrm { x _ { A } \mathrm { y _ { A } \mathrm { \overline { { x } } _ { B } \mathrm { \overline { { y } } _ { B } ( \mathrm { s _ { A } \mathrm { z _ { A } ^ { 2 } \mathrm { \overline { { z } } _ { B } - \mathrm { z _ { A } \mathrm { \overline { { s } } _ { B } \mathrm { z _ { B } ^ { 2 } ) } } } } } } } } } }
\begin{array} { r l } { \Phi _ { 6 } ^ { - 1 } \mathcal { D } _ { \omega } \Phi _ { 6 } } & { = \Phi _ { 6 } ^ { - 1 } \left( \mathcal { D } _ { \omega } ( \Phi _ { 6 } ) + \Phi _ { 6 } \mathcal { D } _ { \omega } \right) } \\ & { = \mathcal { D } _ { \omega } + \Phi _ { 6 } ^ { - 1 } ( \varepsilon ^ { 2 } \mathcal { D } _ { \omega } ( A _ { 1 , * } ) + \varepsilon ^ { 4 } \mathcal { D } _ { \omega } ( \mathcal { A } _ { 2 , * } ) ) } \\ & { = \mathcal { D } _ { \omega } + \varepsilon ^ { 2 } \mathcal { D } _ { \omega } ( A _ { 1 , * } ) + ( \varepsilon ^ { 4 } \mathcal { D } _ { \omega } ( \mathcal { A } _ { 2 , * } ) + \varepsilon ^ { 2 } \tilde { \mathcal { A } } _ { 1 , * } ( \varepsilon ^ { 2 } \mathcal { D } _ { \omega } ( A _ { 1 , * } ) + \varepsilon ^ { 4 } \mathcal { D } _ { \omega } ( \mathcal { A } _ { 2 , * } ) ) ) } \\ & { = \mathcal { D } _ { \omega } + \varepsilon ^ { 2 } \mathcal { D } _ { \overline { { \omega } } } ( A _ { 1 , * } ) + \varepsilon ^ { 2 } \left( \mathcal { D } _ { { \omega } } ( A _ { 1 , * } ) - \mathcal { D } _ { \overline { { \omega } } } ( A _ { 1 , * } ) \right) + \varepsilon ^ { 4 } ( \mathcal { D } _ { \omega } ( \mathcal { A } _ { 2 , * } ) + \tilde { \mathcal { A } } _ { 1 , * } ( \mathcal { D } _ { \omega } ( A _ { 1 , * } ) + \varepsilon ^ { 2 } \mathcal { D } _ { \omega } ( \mathcal { A } _ { 2 , * } ) ) ) . } \end{array}
c _ { i j } ( t + 1 ) = c _ { j i } ( t + 1 ) = \left\{ \begin{array} { l l } { c _ { i j } ( t ) + \gamma ( 1 - c _ { i j } ( t ) ) \, , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } | x _ { i } ( t ) - x _ { j } ( t ) | < c _ { i j } ( t ) } \\ { \delta c _ { i j } ( t ) \, , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } | x _ { i } ( t ) - x _ { j } ( t ) | \geq c _ { i j } ( t ) \, . } \end{array} \right.
\chi _ { p } \left( \tau , z , u \right) ~ = ~ e ^ { - 2 i \pi u } \ \mathrm { T r } \ [ e ^ { 2 i \pi z J _ { 0 } } \ e ^ { 2 i \pi \tau ( L _ { 0 } - { \frac { c } { 2 4 } } ) } ]
\int { \frac { \cos ^ { 2 } a x \, d x } { \sin ^ { n } a x } } = - { \frac { 1 } { n - 1 } } \left( { \frac { \cos a x } { a \sin ^ { n - 1 } a x } } + \int { \frac { d x } { \sin ^ { n - 2 } a x } } \right) \qquad { \mathrm { ( f o r ~ } } n \neq 1 { \mathrm { ) } }
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m i n } _ { k = T / 2 \dots T } \left\{ \frac { \left( \frac { 1 } { 2 } f ^ { 2 } ( y _ { k } ) - \frac { 1 } { 2 } \bar { f } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } { M ^ { 2 } \bar { f } ^ { 2 } + 2 M ^ { 2 } \left( \frac { 1 } { 2 } f ^ { 2 } ( y _ { k } ) - \frac { 1 } { 2 } \bar { f } ^ { 2 } \right) } \right\} \leq \frac { D _ { T / 2 } } { T / 2 } } \\ { \implies } & { \operatorname* { m i n } _ { k = 0 \dots T } \left\{ \frac { 1 } { 2 } f ^ { 2 } ( y _ { k } ) - \frac { 1 } { 2 } \bar { f } ^ { 2 } \right\} \leq \frac { M \bar { f } \sqrt { D _ { T / 2 } } } { \sqrt { T + 1 } } + \frac { 2 M ^ { 2 } D _ { T / 2 } } { T + 1 } } \\ { \implies } & { \operatorname* { m i n } _ { k = 0 \dots T } \left\{ \frac { 1 } { 2 } f ^ { 2 } ( y _ { k } ) - \frac { 1 } { 2 } \bar { f } ^ { 2 } \right\} \leq \frac { \sqrt { 3 2 } M ^ { 2 } \bar { f } ^ { 2 } } { \mu ( T + 1 ) } + \frac { 6 4 M ^ { 4 } \bar { f } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } ( T + 1 ) ^ { 2 } } \ . } \end{array}
\mathcal { Y } _ { 1 } ^ { \prime } \, = \, \mathcal { Y } _ { 1 } \cap \mathop { \mathrm { K e r } } ( \Lambda ) ^ { \perp } \, = \, \biggl \{ \eta \in \mathcal { Y } _ { 1 } \, \bigg | \, \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \eta ( R , Z ) R \, \mathrm { d } R \, \mathrm { d } Z = \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \eta ( R , Z ) Z \, \mathrm { d } R \, \mathrm { d } Z = 0 \biggr \} \, .
\left\langle F _ { \mathrm { d r a g , M H D } } \right\rangle \approx \left\langle { \lvert \bf ( u \cdot \nabla ) u \rvert } \right\rangle _ { \mathrm { L S } } \approx \frac { \Pi _ { u } } { U } \approx \frac { \epsilon _ { \mathrm { i n j } } - \Pi _ { B } } { U } .
\boldsymbol { J } _ { \boldsymbol { \tau } } ( \boldsymbol { \theta } ) = \left( J _ { \tau } ^ { i j } \left( \boldsymbol { \theta } \right) \right) _ { i , j = 1 , . . , , d } \mathrm { ~ a n d ~ } \boldsymbol { K } _ { \boldsymbol { \tau } } ( \boldsymbol { \theta } ) = \left( K _ { \tau } ^ { i j } \left( \boldsymbol { \theta } \right) \right) _ { i , j = 1 , . . , , d } .
\Psi ( t ) = \sum _ { \vec { n } } a _ { \vec { n } } \phi _ { \vec { n } } e ^ { - i { \cal E } _ { \vec { n } } t } = e ^ { - i { \cal E } _ { 0 } t } \sum _ { \vec { n } } a _ { \vec { n } } \phi _ { \vec { n } } e ^ { - i \omega ( \sum _ { j = 1 } ^ { r } n _ { j } f _ { j } ) t } .
\begin{array} { r } { \left( \frac { \partial \mathbf { \Phi } } { \partial x } \right) _ { j + 1 / 2 } = \frac { 1 } { 2 } \left[ \left( \frac { \partial \mathbf { \Phi } } { \partial x } \right) _ { j } + \left( \frac { \partial \mathbf { \Phi } } { \partial x } \right) _ { j + 1 } \right] + \frac { \alpha } { 2 \Delta x } \left( \mathbf { \Phi } _ { R } - \mathbf { \Phi } _ { L } \right) , } \end{array}
\xi _ { l } = \frac { \beta + \sqrt { 1 - \beta + \beta ^ { 2 } } } { 4 ( 1 - \beta ) } \quad \mathrm { ~ ( ~ l ~ i ~ n ~ e ~ a ~ r ~ L ~ I ~ c ~ h ~ a ~ r ~ a ~ c ~ t ~ e ~ r ~ i ~ s ~ t ~ i ~ c ~ ) ~ }
A _ { l } \equiv \sqrt [ [object Object] ] ] { p _ { j ( l ) } ^ { ( 1 ) } p _ { k ( l ) } ^ { ( 2 ) } } \, \left| { } _ { a } ^ { ( 1 ) } \! \left\langle { j ( l ) } | { k ( l ) } \right\rangle _ { a } ^ { ( 2 ) } \right|