harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \partial _ { t } \langle \nu _ { 1 } | \rho _ { \nu _ { 3 } \nu _ { 4 } } ^ { ( 1 ) , L } ( t , t _ { 1 } ) | \nu _ { 2 } \rangle = \delta ( t - t _ { 1 } ) \delta _ { \nu _ { 1 } \nu _ { 3 } } \langle \nu _ { 4 } | \rho _ { s } ( t _ { 1 } ) | \nu _ { 2 } \rangle } \\ & { - \sum _ { \mu , \nu _ { 5 } } \gamma _ { \mu } \big [ \langle \nu _ { 1 } | \hat { a } _ { \mu } ^ { \dagger } | \nu _ { 5 } \rangle \langle \nu _ { 5 } | \hat { a } _ { \mu } | \nu _ { 1 } \rangle + \langle \nu _ { 2 } | \hat { a } _ { \mu } ^ { \dagger } | \nu _ { 5 } \rangle \langle \nu _ { 5 } | \hat { a } _ { \mu } | \nu _ { 2 } \rangle \big ] } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \times \langle \nu _ { 1 } | \rho _ { \nu _ { 3 } \nu _ { 4 } } ^ { ( 1 ) , L } ( t , t _ { 1 } ) | \nu _ { 2 } \rangle } \\ & { + 2 \sum _ { \mu , \nu _ { 5 } \nu _ { 6 } } \gamma _ { \mu } \langle \nu _ { 1 } | \hat { a } _ { \mu } | \nu _ { 5 } \rangle \langle \nu _ { 5 } | \rho _ { \nu _ { 3 } \nu _ { 4 } } ^ { ( 1 ) , L } ( t , t _ { 1 } ) | \nu _ { 6 } \rangle \langle \nu _ { 6 } | \hat { a } _ { \mu } ^ { \dagger } | \nu _ { 2 } \rangle } \\ & { - 2 \sum _ { \mu \eta , \nu _ { 5 } \nu _ { 6 } \nu _ { 7 } } ( 1 - \delta _ { \mu \eta } ) V _ { \eta \mu } ^ { * } \mathrm { e } ^ { i \omega _ { 1 } \tau } \langle \nu _ { 6 } | \hat { a } _ { \eta } | \nu _ { 7 } \rangle } \\ & { \qquad \times \big [ \delta _ { \nu _ { 3 } \nu _ { 5 } } \langle \nu _ { 1 } | \hat { a } _ { \mu } ^ { \dagger } | \nu _ { 3 } \rangle \langle \nu _ { 4 } | \rho _ { \nu _ { 6 } \nu _ { 7 } } ^ { ( 1 ) , L } ( t _ { 1 } , t - \tau ) | \nu _ { 2 } \rangle } \\ & { \qquad \quad - \delta _ { \nu _ { 1 } \nu _ { 3 } } \langle \nu _ { 4 } | \rho _ { \nu _ { 6 } \nu _ { 7 } } ^ { ( 1 ) , L } ( t _ { 1 } , t - \tau ) | \nu _ { 5 } \rangle \langle \nu _ { 5 } | \hat { a } _ { \mu } ^ { \dagger } | \nu _ { 2 } \rangle \big ] } \\ & { - 2 \sum _ { \mu \eta , \nu _ { 5 } \nu _ { 6 } \nu _ { 7 } } ( 1 - \delta _ { \mu \eta } ) V _ { \eta \mu } \mathrm { e } ^ { - i \omega _ { 1 } \tau } \langle \nu _ { 6 } | \hat { a } _ { \eta } ^ { \dagger } | \nu _ { 7 } \rangle } \\ & { \qquad \times \big [ \delta _ { \nu _ { 1 } \nu _ { 3 } } \langle \nu _ { 4 } | \rho _ { \nu _ { 6 } \nu _ { 7 } } ^ { ( 1 ) , R } ( t _ { 1 } , t - \tau ) | \nu _ { 3 } \rangle \langle \nu _ { 3 } | \hat { a } _ { \mu } | \nu _ { 2 } \rangle } \\ & { \qquad \quad - \delta _ { \nu _ { 3 } \nu _ { 5 } } \langle \nu _ { 1 } | \hat { a } _ { \mu } | \nu _ { 3 } \rangle \langle \nu _ { 4 } | \rho _ { \nu _ { 6 } \nu _ { 7 } } ^ { ( 1 ) , R } ( t _ { 1 } , t - \tau ) | \nu _ { 2 } \rangle \big ] . } \end{array}
\underbrace { K _ { u , \delta } \, { \phi } _ { \delta } ^ { n + 1 } } _ { \mathrm { F l u x ~ a t ~ } \delta _ { \mathrm { a } } } = u _ { \star } ^ { 2 } \, e _ { \tau } ^ { \mathrm { f r e e } } \quad \mathrm { w i t h ~ } u _ { \star } = \mathrm { B U L K } ( \underbrace { u ^ { n } ( \delta _ { \mathrm { a } } ) } _ { \mathrm { R e c o n s t r u c t i o n ~ a t ~ } \delta _ { \mathrm { a } } } )
\begin{array} { r l } { \delta _ { \delta } } & { { } \equiv \delta _ { 2 } - \delta _ { 1 } = \omega _ { 2 } - \omega _ { 1 } } \\ { \Sigma _ { \delta } } & { { } \equiv \delta _ { 1 } + \delta _ { 2 } = 2 \omega _ { 0 } - ( \omega _ { 1 } + \omega _ { 2 } ) \, . } \end{array}
\langle H _ { k } \rangle = { \frac { 1 } { 2 } } \left( \langle | { \widehat \Pi } _ { k } | ^ { 2 } \rangle + k ^ { 2 } \langle | { \widehat \Psi } _ { k } | ^ { 2 } \rangle \right) = k \left( { \frac { S _ { e x } } { S _ { r e } } } + { \frac { S _ { r e } } { S _ { e x } } } \right) ,
\left( \psi _ { ( 2 , 1 ) } \right) ^ { \otimes ( m _ { 1 } - 1 ) } \otimes \left( \psi _ { ( 1 , 2 ) } \right) ^ { \otimes ( n _ { 1 } - 1 ) } \otimes \psi _ { ( m _ { 2 } , n _ { 2 } ) }
{ \begin{array} { r l } { ( X , Y ) } & { = \left( { \frac { x } { 1 - z } } , { \frac { y } { 1 - z } } \right) , } \\ { ( x , y , z ) } & { = \left( { \frac { 2 X } { 1 + X ^ { 2 } + Y ^ { 2 } } } , { \frac { 2 Y } { 1 + X ^ { 2 } + Y ^ { 2 } } } , { \frac { - 1 + X ^ { 2 } + Y ^ { 2 } } { 1 + X ^ { 2 } + Y ^ { 2 } } } \right) . } \end{array} }
{ \frac { - b _ { 1 } } { 1 + b _ { 1 } + } } \, { \frac { - b _ { 2 } } { 1 + b _ { 2 } + } } \cdots { \frac { - b _ { n + 1 } } { 1 + b _ { n + 1 } } } \neq - 1 ,
{ \cal M } = \left( \begin{array} { l l l } { { \bar { M } - e ^ { 2 \bar { \varphi } } \psi \psi ^ { T } } } & { { e ^ { 2 \bar { \varphi } } \psi } } & { { \bar { M } \bar { L } \psi - { \frac { 1 } { 2 } } e ^ { 2 \bar { \varphi } } \psi ( \psi ^ { T } \bar { L } \psi ) } } \\ { { e ^ { 2 \bar { \varphi } } \psi ^ { T } } } & { { - e ^ { 2 \bar { \varphi } } } } & { { { \frac { 1 } { 2 } } e ^ { 2 \bar { \varphi } } \psi ^ { T } \bar { L } \psi } } \\ { { \psi ^ { T } \bar { L } \bar { M } - { \frac { 1 } { 2 } } e ^ { 2 \bar { \varphi } } \psi ^ { T } ( \psi ^ { T } \bar { L } \psi ) } } & { { { \frac { 1 } { 2 } } e ^ { 2 \bar { \varphi } } \psi ^ { T } \bar { L } \psi } } & { { - e ^ { - 2 \bar { \varphi } } + \psi ^ { T } \bar { L } \bar { M } \bar { L } \psi - { \frac { 1 } { 4 } } e ^ { 2 \bar { \varphi } } ( \psi ^ { T } \bar { L } \psi ) ^ { 2 } } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { I _ { 4 c } ^ { ( n ) } } & { = \frac { i ( - 1 ) ^ { 4 n } n \pi ^ { D / 2 } \Gamma ( 4 n ) \Gamma \big ( 4 n - \frac { D } { 2 } \big ) } { \Gamma ( 4 n + 1 ) \Gamma ( 4 n - 1 ) M _ { W } ^ { 8 n + 4 - D } } \int _ { 0 } ^ { 1 } d r \frac { 1 } { ( 1 - r ) ^ { 4 n - 2 } r ^ { 4 n - \frac { D } { 2 } } } \, _ { 2 } \tilde { F } _ { 1 } \bigg ( 1 , 4 n - \frac { D } { 2 } , 4 n - 1 , 1 - \frac { 1 } { r } \bigg ) } \\ & { = \frac { i ( - 1 ) ^ { 4 n } n \pi ^ { D / 2 } \Gamma ( 4 n ) \Gamma \big ( 4 n - \frac { D } { 2 } \big ) } { \Gamma ( 4 n + 1 ) \Gamma ( 4 n - 1 ) M _ { W } ^ { 8 n + 4 - D } } \int _ { 0 } ^ { 1 } d r \frac { 1 } { ( 1 - r ) ^ { 4 n - 2 } r ^ { 4 n - \frac { D } { 2 } } } \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \frac { \big ( 4 n - \frac { D } { 2 } \big ) ^ { ( m ) } } { ( 4 n - 1 ) ^ { ( m ) } } \bigg ( 1 - \frac { 1 } { r } \bigg ) ^ { m } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \nabla \cdot \mathbf { v } } & { { } = } & { 0 } \\ { \rho \Bigg [ \underbrace { \frac { \partial \v } { \partial t } } _ { \textrm { D y n a m i c } } + \underbrace { \vphantom { \frac { 1 } { \partial } } ( \mathbf { v } \cdot \nabla \mathbf { v } ) } _ { \textrm { A d v e c t i o n } } \Bigg ] } & { { } = } & { - \underbrace { \nabla p } _ { \textrm { P r e s s u r e } } + \underbrace { \mu \Delta \mathbf { v } } _ { \textrm { V i s c o s i t y } } + \underbrace { \rho \mathbf { b } } _ { \textrm { B o d y F o r c e s } } } \end{array}
W _ { \lambda } ^ { \mathrm { ~ K ~ S ~ } } = \langle \Psi _ { \lambda } ^ { \mathrm { ~ K ~ S ~ } } | \, \mathcal { \hat { U } } \, | \Psi _ { \lambda } ^ { \mathrm { ~ K ~ S ~ } } \rangle + \frac { U } { 2 } \left( 1 + \left( \frac { \Delta n } { 2 } \right) ^ { 2 } \right) ,
\begin{array} { r } { p ^ { + } = \frac { 2 L ^ { + } ( \mathbf { A } ^ { * } ) } { N ( N - 1 ) } , \quad p ^ { - } = \frac { 2 L ^ { - } ( \mathbf { A } ^ { * } ) } { N ( N - 1 ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \pm g ^ { - 1 } ( - z d t _ { b , * } + \xi , d \mathfrak { t } ) } & { = \pm \rho _ { b } ^ { - 2 } \Big ( \xi _ { r } ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } + b ^ { \prime } ( r ) \Delta _ { b } ) + b ^ { \prime } ( r ) ( a \xi _ { \varphi } - ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) z ) + ( a \xi _ { \varphi } - a ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta z ) \Big ) } \\ & { = \pm \frac { 4 z r } { \rho _ { b } ^ { 2 } \partial _ { r } \Delta _ { b } } \Big ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } - \Delta _ { b } \Big ) \pm z = \pm \frac { 4 z r } { \rho _ { b } ^ { 2 } \partial _ { r } \Delta _ { b } } \Big ( 2 \mathbf { m } r - \mathbf { Q } ^ { 2 } \Big ) \pm z > 0 \quad \mathrm { f o r } \quad \pm z > 0 . } \end{array}
\lambda = \frac { 1 } { 2 } \left\| \boldsymbol { W } \right\| _ { F } ^ { 2 } = \frac { | \kappa | ^ { 2 } } { 2 } \left\| \boldsymbol { z } \boldsymbol { y } ^ { T } - \boldsymbol { y } \boldsymbol { z } ^ { T } \right\| _ { F } ^ { 2 } \quad \Longrightarrow \quad \lambda ^ { \prime } = \frac { \lambda } { | \kappa | ^ { 2 } } = \frac { 1 } { 2 } \left\| \boldsymbol { z } \boldsymbol { y } ^ { T } - \boldsymbol { y } \boldsymbol { z } ^ { T } \right\| _ { F } ^ { 2 }
d ( z , \lambda , \mu ) = ~ { \frac { 2 \lambda \mu } { 1 \! - \! \lambda \mu } } \left( { \frac { C } { \lambda \! - \! \mu } } \, - \, { \frac { 2 \, j ( z ) } { \lambda ( 1 \! - \! \mu ^ { 2 } ) } } \right) ~ ~ ~ ,
\begin{array} { r l } { i \left( \begin{array} { c } { \dot { \psi _ { a , k } } } \\ { \dot { \psi _ { b , k } } } \end{array} \right) } & { { } = E a \left( i \frac { d } { d k } - \frac { N } { 4 } \right) \left( \begin{array} { c } { \psi _ { a , k } } \\ { \psi _ { b , k } } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { g } _ { \mathrm { f n s } } ^ { \mathrm { h a d . } } ( 1 s ) } & { = \Delta { g } _ { \mathrm { r e l . , f n s } } ^ { \mathrm { h a d . } } ( 1 s ) - \Delta { g } _ { \mathrm { a p p r o x , f n s } } ^ { \mathrm { h a d . } } ( 1 s ) \, , } \\ { \delta _ { \Xi _ { 0 } } g _ { \mathrm { f n s } } ^ { \mathrm { h a d . } } } & { = \Delta { g } _ { \mathrm { r e l . , f n s } } ^ { \mathrm { h a d . } } ( 2 s ) - \Xi _ { 0 } \, \Delta { g } _ { \mathrm { r e l . , f n s } } ^ { \mathrm { h a d . } } ( 1 s ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { a ( \lambda ) : = \left\{ \begin{array} { c c } { \lambda e ^ { - 2 \lambda } } & { \; \; \; \lambda \leq \lambda _ { 0 } } \\ { \; \; } \\ { \frac { \log { \lambda } - 3 \log \log { \lambda } } { \lambda } , } & { \; \; \; \lambda > \lambda _ { 0 } } \end{array} \right. \; \; , \; \; b ( \lambda ) : = \left\{ \begin{array} { c c } { \frac { \lambda } { 4 } , } & { \; \; \; \lambda \leq 1 } \\ { \; \; } \\ { \frac { \log { \lambda } + 1 } { \lambda } , } & { \; \; \; \lambda > 1 } \end{array} \right. \; \; , \; \; } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \int _ { \mathbb R } \Lambda ^ { s } ( h h _ { x } ) \Lambda ^ { s } h \ d x \right| } & { { } \lesssim \left\| [ \Lambda ^ { s } , h ] h _ { x } \right\| _ { L ^ { 2 } } \left\| \Lambda ^ { s } h \right\| _ { L ^ { 2 } } + \left\| h _ { x } \right\| _ { L ^ { \infty } } \left\| \Lambda ^ { s } h \right\| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } } \end{array}
\frac { d } { d t } \left( \begin{array} { l } { a _ { 1 + } } \\ { a _ { 2 + } } \\ { a _ { 1 - } } \\ { a _ { 2 - } } \end{array} \right) = - i \left( \begin{array} { l l l l } { \omega _ { 1 } - i \frac { \kappa _ { 1 } } { 2 } } & { \frac { G _ { p h } } { 2 } e ^ { - i \Omega t } } & { \frac { V _ { 1 } } { 2 } } & { 0 } \\ { \frac { G _ { p h } } { 2 } e ^ { i \Omega t } } & { \omega _ { 2 } - i \frac { \kappa _ { 2 } } { 2 } } & { 0 } & { \frac { V _ { 2 } } { 2 } } \\ { \frac { V _ { 1 } } { 2 } } & { 0 } & { \omega _ { 1 } - i \frac { \kappa _ { 1 } } { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { V _ { 2 } } { 2 } } & { 0 } & { \omega _ { 2 } - i \frac { \kappa _ { 2 } } { 2 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { a _ { 1 + } } \\ { a _ { 2 + } } \\ { a _ { 1 - } } \\ { a _ { 2 - } } \end{array} \right) .
\begin{array} { c l l } { A ( t ) = - \frac { e ^ { - a t } } { ( a - b ) ^ { 3 } } + \frac { e ^ { - b t } } { ( a - b ) ^ { 3 } } - \frac { e ^ { - b t } t } { ( a - b ) ^ { 2 } } + \frac { e ^ { - b t } t ^ { 2 } } { 2 ( a - b ) } } \end{array}
P = \left\lbrace ( x , y ) \in \mathbb { R } ^ { 2 } \; \middle | \; \begin{array} { l r } { x = \frac { d } { 1 - e ^ { - s } } ( e ^ { s n } - 1 ) + \frac { d } { 2 } } & { a n d } \\ { y = d \left( m + \frac { 1 } { 2 } \right) e ^ { s n } , } & { w i t h n , m \in \mathbb { Z } } \end{array} \right\rbrace ,
{ \cal L } _ { 1 } = \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { \sqrt { \gamma _ { 1 , 1 } } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \sqrt { \gamma _ { 1 , 2 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \sqrt { \gamma _ { 1 , 3 } } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) \; \mathrm { a n d } \; \; { \cal L } _ { 2 } = \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \sqrt { \gamma _ { 2 , 1 } } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \sqrt { \gamma _ { 2 , 2 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \sqrt { \gamma _ { 2 , 3 } } } \end{array} \right) .
\left| f ( x ) - { \frac { A ( x + h ) - A ( x ) } { h } } \right| = { \frac { | { \mathrm { R e d ~ E x c e s s } } | } { h } } \leq { \frac { h ( f ( x + h _ { 1 } ) - f ( x + h _ { 2 } ) ) } { h } } = f ( x + h _ { 1 } ) - f ( x + h _ { 2 } ) ,
S [ \Psi ^ { * } , \Psi ] \ = \ { \frac { 1 } { 2 \pi \rho } } \int _ { { \bf R } \times S ^ { 1 } } d t d \varphi \, [ { \frac { i } { 2 } } \rho ( \Psi ^ { * } { \dot { \Psi } } - { \dot { \Psi } } ^ { * } \Psi ) + i \Psi ^ { * } \partial _ { \varphi } \Phi ]
j _ { \sigma _ { l } } ^ { i } = ( Z _ { \sigma _ { l } } . g ^ { \eta _ { k } } ) \left\{ \frac { \partial } { \partial g ^ { \eta _ { k } } , _ { i } } \left( \left. \frac { \partial g _ { \rho _ { k } } ^ { \prime \prime } ( g ^ { \prime } , g ) } { \partial g ^ { B } } \right| _ { g ^ { \prime } = g ^ { - 1 } } g ^ { B } , _ { i } \right) \right\} \Lambda ^ { \rho _ { k } i } \left. = ( Z _ { \sigma _ { l } } . g ^ { \eta _ { k } } ) \frac { \partial g _ { \rho _ { k } } ^ { \prime \prime } ( g ^ { \prime } , g ) } { \partial g ^ { \eta _ { k } } } \right| _ { g ^ { \prime } = g ^ { - 1 } } \Lambda ^ { \rho _ { k } i }
\Lambda _ { + A Y ^ { \prime } } = u _ { A } ^ { + } \Lambda _ { + Y ^ { \prime } } ^ { - } + u _ { A } ^ { - } \Lambda _ { + Y ^ { \prime } } ^ { + } \; , \; \; \; \Lambda _ { + Y ^ { \prime } } ^ { - } \equiv - u ^ { - A } \Lambda _ { + A Y ^ { \prime } } \; , \; \; \Lambda _ { + Y ^ { \prime } } ^ { + } \equiv u ^ { + A } \Lambda _ { + A Y ^ { \prime } } \; .
\overline { { I _ { q } } } = \pi ( q \omega _ { 0 } \mathcal { F } _ { 0 } \kappa L _ { \mathrm { b s } } ^ { ( q ) } / c ) ^ { 2 } e ^ { - ( \kappa L _ { \mathrm { b s } } ^ { ( q ) } / L _ { \mathrm { c o h } } ^ { ( q ) } ) ^ { 2 } / 2 }
S _ { \rho } = { \frac { 1 } { 1 2 \pi } } \int _ { m ^ { 2 } } ^ { \Lambda ^ { 2 } } { \frac { d t } { t } } \pi { \frac { M _ { \rho } ^ { 3 } } { \Gamma _ { \rho } } } \delta ( t - M _ { \rho } ^ { 2 } ) = { \frac { M _ { \rho } } { 1 2 \Gamma _ { \rho } } } , \; \; \; \; \Gamma _ { \rho } = { \frac { g _ { \rho } ^ { 2 } M _ { \rho } } { 4 8 \pi } } ,
\partial _ { t } \ensuremath { \mathbf { b } } + \ensuremath { \mathrm { d i v \, } } ( \ensuremath { \mathbf { b } } \otimes \ensuremath { \mathbf { b } } ) + \nabla p = \ensuremath { \mathrm { d i v \, } } \mathring { \mathbf { R } } \, , \qquad \ensuremath { \mathrm { d i v \, } } \ensuremath { \mathbf { b } } = 0 \, ,
\begin{array} { r l } { n ( { \bf r } , t ) } & { = N \sum _ { \sigma , \sigma _ { 2 } . . \sigma _ { N } } \int d ^ { 3 } r _ { 2 } . . r _ { N } \vert \Psi ( { \bf r } \sigma , { \bf r } _ { 2 } \sigma _ { 2 } . . { \bf r } _ { N } \sigma _ { N } ) \vert ^ { 2 } } \\ & { = \sum _ { i } ^ { N } \vert \phi _ { i } ( { \bf r } , t ) \vert ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \nu _ { k l } \left( u _ { k l } \right) } & { \approx } & { \frac { n _ { l } } { C _ { k l } \, \gamma _ { k l } ^ { 2 } \, u _ { k l } ^ { 3 } } \, \Lambda _ { k l } \, , } \\ { \Lambda _ { k l } } & { \approx } & { \ln \left( \frac { u _ { k l } ^ { 2 } + B } { B } \right) - \frac { u _ { k l } ^ { 2 } } { u _ { k l } ^ { 2 } + B } \, , } \\ { C _ { k l } } & { = } & { \frac { 4 \pi \epsilon _ { 0 } ^ { 2 } m _ { k l } ^ { 2 } } { q _ { k } ^ { 2 } q _ { l } ^ { 2 } } \, , } \\ { m _ { k l } } & { = } & { \frac { m _ { k } \, m _ { l } } { m _ { k } + m _ { l } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { z = 1 } [ \mathbf { n } ^ { ( t ) } \cdot K \cdot ( D \cdot \nabla ^ { * } ) h ] ~ d x = \int _ { z = 1 } [ K _ { 2 2 } \frac { h _ { z } } { \phi } - K _ { 1 1 } \phi _ { x } ( h _ { x } - \frac { \phi _ { x } } { \phi } h _ { z } ) ] d x = 0 , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { L _ { n } ^ { ( \alpha ) } ( x ) } & { = L _ { n } ^ { ( \alpha + 1 ) } ( x ) - L _ { n - 1 } ^ { ( \alpha + 1 ) } ( x ) = \sum _ { j = 0 } ^ { k } { \binom { k } { j } } L _ { n - j } ^ { ( \alpha + k ) } ( x ) , } \\ { n L _ { n } ^ { ( \alpha ) } ( x ) } & { = ( n + \alpha ) L _ { n - 1 } ^ { ( \alpha ) } ( x ) - x L _ { n - 1 } ^ { ( \alpha + 1 ) } ( x ) , } \\ & { { \mathrm { o r ~ } } } \\ { { \frac { x ^ { k } } { k ! } } L _ { n } ^ { ( \alpha ) } ( x ) } & { = \sum _ { i = 0 } ^ { k } ( - 1 ) ^ { i } { \binom { n + i } { i } } { \binom { n + \alpha } { k - i } } L _ { n + i } ^ { ( \alpha - k ) } ( x ) , } \\ { n L _ { n } ^ { ( \alpha + 1 ) } ( x ) } & { = ( n - x ) L _ { n - 1 } ^ { ( \alpha + 1 ) } ( x ) + ( n + \alpha ) L _ { n - 1 } ^ { ( \alpha ) } ( x ) } \\ { x L _ { n } ^ { ( \alpha + 1 ) } ( x ) } & { = ( n + \alpha ) L _ { n - 1 } ^ { ( \alpha ) } ( x ) - ( n - x ) L _ { n } ^ { ( \alpha ) } ( x ) ; } \end{array} }
\overbrace { \left( \begin{array} { l } { I _ { o u t , A } ( m , n ) } \\ { I _ { o u t , B } ( m , n ) } \\ { I _ { o u t , C } ( m , n ) } \\ { I _ { o u t , D } ( m , n ) } \end{array} \right) } ^ { \vec { I } _ { o u t } ( m , n ) } = \overbrace { \left( \begin{array} { l } { \mathrm { --- --- } \vec { S } _ { A } \mathrm { --- --- } } \\ { \mathrm { --- --- } \vec { S } _ { B } \mathrm { --- --- } } \\ { \mathrm { --- --- } \vec { S } _ { C } \mathrm { --- --- } } \\ { \mathrm { --- --- } \vec { S } _ { D } \mathrm { --- --- } } \end{array} \right) } ^ { \hat { A } } \overbrace { \left( \begin{array} { l } { S _ { o u t , 0 } ( m , n ) } \\ { S _ { o u t , 1 } ( m , n ) } \\ { S _ { o u t , 2 } ( m , n ) } \\ { S _ { o u t , 3 } ( m , n ) } \end{array} \right) } ^ { \vec { S } _ { o u t } ( m , n ) }
\begin{array} { r l } & { \ \int \int \exp ( T r ( U \Lambda V Z + Z ^ { * } V ^ { * } \Lambda ^ { * } U ^ { * } ) d U d V } \\ { = } & { \sum _ { \lambda } \frac { C _ { | \lambda \cup \lambda | } ^ { \lambda \cup \lambda } } { | \lambda \cup \lambda | ! } \frac { 1 } { P _ { \lambda } ( 1 ^ { M } ; 2 ) P _ { \lambda } ( 1 ^ { N } ; 2 ) } P _ { \lambda } ( Z ^ { * } Z ; 2 ) P _ { \lambda } ( \Lambda \Lambda ^ { * } ; 2 ) } \\ { = } & { \sum _ { \lambda } \frac { C _ { | \lambda \cup \lambda | } ^ { \lambda \cup \lambda } } { | \lambda \cup \lambda | ! } \frac { 1 } { P _ { \lambda } ( 1 ^ { N } ; 2 ) } \frac { 1 } { P _ { \lambda } ( 1 ^ { M } ; 2 ) } P _ { \lambda } ( a _ { 1 } ^ { 2 } , . . . , a _ { M } ^ { 2 } ; 2 ) P _ { \lambda } ( z _ { 1 } ^ { 2 } , . . . , z _ { M } ^ { 2 } ; 2 ) } \\ { = } & { \sum _ { \lambda } \frac { 1 } { \prod _ { s \in \lambda \cup \lambda } [ a ( s ) + l ( s ) + 1 ] } \frac { \prod _ { s \in \lambda } [ a ( s ) + 2 l ( s ) + 2 ] } { \prod _ { s \in \lambda } [ 2 N + j - 1 - 2 ( i - 1 ) ] } \frac { 1 } { P _ { \lambda } ( 1 ^ { M } ; 2 ) } P _ { \lambda } ( a _ { 1 } ^ { 2 } , . . . , a _ { M } ^ { 2 } ; 2 ) P _ { \lambda } ( z _ { 1 } ^ { 2 } , . . . , z _ { M } ^ { 2 } ; 2 ) } \\ { = } & { \sum _ { \lambda } \prod _ { i = 1 } ^ { M } \frac { \Gamma ( 2 N - 2 ( i - 1 ) ) } { \Gamma ( 2 N - 2 ( i - 1 ) + \lambda _ { i } ) } \frac { 1 } { \prod _ { s \in \lambda } [ a ( s ) + 1 + 2 l ( s ) ] } \frac { P _ { \lambda } ( a _ { 1 } ^ { 2 } , \cdots , a _ { M } ^ { 2 } ; 2 ) P _ { \lambda } ( z _ { 1 } ^ { 2 } , \cdots , z _ { M } ^ { 2 } ; 2 ) } { P _ { \lambda } ( 1 ^ { M } ; 2 ) } , } \end{array}
R ( \alpha ) = \pm \lambda ^ { Q - 2 \alpha } { \frac { \Gamma ( b ( 2 \alpha - Q ) ) \Gamma ( { \frac { 1 } { b } } ( 2 \alpha - Q ) ) } { \Gamma ( b ( Q - 2 \alpha ) ) \Gamma ( { \frac { 1 } { b } } ( Q - 2 \alpha ) ) } } \ .
\begin{array} { r l } { \frac { d \sigma _ { _ Y } } { d Z } } & { = 2 \zeta _ { 1 } k _ { 0 } \vartheta _ { _ { Y } } \sigma _ { _ Y } + b _ { 1 } \zeta _ { 3 } \sigma _ { _ Y } + \frac { 1 5 } { 8 } A ^ { 2 } \sqrt { 2 } c _ { 0 } \zeta _ { 4 } \sigma _ { _ Y } } \\ & { + \frac { 1 } { 4 } a _ { 1 } \zeta _ { 2 } \left( - 7 k _ { 0 } ^ { 2 } \vartheta _ { \tau } ^ { 2 } \sigma _ { \tau } ^ { 2 } - \frac { 2 8 } { \sigma _ { \tau } ^ { 2 } } \right) \sigma _ { _ Y } } \\ & { + \frac { 1 5 } { 6 4 } A ^ { 2 } \sqrt { 2 } c _ { _ { 1 , X X } } \zeta _ { 5 } \left( - k _ { 0 } ^ { 2 } \vartheta _ { _ { X } } ^ { 2 } \sigma _ { _ X } ^ { 2 } - \frac { 1 2 } { \sigma _ { _ X } ^ { 2 } } \right) \sigma _ { _ Y } } \\ & { + \frac { 1 } { 6 4 } A ^ { 2 } \sqrt { 2 } c _ { _ { 2 , Y Y } } \zeta _ { 6 } \left( 1 3 k _ { 0 } ^ { 2 } \vartheta _ { _ { Y } } ^ { 2 } \sigma _ { _ Y } ^ { 2 } - \frac { 2 5 2 } { \sigma _ { _ Y } ^ { 2 } } \right) \sigma _ { _ Y } , } \end{array}
\sum _ { { \bf q } _ { k } } \frac { 1 } { \sqrt { 2 E _ { q _ { k } } V } } e ^ { - i \overline { { { Q } } } _ { k } \cdot z _ { 2 } } \sum _ { p _ { j } } \frac { 1 } { \sqrt { 2 E _ { p _ { j } } V } } e ^ { i \overline { { { P } } } _ { j } \cdot z _ { 1 } } \langle b _ { - { \bf p } _ { j } } ^ { \dagger } b _ { - { \bf q } _ { k } } \rangle
\begin{array} { r } { \sum _ { \boldsymbol { u } \in \mathcal { C } } \hat { f } ( \boldsymbol { u } ) = | \mathcal { C } | x ^ { s \lfloor \frac { m } { 2 } \rfloor } + \sum _ { i = 1 } ^ { s } x ^ { i \lfloor \frac { m } { 2 } \rfloor } y ^ { ( s - i ) \lfloor \frac { m } { 2 } \rfloor } m ^ { \pi ( i + 1 ) + \cdots + \pi ( s ) } \sum _ { j = 1 } ^ { \lfloor \frac { m } { 2 } \rfloor } \left( \frac { y } { x } \right) ^ { j } \sum _ { \boldsymbol { u } \in \mathcal { C } _ { i } \cup \mathcal { C } _ { i } ^ { ' } } \sum _ { \textbf { 0 } \neq \boldsymbol { v _ { i } } \in V _ { i } \atop w _ { ( L , \pi ) } ( \boldsymbol { v _ { i } } ) = j } \chi ( \boldsymbol { u _ { i } } \cdot \boldsymbol { v _ { i } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { 1 } ( t \leq t _ { o n } ) } & { \equiv \exp { \bigg ( - \int _ { 0 } ^ { t } b e ^ { \beta u } d u \bigg ) } = \exp { \bigg ( \frac { b } { \beta } ( 1 - e ^ { \beta t } ) \bigg ) } = \exp { \bigg ( - \frac { \mu ( t ) } { \beta } ( 1 - e ^ { - \beta t } ) \bigg ) } } \\ { S _ { 2 } ( t _ { o n } < t \leq t _ { e n d } ) } & { \equiv \exp { \bigg ( - \int _ { t _ { o n } } ^ { t } b \bigg ( \frac { ( f ( t _ { o n } ) + m ) e ^ { - \alpha t _ { o n } } } { a } \bigg ) ^ { \beta / \alpha } e ^ { \beta u } d u \bigg ) } = \exp { \bigg ( - \frac { \mu ( t ) } { \beta } ( 1 - e ^ { - \beta ( t - t _ { o n } ) } ) \bigg ) } } \\ { S _ { 3 } ( t \geq t _ { e n d } ) } & { \equiv \exp { \bigg ( - \int _ { t _ { e n d } } ^ { t } b \bigg ( \frac { ( f ( t _ { e n d } , m = 0 ) + \Delta f ) e ^ { - \alpha t _ { e n d } } } { a } \bigg ) ^ { \beta / \alpha } \exp { ( \beta u ) } d u \bigg ) } = \exp { \bigg ( - \frac { \mu ( t ) } { \beta } ( 1 - e ^ { - \beta ( t - t _ { e n d } ) } ) \bigg ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { j _ { \zeta } ( x = 0 ) = - U \zeta ( x = 0 ) , \quad j _ { \zeta } ( x = L ) } & { { } = - U \zeta ( x = L ) , } \\ { \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad j _ { h } ( x = L ) } & { { } = - U h ( x = L ) . } \end{array}
L = \textrm { l n } ( M ) = \textrm { l n } \left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & { m _ { 1 2 } } & { m _ { 1 3 } } & { m _ { 1 4 } } \\ { m _ { 2 1 } } & { m _ { 2 2 } } & { m _ { 2 3 } } & { m _ { 2 4 } } \\ { m _ { 3 1 } } & { m _ { 3 2 } } & { m _ { 3 3 } } & { m _ { 3 4 } } \\ { m _ { 4 1 } } & { m _ { 4 2 } } & { m _ { 4 3 } } & { m _ { 4 4 } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { - \textrm { L D } } & { - \textrm { L D } ^ { ' } } & { \textrm { C D } } \\ { - \textrm { L D } } & { 0 } & { \textrm { C B } } & { - \textrm { L B } ^ { ' } } \\ { - \textrm { L D } ^ { \prime } } & { - \textrm { C B } } & { 0 } & { \textrm { L B } } \\ { \textrm { C D } } & { \textrm { L B } ^ { ' } } & { - \textrm { L B } } & { 0 } \end{array} \right) .
\left\vert \left\vert \left\vert e ^ { N } \right\vert \right\vert \right\vert \leq \left\vert \left\vert \left\vert e ^ { 0 } \right\vert \right\vert \right\vert + C \left( \tau _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 1 / 2 } ( h ^ { m } + h ^ { s + 1 } ) + h ^ { m + 1 } + \left( \frac { \Delta t ^ { 1 / 2 } \left\Vert \mathbf { u } \right\Vert _ { L ^ { \infty } ( L ^ { 2 } ( D ) ) } } { h } \right) \left( \frac { h ^ { m + 1 } } { \Delta t ^ { 1 / 2 } } \right) \right) .