harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
H ^ { j } ( \Lambda ^ { \cdot } { \mathfrak { g } } \otimes C ^ { \infty } ( M ) , \delta ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { C ^ { \infty } ( M _ { 0 } ) } & { j = 0 } \\ { 0 } & { j \neq 0 } \end{array} \right. }
1 = \langle \psi _ { 2 } \vert P _ { 2 } \vert \psi _ { 2 } \rangle = \langle \psi _ { 2 } \vert P _ { 2 } P _ { 2 } \vert \psi _ { 2 } \rangle = | \beta | ^ { 2 } \langle \lambda \vert P _ { 2 } \vert \lambda \rangle \le | \beta | ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } & { d b _ { i j } = ( \mu _ { i j } + \gamma _ { i j } ) d t ^ { \prime } + D _ { i j k l } \; d W _ { k l } ^ { \prime } \; \; \; \mathrm { w h e r e } } \\ & { \mu _ { i j } = \frac { M _ { i j } } { A ^ { 2 } } - b _ { i j } b _ { k l } \frac { M _ { k l } } { A ^ { 2 } } \; \; , \; \; D _ { i j k l } = \frac { K _ { i j k l } } { A ^ { 3 / 2 } } - b _ { i j } b _ { p q } \frac { K _ { p q k l } } { A ^ { 3 / 2 } } \; \; , } \\ & { \gamma _ { i j } = - \frac { 1 } { 2 } b _ { i j } \frac { K _ { p q k l } } { A ^ { 3 / 2 } } \frac { K _ { p q k l } } { A ^ { 3 / 2 } } - b _ { p q } \frac { K _ { p q k l } } { A ^ { 3 / 2 } } \frac { K _ { i j k l } } { A ^ { 3 / 2 } } + \frac { 3 } { 2 } b _ { i j } b _ { p q } \frac { K _ { p q k l } } { A ^ { 3 / 2 } } b _ { m n } \frac { K _ { m n k l } } { A ^ { 3 / 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { e ( \mathfrak { A } _ { k } / \mathcal { O } _ { E } ) } & { = \frac { f ( E / E _ { k } ) } { \operatorname* { g c d } ( m ( A _ { k } ) , f ( E / E _ { k } ) ) } = \frac { f ( E / E _ { k } ) } { \operatorname* { g c d } ( m , [ E : E _ { k } ] , f ( E / E _ { k } ) ) } } \\ & { = \frac { f ( E / E _ { k } ) } { \operatorname* { g c d } ( m , f ( E / E _ { k } ) ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \overline { { P ^ { A } ( \bar { k } ) } } ^ { - 1 } \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { - 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { - \frac { 1 + 2 u _ { 0 } ( x ) } { 4 } } \end{array} \right) ^ { - 1 } P ( k ) = \frac { u _ { 0 } ( x ) } { 2 } \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { 1 } \end{array} \right) + R ( k ) ^ { - 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \ell _ { N } \left( \rho _ { t } \right) \Big | _ { t = 0 } } & { = \int \delta \ell _ { N } \left( \rho \right) \zeta \mathrm { d } x = - \int \delta \ell _ { N } \left( \rho \right) \mathsf { d i v } \left( \rho \nabla u \right) \mathrm { d } x } \\ & { = - \int \left\langle \nabla \delta \ell _ { N } \left( \rho \right) , \nabla u \right\rangle \mathrm { d } \rho } \\ & { = g _ { \rho } ^ { \mathsf { W } } \left( - \mathsf { d i v } \left( \nabla \delta \ell _ { N } \left( \rho \right) \rho \right) , \zeta \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { k = 1 } ^ { K } \operatorname* { m a x } _ { n \in \mathcal { N } ( v ) } ~ \phi \big ( \langle ~ { \boldsymbol u } _ { k } ^ { ( t ) } ~ , ~ { \boldsymbol x } _ { n } ~ \rangle \big ) \le } & { K \eta \cdot \sqrt { \frac { d \log q } { N } } \cdot \| { \boldsymbol p } _ { + } \| ^ { 2 } } \\ { \le } & { \varepsilon \cdot \frac { K } { L } \cdot \eta \| { \boldsymbol p } _ { + } \| ^ { 2 } t , } \end{array}
\mathcal { Q } _ { \lambda , \nu } ( q ; \xi ) = \left( \begin{array} { c c c } { \gamma \xi _ { 1 } q _ { 1 } + \lambda ^ { - } \left( \xi _ { 2 } q _ { 2 } + \xi _ { 3 } q _ { 3 } \right) } & { \lambda ^ { + } \xi _ { 1 } q _ { 2 } + \nu \xi _ { 2 } q _ { 1 } } & { \lambda ^ { + } \xi _ { 1 } q _ { 3 } + \nu \xi _ { 3 } q _ { 1 } } \\ { \lambda ^ { + } \xi _ { 2 } q _ { 1 } + \nu \xi _ { 1 } q _ { 2 } } & { \gamma \xi _ { 2 } q _ { 2 } + \lambda ^ { - } \left( \xi _ { 1 } q _ { 1 } + \xi _ { 3 } q _ { 3 } \right) } & { \lambda ^ { + } \xi _ { 2 } q _ { 3 } + \nu \xi _ { 3 } q _ { 2 } } \\ { \lambda ^ { + } \xi _ { 3 } q _ { 1 } + \nu \xi _ { 1 } q _ { 3 } } & { \lambda ^ { + } \xi _ { 3 } q _ { 2 } + \nu \xi _ { 2 } q _ { 3 } } & { \gamma \xi _ { 3 } q _ { 3 } + \lambda ^ { - } \left( \xi _ { 1 } q _ { 1 } + \xi _ { 2 } q _ { 2 } \right) } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } & { m _ { 1 } \approx 2 . 0 6 0 1 1 3 2 9 6 , ~ m _ { 2 } \approx 2 . 1 4 6 7 1 9 5 9 1 , ~ m _ { 3 } \approx 2 . 5 7 9 7 2 5 0 6 5 , ~ m _ { 4 } \approx 2 . 5 8 1 3 8 5 3 6 5 , ~ m _ { 5 } \approx 3 . 0 6 2 7 7 5 1 5 4 , } \\ & { m _ { 6 } \approx 3 . 0 7 0 1 9 4 0 1 9 , ~ m _ { 7 } \approx 3 . 2 7 9 2 2 5 1 3 4 , ~ m _ { 8 } \approx 3 . 2 7 9 2 6 0 3 3 5 , ~ m _ { 9 } \approx 3 . 3 1 9 8 8 1 3 6 0 , ~ m _ { 1 0 } \approx 3 . 3 1 9 8 8 9 7 0 2 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { X } _ { \alpha } ( \omega _ { n } ) } & { = } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 T } } \int _ { - T / 2 } ^ { T / 2 } \mathrm { d } \tau \, e ^ { i \omega _ { n } \tau } \hat { a } _ { \alpha , \mathrm { o u t } } ( \tau ) + \mathrm { h . c . } , } \\ { \hat { P } _ { \alpha } ( \omega _ { n } ) } & { = } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 T } i } \int _ { - T / 2 } ^ { T / 2 } \mathrm { d } \tau \, e ^ { i \omega _ { n } \tau } \hat { a } _ { \alpha , \mathrm { o u t } } ( \tau ) + \mathrm { h . c . } , } \end{array}
m C _ { \textup { p } _ { \textup { l } } } \frac { d \, T _ { \textup { s } } } { d t } = \frac { 2 \pi R _ { \mathrm { e q } } \, k _ { \mathrm { f } } \, \widetilde { \textup { N u } } ( T _ { \textup { a m b } } - T _ { \textup { s } } ) \ln ( 1 + B _ { \mathrm { ~ T ~ } } ) } { { 1 + \widetilde { \textup { N u } } \, k _ { \mathrm { \, f } } \, \delta \, / \, [ \, 2 k _ { \mathrm { s } } \, ( R - \delta ) \, ] } } - \dot { m } L _ { \textup { v } } ( T _ { \textup { s } } ) ,
\mathrm { C _ { \mathrm { { s c a } , \mathrm { e x t } , \mathrm { a b s } } } \propto | \mathbf { J _ { \mathrm { { r a d } } } } \mathbf { J _ { \mathrm { { i n c } } } ^ { \dagger } } | ^ { 2 } | \tilde { \mathrm { E } } _ { \mathrm { { r a d } } } | ^ { 2 } = | \mathbf { J _ { \mathrm { r a d } } } \mathbf { J _ { \mathrm { { i n c } } } ^ { \dagger } } | ^ { 2 } { \mathrm { I } } _ { \mathrm { { r a d } } } , }
\begin{array} { r l r l } { { M _ { U } = } } & { { ( t _ { 3 } ) _ { 5 ( 1 0 ) } , } } & { { M _ { D } = } } & { { ( t _ { 3 } ) _ { \bar { 5 } ( 1 0 ) } , } } \\ { { \epsilon M _ { U } = } } & { { | 3 ( a _ { q } / p ) ( t _ { 2 } ) _ { 5 ( 1 0 ) } | , } } & { { \epsilon M _ { D } = } } & { { | 3 ( a _ { q } / p ) ( t _ { 2 } ) _ { \bar { 5 } ( 1 0 ) } | , } } \\ { { \eta M _ { U } = } } & { { ( y ^ { \prime } / s ^ { \prime \prime } ) ^ { 2 } ( t ^ { \prime } ) _ { 5 ( 1 0 ) } , } } & { { \sigma M _ { D } = } } & { { - ( c / y ) ( c ^ { \prime } ) _ { \bar { 5 } ( 1 6 ) } , } } \\ { { } } & { { } } & { { \delta M _ { D } = } } & { { t _ { 0 } \bar { t } _ { 0 } / s , } } \\ { { } } & { { } } & { { \delta ^ { \prime } M _ { D } = } } & { { ( t _ { 0 } ^ { \prime } \bar { t } _ { 0 } / s ^ { \prime } ) e ^ { - i \phi } , } } \end{array}
0 < f ^ { \prime \prime } ( x ) = \operatorname* { l i m } _ { h \to 0 } { \frac { f ^ { \prime } ( x + h ) - f ^ { \prime } ( x ) } { h } } = \operatorname* { l i m } _ { h \to 0 } { \frac { f ^ { \prime } ( x + h ) } { h } } .
\begin{array} { r l r } { s _ { \sigma p } } & { = } & { - k _ { B } n _ { \sigma } \ln \left( \frac { n _ { \sigma } \Delta ^ { 3 } r _ { \sigma } } { N _ { \sigma } } \right) , } \\ { s _ { \sigma v } } & { = } & { - k _ { B } \int f _ { \sigma } \ln \left( \frac { f _ { \sigma } \Delta ^ { 3 } v _ { \sigma } } { n _ { \sigma } } \right) d ^ { 3 } v . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \underline { { \nabla } } _ { a } \biggl ( \underline { { e } } _ { \lambda k } \cdot \underline { { R } } _ { b } \biggr ) } & { = \underline { { e } } _ { \lambda k } \biggl ( \underline { { \nabla } } _ { a } \cdot \underline { { R } } _ { b } \biggr ) = \underline { { e } } _ { \lambda k } \, \delta _ { a b } \quad , } \end{array}
\left| \mathcal { B } _ { p h y s } \right\rangle = \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \rho \sum _ { m \in Z } \ \sum _ { r \in Z _ { + } } \, e ^ { - i \rho \Theta } \, \left| B _ { p ^ { + } = m + \alpha , \, p ^ { - } = - \frac { r } { m + \alpha } , \, p _ { 2 } = \rho } \right\rangle .
\mathbb { E } _ { \omega } S ( \omega ) ( { \rho } _ { S } ) = \mathcal { L } _ { \mathrm { h } } ( { \rho } _ { S } ) \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad S ( \omega ) ( { \rho } _ { S } ) \in \mathcal { M } _ { 1 } \quad \forall \omega .
R _ { { \mathrm { C l u s t e r i n g } } } ( { \mathcal { R } } ) < R _ { { \mathrm { C l u s t e r i n g } } } ( { \mathcal { D } } ) < R _ { { \mathrm { C l u s t e r i n g } } } ( { \mathcal { A } } ) ,
\begin{array} { r l r } { \| { \nabla g _ { i } ( \mathbf x ) - \nabla g _ { i } ( \mathbf y ) } \| } & { = } & { \| \mathrm { s o f t r e l u } _ { a } ^ { \prime } ( g _ { j } ( \mathbf x ) ) \nabla g _ { j } ( \mathbf x ) - \mathrm { s o f t r e l u } _ { a } ^ { \prime } ( g _ { j } ( \mathbf y ) ) \nabla g _ { j } ( \mathbf y ) \| } \\ & { \le } & { | \mathrm { s o f t r e l u } _ { a } ^ { \prime } ( g _ { j } ( \mathbf x ) ) | \cdot \| \nabla g _ { j } ( \mathbf x ) - \nabla g _ { j } ( \mathbf y ) \| } \\ & { } & { + ~ | \mathrm { s o f t r e l u } _ { a } ^ { \prime } ( g _ { j } ( \mathbf x ) ) - \mathrm { s o f t r e l u } _ { a } ^ { \prime } ( g _ { j } ( \mathbf y ) ) | \cdot \| \nabla g _ { j } ( \mathbf y ) \| } \\ & { \leq } & { ( G _ { j } \cdot S _ { j } + \frac { 1 } { 2 a } L _ { j } ) \| \mathbf x - \mathbf y \| . } \end{array}
\begin{array} { l } { U _ { 1 } = \rho ( 1 - \eta ) ^ { 2 } ( \xi + \sigma \theta ) , } \\ { U _ { 2 } = ( 1 - \eta ) \rho \nu ( 2 \xi + \sigma \theta ) + ( 1 - \eta ) \left\{ ( 1 - \eta ) \left[ \delta \rho \theta + \delta \rho \xi + \Phi \rho ( 1 - \eta ) \right] + \right. } \\ { \left. + \sigma \theta ^ { 2 } + \rho \theta + \xi \theta \right\} > 0 , } \\ { U _ { 3 } = \nu ^ { 2 } \rho \xi + \nu \left\{ ( 1 - \eta ) \left[ \delta \rho \sigma \theta + 2 \delta \rho \xi + 2 \Phi \rho ( 1 - \eta ) \right] + \theta \rho + \theta \xi \right\} + } \\ { + \theta \left\{ ( 1 - \eta ) \left[ ( \xi + \sigma \theta ) ( \delta - \mu ) + \delta \rho \right] + \Phi ( 1 - \eta ) ^ { 2 } + \theta \right\} , } \\ { U _ { 4 } = \nu ^ { 2 } \rho \left[ \delta \xi + \Phi ( 1 - \eta ) \right] + \theta \nu \left[ \xi ( \delta - \mu ) + \Phi ( 1 - \eta ) + \delta \rho \right] + \theta ^ { 2 } ( \delta - \mu ) . } \end{array}
M _ { a } \, = \, - A _ { t } \, = \, m _ { 3 / 2 } \sqrt { 3 } \sin \theta \, \, , \, \, m _ { \Sigma } ^ { 2 } \, = \, m _ { 3 / 2 } ^ { 2 } \, 3 \, \sin ^ { 2 } \theta \, .
{ \left( \begin{array} { l } { \alpha _ { 1 } } \\ { \alpha _ { 2 } } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l } { a } & { b } \\ { c } & { d } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { \omega _ { 1 } } \\ { \omega _ { 2 } } \end{array} \right) } ,
\begin{array} { r l } { \delta } & { { } = \frac { 2 \pi \rho _ { n } r _ { e } } { ( \hbar \omega ) ^ { 2 } } \sum _ { i } n _ { i } ( Z _ { i } + f _ { i } ^ { \prime } ) , } \\ { \beta } & { { } = \frac { 2 \pi \rho _ { n } r _ { e } } { ( \hbar \omega ) ^ { 2 } } \sum _ { i } n _ { i } f _ { i } ^ { \prime \prime } . } \end{array}
M _ { P Q } ^ { \mathbf { q } } \leftarrow \sum _ { \mathbf { G } } \xi _ { P } ^ { [ o o ] } ( \mathbf { G } ) V ^ { \mathbf { q } } ( \mathbf { G } ) \xi _ { \mathbf { Q } } ^ { [ o o ] } ( \mathbf { G } )
\begin{array} { r l } { H _ { z } ( \rho , \phi , z , t ) } & { { } = A J _ { \nu } ( \frac { x _ { \nu 1 } ^ { \prime } } { a } \rho ) \sin ( \frac { \pi z } { d } ) e ^ { - i \nu \phi } } \\ { H _ { \rho } ( \rho , \phi , z ) } & { { } = A \frac { a \pi } { x _ { \nu 1 } ^ { \prime } d } J _ { \nu } ^ { \prime } ( \frac { x _ { \nu 1 } ^ { \prime } } { a } \rho ) \cos ( \frac { \pi z } { d } ) e ^ { - i \nu \phi } } \\ { H _ { \phi } ( \rho , \phi , z ) } & { { } = A \frac { i \pi \nu a ^ { 2 } } { \left( x _ { \nu 1 } ^ { \prime } \right) ^ { 2 } d \rho } J _ { \nu } ( \frac { x _ { \nu 1 } ^ { \prime } } { a } \rho ) \cos ( \frac { \pi z } { d } ) e ^ { - i \nu \phi } } \\ { E _ { \rho } ( \rho , \phi , z ) } & { { } = - A \frac { \omega \mu \nu a ^ { 2 } } { \left( x _ { \nu 1 } ^ { \prime } \right) ^ { 2 } \rho } J _ { \nu } ( \frac { x _ { \nu 1 } ^ { \prime } } { a } \rho ) \sin ( \frac { \pi z } { d } ) e ^ { - i \nu \phi } } \\ { E _ { \phi } ( \rho , \phi , z ) } & { { } = A \frac { i \omega \mu a } { x _ { \nu 1 } ^ { \prime } } J _ { \nu } ^ { \prime } ( \frac { x _ { \nu 1 } ^ { \prime } } { a } \rho ) \sin ( \frac { \pi z } { d } ) e ^ { - i \nu \phi } } \end{array}
{ \cal A } ( s ^ { + } , s ^ { - } ) \equiv A ( B ^ { 0 } \to D ^ { + } D ^ { - } \pi ^ { 0 } ) , \qquad { \bar { \cal A } } ( s ^ { + } , s ^ { - } ) \equiv A ( \bar { B } ^ { 0 } \to D ^ { + } D ^ { - } \pi ^ { 0 } ) ,
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \ensuremath { p ^ { ( 0 ) } } + \gamma \ensuremath { p ^ { ( 0 ) } } \partial _ { x } \ensuremath { u ^ { ( 0 ) } } } & { { } = \gamma \ensuremath { p ^ { ( 0 ) } } \mu _ { 1 2 } \partial _ { x x } \ensuremath { u ^ { ( 0 ) } } } \\ { \ensuremath { \rho ^ { ( 0 ) } } \partial _ { t } \ensuremath { u ^ { ( 0 ) } } + \partial _ { x } \ensuremath { p ^ { ( 2 ) } } + \ensuremath { \rho u ^ { ( 0 ) } } \partial _ { x } \ensuremath { u ^ { ( 0 ) } } } & { { } = \ensuremath { \rho ^ { ( 0 ) } } \mu _ { u } | u | \partial _ { x x } \ensuremath { u ^ { ( 0 ) } } + \mu _ { 2 1 } \partial _ { x x } \ensuremath { p ^ { ( 2 ) } } + \ensuremath { \rho ^ { ( 0 ) } } | v | \mu _ { 2 2 } \partial _ { x x } \ensuremath { u ^ { ( 0 ) } } } \\ { \partial _ { t } \ensuremath { v ^ { ( 0 ) } } + \ensuremath { u ^ { ( 0 ) } } \partial _ { x } \ensuremath { v ^ { ( 0 ) } } } & { { } = \mu _ { u } | u | \partial _ { x x } \ensuremath { v ^ { ( 0 ) } } } \\ { \partial _ { t } \ensuremath { s ^ { ( 0 ) } } + \ensuremath { u ^ { ( 0 ) } } \partial _ { x } \ensuremath { s ^ { ( 0 ) } } } & { { } = \mu _ { u } | u | \partial _ { x x } \ensuremath { s ^ { ( 0 ) } } } \end{array}
A : = \left[ \begin{array} { l l } { \partial f } & { 0 } \\ { 0 } & { \partial g ^ { * } } \end{array} \right] , \qquad B : = \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { K ^ { T } } \\ { - K } & { 0 } \end{array} \right] , \qquad \Delta _ { k } : = \left[ \begin{array} { l l } { t _ { k } \mathbb I } & { 0 } \\ { 0 } & { s _ { k } \mathbb I } \end{array} \right] ,
\Lambda _ { \operatorname* { m i n } } ^ { 2 } = \frac { ( \eta \omega _ { \ast } ) ^ { 2 } } { 4 \bar { \kappa } _ { \| } ^ { 2 } \tau ( 1 + \tau ) } \left( \sqrt { 1 + 3 \bar { \kappa } _ { \| } ^ { 2 } } - 1 \right) ,
\begin{array} { r l } { F _ { i i d } } & { = - [ ( a _ { 1 } + a _ { 2 } ) a _ { 3 } \delta _ { ( 1 ) } - \frac { [ ( a _ { 1 } + a _ { 2 } ) a _ { 4 } \theta - a _ { 2 } a _ { 3 } z ] \delta _ { ( 2 ) } } { 2 } } \\ & { - \frac { a _ { 2 } a _ { 4 } \theta z \delta _ { ( 3 ) } } { 6 } ] , } \\ { J _ { i i d } } & { = - [ ( a _ { 1 } + a _ { 2 } ) ( a _ { 5 } + a _ { 6 } ) \delta _ { ( 1 ) } } \\ & { + \frac { z ( a _ { 2 } a _ { 5 } + a _ { 1 } a _ { 6 } + 2 a _ { 2 } a _ { 6 } ) \delta _ { ( 2 ) } } { 2 } + \frac { z a _ { 2 } a _ { 6 } \delta _ { ( 3 ) } } { 6 } ] , } \\ { O _ { i i d } } & { = - [ a _ { 3 } ( a _ { 5 } + a _ { 6 } ) \delta _ { ( 1 ) } + \frac { ( z a _ { 3 } a _ { 6 } - \theta a _ { 4 } ( a _ { 5 } + a _ { 6 } ) ) \delta _ { ( 2 ) } } { 2 } } \\ & { - \frac { z a _ { 4 } a _ { 6 } \theta \delta _ { ( 3 ) } } { 6 } ] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { H } \; \Psi _ { i } ( \vec { r } _ { 1 } , \ldots , \vec { r } _ { A } ) } & { { } = } & { E _ { i } \, \Psi _ { i } ( \vec { r } _ { 1 } , \ldots , \vec { r } _ { A } ) \, , } \end{array}
\dot { \bf r } _ { k } = \frac { { \bf p } _ { k } } { m _ { k } } \quad \mathrm { a n d } \quad \dot { \bf p } _ { k } = - \int { \nabla _ { k } \mathcal { V } _ { \mathrm { e x t } } ( { \bf x } ) \rho ( { \bf x } ) \ \mathrm { d } { \bf x } } - \nabla _ { k } H _ { \mathrm { p o t } } ^ { \mathrm { n } } ,
\begin{array} { r } { \tilde { J } ( \tilde { \alpha } ) = \frac { \left( \partial _ { \tilde { \alpha } } \tilde { M } ( \tilde { \alpha } , u _ { \mathrm { ~ t ~ h ~ } } ) \right) ^ { 2 } } { \tilde { M } ( \tilde { \alpha } , u _ { \mathrm { ~ t ~ h ~ } } ) \tilde { S } ( \tilde { \alpha } , u _ { \mathrm { ~ t ~ h ~ } } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { \lambda } } & { = \rho _ { \lambda } ( \| T \| _ { 2 } ^ { 2 } + \nu _ { \lambda } ^ { 2 } \| D \| _ { 2 } ^ { 2 } ) ^ { - 1 } , } \\ { \tau _ { \lambda } } & { = \rho _ { \lambda } ^ { - 1 } ( \| T \| _ { 2 } ^ { 2 } + \nu _ { \lambda } ^ { 2 } \| D \| _ { 2 } ^ { 2 } ) ^ { - 1 } , } \\ { \sigma _ { \mu } } & { = \rho _ { \mu } ( \| P \| _ { 2 } ^ { 2 } + \nu _ { \mu } ^ { 2 } \| D \| _ { 2 } ^ { 2 } ) ^ { - 1 } , } \\ { \tau _ { \mu } } & { = \rho _ { \mu } ^ { - 1 } ( \| P \| _ { 2 } ^ { 2 } + \nu _ { \mu } ^ { 2 } \| D \| _ { 2 } ^ { 2 } ) ^ { - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\lVert \theta _ { e q } ^ { ( - ) } \right\rVert _ { w ^ { k - 1 } } \leq \frac { \gamma } { \sqrt { \operatorname* { m a x } _ { i } ( w _ { i } ^ { k - 1 } ) } } \implies \left\lVert \theta _ { e q } ^ { ( - ) } \right\rVert _ { \infty } \leq \gamma \implies \cos \left( \theta _ { e q } ^ { ( - ) } \right) > 0 \, , } \end{array}
I _ { \dot { \mathbf { E } } } = \int _ { - L _ { \mathrm { c l d } } / 2 } ^ { L _ { \mathrm { c l d } } / 2 } \int _ { 0 } ^ { \Delta R } \frac { \rho } { B ^ { 2 } } \frac { d E _ { y } } { d t } \hat { y } \cdot \hat { y } d R d z = \frac { \bar { n } \langle m _ { i } \rangle \Delta R } { ( 1 + \langle Z \rangle ) B ^ { 2 } } \frac { d E _ { y } } { d t } ,
\mathbf { x } = { \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { x } _ { 1 } } \\ { \mathbf { x } _ { 2 } } \end{array} \right] } { \mathrm { ~ w i t h ~ s i z e s ~ } } { \left[ \begin{array} { l } { q \times 1 } \\ { ( N - q ) \times 1 } \end{array} \right] }
\begin{array} { r l } { \{ \phi _ { i } ( \mathbf { u } ) \} } & { { } = \{ 1 , u _ { x } , u _ { x } ^ { 2 } , u _ { x } ^ { 3 } , u _ { x } ^ { 4 } , u _ { r } ^ { 2 } , u _ { r } ^ { 4 } , u _ { x } u _ { r } ^ { 2 } , u _ { x } ^ { 2 } u _ { r } ^ { 2 } \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { U _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ s ~ t ~ r ~ a ~ i ~ n ~ t ~ } } ( \mathbf { x } ; \mathbf { z } ) } & { { } = \sum _ { i ; z _ { i } = 1 } U _ { \mathrm { ~ f ~ b ~ } } ( r _ { c , i } ) + \mathrm { ~ c ~ o ~ n ~ s ~ t ~ a ~ n ~ t ~ } } \end{array}
- \left[ ( \ln G ) ^ { \prime } + { \frac { 1 } { r } } \right] \left[ ( p + 1 ) ( \ln B ) ^ { \prime } + ( d - 2 ) ( \ln G ) ^ { \prime } \right] - ( \ln G ) ^ { \prime \prime } - { \frac { d - 1 } { r } } ( \ln G ) ^ { \prime }
E _ { \alpha _ { j } } ( \mathbf { r } , t ) = E _ { \alpha _ { j } } ( \mathbf { 0 } , t ) \left( 1 - i \mathbf { q } _ { j } \cdot \hat { \mathbf { r } } \right) + \mathcal { O } ( \mathbf { q } ^ { 2 } ) \mathrm { ~ . ~ }
{ \begin{array} { r l } { { \sqrt { 2 } } } & { = { \frac { 3 } { 2 } } - 2 \left( { \frac { 1 } { 4 } } - \left( { \frac { 1 } { 4 } } - { \bigl ( } { \frac { 1 } { 4 } } - \cdots { \bigr ) } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } \\ & { = { \frac { 3 } { 2 } } - 4 \left( { \frac { 1 } { 8 } } + \left( { \frac { 1 } { 8 } } + { \bigl ( } { \frac { 1 } { 8 } } + \cdots { \bigr ) } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \right) ^ { 2 } . } \end{array} }
\nabla \varphi = \sum _ { i } { \frac { \partial \varphi } { \partial q ^ { i } } } ~ \mathbf { b } ^ { i } = \sum _ { i } \sum _ { j } { \frac { \partial \varphi } { \partial q ^ { i } } } ~ g ^ { i j } ~ \mathbf { b } _ { j } = \sum _ { i } { \cfrac { 1 } { h _ { i } ^ { 2 } } } ~ { \frac { \partial f } { \partial q ^ { i } } } ~ \mathbf { b } _ { i } ~ ; ~ ~ \nabla \mathbf { v } = \sum _ { i } { \cfrac { 1 } { h _ { i } ^ { 2 } } } ~ { \frac { \partial \mathbf { v } } { \partial q ^ { i } } } \otimes \mathbf { b } _ { i }
\begin{array} { r l } & { \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } g _ { i } ( h ) ( u , v ) = \mu \int _ { \Omega } \nabla ( h : \nabla u ) \nabla \bar { v } \, \mathrm { d } x } \\ & { + ( \lambda + \mu ) \int _ { \Omega } \nabla \cdot ( \nabla u \cdot h ) ( \nabla \cdot \bar { v } ) \, \mathrm { d } x - ( \lambda + \mu ) \int _ { S _ { R } } ( \nabla \cdot u ) ( \nabla \cdot \bar { v } ) ( n \cdot h ) \, \mathrm { d } s } \\ & { - \mu \int _ { S _ { R } } ( h \cdot n ) ( \nabla u : \nabla \bar { v } ) \, \mathrm { d } s + \omega ^ { 2 } \int _ { S _ { R } } ( u \cdot \bar { v } ) ( h \cdot n ) \, \mathrm { d } s = B ( w _ { h } + u ^ { * } , v ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { \varepsilon } ^ { - 1 } ( z _ { \varepsilon } ^ { \prime } + z , A ^ { \prime } / \varepsilon , \tau / \varepsilon ) } & { = \left( \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { 2 z - \frac { k _ { 0 } ^ { \prime } } { 4 \sin k _ { 0 } ^ { \prime } } \frac { \tau ^ { 4 } } { \varepsilon ^ { 2 } } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) + O ( \varepsilon ^ { 1 / 2 } ) } \end{array}
\lambda = 2 y _ { \mathrm { m a x } } = 2 \frac { 1 } { 2 } \ln \left( \frac { \gamma + \gamma \beta } { \gamma - \gamma \beta } \right) = \ln \left( \frac { 1 + \beta } { 1 - \beta } \right) = \ln \left( \frac { 1 + \beta ^ { 2 } + 2 \beta } { 1 - \beta ^ { 2 } } \right) ~ ,
\left( \mu _ { 3 } ^ { A } , \bar { \Phi } _ { B } ^ { ( 2 ) } \right) _ { 1 } = \delta _ { B } ^ { A } , \; \left( \bar { \Phi } _ { A } ^ { ( 3 ) } , \mu _ { 2 } ^ { B } \right) _ { 1 } = \delta _ { A } ^ { B } , \; \left( \nu _ { 1 } ^ { A } , \tilde { \Phi } _ { B } \right) _ { 1 } = \delta _ { B } ^ { A } .
\mathbf { v } = \left[ { \begin{array} { l l l l l } { v _ { 1 } } & { v _ { 2 } } & { \cdots } & { v _ { n - 1 } } & { v _ { n } } \end{array} } \right] = \left( { \begin{array} { l l l l l } { v _ { 1 } } & { v _ { 2 } } & { \cdots } & { v _ { n - 1 } } & { v _ { n } } \end{array} } \right)
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { \tau } \int _ { 0 } ^ { 1 } \Big [ \partial _ { t } ^ { 2 } \big ( ( \partial _ { t } } & { + 1 ) ( \partial _ { t } + i k U _ { \mathrm { s h } } ( y ) ) - \partial _ { y } ^ { 2 } \big ) \partial _ { y } \psi _ { k } \Big ] ( t , y ) \overline { { \omega _ { \tau , k } ( t , y ) } } d y d t } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \tau } \int _ { 0 } ^ { 1 } \Big [ \big ( ( \partial _ { t } + 1 ) ( \partial _ { t } + i k U _ { \mathrm { s h } } ( y ) ) - \partial _ { y } ^ { 2 } \big ) \partial _ { y } \psi _ { k } \Big ] ( t , y ) \overline { { \partial _ { t } ^ { 2 } \omega _ { \tau , k } ( t , y ) } } d y d t + } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { 1 } \Big ( i k U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime } ( y ) \Phi _ { \mathrm { i n } , k } ( y ) + u _ { t , \mathrm { i n } , k } ( y ) \Big ) \overline { { \omega _ { \tau , k } ( 0 , y ) } } d y - \int _ { 0 } ^ { 1 } u _ { \mathrm { i n } , k } ( y ) \overline { { \partial _ { t } \omega _ { \tau , k } ( 0 , y ) } } d y . } \end{array}
\begin{array} { r l } { S ( \beta _ { 1 } , \beta _ { 2 } ) = { } } & { { } \left[ 6 - ( \beta _ { 1 } + 1 \beta _ { 2 } ) \right] ^ { 2 } + \left[ 5 - ( \beta _ { 1 } + 2 \beta _ { 2 } ) \right] ^ { 2 } } \\ { = { } } & { { } 4 \beta _ { 1 } ^ { 2 } + 3 0 \beta _ { 2 } ^ { 2 } + 2 0 \beta _ { 1 } \beta _ { 2 } - 5 6 \beta _ { 1 } - 1 5 4 \beta _ { 2 } + 2 1 0 . } \end{array}
\operatorname* { m a x } _ { \hat { x } } \left( \beta _ { d } - \sum _ { i } \alpha _ { i } | \langle \hat { n } _ { i } , \hat { x } \rangle | \right) \ge \frac { 1 } { 2 } \left\lVert \sum _ { i } \alpha _ { i } | \langle \hat { n } _ { i } , \hat { x } \rangle | - \beta _ { d } \right\rVert _ { L ^ { 1 } } \ge \frac { 1 } { 2 } \left\lVert \sum _ { i } \alpha _ { i } | \langle \hat { n } _ { i } , \hat { x } \rangle | - \beta _ { d } \right\rVert _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } \ge \frac { 1 } { 2 } c _ { d } ^ { 2 } n ^ { - \frac { d + 2 } { d - 1 } } .