harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { N } & { = } & { N _ { f } + N _ { b } , \ \ \Delta N = N _ { f } - N _ { b } , } \\ { v _ { p } } & { = } & { \frac { v _ { p } ^ { + } + v _ { p } ^ { - } } { 2 } , \ \ \Delta v _ { p } = v _ { p } ^ { + } - v _ { p } ^ { - } , } \\ { \sigma _ { S } } & { = } & { \frac { \sigma _ { f } + \sigma _ { b } } { 2 } = - K ( L - L _ { 0 } ) - \frac { \tilde { \xi } } { 2 } \left[ N \left( \frac { d L / d t } { 2 } - v _ { p } \right) + \Delta N \left( V _ { \mathrm { c e l l } } - \frac { \Delta v _ { p } } { 2 } \right) \right] , } \\ { \sigma _ { A } } & { = } & { \frac { \sigma _ { f } - \sigma _ { b } } { 2 } = - \frac { \tilde { \xi } } { 2 } \left[ N \left( V _ { \mathrm { c e l l } } - \frac { \Delta v _ { p } } { 2 } \right) + \Delta N \left( \frac { d L / d t } { 2 } - v _ { p } \right) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { A } _ { f \leftarrow g } ^ { ( 2 ) } } & { = - i \sum _ { i j \mu \nu } \epsilon _ { j } ^ { \nu } \epsilon _ { i } ^ { \mu } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \omega \, \, \tilde { F } _ { j } ( \omega _ { f g } - \omega ) \tilde { F } _ { i } ( \omega ) \times } \\ & { \times \langle f | \mathcal { O } _ { \nu } \, G _ { 0 } ^ { + } ( \omega _ { g } + \omega ) \, \mathcal { O } _ { \mu } | g \rangle } \end{array}
\begin{array} { r } { \overline { { v _ { o } ^ { 2 } } } \frac { \partial U } { \partial y } = u _ { * } ^ { 2 } v _ { o } ^ { 2 } u _ { * } \frac { \partial U _ { o } } { \partial y _ { o } } \frac { U _ { e } } { x u _ { * } } , } \\ { \frac { x } { U _ { e } u _ { * } ^ { 2 } } \overline { { v ^ { 2 } } } \frac { \partial U } { \partial y } = \overline { { v _ { o } ^ { 2 } } } \frac { \partial U _ { o } } { \partial y _ { o } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { d A } & { = } & { \frac { \langle \phi _ { \mathrm { p } } | \phi _ { \mathrm { p } } + \delta \phi _ { \mathrm { p } } \rangle - \langle \phi _ { \mathrm { p } } | \phi _ { \mathrm { p } } \rangle } { \langle \phi _ { \mathrm { p } } | \phi _ { \mathrm { p } } \rangle } \equiv \left\langle \frac { \delta } { \delta \phi _ { \mathrm { p } } } \right\rangle \cdot \delta \phi _ { \mathrm { p } } , } \end{array}
\phi ^ { \ell + \frac { 1 } { 2 } } = \operatorname* { m i n } \left( \phi _ { - } ^ { \ell + \frac { 1 } { 2 } } , \phi _ { + } ^ { \ell + \frac { 1 } { 2 } } \right) , \quad \textnormal { w i t h } \quad \phi _ { \pm } ^ { \ell + \frac { 1 } { 2 } } = \operatorname* { m a x } \left( 0 , \operatorname* { m i n } \left( 1 , h _ { \pm } ^ { \ell + \frac { 1 } { 2 } } \right) \right) ,
\vec { j } ( t , x _ { 1 } , x _ { 2 } ) = \left( \begin{array} { l } { - 1 0 ( t ^ { 2 } - x _ { 2 } ^ { 2 } + x _ { 2 } ) } \\ { 2 ( t ^ { 2 } - x _ { 1 } ^ { 2 } + x _ { 1 } ) } \end{array} \right) + \left( \begin{array} { l } { 2 t ^ { 3 } \sin ( \pi x _ { 1 } ) + 6 t \sin ( \pi x _ { 1 } ) x _ { 2 } ( 1 - x _ { 2 } ) } \\ { \pi t ^ { 3 } ( 1 - 2 x _ { 2 } ) \cos ( \pi x _ { 1 } ) } \end{array} \right) , \; ( t , x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \in Q .
\underline { { \varphi } } = \begin{array} { l } { \left( \begin{array} { l } { \rho } \\ { \rho u } \\ { \rho v } \\ { \rho H } \end{array} \right) } \end{array} , \quad \underline { { P } } = p \underline { { \Pi } } = p \begin{array} { l } { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { n _ { x } } \\ { n _ { y } } \\ { 0 } \end{array} \right) } \end{array} , \quad \delta \underline { { P } } = \delta p \underline { { \Pi } }
\tan { \frac { 1 1 \pi } { 6 0 } } = \tan 3 3 ^ { \circ } = { \frac { 1 } { 4 } } \left[ 2 - \left( 2 - { \sqrt { 3 } } \right) \left( 3 + { \sqrt { 5 } } \right) \right] \left[ 2 + { \sqrt { 2 \left( 5 - { \sqrt { 5 } } \right) } } \, \right]
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { x , \pi , y } \ } & { \ \pi _ { 1 } + \pi _ { 2 } } \\ { \mathrm { s . t . } \ } & { \ x _ { 1 } + x _ { 2 } = 4 . 5 \rightarrow \mathrm { U p p e r - l e v e l ~ C o n s t r a i n t } } \\ & { \left. \begin{array} { l } { 1 \leq x _ { 1 } \leq 3 , \ 1 \leq y _ { 1 } \leq 3 } \\ { - 1 \leq - x _ { 1 } + y _ { 1 } \leq 1 } \\ { x _ { 1 } + y _ { 1 } \leq \pi _ { 1 } \leq 7 } \end{array} \right\} \mathrm { L o w e r ~ S y s . ~ 1 } } \\ & { \left. \begin{array} { l } { 1 \leq x _ { 2 } \leq 3 , \ 1 \leq y _ { 2 } \leq 3 } \\ { - 1 \leq - x _ { 2 } + y _ { 2 } \leq 1 } \\ { 1 . 5 \times ( x _ { 2 } + y _ { 2 } ) \leq \pi _ { 2 } \leq 1 0 } \end{array} \right\} \mathrm { L o w e r ~ S y s . ~ 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left\langle - \frac { I _ { 2 3 } } { 2 } \sin \theta \, \frac { \sin 2 w } { r ^ { 3 } } \right\rangle _ { M , \varpi } = } & { { } } & { } \\ { \frac { m _ { 0 } R ^ { 5 } } { 3 2 i a ^ { 6 } } \sin ^ { 2 } \theta \sum _ { k } 2 K ( \omega - k n ) \Big [ \cos \theta \left( ( X _ { k } ^ { - 3 , 2 } ) ^ { 2 } - ( X _ { k } ^ { - 3 , - 2 } ) ^ { 2 } \right) + \left( ( X _ { k } ^ { - 3 , 2 } ) ^ { 2 } + ( X _ { k } ^ { - 3 , - 2 } ) ^ { 2 } \right) \Big ] } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { f \left( \textbf { x } , \mathrm { u } ; w \right) } & { = 0 , \quad \quad \quad \mathrm { x } \in \Gamma _ { f } } \\ & { = \nabla ^ { 2 } u } \\ & { = \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial y ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial z ^ { 2 } } } \\ & { = \frac { \partial w } { \partial x } \frac { \partial } { \partial w } \left( \frac { \partial w } { \partial x } \frac { \partial u } { \partial w } \right) + \frac { \partial w } { \partial y } \frac { \partial } { \partial w } \left( \frac { \partial w } { \partial y } \frac { \partial u } { \partial w } \right) + \frac { \partial w } { \partial z } \frac { \partial } { \partial w } \left( \frac { \partial w } { \partial z } \frac { \partial u } { \partial w } \right) , } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( c \circ _ { r ( b ) } c ^ { * _ { r ( b ) } } ) \circ _ { r ( b ) } c } & { = ( e _ { 2 2 } \circ _ { e _ { 1 2 } } e _ { 1 1 } ) \circ _ { e _ { 1 2 } } e _ { 2 2 } + ( c _ { 0 } \circ _ { r ( b _ { 0 } ) } c _ { 0 } ^ { * _ { r ( b _ { 0 } ) } } ) \circ _ { r ( b _ { 0 } ) } c _ { 0 } } \\ & { = \frac 1 2 e _ { 1 2 } \circ _ { e _ { 1 2 } } e _ { 2 2 } + ( c _ { 0 } \circ _ { r ( b _ { 0 } ) } c _ { 0 } ^ { * _ { r ( b _ { 0 } ) } } ) \circ _ { r ( b _ { 0 } ) } c _ { 0 } = \frac 1 2 e _ { 2 2 } + ( c _ { 0 } \circ _ { r ( b _ { 0 } ) } c _ { 0 } ^ { * _ { r ( b _ { 0 } ) } } ) \circ _ { r ( b _ { 0 } ) } c _ { 0 } , } \end{array}
\begin{array} { l } { { \displaystyle { \bf D } = \sum _ { i } f _ { i } { \bf C } _ { i } { \bf C } _ { i } ^ { T } } , } \\ { ~ ~ } \\ { { \displaystyle { \bf C } _ { i } ^ { T } { \bf S } { \bf C } _ { j } = \delta _ { i , j } } , \ ~ } \\ { { \displaystyle \sum _ { i } f _ { i } = N _ { \mathrm { o c c } } } . } \end{array}
\langle \delta \theta ^ { 2 } \rangle = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } S _ { \delta \theta } \, d \omega = \frac { k _ { B } T } { I } \frac { \Gamma } { \Gamma ^ { \prime } } \frac { 1 } { \omega _ { m } ^ { \prime \, 2 } } + \frac { 2 \beta ^ { 2 } P _ { \mathrm { o p t } } ^ { 2 } \tau _ { 0 } ^ { 2 } G _ { D } ^ { 2 } } { I ^ { 2 } \Gamma ^ { \prime } } S _ { \theta _ { n } }
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \tilde { r } } \frac { \partial } { \partial \tilde { r } } \left[ \tilde { r } \frac { \partial \psi } { \partial \tilde { r } } \right] } & { { } + \frac { 1 } { \tilde { r } ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } \psi } { \partial \tilde { \phi } ^ { 2 } } = \frac { 2 \tilde { r } ^ { 2 } - \tilde { r } _ { b } ^ { 2 } } { 2 \tilde { r } \sqrt { \tilde { r } ^ { 2 } - \tilde { r } _ { b } ^ { 2 } } } \theta ( \tilde { r } - \tilde { r } _ { b } ) - 1 } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial u } { \partial t } + u \frac { \partial u } { \partial x } + v \frac { \partial u } { \partial y } = - \frac { 1 } { \rho } \frac { \partial P } { \partial x } + \nu \left( { \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial y ^ { 2 } } } \right) ~ ( a ) } \\ { \frac { \partial v } { \partial t } + u \frac { \partial v } { \partial x } + v \frac { \partial v } { \partial y } = - \frac { 1 } { \rho } \frac { \partial P } { \partial y } + \nu \left( { \frac { \partial ^ { 2 } v } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } v } { \partial y ^ { 2 } } } \right) ~ ( b ) } \end{array}
\tan 2 \theta _ { m } = \frac { 2 H _ { 1 2 } } { H _ { 2 2 } - H _ { 1 1 } } = \frac { \Delta \sin { 2 \theta _ { M } } + V _ { G } \sin { 2 \theta _ { G } } } { V _ { e } + \Delta \cos { 2 \theta _ { M } } + V _ { G } \cos { 2 \theta _ { G } } } .
\left\{ \begin{array} { l l } { R _ { \mathrm { l } } ( x ) = \eta _ { \mathrm { r } } P _ { \mathrm { r } } ( x ) \exp ( \frac { - L } { \lambda } ) } \\ { R _ { \mathrm { r } } ( x ) = \eta _ { \mathrm { l } } P _ { \mathrm { l } } ( x ) \exp ( \frac { - L } { \lambda } ) \ . } \end{array} \right.
\rho ( x , y ) = \frac { ( \rho _ { l } + \rho _ { g } ) } { 2 } - \frac { ( \rho _ { l } - \rho _ { g } ) } { 2 } \mathrm { ~ t ~ a ~ n ~ h ~ } \left\{ \frac { 2 \left[ \sqrt { ( x - x _ { c } ) ^ { 2 } + ( y - y _ { c } ) ^ { 2 } } - R \right] } { W } \right\}
\begin{array} { r } { \sum _ { t = S } ^ { T - 1 } \eta _ { t } \hat { \rho } g ( { \mathbf x } ^ { ( t ) } ) \mathbb { I } ( \bar { \omega } ^ { ( t ) } > \epsilon _ { t } ) \geq \sum _ { t = S } ^ { T - 1 } \eta _ { t } \hat { \rho } \left( \epsilon _ { t } - \sqrt { \frac { 3 } { B } } \sigma \sqrt { \ln ( ( T - S ) / \delta ) } \right) \mathbb { I } ( \bar { \omega } ^ { ( t ) } > \epsilon _ { t } ) . } \end{array}
m _ { j \rightarrow { i } } ^ { ( l ) } = \Phi ^ { ( l ) } \left( v _ { j } ^ { ( l - 1 ) } + e _ { i j } ^ { ( l - 1 ) } + v _ { i } ^ { ( l - 1 ) } \right) \odot v _ { j } ^ { ( l - 1 ) } , \qquad \forall j \in \mathcal { N } ( i ) ,
\begin{array} { r l r } { \frac { P _ { i e } } { \rho _ { p } ^ { 2 } } } & { { } \approx } & { \sum _ { l = D , T , p , B , \alpha } \frac { n _ { l } } { m _ { p } ^ { 2 } \, n _ { p } ^ { 2 } \, t _ { l e } ^ { e q } } \, \left( k T _ { i } - k T _ { e } \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { p \left( { \bf X } | \boldsymbol { \mathcal { O } } \right) } & { \propto \prod _ { i } \left\{ p ( x _ { i } ^ { 0 } ) \prod _ { t = 0 } ^ { T - 1 } \left[ \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , x _ { i } ^ { t } } \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) e ^ { \sum _ { k \in \partial i } \nu _ { k i } ^ { t } x _ { k } ^ { t } } + \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , 1 } \left( 1 - \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) e ^ { \sum _ { k \in \partial i } \nu _ { k i } ^ { t } x _ { k } ^ { t } } \right) \right] p \left( { O } _ { i } ^ { t } \mid x _ { i } ^ { t } \right) \right\} p \left( { O } _ { i } ^ { T } \mid x _ { i } ^ { T } \right) , } \end{array}
Q = \frac { 1 } { 2 \pi } \left\{ { \arctan } ( 2 { \pi } { \ell } ) + m \pi + 2 { \pi } { \ell } \left( 1 - \frac { 1 } { \sqrt { 1 + 4 { \pi } ^ { 2 } { \ell } ^ { 2 } } } \right) \right\}
l A _ { 1 } + n B _ { 1 } = l U _ { l } ^ { n } S t r \left( \ldots \phi ^ { i _ { 2 k - 1 } ^ { \prime } } \ldots \underbrace { \partial _ { a _ { l } } \phi ^ { j _ { l } } \phi ^ { i _ { 2 k } ^ { \prime } } } \ldots \right) + n U _ { l } ^ { n } S t r \left( \ldots \phi ^ { i _ { 2 k - 1 } ^ { \prime } } \ldots \underbrace { \phi ^ { i _ { n } } \phi ^ { i _ { 2 k } ^ { \prime } } } \ldots \partial _ { a _ { l } } \phi ^ { j _ { l } } \ldots \right)
p ^ { l } ( \rho ^ { l } , \mathscr { E } ^ { l } , \mathrm { d e v } ( \mathbf { H } _ { e } ^ { l } ) ) = p _ { \mathrm { r e f } } ^ { l } ( \rho ^ { l } , \mathrm { d e v } ( \mathbf { H } _ { e } ^ { l } ) ) + \rho ^ { l } \Gamma ^ { l } ( \rho ^ { l } ) ( \mathscr { E } ^ { l } - \mathscr { E } _ { \mathrm { r e f } } ^ { l } ( \rho ^ { l } , \mathrm { d e v } ( \mathbf { H } _ { e } ^ { l } ) ) )
\begin{array} { r l } { I _ { e } ( V ) } & { = \frac { 1 } { 4 } e S _ { e f f } ^ { e } v _ { e } \frac { n _ { + } ^ { s } } { 1 + \alpha _ { s } } \bigg ( 2 \sqrt { e \frac { V - V _ { s } } { \pi T _ { e } } } + \exp { \bigg ( e \frac { V - V _ { s } } { T _ { e } } } \bigg ) \mathrm { e r f c } \bigg ( { \sqrt { e \frac { V - V _ { s } } { T _ { e } } } } \bigg ) \bigg ) } \\ { I _ { + } ( V ) } & { = e S _ { e f f } ^ { + } ( V ) u _ { B } ^ { + } n _ { + } ^ { s } \exp \bigg ( { e \frac { V _ { s } - V } { T _ { + } } } \bigg ) } \\ { I _ { - } ( V ) } & { = e S _ { e f f } ^ { - } ( V ) n _ { + } ^ { s } u _ { B } ^ { - } \frac { \alpha _ { s } } { 1 + \alpha _ { s } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \nu ^ { 2 } } & { = } & { \Big ( h + \eta ^ { 2 } \tilde { k } ^ { 2 } \Big ) \Big ( 1 + h + \eta ^ { 2 } \tilde { k } ^ { 2 } \Big ) } \\ & { } & { - \xi ( \tilde { k } ) \Big [ 1 - \xi ( \tilde { k } ) + h + \eta ^ { 2 } \tilde { k } ^ { 2 } \Big ] \cos ^ { 2 } { \varphi } } \\ & { } & { + \xi ( \tilde { k } ) \Big [ 1 - \xi ( \tilde { k } ) \Big ] } \end{array}
\Delta _ { ( \alpha = 1 ) } ^ { i j } = \left( \begin{array} { c c } { { \Delta _ { 1 } ^ { 0 } } } & { { \frac { \Delta _ { 2 } ^ { 0 } } { \sqrt { 2 } } } } \\ { { \frac { \Delta _ { 2 } ^ { 0 } } { \sqrt { 2 } } } } & { { \Delta _ { 3 } ^ { 0 } } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \hat { \langle U _ { 2 } \rangle } ^ { \prime \prime } } & { = \hat { \langle U _ { 2 } \rangle } ^ { - ^ { \prime \prime } } ( R _ { 2 } ) + [ \hat { \langle U _ { 2 } \rangle } ^ { + ^ { \prime \prime } } ( R _ { 2 } ) - \hat { \langle U _ { 2 } \rangle } ^ { - ^ { \prime \prime } } ( R _ { 2 } ) ] \mathcal { H } ( R _ { 2 } ) + [ \hat { \langle U _ { 2 } \rangle } ^ { + ^ { \prime } } ( R _ { 2 } ) - \hat { \langle U _ { 2 } \rangle } ^ { - ^ { \prime } } ( R _ { 2 } ) ] \delta ( R _ { 2 } ) . } \end{array}
V = V _ { 1 } + V _ { 2 } = \Phi _ { A ( 2 ) } ^ { * } \frac { \stackrel { \rightarrow } { \delta } } { \delta { \bar { \Phi } } _ { A } } - \Phi _ { A ( 1 ) } ^ { * } \frac { \stackrel { \rightarrow } { \delta } } { \delta { \bar { \Phi } } _ { A } } .
\lambda _ { r _ { 1 } \cdots r _ { d } } ^ { S } = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle { \prod _ { S \ni r \neq r _ { 1 } , \cdots , r _ { d } } s _ { r } } } & { ( r _ { 1 } , \cdots , r _ { d } \; \mathrm { ~ a ~ r ~ e ~ d ~ i ~ s ~ t ~ i ~ n ~ c ~ t ~ } ) } \\ { \quad \quad \; 0 } & { ( \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } ) } \end{array} \right.
{ \begin{array} { r l } & { { \begin{array} { l l l l } { + 2 a + b - c = a _ { 1 } \quad } & { - 2 a + 2 b + 2 c = b _ { 1 } \quad } & { - 2 a + b + 3 c = c _ { 1 } } & { \quad \to \left[ { \mathrm { ~ } } a _ { 1 } , { \mathrm { ~ } } b _ { 1 } , { \mathrm { ~ } } c _ { 1 } \right] } \end{array} } } \\ & { { \begin{array} { l l l l } { + 2 a + b + c = a _ { 2 } \quad } & { + 2 a - 2 b + 2 c = b _ { 2 } \quad } & { + 2 a - b + 3 c = c _ { 2 } } & { \quad \to \left[ { \mathrm { ~ } } a _ { 2 } , { \mathrm { ~ } } b _ { 2 } , { \mathrm { ~ } } c _ { 2 } \right] } \end{array} } } \\ & { { \begin{array} { l l l l } { + 2 a - b + c = a _ { 3 } \quad } & { + 2 a + 2 b + 2 c = b _ { 3 } \quad } & { + 2 a + b + 3 c = c _ { 3 } } & { \quad \to \left[ { \mathrm { ~ } } a _ { 3 } , { \mathrm { ~ } } b _ { 3 } , { \mathrm { ~ } } c _ { 3 } \right] } \end{array} } } \\ & { } \end{array} }
\begin{array} { r } { \mathbb { R } ^ { N _ { [ n ] } } = \mathrm { ~ k ~ e ~ r ~ } ( { \bf L } _ { [ n ] } ) \oplus \mathrm { ~ i ~ m ~ } ( { \bf L } _ { [ n ] } ^ { u p } ) \oplus \mathrm { ~ i ~ m ~ } ( { \bf L } _ { [ n ] } ^ { d o w n } ) . } \end{array}
\tilde { \bf T } \cdot \left( \begin{array} { l } { e ^ { i \theta } e ^ { \gamma } } \\ { e ^ { - i \theta } e ^ { - \gamma } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { ( \bar { T } + i T _ { x y } ) e ^ { i \theta } e ^ { \gamma } + \Delta T e ^ { - i \theta } e ^ { - \gamma } } \\ { ( \bar { T } - i T _ { x y } ) e ^ { - i \theta } e ^ { - \gamma } + \Delta T e ^ { i \theta } e ^ { \gamma } } \end{array} \right)
\mathbf { a } = \frac { 0 } { \gamma _ { v } ^ { 2 } \left( 1 - \frac { \mathbf { v } \cdot \bar { \mathbf { u } } } { c ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } } - \frac { 0 } { v ^ { 2 } \gamma _ { v } ^ { 3 } \left( 1 - \frac { \mathbf { v } \cdot \bar { \mathbf { u } } } { c ^ { 2 } } \right) ^ { 3 } } + \frac { 0 } { v ^ { 2 } \gamma _ { v } ^ { 2 } \left( 1 - \frac { \mathbf { v } \cdot \bar { \mathbf { u } } } { c ^ { 2 } } \right) ^ { 3 } } = 0 .
\sum _ { i = N _ { b o d y } + ( j - 1 ) n + 1 } ^ { N _ { b o d y } + N n } \left( ( \mathbf { y } _ { i } - \mathbf { x } _ { j } ) \times \mathbf { F } _ { i } + \mathbf { T } _ { i } \right) = - \mathbf { m } _ { j } ,
\begin{array} { r l r } { | + \rangle } & { = } & { - \frac { \sqrt { 2 } t } { U } \left( | A T \rangle + | A ^ { * } T ^ { * } \rangle \right) } \\ & { + } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( | A ^ { + } T ^ { - } \rangle + | A ^ { - } T ^ { + } \rangle \right) } \\ & { = } & { \left( - \frac { \sqrt { 2 } t } { U } , - \frac { \sqrt { 2 } t } { U } , \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } , \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \right) ^ { T } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \phi _ { i } ( r , z , T _ { 0 } , T _ { 2 } ) = \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } p _ { i } ^ { ( j ) } ( T _ { 0 } , T _ { 2 } ) \exp ( \alpha _ { j , q } z ) \mathrm { J _ { 0 } } ( \alpha _ { j , q } r ) } \\ { \textrm { a n d } } & { } & { \eta _ { i } ( r , z , T _ { 0 } , T _ { 2 } ) = \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } a _ { i } ^ { ( j ) } ( T _ { 0 } , T _ { 2 } ) \mathrm { J _ { 0 } } ( \alpha _ { j , q } r ) , \quad \alpha _ { j , q } \equiv \frac { l _ { j } } { l _ { q } } , \; i = 1 , 2 , 3 , \; j = 1 , 2 , 3 , 4 \ldots \dots } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { H } ^ { ( 1 ) } = \hat { K } ^ { ( 1 ) } - \frac { 1 } { 2 } \hat { P } ^ { ( 1 ) } \hat { K } ^ { ( 0 ) } - \frac { 1 } { 2 } \hat { K } ^ { ( 0 ) } \hat { P } ^ { ( 1 ) } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { p _ { s _ { \mathrm { f i x } } } ( s ; \mu _ { t _ { a } } , \mu _ { t _ { b } } , \sigma _ { a } , \sigma _ { b } ) = \frac { 1 - \int _ { 0 } ^ { s } p _ { s _ { \mathrm { m i x } } } ( s ^ { \prime } ; \mu _ { t _ { a } } , \mu _ { t _ { b } } , \sigma _ { a } , \sigma _ { b } ) d s ^ { \prime } } { \int _ { 0 } ^ { + \infty } s ^ { \prime } p _ { s _ { \mathrm { m i x } } } ( s ^ { \prime } ; \mu _ { t _ { a } } , \mu _ { t _ { b } } , \sigma _ { a } , \sigma _ { b } ) d s ^ { \prime } } } \\ & { = \frac { 1 - ( 1 - P ) \sum _ { N = 0 } ^ { + \infty } [ F ( s ; a , b , N + 1 ) P _ { N } ( \mu _ { t _ { a } } , \mu _ { t _ { b } } , \sigma _ { a } , \sigma _ { b } , N ) ] + P \sum _ { N = 0 } ^ { + \infty } [ F ( s ; b , a , N + 1 ) P _ { N } ( \mu _ { t _ { b } } , \mu _ { t _ { a } } , \sigma _ { b } , \sigma _ { a } , N ) ] } { ( 1 - P ) \frac { \mu _ { t _ { b } } + \sigma _ { a } + \sigma _ { b } } { \mu _ { t _ { b } } \sigma _ { a } + \mu _ { t _ { a } } ( \mu _ { t _ { b } } + \sigma _ { b } ) } + P \frac { \mu _ { t _ { a } } + \sigma _ { b } + \sigma _ { a } } { \mu _ { t _ { a } } \sigma _ { b } + \mu _ { t _ { b } } ( \mu _ { t _ { a } } + \sigma _ { a } ) } } , } \end{array}
\| Z ( t , 0 ; s , \cdot ) \| _ { L ^ { 1 } } \leq 1 + 8 e ^ { \| g \| _ { L ^ { 1 } } } \left[ \nu ^ { \frac { \beta - 1 } { 2 } } \int _ { s } ^ { t } ( t - r ) ^ { \frac { \beta - 1 } { 2 } } g ( r ) d r + \nu ^ { \frac { \beta - 2 } { 2 } } \| g \| _ { L ^ { 1 } } \int _ { s } ^ { t } ( t - r ) ^ { \frac { \beta - 2 } { 2 } } g ( r ) d r \right] ,
\mathrm { \ e p s i l o n ^ { \ m u \ n u \ a l p h a \ b e t a } k _ { 1 ~ \ a l p h a } k _ { 2 ~ \ b e t a } \ e p s i l o n ^ { \ l a m b d a \ s i g m a \ r h o \ o m e g a } k _ { 1 ~ \ r h o } k _ { 2 ~ \ o m e g a } T r \left[ \ g a m m a ^ { \ l a m b d a } ( \hat { p } _ { 1 } - \hat { k } _ { 1 } + m _ { e } ) \ g a m m a ^ { \ m u } \hat { \Pi } \ g a m m a ^ { \ n u } ( - \hat { p } _ { 2 } + \hat { k } _ { 2 } + m _ { \ m u } ) \ g a m m a ^ { \ s i g m a } \hat { \Pi } ^ { + } \right] } .
2 | \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } \left| a _ { \mathrm { x } } \right| ^ { 2 } \} | ^ { 2 } + 2 | \mathbb { E } \{ \left| a _ { \mathrm { x } } \right| ^ { 2 } a _ { \mathrm { y } } \} | ^ { 2 } + \mathbb { E } \{ \left| a _ { \mathrm { x } } \right| ^ { 2 } a _ { \mathrm { y } } ^ { * } \} \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { y } } \left| a _ { \mathrm { y } } \right| ^ { 2 } \} + | \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } \left| a _ { \mathrm { y } } \right| ^ { 2 } \} | ^ { 2 }
{ \begin{array} { r l } { { \dot { \mathbf { r } } } } & { = { \dot { r } } { \hat { \mathbf { r } } } + r { \dot { \hat { \mathbf { r } } } } = { \dot { r } } { \hat { \mathbf { r } } } + r { \dot { \theta } } { \hat { \boldsymbol { \theta } } } , } \\ { { \ddot { \mathbf { r } } } } & { = \left( { \ddot { r } } { \hat { \mathbf { r } } } + { \dot { r } } { \dot { \hat { \mathbf { r } } } } \right) + \left( { \dot { r } } { \dot { \theta } } { \hat { \boldsymbol { \theta } } } + r { \ddot { \theta } } { \hat { \boldsymbol { \theta } } } + r { \dot { \theta } } { \dot { \hat { \boldsymbol { \theta } } } } \right) = \left( { \ddot { r } } - r { \dot { \theta } } ^ { 2 } \right) { \hat { \mathbf { r } } } + \left( r { \ddot { \theta } } + 2 { \dot { r } } { \dot { \theta } } \right) { \hat { \boldsymbol { \theta } } } . } \end{array} }
\begin{array} { r } { \Delta M _ { i , j , k - 1 / 2 } ^ { n } = \Delta x \Delta y \Delta t _ { n } \left\{ \begin{array} { l l } { D _ { i , j , k } ^ { n } w _ { i , j , k - 1 / 2 } ^ { n } , w _ { i , j , k - 1 / 2 } ^ { n } > 0 } \\ { D _ { i , j , k - 1 } ^ { n } w _ { i , j , k - 1 / 2 } ^ { n } , w _ { i , j , k - 1 / 2 } ^ { n } < 0 } \end{array} \right. , } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \bar { \mathbf { a } } ^ { ( 0 ) } } & { = \mathcal { P } \left( \frac { \Delta t } { 2 } \right) \cdot \left[ \mathbf { a } _ { n } \right] } \\ { \bar { \mathbf { a } } ^ { ( i ) } } & { = \bar { \mathbf { a } } ^ { ( 0 ) } + \frac { \Delta t } { 2 } \mathcal { D } \left[ \bar { \mathbf { a } } ^ { ( i - 1 ) } , t _ { n + 1 / 2 } \right] } \\ { \mathbf { a } _ { n + 1 } } & { = \mathcal { P } \left( \frac { \Delta t } { 2 } \right) \cdot \left[ 2 \bar { \mathbf { a } } ^ { ( i t e r ) } - \bar { \mathbf { a } } ^ { ( 0 ) } \right] } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { N } { i } \left( \Sigma _ { i } ^ { ( N , G ) } - \Sigma _ { i } ^ { ( N + 1 , G ) } \right) } & { = \frac { N } { i } \left( \frac { i } { N } ( 1 + H _ { N } - H _ { i } ) - \frac { i } { N + 1 } ( 1 + H _ { N + 1 } - H _ { i } ) \right) } \\ & { = \frac { 1 } { N + 1 } + H _ { N } - H _ { i } - \frac { N } { N + 1 } ( H _ { N + 1 } - H _ { i } ) } \\ & { = \frac { 1 } { N + 1 } \left( H _ { N + 1 } - H _ { i } \right) . } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { \lambda \to \infty } \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } f ( x ) \sin ( \lambda x ) d x = 0 \quad \Longrightarrow \quad \operatorname* { l i m } _ { \lambda \to \infty } \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } { \frac { \sin ( \lambda x ) } { x } } d x = \operatorname* { l i m } _ { \lambda \to \infty } \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } { \frac { \sin ( \lambda x ) } { \sin ( x ) } } d x .
\begin{array} { r l } { n _ { n u c } ^ { ( 0 ) } ( - \infty ) } & { { } = N _ { p r e } \, , } \\ { n _ { n u c } ^ { ( 0 ) } ( \infty ) } & { { } = N _ { p o s t } \, , } \\ { { \frac { d n _ { n u c } ^ { ( 0 ) } } { d \tau } } ( \pm \infty ) } & { { } = { \frac { d n _ { p r e } ^ { ( 0 ) } } { d t } } ( t _ { 0 } ) = { \frac { d n _ { p o s t } ^ { ( 0 ) } } { d t } } ( t _ { 0 } ) = 0 } \end{array}