harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \psi } ( { \bf { r } } ) \, \rightarrow \, \psi ^ { \prime } ( { \bf { r } } ) = \, \exp \left( i \omega ^ { \alpha } ( { \bf { r } } ) \, { \textstyle \frac { \lambda ^ { \alpha } } { 2 } } \, \right) \, \psi ( { \bf { r } } ) \;
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \| \nabla f _ { \xi } ( w _ { \theta } ) \| ^ { 2 \alpha } } & { \overset { ( i ) } { \le } 2 \mathbb { E } \| \nabla f _ { \xi } ( w _ { \theta } ) - \nabla f _ { \xi } ( w ) \| ^ { 2 \alpha } + 2 \mathbb { E } \| \nabla f _ { \xi } ( w ) \| ^ { 2 \alpha } } \\ & { \overset { ( i i ) } { \le } 2 \big ( \mathbb { E } \| \nabla f _ { \xi } ( w _ { \theta } ) - \nabla f _ { \xi } ( w ) \| ^ { 2 } \big ) ^ { \alpha } + 2 \mathbb { E } \| \nabla f _ { \xi } ( w ) \| ^ { 2 \alpha } } \\ & { \overset { ( i i i ) } { \le } 2 ( 2 4 L _ { 1 } ^ { 2 } ) ^ { \frac { \alpha } { 1 - \alpha } } \| w ^ { \prime } - w \| ^ { \frac { 2 \alpha } { 1 - \alpha } } + 2 ^ { \frac { \alpha } { 1 - \alpha } } L _ { 0 } ^ { 2 } L _ { 1 } ^ { - 2 } + \big ( 2 ^ { \frac { 1 } { 1 - \alpha } } + 2 \big ) \mathbb { E } _ { \xi } \| \nabla f _ { \xi } ( w ) \| ^ { 2 \alpha } } \end{array}
\oint _ { C } \frac { d \zeta } { \zeta ^ { j } } \hat { f } = \sum _ { \alpha } \oint _ { \Gamma _ { \alpha } } \frac { d \zeta } { \zeta ^ { j } } \ 2 \log \left( \eta ( \zeta ) - P _ { \alpha } ( \zeta ) \right) + 4 \mu \oint _ { 0 } \frac { d \zeta } { \zeta ^ { j + 1 } } \eta .
\mathcal { S } _ { \underline { { A } } ( \omega ) } ^ { * } : = \mathcal { S } _ { \underline { { A } } ( \omega ) } \setminus \mathcal { X } = \left( Q _ { \underline { { A } } ( \omega ) } \setminus \left( \mathcal { X } ^ { \prime } \cup \bigcup _ { 1 \leq i < j < k \leq 4 } \{ p _ { i , j , k } ^ { 0 } \} \right) \right) \cup \bigcup _ { i = 1 , 2 , 3 , 4 } ( S _ { \underline { { A } } ( \omega ) , i } ^ { \infty } \setminus \mathcal { X } ) .
V _ { G } ( \phi _ { 0 } ) = { \frac { 1 } { V } } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - i ) ^ { n } } { n ! } \int _ { - \infty } ^ { 0 } d t _ { n } . . . \int _ { - \infty } ^ { 0 } d t _ { n } \langle 0 | T ( H _ { I } ( 0 ) H _ { I } ( t _ { 1 } ) . . . H _ { I } ( t _ { n } ) ) | 0 { \rangle } _ { c o n n }
\begin{array} { r } { \varepsilon _ { \mathrm { M } } \Delta _ { \mathrm { s } } \phi _ { 0 } \mathopen { } \mathclose \bgroup \left( \zeta ^ { \alpha } \aftergroup \egroup \right) - 4 C _ { \mathrm { M } } \phi _ { 1 } \mathopen { } \mathclose \bgroup \left( \zeta ^ { \alpha } \aftergroup \egroup \right) H = \frac { Q _ { \mathrm { e f f } } \mathopen { } \mathclose \bgroup \left( \zeta ^ { \alpha } \aftergroup \egroup \right) } { \delta } ~ , \quad \forall \zeta ^ { \alpha } \in \Omega ~ , } \end{array}
\mathbf { \Gamma } _ { \mathrm { T M } } = ( \mathbf { Z } _ { \mathrm { t o t } } + \mathbf { Z } _ { 0 } ) ^ { - 1 } \cdot ( \mathbf { Z } _ { 0 } - \mathbf { Z } _ { \mathrm { t o t } } )
F _ { G G G } ^ { G } = \frac { 1 } { 2 } \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 1 } & { \sqrt { 2 } } \\ { 1 } & { 1 } & { - \sqrt { 2 } } \\ { \sqrt { 2 } } & { - \sqrt { 2 } } & { 0 } \end{array} \right) , \, \, R ^ { G G } = \left( \begin{array} { l l l } { \bar { \omega } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \bar { \omega } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \omega } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { H _ { \perp } = \frac { p _ { \perp } ^ { 2 } } { 2 m } } & { { } + \frac { m \omega _ { \perp } ^ { 2 } x _ { \perp } ^ { 2 } } { 2 } - \frac { \omega _ { c } } { 2 } ( x p _ { y } - y p _ { x } ) , } \\ { H _ { z } } & { { } = \frac { p _ { z } ^ { 2 } } { 2 m } + \frac { m \omega _ { z } ^ { 2 } z ^ { 2 } } { 2 } . } \end{array}
N _ { t } = \frac { 2 } { \beta q _ { 0 } } \cdot \int _ { T _ { s } } ^ { T _ { e } } \frac { I _ { T S C } ^ { e } ( T ) } { A \cdot w ( T ) } \, d T = \frac { 2 } { \beta q _ { 0 } } \cdot \int _ { T _ { s } } ^ { T _ { e } } j _ { t s c } ( T ) \, d T
K ^ { ( \infty , \overline { { \rho } } ) } ( u ) = \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } { K ^ { ( N , \overline { { \rho } } ) } ( u ) } = \frac { u } { 1 - \overline { { \rho } } } \left( u ^ { \overline { { \rho } } - 1 } - \overline { { \rho } } \right) ,
\begin{array} { r l r } { p _ { 4 } } & { = } & { ( E _ { 4 } , - \mathbf { p } ^ { \prime } ) ; } \\ & { = } & { ( E _ { 4 } , - \sqrt { E _ { 4 } ^ { 2 } - M _ { 4 } ^ { 2 } } \sin \theta \cos \phi , - \sqrt { E _ { 4 } ^ { 2 } - M _ { 4 } ^ { 2 } } \sin \theta \sin \phi , - \sqrt { E _ { 4 } ^ { 2 } - M _ { 4 } ^ { 2 } } \cos \theta ) , } \\ & { = } & { ( E _ { 4 } , - \sqrt { E _ { 3 } ^ { 2 } - M _ { 3 } ^ { 2 } } \sin \theta \cos \phi , - \sqrt { E _ { 3 } ^ { 2 } - M _ { 3 } ^ { 2 } } \sin \theta \sin \phi , - \sqrt { E _ { 3 } ^ { 2 } - M _ { 3 } ^ { 2 } } \cos \theta ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \boldsymbol { R } = \left[ \begin{array} { l } { x } \\ { y } \end{array} \right] } \\ & { \dot { \boldsymbol { w } } = \left[ \begin{array} { l } { \dot { x } } \\ { \dot { y } } \\ { \omega _ { x } } \\ { \omega _ { y } } \end{array} \right] ~ , { \boldsymbol { w } } = \left[ \begin{array} { l } { { x } } \\ { { y } } \\ { \dot { \varphi } _ { x } } \\ { \dot { \varphi } _ { y } } \end{array} \right] } \\ & { \mathcal { L } = \frac { m } { 2 } \left( \dot { x } ^ { 2 } + \dot { y } ^ { 2 } \right) + \frac { I _ { S } } { 2 } \left[ \omega _ { x } ~ , \omega _ { y } ~ , \Omega \right] ^ { T } \, \left[ \omega _ { x } ~ , \omega _ { y } ~ , \Omega \right] } \\ & { \boldsymbol F _ { s } = \left[ \begin{array} { l } { - m \left( - { \Omega } ^ { 2 } x - 2 \, \Omega \, { \dot { y } } \right) } \\ { - m \left( - { \Omega } ^ { 2 } y + 2 \, \Omega \, { \dot { x } } \right) } \end{array} \right] } \\ & { \mathrm { a n d ~ t h e ~ n o n ~ h o l o n o m i c ~ c o n s t r a i n t ~ e q u a t i o n s ~ } } \\ & { \boldsymbol g _ { n } = \left[ \begin{array} { c } { { \dot { y } } - \rho \, \omega _ { { x } } } \\ { { \dot { x } } + \rho \, \omega _ { { y } } } \end{array} \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { \mathrm { K L } } ( P | | T ) } & { = \sum _ { \mathbf { A } \in \mathbb { A } } P ( \mathbf { A } ) \ln \frac { P ( \mathbf { A } ) } { T ( \mathbf { A } ) } , } \\ { D _ { \mathrm { K L } } ( \overline { { Q } } | | \overline { { R } } ) } & { = \sum _ { \mathbf { A } \in \mathbb { A } } P ( \mathbf { A } ) \int _ { \mathbb { W } _ { \mathbf { A } } } Q ( \mathbf { W } | \mathbf { A } ) \ln \frac { Q ( \mathbf { W } | \mathbf { A } ) } { R ( \mathbf { W } | \mathbf { A } ) } d \mathbf { W } } \end{array}
{ \mathbf Y } = \boldsymbol { \mathcal Q ( \tau ) } \widetilde { { \mathbf Y } } + { \mathbf B } ( \tau ) \; , \; \boldsymbol { \mathcal Q } ( \tau ) = \left( \begin{array} { l l } { { \mathbf Q } ( \tau ) } & { { \mathbf 0 } } \\ { { \mathbf 0 } ^ { { \mathrm T } } } & { 1 } \end{array} \right) \; , \; { \mathbf B } ( \tau ) = \left( \begin{array} { l } { { \mathbf b } ( \tau ) } \\ { 0 } \end{array} \right)
\begin{array} { r } { \begin{array} { r } { \nabla ^ { 2 } { \mathbf { A } } = \sum _ { i = 1 } ^ { 1 0 } c _ { 2 } ^ { ( i ) } ( \lambda _ { 1 } , . . . , \lambda _ { 5 } ) { \mathbf { T } } ^ { ( i ) } + \sum _ { i = 1 } ^ { 6 } c _ { 3 } ^ { ( i ) } ( \lambda _ { 1 } , . . . , \lambda _ { 5 } ) { \mathbf { B } } ^ { ( i ) } . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d \theta _ { r } } { d \tau } = - 2 \Tilde { \lambda } _ { 1 } \frac { ( 1 - 2 \rho _ { 0 } ) ( 1 - \rho _ { 0 } ) - f _ { z } ^ { 2 } } { \sqrt { ( 1 - \rho _ { 0 } ) ^ { 2 } - f _ { z } ^ { 2 } } } } & { { } \cos \theta _ { r } + 2 q ^ { \prime } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \rho _ { 0 } ^ { 1 } ( x ) } & { = } & { 0 , } \\ { \rho _ { 1 } ^ { 0 } ( x ) } & { = } & { 0 , } \\ { \rho _ { 0 } ^ { 2 } ( x ) } & { = } & { \frac { \sigma _ { 0 } ( 2 - \sigma _ { 1 } ) } { \kappa ^ { 2 } } h ^ { 2 } \nu t ^ { \prime } \frac { 1 } { L ^ { 2 } } , } \\ { \rho _ { 1 } ^ { 1 } ( x ) } & { = } & { \frac { 2 - \sigma _ { 1 } } { \kappa ^ { 2 } } h ^ { 2 } \nu t ^ { \prime } \frac { 1 } { L ^ { 2 } } , } \\ { \rho _ { 2 } ^ { 0 } ( x ) } & { = } & { 0 . } \end{array}
G ( \mathbf { x } , t ; \mathbf { x } ^ { \prime } ) = - \frac { 1 } { 4 } ( \frac { k _ { 0 } } { 2 \pi \sqrt { t ^ { 2 } + r ^ { 2 } } } ) ^ { \frac { N - 1 } { 2 } } Y _ { \frac { N - 1 } { 2 } } ( k _ { 0 } \sqrt { t ^ { 2 } + r ^ { 2 } } ) , \quad r \equiv | \mathbf { x } - \mathbf { x } ^ { \prime } | .
\begin{array} { r l r } { { \cal T } _ { 1 1 1 1 } } & { = } & { \Big ( { \textstyle \frac { 3 } { 3 5 } } C _ { 4 0 } - { \textstyle \frac { 1 2 } { 7 } } C _ { 4 2 } + 2 4 C _ { 4 4 } \Big ) R ^ { 4 } , \qquad \quad { \cal T } _ { 2 2 2 2 } = \Big ( { \textstyle \frac { 3 } { 3 5 } } C _ { 4 0 } + { \textstyle \frac { 1 2 } { 7 } } C _ { 4 2 } + 2 4 C _ { 4 4 } \Big ) R ^ { 4 } , } \\ { { \cal T } _ { 1 1 1 2 } } & { = } & { \Big ( - { \textstyle \frac { 6 } { 7 } } S _ { 4 2 } + 2 4 S _ { 4 4 } \Big ) R ^ { 4 } , \qquad \quad ~ \, { \cal T } _ { 1 1 1 3 } = \Big ( { \textstyle \frac { 3 } { 7 } } C _ { 4 1 } - { \textstyle \frac { 6 0 } { 7 } } C _ { 4 3 } \Big ) R ^ { 4 } , \qquad \quad { \cal T } _ { 2 2 2 3 } = \Big ( { \textstyle \frac { 3 } { 7 } } S _ { 4 1 } + { \textstyle \frac { 6 0 } { 7 } } S _ { 4 3 } \Big ) R ^ { 4 } , } \\ { { \cal T } _ { 1 1 2 2 } } & { = } & { \Big ( { \textstyle \frac { 1 } { 3 5 } } C _ { 4 0 } - 2 4 C _ { 4 4 } \Big ) R ^ { 4 } , \qquad \quad ~ ~ ~ \, { \cal T } _ { 1 1 2 3 } = \Big ( { \textstyle \frac { 1 } { 7 } } S _ { 4 1 } - { \textstyle \frac { 6 0 } { 7 } } S _ { 4 3 } \Big ) R ^ { 4 } , \qquad \quad \, \, { \cal T } _ { 1 1 3 3 } = \Big ( - { \textstyle \frac { 4 } { 3 5 } } C _ { 4 0 } + { \textstyle \frac { 1 2 } { 7 } } C _ { 4 2 } \Big ) R ^ { 4 } , } \\ { { \cal T } _ { 2 2 3 3 } } & { = } & { \Big ( - { \textstyle \frac { 4 } { 3 5 } } C _ { 4 0 } - { \textstyle \frac { 1 2 } { 7 } } C _ { 4 2 } \Big ) R ^ { 4 } , \qquad \quad { \cal T } _ { 1 2 2 2 } = \Big ( - { \textstyle \frac { 6 } { 7 } } S _ { 4 2 } - 2 4 S _ { 4 4 } \Big ) R ^ { 4 } , \qquad \, { \cal T } _ { 1 2 2 3 } = \Big ( { \textstyle \frac { 1 } { 7 } } C _ { 4 1 } + { \textstyle \frac { 6 0 } { 7 } } C _ { 4 3 } \Big ) R ^ { 4 } , } \\ { { \cal T } _ { 3 3 3 3 } } & { = } & { { \textstyle \frac { 8 } { 3 5 } } C _ { 4 0 } R ^ { 4 } , \qquad \quad { \cal T } _ { 1 2 3 3 } = { \textstyle \frac { 1 2 } { 7 } } S _ { 4 2 } R ^ { 4 } , \qquad \quad { \cal T } _ { 1 3 3 3 } = - { \textstyle \frac { 4 } { 7 } } C _ { 4 1 } R ^ { 4 } , \qquad \quad { \cal T } _ { 2 3 3 3 } = - { \textstyle \frac { 4 } { 7 } } S _ { 4 1 } R ^ { 4 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { H } _ { I 1 } } & { = } & { - \sum _ { a = 1 } ^ { N } \frac { q _ { a } } { 2 m _ { a } } \left[ \hat { \mathrm { \bf ~ p } } _ { a } \cdot \hat { \mathrm { \bf ~ A } } _ { T } ( \mathrm { \bf ~ r } _ { a } ) + \hat { \mathrm { \bf ~ A } } _ { T } ( \mathrm { \bf ~ r } _ { a } ) \cdot \hat { \mathrm { \bf ~ p } } _ { a } \right] } \\ { \hat { H } _ { I 2 } } & { = } & { \sum _ { a = 1 } ^ { N } \frac { q _ { a } ^ { 2 } } { 2 m _ { a } } [ \hat { \mathrm { \bf ~ A } } _ { T } ( \mathrm { \bf ~ r } _ { a } ) ] ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left[ a _ { \mathrm { G } } , a _ { \mathrm { G } } ^ { \dagger } \right] } & { = \frac { \left[ G a _ { \mathrm { G } } ^ { \prime } + g a _ { \mathrm { G } } ^ { \prime \dagger } , G a _ { \mathrm { G } } ^ { \prime \dagger } + g a _ { \mathrm { G } } ^ { \prime } \right] } { G ^ { 2 } - g ^ { 2 } } } \\ & { = \frac { G ^ { 2 } \left[ a _ { \mathrm { G } } ^ { \prime } , a _ { \mathrm { G } } ^ { \prime \dagger } \right] + g ^ { 2 } \left[ a _ { \mathrm { G } } ^ { \prime \dagger } , a _ { \mathrm { G } } ^ { \prime } \right] } { G ^ { 2 } - g ^ { 2 } } } \\ & { = \left[ a _ { \mathrm { G } } ^ { \prime } , a _ { \mathrm { G } } ^ { \prime \dagger } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \delta _ { x } ^ { j } ( u _ { 1 } ) } & { = \delta ( v ^ { \prime } ) } & { \delta _ { x } ^ { j } ( u _ { 2 } ) } & { = \delta ( v ^ { \prime \prime } ) } \\ { \delta ( v _ { 2 ^ { - n } } ^ { i } ) } & { = \delta _ { x _ { 1 } } ^ { j } ( v _ { j } ) } & { \delta ( v _ { - 2 ^ { - n } } ^ { i } ) } & { = \delta _ { x _ { 2 } } ^ { j } ( v _ { j } ) } \\ { \delta _ { x _ { 1 } } ^ { j } ( u _ { 1 } ) } & { = \delta ( ( v ^ { \prime } ) _ { 2 ^ { - n } } ^ { i } ) } & { \delta _ { x _ { 1 } } ^ { j } ( u _ { 2 } ) } & { = \delta ( ( v ^ { \prime \prime } ) _ { 2 ^ { - n } } ^ { i } ) } \\ { \delta _ { x _ { 2 } } ^ { j } ( u _ { 1 } ) } & { = \delta ( ( v ^ { \prime } ) _ { - 2 ^ { - n } } ^ { i } ) } & { \delta _ { x _ { 2 } } ^ { j } ( u _ { 2 } ) } & { = \delta ( ( v ^ { \prime \prime } ) _ { - 2 ^ { - n } } ^ { i } ) \mathrm { . } } \end{array}
A ( r , \xi ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 2 \pi ( \cosh r - 1 ) } & { \mathrm { ~ f o r ~ } r \leq \xi , \medskip } \\ { 2 \pi ( \cosh r - 1 ) + 2 \sqrt { 2 ( \cosh r - \cosh \xi ) \, e ^ { \xi } } - 2 \cosh r \arctan \left[ \sqrt { 2 ( \cosh r - \cosh \xi ) \, e ^ { - \xi } } \right] + } & { \medskip } \\ { \displaystyle + \; 2 \arctan \left[ \frac { \sqrt { 2 ( \cosh r - \cosh \xi ) \, e ^ { - \xi } } } { \cosh r - e ^ { - \xi } } \right] - 2 \cosh r \arctan \left[ \cosh r \frac { \sqrt { 2 ( \cosh r - \cosh \xi ) \, e ^ { - \xi } } } { \cosh r - e ^ { - \xi } } \right] + } & { \mathrm { ~ f o r ~ } r > \xi . \medskip } \\ { \displaystyle + \; O ( e ^ { - R } ) } & \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { S ~ = ~ - } & { \int \! d t ~ R ( r , \dot { r } ; \theta , \dot { \theta } ) , } \\ { - R ( r , \dot { r } ; \theta , \dot { \theta } ) ~ = ~ } & { \frac { 1 } { 2 } m ( \dot { r } ^ { 2 } + r ^ { 2 } \dot { \theta } ^ { 2 } ) - \frac { p _ { \phi } ^ { 2 } } { 2 m r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta } - V ( r ) , } \end{array}
\omega = \left\{ \begin{array} { l } { { 2 \gamma \left( m + l + \mu \right) , \; { } l - 1 / 2 \left( 1 + \sigma \right) \geq 0 } } \\ { { 2 \gamma \left( m + 1 / 2 \left( 1 + \sigma \right) \right) , \; { } l - 1 / 2 \left( 1 + \sigma \right) < 0 } } \end{array} \right. ,
\Theta ^ { ( 1 ) } ( i , j ) = \left\{ \begin{array} { l l } { ( - 1 ) ^ { j } \cos ( m ^ { + } \varphi ) } & { h ( i , j ) = 1 } \\ { \sin ( m ^ { + } \varphi ) } & { h ( i , j ) = 2 } \\ { \sqrt { 2 } \cos ( m ^ { + } \varphi ) } & { h ( i , j ) = 3 } \\ { \sqrt { 2 } \sin ( m ^ { + } \varphi ) } & { h ( i , j ) = 4 } \\ { 1 } & { h ( i , j ) = 5 } \end{array} \right.
g _ { m n \nu } ^ { \mathrm { ~ c ~ o ~ r ~ r ~ } } ( \mathbf k , \mathbf q ) = \frac { \varepsilon _ { \mathrm { ~ D ~ F ~ T ~ } } } { \varepsilon _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } } } g _ { m n \nu } ^ { \mathrm { ~ D ~ F ~ T ~ } } ( \mathbf k , \mathbf q ) ,
\mathrm { ( a ) } \ V _ { + , 1 } = \frac { \mathrm { I m } \, M } { \mathrm { I m } \, m } \, , \quad V _ { + , 2 } = \frac { \mathrm { I m } \, M } { \mathrm { I m } \, m } \qquad \mathrm { a n d } \qquad \mathrm { ( b ) } \ V _ { - , 1 } = \frac { E _ { - } \mathrm { I m } \, M } { \mathrm { I m } \, m } \, , \quad V _ { - , 2 } = \frac { \mathrm { I m } \, M E _ { - } } { \mathrm { I m } \, m } \, ,
F _ { g } ^ { \mu \nu } ( q ) = { \frac { 1 } { 2 \pi } } \int d \bar { q } ^ { 2 } \, d x \, d \phi \ { \frac { 1 } { \bar { q } ^ { 2 } - q ^ { 2 } } } \, { W } _ { g } ^ { \mu \nu } ( \bar { q } ^ { 2 } , x , \phi ) .
{ \frac { D p ^ { \mu } } { d \tilde { \lambda } } } \equiv { \frac { d p ^ { \mu } } { d \tilde { \lambda } } } + \tilde { \Gamma } _ { \rho \sigma } ^ { \mu } { \frac { d x ^ { \rho } } { d \tilde { \lambda } } } p ^ { \sigma } = - \tilde { m } _ { 0 } { \frac { { \cal W } ^ { \prime } } { \cal W } } { \frac { d y } { d \tilde { \lambda } } } { \frac { d x ^ { \mu } } { d \tilde { \lambda } } } ,
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq 2 m } \left\| v _ { i } ^ { ( k ) } \right\| _ { L ^ { \infty } ( 0 , T ) } } & { \leq c ^ { k } \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq j \leq 2 m } \left\| v _ { j } ^ { ( 0 ) } \right\| _ { L ^ { \infty } ( 0 , T ) } } \\ & { = c ^ { k } \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq j \leq 2 m } \left\| w _ { j } ^ { ( 0 ) } \right\| _ { L ^ { \infty } ( 0 , T ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega } \left( \mu ^ { - 1 } \operatorname { c u r l } \left( \vec { E } _ { h } \right) \operatorname { c u r l } \left( \vec { \varphi } _ { h } \right) - \varepsilon \omega ^ { 2 } \vec { E } _ { h } \cdot \vec { \varphi } _ { h } \right) ~ \mathsf { d } x + } & { i \kappa \omega \int _ { \Gamma ^ { \infty } } \gamma ^ { T } \left( \vec { E } _ { h } \right) \cdot \gamma ^ { T } \left( \vec { \varphi } _ { h } \right) ~ \mathsf { d } s } \\ & { = \int _ { \Gamma ^ { \mathrm { i n c } } } \gamma ^ { T } \left( \vec { E } ^ { \mathrm { i n c } } \right) \cdot \gamma ^ { T } \left( \vec { \varphi } _ { h } \right) ~ \mathsf { d } s ~ ~ \forall \varphi _ { h } \in V _ { h } ( \Omega ) . } \end{array}
B _ { M N } = ( - ) ^ { M ( N + \underline { { { N } } } ) } \partial _ { N } z ^ { \underline { { { N } } } } \partial _ { M } z ^ { \underline { { { M } } } } B _ { \underline { { { M N } } } } \; , \; \; \; E _ { \pm } ^ { \underline { { { A } } } } = E _ { \pm } ^ { M } \partial _ { M } z ^ { \underline { { { N } } } } E _ { \underline { { { N } } } } ^ { \underline { { { A } } } } \; ,
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \rho } { \partial t } + \sum _ { j } \partial _ { j } \left( { \rho U _ { j } } \right) } & { = 0 , } \\ { \frac { \partial } { \partial t } \left( \rho U _ { i } \right) + \sum _ { j } \partial _ { j } \left( \rho U _ { j } U _ { i } \right) } & { = - \partial _ { i } \left( n k _ { B } T \right) - n \partial _ { i } V ( \boldsymbol { r } ) } \\ & { + \sum _ { j , k , \ell } \partial _ { j } \left( \mu _ { i j k \ell } \partial _ { \ell } U _ { k } \right) , } \\ { \frac { \partial } { \partial t } ( \rho T ) + \sum _ { j } \partial _ { j } \left( \rho T U _ { j } \right) } & { = - \frac { 2 } { 3 } \rho T \sum _ { i } \partial _ { i } U _ { i } } \\ & { + \frac { 2 m } { 3 k _ { B } } \sum _ { i , j , k , \ell } ( \partial _ { j } U _ { i } ) \mu _ { i j k \ell } ( \partial _ { \ell } U _ { k } ) } \\ & { + \frac { 2 m } { 3 k _ { B } } \sum _ { i , j } \partial _ { i } \left( \kappa _ { i j } \partial _ { j } T \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \mathbf { a } \times \mathbf { b } ) \times \mathbf { c } } & { { } = ( \mathbf { a } \cdot \mathbf { c } ) \mathbf { b } - ( \mathbf { b } \cdot \mathbf { c } ) \mathbf { a } , } \\ { \mathbf { a } \times ( \mathbf { b } \times \mathbf { c } ) } & { { } = ( \mathbf { a } \cdot \mathbf { c } ) \mathbf { b } - ( \mathbf { a } \cdot \mathbf { b } ) \mathbf { c } , } \\ { \left\| \mathbf { a } \times \mathbf { b } \right\| } & { { } = { \sqrt { \left\| \mathbf { a } \right\| ^ { 2 } \left\| \mathbf { b } \right\| ^ { 2 } - ( \mathbf { a } \cdot \mathbf { b } ) ^ { 2 } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { t = 1 } ^ { T } \gamma _ { t } Q ( w _ { t } , w ) } \\ { \leq } & { \ \ \ \ \ \gamma _ { 1 } \eta _ { 1 } \mathrm { K L } ( p \| p _ { 0 } ^ { * } ) - \gamma _ { T } ( \eta _ { T } + \lambda _ { 2 } ) \mathrm { K L } ( p \| p _ { T } ^ { * } ) } \\ & { + \gamma _ { 1 } \tau _ { 1 } \mathrm { K L } ( q \| q _ { 0 } ^ { * } ) - \gamma _ { T } \left( \tau _ { T } + \lambda _ { 2 } - \frac { 1 } { 4 \eta _ { T } } \right) \mathrm { K L } ( q \| q _ { T } ^ { * } ) } \\ & { + 4 \sum _ { t = 1 } ^ { k } \gamma _ { t } ( 1 + \mu _ { t } ) \epsilon } \\ & { + \sum _ { t = 1 } ^ { k } \gamma _ { t } \left[ \left( \lambda _ { 2 } + \frac { 2 \lambda _ { 1 } } { \alpha _ { p _ { t } ^ { * } } } \right) \delta _ { t , 1 } + \left( 3 0 + \frac { 8 \lambda _ { 1 } \sigma ( p _ { t } ^ { * } ) } { \sqrt { \alpha _ { p _ { t } ^ { * } } } } \right) \sqrt { \delta _ { t , 1 } } \right] } \\ & { + \sum _ { t = 1 } ^ { k } \gamma _ { t } \left[ \left( \lambda _ { 2 } + \frac { 2 \lambda _ { 1 } } { \alpha _ { q _ { t } ^ { * } } } \right) \delta _ { t , 2 } + \left( 3 4 + \frac { 8 \lambda _ { 1 } \sigma ( q _ { t } ^ { * } ) } { \sqrt { \alpha _ { q _ { t } ^ { * } } } } \right) \sqrt { \delta _ { t , 2 } } \right] , } \end{array}
E _ { + } + E _ { - } = - \frac { 1 } { 3 } \left( { V _ { + } e ^ { 4 A + b _ { + } \phi } } _ { | x ^ { 5 } = x _ { + } } + { V _ { - } e ^ { 4 A + b _ { - } \phi } } _ { | x ^ { 5 } = x _ { - } } \right) .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \xi } { \partial z _ { i } } } & { = - \sum _ { j = 1 } ^ { C } \frac { \partial t _ { j } \log ( y _ { j } ) } { \partial z _ { i } } = - \sum _ { j = 1 } ^ { C } t _ { j } \frac { \partial \log ( y _ { j } ) } { \partial z _ { i } } = - \sum _ { j = 1 } ^ { C } t _ { j } \frac { 1 } { y _ { j } } \frac { \partial y _ { j } } { \partial z _ { i } } } \\ & { = - \frac { t _ { i } } { y _ { i } } \frac { \partial y _ { i } } { \partial z _ { i } } - \sum _ { j \neq i } ^ { C } \frac { t _ { j } } { y _ { j } } \frac { \partial y _ { j } } { \partial z _ { i } } = - \frac { t _ { i } } { y _ { i } } y _ { i } ( 1 - y _ { i } ) - \sum _ { j \neq i } ^ { C } \frac { t _ { j } } { y _ { j } } ( - y _ { j } y _ { i } ) } \\ & { = - t _ { i } + t _ { i } y _ { i } + \sum _ { j \neq i } ^ { C } t _ { j } y _ { i } = - t _ { i } + \sum _ { j = 1 } ^ { C } t _ { j } y _ { i } = - t _ { i } + y _ { i } \sum _ { j = 1 } ^ { C } t _ { j } } \\ & { = y _ { i } - t _ { i } } \end{array}
T _ { 0 } = 0 , \ \ T _ { 1 } = \frac { - N _ { f } + N _ { c } - 2 } { 2 \pi i } , \ \ \frac { \partial F } { \partial T _ { 1 } } = 2 u - \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { f } } m _ { i } ^ { 2 } .
\begin{array} { r l r } { \dot { v } _ { m , n } } & { = } & { - g \left( v _ { m , n + 1 } + v _ { m , n - 1 } \right) - \kappa \left( e ^ { - i n \phi } v _ { m - 1 , n } + e ^ { i n \phi } v _ { m + 1 , n } \right) - 2 g v _ { m , n } } \\ & { } & { + p _ { m , n } - \frac { | \gamma | \sum _ { m } \left\lvert v _ { m , n } \right\rvert ^ { 2 } } { 2 g I _ { s } / ( - \gamma - 2 g ) + \sum _ { m } \left\lvert v _ { m , n } \right\rvert ^ { 2 } } . } \end{array}
\frac { \gamma ^ { 2 } } { 4 } \mathbb { E } | \bar { x } _ { n + 1 } + \gamma ^ { - 1 } \bar { Y } _ { n + 1 } | ^ { 2 } = \frac { \gamma ^ { 2 } } { 4 } \mathbb { E } | \bar { x } _ { n } ^ { \lambda } + \gamma ^ { - 1 } \bar { Y } _ { n } ^ { \lambda } - \gamma ^ { - 1 } \lambda h _ { t a m , \gamma } ( \bar { x } _ { n } ^ { \lambda } ) | ^ { 2 } + \delta _ { 2 } ( n )
\begin{array} { r l } { \tau } & { { } = \mathrm { t r a c e } \big ( J ( y _ { 2 } , z _ { 2 } ) \big ) = \frac { d + b l r } { r ( l - 1 ) } , } \\ { \delta } & { { } = \operatorname* { d e t } \big ( J ( y _ { 2 } , z _ { 2 } ) \big ) = c \big ( d + b r \big ) . } \end{array}
\dot { E } _ { 0 0 } + 4 H E _ { 0 0 } = \partial _ { \tau } \left( \frac { 3 } { 1 6 } \dot { \phi } ^ { 2 } + \frac { 3 } { 8 } U \right) + \frac { 3 } { 2 } H \dot { \phi } ^ { 2 } + \frac { \dot { U } _ { B } } { 4 } \rho _ { m }
M _ { + } = \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } T _ { i } + \sum _ { i = 7 } ^ { 8 } T _ { i } , \quad \quad \quad \quad \quad M _ { - } = \sum _ { i = 4 } ^ { 6 } T _ { i } - \sum _ { i = 7 } ^ { 8 } T _ { i } .
\begin{array} { r } { \int _ { \partial K } \phi \, \frac { \partial \lambda _ { \ell } } { \partial \mathbf { n } } ~ d s = \int _ { \partial K } \psi \, \frac { \partial \lambda _ { \ell } } { \partial \mathbf { n } } ~ d s + \sum _ { j = 1 } ^ { m } a _ { j } \int _ { \partial K } \lambda _ { j } \, \frac { \partial \lambda _ { \ell } } { \partial \mathbf { n } } ~ d s ~ . } \end{array}
\mathbb { E } _ { X _ { t } = x } \left[ w \left( X _ { \tau _ { t } \wedge \tau _ { t } ^ { K } } , \tau _ { t } \wedge \tau _ { t } ^ { K } \right) \right] = \frac { \mathbb { E } \left[ X _ { \tau _ { t } \wedge \tau _ { t } ^ { K } } \right] } { \rho - \lambda \mathbb { E } [ Y _ { 1 } ] } - \frac { \lambda \mathbb { E } [ Y _ { 1 } ] } { \rho - \lambda \mathbb { E } [ Y _ { 1 } ] } \mathbb { E } _ { X _ { t } = x } \left[ \int _ { \tau _ { t } \wedge \tau _ { t } ^ { K } } ^ { \infty } \bar { L } ( s ) d s \right] .