harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\Upsilon ^ { \alpha \beta } \equiv \Lambda _ { \rho } \left( g ^ { \alpha \beta } - \xi \, h ^ { \alpha \beta } \right) = \Lambda _ { \rho } g ^ { \alpha \beta } - \frac { 1 } { \mu _ { o } } \mathbb { F } ^ { \alpha \delta } \, g _ { \delta \gamma } \, \mathbb { F } ^ { \beta \gamma }
\log \left( \frac { \mathcal { P } ( { \bf x } ; { \bf C } , \nu ) } { \mathcal { P } ( { \bf x } ; { \bf \Xi } ( { \bf \Lambda } ) , \nu ) } \right) = \frac { 1 } { 2 } \left[ \log \frac { | { \bf \Xi } ( { \bf \Lambda } ) | } { | { \bf C } | } + ( n + \nu ) \log \left( \frac { 1 + \frac { 1 } { \nu } \bf { x } ^ { \prime } { \bf \Xi } ( { \bf \Lambda } ^ { - 1 } ) \bf { x } } { 1 + \frac { 1 } { \nu } \bf { x } ^ { \prime } \bf { C } ^ { - 1 } \bf { x } } \right) \right]
9 [ \langle Q _ { i } \rangle _ { 1 } \langle Q _ { i } \rangle _ { - 1 } ] [ \langle Q _ { i } ^ { 2 } \rangle _ { 0 } ] [ \langle Q _ { i } ^ { 2 } \rangle _ { 0 } ] + 1 8 [ \langle Q _ { i } \rangle _ { 1 } \langle Q _ { i } \rangle _ { - 1 } ] [ \langle Q _ { i } \rangle _ { 1 } \langle Q _ { i } \rangle _ { - 1 } ] [ \langle Q _ { i } \rangle _ { - 1 } \langle Q _ { i } \rangle _ { 1 } ]
{ \tilde { \mathcal D } } ( x , y ) \; = \; - \frac { \delta ^ { 2 } \Gamma } { \delta { \bar { \chi } } ( x ) \delta \chi ( y ) } | _ { \chi = { \bar { \chi } } = 0 } \; = \; { \mathcal D } ( x , y ) \; + \; { \mathcal D } _ { 1 } ( x , y )
\alpha _ { 1 } \alpha _ { 0 m } ^ { \mathrm { T M , ~ ( H W G ) } } = \frac { 3 2 } { \pi ^ { 2 } } \frac { w _ { \mathrm { x } } w _ { \mathrm { y } } } { p _ { \mathrm { x } } h _ { 1 } } \bigg [ \frac { \sin ( k _ { m } ^ { \mathrm { ( H W G ) } } w _ { \mathrm { y } } / 2 ) } { k _ { m } ^ { \mathrm { ( H W G ) } } w _ { \mathrm { y } } / 2 } \bigg ] ^ { 2 }
t _ { \mathrm { A } } = \mathrm { A C T } [ y ( t ) ] = \mathrm { m i n } \, t ^ { \ast } : \, \frac { 1 } { ( t _ { n } - t ^ { \ast } ) } \sum _ { t = t ^ { \ast } } ^ { t _ { n } } \left( y ( t ) - \bar { y } \right) \cdot \left( y ( t - t ^ { \ast } \right) - \bar { y } ) < \frac { 1 } { t _ { n } } \sum _ { t = t _ { 1 } } ^ { t _ { n } } y ^ { 2 } ( t ) \cdot e ^ { - 1 }
{ \begin{array} { r l r l } { f \colon \, } & { [ 0 , 1 ] \to \mathbb { R P } ^ { 2 } } & & { \ { \mathrm { ~ ( p r o j e c t i v e ~ p l a n e ~ p a t h ) } } } \\ { g \colon \, } & { S ^ { 2 } \to \mathbb { R P } ^ { 2 } } & & { \ { \mathrm { ~ ( c o v e r i n g ~ m a p ) } } } \\ { h \colon \, } & { [ 0 , 1 ] \to S ^ { 2 } } & & { \ { \mathrm { ~ ( s p h e r e ~ p a t h ) } } } \end{array} }
\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! { R _ { \mathrm { i n } } } = \operatorname { S m o o t h M i n W e i g h t e d } ( \{ \operatorname { S m o o t h M a x } ( \{ r _ { j } , r _ { j ^ { \prime } } \} | \beta ) + T ( \beta ) , p _ { j j ^ { \prime } } \} _ { j j ^ { \prime } } \cup \{ ( { R _ { \mathrm { o u t } } } , 1 . 0 ) \} | \beta ) + \Delta _ { R _ { c } } \mathrm { , }
\begin{array} { r l r l } { { 2 } \mathcal { R } _ { i } ^ { \rightarrow } \left( t \right) } & { = \tilde { \nu } _ { i } ^ { t } + \sum _ { k \in \partial i } m _ { k \setminus i } ^ { t } \nu _ { k i } ^ { t } \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad } & { \mathcal { R } _ { i } ^ { \leftarrow } \left( t \right) } & { = \sum _ { k \in \partial i } \nu _ { i k } ^ { t } \mu _ { k \setminus i } ^ { t } } \\ { K _ { i } ^ { \rightarrow } \left( t \right) } & { = \sum _ { r = 0 } ^ { t - 2 } \mathcal { R } _ { i } ^ { \rightarrow } \left( r \right) , } & { K _ { i } ^ { \leftarrow } \left( t \right) } & { = \sum _ { s = t } ^ { T - 1 } \mathcal { R } _ { i } ^ { \leftarrow } \left( s \right) } \end{array}
j _ { 1 } \times j _ { 2 } = \sum _ { j _ { 1 } - j _ { 2 } } ^ { \operatorname * { m i n } ( j _ { 1 } + j _ { 2 } , 2 j - j _ { 1 } - j _ { 2 } ) } j \; ; \; \; \; \; 2 j = \nu - 1
M _ { T } = \frac { \lambda \pi } { 2 } \sum _ { a } m _ { a } A _ { a } ^ { ( + ) } \left[ B _ { a } - \frac { \pi } { 2 \lambda ^ { 2 } } \sum _ { b } \frac { m _ { b } } { A _ { b } ^ { ( + ) } } \right] ,
\begin{array} { r l } { \Gamma ( \lambda ( s ( h ^ { \prime } ) ) \otimes \gamma _ { 1 } \otimes \lambda ( s ( h ) ^ { - 1 } ) ) } & { \xrightarrow { s ( \lambda ( s ( h ^ { \prime } ) ) \otimes \gamma _ { 1 } \otimes \lambda ( s ( h ) ^ { - 1 } ) } s ( h ^ { \prime } ) \otimes g _ { 1 } \otimes s ( h ) ^ { - 1 } \xrightarrow { \Omega } s ( h ^ { \prime } ) \otimes g _ { 2 } \otimes s ( h ) ^ { - 1 } } \\ & { \xrightarrow { s ( \lambda ( s ( h ^ { \prime } ) ) \otimes \gamma _ { 1 } \otimes \lambda ( s ( h ) ^ { - 1 } ) ^ { - 1 } } \Gamma ( \lambda ( s ( h ^ { \prime } ) ) \otimes \gamma _ { 2 } \otimes \lambda ( s ( h ) ^ { - 1 } ) ) } \end{array}
\bar { P } ( \nu _ { e } \rightarrow \nu _ { e } ) = \left( 1 - \frac { 3 } { 2 } s ^ { 2 } \right) \left[ \cos ^ { 2 } \theta _ { m } ^ { 0 } - P _ { 1 2 } \cos 2 \theta _ { m } ^ { 0 } \right] + \frac { s ^ { 2 } } { 2 }
\frac { S } { A } ( a _ { t } ) = \frac { \sigma } { 2 \gamma \alpha _ { \gamma } ^ { 1 / 2 } } B \left( \frac { \gamma - 1 } { 2 \gamma } , \frac { 1 } { 2 } \right) \left( \frac { \Lambda } { \alpha _ { \gamma } } \right) ^ { \frac { 2 - \gamma } { 2 \gamma } } .
\frac { 1 } { N } \sum _ { k \geq 1 } \sum _ { n _ { 3 } + n _ { 4 } = n _ { 1 } + n _ { 2 } - 2 k } \frac { I Z ^ { n _ { 3 } } J } { \sqrt { N ^ { n _ { 3 } } } } \frac { I Z ^ { n _ { 4 } } J } { \sqrt { N ^ { n _ { 4 } } } } + \frac { 1 } { N ^ { 2 } } \sum _ { n _ { 3 } + n _ { 4 } + n _ { 5 } = n _ { 1 } + n _ { 2 } - 2 k - 2 } \frac { I Z ^ { n _ { 3 } } J } { \sqrt { N ^ { n _ { 3 } } } } \frac { I Z ^ { n _ { 4 } } J } { \sqrt { N ^ { n _ { 4 } } } } \frac { I Z ^ { n _ { 5 } } J } { \sqrt { N ^ { n _ { 5 } } } } + \dots .
\hat { s } ^ { + } ( \omega ) = ( \hbar \omega / 2 ) \left( \hat { a } ( \omega ) \hat { a } ^ { \dagger } ( \omega ) + \hat { a } ^ { \dagger } ( \omega ) \hat { a } ( \omega ) \right) = ( \hbar \omega / 2 ) \left\{ \hat { a } ( \omega ) , \hat { a } ^ { \dagger } ( \omega ) \right\}
\begin{array} { r } { \displaystyle \sum _ { \alpha , { \beta } } R _ { \alpha { \beta } } \mathbf { w } _ { \alpha } \cdot ( \mathbf { w } _ { \beta } - \mathbf { w } _ { \alpha } ) + \displaystyle \sum _ { \alpha } \mathbf { w } _ { \alpha } \cdot \left( \boldsymbol { \beta } _ { \alpha } - \hat { \gamma } _ { \alpha } \left( \frac { 1 } { 2 } \mathbf { w } _ { \alpha } + \mathbf { v } \right) \right) \leq 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { k } & { \approx \frac { 1 } { 4 \pi } \ln { \left[ \sqrt { \frac { r _ { 2 } ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } \frac { \left[ 4 + 2 \zeta \left( 4 - \phi ^ { 2 } \right) + \zeta ^ { 2 } \left( 4 - \phi ^ { 2 } \right) \right] } { \left( 4 - \phi ^ { 2 } \right) } } \right] } , } \\ & { = \frac { 1 } { 8 \pi } \ln { \left[ 1 + \frac { 2 } { \zeta } + \frac { 4 } { \zeta ^ { 2 } \left( 4 - \phi ^ { 2 } \right) } \right] } . } \end{array}
\frac { \epsilon ^ { \prime } } { \epsilon } = 1 3 \, \mathrm { I m } \lambda _ { t } \left[ B _ { 6 } ^ { ( 1 / 2 ) } ( 1 - \Omega _ { \eta + \eta ^ { \prime } } ) - 0 . 4 \, B _ { 8 } ^ { ( 3 / 2 ) } \right] \; ,
\begin{array} { r l r } { d X _ { 1 , t } } & { = } & { \theta _ { 1 } ( \mu _ { 1 } - X _ { 1 , t } ) d t + \frac { \sigma _ { 1 } } { \sqrt { 1 + X _ { 1 , t } ^ { 2 } } } d W _ { 1 , t } } \\ { d X _ { 2 , t } } & { = } & { \theta _ { 2 } ( \mu _ { 2 } - X _ { 1 , t } ) d t + \frac { \sigma _ { 2 } } { \sqrt { 1 + X _ { 1 , t } ^ { 2 } } } d W _ { 2 , t } . } \end{array}
\left\langle V ^ { \prime } \left( \phi ( t ) + \psi ( \vec { x } , t ) \right) \right\rangle _ { a } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { n ! } \left( \frac { \langle \psi ^ { 2 } \rangle _ { a } } { 2 } \right) ^ { n } V ^ { ( 2 n + 1 ) } ( \phi _ { a } ) = 0 \; ,
A _ { \lambda } ^ { 6 } = \frac { i e g _ { R } ^ { 2 } } { 2 } \cdot \frac { 1 } { \sqrt { 4 k p _ { 2 } } } \cdot \Pi ( p _ { 3 } - p _ { 2 } , 0 , 0 ) \cdot \Pi ( p _ { 4 5 } + p _ { 6 7 } , M _ { \Delta } , \Gamma _ { \Delta } ) \cdot \hat { A _ { \lambda } ^ { 6 } } ,
\begin{array} { r } { \frac { \partial u _ { * } ^ { 2 } ( \overline { { u _ { o } ^ { 2 } } } - \overline { { v _ { o } ^ { 2 } } } ) } { \partial x } = 2 u _ { * } \frac { \partial u _ { * } } { d x } ( \overline { { u _ { o } ^ { 2 } } } - \overline { { v _ { o } ^ { 2 } ) } } + u _ { * } ^ { 2 } \frac { \partial } { \partial x } \big ( \overline { { u _ { o 1 } ^ { 2 } } } - \overline { { v _ { o 1 } ^ { 2 } } } + \Delta _ { 1 } ( \overline { { u _ { o 2 } ^ { 2 } } } - \overline { { v _ { o 2 } ^ { 2 } } } ) + . . . \big ) } \\ { = 2 u _ { * } \frac { \partial u _ { * } } { d x } ( \overline { { u _ { o } ^ { 2 } } } - \overline { { v _ { o } ^ { 2 } ) } } + u _ { * } ^ { 2 } \frac { d ( \overline { { u _ { o 1 } ^ { 2 } } } - \overline { { v _ { o 1 } ^ { 2 } } } ) } { d y _ { o } } y U _ { e } \big ( \frac { - 1 } { x ^ { 2 } u _ { * } } - { \frac { 1 } { x u _ { * } ^ { 2 } } \frac { \partial u _ { * } } { \partial x } } \big ) } \\ { + u _ { * } ^ { 2 } \frac { d \Delta _ { 1 } } { d x } ( \overline { { u _ { o 2 } ^ { 2 } } } - \overline { { v _ { o 2 } ^ { 2 } } } ) + u _ { * } ^ { 2 } \frac { d ( \overline { { u _ { o 2 } ^ { 2 } } } - \overline { { v _ { o 2 } ^ { 2 } } } ) } { d y _ { o } } y U _ { e } \big ( \frac { - 1 } { x ^ { 2 } u _ { * } } - { \frac { 1 } { x u _ { * } ^ { 2 } } \frac { \partial u _ { * } } { \partial x } } \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { \bf ~ A } } & { = } & { ( B r / 2 ) \; { \bf e } _ { \phi } \; \; \; \; \; \; \; \mathrm { i n s i d e \; \; \; t h e \; \; \; s o l e n o i d } \; , } \\ { \mathrm { \bf ~ A } } & { = } & { ( B r _ { 0 } ^ { 2 } ) / 2 r \; { \bf e } _ { \phi } = \frac { \Phi } { 2 \pi r } { \bf e } _ { \phi } \; \; \; \mathrm { o u t s i d e \; \; \; t h e \; \; \; s o l e n o i d } \; , } \end{array}
\langle \delta \hat { Y } _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } ( \omega ) \delta \hat { Y } _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } ( \omega ^ { \prime } ) \rangle \equiv \frac { 2 \pi S _ { Y _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } } ( \omega ) \, \delta ( \omega + \omega ^ { \prime } ) } { 4 } .
\left( \begin{array} { c } { n _ { l i n } } \\ { \mathbf { u } _ { l i n } } \\ { T _ { l i n } } \end{array} \right) = \frac { v _ { t h e r m a l } ^ { 3 } } { n _ { 0 } } \left( \begin{array} { l l l } { n _ { 0 } } & { \mathbf { 0 } _ { 1 \times 3 } } & { 0 } \\ { \mathbf { 0 } _ { 3 \times 1 } } & { v _ { t h e r m a l } I _ { 3 \times 3 } } & { \mathbf { 0 } _ { 3 \times 1 } } \\ { - T _ { 0 } } & { \mathbf { 0 } _ { 1 \times 3 } } & { \frac { T _ { 0 } } { 3 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { M _ { 0 } } \\ { \mathbf { M } _ { 1 } } \\ { \mathrm { t r a c e } \mathbf { M } _ { 2 } } \end{array} \right) .
\operatorname * { l i m } _ { L \to \infty } \zeta _ { R } ( s ) \le { \frac { e ^ { L / 2 } } { \Gamma ( s ) } } [ L ^ { \nu - 1 / 2 } e ^ { - L / 2 } + O ( \epsilon ^ { \nu + 1 } L ^ { - 2 } e ^ { - L ^ { 2 } / 4 \epsilon } ) ] ,
\Delta \phi _ { \mathrm { h y p } } ( y ) = \Delta \phi _ { \mathrm { i d e a l } } ( y , \theta _ { \mathrm { i n } } = 0 ^ { \circ } ) = \psi _ { 0 } ( \theta _ { \mathrm { i n } } = 0 ^ { \circ } ) - \frac { 2 \pi } { \lambda } \sqrt { f ^ { 2 } + y ^ { 2 } } .
- \frac { \pi ^ { 2 } } { 1 5 \beta ^ { 4 } r ^ { 4 } } - \frac { 1 } { 6 \beta ^ { 2 } r ^ { 4 } } + \frac { 1 1 } { 2 4 0 \pi ^ { 2 } r ^ { 4 } } ,
\begin{array} { r l } { [ \theta C _ { i } + \mathrm { ~ l ~ n ~ } ( P _ { i } f _ { i } ) ] } & { { } \left[ - P _ { i } f _ { i } + e ^ { - \theta C _ { i } } \frac { \sum _ { k = 1 } ^ { N } P _ { k } f _ { k } } { \sum _ { k = 1 } ^ { N } e ^ { - \theta C _ { k } } } \right] } \end{array}
\left( { \begin{array} { l l } { 0 _ { m } } & { - I _ { m } } \\ { I _ { m } } & { 0 _ { m } } \end{array} } \right) \left( { \begin{array} { l l } { X } & { Y } \\ { Z } & { W } \end{array} } \right) ^ { \mathrm { T } } \left( { \begin{array} { l l } { 0 _ { m } } & { I _ { m } } \\ { - I _ { m } } & { 0 _ { m } } \end{array} } \right) = - \left( { \begin{array} { l l } { X } & { Y } \\ { Z } & { W } \end{array} } \right)
Z = \int { \cal D } [ f ( \xi ) , g ( \xi ) , X ] \, \delta \left( g _ { z z } ^ { f } \right) \delta \left( g _ { \bar { z } \bar { z } } ^ { f } \right) \, \mathrm { d e t } \left( \frac { g _ { z z } ^ { f } } { \delta f } \right) \mathrm { d e t } \left( \frac { g _ { \bar { z } \bar { z } } ^ { f } } { \delta f } \right) \, e ^ { - S [ g , X ] } .
\begin{array} { r l r } { \textrm { V a r } [ w _ { i j } ] } & { = } & { \langle w _ { i j } ^ { 2 } \rangle - \langle w _ { i j } \rangle ^ { 2 } } \\ & { = } & { p _ { i j } ( z ) \frac { ( s _ { i } ^ { * } \, s _ { j } ^ { * } ) ^ { 2 } } { ( 2 W ^ { * } ) ^ { 2 } \, p _ { i j } ^ { 2 } ( z ) } - \langle w _ { i j } \rangle ^ { 2 } } \\ & { = } & { \left( \frac { s _ { i } ^ { * } \, s _ { j } ^ { * } } { 2 W ^ { * } } \right) ^ { 2 } \left( \frac { 1 } { p _ { i j } ( z ) } - 1 \right) } \\ & { = } & { \left( \frac { s _ { i } ^ { * } \, s _ { j } ^ { * } } { 2 W ^ { * } } \right) ^ { 2 } \frac { 1 } { z \, s _ { i } ^ { * } \, s _ { j } ^ { * } } } \\ & { = } & { \frac { s _ { i } ^ { * } \, s _ { j } ^ { * } } { ( 2 W ^ { * } ) ^ { 2 } \, z } } \\ & { = } & { \frac { s _ { i } ^ { * } \, s _ { j } ^ { * } } { N ^ { 2 } \, z } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E 1 _ { P V } } & { = } & { \sum _ { a } \frac { \langle f | d | a \rangle \langle a | h _ { w } | i \rangle } { \epsilon _ { i } - \epsilon _ { a } } + \sum _ { a } \frac { \langle f | h _ { w } | a \rangle \langle a | d | i \rangle } { \epsilon _ { f } - \epsilon _ { a } } } \\ & { + } & { \sum _ { p \ne i } \frac { \langle f | d | p \rangle \langle p | h _ { w } | i \rangle } { \epsilon _ { i } - \epsilon _ { p } } + \sum _ { p \ne f } \frac { \langle f | h _ { w } | p \rangle \langle p | d | i \rangle } { \epsilon _ { f } - \epsilon _ { p } } , \ \ \ \ } \end{array}
\beta = \cfrac { \int _ { - \infty } ^ { \infty } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \left| | \Psi ( p _ { 1 } , p _ { 2 } ) | ^ { 2 } - | \Psi ( p _ { 2 } , p _ { 1 } ) | ^ { 2 } \right| \, d p _ { 1 } \, d p _ { 2 } } { \int _ { - \infty } ^ { \infty } \int _ { - \infty } ^ { \infty } | \Psi ( p _ { 1 } , p _ { 2 } ) | ^ { 2 } \, d p _ { 1 } \, d p _ { 2 } } .
\hat { I } _ { 4 } ^ { ( 2 ) } = \Gamma ( 2 + \varepsilon ) \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \int _ { 0 } ^ { x } d y \int _ { 0 } ^ { y } d z \, \frac { 1 } { ( - 2 \, x \, y + y \, z + x + y - z ) ^ { 2 + \varepsilon } } .
b _ { m i n } = \frac { 1 } { Q _ { m a x } } = \frac { 1 } { 2 m _ { f } v _ { f } } . \qquad \mathrm { ( \ e m p h { n o n r e l a t i v i s t i c } ~ b r e m s s t r a h l u n g ~ f o r m u l a ) . }
\; _ { p } F _ { q } \! \left( \left. { \begin{array} { l } { \mathbf { a _ { p } } } \\ { \mathbf { b _ { q } } } \end{array} } \; \right| \, z \right) = { \frac { \Gamma ( \mathbf { b _ { q } } ) } { \Gamma ( \mathbf { a _ { p } } ) } } \; G _ { p , \, q + 1 } ^ { \, 1 , \, p } \! \left( \left. { \begin{array} { l } { 1 - \mathbf { a _ { p } } } \\ { 0 , 1 - \mathbf { b _ { q } } } \end{array} } \; \right| \, - z \right) = { \frac { \Gamma ( \mathbf { b _ { q } } ) } { \Gamma ( \mathbf { a _ { p } } ) } } \; G _ { q + 1 , \, p } ^ { \, p , \, 1 } \! \left( \left. { \begin{array} { l } { 1 , \mathbf { b _ { q } } } \\ { \mathbf { a _ { p } } } \end{array} } \; \right| \, - z ^ { - 1 } \right) ,
\begin{array} { r l r } & { \mathbf \Lambda _ { S , b , \mathrm { W } } ^ { \prime \prime } = \Delta y \Delta z \ \tilde { \mathbf I } _ { n _ { z } + 1 } \otimes \tilde { \mathbf I } _ { n _ { y } + 1 } \, , } & { \mathbf \Lambda _ { S , b , \mathrm { E } } ^ { \prime \prime } = \Delta y \Delta z \ \tilde { \mathbf I } _ { n _ { z } + 1 } \otimes \tilde { \mathbf I } _ { n _ { y } + 1 } \, , } \\ & { \mathbf \Lambda _ { S , b , \mathrm { S } } ^ { \prime \prime } = \Delta x \Delta z \ \tilde { \mathbf I } _ { n _ { z } + 1 } \otimes \tilde { \mathbf I } _ { n _ { x } + 1 } \, , } & { \mathbf \Lambda _ { S , b , \mathrm { N } } ^ { \prime \prime } = \Delta x \Delta z \ \tilde { \mathbf I } _ { n _ { z } + 1 } \otimes \tilde { \mathbf I } _ { n _ { x } + 1 } \, , } \\ & { \mathbf \Lambda _ { S , b , \mathrm { B } } ^ { \prime \prime } = \Delta x \Delta y \ \tilde { \mathbf I } _ { n _ { y } + 1 } \otimes \tilde { \mathbf I } _ { n _ { x } + 1 } \, , } & { \mathbf \Lambda _ { S , b , \mathrm { T } } ^ { \prime \prime } = \Delta x \Delta y \ \tilde { \mathbf I } _ { n _ { y } + 1 } \otimes \tilde { \mathbf I } _ { n _ { x } + 1 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 2 \pi C _ { n } = } & { { } - \int _ { - \pi } ^ { \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } d k _ { x } d k _ { y } ( \partial _ { k _ { x } } \mathcal { A } _ { n } ^ { y } - \partial _ { k _ { y } } \mathcal { A } _ { n } ^ { x } ) } \\ { = } & { { } \int _ { - \pi } ^ { \pi } d k _ { y } \partial _ { k _ { y } } \left( \int _ { - \pi } ^ { \pi } d k _ { x } \mathcal { A } _ { n } ^ { x } \right) } \\ { = } & { { } \int _ { - \pi } ^ { \pi } d \theta _ { n } ( k _ { y } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { z _ { \alpha } \left( t \right) } & { = z _ { \alpha } \left( 0 \right) + \frac { 1 } { 2 } \epsilon \int \! \! d \beta d \gamma \sigma _ { \alpha } ^ { \beta \gamma } z _ { \beta } ^ { * } z _ { \gamma } ^ { * } \left( 0 \right) G _ { 1 } \left( t , 0 \right) } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } \epsilon \int \! \! d \beta d \gamma \sigma _ { \alpha } ^ { \beta \gamma } \left( \left( \frac { d } { d s } z _ { \beta } ^ { * } z _ { \gamma } ^ { * } \right) \mid _ { s = 0 } G _ { 2 } ^ { \beta } \left( t , 0 \right) + \left( z _ { \beta } ^ { * } \frac { d } { d s } z _ { \gamma } ^ { * } \right) \mid _ { s = 0 } G _ { 2 } ^ { \gamma } \left( t , 0 \right) \right) + \frac { 1 } { 2 } \epsilon \int _ { 0 } ^ { t } \! d s \int \! \! d \beta d \gamma \sigma _ { \alpha } ^ { \beta \gamma } P _ { 4 } \left( z \right) G _ { 2 } \left( t , s \right) d s , } \end{array}
\frac { d \pi ^ { 0 } } { d \tau } = \frac { \alpha _ { \pi } m _ { \pi } ^ { 2 } } { x } { \left[ \int _ { x } ^ { 1 } \frac { d x _ { 1 } } { x } q ^ { + } ( x _ { 1 } ) \frac { ( x _ { 1 } - x ) ^ { 3 } } { ( x _ { 1 } - x ) ^ { 2 } + \epsilon } - \pi ^ { 0 } \int _ { 0 } ^ { x } d x _ { 1 } \frac { ( x - x _ { 1 } ) ^ { 2 } } { ( x - x _ { 1 } ) ^ { 2 } + \epsilon } \right] }
\eta _ { \mu } ( x ) = \frac { 1 } { 8 \pi ^ { 2 } } \varepsilon _ { \mu \nu \lambda \rho } \frac { \partial } { \partial x _ { \nu } } \int _ { \Sigma } ^ { } d \sigma _ { \lambda \rho } ( x ( \xi ) ) \frac { 1 } { ( x - x ( \xi ) ) ^ { 2 } }
P _ { \mathrm { g r o u p } } ( j ) = \frac { \nu _ { d , j } } { \lambda _ { j } } \left[ \sum _ { j ^ { \prime } = 1 } ^ { J } \frac { \nu _ { d , j ^ { \prime } } } { \lambda _ { j ^ { \prime } } } \right] ^ { - 1 } , \quad w _ { C } = \left( w \frac { 1 } { \Sigma _ { t } } \right) \sum _ { j = 1 } ^ { J } \frac { \nu _ { d , j } \Sigma _ { f } } { k _ { \mathrm { e f f } } \lambda _ { j } } .
\left\{ \begin{array} { r c l } { { d s ^ { 2 } } } & { { = } } & { { V ^ { - 2 } d t ^ { 2 } - V ^ { 2 } d \vec { x } ^ { 2 } \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { F _ { t \underline { { { i } } } } } } & { { = } } & { { \pm \ \sqrt { 2 } } } \\ { { p a r t i a l _ { \underline { { { i } } } } V ^ { - 1 } \, , } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } & { } & { B _ { 0 } ^ { \infty } ( p ^ { 2 } ; m _ { 1 } , m _ { 2 } ) = \Delta + B _ { 0 , r e g } ^ { \infty } ( p ^ { 2 } ; m _ { 1 } , m _ { 2 } ) , } \\ & { } & { B _ { 0 , r e g } ^ { \infty } ( p ^ { 2 } ; m _ { 1 } , m _ { 2 } ) = - \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \ln \frac { x ^ { 2 } q ^ { 2 } - x ( q ^ { 2 } + m _ { 1 } ^ { 2 } - m _ { 2 } ^ { 2 } ) + m _ { 1 } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } . } \end{array}
\frac { \partial \epsilon _ { \it { e f f } } } { \partial \psi } = \frac { \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { 2 \epsilon _ { r } } + \frac { 4 \psi \left( 1 - \psi ^ { 2 } \right) } { \delta C _ { m } } } { \left( \frac { 1 - \psi } { 2 } + \frac { 1 + \psi } { 2 \epsilon _ { r } } + \frac { \left( 1 - \psi ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } { \delta C _ { m } } \right) ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l r } { \textbf { G } _ { n w , 2 } ^ { - } = } & { } & { \int _ { - \infty } ^ { 0 } v _ { n } d v _ { n } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d v _ { t } \int _ { 0 } ^ { \infty } d I \ v _ { 1 } f ^ { e q } ( - v _ { n } , v _ { t } ) } \\ { = } & { } & { \int _ { - \infty } ^ { 0 } v _ { n } d v _ { n } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d v _ { t } \int _ { 0 } ^ { \infty } d I \ ( v _ { n } n _ { 1 } - v _ { t } n _ { 2 } ) f ^ { e q } ( - v _ { n } , v _ { t } ) } \\ { = } & { } & { \int _ { - \infty } ^ { 0 } v _ { n } d v _ { n } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d v _ { t } \int _ { 0 } ^ { \infty } d I \ ( - v _ { n } n _ { 1 } - v _ { t } n _ { 2 } ) f ^ { e q } ( - v _ { n } , v _ { t } ) + } \\ & { } & { \int _ { - \infty } ^ { 0 } v _ { n } d v _ { n } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d v _ { t } \int _ { 0 } ^ { \infty } d I \ ( 2 v _ { n } n _ { 1 } ) f ^ { e q } ( - v _ { n } , v _ { t } ) } \\ { = } & { } & { \int _ { - \infty } ^ { 0 } v _ { n } d v _ { n } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d v _ { t } \ \hat { f } _ { 2 } ^ { e q } ( - v _ { n } , v _ { t } ) + } \\ & { } & { 2 n _ { 1 } \int _ { - \infty } ^ { 0 } v _ { n } ^ { 2 } d v _ { n } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d v _ { t } \ f ^ { e q } ( - v _ { n } , v _ { t } ) } \\ { = } & { } & { \left\{ - ( \lambda _ { 1 2 } n _ { 1 } + \lambda _ { 2 2 } n _ { 2 } ) \right\} ^ { - } f _ { 1 2 } ^ { e q } + \left\{ - ( - \lambda _ { 1 2 } n _ { 1 } + \lambda _ { 2 2 } n _ { 2 } ) \right\} ^ { - } f _ { 2 2 } ^ { e q } + } \\ & { } & { \left\{ - ( - \lambda _ { 1 2 } n _ { 1 } - \lambda _ { 2 2 } n _ { 2 } ) \right\} ^ { - } f _ { 3 2 } ^ { e q } + \left\{ - ( \lambda _ { 1 2 } n _ { 1 } - \lambda _ { 2 2 } n _ { 2 } ) \right\} ^ { - } f _ { 4 2 } ^ { e q } + } \\ & { } & { 2 n _ { 1 } \int _ { - \infty } ^ { 0 } v _ { n } ^ { 2 } d v _ { n } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d v _ { t } f ^ { e q } ( - v _ { n } , v _ { t } ) } \\ { = } & { } & { - ( \lambda _ { 1 2 } n _ { 1 } + \lambda _ { 2 2 } n _ { 2 } ) ^ { + } f _ { 1 2 } ^ { e q } - ( - \lambda _ { 1 2 } n _ { 1 } + \lambda _ { 2 2 } n _ { 2 } ) ^ { + } f _ { 2 2 } ^ { e q } - } \\ & { } & { ( - \lambda _ { 1 2 } n _ { 1 } - \lambda _ { 2 2 } n _ { 2 } ) ^ { + } f _ { 3 2 } ^ { e q } - ( \lambda _ { 1 2 } n _ { 1 } - \lambda _ { 2 2 } n _ { 2 } ) ^ { + } f _ { 4 2 } ^ { e q } + } \\ & { } & { 2 n _ { 1 } \int _ { - \infty } ^ { 0 } v _ { n } ^ { 2 } d v _ { n } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d v _ { t } f ^ { e q } ( - v _ { n } , v _ { t } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \rho \frac { d u _ { i } } { d t } + u _ { j } \frac { \partial u _ { i } } { \partial x _ { j } } } & { = } & { - \frac { \partial p } { \partial x _ { i } } + \frac { \partial \tau _ { i j } } { \partial x _ { j } } } \\ { \frac { d p } { d t } + u _ { i } \frac { \partial p } { \partial x _ { i } } } & { = } & { - { c _ { s } } ^ { 2 } \rho _ { o } \frac { \partial u _ { i } } { \partial x _ { i } } + \nu \frac { \partial ^ { 2 } p } { \partial x _ { i } x _ { i } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { 1 } r ^ { - 2 n - 1 } \int _ { 0 } ^ { r } s ^ { 2 n + 1 } \nu _ { \Omega } ( s ) d s d r } & { \leqslant \frac { C _ { 0 } } { ( \Omega - \kappa _ { 2 } ) ^ { \theta } } \int _ { 0 } ^ { 1 } r ^ { - 2 n - 1 } \int _ { 0 } ^ { r } \frac { s ^ { 2 n + 1 } } { ( 1 - s ) ^ { 1 - \theta } } d s d r } \\ & { \leqslant \frac { C _ { 0 } } { ( \Omega - \kappa _ { 2 } ) ^ { \theta } } \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { r ^ { - 2 n - 1 } } { ( 1 - r ) ^ { 1 - \theta } } \int _ { 0 } ^ { r } { s ^ { 2 n + 1 } } d s d r } \\ & { \leqslant \frac { C _ { 0 } } { ( \Omega - \kappa _ { 2 } ) ^ { \theta } ( 2 n + 2 ) } \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { 1 } { ( 1 - r ) ^ { 1 - \theta } } d r , } \end{array}
\left( \gamma \left[ \left( \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } \right) ^ { 2 } - ( \partial _ { x } u ) ^ { 2 } \right] , \eta \right) _ { Q _ { T } } \leq C \lVert \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } - \partial _ { x } u \rVert _ { L ^ { 2 } ( Q _ { T } ) } \cdot \lVert \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } + \partial _ { x } u \rVert _ { L ^ { 2 } ( Q _ { T } ) }