harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \tau ( 1 \rho _ { i } \rho _ { i } 1 ) } & { = } & { \gamma ( 1 , \rho _ { i } ) \gamma ( \overline { { \rho _ { i } } } , \rho _ { i } ) = 1 , } \\ { \tau ( s _ { 1 } \rho _ { i } \rho _ { i } s _ { 1 } ) } & { = } & { \gamma ( 1 , s _ { 1 } ) \gamma ( s _ { 1 } , \rho _ { i } ) \gamma ( s _ { 1 } \rho _ { 1 } , \rho _ { i } ) \gamma ( s _ { 1 } , s _ { 1 } ) = 1 , } \\ { \tau ( \rho _ { 1 } \rho _ { i } \rho _ { i } \rho _ { 1 } ) } & { = } & { \gamma ( 1 , \rho _ { 1 } ) \gamma ( \rho _ { 1 } , \rho _ { i } ) \gamma ( 1 , \rho _ { i } ) \gamma ( \rho _ { 1 } , \rho _ { 1 } ) = 1 , } \\ { \tau ( s _ { 1 } \rho _ { 1 } ( \rho _ { 1 } \rho _ { 1 } ) \rho _ { 1 } s _ { 1 } ) } & { = } & { \gamma ( 1 , s _ { 1 } ) \gamma ( s _ { 1 } , \rho _ { 1 } ) \gamma ( s _ { 1 } \rho _ { 1 } , \rho _ { 1 } ) \gamma ( s _ { 1 } , \rho _ { 1 } ) \gamma ( s _ { 1 } \rho _ { 1 } , \rho _ { 1 } ) \gamma ( s _ { 1 } , s _ { 1 } ) = 1 , } \\ { \tau ( s _ { 1 } \rho _ { 1 } ( \rho _ { i } \rho _ { i } ) \rho _ { 1 } s _ { 1 } ) } & { = } & { \gamma ( 1 , s _ { 1 } ) \gamma ( s _ { 1 } , \rho _ { 1 } ) \gamma ( s _ { 1 } \rho _ { 1 } , \rho _ { i } ) \gamma ( s _ { 1 } , \rho _ { i } ) \gamma ( s _ { 1 } \rho _ { 1 } , \rho _ { 1 } ) \gamma ( s _ { 1 } , s _ { 1 } ) = z _ { i } ^ { - 1 } z _ { i } = 1 } \\ & { } & { \textrm { f o r } ~ i \geq 2 . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int f _ { \varepsilon } \langle y - x , \nabla u _ { \varepsilon } \rangle \phi _ { \delta , \rho } ( | y - x | ) \chi _ { \delta } ( y _ { n + 1 } ) } \\ & { = \int f _ { \varepsilon } \langle \nabla u , \eta \rangle } \\ & { = \int \left( \frac { \varepsilon | \nabla u _ { \varepsilon } | ^ { 2 } } { 2 } + \frac { W ( u _ { \varepsilon } ) } { \varepsilon } \right) \mathrm { d i v } \eta - \varepsilon \nabla u \otimes \nabla u : \nabla \eta } \\ & { = \int \left( | y - x | \phi _ { \delta , \rho } ^ { \prime } \chi _ { \delta } + ( n + 1 ) \phi _ { \delta , \rho } \chi _ { \delta } + ( y _ { n + 1 } - x _ { n + 1 } ) \phi _ { \delta , \rho } \chi _ { \delta } ^ { \prime } \right) d \mu _ { \varepsilon } } \\ & { - \int \varepsilon \frac { \phi _ { \delta , \rho } ^ { \prime } \chi _ { \delta } } { | y - x | } \langle y - x , \nabla u _ { \varepsilon } \rangle ^ { 2 } - \int \varepsilon | \nabla u _ { \varepsilon } | ^ { 2 } \phi _ { \delta , \rho } \chi _ { \delta } - \int \varepsilon \frac { \partial u } { \partial x _ { n + 1 } } \langle y - x , \nabla u _ { \varepsilon } \rangle \phi _ { \delta , \rho } \chi _ { \delta } ^ { \prime } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \kappa ^ { 3 } c ^ { 2 } } { \eta _ { T } T L ^ { 2 } } \bigg ( \frac { \sigma ^ { 2 } } { 4 b _ { 1 } } + \frac { 2 \zeta ^ { 2 } } { 2 1 } \bigg ) \ln ( T + 1 ) } \\ & { \leq \bigg ( \frac { 4 8 \lambda L I ^ { 2 } } { \rho T } + \frac { \lambda L } { \rho K ^ { 2 / 3 } T ^ { 2 / 3 } } \bigg ) \times \frac { 1 9 2 ^ { 2 } \lambda } { L \rho } \times \bigg ( \frac { \sigma ^ { 2 } } { 4 b _ { 1 } } + \frac { 2 \zeta ^ { 2 } } { 2 1 } \bigg ) \log ( T + 1 ) } \\ & { \leq \frac { 1 9 2 ^ { 2 } \lambda ^ { 2 } } { \rho ^ { 2 } } \times \bigg ( \frac { 4 8 I ^ { 2 } } { T } + \frac { 1 } { K ^ { 2 / 3 } T ^ { 2 / 3 } } \bigg ) \times \bigg ( \frac { \sigma ^ { 2 } } { 4 b _ { 1 } } + \frac { 2 \zeta ^ { 2 } } { 2 1 } \bigg ) \log ( T + 1 ) . } \end{array}
T _ { \mathrm { e } } = \frac { 2 \left< \epsilon \right> } { 3 } = \frac { 2 } { 3 n _ { \mathrm { e } } } \; \int _ { 0 } ^ { \infty } \epsilon ^ { 3 / 2 } \; f _ { \mathrm { p } } \left( \epsilon \right) \, \mathrm { d } \epsilon
\begin{array} { r l r } & { } & { \! \! \! \! \! \delta \boldsymbol { j } _ { I } = - \frac { \delta _ { I } } { \tau _ { \mathrm { d i s } } ^ { - 1 } \! + \! \delta _ { I } ^ { - 1 } \tau _ { 2 2 } ^ { - 1 } } \frac { 1 } { e ^ { 2 } \tilde { R } } \times } \\ & { } & \\ & { } & { \; \; \times \! \left[ \alpha _ { 1 } \omega _ { B } \boldsymbol { e } _ { B } \! \times \! \boldsymbol { E } \! + \! \frac { 2 T \ln 2 } { \pi } e ^ { 2 } R _ { 0 } \boldsymbol { \nabla } \mu _ { I } \! + \! \alpha _ { 1 } \omega _ { B } ^ { 2 } \frac { 2 T \ln 2 } { v _ { g } ^ { 2 } } \boldsymbol { u } \right] \! , } \end{array}
R ( t ) = \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \left[ \frac { \int { | \mathbf { q } | \mathcal { S } ( \mathbf { q } , t ) d \mathbf { q } } } { \int { \mathcal { S } ( \mathbf { q } , t ) d \mathbf { q } } } \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \right] ^ { - 1 } ,
\begin{array} { r l r } { E _ { I I , p } ( { \bf r } ) } & { = } & { e ^ { \imath \, { \bf k _ { m , 1 } } . { \bf r } } \left[ t _ { 1 2 } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( r _ { 2 1 } ) ^ { 2 n } e ^ { \imath \Phi _ { m } n } e ^ { - \imath n \, { \bf k _ { m , 1 } } . \Delta { \bf r } } \right] } \\ & { } & { + e ^ { \imath \, { \bf k _ { m , 2 } } . { \bf r } } \left[ t _ { 1 2 } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( r _ { 2 1 } ) ^ { 2 n + 1 } e ^ { \imath \Phi _ { m } ( n + \frac { 1 } { 2 } ) } e ^ { - \imath \, { \bf k _ { m , 2 } } . ( \Delta { \bf r } _ { m } + ( n + \frac { 1 } { 2 } ) \Delta { \bf r } ) } \right] } \\ & { = } & { a _ { m , 1 } ( \theta _ { i } , n _ { m } , d ) e ^ { \imath \, { \bf k _ { m , 1 } } . { \bf r } } + a _ { m , 2 } ( \theta _ { i } , n _ { m } , d ) e ^ { \imath \, { \bf k _ { m , 2 } } . { \bf r } } } \end{array}
Y _ { \mathrm { ~ p ~ h ~ y ~ } } ( E ) = 0 . 0 4 2 \frac { Q \left( Z _ { 2 } \right) \alpha ^ { * } \left( M _ { 2 } / M _ { 1 } \right) } { U _ { \mathrm { ~ s ~ } } } \frac { S _ { \mathrm { ~ n ~ } } ( E ) } { 1 + \Gamma k _ { \mathrm { ~ e ~ } } \epsilon ^ { 0 . 3 } } \times { \left[ 1 - \sqrt { \frac { E _ { \mathrm { ~ t ~ h ~ } } } { E } } \right] ^ { s } }
d f _ { j } = \sum _ { k } \frac { \partial f _ { j } } { \partial q _ { k } } d q _ { k } + \frac { \partial f _ { j } } { \partial t } d t = \nabla _ { \mathbf { q } } f _ { j } \cdot d \mathbf { q } + \frac { \partial f _ { j } } { \partial t } d t = 0
\begin{array} { r l r } { \mathrm { ~ T ~ S ~ E ~ } _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { N } } ( { \mathbf x } _ { 0 } , v _ { 0 } ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { \Delta t } \ln \frac { | { \mathbf Y } ^ { \prime } ( \tau _ { N } ) | } { | { \mathbf Y } ^ { \prime } ( \tau _ { 0 } ) | } = \frac { 1 } { \Delta t } \ln \frac { | { \mathbf U } ( { \mathbf Y } _ { N } ) | } { | { \mathbf U } ( { \mathbf Y } _ { 0 } ) | } } \\ { \mathrm { ~ T ~ R ~ A ~ } _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { N } } ( { \mathbf x } _ { 0 } , v _ { 0 } ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { \Delta t } \cos ^ { - 1 } \frac { { \mathbf Y } ^ { \prime } ( \tau _ { 0 } ) ^ { { \mathrm T } } \, { \mathbf Y } ^ { \prime } ( \tau _ { N } ) } { | { \mathbf Y } ^ { \prime } ( \tau _ { 0 } ) | | { \mathbf Y } ^ { \prime } ( \tau _ { N } ) | } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \bf u } } & { { } = } & { \nabla \times ( \psi ^ { u } { \bf e _ { \parallel } } ) + \nabla \times ( \nabla \times ( \phi ^ { u } { \bf e _ { \parallel } } ) ) + \nabla \xi \, , } \\ { { \bf b } } & { { } = } & { \nabla \times ( \psi ^ { b } { \bf e _ { \parallel } } ) + \nabla \times ( \nabla \times ( \phi ^ { b } { \bf e _ { \parallel } } ) ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d m } { d t } } & { { } = } & { \{ i [ - \Delta - g ( b ^ { \dagger } + b ) ] - \frac { \kappa _ { m } } { 2 } \} m + \sqrt { \kappa _ { i n } } \varepsilon _ { p } , } \\ { \frac { d b } { d t } } & { { } = } & { ( i \omega _ { b } - \frac { \kappa _ { b } } { 2 } ) b - i g m ^ { \dagger } m . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { E } _ { \tau } [ \| \widehat { \mathbf x } ^ { ( \tau ) } - { \mathbf x } ^ { ( \tau ) } \| ^ { 2 } ] \leq \frac { 8 M ^ { 2 } \left( f ( { \mathbf x } ^ { ( 0 ) } ) - \underline { f } + 3 M ^ { 2 } / ( 2 \hat { \rho } ) \right) } { \hat { \rho } ( \hat { \rho } - \rho ) \nu \operatorname* { m i n } \left\{ \epsilon ^ { 2 } / M , \nu / ( 4 \rho ) \right\} T } + \frac { 3 ( 1 + \Lambda ^ { \prime } ) } { \hat { \rho } - \rho } \epsilon ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \mathbb { M } _ { 1 } - \frac { \Delta t } { 2 } \mathbb { C } ^ { \top } \mathbb { Q } ^ { b b } ( { \mathbf b } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } ) \mathbb { C } \right) { \mathbf b } ^ { n + 1 } = \mathbb { M } _ { 1 } { \mathbf b } ^ { n } + \frac { \Delta t } { 2 } \mathbb { C } ^ { \top } \mathbb { Q } ^ { b b } ( { \mathbf b } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } ) \mathbb { C } { \mathbf b } ^ { n } . } \end{array}
\omega = { \frac { \sigma \left( 1 - k ^ { 2 } a ^ { 2 } \right) } { 2 a \mu _ { B } } } { \frac { 1 } { k ^ { 2 } a ^ { 2 } + 1 - k ^ { 2 } a ^ { 2 } K _ { 0 } ^ { 2 } ( k a ) / K _ { 1 } ^ { 2 } ( k a ) } }
\begin{array} { r l } { x _ { 0 } ^ { \mathrm { o p t } } } & { = G \left( \frac { \langle \delta \ell ( 0 ) \delta v ( \tau ) \rangle } { \sigma _ { \ell } \sigma _ { v } } \frac { \delta \ell ( 0 ) } { \sigma _ { \ell } } + \frac { \langle \delta v ( 0 ) \delta v ( \tau ) \rangle } { \sigma _ { v } ^ { 2 } } \frac { v ( 0 ) } { \sigma _ { v } } \right) + \xi . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { l l } { u _ { t t } - \mathrm { d i v } ( c ( \mathbf x ) ^ { 2 } \nabla u ) = \tilde { f } ( t ) \tilde { G } ( \mathbf x ) , } & { \mathbf x \in R , } \\ { { \frac { \partial u } { \partial \mathbf n } } = 0 , } & { \mathbf x \in \partial R , } \\ { u ( \mathbf x , 0 ) = 0 , u _ { t } ( \mathbf x , 0 ) = 0 , } & { \mathbf x \in R , } \end{array} } \end{array}
{ E _ { U / L } = \frac { 1 } { 2 } \left( \omega _ { X } + \omega _ { \mathrm { { c } } } + \frac { k ^ { 2 } } { 2 m } \right) \pm \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \Delta _ { k } ^ { 2 } + 4 \Omega ^ { 2 } } }
\begin{array} { r l } { Q _ { \mathrm { c o r n e r } } ^ { ( 2 ) } } & { = \frac { 1 } { 4 } \left( - [ X _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ] - [ Y _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ] + [ M _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ] \right) , } \\ { Q _ { \mathrm { c o r n e r } } ^ { ( 3 ) } } & { = \frac { 1 } { 3 } \left( [ K _ { 1 } ^ { ( 3 ) } ] + [ K _ { 2 } ^ { ( 3 ) } ] - [ K _ { 1 } ^ { ( 3 ) } ] \right) , } \\ { Q _ { \mathrm { c o r n e r } } ^ { ( 4 ) } } & { = \frac { 1 } { 4 } \left( [ X _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ] + 2 [ M _ { 1 } ^ { ( 4 ) } ] + \frac { 3 } { 2 } [ M _ { 2 } ^ { ( 4 ) } ] + \frac { 3 } { 2 } [ M _ { 4 } ^ { ( 4 ) } ] \right) , } \\ { Q _ { \mathrm { c o r n e r } } ^ { ( 6 ) } } & { = \frac { 1 } { 4 } [ M _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ] + \frac { 2 } { 3 } [ K _ { 1 } ^ { ( 3 ) } ] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { V } & { : = } & { \operatorname* { s u p } \Big \{ v : \; ( v , \{ r _ { m } = 0 \} , \big \{ \mathfrak { q } _ { k , m } = 0 \big \} ) \in H \Big \} } \\ { \bar { V } } & { : = } & { \operatorname* { s u p } \Big \{ v : \; ( v , \{ r _ { m } = 0 \} , \big \{ \mathfrak { q } _ { k , m } = 0 \big \} ) \in \bar { H } \Big \} } \end{array}
\left[ \vartheta \binom { n } { 2 } Q _ { m } \right] ^ { 2 } = \sum _ { i = 1 } ^ { m } \sum _ { j = i + 1 } ^ { n } q _ { i j } ^ { 2 } , + \sum _ { i = 1 } ^ { m } \sum _ { j = i + 1 } ^ { n } \sum _ { \substack { k = 1 , \, k \neq i , j } } ^ { m } q _ { i j } q _ { j k } + \sum _ { i = 1 } ^ { m } \sum _ { j = i + 1 } ^ { n } \sum _ { \substack { k = 1 , \, k \neq i , j } } ^ { m } \sum _ { \substack { l = k + 1 , \, l \neq i , j } } ^ { n } q _ { i j } q _ { k l } ,
{ \cal H } _ { \mathrm { e f f } } = { \frac { G _ { F } } { \sqrt 2 } } V _ { u d } ^ { * } V _ { c b } ( C _ { 1 } ( \mu ) { \bf O } _ { 1 } + C _ { 2 } ( \mu ) { \bf O } _ { 2 } ) + \cdot \cdot \cdot
\begin{array} { r } { E _ { \mathrm { ~ B ~ } } ^ { ( 3 ) } ( 1 , 1 ) = \frac { 1 } { 2 \pi } \left( 1 + \frac { \pi } { 2 } \right) \approx 0 . 4 0 9 \ 1 5 5 \; . } \end{array}
\begin{array} { l } { \displaystyle \left[ k ^ { 2 } - \frac { \omega ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \epsilon _ { r } ( \omega ) \right] \Phi ( \vec { k } , \omega ) = \frac { 4 \, \pi } { \epsilon _ { r } ( \omega ) } \, \rho ( \vec { k } , \omega ) } \\ { \displaystyle \left[ k ^ { 2 } - \frac { \omega ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \epsilon _ { r } ( \omega ) \right] \vec { A } ( \vec { k } , \omega ) = \frac { 4 \, \pi } { c } \, \vec { J } ( k , \omega ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { \partial q _ { k k ^ { \prime } k ^ { \prime \prime } } ^ { s s ^ { \prime } s ^ { \prime \prime } } ( { \bf k } , { \bf k } ^ { \prime } , { \bf k } ^ { \prime \prime } ) } { \partial t } \delta ( { \bf k } + { \bf k } ^ { \prime } + { \bf k } ^ { \prime \prime } ) = } \\ & { } & { i \epsilon \int _ { { \mathbb { R } } ^ { 6 } } \sum _ { s _ { p } s _ { q } } L _ { - k p q } ^ { - s s _ { p } s _ { q } } \left[ q _ { k ^ { \prime } k ^ { \prime \prime } p q } ^ { s ^ { \prime } s ^ { \prime \prime } s _ { s _ { p } } s _ { s _ { q } } } ( { \bf k } ^ { \prime } , { \bf k } ^ { \prime \prime } , { \bf p } , { \bf q } ) \delta ( { \bf k } ^ { \prime } + { \bf k } ^ { \prime \prime } + { \bf p } + { \bf q } ) \right. } \\ & { } & { + q _ { k ^ { \prime } k ^ { \prime \prime } } ^ { s ^ { \prime } s ^ { \prime \prime } } ( { \bf k } ^ { \prime } , { \bf k } ^ { \prime \prime } ) q _ { p q } ^ { s _ { p } s _ { q } } ( { \bf p } , { \bf q } ) \delta ( { \bf k } ^ { \prime } + { \bf k } ^ { \prime \prime } ) \delta ( { \bf p } + { \bf q } ) } \\ & { } & { + q _ { k ^ { \prime } p } ^ { s ^ { \prime } s _ { p } } ( { \bf k } ^ { \prime } , { \bf p } ) q _ { k ^ { \prime \prime } q } ^ { s ^ { \prime \prime } s _ { q } } ( { \bf k } ^ { \prime \prime } , { \bf q } ) \delta ( { \bf k } ^ { \prime } + { \bf p } ) \delta ( { \bf k } ^ { \prime \prime } + { \bf q } ) } \\ & { } & { \left. + q _ { k ^ { \prime } q } ^ { s ^ { \prime } s _ { q } } ( { \bf k } ^ { \prime } , { \bf q } ) q _ { k ^ { \prime \prime } p } ^ { s ^ { \prime \prime } s _ { p } } ( { \bf k } ^ { \prime \prime } , { \bf p } ) \delta ( { \bf k } ^ { \prime } + { \bf q } ) \delta ( { \bf k } ^ { \prime \prime } + { \bf p } ) \right] e ^ { i \Omega _ { k , p q } t } \delta _ { k , p q } \mathrm { d } { \bf p } \mathrm { d } { \bf q } } \\ & { } & { + \, i \epsilon \int _ { { \mathbb { R } } ^ { 6 } } \Big \{ ( { \bf k } , s ) \leftrightarrow ( { \bf k } ^ { \prime } , s ^ { \prime } ) \Big \} \mathrm { d } { \bf p } \mathrm { d } { \bf q } } \\ & { } & { + \, i \epsilon \int _ { { \mathbb { R } } ^ { 6 } } \Big \{ ( { \bf k } , s ) \leftrightarrow ( { \bf k } ^ { \prime \prime } , s ^ { \prime \prime } ) \Big \} \mathrm { d } { \bf p } \mathrm { d } { \bf q } \, , } \end{array}
\mathsf { L } _ { \mathrm { e f f } } = \frac { 1 } { 2 } \dot { \mathbf { X } } _ { \mathrm { O } } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { \widetilde { M } } _ { \mathrm { e f f } } \dot { \mathbf { X } } _ { \mathrm { O } } - \frac { 1 } { 2 } \mathbf { X } _ { \mathrm { O } } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { K } _ { \mathrm { e f f } } \mathbf { X } _ { \mathrm { O } } - \mathsf { P } _ { \mathrm { e f f } } - \mathbf { F } _ { \mathrm { e f f } } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { X } _ { \mathrm { O } } \, .
\hat { H } = - \hbar \Delta _ { c } \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } + \hbar \left( \eta _ { p } \hat { a } ^ { \dagger } + \eta _ { p } ^ { * } \hat { a } \right) + \int d z \ \hat { \psi } _ { g } ^ { \dagger } ( z ) \left[ \frac { \hbar ( \mathcal { G } _ { 0 } \sin k _ { c } z ) ^ { 2 } } { \Delta _ { 0 } } \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } + \frac { p ^ { 2 } } { 2 M } + V ( z ) \right] \hat { \psi } _ { g } ( z ) .
\sigma _ { 1 } ( j - j ^ { \prime } , t ) = \frac { 1 } { 4 \cosh ^ { 2 } ( \beta B ) } \frac { 1 } { Z } \sum _ { N = 0 } ^ { \infty } \sum _ { \mathbf { k } } e ^ { - \beta \tilde { E } _ { \mathbf { k } } } \int _ { - \pi } ^ { \pi } \frac { d \lambda } { 2 \pi } \langle \mathbf { k } | n _ { j } ( t ) e ^ { i \lambda \mathcal { N } _ { j } ( t ) } e ^ { - i \lambda \mathcal { N } _ { j ^ { \prime } } ( 0 ) } n _ { j ^ { \prime } } ( 0 ) | \mathbf { k } \rangle .
\begin{array} { r l } { \Vert \nabla _ { x } \mathrm { K } _ { G } ^ { \mathrm { f r e e } } [ H ] \Vert _ { \mathrm { L } ^ { 2 } ( 0 , T ; \mathrm { L } ^ { 2 } ( \mathbb T ^ { d } ) ) } + \Vert \nabla _ { x } \mathrm { K } _ { G } ^ { \mathrm { f r i c } } [ H ] \Vert _ { \mathrm { L } ^ { 2 } ( 0 , T ; \mathrm { L } ^ { 2 } ( \mathbb T ^ { d } ) ) } } & { \leq C \Vert \widetilde { G } \Vert _ { T , s _ { 1 } , s _ { 2 } } \Vert H \Vert _ { \mathrm { L } ^ { 2 } ( 0 , T ; \mathrm { L } ^ { 2 } ( \mathbb T ^ { d } ) ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left[ \langle \hat { F } ( Q _ { i } ) \rangle _ { \delta _ { i } } \langle \hat { G } ( Q _ { i } ) \rangle _ { - \delta _ { i } } \right] } & { \neq } & { \left[ \langle \hat { F } ( Q _ { i } ) \rangle _ { - \delta _ { i } } \langle \hat { G } ( Q _ { i } ) \rangle _ { \delta _ { i } } \right] , } \\ { \left[ \langle \hat { F } ( Q _ { i } ) \rangle _ { \delta _ { i } } \langle \hat { G } ( Q _ { i } ) \rangle _ { - \delta _ { i } } \right] } & { = } & { \left[ \langle \hat { G } ( Q _ { i } ) \rangle _ { \delta _ { i } } \langle \hat { F } ( Q _ { i } ) \rangle _ { - \delta _ { i } } \right] . } \end{array}
{ \mathit { \Sigma } } _ { R { \ } { \ } i , j } ^ { R \left( A \right) } { = } { \mp } i { \eta } ^ { R } \left( \varepsilon { - } { \mu } _ { R } \right) { \delta } _ { i , j } \left( { \delta } _ { j , N } { + } { \delta } _ { j , N { - } { 1 } } \right) { / } { \hbar }
v ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { v _ { 0 } + \frac { ( v _ { \mathrm { g } } - v _ { 0 } ) x } { L _ { 0 } } , } & { x \le L _ { 0 } } \\ { v _ { \mathrm { g } } , } & { x > L _ { 0 } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \mathcal { Z } } & { = \sum _ { \boldsymbol { X } } \prod _ { i } p ( x _ { i } ^ { 0 } ) \prod _ { t } \int d h _ { i } ^ { t } \left\{ \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , S } W [ x _ { i } ^ { t + 1 } = S | \mathbf { x ^ { t } } ] + \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , I } W [ x _ { i } ^ { t + 1 } = I | \mathbf { x ^ { t } } ] + \right. } \\ & { \qquad \left. + \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , R } W [ x _ { i } ^ { t + 1 } = R | \mathbf { x ^ { t } } ] \right\} \delta \left( h _ { i } ^ { t } - \sum _ { j } \delta _ { x _ { j } ^ { t } , I } \nu _ { j i } ^ { t } \right) } \\ & { = \sum _ { \boldsymbol { X } } \prod _ { i } p ( x _ { i } ^ { 0 } ) \prod _ { t } \int d h _ { i } ^ { t } \left\{ \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , S } \delta _ { x _ { i } ^ { t } , S } \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) e ^ { h _ { i } ^ { t } } + \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , I } \left[ \delta _ { x _ { i } ^ { t } , I } ( 1 - r _ { i } ^ { t } ) + \delta _ { x _ { i } ^ { t } , S } \left( 1 - \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) e ^ { h _ { i } ^ { t } } \right) \right] + \right. } \\ & { \qquad \left. + \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , R } \left( \delta _ { x _ { i } ^ { t } , R } + \delta _ { x _ { i } ^ { t } , I } r _ { i } ^ { t } \right) \right\} \delta \left( h _ { i } ^ { t } - \sum _ { j } \delta _ { x _ { j } ^ { t } , I } \nu _ { j i } ^ { t } \right) } \\ & { = \sum _ { \boldsymbol { X } } \prod _ { i } p ( x _ { i } ^ { 0 } ) \prod _ { t } \int d h _ { i } ^ { t } \left\{ \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , S } \delta _ { x _ { i } ^ { t } , S } \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) e ^ { h _ { i } ^ { t } } + \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , I } \left[ \delta _ { x _ { i } ^ { t } , I } ( 1 - r _ { i } ^ { t } ) + \delta _ { x _ { i } ^ { t } , S } \left( 1 - \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) e ^ { h _ { i } ^ { t } } \right) \right] + \right. } \\ & { \qquad \left. + \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , R } \left( \delta _ { x _ { i } ^ { t } , R } + \delta _ { x _ { i } ^ { t } , I } r _ { i } ^ { t } \right) \right\} \int \frac { d \hat { h } _ { i } ^ { t } } { 2 \pi } e ^ { i \hat { h } _ { i } ^ { t } ( h _ { i } ^ { t } - \sum _ { j } \delta _ { x _ { j } ^ { t } , I } \nu _ { j i } ^ { t } ) } . } \end{array}
| { \cal G } _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } ( y ) | \leq { \frac { \sqrt { y } \alpha ^ { 2 } q } { \sqrt { \beta } ( y - \beta p _ { i _ { 2 } } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } + \frac { \alpha ^ { 2 } q } { \beta } \left( \frac { 1 } { y - \beta p _ { i _ { 2 } } ^ { 2 } } - { \frac { 1 } { y - \beta ( p _ { i _ { 2 } } - k _ { \mathrm { m a x } } ) ^ { 2 } } } \right) ,
\left[ { \frac { d ^ { 2 } } { d r ^ { 2 } } } + { \frac { 2 } { r } } { \frac { d } { d r } } - { \frac { l ( l + 1 ) } { r ^ { 2 } } } \right] a _ { l } - M { \frac { l ( l + 1 ) } { r ^ { 2 } } } c _ { l } = 0 ,
\left| P _ { \xi } \right\rangle = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \sum _ { \lambda \lambda ^ { \prime } } \int d \boldsymbol { k } \int d \boldsymbol { k } ^ { \prime } \tilde { \xi } _ { \lambda \lambda ^ { \prime } } ( \boldsymbol { k } , \boldsymbol { k } ^ { \prime } ) \hat { a } _ { \boldsymbol { k } \lambda } ^ { \dagger } ( t ) \hat { a } _ { \boldsymbol { k } ^ { \prime } \lambda ^ { \prime } } ^ { \dagger } ( t ) \left| 0 \right\rangle ,
\begin{array} { r l } { m _ { j \to \Psi _ { i } } ^ { 0 } ( t _ { i } , t _ { j } , 0 ) } & { = \sum _ { \tau _ { j } } m _ { \Psi _ { j } \to i } ( t _ { j } , t _ { i } , \tau _ { j } , 0 ) } \\ & { = \sum _ { \tau _ { j } } \nu _ { \psi _ { j } \to i } ( t _ { j } , t _ { i } , \tau _ { j } , 1 + \mathrm { s i g n } ( - \tau _ { j } + s _ { i j } ) ) } \\ { m _ { j \to \Psi _ { i } } ^ { 1 } ( t _ { i } , t _ { j } , \tau _ { i } ) } & { = \sum _ { \tau _ { j } \geq \tau _ { i } - s _ { j i } } m _ { \Psi _ { j } \to i } ( t _ { j } , t _ { i } , \tau _ { j } , \tau _ { i } ) = } \\ & { = \sum _ { \tau _ { j } \geq \tau _ { i } - s _ { j i } } \nu _ { \Psi _ { j } \to i } ( t _ { j } , t _ { i } , \tau _ { j } , 1 + \mathrm { s i g n } ( \tau _ { i } - \tau _ { j } + s _ { i j } ) ) } \\ { m _ { j \to \Psi _ { i } } ^ { 2 } ( t _ { i } , t _ { j } , \tau _ { i } ) } & { = \sum _ { \tau _ { j } > \tau _ { i } - s _ { j i } } m _ { \Psi _ { j } \to i } ( t _ { j } , t _ { i } , \tau _ { j } , \tau _ { i } ) = } \\ & { = \sum _ { \tau _ { j } > \tau _ { i } - s _ { j i } } \nu _ { \Psi _ { j } \to i } ( t _ { j } , t _ { i } , \tau _ { j } , 1 + \mathrm { s i g n } ( \tau _ { i } - \tau _ { j } + s _ { i j } ) ) } \end{array}
( \alpha \beta ^ { * } ) ^ { 2 } + ( \alpha ^ { * } \beta ) ^ { 2 } + 4 \lvert \alpha ^ { * } \beta \rvert ^ { 2 } + ( \gamma \delta ^ { * } ) ^ { 2 } + ( \gamma ^ { * } \delta ) ^ { 2 } + 4 \lvert \gamma ^ { * } \delta \rvert ^ { 2 } = 0 .
\begin{array} { r l r } { \frac { d s _ { \mathrm { t o t } } } { d t } } & { = } & { - \beta s _ { \mathrm { t o t } } i _ { \mathrm { t o t } } } \\ { \frac { d i _ { \mathrm { t o t } } } { d t } } & { = } & { + \beta s _ { \mathrm { t o t } } i _ { \mathrm { t o t } } - \gamma i _ { \mathrm { t o t } } } \\ { \frac { d r _ { \mathrm { t o t } } } { d t } } & { = } & { + \gamma i _ { \mathrm { t o t } } } \end{array}