harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\operatorname * { l i m } _ { \tau \to \infty } - \frac { 1 } { L } \log \left< \mathrm { T r } U _ { \mathrm { a d j } } ( u ) \mathrm { T r } U _ { \mathrm { a d j } } ( v ) \right> _ { 0 } = 2 e ^ { 2 } | v - u | \ \ ,
\frac { d \tilde { \mathbf { u } } } { d t } = \texttt { v e c } \left( \gamma ( G _ { \tilde { \mathbf { u } } } , T \hat { G } ) \right) \quad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \tilde { \mathbf { u } } ( 0 ) = T _ { r o t } \mathbf { z }
\Gamma \left[ \left( \bar { \lambda } _ { \perp } - ( 1 - y ^ { 2 } ) v ^ { 2 } \bar { \eta } _ { \perp } - y ^ { 2 } v ^ { 2 } \bar { \eta } _ { l } \right) \gamma \Gamma + 1 \right] = 0 \; ,
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l r l r } & { \lambda _ { 2 } : = \sqrt { \Delta t _ { n } } , } & & { \lambda _ { 4 } : = 1 - \left( 1 + f _ { z } + \frac { f _ { z } } { K _ { \gamma } ^ { 2 } } \int _ { E } \gamma ( e ) ^ { 2 } \lambda ( d e ) \right) \sqrt { \Delta t _ { n } } - f _ { z } \Delta t _ { n } , } & \\ & { \lambda _ { 3 } : = \sqrt { \Delta t _ { n } } , } & & { \lambda _ { 5 } : = \frac { 1 } { K _ { \gamma } ^ { 2 } } \left[ 1 - \left( 1 + f _ { \Gamma } + \frac { f _ { \Gamma } } { K _ { \gamma } ^ { 2 } } \int _ { E } \gamma ( e ) ^ { 2 } \lambda ( d e ) \right) \sqrt { \Delta t _ { n } } - f _ { \Gamma } \Delta t _ { n } \right] . } & \end{array} } \end{array}
2 \left( 1 - { \frac { 1 } { 1 2 } } N \, e ^ { 2 \Phi } \right) \partial _ { - } \Sigma - 4 \left( 1 - { \frac { 1 } { 2 4 } } N \, e ^ { 2 \Phi } \right) \partial _ { - } \Phi \, \Sigma = \left( 1 - { \frac { 1 } { 2 4 } } N \, e ^ { 2 \Phi } \right) \lambda ^ { 2 } e ^ { 2 \rho } \; ,
\chi _ { \uparrow \uparrow } ( q , \omega ) = \chi _ { \uparrow \uparrow } ^ { 0 } ( q , \omega ) + V _ { q } ( \chi _ { \uparrow \uparrow } ^ { 0 } ( q , \omega ) ) ^ { 2 } + V _ { q } ^ { 2 } ( \chi _ { \uparrow \uparrow } ^ { 0 } ( q , \omega ) ) ^ { 2 } ( \chi _ { \uparrow \uparrow } ^ { 0 } ( q , \omega ) + \chi _ { \downarrow \downarrow } ^ { 0 } ( q , \omega ) ) + . . .
\begin{array} { r l } { \sec ( \alpha + \beta + \gamma ) } & { { } = { \frac { \sec \alpha \sec \beta \sec \gamma } { 1 - \tan \alpha \tan \beta - \tan \alpha \tan \gamma - \tan \beta \tan \gamma } } } \\ { \csc ( \alpha + \beta + \gamma ) } & { { } = { \frac { \sec \alpha \sec \beta \sec \gamma } { \tan \alpha + \tan \beta + \tan \gamma - \tan \alpha \tan \beta \tan \gamma } } . } \end{array}
| \psi \rangle = \sqrt { \textrm { n } _ { 0 } } \textrm { e } ^ { - i \varphi } | 1 , 0 \rangle + \sqrt { 1 - \textrm { n } _ { 0 } } ( \cos \beta \, | g \rangle - i \sin \beta \, | h \rangle ) ,
T = { \frac { 1 } { 2 } } \left| \operatorname* { d e t } { \left( \begin{array} { l l l } { x _ { A } } & { x _ { B } } & { x _ { C } } \\ { y _ { A } } & { y _ { B } } & { y _ { C } } \\ { 1 } & { 1 } & { 1 } \end{array} \right) } \right| = { \frac { 1 } { 2 } } { \big | } x _ { A } y _ { B } - x _ { A } y _ { C } + x _ { B } y _ { C } - x _ { B } y _ { A } + x _ { C } y _ { A } - x _ { C } y _ { B } { \big | } ,
\begin{array} { r l } { \widehat { V } _ { t + 1 } = } & { ~ \arg \operatorname* { m i n } _ { V \in \mathbb { R } ^ { d \times k } } \sum _ { i = 1 } ^ { m } ( b _ { i } - x _ { i } ^ { \top } U _ { t } V ^ { \top } y _ { i } ) ^ { 2 } } \\ { = } & { ~ \arg \operatorname* { m i n } _ { V \in \mathbb { R } ^ { d \times k } } \sum _ { i = 1 } ^ { m } ( x _ { i } ^ { \top } W _ { * } y _ { i } - x _ { i } ^ { \top } U _ { t } V ^ { \top } y _ { i } ) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \ensuremath { \mathbf { \hat { s } } } _ { [ n ] } } & { = } & { [ { \mathbf I } + \tau ( { \bf D } _ { [ n ] } - \hat { m } _ { n } { \mathbf I } ) ^ { 2 } ] ^ { - 1 } \ensuremath { \mathbf { \tilde { s } } } _ { [ n ] } , } \\ { \hat { m } _ { n } } & { = } & { \frac { \ensuremath { \mathbf { \hat { s } } } _ { [ n ] } ^ { \top } \mathbf D _ { [ n ] } \ensuremath { \mathbf { \hat { s } } } _ { [ n ] } } { \ensuremath { \mathbf { \hat { s } } } _ { [ n ] } ^ { \top } \ensuremath { \mathbf { \hat { s } } } _ { [ n ] } } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \int F ( x _ { 0 } , \cdots , x _ { k } ) p ( x _ { 0 } , \cdots , x _ { k } | y _ { 0 } , \cdots , y _ { k } ) \, d x _ { 0 } \cdots d x _ { k } } & { \approx _ { N \uparrow \infty } { \frac { 1 } { N } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } F \left( { \widehat { \xi } } _ { 0 , k } ^ { i } , { \widehat { \xi } } _ { 1 , k } ^ { i } , \cdots , { \widehat { \xi } } _ { k , k } ^ { i } \right) } \\ & { = \int F ( x _ { 0 } , \cdots , x _ { k } ) { \widehat { p } } ( d ( x _ { 0 } , \cdots , x _ { k } ) | y _ { 0 } , \cdots , y _ { k } ) } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \mathcal { \ell } T _ { \overset { . } { 2 } \overset { . } { 3 } } ^ { 2 } } & { = 0 = \widehat { \omega } _ { \overset { . } { 2 } } ^ { 1 } \left( n \right) \sin \mathcal { \ell } \omega _ { \overset { . } { 2 } } \left( n \right) e _ { \overset { . } { 3 } } ^ { 3 } \left( n + \overset { . } { 2 } \right) + 2 \widehat { \omega } _ { \overset { . } { 2 } } ^ { 2 } \left( n \right) \widehat { \omega } _ { \overset { . } { 2 } } ^ { 3 } \left( n \right) \sin ^ { 2 } \frac { 1 } { 2 } \mathcal { \ell } \omega _ { \overset { . } { 2 } } \left( n \right) e _ { \overset { . } { 3 } } ^ { 3 } \left( n + \overset { . } { 2 } \right) } \\ & { - \cos \mathcal { \ell } \omega _ { \overset { . } { 3 } } \left( n \right) e _ { \overset { . } { 2 } } ^ { 2 } \left( n + \overset { . } { 3 } \right) - 2 \widehat { \omega } _ { \overset { . } { 3 } } ^ { 2 } \left( n \right) \widehat { \omega } _ { \overset { . } { 3 } } ^ { 2 } \left( n \right) \sin ^ { 2 } \frac { 1 } { 2 } \mathcal { \ell } \omega _ { \overset { . } { 3 } } \left( n \right) e _ { \overset { . } { 2 } } ^ { 2 } \left( n + \overset { . } { 3 } \right) + e _ { \overset { . } { 2 } } ^ { 2 } \left( n \right) } \end{array}
\omega ^ { \ast 3 / 2 } \lambda _ { z } ^ { \ast } \mathrm { ~ i ~ s ~ c ~ o ~ m ~ p ~ a ~ r ~ a ~ b ~ l ~ e ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } U _ { \infty } ^ { \ast } c _ { w } ^ { \ast } \nu _ { \infty } ^ { \ast - 1 / 2 } .
\begin{array} { r } { \rho ( \Delta \theta | a _ { \kappa \kappa ^ { \prime } } = 1 ) = \frac { \frac { \sin ^ { D - 1 } \Delta \theta } { 1 + \left( \frac { R \Delta \theta } { ( \mu \kappa ^ { \prime } \kappa ) ^ { 1 / D } } \right) ^ { \beta } } } { \displaystyle \int _ { 0 } ^ { \pi } \frac { \sin ^ { D - 1 } \Delta \theta d \Delta \theta } { 1 + \left( \frac { R \Delta \theta } { ( \mu \kappa ^ { \prime } \kappa ) ^ { 1 / D } } \right) ^ { \beta } } } } \end{array}
\int _ { M _ { \varepsilon } ^ { 3 } \setminus \Omega } \left( \frac { c ^ { - 1 } } { 6 - c ^ { - 1 } } f _ { \varepsilon , i } ^ { 2 } + 1 \right) | \nabla \Tilde { u } _ { \varepsilon , i } | d V \le \int _ { \Omega } ( R _ { 0 } + c ^ { - 1 } \Lambda _ { c } + 1 ) | \nabla \tilde { u } _ { \varepsilon , i } | d V \le ( R _ { 0 } + c ^ { - 1 } \Lambda _ { c } + 1 ) | \Omega | .
\operatorname { e x s e c } ( \theta ) = { \frac { 1 - \cos ( \theta ) } { \cos ( \theta ) } } = { \frac { \operatorname { v e r s i n } ( \theta ) } { \cos ( \theta ) } } = \operatorname { v e r s i n } ( \theta ) \sec ( \theta ) = 2 \left( \sin \left( { \frac { \theta } { 2 } } \right) \right) ^ { 2 } \sec ( \theta )
\begin{array} { r } { { \tilde { S } } _ { t t ^ { \prime } } ^ { d r o n e } = \left( \tilde { R } _ { t t ^ { \prime } z } ^ { d r o n e } , \tilde { R } _ { t t ^ { \prime } } ^ { b a t t } , \tilde { \phi } _ { t t ^ { \prime } } , \tilde { { \cal Z } } _ { t t ^ { \prime } } , { \tilde { B } } _ { t t ^ { \prime } } \right) _ { z \in { \cal Z } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { d } ^ { k } ( \hat { 1 } ) } & { = \mathrm { d } ^ { k } ( \hat { 1 } ) \wedge ( G _ { 1 } \vee G _ { 2 } \vee G _ { 3 } ) } \\ & { = G _ { 1 } \vee ( \mathrm { d } ^ { k } ( \hat { 1 } ) \wedge ( G _ { 2 } \vee G _ { 3 } ) ) \, ( \textrm { b y m o d u l a r i t y o f } \mathrm { d } ^ { k } ( \hat { 1 } ) ) } \\ & { = G _ { 1 } \vee ( \mathrm { d } ^ { k } ( \hat { 1 } ) \wedge G _ { 2 } ) \vee ( \mathrm { d } ^ { k } ( \hat { 1 } ) \wedge G _ { 3 } ) \, ( \textrm { b y n e s t e d - n e s s o f } \{ G _ { 2 } , G _ { 3 } \} ) } \\ & { \leq G _ { 1 } \vee G _ { 1 } \, ( \textrm { b y d e f i n i t i o n o f } k ) } \\ & { = G _ { 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { - \frac { 1 } { 4 r ^ { 2 } } \left[ \left( \frac { \partial \beta } { \partial \varphi } \right) ^ { 2 } + r ^ { 2 } \left( \frac { \partial \beta } { \partial r } \right) ^ { 2 } \right] } & { = } & { 8 \pi \rho \; , \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; } \\ { \frac { \partial ^ { 2 } \beta } { \partial r \partial z } } & { = } & { 0 \; , } \\ { \left( \frac { \partial \beta } { \partial z } \right) ^ { 2 } + \beta \frac { \partial ^ { 2 } \beta } { \partial z ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } \beta } { \partial t \partial z } } & { = } & { - 4 \pi ( p _ { r } + p _ { \varphi } ) \; , \; \; \; \; } \\ { \frac { \partial ^ { 2 } \beta } { \partial \varphi \partial z } } & { = } & { 0 \; , } \\ { \frac { \partial \beta } { \partial r } \frac { \partial \beta } { \partial \varphi } } & { = } & { 0 \; , } \\ { - \frac { 1 } { 2 r ^ { 2 } } \left[ \left( \frac { \partial \beta } { \partial \varphi } \right) ^ { 2 } - r ^ { 2 } \left( \frac { \partial \beta } { \partial r } \right) ^ { 2 } \right] } & { = } & { 8 \pi ( p _ { r } - p _ { \varphi } ) \; , } \\ { \frac { \partial ^ { 2 } \beta } { \partial \varphi ^ { 2 } } + r \frac { \partial \beta } { \partial r } + r ^ { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } \beta } { \partial r ^ { 2 } } } & { = } & { 0 \; , } \\ { 2 \frac { \partial \beta } { \partial r } \frac { \partial \beta } { \partial z } + \beta \frac { \partial ^ { 2 } \beta } { \partial r \partial z } + \frac { \partial ^ { 2 } \beta } { \partial t \partial r } } & { = } & { 0 \; , } \\ { 2 \frac { \partial \beta } { \partial \varphi } \frac { \partial \beta } { \partial z } + \beta \frac { \partial ^ { 2 } \beta } { \partial \varphi \partial z } + \frac { \partial ^ { 2 } \beta } { \partial t \partial \varphi } } & { = } & { 0 \; , } \\ { - \frac { 3 } { 4 r ^ { 2 } } \left[ \left( \frac { \partial \beta } { \partial \varphi } \right) ^ { 2 } + r ^ { 2 } \left( \frac { \partial \beta } { \partial r } \right) ^ { 2 } \right] } & { = } & { 8 \pi p _ { z } \; . } \end{array}
\begin{array} { l } { { | f \rangle = \cos \varphi _ { T } | f _ { N S } \rangle - \sin \varphi _ { T } | f _ { S } \rangle \ , } } \\ { { | f \prime \rangle = \sin \varphi _ { T } | f _ { N S } \rangle + \cos \varphi _ { T } | f _ { S } \rangle \ , } } \end{array}
E = \left\{ \mathbf { e } _ { A } = \frac { 1 } { \sqrt { \mathsf { G } _ { A } } } \, \partial _ { A } \right\} \quad ( \mathrm { ~ n ~ o ~ ~ ~ s ~ u ~ m ~ m ~ a ~ t ~ i ~ o ~ n ~ ~ ~ o ~ n ~ } ~ A ) \, ,
{ \begin{array} { r l } & { w ( x , y ) = { \frac { 2 M _ { 0 } a ^ { 2 } } { \pi ^ { 3 } D } } \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { ( 2 m - 1 ) ^ { 3 } \cosh \alpha _ { m } } } \sin { \frac { ( 2 m - 1 ) \pi x } { a } } \times } \\ & { ~ ~ \left[ \alpha _ { m } \, \operatorname { t a n h } \alpha _ { m } \cosh { \frac { ( 2 m - 1 ) \pi y } { a } } - { \frac { ( 2 m - 1 ) \pi y } { a } } \sinh { \frac { ( 2 m - 1 ) \pi y } { a } } \right] } \end{array} }
V _ { \theta } = - { \frac { 8 \Lambda _ { \theta } } { 5 k } } ~ ~ ~ , ~ ~ ~ V _ { 0 } = { \frac { 5 \alpha + 6 } { 1 6 } } V _ { \theta } ~ ~ ~ , ~ ~ ~ \Lambda _ { 0 } = { \frac { 5 \alpha ^ { 2 } + 1 2 } { 3 2 } } \Lambda _ { \theta }
\gamma = { \frac { 3 } { 4 } } - { \frac { 1 1 } { 9 6 } } - { \frac { 1 } { 7 2 } } - { \frac { 3 1 1 } { 4 6 0 8 0 } } - { \frac { 5 } { 1 1 5 2 } } - { \frac { 7 2 9 1 } { 2 3 2 2 4 3 2 } } - { \frac { 2 4 3 } { 1 0 0 3 5 2 } } - \ldots
K ( \mathbf { p } _ { i } , \mathbf { p } _ { j } ) = \frac { 2 ^ { 1 - \nu } } { \Gamma ( \nu ) } \left( \frac { \sqrt { 2 \nu } r } { \ell } \right) ^ { \nu } K _ { \nu } \left( \frac { \sqrt { 2 \nu } r } { \ell } \right)
^ { 2 2 } \mathrm { ~ N ~ a ~ } ~ \to ~ ^ { 2 2 } \! \mathrm { ~ N ~ e ~ } ^ { * } + e ^ { + } ~ + ~ \nu ~ + ~ \gamma ( 1 . 2 7 ~ \mathrm { ~ M ~ e ~ V ~ } , 3 . 6 ~ \mathrm { ~ p ~ s ~ } ) ,
\varepsilon _ { D } ( L ) = - \frac { c ( D ) \, ( 1 - 2 ^ { 1 - D } ) } { 2 ^ { D - 1 } \pi ^ { D / 2 } L ^ { D - 1 } } \, \Gamma \left( \frac { D } { 2 } \right) \zeta ( D ) .
\begin{array} { r l } { \left\langle \frac { \partial c _ { 1 } } { \partial t } \right\rangle _ { \mathcal { I B } } } & { + \left\langle \frac { \partial c _ { 2 } } { \partial \tau } \right\rangle _ { \mathcal { I B } } - \nabla _ { \mathbf x } \cdot \left[ \textbf { D } \nabla _ { \mathbf x } \left( \left\langle \boldsymbol \chi ( \mathbf y , \tau ) \right\rangle _ { \mathcal { I B } } \cdot \nabla _ { \mathbf x } c _ { 0 } + \overline { c } _ { 1 } ( \mathbf x , t ) \right) \right] } \\ & { - \omega ^ { - \gamma } \left[ \nabla _ { \mathbf x } \cdot \left\langle \textbf { D } \nabla _ { \mathbf y } \left( \boldsymbol \chi ( \mathbf y , \tau ) \cdot \nabla _ { \mathbf x } c _ { 0 } + \overline { c } _ { 1 } ( \mathbf x , t ) \right) \right\rangle _ { \mathcal { I B } } \right] } \\ & { - \omega ^ { - \gamma } \left\langle \nabla _ { \mathbf y } \cdot \textbf { D } ( \nabla _ { \mathbf x } c _ { 1 } + \omega ^ { 1 - \gamma } \nabla _ { \mathbf y } c _ { 2 } ) \right\rangle _ { \mathcal { I B } } + \omega ^ { 1 - \gamma - \alpha } \left\langle \nabla _ { \mathbf y } \cdot ( \mathbf v _ { 0 } c _ { 2 } + \mathbf v _ { 1 } c _ { 1 } + \mathbf v _ { 2 } c _ { 0 } ) \right\rangle _ { \mathcal { I B } } } \\ & { + \omega ^ { - \alpha } \nabla _ { \mathbf x } \cdot \left\langle \mathbf v _ { 0 } c _ { 1 } + \mathbf v _ { 1 } c _ { 0 } \right\rangle _ { \mathcal { I B } } = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \ln E } & { \! = \! } & { \ln { \cal L } _ { \mathrm { m a x } } + { \frac { n } { 2 } } \ln ( 2 \pi ) + { \frac { 1 } { 2 } } \ln \operatorname* { d e t } C _ { n } - \ln \left( 1 + { \frac { 1 } { 8 } } D _ { i j k l } \, C _ { i j } ^ { - 1 } C _ { k l } ^ { - 1 } \right) - \sum _ { p = 1 } ^ { n } \ln ( 2 a _ { p } + 2 b _ { p } ) } \\ & { } & { + \ \sum _ { p = 1 } ^ { n } \ln \left( \mathrm { E r f } \left[ { \frac { a _ { p } } { \sqrt 2 } } \sqrt { \frac { \operatorname* { d e t } C _ { p - 1 } } { \operatorname* { d e t } C _ { p } } } \right] + \mathrm { E r f } \left[ { \frac { b _ { p } } { \sqrt 2 } } \sqrt { \frac { \operatorname* { d e t } C _ { p - 1 } } { \operatorname* { d e t } C _ { p } } } \right] \right) } \\ & { } & { + \ \ln \left( 1 - \sum _ { k = 1 } ^ { n } \, B _ { i j k } \, C _ { i j } ^ { - 1 } \, { \frac { F _ { k } ( a _ { k } , b _ { k } ) } { E _ { k } ( a _ { k } , b _ { k } ) } } + D _ { i j k l } \, C _ { i j } ^ { - 1 } \, C _ { k l } ^ { - 1 } \, \sum _ { m = 1 } ^ { n } \, { \frac { G _ { m } ( a _ { m } , b _ { m } ) } { E _ { m } ( a _ { m } , b _ { m } ) } } \right) \, . } \end{array}
\tan { \frac { 2 \pi } { 1 5 } } = \tan 2 4 ^ { \circ } = { \frac { 1 } { 2 } } \left[ { \sqrt { 5 0 + 2 2 { \sqrt { 5 } } } } - 3 { \sqrt { 3 } } - { \sqrt { 1 5 } } \right]
\psi = \left[ 1 + \frac { \mu ^ { 3 } \cos \left( \frac { 1 } { 2 } Q \rho \tau \right) + i \mu \rho \sin \left( \frac { 1 } { 2 } Q \rho \tau \right) } { 2 \mu \cos \left( \frac { 1 } { 2 } Q \rho \tau \right) - \rho \cosh \left( \mu \sqrt { \frac { Q } { 2 P } } \xi \right) } \right] e ^ { i Q \tau } ,
\begin{array} { r } { \langle \Psi _ { N } | f _ { l \sigma } ^ { \dagger } f _ { l ^ { \prime } \sigma ^ { \prime } } ^ { \phantom { \dagger } } | \Psi _ { N } \rangle = \frac { 1 } { L } \delta _ { \sigma , \sigma ^ { \prime } } \sum _ { k = - k _ { \mathrm { m a x } } } ^ { k _ { \mathrm { m a x } } } e ^ { \frac { 2 \pi i ( l - l ^ { \prime } ) k } { L } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname { W F R } ( \mu _ { q _ { 1 } } , \mu _ { q _ { 2 } } ) } & { \leq \operatorname { W F R } ( \mu _ { p _ { 1 } } , \mu _ { p _ { 2 } } ) + \operatorname { W F R } ( \mu _ { q _ { 1 } } , \mu _ { p _ { 1 } } ) + \operatorname { W F R } ( \mu _ { p _ { 2 } } , \mu _ { q _ { 2 } } ) } \\ & { \leq \operatorname { W F R } ( \mu _ { p _ { 2 } } , \mu _ { q _ { 2 } } ) + \epsilon / 2 } \\ & { = \operatorname* { i n f } _ { \gamma \in \Gamma ( M ) } \| p _ { 1 } - p _ { 2 } * \gamma \| _ { L ^ { 2 } } + \epsilon / 2 } \\ & { \leq \operatorname* { i n f } _ { \gamma \in \Gamma ( M ) } \| q _ { 1 } - p _ { 1 } * \gamma \| _ { L ^ { 2 } } + \operatorname* { i n f } _ { \gamma \in \Gamma ( M ) } \| p _ { 2 } - q _ { 2 } * \gamma \| _ { L ^ { 2 } } } \\ & { \qquad \qquad + \operatorname* { i n f } _ { \gamma \in \Gamma ( M ) } \| q _ { 1 } - q _ { 2 } * \gamma \| _ { L ^ { 2 } } + \epsilon / 2 } \\ & { \leq \operatorname* { i n f } _ { \gamma \in \Gamma ( M ) } \| q _ { 1 } - q _ { 2 } * \gamma \| _ { L ^ { 2 } } + \epsilon . } \end{array}
\mathrm { ~ V ~ a ~ r ~ } ( \Sigma ) = \frac { 1 } { N - 1 } \left( \begin{array} { l l } { 2 \sigma _ { 1 1 } ^ { 4 } } & { ( 1 + \rho ^ { 2 } ) \sigma _ { 1 1 } ^ { 2 } \sigma _ { 2 2 } ^ { 2 } } \\ { ( 1 + \rho ^ { 2 } ) \sigma _ { 1 1 } ^ { 2 } \sigma _ { 2 2 } ^ { 2 } } & { 2 \sigma _ { 2 2 } ^ { 4 } } \end{array} \right) .
\int \exp ( - \epsilon _ { - 1 } c _ { - 1 } ^ { 2 } / 2 ) \ { \frac { d c _ { - 1 } } { \sqrt { 2 \pi } } } = { \frac { i } { 2 } } { \frac { 1 } { \sqrt { \vert \epsilon _ { - 1 } \vert } } }
\mathbf { O } _ { q k } ^ { \mathrm { i n } } \overline { { \mathbf { Z } } } _ { q k } ^ { \mathrm { i n } } = \mathbf { B } _ { \mathbf { C } _ { u k } ^ { \mathrm { i n } } } ^ { \perp } \mathbf { Z } _ { q k } ^ { \mathrm { i n } } + \mathbf { B } _ { \mathbf { C } _ { u k } ^ { \mathrm { i n } } } \breve { \mathbf { Z } } _ { q k } ^ { \mathrm { i n } }
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { t } \langle \mathcal { A } u _ { \epsilon } ^ { \theta } ( s ) , \eta _ { \epsilon } ^ { \prime } ( u _ { \epsilon } ^ { \theta } ( s ) ) \rangle _ { \mathbb { H } \times \mathbb { H } } d s } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathcal { U } } d _ { i } \Delta ( u _ { \epsilon } ^ { \theta } ( s , x ) ) _ { i } \eta _ { \epsilon } ^ { \prime } ( ( u _ { \epsilon } ^ { \theta } ( s , x ) ) _ { i } ) d x d s } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathcal { U } } - d _ { i } \vert \nabla ( u _ { \epsilon } ^ { \theta } ( s , x ) ) _ { i } \vert ^ { 2 } \eta _ { \epsilon } ^ { \prime \prime } ( ( u _ { \epsilon } ^ { \theta } ( s , x ) ) _ { i } ) d x d s } \\ & { \leq 0 , } \end{array}
\begin{array} { r } { ( \mathbf { \tilde { r } } ) ^ { ( m ) } \equiv \left( \frac { \partial } { \partial x _ { R } } \right) ^ { \tilde { r } _ { x } } \left( \frac { \partial } { \partial y _ { R } } \right) ^ { \tilde { r } _ { y } } \left( \frac { \partial } { \partial z _ { R } } \right) ^ { \tilde { r } _ { z } } ( \mathbf { 0 } ) ^ { ( m ) } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { g } _ { \mathcal { F } } \left( \widehat { \gamma } _ { \left( m + n + r - 1 \right) \varepsilon } \right) = \left[ \overline { { \mathcal { K } } } _ { \varepsilon } ^ { r } \widehat { \mathcal { H } } _ { m \times n } \left( n \right) \right] ^ { \mathsf { T } } \left( m \right) , \; r \in \mathbb { N } ^ { + } } \end{array}
i G ^ { \mu \nu } ( p ^ { 2 } ) = \frac { - i g ^ { \mu \nu } } { p ^ { 2 } } \biggl [ \biggl ( 1 - \frac { p ^ { 2 } } { M _ { \gamma } ^ { 2 } } \biggr ) - \biggl ( 1 - \frac { p ^ { 2 } } { M _ { \gamma } ^ { 2 } } \biggr ) e ^ { 2 } \Pi _ { L } ( p ^ { 2 } ) - e ^ { 2 } \frac { m ^ { 2 } } { M _ { f } ^ { 2 } } \phi ( p ^ { 2 } ) - \delta _ { 3 } \biggr ] = \frac { - i g ^ { \mu \nu } } { p ^ { 2 } } \biggl [ \biggl ( 1 - \frac { p ^ { 2 } } { M _ { \gamma } ^ { 2 } } \biggr ) - \theta ( p ^ { 2 } ) - \delta _ { 3 } \biggr ]
\begin{array} { r l } { \| u _ { n + 1 } ( t , x ) \| _ { p } ^ { 2 } } & { \le 2 e ^ { - 2 \mu _ { 1 } t } J _ { c _ { 1 } } ^ { 2 } ( t , x ) + 1 6 p \lambda ^ { 2 } L _ { \sigma } ^ { 2 } C e ^ { - 2 \mu _ { 1 } t } J _ { c _ { 1 } } ^ { 2 } ( t , x ) \sum _ { i = 0 } ^ { n } a ^ { i } \, \widetilde h _ { i + 1 } ( t ) } \\ & { = 2 e ^ { - 2 \mu _ { 1 } t } J _ { c _ { 1 } } ^ { 2 } ( t , x ) \sum _ { i = 0 } ^ { n + 1 } a ^ { i } \, \widetilde { h } _ { i } ( t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { z _ { i } = } & { { } e ^ { - \beta } \prod _ { k \in \partial i } \left( Q _ { k \rightarrow i } ^ { 0 } + \sum _ { t = 1 } ^ { H } Q _ { k \rightarrow i } ^ { 1 , t } \right) + G _ { 1 } ( K - 1 , \partial i ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \left[ - \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial R ^ { 2 } } + \frac { s _ { n } ^ { 2 } - 1 / 4 } { R ^ { 2 } } + 2 \kappa _ { 0 } ^ { 2 } \right] \sqrt { R } F ( R ) = 0 , } \\ & { } & { \left[ - \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \alpha _ { i } ^ { 2 } } - s _ { n } ^ { 2 } + \frac { ( D - 1 ) ( D - 3 ) } { \sin ^ { 2 } 2 \alpha _ { i } } \right] G ^ { ( i ) } ( \alpha _ { i } ) = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { \mathbf { E } } _ { e } = J ^ { - 1 } \left\{ \begin{array} { c } { \overline { { \rho } } U } \\ { \overline { { \rho } } \tilde { u } U + \overline { { p } } \xi _ { x } } \\ { \overline { { \rho } } \tilde { v } U + \overline { { p } } \xi _ { y } } \\ { \overline { { \rho } } \tilde { w } U + \overline { { p } } \xi _ { z } } \\ { \left( \overline { { e } } + \overline { { p } } \right) U } \end{array} \right\} \, \mathrm { ~ , } } & { \hat { \mathbf { F } } _ { e } = J ^ { - 1 } \left\{ \begin{array} { c } { \overline { { \rho } } V } \\ { \overline { { \rho } } \tilde { u } V + \overline { { p } } \eta _ { x } } \\ { \overline { { \rho } } \tilde { v } V + \overline { { p } } \eta _ { y } } \\ { \overline { { \rho } } \tilde { w } V + \overline { { p } } \eta _ { z } } \\ { \left( \overline { { e } } + \overline { { p } } \right) V } \end{array} \right\} \, \mathrm { ~ , } } & \\ & { \hat { \mathbf { G } } _ { e } = J ^ { - 1 } \left\{ \begin{array} { c } { \overline { { \rho } } W } \\ { \overline { { \rho } } \tilde { u } W + \overline { { p } } \zeta _ { x } } \\ { \overline { { \rho } } \tilde { v } W + \overline { { p } } \zeta _ { y } } \\ { \overline { { \rho } } \tilde { w } W + \overline { { p } } \zeta _ { z } } \\ { \left( \overline { { e } } + \overline { { p } } \right) W } \end{array} \right\} \, \mathrm { . } } & \end{array}
P ^ { y ^ { \prime } } = \mathrm { d i a g } ( - 1 , - 1 , - 1 , + 1 , + 1 ) ~ , ~ P ^ { z ^ { \prime } } = \mathrm { d i a g } ( - 1 , - 1 , - 1 , + 1 , + 1 ) ~ . ~ \,
\begin{array} { r } { M _ { n } = \left\{ m ( x ) = \left[ \begin{array} { c c } { x } & { 0 } \\ { 0 } & { \hat { x } } \end{array} \right] : x \in \mathrm { G L } _ { n } \right\} , N _ { n } = \left\{ n ( z ) = \left[ \begin{array} { c c } { 1 _ { n } } & { z } \\ { 0 } & { 1 _ { n } } \end{array} \right] : z \in \mathrm { M a t } _ { n } ^ { 0 } \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { L \left( a , \dot { a } \right) } & { { } = } & { \frac { 3 } { 8 \pi G } \left( a \dot { a } ^ { 2 } - K a \right) + a ^ { 3 } \rho \, , } \\ { { \cal H } \left( a , \dot { a } \right) } & { { } = } & { \frac { 3 } { 8 \pi G } \left( a \dot { a } ^ { 2 } + K a \right) - a ^ { 3 } \rho \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \chi ^ { 2 } = \sum _ { i = k } ^ { n _ { d } } ( \Lambda ( T _ { k } ; \{ p \} ) - \Lambda _ { k } ) ^ { 2 } / \sigma _ { k } ^ { 2 } = \operatorname* { m i n } , } \\ & { } & { \Lambda ( T ; \{ p \} ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } d E \, f _ { \mathrm { M B } } ( E ; T ) \, \lambda ( E ; \{ p \} ) , } \end{array}