harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \operatorname { R e } \left( z _ { j } \right) < n + \frac { 1 } { 2 } } & { \Rightarrow \left| n + 1 - \operatorname { R e } \left( z _ { j } \right) \right| > \left| n - \operatorname { R e } \left( z _ { j } \right) \right| } \\ & { \Rightarrow \left( n + 1 - \operatorname { R e } \left( z _ { j } \right) \right) ^ { 2 } + \operatorname { I m } ^ { 2 } ( z _ { j } ) > \left( n - \operatorname { R e } \left( z _ { j } \right) \right) ^ { 2 } + \operatorname { I m } ^ { 2 } ( z _ { j } ) } \end{array}
{ \frac { d H } { d t } } = { \frac { \partial H } { \partial { \boldsymbol { p } } } } \cdot { \frac { d { \boldsymbol { p } } } { d t } } + { \frac { \partial H } { \partial { \boldsymbol { q } } } } \cdot { \frac { d { \boldsymbol { q } } } { d t } } + { \frac { \partial H } { \partial t } }
\begin{array} { r l } { \mu _ { + 1 , S _ { k } } } & { { } = f _ { S _ { k } } ^ { \mathrm { C } } ( \mu _ { - 1 , S _ { k } } ) = f _ { S _ { k } } ^ { \mathrm { C } } ( \mu _ { - 2 , S _ { k } } ) = \cdots , } \\ { \mu _ { + ( j + 1 ) , S _ { k } } } & { { } = f _ { S _ { k } } ^ { \mathrm { C } } ( \mu _ { + j , S _ { k } } ) , } \\ { \mu _ { - 1 , S _ { k } } } & { { } = f _ { S _ { k } } ^ { \mathrm { D } } ( \mu _ { + 1 , S _ { k } } ) = f _ { S _ { k } } ^ { \mathrm { D } } ( \mu _ { + 2 , S _ { k } } ) = \cdots , } \\ { \mu _ { - ( j + 1 ) , S _ { k } } } & { { } = f _ { S _ { k } } ^ { \mathrm { D } } ( \mu _ { - j , S _ { k } } ) , } \end{array}
\sum _ { \alpha } \frac { g _ { \alpha } } { g } \chi _ { \alpha } ^ { ( m ) * } Z _ { \alpha } = \sum _ { n } \mathrm { e } ^ { - \beta \ensuremath { \varepsilon } _ { n } } \delta _ { \Gamma ^ { ( m ) } \Gamma ^ { ( n ) } } = \mathrm { e } ^ { - \beta \ensuremath { \varepsilon } _ { m } }
\begin{array} { r l } { P \left( ( a , b ) , ( a - 1 , b - 1 ) \right) = 1 } & { \mathrm { ~ i f ~ } a , b \neq 1 } \\ { P \left( ( 1 , b ) , ( n , b - 1 ) \right) = p ( n ) } & { \mathrm { ~ i f ~ } a = 1 , b \neq 1 } \\ { P \left( ( a , 1 ) , ( a - 1 , n ) \right) = p ( n ) } & { \mathrm { ~ i f ~ } a \neq 1 , b = 1 } \\ { P \left( ( 1 , 1 ) , ( n , m ) \right) = p ( n ) p ( m ) } & { \mathrm { ~ i f ~ } a , b = 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { s _ { 1 1 } } & { = \Omega _ { c } a _ { 3 1 } ^ { ( 1 ) } / d _ { 4 3 } ^ { \ast } - \Omega _ { c } ^ { \ast } a _ { 3 1 } ^ { \ast ( 1 ) } / d _ { 4 3 } + a _ { 4 1 } ^ { ( 1 ) } - a _ { 4 1 } ^ { \ast ( 1 ) } , } \\ { s _ { 1 2 } } & { = \Omega _ { c } a _ { 3 2 } ^ { ( 1 ) } / d _ { 4 3 } ^ { \ast } - \Omega _ { c } ^ { \ast } a _ { 3 2 } ^ { \ast ( 1 ) } / d _ { 4 3 } + a _ { 4 2 } ^ { ( 1 ) } - a _ { 4 2 } ^ { \ast ( 1 ) } , } \\ { s _ { 2 1 } } & { = i \Gamma _ { 3 2 } ( a _ { 4 1 } ^ { \ast ( 1 ) } - a _ { 4 1 } ^ { ( 1 ) } ) , } \\ { s _ { 2 2 } } & { = i \Gamma _ { 3 1 } ( a _ { 4 2 } ^ { \ast ( 1 ) } - a _ { 4 2 } ^ { ( 1 ) } ) . } \end{array}
\eta _ { M N } : = \eta _ { A B } \overline { { { L } } } _ { M } ^ { A } \overline { { { L } } } _ { N } ^ { B } = g _ { a b } \overline { { { L } } } _ { M } ^ { a } \overline { { { L } } } _ { N } ^ { b } + g _ { i j } \overline { { { L } } } _ { M } ^ { i } \overline { { { L } } } _ { N } ^ { j } ;
\{ Q _ { \alpha } ^ { I } , Q _ { \beta } ^ { J } \} = \gamma _ { \alpha \beta } ^ { \mu } p _ { \mu } G ^ { I J } + \sum _ { k } \gamma _ { ( \alpha \beta ) } ^ { [ \mu _ { 1 } \cdots \mu _ { k } ] } Z _ { [ \mu _ { 1 } \cdots \mu _ { k } ] } ^ { [ I J ] } .
Q _ { Z } = Q _ { 1 } + \frac { 1 2 1 } { 1 2 \sqrt { 1 0 5 } } S ^ { \prime \prime } - \frac { 2 } { 3 } \sqrt { \frac { 2 } { 3 } } ( J \; S ^ { \prime } ) - \sqrt { \frac { 2 } { 3 } } ( J ^ { \prime } \; S ) + \frac { 1 } { 3 } \sqrt { \frac { 3 5 } { 3 } } ( J \; J \; S ) - \frac { 1 } { 3 } \sqrt { \frac { 3 5 } { 3 } } ( T \; S )
\begin{array} { r l } { \left| \int _ { \mathbb R } \bigg [ [ \mathscr { Q } , \mathscr { Q } h _ { x } ^ { 2 } ] h ^ { 2 } - [ \mathscr { Q } , \mathscr { Q } h _ { x } ^ { 1 } ] h ^ { 1 } \bigg ] \widehat { h } \ d x \right| } & { \leq C \left( \left\| h ^ { 1 } \right\| _ { L ^ { \infty } } + \left\| h ^ { 2 } \right\| _ { L ^ { \infty } } \right) \left\| \widehat { h } \right\| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } \leq C , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { w _ { k } ( t _ { \mathrm { E } ( \sqrt { \eta } ) , \eta } , \eta ) \quad t < t _ { \mathrm { E } ( \sqrt { \eta } ) , \eta } } \\ & { w _ { \mathrm { N R } } ( t , \eta ) \quad t \in [ t _ { \mathrm { E } ( \sqrt { \eta } ) , \eta } , 2 \eta ] \setminus \mathrm { I } _ { k , \eta } } \\ & { w _ { \mathrm { R } } ( t , \eta ) \quad t \in \mathrm { I } _ { k , \eta } } \\ & { 1 \quad t \geq 2 \eta . } \end{array}
S ( \overline { { x } } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , } & { \mathrm { f o r ~ \ ~ \overline { { x } } ~ \leq ~ \overline { { x } } _ 1 ~ } , } \\ { \left[ 1 + \exp \left( \displaystyle { \frac { 1 } { \widetilde x - 1 } + \frac { 1 } { \widetilde x } } \right) \right] ^ { - 1 } , } & { \mathrm { f o r ~ \ ~ \overline { { x } } _ 1 ~ < ~ \overline { { x } } ~ < ~ \overline { { x } } _ 2 ~ } , } \\ { 1 , } & { \mathrm { f o r ~ \overline { { x } } ~ \geq ~ \overline { { x } } _ 2 ~ } , } \end{array} \right.
\left. \exp \left\{ - \frac { i } { \hbar } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \epsilon \, H _ { \Delta } \left( \frac { \hbar } { i \epsilon } \frac { \partial } { \partial K _ { j } } \, , \frac { \hbar } { i \epsilon } \frac { \partial } { \partial J _ { j } } \right) \right\} W _ { f i } [ K , J ] \right| _ { K , J = 0 } \, .
\begin{array} { r } { U _ { s } ( \zeta _ { i j } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 4 \epsilon \left[ \left( \frac { \sigma } { \zeta _ { i j } } \right) ^ { 1 2 } - \left( \frac { \sigma } { \zeta _ { i j } } \right) ^ { 6 } \right] + \epsilon } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \zeta _ { i j } \leq 2 ^ { 1 / 6 } \sigma } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } , } \end{array} \right. } \end{array}
\partial _ { t } \mathcal { V } ( t , \xi ) - 4 \nu \partial _ { \xi } ^ { 2 } \mathcal { V } ( t , \xi ) - \mu _ { 1 } g ( t ) \partial _ { \xi } [ h ( \xi ) \mathcal { V } ( t , \xi ) ] = 0 , \quad \forall ( t , \xi ) \in ( 0 , T ] \times \mathbb { R } .
b \rightarrow b B ( r ) , \qquad B ( r ) \equiv \left[ 1 + { \frac { \varepsilon _ { 2 } - r } { r - \varepsilon _ { 1 } } } \left( { \frac { \varepsilon _ { 1 } } { R _ { 0 } } } \right) ^ { 2 } \mathrm { e } ^ { \mp 2 a \varepsilon _ { 2 } } \right] ^ { - 1 } ~ .
\mathscr { D } _ { K } : = \underset { \mathrm { f u n c t i o n ~ o n ~ \ensuremath { X } } } { \big \{ \underbrace { \sum _ { i } c _ { i } K _ { x _ { i } } } \big \} } \xrightarrow { \quad T _ { f } \quad } \underset { \mathrm { f u n c t i o n ~ o n ~ \ensuremath { Y } } } { \underbrace { \sum _ { i } c _ { i } L \left( f \left( x _ { i } \right) , \cdot \right) } } .
\begin{array} { r l } & { | \Sigma _ { \textnormal { d i f f e r e n t } } | } \\ & { \quad \leq C \rho ^ { 2 } \left( \sum _ { n _ { * } = 0 } ^ { \infty } \left[ C a ^ { 3 } \rho \log ( b / a ) \right] ^ { n _ { * } } \right) ^ { 2 } \left( \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } ( k ^ { 2 } + 1 ) \left[ C s ( \log N ) ^ { 3 } \right] ^ { k } \left[ \sum _ { n = 2 } ^ { \infty } ( C a ^ { 3 } \rho \log ( b / a ) ) ^ { n - 1 } \right] ^ { k } \right) } \\ & { \quad \leq C \rho ^ { 2 } < \infty . } \end{array}
m _ { a _ { 1 } } e ^ { \pm \theta _ { 1 } } + m _ { a _ { 2 } } e ^ { \pm \theta _ { 2 } } = m _ { b _ { 1 } } e ^ { \pm \theta _ { 1 } ^ { \prime } } + \dots + m _ { b _ { n } } e ^ { \pm \theta _ { n } ^ { \prime } } ~ .
\begin{array} { r l } { V _ { 3 } } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } \mathrm { C o v } ( \gamma ^ { \tau _ { i } } g ( W _ { i + 1 } ) , \gamma ^ { \tau _ { i + 1 } } g ( W _ { i + 2 } ) ) } \\ & { \leq \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } \sqrt { \mathrm { V a r } ( \gamma ^ { \tau _ { i } } g ( W _ { i + 1 } ) ) \mathrm { V a r } ( \gamma ^ { \tau _ { i + 1 } } g ( W _ { i + 2 } ) ) } } \\ & { \leq \frac { 1 } { ( 1 - \gamma ) ^ { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } E \gamma ^ { 2 \tau _ { i } } ( 1 - \gamma ^ { T _ { i + 1 } } ) ^ { 2 } } \\ & { \leq \frac { 2 m } { ( 1 - \gamma ) p } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \frac { \partial ^ { 2 } C _ { \mu b } } { \partial t ^ { 2 } } } & { { } = V _ { \mu \nu \sigma \lambda } [ ( V _ { \sigma \epsilon \zeta \eta } C _ { \zeta c } C _ { \eta c } ^ { * } ) C _ { \epsilon a } C _ { \lambda a } ^ { * } ] C _ { \nu b } } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \frac { 1 } { \mu _ { 0 } R } ~ \Delta ^ { * } \psi } & { { } = J _ { 0 } } & { } & { { } \mathrm { ~ i ~ n ~ } \quad \Omega ^ { V } , } \\ { \frac { 1 } { \mu _ { 0 } R } ~ \Delta ^ { * } \psi } & { { } = 0 } & { } & { { } \mathrm { ~ i ~ n ~ } \quad \Omega \setminus \Omega ^ { V } , } \\ { \psi } & { { } = 0 , } & { } & { { } \mathrm { ~ o ~ n ~ } \quad \partial \Omega ; } \end{array}
\left[ \begin{array} { l } { \mathbf { u } _ { i - 1 } } \\ { \mathbf { u } _ { i } } \end{array} \right] ^ { i } = \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { D } ^ { + } } & { \mathbf { D } ^ { - } \mathbf { E } } \\ { \mathbf { D } ^ { + } \mathbf { E } } & { \mathbf { D } ^ { - } } \end{array} \right] ^ { i } \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { A } ^ { + } } \\ { \mathbf { A } ^ { - } } \end{array} \right] ^ { i } = \mathbf { D } ^ { i } \mathbf { A } ^ { i } ,
( \mathbf { x } _ { r } \cdot \mathbf { x } _ { r } ) ( r ^ { 2 } ) + ( \mathbf { x } _ { \theta } \cdot \mathbf { x } _ { \theta } ) ( \theta ^ { \prime } ) ^ { 2 } + ( \mathbf { x } _ { \phi } \cdot \mathbf { x } _ { \phi } ) ( \phi ^ { \prime } ) ^ { 2 } = ( r ^ { \prime } ) ^ { 2 } + r ^ { 2 } ( \theta ^ { \prime } ) ^ { 2 } + r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta ( \phi ^ { \prime } ) ^ { 2 } .
\begin{array} { r } { P _ { \mathcal { A } } = \operatorname* { m i n } \bigr \{ 1 , N _ { n n } t _ { i j } \left( \tau _ { i r a } - \tau _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } \right) } \\ { \times K ( \mathcal { S } \rightarrow \mathcal { S } ^ { \prime } ) \exp \left[ - \Delta U _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ c ~ } } \right] \bigr \} } \end{array}
\begin{array} { r } { Z _ { i j } ^ { ( \gamma ) } : = \ddot { A } _ { i j } ^ { ( \gamma ) } - \dot { \phi } ^ { ( \gamma ) } + \theta \eta \left( \dot { P } _ { i j } ^ { ( \gamma ) } + \zeta P _ { i j } ^ { ( \gamma ) } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { 2 \delta ^ { 1 / 2 } ( \sigma \eta _ { j } , \xi ^ { j } ) = 2 \delta ^ { 1 / 2 } ( \sigma \eta _ { j } , \xi ^ { j } - \xi ^ { j - 1 } ) + 2 \delta ^ { 1 / 2 } ( \sigma \eta _ { j } , \xi ^ { j - 1 } ) } \\ { \leq | \xi ^ { j } - \xi ^ { j - 1 } | ^ { 2 } + \delta | \sigma \eta _ { j } | ^ { 2 } + 2 \delta ^ { 1 / 2 } ( \sigma \eta _ { j } , \xi ^ { j - 1 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \partial _ { t } \left( \varphi C _ { a , C \left( 4 \right) } S _ { w } + \varphi c _ { o , C O _ { 2 } } S _ { o } + \left( 1 - \varphi \right) \left( C a l _ { s , C O _ { 3 } ^ { - } } \right) \right) } \\ & { + \partial _ { x } \left( u \left( C _ { a , C \left( 4 \right) } f _ { w } + c _ { o , C O _ { 2 } } f _ { o } \right) \right) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sqrt { n } \boldsymbol { \lambda } _ { n , \beta } ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } ) \underset { n \rightarrow \infty } { \overset { \mathcal { L } } { \longrightarrow } } \mathcal { N } \left( - \boldsymbol { \Sigma } _ { 2 2 , \beta } ( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } ) \boldsymbol { \delta } , \boldsymbol { \Sigma } _ { 2 1 , \beta } ( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } ) \boldsymbol { K } ( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } ) \boldsymbol { \Sigma } _ { 2 1 , \beta } ^ { T } ( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } ) \right) , } \\ & { \left( \boldsymbol { \bar { \Sigma } } _ { n , 2 1 , \beta } ^ { T } ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } ) \boldsymbol { \bar { K } } _ { n , \beta } ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } ) \boldsymbol { \bar { \Sigma } } _ { n , 2 1 , \beta } ^ { T } ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } ) \right) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \sqrt { n } \boldsymbol { \lambda } _ { n , \beta } ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } ) \underset { n \rightarrow \infty } { \overset { \mathcal { L } } { \longrightarrow } } \mathcal { N } \left( \boldsymbol { \mu } _ { \beta } ( \boldsymbol { \delta } ) , \boldsymbol { I } _ { r } \right) , } \\ & { R _ { n , \beta } ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } ) = n \boldsymbol { \lambda } _ { n , \beta } ^ { T } ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } ) \left( \boldsymbol { \bar { \Sigma } } _ { n , 2 2 , \beta } ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } ) \boldsymbol { \bar { K } } _ { n , \beta } ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } ) \boldsymbol { \bar { \Sigma } } _ { n , 2 2 , \beta } ^ { T } ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } ) \right) ^ { - 1 } \boldsymbol { \lambda } _ { n , \beta } ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } ) \underset { n \rightarrow \infty } { \overset { \mathcal { L } } { \longrightarrow } } \chi _ { r } ^ { 2 } ( \nu _ { \beta } ( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } , \boldsymbol { \delta } ) ) , } \end{array}
P _ { n } = \frac { 1 } { n ! \, \Gamma ( k ) } \; { \sf H } _ { 1 , 1 } ^ { 1 , 1 } \left[ \, \theta \left| \begin{array} { c } { { ( 1 - k , \; 1 / \mu ) } } \\ { { ( n , 1 ) } } \end{array} \right] \right. \quad \mathrm { f o r ~ } \mu > 1
S _ { 0 } ^ { + Q } L = \{ \left( \begin{array} { l l } { { 0 } } & { { - i } } \\ { { - i } } & { { 0 } } \end{array} \right) , \left( \begin{array} { l l } { { i } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { i } } \end{array} \right) , \left( \begin{array} { l l } { { - 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) , \left( \begin{array} { l l } { { 0 } } & { { - i } } \\ { { i } } & { { 0 } } \end{array} \right) \}
\left( \frac { \partial X _ { m } } { \partial t } \right) _ { \mathrm { n } d g } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { X _ { p } \left( t _ { p } \right) - X _ { m } ( t ) } { \tau } , } & { t = t _ { i } , } \\ { 0 , } & { t \neq t _ { i } , } \end{array} \right.
\alpha _ { \mathrm { n e q } } = - \frac { 1 } { 3 } \int \mathrm { d } ^ { 3 } k \int _ { - \infty } ^ { \tau } \mathrm { d } \tau _ { 1 } \left[ G _ { u b } \left( k , \mathbf { X } ; \tau , \tau _ { 1 } , T \right) + G _ { b u } \left( k , \mathbf { X } ; \tau , \tau _ { 1 } , T \right) \right] H _ { u b } ^ { ( a ) } \left( k , \mathbf { X } ; \tau , \tau _ { 1 } , T \right) ,
\mu _ { 0 } = \left[ \frac { \Gamma ( \frac { 1 } { \gamma } + \frac { 3 } { 2 } ) } { \pi ^ { 3 / 2 } \Gamma ( \frac { 1 } { \gamma } + 1 ) } \frac { \sqrt { M / 2 } \, \omega _ { z } N g _ { \gamma } ^ { 1 / \gamma } } { R _ { \mathrm { e } } ^ { 2 } - R _ { \mathrm { i } } ^ { 2 } } \right] ^ { \frac { 2 \gamma } { \gamma + 2 } } , \quad E _ { F } = 2 \hbar \left[ \frac { \hbar \omega _ { z } N } { m ( R _ { \mathrm { e } } ^ { 2 } - R _ { \mathrm { i } } ^ { 2 } ) } \right] ^ { 1 / 2 }
\mathcal { A } _ { f } = \left[ \begin{array} { l l l } { ( n _ { 2 } ) ^ { 2 } + ( n _ { 3 } ) ^ { 2 } } & { - n _ { 1 } n _ { 2 } } & { - n _ { 3 } n _ { 1 } } \\ { - n _ { 1 } n _ { 2 } } & { ( n _ { 3 } ) ^ { 2 } + ( n _ { 1 } ) ^ { 2 } } & { - n _ { 2 } n _ { 3 } } \\ { - n _ { 3 } n _ { 1 } } & { - n _ { 2 } n _ { 3 } } & { ( n _ { 1 } ) ^ { 2 } + ( n _ { 2 } ) ^ { 2 } , } \end{array} \right]
\varepsilon _ { u } ^ { + } = \eta _ { 1 2 } \gamma ^ { 1 2 } \varepsilon _ { l } ^ { + } , \ \ \ \ \, v a r e p s i l o n _ { u } ^ { + } = - i \eta _ { 2 3 } \gamma ^ { 2 3 } \varepsilon _ { l } ^ { + } , \ \ \ \ \, v a r e p s i l o n _ { u } ^ { + } = i \eta _ { 1 } \gamma ^ { 1 } \varepsilon _ { l } ^ { - } , \ \ \ \ \, v a r e p s i l o n _ { u } ^ { + } = - \eta _ { 3 } \gamma ^ { 3 } \varepsilon _ { l } ^ { - }
d s ^ { 2 } = r _ { 0 } ^ { 2 } ( - e ^ { 2 r } d t ^ { 2 } + d r ^ { 2 } ) + r _ { 0 } ^ { 2 } ( ( d \theta ^ { 5 } ) ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } \theta s _ { i j } d \theta ^ { i } d \theta ^ { j } ) ,
T ^ { * } = \frac { 1 } { 2 } \left( \sum _ { r , s = 1 } ^ { m } g _ { r , s } { \dot { q } } _ { r } { \dot { q } } _ { s } + \sum _ { \nu , \mu = 1 } ^ { k } g _ { m + \nu , m + \mu } \alpha _ { \nu } \alpha _ { \mu } \right) + \sum _ { r = 1 } ^ { m } \sum _ { \nu = 1 } ^ { k } g _ { r , m + \nu } { \dot { q } } _ { r } \alpha _ { \nu } + \sum _ { r = 1 } ^ { m } b _ { r } { \dot { q } } _ { r } + \sum _ { \nu = 1 } ^ { k } b _ { m + \nu } \alpha _ { \nu } + c
\Pi _ { \mu \nu } ^ { W } = F _ { W 1 } ( p ^ { 2 } ) ( p _ { \mu } p _ { \nu } - p ^ { 2 } g _ { \mu \nu } ) + 2 F _ { W 2 } ( p ^ { 2 } ) p _ { \mu } p _ { \nu } + \Delta m _ { W } ^ { 2 } g _ { \mu \nu } ,
\sigma _ { j } ^ { a } = \mathbf { 1 } _ { V } ^ { \otimes ( j - 1 ) } \otimes \sigma _ { } ^ { a } \otimes \mathbf { 1 } _ { V } ^ { \otimes ( N - j ) } , \qquad { \cal V } = V ^ { \otimes N } = \underbrace { V \otimes V \otimes \ldots \otimes V } _ { \mathrm { ~ N ~ f a c t o r s } } ,
\hat { G } _ { e } = J ^ { - 1 } \left\{ \begin{array} { c } { \overline { { \rho } } W } \\ { \overline { { \rho } } \tilde { u } W + \overline { { p } } \zeta _ { x } } \\ { \overline { { \rho } } \tilde { v } W + \overline { { p } } \zeta _ { y } } \\ { \overline { { \rho } } \tilde { w } W + \overline { { p } } \zeta _ { z } } \\ { \left( \check { e } + \overline { { p } } \right) W - \overline { { p } } \zeta _ { t } } \end{array} \right\} \, \mathrm { ~ , ~ }
\begin{array} { r l } { \hat { \mathcal { P } } ^ { \mathrm { G } } } & { { } : = \exp \left( \sum _ { i } g _ { i } ^ { \mathrm { G } } \hat { n } _ { i { \uparrow } } \hat { n } _ { i { \downarrow } } \right) , } \\ { \hat { \mathcal { P } } ^ { \mathrm { J _ { c } } } } & { { } : = \exp \left( \sum _ { i < j } g _ { i j } ^ { \mathrm { J _ { c } } } \hat { n } _ { i } \hat { n } _ { j } \right) , } \\ { \hat { \mathcal { P } } ^ { \mathrm { J _ { s } } } } & { { } : = \exp \left( \sum _ { i < j } g _ { i j } ^ { \mathrm { J _ { s } } } \hat { S } _ { i } ^ { z } \hat { S } _ { j } ^ { z } \right) } \end{array}
R _ { \Phi } ^ { * } = e ^ { - i \phi _ { 0 } Z } \prod _ { k = 1 } ^ { d } R ( x ) e ^ { - i \phi _ { k } Z } = \left[ \begin{array} { l l } { P ^ { * } ( x ) } & { \cdot } \\ { \cdot } & { \cdot } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l } { \hat { \langle U _ { 2 } \rangle } ^ { - } ( k _ { 1 } , 0 ^ { - } , k _ { 3 } ) } & { { } = c _ { 1 } ^ { - } \Phi _ { 1 1 } ^ { - } ( 0 ^ { - } ) + c _ { 2 } ^ { - } \Phi _ { 1 2 } ^ { - } ( 0 ^ { - } ) , } \\ { \hat { \langle U _ { 2 } \rangle } ^ { + } ( k _ { 1 } , 0 ^ { + } , k _ { 3 } ) } & { { } = c _ { 1 } ^ { + } \Phi _ { 1 1 } ^ { + } ( 0 ^ { + } ) + c _ { 2 } ^ { + } \Phi _ { 1 2 } ^ { + } ( 0 ^ { + } ) . } \end{array}
\frac { \Delta E } { E } _ { d i s s } = \frac { \sum _ { ( k _ { \perp } \rho _ { p } ) _ { d i s s } } | | \tilde { B } | _ { t u r b \_ p s p } ^ { 2 } - | \tilde { B } | _ { m o d e l } ^ { 2 } | \Delta ( k _ { \perp } \rho _ { p } ) } { \sum _ { ( k _ { \perp } \rho _ { p } ) _ { d i s s } } | \tilde { B } | _ { t u r b \_ p s p } ^ { 2 } \Delta ( k _ { \perp } \rho _ { p } ) } ,
\begin{array} { r l } { \delta b _ { \widetilde { \rho } } ( s ( p ( \gamma ) ) x , y ) = } & { b _ { \widetilde { \rho } } ( y ) - b _ { \widetilde { \rho } } ( s ( p ( \gamma ) ) x y ) + b _ { \widetilde { \rho } } ( s ( p ( \gamma ) ) x ) } \\ { = } & { \lfloor \tau ( \widetilde { \rho } ( y ) ) \rfloor - \rho ^ { * } \chi _ { \mathbb { Z } } ( s ( p ( \gamma ) ) , x y ) - \delta a _ { \widetilde { \rho } } ( s ( p ( \gamma ) ) , x y ) } \\ & { + \rho ^ { * } \chi _ { \mathbb { Z } } ( s ( p ( \gamma ) ) , x ) + \delta a _ { \widetilde { \rho } } ( s ( p ( \gamma ) ) , x ) } \\ { = } & { \lfloor \tau ( \widetilde { \rho } ( y ) ) \rfloor - \lfloor \tau ( \widetilde { \rho } ( x y ) ) \rfloor + \lfloor \tau ( \widetilde { \rho } ( x ) ) \rfloor - \rho ^ { * } \chi _ { \mathbb { Z } } ( s ( p ( \gamma ) ) x , y ) + \rho ^ { * } \chi _ { \mathbb { Z } } ( x , y ) } \\ { = } & { - \rho ^ { * } \chi _ { \mathbb { Z } } ( s ( p ( \gamma ) ) x , y ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { K = \frac { 1 } { 2 } \langle | \boldsymbol { u ^ { \prime } } | ^ { 2 } \rangle , \ W _ { T a } } & { = \langle - u _ { r } ^ { \prime } u _ { \varphi } ^ { \prime } ( \frac { d V } { d r } - \frac { V } { r } ) \rangle , } \\ { W _ { c B } = \langle - \frac { 2 ( 1 - \eta ) r u _ { r } ^ { \prime } } { 1 + \eta } [ \theta ^ { \prime } ( 1 } & { + \frac { 2 V } { R o ^ { - 1 } r } ) ^ { 2 } + \frac { 4 \Theta u _ { \varphi } ^ { \prime } } { R o ^ { - 1 } r } ( 1 + \frac { 2 V } { R o ^ { - 1 } r } ) ] \rangle , } \\ { D _ { \nu } = \sqrt { \frac { P r } { R a } } \langle 2 [ ( \frac { \partial u _ { r } ^ { \prime } } { \partial r } ) ^ { 2 } } & { + ( \frac { 1 } { r } \frac { \partial u _ { \varphi } ^ { \prime } } { \partial { r } } + \frac { u _ { r } ^ { \prime } } { r } ) ^ { 2 } + ( \frac { \partial u _ { z } ^ { \prime } } { \partial z } ) ^ { 2 } ] + [ r \frac { \partial } { \partial r } ( \frac { u _ { \varphi } ^ { \prime } } { r } ) + \frac { 1 } { r } \frac { \partial u _ { r } ^ { \prime } } { \partial \varphi } ] ^ { 2 } } \\ & { + [ \frac { 1 } { r } \frac { \partial u _ { z } ^ { \prime } } { \partial \varphi } + \frac { \partial u _ { \varphi } ^ { \prime } } { \partial z } ] ^ { 2 } + [ \frac { \partial u _ { r } ^ { \prime } } { \partial z } + \frac { \partial u _ { z } ^ { \prime } } { \partial r } ] ^ { 2 } \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \theta ( \eta , s ) = } & { 1 _ { \{ \eta _ { 2 } = 0 \} } \theta _ { 0 } ( \eta _ { 1 } ) + \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } p _ { \kappa } ( 0 , \xi , s , \eta ) \hat { \theta } ( \xi , 0 ) \mathrm { d } \xi } \\ & { + 2 \kappa \int _ { - \infty } ^ { \infty } \theta _ { 0 } ( \xi _ { 1 } ) \left. \frac { \partial } { \partial \xi _ { 2 } } \right| _ { \xi _ { 2 } = 0 } \left( \int _ { 0 } ^ { s } p _ { \kappa } ( \tau , \xi , s , \eta ) \mathrm { d } \tau \right) \mathrm { d } \xi _ { 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { E } \, [ \, ( d _ { i } ^ { ( k ) } ) ^ { 2 } \, ] = \, } & { \sum _ { q \ \in { \mathcal { W } } _ { i } ^ { \ast } } \mathrm { E } \, [ \, u \, \vert \, t \, \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } + t \, \sigma _ { 1 , i } ^ { ( k ) } \vert \ \big \vert \ \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } = q \, ] \, P ( \, \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } = q \, ) } \\ & { + \sum _ { q \ \in { \mathcal { W } } _ { i } ^ { \ast } } \mathrm { E } \, [ \, u ^ { 2 } \, h ( \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } + \sigma _ { 1 , i } ^ { ( k ) } ) \ \big \vert \ \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } = q \, ] \, P ( \, \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } = q \, ) . } \end{array}
F _ { g } = { \frac { 1 } { 2 } } \epsilon _ { i j } ^ { 1 } \epsilon _ { i j } ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \left[ { \frac { ( 1 { - } k _ { 0 } ^ { 2 } { - } \vec { k } \cdot \vec { p } ) ^ { 2 } } { x ^ { 2 } } } + 2 { \frac { k _ { 0 } ^ { 4 } { - } ( \vec { k } \cdot \vec { p } ) ^ { 2 } } { x } } + ( 1 { - } k _ { 0 } ^ { 2 } { + } \vec { k } \cdot \vec { p } ) ^ { 2 } \right] x ^ { \vec { k } \cdot \vec { p } + k _ { 0 } ^ { 2 } } ( 1 - x ) ^ { - 2 k _ { 0 } ^ { 2 } } \, .
w _ { 1 0 0 } = r + \frac { 1 } { 8 c _ { 0 0 0 } ^ { 2 } } \left[ - 8 z \left( \frac { \partial c _ { 0 0 0 } } { \partial y } \right) ^ { 2 } - \frac { 4 } { 3 } z ^ { 3 } c _ { 0 0 0 } ^ { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } p _ { 1 1 0 } } { \partial y ^ { 2 } } + z c _ { 0 0 0 } \left( 8 \frac { \partial ^ { 2 } c _ { 0 0 0 } } { \partial y ^ { 2 } } + c _ { 0 0 0 } \frac { \partial ^ { 2 } p _ { 1 1 0 } } { \partial y ^ { 2 } } \right) \right] .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \bar { u } _ { i } } { \partial x _ { i } } } & { = 0 , } \\ { \frac { \partial \bar { u } _ { i } } { \partial t } + \bar { u } _ { j } \frac { \partial \bar { u } _ { i } } { \partial x _ { j } } } & { = - \frac { 1 } { \rho } \frac { \partial \bar { p } } { \partial x _ { i } } + \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left( \nu \frac { \partial \bar { u } _ { i } } { \partial x _ { j } } - \overline { { u _ { i } ^ { \prime } u _ { j } ^ { \prime } } } \right) , } \end{array}