harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { P _ { \mathrm { b r e a t h e r } } ( x , y , t ) } & { = } & { \frac { 8 \left[ k _ { 1 R } ^ { 2 } B _ { 1 } \cosh ( E _ { 1 } ) - k _ { 1 I } ^ { 2 } B _ { 2 } \cos ( E _ { 2 } ) \right] } { B _ { 1 } \cosh ( E _ { 1 } ) + B _ { 2 } \cos ( E _ { 2 } ) } - 8 \left( \frac { k _ { 1 R } B _ { 1 } \sinh ( E _ { 1 } ) - k _ { 1 I } B _ { 2 } \sin ( E _ { 2 } ) } { B _ { 1 } \cosh ( E _ { 1 } ) + B _ { 2 } \cos ( E _ { 2 } ) } \right) ^ { 2 } } \\ & { } & { \qquad + 2 A \left( \frac { k _ { 1 R } B _ { 1 } \sinh ( E _ { 1 } ) - k _ { 1 I } B _ { 2 } \sin ( E _ { 2 } ) } { B _ { 1 } \cosh ( E _ { 1 } ) + B _ { 2 } \cos ( E _ { 2 } ) } \right) , } \\ { Q _ { \mathrm { b r e a t h e r } } ( x , y , t ) } & { = } & { \frac { 8 \left[ k _ { 1 R } ^ { 2 } B _ { 1 } \cosh ( E _ { 1 } ) - k _ { 1 I } ^ { 2 } B _ { 2 } \cos ( E _ { 2 } ) \right] } { B _ { 1 } \cosh ( E _ { 1 } ) + B _ { 2 } \cos ( E _ { 2 } ) } - 8 \left( \frac { k _ { 1 R } B _ { 1 } \sinh ( E _ { 1 } ) - k _ { 1 I } B _ { 2 } \sin ( E _ { 2 } ) } { B _ { 1 } \cosh ( E _ { 1 } ) + B _ { 2 } \cos ( E _ { 2 } ) } \right) ^ { 2 } } \\ & { } & { \qquad - 2 A \left( \frac { k _ { 1 R } B _ { 1 } \sinh ( E _ { 1 } ) - k _ { 1 I } B _ { 2 } \sin ( E _ { 2 } ) } { B _ { 1 } \cosh ( E _ { 1 } ) + B _ { 2 } \cos ( E _ { 2 } ) } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l c } { \rho ( x ) \eta _ { t t } + \mu ( x ) \eta _ { t } + ( r ( x ) \eta _ { x x } ) _ { x x } + ( \kappa ( x ) \eta _ { x x t } ) _ { x x } = 0 , ~ ( x , t ) \in \Omega _ { T } , } \\ { \eta ( x , 0 ) = 0 , ~ \eta _ { t } ( x , 0 ) = 0 , ~ \qquad \; x \in ( 0 , \ell ) , } \\ { \eta ( 0 , t ) \ = 0 , ~ \; \eta _ { x } ( 0 , t ) = 0 , ~ \qquad \; t \in [ 0 , T ] , } \\ { \left[ r ( x ) \eta _ { x x } + \kappa ( x ) \eta _ { x x t } \right] _ { x = \ell } \; = 0 , } \\ { \quad - \left[ \big ( r ( x ) \eta _ { x x } + \kappa ( x ) \eta _ { x x t } \big ) _ { x } \right] _ { x = \ell } = g _ { \alpha } ( t ) - \bar { g } ( t ) , \ \ t \in [ 0 , T ] . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { b _ { 0 } f ( 0 ) \cos ^ { 2 } \theta } { \lambda } - \frac { 0 . 1 1 7 4 2 b _ { 1 } b _ { 0 } f ( 0 ) } { \lambda } \left( \frac { 1 - \beta } { \lambda } - 1 \right) \le b _ { 1 } F ( 1 - \beta ) - b _ { 0 } F ( 0 ) } \\ & { \qquad \le 0 . 3 4 8 b _ { 1 } \frac { \pi ^ { 2 } } { 4 \eta _ { k } ^ { 2 } } f ( 0 ) ( 1 - \beta ) + \frac { f ( 0 ) } { 2 \eta _ { k } } \left[ b \left( \frac { L _ { 1 } - 3 . 2 3 9 5 } { 2 ^ { k } - 2 } + L _ { 2 } + \log 1 . 5 4 6 \right) + b _ { 0 } \log \zeta ( 1 + \eta _ { k } ) \right] } \\ & { \qquad \qquad + c ( R ) \lambda f ( 0 ) \Bigg [ b \; \bigg \{ \left( \frac { 2 3 . 9 9 } { \sqrt { \eta _ { k } } } - 4 0 . 0 5 1 \right) ( L _ { 1 } - 3 . 2 3 9 5 ) + 1 . 2 0 3 1 L _ { 2 } + 1 . 7 8 6 } \\ & { \qquad \qquad \qquad + \frac { 1 . 0 8 9 7 L _ { 2 } - 0 . 5 3 2 2 \log \eta _ { k } } { \eta _ { k } ^ { 2 } } \bigg \} + 1 . 8 b _ { 0 } \Bigg ] . } \end{array}
\begin{array} { r } { k ^ { l } ( \mathbf { x } _ { I a } , \mathbf { x } _ { J b } ) = \mathbf { \delta } _ { Z _ { a } , Z _ { b } } \exp { \left( - \frac { \vert \vert \mathbf { x } _ { I a } - \mathbf { x } _ { J b } \vert \vert _ { 2 } } { \sigma } \right) } ~ } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { 2 \Omega ^ { \prime } } \int _ { \Omega ^ { \prime } } \sum _ { \mu = 1 } ^ { n } \mid J _ { \mu } ^ { \prime } \mid ^ { 2 } d ^ { n } X ^ { \prime } = } \\ & { \frac { 1 } { 2 \Omega ^ { \prime } } \sum _ { \mu = 1 } ^ { n } \sum _ { { \bf K } , { \bf K } ^ { \prime } } \int _ { \Omega ^ { \prime } } \! \! \left( J _ { \mu , { \bf K } } ( t ) e ^ { i ( { \bf K } \cdot { \bf X } ^ { \prime } ) } \! + \! J _ { \mu , { \bf K } } ^ { \star } ( t ) e ^ { - i ( { \bf K } \cdot { \bf X } ^ { \prime } ) } \right) \! \! \left( J _ { \mu , { \bf K } ^ { \prime } } ( t ) e ^ { i ( { \bf K ^ { \prime } } \cdot { \bf X } ^ { \prime } ) } \! + \! J _ { \mu , { \bf K } ^ { \prime } } ^ { \star } ( t ) e ^ { - i ( { \bf K ^ { \prime } } \cdot { \bf X } ^ { \prime } ) } \right) d ^ { n } X ^ { \prime } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { A _ { 1 } } & { = } & { \pm \sqrt { \sigma _ { 1 } / \gamma } = \frac { \pm 2 } { R a _ { c } ^ { 1 / 4 } } \left( 1 - \sqrt { \frac { R a _ { c } } { R a } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left( 4 \sqrt { \frac { R a _ { c } } { R a } } - 1 \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \\ { A _ { 2 } } & { = } & { - 2 \sigma _ { 1 } / R a _ { c } ^ { 1 / 4 } = \frac { - 2 } { R a _ { c } ^ { 1 / 4 } } \left( 1 - \sqrt { \frac { R a _ { c } } { R a } } \right) } \end{array}
\frac { d \Gamma } { d m _ { \nu \bar { \nu } } ^ { 2 } } = \frac { 2 C ^ { 2 } \alpha f _ { B _ { q } ^ { * } } ^ { 2 } m _ { B _ { q } ^ { * } } ^ { 2 } } { 3 ( 4 8 \pi ) ^ { 2 } m _ { B _ { q } } ^ { 3 } m _ { q } ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { | \psi ^ { \prime } ( { \frac { \pi } { 2 \lambda } } ) \rangle = } & { { } ~ \mathrm { e x p } ( - i H _ { \mathrm { e f f , p h } } \frac { \pi } { 2 \lambda } ) | \psi _ { 0 , 1 } \rangle } \\ { = } & { { } ~ | g g \rangle \otimes ( C _ { g g } | 1 \rangle + C _ { e g } | 2 \rangle + C _ { g e } | 3 \rangle + C _ { e e } | 4 \rangle ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { S t \left( \frac { d U _ { p } ^ { * } } { d t ^ { * } } + \frac { \pi } { 4 } \frac { 1 } { F _ { q } ^ { * } } \frac { d \phi ^ { * } } { d t ^ { * } } \right) } & { { } = - \frac { 4 } { \pi } F _ { p } ^ { * } U _ { p } ^ { * } - \phi ^ { * } , } \\ { S t J _ { q } ^ { * } \frac { d ^ { 2 } \phi ^ { * } } { d t ^ { * 2 } } } & { { } = \frac { T _ { i } ^ { * } } { F _ { q } ^ { * } } U _ { p } ^ { * } - \frac { 4 } { \pi } T _ { \Omega } ^ { * } \frac { d \phi ^ { * } } { d t ^ { * } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { \{ | u _ { \varepsilon } | \geq 1 - \delta \} \cap \Omega ^ { \prime } } \left( \varepsilon | \nabla u _ { \varepsilon } | ^ { 2 } + \frac { W ( u _ { \varepsilon } ) } { \varepsilon } + \frac { W ^ { \prime } ( u _ { \varepsilon } ) ^ { 2 } } { \varepsilon } \right) } \\ & { \leq C \int _ { \{ | u _ { \varepsilon } | \geq 1 - \delta \} \cap \Omega ^ { \prime } } \left( \varepsilon | \nabla u _ { \varepsilon } | ^ { 2 } + \frac { W ^ { \prime } ( u _ { \varepsilon } ) ^ { 2 } } { \varepsilon } \right) } \\ & { \leq C \delta \int _ { \{ | u _ { \varepsilon } | \leq 1 - \delta \} } \varepsilon | \nabla u _ { \varepsilon } | ^ { 2 } + C \varepsilon \int _ { \Omega } | f _ { \varepsilon } | ^ { 2 } + C \varepsilon \left( \delta r ^ { - 1 } + \delta ^ { 2 } r ^ { - 2 } \right) \mathcal L ^ { n + 1 } ( \Omega ) } \\ & { + C \varepsilon r ^ { - 2 } \int _ { \{ | u _ { \varepsilon } | \geq 1 \} } W ^ { \prime } ( u _ { \varepsilon } ) ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { Y _ { ( 2 ) } ^ { * } } & { { } = y _ { n } + \Delta t N _ { E } ( y _ { n } ) , } \\ { y _ { n + 1 } } & { { } = Y _ { ( 2 ) } = y _ { n } + \Delta t N _ { I } ( Y _ { ( 2 ) } ^ { * } , Y _ { ( 2 ) } ) + \Delta t N _ { E } ( y _ { n } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { - e } { C _ { \mathrm { e l } } } = \int \Gamma _ { \mathrm { L D O S } } ^ { T } ( \mu ^ { \mathrm { e f f } } , \mathbf { r } ) \frac { \partial \phi ( \mathbf { r } ) } { \partial N } \mathrm { d } \mathbf { r } + \sum _ { i } \alpha _ { i } Z _ { i } \int \Gamma _ { \mathrm { L D O S } , i } ^ { T } ( \mu _ { i } ^ { \mathrm { e f f } } , \mathbf { r } ) \frac { \partial \phi ( \mathbf { r } ) } { \partial N } \mathrm { d } \mathbf { r } } \end{array}
\tilde { E } _ { x } ( \tau , \mathbf { x } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { Z e \frac { \tau ( x - x _ { 0 } ) \cosh ( \eta - \eta _ { 0 } ) } { 4 \pi { [ ( r _ { \bot } - r _ { \bot 0 } ) ^ { 2 } + \tau ^ { 2 } \sinh ^ { 2 } ( \eta - \eta _ { 0 } ) ] } ^ { 3 / 2 } } , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \tau _ { 0 } < \tau _ { f } ( \mathbf { x } ; \mathbf { x } _ { 0 } ) < \tau } \\ { 0 , } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { p _ { \mathbf { W } } ( 1 , \mathbf { w } ) } & { = p _ { \mathbf { W } } ( 0 , \mathbf { w } ) \left[ 1 - \sum _ { n = 1 } ^ { M } | s _ { n } | ^ { 2 } \left( 1 - \frac { w _ { n } ^ { 2 } } { \sigma _ { n } ^ { 2 } } \right) + \sum _ { n = 1 } ^ { M } \sum _ { m \neq n } \frac { w _ { n } } { \sigma _ { n } } \, \frac { w _ { m } } { \sigma _ { m } } \, s _ { n } s _ { m } ^ { * } \right] } \\ & { = p _ { \mathbf { W } } ( 0 , \mathbf { w } ) \left[ 1 - \sum _ { n = 1 } ^ { M } | s _ { n } | ^ { 2 } + \left| \sum _ { n = 1 } ^ { M } \, \frac { w _ { n } } { \sigma _ { n } } \, s _ { n } \right| ^ { 2 } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \varepsilon } \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \beta ( x ) \phi ^ { \prime } ( x _ { 2 } / \varepsilon ) \textrm { d } x } & { { } = \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \int _ { \frac { 1 } { 3 } } ^ { \frac { 2 } { 3 } } \beta ( x _ { 1 } , \varepsilon x _ { 2 } ) \phi ^ { \prime } ( x _ { 2 } ) \textrm { d } x _ { 2 } \textrm { d } x _ { 1 } } \end{array}
{ \frac { \partial \ln { \mathcal { L } } ( \alpha , \beta , a , c \mid Y ) } { \partial \alpha } } = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \ln ( Y _ { i } - a ) - N ( - \psi ( \alpha + \beta ) + \psi ( \alpha ) ) - N \ln ( c - a ) = 0
\begin{array} { r } { F _ { x } ^ { - } ( 0 ) = \int _ { - \infty } ^ { 0 } \frac { D _ { x } ^ { 2 } n _ { 0 } } { 2 } d \tilde { x } + \mathcal { O } \left[ \lambda ^ { 3 } \right] . } \end{array}
\langle \beta \ \mathrm { o u t } | { \bar { \Psi } } _ { \alpha _ { 1 } } ( x _ { 1 } ) | \alpha ^ { \prime } \ \mathrm { i n } \rangle = { \frac { 1 } { \sqrt { Z } } } { \Big ( } \operatorname* { l i m } _ { y _ { 1 } ^ { 0 } \rightarrow \infty } - \operatorname* { l i m } _ { y _ { 1 } ^ { 0 } \rightarrow - \infty } { \Big ) } \int \! \mathrm { d } ^ { 3 } y _ { 1 } \mathrm { e } ^ { - i k _ { 1 } \cdot y _ { 1 } } [ { \bar { u } } _ { { \textbf { k } } _ { 1 } } ^ { \sigma _ { 1 } } \gamma ^ { 0 } ] _ { \beta _ { 1 } } \langle \beta ^ { \prime } \ \mathrm { o u t } | \mathrm { T } [ \Psi _ { \beta _ { 1 } } ( y _ { 1 } ) { \bar { \Psi } } _ { \alpha _ { 1 } } ( x _ { 1 } ) ] | \alpha ^ { \prime } \ \mathrm { i n } \rangle .
\Psi \propto e ^ { - a _ { i } \vec { x } ^ { \, 2 } - b _ { i } \vec { y } ^ { \, 2 } - c _ { i } \vec { z } ^ { \, 2 } - d _ { i } \vec { x } \cdot \vec { y } - e _ { i } \vec { x } \cdot \vec { z } - f _ { i } \vec { y } \cdot \vec { z } }
\begin{array} { r } { P \! \left( t \right) = \frac { 1 } { 2 } \frac { - \gamma + \sqrt { \gamma ^ { 2 } + 4 \chi ( q - \beta \Omega \! \left( t \right) ^ { 2 } ) } } { \chi } , } \\ { P \! \left( t \right) = - \frac { 1 } { 2 } \frac { \gamma + \sqrt { \gamma ^ { 2 } + 4 \chi ( q - \beta \Omega \! \left( t \right) ^ { 2 } ) } } { \chi } . } \end{array}
\log _ { 1 0 } \psi _ { \mathrm { S F R } } \left( M _ { \odot } / y r \right) = \left\{ \begin{array} { c } { \left( 0 . 9 6 - 0 . 0 4 5 \times t \right) \times \log _ { 1 0 } M _ { \star } } \\ { - \left( 7 . 4 1 - 0 . 2 7 \times t \right) , } \\ { \delta _ { \mathrm { S F R } } = 0 . 1 ~ \mathrm { d e x } , \quad } \\ { { 0 < z \leqslant 6 } , } \\ { 0 . 7 \times \log _ { 1 0 } M _ { \star } - 5 . 2 , } \\ { \; \delta _ { \mathrm { S F R } } = 0 . 4 ~ \mathrm { d e x } , \quad ~ } \\ { { 6 < z \leqslant 1 0 } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \hat { \tilde { p } } _ { r } ( k , s | x _ { 0 } ) } & { { } = } & { e ^ { i k x _ { 0 } } \hat { \tilde { p } } _ { 0 } ( k , r + s ) \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \left( r \hat { \tilde { p } } _ { 0 } ( k , r + s ) \right) ^ { n } = e ^ { i k x _ { 0 } } \hat { \tilde { p } } _ { 0 } ( k , r + s ) \frac { 1 } { 1 - r \hat { \tilde { p } } _ { 0 } ( k , r + s ) } } \end{array}
\vec { k } _ { 1 } = \frac { \vec { q } _ { 1 } ^ { \: \prime } } { | \vec { q } | } ~ , \ \ \ \ \vec { k } _ { 2 } = \frac { \vec { q } _ { 1 } } { | \vec { q } | } ~ , \ \ \ \ ( \vec { k } _ { 1 } - \vec { k } _ { 2 } ) ^ { 2 } = 1 ~ , \ \ \ \ \vec { q } \neq 0 ~ .
{ \cal I } _ { n } = { \frac { 1 } { \sigma _ { 0 } \, ( \alpha _ { s } / \pi ) ^ { 2 } } } \int _ { 0 } ^ { 1 } \! d t \ ( 1 - t ) ^ { n } { \frac { d \sigma ^ { [ 2 ] } } { d t } } .
\mathrm { s i n } { \frac { \Delta } { 2 } } = { \frac { \mathrm { t a n } { \frac { \Delta } { 2 } } } { \sqrt { 1 + \mathrm { t a n } ^ { 2 } { \frac { \Delta } { 2 } } } } } = { \frac { \mu } { \sqrt { 1 + \mu ^ { 2 } } } }
f \left( x ; { \frac { 1 } { 3 } } , 1 , 1 , 0 \right) = { \frac { 1 } { \pi } } { \frac { 2 { \sqrt { 2 } } } { 3 ^ { \frac { 7 } { 4 } } } } { \frac { 1 } { \sqrt { x ^ { 3 } } } } K _ { \frac { 1 } { 3 } } \left( { \frac { 4 { \sqrt { 2 } } } { 3 ^ { \frac { 9 } { 4 } } } } { \frac { 1 } { \sqrt { x } } } \right)
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { T _ { \mathrm { ~ f ~ r ~ e ~ e ~ } } \rightarrow \infty } \mathbb { D } \left( P _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ s ~ s ~ } } \Vert P _ { \mathrm { ~ f ~ r ~ e ~ e ~ } } \right) = \Delta S , } \end{array}
[ T ( \phi , \mathbf { d } ) ] = { \left[ \begin{array} { l l } { A ( \phi ) } & { \mathbf { d } } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l l } { \cos \phi } & { - \sin \phi } & { d _ { x } } \\ { \sin \phi } & { \cos \phi } & { d _ { y } } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } .
p ( \mathbf { y } \mid m ) = { \frac { p ( { \boldsymbol { \beta } } , \sigma | m ) \, p ( \mathbf { y } \mid \mathbf { X } , { \boldsymbol { \beta } } , \sigma , m ) } { p ( { \boldsymbol { \beta } } , \sigma \mid \mathbf { y } , \mathbf { X } , m ) } }
{ R } _ { 1 2 } ( u - v ) \eta _ { 1 2 } L _ { 1 j } ( u ) \eta _ { 1 2 } L _ { 2 j } ( v ) = \eta _ { 1 2 } L _ { 2 j } ( v ) \eta _ { 1 2 } L _ { 1 j } ( u ) { R } _ { 1 2 } ( u - v ) \ll { b q y b e l s }
( 2 \pi / L ) \: \ell ^ { \, 2 } \sim 1 0 ^ { - 2 5 } \, \mathrm { m } \; ( 1 0 ^ { 1 0 } \, \mathrm { l y r } / L ) \, ( \ell / \mathrm { m } ) ^ { 2 } \; ,
{ \begin{array} { r l } { \ { \mathcal { C } } \ = } & { \ 2 \pi \varepsilon a \ \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { \sinh \left( \ln \left( D + { \sqrt { D ^ { 2 } - 1 } } \right) \right) } { \sinh \left( n \ln \left( D + { \sqrt { D ^ { 2 } - 1 } } \right) \right) } } } \\ { = } & { 2 \pi \varepsilon a \left[ 1 + { \frac { 1 } { 2 D } } + { \frac { 1 } { 4 D ^ { 2 } } } + { \frac { 1 } { 8 D ^ { 3 } } } + { \frac { 1 } { 8 D ^ { 4 } } } + { \frac { 3 } { 3 2 D ^ { 5 } } } + { \mathcal { O } } \left( { \frac { 1 } { D ^ { 6 } } } \right) \right] } \\ { = } & { 2 \pi \varepsilon a \left[ \ln 2 + \gamma - { \frac { 1 } { 2 } } \ln \left( 2 D - 2 \right) + { \mathcal { O } } \left( 2 D - 2 \right) \right] } \\ { = } & { 2 \pi \varepsilon a \, { \frac { \sqrt { D ^ { 2 } - 1 } } { \log ( q ) } } \left[ \psi _ { q } \left( 1 + { \frac { i \pi } { \log ( q ) } } \right) - i \pi - \psi _ { q } ( 1 ) \right] } \end{array} }
\left( \partial _ { t } \mid i + \gamma ^ { 0 } \vec { \gamma } \cdot \vec { \partial } \mid i - e \gamma ^ { 0 } A _ { 0 } + e \gamma ^ { 0 } \vec { \gamma } \cdot \vec { A } \right) \Psi ( x ) = m \gamma ^ { 0 } \Psi ( x ) ~ ,
\begin{array} { r l } { \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } | \alpha _ { k } | ^ { 2 } < \infty \ } & { \mathrm { i f } \ - 1 < { \tt g } \leq 0 , } \\ { \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } | \alpha _ { k } | ^ { 4 } < \infty \ } & { \mathrm { a n d } \ \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } | \alpha _ { k } - \alpha _ { k - 1 } | ^ { 2 } < \infty \ \mathrm { i f } \ { \tt g } = - 1 \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta \tau _ { J _ { 2 } } } & { { } = } & { - \int _ { \mathrm { p a t h } } d t \Big [ \frac { G M _ { \oplus } R _ { \oplus } ^ { 2 } J _ { 2 } \sin ^ { 2 } i _ { 0 } } { c ^ { 2 } a _ { 0 } ^ { 3 } } \cos 2 ( \omega _ { 0 } + n _ { \tt G P S } t ) \Big ] \simeq } \end{array}
\begin{array} { r l r } { r ( t ) } & { = } & { \| [ F _ { \gamma } ^ { ( 1 ) } ( \eta _ { \gamma } ^ { * } ( t ) ) ] ^ { - 1 } F _ { \gamma } ( \eta _ { \gamma } ^ { * } ( t ) ) \| _ { \infty } } \\ & { \le } & { \| [ F _ { \gamma } ^ { ( 1 ) } ( \eta _ { \gamma } ^ { * } ( t ) ) ^ { - 1 } - S _ { \gamma } ( t ) ] F _ { \gamma } ( \eta _ { \gamma } ^ { * } ( t ) ) \| _ { \infty } + \| S _ { \gamma } ( t ) F _ { \gamma } ( \eta _ { \gamma } ^ { * } ( t ) ) \| _ { \infty } } \\ & { \le } & { ( 2 n - 1 ) \| F _ { \gamma } ^ { ( 1 ) } ( \eta _ { \gamma } ^ { * } ( t ) ) ^ { - 1 } - S _ { \gamma } ( t ) \| _ { \operatorname* { m a x } } \| F _ { \gamma } ( \eta _ { \gamma } ^ { * } ( t ) ) \| _ { \infty } + \| S _ { \gamma } ( t ) F _ { \gamma } ( \eta _ { \gamma } ^ { * } ( t ) ) \| _ { \infty } } \\ & { \le } & { O _ { p } \left( ( q _ { n } + 1 ) e ^ { 6 q _ { n } } \sqrt { \frac { \log n h _ { 1 } } { n h _ { 1 } } } \right) , } \end{array}
\frac { \partial ^ { 2 } \mathsf { G } _ { \lambda , n } [ \mathbf { b } ] } { \partial b _ { t } \partial b _ { u } } = \int \int \mathrm { d } \mathbf { r } \, \mathrm { d } \mathbf { r } ^ { \prime } \, g _ { t } ( \mathbf { r } ) g _ { u } ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) \frac { \delta n _ { \lambda , \mathbf { b } } ( \mathbf { r } ) } { \delta v _ { \lambda , \mathbf { b } } ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) } .
\begin{array} { r l } { F _ { f } ( s , \ \chi ) = } & { \prod _ { p } \left( 1 + \frac { \lambda _ { f } ^ { 4 } ( p ) \chi ( p ) } { p ^ { s } } + \frac { \lambda _ { f } ^ { 4 } ( p ^ { 2 } ) \chi ( p ^ { 2 } ) } { p ^ { 2 s } } + \hdots \right) } \\ { = } & { L ^ { 2 } ( s , \ \chi ) L ^ { 3 } ( s , \ \mathrm { { s y m } ^ { 2 } } f \otimes \chi ) L ( s , \ \mathrm { s y m } ^ { 4 } f \otimes \chi ) U ( s ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | ( x [ r ] , y [ r ] ) - a | } & { \leq | ( x [ r ] , y [ r ] ) - ( x , y ) | + | ( x , y ) - a | } \\ & { = \sqrt { ( x [ r ] - x ) ^ { 2 } + ( y [ r ] - y ) ^ { 2 } } + | ( x , y ) - a | } \\ & { \leq \sqrt { 2 ( 2 ^ { - 2 r } ) } + 2 ^ { - r } } \\ & { \leq 2 ^ { - r } \sqrt { 2 } + 2 ^ { - r } } \\ & { = 2 ^ { - r } ( 1 + \sqrt { 2 } ) } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r c l } { { \mathrm { d i v } { \bf B } } } & { { = } } & { { 0 } } \\ { { \mathrm { d i v } { \bf D } } } & { { = } } & { { 0 } } \end{array} \right. \quad , \qquad \left\{ \begin{array} { r c l } { { \phantom { - } \partial _ { 0 } \, { \bf B } { } + { } \mathrm { r o t } { \bf E } } } & { { = } } & { { 0 } } \\ { { - \partial _ { 0 } \, { \bf D } { } + { } \mathrm { r o t } { \bf H } } } & { { = } } & { { 0 } } \end{array} \right. \quad ,
y _ { 2 } ( t ) = - t \left( \frac { \epsilon _ { s } ^ { * } \epsilon _ { g } ^ { * } u _ { r } ^ { * } - \epsilon _ { s 0 } \epsilon _ { g 0 } u _ { r 0 } } { \epsilon _ { s } ^ { * } - \epsilon _ { s 0 } } \right)
\begin{array} { r l r } & { } & { { f ^ { e q } } \left( { \rho , { \bf { u } } , T } \right) = } \\ & { = } & { \rho { \left( { \frac { 1 } { { 2 \pi R T } } } \right) ^ { D / 2 } } { \left( { \frac { 1 } { { 2 \pi n R T } } } \right) ^ { 1 / 2 } } \exp \left[ { - \frac { { { { \left( { { \bf { v } } - { \bf { u } } } \right) } ^ { 2 } } } } { { 2 R T } } - \frac { { { \eta ^ { 2 } } } } { { 2 n R T } } } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { 1 } } & { { = } } & { { \langle t , 1 \rangle = \langle t , { \bar { t } } \cdot { \bar { t } } ^ { - 1 } \rangle } } \\ { { } } & { { = } } & { { \langle t , \bar { t } \rangle \langle t , \bar { t } ^ { - 1 } \rangle ~ , } } \end{array}
c _ { \mathbf { k } _ { \alpha } } \left| n _ { \mathbf { k } _ { 1 } } , n _ { \mathbf { k } _ { 2 } } , . . . n _ { \mathbf { k } _ { \beta } } , n _ { \mathbf { k } _ { \alpha } } , . . . \right\rangle = ( - 1 ) ^ { \sum _ { \beta < \alpha } n _ { \beta } } \left| n _ { \mathbf { k } _ { 1 } } , n _ { \mathbf { k } _ { 2 } } , . . . n _ { \mathbf { k } _ { \beta } } , 1 - n _ { \mathbf { k } _ { \alpha } } , . . . \right\rangle
\sum _ { i = 1 } ^ { n } \lvert s _ { i } \rvert + \lvert \hat { s } _ { i } \rvert \leq \frac { 4 n } { \zeta ( \mathfrak { V } ) } \lVert \hat { F } _ { \mathfrak { W } } ( s _ { 1 } , \ldots , s _ { n } ) \rVert = \frac { n } { \mathrm { d i a m } ( T ) } \lVert \bar { F } _ { \mathfrak { W } } ( s _ { 1 } , \ldots , s _ { n } ) \rVert = : c _ { 0 } \lVert \bar { F } _ { \mathfrak { W } } ( s _ { 1 } , \ldots , s _ { n } ) \rVert ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { \mathrm { m u l t i } } ( \theta ) = \: } & { \mathbb { E } _ { ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } , \, . . . , \, \mathbf { x } _ { t _ { j } } ) } \left[ \sum _ { k = i + 1 } ^ { j - 1 } | | \mathbf { x } _ { t _ { k } } - \mathbf { x } _ { t _ { k } } ^ { \mathrm { O D E , F } } ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } ) | | _ { 2 } ^ { 2 } + | | \mathbf { x } _ { t _ { k } } - \mathbf { x } _ { t _ { k } } ^ { \mathrm { O D E , B } } ( \mathbf { x } _ { t _ { j } } ) | | _ { 2 } ^ { 2 } \right] } \\ { \mathrm { s . t . } \quad } & { \mathbf { x } _ { t _ { j } } ^ { \mathrm { O D E , F } } = \mathbf { x } _ { t _ { i } } + \int _ { t _ { i } } ^ { t _ { j } } \mathcal { P } ( \mathbf { x } _ { t } ^ { \mathrm { O D E , F } } ) - \frac { 1 } { 2 } g ^ { 2 } ( t ) s _ { \theta } ( \mathbf { x } _ { t } ^ { \mathrm { O D E , F } } , t ) d t , } \\ { \mathrm { a n d } \quad } & { \mathbf { x } _ { t _ { i } } ^ { \mathrm { O D E , B } } = \mathbf { x } _ { t _ { j } } + \int _ { t _ { j } } ^ { t _ { i } } \mathcal { P } ( \mathbf { x } _ { t } ^ { \mathrm { O D E , B } } ) - \frac { 1 } { 2 } g ^ { 2 } ( t ) s _ { \theta } ( \mathbf { x } _ { t } ^ { \mathrm { O D E , B } } , t ) d t , } \end{array}
f ^ { ( 2 ) } = ( 1 / 2 ) \big [ ( g _ { 1 } ^ { 2 } / 1 6 \pi ^ { 2 } ) \ln ^ { 2 } ( q ^ { 2 } / \mu ^ { 2 } ) + ( g _ { 2 } ^ { 2 } / 1 6 \pi ^ { 2 } ) \ln ^ { 2 } ( q ^ { 2 } / M ^ { 2 } ) \big ] ^ { 2 } ~ .
U _ { j } \frac { \partial U _ { i } } { \partial x _ { j } } + \frac { 1 } { \rho } \frac { \partial P } { \partial x _ { i } } - \frac { \partial ( 2 \nu S _ { i j } ) } { \partial x _ { j } } + \frac { \partial \overline { { u _ { i } ^ { \prime } u _ { j } ^ { \prime } } } } { \partial x _ { j } } = 0 ,
\begin{array} { r l } { \gamma _ { 1 } v _ { n + 1 } } & { = \rho _ { n } ( \gamma _ { 1 } v _ { n } - \gamma _ { 1 } \gamma _ { 2 } g _ { n } ) = \rho _ { n } ( \tilde { \gamma } _ { 1 } \tilde { v } _ { n } - \tilde { \gamma } _ { 1 } \tilde { \gamma } _ { 2 } g _ { n } ) = \tilde { \gamma } _ { 1 } \rho _ { n } ( \tilde { v } _ { n } - \tilde { \gamma } _ { 2 } g _ { n } ) = \tilde { \gamma } _ { 1 } \tilde { v } _ { n + 1 } . } \end{array}
h ( \mathbf { x } , 0 ) = \left\lbrace \begin{array} { l r } { 0 . 8 } & { \mathrm { i f } \, \left\| \mathbf { x } \right\| \leq 1 , } \\ { 0 . 5 } & { \mathrm { i f } \, \left\| \mathbf { x } \right\| \ge 1 , } \end{array} \right. \qquad b ( \mathbf { x } , 0 ) = \left\lbrace \begin{array} { l r } { 0 . 2 } & { \mathrm { i f } \, \left\| \mathbf { x } \right\| \leq 1 , } \\ { 0 } & { \mathrm { i f } \, \left\| \mathbf { x } \right\| \ge 1 , } \end{array} \right. \qquad \mathbf { v } ( \mathbf { x } , 0 ) = \mathbf { 0 } .
T _ { a } \Psi ^ { ( 0 ) } = \left( \begin{array} { c } { { \phi ^ { ( 0 ) } ( s ^ { i } + a ^ { i } ) } } \\ { { \phi ^ { \ast ( 0 ) } ( s ^ { i } + a ^ { i } ) } } \\ { { A _ { k } ^ { ( 0 ) } ( s ^ { i } + a ^ { i } ) } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { { \varpi _ { k } ^ { \mathrm { { o p t } } } } \! = } & { \! \frac { { \sqrt { \left( { 1 + { \rho _ { k } } } \right) } { \bf { \bar { h } } } _ { k } ^ { \mathrm { H } } { { \bf { w } } _ { k } } } } { { \sum _ { j = 1 } ^ { K } \! { { { \left| { { \bf { \bar { h } } } _ { k } ^ { \mathrm { H } } { { \bf { w } } _ { j } } } \right| } ^ { 2 } } } \! + \! { { \left\| { { \bf { f } } _ { k } ^ { \mathrm { H } } { { \bf { \Psi } } } } \right\| } ^ { 2 } } \sigma _ { v } ^ { 2 } + { \sigma ^ { 2 } } } } . } \end{array}