harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { l l } { { \hat { q } } } & { { = \frac { 2 } { ( k ^ { + } + 1 ) } \ell _ { 3 } ^ { + } } } \\ { { } } & { { } } \\ { { \hat { h } } } & { { = \frac { 1 } { ( k ^ { + } + 1 ) } \{ \ell ^ { + } ( \ell ^ { + } + 1 ) - ( \ell _ { 3 } ^ { + } ) ^ { 2 } \} } } \end{array}
\Sigma _ { p p } ^ { G 3 W 2 } ( \epsilon _ { p } ) = \sum _ { i } ^ { o c c } \sum _ { a b } ^ { v i r t } \frac { e _ { p a i b } e _ { a i b p } - f _ { p a i b } f _ { a i b p } } { \epsilon _ { a } + \epsilon _ { b } - \epsilon _ { i } - \epsilon _ { p } } - \sum _ { i j } ^ { o c c } \sum _ { a } ^ { v i r t } \frac { e _ { p i a j } e _ { i a j p } - f _ { p i a j } f _ { i a j p } } { \epsilon _ { a } - \epsilon _ { i } - \epsilon _ { j } + \epsilon _ { p } } \; .
\psi = \psi _ { 0 } + \psi _ { 1 } + \cdots , \quad \omega = \omega _ { 0 } + \omega _ { 1 } + \cdots , \quad a = a _ { 0 } + a _ { 1 } + \cdots , \quad j = j _ { 0 } + j _ { 1 } + \cdots ,
\begin{array} { r l } { \nabla \tilde { \psi } _ { m , k } \cdot \sigma \nabla \tilde { \Chi } _ { m , k } } & { = \partial _ { x _ { i } } \tilde { \psi } _ { m , k } \sigma _ { i j } \partial _ { x _ { j } } \tilde { \Chi } _ { m , k } } \\ & { = ( \partial _ { x _ { l } } \psi _ { m , k } \circ X _ { m - 1 } ^ { - 1 } ) \partial _ { x _ { i } } ( X _ { m - 1 } ^ { - 1 } ) _ { l } \sigma _ { i j } ( \partial _ { x _ { l ^ { \prime } } } { \boldsymbol { \chi } } _ { m , k } \circ X _ { m - 1 } ^ { - 1 } ) \partial _ { x _ { j } } ( X _ { m - 1 } ^ { - 1 } ) _ { l ^ { \prime } } } \\ & { = \underbrace { \sigma _ { i j } \partial _ { x _ { i } } ( X _ { m - 1 } ^ { - 1 } ) _ { l } \partial _ { x _ { j } } ( X _ { m - 1 } ^ { - 1 } ) _ { l } } _ { = 0 } ( \partial _ { x _ { l } } \psi \circ X _ { m - 1 } ^ { - 1 } ) ( \partial _ { x _ { l } } { \boldsymbol { \chi } } _ { m , k } \circ X _ { m - 1 } ^ { - 1 } ) = 0 \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { z _ { \Psi _ { i } \to j } } & { = \sum _ { \{ T _ { i l } \} _ { l \in \partial i } } \Psi ( \{ T _ { i l } \} _ { l \in \partial i } ) \prod _ { k \in \partial i \setminus j } \mu _ { k \to \Psi _ { i } } ( T _ { i k } ) } \\ & { = \sum _ { \tau _ { i } ^ { ( j ) } , \tau _ { j } ^ { ( i ) } , t _ { i } ^ { ( j ) } , t _ { j } ^ { ( i ) } } \tilde { \nu } ( \tau _ { i } ^ { ( j ) } , \sigma _ { j i } = 1 + \mathrm { s g n } ( \tau _ { j } ^ { ( i ) } + s _ { j i } - \tau _ { i } ^ { ( j ) } ) , t _ { i } ^ { ( j ) } , t _ { j } ^ { ( i ) } ) } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Lambda _ { \rho } ^ { \sigma } } & { = ( \eta _ { \rho \mu } \Lambda ^ { \mu } _ { \nu } \eta ^ { \nu \sigma } ) } \\ { \eta ^ { \sigma \nu } ( \Lambda ^ { T } ) _ { \nu } ^ { \mu } \eta _ { \mu \rho } } & { = ( \eta _ { \rho \mu } \Lambda ^ { \mu } _ { \nu } \eta ^ { \nu \sigma } ) } \\ { \eta \Lambda ^ { T } \eta } & { = \eta \Lambda \eta } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \mathcal { Q } ^ { i , l } \right) _ { j } } & { = Q _ { l } \left( \left( \mathcal { G } ^ { i , l - 1 } \right) _ { j } \right) , } \\ { \left( \mathcal { K } ^ { i , l } \right) _ { j } } & { = K _ { l } \left( \left( \mathcal { G } ^ { i , l - 1 } \right) _ { j } \right) , } \\ { \left( \mathcal { V } ^ { i , l } \right) _ { j } } & { = V _ { l } \left( \left( \mathcal { G } ^ { i , l - 1 } \right) _ { j } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial } { \partial | u - x | } \left( \log \left( 1 + \frac { | x - y | } { | u - x | } \right) - \log \left( 1 - \frac { | x - y | } { 1 - | x | ^ { 2 } } | u - x | \right) \right) } \\ & { = \frac { | x - y | } { 1 - | x | ^ { 2 } - | u - x | | x - y | } - \frac { | x - y | } { | u - x | ( | u - x | + | x - y | ) } \geq 0 } \\ & { \Leftrightarrow \quad | u - x | \geq - | x - y | + \sqrt { | x - y | ^ { 2 } + 1 - | x | ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \quad } & { { } = \frac { 1 } { \Delta } \sqrt { \frac { \hat { \mathcal { L } } ^ { - 1 } [ I _ { \Delta } ^ { ( m ) } ( x , y ) - I _ { \Delta } ^ { ( s + m ) } ( x , y ) ] } { \frac { 1 } { 2 } M ( x , y ) } } \quad \textrm { i f ~ } T = 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { w _ { \delta } ^ { m } ( x ) } & { = \operatorname* { m a x } \left( \ln \mathbb { E } _ { x } \left[ e ^ { \int _ { 0 } ^ { \delta } ( f ( X _ { s } ) - \lambda _ { \delta } ^ { m } ) d s + 1 _ { \{ X _ { \delta } \in B _ { m } \} } w _ { \delta } ^ { m } ( X _ { \delta } ) + 1 _ { \{ X _ { \delta } \notin B _ { m } \} } M w _ { \delta } ^ { m } ( X _ { \delta } ) } \right] \right. , } \\ & { \phantom { = = } M w _ { \delta } ^ { m } ( x ) \Big ) , \quad x \in B _ { m } , } \\ { w _ { \delta } ^ { m } ( x ) } & { = M w _ { \delta } ^ { m } ( x ) , \quad x \notin B _ { m } ; } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle \bar { I } _ { \mathrm { e x t } } \rangle } & { { } = } & { \frac { 1 } { \tau } \sum _ { t } ^ { \tau } \bar { I } _ { i , \mathrm { e x t } } ( t ) , } \\ { \langle \bar { I } _ { \mathrm { c o u p } } \rangle } & { { } = } & { \frac { 1 } { \tau } \sum _ { t } ^ { \tau } \bar { I } _ { i , \mathrm { c o u p } } ( t ) . } \end{array}
\varepsilon _ { - } ^ { \mu } \; \; = \; \; \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \; ( \; 0 , \; \cos \phi _ { \gamma } \; + \; i \sin \phi _ { \gamma } , \; \; \sin \phi _ { \gamma } \; - \; i \cos \phi _ { \gamma } , \; 0 \; ) \; .
\phi _ { + } ^ { B } ( l _ { + } ) = \sqrt { \frac { 2 } { \pi \lambda ^ { 2 } } } \frac { l _ { + } ^ { 2 } } { \lambda ^ { 2 } } \exp \left[ - \frac { l _ { + } ^ { 2 } } { 2 \lambda ^ { 2 } } \right] \ , \qquad \phi _ { - } ^ { B } ( l _ { + } ) = \sqrt { \frac { 2 } { \pi \lambda ^ { 2 } } } \exp \left[ - \frac { l _ { + } ^ { 2 } } { 2 \lambda ^ { 2 } } \right] .
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial \langle c _ { k } ^ { s } c _ { k ^ { \prime } } ^ { s ^ { \prime } } \rangle } { \partial t } } & { { } = } & { \left\langle \frac { \partial c _ { k } ^ { s } } { \partial t } c _ { k ^ { \prime } } ^ { s ^ { \prime } } \right\rangle + \left\langle c _ { k } ^ { s } \frac { \partial c _ { k ^ { \prime } } ^ { s ^ { \prime } } } { \partial t } \right\rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde { S } _ { 4 } } & { = \left( \begin{array} { l l } { e ^ { x ^ { 2 } ( g _ { - } ( z ) - g _ { + } ( z ) ) } } & { 0 } \\ { - s _ { 0 } e ^ { 2 \pi i \alpha } } & { e ^ { x ^ { 2 } ( g _ { + } ( z ) - g _ { - } ( z ) ) } } \end{array} \right) } \\ & { = \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { - s _ { 0 } ^ { - 1 } e ^ { - 2 \pi i \alpha } e ^ { 2 x ^ { 2 } g _ { - } ( z ) } } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { s _ { 0 } ^ { - 1 } e ^ { - 2 \pi i \alpha } } \\ { - s _ { 0 } e ^ { 2 \pi i \alpha } } & { 0 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { - s _ { 0 } ^ { - 1 } e ^ { - 2 \pi i \alpha } e ^ { 2 x ^ { 2 } g _ { + } ( z ) } } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } \\ & { = : \widetilde { S } _ { U _ { 1 } } \widetilde { S } _ { P _ { - } } \widetilde { S } _ { U _ { 2 } } , } \end{array}
S _ { f } = \frac { 2 } { \pi } \left( \frac { Z _ { b } e } { v _ { p } } \right) ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d k } { k } \int _ { 0 } ^ { k v _ { p } } d \omega \omega \operatorname { I m } \left( \frac { - 1 } { \varepsilon ( \omega , k ) } \right) ,
\begin{array} { r } { \mathcal { A } : = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right) \qquad \mathrm { ~ a n d ~ } \qquad \mathcal { B } : = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) . } \end{array}
{ \left( \begin{array} { l l l l l l l l } { 1 } & { 2 } & { 3 } & { 4 } & { 5 } & { 6 } & { 7 } & { 8 } \\ { 4 } & { 2 } & { 7 } & { 6 } & { 5 } & { 8 } & { 1 } & { 3 } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l l l l l l l } { 1 } & { 4 } & { 6 } & { 8 } & { 3 } & { 7 } & { 2 } & { 5 } \\ { 4 } & { 6 } & { 8 } & { 3 } & { 7 } & { 1 } & { 2 } & { 5 } \end{array} \right) } = ( 1 \ 4 \ 6 \ 8 \ 3 \ 7 ) ( 2 ) ( 5 ) ,
{ \begin{array} { r l } { \nabla \cdot \mathbf { E } } & { = 0 , } \\ { \nabla \cdot \mathbf { B } } & { = 0 , } \\ { \nabla \times \mathbf { E } } & { = - { \frac { \partial \mathbf { B } } { \partial t } } , } \\ { \nabla \times \mathbf { B } } & { = { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } } { \frac { \partial \mathbf { E } } { \partial t } } . } \end{array} }
\overline { { d } } = \left\lbrace \begin{array} { l l } { \frac { k _ { 2 } } { \sqrt { \rho _ { f } } } } & { \mathrm { ~ i f ~ t h e ~ f l o w e r s ~ g r o w ~ i n ~ a ~ f i e l d , } } \\ { \frac { k _ { 3 } } { \sqrt [ 3 ] { \rho _ { f } } } } & { \mathrm { ~ i f ~ t h e ~ f l o w e r s ~ a r e ~ o n ~ a ~ b u s h ~ o r ~ a ~ t r e e , } } \end{array} \right.
\iota _ { X } \mu \wedge \nu = \eta ( X ) \mu , \qquad \left( \frac { \alpha \wedge \eta } { \eta ( B ) } + \frac { \alpha ( B ) } { \eta ( B ) ^ { 2 } } \iota _ { B } \mu \right) \wedge \eta = \frac { \alpha ( B ) } { \eta ( B ) } \mu ,
\mathcal { P } _ { \mathrm { o d d } } | _ { \overline { { \mathbb { V } } } } \, \bar { f } = \mathcal { S } \bar { \mathcal { A } } _ { \mathrm { o e } } ( f _ { W } - \mathcal { P } _ { \mathrm { e v e n } } | _ { \overline { { \mathbb { V } } } } \, \bar { f } ) ,
\begin{array} { r l r } { ( \nabla _ { k } e _ { k } | _ { | \pmb { \sigma } _ { k } | = 1 } ) ^ { 2 } } & { { } = } & { \mathbf h _ { k } ^ { 2 } - ( \mathbf h _ { k } \pmb { \sigma } _ { k } ) ^ { 2 } , } \end{array}
- \frac { 1 } { 8 } s _ { \mathrm { i m } } \left( 8 s _ { \mathrm { i m } } ^ { 2 } a _ { 3 0 1 0 } + 8 s _ { \mathrm { o b } } a _ { 2 0 0 0 } ( s _ { \mathrm { i m } } a _ { 2 0 0 0 } + 1 ) ( 2 s _ { \mathrm { i m } } a _ { 2 0 0 0 } ( s _ { \mathrm { i m } } a _ { 2 0 0 0 } + 1 ) + 1 ) - 8 s _ { \mathrm { i m } } a _ { 2 0 2 0 } + 1 \right) + s _ { \mathrm { i m } } ^ { 4 } a _ { 4 0 0 0 } - \frac { s _ { \mathrm { o b } } } { 8 }
{ \psi } _ { \mathrm { S M T } } ^ { \mathrm { o u t } } ( \textbf { r } _ { \parallel } , \textbf { k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { o u t } } ) \equiv \sum _ { \textbf { k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { i n } } } e ^ { i ( \textbf { k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { o u t } } - \textbf { k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { i n } } ) \cdot \textbf { r } _ { \parallel } + i \phi _ { \mathrm { i n } } ( \bf k _ { \parallel } ^ { \mathrm { i n } } ) } \Tilde { R } ( \textbf { k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { o u t } } , \textbf { k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { i n } } ; z _ { 0 } ) ,
{ \cal B } _ { 0 } ( p ^ { 2 } , m _ { 1 } ^ { 2 } , m _ { 2 } ^ { 2 } ) = - { \frac { m _ { 2 } ^ { 2 } } { m _ { 1 } ^ { 2 } - m _ { 2 } ^ { 2 } } } \ln { \frac { m _ { 1 } ^ { 2 } } { m _ { 2 } ^ { 2 } } } - \ln { \frac { m _ { 1 } ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } } } + 1
\begin{array} { r l } { a ( \mathbf { J } , \mathbf { v } ) } & { = \frac { \alpha } { \eta } a ^ { \mathcal { E } } ( \mathbf { J } , \mathbf { v } ) + ( 1 - \alpha ) a ^ { \mathcal { M } } ( \mathbf { J } , \mathbf { v } ) , } \\ { b \big ( \mathbf { E } ^ { \mathcal { I } } , \mathbf { H } ^ { \mathcal { I } } , \mathbf { v } \big ) } & { = \frac { \alpha } { \eta } b ^ { \mathcal { E } } \big ( \mathbf { E } ^ { \mathcal { I } } , \mathbf { v } \big ) + ( 1 - \alpha ) b ^ { \mathcal { M } } \big ( \mathbf { H } ^ { \mathcal { I } } , \mathbf { v } \big ) . } \end{array}
\pi _ { * , * } ^ { A ( 2 ) _ { * } } ( \underline { { \mathrm { T M F } _ { 0 } ( 3 ) } } \wedge \underline { { \mathrm { b o } } } _ { 1 } ) \cong \pi _ { * , * } ^ { A ( 2 ) _ { * } } ( \Sigma ^ { 2 4 , 3 } \underline { { \mathrm { T M F } _ { 0 } ( 3 ) } } ) \oplus \pi _ { * , * } ^ { A ( 2 ) _ { * } } ( \Sigma ^ { 4 0 , 6 } \underline { { \mathrm { T M F } _ { 0 } ( 3 ) } } ) .
\begin{array} { r l r } { T _ { j j } ( { \bf k } ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \left[ \left( 1 + \frac { \omega _ { 1 } } { \omega _ { 2 } } \right) \cos \left( \omega _ { j } \tau \right) - i \left( \frac { \omega _ { 1 } } { \omega _ { j } } + \frac { \omega _ { j } } { \omega _ { 2 } } \right) \sin \left( \omega _ { j } \tau \right) \right] , } \\ { R _ { j j } ( { \bf k } ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \left[ \left( 1 - \frac { \omega _ { 1 } } { \omega _ { 2 } } \right) \cos \left( \omega _ { j } \tau \right) - i \left( \frac { \omega _ { 1 } } { \omega _ { j } } - \frac { \omega _ { j } } { \omega _ { 2 } } \right) \sin \left( \omega _ { j } \tau \right) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { { } = \frac { 1 } { \lambda _ { q } } \sum _ { j = 1 } ^ { J } \sum _ { w = 1 } ^ { W } \sum _ { \mathbb { P } _ { q } } \bar { z } _ { j , \mathbb { P } _ { q } , w } - T \sum _ { w = 1 } ^ { W } \alpha _ { w } \sum _ { \mathbb { P } _ { q } } s ( \mathbb { P } _ { q } , E _ { 0 } ^ { w } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \dot { \textbf { p } } = \textbf { F } \left( \mathbf { q } , t \right) - \textbf { Z } \dot { \textbf { q } } + \textbf { f } \left( t \right) } \\ { \dot { \mathbf { q } } = \frac { \partial \mathcal { H } \left( \mathbf { p } , \mathbf { q } , t \right) } { \partial \mathbf { p } } } \\ { \mathbf { p } = \mathbf { M } \dot { \mathbf { q } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \hbar \Delta \omega ( | m _ { F } | = 3 / 2 ) } \\ & { \quad \quad = - \frac { I } { 2 \epsilon _ { 0 } c } \left( \alpha _ { S } ( ^ { 3 } \mathrm { P } _ { 1 } ) + \alpha _ { T } ( ^ { 3 } \mathrm { P } _ { 1 } ) - \alpha _ { S } ( ^ { 1 } \mathrm { S } _ { 0 } ) \right) } \\ & { \hbar \Delta \omega ( | m _ { F } | = 1 / 2 ) } \\ & { \quad \quad = - \frac { I } { 2 \epsilon _ { 0 } c } \left( \alpha _ { S } ( ^ { 3 } \mathrm { P } _ { 1 } ) - \alpha _ { T } ( ^ { 3 } \mathrm { P } _ { 1 } ) - \alpha _ { S } ( ^ { 1 } \mathrm { S } _ { 0 } ) \right) } \end{array}
\dot { \bar { \xi } } = \left\{ \begin{array} { l l } { f _ { 1 } ( \bar { \xi } ) f _ { 2 } ( \mathrm { d } ) R _ { 0 } \left( \exp \left( \frac { - \alpha \mathcal { F } } { R \vartheta } \right) - \exp \left( \frac { ( 1 - \alpha ) \mathcal { F } } { R \vartheta } \right) \right) , } & { \quad \mathrm { i f } \quad 0 < \bar { \xi } < 1 , } \\ { 0 , } & { \quad \mathrm { i f } \quad \bar { \xi } = 1 , } \end{array} \right.
{ { \cal G } ^ { - 1 } } _ { \mu a } ^ { \nu b } \eta _ { \nu b } ^ { \mathrm { T , L } } = \frac { 1 } { 2 } \left( k ^ { 2 } - \Lambda _ { l } + \frac { 1 } { 2 r ^ { 2 } } ( N - 1 ) ( N - 2 ) - \frac { N + d } { N + d - 2 } \Lambda \right) \eta _ { \mu a } ^ { \mathrm { T , L } } ,
( \mathrm { ~ R ~ E ~ T ~ } _ { e f f } ) ^ { i } = \left( 1 + \Gamma _ { r a d , D } ^ { i } \cdot \left[ \sum _ { j } \frac { \Gamma _ { E E T } ^ { i \to j } \cdot \Gamma _ { r a d , A } ^ { j } } { \Gamma _ { r a d , A } ^ { j } + \Gamma _ { n r , m e t , A } ^ { j } + \Gamma _ { n r , 0 , A } } \right] ^ { - 1 } \right) ^ { - 1 } .
\begin{array} { r l } { \mathbf { H } } & { = \left[ \begin{array} { l l l l } { \mathbf { y } _ { 1 } } & { \mathbf { y } _ { 2 } } & { \dots } & { \mathbf { y } _ { m _ { p } } } \\ { \mathbf { y } _ { 2 } } & { \mathbf { y } _ { 3 } } & { \dots } & { \mathbf { y } _ { m _ { p } + 1 } } \\ { \vdots } & { \dots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \mathbf { y } _ { m _ { o } } } & { \mathbf { y } _ { m _ { o } + 1 } } & { \dots } & { \mathbf { y } _ { m _ { o } + m _ { p } - 1 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l l l } { \mathbf { C } \mathbf { B } } & { \mathbf { C } \mathbf { A } \mathbf { B } } & { \dots } & { \mathbf { C } \mathbf { A } ^ { m _ { p } - 1 } \mathbf { B } } \\ { \mathbf { C } \mathbf { A } \mathbf { B } } & { \mathbf { C } \mathbf { A } ^ { 2 } \mathbf { B } } & { \dots } & { \mathbf { C } \mathbf { A } ^ { m _ { p } } \mathbf { B } } \\ { \vdots } & { \dots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \mathbf { C } \mathbf { A } ^ { m _ { o } - 1 } \mathbf { B } } & { \mathbf { C } \mathbf { A } ^ { m _ { o } } \mathbf { B } } & { \dots } & { \mathbf { C } \mathbf { A } ^ { m _ { p } + m _ { o } - 2 } \mathbf { B } } \end{array} \right] , } \end{array}
l _ { c } = \frac { 2 \varepsilon \varepsilon ^ { \prime } } { m ^ { 2 } \omega \zeta } , \quad \zeta = 1 + \gamma ^ { 2 } \vartheta ^ { 2 } , \quad \varepsilon ^ { \prime } = \varepsilon - \omega , \quad \gamma = \frac { \varepsilon } { m } ,
\begin{array} { r c l } { \displaystyle \int _ { \Omega } i _ { h } ( e ^ { \eta _ { h } ( { \boldsymbol x } ) } ) \, \mathrm { d } { \boldsymbol x } } & { = } & { \displaystyle \int _ { \Omega } ( 1 + \eta _ { h } ( { \boldsymbol x } ) ) \, \mathrm { d } { \boldsymbol x } + \sum _ { m = 2 } ^ { \infty } \frac { 1 } { m ! } \int _ { \Omega } i _ { h } ( \eta _ { h } ^ { m } ( { \boldsymbol x } ) ) \mathrm { d } { \boldsymbol x } } \\ & { \le } & { \displaystyle \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { m ! } \int _ { \Omega } \eta _ { h } ^ { m } ( { \boldsymbol x } ) \, \mathrm { d } { \boldsymbol x } } \\ & & { \displaystyle + \sum _ { m = 2 } ^ { \infty } \frac { C m ( m - 1 ) h ^ { 2 } } { m ! } \int _ { \Omega } | \nabla \eta _ { h } ( { \boldsymbol x } ) | ^ { 2 } \eta _ { h } ^ { m - 2 } ( { \boldsymbol x } ) \, \mathrm { d } { \boldsymbol x } } \\ & { = } & { \displaystyle \int _ { \Omega } ( 1 + C h ^ { 2 } | \nabla \eta _ { h } ( { \boldsymbol x } ) | ^ { 2 } ) e ^ { \eta _ { h } ( { \boldsymbol x } ) } \, \mathrm { d } { \boldsymbol x } } \\ & { \le } & { \displaystyle ( 1 + C \| \nabla \eta _ { h } ( { \boldsymbol x } ) \| _ { { \boldsymbol L } ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } ) \int _ { \Omega } e ^ { \eta _ { h } ( { \boldsymbol x } ) } \, \mathrm { d } { \boldsymbol x } . } \end{array}
\int _ { \mathbb R ^ { d } } f ( \boldsymbol x ) \, \mathrm e ^ { - 2 \pi \mathrm i \boldsymbol v \boldsymbol x } \, \mathrm d \boldsymbol x = \hat { f } ( \boldsymbol v ) = \sum _ { j = 1 } ^ { N } w _ { j } f ( \boldsymbol x _ { j } ) \, \mathrm e ^ { - 2 \pi \mathrm i \boldsymbol v \boldsymbol x _ { j } } , \quad \boldsymbol v \in \left[ - \frac M 2 , \frac M 2 \right) ^ { d } .
\begin{array} { r l } { \left\langle z _ { + } \left( \mathbf { k } \right) z _ { - } ^ { * } \left( \mathbf { k } \right) \right\rangle } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \left\langle \left( k ^ { 2 } + m ^ { 2 } \right) \hat { A } \left( \mathbf { k } \right) \hat { A } ^ { * } \left( \mathbf { k } \right) - N ^ { 2 } \hat { \zeta } \left( \mathbf { k } \right) \hat { \zeta } ^ { * } \left( \mathbf { k } \right) \right\rangle + \sqrt { k ^ { 2 } + m ^ { 2 } } N \left\langle \hat { A } \left( \mathbf { k } \right) \hat { \zeta } ^ { * } \left( \mathbf { k } \right) - \hat { \zeta } \left( \mathbf { k } \right) \hat { A } ^ { * } \left( \mathbf { k } \right) \right\rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( i ) } & { t \mapsto \operatorname* { s u p } _ { h > 0 } \frac { { 2 } \sqrt h } { h } \, \mathbb { E } \left[ \Psi ( V _ { t } ) { \| A ^ { 1 } ( X _ { t } ) \| } { \cal H } ( \frac { M _ { t } - X _ { t } ^ { 1 } } { \sqrt h \| A ^ { 1 } ( X _ { t } ) \| } ) \right] \in L ^ { 1 } ( [ 0 , T ] , { \mathbb R } ) , } \\ { ( i i ) } & { \operatorname* { l i m } _ { h \rightarrow 0 ^ { + } } \frac { { 2 } \sqrt h } { h } \, \mathbb { E } \left[ \Psi ( V _ { t } ) { \| A ^ { 1 } ( X _ { t } ) \| } { \cal H } ( \frac { M _ { t } - X _ { t } ^ { 1 } } { \sqrt h \| A ^ { 1 } ( X _ { t } ) \| } ) \right] } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \int _ { { \mathbb R } ^ { d } } \Psi ( m , m , \tilde { x } ) \| A ^ { 1 } ( m , \tilde { x } ) \| { ^ 2 } p _ { V } ( m , m , \tilde { x } ; t ) d m d \tilde { x } } \end{array}
p _ { 0 } ( x , y ) = \sum _ { \nu = 0 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - \bar { \kappa } ( z ) } \frac { \left( \bar { \kappa } ( z ) \right) ^ { x } } { x ! } e ^ { - \bar { \lambda } ( z ) } \frac { \left( \bar { \lambda } ( z ) \right) ^ { y } } { y ! } \frac { e ^ { - \frac { D } { z _ { F } } } } { \nu ! } \left( \frac { D } { z _ { F } } \right) ^ { \nu } f _ { \nu } ( z ) d z \, ,
\mathbf { \bar { h } } _ { e _ { j } } \Theta \bar { \Theta } \mathbf { \tilde { h } } _ { r , k } = \mathbf { a } _ { M } \left( \phi _ { e _ { j } r } ^ { a } , \phi _ { e _ { j } r } ^ { e } \right) \Theta \bar { \Theta } \mathbf { \tilde { h } } _ { r , k } = \stackrel [ m = 1 ] { M } { \sum } a _ { M m } \left( \phi _ { e _ { j } r } ^ { a } , \phi _ { e _ { j } r } ^ { e } \right) e ^ { j \varphi _ { m } } e ^ { j \bar { \varphi _ { m } } } \left[ \tilde { h } _ { r , k } \right] _ { m }
\begin{array} { r } { { \frac { \overline { { n } } ( z ) } { \overline { { n } } _ { 0 } } } = \left( { \frac { \overline { { T } } ( z ) } { \overline { { T } } _ { 0 } } } \right) ^ { - { \frac { \alpha D _ { \mathrm { T } } } { D _ { \mathrm { T } } + D } } } , } \end{array}
Q = [ \frac { 3 6 B ( \phi \rightarrow \pi ^ { - } \pi ^ { + } ) B ( \phi \rightarrow e ^ { - } e ^ { + } ) } { \alpha ^ { 2 } ( 1 - 4 m _ { \pi } ^ { 2 } / m _ { \phi } ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } | F _ { \pi } | ^ { 2 } } ] ^ { 1 / 2 } .
\begin{array} { r l } & { U _ { i } ^ { \mathrm { v } } ( p ) : = \operatorname* { m i n } \{ \hat { \sigma } _ { i } ^ { 2 } ( p ) + \beta _ { \mathrm { u } } ( T _ { i } ( p ) ) , \sigma ^ { 2 } \} \quad \mathrm { a n d } } \\ & { L _ { i } ^ { \mathrm { v } } ( p ) : = \operatorname* { m a x } \{ \hat { \sigma } _ { i } ^ { 2 } ( p ) - \beta _ { \mathrm { l } } ( T _ { i } ( p ) ) , 0 \} } \end{array}
M _ { p l } ^ { 2 } = { \frac { M _ { X } ^ { 3 } } { k } } e ^ { - 2 k y _ { 1 } - 2 c } \left( { \frac { 1 } { 2 } } e ^ { - 2 k ( y _ { 2 } - 2 y _ { 1 } ) } - e ^ { - 2 k ( y _ { 2 } - y _ { 1 } ) } + 1 - { \frac { 1 } { 2 } } e ^ { - 2 k ( \pi \rho - y _ { 2 } ) } \right) ~ . ~ \,
\begin{array} { r } { H _ { t } - v 0 ( \xi / s ) H _ { \xi } + ( 1 / s ) ( U H ) _ { \xi } = 0 , } \\ { ( 4 / s ^ { 2 } ) ( U _ { \xi } H ) _ { \xi } + ( \gamma / 2 s ^ { 3 } ) H H _ { \xi \xi \xi } = 0 , } \\ { H _ { \xi } ( 0 , t ) = 0 , \ \ H _ { \xi } ( 1 , t ) = 0 , } \\ { U ( 0 , t ) = 0 , \ \ U ( 1 , t ) = v _ { 0 } , } \\ { H ( \xi , 0 ) = a + b \cos ( 2 \pi k _ { 0 } x ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { I _ { n , \pm } = I _ { n , 0 } [ 1 \pm \rho _ { 2 1 } \frac { | Q _ { n - 2 N } ( \frac { i \Gamma + \Delta } { \hbar \omega } + 2 N , \frac { U _ { \mathrm { p } } } { \hbar \omega } ) | } { | Q _ { n } ( \frac { i \Gamma + \Delta } { \hbar \omega } , \frac { U _ { \mathrm { p } } } { \hbar \omega } ) | } ] ^ { 2 } , } \end{array}
W _ { \nu \, \sigma } \left( z \right) \approx \frac { \Gamma \left( 2 \sigma \right) } { \Gamma \left( \frac { 1 } { 2 } + \sigma - \nu \right) } \left( z ^ { - \sigma + 1 / 2 } - \frac { 1 } { 2 } z ^ { - \sigma + 3 / 2 } \right) .
H _ { 1 } = \sum _ { j = 0 } ^ { \lambda } { \frac { 2 \Pi ( j ) ^ { 2 } } { 3 \epsilon } } + ( { \frac { 3 } { 2 } } \epsilon ) ^ { 5 / 3 } \, ( \phi ( \lambda , j + 1 ) - \phi ( \lambda , j ) ) ^ { 2 }
A ( t ) = A _ { 0 } \left[ 1 + \frac { \beta _ { 0 } } { 1 + e ^ { \displaystyle - ( t - t _ { \beta } ) / \tau _ { \beta } } } \right] = \left\{ \begin{array} { l l } { A _ { 0 } , ~ ~ t \ll t _ { \beta } } \\ { A _ { 0 } ( 1 + \beta _ { 0 } ) , ~ ~ t \gg t _ { \beta } } \end{array} \right.
\begin{array} { l } { { n - 2 n _ { 1 } - 1 - 2 ( n _ { 2 } + \cdots + n _ { j } ) - \alpha _ { 1 j - 1 } ^ { ( k - 1 ) } \geq a _ { 1 } ^ { ( j ) } \geq \cdots \geq a _ { n _ { j } - n _ { j + 1 } } ^ { ( j ) } \geq 0 , } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { W ( t ) } \\ { \equiv } & { \int _ { { t _ { 0 } } } ^ { t } { { e ^ { { A ^ { * } } ( t - \tau ) } } { B } \delta ( \tilde { e } ( \tau ) ) } d \tau } \\ { = } & { \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } { \int _ { { t _ { 0 } } } ^ { t } { { L ^ { - 1 } } \left[ { \frac { { { g _ { n - k - 1 } } ( s ) } } { { \Delta ( s ) } } } e ^ { - \tau s } \right] { A ^ { * } } ^ { k } { B } \delta ( \tilde { e } ( \tau ) ) } d \tau } } \\ { = } & { \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } { T ( k , t ) { N _ { 1 } } ( k ) } } \end{array} ,
\mathrm { \hat { \ p i } _ { \ m u , 1 / 2 } = \left[ u ( p _ { 1 } ) \ v a r e p s i l o n _ { \ m u } ( p _ { 2 } ) \right] _ { 1 / 2 } = \frac { i } { \sqrt { 3 } } \ g a m m a _ { 5 } \left( \ g a m m a _ { \ m u } - \frac { P _ { \ m u } } { M } \right) \Psi ( P ) } ,