harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { ( T _ { L } ) _ { i j } ^ { n } } & { = \sum _ { m \neq n } \frac { \langle L _ { m } | \partial _ { k _ { i } } \hat { H } | L _ { n } \rangle \langle L _ { n } | \partial _ { k _ { j } } \hat { H } | L _ { m } \rangle } { { ( E _ { m } ^ { N H } - E _ { n } ^ { N H } ) } ^ { 2 } } , } \\ { ( T _ { R } ) _ { i j } ^ { n } } & { = \sum _ { m \neq n } \frac { \langle R _ { m } | \partial _ { k _ { i } } \hat { H } | R _ { n } \rangle \langle R _ { n } | \partial _ { k _ { j } } \hat { H } | R _ { m } \rangle } { { ( E _ { m } ^ { N H } - E _ { n } ^ { N H } ) } ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { G _ { 1 , \tau } ( z ) = \sum _ { k _ { 2 } } \sum _ { k _ { 3 } } q _ { \tau } \langle H _ { \bot } ( z ) \rangle ^ { k _ { 2 } } \langle H _ { \Delta } ( z ) \rangle ^ { k _ { 3 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { R _ { \alpha \beta } ^ { ( i ) } ( t ) = \frac { 1 } { Z _ { i } } \mathrm { T r } \left[ \hat { S } _ { i \alpha } ( 0 ) \hat { S } _ { i \beta } ( t ) \right] } \\ { = \frac { 1 } { Z _ { i } } \mathrm { T r } \left[ \hat { S } _ { i \alpha } \hat { U } ^ { \dagger } ( t , 0 ) \hat { S } _ { i \beta } \hat { U } ( t , 0 ) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { T _ { i , \sigma } ^ { + } } & { { } = } & { \left( a _ { \sigma } + h \frac { i } { N } \right) ( N - i ) , } \\ { T _ { i , \sigma } ^ { - } } & { { } = } & { \left( a _ { \sigma } + h \frac { N - i } { N } \right) i . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { - 2 h ( z ^ { r } ) ^ { \top } \textstyle \sum _ { \ell = 1 } ^ { m } X ( z ^ { \ell } ) B _ { f } ^ { r } P ^ { r } M _ { f } ^ { r } z ^ { r } + h ^ { 2 } ( z ^ { r } ) ^ { \top } \times } \\ & { \qquad \qquad \Big ( ( \textstyle \sum _ { \ell = 1 } ^ { m } X ( z ^ { \ell } ) B _ { f } ^ { r } ) ^ { \top } P ^ { r } \textstyle \sum _ { \ell = 1 } ^ { m } X ( z ^ { \ell } ) B _ { f } ^ { r } \Big ) z ^ { r } } \\ & { \leq ( z ^ { r } ) ^ { \top } \Big ( h ^ { 2 } ( B _ { f } ^ { r } ) ^ { \top } \textstyle \sum _ { \ell = 1 } ^ { m } X ( z ^ { \ell } ) P ^ { r } \textstyle \sum _ { \ell = 1 } ^ { m } X ( z ^ { \ell } ) B _ { f } ^ { r } } \\ & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ - 2 h ^ { 2 } ( B _ { f } ^ { r } ) ^ { \top } P ^ { r } \textstyle \sum _ { \ell = 1 } ^ { m } X ( z ^ { \ell } ) B _ { f } ^ { r } \Big ) z ^ { r } } \\ & { \leq ( z ^ { r } ) ^ { \top } h ^ { 2 } \Big ( ( B _ { f } ^ { r } ) ^ { \top } \textstyle \sum _ { \ell = 1 } ^ { m } X ( z ^ { \ell } ) P ^ { r } \textstyle \sum _ { \ell = 1 } ^ { m } X ( z ^ { \ell } ) B _ { f } ^ { r } } \\ & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ - ( B _ { f } ^ { r } ) ^ { \top } P ^ { r } \textstyle \sum _ { \ell = 1 } ^ { m } X ( z ^ { \ell } ) B _ { f } ^ { r } \Big ) z ^ { r } } \\ & { = - { z ^ { r } } ^ { \top } h ^ { 2 } \Big ( ( B _ { f } ^ { r } ) ^ { \top } ( I - \textstyle \sum _ { \ell = 1 } ^ { m } X ( z ^ { \ell } ) P ^ { r } \textstyle \sum _ { \ell = 1 } ^ { m } X ( z ^ { \ell } ) B _ { f } ^ { r } \Big ) z ^ { r } \leq 0 , } \end{array}
K _ { N } ^ { ( N _ { f } ) } ( x , y , M ) \ = \ \sqrt { w ^ { ( N _ { f } ) } ( x , M ) w ^ { ( N _ { f } ) } ( y , M ) } \, \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } \frac { ( n + 1 ) \, Z _ { n } ^ { ( N _ { f } ) } ( M ) } { Z _ { n + 1 } ^ { ( N _ { f } ) } ( M ) } p _ { n } ^ { ( N _ { f } ) } ( x , M ) p _ { n } ^ { ( N _ { f } ) } ( y , M ) \ .
\begin{array} { r } { \rho ( x , 0 ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { x \in [ 0 , 0 . 5 ) } \\ { 0 . 1 2 5 } & { x \in [ 0 . 5 , 1 ] } \end{array} \right. , \quad u ( x , 0 ) = 0 , \quad P ( x , 0 ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { x \in [ 0 , 0 . 5 ) } \\ { 0 . 1 } & { x \in [ 0 . 5 , 1 ] } \end{array} \right. \mathrm { ~ . } } \end{array}
\langle \nabla ^ { 2 } \phi \rangle _ { i } = \frac { 2 d i m } { \lambda ^ { 0 } n ^ { 0 } } \sum _ { j \in \mathbb { P } _ { i } } \left[ \left( \phi _ { j } - \phi _ { i } \right) \omega _ { i j } \right] \, ,
\begin{array} { r l } { \textbf { F } _ { i j } ^ { D } } & { { } = - \gamma \omega ^ { D } ( r _ { i j } ) \left( \frac { \textbf { r } _ { i j } } { | r _ { i j } | } \cdot \textbf { v } _ { i j } \right) \frac { \textbf { r } _ { i j } } { | r _ { i j } | } , } \\ { \textbf { F } _ { i j } ^ { R } } & { { } = \sigma \omega ^ { R } ( r _ { i j } ) \zeta \Delta t ^ { - 1 / 2 } \frac { \textbf { r } _ { i j } } { | r _ { i j } | } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { q _ { 1 } } & { = } & { \mathrm { e r f c } \left( \frac { ( x _ { 0 } - \sqrt { T } \alpha ) } { \sqrt { 2 ( \frac { 1 } { 4 } + \xi _ { \mathrm { c h } } + \xi _ { \mathrm { e l e } } ) } } \right) \ \mathrm { a n d } } \\ { q _ { 2 } } & { = } & { \mathrm { e r f c } \left( \frac { ( x _ { 0 } + \sqrt { T } \alpha ) } { \sqrt { 2 ( \frac { 1 } { 4 } + \xi _ { \mathrm { c h } } + \xi _ { \mathrm { e l e } } ) } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbb J _ { 1 } } & { { } \approx } & { \left( \begin{array} { r r r } { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - 1 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) = - \, \mathbb O _ { 3 1 } , } \\ { \mathbb J _ { 2 } } & { { } \approx } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { r r r } { 0 } & { - 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { - 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right) = - \, \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \, ( \mathbb O _ { 1 2 } + \mathbb O _ { 2 3 } ) , ~ ~ } \\ { \mathbb J _ { 3 } } & { { } \approx } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { r r r } { 0 } & { - 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { - 1 } & { 0 } \end{array} \right) = - \, \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \, ( \mathbb O _ { 1 2 } - \mathbb O _ { 2 3 } ) . } \end{array}
\frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \gamma _ { \mu } ^ { 2 } ( s ) } = \operatorname * { l i m } _ { \epsilon \rightarrow 0 } \int _ { - \epsilon } ^ { \epsilon } d t \frac { \delta ^ { 2 } } { \delta \gamma _ { \mu } ( s + t / 2 ) \delta \gamma _ { \mu } ( s - t / 2 ) }
\begin{array} { r } { \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq u \leq h } \left| X _ { u + t } ^ { 1 } - X _ { t } ^ { 1 } - X _ { t , u } ^ { 1 } \right| \left[ { \mathbf 1 } _ { \{ \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq u \leq h } ( X _ { u + t } ^ { 1 } - X _ { t } ^ { 1 } ) > M _ { t } - X _ { t } ^ { 1 } \} } + { \mathbf 1 } _ { \{ M _ { t , h } > M _ { t } - X _ { t } ^ { 1 } \} } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { \mathrm { d \cdot E } } ^ { ' } } & { = \hat { T } _ { \bf Q } + \hat { T } _ { \bf r } + V _ { \mathrm { c o u l } } ( \{ { { \bf r } _ { j } , { \bf Q } _ { j } } \} ) + \sum _ { { \boldsymbol k } , { \bf \xi } } \Big ( \hat { U } _ { \mathrm { e l } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { { \boldsymbol k } , { \bf \xi } } ^ { \dagger } \hat { U } _ { \mathrm { e l } } + i \sum _ { u } e \hat { \bf Q } _ { u } \mathcal { A } _ { { \boldsymbol k } , { \boldsymbol \xi } } ^ { * } ( { \bf R } _ { u } ) \Big ) \Big ( \hat { U } _ { \mathrm { e l } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { { \boldsymbol k } , { \boldsymbol { \xi } } } \hat { U } _ { \mathrm { e l } } - i \sum _ { u } e \hat { \bf Q } _ { u } \mathcal { A } _ { { \boldsymbol k } , { \boldsymbol \xi } } ( { \bf R } _ { u } ) \Big ) \omega _ { \boldsymbol k } . } \end{array}
\langle n _ { \mathrm { m o t i o n } } \rangle = \left( \exp \left( \beta _ { \mathrm { V } } \hbar \omega _ { \mathrm { m o t i o n } } \right) - 1 \right) ^ { - 1 } \approx \exp \left( - \beta _ { \mathrm { V } } \hbar \omega _ { \mathrm { m o t i o n } } \right)
\begin{array} { r l r } { p _ { 0 } ( y ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { 9 } - \frac { 1 } { 1 8 } ( 1 + \ln y ^ { 2 } ) + \frac { 1 } { 6 } } \\ { p _ { 1 } ( y ) } & { { } = } & { - \frac { 2 3 7 } { 1 1 0 0 } - \frac { 1 } { 2 4 0 } y ^ { 2 } - \frac { 7 } { 2 4 0 0 } ( 1 + \ln y ^ { 2 } ) } \\ { p _ { 2 } ( y ) } & { { } = } & { \frac { 5 8 9 } { 3 3 0 0 } + \frac { 1 } { 9 } y ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 0 0 } ( 1 + \ln y ^ { 2 } ) } \\ { p _ { 3 } ( y ) } & { { } = } & { \frac { 2 9 2 9 } { 9 0 0 } + \frac { 2 } { 9 } y ^ { 2 } - \frac { 1 } { 4 5 } ( 1 + \ln y ^ { 2 } ) . } \end{array}
P _ { N \beta } ( \theta _ { 1 } , \ldots , \theta _ { N } ) \, d \theta _ { 1 } \cdots d \theta _ { N } = C _ { N \beta } \prod _ { 1 \leq \ell < j \leq N } \left\vert \exp ( i \theta _ { \ell } ) - \exp ( i \theta _ { j } ) \right\vert ^ { \beta } \, d \theta _ { 1 } \cdots d \theta _ { N }
\vec { \mathcal { D } } = \left[ \begin{array} { l } { \vec { D } } \\ { \vec { B } } \end{array} \right] , \, \stackrel { \leftrightarrow } { \alpha } = \left[ \begin{array} { l l } { \stackrel { \leftrightarrow } { \varepsilon } } & { \stackrel { \leftrightarrow } { \nu } } \\ { \stackrel { \leftrightarrow } { \xi } } & { \stackrel { \leftrightarrow } { \mu } } \end{array} \right] , \, \vec { \mathcal { E } } = \left[ \begin{array} { l } { \vec { E } } \\ { \vec { H } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } { \delta [ f ( \mathbf { r } ) ] } & { { } = \operatorname* { l i m } _ { L \rightarrow \infty } \delta ( f ( \mathbf { r } _ { 1 } ) ) \delta ( f ( \mathbf { r } _ { 2 } ) ) \delta ( f ( \mathbf { r } _ { 3 } ) ) \cdots \delta ( f ( \mathbf { r } _ { L } ) ) } \end{array}
\frac { 1 } { 2 } \int d y \, S _ { i j k l } ( x , y ) S ^ { - 1 \, k l m n } ( y , z ) = \left( \begin{array} { c c } { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) \delta _ { i j } ^ { m n } \, \delta ( x - z )
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \langle \mathbf { k } \rangle } & { = \frac { 2 } { \hbar } \langle \mathbf { k } \operatorname { I m } E _ { \pm } ( \mathbf { k } ) \rangle - \frac { 2 } { \hbar } \langle \mathbf { k } \rangle \langle \operatorname { I m } E _ { \pm } ( \mathbf { k } ) \rangle } \\ { \frac { d } { d t } \langle \mathbf { r } \rangle } & { = \frac { 1 } { \hbar } \langle \nabla _ { \mathbf { k } } E _ { \pm } ( \mathbf { k } ) \rangle + \frac { 2 } { \hbar } \langle \operatorname { I m } E _ { \pm } ( \mathbf { k } ) \mathbf { r } \rangle - \frac { 2 } { \hbar } \langle \mathbf { r } \rangle \langle \operatorname { I m } E _ { \pm } ( \mathbf { k } ) \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \varepsilon < \frac { \mu ^ { 2 } } { 2 \left( \rho + 1 \right) } \operatorname* { m i n } \left\{ \frac { 1 } { L _ { g } + 1 } , \frac { 1 } { \rho + 2 } \right\} , } \\ & { \frac { 2 \varepsilon ( \rho + 1 ) } { \mu ^ { 2 } - 2 \varepsilon ( \rho + 1 ) } \le \alpha < \operatorname* { m i n } \left\{ \frac { 1 } { L _ { g } } , \frac { 1 } { \rho + 1 } \right\} . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { 0 } & { \approx f ( \mathbf { a } + \mathbf { v } + \mathbf { w } ) - f ( \mathbf { a } + \mathbf { v } ) - f ( \mathbf { a } + \mathbf { w } ) + f ( \mathbf { a } ) } \\ & { = ( f ( \mathbf { a } + \mathbf { v } + \mathbf { w } ) - f ( \mathbf { a } ) ) - ( f ( \mathbf { a } + \mathbf { v } ) - f ( \mathbf { a } ) ) - ( f ( \mathbf { a } + \mathbf { w } ) - f ( \mathbf { a } ) ) } \\ & { \approx f ^ { \prime } ( \mathbf { a } ) ( \mathbf { v } + \mathbf { w } ) - f ^ { \prime } ( \mathbf { a } ) \mathbf { v } - f ^ { \prime } ( \mathbf { a } ) \mathbf { w } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { \quad _ { 4 } + _ { 2 1 } + _ { 8 } + _ { 3 } + _ { 2 } + _ { 2 } + _ { 3 } } \\ & { = - 2 \delta _ { i , j } \delta ( q > m - n ) \alpha _ { 2 } e _ { p , q } ^ { ( 2 ) } [ - 2 ] + \delta _ { i , j } \delta ( q \leq m - n ) \alpha _ { 1 } e _ { p , q } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] + 2 \delta ( q \leq m - n ) \alpha _ { 2 } \delta _ { i , j } e _ { p , q } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] } \\ & { \quad - \delta _ { i , j } \alpha _ { 2 } e _ { p , q } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] - \delta _ { i , j } e _ { p , q } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] - \delta _ { i , j } \delta ( q \leq m - n ) \alpha _ { 2 } e _ { p , q } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] + \delta _ { i , j } \delta ( q \leq m - n ) ( m - n ) e _ { p , q } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] } \\ & { = - 2 \alpha _ { 2 } \delta ( q > m - n ) \partial W _ { p , q } ^ { ( 1 ) } \delta _ { i , j } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { K _ { X _ { 1 } + \cdots + X _ { m } } ( t ) } & { = \log \operatorname { E } \left[ e ^ { t ( X _ { 1 } + \cdots + X _ { m } ) } \right] } \\ & { = \log \left( \operatorname { E } \left[ e ^ { t X _ { 1 } } \right] \cdots \operatorname { E } \left[ e ^ { t X _ { m } } \right] \right) } \\ & { = \log \operatorname { E } \left[ e ^ { t X _ { 1 } } \right] + \cdots + \log \operatorname { E } \left[ e ^ { t X _ { m } } \right] } \\ & { = K _ { X _ { 1 } } ( t ) + \cdots + K _ { X _ { m } } ( t ) , } \end{array} }
\beta ( r ) _ { N u t } ^ { 2 } = \frac { \lambda \, c \, \, 2 ^ { n } \, r \, ( r - L ) \, L ^ { n } } { ( n + 1 ) ( r + L ) ^ { n } } \, \mathrm { { A p p e l l } } F _ { 1 } [ n + 1 , 2 , - n , n + 2 , 1 - \frac { r } { L } , \frac { L - r } { 2 L } ] .
\begin{array} { r l } { | \operatorname* { l i m } _ { r \to 0 } \Big ( \frac { \partial ( T _ { P } \circ H _ { j } \circ T _ { P } ^ { - 1 } ) _ { 1 } } { \partial x _ { 1 } } } & { \circ T _ { P } ^ { - 1 } \Big ) ( r , \beta ) | } \\ & { = | \frac { \rho _ { i } } { \tilde { \rho } _ { j } \pi } \Big ( \pi \cos ( \beta ) \sin ( \frac { \alpha _ { j } } { \pi } ( \beta - \frac { \pi } { 2 } ) ) - \alpha _ { j } \sin ( \beta ) \cos ( \frac { \alpha _ { j } } { \pi } ( \beta - \frac { \pi } { 2 } ) ) \Big ) | } \\ & { \le \frac { \rho _ { j } } { \tilde { \rho } _ { j } } \beta _ { j } ^ { 1 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { 0 = \nabla _ { \nu } \, T ^ { \nu \mu } = \partial _ { \nu } \, T ^ { \nu \mu } + \Gamma _ { \, \, \, \nu \rho } ^ { \nu } \, T ^ { \rho \mu } + \Gamma _ { \, \, \, \nu \rho } ^ { \mu } \, T ^ { \nu \rho } . } \end{array}
p \colon \mathbf { \mathrm { C R S } } ( \Pi ( X _ { \mathrm { s k } } ) , \mathcal { A } ) \to \mathbf { \mathrm { C R S } } ( \Pi ( Y _ { \mathrm { s k } } \sqcup Z _ { \mathrm { s k } } ) , \mathcal { A } ) \cong \mathbf { \mathrm { C R S } } ( \Pi ( Y _ { \mathrm { s k } } ) , \mathcal { A } ) \times \mathbf { \mathrm { C R S } } ( \Pi ( Z _ { \mathrm { s k } } ) , \mathcal { A } ) ,
\begin{array} { r } { \mathbf { H _ { 0 } } \longleftrightarrow [ \mathbf { W } _ { 1 } ^ { - 1 } ] _ { \mathrm { R T } } } \\ { \mathbf { H _ { 1 } } \longleftrightarrow [ \mathbf { W } _ { 1 } ^ { - 1 } ] _ { \mathrm { R T } } \mathbf { W } _ { \mathrm { T S } } + [ \mathbf { W } _ { 1 } ^ { - 1 } ] _ { \mathrm { R R } } \mathbf { W } _ { \mathrm { R S } } } \\ { \mathbf { H _ { 2 } } \longleftrightarrow \mathbf { W } _ { \mathrm { S T } } [ \mathbf { W } _ { 1 } ^ { - 1 } ] _ { \mathrm { T T } } + \mathbf { W } _ { \mathrm { S R } } [ \mathbf { W } _ { 1 } ^ { - 1 } ] _ { \mathrm { R T } } } \end{array}
\sigma _ { 2 } \sigma _ { 1 } = \sigma _ { 3 } , \quad \sigma _ { 3 } \sigma _ { 2 } = \sigma _ { 1 } , \quad \sigma _ { 3 } \sigma _ { 1 } = \sigma _ { 2 } , \quad \sigma _ { 1 } ^ { 2 } = - \sigma _ { 2 } ^ { 2 } = \sigma _ { 3 } ^ { 2 } = I .
A _ { 2 } ( x , Q ^ { 2 } ) = \frac { 2 \sigma _ { L T } } { \sigma _ { T , \frac { 1 } { 2 } } + \sigma _ { T , \frac { 3 } { 2 } } } = \frac { \gamma \, [ g _ { 1 } ( x , Q ^ { 2 } ) + g _ { 2 } ( x , Q ^ { 2 } ) ] } { F _ { 1 } ( x , Q ^ { 2 } ) } .
M \left( x _ { 1 } , x _ { 2 } , r _ { q } = \frac { m _ { q } ^ { 2 } } { E _ { C M } ^ { 2 } } \right) = x _ { 1 } ^ { 2 } + x _ { 2 } ^ { 2 } - 4 r _ { q } x _ { 3 } - 8 r _ { q } ^ { 2 } - ( 2 r _ { q } + 4 r _ { q } ^ { 2 } ) \left( \frac { 1 - x _ { 2 } } { 1 - x _ { 1 } } + \frac { 1 - x _ { 1 } } { 1 - x _ { 2 } } \right) ~ .
\begin{array} { r l } { E _ { \mathrm { k i n } } } & { = \mathrm { t r } \{ T \, \eta ( \mu - H ) \} } \\ & { = \frac { g } { ( 2 \pi \hbar ) ^ { 3 } } \int ( \mathrm { d } \vec { r } ) \int ( \mathrm { d } \vec { p } ) \, \frac { \vec { p } ^ { 2 } } { 2 m } \, \big [ f ( A ) \big ] _ { W } ( \vec { r } , \vec { p } ) } \\ & { \cong E _ { \mathrm { k i n } } ^ { \mathrm { A i } } = \frac { g } { ( 2 \pi \hbar ) ^ { 3 } } \int ( \mathrm { d } \vec { r } ) \int ( \mathrm { d } \vec { p } ) \frac { \vec { p } ^ { 2 } } { 2 m } \int \mathrm { d } x \, \mathrm { A i } ( x ) \left[ f \big ( \tilde { A } _ { W } \big ) - \frac { \hbar ^ { 2 } ( \boldsymbol { \nabla } ^ { 2 } V ) } { 1 2 m } \frac { D - 1 } { D } f ^ { \prime \prime } \big ( \tilde { A } _ { W } \big ) \right] \, , } \end{array}
A = { \frac { \pi } { 4 } } \sum _ { q \geq 1 } { \frac { 1 } { q ^ { 4 } } } \sum _ { ( p , q ) = 1 \atop 1 \leq p < q } 1 = { \frac { \pi } { 4 } } \sum _ { q \geq 1 } { \frac { \varphi ( q ) } { q ^ { 4 } } } = { \frac { \pi } { 4 } } { \frac { \zeta ( 3 ) } { \zeta ( 4 ) } } ,
\gamma ( g _ { y } ^ { 2 } ( t ^ { \prime } ) ) = B g _ { y } ^ { 2 } ( t ^ { \prime } ) = \frac { B 1 6 \pi ^ { 2 } } { 4 N _ { c } } \frac { \partial \log ( g _ { y } ) } { \partial t ^ { \prime } } - \frac { 8 B } { 4 N _ { c } } \frac { 1 6 \pi ^ { 2 } } { A } \frac { \partial \log ( g _ { 3 } ) } { \partial t ^ { \prime } }
\begin{array} { r l r } { \hat { z } _ { k } ( t ) } & { = } & { - \frac { 1 } { \tau _ { k } } \hat { z } _ { k } ( t ) d t + \frac { n _ { k } } { \tau _ { k } } d \xi _ { ( \frac { \hat { \lambda } ( t ) } { \omega } , \frac { 1 } { \omega + 1 } ) } ^ { N B D } , k = 1 , \cdots , K . } \\ { \hat { \lambda } ( t ) } & { = } & { \nu _ { 0 } + \sum _ { k = 1 } ^ { K } \hat { z } _ { k } ( t ) } \\ { \xi _ { \left( \frac { \hat { \lambda } ( t ) } { \omega } , \frac { 1 } { \omega + 1 } \right) } ^ { N B D } ( t ) } & { = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { \hat { N } ( t ) } m _ { i } \delta ( t - \hat { t } _ { i } ) . } \end{array}
S _ { p } = \frac { \overline { { p ^ { 3 } } } } { ( \overline { { p ^ { 2 } } } ) ^ { 3 / 2 } } \, \, , \, \, \, \, \, F _ { p } = \frac { \overline { { p ^ { 4 } } } } { ( \overline { { p ^ { 2 } } } ) ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { \big ( \mathcal { R } ^ { ( m , n ) } f - \mathcal { R } ^ { ( m + 1 , n ) } f \big ) ( x ) } & { = \int \big ( \mathcal { R } ^ { ( m , m ) } f - \mathcal { R } ^ { ( m + 1 , m + 1 ) } f \ast \tilde { \rho } ^ { ( m ) } \big ) ( y ) { \rho } _ { x } ^ { ( m - 1 , n ) } ( y ) d y } \\ & { = \int \big ( \Pi _ { y } f ( y ) \ast \tilde { \varphi } ^ { ( m ) } - \mathcal { R } ^ { ( m + 1 , m + 1 ) } f \ast \tilde { \rho } ^ { ( m ) } \big ) ( y ) { \rho } _ { x } ^ { ( m - 1 , n ) } ( y ) d y } \\ & { = \int \Big ( \big ( \Pi _ { y } f ( y ) \ast \tilde { \varphi } ^ { ( m + 1 ) } - \mathcal { R } ^ { ( m + 1 , m + 1 ) } f \big ) \ast \tilde { \rho } ^ { ( m ) } \Big ) ( y ) { \rho } _ { x } ^ { ( m - 1 , n ) } ( y ) d y } \\ & { = \int \int \big ( \Pi _ { y } f ( y ) \ast \tilde { \varphi } ^ { ( m + 1 ) } - \mathcal { R } ^ { ( m + 1 , m + 1 ) } f \big ) ( z ) { \rho } _ { y } ^ { ( m ) } ( z ) d z { \rho } _ { x } ^ { ( m - 1 , n ) } ( y ) d y } \\ & { = \int \int \big ( \Pi _ { y } f ( y ) \ast \tilde { \varphi } ^ { ( m + 1 ) } - \Pi _ { z } f ( z ) \ast \tilde { \varphi } ^ { ( m + 1 ) } \big ) ( z ) { \rho } _ { y } ^ { ( m ) } ( z ) d z { \rho } _ { x } ^ { ( m - 1 , n ) } ( y ) d y } \\ & { = \int \int \langle \Pi _ { y } f ( y ) - \Pi _ { z } f ( z ) , { \varphi } _ { z } ^ { ( m + 1 ) } \rangle { \rho } _ { y } ^ { ( m ) } ( z ) d z { \rho } _ { x } ^ { ( m - 1 , n ) } ( y ) d y \ . } \end{array}
U = \frac { 2 { ( F c o s \beta + P s i n \beta ) } ^ { 2 } \frac { L } { 2 } } { 2 E _ { s } A } + 2 \int _ { 0 } ^ { \frac { L } { 2 } } \frac { ( x { ( F s i n \beta - P c o s \beta ) } ) ^ { 2 } } { 2 E _ { s } I } \, d x
\begin{array} { r l } & { \partial _ { \zeta } g _ { \mathrm { b r u s h } } ( \zeta _ { \mathrm { d } } ) \Delta \zeta + \partial _ { \zeta \zeta } g _ { \mathrm { b r u s h } } ( \zeta _ { \mathrm { d } } ) \frac { ( \Delta \zeta ) ^ { 2 } } { 2 } } \\ & { = - \partial _ { \zeta } \gamma _ { \mathrm { b l } } ( \zeta _ { \mathrm { d } } ) \Delta \zeta - \partial _ { \zeta \zeta } \gamma _ { \mathrm { b l } } ( \zeta _ { \mathrm { d } } ) \frac { ( \Delta \zeta ) ^ { 2 } } { 2 } + \gamma _ { \mathrm { b l } } ( \zeta _ { \mathrm { d } } ) \frac { \theta _ { \mathrm { B L } } ^ { 2 } } { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { T _ { 2 } = } & { { } \int _ { \Sigma } \frac { \delta \bar { \mathcal { F } } } { \delta \Sigma } \wedge \ast \boldsymbol { n } ( d \phi ) + ( - 1 ) ^ { n } \int _ { \partial \Omega } \langle d N _ { \phi } ( \frac { \delta \bar { \mathcal { F } } } { \delta \phi _ { \partial } } ) , \delta N _ { \beta } ( \omega ) \rangle _ { \Lambda ^ { 1 } } i _ { \mathcal { N } } ( u ^ { \prime } ) v _ { \Sigma } } \\ { = } & { { } \int _ { \Sigma } \frac { \delta \bar { \mathcal { F } } } { \delta \Sigma } \wedge \ast \boldsymbol { n } ( d \phi ) + ( - 1 ) ^ { n } \int _ { \Omega } d N _ { \phi } ( \frac { \delta \bar { \mathcal { F } } } { \delta \phi _ { \partial } } ) \wedge \ast \delta \big ( \delta N _ { \beta } ( \omega ) \wedge u ^ { \prime } \big ) } \\ { = } & { { } \int _ { \Sigma } \frac { \delta \bar { \mathcal { F } } } { \delta \Sigma } \wedge \ast \boldsymbol { n } ( d \phi ) + ( - 1 ) ^ { n } \int _ { \Omega } \ast d N _ { \phi } ( \frac { \delta \bar { \mathcal { F } } } { \delta \phi _ { \partial } } ) \wedge [ \delta N _ { \beta } ( \omega ) , u ^ { \prime } ] _ { 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \xi _ { \pi } = } & { T _ { \Lambda } \overrightarrow { \ltimes } \xi = T _ { \Lambda } \overrightarrow { \ltimes } ( y \otimes \mathbf { 1 } _ { \alpha } ) } \\ { = } & { ( T _ { \Lambda } \otimes I _ { \alpha } ) ( y \otimes \mathbf { 1 } _ { \alpha } ) } \\ { = } & { T _ { \Lambda } y \otimes \mathbf { 1 } _ { \alpha } } \\ { = } & { y _ { \pi } \otimes \mathbf { 1 } _ { \alpha } . } \end{array}
\rho _ { * } ( \lambda ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \sum _ { j = 1 } ^ { N ( i ) } ( - 1 ) ^ { j + 1 } \rho _ { j } ( \lambda ) } & { \mathrm { ~ i f ~ N ( i ) ~ i s ~ o d d } , } \\ { \displaystyle \sum _ { j = 1 } ^ { N ( i ) } ( - 1 ) ^ { j + 1 } \rho _ { j } ( \lambda ) + 1 } & { \mathrm { ~ i f ~ N ( i ) ~ i s ~ e v e n } . } \end{array} \right.
q _ { 0 } \, = \, 1 _ { [ 2 \times 2 ] } \, , q _ { j } \, = \, - i \, \tau _ { j } \, \Longleftrightarrow \, U ( x ) \, = \, { \frac { 1 } { f } } \left( \sigma ( x ) q _ { 0 } + \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \, \pi _ { j } ( x ) \, q _ { j } \right) \, ,
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \rho ^ { 1 } + \mathbf { \nabla } \cdot ( \rho ^ { 1 } \mathbf { u } ^ { 1 } ) = } & { { } \, 0 , } \\ { \rho ^ { 1 } [ \partial _ { t } \mathbf { u } ^ { 1 } + \mathbf { u } ^ { 1 } \cdot \mathbf { \nabla } \mathbf { u } ^ { 1 } ] = } & { { } - \phi \mathbf { \nabla } \cdot \mathbf { \sigma } ^ { t h } + \phi \mathbf { G } + \mathbf { F } ^ { v i s c , 1 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { u } _ { k } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \mathbf { v } _ { k } ^ { + } - \mathbf { v } _ { k } ^ { - } - \mathbf { u } _ { 0 } d _ { k } - \mathbf { u } _ { \frac { 1 } { 2 } } d _ { k - \frac { 1 } { 2 } } - \mathbf { u } _ { k - \frac { 1 } { 2 } } d _ { \frac { 1 } { 2 } } - \mathbf { W } ^ { k - 1 } | _ { \rho = + \infty } } { d _ { \Gamma } } } & { \ \mathrm { ~ o ~ n ~ } \Gamma ( 3 \delta ) \setminus \Gamma , } \\ { \mathbf { n } \cdot \nabla \big ( \mathbf { v } _ { k } ^ { + } - \mathbf { v } _ { k } ^ { - } - \mathbf { u } _ { 0 } d _ { k } - \mathbf { u } _ { \frac { 1 } { 2 } } d _ { k - \frac { 1 } { 2 } } - \mathbf { u } _ { k - \frac { 1 } { 2 } } d _ { \frac { 1 } { 2 } } - \mathbf { W } ^ { k - 1 } | _ { \rho = + \infty } \big ) } & { \ \mathrm { ~ o ~ n ~ } \Gamma . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { ( 3 ) } & { \sum _ { a + b = 1 } ^ { n } \frac { \partial ^ { a + b } g _ { \delta } } { \partial x ^ { a } \partial y ^ { b } } \sum _ { I , J } c _ { I , J } A ^ { a - | I | } B ^ { b - | J | } \sum _ { i _ { k } \neq 0 } \cdots i _ { k } ( \frac { \partial A } { \partial u } ) ^ { i _ { k } - 1 } ( \frac { \partial A } { \partial u } ) ^ { i _ { k + 1 } + 1 } \cdots } \\ & { } & { + \sum _ { a + b = 1 } ^ { n } \frac { \partial ^ { a + b } g _ { \delta } } { \partial x ^ { a } \partial y ^ { b } } \sum _ { I , J } c _ { I , J } A ^ { a - | I | } B ^ { b - | J | } \sum _ { j _ { k } \neq 0 } \cdots j _ { k } ( \frac { \partial B } { \partial u } ) ^ { j _ { k } - 1 } ( \frac { \partial B } { \partial u } ) ^ { j _ { k + 1 } + 1 } \cdots , } \end{array}