harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathbb E [ \Vert Z \Vert ^ { 4 } ] } & { = \mathbb E \left[ \left( ( W ^ { \top } \Sigma ^ { 1 / 2 } + \mu ^ { \top } ) ( \Sigma ^ { 1 / 2 } W + \mu ) \right) ^ { 2 } \right] } \\ & { = \mathbb E \left[ \left( \Vert W \Vert _ { \Sigma } ^ { 2 } + 2 W ^ { \top } \Sigma ^ { 1 / 2 } \mu + \Vert \mu \Vert ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \right] } \\ & { = \mathbb E \left[ \Vert W \Vert _ { \Sigma } ^ { 4 } + \mu ^ { \top } \Sigma ^ { 1 / 2 } W W ^ { \top } \Sigma ^ { 1 / 2 } \mu + \Vert \mu \Vert ^ { 4 } + 2 \Vert W \Vert _ { \Sigma } ^ { 2 } \Vert \mu \Vert ^ { 2 } \right] } \\ & { = \operatorname { t r } ( \Sigma ) ^ { 2 } + 2 \operatorname { t r } ( \Sigma ^ { 2 } ) + \Vert \mu \Vert _ { \Sigma } ^ { 2 } + \Vert \mu \Vert ^ { 4 } + 2 \operatorname { t r } ( \Sigma ) \Vert \mu \Vert ^ { 2 } } \\ & { \le \operatorname { t r } ( \Sigma ) ^ { 2 } + 2 \operatorname { t r } ( \Sigma ^ { 2 } ) + \Vert \mu \Vert ^ { 4 } + 3 \operatorname { t r } ( \Sigma ) \Vert \mu \Vert ^ { 2 } } \\ & { \le 1 . 5 ( \operatorname { t r } ( \Sigma ) + \Vert \mu \Vert ^ { 2 } ) ^ { 2 } + 1 . 5 \operatorname { t r } ( \Sigma ) ^ { 2 } } \\ & { \le 3 ( \mathbb E [ \Vert Z \Vert ^ { 2 } ] ) ^ { 2 } , } \end{array}
T _ { 0 } ( x ^ { 7 } ) = \left( \begin{array} { c c } { { T _ { 0 } ( x ^ { 7 } ) 1 _ { 4 \times 4 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - T _ { 0 } ( x ^ { 7 } ) 1 _ { 4 \times 4 } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l r } { G _ { j } ^ { I ^ { \prime } , I } = \langle I ^ { \prime } , j | \Delta V ( R , \omega , r ) | I , j \rangle } & { = } & { \langle I ^ { \prime } , j | \hat { R } ^ { - 1 } [ \hat { R } \Delta V ( R , \omega , r ) \hat { R } ^ { - 1 } ] \hat { R } | I , j \rangle } \\ & { = } & { \langle I ^ { \prime } , j | \hat { R } ^ { - 1 } [ \Delta V ( R , \omega , r ) ] \hat { R } | I , j \rangle , } \end{array}
+ { \tilde { d } } ( q - 1 ) ( a _ { 1 } b _ { 2 } + a _ { 2 } b _ { 1 } ) + r ( q - 1 ) ( a _ { 2 } f _ { 1 } + a _ { 1 } f _ { 2 } ) + r { \tilde { d } } ( f _ { 1 } b _ { 2 } + f _ { 2 } b _ { 1 } ) + \frac { \phi _ { 1 } \phi _ { 2 } } { 2 } = 0 ;
C _ { A B } = \left( \mu _ { A B } + \frac { \delta _ { A B } } { | \vec { x } _ { A } | } + \frac { 1 } { | \sum _ { E = 1 } ^ { n + 1 } \vec { x } _ { E } - 2 \pi \vec { \zeta } / l \; | } \right) .
\begin{array} { r l } { \| I _ { d } - \mathbb { B } ( I _ { d } + \sum _ { \alpha \in J _ { \mathbb { G } } } \mathbb { v } _ { \alpha } \mathbb { K } _ { \alpha } ^ { * } ) \| _ { 2 } } & { = \| I _ { d } - ( I _ { d } + \mathbb { B } _ { \Omega _ { 0 } } ) ( I _ { d } + \sum _ { \alpha \in J _ { \mathbb { G } } } \mathbb { v } _ { \alpha } \mathbb { K } _ { \alpha } ^ { * } ) \| _ { 2 } } \\ & { = \| \mathbb { B } _ { \Omega _ { 0 } } ( I _ { d } + \sum _ { \alpha \in J _ { \mathbb { G } } } \mathbb { v } _ { \alpha } \mathbb { K } _ { \alpha } ^ { * } ) + \sum _ { \alpha \in J _ { \mathbb { G } } } \mathbb { v } _ { \alpha } \mathbb { K } _ { \alpha } ^ { * } \| _ { 2 } . } \end{array}
\sigma ( \psi ) \equiv \left( \begin{array} { c c } { { \frac { ( | a | ^ { 2 } - | b | ^ { 2 } ) } { 2 } } } & { { a \overline { { { b } } } } } \\ { { b \overline { { { a } } } } } & { { \frac { ( | b | ^ { 2 } - | a | ^ { 2 } ) } { 2 } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { \alpha L _ { g } } \log \Big ( \frac { 1 } { r } \Big ) < N _ { 0 , g } < \frac { 1 } { \alpha L _ { g } } \frac { 1 + e ^ { - T _ { \mathrm { ~ r ~ t ~ } } / T _ { 1 } } } { 1 - e ^ { - T _ { \mathrm { ~ r ~ t ~ } } / T _ { 1 } } } \ \log \Big ( \frac { 1 } { r } \Big ) , } \end{array}
\begin{array} { l c r } { { S } } & { { = { \frac { m } { 4 \pi } } \int _ { M } { d ^ { 3 } x } a _ { \mu } \partial _ { \nu } a _ { \rho } \epsilon ^ { \mu \nu \rho } } } \\ { { } } & { { = { \frac { m } { 4 \pi } } \int _ { M } { d ^ { 3 } y } b _ { \mu } \partial _ { \nu } b _ { \rho } \epsilon ^ { \mu \nu \rho } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \alpha _ { 0 } } { m } = \frac { 1 } { 8 } + o \left( \frac { 1 } { m } \right) } \\ { \frac { \alpha _ { 1 } } { m } = o \left( \frac { 1 } { m } \right) } \\ { \frac { \alpha _ { 2 } } { m } = o \left( \frac { 1 } { m } \right) } \\ { \frac { \alpha _ { 3 } } { m } = - \frac { 1 } { 2 } + o \left( \frac { 1 } { m } \right) , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \medskip \sigma _ { 1 1 } = b ^ { 2 } ( n - k ) ^ { 2 H } } \\ { \medskip \sigma _ { 2 2 } = b ^ { 2 } ( j - i ) ^ { 2 H } } \\ { \medskip \sigma _ { 1 2 } = \frac { b ^ { 2 } } { 2 } \left( | i - n | ^ { 2 H } + | j - k | ^ { 2 H } - | i - k | ^ { 2 H } - | j - n | ^ { 2 H } \right) . } \end{array} \right.
\left\lbrace \begin{array} { r l } { \gamma _ { \mathbf { b } } } & { { } = \sum _ { \eta = 1 } ^ { N _ { \mathrm { ~ n ~ u ~ c ~ l ~ } } } \, b _ { \eta } \, \alpha _ { \eta } } \\ { { \mathbf { R } _ { \mathbf { b } } } } & { { } = \frac { 1 } { \gamma _ { \mathbf { b } } } \sum _ { \eta = 1 } ^ { N _ { \mathrm { ~ n ~ u ~ c ~ l ~ } } } \, b _ { \eta } \, \alpha _ { \eta } \, { \mathbf { R } _ { \eta } } } \\ { K _ { \mathbf { b } } } & { { } = ( - 1 ) ^ { \sum _ { \eta } b _ { \eta } } \, \exp \left( - \frac { 1 } { \gamma _ { \mathbf { b } } } \sum _ { \eta < \delta } \, b _ { \eta } \, \alpha _ { \eta } \, b _ { \delta } \, \alpha _ { \delta } \, \big | { \mathbf { R } _ { \eta } } - { \mathbf { R } _ { \delta } } \big | ^ { 2 } \right) \mathrm { ~ . ~ } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \footnotesize } & { } & { r _ { 1 } \equiv - \frac { 1 } { \mathrm { J _ { 0 } } ^ { 2 } ( l _ { q } ) } \left[ \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \left\{ \left( - \zeta _ { m , q } ^ { ( 4 ) } ( \mu _ { 1 q } ( T _ { 2 } ) , \nu _ { 1 q } ( T _ { 2 } ) ) + \frac { 1 } { 2 } \left( \alpha _ { m , q } ^ { 2 } - \alpha _ { m , q } \right) \xi _ { m , q } ^ { ( 3 ) } ( \mu _ { 1 q } ( T _ { 2 } ) , \nu _ { 1 q } ( T _ { 2 } ) ) \right) \mathcal { I } _ { 0 - q , 0 - m , 0 - j } \right. \right. } \\ & { } & { \left. + \frac { 1 } { 2 } \alpha _ { m , q } \zeta _ { m , q } ^ { ( 5 ) } ( \mu _ { 1 q } ( T _ { 2 } ) , \nu _ { 1 q } ( T _ { 2 } ) ) \mathcal { I } _ { 1 - q , 1 - m , 0 - j } \right\} \Bigg ] } \\ & { } & { r _ { 2 } \equiv - \frac { 1 } { \mathrm { J _ { 0 } } ^ { 2 } ( l _ { q } ) } \left[ \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \left\{ \left( \zeta _ { m , q } ^ { ( 3 ) } ( \mu _ { 1 q } ( T _ { 2 } ) , \nu _ { 1 q } ( T _ { 2 } ) ) + \frac { 1 } { 2 } \left( \alpha _ { m , q } ^ { 2 } - \alpha _ { m , q } \right) \xi _ { m , q } ^ { ( 4 ) } ( \mu _ { 1 q } ( T _ { 2 } ) , \nu _ { 1 q } ( T _ { 2 } ) ) \right) \mathcal { I } _ { 0 - q , 0 - m , 0 - j } \right. \right. } \\ & { } & { \left. + \alpha _ { m , q } \bigg ( \zeta _ { m , q } ^ { ( 5 ) } ( \mu _ { 1 q } ( T _ { 2 } ) , \nu _ { 1 q } ( T _ { 2 } ) ) - \frac { 1 } { 2 } \zeta _ { m , q } ^ { ( 3 ) } ( \mu _ { 1 q } ( T _ { 2 } ) , \nu _ { 1 q } ( T _ { 2 } ) ) \bigg ) \mathcal { I } _ { 1 - q , 1 - m , 0 - j } \right\} \Bigg ] } \\ & { } & { r _ { 3 } \equiv \frac { 1 } { \mathrm { J _ { 0 } } ^ { 2 } ( l _ { q } ) } \left[ \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \left\{ \left( - \zeta _ { m , q } ^ { ( 3 ) } ( \mu _ { 1 q } ( T _ { 2 } ) , \nu _ { 1 q } ( T _ { 2 } ) ) - \frac { 1 } { 2 } \left( \alpha _ { m , q } ^ { 2 } - \alpha _ { m , q } \right) \xi _ { m , q } ^ { ( 4 ) } ( \mu _ { 1 q } ( T _ { 2 } ) , \nu _ { 1 q } ( T _ { 2 } ) ) \right) \mathcal { I } _ { 0 - q , 0 - m , 0 - j } \right. \right. } \\ & { } & { \left. + \alpha _ { m , q } \bigg ( \zeta _ { m , q } ^ { ( 5 ) } ( \mu _ { 1 q } ( T _ { 2 } ) , \nu _ { 1 q } ( T _ { 2 } ) ) + \frac { 1 } { 2 } \zeta _ { m , q } ^ { ( 3 ) } ( \mu _ { 1 q } ( T _ { 2 } ) , \nu _ { 1 q } ( T _ { 2 } ) ) \bigg ) \mathcal { I } _ { 1 - q , 1 - m , 0 - j } \right\} \Bigg ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \langle \hat { A } ( \psi ) \rangle } & { = \frac { d } { d t } \langle \psi | \hat { A } ( \psi ) \psi \rangle } \\ & { = \langle \dot { \psi } | \hat { A } ( \psi ) \psi \rangle + \left\langle \psi \left\vert \frac { d \hat { A } ( \psi ) } { d t } \psi \right. \right\rangle + \langle \psi | \hat { A } ( \psi ) \dot { \psi } \rangle } \\ & { = i \hbar ^ { - 1 } \langle \psi | \hat { H } _ { \mathrm { e f f } } ( \psi ) \hat { A } ( \psi ) \psi \rangle + \langle d \hat { A } ( \psi ) / d t \rangle } \\ & { ~ ~ ~ - i \hbar ^ { - 1 } \langle \psi | \hat { A } ( \psi ) \hat { H } _ { \mathrm { e f f } } ( \psi ) \psi \rangle } \\ & { = \langle d \hat { A } ( \psi ) / d t \rangle - i \hbar ^ { - 1 } \langle \lbrack \hat { A } ( \psi ) , \hat { H } _ { \mathrm { e f f } } ( \psi ) ] \rangle , } \end{array}
\frac { m _ { T _ { 2 } } } { M _ { G } } \simeq \frac { m _ { d _ { 1 } } m _ { d _ { 2 } } m _ { d _ { 3 } } } { m _ { t _ { 1 } } m _ { t _ { 2 } } m _ { t _ { 3 } } } ~ .
\begin{array} { r l } { G _ { i } ( \mathbf { r } _ { 1 } ) = } & { { } \left( \frac { B _ { i } + B _ { 0 } } { 2 } \right) ^ { 3 / 2 } } \\ { \Phi \left( a , b , r \right) = } & { { } \exp \left[ - \left( a + b \right) r ^ { 2 } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac \epsilon 2 \mathbb E \left[ \sum _ { t = 1 } ^ { \mathcal T _ { 1 } } \lVert \mathbf Q _ { t - 1 } \rVert _ { 1 } \right] } & { \le \left[ \frac { ( K + 1 ) M ^ { 2 } } 2 + ( K M ^ { 2 } + \epsilon K M ) C _ { W } + 3 K M ^ { 2 } m _ { 0 } + 6 M ^ { 2 } \right] \mathbb E [ \mathcal T _ { 2 } ] } \\ & { \le \left[ \frac { ( K + 1 ) M ^ { 2 } } 2 + ( K M ^ { 2 } + \epsilon K M ) C _ { W } + 3 K M ^ { 2 } m _ { 0 } + 6 M ^ { 2 } \right] \cdot 5 T . } \end{array}
I _ { A B } = \frac { 1 } { 4 } \int \frac { d \omega } { 2 \pi } \mathrm { T r } _ { \gamma \lambda _ { c } } { \frac { 1 } { i \omega + H } \lambda _ { A } \frac { 1 } { i \omega + H } \lambda _ { B } } .
\begin{array} { r l } & { \sum _ { \mathbf { k } \in \mathbb { Z } ^ { d } } \| { \cal A } _ { \mathbf { j } , \mathbf { k } } \| _ { I , \infty } | \varepsilon _ { \mathbf { j } , \mathbf { k } } ( \omega ) | } \\ & { \leq C _ { 1 } ( \omega ) \sum _ { \mathbf { k } \in \mathbb { Z } ^ { d } } \int _ { 0 } ^ { T } \prod _ { \ell = 1 } ^ { d } \frac { \sqrt { \log ( 3 + | j _ { \ell } | + | k _ { \ell } | ) } } { ( 1 + 2 ^ { j _ { \ell } } T + | 2 ^ { j _ { \ell } } s - k _ { \ell } | ) ^ { 2 } } \, d s } \\ & { \leq C _ { 1 } ( \omega ) \sum _ { \mathbf { k } \in \mathbb { Z } ^ { d } } \int _ { 0 } ^ { T } \prod _ { \ell = 1 } ^ { d } \frac { \sqrt { \log ( 3 + | j _ { \ell } | + | k _ { \ell } | ) } } { ( 1 + 2 ^ { j _ { \ell } } T + | k _ { \ell } | - | 2 ^ { j _ { \ell } } s | ) ^ { 2 } } \, d s } \\ & { \leq C _ { 1 } ( \omega ) T \sum _ { \mathbf { k } \in \mathbb { Z } ^ { d } } \frac { \sqrt { \log ( 3 + | j _ { \ell } | + | k _ { \ell } | ) } } { ( 1 + | k _ { \ell } | ) ^ { 2 } } < \infty , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { \xi \in \left( - \frac { \pi } { h } , \frac { \pi } { h } \right) ^ { d } } \sum _ { \zeta \in \frac { 2 \pi } { h } \mathbb { Z } ^ { d } \setminus \{ 0 \} } \frac { | \mathcal { F } [ \Theta _ { h } ] ( \xi + \zeta ) | ^ { 2 } } { M _ { h } ( \xi + \zeta ) ^ { 2 s } | \xi + \zeta | ^ { 2 t - 4 s } } } & { \le C \operatorname* { s u p } _ { \xi \in \left( - \frac { \pi } { h } , \frac { \pi } { h } \right) ^ { d } } \sum _ { \zeta \in \frac { 2 \pi } { h } \mathbb { Z } ^ { d } \setminus \{ 0 \} } \frac { h ^ { 2 s } } { h ^ { 2 k } | \xi + \zeta | ^ { 2 ( t + k - 2 s ) } } } \\ & { \le C \sum _ { \zeta \in \frac { 2 \pi } { h } \mathbb { Z } ^ { d } \setminus \{ 0 \} } \frac { 1 } { h ^ { 2 ( k - s ) } | \zeta | ^ { 2 ( t + k - 2 s ) } } } \\ & { \le C h ^ { 2 ( t - s ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d ^ { 2 } E _ { r } } { d \omega d t } } & { { } \approx } & { \frac { 8 } { 3 } \sqrt { \frac { 2 } { \pi } } \, \frac { Z _ { l } ^ { 2 } \, n _ { e } \, n _ { l } } { \left( k _ { B } T \right) ^ { 2 } } \, \left( \frac { e ^ { 2 } } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } } \right) ^ { 3 } \, \left( \frac { k _ { B } T } { m _ { e } c ^ { 2 } } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb E \left[ \langle \mathbf Q _ { t - 1 } , \mathbf S _ { t } \odot \vec { \theta } _ { t } ^ { \prime } \rangle - Q _ { t - 1 , a _ { t } } S _ { t , a _ { t } } \right] } \\ & { \le T ^ { \frac 1 4 - \frac \delta 2 } M \mathbb E \left[ \sqrt { 8 6 M ^ { 2 } K ^ { 6 } T ^ { \frac 3 2 } + \sum _ { s = 0 } ^ { T - 1 } \lVert \mathbf Q _ { s } \rVert _ { 2 } ^ { 2 } } \right] \cdot \left\{ \left( 1 + C _ { V } \right) \left( 3 \ln T + \ln K \right) + 2 e + 2 \right\} + 2 M ^ { 2 } \cdot \frac { \pi ^ { 2 } } 6 } \\ & { \le ( 2 e + 3 ) \cdot ( 1 + C _ { V } ) T ^ { \frac 1 4 - \frac \delta 2 } ( 3 \ln T + \ln K ) M \mathbb E \left[ \sqrt { 8 6 M ^ { 2 } K ^ { 6 } T ^ { \frac 3 2 } + \sum _ { s = 0 } ^ { T - 1 } \lVert \mathbf Q _ { s } \rVert _ { 2 } ^ { 2 } } \right] + 4 M ^ { 2 } } \\ & { \le 9 ( 1 + C _ { V } ) T ^ { \frac 1 4 - \frac \delta 2 } ( 3 \ln T + \ln K ) M \mathbb E \left[ \sqrt { 8 6 M ^ { 2 } K ^ { 6 } T ^ { \frac 3 2 } + \sum _ { s = 0 } ^ { T - 1 } \lVert \mathbf Q _ { s } \rVert _ { 2 } ^ { 2 } } \right] + 4 M ^ { 2 } . } \end{array}
\mu _ { 1 } = \mu _ { 0 } \, G _ { 1 } + \frac { p _ { \parallel } ^ { 2 } } { B } \, G _ { 2 } + \frac { p _ { \parallel } } { B } \, G _ { 3 } - \frac { 3 \, \mu _ { 0 } \, p _ { \parallel } } { 2 \, B } \, \tau ,
( \rho , u , v , p ) = \left\{ \begin{array} { l l } { ( 8 , 8 . 2 5 \cos \left( \frac { \pi } { 6 } \right) , - 8 . 2 5 \sin \left( \frac { \pi } { 6 } \right) , 1 1 6 . 5 ) , } & { \mathrm { ~ i f ~ } x < \frac { 1 } { 6 } + \frac { y + 2 0 t } { \sqrt { 3 } } } \\ { ( 1 . 4 , 0 , 0 , 1 ) , } & { \mathrm { ~ i f ~ } x > \frac { 1 } { 6 } + \frac { y + 2 0 t } { \sqrt { 3 } } } \end{array} \right.
- T \Delta Z = \Delta E _ { 0 } e ^ { - E _ { 0 } / T } + \Delta E _ { 1 } e ^ { - E _ { 1 } / T } = - { \frac { | \langle 0 | V | 1 \rangle | ^ { 2 } } { | \mathrm { \boldmath ~ p ~ } | } } ( 1 - e ^ { - | \mathrm { \boldmath ~ p ~ } | / T } ) .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \| \nabla f ( x ^ { \mathrm { o u t } } ) \| ^ { 2 } \leq } & { \ O \left( \frac { 1 } { \eta R } \right) + \widetilde O \left( \frac { R G ^ { 2 } d } { T n _ { \mathrm { m i n } } ^ { 2 } P ^ { 2 } \varepsilon _ { \mathrm { D P } } ^ { 2 } } \right) } \\ { = } & { \ O \left( \frac { L + \sqrt { T } L \sigma _ { 2 } \sqrt { d } } { R } \right) + \widetilde O \left( \frac { R G ^ { 2 } d } { T n _ { \mathrm { m i n } } ^ { 2 } P ^ { 2 } \varepsilon _ { \mathrm { D P } } ^ { 2 } } \right) } \\ { = } & { \ O \left( \frac { L } { R } \right) + \widetilde O \left( \frac { \sqrt { T } L \sqrt { d } } { n _ { \mathrm { m i n } } P \varepsilon _ { \mathrm { D P } } \sqrt { R } } + \frac { R G ^ { 2 } d } { T n _ { \mathrm { m i n } } ^ { 2 } P ^ { 2 } \varepsilon _ { \mathrm { D P } } ^ { 2 } } \right) . } \end{array}
\delta d s ^ { 2 } = \delta \eta _ { \mu \nu } d x ^ { \mu } d x ^ { \nu } = \eta _ { \mu \nu } \left( \delta \left( d x ^ { \mu } \right) d x ^ { \nu } + d x ^ { \mu } \delta \left( d x ^ { \nu } \right) \right) = 2 \eta _ { \mu \nu } \delta \left( d x ^ { \mu } \right) d x ^ { \nu } .
\begin{array} { r l } { \frac { I } { \eta ^ { 4 } } } & { \ll \int \left( \int \frac { 1 _ { s \in [ A , ( 1 + \eta ) ^ { 3 } A ] } 1 _ { t / s \in [ D , ( 1 + \eta ) ^ { 3 } D ] } } { s } \d s \right) \left( \int \frac { 1 _ { s \in [ B , ( 1 + \eta ) ^ { 3 } B ] } 1 _ { t / s \in [ C , ( 1 + \eta ) ^ { 3 } C ] } } { s } \d s \right) \d t . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { R } } & { = - \big ( \Lambda _ { 1 } + \Lambda _ { 2 } e ^ { - 2 \lambda } - \Lambda _ { 3 } e ^ { - \lambda } + \Lambda _ { 4 } E _ { 1 } ( \lambda ) + \Lambda _ { 5 } K _ { 0 } ( 2 \lambda ) } \\ & { \quad \left. + \, \Lambda _ { 6 } K _ { 1 } ( 2 \lambda ) + \Lambda _ { 7 } N _ { 0 } ( 2 \lambda ) - \Lambda _ { 8 } N _ { 1 } ( 2 \lambda ) \big ) \middle / \left( 1 6 \lambda ^ { 4 } \right) \right. , } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { \mathrm { m i s } } = } & { H _ { \mathrm { 0 , m i s } } + H _ { \mathrm { I } } , } \\ { H _ { \mathrm { 0 , m i s } } = } & { ~ \omega _ { A } ( \sigma _ { A } ^ { \dagger } \sigma _ { A } + | 3 \rangle \langle 3 | + | 4 \rangle \langle 4 | ) + \omega _ { \mathrm { o p } } a ^ { \dagger } a } \\ { + } & { ~ \omega _ { B } ( \sigma _ { B } ^ { \dagger } \sigma _ { B } + | 2 \rangle \langle 2 | + | 4 \rangle \langle 4 | ) + \omega _ { \mathrm { o p } } b ^ { \dagger } b , } \\ { H _ { \mathrm { I } } = } & { g _ { A } ( a ^ { \dagger } D _ { A } + D _ { A } ^ { \dagger } a ) + g _ { B } ( b ^ { \dagger } D _ { B } + D _ { B } ^ { \dagger } b ) . } \end{array}
\frac { d n _ { i m p } } { d t } - A n _ { i m p } \frac { d \nabla _ { \perp } ^ { 2 } \phi } { d t } - n _ { i m p } g \frac { \partial \phi } { \partial y } = S _ { i } - \nabla _ { \parallel } \cdot ( n _ { i m p } v _ { \parallel _ { i m p } } ) .
\begin{array} { r } { \eta ^ { \mathrm { ~ s ~ } } ( \alpha , t ) = \tilde { \eta } ^ { \mathrm { ~ s ~ } } ( \boldsymbol k \alpha , t ) , \qquad \tilde { \eta } ^ { \mathrm { ~ s ~ } } ( \boldsymbol \alpha , t ) = \sum _ { \boldsymbol { j } \in \mathbb { Z } ^ { d } } \hat { \eta } _ { \boldsymbol { j } } ^ { \mathrm { ~ s ~ } } ( t ) e ^ { i \langle \boldsymbol j , \boldsymbol \alpha \rangle } , } \\ { \eta ^ { \mathrm { ~ b ~ } } ( \alpha , t ) = \tilde { \eta } ^ { \mathrm { ~ b ~ } } ( \boldsymbol k \alpha , t ) , \qquad \tilde { \eta } ^ { \mathrm { ~ b ~ } } ( \boldsymbol \alpha , t ) = \sum _ { \boldsymbol { j } \in \mathbb { Z } ^ { d } } \hat { \eta } _ { \boldsymbol { j } } ^ { \mathrm { ~ b ~ } } ( t ) e ^ { i \langle \boldsymbol j , \boldsymbol \alpha \rangle } , } \end{array}
| J \, M \rangle = \sum _ { m _ { 1 } = - j _ { 1 } } ^ { j _ { 1 } } \sum _ { m _ { 2 } = - j _ { 2 } } ^ { j _ { 2 } } | j _ { 1 } \, m _ { 1 } \, j _ { 2 } \, m _ { 2 } \rangle \langle j _ { 1 } \, m _ { 1 } \, j _ { 2 } \, m _ { 2 } | J \, M \rangle
\ddot { \theta } _ { i } = - \frac { \dot { \theta } _ { i } \delta _ { i } } { \tau _ { \dot { \theta } } \delta _ { 0 } } - \nabla V _ { g } ( \theta _ { i } ) + f _ { \dot { \theta } } ( t ) + \ddot { \theta } _ { \kappa , i } \ .
\begin{array} { r l } { \mathbb E \big [ } & { \big | { \mathcal E } \big ( \Xi _ { \le { \mathcal M } _ { \gamma } } ^ { \scriptscriptstyle \mathrm { i n } } , \Xi _ { \le { \mathcal M } _ { \gamma } } ^ { \scriptscriptstyle \mathrm { o u t } } \big ) \big | \big ] } \\ & { \lesssim \int _ { x _ { u } : \| x _ { u } \| \le r _ { k } } \int _ { x _ { v } : \| x _ { v } \| \ge r _ { k } } \int _ { w _ { u } = 1 } ^ { f _ { \gamma } ( z ( x _ { u } ) ) } \int _ { w _ { v } = 1 } ^ { f _ { \gamma } ( z ( x _ { v } ) ) } \frac { ( \kappa _ { 1 , \sigma } ( w _ { u } , w _ { v } ) ) ^ { \alpha } } { \| x _ { u } - x _ { v } \| ^ { \alpha d } } w _ { u } ^ { - \tau } w _ { v } ^ { - \tau } \mathrm { d } w _ { v } \mathrm { d } w _ { u } \mathrm { d } x _ { v } \mathrm { d } x _ { u } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { \left( \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } } { \mathrm { d } x ^ { 2 } } + ( k ^ { n } ) ^ { 2 } \right) v _ { f , n } ^ { \alpha } = 0 } & { \mathrm { i n ~ } \mathbb { R } \backslash ( D + L \mathbb { Z } ) , } \\ & { v _ { f , n } ^ { \alpha } ( x _ { i } ^ { \pm } ) = f _ { i } ^ { \pm } } & { \mathrm { f o r ~ a l l ~ } 1 \leq i \leq N , } \\ & { v _ { f , n } ^ { \alpha } ( x + L ) = \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \alpha L } v _ { f , n } ^ { \alpha } ( x ) } & { \mathrm { i n ~ } \mathbb { R } \setminus ( D + L \mathbb { Z } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \bar { \varphi } \propto k _ { \parallel } ^ { - 1 } \quad \Rightarrow \quad E _ { \parallel } ^ { \varphi } ( k _ { \parallel } ) \sim E _ { \parallel } ^ { T } ( k _ { \parallel } ) \sim \frac { \bar { \varphi } ^ { 2 } } { k _ { \parallel } } \propto k _ { \parallel } ^ { - 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { g ( \mathbf { c } ) = \sum _ { i = 0 } ^ { m - 1 } \Big [ } & { \big [ ( y _ { i , 1 } + y _ { i , 1 } ^ { \prime } ) a _ { i } + y _ { i , 3 } \big ] N _ { 4 } ( i ) + \big [ 2 ( y _ { i , 2 } a _ { i } + y _ { i , 3 } - y _ { i , 1 } ^ { \prime } ) + 5 y _ { i , \textup { d } } \big ] N _ { 4 } ( i - 1 ) } \\ & { \big [ 4 ( y _ { i , 1 } ^ { \prime } + y _ { i , 3 } ) + 2 y _ { i , \textup { d } } \big ] N _ { 4 } ( i - 2 ) + 4 y _ { i , \textup { d } } N _ { 4 } ( i - 3 ) \Big ] , } \end{array}
\boldsymbol { C } _ { a , b } = - A _ { a , b } e ^ { - \ell \left| k _ { 1 } \right| } \frac { \boldsymbol { \kappa } _ { a , b ; 1 \perp } } { \dot { \boldsymbol { \vartheta } } _ { a , b ; 1 } ^ { T } \boldsymbol { \vartheta } _ { a , b ; 1 \perp } } \quad \mathrm { a n d } \quad B _ { a , b } = - A _ { a , b } e ^ { \ell \left( \left| k _ { 2 } \right| - \left| k _ { 1 } \right| \right) } \frac { \boldsymbol { \vartheta } _ { a , b ; 2 } ^ { T } \boldsymbol { \kappa } _ { a , b ; 1 \perp } } { \dot { \boldsymbol { \vartheta } } _ { a , b ; 1 } ^ { T } \boldsymbol { \vartheta } _ { a , b ; 1 \perp } } .
\begin{array} { r l } { E _ { \varepsilon } [ u ] } & { \geq \int _ { x _ { 1 } } ^ { y _ { 1 } } \left[ \frac { \tilde { Q } ( \varepsilon ^ { 2 } u _ { x } ) } { \varepsilon ^ { 3 } } + \frac { F ( u ) } { \varepsilon } \right] \geq \varepsilon ^ { - 1 } \int _ { u ( x _ { 1 } ) } ^ { u ( y _ { 1 } ) } Q ( \varepsilon ^ { 2 } J _ { \varepsilon } ( F ( s ) ) ) \, d s } \\ & { \geq c _ { \varepsilon } - \varepsilon ^ { - 1 } \int _ { 1 - C \varepsilon ^ { \frac 1 { \theta } } } ^ { 1 } Q ( \varepsilon ^ { 2 } J _ { \varepsilon } ( F ( s ) ) ) \, d s - \varepsilon ^ { - 1 } \int _ { - 1 } ^ { - 1 + C \varepsilon ^ { \frac 1 { \theta } } } Q ( \varepsilon ^ { 2 } J _ { \varepsilon } ( F ( s ) ) ) \, d s . } \end{array}
H = { \frac { p _ { \theta } ^ { 2 } } { 2 I _ { 1 } } } + { \frac { ( p _ { \phi } - p _ { \chi } \cos \theta ) ^ { 2 } } { 2 I _ { 1 } \sin ^ { 2 } \theta } } + { \frac { p _ { \chi } ^ { 2 } } { 2 I _ { 3 } } } ,
\begin{array} { r l } { ( F _ { 1 } , e / f ) } & { : \ensuremath { \Lambda } = 1 , \ \ensuremath { \Omega } = 2 , \ \ensuremath { \Sigma } = + 1 \, ; } \\ { ( F _ { 2 } , e / f ) } & { : \ensuremath { \Lambda } = 1 , \ \ensuremath { \Omega } = 1 , \ \ensuremath { \Sigma } = 0 \, ; } \\ { \mathrm { a n d ~ } ( F _ { 3 } , e / f ) } & { : \ensuremath { \Lambda } = 1 , \ \ensuremath { \Omega } = 0 , \ \ensuremath { \Sigma } = - 1 . } \end{array}
( p _ { 0 } ^ { + } / v _ { 0 ( 2 ) } ) ^ { 2 } - \Sigma ( p _ { k } ^ { + } / v _ { 0 ( 2 ) } ) ^ { 2 } - k _ { e g } ^ { 2 } \Sigma ( P _ { j } ^ { + } / v _ { 0 ( 2 ) } ) ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { e ^ { - \delta m } \exp \Bigl ( \sum _ { k \geq 3 } \frac { ( \beta / \beta _ { \alpha } ) ^ { \alpha k } e ^ { \delta k } } { 2 k } \Bigr ) } & { \leq \frac { ( \beta / \beta _ { \alpha } ) ^ { \alpha m } } { ( 1 - 1 / ( 2 \sqrt { m } ) ) ^ { m } } \exp \Bigl ( \frac { 1 } { 6 ( 1 - ( \beta / \beta _ { \alpha } ) ^ { \alpha } e ^ { \delta } ) } \Bigr ) } \\ & { = ( \beta / \beta _ { \alpha } ) ^ { \alpha m } \exp \Bigl ( - m \ln ( 1 - 1 / ( 2 \sqrt { m } ) ) + \frac { \sqrt { m } } { 3 } \Bigr ) } \\ & { \le ( \beta / \beta _ { \alpha } ) ^ { \alpha m } e ^ { \sqrt { 2 m } } , } \end{array}
\left( \partial _ { t } \tilde { u } _ { n } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } = 4 \tilde { u } _ { n } ^ { 2 } \left( \partial _ { t } \tilde { u } _ { n } \right) ^ { 2 } \leq C _ { 1 } \cdot 2 \tilde { u } _ { n } \left( \partial _ { t } \tilde { u } _ { n } \right) ^ { 2 } = C _ { 1 } \left( \partial _ { t } \tilde { u } _ { n } \right) \left( \partial _ { t } \tilde { u } _ { n } ^ { 2 } \right) .
\frac { \Vert \mathcal Z _ { t } ( u ) \Vert _ { 2 } ^ { 2 } } { d P _ { t } ^ { \mathrm { D i r } } ( u , 0 ) ^ { 2 } } = \frac { 1 } { 4 } \int _ { 0 } ^ { \infty } d \lambda \int _ { 0 } ^ { \infty } d \mu e ^ { \lambda + \mu } \partial _ { \lambda } \partial _ { \mu } \left( \frac { ( u + \mu ) ^ { 2 } - \lambda ^ { 2 } } { u ^ { 2 } } e ^ { - \frac { \lambda ^ { 2 } + \mu ^ { 2 } + 2 \mu u } { t } } \right) .