harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { V _ { \eta } } & { = } & { E _ { l } h _ { \eta } } \\ { V _ { \eta \eta } } & { = } & { - E _ { l } h \eta \frac { 2 \eta _ { 0 } } { \eta _ { 0 } ^ { 2 } - 1 } } \\ { V _ { \eta \xi } } & { = } & { E _ { l } h _ { \eta } \frac { 1 } { \xi _ { 0 } } } \\ { V _ { \eta \eta \eta } } & { = } & { E _ { l } h _ { \eta } \frac { 8 \eta _ { 0 } ^ { 2 } } { ( \eta _ { 0 } ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r } { p = R \rho \theta - \langle \alpha _ { k } p _ { * k } \rangle , } \\ { \rho ( \varepsilon - \varepsilon _ { 0 } ) = \langle \rho _ { k } ( \varepsilon _ { k } - \varepsilon _ { 0 k } ) \rangle = c _ { V } \rho \theta + \langle \alpha _ { k } p _ { * k } \rangle , } \\ { \rho ( \varepsilon - \varepsilon _ { 0 } ) + p = \gamma c _ { V } \rho \theta } \end{array}
\Phi _ { \mu \tau } = ( 3 . 4 1 \pm 0 . 4 5 _ { - 0 . 4 5 } ^ { + 0 . 4 8 } ) \times 1 0 ^ { 6 } \ \mathrm { c m } ^ { - 2 } \mathrm { s } ^ { - 1 } .
V _ { \mathrm { t o p } } = { 3 \o 1 6 \pi ^ { 2 } } \left[ ( h _ { t } ^ { 2 } | H _ { 2 } | ^ { 2 } + M _ { s q } ^ { 2 } ) ^ { 2 } \ln { { ( h _ { t } ^ { 2 } | H _ { 2 } | ^ { 2 } + M _ { s q } ^ { 2 } ) \o Q ^ { 2 } } } - h _ { t } ^ { 4 } | H _ { 2 } | ^ { 4 } \ln { { h _ { t } ^ { 2 } | H _ { 2 } | ^ { 2 } \o Q ^ { 2 } } } \right] ,
{ \omega _ { t } ^ { 2 } \; = \; k ^ { 2 } \; + \; \omega _ { p } ^ { 2 } \; { \frac { 3 \omega _ { t } ^ { 2 } } { 2 v _ { * } ^ { 2 } k ^ { 2 } } } \left( 1 - { \frac { \omega _ { t } ^ { 2 } - v _ { * } ^ { 2 } k ^ { 2 } } { \omega _ { t } ^ { 2 } } } { \frac { \omega _ { t } } { 2 v _ { * } k } } \log { \frac { \omega _ { t } + v _ { * } k } { \omega _ { t } - v _ { * } k } } \right) \; , \quad 0 \leq k < \infty \; , }
\begin{array} { c } { { p \; } } \end{array} \left( \begin{array} { c } { { n } } \\ { { p } } \end{array} \right) \begin{array} { c } { { \longrightarrow } } \end{array} \begin{array} { c } { { p \; n \; M e s o n } } \\ { { p _ { s p } } } \end{array}
\displaystyle \alpha _ { 0 } = \frac { 3 } { 2 } \left( \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } { 3 f _ { 3 , 0 , n } g _ { 3 , 0 , n } } + \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } { f _ { 1 , 0 , n } g _ { 1 , 0 , n } } \right) .
\begin{array} { r l } { V _ { \mathrm { e x a c t } } } & { = 2 L ^ { 3 } - \frac { 4 } { 3 } \pi \left( R _ { f } ^ { 3 } + R _ { 0 } ^ { 3 } \right) + 6 L ^ { 2 } \left( t _ { f } - t _ { 0 } \right) } \\ & { + \frac { 4 } { 3 } \pi \left( \frac { R _ { f } ^ { 3 } - R _ { 0 } ^ { 3 } } { R _ { f } - R _ { 0 } } \right) \sqrt { ( R _ { f } - R _ { 0 } ) ^ { 2 } + ( t _ { f } - t _ { 0 } ) ^ { 2 } } . } \end{array}
_ { 2 } \mathbf { \Gamma } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { p } ) = \frac { J _ { t _ { 0 } } ( \mathbf { p } ) \textup { d e t } ( \mathbf { \nabla } \mathbf { F } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { r } ( \mathbf { p } ) ) ) } { J _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { p } ) } _ { 2 } \mathbf { \Gamma } _ { t _ { 0 } } ( \mathbf { p } ) + \mathbf { B } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { p } ) .
\begin{array} { r l } { \mathcal { Z } _ { K } ( s ) } & { { } = \langle \mathbf { 1 } | P ( s , t ) \rangle \, , } \\ { | P ( s , t ) \rangle } & { { } = \sum _ { k } e ^ { s \, k } | P ( k , t ) \rangle \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { d X _ { t } } & { { } = } & { - ( A ( X _ { t } - m ) ^ { 2 } + \lambda _ { t } ) d t + \sigma d B _ { t } , } \\ { \lambda _ { t } } & { { } = } & { \lambda _ { 0 } ( 1 - \Theta [ t - t _ { 0 } ] ( t - t _ { 0 } ) / \tau _ { r } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { \mathbf { u } , \mathbf { y } } \quad } & { \frac { 1 } { 2 } \| \mathbf { u } _ { \mathrm { s } } - \mathbf { H } _ { \mathbf { u } } \mathbf { u } \| _ { 2 } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \| \mathbf { y } _ { \mathrm { s } } - \mathbf { H } _ { \mathbf { y } } \mathbf { y } \| _ { 2 } ^ { 2 } + \frac { \gamma } { 2 } \| \mathbf { D } \mathbf { y } \| _ { 2 } ^ { 2 } , } \\ { \mathrm { s . t . } \quad } & { \mathbf { l } ( \mathbf { u } , \mathbf { y } ) = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \widetilde { { \mathbf Y } } ( \tau ) } & { = } & { { \mathbf Y } ( \tau ) - \tau \left( \begin{array} { l } { { \mathbf b } _ { c } } \\ { 0 } \end{array} \right) } \\ { \widetilde { { \mathbf U } } ( \widetilde { { \mathbf Y } } , \tau ) } & { = } & { { \mathbf U } \left( { \mathbf Y } + \tau \left( \begin{array} { l } { { \mathbf b } _ { c } } \\ { 0 } \end{array} \right) \right) - \left( \begin{array} { l } { { \mathbf b } _ { c } } \\ { 0 } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { l l } { P _ { \vec { \mathbf { k } } } \approx \frac { m _ { 3 } ^ { k ^ { ( 3 ) } } e ^ { - m _ { 3 } } } { k ^ { ( 3 ) } ! } \delta _ { k ^ { ( 2 , \mathrm { n e s t e d } ) } , 2 k ^ { ( 3 ) } \varepsilon _ { 2 } } \delta _ { k ^ { ( 2 , \mathrm { f r e e } ) } , ( 1 - \varepsilon _ { 2 } ) ( k ^ { ( 3 ) } + m _ { 3 } ) } ~ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \big [ b _ { 0 } , b _ { 1 } , b _ { 2 } , b _ { 3 } \big ] ( m _ { 1 } , m _ { 2 } , q ^ { 2 } ) = \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } } & { { } } \\ { { \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \ln [ - q ^ { 2 } x ( 1 - x ) + x m _ { 1 } ^ { 2 } + } } & { { \! \! \! \! \! ( 1 - x ) m _ { 2 } ^ { 2 } - i \epsilon ] / \mu _ { R } ^ { 2 } \big [ - 1 , x , ( 1 - x ) , x ( 1 - x ) \big ] } } \\ { { \big [ c _ { 0 } , c _ { 1 } \big ] ( m _ { 1 } , m _ { 2 } , m _ { 3 } ) \ = \int d x d y d z \delta ( } } & { { \! \! \! \! \! x + y + z - 1 ) \ln ( \Delta / \mu _ { R } ^ { 2 } ) [ 1 , z ] } } \\ { { \big [ c _ { 2 } , c _ { 3 } , c _ { 4 } , c _ { 5 } , c _ { 6 } , c _ { 7 } \big ] ( m _ { 1 } , m _ { 2 } , m _ { 3 } ) \ = } } & { { } } \\ { { \int d x d y d z \delta ( x + y + z - 1 ) ( \mu _ { R } ^ { 2 } / } } & { { \! \! \! \! \! \Delta ) [ 1 , z , z ^ { 2 } , z ^ { 3 } , x y , x y z ] , } } \end{array}
\mathrm { L i } _ { n } ( - x ) + ( - 1 ) ^ { n } \mathrm { L i } _ { n } \left( - \frac { 1 } { x } \right) = - \frac { 1 } { n ! } \ln ^ { n } ( x ) + 2 \sum _ { r = 1 } ^ { \lfloor \frac { n } { 2 } \rfloor } \frac { \ln ^ { n - 2 r } ( x ) } { ( n - 2 r ) ! } \mathrm { L i } _ { 2 r } ( - 1 ) ,
\begin{array} { r l } { D ( E _ { i ^ { m } } , E _ { j ^ { m } } ) \subset D _ { \mathbb { Q } } ( E _ { i ^ { m } } , E _ { j ^ { m } } ) \cap \mathbb { Z } } & { = D _ { \mathbb { Q } } ( M _ { K _ { \kappa i ^ { m } } } , M _ { K _ { \kappa j ^ { m } } } ) \cap \mathbb { Z } } \\ & { = \{ 0 , ( j / i ) ^ { m } \} \cap \mathbb { Z } \, \mathrm { ~ ( b y ~ L e m m a ~ ) } } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \{ 0 , ( j / i ) ^ { m } \} , } & { \mathrm { ~ i f ~ i | j ~ , } } \\ { \{ 0 \} , } & { \mathrm { ~ i f ~ i { \not | } ~ j ~ . } } \end{array} \right. } \end{array}
\prod _ { \substack { ( a , b , c , d ) = 1 \, a , b , c < d \, a , b , c \geq 0 , d > 0 } } \left( \frac { 1 } { 1 - w ^ { a } x ^ { b } y ^ { c } z ^ { d } } \right) ^ { \frac { 1 } { d } } = \left( \frac { ( 1 - w z ) ( 1 - x z ) ( 1 - y z ) ( 1 - w x y z ) } { ( 1 - z ) ( 1 - w x z ) ( 1 - w y z ) ( 1 - x y z ) } \right) ^ { \frac { 1 } { ( 1 - w ) ( 1 - x ) ( 1 - y ) } } ,
\begin{array} { r l } & { l i m _ { t \rightarrow + \infty } \| ( u , u _ { t } ) - S ( t ) ( u _ { 0 } ^ { + } , u _ { 1 } ^ { + } ) \| _ { H ^ { s } \times H ^ { s - 1 } } = 0 } \\ & { i m _ { t \rightarrow - \infty } \| ( u , u _ { t } ) - S ( t ) ( u _ { 0 } ^ { - } , u _ { 1 } ^ { - } ) \| _ { H ^ { s } \times H ^ { s - 1 } } = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { p } _ { C C } = } & { { } \sum _ { k _ { C } = 0 } ^ { k } { \frac { 2 k _ { C } } { k N } \mathcal { P } \left( \Delta p _ { C C } = \frac { 2 k _ { C } } { k N } \right) } + \sum _ { k _ { C } = 0 } ^ { k } { \left( - \frac { 2 k _ { C } } { k N } \right) \mathcal { P } \left( \Delta p _ { C C } = - \frac { 2 k _ { C } } { k N } \right) } } \\ { = } & { { } ~ \frac { 2 p _ { C D } } { k N } ( 1 - w _ { R } ) [ 1 + ( k - 1 ) ( q _ { C | D } - q _ { C | C } ) ] + \mathcal { O } ( \delta ) . } \end{array}
\left| \overline { { \epsilon } } _ { k } - \mu \right| < \delta _ { k } \Leftrightarrow \left\{ \begin{array} { l l } { E _ { 1 , k } = \overline { { \epsilon } } _ { k } - \delta _ { k } < \mu \qquad \mathrm { i f ~ } \overline { { \epsilon } } _ { k } > \mu } \\ { E _ { 2 , k } = \overline { { \epsilon } } _ { k } + \delta _ { k } > \mu \qquad \mathrm { i f ~ } \overline { { \epsilon } } _ { k } < \mu . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { A } & { { } = \frac { 2 \sqrt \gamma _ { 1 } \, } { \gamma _ { 0 } + \gamma _ { 1 } } \, B , \quad B _ { 1 } = \frac { \gamma _ { 1 } - \gamma _ { 0 } } { \gamma _ { o } + \gamma _ { 1 } } \, B , } \\ { C _ { 1 } } & { { } = \frac { 2 \sqrt { \gamma _ { 0 } \gamma _ { 1 } } } { \gamma _ { 1 } + \gamma _ { 0 } } \, B } \end{array}
\int \, e ^ { - s / M _ { B } ^ { 2 } } \, \mathrm { I m } \Pi ( s ) \, s d s = \frac { 1 } { 8 \pi } \, M _ { B } ^ { 4 } \left[ 1 + \frac { \alpha _ { s } } { \pi } - \frac { 0 . 0 4 } { M _ { B } ^ { 4 } } + \frac { 0 . 0 6 } { M _ { B } ^ { 6 } } \right]
\int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \! \frac { U _ { \varepsilon } ( \mathbf { y } ) - U _ { \varepsilon } ( \mathbf { x } ) } { | \mathbf { x } - \mathbf { y } | ^ { 2 + 2 \alpha } } \, d \mathbf { y } = \operatorname* { l i m } _ { \delta \to 0 ^ { + } } \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } \setminus B _ { \delta } ( \mathbf { y } ) } \! \frac { U _ { \varepsilon } ( \mathbf { y } ) - U _ { \varepsilon } ( \mathbf { x } ) } { | \mathbf { x } - \mathbf { y } | ^ { 2 + 2 \alpha } } \, d \mathbf { y } \, ,
{ T ^ { \prime } } _ { \rho \sigma } ^ { \mu \nu } = \frac { \partial { x ^ { \prime } } ^ { \mu } } { \partial x ^ { \delta } } \frac { \partial { x ^ { \prime } } ^ { \nu } } { \partial x ^ { \epsilon } } \frac { \partial x ^ { \omega } } { \partial x ^ { \rho } } \frac { \partial x ^ { \lambda } } { \partial { x ^ { \prime } } ^ { \sigma } } \, T _ { \omega \lambda } ^ { \delta \epsilon } .
\partial _ { t } X _ { 2 } ( x , t ) = D ~ \partial _ { x x } X _ { 2 } ( x , t ) - \gamma X _ { 2 } ( x , t ) + H ~ \boldsymbol \theta \left( 1 - \sum _ { Y \neq X } \epsilon _ { X Y } Y _ { 2 } ( x , t ) \right) ~ ,
\hat { \mathbb { E } } [ y ^ { ( i ) } \vert \mathbf { x } ^ { ( i ) } = \mathbf { x } ^ { \prime } ] = \frac { \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { i } } y _ { j } ^ { ( i ) } \exp \{ - \frac { 1 } { 2 } \| \hat { R } ( \mathbf { x } ^ { \prime } ) - \hat { R } ( \mathbf { x } _ { j } ^ { ( i ) } ) \| _ { 2 } ^ { 2 } \} } { \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { i } } \exp \{ - \frac { 1 } { 2 } \| \hat { R } ( \mathbf { x } ^ { \prime } ) - \hat { R } ( \mathbf { x } _ { j } ^ { ( i ) } ) \| _ { 2 } ^ { 2 } \} } .
\begin{array} { r l } { \frac { d \alpha } { d t } } & { = - \left( \gamma + i \omega _ { 0 } \right) \alpha + \sqrt { 2 \gamma \left( \sigma + \bar { n } \right) } \zeta ( t ) } \\ { \frac { d \beta } { d t } } & { = - \left( \gamma - i \omega _ { 0 } \right) \beta + \sqrt { 2 \gamma \left( \sigma + \bar { n } \right) } \zeta ^ { * } ( t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Dot { \theta } _ { [ 1 2 ] } = } & { { } - \sigma ^ { \downarrow } \left( \sin ( \theta _ { [ 1 2 ] } + \theta _ { [ 1 3 ] } ) + \sin ( \theta _ { [ 1 2 ] } - \theta _ { [ 2 3 ] } ) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Psi _ { k } ( x ) \geq \Psi _ { k } ( x ^ { k + 1 } ) + \frac { 1 + \alpha _ { k } \lambda } { 2 \alpha _ { k } } \| x ^ { k + 1 } - x \| ^ { 2 } \iff } \\ & { ( 1 + \alpha _ { k } \lambda ) \| x ^ { k + 1 } - x \| ^ { 2 } \leq \| x ^ { k } - x \| ^ { 2 } - \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k } \| ^ { 2 } + 2 \alpha _ { k } \big ( \psi _ { x ^ { k } } ( x ; S _ { k } ) - \psi _ { x ^ { k } } ( x ^ { k + 1 } ; S _ { k } ) \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta f } & { = \frac { \nabla _ { s } ^ { 2 } f } { h _ { s } ^ { 2 } } + \partial _ { \sigma } ^ { 2 } f + \frac { \partial _ { \theta } ^ { 2 } f } { \sigma ^ { 2 } } - \frac { \nabla _ { s } h _ { s } } { h _ { s } ^ { 3 } } \nabla _ { s } f + \left( \mathcal { C } - \mathcal { A } \right) \partial _ { \sigma } f - \frac { \mathcal { B } } { \sigma } \partial _ { \theta } f . } \end{array}
\sigma _ { x } ( t ) \, \sigma _ { p } ( t ) = \sqrt { \left< \left( \hat { x } - \left< \hat { x } \right> _ { t } \right) ^ { 2 } \right> _ { t } } \, \sqrt { \left< \left( \hat { p } - \left< \hat { p } \right> _ { t } \right) ^ { 2 } \right> _ { t } }
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \beta } } & { = ( \beta _ { 0 } , \beta _ { 1 } , \ldots , \beta _ { p } ) ^ { T } \in \mathbb { R } ^ { p + 1 } , } \\ { \boldsymbol { x } _ { i } ^ { T } } & { = ( 1 , x _ { i 1 } , \ldots , x _ { i p } ) \in \mathbb { R } ^ { p + 1 } , \quad p \in \mathbb { N } , } \\ { \boldsymbol { \alpha } } & { = ( \alpha _ { 1 } , \ldots , \alpha _ { r } ) ^ { T } \in \mathbb { R } ^ { r } , } \\ { \boldsymbol { z } _ { i } ^ { T } } & { = ( z _ { i 1 } , \ldots , z _ { i r } ) \in \mathbb { R } ^ { r } , \quad r \in \mathbb { N } , } \\ { \sigma _ { i } ^ { 2 } } & { = \sigma _ { i } ^ { 2 } ( \boldsymbol { \alpha } , \sigma ^ { 2 } ) = \sigma ^ { 2 } h ( \boldsymbol { z } _ { i } ^ { T } \boldsymbol { \alpha } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { i \hbar \frac { d c _ { 0 } } { d t } } & { = } & { \int V _ { 0 \mu } c _ { \mu } e ^ { - i \omega _ { \mu 0 } t } \, d \mu } \\ { i \hbar \frac { d c _ { \mu } } { d t } } & { = } & { V _ { \mu 0 } c _ { 0 } e ^ { - i \omega _ { 0 \mu } t } + \int V _ { \mu \nu } c _ { \mu } e ^ { - i \omega _ { \nu \mu } t } \, d \nu } \end{array}
g ( z ^ { + } , l _ { \Omega } ^ { + } ) = \frac { 1 } { \kappa } \ln ( z ^ { + } ) H \left( - z ^ { + } + \frac { l _ { \Omega } ^ { + } } { \kappa } \right) + \left[ \frac { z ^ { + } } { l _ { \Omega } ^ { + } } + \frac { 1 } { \kappa } \ln ( l _ { \Omega } ^ { + } ) - \frac { 1 } { \kappa } \ln ( \kappa e ) \right] H \left( z ^ { + } - \frac { l _ { \Omega } ^ { + } } { \kappa } \right) ,
0 = \nabla \cdot ( \nabla \times \mathbf { B } ) = \nabla \cdot \left( \mu _ { 0 } \left( \mathbf { J } + \varepsilon _ { 0 } { \frac { \partial \mathbf { E } } { \partial t } } \right) \right) = \mu _ { 0 } \left( \nabla \cdot \mathbf { J } + \varepsilon _ { 0 } { \frac { \partial } { \partial t } } \nabla \cdot \mathbf { E } \right) = \mu _ { 0 } \left( \nabla \cdot \mathbf { J } + { \frac { \partial \rho } { \partial t } } \right)
\begin{array} { r l r } { \left[ - \left( k - i \lambda \right) - \frac { 1 } { 2 } \left( - \frac { d ^ { 2 } } { d \xi ^ { 2 } } \right) ^ { \alpha / 2 } + 2 \left\vert U _ { 1 , 2 } \right\vert ^ { 2 } \right] a _ { 1 , 2 } + U _ { 1 , 2 } ^ { 2 } b _ { 1 , 2 } + a _ { 2 , 1 } } & { = } & { 0 , } \\ { \left[ - \left( k + i \lambda \right) - \frac { 1 } { 2 } \left( - \frac { d ^ { 2 } } { d \xi ^ { 2 } } \right) ^ { \alpha / 2 } + 2 \left\vert U _ { 1 , 2 } \right\vert ^ { 2 } \right] b _ { 1 , 2 } + \left( U _ { 1 , 2 } ^ { \ast } \right) ^ { 2 } a _ { 1 , 2 } + b _ { 2 , 1 } } & { = } & { 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { S } ^ { * } \sim \frac { \omega ^ { 2 } } { \sigma } \frac { C _ { i _ { + } i _ { + } } ^ { l } ( 0 ) + C _ { i _ { - } i _ { - } } ^ { l } ( 0 ) } { \vert \operatorname* { d e t } T ^ { l } ( 0 ) \vert ^ { 2 } } \, , ~ \mathrm { ~ a ~ s ~ } ~ \sigma \rightarrow 0 \, . } \end{array}
\phi ^ { n + 1 } = \frac { 1 } { 1 + f } \phi ^ { n } + \frac { f } { 1 + f } \frac { 1 } { \sigma _ { p } } \int _ { R } \int _ { s ^ { 2 } } \sigma I \mathrm { d } \Omega \mathrm { d } \nu ,
\begin{array} { r l } { \frac { d ^ { 2 } \mathrm { ~ h ~ e ~ l ~ p ~ e ~ r ~ } } { d \eta _ { f } ^ { 2 } } ( \eta _ { f } , \lambda ) } & { { } = - \frac { 1 } { 2 \left( e ^ { - \eta _ { f } } + 1 \right) ^ { 3 } } \left( - 4 \sqrt { \pi } e ^ { - 2 \eta _ { f } } \sqrt { \lambda } \mathrm { ~ e ~ r ~ f ~ } \left( \frac { \lambda - \sqrt { \eta _ { f } ^ { 2 } + \sqrt { \lambda } + 1 } } { 2 \sqrt { \lambda } } \right) \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { b _ { y } ^ { ( i , j ) } } { \Delta x } - \frac { c _ { x } ^ { ( i , j ) } } { \Delta y } } & { { } = 0 , } \\ { d _ { y } ^ { ( i , j ) } } & { { } = 0 , } \\ { d _ { x } ^ { ( i , j ) } } & { { } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { A } & { = } & { \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } c _ { n } c _ { n + 2 } ^ { * } \sqrt { \left( n + 1 \right) \left( n + 2 \right) } , } \\ { B } & { = } & { \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } c _ { n } c _ { n + 1 } ^ { * } \sqrt { n + 1 } , } \\ { C } & { = } & { 1 + 2 \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } n | c _ { n } | ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { T _ { \oplus } ^ { 4 } } & { { } = { \frac { R _ { \odot } ^ { 2 } T _ { \odot } ^ { 4 } } { 4 a _ { 0 } ^ { 2 } } } } \\ { T _ { \oplus } } & { { } = T _ { \odot } \times { \sqrt { \frac { R _ { \odot } } { 2 a _ { 0 } } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { F ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } ) } & { = \sum _ { \lambda } \sqrt { r _ { \lambda } } \, u _ { \lambda } ^ { ( 1 ) } ( \omega _ { 1 } ) u _ { \lambda } ^ { ( 2 ) } ( \omega _ { 2 } ) } \\ & { \mathrm { w h e r e } \, \, \int \! \! \mathrm { d } \omega \, u _ { \lambda _ { 1 } } ^ { ( 1 / 2 ) } ( \omega ) \, \bar { u } _ { \lambda _ { 2 } } ^ { ( 1 / 2 ) } ( \omega ) = \delta _ { \lambda _ { 1 } \lambda _ { 2 } } \, \, \, \mathrm { a n d } \, \, \sum _ { \lambda } r _ { \lambda } = 1 \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { U ( t , \xi ) } & { = \cos ( \pi \bar { y } ( \xi ) ) + \frac { 1 } { 8 } \big ( b ( t ) - b ( \tau ( \xi ) ) \big ) - \frac { \pi ^ { 2 } } { 8 } \big ( ( 2 - \alpha ) t + ( 2 + \alpha ) \tau ( \xi ) \big ) } \\ & { \quad + \frac { \pi } { 8 } \big ( 2 \pi \bar { y } ( \xi ) - \sin ( 2 \pi \bar { y } ( \xi ) ) \big ) \big ( t - \alpha \big ( t - \tau ( \xi ) \big ) \big ) . } \end{array}
\bar { Q } _ { e c d s w } = \bar { Q } _ { e c d s w , 0 } + \epsilon \bar { Q } _ { e c d s w , 1 } + \epsilon ^ { 2 } \bar { Q } _ { e c d s w , 2 } + \epsilon ^ { 3 } \bar { Q } _ { e c d s w , 3 } + \epsilon ^ { 4 } \bar { Q } _ { e c d s w , 4 } + \epsilon ^ { 5 } \bar { Q } _ { e c d s w , 5 } ,
\frac { \mathrm { ~ V ~ a ~ r ~ } ( \alpha ) } { \alpha ^ { 2 } } \geq \frac { 9 \sqrt { \pi } } { 4 N \, \sqrt { 2 } \left( \pi ^ { 2 } - 6 \right) } \frac { \sigma \alpha } { ( k h ) ^ { 2 } } \sim 0 . 7 2 \, \frac { 1 } { N } \frac { \sigma \alpha } { ( k h ) ^ { 2 } }
\begin{array} { r l r } { - 2 h ^ { \prime } ( \lambda = 1 ) } & { \! = \! } & { \int _ { - a _ { n } } ^ { b _ { n } } d x _ { n } \, { \frac { ( { \bf x } ^ { _ T } C _ { n } ^ { - 1 } { \bf x } ) \, \exp \Big [ \! - \! { \frac { 1 } { 2 } } { \bf x } ^ { _ T } C _ { n } ^ { - 1 } { \bf x } \Big ] } { ( 2 \pi ) ^ { n / 2 } \sqrt { \operatorname* { d e t } C _ { n } } } } \ = \ { \frac { \exp \Big [ \! - \! { \frac { 1 } { 2 } } { \bf x } ^ { _ T } C _ { n - 1 } ^ { - 1 } { \bf x } \Big ] } { ( 2 \pi ) ^ { ( n - 1 ) / 2 } \sqrt { \operatorname* { d e t } C _ { n - 1 } } } } \times } \\ & { } & { \times \left\{ { \frac { 1 } { 2 } } \, \left( \mathrm { E r f } \left[ { \frac { a _ { n } } { \sqrt 2 } } \sqrt { \frac { \operatorname* { d e t } C _ { n - 1 } } { \operatorname* { d e t } C _ { n } } } \right] + \mathrm { E r f } \left[ { \frac { b _ { n } } { \sqrt 2 } } \sqrt { \frac { \operatorname* { d e t } C _ { n - 1 } } { \operatorname* { d e t } C _ { n } } } \right] \right) \right. } \\ & { } & { - \ \left. { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } } \sqrt { \frac { \operatorname* { d e t } C _ { n - 1 } } { \operatorname* { d e t } C _ { n } } } \, \left( a _ { n } \, \exp \Big [ \! - \! { \frac { a _ { n } ^ { 2 } } { 2 } } { \frac { \operatorname* { d e t } C _ { n - 1 } } { \operatorname* { d e t } C _ { n } } } \Big ] + b _ { n } \, \exp \Big [ \! - \! { \frac { b _ { n } ^ { 2 } } { 2 } } { \frac { \operatorname* { d e t } C _ { n - 1 } } { \operatorname* { d e t } C _ { n } } } \Big ] \right) \right\} \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \{ Q ( t ) ^ { T } Q ( t ) \} } \\ & { = \sum _ { \{ u , v \} \in \mathcal { E } _ { r } } \Big [ I - \frac 1 2 ( e _ { u } - e _ { v } ) ( e _ { u } - e _ { v } ) ^ { T } \Big ] \frac { a _ { u v } } { \alpha } } \\ & { + \sum _ { \{ u , v \} \in \mathcal { E } _ { s } } \Big ( I - \frac 3 4 e _ { u } e _ { u } ^ { T } \Big ) \frac { a _ { u v } } { \alpha } } \\ & { = \bar { Q } - \frac { \lambda _ { 1 } } { 2 } I _ { r _ { 0 } n } } \\ & { = \Big ( 1 - \frac 3 2 \lambda _ { 1 } \Big ) \eta \eta ^ { T } + \Big ( 1 - \lambda _ { 2 } - \frac 1 2 \lambda _ { 1 } \Big ) \xi \xi ^ { T } } \\ & { + \Big ( 1 - \lambda _ { 3 } - \frac 1 2 \lambda _ { 1 } \Big ) \Gamma , } \\ & { \mathbb { E } \{ Q ( t ) ^ { T } R ( t ) \} } \\ & { = \sum _ { 1 \le v \le s _ { 0 } n } \sum _ { u \in \mathcal { V } _ { r } } \Big ( I - \frac 1 2 e _ { u } e _ { u } ^ { T } \Big ) \Big ( \frac 1 2 e _ { u } ( e _ { v } ^ { s } ) ^ { T } \Big ) \frac { l _ { u v } ^ { ( s ) } } { \alpha } = \frac { \lambda _ { 1 } \tilde { M } } { 2 l ^ { ( s ) } } , } \\ & { \mathbb { E } \{ R ( t ) ^ { T } R ( t ) \} } \\ & { = \frac { 1 } { 4 \alpha } \sum _ { 1 \le v \le s _ { 0 } n } \sum _ { u \in \mathcal { V } _ { r } } e _ { v } ^ { s } ( e _ { v } ^ { s } ) ^ { T } l _ { u v } ^ { ( s ) } = \frac { \lambda _ { 1 } \tilde { D } ^ { ( s ) } } { 2 l ^ { ( s ) } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left[ \hat { S } _ { x } , \hat { S } _ { y } \right] } & { = } & { 2 i \hbar \hat { S } _ { z } , } \\ { \left[ \hat { S } _ { y } , \hat { S } _ { z } \right] } & { = } & { 2 i \hbar \hat { S } _ { x } , } \\ { \left[ \hat { S } _ { z } , \hat { S } _ { x } \right] } & { = } & { 2 i \hbar \hat { S } _ { y } , } \end{array}
e ^ { - 2 \left( \Phi + U \right) } ( \partial _ { 0 } \Psi ) ^ { 2 } = \partial _ { 0 } \left( e ^ { - 2 \left( \Phi + U \right) } \Psi \partial _ { 0 } \Psi \right) - e ^ { - 2 \left( \Phi + U \right) } \partial _ { 0 } \partial _ { 0 } \Psi \ .
\Phi ( p ) _ { \alpha \beta } = \int d ^ { 4 } \mathrm { x } e ^ { i p \mathrm { x } } \langle 0 | \psi _ { \alpha } ( \mathrm { x } ) \bar { \psi } _ { \beta } ( 0 ) | P ^ { + } , { \bf 0 } \rangle ,
\begin{array} { r l } { h _ { \rho , 1 } ( \lambda ) } & { : = H _ { 1 } / \rho = \beta \left( 1 - R _ { 1 } ( \lambda ) + O ( \rho ^ { - 1 / 2 } ) \right) , \; R _ { 1 } ( \lambda ) : = \frac { B } { \sigma } \left( 1 - \frac { 2 E } { K } \right) , \; \lambda \in ( 2 / 3 , \infty ) , } \\ { h _ { \rho , 2 } ( \lambda ) } & { : = H _ { 2 } / \rho = \beta \left( 1 - R _ { 2 } ( \lambda ) + O ( \rho ^ { - 1 / 2 } ) \right) , \; R _ { 2 } ( \lambda ) : = \frac { B } { \sigma } \frac { K ( 2 - k _ { 2 } ^ { 2 } ) - 2 E } { K k _ { 2 } ^ { 2 } } , \; \lambda \in ( 2 / 3 , 1 ) . } \end{array}
f _ { m o d e l } = a _ { 1 } { \cdot } V _ { 1 } ( E ) \frac { e ^ { - \frac { t } { \tau _ { 1 } } } } { \tau _ { 1 } } + a _ { 2 } { \cdot } V _ { 2 } ( E ) \frac { e ^ { - \frac { t } { \tau _ { 2 } } } } { \tau _ { 2 } }
\begin{array} { r } { \Phi = \Phi _ { \mathrm { m } } - \frac { \ddot { a } } { a } \, r ^ { 2 } = - \int \frac { \delta \rho _ { \mathrm { m } } ( \vec { r ^ { \prime } } ) } { \mid \vec { r } - \vec { r ^ { \prime } } \mid } \mathrm { d } \vec { r ^ { \prime } } - \frac { \ddot { a } } { a } \, r ^ { 2 } , } \end{array}
S _ { \mathrm { L } } ( \tau ) = Q \Psi _ { \mathrm { L } } + 2 \pi i \tau k = \bar { Q } \bar { \Psi } _ { \mathrm { L } } + 2 \pi i \bar { \tau } k , \qquad \tau = \frac { \theta } { 2 \pi } + \frac { 4 \pi i } { e ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { K L } ( Z _ { 1 } , Z _ { 2 } ) } & { = \mathrm { K L } ( X _ { 1 } , X _ { 2 } ) } \\ & { = \frac { r _ { 1 } + 1 } { 2 } \ln \frac { r _ { 1 } + 1 } { r _ { 2 } + 1 } + \frac { 1 - r _ { 1 } } { 2 } \ln \frac { 1 - r _ { 1 } } { 1 - r _ { 2 } } } \\ & { \leq \frac { r _ { 1 } + 1 } { 2 } \frac { r _ { 1 } - r _ { 2 } } { r _ { 2 } + 1 } + \frac { 1 - r _ { 1 } } { 2 } \frac { r _ { 2 } - r _ { 1 } } { 1 - r _ { 2 } } } \\ & { \leq \frac { ( r _ { 1 } - r _ { 2 } ) ^ { 2 } } { 1 - r _ { 2 } ^ { 2 } } } \\ & { \leq \frac 4 3 ( r _ { 1 } - r _ { 2 } ) ^ { 2 } . } \end{array}
\bar { n } = \frac { 1 } { 2 } \left( \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d \omega } { 2 \pi } \left( 1 + \frac { \omega ^ { 2 } } { \Omega _ { \mathrm { M } } ^ { 2 } } \right) S _ { X } ( \omega ) \right) - \frac { 1 } { 2 } ,