harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
d s ^ { 2 } = e ^ { 2 \phi ( y , x ) } d y ^ { 2 } + \exp \left[ - { \frac { 2 } { l } } \int d y e ^ { \phi ( y , x ) } \right] h _ { \mu \nu } ( x ^ { \mu } ) d x ^ { \mu } d x ^ { \nu } \ .
z = \mathrm { ~ t ~ r ~ } \overline { { M } } _ { c } / 2 = \frac { t } { 2 \sqrt { d } } = \frac { G _ { v v } G _ { w w } - K _ { v w } K _ { w v } - X _ { L } X _ { R } } { 2 \sqrt { K _ { w v } K _ { v w } X _ { L } X _ { R } } } .
\begin{array} { r l } { \gamma _ { k } } & { = \frac { \tau _ { k + 1 } } { \tau _ { k } } \left( ( 1 / s - \mu ) \delta _ { k } \tau _ { k } - 1 + \mu \delta _ { k } \right) } \\ & { = \left( 1 + \frac { \dot { \tau } \left( t _ { k } \right) \sqrt { s } + o \left( \sqrt { s } \right) } { \tau \left( t _ { k } \right) } \right) \left( ( 1 - \mu s ) \delta \left( t _ { k } \right) \tau \left( t _ { k } \right) - 1 + \mu \sqrt { s } \delta \left( t _ { k } \right) \right) } \\ & { = \delta \left( t _ { k } \right) \tau \left( t _ { k } \right) - 1 + o \left( 1 \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\| \mathcal { C } _ { \mathrm { T G } _ { \ell } } \right\| _ { L _ { 2 } ( \mathbb { M } ) \to L _ { 2 } ( \mathbb { M } ) } \le C _ { \mathrm { P r o p . } } g ( \nu _ { 1 } ) = C _ { \mathrm { P r o p . } } \left\{ \begin{array} { l l } { ( 2 \nu _ { 1 } + 1 ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } , } & { \mathrm { s y m m e t r i c ~ } ; } \\ { \nu _ { 1 } ^ { - \frac { 1 } { 4 } } , } & { \mathrm { n o n - s y m m e t r i c ~ } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left| O C E _ { s ^ { \prime } \sim P _ { h } ( \cdot \vert s , a ) } ^ { u } ( \hat { V } _ { h + 1 } ^ { k } ( s ^ { \prime } ) ) - O C E _ { s ^ { \prime } \sim \hat { P } _ { h } ^ { k } ( \cdot \vert s , a ) } ^ { u } ( \hat { V } _ { h + 1 } ^ { k } ( s ^ { \prime } ) ) \right| } \\ & { = \left| \operatorname* { m a x } _ { \lambda \in [ 0 , H - h ] } \{ \lambda + E _ { s ^ { \prime } \sim P _ { h } ( \cdot \vert s , a ) } [ u ( \hat { V } _ { h + 1 } ^ { k } ( s ^ { \prime } ) - \lambda ) ] \} - \operatorname* { m a x } _ { \lambda \in [ 0 , H - h ] } \{ \lambda + E _ { s ^ { \prime } \sim \hat { P } _ { h } ^ { k } ( \cdot \vert s , a ) } u ( \hat { V } _ { h + 1 } ^ { k } ( s ^ { \prime } ) - \lambda ) ] \} \right| } \\ & { \leq \operatorname* { m a x } _ { \lambda \in [ 0 , H - h ] } \left| E _ { s ^ { \prime } \sim P _ { h } ( \cdot \vert s , a ) } [ u ( \hat { V } _ { h + 1 } ^ { k } ( s ^ { \prime } ) - \lambda ) ] - E _ { s ^ { \prime } \sim \hat { P } _ { h } ^ { k } ( \cdot \vert s , a ) } [ u ( \hat { V } _ { h + 1 } ^ { k } ( s ^ { \prime } ) - \lambda ) \right| } \\ & { = \operatorname* { m a x } _ { \lambda \in [ 0 , H - h ] } \left\vert \sum _ { s ^ { \prime } \in \mathcal { S } } \left( \hat { P } _ { h } ^ { k } ( s ^ { \prime } \vert s , a ) - P _ { h } ( s ^ { \prime } \vert s , a ) \right) \cdot u ( \hat { V } _ { h + 1 } ^ { k } ( s ^ { \prime } ) - \lambda ) \right\vert } \\ & { \overset { ( 1 ) } { \leq } \operatorname* { m a x } _ { \lambda \in [ 0 , H - h ] } \left\Vert \hat { P } _ { h } ^ { k } ( \cdot \vert s , a ) - P _ { h } ( \cdot \vert s , a ) \right\Vert _ { 1 } \cdot \left\Vert u ( \hat { V } _ { h + 1 } ^ { k } ( \cdot ) - \lambda ) \right\Vert _ { \infty } } \\ & { \overset { ( 2 ) } { \leq } \sqrt { \frac { 2 S \log \left( \frac { S A H K } { \delta } \right) } { \operatorname* { m a x } \{ 1 , N _ { h } ^ { k } ( s , a ) \} } } \cdot \operatorname* { m a x } _ { \lambda \in [ 0 , H - h ] } \left\Vert u ( \hat { V } _ { h + 1 } ^ { k } ( \cdot ) - \lambda ) \right\Vert _ { \infty } , } \end{array}
z _ { 1 } ^ { \prime } = ( 1 - i t ) z _ { 1 } , \ \ z _ { 2 } ^ { \prime } = ( 1 - i \frac { t } { 2 } ) z _ { 2 } , \ \ z _ { 3 } ^ { \prime } = ( 1 + i \frac { t } { 2 } ) z _ { 3 } ,
\begin{array} { r l } { J _ { \varepsilon } } & { = \lceil 2 \log _ { 2 } ( \sigma ^ { 2 } d \alpha ^ { - 1 } \varepsilon ^ { - 1 } ) \rceil , \quad T _ { j } = \frac { \sigma ^ { 2 } d \log ( \gamma _ { 0 } ^ { - 1 } ) } { \alpha ^ { 2 } } \varepsilon ^ { - 2 } J _ { \varepsilon } ^ { 2 } 2 ^ { - j } , } \\ & { \qquad r \in \{ 0 , \ldots , J _ { \varepsilon } \} , \quad \gamma _ { 0 } = \alpha / ( 2 L ^ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta ( t _ { 0 } ) } & { = } & { 2 \, \mathrm { a t a n } \Bigg [ \mu + \epsilon \sqrt { 1 + \mu ^ { 2 } } + { \frac { \epsilon ^ { 2 } } { 2 } } \mu + { \frac { \epsilon ^ { 3 } } { 6 } } \sqrt { 1 + \mu ^ { 2 } } + \ldots \Bigg ] } \\ & { = } & { \Delta ( t ) + { \frac { 2 \epsilon } { \sqrt { 1 + \mu ^ { 2 } } } } - { \frac { \epsilon ^ { 2 } \mu } { 1 + \mu ^ { 2 } } } + O ( S c ^ { 3 } ) } \\ & { = } & { \Delta ( t ) + 2 \epsilon \, \left| \mathrm { c o s } { \frac { \Delta ( t ) } { 2 } } \right| - { \frac { \epsilon ^ { 2 } } { 2 } } \, \mathrm { s i n } \Delta ( t ) + O ( S c ^ { 3 } ) } \\ & { = } & { \Delta ( t ) + 2 \, \mathrm { s i n } \Delta ( t ) \Bigg [ \Gamma T _ { D u r , 0 } - { \frac { \Gamma ^ { 2 } R ^ { 2 } } { v _ { 0 } ^ { 2 } } } \mathrm { c o s } ^ { 2 } \phi \Bigg ] + O ( S c ^ { 3 } ) } \end{array}
u _ { + } ( z ) = - h ^ { 2 } h ^ { \prime } f \left( \frac { z } { h } \right) - ( \chi - 1 ) \, h ^ { 2 } h ^ { \prime } f \left( \frac { Y } { h } \right) - 2 \, ( \chi - 1 ) \, h \, \dot { \varepsilon } _ { c } \frac { Y } { h } \; , \qquad Y \le z \le h \; .
\begin{array} { r } { Q ( \widehat { L } ) : = \lambda \int _ { \widehat { L } _ { \mathrm { t s } } } ^ { \infty } d \widehat { L } _ { 0 } \; P ^ { \mathrm { i n } } ( \widehat { L } _ { 0 } ) \int _ { - \infty } ^ { t } d t _ { 0 } P ( \widehat { L } , t | \widehat { L } _ { 0 } , t _ { 0 } ) \ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ( r ) } & { { } = \sum _ { i = r } ^ { n } P ( \mathrm { ~ i ~ i ~ s ~ t ~ h ~ e ~ b ~ e ~ s ~ t ~ c ~ a ~ n ~ d ~ i ~ d ~ a ~ t ~ e ~ } ) \cdot P ( \mathrm { ~ s ~ u ~ c ~ c ~ e ~ s ~ s ~ a ~ t ~ s ~ e ~ l ~ e ~ c ~ t ~ i ~ n ~ g ~ i ~ } | \mathrm { ~ i ~ i ~ s ~ t ~ h ~ e ~ b ~ e ~ s ~ t ~ c ~ a ~ n ~ d ~ i ~ d ~ a ~ t ~ e ~ } ) } \end{array}
- \frac { 1 } { 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { N } D _ { j } ^ { 2 } = - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \partial _ { x _ { j } } ^ { 2 } + \sum _ { 1 \leq j < k \leq N } \frac { \beta ( \beta - K _ { j k } ) } { ( x _ { j } - x _ { k } ) ^ { 2 } } \, .
\begin{array} { r l } & { \left\| \mathcal { M } _ { 3 } ( \partial _ { z } ^ { 2 } + ( \partial _ { v } - t \partial _ { z } ) ^ { 2 } ) P _ { \neq } ( \Upsilon _ { 1 } \Pi _ { l , 2 } ) \right\| _ { 2 } } \\ & { \lesssim \left\| \mathcal { M } _ { 3 } [ P _ { \neq } \Xi _ { 3 } ] \right\| _ { 2 } + \left\| \mathcal { M } _ { 3 } ( \partial _ { z } ^ { 2 } + ( \partial _ { v } - t \partial _ { z } ) ^ { 2 } ) \mathring { \mathcal { T } } _ { 1 , N } ^ { - 1 } \big [ P _ { \neq } \mathcal { S } _ { 2 } [ \Pi _ { l , 2 } ] \big ] \right\| _ { 2 } } \\ & { \quad + \left\| \mathcal { M } _ { 3 } ( \partial _ { z } ^ { 2 } + ( \partial _ { v } - t \partial _ { z } ) ^ { 2 } ) \mathring { \mathcal { T } } _ { 1 , N } ^ { - 1 } \big [ P _ { \neq } \mathcal { S } _ { a } [ \Pi _ { l , 2 } ] \big ] \right\| _ { 2 } . } \end{array}
A = \frac { \sqrt { k _ { B } T / 2 } } { A ^ { S O } } \tilde { V } _ { A _ { 1 } } = \frac { \sqrt { k _ { B } T / 2 } } { A ^ { S O } } \frac { \sqrt { 2 } } { \omega _ { A _ { 1 } } } V _ { A _ { 1 } } = 0 . 2 9 4
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { l } { i _ { 1 } } \\ { i _ { 2 } } \end{array} \right) = \frac { 1 } { R } \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { - 1 } & { 0 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { v _ { 1 } } \\ { v _ { 2 } } \end{array} \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal A _ { L } [ w ] } & { = \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { - \infty } ^ { \infty } | \nabla w ( x , y ) | ^ { 2 } d x d y + \int _ { - \infty } ^ { \infty } \Bigl ( \frac { \alpha } { 2 } | w _ { x } ( x , 0 ) | ^ { 2 } + \frac { \beta } { 2 } | w _ { x x } ( x , 0 ) | ^ { 2 } \Bigr ) d x } \\ & { \quad - \gamma \int _ { - \infty } ^ { \infty } w ( x , 0 ) d x } \end{array}
\frac { 1 } { n } \left( \boldsymbol { g } ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } ) - \boldsymbol { 1 } _ { r } \right) ^ { T } \mathrm { d i a g } \left( \exp ( - \beta \boldsymbol { g } ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } ) ) \right) \left( \boldsymbol { g } ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } ) - \boldsymbol { 1 } _ { r } \right) \underset { n \rightarrow \infty } { \overset { p } { \longrightarrow } } E \left[ \exp \{ - \beta g _ { i } ( \boldsymbol { \theta } ) \} ( g _ { i } ( \boldsymbol { \theta } ) - 1 ) ^ { 2 } \right] ,
\begin{array} { r l } & { \delta _ { t _ { n } } = f ( t _ { n } , X _ { t _ { n } } , \alpha _ { t _ { n } } ) \Delta t + Q _ { t _ { n + 1 } } ( X _ { t _ { n + 1 } } , \alpha _ { t _ { n + 1 } } ( X _ { t _ { n + 1 } } ; \theta ) ; \theta ^ { \prime } ) - Q _ { t _ { n } } ( X _ { t _ { n } } , \alpha _ { t _ { n } } ; \theta ^ { \prime } ) , } \\ & { \theta ^ { \prime } \leftarrow \theta ^ { \prime } - \beta ^ { \prime } \delta _ { t _ { n } } \nabla _ { \theta ^ { \prime } } Q _ { t _ { n } } ( X _ { t _ { n } } , \alpha _ { t _ { n } } ; \theta ^ { \prime } ) , } \\ & { \theta \leftarrow \theta - \beta \delta _ { t _ { n } } \nabla _ { \theta } \alpha _ { t _ { n } } ( X _ { t _ { n } } ; \theta ) \nabla _ { a } Q ( X _ { t _ { n } } , \alpha _ { t _ { n } } ; \theta ^ { \prime } ) \vert _ { a = \alpha _ { t _ { n } } ( X _ { t _ { n } } ; \theta ) } . } \end{array}
L _ { i n f } ( \mathcal W , \{ \mathbf x _ { i } \} ) = \frac { 1 } { m \varepsilon ^ { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \left[ \varphi ( \mathbf { x } _ { i } + \varepsilon { \mathcal G } _ { \mathcal W } ( \mathbf { x } _ { i } ) ) - \varphi ( \mathbf { x } _ { i } ) \right] ^ { 2 } \, ,
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } n _ { R } } { \mathrm { d } t } } & { { } = P ( t ) - \left[ \gamma _ { R } + \alpha _ { 3 } ( n _ { 3 } + 1 ) + \alpha _ { 2 } ( n _ { 2 } + 1 ) + \alpha _ { 1 } ( n _ { 1 } + 1 ) \right] n _ { R } } \\ { \frac { \mathrm { d } n _ { 3 } } { \mathrm { d } t } } & { { } = \alpha _ { 3 } n _ { R } ( n _ { 3 } + 1 ) - \left( \frac { 1 } { \tau _ { 3 } ^ { r } } + \frac { 1 } { \tau _ { 3 } ^ { n r } } + \gamma ^ { ( 2 ) } n _ { 3 } \right) n _ { 3 } } \\ { \frac { \mathrm { d } n _ { 2 } } { \mathrm { d } t } } & { { } = \alpha _ { 2 } n _ { R } ( n _ { 2 } + 1 ) - \left( \frac { 1 } { \tau _ { 2 } ^ { r } } + \frac { 1 } { \tau _ { 2 } ^ { n r } } + \gamma ^ { ( 2 ) } n _ { 2 } \right) n _ { 2 } } \\ { \frac { \mathrm { d } n _ { 1 } } { \mathrm { d } t } } & { { } = \alpha _ { 1 } n _ { R } ( n _ { 1 } + 1 ) - \left( \frac { 1 } { \tau _ { 1 } ^ { r } } + \frac { 1 } { \tau _ { 1 } ^ { n r } } + \gamma ^ { ( 2 ) } n _ { 1 } \right) n _ { 1 } } \end{array}
{ \frac { d ^ { 2 } } { d x ^ { 2 } } } \Psi ( x ) = { \frac { 2 m } { \hbar ^ { 2 } } } \left( V ( x ) - E \right) \Psi ( x ) \equiv { \frac { 2 m } { \hbar ^ { 2 } } } M ( x ) \Psi ( x ) ,
\begin{array} { r l } { \kappa _ { \mathrm { e f f } } ( \infty ) = } & { { } 1 + \frac { \mathrm { P e } _ { p } ^ { 2 } \cot ^ { 2 } ( \theta ) } { \mathrm { P e } _ { s } ^ { 2 } } \left( 1 - \frac { 5 } { 2 \gamma } + \mathcal { O } ( e ^ { - \gamma } ) \right) , \quad \gamma \rightarrow \infty , } \\ { \kappa _ { \mathrm { e f f } } ( \infty ) = } & { { } 1 + \frac { \mathrm { P e } _ { p } ^ { 2 } \cot ^ { 2 } ( \theta ) } { \mathrm { P e } _ { s } ^ { 2 } } \left( \frac { \gamma ^ { 8 } } { 2 2 6 8 0 } - \frac { 2 8 7 9 \gamma ^ { 1 2 } } { 4 0 8 6 4 8 2 4 0 0 } + O \left( \gamma ^ { 1 3 } \right) \right) , \quad \gamma \rightarrow 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { { \sigma } _ { a b } = - \frac { \partial f } { \partial \nabla _ { b } q _ { d c } } \nabla _ { a } q _ { d c } + q _ { a c } h _ { c b } - q _ { b c } h _ { c a } + 2 \eta { d } _ { a b } ^ { \mathrm { d e v } } + \beta \widehat { { q } } _ { a b } + \lambda { q } _ { a b } - P \delta _ { a b } . } \end{array}
\int _ { E } \boldsymbol { \epsilon } ( \boldsymbol { \varphi } _ { i } ) ^ { T } \mathbf { C } \boldsymbol { \epsilon } ( \mathbf { p } _ { \alpha } ) d E = \sum _ { \beta = 1 } ^ { n _ { k } } s _ { i , \beta } \int _ { E } \boldsymbol { \epsilon } ( \mathbf { p } _ { \beta } ) ^ { T } \mathbf { C } \boldsymbol { \epsilon } ( \mathbf { p } _ { \alpha } ) d E .
| \beta _ { k s } ( \eta ) | ^ { 2 } = \left| h _ { s s } ^ { \mathrm { i n } } ( \eta ) g _ { s s } ^ { \mathrm { o u t } } ( \eta ) - g _ { s s } ^ { \mathrm { i n } } ( \eta ) h _ { s s } ^ { \mathrm { o u t } } ( \eta ) \right| ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { \Delta R _ { \mathrm { m a t c h } , m } } & { = \alpha _ { \mathrm { p r i o r } , m } \left( \Delta R _ { \mathrm { m a t c h } } ^ { \mathrm { m e a n } } + \Delta \alpha _ { m } \right) } \\ { \Delta R _ { \mathrm { m a t c h } } ^ { \mathrm { m e a n } } } & { \sim \mathcal { N } \left( 0 , 5 \right) } \\ { \Delta \alpha _ { m } } & { \sim \mathcal { N } \left( 0 , \sigma _ { \alpha } \right) } \\ { \sigma _ { \alpha } } & { \sim \mathrm { H a l f N o r m a l } \left( 5 \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi _ { \mathbf { c } } ( \mathbf { c } ) = } & { \int \mathrm { d } \mathbf { w } \, \phi ( { \widetilde { \mathbf { \Gamma } } } ) , } \\ { \phi _ { \mathbf { w } } ( \mathbf { w } ) = } & { \int \mathrm { d } \mathbf { c } \, \phi ( { \widetilde { \mathbf { \Gamma } } } ) , } \\ { \phi _ { c w } ( x ) = } & { \int \mathrm { d } { \widetilde { \mathbf { \Gamma } } } \, \delta ( c ^ { 2 } w ^ { 2 } - x ) \phi ( { \widetilde { \mathbf { \Gamma } } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { F ( \hat { t } ) } & { = } & { R F ( \hat { t } - \mathcal { T } ) + a P ( \hat { t } ) , } \\ { \frac { \mathrm { d } P ( \hat { t } ) } { \mathrm { d } \hat { t } } } & { = } & { - P ( \hat { t } ) + D ( \hat { t } ) F ( \hat { t } ) , } \\ { \frac { \mathrm { d } D ( \hat { t } ) } { \mathrm { d } \hat { t } } } & { = } & { \gamma ( 1 - D ( \hat { t } ) - F ( \hat { t } ) P ( \hat { t } ) ) \; . } \end{array}
d s ^ { 2 } = F ( r ) \left( { d r } ^ { 2 } + r ^ { 2 } { d \Omega } _ { 2 } ^ { 2 } \right) + F ( r ) ^ { - 1 } \left( { d s } / 2 - \mu _ { 2 } C _ { \phi } { d \phi } / 2 \right) ^ { 2 } \ ,
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \mu _ { i } } \bigg ( \frac { 1 } { r } \frac { \partial ( r \hat { A } _ { \varphi } ) } { \partial r } \bigg ) \bigg | _ { r = r _ { i } ^ { - } } - \frac { 1 } { \mu _ { i + 1 } } \bigg ( \frac { 1 } { r } \frac { \partial ( r \hat { A } _ { \varphi } ) } { \partial r } \bigg ) \bigg | _ { r = r _ { i } ^ { + } } } & { { } = - \frac { n I _ { 0 } } { l } \delta _ { i 2 } + i \frac { \omega _ { 0 } } \alpha _ { 0 } { \pi } ( \theta _ { i + 1 } - \theta _ { i } ) \hat { A } _ { z } ( r _ { i } , \omega ) , } \\ { \frac { 1 } { \mu _ { i } } \bigg ( \frac { \partial \hat { A } _ { z } } { \partial r } \bigg ) \bigg | _ { r = r _ { i } ^ { - } } - \frac { 1 } { \mu _ { i + 1 } } \bigg ( \frac { \partial \hat { A } _ { z } } { \partial r } \bigg ) \bigg | _ { r = r _ { i } ^ { + } } } & { { } = - i \frac { \omega _ { 0 } } \alpha _ { 0 } { \pi } ( \theta _ { i + 1 } - \theta _ { i } ) \hat { A } _ { \varphi } ( r _ { i } , \omega ) , } \end{array}
J _ { y _ { 1 } ^ { \prime } y _ { 1 } } ^ { x } \mathrm { l n } \frac { W _ { y _ { 1 } ^ { \prime } y _ { 1 } } ^ { x } p ( y _ { 1 } ^ { \prime } , x ) } { W _ { y _ { 1 } y _ { 1 } ^ { \prime } } ^ { x } p ( y _ { 1 } , x ) } \geq 0
\begin{array} { r l } { { \mathbb E } } & { \bigg [ \int _ { t } ^ { T } \bigg ( L ( \overline { { X } } _ { s } ^ { n } , \overline { { \alpha } } _ { s } ^ { n } ) + \mathcal { F } ( \mathcal { L } ( \overline { { X } } _ { s } ^ { n } ) ) \bigg ) d s + \mathcal { G } ( \mathcal { L } ( \overline { { X } } _ { T } ^ { n } ) ) \bigg ] } \\ & { \ge { \mathbb E } \bigg [ \int _ { t } ^ { T } \bigg ( L ( \widehat { X } _ { s } , \widehat { \alpha } ( s , \widehat { X } _ { s } ) ) + \mathcal { F } ( \mathcal { L } ( \widehat { X } _ { s } ) ) \bigg ) d s + \mathcal { G } ( \mathcal { L } ( \widehat { X } _ { T } ) ) \bigg ] . } \end{array}
\begin{array} { r } { L _ { 1 } = \frac 1 2 I _ { i j } ^ { - 1 } M _ { i } M _ { j } - \frac 1 2 [ \lambda _ { i j } + G _ { i j } ] [ R _ { k i } R _ { k j } - \delta _ { i j } ] , } \end{array}
\begin{array} { r } { H = - \mu \sum _ { x } c _ { x } ^ { \dagger } c _ { x } - \frac { t } { 2 } \sum _ { x } \left( c _ { x } ^ { \dagger } c _ { x + 1 } + c _ { x + 1 } ^ { \dagger } c _ { x } \right) } \\ { - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { x } \left( \Delta e ^ { i \phi } c _ { x } c _ { x + 1 } + \Delta e ^ { - i \phi } c _ { x + 1 } ^ { \dagger } c _ { x } ^ { \dagger } \right) , } \end{array}
\hat { S } _ { H C } ^ { f } h ( \omega , \vec { v } ) = - \nu _ { \mathrm { o p t } } h ( \omega , \vec { v } ) + \nu _ { \mathrm { o p t } } \int d ^ { 3 } \vec { v } ^ { \prime } f _ { m _ { A } } ( \vec { v } ^ { \prime } ) h ( \omega , \vec { v } ^ { \prime } ) ,
{ \left[ \begin{array} { l } { u } \\ { v } \\ { w } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l l } { c _ { 1 1 } } & { c _ { 1 2 } } & { c _ { 1 3 } } \\ { c _ { 2 1 } } & { c _ { 2 2 } } & { c _ { 2 3 } } \\ { c _ { 3 1 } } & { c _ { 3 2 } } & { c _ { 3 3 } } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { p } \\ { q } \\ { r } \end{array} \right] } .
\begin{array} { r l } { \mathcal { \hat { \mathcal { D } } } _ { a } ( \theta , \varphi ) = } & { \sqrt { \frac { 3 \Gamma _ { 0 } ^ { a } } { 8 \pi } \left[ 1 - \left( \boldsymbol { \wp } _ { a } \cdot \mathbf { R } ( \theta , \varphi ) \right) ^ { 2 } \right] \mathrm { d } \Omega } } \\ & { \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \times \sum _ { j = 1 } ^ { N } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } k _ { 0 } ^ { a } \mathbf { R } ( \theta , \varphi ) \cdot { \bf r } _ { j } } \hat { \sigma } _ { g _ { a } e } ^ { j } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { e ( n ) \geq r ( 6 k + a , k + 1 ) } & { = { \frac { F _ { 2 k + 3 } } { F _ { 2 k + 1 } } } } \\ & { \geq \alpha ^ { 2 } - { \frac { 1 } { F _ { 4 k + 2 } } } } \\ & { \geq \alpha ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 2 } } F _ { 6 k + 5 } ^ { - 1 / 2 } } \\ & { \geq \alpha ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 2 } } F _ { 6 k + a } ^ { - 1 / 2 } } \\ & { \geq \alpha ^ { 2 } - 2 n ^ { - 1 / 2 } \quad \mathrm { ( b y ~ L e m m a ~ ~ ( v i i ) ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { K \left( \rho \right) } & { = a _ { 1 } b _ { 1 } \sin \left( \left( \beta + \nu \right) \pi \right) + \rho ^ { \alpha + \beta } \left( a _ { 1 } b _ { 2 } \sin \left( \left( \alpha + 2 \beta + \nu \right) \pi \right) + a _ { 2 } b _ { 1 } \sin \left( \left( \nu - \alpha \right) \pi \right) \right) } \\ & { \quad + \rho ^ { 2 \left( \alpha + \beta \right) } \left( a _ { 2 } b _ { 2 } \sin \left( \left( \beta + \nu \right) \pi \right) - a _ { 3 } b _ { 1 } \sin \left( \left( 2 \alpha + \beta - \nu \right) \pi \right) \right) + \rho ^ { 3 \left( \alpha + \beta \right) } a _ { 3 } b _ { 2 } \sin \left( \left( \nu - \alpha \right) \pi \right) , } \end{array}
V _ { S o f t - R e p u l s i o n } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { K _ { S o f t - R e p u l s i o n } } { 2 } \left( r _ { i j } - \sigma _ { o } \right) ^ { 2 } } & { r _ { i j } \leqslant \sigma _ { o } } \\ { 0 } & { r _ { i j } > \sigma _ { o } . } \end{array} \right.
n ^ { \rho } = \Phi ^ { 2 } \big ( \mu ^ { \rho } - { \cal A } s ^ { \rho } \big ) \ , \qquad \quad \Theta _ { \rho } = \Phi ^ { 2 } \big ( { \cal K } s _ { \rho } + { \cal A } \mu _ { \rho } \big ) \ ,
\begin{array} { r } { K _ { d } = K _ { P D M S } \frac { K _ { T i N } + ( n - 1 ) K _ { P D M S } + ( n - 1 ) \Phi \left( K _ { T i N } - K _ { P D M S } \right) } { K _ { T i N } + ( n - 1 ) K _ { P D M S } - \Phi \left( K _ { T i N } - K _ { P D M S } \right) } , } \end{array}
\cos \alpha ( \partial _ { t } ^ { 2 } - c ^ { 2 } \nabla ^ { 2 } ) \Psi + \omega _ { p } ^ { 2 } \Psi = - \frac 1 2 \omega _ { p } ^ { 2 } ( 1 + c ^ { 2 } k ^ { 2 } / \omega ^ { 2 } ) ( \Psi ^ { * } \Psi ) \Psi ,
\begin{array} { r l } { \hat { \mathcal { L } } ^ { ( k ) } } & { = - \mathrm { i } \left( \mathrm { I d } \otimes \left( \frac { g } { 2 } \sigma _ { x } + \frac { h } { 2 } \sigma _ { z } \right) - \left( \frac { g } { 2 } \sigma _ { x } + \frac { h } { 2 } \sigma _ { z } \right) ^ { T } \otimes \mathrm { I d } \right) } \\ & { + \gamma \sigma _ { - } ^ { * } \otimes \sigma _ { - } - \frac { \gamma } { 2 } \left( \mathrm { I d } \otimes \left( \sigma _ { - } ^ { \dagger } \sigma _ { - } \right) + \left( \sigma _ { - } ^ { \dagger } \sigma _ { - } \right) ^ { T } \otimes \mathrm { I d } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \tilde { \rho } _ { \alpha } \left( \frac { \partial \hat { \psi } _ { \alpha } } { \partial \phi _ { \alpha } } \grave { \phi } _ { \alpha } + \frac { \partial \hat { \psi } _ { \alpha } } { \partial \nabla \phi _ { \alpha } } \cdot \grave { \overline { { \nabla \phi } } } _ { \alpha } \right) = } \\ & { ~ - \tilde { \rho } _ { \alpha } \left( \frac { \partial \hat { \psi } _ { \alpha } } { \partial \phi _ { \alpha } } \left( \phi _ { \alpha } \mathrm { d i v } \mathbf { v } _ { \alpha } - \rho _ { \alpha } ^ { - 1 } \gamma _ { \alpha } \right) \right) } \\ & { ~ - \mathrm { d i v } \left( \tilde { \rho } _ { \alpha } \frac { \partial \hat { \psi } _ { \alpha } } { \partial \nabla \phi _ { \alpha } } \left( \phi _ { \alpha } \mathrm { d i v } \mathbf { v } _ { \alpha } - \rho _ { \alpha } ^ { - 1 } \gamma _ { \alpha } \right) \right) } \\ & { ~ + \left( \tilde { \rho } _ { \alpha } \mathrm { d i v } \mathbf { v } _ { \alpha } - \gamma _ { \alpha } \right) \mathrm { d i v } \left( \phi _ { \alpha } \frac { \partial \hat { \psi } _ { \alpha } } { \partial \nabla \phi _ { \alpha } } \right) - \left( \tilde { \rho } _ { \alpha } \nabla \phi _ { \alpha } \otimes \frac { \partial \hat { \psi } _ { \alpha } } { \partial \nabla \phi _ { \alpha } } \right) : \nabla \mathbf { v } _ { \alpha } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { A } ( t _ { * } + r ) } & { { } = \mathcal { A } ^ { \prime } ( t _ { * } ) r + \mathcal { R } _ { 2 } ( t _ { * } ; r ) , } \\ { \mathcal { A } ( t _ { * } + r ^ { \prime } ) } & { { } = \mathcal { A } ^ { \prime } ( t _ { * } ) r ^ { \prime } + \mathcal { R } _ { 2 } ( t _ { * } ; r ^ { \prime } ) , } \end{array}
{ \underbrace { h _ { \beta \alpha } ~ h _ { \delta \gamma } } } = \left[ \frac { 1 } { 2 } \left( \eta _ { \beta \delta } \eta _ { \alpha \gamma } + \eta _ { \alpha \delta } \eta _ { \beta \gamma } \right) - \frac { 1 } { 8 } \, \eta _ { \alpha \beta } \eta _ { \gamma \delta } \right] \, \frac { 1 } { k _ { \bot } ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { \left\langle \hat { w } \right\rangle ^ { F } ( t ) } & { = \frac { 1 } { 2 } ( \mathrm { i } \hbar ) ^ { 2 } \sum _ { \alpha } \int \frac { \mathrm { d } \mathbf { k } } { ( 2 \pi \hbar ) ^ { d } } \frac { \mathrm { d } \mathbf { p } } { ( 2 \pi \hbar ) ^ { d } } Z _ { \alpha } ^ { 2 } \, G _ { \mathbf { k } \alpha } ^ { < } ( t ) \, G _ { \mathbf { p } \alpha } ^ { < } ( t ) \, w _ { \mathbf { k } - \mathbf { p } } = \frac { 1 } { 2 } \mathrm { i } \hbar \sum _ { \alpha } ( \pm ) _ { \alpha } \int \frac { \mathrm { d } \mathbf { k } } { ( 2 \pi \hbar ) ^ { d } } h _ { \mathbf { k } \alpha } ^ { \mathrm { H F } } ( t ) \, G _ { \mathbf { k } \alpha } ^ { < } ( t ) - \frac { 1 } { 2 } \left\langle \hat { T } \right\rangle ( t ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { a _ { 1 S - 5 S } ( x ) } & { { } = - \frac { 2 ^ { 2 } 5 ^ { 4 } \sqrt { 5 } v ^ { 2 } } { 3 ^ { 8 } ( v ^ { 2 } - 2 5 ) ^ { 6 } ( v ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } ( v ^ { 2 } + 6 v + 5 ) } \Upsilon _ { 1 S - 5 S } ( v ) , } \end{array}
\delta _ { \alpha _ { 1 } \beta _ { 1 } \cdots \alpha _ { n } \beta _ { n } } ^ { \mu _ { 1 } \nu _ { 1 } . . . \mu _ { n } \nu _ { n } } = ( 2 n ) ! \delta _ { \lbrack \alpha _ { 1 } } ^ { \mu _ { 1 } } \delta _ { \beta _ { 1 } } ^ { \nu _ { 1 } } \cdots \delta _ { \alpha _ { n } } ^ { \mu _ { n } } \delta _ { \beta _ { n } ] } ^ { \nu _ { n } } .