harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\left\{ \begin{array} { r l } { 0 = } & { { } ~ \frac { \alpha } { r + \mu } \varepsilon _ { 0 } \Lambda - \alpha y _ { 0 } ^ { * * } - \frac { \mu n ^ { * } y _ { 0 } ^ { * * } } { y _ { 0 } ^ { * * } + ( 1 - p _ { I } ) ( y _ { 1 } ^ { * * } + y _ { 2 } ^ { * * } ) } , } \\ { 0 = } & { { } ~ \frac { \alpha } { r + \mu } ( 1 - p _ { I } ) \varepsilon _ { 1 } \Lambda - \alpha ( 1 - p _ { I } ) y _ { 1 } ^ { * * } - \frac { \mu n ^ { * } ( 1 - p _ { I } ) y _ { 1 } ^ { * * } } { y _ { 0 } ^ { * * } + ( 1 - p _ { I } ) ( y _ { 1 } ^ { * * } + y _ { 2 } ^ { * * } ) } , } \\ { 0 = } & { { } ~ \frac { \alpha } { r + \mu } ( 1 - p _ { S } ) ( 1 - p _ { I } ) \varepsilon _ { 2 } \Lambda - \alpha ( 1 - p _ { S } ) ( 1 - p _ { I } ) y _ { 2 } ^ { * * } - \frac { \mu n ^ { * } ( 1 - p _ { I } ) y _ { 2 } ^ { * * } } { y _ { 0 } ^ { * * } + ( 1 - p _ { I } ) ( y _ { 1 } ^ { * * } + y _ { 2 } ^ { * * } ) } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \check { L } _ { 1 , 1 } ( \lambda , \hbar ) } & { \overset { \lambda \to \infty } { = } } & { \check { L } _ { 1 , 1 } ^ { ( 0 ) } \lambda ^ { r _ { \infty } - 4 } + O \left( \lambda ^ { r _ { \infty } - 5 } \right) } \\ { \check { L } _ { 1 , 2 } ( \lambda , \hbar ) } & { \overset { \lambda \to \infty } { = } } & { \lambda ^ { r _ { \infty } - 3 } + \check { L } _ { 1 , 2 } ^ { ( 1 ) } \lambda ^ { r _ { \infty } - 4 } + O \left( \lambda ^ { r _ { \infty } - 5 } \right) } \\ { \check { L } _ { 2 , 1 } ( \lambda , \hbar ) } & { \overset { \lambda \to \infty } { = } } & { \check { L } _ { 2 , 1 } ^ { ( 0 ) } \lambda ^ { r _ { \infty } - 1 } + \check { L } _ { 2 , 1 } ^ { ( 1 ) } \lambda ^ { r _ { \infty } - 2 } + O \left( \lambda ^ { r _ { \infty } - 3 } \right) } \\ { \check { L } _ { 2 , 2 } ( \lambda , \hbar ) } & { \overset { \lambda \to \infty } { = } } & { \check { L } _ { 2 , 2 } ^ { ( 0 ) } \lambda ^ { r _ { \infty } - 2 } + \check { L } _ { 2 , 2 } ^ { ( 1 ) } \lambda ^ { r _ { \infty } - 3 } + O \left( \lambda ^ { r _ { \infty } - 4 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { A } } & { { } = i \sum _ { \mu } \hat { a } _ { \mu } \varphi _ { \mu } ^ { * } , \qquad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \qquad \hat { B } = i \sum _ { \mu } \hat { a } _ { \mu } ^ { \dagger } \varphi _ { \mu } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { d e t } D _ { 3 } \equiv \left| \begin{array} { l l l } { 1 } & { r _ { 2 3 } e ^ { i k _ { 1 } ( x _ { 2 } - x _ { 1 } ) } } & { r _ { 3 4 } e ^ { i k _ { 1 } ( x _ { 2 } - x _ { 1 } ) } e ^ { i k _ { 2 } ( x _ { 3 } - x _ { 2 } ) } } \\ { r _ { 2 1 } e ^ { i k _ { 1 } ( x _ { 2 } - x _ { 1 } ) } } & { 1 } & { r _ { 3 4 } e ^ { i k _ { 2 } ( x _ { 3 } - x _ { 2 } ) } } \\ { r _ { 2 1 } e ^ { i k _ { 1 } ( x _ { 2 } - x _ { 1 } ) } e ^ { i k _ { 2 } ( x _ { 3 } - x _ { 2 } ) } } & { r _ { 3 2 } e ^ { i k _ { 2 } ( x _ { 3 } - x _ { 2 } ) } } & { 1 } \end{array} \right| . } \end{array}
\xi ^ { \mathrm { ~ s ~ } } ( \alpha , t ) = \alpha + \tilde { \xi } ^ { \mathrm { ~ s ~ } } ( \boldsymbol k \alpha , t ) , \qquad \qquad \xi ^ { \mathrm { ~ b ~ } } ( \alpha , t ) = \alpha + \tilde { \xi } ^ { \mathrm { ~ b ~ } } ( \boldsymbol k \alpha , t ) ,
\boldsymbol { \rho } _ { i , j } ^ { n } \approx \frac { 1 } { \Delta x \, \Delta y } \int _ { x _ { i - 1 / 2 } } ^ { x _ { i + 1 / 2 } } \int _ { y _ { j - 1 / 2 } } ^ { y _ { j + 1 / 2 } } \boldsymbol { \rho } ( x , y , t _ { n } ) \, \mathrm { d } y \, \mathrm { d } x .
g _ { a \gamma \gamma , * } = \left( \frac { \left| K _ { 3 } - K _ { 4 } \right| } { \left| \epsilon _ { 3 } - \epsilon _ { 4 } \right| - m _ { a } c ^ { 2 } } \right) \frac { \hbar } { \tau \sqrt { N } \left| \boldsymbol d _ { 3 , 4 } \right| } \sqrt { \frac { m _ { a } ^ { 2 } } { 2 \rho c \hbar ^ { 3 } } } ,
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { \tilde { r } } \frac { \partial } { \partial \tilde { r } } \left[ \tilde { r } \frac { \partial \tilde { E } _ { 1 } ^ { z } } { \partial \tilde { r } } \right] - \frac { \tilde { E } _ { 1 } ^ { z } } { \tilde { r } ^ { 2 } } = \frac { \nu g } { 2 } \left\{ 6 r K _ { 0 } ( r ) - \left( r ^ { 2 } + 4 \right) K _ { 1 } ( r ) \right\} . } \end{array}
\Gamma ( 2 \omega ) = \mathcal { D } ( 2 \omega ) \left[ \frac { \alpha _ { 1 } ^ { 2 } } { a _ { e } ( 2 \omega ) ^ { 2 } } + \frac { \pi ^ { 2 } } { L _ { e } ( 2 \omega ) ^ { 2 } } + \frac { 3 } { \ell _ { t } ( 2 \omega ) \ell _ { a } ( 2 \omega ) } \right]
\bar { n } ( y , Z ) \equiv \check { n } [ \xi ( y , Z ) , Z ] = \widetilde { n _ { 0 } } \left\{ \hat { z } _ { e } \left[ \xi ( y , Z ) , Z \right] \right\} , \qquad { \bar { \omega } } ^ { 2 } ( y , Z ) \equiv \frac { K \bar { n } } { \bar { \kappa } } ( y , Z )
R _ { \mu \nu \lambda } ^ { \kappa } = \Gamma _ { { \nu \lambda } , \mu } ^ { \kappa } - \Gamma _ { { \mu \lambda } , \nu } ^ { \kappa } + \Gamma _ { \mu \sigma } ^ { \kappa } \Gamma _ { \nu \lambda } ^ { \sigma } - \Gamma _ { \nu \sigma } ^ { \kappa } \Gamma _ { \mu \lambda } ^ { \sigma }
\begin{array} { r l } & { \left. \left. \left. \mathrm { \bf ~ E } \left[ D \left( p _ { L _ { 1 } L _ { 2 } | M } \right| \right| p _ { V _ { 1 } V _ { 2 } } \right| p _ { M } \right) \right] = \sum _ { \scriptstyle ( a , k _ { 1 } , k _ { 2 } ) \atop { \scriptstyle \in { \cal M } \times { \cal K } _ { 1 } \times { \cal K } _ { 2 } } } \sum _ { \scriptstyle ( l _ { 1 } , l _ { 2 } ) \atop { \scriptstyle \in { \cal L } _ { 1 } \times { \cal L } _ { 2 } } } 1 } \\ & { \quad \times p _ { M K _ { 1 } K _ { 2 } } ( a , k _ { 1 } , k _ { 2 } ) \mathrm { \bf ~ E } \left[ \Upsilon _ { ( \varphi _ { 1 } ( k _ { 1 } ) , l _ { 1 } ) , ( \varphi _ { 2 } ( k _ { 2 } ) , l _ { 2 } ) } \right] . } \end{array}
\left\vert I _ { 0 , 0 } ^ { m } ( \boldsymbol { x } - \boldsymbol { s } _ { 0 , 0 } ) \right\vert = \left\vert \mathcal { F } ^ { - 1 } \left( \chi _ { 0 , 0 } ( \boldsymbol { \xi } ) e ^ { 2 \pi i \eta _ { 0 , 0 } ( \boldsymbol { \xi } ) } \left( \mathcal { F } \left( I \right) ( \boldsymbol { \xi } ) + \delta _ { 0 , 0 } ( \boldsymbol { \xi } ) \right) \right) ( \boldsymbol { x } ) \right\vert \, ,
\theta _ { \pm } ( \tau ^ { \pm } , t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { - \left. \frac { \partial u ^ { \tau ^ { \pm } } } { \partial n ^ { \pm } } ( \tau ^ { \pm } , n ^ { \pm } , t ) \right| _ { n ^ { \pm } = 0 + } } & { \textrm { f o r } \tau ^ { \pm } \geq 0 , } \\ { 0 } & { \textrm { f o r } \tau ^ { \pm } < 0 , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \left( 1 - \frac { S } { B _ { 0 } } - \frac { A _ { 0 } r } { B _ { 0 } } \right) \frac { \partial f _ { 0 } } { \partial t } } & { { } = } & { - \left[ \frac { \partial \delta f _ { p = 0 } } { \partial t } + \left( \frac { 8 r ^ { 2 } \dot { A } _ { 0 } } { 2 1 B _ { 0 } } + \frac { r \dot { S } } { 2 B _ { 0 } } \right) \frac { \partial f _ { 0 } } { \partial r } \right] } \end{array}
{ \frac { \partial \Sigma ^ { \prime } } { \partial g } } = \widetilde { \frac { \partial \Sigma } { \partial g } } - ( S , \Sigma ^ { \prime } ) + i \hbar \Delta S - i \hbar \left\{ \tilde { \Delta } S - \left. { \frac { \partial \ln J ^ { \frac { 1 } { 2 } } } { \partial g } } \right| _ { \Phi , K } \right\} .
\begin{array} { r l r } { m _ { i } } & { { } = } & { \mathrm { s i g n } { \left[ \mathrm { t a n h } { \left( \beta \, I _ { i } \right) } - r _ { [ - 1 , + 1 ] } \right] } } \\ { I _ { i } } & { { } = } & { \sum _ { j } W _ { i j } m _ { j } + h _ { i } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { d } { \star J } } & { { } = c _ { \phi } \tilde { F } + ( - ) ^ { q + 1 } \ell \, { \star L } , } \\ { \mathrm { d } { \star \tilde { J } } } & { { } = \tilde { c } _ { \phi } F + ( - ) ^ { p + 1 } \tilde { \ell } \, { \star \tilde { L } } , } \\ { \mathrm { d } { \star L } } & { { } = 0 , } \\ { \mathrm { d } { \star \tilde { L } } } & { { } = 0 , } \\ { \nabla _ { \mu } T ^ { \mu \nu } } & { { } = ( F \cdot J ) ^ { \nu } + ( \tilde { F } \cdot \tilde { J } ) ^ { \nu } } \end{array}
\widetilde { \mathbf { x } } _ { t } ^ { t _ { \mathrm { d i f f } } } \triangleq \sqrt { \Bar { \alpha } ^ { t _ { \mathrm { d i f f } } } } \mathbf { x } _ { t } + \sqrt { 1 - \Bar { \alpha } ^ { t _ { \mathrm { d i f f } } } } \epsilon
\small { \left( \begin{array} { l } { R } \\ { r _ { m i n } } \\ { \alpha / 2 + \pi / 2 } \\ { \alpha } \end{array} \right) \to \left( \begin{array} { l } { r _ { d } + d r _ { d } } \\ { r _ { d } } \\ { \theta _ { d } } \\ { d \theta _ { d } } \end{array} \right) }
\varphi ( w ) \equiv F _ { 4 } ( x , w ) + F _ { 4 } \left( \frac { 1 } { x } , w \right) = \frac { w } { \sqrt { 1 - w ^ { 2 } } } \arctan \frac { \sqrt { 1 - w ^ { 2 } } } { w } \; ,
\begin{array} { r l } & { { \mathbb A } _ { \mu _ { 2 } , h } \, y = - y ^ { \prime \prime } - \frac { 2 } { x ^ { 2 } } y + \frac { 2 y ^ { \prime } ( 1 ) + ( 1 - { \sqrt 3 } i ) y ( 1 ) } { { 2 } { \sqrt 3 } ( 1 - i ) } \left[ { ( \sqrt 3 - 2 ) } \delta ( x - 1 ) - 2 \delta ^ { \prime } ( x - 1 ) \right] , } \\ & { { \mathbb A } _ { \mu _ { 2 } , h } ^ { * } \, y = - y ^ { \prime \prime } - \frac { 2 } { x ^ { 2 } } y + \frac { 2 y ^ { \prime } ( 1 ) + ( 1 + { \sqrt 3 } i ) y ( 1 ) } { { 2 } { \sqrt 3 } ( 1 + i ) } \left[ { ( \sqrt 3 - 2 ) } \delta ( x - 1 ) - 2 \delta ^ { \prime } ( x - 1 ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { l } { b _ { j } = ( \sigma _ { j } \sigma _ { j + 1 } \dots \sigma _ { j + x _ { 1 } - 2 } \sigma _ { j + x _ { 1 } - 1 } \sigma _ { j + x _ { 1 } - 2 } ^ { - 1 } \dots \sigma _ { j } ^ { - 1 } ) } \\ { ( \sigma _ { j } \sigma _ { j + 1 } \dots \sigma _ { j + x _ { 1 } - 2 } \sigma _ { j + x _ { 1 } - 1 } \sigma _ { j + x _ { 1 } - 2 } ^ { - 1 } \dots \sigma _ { j } ^ { - 1 } ) ^ { \pm 1 } } \\ { \dots } \\ { ( \sigma _ { j } \sigma _ { j + 1 } \dots \sigma _ { j + x _ { q } - 2 } \sigma _ { j + x _ { q } - 1 } \sigma _ { j + x _ { q } - 2 } ^ { - 1 } \dots \sigma _ { j } ^ { - 1 } ) ^ { \pm 1 } , } \\ { j = 1 , \dots , N ^ { \prime } \; \; N ^ { \prime } = N - m a x ( x _ { i } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \left( \partial _ { r } ^ { 2 } + \frac { 1 } { r } \partial _ { r } + 2 i k \partial z + \partial z ^ { 2 } \right. } \\ & { } & { \left. + \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \partial _ { \phi } ^ { 2 } + ( k _ { n _ { 0 } } ^ { 2 } - k ^ { 2 } ) + k _ { n _ { 0 } } ^ { 2 } g ^ { 2 } r ^ { 2 } \right) \psi = 0 } \end{array}
{ \cal T } _ { \alpha } = ( i \hbar ) ^ { - 1 } [ \Omega , \bar { \cal P } _ { \alpha } ] = T _ { \alpha } + C ^ { \beta } U _ { \alpha \beta } ^ { \gamma } \bar { \cal P } _ { \gamma } ( - 1 ) ^ { \varepsilon _ { \alpha } + \varepsilon _ { \gamma } } .
\left( { \frac { \dot { R } } { R } } \right) ^ { 2 } = - \xi ^ { 2 } R ^ { - { \frac { 2 } { 3 } } k ^ { 2 } } + { \frac { \kappa _ { 5 } ^ { 4 } } { 3 6 } } ( \lambda + \rho ) ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } ( D _ { \ell - 1 } ^ { 0 } ( \mathbf { m } ^ { \prime } ) \cap A _ { \ell } ( \mathbf { m } , \mathbf { a } , \sigma ) ) } & { \ge \mathbb { E } [ \mathbb { P } _ { \mathcal { G } } ( D _ { \ell - 1 } ^ { 0 } ( \mathbf { m } ^ { \prime } ) ) \mathbf { 1 } ( A _ { \ell } ( \mathbf { m } , \mathbf { a } , \sigma ) \cap D _ { \ell - 1 } ^ { t } ( \mathbf { m } ) \cap E _ { t } ) ] } \\ & { \ge \frac { 1 } 2 \mathbb { P } ( A _ { \ell } ( \mathbf { m } , \mathbf { a } , \sigma ) \cap D _ { \ell - 1 } ^ { t } ( \mathbf { m } ) \cap E _ { t } ) } \end{array}
B r ( J / \psi \rightarrow \gamma f _ { J } ( 2 2 2 0 ) ) B r ( f _ { J } ( 2 2 2 0 ) \rightarrow K ^ { + } K ^ { - } ) = ( 3 . 3 _ { - 1 . 3 } ^ { + 1 . 6 } \pm 1 . 2 ) \times 1 0 ^ { - 5 } ,
\frac { \partial \hat { c } _ { 0 } } { \partial E } = 2 \left( k _ { 4 } \frac { \partial \hat { A } _ { 2 } } { \partial E } + \hat { A } _ { 2 } \frac { \partial k _ { 4 } } { \partial E } \right) + k _ { 5 } \frac { \partial \hat { A } _ { 1 } } { \partial E } + \hat { A } _ { 1 } \frac { \partial k _ { 5 } } { \partial E } ~ ~ , ~ ~ \frac { \partial \hat { c } _ { 0 } } { \partial \kappa } = 2 k _ { 4 } \frac { \partial \hat { A } _ { 2 } } { \partial \kappa } .
\mathcal { L } _ { v } ( \boldsymbol { \theta } _ { 2 } ) = \frac { 1 } { N } \sum _ { t = 0 } ^ { N - 1 } \lVert \widetilde { \mathbf { u } } ^ { t + 1 } + \mathscr { F } _ { c o n v _ { 2 } } ( \mathbf { \widetilde { u } } ^ { t + 1 } , \mathbf { u } ^ { t } , \varepsilon ^ { t + 1 } , \varepsilon ^ { t } , \mathbf { s } _ { c o n v _ { 2 } } ^ { t } , \boldsymbol { \lambda } ; \boldsymbol { \theta } _ { 2 } ) - \mathbf { u } _ { d } ^ { t + 1 } \rVert _ { L _ { 2 } } ^ { 2 }
\begin{array} { r l r } { D _ { K } ( t , t ^ { \prime } ) } & { = } & { - \frac { i } { 2 } \langle n | \{ \hat { P } ( t ) , \hat { P } ( t ^ { \prime } ) \} | n \rangle } \\ & { = } & { - i [ a ( t ) a ( t ^ { \prime } ) \langle n \vert P ^ { 2 } \vert n \rangle + b ( t ) b ( t ^ { \prime } ) \langle n \vert \pi ^ { 2 } \vert n \rangle ] } \\ & { = } & { - i [ a ( t ) a ( t ^ { \prime } ) + \omega _ { P } ^ { 2 } b ( t ) b ( t ^ { \prime } ) ] \left( \frac { n + \frac { 1 } { 2 } } { \omega _ { P } } \right) . } \end{array}
\vec { u } = \left( \begin{array} { l } { \vec { u } _ { x } } \\ { \vec { u } _ { y } } \\ { \vec { u } _ { z } } \end{array} \right) \, , \quad \overline { { \vec { f } } } = \left( \begin{array} { l } { \overline { { \vec { f } } } _ { x } } \\ { \overline { { \vec { f } } } _ { y } } \\ { \overline { { \vec { f } } } _ { z } } \end{array} \right) \, , \quad \vec { s } = \left( \begin{array} { l } { \vec { s } _ { x } } \\ { \vec { s } _ { y } } \\ { \vec { s } _ { z } } \end{array} \right) \, .
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial { \widetilde { J } } } { \partial x } } & { = } & { \delta ( x ) - ( s + \gamma ) { \widetilde P } , } \\ { v ^ { 2 } \frac { \partial { \widetilde P } } { \partial x } } & { = } & { - ( s + \alpha + \gamma ) { \widetilde J } , } \\ { { \widetilde P } _ { _ B } } & { = } & { \frac { \gamma } { s } { \widetilde P } . } \end{array}
\frac { \Delta B _ { x } } { B \rho } \approx ( \frac { \Delta B _ { x } } { B \rho } ) _ { 0 } + \frac { \frac { \partial B _ { x } } { \partial x } } { B \rho } x _ { \mathrm { c o } } + \frac { \frac { \partial B _ { x } } { \partial y } } { B \rho } y _ { \mathrm { c o } }
A _ { 3 } ( q ^ { 2 } ) = { \frac { M _ { B } + M _ { K ^ { * } } } { 2 M _ { K ^ { * } } } } A _ { 1 } ( q ^ { 2 } ) - { \frac { M _ { B } - M _ { K ^ { * } } } { 2 M _ { K ^ { * } } } } A _ { 2 } ( q ^ { 2 } )
\begin{array} { r l r } { \Gamma [ A ] } & { { } = } & { - \mathrm { \mathrm { T r } \, } \mathrm { l n } \Bigl \lbrack - ( \partial + i e A ) ^ { 2 } + m ^ { 2 } \Bigr \rbrack = \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d T } { T } \, \mathrm { T r } \, \mathrm { e x p } \Bigl \lbrack - T ( - ( \partial + i e A ) ^ { 2 } + m ^ { 2 } ) \Bigr \rbrack } \end{array}
\mathcal { L } _ { \mathrm { e f f } } = \frac { \chi _ { \perp } } { 2 } \left[ \left( \frac { \dot { \theta } } { \overline { { \gamma } } } + H _ { x } \sin \varphi \right) ^ { 2 } + \left( \left( \frac { \dot { \varphi } } { \overline { \gamma } } - H _ { z } \right) \sin \theta + H _ { x } \cos \theta \cos \varphi \right) ^ { 2 } \right] - \frac { m \dot { \varphi } } { \gamma _ { \mathrm { e f f } } } \cos \theta - U ( \theta , \varphi ) + \bar { f } ( \theta , \varphi ) ,
{ \begin{array} { r l } { \mathbb { Q } \left( { \sqrt { 2 } } , { \sqrt { 3 } } \right) } & { = \mathbb { Q } \left( { \sqrt { 2 } } \right) \left( { \sqrt { 3 } } \right) } \\ & { = \left\{ a + b { \sqrt { 3 } } \mid a , b \in \mathbb { Q } \left( { \sqrt { 2 } } \right) \right\} } \\ & { = \left\{ a + b { \sqrt { 2 } } + c { \sqrt { 3 } } + d { \sqrt { 6 } } \mid a , b , c , d \in \mathbb { Q } \right\} , } \end{array} }
\alpha _ { k } ( t ) = \left( \frac { C _ { k } } { 2 \Gamma _ { k } } \right) e ^ { \Gamma _ { k } t } \left( 1 + e ^ { i \Delta _ { k } } e ^ { - 2 \Gamma _ { k } t } \right) e ^ { - i \Delta _ { k } / 2 } e ^ { - i \Theta _ { k } }
\begin{array} { r l r } { \tilde { W } _ { -- } } & { = } & { \frac { \Omega ^ { ( 2 ) } ( k ^ { \prime } ) \Omega ^ { ( 2 ) } ( k - k ^ { \prime } ) R ^ { ( 1 1 ) } + \Omega ^ { ( 1 ) } ( k ^ { \prime } ) \Omega ^ { ( 1 ) } ( k - k ^ { \prime } ) R ^ { ( 2 2 ) } } { \left[ \Omega ^ { ( 1 ) } ( k ^ { \prime } ) - \Omega ^ { ( 2 ) } ( k ^ { \prime } ) \right] \left[ \Omega ^ { ( 1 ) } ( k - k ^ { \prime } ) - \Omega ^ { ( 2 ) } ( k - k ^ { \prime } ) \right] } } \\ & { } & { - \frac { \Omega ^ { ( 2 ) } ( k ^ { \prime } ) \Omega ^ { ( 1 ) } ( k - k ^ { \prime } ) R ^ { ( 1 2 ) } + \Omega ^ { ( 1 ) } ( k ^ { \prime } ) \Omega ^ { ( 2 ) } ( k - k ^ { \prime } ) R ^ { ( 2 1 ) } } { \left[ \Omega ^ { ( 1 ) } ( k ^ { \prime } ) - \Omega ^ { ( 2 ) } ( k ^ { \prime } ) \right] \left[ \Omega ^ { ( 1 ) } ( k - k ^ { \prime } ) - \Omega ^ { ( 2 ) } ( k - k ^ { \prime } ) \right] } } \\ { \tilde { W } _ { - + } } & { = } & { i \frac { \Omega ^ { ( 1 ) } ( k ^ { \prime } ) \left( R ^ { ( 2 1 ) } - R ^ { ( 2 2 ) } \right) + \Omega ^ { ( 2 ) } ( k ^ { \prime } ) \left( R ^ { ( 1 2 ) } - R ^ { ( 1 1 ) } \right) } { \left[ \Omega ^ { ( 1 ) } ( k ^ { \prime } ) - \Omega ^ { ( 2 ) } ( k ^ { \prime } ) \right] \left[ \Omega ^ { ( 1 ) } ( k - k ^ { \prime } ) - \Omega ^ { ( 2 ) } ( k - k ^ { \prime } ) \right] } } \\ { \tilde { W } _ { + - } } & { = } & { i \frac { \Omega ^ { ( 1 ) } ( k - k ^ { \prime } ) \left( R ^ { ( 2 1 2 ) } - R ^ { ( 2 2 ) } \right) + \Omega ^ { ( 2 ) } ( k - k ^ { \prime } ) \left( R ^ { ( 2 1 ) } - R ^ { ( 1 1 ) } \right) } { \left[ \Omega ^ { ( 1 ) } ( k ^ { \prime } ) - \Omega ^ { ( 2 ) } ( k ^ { \prime } ) \right] \left[ \Omega ^ { ( 1 ) } ( k - k ^ { \prime } ) - \Omega ^ { ( 2 ) } ( k - k ^ { \prime } ) \right] } } \\ { \tilde { W } _ { + + } } & { = } & { \frac { R ^ { ( 1 2 ) } + R ^ { ( 2 1 ) } - R ^ { ( 1 1 ) } - R ^ { ( 2 2 ) } } { \left[ \Omega ^ { ( 1 ) } ( k ^ { \prime } ) - \Omega ^ { ( 2 ) } ( k ^ { \prime } ) \right] \left[ \Omega ^ { ( 1 ) } ( k - k ^ { \prime } ) - \Omega ^ { ( 2 ) } ( k - k ^ { \prime } ) \right] } \; . } \end{array}
g = \int _ { S _ { \infty } ^ { 2 } } d \vec { \sigma } \cdot \vec { B } = \frac { 1 } { 2 e v ^ { 3 } } \int _ { S _ { \infty } ^ { 2 } } d ^ { 2 } \sigma ^ { i } \, \varepsilon _ { i j k } \varepsilon ^ { a b c } \Phi _ { a } \partial ^ { j } \Phi _ { b } \partial ^ { k } \Phi _ { c } = \frac { 4 \pi n } { e } \, ,
\operatorname* { l i m } _ { \substack { t \to \infty } { \varepsilon \to 0 } \varphi ( t , \varepsilon ) ^ { - 2 \, \ensuremath { \mathbb E } } } \left[ | B _ { t , \varepsilon } - { \ensuremath { \mathbb E } } [ B _ { t , \varepsilon } \ | \ { \ensuremath { \mathcal F } } _ { r } ] | ^ { 2 } \mathbf { 1 } _ { { \ensuremath { \mathcal A } } _ { q , R } } \right] = 0
\begin{array} { r l r } & { \ } & { \left\| U ^ { 1 / 2 } \Phi \left( ( \hat { H } ^ { k } + \omega I ) ^ { - 1 } - \left( \Phi ^ { \top } U \Phi \right) ^ { - 1 } \right) \right\| _ { 2 } } \\ & { = } & { \Big \| U ^ { 1 / 2 } \Phi \big ( \Phi ^ { \top } U \Phi \big ) ^ { - 1 } \big ( \Phi ^ { \top } \hat { U } ^ { k } \Phi + \omega I - \Phi ^ { \top } U \Phi \big ) \big ( \Phi ^ { \top } \hat { U } ^ { k } \Phi + \omega I \big ) ^ { - 1 } \Big \| _ { 2 } } \\ & { \leq } & { \left\| U ^ { 1 / 2 } \Phi \left( \Phi ^ { \top } U \Phi \right) ^ { - 1 } \right\| _ { 2 } \cdot \left\| \Phi ^ { \top } \hat { U } ^ { k } \Phi + \omega I - \Phi ^ { \top } U \Phi \right\| _ { 2 } \cdot \Big \| \left( \Phi ^ { \top } \hat { U } ^ { k } \Phi + \omega I \right) ^ { - 1 } \Big \| _ { 2 } } \\ & { \overset { ( i ) } { \leq } } & { \frac { 1 } { \lambda _ { 0 } ^ { 1 / 2 } } \cdot ( \eta + \omega ) \cdot \frac { 1 } { \lambda _ { 0 } + \omega - \eta } = \frac { 1 } { \lambda _ { 0 } ^ { 3 / 2 } } ( \eta + \omega ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { j \in \mathrm { ~ n ~ . ~ n ~ . ~ } } \lambda _ { q \zeta } ^ { i j } \lambda _ { q ^ { \prime } \zeta ^ { \prime } } ^ { i j } = \eta \lambda _ { q } \lambda _ { q ^ { \prime } } \, \epsilon _ { q \zeta } \cdot P _ { \parallel } \epsilon _ { q ^ { \prime } \zeta ^ { \prime } } \, e ^ { i ( q + q ^ { \prime } ) \cdot r _ { i } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { q _ { j } \left( \sum _ { k = 0 } ^ { N - 1 } \tilde { h } ^ { k } \tilde { r } _ { k , N } ( t ) \right) } & { \leq \tilde { h } ^ { N } h ^ { - | t | M _ { 0 } } \sum _ { k = 0 } ^ { N - 1 } C _ { d , N , j , k } ( 1 + | t | ) ^ { k } N _ { \infty } ( P ) } \\ & { \leq C _ { d , j , N } \tilde { h } ^ { N } h ^ { - | t | M _ { 0 } } ( 1 + | t | ) ^ { N - 1 } N _ { \infty } ( P ) } \end{array}
\epsilon _ { t } = { \frac { 1 } { 4 } } \langle { 0 } | { \frac { \beta ( \alpha _ { s } ) } { 4 \alpha _ { s } } } G _ { \mu \nu } ^ { a } G _ { \mu \nu } ^ { a } | { 0 } \rangle + { \frac { 1 } { 4 } } \sum _ { f } m _ { f } ^ { 0 } \langle { 0 } | \overline { { q } } _ { f } q _ { f } | { 0 } \rangle ,
B _ { i j } { } ^ { k } \Phi _ { k a _ { 0 } a _ { 1 } \ldots a _ { n } } = \sum _ { p , q } ( - 1 ) ^ { p + q - 1 } \Phi _ { i b a _ { p } \ldots a _ { q } } \Phi _ { j } { } ^ { b } { } _ { a _ { q + 1 } \ldots a _ { p - 1 } } ,
\begin{array} { r l r } { \Psi ^ { \prime } } & { = } & { \frac { L _ { r } ^ { \prime } - L ^ { \prime } } { L _ { r } ^ { \prime } - L _ { m i n } ^ { \prime } } } \\ & { = } & { \frac { a L _ { r } + b - a L - b } { a L _ { r } + b - a L _ { m i n } - b } } \\ & { = } & { \frac { a ( L _ { r } - L ) } { a ( L _ { r } - L _ { m i n } ) } } \\ & { = } & { \Psi . } \end{array}
\begin{array} { r } { K _ { \mathrm { ~ l ~ i ~ n ~ e ~ a ~ r ~ } } \sim \frac 1 2 \frac { \delta E } { \epsilon ^ { 2 } } = \frac { 1 } { 2 } \frac { E ( \epsilon ) - E _ { 0 } } { \epsilon ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { u ( x , t ) = \mathrm { s e c h } ^ { 3 } \left( \frac { 3 } { \delta _ { 0 } } \left( - 2 . 5 + \xi \right) \right) + \mathrm { s e c h } ^ { 3 } \left( \frac { 3 } { \delta _ { 0 } } \left( - 2 . 5 + \eta \right) \right) , } \\ & { \xi = \mathrm { m o d } \left( x - x _ { 0 } + c t + 2 . 5 , 5 \right) , \quad \eta = \mathrm { m o d } \left( x - x _ { 0 } - c t + 2 . 5 , 5 \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varepsilon \dot { x } } & { { } = x ( 1 - x ) [ \binom { N - 1 } { M - 1 } x ^ { M - 1 } ( 1 - x ) ^ { N - M } r b - c ] } \\ { \dot { r } } & { { } = r ( 1 - r ) [ u ( 1 - x ) - x ] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { \| \tilde { \ell } _ { 2 } \| _ { \boldsymbol { U } ^ { * } } \lesssim \bigg ( \sum _ { \tau \in \mathcal { T } } h _ { \tau } ^ { 2 } ( \| R _ { 2 } ( \boldsymbol { u } _ { h } , \boldsymbol { p } _ { h } ) \| _ { L ^ { 2 } ( \tau ) } ^ { 2 } + \| R _ { 2 } ( \boldsymbol { u } _ { h } ) \| _ { L ^ { 2 } ( \tau ) } ^ { 2 } ) } } \\ & { } & { \ \ \ \ + \sum _ { f \in \mathcal { F } } h _ { f } ( \| J _ { 1 } ( \boldsymbol { p } _ { h } ) \| _ { L ^ { 2 } ( f ) } ^ { 2 } + \| J _ { 2 } ( \boldsymbol { u } _ { h } ) \| _ { L ^ { 2 } ( f ) } ^ { 2 } ) + \sum _ { \tau \in \mathcal { T } } \| \boldsymbol { u } _ { h } - \tilde { \boldsymbol { u } } _ { h } \| _ { L ^ { 2 } ( \tau ) } ^ { 2 } \bigg ) ^ { 1 / 2 } . \ \ } \end{array}
{ \frac { 1 } { 2 } } { \frac { d ^ { 2 } I } { d t ^ { 2 } } } + \int _ { V } x _ { k } { \frac { \partial G _ { k } } { \partial t } } \, d ^ { 3 } r = 2 ( T + U ) + W ^ { \mathrm { E } } + W ^ { \mathrm { M } } - \int x _ { k } ( p _ { i k } + T _ { i k } ) \, d S _ { i } ,
{ \cal L } = - \frac { \lambda _ { R } ^ { 2 } } { 2 M _ { { \cal S } _ { 1 / 2 } ^ { R } } ^ { 2 } } \left( \overline { { { e _ { R } } } } \gamma ^ { \mu } e _ { R } \overline { { { d _ { L } } } } \gamma _ { \mu } d _ { L } + \overline { { { e _ { R } } } } \gamma ^ { \mu } e _ { R } \overline { { { u _ { L } } } } \gamma _ { \mu } u _ { L } \right) \; .
\begin{array} { r } { \hat { \textbf { p } } = M ^ { + } \textbf { p } _ { H } \; \; \; M ^ { + } = ( M ^ { T } M ) ^ { - 1 } M ^ { T } } \\ { \mathbb { E } [ \textrm { R M S } ] = | | \hat { \textbf { p } } - \textbf { p } | | = | | M ^ { + } \textbf { e } _ { H } | | } \end{array}