harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { v } } & { = ( \hat { a } _ { e } , \hat { a } _ { e } ^ { \dagger } , \hat { a } _ { o } , \hat { a } _ { o } ^ { \dagger } , \hat { a } _ { t } , \hat { a } _ { t } ^ { \dagger } , \hat { a } _ { \mathrm { t m } } , \hat { a } _ { \mathrm { t m } } ^ { \dagger } ) ^ { \top } , } \\ { \boldsymbol { f } _ { \mathrm { i n } } } & { = ( \delta \hat { a } _ { e , \mathrm { 0 } } , \delta \hat { a } _ { e , \mathrm { 0 } } ^ { \dagger } , \delta \hat { a } _ { e , \mathrm { i n } } , \delta \hat { a } _ { e , \mathrm { i n } } ^ { \dagger } , \delta \hat { a } _ { o , \mathrm { 0 } } , \delta \hat { a } _ { o , \mathrm { 0 } } ^ { \dagger } , \delta \hat { a } _ { o , \mathrm { i n } } , \delta \hat { a } _ { o , \mathrm { i n } } ^ { \dagger } , \delta \hat { a } _ { t , \mathrm { v a c } } , \delta \hat { a } _ { t , \mathrm { v a c } } ^ { \dagger } , \delta \hat { a } _ { \mathrm { t m , v a c } } , \delta \hat { a } _ { \mathrm { t m , v a c } } ^ { \dagger } ) ^ { \top } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \left\langle U _ { n m } \right\rangle = \sum _ { k = n } ^ { m - 1 } \cos ^ { k - 1 } \beta = \frac { \cos ( \beta ) ^ { n } - \cos ( \beta ) ^ { m } } { \cos \beta ( 1 - \cos \beta ) } ; } \\ & { } & { \left\langle \left| U _ { n m } - \left\langle U _ { n m } \right\rangle \right| ^ { 2 } \right\rangle = \sum _ { l = n } ^ { m - 1 } \sum _ { k = n } ^ { m - 1 } \left\langle \xi _ { k } \xi _ { l } ^ { \star } \right\rangle = \sum _ { l = n } ^ { m - 1 } \sum _ { k = n } ^ { m - 1 } \left( \cos \beta ^ { | l - k | } - \cos \beta ^ { l } \cos \beta ^ { k } \right) ; } \\ & { } & { \xi _ { r } = \exp \left( \imath \alpha _ { r , n } \right) - \left\langle \exp \left( \imath \alpha _ { r , n } \right) \right\rangle } \end{array}
\delta S ^ { C T P } \left[ \phi ^ { + } , \phi ^ { - } \right] = - i \ln \int D \Phi ^ { + } D \Phi ^ { - } \; e ^ { i \left\{ S _ { H } \left( \Phi ^ { + } \right) - S _ { H } \left( \Phi ^ { + } \right) + S _ { l H } \left( \phi ^ { + } , \Phi ^ { + } \right) - S _ { l H } \left( \phi ^ { - } , \Phi ^ { - } \right) \right\} }
i \partial _ { t } \tilde { c } _ { E } ( t ) = ( \omega _ { E } - \omega _ { g } - \omega ) \tilde { c } _ { E } ( t ) + \mathcal { D } _ { g E } ^ { * } e ^ { i \omega t } \tilde { c } _ { g } ( t ) + \mathcal { V } _ { a E } ^ { * } \tilde { c } _ { a } ( t ) .
\begin{array} { r l } & { \frac { \big ( \Omega _ { h } + \frac { 1 } { n - 1 } ( S _ { 1 } ( \partial \partial _ { J } u ) \Omega - \partial \partial _ { J } u ) \big ) ^ { n } } { \Omega ^ { n } } } \\ { = } & { \frac { \mathrm { P f } \big ( \ast ( \Omega _ { h } + \frac { 1 } { n - 1 } ( S _ { 1 } ( \partial \partial _ { J } u ) \Omega - \partial \partial _ { J } u ) ) \big ) } { \mathrm { P f } ( \ast \Omega ) } } \\ { = } & { \frac { \mathrm { P f } ( \Omega _ { 0 } ^ { n - 1 } + \partial \partial _ { J } u \wedge \Omega ^ { n - 2 } ) } { \mathrm { P f } ( \Omega ^ { n - 1 } ) } . } \end{array}
\mathbf { m ^ { * } } = \mathbf { m } - \Delta t [ \mathbf { \Lambda } ] \left( \mathbf { m } - \mathbf { m ^ { e q } } \right) + \Delta t \left( 1 - \frac { \Delta t } { 2 } [ \mathbf { \Lambda } ] \right) \mathbf { F _ { m } }
U _ { \mathbf { k } _ { \alpha } \rightarrow \mathbf { k } _ { \beta } } ^ { ( n ) } : = \langle \mathbf { u } _ { \mathbf { k } _ { \alpha } } ^ { ( n ) } \vert \mathbf { u } _ { \mathbf { k } _ { \beta } } ^ { ( n ) } \rangle / \vert \langle \mathbf { u } _ { \mathbf { k } _ { \alpha } } ^ { ( n ) } \vert \mathbf { u } _ { \mathbf { k } _ { \beta } } ^ { ( n ) } \rangle \vert \quad ( \alpha , \beta = 1 , 2 , 3 , 4 )
Z ( \omega ) = \frac { i n } { \pi C _ { + } \omega } \int _ { 2 \pi } ^ { 4 \pi } e ^ { - i n \hat { t } } \left( \int _ { 0 } ^ { \hat { t } } \sin ( n \hat { s } ) f \left( \frac { n \hat { s } } { \omega \tau } \right) e ^ { \frac { \tau } { \theta _ { + } } \left[ g \left( \frac { n \hat { s } } { \omega \tau } \right) - g \left( \frac { n \hat { t } } { \omega \tau } \right) \right] } d \hat { s } \right) d \hat { t } .
\begin{array} { r l r l r l } { { 4 } } & { \textbf { S y s t e m A } \: \: \: \: } & & { V _ { 1 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } & & { = 0 . 5 \cdot k _ { 1 } ( x _ { 1 } - x _ { 1 } ^ { \circ } ) ^ { 2 } } \\ & { } & & { V _ { 2 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } & & { = 0 . 5 \cdot k _ { 2 } ( x _ { 2 } - x _ { 2 } ^ { \circ } ) ^ { 2 } } \\ & { } & & { V _ { 3 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } & & { = 0 . 5 \cdot \kappa \cdot 0 . 5 ( C \operatorname { t a n h } ( \alpha ( x _ { 1 } - x _ { 1 } ^ { \circ } ) ) + 1 . 0 ) \cdot ( ( x _ { 2 } - x _ { 1 } ) - d ) ^ { 2 } } \\ & { } & & { V } & & { = V _ { 1 } + V _ { 2 } + V _ { 3 } } \\ & { \textbf { S y s t e m B } } & & { V _ { 1 } ( x _ { 1 } ) } & & { = 0 . 5 \cdot k _ { 1 } ( x _ { 1 } - x _ { 1 } ^ { \circ } ) ^ { 2 } , } \end{array}
x _ { t } - x _ { 0 } - \int _ { 0 } ^ { t } \mathrm { d } t ^ { \prime } \mu ~ \! F _ { t ^ { \prime } } = \sqrt { 2 ~ \! D } \int _ { 0 } ^ { t } \mathrm { d } t ^ { \prime } \eta _ { t ^ { \prime } } \, ,
\mathbf { f } _ { i } = \mathcal { L } _ { h } ( \phi _ { A , i } ) = \sum _ { \kappa _ { A } \in \mathcal { T } _ { A } } ( f , \phi _ { A , i } ) _ { \kappa _ { A } } ^ { N I } , \quad i = 1 , \dots , N _ { A } ,
\begin{array} { r l } { P ( \hat { A } _ { 0 } ) } & { \geq P \left( \widetilde { B } _ { 0 } \cap \{ \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq t \leq \hat { t } _ { 1 } , x \in [ 0 , 1 ] } | D ( t , x ) | \leq \frac { \epsilon } { 6 } \} \right) } \\ & { = P \left( \widetilde { B } _ { 0 } \cap \{ \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq t \leq \hat { t } _ { 1 } , x \in [ 0 , 1 ] } | \widetilde { D } ( t , x ) | \leq \frac { \epsilon } { 6 } \} \right) } \\ & { \geq P ( \widetilde { B } _ { 0 } ) - P ( \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq t \leq \hat { t } _ { 1 } , x \in [ 0 , 1 ] } | \widetilde { D } ( t , x ) | > \frac { \epsilon } { 6 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \Lambda ; S , \Sigma ; J , \Omega , M | e ^ { 2 i q \theta } T _ { 2 q } ^ { 2 } ( J , S ) | } & { \Lambda ^ { \prime } ; S , \Sigma ^ { \prime } ; J ^ { \prime } , \Omega ^ { \prime } , M ^ { \prime } \rangle } \\ & { = \delta _ { J , J ^ { \prime } } \delta _ { M , M ^ { \prime } } \delta _ { \Lambda + 2 q , \Lambda ^ { \prime } } } \\ & { \times ( - 1 ) ^ { J - \Omega } \left( \begin{array} { c c c } { J } & { 1 } & { J } \\ { - \Omega } & { - q } & { \Omega ^ { \prime } } \end{array} \right) \sqrt { J ( J + 1 ) ( 2 J + 1 ) } } \\ & { \times ( - 1 ) ^ { S - \Sigma } \left( \begin{array} { c c c } { S } & { 1 } & { S } \\ { - \Sigma } & { q } & { \Sigma ^ { \prime } } \end{array} \right) \sqrt { S ( S + 1 ) ( 2 S + 1 ) } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { f _ { g r } ^ { \alpha } = \left( \eta ^ { \alpha \beta } - \xi \, h ^ { \alpha \beta } \right) \partial _ { \beta } p = \frac { d { \, \ln { ( p ) } } } { d \tau } \varrho U ^ { \alpha } - T ^ { \alpha \beta } \partial _ { \beta } \ln { ( p ) } } \\ { f _ { E M } ^ { \alpha } = \frac { \Lambda _ { \rho } } { p } \left( f ^ { \alpha } - f _ { g r } ^ { \alpha } \right) } \\ { f _ { o t h } ^ { \alpha } = \frac { \varrho c ^ { 2 } } { p } \left( f ^ { \alpha } - f _ { g r } ^ { \alpha } \right) } \end{array} \right.
\frac { d } { d t } d ^ { N } = \frac { 1 } { 2 i } \ \mathcal { B } d ^ { N } - \lambda \ L ^ { N } \cdot d ^ { N } - ( \lambda + i ) \mu \ G : : \left( ( d ^ { N } \otimes \overline { { d ^ { N } } } ) ^ { \frac { p } { 2 } } \otimes d ^ { N } \right) ,
\begin{array} { r l } { i \hbar { \frac { \partial } { \partial t } } \psi ( \mathbf { x } _ { 1 } , \mathbf { x } _ { 2 } , \ldots , \mathbf { x } _ { N } , t ) } & { = \left( - \sum _ { j = 1 } ^ { N } { \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m _ { j } } } { \nabla _ { j } ^ { 2 } } + V ( \mathbf { x } _ { 1 } , \mathbf { x } _ { 2 } , \ldots , \mathbf { x } _ { N } , t ) \right) \psi ( \mathbf { x } _ { 1 } , \mathbf { x } _ { 2 } , \ldots , \mathbf { x } _ { N } , t ) . } \end{array}
( \mathrm { s _ { A } ^ { 2 } \mathrm { z _ { A } ^ { 2 } \mathrm { \overline { { s } } _ { B } \mathrm { z _ { B } - \mathrm { s _ { B } ^ { 2 } \mathrm { z _ { B } ^ { 2 } \mathrm { s _ { A } \mathrm { \overline { { z } } _ { A } ) ( \mathrm { x _ { A } \mathrm { \overline { { x } } _ { B } - \mathrm { y _ { A } \mathrm { \overline { { y } } _ { B } ) } } } } } } } } } } } }
{ \begin{array} { r l } { { \binom { - n } { k } } } & { = { \frac { - n \cdot - ( n + 1 ) \dots - ( n + k - 2 ) \cdot - ( n + k - 1 ) } { k ! } } } \\ & { = ( - 1 ) ^ { k } \; { \frac { n \cdot ( n + 1 ) \cdot ( n + 2 ) \cdots ( n + k - 1 ) } { k ! } } } \\ & { = ( - 1 ) ^ { k } { \binom { n + k - 1 } { k } } } \\ & { = ( - 1 ) ^ { k } \left( \! \! { \binom { n } { k } } \! \! \right) \; . } \end{array} }
M _ { \mathrm { s o l } } = 1 9 . 4 7 F \left[ a _ { 1 } \sqrt { \frac { \kappa \mu } { 0 . 3 1 6 } } + a _ { 2 } \right] \ , \ \ \ \ \ \ R _ { \mathrm { s o l } } \sim ( 3 - 4 ) \kappa \sqrt { \frac { 0 . 3 1 6 } { \kappa \mu } } \ ,
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \Delta t } ( u _ { i } ^ { 1 } - u _ { i } ^ { 0 } ) } & { = \operatorname { d i v } ( \gamma _ { i } \nabla u _ { i } ^ { 1 } + u _ { i } ^ { 1 } \nabla p _ { i } ( u ^ { 1 } ) ) , } \\ { \frac { 1 } { \Delta t } \bigg ( \frac 3 2 u _ { i } ^ { k } - 2 u _ { i } ^ { k - 1 } + \frac 1 2 u _ { i } ^ { k - 2 } \bigg ) } & { = \operatorname { d i v } ( \gamma _ { i } \nabla u _ { i } ^ { k } + ( u _ { i } ^ { k } ) ^ { + } \nabla p _ { i } ( u ^ { k } ) ) \quad \mathrm { i n ~ } \Omega , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \widetilde { T } } & { { } = } & { g _ { t t } \left( r \right) \, A ( r ) \, \mathrm { d } t \otimes \mathrm { d } t - g _ { r r } \left( r \right) \bigg [ B \left( r \right) + C ( r ) \, r ^ { 2 } \bigg ] \mathrm { d } r \otimes \mathrm { d } r } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l r l r l r l } { \ensuremath { \skew 4 \widehat { H } } ( \lambda _ { 1 } ) } & { = h _ { 1 } , } & { \ldots , } & { } & { \ensuremath { \skew 4 \widehat { H } } ( \lambda _ { r } ) } & { = h _ { r } , } & { \ensuremath { \skew 4 \widehat { H } } ( \mu _ { 1 } ) } & { = g _ { 1 } , } & { \ldots , } & { } & { \ensuremath { \skew 4 \widehat { H } } ( \mu _ { r } ) } & { = g _ { r } . } \end{array}
\nabla ^ { 2 } U = - \nabla ^ { 2 } { \frac { Z e ^ { 2 } } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } r } } = 4 \pi \left( { \frac { Z e ^ { 2 } } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } } \right) \delta ^ { 3 } ( \mathbf { r } ) \quad \Rightarrow \quad \delta U \approx { \frac { \hbar ^ { 2 } } { 6 m _ { e } ^ { 2 } c ^ { 2 } } } 4 \pi \left( { \frac { Z e ^ { 2 } } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } } \right) \delta ^ { 3 } ( \mathbf { r } )
\begin{array} { r l r } { { \cal I } _ { a b } ( \vec { r } , \vec { r } _ { 0 } ) } & { { } = } & { - \Big \{ \Big ( 2 m _ { a } m _ { b } + k _ { a } k _ { b } \Big ) \frac { 1 } { r \big ( r + ( { \vec { k } } \cdot { \vec { r } } ) \big ) } + \Big ( k _ { a } k _ { b } - m _ { a } m _ { b } \Big ) \frac { ( { \vec { k } } \cdot { \vec { r } } ) } { r ^ { 3 } } + \Big ( k _ { a } m _ { b } + k _ { b } m _ { a } \Big ) \frac { b } { r ^ { 3 } } \Big \} \Big | _ { r _ { 0 } } ^ { r } , } \end{array}
_ { A + 1 } F _ { B + 1 } \left[ { \begin{array} { c } { a _ { 1 } , \ldots , a _ { A } , c + n } \\ { b _ { 1 } , \ldots , b _ { B } , c } \end{array} } ; z \right] = \sum _ { j = 0 } ^ { n } { \binom { n } { j } } { \frac { z ^ { j } } { ( c ) _ { j } } } { \frac { \prod _ { i = 1 } ^ { A } ( a _ { i } ) _ { j } } { \prod _ { i = 1 } ^ { B } ( b _ { i } ) _ { j } } } _ { A } F _ { B } \left[ { \begin{array} { c } { a _ { 1 } + j , \ldots , a _ { A } + j } \\ { b _ { 1 } + j , \ldots , b _ { B } + j } \end{array} } ; z \right]
\begin{array} { r l r } { J ( E _ { 0 } ) } & { = } & { \left( \begin{array} { l l l } { - r } & { q _ { 1 } K ( 1 + a _ { 1 } K ) ^ { - 1 } } & { q _ { 2 } K ( 1 + a _ { 2 } K ) ^ { - 1 } } \\ { 0 } & { c _ { 1 } q _ { 1 } K ( 1 + a _ { 1 } K ) ^ { - 1 } - \mu _ { 1 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { c _ { 2 } q _ { 2 } K ( 1 + a _ { 2 } K ) ^ { - 1 } - \mu _ { 2 } } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { e ^ { 2 \alpha \int _ { 0 } ^ { z } N ^ { * } ( z ^ { \prime } ) d z ^ { \prime } } \cdot \tan ^ { 2 } \Big ( \frac { \Phi ^ { * } ( 0 ) } { 2 } \Big ) = } \\ { \frac { N ^ { * } ( z ) \Big ( 1 - e ^ { T _ { \mathrm { r t } } / T _ { 1 } } \Big ) + N _ { 0 , g } \Big ( e ^ { T _ { \mathrm { r t } } / T _ { 1 } } - 1 \Big ) } { N ^ { * } ( z ) \Big ( 1 + e ^ { T _ { \mathrm { r t } } / T _ { 1 } } \Big ) - N _ { 0 , g } \Big ( e ^ { T _ { \mathrm { r t } } / T _ { 1 } } - 1 \Big ) } , } \\ { 0 \le z \le L _ { g } . } \end{array}
\frac { d F _ { \nu } } { d E _ { \nu } } = c \int _ { 0 } ^ { z _ { \mathrm { m a x } } } R _ { \mathrm { S N } } ( z ) \frac { d N _ { \nu } ( E _ { \nu } ^ { \prime } ) } { d E _ { \nu } ^ { \prime } } ( 1 + z ) \frac { d t } { d z } d z ,
\begin{array} { r l } { \frac { 3 } { 2 } n ( \boldsymbol { r } , t ) k _ { B } T ( \boldsymbol { r } , t ) } & { { } = \int d ^ { 3 } v f ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { v } , t ) \frac { 1 } { 2 } m \boldsymbol { v } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { l l } { { a ( \partial d ) = ( \partial d ) a + \mu ( \partial b ) c + \mu b ( \partial c ) , } } & { { c ( \partial d ) = q ( \partial d ) c + \mu d ( \partial c ) , } } \\ { { b ( \partial d ) = q ( \partial d ) b + \mu q ( \partial b ) d , } } & { { d ( \partial d ) = q ^ { 2 } ( \partial d ) d . } } \end{array}
( \overline { { ( u ^ { ' } ) ^ { 2 } } } + \overline { { ( v ^ { ' } ) ^ { 2 } } } ) / 2 , \quad \overline { { ( u ^ { ' } ) ^ { 2 } } } = \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 0 } ^ { T } ( u ( t ) - \bar { u } ) ^ { 2 }
z \cdot { \frac { \left( 1 - z ^ { 5 } \right) \left( 1 - z ^ { 1 0 } \right) \cdots } { \left( 1 - z \right) \left( 1 - z ^ { 2 } \right) \cdots } } = z \cdot \left( ( 1 - z ) \left( 1 - z ^ { 2 } \right) \cdots \right) ^ { 4 } \times { \frac { \left( 1 - z ^ { 5 } \right) \left( 1 - z ^ { 1 0 } \right) \cdots } { \left( \left( 1 - z \right) \left( 1 - z ^ { 2 } \right) \cdots \right) ^ { 5 } } } \, ,
M _ { { I _ { k } } , n + d , m } ( i _ { 1 } , \ldots , i _ { I _ { k } } ) : = \mathrm { E } _ { n + d , m } ( \operatorname* { m a x } \{ \mathrm { D } _ { n + d , m } ( i _ { 1 } ) , \ldots , \mathrm { D } _ { n + d , m } ( i _ { I _ { k } } ) \} ) , \quad \forall ( i _ { 1 } , \ldots , i _ { I _ { k } } ) \in \mathbb { F } _ { n + d , m } ^ { I _ { k } } ,
\begin{array} { r l } & { \mathrm { \quad ~ \, ~ } \lVert x - y \rVert } \\ & { = \left\lVert \sum _ { k = 1 } ^ { m } { y _ { k } \left[ \sum _ { n = 1 } ^ { + \infty } { \left[ \frac { 1 } { w _ { k } w _ { \varphi ( k ) } \cdots w _ { \varphi ^ { n N - 1 } ( k ) } } \right] e _ { \varphi ^ { n N } ( k ) } } + \sum _ { n = 1 } ^ { + \infty } { \left[ w _ { \varphi ^ { - 1 } ( k ) } w _ { \varphi ^ { - 2 } ( k ) } \cdots w _ { \varphi ^ { - n N } ( k ) } \right] e _ { \varphi ^ { - n N } ( k ) } } ) \right] } \right\rVert } \\ & { \le \left\lVert \sum _ { k = 1 } ^ { m } { y _ { k } \sum _ { n = 1 } ^ { + \infty } { \left[ \frac { 1 } { w _ { k } w _ { \varphi ( k ) } \cdots w _ { \varphi ^ { n N - 1 } ( k ) } } \right] e _ { \varphi ^ { n N } ( k ) } } } \right\rVert + \left\lVert { \sum _ { k = 1 } ^ { m } { y _ { k } \sum _ { n = 1 } ^ { + \infty } { \left[ w _ { \varphi ^ { - 1 } ( k ) } w _ { \varphi ^ { - 2 } ( k ) } \cdots w _ { \varphi ^ { - n N } ( k ) } \right] e _ { \varphi ^ { - n N } ( k ) } } ) } } \right\rVert } \\ & { \le y _ { 0 } \sum _ { k = 1 } ^ { m } { \left\lVert \sum _ { n = 1 } ^ { + \infty } { \left[ \frac { 1 } { w _ { k } w _ { \varphi ( k ) } \cdots w _ { \varphi ^ { n N - 1 } ( k ) } } \right] e _ { \varphi ^ { n N } ( k ) } } \right\rVert } + y _ { 0 } \sum _ { k = 1 } ^ { m } { \left\lVert { \sum _ { n = 1 } ^ { + \infty } { \left[ w _ { \varphi ^ { - 1 } ( k ) } w _ { \varphi ^ { - 2 } ( k ) } \cdots w _ { \varphi ^ { - n N } ( k ) } \right] e _ { \varphi ^ { - n N } ( k ) } } ) } \right\rVert } } \\ & { < \frac { y _ { 0 } } { 2 } \varepsilon + \frac { y _ { 0 } } { 2 } \varepsilon = y _ { 0 } \varepsilon . } \end{array}
\log \operatorname* { m i n } ( { \textrm { r a n k } } ( M _ { f } ^ { \prime } ) : M _ { f } ^ { \prime } \in \mathbb { R } ^ { 2 ^ { n } \times 2 ^ { n } } , ( M _ { f } - M _ { f } ^ { \prime } ) _ { \infty } \leq 1 / 3 ) .
\tilde { \nabla } _ { 1 } ^ { 0 } = i \sqrt { \frac { \pi } { \theta } } ( a + a ^ { \dagger } ) \, , \qquad \tilde { \nabla } _ { 2 } ^ { 0 } = \sqrt { \frac { \pi } { \theta } } ( a - a ^ { \dagger } ) \, .
\frac { \langle q _ { \kappa ( i ^ { * } ) } + q _ { i ^ { * } - 1 } - q _ { \kappa ( i ^ { * } ) - 1 } \rangle ^ { d + 1 } \langle q _ { k ^ { \prime } } \rangle ^ { d + 1 } \langle q _ { \kappa ( i ^ { * } ) - 1 } \rangle ^ { d + 1 } \langle q _ { \kappa ( i ^ { * } ) } \rangle ^ { d + 1 } \langle q _ { \kappa ( i ^ { * } ) + 1 } \rangle ^ { d + 1 } } { \langle q _ { \kappa ( i ^ { * } ) } - q _ { \kappa ( i ^ { * } ) - 1 } \rangle ^ { d + 1 } \langle q _ { 0 } \rangle ^ { 5 d + 5 } } \prod _ { i = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { \langle q _ { i } - q _ { i - 1 } \rangle ^ { 5 d + 5 } } \leq C ,
{ \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } \varepsilon } } K ( \varepsilon ) E ( { \sqrt { 1 - \varepsilon ^ { 2 } } } ) = { \frac { 1 } { \varepsilon ( 1 - \varepsilon ^ { 2 } ) } } { \bigl [ } E ( \varepsilon ) E ( { \sqrt { 1 - \varepsilon ^ { 2 } } } ) - K ( \varepsilon ) E ( { \sqrt { 1 - \varepsilon ^ { 2 } } } ) + \varepsilon ^ { 2 } K ( \varepsilon ) K ( { \sqrt { 1 - \varepsilon ^ { 2 } } } ) { \bigr ] }
\begin{array} { r l r } { \tilde { H } _ { \mathrm { k i n } } } & { = } & { \sum _ { k } { n _ { k } \int \tilde { \phi } _ { k } ^ { * } \frac { \left( - i \nabla + { \bf A } ( t ) \right) ^ { 2 } } { 2 } \tilde { \phi } _ { k } \ \mathrm { d } { \bf x } } , } \\ { \tilde { H } _ { \mathrm { e x t } } } & { = } & { \int { \mathcal { V } _ { \mathrm { e x t } } ( { \bf x } ) \tilde { \rho } ( { \bf x } ) \ \mathrm { d } { \bf x } } , } \end{array}
\frac { 2 } { \phi _ { \mathrm { ~ T ~ } } } \log ( 1 - \phi _ { \mathrm { ~ T ~ } } ) + \langle 1 / L \rangle \log \phi _ { \mathrm { ~ T ~ } } - \log ( 1 - \phi _ { \mathrm { ~ T ~ } } ) + 1 - \langle 1 / L \rangle _ { x } + \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { x _ { i } } { L _ { i } } \log x _ { i } - \langle \mu \rangle _ { x } = 0 .
\begin{array} { r l } { h ( x , t ) } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l } { h _ { l } } & { x \leq x _ { 1 } } \\ { \frac { 4 } { 9 g } \left( \sqrt { g h _ { l } } - \frac { x - x _ { 0 } } { 2 t } \right) ^ { 2 } } & { x _ { 1 } ( t ) < x \leq x _ { 2 } ( t ) } \\ { \frac { c _ { m } ^ { 2 } } { g } } & { x _ { 2 } ( t ) < x \leq x _ { 3 } ( t ) } \\ { h _ { r } } & { x > x _ { 3 } ( t ) } \end{array} \right. \, , } \\ { x _ { 1 } ( t ) } & { { } = x _ { 0 } - t \sqrt { g h _ { l } } \, , } \\ { x _ { 2 } ( t ) } & { { } = x _ { 0 } + t ( 2 \sqrt { g h _ { l } } - 3 c _ { m } ) \, , } \\ { x _ { 3 } ( t ) } & { { } = x _ { 0 } + t \frac { 2 c _ { m } ^ { 2 } ( \sqrt { g h _ { l } } - c _ { m } ) } { c _ { m } ^ { 2 } - g h _ { r } } \, , \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } } \\ { c _ { m } } & { { } \mathrm { ~ i ~ s ~ t ~ h ~ e ~ s ~ o ~ l ~ u ~ t ~ i ~ o ~ n ~ t ~ o ~ } - 8 g h _ { r } c _ { m } ^ { 2 } ( \sqrt { g h _ { l } } - c _ { m } ) ^ { 2 } + ( c _ { m } ^ { 2 } - g h _ { r } ) ^ { 2 } ( c _ { m } ^ { 2 } + g h _ { r } ) = 0 \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { i } _ { z } | i m \rangle } & { { } = m | i m \rangle , } \\ { \hat { i } _ { + 1 } | i m \rangle } & { { } = - \sqrt { \frac { 1 } { 2 } ( i - m ) ( i + m + 1 ) } \ | i , m + 1 \rangle , } \\ { \hat { i } _ { - 1 } | i m \rangle } & { { } = \sqrt { \frac { 1 } { 2 } ( i + m ) ( i - m + 1 ) } \ | i , m - 1 \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \ensuremath { \lVert U ^ { - 1 } A U - A \rVert } _ { F } } \\ & { \geq - \ensuremath { \lVert ( I + v u ^ { \top } - U ^ { - 1 } ) A U \rVert } _ { F } - \ensuremath { \lVert ( I + v u ^ { \top } ) A ( I - v u ^ { \top } - U ) \rVert } _ { F } + \ensuremath { \lVert v u ^ { \top } A + A v u ^ { \top } - v u ^ { \top } A v u ^ { \top } \rVert } _ { F } } \\ & { \geq - 0 . 5 c \ensuremath { \lVert A \rVert } + \ensuremath { \lVert v u ^ { \top } A w \rVert } \geq 0 . 5 c ^ { 2 } \, . } \end{array}
\phi _ { 0 } = \frac { 9 } { 5 } A _ { 5 9 } \left( \phi _ { n } ^ { ( 2 ) } - \frac { c _ { 1 } ^ { ( 2 ) , 1 } } { c _ { 1 } ^ { ( 1 ) , 1 } } \phi _ { n } ^ { ( 1 ) } \right) - \frac { 3 5 } { 2 } \left( A _ { 5 7 } - \frac { c _ { 1 } ^ { ( 2 ) , 1 } } { c _ { 1 } ^ { ( 1 ) , 1 } } A _ { 4 5 } \right) \phi _ { n n n } ^ { ( 2 ) } .
d \, e ^ { i \theta } \equiv \frac { 1 } { ( 1 - \lambda ^ { 2 } / 2 ) R _ { b } } \left( \frac { A _ { \mathrm { p e n } } ^ { c t } } { A _ { \mathrm { c c } } ^ { u } + A _ { \mathrm { p e n } } ^ { u t } } \right) .
{ \cal J } _ { i } ^ { 0 } \equiv - \frac \partial { \partial x } \Phi ^ { i } - 2 \varepsilon ^ { i j k } \Phi ^ { j } \Pi _ { k } = - \sqrt { 1 - { \varphi } ^ { 2 } } \; \varpi _ { i } - \varepsilon ^ { i j k } \varphi ^ { j } \varpi _ { k } \equiv J _ { i } ^ { 0 } .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \phi } { \partial z } ( x , y , z ) = { } } & { { } - \frac { 1 } { 4 \pi } \iint _ { \mathcal { S } _ { p } } \frac { ( z - u \cos { ( \beta ) } ) \Omega ( u , v ) } { \left( ( x - v ) ^ { 2 } + ( y - u \sin { ( \beta ) } ) ^ { 2 } + ( z - u \cos { ( \beta ) } ) ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \mathrm { d } u \mathrm { d } v , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow \infty } \mathbb { E } [ \langle u ( t ) , g _ { 1 } \rangle { \langle u ( t ) , g _ { 2 } \rangle } ] = } & { \ \mathbb { E } [ \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow \infty } \langle u ( t ) , g _ { 1 } \rangle { \langle u ( t ) , g _ { 2 } \rangle } ] } \\ { = } & { \ C ( d , H ) \int _ { \mathbb R _ { k } ^ { d } } \chi _ { | k | > \kappa } \, | k | ^ { - ( 2 H + d ) } \, \widehat { g _ { 1 } } ( k ) \, \overline { { \widehat { g _ { 2 } } ( k ) } } \, d k } \\ & { - \int _ { \mathbb R _ { k } ^ { d } } \chi _ { | k | > \kappa } \, | k | ^ { - ( 2 H + d ) } \, \Psi _ { d , H } ( | k | ) \, \widehat { g _ { 1 } } ( k ) \, \overline { { \widehat { g _ { 2 } } ( k ) } } \, d k . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \nabla \cdot \mathbf { E } } & { { } = } & { \rho } \\ { \nabla \cdot \mathbf { B } } & { { } = } & { 0 } \\ { \nabla \times \mathbf { E } } & { { } = } & { - \frac { \partial \mathbf { B } } { \partial t } } \\ { \nabla \times \mathbf { B } } & { { } = } & { \frac { \partial \mathbf { E } } { \partial t } + \mathbf { J } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta t = \beta \operatorname* { m i n } } & { \left[ \left( c _ { \mathrm { s } } + v _ { \mathrm { p } } \right) \operatorname* { m a x } ( \xi , \eta ) + \xi | v _ { \mathrm { K } } - v _ { \mathrm { f r a m e } } | \right. } \\ & { \left. + 4 \nu \operatorname* { m a x } ( \xi ^ { 2 } , \eta ^ { 2 } ) \right] ^ { - 1 } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { \psi = \varphi - \operatorname* { m a x } \{ \varphi _ { 5 } , \varphi _ { 6 } \} \geq \tau _ { 0 } \quad } & & { \mathrm { i n } \; \overline { { \Omega } } \setminus ( \mathcal { D } _ { \epsilon / 1 0 } ^ { 5 } \cup \mathcal { D } _ { \epsilon / 1 0 } ^ { 6 } ) \, , } \\ & { \partial _ { e _ { S _ { 2 j } } } ( \varphi _ { 2 } - \varphi ) \leq - \tau _ { 1 } \quad } & & { \mathrm { i n } \; \overline { { \Omega } } \setminus \mathcal { D } _ { \epsilon / 1 0 } ^ { j } \; \mathrm { f o r } \; j = 5 , 6 \, . } \end{array}
{ \frac { \omega ^ { 4 } } { c ^ { 4 } } } - { \frac { \omega ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } \left( { \frac { k _ { x } ^ { 2 } + k _ { y } ^ { 2 } } { n _ { z } ^ { 2 } } } + { \frac { k _ { x } ^ { 2 } + k _ { z } ^ { 2 } } { n _ { y } ^ { 2 } } } + { \frac { k _ { y } ^ { 2 } + k _ { z } ^ { 2 } } { n _ { x } ^ { 2 } } } \right) + \left( { \frac { k _ { x } ^ { 2 } } { n _ { y } ^ { 2 } n _ { z } ^ { 2 } } } + { \frac { k _ { y } ^ { 2 } } { n _ { x } ^ { 2 } n _ { z } ^ { 2 } } } + { \frac { k _ { z } ^ { 2 } } { n _ { x } ^ { 2 } n _ { y } ^ { 2 } } } \right) \left( k _ { x } ^ { 2 } + k _ { y } ^ { 2 } + k _ { z } ^ { 2 } \right) = 0