harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \Phi ^ { \prime } \, \Psi _ { 1 } ^ { \prime } - \Phi _ { 1 } ^ { \prime } } & { { } = } & { \frac { c \Phi ^ { \prime } } { \Omega _ { 0 } } \left[ ( 2 \, \Phi ^ { \prime } + 2 \psi \; \Phi ^ { \prime \prime } ) \; - \frac { } { } ( \Phi ^ { \prime } + 2 \psi \; \Phi ^ { \prime \prime } ) \right] } \end{array}
\begin{array} { r } { \bar { \pi } ( z _ { s } ) = \sum _ { j = 0 } ^ { 1 + \alpha } { \varepsilon } ^ { j } \bar { \pi } ^ { ( j ) } ( z _ { s } ) + { O } \! \left( { \varepsilon } ^ { \alpha + 2 } \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { H } _ { \mathrm { S D F } } } & { } & { = \hat { H } _ { \mathrm { r s b } } + \hat { H } _ { \mathrm { b s b } } } \\ & { } & { = \eta \frac { \hbar } { 2 } \Omega ( \hat { a } ^ { \dagger } e ^ { i \phi _ { \mathrm { m } } } e ^ { - i \delta t } + \hat { a } e ^ { - i \phi _ { \mathrm { m } } } e ^ { i \delta t } ) \hat { \sigma } ^ { \phi _ { \mathrm { S } } } , } \end{array}
\eta _ { K , \ell } ( \boldsymbol \omega ) : = h _ { K } ^ { 2 } \left\Vert \, \nabla \cdot \left( \frac { 1 } { \mu r } \nabla u _ { \ell } ( \boldsymbol \omega ) \right) - f ( u _ { \ell } ( \boldsymbol \omega ) ) \, \right\Vert _ { K } + h _ { K } ^ { 3 / 2 } \left\Vert \, \left[ \! \left[ \frac { 1 } { \mu r } \nabla u _ { \ell } ( \boldsymbol \omega ) \cdot \boldsymbol n \right] \! \right] \, \right\Vert _ { \partial K \setminus \partial \Omega } ,
{ \begin{array} { r l } { F _ { x } } & { = - q \left( { \frac { \partial \phi } { \partial x } } + { \frac { \partial A _ { x } } { \partial t } } \right) + q \left[ { \dot { y } } \left( { \frac { \partial A _ { y } } { \partial x } } - { \frac { \partial A _ { x } } { \partial y } } \right) + { \dot { z } } \left( { \frac { \partial A _ { z } } { \partial x } } - { \frac { \partial A _ { x } } { \partial z } } \right) \right] } \\ & { = q E _ { x } + q [ { \dot { y } } ( \nabla \times \mathbf { A } ) _ { z } - { \dot { z } } ( \nabla \times \mathbf { A } ) _ { y } ] } \\ & { = q E _ { x } + q [ \mathbf { \dot { r } } \times ( \nabla \times \mathbf { A } ) ] _ { x } } \\ & { = q E _ { x } + q ( \mathbf { \dot { r } } \times \mathbf { B } ) _ { x } } \end{array} }
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { i \frac { \partial \psi } { \partial t } } & { = \Big ( \mathcal { M } - i \Sigma _ { 1 } \partial _ { 1 } - i \Sigma _ { 2 } \partial _ { 2 } \Big ) \psi ( \mathbf { r } , t ) } \\ & { = \tau _ { 1 } \left( - i \sum _ { j = 1 } ^ { 2 } \sigma _ { j } \partial _ { j } + \lambda \sigma _ { 3 } \right) + m \sigma _ { 3 } + i \gamma \tau _ { 3 } . } \end{array} } \end{array}
\operatorname* { m a x } _ { j , k \in V } \left| [ P ^ { m } \mathbf { y } ] _ { j } - [ P ^ { m } \mathbf { y } ] _ { k } \right| = \operatorname* { m a x } _ { j \in V } \, [ P ^ { m } \mathbf { y } ] _ { j } - \operatorname* { m i n } _ { k \in V } \, [ P ^ { m } \mathbf { y } ] _ { k } \leq \operatorname* { m a x } _ { j \in V } y _ { j } - \operatorname* { m i n } _ { k \in V } y _ { k } = \operatorname* { m a x } _ { j , k \in V } | y _ { j } - y _ { k } | .
\tilde { f } ^ { \alpha } ( \boldsymbol { x } _ { k } , \tilde { t } ) = \frac { 1 } { 2 } \left( f _ { \psi \vert \phi } ^ { \alpha } ( \boldsymbol { x } _ { k } , t + \Delta { t } ) + f _ { \psi \vert \phi } ^ { \alpha } ( \boldsymbol { x } _ { k } , t ) \right) .
\begin{array} { r l } { ( R ) _ { m , n } } & { { } = r ^ { m } \delta _ { m , n } } \\ { ( U ) _ { m , n } } & { { } = \sqrt { \frac { 2 } { L + 1 } } \sin \left( \frac { \pi m n } { L + 1 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q ( t ) } & { { } = \Bigl \langle \v { u } \bigl [ \v { x } _ { \alpha } ( 0 ) , 0 \bigr ] \cdot \v { u } \bigl [ \v { x } _ { \alpha } ( t ) , t \bigr ] \Bigr \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \omega _ { \parallel , r } } & { = } & { \left\langle \int _ { - \pi } ^ { \pi } - \mathcal { D } ( \phi ) \mathcal { R } ( \phi ) b _ { \epsilon } ( \phi ) \sin \phi \, d \phi \right\rangle / U , } \\ { \omega _ { \parallel , \phi } } & { = } & { \left\langle \int _ { - \pi } ^ { \pi } \mathcal { O } ( \phi ) \mathcal { R } ( \phi ) b _ { \epsilon } ( \phi ) \cos \phi \, d \phi \right\rangle / U . } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { n } } { z - n } } = { \frac { 1 } { z } } - 2 z \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { n } } { n ^ { 2 } - z ^ { 2 } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle I _ { \alpha } ^ { \alpha } | \hat { H } _ { \mathrm { g r a p h } } | I _ { \alpha } ^ { \alpha } \rangle } & { = E _ { 0 } + \delta _ { \alpha M } \Delta \epsilon ^ { 1 } , } \\ { \langle T _ { \alpha } ^ { \beta } | \hat { H } _ { \mathrm { g r a p h } } | T _ { \alpha } ^ { \beta } \rangle } & { = E _ { 0 } + \delta _ { \alpha M } \Delta \epsilon ^ { 1 } , } \\ { \langle S _ { \alpha } ^ { \beta } | \hat { H } _ { \mathrm { g r a p h } } | S _ { \alpha } ^ { \beta } \rangle } & { = E _ { 0 } + \Delta E ^ { \beta } + \delta _ { \alpha M } \Delta \epsilon ^ { 1 } } \\ & { = E _ { 0 } + g J _ { \beta } ^ { 0 1 } + \delta _ { \alpha M } \Delta \epsilon ^ { 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \dot { \mathcal { L } } _ { 0 } ( \bar { Q } _ { P } ^ { ( 0 ) } ( X ) , O ) \dot { \phi } ^ { - 1 } ( \phi ( \bar { Q } _ { P } ^ { ( 0 ) } ( X ) ) ) H _ { 0 } ( O ) + \dot { \mathcal { L } } _ { 1 } ( \bar { Q } _ { P } ^ { ( 1 ) } ( X ) , O ) \dot { \phi } ^ { - 1 } ( \phi ( \bar { Q } _ { P } ^ { ( 1 ) } ( X ) ) ) H _ { 1 } ( O ) } \\ & { = - \left\{ \frac { I ( A = 1 ) } { g _ { P } ( 1 , X ) } - \frac { I ( A = 0 ) } { g _ { P } ( 0 , X ) } \right\} ( Y - \bar { Q } _ { P } ^ { ( A ) } ( X ) ) = - \Delta _ { P } ^ { * } ( X ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \psi _ { s , e } } { \psi _ { s , \infty } } } & { { } = \frac { \eta + i _ { e } \kappa ^ { * } } { \eta } = 1 + \frac { \kappa ^ { * } } { 1 - s _ { \infty } \kappa ^ { * } } i _ { e } } \end{array}
( \mathcal J + \mathcal K ) ( n _ { 1 } ^ { 2 } \mathcal J + n _ { 2 } ^ { 2 } \mathcal K ) = \frac { \mu _ { \mathrm { P } } ^ { 2 } + \beta ^ { 2 } } { \beta ^ { 2 } } \psi ^ { 2 } \, ,
\begin{array} { r l } & { \gamma _ { t , 0 } + \gamma _ { 0 } = 0 } \\ & { \mu \gamma _ { i } - m ^ { 2 } ( \gamma _ { i + 1 } - 2 \gamma _ { i } + \gamma _ { i - 1 } ) + \mu _ { a } ( \zeta \bar { n } _ { i } \gamma _ { t , i } - \tilde { n } _ { i } ) = 0 } \\ & { \mu \gamma _ { m - 1 } - 2 m ^ { 2 } ( \gamma _ { m - 2 } - \gamma _ { m - 1 } ) + \mu _ { a } ( \zeta \bar { n } _ { m - 1 } \gamma _ { t , m - 1 } - \tilde { n } _ { m - 1 } ) = 0 } \\ & { ( n _ { \pm } ) _ { t , i } - \eta ( 1 - n _ { \pm , i } ) + ( 1 - \eta ) n _ { \pm , i } e ^ { f ^ { \ast } ( 1 \mp \zeta \gamma _ { t , i } ) } = 0 } \end{array}
{ \frac { 1 } { 2 } } \nabla \left( \mathbf { A } \cdot \mathbf { A } \right) \ = \ \mathbf { A } \cdot \mathbf { J } _ { \mathbf { A } } \ = \ \mathbf { A } \cdot \nabla \mathbf { A } \ = \ ( \mathbf { A } { \cdot } \nabla ) \mathbf { A } \, + \, \mathbf { A } { \times } ( \nabla { \times } \mathbf { A } ) .
\begin{array} { r } { \frac { d ^ { 2 } i } { d t d i } = \left\{ \begin{array} { l l l } { { \beta - \alpha + \underline { { C } } ( 1 - i ) s i n { \frac { \pi i } { \bar { i } } } + i \underline { { C } } \left( - s i n { \frac { \pi i } { \bar { i } } } + ( 1 - i ) c o s { \frac { \pi i } { \bar { i } } } ( \pi / \bar { i } ) \right) } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } i < { \bar { i } } } \\ { { \beta - \alpha + \bar { C } ( 1 - i ) s i n \left( { \frac { \pi ( i - \bar { i } ) } { 2 ( 1 - \bar { i } ) } } \right) + i \bar { C } \left( - s i n \left( { \frac { \pi ( i - \bar { i } ) } { 2 ( 1 - \bar { i } ) } } \right) + ( 1 - i ) c o s \left( { \frac { \pi ( i - \bar { i } ) } { 2 ( 1 - \bar { i } ) } } \right) ( \pi / \bar { i } ) \right) } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } i > { \bar { i } } } \end{array} \right. } \end{array}
( \Phi _ { S } , \Psi _ { S } , \Phi _ { C } ) \in \mathrm { T H } ( \mathrm { ~ d ~ i ~ v ~ } , \partial \Omega ) \times \mathrm { T H } ( \mathrm { ~ d ~ i ~ v ~ } , \partial \Omega ) \times \mathrm { T H } ( \mathrm { ~ d ~ i ~ v ~ } , \partial \Omega _ { c } )
\begin{array} { r l } { \gamma \Big ( \| d ( t ^ { * } ) \| _ { U } \big | \varphi ( \phi _ { \varphi } ( t ^ { * } , x , d ) ) \big | \Big ) } & { \leq \frac { 1 } { 4 } \alpha ^ { - 1 } \Big ( \frac { 2 } { 3 } \| \phi _ { \varphi } ( t ^ { * } , x , d ) \| _ { X } \Big ) } \\ & { \leq \frac { 1 } { 4 } \alpha ^ { - 1 } ( \| x \| _ { X } ) \leq \frac { 1 } { 4 } \| x \| _ { X } . } \end{array}
\bar { H } ( z ) = \left( \begin{array} { c c } { { \hat { \omega } ( z ) + \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } \hat { \lambda } ( z ) } } & { { 0 } } \\ { { 2 \bar { \hat { \rho } } _ { i } ( z ) } } & { { \hat { T } _ { i } ^ { ~ j } ( z ) } } \end{array} \right)
j _ { \alpha } ^ { \mathrm { N C } } = \bar { \nu } _ { e L } \gamma _ { \alpha } \nu _ { e L } + \bar { \nu } _ { \mu L } \gamma _ { \alpha } \nu _ { \mu L } + \bar { \nu } _ { \tau L } \gamma _ { \alpha } \nu _ { \tau L } + \ldots
\begin{array} { r l } { p ( s , m ) = p ( x , h ) \frac { V ^ { N + 1 } } { V _ { 0 } ^ { N + 1 - D } } = \frac { 1 } { Z _ { P } } \exp \Bigg [ } & { { } - \beta ( U ( x , h ) + P V ) + ( N + 2 - D ) \ln { V } } \end{array}
\mathbf { V } _ { \alpha \beta } = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { d i a g } ( V _ { e \mu } , - V _ { e \mu } , 0 ) , } & { \mathrm { f o r } ~ \alpha , \beta = e , \mu } \\ { \mathrm { d i a g } ( V _ { e \tau } , 0 , - V _ { e \tau } ) , } & { \mathrm { f o r } ~ \alpha , \beta = e , \tau } \\ { \mathrm { d i a g } ( 0 , V _ { \mu \tau } , - V _ { \mu \tau } ) , } & { \mathrm { f o r } ~ \alpha , \beta = \mu , \tau } \end{array} \right. \; ,
\alpha \partial _ { Y } \partial _ { X } \psi _ { h } ^ { + } ( v ) + \beta \partial _ { X } ^ { 2 } \psi _ { h } ^ { + } ( v ) = 0 = \alpha \partial _ { Y } \partial _ { X } \psi _ { h } ^ { - } ( v ) - \beta \partial _ { X } ^ { 2 } \psi _ { h } ^ { - } ( v ) .
\begin{array} { r } { \frac { \partial { \bf { u } } } { \partial t } + { \bf { u } } \cdot { \bf { \nabla u } } = - { \bf { \nabla } } P + \frac { 1 } { R e } { \bf { \nabla } } ^ { 2 } { \bf { u } } - 2 { \bf { \Omega } } \times { \bf { u } } + \frac { d { \bf { \Omega } } } { d t } \times { \bf { r } } \: , \quad \nabla \cdot \bf { u } = 0 \: , } \end{array}
\begin{array} { r l } { y = x \frac { \delta \xi _ { r } } { a } } & { { } = D _ { 1 } y _ { 1 } + C _ { 1 } y _ { 2 } + \alpha \left( D _ { 2 } y _ { 1 } + C _ { 2 } y _ { 2 } \right) = } \end{array}
\sum _ { s = 1 } ^ { S } \frac { p ( x \mid \theta _ { s } ) } { p ( x \mid \theta _ { t } ) } \ge C \times \frac { p ( x \mid \theta _ { t } ) } { p ( x \mid \theta _ { t } ) } + \frac { p ( x \mid \hat { \theta } _ { S } ( x ) ) } { p ( x \mid \theta _ { t } ) } \ge C + \exp \big [ \frac { 1 } { 2 } \Delta \chi ^ { 2 } ( \theta _ { t } \mid x ) - \frac { \epsilon } { 2 } \big ]
\left\{ \frac { n _ { 0 } } { n _ { 0 } } { c m ^ { - 3 } } , \frac { r _ { \mathrm { c } } } { r _ { 5 0 0 } } , \frac { r _ { \mathrm { s } } } { r _ { 5 0 0 } } , \alpha , \beta , \varepsilon \right\} = \{ 3 . 7 \times 1 0 ^ { - 3 } , 0 . 1 7 , 0 . 7 5 , 1 . 5 , 0 . 5 9 , 2 \} .
{ \Delta \theta } = \left[ \begin{array} { r } { 2 . 3 } \\ { 2 . 3 } \\ { - 2 . 8 } \\ { - 7 . 0 } \\ { - 8 . 6 } \\ { 3 . 8 } \end{array} \right] \mathrm { ~ K ~ } , \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad { \Delta \zeta } = \left[ \begin{array} { r } { 0 } \\ { 0 . 1 0 } \\ { 0 . 0 9 } \\ { - 0 . 1 7 } \\ { - 0 . 6 4 } \\ { - 0 . 9 8 } \end{array} \right] \mathrm { ~ k ~ m ~ } .
\begin{array} { r l } { F _ { 2 S } ( n , x ) } & { { } = - \frac { 1 2 } { \sqrt { 2 } } \frac { x ^ { 2 } } { ( 1 / 2 + x ) ^ { 8 } } \left( \frac { 1 / 2 - x } { 1 / 2 + x } \right) ^ { n - 4 } \left[ n ^ { 2 } - ( x + \frac { 9 } { 4 x } ) n + ( 2 + \frac { 1 } { x ^ { 2 } } ) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { x U ( \psi _ { T } ( p ) ) + y Y ( \psi _ { T } ( p ) ) } & { = x ^ { \prime } b ( p ) U ( \psi _ { T } ( p ) ) + ( y ^ { \prime } + x ^ { \prime } a ( p ) ) Y ( \psi _ { T } ( p ) ) } \\ { \mathrm { f o r ~ } x ^ { \prime } = \frac { 1 } { b ( p ) } x } & { \mathrm { ~ a n d ~ } y ^ { \prime } = y - \frac { a ( p ) } { b ( p ) } x } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { t } ( n , m ) } & { = - t \int _ { \frac { 1 } { n } } ^ { \frac { \pi } { 2 } } e ^ { - t ( 1 - \cos \theta ) } \frac { d } { d \theta } \left( \frac { \cos ( ( n - m ) \theta ) } { n - m } \right) \sin \theta d \theta } \\ & { = t ( S _ { n , m } ( t , \pi / 2 ) - S _ { n , m } ( t , 1 / n ) - \mathbb { R } _ { t } ( n , m ) ) , \quad t > 0 , } \end{array}
\begin{array} { r } { \tilde { I } _ { C M } \frac { d ^ { 2 } \tilde { \theta } } { d \tilde { t } ^ { 2 } } = \chi \sin \tilde { \theta } \, \left( \frac { d ^ { 2 } \tilde { b } } { d \tilde { t } ^ { 2 } } + \chi \frac { d ^ { 2 } \cos \tilde { \theta } } { d \tilde { t } ^ { 2 } } + \cos \alpha \right) - ( \tilde { b } + \chi \cos \tilde { \theta } ) \, \left( \frac { d ^ { 2 } \tilde { l } } { d \tilde { t } ^ { 2 } } + \chi \frac { d ^ { 2 } \sin \tilde { \theta } } { d \tilde { t } ^ { 2 } } - \sin \alpha \right) \, , } \end{array}
2 \pi \int _ { 0 } ^ { \infty } \left( \exp ( - \frac { 2 r ^ { 2 } } { w _ { 0 } ^ { 2 } } ) \right) ^ { 4 } r \mathrm { d } r = \frac { 1 } { 8 } \pi w _ { 0 } ^ { 2 } .
\begin{array} { r } { \Theta ^ { \mu \rho } = \xi ( { \cal F } , { \cal G } ) \, F ^ { \mu \nu } F _ { \nu } ^ { \; \; \rho } \, + \, \eta ^ { \mu \rho } \left[ \, \chi ( { \cal F } , { \cal G } ) \, { \cal G } - { \cal L } \, \right] \; . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \frac { d x _ { 1 } } { d t } } } & { = r _ { 1 } x _ { 1 } \left( 1 - \left( { \frac { x _ { 1 } + \alpha _ { 1 2 } x _ { 2 } } { K _ { 1 } } } \right) \right) } \\ { { \frac { d x _ { 2 } } { d t } } } & { = r _ { 2 } x _ { 2 } \left( 1 - \left( { \frac { x _ { 2 } + \alpha _ { 2 1 } x _ { 1 } } { K _ { 2 } } } \right) \right) . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { [ t ] } & { = \int _ { \mathbb { R } ^ { d } \times \mathbb { R } ^ { + } } { \omega _ { N } ^ { 2 } ( y ) F \, \mathcal { W } d x d y } - \int _ { \mathbb { R } ^ { d } \times \mathbb { R } ^ { + } } { 2 \omega _ { N } ^ { \prime } ( y ) \omega ( y ) \partial _ { y } \mathcal { W } \mathcal { W } d x d y } } \\ & { \leq \| y \omega _ { N } F \| _ { L ^ { 2 } ( y ^ { - \alpha } , \mathbb { R } ^ { d } \times \mathbb { R } ^ { + } ) } \| y ^ { - 1 } \omega _ { N } \mathcal { W } \| _ { L ^ { 2 } ( y ^ { \alpha } , \mathbb { R } ^ { d } \times \mathbb { R } ^ { + } ) } + 2 \| \omega _ { N } \partial _ { y } \mathcal { W } \| _ { L ^ { 2 } ( y ^ { \alpha } , \mathbb { R } ^ { d } \times \mathbb { R } ^ { + } ) } \| \omega _ { N } ^ { \prime } \mathcal { W } \| _ { L ^ { 2 } ( y ^ { \alpha } , \mathbb { R } ^ { d } \times \mathbb { R } ^ { + } ) } } \\ & { \leq \frac { 1 } { 2 } \| y \omega _ { N } F \| _ { L ^ { 2 } ( y ^ { - \alpha } , \mathbb { R } ^ { d } \times \mathbb { R } ^ { + } ) } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \| y ^ { - 1 } \omega _ { N } \mathcal { W } \| _ { L ^ { 2 } ( y ^ { \alpha } , \mathbb { R } ^ { d } \times \mathbb { R } ^ { + } ) } ^ { 2 } } \\ & { \quad + \frac { 1 } { 2 } \| \omega _ { N } \partial _ { y } \mathcal { W } \| _ { L ^ { 2 } ( y ^ { \alpha } , \mathbb { R } ^ { d } \times \mathbb { R } ^ { + } ) } ^ { 2 } + 2 \| \omega _ { N } ^ { \prime } \mathcal { W } \| _ { L ^ { 2 } ( y ^ { \alpha } , \mathbb { R } ^ { d } \times \mathbb { R } ^ { + } ) } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \qquad p \mathcal { G } ( \mathrm { s u s p } ( h \circ \varphi ) ) _ { \ast } \left( \lbrack ( P \circ \varphi ) ^ { \mathrm { e x } } , \nabla _ { \partial _ { t _ { i } } } ^ { \mathfrak { S } _ { \mathrm { s u s p } ( h \circ \varphi ) } } \rbrack \right) } \\ & { = \lbrack ( p \mathcal { G } ( \mathrm { s u s p } ( h \circ \varphi ) ) _ { \ast } ( P \circ \varphi ) ) ^ { \mathrm { e x } } , ( p \mathcal { G } ( h \circ \varphi ) _ { \ast } \nabla ^ { \mathfrak { S } _ { \mathrm { s u s p } ( h \circ \varphi ) } } ) _ { \partial _ { t _ { i } } } \rbrack } \\ & { = \lbrack ( p \mathcal { G } ( h \circ \varphi ) _ { \ast } ( P \circ \varphi ) ) ^ { \mathrm { e x } } , \partial _ { t _ { i } } \rbrack = \lbrack \bigl ( ( p \mathcal { G } ( h ) _ { \ast } ( P ) ) \circ \varphi \bigr ) ^ { \mathrm { e x } } , \partial _ { t _ { i } } \rbrack } \\ & { \underset { \mathrm { r u l e } } { \overset { \mathrm { c h a i n } } { = } } \Bigl ( \partial _ { t _ { i } } \bigl ( ( p \mathcal { G } ( h ) _ { \ast } P ) \circ \varphi \bigr ) \Bigr ) ^ { \mathrm { e x } } = \sum _ { j = 1 } ^ { n } ( ( \partial _ { t _ { k } } p \mathcal { G } ( h ) _ { \ast } P ) \circ \varphi ) ^ { \mathrm { e x } } \cdot \partial _ { t _ { i } } \varphi _ { k } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { u ( [ - L , y , z ( - L , y ) ] ^ { T } , t ) } & { = u ( [ L , y , z ( L , y ) ] ^ { T } , t ) , \quad \mathrm { f o r ~ } y \in \mathcal { I } , \ t \in ( 0 , T ] , } \\ { u ( [ x , - L , z ( x , - L ) ] ^ { T } , t ) } & { = u ( [ x , L , z ( x , L ) ] ^ { T } , t ) , \quad \mathrm { f o r ~ } x \in \mathcal { I } , \ t \in ( 0 , T ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha ( \beta ) } & { { } = \frac { 1 } { S _ { p } } \iint _ { \mathcal { S } _ { p } } 2 \cos { ( \beta ) } \left( \sin { ( \beta ) } \mathcal { I } _ { y } ( x , w ) + \cos { ( \beta ) } \mathcal { I } _ { z } ( x , w ) \right) \mathrm { d } x \mathrm { d } w , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta S _ { \mathrm { ~ t ~ o ~ t ~ } } } & { { } = \int _ { \mathrm { ~ b ~ u ~ l ~ k ~ } } ( - ) ^ { q } \delta A \wedge \tilde { F } + ( - ) ^ { p q + q } \delta \tilde { A } \wedge F } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { \infty } } & { \int _ { \Sigma _ { \tau } \cap \{ r \leq R _ { + } \} } ( r - 1 ) ^ { - 1 } ( ( r - 1 ) ^ { 2 } | X \uppsi _ { m } ^ { \mathrm { c o n v } } | + | m | ( r - 1 ) | \uppsi _ { m } ^ { \mathrm { c o n v } } | ) | G _ { m } | \, d \sigma d r d \tau } \\ { \leq } & { \: C \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { \Sigma _ { \tau } \cap \{ r \leq R _ { + } \} } \eta ( r - 1 ) ^ { 2 + \epsilon } | X \psi _ { m } | ^ { 2 } + \eta m ^ { 2 } ( r - 1 ) ^ { \epsilon } | \psi _ { m } | ^ { 2 } + C \eta ^ { - 1 } ( r - 1 ) ^ { 1 - \epsilon } | G _ { m } | ^ { 2 } \, d \sigma d r d \tau . } \end{array}
\begin{array} { r } { \boldsymbol { \theta } = [ k _ { 1 } , k _ { 2 } , \cdots ] , } \\ { \mathbf { x } = [ x , y , z , z _ { H } , D , C _ { T } , u _ { \infty , H } , \phi _ { \infty , H } ] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { U ^ { ( 1 ) } } & { = } & { \left[ E _ { N } ^ { ( 1 ) } \right] - \beta \left( \left[ E _ { N } ^ { ( 1 ) } E _ { N } ^ { ( 0 ) } \right] - \Omega ^ { ( 1 ) } U ^ { ( 0 ) } \right) } \\ & { = } & { \sum _ { i } \tilde { \bar { F } } _ { i i } { ( f _ { i } + 1 / 2 ) } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i , j } \tilde { F } _ { i i j j } ( f _ { i } + 1 / 2 ) ( f _ { j } + 1 / 2 ) } \\ & { } & { - { \beta } \sum _ { i } \tilde { \bar { F } } _ { i i } \omega _ { i } f _ { i } ( f _ { i } + 1 ) } \\ & { } & { - { \beta } \sum _ { i , j } \tilde { F } _ { i i j j } \omega _ { j } ( f _ { i } + 1 / 2 ) f _ { j } ( f _ { j } + 1 ) } \\ & { \equiv } & { \left[ E _ { N } ^ { ( 1 ) } \right] _ { L } - \beta \left[ E _ { N } ^ { ( 1 ) } E _ { N } ^ { ( 0 ) } \right] _ { L } , } \end{array}
\sum _ { k \neq j \in \mathcal { T } } x _ { k } x _ { j } = \Big ( \sum _ { k \in \mathcal { T } } x _ { k } \Big ) ^ { 2 } - \sum _ { k \in \mathcal { T } } x _ { k } ^ { 2 } \, \simeq \Big ( \sum _ { k \in \mathcal { T } } x _ { k } \Big ) ^ { 2 }
- \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { J } _ { + , \ensuremath { \mathrm { s s } } } ^ { 0 } } \\ { 0 } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { \Omega _ { + + } ^ { 0 } } & { \Omega _ { + - } ^ { 0 } } \\ { \Omega _ { + - } ^ { 0 } } & { \Omega _ { -- } ^ { 0 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \nabla \tilde { \mu } _ { + , \ensuremath { \mathrm { s s } } } } \\ { \nabla \tilde { \mu } _ { - , \ensuremath { \mathrm { s s } } } } \end{array} \right]
\begin{array} { r } { \begin{array} { r } { P \leq [ 1 - A ( h ) ] ^ { - 1 } e ^ { B _ { 2 } T } ( 1 + \lambda _ { 9 } ^ { - 1 } ) B _ { 1 } h e ^ { - ( A _ { 1 } + \lambda _ { 7 } ) h } \frac { e ^ { - ( A _ { 1 } + \lambda _ { 7 } + B _ { 2 } ) T } - 1 } { e ^ { - ( A _ { 1 } + \lambda _ { 7 } + B _ { 2 } ) h } - 1 } \mathbb { E } | g ( X _ { T } ^ { \pi } ) - Y _ { T } ^ { \pi } | ^ { 2 } , } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r } { \lVert t \Delta _ { \mathcal { N } } e ^ { t \Delta _ { \mathcal { N } } } \mathcal { P } _ { \mathcal { N } } a \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } \lesssim _ { p , s , n , \eta } t ^ { \eta } \lVert a \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s + 2 \eta , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } \, \mathrm { , ~ } } \\ { \lVert t \Delta _ { \mathcal { N } } e ^ { t \Delta _ { \mathcal { N } } } \mathcal { P } _ { \mathcal { N } } b \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } \lesssim _ { p , s , n , } t \lVert b \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s + 2 , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } \mathrm { . ~ } } \end{array}
\begin{array} { r } { g _ { L } ( \mathbf { x } , \mathbf { x } ^ { \prime } ) = \frac { 1 } { 4 \pi | \mathbf { x } - \mathbf { x } ^ { \prime } | } } \\ { g _ { Y } ( \mathbf { x } , \mathbf { x } ^ { \prime } ) = \frac { e ^ { - \kappa | \mathbf { x } - \mathbf { x } ^ { \prime } | } } { 4 \pi | \mathbf { x } - \mathbf { x } ^ { \prime } | } } \end{array}
\begin{array} { r l } { m ( t _ { n } ) = } & { { } \sum _ { i } ^ { N _ { p } } \left[ \left( G ( 0 ) + G ( \theta ) + \cdots G ( \theta ( N _ { v } - 1 ) ) \right) \sigma _ { i } ( t _ { n } ) \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { | L _ { k } ^ { i } | \le _ { \alpha } \left\{ \begin{array} { l l } { \left( \frac { \mathtt { j } _ { i } } { \mathtt { j } _ { k } } \right) ^ { 3 - \alpha } \le R _ { S _ { 0 } ^ { + } } ^ { 3 - \alpha } , } & { \mathrm { ~ i f ~ i ~ > ~ k ~ } , } \\ { \left( \frac { \mathtt { j } _ { k } } { \mathtt { j } _ { i } } \right) ^ { 3 - \alpha } \le R _ { S _ { 0 } ^ { + } } ^ { 3 - \alpha } , } & { \mathrm { ~ i f ~ i ~ < ~ k ~ } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { H ^ { ( F ) } ( - { \bf k } ) } & { { } \! = \! \sum _ { j _ { z } } \! \left\{ \! m _ { 0 } - 2 t _ { z } - 4 t _ { | | } + 2 { \cal J } _ { 0 } ( A ( z ) a ) t _ { | | } \left[ \cos ( k _ { x } a ) + \cos ( k _ { y } a ) \right] \! \right\} \! C _ { { \bf k } , j _ { z } } ^ { \dagger } \gamma _ { 0 } C _ { { \bf k } , j _ { z } } } \end{array}
S = l _ { m } \, \int \left[ \frac { 1 } { 2 } * F \wedge F + A \wedge J + g _ { m } \wedge \left( F _ { m } \wedge * F + A _ { m } J \right) + g _ { m m } \left( F _ { m } \wedge * F _ { m } \right) \right]
\begin{array} { r l } & { u ^ { ( 1 ) } = u ^ { n } + \Delta t L \left( u ^ { n } \right) , } \\ & { u ^ { ( 2 ) } = \frac { 3 } { 4 } u ^ { n } + \frac { 1 } { 4 } u ^ { ( 1 ) } + \frac { 1 } { 4 } \Delta t L \left( u ^ { ( 1 ) } \right) , } \\ & { u ^ { n + 1 } = \frac { 1 } { 3 } u ^ { n } + \frac { 2 } { 3 } u ^ { ( 2 ) } + \frac { 2 } { 3 } \Delta t L \left( u ^ { ( 2 ) } \right) . } \end{array}
\Omega _ { \mathrm { ~ M ~ W ~ } } \left( A M \right) = \Omega _ { \mathrm { ~ M ~ W ~ } } \cdot \frac { 1 } { 2 } \left[ \left( 2 - M D \right) + M D \cdot \sin \left( \omega _ { \mathrm { ~ a ~ m ~ } } \cdot \Delta _ { \mathrm { ~ p ~ } } \right) \right] ,
\begin{array} { c } { { [ { \cal P } , S ] = [ { \cal P } , { \sf X } ] = [ { \cal P } , { \sf Y } ] = [ { \cal P } , { \sf I } ^ { \sf i } ] = [ { \cal P } , { \sf C } ^ { \sf c } ] = 0 } } \\ { { [ S , { \sf X } ] = [ S , { \sf Y } ] = [ S , { \sf I } ^ { \sf i } ] = [ S , { \sf C } ^ { \sf c } ] = 0 } } \\ { { [ { \sf X } , { \sf Y } ] = [ { \sf X } , { \sf I } ^ { \sf i } ] = [ { \sf X } , { \sf C } ^ { \sf c } ] = 0 } } \\ { { [ { \sf Y } , { \sf I } ^ { \sf i } ] = [ { \sf Y } , { \sf C } ^ { \sf c } ] = 0 } } \\ { { [ { \sf I } ^ { \sf i } , { \sf C } ^ { \sf c } ] = 0 } } \end{array}