harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { 2 \Gamma _ { I J 0 } ^ { \Phi } } & { = \left( \begin{array} { c c c } { 0 } & { 0 } & { \partial _ { \rho } \Phi _ { 0 0 } } \\ { 0 } & { 0 } & { \partial _ { \rho } \Phi _ { i 0 } } \\ { \partial _ { \rho } \Phi _ { 0 0 } } & { \partial _ { \rho } \Phi _ { 0 j } } & { 0 } \end{array} \right) + O ( \rho ^ { m } ) \, , } \\ { 2 \Gamma _ { I J k } ^ { \Phi } } & { = \left( \begin{array} { c c c } { 0 } & { 0 } & { \partial _ { \rho } \Phi _ { 0 k } } \\ { 0 } & { 0 } & { \partial _ { \rho } \Phi _ { i k } } \\ { \partial _ { \rho } \Phi _ { 0 k } } & { \partial _ { \rho } \Phi _ { j k } } & { 2 \partial _ { \rho } \Phi _ { \infty k } } \end{array} \right) + O ( \rho ^ { m } ) \, , } \\ { 2 \Gamma _ { I J \infty } ^ { \Phi } } & { = \left( \begin{array} { c c c } { - \partial _ { \rho } \Phi _ { 0 0 } } & { - \partial _ { \rho } \Phi _ { 0 j } } & { 0 } \\ { - \partial _ { \rho } \Phi _ { i 0 } } & { - \partial _ { \rho } \Phi _ { i j } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) + O ( \rho ^ { m } ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { ( 1 + \| P _ { c } y \| ^ { 2 } ) ( 1 + \eta ^ { 2 } \| P _ { c } y ^ { \prime } \| ^ { 2 } ) + ( 1 + \| P _ { c } y ^ { \prime } \| ^ { 2 } ) ( 1 + \eta ^ { 2 } \| P _ { c } y \| ^ { 2 } ) - ( ( 1 + \| P _ { c } y \| ^ { 2 } ) + ( 1 + \| P _ { c } y ^ { \prime } \| ^ { 2 } ) ) \sqrt { 1 + \eta ^ { 2 } \| P _ { c } y \| ^ { 2 } } \sqrt { 1 + \eta ^ { 2 } \| P _ { c } y ^ { \prime } \| ^ { 2 } } } { ( 1 + \eta ^ { 2 } \| P _ { c } y \| ^ { 2 } ) ( 1 + \eta ^ { 2 } \| P _ { c } y ^ { \prime } \| ^ { 2 } ) } } \\ { = } & { \frac { ( 1 + \| P _ { c } y \| ^ { 2 } ) ( 1 + \eta ^ { 2 } \| P _ { c } y ^ { \prime } \| ^ { 2 } - \sqrt { 1 + \eta ^ { 2 } \| P _ { c } y \| ^ { 2 } } \sqrt { 1 + \eta ^ { 2 } \| P _ { c } y ^ { \prime } \| ^ { 2 } } ) + ( 1 + \| P _ { c } y ^ { \prime } \| ^ { 2 } ) ( ( 1 + \eta ^ { 2 } \| P _ { c } y \| ^ { 2 } ) - \sqrt { 1 + \eta ^ { 2 } \| P _ { c } y \| ^ { 2 } } \sqrt { 1 + \eta ^ { 2 } \| P _ { c } y ^ { \prime } \| ^ { 2 } } ) } { ( 1 + \eta ^ { 2 } \| P _ { c } y \| ^ { 2 } ) ( 1 + \eta ^ { 2 } \| P _ { c } y ^ { \prime } \| ^ { 2 } ) } } \\ { = } & { \frac { ( 1 + \| P _ { c } y \| ^ { 2 } ) ( \sqrt { 1 + \eta ^ { 2 } \| P _ { c } y ^ { \prime } \| ^ { 2 } } ) ( \sqrt { 1 + \eta ^ { 2 } \| P _ { c } y ^ { \prime } \| ^ { 2 } } - \sqrt { 1 + \eta ^ { 2 } \| P _ { c } y \| ^ { 2 } } ) + ( 1 + \| P _ { c } y ^ { \prime } \| ^ { 2 } ) ( \sqrt { 1 + \eta ^ { 2 } \| P _ { c } y \| ^ { 2 } } ) ( \sqrt { 1 + \eta ^ { 2 } \| P _ { c } y \| ^ { 2 } } - \sqrt { 1 + \eta ^ { 2 } \| P _ { c } y ^ { \prime } \| ^ { 2 } } ) } { ( 1 + \eta ^ { 2 } \| P _ { c } y \| ^ { 2 } ) ( 1 + \eta ^ { 2 } \| P _ { c } y ^ { \prime } \| ^ { 2 } ) } } \\ { = } & { \frac { ( \sqrt { 1 + \eta ^ { 2 } \| P _ { c } y ^ { \prime } \| ^ { 2 } } - \sqrt { 1 + \eta ^ { 2 } \| P _ { c } y \| ^ { 2 } } ) ( ( 1 + \| P _ { c } y \| ^ { 2 } ) ( \sqrt { 1 + \eta ^ { 2 } \| P _ { c } y ^ { \prime } \| ^ { 2 } } ) - ( 1 + \| P _ { c } y ^ { \prime } \| ^ { 2 } ) ( \sqrt { 1 + \eta ^ { 2 } \| P _ { c } y \| ^ { 2 } } ) ) } { ( 1 + \eta ^ { 2 } \| P _ { c } y \| ^ { 2 } ) ( 1 + \eta ^ { 2 } \| P _ { c } y ^ { \prime } \| ^ { 2 } ) } } \\ { \leq } & { 0 } \end{array}
\begin{array} { r } { z = - \cfrac { m _ { 1 4 } - m _ { 3 4 } \bar { u } ^ { p } } { ( m _ { 1 1 } - m _ { 3 1 } \bar { u } ^ { p } ) \bar { u } ^ { c } + ( m _ { 1 2 } - m _ { 3 2 } \bar { u } ^ { p } ) \bar { v } ^ { c } + m _ { 1 3 } - m _ { 3 3 } \bar { u } ^ { p } } , } \end{array}
n _ { 0 } = N \left( \frac { m ( \omega _ { x } \omega _ { y } \omega _ { z } ) ^ { 1 / 3 } } { 2 \pi k _ { B } T _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ - ~ t ~ r ~ a ~ p ~ } } } \right) ^ { 3 / 2 } = 3 ( 1 ) \times 1 0 ^ { 9 } ,
[ T _ { 1 / 2 } ^ { 0 \nu \beta \beta } ] ^ { - 1 } \ = \ \frac { | \langle m \rangle | ^ { 2 } } { m _ { e } ^ { 2 } } \| { \cal M } _ { 0 \nu \beta \beta } | ^ { 2 } \, G _ { 0 1 } \; ,
\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } { \ensuremath { \mathbb E } } \left[ e ^ { i \langle X _ { n } , \rho \rangle - \frac { 1 } { 2 } M _ { n } ^ { ' } ( e ^ { | \gamma | ^ { 2 } L _ { n } } | f | ^ { 2 } ) } \right] = { \ensuremath { \mathbb E } } \left[ e ^ { i \langle X , \rho \rangle - \frac { 1 } { 2 } M ^ { ' } ( e ^ { | \gamma | ^ { 2 } L ^ { ( \delta ) } } | f | ^ { 2 } ) } \right] .
f _ { p a c k } \, = \, \, \, \frac { 3 \, \pi ^ { 2 } \alpha _ { S } } { 2 Q _ { s } ^ { 2 } ( x _ { B } ; A ) } \, \times \, \frac { x _ { B } G _ { A } ( x _ { B } , Q _ { s } ^ { 2 } ( x _ { B } ; A ) ) } { \pi \, R _ { A } ^ { 2 } } \, \, = \, \, 1 \quad ;
\begin{array} { r } { \widetilde { O } \left( \operatorname* { m i n } \left( n , \frac { n ^ { 2 } \epsilon _ { \textup { d p } } ^ { 2 } } { d } \right) + \operatorname* { m i n } \left( \frac { ( n d ) ^ { \frac 2 3 } } { \epsilon _ { \textup { d p } } } , n ^ { \frac 4 3 } \epsilon _ { \textup { d p } } ^ { \frac 1 3 } \right) \right) \mathrm { ~ g r a d i e n t s . } } \end{array}
\mathbf { G ^ { T } } : = { \left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } , \qquad \mathbf { H } : = { \left( \begin{array} { l l l l l l l } { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \end{array} \right) } .
\begin{array} { r l r } { d _ { 2 } ( z ) } & { = } & { F _ { M } ( z ) ^ { 2 } d _ { 0 } ( z ) + P ( z ) \sum _ { q = 0 } ^ { M } \alpha _ { q } z ^ { q } \sum _ { k = 0 } ^ { q - 1 } z ^ { - k } { d _ { 1 } [ k ] } } \\ & { + } & { F ( z ) _ { M } P ( z ) \sum _ { p = 0 } ^ { M } \alpha _ { p } z ^ { p } \sum _ { k = 0 } ^ { p - 1 } z ^ { - k } d _ { 0 } [ k ] } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { R e } \; \sum _ { a , { \bf k } } e _ { a } \left\langle \int \overline { { \delta \phi } } _ { \bf k } ^ { \ast } \left( \frac { \partial g _ { a , { \bf k } } } { \partial t } + v _ { \| } \frac { \partial g _ { a , { \bf k } } } { \partial l } + i \omega _ { d a } g _ { a , { \bf k } } - \frac { e _ { a } F _ { a 0 } } { T _ { a } } \frac { \partial \overline { { \delta \phi } } _ { \bf k } } { \partial t } \right) d ^ { 3 } v \right\rangle = 0 . } \end{array}
\begin{array} { l } { \left| { { e _ { i x } } } \right\rangle = { [ 0 , 1 , - 1 , 0 , 0 , 0 , 0 , 1 , - 1 , 1 , - 1 , 1 , - 1 , 1 , - 1 , 0 , 0 , 0 , 0 , 1 , - 1 , 1 , - 1 , 1 , - 1 , 1 , - 1 ] ^ { \top } } , } \\ { \left| { { e _ { i y } } } \right\rangle = { [ 0 , 0 , 0 , 1 , - 1 , 0 , 0 , 1 , 1 , - 1 , - 1 , 0 , 0 , 0 , 0 , 1 , - 1 , 1 , - 1 , 1 , 1 , - 1 , - 1 , 1 , 1 , - 1 , - 1 ] ^ { \top } } , } \\ { \left| { { e _ { i \mathrm { { z } } } } } \right\rangle = { [ 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 1 , - 1 , 0 , 0 , 0 , 0 , 1 , 1 , - 1 , - 1 , 1 , 1 , - 1 , - 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , - 1 , - 1 , - 1 , - 1 ] ^ { \top } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { i , j = 1 } ^ { n + 1 } \| x _ { i } - x _ { j } \| } & { = \sum _ { i , j = 1 } ^ { n } \| x _ { i } - x _ { j } \| + 2 \sum _ { i = 1 } ^ { n } \| x _ { n + 1 } - x _ { i } \| } \\ & { \geq \sum _ { i , j = 1 } ^ { n } \| x _ { i } - x _ { j } \| + 2 n \int _ { \mathbb { S } ^ { d } } \int _ { \mathbb { S } ^ { d } } \| x - y \| d \sigma _ { d } ( x ) d \sigma _ { d } ( y ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { X _ { k } ^ { - 4 , 3 } } & { = \frac { 1 } { 5 e } \bigg [ e \, X _ { k } ^ { - 4 , 1 } - 4 \, X _ { k } ^ { - 4 , 2 } + 2 \sqrt { 1 - e ^ { 2 } } \, k \, X _ { k } ^ { - 3 , 2 } \bigg ] \ , } \\ { X _ { k } ^ { - 3 , 3 } } & { = \frac { 1 } { e } \bigg [ 2 ( 1 - e ^ { 2 } ) \, X _ { k } ^ { - 4 , 2 } - 2 X _ { k } ^ { - 3 , 2 } - e \, X _ { k } ^ { - 3 , 1 } \bigg ] \ , } \\ { X _ { k } ^ { - 4 , 2 } } & { = \frac { 1 } { 2 e } \bigg [ e \, X _ { k } ^ { - 4 , 0 } - X _ { k } ^ { - 4 , 1 } + \sqrt { 1 - e ^ { 2 } } \, k \, X _ { k } ^ { - 3 , 1 } \bigg ] \ , } \\ { X _ { k } ^ { - 4 , 1 } } & { = \frac { 1 } { 1 - e ^ { 2 } } \bigg [ \frac { e } { 2 } \, X _ { k } ^ { - 3 , 2 } + X _ { k } ^ { - 3 , 1 } + \frac { e } { 2 } \, X _ { k } ^ { - 3 , 0 } \bigg ] \ , } \\ { X _ { k } ^ { - 4 , 0 } } & { = \frac { 1 } { 1 - e ^ { 2 } } \bigg [ \frac { e } { 2 } \, X _ { k } ^ { - 3 , - 1 } + X _ { k } ^ { - 3 , 0 } + \frac { e } { 2 } \, X _ { k } ^ { - 3 , 1 } \bigg ] \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { \mathbf { W } } ( 0 , \mathbf { w } ) } & { { } = \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { M } } \int _ { \mathbb { R } } \mathrm { d } \alpha _ { 1 } \cdots \int _ { \mathbb { R } } \mathrm { d } \alpha _ { M } \, \exp \left( - i \sum _ { n = 1 } ^ { M } \alpha _ { n } w _ { n } \right) \left[ - \frac { 1 } { 4 } \sum _ { n = 1 } ^ { M } \alpha _ { n } ^ { 2 } \bigl ( f _ { n } , f _ { n } \bigr ) \right] } \end{array}
\begin{array} { r } { \delta _ { 1 , \alpha } ^ { M } ( \underline { { X } } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \delta _ { 1 } ( \underline { { X } } ) , } & { \mathrm { ~ i f } \quad \delta _ { 1 } ( \underline { { X } } ) \leq \delta _ { 2 } ( \underline { { X } } ) } \\ { \alpha \delta _ { 1 } ( \underline { { X } } ) + ( 1 - \alpha ) \delta _ { 2 } ( \underline { { X } } ) , } & { \mathrm { ~ i f } \quad \delta _ { 1 } ( \underline { { X } } ) > \delta _ { 2 } ( \underline { { X } } ) } \end{array} \right. } \end{array}
E _ { \mathrm { ~ S ~ C ~ F ~ } } ^ { I , \lambda } = E _ { \textrm { T } } ^ { I , \lambda } + E _ { \textrm { J } } ^ { I , \lambda } + E _ { \textrm { S O } } ^ { I , \lambda } + E _ { \textrm { X C } } ^ { I , \lambda } + E _ { \textrm { N N } } ^ { I , \lambda } ,
\begin{array} { r l r } & { } & { L _ { 1 , l } \geq 2 \sqrt { R } - 2 R ^ { 1 \slash 3 } = 2 \sqrt { R } ( 1 - \operatorname* { m a x } \{ R , 1 \} ^ { - 1 \slash 6 } ) } \\ & { \geq } & { \sqrt { 2 } L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } e ^ { - | y _ { l - 1 } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) | L \slash 2 } \sqrt { ( x _ { l } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) ( y _ { l } ( \Gamma ) - y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) } } \\ & { } & { \times \Phi _ { 2 } ^ { 1 \slash 2 } ( 1 - \Phi _ { 3 } ^ { - 1 \slash 6 } ) . } \end{array}
\check { U } = \left( \begin{array} { l l l l l } { \check { U } _ { 1 } } & { 0 } & { \cdots } & { } & { } \\ { 0 } & { \check { U } _ { 2 } } & { 0 } & { \cdots } & { } \\ { \vdots } & { 0 } & { \ddots } & { 0 } & { \cdots } \end{array} \right) ,
{ \frac { g _ { \pi _ { 1 } \gamma \pi } ^ { 2 } / g _ { a _ { 2 } \gamma \pi } ^ { 2 } } { g _ { \pi _ { 1 } \rho \pi } ^ { 2 } / g _ { a _ { 2 } \rho \pi } ^ { 2 } } } = \left( { \frac { \lambda ( m _ { a _ { 2 } } , \rho , \pi ) / \lambda ( m _ { \pi _ { 1 } } , \rho , \pi ) } { \lambda ( m _ { a _ { 2 } } , 0 , \pi ) / \lambda ( m _ { \pi _ { 1 } } , 0 , \pi ) } } \right) ^ { 2 } \approx 4 \; .
z = \frac { z ^ { * } } { \ell } , \; r = \frac { r ^ { * } } { a } , \; u _ { z } = \frac { u _ { z } ^ { * } } { U } , \; u _ { r } = \frac { u _ { r } ^ { * } \ell } { U a } , \; P = \frac { P ^ { * } a ^ { 2 } } { \mu U \ell } , \; \epsilon = \frac { a } { \ell } , \; \; U = \frac { D _ { s } } { \ell } , \; t = \frac { t ^ { * } } { \ell ^ { 2 } / D _ { s } } .
{ \left[ \begin{array} { l } { d ^ { \prime } } \\ { s ^ { \prime } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l } { V _ { u d } } & { V _ { u s } } \\ { V _ { c d } } & { V _ { c s } } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { d } \\ { s } \end{array} \right] } ,
\begin{array} { r l } { \frac { d \hat { \rho } } { d t } = - \frac { i } { \hbar } [ \hat { H } , \hat { \rho } ] } & { + \sum _ { j = 1 , 2 } \gamma _ { j } ( 2 \hat { a } _ { j } \hat { \rho } \hat { a } _ { j } ^ { \dagger } - \hat { \rho } \hat { a } _ { j } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j } - \hat { a } _ { j } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j } \hat { \rho } ) } \\ & { + \sum _ { j = 1 , 2 } \beta _ { j } ( 2 \hat { a } _ { j } ^ { \dagger } \hat { \rho } \hat { a } _ { j } - \hat { \rho } \hat { a } _ { j } \hat { a } _ { j } ^ { \dagger } - \hat { a } _ { j } \hat { a } _ { j } ^ { \dagger } \hat { \rho } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d } { d x } ( R e _ { * } ^ { - 1 } U _ { o 3 } ) = \frac { d R e _ { * } ^ { - 1 } } { d x } U _ { o 3 } + R e _ { * } ^ { - 1 } \frac { d U _ { o 3 } } { d x } } \\ { = - R e _ { * } ^ { - 2 } \frac { d R e _ { * } } { d x } + R e _ { * } ^ { - 1 } \frac { d U _ { o 3 } } { d y _ { o } } y U _ { e } ( \frac { - 1 } { x ^ { 2 } u _ { * } } + \frac { - 1 } { x u _ { * } ^ { 2 } } \frac { d u _ { * } } { d x } ) } \\ { = - R e _ { * } ^ { - 2 } \frac { U _ { o _ { 3 } } } { \nu } \frac { 1 } { U _ { e } } ( u _ { * } ^ { 2 } + 2 x u _ { * } \frac { d u _ { * } } { d x } ) + R e _ { * } ^ { - 1 } \frac { d U _ { o 3 } } { d y _ { o } } y U _ { e } ( \frac { - 1 } { x ^ { 2 } u _ { * } } + \frac { - 1 } { x u _ { * } ^ { 2 } } \frac { d u _ { * } } { d x } ) . } \end{array}
\mathrm { C F } = \left[ \frac { | \sum _ { j } \sum _ { k } c _ { j } \langle \, \Phi ( \gamma _ { j } P J ) \, \| { \bf T } ^ { ( 1 ) } \| \, \Phi ( \gamma _ { k } ^ { \prime } P ^ { \prime } J ^ { \prime } ) \, \rangle c _ { k } ^ { \prime } | } { \sum _ { k } \sum _ { j } | c _ { j } \langle \, \Phi ( \gamma _ { j } P J ) \, \| { \bf T } ^ { ( 1 ) } \| \, \Phi ( \gamma _ { k } ^ { \prime } P ^ { \prime } J ^ { \prime } ) \, \rangle c _ { k } ^ { \prime } | } \right] ^ { 2 } ,
A _ { i } = { v R } \partial _ { i } \eta \ t + \hat { A } _ { i } , \qquad ( \nabla ^ { 2 } - { R ^ { - 2 } } ) \hat { A } _ { i } = 0 , \qquad \eta = \epsilon ^ { i j } \partial _ { i } \hat { A } _ { j } .
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } _ { P } \left[ \exp \left( \lambda \sum _ { t = 1 } ^ { T } \xi _ { t } ^ { a } ( P ) \right) \right] = \mathbb { E } _ { P } \left[ \prod _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb { E } _ { P } \left[ \exp \left( \lambda \xi _ { t } ^ { a } ( P ) \right) | \mathcal { F } _ { t - 1 } \right] \right] = \mathbb { E } _ { P } \left[ \exp \left( \sum _ { t = 1 } ^ { T } \log \mathbb { E } _ { P } \left[ \exp \left( \lambda \xi _ { t } ^ { a } ( P ) \right) | \mathcal { F } _ { t - 1 } \right] \right) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | B _ { i } \cap B _ { 1 } ^ { - } | } & { = | A _ { i } \cap ( A _ { 1 } ^ { - } \setminus X ^ { - } ) | } \\ & { = | A _ { i } \cap A _ { 1 } ^ { - } | - | A _ { i } \cap X ^ { - } | } \\ & { = | A _ { i } \cap A _ { 1 } ^ { - } | - \alpha _ { i } ( X ) } \\ { | B _ { i } \cap B _ { 2 } ^ { - } | } & { = | A _ { i } \cap ( A _ { 2 } ^ { - } \cup X ^ { - } ) | } \\ & { = | A _ { i } \cap A _ { 2 } ^ { - } | + | A _ { i } \cap X ^ { - } | } \\ & { = | A _ { i } \cap A _ { 2 } ^ { - } | + \alpha _ { i } ( X ) . } \end{array}
\mathbf { x } = \left( \begin{array} { c } { \Phi ( 1 , 1 ) } \\ { \Phi ( 2 , 1 ) } \\ { \vdots } \\ { \Phi ( i , j ) } \\ { \vdots } \\ { \Phi ( n x - 1 , n y ) } \\ { \Phi ( n x , n y ) } \end{array} \right) ; \quad \mathbf { b } = \left( \begin{array} { c } { b ( 1 , 1 ) } \\ { b ( 2 , 1 ) } \\ { \vdots } \\ { b ( i , j ) } \\ { \vdots } \\ { b ( n x - 1 , n y ) } \\ { b ( n x , n y ) } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { P ^ { 0 } = } & { { A ^ { ( d ) } } ^ { \prime } P ^ { d } A ^ { ( d ) } + \sum _ { k = 0 } ^ { d - 1 } { A ^ { ( k ) } } ^ { \prime } \bar { A } ^ { \prime } P ^ { 0 } \bar { A } A ^ { ( k ) } + \sum _ { k = 0 } ^ { d - 1 } { A ^ { ( k ) } } ^ { \prime } Q A ^ { ( k ) } , } \\ { P ^ { d } = } & { ( A - B K ) ^ { \prime } P ^ { d } ( A - B K ) + ( \bar { A } - \bar { B } K ) ^ { \prime } P ^ { 0 } ( \bar { A } - \bar { B } K ) + Q } \end{array}
P ^ { - 1 } { } _ { \! \! \mu _ { 1 } \cdots \mu _ { k } , \nu _ { 1 } \cdots \nu _ { k } } ( p ) \, P _ { \nu _ { 1 } \cdots \nu _ { k } , \lambda _ { 1 } \cdots \lambda _ { k } } ( p ) = { \cal E } ^ { A } { } _ { \! \! \mu _ { 1 } \cdots \mu _ { k } , \lambda _ { 1 } \cdots \lambda _ { k } } \,
\mathfrak { L } \approx \underbrace { \frac { e \tau _ { \mu } } { ( 4 \pi m _ { \mu } c ) ^ { 2 } } } _ { K _ { L } } \frac { f _ { h g } \sigma _ { \delta } \bar { B } } { \varepsilon _ { \perp } \varepsilon _ { L } n _ { b } f _ { r } } \underbrace { \eta _ { + } \eta _ { - } ( \eta _ { \tau } P _ { p } E _ { \mu } ) ^ { 2 } \vphantom { \frac { e \tau _ { \mu } } { ( m _ { \mu } ) ^ { 2 } } } } _ { P _ { + } P _ { - } } \, ,
\begin{array} { r } { \hat { \boldsymbol { \beta } } _ { \mathrm { e f f } } ^ { x x } = \alpha _ { 0 } \frac { \Gamma _ { 1 } } { 2 } \left[ \begin{array} { l l } { - \omega + \omega _ { 1 } - i \Gamma _ { 1 } / 2 - \tilde { S } _ { x x } ^ { 1 1 } } & { - \tilde { S } _ { x x } ^ { 1 2 } } \\ { - \tilde { S } _ { x x } ^ { 1 2 } } & { - \omega + \omega _ { 2 } - i \Gamma _ { 2 } / 2 - \tilde { S } _ { x x } ^ { 1 1 } } \end{array} \right] ^ { - 1 } } \end{array}
p _ { r } ( x , t | x _ { 0 } ) = e ^ { - r t } p _ { 0 } ( x , t | x _ { 0 } ) + \int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime } r e ^ { - r t ^ { \prime } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d y p _ { r } ( y , t - t ^ { \prime } | x _ { 0 } ) p _ { 0 } ( x , t ^ { \prime } | c y ) .
\nu = n _ { + } - n _ { - } = { \frac { 1 } { 2 \pi } } \int _ { - { \frac { R } { 2 } } } ^ { { \frac { R } { 2 } } } d x \int _ { - { \frac { T } { 2 } } } ^ { { \frac { T } { 2 } } } d t F _ { 0 1 }
\begin{array} { r l } { A _ { s , t } = } & { \int _ { S _ { A } } u _ { s } ^ { - * } ( x , y , z _ { A } ) \exp \left( 2 i k f _ { A } ( x , y ) \right) u _ { t } ^ { + } ( x , y , z _ { A } ) d S , } \\ { B _ { s , t } = } & { \int _ { S _ { B } } u _ { s } ^ { + * } ( x , y , z _ { B } ) \exp \left( 2 i k f _ { B } ( x , y ) \right) u _ { t } ^ { - } ( x , y , z _ { B } ) d S , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { J } ( t , p ( t ) ) } & { = \left( \begin{array} { l l l l l l } { - k _ { R } P ( t , p ( t ) ) } & { g _ { V } } & { 0 } & { 0 } & { - k _ { R } V ( t , p ( t ) ) } & { 0 } \\ { 0 } & { - g _ { V } } & { 0 } & { k _ { F } ( t ) } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - g _ { P } } & { k _ { F } ( t ) } & { 0 } & { 0 } \\ { k _ { R } P ( t , p ( t ) ) } & { 0 } & { 0 } & { - k _ { F } ( t ) } & { k _ { R } V ( t , p ( t ) ) } & { 0 } \\ { - k _ { R } P ( t , p ( t ) ) } & { 0 } & { g _ { P } } & { 0 } & { - k _ { R } V ( t , p ( t ) ) } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { k _ { F } ( t ) } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l r l } { \chi _ { \ell } ^ { \star } ( G ) } & { \leqslant \chi _ { c } ^ { \star } ( G ) , } & { \chi _ { \ell } ^ { \bullet } ( G ) } & { \leqslant \chi _ { c } ^ { \bullet } ( G ) , } & { \chi _ { \ell } ^ { \bullet } ( G ) } & { \leqslant \chi _ { \ell } ^ { \star } ( G ) , } & { \chi _ { c } ^ { \bullet } ( G ) } & { \leqslant \chi _ { c } ^ { \star } ( G ) . } \end{array}
\operatorname { S U } ( 2 ) = \left\{ { \left( \begin{array} { l l } { \alpha } & { - { \overline { { \beta } } } } \\ { \beta } & { { \overline { { \alpha } } } } \end{array} \right) } : \ \ \alpha , \beta \in \mathbb { C } , | \alpha | ^ { 2 } + | \beta | ^ { 2 } = 1 \right\} ~ ,
\begin{array} { r } { \dot { q } _ { i } = \{ q _ { i } , H _ { T } \} = \frac { \partial H _ { c } } { \partial q _ { i } } + v ^ { \alpha } \frac { \partial \phi _ { \alpha } } { \partial q _ { i } } } \\ { \dot { p } _ { i } = \{ p _ { i } , H _ { T } \} = - \frac { \partial H _ { c } } { \partial p _ { i } } - v ^ { \alpha } \frac { \partial \phi _ { \alpha } } { \partial p _ { i } } } \\ { \dot { f } ( q , p , t ) = \{ f ( q , p , t ) , H _ { T } \} + \frac { \partial f ( q , p , t ) } { \partial t } \, , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { L } } & { = i \hbar \left( { \frac { \hat { \boldsymbol { \theta } } } { \sin ( \theta ) } } { \frac { \partial } { \partial \phi } } - { \hat { \boldsymbol { \phi } } } { \frac { \partial } { \partial \theta } } \right) } \\ & { = i \hbar \left( { \hat { \mathbf { x } } } \left( \sin ( \phi ) { \frac { \partial } { \partial \theta } } + \cot ( \theta ) \cos ( \phi ) { \frac { \partial } { \partial \phi } } \right) + { \hat { \mathbf { y } } } \left( - \cos ( \phi ) { \frac { \partial } { \partial \theta } } + \cot ( \theta ) \sin ( \phi ) { \frac { \partial } { \partial \phi } } \right) - { \hat { \mathbf { z } } } { \frac { \partial } { \partial \phi } } \right) } \\ { L _ { + } } & { = \hbar e ^ { i \phi } \left( { \frac { \partial } { \partial \theta } } + i \cot ( \theta ) { \frac { \partial } { \partial \phi } } \right) , } \\ { L _ { - } } & { = \hbar e ^ { - i \phi } \left( - { \frac { \partial } { \partial \theta } } + i \cot ( \theta ) { \frac { \partial } { \partial \phi } } \right) , } \\ { L ^ { 2 } } & { = - \hbar ^ { 2 } \left( { \frac { 1 } { \sin ( \theta ) } } { \frac { \partial } { \partial \theta } } \left( \sin ( \theta ) { \frac { \partial } { \partial \theta } } \right) + { \frac { 1 } { \sin ^ { 2 } ( \theta ) } } { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \phi ^ { 2 } } } \right) , } \\ { L _ { z } } & { = - i \hbar { \frac { \partial } { \partial \phi } } . } \end{array} }
\begin{array} { r } { P _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ s ~ s ~ } } \left( \eta \right) = \frac { 1 } { \sum _ { \eta \in \mathbf { H } \left( M \right) } \mathbf { 1 } _ { \left[ 0 , M \right) } \left( L \left( \eta \right) \right) } \mathbf { 1 } _ { \left[ 0 , M \right) } \left( L \left( \eta \right) \right) , } \end{array}
F _ { O _ { 2 } l o o p } ( t ) = { \frac { Q _ { f e e d } * F _ { O _ { 2 } f e e d } - V _ { O _ { 2 } } } { Q _ { f e e d } - V _ { O _ { 2 } } } } + ( F _ { O _ { 2 } l o o p } ^ { s t a r t } - { \frac { Q _ { f e e d } * F _ { O _ { 2 } f e e d } - V _ { O _ { 2 } } } { Q _ { f e e d } - V _ { O _ { 2 } } } } ) * e ^ { - { \frac { Q _ { f e e d } - V _ { O _ { 2 } } } { V _ { l o o p } } } t }
\begin{array} { r l r } { H _ { \mathrm { m a t t e r } } } & { { } = } & { \sum _ { a = 1 } ^ { N } \frac { \mathrm { ~ \bf ~ p ~ } _ { a } ^ { 2 } } { 2 m _ { a } } + V _ { \mathrm { C o u l } } } \\ { U _ { \mathrm { r a d i a t i o n - m a t t e r \; i n t e r a c t i o n } } } & { { } = } & { - \sum _ { a = 1 } ^ { N } \frac { q _ { a } } { m _ { a } } \mathrm { ~ \bf ~ p ~ } _ { a } \cdot \mathrm { ~ \bf ~ A ~ } _ { T } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { a } ) + } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \sqrt { \left( \frac { d x } { d t } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { d y } { d t } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { d z } { d t } \right) ^ { 2 } } } & { = } & { \sqrt { \left( \frac { d x } { d s } \frac { d s } { d t } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { d y } { d s } \frac { d s } { d t } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { d z } { d s } \frac { d s } { d t } \right) ^ { 2 } } } \\ & { = } & { \frac { d s } { d t } \sqrt { \left( \frac { d x } { d s } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { d y } { d s } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { d z } { d s } \right) ^ { 2 } } < c . } \end{array}
\widehat { \boldsymbol { K } } ^ { \pm } = \left[ \begin{array} { l l } { \displaystyle k _ { 1 } \left( 1 \mp \frac { y _ { s } } { R _ { \pm } } \right) + \frac { k _ { 2 } } { R _ { \pm } ^ { 2 } } \quad } & { \displaystyle \pm \frac { k _ { 2 } } { R _ { \pm } } } \\ { \displaystyle \pm \frac { k _ { 2 } } { R _ { \pm } } } & { k _ { 2 } } \end{array} \right] , \qquad \boldsymbol { G } ^ { \pm } = F \left[ \begin{array} { l l } { \displaystyle \mp \frac { 1 } { R _ { \pm } } \quad } & { \displaystyle - 1 } \\ { \displaystyle 0 } & { 0 } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r } { E _ { x , \omega , k } ^ { ( r ) } ( z ) = \frac { E _ { x , \omega , k } ^ { ( r - 1 ) } ( z _ { r - 1 } ) [ \exp ( - \lambda _ { r , k } ( z - z _ { r - 1 } ) ) + { \cal S } _ { r , k } \exp ( \lambda _ { r , k } ( z - z _ { r } ) ) ] } { [ 1 + { \cal S } _ { r , k } \exp ( - \lambda _ { r , k } d _ { r } ) ] } , \quad z _ { r - 1 } \leq z \leq z _ { r } , } \end{array}
R _ { T } ^ { \mathrm { q } } = { \frac { 4 \zeta ( 3 ) } { 3 \pi ^ { 3 } } } \alpha _ { S } ^ { 2 } \left( \ln { \frac { 1 } { \alpha _ { S } } } \right) ^ { 2 } T ^ { 4 } + { \cal O } \left( \alpha _ { S } ^ { 2 } \ln { \frac { 1 } { \alpha _ { S } } } T ^ { 4 } \right) .