harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\mathbf { a } _ { \mathrm { { r e l } } } = \mathbf { a } _ { 1 } - \mathbf { a } _ { 2 } = { \frac { d ^ { 2 } \mathbf { x } _ { 1 } } { d t ^ { 2 } } } - { \frac { d ^ { 2 } \mathbf { x } _ { 2 } } { d t ^ { 2 } } } = { \frac { d ^ { 2 } } { d t ^ { 2 } } } ( \mathbf { x } _ { 1 } - \mathbf { x } _ { 2 } ) = { \frac { d ^ { 2 } \mathbf { x } _ { \mathrm { { r e l } } } } { d t ^ { 2 } } }
\begin{array} { r l r } { \frac { \mathrm { d } T _ { \mathrm { ~ C ~ } } } { \mathrm { d } t } } & { { } = } & { \frac { \partial T _ { \mathrm { ~ C ~ } } } { \partial ( \mathrm { ~ O ~ F ~ } ) } \frac { \mathrm { d } ( \mathrm { ~ O ~ F ~ } ) } { \mathrm { d } t } + \frac { \partial T _ { \mathrm { ~ C ~ } } } { \partial p _ { \mathrm { ~ C ~ } } } \frac { \mathrm { d } p _ { \mathrm { ~ C ~ } } } { \mathrm { d } t } } \\ { \frac { \mathrm { d } \mathcal { W } _ { \mathrm { ~ C ~ } } } { \mathrm { d } t } } & { { } = } & { \frac { \partial \mathcal { W } _ { \mathrm { ~ C ~ } } } { \partial ( \mathrm { ~ O ~ F ~ } ) } \frac { \mathrm { d } ( \mathrm { ~ O ~ F ~ } ) } { \mathrm { d } t } + \frac { \partial \mathcal { W } _ { \mathrm { ~ C ~ } } } { \partial p _ { \mathrm { ~ C ~ } } } \frac { \mathrm { d } p _ { \mathrm { ~ C ~ } } } { \mathrm { d } t } . } \end{array}
\mathrm { s _ { A } ^ { 2 } \mathrm { z _ { A } ^ { 2 } \mathrm { \overline { { s } } _ { B } \mathrm { z _ { B } ( \mathrm { x _ { B } ^ { 2 } - \mathrm { y _ { B } ^ { 2 } ) + \mathrm { s _ { A } \mathrm { \overline { { z } } _ { A } \mathrm { s _ { B } ^ { 2 } \mathrm { z _ { B } ^ { 2 } ( \mathrm { y _ { A } ^ { 2 } - \mathrm { x _ { A } ^ { 2 } ) } } } } } } } } } } } }
\lambda _ { j } ^ { ( k + 1 ) } = \frac { \lambda _ { j } ^ { ( k ) } } { \sum _ { i \in \mathcal { I } } m _ { i j } } \sum _ { i \in \mathcal { I } } { \frac { m _ { i j } \hat { y } _ { i } } { \sum _ { j ^ { \prime } \in \mathcal { J } } m _ { i j ^ { \prime } } \lambda _ { j ^ { \prime } } ^ { ( k ) } + \hat { b } _ { i } } } ,
M = \left( \begin{array} { l l l } { - \nu k ^ { 2 } } & { k ( 1 + k ^ { 2 } ) ^ { - 1 } } & { i k \tilde { B } _ { 0 } } \\ { \; \frac { 1 } { 2 } k ( 1 - k ^ { 2 } ) \; } & { \; - \nu ( 1 + k ^ { 2 } ) \; } & { \; i B _ { 0 } ( 1 + k ^ { 2 } ) \; } \\ { \frac { 1 } { 2 } i k \tilde { B } _ { 0 } } & { i B _ { 0 } ( 1 + k ^ { 2 } ) ^ { - 1 } } & { - \eta ( 1 + k ^ { 2 } ) } \end{array} \right) , \quad \boldsymbol { v } = \left( \begin{array} { l } { G _ { 0 } ^ { \prime } } \\ { G _ { - } } \\ { H _ { + } } \end{array} \right) .
\frac { i } 2 ( \sigma _ { \mu } { } ^ { \rho } ) _ { \alpha \beta } L _ { \nu \rho } { } ^ { \alpha \beta } \ + \ \mathrm { h . c . } = 2 \mathrm { R e } \{ b _ { 1 } ^ { 2 } \} \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { t _ { \mathrm { a } i } ( k ) \, [ \mathrm { a ~ i ~ } ] _ { \mu \nu } { } ( k ) + t _ { \mathrm { b } j } ( k ) \, [ \mathrm { b ~ j ~ } ] _ { \mu \nu } { } ( k ) } { ( k ! ) ^ { 2 } }
\left( \frac { \displaystyle { \operatorname* { m a x } _ { 0 \le N < M } S _ { N } ( \alpha ) - E _ { M } } } { \sigma _ { M } } , \frac { \displaystyle { \operatorname* { m i n } _ { 0 \le N < M } S _ { N } ( \alpha ) + E _ { M } } } { \sigma _ { M } } \right) \overset { d } { \to } \mathrm { S t a b } ( 1 , 1 ) \otimes \mathrm { S t a b } ( 1 , - 1 ) \qquad \textrm { a s } M \to \infty ,
\delta _ { \epsilon } \Phi ^ { \alpha _ { 0 } } = Z _ { \; \; \alpha _ { 1 } } ^ { \alpha _ { 0 } } \epsilon ^ { \alpha _ { 1 } } , \; \delta _ { \epsilon } \Phi ^ { \alpha _ { 2 } } = A _ { \alpha _ { 1 } } ^ { \; \; \alpha _ { 2 } } \epsilon ^ { \alpha _ { 1 } } .
\begin{array} { r } { \dot { x } _ { 1 } = \frac { 3 a } { 2 \gamma | x _ { 2 } - x _ { 1 } | } F _ { 2 } + \frac { 1 } { \gamma } F _ { 1 } , } \\ { \dot { x } _ { 2 } = \frac { 3 a } { 2 \gamma | x _ { 2 } - x _ { 1 } | } F _ { 1 } + \frac { 1 } { \gamma } F _ { 2 } . } \end{array}
\mathbf { v ^ { * } } ( \mathbf { x } ^ { * } , t ^ { * } ) = e ^ { - \lambda _ { 1 } ^ { * } t ^ { * } } \mathbf { v } _ { 1 } ^ { * } ( \mathbf { x } ) + e ^ { - \lambda _ { 2 } ^ { * } t ^ { * } } \mathbf { v } _ { 2 } ^ { * } ( \mathbf { x } ) + \cdots ,
\phi ( r ) ^ { 2 } \frac { d } { d r } \left( \frac { u ( r ) } { \phi ( r ) } \right) = \phi ( r ) u ^ { \prime } ( r ) - u ( r ) \phi ^ { \prime } ( r ) = \int _ { 0 } ^ { r } V ( r ^ { \prime } ) \phi ( r ^ { \prime } ) u ( r ^ { \prime } ) d r ^ { \prime } .
\begin{array} { r l } { \hat { \mathbf { H } } _ { 0 } } & { - \varepsilon _ { 0 } \nabla \times \mathcal { A } _ { \Omega } ^ { 0 } [ \Xi ] + \nabla \mathcal { S } _ { \Omega } ^ { 0 } [ \Theta ] } \\ & { + \sum _ { l ^ { \prime } = 1 } ^ { l _ { 0 } } \Big ( \varepsilon _ { 0 } \nabla \times \mathcal { A } _ { B _ { l ^ { \prime } } } ^ { 0 } [ \Psi _ { l ^ { \prime } } ^ { ( 0 ) } ] - \mu _ { 0 } \nabla \mathcal { S } _ { B _ { l ^ { \prime } } } ^ { 0 } [ \Pi _ { l ^ { \prime } } ] \Big ) + \mathcal { O } ( \omega ) \quad \mathrm { i n } \ \ \mathbb { R } ^ { 3 } \setminus \overline { { \Omega } } , } \\ { \hat { \mathbf { H } } _ { 0 } } & { - \varepsilon _ { s } \nabla \times \mathcal { A } _ { \Omega } ^ { 0 } [ \Xi ] + \nabla \mathcal { S } _ { \Omega } ^ { 0 } [ \Theta ] } \\ & { + \sum _ { l ^ { \prime } = 1 } ^ { l _ { 0 } } \Big ( \varepsilon _ { s } \nabla \times \mathcal { A } _ { B _ { l ^ { \prime } } } ^ { 0 } [ \Psi _ { l ^ { \prime } } ^ { ( 0 ) } ] - \mu _ { 0 } \nabla \mathcal { S } _ { B _ { l ^ { \prime } } } ^ { 0 } [ \Pi _ { l ^ { \prime } } ] \Big ) + \mathcal { O } ( \omega ) \quad \mathrm { i n } \ \ \tilde { B } , } \\ & { - \gamma _ { l } \nabla \times \mathcal { A } _ { \Omega } ^ { 0 } [ \Xi ] - \nabla \mathcal { S } _ { \Omega } ^ { 0 } [ \Theta ] } \\ & { + \sum _ { l ^ { \prime } = 1 } ^ { l _ { 0 } } \Big ( \gamma _ { l } \nabla \times \mathcal { A } _ { B _ { l ^ { \prime } } } ^ { 0 } [ \Psi _ { l ^ { \prime } } ^ { ( 0 ) } ] - \mu _ { 0 } \nabla \mathcal { S } _ { B _ { l ^ { \prime } } } ^ { 0 } [ \Pi _ { l ^ { \prime } } ] \Big ) + \mathcal { O } ( \omega ) \quad \mathrm { i n } \ B _ { l } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Im \int _ { \Omega } ( - \Delta ) ^ { s } \Bar { \psi } ( - \Delta ) ^ { s + 1 } \psi } & { { } = \Im \left\langle ( - \Delta ) ^ { s } \psi , ( - \Delta ) ^ { s + 1 } \psi \right\rangle } \end{array}
\begin{array} { r l r } { n _ { 4 } ( q _ { B } ) } & { { } = } & { \int d ^ { D } p _ { B } \frac { \chi ^ { ( A ) } \overset { * } { ( } \lvert \textbf { p } _ { B } - \textbf { q } _ { B } / 2 \rvert ) \chi ^ { ( A ) } ( \lvert \textbf { p } _ { B } + \textbf { q } _ { B } / 2 \rvert ) } { \left( E _ { 3 } + p _ { B } ^ { 2 } + q _ { B } ^ { 2 } \frac { \mathcal { A } + 2 } { 4 \mathcal { A } } \right) ^ { 2 } } } \end{array}
\widetilde E ^ { u d } ( x , \xi , \Delta ^ { 2 } ) = F _ { \pi } ( \Delta ^ { 2 } ) \frac { \theta \left( \xi > | x | \right) } { 2 \xi } \phi _ { \pi } \! \! \left( \frac { x + \xi } { 2 \xi } \right) ,
\left\{ \begin{array} { l l } { \tau _ { 0 } \displaystyle \frac { \partial \theta } { \partial t } = - h \displaystyle \frac { \rho _ { 1 } ^ { 2 } \rho _ { 2 } ^ { 2 } + \rho _ { 1 } ^ { 2 } \rho _ { 3 } ^ { 2 } + \rho _ { 2 } ^ { 2 } \rho _ { 3 } ^ { 2 } } { \rho _ { 1 } \rho _ { 2 } \rho _ { 3 } } \sin \theta } \\ { \tau _ { 0 } \displaystyle \frac { \partial \rho _ { 1 } } { \partial t } = \mu \rho _ { 1 } + h \rho _ { 2 } \rho _ { 3 } \cos \theta - b _ { 1 } \rho _ { 1 } ^ { 3 } - b _ { 2 } ( \rho _ { 2 } ^ { 2 } + \rho _ { 3 } ^ { 2 } ) \rho _ { 1 } } \\ { \tau _ { 0 } \displaystyle \frac { \partial \rho _ { 2 } } { \partial t } = \mu \rho _ { 2 } + h \rho _ { 3 } \rho _ { 1 } \cos \theta - b _ { 1 } \rho _ { 2 } ^ { 3 } - b _ { 2 } ( \rho _ { 3 } ^ { 2 } + \rho _ { 1 } ^ { 2 } ) \rho _ { 2 } } \\ { \tau _ { 0 } \displaystyle \frac { \partial \rho _ { 3 } } { \partial t } = \mu \rho _ { 3 } + h \rho _ { 1 } \rho _ { 2 } \cos \theta - b _ { 1 } \rho _ { 3 } ^ { 3 } - b _ { 2 } ( \rho _ { 1 } ^ { 2 } + \rho _ { 2 } ^ { 2 } ) \rho _ { 3 } } \end{array} \right.
{ \mathcal { L } } \, = \, { \frac { 1 } { 2 } } \left( \epsilon _ { 0 } E ^ { 2 } - { \frac { 1 } { \mu _ { 0 } } } B ^ { 2 } \right) - \phi \, \rho _ { \mathrm { f r e e } } + \mathbf { A } \cdot \mathbf { J } _ { \mathrm { f r e e } } + \mathbf { E } \cdot \mathbf { P } + \mathbf { B } \cdot \mathbf { M } \, .
\int _ { 0 } ^ { T _ { m } } ( - \dot { \textbf { x } } _ { a d j } ^ { T } A + \textbf { x } _ { a d j } ^ { T } B ) \frac { \partial \textbf { x } } { \partial p _ { i } } d t = \int _ { 0 } ^ { T _ { m } } \textbf { x } _ { a d j } ^ { T } \textbf { R } _ { i } d t .
n _ { \mathrm { t r i g } } ^ { \mathrm { m i n } } = \frac { P _ { \mathrm { m a x } } ^ { \mathrm { ~ - ~ } 4 5 \mathrm { d B } } } { \hbar \omega _ { c } } A _ { 2 } \frac { 2 \kappa _ { 2 } } { \kappa _ { \mathrm { t o t } } ^ { 2 } } \left( 1 - e ^ { - \Delta t \kappa _ { \mathrm { t o t } } } \right) ^ { 2 } \approx 5 0 ,
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l r } { C _ { 1 } ( z ) } & { { } = } & { \kappa \exp [ - ( z - L / 2 ) ^ { 2 } / \xi _ { 1 } ^ { 2 } ] , } \\ { C _ { 2 } ( z ) } & { { } = } & { \kappa \exp [ - ( z - L / 2 ) ^ { 2 } / \xi _ { 2 } ^ { 2 } ] , } \end{array} } \end{array}
f _ { M s } \equiv \frac { n _ { M } } { \left( 2 \pi / M _ { s } \right) ^ { 3 / 2 } T _ { s } ^ { 3 / 2 } } \exp \left\{ - \frac { M _ { s } \left( \mathbf { v } - \mathbf { V } _ { s } \right) ^ { 2 } } { 2 T _ { s } } \right\} .
\frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \left[ \begin{array} { l } { \bar { \mathbf { u } } } \\ { \mathbf { s } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { f _ { H } ( \bar { \mathbf { u } } ) } \\ { \mathbf { 0 } } \end{array} \right] + \boldsymbol { \Omega } _ { 2 } ^ { - 1 } ( \mathcal { K } - \mathcal { K } ^ { T } ) \left[ \begin{array} { l } { \bar { \mathbf { u } } } \\ { \mathbf { s } } \end{array} \right] - \boldsymbol { \Omega } _ { 2 } ^ { - 1 } \mathcal { Q } ^ { T } \mathcal { Q } \left[ \begin{array} { l } { \bar { \mathbf { u } } } \\ { \mathbf { s } } \end{array} \right] ,
I _ { Q } ( x ) : = { \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { { \mathrm { ~ i f ~ } } x { \mathrm { ~ i s ~ r a t i o n a l } } , } \\ { 0 } & { { \mathrm { ~ i f ~ } } x { \mathrm { ~ i s ~ i r r a t i o n a l } } . } \end{array} \right. }
\omega ^ { 3 } + \frac { c ^ { 2 } } { 2 \omega _ { 0 } } ( k - 2 k _ { 0 } ) k \omega ^ { 2 } + \frac { a _ { 0 } ^ { 2 } \omega _ { p e } ^ { 2 } c ^ { 2 } k ^ { 2 } } { 4 \omega _ { 0 } } = 0
\left( \frac { \mathcal { \vartheta } _ { 1 } \left( \nu \mid \theta \right) } { \nu \mathcal { \vartheta } _ { 1 } ^ { ^ { \prime } } \left( 0 \mid \theta \right) } \right) = \exp \left( - \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { 2 k } \nu ^ { 2 k } G _ { 2 k } ( q ^ { 2 } ) \right)
\mathcal { R } ( x , y ) = \frac 1 { 2 \pi \mathrm { i } } \oint _ { \gamma _ { r } } \mathrm { d } w \, \frac { \theta ^ { x - y } } { w ^ { x - y + 1 } } \psi ( w ) , \qquad \mathcal { R } ^ { - 1 } ( x , y ) = \frac 1 { 2 \pi \mathrm { i } } \oint _ { \gamma _ { r } } \mathrm { d } w \, \frac { \theta ^ { x - y } } { w ^ { x - y + 1 } } \frac { 1 } { \psi ( w ) } .
\begin{array} { r } { \dot { \theta } \sin \theta = ( \Omega _ { 1 } \cos \psi - \Omega _ { 2 } \sin \psi ) \sin \theta , } \\ { \dot { \varphi } \sin \theta = \Omega _ { 1 } \sin \psi + \Omega _ { 2 } \cos \psi , } \\ { \dot { \psi } \sin \theta = - ( \Omega _ { 1 } \sin \psi + \Omega _ { 2 } \cos \psi ) \cos \theta + \Omega _ { 3 } \sin \theta . } \end{array}
0 \longrightarrow S e l _ { S } ^ { \emptyset } ( \mathcal K ) _ { p } ^ { - } ( n - 1 ) \longrightarrow S e l _ { S } ^ { T } ( \mathcal K ) _ { p } ^ { - } ( n - 1 ) \longrightarrow ( T _ { p } ( \Delta _ { T } ( \mathcal K ) ) ^ { - } ( n - 1 ) ) ^ { \ast } \overset { d _ { T } ^ { \vee } ( n - 1 ) } \longrightarrow \mathbb Z _ { p } ( n ) \longrightarrow 0 ,
{ { \mathcal { L } _ { i } } \left( { { \xi } _ { j } } \right) = \left\{ \begin{array} { l } { \begin{array} { r l } & { { { { \tilde { F } } } _ { i } } \left( { { z } _ { 0 } } , { { \xi } _ { j } } \right) } \\ & { { { { \tilde { F } } } _ { i } } \left( { { z } _ { 1 } } , { { \xi } _ { j } } \right) } \\ & { \vdots } \\ & { { { { \tilde { F } } } _ { i } } \left( { { z } _ { N - 1 } } , { { \xi } _ { j } } \right) } \\ & { { { { \tilde { F } } } _ { i } } \left( { { z } _ { N } } , { { \xi } _ { j } } \right) } \end{array} } \end{array} \right\} }
\begin{array} { r l r } { \mathcal { M } _ { \bf d } + \mathcal { M } _ { \bf u } } & { = } & { \hat { 1 } } \\ { \mathcal { M } _ { \bf d } ^ { 2 } = \mathcal { M } _ { \bf d } \quad } & { \mathrm { a n d } } & { \quad \mathcal { M } _ { \bf u } ^ { 2 } = \mathcal { M } _ { \bf u } } \\ { \mathcal { M } _ { \bf d } \mathcal { M } _ { \bf u } = \breve { 0 } \quad } & { \mathrm { a n d } } & { \quad \mathcal { M } _ { \bf u } \mathcal { M } _ { \bf d } = \breve { 0 } } \\ { \hat { r } \mathcal { M } _ { \bf d } \hat { r } = \mathcal { M } _ { \bf u } \quad } & { \mathrm { a n d } } & { \quad \hat { r } \mathcal { M } _ { \bf u } \hat { r } = \mathcal { M } _ { \bf d } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { \mathrm { ~ p ~ a ~ i ~ r ~ } } ^ { \mathrm { ~ M ~ Z ~ I ~ } } = } & { { } \left( \frac { \gamma _ { \mathrm { ~ N ~ L ~ } } P _ { P } } { \omega _ { P } } \right) ^ { 2 } | \mathrm { ~ F ~ E ~ } _ { ( \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } ) 2 , S } | ^ { 2 } | \mathrm { ~ F ~ E ~ } _ { ( \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } ) 2 , I } | ^ { 2 } } \end{array}
\frac { E ( k ) } { E _ { 0 } ( k ) } \sim \left\{ \begin{array} { l l } { 1 \quad } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad k \ll k _ { \mathrm { ~ o ~ d ~ d ~ } } , } \\ { \left( k / k _ { \mathrm { ~ o ~ d ~ d ~ } } \right) ^ { s } \quad } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad k \gg k _ { \mathrm { ~ o ~ d ~ d ~ } } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial E ( z , \omega ) } { \partial z } } & { = } & { - i \frac { [ n _ { \mathrm { e f f } } ( \omega ) - n _ { g } ( \omega _ { 0 } ) ] \omega } { c } E ( z , \omega ) } \\ & { } & { - \frac { i \omega } { 2 c n _ { \mathrm { e f f } } ( \omega _ { 0 } ) } P _ { \mathrm { N L } } ( z , \omega ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { P _ { 0 _ { 1 } } } & { = } & { P _ { 1 _ { 1 } } = P _ { 0 _ { 2 } } = P _ { 1 _ { 2 } } } \\ & { = } & { \langle \psi | \hat { P } _ { 0 _ { 1 } } \otimes I | \psi \rangle = \langle \psi | \hat { P } _ { 1 _ { 1 } } \otimes I | \psi \rangle } \\ & { = } & { \langle \psi | I \otimes \hat { P } _ { 0 _ { 2 } } | \psi \rangle = \langle \psi | I \otimes \hat { P } _ { 1 _ { 2 } } | \psi \rangle = \frac { 1 } { 2 } , } \end{array}
\overline { { ( \delta H _ { k } ) _ { c } ^ { a } } } = \frac { 1 } { N _ { e } } \sum _ { \substack { i = 1 } } ^ { N _ { e } } ( \delta H _ { k } ) _ { c } ^ { a , i } \; \textnormal { w i t h } \; k \in [ 1 , 5 ] .
\begin{array} { r l r } { C _ { i j } } & { = } & { \frac { 1 } { N ^ { ' } } \sum _ { a = 1 } ^ { N ^ { ' } } \frac { 1 } { D ^ { 2 } } | F T ( I ^ { a } ) _ { i , j } | ^ { 2 } , } \\ { B _ { i j } } & { = } & { f \times \frac { 1 } { N } \sum _ { a = 1 } ^ { N } \frac { 1 } { D ^ { 2 } } | F T ( Y ^ { a } ) _ { i , j } | ^ { 2 } , } \end{array}
I ( Q ^ { 2 } ) = I ^ { \mathrm { r e s } } ( Q ^ { 2 } ) + 2 m ^ { 2 } \Gamma ^ { \mathrm { a s } } \Biggl ( { \frac { 1 } { Q ^ { 2 } + \mu ^ { 2 } } } - { \frac { C \mu ^ { 2 } } { ( Q ^ { 2 } + \mu ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } \Biggr ) .
\begin{array} { r l } { V _ { 1 } ^ { \prime } \propto } & { { } \cos \left[ ( \Delta \omega + \omega _ { \mathrm { L O } } ) t + \tilde { \psi } _ { 1 } ( t ) - \tilde { \psi } _ { 1 } ( t + \tau ) \right. } \end{array}
E _ { 0 } ( m , \lambda ) = < - { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { d ^ { 2 } } { d \phi ^ { 2 } } } + { \frac { 1 } { 2 } } m ^ { 2 } \phi ^ { 2 } + \frac { \lambda } { 4 } \phi ^ { 4 } > ,
\prod _ { k = 1 } ^ { g } \left( { \cal U } _ { 2 k - 1 } { \cal U } _ { 2 k } { \cal U } _ { 2 k - 1 } ^ { \dagger } { \cal U } _ { 2 k } ^ { \dagger } \right) = e ^ { 2 \pi i b \chi ( \Sigma ) } .
( A ^ { ( V ) } ) _ { \mathrm { ~ } \hat { c } } ^ { \hat { b } } \equiv [ \omega ^ { a } J _ { a } ^ { ( V ) } + E ^ { a } \tilde { P } _ { a } ^ { ( V ) } ] _ { \mathrm { ~ } \hat { c } } ^ { \hat { b } } = \left( \begin{array} { c c c c } { { 0 } } & { { \omega ^ { 2 } } } & { { - \omega ^ { 1 } } } & { { E ^ { 0 } } } \\ { { \omega ^ { 2 } } } & { { 0 } } & { { - \omega ^ { 0 } } } & { { E ^ { 1 } } } \\ { { - \omega ^ { 1 } } } & { { \omega ^ { 0 } } } & { { 0 } } & { { E ^ { 2 } } } \\ { { - E ^ { 0 } } } & { { E ^ { 1 } } } & { { E ^ { 2 } } } & { { 0 } } \end{array} \right) .
\bar { \psi } ( 0 ) \lambda ^ { a } \hat { z } \psi ( z ) = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { n } \frac { 2 ( 2 n + 3 ) } { n ! } \int _ { 0 } ^ { 1 } ( u \bar { u } ) ^ { n + 1 } { \cal O } _ { n } ( u z ) \, d u
\! \! \! \! \! \! \! \! B _ { N } ( \lambda ) + \frac { N } { 2 } \frac { \mathrm { d } V ^ { ( \alpha ) } ( \lambda ) } { \mathrm { d } \lambda } = \frac { \lambda } { 2 c _ { N } } A _ { N } ( \lambda ) - ( - 1 ) ^ { N } \frac { \alpha } { \lambda } - \frac { \alpha } { 2 } ( T _ { B } ( N - 1 , \lambda ) - T _ { B } ( N , \lambda ) ) \ .
A _ { l } ^ { T } \ = \ \frac { R [ K ^ { 0 } \to \pi ^ { - } e ^ { + } \nu ] \ - \ R [ \bar { K } ^ { 0 } \to \pi ^ { + } e ^ { - } \bar { \nu } ] } { R [ K ^ { 0 } \to \pi ^ { - } e ^ { + } \nu ] \ + \ R [ \bar { K } ^ { 0 } \to \pi ^ { + } e ^ { - } \bar { \nu } ] }
| \chi _ { 1 , 2 , 3 , 4 } \rangle _ { \mathrm { t o p o } } = \left( \begin{array} { c } { | - E \rangle _ { \mathrm { s k i n } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { | E \rangle \rangle _ { \mathrm { s k i n } } } \end{array} \right) , \left( \begin{array} { c } { | E \rangle _ { \mathrm { s k i n } } } \end{array} \right) , \left( \begin{array} { c } { | - E \rangle \rangle _ { \mathrm { s k i n } } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \langle n _ { \mathrm { ~ x ~ c ~ } } ^ { \lambda } ( u ) \rangle } & { { } = \frac { 1 } { \ensuremath { N _ { \mathrm { ~ e ~ } } } } \int \mathrm { d } \mathbf { r } \, n ( \mathbf { r } ) n _ { \mathrm { ~ x ~ c ~ } } ^ { \lambda } ( \mathbf { r } , u ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \omega _ { ( a \mu , b \nu \rightarrow i \alpha , j \beta | r ) } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \delta ( \cdot \mu , \cdot \nu = \cdot \alpha , \cdot \beta ) } { L _ { m a x } ^ { \alpha \beta } - 1 } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ r ~ = ~ n ~ o ~ d ~ e ~ } } \\ { \frac { \delta ( a \cdot , b \cdot = i \cdot , j \cdot ) } { L _ { m a x } ^ { i j } - 1 } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ r ~ = ~ l ~ a ~ y ~ e ~ r ~ } } \\ { \frac { \delta ( a \mu , b \nu ) - \delta ( a \cdot , b \cdot = i \cdot , j \cdot ) - \delta ( \cdot \mu , \cdot \nu = \cdot \alpha , \cdot \beta ) } { L _ { m a x } - L _ { m a x } ^ { \alpha \beta } - L _ { m a x } ^ { i j } + 1 } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ r ~ = ~ t ~ e ~ l ~ } , } \end{array} \right. } \end{array}
\rho _ { \mathrm { t o t } } ( t ) = - \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 2 } } \int _ { H _ { 1 } } ^ { H } \biggl [ \frac { a ( H ^ { \prime } ) } { a ( H ) } \biggr ] ^ { 4 } \omega _ { m } ^ { 3 } \Biggl \{ \biggl [ \frac { a } { a _ { 1 } } - \frac { a _ { 1 } } { a } \biggr ] ^ { 2 } - \biggl ( \frac { H ^ { \prime } } { \omega _ { m } } \biggr ) ^ { 2 } \Biggr \} d H ^ { \prime }
\begin{array} { r l } { j ( k _ { n } ) } & { = 2 \exp ( - \kappa \xi \eta ( s + d ) ) j ( k _ { n } , - d ) } \\ & { + \frac { \kappa _ { k _ { n } } } { \beta } \int \frac { 1 + \hat { s } ^ { 2 } } { 1 + \hat { \tau } ^ { 2 } } \exp ( - \kappa _ { k _ { n } } ( \hat { s } - \hat { \tau } + \frac 1 3 ( \hat { s } ^ { 3 } - \hat { \tau } ^ { 3 } ) ) ) w ( k _ { n } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { F _ { 1 , i } } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } R e \{ \mathbf { p } _ { 1 } ^ { t } [ \partial _ { i } \mathbf { E } ^ { * } ( \mathbf { r } , \omega ) | _ { \mathbf { r } = \mathbf { r } _ { 1 } } \} } \\ { F _ { 2 , i } } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } R e \{ \mathbf { p } _ { 2 } ^ { t } [ \partial _ { i } \mathbf { E } ^ { * } ( \mathbf { r } , \omega ) | _ { \mathbf { r } = \mathbf { r } _ { 2 } } \} } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { s = 0 } ^ { \infty } \Big ( { \partial } _ { x } ^ { s } \big ( \delta _ { u ^ { j } } P \big ) { \partial } _ { \theta _ { j } ^ { s } } + { \partial } _ { x } ^ { s } \big ( \delta _ { \theta _ { j } } P \big ) { \partial } _ { u ^ { j , s } } \Big ) \delta _ { u ^ { i } } Q + \sum _ { s = 0 } ^ { \infty } \Big ( { \partial } _ { x } ^ { s } \big ( \delta _ { u ^ { j } } Q \big ) { \partial } _ { \theta _ { j } ^ { s } } + { \partial } _ { x } ^ { s } \big ( \delta _ { \theta _ { j } } Q \big ) { \partial } _ { u ^ { j , s } } \Big ) \delta _ { u ^ { i } } P } \\ & { = \delta _ { u ^ { i } } \sum _ { s = 0 } ^ { \infty } \Big ( { \partial } _ { x } ^ { s } \big ( \delta _ { u ^ { j } } P \big ) { \partial } _ { \theta _ { j } ^ { s } } Q + { \partial } _ { x } ^ { s } \big ( \delta _ { \theta _ { j } } P \big ) { \partial } _ { u ^ { j , s } } Q \Big ) = \delta _ { u ^ { i } } \sum _ { s = 0 } ^ { \infty } \Big ( \delta _ { u ^ { j } } P \delta _ { \theta _ { j } } Q + \delta _ { \theta _ { j } } P \delta _ { u ^ { j } } Q \Big ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \mathbf n \cdot \textbf { D } \nabla c _ { \varepsilon } } & { { } = \mathrm { ~ D ~ a ~ } ( c _ { \varepsilon } ^ { a } - 1 ) \qquad \mathbf x \in \Gamma ^ { \varepsilon } , \quad t > 0 } \\ { c ( \mathbf x , 0 ) } & { { } = c _ { \mathrm { ~ \tiny ~ { ~ i ~ n ~ } ~ } } ( \mathbf x ) \qquad \mathbf x \in \Omega _ { p } ^ { \varepsilon } , } \end{array}
u ( p ) = \frac { P ^ { 2 } p - ( P . p ) P } { P ^ { 2 } p ^ { 2 } - ( P . p ) ^ { 2 } } \; \; \; \; \; , \; \; \; \; \; v ( p ) = \frac { P \times p } { P ^ { 2 } p ^ { 2 } - ( P . p ) ^ { 2 } } .
\begin{array} { r } { \hat { H } _ { 2 } ^ { \prime } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \mathbf q } \sum _ { g = 1 } ^ { 2 n _ { \mathbf q g } } \hat { \mathcal L } _ { \mathbf { q } g } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { l } { \displaystyle \psi ( \boldsymbol { r } ; z ) \, = \, 1 \, - \, \exp \left( \frac { \mathrm { i } U \, r ^ { 2 } } 2 \right) \, \left( \frac { 2 \mathrm { i } N } U \right) ^ { N } \, } \\ { \times \, \Psi _ { 1 } \left( \left. \begin{array} { l } { N + 1 , N } \\ { N + 1 , 1 } \end{array} \right| - \frac { 2 \mathrm { i } N } U , - \frac { \mathrm { i } U \, r ^ { 2 } } 2 \right) \, . } \end{array}
\ln M ( s ; m ^ { * 2 } ) = \ln P ( s ) + \operatorname * { l i m } _ { \Lambda ^ { 2 } \rightarrow \infty } \frac { 1 } { \pi } \biggl ( \int _ { m ^ { * 2 } } ^ { \Lambda ^ { 2 } } \frac { \delta ( s ^ { \prime } ) } { s ^ { \prime } - s } d s ^ { \prime } - \int _ { s _ { 0 } } ^ { \Lambda ^ { 2 } } \frac { \delta ( s ^ { \prime } ) } { s ^ { \prime } } d s ^ { \prime } \biggr ) .
\begin{array} { r l } { \langle v \rangle ^ { \frac { 3 } { 2 } } | \nabla _ { v } ( - \Delta _ { v } ) ^ { - 1 } F _ { + } ^ { ( 0 , s ) } | } & { \lesssim \langle v \rangle ^ { \frac { 3 } { 2 } } \int _ { \langle v \rangle > 2 | v ^ { \prime } | } \frac { | F _ { + } ^ { ( 0 , s ) } ( v ^ { \prime } ) | } { | v - v ^ { \prime } | ^ { 2 } } d v ^ { \prime } + \langle v \rangle ^ { \frac { 3 } { 2 } } \int _ { \langle v \rangle \leq 2 | v ^ { \prime } | } \frac { | F _ { + } ^ { ( 0 , s ) } ( v ^ { \prime } ) | } { | v - v ^ { \prime } | ^ { 2 } } d v ^ { \prime } } \\ & { \lesssim \langle v \rangle ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \| F _ { + } ^ { ( 0 , s ) } \| _ { L _ { v } ^ { 1 } } + \int _ { \mathbf R ^ { 3 } } \frac { | F _ { + } ^ { ( \frac { 3 } { 2 } , s ) } ( v ^ { \prime } ) | } { | v - v ^ { \prime } | ^ { 2 } } d v ^ { \prime } } \end{array}