harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \mathrm { R e } _ { \mathrm { n } } \left( \partial _ { t } + \mathbf { u } \cdot \boldsymbol { \nabla } \right) \mathbf { u } = - \boldsymbol { \nabla } p + 2 ( \boldsymbol { \nabla } \cdot \mathbf { E } ) - \frac { \mathrm { R } _ { \mathrm { a } } } { \mathrm { E r } } \left( \boldsymbol { \nabla } \cdot \mathbf { Q } \right) , } \\ & { \left( \partial _ { t } + \mathbf { u } \cdot \boldsymbol { \nabla } \right) \mathbf { Q } + \mathbf { W } \cdot \mathbf { Q } - \mathbf { Q } \cdot \mathbf { W } = \lambda \mathbf { E } + \mathbf { H } , } \\ & { \qquad \boldsymbol { \nabla } \cdot \mathbf { u } = 0 . } \\ & { \mathbf { H } = \mathbf { Q } \mathbin { - } b \mathrm { T r } \left( \mathbf { Q } ^ { 2 } \right) \mathbf { Q } \mathbin { + } \nabla ^ { 2 } \mathbf { Q } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Psi ( { x } , t ) } & { = } & { \frac { 1 } { 2 \sqrt { \pi } } \int \! d k \left[ b ( { k } ) \left( \begin{array} { c } { 1 } \\ { 1 } \end{array} \right) \exp [ \mathrm { i } ( k x - c | k | t ) ] \right. } \\ & { } & { + \! \left. d ^ { + } ( { k } ) \left( \begin{array} { c c } { \, \, \, \, \, 1 } \\ { - \, 1 } \end{array} \right) \exp [ - \, \mathrm { i } ( k x - c | k | t ) ] \right] \! . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { p ( c = { o n } ) } & { { } \stackrel { G } { \rightarrow } } & { p ( c = { o n } | g = { o f f } ) } \\ { p ( c = { o n } | g = { o f f } ) } & { { } \stackrel { A } { \rightarrow } } & { p ( c = { o n } | a = { o n } , g = { o f f } ) } \\ { p ( c = { o n } | a = { o n } , g = { o f f } ) } & { { } \stackrel { E } { \rightarrow } } & { p ( c = { o n } | a = { o n } , e = { o n } , g = { o f f } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { 1 } ^ { ( y ) } \left( w _ { x } \right) } & { { } = \frac { \exp \frac { - w _ { x } ^ { 2 } } { 2 \eta ^ { 2 } } \left( b ^ { 2 } - a ^ { 2 } \right) \cos \theta \sin \theta w _ { x } } { \sqrt { 2 \pi } \eta ^ { 3 } } } \\ { f _ { 2 } ^ { ( y ) } \left( w _ { x } \right) } & { { } = \frac { \exp \frac { - w _ { x } ^ { 2 } } { 2 \eta ^ { 2 } } \left( w _ { x } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta \cos ^ { 2 } \theta \left( b ^ { 2 } - a ^ { 2 } \right) ^ { 2 } + a ^ { 2 } b ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \right) } { \sqrt { 2 \pi } \eta ^ { 5 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ( \vec { k } _ { 1 } , \dots , \vec { k } _ { l } \, | \, \rho ) } & { = \frac { N ^ { l } } { l ! } \int _ { \mathrm { S O } ( 3 ) } \exp \left( - N \! \int _ { D } I ( \vec { R } \vec { k } ) \, \mathrm d \vec { k } \right) \left( \prod _ { i = 1 } ^ { l } I ( \vec { R } \vec { k } _ { i } ) \right) \, \mathrm d \vec { R } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \delta = \int _ { 0 } ^ { T } \left( e ^ { \prime \prime } - \theta _ { 2 } e ^ { \prime } - \theta _ { 1 } e \right) g d t = \displaystyle \int _ { 0 } ^ { T } \left( g ^ { \prime \prime } + ( \theta _ { 2 } g ) ^ { \prime } - \theta _ { 1 } g \right) e d t = \displaystyle \int _ { 0 } ^ { T } e ^ { 2 } d t = \| e \| _ { L ^ { 2 } ( I ) } ^ { 2 } . } \end{array}
\operatorname { R M S E } ( c , \tau ) = \frac { 1 } { T } \sum _ { i = 1 } ^ { T } \sqrt { \frac { 1 } { W \cdot H } \sum _ { w = 1 } ^ { W } \sum _ { h = 1 } ^ { H } W \cdot \frac { \cos ( \alpha _ { w , h } ) } { \sum _ { w ^ { \prime } = 1 } ^ { W } \cos ( \alpha _ { w ^ { \prime } , h } ) } ( x _ { c , w , h } ^ { i + \tau } - \hat { x } _ { c , w , h } ^ { i + \tau } ) ^ { 2 } } ,
I m \int _ { 0 } ^ { \infty } d \nu \frac { e ^ { - 2 \pi \nu + i \pi \alpha + 2 i \nu t } } { 1 + e ^ { - 2 \pi \nu + i \pi \alpha } } = \frac { 1 } { 4 t } - \frac { e ^ { - \alpha t } } { 4 \sinh t } \ .
\begin{array} { r l } { B _ { \varphi } ( r < r _ { 1 } , t ) } & { \approx \frac { \sqrt { r _ { 2 } \pi ^ { 9 } k _ { 1 } ^ { 3 } } k _ { 2 } n I _ { 0 } \csc ( k _ { 2 } ( r _ { 1 } - r _ { 2 } ) ) ( J _ { 0 } ( k _ { 1 } r ) - J _ { 2 } ( k _ { 1 } r ) ) } { 2 \pi l \mu _ { 0 } ^ { 2 } ( \alpha _ { 0 } \omega _ { 0 } ) ^ { 3 } \left( \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } \right) ^ { 2 } \left( \theta _ { 2 } - \theta _ { 3 } \right) ^ { 2 } ( \sin ( 2 k _ { 1 } r _ { 1 } ) - 1 ) } \Big [ - k _ { 3 } \left( \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } \right) ( \cos ( k _ { 1 } r _ { 1 } ) - \sin ( k _ { 1 } r _ { 1 } ) ) \cos ( \omega _ { 0 } t ) } \\ & { \quad + ( \cos ( k _ { 1 } r _ { 1 } ) u _ { + } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ) + \sin ( k _ { 1 } r _ { 1 } ) u _ { - } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ) ) \sin ( \omega _ { 0 } t ) \Big ] , } \\ { B _ { z } ( r < r _ { 1 } , t ) } & { \approx \frac { \sqrt { r _ { 2 } \pi ^ { 7 } k _ { 1 } ^ { 3 } } k _ { 2 } n I _ { 0 } \csc ( k _ { 2 } ( r _ { 1 } - r _ { 2 } ) ) J _ { 0 } ( k _ { 1 } r ) \cos ( \omega _ { 0 } t ) } { \pi l \mu _ { 0 } ( \alpha _ { 0 } \omega _ { 0 } ) ^ { 2 } \left( \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } \right) \left( \theta _ { 2 } - \theta _ { 3 } \right) ( \cos ( k _ { 1 } r _ { 1 } ) - \sin ( k _ { 1 } r _ { 1 } ) ) } , } \end{array}
g _ { 0 } = g \mu ^ { \epsilon / 2 } Z _ { n } ^ { - 1 / 2 } = g \mu ^ { \epsilon / 2 } \left[ 1 - \hbar g ^ { 2 } \frac { 1 1 \kappa } { 4 8 \pi ^ { 2 } \epsilon } + { \cal O } ( \hbar ^ { 2 } ) \right] .
\begin{array} { r l r } { { \widetilde P } ^ { ^ { ( \mathrm { I } ) } } ( x , s ) } & { { } = } & { A _ { + } ^ { ^ { ( \mathrm { I } ) } } \ \exp { \left( c _ { _ 0 } | x | \right) } + A _ { - } ^ { ^ { ( \mathrm { I } ) } } \ \exp { \left( - c _ { _ 0 } | x | \right) } , \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ | ~ x ~ | ~ < ~ a ~ } , } \\ { { \widetilde P } ^ { ^ { ( \mathrm { I I } ) } } ( x , s ) } & { { } = } & { A _ { - } ^ { ^ { ( \mathrm { I I } ) } } \ \exp { \left( - c | x | \right) } , \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ | ~ x ~ | ~ > ~ a ~ } , } \\ { { \widetilde P } _ { _ B } ( x , s ) } & { { } = } & { \frac { \gamma } { s } { \widetilde P } ^ { ^ { ( \mathrm { I I } ) } } ( x , s ) , \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ | ~ x ~ | ~ > ~ a ~ } , } \end{array}
B _ { 1 _ { r s } } = n ^ { 2 } \theta _ { 1 _ { r s } } = \sum _ { r ^ { \prime } s ^ { \prime } } x _ { u v } \nu ^ { 2 } \theta _ { 1 _ { r s } } \theta _ { 2 _ { r ^ { \prime } s ^ { \prime } } }
\begin{array} { r } { \boldsymbol { g _ { i } } = \left( \frac { \partial x ^ { j } } { \partial \xi ^ { i } } \right) \boldsymbol { i _ { j } } = A _ { i } ^ { j } \boldsymbol { i _ { j } } \Rightarrow \left[ \begin{array} { l } { \boldsymbol { g _ { 1 } } } \\ { \boldsymbol { g _ { 2 } } } \\ { \boldsymbol { g _ { 3 } } } \end{array} \right] = \left[ \boldsymbol { A } \right] ^ { T } \left[ \begin{array} { l } { \boldsymbol { i _ { 1 } } } \\ { \boldsymbol { i _ { 2 } } } \\ { \boldsymbol { i _ { 3 } } } \end{array} \right] , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \partial _ { t } \pi _ { t } } & { = - \eta _ { t \normalcolor } \mathrm { d i v } _ { z , \tilde { z } } ( \pi _ { t } ( 0 , \nabla _ { \tilde { z } } \mathcal { U } _ { \pi } ( \pi _ { t } , \nu _ { t } ; z , \tilde { z } ) ) ) + \kappa \pi _ { t } \left( \mathcal { U } _ { \pi } ( \pi _ { t } , \nu _ { t } ; z , \tilde { z } ) - \int \mathcal { U } _ { \pi } ( \pi _ { t } , \nu _ { t } ; z , \tilde { z } ^ { \prime } ) d \pi _ { t } ( \tilde { z } ^ { \prime } | z ) \right) } \\ { \partial _ { t } \nu _ { t } } & { = \eta _ { t } \mathrm { d i v } _ { \theta } ( \nu _ { t } \nabla _ { \theta } \mathcal { U } _ { \nu } ( \pi _ { t } , \nu _ { t } ; \theta ) ) - \kappa \nu _ { t } \left( \mathcal { U } _ { \nu } ( \pi _ { t } , \nu _ { t } ; \theta ) - \int \mathcal { U } _ { \nu } ( \pi _ { t } , \nu _ { t } ; \theta ^ { \prime } ) d \nu _ { t } ( \theta ^ { \prime } ) \right) , } \end{array} \right.
( \nabla _ { + ^ { 3 } } ^ { 2 } f ) _ { 0 , 0 , 0 } = { \frac { 1 } { 4 } } ( f _ { - 1 , - 1 , 0 } + f _ { - 1 , + 1 , 0 } + f _ { + 1 , - 1 , 0 } + f _ { + 1 , + 1 , 0 } + f _ { - 1 , 0 , - 1 } + f _ { - 1 , 0 , + 1 } + f _ { + 1 , 0 , - 1 } + f _ { + 1 , 0 , + 1 } + f _ { 0 , - 1 , - 1 } + f _ { 0 , - 1 , + 1 } + f _ { 0 , + 1 , - 1 } + f _ { 0 , + 1 , + 1 } - 1 2 f _ { 0 , 0 , 0 } ) ,
\begin{array} { r l r } & { } & { < { \bf E } _ { 1 } | { \cal L } _ { { \bf E } } { \bf E } _ { 2 } > \, \, = \int d ^ { 3 } { \bf r } \, { \bf E } _ { 1 } ^ { * } ( { \bf r } ) \cdot \big [ \nabla \times M _ { \mu } ( { \bf r } ) [ \nabla \times { \bf E } _ { 2 } ( { \bf r } ) ] \big ] } \\ & { } & { \quad = \int d ^ { 3 } { \bf r } \, M _ { \mu } ( { \bf r } ) \big [ \nabla \times { \bf E } _ { 1 } ^ { * } ( { \bf r } ) \big ] \cdot \big [ \nabla \times { \bf E } _ { 2 } ( { \bf r } ) \big ] } \\ & { } & { \quad = \int d ^ { 3 } { \bf r } \, { \bf E } _ { 2 } ( { \bf r } ) \cdot \big [ \nabla \times M _ { \mu } ( { \bf r } ) [ \nabla \times { \bf E } _ { 1 } ^ { * } ( { \bf r } ) ] \big ] } \\ & { } & { \quad \stackrel { ! } { = } < { \bf E } _ { 2 } | { \cal L } _ { { \bf E } } { \bf E } _ { 1 } > ^ { \! * } \, . } \end{array}
\varepsilon _ { t , j } = \big \{ \hat { s } _ { t , j } ^ { ( \mathrm { ~ i ~ n ~ p ~ u ~ t ~ } , i ) } - \hat { s } _ { t , j } ^ { ( \mathrm { ~ s ~ i ~ m ~ } , i ) } ( \boldsymbol { \theta } _ { \mathrm { ~ o ~ p ~ t ~ } } ; ~ \mathcal { D } ^ { ( \mathrm { ~ i ~ n ~ p ~ u ~ t ~ } ) } ) \big \} ^ { 2 } \enspace .
\ \left. \exists \, x \in \mathbb Z \! : \begin{array} { r } { x \equiv r _ { 1 } \! \! \! \pmod { \! m _ { 1 } } } \\ { x \equiv r _ { 2 } \! \! \! \pmod { \! m _ { 2 } } } \end{array} \right\} \begin{array} { l } { \! \iff \exists \, j , k \in \mathbb Z \! : \ j \, m _ { 1 } \! + k \, m _ { 2 } = \, r _ { 2 } \! - r _ { 1 } } \\ { \! \iff \, \operatorname* { g c d } ( m _ { 1 } , \, m _ { 2 } ) \mid r _ { 2 } - r _ { 1 } } \end{array}
\mathbf { R } ^ { L } = \mathbf { T } ^ { \mathrm { H } } \hat { \mathbf { A } } ^ { L } \mathbf { T } = \Sigma ^ { - 1 } \mathbf { W } ^ { \mathrm { H } } \hat { \mathbf { A } } ^ { L } \mathbf { W } \Sigma ^ { - 1 } ,
G ( \varepsilon ) = \frac { 1 } { \gamma \partial + V - \varepsilon } = \frac { \gamma \partial - V _ { 0 } ( 1 + \gamma _ { 5 } ) / 2 + \varepsilon } { \partial ^ { 2 } + \varepsilon ( V _ { 0 } - \varepsilon ) } ~ ,
\left\{ F , G \right\} _ { \mathrm { E } } = \sum _ { k = 1 } ^ { M } { \frac { \partial F } { \partial { \bf p } _ { k } } \cdot \frac { \partial G } { \partial { \bf r } _ { k } } - \frac { \partial F } { \partial { \bf r } _ { k } } \cdot \frac { \partial G } { \partial { \bf p } _ { k } } } + \left\{ F , G \right\} ,
\operatorname* { l i m s u p } _ { \varepsilon \downarrow 0 } \frac { \log N _ { U } ( \varepsilon , \mathfrak { F } _ { \phi } ) } { \varepsilon ^ { - V } } < \infty , \qquad \mathbb { E } [ \bar { F } _ { \phi } ( \mathbf { Z } ) ^ { 2 } ] < \infty , \qquad \operatorname* { l i m s u p } _ { \varepsilon \downarrow 0 } \frac { \log N _ { U } ( \varepsilon , \hat { \mathfrak { F } } _ { \phi , n } ) } { \varepsilon ^ { - V } } = O _ { \mathbb { P } } ( 1 ) ,
\delta \Delta _ { 0 } ^ { 2 } = \frac { \langle \delta \hat { Y } _ { \mathrm { ~ e ~ s ~ t ~ } } ^ { 2 } \rangle } { ( \partial _ { \Delta _ { 0 } } \langle \hat { Y } _ { \mathrm { ~ e ~ s ~ t ~ } } \rangle ) ^ { 2 } } = \frac { g ^ { 2 } ( \cot \theta ) ^ { 2 } } { \kappa T } = \frac { C \gamma ( \cot \theta ) ^ { 2 } } { 4 T } .
\frac d { d t } \log Z ( t ) = - \frac { 2 \pi } { t ^ { 2 } } \left[ \frac 1 { \alpha ^ { \prime } } \left( a - \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } 2 k ^ { 2 } d _ { k } \right) + \frac 1 { 2 4 } \right] .
\begin{array} { r } { \beta \mu _ { \mathrm { { L R } } } ^ { \mathrm { { e x } } } [ P ( \varepsilon \; | \; \phi ( r ; \lambda _ { G } ) ) ] = \beta \langle \varepsilon \rangle _ { \phi ( \lambda _ { G } ) } + \beta ^ { 2 } \frac { \sigma _ { \phi ( \lambda _ { G } ) } ^ { 2 } } { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \left| A ^ { \prime \prime \prime } \right| = \left| \left( A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] } + A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] } \right) \cap 3 \cdot \mathbf { N } \right| \geqslant \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] } ^ { 1 ( 3 ) } \right| + \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] } ^ { 2 ( 3 ) } \right| + \operatorname* { m i n } \left( \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] } ^ { 1 ( 3 ) } \right| , \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] } ^ { 2 ( 3 ) } \right| \right) - 3 } \end{array}
\begin{array} { r l } { N \ll N _ { \mathrm { ~ s ~ c ~ } } } & { { } = 0 . 2 1 \frac { 4 \pi m } { q _ { e } ^ { 2 } } \frac { L \sigma _ { r } } { \sigma _ { 0 } } \xi _ { 0 } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { c c c } { { { \cal T } ^ { 0 0 } = - \displaystyle { \frac { 1 } { \kappa \rho } } f ^ { \prime \prime } ( \rho ) } } & { { \ \ , \ } } & { { { \cal T } ^ { 0 \theta } = \displaystyle { \frac { 1 } { \kappa \rho } } \rho f ^ { \prime \prime } ( \rho ) } } \\ { { \ \ { \cal T } ^ { \theta \theta } = - \displaystyle { \frac { 1 } { \kappa \rho } } \ \ \ \ \rho ^ { 2 } f ^ { \prime \prime } ( \rho ) } } & { { \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ , \ \ \ \ \ \ \ } } & { { { \cal T } ^ { \rho \rho } = \displaystyle { \frac { 1 } { \kappa \rho } } ( f ( \rho ) - \rho f ^ { \prime } ( \rho ) ) , } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l } { { \tilde { T } \, T ^ { \prime } = R \, T \, \tilde { T } ^ { \prime } \, R \, , } } \\ { { d \tilde { T } \, T ^ { \prime } = \overline { { { R } } } \, T \, d \tilde { T } ^ { \prime } \, R \, , } } \\ { { \tilde { T } \, d T ^ { \prime } = R \, d T \, \tilde { T } ^ { \prime } \, R + \lambda \, T \, d \tilde { T } ^ { \prime } \, R \, , } } \\ { { d \tilde { T } \, d T ^ { \prime } = - \overline { { { R } } } \, d T \, d \tilde { T } ^ { \prime } \, R \, ; } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { J ( t ) } & { = \int _ { \Omega } \delta ( x , t ) ( f ( u _ { \theta _ { t } } ( x ) ) - f ( u ^ { * } ( x , t ) ) - r ( x , t ) ) \, d x } \\ & { \leq \int _ { \Omega } | \delta ( x , t ) | \cdot | f ( u _ { \theta _ { t } } ( x ) ) - f ( u ^ { * } ( x , t ) ) - r ( x , t ) | \, d x } \\ & { \leq \int _ { \Omega } | \delta ( x , t ) | \cdot ( L _ { f } | \delta ( x , t ) | + | r ( x , t ) | ) \, d x } \\ & { \leq L _ { f } \| \delta ( x , t ) \| _ { 2 } ^ { 2 } + \| r ( \cdot , t ) \| _ { 2 } \| \delta ( \cdot , t ) \| _ { 2 } } \\ & { \leq L _ { f } \| \delta ( x , t ) \| _ { 2 } ^ { 2 } + \varepsilon \| \delta ( \cdot , t ) \| _ { 2 } , } \end{array}
\frac { \partial \tilde { v _ { y } } ^ { ( 2 ) } } { \partial t } = - \frac { e } { m } [ \tilde { v _ { z } } ^ { ( 2 ) } B _ { 0 } - \tilde { v _ { x } } ^ { ( 1 ) } B _ { m w z } ] ; \quad \frac { \partial \tilde { v _ { z } } ^ { ( 2 ) } } { \partial t } = - \frac { e } { m } [ - \tilde { v _ { y } } ^ { ( 2 ) } B _ { 0 } + \tilde { v _ { x } } ^ { ( 1 ) } B _ { m w y } ]
\begin{array} { r l } { A _ { C } \approx \ } & { \frac { a ^ { 2 } [ 1 + ( R / a ) \epsilon ] } { N R ^ { 2 } ( 1 + \epsilon ) } \int \frac { d ^ { 3 } r _ { j } } { R ^ { 3 } / N } \cos \theta _ { j } \Bigg [ 1 + } \\ & { \int \frac { d ^ { 3 } r _ { k } } { R ^ { 3 } / N } \frac { a ^ { 2 } + 2 \epsilon a ( r _ { j } \cos \theta _ { j } - r _ { k } \cos \theta _ { k } ) } { 4 | \vec { r } _ { j } - \vec { r } _ { k } | ^ { 2 } } \Bigg ] . } \end{array}
\begin{array} { r } { m ^ { X , ( 2 ) } ( z ) = I + \frac { m _ { 1 } ^ { X , ( 2 ) } } { z } + O \biggl ( \frac { 1 } { z ^ { 2 } } \biggr ) , \quad z \to \infty , \quad m _ { 1 } ^ { X , ( 2 ) } : = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \beta _ { 1 2 } ^ { ( 2 ) } } \\ { 0 } & { \beta _ { 2 1 } ^ { ( 2 ) } } & { 0 } \end{array} \right) , } \end{array}
\{ k _ { y } ^ { b } \} = \left\{ b ( 2 \pi / D _ { \mathrm { o u t } } ) \mathrm { ~ s ~ u ~ c ~ h ~ t ~ h ~ a ~ t ~ } b \in \mathbb { Z } \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } | k _ { y } ^ { b } | < 2 \pi / \lambda \right\}
\mathrm { a ) } \quad \xi < \displaystyle { \frac { \eta } { 2 } + \frac { 4 m ^ { 2 } } { k _ { \mathrm { m a x } } ^ { 3 } } } , \qquad \mathrm { b ) } \quad \xi < \displaystyle { \eta + \sqrt { - \frac { 8 m ^ { 2 } \eta } { k _ { \mathrm { m a x } } ^ { 3 } } } } .
K _ { i f } ( T ) = \frac { 4 \pi ^ { 2 } h ^ { 3 } } { \epsilon _ { 0 } } \frac { 1 } { ( 2 \pi \mu k _ { B } T ) ^ { 3 / 2 } } \frac { 1 } { \lambda _ { \textrm { P A } } } d _ { \textrm { N a K } } ^ { 2 } | S _ { i f } ( E _ { r } ) | ^ { 2 } e ^ { - E _ { r } / k _ { B } T } ,
\begin{array} { r } { n _ { t h } = \left\{ \begin{array} { l l } { n _ { t h } ^ { \mathrm { r e f } } \frac { I _ { \mathrm { c o r r } } ^ { r } } { I _ { \mathrm { c o r r , r e f } } ^ { r } } } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ r ~ e ~ d ~ p ~ u ~ m ~ p ~ i ~ n ~ g ~ } } \\ { ( n _ { t h } ^ { \mathrm { r e f } } + 1 ) \frac { I _ { \mathrm { c o r r } } ^ { b } } { I _ { \mathrm { c o r r , r e f } } ^ { b } } - 1 } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ b ~ l ~ u ~ e ~ p ~ u ~ m ~ p ~ i ~ n ~ g ~ . ~ } } \end{array} \right. } \end{array}
\frac { d \rho _ { g e } ^ { ( a ) } } { d \tau } = - \frac { \Gamma ^ { ( a ) } } { 2 } \rho _ { g e } ^ { ( a ) } ( \tau ) - \frac { i \mu } { \hbar } \rho _ { \mathrm { i n v } } ^ { ( a ) } ( \tau ) \mathcal { E } _ { + } ^ { ( a ) } ( \tau ) .
\begin{array} { r l r } { \langle I ^ { \prime } , \gamma ^ { \prime } | \Delta V ( R , \omega , r ) | I , \gamma \rangle } & { = } & { \sum _ { \kappa ^ { \prime } , \kappa } \sum _ { \rho ^ { \prime } , \rho } \sum _ { j } \langle \rho ^ { \prime } , \kappa ^ { \prime } , j | \Delta V ( R , \omega , r ) | \rho , \kappa , j \rangle } \\ & { } & { \times \langle I ^ { \prime } | \rho ^ { \prime } , \kappa ^ { \prime } \rangle \langle \rho , \kappa | I \rangle \langle \gamma ^ { \prime } | j \rangle \langle j | \gamma \rangle } \\ & { = } & { \sum _ { \kappa ^ { \prime } , \kappa } \sum _ { \rho ^ { \prime } , \rho } \sum _ { j } \langle \rho ^ { \prime } , \kappa ^ { \prime } | \Delta V ( R , \omega , { \bf r } _ { j } ) | \rho , \kappa \rangle } \\ & { } & { \times \langle I ^ { \prime } | \rho ^ { \prime } , \kappa ^ { \prime } \rangle \langle \rho , \kappa | I \rangle \langle \gamma ^ { \prime } | j \rangle \langle j | \gamma \rangle . } \end{array}
\psi _ { \mathrm { r o t } } ( x ) = e ^ { i \gamma _ { 5 } \chi } \psi _ { \mathrm { i n } } ( x ) = \left( \begin{array} { l l } { { \nu } } & { { i \mu } } \\ { { i \mu } } & { { \nu } } \end{array} \right) \psi _ { \mathrm { i n } } ( x ) = \left( \begin{array} { l } { { \nu + i \mu \lambda } } \\ { { i \mu + \lambda \nu } } \end{array} \right) e ^ { i k x } ,
\begin{array} { r } { \varrho _ { a b } ^ { \mathrm { H F } , N = 2 } = \sqrt { n _ { a } \, n _ { b } } \, \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \, \big ( \phi _ { a } - \phi _ { b } \big ) } \equiv \varrho _ { a b } ^ { \mathrm { i t } , N = 2 } = \mathrm { e } ^ { \mathrm { \footnotesize ~ \mathrm { i } \phi _ { a } ~ } } \varrho _ { a b } ^ { ( 0 ) , \mathrm { i t } , N = 2 } \mathrm { e } ^ { \mathrm { \footnotesize ~ - \mathrm { i } \phi _ { b } ~ } } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { B } ( t ) } & { = ( 1 - t ) \sum _ { i = 0 } ^ { n } \mathbf { b } _ { i , n } ( t ) \mathbf { P } _ { i } + t \sum _ { i = 0 } ^ { n } \mathbf { b } _ { i , n } ( t ) \mathbf { P } _ { i } } \\ & { = \sum _ { i = 0 } ^ { n } { \frac { n + 1 - i } { n + 1 } } \mathbf { b } _ { i , n + 1 } ( t ) \mathbf { P } _ { i } + \sum _ { i = 0 } ^ { n } { \frac { i + 1 } { n + 1 } } \mathbf { b } _ { i + 1 , n + 1 } ( t ) \mathbf { P } _ { i } } \\ & { = \sum _ { i = 0 } ^ { n + 1 } \left( { \frac { i } { n + 1 } } \mathbf { P } _ { i - 1 } + { \frac { n + 1 - i } { n + 1 } } \mathbf { P } _ { i } \right) \mathbf { b } _ { i , n + 1 } ( t ) } \\ & { = \sum _ { i = 0 } ^ { n + 1 } \mathbf { b } _ { i , n + 1 } ( t ) \mathbf { P ^ { \prime } } _ { i } } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial v _ { \theta } } { \partial t } + v _ { r } \frac { \partial v _ { \theta } } { \partial r } + \frac { v _ { \theta } } { r } ( \frac { \partial v _ { \theta } } { \partial \theta } + v _ { r } ) } & { = } & { F _ { \theta } + \nu ( \frac { \partial ^ { 2 } v _ { \theta } } { \partial r ^ { 2 } } + \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } v _ { \theta } } { \partial \theta ^ { 2 } } + \frac { 1 } { r } \frac { \partial v _ { \theta } } { \partial r } + \frac { 2 } { r ^ { 2 } } \frac { \partial v _ { r } } { \partial \theta } - \frac { v _ { \theta } } { r ^ { 2 } } ) } \\ { \frac { \partial v _ { r } } { \partial t } + v _ { r } \frac { \partial v _ { r } } { \partial r } + \frac { v _ { \theta } } { r } ( \frac { \partial v _ { r } } { \partial \theta } - v _ { \theta } ) } & { = } & { \nu ( \frac { \partial ^ { 2 } v _ { r } } { \partial r ^ { 2 } } + \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } v _ { r } } { \partial \theta ^ { 2 } } + \frac { 1 } { r } \frac { \partial v _ { r } } { \partial r } - \frac { 2 } { r ^ { 2 } } \frac { \partial v _ { \theta } } { \partial \theta } - \frac { v _ { r } } { r ^ { 2 } } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta _ { g } ( x ) = } & { \frac { \mathbf { 1 } ^ { T } D _ { x } \mathbf { 1 } \mathbf { 1 } ^ { T } A _ { ( - ) } \mathbf { 1 } - \mathbf { 1 } ^ { T } A _ { ( - ) } ^ { T } D _ { x } \mathbf { 1 } \cdot \mathbf { 1 } ^ { T } \mathbf { 1 } } { \mathbf { 1 } ^ { T } A _ { ( - ) } \mathbf { 1 } \cdot \mathbf { 1 } ^ { T } \mathbf { 1 } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { f _ { t , t + 1 , z } ^ { b u r n } } & { = } & { \mathbb { E } _ { t } [ E _ { t + 1 , z } ^ { b u r n } ] , } \\ & { = } & { \mathbb { E } _ { t } [ \{ K _ { t + 1 , z } = 1 \} \cap \{ K _ { t z } ^ { x } = 1 \} ] , } \\ & { = } & { \mathbb P \left[ K _ { t z } ^ { x } = 1 | K _ { t + 1 , z } = 1 \right] \mathbb P \left[ K _ { t + 1 , z } = 1 \right] , } \\ & { = } & { \mathbb P \left[ K _ { t + 1 , z } = 1 \right] - \mathbb P \left[ K _ { t z } ^ { x } = 0 | K _ { t + 1 , z } = 1 \right] \mathbb P \left[ K _ { t + 1 , z } = 1 \right] , } \\ & { = } & { \bar { p } _ { t + 1 , z } ^ { K } - \bar { p } _ { t + 1 , z } ^ { K } + \bar { p } _ { t z } ^ { K , x } , } \\ & { = } & { \bar { p } _ { t z } ^ { K , x } . } \end{array}
\Tilde { f } ( \vec { r } , \omega ) = \sum _ { \vec { k } , \vec { k } \neq \vec { 0 } } \frac { 4 \pi \mathrm { e } ^ { i \vec { k } \cdot \vec { r } } } { L ^ { 3 } ( k ^ { 2 } + \alpha ^ { 2 } ) } = \frac { 4 \pi } { L ^ { 3 } } \sum _ { \vec { k } , \vec { k } \neq \vec { 0 } } \mathrm { e } ^ { i \vec { k } \cdot \vec { r } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { e } ^ { - ( k ^ { 2 } + \alpha ^ { 2 } ) x } \mathrm { d } x \, .
\begin{array} { r l } { \left| \mathrm { R e } \left( 2 ( 2 \uppi ) ^ { d } \gamma \sigma _ { 1 , m } q _ { m } \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } \sigma _ { 2 } ( z ) \overline { { \phi _ { m } ( z ) } } \, { \mathrm { d } } z \right) \right| } & { \le 2 ( 2 \uppi ) ^ { d } \gamma \sigma _ { 1 , m } | q _ { m } | \sqrt { \kappa } \| \nabla \phi _ { m } \| _ { L ^ { 2 } } } \\ & { \le \frac { 1 } { 2 \tilde { \delta } } ( 4 \gamma ^ { 2 } \kappa ( 2 \uppi ) ^ { 2 d } \sigma _ { 1 , m } ^ { 2 } ) q _ { m } ^ { 2 } + \frac { \tilde { \delta } } { 2 } \| \nabla \phi _ { m } \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { ~ S ~ N ~ R ~ } } & { { } = \frac { R _ { \mathrm { ~ o ~ s ~ c ~ } } I _ { \mathrm { ~ w ~ } } ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } = \frac { 3 6 \times R _ { \mathrm { ~ o ~ s ~ c ~ } } ^ { 2 } I _ { \mathrm { ~ w ~ } } ^ { 2 } } { \Delta V _ { \mathrm { ~ n ~ o ~ i ~ s ~ e ~ , ~ p ~ - ~ 2 ~ - ~ p ~ } } ^ { 2 } } } & { ( / ) } \end{array}
F ^ { { \mu } { \nu } { \sigma } } = - G ^ { { \mu } { \nu } { \sigma } } - ( { \lambda } ^ { { \mu } { \nu } { \sigma } } + \frac { 1 } { 3 ! } { \epsilon } ^ { { \mu } { \nu } { \sigma } { \rho } { \eta } { \delta } } { \lambda } _ { { \rho } { \eta } { \delta } } ) .
\psi = \left( \begin{array} { c } { { \psi _ { - } } } \\ { { \psi _ { + } } } \end{array} \right) \; , \; \; \; \mathrm { a n d } \; \; \; \; \phi = \left( \begin{array} { c } { { \phi _ { - } } } \\ { { \phi _ { + } } } \end{array} \right) \; .
\begin{array} { r } { \bar { U } ( x ) = \frac { 1 } { 2 } \hbar \omega x ^ { 2 } - \frac { 1 } { \beta } \sum _ { n } | J _ { n } ( z ) | ^ { 2 } l o g ( 1 + e x p ( - \beta ( E ( x ) - n \Omega ) ) } \end{array}