harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\sigma ^ { * } ( \mathcal { N } _ { \mathcal { R } } ^ { * } \mu ) ( A ) = \mu ( \mathcal { N } _ { \mathcal { R } } ^ { - 1 } \circ \sigma ^ { - 1 } ( A ) ) = \mu ( \sigma ^ { - 1 } \circ \mathcal { N } _ { \mathcal { R } } ^ { - 1 } ( A ) ) = \mu ( \mathcal { N } _ { \mathcal { R } } ^ { - 1 } ( A ) ) = ( \mathcal { N } _ { \mathcal { R } } ^ { * } \mu ) ( A )
\langle \boldsymbol { D } \rangle \sim \mathcal { N } \left( \frac { c _ { 1 } } { L _ { 1 } L _ { 2 } } \int _ { \Omega } u ( \boldsymbol { s } ) \, \textrm { d } \boldsymbol { s } - 2 | c _ { 1 } | c _ { 2 } + c _ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } , \frac { \sigma _ { n } ^ { 2 } } { M _ { 1 } M _ { 2 } } \right) \, .
\begin{array} { r l } { t _ { 1 } } & { = t . } \\ { t _ { 2 } } & { = - k + 4 t . } \\ { t _ { 3 } } & { = - 3 k + 1 6 t . } \\ { t _ { 4 } } & { = \frac { 1 3 k ^ { 2 } - 1 2 0 k t + 2 5 6 t ^ { 2 } } { - k + 4 t } . } \\ { t _ { 5 } } & { = \frac { 1 4 9 k ^ { 2 } - 1 5 8 4 k t + 4 0 9 6 t ^ { 2 } } { - 3 k + 1 6 t } . } \\ { t _ { 6 } } & { = \frac { - 2 6 6 1 k ^ { 3 } + 3 8 5 4 0 k ^ { 2 } t - 1 7 8 6 8 8 k t ^ { 2 } + 2 6 2 1 4 4 t ^ { 3 } } { 1 3 k ^ { 2 } - 1 2 0 k t + 2 5 6 t ^ { 2 } } . } \\ { t _ { 7 } } & { = \frac { - 1 1 9 3 3 5 k ^ { 3 } + 1 8 9 9 6 1 6 k ^ { 2 } t - 9 8 8 7 7 4 4 k t ^ { 2 } + 1 6 7 7 7 2 1 6 t ^ { 3 } } { 1 4 9 k ^ { 2 } - 1 5 8 4 k t + 4 0 9 6 t ^ { 2 } } . } \\ { t _ { 8 } } & { = \frac { 8 6 6 9 7 5 3 k ^ { 4 } - 1 7 1 1 7 1 8 2 4 k ^ { 3 } t + 1 2 3 4 2 2 8 2 2 4 k ^ { 2 } t ^ { 2 } - 3 8 3 2 5 4 5 2 8 0 k t ^ { 3 } + 4 2 9 4 9 6 7 2 9 6 t ^ { 4 } } { - 2 6 6 1 k ^ { 3 } + 3 8 5 4 0 k ^ { 2 } t - 1 7 8 6 8 8 k t ^ { 2 } + 2 6 2 1 4 4 t ^ { 3 } } . } \end{array}
A ^ { 2 } = 1 \quad \mathrm { f o r } \quad D _ { 2 n } ^ { ( 1 ) } \to A _ { 2 n - 1 } ^ { ( 2 ) } , \quad D _ { n + 2 } ^ { ( 1 ) } \to D _ { n + 1 } ^ { ( 2 ) } , \quad E _ { 7 } ^ { ( 1 ) } \to E _ { 6 } ^ { ( 2 ) } ,
\begin{array} { r l } { \left. \left( \partial _ { z } E _ { x } \right) \right| _ { \mathrm { ~ a ~ v ~ } } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \left. \left( \partial _ { z } E _ { \mathrm { ~ i ~ } , x } + \partial _ { z } E _ { \mathrm { ~ r ~ } , x } + \partial _ { z } E _ { \mathrm { ~ t ~ } , x } \right) \right| _ { z = 0 } } \end{array}
D _ { x 0 } \left( \zeta - 1 + 2 i S v e ^ { - i k _ { z } \Delta z / 2 } \sin ( k _ { z } \Delta z / 2 ) \right) + H _ { y 0 } ^ { * } \zeta ^ { 1 / 2 } 2 i S \sin ( k _ { z } \Delta z / 2 ) = 0 .
\begin{array} { r l } & { O _ { 1 } ^ { - } x ^ { - \sigma + i \rho } = \left( 1 - 2 ^ { 1 - \sigma + i ( \rho + \rho _ { 0 } ) } \right) \zeta ( \sigma - i ( \rho + \rho _ { 0 } ) ) x ^ { - \sigma + i \rho } , \quad \sigma > 0 , } \\ & { O _ { 1 } ^ { + } x ^ { - \sigma + i \rho } = \left( 1 - 2 ^ { \sigma - i ( \rho - \rho _ { 0 } ) } \right) \zeta ( 1 - \sigma + i ( \rho - \rho _ { 0 } ) ) x ^ { - \sigma + i \rho } , \quad \sigma < 1 . } \end{array}
\left( \begin{array} { c c c } { M _ { s } } & { 0 } & { K _ { s } ^ { T } } \\ { 0 } & { \alpha M } & { B ^ { T } } \\ { K _ { s } } & { B _ { s } } & { 0 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \mathbf { y } } \\ { \mathbf { u } } \\ { \mathbf { p } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c } { M _ { s } \mathbf { y } _ { d } } \\ { 0 } \\ { \mathbf { f } _ { s } } \end{array} \right) ,
\left( \begin{array} { c c c } { { m _ { L 2 2 } ^ { 2 } } } & { { m _ { L 2 3 } ^ { 2 } \cos \theta _ { \tilde { \tau } } } } & { { - m _ { L 2 3 } ^ { 2 } \sin \theta _ { \tilde { \tau } } } } \\ { { m _ { L 2 3 } ^ { 2 } \cos \theta _ { \tilde { \tau } } } } & { { m _ { \tilde { \tau } _ { 2 } } ^ { 2 } } } & { { 0 } } \\ { { - m _ { L 2 3 } ^ { 2 } \sin \theta _ { \tilde { \tau } } } } & { { 0 } } & { { m _ { \tilde { \tau } _ { 1 } } ^ { 2 } } } \end{array} \right) ,
{ \begin{array} { r l } { { \frac { d { \theta _ { z } } _ { i } } { d t } } } & { = { \frac { \partial { \cal { H } } } { \partial { L _ { z } } _ { i } } } = { \frac { { L _ { z } } _ { i } } { { I _ { z } } _ { i } } } } \\ { { \frac { d { L _ { z } } _ { i } } { d t } } } & { = - { \frac { \partial { \cal { H } } } { \partial { \theta _ { z } } _ { i } } } = - { \frac { \partial V } { \partial { \theta _ { z } } _ { i } } } } \end{array} }
z ^ { j } p _ { 1 } ^ { k _ { 1 } } p _ { 2 } ^ { k _ { 2 } } \cdots p _ { n } ^ { k _ { n } } q _ { 1 } ^ { \ell _ { 1 } } q _ { 2 } ^ { \ell _ { 2 } } \cdots q _ { n } ^ { \ell _ { n } } ~ ,
\begin{array} { r l r l } { { \mu ( C ) } } & { { = 0 . 5 1 \ ( 0 . 4 8 ) \, , } } & { { \sigma ( C ) } } & { { = 0 . 2 1 \ ( 0 . 2 2 ) \, , } } \\ { { \mu ( C ^ { \prime } ) } } & { { = 0 . 6 8 \ ( 0 . 6 6 ) \, , } } & { { \sigma ( C ^ { \prime } ) } } & { { = 0 . 1 4 \ ( 0 . 1 5 ) \, , } } \\ { { \mu ( S ) } } & { { = 0 . 5 0 \ ( 0 . 4 1 ) \, , } } & { { \sigma ( S ) } } & { { = 0 . 1 8 \ ( 0 . 1 8 ) \, , } } \\ { { \mu ( A ) } } & { { = 0 . 1 3 5 \ ( 0 . 0 9 0 ) \, , } } & { { \sigma ( A ) } } & { { = 0 . 0 7 9 \ ( 0 . 0 6 6 ) , } } \end{array}
\left[ \begin{array} { c c } { { a _ { 0 } } } & { { 1 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c c } { { a _ { 1 } } } & { { 1 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right] \cdots \left[ \begin{array} { c c } { { a _ { i } } } & { { 1 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c c } { { p _ { i } } } & { { p _ { i - 1 } } } \\ { { q _ { i } } } & { { q _ { i - 1 } } } \end{array} \right] .
\int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime } \exp \left[ - i \int _ { 0 } ^ { t ^ { \prime } } d \tau \mathcal { C } ( \tau ) \right] = i \exp \left[ - i \frac { g _ { c } ^ { 2 } \left\langle \tilde { \hat { J } } _ { y } \right\rangle } { \Delta _ { 0 } \omega _ { z } } \right] \sum _ { n = - \infty } ^ { + \infty } ( - 1 ) ^ { n } J _ { n } \left( \frac { g _ { c } ^ { 2 } \left| \left\langle \tilde { \hat { J } } _ { + } \right\rangle \right| } { \Delta _ { 0 } \omega _ { z } } \right) e ^ { - i n \theta } \frac { e ^ { - i \left( \Delta _ { d } + i \kappa / 2 + n \omega _ { z } \right) t } - 1 } { \Delta _ { d } + i \kappa / 2 + n \omega _ { z } } .
1 6 _ { i = 3 } \ni ( t _ { L } , V _ { t n } d _ { L n } ) + ( t _ { R } ) ^ { C } + U _ { n 3 } ^ { * } ( d _ { R n } ) ^ { C } + ( \nu _ { L 3 } , U _ { n 3 } ^ { * } l _ { L n } ) + V _ { t n } ( l _ { R n } ) ^ { C } ,
\left\{ \begin{array} { l l } { \hat { \boldsymbol { \Lambda } } \cdot \hat { \boldsymbol { \Lambda } } ^ { D } - \sqrt { 1 - \gamma _ { \mathrm { C D C ^ { - } } } ^ { 2 } } = 0 } & { \mathrm { i f } \, \hat { \boldsymbol { \Lambda } } \in \mathbb { L } _ { D } , } \\ { \hat { \boldsymbol { \Lambda } } \cdot \hat { \mathbf { n } } ^ { D K } - \gamma _ { \mathrm { C D C ^ { - } } } = 0 } & { \mathrm { i f } \, \hat { \boldsymbol { \Lambda } } \in \mathbb { L } _ { D K ^ { - } } , } \\ { \hat { \boldsymbol { \Lambda } } \cdot \hat { \mathbf { n } } ^ { 1 D } - \gamma _ { \mathrm { C D C ^ { - } } } = 0 } & { \mathrm { i f } \, \hat { \boldsymbol { \Lambda } } \in \mathbb { L } _ { 1 ^ { - } D } , } \\ { \hat { \boldsymbol { \Lambda } } \cdot \hat { \mathbf { n } } ^ { 2 ^ { - } K ^ { - } } + \gamma _ { \mathrm { C D C ^ { - } } } = 0 } & { \mathrm { i f } \, \hat { \boldsymbol { \Lambda } } \in \mathbb { L } _ { 2 ^ { - } K ^ { - } } . } \end{array} \right.
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { A } } & { = A ^ { 0 } { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } + A ^ { 1 } { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) } + A ^ { 2 } { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { - i } \\ { i } & { 0 } \end{array} \right) } + A ^ { 3 } { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) } } \\ & { = { \left( \begin{array} { l l } { A ^ { 0 } + A ^ { 3 } } & { A ^ { 1 } - i A ^ { 2 } } \\ { A ^ { 1 } + i A ^ { 2 } } & { A ^ { 0 } - A ^ { 3 } } \end{array} \right) } } \end{array} }
\begin{array} { r } { \partial _ { t } \Delta v = - ( \partial _ { x x } + \partial _ { z z } ) ( \mathbf { u } \cdot \mathbf { \nabla } v ) + \partial _ { y x } ( \mathbf { u } \cdot \mathbf { \nabla } u ) + \partial _ { y z } ( \mathbf { u } \cdot \mathbf { \nabla } w ) + \frac { 1 } { R e } \Delta \Delta v , } \\ { \partial _ { t } \eta _ { y } = - \partial _ { z } ( \mathbf { u } \cdot \mathbf { \nabla } u ) + \partial _ { x } ( \mathbf { u } \cdot \mathbf { \nabla } w ) + \frac { 1 } { R e } \Delta \eta _ { y } , } \\ { \partial _ { t } U _ { 0 0 } = \gamma ( t ) - \partial _ { y } \left[ u v \right] + \frac { 1 } { R e } \partial _ { y y } U _ { 0 0 } , } \\ { \partial _ { t } W _ { 0 0 } = - \partial _ { y } \left[ w v \right] + \frac { 1 } { R e } \partial _ { y y } W _ { 0 0 } , } \end{array}
\frac { 1 } { 2 i } \Big [ e ^ { + \pi i \alpha } \frac { 1 - e ^ { + 2 \pi i ( N - n ) \gamma } } { 1 - e ^ { + 2 \pi i \gamma } } - e ^ { - \pi i \alpha } \frac { 1 - e ^ { - 2 \pi i ( N - n ) \gamma } } { 1 - e ^ { - 2 \pi i \gamma } } \Big ] = \frac { 2 s ( \gamma ) s ( \alpha + ( N - n - 1 ) \gamma ) s ( ( N - n ) \gamma ) } { 1 - \cos ( 2 \pi \gamma ) }
\begin{array} { r l } { h _ { B } ( u ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \sum _ { v \in B ^ { \prime } } \sum _ { b \in V _ { n } ^ { c } } \deg ( b ) a ( b ) \mathbf { P } _ { b } ( X _ { T _ { B } ^ { \prime } } = v , X _ { T _ { B } } = u , T _ { o } < T _ { V _ { n } ^ { c } } ^ { + } ) } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \sum _ { v \in B ^ { \prime } } \sum _ { b \in V _ { n } ^ { c } } \deg ( b ) a ( b ) \mathbf { P } _ { b } ( X _ { T _ { B } ^ { \prime } } = v , T _ { B ^ { \prime } } < T _ { V _ { n } ^ { c } } ^ { + } ) \mathbf { P } _ { v } ( X _ { T _ { B } } = u , T _ { o } < T _ { V _ { n } ^ { c } } ^ { + } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { a _ { 1 } ( \omega ) = \sqrt { \gamma _ { 1 } } A _ { 1 } a _ { 1 } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } + \sqrt { \gamma _ { 2 } } A _ { 2 } a _ { 2 } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } , } \\ { b ( \omega ) = \sqrt { \gamma _ { 1 } } B _ { 1 } a _ { 1 } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } + \sqrt { \gamma _ { 2 } } B _ { 2 } a _ { 2 } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } , } \\ { a _ { 2 } ( \omega ) = \sqrt { \gamma _ { 1 } } C _ { 1 } a _ { 1 } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } + \sqrt { \gamma _ { 2 } } C _ { 2 } a _ { 2 } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } , } \end{array}
{ \widetilde { \varphi } } _ { _ { D i f f . } } ( s ) = \frac { \gamma } { \sqrt { s + \gamma } } \, f r a c { 1 } { \sqrt { s + \gamma } \cosh { \big ( a \sqrt { s / D } \big ) } + \sqrt { s } \sinh { \big ( a \sqrt { s / D } \big ) } } ,
\left\langle \tau \right\rangle \propto \left\{ \begin{array} { l l } { N ^ { 1 / 3 } } & { f o r \mu _ { 1 } < 1 } \\ { ( p _ { c } - p ) ^ { - \alpha _ { 1 } / 3 } } & { f o r \mu _ { 1 } > 1 } \end{array} \right. .
F ( \phi ) = \frac { 2 \phi ^ { 2 } } { 3 } \frac { \sin { \phi } } { \phi - \sin \phi \cos \phi } , \quad G ( \phi ) = \frac { \phi ^ { 3 } } { 3 } \frac { 4 } { \sin \phi \cos \phi - \phi \cos 2 \phi } ,
\begin{array} { r l } & { | \langle ( \partial _ { v _ { i } } \Phi _ { i j } * G ) | _ { v = \frac { \xi } { \varepsilon } } h _ { 1 } , ( \partial _ { \xi _ { j } } + \frac { q \xi _ { i } } { 2 } ) h _ { 2 } \rangle _ { L _ { \xi } ^ { 2 } } | } \\ & { \lesssim \left( \int _ { \mathbf R ^ { 3 } } ( \sigma ^ { - 1 } ) _ { i j } ( \frac { \xi } { \varepsilon } ) \partial _ { v _ { k } } \Phi _ { k i } * G | _ { v = \frac { \xi } { \varepsilon } } \partial _ { v _ { l } } \Phi _ { l j } * G | _ { v = \frac { \xi } { \varepsilon } } h _ { 1 } ^ { 2 } ( \xi ) d \xi \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \\ & { \quad \cdot \langle \sigma _ { i j } ( \frac { \xi } { \varepsilon } ) ( \partial _ { \xi _ { i } } + \frac { q \xi _ { i } } { 2 } ) h _ { 2 } , ( \partial _ { \xi _ { j } } + \frac { q \xi _ { i } } { 2 } ) h _ { 2 } \rangle _ { L _ { \xi } ^ { 2 } } ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \\ & { \lesssim \left( \int _ { \mathbf R ^ { 3 } } \langle \frac { \xi } { \varepsilon } \rangle ^ { 3 } | ( \nabla _ { v } ( - \Delta _ { v } ) ^ { - 1 } G ) ( \frac { \xi } { \varepsilon } ) | ^ { 2 } h _ { 1 } ^ { 2 } ( \xi ) d \xi \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \\ & { \lesssim \varepsilon ^ { \frac { 1 } { 2 } } \operatorname* { s u p } _ { v \in \mathbf R ^ { 3 } , i \in \{ 1 , 2 , 3 \} } \{ \langle v \rangle ^ { 2 } | \nabla _ { v } ( - \Delta _ { v } ) ^ { - 1 } G ( v ) | \} \| \langle \frac { \xi } { \varepsilon } \rangle ^ { - \frac { 1 } { 2 } } h _ { 1 } \| _ { L _ { \xi } ^ { 2 } } ( \| h _ { 2 } \| _ { \mathcal H _ { \sigma ; \varepsilon } ^ { - } } + \varepsilon ^ { \frac { 1 } { 2 } } \| \langle \frac { \xi } { \varepsilon } \rangle ^ { - \frac { 1 } { 2 } } h _ { 2 } \| _ { L _ { \xi } ^ { 2 } } ) } \end{array}
F _ { z } = \int _ { r = R } ( \overleftrightarrow { \boldsymbol { \sigma } } \cdot d \boldsymbol { S } ) _ { z } = \int _ { r \to \infty } ( \overleftrightarrow { \boldsymbol { \sigma } _ { \mathrm { H } } } \cdot d \boldsymbol { S } ) _ { z } = \gamma U ,
\begin{array} { c l } { \displaystyle V \left( \psi _ { 2 } , J _ { 2 } , \theta \right) = } & { \displaystyle \frac { R m _ { x } ( \theta ) } { 6 \sqrt 2 } \left[ \left( \sqrt { \beta _ { x } J _ { 2 } } \right) ^ { 3 } \cos \left( 3 \psi _ { 2 } - 3 \nu _ { x } \theta + 3 \chi _ { x } ( \theta ) \right) \right. } \\ { \displaystyle } & { \displaystyle \left. + 3 \left( \sqrt { \beta _ { x } J _ { 2 } } \right) ^ { 3 } \cos \left( \psi _ { 2 } - \nu _ { x } \theta + \chi _ { x } ( \theta ) \right) \right] , } \end{array}
h ( 1 1 ; 1 2 ) = \frac 4 { 3 \alpha ^ { 2 } } - 1 \; \; , \; q ( 1 1 ; 1 2 ) = \frac { ( 5 - 3 \alpha ^ { 2 } ) ( 4 - 3 \alpha ^ { 2 } ) } { 2 7 \alpha ^ { 3 } } \, .
\begin{array} { r l } { R _ { g } } & { = \sum _ { l = 1 } ^ { L } \sum _ { t \in \mathcal { T } _ { l } } ( f ^ { * } - f ( \mathbf { x } _ { t } ) ) } \\ & { \leq 2 B \kappa + \sum _ { l = 2 } ^ { L } 4 \sqrt { 2 \kappa ^ { 2 } \log ( 1 / \beta ) } \sqrt { 2 ^ { ( 2 - \alpha ) ( l - 1 ) } } } \\ & { + \sum _ { l = 2 } ^ { L } 8 \sigma C \sqrt { 2 \gamma _ { T } \log ( 1 / \beta ) } \sqrt { 2 ^ { ( 1 - \alpha ) ( l - 1 ) } } } \\ & { + \sum _ { l = 2 } ^ { L } 8 \sigma B C \sqrt { \gamma _ { T } 2 ^ { l - 1 } } + \sum _ { l = 2 } ^ { L } 4 G _ { 1 } \gamma _ { T } \sqrt { 2 \log ( 1 / \beta ) } 2 ^ { ( 1 - \alpha ) ( l - 1 ) } } \\ & { \leq 2 B \kappa + 4 \sqrt { 2 \kappa ^ { 2 } \log ( 1 / \beta ) } \cdot 4 \sqrt { 2 ^ { ( L - 1 ) ( 2 - \alpha ) } } } \\ & { + 8 \sigma C \sqrt { 2 \gamma _ { T } \log ( 1 / \beta ) } \cdot C _ { 1 } \sqrt { 2 ^ { ( 1 - \alpha ) ( L - 1 ) } } \quad \quad \quad \quad \quad \hfill \left( C _ { 1 } \triangleq \frac { \sqrt { 2 ^ { 1 - \alpha } } } { \sqrt { 2 ^ { 1 - \alpha } } - 1 } \right) } \\ & { + 8 \sigma B C \sqrt { \gamma _ { T } } \cdot 4 \sqrt { 2 ^ { L - 1 } } } \\ & { + 4 G _ { 1 } \gamma _ { T } \sqrt { 2 \log ( 1 / \beta ) } \cdot C _ { 2 } 2 ^ { ( 1 - \alpha ) ( L - 1 ) } \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \left( C _ { 2 } \triangleq \frac { 2 ^ { 1 - \alpha } } { 2 ^ { 1 - \alpha } - 1 } \right) } \\ & { { \leq } 2 B \kappa + 1 6 \sqrt { 2 \kappa ^ { 2 } \log ( 1 / \beta ) } T ^ { 1 - \alpha / 2 } + 8 \sigma C _ { 1 } C \sqrt { 2 \gamma _ { T } \log ( 1 / \beta ) T ^ { 1 - \alpha } } } \\ & { + 3 2 \sigma B C \sqrt { \gamma _ { T } T } + 4 C _ { 2 } G _ { 1 } \gamma _ { T } \sqrt { 2 \log ( 1 / \beta ) } T ^ { 1 - \alpha } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { x _ { + } ^ { 1 } } & { = x ^ { 2 } ( u ^ { 1 } + 1 ) } \\ { x _ { + } ^ { 2 } } & { = u ^ { 1 } } \\ { x _ { + } ^ { 3 } } & { = x ^ { 4 } + u ^ { 2 } - 1 } \\ { x _ { + } ^ { 4 } } & { = x ^ { 5 } + 1 - \frac { x ^ { 1 } ( u ^ { 1 } + 1 ) } { x ^ { 2 } + 1 } } \\ { x _ { + } ^ { 5 } } & { = u ^ { 2 } + x ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { c } _ { \varepsilon } ( \hat { \mathbf x } , 0 ) = \hat { c } _ { \mathrm { ~ \tiny ~ { ~ i ~ n ~ } ~ } } ( \hat { \mathbf x } ) , \quad \hat { \mathbf x } \in \hat { \Omega } _ { p } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { w } _ { + } } & { \otimes \mathbf { w } _ { + } \mapsto \mathbf { w } _ { + } } \\ { \mathbf { w } _ { + } } & { \otimes \mathbf { w } _ { - } \mapsto \mathbf { w } _ { - } } \\ { \mathbf { w } _ { - } } & { \otimes \mathbf { w } _ { + } \mapsto \mathbf { w } _ { - } } \\ { \mathbf { w } _ { - } } & { \otimes \mathbf { w } _ { - } \mapsto 0 } \end{array}
\frac { H _ { P 1 } } { h } = \frac { g \mu _ { B } } { h } \mathbf { B } _ { 0 } \cdot \mathbf { S } + A _ { \parallel } \mathbf { S } _ { z } \cdot \mathbf { I } _ { z } + A _ { \perp } \left( \mathbf { S } _ { x } \cdot \mathbf { I } _ { x } + \mathbf { S } _ { y } \cdot \mathbf { I } _ { y } \right) .
m _ { \mathrm { t r e e } } \simeq 2 \sqrt { ( c ^ { 2 } - 1 / 4 ) \frac { 3 / 2 - r ^ { \prime } - c } { 5 / 2 - r ^ { \prime } + c } } \left( \frac { t } { k } \right) ^ { c - 1 / 2 } t ,
\begin{array} { r l r } { \frac { d \vec { \delta } _ { L i } } { d t } } & { = } & { 2 K _ { L L } \{ \vec { Q } _ { 0 } \times \vec { \Delta } _ { L L i } + i [ - \vec { \Delta } _ { L L i } + ( \vec { \Delta } _ { L L i } . \vec { Q } _ { 0 } ) \, \vec { Q } _ { 0 } ] \} } \\ & { + } & { 2 K _ { L R } \{ \vec { Q } _ { 0 } \times \vec { \Delta } _ { L R i } + i [ - \vec { \Delta } _ { L R i } + ( \vec { \Delta } _ { L R i } . \vec { Q } _ { 0 } ) \, \vec { Q } _ { 0 } ] \} } \\ & { + } & { J _ { L L } ( \vec { Q } _ { 0 } \times \vec { \Delta } _ { L L i } ) + J _ { L R } ( \vec { Q } _ { 0 } \times \vec { \Delta } _ { L L i } ) } \\ { \frac { d \vec { \delta } _ { R i } } { d t } } & { = } & { 2 K _ { R R } \{ \vec { Q } _ { 0 } \times \vec { \Delta } _ { R R i } + i [ - \vec { \Delta } _ { R R i } + ( \vec { \Delta } _ { R R i } . \vec { Q } _ { 0 } ) \, \vec { Q } _ { 0 } ] \} } \\ & { + } & { 2 K _ { L R } \{ \vec { Q } _ { 0 } \times \vec { \Delta } _ { R L i } + i [ - \vec { \Delta } _ { R L i } + ( \vec { \Delta } _ { R L i } . \vec { Q } _ { 0 } ) \, \vec { Q } _ { 0 } ] \} } \\ & { + } & { J _ { R R } ( \vec { Q } _ { 0 } \times \vec { \Delta } _ { R R i } ) + J _ { L R } ( \vec { Q } _ { 0 } \times \vec { \Delta } _ { R L i } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { \boldsymbol { \vartheta } _ { 1 } ( \xi , \eta , \zeta ) } & { = \left[ \begin{array} { l } { \zeta } \\ { \zeta } \\ { 1 - \xi - \eta } \end{array} \right] \, , } & { \boldsymbol { \vartheta } _ { 2 } ( \xi , \eta , \zeta ) } & { = \left[ \begin{array} { l } { \eta } \\ { 1 - \xi - \zeta } \\ { \eta } \end{array} \right] \, , } & { \boldsymbol { \vartheta } _ { 3 } ( \xi , \eta , \zeta ) } & { = \left[ \begin{array} { l } { 1 - \eta - \zeta } \\ { \xi } \\ { \xi } \end{array} \right] \, , } \\ { \boldsymbol { \vartheta } _ { 4 } ( \xi , \eta , \zeta ) } & { = \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { \zeta } \\ { - \eta } \end{array} \right] \, , } & { \boldsymbol { \vartheta } _ { 5 } ( \xi , \eta , \zeta ) } & { = \left[ \begin{array} { l } { \zeta } \\ { 0 } \\ { - \xi } \end{array} \right] \, , } & { \boldsymbol { \vartheta } _ { 6 } ( \xi , \eta , \zeta ) } & { = \left[ \begin{array} { l } { \eta } \\ { - \xi } \\ { 0 } \end{array} \right] \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { [ b ] \frac { d } { d t } \int _ { \mathcal { O } } \varphi ( v ) \mathbf { f } ( v , t ) \, d v } & { = \frac { 1 } { 2 N } \int _ { \mathcal { O } } \int _ { \mathcal { O } } \left\langle \varphi ( v ^ { \prime } ) - \varphi ( v ) \right\rangle \mathbf { f } ( v , t ) \odot \mathbf { M } \mathbf { f } ( v _ { \ast } , t ) \, d v \, d v _ { \ast } } \\ & { \phantom { = } + \frac { 1 } { 2 N } \int _ { \mathcal { O } } \int _ { \mathcal { O } } \left\langle \varphi ( v _ { \ast } ^ { \prime } ) - \varphi ( v _ { \ast } ) \right\rangle \mathbf { M } ^ { T } \mathbf { f } ( v , t ) \odot \mathbf { f } ( v _ { \ast } , t ) \, d v \, d v _ { \ast } , } \end{array} } \end{array}
\rho _ { \alpha \beta } ^ { ( 2 ) } ( \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r } _ { 2 } ; \mathbf { r } _ { 1 } ^ { \prime } , \mathbf { r } _ { 2 } ^ { \prime } ) = N _ { \alpha } ( N _ { \beta } - \delta _ { \alpha \beta } ) \frac { \int | \Psi ( \mathbf { R } ) | ^ { 2 } \left[ \frac { \Psi ( \mathbf { r } _ { 1 } ^ { \prime } , \mathbf { r } _ { 2 } ^ { \prime } ) } { \Psi ( \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r } _ { 1 } ) } - \frac { \Psi ( \mathbf { r } _ { 1 } ^ { \prime } , \mathbf { r } _ { 2 } ) } { \Psi ( \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r } _ { 2 } ) } \frac { \Psi ( \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r } _ { 2 } ^ { \prime } ) } { \Psi ( \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r } _ { 2 } ) } \right] d \mathbf { r } _ { 3 } \dots d \mathbf { r } _ { N } } { \int | \Psi ( \mathbf { R } ) | ^ { 2 } d \mathbf { R } } .
\begin{array} { r l } { J _ { 3 } : = } & { \int _ { 1 / 2 + \epsilon - i T } ^ { 1 / 2 + \epsilon + i T } F _ { f } ( s , \ \chi ) \frac { ( x + 1 ) ^ { s } } { s } \ \mathrm { d } s } \\ { = } & { \int _ { 1 / 2 + \epsilon - i T } ^ { 1 / 2 + \epsilon + i T } L ^ { 2 } ( s , \ \chi ) L ^ { 3 } ( s , \ { \mathrm { s y m } ^ { 2 } } f \otimes \chi ) \times } \\ & { \qquad L ( s , \ \mathrm { { s y m } } ^ { 4 } f \otimes \chi ) U ( s ) \frac { ( x + 1 ) ^ { s } } { s } \ \mathrm { d } s } \\ { \ll } & { \int _ { - T } ^ { T } \mid L ^ { 2 } ( \frac { 1 } { 2 } + \epsilon + i t , \ \chi ) L ^ { 3 } ( \frac { 1 } { 2 } + \epsilon + i t , \ { \mathrm { s y m } } ^ { 2 } f \otimes \chi ) \times } \\ & { \qquad L ( \frac { 1 } { 2 } + \epsilon + i t , \ { \mathrm { s y m } } ^ { 4 } f \otimes \chi ) \mid \frac { x ^ { \frac { 1 } { 2 } + \epsilon } } { \mid 1 / 2 + \epsilon + i t \mid } \ \mathrm { d } t } \\ { \ll } & { x ^ { \frac { 1 } { 2 } + \epsilon } + \operatorname* { s u p } _ { 1 \leq T _ { 1 } \leq T } x ^ { \frac { 1 } { 2 } + \epsilon } T _ { 1 } ^ { - 1 } I _ { 1 } ^ { \frac { 1 } { 2 } } I _ { 2 } ^ { \frac { 1 } { 2 } } , } \end{array}
\xi _ { q } ( v . v ^ { \prime } ) = \frac { 1 } { \gamma ^ { 2 } } \int d ^ { 3 } { \vec { r } } ^ { \prime } \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \eta = \uparrow \downarrow } { \left\vert \psi _ { \vec { 0 } } ^ { \eta } ( { \vec { r } } ^ { \prime } ) \right\vert } ^ { 2 } e ^ { 2 i \epsilon _ { q } \beta z ^ { \prime } } \; ,
{ \left( \begin{array} { l } { x ^ { \prime } } \\ { t ^ { \prime } } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { - v } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { x } \\ { t } \end{array} \right) }
( \frac { \partial \pmb { \zeta } _ { 1 } } { \partial x } ) = \frac { \left| \begin{array} { l l l l l l l l } { ~ d \pmb { \zeta } _ { 1 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { d y } & { 0 } & { 0 } & { 0 ~ } \\ { ~ d \pmb { \zeta } _ { 2 } } & { d x } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { d y } & { 0 } & { 0 ~ } \\ { ~ d \pmb { \zeta } _ { 3 } } & { 0 } & { d x } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { d y } & { 0 ~ } \\ { ~ d \pmb { \zeta } _ { 4 } } & { 0 } & { 0 } & { d x } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { d y ~ } \\ { ~ | } & { | } & { | } & { | } & { | } & { | } & { | } & { | ~ } \\ { ~ 0 } & { { \bf A } _ { 2 } } & { { \bf A } _ { 3 } } & { { \bf A } _ { 4 } } & { { \bf B } _ { 1 } } & { { \bf B } _ { 2 } } & { { \bf B } _ { 3 } } & { { \bf B } _ { 4 } ~ } \\ { ~ | } & { | } & { | } & { | } & { | } & { | } & { | } & { | ~ } \end{array} \right| } { | { \bf K } | }
\begin{array} { r l r } { \delta \varphi _ { \mathrm { P M } } ( t ) } & { = } & { \mp p k _ { p } ( \eta ) \delta \theta _ { \mathrm { a c } } \mp \frac { \gamma _ { \mathrm { R b } } } { \Gamma _ { \mathrm { R b } } } \delta B _ { 0 } + \chi _ { p } ^ { ( \pm ) } \frac { \delta \Gamma _ { \mathrm { R b } } } { \Gamma _ { \mathrm { R b } } } , } \end{array}
\int d \tau e ^ { i \omega \tau } \mathcal { T } _ { ( 0 ) } ( t , t ^ { \prime } ) = i \mathrm { ~ T ~ r ~ } \Big \{ \tilde { G } _ { ( 0 ) } ^ { < } \tilde { \Phi } _ { ( 0 ) } ^ { A } + \tilde { G } _ { ( 0 ) } ^ { R } \tilde { \Phi } _ { ( 0 ) } ^ { < } + \tilde { \Psi } _ { ( 0 ) } ^ { < } \tilde { G } _ { ( 0 ) } ^ { A } + \tilde { \Psi } _ { ( 0 ) } ^ { R } \tilde { G } _ { ( 0 ) } ^ { < } \Big \} ,