harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\beta ^ { \mathrm { p u r e - 2 D } } = \frac { 4 } { \tilde { k } _ { i } \tilde { k } _ { f } } \frac { E _ { \mathrm { d d } } } { \hbar } a _ { \mathrm { d d } } ^ { 2 } \left\vert \tilde { L } \int _ { 0 } ^ { \tilde { L } } d \tilde { \rho } \tilde { \phi } _ { f } ( \tilde { \rho } ) \tilde { V } _ { \mathrm { { d d } , 2 } } ( \tilde { \rho } ) \tilde { \phi } _ { 0 } ( \tilde { \rho } ) \right\vert ^ { 2 }
{ \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { U } _ { 1 } } & { \mathbf { U } _ { 2 } } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { { \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf D ^ { \frac { 1 } { 2 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right] } } \\ { 0 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { V } _ { 1 } } & { \mathbf { V } _ { 2 } } \end{array} \right] } ^ { * } = { \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { U } _ { 1 } } & { \mathbf { U } _ { 2 } } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { D } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \mathbf { V } _ { 1 } ^ { * } } \\ { 0 } \end{array} \right] } = \mathbf { U } _ { 1 } \mathbf { D } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \mathbf { V } _ { 1 } ^ { * } = \mathbf { M } ,
\begin{array} { r l r } { d n _ { \pm } / d t } & { { } = } & { J _ { \pm } - g _ { \pm } S ^ { \mp } - ( n _ { \pm } - n _ { \mp } ) / \tau _ { s } - R _ { s p } ^ { \pm } , } \\ { d S ^ { \pm } / d t } & { { } = } & { \Gamma g _ { \mp } S ^ { \pm } - S ^ { \pm } / \tau _ { p h } + \beta \Gamma R _ { s p } ^ { \mp } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left[ \frac { i } { \omega _ { L } } \frac { \partial } { \partial \tau } + \frac { c ^ { 2 } } { 2 \omega _ { L } ^ { 2 } } \Delta _ { \perp } \right] a } & { { } = \frac { \omega _ { p } ^ { 2 } \delta n _ { 0 } ( r ) } { 2 \omega _ { L } ^ { 2 } n _ { 0 } } a \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \Delta } ^ { \mu \nu } ( \mathbf { k } ) } & { = - \frac { 3 \pi \Gamma _ { a } c } { \omega _ { a } } \textrm { R e } \left[ \hat { \boldsymbol { \wp } } ^ { * } \cdot \hat { \mathbf { S } } ^ { \mu \nu } ( \mathbf { k } _ { | | } , \omega _ { a } ) \cdot \hat { \boldsymbol { \wp } } \right] } \\ { \hat { \Gamma } ^ { \mu \nu } ( \mathbf { k } ) } & { = \frac { 6 \pi \Gamma _ { a } c } { \omega _ { a } } \textrm { I m } \left[ \hat { \boldsymbol { \wp } } ^ { * } \cdot \hat { \mathbf { S } } ^ { \mu \nu } ( \mathbf { k } _ { | | } , \omega _ { a } ) \cdot \hat { \boldsymbol { \wp } } \right] . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { \ddot { x } } + \omega _ { 0 } ^ { 2 } \mathbf { x } } & { \approx { \frac { e } { m } } \mathbf { E } } \\ & { \approx \sum _ { \mathbf { k } \lambda } { \sqrt { \frac { 2 \pi \hbar \omega _ { k } } { V } } } \left[ a _ { \mathbf { k } \lambda } ( t ) + a _ { \mathbf { k } \lambda } ^ { \dagger } ( t ) \right] e _ { \mathbf { k } \lambda } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \Delta \nu _ { \mathrm { ~ 1 ~ , ~ B ~ } } ( t ) \simeq } & { { } \rho _ { 2 } ( t ) - \rho _ { 1 } ( t ) + \Delta f _ { \mathrm { ~ d ~ r ~ i ~ f ~ t ~ } } ( t ) + \eta ( t ) } \\ { \Delta \nu _ { \mathrm { ~ 2 ~ , ~ B ~ } } ( t ) \simeq } & { { } \rho _ { 1 } ( t ) - \rho _ { 2 } ( t ) - \Delta f _ { \mathrm { ~ d ~ r ~ i ~ f ~ t ~ } } ( t ) + \eta ( t ) \, . } \end{array}
p _ { c , i k } = \frac { \pi \left( 1 + e _ { i k } \right) d _ { i k } ^ { 3 } g _ { i k } \epsilon _ { i } \rho _ { i } \epsilon _ { k } \rho _ { k } \theta _ { i } \theta _ { k } \left( m _ { i } + m _ { k } \right) } { 3 \left( m _ { i } ^ { 2 } \theta _ { i } + m _ { k } ^ { 2 } \theta _ { k } \right) } \left[ \frac { \left( m _ { i } + m _ { k } \right) ^ { 2 } \theta _ { i } \theta _ { k } } { \left( m _ { i } ^ { 2 } \theta _ { i } + m _ { k } ^ { 2 } \theta _ { k } \right) \left( \theta _ { i } + \theta _ { k } \right) } \right] ^ { 3 / 2 } ,
\begin{array} { r l } { \epsilon ^ { n } \bigg [ \frac { 1 } { 2 } \log { ( n ) } + \frac { \gamma - \log { ( 2 ) } } { 2 } - \frac { 1 } { 4 } \log { ( 1 + Y ) } \bigg ] \frac { \Gamma ( \frac { n } { 2 } - 1 ) } { [ 2 ( 1 + Y ) ] ^ { \frac { n } { 2 } - 1 } } } & { { } \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ n ~ e ~ v ~ e ~ n ~ } , } \\ { \frac { \epsilon ^ { n } } { 2 } \frac { \Gamma ( \frac { n - 1 } { 2 } ) } { [ 2 ( 1 + Y ) ] ^ { \frac { n - 1 } { 2 } } } } & { { } \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ n ~ o ~ d ~ d ~ } , } \end{array}
\begin{array} { r } { f _ { 2 { \nu } , 0 } \left( \chi _ { c } \right) = \frac { { \pi } I } { \left( 2 { \nu } \right) ! } \frac { \partial ^ { 2 { \nu } } } { \partial \chi _ { c } ^ { 2 { \nu } } } \left( \frac { \chi _ { c } } { \sqrt { 1 + \chi _ { c } ^ { 2 } } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \int \mathrm { d } \boldsymbol { v } _ { 3 } \, \biggl ( 1 - \frac { 1 } { \epsilon ( \omega , \boldsymbol { k } ) } \frac { \omega } { \omega - \boldsymbol { k \cdot v } _ { 3 } } \biggr ) f _ { i } ( \boldsymbol { v } _ { 3 } ) = n _ { i } - n _ { i } \frac { \xi ( \omega , \boldsymbol { k } ) } { \epsilon ( \omega , \boldsymbol { k } ) } \, , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } & { 6 4 z ^ { 9 } - 1 2 8 z ^ { 7 } + 6 4 z ^ { 5 } - 7 0 2 x ^ { 2 } y ^ { 2 } z ^ { 3 } - 1 8 x ^ { 2 } y ^ { 2 } z + 1 4 4 ( y ^ { 2 } z ^ { 6 } - x ^ { 2 } z ^ { 6 } ) } \\ & { + 1 6 2 ( y ^ { 4 } z ^ { 2 } - x ^ { 4 } z ^ { 2 } ) + 2 7 ( y ^ { 6 } - x ^ { 6 } ) + 9 ( x ^ { 4 } z + y ^ { 4 } z ) + 4 8 ( x ^ { 2 } z ^ { 3 } + y ^ { 2 } z ^ { 3 } ) } \\ & { - 4 3 2 ( x ^ { 2 } z ^ { 5 } + y ^ { 2 } z ^ { 5 } ) + 8 1 ( x ^ { 4 } y ^ { 2 } - x ^ { 2 } y ^ { 4 } ) + 2 4 0 ( y ^ { 2 } z ^ { 4 } - x ^ { 2 } z ^ { 4 } ) - 1 3 5 ( x ^ { 4 } z ^ { 3 } + y ^ { 4 } z ^ { 3 } ) = 0 . } \end{array} }
a = \left\{ \left\{ \begin{array} { l l } { { { \begin{array} { l c c c c c c c l } { { \sqrt { 3 } } } & { { \Longrightarrow } } & { { \Delta = 4 } } & { { ; } } & { { U = - \frac { 1 } { 4 } \, \log H ( r ) } } & { { ; } } & { { \phi = \mp \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \, \log H } } & { { ; } } & { { \left\{ \left\{ \begin{array} { l l } { { \ell = 2 \, r ^ { 3 } \, \frac { d } { d r } H ^ { - \frac { 1 } { 2 } } } } \\ { { p = - k } } \end{array} \right. \right. } } \\ { { 1 } } & { { \Longrightarrow } } & { { \Delta = 2 } } & { { ; } } & { { U = - \frac { 1 } { 2 } \, \log H ( r ) } } & { { ; } } & { { \phi = \mp \log H } } & { { ; } } & { { \left\{ \left\{ \begin{array} { l l } { { \ell = - 2 \, r ^ { 3 } \, \frac { d } { d r } H ^ { - 1 } } } \\ { { p = - 2 \sqrt { 2 } \, k } } \end{array} \right. \right. } } \\ { { 0 } } & { { \Longrightarrow } } & { { \Delta = 1 } } & { { ; } } & { { U = - \, \log H ( r ) } } & { { ; } } & { { \phi = 0 } } & { { ; } } & { { \left\{ \left\{ \begin{array} { l l } { { \ell = - 2 \, r ^ { 3 } \, \frac { d } { d r } H } } \\ { { p = - 4 \, k } } \end{array} \right. \right. } } \end{array} } } } \end{array} \right. \right.
\begin{array} { r l } & { { \bf { b } } _ { k } ^ { \mathrm { H } } = \sqrt { \left( { 1 + { \rho _ { k } } } \right) } \varpi _ { k } ^ { * } { \bf { \bar { h } } } _ { k } ^ { \mathrm { H } } , ~ ~ { \bf b } = \left[ { { \bf b } _ { 1 } ^ { \mathrm { T } } } , { { \bf b } _ { 2 } ^ { \mathrm { T } } } , \cdots , { { \bf b } _ { N } ^ { \mathrm { T } } } \right] ^ { \mathrm { T } } , } \\ & { { \bf { A } } \! = \! { { \bf { I } } _ { K } } \! \otimes \! \sum _ { k = 1 } ^ { K } { { \left| { { \varpi _ { k } } } \right| ^ { 2 } } { { \bf { \bar { h } } } _ { k } } { \bf { \bar { h } } } _ { k } ^ { \mathrm { H } } } , ~ { \bf { \Xi } } \! = \! { { \bf { I } } _ { K } } \otimes \left( { { { \bf { G } } ^ { \mathrm { H } } } { { \bf { \Psi } } ^ { \mathrm { H } } } { \bf { \Psi G } } } \right) , } \\ & { P _ { \mathrm { m } } ^ { \operatorname* { m a x } } = P _ { { \mathrm { A } } } ^ { { \operatorname* { m a x } } } - { \left\| { { { \bf { \Psi } } } } \right\| _ { \mathrm { F } } ^ { 2 } } \sigma _ { v } ^ { 2 } . } \end{array}
F _ { T F N } ( T _ { 0 } , T _ { b a t h } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \left( T _ { b a t h } / T _ { 0 } \right) ^ { n + 1 } + 1 } { 2 } } & { \mathrm { b a l l i s t i c \ p h o n o n s } } \\ { \frac { n } { 2 n + 1 } \frac { \left( T _ { b a t h } / T _ { 0 } \right) ^ { 2 n + 1 } - 1 } { \left( T _ { b a t h } / T _ { 0 } \right) ^ { n } - 1 } } & { \mathrm { d i f f u s e \ p h o n o n s } } \end{array} \right. ,
\mathbf { A } \mathbf { P } = \mathbf { A } { \left[ \begin{array} { l l l } { | } & & { | } \\ { \mathbf { v } _ { 1 } } & { \cdots } & { \mathbf { v } _ { n } } \\ { | } & & { | } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l l } { | } & & { | } \\ { A \mathbf { v } _ { 1 } } & { \cdots } & { A \mathbf { v } _ { n } } \\ { | } & & { | } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l l } { | } & & { | } \\ { \lambda _ { 1 } B \mathbf { v } _ { 1 } } & { \cdots } & { \lambda _ { n } B \mathbf { v } _ { n } } \\ { | } & & { | } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l l } { | } & & { | } \\ { B \mathbf { v } _ { 1 } } & { \cdots } & { B \mathbf { v } _ { n } } \\ { | } & & { | } \end{array} \right] } \mathbf { D } = \mathbf { B } \mathbf { P } \mathbf { D }
\begin{array} { r l r } { \hat { \mathbf { u } } } & { = \mathbf { u } _ { i n } \; } & { o n \; \Gamma _ { 1 } ^ { f } , } \\ { J \left( \nu _ { f } \hat { \nabla } \hat { \mathbf { u } } \mathbf { F } ^ { - 1 } - \hat { p } I \right) \mathbf { F } ^ { - T } \cdot \hat { \mathbf { n } } _ { f } } & { = \mathbf { 0 } \; } & { o n \; \Gamma _ { 2 } ^ { f } , } \\ { \hat { \mathbf { u } } } & { = \mathbf { 0 } \; } & { o n \; \Gamma _ { 3 } ^ { f } , } \\ { \mathbf { d } _ { s } } & { = \mathbf { 0 } \; } & { o n \; \Gamma _ { 1 } ^ { s } , } \\ { J \hat { \sigma } _ { f } \mathbf { F } ^ { - T } \cdot \hat { \mathbf { n } } _ { f } } & { = \boldsymbol { \sigma } _ { s } \cdot \mathbf { n } _ { s } \; } & { o n \; \hat { \Omega } \cap \cal S , } \\ { \hat { \mathbf { u } } } & { = \partial _ { t } \mathbf { d } _ { s } \; } & { o n \; \hat { \Omega } \cap \cal S . } \end{array}
\mathcal { L } ( \partial _ { \mu } \partial _ { \nu } \phi , x _ { \mu } ) = \frac 1 2 \left( \rho \partial _ { i } \dot { \phi } \partial _ { i } \dot { \phi } - c _ { i j k l } \partial _ { i } \partial _ { j } \phi \partial _ { k } \partial _ { l } \phi \right) ,
\widetilde { \mathcal { P } } _ { \mathrm { i n t } } = \left[ \begin{array} { c c } { I _ { s } \otimes M + \tau \Sigma \otimes K } & { 0 } \\ { \tau \Sigma \otimes B } & { - \tau ^ { 2 } \left( ( \Sigma V ^ { \top } ) \otimes I _ { n _ { p } } \right) \widetilde { S } _ { \mathrm { i n t } } \left( ( U \Sigma ) \otimes I _ { n _ { p } } \right) } \end{array} \right] .
\lambda H _ { \phi } \tilde { \eta } = \tilde { u } _ { \phi } ^ { ( 1 ) } - i \alpha U _ { z } ^ { ( 1 ) } ( \phi = \pi ) H _ { \phi } \tilde { \eta } = \tilde { u } _ { \phi } ^ { ( 2 ) } - i \alpha U _ { z } ^ { ( 2 ) } ( \phi = \pi ) H _ { \phi } \tilde { \eta } .
\xi \frac { \partial W } { \partial \xi } | _ { J = J _ { p h y } , \chi = { \overline { { { \chi } } } } = 0 } = < < - \frac { i } { 2 } \int d ^ { 4 } x \, [ { \mathcal { E } } _ { F } ^ { - 2 } \, \partial . A ^ { a } ( x ) ] \eta ^ { a } ( x )
\begin{array} { r l } & { d _ { 0 } = 1 , \quad d _ { 1 } = - \frac { 1 } { 3 } , \quad d _ { 2 } = - \frac { 1 } { 6 } } \\ & { D ^ { ( n ) } = \frac { n _ { y } } { 2 \pi } \left( - \frac { 1 } { 3 } \cos \left( \frac { 2 \pi } { n _ { y } } 2 n \right) - \frac { 2 } { 3 } \cos \left( \frac { 2 \pi } { n _ { y } } n \right) + 1 \right) } \end{array}
\hat { \mathbf { F } } _ { v } = J ^ { - 1 } \left\{ \begin{array} { c } { 0 } \\ { \eta _ { x } { \tau } _ { x x } + \eta _ { y } { \tau } _ { x y } + \eta _ { z } { \tau } _ { x z } } \\ { \eta _ { x } { \tau } _ { x y } + \eta _ { y } { \tau } _ { y y } + \eta _ { z } { \tau } _ { y z } } \\ { \eta _ { x } { \tau } _ { x z } + \eta _ { y } { \tau } _ { y z } + \eta _ { z } { \tau } _ { z z } } \\ { \eta _ { x } { \beta } _ { x } + \eta _ { y } { \beta } _ { y } + \eta _ { z } { \beta } _ { z } } \end{array} \right\} \, \mathrm { ~ , ~ }
\begin{array} { r l } { | \mathfrak { q } _ { M _ { 2 } , 1 } | _ { 0 , s , \eta _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } } & { \le _ { \mathtt { p e } , s , \eta _ { 0 } } \varepsilon ( 1 + \rVert \mathfrak { I } _ { \delta } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } ) , } \\ { \rVert d _ { i } \mathfrak { q } _ { M _ { 2 } , 1 } ( i _ { 0 } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] \rVert _ { 0 , s , \eta _ { 0 } } } & { \le _ { \mathtt { p e } , s , \eta _ { 0 } } \varepsilon ^ { 3 } \gamma ^ { - 1 } \left( \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } + \rVert \mathfrak { I } _ { \delta } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { 0 } } \right) . } \end{array}
V ( \Phi , \Phi _ { 3 } ) = { \frac { \lambda } { 4 } } ( \Phi ^ { \dagger } \Phi + \Phi _ { 3 } ^ { 2 } - \eta ^ { 2 } ) ^ { 2 } + { \frac { k ^ { 2 } } { 8 } } ( \Phi _ { 3 } - \eta ) ^ { 4 }
A _ { T o t a l } ^ { A b e l i a n } = 1 6 \frac { G _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 \alpha ^ { ' } } [ \frac { K } { s t } c o s ( \frac { p _ { 1 } \theta p _ { 2 } - p _ { 3 } \theta p _ { 4 } } { 2 } ) + \frac { K } { s u } c o s ( \frac { p _ { 1 } \theta p _ { 2 } + p _ { 3 } \theta p _ { 4 } } { 2 } ) + \frac { K } { u t } c o s ( \frac { p _ { 1 } \theta p _ { 4 } + p _ { 2 } \theta p _ { 3 } } { 2 } ) ]
I ( m ^ { 2 } ) = \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \, x ( 1 - x ) \int { \frac { d ^ { \, 4 } p / ( 2 \pi ) ^ { 4 } } { [ p ^ { 2 } - m ^ { 2 } + q ^ { 2 } x ( 1 - x ) ] ^ { 2 } } }
\begin{array} { r l r } { \left[ \langle Q _ { i } ^ { 4 } \rangle _ { 0 } \right] } & { = } & { \left[ \frac { 6 n _ { i } ^ { 2 } + 6 n _ { i } + 3 } { 4 \omega _ { i } ^ { 2 } } \right] } \\ & { = } & { \frac { 1 } { 4 \omega _ { i } ^ { 2 } } \left( 6 \left[ n _ { i } ^ { 2 } \right] + 6 \Big [ n _ { i } \Big ] + 3 \right) } \\ & { = } & { \frac { 3 ( f _ { i } + 1 / 2 ) ^ { 2 } } { \omega _ { i } ^ { 2 } } , } \end{array}
\ell _ { I } = \frac { \int k ^ { - 1 } \widehat { E } _ { u } ( k ) d k } { \int \widehat { E } _ { u } ( k ) d k } , \quad \ell _ { T } = \left( \frac { \int \widehat { E } _ { u } ( k ) d k } { \int k ^ { 2 } \widehat { E } _ { u } ( k ) d k } \right) ^ { 1 / 2 } , \quad \ell _ { K } = \varepsilon _ { u } ^ { - 1 / 4 } , \quad \ell _ { I } ^ { \vartheta } = \frac { \int k ^ { - 1 } \widehat { E } _ { \vartheta } ( k ) d k } { \int \widehat { E } _ { \vartheta } ( k ) d k }
\xi = W ^ { \frac { 1 } { 2 } } ~ \psi = e x p ( \frac { 2 i } { F _ { \pi } } ~ \gamma _ { 5 } \mathrm { \boldmath ~ \ t a u ~ } \cdot \mathrm { \boldmath ~ \ p h i ~ } + \frac { g _ { \omega } } { 2 M _ { \omega } ^ { 2 } } ~ \sigma _ { \alpha \beta } \omega ^ { \alpha \beta } + \frac { g _ { \rho } } { 2 M _ { \rho } ^ { 2 } } ~ \sigma _ { \alpha \beta } \mathrm { \boldmath ~ \ t a u ~ } \cdot \mathrm { \boldmath ~ \ r h o ~ } ^ { \alpha \beta } ) ~ \psi
U _ { { } } ( 2 \pi \lambda ) _ { < } = \exp - 2 \pi i \int _ { - \infty } ^ { x _ { 1 } } j _ { 0 } ( x _ { 0 } , y _ { 1 } ) d y _ { 1 } = \exp - 2 \sqrt { \pi } i \lambda \phi ( x )
D _ { 2 } = D _ { d } ^ { \pi ^ { + } } = D _ { \bar { u } } ^ { \pi ^ { + } } = D _ { u } ^ { \pi ^ { - } } = D _ { \bar { d } } ^ { \pi ^ { - } } \ \ \ \ \ ( \mathrm { U n f a v o u r e d ~ F F ) }
\mathbf { J } _ { + , \ensuremath { \mathrm { s s } } } ^ { 0 } = - \left( \Omega _ { + + } ^ { 0 } - \left( \Omega _ { + - } ^ { 0 } \right) ^ { 2 } / \Omega _ { -- } ^ { 0 } \right) \nabla \tilde { \mu } _ { + , \ensuremath { \mathrm { s s } } }
P = \frac { { \frac { d \sigma } { d \Omega } } ^ { \uparrow } - { \frac { d \sigma } { d \Omega } } ^ { \downarrow } } { { \frac { d \sigma } { d \Omega } } ^ { \uparrow } + { \frac { d \sigma } { d \Omega } } ^ { \downarrow } }
\begin{array} { r l } & { \sum _ { u , v } ( m _ { 3 } ) _ { u , v } ^ { r + u , s + v ; p , q } = \sum _ { \bar { j } , \bar { m } } \sum _ { i } \frac { ( - 1 ) ^ { 2 j _ { 1 } + 2 j _ { 2 } + 2 \bar { j } - i + 1 } N ( j _ { 1 } , m _ { 1 } ) N ( j _ { 2 } , m _ { 2 } ) } { N ( j _ { 1 } + j _ { 2 } - 1 , m _ { 1 } + m _ { 2 } ) } \left\{ \begin{array} { l l l } { j _ { 1 } - \frac { 1 } { 2 } } & { \bar { j } + \frac { 1 } { 2 } } & { j _ { 1 } + \bar { j } - i } \\ { j _ { 1 } + j _ { 2 } - 1 } & { j _ { 2 } + \bar { j } } & { j _ { 1 } + j _ { 2 } + \bar { j } - \frac { 1 } { 2 } } \end{array} \right\} } \\ & { \sqrt { \frac { ( 2 j _ { 2 } + 2 \bar { j } + 1 ) ( 2 j _ { 1 } ) ( 2 j _ { 1 } + 1 ) ( 2 j _ { 1 } + 2 \bar { j } - 2 i + 1 ) ( 2 \bar { j } + 1 ) } { ( 2 j _ { 1 } - i ) ( 2 \bar { j } - i + 1 ) } } C _ { m _ { 2 } - \bar { m } , \bar { m } ; m _ { 2 } } ^ { j _ { 2 } + \bar { j } , \bar { j } ; j _ { 2 } } C _ { m _ { 1 } , \bar { m } ; m _ { 1 } + \bar { m } } ^ { j _ { 1 } , \bar { j } ; j _ { 1 } + \bar { j } - i } C _ { m _ { 1 } + \bar { m } , m _ { 2 } - \bar { m } ; m _ { 1 } + m _ { 2 } } ^ { j _ { 1 } + \bar { j } - i , j _ { 2 } + \bar { j } ; j _ { 1 } + j _ { 2 } - 1 } } \\ & { = \sum _ { \bar { j } } \sum _ { i } \frac { ( - 1 ) ^ { 2 \bar { j } - i + 1 } N ( j _ { 1 } , m _ { 1 } ) N ( j _ { 2 } , m _ { 2 } ) } { N ( j _ { 1 } + j _ { 2 } - 1 , m _ { 1 } + m _ { 2 } ) } \sqrt { \frac { ( 2 j _ { 2 } + 2 \bar { j } + 1 ) ( 2 j _ { 1 } ) ( 2 j _ { 1 } + 1 ) ( 2 j _ { 2 } + 1 ) ( 2 \bar { j } + 1 ) } { ( 2 j _ { 1 } - i ) ( 2 \bar { j } - i + 1 ) } } C _ { m _ { 1 } , m _ { 2 } ; m _ { 1 } + m _ { 2 } } ^ { j _ { 1 } , j _ { 2 } ; j _ { 1 } + j _ { 2 } - 1 } } \\ & { ( 2 j _ { 1 } + 2 \bar { j } - 2 i + 1 ) \left\{ \begin{array} { l l l } { j _ { 1 } - \frac { 1 } { 2 } } & { \bar { j } + \frac { 1 } { 2 } } & { j _ { 1 } + \bar { j } - i } \\ { j _ { 1 } + j _ { 2 } - 1 } & { j _ { 2 } + \bar { j } } & { j _ { 1 } + j _ { 2 } + \bar { j } - \frac { 1 } { 2 } } \end{array} \right\} \left\{ \begin{array} { l l l } { \bar { j } } & { j _ { 2 } + \bar { j } } & { j _ { 2 } } \\ { j _ { 1 } + j _ { 2 } - 1 } & { j _ { 1 } } & { j _ { 1 } + \bar { j } - i } \end{array} \right\} . } \end{array}
F _ { \mu _ { 0 } ^ { b } \cdots \mu _ { d } ^ { b } } ^ { ( \cal M ) } = \mp \sqrt { \sigma } e ^ { \frac { 1 } { 2 } \alpha \phi } E _ { \mu _ { 0 } ^ { b } \cdots \mu _ { d } ^ { b } \alpha } ^ { b } g ^ { \alpha \beta } \partial _ { \beta } \ln U _ { b } ,
V _ { 0 } = \textstyle { \left[ - { \frac { 1 } { 2 } } \left( - { \frac { 1 } { 2 } } - { \frac { 1 } { 2 } } - { \frac { 1 } { 2 } } \right) ^ { 3 } | | - { \frac { 1 } { 2 } } \left( - { \frac { 1 } { 2 } } - { \frac { 1 } { 2 } } - { \frac { 1 } { 2 } } \right) ^ { 3 } \right] } ~ .
\frac { \langle \theta | \bar { \psi } ( x ) \psi ( x ) | \theta \rangle } { \langle \theta | \theta \rangle } = \frac { 1 } { \langle \theta | \theta \rangle } \Bigl [ \langle \theta | \psi _ { 1 } ^ { + } ( x ) \psi _ { 2 } ( x ) | \theta \rangle + \langle \theta | \psi _ { 2 } ^ { + } ( x ) \psi _ { 1 } ( x ) | \theta \rangle \Bigr ] \ .
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { \infty } \left( q c _ { 1 } ^ { + } + Q c _ { 2 } ^ { + } \right) J _ { 1 } ( q r ) \, \mathrm { d } q } & { = - G _ { r } ^ { \infty } ( r , z = 0 ) \, , } \\ { \int _ { 0 } ^ { \infty } q \left( c _ { 1 } ^ { + } + c _ { 2 } ^ { + } \right) J _ { 0 } ( q r ) \, \mathrm { d } q } & { = - G _ { z } ^ { \infty } ( r , z = 0 ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { \sqrt { | j _ { k } | ( \zeta _ { k } + \varepsilon ^ { 2 ( b - 1 ) } ( y _ { \delta } ( \varphi ) ) _ { k } ) } e ^ { \mathrm { i } ( \theta _ { 0 } ( \varphi ) _ { k } + j _ { k } x ) } = \underbrace { \sqrt { | j _ { k } | \zeta _ { k } } e ^ { \mathrm { i } ( \varphi \cdot \mathtt { l } ( j _ { k } ) + j _ { k } x ) } } _ { = : \overline { { v } } _ { j _ { k } } ( \varphi , x ) } + O ( | \mathfrak { I } _ { \delta } | ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { \left( \varphi _ { 2 } ( z ) ^ { { \beta } } \right) _ { + } = \left( \varphi _ { 2 } ( z ) ^ { { \beta } } \right) _ { - } e ^ { 2 \pi i { \beta } } , \quad } & { z } & { \in ( z _ { 1 , + } , z _ { 2 , + } ) , } \\ & { \left( \varphi _ { 2 } ( z ) ^ { { \beta } } \right) _ { + } = \left( \varphi _ { 2 } ( z ) ^ { { \beta } } \right) _ { - } , \quad } & { z } & { \in ( z _ { 2 , - } , z _ { 1 , + } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { 0 0 c d } } & { = \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] , E _ { 1 1 c d } = \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right] , } \\ { E _ { 0 1 c d } } & { = E _ { 1 0 c d } = \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\vert A _ { i } ^ { t , \mathrm { S A F F E - D } } - A _ { i } ^ { t , \mathrm { o r a c l e } } \right\vert \leq \left\{ \begin{array} { l l } { 2 N \sqrt { \frac { ( T - t ) } { { \xi } } } \operatorname { s t d } ( X _ { i } ^ { t } ) } & { \mathrm { i f ~ } B ^ { t } \leq \sum _ { i = 1 } ^ { N } \overline { { Y } } _ { i } ^ { t } , } \\ { 4 \sqrt { \frac { ( T - t ) } { { \xi } } } \operatorname { s t d } ( X _ { i } ^ { t } ) } & { \mathrm { i f ~ } B ^ { t } \geq \sum _ { i = 1 } ^ { N } \overline { { Y } } _ { i } ^ { t } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { J ^ { 4 } C _ { i ^ { \prime } j ^ { \prime } k ^ { \prime } l ^ { \prime } , j ^ { \prime } } ( A _ { k ^ { \prime } , l ^ { \prime } } ^ { \prime } + \mathrm { i } k _ { l ^ { \prime } } ^ { \prime } A _ { k ^ { \prime } } ^ { \prime } ) + J ^ { 4 } C _ { i ^ { \prime } j ^ { \prime } k ^ { \prime } l ^ { \prime } } ( A _ { k ^ { \prime } , l ^ { \prime } j ^ { \prime } } ^ { \prime } + \mathrm { i } k _ { j ^ { \prime } } ^ { \prime } A _ { k ^ { \prime } , l ^ { \prime } } ^ { \prime } + \mathrm { i } k _ { l ^ { \prime } } ^ { \prime } A _ { k ^ { \prime } , j ^ { \prime } } ^ { \prime } - } & { A _ { k ^ { \prime } } ^ { \prime } k _ { j ^ { \prime } } ^ { \prime } k _ { l ^ { \prime } } ^ { \prime } ) } \\ & { + J ^ { 2 } \rho \omega ^ { 2 } A _ { i ^ { \prime } } ^ { \prime } = 0 , } \end{array}
v _ { 2 } = { \frac { \int _ { Q _ { s } } ^ { \infty } k \, d k \, v _ { 2 } ( k ) \frac { d N } { d ^ { 2 } k } } { \int _ { Q _ { s } } ^ { \infty } d ^ { 2 } k \, \frac { d N } { d ^ { 2 } k } } } \propto \frac { 1 } { Q _ { s } ^ { 2 } } \left( \frac { 1 } { R _ { x } ^ { 2 } } - \frac { 1 } { R _ { y } ^ { 2 } } \right) \, .
\begin{array} { r } { \frac { d \rho } { d t } = - \Gamma \sum _ { n = 1 } ^ { 2 } \left[ \left( S _ { n } ^ { z } \right) ^ { 2 } \rho - 2 S _ { n } ^ { z } \rho S _ { n } ^ { z } + \rho \left( S _ { n } ^ { z } \right) ^ { 2 } \right] , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { \hat { e } } _ { i } } & { = { \frac { \Delta \mathbf { r } _ { i } } { \Delta r _ { i } } } , \quad \mathbf { \hat { k } } = { \frac { \boldsymbol { \omega } } { \omega } } , \quad \mathbf { \hat { t } } _ { i } = \mathbf { \hat { k } } \times \mathbf { \hat { e } } _ { i } , } \\ { \mathbf { v } _ { i } } & { = { \boldsymbol { \omega } } \times \Delta \mathbf { r } _ { i } + \mathbf { V } = \omega \mathbf { \hat { k } } \times \Delta r _ { i } \mathbf { \hat { e } } _ { i } + \mathbf { V } = \omega \, \Delta r _ { i } \mathbf { \hat { t } } _ { i } + \mathbf { V } } \end{array} }
R \, \dot { z } _ { \mu } \, T ^ { \mu \nu } \, n _ { \nu } = - \epsilon \, \epsilon _ { 1 } \, ( \ddot { z } ^ { \alpha } \ddot { z } _ { \alpha } + \epsilon a ^ { 2 } ) \, \mathrm { T r } \, ( \beta - \sigma _ { , a } ) ^ { 2 } + O ( 1 / R ) \; .
\begin{array} { r l } { \phi } & { = \frac { 1 } { 4 } \int _ { - 1 } ^ { \frac { e ^ { 4 k } - \frac { \mathcal { E } } { 2 } } { \sqrt { \frac { \mathcal { E } ^ { 2 } } { 4 } - 1 } } } \frac { 1 } { \sqrt { 1 - u ^ { 2 } } } d u = \frac { 1 } { 4 } \left( \arcsin \left( { \frac { e ^ { 4 k } - \frac { \mathcal { E } } { 2 } } { \sqrt { \frac { \mathcal { E } ^ { 2 } } { 4 } - 1 } } } \right) + \frac { \pi } { 2 } \right) } \\ & { = \frac { 1 } { 4 } \arcsin \left( { \frac { e ^ { 4 k } - \frac { \mathcal { E } } { 2 } } { \sqrt { \frac { \mathcal { E } ^ { 2 } } { 4 } - 1 } } } \right) + \frac { \pi } { 8 } \in \left[ 0 , \frac { \pi } { 4 } \right] . } \end{array}