harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \prod _ { j = 1 } ^ { K _ { n } } \gamma _ { j } ^ { \delta _ { j , n } } = \prod _ { j = 1 } ^ { K _ { n } } e ^ { t \tilde { \psi } _ { j } \delta _ { j , n } / \sqrt { n \alpha _ { n } } } = e ^ { t \sum _ { j = 1 } ^ { K _ { n } } \tilde { \psi } _ { j } \delta _ { j , n } / \sqrt { n \alpha _ { n } } } } \\ & { e ^ { - \frac { | t | } { \sqrt { n \alpha _ { n } } } \| \tilde { \psi } \| _ { \infty } \sum _ { j = 1 } ^ { K _ { n } } \delta _ { j , n } } \leq \prod _ { j = 1 } ^ { K _ { n } } \gamma _ { j } ^ { \delta _ { j , n } } \leq e ^ { \frac { | t | } { \sqrt { n \alpha _ { n } } } \| \tilde { \psi } \| _ { \infty } \sum _ { j = 1 } ^ { K _ { n } } \delta _ { j , n } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta _ { 1 } ^ { c } } & { = 6 ( \lambda _ { 1 } ^ { 2 } \delta _ { 1 } + 2 \lambda _ { 1 } H \delta _ { 1 } + 6 \lambda _ { 1 } \delta _ { 1 } ^ { 2 } + 4 \lambda _ { 1 } \delta _ { 1 , 1 } + H ^ { 2 } \delta _ { 1 } + 6 H \delta _ { 1 } ^ { 2 } - } \\ & { - 4 H \delta _ { 1 , 1 } + 9 \delta _ { 1 } ^ { 3 } - 8 \delta _ { 1 } \delta _ { 1 , 1 } + 1 2 \delta _ { 1 , 1 , 1 } ) } \end{array}
\alpha _ { s } ( p ^ { 2 } ) ~ = ~ { \frac { 1 } { b _ { 0 } \ \log ( \frac { p ^ { 2 } } { \Lambda ^ { 2 } } ) } } + { \frac { \Lambda ^ { 2 } } { b _ { 0 } ( \Lambda ^ { 2 } - p ^ { 2 } ) } } + \eta \ { \frac { \Lambda ^ { 2 } } { p ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r l } & { H _ { \tilde { X } } = T _ { 0 } + B ( N ^ { 2 } - \ell ^ { 2 } ) + \gamma \left( N \cdot S - T _ { q = 0 } ^ { 1 } ( N ) T _ { q = 0 } ^ { 1 } ( S ) \right) } \\ & { + \gamma _ { G } T _ { q = 0 } ^ { 1 } ( N ) T _ { q = 0 } ^ { 1 } ( S ) + \sum _ { q = \pm 1 } e ^ { - 2 i q \phi } \left( p _ { G } T _ { 2 q } ^ { 2 } ( N , S ) - q _ { G } T _ { 2 q } ^ { 2 } ( N , N ) \right) } \end{array}
\hat { G } _ { w } ^ { ( P ) } ( x , z , \omega _ { P } ) = \frac { 1 } { \pi \rho c _ { T } ^ { 2 } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { \sin ( \kappa _ { P } \ell _ { s } / 2 ) } { \kappa _ { P } } \frac { 2 \kappa _ { P } ^ { 2 } \beta _ { L } \mathrm { e } ^ { \beta _ { T } z } - \beta _ { L } ( 2 \kappa _ { P } ^ { 2 } - \frac { \omega _ { P } ^ { 2 } } { c _ { T } ^ { 2 } } ) \mathrm { e } ^ { \beta _ { L } z } } { 4 \kappa _ { P } ^ { 2 } \beta _ { L } \beta _ { T } - \left( 2 \kappa _ { P } ^ { 2 } - \frac { \omega _ { P } ^ { 2 } } { c _ { T } ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \kappa _ { P } x } \, \mathrm { d } \kappa _ { P } ,
\begin{array} { r l } & { \left| \int _ { \mathbb { Q } } \langle \Phi , \nu _ { x } \rangle + \lambda ^ { a } ( x ) \langle \Phi ^ { \infty } , \nu _ { x } ^ { \infty } \rangle - \mathcal { L } ^ { n } ( \mathbb { Q } ) \Big ( \langle \Phi , \nu _ { x _ { \mathbb { Q } } } \rangle + \lambda ^ { a } ( x _ { \mathbb { Q } } ) \langle \Phi ^ { \infty } , \nu _ { x _ { \mathbb { Q } } } ^ { \infty } \rangle \Big ) \right| } \\ { \leq } & { \frac { \omega ( t ) } { s } \mathcal { L } ^ { n } ( \mathbb { Q } ) + \frac { 1 - s } { s } \int _ { \mathbb { Q } } | \langle \Phi , \nu _ { x } \rangle + \lambda ^ { a } ( x ) \langle \Phi ^ { \infty } , \nu _ { x } ^ { \infty } \rangle | d x + \int _ { \mathbb { Q } \setminus C ^ { a } } | \langle \Phi , \nu _ { x } \rangle + \lambda ^ { a } ( x ) \langle \Phi ^ { \infty } , \nu _ { x } ^ { \infty } \rangle | d x . } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { \mathbf { W } } } & { ( 1 , \mathbf { w } ) } \\ & { = \sum _ { \mu , \nu } \phi _ { \mu } ^ { * } \phi _ { \nu } \, \langle 0 | \hat { a } _ { \mu } \prod _ { l = 1 } ^ { M } \delta \bigl ( \hat { W } _ { l } - w _ { l } \bigr ) \hat { a } _ { \nu } ^ { \dagger } | 0 \rangle } \\ & { = \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { M } } \int _ { \mathbb { R } } \mathrm { d } \alpha _ { 1 } \cdots \int _ { \mathbb { R } } \mathrm { d } \alpha _ { M } \Biggl [ \exp \left\{ - \sum _ { l = 1 } ^ { M } \left[ \frac { 1 } { 4 } \alpha _ { l } ^ { 2 } \bigl ( f _ { l } , f _ { l } \bigr ) + i \alpha _ { l } w _ { l } \right] \right\} \underbrace { \sum _ { \mu , \nu } \phi _ { \mu } ^ { * } \phi _ { \nu } \bigl ( \delta _ { \mu \nu } - \varphi _ { \mu } \varphi _ { \nu } ^ { * } \bigr ) } _ { = \, ( \phi , \phi ) - | ( \phi , \varphi ) | ^ { 2 } } \Biggr ] } \\ & { = \underbrace { \bigl ( \phi , \phi \bigr ) } _ { = \; 1 } p _ { \mathbf { W } } ( 0 , \mathbf { w } ) } \\ & { \phantom { = . } - \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { M } } \int _ { \mathbb { R } } \mathrm { d } \alpha _ { 1 } \cdots \int _ { \mathbb { R } } \mathrm { d } \alpha _ { M } \, | ( \phi , \varphi ) | ^ { 2 } \exp \left\{ - \sum _ { l = 1 } ^ { M } \left[ \frac { 1 } { 4 } \alpha _ { l } ^ { 2 } \bigl ( f _ { l } , f _ { l } \bigr ) + i \alpha _ { l } w _ { l } \right] \right\} , } \end{array}
\sum _ { x _ { n } } { M _ { R } } _ { x _ { n } } ^ { \alpha _ { n - 1 } } \left( { M _ { R } } _ { x _ { n } } ^ { \alpha _ { n - 1 } } \right) ^ { * } = \sum _ { x _ { n } } M _ { x _ { n } } ^ { \alpha _ { n - 1 } \alpha _ { n } } \left( M _ { x _ { n } } ^ { \alpha _ { n - 1 } ^ { \prime } \alpha _ { n } ^ { \prime } } \right) ^ { * } = \delta _ { \alpha _ { n - 1 } , \alpha _ { n - 1 } ^ { \prime } } ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } ( J = \infty \mid { \mathcal A } _ { \mathrm { p o i } } ) } & { \le \mathbb { P } ( \forall i \le n ^ { \prime } / k : { \mathcal H } _ { i , 1 } \mathrm { ~ n o t ~ c o n n e c t e d } \mid { \mathcal A } _ { \mathrm { p o i } } ) \le p _ { 1 } ^ { n / ( 2 k ) } } \\ & { \le \exp \big ( - p c _ { d } \beta 2 ^ { - d - 4 } ( n / k ) w _ { \mathrm { h h } } ^ { 2 + \sigma - \tau } \big ) \big ) } \\ & { \le \exp \big ( - ( p c _ { d } \beta 2 ^ { - d - 4 } ) C _ { 1 } ^ { - ( 2 + \sigma - \tau ) ( \tau - 1 ) } ( n / k ) k ^ { \gamma _ { \mathrm { h h } } ( 2 + \sigma - \tau ) } \big ) . } \end{array}
\tau _ { i } ^ { \mathrm { e f f } } = \frac { \tau _ { i } } { 2 } + \frac { \sqrt { ( \tau _ { i } \rho \Delta x / \Delta t ) ^ { 2 } + 1 8 \sqrt { 2 } C _ { \mathrm { s m a g } } Q ^ { 1 / 2 } } } { 2 \rho c } .
\begin{array} { r l r } { \theta ( t _ { 0 } ) } & { = } & { \theta ( t ) - \mathrm { s i n } \Delta ( t ) \Bigg [ \Gamma T _ { D u r , 0 } - { \frac { \Gamma ^ { 2 } R ^ { 2 } } { v _ { 0 } ^ { 2 } } } \mathrm { c o s } ^ { 2 } \phi \Bigg ] + O ( S c ^ { 3 } ) } \\ { \theta _ { 2 } ( t _ { 0 } ) } & { = } & { \theta _ { 2 } ( t ) + \mathrm { s i n } \Delta ( t ) \Bigg [ \Gamma T _ { D u r , 0 } - { \frac { \Gamma ^ { 2 } R ^ { 2 } } { v _ { 0 } ^ { 2 } } } \mathrm { c o s } ^ { 2 } \phi \Bigg ] + O ( S c ^ { 3 } ) } \end{array}
\left( \hat { \Gamma } _ { 0 } \hat { \Gamma } _ { i } \hat { \Gamma } _ { j } \right) ^ { \dagger } = \hat { \Gamma } _ { j } ^ { \dagger } \hat { \Gamma } _ { i } ^ { \dagger } \hat { \Gamma } _ { 0 } ^ { \dagger } = \hat { \Gamma } _ { j } \hat { \Gamma } _ { i } ( - \hat { \Gamma } _ { 0 } ) = \hat { \Gamma } _ { 0 } \hat { \Gamma } _ { i } \hat { \Gamma } _ { j }
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { k } \mathbb { E } ( \mathbb { X } _ { s , t } ^ { k ; i , j } ) ^ { 2 } = \operatorname* { s u p } _ { k } { \left\lVert { \mathbb { X } _ { s , t } ^ { k ; i , j } } \right\rVert } _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) \otimes L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } } & { = \operatorname* { s u p } _ { k } { \left\lVert { P _ { L _ { k } ^ { 2 } \otimes L _ { k } ^ { 2 } } ( \mathbb { X } _ { s , t } ^ { i , j } ) } \right\rVert } _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) \otimes L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } } \\ & { \leq { \left\lVert { \mathbb { X } _ { s , t } ^ { i , j } } \right\rVert } _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) \otimes L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } = \mathbb { E } ( \mathbb { X } _ { s , t } ^ { i , j } ) ^ { 2 } . } \end{array}
\left( \gamma + a ^ { 2 } - \frac { d ^ { 2 } } { d x _ { 3 } ^ { 2 } } \right) \hat { n } + U _ { s } \frac { d } { d x _ { 3 } } \left( T _ { b } \hat { n } + n _ { b } \frac { d T _ { b } } { d \mathcal { G } } G \right) - i \frac { U _ { s } n _ { b } T _ { b } } { q _ { b } } ( a _ { 1 } \hat { q } _ { 1 } + a _ { 2 } \hat { q } _ { 2 } ) = - \frac { d n _ { b } } { d x _ { 3 } } \hat { w } ,
\left\{ \begin{array} { l l } { C _ { 1 } \frac { d V _ { C _ { 1 } } } { d t } = \frac { V _ { C _ { 2 } } - V _ { C _ { 1 } } } { R } - f ( V _ { C _ { 1 } } ) } \\ { C _ { 2 } \frac { d V _ { C _ { 2 } } } { d t } = \frac { V _ { C _ { 1 } } - V _ { C _ { 2 } } } { R } + i _ { L } } \\ { L \frac { d i _ { L } } { d t } = - V _ { C _ { 2 } } } \end{array} \right.
\begin{array} { l } { { \displaystyle \frac { \delta } { \delta \rho _ { \sigma } } \left\{ { \cal F } [ { \boldsymbol \rho } , { \bf n } ] + \int v ( { \bf R , r } ) \rho ( { \bf r } ) d { \bf r } \right\} _ { { \boldsymbol \rho } \in v } = 0 , ~ ~ \sigma = \{ \uparrow , \downarrow \} } \ ~ } \\ { { \displaystyle \int \rho ( { \bf r } ) d { \bf r } = \int \left( \rho _ { \uparrow } ( { \bf r } ) + \rho _ { \downarrow } ( { \bf r } ) \right) d { \bf r } = N _ { e } } . } \end{array}
\Delta _ { \mathrm { ~ a ~ c ~ } , \infty } \sim \frac { \epsilon \, \pi \, \chi } { 1 + \chi } \, \frac { \omega ^ { - 2 } ( \chi + 1 ) ^ { 2 } \sec ^ { 2 } \theta \left( c ^ { 2 } k _ { x } ^ { 2 } \pm 2 c \, k _ { x } \, \omega \sin \theta + \omega ^ { 2 } \right) - \chi ( \chi + 2 ) } { ( \chi + 2 ) ^ { 2 } } \quad \mathrm { ~ a ~ s ~ a ~ \to ~ \infty ~ } ,
\begin{array} { r l r } { \lambda _ { \mathit { c r i t } } } & { = } & { - ( \lambda _ { 2 } + 1 + \tilde { \Lambda } ) - ( \Lambda + \tilde { \Lambda } ) + 1 } \\ & { } & { + 2 \sqrt { ( \Lambda + \tilde { \Lambda } ) ( 1 + \lambda _ { 2 } + \tilde { \Lambda } ) } } \\ & { = } & { - \left[ \sqrt { \lambda _ { 2 } + \Lambda + \tilde { \Lambda } } - \sqrt { \Lambda + \tilde { \Lambda } } \right] ^ { 2 } + 1 < 1 \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { | \Psi _ { k + } ^ { ( b ) } ( \sigma ) \rangle = \binom { u _ { k + } ^ { ( b ) } } { v _ { k + } ^ { ( b ) } } = \frac { \mathrm { e } ^ { i k \sigma } ( - i k + \operatorname { t a n h } \sigma ) } { \sqrt { 2 \pi } ( - i k + 1 ) } \binom { 0 } { 1 } , } \\ & { | \Psi _ { k - } ^ { ( b ) } ( \sigma ) \rangle = \binom { u _ { k - } ^ { ( b ) } } { v _ { k - } ^ { ( b ) } } = \frac { \mathrm { e } ^ { i k \sigma } ( - i k + \operatorname { t a n h } \sigma ) } { \sqrt { 2 \pi } ( - i k + 1 ) } \binom { 1 } { 0 } . } \end{array}
f ^ { S , I } ( x ) = \sum _ { n = S + I } ^ { n _ { \operatorname* { m a x } } } \mathbf { 1 } _ { \left\{ \substack { \mathbf { n } ( x ) = n \, \mathbf { s } ( x ) = S } \right\} } \sum _ { \mathbf { v } \in \mathbb { B } ( n - S , I ) } H ^ { n , S , \mathbf { v } } ( \tau ( x ) ) ,
B _ { i j } : = \frac { 3 \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } H _ { i j k k } } { K _ { d } ^ { { - 1 } } + K _ { f } ^ { - 1 } - K _ { 0 } ^ { - 1 } } = \frac { 3 \phi _ { t o t } \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } H _ { i j k k } } { S } = \frac { 3 \sum _ { p = 1 } ^ { n } \left( \phi ^ { ( p ) } \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } H _ { i j k k } ^ { ( p ) } \right) } { \sum _ { p = 1 } ^ { n } S ^ { ( p ) } } \, ,
\left[ \begin{array} { l } { S _ { 0 } } \\ { S _ { B } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 1 } \\ { 1 - \epsilon } & { 1 - \delta } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { A } \\ { B } \end{array} \right] + \left[ \begin{array} { l } { C } \\ { C } \end{array} \right] + \left[ \begin{array} { l } { \eta _ { 0 } } \\ { \eta _ { B } } \end{array} \right] .
\sigma P = \left( \frac { ( a z + b ) ( \bar { c } \bar { z } + \bar { d } ) + a \bar { c } r ^ { 2 } } { | c z + d | ^ { 2 } + | c | ^ { 2 } r ^ { 2 } } , \frac { r } { | c z + d | ^ { 2 } + | c | ^ { 2 } r ^ { 2 } } \right)
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ R _ { C } ] } & { = \mathbb { E } \left[ \frac { 1 } { K } \sum _ { k = 1 } ^ { K } R _ { C } ^ { k } \right] } \\ & { = \frac { ( 1 - \phi ) W } { K \mathbb { E } [ N _ { C } ] \ln 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \ln \left( 1 + \frac { S _ { C } ^ { k } } { I _ { C } ^ { k } + \sigma ^ { 2 } } \right) } \\ & { \geq \frac { ( 1 - \phi ) W } { K \mathbb { E } [ N _ { C } ] \ln 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \left( \mathbb { E } [ \ln S _ { C } ^ { k } ] - \ln \sum _ { i \in \Phi _ { B S } \backslash \mathcal { B } _ { o } ^ { k } } I _ { i } ^ { k } \right) } \\ & { = \frac { ( 1 - \phi ) W } { \mathbb { E } [ N _ { C } ] \ln 2 } \left( 2 \ln \left( \frac { G _ { m } } { \bar { G } } \right) - \gamma - \frac { \alpha } { K } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } [ \ln r _ { k } ] \right. } \\ & { \left. - \frac { 1 } { K } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \ln \sum _ { i \in \Phi _ { B S } \backslash \mathcal { B } _ { o } ^ { k } } \mathbb { E } [ r _ { i } ^ { - \alpha } ] \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { 0 } ^ { \mathcal { Y } } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } y ^ { \alpha } \rho ^ { \mu - 2 } \Big ( \int _ { 0 } ^ { y } \partial _ { y } \mathcal { U } ( x , \tau ) \; d \tau \Big ) ^ { 2 } \; d x d y \lesssim \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \int _ { 0 } ^ { \mathcal { Y } } y ^ { \alpha } \rho ^ { \mu } | \partial _ { y } \mathcal { U } | ^ { 2 } \; d y d x , } \end{array}
| \beta _ { 1 } | = | \beta _ { 2 } | = \sqrt { | \frac { e ^ { 2 \gamma } \sin ( \frac { \theta _ { 1 } } { 2 } ) \sin ( \frac { \theta _ { 2 } } { 2 } ) - \cos ( \frac { \theta _ { 1 } } { 2 } ) \cos ( \frac { \theta _ { 2 } } { 2 } ) } { \sin ( \frac { \theta _ { 1 } } { 2 } ) \sin ( \frac { \theta _ { 2 } } { 2 } ) - e ^ { 2 \gamma } \cos ( \frac { \theta _ { 1 } } { 2 } ) \cos ( \frac { \theta _ { 2 } } { 2 } ) } | } = \sqrt { | \frac { \cosh \gamma \cos \frac { \theta _ { 1 } + \theta _ { 2 } } { 2 } - \sinh \gamma \cos \frac { \theta _ { 2 } - \theta _ { 1 } } { 2 } } { \cosh \gamma \cos \frac { \theta _ { 1 } + \theta _ { 2 } } { 2 } + \sinh \gamma \cos \frac { \theta _ { 2 } - \theta _ { 1 } } { 2 } } | } .
\frac { 1 } { 4 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } { \exp ( i [ \alpha _ { 1 } ( x - x ^ { \prime } ) + ( k ^ { 2 } - \alpha _ { 1 } ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } | z - z ^ { \prime } | ] ) } \; d \alpha _ { 1 }
\frac { d } { d t } \frac { \partial T ^ { * } } { \partial { \dot { q } } _ { r } } - \sum _ { \nu = 1 } ^ { k } \frac { d } { d t } \left( \frac { \partial \alpha _ { \nu } } { \partial { \dot { q } } _ { r } } \right) \frac { \partial T } { \partial { \dot { q } } _ { m + \nu } } = \frac { d } { d t } \frac { \partial T } { \partial { \dot { q } } _ { r } } + \sum _ { \nu = 1 } ^ { k } \frac { \partial \alpha _ { \nu } } { \partial { \dot { q } _ { r } } } \frac { d } { d t } \left( \frac { \partial T } { \partial { \dot { q } } _ { m + \nu } } \right)
\begin{array} { r } { k _ { 1 } ( 1 ) = \frac { 1 } { 4 } \lambda _ { 1 } ^ { 2 } \delta _ { 1 } + \frac { 1 } { 2 } \lambda _ { 1 } H \delta _ { 1 } + 2 \lambda _ { 1 } \delta _ { 1 } ^ { 2 } + \lambda _ { 2 } \delta _ { 1 } + \frac { 1 } { 4 } H ^ { 2 } \delta _ { 1 } + H \delta _ { 1 } ^ { 2 } + \frac { 7 } { 4 } \delta _ { 1 } ^ { 3 } - \delta _ { 1 } \delta _ { 1 , 1 } } \end{array}
\begin{array} { r } { w _ { \alpha } ( j _ { a } , j _ { a b } ^ { \pm } , j _ { \pm } , j _ { 0 } , \zeta _ { \pm } , \zeta _ { 0 } ) = c _ { \alpha } \left( j _ { \pm } , j _ { 0 } \right) \left( \prod _ { a = 1 } ^ { 4 } d _ { j _ { a } } e ^ { - \frac { j _ { 0 } ^ { \alpha } } { 2 } { ( j _ { a } - j _ { 0 } ) } ^ { 2 } } e ^ { i \gamma \zeta _ { 0 } j _ { a } } \right) \left( \prod _ { a b , \pm } d _ { j _ { a b } ^ { \pm } } e ^ { - \frac { j _ { \pm } ^ { \alpha } } { 2 } ( j _ { a b } ^ { \pm } - j _ { \pm } ) ^ { 2 } } e ^ { i \gamma \zeta _ { \pm } j _ { a b } ^ { \pm } } \right) \ , } \end{array}
\rho ( T ) = \rho ( 0 ) + A \left( { \frac { T } { \Theta _ { R } } } \right) ^ { n } \int _ { 0 } ^ { \frac { \Theta _ { R } } { T } } { \frac { x ^ { n } } { \left( e ^ { x } - 1 \right) \left( 1 - e ^ { - x } \right) } } \, d x
\begin{array} { l l l } { { \displaystyle \gamma _ { m } ^ { 0 } } } & { { = } } & { { \displaystyle \frac { 1 } { 4 } [ 3 C _ { F } ] , \ \ \ \ \ \ \gamma _ { m } ^ { 1 } = \displaystyle \frac { 1 } { 1 6 } \left[ \frac { 3 } { 2 } C _ { F } ^ { 2 } + \frac { 9 7 } { 6 } C _ { F } C _ { A } - \frac { 1 0 } { 3 } C _ { F } T n _ { f } \right] { } , } } \\ { { { } } } \\ { { \displaystyle \gamma _ { m } ^ { 2 } } } & { { = } } & { { \displaystyle \frac { 1 } { 6 4 } \left[ \frac { 1 2 9 } { 2 } C _ { F } ^ { 3 } - \frac { 1 2 9 } { 4 } C _ { F } ^ { 2 } C _ { A } + \frac { 1 1 4 1 3 } { 1 0 8 } C _ { F } C _ { A } ^ { 2 } \right. } } \\ { { \displaystyle { } } } \\ { { } } & { { } } & { { \displaystyle \left. + C _ { F } ^ { 2 } T n _ { f } ( 4 8 \zeta ( 3 ) - 4 6 ) + C _ { F } C _ { A } T n _ { f } \left( - 4 8 \zeta ( 3 ) - \frac { 5 5 6 } { 2 7 } \right) - \frac { 1 4 0 } { 2 7 } C _ { F } T ^ { 2 } n _ { f } ^ { 2 } \right] { } , } } \end{array}
\int _ { - \infty } ^ { \infty } d q ^ { \prime } U ^ { - 1 } ( q , q ^ { \prime } ) \phi ( q ^ { \prime } ) = \frac { ( 1 - i ) } { 2 } \sqrt { \pi } \mathrm { e } ^ { \frac { i \pi a } { 2 } } \mathrm { s g n } ( q ) \left| k q \right| ^ { \frac { 1 } { 2 } } J _ { a } ( k \left| q \right| ) .
n B _ { 2 } + l A _ { 2 } = n U _ { l } ^ { n } S t r \left( \ldots \phi ^ { i _ { 2 k } ^ { \prime } } \ldots \underbrace { \phi ^ { i _ { 2 k - 1 } ^ { \prime } } \phi ^ { i _ { n } } } \ldots \partial _ { a _ { l } } \phi ^ { j _ { l } } \ldots \right) + l U _ { l } ^ { n } S t r \left( \ldots \phi ^ { i _ { 2 k } ^ { \prime } } \ldots \underbrace { \phi ^ { i _ { 2 k - 1 } ^ { \prime } } \partial _ { a _ { l } } \phi ^ { j _ { l } } } \ldots \right)
\begin{array} { r l } { C _ { \mathrm { f u l l } } } & { = \sum _ { k = 2 } ^ { K } \mathcal { O } ( 2 ^ { k - 1 } r _ { k - 1 } 2 r _ { k } ) } \\ & { \leq R _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 } \sum _ { k = 2 } ^ { K } \mathcal { O } ( 2 ^ { k } ) } \\ & { = R _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 } \mathcal { O } ( 2 ^ { K + 1 } - 4 ) } \\ & { = \mathcal { O } ( R _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 } 2 ^ { K } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha ^ { 2 } } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { k } ( b _ { i } - \lambda ) ^ { 2 } , \qquad \lambda \leq b _ { k } } \\ & { = k \lambda ^ { 2 } - 2 \sum _ { i = 1 } ^ { k } \lambda b _ { i } . + \sum _ { i = 1 } ^ { k } ( b _ { i } ) ^ { 2 } , \qquad \lambda \leq b _ { k } } \\ { \implies \lambda _ { k } } & { = \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { k } b _ { i } \pm \sqrt { ( \sum _ { i = 1 } ^ { k } b _ { i } ) ^ { 2 } - k ( \sum _ { i = 1 } ^ { k } ( b _ { i } ) ^ { 2 } - \alpha ^ { 2 } ) } } { k } , \quad \mathrm { a n d ~ } \quad \qquad \lambda _ { k } \leq b _ { k } } \\ & { = \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { k } b _ { i } - \sqrt { ( \sum _ { i = 1 } ^ { k } b _ { i } ) ^ { 2 } - k ( \sum _ { i = 1 } ^ { k } ( b _ { i } ) ^ { 2 } - \alpha ^ { 2 } ) } } { k } } \\ & { = \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { k } b _ { i } } { k } - \sqrt { \alpha ^ { 2 } - \sum _ { i = 1 } ^ { k } ( b _ { i } - \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { k } b _ { i } } { k } ) ^ { 2 } } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } & { [ 0 , 2 0 0 0 0 0 1 ] \rightarrow [ 0 , 1 0 0 0 0 0 0 ] \rightarrow [ 0 , 5 0 0 0 0 0 ] \rightarrow [ 0 , 2 5 0 0 0 0 ] \rightarrow [ 0 , 1 2 5 0 0 0 ] \rightarrow [ 0 , 6 2 5 0 0 ] \rightarrow [ 0 , 3 1 2 5 0 ] \rightarrow [ 0 , 1 5 6 2 5 ] } \\ & { \rightarrow [ 0 , 7 8 1 2 ] \rightarrow [ 0 , 3 9 0 6 ] \rightarrow [ 0 , 1 9 5 3 ] \rightarrow [ 9 7 6 , 1 9 5 3 ] \rightarrow [ 9 7 6 , 1 4 6 4 ] \rightarrow [ 1 2 2 0 , 1 4 6 4 ] \rightarrow [ 1 3 4 2 , 1 4 6 4 ] \rightarrow [ 1 4 0 3 , 1 4 6 4 ] } \\ & { \rightarrow [ 1 4 0 3 , 1 4 3 3 ] \rightarrow [ 1 4 0 3 , 1 4 1 8 ] \rightarrow [ 1 4 1 0 , 1 4 1 8 ] \rightarrow [ 1 4 1 4 , 1 4 1 8 ] \rightarrow [ 1 4 1 4 , 1 4 1 6 ] \rightarrow [ 1 4 1 4 , 1 4 1 5 ] } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \boldsymbol \rho ( t _ { k + 1 } ) \approx \boldsymbol \rho _ { k + 1 } } & { = \mathrm { e } ^ { \tau _ { k + 1 } A _ { \mathrm { F } } } \boldsymbol \rho _ { k } + \int _ { 0 } ^ { \tau _ { k + 1 } } \mathrm { e } ^ { ( \tau _ { k + 1 } - s ) A _ { \mathrm { F } } } \boldsymbol g _ { \mathrm { F } } ( t _ { k } , \boldsymbol \rho _ { k } ) d s } \\ & { = \mathrm { e } ^ { \tau _ { k + 1 } A _ { \mathrm { F } } } \boldsymbol \rho _ { k } + \left( \int _ { 0 } ^ { \tau _ { k + 1 } } \mathrm { e } ^ { ( \tau _ { k + 1 } - s ) A _ { \mathrm { F } } } d s \right) \boldsymbol g _ { \mathrm { F } } ( t _ { k } , \boldsymbol \rho _ { k } ) } \\ & { = \mathrm { e } ^ { \tau _ { k + 1 } A _ { \mathrm { F } } } \boldsymbol \rho _ { k } + \left( \tau _ { k + 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \mathrm { e } ^ { \tau _ { k + 1 } ( 1 - \theta ) A _ { \mathrm { F } } } d \theta \right) \boldsymbol g _ { \mathrm { F } } ( t _ { k } , \boldsymbol \rho _ { k } ) } \\ & { = \mathrm { e } ^ { \tau _ { k + 1 } A _ { \mathrm { F } } } \boldsymbol \rho _ { k } + \tau _ { k + 1 } \varphi _ { 1 } ( \tau _ { k + 1 } A _ { \mathrm { F } } ) \boldsymbol g _ { \mathrm { F } } ( t _ { k } , \boldsymbol \rho _ { k } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \psi _ { \mathrm { \tiny ~ R } } ^ { \mathrm { m + } } ( { \bf E } ^ { \mathrm { e } } , \xi ) \overset { \mathrm { d e f } } { = } J ^ { \mathrm { c } } \left[ G ( \bar { \xi } ) \bigg ( \langle \mathrm { E } _ { 1 } ^ { \mathrm { e } } \rangle _ { + } ^ { 2 } + \langle \mathrm { E } _ { 2 } ^ { \mathrm { e } } \rangle _ { + } ^ { 2 } + \langle \mathrm { E } _ { 3 } ^ { \mathrm { e } } \rangle _ { + } ^ { 2 } \bigg ) + \frac { 1 } { 2 } \left( K ( \bar { \xi } ) - \frac { 2 } { 3 } G ( \bar { \xi } ) \right) \bigg ( \langle \mathrm { E } _ { 1 } ^ { \mathrm { e } } + \mathrm { E } _ { 2 } ^ { \mathrm { e } } + \mathrm { E } _ { 3 } ^ { \mathrm { e } } \rangle _ { + } \bigg ) ^ { 2 } \right] } \\ & { \psi _ { \mathrm { \tiny ~ R } } ^ { \mathrm { m - } } ( { \bf E } ^ { \mathrm { e } } , \xi ) \overset { \mathrm { d e f } } { = } J ^ { \mathrm { c } } \left[ G ( \bar { \xi } ) \bigg ( \langle \mathrm { E } _ { 1 } ^ { \mathrm { e } } \rangle _ { - } ^ { 2 } + \langle \mathrm { E } _ { 2 } ^ { \mathrm { e } } \rangle _ { - } ^ { 2 } + \langle \mathrm { E } _ { 3 } ^ { \mathrm { e } } \rangle _ { - } ^ { 2 } \bigg ) + \frac { 1 } { 2 } \left( K ( \bar { \xi } ) - \frac { 2 } { 3 } G ( \bar { \xi } ) \right) \bigg ( \langle \mathrm { E } _ { 1 } ^ { \mathrm { e } } + \mathrm { E } _ { 2 } ^ { \mathrm { e } } + \mathrm { E } _ { 3 } ^ { \mathrm { e } } \rangle _ { - } \bigg ) ^ { 2 } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { Y _ { b } ( \omega ) } & { { } = - \eta _ { b } \frac { \sum _ { j = 1 } ^ { N } | G _ { 0 0 , j j } | ^ { 2 } } { \mathrm { ~ I ~ m ~ } G _ { 0 0 , 0 0 } } . } \end{array}
P = \left[ \begin{array} { l l l l l l l l } { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { i } & { i } & { i } & { i } \\ { 1 } & { - 1 } & { e ^ { i \theta } } & { - e ^ { i \theta } } & { - 1 } & { 1 } & { - e ^ { i \theta } } & { e ^ { i \theta } } \\ { 1 } & { 1 } & { e ^ { i 2 \theta } } & { e ^ { i 2 \theta } } & { - i } & { - i } & { - i e ^ { i 2 \theta } } & { - i e ^ { i 2 \theta } } \\ { 1 } & { - 1 } & { e ^ { i 3 \theta } } & { - e ^ { i 3 \theta } } & { 1 } & { - 1 } & { e ^ { i 3 \theta } } & { - e ^ { i 3 \theta } } \\ { i } & { i } & { - i } & { - i } & { - 1 } & { - 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { - i } & { i } & { i e ^ { i \theta } } & { - i e ^ { i \theta } } & { i } & { - i } & { - i e ^ { i \theta } } & { i e ^ { i \theta } } \\ { i } & { i } & { - i e ^ { i 2 \theta } } & { - i e ^ { i 2 \theta } } & { 1 } & { 1 } & { - e ^ { i 2 \theta } } & { - e ^ { i 2 \theta } } \\ { - i } & { i } & { i e ^ { i 3 \theta } } & { - i e ^ { i 3 \theta } } & { - i } & { i } & { i e ^ { i 3 \theta } } & { - i e ^ { i 3 \theta } } \end{array} \right]
\frac { ( a _ { k + 3 } - c _ { k + 3 } P _ { k + 3 } ) ( { d _ { k + 2 } P _ { k + 2 } - b _ { k + 2 } } ) } { ( d _ { k + 3 } P _ { k + 3 } - b _ { k + 3 } ) ( { a _ { k + 2 } - c _ { k + 2 } P _ { k + 2 } } ) } = \frac { ( a _ { k + 1 } - c _ { k + 1 } P _ { k + 1 } ) ( { d _ { k } P _ { k } - b _ { k } } ) } { ( d _ { k + 1 } P _ { k + 1 } - b _ { k + 1 } ) ( { a _ { k } - c _ { k } P _ { k } } ) }
\omega ^ { 4 } - ( a _ { \mathrm { c } } ^ { 2 } + c _ { \mathrm { c } } ^ { 2 } ) \omega ^ { 2 } k ^ { 2 } + a _ { \mathrm { c } } ^ { 2 } c _ { \mathrm { c } } ^ { 2 } k ^ { 4 } \cos ^ { 2 } \alpha = 0