harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \begin{array} { r l } { ( z ; q ) _ { n } } & { = \sum _ { j = 0 } ^ { n } { \left[ \begin{array} { l } { n } \\ { j } \end{array} \right] } _ { q } ( - z ) ^ { j } q ^ { \binom { j } { 2 } } = ( 1 - z ) ( 1 - q z ) \cdots ( 1 - z q ^ { n - 1 } ) } \\ { ( - q ; q ) _ { n } } & { = \sum _ { j = 0 } ^ { n } { \left[ \begin{array} { l } { n } \\ { j } \end{array} \right] } _ { q ^ { 2 } } q ^ { j } } \\ { ( q ; q ^ { 2 } ) _ { n } } & { = \sum _ { j = 0 } ^ { 2 n } { \left[ \begin{array} { l } { 2 n } \\ { j } \end{array} \right] } _ { q } ( - 1 ) ^ { j } } \\ { { \frac { 1 } { ( z ; q ) _ { m + 1 } } } } & { = \sum _ { n \geq 0 } { \left[ \begin{array} { l } { n + m } \\ { n } \end{array} \right] } _ { q } z ^ { n } . } \end{array} }
\begin{array} { r } { \textrm { L D O S } ( \omega , \mathbf { x } ) = \frac { 1 } { \pi \omega } \operatorname { T r } \operatorname { I m } \mathbb { G } ( \mathbf { x } _ { 0 } , \mathbf { x } _ { 0 } ) , } \end{array}
{ \begin{array} { l l l } & { { \textit { I f } } ( 0 , y , z ) } \\ { = } & { \rho ( P _ { 2 } ^ { 2 } , P _ { 3 } ^ { 4 } ) \; ( 0 , y , z ) } & { { \mathrm { ~ b y ~ D e f . ~ } } { \textit { I f } } } \\ { = } & { P _ { 2 } ^ { 2 } ( y , z ) } & { { \mathrm { ~ b y ~ c a s e ~ } } \rho ( 0 , . . . ) } \\ { = } & { z } & { { \mathrm { ~ b y ~ D e f . ~ } } P _ { 2 } ^ { 2 } . } \end{array} }
\tilde { c _ { s } } ^ { 2 } = \frac { 1 } { c ^ { 2 } } \left[ \frac { 1 } { m _ { e } } \left( \frac { d P _ { e } } { d n _ { e } } \right) _ { \phi = 0 } \right] = \nu _ { e } K _ { B } T / m _ { e } c ^ { 2 } = \nu _ { e } \beta _ { e }
\frac { \partial \Upsilon } { \partial t } - \{ \widehat { H } , \Upsilon \} = \frac { i } \hbar \bigg ( { \cal A } _ { q } \frac { \partial \widehat { H } } { \partial p } - { \cal A } _ { p } \frac { \partial \widehat { H } } { \partial q } - \widehat { H } \bigg ) \Upsilon \, .
\rho _ { i , j , g } ^ { n \mathrm { + 1 } } = \rho _ { i , j , g } ^ { n } - \frac { \Delta t } { V _ { j } } \sum _ { k } \left\langle \frac { c l _ { k } } { \varepsilon \Delta t } \int _ { t _ { n } } ^ { t _ { n + 1 } } \mu ^ { \prime } I _ { g } \left( t _ { n } , - \frac { \mu ^ { \prime } c } { \varepsilon } \left( t - t _ { n } \right) , - \frac { \xi ^ { \prime } c } { \varepsilon } \left( t - t _ { n } \right) \right) d t \right\rangle
\Gamma _ { k l } = \frac { 1 } { ( 4 \pi ) ^ { 2 } } \int \mathrm { d } ^ { 8 } z \frac { W ^ { \alpha k l } W _ { \alpha } ^ { k l } \bar { W } _ { \dot { \alpha } } ^ { k l } \bar { W } ^ { \dot { \alpha } k l } } { ( \Phi ^ { k l } ) ^ { 2 } ( \bar { \Phi } ^ { k l } ) ^ { 2 } }
\begin{array} { r } { \frac { \partial p } { \partial t } + \frac { \rho ^ { * } } { { \mathrm { ~ M ~ a ~ } } ^ { 2 } } \left( \nabla \cdot \mathbf { u } \right) = \frac { 1 } { \rho ^ { * } \mathrm { ~ R ~ e ~ } } \nabla \cdot \left( \mu ^ { * } \nabla p \right) , } \end{array}
{ \left[ \begin{array} { l l l } { a _ { 1 1 } } & { a _ { 1 2 } } & { a _ { 1 3 } } \\ { a _ { 2 1 } } & { a _ { 2 2 } } & { a _ { 2 3 } } \\ { a _ { 3 1 } } & { a _ { 3 2 } } & { a _ { 3 3 } } \end{array} \right] } \circ { \left[ \begin{array} { l l l } { b _ { 1 1 } } & { b _ { 1 2 } } & { b _ { 1 3 } } \\ { b _ { 2 1 } } & { b _ { 2 2 } } & { b _ { 2 3 } } \\ { b _ { 3 1 } } & { b _ { 3 2 } } & { b _ { 3 3 } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l l } { a _ { 1 1 } \, b _ { 1 1 } } & { a _ { 1 2 } \, b _ { 1 2 } } & { a _ { 1 3 } \, b _ { 1 3 } } \\ { a _ { 2 1 } \, b _ { 2 1 } } & { a _ { 2 2 } \, b _ { 2 2 } } & { a _ { 2 3 } \, b _ { 2 3 } } \\ { a _ { 3 1 } \, b _ { 3 1 } } & { a _ { 3 2 } \, b _ { 3 2 } } & { a _ { 3 3 } \, b _ { 3 3 } } \end{array} \right] } .
\triangleright ^ { \prime } \colon Q _ { 2 } \times ( T _ { 1 } ^ { \prime } \times _ { \frac { Q _ { 1 } } { [ Q _ { 2 } , Q _ { 1 } ] } ) } Q _ { 1 } ) \to T _ { 1 } ^ { \prime } \times _ { \frac { Q _ { 1 } } { [ Q _ { 2 } , Q _ { 1 } ] } ) } Q _ { 1 } \colon ( q _ { 2 } , ( t _ { 1 } , q _ { 1 } ) ) \mapsto ( t _ { 1 } , \; ^ { q _ { 2 } } q _ { 1 } )
M _ { \mu \nu } = - { \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } } \int _ { z > z _ { 0 } } \left( { \psi _ { \nu } ^ { T } } ^ { * } { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial z ^ { 2 } } } { \psi _ { \mu } ^ { S } } - { \psi _ { \mu } ^ { S } } { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial z ^ { 2 } } } { \psi _ { \nu } ^ { T } } ^ { * } \right) \, \mathrm { d } x \, \mathrm { d } y \, \mathrm { d } z ,
\begin{array} { r l r } { f _ { 4 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) } & { = } & { \frac { 1 + K _ { 1 } \, x _ { 1 } + K _ { 2 } \, x _ { 2 } + K _ { 3 } \, x _ { 3 } + K _ { 1 2 } \, x _ { 1 } x _ { 2 } + K _ { 1 3 } \, x _ { 1 } x _ { 3 } + K _ { 2 3 } \, x _ { 2 } x _ { 3 } + K _ { 1 2 3 } \, x _ { 1 } x _ { 2 } x _ { 3 } } { 8 } \; , } \\ { f _ { 3 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 4 } ) } & { = } & { \frac { 1 + K _ { 1 } \, x _ { 1 } + K _ { 2 } \, x _ { 2 } + K _ { 4 } \, x _ { 4 } + K _ { 1 2 } \, x _ { 1 } x _ { 2 } + K _ { 1 4 } \, x _ { 1 } x _ { 4 } + K _ { 2 4 } \, x _ { 2 } x _ { 4 } + K _ { 1 2 4 } \, x _ { 1 } x _ { 2 } x _ { 4 } } { 8 } \; , } \\ { f _ { 2 } ( x _ { 1 } , x _ { 3 } , x _ { 4 } ) } & { = } & { \frac { 1 + K _ { 1 } \, x _ { 1 } + K _ { 3 } \, x _ { 3 } + K _ { 4 } \, x _ { 4 } + K _ { 1 3 } \, x _ { 1 } x _ { 3 } + K _ { 1 4 } \, x _ { 1 } x _ { 4 } + K _ { 3 4 } \, x _ { 3 } x _ { 4 } + K _ { 1 3 4 } \, x _ { 1 } x _ { 3 } x _ { 4 } } { 8 } \; , } \\ { f _ { 1 } ( x _ { 2 } , x _ { 3 } , x _ { 4 } ) } & { = } & { \frac { 1 + K _ { 2 } \, x _ { 2 } + K _ { 3 } \, x _ { 3 } + K _ { 4 } \, x _ { 4 } + K _ { 2 3 } \, x _ { 2 } x _ { 3 } + K _ { 2 4 } \, x _ { 2 } x _ { 4 } + K _ { 3 4 } \, x _ { 3 } x _ { 4 } + K _ { 2 3 4 } \, x _ { 2 } x _ { 3 } x _ { 4 } } { 8 } \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \sin \theta _ { 0 } } { r _ { 0 } + \Delta r _ { 0 } } = \frac { \sin \theta } { \Delta L _ { 0 } } \implies \Delta L _ { 0 } } & { { } = \sqrt { \left( r _ { 0 } + \Delta r _ { 0 } \right) ^ { 2 } - r _ { 0 } ^ { 2 } \left( 1 - \mu _ { 0 } ^ { 2 } \right) } - r _ { 0 } \mu _ { 0 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta _ { g , + w } ( - ) - \delta _ { l , + w } ( - ) } & { { } = \rho _ { \mathrm { { m i x e d } , D ( - ) , I D ( + ) } } \sigma _ { D , ( - ) } \sigma _ { I D , ( + ) } \overline { { k _ { ( + ) } } } \, , } \end{array}
\mathcal { B } \bigg [ \prod _ { j = 1 } ^ { n _ { c } } \alpha D _ { \mu _ { j } \nu _ { j } } ( k _ { j } ) \bigg ] ( u ) = \frac { 1 } { ( - \beta _ { 0 f } ) ^ { n _ { c } - 1 } } \int _ { 0 } ^ { u } \bigg [ \prod _ { j = 1 } ^ { n _ { c } } d u _ { j } \bigg ] \delta \Big ( u - \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { c } } u _ { j } \Big ) \prod _ { j = 1 } ^ { n _ { c } } \mathcal { B } \big [ \alpha D _ { \mu _ { j } \nu _ { j } } ( k _ { j } ) \big ] ( u _ { j } ) .
g _ { L } \mapsto 0 . 1 g _ { L } , \; g _ { N a } \mapsto 0 . 2 8 g _ { N a } , \; g _ { K } \mapsto 0 . 3 8 g _ { K } , \; \phi \mapsto \phi / 3 , \; I _ { a p p } \mapsto 1 . 3 5 I _ { a p p } .
\begin{array} { r l } { \mathrm { d } { \star J } } & { = c _ { \phi } \tilde { F } + ( - ) ^ { q + 1 } \ell \, { \star L } , } \\ { \mathrm { d } { \star \tilde { J } } } & { = \tilde { c } _ { \phi } F + ( - ) ^ { p + 1 } \tilde { \ell } \, { \star \tilde { L } } , } \\ { \mathrm { d } { \star L } } & { = 0 , } \\ { \mathrm { d } { \star \tilde { L } } } & { = 0 , } \\ { \nabla _ { \mu } T ^ { \mu \nu } } & { = ( F \cdot J ) ^ { \nu } + ( \tilde { F } \cdot \tilde { J } ) ^ { \nu } } \\ & { \qquad + ( \ell \, \Xi \cdot L ) ^ { \nu } + ( \tilde { \ell } \, \tilde { \Xi } \cdot \tilde { L } ) ^ { \nu } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { A ( \{ \beta _ { j } \} ; \mathcal { P } , \{ \eta _ { j } \} ) } & { { } = } & { \prod _ { j } ^ { M } ( 1 - \Delta _ { + } \beta _ { \mathcal { P } j } ^ { \eta _ { j } } ) \beta _ { \mathcal { P } j } ^ { - ( N + 1 ) \eta _ { j } } } \end{array}
E _ { \mu _ { 1 } ^ { a } \cdots \mu _ { d } ^ { a } } ^ { a } = \sqrt { - \prod _ { L = 0 } ^ { D - 1 } g _ { L L } ^ { \Delta _ { a L } } } \epsilon _ { \mu _ { 1 } ^ { a } \cdots \mu _ { d } ^ { a } } ,
\begin{array} { r l r } { \mathcal { \hat { T } } } & { = } & { - t \sum _ { \sigma } \left( \hat { a } _ { 0 \sigma } ^ { \dagger } \hat { a } _ { 1 \sigma } + \hat { a } _ { 1 \sigma } ^ { \dagger } \hat { a } _ { 0 \sigma } \right) } \\ { \mathcal { \hat { U } } } & { = } & { U \sum _ { i = 0 , 1 } \hat { n } _ { i \uparrow } \hat { n } _ { i \downarrow } } \\ { \mathcal { \hat { V } } } & { = } & { \sum _ { i = 0 , 1 } v _ { i } \hat { n } _ { i } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { S \mathcal { Q } _ { t } ^ { n } ( h ) } & { = \frac { 1 } { 2 n } \sum _ { j \neq j ^ { \prime } } ( \overline { { \xi } } _ { j ^ { \prime } } \Delta \xi _ { j } + \overline { { \xi } } _ { j } \Delta \xi _ { j ^ { \prime } } ) h _ { j , j ^ { \prime } } - \frac { 1 } { 2 n } \sum _ { j \in \mathbb { Z } } ( \xi _ { j + 1 } - \xi _ { j } ) ^ { 2 } ( h _ { j , j + 1 } + h _ { j + 1 , j } ) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 n ^ { 3 } } \sum _ { j , j ^ { \prime } } \overline { { \xi } } _ { j } \overline { { \xi } } _ { j ^ { \prime } } ( \Delta ^ { n } h ) _ { j , j ^ { \prime } } - \frac { 1 } { n } \sum _ { j \in \mathbb { Z } } \overline { { \xi } } _ { j } \Delta \xi _ { j } h _ { j , j } - \frac { 1 } { 2 n } \sum _ { j \in \mathbb { Z } } ( \xi _ { j + 1 } - \xi _ { j } ) ^ { 2 } ( h _ { j , j + 1 } + h _ { j + 1 , j } ) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 n ^ { 2 } } \mathcal { Q } _ { t } ^ { n } ( \Delta ^ { n } h ) + \frac { 1 } { 2 n ^ { 3 } } \sum _ { j \in \mathbb { Z } } ( \overline { { \xi } } _ { j } ) ^ { 2 } ( \Delta ^ { n } h ) _ { j , j } - \frac { 1 } { n } \sum _ { j \in \mathbb { Z } } \overline { { \xi } } _ { j } \Delta \xi _ { j } h _ { j , j } } \\ & { \quad - \frac { 1 } { 2 n } \sum _ { j \in \mathbb { Z } } ( \xi _ { j + 1 } - \xi _ { j } ) ^ { 2 } ( h _ { j , j + 1 } + h _ { j + 1 , j } ) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 n ^ { 2 } } \mathcal { Q } _ { t } ^ { n } ( \Delta ^ { n } h ) + \frac { 1 } { n } \sum _ { j \in \mathbb { Z } } \overline { { \xi } } _ { j } \overline { { \xi } } _ { j + 1 } ( h _ { j , j + 1 } + h _ { j + 1 , j } - h _ { j , j } - h _ { j + 1 , j + 1 } ) . } \end{array}
\frac { \partial f } { \partial t } = \frac { 1 } { \tau _ { s } } \frac { 1 } { v ^ { 2 } } \frac { \partial \left( v ^ { 3 } + v _ { c } ^ { 3 } \right) f } { \partial v } + \frac { S } { v ^ { 2 } } \delta ( v - v _ { \alpha 0 } ) ,
{ \begin{array} { r l } { L } & { = 4 { \sqrt { 2 } } \, c \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { d t } { \sqrt { 1 - t ^ { 4 } } } } = 4 { \sqrt { 2 } } \, c \, \operatorname { a r c s l } 1 } \\ & { = { \frac { \Gamma ( 1 / 4 ) ^ { 2 } } { \sqrt { \pi } } } \, c = { \frac { 2 \pi } { \operatorname { M } ( 1 , 1 / { \sqrt { 2 } } ) } } c \approx 7 { . } 4 1 6 \cdot c } \end{array} }
\begin{array} { r } { \sum _ { \delta } f _ { \delta } \left( \sum _ { \gamma } T r [ A _ { \gamma \delta } ^ { \rho \rho ^ { \prime } } ( \alpha , \sigma ) A _ { \delta \gamma } ^ { \rho ^ { \prime } \rho } ( \alpha , \sigma ) ] \right) = } \\ { \sum _ { \gamma } f _ { \gamma } \left( \sum _ { \delta } T r [ A _ { \gamma \delta } ^ { \rho \rho ^ { \prime } } ( \alpha , \sigma ) A _ { \delta \gamma } ^ { \rho ^ { \prime } \rho } ( \alpha , \sigma ) ] \right) = - T _ { \alpha \beta } ^ { \sigma \sigma ^ { \prime } } f _ { \beta } - T _ { \beta \alpha } ^ { \sigma \sigma ^ { \prime } } f _ { \alpha } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { T r } \big [ \phi _ { i } ^ { \dagger } \phi _ { i } ^ { \phantom { \dagger } } \big ] } & { = \langle \Psi _ { 0 } | \Psi _ { 0 } \rangle = 1 \dag \mathrm { T r } \big [ \phi _ { i } ^ { \dagger } \phi _ { i } ^ { \phantom { \dagger } } \tilde { F } _ { i a } ^ { \dagger } \tilde { F } _ { i b } ^ { \phantom { \dagger } } \big ] } & { = \langle \Psi _ { 0 } | \dag , f _ { i a } ^ { \dagger } f _ { i b } ^ { \phantom { \dagger } } \dag , | \Psi _ { 0 } \rangle = [ \Delta _ { i } ] _ { a b } \qquad \forall \dag , a , b = 1 , . . . , B { \nu } _ { i } } \end{array}
G ^ { ( \psi ) } ( z _ { 1 } , z _ { 2 } ) = \left( \begin{array} { l l } { { G _ { + + } ( z _ { 1 } , z _ { 2 } ) } } & { { G _ { + - } ( z _ { 1 } , z _ { 2 } ) } } \\ { { G _ { - + } ( z _ { 1 } , z _ { 2 } ) } } & { { G _ { -- } ( z _ { 1 } , z _ { 2 } ) } } \end{array} \right)
\begin{array} { r } { \langle \widehat { \mathcal { K } } _ { t } ^ { t + \varepsilon } \mathbf { h } \left( \gamma _ { t } \right) , \mathbf { g } \left( \gamma _ { i \varepsilon } \right) \rangle = \langle \mathcal { K } _ { t } ^ { t + \varepsilon } \mathbf { h } \left( \gamma _ { t } \right) , \mathbf { g } \left( \gamma _ { i \varepsilon } \right) \rangle , \; \forall i = 0 , \ldots , m , } \end{array}
\left( \begin{array} { l } { \dot { \alpha } _ { p } } \\ { \dot { \beta } _ { p } } \end{array} \right) = \frac { 1 } { x _ { \alpha } ^ { 2 } + y _ { \alpha } ^ { 2 } } \left( \begin{array} { l } { \Phi _ { \alpha } } \\ { - \Psi _ { \alpha } } \end{array} \right) - \left( \begin{array} { l } { \operatorname { R e } ( z _ { t } / z _ { w } ) } \\ { \operatorname { I m } ( z _ { t } / z _ { w } ) } \end{array} \right) .
{ \cal H } = d a \ e ^ { B } + { \textstyle \frac { 1 } { 2 \pi \alpha ^ { \prime } } } C + { \textstyle \frac { 1 } { 2 \pi \alpha ^ { \prime } } } { \textstyle \frac { m } { 2 } } e ^ { 2 \pi \alpha ^ { \prime } { \cal F } ( e ) } \omega ( e ) .
\begin{array} { r l } { \xi w + \zeta ^ { 2 } + u \zeta f _ { d _ { 1 } - a _ { \zeta } } ( u , x _ { 0 } , x _ { 1 } , x ) + u f _ { d _ { 1 } } ( u , x _ { 0 } , x _ { 1 } , x ) } & { = 0 } \\ { \xi ^ { r } x _ { \mu } + \xi ^ { r - 1 } g _ { d _ { 2 } - ( r - 1 ) a _ { \xi } } + \cdots + \xi g _ { d _ { 2 } - a _ { \xi } } + w \zeta + u g _ { d _ { 2 } } ( u , x _ { 0 } , x _ { 1 } , x ) } & { = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { a _ { 2 } } p ( a _ { 2 } ) \sum _ { a _ { 1 } } p ( a _ { 1 } | a _ { 2 } ) \ln { \sum _ { c } \hat { p } ^ { \beta } ( c | a _ { 1 } , a _ { 2 } ) \hat { p } ^ { \beta } ( b | c ) } \leq \sum _ { a _ { 2 } } p ( a _ { 2 } ) \ln { \sum _ { c } \hat { p } ^ { \beta } ( c | a _ { 2 } ) \hat { p } ^ { \beta } ( b | c ) } . } \end{array}
\boldsymbol { \tilde { \Psi } } = \boldsymbol { \Psi } \boldsymbol { \tilde { M } } , \quad \boldsymbol { \tilde { \Phi } } = \boldsymbol { \Phi } \boldsymbol { \tilde { M } } , \quad \boldsymbol { \tilde { \Sigma } } = \boldsymbol { \tilde { M } } ^ { T } \boldsymbol { \Sigma } \boldsymbol { \tilde { M } } , \quad \boldsymbol { \tilde { M } } = \left[ \begin{array} { l l } { \boldsymbol { \tilde { I } } } & { \boldsymbol { 0 } } \end{array} \right] ^ { T } ,
\Delta H _ { \chi T } = \sqrt { \frac { \pi \bar { \sigma } _ { n } } { \mu _ { \chi n } ^ { 2 } } } \int \frac { d ^ { 3 } \mathbf { q } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \ e ^ { i \mathbf { q } \cdot ( \mathbf { r } _ { n } - \mathbf { r } _ { \chi } ) } ,
{ \begin{array} { r l } { \left[ { \left[ \begin{array} { l l } { a } & { b } \\ { c } & { d } \end{array} \right] } , { \left[ \begin{array} { l l } { x } & { 0 } \\ { 0 } & { y } \end{array} \right] } \right] } & { = { \left[ \begin{array} { l l } { a x } & { b y } \\ { c x } & { d y } \end{array} \right] } - { \left[ \begin{array} { l l } { a x } & { b x } \\ { c y } & { d y } \end{array} \right] } } \\ & { = { \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { b ( y - x ) } \\ { c ( x - y ) } & { 0 } \end{array} \right] } } \end{array} }
E _ { \mathrm { o u t } } ( { \bf r } , t ; { \bf r } _ { \mathrm { i n } } ) = \sum _ { { \bf k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { o u t } } , { \bf k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { i n } } , \omega } R ^ { \prime } ( { \bf k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { o u t } } , { \bf k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { i n } } , \omega ) e ^ { i [ { \bf k } _ { \mathrm { o u t } } ^ { \mathrm { s a m } } \cdot { \bf r } - { \bf k } _ { \mathrm { i n } } ^ { \mathrm { s a m } } \cdot { \bf r } _ { \mathrm { i n } } - ( k _ { z , \mathrm { o u t } } ^ { \mathrm { a i r } } - k _ { z , \mathrm { i n } } ^ { \mathrm { a i r } } ) z ^ { \mathrm { a i r } } - i \omega t ] } .
\Delta _ { 0 } ( p ) _ { i j } = ( \delta _ { i j } - p _ { i } p _ { j } / p ^ { 2 } - m \epsilon _ { i j a } p _ { a } / p ^ { 2 } ) \frac { 1 } { p ^ { 2 } + m ^ { 2 } } + \xi p _ { i } p _ { j } / p ^ { 4 }
\begin{array} { r l r } { G _ { p } ^ { ( x ) } ( \theta _ { 1 } ) } & { { } = } & { ( \mathcal { A } _ { p } ^ { + } + \mathcal { A } _ { - p } ^ { - * } ) e ^ { i ( p \theta _ { \mathrm { a c } } - \theta _ { 1 } ) } } \\ { G _ { p } ^ { ( y ) } ( \theta _ { 1 } ) } & { { } = } & { - i ( \mathcal { A } _ { p } ^ { + } - \mathcal { A } _ { - p } ^ { - * } ) e ^ { i ( p \theta _ { \mathrm { a c } } - \theta _ { 1 } ) } } \end{array}
\begin{array} { r } { \bar { C } _ { E } ^ { \mathrm { M } } \! = \! \sum _ { x = 1 } ^ { n } C _ { \mathrm { M } } ( x ) \pi _ { x } = \frac { \kappa p _ { 0 , \mathrm { e } } ( 1 - p _ { \mathrm { e } , \mathrm { e } } ) \big ( 1 - ( \kappa p _ { \mathrm { e } , \mathrm { e } } ) ^ { n } \big ) } { \big ( 1 - \kappa p _ { \mathrm { e } , \mathrm { e } } \big ) \big ( 1 + p _ { 0 , \mathrm { e } } - p _ { \mathrm { e } , \mathrm { e } } \big ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { v } ( t ) = i \left( \frac { \hbar \omega _ { 0 } } { 2 C } \right) ^ { 1 / 2 } \left( \hat { a } ^ { \dagger } e ^ { i \omega _ { 0 } t } - \hat { a } e ^ { - i \omega _ { 0 } t } \right) } \\ { \hat { i } ( t ) = \left( \frac { \hbar \omega _ { 0 } } { 2 L } \right) ^ { 1 / 2 } \left( \hat { a } ^ { \dagger } e ^ { i \omega _ { 0 } t } + \hat { a } e ^ { - i \omega _ { 0 } t } \right) . } \end{array}
\boxed { T _ { p } = \cfrac { I _ { p , T } } { I _ { p , i } } = \cfrac { n _ { T } } { n _ { i } } \; ( t _ { \parallel } ) ^ { 2 } , \quad T _ { s } = \cfrac { I _ { s , T } } { I _ { s , i } } = \cfrac { n _ { T } } { n _ { i } } \; ( t _ { \perp } ) ^ { 2 } }
\frac { \partial \alpha _ { i } } { \partial t } + \nabla \cdot \left( \alpha _ { i } \mathbf { u } _ { i } \right) = \frac { q _ { i } } { \rho _ { i } } - \frac { \alpha _ { i } } { \rho _ { i } } \frac { D _ { i } \rho _ { i } } { D t } ,
\begin{array} { r l } & { \sum _ { k = 0 } ^ { \lfloor N ^ { \beta } t \rfloor - 1 } \mathbb { E } \left[ f \left( N ^ { 1 - \frac { \beta } { 2 } } M _ { 1 } ^ { ( N ) } ( k + 1 ) \right) - f \left( N ^ { 1 - \frac { \beta } { 2 } } M _ { 1 } ^ { ( N ) } ( k ) \right) \big | \mathcal { F } _ { k } ^ { ( N ) } \right] } \\ & { = \sum _ { k = 0 } ^ { \lfloor N ^ { \beta } t \rfloor - 1 } \frac { N ^ { 2 - \beta } } { 2 ( N + k + 1 ) ^ { 2 } } f ^ { \prime \prime } \left( N ^ { 1 - \frac { \beta } { 2 } } M _ { 1 } ^ { ( N ) } ( k ) \right) p _ { 1 } ( N + k , \chi ^ { ( N ) } ( k ) ) \left( 1 - p _ { 1 } ( N + k , \chi ^ { ( N ) } ( k ) ) \right) } \\ & { = \sum _ { k = 0 } ^ { \lfloor N ^ { \beta } t \rfloor - 1 } \frac { f ^ { \prime \prime } \left( N ^ { 1 - \frac { \beta } { 2 } } M _ { 1 } ^ { ( N ) } \left( N ^ { \beta } \frac { k } { N ^ { \beta } } \right) \right) } { 2 N ^ { \beta } ( 1 + \frac { k } { N } + \frac { 1 } { N } ) ^ { 2 } } p _ { 1 } \left( N + k , Z ^ { ( N ) } \left( \frac { k } { N } \right) \right) \left( 1 - p _ { 1 } \left( N + k , Z ^ { ( N ) } \left( \frac { k } { N } \right) \right) \right) } \\ & { \xrightarrow { N \to \infty } \int _ { 0 } ^ { t } \frac { f ^ { \prime \prime } ( \hat { M } _ { 1 } ( s ) ) } { 2 } p _ { 1 } ( Z ( 0 ) ) \left( 1 - p _ { 1 } ( Z ( 0 ) \right) d s \ , } \end{array}
G _ { f } ( \mathbf { r } , \mathbf { x } , \Delta ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 / \Delta ^ { 3 } } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } | \mathbf { r } | \le \Delta / 2 , } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ \, ~ . ~ } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \mathrm { d } _ { t } \boldsymbol { u } } & { { } = \frac { 1 } { 4 \pi m _ { i } } \frac { ( \nabla \times \boldsymbol { B } ) \times \boldsymbol { B } } { n _ { i } } - \frac { Z m _ { e } } { m _ { i } } \mathrm { d } _ { t } \boldsymbol { u } } \end{array}
\begin{array} { r } { \underbracket { v _ { 0 } < v _ { 1 } < \cdots < v _ { M - 1 } } _ { \textup { t h e f i r s t p r o c e s s o r } } < \underbracket { v _ { M } } _ { \textup { s h a r e d } } < \cdots < \underbracket { v _ { ( p - 1 ) M } } _ { \textup { s h a r e d } } < \underbracket { v _ { ( p - 1 ) M + 1 } < \cdots < v _ { p M } } _ { \textup { p - t h p r o c e s s o r } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \vartheta _ { s } ^ { \operatorname* { s u p } , \varlimsup } = \operatorname* { s u p } _ { V \in \mathcal { G } ( s , d ) } \varlimsup _ { T \to \infty } \frac { 1 } { T } a _ { 0 , T } ( V ) , \quad \vartheta _ { s } ^ { \operatorname* { s u p } , \varliminf } = \operatorname* { s u p } _ { V \in \mathcal { G } ( s , d ) } \varliminf _ { T \to \infty } \frac { 1 } { T } a _ { 0 , T } ( V ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left. \frac { \partial u } { \partial \mathbf { x } } \right| _ { \mathbf { x } _ { i } } } & { \approx \frac { u \left( \mathbf { x } _ { i } + \Delta \mathbf { x } \right) - u \left( \mathbf { x } _ { i } - \Delta \mathbf { x } \right) } { 2 \Delta \mathbf { x } } , } \\ { \left. \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial \mathbf { x } ^ { 2 } } \right| _ { \mathbf { x } _ { i } } } & { \approx \frac { u \left( \mathbf { x } _ { i } + \Delta \mathbf { x } \right) - 2 u \left( \mathbf { x } _ { i } \right) + u \left( \mathbf { x } _ { i } - \Delta \mathbf { x } \right) } { \Delta \mathbf { x } ^ { 2 } } . } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Omega } \left[ \frac { | u | ^ { 2 } } { 2 } \partial _ { t } \varphi + \left( \frac { | u | ^ { 2 } } { 2 } + p \right) u \cdot \nabla \varphi \right] \, \mathrm { d } x \, \mathrm { d } t = \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Omega } \varphi \, \mathrm { d } \varepsilon [ u ]
\begin{array} { r l r } { { \bf J } } & { \equiv } & { { \bf J } _ { \nabla _ { i } \mathcal { H } } | _ { { \bf Z } _ { i } = { \bf Z } _ { i } ^ { 0 } } \equiv \left( \begin{array} { c c } { \frac { \partial ^ { 2 } \mathcal { H } } { \partial X _ { i } \partial X _ { i } } } & { \frac { \partial ^ { 2 } \mathcal { H } } { \partial X _ { i } \partial P _ { i } } } \\ { \frac { \partial ^ { 2 } \mathcal { H } } { \partial P _ { i } \partial X _ { i } } } & { \frac { \partial ^ { 2 } \mathcal { H } } { \partial P _ { i } \partial P _ { i } } } \end{array} \right) \Bigg \vert _ { { \bf Z } _ { i } = { \bf Z } _ { i } ^ { 0 } } , } \\ { { \bf A } } & { \equiv } & { \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { - 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) . } \end{array}
p _ { m _ { 1 } , n _ { 1 } } ( h _ { 2 } , h _ { 3 } ) \propto \prod _ { r , s } ( \alpha _ { 2 } + \alpha _ { 3 } - \alpha _ { r , s } ) ( \alpha _ { 2 } - \alpha _ { 3 } - \alpha _ { r , s } ) \, .
{ \begin{array} { r l } { P _ { 3 } ^ { - 3 } ( x ) } & { = - { \frac { 1 } { 7 2 0 } } P _ { 3 } ^ { 3 } ( x ) } \\ { P _ { 3 } ^ { - 2 } ( x ) } & { = { \frac { 1 } { 1 2 0 } } P _ { 3 } ^ { 2 } ( x ) } \\ { P _ { 3 } ^ { - 1 } ( x ) } & { = - { \frac { 1 } { 1 2 } } P _ { 3 } ^ { 1 } ( x ) } \\ { P _ { 3 } ^ { 0 } ( x ) } & { = { \frac { 1 } { 2 } } ( 5 x ^ { 3 } - 3 x ) } \\ { P _ { 3 } ^ { 1 } ( x ) } & { = { \frac { 3 } { 2 } } ( 1 - 5 x ^ { 2 } ) ( 1 - x ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } } \\ { P _ { 3 } ^ { 2 } ( x ) } & { = 1 5 x ( 1 - x ^ { 2 } ) } \\ { P _ { 3 } ^ { 3 } ( x ) } & { = - 1 5 ( 1 - x ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } } \end{array} }
F _ { 2 } = { \frac { x } { 4 \pi P ^ { + } } } \int d \eta e ^ { - i \eta x } \sum _ { \alpha } e _ { \alpha } ^ { 2 } \langle P \mid \big [ \overline { { { \psi } } } _ { \alpha } ( \xi ^ { - } ) \gamma ^ { + } \psi _ { \alpha } ( 0 ) - \overline { { { \psi } } } _ { \alpha } ( 0 ) \gamma ^ { + } \psi _ { \alpha } ( \xi ^ { - } ) \big ] \mid P \rangle
C _ { p } = \frac { 2 } { \gamma M _ { \infty } ^ { 2 } } \left[ \left( \frac { 2 + ( \gamma - 1 ) M _ { \infty } ^ { 2 } } { 2 + ( \gamma - 1 ) M _ { w } ^ { 2 } } \right) ^ { \gamma / ( \gamma - 1 ) } - 1 \right]