harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
A _ { T } \equiv { \frac { N _ { 0 } - N _ { + } - N _ { - } } { 3 ( N _ { 0 } + N _ { + } + N _ { - } ) } } = { \frac { \sum _ { q } e _ { q } ^ { 2 } q _ { N } ( x , Q ^ { 2 } ) \hat { b } _ { q \rho } ( z , Q ^ { 2 } ) } { \sum _ { q } e _ { q } ^ { 2 } q _ { N } ( x , Q ^ { 2 } ) \hat { q } _ { \rho } ( z , Q ^ { 2 } ) } } .
A _ { 1 } ( N , N ^ { \prime } ) : = \int \left( \underset { m ^ { \prime } , n ^ { \prime } \in \mathbb { Z } / \tilde { N } ^ { \prime } \mathbb { Z } } { \mathbb { E } } G \left( 1 _ { [ N ^ { \prime } ] } ( n ) \cdot \xi _ { N ^ { \prime } , R ^ { \prime } ( m ^ { \prime } , n ^ { \prime } ) } ^ { s , e } \right) \right) \cdot \left( \underset { ( m , n ) \in \mathbb { Z } / \tilde { N } \mathbb { Z } } { \mathbb { E } } 1 _ { [ N ] } ( n ) \cdot \xi _ { N , R ( m , n ) } ^ { s , e } \right) d \lambda .
\begin{array} { r l } { \mu _ { + 1 , S _ { k } } } & { = f _ { S _ { k } } ^ { \mathrm { C } } ( \mu _ { - 1 , S _ { k } } ) = f _ { S _ { k } } ^ { \mathrm { C } } ( \mu _ { - 2 , S _ { k } } ) = \cdots , } \\ { \mu _ { + ( j + 1 ) , S _ { k } } } & { = f _ { S _ { k } } ^ { \mathrm { C } } ( \mu _ { + j , S _ { k } } ) , } \\ { \mu _ { - 1 , S _ { k } } } & { = f _ { S _ { k } } ^ { \mathrm { D } } ( \mu _ { + 1 , S _ { k } } ) = f _ { S _ { k } } ^ { \mathrm { D } } ( \mu _ { + 2 , S _ { k } } ) = \cdots , } \\ { \mu _ { - ( j + 1 ) , S _ { k } } } & { = f _ { S _ { k } } ^ { \mathrm { D } } ( \mu _ { - j , S _ { k } } ) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { s _ { 0 } } & { = { \frac { 1 } { 2 } } ( x _ { 0 } + x _ { 1 } + x _ { 2 } + x _ { 3 } ) , } \\ { s _ { 1 } } & { = { \frac { 1 } { 2 } } ( x _ { 0 } - x _ { 1 } + x _ { 2 } - x _ { 3 } ) , } \\ { s _ { 2 } } & { = { \frac { 1 } { 2 } } ( x _ { 0 } + x _ { 1 } - x _ { 2 } - x _ { 3 } ) , } \\ { s _ { 3 } } & { = { \frac { 1 } { 2 } } ( x _ { 0 } - x _ { 1 } - x _ { 2 } + x _ { 3 } ) , } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \mathrm { d } \theta _ { t } } & { = P ( \theta _ { t } , \rho _ { t } ) \nabla _ { \theta } \log \rho _ { \mathrm { p o s t } } ( \theta _ { t } ) \mathrm { d } t } \\ & { \quad \quad \quad + \Bigl ( \bigl ( D ( \theta _ { t } , \rho _ { t } ) - P ( \theta _ { t } , \rho _ { t } ) \bigr ) \nabla _ { \theta } \log \rho _ { t } ( \theta _ { t } ) - d ( \theta _ { t } , \rho _ { t } ) \Bigr ) \mathrm { d } t } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad + h ( \theta _ { t } , \rho _ { t } ) \mathrm { d } W _ { t } . } \end{array}
\mathbf { F } = { \frac { 3 \mu _ { 0 } } { 4 \pi | \mathbf { r } | ^ { 4 } } } \left( ( { \hat { \mathbf { r } } } \times \mathbf { m } _ { 1 } ) \times \mathbf { m } _ { 2 } + ( { \hat { \mathbf { r } } } \times \mathbf { m } _ { 2 } ) \times \mathbf { m } _ { 1 } - 2 { \hat { \mathbf { r } } } ( \mathbf { m } _ { 1 } \cdot \mathbf { m } _ { 2 } ) + 5 { \hat { \mathbf { r } } } ( { \hat { \mathbf { r } } } \times \mathbf { m } _ { 1 } ) \cdot ( { \hat { \mathbf { r } } } \times \mathbf { m } _ { 2 } ) \right) .
\begin{array} { r l } { C _ { \omega } } & { \leq \int _ { B _ { 2 R } ( 0 ) } ( | \tilde { u } _ { i } | - 1 ) _ { + } ^ { \frac { n + 1 } { 2 } + \delta _ { 0 } } + \omega ^ { - 2 } \int _ { B _ { 2 R } } \tilde { f } _ { i } ^ { 2 } } \\ & { \leq C \int _ { B _ { 2 R } ( 0 ) \cap \{ | \tilde { u } _ { i } | \geq 1 \} } W ^ { \prime } ( \tilde { u } _ { i } ) ^ { 2 } + \omega ^ { - 2 } \int _ { B _ { 2 R } } \tilde { f } _ { i } ^ { 2 } . } \end{array}
N _ { Q \overline { { { Q } } } } \: ( W ) \; = \; 2 \: \int _ { M ^ { 2 } } ^ { W ^ { 2 } } \: \frac { d \kappa ^ { 2 } } { \kappa ^ { 2 } } \: \left[ 1 - \frac { M ^ { 2 } } { \kappa ^ { 2 } } \right] \: \int _ { Q _ { 0 } } ^ { \kappa } \: \frac { d k _ { \perp } } { \kappa } \: \Phi _ { F } ^ { G } ( z ) \: \frac { \alpha _ { s } ( k _ { \perp } ) } { 4 \pi } \: N _ { G } ( k _ { \perp } ) ,
\begin{array} { r l } { F _ { \mathrm { m a g } } } & { = D _ { e } \left( \mathbf { L } ^ { 2 } - \mathbf { m } ^ { 2 } \right) + 4 D _ { 0 } \textbf { A } \cdot \left( \textbf { L } \times \textbf { m } \right) + \sum _ { \eta = 1 } ^ { 2 } K _ { 1 } \left( \textbf { m } _ { \eta } \cdot \hat { \textbf { P } } \right) ^ { 2 } } \\ & { + \sum _ { \eta = 1 } ^ { 2 } \left( K _ { 1 } ^ { c } + a | \textbf { A } | ^ { 2 } \right) \left( m _ { \eta , x } ^ { 2 } m _ { \eta , y } ^ { 2 } m _ { \eta , z } ^ { 2 } \right) + \frac { 1 } { 2 } \mathbf { m } \cdot \mathbf { H } _ { \mathrm { e x t } } . } \\ & { + A \left[ ( \nabla L _ { x } ) ^ { 2 } + ( \nabla L _ { y } ) ^ { 2 } + ( \nabla L _ { z } ) ^ { 2 } \right] } \end{array}
\begin{array} { l c l } { \mathcal { T } ^ { 0 0 } \varphi ( s ) = t _ { \boldsymbol { \theta } } ^ { 0 0 } ( s ) \; \widetilde { \varphi } ( s ) } & { \textnormal { a n d } } & { \mathcal { T } ^ { 1 0 } \varphi ( s ) = t _ { \boldsymbol { \theta } } ^ { 1 0 } ( s ) \; \widetilde { \varphi } ( s + \theta _ { 1 } / \theta _ { 2 } ) , } \\ { \mathcal { T } ^ { 1 1 } \varphi ( s ) = t _ { \boldsymbol { \theta } } ^ { 1 1 } ( s - \theta _ { 1 } / \theta _ { 2 } ) \; \widetilde { \varphi } ( s ) } & { \textnormal { a n d } } & { \mathcal { T } ^ { 0 1 } \varphi ( s ) = t _ { \boldsymbol { \theta } } ^ { 0 1 } ( s - \theta _ { 1 } / \theta _ { 2 } ) \; \widetilde { \varphi } ( s - \theta _ { 1 } / \theta _ { 2 } ) , } \end{array}
G _ { \alpha } = \left( \begin{array} { l l } { { q ^ { \Lambda \Sigma } { } _ { \Pi \Delta } ( \alpha ) } } & { { p ^ { \Lambda \Sigma \Psi \Xi } ( \alpha ) } } \\ { { p _ { \Delta \Gamma \Pi \Delta } ( \alpha ) } } & { { q _ { \Lambda \Sigma } { } ^ { \Psi \Xi } ( \alpha ) } } \end{array} \right)
\begin{array} { r } { \int \Psi ^ { * } L _ { z } \Psi \, d { \vec { r } } = \left[ i ( \mathcal { P } ^ { * } \mathcal { Z } _ { 0 } - \mathcal { Z } _ { 0 } ^ { * } \mathcal { P } ) + m + 2 | \mathcal { Z } _ { 0 } | ^ { 2 } \right] N , } \end{array}
\| \hat { u } _ { M } ( \boldsymbol { x } , t ) - u _ { M } ( \boldsymbol { x } , t ) \| _ { L ^ { 2 } } = \left( \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { t } } \sum _ { i = 1 } ^ { J _ { n } } ( \hat { u } _ { n , i } - u _ { n , i } ) ^ { 2 } \int _ { \Omega \times [ 0 , T ] } \phi _ { n , i } ( \boldsymbol { x } , t ) ^ { 2 } \; \mathrm { d } \boldsymbol { x } \mathrm { d } t \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \ge C _ { 2 } \| \boldsymbol { \hat { u } } - \boldsymbol { u } \| ,
\begin{array} { r l r } { \mu _ { z } ( X ) } & { = } & { \frac { \pm \phi _ { 0 } W ^ { 2 } } { 2 \mu _ { 0 } \Lambda _ { 0 } \alpha \operatorname { t a n h } ^ { - 1 } \alpha } \biggl [ - \ln \sqrt { 1 - \alpha ^ { 2 } } } \\ & { } & { - \frac { X } { W } \ln \frac { 1 + \alpha } { 1 - \alpha } + \ln \biggl ( 1 + 2 \alpha \frac { X } { W } \biggr ) \biggr ] . } \end{array}
f ( x ) = { \frac { c k } { \beta } } { \Big ( } { \frac { x - \gamma } { \beta } } { \Big ) } ^ { c - 1 } { \Big [ } 1 + { \Big ( } { \frac { x - \gamma } { \beta } } { \Big ) } ^ { c } { \Big ] } ^ { - k - 1 }
\begin{array} { r l r l r l } { x } & { = \frac { \sqrt { 2 } a _ { \mathrm { r m s } } r _ { n } \cos \phi } { \eta _ { \gamma } s ( 1 - s ) } , } & { y } & { = \frac { a _ { \mathrm { r m s } } ^ { 2 } } { 4 \eta _ { \gamma } s ( 1 - s ) } , } & { r _ { n } ^ { 2 } } & { = 2 n \eta _ { \gamma } s ( 1 - s ) - ( 1 + a _ { \mathrm { r m s } } ^ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \pounds _ { \xi } R _ { i j k } ^ { l } } & { = } & { \pounds _ { \xi } R _ { i j k } ^ { l } + \frac { 1 } { 2 } ( - R _ { j } ^ { x } \hbar _ { x } ^ { l } g _ { i k } - R _ { k } ^ { y } \hbar _ { y } ^ { l } g _ { i j } - R _ { k } ^ { l } \hbar _ { i j } ) } \\ & { - } & { \frac { 1 } { 6 } [ ( - R ^ { \prime } ) ( g _ { i j } \delta _ { k } ^ { l } - g _ { i k } \delta _ { j } ^ { l } ) + R ( \delta _ { k } ^ { l } \hbar _ { i j } - \delta _ { j } ^ { l } \hbar _ { i k } ) ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d E } { d x } } & { = \epsilon _ { o } + \epsilon _ { c } } \\ & { = - \frac { e ^ { 2 } q _ { 0 } } { \sigma m _ { e } c ^ { 2 } ( \gamma _ { 0 } - 1 ) } ( \frac { { \gamma _ { 0 } } ^ { 2 } } { { \gamma _ { 0 } } ^ { 2 } - 1 } ) ^ { 1 / 2 } \frac { 1 } { \sqrt { \Gamma ( E ) } } } \\ & { - \frac { 4 \pi e ^ { 4 } n _ { i } } { m _ { e } c ^ { 2 } R } \Gamma ( E ) [ Z _ { i } \Lambda _ { f e } + ( Z - Z _ { i } ) \Lambda _ { b e } ] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \eta } & { = } & { \left| \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \! \! d \vec { x } \ g \left( \vec { x } \right) ^ { \ast } S \left( \vec { x } \right) \right| ^ { 2 } } \\ & { = } & { \frac { W _ { L } } { 2 \pi \sigma ^ { 2 } } \left( \int _ { - \infty } ^ { \infty } d x e ^ { - \frac { \left( x + 1 \right) ^ { 2 } } { 4 \sigma ^ { 2 } } } \mathrm { s i n c } \left( W _ { L } \left( x + 1 \right) \right) \right) ^ { 2 } \left( \int _ { - \infty } ^ { \infty } d y e ^ { - \frac { y ^ { 2 } } { 4 \sigma ^ { 2 } } } \mathrm { s i n c } \left( y \right) \right) ^ { 2 } } \\ & { = } & { \frac { W _ { L } } { 2 \pi \sigma ^ { 2 } } \left( \int _ { - \infty } ^ { \infty } d x e ^ { - \frac { x ^ { 2 } } { 4 \sigma ^ { 2 } } } \mathrm { s i n c } \left( W _ { L } x \right) \right) ^ { 2 } \left( \int _ { - \infty } ^ { \infty } d y e ^ { - \frac { y ^ { 2 } } { 4 \sigma ^ { 2 } } } \mathrm { s i n c } \left( y \right) \right) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Delta _ { 1 } = \cfrac { A s y m V a r ( \widetilde { A } _ { k } ) - A s y m V a r ( \breve { A } _ { k } ) } { 2 c \sigma ^ { 2 } } } \\ & { = \cfrac { \big ( 3 A _ { k } ^ { 0 ^ { 2 } } - 8 B _ { k } ^ { 0 ^ { 2 } } \big ) } { ( A _ { k } ^ { 0 ^ { 2 } } + B _ { k } ^ { 0 ^ { 2 } } ) } + \cfrac { \big ( 5 A _ { k } ^ { 0 ^ { 2 } } \big ) } { ( A _ { 1 } ^ { 0 ^ { 2 } } + B _ { 1 } ^ { 0 ^ { 2 } } ) } } \\ & { \implies \cfrac { \big ( 3 A _ { k } ^ { 0 ^ { 2 } } - 8 B _ { k } ^ { 0 ^ { 2 } } \big ) } { ( A _ { 1 } ^ { 0 ^ { 2 } } + B _ { 1 } ^ { 0 ^ { 2 } } ) } + \cfrac { \big ( 5 A _ { k } ^ { 0 ^ { 2 } } \big ) } { ( A _ { 1 } ^ { 0 ^ { 2 } } + B _ { 1 } ^ { 0 ^ { 2 } } ) } < \Delta _ { 1 } } \\ & { < \cfrac { \big ( 3 A _ { k } ^ { 0 ^ { 2 } } - 8 B _ { k } ^ { 0 ^ { 2 } } \big ) } { ( A _ { k } ^ { 0 ^ { 2 } } + B _ { k } ^ { 0 ^ { 2 } } ) } + \cfrac { \big ( 5 A _ { k } ^ { 0 ^ { 2 } } \big ) } { ( A _ { k } ^ { 0 ^ { 2 } } + B _ { k } ^ { 0 ^ { 2 } } ) } } \\ & { \iff \cfrac { 8 \big ( A _ { k } ^ { 0 ^ { 2 } } - B _ { k } ^ { 0 ^ { 2 } } \big ) } { ( A _ { 1 } ^ { 0 ^ { 2 } } + B _ { 1 } ^ { 0 ^ { 2 } } ) } < \Delta _ { 1 } < \cfrac { 8 \big ( A _ { k } ^ { 0 ^ { 2 } } - B _ { k } ^ { 0 ^ { 2 } } \big ) } { ( A _ { k } ^ { 0 ^ { 2 } } + B _ { k } ^ { 0 ^ { 2 } } ) } . } \end{array}
p { ( x , y , t _ { i } ) } = \left\{ \begin{array} { r l r } { + 1 } & { { } , } & { L ( x , y , t _ { i } ) - L ( x , y , t _ { i - 1 } ) > C , } \\ { - 1 } & { { } , } & { L ( x , y , t _ { i } ) - L ( x , y , t _ { i - 1 } ) < - C , } \end{array} \right.
C _ { 1 } ^ { \left( I + \bar { I } \right) } \left( Q ^ { 2 } \right) = \int d \rho n \left( \rho \right) \frac { \bar { m } _ { u , 2 } ^ { 2 } \left( \rho \right) + \bar { m } _ { d , 2 } ^ { 2 } \left( \rho \right) } { \bar { m } _ { u , 2 } ^ { 2 } \left( \rho \right) \bar { m } _ { d , 2 } ^ { 2 } \left( \rho \right) } \left( Q \rho \right) ^ { 2 } K _ { 1 } ^ { 2 } \left( Q \rho \right)
\lambda = \lambda _ { \mathrm { r a w } } \left[ \left( 1 + 1 . 5 5 \cdot 1 0 ^ { - 8 } \right) \cdot \left( 1 + \frac { { \tt B E R V } } { 2 9 9 7 9 2 . 4 5 8 } \right) \right] ^ { - 1 }
\begin{array} { r l } { S _ { 1 } ( \overline { { U } } _ { 1 } , \overline { { W } } _ { 1 } ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { S _ { 1 } ( Z ( a _ { 1 } , 1 ) , Z ( b _ { 1 } , 1 ) ^ { * } ) , } & { \mathrm { i f ~ m = 1 ~ ; } } \\ { S _ { 1 } ( E ( 1 - m , 1 ) , E ( 1 , 1 - m ) ) , } & { \mathrm { i f ~ m > 1 ~ } } \end{array} \right. } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { V ( a _ { 0 } - b _ { 0 } ) , } & { \mathrm { i f ~ m = 1 ~ a n d ~ a _ 0 \geq ~ b _ 0 ~ ; } } \\ { V ( 0 ) , } & { \mathrm { i f ~ m > 1 ~ } ; } \\ { 0 , } & { \mathrm { o t h e r w i s e . } } \end{array} \right. } \end{array}
2 \chi = \left\{ \begin{array} { c } { { \operatorname { t a n h } ^ { - 1 } ( 2 \sqrt { \kappa } / ( { \cal E } + \kappa ) ) , \quad \mathrm { f o r ~ } \kappa > 0 } } \\ { { \tan ^ { - 1 } ( 2 \sqrt { - \kappa } / ( { \cal E } + \kappa ) ) , \quad \mathrm { f o r ~ } \kappa < 0 } } \end{array} \right. .
\begin{array} { r l } { \Omega _ { u } ^ { q G } ( \Delta _ { u } ; r } & { ) _ { q < 1 } = \frac { 1 } { B e t a \left( \frac { 1 } { 2 } , r + 1 \right) \sqrt { 2 r + 3 } \, \sigma _ { u } ^ { q G } } } \\ & { \times \left( 1 - \sqrt { \frac { \Delta _ { u } ^ { 2 } } { ( 2 r + 3 ) { \sigma _ { u } ^ { q G } } ^ { 2 } } } \right) \left( 1 - { \frac { \Delta _ { u } ^ { 2 } } { ( 2 r + 3 ) { \sigma _ { u } ^ { q G } } ^ { 2 } } } \right) ^ { 2 r } } \\ & { \times \ _ { 2 } F _ { 1 } \left( - r , \frac { 1 } { 2 } ; r + \frac { 2 } { 3 } ; \frac { \left( 1 - \sqrt { \frac { \Delta _ { u } ^ { 2 } } { ( 2 r + 3 ) { \sigma _ { u } ^ { q G } } ^ { 2 } } } \right) ^ { 2 } } { \left( 1 + \sqrt { \frac { \Delta _ { u } ^ { 2 } } { ( 2 r + 3 ) { \sigma _ { u } ^ { q G } } ^ { 2 } } } \right) ^ { 2 } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle \Psi _ { \mathrm { o u t } } \mid \hat { \psi } _ { c } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { r } ) \hat { \psi } _ { c } ( \boldsymbol { r } ) \mid \Psi _ { \mathrm { o u t } } \right\rangle } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \left[ \left| \eta _ { A } ( \boldsymbol { r } ) \right| ^ { 2 } + \left| \eta _ { B } ( \boldsymbol { r } ) \right| ^ { 2 } \right] , } \\ { \left\langle \Psi _ { \mathrm { o u t } } \mid \hat { \psi } _ { d } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { r } ) \hat { \psi } _ { d } ( \boldsymbol { r } ) \mid \Psi _ { \mathrm { o u t } } \right\rangle } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \left[ \left| \eta _ { A } ( \boldsymbol { r } ) \right| ^ { 2 } + \left| \eta _ { B } ( \boldsymbol { r } ) \right| ^ { 2 } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \cal E } ^ { ( 2 ) } ( { \bf R } , { \boldsymbol \eta } , { \bf n } ) = V _ { S } ( { \bf R } ) + \sum _ { I } \chi _ { I } \eta _ { I } } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { I ^ { \prime } } ^ { I ^ { \prime } \ne I } ( 2 \eta _ { I } - n _ { I } ) \gamma _ { I , I ^ { \prime } } n _ { I ^ { \prime } } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { I } U _ { I } \eta _ { I } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { l l l l } { ( \mathcal { A } , a ) \models \varphi } & { \Rightarrow } & { \mathbb { M } ^ { L ( k ) } ( \mathcal { A } , a ) \models \varphi } & { \mathsf { I C T } , \mathrm { P r o p . } } \\ & { \Rightarrow } & { \mathbb { M } ^ { L ( k ) } ( \mathcal { A } , a ) + ( \mathcal { C } , a ) \models \varphi } & { \mathsf { I D E } } \\ & { \Rightarrow } & { \mathbb { M } ^ { L ( k ) } ( \mathcal { A } , a ) [ a ; k ] + ( \mathcal { C } , a ) \models \varphi } & { ( \mathsf { i } ) } \\ & { \Rightarrow } & { \mathbb { S } _ { k } \mathbb { M } ^ { L ( k ) } ( \mathcal { A } , a ) \models \varphi } & { \mathsf { I D E } } \\ & { \Rightarrow } & { \mathbb { M } _ { k } ^ { L } ( \mathcal { A } , a ) \models \varphi } & { \mathrm { P r o p . } } \\ & { \Rightarrow } & { \mathbb { M } _ { k } ^ { L } ( \mathcal { B } , b ) \models \varphi } & { \mathsf { ( i i i ) , \mathsf { I C T } } } \\ & { \Rightarrow } & { \mathbb { S } _ { k } \mathbb { M } ^ { L ( k ) } ( \mathcal { B } , b ) \models \varphi } & { \mathrm { P r o p . } } \\ & { \Rightarrow } & { \mathbb { M } ^ { L ( k ) } ( \mathcal { B } , b ) [ b ; k ] + ( \mathcal { D } , b ) \models \varphi } & { \mathsf { I D E } } \\ & { \Rightarrow } & { \mathbb { M } ^ { L ( k ) } ( \mathcal { B } , b ) + ( \mathcal { D } , b ) \models \varphi } & { \mathsf { ( i i ) } } \\ & { \Rightarrow } & { \mathbb { M } ^ { L ( k ) } ( \mathcal { B } , b ) \models \varphi } & { \mathsf { I D E } } \\ & { \Rightarrow } & { ( \mathcal { B } , b ) \models \varphi } & { \mathsf { I C T } , \mathrm { P r o p . } } \end{array} } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { V ( \mathbf { x } ) } & { = - \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } { \frac { G } { \sqrt { | \mathbf { x } | ^ { 2 } - 2 \mathbf { x } \cdot \mathbf { r } + | \mathbf { r } | ^ { 2 } } } } \, d m ( \mathbf { r } ) } \\ & { = - { \frac { 1 } { | \mathbf { x } | } } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } { \frac { G } { \sqrt { 1 - 2 { \frac { r } { | \mathbf { x } | } } \cos \theta + \left( { \frac { r } { | \mathbf { x } | } } \right) ^ { 2 } } } } \, d m ( \mathbf { r } ) } \end{array} }
\begin{array} { r l } { E _ { \varphi } ( r < r _ { 2 } , t ) } & { \approx \frac { n I _ { 0 } \mu _ { 2 , r } r } { 4 \pi ^ { 2 } l } \Big [ 4 \pi ^ { 2 } \mu _ { 0 } + \frac { 2 ( \mu _ { 0 } \mu _ { 2 , r } r _ { 2 } \alpha _ { 0 } \omega _ { 0 } ( \theta _ { 2 } - \theta _ { 3 } ) ) ^ { 2 } } { ( \mu _ { 2 , r } + 1 ) } } \\ & { \qquad \qquad \qquad + \pi ^ { 2 } \mu _ { 0 } \Big ( \frac { \omega _ { 0 } r _ { 1 } ^ { 2 } } { c _ { 2 } ^ { 2 } } \Big ) + \pi \Big ( \frac { r _ { 2 } \omega _ { 0 } } { c _ { 3 } } \Big ) ^ { 2 } \Big ( \log \Big ( \frac { 2 c _ { 3 } } { r _ { 2 } \omega _ { 0 } } \Big ) - \gamma _ { E u l e r } \Big ) \Big ] \sin ( \omega _ { 0 } t ) } \\ & { \quad - \frac { \pi n I _ { 0 } \mu _ { 0 } \mu _ { 2 , r } ^ { 2 } \omega _ { 0 } r } { 8 l } \Big ( \frac { r _ { 2 } \omega _ { 0 } } { c _ { 3 } } \Big ) ^ { 2 } \cos ( \omega _ { 0 } t ) , } \\ { E _ { z } ( r < r _ { 2 } , t ) } & { \approx \frac { n I _ { 0 } \mu _ { 0 } ^ { 2 } \mu _ { 2 , r } ^ { 2 } r _ { 2 } r \alpha _ { 0 } \omega _ { 0 } ^ { 2 } ( \theta _ { 2 } - \theta _ { 3 } ) } { 2 \pi l ( \mu _ { 2 , r } + 1 ) } \cos ( \omega _ { 0 } t ) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { 0 = } & { { \frac { d \left( \sum _ { i } c _ { i } ( t ) \mathbf { v } _ { i } \right) } { d t } } + k L \left( \sum _ { i } c _ { i } ( t ) \mathbf { v } _ { i } \right) } \\ { = } & { \sum _ { i } \left[ { \frac { d c _ { i } ( t ) } { d t } } \mathbf { v } _ { i } + k c _ { i } ( t ) L \mathbf { v } _ { i } \right] } \\ { = } & { \sum _ { i } \left[ { \frac { d c _ { i } ( t ) } { d t } } \mathbf { v } _ { i } + k c _ { i } ( t ) \lambda _ { i } \mathbf { v } _ { i } \right] } \\ { \Rightarrow 0 = } & { { \frac { d c _ { i } ( t ) } { d t } } + k \lambda _ { i } c _ { i } ( t ) , } \end{array} }
r _ { n } ( Q _ { 0 } ^ { 2 } ) \equiv { \frac { M _ { n - 1 } ( Q _ { 0 } ^ { 2 } ) } { M _ { n } ( Q _ { 0 } ^ { 2 } ) } } = ( { \overline { { m } } } _ { B } ^ { 2 } + Q _ { 0 } ^ { 2 } ) { \frac { 1 + \delta _ { n - 1 } ( Q _ { 0 } ^ { 2 } ) } { 1 + \delta _ { n } ( Q _ { 0 } ^ { 2 } ) } } \, ,
F _ { 0 } \propto \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { D \; X [ f ] } } & { { 0 } } \\ { { D \; X [ f ^ { c } ] } } & { { C \; ( B - L ) [ f ^ { c } ] } } & { { B \; I _ { 3 R } [ f ] } } \\ { { 0 } } & { { B \; I _ { 3 R } [ f ^ { c } ] } } & { { A } } \end{array} \right) ,
\epsilon _ { R P A } ( { \bf { q } } , { \tilde { \omega } } ) = 1 + \frac { v _ { { \bf { q } } } } { V } \sum _ { { \bf { k } } } \frac { \Lambda _ { { \bf { k } } } ^ { 2 } ( { \bf { q } } ) - \Lambda _ { { \bf { k } } } ^ { 2 } ( - { \bf { q } } ) } { { \tilde { \omega } } - \frac { { \bf { k . q } } } { m } }
\begin{array} { r l } { I _ { 3 } } & { \leq \int _ { 0 } ^ { T } \| \phi \| \Big ( \| ( \tilde { u } _ { n _ { k } } - \tilde { u } ) \partial _ { x } \tilde { u } _ { n _ { k } } \| + \| \tilde { u } ( \partial _ { x } \tilde { u } _ { n _ { k } } - \partial _ { x } \tilde { u } ) \| + \| ( \tilde { w } _ { n _ { k } } - \tilde { w } ) \partial _ { z } \tilde { u } _ { n _ { k } } \| + \| \tilde { w } ( \partial _ { z } \tilde { u } _ { n _ { k } } - \partial _ { z } \tilde { u } ) \| \Big ) d t } \\ & { \leq \| \phi \| \int _ { 0 } ^ { T } \| ( \tilde { u } _ { n _ { k } } - \tilde { u } ) \| _ { s - 1 } ( \| \tilde { u } _ { n _ { k } } \| _ { s - 1 } + \| \tilde { u } \| _ { s - 1 } ) d t \rightarrow 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { D ( \operatorname* { d e t } ) _ { A } ( X ) } & { = \frac { d } { d t } \bigg \vert _ { t = 0 } \operatorname* { d e t } ( A + t X ) = \frac { d } { d t } \bigg \vert _ { t = 0 } \operatorname* { d e t } [ A ( I _ { n } + t A ^ { - 1 } X ) ] } \\ & { = \frac { d } { d t } \bigg \vert _ { t = 0 } \operatorname* { d e t } A \, \operatorname* { d e t } ( I _ { n } + t A ^ { - 1 } X ) = \operatorname* { d e t } ( A ) \frac { d } { d t } \bigg \vert _ { t = 0 } \operatorname* { d e t } ( I _ { n } + t A ^ { - 1 } X ) } \\ & { = \operatorname* { d e t } A \frac { d } { d t } \bigg \vert _ { t = 0 } [ 1 + t \mathrm { t r } ( A ^ { - 1 } X ) + O ( t ^ { 2 } ) ] = \operatorname* { d e t } A \, \mathrm { t r } ( A ^ { - 1 } X ) . } \end{array}
\varphi _ { g } ( x _ { 1 } x _ { 2 } ) = g ^ { - 1 } x _ { 1 } x _ { 2 } g = ( g ^ { - 1 } x _ { 1 } g ) ( g ^ { - 1 } x _ { 2 } g ) = \varphi _ { g } ( x _ { 1 } ) \varphi _ { g } ( x _ { 2 } ) ,
\left( \sqrt { \frac { 1 } { \kappa _ { \alpha \beta \gamma } } } \right) ^ { 2 } = \left( \sqrt { \frac { 1 } { \kappa _ { x } } } \mathrm { c o s \ a l p h a } \right) ^ { 2 } + \left( \sqrt { \frac { 1 } { \kappa _ { y } } } \mathrm { c o s \ b e t a } \right) ^ { 2 } + \left( \sqrt { \frac { 1 } { \kappa _ { z } } } \mathrm { c o s \ g a m m a } \right) ^ { 2 } ,
\tilde { \Gamma } ( p ) = \frac { - i \lambda ^ { 2 } } { 8 } \int \frac { d ^ { 4 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \frac { i } { k ^ { 2 } - m _ { \mathrm { H } } ^ { 2 } } = \frac { - i \lambda ^ { 2 } } { 1 2 8 \pi ^ { 2 } } \big [ \Lambda ^ { 2 } - 2 m _ { \mathrm { H } } ^ { 2 } \ln \left( \frac { \Lambda } { m _ { \mathrm { H } } } \right) + \mathcal { O } \left( \frac { m _ { \mathrm { H } } ^ { 2 } } { \Lambda ^ { 4 } } \right) \big ] + \mathcal { O } ( \lambda ^ { 4 } ) ,
\begin{array} { r } { L _ { O _ { j } } = \left[ \begin{array} { l l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } & { \ddots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \ddots } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 1 } & { 0 } \end{array} \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { v _ { 1 } } } & { = \left( \begin{array} { l l l } { \frac { c ^ { 2 } - \lambda ^ { 2 } } { c ^ { 2 } ( \lambda - 1 ) + \lambda ^ { 2 } } , } & { \frac { \lambda ( c ^ { 2 } - \lambda ^ { 2 } ) } { c ( c ^ { 2 } ( \lambda - 1 ) + \lambda ^ { 2 } ) } , } & { 1 } \end{array} \right) ^ { T } , } \\ { \mathbf { v _ { 2 , 3 } } } & { = \left( \begin{array} { l l l } { \frac { c \pm \sqrt { c ^ { 2 } + 4 } } { 2 } , } & { 0 , } & { 1 } \end{array} \right) ^ { T } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \textrm { A v g . \, \, c r e s t p h a s e v e l o c i t y : \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, } \overline { { u ^ { \textnormal { L , c r e s t } } } } = \frac { 2 \mathcal { C } _ { \alpha } } { \pi } c \epsilon + \frac { c } { 2 } \bigg [ 1 + \mathcal { C } _ { \alpha } ^ { 2 } \bigg ( 1 - \frac { 8 } { \pi ^ { 2 } } \bigg ) \bigg ] \epsilon ^ { 2 } , } \\ & { \textrm { A v g . \, \, t r o u g h p h a s e v e l o c i t y : \, \, \, } \overline { { u ^ { \textnormal { L , t r o u g h } } } } = - \frac { 2 \mathcal { C } _ { \alpha } } { \pi } c \epsilon + \frac { c } { 2 } \bigg [ 1 + \mathcal { C } _ { \alpha } ^ { 2 } \bigg ( 1 - \frac { 8 } { \pi ^ { 2 } } \bigg ) \bigg ] \epsilon ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { D \big ( \theta _ { 0 } + f _ { 2 } ( \varphi ) , t ( \theta _ { 0 } + f _ { 2 } ( \varphi ^ { \prime } ) ) , \varphi , \varphi ^ { \prime } \big ) } & { { } \geqslant 2 \delta _ { 0 } \Big [ \sin ^ { 2 } \left( \frac { ( 1 - t ) \theta _ { 0 } + f _ { 2 } ( \varphi ) - t f _ { 2 } ( \varphi ^ { \prime } ) } { 2 } \right) + \sin \big ( t \, \mathtt { m } _ { \theta _ { 0 } } ( r ) \big ) \sin ^ { 2 } \left( \frac { \varphi - \varphi ^ { \prime } } { 2 } \right) \Big ] } \end{array}