harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\mathcal { L } ^ { \prime } ( m ) h = \beta \Big ( \int _ { \Omega } m \, h + \nabla m \cdot \nabla h \, d \Omega \Big ) + \frac { \partial } { \partial \epsilon } \Big \rvert _ { 0 } \int _ { \Omega } \boldsymbol { \lambda } \cdot \mathbf { g } ( m + \epsilon h ) \, d \Omega .
\begin{array} { r } { \left[ 1 - { \bf n } ^ { 2 } + \frac { d _ { 1 } } { c _ { 1 } } \, ( { \bf n } \times { \bf B } _ { 0 } ) ^ { 2 } \right] \times } \\ { \times \left[ \left( 1 + \frac { d _ { 2 } } { c _ { 1 } } \, { \bf B } _ { 0 } ^ { 2 } \right) ( 1 - { \bf n } ^ { 2 } ) + \frac { d _ { 2 } } { c _ { 1 } } \, ( { \bf n } \times { \bf B } _ { 0 } ) ^ { 2 } \right] = 0 \; , } \end{array}
\begin{array} { r } { \bar { u } _ { \mathrm { m i n } ; m , n } ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 , \quad } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } u _ { \mathrm { m i n } ; m , n } ( x ) > 1 , } \\ { 0 , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } u _ { \mathrm { m i n } ; m , n } ( x ) < 0 , } \\ { u _ { \mathrm { m i n } ; m , n } ( x ) , } & { \mathrm { ~ e ~ l ~ s ~ e ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ . ~ } } \end{array} \right. } \end{array}
\left( \mathbb { E } ^ { * } \left[ \operatorname* { m a x } _ { j , t } \left\lvert \mathcal { B } ( 1 ) _ { j } ^ { * } \boldsymbol { \epsilon } _ { t } ^ { * } \right\rvert ^ { 4 } \right] \right) ^ { 1 / 4 } \leq \tilde { S ^ { * } } \left\lVert \operatorname* { m a x } _ { j , t } \left\lvert \epsilon _ { j , t } ^ { * } \right\rvert \right\rVert _ { L _ { 4 } } ^ { * } \leq \tilde { S ^ { * } } \left\lVert \operatorname* { m a x } _ { j , t } \left\lvert \epsilon _ { j , t } ^ { * } \right\rvert \right\rVert _ { L _ { m } } ^ { * } ,
\begin{array} { r l } { \theta _ { i } } & { = \frac { ( \beta _ { i } - B _ { - } ) ( \beta _ { i } - B _ { + } ) } { \beta _ { j } - \beta _ { i } } \, , \qquad j \neq i \, , } \\ { \alpha _ { i } + \theta _ { i } } & { = \frac { ( \beta _ { i } - A _ { - } ) ( \beta _ { i } - A _ { + } ) } { \beta _ { j } - \beta _ { i } } \, , \qquad j \neq i \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { K ( \tau ^ { \prime } 0 ^ { s } ) } { \ell ( \tau ^ { \prime } ) + s } } & { \leq \frac { K ( \tau ^ { \prime } ) + K ( 0 ^ { s } ) + c ^ { \prime } } { s } } \\ & { \leq \frac { K ( \tau ^ { \prime } ) } { s } + \frac { K ( s ) } { s } + \frac { c ^ { \prime \prime } } { s } } \\ & { \leq \frac { \ell ( \tau ^ { \prime } ) + 2 \log ( \ell ( \tau ^ { \prime } ) ) } { s } + \frac { \log ( s ) + 2 \log ( \log ( s ) + 1 ) } { s } + \frac { c } { s } } \end{array}
\frac { d ^ { 2 } \alpha } { ( d \xi ^ { 1 } ) ^ { 2 } } \pm \left[ H ^ { 2 } \left( c _ { 2 } ^ { 2 } - H ^ { 2 } c _ { 1 } ^ { 2 } \right) \left( k _ { 1 } ^ { 2 } - ( c _ { 1 } + H k _ { 2 } ) ^ { 2 } \right) \right] e ^ { - \alpha } = 0 .
\mathbf { V } = \operatorname* { l i m } _ { \Delta t \rightarrow 0 } { \frac { \Delta \mathbf { P } } { \Delta t } } = { \frac { d \mathbf { P } } { d t } } = { \dot { \mathbf { P } } } = { \dot { x } } _ { p } { \hat { \imath } } + { \dot { y } } _ { P } { \hat { \jmath } } + { \dot { z } } _ { P } { \hat { k } } .
H ^ { ( 1 ) } = \int d ^ { 2 } x \left[ m \Phi ^ { 0 } \partial _ { i } B ^ { i } + m \sqrt { m } \epsilon _ { i j } \Phi ^ { i } B ^ { j } + \sqrt { m } \Phi ^ { i } \partial _ { i } B ^ { 0 } - \Phi ^ { 3 } ( m B ^ { 0 } - \epsilon _ { i j } \partial ^ { i } B ^ { j } ) \right] .
e ^ { { \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { A } } & { \mathbf { B } } \\ { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { 0 } } \end{array} \right] } T } = { \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { A _ { d } } } & { \mathbf { B _ { d } } } \\ { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { I } } \end{array} \right] }
\begin{array} { r } { \int _ { V } \mathbf { P } ^ { * } ( \mathbf { x } ) \mathbb { G } _ { 0 } ( \mathbf { x } , \mathbf { x } ^ { \prime } ) \mathbf { P } ( \mathbf { x } ^ { \prime } ) \, \mathrm { d } \mathbf { x } ^ { \prime } + \mathbf { P } ^ { * } ( \mathbf { x } ) \xi ( \mathbf { x } ) \mathbf { P } ( \mathbf { x } ) = - \mathbf { P } ^ { * } ( \mathbf { x } ) \mathbf { E } _ { \mathrm { i n c } } ( \mathbf { x } ) . } \end{array}
H _ { C a l } ^ { ( 1 ) } = { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left[ - \partial _ { i } ^ { 2 } + x _ { i } ^ { 2 } \right] + \sum _ { j < i } ^ { N } \frac g { ( x _ { i } - x _ { j } ) ^ { 2 } } + \frac { \gamma } { \tau _ { 2 } } \ ,
\begin{array} { r l r } { \| Q ^ { k + 1 } - Q ^ { * } \| _ { \mu } ^ { 2 } } & { \leq } & { \left( 1 - \frac { ( 1 - \gamma ) ^ { 2 } \lambda _ { 0 } } { 3 6 } \right) \| Q ^ { k } - Q ^ { * } \| _ { \mu } ^ { 2 } + \frac { 1 8 \beta \tau _ { 1 } ^ { 2 } \log ( 2 K / \delta ) } { ( 1 - \gamma ) \lambda _ { 0 } | \mathcal { D } _ { k } | } } \\ & { \leq } & { \left( 1 - \frac { ( 1 - \gamma ) ^ { 2 } \lambda _ { 0 } } { 3 6 } \right) ^ { k + 1 } \| Q ^ { 0 } - Q ^ { * } \| _ { \mu } ^ { 2 } + \varepsilon ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { f \left( \mathbf { F } _ { 1 , \mathrm { u } , ( 1 ) } , \dots , \mathbf { F } _ { K , \mathrm { u } , ( 1 ) } \right) } & { = \sum _ { k = 1 } ^ { K } { \mu _ { k , ( 1 ) } } \mathrm { t r } \left[ \mathbf { W } _ { k , ( 1 ) } \left( \mathbf { I } _ { N } - \mathbf { V } _ { k } ^ { H } \mathbf { \hat { H } } _ { k } \mathbf { F } _ { k , \mathrm { u } , ( 1 ) } \right) \left( \mathbf { I } _ { N } - \mathbf { V } _ { k } ^ { H } \mathbf { \hat { H } } _ { k } \mathbf { F } _ { k , \mathrm { u } , ( 1 ) } \right) ^ { H } \right] } \\ & { + \sum _ { k = 1 } ^ { K } { \mu _ { k , ( 1 ) } \mathrm { t r } \left[ \mathbf { W } _ { k , ( 1 ) } \mathbf { V } _ { k } ^ { H } \left( \sum _ { l \ne k } ^ { K } { \mathbf { \hat { H } } _ { l } \mathbf { F } _ { l , \mathrm { u } , ( 1 ) } \mathbf { F } _ { l , \mathrm { u } , ( 1 ) } ^ { H } \mathbf { \hat { H } } _ { l } ^ { H } } \right) \mathbf { V } _ { k } \right] } } \\ & { + \sum _ { k = 1 } ^ { K } { \mu _ { k , ( 1 ) } \mathrm { t r } \left[ \mathbf { W } _ { k , ( 1 ) } \mathbf { V } _ { k } ^ { H } \left( \sum _ { l = 1 } ^ { K } { \mathbb { E } \left\{ \left. \mathbf { \tilde { H } } _ { l } \mathbf { F } _ { l , \mathrm { u } , ( 1 ) } \mathbf { F } _ { l , \mathrm { u } , ( 1 ) } ^ { H } \mathbf { \tilde { H } } _ { l } ^ { H } \right| \mathbf { F } \right\} } + \sigma ^ { 2 } \mathbf { I } _ { M L } \right) \mathbf { V } _ { k } \right] } } \\ & { + \sum _ { k = 1 } ^ { K } { \lambda _ { k , ( 1 ) } \left[ \mathrm { t r } \left( \mathbf { F } _ { k , \mathrm { u } , ( 1 ) } \mathbf { F } _ { k , \mathrm { u } , ( 1 ) } ^ { H } \right) - p _ { k } \right] } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l l l } { ^ { ^ C } \mathcal { D } _ { 0 ^ { + } } ^ { ^ { 0 . 5 } } u ( y _ { 1 } , y _ { 2 } , t ) = \partial _ { y _ { 1 } } ^ { 2 } u ( y _ { 1 } , y _ { 2 } , t ) + \partial _ { y _ { 2 } } ^ { 2 } u ( y _ { 1 } , y _ { 2 } , t ) , } & { ( y _ { 1 } , y _ { 2 } , t ) \in Q _ { 2 } , } \\ { u ( \nu _ { 1 } , \nu _ { 2 } , t ) = 0 , } & { ( \nu _ { 1 } , \nu _ { 2 } , t ) \in \Sigma _ { 2 } , } \\ { u ( y _ { 1 } , y _ { 2 } , 0 ) = u _ { 0 } ( y _ { 1 } , y _ { 2 } ) , } & { ( y _ { 1 } , y _ { 2 } ) \in \Omega , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \sum _ { ( S , I ) \in \mathbb { S } } } & { S ^ { 2 } I n _ { S , I } ^ { X } - \sum _ { ( S , I ) \in \mathbb { S } } S ( S + 1 ) ( I - 1 ) n _ { S + 1 , I - 1 } ^ { X } \mathbf { 1 } _ { \left\{ I \geq 1 \right\} } } \\ & { = \sum _ { ( S , I ) \in \mathbb { S } } S ^ { 2 } I n _ { S , I } ^ { X } - \sum _ { ( S , I ) \in \mathbb { S } } ( S - 1 ) S I n _ { S , I } ^ { X } = \sum _ { ( S , I ) \in \mathbb { S } } S I n _ { S , I } ^ { X } . } \end{array}
u _ { 2 } ( \bar { \alpha } , \bar { \alpha } ) > u _ { 2 } ( \bar { \alpha } , 0 ) \; , \; \; { \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } } \; \; \; u _ { 2 } ( \bar { \alpha } , \bar { \alpha } ) > u _ { 2 } ( \bar { \alpha } , 1 ) \; .
\begin{array} { r l } { = { } } & { { } 3 { \frac { G M } { A ^ { 2 } } } \sum _ { n } { \frac { A ^ { n + 1 } } { ( 2 n + 1 ) r ^ { n + 1 } } } \delta _ { n } P _ { n } ( \cos \theta ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \left[ \hat { e } _ { 1 } ^ { ( t ) } , \hat { e } _ { 4 } \right] = - \frac { 1 } { 4 } \left[ \hat { \lambda } _ { 1 } , \hat { \lambda } _ { 4 } \right] = - \frac { 1 } { 4 } i \hat { \lambda } _ { 7 } = - \frac { 1 } { 2 } \hat { e } _ { 7 } , } \end{array}
[ \tilde { J } ^ { 0 } , \tilde { J } ^ { - } ] _ { 1 / q } \ \equiv \ \tilde { J } ^ { 0 } \tilde { J } ^ { - } - \frac { 1 } { q } \tilde { J } ^ { 0 } \tilde { J } ^ { - } \ = \ - \tilde { J } ^ { - } \ ,
{ \frac { \alpha ^ { k _ { 1 } + 3 k _ { 2 } } x _ { z } ^ { 2 ( k _ { 1 } + k _ { 2 } ) } e ^ { k _ { 1 } } ( 2 , 1 ) \delta ^ { k _ { 2 } } } { k _ { 1 } ! k _ { 2 } ! } } .
\begin{array} { r } { \| I _ { h } ( \partial ^ { \alpha } \phi ) \| _ { 2 } ^ { 2 } \leq { c _ { m } ^ { 2 } } { h ^ { - 2 m } } \| \phi \| _ { 2 } ^ { 2 } , \quad \| J _ { h } ( \phi ) \| _ { 2 } ^ { 2 } \leq C _ { m } ^ { 2 } h ^ { 2 m } \sum _ { | \alpha | = k } \| \partial ^ { \alpha } \phi \| _ { 2 } ^ { 2 } , } \end{array}
\mathcal { J } \left( \varepsilon \right) = J _ { \alpha _ { 1 } } \left( \pi / 2 + \varepsilon / 2 \right) J _ { \alpha _ { 2 } } \left( \pi + \varepsilon \right) J _ { \alpha _ { 3 } } \left( \pi / 2 + \varepsilon / 2 \right) .
\left[ \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial r ^ { 2 } } + ( \frac { 1 } { r } - 4 i \omega \Omega \theta r ) \frac { \partial } { \partial r } + \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \theta ^ { 2 } } + ( q ^ { 2 } - 4 i \omega \Omega \theta ) \right] f ( r , \theta ) = 0 .
[ \nabla _ { \mu } , \nabla _ { \nu } ] \phi _ { \mu _ { 1 } \dots \mu _ { k } } = - \sum _ { i = 1 } ^ { k } R _ { \mu _ { i } \mu \nu } ^ { \lambda } \phi _ { \mu _ { i } \dots \mu _ { i - 1 } \lambda \mu _ { i + 1 } \dots \mu _ { k } } + W _ { \mu \nu } \phi _ { \mu _ { 1 } \dots \mu _ { k } } ,
S _ { \mathrm { Y M } } = - \frac { 1 } { 2 } \int d ^ { D } x \mathrm { T r } \, G _ { \mu \nu } G ^ { \mu \nu } = - \frac { 1 } { 4 } \int d ^ { D } x \, G _ { \mu \nu } ^ { a } G ^ { \mu \nu \, a }
\begin{array} { r } { \frac { \partial n _ { \bf k } } { \partial t } = 4 \pi \int | W _ { 3 { \bf k } } ^ { 1 2 } | ^ { 2 } \delta _ { 3 { \bf k } } ^ { 1 2 } \delta ( \omega _ { 3 { \bf k } } ^ { 1 2 } ) n _ { 1 } n _ { 2 } n _ { 3 } n _ { \bf k } \left[ \frac { 1 } { n _ { \bf k } } + \frac { 1 } { n _ { 3 } } - \frac { 1 } { n _ { 1 } } - \frac { 1 } { n _ { 2 } } \right] d { \bf k } _ { 1 } \, d { \bf k } _ { 2 } \, d { \bf k } _ { 3 } . } \end{array}
\varepsilon \approx \frac { 1 } { \Omega } \sum _ { | \mathbf { G } | = 0 } ^ { \sqrt { 2 E _ { \mathrm { ~ c ~ u ~ t ~ } } } } V ( \mathbf { G } ) [ \mathrm { F F T } [ \rho ( \mathbf { r } ) ] - \rho ( \mathbf { G } ) ] \lesssim v \sum _ { G ^ { \prime } > \sqrt { 2 E _ { \mathrm { ~ c ~ u ~ t ~ } } } } \rho ( \mathbf { G } ^ { \prime } ) ,
\begin{array} { r l } { { \operatorname { R e s } } \big ( L _ { Q } ^ { * } ( s ) t ^ { - s } \big ) _ { s = 0 } } & { = { \operatorname { R e s } } \big ( ( 1 - 2 ^ { - s } ) \zeta ( s - 1 ) ^ { i } \zeta ( s + 1 ) ^ { j + 1 } \zeta ( s ) ^ { k } \Gamma ( s ) t ^ { - s } \big ) _ { s = 0 } } \\ & { = \ln ( 2 ) \frac { ( - 1 ) ^ { i + j + k } } { 2 ^ { k } j ! \! \ 1 2 ^ { i } } ( \log { t } ) ^ { j } + o ( ( \log { t } ) ^ { j - 1 } ) . } \end{array}
\texttt { V a r } \left( \mathfrak { N } _ { k } ^ { ( i + 1 ) } \right) = E \left[ \underbrace { \texttt { V a r } \left( \mathfrak { N } _ { k } ^ { ( i + 1 ) } | \mathfrak { N } _ { k } ^ { ( i ) } \right) } _ { \stackrel { ( ) } { = } \mathfrak { N } _ { k } ^ { ( i ) } ~ \texttt { V a r } \left( r _ { j } ^ { ( i + 1 ) } \right) } \right] + \texttt { V a r } \left[ \underbrace { E \left( \mathfrak { N } _ { k } ^ { ( i + 1 ) } | \mathfrak { N } _ { k } ^ { ( i ) } \right) } _ { = \mathfrak { N } _ { k } ^ { ( i ) } } \right] \, .
f ( a + t ) = \operatorname* { l i m } _ { h \to 0 ^ { + } } e ^ { - { \frac { t } { h } } } \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } f ( a + j h ) { \frac { \left( { \frac { t } { h } } \right) ^ { j } } { j ! } } .
\begin{array} { r } { \| \hat { f } ^ { L _ { n } } - f _ { 0 } ^ { L _ { n } } \| _ { \infty } = \| \sum _ { l = 0 } ^ { L _ { n } } \sum _ { k } \frac { \varepsilon _ { l k } } { \sqrt { n } } \psi _ { l k } \| _ { \infty } \leq \sum _ { l = 0 } ^ { L _ { n } } \operatorname* { m a x } _ { k } \left| \frac { \varepsilon _ { l k } } { \sqrt { n } } \right| \| \sum _ { k } | \psi _ { l k } | \| _ { \infty } \lesssim \frac { 1 } { \sqrt { n } } \sum _ { l = 0 } ^ { L _ { n } } \operatorname* { m a x } _ { k } \left| \varepsilon _ { l k } \right| 2 ^ { l / 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { 1 } = } & { \int _ { T _ { 1 } } ^ { 2 T _ { 1 } } \mid \zeta ^ { 2 } ( 1 / 2 + \epsilon + i t ) \mid ^ { 2 } \ \mathrm { d } t , } \\ { I _ { 2 } = } & { \int _ { T _ { 1 } } ^ { 2 T _ { 1 } } \mid L ^ { 3 } ( 1 / 2 + \epsilon + i t , \ { \mathrm { s y m } ^ { 2 } } f ) L ( 1 / 2 + \epsilon + i t , \ \mathrm { { s y m } } ^ { 4 } f ) \mid ^ { 2 } \ \mathrm { d } t . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \| \hat { \Pi } _ { C _ { g x y } } \big [ \nabla _ { x y } ^ { 2 } g ( x _ { t + 1 } , y _ { t + 1 } ) \big ] - G _ { t + 1 } \| ^ { 2 } } & { \leq ( 1 - \hat { \alpha } _ { t + 1 } ) ^ { 2 } \mathbb { E } \| \hat { \Pi } _ { C _ { g x y } } \big [ \nabla _ { x y } ^ { 2 } g ( x _ { t } , y _ { t } ) \big ] - G _ { t } \| ^ { 2 } + 2 \hat { \alpha } _ { t + 1 } ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } \\ & { \quad + 4 ( 1 - \hat { \alpha } _ { t + 1 } ) ^ { 2 } L _ { g x y } ^ { 2 } \eta _ { t } ^ { 2 } \big ( \mathbb { E } \| \tilde { x } _ { t + 1 } - x _ { t } \| ^ { 2 } + \mathbb { E } \| \tilde { y } _ { t + 1 } - y _ { t } \| ^ { 2 } \big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Sigma _ { i j } } & { = \delta _ { \kappa _ { i } \kappa _ { j } } \delta _ { m _ { i } m _ { j } } } \\ & { \times \left( \sum _ { a m n , L } \frac { ( - 1 ) ^ { j _ { m } + j _ { n } + j _ { a } + j _ { i } } } { [ L , j _ { i } ] } \frac { X _ { L } ( a i m n ) Z _ { L } ( m n a j ) } { \varepsilon _ { a 0 } - \varepsilon _ { m n } } \right. } \\ & { + \left. \sum _ { a b m } \frac { \left( - 1 \right) ^ { j _ { m } + j _ { i } + j _ { a } + j _ { b } } } { \left[ L , j _ { i } \right] } \frac { Z _ { L } \left( m i a b \right) X _ { L } \left( a b m j \right) } { \varepsilon _ { m 0 } - \varepsilon _ { a b } } \right) \, . } \end{array}
- \frac { \mathrm { i } } 6 \, e \, \bar { \psi } \ast _ { \textrm { \tiny H } } \big ( V \wedge ( \mathrm { d } \psi - { \mathrm { i } } \, e \, A \, \psi ) \big ) - \frac { \mathrm { i } } 6 \, e \, \ast _ { \textrm { \tiny H } } \big ( ( \mathrm { d } \bar { \psi } + { \mathrm { i } } \, e \, \bar { \psi } \, A ) \wedge V \big ) \psi = - \frac { \mathrm { i } } 6 \, e \, \delta \ast _ { \textrm { \tiny H } } \big ( \bar { \psi } \, V \, \psi \big ) \ \stackrel { A } { \approx } \ 0 \ .
V = \int _ { R } d ^ { 3 } x { \sqrt { \operatorname* { d e t } ( q ) } } = { \frac { 1 } { 6 } } \int _ { R } d x ^ { 3 } { \sqrt { \epsilon _ { a b c } \epsilon ^ { i j k } { \tilde { E } } _ { i } ^ { a } { \tilde { E } } _ { j } ^ { b } { \tilde { E } } _ { k } ^ { c } } } .
\begin{array} { r l } { \sigma _ { i } \gamma _ { j } } & { = \underline { { \sigma _ { i } } } ( v _ { j - 1 } \ldots v _ { 1 } ) \gamma _ { 1 } ( v _ { 1 } \ldots v _ { j - 1 } ) } \\ & { = ( v _ { j - 1 } \ldots v _ { 1 } ) \underline { { \sigma _ { i } \gamma _ { 1 } } } ( v _ { 1 } \ldots v _ { j - 1 } ) ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \mathrm { ~ ( b y ~ ( ) ) } } \\ & { = ( v _ { j - 1 } \ldots v _ { 1 } ) \gamma _ { 1 } \underline { { \sigma _ { i } } } ( v _ { 1 } \ldots v _ { j - 1 } ) } \\ & { = ( v _ { j - 1 } \ldots v _ { 1 } ) \gamma _ { 1 } ( v _ { 1 } \ldots v _ { j - 1 } ) \sigma _ { i } } \\ & { = \gamma _ { j } \sigma _ { i } . } \end{array}
\langle \, \Delta m _ { W } \, \rangle _ { h y p o } ^ { ( i ) } \; = \; \left\{ \begin{array} { c l } { { + 3 9 6 \; \mathrm { M e V } } } & { { \mathrm { f o r ~ i = ~ I } } } \\ { { + 7 8 1 \; \mathrm { M e V } } } & { { \mathrm { f o r ~ i = ~ I I } } } \\ { { + 4 2 4 \; \mathrm { M e V } } } & { { \mathrm { f o r ~ i = ~ I I I } } } \end{array} \right. \; ,
\begin{array} { r l } { \operatorname { V o l } \left( B _ { k } ( I ) \right) = } & { \int _ { D _ { k } ( I ) } | \det D \Phi | } \\ { = } & { ( 2 \pi ) ^ { - k } \int _ { D _ { k } ( I ) } \frac { 1 } { \left( \sqrt { 1 - u _ { 1 } ^ { 2 } } \sqrt { 1 - u _ { 2 } ^ { 2 } } \dots \sqrt { 1 - u _ { r } ^ { 2 } } \right) } d u _ { 1 } \dots d u _ { r } } \\ { = } & { 2 ^ { - k } \int _ { c } ^ { d } \delta ^ { ( k ) } ( u ) d u . } \end{array}
\left( \begin{array} { l l l } { \rho _ { 1 1 } } & { \cdots } & { \rho _ { 1 d } } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \rho _ { d 1 } } & { \cdots } & { \rho _ { d d } } \end{array} \right) \Longrightarrow \left( \begin{array} { l } { \rho _ { 1 1 } } \\ { \rho _ { 1 2 } } \\ { \vdots } \\ { \rho _ { 1 d } } \\ { \vdots } \\ { \rho _ { d d } } \end{array} \right) .
e = \left| { \frac { v _ { \mathrm { f } } } { v _ { \mathrm { i } } } } \right| = { \sqrt { \frac { K _ { \mathrm { f } } } { K _ { \mathrm { i } } } } } = { \sqrt { \frac { U _ { \mathrm { f } } } { U _ { \mathrm { i } } } } } = { \sqrt { \frac { H _ { \mathrm { f } } } { H _ { \mathrm { i } } } } } = { \frac { T _ { \mathrm { f } } } { T _ { \mathrm { i } } } } = { \sqrt { \frac { g T _ { \mathrm { f } } ^ { 2 } } { 8 H _ { \mathrm { i } } } } } .
\left( \tilde { E } _ { \mathrm { ~ m ~ o ~ l ~ } } + \tilde { \lambda } ^ { 2 } \right) - \frac { \tilde { \Lambda } ^ { 2 } } { 2 \pi ^ { 2 } } \left( 1 - \frac { \pi } { 2 } \tilde { \lambda } \right) = 0 .
L _ { e q n s } ^ { p } = \sum _ { j = 1 } ^ { N } { { { \left( { { p } _ { a } ^ { j } } - { { p } _ { 0 } ^ { j } } - \Delta { { p } _ { a } ^ { j } } \right) } ^ { 2 } } / \Delta { { t } ^ { 2 } } }
S = 2 \pi ( \operatorname * { d e t } ) ^ { 1 / 4 } \left\{ r _ { 0 } \delta _ { i k } + \sqrt { - 2 \Upsilon _ { i j } \Upsilon _ { j k } ^ { * } } \right\} = 2 \pi ( \operatorname * { d e t } ) ^ { 1 / 4 } \left\{ r _ { 0 } \delta _ { i k } + \sqrt { - 2 \tilde { \Upsilon } _ { i j } \tilde { \Upsilon } _ { j k } ^ { * } } \right\} \ .
( V V ) = - g _ { s } ^ { 2 } { \frac { N _ { c } } { 8 } } [ 2 ( N _ { c } - 2 ) D _ { V V } ( 0 , m _ { G } ) + 2 D _ { V V } ( m _ { G } , \overline { { { m } } } _ { G } ) + ( N _ { c } - 1 ) D _ { V V } ( m _ { G } , m _ { G } ) ] ,
\begin{array} { r l r } & { } & { q _ { k k ^ { \prime } k ^ { \prime \prime } } ^ { s s ^ { \prime } s ^ { \prime \prime } } ( { \bf k } , { \bf k } ^ { \prime } , { \bf k } ^ { \prime \prime } ) \delta ( { \bf k } + { \bf k } ^ { \prime } + { \bf k } ^ { \prime \prime } ) = i \epsilon \Delta ( \Omega _ { k k ^ { \prime } k ^ { \prime \prime } } ) \delta ( { \bf k } + { \bf k } ^ { \prime } + { \bf k } ^ { \prime \prime } ) } \\ & { } & { \left\{ \left[ L _ { - k - k ^ { \prime } - k ^ { \prime \prime } } ^ { - s - s ^ { \prime } - s ^ { \prime \prime } } + L _ { - k - k ^ { \prime \prime } - k ^ { \prime } } ^ { - s - s ^ { \prime \prime } - s ^ { \prime } } \right] q _ { k ^ { \prime \prime } - k ^ { \prime \prime } } ^ { s ^ { \prime \prime } - s ^ { \prime \prime } } ( { \bf k } ^ { \prime \prime } , - { \bf k } ^ { \prime \prime } ) q _ { k ^ { \prime } - k ^ { \prime } } ^ { s ^ { \prime } - s ^ { \prime } } ( { \bf k } ^ { \prime } , - { \bf k } ^ { \prime } ) \right. } \\ & { } & { + \left[ L _ { - k ^ { \prime } - k - k ^ { \prime \prime } } ^ { - s ^ { \prime } - s - s ^ { \prime \prime } } + L _ { - k ^ { \prime } - k ^ { \prime \prime } - k } ^ { - s ^ { \prime } - s ^ { \prime \prime } - s } \right] q _ { k ^ { \prime \prime } - k ^ { \prime \prime } } ^ { s ^ { \prime \prime } - s ^ { \prime \prime } } ( { \bf k } ^ { \prime \prime } , - { \bf k } ^ { \prime \prime } ) q _ { k - k } ^ { s - s } ( { \bf k } , - { \bf k } ) } \\ & { } & { \left. + \left[ L _ { - k ^ { \prime \prime } - k ^ { \prime } - k } ^ { - s ^ { \prime \prime } - s ^ { \prime } - s } + L _ { - k ^ { \prime \prime } - k - k ^ { \prime } } ^ { - s ^ { \prime \prime } - s - s ^ { \prime } } \right] q _ { k - k } ^ { s - s } ( { \bf k } , - { \bf k } ) q _ { k ^ { \prime } - k ^ { \prime } } ^ { s ^ { \prime } - s ^ { \prime } } ( { \bf k } ^ { \prime } , - { \bf k } ^ { \prime } ) \right\} \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \sigma _ { c } } & { { } } & { = \frac { n - 2 } { ( n - 1 ) ^ { 1 - \alpha } + ( n - 1 ) ^ { \alpha } } , } \\ { \sigma _ { s } } & { { } } & { = \frac { n - 2 } { \sqrt { ( n - 1 ) ^ { 2 \alpha } + 2 n - 2 } } . } \end{array}
{ \bf n } \sp { T } T { \bf n } = { \bf n } \sp { T } M \sp { - 1 } \, M ( \tau P + \tilde { T } ) M \sp { T } M \sp { T \, - 1 } { \bf n } = \frac { \tau } { N } k \sp 2 + { \bf n } \sp { T } M \sp { - 1 } \, M \tilde { T } M \sp { T } M \sp { T \, - 1 } { \bf n } .
W = \lambda _ { t } ( t t ^ { c } H _ { 2 } ^ { 0 } - b t ^ { c } H _ { 2 } ^ { + } ) + \mu ( H _ { 1 } ^ { 0 } H _ { 2 } ^ { 0 } - H _ { 1 } ^ { - } H _ { 2 } ^ { + } ) \; ;
\vec { F } _ { T } \cong \frac { \mu _ { 0 } } { 8 \pi } ( \frac { h } { c } ) ^ { 2 } \vec { K } _ { 1 2 2 } I _ { 2 } I _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ( t ) , \qquad I _ { 1 } ^ { ( n ) } ( t ) \equiv \frac { \partial ^ { n } I _ { 1 } ( t ) } { \partial t ^ { n } }
\begin{array} { r } { \gamma _ { i , k } = \frac { \phi _ { k } p _ { \mathcal N } ( x _ { i } ^ { t } , \mu _ { k } , \Lambda _ { k } ) p _ { A } ( x _ { i } ^ { a } , \mu _ { k } , \Lambda _ { k } ) } { \sum _ { k } ^ { K } \phi _ { k } p _ { \mathcal N } ( x _ { i } ^ { t } , \mu _ { k } , \Lambda _ { k } ) p _ { A } ( x _ { i } ^ { a } , \mu _ { k } , \Lambda _ { k } ) + \phi _ { K + 1 } p _ { \mathcal { U } } ( x _ { i } ^ { t } ) p _ { A } ^ { G } ( x _ { i } ^ { a } ) } } \end{array}
D _ { L L } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { m ^ { 2 } \mu ^ { 2 } } { q ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } } \tau _ { c } ^ { 2 } \frac { | \delta B _ { m } | ^ { 2 } } { B _ { E } ^ { 2 } } L ^ { 4 } \sim L ^ { 6 } , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } 0 . 7 7 m ^ { 2 } \Omega _ { d } ^ { 2 } \tau _ { c } ^ { 2 } \gg 1 , } \\ { \frac { 8 ^ { 2 } } { 2 1 ^ { 2 } } \frac { | \delta B _ { m } | ^ { 2 } } { B _ { E } ^ { 2 } } L ^ { 8 } \sim L ^ { 1 0 } , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } 0 . 7 7 m ^ { 2 } \Omega _ { d } ^ { 2 } \tau _ { c } ^ { 2 } \ll 1 . } \end{array} \right.
\bar { E } _ { i } ^ { ( + ) } ( \mathbf { r } , \omega , t ) = \hat { U } _ { \mathrm { S P D C } } ^ { \dagger } ( t ) \underline { { \hat { E } } } _ { i } ^ { ( + ) } ( \mathbf { r } , \omega ) \hat { U } _ { \mathrm { S P D C } } ( t ) ,
\begin{array} { r } { { \bf X } _ { 5 } ( \tilde { \Lambda } _ { ~ b } ^ { a } ) [ \tilde { \Lambda } ^ { - 1 } ] _ { ~ c } ^ { b } + \tilde { \Lambda } _ { ~ b } ^ { a } f _ { 5 } ^ { ~ \hat { i } } \lambda _ { \hat { i } ~ e } ^ { b } [ \tilde { \Lambda } ^ { - 1 } ] _ { ~ c } ^ { e } = - f _ { 5 } ^ { ~ \hat { i } } \lambda _ { ~ \hat { i } ~ c } ^ { a } \cos \phi . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { A } ^ { \prime } ( t ) } & { = \frac { 1 } { \sqrt T } \left[ \sum _ { n = 1 } ^ { N } \sum _ { { k } = - N } ^ { N } \hat { a } _ { n , k } ^ { \prime } e ^ { i 2 \pi ( n f _ { r } + { k } \Delta f _ { r } ) t } + \sum _ { n = 1 } ^ { N } \sqrt { \kappa _ { n } } A _ { n } e ^ { i \alpha _ { n } } e ^ { i 2 \pi n ( f _ { r } + \Delta f _ { r } ) t } \right] \equiv \frac { 1 } { \sqrt T } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \sum _ { { k } = - N } ^ { N } \hat { A } _ { n , k } ^ { \prime } e ^ { i 2 \pi ( n f _ { r } + k \Delta f _ { r } ) t } \, , } \\ { \hat { B } ^ { \prime } ( t ) } & { = \frac { 1 } { \sqrt T } \left[ \sum _ { n = 1 } ^ { N } \sum _ { { k } = - N } ^ { N } \hat { b } _ { n , k } ^ { \prime } e ^ { i 2 \pi ( n f _ { r } + { k } \Delta f _ { r } ) t } + \sum _ { n = 1 } ^ { N } \sqrt { \eta _ { n } } B _ { n } e ^ { i \beta _ { n } } e ^ { i 2 \pi n f _ { r } t } \right] \equiv \frac { 1 } { \sqrt T } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \sum _ { { k } = - N } ^ { N } \hat { B } _ { n , k } ^ { \prime } e ^ { i 2 \pi ( n f _ { r } + k \Delta f _ { r } ) t } \, , } \end{array}