harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\hat { q } _ { 3 } \equiv \frac { q _ { 3 } } { \sqrt { 2 \vert e H \vert } } _ { , } ~ ~ ~ \hat { m } _ { \mu } \equiv \frac { m ( 0 , \mu ) } { \sqrt { 2 \vert e H \vert } } _ { , } ~ ~ ~ \hat { \mu } \equiv \frac { \mu } { \sqrt { 2 \vert e H \vert } } _ { , } ~ ~ ~ \hat { Q } _ { 1 , 2 } \equiv \frac { Q _ { 1 , 2 } } { \sqrt { 2 \vert e H \vert } } _ { . }
\| U ^ { ( k ) } ( t , s ) \rho _ { k } ( s ) \| _ { F } \le \| \rho _ { k } ( s ) \| _ { F } \iff \| \hat { U } ^ { ( k ) } ( t , s ) | \rho _ { k } ( s ) \rangle \| _ { 2 } \le \| | \rho _ { k } ( s ) \rangle \| _ { 2 } .
\begin{array} { r l } { - \frac { \partial R _ { \widehat { L } _ { \mathrm { t s } } } ( \widehat { L } , t ; t _ { f } | \widehat { L } _ { 0 } , t _ { 0 } ) } { \partial t } } & { = \frac { \partial } { \partial \widehat { L } } \left[ f ( \widehat { L } ) R _ { \widehat { L } _ { \mathrm { t s } } } ( \widehat { L } , t ; t _ { f } | \widehat { L } _ { 0 } , t _ { 0 } ) - \ \rho _ { \widehat { L } _ { \mathrm { t s } } } ( t _ { f } | \widehat { L } , t ) \frac { \partial } { \partial \widehat { L } } D ( \widehat { L } ) P ( \widehat { L } , t | \widehat { L } _ { 0 } , t _ { 0 } ) \right] } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \widehat { L } ^ { 2 } } D ( \widehat { L } ) R _ { \widehat { L } _ { \mathrm { t s } } } ( \widehat { L } , t ; t _ { f } | \widehat { L } _ { 0 } , t _ { 0 } ) \ . } \end{array}
{ \hat { \Pi } } _ { { \hat { \mu } } { \hat { \nu } } } { \cal D } _ { \hat { \imath } } { \hat { X } } ^ { \hat { \mu } } { \cal D } _ { \hat { \jmath } } { \hat { X } } ^ { \hat { \nu } } = { \hat { g } } _ { { \hat { \mu } } { \hat { \nu } } } D _ { \hat { \imath } } { \hat { X } } ^ { \hat { \mu } } D _ { \hat { \jmath } } { \hat { X } } ^ { \hat { \nu } } \, ,
\begin{array} { r } { R _ { I , n } ^ { + } - \widehat { R } _ { I , n } ^ { + } | \left( \mathcal { Q } _ { I , n } ^ { + } = \mathcal { Q } _ { I , n } , \mathcal { D } _ { I , n } \right) = ( R _ { I , n } ^ { + } - \widehat R _ { I , n } ^ { + } ) _ { 1 } + ( R _ { I , n } ^ { + } - \widehat R _ { I , n } ^ { + } ) _ { 2 } | \left( \mathcal { Q } _ { I , n } ^ { + } = \mathcal { Q } _ { I , n } , \mathcal { D } _ { I , n } \right) \overset { d } { \longrightarrow } \mathcal { G } _ { 1 } | \mathcal { Q } _ { I , \infty } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \Big | \frac { 1 } { 2 } \kappa \big ( { \bf \hat { n } } \times { \bf Z _ { i } } \big ) \Big | = | { \bf \nabla } _ { i } \mathcal { H } | } \\ & { = } & { 2 \Big | \Lambda ( \cos X _ { i } + \cos P _ { i } ) \Big | \sqrt { \sin ^ { 2 } X _ { i } + \sin ^ { 2 } P _ { i } } } \\ & { \leqslant } & { 2 \sqrt { 2 } \big | \Lambda \big | . } \end{array}
0 = \int d s ^ { 1 } d s ^ { 2 } \; ( \tilde { T _ { a } } \Theta _ { k } ) ^ { \dagger } \; \hat { L } ( \tilde { T _ { a } } \Psi ^ { ( 0 ) } ) \; \tilde { T _ { a } } \Psi ^ { ( 2 ) } , \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; ( A 1 )
\begin{array} { r l } { 1 } & { \; = \; \mathbb { E } \big ( e ^ { C _ { 0 } \widetilde { \rho } \cdot 0 } \big ) \; = \; \mathbb { E } \big ( e ^ { C _ { 0 } \widetilde { \rho } \widetilde { y } _ { 0 } } \big ) \; = \; \mathbb { E } \big ( e ^ { C _ { 0 } \widetilde { \rho } \widetilde { y } _ { \widetilde { T } _ { - , + } } } \big ) } \\ & { \; = \; 1 \, - \, \mathbb { E } ( \widetilde { y } _ { \widetilde { T } _ { - , + } } ) \; \left[ \frac { 2 \, \lambda } { \mathbb { E } ( \chi ^ { 2 } ) } + \frac { 4 \, \mathbb { E } ( \chi ^ { 3 } ) \, \lambda ^ { 2 } } { 3 \big ( \mathbb { E } ( \chi ^ { 2 } ) \big ) ^ { 2 } } \right] \, + \, \frac { 1 } { 2 } \; \mathbb { E } ( \widetilde { y } _ { \widetilde { T } _ { - , + } } ^ { 2 } ) \; \frac { 4 \, \lambda ^ { 2 } } { \big ( \mathbb { E } ( \chi ^ { 2 } ) \big ) ^ { 2 } } } \\ & { \qquad + \; \mathcal { O } \left( \lambda ^ { 3 } \right) \cdot \big ( 1 - \mathbb { P } \big ( \{ \widetilde { y } _ { \widetilde { T } _ { - , + } } \geq \widetilde { y } _ { + } \} \big ) \big ) \, + \, \mathcal { O } \big ( ( \lambda \widetilde { y } _ { + } ) ^ { 3 } \big ) \cdot \mathbb { P } \big ( \{ \widetilde { y } _ { \widetilde { T } _ { - , + } } \geq \widetilde { y } _ { + } \} \big ) \, , } \end{array}
\left. \frac { \mathrm { ~ d ~ } \check { \mathbf { F } } ^ { c } } { \mathrm { ~ d ~ } x } \right| _ { i } = \frac { 1 } { \Delta x } \left( \check { \mathbf { F } } _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ^ { c } - \check { \mathbf { F } } _ { i - \frac { 1 } { 2 } } ^ { c } \right) ,
\begin{array} { r l } { \delta h _ { \mathrm { e f f } } ( t ) = } & { \frac { 4 } { \pi w _ { D } ^ { 2 } } \int d ^ { 2 } x _ { \perp } \mathrm { e x p } \left[ - 2 \frac { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } { w _ { D } ^ { 2 } } \right] } \\ & { \left[ h _ { x } ( x ) \frac { \partial h _ { y } ( y ) } { \partial y } \delta y _ { c } ( t ) + h _ { y } ( y ) \frac { \partial h _ { x } ( x ) } { \partial x } \delta x _ { c } ( t ) \right] , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \nabla ^ { 2 } \mathbf { E } \ - \ { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } } { \frac { \partial ^ { 2 } \mathbf { E } } { \partial t ^ { 2 } } } \ \ } & { = \ \ 0 } \\ { \nabla ^ { 2 } \mathbf { B } \ - \ { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } } { \frac { \partial ^ { 2 } \mathbf { B } } { \partial t ^ { 2 } } } \ \ } & { = \ \ 0 } \end{array} }
\frac { \delta p _ { \parallel \mathrm { i } } } { p _ { \mathrm { i 0 } } } = - \frac { T _ { \mathrm { e } } } { T _ { \mathrm { i 0 } } } \frac { \delta n } { n _ { 0 } } - 2 \zeta ^ { 2 } \bigl ( 1 + \zeta Z ( \zeta ) \bigr ) \biggl ( \frac { \delta B _ { \parallel } } { B _ { 0 } } + \frac { T _ { \mathrm { e } } } { T _ { \mathrm { i 0 } } } \frac { \delta n } { n _ { 0 } } \biggr ) \simeq - \frac { T _ { \mathrm { e } } } { T _ { \mathrm { i 0 } } } \frac { \delta n } { n _ { 0 } } ,
\begin{array} { r l } { \tilde { S } ^ { \prime } \gamma _ { 3 } ^ { \dagger } | \Phi _ { \mathrm { b u l k } } \rangle } & { = \hat { \Gamma } _ { a } ( \tilde { S } \gamma _ { 3 } ^ { \dagger } \tilde { S } ^ { - 1 } ) \prod _ { E ^ { \prime } < 0 } ( \tilde { S } c _ { E ^ { \prime } , a } ^ { \dagger } \tilde { S } ^ { - 1 } ) ( \tilde { S } c _ { E ^ { \prime } , b } ^ { \dagger } \tilde { S } ^ { - 1 } ) \tilde { S } | v a c \rangle } \\ & { = \hat { \Gamma } _ { a } \gamma _ { 4 } \prod _ { E ^ { \prime } > 0 } c _ { E ^ { \prime } , b } c _ { E ^ { \prime } , a } \gamma _ { 1 } ^ { \dagger } \gamma _ { 2 } ^ { \dagger } \gamma _ { 3 } ^ { \dagger } \gamma _ { 4 } ^ { \dagger } \prod _ { E ^ { \prime \prime } } c _ { E ^ { \prime \prime } , a } ^ { \dagger } c _ { E ^ { \prime \prime } , b } ^ { \dagger } | v a c \rangle } \\ & { = \hat { \Gamma } _ { a } \gamma _ { 1 } ^ { \dagger } \gamma _ { 2 } ^ { \dagger } \gamma _ { 3 } ^ { \dagger } \prod _ { E ^ { \prime } < 0 } c _ { E ^ { \prime } , a } ^ { \dagger } c _ { E ^ { \prime } , b } ^ { \dagger } | v a c \rangle } \\ & { = \gamma _ { 1 } ^ { \dagger } \gamma _ { 2 } \gamma _ { 3 } \prod _ { E ^ { \prime } < 0 } c _ { - E ^ { \prime } , a } ^ { \dagger } c _ { E ^ { \prime } , b } ^ { \dagger } \gamma _ { 2 } ^ { \dag } \gamma _ { 3 } ^ { \dag } \prod _ { E ^ { \prime \prime } } c _ { E ^ { \prime } , a } ^ { \dagger } | v a c \rangle } \\ & { = \gamma _ { 1 } ^ { \dagger } | \Phi _ { \mathrm { b u l k } } \rangle . } \end{array}
\mathbf { U } ( \xi , t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { U } _ { l i q } \quad } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad \xi < 0 , } \\ { \mathbf { U } _ { v a p } \quad } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad \xi \ge 0 , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { d q _ { i } } & { = ( - \gamma _ { i } q _ { i } / 2 + \omega _ { 0 } p _ { i } ) \, d t + \sqrt { \gamma _ { i } ( \bar { n } _ { i } + 1 ) / 2 } \, d W _ { q _ { i } } } \\ { d p _ { i } } & { = ( - \gamma _ { i } p _ { i } / 2 - \omega _ { 0 } q _ { i } ) \, d t + \sqrt { \gamma _ { i } ( \bar { n } _ { i } + 1 ) / 2 } \, d W _ { p _ { i } } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } & { \left[ f _ { t + 1 } ( { \mathrm { A A } } ) , f _ { t + 1 } ( { \mathrm { A a } } ) , f _ { t + 1 } ( { \mathrm { a a } } ) \right] = } \\ & { \qquad = f _ { t } ( { \mathrm { A A } } ) f _ { t } ( { \mathrm { A A } } ) \left[ 1 , 0 , 0 \right] + 2 f _ { t } ( { \mathrm { A A } } ) f _ { t } ( { \mathrm { A a } } ) \left[ { \frac { 1 } { 2 } } , { \frac { 1 } { 2 } } , 0 \right] + 2 f _ { t } ( { \mathrm { A A } } ) f _ { t } ( { \mathrm { a a } } ) \left[ 0 , 1 , 0 \right] } \\ & { \qquad \qquad + f _ { t } ( { \mathrm { A a } } ) f _ { t } ( { \mathrm { A a } } ) \left[ { \frac { 1 } { 4 } } , { \frac { 1 } { 2 } } , { \frac { 1 } { 4 } } \right] + 2 f _ { t } ( { \mathrm { A a } } ) f _ { t } ( { \mathrm { a a } } ) \left[ 0 , { \frac { 1 } { 2 } } , { \frac { 1 } { 2 } } \right] + f _ { t } ( { \mathrm { a a } } ) f _ { t } ( { \mathrm { a a } } ) \left[ 0 , 0 , 1 \right] } \\ & { \qquad = \left[ \left( f _ { t } ( { \mathrm { A A } } ) + { \frac { 1 } { 2 } } f _ { t } ( { \mathrm { A a } } ) \right) ^ { 2 } , 2 \left( f _ { t } ( { \mathrm { A A } } ) + { \frac { 1 } { 2 } } f _ { t } ( { \mathrm { A a } } ) \right) \left( f _ { t } ( { \mathrm { a a } } ) + { \frac { 1 } { 2 } } f _ { t } ( { \mathrm { A a } } ) \right) , \left( f _ { t } ( { \mathrm { a a } } ) + { \frac { 1 } { 2 } } f _ { t } ( { \mathrm { A a } } ) \right) ^ { 2 } \right] } \\ & { \qquad = \left[ f _ { t } ( { \mathrm { A } } ) ^ { 2 } , 2 f _ { t } ( { \mathrm { A } } ) f _ { t } ( { \mathrm { a } } ) , f _ { t } ( { \mathrm { a } } ) ^ { 2 } \right] } \end{array} }
\partial _ { \mu } \Omega ( \Sigma , x ) = - \int _ { \Sigma } d ^ { D - 1 } \tilde { \sigma } _ { \mu } \delta ^ { D } ( x - \bar { x } ( \sigma ) ) - \int _ { \Sigma } d ^ { D - 1 } \tilde { \sigma } _ { \nu } ( \delta _ { \mu \nu } \partial ^ { 2 } - \partial _ { \mu } \partial _ { \nu } ) D ( x - \bar { x } ( \sigma ) ) \ .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , T ] } | \xi ( t ) - \xi _ { N } ( t ) | ^ { 2 } } & { = \mathbb { E } \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , T ] } | ( \Pi _ { N } \xi ( t ) - \xi _ { N } ( t ) ) + ( I - \Pi _ { N } ) \xi ( t ) | ^ { 2 } } \\ & { \leq 2 \mathbb { E } \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , T ] } | \Pi _ { N } \xi ( t ) - \xi _ { N } ( t ) | ^ { 2 } + 2 \mathbb { E } \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , T ] } | ( I - \Pi _ { N } ) \xi ( t ) | ^ { 2 } . } \end{array}
H \left( \begin{array} { c } { { \alpha _ { \nu _ { e L } } } } \\ { { \beta _ { \overline { { \nu } } _ { \tau R } } } } \end{array} \right) = \omega \left( \begin{array} { c } { { \alpha _ { \nu _ { e L } } } } \\ { { \beta _ { \overline { { \nu } } _ { \tau R } } } } \end{array} \right) \, ,
{ \tilde { B } } ( \mathrm { P } , { \Sigma } ) : = \int _ { \Sigma } G ( \sigma , t ) \epsilon _ { \mu \nu \rho \lambda } F ^ { \rho \lambda } ( \sigma , t ) T ^ { \mu } ( \sigma , t ) S _ { \tau } ( \sigma , t ) S ^ { \tau } ( \sigma , t ) d { X _ { \sigma , t } ^ { \nu } } G ^ { - 1 } ( \sigma , t ) d \sigma d t .
\begin{array} { r l } { \mathcal { I } _ { x } ( x , w ) } & { { } = - \frac { 1 } { 4 \pi } \iint _ { \mathcal { S } _ { p } } \frac { x - v } { \left( \left( x - v \right) ^ { 2 } + \left( w - u \right) ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \mathrm { d } u \mathrm { d } v , } \end{array}
\zeta ( s ) = \mu ^ { 2 s } \int d \gamma ( x ) \, \zeta \left( s \mid \vec { x } , \vec { x } \right) = \mu ^ { 2 s } \sum _ { n } \left( \omega _ { n } ^ { 2 } \right) ^ { - s } , \quad R e ( s ) > \frac { 3 } { 2 } .
\begin{array} { r l r l } { \nabla \cdot { \mathbf { u } } } & { { } = 0 , } & { \mathbf { x } } & { { } \in \Omega } \\ { { \mathbf { u } } \cdot \nabla { \mathbf { u } } } & { { } = - \nabla p + \frac { 1 } { R e } { \nabla ^ { 2 } } { \mathbf { u } } , } & { \mathbf { x } } & { { } \in \Omega } \\ { \mathbf { u } ( \mathbf { x } ) } & { { } = ( u _ { w } ( \mathbf { x } ) , 0 ) , } & { \mathbf { x } } & { { } \in \Gamma _ { 1 } } \\ { \mathbf { u } ( \mathbf { x } ) } & { { } = 0 , } & { \mathbf { x } } & { { } \in \Gamma _ { 2 } } \end{array}
F ( \mathcal { P } ( \xi _ { A } , \xi _ { B } | \theta ) ) = \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \mathcal { P } ( \xi _ { A } , \xi _ { B } | \theta ) \left( \frac { \partial \mathcal { L } ( \xi _ { A } , \xi _ { B } | \theta ) } { \partial \theta } \right) ^ { 2 } d ^ { 2 } \boldsymbol { \xi } ,
\begin{array} { r l } { f _ { 1 } ( x ) } & { { } = 2 \cos ( x ) + \frac { 1 } { 2 } \cos ( 8 x ) + \frac { 1 } { 4 } \sin ( 3 2 x ) , } \\ { f _ { 2 } ( x ) } & { { } = e ^ { - x ^ { 2 } / 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ r ~ n ~ e ~ r ~ } } ^ { ( 2 ) } } & { { } = \frac { 1 } { 4 } \left( - [ X _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ] - [ Y _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ] + [ M _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ] \right) , } \\ { Q _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ r ~ n ~ e ~ r ~ } } ^ { ( 3 ) } } & { { } = \frac { 1 } { 3 } \left( [ K _ { 1 } ^ { ( 3 ) } ] + [ K _ { 2 } ^ { ( 3 ) } ] - [ K _ { 1 } ^ { ( 3 ) } ] \right) , } \\ { Q _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ r ~ n ~ e ~ r ~ } } ^ { ( 4 ) } } & { { } = \frac { 1 } { 4 } \left( [ X _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ] + 2 [ M _ { 1 } ^ { ( 4 ) } ] + \frac { 3 } { 2 } [ M _ { 2 } ^ { ( 4 ) } ] + \frac { 3 } { 2 } [ M _ { 4 } ^ { ( 4 ) } ] \right) , } \\ { Q _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ r ~ n ~ e ~ r ~ } } ^ { ( 6 ) } } & { { } = \frac { 1 } { 4 } [ M _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ] + \frac { 2 } { 3 } [ K _ { 1 } ^ { ( 3 ) } ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { { \bf u } _ { 1 : T } } } & { \mathbb { E } _ { \boldsymbol { \epsilon } } \left[ \sum _ { t = 1 } ^ { T } 2 \left[ \sum _ { i = 1 } ^ { t } u _ { i } ( x _ { 0 } , \boldsymbol { \epsilon } _ { 1 : i - 1 } ) - \alpha _ { i } x _ { 0 } - \epsilon _ { i } \right] ^ { + } \! \! \! + \left[ - \sum _ { i = 1 } ^ { t } u _ { i } ( x _ { 0 } , \boldsymbol { \epsilon } _ { 1 : i - 1 } ) - \alpha _ { i } x _ { 0 } - \epsilon _ { i } \right] ^ { + } \right] } \\ { \mathrm { s . t . } \quad } & { u _ { t } ( x _ { 0 } , \boldsymbol { \epsilon } _ { 1 : t - 1 } ) + u _ { t + 1 } ( x _ { 0 } , \boldsymbol { \epsilon } _ { 1 : t } ) \leq 2 0 0 \quad \forall t \in [ T - 1 ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { u ( x , y , t ) = } & { { } - \frac { \eta _ { x } } { \bar { f } F ^ { 2 } } \sin \left( \bar { f } t \right) - \frac { \eta _ { y } } { \bar { f } F ^ { 2 } } \left[ 1 - \cos \left( \bar { f } t \right) \right] , } \\ { v ( x , y , t ) = } & { { } \frac { \eta _ { x } } { \bar { f } F ^ { 2 } } \left[ 1 - \cos \left( \bar { f } t \right) \right] - \frac { \eta _ { y } } { \bar { f } F ^ { 2 } } \sin ( \bar { f } t ) , } \\ { h ( x , y , t ) = } & { { } \frac { \eta _ { x } ^ { 2 } } { \bar { f } ^ { 2 } F ^ { 2 } } \left[ 1 - \cos \left( \bar { f } t \right) \right] + x \eta _ { x } + \frac { \eta _ { y } ^ { 2 } } { \bar { f } ^ { 2 } F ^ { 2 } } \left[ 1 - \cos \left( \bar { f } t \right) \right] + \eta _ { y } y , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d ^ { 2 } y } { d z ^ { 2 } } + \Big ( \epsilon ^ { \prime } + \frac { \gamma } { z } + \frac { \delta } { z - 1 } \Big ) \frac { d y } { d z } + \frac { \alpha ^ { \prime } z - q ^ { \prime } } { z ( z - 1 ) } y = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { f \sim n b ( P ) } \left( \boldsymbol { \Gamma _ { D } } \boldsymbol { \nabla _ { \scriptscriptstyle X } } \Bar { p } \right) _ { f } \cdot \boldsymbol { \mathcal { S } } _ { f } = \sum _ { f \sim n b ( P ) } \bigl [ \theta \bigl ( \boldsymbol { \Gamma _ { C M } } \boldsymbol { U _ { m } } + \boldsymbol { \Gamma _ { C 1 } } \boldsymbol { U _ { 1 } } \bigr ) \bigr ] _ { f } \cdot \boldsymbol { \mathcal { S } } _ { f } , } \end{array}
d s ^ { 2 } = c ^ { 2 } \, d \tau ^ { 2 } = \left( 1 - { \frac { r _ { \mathrm { s } } } { r } } + { \frac { r _ { \mathrm { { Q } } } ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } } \right) c ^ { 2 } \, d t ^ { 2 } - \left( 1 - { \frac { r _ { \mathrm { s } } } { r } } + { \frac { r _ { Q } ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } } \right) ^ { - 1 } \, d r ^ { 2 } - r ^ { 2 } \, d \theta ^ { 2 } - r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta \, d \varphi ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } & { T _ { 1 } = \mathrm { P e } _ { p } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \left( \frac { \left\langle f _ { s } , \phi _ { n } \right\rangle b _ { n } } { \mathrm { P e } _ { s } \Gamma _ { 0 } \sin \theta } + \left\langle v _ { s } , \phi _ { n } \right\rangle \left( \frac { 1 - e ^ { - \lambda _ { n t } } } { \lambda _ { n } } \right) \right) \phi _ { n } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { J ( E _ { 3 i } ) } & { = \left( \begin{array} { c c } { \frac { - 2 u _ { 3 i } ^ { 3 } + ( m - 3 n + 1 ) u _ { 3 i } ^ { 2 } + 2 n ( m + 1 ) u _ { 3 i } - m n } { ( u _ { 3 i } + n ) ^ { 2 } } - \frac { 1 } { 2 c } } & { - \sqrt { u _ { 3 i } } } \\ { \frac { \theta } { 2 c } } & { - \theta \sqrt { u _ { 3 i } } } \end{array} \right) } \\ & { = \left( \begin{array} { c c } { \frac { ( 1 - ( m + 1 ) c ) u _ { 3 i } + 2 ( m c + n ) } { c ( u _ { 3 i } + n ) } + \frac { 1 } { 2 c } } & { - \sqrt { u _ { 3 i } } } \\ { \frac { \theta } { 2 c } } & { - \theta \sqrt { u _ { 3 i } } } \end{array} \right) . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \theta \approx \frac { d z } { d r } = \left[ \int _ { 0 } ^ { r _ { m } } \frac { \chi B ^ { 2 } \left( r ^ { \prime } , h \right) } { 2 \mu _ { 0 } \gamma } I _ { 0 } \left( \lambda _ { c } ^ { - 1 } r ^ { \prime } \right) r ^ { \prime } d r ^ { \prime } \right] \lambda _ { c } ^ { - 1 } K _ { 1 } \left( \lambda _ { c } ^ { - 1 } r _ { m } \right) - \left[ \int _ { r _ { m } } ^ { \infty } \frac { \chi B ^ { 2 } \left( r ^ { \prime } , h \right) } { 2 \mu _ { 0 } \gamma } K _ { 0 } \left( \lambda _ { c } ^ { - 1 } r ^ { \prime } \right) r ^ { \prime } d r ^ { \prime } \right] \lambda _ { c } ^ { - 1 } I _ { 1 } \left( \lambda _ { c } ^ { - 1 } r _ { m } \right) } \\ { B ^ { 2 } \left( r _ { m } , h \right) = \left[ \int _ { 0 } ^ { r _ { m } } B ^ { 2 } \left( r , h \right) I _ { 0 } \left( \lambda _ { c } ^ { - 1 } r \right) r d r \right] \lambda _ { c } ^ { - 2 } \left( K _ { 0 } \left( \lambda _ { c } ^ { - 1 } r _ { m } \right) + \frac { 1 } { \lambda _ { c } ^ { - 1 } r _ { m } } K _ { 1 } \left( \lambda _ { c } ^ { - 1 } r _ { m } \right) \right) - } \\ { - \left[ \int _ { r _ { m } } ^ { \infty } B ^ { 2 } \left( r , h \right) K _ { 0 } \left( \lambda _ { c } ^ { - 1 } r \right) r d r \right] \lambda _ { c } ^ { - 2 } \left( I _ { 0 } \left( \lambda _ { c } ^ { - 1 } r _ { m } \right) - \frac { 1 } { \lambda _ { c } ^ { - 1 } r _ { m } } I _ { 1 } \left( \lambda _ { c } ^ { - 1 } r _ { m } \right) \right) } \end{array} \right.
u _ { 2 } ( t , \alpha _ { 2 } ) = ( t + \alpha _ { 2 } r ) \frac { ( \alpha _ { 2 } r ) ^ { \gamma _ { r } } } { ( \alpha _ { 2 } r ) ^ { \gamma _ { r } } + t ^ { \gamma _ { r } } } + \left( 1 - t + ( 1 - \alpha _ { 2 } ) r \right) \frac { ( ( 1 - \alpha _ { 2 } ) r ) ^ { \gamma _ { p } } } { ( ( 1 - \alpha _ { 2 } ) r ) ^ { \gamma _ { p } } + ( 1 - t ) ^ { \gamma _ { p } } } \; .
M _ { 1 } \approx \frac { m _ { 1 D } ^ { 2 } } { m _ { 2 } } \frac { 1 } { \sin ^ { 2 } \theta _ { 1 2 } ^ { \nu } } , \ \ \ M _ { 2 } \approx \allowbreak 2 \frac { m _ { 2 D } ^ { 2 } } { m _ { 3 } } , \ \ \ M _ { 3 } \approx \frac { 1 } { 2 } \frac { m _ { 3 D } ^ { 2 } } { m _ { 1 } } \sin ^ { 2 } \theta _ { 1 2 } ^ { \nu } ;
\operatorname { a n g l e } ( \lambda x , \mu y ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { \operatorname { a n g l e } ( x , y ) \qquad \qquad { \mathrm { i f ~ } } \lambda { \mathrm { ~ a n d ~ } } \mu { \mathrm { ~ h a v e ~ t h e ~ s a m e ~ s i g n } } } \\ { \pi - \operatorname { a n g l e } ( x , y ) \qquad { \mathrm { o t h e r w i s e } } . } \end{array} \right. }
{ \begin{array} { r l } { { \boldsymbol { \sigma } } } & { = { \frac { 2 } { J } } ~ \left[ { \frac { 1 } { J ^ { 2 / 3 } } } ~ \left( { \frac { \partial W } { \partial { \bar { I } } _ { 1 } } } + { \bar { I } } _ { 1 } ~ { \frac { \partial W } { \partial { \bar { I } } _ { 2 } } } \right) ~ { \boldsymbol { B } } - { \frac { 1 } { J ^ { 4 / 3 } } } ~ { \frac { \partial W } { \partial { \bar { I } } _ { 2 } } } ~ { \boldsymbol { B } } \cdot { \boldsymbol { B } } \right] } \\ & { \qquad + \left[ { \frac { \partial W } { \partial J } } - { \frac { 2 } { 3 J } } \left( { \bar { I } } _ { 1 } ~ { \frac { \partial W } { \partial { \bar { I } } _ { 1 } } } + 2 ~ { \bar { I } } _ { 2 } ~ { \frac { \partial W } { \partial { \bar { I } } _ { 2 } } } \right) \right] { \boldsymbol { \mathit { 1 } } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { \left\| ( w _ { k } + B u _ { k } ^ { p r } ) ^ { \top } P ^ { * } \left( A x _ { k } + B u _ { k } ^ { c b } \right) \right\| } \\ { \leq } & { ( \| w _ { k } \| + \| B \| \| v _ { k } \| ) \| P ^ { * } \| \left( \| A \| \| x _ { k } \| + \| B \| \left\| u _ { k } ^ { c b } \right\| \right) } \\ { \leq } & { \frac { 1 } { 2 } C _ { \mathrm { c r o s s } } \left( \log ( k / \delta ) \right) ^ { 3 / 2 } . } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } c _ { n } ^ { + } ( \widetilde { \gamma } , \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) = \widetilde { \gamma } - \frac { \omega _ { N } } { 2 \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { 1 } } { 2 } \right) } \qquad \textnormal { a n d } \qquad \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } c _ { n } ^ { - } ( \widetilde { \gamma } , \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) = \widetilde { \gamma } + \frac { \omega _ { S } } { 2 \sin ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { 2 } } { 2 } \right) } \cdot
\overline { { D } } _ { 0 } ( \overline { { \rho } } ( x , t ) ) = \overline { { D } } _ { 0 } ( \rho _ { 0 } ) + \varepsilon \overline { { D } } _ { 0 } ^ { \prime } ( \rho _ { 0 } ) \frac { \rho _ { 1 } ( x , t ) } { \rho _ { 0 } } + O ( \varepsilon ^ { 2 } )
\sqrt { \omega _ { \alpha } + \Delta \omega _ { \alpha } } \approx \sqrt { \omega _ { \alpha } } + \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \omega _ { \alpha } } \frac { \Delta \omega _ { \alpha } } { \omega _ { \alpha } } - \frac { 1 } { 8 } \sqrt { \omega _ { \alpha } } \left( \frac { \Delta \omega _ { \alpha } } { \omega _ { \alpha } } \right) ^ { 2 } + \dots
\begin{array} { r l } { \tilde { \mathbf { d } } ^ { \lessgtr } } & { = \left[ \begin{array} { l l l l } { \mathbf { M } _ { 1 } ^ { \lessgtr } } & { \mathbf { C } _ { 1 } ^ { \lessgtr } } & & { \mathbf { 0 } } \\ { \mathbf { C } _ { 1 } ^ { \lessgtr , \dagger } } & { \mathbf { M } _ { 2 } ^ { \lessgtr } } & { \ddots } \\ & { \ddots } & { \ddots } & { \mathbf { C } _ { j - 1 } ^ { \lessgtr } } \\ { \mathbf { 0 } } & & { \mathbf { C } _ { j - 1 } ^ { \lessgtr , \dagger } } & { \mathbf { M } _ { j } ^ { \lessgtr } } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { h _ { \mathrm { ~ t ~ r ~ a ~ n ~ s ~ } } ( x ) } & { { } = 1 \ \mathrm { ~ i ~ f ~ } \ ( \omega ^ { \mathrm { ~ P ~ 2 ~ } } - \pi ) ^ { 2 } + ( \xi ^ { \mathrm { ~ P ~ 2 ~ } } - \pi ) ^ { 2 } < 0 . 0 6 2 5 } \\ { h _ { \mathrm { ~ c ~ i ~ s ~ } } ( x ) } & { { } = 1 \ \mathrm { ~ i ~ f ~ } \ ( \omega ^ { \mathrm { ~ P ~ 2 ~ } } ) ^ { 2 } + ( \xi ^ { \mathrm { ~ P ~ 2 ~ } } - \pi ) ^ { 2 } < 0 . 0 6 2 5 } \end{array}
\begin{array} { r } { \tilde { \mathbf { m } } _ { \mathbf { s } , j } ^ { e , \mathrm { T } , c } = \mathbf { m } _ { \mathbf { s } , j } ^ { e , \mathrm { T } , c } [ \mathcal { I } _ { [ r _ { c } ] } ] , \quad \tilde { \mathbf { C } } _ { \mathbf { s } , j } ^ { e , \mathrm { T } , c } [ i , i ] = \mathbf { c } _ { \mathbf { s } , j } ^ { e , \mathrm { T } , c } [ i ] , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { { N u } } \leq C _ { \frac { 1 } { 2 } } \sqrt { \underline { { \alpha } } } \| \alpha + \kappa \| _ { W ^ { 1 , \infty } } ^ { 2 } \mathrm { { R a } } ^ { \frac { 1 } { 2 } } + C _ { \frac { 5 } { 1 2 } } \underline { { \alpha } } ^ { - \frac { 1 } { 1 2 } } \mathrm { { R a } } ^ { \frac { 5 } { 1 2 } } . } \end{array}
M _ { \mathrm { u } } \; \sim \; c _ { \mathrm { u } } \left( \begin{array} { l l l } { { 0 } } & { { \lambda ^ { 6 } } } & { { 0 } } \\ { { \lambda ^ { 6 } } } & { { \lambda ^ { 4 } } } & { { \lambda ^ { 2 } } } \\ { { 0 } } & { { \lambda ^ { 2 } } } & { { 1 } } \end{array} \right) ,