harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { | \mathrm { I } _ { k , \ell } | } & { \leq \sum _ { n = n _ { \ell } } ^ { n _ { k } - 1 } \mu _ { n + 1 } \widehat \Psi ( { \boldsymbol { \mathsf { x } } } _ { n } ) ^ { p - 1 } \widehat \Psi ( { \boldsymbol { \mathsf { x } } } _ { n _ { k } } ) \leq \sum _ { n = n _ { \ell } } ^ { n _ { k } - 1 } \mu _ { n + 1 } \widehat \Psi ( { \boldsymbol { \mathsf { x } } } _ { n } ) ^ { p } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left[ \begin{array} { l } { c _ { ( m - 2 ) \times k } } \\ { c _ { ( m - 2 ) \times k + 1 } } \\ { \vdots } \\ { c _ { ( m - 2 ) \times k + ( k - 1 ) } } \\ { c _ { ( m - 1 ) \times k } } \\ { c _ { ( m - 1 ) \times k + 1 } } \\ { \vdots } \\ { c _ { ( m - 1 ) \times k + ( k - 1 ) } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l l l } { a _ { m - 2 , m - 2 } } & { } & { 0 } & { } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { d _ { 0 , m - 2 } } \\ { d _ { 1 , m - 2 } } \\ { \vdots } \\ { d _ { k - 1 , m - 2 } } \\ { d _ { 0 , m - 1 } } \\ { d _ { 1 , m - 1 } } \\ { \vdots } \\ { d _ { k - 1 , m - 1 } } \end{array} \right] } \end{array}
\begin{array} { l l } { { \Im m \Pi _ { 0 } ( \omega , { \bf q } ) = } } & { { { \displaystyle - \frac { m ^ { * 2 } } { \pi q \beta } \log \frac { 1 + e ^ { \beta ( \mu - E _ { - } ) } } { 1 + e ^ { \beta ( \mu - E _ { + } ) } } } } } \\ { { \Im m \Pi _ { 2 } ( \omega , { \bf q } ) = } } & { { { \displaystyle - \frac { 2 m ^ { * 3 } } { \pi \beta ^ { 2 } q } \left( \beta \sqrt { E _ { + } E _ { - } } \log \frac { 1 + e ^ { \beta ( \mu - E _ { - } ) } } { 1 + e ^ { \beta ( \mu - E _ { + } ) } } + \mathrm { L i } _ { 2 } \left( 1 + e ^ { \beta ( \mu - E _ { + } ) } \right) - \mathrm { L i } _ { 2 } \left( 1 + e ^ { \beta ( \mu - E _ { - } ) } \right) \right) } } } \\ { { \Im m \Pi _ { 4 } ( \omega , { \bf q } ) = } } & { { { \displaystyle - q \sqrt { 2 m ^ { * } E _ { + } } \Im m \Pi _ { 2 } + 2 \Im m I _ { 4 } - 2 \sqrt { 2 m ^ { * } E _ { + } } q \Im m I _ { 2 } } } } \end{array}
\mathbf { M } _ { \mathrm { e f f } } ( \omega ) = \left[ \begin{array} { l l } { M _ { 0 } + \frac { 2 m ( 2 k _ { c } ^ { 2 } - 2 k k _ { t } + I _ { m } k \omega ^ { 2 } ) } { 4 k _ { c } ^ { 2 } - ( 2 k _ { t } - I _ { m } \omega ^ { 2 } ) ( 2 k - m \omega ^ { 2 } ) } } & { \frac { 2 I _ { m } k _ { c } m \omega ^ { 2 } } { 4 k _ { c } ^ { 2 } - ( 2 k _ { t } - I _ { m } \omega ^ { 2 } ) ( 2 k - m \omega ^ { 2 } ) } } \\ { \frac { 2 I _ { m } k _ { c } m \omega ^ { 2 } } { 4 k _ { c } ^ { 2 } - ( 2 k _ { t } - I _ { m } \omega ^ { 2 } ) ( 2 k - m \omega ^ { 2 } ) } } & { I _ { 0 } + \frac { 2 I _ { m } ( 2 k _ { c } ^ { 2 } - 2 k k _ { t } + m k _ { t } \omega ^ { 2 } ) } { 4 k _ { c } ^ { 2 } - ( 2 k _ { t } - I _ { m } \omega ^ { 2 } ) ( 2 k - m \omega ^ { 2 } ) } } \end{array} \right] \, .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } | V _ { t } ^ { \lambda } - V _ { \lfloor t \rfloor } | ^ { 2 } } & { \leq 8 \lambda ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } \mathbb { E } | \int _ { \lfloor t \rfloor } ^ { t } V _ { \lfloor s \rfloor } ^ { \lambda } d s | ^ { 2 } + 8 \lambda ^ { 2 } \mathbb { E } | \int _ { \lfloor t \rfloor } ^ { t } h _ { t a m , \gamma } ( \theta _ { \lfloor s \rfloor } ^ { \lambda } ) d s | ^ { 2 } + 1 6 \frac { \lambda \gamma } { \beta } \mathbb { E } | B _ { \lfloor t \rfloor } - B _ { t } | ^ { 2 } } \\ & { \leq 8 \lambda ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } \int _ { \lfloor t \rfloor } ^ { t } \mathbb { E } | V _ { \lfloor s \rfloor } ^ { \lambda } | ^ { 2 } d s + 8 \lambda ^ { 2 } \int _ { \lfloor t \rfloor } ^ { t } \mathbb { E } \big | h _ { t a m , \gamma } ( \theta _ { \lfloor s \rfloor } ^ { \lambda } ) \big | ^ { 2 } d s + 1 6 \frac { \lambda \gamma } { \beta } d } \\ & { \leq 8 \lambda ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } \int _ { \lfloor t \rfloor } ^ { t } \mathbb { E } | V _ { \lfloor s \rfloor } ^ { \lambda } | ^ { 2 } d s + 8 \lambda ^ { 2 } ( A \int _ { \lfloor t \rfloor } ^ { t } \mathbb { E } | \theta _ { \lfloor s \rfloor } ^ { \lambda } | ^ { 2 } d s + 4 \gamma ) + 1 6 \frac { \lambda \gamma d } { \beta } . } \end{array}
E _ { y } \left( x _ { 0 } , y _ { 0 } , \Delta k \right) = - \frac { \Delta k \cos \left( \Delta k z _ { 0 } \right) } { 2 \pi \epsilon } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d x d y ( y _ { 0 } - y ) \frac { K _ { 1 } \left( \Delta k \sqrt { ( x _ { 0 } - x ) ^ { 2 } + ( y _ { 0 } - y ) ^ { 2 } } \right) } { \sqrt { ( x _ { 0 } - x ) ^ { 2 } + ( y _ { 0 } - y ) ^ { 2 } } } \rho _ { 0 } ( x , y )
n _ { _ { I I I } } = 7 . 7 \times 1 0 ^ { 1 4 } \times \left( \frac { 1 0 0 } { N _ { s p } } \right) ^ { 1 / 3 } \times \left( \frac { \tau _ { _ { 1 / 2 } } } { 1 \; s e c } \right) ^ { 2 / 3 } \; s e c ^ { - 1 } .
\frac { \left( \frac { 1 } { b ^ { 2 } } - 1 \right) n _ { i } ^ { 2 } } { b ^ { 2 } n _ { r } ^ { 2 } } < < 1 \, \, \, \Rightarrow \frac { b ^ { 2 } } { \sqrt { 1 - b ^ { 2 } } } > > \frac { n _ { i } } { n _ { r } } \, \, \, \Rightarrow \frac { \beta _ { r } ^ { 2 } } { \sqrt { n _ { r } ^ { 2 } k _ { 0 } ^ { 2 } - \beta _ { r } ^ { 2 } } } > > n _ { i } k _ { 0 }
\begin{array} { r l } { \frac { d V ^ { \mathrm { l v } } \left( u _ { i } \right) } { d t } - q ^ { \mathrm { v e n , P } } + q ^ { \mathrm { a r t , S } } } & { = 0 , } \\ { \frac { d V ^ { \mathrm { r v } } \left( u _ { i } \right) } { d t } - q ^ { \mathrm { v e n , S } } + q ^ { \mathrm { a r t , P } } } & { = 0 , } \\ { C ^ { \mathrm { a r t , P } } \frac { d p ^ { \mathrm { a r t , P } } } { d t } - q ^ { \mathrm { a r t , P } } + q ^ { \mathrm { p e r , P } } } & { = 0 , } \\ { C ^ { \mathrm { a r t , S } } \frac { d p ^ { \mathrm { a r t , S } } } { d t } - q ^ { \mathrm { a r t , S } } + q ^ { \mathrm { p e r , S } } } & { = 0 , } \\ { C ^ { \mathrm { v e n , S } } \frac { d p ^ { \mathrm { v e n , S } } } { d t } - q ^ { \mathrm { p e r , S } } + q ^ { \mathrm { a r t , S } } } & { = 0 , } \\ { C ^ { \mathrm { v e n , P } } p ^ { \mathrm { v e n , P } } - V ^ { \mathrm { v e n , P } } + V _ { \mathrm { { r e f 0 } } } ^ { \mathrm { v e n , P } } } & { = 0 , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { x _ { 1 } } & { = 3 / 5 = 0 . 6 , } \\ { x _ { 2 } } & { = ( 3 / 5 ) / 1 1 + 2 5 / 1 1 = 3 / 5 5 + 2 5 / 1 1 = 2 . 3 2 7 2 , } \\ { x _ { 3 } } & { = - ( 3 / 5 ) / 5 + ( 2 . 3 2 7 2 ) / 1 0 - 1 1 / 1 0 = - 3 / 2 5 + 0 . 2 3 2 7 2 - 1 . 1 = - 0 . 9 8 7 3 , } \\ { x _ { 4 } } & { = - 3 ( 2 . 3 2 7 2 ) / 8 + ( - 0 . 9 8 7 3 ) / 8 + 1 5 / 8 = 0 . 8 7 8 9 . } \end{array} }
n ( \kappa ) = \frac { 2 \kappa ^ { 2 / 3 } \tan \left( \textrm { a r c o s } ( 1 / \kappa ) \right) } { \tan \left( \textrm { a r c o s } ( 1 / \kappa ) \right) + \kappa ^ { 2 } \textrm { a r c o s } ( 1 / \kappa ) } .
C = g _ { 2 } ^ { V } g _ { 1 } ^ { A } \frac { 1 } { 2 m _ { 2 } } ( Z ^ { \prime } ( r ) \vec { n } [ \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } ] ) - 2 Z ( r ) \vec { \sigma _ { 1 } } \vec { p _ { 2 } } - i \vec { \sigma _ { 1 } } \vec { n } Z ^ { \prime } ( r ) )
\begin{array} { r l } { k _ { \pm } } & { = \pm \frac { \pi n } { L } - q k _ { y , n } ( \omega ) } \\ { k _ { y , n } ( \omega ) } & { = \pm \sqrt { \frac { 1 } { \eta _ { x x } - q ^ { 2 } \eta _ { y y } } \left\{ \left( \frac { \omega } { c } \right) ^ { 2 } - \eta _ { y y } \left( \frac { \pi n } { L } \right) ^ { 2 } \right\} } , } \end{array}
{ { A } _ { i } ^ { \gamma } } ( { \bf { r } } ) = \frac { 1 } { g r } \left\{ \left( { \delta } _ { { i } \, { \gamma } } - \frac { r _ { i } r _ { \gamma } } { r ^ { 2 } } \right) \, { \cal N } + \frac { r _ { i } \, r _ { \gamma } } { r } \frac { d \, { \cal N } } { d r } \right\} + { \delta } _ { { i } \, { \gamma } } \, { \cal T } _ { A } + \frac { r _ { i } \, r _ { \gamma } } { r ^ { 2 } } \, { \cal T } _ { B } + { \epsilon } _ { i { \gamma } n } \frac { r _ { n } } { r } \, { \cal T } _ { C } \, ,
\begin{array} { r l } { | ( \partial _ { \xi } ) ^ { \eta - n } } & { \widehat { \mathfrak { a } } ^ { \varphi , x } ( \omega , l _ { 1 } , j _ { 1 } , \xi + \tau _ { 1 } j _ { 2 } ) | | ( \partial _ { \xi } ) ^ { n } \widehat { \mathfrak { b } } ^ { \varphi , x } ( \omega , l _ { 2 } , j _ { 2 } , \xi + \tau _ { 2 } j _ { 1 } ) | } \\ & { \le _ { m , m ^ { \prime } , \eta , s } | \mathfrak { a } ( \omega ) | _ { m , s + \mu , \eta } \frac { \langle \xi + \tau _ { 1 } j _ { 2 } \rangle ^ { m - ( \eta - n ) } } { ( \langle j _ { 1 } \rangle + \langle l _ { 1 } \rangle ) ^ { s + \mu } } | \mathfrak { b } ( \omega ) | _ { m ^ { \prime } , s _ { 0 } + \mu , \eta _ { 0 } } \frac { \langle \xi + \tau _ { 2 } j _ { 1 } \rangle ^ { m ^ { \prime } - n } } { ( \langle j _ { 2 } \rangle + \langle l _ { 2 } \rangle ) ^ { s _ { 0 } + \mu } } } \\ & { \le | \mathfrak { a } ( \omega ) | _ { m , s + \mu , \eta } | \mathfrak { b } ( \omega ) | _ { m ^ { \prime } , s _ { 0 } + \mu , \eta } \frac { \langle \xi + \tau _ { 1 } j _ { 2 } \rangle ^ { m - ( \eta - n ) } \langle \xi + \tau _ { 2 } j _ { 1 } \rangle ^ { m ^ { \prime } - n } } { ( \langle j _ { 1 } \rangle + \langle l _ { 1 } \rangle ) ^ { s + \mu } ( \langle j _ { 2 } \rangle + \langle l _ { 2 } \rangle ) ^ { s _ { 0 } + \mu } } . } \end{array}
\left\lVert E _ { 1 } ^ { { \theta / 2 } ^ { * } } ( \mathbf { 1 } \otimes \operatorname { v e c } ( I _ { d } ) ) \right\rVert _ { \boldsymbol \pi } \left\lVert E _ { n } ^ { \theta / 2 } ( \mathbf { 1 } \otimes \operatorname { v e c } ( I _ { d } ) ) \right\rVert _ { \boldsymbol \pi } \prod _ { j = 1 } ^ { n - 1 } \left\lVert E _ { j } ^ { \theta / 2 } \tilde { P } E _ { j + 1 } ^ { \theta / 2 } \right\rVert _ { \boldsymbol \pi } .
\begin{array} { r l } { \sin ( z ) } & { = z \left( 1 - \frac { 1 } { 3 ! } z ^ { 2 } + \frac { 1 } { 5 ! } z ^ { 4 } - \cdots + \frac { ( - 1 ) ^ { M } } { ( 2 M + 1 ) ! } z ^ { 2 M } \right) + ~ { \cal O } ( z ^ { 2 M + 3 } ) } \\ & { \displaystyle = z \prod _ { s = 1 } ^ { 2 M } \left( 1 - \frac { z } { z _ { s } ^ { ( 2 M ) } } \right) + { \cal O } ( z ^ { 2 M + 3 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { 0 = \delta \int \ell ( u , q g ^ { - 1 } , v g ^ { - 1 } , a ) + \left< m \, , \, \dot { g } g ^ { - 1 } - u \right> + \left< b \, , \, a _ { 0 } g ^ { - 1 } - a \right> + \left< p g ^ { - 1 } \, , \, \Dot { q } g ^ { - 1 } - v g ^ { - 1 } \right> \, d t \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { [ L _ { p _ { m } } ( A , E _ { i j } ) ] _ { u v } } & { = } & { { \mathbf e } _ { u } ^ { T } \left( \sum _ { k = 1 } ^ { m } \alpha _ { k } \sum _ { \ell = 1 } ^ { k } A ^ { \ell - 1 } E _ { i j } A ^ { k - \ell } \right) { \mathbf e } _ { v } } \\ & { = } & { \sum _ { k = 1 } ^ { m } \alpha _ { k } \sum _ { \ell = 1 } ^ { k } { \mathbf e } _ { u } ^ { T } A ^ { \ell - 1 } { \mathbf e } _ { i } { \mathbf e } _ { j } ^ { T } A ^ { k - \ell } { \mathbf e } _ { v } } \\ & { = } & { \sum _ { k = 1 } ^ { m } \alpha _ { k } \sum _ { \ell = 1 } ^ { k } [ A ^ { \ell - 1 } ] _ { u i } [ A ^ { k - \ell } ] _ { j v } . } \end{array}
E _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ s ~ } } = \frac { \langle \Psi ( r ) | \hat { H } ( r e ^ { i \theta } ) | \Psi ( r ) \rangle } { \langle \Psi ( r ) | \Psi ( r ) \rangle } = \frac { \langle \Psi ( r e ^ { - i \theta } ) | \hat { H } ( r ) | \Psi ( r e ^ { - i \theta } ) \rangle } { \langle \Psi ( r e ^ { - i \theta } ) | \Psi ( r e ^ { - i \theta } ) \rangle }
\begin{array} { r l } { H ^ { \prime } ( \theta ^ { \prime } ) } & { = L _ { 0 } + L _ { 1 } \| \nabla f ( w _ { \theta ^ { \prime } } ) \| ^ { \alpha } } \\ & { \le L _ { 0 } + L _ { 1 } \| \nabla f ( w _ { \theta ^ { \prime } } ) - \nabla f ( w ) \| ^ { \alpha } + L _ { 1 } \| \nabla f ( w ) \| ^ { \alpha } } \\ & { \overset { ( i ) } { \le } L _ { 0 } + L _ { 1 } \| w ^ { \prime } - w \| ^ { \alpha } H ( \theta ^ { \prime } ) ^ { \alpha } + L _ { 1 } \| \nabla f ( w ) \| ^ { \alpha } } \\ & { \overset { ( i i ) } { \le } 3 L _ { 1 } \Big ( \frac { 1 } { 3 } \| w ^ { \prime } - w \| H ( \theta ^ { \prime } ) + \frac { 1 } { 3 } \| \nabla f ( w ) \| + \frac { L _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { \alpha } } } { 3 L _ { 1 } ^ { \frac { 1 } { \alpha } } } \Big ) ^ { \alpha } . } \end{array}
\Theta \left[ \begin{array} { l l } { \displaystyle 1 } & { \displaystyle \frac { 1 } { 2 } } \\ { \displaystyle \frac { 1 } { 2 } } & { \displaystyle \frac { 1 } { 3 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \displaystyle \tilde { \xi } _ { , \tau \tau } ( \tau ) } \\ { \displaystyle \tilde { \phi } _ { , \tau \tau } ( \tau ) } \end{array} \right] + \left[ \begin{array} { l l } { \displaystyle \frac { k } { \zeta _ { \pm } } ( \zeta _ { \pm } \mp \sigma ) + \frac { 1 \mp \gamma \zeta _ { \pm } } { \zeta _ { \pm } ^ { 2 } } \quad } & { \displaystyle \frac { - \gamma \zeta _ { \pm } \pm 1 } { \zeta _ { \pm } } } \\ { \displaystyle \pm \frac { 1 } { \zeta _ { \pm } } } & { 1 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \displaystyle \tilde { \xi } ( \tau ) } \\ { \displaystyle \tilde { \phi } ( \tau ) } \end{array} \right] = \boldsymbol { 0 }
\{ Q _ { \beta } , Q _ { \beta ^ { \prime } } \} = 2 i \delta _ { \beta \beta ^ { \prime } } \overline { { { z } } } _ { E } J _ { E } \quad \quad \{ Q _ { \beta } , Q _ { \beta ^ { \prime } } ^ { \dagger } \} = \delta _ { \beta \beta ^ { \prime } } H \ + \ 2 \Gamma _ { \beta \beta ^ { \prime } } ^ { j } x _ { j E } J _ { E }
\begin{array} { r } { R i c ( F _ { \ast } X , V ) = \sum _ { j = r + 1 } ^ { m } g _ { 2 } ( ( \tilde { \nabla } _ { X } \mathcal { S } ) _ { V } F _ { \ast } X _ { j } , F _ { \ast } X _ { j } ) - \sum _ { j = r + 1 } ^ { m } g _ { 2 } ( ( \tilde { \nabla } _ { X _ { j } } \mathcal { S } ) _ { V } F _ { \ast } X _ { j } , F _ { \ast } X _ { j } ) - \sum _ { k = 1 } ^ { n _ { 1 } } g _ { 2 } ( R ^ { F \bot } ( F _ { \ast } X , e _ { k } ) V , e _ { k } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \frac { 1 } { k + 1 } = 1 + \sum _ { k = 1 } ^ { K - 1 } \frac { 1 } { k + 1 } \leq 1 + \int _ { 0 } ^ { K - 1 } \frac { 1 } { s + 1 } d s = 1 + \ln K , } \\ & { \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \frac { 1 } { \sqrt { k + 1 } } \geq \int _ { 0 } ^ { K } \frac { 1 } { \sqrt { s + 1 } } d s = 2 \sqrt { K + 1 } - 2 . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal { F } _ { 2 \tau , 2 h } ( 2 \theta _ { t } , 2 \theta _ { x } ) : = \mathrm { s p a n } \left\{ \boldsymbol { \Phi } ( 2 \check { \theta } _ { t } , 2 \theta _ { x } ) , \boldsymbol { \Phi } ( 2 \hat { \theta } _ { t } , 2 \theta _ { x } ) \right\} , } \\ & { \mathcal { F } _ { 4 \tau , 2 h } ( 4 \theta _ { t } , 2 \theta _ { x } ) : = \mathrm { s p a n } \left\{ \boldsymbol { \Phi } ( 4 \theta _ { t } , 2 \theta _ { x } ) \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Sigma _ { \beta , { \small \textsc { { M k v } } } } } & { = { \operatorname { V a r } } ( D _ { \beta } ( \theta ^ { 1 } ) ) + 2 \sum _ { \tau = 2 } ^ { \infty } { \operatorname { C o v } } ( D _ { \beta } ( \theta ^ { 1 } ) , D _ { \beta } ( \theta ^ { \tau } ) ) } \\ & { = ( { \mathcal { H } } _ { B } ) ^ { \dagger } \Omega _ { { \small \textsc { { M k v } } } } ( { \mathcal { H } } _ { B } ) ^ { \dagger } , } \\ & { \mathrm { w h e r e ~ } \Omega _ { { \small \textsc { { M k v } } } } = { \operatorname { V a r } } ( { \mu ^ { * } } ( \theta ^ { 1 } ) ) + 2 { \sum _ { \tau = 2 } ^ { t } } { \operatorname { C o v } } ( { \mu ^ { * } } ( { \theta ^ { 1 } } ) , { \mu ^ { * } } ( { \theta ^ { 2 } } ) ) , } \\ { \sigma _ { { \small \textsc { { R E V } } } , { \small \textsc { { M k v } } } } ^ { 2 } } & { = { \operatorname { V a r } } ( D _ { \small \textsc { { R E V } } } ( \theta ^ { 1 } ) ) + 2 \sum _ { \tau = 2 } ^ { \infty } { \operatorname { C o v } } ( D _ { \small \textsc { { R E V } } } ( \theta ^ { 1 } ) , D _ { \small \textsc { { R E V } } } ( \theta ^ { \tau } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \big \| \chi ^ { 2 } \big ( P _ { 0 } , P _ { 1 } , \dots , P _ { | { \mathcal M } | } \big ) \big \| _ { 1 , \infty } } & { = \sum _ { r = 1 } ^ { s } \binom { s } { r } \binom { n - s } { s - r } \Big [ \Big ( \frac { n } { s ^ { 2 } } \Big ) ^ { r \alpha ^ { \prime } } - 1 \Big ] } \\ & { = \sum _ { r = 1 } ^ { s } \frac { s } { r } \binom { s - 1 } { r - 1 } \binom { n - s } { s - r } \Big [ \Big ( \frac { n } { s ^ { 2 } } \Big ) ^ { r \alpha ^ { \prime } } - 1 \Big ] } \\ & { \leq s \sum _ { r = 1 } ^ { s } b ( n , s , r ) \Big [ \Big ( \frac { n } { s ^ { 2 } } \Big ) ^ { r \alpha ^ { \prime } } - 1 \Big ] } \\ & { \leq \frac { s b ( n , s , 1 ) } { 1 - ( 1 / 2 ) ^ { 0 . 0 1 } } \Big ( \frac n { s ^ { 2 } } \Big ) ^ { \alpha ^ { \prime } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Omega _ { n + 1 } ^ { \gamma } ( i _ { 0 } ) } \\ & { \quad : = \left\{ \omega \in \Omega _ { n } ^ { \gamma } ( i _ { 0 } ) : | \mathrm { i } \omega \cdot l - ( d _ { n } ( \omega , j ) - d _ { n } ( \omega , k ) ) | \ge \frac { 1 } { 2 } \gamma | l | ^ { - \tau } | \lambda _ { \alpha } ( j ) - \lambda _ { \alpha } ( k ) | , \ \forall | l | \le N _ { n } , \ \forall j , k \in S _ { \mathtt { M } } ^ { \perp } \cup \left\{ 0 \right\} \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega _ { \phi } } & { = \frac { \sqrt [ 6 ] { 2 } \zeta \left( 9 \zeta \left( 6 \zeta + \sqrt { 2 } \sqrt { r } \right) - 5 0 0 \right) ^ { 2 / 3 } \left( \sqrt { r } - 3 \sqrt { 2 } \zeta \right) } { \left( 5 0 - 9 \zeta ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } } \\ & { + \frac { 2 5 0 \ 2 ^ { 2 / 3 } \left( 9 \zeta \left( 6 \zeta + \sqrt { 2 } \sqrt { r } \right) - 5 0 0 \right) ^ { 2 / 3 } } { 9 \left( 5 0 - 9 \zeta ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } } \\ & { + \frac { 1 } { 9 } \left( - \sqrt [ 3 ] { 2 } \sqrt [ 3 ] { 9 \zeta \left( 6 \zeta + \sqrt { 2 } \sqrt { r } \right) - 5 0 0 } + 1 \right) , } \end{array}
F _ { p } = \frac { V _ { p - 2 } \tilde { V } _ { 2 } } { ( 2 \pi ) ^ { p } \tilde { g } \tilde { b } } \left( \frac { u } { R } \right) ^ { 7 - p } \left[ \sqrt { \tilde { f } } - 1 + \frac { u _ { 0 } ^ { 7 - p } } { 2 u ^ { 7 - p } } \right] .
\Sigma _ { E } ^ { b b } \left( \textit { \textbf { k } } | \textit { \textbf { p } } , \textit { \textbf { q } } \right) + \Sigma _ { E } ^ { b b } \left( \textit { \textbf { p } } | \textit { \textbf { q } } , \textit { \textbf { k } } \right) + \Sigma _ { E } ^ { b b } \left( \textit { \textbf { q } } | \textit { \textbf { k } } , \textit { \textbf { p } } \right) = 0 ,
{ \begin{array} { r l } { \nabla \times \nabla \times \mathbf { E } _ { \mathrm { r a d } } } & { = - { \frac { \partial } { \partial t } } ( \nabla \times \mathbf { B } _ { \mathrm { r a d } } ) } \\ { \nabla \times \nabla \times \mathbf { E } _ { \mathrm { r a d } } } & { = - { \frac { \partial } { \partial t } } \left( \mu _ { 0 } \mathbf { J } + \epsilon _ { 0 } \mu _ { 0 } { \frac { \partial \mathbf { E } _ { \mathrm { r a d } } } { \partial t } } \right) } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \mu ( t > t _ { e n d } ) } & { { } = b \bigg ( \frac { ( f ( t _ { e n d } , m = 0 ) + \Delta f ) e ^ { - \alpha t _ { e n d } } } { a } \bigg ) ^ { \beta / \alpha } e ^ { \beta t } } \end{array}
\omega _ { c o } ^ { u } = \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } \omega _ { c e } \Big [ \Big ( 1 + 4 \omega _ { e } ^ { 2 } / \omega _ { c e } ^ { 2 } \Big ) ^ { 1 / 2 } + 1 \Big ] < \omega _ { n X }
\begin{array} { r l r l } & { p ( N | T \hat { \mathcal { G } } ) = p ( N | \hat { \mathcal { G } } ) } & & { p ( N | \hat { \pi } \hat { \mathcal { G } } ) = p ( N | \hat { \mathcal { G } } ) } \\ & { p ( T V | N , T \hat { \mathcal { G } } ) = p ( V | N , \hat { \mathcal { G } } ) } & & { p ( \pi V | N , \hat { \pi } \hat { \mathcal { G } } ) = p ( V | N , \hat { \mathcal { G } } ) } \\ & { p ( E | N , T V , T \hat { \mathcal { G } } ) = p ( E | N , V , \hat { \mathcal { G } } ) } & & { p ( \pi E | N , \pi V , \hat { \pi } \hat { \mathcal { G } } ) = p ( E | N , V , \hat { \mathcal { G } } ) } \\ & { p ( A | N , T V , E , T \hat { \mathcal { G } } ) = p ( A | N , V , E , \hat { \mathcal { G } } ) \quad } & & { p ( A | N , \pi V , \pi E , \hat { \pi } \hat { \mathcal { G } } ) = p ( A | N , V , E , \hat { \mathcal { G } } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { x } } & { { } = \iint _ { R } y ^ { 2 } \, \mathrm { d } A = \int _ { - { \frac { b } { 2 } } } ^ { \frac { b } { 2 } } \int _ { - { \frac { h } { 2 } } } ^ { \frac { h } { 2 } } y ^ { 2 } \, \mathrm { d } y \, \mathrm { d } x = \int _ { - { \frac { b } { 2 } } } ^ { \frac { b } { 2 } } { \frac { 1 } { 3 } } { \frac { h ^ { 3 } } { 4 } } \, \mathrm { d } x = { \frac { b h ^ { 3 } } { 1 2 } } } \\ { I _ { y } } & { { } = \iint _ { R } x ^ { 2 } \, \mathrm { d } A = \int _ { - { \frac { b } { 2 } } } ^ { \frac { b } { 2 } } \int _ { - { \frac { h } { 2 } } } ^ { \frac { h } { 2 } } x ^ { 2 } \, \mathrm { d } y \, \mathrm { d } x = \int _ { - { \frac { b } { 2 } } } ^ { \frac { b } { 2 } } h x ^ { 2 } \, \mathrm { d } x = { \frac { b ^ { 3 } h } { 1 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r } { R _ { n \kappa } ^ { \kappa ^ { \prime } L } = \int _ { 0 } ^ { \infty } \Big [ f _ { n \kappa } { ( r ) } f _ { \varepsilon \kappa ^ { \prime } } { ( r ) } ( j _ { L } { ( q r ) } - 1 ) } \\ { - g _ { n \kappa } { ( r ) } g _ { \varepsilon \kappa ^ { \prime } } { ( r ) } ( j _ { L } { ( q r ) } + 1 ) \Big ] d r \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { H _ { \epsilon } ^ { ( 1 ) } ( s ) } & { : = \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \frac { \frac { s } { \epsilon } } { \sqrt { 1 + ( \frac { s } { \epsilon } ) ^ { 2 } } } } & { \qquad \epsilon > 0 , \ s \in \mathbb { R } , } \\ { H _ { \epsilon } ^ { ( 2 ) } ( s ) } & { : = \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \operatorname { t a n h } \left( \frac { s } { \epsilon } \right) } & { \qquad \epsilon > 0 , \ s \in \mathbb { R } , } \\ { H _ { \epsilon } ^ { ( 3 ) } ( s ) } & { : = \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { \pi } \arctan \left( \frac { s } { \epsilon } \right) } & { \qquad \epsilon > 0 , \ s \in \mathbb { R } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \beta _ { 1 } } & { = } & { 1 - \frac { C _ { \epsilon } } { \alpha } - \frac { C _ { 3 } } { \widetilde { \rho } \delta _ { 1 } \delta _ { 2 } \alpha } , } \\ { \beta _ { 2 } } & { = } & { 1 + \delta _ { 1 } - \frac { \widetilde { \rho } ( 1 + \epsilon ) \lambda \theta C _ { 1 } ^ { - 1 } } { 2 } , } \\ { \beta _ { 3 } } & { = } & { ( 1 + \epsilon ) ( 1 - \frac { \lambda \theta } { 2 } ) + \frac { C _ { \epsilon } } { \alpha } + \frac { C _ { 3 } } { \widetilde { \rho } \delta _ { 1 } \delta _ { 2 } \alpha } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \boldsymbol { M } _ { \sigma } ^ { ( i , j ) } = { \boldsymbol { M } _ { \sigma } ^ { ( i , j ) } } ^ { T } } & { = { \boldsymbol { M } _ { \sigma } ^ { ( i , j ) } } ^ { - 1 } , \quad } & { \operatorname* { d e t } \left( \boldsymbol { M } _ { \sigma } ^ { ( i , j ) } \right) } & { = 1 , } \\ { \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left( \boldsymbol { M } _ { \sigma } ^ { ( i , j ) } \boldsymbol { v } \right) _ { i } } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \boldsymbol { v } _ { i } , \quad } & { \left( \boldsymbol { M } _ { \sigma } ^ { ( i , j ) } \boldsymbol { v } \right) ^ { 2 } } & { = \boldsymbol { v } ^ { 2 } . } \end{array}
\omega _ { i } ( t = t _ { b } + \varepsilon ) \Big \vert _ { \Gamma } = \frac { \sum _ { j , k = 1 } ^ { 3 } \epsilon _ { i j k } \left( \widetilde { M } _ { k j } ( t _ { b } , { \mathbf { u } } _ { b } ) + \varepsilon \widetilde { M } _ { k j } ^ { \prime } ( t _ { b } , { \mathbf { u } } _ { b } ) + O ( \varepsilon ^ { 2 } ) \right) } { \varepsilon D _ { 1 } ( t _ { b } , { \mathbf { u } } _ { b } ) + \varepsilon ^ { 2 } D _ { 2 } ( t _ { b } , { \mathbf { u } } _ { b } ) + \varepsilon ^ { 3 } } \, , \qquad \varepsilon \equiv t - t _ { b } \to 0
\begin{array} { r } { \begin{array} { r } { \dot { q } ^ { i } = \frac { \partial H _ { \mathrm { n e t } } } { \partial p _ { i } } , \quad \dot { p } _ { i } = - \frac { \partial H _ { \mathrm { n e t } } } { \partial q ^ { i } } + f _ { \mathrm { n e t } } ( q ) . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\lVert \widetilde { \Lambda } ^ { - 1 } \widetilde { V } ^ { * } \omega ^ { ( - ) } \right\rVert _ { w ^ { k - 1 } } = \left\lVert \beta ^ { ( - ) } \right\rVert _ { w ^ { k - 1 } } . } \end{array}
\beta _ { 0 } \left( Z _ { e f f } \right) = \frac { 3 0 Z _ { e f f } \left( 1 1 Z _ { e f f } + 1 5 \sqrt { 2 } \right) } { 2 1 7 Z _ { e f f } ^ { 2 } + 6 0 4 \sqrt { 2 } Z _ { e f f } + 2 8 8 } .