harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathbf { w } _ { m , m + 1 } = } & { \frac { 1 } { 4 } \big ( 1 + 2 K _ { \mathrm { F Z 4 } } ( \pi - \phi ; 1 ) + K _ { \mathrm { F Z 4 } } ( \pi - \phi ; 2 ) \big ) + } \\ & { \frac { 1 } { 4 } \big ( 1 - K _ { \mathrm { F Z 4 } } ( \pi - \phi ; 2 ) \big ) \big ( \mathbf { Z } _ { m } ^ { \dag } \mathbf { Z } _ { m + 1 } + \mathbf { Z } _ { m } \mathbf { Z } _ { m + 1 } ^ { \dag } \big ) } \\ & { + \frac { 1 } { 4 } \big ( 1 - 2 K _ { \mathrm { F Z 4 } } ( \pi - \phi ; 1 ) + K _ { \mathrm { F Z 4 } } ( \pi - \phi ; 2 ) \big ) \mathbf { Z } _ { m } ^ { 2 } \mathbf { Z } _ { m + 1 } ^ { 2 } . } \end{array}
\eta _ { 1 } ( \theta , \varphi ) = \frac { B _ { 1 } ( \theta , \varphi ) - B _ { 1 } [ \theta + \iota _ { 0 } \Delta \varphi _ { 0 } , \eta _ { 0 } ( \varphi ) ] } { B _ { 0 } ^ { \prime } [ \eta _ { 0 } ( \varphi ) ] } ,
\begin{array} { r l } { Q ( z ) } & { = \frac { 1 } { h ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \pi } \ensuremath { \mathrm { d } } \theta \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \ensuremath { \mathrm { d } } \phi \int _ { - \infty } ^ { \infty } \ensuremath { \mathrm { d } } p _ { \theta } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \ensuremath { \mathrm { d } } p _ { \phi } e ^ { - \beta \mathcal { H } ( z ) } } \\ & { = \frac { 4 \pi z ^ { 2 } e ^ { - \beta U ( z ) } } { \lambda ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { T _ { i j } } & { = \rho u _ { i } u _ { j } + P _ { i j } - c _ { o } ^ { 2 } \rho ^ { \prime } \delta _ { i j } , } \\ { F _ { i } } & { = ( P _ { i j } + \rho u _ { i } ( u _ { j } - v _ { j } ) ) { \partial f } / { \partial x _ { j } } , ~ \mathrm { a n d } } \\ { Q } & { = ( \rho _ { o } v _ { i } + \rho ( u _ { i } - v _ { i } ) ) { \partial f } / { \partial x _ { j } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \langle P _ { q } ( t + \delta ) P _ { q } ( t ) P _ { c l } ( t - \delta ) \rangle = \frac { 1 } { 2 } \langle { \cal T } _ { C } ( \hat { P } _ { + } ( t + \delta ) - \hat { P } _ { - } ( t + \delta ) ) ( \hat { P } _ { + } ( t ) - \hat { P } _ { - } ( t ) ) ( \hat { P } _ { + } ( t - \delta ) + \hat { P } _ { - } ( t - \delta ) ) \rangle . } \end{array}
\int _ { - \infty } ^ { \infty } \! \! \mathrm { d } x \, \frac { - \nu _ { 2 } + \alpha \left[ \nu _ { 1 + } ^ { 2 } - ( u ^ { ( 0 ) } ( x ) ) ^ { 2 } \right] - \mu _ { 2 } \left[ u ^ { ( 0 ) } ( x ) - v ^ { ( 0 ) } ( x ) \right] } { \cosh ^ { 2 } \left[ \nu _ { 1 + } \, m \, ( x - z _ { u } ) \right] } = 0
\begin{array} { r l } { J _ { 2 } ^ { i } } & { { } = \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \mathbb { E } \left[ \left. \tilde { Q } _ { j } ^ { i } ( t ) 1 _ { \{ t < T _ { \xi } \} } F ^ { j } ( \tilde { X } _ { t } ^ { \xi } , T - t ) \right| \tilde { X } _ { t } ^ { \xi } = \eta \right] \mathbb { P } \left[ \tilde { X } _ { t } ^ { \xi } \in \mathrm { d } \eta \right] \mathrm { d } t } \end{array}
A _ { 4 } = \frac { g ^ { 2 } \sqrt { 2 } } { 2 \pi } \int d ^ { 2 } z \ \langle \mathrm { l e f t ~ p a r t } \rangle \ \langle \bar { G } _ { 1 } \bar { G } _ { 2 } \bar { G } _ { 3 } \bar { G } _ { 4 } \rangle \ \langle \prod _ { i } e ^ { i / 2 \ K _ { i } X } e ^ { i / 2 \ K _ { i } \bar { X } } \rangle
\small \left\{ \begin{array} { r l } & { \mathrm { s u r f a c e ~ t e n s i o n : } \ \gamma = 2 . 8 4 \times 1 0 ^ { - 2 } k g / s ^ { 2 } ; } \\ & { \mathrm { d e n s i t i e s : } \ \rho _ { 1 } = \rho _ { 2 } = 4 2 9 . 7 k g / m ^ { 3 } ; \ ( \mathrm { a m b i e n t ~ f l u i d } \ \rho _ { 1 } , \ \mathrm { d r o p } \ \rho _ { 2 } ) } \\ & { \mathrm { d y n a m i c ~ v i s c o s i t i e s : } } \\ { t e x t { ( a m b i e n t f l u i d ) } \ \mu _ { 1 } = 1 2 . 0 4 8 \times 1 0 ^ { - 4 } k g / ( m \cdot s ) , \quad \mathrm { ( d r o p ) } \ \mu _ { 2 } = 2 \mu _ { 1 } ; } \\ & { \mathrm { p e r m i t t i v i t i e s : } \ \mathrm { ( a m b i e n t ~ f l u i d ) } \ \epsilon _ { 1 } = \epsilon _ { 0 } = 8 . 8 5 4 \times 1 0 ^ { - 1 2 } F / m , \quad \mathrm { ( d r o p ) } \ \epsilon _ { 2 } = 8 . 1 \epsilon _ { 0 } ; } \\ & { \mathrm { m o d e l ~ p a r a m e t e r s : } } \\ { e t a = 0 . 0 1 L _ { 0 } , \quad \lambda = \frac { 3 } { 2 \sqrt { 2 } } \gamma \eta , \quad \gamma _ { 1 } = 5 \times 1 0 ^ { - 6 } \frac { L _ { 0 } ^ { 2 } } { \mu _ { 1 } } , \quad \Delta t = 1 \times 1 0 ^ { - 6 } \frac { L _ { 0 } ^ { 2 } \mu _ { 1 } } { \epsilon _ { 0 } V _ { 0 } ^ { 2 } } . } \end{array} \right.
\begin{array} { l } { \displaystyle \psi _ { 0 } ( \boldsymbol { r } ) \, = \, \exp \left( \frac { \mathrm { i } k r ^ { 2 } } { 2 q _ { N } } \right) \, \mathcal { G } _ { N } \left( 1 , \, - \frac { \mathrm { i } k r ^ { 2 } } { 2 q _ { N } } \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { s i g n ( F _ { x , J } ) } & { { } = - s i g n ( \sin ( \alpha + \theta _ { J } ) ) , } \\ { s i g n ( F _ { y , J } ) } & { { } = - s i g n ( \sin \theta _ { J } \sin ( \alpha + \theta _ { J } ) ) . } \end{array}
\overline { { W } } = \overline { { W } } _ { \mathrm { h } } + \overline { { W } } _ { \mathrm { c } } = - \frac { k _ { \mathrm { B } } ( T _ { \mathrm { h } } - T _ { \mathrm { c } } ) } { 2 } \ln \frac { k _ { \mathrm { m a x } } } { k _ { \mathrm { m i n } } } .
\begin{array} { r l } { S _ { 1 } } & { = \frac { 1 } { 2 } ( S + S ^ { \omega } ) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } ( \omega ^ { U _ { T } } + \omega ^ { \omega U _ { T } } ) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \Big ( ( \kappa - T _ { 1 } - T _ { - 1 } ) ( \kappa + T _ { 1 } - T _ { - 1 } ) + ( \kappa - T _ { 1 } + T _ { - 1 } ) ( \kappa + T _ { 1 } + T _ { - 1 } ) \Big ) \omega } \\ & { = ( \kappa ^ { 2 } - T _ { 1 } ^ { 2 } + T _ { - 1 } ^ { 2 } ) \omega } \\ & { = ( \kappa ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } + 2 T _ { - 1 } ^ { 2 } ) \omega = ( 1 + 2 T _ { - 1 } ^ { 2 } ) \omega } \end{array}
d M _ { \mathrm { s y s t } } ^ { e } = \left( \phi _ { \mathrm { R C M F } } X _ { \mathrm { l i q } } ^ { e } + ( 1 - \phi _ { \mathrm { R C M F } } ) X _ { \mathrm { c r y s } } ^ { e } \right) d M _ { \mathrm { s y s t } } ,
I : = \int _ { \sqrt x } ^ { x } x - e ^ { t } \mathrm { d } t = \int _ { \sqrt x } ^ { x } \mathrm { d } t - \int _ { \sqrt x } ^ { x } e ^ { t } \mathrm { d } t = x \int _ { \sqrt x } ^ { x } \mathrm { d } t - e ^ { t } | _ { \sqrt x } ^ { x } = x ( x - \sqrt { x } ) - e ^ { t } | _ { \sqrt x } ^ { x } = x ( x - \sqrt x ) - e ^ { x } + e ^ { \sqrt x }
\mathbf { E } _ { x _ { 0 } \sim p } f = \langle f , \mu _ { p } \rangle _ { \mathcal { H } } , \quad \mathbf { E } _ { x _ { 1 } \sim q } f = \langle f , \mu _ { q } \rangle _ { \mathcal { H } } , \quad \forall f \in \mathcal { F }
\begin{array} { r } { \tilde { \omega } _ { \mu } L / c = \frac { 2 \pi \mu + i \mathrm { l n } \left( ( n _ { R } - n _ { B } ) ^ { 2 } / ( n _ { r } + n _ { B } ) ^ { 2 } \right) } { 2 n _ { R } } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { V a r } ( X ) } & { = \operatorname { E } \left[ ( X - \operatorname { E } [ X ] ) ^ { 2 } \right] } \\ & { = \operatorname { E } \left[ X ^ { 2 } - 2 X \operatorname { E } [ X ] + \operatorname { E } [ X ] ^ { 2 } \right] } \\ & { = \operatorname { E } \left[ X ^ { 2 } \right] - 2 \operatorname { E } [ X ] \operatorname { E } [ X ] + \operatorname { E } [ X ] ^ { 2 } } \\ & { = \operatorname { E } \left[ X ^ { 2 } \right] - \operatorname { E } [ X ] ^ { 2 } } \end{array} }
\prod _ { \alpha } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { 1 } { 2 \pi } e ^ { - \frac { x _ { \alpha } ^ { 2 } } { 2 } } e ^ { \sqrt { - \Delta \tau } x _ { \alpha } L _ { \alpha } } d x _ { \alpha } | \Phi ( \tau ) \rangle = \prod _ { \alpha } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { 1 } { 2 \pi } e ^ { - \frac { ( x _ { \alpha } - \bar { x } _ { \alpha } ) ^ { 2 } } { 2 } } e ^ { \sqrt { - \Delta \tau } ( x _ { \alpha } - \bar { x } _ { \alpha } ) L _ { \alpha } } d x _ { \alpha } | \Phi ( \tau ) \rangle ,
\frac { \widetilde { D } u ^ { \prime } { } ^ { i } } { D T } = \frac { \partial u ^ { \prime } { } ^ { i } } { \partial t } + U ^ { j } \frac { \partial u ^ { \prime } { } ^ { i } } { \partial x ^ { j } } + \epsilon ^ { j i k } \Omega _ { 0 } ^ { k } u ^ { \prime } { } ^ { i }
{ \vec { v ^ { \prime } } } = q { \vec { v } } q ^ { - 1 } = \left( \cos { \frac { \alpha } { 2 } } + { \vec { u } } \sin { \frac { \alpha } { 2 } } \right) \, { \vec { v } } \, \left( \cos { \frac { \alpha } { 2 } } - { \vec { u } } \sin { \frac { \alpha } { 2 } } \right)
\begin{array} { r l } { \Delta \omega _ { 1 } ( t ) } & { = g _ { \mathrm { t h } } \theta _ { 1 } ( t ) + g _ { \mathrm { N } } N _ { 1 } ( t ) \label [ p l u r a l e q u a t i o n ] { e q : f s h i f t 1 } } \\ { \Delta \omega _ { 2 } ( t ) } & { = g _ { \mathrm { t h } } \theta _ { 2 } ( t ) + g _ { \mathrm { N } } N _ { 2 } ( t ) , \label [ p l u r a l e q u a t i o n ] { e q : f s h i f t 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { T _ { r o t } \frac { d \Breve { \mathbf { u } } } { d t } = T _ { r o t } \texttt { v e c } \left( \gamma ( \mathcal { G } _ { \Breve { \mathbf { u } } } , \hat { \mathcal { G } } ) \right) \quad \mathrm { w i t h } \quad \Breve { \mathbf { u } } ( 0 ) = \mathbf { z } } \\ & { \Rightarrow \quad \frac { d \Breve { \mathbf { u } } } { d t } = \texttt { v e c } \left( \gamma ( \mathcal { G } _ { \Breve { \mathbf { u } } } , \hat { \mathcal { G } } ) \right) \quad \mathrm { w i t h } \quad \Breve { \mathbf { u } } ( 0 ) = \mathbf { z } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { M ^ { \prime } ( \omega ) = \mathrm { R e } \{ M ( \omega ) \} } & { = } & { M _ { \infty } + \sum _ { j = 1 } ^ { N } M _ { j } \frac { \omega ^ { 2 } \tau _ { j } ^ { 2 } } { 1 + \omega ^ { 2 } \tau _ { j } ^ { 2 } } , } \\ { M ^ { \prime \prime } ( \omega ) = \mathrm { I m } \{ M ( \omega ) \} } & { = } & { \sum _ { j = 1 } ^ { N } M _ { j } \frac { \omega \tau _ { j } } { 1 + \omega ^ { 2 } \tau _ { j } ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta \Sigma ( k ) \simeq } & { { } \, \pm \left( \frac { 2 \pi a } { m _ { r } } \right) ^ { 2 } \int \! \frac { d ^ { 3 } \mathbf { p } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \mathrm { ~ f ~ } _ { \downarrow } ( \xi _ { \mathbf { p } \downarrow } ) \int \! \frac { d ^ { 3 } \mathbf { q } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \frac { \mathrm { ~ f ~ } _ { \uparrow } ( \xi _ { \mathbf { q } \uparrow } ) - \mathrm { ~ f ~ } _ { \uparrow } ( \xi _ { \mathbf { k } + \mathbf { q } - \mathbf { p } \uparrow } ) } { \omega + i 0 _ { + } - \xi _ { \downarrow \mathbf { p } } + \xi _ { \uparrow \mathbf { q } } - \xi _ { \uparrow \mathbf { k } + \mathbf { q } - \mathbf { p } } } } \\ { = } & { { } \, \pm \left( \frac { 2 \pi a } { m _ { r } } \right) ^ { 2 } \int \! \frac { d ^ { 3 } \mathbf { p } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \mathrm { ~ f ~ } _ { \downarrow } ( \xi _ { \mathbf { p } \downarrow } ) \, \chi ( \mathbf { k } - \mathbf { p } , \omega - \xi _ { \mathbf { p } \downarrow } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { g ( x ) - \lambda f _ { 0 } ( x ) } & { = } & { 1 _ { x > b } \big [ 1 - \cosh \frac { x - b } { 2 \sqrt { \lambda } } \big ] } \\ { g ^ { \prime } ( x ) - \lambda f _ { 0 } ^ { \prime } ( x ) } & { = } & { - \frac { 1 } { 2 \sqrt { \lambda } } 1 _ { x > b } \sinh \frac { x - b } { 2 \sqrt { \lambda } } } \\ { g ^ { \prime \prime } ( x ) - \lambda f _ { 0 } ^ { \prime \prime } ( x ) } & { = } & { - \frac { 1 } { 4 \lambda } 1 _ { x > b } \cosh \frac { x - b } { 2 \sqrt { \lambda } } = - \frac { 1 } { 4 } f _ { 0 } ( x ) , } \end{array}
\left. \left. - 2 \zeta \left[ \cos \left( \frac { \pi } { \Lambda ^ { 2 } } \left| \sqrt { 3 } h _ { \mu \nu } ^ { 1 } + h _ { \mu \nu } ^ { 2 } \right| \right) + \cos \left( \frac { \pi } { \Lambda ^ { 2 } } \left| \sqrt { 3 } h _ { \mu \nu } ^ { 1 } - h _ { \mu \nu } ^ { 2 } \right| \right) \right] \right\} \right\} .
\begin{array} { r l } { w _ { e l } } & { { } = \sqrt { \sqrt { \frac { \sum _ { \mu } | X _ { \mu 0 } | ^ { 2 } } { \sum _ { \mu n } | X _ { \mu n } | ^ { 2 } } } \times \sqrt { \frac { \sum _ { \mu } | Y _ { \mu 0 } | ^ { 2 } } { \sum _ { \mu n } | Y _ { \mu n } | ^ { 2 } } } } . } \end{array}
N _ { 1 } ( { \bf k } ) = \frac { V } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \, \omega _ { \bf k } \, \bigg [ c _ { \bf k } ^ { 2 } \, n _ { \bf k } + s _ { \bf k } ^ { 2 } ( 1 - \tilde { n } _ { \bf k } ) \bigg ] ,
\begin{array} { r l } { { { { \dot { \rho } } } _ { \mathbf { n } } } ( t ) = } & { { } { { L } _ { S } } { { \rho } _ { \mathbf { n } } } ( t ) + i \sum _ { k = 1 } ^ { K } { { { n } _ { k } } { { \gamma } _ { k } } { { \rho } _ { \mathbf { n } } } } ( t ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { S } = } & { \left( \mathbb { S } _ { 1 } : = \{ ( 0 , 0 ) \} \right) \cup \left( \mathbb { S } _ { 2 } : = \cup _ { i = 1 } ^ { 4 } \mathbb { V } _ { i } \setminus \{ ( 0 , 0 ) \} \right) } \\ & { \cup \left( \mathbb { S } _ { 3 , 1 } : = \Omega _ { \mathrm { p r o p e r } ( \mathcal { P } ) } \right) \cup \left( \mathbb { S } _ { 3 , 2 } : = \Omega _ { \mathrm { p r o p e r } ( \mathcal { P } _ { \mathrm { J } _ { 5 } } ) } \right) \cup \left( \mathbb { S } _ { 3 , 3 } : = \{ \mathbf { a } _ { 2 } ^ { 0 } , \ldots , \mathbf { a } _ { 1 0 } ^ { 0 } \} \right) . } \end{array}
s h o w s b i f u r c a t i o n d i a g r a m . W h e n \mu _ { 0 } < 2 . 0 , x g r o w s s t e a d i l y w i t h o u t y . A f t e r p r e s e n c e o f t h e p r e d a t o r , p o p u l a t i o n o f t h e p r e y s t a r t s t o d e c r e a s e . B o t h s p e c i e s s h o w p r e d i c t a b l e p o p u l a t i o n b e f o r e \mu _ { 0 } = 3 . 0 2 5 , a t w h i c h w e c l a s s i f y a N e i m a r k - S a c k e r b i f u r c a t i o n a s i n P a r a c l e t e . T r a n s i e n t s t a t e s o c c u r b e t w e e n 3 . 0 2 5 < \mu _ { 0 } < 3 . 2 0 0 , a s i n d i c a t e d i n t h e s h a d e d r e g i o n . L a t e r , a 6 - c y c l e a p p e a r s a t \mu _ { 0 } = 3 . 2 4 , w h i c h i s a l s o c o n f i r m e d i n F i g u r e
\begin{array} { r } { \frac { V ( r _ { N } ) } { m c ^ { 2 } } = \mathcal O ( \alpha _ { f } ^ { 2 } ) \quad \textrm { a n d } \quad \frac { \delta ^ { 2 } } { r _ { N } ^ { 2 } } \overset { ^ { ( ) } } { \underset { ^ { ( ) } } { = } } \frac { D ( \frac { \hbar } { m c } ) ^ { 2 } } { r _ { N } ^ { 2 } } = \mathcal O ( \alpha _ { f } ^ { 2 } ) } \end{array}
{ \mathcal { L } } _ { \mathrm { W W V } } = - i \ g \ \left[ \; \left( \ W _ { \mu \nu } ^ { + } \ W ^ { - \mu } - W ^ { + \mu } \ W _ { \mu \nu } ^ { - } \ \right) \left( \ A ^ { \nu } \ \sin \theta _ { \mathrm { W } } - Z ^ { \nu } \ \cos \theta _ { \mathrm { W } } \ \right) + W _ { \nu } ^ { - } \ W _ { \mu } ^ { + } \ \left( \ A ^ { \mu \nu } \ \sin \theta _ { \mathrm { W } } - Z ^ { \mu \nu } \ \cos \theta _ { \mathrm { W } } \ \right) \; \right] ~ .
e _ { j i } \left( \mathbf { x } , \beta \right) = \frac { 1 } { N ^ { \left[ \beta \right] } } \frac { p _ { i j } ^ { \left[ \beta \right] } F _ { j } \left( \mathbf { x } , \beta \right) } { \sum _ { \ell = 1 } ^ { N } p _ { i \ell } ^ { \left[ \beta \right] } F _ { \ell } \left( \mathbf { x } , \beta \right) } .
\begin{array} { r l r } { f _ { L } ( \kappa L ) } & { { } = } & { \left[ \frac { \kappa L } { [ ( \kappa L ) ^ { 2 } + c _ { L } ] ^ { 1 / 2 } } \right] ^ { 5 / 3 + p _ { 0 } } } \\ { f _ { \eta } ( \kappa \eta ) } & { { } = } & { \mathrm { e x p } \left[ - \beta \left( [ ( \kappa \eta ) ^ { 4 } + c _ { \eta } ^ { 4 } ] ^ { 1 / 4 } - c _ { \eta } \right) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \| \partial _ { t } ^ { 2 } \zeta \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( \Omega _ { P M L } ^ { + } ) ) } \leq C \rho ^ { 1 / 2 } \| \partial _ { t } ^ { 2 } \xi \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ; H ^ { - 1 / 2 } ( \Gamma _ { \rho } ^ { + } ) ) } , } \\ & { } & { \| \nabla \partial _ { t } \zeta \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( \Omega _ { P M L } ^ { + } ) ) } \leq C \rho ^ { - 1 / 2 } \| \partial _ { t } \xi \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ; H _ { 0 } ^ { 1 / 2 } ( \Gamma _ { \rho } ^ { + } ) ) } . } \end{array}
l ^ { \mu } ( \tau , \vec { \sigma } ) = \frac { 1 } { \sqrt { \gamma ( \tau , \vec { \sigma } ) } } \epsilon ^ { \mu \alpha \beta \gamma } z _ { 1 \alpha } ( \tau , \vec { \sigma } ) z _ { 2 \beta } ( \tau , \vec { \sigma } ) z _ { 3 \gamma } ( \tau , \vec { \sigma } ) ,
Z ( \beta ) = \sum _ { \sigma _ { 1 } , \ldots , \sigma _ { L } } e ^ { \beta h \sigma _ { 1 } } e ^ { \beta J \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } } e ^ { \beta h \sigma _ { 2 } } e ^ { \beta J \sigma _ { 2 } \sigma _ { 3 } } \cdots e ^ { \beta h \sigma _ { L } } e ^ { \beta J \sigma _ { L } \sigma _ { 1 } } = \sum _ { \sigma _ { 1 } , \ldots , \sigma _ { L } } V _ { \sigma _ { 1 } , \sigma _ { 2 } } V _ { \sigma _ { 2 } , \sigma _ { 3 } } \cdots V _ { \sigma _ { L } , \sigma _ { 1 } } .
\overset { w _ { 0 } , \gamma _ { 0 } } { A } ( q , u , \eta ) = ( g , f , k ) - \tau \big ( \overset { w _ { 0 } , \gamma _ { 0 } } { P } + \overset { \theta _ { 0 } } { Q } \big ) ( q , u , \eta , \gamma ) - \overset { q _ { 0 } , u _ { 0 } , \eta _ { 0 } } { R } ( \mathcal { T } , \mathcal { G } , \mathcal { F } ) = ( \widetilde { g } , \widetilde { f } , \widetilde { k } ) .
\rho _ { s } ( \mathbf { r } ) = \sum _ { i a } X _ { i a } ^ { s } \psi _ { i } ( \mathbf { r } ) \psi _ { a } ( \mathbf { r } ) \left( \frac { \epsilon _ { a } - \epsilon _ { i } } { \omega _ { s } } \right) ^ { 1 / 2 } ,
\begin{array} { r l r } { \boldsymbol { A } ( \boldsymbol { r } , t ) } & { { } \underset { r \gg r ^ { \prime } } { = } } & { \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi r } \, \boldsymbol { \dot { d } } ( t - r / c ) \, . } \\ { \Phi ( \boldsymbol { r } , t ) } & { { } = } & { \frac { Q _ { e } } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } r } + \frac { \mu _ { 0 } c } { 4 \pi r } \, \, \hat { \mathrm { ~ \textbf ~ { ~ e ~ } ~ } } _ { r } \cdot \boldsymbol { \dot { d } } ( t - r / c ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { c } & { + o ( 1 ) + o ( 1 ) \| D v _ { n } \| _ { p } \ge F _ { \lambda } ( v _ { n } ) - \frac { 1 } { \alpha p ^ { * } } F _ { \lambda } ^ { \prime } ( v _ { n } ) ( G ^ { - 1 } ( v _ { n } ) g ( G ^ { - 1 } ( v _ { n } ) ) ) } \\ & { \ge \left( \frac { 1 } { p } - \frac { 1 } { p ^ { * } } \right) \| D v _ { n } \| _ { p } ^ { p } - \lambda \left( \frac 1 k - \frac { 1 } { \alpha p ^ { * } } \right) \| V \| _ { r } \| G ^ { - 1 } ( v _ { n } ) \| _ { \alpha p ^ { * } } ^ { k } } \\ & { \ge \left( \frac { 1 } { p } - \frac { 1 } { p ^ { * } } \right) \| D v _ { n } \| _ { p } ^ { p } - \lambda \left( \frac 1 k - \frac { 1 } { \alpha p ^ { * } } \right) ( 2 / S ) ^ { k / \alpha p } \| V \| _ { r } \| D v _ { n } \| _ { p } ^ { k / \alpha } . } \end{array}
u _ { \mathrm { o u t } } ( { \bf r } ; { \bf k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { o u t } } , \omega ) = \left\{ \begin{array} { l l } { e ^ { i ( { \bf k } _ { \mathrm { o u t } } ^ { \mathrm { a i r } } \cdot { \bf r } - k _ { z , \mathrm { o u t } } ^ { \mathrm { a i r } } z ^ { \mathrm { a i r } } ) } , } & { z \leq 0 } \\ { e ^ { i ( { \bf k } _ { \mathrm { o u t } } ^ { \mathrm { s a m } } \cdot { \bf r } - k _ { z , \mathrm { o u t } } ^ { \mathrm { a i r } } z ^ { \mathrm { a i r } } ) } , } & { z > 0 } \end{array} \right.
\mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ m ~ o ~ d ~ } \left( a , b \right) = \frac { 1 } { 2 } \left[ \mathrm { ~ s ~ g ~ n ~ } ( a ) + \mathrm { ~ s ~ g ~ n ~ } ( b ) \right] \operatorname* { m i n } \left( \left| a \right| , \left| b \right| \right)
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } s } & { { } = D \nabla ^ { 2 } s + \mu ( 1 - p ) - \mu s - \beta ( t ) i s , } \\ { \partial _ { t } i } & { { } = D \nabla ^ { 2 } i + \beta ( t ) i s - ( \nu + \mu ) i , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Gamma _ { 1 } ^ { \prime } ( \mathbf { r } _ { 1 } , \ldots , \mathbf { r } _ { N } ; \mathbf { r } _ { 1 } ^ { \prime } , \ldots , \mathbf { r } _ { N } ^ { \prime } ) = \; } & { \Gamma _ { 1 } ( \mathbf { r } _ { 1 } , \ldots , \mathbf { r } _ { N } ; \mathbf { r } _ { 1 } ^ { \prime } , \ldots , \mathbf { r } _ { N } ^ { \prime } ) } \\ & { \times \prod _ { k = 1 } ^ { N } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \left( \chi ( \mathbf { r } _ { k } ) - \chi ( \mathbf { r } _ { k } ^ { \prime } ) \right) } } \end{array}
\begin{array} { r } { G ( x ; x _ { c , i } , w _ { i } ) = \sum \frac { A _ { i } } { w _ { i } } \cdot \sqrt { \frac { 4 \ln 2 } { \pi } } e ^ { { - 4 \ln 2 } \frac { \left( x - x _ { c , i } \right) ^ { 2 } } { w _ { i } ^ { 2 } } } ( i = 1 , 2 , 3 . . . ) } \end{array}
\delta H _ { B } ^ { ( m ) } = \frac { m c _ { m } \kappa } { 2 ^ { m - 1 } } \; \oint _ { B } d ^ { D - 2 } \! x \left( \sqrt { \tilde { h } } \tilde { \delta } _ { d _ { 1 } \cdots c _ { m } d _ { m } } ^ { b _ { 1 } \cdots a _ { m } b _ { m } } \; \delta \tilde { h } _ { b _ { 1 } } { } ^ { d _ { 1 } } \cdots \tilde { R } _ { a _ { m } b _ { m } } { } ^ { c _ { m } d _ { m } } \right) \ .
\begin{array} { r l } { \frac { D \vec { x } } { D t } } & { { } = \vec { v } \, , } \\ { \frac { D \rho } { D t } } & { { } = - \rho \nabla \cdot \vec { v } \, , } \\ { \frac { D \vec { v } } { D t } } & { { } = \frac { 1 } { \rho } \nabla \cdot \mathbf { S } - \frac { 1 } { \rho } \nabla p + \vec { g } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { \frac { 4 } { 3 } \frac { \rho _ { s } d _ { s } } { \rho _ { g } | \textbf { U } _ { g } - \textbf { u } | C _ { d } } \epsilon _ { g } ^ { 2 . 6 5 } , } & { \epsilon _ { g } > 0 . 8 , } \\ & { \frac { 1 } { 1 5 0 \frac { \epsilon _ { s } \mu _ { g } } { \epsilon _ { g } \rho _ { s } d _ { s } ^ { 2 } } + 1 . 7 5 \frac { \rho _ { g } | \textbf { U } _ { g } - \textbf { u } | } { \rho _ { s } d _ { s } } } , } & { \epsilon _ { g } \le 0 . 8 , } \end{array}
\begin{array} { r } { p _ { f , k } = \left\{ \begin{array} { r l r l } & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 0 } & { , } & { ~ ~ \epsilon _ { t } \le \epsilon _ { s , c r i t } , } \\ & { 0 . 1 \epsilon _ { k } \frac { \left( \epsilon _ { t } - \epsilon _ { s , c r i t } \right) ^ { 2 } } { \left( \epsilon _ { s , m a x } - \epsilon _ { t } \right) ^ { 5 } } } & { , } & { ~ ~ \epsilon _ { t } > \epsilon _ { s , c r i t } . } \end{array} \right. } \end{array}
\Gamma _ { i m p } ^ { 1 + } = \left\langle n _ { i m p } \frac { E _ { y } } { B } \right\rangle _ { t , y } \sim \left\langle S _ { e f f } e ^ { A \nabla _ { \perp } ^ { 2 } \phi } \frac { E _ { y } } { B } \right\rangle _ { t , y } .
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m i n } _ { A _ { t } \subset \mathcal C } \operatorname* { l i m } _ { T \rightarrow \infty } \, \frac { 1 } { T + 1 } \sum _ { t = 0 } ^ { T } \mathbb E \left[ w _ { t } ( \mathcal A _ { t } ) \right] } \\ & { \mathrm { s . t . } \ \operatorname* { l i m } _ { T \rightarrow \infty } \! \frac { 1 } { \sum _ { t = 0 } ^ { T } \! | \mathcal A _ { t } ^ { \prime } | } \! \sum _ { t = 0 } ^ { T } \! \sum _ { c \in \mathcal A _ { t } ^ { \prime } } \! \mathbb E \left[ f \left( \{ \mathrm { K P I } _ { t } ^ { i , c } \} _ { i = 1 } ^ { K } \right) \right] \ge \xi . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { F _ { 1 } ( \bar { r } , t ) S ^ { ( 0 ) } ( t ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \bar { r } ^ { 3 } \left( \frac { w ^ { ( 0 ) } } { \bar { r } ^ { 2 } } \right) _ { \bar { r } } \dot { S } ^ { ( 0 ) } ( t ) } \\ { F _ { 2 } ( \bar { r } , t ) S ^ { ( 0 ) } ( t ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \frac { \left( \bar { r } v ^ { ( 0 ) } \right) _ { \bar { r } } } { \bar { r } } \dot { S } ^ { ( 0 ) } ( t ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta \dot { a } _ { 1 } } & { = - \left( i \Delta _ { a } + \kappa _ { 1 } \right) \delta a _ { 1 } - i J \delta a _ { 2 } - i g _ { m a } \delta m } \\ & { + \sqrt { 2 \eta _ { a } \kappa _ { 1 } } \varepsilon _ { p } e ^ { - i \delta t } , } \\ { \delta \dot { m } } & { = - ( i \Delta _ { m } ^ { \prime } + \kappa _ { m } ) \delta m - i g _ { m a } \delta a _ { 1 } - i G \delta b - i G \delta b ^ { \dagger } , } \\ { \delta \dot { b } } & { = - \left( i \omega _ { b } + \kappa _ { b } \right) \delta b - i G \delta m ^ { \dagger } - i G ^ { * } \delta m , } \\ { \delta \dot { a } _ { 2 } } & { = - \left( i \Delta _ { a } - \kappa _ { 2 } \right) \delta a _ { 2 } - i J \delta a _ { 1 } , } \end{array}
\chi ( \nu _ { 0 } + \delta \nu ) = 4 \pi ^ { 2 } \, \frac { g a } { c ^ { 2 } } \frac { F L ^ { 2 } \nu _ { 0 } } { c ^ { 2 } } \, \delta \nu \, \, + \mathcal { O } ( \delta \nu ^ { 2 } ) \, ,