harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } n } & { = - \nabla \cdot ( n \boldsymbol { u } ) , } \\ { \mathrm { d } _ { t } \boldsymbol { u } } & { = \frac { 1 } { n } \boldsymbol { b } \cdot \nabla \boldsymbol { b } - \frac { 1 } { n } \nabla \left( c _ { s } ^ { 2 } n + \frac { 1 } { 2 } b ^ { 2 } \right) + \frac { Z m _ { e } } { m _ { i } } d _ { i } \mathrm { d } _ { t } \frac { \nabla \times \boldsymbol { b } } { n } } \\ & { \quad - \frac { Z m _ { e } } { m _ { i } } \mathrm { d } _ { t } \boldsymbol { u } + \frac { Z m _ { e } } { m _ { i } } d _ { i } \frac { \nabla \times \boldsymbol { b } } { n } \cdot \nabla \left( \boldsymbol { u } - d _ { i } \frac { \nabla \times \boldsymbol { b } } { n } \right) , } \\ { \mathrm { d } _ { t } \boldsymbol { b } } & { = \boldsymbol { b } \cdot \nabla \boldsymbol { u } - \boldsymbol { b } \nabla \cdot \boldsymbol { u } - d _ { i } \nabla \times \mathrm { d } _ { t } \boldsymbol { u } - \eta \nabla \times \left( \frac { \nabla \times \boldsymbol { b } } { n } \right) , } \\ { \nabla \cdot \boldsymbol { b } } & { = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { [ \partial _ { u _ { 1 } } , \partial _ { u _ { 2 } } ] = - \frac { \lambda _ { u _ { 2 } } } { \lambda } \partial _ { u _ { 1 } } + \frac { \mu _ { u _ { 1 } } } { \mu } \partial _ { u _ { 2 } } , } \\ & { [ \partial _ { u _ { 1 } } , \partial _ { u _ { 3 } } ] = - \left( 1 + \frac { \lambda _ { u _ { 3 } } } { \lambda } \right) \partial _ { u _ { 1 } } , } \\ & { [ \partial _ { u _ { 2 } } , \partial _ { u _ { 3 } } ] = \left( 2 - \frac { \mu _ { u _ { 3 } } } { \mu } \right) \partial _ { u _ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { L } \supset g ^ { \prime } \left( \overline { { \ell _ { \mathrm { L } } ^ { } } } Q ^ { \prime } \gamma ^ { \mu } \ell _ { \mathrm { L } } ^ { } + \overline { { E _ { \mathrm { R } } ^ { } } } Q ^ { \prime } \gamma ^ { \mu } E _ { \mathrm { R } } ^ { } \right) Z _ { \mu } ^ { \prime } \; , } \end{array}
\frac { \partial F } { \partial t } + { v } _ { g y , \parallel } \partial _ { z , g y } F + \frac { c } { B _ { \parallel } } \left( \hat { b } \times \partial _ { z } \left< \phi _ { 1 } \right> \right) \boldsymbol { \cdot } \partial _ { z , g y } F - \left( \frac { e } { m } \partial _ { z } \left< \phi _ { 1 } \right> \right) \partial _ { v _ { g y , \parallel } } F = 0 .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \boldsymbol { u } } { \partial t } + ( \boldsymbol { u } \cdot \nabla _ { \boldsymbol { x } } \boldsymbol { u } ) ^ { T } } & { = \nu \nabla _ { \boldsymbol { x } } ^ { 2 } \boldsymbol { u } + \boldsymbol { f } ^ { T } , } \\ { ( \boldsymbol { u } \cdot \nabla _ { \boldsymbol { x } } \boldsymbol { u } ) ^ { L } } & { = - \frac { 1 } { \rho } \nabla _ { \boldsymbol { x } } p + \boldsymbol { f } ^ { L } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { f } _ { 2 } - \bar { f } _ { 1 } ( t ) + \bar { F } _ { m 1 } } & { = - \omega ^ { 2 } \, m _ { 1 } \, \bar { x } _ { 1 } \, , } \\ { \bar { t } _ { 2 } - \bar { t } _ { 1 } + \bar { T } _ { m 1 } } & { = - \omega ^ { 2 } \, I _ { m 1 } \, \bar { \theta } _ { 1 } \, , } \\ { \bar { f } _ { 3 } - \bar { f } _ { 2 } + \bar { F } _ { m 2 } } & { = - \omega ^ { 2 } \, m _ { 2 } \, \bar { x } _ { 2 } \, , } \\ { \bar { t } _ { 3 } - \bar { t } _ { 2 } + \bar { T } _ { m 2 } } & { = - \omega ^ { 2 } \, I _ { m 2 } \, \bar { \theta } _ { 2 } \, , } \\ { \bar { F } + \bar { f } _ { 1 } - \bar { f } _ { 3 } } & { = - \omega ^ { 2 } \, M _ { 0 } \, \bar { X } \, , } \\ { \bar { T } + \bar { t } _ { 1 } - \bar { t } _ { 3 } } & { = - \omega ^ { 2 } \, I _ { 0 } \, \bar { \Theta } \, . } \end{array}
H _ { \mathrm { e f f } } ( \textbf { k } ) = \frac { 2 \pi / L } { 3 \sqrt { 3 } } \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { - e ^ { - i k _ { y } } } & { - e ^ { i ( k _ { x } - k _ { y } ) } } \\ { - e ^ { i k _ { y } } } & { 0 } & { i e ^ { i k _ { x } } } \\ { - e ^ { - i ( k _ { x } - k _ { y } ) } } & { - i e ^ { - i k _ { x } } } & { 0 } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l r } & { \frac { S } { V k _ { B } } \, } & { = b _ { 1 } \, \varepsilon _ { F } \, n ( \varepsilon _ { F } ) \, \theta } \\ & { } & { + \varepsilon _ { F } ^ { 3 } \, \left( \frac { \pi ^ { 2 } } { 6 } \, b _ { 1 } \, \frac { \left[ n ^ { \prime } ( \varepsilon _ { F } ) \right] ^ { 2 } } { n ( \varepsilon _ { F } ) } + b _ { 3 } \, n ^ { \prime \prime } ( \varepsilon _ { F } ) \right) \, \theta ^ { 3 } . } \end{array}
B _ { D } ^ { \prime } = B _ { D } - \frac { 6 k ^ { 3 / 2 } + 3 \alpha k R _ { p } } { 6 k ^ { 3 / 2 } + 3 \alpha k R _ { p } + 6 \sqrt { k } R _ { p } ^ { 2 } + 2 \alpha R _ { p } ^ { 3 } }
h ( \mathbf { G } ) = { \frac { 1 } { \mathbf { a _ { 1 } } \cdot ( \mathbf { a _ { 2 } } \times \mathbf { a _ { 3 } } ) } } \int _ { C } d \mathbf { r } f ( \mathbf { r } ) \cdot e ^ { - i \mathbf { K } \cdot \mathbf { r } }
\omega ^ { \mu } \! = \! \epsilon _ { \nu \lambda \sigma } ^ { \mu } p _ { 1 } ^ { \nu } p _ { 2 } ^ { \lambda } p _ { 0 } ^ { \sigma } \Bigl [ B _ { 1 } ( Q _ { \omega \rho 0 } ) f _ { ( 1 2 ) } ^ { ( \rho ) } B _ { 1 } ( Q _ { \rho 1 2 } ) + B _ { 1 } ( Q _ { \omega \rho 2 } ) f _ { ( 1 0 ) } ^ { ( \rho ) } B _ { 1 } ( Q _ { \rho 1 0 } ) + B _ { 1 } ( Q _ { \omega \rho 1 } ) f _ { ( 2 0 ) } ^ { ( \rho ) } B _ { 1 } ( Q _ { \rho 2 0 } ) \Bigr ]
\begin{array} { r l r } & { } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } 2 \pi r d r \Psi _ { n } ^ { m } ( r , \phi , z ) ^ { * } \hat { \bf l } \cdot \hat { \bf l } \Psi _ { n } ^ { m } ( r , \phi , z ) } \\ & { = } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } 2 \pi r d r \Psi _ { n } ^ { m } ( r , \phi , z ) ^ { * } \hat { l } _ { + } \hat { l } _ { - } \Psi _ { n } ^ { m } ( r , \phi , z ) + \hbar ^ { 2 } m ( m - 1 ) } \\ & { = } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } 2 \pi r d r \Psi _ { n } ^ { m } ( r , \phi , z ) ^ { * } \hat { l } _ { - } \hat { l } _ { + } \Psi _ { n } ^ { m } ( r , \phi , z ) + \hbar ^ { 2 } m ( m + 1 ) } \\ & { = } & { \hbar ^ { 2 } \left( 2 \left( \frac { z } { w _ { 0 } } \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } ( k w _ { 0 } ) ^ { 2 } \right) ( 2 n + | m | + 1 ) } \\ & { } & { + \hbar ^ { 2 } ( m + 1 ) ( m - 1 ) . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \Xi _ { l } ( p ) = \displaystyle \sum _ { \alpha , \beta } \big \vert \Xi _ { p } ( \alpha , \beta , p ) \big \vert , \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } \vert \alpha - \beta \vert < 2 5 } \\ { \Xi _ { n } ( p ) = \displaystyle \sum _ { \alpha , \beta } \big \vert \Xi _ { p } ( \alpha , \beta , p ) \big \vert , \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } \vert \alpha - \beta \vert \ge 2 5 } \end{array} \right. .
\left( T _ { 1 } ( ^ { 1 0 3 } \mathrm { R h } ) \right) _ { \mathrm { { C S A } } } ^ { - 1 } = \frac { 2 } { 1 5 } B _ { 0 } ^ { 2 } \gamma _ { \mathrm { R h } } ^ { 2 } \Delta \sigma ^ { 2 } \tau _ { c }
\Delta = \sum _ { n , m } \left( \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial ( \mathrm { R e } \, X _ { n m } ) ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial ( \mathrm { I m } \, X _ { n m } ) ^ { 2 } } \right) \ .
\begin{array} { r c l } { { d s ^ { 2 } } } & { { = } } & { { \left( \sigma ^ { - 1 } \eta _ { i j } - \sigma ^ { - 2 } \eta _ { i k } \eta _ { j l } x ^ { k } x ^ { l } \right) d x ^ { i } d x ^ { j } } } \\ { { } } & { { = } } & { { - \displaystyle \frac { d x J ( I - x ^ { \prime } x J ) ^ { - 1 } d x ^ { \prime } } { 1 - x J x ^ { \prime } } ~ , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { x } } & { { } = v / v _ { \mathrm { ~ t ~ h ~ } , a } ; \qquad v _ { \mathrm { ~ t ~ h ~ } , a } \equiv \sqrt { 2 T _ { a } / m _ { a } } ; } \\ { \bar { \xi } } & { { } = v _ { \parallel } / v . } \end{array}
i ( C P ^ { 1 } ) = \left\{ \frac { 1 } { \sqrt { 1 + | u | ^ { 2 } } } \left( \begin{array} { c c } { { 1 } } & { { i u } } \\ { { i \bar { u } } } & { { 1 } } \end{array} \right) | u \in \bf C \right\} .
m _ { \delta \phi _ { r } } ^ { 2 } = 4 m _ { \phi } ^ { 2 } + m _ { \delta \phi _ { \theta } } ^ { 2 } = 4 m _ { \phi } ^ { 2 } \left[ 1 + \frac { 4 | A _ { M } | } { 3 m _ { \phi } } \left( \frac { | A _ { M } | } { m _ { \phi } } + \sqrt { \frac { | A _ { M } | ^ { 2 } } { m _ { \phi } ^ { 2 } } + \frac { 3 } { 4 } } \right) \right]
X ^ { \prime } = X / ( 0 . 5 \rho L d U ^ { 2 } ) , ~ Y ^ { \prime } = Y / ( 0 . 5 \rho L d U ^ { 2 } ) , ~ N ^ { \prime } = N / ( 0 . 5 \rho L ^ { 2 } ) d U ^ { 2 } )
\begin{array} { r l } & { F _ { q _ { \overline { { y } } } } ( Y ) - F _ { q _ { \overline { { x } } } } ( X ) \geq - \bigg ( 1 + Q _ { i } ^ { - 1 } ( q _ { \overline { { x } } } , \xi ) \bigg ) | | f | | _ { L ^ { \infty } ( B _ { 1 } ) } , \ \ i = 1 , 2 , } \\ & { F _ { q _ { \overline { { y } } } } ( Y ) - F _ { q _ { \overline { { x } } } } ( X ) \geq - \bigg ( 1 + Q _ { i } ^ { - 1 } ( q _ { \overline { { y } } } , \xi ) \bigg ) | | f | | _ { L ^ { \infty } ( B _ { 1 } ) } , \ \ i = 1 , 2 , } \\ & { F _ { q _ { \overline { { y } } } } ( Y ) - F _ { q _ { \overline { { x } } } } ( X ) \geq - \bigg ( Q _ { j } ^ { - 1 } ( q _ { \overline { { x } } } , \xi ) + Q _ { i } ^ { - 1 } ( q _ { \overline { { y } } } , \xi ) \bigg ) | | f | | _ { L ^ { \infty } ( B _ { 1 } ) } , \ \ i , j = 1 , 2 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \nabla ^ { 2 } \Phi _ { 0 } - \nabla \cdot \left[ - { \mathbf V } _ { i \perp , 0 } \times { \mathbf B _ { 0 } } + \frac { \eta } { \mu _ { 0 } } \left( \nabla \times { \mathbf B _ { 0 } } \right) \right] = } & { ~ 0 \qquad \mathrm { i n } \quad \Omega ^ { P } , } \\ { \boldsymbol { \tau } _ { 0 } - \nabla \Phi _ { 0 } + { \mathbf V } _ { i \perp , 0 } \times { \mathbf B _ { 0 } } - \frac { \eta } { \mu _ { 0 } } \left( \nabla \times { \mathbf B _ { 0 } } \right) = } & { ~ \mathbf { 0 } \qquad \mathrm { i n } \quad \Omega ^ { P } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { i = 1 , 2 , \cdots , N I , \quad } & { { } j = 1 , 2 , \cdots , N J , \quad } & { k = 1 , 2 , \cdots , N K , } \\ { \Delta x _ { 0 } = \frac { L _ { x } } { N I } , \quad } & { { } \Delta y _ { 0 } = \frac { L _ { y } } { N J } , \quad } & { \Delta z _ { 0 } = \frac { L _ { z } } { N K } , } \\ { x _ { \operatorname* { m i n } } = - \frac { L _ { x } } { 2 } , \quad } & { { } y _ { \operatorname* { m i n } } = - \frac { L _ { y } } { 2 } , \quad } & { z _ { \operatorname* { m i n } } = - \frac { L _ { z } } { 2 } } \end{array}
S _ { \mathrm { ~ t ~ o ~ t ~ } } ( t ) / N _ { \mathrm { ~ t ~ o ~ t ~ } } , I _ { \mathrm { ~ t ~ o ~ t ~ } } ( t ) / N _ { \mathrm { ~ t ~ o ~ t ~ } } , R _ { \mathrm { ~ t ~ o ~ t ~ } } ( t ) / N _ { \mathrm { ~ t ~ o ~ t ~ } }
( { \cal C P } ) | B _ { q } ^ { 0 } \rangle = e ^ { i \phi _ { \mathrm { C P } } ( B _ { q } ) } | \overline { { { B _ { q } ^ { 0 } } } } \rangle , \quad ( { \cal C P } ) | \overline { { { B _ { q } ^ { 0 } } } } \rangle = e ^ { - i \phi _ { \mathrm { C P } } ( B _ { q } ) } | B _ { q } ^ { 0 } \rangle .
\begin{array} { r } { \rho _ { l } = { \frac { 3 } { 4 } } \; , \; \; \eta _ { l } = 0 \; , \; \; \xi _ { l } = 1 \; , \; \; \xi _ { l } \delta _ { l } = { \frac { 3 } { 4 } } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { I } = } & { - \int _ { M } \partial e ^ { - p u } \wedge \partial _ { J } u \wedge \Big ( 2 \Omega _ { 0 } ^ { n - 1 } + \partial \partial _ { J } u \wedge \Omega ^ { n - 2 } \Big ) \wedge { \overline { \Omega } } ^ { n } } \\ & { + \int _ { M } e ^ { - p u } \partial _ { J } u \wedge \partial \Big ( ( 2 \Omega _ { 0 } ^ { n - 1 } + \partial \partial _ { J } u \wedge \Omega ^ { n - 2 } ) \wedge { \overline { \Omega } } ^ { n } \Big ) } \\ { = } & { p \int _ { M } e ^ { - p u } \partial u \wedge \partial _ { J } u \wedge \Big ( 2 \Omega _ { 0 } ^ { n - 1 } + \partial \partial _ { J } u \wedge \Omega ^ { n - 2 } \Big ) \wedge { \overline { \Omega } } ^ { n } } \\ & { + \int _ { M } e ^ { - p u } \partial _ { J } u \wedge \Big ( ( 2 \partial \Omega _ { 0 } ^ { n - 1 } + \partial \partial _ { J } u \wedge \partial \Omega ^ { n - 2 } ) \wedge { \overline { \Omega } } ^ { n } + ( 2 \Omega _ { 0 } ^ { n - 1 } + \partial \partial _ { J } u \wedge \Omega ^ { n - 2 } ) \wedge \partial { \overline { \Omega } } ^ { n } \Big ) } \\ { = } & { \mathcal { I } _ { 1 } + \mathcal { I } _ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } ( ( X _ { 1 } ( t ) , . . . , X _ { n } ( t ) ) \in A | \mathcal { N } ( t ) = n ) } & { = \frac { \mathbb { P } ( \{ ( X _ { 1 } ( t ) , . . . , X _ { n } ( t ) ) \in A \} \cap \{ \mathcal { N } ( t ) = n \} ) } { \mathbb { P } ( \mathcal { N } ( t ) = n ) } } \\ & { = \frac { \int _ { A } \rho _ { n } ( t , x _ { 1 } , . . . , x _ { n } ) d x _ { 1 } \cdot \cdot \cdot d x _ { n } } { \int _ { \mathbb { X } ^ { n } } \rho _ { n } ( t , x _ { 1 } , . . . , x _ { n } ) d x _ { 1 } \cdot \cdot \cdot d x _ { n } } } \\ & { = \frac { \int _ { A } \exp \left\{ - \int _ { \mathbb { X } } v ( t , x ) d x \right\} \frac { 1 } { n ! } v ( t , x _ { 1 } ) \cdot \cdot \cdot v ( t , x _ { n } ) d x _ { 1 } \cdot \cdot \cdot d x _ { n } } { \int _ { \mathbb { X } ^ { n } } \exp \left\{ - \int _ { \mathbb { X } } v ( t , x ) d x \right\} \frac { 1 } { n ! } v ( t , x _ { 1 } ) \cdot \cdot \cdot v ( t , x _ { n } ) d x _ { 1 } \cdot \cdot \cdot d x _ { n } } } \\ & { = \int _ { A } \frac { v ( t , x _ { 1 } ) } { \int _ { \mathbb { X } } v ( t , x ) d x } \cdot \cdot \cdot \frac { v ( t , x _ { n } ) } { \int _ { \mathbb { X } } v ( t , x ) d x } d x _ { 1 } \cdot \cdot \cdot d x _ { n } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \alpha _ { i i ^ { \prime } j _ { 1 } j _ { 2 } } | } & { = | \sum _ { \ell > i ^ { \prime } } N _ { \ell } \sigma _ { i \ell } \sigma _ { i ^ { \prime } \ell } \delta _ { j _ { 1 } j _ { 2 } \ell } | \lesssim \sum _ { \ell } N _ { \ell } \sigma _ { i \ell } \sigma _ { i ^ { \prime } \ell } \Omega _ { \ell j _ { 1 } } \Omega _ { \ell j _ { 2 } } } \\ & { \lesssim \frac { 1 } { M } \cdot \sum _ { a = 1 } ^ { 2 } \frac { 1 } { M _ { k _ { a } } } \sum _ { \ell \in S _ { k _ { a } } } N _ { \ell } \Omega _ { \ell j _ { 1 } } \Omega _ { \ell j _ { 2 } } + \frac { 1 } { M } \cdot \frac { 1 } { M } \sum _ { \ell \in [ n ] } N _ { \ell } \Omega _ { \ell j _ { 1 } } \Omega _ { \ell j _ { 2 } } } \\ & { \leq \frac { 1 } { M } \sum _ { a = 1 } ^ { 2 } \Sigma _ { k _ { a } j _ { 1 } j _ { 2 } } + \frac { 1 } { M } \Sigma _ { j _ { 1 } j _ { 2 } } . } \end{array}
e ^ { - { \lambda } } ( { \nu } " + \frac { { { \nu } ^ { \prime } } ^ { 2 } } { 2 } - \frac { { \nu } ^ { \prime } { \lambda } ^ { \prime } } { 2 } + \frac { { \nu } ^ { \prime } - { \lambda } ^ { \prime } } { r } ) - e ^ { - { \nu } } ( \ddot { \lambda } + \frac { { \dot { \lambda } } ^ { 2 } } { 2 } - \frac { \dot { \lambda } \dot { \nu } } { 2 } ) = 2 k ( h _ { 1 } h ^ { 1 } - h _ { 2 } h ^ { 2 } + h _ { 3 } h ^ { 3 } + h _ { 4 } h ^ { 4 } )
\widetilde V _ { n } \ = \ \widetilde T _ { n } \ + \ \sum _ { p = 1 } ^ { n - 1 } \, s u m _ { r _ { 1 } + \cdots + r _ { p + 1 } = n } \widetilde T _ { r _ { 1 } } G _ { 0 } \widetilde T _ { r _ { 2 } } G _ { 0 } \cdots \widetilde T _ { r _ { p } } G _ { 0 } \widetilde T _ { r _ { p + 1 } } \ ,
\begin{array} { r l } { \hat { P } _ { \textrm { I } } ( t ) } & { = \frac { 1 } { V ^ { 2 } } \sum _ { \mathbf { k } } \sum _ { u , v } \sum _ { \alpha , \beta } \sum _ { n } e ^ { i E _ { \alpha \beta \mathbf { k } } ( t - t _ { 0 } ) / \hbar + i n \Omega t } D _ { u v , \alpha \beta , \mathbf { k } } ^ { ( n ) } \hat { c } _ { u \mathbf { k } } ^ { \dagger } \hat { c } _ { v \mathbf { k } } , } \end{array}
d A = \| \mathbf r _ { u } ( u _ { 0 } , v _ { 0 } ) d u \times \mathbf r _ { v } ( u _ { 0 } , v _ { 0 } ) d v \| = \| \mathbf r _ { u } ( u _ { 0 } , v _ { 0 } ) \times \mathbf r _ { v } ( u _ { 0 } , v _ { 0 } ) ( d u d v ) \| \, = \| \mathbf r _ { u } ( u _ { 0 } , v _ { 0 } ) \times \mathbf r _ { v } ( u _ { 0 } , v _ { 0 } ) \| | d u d v | = \| \mathbf r _ { u } ( u _ { 0 } , v _ { 0 } ) \times \mathbf r _ { v } ( u _ { 0 } , v _ { 0 } ) \| d u d v
\gamma _ { 1 } = 1 . 1 \mu _ { 0 } \sim 3 . 1 \mu _ { 0 } , \beta _ { 1 } = 0 . 1 \mu _ { 0 } , \gamma _ { 2 } = 0 . 1 \mu _ { 0 } , \beta _ { 2 } = 0 . 1 \mu _ { 0 }
\begin{array} { r } { m _ { i } \frac { d \textbf { U } _ { i } ^ { p } } { d t } = \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { i } ^ { c } } { \textbf { F } _ { i j } ^ { c } } + \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { i } ^ { c u t } } { \textbf { F } _ { i j } ^ { d - d } } + \textbf { F } _ { i } ^ { m e } + \textbf { F } _ { i } ^ { h } + \textbf { F } _ { i } ^ { g } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { c _ { i a \alpha } = } & { \sum _ { \mu \kappa } ( b _ { i \uparrow \mu } ^ { * } b _ { a \uparrow \kappa } + b _ { i \downarrow \mu } ^ { * } b _ { a \downarrow \kappa } ) c _ { \mu \kappa \alpha } = c _ { i a \alpha } ^ { R } + i c _ { i a \alpha } ^ { I } } \\ { = } & { \sum _ { \mu \kappa } ( b _ { i \uparrow \mu } ^ { R } b _ { a \uparrow \kappa } ^ { R } + b _ { i \uparrow \mu } ^ { I } b _ { a \uparrow \kappa } ^ { I } + b _ { i \downarrow \mu } ^ { R } b _ { a \downarrow \kappa } ^ { R } + b _ { i \downarrow \mu } ^ { I } b _ { a \downarrow \kappa } ^ { I } ) c _ { \mu \kappa \alpha } } \\ & { + i \sum _ { \mu \kappa } ( b _ { i \uparrow \mu } ^ { R } b _ { a \uparrow \kappa } ^ { I } - b _ { i \uparrow \mu } ^ { I } b _ { a \uparrow \kappa } ^ { R } + b _ { i \downarrow \mu } ^ { R } b _ { a \downarrow \kappa } ^ { I } - b _ { i \downarrow \mu } ^ { I } b _ { a \downarrow \kappa } ^ { R } ) c _ { \mu \kappa \alpha } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { H } } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { N } { \frac { { \partial H } } { { \partial { \varphi _ { i } } } } { \omega _ { i } } } + \sum _ { i = 1 } ^ { N } { \frac { { \partial H } } { { \partial { s _ { i } } } } { { \dot { s } } _ { i } } } } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { N } { { { \left( { \int _ { { E _ { i } } } { \frac { { \partial f \left( { d ( { \varphi _ { i } } , \theta ) } \right) } } { { \partial { \varphi _ { i } } } } \rho \left( \theta \right) d \theta } } \right) } ^ { 2 } } } } \\ & { + { \kappa _ { s } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } { \left[ { f \left( { d ( { \varphi _ { i - 1 } } , { s _ { i } } ) } \right) - f \left( { d ( { \varphi _ { i } } , { s _ { i } } ) } \right) } \right] } \left( { d ( { \varphi _ { i } } , { s _ { i } } ) - d ( { \varphi _ { i - 1 } } , { s _ { i } } ) } \right) \rho \left( { { s _ { i } } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \mathcal { V } _ { 2 } ( t , \cdot ) \| _ { L ^ { p } } \leq } & { \mathbb { E } \left[ \left( \int _ { - \infty } ^ { \infty } \left( \int _ { 0 } ^ { t } \mathcal { B } ^ { \lambda } ( t , \xi ) \left| d ( s , \Phi ( s , \mathcal { A } _ { t , \xi } ) ) \right| \mathcal { B } ^ { - \lambda } ( s , \Phi ( s , \mathcal { A } _ { t , \xi } ) ) d s \right) ^ { p } d \xi \right) ^ { 1 / p } \right] } \\ & { \leq \mathbb { E } \left[ \int _ { 0 } ^ { t } \left( \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathcal { B } ^ { p \lambda } ( t , \xi ) \left| d ( s , \Phi ( s , \mathcal { A } _ { t , \xi } ) ) \right| ^ { p } \mathcal { B } ^ { - p \lambda } ( s , \Phi ( s , \mathcal { A } _ { t , \xi } ) ) d \xi \right) ^ { 1 / p } d s \right] } \\ & { = \mathbb { E } \left[ \int _ { 0 } ^ { t } \left( \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathcal { B } ^ { p \lambda - 1 } ( t , \Phi _ { t , \sigma } ) \left| d ( s , \Phi ( s , \sigma ) ) \right| ^ { p } \mathcal { B } ^ { - p \lambda } ( s , \Phi ( s , \sigma ) ) d \sigma \right) ^ { 1 / p } d s \right] } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { t } \mathbb { E } \left[ \left( \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathcal { B } ^ { p \lambda - 1 } ( t , \Phi ( t , \mathcal { A } _ { s , \mu } ) ) | d ( s , \mu ) | ^ { p } d \mu \right) ^ { 1 / p } \right] d s . } \end{array}
{ \cal R } _ { \kappa } = \frac { 1 } { 4 } \, \sum _ { s \overline { { s } } \, s ^ { \prime } \overline { { s } } ^ { \prime } } \rho _ { s \overline { { s } } , s ^ { \prime } \overline { { s } } ^ { \prime } } ( \theta ) \left[ \begin{array} { c c } { { 1 + \cos \vartheta } } & { { \sin \vartheta e ^ { i \varphi } } } \\ { { \sin \vartheta e ^ { - i \varphi } } } & { { 1 - \cos \vartheta } } \end{array} \right] _ { s s ^ { \prime } } \left[ \begin{array} { c c } { { 1 - \cos \overline { { \vartheta } } } } & { { \sin \overline { { \vartheta } } e ^ { i \overline { { \varphi } } } } } \\ { { \sin \overline { { \vartheta } } e ^ { - i \overline { { \varphi } } } } } & { { 1 + \cos \overline { { \vartheta } } } } \end{array} \right] _ { \overline { { s } } \, \overline { { s } } ^ { \prime } } ,
\left[ \operatorname* { m a x } \left( 0 , \operatorname* { m i n } \left( A \right) \right) ^ { 2 } , \operatorname* { m a x } \left( \left| \operatorname* { m a x } \left( A \right) \right| , \left| \operatorname* { m i n } \left( A \right) \right| \right) ^ { 2 } \right]
\begin{array} { r } { \mathbb { E } _ { n } \bigg [ \operatorname* { s u p } _ { 0 \le s \le t } \big | \mathcal { M } _ { s } ^ { n } ( \varphi ) - \mathcal { M } _ { s - } ^ { n } ( \varphi ) \big | \bigg ] \le 2 \mathbb { E } _ { n } \bigg [ \operatorname* { s u p } _ { 0 \le s \le t } | \mathcal { M } _ { s } ^ { n } ( \varphi ) | ^ { 2 } \bigg ] ^ { 1 / 2 } \le 2 \mathbb { E } _ { n } \big [ \langle \mathcal { M } ^ { n } ( \varphi ) \rangle _ { t } \big ] ^ { 1 / 2 } , } \end{array}
\mathcal { L } = g _ { 1 } W _ { 1 \mu } ^ { a } Q _ { 1 } ^ { a } \bar { Q } _ { L } \gamma ^ { \mu } Q _ { L } = g _ { 1 } \left( W _ { 1 \mu } ^ { + } J ^ { + \mu } + W _ { 1 \mu } ^ { - } J ^ { - \mu } + W _ { 1 \mu } ^ { 3 } J _ { W _ { 1 } ^ { 3 } } ^ { \mu } \right) ,
q _ { b } ^ { \prime \prime } = \left( t _ { \mathrm { a i r } } / k _ { \mathrm { a i r } } + t _ { \mathrm { P L A } } / k _ { \mathrm { P L A } } + 1 / h _ { b } \right) ^ { - 1 } ( T _ { \mathrm { w } } - T _ { \mathrm { a w } } )
\gamma _ { i j } = - \bigg ( \frac { 7 } { 2 } ( c _ { 2 } ^ { 2 } + c _ { 3 } ^ { 2 } ) + ( 2 + 6 q ) c _ { 2 } c _ { 3 } \bigg ) b _ { i j } - 2 c _ { 2 } c _ { 3 } b _ { j i } .
\begin{array} { r l } & { \sum _ { k = 0 } ^ { \ell } \overline { { C } } _ { k , i } \left( \mathcal { S } ( k ) \right) + \sum _ { k = 1 } ^ { \ell - 1 } \overline { { C } } _ { k , i } \left( \mathcal { T } ( k ) \right) } \\ { = } & { \sum _ { k = 0 } ^ { \ell - 1 } \overline { { C } } _ { k , i } \left( \mathcal { S } ( k ) \right) + \sum _ { k = 1 } ^ { \ell - 1 } \overline { { C } } _ { k , i } \left( \mathcal { T } ( k ) \right) + \overline { { C } } _ { k , i } \left( \mathcal { S } ( \ell ) \right) } \\ { = } & { \sum _ { k = 0 } ^ { \ell - 1 } \overline { { C } } _ { k , i } \left( \mathcal { S } ( k ) \right) + \sum _ { k = 1 } ^ { \ell - 1 } \overline { { C } } _ { k , i } \left( \mathcal { T } ( k ) \right) + 1 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\lvert \mathrm I + \mathrm { I I } + \mathrm { I I I } \right\rvert \le C A ( T | \partial \Omega | ) ^ { \frac 1 3 } \gamma ^ { - \frac 1 3 } ( D _ { \nu } + F _ { \nu } ) ^ { \frac 2 3 } + \gamma A ^ { 3 } T | \partial \Omega | + R _ { \nu } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { \tilde { u } ^ { * } } = \mathbf { 0 } + \mathbf { u } ^ { * } , \; \tilde { p } ^ { * } ( \mathbf { x } ^ { * } , t ^ { * } ) = p _ { b } ^ { * } ( z ^ { * } ) + p ^ { * } ( \mathbf { x } ^ { * } , t ^ { * } ) , \; \tilde { \rho } ^ { * } ( \mathbf { x } ^ { * } , t ^ { * } ) = \rho _ { b } ^ { * } ( z ^ { * } ) + \rho ^ { * } ( \mathbf { x } ^ { * } , t ^ { * } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \sum _ { k = 1 } ^ { K } \left\{ t r ( \widetilde { \Theta } _ { k } - \Theta _ { 0 k } ) \widehat { \Sigma } _ { k } - \left( \log \operatorname* { d e t } ( \widetilde { \Theta } _ { k } ) - \log \operatorname* { d e t } ( \Theta _ { 0 k } ) \right) + \lambda | | \widetilde { \Theta } _ { k } ^ { - } | | _ { 1 } \right\} + \rho \sum _ { k < k ^ { \prime } } | | \widetilde { \Theta } _ { k } ^ { - } - \widetilde { \Theta } _ { k ^ { \prime } } ^ { - } | | _ { 1 } \ } \\ & { \leq } & { \lambda \sum _ { k = 1 } ^ { K } | | \Theta _ { 0 k } ^ { - } | | _ { 1 } + \rho \sum _ { k < k ^ { \prime } } | | \Theta _ { 0 k } ^ { - } - \Theta _ { 0 k ^ { \prime } } ^ { - } | | _ { 1 } . } \end{array}
E _ { \mathrm { D } } = m c ^ { 2 } [ 1 - \frac { 1 } { 2 } \frac { ( Z \alpha ) ^ { 2 } } { n ^ { 2 } } - \frac { 1 } { 2 } \frac { ( Z \alpha ) ^ { 4 } } { n ^ { 3 } } ( \frac { 1 } { j + 1 / 2 } - \frac { 3 } { 4 n } ) - \cdots ]