harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
N _ { e , c , i } ^ { \mathrm { t e s t } } ( V _ { \alpha \beta } , \boldsymbol { \theta } , o , \xi _ { s } , \left\{ \xi _ { b , c , k } \right\} ) = N _ { e , c , i } ^ { s } ( V _ { \alpha \beta } , \boldsymbol { \theta } , o ) ( 1 + \pi _ { e , c } ^ { s } \xi _ { s } ) + \sum _ { k } N _ { e , c , k , i } ^ { b } ( \boldsymbol { \theta } , o ) \left( 1 + \pi _ { e , c , k } ^ { b } \xi _ { b , c , k } \right) \; ,
\begin{array} { r l } { \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 } ^ { i } p _ { i } q _ { j } g ( u ( x _ { j } ) - u ( x _ { i } ) ) } & { { } \leq \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 } ^ { i } p _ { i } p _ { j } g ( u ( x _ { j } ) - u ( x _ { i } ) ) } \end{array}
{ { \rho } _ { R } } = { { \rho } _ { \infty } } \left( 1 + \frac { 2 \gamma } { R { { P } _ { \infty } } } \right) \frac { { { P } _ { \infty } } { b } + { { k } _ { B } } T } { \left( 1 + \frac { 2 \gamma } { R { { P } _ { \infty } } } \right) { { P } _ { \infty } } { b } + { { k } _ { B } } T } .
4 \varepsilon H _ { \parallel } ^ { \parallel } ( V , \xi ) \left[ A ^ { 2 } + A \left( U _ { 1 } ^ { \mu } l _ { \mu } + U _ { 2 } ^ { \mu } \xi _ { \mu } \right) + U _ { 1 } ^ { \mu } l _ { \mu } U _ { 2 } ^ { \nu } \xi _ { \nu } - U _ { 1 } ^ { \mu } \xi _ { \mu } U _ { 2 } ^ { \nu } l _ { \nu } \right] = \frac { \eta ^ { 3 } } { 2 1 6 } p ( \varrho ) v ^ { 6 } \; .
\begin{array} { r l } { \nabla ^ { 2 } p _ { 1 , 1 } ^ { \mathrm { ( S ) } } ( x - t , y ) } & { = \nabla \cdot [ \Theta ( x - t , y ) \mathbf { u } _ { 1 , 0 } ^ { \mathrm { ( S ) } } ( x - t , y ) ] , } \\ { \nabla ^ { 2 } p _ { 1 , 1 } ^ { \mathrm { ( T ) } } ( x - t , y ) } & { = \nabla \cdot [ \Theta ( x - t , y ) \mathbf { u } _ { 1 , 0 } ^ { \mathrm { ( T ) } } ( x - t , y ) ] , } \end{array}
p ( \mathrm { { l a b e l } } | { \boldsymbol { x } } , { \boldsymbol { \theta } } ) = { \frac { p ( { { \boldsymbol { x } } | \mathrm { { l a b e l , { \ b o l d s y m b o l { \ t h e t a } } } } } ) p ( \mathrm { { l a b e l | { \ b o l d s y m b o l { \ t h e t a } } } } ) } { \sum _ { L \in { \mathrm { a l l ~ l a b e l s } } } p ( { \boldsymbol { x } } | L ) p ( L | { \boldsymbol { \theta } } ) } } .
( \mu \lambda \vert \nu \kappa ) = \iint _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \mathrm { d } ^ { 3 } \ensuremath \mathbf { r } \mathrm { d } ^ { 3 } \ensuremath \mathbf { r } ^ { \prime } \, \frac { \phi _ { \mu } ( \vec { r } ) \phi _ { \lambda } ( \vec { r } ) \phi _ { \nu } ( \vec { r } ^ { \prime } ) \phi _ { \kappa } ( \vec { r } ^ { \prime } ) } { \vert \vec { r } - \vec { r } ^ { \prime } \vert }
\rho _ { h \downarrow } ^ { ( 2 ) } ( x _ { h } , x _ { \downarrow } ; t ) = \sum _ { X \in \{ I , S , T \} } | \langle X _ { x _ { h } } ^ { x _ { \downarrow } } | \Psi _ { \mathrm { g r } } ( t ) \rangle | ^ { 2 }
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { P r } \left( Y _ { i 2 } = y _ { 2 } , X _ { i 2 } = x _ { 2 } , Y _ { i 1 } = y _ { 1 } \, | \, X _ { i 1 } = x _ { 1 } \right) } \\ & { = \left\{ \int _ { { \cal { S } } } \, F ( \theta x _ { 2 } + \alpha ) ^ { y _ { 2 } } [ 1 - F ( \theta x _ { 2 } + \alpha ) ] ^ { 1 - y _ { 2 } } F ( \theta x _ { 1 } + \alpha ) ^ { y _ { 1 } } [ 1 - F ( \theta x _ { 1 } + \alpha ) ] ^ { 1 - y _ { 1 } } \pi _ { x _ { 1 } } ( \alpha ) d \mu ( \alpha ) \right\} } \\ & { \quad \quad \quad \times [ G _ { y _ { 1 } , x _ { 1 } } ^ { 2 } ] ^ { x _ { 2 } } [ 1 - G _ { y _ { 1 } , x _ { 1 } } ^ { 2 } ] ^ { 1 - x _ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad \frac { 4 2 ( 1 - \delta ) ( \eta + \lambda \eta ^ { 2 } ) } { \delta ^ { 2 } \delta _ { 1 } n } \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \mathbb { E } _ { k } \| h _ { \tau } ^ { k + 1 } - u _ { \tau } ^ { k + 1 } \| ^ { 2 } + \frac { 1 4 ( 1 - \delta ) ( \eta + \lambda \eta ^ { 2 } ) } { \delta ^ { 2 } n } \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \| h _ { \tau } ^ { k } - u _ { \tau } ^ { k } \| ^ { 2 } } \\ & { \leq \frac { 4 2 ( 1 - \delta ) ( \eta + \lambda \eta ^ { 2 } ) } { \delta ^ { 2 } \delta _ { 1 } n } \left( 1 - \frac { \delta _ { 1 } } { 2 } + \frac { \delta _ { 1 } } { 3 } \right) \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \| h _ { \tau } ^ { k } - u _ { \tau } ^ { k } \| ^ { 2 } } \\ & { \quad + \frac { 4 2 ( 1 - \delta ) ( \eta + \lambda \eta ^ { 2 } ) } { \delta ^ { 2 } \delta _ { 1 } m ^ { 3 } n } \left( \frac { 2 ( 1 - \delta _ { 1 } ) { \bar { R } } ^ { 2 } } { \delta _ { 1 } } + R _ { m } ^ { 2 } \right) \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \| { \tilde { y } } _ { i \tau } ^ { k } - y _ { i \tau } ^ { k } \| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { \mathbf { a } } } & { = \sum _ { \mathbf { b } \neq \mathbf { a } } n _ { \mathbf { b } } \Re \left( V _ { \mathbf { b a } } F _ { \mathbf { b a } } ^ { + } \right) } \\ & { = \cos ( \theta _ { \mathrm { i n } } ) T \sum _ { \mathbf { b } \neq \mathbf { a } } n _ { \mathbf { b } } \Re ( V _ { \mathbf { b a } } ) + \mathcal { O } ( \Gamma _ { 0 } \gamma T ^ { 2 } , \Gamma _ { 0 } \Delta \omega T ^ { 2 } ) } \\ { K _ { \mathbf { a } } } & { = \frac { \Gamma _ { 0 } T } { 2 } + \sum _ { \mathbf { b } \neq \mathbf { a } } n _ { \mathbf { b } } \Im \left( V _ { \mathbf { b a } } F _ { \mathbf { b a } } ^ { - } \right) } \\ & { = \frac { \Gamma _ { 0 } T } { 2 } + \mathcal { O } ( \Gamma _ { 0 } \gamma T ^ { 2 } , \Gamma _ { 0 } \Delta \omega T ^ { 2 } ) } \\ { F _ { \mathbf { b a } } ^ { \pm } } & { = \frac { T } { 4 } \boldsymbol { \Bigg ( } e ^ { - \gamma T } \cos \theta _ { \mathrm { i n } } - \left( 1 - e ^ { - \gamma T / 4 } \right) ^ { 3 } \left( 1 + e ^ { - \gamma T / 4 } \right) } \\ & { \qquad \quad ~ + \left\{ e ^ { - \gamma T / 4 } \left( 1 + \cos \theta \right) - 1 \pm 2 \left[ e ^ { - 3 \gamma T / 4 } \left( 1 + \cos \theta \right) - 2 e ^ { - \gamma T / 2 } + 1 \right] \right\} e ^ { \mathrm { i } ( \Delta \omega _ { \mathbf { b } } - \Delta \omega _ { \mathbf { a } } ) T / 4 } \boldsymbol { \Bigg ) } } \\ & { = \frac { T } { 4 } \left\{ e ^ { - \gamma T } \left( 1 + \cos \theta \right) - 2 e ^ { - 3 \gamma T / 4 } + e ^ { - \gamma T / 4 } \left( 3 + \cos \theta \right) - 2 \right. } \\ & { \qquad \quad \left. \pm 2 \left[ e ^ { - 3 \gamma T / 4 } \left( 1 + \cos \theta \right) - 2 e ^ { - \gamma T / 2 } + 1 \right] + \mathcal { O } ( \Delta \omega T ) \right\} } \\ { \Phi } & { = \Delta \phi ( T ) - 2 \Delta \phi ( 3 T / 4 ) + 2 \Delta \phi ( T / 4 ) - \Delta \phi ( 0 ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \lesssim \| g _ { 1 } \| _ { L _ { x } ^ { \infty } L _ { \xi } ^ { 2 } } \| g _ { \alpha } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \mathcal H _ { \sigma } ) _ { \xi } } ^ { 2 } } \\ & { \lesssim \| g _ { 1 } ^ { ( s ) } \| _ { L _ { x , \xi } ^ { 2 } } \| g _ { \alpha } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \mathcal H _ { \sigma } ) _ { \xi } } ^ { 2 } } \\ & { \lesssim \varsigma \| g _ { \alpha } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \mathcal H _ { \sigma } ) _ { \xi } } ^ { 2 } . } \end{array}
\langle \overline { { { q } } } q \rangle _ { \rho _ { N } } ^ { 2 } \longrightarrow \langle \widetilde { \overline { { { q } } } q } \rangle _ { \rho _ { N } } ^ { 2 } \equiv ( 1 - f ) \langle \overline { { { q } } } q \rangle _ { \mathrm { v a c } } ^ { 2 } + f \langle \overline { { { q } } } q \rangle _ { \rho _ { N } } ^ { 2 } \ ,
T _ { z } ^ { \prime } C _ { \alpha } \otimes T _ { z } ^ { \prime } C _ { \beta } \mapsto e ^ { ( \frac { \lambda _ { i } - \lambda _ { j } } { d _ { \alpha } } + \frac { \lambda _ { i } - \lambda _ { l } } { d _ { \beta } } ) t } T _ { z } ^ { \prime } C _ { \alpha } \otimes T _ { z } ^ { \prime } C _ { \beta }
t _ { 2 } ^ { \prime } < t _ { 2 } \Rightarrow C o r e ( p _ { 1 } , p _ { 2 } ; t _ { 1 } , t _ { 2 } ) \subseteq C o r e ( p _ { 1 } , p _ { 2 } ; t _ { 1 } , t _ { 2 } ^ { \prime } )
\begin{array} { r } { c _ { s } ^ { 2 } } \\ { = \frac { ( p _ { + } + \langle \alpha _ { k } p _ { * k } \rangle ) p _ { + } + p _ { + } ( \alpha _ { 1 } p _ { * 2 } + \alpha _ { 2 } p _ { * 1 } ) + p _ { * 1 } p _ { * 2 } } { c _ { V } \rho \theta ( 2 p _ { + } - b ) } } \\ { \times \gamma c _ { V } \theta = \frac { ( p _ { + } + p _ { * 1 } ) ( p _ { + } + p _ { * 2 } ) } { \rho \sqrt { d } } \gamma . } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { k } ^ { n } = } & { - \frac { 1 } { \tau _ { k - \frac { 1 } { 2 } } } \int _ { t _ { k - \frac { 3 } { 2 } } } ^ { t _ { k - \frac { 1 } { 2 } } } \omega _ { 1 - \alpha } ( t _ { n - \frac { 1 } { 2 } } - s ) \Big [ \int _ { s } ^ { t _ { k - \frac { 1 } { 2 } } } v ^ { \prime \prime } ( t ) ( t _ { k - \frac { 1 } { 2 } } - t ) d t } \\ & { - \int _ { s } ^ { t _ { k - \frac { 3 } { 2 } } } v ^ { \prime \prime } ( t ) ( t _ { k - \frac { 3 } { 2 } } - t ) d t \Big ] d s } \\ { = } & { - \frac { 1 } { \Gamma ( 2 - \alpha ) } \int _ { t _ { k - \frac { 3 } { 2 } } } ^ { t _ { k - \frac { 1 } { 2 } } } \Big [ \frac { t _ { k - \frac { 1 } { 2 } } - t } { \tau _ { k - \frac { 1 } { 2 } } } ( t _ { n - \frac { 1 } { 2 } } - t _ { k - \frac { 3 } { 2 } } ) ^ { 1 - \alpha } - \frac { t _ { k - \frac { 3 } { 2 } } - t } { \tau _ { k - \frac { 1 } { 2 } } } ( t _ { n - \frac { 1 } { 2 } } - t _ { k - \frac { 1 } { 2 } } ) ^ { 1 - \alpha } } \\ & { ~ ~ - ( t _ { n - \frac { 1 } { 2 } } - t ) ^ { 1 - \alpha } \Big ] v ^ { \prime \prime } ( t ) d t } \\ { = } & { \int _ { t _ { k - \frac { 3 } { 2 } } } ^ { t _ { k - \frac { 1 } { 2 } } } \tilde { \Pi } _ { 1 , k } \omega _ { 2 - \alpha } ( t _ { n - \frac { 1 } { 2 } } - t ) v ^ { \prime \prime } ( t ) d t , ~ ~ 1 \le k \le n , } \end{array}
I _ { i } = \int \rho ( { \bf r } ) ( x _ { j } ^ { 2 } + x _ { k } ^ { 2 } ) d { \bf r } \leq \int \rho ( { \bf r } ) ( 2 x _ { i } ^ { 2 } + x _ { j } ^ { 2 } + x _ { k } ^ { 2 } ) d { \bf r } = I _ { j } + I _ { k } .
\begin{array} { r } { \omega _ { k \ell } ^ { s } = \partial _ { k } v _ { \ell } ^ { s } - \partial _ { \ell } v _ { k } ^ { s } \quad \mathrm { o r } \quad \omega _ { z } ^ { s } = \partial _ { x } v _ { y } ^ { s } - \partial _ { y } v _ { x } ^ { s } } \end{array}
\mathfrak { A } = \left[ \begin{array} { l l l l l l l l l } { - b - c } & { \frac { d } { 2 } } & { \frac { f } { 2 } } & { \frac { d } { 2 } } & { c } & { - e } & { \frac { f } { 2 } } & { - e } & { b } \\ { \frac { d } { 2 } } & { - \frac { a } { 2 } - \frac { b } { 2 } - c } & { \frac { e } { 2 } } & { - c } & { \frac { d } { 2 } } & { f } & { e } & { \frac { f } { 2 } } & { - d } \\ { \frac { f } { 2 } } & { \frac { e } { 2 } } & { - \frac { a } { 2 } - b - \frac { c } { 2 } } & { e } & { - f } & { \frac { d } { 2 } } & { - b } & { d } & { \frac { f } { 2 } } \\ { \frac { d } { 2 } } & { - c } & { e } & { - \frac { a } { 2 } - \frac { b } { 2 } - c } & { \frac { d } { 2 } } & { \frac { f } { 2 } } & { \frac { e } { 2 } } & { f } & { - d } \\ { c } & { \frac { d } { 2 } } & { - f } & { \frac { d } { 2 } } & { - a - c } & { \frac { e } { 2 } } & { - f } & { \frac { e } { 2 } } & { a } \\ { - e } & { f } & { \frac { d } { 2 } } & { \frac { f } { 2 } } & { \frac { e } { 2 } } & { - a - \frac { b } { 2 } - \frac { c } { 2 } } & { d } & { - a } & { \frac { e } { 2 } } \\ { \frac { f } { 2 } } & { e } & { - b } & { \frac { e } { 2 } } & { - f } & { d } & { - \frac { a } { 2 } - b - \frac { c } { 2 } } & { \frac { d } { 2 } } & { \frac { f } { 2 } } \\ { - e } & { \frac { f } { 2 } } & { d } & { f } & { \frac { e } { 2 } } & { - a } & { \frac { d } { 2 } } & { - a - \frac { b } { 2 } - \frac { c } { 2 } } & { \frac { e } { 2 } } \\ { b } & { - d } & { \frac { f } { 2 } } & { - d } & { a } & { \frac { e } { 2 } } & { \frac { f } { 2 } } & { \frac { e } { 2 } } & { - a - b } \end{array} \right]
- q ^ { 5 } { \cal N } _ { i p } C _ { i a } C ^ { v a } \left. \partial ^ { v } \right. ^ { * } x ^ { s } = q ^ { 4 } C _ { i a } C _ { p \delta } \hat { \cal R } _ { a l } ^ { p \delta } { \cal N } _ { s l } { \cal N } _ { i p } - q ^ { 4 } \left. \hat { \cal R } ^ { - 1 } \right. _ { l d } ^ { i k } { \cal N } _ { k n } { \cal N } _ { s l } { \cal N } _ { i p } { \cal N } _ { t d } x ^ { n } C _ { d b } C ^ { m b } { \cal N } _ { d t } \left. \partial ^ { m } \right. ^ { * } ~ .
\centering f _ { \mathrm { A P } } ( x , r , \psi ) = \int _ { 0 } ^ { 2 \mathrm { \ p i } } \int _ { 0 } ^ { R } u ^ { 3 } ( x , r , \psi ) / U _ { \mathrm { \infty } } ^ { 3 } r \mathrm { d } r \mathrm { d } \psi ,
{ \cal Z } ^ { F } = \int _ { a n t i p e r . } D \bar { \Psi } D \Psi \exp \left\{ \int _ { 0 } ^ { \beta } d \tau \int d ^ { N } x \ \bar { \Psi } [ - i \gamma _ { 0 } ( \partial _ { 0 } + A _ { 0 } + i \mu ) - i \gamma _ { i } \partial _ { i } - M ] \Psi \right\} .
\begin{array} { r l } { F _ { 1 } } & { = \frac { 1 0 \, e _ { 1 } ^ { 4 } \, ( x - y ) - 2 1 \pi e _ { 1 } ^ { 4 } - 3 \pi e _ { 1 } ^ { 2 } \, ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) + 2 e _ { 1 } ^ { 2 } \, x y \, ( x - y ) + 1 2 \pi e _ { 1 } ^ { 2 } \, x y + 3 \pi x ^ { 2 } y ^ { 2 } } { 1 2 \, e _ { 1 } ^ { 4 } } , } \\ { F _ { 2 } } & { = \frac { 1 0 \, e _ { 1 } ^ { 4 } \, ( y - x ) - 2 1 \pi e _ { 1 } ^ { 4 } - 3 \pi e _ { 1 } ^ { 2 } \, ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) + 2 e _ { 1 } ^ { 2 } \, x y \, ( y - x ) + 1 2 \pi e _ { 1 } ^ { 2 } \, x y + 3 \pi x ^ { 2 } y ^ { 2 } } { 1 2 \, e _ { 1 } ^ { 4 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { m } _ { r } } & { = } & { - \hbar m \frac { z } { r } \left( \hat { n } _ { \mathrm { H } } + \hat { n } _ { \mathrm { V } } + 1 \right) } \\ & { } & { - \frac { \hbar } { 2 i } z \cos ( 2 \phi ) \partial _ { r } | u | ^ { 2 } \left( \hat { a } _ { \mathrm { H } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { V } } - \hat { a } _ { \mathrm { V } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { H } } \right) } \\ { \hat { m } _ { \phi } } & { = } & { - \hbar k r \left( \hat { n } _ { \mathrm { H } } + \hat { n } _ { \mathrm { V } } + 1 \right) } \\ & { } & { + \frac { \hbar } { 2 i } z \sin ( 2 \phi ) \partial _ { r } | u | ^ { 2 } \left( \hat { a } _ { \mathrm { H } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { V } } - \hat { a } _ { \mathrm { V } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { H } } \right) } \\ { \hat { m } _ { z } } & { = } & { \hbar m \left( \hat { n } _ { \mathrm { H } } + \hat { n } _ { \mathrm { V } } + 1 \right) + \frac { \hbar } { i } \left( \hat { a } _ { \mathrm { H } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { V } } - \hat { a } _ { \mathrm { V } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { H } } \right) } \\ & { = } & { \hat { l } _ { z } + \hat { s } _ { z } , } \end{array}
\alpha _ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } \alpha _ { a b } \eta ^ { a } \eta ^ { b } + \alpha _ { \; \; a b } ^ { \mu \nu } \eta ^ { a } \eta _ { \mu \nu } ^ { b } + \frac { 1 } { 2 } \alpha _ { \; \; a b } ^ { \mu \nu \; \lambda \rho } \eta _ { \mu \nu } ^ { a } \eta _ { \lambda \rho } ^ { b } ,
\psi = ( \nabla ^ { 2 } ) ^ { - 1 / 2 } \; \phi _ { 1 , 2 } = { \frac { 1 } { \Gamma ( - 1 / 2 ) } } \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { \d t } { t ^ { 3 / 2 } } } \exp [ - t \nabla ^ { 2 } ] \; \phi _ { 1 , 2 } .
V ^ { T } H V = \left( \begin{array} { l l l l } { - \Delta / 2 } & { J } & { 0 } & { 0 } \\ { J } & { \Delta / 2 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { U - 2 J } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { U } \end{array} \right)
\tilde { l } _ { - } ^ { ( s ) } : = \operatorname* { m a x } _ { 1 \le j \le s _ { 0 } n } \{ | \sum _ { i \in \mathcal { V } _ { r 1 } } l _ { i j } ^ { ( s ) } - \sum _ { i \in \mathcal { V } _ { r 2 } }
\Psi _ { { \bf { p } } } ^ { C } ( { \bf { r } } ) = \sum _ { l m } \sqrt { \frac { 2 } { \pi } } i ^ { l } e ^ { - i ( \delta _ { l } + \vartriangle _ { l } ) } \frac { R _ { p l } ( { r } ) } { p r } Y _ { l m } ^ { \ast } ( \hat { \bf { p } } ) Y _ { l m } ( \hat { \bf { r } } ) ,
\frac { \partial { { { \bar { u } } } _ { i } } } { \partial t } + \frac { \partial \left( { { { \bar { u } } } _ { i } } { { { \bar { u } } } _ { j } } \right) } { \partial { { x } _ { j } } } = - \frac { \partial \bar { p } } { \partial { { x } _ { i } } } - \frac { \partial { { \tau } _ { i j } } } { \partial { { x } _ { j } } } + \nu \frac { { { \partial } ^ { 2 } } { { { \bar { u } } } _ { i } } } { \partial { { x } _ { j } } \partial { { x } _ { j } } } + { { \bar { \mathcal { F } } } _ { i } } .
\left| P _ { \xi } \right\rangle = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \sum _ { \lambda \lambda ^ { \prime } } \int d \boldsymbol { r } \int d \boldsymbol { r } ^ { \prime } \xi _ { \lambda \lambda ^ { \prime } } ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { r } ^ { \prime } , t ) \hat { \psi } _ { \lambda } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { r } ) \hat { \psi } _ { \lambda ^ { \prime } } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { r } ^ { \prime } ) \left| 0 \right\rangle ,
\mathbf { v } ^ { \prime } ( \mathbf { x } , t ) = \sqrt { 6 } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \sqrt { q ^ { n } } \left[ \mathbf { \sigma } ^ { n } \mathrm { c o s } \left( k ^ { n } \mathbf { d } ^ { n } \cdot \mathbf { x } ^ { \prime } + \phi ^ { n } \right) \right] ,
{ \hat { T } } ( \mathbf { x } _ { 1 } ) \left( { \hat { T } } ( \mathbf { x } _ { 2 } ) { \hat { T } } ( \mathbf { x } _ { 3 } ) \right) = \left( { \hat { T } } ( \mathbf { x } _ { 1 } ) { \hat { T } } ( \mathbf { x } _ { 2 } ) \right) { \hat { T } } ( \mathbf { x } _ { 3 } )
\begin{array} { r l } { \operatorname { I } ( C ) } & { { } = \operatorname { I } ( A ) + \operatorname { I } ( B ) } \\ { f ( \operatorname { P } ( C ) ) } & { { } = f ( \operatorname { P } ( A ) ) + f ( \operatorname { P } ( B ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \chi ( 0 ) } & { { } = - \frac { 1 } { \pi } \ln \sqrt { u ^ { 2 } + 1 } + i \left[ \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { \pi } \arctan ( u ) \right] = R _ { 0 } + i I _ { 0 } , } \\ { \chi ^ { \prime } ( 0 ) } & { { } = \frac { 2 } { \pi } \frac { u - i } { u ^ { 2 } + 1 } = R _ { 1 } + i I _ { 1 } , } \end{array}
\mathrm { p r o b } ( Q ^ { 2 } ) \sim \frac { 1 } { Q ^ { 2 } } \Delta ^ { i } ( \tilde { Q } ^ { 2 } , Q ^ { 2 } ) \; \Delta ^ { q } ( Q ^ { 2 } , Q ^ { 2 } ) \; \frac { \alpha _ { s } } { 2 \pi } P _ { i } ^ { q } \! \left( z ^ { \prime } \right) ,
\begin{array} { r } { \Lambda - I = \Psi ^ { - 1 } - I + W \Omega V ^ { T } = \left[ \begin{array} { l l } { ( \Psi ^ { - 1 } - I ) _ { C C } } & { O } \\ { O } & { ( \Psi ^ { - 1 } - I ) _ { O O } } \end{array} \right] + \left[ \begin{array} { l } { W _ { C A } } \\ { W _ { O A } } \end{array} \right] \Omega V ^ { T } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { \left( \begin{array} { l l } { - e ^ { - 2 \pi i \alpha } } & { 0 } \\ { s _ { 0 } e ^ { 2 \pi i \alpha } | x | ^ { - 2 \alpha } e ^ { - 2 x ^ { 2 } \widehat { g } ( z ) } } & { - e ^ { 2 \pi i \alpha } } \end{array} \right) , \quad } & { z } & { \in ( - \delta , 0 ) , } \\ & { \left( \begin{array} { l l } { - 1 } & { 0 } \\ { s _ { 0 } e ^ { 2 \pi i \alpha } | x | ^ { - 2 \alpha } e ^ { - 2 x ^ { 2 } \widehat { g } ( z ) } } & { - 1 } \end{array} \right) , \quad } & { z } & { \in ( 0 , \delta ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta _ { \alpha } } & { = \operatorname* { m i n } _ { \Delta ^ { \prime } } \left\{ \left( \int _ { \Delta < \Delta ^ { \prime } } p ( \Delta | D , K ) \textup { d } \Gamma \right) > \alpha \right\} , } \\ { U _ { \alpha } } & { = \operatorname* { m i n } _ { U ^ { \prime } } \left\{ \left( \int _ { U _ { f c } < U ^ { \prime } } p ( U _ { f c } | D , K ) \textup { d } U _ { f c } \right) > \alpha \right\} . } \end{array}
i \sum _ { k < l } a _ { k l } [ B _ { k } , B _ { l } ] + i \sum _ { k < l } \widehat { a } _ { k l } ( [ B _ { k } , \widehat { B } _ { l } ] + [ \widehat { B } _ { k } , B _ { l } ] ) + b _ { 1 } \chi _ { 1 } + b _ { 2 } \chi _ { 2 } = 0 .
\begin{array} { r } { \Omega _ { P } = \Omega _ { \Lambda } ^ { 0 } + \int _ { 0 } ^ { 1 } \d b \left[ \frac { \Omega _ { r } ^ { \prime } ( b ) } { b ^ { 4 } } + \frac { \Omega _ { b } ^ { \prime } ( b ) } { b ^ { 3 } } + \frac { \Omega _ { e } ^ { \prime } ( b ) } { b ^ { 3 } } \right] , } \end{array}
\Delta ^ { \prime } \lambda = \left( \frac { d ^ { 4 } G _ { E } } { d \varphi _ { 0 } ^ { 4 } } \right) _ { s = 1 } = - \frac { 3 \lambda ^ { 2 } } { 3 2 \pi ^ { 3 } } \, \sqrt { a _ { 3 } a _ { 4 } } \, \operatorname * { l i m } _ { s \rightarrow 1 } A _ { 2 } ^ { c ^ { 2 } } ( s , a _ { 3 } , a _ { 4 } ) \, .
\begin{array} { r l } { T _ { \mu \nu } ^ { \quad i } \left( n \right) } & { = \frac { 1 } { \mathcal { \ell } ^ { \mu } } \left( \cos \mathcal { \ell } \omega _ { \mu } \left( n \right) e _ { \nu } ^ { i } \left( n + \widehat { \mu } \right) - \epsilon ^ { i j k } \sin \mathcal { \ell } \omega _ { \mu } \left( n \right) \widehat { \omega } _ { \mu } ^ { j } \left( n \right) e _ { \nu } ^ { k } \left( n + \widehat { \mu } \right) \right. } \\ & { \left. + 2 \widehat { \omega } _ { \mu } ^ { i } \left( n \right) \widehat { \omega } _ { \mu } ^ { j } \left( n \right) \sin ^ { 2 } \frac { 1 } { 2 } \mathcal { \ell } \omega _ { \mu } \left( n \right) e _ { \nu } ^ { j } \left( n + \widehat { \mu } \right) - e _ { \nu } ^ { i } \left( n \right) \right) - \left( \mu \leftrightarrow \nu \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { G _ { 0 } } & { = } & { G _ { 0 , 0 } , } \\ { G _ { 1 } } & { = } & { G _ { 2 , 0 } + G _ { 0 , 2 } , } \\ { G _ { 2 } } & { = } & { G _ { 4 , 0 } + 2 G _ { 2 , 2 } + G _ { 0 , 4 } , } \\ { G _ { 3 } } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } G _ { 2 , 0 } + G _ { 0 , 2 } , } \\ { G _ { 4 } } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } G _ { 4 , 0 } + \frac { 3 } { 2 } G _ { 2 , 2 } + G _ { 0 , 4 } , } \\ { G _ { 5 } } & { = } & { \frac { 1 } { 4 } G _ { 4 , 0 } + G _ { 2 , 2 } + G _ { 0 , 4 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { E _ { u u } ( k _ { x } ^ { + } ; y ^ { + } ) = \overline { { { \hat { u } } ^ { \ast } \hat { u } } } ^ { z , t } , ~ ~ E _ { u u } ( k _ { z } ^ { + } ; y ^ { + } ) = \overline { { { \hat { u } } ^ { \ast } \hat { u } } } ^ { x , t } , } \end{array}
\begin{array} { r } { ( \mathbb { P } _ { n } - \mathbb { P } ) ( f ) \lesssim \mathbb { E } \| \mathbb { P } _ { n } - \mathbb { P } \| _ { \mathcal { F } _ { n } } + \sqrt { \frac { 1 } { n } \left\{ ( \log C _ { A } ) \mathbb { E } \| \mathbb { P } _ { n } - \mathbb { P } \| _ { \mathcal { F } _ { n } } + \operatorname* { s u p } _ { f \in \mathcal { F } _ { n } } \mathbb { E } ( f - \mathbb { E } f ) ^ { 2 } \right\} \log \frac { 2 } { \delta } } + { \frac { \log C _ { A } } { n } } \log \frac { 2 } { \delta } . } \end{array}
\mathbb { E } _ { x } \left[ \left( \sum _ { v \in \mathcal { N } _ { t N } ^ { L } } h ( t N , x _ { v } ) \right) ^ { 2 } \right] = \mathbb { E } _ { x } \left[ \sum _ { v \in \mathcal { N } _ { t N } ^ { L } } h ( t N , x _ { v } ) ^ { 2 } \right] + { 2 h ( 0 , x ) t N Q _ { x } ^ { 2 , t N } \left[ r ( \zeta _ { v } ) h ( | v | N , \zeta _ { v } ) \right] } ,
f ( y , \Lambda ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { \langle v \omega _ { z } - w \omega _ { y } \rangle ( y ) } \int _ { 2 \pi / \Lambda } ^ { \infty } \phi _ { v \omega _ { z } - w \omega _ { y } } ( k _ { z } , y ) d k _ { z } , } & { \mathrm { i f ~ } y < y _ { p } } \\ { \frac { 1 } { \langle v \omega _ { z } - w \omega _ { y } \rangle ( y ) } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi / \Lambda } \phi _ { v \omega _ { z } - w \omega _ { y } } ( k _ { z } , y ) d k _ { z } , } & { \mathrm { i f ~ } y > y _ { p } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { { \cal F } \! } & { { } = } & { \! - \frac { 1 } { 4 } \, F _ { \mu \nu } ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } \, \left( \, { \bf E } ^ { 2 } - { \bf B } ^ { 2 } \, \right) \; , } \\ { { \cal G } \! } & { { } = } & { \! - \frac { 1 } { 4 } \, F _ { \mu \nu } \widetilde { F } ^ { \mu \nu } = { \bf E } \cdot { \bf B } \; , } \end{array}
\mathrm { d } Y _ { t } ^ { \eta , \tau } = u ( Y _ { t } ^ { \eta , \tau } , t ) \mathrm { d } t + \sqrt { 2 \kappa } \mathrm { d } B _ { t } ^ { \kappa } , \quad Y _ { s } ^ { \eta , \tau } = \eta \ \ \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } s \leq \tau
\mathcal { G } _ { k } = q _ { k } + \mathcal { I } _ { k } + \mathcal { S } _ { k } + \mathcal { Q } _ { k } , \; \; \mathcal { S } _ { k } = \alpha _ { k } \overline { { \overline { { \tau } } } } _ { k } : \overline { { \overline { { D } } } } _ { k }