harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r c l } { \displaystyle \frac { d \hat { U } _ { N } } { d \hat { \tau } } } & { = } & { \displaystyle \frac { 1 } { 2 ( \alpha + | U _ { 1 } | ^ { 2 } ) } \, \bigg ( \mathcal { B } _ { N + 1 } [ U ] - U _ { N + 1 } \sum _ { j \ge 0 } \alpha ^ { j } \mathrm { R e } \left( U _ { - j } ^ { * } \mathcal { B } _ { - j } [ U ] \right) \bigg ) } \\ & & { \displaystyle - \frac { U _ { N + 1 } } { 2 ( \alpha + | U _ { 1 } | ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \bigg ( \mathrm { R e } \, ( U _ { 1 } ^ { * } \mathcal { B } _ { 1 } [ U ] ) - | U _ { 1 } | ^ { 2 } \sum _ { j \ge 0 } \alpha ^ { j } \mathrm { R e } ( U _ { - j } ^ { * } \mathcal { B } _ { - j } [ U ] ) \bigg ) } \\ & { = } & { \displaystyle \frac { \mathcal { B } _ { N + 1 } [ U ] } { 2 ( \alpha + | U _ { 1 } | ^ { 2 } ) } - \frac { U _ { N + 1 } } { 2 ( \alpha + | U _ { 1 } | ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \sum _ { j \ge - 1 } \alpha ^ { j + 1 } \mathrm { R e } \left( U _ { - j } ^ { * } \mathcal { B } _ { - j } [ U ] \right) . } \end{array}
W = \left| \begin{array} { c c c c } { { 0 } } & { { i C _ { - } } } & { { 0 } } & { { C _ { - } } } \\ { { 0 } } & { { - C _ { + } } } & { { 0 } } & { { i C _ { + } } } \\ { { i C _ { - } } } & { { 0 } } & { { C _ { - } } } & { { 0 } } \\ { { i C _ { + } } } & { { 0 } } & { { C _ { + } } } & { { 0 } } \end{array} \right| ; \quad C _ { \mp } \equiv \frac 1 2 ( C \mp 1 ) , \quad C \Psi \equiv \Psi ^ { * } , \quad C \mathcal { E } \equiv \mathcal { E } ^ { * } .
\begin{array} { r } { | K _ { 1 3 } - K _ { 1 4 } + K _ { 2 3 } + K _ { 2 4 } | \le | K _ { 1 3 } - K _ { 1 4 } | + | K _ { 2 3 } + K _ { 2 4 } | \le 2 \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { 1 } & { \ge \sum _ { \psi \in \Omega _ { N } ^ { * } : \; \vert q _ { 2 + } ( \psi ) \vert \ge C N } \; \sum _ { A \subset q _ { 2 + } ( \psi ) } \widetilde { \mathbb { P } } _ { N } \left( U _ { A } \psi \right) } \\ & { \ge \sum _ { \psi \in \Omega _ { N } ^ { * } : \; \vert q _ { 2 + } ( \psi ) \vert \ge C N } e ^ { - 4 \beta N } \, \widetilde { \mathbb { P } } _ { N } ( \psi ) \left( 1 + \frac { 1 } { 2 } e ^ { - 6 \beta } \right) ^ { \vert q _ { 2 + } ( \psi ) \vert / 5 } } \\ & { \ge e ^ { - 4 \beta N } \left( 1 + \frac { 1 } { 2 } e ^ { - 6 \beta } \right) ^ { C N / 5 } \widetilde { \mathbb { P } } _ { N } \left( \left\{ \psi \in \Omega _ { N } ^ { * } : \; \vert q _ { 2 + } ( \psi ) \vert \ge C N \right\} \right) } \\ & { \ge e ^ { - 4 \beta N } e ^ { \frac { C } { 2 0 } e ^ { - 6 \beta } N } \; \widetilde { \mathbb { P } } _ { N } \left( \{ \psi \in \Omega _ { N } ^ { * } : \; \vert q _ { 2 + } ( \psi ) \vert \ge C N \} \right) , } \end{array}
- j n _ { 1 } x ( n _ { 1 } , \ldots , n _ { M } ) { \overset { \underset { \mathrm { F T } } { } } { \longleftrightarrow } } { \frac { \partial } { ( \partial \omega _ { 1 } ) } } X ( \omega _ { 1 } , \ldots , \omega _ { M } ) ,
\begin{array} { r l r } { \kappa _ { \mathrm { I B } } ( u ) } & { = } & { \frac { 1 6 \pi ^ { 2 } } { 3 \sqrt { 3 } } \left( \frac { e ^ { 2 } } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } } \right) ^ { 3 } \frac { h ^ { 2 } } { ( 2 \pi m ) ^ { 3 / 2 } c } \frac { Z ^ { * 3 } } { ( k _ { B } T [ \mathrm { e V } ] ) ^ { 7 / 2 } u ^ { 3 } } } \\ & { } & { \times \frac { \mathcal { N } _ { A } ^ { 2 } } { ( A [ \mathrm { g } ] ) ^ { 2 } } \left( \frac { 1 0 ^ { - 3 } } { e } \right) ^ { 7 / 2 } \rho [ \mathrm { g } / \mathrm { c m } ^ { 3 } ] } \\ & { = } & { 8 7 . 9 ~ 1 0 ^ { 9 } ~ \frac { Z ^ { * 3 } \rho [ \mathrm { g } / \mathrm { c m } ^ { 3 } ] } { ( A [ \mathrm { g } ] ) ^ { 2 } \left( h \nu [ \mathrm { e V } ] \right) ^ { 3 } \left( T [ \mathrm { e V } ] \right) ^ { 1 / 2 } } . } \end{array}
\operatorname* { P r } \left( X > { \frac { n } { 2 } } \right) \leq { \frac { 2 } { n } } E [ X ] \leq { \frac { 1 } { n } } \sum _ { i = 3 } ^ { g - 1 } p ^ { i } n ^ { i } = { \frac { 1 } { n } } \sum _ { i = 3 } ^ { g - 1 } n ^ { \frac { i } { g } } \leq { \frac { g } { n } } n ^ { \frac { g - 1 } { g } } = g n ^ { - { \frac { 1 } { g } } } = o ( 1 ) .
\begin{array} { r l } & { \| G _ { 0 } ^ { 1 / 2 } F [ \widehat { w } ^ { ( I ) } ( g , \theta , \alpha , \zeta ) ] ( r + H _ { \mathrm { f } } ) G _ { 0 } ^ { 1 / 2 } \| \leq C _ { F } , } \\ & { \| G _ { 0 } ^ { 1 / 2 } \partial _ { r } F [ \widehat { w } ^ { ( I ) } ( g , \theta , \alpha , \zeta ) ] ( r + H _ { \mathrm { f } } ) G _ { 0 } ^ { 1 / 2 } \| \leq C _ { F } . } \end{array}
R ^ { \hat { \theta } } _ { { \hat { t } } { \hat { \theta } } { \hat { t } } } = R ^ { \hat { \phi } } _ { { \hat { t } } { \hat { \phi } } { \hat { t } } } = - R ^ { \hat { r } } _ { { \hat { \theta } } { \hat { r } } { \hat { \theta } } } = - R ^ { \hat { r } } _ { { \hat { \phi } } { \hat { r } } { \hat { \phi } } } = { \frac { r _ { \mathrm { s } } } { 2 r ^ { 3 } } } .
{ \cal L } = \frac { e ^ { 2 } } { 3 2 \pi ^ { 2 } } [ ( \partial _ { \mu } \vec { \eta } ) ^ { 2 } + \sum _ { \alpha } M _ { \alpha } ^ { 2 } \mathrm { e x p } ( i \vec { r } _ { \alpha } \vec { \eta } ) ]
\begin{array} { r l } & { \sum _ { k = 1 } ^ { n } E [ ( \eta _ { k } ^ { j } ( \theta _ { 0 } ) ) ^ { 4 } | \mathcal { F } _ { t _ { k - 1 } } ] } \\ { \leq } & { \sum _ { k = 1 } ^ { n } \Bigg \{ R \bigg ( \frac { \varepsilon ^ { - 8 } } { n ^ { 6 } } , ~ X _ { t _ { k - 1 } } , ~ H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) \bigg ) + R \bigg ( \frac { \varepsilon ^ { - 6 } } { n ^ { 5 } } , ~ X _ { t _ { k - 1 } } , ~ H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) \bigg ) + R \bigg ( \frac { \varepsilon ^ { - 4 } } { n ^ { 4 } } , ~ X _ { t _ { k - 1 } } , ~ H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) \bigg ) } \\ & { \quad + R \bigg ( \frac { \varepsilon ^ { - 2 } } { n ^ { 3 } } , ~ X _ { t _ { k - 1 } } , ~ H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) \bigg ) + R \bigg ( \frac { 1 } { n ^ { 2 } } , ~ X _ { t _ { k - 1 } } , ~ H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) \bigg ) \Bigg \} } \\ & { \rightarrow 0 } \end{array}
N _ { m } ^ { \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) = \tilde { \alpha } _ { m , \textbf { k } _ { 0 } } \tilde { \alpha } _ { m , \textbf { k } _ { 0 } } ^ { * } = \rho _ { m m } ^ { \textbf { k } _ { 0 } } ( t )
{ j ^ { W } } ^ { ( L ) } ( x ) = \left( \begin{array} { l } { { \theta ( x _ { 1 } + L ) \theta ( L - x _ { 1 } ) \; [ \delta ( x _ { 2 } - L ) - \delta ( x _ { 2 } + L ) ] } } \\ { { \theta ( x _ { 2 } + L ) \theta ( L - x _ { 2 } ) \; [ \delta ( x _ { 1 } + L ) - \delta ( x _ { 1 } - L ) ] } } \end{array} \right) \; .
\begin{array} { r } { \ensuremath { A } _ { i } \mid \ensuremath { X } _ { i } \sim \ensuremath { \pi ( \cdot \mid \ensuremath { X } _ { i } ) } , \quad \mathrm { a n d } \quad \ensuremath { { \mathbb { E } } } \big [ \ensuremath { Y } _ { i } \mid \ensuremath { X } _ { i } , \ensuremath { A } _ { i } \big ] = \mu ^ { * } ( \ensuremath { X } _ { i } , \ensuremath { A } _ { i } ) , \qquad \mathrm { f o r ~ i ~ = ~ 1 , ~ 2 , ~ \ldots , ~ \ensuremath { n } ~ . } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { i } } E _ { i , k } , \mathrm { ~ w h e r e ~ } E _ { i , k } \stackrel { I I D } { \sim } \mathrm { E x p } ( \delta ( i ) ) , } \\ { \; \; } & { \mathrm { w h e r e ~ } N _ { i } \sim G e o m ( 1 - T _ { i , i } ) \mathrm { ~ o n ~ } \{ 1 , 2 , \cdots \} } \\ & { \mathrm { a n d ~ } \{ N _ { i } , E _ { i , 1 } , E _ { i , 2 } , \cdots \} \; \mathrm { i s ~ a n ~ i n d e p e n d e n t ~ s e t ~ o f ~ r a n d o m ~ v a r i a b l e s } . } \end{array}
\langle \widetilde { r } _ { \pi } ^ { 2 } \rangle _ { V } = \langle r _ { \pi } ^ { 2 } \rangle _ { V } + { \frac { 3 } { 3 2 F _ { \pi } ^ { 2 } } } \biggl ( { \frac { 1 6 } { \pi ^ { 2 } } } - 1 \biggr ) ~ .
\hat { I } _ { 4 } ^ { ( 1 ) } = \frac { \Gamma ( 2 + \varepsilon ) } { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \int _ { 0 } ^ { x } d y \int _ { 0 } ^ { y } d z \, \frac { 1 } { ( x ^ { 2 } - 2 \, x \, y - \frac { 1 } { 2 } \, x \, z + y \, z + y - \frac { 1 } { 2 } \, z ) ^ { 2 + \varepsilon } } .
M ( { \cal { T } } ; { \cal { D } } ) = H ( { \cal { D } } ) - H ( { \cal { D } } | { \cal { T } } ) = \sum _ { t } p _ { t } \cdot ( H ( { \cal { D } } ) - H ( { \cal { D } } | W = t ) ) = \sum _ { t } p _ { t } \cdot \mathrm { i d f } ( t )
\begin{array} { r l } { r = } & { \frac { \overline { { p } } ( n ) _ { 1 } t } { 1 - \overline { { p } } ( 4 ) _ { 1 } - \overline { { p } } ( 4 ) _ { 2 } - t } = \frac { \overline { { p } } ( n ) _ { 2 } s } { s + \overline { { p } } ( n - 1 ) _ { 1 } + \overline { { p } } ( n - 1 ) _ { 2 } - 1 } } \\ { \implies } & { s = - \frac { ( \overline { { p } } ( n - 1 ) _ { 1 } + \overline { { p } } ( n - 1 ) _ { 2 } - 1 ) \overline { { p } } ( n ) _ { 1 } t } { ( \overline { { p } } ( 4 ) _ { 1 } + \overline { { p } } ( 4 ) _ { 2 } - 1 ) \overline { { p } } ( n ) _ { 2 } + ( \overline { { p } } ( n ) _ { 1 } + \overline { { p } } ( n ) _ { 2 } ) t } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \langle { \Phi ^ { ( 4 ) } } | { \Psi } \rangle = \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \sum _ { N ^ { \prime } , m } e ^ { - i N ^ { \prime } \vartheta _ { c } } e ^ { - i ( N - N ^ { \prime } ) \vartheta _ { d } } e ^ { i m \Phi } Q _ { N _ { c } } C _ { m } . } \end{array}
\left( { \frac { d r } { d \varphi } } \right) ^ { 2 } = { \frac { r ^ { 4 } } { b ^ { 2 } } } - \left( 1 - { \frac { r _ { \mathrm { { s } } } } { r } } \right) \left( { \frac { r ^ { 4 } } { a ^ { 2 } } } + r ^ { 2 } \right) .
E _ { \mathrm { ~ \mathrm { ~ l ~ o ~ c ~ } ~ } } ( \downarrow ) = \mathcal { H } _ { \downarrow \downarrow } \Psi _ { \theta } ( \downarrow ) / \Psi _ { \theta } ( \downarrow ) + \mathcal { H } _ { \downarrow \uparrow } \Psi _ { \theta } ( \uparrow ) / \Psi _ { \theta } ( \downarrow ) = 0
\displaystyle \frac { 1 5 \pi ^ { 2 } \left[ \Gamma \left( \frac { 1 } { 4 } \right) \right] ^ { 4 } } { 4 \left[ \Gamma \left( \frac { 3 } { 4 } \right) \right] ^ { 4 } } \approx 2 8 3 6 . 0 9
\begin{array} { r l } { \mathcal { S } = } & { \int _ { V } \mathrm { d } r \frac { \sum _ { i } \left\langle J _ { i } ^ { \mathrm { d } } \nabla { \mu } _ { i } ^ { a } \right\rangle } { \epsilon } - \int _ { V } \mathrm { d } r \sum _ { i } \left\langle \frac { \delta } { \delta { \phi _ { i } } } \nabla ^ { 2 } \mu _ { i } ^ { a } \right\rangle \, , } \end{array}
\left| \left( { \small \begin{array} { c c c c c c c c } { \tilde { U } ^ { 2 } + \beta ^ { 2 } a ^ { 2 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \tilde { W } ^ { 2 } - \beta ^ { 2 } a ^ { 2 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { \tilde { \mathcal { J } } \tilde { U } ^ { 2 } } & { \mathcal { J } - \frac { m } { U ^ { 2 } } } & { \mathcal { J } + \frac { m } { U ^ { 2 } } } & { 0 } & { \tilde { \mathcal { K } } \tilde { W } ^ { 2 } } & { \frac { m } { W ^ { 2 } } - \mathcal { K } } & { \mathcal { K } + \frac { m } { W ^ { 2 } } } & { 0 } \\ { m } & { \frac { m } { U ^ { 2 } } - \mathcal { J } } & { \mathcal { J } + \frac { m } { U ^ { 2 } } } & { 0 } & { m } & { \mathcal { K } - \frac { m } { W ^ { 2 } } } & { \mathcal { K } + \frac { m } { W ^ { 2 } } } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { \beta ^ { 2 } a ^ { 2 } \tilde { \mathcal { J } } \tilde { U } ^ { 2 } } & { - \mathcal { J } U ^ { 2 } } & { - \mathcal { J } U ^ { 2 } } & { 0 } & { \beta ^ { 2 } a ^ { 2 } \tilde { \mathcal { K } } \tilde { W } ^ { 2 } } & { - \mathcal { K } W ^ { 2 } } & { \mathcal { K } W ^ { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } \\ { \tilde { \mathcal { J } } \tilde { U } ^ { 2 } } & { 0 } & { 0 } & { \mathcal { J } U ^ { 2 } } & { \tilde { \mathcal { K } } \tilde { W } ^ { 2 } } & { 0 } & { 0 } & { \mathcal { K } W ^ { 2 } } \\ { 0 } & { 1 } & { 1 } & { \beta ^ { 2 } a ^ { 2 } } & { 0 } & { 1 } & { - 1 } & { \beta ^ { 2 } a ^ { 2 } } \end{array} } \right) \right| = 0 \, ,
\begin{array} { r l r l } & { r _ { 1 } ( k ) = r _ { 1 , a } ( x , t , k ) + r _ { 1 , r } ( x , t , k ) , } & & { k \in \partial U _ { 1 } \cap \partial \mathbb { D } , } \\ & { \hat { r } _ { 1 } ( k ) = \hat { r } _ { 1 , a } ( x , t , k ) + \hat { r } _ { 1 , r } ( x , t , k ) , } & & { k \in \partial \hat { U } _ { 1 } \cap \partial \mathbb { D } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \log \sum _ { \stackrel { x \in E _ { n } } { V _ { n } ( x ) \in \mathcal C } } \exp S _ { n } \phi ( x ) } & { = \log \sum _ { \stackrel { p _ { 1 } \cdots p _ { n } \in \mathbb N ^ { n } } { V _ { n } ( \overline { { p _ { 1 } \cdots p _ { n } } } ) \in \mathcal C } } \exp S _ { n } \phi ( \overline { { p _ { 1 } \cdots p _ { n } } } ) } \\ & { \leq \log \sum _ { p _ { 1 } \cdots p _ { n } \in H _ { n } } \exp S _ { n } \phi ( \overline { { p _ { 1 } \cdots p _ { n } } } ) + \log 2 } \\ & { \leq \log \sum _ { p _ { 1 } \cdots p _ { n } \in H _ { n } } \operatorname* { s u p } _ { [ p _ { 1 } \cdots p _ { n } ] } \exp S _ { n } \phi + \log 2 } \\ & { \leq \left( h ( \mu _ { 0 } ) + \int \phi \mathrm { d } \mu _ { 0 } \right) n + D _ { n } ( \phi ) + \log 2 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \psi _ { D S } ^ { ( j ) } = \psi _ { 0 } ^ { ( j ) } \left[ \frac { \beta _ { j } } { \beta _ { j } - i \alpha } + \frac { i \alpha } { \beta _ { j } - i \alpha } \operatorname { t a n h } { ( \alpha x ) } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \left[ f ( x ^ { k + 1 } ) \right] - \mathbb { E } \left[ f ( x ^ { k } ) \right] } \\ { \leq } & { \mathbb { E } \left[ \left\langle x ^ { k + 1 } - x ^ { k } , \nabla f ( x ^ { k } ) \right\rangle \right] + \frac { L _ { f } } { 2 } \mathbb { E } \left[ \left\| x ^ { k + 1 } - x ^ { k } \right\| ^ { 2 } \right] } \\ { = } & { - \mathbb { E } \left[ \left\langle \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \alpha _ { k } \mathcal { H } _ { i } ( x ^ { k } , y ^ { k + 1 } ) , \nabla f ( x ^ { k } ) \right\rangle \right] + \frac { L _ { f } } { 2 } \mathbb { E } \left[ \left\| \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \alpha _ { k } \mathcal { H } _ { i } ( x ^ { k } , y ^ { k + 1 } ) \right\| ^ { 2 } \right] . } \end{array}
\hat { \mathcal { H } } _ { k } ^ { \mathrm { ~ s ~ } } = - \left( \begin{array} { l l l l } { \Delta } & { g _ { \mathrm { ~ s ~ } } ( k ) } & { 0 } & { t _ { y } } \\ { g _ { \mathrm { ~ s ~ } } ^ { * } ( k ) } & { - \Delta } & { t _ { y } } & { 0 } \\ { 0 } & { t _ { y } } & { - \Delta } & { g _ { \mathrm { ~ s ~ } } ^ { * } ( k ) } \\ { t _ { y } } & { 0 } & { g _ { \mathrm { ~ s ~ } } ( k ) } & { \Delta } \end{array} \right) \mathrm { ~ , ~ }
\begin{array} { r } { \dot { p } + \omega _ { c } ^ { 2 } x + \frac { g } { 2 } \sqrt { \frac { 2 \omega _ { c } } { \hbar } } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \left[ \langle \psi _ { j } | \hat { \sigma } _ { j } ^ { - } | \psi _ { j } \rangle + \langle \psi _ { j } | \hat { \sigma } _ { j } ^ { + } | \psi _ { j } \rangle \right] = f ( t ) - \eta _ { c } p ; \quad f ( t ) = A \cos ( \omega t ) , } \end{array}
x = \frac { ( k + k ^ { \prime } ) ^ { + } } { ( p + p ^ { \prime } ) ^ { + } } , \qquad \xi \approx - \frac { ( q + q ^ { \prime } ) ^ { + } } { ( p + p ^ { \prime } ) ^ { + } } , \qquad \eta \approx \frac { ( p - p ^ { \prime } ) ^ { + } } { ( p + p ^ { \prime } ) ^ { + } } .
m _ { 1 } \ll 1 0 ^ { - 2 } ~ \mathrm { { e V } } \; , \; \; \; \; m _ { 2 } = ( 0 . 1 8 \pm 0 . 0 6 ) ~ { \mathrm { e V } } \; , \; \; \; \; m _ { 3 } = ( 1 9 . 4 \pm 0 . 7 ) ~ \mathrm { { e V } } \;
\begin{array} { r l r } { U _ { \pm } ^ { ( t ) } } & { = } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left[ T _ { p p } \left( k _ { 0 \perp } , k _ { 0 z } \right) d _ { p } \frac { k _ { 0 z } } { k _ { 0 } } \mp i T _ { s s } \left( k _ { 0 \perp } , k _ { 0 z } \right) d _ { s } \right] , } \\ { U _ { \pm } ^ { ( r ) } } & { = } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left[ R _ { p p } \left( k _ { 0 \perp } , k _ { 0 z } \right) d _ { p } \frac { k _ { 0 z } } { k _ { 0 } } \mp i R _ { s s } \left( k _ { 0 \perp } , k _ { 0 z } \right) d _ { s } \right] , } \end{array}
\frac { | \delta T ( \omega ) | } { | \delta \Delta ( \omega ) | } = \frac { 2 \Delta _ { 0 } \kappa _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ } } \sqrt { ( \kappa - \kappa _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ } } ) ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } } } { \left( \frac { \kappa ^ { 2 } } { 4 } + \Delta _ { 0 } ^ { 2 } \right) \sqrt { \left( \frac { \kappa ^ { 2 } } { 4 } + \Delta _ { 0 } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } \right) ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } \kappa ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r l } { \mathcal { F } _ { \theta _ { \mathrm { S o l v e } } , ( 2 k - 1 ) } \big ( \boldsymbol { t } _ { \boldsymbol { x } } ( \mathbf { s } ) \big ) } & { = \sin \big ( k \boldsymbol { t } _ { \boldsymbol { x } } ( \mathbf { s } ) \big ) } \\ { \mathcal { F } _ { \theta _ { \mathrm { S o l v e } } , ( 2 k ) } \big ( \boldsymbol { t } _ { \boldsymbol { x } } ( \mathbf { s } ) \big ) } & { = \cos \big ( k \boldsymbol { t } _ { \boldsymbol { x } } ( \mathbf { s } ) \big ) , } \end{array}
[ a _ { m } , \tilde { a } _ { n } ^ { \dagger } ] = [ \tilde { a } _ { m } , a _ { n } ^ { \dagger } ] = \delta _ { m n } \mid 0 \rangle \langle 0 \mid , \; \; \; \; \; \; [ a _ { m } , \tilde { a } _ { n } ] = [ a _ { m } ^ { \dagger } , \tilde { a } _ { n } ^ { \dagger } ] = 0
| ( m ) > = \left| \left( \begin{array} { c } { { m _ { 1 3 } ~ ~ ~ m _ { 2 3 } ~ ~ ~ m _ { 3 3 } } } \\ { { m _ { 1 2 } ~ ~ ~ m _ { 2 2 } } } \\ { { m _ { 1 1 } } } \end{array} \right) \right>
\begin{array} { r l r } & { } & { \cos \beta N ! l _ { \delta } ( 0 , 0 ) - ( g _ { \delta } ) _ { x } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) \sin \beta N ! l _ { \delta } ( 0 , 0 ) } \\ & { = } & { \sum _ { p = 0 } ^ { N - 2 } \frac { \partial ^ { N - p } g _ { \delta } } { \partial x ^ { N - p } } ( x _ { 0 } , 0 ) \sum _ { I } c _ { I } ( \cos \beta ) ^ { N - p - | I | } ( \sin \beta ) ^ { | I | } b _ { 2 } ( \delta ) ^ { i _ { 1 } } b _ { 3 } ( \delta ) ^ { i _ { 2 } } \cdots b _ { p + 1 } ( \delta ) ^ { i _ { p } } } \\ & { } & { 2 ! ^ { i _ { 1 } } 3 ! ^ { i _ { 2 } } \cdots ( p + 1 ) ! ^ { i _ { p } } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { j ^ { \prime } ( x ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { h \rightarrow 0 } { \frac { j ( x + h ) - j ( x ) } { h } } } \\ & { \; \; \vdots } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { h \rightarrow 0 } a { \frac { f ( x + h ) - f ( x ) } { h } } } \\ & { = a \operatorname* { l i m } _ { h \rightarrow 0 } { \frac { f ( x + h ) - f ( x ) } { h } } } \\ & { = a f ^ { \prime } ( x ) } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \left\| { \hat { f } } _ { N } \right\| } & { \leq \left[ \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \bar { \Omega } } { \hat { f } } _ { N } \left( \boldsymbol { x } , t ; \boldsymbol { \Theta } _ { U } \right) ^ { 2 } \mathrm { d } \boldsymbol { x } \mathrm { d } t \right] ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left[ \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \bar { \Omega } } 1 ^ { 2 } \mathrm { d } \boldsymbol { x } \mathrm { d } t \right] ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \\ & { = \left[ T \mathrm { c a r d } \left( \bar { \Omega } \right) \right] ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left[ \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \bar { \Omega } } { \hat { f } } _ { N } \left( \boldsymbol { x } , t ; \boldsymbol { \Theta } _ { U } \right) ^ { 2 } \mathrm { d } \boldsymbol { x } \mathrm { d } t \right] ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \\ & { \leq \left[ T \mathrm { c a r d } \left( \bar { \Omega } \right) \right] ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left( L _ { D N } + L _ { P N } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \\ & { = L _ { \hat { U } } ^ { \frac { 1 } { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \frac { 1 } { \tau } s ( \boldsymbol { \chi } _ { 0 } ^ { k } - \boldsymbol { \chi } _ { 0 } ^ { k - 1 } , \boldsymbol { v } _ { \boldsymbol { \chi } } ) } & { { } = \langle \mathrm { D } \mathscr { F } _ { 0 } ( \boldsymbol { \chi } _ { 0 } ^ { k } ) , \boldsymbol { v } _ { \boldsymbol { \chi } } \rangle _ { \mathcal { V } _ { h , 0 } } \, , } \end{array}
F _ { i } = \left( \begin{array} { c } { \rho { u } } \\ { \rho { u ^ { 2 } } + p } \\ { \rho { u v } } \\ { \rho { u w } } \\ { \rho { u h ^ { 0 } } } \\ { \rho { u Y _ { l } } } \end{array} \right) , \; F _ { j } = \left( \begin{array} { c } { \rho { v } } \\ { \rho { u v } } \\ { \rho { v ^ { 2 } } + p } \\ { \rho { v w } } \\ { \rho { v h ^ { 0 } } } \\ { \rho { v Y _ { l } } } \end{array} \right) \; \mathrm { a n d } \; F _ { k } = \left( \begin{array} { c } { \rho { w } } \\ { \rho { u w } } \\ { \rho { v w } + p } \\ { \rho { w ^ { 2 } } + p } \\ { \rho { w h ^ { 0 } } } \\ { \rho { w Y _ { l } } } \end{array} \right)
m ^ { 1 / 3 } \lambda ^ { 2 } = 2 \pi \beta ( 4 \pi k _ { 1 1 } ^ { 2 } ) ^ { 2 / 3 } , \ \ \alpha = - { \frac { 1 } { 2 } } ( 1 + { \frac { \beta ^ { 2 } } { m } } ) \ .
\begin{array} { r l } & { B ^ { H } ( \alpha I _ { n } - A ) ^ { - H } ( - ( A ^ { H } X + X A ) ( \alpha I _ { n } - A ) ^ { - 1 } B - X B ) - B ^ { H } X ( \alpha I _ { n } - A ) ^ { - 1 } B } \\ & { = B ^ { H } ( \alpha I _ { n } - A ) ^ { - H } ( - ( A ^ { H } X + X A + X ( \alpha I _ { n } - A ) ) ( \alpha I _ { n } - A ) ^ { - 1 } B ) } \\ & { ~ ~ ~ ~ - B ^ { H } X ( \alpha I _ { n } - A ) ^ { - 1 } B } \\ & { = B ^ { H } ( \alpha I _ { n } - A ) ^ { - H } ( - ( A ^ { H } X + X \alpha ) ( \alpha I _ { n } - A ) ^ { - 1 } B ) } \\ & { ~ ~ ~ ~ - B ^ { H } X ( \alpha I _ { n } - A ) ^ { - 1 } B } \\ & { = - 2 \Re ( \alpha ) B ^ { H } ( \alpha I _ { n } - A ) ^ { - H } X ( \alpha I _ { n } - A ) ^ { - 1 } B } \\ & { = - \mathbf { B } ^ { H } X \mathbf { B } . } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { \infty } d q q ^ { 2 } \lbrack q ^ { 2 } A ^ { 2 } ( q ^ { 2 } ) + B ^ { 2 } ( q ^ { 2 } ) \rbrack \chi _ { 0 5 } ^ { 2 } ( q ^ { 2 } ) = f i n i t e .
\begin{array} { r l } { u _ { 1 } } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 2 0 \sin ( 2 \pi t ) , \; \; \; 0 \leq t \leq 2 0 , } \\ { 0 , } \end{array} \right. } \\ { u _ { 2 } } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 2 0 . 1 \sin ( 2 \pi t ) , \; \; \; 0 \leq t \leq 2 0 , } \\ { 0 , } \end{array} \right. } \\ { d _ { 1 } } & { = \frac { 3 0 } { 0 . 2 \sqrt { 2 \pi } } \exp \left( - \frac { ( t - 1 0 ) ^ { 2 } } { 2 ( 0 . 2 ) ^ { 2 } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathtt { a } _ { 1 } ( \varphi , x ) = \Psi _ { 1 } ^ { T } \left[ ( \partial _ { x } B ) ^ { \alpha } \left( - \frac { 1 } { 2 } + \tilde { a _ { 1 } } \right) \right] , } \\ & { \mathtt { a } _ { 2 } ( \varphi , x ) = \Psi _ { 1 } ^ { T } \left[ \Lambda _ { - \frac { 1 } { 2 } + a _ { 1 } } ^ { \alpha - 1 } \partial _ { x } B + \left( \frac { T _ { \alpha } } { 4 } + a _ { 2 } \right) \partial _ { x } B \right] + \int _ { \mathbb { T } } ( 2 - 2 \cos ( x - y ) ) ^ { - \frac { \alpha } { 2 } } ( a _ { 1 , B } ( x , y ) - a _ { 1 , B } ( x , x ) ) d y , } \\ & { \mathtt { a } _ { 3 } ( \varphi , x , y ) = \left( \frac { 2 - 2 \cos ( B ^ { - 1 } ( x ) - B ^ { - 1 } ( y ) ) } { 2 - 2 \cos ( x - y ) } \right) ^ { 1 - \frac { \alpha } { 2 } } B _ { 2 } [ a _ { 3 } ] ( x , y ) - \frac { a _ { 1 , B } ( x , y ) - a _ { 1 , B } ( x , x ) - ( \partial _ { y } a _ { 1 , B } ) ( x , x ) \sin ( x - y ) } { 2 - 2 \cos ( x - y ) } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { \beta } _ { k } \in \left[ \hat { \beta } _ { k } ^ { \mathrm { O L S } \{ C I _ { \mathrm { l o } } \} } , \hat { \beta } _ { k } ^ { \mathrm { O L S } \{ C I _ { \mathrm { u p } } \} } \right] \mathrm { , ~ a n d ~ } 0 < \hat { \beta } _ { k } ^ { \mathrm { O L S } \{ C I _ { \mathrm { l o } } \} } \mathrm { ~ o r ~ } 0 > \hat { \beta } _ { k } ^ { \mathrm { O L S } \{ C I _ { \mathrm { u p } } \} } } \end{array}
{ \frac { d ^ { 2 } \sigma } { d \Omega d \omega ^ { \prime } } } = \left( { \frac { \omega ^ { \prime } } { \omega } } \right) { \frac { 1 } { 2 \pi ^ { 2 } } } \int { \frac { d ^ { 3 } p | \phi ( p ) | ^ { 2 } | { \cal { M } } | ^ { 2 } } { E _ { + } E ^ { \prime } } } \delta ( E ^ { \prime } + E _ { r } - 1 - \nu ) ,
\sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { \sigma _ { k } ^ { n + 1 } z ^ { n } } { n ! } \frac { 1 } { 1 - \sigma } = \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \sigma _ { m } ^ { 1 } \frac { 1 } { ( 1 - \sigma ) ^ { 2 m } } .
I _ { g } ^ { N _ { b } } = I _ { g } ^ { N _ { b - 1 } } + \Delta \mathfrak { T } _ { b } \sum _ { n = N _ { b - 1 } + 1 } ^ { N _ { b } } \frac { \tau ^ { n } } { \Delta \mathfrak { T } _ { b } } H _ { g } ^ { n } ( I _ { g } ^ { n } , T ^ { n } ) .