harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , \tilde { \tau } _ { l } \wedge \tilde { \tau } _ { l + 1 } ] } \| u ^ { j _ { l + 1 } } \| _ { \tilde { s } } > } & { \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , \tilde { \tau } _ { l } \wedge \tilde { \tau } _ { l + 1 } ] } \| u ^ { j _ { l } } \| _ { s , j _ { l + 1 } } - 2 ^ { - ( l + 2 ) } \geq \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , \tilde { \tau } _ { l } \wedge \tilde { \tau } _ { l + 1 } ] } \| u ^ { j _ { l } } \| _ { \tilde { s } } - 2 ^ { - 2 l - 1 } - 2 ^ { - ( l + 2 ) } } \\ { = } & { \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , \tilde { \tau } _ { l } ] } \| u ^ { j _ { l } } ( t ) \| _ { \tilde { s } } - 2 ^ { - 2 l - 1 } - 2 ^ { - ( l + 2 ) } = 1 + 2 ^ { - l + 1 } + \| u _ { 0 } ^ { j _ { l } } \| _ { \tilde { s } } - 2 ^ { - 2 l - 1 } - 2 ^ { - ( l + 2 ) } } \\ { \geq } & { 1 + 2 ^ { - l + 1 } + \| u _ { 0 } ^ { j _ { l } } \| _ { s , j _ { l + 1 } } - 2 \cdot 2 ^ { - 2 l - 1 } - 2 ^ { - ( l + 2 ) } } \\ { > } & { 1 + 2 ^ { - l + 1 } + \| u _ { 0 } ^ { j _ { l + 1 } } \| _ { \tilde { s } } - 2 ^ { - 2 l } - 2 \cdot 2 ^ { - ( l + 2 ) } } \\ { = } & { 1 + 2 ^ { - ( l + 1 ) + 1 } + 2 ^ { - l - 1 } - 2 ^ { - 2 l } + \| u _ { 0 } ^ { j _ { l + 1 } } \| _ { \tilde { s } } \geq 1 + 2 ^ { - ( l + 1 ) + 1 } + \| u _ { 0 } ^ { j _ { l + 1 } } \| _ { \tilde { s } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { K } \{ f \} ( t , \varphi , \varphi ^ { \prime } ) } & { \triangleq \frac { \sin \big ( ( 1 + t ) \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) + t f ( \varphi ^ { \prime } ) \big ) \sin ^ { 2 } \left( \frac { \varphi - \varphi ^ { \prime } } { 2 } \right) } { D ^ { 2 } \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) , t ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ^ { \prime } ) ) , \varphi , \varphi ^ { \prime } \big ) } \sin \big ( t ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ^ { \prime } ) ) \big ) \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ^ { \prime } ) \big ) } \\ & { \times \Big \{ 2 f ^ { \prime } ( \varphi ) \Big [ \frac { 1 } { 2 } \sin \big ( ( 1 - t ) \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) - t f ( \varphi ^ { \prime } ) \big ) + \cos \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) \big ) \sin \big ( t ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ^ { \prime } ) ) \big ) \sin ^ { 2 } \left( \frac { \varphi - \varphi ^ { \prime } } { 2 } \right) \Big ] } \\ & { \quad + \sin \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) \big ) \sin \big ( t ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) ) \big ) \sin ( \varphi - \varphi ^ { \prime } ) \Big \} . } \end{array}
\begin{array} { r } { W ( x _ { i + \frac { 1 } { 2 } } , y _ { G _ { y } } , \tau ) = W ( x _ { i + \frac { 1 } { 2 } } , y _ { G _ { y } } , 0 ^ { + } ) + \sum _ { k = 1 } ^ { 4 } [ \partial _ { t } ^ { ( k ) } W ( x _ { j + \frac { 1 } { 2 } } , y _ { G _ { y } } , 0 ^ { + } ) ] \frac { \tau ^ { k } } { k ! } . } \end{array}
\overline { { \alpha } } = \alpha ( d , r _ { o p t } ) = \frac { 3 ( d + 2 ) \sqrt { \frac { d } { d - 1 } } } { ( 2 d ^ { 2 } + 3 d + 4 ) \sqrt { \frac { d } { d - 1 } } - 2 d ( d + 2 ) } ,
\begin{array} { r l } & { \| \eta _ { j } \Delta \psi _ { k } \| _ { L ^ { p } ( N \setminus E ) } \le \| \eta _ { j } \| _ { L ^ { \infty } } \| \Delta \psi _ { k } \| _ { L ^ { p } ( N \setminus E ) } \le c \| \eta _ { j } \| _ { L ^ { \infty } } k ^ { 2 - 2 q / p } \to 0 , } \\ & { \| | \nabla \eta _ { j } | | \nabla \psi _ { k } | \| _ { L ^ { p } ( N \setminus E ) } \le \| | \nabla \eta _ { j } | \| _ { L ^ { \infty } } \| | \nabla \psi _ { k } | \| _ { L ^ { p } ( N \setminus E ) } \le c \| | \nabla \eta _ { j } | \| _ { L ^ { \infty } } k ^ { 1 - 2 q / p } \to 0 , } \end{array}
\tau _ { \mathrm { { m } } } = \frac { \mathrm { ~ V o i d ~ v o l u m e ~ } } { \mathrm { ~ V o l u m e t r i c ~ f l o w ~ r a t e ~ } } \frac { \left[ \mathrm { m } ^ { 3 } \right] } { \left[ \mathrm { m } ^ { 3 } / \mathrm { s } \right] } \approx \left\{ \begin{array} { l } { \frac { W _ { \mathrm { { c h } } } H _ { \mathrm { { c h } } } L _ { \mathrm { { c e l l } } } + W _ { \mathrm { c e l l } } L _ { \mathrm { { c e l l } } } \left( \varepsilon _ { \mathrm { D L } } ^ { \mathrm { { f u e l } } } \delta _ { \mathrm { D L } } ^ { \mathrm { { f u e l } } } + \varepsilon _ { \mathrm { F L } } ^ { \mathrm { { f u e l } } } \delta _ { \mathrm { F L } } ^ { \mathrm { { f u e l } } } \right) } { W _ { \mathrm { c h } } H _ { \mathrm { { c h } } } V _ { \mathrm { i n } } ^ { \mathrm { { f u e l } } } } \quad \mathrm { F u e l ~ s i d e } } \\ { \frac { W _ { \mathrm { c h } } H _ { \mathrm { { c h } } } L _ { \mathrm { c e l l } } + W _ { \mathrm { { c e l l } } } L _ { \mathrm { c e l l } } \left( \varepsilon _ { \mathrm { { D L } } } ^ { \mathrm { a i r } } \delta _ { \mathrm { { D L } } } ^ { \mathrm { a i r } } + \varepsilon _ { \mathrm { { F L } } } ^ { \mathrm { a i r } } \delta _ { \mathrm { { F L } } } ^ { \mathrm { a i r } } \right) } { W _ { \mathrm { { c h } } } H _ { \mathrm { c h } } V _ { \mathrm { { i n } } } ^ { \mathrm { a i r } } } \quad \mathrm { A i r ~ s i d e } } \end{array} \right.
\Psi _ { _ \mathrm { ( g s ) } } ( { \bf r } ) = \sqrt { \Gamma \left( \frac { D } { 2 } \right) \, \left( \frac { \mu ^ { 2 } } { \pi } \right) ^ { D / 2 } } \; \frac { K _ { 0 } ( \mu r ) } { \left( \mu r \right) ^ { D / 2 - 1 } } \; ,
\begin{array} { r } { \delta \mathcal { L } = \partial _ { \nu } \bigg ( - \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial ( \partial _ { \nu } \partial _ { \lambda } \psi ) } \partial _ { \lambda } \partial ^ { \mu } \psi + \partial _ { \lambda } \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial ( \partial _ { \nu } \partial _ { \lambda } \psi ) } \partial ^ { \mu } \psi } \\ { - \frac { \partial \mathcal L } { \partial ( \partial _ { \nu } \psi ) } \partial ^ { \mu } \psi + \eta ^ { \mu \nu } \mathcal { L } \bigg ) a _ { \mu } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal { L } ( \boldsymbol { \mathcal { G } } ) \leq \widehat { \mathcal { L } } _ { \mathrm { S } } ( \boldsymbol { \mathcal { G } } ) } \\ & { + 2 \widetilde { \gamma } L ^ { \frac { 1 } { \hat { d } + 1 } } \left( \sum _ { \ell = 0 } ^ { L } \frac { \boldsymbol { \mathrm { X } } _ { \ell } C _ { w } ^ { M + 1 } C _ { \sigma } ^ { M } } { \boldsymbol { \mathrm { Z } } _ { \ell } + \boldsymbol { \mathrm { X } } _ { \ell } C _ { w } ^ { M + 1 } C _ { \sigma } ^ { M } } + \frac { \boldsymbol { \mathrm { X } } _ { \ell } } { \boldsymbol { \mathrm { Z } } _ { \ell } + \boldsymbol { \mathrm { X } } _ { \ell } C _ { k } C _ { \sigma } } \right) \left[ \prod _ { \ell = 0 } ^ { L } ( \boldsymbol { \mathrm { Z } } _ { \ell } + \boldsymbol { \mathrm { X } } _ { \ell } C _ { w } ^ { M + 1 } C _ { \sigma } ^ { M } ) ( \boldsymbol { \mathrm { Z } } _ { \ell } + \boldsymbol { \mathrm { X } } _ { \ell } C _ { k } C _ { \sigma } ) \right] \left( \frac { 1 } { n } \right) ^ { \frac { 1 } { \hat { d } + 1 } } } \\ & { + \left( \rho \left[ \prod _ { \ell = 0 } ^ { L } ( \boldsymbol { \mathrm { Z } } _ { \ell } + \boldsymbol { \mathrm { X } } _ { \ell } C _ { w } ^ { M + 1 } C _ { \sigma } ^ { M } ) ( \boldsymbol { \mathrm { Z } } _ { \ell } + \boldsymbol { \mathrm { X } } _ { \ell } C _ { k } C _ { \sigma } ) \right] C _ { a } + R _ { u } \right) \sqrt { \frac { 2 \delta } { n } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { f _ { m , \mathrm { R B B R B R R B } , n _ { \mathrm { t } } } = \frac { 1 } { 1 6 } [ \Psi ( 8 n _ { \mathrm { t } } m + 1 ) - \Psi ( 8 n _ { \mathrm { t } } m - 1 ) } \\ { \quad \quad + \Psi ( 8 n _ { \mathrm { t } } m - 3 ) - \Psi ( 8 n _ { \mathrm { t } } m + 3 ) + \Psi ( 8 n _ { \mathrm { t } } m - 5 ) } \\ { \quad \quad - \Psi ( 8 n _ { \mathrm { t } } m + 5 ) + \Psi ( 8 n _ { \mathrm { t } } m + 7 ) - \Psi ( 4 n _ { \mathrm { t } } m - 7 ) ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \frac { ( 1 - e ^ { - C _ { 1 } \tau } ) } \tau } & { V ^ { \tau , h } ( t _ { 0 } , y _ { 0 } ) \leq - H \left( t _ { 0 } + \tau , y _ { 0 } , 2 C _ { T , \delta } ( q _ { y _ { 0 } } + p _ { 0 } ) - \varepsilon y _ { 0 } \right) } \\ & { + C C _ { T , \delta } h ( | x _ { 0 } - y _ { 0 } | ^ { 2 } + | z _ { 0 } - y _ { 0 } | ^ { 2 } + 1 ) + C h \varepsilon } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Omega ^ { ( 2 ) } } & { = } & { \Big [ E _ { N } ^ { ( 2 ) } \Big ] - \frac { \beta } { 2 } \left( \Big [ E _ { N } ^ { ( 1 ) } E _ { N } ^ { ( 1 ) } \Big ] - \Omega ^ { ( 1 ) } \Omega ^ { ( 1 ) } \right) } \\ & { = } & { \Big [ \langle N | \hat { V } ^ { ( 1 ) } \hat { R } \hat { V } ^ { ( 1 ) } | N \rangle \Big ] - \frac { \beta } { 2 } \left( \Big [ \langle N | \hat { V } ^ { ( 1 ) } \hat { P } \hat { V } ^ { ( 1 ) } | N \rangle \Big ] - \Omega ^ { ( 1 ) } \Omega ^ { ( 1 ) } \right) } \\ & { = } & { \Big [ \langle N | \hat { V } ^ { ( 1 ) } \hat { R } _ { 1 } \hat { V } ^ { ( 1 ) } | N \rangle \Big ] - \frac { \beta } { 2 } \, \Big [ \langle N | \hat { V } ^ { ( 1 ) } \hat { P } _ { 1 } \hat { V } ^ { ( 1 ) } | N \rangle \Big ] } \\ & { } & { + \Big [ \langle N | \hat { V } ^ { ( 1 ) } \hat { R } _ { 2 } \hat { V } ^ { ( 1 ) } | N \rangle \Big ] - \frac { \beta } { 2 } \, \Big [ \langle N | \hat { V } ^ { ( 1 ) } \hat { P } _ { 2 } \hat { V } ^ { ( 1 ) } | N \rangle \Big ] } \\ & { } & { + \Big [ \langle N | \hat { V } ^ { ( 1 ) } \hat { R } _ { 3 } \hat { V } ^ { ( 1 ) } | N \rangle \Big ] - \frac { \beta } { 2 } \, \Big [ \langle N | \hat { V } ^ { ( 1 ) } \hat { P } _ { 3 } \hat { V } ^ { ( 1 ) } | N \rangle \Big ] } \\ & { } & { + \Big [ \langle N | \hat { V } ^ { ( 1 ) } \hat { R } _ { 4 } \hat { V } ^ { ( 1 ) } | N \rangle \Big ] - \frac { \beta } { 2 } \, \Big [ \langle N | \hat { V } ^ { ( 1 ) } \hat { P } _ { 4 } \hat { V } ^ { ( 1 ) } | N \rangle \Big ] } \\ & { } & { - \frac { \beta } { 2 } \left( \Big [ \langle N | \hat { V } ^ { ( 1 ) } \hat { P } _ { 0 } \hat { V } ^ { ( 1 ) } | N \rangle \Big ] - \Omega ^ { ( 1 ) } \Omega ^ { ( 1 ) } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { h } _ { i j } ^ { \mathrm { B P } } } & { { } = ( i | \hat { \mathbf { h } } _ { \mathrm { e n } } | j ) + \sum _ { k l } D _ { k l } \left( ( i j | \hat { \mathbf { h } } _ { \mathrm { e e } } | k l ) - \frac { 3 } { 2 } ( i l | \hat { \mathbf { h } } _ { \mathrm { e e } } | k j ) - \frac { 3 } { 2 } ( k j | \hat { \mathbf { h } } _ { \mathrm { e e } } | i l ) \right) , } \\ { \hat { \mathbf { h } } _ { \mathrm { e n } } } & { { } = \frac { \alpha ^ { 2 } } { 2 } \sum _ { A } \frac { Z _ { A } } { \hat { r } _ { 1 A } ^ { 3 } } \hat { \mathbf { l } } _ { 1 A } , \ \ \hat { \mathbf { h } } _ { \mathrm { e e } } = - \frac { \alpha ^ { 2 } } { 2 } \frac { 1 } { \hat { r } _ { 1 2 } ^ { 3 } } \hat { \mathbf { l } } _ { 1 2 } , } \end{array}
H ( \boldsymbol { r } ) = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \boldsymbol { R } \kappa } \boldsymbol { u } _ { \boldsymbol { R } \kappa } \cdot \nabla \nabla V ( \boldsymbol { r } - \boldsymbol { R } - \boldsymbol { \tau } _ { \kappa } ) \cdot \boldsymbol { u } _ { \boldsymbol { R } \kappa } .
\begin{array} { r } { \frac { \partial } { \partial \Phi } \mathbf { R } _ { \mathrm { d } } ^ { \mathrm { i } } = \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } \Phi } \mathbf { R } _ { \mathrm { d } } ^ { \mathrm { i } } + \frac { \partial } { \partial \Delta { { \mathbf { u } } ^ { \mathrm { i } } } } \mathbf { R } _ { \mathrm { d } } ^ { \mathrm { i } } \frac { \partial \Delta { { \mathbf { u } } ^ { \mathrm { i } } } } { \partial \Phi } + \frac { \partial } { \partial { { d } ^ { \mathrm { i } } } } \mathbf { R } _ { \mathrm { d } } ^ { \mathrm { i } } \frac { \partial { { d } ^ { \mathrm { i } } } } { \partial \Phi } , } \end{array}
N ^ { 2 } = \left( \frac { \partial Y } { \partial y } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { \partial Y } { \partial z } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { \partial Z } { \partial y } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { \partial Z } { \partial z } \right) ^ { 2 } \; ,
\delta _ { c } = K _ { d _ { c } } \left( \frac { 1 } { K _ { f } } - \frac { 1 } { K _ { 0 } } \right) = \frac { \phi _ { c } } { Z _ { N _ { c } } } \left( \frac { 1 } { K _ { f } } - \frac { 1 } { K _ { 0 } } \right) = \frac { \gamma _ { c } \pi E } { 4 \left( 1 - \nu ^ { 2 } \right) } \left( \frac { 1 } { K _ { f } } - \frac { 1 } { K _ { 0 } } \right)
\begin{array} { r l } { v _ { X } = \partial _ { T } X } & { = u _ { \mathrm { S D } } - \frac { 1 } { 2 } ( v _ { { \mathrm { s } } \parallel } - v _ { { \mathrm { s } } \bot } ) \sin 2 \Phi \sin ^ { 2 } \Theta , } \\ { v _ { Z } = \partial _ { T } Z } & { = - [ v _ { { \mathrm { s } } \bot } + ( v _ { { \mathrm { s } } \parallel } - v _ { { \mathrm { s } } \bot } ) \cos ^ { 2 } \Phi ] , } \end{array}
N _ { 2 1 } ( x , y , a ) = - \frac { 1 } { 8 a y } R e \left\{ \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \left( \frac { 2 \pi } { a } \right) ^ { k } \frac { ( z - i a ) ^ { k } } { k ! } \zeta ( - k ) - \left( \frac { a } { 2 \pi } \right) ( z - i a ) ^ { - 1 } \right\} .
\begin{array} { r l } { m _ { i \setminus j } ^ { t } = } & { \sum _ { \boldsymbol { x } _ { i } } \int D \hat { \boldsymbol { h } } _ { i } \, c _ { i j } [ \boldsymbol { x } _ { i } , \hat { \boldsymbol { h } } _ { i } ] \delta _ { x _ { i } ^ { t } , I } } \\ { \mu _ { i \setminus j } ^ { t } = } & { \sum _ { \boldsymbol { x } _ { i } } \int D \hat { \boldsymbol { h } } _ { i } \, c _ { i j } [ \boldsymbol { x } _ { i } , \hat { \boldsymbol { h } } _ { i } ] \left( - \mathrm { i } \hat { h } _ { i } ^ { t } \right) . } \end{array}
\delta _ { i } \simeq { \frac { I m \left[ \mu _ { 1 } \mu _ { 2 } ^ { * } \sum _ { k , l } f _ { 1 k l } f _ { 2 k l } ^ { * } \right] } { 8 \pi ^ { 2 } ( M _ { 1 } ^ { 2 } - M _ { 2 } ^ { 2 } ) } } \left[ { \frac { M _ { i } } { \Gamma _ { i } } } \right] .
\frac { ( \dot { \mu } _ { \operatorname* { m i n } \{ \dot { n } \} , j } ^ { l o w e r } - \dot { \mu } _ { \operatorname* { m i n } \{ \dot { n } \} , j } ^ { u p p e r } ) \prod _ { i = 1 } ^ { m } \left( G _ { n - Y _ { i } , Y _ { i } + 1 } \left( 1 - \frac { \hat { \mu } _ { \hat { n } , i } ^ { l o w e r } } { \hat { n } } \right) - G _ { n - Y _ { i } + 1 , Y _ { i } } \left( 1 - \frac { \hat { \mu } _ { \hat { n } , i } ^ { l o w e r } } { \hat { n } } \right) \right) } { ( \hat { \mu } _ { \operatorname* { m i n } \{ \hat { n } \} , j } ^ { l o w e r } - \hat { \mu } _ { \operatorname* { m i n } \{ \hat { n } \} , j } ^ { u p p e r } ) \prod _ { i = 1 } ^ { m } \left( G _ { n - Y _ { i } , Y _ { i } + 1 } \left( 1 - \frac { \dot { \mu } _ { \dot { n } , i } ^ { l o w e r } } { \dot { n } } \right) - G _ { n - Y _ { i } + 1 , Y _ { i } } \left( 1 - \frac { \dot { \mu } _ { \dot { n } , i } ^ { l o w e r } } { \dot { n } } \right) \right) } ,
K _ { 0 } ( C _ { \bullet } ( \widehat { \mathrm { S L } _ { 2 } ( \mathbb { Z } ) } \wr _ { * } S _ { N } ^ { + } ) ) \simeq \left\{ \begin{array} { l c l } { \mathbb { Z } ^ { 6 9 } } & { \mathrm { i f } } & { N = 3 , } \\ { \mathbb { Z } ^ { 8 N ^ { 2 } - 2 N + 2 } } & { \mathrm { i f } } & { N \in \lbrace 1 , 2 \rbrace . } \end{array} \right. \quad \mathrm { a n d } \quad K _ { 1 } ( C _ { \bullet } ( \widehat { \mathrm { S L } _ { 2 } ( \mathbb { Z } ) } \wr _ { * } S _ { N } ^ { + } ) ) \simeq 0 .
\left[ \begin{array} { l l } { ( M \omega ^ { 2 } + A ) } & { B } \\ { C } & { ( m \omega ^ { 2 } + D ) } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { u _ { 0 } } \\ { v _ { 0 } } \end{array} \right] = 0
\boldsymbol { R } ^ { J } = \boldsymbol { w } _ { 0 } ^ { J } + \Delta t \left( \mathbb { A } ^ { J c } \mathbb { C } ^ { c t } \boldsymbol { w } ^ { t } + \boldsymbol { Q } ^ { J } + \boldsymbol { \Delta \sigma } ^ { J } \right) - \boldsymbol { \Delta \mathcal { L } } ^ { J } , \qquad J = c , t .
\begin{array} { r } { R ( t ) = \left( \begin{array} { c c c } { \cos \dot { \psi } _ { 0 } t \cos \dot { \theta } _ { 0 } t } & { - \sin \dot { \psi } _ { 0 } t \cos \dot { \theta } _ { 0 } t } & { \sin \dot { \theta } _ { 0 } t } \\ { \sin \dot { \psi } _ { 0 } t } & { \cos \dot { \psi } _ { 0 } t } & { 0 } \\ { - \cos \dot { \psi } _ { 0 } t \sin \dot { \theta } _ { 0 } t } & { \sin \dot { \psi } _ { 0 } t \sin \dot { \theta } _ { 0 } t } & { \cos \alpha t } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c c } { \cos \dot { \theta } _ { 0 } t } & { 0 } & { \sin \dot { \theta } _ { 0 } t } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { - \sin \dot { \theta } _ { 0 } t } & { 0 } & { \cos \dot { \theta } _ { 0 } t } \end{array} \right) \times \left( \begin{array} { c c c } { \cos \dot { \psi } _ { 0 } t } & { - \sin \dot { \psi } _ { 0 } t } & { 0 } \\ { \sin \dot { \psi } _ { 0 } t } & { \cos \dot { \psi } _ { 0 } t } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbf { X } _ { n + 1 } } & { = } & { \mathbf { X } _ { n } + b \Delta { t } \mathbf { V } _ { n } + \frac { b \Delta { t } ^ { 2 } } { 2 m } \mathbf { F } _ { n } + \frac { b \Delta { t } } { 2 m } \boldsymbol { \eta } _ { n + 1 } , \; \; \; \; \; \; \; \; a = \left( { 1 - \frac { \gamma \Delta { t } } { 2 m } } \right) \left( { 1 + \frac { \gamma \Delta { t } } { 2 m } } \right) ^ { - 1 } , } \\ { \mathbf { V } _ { n + 1 } } & { = } & { a \mathbf { V } _ { n } + \frac { \Delta { t } } { 2 m } \left( a \mathbf { F } _ { n } + \mathbf { F } _ { n + 1 } \right) + \frac { b } { m } \boldsymbol { \eta } _ { n + 1 } , \; \; \; \; \; \; \; \; b = \left( { 1 + \frac { \gamma \Delta { t } } { 2 m } } \right) ^ { - 1 } . } \end{array}
u ^ { \pm } = \frac { 1 } { 2 } \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \left[ P - 4 \alpha \mathrm { ~ D ~ a ~ } \pm \sqrt { P ^ { 2 } - 8 \alpha \mathrm { ~ D ~ a ~ } P } \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \right] .
\begin{array} { r l } { W _ { j } ^ { + } } & { = \frac { j } { 2 } \thinspace j \left( 1 - \frac { j } { N } \right) \left( 1 - 2 \varepsilon ^ { 2 } \frac { j } { N } - \varepsilon \left( 1 - 2 q \right) \right) , } \\ { W _ { j } ^ { - } } & { = \frac { 1 } { 2 } \thinspace j \left( 1 - \frac { j } { N } \right) \left( 1 - 2 \varepsilon ^ { 2 } \left( 1 - \frac { j } { N } \right) + \varepsilon \left( 1 - 2 q \right) \right) , } \end{array}
\omega ^ { 2 } = \frac { F _ { i } } { \rho _ { l } R _ { l } ^ { 3 } } k R _ { l } \frac { I _ { 1 } ( k R _ { l } ) } { I _ { 0 } ( k R _ { l } ) } ( 1 - k ^ { 2 } R _ { l } ^ { 2 } )
\psi _ { \lambda _ { 1 } , \lambda _ { 2 } } ^ { m l } ( \xi _ { 1 } , \xi _ { 2 } ) = N \exp \left\lbrace { \frac { \xi _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 c \theta } } - { \frac { \xi _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 ( 1 + c ) \theta } } - { \frac { \lambda _ { 1 } \xi _ { 1 } } { c \theta } } + { \frac { \lambda _ { 2 } \xi _ { 2 } } { ( 1 + c ) \theta } } \right\rbrace \quad .
\{ c , \dot { \bar { c } } \} _ { q } \equiv c \; \dot { \bar { c } } + \dot { \bar { c } } \; c = i \; \hbar \; q ^ { 4 } , \; \qquad \; [ b , e ] _ { q } \equiv b \; e - e \; b = - i \; \hbar \; q ^ { 2 } ,
I = g ( k _ { x 0 } , k _ { y 0 } ) k _ { z 0 } \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \bigg [ \frac { e ^ { \mathrm { i } ( k _ { x } x + k _ { y } y + k _ { z } | z | ) } } { k _ { z } } \bigg ] d k _ { x } d k _ { y } .
J _ { n } ^ { m } = m \alpha ^ { m - 1 } J _ { n } ^ { 1 } + \frac 1 4 C _ { 3 } ^ { m + 1 } \alpha ^ { m - 3 } I - \frac { ( - 1 ) ^ { m } + 1 } { 1 6 } m \alpha ^ { m - 3 } C ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l r } { \left\langle { \bf { S } } \right\rangle \! } & { = } & { \! \frac { { \bf { E } } ^ { 2 } } { 2 \mu ^ { \prime } } \, { \bf k } ^ { \prime } \; , } \\ { \left\langle u _ { E M } \right\rangle \! } & { = } & { \! \frac { 1 } { 4 } \left[ \epsilon ^ { \prime } + \omega \, \frac { \partial \epsilon ^ { \prime } } { \partial \omega } + \frac { | { \bf { k } } | ^ { 2 } } { \mu \omega ^ { 2 } } \right] { \bf { E } } ^ { 2 } \; . } \end{array}
R D = { \frac { \rho _ { \mathrm { o b j e c t } } } { \rho _ { \mathrm { r e f } } } } = { \frac { \frac { { \mathrm { D e f l e c t i o n } } _ { \mathrm { O b j . } } } { { \mathrm { D i s p l a c e m e n t } } _ { \mathrm { O b j . } } } } { \frac { { \mathrm { D e f l e c t i o n } } _ { \mathrm { R e f . } } } { { \mathrm { D i s p l a c e m e n t } } _ { \mathrm { R e f . } } } } } = { \frac { \frac { 3 \ \mathrm { i n } } { 2 0 \ \mathrm { m m } } } { \frac { 5 \ \mathrm { i n } } { 3 4 \ \mathrm { m m } } } } = { \frac { 3 \ \mathrm { i n } \times 3 4 \ \mathrm { m m } } { 5 \ \mathrm { i n } \times 2 0 \ \mathrm { m m } } } = 1 . 0 2 .
\begin{array} { r l } { S ( \omega _ { e x } ) } & { { } = \sum _ { i a } S _ { i a } ^ { \mathrm { ( p h ) } } ( \omega _ { e x } ) = \sum _ { a } S _ { a } ^ { \mathrm { ( p ) } } ( \omega _ { e x } ) = \sum _ { S } S _ { S } ^ { \mathrm { ( s ) } } ( \omega _ { e x } ) } \\ { \sigma ( \omega _ { e x } , \omega _ { e m } ) } & { { } = \sum _ { j a } \sigma _ { j a } ^ { \mathrm { ( p h ) } } ( \omega _ { e x } , \omega _ { e m } ) = \sum _ { S } \sigma _ { S } ^ { \mathrm { ( s ) } } ( \omega _ { e x } , \omega _ { e m } ) } \end{array}
| \chi | = \left| \ln \left( \frac { \sum _ { \rho ^ { \prime } \in \mathcal { R } \setminus \{ \rho \} } w _ { + \rho ^ { \prime } } ( n ) w _ { \rho } ( n + 1 ) e ^ { F _ { \rho ^ { \prime } } } } { \sum _ { \rho ^ { \prime } \in \mathcal { R } \setminus \{ \rho \} } w _ { + \rho ^ { \prime } } ( n ) w _ { - \rho } ( n + 1 ) } \right) \right| \le { \mathcal F } ,
\mathrm { S D } \approx { \frac { \mathrm { E S } } { 1 ^ { \prime \prime } } } = { \frac { 1 \, { \mathrm { a u } } } { { \frac { 1 } { 6 0 \times 6 0 } } \times { \frac { \pi } { 1 8 0 } } } } = { \frac { 6 4 8 \, 0 0 0 } { \pi } } \, { \mathrm { a u } } \approx 2 0 6 \, 2 6 4 . 8 1 { \mathrm { ~ a u } } .
\boxed { f _ { 4 } ( \mathrm { S } ) = \left( A ^ { 2 } + \sigma _ { r } ^ { 2 } B _ { d } ^ { 2 } \mathrm { S } ^ { 2 } \right) ^ { - 1 - \frac { C + B _ { d } \bar { r } } { B _ { d } ^ { 2 } \sigma _ { r } ^ { 2 } } } } .
( \rho , u , v , p ) = \left\{ \begin{array} { l l } { ( 1 . 4 \mathrm { ~ k g } / \mathrm { m } ^ { 3 } , 0 \mathrm { ~ m } / \mathrm { s } , 0 \mathrm { ~ m } / \mathrm { s } , 1 \mathrm { ~ P a } ) , } & { \mathrm { ~ a f t e r ~ s h o c k ~ } } \\ { ( 8 \mathrm { ~ k g } / \mathrm { m } ^ { 3 } , 7 . 1 4 5 \mathrm { ~ m } / \mathrm { s } , - 4 . 1 2 5 \mathrm { ~ m } / \mathrm { s } , 1 1 6 . 8 3 3 3 \mathrm { ~ P a } ) , } & { \mathrm { ~ e l s e ~ } } \end{array} \right.
\left\langle \vec { 0 } \left| \left( \prod _ { j \in \mathcal { J } _ { o u t } } \hat { a } _ { j } \right) \hat { U } \left( \prod _ { i \in \mathcal { I } _ { i n } } \hat { a } _ { i } ^ { \dag } \right) \right| \vec { 0 } \right\rangle = \overline { { \left\langle \vec { 0 } \left| \left( \prod _ { { i \in \mathcal { I } _ { i n } } } \hat { a } _ { i } \right) \hat { U } ^ { \dag } \left( \prod _ { j \in \mathcal { J } _ { o u t } } \hat { a } _ { j } ^ { \dag } \right) \right| \vec { 0 } \right\rangle } } .
d _ { n , l } ^ { k } = \left\{ \begin{array} { l r } { 0 , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } N \leq N _ { c } } \\ { \epsilon q ^ { 2 } N ^ { 2 } ( N + 1 ) ^ { 2 } , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } N > N _ { c } } \end{array} \right\}
\bigl [ \begin{array} { l } { \sigma _ { 1 1 , t } } \\ { \sigma _ { 2 2 , t } } \end{array} \bigr ] = \bigl [ \begin{array} { l } { \omega _ { 1 , 1 } } \\ { \omega _ { 2 , 1 } } \end{array} \bigr ] + \bigl [ \begin{array} { l l } { \alpha _ { 1 , 1 } } & { \alpha _ { 1 , 2 } } \\ { \alpha _ { 2 , 1 } } & { \alpha _ { 2 , 2 } } \end{array} \bigr ] \bigl [ \begin{array} { l } { \epsilon _ { 1 , t - 1 } ^ { 2 } } \\ { \epsilon _ { 2 , t - 1 } ^ { 2 } } \end{array} \bigr ] + \bigl [ \begin{array} { l l } { \beta _ { 1 , 1 } } & { \beta _ { 1 , 2 } } \\ { \beta _ { 2 , 1 } } & { \beta _ { 2 , 2 } } \end{array} \bigr ] \bigl [ \begin{array} { l } { \sigma _ { 1 1 , t } } \\ { \sigma _ { 2 2 , t } } \end{array} \bigr ] ,