harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathcal { Z } _ { i j } \left[ \boldsymbol { \mathcal { O } } \right] } & { { } = \sum _ { \boldsymbol { x } _ { i } , \boldsymbol { s } _ { i } } p ( x _ { i } ^ { 0 } ) \sum _ { \boldsymbol { x } _ { \partial i \setminus j } } \Biggl \{ \left[ \prod _ { k \in \partial i \setminus j } c _ { k i } \left[ \boldsymbol { x } _ { k } , \boldsymbol { \nu } _ { i k } \boldsymbol { x } _ { i } | \boldsymbol { \mathcal { O } } \right] \right] \prod _ { t = 0 } ^ { T - 1 } \left[ \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , x _ { i } ^ { t } } \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) e ^ { s _ { i } ^ { t } + \sum _ { k \in \partial i \setminus j } \nu _ { k i } ^ { t } x _ { k } ^ { t } } \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( \mathbf { x } _ { k + 1 } ) } & { { } = f ( \mathbf { x } _ { k } + \alpha _ { k } \mathbf { p } _ { k } ) = : g ( \alpha _ { k } ) } \\ { g ^ { \prime } ( \alpha _ { k } ) } & { { } { \overset { ! } { = } } 0 \quad \Rightarrow \quad \alpha _ { k } = { \frac { \mathbf { p } _ { k } ^ { \mathsf { T } } ( \mathbf { b } - \mathbf { A x } _ { k } ) } { \mathbf { p } _ { k } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { A } \mathbf { p } _ { k } } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d } { d t } \left. \exp \left( \tau \eta \right) \circ _ { A \left( t \right) } \exp \left( \tau ^ { \prime } \gamma \right) \right\vert _ { t = t _ { 0 } } } & { = } & { \left[ \exp \left( \tau \eta \right) , \exp \left( \tau ^ { \prime } \gamma \right) , \xi \right] ^ { \left( A _ { 0 } \right) } } \\ { \frac { d } { d t } \left. \exp \left( \tau ^ { \prime } \gamma \right) \circ _ { A \left( t \right) } \exp \left( \tau \eta \right) \right\vert _ { t = t _ { 0 } } } & { = } & { \left[ \exp \left( \tau ^ { \prime } \gamma \right) , \exp \left( \tau \eta \right) , \xi \right] ^ { \left( A _ { 0 } \right) } } \end{array}
\langle b _ { \vec { k } + \vec { q } / 2 } b _ { \vec { k } - \vec { q } / 2 } ^ { * } \rangle = \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 2 } } \int e ^ { - i \vec { q } \cdot \vec { x } } n ( \vec { k } , \vec { x } ) d \vec { x } ,
( { \bf p } ^ { 2 } + \beta ^ { 2 } ) \phi ( { \bf p } ) = - \frac { 4 m M } { 2 E } \int \frac { d \, { \bf q } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } U ( { \bf p } , 0 ; { \bf q } , 0 ) \phi ( { \bf q } )
f _ { i } ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { c _ { 1 } ^ { i } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } x \in [ 0 , b _ { 1 } ^ { i } ) , } \\ { c _ { j } ^ { i } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } x \in [ b _ { j - 1 } ^ { i } , b _ { j } ^ { i } ) , } \\ { c _ { \ell } ^ { i } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } x \in [ b _ { \ell - 1 } ^ { i } , 1 ] , } \end{array} \right.
\begin{array} { l } { { \displaystyle { H ^ { B } = \int d \sigma \left( \Pi _ { i } \dot { x } _ { i } - \mathcal { L } _ { B } \right) = } } } \\ { { \displaystyle { \qquad \frac { 1 } { 4 \pi l _ { s } ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi l _ { s } ^ { 2 } p ^ { + } } d \sigma \left[ \sum _ { i = 1 } ^ { 8 } ( { \dot { x } _ { i } } ^ { 2 } + { { x } _ { i } ^ { \prime } } ^ { 2 } ) + \mu ^ { 2 } \left( \sum _ { I = 3 } ^ { 8 } x _ { I } ^ { 2 } + 4 x _ { 2 } ^ { 2 } \right) + 4 \mu x _ { 2 } \partial _ { \sigma } x _ { 1 } \right] } } } \end{array}
Y _ { i j } ( t + \Delta t ) = \left\{ \begin{array} { l } { 1 , \quad { i f } \quad \frac { 1 } { 1 + \exp \left( - \left( U _ { i j } ( t + \Delta t ) - \theta _ { i j } ( t + \Delta t ) \right) \right) } > 0 . 5 } \\ { 0 , \quad { o t h e r w i s e } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { S _ { 1 } ^ { d } = } & { { \overline { { \nu } } _ { e } } \omega _ { 1 } ^ { \dagger } \omega _ { 1 } + } \\ { { d } ^ { r } { A _ { 1 } } \omega _ { 1 } ^ { \dagger } \omega _ { 1 } + } & { { d } ^ { g } { A _ { 2 } } \omega _ { 1 } ^ { \dagger } \omega _ { 1 } + { d } ^ { b } { A _ { 3 } } \omega _ { 1 } ^ { \dagger } \omega _ { 1 } + } \\ { \overline { { u ^ { r } } } { A _ { 3 } } { A _ { 2 } } \omega _ { 1 } ^ { \dagger } \omega _ { 1 } + } & { \overline { { u ^ { g } } } { A _ { 1 } } { A _ { 3 } } \omega _ { 1 } ^ { \dagger } \omega _ { 1 } + \overline { { u ^ { b } } } { A _ { 2 } } { A _ { 1 } } \omega _ { 1 } ^ { \dagger } \omega _ { 1 } + } \\ & { e ^ { - } { A _ { 3 } } { A _ { 2 } } { A _ { 1 } } \omega _ { 1 } ^ { \dagger } \omega _ { 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ell } & { = \operatorname* { l i m } _ { i \to \infty } \langle \mathcal M _ { k _ { i } } u ^ { k _ { i } } , u ^ { * } - u ^ { * * } \rangle = \operatorname* { l i m } _ { i \to \infty } \langle u ^ { k _ { i } } , \mathcal M _ { k _ { i } } ( u ^ { * } - u ^ { * * } ) \rangle = \langle u ^ { * } , u ^ { * } - u ^ { * * } \rangle _ { \mathcal M } , } \\ { \tilde { \ell } } & { = \operatorname* { l i m } _ { j \to \infty } \langle \mathcal M _ { k _ { j } } u ^ { k _ { j } } , u ^ { * } - u ^ { * * } \rangle = \operatorname* { l i m } _ { j \to \infty } \langle u ^ { k _ { j } } , \mathcal M _ { k _ { j } } ( u ^ { * } - u ^ { * * } ) \rangle = \langle u ^ { * * } , u ^ { * } - u ^ { * * } \rangle _ { \mathcal M } . } \end{array}
R \Bigl ( \bigl \{ \phi _ { 1 } \, , \eta _ { 0 } \bigr \} + \bigl \{ \phi _ { 0 } \, , \eta _ { 1 } \bigr \} \Bigr ) \, = \, R \Bigl ( \frac { \beta _ { \epsilon } - 1 } { 4 \pi } \, \partial _ { Z } \eta _ { 0 } + Z \chi _ { 1 3 } ( \rho ) + \delta R \chi _ { 1 4 } ( \rho ) \Bigr ) \, .
\begin{array} { r l } { \Delta _ { t + s } G } & { = e ^ { - \langle t + s , \Theta \rangle } \Delta _ { t + s } Y } \\ & { = e ^ { - \langle t , \Theta \rangle } e ^ { - \langle s , \Theta \rangle } \sum _ { ( i _ { 1 } , \dots , i _ { N } ) \in \{ 0 , 1 \} ^ { N } } ( - 1 ) ^ { \sum _ { l = 1 } ^ { N } i _ { l } } Y _ { e ^ { t _ { 1 } + s _ { 1 } - i _ { 1 } } , \dots , e ^ { t _ { N } + s _ { N } - i _ { N } } } } \\ & { \overset { \mathrm { l a w } } { = } e ^ { - \langle t , \Theta \rangle } \sum _ { ( i _ { 1 } , \dots , i _ { N } ) \in \{ 0 , 1 \} ^ { N } } ( - 1 ) ^ { \sum _ { l = 1 } ^ { N } i _ { l } } Y _ { e ^ { t _ { 1 } - i _ { 1 } } , \dots , e ^ { t _ { N } - i _ { N } } } } \\ & { = e ^ { - \langle t , \Theta \rangle } \Delta _ { t } Y = \Delta _ { t } G . } \end{array}
\frac { \partial E _ { k } } { \partial t } = \frac { \pi K _ { \theta , \phi } C _ { E } ^ { 2 } k ^ { 2 + 2 x } } { 1 2 8 b _ { 0 } } \sum _ { s s _ { p } s _ { q } } \int _ { \Delta _ { \perp } } \delta ( s + s _ { p } \tilde { p } + s _ { q } \tilde { q } ) \frac { s } { \tilde { p } \tilde { q } } \left( s { \tilde { p } } ^ { x } { \tilde { q } } ^ { x } + s _ { p } { \tilde { p } } ^ { 3 } { \tilde { q } } ^ { x } + s _ { q } { \tilde { p } } ^ { x } { \tilde { q } } ^ { 3 } \right) \mathrm { d } { \tilde { p } } \mathrm { d } { \tilde { q } } \, ,
\begin{array} { r l r } & { } & { { \mathcal E } ( t , x ) = \left[ 2 \cosh k x _ { 1 } - \mathrm { E r f } \left( \frac { - 2 \beta \, x _ { 1 } + \sigma ^ { 2 } k ( 1 - e ^ { - 2 \beta t } ) } { 2 \sigma \sqrt { \beta } \sqrt { 1 - e ^ { - 2 \beta t } } } \right) e ^ { - { k x _ { 1 } } } - \right. } \\ & { } & { \left. \mathrm { E r f } \left( \frac { 2 \beta \, x _ { 1 } + \sigma ^ { 2 } k ( 1 - e ^ { - 2 \beta t } ) } { 2 \sigma \sqrt { \beta } \sqrt { 1 - e ^ { - 2 \beta t } } } \right) e ^ { k x _ { 1 } } \right] \frac { k ( 1 - e ^ { - 2 \beta t } ) } { 4 } e ^ { \frac { k ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } ( 1 - e ^ { - 2 \beta t } ) } { 4 \beta } } + } \\ & { } & { \frac { \sqrt { \beta } e ^ { - 2 \beta t } } { \sqrt { 1 - e ^ { - 2 \beta t } } } e ^ { - \frac { \beta x _ { 1 } ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } ( 1 - e ^ { - 2 \beta t } ) } } , } \\ & { } & { x _ { 1 } = x - \frac { B } { \beta } ( 1 - e ^ { - \beta t } ) , } \end{array}
{ \frac { \partial f } { \partial \mathbf { v } } } \cdot \mathbf { u } = \left( { \frac { \partial f _ { 1 } } { \partial \mathbf { v } } } \cdot \mathbf { u } \right) ~ f _ { 2 } ( \mathbf { v } ) + f _ { 1 } ( \mathbf { v } ) ~ \left( { \frac { \partial f _ { 2 } } { \partial \mathbf { v } } } \cdot \mathbf { u } \right) .
\beta _ { k } : = { \frac { \mathbf { r } _ { k + 1 } ^ { \mathsf { T } } \left( \mathbf { z } _ { k + 1 } - \mathbf { z } _ { k } \right) } { \mathbf { r } _ { k } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { z } _ { k } } }
\begin{array} { r l } { D } & { = \frac { 1 } { R e } \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { e } ^ { M \bar { c } } \left[ \left( | \frac { d \hat { u _ { r } } } { d r } | ^ { 2 } + | \frac { d \hat { u _ { \theta } } } { d r } | ^ { 2 } + | \frac { d \hat { u _ { z } } } { d r } | ^ { 2 } \right) - \frac { 1 } { r } \operatorname { R e a l } \left( \frac { d } { d r } ( r \hat { u } _ { r } ^ { * } \frac { d \hat { u } _ { r } } { d r } + r \hat { u } _ { \theta } ^ { * } \frac { d \hat { u } _ { \theta } } { d r } + r \hat { u } _ { z } ^ { * } \frac { d \hat { u } _ { z } } { d r } ) \right) \right] r d r } \\ { + } & { \frac { 1 } { R e } \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { e } ^ { M \bar { c } } \left[ ( \frac { \beta ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } + k ^ { 2 } ) ( | \hat { v } _ { r } | ^ { 2 } + | \hat { v } _ { \theta } | ^ { 2 } + | \hat { v } _ { z } | ^ { 2 } ) + \frac { | \hat { v } _ { r } | ^ { 2 } + | \hat { v } _ { \theta } | ^ { 2 } + 4 \beta \operatorname { R e a l } ( \hat { v } _ { \theta } \hat { v } _ { r } ^ { * } ) } { r ^ { 2 } } \right] r d r } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { C } P _ { n , \alpha _ { a } } ^ { 2 } = ( \alpha _ { 1 } \bar { X } ^ { 1 } , \alpha _ { 2 } \bar { X } ^ { 2 } , \alpha _ { 3 } \bar { X } ^ { 3 } , \alpha _ { 4 } \bar { X } ^ { 4 } , \alpha _ { 5 } \bar { X } ^ { 5 } , \alpha _ { 6 } \bar { X } ^ { 6 } , \alpha _ { 7 } \bar { X } ^ { 7 } , \alpha _ { 8 } \bar { X } ^ { 8 } ) = : ( X ^ { a } ) } \end{array}
\begin{array} { l l } { \alpha _ { 1 } = 0 . 5 5 3 , } & { \alpha _ { 2 } = 0 . 4 4 , \quad \beta _ { 1 } = 0 . 0 7 5 , \quad \beta _ { 2 } = 0 . 0 8 2 8 } \\ { \sigma _ { k 1 } = 0 . 8 5 , } & { \sigma _ { k 2 } = 1 . 0 , \quad \sigma _ { \omega 1 } = 0 . 5 , \quad \sigma _ { \omega 2 } = 0 . 8 5 6 , } \\ { \beta ^ { * } = 0 . 0 9 , } & { \quad a _ { 1 } = 0 . 3 1 . } \end{array}
\psi _ { n } = \psi _ { n } ^ { ( 0 ) } + \delta \psi _ { n } , ~ \delta \psi _ { n } \bot \psi _ { n } ^ { ( 0 ) } ~ \textrm { a n d } ~ \langle \psi _ { n } ^ { ( 0 ) } | \psi _ { n } ^ { ( 0 ) } \rangle = 1 .
K ( p ) = { \frac { i } { p _ { 0 } - { \sqrt { { \vec { p } } ^ { 2 } + m ^ { 2 } } } + i \varepsilon } } + { \frac { i } { p _ { 0 } - { \sqrt { { \vec { p } } ^ { 2 } + m ^ { 2 } } } - i \varepsilon } } .
\begin{array} { r } { ( \Omega _ { [ 1 \bar { 1 } 0 ] } ^ { \mathrm { i n } } ) ^ { 2 } = \frac { 2 \gamma } { \omega ^ { 2 } \rho M _ { s } d ( d + s ) } ( \overline { { B } } _ { [ 1 1 1 ] } ^ { 2 } \omega _ { H } } \\ { + \overline { { B } } _ { [ 1 \bar { 1 } 0 ] } ^ { 2 } ( \omega _ { H } + \omega _ { M } ) ) \times \Big ( 1 - \cos { \frac { n \pi d } { d + s } } \Big ) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { r \left( t \right) = \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } { \sum _ { m = 0 } ^ { M - 1 } ( { { \bf { H } } \left( { n , m } \right) { a _ { n , m } } } } } \\ & { \quad \quad \quad \cdot \mathrm { { r e c t } } \left( { t - m { t _ { b } } - \tau } \right) { e ^ { j 2 \pi { f _ { n } } \left( { t - \tau } \right) } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widehat { \sigma } _ { z } ^ { 2 } = } & { \frac { 1 } { V _ { 0 } m } \sum _ { i = 1 } ^ { V _ { 0 } m } \left( y - \sqrt { \eta \widehat { T } } x \right) ^ { 2 } } \\ { \simeq } & { \frac { 1 } { V _ { 0 } m } \sigma _ { z } ^ { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { V _ { 0 } m } \left( \frac { y - \sqrt { \eta T } x } { \sigma _ { x } } \right) ^ { 2 } . } \end{array}
{ \cal { L } } _ { \Lambda } = \frac { 1 } { 2 } Z _ { 1 } ( \partial \phi ) - \frac { 1 } { 2 } m _ { 0 } ^ { 2 } Z _ { 1 } \phi ^ { 2 } - \frac { \lambda _ { 0 } } { 4 ! } Z _ { 1 } ^ { 2 } \phi ^ { 4 } .
\begin{array} { r } { H ( \beta ) = \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { h _ { - } + V _ { - } \beta + W _ { - } \beta ^ { - 1 } } \\ { h _ { + } + V _ { + } \beta + W _ { + } \beta ^ { - 1 } } & { 0 } \end{array} \right) . } \end{array}
g _ { A } ^ { s _ { 1 } , s _ { 2 } } = G _ { A } ^ { s _ { 1 } } G _ { A } ^ { s _ { 2 } } + \left( \mathbb { I } - G _ { A } ^ { s _ { 1 } } \right) \left( \mathbb { I } - G _ { A } ^ { s _ { 2 } } \right)
Y _ { 0 } ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } = x ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } , \quad Y _ { t _ { k } } ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } = Y _ { t _ { k - 1 } } ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } + \delta u \left( Y _ { t _ { k - 1 } } ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } , t _ { k - 1 } \right) + \sqrt { 2 \kappa } ( B _ { t _ { k } } ^ { 2 } - B _ { t _ { k - 1 } } ^ { 2 } ) ,
\underbrace { _ { \, } 3 x ^ { 2 } } _ { \begin{array} { l } { \mathrm { t e r m } } \\ { \mathrm { 1 } } \end{array} } \underbrace { - _ { \, } 5 x } _ { \begin{array} { l } { \mathrm { t e r m } } \\ { \mathrm { 2 } } \end{array} } \underbrace { + _ { \, } 4 } _ { \begin{array} { l } { \mathrm { t e r m } } \\ { \mathrm { 3 } } \end{array} } .
\small \begin{array} { r l } { \frac { \partial ( \hat { \rho } _ { i } \textbf { u } ) } { \partial t } + \nabla \cdot ( \hat { \rho } _ { i } \textbf { u } \textbf { u } ) } & { { } + \frac { \partial ( \hat { \rho } _ { i } ( \textbf { u } _ { i } - \textbf { u } ) ) } { \partial t } + \nabla \cdot ( \hat { \rho } _ { i } ( \textbf { u } _ { i } - \textbf { u } ) ( \textbf { u } _ { i } - \textbf { u } ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { W \left( \Delta \vec { p } _ { k } , \Delta t \right) } & { { } = } & { \int \frac { d ^ { 3 } \xi } { \left( 2 \pi \right) ^ { 3 } } \, e ^ { - i \xi _ { i } \left( \Delta p _ { k } ^ { i } - A _ { k } ^ { i } \right) - \frac { 1 } { 2 } \xi _ { i } B _ { k } ^ { i j } \xi _ { j } } } \end{array}
\mathrm { ~ e } ^ { - S _ { \mathrm { e f f } } [ A _ { 0 } ] } \equiv \int [ d \vec { a } ] [ d \vec { \pi } ] \mathrm { ~ e } ^ { \int _ { 0 } ^ { 1 / T } d \tau \int _ { S ^ { 2 } } \left\{ i \vec { \pi } \cdot \dot { \vec { a } } - \frac { 1 } { 2 } ( \pi _ { i } - \frac { \kappa } { 2 } \epsilon _ { i j } a _ { j } ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } ( B _ { M } ^ { 2 } + b ^ { 2 } ) \right\} + i \frac { \kappa } { T } \int _ { S ^ { 2 } } A _ { 0 } \left( B _ { M } + b / 2 \right) }
\begin{array} { r l r } { R ( t , a ^ { * } ( \pi _ { X } ) ) } & { = } & { k \sum _ { d = 0 } ^ { M } p _ { t } ( d ) ( d - a ^ { * } ( \pi _ { X } ) ) ^ { 2 } } \\ & { = } & { k \sum _ { d = 0 } ^ { M } p _ { t } ( d ) \left[ d - \frac { \alpha c _ { 1 } + n Z } { \alpha + n } \right] ^ { 2 } } \\ { \Rightarrow \mathbb { E } _ { X | T = t } \left[ R ( t , a ^ { * } ( \pi _ { X } ) ) \right] } & { = } & { k \sum _ { d = 0 } ^ { M } p _ { t } ( d ) \left[ d ^ { 2 } - \left( \frac { 2 n d } { \alpha + n } - \frac { 2 n \alpha c _ { 1 } } { ( \alpha + n ) ^ { 2 } } \right) \right. \mathbb { E } _ { X } [ Z ] } \\ & { } & { \left. - \frac { 2 d \alpha c _ { 1 } } { \alpha + n } + \frac { \alpha ^ { 2 } c _ { 1 } ^ { 2 } } { ( \alpha + n ) ^ { 2 } } + \frac { n ^ { 2 } } { ( \alpha + n ) ^ { 2 } } \mathbb { E } _ { X } [ Z ^ { 2 } ] \right] . } \end{array}
\tau _ { \mathrm { e f f } } = \frac { \mathrm { ~ T ~ r ~ } \left\{ { \hat { H } } _ { \mathrm { e x t } } \, { \hat { \tau } } \right\} } { \left( \mathrm { ~ T ~ r ~ } \left\{ { \hat { H } } _ { \mathrm { e x t } } \, { \hat { \rho } } _ { \mathrm { i n i } } \right\} - \mathrm { ~ T ~ r ~ } \left\{ { \hat { H } } _ { \mathrm { e x t } } \, { \hat { \rho } } _ { \mathrm { s t } } \right\} \right) } \, .
\begin{array} { r l } { W _ { \Phi } ( G , G ^ { \prime } ) } & { \precsim \operatorname* { i n f } _ { \delta , M } \biggr \{ \delta + \frac { M } { \log ( C / ( h ( p _ { G } , p _ { G _ { 0 } } ) \exp ( \alpha ^ { 2 } d \delta ^ { - 4 } ) M ^ { d / 2 } ) ) } + \frac { ( d \bar { \theta } ) ^ { 5 / 4 } } { \log ( 3 / 2 ) M ^ { 1 / 4 } } + \frac { \delta ^ { 5 / 4 } } { M ^ { 1 / 4 } } \biggr \} . } \end{array}
\mathring { R } _ { i j k } { } ^ { l } = 2 \mathring { R } ^ { l } { } _ { [ i } \mathring { g } _ { j ] k } - 2 \big ( \mathring { R } _ { k [ i } - \frac 1 2 \mathring { R } \mathring { g } _ { k [ i } \big ) \delta _ { j ] } { } ^ { l }
\frac { \partial k _ { 5 } } { \partial C } = - 2 \lambda ( \lambda - 1 ) \mathcal { A } \frac { \partial \mathcal { A } } { \partial C } ~ ~ , ~ ~ \frac { \partial k _ { 5 } } { \partial E } = - 2 \lambda ( \lambda - 1 ) \mathcal { A } \frac { \partial \mathcal { A } } { \partial E } ~ ~ , ~ ~ \frac { \partial k _ { 5 } } { \partial \kappa } = 0 .
\begin{array} { r l } { \mathrm { \bf ~ E } _ { 1 2 } } & { = \mathrm { P r } \left( \varphi _ { 1 } ( k _ { 1 } ^ { \prime } ) = l _ { 1 } , \varphi _ { 2 } ( k _ { 2 } ^ { \prime } ) = l _ { 2 } \right. } \\ & { \qquad \qquad \qquad \left. | \varphi _ { 1 } ( k _ { 1 } ) = l _ { 1 } , \varphi _ { 2 } ( k _ { 2 } ) = l _ { 2 } \right) } \\ & { \stackrel { \mathrm { ( a ) } } { = } \mathrm { P r } \left( \varphi _ { 1 } ( k _ { 1 } ^ { \prime } ) = l _ { 1 } | \varphi _ { 1 } ( k _ { 1 } ) = l _ { 1 } \right) } \\ & { \quad \times \mathrm { P r } \left( \varphi _ { 2 } ( k _ { 2 } ^ { \prime } ) = l _ { 2 } | \varphi _ { 2 } ( k _ { 2 } ) = l _ { 2 } \right) \stackrel { \mathrm { ( b ) } } { = } \frac { 1 } { | { \cal L } _ { 1 } | | { \cal L } _ { 2 } | } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l } { \alpha - \beta - \gamma - \mu \smallskip } \\ { \alpha - 2 \mu - \nu \smallskip } \end{array} \right\} \leqslant 2 \alpha - \beta - 2 \mu - \nu \leqslant \left\{ \begin{array} { l } { 2 \alpha - \beta - \mu \smallskip } \\ { 2 \alpha + \gamma - 2 \mu - \nu \smallskip } \end{array} \right\} \leqslant 2 \alpha + \gamma - \mu ,
\begin{array} { r } { L . H . S . = { \frac { \partial ( \theta A _ { 1 } H P r R e + T _ { 0 } + A _ { 1 } \widetilde { x } H ) } { \partial \widetilde { t } } } { \frac { \partial \widetilde { t } } { \partial t } } + } \\ { \overline { { U } } \widetilde { u } { \frac { \partial ( \theta A _ { 1 } H P r R e + T _ { 0 } + A _ { 1 } \widetilde { x } H ) } { \partial \widetilde { x } } } { \frac { \partial \widetilde { x } } { \partial x } } } \\ { + \overline { { U } } \widetilde { y } { \frac { \partial ( \theta A _ { 1 } H P r R e + T _ { 0 } + A _ { 1 } \widetilde { x } H ) } { \partial \widetilde { y } } } { \frac { \partial \widetilde { y } } { \partial y } } + } \\ { \overline { { U } } \widetilde { w } { \frac { \partial ( \theta A _ { 1 } H P r R e + T _ { 0 } + A _ { 1 } \widetilde { x } H ) } { \partial \widetilde { z } } } { \frac { \partial \widetilde { z } } { \partial z } } . } \end{array}
\left[ \begin{array} { c c c c } { k _ { 1 } } & { A } & { 0 } & { 0 } \\ { A } & { k _ { 2 } } & { B } & { 0 } \\ { 0 } & { - B } & { k _ { 1 } } & { C } \\ { 0 } & { 0 } & { C } & { k _ { 2 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c c c c } { \psi _ { 1 } } \\ { \psi _ { 2 } } \\ { \psi _ { 3 } } \\ { \psi _ { 4 } } \end{array} \right] = \beta \left[ \begin{array} { c c c c } { \psi _ { 1 } } \\ { \psi _ { 2 } } \\ { \psi _ { 3 } } \\ { \psi _ { 4 } } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l r } { \Omega _ { - } D } & { \approx } & { \frac { 1 } { 2 } m \Omega _ { c } \omega R _ { G } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } m \omega ^ { 2 } R _ { G } ^ { 2 } , } \\ { - \Omega _ { + } J } & { \approx } & { \frac { 1 } { 2 } m \Omega _ { c } ^ { 2 } \rho ^ { 2 } + \frac { 3 } { 2 } m \Omega _ { c } \omega \rho ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } m \omega ^ { 2 } \rho ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { L = \left( \begin{array} { c c } { v - \eta } & { \rho } \\ { P _ { \rho } } & { \rho ( v - \eta ) } \end{array} \right) , \quad M = \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { 0 } \\ { p _ { \theta } } & { 0 } \end{array} \right) , \quad N = \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { \theta p _ { \theta } } \\ { 0 } & { ( \lambda + \nu ) q } \end{array} \right) , \quad P = \left( \begin{array} { c c } { \rho e _ { \theta } ( v - \eta ) } & { 1 } \\ { \kappa } & { \tau ( v - \eta ) } \end{array} \right) , } \end{array}
w ( a _ { i } , a _ { j } , a _ { k } , a _ { l } ) \longrightarrow \frac { f ( a _ { i } , a _ { j } ) g ( a _ { l } , a _ { i } ) } { f ( a _ { k } , a _ { l } ) g ( a _ { j } , a _ { k } ) } w ( a _ { i } , a _ { j } , a _ { k } , a _ { l } ) ~ .
\begin{array} { r l } { w _ { i j } P _ { t j k l } + w _ { t j } P _ { i j k l } } & { = \frac { 1 } { 2 } [ w _ { i j } ( w _ { t s } w _ { k s } \delta _ { j l } - w _ { k j } w _ { t l } ) + w _ { t j } ( w _ { i s } w _ { k s } \delta _ { j l } - w _ { k j } w _ { i l } ) ] } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } ( w _ { i l } w _ { t s } w _ { k s } - w _ { i j } w _ { k j } w _ { t l } + w _ { i s } w _ { k s } w _ { t l } - w _ { i l } w _ { t j } w _ { k j } ) = 0 . } \end{array}
f _ { \mathrm { m o d e , a n a l y t } } ^ { ( n _ { x } , n _ { y } , n _ { z } ) } = \frac { c } { 2 } \sqrt { \left( \frac { n _ { x } } { l _ { x } } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { n _ { y } } { l _ { y } } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { n _ { z } } { l _ { z } } \right) ^ { 2 } } \, ,
p d f _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ m ~ p ~ } } [ j ] \leftarrow ( \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { d / 2 } \sqrt { | \Sigma _ { j } | } } ) * \exp \left[ - \frac { 1 } { 2 } ( X _ { i } - \mu _ { j } ) ^ { T } \Sigma _ { j } ^ { - 1 } ( X _ { i } - \mu _ { j } ) \right]
\Delta w _ { k } \equiv \oint { \frac { \partial w _ { k } } { \partial q _ { k } } } \, \mathrm { d } q _ { k } = \oint { \frac { \partial ^ { 2 } W } { \partial J _ { k } \, \partial q _ { k } } } \, \mathrm { d } q _ { k } = { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } J _ { k } } } \oint { \frac { \partial W } { \partial q _ { k } } } \, \mathrm { d } q _ { k } = { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } J _ { k } } } \oint p _ { k } \, \mathrm { d } q _ { k } = { \frac { \mathrm { d } J _ { k } } { \mathrm { d } J _ { k } } } = 1
\frac { 1 } { q ^ { d } | S _ { t } | ^ { 2 } | S _ { t } ^ { d - 2 } | } \sum _ { x ^ { 1 } , x ^ { 2 } , x ^ { 3 } \in \mathbb F _ { q } ^ { d } } S _ { t } ( x ^ { 1 } - x ^ { 2 } ) S _ { t } ( x ^ { 2 } - x ^ { 3 } ) \left( \prod _ { i = 1 } ^ { 3 } f _ { i } ( x ^ { i } ) \right) \left( \sum _ { x ^ { 4 } \in \mathbb F _ { q } ^ { d } } S _ { t } ( x ^ { 3 } - x ^ { 4 } ) S _ { t } ( x ^ { 4 } - x ^ { 1 } ) f _ { 4 } ( x ^ { 4 } ) \right) .
\left. \begin{array} { r } { { u ( \mathrm { A } ) > u ( \mathrm { H } ) } } \\ { { d ( \mathrm { A } ) < d ( \mathrm { H } ) } } \end{array} \right\} \quad \Rightarrow \quad \sigma _ { W } ( \mathrm { A } ) \simeq \sigma _ { W } ( \mathrm { H } ) \; .
\begin{array} { r l } { \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta { S } } } & { { } = \frac { 2 A _ { 0 } } { 3 } \left( 1 - \frac { \gamma } { 3 } \right) S - \frac { 2 A _ { 0 } \gamma } { 9 } S ^ { 2 } + \frac { 4 A _ { 0 } \gamma } { 9 } S ^ { 3 } } \end{array}
( M ^ { i } \otimes _ { R } A ^ { i } \otimes _ { R } N ^ { i } ) _ { ( t ^ { i } ) \cdot \alpha ^ { i } \cdot ( s ^ { i } ) } \cong \frac { M _ { t ^ { i } } \otimes _ { R } A _ { 1 } ^ { i \otimes | \alpha ^ { i } | } \otimes _ { R } N _ { s ^ { i } } } { \vee _ { j \in \phi ^ { - 1 } ( \alpha ^ { i } ) } S _ { M , A , N , j } ^ { | \alpha ^ { i } | } } .
\begin{array} { r } { p _ { \pm } ^ { + } = \prod _ { i \in { \cal R } } \frac { \exp ( \pm \beta h _ { i } ^ { + } ) } { 2 \cosh ( \beta h _ { i } ^ { + } ) } , ~ ~ ~ p _ { \pm } ^ { - } = \prod _ { i \in { \cal R } } \frac { \exp ( \pm \beta h _ { i } ^ { - } ) } { 2 \cosh ( \beta h _ { i } ^ { - } ) } . } \end{array}
\left[ { \frac { d ^ { 4 } } { d r ^ { 4 } } } + { \frac { 2 } { r } } { \frac { d ^ { 3 } } { d r ^ { 3 } } } - \left( M ^ { 2 } + { \frac { l ( l + 1 ) } { r ^ { 2 } } } \right) { \frac { d ^ { 2 } } { d r ^ { 2 } } } - { \frac { 2 } { r } } M ^ { 2 } { \frac { d } { d r } } \right] c _ { l } ( M r ) = 0 ,
{ \cal L } \, = \, \frac { 1 } { 4 \kappa ^ { 2 } } E R ( \Omega ) - \frac { i } { 2 } \varepsilon ^ { M N P Q } \overline { { { \Psi } } } _ { M } \Gamma _ { 5 } \Gamma _ { N } { \cal D } _ { P } ( \Omega ) \Psi _ { Q } ,
\sum _ { { \bf { q } } _ { m } } e x p ( i { \mathrm { ~ } } { \bf { q } } _ { m } . { \bf { x } } ) { \bf { F } } ( [ \rho ] ; { \bf { q } } _ { m } r ) = \nabla \Phi - [ - i \mathrm { ~ } \Phi , \nabla \Pi ]
\mathbf x \in { \cal B } _ { m } ( y ) \mathrm { ~ i ~ f ~ a ~ n ~ d ~ o ~ n ~ l ~ y ~ i ~ f ~ } | | \mathbf x - \mathbf y | | \leq r _ { m } ( | | \mathbf x | | ) \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \mathbf x \in O ( R ) ,