harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \tiny \bar { \nabla } _ { 2 } H ( x , x ^ { \prime } ) } & { : = \nabla H \left( \frac { 1 } { 2 } ( x ^ { \prime } + x ) \right) + \frac { H ( x ^ { \prime } ) - H ( x ) - \nabla H \left( \frac { 1 } { 2 } ( x ^ { \prime } + x ) \right) ^ { T } ( x ^ { \prime } - x ) } { | x ^ { \prime } - x | ^ { 2 } } ( x ^ { \prime } - x ) \, , } \\ & { \mathrm { ~ f o r ~ } x ^ { \prime } \not = x \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { W } _ { M S } = } & { { } \left\{ ( x _ { 1 1 } , x _ { 1 2 } ; ~ x _ { 2 1 } , x _ { 2 2 } ) : ~ a _ { 1 } ^ { 0 } \oplus a _ { 1 } ^ { 1 } \oplus a _ { 1 } ^ { 2 } = 0 , \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \mathcal { X } \underset { \mathbb { C } } { \widehat { \otimes } } \mathcal { Y } ) \underset { \mathbb { C } } { \widehat { \otimes } } \mathcal { Z } } & { = \tau _ { C } \Big ( \mathcal { X } \underset { \mathbb { C } } { \widehat { \otimes } } \mathcal { Y } \Big ) \underset { A ^ { \prime } \otimes B ^ { \prime } \otimes C } { \otimes } { _ { A ^ { \prime } \otimes B ^ { \prime } } } \tau ( \mathcal { Z } ) } \\ & { = \Big ( \tau _ { C } ( \mathcal { X } ) \underset { C } { \widehat { \otimes } } { _ { C } } \tau ( \mathcal { Y } ) \Big ) \underset { A ^ { \prime } \otimes B ^ { \prime } \otimes C } { \otimes } { _ { A ^ { \prime } \otimes B ^ { \prime } } } \tau ( \mathcal { Z } ) } \\ & { = \Big ( \tau _ { B } \big ( \tau _ { C } ( \mathcal { X } ) \big ) \underset { A ^ { \prime } \otimes B \otimes C } { \otimes } { _ { A ^ { \prime } } } \tau \big ( { _ C } \tau ( \mathcal { Y } ) \big ) \Big ) \underset { A ^ { \prime } \otimes B ^ { \prime } \otimes C } { \otimes } { _ { A ^ { \prime } \otimes B ^ { \prime } } } \tau ( \mathcal { Z } ) } \\ & { = \Big ( \tau _ { B \otimes C } ( \mathcal { X } ) \underset { A ^ { \prime } \otimes B \otimes C } { \otimes } { _ { C \otimes A ^ { \prime } } } \tau ( \mathcal { Y } ) \Big ) \underset { A ^ { \prime } \otimes B ^ { \prime } \otimes C } { \otimes } { _ { A ^ { \prime } \otimes B ^ { \prime } } } \tau ( \mathcal { Z } ) } \\ & { = \tau _ { B \otimes C } ( \mathcal { X } ) \underset { A ^ { \prime } \otimes B \otimes C } { \otimes } \Big ( { _ { C \otimes A ^ { \prime } } } \tau ( \mathcal { Y } ) \underset { A ^ { \prime } \otimes B ^ { \prime } \otimes C } { \otimes } { _ { A ^ { \prime } \otimes B ^ { \prime } } } \tau ( \mathcal { Z } ) \Big ) } \\ & { = \tau _ { B \otimes C } ( \mathcal { X } ) \underset { A ^ { \prime } \otimes B \otimes C } { \otimes } \Big ( \tau _ { C } \big ( \tau _ { A ^ { \prime } } ( \mathcal { Y } ) \big ) \underset { A ^ { \prime } \otimes B ^ { \prime } \otimes C } { \otimes } { _ { B ^ { \prime } } } \tau \big ( { _ { A ^ { \prime } } } \tau ( \mathcal { Z } ) \big ) \Big ) } \\ & { = \tau _ { B \otimes C } ( \mathcal { X } ) \underset { A ^ { \prime } \otimes B \otimes C } { \otimes } \Big ( \tau _ { A ^ { \prime } } ( \mathcal { Y } ) \underset { A ^ { \prime } } { \widehat { \otimes } } { _ { A ^ { \prime } } } \tau ( \mathcal { Z } ) \Big ) } \\ & { = \tau _ { B \otimes C } ( \mathcal { X } ) \underset { A ^ { \prime } \otimes B \otimes C } { \otimes } { _ { A ^ { \prime } } } \tau \Big ( \mathcal { Y } \underset { \mathbb { C } } { \widehat { \otimes } } \mathcal { Z } \Big ) = \mathcal { X } \underset { \mathbb { C } } { \widehat { \otimes } } ( \mathcal { Y } \underset { \mathbb { C } } { \widehat { \otimes } } \mathcal { Z } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \xi _ { 1 } } & { { } = \xi ^ { \prime } \cos ( k _ { 1 } z _ { 0 } ) , } \\ { \tilde { \xi } _ { 1 } } & { { } = \xi ^ { \prime } \sin ( k _ { 1 } z _ { 0 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \sum _ { s } \frac { n _ { s } e _ { s } ^ { 2 } } { T _ { s } } \chi _ { z s } \left[ \delta \phi _ { z } \right] _ { \psi } } & { { } = } & { - \frac { 4 \pi ^ { 2 } } { V _ { \psi } ^ { \prime } } \sum _ { s } \sum _ { \hat { \sigma } } \int d \mathcal { E } d \mu \tau _ { b s } \overline { { e ^ { - i Q _ { z s } } J _ { 0 } } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { g _ { x } = e ^ { - \nu _ { k e } t } \, g _ { x 0 } \, , } \\ & { } & { g _ { y } = e ^ { - \nu _ { k e } t } \, \left[ g _ { y 0 } \, \cos \left( \frac { q _ { k } B t } { m _ { k } } \right) + g _ { z 0 } \, \sin \left( \frac { q _ { k } B t } { m _ { k } } \right) \right] \, , } \\ & { } & { g _ { z } = e ^ { - \nu _ { k e } t } \, \left[ g _ { z 0 } \, \cos \left( \frac { q _ { k } B t } { m _ { k } } \right) - g _ { y 0 } \, \sin \left( \frac { q _ { k } B t } { m _ { k } } \right) \right] \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \rVert F ( \omega ) \rVert _ { s } : = \rVert F _ { 1 } ( \omega ) \rVert _ { H _ { \varphi } ^ { s } } + \rVert F _ { 2 } ( \omega ) \rVert _ { H _ { \varphi } ^ { s } } + \rVert F _ { 3 } ( \omega ) \rVert _ { H _ { \varphi , x } ^ { s } } , \quad \mathrm { ~ ( s e e ~ f o r ~ \rVert ~ \cdot \rVert _ { H ^ s _ { \varphi } } , \ \rVert ~ \cdot ~ \rVert _ { H ^ s _ { \varphi , x } } ~ ) } , } \\ & { \rVert F \rVert _ { s } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega ) } : = \rVert F _ { 1 } \rVert _ { H _ { \varphi } ^ { s } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega ) } + \rVert F _ { 2 } \rVert _ { H _ { \varphi } ^ { s } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega ) } + \rVert F _ { 3 } \rVert _ { H _ { \varphi , x } ^ { s } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega ) } , \quad \mathrm { ~ ( s e e ~ f o r ~ \rVert ~ \cdot \rVert _ { H ^ s _ { \varphi } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega ) } , \ \rVert ~ \cdot ~ \rVert _ { H ^ s _ { \varphi , x } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega ) } ~ ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { N _ { \mathrm { n o r m } } ^ { 2 } } & { = } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } d r 2 \pi r | \psi ( r , \phi , z ) | ^ { 2 } } \\ & { = } & { \frac { \pi } { 2 } w _ { 0 } ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } d b b ^ { m } \left| L _ { p } ^ { m } \left( b \right) \right| ^ { 2 } \mathrm { e } ^ { - b } } \\ & { = } & { \frac { \pi } { 2 } w _ { 0 } ^ { 2 } \frac { ( p + m ) ! } { p ! } , } \end{array}
\left| \sigma _ { i j } - \lambda \delta _ { i j } \right| = { \left| \begin{array} { l l l } { \sigma _ { 1 1 } - \lambda } & { \sigma _ { 1 2 } } & { \sigma _ { 1 3 } } \\ { \sigma _ { 2 1 } } & { \sigma _ { 2 2 } - \lambda } & { \sigma _ { 2 3 } } \\ { \sigma _ { 3 1 } } & { \sigma _ { 3 2 } } & { \sigma _ { 3 3 } - \lambda } \end{array} \right| } = 0
a _ { 0 } = 0 , \quad a _ { 1 / 2 } = 0 , \quad a _ { 1 } = 0 , \quad \frac { a _ { 3 / 2 } } { ( 4 \pi ) ^ { 3 / 2 } } = \frac { 3 \xi ^ { 2 } } { 6 4 \, R } , \quad a _ { 2 } = 0 .
0 = \left\| \sum _ { i = 1 } ^ { n } a _ { i } v _ { i } \right\| = \left\| \sum _ { i = 1 } ^ { n } a _ { i } ( e _ { i } + ( v _ { i } - e _ { i } ) ) \right\| = \left\| \sum _ { i = 1 } ^ { n } a _ { i } e _ { i } + \sum _ { i = 1 } ^ { n } a _ { i } ( v _ { i } - e _ { i } ) \right\| \geq \left| \left\| \sum _ { i = 1 } ^ { n } a _ { i } e _ { i } \right\| - \left\| \sum _ { i = 1 } ^ { n } a _ { i } ( v _ { i } - e _ { i } ) \right\| \right|
\begin{array} { r } { \mathbf { Y } _ { 4 } = \left( \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } , - \frac { 1 } { 2 } , - \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } , - \frac { 1 } { 2 } , 0 , 1 \right) ^ { T } / \sqrt { 3 } , } \end{array}
A _ { \alpha } = \mathrm { R e } \left[ \left( \sqrt { I } m _ { \alpha } + \mathcal { O } ( \epsilon ) \right) e ^ { i ( S + \epsilon \gamma ) / \epsilon } \right] \quad \mathrm { o r } \quad A _ { \alpha } = \mathrm { R e } \left[ \left( \sqrt { I } \bar { m } _ { \alpha } + \mathcal { O } ( \epsilon ) \right) e ^ { i ( S - \epsilon \gamma ) / \epsilon } \right] .
D _ { w ^ { - } } ^ { S } [ \tilde { w } ^ { - } ] = - \frac { \lambda ^ { 2 } } { 2 } \left[ 1 - \left( 1 + \frac { m } { \lambda ^ { 2 } x _ { 0 } ^ { + } } e ^ { \lambda \tilde { w } ^ { - } } \right) ^ { 2 } \right]
\begin{array} { r l } { V } & { \geq \operatorname* { s u p } _ { { \mathbb P } \in { \mathcal P } _ { \varepsilon } \left( { \Xi } ^ { \mathrm { u } } \right) } { \mathbb P } \left[ { \xi } \notin \Xi ^ { \mathrm { a } } \right] } \\ & { \geq \operatorname* { s u p } _ { { \mathbb P } \in { \mathcal P } _ { \varepsilon } \left( { \Xi } ^ { \mathrm { u } } \right) \cap \left\{ { \mathbb P } ^ { \prime } \in { \mathcal P } \left( { \Xi } ^ { \mathrm { u } } \right) : { \mathbb P } ^ { \prime } \left( { \xi } \in { \Xi } \right) = 1 \right\} } { \mathbb P } \left[ { \xi } \notin \Xi ^ { \mathrm { a } } \right] } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { { \mathbb P } \in { \mathcal P } _ { \varepsilon } \left( { \Xi } ^ { \mathrm { u } } \right) \cap \left\{ { \mathbb P } ^ { \prime } \in { \mathcal P } \left( { \Xi } ^ { \mathrm { u } } \right) : { \mathbb P } ^ { \prime } \left( { \xi } \in { \Xi } \right) = 1 \right\} } { \mathbb P } \left[ { \xi } \notin { \Omega } \right] } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { { \mathbb P } \in { \mathcal P } _ { \varepsilon } \left( \Xi \right) } { \mathbb P } \left[ { \xi } \notin { \Omega } \right] . } \end{array}
f _ { 0 } ( T ) = \frac { c _ { 1 } } { 2 \pi R } \sqrt { \frac { E } { \rho ( 1 - \nu ^ { 2 } ) } ( \epsilon _ { 0 } + \Delta \epsilon ( T ) + \frac { c _ { 2 } z ( T ) ^ { 2 } } { R ^ { 2 } } + \frac { c _ { 3 } t ^ { 2 } } { R ^ { 2 } } ) } ,
S _ { \mathrm { D Q } } ( \omega _ { 2 } , \omega _ { 3 } ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \! \! \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \! \! \ensuremath { \mathrm { d } } t _ { 2 } \ensuremath { \mathrm { d } } t _ { 3 } \ e ^ { \ensuremath { \mathrm { i } } \omega _ { 2 } t _ { 2 } + \ensuremath { \mathrm { i } } \omega _ { 3 } t _ { 3 } } S _ { \mathrm { D Q } } ( t _ { 2 } , t _ { 3 } ) .
\widetilde { \Xi } _ { 2 } ^ { \mathrm { i s o } } \prec \frac { 1 } { N \eta ^ { 3 } } \left[ \left( 1 + \frac { \psi _ { 3 } ^ { \mathrm { i s o } } } { \sqrt { N \eta } } \right) \left( 1 + \frac { \psi _ { 1 } ^ { \mathrm { i s o } } } { \sqrt { N \eta } } \right) + \left( 1 + \frac { \psi _ { 1 } ^ { \mathrm { i s o } } + \psi _ { 2 } ^ { \mathrm { i s o } } } { \sqrt { N \eta } } \right) ^ { 2 } \right] \, .
\begin{array} { r } { \big ( R ( f ) - R ^ { * } \big ) \frac { \exp ( ( | \Omega | - 1 ) ^ { - 1 } \epsilon ) - 1 } { \exp ( ( | \Omega | - 1 ) ^ { - 1 } \epsilon ) + 1 } \leq \widetilde { R } ( f ) - \widetilde { R } ^ { * } \leq \big ( R ( f ) - R ^ { * } \big ) \frac { \exp \big ( \frac { 2 | \Omega | - 3 } { | \Omega | - 1 } \epsilon \big ) - 1 } { \exp \big ( \frac { 2 | \Omega | - 3 } { | \Omega | - 1 } \epsilon \big ) + 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \langle v \otimes u | A ( x , y ; a , b ) = \langle v | A ( x , y ; a , b ) | \otimes \langle u | A ( x , y ; a , b ) | + \langle v | B ( x , y ; a , b ) | \otimes \langle u | C ( x , y ; a , b ) | , } \\ { \langle v \otimes u | B ( x , y ; a , b ) = \langle v | A ( x , y ; a , b ) | \otimes \langle u | B ( x , y ; a , b ) | + \langle v | B ( x , y ; a , b ) | \otimes \langle u | D ( x , y ; a , b ) | , } \\ { \langle v \otimes u | C ( x , y ; a , b ) = \langle v | C ( x , y ; a , b ) | \otimes \langle u | A ( x , y ; a , b ) | + \langle v | D ( x , y ; a , b ) | \otimes \langle u | C ( x , y ; a , b ) | , } \\ { \langle v \otimes u | D ( x , y ; a , b ) = \langle v | C ( x , y ; a , b ) | \otimes \langle u | B ( x , y ; a , b ) | + \langle v | D ( x , y ; a , b ) | \otimes \langle u | D ( x , y ; a , b ) | , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { l i m s u p } _ { N \to + \infty } \left\{ N ^ { \vartheta } \operatorname* { s u p } _ { x \in \mathbb { T } ^ { d } } \left\{ \left| \mathcal D _ { N } ^ { \Phi , \alpha } f ( x ) \right| \right\} \right\} \geq H \operatorname* { l i m s u p } _ { N \to + \infty } \left\{ \sum _ { \| m \cdot \alpha \| > \frac { 1 } { N } } | m | ^ { - d \vartheta } \| m \cdot \alpha \| ^ { - \vartheta } \right\} = + \infty . } \end{array}
p ( x _ { k - 1 } | x _ { k } , ( y _ { 0 } , \cdots , y _ { k - 1 } ) ) = { \frac { p ( y _ { k - 1 } | x _ { k - 1 } ) p ( x _ { k } | x _ { k - 1 } ) p ( x _ { k - 1 } | y _ { 0 } , \cdots , y _ { k - 2 } ) } { \int p ( y _ { k - 1 } | x _ { k - 1 } ^ { \prime } ) p ( x _ { k } | x _ { k - 1 } ^ { \prime } ) p ( x _ { k - 1 } ^ { \prime } | y _ { 0 } , \cdots , y _ { k - 2 } ) d x _ { k - 1 } ^ { \prime } } }
\begin{array} { r l r } { \iota _ { 5 ; 3 , 2 } } & { = } & { \Phi ( \iota _ { 4 ; 2 , 1 } ) = \Phi ( \Delta ( l _ { 1 } ^ { 2 } l _ { 2 } ) \Delta ( l _ { 1 } ^ { 2 } l _ { 2 } ^ { 2 } l _ { 3 } ) Y _ { \mu _ { 1 } , \alpha } Y _ { 2 , 3 } ) } \\ & { = } & { \bar { 1 } \bar { 4 } \bar { 3 } \bar { 2 } \bar { 1 } \bar { y } 1 2 3 4 1 \cdot \bar { 2 } \bar { 1 } \bar { 4 } \bar { 3 } \bar { 2 } \bar { 1 } \bar { y } 1 2 3 4 \underline { { 1 2 \cdot \bar { 2 } \bar { 1 } } } y 2 1 \bar { y } \bar { 2 } \bar { 1 } } \\ & { = } & { \bar { 1 } \bar { 4 } \bar { 3 } \bar { 2 } \bar { 1 } \bar { y } 1 2 3 4 \underline { { 1 \bar { 2 } \bar { 1 } } } \bar { 4 } \bar { 3 } \bar { 2 } \bar { 1 } \bar { y } 1 2 3 4 y 2 1 \bar { y } \bar { 2 } \bar { 1 } } \\ & { \stackrel { \mathrm { B R } } { = } } & { \underline { { \bar { 1 } \bar { 4 } } } \bar { 3 } \bar { 2 } \bar { 1 } \bar { y } 1 2 3 \underline { { 4 \bar { 2 } } } \bar { 1 } \underline { { 2 \bar { 4 } } } \bar { 3 } \bar { 2 } \bar { 1 } \bar { y } 1 2 3 \underline { { 4 y 2 1 \bar { y } \bar { 2 } \bar { 1 } } } } \\ & { \stackrel { \mathrm { D I S } } { = } } & { \bar { 4 } \bar { 1 } \bar { 3 } \bar { 2 } \bar { 1 } \bar { y } 1 \underline { { 2 3 \bar { 2 } } } 4 \bar { 1 } \bar { 4 } \underline { { 2 \bar { 3 } \bar { 2 } } } \bar { 1 } \bar { y } 1 2 3 y 2 1 \bar { y } \bar { 2 } \bar { 1 } 4 } \\ & { \stackrel { \mathrm { B R } } { = } } & { \bar { 4 } \bar { 1 } \bar { 3 } \bar { 2 } \bar { 1 } \bar { y } 1 \bar { 3 } 2 3 4 \underline { { \bar { 1 } \bar { 4 } \bar { 3 } } } \bar { 2 } 3 \bar { 1 } \bar { y } 1 2 3 y 2 1 \bar { y } \bar { 2 } \bar { 1 } 4 } \\ & { \stackrel { \mathrm { D I S } } { = } } & { \bar { 4 } \bar { 1 } \bar { 3 } \bar { 2 } \bar { 1 } \bar { y } 1 \bar { 3 } \underline { { 2 \bar { 1 } \bar { 2 } } } 3 \bar { 1 } \bar { y } 1 2 3 y 2 1 \bar { y } \bar { 2 } \bar { 1 } 4 } \\ & { \stackrel { \mathrm { B R } } { = } } & { \bar { 4 } \bar { 1 } \bar { 3 } \bar { 2 } \bar { 1 } \bar { y } 1 \underline { { \bar { 3 } \bar { 1 } } } \bar { 2 } \underline { { 1 3 } } \bar { 1 } \bar { y } 1 2 3 y 2 1 \bar { y } \bar { 2 } \bar { 1 } 4 } \\ & { \stackrel { \mathrm { D I S } } { = } } & { \bar { 4 } \bar { 1 } \bar { 3 } \bar { 2 } \bar { 1 } \bar { y } \bar { 3 } \bar { 2 } \underline { { 3 \bar { y } 1 } } 2 \underline { { 3 y } } 2 1 \bar { y } \bar { 2 } \bar { 1 } 4 } \\ & { \overset { \mathrm { D I S } } { \underset { \mathrm { ( 0 ) } } { = } } } & { \underline { { \bar { 4 } \bar { 1 } } } \bar { 3 } \bar { 2 } \bar { 1 } \bar { y } \bar { 3 } \bar { 2 } \bar { 1 } \bar { y } 3 2 y 3 2 1 \bar { y } \bar { 2 } \bar { 1 } 4 } \\ & { \stackrel { \mathrm { C O N J } } { \to } } & { \bar { 3 } \bar { 2 } \bar { 1 } \bar { y } \bar { 3 } \bar { 2 } \bar { 1 } \bar { y } 3 2 y 3 2 1 \bar { y } \bar { 2 } \bar { 1 } \bar { 1 } } \\ & { \stackrel { \mathrm { i n v e r s e } } { = } } & { 1 \underline { { 1 2 y \bar { 1 } \bar { 2 } \bar { 3 } \bar { y } \bar { 2 } } } \bar { 3 } y 1 2 3 y 1 2 3 } \\ & { = } & { 1 2 y \bar { 1 } \bar { 2 } \bar { 3 } \bar { y } \bar { 2 } y 1 2 3 y 1 2 3 , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } { v _ { R } ( x ; \rho , \beta ) } & { = - \rho _ { R } \, x _ { R } - \beta _ { R } \, x _ { R } ^ { 2 } } \\ { v _ { C } ( x ; \rho , \beta ) } & { = - \rho _ { C } \, x _ { C } - \beta _ { C } \, x _ { R } \, x _ { C } } \\ { v _ { D } ( x ; \rho , \beta ) } & { = - \rho _ { D } \, x _ { D } - \beta _ { D } \, x _ { R } \, x _ { D } } \end{array} \qquad \qquad \begin{array} { r l } { v _ { E } ( x ; \rho , \beta ) } & { = - \rho _ { E } \, x _ { E } - \beta _ { E } \, x _ { R } \, x _ { E } } \\ { v _ { F } ( x ; \rho , \beta ) } & { = - \rho _ { F } \, x _ { F } - \beta _ { F } \, x _ { R } \, x _ { F } } \\ { v _ { I } ( x ; \rho , \beta ) } & { = - \rho _ { I } \, x _ { I } - \beta _ { I } \, x _ { R } \, x _ { I } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { A _ { 3 } } & { = \sum _ { m - n < u \leq m } ( \psi _ { \hat { u } , j } [ - 1 ] - 0 ) e _ { \hat { i } , \hat { u } } [ - 1 ] } \\ & { = \sum _ { m - n < u \leq m } \psi _ { \hat { u } , j } [ - 1 ] e _ { \hat { i } , \hat { u } } [ - 1 ] , } \\ { A _ { 4 } } & { = \sum _ { m - n < u \leq m } e _ { u , j } [ - 1 ] ( 0 - \psi _ { \hat { i } , u } [ - 1 ] ) } \\ & { = - \sum _ { m - n < u \leq m } e _ { u , j } [ - 1 ] \psi _ { \hat { i } , u } [ - 1 ] , } \\ { A _ { 5 } } & { = - \sum _ { 1 \leq u \leq m - n } ( 0 - 0 ) e _ { i , u } [ - 1 ] } \\ & { = 0 , } \\ { A _ { 6 } } & { = - \sum _ { 1 \leq u \leq m - n } e _ { u , j } [ - 1 ] ( \psi _ { \hat { i } , u } [ - 1 ] - 0 ) } \\ & { = - \sum _ { 1 \leq u \leq m - n } e _ { u , j } [ - 1 ] \psi _ { \hat { i } , u } [ - 1 ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \cal { E } } { \partial t } } & { = \frac { \varepsilon _ { 0 } } { 2 } \frac { \partial ( E \cdot E ) } { \partial t } + \frac { 1 } { 2 \mu _ { 0 } } \frac { \partial ( B \cdot B ) } { \partial t } } \\ & { = \varepsilon _ { 0 } \Big ( \frac { \partial E } { \partial t } \Big ) \cdot E + \frac { 1 } { \mu _ { 0 } } \Big ( \frac { \partial B } { \partial t } \Big ) \cdot B } \\ & { = \Big ( \frac { \nabla \times B } { \mu _ { 0 } } - J \Big ) \cdot E - \frac { 1 } { \mu _ { 0 } } \Big ( \nabla \times E \Big ) \cdot B } \\ & { = - \mathsf { d i v } \Big ( \frac { 1 } { \mu _ { 0 } } E \times B \Big ) - J \cdot E . } \end{array}
\Hat F _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j } \approx \frac { 1 } { \Delta t } \int _ { t _ { n } } ^ { t _ { n + 1 } } \int _ { y _ { j - \frac { 1 } { 2 } } } ^ { y _ { j + \frac { 1 } { 2 } } } F ( W ( x _ { i + \frac { 1 } { 2 } } , y , t ) ) d y d t , \Hat G _ { i , j + \frac { 1 } { 2 } } \approx \frac { 1 } { \Delta t } \int _ { t _ { n } } ^ { t _ { n + 1 } } \int _ { x _ { i - \frac { 1 } { 2 } } } ^ { x _ { i + \frac { 1 } { 2 } } } G ( W ( x , y _ { j + \frac { 1 } { 2 } } , t ) ) d x d t
\left\{ \begin{array} { l l l } { \left( \rho _ { L } , u _ { L } , p _ { L } \right) = ( 3 . 8 5 7 1 4 3 \mathrm { ~ k g } / \mathrm { m } ^ { 3 } , 2 . 6 2 9 3 6 9 \mathrm { ~ m } / \mathrm { s } , 1 0 . 3 3 3 3 \mathrm { ~ P a } ) } & { \mathrm { ~ i f ~ } } & { x < 1 \mathrm { ~ m } , } \\ { \left( \rho _ { R } , u _ { R } , p _ { R } \right) = ( 1 + 0 . 2 \sin ( 5 x ) \mathrm { ~ k g } / \mathrm { m } ^ { 3 } , 0 . 0 \mathrm { ~ m } / \mathrm { s } , 1 . 0 \mathrm { ~ P a } ) } & { \mathrm { ~ i f ~ } } & { x \geq 1 \mathrm { ~ m } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { p _ { 1 , 1 } ( x , y , t ) = A ( t ) A ^ { \prime } ( t ) p _ { 1 , 1 } ^ { \mathrm { ~ ( ~ S ~ ) ~ } } ( x - t , y ) + A ( t ) ^ { 2 } p _ { 1 , 1 } ^ { \mathrm { ~ ( ~ T ~ ) ~ } } ( x - t , y ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { d e t } \left[ \kappa _ { N } \left( p _ { i } , p _ { j } \right) \right] _ { i , j = 1 , \dots , m } } & { = \varepsilon _ { s _ { 1 } , \dots , s _ { m } } \kappa _ { N } \left( p _ { 1 } , p _ { s _ { 1 } } \right) \dots \kappa _ { N } \left( p _ { m } , p _ { s _ { m } } \right) } \\ & { = \varepsilon _ { s _ { 1 } , \dots , s _ { m } } \Big ( [ 1 ] F \left( u _ { 1 } , v _ { s _ { 1 } } \right) \Big ) \dots \Big ( [ 1 ] F \left( u _ { m } , v _ { s _ { m } } \right) \Big ) . } \end{array}
S _ { 3 } = - \frac { m ^ { 2 } } { 2 } \int d ^ { 4 } \theta d ^ { d } x e ^ { \sigma + \bar { \sigma } } \int \frac { d ^ { d } k } { { ( 2 \pi ) } ^ { d } } \frac { - A ^ { 2 } k ^ { 2 } + m ^ { 2 } } { k ^ { 2 } { ( - A ^ { 2 } k ^ { 2 } + m ^ { 2 } ) } ^ { 2 } - 8 1 \Lambda \bar { \Lambda } } \frac { \bar { D } _ { 1 } ^ { 2 } D _ { 1 } ^ { 2 } } { 1 6 } \delta _ { 1 1 }
( W ^ { - } - R W ^ { + } - S ^ { - 1 } G ) ^ { T } | \Lambda ^ { - } | ( W ^ { - } - R W ^ { + } - S ^ { - 1 } G ) + \left[ \begin{array} { l } { W ^ { + } } \\ { G } \end{array} \right] ^ { T } \left[ \begin{array} { l l } { \Lambda ^ { + } - R ^ { T } | \Lambda ^ { - } | R } & { - R ^ { T } | \Lambda ^ { - } | S ^ { - 1 } } \\ { - ( S ^ { - 1 } ) ^ { T } | \Lambda ^ { - } | R } & { - ( S ^ { - 1 } ) ^ { T } | \Lambda ^ { - } | S ^ { - 1 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { W ^ { + } } \\ { G } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l r } { \delta V _ { L o c a l + N L } ( \pmb { r } ) } & { { } = } & { - \frac { e ^ { 2 } } { M _ { \gamma } ^ { 2 } } \delta ^ { 3 } ( r ) - \frac { 1 1 e ^ { 4 } } { 4 8 \pi ^ { 2 } M _ { f } ^ { 2 } } \delta ^ { 3 } ( r ) } \end{array}
\rho _ { i } ^ { \mathrm { ~ s ~ t ~ } } = \lambda _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } \sum _ { j = 1 } ^ { N } a _ { i j } [ 1 - \rho _ { i } ^ { \mathrm { ~ s ~ t ~ } } ] \rho _ { j } ^ { \mathrm { ~ s ~ t ~ } } .
\Delta ^ { \mu \nu } = \frac { { \cal P } _ { T } ^ { \mu \nu } } { - Q ^ { 2 } + \Pi _ { T } } + \frac { { \cal P } _ { L } ^ { \mu \nu } } { - Q ^ { 2 } + \Pi _ { L } } + ( \alpha - 1 ) \frac { Q ^ { \mu } Q ^ { \nu } } { Q ^ { 4 } } ,
E _ { i j } \equiv \left( \frac { 1 } { N _ { \mathrm { O D } } ^ { \prime } } \sum _ { \mathrm { O , D } } ^ { \prime } D _ { \mathrm { O D } } \right) ^ { - 1 } = \left( \frac { 1 } { N _ { \mathrm { O D } } ^ { \prime } } \sum _ { \mathrm { O , D } } ^ { \prime } \frac { d _ { \mathrm { O D } } } { s _ { \mathrm { O D } } } \right) ^ { - 1 } ,
\psi ^ { ( + ) } \stackrel { r \sim \infty } { \rightarrow } { \frac { \Gamma ( c ) \Gamma ( b - a ) } { \Gamma ( b ) \Gamma ( c - a ) } } e ^ { ( - Q r ) } + { \frac { \Gamma ( c ) \Gamma ( a - b ) } { \Gamma ( a ) \Gamma ( c - b ) } } e ^ { ( + Q r ) }
\mathrm { ~ a ~ t ~ } \varphi = \frac { \pi } { 3 } : \left\{ \begin{array} { l l } { \phi _ { o } ^ { \prime } ( \frac { \pi } { 3 } ) = 0 } \\ { \phi _ { 3 1 } ^ { \prime } ( \frac { \pi } { 3 } ) = 0 } \\ { \phi _ { 2 3 } ( \frac { \pi } { 3 } ) = \phi _ { 1 2 } ( \frac { \pi } { 3 } ) , } \\ { \phi _ { 2 3 } ^ { \prime } ( \frac { \pi } { 3 } ) = \phi _ { 1 2 } ^ { \prime } ( \frac { \pi } { 3 } ) . } \end{array} \right.
\begin{array} { l } { \displaystyle { \overline { { F } } = n A \! \int \! d x \left[ \frac { K } { 2 } \left( \frac { d \, \delta c } { d x } \right) ^ { 2 } + a _ { 2 } \frac { ( \delta c ) ^ { 2 } } { 2 } + a _ { 3 } \frac { ( \delta c ) ^ { 3 } } { 3 } + a _ { 4 } \frac { ( \delta c ) ^ { 4 } } { 4 } \right] , } } \end{array}
\left\langle { \mathcal { H } } _ { \mathrm { S O } } \right\rangle = { \frac { E _ { n } { } ^ { 2 } } { m _ { e } c ^ { 2 } } } ~ n ~ { \frac { j ( j + 1 ) - l ( l + 1 ) - { \frac { 3 } { 4 } } } { l \left( l + { \frac { 1 } { 2 } } \right) ( l + 1 ) } }
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial } { \partial t } \langle { \rho } \rangle E + { \boldsymbol { \nabla } } { \boldsymbol { \cdot } } \left( { \langle { \rho } \rangle { \bf { U } } E } \right) } & { { } = } & { { \boldsymbol { \nabla } } { \boldsymbol { \cdot } } \left( { \frac { \kappa } { C _ { V } } { \boldsymbol { \nabla } } E } \right) - { \boldsymbol { \nabla } } { \boldsymbol { \cdot } } \left( { \langle { \rho } \rangle \left\langle { e ^ { \prime } { \bf { u } } ^ { \prime } } \right\rangle + E \left\langle { \rho ^ { \prime } { \bf { u } } ^ { \prime } } \right\rangle + { \bf { U } } \left\langle { \rho ^ { \prime } e ^ { \prime } } \right\rangle } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { W ^ { 2 , p } ( \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } , m ) } & { = \left\{ u \in W _ { l o c } ^ { 2 , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { N + 1 } ) : \ u , \ y ^ { \alpha _ { 1 } } D _ { x _ { i } x _ { j } } u , \ y ^ { \frac { \alpha _ { 1 } } { 2 } } D _ { x _ { i } } u , y ^ { \alpha _ { 2 } } D _ { y y } u , \ y ^ { \frac { \alpha _ { 2 } } { 2 } } D _ { y } u \in L _ { m } ^ { p } \right\} } \end{array}