harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \frac { f ^ { \prime } ( z ) } { g ( z ) } } & { = - \frac { 1 } { ( z _ { 1 } + z ) ( z _ { 2 } + z ) } \left( \frac { 1 } { z _ { 1 } - z } + \frac { 1 } { z _ { 2 } - z } + \frac { 1 } { z _ { 1 } + z } + \frac { 1 } { z _ { 2 } + z } \right) } \\ & { = - \frac { 2 ( z _ { 1 } + z _ { 2 } ) } { ( z _ { 1 } + z ) ^ { 2 } ( z _ { 2 } + z ) ^ { 2 } ( z _ { 1 } - z ) ( z _ { 2 } - z ) } ( z _ { 1 } z _ { 2 } - z ^ { 2 } ) . } \end{array}
H ( \vec { q } , \vec { p } ) = { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { k } \left( p _ { k } ^ { 2 } + ( c / ( 2 \Delta x ) ) ^ { 2 } ( q _ { k + 1 } - q _ { k - 1 } ) ^ { 2 } + ( m c ^ { 2 } / \hbar ) ^ { 2 } q _ { k } ^ { 2 } \right) .
\gamma _ { N } ( \psi ) : = \left( \frac { 1 } { N T } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left( \int _ { 0 } ^ { T } \varphi _ { j } ( X _ { s } ^ { i } ) d X _ { s } ^ { i } - \alpha _ { H } \sigma ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { 0 } ^ { t } \varphi _ { j } ^ { \prime } ( X _ { t } ^ { i } ) \exp \left[ \int _ { s } ^ { t } \psi ^ { \prime } ( X _ { u } ^ { i } ) d u \right] | t - s | ^ { 2 H - 2 } d s d t \right) \right) _ { j } .
\lambda = 1 - \frac { \langle \delta v ( 0 ) \delta v ( \tau ) \rangle ^ { 2 } } { \sigma _ { v } ^ { 4 } } - \frac { \langle \delta \ell ( 0 ) \delta v ( \tau ) \rangle ^ { 2 } } { \sigma _ { \ell } ^ { 2 } \sigma _ { v } ^ { 2 } }
\langle { 0 } { \mid } \bar { q } { \sigma } ^ { \mu \nu } q { \mid } 0 \rangle _ { Z } = g _ { q } Z _ { \mu \nu } \operatorname * { l i m } _ { p _ { \lambda } \to 0 } { \frac { i } { 6 } } { \int } d ^ { 4 } x e ^ { i p x } \langle 0 { \mid } T ( \bar { q } { \sigma } _ { \alpha \beta } q ( x ) , \bar { q } \sigma ^ { \alpha \beta } q ) { \mid } 0 \rangle \ \ .
H [ v , \mathbf { A } ] = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k } ( - \mathrm { i } \nabla _ { k } + \mathbf { A } ( \mathbf { r } _ { k } ) ) ^ { 2 } + \lambda \sum _ { k < l } \frac { 1 } { r _ { k l } } + \sum _ { k } v ( \mathbf { r } _ { k } ) ,
\left[ \begin{array} { l } { \mathbf { g } _ { i } } \\ { \mathbf { g } _ { i } ^ { * } } \end{array} \right] \sim \mathcal { N } \left( 0 , \left[ \begin{array} { l l } { K _ { i } ( S , S ) } & { K _ { i } ( S , S ^ { * } ) } \\ { K _ { i } ( S ^ { * } , S ) } & { K _ { i } ( S ^ { * } , S ^ { * } ) } \end{array} \right] \right)
D _ { \lambda \lambda } ( p ) = D _ { \lambda A _ { \mu } } ( p ) \Pi _ { \mu \nu } ( p ) D _ { A _ { \nu } \lambda } ( p ) \Pi ( p ) D _ { \lambda A _ { \rho } } ( p ) \Pi _ { \rho \sigma } ( p ) D _ { A _ { \sigma } \lambda } ( p )
\begin{array} { r l } { \sigma _ { \alpha \beta } [ f _ { n r } ] } & { = \sigma _ { \alpha \beta } [ f ^ { ( 0 ) } ] + \epsilon \sigma _ { \alpha \beta } [ f ^ { ( 1 ) } ] + O ( \epsilon ^ { 2 } ) , } \\ { q _ { \beta } [ f _ { n r } ] } & { = q _ { \beta } [ f ^ { ( 0 ) } ] + \epsilon q _ { \beta } [ f ^ { ( 1 ) } ] + O ( \epsilon ^ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \textbf { g } _ { i } = \textbf { M } ^ { \boldsymbol { \tau } } \textbf { H } ^ { \textbf { u } } \textbf { s } _ { i } \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \textbf { s } _ { i } = ( \textbf { M } _ { i } ^ { \boldsymbol { \tau } } ) ^ { \intercal } \textbf { x } , } \end{array}
\Gamma [ \Phi ^ { A } ; \Phi _ { A } ^ { * } ] = S _ { \mathrm { i n v } } [ A , B , . . ] + \sum _ { q = 1 } ^ { n } \Phi _ { A _ { 1 } } ^ { * } \cdots \Phi _ { A _ { q } } ^ { * } \Delta _ { q } [ \Phi ^ { A } ] \, ,
\begin{array} { r } { \mathcal { L } _ { \boldsymbol { \theta } } ( \boldsymbol { z } ; \boldsymbol { y } ) = \sum _ { j } \left\lVert \boldsymbol { z } _ { t _ { j } } - \boldsymbol { \mathcal { Z } } _ { \boldsymbol { \theta } } ( \boldsymbol { y } _ { t _ { j } } ) \right\rVert ^ { 2 } , } \end{array}
\varphi _ { z } \left( \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { M _ { x } ^ { 2 } } { t ^ { 2 } } + \frac { M _ { y } ^ { 2 } } { t ^ { 2 } } \right) + 1 \right) \geqslant \frac { 1 } { 4 } \sqrt { 1 6 - 9 \sqrt { 2 } } .
\begin{array} { r l } { P _ { s c } } & { = \frac { \eta ^ { 2 } k ^ { 2 } \rho } { 1 6 } \frac { 2 } { \pi k \rho } | e ^ { - j k \rho - j \frac { \pi } { 4 } } | ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \varphi ( \left| I _ { 1 } \right| ^ { 2 } + \left| I _ { 2 } \right| ^ { 2 } ) + 2 \Re \left\{ | I 1 | \cdot | I _ { 2 } | e ^ { - j k d \cos ( \varphi ) - \angle ( I _ { 1 } , I _ { 2 } ) } \right\} } \\ & { = \frac { \eta ^ { 2 } k } { 4 } \left( \left[ | I _ { 1 } | ^ { 2 } + | I _ { 2 } | ^ { 2 } \right] + 2 J _ { 0 } ( k d ) \Re \left\{ I _ { 1 } \cdot I _ { 2 } ^ { * } \right\} \right) } \end{array}
{ \frac { d } { d t } } P _ { 2 } ( \vec { r } ( t ) , \theta ( t ) , \vec { z } ( t ) , \beta ( t ) , t ) = \bigg [ \partial _ { t } + \dot { \vec { r } } \cdot \partial _ { \vec { r } } + \dot { \theta } \, \partial _ { \theta } + \dot { \vec { z } } \cdot \partial _ { \vec { z } } + \dot { \beta } \, \partial _ { \beta } \bigg ] \, P _ { 2 }
\begin{array} { r l } { H = } & { { } \frac { w _ { q } } { N _ { S } } \mathrm { ~ S ~ W ~ M ~ S ~ E ~ } ( \boldsymbol { X } , \boldsymbol { t } | \boldsymbol { \theta } _ { B } , \boldsymbol { \theta } _ { X } ) } \\ { = } & { { } \frac { w _ { q } } { N _ { S } } \left( ( \sum _ { s _ { i } } \theta _ { X , s _ { i } , 0 } t _ { s _ { i } } ^ { 2 } ) ( \sum _ { s _ { i } } \theta _ { X , s _ { i } , 0 } ) - ( \sum _ { s _ { i } } \theta _ { X , s _ { i } , 0 } t _ { s _ { i } } ) ^ { 2 } \right. } \end{array}
{ \left[ \begin{array} { l } { c t ^ { \prime } } \\ { x ^ { \prime } } \\ { y ^ { \prime } } \\ { z ^ { \prime } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l l l } { \cosh \phi } & { 0 } & { 0 } & { - \sinh \phi } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { - \sinh \phi } & { 0 } & { 0 } & { \cosh \phi } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { c \, t } \\ { x } \\ { y } \\ { z } \end{array} \right] } \, .
\begin{array} { r } { E ^ { * } \left( \prod _ { j _ { 1 } = i _ { 1 } } ^ { I + n - 1 } \widehat f _ { j _ { 1 } , n } ^ { * } - \prod _ { j _ { 1 } = i _ { 1 } } ^ { K } \widehat f _ { j _ { 1 } , n } ^ { * } \right) = \prod _ { j _ { 1 } = i _ { 1 } } ^ { I + n - 1 } \widehat f _ { j _ { 1 } } - \prod _ { j _ { 1 } = i _ { 1 } } ^ { K } \widehat f _ { j _ { 1 } } } \end{array}
+ i { \frac { ( x y ^ { \prime } - x ^ { \prime } y ) ( x ^ { \prime } y ^ { \prime } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + x ^ { 2 } y ^ { 2 } } } + x y { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + x ^ { 2 } y ^ { 2 } } } ) } { 2 { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + x ^ { 2 } y ^ { 2 } } } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + x ^ { 2 } y ^ { 2 } } } } } ,
\begin{array} { r } { \langle \pi _ { t } , f \rangle = \langle \pi _ { 0 } , f \rangle + \int _ { 0 } ^ { t } \sum _ { i \in \mathcal A _ { s - } , y \in V } \big ( f ( y ) - f ( X _ { s - } ^ { i } ) \big ) \, \mathcal N _ { i } ^ { X _ { s - } ^ { i } , y } ( \mathrm { d } s ) + \int _ { 0 } ^ { t } \sum _ { i \in \mathcal A _ { s - } } f ( X _ { s - } ^ { i } ) \, \mathcal N _ { i } ^ { b } ( \mathrm { d } s ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \| \nabla E \| ^ { 2 } = \left| \frac { \partial E } { \partial w _ { 1 } } \right| ^ { 2 } + \left| \frac { \partial E } { \partial w _ { 2 } } \right| ^ { 2 } = \left( \frac { 1 } { ( 1 + e ^ { - w _ { 2 } x } ) ^ { 2 } } + \frac { w _ { 1 } ^ { 2 } x ^ { 2 } e ^ { - 2 w _ { 2 } x } } { ( 1 + e ^ { - w _ { 2 } x } ) ^ { 4 } } \right) \left( y - \frac { w _ { 1 } } { 1 + e ^ { - w _ { 2 } x } } \right) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha _ { 1 } : \mathcal { R } _ { 1 } } & { \to \mathbb { N } } \\ { \{ 1 \} } & { \mapsto 2 } \\ { \{ 2 , 3 \} } & { \mapsto 1 } \\ { \{ 2 , 4 \} } & { \mapsto 0 } \\ { \{ 3 , 4 \} } & { \mapsto 1 } \end{array} \qquad \qquad \qquad \begin{array} { r l } { \alpha _ { 2 } : \mathcal { R } _ { 2 } } & { \to \mathbb { N } } \\ { \{ 2 \} } & { \mapsto 1 } \\ { \{ 1 , 3 \} } & { \mapsto 0 } \\ { \{ 1 , 4 \} } & { \mapsto 1 } \\ { \{ 3 , 4 \} } & { \mapsto 0 } \end{array}
\begin{array} { r } { \bar { \bf P } _ { \mathrm { F i e l d } } = \frac { \bar { U } _ { \mathrm { F i e l d } } } { v _ { 0 } } \left( \frac { r } { R } \cos \phi - \frac { m } { k r } \sin \phi , \frac { r } { R } \sin \phi + \frac { m } { k r } \cos \phi , 1 \right) , } \end{array}
\delta T \propto \int d ^ { 3 } k e ^ { \frac { i ( R _ { s } ^ { 2 } + R _ { p } ^ { 2 } ) \omega } { 2 D } } \mathrm { E r f c } ( \sqrt { - \frac { i ( R _ { s } ^ { 2 } + R _ { p } ^ { 2 } ) \omega } { 2 D } } )
\begin{array} { r l } { \check { \rho } _ { 0 } \check { v } _ { 0 } } & { { } = 1 , } \\ { 0 } & { { } = - \frac { 1 } { \gamma } \frac { d \check { p } _ { 0 } } { d \xi } + \frac { 4 } { 3 } P r \frac { d ^ { 2 } \check { v } _ { 0 } } { d \xi ^ { 2 } } , } \\ { 0 } & { { } = \frac { d ^ { 2 } \check { \theta } _ { 0 } } { d \xi ^ { 2 } } , } \\ { \check { p } _ { 0 } } & { { } = \check { \rho } _ { 0 } \check { \theta } _ { 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { { S _ { 2 3 } ^ { \sigma \sigma _ { , } ^ { \prime } s h } = \frac { - 2 e ^ { 2 } } { h } \int d E \sum _ { \gamma , \delta } \sum _ { \rho , \rho ^ { \prime } = \uparrow , \downarrow } ( f _ { \gamma } - f _ { 0 } ) ( f _ { \delta } - f _ { 0 } ) } } \\ { { \times T r ( s _ { 2 \gamma } ^ { \sigma \rho \dagger } s _ { 2 \delta } ^ { \sigma \rho ^ { \prime } } s _ { 3 \delta } ^ { \sigma ^ { \prime } \rho ^ { \prime } \dagger } s _ { 3 \gamma } ^ { \sigma ^ { \prime } \rho } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { d } \bar { X } _ { t } } & { = A \bar { m } _ { t } \mathrm { d } t + \bar { \sf K } _ { t } ( \mathrm { d } Z _ { t } - H \bar { m } _ { t } \mathrm { d } t ) } \\ & { + G _ { t } ( \bar { X } _ { t } - \bar { m } _ { t } ) \mathrm { d } t + \sigma _ { t } \mathrm { d } \bar { B } _ { t } + \sigma _ { t } ^ { \prime } \mathrm { d } \bar { W } _ { t } , \; \bar { X } _ { 0 } \sim N ( m _ { 0 } , \Sigma _ { 0 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { X } _ { j } ^ { l } ( { \mathbf { r } _ { 1 } } ) } & { { } = \int \mathrm { ~ d ~ } { \mathbf { r } _ { 2 } } \, \phi _ { j } ( { \mathbf { r } _ { 2 } } ) \, \chi _ { l } ( { \mathbf { r } _ { 2 } } ) \, \nabla _ { 1 } \, \mathcal { U } ( { \mathbf { r } _ { 1 } } , { \mathbf { r } _ { 2 } } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \widetilde { \psi } _ { 2 } ( k , t ) = - i \gamma \int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime } e ^ { - \frac { 1 } { 2 } i | k | ^ { \mu } ( t - t ^ { \prime } ) } e ^ { - i \omega t ^ { \prime } } \widetilde { \psi } _ { 1 } ( k , t ^ { \prime } ) \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { \mathrm { F e } ^ { 2 + } } } & { { } = - k _ { \mathrm { f e } } C _ { \mathrm { F e } ^ { 2 + } } + k _ { \mathrm { f e } } ^ { \prime } C _ { \mathrm { H } ^ { + } } C _ { \mathrm { F e O H } ^ { + } } } \\ { R _ { \mathrm { F e O H } ^ { + } } } & { { } = R _ { \mathrm { H } ^ { + } 2 } = k _ { \mathrm { f e } } C _ { \mathrm { F e } ^ { 2 + } } - k _ { \mathrm { f e } } ^ { \prime } C _ { \mathrm { H } ^ { + } } C _ { \mathrm { F e O H } ^ { + } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q _ { 1 } ^ { T } = } & { { } \exp \left( - \frac { \Omega ^ { 2 } } { \Gamma } \tau _ { 2 } \right) \left( 1 - \exp \left( - \left( \frac { \Omega ^ { 2 } } { \Gamma } + \mathrm { i } \delta \right) \tau _ { 1 } \right) \right) } \end{array}
\hat { \varphi } _ { 0 } ^ { ( j ) } = \left\{ \begin{array} { r l } { \varphi _ { 0 } } & { j = 0 } \\ { 0 } & { j \neq 0 } \end{array} , \quad j \in [ - P , - P + 1 , . . . , P ] \right.
s = { \sqrt { \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left( x _ { i } - { \bar { x } } \right) ^ { 2 } } { N - 1 } } } = { \sqrt { \frac { 8 8 6 0 4 7 . 0 9 } { 5 } } } = 4 2 0 . 9 6 .
\frac { d x } { d t } = \frac { x ( 1 - x ) } { K } \left[ \frac { - 1 + b + ( a - b ) x } { 1 + \tau _ { C } ( a - b ) x + b \tau _ { C } } - \frac { - 1 + d + ( c - d ) x } { 1 + \tau _ { D } ( c - d ) x + d \tau _ { D } } \right] ,
\begin{array} { r l r } { \ddot { \bar { x } } } & { = } & { - c \left( \frac { 1 } { m } + \frac { d ^ { 2 } } { \bar { I } } \cos ^ { 2 } \bar { \theta } \right) \dot { \bar { x } } - \frac { c d ^ { 2 } } { 2 \bar { I } } \dot { \bar { z } } \sin 2 \bar { \theta } + \frac { c _ { t } d } { \bar { I } } \dot { \bar { \theta } } \cos \bar { \theta } + d \dot { \bar { \theta } } ^ { 2 } \sin \bar { \theta } + f ( \bar { \theta } ) d \cos \bar { \theta } } \\ { \ddot { \bar { z } } } & { = } & { - \frac { c d ^ { 2 } } { 2 \bar { I } } \dot { \bar { x } } \sin 2 \bar { \theta } - c \left( \frac { 1 } { m } + \frac { d ^ { 2 } } { \bar { I } } \sin ^ { 2 } \bar { \theta } \right) \dot { \bar { z } } + \frac { c _ { t } d } { \bar { I } } \dot { \bar { \theta } } \sin \bar { \theta } - d \dot { \bar { \theta } } ^ { 2 } \cos \bar { \theta } + f ( \bar { \theta } ) d \sin \bar { \theta } } \\ { \ddot { \bar { \theta } } } & { = } & { \frac { c d } { \bar { I } } \dot { \bar { x } } \cos \bar { \theta } + \frac { c d } { \bar { I } } \dot { \bar { z } } \sin \bar { \theta } - \frac { c _ { t } } { \bar { I } } \dot { \bar { \theta } } - f ( \bar { \theta } ) } \end{array}
\Delta _ { \mathrm { G P } \, ( \theta ) } ^ { * ( i , j ) } = | w _ { p _ { i } } ^ { * } - w _ { p _ { j } } ^ { * } | = a \, | w _ { p _ { i } } - w _ { p _ { j } } | = a \, \Delta _ { \mathrm { G P } \, ( \theta ) } ^ { ( i , j ) }
{ \begin{array} { r l } { \mathrm { S D } } & { = { \frac { \mathrm { E S } } { \tan 1 ^ { \prime \prime } } } } \\ & { = { \frac { \mathrm { E S } } { \tan \left( { \frac { 1 } { 6 0 \times 6 0 } } \times { \frac { \pi } { 1 8 0 } } \right) } } } \\ & { \approx { \frac { 1 \, \mathrm { a u } } { { \frac { 1 } { 6 0 \times 6 0 } } \times { \frac { \pi } { 1 8 0 } } } } = { \frac { 6 4 8 \, 0 0 0 } { \pi } } \, \mathrm { a u } \approx 2 0 6 \, 2 6 4 . 8 1 ~ \mathrm { a u } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { { S _ { 1 3 } ^ { q } } } & { { } { = S _ { 1 3 } ^ { t h } = S _ { 1 3 } ^ { s h } = 0 , } \quad { S _ { 2 4 } ^ { q } } { = S _ { 2 4 } ^ { t h } = S _ { 2 4 } ^ { s h } = 0 } . } \end{array}
L ^ { 2 } ( { \cal A } _ { \gamma } \times { \cal F } _ { \gamma } ) = \bigotimes _ { e \in E } \bigl ( \bigoplus _ { \rho \in \mathrm { R e p } ( G ) } \rho \otimes \rho ^ { * } \bigr ) \; \otimes \; \bigotimes _ { v \in V } \bigl ( \bigoplus _ { \rho \in S } \rho \bigr ) .
\mathrm { ~ R ~ e ~ } = \frac { \rho _ { 0 } a _ { 0 } h _ { t } / 2 } { \mu _ { 0 } } = \frac { \sqrt { \gamma } } { \mu ( T ) } \frac { p _ { 0 } h _ { t } / 2 } { \sqrt { R _ { \mathrm { a i r } } T _ { 0 } } } \approx 2 . 2 \times 1 0 ^ { 5 }
\Vert e ^ { t \mathcal { A } _ { U } } \Vert _ { \mathcal { L } ( L _ { \sigma } ^ { p } , V ) } \leq C \Vert \left( - \mathcal { A } _ { U , \omega } \right) ^ { \alpha } e ^ { t \mathcal { A } _ { U , \omega } + t \omega } \Vert _ { \mathcal { L } ( L _ { \sigma } ^ { p } ) } \leq C _ { \alpha } t ^ { - \alpha } e ^ { \omega t }
\begin{array} { r l r } { \ln p ( U ) } & { \sim } & { \ln \int \delta \left( U - \mathrm { e } ^ { 2 g \vert c _ { 1 } \vert ^ { 2 } } \right) \, \mathrm { e } ^ { - \vert c _ { 1 } \vert ^ { 2 } / \mu _ { 1 } } \, \frac { d ^ { 2 } c _ { 1 } } { \pi \mu _ { 1 } } } \\ & { = } & { \ln \int _ { 0 } ^ { + \infty } \delta \left( U - \mathrm { e } ^ { 2 g \eta } \right) \, \mathrm { e } ^ { - \eta / \mu _ { 1 } } \frac { d \eta } { \mu _ { 1 } } \ \ \ \ \ ( \ln U \to + \infty ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left( L ( \theta _ { m + 1 } ) | \mathcal { F } _ { m - 1 } \right) \leq } & { L ( \theta _ { m } ) - \left( \eta _ { m } - C \eta _ { m } ^ { 2 } / 2 \right) \left| \nabla _ { \theta } L ( \theta _ { m } ) \right| ^ { 2 } + \frac { C \eta _ { m } ^ { 2 } } { 2 n } } \\ { \leq } & { L ( \theta _ { m } ) - \frac { \eta _ { m } } { 2 } \left| \nabla _ { \theta } L ( \theta _ { m } ) \right| ^ { 2 } + \frac { C \eta _ { m } ^ { 2 } } { 2 n } } \end{array}
S _ { \mathrm { c o n f } } = - \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { \Omega _ { i } } { \ln { \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { \mathrm { u n i q u e } } } \Omega _ { k } } } \frac { \exp { \left( - \frac { E _ { i } } { k _ { \mathrm { B } } T } \right) } } { \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { \mathrm { u n i q u e } } } \Omega _ { j } \exp { \left( - \frac { E _ { j } } { k _ { \mathrm { B } } T } \right) } } \ln { \frac { \exp { \left( - \frac { E _ { i } } { k _ { \mathrm { B } } T } \right) } } { \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { \mathrm { u n i q u e } } } \Omega _ { j } \exp { \left( - \frac { E _ { j } } { k _ { \mathrm { B } } T } \right) } } }
( \mathbf { A } _ { \widetilde { b } _ { i } } ) _ { j k } = \widetilde { b } \left( \varphi _ { k } \left( \mathbf { y } _ { j } \right) , \nabla \varphi _ { k } \left( \mathbf { y } _ { j } \right) \right) , \; \; \; \; j = 1 , \dots , m , k = 1 , \dots , n .
\begin{array} { r l } { \log L ( \{ t _ { i } , m _ { i } \} ) } & { = \sum _ { i } \left[ \log \lambda ^ { * } ( t _ { i } ) + \log f ^ { * } ( m _ { i } | t _ { i } ) - \int _ { t _ { i - 1 } } ^ { t _ { i } } \lambda ^ { * } ( t ) d t \right] } \\ & { = \sum _ { i } \left[ \log \phi ( \tau _ { i } , \textbf { h } _ { i } ) + \log \psi ( m _ { i } , \tau _ { i } , \textbf { h } _ { i } ) - \int _ { 0 } ^ { t _ { i } - t _ { i - 1 } } \phi ( t , \textbf { h } _ { i } ) d t \right] } \\ & { = \sum _ { i } \left[ \log \frac { \partial } { \partial \tau _ { i } } \Phi ( \tau _ { i } , \textbf { h } _ { i } ) + \log \frac { \partial } { \partial m _ { i } } \Psi ( m _ { i } , \tau _ { i } , \textbf { h } _ { i } ) - \Phi ( \tau _ { i } , \textbf { h } _ { i } ) \right] . } \end{array}
K ( \mathbf { x _ { 0 } } , \mathbf { x _ { 1 } } ) = K _ { s } ( \mathbf { x _ { 0 } } - \mathbf { x _ { 1 } } ) \propto e ^ { \left( \mathbf { x _ { 0 } } - \mathbf { x _ { 1 } } \right) ^ { T } \Sigma ^ { - 1 } \left( \mathbf { x _ { 0 } } - \mathbf { x _ { 1 } } \right) }
\Psi ( x , y ) = \exp { \left\{ - ( x - x _ { 0 } ) ^ { 2 } / 4 \sigma _ { x } ^ { 2 } - ( y - y _ { 0 } ) ^ { 2 } / 4 \sigma _ { y } ^ { 2 } + i q _ { x } x + i q _ { y } y \right\} } / \mathcal { N }
\begin{array} { r l } { f \left( \boldsymbol { w } , \boldsymbol { \ell _ { b } } , \boldsymbol { \ell _ { p } } \right) = } & { { } \frac { p _ { T A R G } } { N _ { T A R G } } \sum _ { i \in T A R G } \left( d _ { i } - \hat { d } \right) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \psi _ { c } \rangle } & { = \sum _ { l = 0 } ^ { \infty } \sum _ { m _ { l } = - l } ^ { l } | l m _ { l } s m _ { s } \rangle Y _ { l m _ { l } } ^ { * } ( \vartheta _ { k } , \varphi _ { k } ) } \\ & { = \sum _ { l = 0 } ^ { \infty } \sum _ { m _ { l } = - l } ^ { l } \sum _ { j _ { f } = | l - s | } ^ { l + s } \sum _ { m _ { f } = - j _ { f } } ^ { j _ { f } } \langle j _ { f } m _ { f } | l m _ { l } s m _ { s } \rangle | ( l s ) j _ { f } m _ { f } \rangle Y _ { l m _ { l } } ^ { * } ( \vartheta _ { k } , \varphi _ { k } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { 2 } \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { \omega { \cal H } _ { 1 } ^ { - 1 } ( { \bf x } ) \rho ( { \bf x } ) } \\ { 1 } & { - \omega { \cal H } _ { 1 } ^ { - 1 } ( { \bf x } ) \rho ( { \bf x } ) } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \bar { F } ^ { p * } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) } \\ { - \bar { F } ^ { v * } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) } \end{array} \right) , } \end{array}
\mathcal { L } _ { M } = - ( \overline { { { \xi } } } _ { 2 } \, \overline { { { \xi } } } _ { 4 } \, \overline { { { N } } } _ { + + } ) M \left( \begin{array} { c } { { \xi _ { 1 } } } \\ { { \xi _ { 3 } } } \\ { { N _ { + - } } } \end{array} \right) + h . c . \ ,
\begin{array} { r l } { ( \theta _ { t } ( t ) , v ) + \mu ( \nabla \theta ( t ) , \nabla v ) } & { = - ( \nabla u _ { h } ( t ) , \nabla v ) - ( P _ { h } ^ { 1 } \Psi _ { t } ( t ) , v ) - \mu ( \nabla P _ { h } ^ { 1 } \Psi ( t ) , \nabla v ) , } \\ & { = - ( \nabla u _ { h } ( t ) , \nabla v ) - ( P _ { h } ^ { 1 } \Psi _ { t } ( t ) , v ) - \mu ( \nabla \Psi ( t ) , \nabla v ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | | \Pi _ { l } ^ { \lambda } \rangle \rangle } & { = | | R _ { 0 , \mathrm { D } } ^ { \lambda } \rangle \rangle + \mathrm { e } ^ { i 2 \pi l / 3 } | | R _ { 1 , \mathrm { D } } ^ { \lambda } \rangle \rangle + \mathrm { e } ^ { - i 2 \pi l / 3 } | | R _ { 2 , \mathrm { D } } ^ { \lambda } \rangle \rangle } \\ & { = | | R _ { 0 , \mathrm { D } } ^ { \lambda } \rangle \rangle + 2 \mathrm { R e } [ \mathrm { e } ^ { i 2 \pi l / 3 } | | R _ { 1 , \mathrm { D } } ^ { \lambda } \rangle \rangle ] \, , } \end{array}
\Psi _ { \varkappa m } ^ { t w } ( \mathbf { r _ { i } } ) = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { d \phi _ { p } } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } a _ { \varkappa m } ( k _ { i \bot } ) e ^ { i \mathbf { k } _ { i } \cdot \mathbf { r _ { i } } } ,
\mathrm { T r } _ { s } \left( q ^ { L _ { 0 } / \hbar } e ^ { i 2 \pi T _ { 0 } ^ { 3 } / \hbar } \right) = \frac { q ^ { \hbar s ( s + 1 ) / k } \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { 2 s + 2 n k / \hbar } ( 2 s + 1 + 2 n k / \hbar ) q ^ { { n ^ { 2 } k / \hbar } + ( 2 s + 1 ) n } } { \Pi _ { m = 1 } ^ { \infty } ( 1 - q ^ { m } ) ^ { 3 } } .
M _ { \alpha \beta } = \left( \alpha ^ { 2 } - \beta ^ { 2 } \partial _ { i } \varphi ^ { \mu } \partial _ { i } \varphi ^ { \mu } \right) \delta _ { \alpha \beta } + \beta ^ { 2 } \partial _ { i } \varphi ^ { \alpha } \partial _ { i } \varphi ^ { \beta } .
\begin{array} { r l } { d \omega } & { = \sum _ { i } d f _ { i } \wedge d x ^ { 1 } \wedge \dots \wedge \widehat { d x ^ { i } } \wedge \dots \wedge d x ^ { n } } \\ & { = \sum _ { i } \left( \sum _ { j } \frac { \partial f _ { i } } { \partial x ^ { j } } d x ^ { j } \right) \wedge d x ^ { 1 } \wedge \dots \wedge \widehat { d x ^ { i } } \wedge \dots \wedge d x ^ { m } } \\ & { = \sum _ { i } ( - 1 ) ^ { i - 1 } \frac { \partial f _ { i } } { \partial x ^ { i } } d x ^ { 1 } \wedge \dots \wedge d x ^ { m } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left[ \begin{array} { l } { \mathop { \mathbb { E } } \| \bar { e } _ { x } ^ { k } \| ^ { 2 } } \\ { \frac { c _ { 1 } ^ { 2 } } { n } \mathop { \mathbb { E } } \| \hat { { \mathbf { x } } } ^ { k } \| ^ { 2 } } \end{array} \right] } & { \leq A ^ { k } \left[ \begin{array} { l } { \mathop { \mathbb { E } } \| \bar { e } _ { x } ^ { 0 } \| ^ { 2 } } \\ { \frac { c _ { 1 } ^ { 2 } } { n } \mathop { \mathbb { E } } \| \hat { { \mathbf { x } } } ^ { 0 } \| ^ { 2 } } \end{array} \right] + \sum _ { \ell = 0 } ^ { k - 1 } A ^ { \ell } b } \\ & { \leq A ^ { k } \left[ \begin{array} { l } { \mathop { \mathbb { E } } \| \bar { e } _ { x } ^ { 0 } \| ^ { 2 } } \\ { \frac { c _ { 1 } ^ { 2 } } { n } \mathop { \mathbb { E } } \| \hat { { \mathbf { x } } } ^ { 0 } \| ^ { 2 } } \end{array} \right] + ( I - A ) ^ { - 1 } b . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \xi _ { t } ^ { a } ( P ) = \frac { \varphi ^ { a ^ { * } ( P ) } \Big ( Y _ { t } , A _ { t } , X _ { t } ; \widehat { \mu } _ { t } ^ { a ^ { * } ( P ) } , \widehat { w } _ { t } \Big ) - \varphi ^ { a } \Big ( Y _ { t } , A _ { t } , X _ { t } ; \widehat { \mu } _ { t } ^ { a } , \widehat { w } _ { t } \Big ) - ( \mu ^ { a } ( P ) - \mu ^ { b } ( P ) ) } { \sqrt { T V ^ { a * } ( P ) } } , } \\ & { V ^ { a * } ( P ) = V ^ { a ^ { * } ( P ) , a * } ( P ) } \end{array}
\begin{array} { r } { S = \int d t ~ ~ \frac 1 2 g _ { i j } \dot { R } _ { k i } \dot { R } _ { k j } - \frac 1 2 \lambda _ { i j } \left[ R _ { k i } R _ { k j } - \delta _ { i j } \right] \equiv \int d t ~ ~ \frac 1 2 \mathrm { t r } [ { \dot { R } g \dot { R } ^ { T } ] - \frac 1 2 \mathrm { t r } [ \lambda ( R ^ { T } R - { \bf 1 } ) } ] , } \end{array}
\frac { m _ { e } u _ { + } } { \sqrt { 1 - \frac { u _ { + } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } = \frac { m _ { e } u _ { - } } { \sqrt { 1 - \frac { u _ { - } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } }