harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \| m ^ { - 1 / r } ( \alpha _ { 1 } ^ { 1 / r } , \dots , \alpha _ { n } ^ { 1 / r } ) \| _ { r , s } } & { \le \| m ^ { - 1 / r } ( ( \alpha _ { 1 } ^ { * } ) ^ { 1 / r } , \dots , ( \alpha _ { m - L } ^ { * } ) ^ { 1 / r } ) \| _ { r , s } + \| m ^ { - 1 / r } ( \underbrace { 1 , \dots , 1 } _ { 2 L - m } , 0 , \dots ) \| _ { r , s } } \\ & { \le \| ( 2 ( m - L ) ) ^ { - 1 / r } ( ( \alpha _ { 1 } ^ { * } ) ^ { 1 / r } , \dots , ( \alpha _ { m - L } ^ { * } ) ^ { 1 / r } ) \| _ { r } \Big ( \frac { 2 ( m - L ) } { m } \Big ) ^ { 1 / r } \log ( m - L ) ^ { \frac 1 { s } - \frac 1 { r } } } \\ & { + \| ( 2 L - m ) ^ { - 1 / r } ( \underbrace { 1 , \dots , 1 } _ { 2 L - m } , 0 , \dots ) \| _ { r , s } } \\ & { \le \Big ( \frac { 2 ( m - L ) } { m } \Big ) ^ { 1 / r } \log ( m - L ) ^ { \frac 1 { s } - \frac 1 { r } } + 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial \mathcal { E } _ { \gamma } ^ { - } ( \mathbf { x } ) } { \partial \mathbf { x } } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \left( \mathbf { v } _ { 2 } ^ { \top } ( \mathbf { I } \otimes \mathbf { x } ) + \mathbf { v } _ { 2 } ^ { \top } ( \mathbf { x } \otimes \mathbf { I } ) \right. } \\ & { \left. + \mathbf { v } _ { 3 } ^ { \top } ( \mathbf { I } \otimes \mathbf { x } \otimes \mathbf { x } ) + \mathbf { v } _ { 3 } ^ { \top } ( \mathbf { x } \otimes \mathbf { I } \otimes \mathbf { x } ) + \mathbf { v } _ { 3 } ^ { \top } ( \mathbf { x } \otimes \mathbf { x } \otimes \mathbf { I } ) \right. } \\ & { + \mathbf { v } _ { 4 } ^ { \top } ( \mathbf { I } \otimes \mathbf { x } \otimes \mathbf { x } \otimes \mathbf { x } ) + \mathbf { v } _ { 4 } ^ { \top } ( \mathbf { x } \otimes \mathbf { I } \otimes \mathbf { x } \otimes \mathbf { x } ) } \\ & { \left. + \mathbf { v } _ { 4 } ^ { \top } ( \mathbf { x } \otimes \mathbf { x } \otimes \mathbf { I } \otimes \mathbf { x } ) + \mathbf { v } _ { 4 } ^ { \top } ( \mathbf { x } \otimes \mathbf { x } \otimes \mathbf { x } \otimes \mathbf { I } ) + \cdots \right) . } \end{array}
M _ { t } = X _ { 0 } + \int _ { T _ { 0 } } ^ { t } \frac { \mathrm { V a r } [ X _ { 1 } \| X _ { 0 } , I _ { t } ^ { ( 1 ) } ] s } { T _ { 1 } ^ { 2 } s - s ^ { 2 } T _ { 1 } } \, \mathrm { d } W _ { s } = X _ { 0 } + \int _ { T _ { 0 } } ^ { t } \frac { \mathrm { V a r } [ X _ { 1 } \| X _ { 0 } , I _ { s } ^ { ( 1 ) } ] } { T _ { 1 } ^ { 2 } - s T _ { 1 } } \, \mathrm { d } W _ { s } .
{ \begin{array} { r l } { P _ { h } ( z ) } & { = ( 1 - c _ { h } z ) P _ { h - 1 } ( z ) - { \mathrm { a b } } _ { h } z ^ { 2 } P _ { h - 2 } ( z ) + \delta _ { h , 1 } } \\ { Q _ { h } ( z ) } & { = ( 1 - c _ { h } z ) Q _ { h - 1 } ( z ) - { \mathrm { a b } } _ { h } z ^ { 2 } Q _ { h - 2 } ( z ) + ( 1 - c _ { 1 } z ) \delta _ { h , 1 } + \delta _ { 0 , 1 } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { \mathrm { i f ~ } \mathcal { T } \cap \left\{ \sigma _ { m } : m \leq n \right\} = \mathcal { T } ^ { \prime } \cap \left\{ \sigma _ { m } : m \leq n \right\} , } \\ & { \mathrm { t h e n ~ f o r ~ a l l ~ } m \leq n : \: \mathcal { W } _ { m } \left( \mathcal { T } \right) = \mathcal { W } _ { m } ( \mathcal { T } ^ { \prime } ) , } \end{array}
n = 0 , 1 , 2 , \ldots , \quad 0 \leq \lambda < \infty , \quad \eta _ { n 0 } = \left\{ \left\{ \begin{array} { l l } { { \frac { { \displaystyle 1 } } { { \displaystyle \sqrt 2 } } , \quad n = 0 , } } \\ { { 1 , \quad n = 1 , 2 , \ldots \, . } } \end{array} \right. \right.
m _ { 3 / 2 } = \left( \frac { 5 \pi ^ { \frac { 1 } { 2 } } \lambda } { 2 ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \right) ^ { \sqrt 3 } \left( \alpha _ { G U T } \right) ^ { \frac { \sqrt 3 } { 2 } } \left( \frac { M _ { G U T } } { M _ { p l } } \right) ^ { 3 \sqrt 3 } M _ { p l } ,
Y _ { i } : = [ r _ { i } ^ { \mathrm { f i r s t } } N _ { i } ^ { \beta _ { \mathrm { f i r s t } } } , r _ { i } ^ { \mathrm { s e c o n d } } N _ { i } ^ { \beta _ { \mathrm { s e c o n d } } } , r _ { i } ^ { \mathrm { t h i r d } } N _ { i } ^ { \beta _ { \mathrm { t h i r d } } } , r _ { i } ^ { \mathrm { f o u r t } } N _ { i } ^ { \beta _ { \mathrm { f o u r t h } } }
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } _ { P } \big [ | \sqrt { \widehat { w } _ { t } ( k | X _ { t } ) } - \sqrt { w ^ { * } ( k | X _ { t } ) } | | X _ { t } = x \big ] = \mathbb { E } _ { P } \big [ | \sqrt { \widehat { w } _ { t } ( k | x ) } - \sqrt { w ^ { * } ( k | x ) } | \big ] \to 0 , } \\ & { \mathbb { E } _ { P } \big [ | \widehat { \mu } _ { t } ^ { k } ( X _ { t } ) - \mu ^ { k } ( P ) ( X _ { t } ) | | X _ { t } = x \big ] = \mathbb { E } _ { P } \big [ | \widehat { \mu } _ { t } ^ { k } ( x ) - \mu ^ { k } ( P ) ( x ) | \big ] \to 0 , } \end{array}
\frac { \sin ^ { 2 } ( \Theta _ { 1 2 } - \widetilde \Theta _ { 1 2 } ) } { \sin ^ { 2 } \Theta _ { 1 2 } } = \frac { s _ { 1 2 } ^ { 2 } ( s _ { 2 3 } ^ { 2 } + s _ { 1 3 } ^ { 2 } ) } { s _ { 1 3 } ^ { 2 } } = a ^ { \prime } \frac { a ^ { \prime } + a ^ { \prime } b ^ { \prime } - b ^ { \prime } } { a ^ { \prime } - a ^ { \prime } b ^ { \prime } + b ^ { \prime } } \ .
\begin{array} { r l r } { \langle { \cal B } _ { f } ( p _ { f } ) | V _ { \mu } | { \cal B } _ { c } ( p _ { i } ) \rangle } & { = } & { \bar { u } _ { f } ( p _ { f } ) [ f _ { 1 } ( q ^ { 2 } ) \gamma _ { \mu } + i f _ { 2 } ( q ^ { 2 } ) \sigma _ { \mu \nu } q ^ { \nu } + f _ { 3 } ( q ^ { 2 } ) q _ { \mu } ] u _ { i } ( p _ { i } ) , } \\ { \langle { \cal B } _ { f } ( p _ { f } ) | A _ { \mu } | { \cal B } _ { c } ( p _ { i } ) \rangle } & { = } & { \bar { u } _ { f } ( p _ { f } ) [ g _ { 1 } ( q ^ { 2 } ) \gamma _ { \mu } + i g _ { 2 } ( q ^ { 2 } ) \sigma _ { \mu \nu } q ^ { \nu } + g _ { 3 } ( q ^ { 2 } ) q _ { \mu } ] \gamma _ { 5 } u _ { i } ( p _ { i } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \Psi ( \{ T _ { i l } \} _ { l \in \partial i } ; } & { \mathcal { D } _ { i } ) = } \\ & { \xi ( \tau _ { i } ^ { ( j ) } , t _ { i } ^ { ( j ) } ; c _ { i } ) \psi ^ { * } ( \tau _ { i } ^ { ( j ) } , \underline { { \tau } } _ { \partial i } ^ { ( i ) } ; \{ s _ { l i } \} _ { l \in \partial i } , x _ { i } ^ { 0 } ) \times } \\ { \times } & { \psi ( t _ { i } ^ { ( j ) } , \underline { { t } } _ { \partial i } ^ { ( i ) } ) \prod _ { l \in \partial i \setminus j } \delta _ { t _ { i } ^ { ( j ) } , t _ { i } ^ { ( l ) } } \delta _ { \tau _ { i } ^ { ( j ) } , \tau _ { i } ^ { ( l ) } } } \end{array} } \end{array}
L _ { + } = \left( \begin{array} { l l } { { D } } & { { ( 1 - q ^ { 2 } ) B } } \\ { { 0 } } & { { D ^ { - 1 } } } \end{array} \right) , \ \L _ { - } = \left( \begin{array} { l l } { { D ^ { - 1 } } } & { { 0 } } \\ { { ( q ^ { 2 } - 1 ) C } } & { { D } } \end{array} \right) \ ,
\begin{array} { r l r } { \mathrm { ~ ` ~ ` ~ m ~ e ~ t ~ a ~ l ~ d ~ e ~ n ~ s ~ i ~ t ~ y ~ ' ~ ' ~ } _ { e f f } } & { { } = } & { 3 . 7 1 * 1 0 ^ { - 3 1 } k g / m ^ { 3 } * 8 . 4 } \end{array}
\begin{array} { r l } { D ^ { ( n ) } = } & { { } 2 \sum _ { a = 1 } ^ { p } \cos \left( \frac { 2 \pi } { n _ { \varphi } } n a \right) \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { \partial \Lambda _ { l ^ { \prime } + a } ( y ) } { \partial y } \frac { \partial \Lambda _ { l ^ { \prime } } ( y ) } { \partial y } \mathrm { d } y } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| \widetilde { X } _ { \mathbf { h } , N + P } ^ { ( d ) } - \widetilde { X } _ { \mathbf { h } , N } ^ { ( d ) } \| _ { I , \infty } } \\ & { \leq \sum _ { n = 1 } ^ { d } \left( \mathcal { M } _ { n , N } + \sum _ { m = 0 } ^ { 3 } \mathcal { H } _ { n , N } ^ { m } + \sum _ { m = 1 } ^ { 2 } \mathcal { L } _ { n , N } ^ { m } \right) + \sum _ { v \in \mathcal { B } } \mathcal { L } _ { v , N } ^ { 3 } + \sum _ { v \in \{ 0 , 1 \} ^ { d } } \mathcal { L } _ { v , N } ^ { 4 } . } \end{array}
D _ { r } ^ { + + } [ ( 1 2 ) ^ { 2 } ( 3 4 ) ^ { 2 } { \cal F } ] = D _ { r } ^ { + + } [ ( 1 4 ) ^ { 2 } ( 2 3 ) ^ { 2 } { \cal F } ] = D _ { r } ^ { + + } [ ( 1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 1 ) { \cal F } ] = 0 \; .
\int _ { \{ u = 0 \} } | \partial _ { x } u _ { n } | ^ { \alpha } \psi = \int _ { \{ u = 0 \} \cap E _ { \epsilon } } | \partial _ { x } u _ { n } | ^ { \alpha } \psi + \int _ { \{ u = 0 \} \cap Q _ { T } \backslash E _ { \epsilon } } | \partial _ { x } u _ { n } | ^ { \alpha } \psi
\begin{array} { r l r } { \overline { \rho } _ { 2 1 } ( \omega _ { p } ) } & { { } = } & { \operatorname* { l i m } _ { \tau \rightarrow \infty } \frac { 1 } { 2 \tau } \int _ { - \tau } ^ { \tau } \rho _ { 1 2 } ( t ) e ^ { - i \omega _ { p } t } d t } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { \left| { \vec { k } _ { \mathrm { Z M F } } ^ { \prime } } \right| } } & { = \frac { m n \eta _ { e } } { \sqrt { 1 + a _ { \mathrm { r m s } } ^ { 2 } + 2 n \eta _ { e } } } , } & { \cos \theta _ { \mathrm { Z M F } } } & { = 1 - \frac { s ( 1 + a _ { \mathrm { r m s } } ^ { 2 } + 2 n \eta _ { e } ) } { n \eta _ { e } } . } \end{array}
U ( \mathbf { q } _ { 1 } , \dots , \mathbf { q } _ { i } , \dots , \mathbf { q } _ { j } , \dots , \mathbf { q } _ { N } ) = U ( \mathbf { q } _ { 1 } , \dots , \mathbf { q } _ { j } , \dots , \mathbf { q } _ { i } , \dots , \mathbf { q } _ { N } )
\begin{array} { r } { \hat { \mathcal { R } } _ { \mathrm { L R } } ( \Delta \phi ) = \mathrm { e } ^ { i k _ { \mathrm { L } } d } \frac { \mathrm { e } ^ { i \beta } } { \sqrt { N } } \hat { a } _ { \mathrm { L } } \hat { \bf l } + \mathrm { e } ^ { i k _ { \mathrm { R } } d } \frac { \mathrm { e } ^ { i \beta } } { \sqrt { N } } \hat { a } _ { \mathrm { R } } \hat { \bf r } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { G _ { n , l } ^ { n ^ { 1 / 2 + \delta } } ( z _ { 1 } , . . . , z _ { l } ) } & { = n ^ { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { l } \int _ { 0 < x < y < n ^ { 1 / 2 + \delta } } f _ { n } ( x , y , n z _ { i } ) d F _ { n } ( x ) d F _ { n } ( y ) } \\ & { \quad + n \sum _ { i = 1 , j > i } ^ { l } \int _ { 0 } ^ { n ^ { 1 / 2 + \delta } } f _ { n } ( x , n z _ { i } , n z _ { j } ) d F _ { n } ( x ) . } \end{array}
\psi ^ { c } = { \left( \begin{array} { l } { \psi _ { \mathrm { L } } ^ { c } } \\ { \psi _ { \mathrm { R } } ^ { c } } \end{array} \right) } = \eta _ { c } C { \overline { { \psi } } } ^ { \textsf { T } } = \eta _ { c } { \left( \begin{array} { l l } { - i \sigma ^ { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { i \sigma ^ { 2 } } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { \psi _ { \mathrm { R } } ^ { * } } \\ { \psi _ { \mathrm { L } } ^ { * } } \end{array} \right) } = \eta _ { c } { \left( \begin{array} { l } { - i \sigma ^ { 2 } \psi _ { \mathrm { R } } ^ { * } } \\ { i \sigma ^ { 2 } \psi _ { \mathrm { L } } ^ { * } } \end{array} \right) }
f ( \boldsymbol { u } ) = f _ { 0 , \mathrm { h y p } } ( \boldsymbol { u } ) ( 1 + o ( 1 ) ) , \quad | \boldsymbol { u } | \to 0 , \quad \mathrm { w h e r e } \quad f _ { 0 , \mathrm { h y p } } ( \boldsymbol { u } ) : = L ( \boldsymbol { u } ) \prod _ { i = 1 } ^ { 2 } | u _ { i } | ^ { - \upsilon _ { i } } , \qquad \boldsymbol { u } \in \Pi ^ { 2 } ,
C _ { a d } ( X ) \equiv \left( \mathcal { R } _ { a b c d } + \frac { \mathcal { R } _ { b c } g _ { a d } - \mathcal { R } _ { b d } g _ { a c } + \mathcal { R } _ { a d } g _ { b c } - \mathcal { R } _ { a c } g _ { b d } } { d - 2 } + \frac { \mathcal { R } \left( g _ { a c } g _ { b d } - g _ { a d } g _ { b c } \right) } { ( d - 1 ) ( d - 2 ) } \right) X ^ { b } X ^ { c } \ .
R ( t ) \equiv { \frac { \Gamma \left[ f \left( t \right) \right] } { \Gamma \left[ g \left( t \right) \right] } } \propto \left\{ 1 - R e \, \lambda \, \operatorname { t a n h } \left( \frac { \Delta \Gamma \, t } { 2 } \right) \right\} \, ,
W _ { E H } + W _ { c t } = - { \frac { 4 ( d ^ { 2 } - 1 ) } { d ^ { 2 } ( d + 2 ) } } \left( ( a - 1 ) ^ { 2 } + ( b - 1 ) ^ { 2 } - { \frac { 2 } { ( d - 1 ) } } ( a - 1 ) ( b - 1 ) \right) r ^ { d - 2 } \Sigma _ { d - 1 } ~ ~ .
\begin{array} { r } { \chi ( \mathbf { q } , \omega ) = \frac { \chi _ { 0 } ( \mathbf { q } , \omega ) } { 1 - \left[ v ( q ) + K _ { \mathrm { x c } } ( \mathbf { q } , \omega ) \right] \chi _ { 0 } ( \mathbf { q } , \omega ) } , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l r } & { i \partial _ { t } \psi ( x , t ) + 0 . 5 \Delta \psi ( x , t ) = 0 , } & { \quad x , t \in [ x _ { 0 } , x _ { 1 } ] \times [ 0 , T ] , } \\ & { \psi ( x , 0 ) = g ( x ) , } & { \quad x \in [ x _ { 0 } , x _ { 1 } ] , } \\ & { \psi ( x _ { 0 } , t ) = \psi ( x _ { 1 } , t ) , } & { \quad t \in [ 0 , T ] , } \\ & { \partial _ { x } \psi ( x _ { 0 } , t ) = \partial _ { x } \psi ( x _ { 1 } , t ) } & { \quad t \in [ 0 , T ] , } \end{array} \right.
P _ { t _ { \mathrm { u n i t } } } \Delta s = \int _ { 0 } ^ { \Delta s } p _ { s _ { \mathrm { m i x } } } ( s ^ { \prime } ; \mu _ { t _ { a } } , \mu _ { t _ { b } } , \sigma _ { a } , \sigma _ { b } , P ) d s \approx [ ( 1 - P ) \mu _ { t _ { a } } + P \mu _ { t _ { b } } ] \Delta s ,
O _ { 0 } = \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { d x } { 1 - x ^ { 2 } } } \bigl ( x ^ { - 1 / 6 } - x ^ { 1 / 6 } \bigr ) = { \frac { 1 } { 2 } } \Bigl ( \psi \Bigl ( { \frac { 7 } { 1 2 } } \Bigr ) - \psi \Bigl ( { \frac { 5 } { 1 2 } } \Bigr ) \Bigr ) .
\begin{array} { r l } { \frac { a _ { n + 1 } } { a _ { n } } } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 3 ^ { n } } { 5 ^ { n + 1 } } , } & { \mathrm { i f ~ } n \mathrm { ~ i s ~ e v e n } } \\ { \frac { 5 ^ { n } } { 3 ^ { n + 1 } } , } & { \mathrm { i f ~ } n \mathrm { ~ i s ~ o d d } } \end{array} \right. } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac 1 5 \left( \frac 3 5 \right) ^ { n } , } & { \mathrm { i f ~ } n \mathrm { ~ i s ~ e v e n } } \\ { \frac 1 3 \left( \frac 5 3 \right) ^ { n } , } & { \mathrm { i f ~ } n \mathrm { ~ i s ~ o d d } \; . } \end{array} \right. } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l r l r l r l r l r l } { { 7 } x } & { } & { \; + \; } & { } & { 3 y } & { } & { \; - \; } & { } & { 2 z } & { } & { \; = \; } & { } & { 5 } & { } \\ { 3 x } & { } & { \; + \; } & { } & { 5 y } & { } & { \; + \; } & { } & { 6 z } & { } & { \; = \; } & { } & { 7 } & { } \end{array} }
{ \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) }
\begin{array} { r l } { \mathbf { h } _ { i } ^ { ( l + 1 ) \alpha } } & { { } = \operatorname { t a n h } ( \mathbf { V } ^ { l } \mathbf { f } _ { i } ^ { l \alpha } + \mathbf { b } ^ { l } ) + \mathbf { h } _ { i } ^ { l \alpha } , } \\ { \mathbf { h } _ { i j } ^ { ( l + 1 ) \alpha \beta } } & { { } = \operatorname { t a n h } ( \mathbf { W } ^ { l } \mathbf { h } _ { i j } ^ { l \alpha \beta } + \mathbf { c } ^ { l } ) + \mathbf { h } _ { i j } ^ { l \alpha \beta } , } \end{array}
\bar { 5 } _ { i } \supset ( d _ { \alpha } ^ { c } , \ \ell , \ \nu _ { \ell } ) _ { i } , \quad 1 0 _ { i } \supset ( u _ { \alpha } , \ d _ { \alpha } , \ u _ { \alpha } ^ { c } , \ \ell ^ { c } ) _ { i } , \quad 1 _ { i } \supset ( \nu ^ { c } ) _ { i } , \quad \alpha = 1 , 2 , 3 .
- { \frac { 2 \pi } { g ^ { 2 } } } = f _ { 2 } ( x ) = E i ( - x ) + { \frac { { \cal E } ^ { 2 } } { 3 } } \left( { \frac { 1 } { x } } + { \frac { 1 } { x ^ { 2 } } } \right) { \mathrm e } ^ { - x } \ ,
\mathbf { w } _ { j } = \left( \begin{array} { c } { \Re \langle 1 _ { - } | \hat { W } _ { j } | 1 _ { + } \rangle } \\ { \Im \langle 1 _ { - } | \hat { W } _ { j } | 1 _ { + } \rangle } \\ { \langle 1 _ { + } | \hat { W } _ { j } | 1 _ { + } \rangle } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c c } { \cos \theta _ { 1 } \cos \phi _ { 1 } } & { \cos \theta _ { 1 } \sin \phi _ { 1 } } & { - \sin \theta _ { 1 } } \\ { - \sin \phi _ { 1 } } & { \cos \phi _ { 1 } } & { 0 } \\ { \sin \theta _ { 1 } \cos \phi _ { 1 } } & { \sin \theta _ { 1 } \sin \phi _ { 1 } } & { \cos \theta _ { 1 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { \Re \langle \bar { 1 } | \hat { W } _ { j } | 1 \rangle } \\ { \Im \langle \bar { 1 } | \hat { W } _ { j } | 1 \rangle } \\ { \langle 1 | \hat { W } _ { j } | 1 \rangle } \end{array} \right) = \mathbf { R } ( \theta _ { 1 } , \phi _ { 1 } ) \cdot \tilde { \mathbf { w } } _ { j } .
< n | \lambda ^ { r } | n + r - 2 > = ( \frac { ( n + r - 2 ) . . . ( n + 1 ) } { 2 ^ { r } } ) ^ { 1 / 2 } r ( n + \frac { r - 1 } { 2 } ) ( - \alpha ^ { \prime } ) ^ { r / 4 }
S _ { a b } ^ { i j } ( \theta ) : = \left\{ \begin{array} { c c } { { 1 \; , } } & { { A _ { i j } = 0 } } \\ { { \eta _ { a b } ^ { i j } \mathcal { F } _ { a b } ^ { g ^ { \prime } } ( \theta , B = 1 ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \neq 1 \; , } } & { { A _ { i j } < 0 } } \end{array} \right. \; .
\begin{array} { r l } { L ( S , B ) } & { = \frac { ( \mu _ { s } + \mu _ { b } ) ^ { N } e ^ { - ( \mu _ { s } + \mu _ { b } ) } } { N ! } \times } \\ & { \prod _ { i = 1 } ^ { N } \frac { 1 } { \mu _ { s } + \mu _ { b } } \times ( \frac { \mu _ { b } } { \Delta E } + \frac { \mu _ { s } } { \sqrt { 2 \pi } \sigma } e ^ { - \frac { ( E _ { i } - Q _ { \beta \beta } ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \gamma ^ { \prime } } & { { } = \gamma + \frac { 1 } { 2 } \ln \left\vert \frac { \bar { T } + i T _ { x y } + \Delta T e ^ { - 2 i \theta } e ^ { - 2 \gamma } } { \bar { T } - i T _ { x y } + \Delta T e ^ { 2 i \theta } e ^ { 2 \gamma } } \right\vert } \\ { \theta ^ { \prime } } & { { } = \theta + \frac { 1 } { 2 } \mathrm { A r g } \left( \frac { \bar { T } + i T _ { x y } + \Delta T e ^ { - 2 i \theta } e ^ { - 2 \gamma } } { \bar { T } - i T _ { x y } + \Delta T e ^ { 2 i \theta } e ^ { 2 \gamma } } \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { 2 \pi ^ { - 1 \slash 4 } L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } \sqrt { ( c _ { l } ( \Gamma ) - a _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) ( d _ { l } ( \Gamma ) - b _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) } } \\ & { } & { \times e ^ { - ( | b _ { l - 1 } ( \Gamma ) - a _ { l - 1 } ( \Gamma ) | L + 2 L ^ { - 1 } ) ^ { 2 } \slash 2 - 2 L ^ { - 1 } } \Psi _ { s } ^ { 1 \slash 2 } ( 1 - \operatorname* { m a x } \{ c _ { L } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } \Psi _ { s } , 1 \} ^ { - 1 \slash 6 } ) } \\ & { \leq } & { L I S ( \sigma | _ { \tilde { Q } _ { \Gamma , l } ^ { \prime } } ) } \\ & { \leq } & { 1 5 e ^ { 6 L ^ { 2 } + 1 } L ^ { 3 \slash 2 } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } T ^ { - 1 \slash 2 } ( c _ { l } ( \Gamma ) - a _ { l - 1 } ( \Gamma ) + d _ { l } ( \Gamma ) - b _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) + 1 } \\ & { } & { + 2 \pi ^ { - 1 \slash 4 } L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } \sqrt { ( c _ { l } ( \Gamma ) - a _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) ( d _ { l } ( \Gamma ) - b _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) } } \\ & { } & { \quad \times e ^ { - ( | b _ { l - 1 } ( \Gamma ) - a _ { l - 1 } ( \Gamma ) | L - 2 L ^ { - 1 } ) _ { + } ^ { 2 } \slash 2 + 2 L ^ { - 1 } } } \\ & { } & { \quad \times ( 1 + C _ { L } r _ { s } ^ { - 1 \slash 2 5 } ) ^ { 1 \slash 2 } ( 1 + \operatorname* { m a x } \{ c _ { L } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } \Psi _ { s } , 1 \} ^ { - 1 \slash 6 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \{ \mathcal { F } , \mathcal { G } \} ( f , { \mathbf A } ) } & { { } = \int f \left[ \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta f } , \frac { \delta \mathcal { G } } { \delta f } \right] _ { x v } \mathrm { d } { \mathbf x } \mathrm { d } { \mathbf v } + \int \frac { \nabla \times { \mathbf A } } { \int f \mathrm { d } { \mathbf v } } \cdot \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta { \mathbf A } } \times \frac { \delta \mathcal { G } } { \delta { \mathbf A } } \mathrm { d } { \mathbf x } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { H ^ { 2 } ( t , y , \delta , u , p ^ { 2 } , q ^ { 2 } , r ^ { 2 } ( \cdot ) , w ^ { 2 } , e _ { i } ) = \ h _ { 2 } ( t , e _ { i } ) \ln ( u ) + ( \tilde { p } - a ( t , e _ { i } ) ) - \delta ) p _ { 1 } ^ { 2 } + x _ { 2 } u p _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { \quad - \sigma _ { 1 } ( t , e _ { i } ) q _ { 1 1 } ^ { 2 } + x _ { 2 } \sigma _ { 2 } ( t , e _ { i } ) q _ { 2 2 } ^ { 2 } + x _ { 2 } \int _ { \mathbb { R } _ { 0 } } \eta ( t - , e _ { i } , z ) r _ { 2 } ^ { 2 } ( t - , z ) \nu ( d z ) + \sum _ { j = 1 } ^ { D } - \gamma ^ { i j } ( t ) w _ { 1 } ^ { 2 , j } \mu _ { i j } ( t ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { Q = Q _ { 0 } - \frac { K } { 2 \sinh ( 2 K ) } - \frac { K ^ { 2 } } { 2 Q _ { 0 } } \frac { Y ^ { 2 } + 6 Y + 5 } { Y ( Y + 4 ) } \; . } \end{array}
C ( { \overline { { Q } } } ^ { i } Q _ { i } ) ( { \overline { { Q } } } ^ { j } Q _ { j } ) + C ^ { \prime } \epsilon _ { i j } \epsilon ^ { { k } { l } } ( { \overline { { Q } } } ^ { i } Q _ { k } ) ( { \overline { { Q } } } ^ { j } Q _ { l } ) ~ .
\begin{array} { r l r } { ( \boldsymbol { v } , \boldsymbol { w } ) _ { \mathcal { T } _ { h } ^ { ' } } } & { = } & { \sum _ { \tau \in \mathcal { T } _ { h } ^ { ' } } \int _ { \tau } \boldsymbol { v } \cdot \boldsymbol { w } \mathrm { d } \boldsymbol { x } , \quad \forall \boldsymbol { v } , \boldsymbol { w } \in \boldsymbol { L } ^ { 2 } ( \Omega ) , \ \forall \mathcal { T } _ { h } ^ { ' } \subset \mathcal { T } _ { h } , } \\ { < \boldsymbol { v } , \boldsymbol { w } > _ { \mathcal { F } _ { h } ^ { ' } } } & { = } & { \sum _ { f \in \mathcal { F } _ { h } ^ { ' } } \int _ { f } \boldsymbol { v } \cdot \boldsymbol { w } \mathrm { d } \boldsymbol { s } , \quad \forall \boldsymbol { v } , \boldsymbol { w } \in \boldsymbol { L } ^ { 2 } ( \mathcal { F } _ { h } ) , \ \forall \mathcal { F } _ { h } ^ { ' } \subset \mathcal { F } _ { h } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { q c _ { 1 } - c _ { 2 } + \frac { \alpha _ { 1 } } { \Delta _ { 2 } - 1 } > \frac { q \sigma _ { 1 } } { 2 } + \frac { q ( \sigma _ { 1 } \mod 2 ) } { 2 } - q c _ { 1 } - q - \frac { \sigma _ { 2 } } { 2 } - \frac { 1 ( \sigma _ { 2 } \mod 2 ) } { 2 } + c _ { 2 } + } \\ & { + 1 + \frac { \sigma _ { 2 } \mod 2 } { 2 } - \frac { q ( \sigma _ { 1 } \mod 2 ) } { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E 1 _ { P V } ( T ) } & { = } & { \sum _ { n \ge 1 0 } \frac { \langle 7 S _ { 1 / 2 } | D | n P _ { 1 / 2 } \rangle \langle n P _ { 1 / 2 } | H _ { W } | 6 S _ { 1 / 2 } \rangle } { ( E _ { 6 S _ { 1 / 2 } } - E _ { n P _ { 1 / 2 } } ) } } \\ & { + } & { \sum _ { n \ge 1 0 } \frac { \langle 7 S _ { 1 / 2 } | H _ { W } | n P _ { 1 / 2 } \rangle \langle n P _ { 1 / 2 } | D | 6 S _ { 1 / 2 } \rangle } { ( E _ { 7 S _ { 1 / 2 } } - E _ { n P _ { 1 / 2 } } ) } , \ \ \ } \end{array}
\Vert N _ { \rho } ( t , u ) - N _ { \rho } ( t , v ) \Vert _ { V } \leq \rho C _ { \alpha , p , d } t ^ { 1 - \alpha } \operatorname* { m a x } \left\{ 1 , e ^ { 2 t \omega } \right\} \Vert u - v \Vert _ { V } ,
\begin{array} { r } { p ( x | c ) = p \left( x | \vec { \lambda } ( c ) \right) = \frac { 1 } { Z \left( \vec { \lambda } ( c ) \right) } h ( x ) e ^ { - \sum _ { i = 1 } ^ { k } \lambda _ { i } ( c ) x ^ { i } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \mathbf { E } _ { x _ { 0 } } g ( x _ { 0 } ) - \mathbf { E } _ { x _ { 1 } } g ( x _ { 1 } ) | } & { { } \leq | \mathbf { E } _ { x _ { 0 } } g ( x _ { 0 } ) - \mathbf { E } _ { x _ { 0 } } h ( x _ { 0 } ) | } \end{array}
\left( \begin{array} { l l l } { \mathbf { N } ^ { T } } & { ( \mathbf { M _ { 2 } } \mathbf { \Lambda _ { 2 } } ) ^ { T } } & { ( \mathbf { M _ { 1 } } \mathbf { \Lambda _ { 1 } } ) ^ { T } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \mathbf { N } } \\ { \mathbf { M _ { 2 } } \mathbf { \Lambda _ { 2 } } } \\ { \mathbf { M _ { 1 } } \mathbf { \Lambda _ { 1 } } } \end{array} \right) \mathbf { P } = \mathbf { N } ^ { T } \mathbf { Q } ,
- i \left( \delta _ { i j } - { \frac { K _ { i } K _ { j } } { \left| { \bf K } \right| ^ { 2 } } } \right) { \frac { 1 } { \left| { \bf K } \right| ^ { 2 } - v ^ { 2 } \left( K ^ { 0 } \right) ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r l } { \frac { d \sigma } { d \theta } } & { = 1 6 \pi ^ { 2 } \alpha I _ { \mathrm { L } } \frac { k _ { f } } { k _ { i } } \left\vert \frac { a _ { i f } } { 3 } \right\vert ^ { 2 } \frac { 1 } { \beta } \left( \frac { k _ { i } } { k _ { f } } \right) ^ { 3 } \theta ^ { 2 } , \qquad \beta \gg \frac { k _ { f } } { k _ { i } } \theta ^ { 2 } } \end{array}