harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { W _ { f } ( \tilde { w } , n ) = } \\ & { \sqrt { \tilde { w } \Delta x } \left( \frac { \tilde { w } } { h } \right) ^ { 3 } \sum _ { n ^ { \prime } = - N _ { d } } ^ { N _ { d } + 4 } \sum _ { l = l _ { 0 } } ^ { l _ { 0 } + 7 } b ( n ^ { \prime } ) g ( l ) \beta ^ { 7 } \left( n { - } \frac { ( n ^ { \prime } { - } 2 ) h } { \tilde { w } } { - } l { - } 2 \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { P } \left[ Y _ { n + 1 } \in \hat { C } _ { \alpha } ^ { \textup { n a i v e } } ( X _ { n + 1 } ) \right] = \mathbb { E } \left[ \mathbb { P } \left[ \hat { u } _ { Y _ { n + 1 } } ^ { \textup { n a i v e } } ( X _ { n + 1 } ; t ^ { * } ) > \alpha \mid \mathcal { D } _ { \mathrm { e s - c a l } } \right] \right] = \mathbb { E } \left[ W _ { t ^ { * } } \right] \geq \mathbb { E } \left[ \operatorname* { m i n } _ { t \in [ T ] } W _ { t } \right] . } \end{array}
\hat { H } _ { 0 } ( r ) = \left( \begin{array} { c c c c } { V _ { 2 2 } ^ { 2 2 } ( r ) - 2 \Delta _ { 1 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { V _ { 2 1 } ^ { 2 1 } ( r ) - \Delta _ { 1 } - \Delta _ { 2 } } & { V _ { 1 2 } ^ { 2 1 } ( r ) } & { 0 } \\ { 0 } & { V _ { 2 1 } ^ { 1 2 } ( r ) } & { V _ { 1 2 } ^ { 1 2 } ( r ) - \Delta _ { 1 } - \Delta _ { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { V _ { 1 1 } ^ { 1 1 } ( r ) - 2 \Delta _ { 2 } } \end{array} \right) ,
{ \cal H } _ { T C S } ( s , m , E _ { c u t } ) = \left\{ \left| \Psi \right\rangle : \: P \left| \Psi \right\rangle = s \left| \Psi \right\rangle , Q \left| \Psi \right\rangle = m \left| \Psi \right\rangle , H _ { C F T } \left| \Psi \right\rangle \leq E _ { c u t } \left| \Psi \right\rangle \right\} \: .
E _ { i j } ( s , t ) = D _ { \mu \nu } \bigl [ \gamma _ { i } ( s ) - \gamma _ { j } ( t ) \bigr ] \dot { \gamma } _ { i } ^ { \mu } ( s ) \dot { \gamma } _ { j } ^ { \nu } ( t ) \ , \qquad i , j = 1 , \dots , 4 \ \, ,
\int _ { \Omega } \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta v } \wedge \partial v + \int _ { \Sigma } \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta \Sigma } \wedge \partial \Sigma = \int _ { \Omega } \frac { \delta \tilde { \mathcal { F } } } { \delta \eta } \wedge \partial \eta + \int _ { \partial \Omega } \frac { \delta \tilde { \mathcal { F } } } { \delta \phi _ { \partial } } \wedge \partial \phi _ { \partial } + \int _ { \Sigma } \frac { \delta \tilde { \mathcal { F } } } { \delta \Sigma } \wedge \partial \Sigma .
\begin{array} { r l } { j ^ { - 1 } \geq } & { \operatorname* { l i m } _ { k \to \infty } \operatorname* { s u p } _ { d ( x , x _ { 0 } ) \leq k ^ { - 1 } } \frac { \lVert \mathfrak { D } _ { j } ( x _ { 0 } ) [ \varphi ( x _ { 0 } ) ^ { - 1 } \varphi ( x ) ] ^ { - 1 } f ( x _ { 0 } ) ^ { - 1 } f ( x ) \rVert _ { \mathbb { H } } } { d ( x , x _ { 0 } ) } } \\ { \geq } & { \operatorname* { l i m } _ { k \to \infty } \operatorname* { s u p } _ { d ( x , x _ { 0 } ) \leq k ^ { - 1 } } \frac { \lVert \mathfrak { D } _ { j } ( x _ { 0 } ) [ \varphi ( x _ { 0 } ) ^ { - 1 } \varphi ( x ) ] ^ { - 1 } D f ( x _ { 0 } ) [ \varphi ( x _ { 0 } ) ^ { - 1 } \varphi ( x ) ] \rVert _ { \mathbb H } } { d ( x , x _ { 0 } ) } } \\ & { \qquad - \operatorname* { l i m } _ { k \to \infty } \operatorname* { s u p } _ { d ( x , x _ { 0 } ) \leq k ^ { - 1 } } \frac { \lVert D f ( x _ { 0 } ) [ \varphi ( x _ { 0 } ) ^ { - 1 } \varphi ( x ) ] ^ { - 1 } f ( x _ { 0 } ) ^ { - 1 } f ( x ) \rVert _ { \mathbb { H } } } { d ( x , x _ { 0 } ) } } \\ { \geq } & { \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq \ell \leq n _ { 1 } ( \mathbb { G } ) } \operatorname* { l i m s u p } _ { k \to \infty } \frac { \lVert \mathfrak { D } _ { j } ( x _ { 0 } ) [ \varphi ( x _ { 0 } ) ^ { - 1 } \varphi ( x _ { \ell } ( k ) ) ] ^ { - 1 } D f ( x _ { 0 } ) [ \varphi ( x _ { 0 } ) ^ { - 1 } \varphi ( x _ { \ell } ( k ) ) ] \rVert } { d ( x _ { \ell } ( k ) , x _ { 0 } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( E _ { 5 } ) ^ { 2 } } & { = \mathbb { V } \{ \varDelta s _ { k } ^ { ( \mathrm { L } ) } \} } \\ & { = ( \sigma _ { n 2 } ) ^ { 2 } + \frac { \mathbb { V } \{ a _ { \mathrm { j i t t e r } } ( s _ { k } ^ { \prime } ) \} } { ( \omega V _ { 0 } ) ^ { 2 } } + \frac { \mathbb { V } \{ a _ { \mathrm { P I , L } } ( s _ { k } ^ { \prime } ) \} } { ( \omega V _ { 0 } ) ^ { 2 } } , } \\ { ( E _ { 6 } ) ^ { 2 } } & { = \mathbb { V } \{ \varDelta s _ { k } ^ { ( \mathrm { R } ) } \} } \\ & { = ( \sigma _ { n 2 } ) ^ { 2 } + \frac { \mathbb { V } \{ a _ { \mathrm { j i t t e r } } ( s _ { k } ^ { \prime } ) \} } { ( \omega V _ { 0 } ) ^ { 2 } } + \frac { \mathbb { V } \{ a _ { \mathrm { P I , R } } ( s _ { k } ^ { \prime } ) \} } { ( \omega V _ { 0 } ) ^ { 2 } } , } \\ { ( E _ { 7 } ) ^ { 2 } } & { = \mathbb { V } \{ \varDelta s _ { k } ^ { ( \mathrm { L } ) } - \varDelta s _ { k } ^ { ( \mathrm { R } ) } \} } \\ & { = \frac { \mathbb { V } \{ a _ { \mathrm { P I , L } } ( s _ { k } ^ { \prime } ) \} + \mathbb { V } \{ a _ { \mathrm { P I , R } } ( s _ { k } ^ { \prime } ) \} } { ( \omega V _ { 0 } ) ^ { 2 } } , } \\ { ( E _ { 8 } ) ^ { 2 } } & { = \mathbb { V } \{ \varDelta s _ { k } ^ { ( \mathrm { L } ) } + \varDelta s _ { k } ^ { ( \mathrm { R } ) } \} } \\ & { = 4 ( \sigma _ { n 2 } ) ^ { 2 } + 4 \frac { \mathbb { V } \{ a _ { \mathrm { j i t t e r } } ( s _ { k } ^ { \prime } ) \} } { ( \omega V _ { 0 } ) ^ { 2 } } } \\ & { \quad \quad + \frac { \mathbb { V } \{ a _ { \mathrm { P I , L } } ( s _ { k } ^ { \prime } ) \} + \mathbb { V } \{ a _ { \mathrm { P I , R } } ( s _ { k } ^ { \prime } ) \} } { ( \omega V _ { 0 } ) ^ { 2 } } , } \end{array}
\operatorname * { l i m } { \frac { F _ { a } ( \Sigma ^ { * } , x _ { 0 } , \{ l _ { P } \} ) U ^ { ( \nu ) } ( C , x _ { 0 } ) } { \langle F _ { a } ( \Sigma ^ { * } , x _ { 0 } , \{ l _ { P } \} ) \rangle \langle t r U ^ { ( \nu ) } ( C , x _ { 0 } ) } } \rangle = { \frac { 1 } { n _ { \nu } } } D ^ { \nu } \left( a ^ { k ( \Sigma ^ { * } , C ) } \right)
\left\{ \begin{array} { r l r l r l } { \nabla \cdot ( \epsilon _ { n } ( u ) \nabla \psi ) + ( p _ { n } - u ^ { p _ { n } } ) ^ { 1 / ( 2 m + 1 ) } \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { c } } c _ { j } ^ { \infty } q _ { j } e ^ { - \beta \psi q _ { j } } + \rho } & { = 0 } & & { \mathrm { i n } } & & { \Omega ; } \\ { \psi } & { = \psi _ { D } } & & { \mathrm { o n } } & & { \partial \Omega ; } \\ { \nabla \cdot \left( \theta | \nabla u | ^ { p _ { n } - 2 } \nabla u \right) - u ^ { p _ { n } - 1 } V _ { m , n } ( u , \psi ) } & { = 0 } & & { \mathrm { i n } } & & { \Omega _ { \mathrm { t } } ; } \\ { u } & { = 1 } & & { \mathrm { i n } } & & { \Omega _ { \mathrm { i } } \cup \Sigma _ { 1 } ; } \\ { u } & { = 0 } & & { \mathrm { i n } } & & { \Omega _ { \mathrm { e } } \cup \Sigma _ { 0 } } \end{array} \right.
I ( \Omega _ { p + 1 } ) \equiv { } \frac { 1 } { 2 } \int _ { \cal { M } } \Omega _ { p + 1 } \wedge { } * \Omega _ { p + 1 } { } + g _ { p } \int _ { \Sigma _ { p + 1 } } \Omega _ { p + 1 }
\begin{array} { r l } { \overline { { y } } ( \boldsymbol { p } _ { \ast } ) } & { { } = \mu _ { 0 } + \boldsymbol { k } ^ { \mathrm { T } } ( \boldsymbol { p } _ { \ast } ) \mathbf { K } ^ { - 1 } [ \boldsymbol { Y } - \mu _ { 0 } \boldsymbol { 1 } ] \, , } \\ { \sigma ^ { 2 } ( \boldsymbol { p } _ { \ast } ) } & { { } = \sigma _ { 0 } ^ { 2 } - \boldsymbol { k } ^ { \mathrm { T } } ( \boldsymbol { p } _ { \ast } ) \mathbf { K } ^ { - 1 } \boldsymbol { k } ( \boldsymbol { p } _ { \ast } ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { B } _ { 0 } ^ { \mathbf { C } } \cdot s _ { \tau _ { 1 } } ^ { \mathbf { D D } } \cdot \left( \ln \mathbf { B } _ { 0 } ^ { \mathbf { C } } \cdot s _ { \tau _ { 1 } } ^ { \mathbf { D D } } - \ln \mathbf { C } \right) = \mathbf { B } _ { \tau _ { 1 } } ^ { \mathbf { D } } \cdot s _ { \tau _ { 1 } } ^ { \mathbf { D D } } \cdot \left( \ln \mathbf { B ^ { \mathbf { D } } } _ { \tau _ { 1 } } \cdot s _ { \tau _ { 1 } } ^ { \mathbf { D D } } - \ln \mathbf { C } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { m _ { 4 } ( q , \zeta , \zeta ^ { 1 } ) = ( - 4 \beta _ { 3 } ^ { 2 } + 3 \beta _ { 2 } \beta _ { 3 } ) { { \sigma _ { p } } } ( Q _ { g } ) ( y , \eta , q , \zeta ) ( { { \sigma _ { p } } } ( Q _ { g } ) ( q , \zeta , x _ { 1 } , \xi _ { 1 } ^ { \sharp } ) \sigma _ { { p } } ( v _ { 1 } ) ( x _ { 1 } , \xi _ { 1 } ^ { \sharp } ) ) ^ { 4 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \rho ( | D \varphi | , \varphi ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \big ( 1 + ( \gamma - 1 ) ( B - \frac 1 2 | D \varphi | ^ { 2 } - \varphi ) \big ) ^ { \frac { 1 } { \gamma - 1 } } } & { \quad \mathrm { i f } \; \gamma > 1 \, , } \\ { \, \mathrm { e x p } ( B - \frac 1 2 | D \varphi | ^ { 2 } - \varphi ) } & { \quad \mathrm { i f } \; \gamma = 1 \, . } \end{array} \right. } \end{array}
G ^ { \gamma } ( - , - , + ) = ( - 1 ) K _ { g } ^ { \gamma } \delta _ { 1 4 } \delta _ { 2 3 } \left( { \frac { Q _ { 1 } } { s _ { 2 3 } } } H _ { 1 4 3 2 5 } + { \frac { Q _ { 3 } } { s _ { 1 4 } } } H _ { 3 2 1 4 5 } \right) \; ,
{ \frac { d ^ { 2 } \mathbf { x } _ { \mathrm { A } } } { d t ^ { 2 } } } = \mathbf { a } _ { \mathrm { A B } } + { \frac { d \mathbf { v } _ { \mathrm { B } } } { d t } } + \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } { \frac { d x _ { j } } { d t } } { \frac { d \mathbf { u } _ { j } } { d t } } + \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } x _ { j } { \frac { d ^ { 2 } \mathbf { u } _ { j } } { d t ^ { 2 } } } .
\hat { \xi } _ { x } = \left( y _ { \eta } z \right) _ { \zeta } - \left( y _ { \zeta } z \right) _ { \eta } , \quad \hat { \eta } _ { x } = \left( y _ { \zeta } z \right) _ { \xi } - \left( y _ { \xi } z \right) _ { \zeta } , \quad \hat { \zeta } _ { x } = \left( y _ { \xi } z \right) _ { \eta } - \left( y _ { \eta } z \right) _ { \xi }
\begin{array} { r } { k ( L , \tau ) = \frac { P ^ { \mathrm { i n } } ( L ) \rho _ { L _ { \mathrm { t s } } } ( \tau | L ) } { R _ { L _ { \mathrm { t s } } } ( L , \tau ; \tau _ { 0 } ) } \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \tilde { \psi } _ { \mathrm { A } } } { \partial t } \approx } & { - i \left( \delta \omega _ { \mathrm { A } } - \epsilon D _ { 1 } k _ { 0 } + \omega _ { 0 } \right) \tilde { \psi } _ { \mathrm { A } } - \epsilon D _ { 1 } \frac { \partial \tilde { \psi } _ { \mathrm { A } } } { \partial \theta } + i G \tilde { \psi } _ { \mathrm { B } } } \\ & { + i g _ { \mathrm { N L } } \vert \tilde { \psi } _ { \mathrm { A } } \vert ^ { 2 } \tilde { \psi } _ { \mathrm { A } } } \\ & { - \frac { \kappa } { 2 } \tilde { \psi } _ { \mathrm { A } } + i \frac { D _ { 2 } } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } \tilde { \psi } _ { \mathrm { A } } } { \partial \theta ^ { 2 } } + F \exp ( i k _ { 0 } \theta - i \omega _ { 0 } t ) } \\ { \frac { \partial \tilde { \psi } _ { \mathrm { B } } } { \partial t } \approx } & { - i \left( \delta \omega _ { \mathrm { B } } + \epsilon D _ { 1 } k _ { 0 } + \omega _ { 0 } \right) \tilde { \psi } _ { \mathrm { B } } + \epsilon D _ { 1 } \frac { \partial \tilde { \psi } _ { \mathrm { B } } } { \partial \theta } + i G \tilde { \psi } _ { \mathrm { A } } } \\ & { + i g _ { \mathrm { N L } } \vert \tilde { \psi } _ { \mathrm { B } } \vert ^ { 2 } \tilde { \psi } _ { \mathrm { B } } } \\ & { - \frac { \kappa } { 2 } \tilde { \psi } _ { \mathrm { B } } + i \frac { D _ { 2 } } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } \tilde { \psi } _ { \mathrm { B } } } { \partial \theta ^ { 2 } } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { F \left( n _ { 1 } , n _ { 2 } , n _ { 3 } , \lambda \right) } & { = \tau ^ { 2 } + \lambda \left( g \left( n _ { 1 } , n _ { 2 } , n _ { 3 } \right) - 1 \right) } \\ & { = \sigma _ { 1 } ^ { 2 } n _ { 1 } ^ { 2 } + \sigma _ { 2 } ^ { 2 } n _ { 2 } ^ { 2 } + \sigma _ { 3 } ^ { 2 } n _ { 3 } ^ { 2 } - \left( \sigma _ { 1 } n _ { 1 } ^ { 2 } + \sigma _ { 2 } n _ { 2 } ^ { 2 } + \sigma _ { 3 } n _ { 3 } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } + \lambda \left( n _ { 1 } ^ { 2 } + n _ { 2 } ^ { 2 } + n _ { 3 } ^ { 2 } - 1 \right) } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \langle \mathrm { R } \vert { \bar { \mathcal { P } } } } & { { } = C _ { 1 } \langle \mathrm { R } \vert + C _ { 2 } \langle \mathrm { R } \vert E _ { I A } ^ { \beta } + C _ { 3 } \langle \mathrm { R } \vert E _ { I A } ^ { \alpha } E _ { I A } ^ { \beta } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { | x _ { p } - s _ { p } ( M ) | = d _ { j } } & { \mathrm { ~ ~ f o r ~ a l l ~ ~ } p \in N _ { j } , ~ j \le t - 1 } \\ & { | x _ { p } - s _ { p } ( M ) | = d _ { t } } & { \mathrm { ~ ~ f o r ~ a l l ~ ~ } p \in N _ { t } } \\ & { | x _ { p } - s _ { p } ( M ) | < d _ { t } } & { \mathrm { ~ ~ f o r ~ a l l ~ ~ } p \in N \setminus ( N _ { 1 } \cup \dots \cup N _ { t } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { X _ { 1 } = \frac { 1 } { \Delta ^ { 2 } } [ \zeta ( { \mathbf { C } } , { \mathbf { C } } ) + \frac { 1 } { \Delta } [ \gamma ( { \mathbf { C } } ) \zeta ( { \mathbf { C } } ) \widetilde { \gamma } + \widetilde { \gamma } \eta ( { \mathbf { C } } ) ^ { 2 } ] + \frac { 1 } { \Delta ^ { 2 } } [ \eta ( { \mathbf { C } } ) \widetilde { \gamma } ^ { 2 } \gamma ( { \mathbf { C } } ) \eta - \widetilde { \eta } \gamma \gamma ( { \mathbf { C } } ) \eta ( { \mathbf { C } } ) ] ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { w _ { 3 } ( x ) } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l } { - \frac { 2 c } { L } x , } & { 0 \leq x < \frac { L } { 2 } , } \\ { \frac { 2 c } { L } x - 2 c , } & { \frac { L } { 2 } \leq x \leq L } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { F ^ { * } = \operatorname* { m a x } _ { x , r \in \mathrm { I \! R } ^ { n } } F ( x , r ) = \operatorname* { m a x } _ { x , r \in \mathrm { I \! R } ^ { n } } \, F ( x , r ) = \; } & { t \| g + r \| ^ { 2 } - 2 \langle x , g + r \rangle } \\ & { \langle g , x \rangle \geq P } & { ( \lambda ) } \\ & { \| r \| ^ { 2 } \leq R ^ { 2 } } & { ( \gamma ) } \\ & { \| x \| ^ { 2 } \leq d ^ { 2 } } & { ( \xi ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { \tilde { x } } _ { u } = } & { A _ { u } \tilde { x } _ { u } + A _ { r } \tilde { x } _ { o } - \gamma V _ { u } ^ { T } \left( \mathcal { L } _ { \sigma ( t ) } \otimes I _ { n } \right) \big [ V _ { u } \tilde { x } _ { u } + V _ { o } \tilde { x } _ { o } \big ] } \\ { = } & { M ( t ) \tilde { x } _ { u } + N ( t ) \tilde { x } _ { o } } \end{array}
\frac { \tilde { \mu } _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ d ~ } } } { \tilde { d } _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ d ~ } } } = \frac { \tilde { a } _ { M } } { \tilde { a } _ { E } } = \frac { a _ { M } } { a _ { E } } = \frac { \mu _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ d ~ } } } { d _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ d ~ } } } = - \chi \frac { C _ { 2 } + 1 } { C _ { 2 } } .
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { 2 } \mathbf { J } - \mathbf { n } \times \int _ { S ^ { \prime } } \big [ \mathbf { J } ( \mathbf { x } ^ { \prime } ) \times \nabla ^ { \prime } G ( \mathbf { x } , \mathbf { x } ^ { \prime } ) \big ] d S ^ { \prime } = \mathbf { n } \times \mathbf { H } ^ { \mathcal { I } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathfrak { M } _ { d _ { i } ( \mathcal { R } _ { n } \psi _ { n } ) ( i _ { 0 } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] } ^ { \sharp } ( 0 , s _ { 0 } ) } \\ & { \le _ { \mathtt { p e } } \left( \mathfrak { M } _ { d _ { i } ( \mathcal { R } _ { n } ) ( i _ { 0 } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] } ^ { \sharp } ( 0 , s _ { 0 } ) \mathfrak { M } _ { \psi _ { n } } ^ { \sharp } ( 0 , s _ { 0 } ) + \mathfrak { M } _ { d _ { i } ( \psi _ { n } ) ( i _ { 0 } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] } ^ { \sharp } ( 0 , s _ { 0 } ) \mathfrak { M } _ { \mathcal { R } _ { n } } ^ { \sharp } ( 0 , s _ { 0 } ) \right) } \\ & { \overset { , , , } { \le _ { \mathtt { p e } } } \left( \varepsilon ^ { 3 } \gamma ^ { - 1 } \varepsilon ^ { 1 1 - 1 0 b } + \varepsilon ^ { 3 - 4 b } \mathbb { M } _ { 0 } ( s _ { 0 } ) \right) \varepsilon ^ { 1 1 - 1 0 b } N _ { n } ^ { 2 \tau + 1 } N _ { n - 1 } ^ { - 2 \sigma _ { 1 } } \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { \mathtt { p } , 1 } } } \\ & { \overset { \le _ { \mathtt { p e } } } \varepsilon ^ { 3 } \gamma ^ { - 1 } \varepsilon ^ { 1 1 - 1 0 b } N _ { n } ^ { 2 \tau + 1 } N _ { n - 1 } ^ { - 2 \sigma _ { 1 } } \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { \mathtt { p } , 1 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { H ( u ^ { 2 \ell + 1 } - \bar { u } , u ^ { 2 \ell } - \bar { u } ) } & { \le ( 1 + \kappa \Delta t ) ^ { - \ell } H ( u ^ { 1 } - \bar { u } , u ^ { 0 } - \bar { u } ) , } \\ { H ( u ^ { 2 \ell + 2 } - \bar { u } , u ^ { 2 \ell + 1 } - \bar { u } ) } & { \le ( 1 + \kappa \Delta t ) ^ { - \ell } H ( u ^ { 2 } - \bar { u } , u ^ { 1 } - \bar { u } ) } \\ & { \le ( 1 + \kappa \Delta t ) ^ { - \ell } H ( u ^ { 1 } - \bar { u } , u ^ { 0 } - \bar { u } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { I \dot { \boldsymbol \Omega } = [ I { \boldsymbol \Omega } , { \boldsymbol \Omega } ] , } \\ { \dot { R } _ { i j } = - \epsilon _ { j k p } \Omega _ { k } R _ { i p } , } \\ { \frac 1 2 \sum _ { i } I _ { i } \Omega _ { i } ^ { 2 } = E = \mathrm { c o n s t } , } \\ { R I { \boldsymbol \Omega } = { \bf m } = \mathrm { c o n s t } . } \end{array}
U = L ^ { 3 } { \frac { 8 \pi } { h ^ { 3 } c ^ { 3 } } } \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { \varepsilon ^ { 3 } } { e ^ { \beta \varepsilon } - 1 } } \, d \varepsilon . \qquad { \mathrm { ( 3 ) } }
y _ { k + 1 } = y _ { k } - [ \phi ^ { \prime \prime } ( y _ { k } ) ] ^ { - 1 } \phi ^ { \prime } ( y _ { k } ) = y _ { k } - [ A ^ { T } f ^ { \prime \prime } ( A y _ { k } ) A ] ^ { - 1 } A ^ { T } f ^ { \prime } ( A y _ { k } ) = A ^ { - 1 } x _ { k } - A ^ { - 1 } [ f ^ { \prime \prime } ( x _ { k } ) ] ^ { - 1 } f ^ { \prime } ( x _ { k } ) = A ^ { - 1 } x _ { k + 1 }
\left\{ \begin{array} { l l } { D ( v _ { A } ) : = \{ ( \nabla v _ { A } ) + ^ { t } ( \nabla v _ { A } ) \} / 2 , } \\ { D ( v _ { B } ) : = \{ ( \nabla v _ { B } ) + ^ { t } ( \nabla v _ { B } ) \} / 2 , } \\ { D _ { \Gamma } ( v _ { S } ) : = \{ ( P _ { \Gamma } \nabla _ { \Gamma } v _ { S } ) + ^ { t } ( P _ { \Gamma } \nabla _ { \Gamma } v _ { S } ) \} / 2 , } \end{array} \right.
\theta \approx \frac { d z } { d r } = \left[ \int _ { 0 } ^ { r } \frac { \chi B ^ { 2 } \left( r ^ { \prime } , h \right) } { 2 \mu _ { 0 } \gamma } I _ { 0 } \left( \lambda _ { c } ^ { - 1 } r ^ { \prime } \right) r ^ { \prime } d r ^ { \prime } \right] \lambda _ { c } ^ { - 1 } K _ { 1 } \left( \lambda _ { c } ^ { - 1 } r \right) - \left[ \int _ { r } ^ { \infty } \frac { \chi B ^ { 2 } \left( r ^ { \prime } , h \right) } { 2 \mu _ { 0 } \gamma } K _ { 0 } \left( \lambda _ { c } ^ { - 1 } r ^ { \prime } \right) r ^ { \prime } d r ^ { \prime } \right] \lambda _ { c } ^ { - 1 } I _ { 1 } \left( \lambda _ { c } ^ { - 1 } r \right)
\int \, \mathrm { ~ d ~ } q _ { z } e ^ { i q _ { z } s } \left( \frac { q _ { z } ^ { 2 } } { q _ { \rho } ^ { 2 } + q _ { z } ^ { 2 } } - 1 \right) = - q _ { \rho } \pi e ^ { - q _ { \rho } s }
\begin{array} { r l r } & { } & { \langle \Phi _ { f } ( \sigma ) | \Psi _ { f ^ { \prime } } ( \sigma ) \rangle = \delta _ { f f ^ { \prime } } , \, \, \, \, ( f , f ^ { \prime } = n , k ; n = 1 , 2 ) } \\ & { } & { \sum _ { n = 1 , 2 } | \Psi _ { n } ( \sigma ) \rangle \langle \Phi _ { n } ( \sigma ^ { \prime } ) | + \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d k | \Psi _ { k } ( \sigma ) \rangle \langle \Phi _ { k } ( \sigma ^ { \prime } ) | } \\ & { } & { = \hat { I } \delta ( \sigma - \sigma ^ { \prime } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { i } ^ { \prime } ( \mathbf { x } , \omega ^ { \prime } ) = } & { \int _ { 0 } ^ { T _ { \operatorname* { m a x } } } E _ { i } ^ { \prime } ( \mathbf { x } , t ) e ^ { \mathrm { i } \omega ^ { \prime } t } \mathrm { d } t , } \\ { H _ { i } ^ { \prime } ( \mathbf { x } , \omega ^ { \prime } ) = } & { \int _ { 0 } ^ { T _ { \operatorname* { m a x } } } H _ { i } ^ { \prime } ( \mathbf { x } , t ) e ^ { \mathrm { i } \omega ^ { \prime } t } \mathrm { d } t , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } _ { l m , \mathrm { T E } } } & { = \frac { R _ { l } ( k _ { 0 } r ) } { k _ { 0 } r } \mathbf { Y } _ { l } ^ { m } ( \theta , \phi ) } \\ { \mathbf { E } _ { l m , \mathrm { T M } } } & { = \frac { c } { k _ { 0 } r } \left[ - \sqrt { l ( l + 1 ) } \frac { R _ { l } ( k _ { 0 } r ) } { k _ { 0 } r } \mathbf { X } _ { l } ^ { m } ( \theta , \phi ) + i R _ { l } ^ { \prime } ( k _ { 0 } r ) \mathbf { Z } _ { l } ^ { m } ( \theta , \phi ) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Psi ^ { * } \left( \hat { l } _ { - } ( r , \phi , z ) \right) ^ { \dagger } \hat { l } _ { - } ( r , \phi , z ) \Psi } & { { } = } & { \hbar ^ { 2 } \left( \frac { z ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } m ^ { 2 } + k ^ { 2 } r ^ { 2 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { U _ { 1 } = \sum _ { t = \eta _ { k } + 1 } ^ { \eta _ { k } + \widetilde { r } } \vert \vert F _ { t , { h _ { 2 } } } - f _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] } \ast \mathcal { K } _ { { h _ { 2 } } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } ^ { 2 } - \sum _ { t = \eta _ { k } + 1 } ^ { \eta _ { k } + \widetilde { r } } \vert \vert F _ { t , { h _ { 1 } } } - F _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] , { h _ { 1 } } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } ^ { 2 } , \ \mathrm { a n d , } } \\ & { U _ { 2 } = \sum _ { t = \eta _ { k } + 1 } ^ { \eta _ { k } + \widetilde { r } } \vert \vert F _ { t , { h _ { 1 } } } - F _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] , { h _ { 1 } } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } ^ { 2 } - \sum _ { t = \eta _ { k } + 1 } ^ { \eta _ { k } + \widetilde { r } } \vert \vert F _ { t , { h _ { 2 } } } - f _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] } \ast \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d \vec { u } _ { p } } { d t } } & { { } = } & { - \nu _ { p e } \, \left( \vec { u } _ { p } - \vec { b } _ { p p } \right) - \nu _ { p e } \, \left( \vec { u } _ { p } - \vec { b } _ { p B } \right) } \\ { \frac { d \vec { u } _ { B } } { d t } } & { { } = } & { - \nu _ { B e } \, \left( \vec { u } _ { B } - \vec { b } _ { B B } \right) - \nu _ { B e } \, \left( \vec { u } _ { p } - \vec { b } _ { p B } \right) } \\ { \frac { d \vec { u } _ { D } } { d t } } & { { } = } & { - \nu _ { D e } \, \left( \vec { u } _ { D } - \vec { b } _ { D p } \right) - \nu _ { D e } \, \left( \vec { u } _ { D } - \vec { b } _ { D B } \right) } \\ { \frac { d \vec { u } _ { T } } { d t } } & { { } = } & { - \nu _ { T e } \, \left( \vec { u } _ { T } - \vec { b } _ { T p } \right) - \nu _ { T e } \, \left( \vec { u } _ { T } - \vec { b } _ { T B } \right) } \\ { \frac { d \vec { u } _ { \alpha } } { d t } } & { { } = } & { - \nu _ { \alpha e } \, \left( \vec { u } _ { \alpha } - \vec { b } _ { \alpha p } \right) - \nu _ { \alpha e } \, \left( \vec { u } _ { \alpha } - \vec { b } _ { \alpha B } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { | c _ { l } ( \Gamma ) - x _ { l } ( \Gamma ) | \leq ( 2 K _ { 0 } T ) ^ { - 1 } , \quad | a _ { l - 1 } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) | \leq ( 2 K _ { 0 } T ) ^ { - 1 } , } \\ & { } & { | d _ { l } ( \Gamma ) - y _ { l } ( \Gamma ) | \leq ( 2 K _ { 0 } T ) ^ { - 1 } , \quad | b _ { l - 1 } ( \Gamma ) - y _ { l - 1 } ( \Gamma ) | \leq ( 2 K _ { 0 } T ) ^ { - 1 } . } \end{array}
\frac 2 \pi \sum _ { n = 0 } ^ { N } c _ { n } ^ { * } \frac { ( - 2 t ^ { 2 } ) ^ { n } } { n ! } = c _ { N } ^ { * * } \frac 2 \pi \sum _ { n = 0 } ^ { N } \frac { ( - 2 t ^ { 2 } ) ^ { n } } { n ! } < \frac 2 \pi \sum _ { n = 0 } ^ { N } \frac { ( - 2 t ^ { 2 } ) ^ { n } } { n ! } .
\begin{array} { r l r } { \lambda ( t ) } & { = } & { \phi _ { m _ { 0 } } ( t ) + \int _ { t _ { 0 } } ^ { t - t _ { 0 } } \frac { B _ { m _ { 1 } } } { ( t - \tau ) ^ { 1 + \theta } } \lambda ( \tau ) d \tau } \\ & { = } & { \phi _ { m _ { 0 } } ( t ) + \Big [ \frac { B _ { m _ { 1 } } } { \theta } \frac { 1 } { ( t - \tau ) ^ { \theta } } \lambda ( \tau ) \Big ] _ { t _ { 0 } } ^ { t - t _ { 0 } } - \frac { B _ { m _ { 1 } } } { \theta } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t - t _ { 0 } } \frac { 1 } { ( t - \tau ) ^ { \theta } } \lambda ^ { \prime } ( \tau ) d \tau } \\ & { = } & { \phi _ { m _ { 0 } } ( t ) + \frac { B _ { m _ { 1 } } \lambda ( t - t _ { 0 } ) } { \theta t _ { 0 } ^ { \theta } } - \frac { B _ { m _ { 1 } } } { \theta } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t - t _ { 0 } } \frac { 1 } { ( t - \tau ) ^ { \theta } } \lambda ^ { \prime } ( \tau ) d \tau . } \end{array}