harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \hbar \partial _ { t } \check { q } } & { = } & { 2 ( \check { q } - t ) \left( \check { p } + \frac { \hbar } { 2 ( \check { q } - t ) } \right) = 2 \check { p } ( \check { q } - t ) + \hbar } \\ { \hbar \partial _ { t } \check { p } } & { = } & { ( \check { q } - t ) \left( \frac { \hbar \check { p } } { ( \check { q } - t ) ^ { 2 } } - \frac { 2 t _ { X _ { 1 } ^ { ( 1 ) } , 0 } ^ { 2 } } { ( \check { q } - t ) ^ { 3 } } + 2 \check { q } - \frac { H _ { X _ { 1 } , 1 } } { ( \check { q } - t ) ^ { 2 } } \right) } \\ & { = } & { - \check { p } ^ { 2 } - \frac { t _ { X _ { 1 } ^ { ( 1 ) } , 0 } ^ { 2 } } { ( \check { q } - t ) ^ { 2 } } + 3 \check { q } ^ { 2 } - 2 t \check { q } + 2 t _ { \infty ^ { ( 1 ) } , 0 } - \hbar } \\ & { = } & { - \check { p } ^ { 2 } - \frac { t _ { X _ { 1 } ^ { ( 1 ) } , 0 } ^ { 2 } } { ( \check { q } - t ) ^ { 2 } } + 3 ( \check { q } - t ) ^ { 2 } + 4 t ( \check { q } - t ) + t ^ { 2 } + 2 t _ { \infty ^ { ( 1 ) } , 0 } - \hbar } \end{array}
n ^ { 2 } ( x ^ { \perp } , t ) = \frac { C ^ { 2 } } { 4 t ^ { 2 } } \frac { \left( 4 t ^ { 2 } - { x ^ { \perp } } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } { C ^ { 2 } { x ^ { \perp } } ^ { 2 } + 4 \sqrt { C ^ { 4 } - 4 I } x ^ { \perp } t + 4 C ^ { 2 } t ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { 2 \sum _ { j = 3 } ^ { \alpha } \gamma ^ { j } \binom { \alpha } { j } e ^ { ( j - 1 ) \varepsilon ( j ) } \leq } & { \ \frac { 1 } { 3 } \sum _ { j = 3 } ^ { \alpha } ( \gamma \alpha e ^ { \varepsilon ( \alpha ) } ) ^ { j } } \\ { \leq } & { \ \frac { 1 } { 3 } \frac { ( \gamma \alpha e ^ { \varepsilon ( \alpha ) } ) ^ { 3 } } { 1 - \gamma \alpha e ^ { \varepsilon ( \alpha ) } } } \\ { \leq } & { \ \frac { 2 ( \gamma \alpha e ^ { \varepsilon ( \alpha ) } ) ^ { 3 } } { 3 } } \end{array}
\left( - \frac { 1 } { 2 m _ { 0 } } \partial ^ { \mu } \partial _ { \mu } - \mu _ { e x t } \right) \Psi _ { e x t } \left( x ^ { \mu } \right) \Psi _ { i n t } \left( x ^ { m } , x ^ { \mu } \right) = 0
m _ { i } ^ { t } = \frac { \sum _ { t _ { i } = 0 } ^ { t } p \left( \boldsymbol { O } _ { i } \mid t _ { i } \right) p _ { 0 } \left( t _ { i } \right) e ^ { K _ { i } ^ { \rightarrow } \left( t _ { i } \right) } \left[ 1 - \mathbb { I } _ { 1 \leq t _ { i } \leq T } e ^ { \mathcal { R } _ { i } ^ { \rightarrow } \left( t _ { i } - 1 \right) } \right] e ^ { K _ { i } ^ { \leftarrow } \left( t _ { i } \right) } } { \sum _ { t _ { i } = 0 } ^ { T + 1 } p \left( \boldsymbol { O } _ { i } \mid t _ { i } \right) p _ { 0 } \left( t _ { i } \right) e ^ { K _ { i } ^ { \rightarrow } \left( t _ { i } \right) } \left[ 1 - \mathbb { I } _ { 1 \leq t _ { i } \leq T } e ^ { \mathcal { R } _ { i } ^ { \rightarrow } \left( t _ { i } - 1 \right) } \right] e ^ { K _ { i } ^ { \leftarrow } \left( t _ { i } \right) } }
\begin{array} { r l } { ( 2 z _ { 3 } \partial _ { z _ { 4 } } - \frac { 1 } { 2 } z _ { 4 } \partial _ { z _ { 3 } } ) ^ { 2 } } & { = - ( z _ { 3 } \partial _ { z _ { 3 } } + z _ { 4 } \partial _ { z _ { 4 } } ) , } \\ { ( 2 z _ { 3 } \partial _ { z _ { 4 } } - \frac { 1 } { 2 } z _ { 4 } \partial _ { z _ { 3 } } ) ^ { 3 } } & { = - ( 2 z _ { 3 } \partial _ { z _ { 4 } } - \frac { 1 } { 2 } z _ { 4 } \partial _ { z _ { 3 } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { L ( t ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \downarrow 0 } \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } \left( \frac { a } { \sqrt { X ( s ) + \varepsilon } } - \frac { \sigma ^ { 2 } } { 4 } \frac { X ( s ) } { ( X ( s ) + \varepsilon ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \right) d s } \\ & { = - \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \downarrow 0 } \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } \left( \frac { \frac { \sigma ^ { 2 } } { 4 } - a } { \sqrt { X ( s ) + \varepsilon } } - \frac { \sigma ^ { 2 } } { 4 } \frac { \varepsilon } { ( X ( s ) + \varepsilon ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \right) d s . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { h _ { g z } ^ { k , t } : = \nabla _ { y } g ( x _ { k } , z _ { k , t } ; \phi _ { z } ^ { k , t } ) , \ h _ { f y } ^ { k , t } : = \nabla _ { y } f ( x _ { k } , y _ { k , t } ; \zeta _ { y } ^ { k , t } ) , } \\ & { h _ { g y } ^ { k , t } : = \nabla _ { y } g ( x _ { k } , y _ { k , t } ; \phi _ { y } ^ { k , t } ) , h _ { g x y } ^ { k } : = \nabla _ { x } g ( x _ { k } , y _ { k + 1 } ; \phi _ { x y } ^ { k } ) , } \\ & { h _ { f x } ^ { k } : = \nabla _ { x } f ( x _ { k } , y _ { k + 1 } ; \zeta _ { x } ^ { k } ) , h _ { g x z } ^ { k } : = \nabla _ { x } g ( x _ { k } , z _ { k + 1 } ; \phi _ { x z } ^ { k } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { W _ { i } } & { { } = } & { \tilde { F } _ { i } + \sum _ { j } \tilde { F } _ { i j j } ( f _ { j } + 1 / 2 ) } \\ { W _ { i j } } & { { } = } & { \tilde { \bar { F } } _ { i j } + \sum _ { k } \tilde { F } _ { i j k k } ( f _ { k } + 1 / 2 ) } \\ { W _ { i j k } } & { { } = } & { \tilde { F } _ { i j k } + \sum _ { l } \tilde { F } _ { i j k l l } ( f _ { l } + 1 / 2 ) } \\ { W _ { i j k l } } & { { } = } & { \tilde { F } _ { i j k l } + \sum _ { m } \tilde { F } _ { i j k l m m } ( f _ { m } + 1 / 2 ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle n _ { \mathrm { x c } } ^ { \lambda } ( u ) \rangle } & { = \frac { 1 } { \ensuremath { N _ { \mathrm { e } } } } \int \mathrm { d } \mathbf { r } \, n ( \mathbf { r } ) n _ { \mathrm { x c } } ^ { \lambda } ( \mathbf { r } , u ) } \\ & { \approx \sum _ { i } ^ { N _ { r } } \sum _ { j } ^ { N _ { \Omega } } w _ { i } ^ { r } w _ { j } ^ { \Omega } n ( \mathbf { r } _ { i j } ) n _ { \mathrm { x c } } ^ { \lambda } ( \mathbf { r } _ { i j } , u ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { H } _ { \lambda } ^ { \mathrm { H F } } } & { = } & { \hat { \mathcal { T } } + \sum _ { i } \tilde { v } _ { i } \hat { n } _ { i } + \lambda \, U \, \sum _ { i } \left( \hat { n } _ { i \uparrow } \hat { n } _ { i \downarrow } - \frac { n _ { i } ^ { \mathrm { H F } } } { 2 } \hat { n } _ { i } \right) } \\ & { = } & { \hat { \mathcal { T } } + \lambda \, U \, \sum _ { i } \hat { n } _ { i \uparrow } \hat { n } _ { i \downarrow } + \sum _ { i } v _ { i } ^ { \lambda , \mathrm { H F } } \hat { n } _ { i } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { F } _ { h } [ I _ { 1 } ] ( \xi ) } & { = M _ { h } ( \xi ) ^ { 2 s } \left( \mathcal { F } _ { h } [ \theta _ { h } * u ] ( \xi ) - \mathcal { F } [ \theta _ { h } * u ] ( \xi ) \right) } \\ & { = M _ { h } ( \xi ) ^ { 2 s } \sum _ { \zeta \in \frac { 2 \pi } { h } \mathbb { Z } ^ { d } \setminus \{ 0 \} } \mathcal { F } [ \theta _ { h } * u ] ( \xi + \zeta ) } \\ & { = M _ { h } ( \xi ) ^ { 2 s } \sum _ { \zeta \in \frac { 2 \pi } { h } \mathbb { Z } ^ { d } \setminus \{ 0 \} } \mathcal { F } [ \theta _ { h } ] ( \xi + \zeta ) \mathcal { F } [ u ] ( \xi + \zeta ) . } \end{array}
\left( \frac { \sum _ { j \ge 0 } \frac { a _ { 2 j + 2 } } { 8 } - B _ { Q } } { \frac { 3 } { 8 \pi } \log Q } , \frac { - \sum _ { j \ge 0 } \frac { a _ { 2 j + 1 } } { 8 } + B _ { Q } } { \frac { 3 } { 8 \pi } \log Q } \right) \overset { d } { \to } \mathrm { S t a b } ( 1 , 1 ) \otimes \mathrm { S t a b } ( 1 , - 1 ) \qquad \textrm { a s } Q \to \infty .
{ \cal L } = - \frac { 1 } { 4 } F ^ { \mu \nu } F _ { \mu \nu } - \frac { \kappa } { 2 } \epsilon ^ { \mu \nu \rho } A _ { \mu } \partial _ { \nu } A _ { \rho } + \sum _ { a } \bar { \psi } _ { a } [ \gamma _ { a } ^ { \mu } ( i \partial _ { \mu } + q _ { a } A _ { \mu } ) - m _ { a } ] \psi _ { a } \, \, ,
\begin{array} { r } { H _ { \mathrm { t o t } } = H _ { \mathrm { S } } + \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \left[ \frac { 1 } { 2 } \Big ( \mathbf { P } _ { \omega _ { n } } ^ { 2 } + \omega _ { n } ^ { 2 } \mathbf { X } _ { \omega _ { n } } ^ { 2 } \Big ) - \mathbf { S } C _ { \omega _ { n } } \mathbf { X } _ { \omega _ { n } } \right] . } \end{array}
\sum _ { \mathbf { M } \mathbf { N } } g _ { \mu ^ { \mathbf { M } } \nu ^ { \mathbf { N } } \kappa } \sim \sum _ { \mathbf { N } } \operatorname* { m a x } _ { \mathbf { R } _ { \mu } } ( e ^ { - \theta _ { \mu \nu } | \mathbf { R } _ { \mu } - \mathbf { R } _ { \nu ^ { \mathbf { N } } } | ^ { 2 } } e ^ { - \theta _ { \mu \nu \kappa \omega } | \mathbf { P } _ { \mu \nu ^ { \mathbf { N } } } | ^ { 2 } } ) .
\begin{array} { r l } { \nabla ( \psi + \phi ) } & { { } = \nabla \psi + \nabla \phi } \\ { \nabla ( \mathbf { A } + \mathbf { B } ) } & { { } = \nabla \mathbf { A } + \nabla \mathbf { B } } \\ { \nabla \cdot ( \mathbf { A } + \mathbf { B } ) } & { { } = \nabla { \cdot } \mathbf { A } + \nabla \cdot \mathbf { B } } \\ { \nabla \times ( \mathbf { A } + \mathbf { B } ) } & { { } = \nabla \times \mathbf { A } + \nabla \times \mathbf { B } } \end{array}
\int { \frac { d x } { ( \cos x + \sin x ) ^ { n } } } = { \frac { 1 } { n - 1 } } \left( { \frac { \sin x - \cos x } { ( \cos x + \sin x ) ^ { n - 1 } } } - 2 ( n - 2 ) \int { \frac { d x } { ( \cos x + \sin x ) ^ { n - 2 } } } \right)
\begin{array} { r l } & { ( \rho , u _ { x } , u _ { y } , p ) } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { ( 1 . 5 , 0 , 0 , 1 . 5 ) , } & { x > 0 . 5 , y > 0 . 5 , } \\ { ( 0 . 5 3 2 3 , 1 . 2 0 6 , 0 , 0 . 3 ) , } & { x \leq 0 . 5 , y > 0 . 5 , } \\ { ( 0 . 1 3 8 , 1 . 2 0 6 , 1 . 2 0 6 , 0 . 0 2 9 ) , } & { x \leq 0 . 5 , y \leq 0 . 5 , } \\ { ( 0 . 5 3 2 3 , 0 , 1 . 2 0 6 , 0 . 3 ) , } & { x > 0 . 5 , y \leq 0 . 5 . } \end{array} \right. } \end{array}
W _ { 3 } \simeq H ^ { 1 } ( { \cal S } , \bigoplus _ { i = 1 } ^ { 3 } { \cal O } _ { { \cal S } } ( - 3 ) ) \simeq H ^ { 0 } ( { \cal S } , \bigoplus _ { 1 } ^ { 3 } { \cal O } _ { { \cal S } } ( 1 ) ) ^ { * }
\begin{array} { r l } { \Psi _ { \varepsilon } \left( \frac { | m _ { \varepsilon } - m _ { \rho } | } { \varepsilon } \right) } & { = \fint _ { B _ { \rho } ( x _ { 0 } ) } \Psi _ { \varepsilon } \left( \frac { | m _ { \varepsilon } - m _ { \rho } | } { \varepsilon } \right) \, d x } \\ & { \leq 2 ^ { q } \fint _ { B _ { \rho } ( x _ { 0 } ) } \Psi _ { \varepsilon } \left( \frac { | \widehat { w } - m _ { \rho } | } { \varepsilon } \right) \, d x + 2 ^ { q } \fint _ { B _ { \rho } ( x _ { 0 } ) } \Psi _ { \varepsilon } \left( \frac { | \widehat { w } - m _ { \varepsilon } | } { \varepsilon } \right) \, d x } \\ & { \leq 2 ^ { q } \fint _ { B _ { \rho } ( x _ { 0 } ) } \Psi _ { \varepsilon } \left( \frac { | \widehat { w } - m _ { \rho } | } { \rho } \right) \, d x + \frac { 2 ^ { q } } { \delta ^ { d } } \fint _ { B _ { \varepsilon } ( x _ { 0 } ) } \Psi _ { \varepsilon } \left( \frac { | \widehat { w } - m _ { \varepsilon } | } { \varepsilon } \right) \, d x } \\ & { \leq C \fint _ { B _ { \rho } ( x _ { 0 } ) } \Psi _ { \varepsilon } \left( | \nabla w ( x ) | \right) \, d x + \frac { C } { \delta ^ { d } } \fint _ { B _ { \varepsilon } ( x _ { 0 } ) } \Psi _ { \varepsilon } \left( | \nabla w ( x ) | \right) \, d x } \\ & { \leq C \eta \varepsilon ^ { - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \int _ { \mathbb { R } } | u _ { x } | ^ { 2 } d x = } & { - 2 I m \int _ { \mathbb { R } } | u | ^ { 2 p } u \overline { { u } } _ { x x } d x + 2 \beta I m \int _ { \mathbb { R } } ( | u | ^ { p - 1 } ) _ { x } | v | ^ { p + 1 } u \overline { { u } } _ { x } d x } \\ & { + 2 \beta I m \int _ { \mathbb { R } } | u | ^ { p - 1 } ( | v | ^ { p + 1 } ) _ { x } u \overline { { u } } _ { x } d x . } \end{array}
\boldsymbol { \cal X } = \langle { \mathbf { X } } _ { \widehat { H } } \rangle + \frac \hbar { 2 D } \operatorname { T r } \! \big ( { \mathbf { X } } _ { { \widehat { H } } } \cdot \nabla ( D \boldsymbol { \widehat { \Gamma } } ) - ( D \boldsymbol { \widehat { \Gamma } } ) \cdot \nabla { \mathbf { X } } _ { { \widehat { H } } } \big ) ,
V ( \rho \cdot q ) = \left\{ \begin{array} { r l l } { { { 1 / { ( \rho \cdot q ) ^ { 2 } } } , } } & { { \mathrm { t y p e ~ I } , } } & { { } } \\ { { { a ^ { 2 } / { \sinh ^ { 2 } a ( \rho \cdot q ) } } , } } & { { \mathrm { t y p e ~ I I } , } } & { { \quad \rho \in \Delta , } } \\ { { { a ^ { 2 } / { \sin ^ { 2 } a ( \rho \cdot q ) } } , } } & { { \mathrm { t y p e ~ I I I } , } } & { { } } \end{array} \right.
\overline { { \mathbf { J } } } _ { s g } = \widehat { \mathbf { J } } _ { s g } + \frac { \beta _ { s } } { V _ { g } } \sum _ { p } q _ { p } { \alpha } _ { p } ^ { n } \mathbf { E } _ { p } ^ { n + \theta } W _ { p g }
\tilde { \chi } ( { \bf x } , { \bf y } ) = \iint d { \bf r } \, d { \bf r ^ { \prime } } \frac { \chi ( { \bf r } , { \bf r ^ { \prime } } ) } { | { \bf r } - { \bf x } | | { \bf r } ^ { \prime } - { \bf y } | } \, .
\chi _ { \boldsymbol { p } } ( \boldsymbol { r } , t ) = ( 2 \pi ) ^ { - 3 / 2 } \prod _ { \substack { j = - 1 } } ^ { 1 } \left[ \prod _ { \substack { i = 1 } } ^ { 4 } \sum _ { n _ { i } ^ { j } = - \infty } ^ { \infty } J _ { n _ { i } ^ { j } } ( x _ { i } ^ { j } ) \times e ^ { - \dot { \iota } ( E _ { N } t - \boldsymbol { p } _ { N } \cdot \boldsymbol { r } - { \Phi _ { N } } ) } \right] .
\begin{array} { r l } { \varphi ( s ) } & { = \varphi ( a _ { 1 } a _ { 2 } a _ { 1 } ^ { - 1 } a _ { 3 } \cdots a _ { n - 3 } a _ { n - 4 } ^ { - 1 } a _ { n - 2 } a _ { n - 3 } ^ { - 1 } \cdot a _ { n - 1 } a _ { n - 2 } ^ { - 1 } a _ { n } a _ { n - 1 } ^ { - 1 } a _ { n } ^ { - 1 } ) } \\ & { = a _ { 1 } a _ { 2 } a _ { 1 } ^ { - 1 } a _ { 3 } \cdots a _ { n - 3 } a _ { n - 4 } ^ { - 1 } a _ { n - 2 } a _ { n - 3 } ^ { - 1 } } \\ & { \qquad \cdot ( a _ { n - 2 } ^ { - 1 } a _ { n - 1 } a _ { n - 2 } ) a _ { n - 2 } ^ { - 1 } ( a _ { n } a _ { n - 2 } ) ( a _ { n - 2 } ^ { - 1 } a _ { n - 1 } ^ { - 1 } a _ { n - 2 } ) ( a _ { n - 2 } ^ { - 1 } a _ { n } ^ { - 1 } ) } \\ & { = a _ { 1 } a _ { 2 } a _ { 1 } ^ { - 1 } a _ { 3 } \cdots a _ { n - 3 } a _ { n - 4 } ^ { - 1 } a _ { n - 2 } a _ { n - 3 } ^ { - 1 } \ \cdot \ a _ { n - 2 } ^ { - 1 } \cdot a _ { n - 1 } a _ { n } a _ { n - 1 } ^ { - 1 } a _ { n } ^ { - 1 } } \\ & { = a _ { 1 } a _ { 2 } a _ { 1 } ^ { - 1 } a _ { 3 } \cdots a _ { n - 3 } a _ { n - 4 } ^ { - 1 } a _ { n - 2 } a _ { n - 3 } ^ { - 1 } a _ { n - 2 } ^ { - 1 } \cdot [ a _ { n - 1 } , a _ { n } ] . } \end{array}
\mathbf { C ^ { j } } = { \left[ \begin{array} { l } { C _ { 1 1 } ^ { j } } \\ { C _ { 1 2 } ^ { j } } \\ { C _ { 1 3 } ^ { j } } \\ { C _ { 1 4 } ^ { j } } \\ { C _ { 2 1 } ^ { j } } \\ { C _ { 2 2 } ^ { j } } \\ { C _ { 2 3 } ^ { j } } \\ { C _ { 2 4 } ^ { j } } \\ { C _ { 3 1 } ^ { j } } \\ { C _ { 3 2 } ^ { j } } \\ { C _ { 3 3 } ^ { j } } \\ { C _ { 3 4 } ^ { j } } \end{array} \right] } .
\begin{array} { r l } & { \hat { s } _ { 0 } \equiv \hat { N } _ { 1 1 } + \hat { N } _ { 2 2 } , } \\ & { \hat { s } _ { 1 } = \hat { N } _ { 1 2 } + \hat { N } _ { 2 1 } , } \\ & { \hat { s } _ { 2 } = i \left( \hat { N } _ { 2 1 } - \hat { N } _ { 1 2 } \right) , } \\ & { \hat { s } _ { 3 } = \hat { N } _ { 1 1 } - \hat { N } _ { 2 2 } , } \end{array}
\begin{array} { l } { ( ( x , a ) * ( y , b ) ) * ( z , c ) = ( x \cdot y + \lambda _ { a } ( y ) + \rho _ { b } ( x ) , a \cdot b ) * ( z , c ) = } \\ { = ( ( x \cdot y ) \cdot z + \lambda _ { a } ( y ) \cdot z + \rho _ { b } ( x ) \cdot z + \lambda _ { a \cdot b } ( z ) + } \\ { + \rho _ { c } ( x \cdot y + \lambda _ { a } ( y ) + \rho _ { b } ( x ) ) , ( a \cdot b ) \cdot c ) } \end{array}
{ \frac { \alpha _ { s } ( \mu ) } { \pi } } = { \frac { 1 } { \beta _ { 0 } \ln ( \mu ^ { 2 } / \Lambda _ { \overline { { { M S } } } } ^ { 2 } ) } } \left[ 1 - { \frac { \beta _ { 1 } } { \beta _ { 0 } ^ { 2 } } } \, { \frac { \ln \ln ( \mu ^ { 2 } / \Lambda _ { \overline { { { M S } } } } ^ { 2 } ) } { \ln ( \mu ^ { 2 } / \Lambda _ { \overline { { { M S } } } } ^ { 2 } ) } } \right] ,
\begin{array} { r l } { T _ { i } ^ { 1 } ( t ) } & { = E _ { ( 2 , 2 - \mu ) , 1 } \left( - \kappa _ { i } t ^ { 2 } , - t ^ { 2 - \mu } \right) + t ^ { 2 - \mu } E _ { ( 2 , 2 - \mu ) , 3 - \mu } \left( - \kappa _ { i } t ^ { 2 } , - t ^ { 2 - \mu } \right) , } \\ { T _ { i } ^ { 2 } ( t ) } & { = t E _ { ( 2 , 2 - \mu ) , 2 } \left( - \kappa _ { i } t ^ { 2 } , - t ^ { 2 - \mu } \right) . } \end{array}
U ^ { - 1 } A U = D = \left( \begin{array} { c c } { \frac { \ell ( \ell + 1 ) } { x ^ { 2 } } - D _ { + } ^ { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { \ell ( \ell + 1 ) } { x ^ { 2 } } - D _ { - } ^ { 2 } } \end{array} \right) \; ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathbb { E } _ { X \sim G - G ^ { \prime } , Y \sim Z _ { \delta , d } } ( \Phi ( \| X + Y \| ^ { 5 / 4 } / 2 ^ { 1 / 4 } ( k ^ { \prime } + k " ) M ^ { ( 1 / 4 ) } ) } \\ & { \leq } & { \mathbb { E } _ { X \sim G - G ^ { \prime } , Y \sim Z _ { \delta , d } } ( \Phi ( 2 ^ { 1 / 4 } ( \| X \| ^ { 5 / 4 } + \| Y \| ^ { 5 / 4 } ) / 2 ^ { 1 / 4 } ( k ^ { \prime } + k " ) M ^ { ( 1 / 4 ) } ) ) } \\ & { = } & { \mathbb { E } _ { X \sim G - G ^ { \prime } , Y \sim Z _ { \delta , d } } \left( \Phi \left( \left( k ^ { \prime } \| X \| ^ { 5 / 4 } + \| Y \| ^ { 5 / 4 } \right) / ( k ^ { \prime } + k " ) M ^ { ( 1 / 4 ) } \right) \right) } \\ & { \leq } & { \mathbb { E } _ { X \sim G - G ^ { \prime } , Y \sim Z _ { \delta , d } } \left( \Phi \left( \frac { k ^ { \prime } } { k ^ { \prime } + k " } \left( \frac { \| X \| ^ { 5 / 4 } } { k ^ { \prime } M ^ { ( 1 / 4 ) } } \right) + \frac { k " } { k ^ { \prime } + k " } \left( \frac { \| Y \| ^ { 5 / 4 } } { k " M ^ { ( 1 / 4 ) } } \right) \right) \right) } \\ & { \leq } & { \mathbb { E } _ { X \sim G - G ^ { \prime } , Y \sim Z _ { \delta , d } } \frac { k ^ { \prime } } { k ^ { \prime } + k " } \Phi \left( \frac { \| X \| ^ { 5 / 4 } } { k ^ { \prime } M ^ { ( 1 / 4 ) } } \right) + \frac { k " } { k ^ { \prime } + k " } \Phi \left( \frac { \| Y \| ^ { 5 / 4 } } { k " M ^ { ( 1 / 4 ) } } \right) \leq \frac { 1 } { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Gamma _ { \pi , G } ^ { 3 } } & { = \frac { - 1 } { L ^ { 1 5 } } \sum _ { k _ { 1 } , \ldots , k _ { 5 } \in P _ { F } } \iint e ^ { i k _ { 1 } ( x _ { 1 } - x _ { 4 } ) } e ^ { i k _ { 2 } ( x _ { 4 } - x _ { 5 } ) } e ^ { i k _ { 3 } ( x _ { 5 } - x _ { 1 } ) } e ^ { i k _ { 4 } ( x _ { 2 } - x _ { 3 } ) } e ^ { i k _ { 5 } ( x _ { 3 } - x _ { 2 } ) } g _ { 4 5 } \, \textnormal { d } x _ { 4 } \, \textnormal { d } x _ { 5 } } \\ & { = \frac { - 1 } { L ^ { 1 2 } } \sum _ { k _ { 1 } , \ldots , k _ { 5 } \in P _ { F } } e ^ { i ( k _ { 1 } - k _ { 3 } ) x _ { 1 } } e ^ { i ( k _ { 4 } - k _ { 5 } ) x _ { 2 } } e ^ { i ( k _ { 5 } - k _ { 4 } ) x _ { 3 } } \chi _ { ( k _ { 2 } - k _ { 1 } = k _ { 2 } - k _ { 3 } ) } \hat { g } ( k _ { 3 } - k _ { 2 } ) } \\ & { = O ( a ^ { 3 } \rho ^ { 4 } \log ( b / a ) ) . } \end{array}
\mathbf { E } \left( \mathbf { x } , t \right) = \left\{ \mathbf { E } _ { 1 } \exp \left[ i \left( \mathbf { q } _ { 1 } \cdot \mathbf { x } - \omega _ { 1 } t - \phi _ { 1 } \left( t \right) \right) \right] + \mathbf { E } _ { 2 } \exp \left[ i \left( \mathbf { q } _ { 2 } \cdot \mathbf { x } - \omega _ { 2 } t - \phi _ { 2 } \left( t \right) \right) \right] \right\} f \left( t \right) + c . c ,
X = { \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { x _ { 1 1 } } & { \dots } & { x _ { 1 p } } \\ { 1 } & { x _ { 2 1 } } & { \dots } & { x _ { 2 p } } \\ { 1 } & { x _ { n 1 } } & { \dots } & { x _ { n p } } \end{array} \right] } \in \mathbb { R } ^ { n \times ( p + 1 ) } ; \qquad n \geqslant p + 1
\begin{array} { r l } { \mathbf { S } _ { i + 1 , i } ^ { ( n ) } } & { = \mathbf { q } _ { i + 1 } ^ { \dagger } \mathbf { d } ^ { n } \mathbf { q } _ { i } = \mathbf { C } _ { i } ^ { - 1 } \left[ \mathbf { S } _ { i , i } ^ { ( n + 1 ) } - \mathbf { M } _ { i } \mathbf { S } _ { i , i } ^ { ( n ) } - \mathbf { C } _ { i - 1 } ^ { \dagger } \mathbf { S } _ { i - 1 , i } ^ { ( n ) } \right] , } \\ { \mathbf { S } _ { i + 1 , i + 1 } ^ { ( n ) } } & { = \mathbf { q } _ { i + 1 } ^ { \dagger } \mathbf { d } ^ { n } \mathbf { q } _ { i + 1 } } \\ & { = \mathbf { C } _ { i } ^ { - 1 } \left[ \mathbf { S } _ { i , i } ^ { ( n + 2 ) } + \mathbf { M } _ { i } \mathbf { S } _ { i , i } ^ { ( n ) } \mathbf { M } _ { i } + \mathbf { C } _ { i - 1 } ^ { \dagger } \mathbf { S } _ { i - 1 , i - 1 } ^ { ( n ) } \mathbf { C } _ { i - 1 } - P ( \mathbf { S } _ { i , i } ^ { ( n + 1 ) } \mathbf { M } _ { i } ) + P ( \mathbf { M } _ { i } \mathbf { S } _ { i , i - 1 } ^ { ( n ) } \mathbf { C } _ { i - 1 } ) - P ( \mathbf { S } _ { i , i - 1 } ^ { ( n + 1 ) } \mathbf { C } _ { i - 1 } ) \right] \mathbf { C } _ { i } ^ { - 1 , \dagger } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { t _ { t c a } ^ { \prime } = t _ { t c a } + \Delta t } \\ { \Rightarrow \left| \Delta \boldsymbol { r } \right| } & { { } = \left| \boldsymbol { r } _ { 2 } - \boldsymbol { r } _ { 1 } ^ { \prime } \right| } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| p - p _ { h } \| _ { s } } & { \lesssim h ^ { \gamma } | \log h | ^ { \varphi } + \| q - q _ { h } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } , \quad \gamma = \operatorname* { m i n } \{ s , \frac { 1 } { 2 } \} , } \\ { \| p - p _ { h } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } } & { \lesssim h ^ { 2 \gamma } | \log h | ^ { 2 \varphi } + \| q - q _ { h } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } , } \end{array}
\Theta = \frac { h } { 2 } [ \langle \rho \rangle \dot { u } _ { \alpha } \dot { u } _ { \alpha } + \langle \rho \rangle \dot { u } ^ { 2 } + \langle \rho \zeta ^ { 2 } \rangle h ^ { 2 } \dot { \psi } _ { \alpha } \dot { \psi } _ { \alpha } + \langle \rho ( \mathcal { I } [ \sigma ] ) ^ { 2 } \rangle h ^ { 2 } ( \dot { u } _ { \alpha , \alpha } ) ^ { 2 } ] .
\frac { \partial k _ { 2 } } { \partial C } = 9 \alpha ( \alpha + 1 ) \lambda ^ { 2 } ( \lambda - 1 ) \mathcal { A } ^ { 2 } \frac { \partial \mathcal { A } } { \partial C } ~ ~ , ~ ~ \frac { \partial k _ { 2 } } { \partial E } = 9 \alpha ( \alpha + 1 ) \lambda ^ { 2 } ( \lambda - 1 ) \mathcal { A } ^ { 2 } \frac { \partial \mathcal { A } } { \partial E } ~ ~ , ~ ~ \frac { \partial k _ { 2 } } { \partial \kappa } = 0 ,
\begin{array} { c c c c c } { { } } & { { S O ( 2 n ) } } & { { \subset } } & { { S O ( 2 n + 1 ) } } & { { R _ { M } = { \bf ( 2 n + 1 ) } } } \\ { { } } & { { S U ( 3 ) } } & { { \subset } } & { { G _ { 2 } } } & { { R _ { M } = { \bf 7 } } } \\ { { \tilde { R } _ { M } = { \bf 9 } } } & { { S O ( 9 ) } } & { { \subset } } & { { F _ { 4 } } } & { { R _ { M } = { \bf 2 6 } } } \end{array} \quad .
\hat { S } _ { \mathrm { c o n f } } = - \sum _ { i = 1 } ^ { n } \Omega _ { i } \frac { \exp { \left( - \frac { E _ { i } } { k _ { \mathrm { B } } T } \right) } } { \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { \mathrm { u n i q u e } } } \Omega _ { j } \exp { \left( - \frac { E _ { j } } { k _ { \mathrm { B } } T } \right) } } \ln { \frac { \exp { \left( - \frac { E _ { i } } { k _ { \mathrm { B } } T } \right) } } { \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { \mathrm { u n i q u e } } } \Omega _ { j } \exp { \left( - \frac { E _ { j } } { k _ { \mathrm { B } } T } \right) } } }
\begin{array} { r } { \beta = \frac { \Gamma _ { \mathrm { C } } } { \Gamma _ { \mathrm { C } } + \Gamma _ { \mathrm { B } } } = \frac { F _ { \mathrm { p } } } { F _ { \mathrm { p } } + \Gamma _ { \mathrm { B } } / \Gamma _ { \mathrm { B u l k } } } . } \end{array}