harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \gamma _ { k } \left( \tau _ { k } + \lambda _ { 2 } - \frac { 1 } { 4 \eta _ { k } } \right) \mathrm { K L } ( q \| q _ { k } ) \leq } & { \gamma _ { 1 } \eta _ { 1 } \mathrm { K L } ( p \| p _ { 0 } ) + \gamma _ { 1 } \tau _ { 1 } \mathrm { K L } ( q \| q _ { 0 } ) + 4 \sum _ { t = 1 } ^ { k } \gamma _ { t } ( 1 + \mu _ { t } ) \epsilon } \\ & { + \sum _ { t = 1 } ^ { k } \gamma _ { t } \{ ( \tau _ { t } + 2 \tau _ { t + 1 } + \lambda _ { 2 } ) \left[ \delta _ { t , 1 } ( q ) + \delta _ { t , 2 } ( q ) \right] } \\ & { \, \, \, \, \, \, + ( \eta _ { t } + 2 \eta _ { t + 1 } + \lambda _ { 2 } ) \left[ \delta _ { t , 1 } ( p ) + \delta _ { t , 2 } ( p ) \right] \} , } \\ { \gamma _ { k } \left( \eta _ { k } - \frac { 1 } { 4 ( \tau _ { k } + \lambda _ { 2 } ) } \right) \mathrm { K L } ( p _ { k } \| p _ { k - 1 } ) \leq } & { \gamma _ { 1 } \eta _ { 1 } \mathrm { K L } ( p \| p _ { 0 } ) + \gamma _ { 1 } \tau _ { 1 } \mathrm { K L } ( q \| q _ { 0 } ) + 4 \sum _ { t = 1 } ^ { k } \gamma _ { t } ( 1 + \mu _ { t } ) \epsilon } \\ & { + \sum _ { t = 1 } ^ { k } \gamma _ { t } \{ ( \tau _ { t } + 2 \tau _ { t + 1 } + \lambda _ { 2 } ) \left[ \delta _ { t , 1 } ( q ) + \delta _ { t , 2 } ( q ) \right] } \\ & { \, \, \, \, \, \, + ( \eta _ { t } + 2 \eta _ { t + 1 } + \lambda _ { 2 } ) \left[ \delta _ { t , 1 } ( p ) + \delta _ { t , 2 } ( p ) \right] \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha ( \mu ) } & { = \frac { 2 \sqrt { 1 + \mu } \sqrt { 1 - a ^ { 2 } } - 1 + a ^ { 2 } } { 2 \left( 1 - a ^ { 2 } \right) } , } \\ { \beta ( \mu ) } & { = \frac { \left( \sqrt { 1 - 2 a ^ { 2 } } + 4 \sqrt { 1 + \mu } \right) \left( 1 - a ^ { 2 } \right) - 4 \sqrt { 1 + \mu } \sqrt { 1 - 2 a ^ { 2 } } \sqrt { 1 - a ^ { 2 } } } { 1 - a ^ { 2 } } , } \\ { \beta _ { \alpha } ( \mu ) } & { = 4 \sqrt { 1 + \mu } - ( 1 + 4 \alpha ) \sqrt { 1 - 2 a ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { 2 , 1 } = } & { \mathbb { E } _ { X _ { 2 , 1 } } [ | X _ { 2 , 1 } | ^ { 2 } ] } \\ { = } & { \frac { 2 ^ { m _ { 1 } + m _ { 2 , 1 } } - 2 ^ { m _ { 1 } } } { 2 ^ { m _ { 1 } + m _ { 2 , 1 } } - 1 } \left( \frac { N _ { 2 } } { N _ { 1 } } P - \frac { N _ { 2 } - N _ { 1 } } { N _ { 1 } } P _ { 2 , 2 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { [ { \pmb v } ^ { ( n ) } ( { \pmb \xi } ) , { \pmb v } ] = \int _ { \partial D _ { b } } \big ( \sigma _ { a b } ( { \pmb x } ) n _ { b } ( { \pmb x } ) v _ { a } ^ { ( n ) } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) - v _ { a } ( { \pmb x } ) \sigma _ { a b } ^ { ( n ) } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) n _ { b } ( { \pmb x } ) \big ) d S ( { \pmb x } ) = } \\ & { } & { \int _ { \partial D _ { b } } \big ( \sigma _ { a b } ^ { [ i ] } ( { \pmb x } ) n _ { b } ( { \pmb x } ) v _ { a } ^ { [ i ] ( n ) } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) - v _ { a } ^ { [ i ] } ( { \pmb x } ) \sigma _ { a b } ^ { [ i ] ( n ) } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) n _ { b } ( { \pmb x } ) \big ) d S ( { \pmb x } ) = } \\ & { } & { - \frac { \mu } { k } \int _ { D _ { b } } \big ( v _ { a } ^ { [ i ] } ( { \pmb x } ) v _ { a } ^ { [ i ] ( n ) } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) - v _ { a } ^ { [ i ] } ( { \pmb x } ) v _ { a } ^ { [ i ] ( n ) } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) \big ) d V ( { \pmb x } ) = 0 , \qquad { \forall \, { \pmb v } ( { \pmb x } ) } } \end{array}
g _ { \bar { i } } = \frac { { k _ { \mathrm { r } } C _ { \mathrm { e q } } - \tilde { g } _ { i } \left[ { \frac { V } { A _ { \mathrm { s } } } { \frac { k _ { \mathrm { r } } } { 2 \mathrm { w } _ { i } } } - \left( 1 - { \frac { \Delta t } { 2 \tau _ { \mathrm { A D } } } } \right) \mathbf { e } _ { \bar { i } } \cdot \mathbf { n } } \right] } } { { \frac { 1 } { A _ { \mathrm { s } } } { \frac { k _ { \mathrm { r } } } { 2 \mathrm { w } _ { i } } } - \left( 1 - { \frac { \Delta t } { 2 \tau _ { \mathrm { A D } } } } \right) \mathbf { e } _ { i } \cdot \mathbf { n } } } .
\begin{array} { r } { \frac { \partial \mathbf { A } } { \partial t } = d _ { A } \, \nabla ^ { 2 } \, \mathbf { A } - \mathbf { A } \mathbf { B } ^ { 2 } + f \, ( 1 - \mathbf { A } ) } \\ { \frac { \partial \mathbf { B } } { \partial t } = d _ { B } \, \nabla ^ { 2 } \, \mathbf { B } + \mathbf { A } \mathbf { B } ^ { 2 } - ( f + k ) \, \mathbf { B } } \end{array}
\frac { \partial F } { \partial w _ { n } ^ { j } } = - \frac { 1 } { 2 \pi i } \oint _ { c } \frac { \partial H ^ { \prime } } { \partial \alpha ^ { j } } \zeta ^ { n } \frac { d \zeta } { \zeta ^ { 2 } } - \frac { 1 } { 2 \pi i } \oint _ { 0 } \frac { \partial H } { \partial \alpha ^ { j } } \zeta ^ { n } \frac { d \zeta } { \zeta ^ { 2 } }
u _ { z C } ^ { \delta } = \frac { 1 } { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { \pi } \frac { \Gamma _ { + } \delta _ { 0 z } ( 2 - 4 \cos ^ { 2 } \theta ) } { { R _ { 2 A } ^ { \delta } } ^ { 2 } ( 1 - { k _ { A } ^ { \delta } } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta ) } \, d \theta = \frac { - 1 } { 4 \pi } \frac { \Gamma _ { + } \delta _ { 0 \rho } } { { R _ { 2 A } ^ { \delta } } ^ { 3 } } \bigg ( I _ { 1 A } ^ { \delta } - I _ { 2 A } ^ { \delta } \bigg )
{ \cal B } ( { \bar { B } } ^ { 0 } \to \pi ^ { + } K ^ { - } ) \quad { \cal B } ( { \bar { B } } ^ { - } \to \pi ^ { 0 } K ^ { - } ) \quad { \cal B } ( B ^ { - } \to \pi ^ { - } { \bar { K } } ^ { 0 } ) \quad { \cal B } ( { \bar { B } } ^ { 0 } \to \pi ^ { 0 } { \bar { K } } ^ { 0 } ) \; , \quad
H = \frac { 1 } { 2 M } \sum _ { m = 1 } ^ { D - 1 } \sum _ { i , j = 1 } ^ { N } ( p _ { i j } ^ { m } ) ^ { 2 } + M ^ { 5 } \sum _ { m , n = 1 } ^ { D - 1 } \sum _ { i , j = 1 } ^ { N } | [ X ^ { m } , X ^ { n } ] _ { i j } | ^ { 2 } \ .
\begin{array} { r l } { Q \ensuremath { \left( \omega \right) } } & { = \sqrt { \Gamma } \chi ( \omega ) \bigg [ Q _ { \mathrm { i n } } + \phi ( \omega ) P _ { \mathrm { i n } } - 2 \sqrt { C } \phi ( \omega ) X _ { \mathrm { i n } } + \frac { G f ( \omega ) \phi ( \omega ) } { 4 \sqrt { C } } \left( Y _ { \mathrm { i n } } - \sqrt { \frac { 1 - \eta } { \eta } } Y _ { \mathrm { v } } \right) \bigg ] , } \\ { P \ensuremath { \left( \omega \right) } } & { = \sqrt { \Gamma } \chi ( \omega ) \bigg [ P _ { \mathrm { i n } } - \left( \frac { G f ( \omega ) \Gamma } { 2 \Omega } + 1 \right) \phi ( \omega ) Q _ { \mathrm { i n } } - 2 \sqrt { C } X _ { \mathrm { i n } } + \frac { G f ( \omega ) } { 4 \sqrt { C } } \left( { Y _ { \mathrm { i n } } } - \sqrt { \frac { 1 - \eta } { \eta } } Y _ { \mathrm { v } } \right) \bigg ] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { A _ { 1 2 } ^ { \left( n \right) } \left( t \right) } & { { } = } & { \frac { i \, a _ { n } } { r _ { n } } \left[ \frac { \left( b _ { n } ^ { 2 } - \omega _ { + , n } ^ { 2 } \right) } { \omega _ { + , n } } \sin ( \omega _ { + , n } t ) - \frac { \left( b _ { n } ^ { 2 } - \omega _ { - , n } ^ { 2 } \right) } { \omega _ { - , n } } \sin ( \omega _ { - , n } t ) \right] } \\ { A _ { 2 2 } ^ { \left( n \right) } \left( t \right) } & { { } = } & { \frac { 1 } { r _ { n } } \left[ \left( \omega _ { + , n } ^ { 2 } - b _ { n } ^ { 2 } \right) \cos ( \omega _ { + , n } t ) - \left( \omega _ { - , n } ^ { 2 } - b _ { n } ^ { 2 } \right) \cos ( \omega _ { - , n } t ) \right] } \\ { A _ { 2 3 } ^ { \left( n \right) } \left( t \right) } & { { } = } & { - \frac { i \, \lambda } { r _ { n } } \left[ \omega _ { + , n } \sin ( \omega _ { + , n } t ) - \omega _ { - , n } \sin ( \omega _ { - , n } t ) \right] } \\ { A _ { 2 4 } ^ { \left( n \right) } \left( t \right) } & { { } = } & { \frac { \lambda \, b _ { n } } { r _ { n } } \left[ \cos ( \omega _ { + , n } t ) - \cos ( \omega _ { - , n } t ) \right] , } \end{array}
G = \int _ { t } ^ { \tilde { t } } d \hat { t } \, { \frac { \mu \, \mathrm { e x p } ( 2 \Gamma ( t - \hat { t } ) ) } { \sqrt { 1 + \mu ^ { 2 } \, \mathrm { e x p } ( 4 \Gamma ( t - \hat { t } ) ) } } }
\mathrm { B i } = H _ { \mathrm { s o l i d } } ⁄ k _ { \mathrm { s o l i d } } = \hat { H } _ { \mathrm { s o l i d } } \hat { k } _ { 0 } ⁄ \hat { H } _ { 0 } \hat { k } _ { \mathrm { s o l i d } }
{ \hat { \gamma } } _ { ( \lambda , \mu , \alpha ) } ^ { r } \Rightarrow { \hat { \gamma } } _ { ( \lambda , \mu , \alpha ) } ^ { r } \eta _ { r } ^ { \lambda \mu } , \quad { \hat { \gamma } } _ { r } ^ { ( \lambda , \mu , \alpha ) } \Rightarrow \eta _ { r } ^ { \lambda \mu } { \hat { \gamma } } _ { r } ^ { ( \lambda , \mu , \alpha ) } = { \hat { \gamma } } _ { r } ^ { ( \lambda , \mu , \alpha ) } \eta _ { r } ^ { \lambda \mu } , \quad { ( \eta _ { r } ^ { \lambda \mu } ) } ^ { + } = \eta _ { r } ^ { \lambda \mu } ,
\begin{array} { r } { d ( { \mathbf x } _ { 1 } ( t ) , { \mathbf x } _ { 2 } ( t ) ) = \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { N } } | { \mathbf x } _ { 1 } ( \tau ) - { \mathbf x } _ { 2 } ( \tau ) | ^ { 2 } \; \mathrm { d } \tau . } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { \hat { a } _ { 2 / 1 } } ^ { r / b } } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { i g _ { r } \hat { b } } & { \mathrm { f o r ~ r e d ~ p u m p i n g } } \\ { i g _ { b } \hat { b } ^ { \dagger } } & { \mathrm { f o r ~ b l u e ~ p u m p i n g . } } \end{array} \right. } \\ { C _ { \hat { b } } ^ { r / b } } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { i g _ { r } \hat { a } _ { 2 } } & { \mathrm { f o r ~ r e d ~ p u m p i n g } } \\ { i g _ { b } \hat { a } _ { 1 } ^ { \dagger } } & { \mathrm { f o r ~ b l u e ~ p u m p i n g . } } \end{array} \right. } \end{array}
H = \sqrt { g _ { t t } } \left[ { \frac { P _ { \phi } ^ { 2 } } { h ( r ) r ^ { 2 } } } + { \frac { P _ { r } ^ { 2 } } { g _ { r r } } } + { \frac { P _ { \rho } ^ { 2 } } { g _ { \rho \rho } } } + { \frac { ( \rho P _ { \phi } - N \rho ^ { p } ) ^ { 2 } } { g _ { \phi \phi } } } \right] ^ { \frac { 1 } { 2 } } ,
{ \cal L } _ { \mathrm { T M Q } } = - \frac { 1 } { 4 } F _ { \mu \nu } F ^ { \mu \nu } - \frac { \kappa } { 4 \pi } \epsilon ^ { \mu \nu \lambda } A _ { \mu } \partial _ { \nu } A _ { \lambda } - e A _ { \mu } j ^ { \mu } + { \cal L } _ { m }
\varphi ( t ) = \frac { 2 ^ { 2 d } D g ^ { \prime } ( t ) g ( t ) ^ { \alpha - 1 } } { \pi ^ { d } } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \lambda _ { 2 n + 1 } \left( \prod _ { i = 1 } ^ { d } \frac { \sin { ( \pi ( 2 n _ { i } + 1 ) x _ { i , 0 } / L _ { i } ) } } { 2 n _ { i } + 1 } \right) \ E _ { \alpha , \alpha } ( - \lambda _ { 2 n + 1 } D g ( t ) ^ { \alpha } ) ,
E _ { n } ^ { ( 2 ) } = { \frac { m a ^ { 2 } } { 2 \hbar ^ { 2 } } } \left( { \frac { 1 } { 2 n - 1 } } + { \frac { 1 } { - 2 n - 1 } } \right) = { \frac { m a ^ { 2 } } { \hbar ^ { 2 } } } { \frac { 1 } { 4 n ^ { 2 } - 1 } }
\begin{array} { r } { p \Bigg ( s _ { i } ( t + 1 ) = 1 \Bigg | \begin{array} { l } { s _ { i } ( t ) = 0 , s _ { j } ( t ) = 0 , s _ { j } ( t + 1 ) = 1 , j \in e } \\ { \mathrm { ~ w h e r e ~ e ~ i s ~ a ~ s e l e c t e d ~ ( k , l ) ~ e d g e } ) } \end{array} \Bigg ) = b ( l - k ) } \\ { p \Bigg ( s _ { i } ( t + 1 ) = 0 \Bigg | \begin{array} { l } { s _ { i } ( t ) = 1 , s _ { j } ( t ) = 1 , s _ { j } ( t + 1 ) = 0 , j \in e } \\ { \mathrm { ~ w h e r e ~ e ~ i s ~ a ~ s e l e c t e d ~ ( k , l ) ~ e d g e } ) } \end{array} \Bigg ) = b k } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { l } _ { + } \Psi _ { n } ^ { 0 } = } & { \hbar \mathrm { e } ^ { i \phi } \mathrm { e } ^ { i k z } \frac { 1 } { w _ { 0 } } \sqrt { \frac { 2 } { \pi } \frac { n ! } { ( n + 1 ) ! } } \sqrt { n + 1 } \mathrm { e } ^ { - \frac { r ^ { 2 } } { w _ { 0 } ^ { 2 } } } } \\ & { \cdot \left( z \left( 4 \frac { r } { w _ { 0 } ^ { 2 } } \frac { d } { d a } - 2 \frac { r } { w _ { 0 } ^ { 2 } } \right) - i k r \right) L _ { n } ^ { 0 } ( a ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { f _ { \varepsilon } \underset { \varepsilon \rightarrow 0 } { \longrightarrow } f \ \ \mathrm { i n } \ \mathscr { C } ( [ 0 , T ] ; \mathcal { H } _ { r - 1 } ^ { m - 2 } ) , \ \ \ \varrho _ { \varepsilon } \underset { \varepsilon \rightarrow 0 } { \longrightarrow } \varrho \ \ \mathrm { i n } \ \mathscr { C } ( [ 0 , T ] ; \mathrm { H } ^ { m - 3 } ) , \ \ \ u _ { \varepsilon } \underset { \varepsilon \rightarrow 0 } { \longrightarrow } u \ \ \mathrm { i n } \ \mathscr { C } ( [ 0 , T ] ; \mathrm { H } ^ { m - 1 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { g ^ { t } - \langle g ^ { t } \rangle _ { \psi } \xrightarrow { | w _ { f } | \rightarrow \infty } } & { { } - \frac { I r } { \Omega R } \cos { \theta } \frac { u ^ { 2 } + \mu B - Z e R \phi _ { c } / ( m r ) } { w } \mathcal { D } f _ { M } ( v _ { \parallel } = - u ) \sim \epsilon \frac { v _ { t } } { w } f _ { M } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { K _ { i } K _ { i } ^ { - 1 } = K _ { i } ^ { - 1 } K _ { i } = 1 , [ K _ { i } , K _ { j } ] = 0 , } \\ & { K _ { i } E _ { j } = v ^ { a _ { i j } } E _ { j } K _ { i } , \ K _ { i } F _ { j } = v ^ { - a _ { i j } } F _ { j } K _ { i } , } \\ & { [ E _ { i } , F _ { i } ] = \frac { K _ { i } - K _ { i } ^ { - 1 } } { v - v ^ { - 1 } } , \ [ E _ { i } , F _ { j } ] = 0 \ \textrm { f o r } \ i \not = j , } \\ & { \sum _ { s = 0 } ^ { 1 - a _ { i j } } ( - 1 ) ^ { s } \left[ \begin{array} { l } { 1 - a _ { i j } } \\ { s } \end{array} \right] E _ { j } ^ { s } E _ { i } E _ { j } ^ { 1 - a _ { i j } - s } = 0 \ \textrm { f o r } \ i \not = j , } \\ & { \sum _ { s = 0 } ^ { 1 - a _ { i j } } ( - 1 ) ^ { s } \left[ \begin{array} { l } { 1 - a _ { i j } } \\ { s } \end{array} \right] F _ { j } ^ { s } F _ { i } F _ { j } ^ { 1 - a _ { i j } - s } = 0 \ \textrm { f o r } \ i \not = j , } \end{array}
w _ { \alpha \beta } ^ { ( Q ^ { \prime } Q ) } ( p _ { Q ^ { \prime } } , p _ { Q } ) = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { s p i n s } \bar { u } _ { Q ^ { \prime } } O _ { \alpha } u _ { Q } \cdot \bar { u } _ { Q } O _ { \beta } ^ { + } u _ { Q ^ { \prime } } ,
\omega ( \Phi ) = \frac { 3 } { 2 } \left( - 1 + \frac { 1 } { 1 - \left. \Phi \frac { U _ { B } } { 2 } \right| _ { 0 } \int _ { 0 } ^ { r _ { \infty } } \frac { a ^ { 2 } } { a _ { + } ^ { 2 } } d z } \right)
\begin{array} { r l } { \mathrm { G y r o } } & { { } = \left[ \begin{array} { l l l l } { \gamma _ { 1 } } & { \gamma _ { 2 } } & { \dots } & { \gamma _ { N } } \end{array} \right] , } \\ { \mathrm { C S } } & { { } = \left[ \begin{array} { l l l l } { \delta _ { 1 } } & { \delta _ { 2 } } & { \dots } & { \delta _ { N } } \end{array} \right] . } \end{array}
\frac { \prod _ { k = 1 } ^ { n _ { f } } { \mathcal { Z } } \left( J , m _ { f } ^ { ( k ) } \right) } { \prod _ { l = 1 } ^ { n _ { b } } { \mathcal { Z } } \left( J , m _ { b } ^ { ( l ) } \right) } = \mathrm { c o n s t } \; \int { \mathcal { D } } { \mathcal { F } } { \mathcal { D } } { \mathcal { B } } \; \exp \left\{ - { \mathcal { A } } _ { \mathcal { F } } ( J ) - { \mathcal { A } } _ { \mathcal { B } } ( J ) \right\}
\left\{ \begin{array} { r l } { q ^ { \mathrm { v e n } } } & { = \langle \frac { p ^ { \mathrm { v e n } } - p ^ { \mathrm { l v } } } { R ^ { \mathrm { v e n } } } \rangle , } \\ { q ^ { \mathrm { a r t } } } & { = \langle \frac { p ^ { \mathrm { l v } } - p ^ { \mathrm { a r t } } } { R ^ { \mathrm { a r t } } } \rangle , } \\ { q ^ { \mathrm { p e r } } } & { = \frac { p ^ { \mathrm { a r t } } - p ^ { \mathrm { v e n } } } { R ^ { \mathrm { p e r } } } , } \end{array} \right.
\frac { d \sigma _ { \textrm { B W } } } { d \Omega } = \frac { r _ { e } ^ { 2 } \beta } { s } \bigg [ \frac { 1 + 2 \beta \mathrm { s i n } ^ { 2 } \theta - \beta ^ { 4 } - \beta ^ { 4 } \mathrm { s i n } ^ { 4 } \theta } { ( 1 - \beta ^ { 2 } \mathrm { c o s } ^ { 2 } \theta ) ^ { 2 } } \bigg ]
\begin{array} { r l } { \left| \sum _ { j = 0 } ^ { N } a _ { j } \cos ( 2 \pi j x / T ) - g ( x ) \right| } & { \le \left| \sum _ { j = 0 } ^ { N } a _ { j } \cos ( 2 \pi j x / T ) - \hat { g } ( 0 ) - \frac { 2 } { T } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \hat { g } ( n / T ) \cos ( 2 \pi x n / T ) \right| } \\ & { \quad + \left| \hat { g } ( 0 ) + \frac { 2 } { T } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \hat { g } ( n / T ) \cos ( 2 \pi x n / T ) - g ( x ) \right| } \\ & { \le \frac { \epsilon ^ { \prime \prime } } { 3 } \cdot \left| \hat { g } ( 0 ) + \frac { 2 } { T } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \hat { g } ( n / T ) \cos ( 2 \pi x n / T ) \right| + \frac { \epsilon ^ { \prime \prime } } { 3 } } \\ & { \le \frac { \epsilon ^ { \prime \prime } } { 3 } \left( \hat { g } ( 0 ) + \frac { 2 } { T } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \hat { g } ( n / T ) \right) + \frac { \epsilon ^ { \prime \prime } } { 3 } } \\ & { \le \frac { \epsilon ^ { \prime \prime } } { 3 } \left( 1 + \frac { \epsilon ^ { \prime \prime } } { 3 } \right) + \frac { \epsilon ^ { \prime \prime } } { 3 } } \\ & { \le \epsilon ^ { \prime \prime } , } \end{array}
\int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \left\vert \tilde { I } _ { p , q } ^ { m } ( \boldsymbol { x } - \left( \left( \boldsymbol { s } _ { j , k } - \boldsymbol { s } _ { 0 , 0 } \right) + \left( \boldsymbol { t } _ { p , q } - \boldsymbol { t } _ { 0 , 0 } \right) \right) ) \right\vert \, d \boldsymbol { x } = \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \left\vert \tilde { I } _ { p , q } ^ { m } ( \boldsymbol { x } ) \, \right\vert \, d \boldsymbol { x } \, ,
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { 2 } \left( \left\vert G \right\vert ^ { 2 } + \left\vert F \right\vert ^ { 2 } \right) } \\ & { = 2 \sum _ { m , n } ( \left\vert A _ { m - l } \right\vert \left\vert A _ { m + n - l } ^ { \ast } \right\vert \cos ( n ( \phi + \Omega t ) + \psi _ { n } ^ { - l } ) } \\ & { + \left\vert A _ { m + l } \right\vert \left\vert A _ { m + n + l } ^ { \ast } \right\vert \cos ( n ( \phi + \Omega t ) + \psi _ { n } ^ { l } ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { i \partial _ { t } \rho _ { c v } ^ { \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) } & { = \left\{ \omega _ { g } ^ { \textbf { k } ( t ) } + \textbf { F } ( t ) \cdot \left[ \mathbf { \Lambda } _ { c } ^ { \textbf { k } ( t ) } - \mathbf { \Lambda } _ { v } ^ { \textbf { k } ( t ) } \right] \right\} \rho _ { c v } ^ { \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) } \\ & { \ \ \ \ + \textbf { F } ( t ) \cdot \textbf { d } ^ { \textbf { k } ( t ) } \left[ \rho _ { v v } ^ { \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) - \rho _ { c c } ^ { \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) \right] , } \\ { i \partial _ { t } \rho _ { c c } ^ { \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) } & { = \textbf { F } ( t ) \cdot \left\{ \textbf { d } ^ { \textbf { k } ( t ) } \left[ \rho _ { c v } ^ { \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) \right] ^ { * } - \left[ \textbf { d } ^ { \textbf { k } ( t ) } \right] ^ { * } \rho _ { c v } ^ { \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) \right\} , } \\ { i \partial _ { t } \rho _ { v v } ^ { \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) } & { = - \textbf { F } ( t ) \cdot \left\{ \textbf { d } ^ { \textbf { k } ( t ) } \left[ \rho _ { c v } ^ { \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) \right] ^ { * } - \left[ \textbf { d } ^ { \textbf { k } ( t ) } \right] ^ { * } \rho _ { c v } ^ { \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma ^ { a b c } ( 0 , \omega , - \omega ) } & { = - \frac { g _ { s } e ^ { 3 } } { 2 V } \sum _ { s s ^ { \prime } } \left[ \frac { X _ { s } ^ { b } \Pi _ { s s ^ { \prime } } ^ { a } X _ { s ^ { \prime } } ^ { c * } } { \left( \hbar \omega - E _ { s } + i \eta \right) \left( \hbar \omega - E _ { s ^ { \prime } } - i \eta \right) } + \frac { V _ { s } ^ { a * } X _ { s s ^ { \prime } } ^ { b } X _ { s ^ { \prime } } ^ { c } } { - E _ { s } \left( \hbar \omega - E _ { s ^ { \prime } } + i \eta \right) } + \frac { V _ { s } ^ { a } X _ { s s ^ { \prime } } ^ { b * } X _ { s ^ { \prime } } ^ { c * } } { - E _ { s } \left( - \hbar \omega - E _ { s ^ { \prime } } - i \eta \right) } \right] } \\ & { + \left( b \leftrightarrow c , \omega \leftrightarrow - \omega \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { - \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { \omega ^ { j } \partial D _ { \epsilon } ( \omega k _ { 4 } ) } k ^ { l } \hat { w } ( x , t , k ) d k = \omega ^ { j ( l + 1 ) } \mathcal { A } ^ { - j } F _ { 1 } ^ { ( l + 1 ) } ( \zeta , t ) \mathcal { A } ^ { j } , } \\ & { - \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { \omega ^ { j } \partial D _ { \epsilon } ( ( \omega k _ { 4 } ) ^ { - 1 } ) } k ^ { l } \hat { w } ( x , t , k ) d k = - \omega ^ { j ( l + 1 ) } \mathcal { A } ^ { - j } \mathcal { B } F _ { 1 } ^ { ( - l - 1 ) } ( \zeta , t ) \mathcal { B } \mathcal { A } ^ { j } , } \\ & { - \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { \omega ^ { j } \partial D _ { \epsilon } ( \omega ^ { 2 } k _ { 2 } ) } k ^ { l } \hat { w } ( x , t , k ) d k = \omega ^ { j ( l + 1 ) } \mathcal { A } ^ { - j } F _ { 2 } ^ { ( l + 1 ) } ( \zeta , t ) \mathcal { A } ^ { j } , } \\ & { - \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { \omega ^ { j } \partial D _ { \epsilon } ( ( \omega ^ { 2 } k _ { 2 } ) ^ { - 1 } ) } k ^ { l } \hat { w } ( x , t , k ) d k = - \omega ^ { j ( l + 1 ) } \mathcal { A } ^ { - j } \mathcal { B } F _ { 2 } ^ { ( - l - 1 ) } ( \zeta , t ) \mathcal { B } \mathcal { A } ^ { j } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { m a x } _ { \Delta \mathbf { W } \in \mathcal { U } ( \gamma ) } \left\{ \frac { 1 } { m } \sum _ { i \in { \mathcal { S } _ { t } } } | \langle A _ { i } , \Delta W _ { 1 } W _ { 2 } ^ { \star } \rangle | \right\} \geq \frac { \gamma } { m } \sum _ { i \in { \mathcal { S } _ { t } } } | \langle A _ { i } , \bar { U } _ { 1 } W _ { 2 } ^ { \star } \rangle | = \frac { \gamma } { m } \sum _ { ( x , y ) \in \bar { \Psi } } | \bar { U } _ { 1 2 } ( x , y ) | = \frac { \sqrt { | \bar { \Psi } | } } { m } \cdot \gamma . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { w _ { i , L } } & { = } & { w _ { j } + \frac { 1 } { 2 } \left( { \bf g } _ { i } + \overline { { \bf g } } _ { j } \right) \cdot ( { \bf x } _ { i } - { \bf x } _ { j } ) , } \\ { w _ { i , R } } & { = } & { w _ { k } + \frac { 1 } { 2 } \left( { \bf g } _ { i } + \overline { { \bf g } } _ { k } \right) \cdot ( { \bf x } _ { i } - { \bf x } _ { k } ) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { a } \cdot \mathbf { I } } & { = \mathbf { a } \cdot ( \mathbf { i } \mathbf { i } + \mathbf { j } \mathbf { j } + \mathbf { k } \mathbf { k } ) } \\ & { = ( \mathbf { a } \cdot \mathbf { i } ) \mathbf { i } + ( \mathbf { a } \cdot \mathbf { j } ) \mathbf { j } + ( \mathbf { a } \cdot \mathbf { k } ) \mathbf { k } } \\ & { = a _ { x } \mathbf { i } + a _ { y } \mathbf { j } + a _ { z } \mathbf { k } } \\ & { = \mathbf { a } } \end{array} }
\left( \begin{array} { l l } { \boldsymbol { A } ^ { \mathrm { p h } } } & { \boldsymbol { B } ^ { \mathrm { p h } } } \\ { - \boldsymbol { B } ^ { \mathrm { p h } } } & { - \boldsymbol { A } ^ { \mathrm { p h } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \boldsymbol { X } _ { m } ^ { N } } \\ { \boldsymbol { Y } _ { m } ^ { N } } \end{array} \right) = \Omega _ { m } ^ { N } \left( \begin{array} { l } { \boldsymbol { X } _ { m } ^ { N } } \\ { \boldsymbol { Y } _ { m } ^ { N } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l r } { \Delta r _ { S E } ^ { ( \alpha ) } } & { = } & { \frac { \partial \Sigma ^ { \gamma } ( q ^ { 2 } ) } { \partial q ^ { 2 } } ( 0 ) + 2 \frac { c _ { w } } { s _ { w } } \frac { \Sigma ^ { \gamma Z } ( 0 ) } { M _ { Z } ^ { 2 } } + \frac { c _ { w } ^ { 2 } } { s _ { w } ^ { 2 } } ( \frac { \Sigma ^ { W } ( M _ { W } ^ { 2 } ) } { M _ { W } ^ { 2 } } - \frac { \Sigma ^ { Z } ( M _ { Z } ^ { 2 } ) } { M _ { Z } ^ { 2 } } ) } \\ & { } & { + \frac { \Sigma ^ { W } ( 0 ) - \Sigma ^ { W } ( M _ { W } ^ { 2 } ) } { M _ { W } ^ { 2 } } , } \end{array}
\frac { \langle q _ { 0 } \rangle ^ { 4 d + 4 } } { \langle q _ { 0 } \rangle ^ { 4 d + 4 } } \frac { \langle q _ { \kappa ( i ^ { * } ) } + q _ { i ^ { * } - 1 } - q _ { \kappa ( i ^ { * } ) - 1 } \rangle ^ { d + 1 } } { \langle q _ { \kappa ( i ^ { * } ) } + q _ { i ^ { * } - 1 } - q _ { \kappa ( i ^ { * } ) - 1 } \rangle ^ { d + 1 } } \prod _ { i = 1 } ^ { n } \frac { \langle q _ { i } - q _ { i - 1 } \rangle ^ { 5 d + 5 } } { \langle q _ { i } - q _ { i - 1 } \rangle ^ { 5 d + 5 } } .
\begin{array} { r } { \omega _ { D a } ( t ) = \frac { \pi \gamma _ { 4 4 } } { 2 } t + \omega + \frac { \pi \beta _ { 4 4 } } { 2 } = \frac { \pi \gamma _ { 4 4 } } { 2 } t + \omega _ { D } . } \end{array}
\mathbf { x } _ { Q } ( t ) = \cos ( \mathbf { D } _ { Q Q } t ) \mathbf { x } _ { Q } ( 0 ) + \mathbf { D } _ { Q Q } ^ { - 1 } \sin ( \mathbf { D } _ { Q Q } t ) \mathbf { \dot { x } } _ { Q } ( 0 ) - \int _ { 0 } ^ { t } d \tau \mathbf { D } _ { Q Q } ^ { - 1 } \sin ( \mathbf { D } _ { Q Q } ( t - \tau ) ) \mathbf { D } _ { Q P } ^ { 2 } \mathbf { x } _ { P } ( \tau ) .