harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\langle n _ { 1 } \cdots n _ { j } \cdots n _ { M } | \psi \rangle = \sum _ { \mathcal { P } } \sum _ { \{ \eta _ { j } \} } ( - 1 ) ^ { \mathcal { P } } A ( \{ e ^ { i k _ { j } } \} ; \mathcal { P } , \{ \eta _ { j } \} ) e ^ { i \eta _ { 1 } k _ { \mathcal { P } 1 } n _ { 1 } } \cdots e ^ { i \eta _ { j } k _ { \mathcal { P } j } n _ { j } } \cdots e ^ { i \eta _ { M } k _ { \mathcal { P } M } n _ { M } } ,
\begin{array} { r } { \mathbf { u } _ { 0 } ( x , t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \mathbf { v } _ { 0 } ^ { + } ( x , t ) - \mathbf { v } _ { 0 } ^ { - } ( x , t ) } { d _ { \Gamma } ( x , t ) } } & { \mathrm { i f ~ } ( x , t ) \in \Gamma ( 3 \delta ) \backslash \Gamma , } \\ { \mathbf { n } \cdot \nabla \big ( \mathbf { v } _ { 0 } ^ { + } ( x , t ) - \mathbf { v } _ { 0 } ^ { - } ( x , t ) \big ) } & { \mathrm { i f ~ } ( x , t ) \in \Gamma . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { f _ { \boldsymbol { q } n } / f _ { \boldsymbol { q } n } ^ { \prime } } & { { } = } & { e ^ { - \nu _ { \boldsymbol { q } n } d / 2 } / \cos ( \kappa _ { \boldsymbol { q } n } d / 2 ) , } \\ { f _ { \boldsymbol { q } n } / f _ { \boldsymbol { q } n } ^ { \prime \prime } } & { { } = } & { \cosh \left( \nu _ { \boldsymbol { q } n } \delta / 2 \right) / \cos ( \kappa _ { \boldsymbol { q } n } \delta / 2 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { 0 \to 1 } ^ { ( \bar { \nu } ) , \mathrm { ~ A ~ l ~ b ~ r ~ e ~ c ~ h ~ t ~ } } } & { { } \propto \frac { 4 \mu ^ { 4 } s _ { \bar { \nu } } ^ { 2 } } { \hbar ^ { 2 } } \left[ \frac { \omega _ { \mathrm { { I } } } ^ { 2 } + \omega _ { \mathrm { { e g } } } ^ { 2 } } { ( \omega _ { \mathrm { { I } } } ^ { 2 } - \omega _ { \mathrm { { e g } } } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \right] ^ { 2 } \approx \frac { \mu ^ { 4 } s _ { \bar { \nu } } ^ { 2 } } { \hbar ^ { 2 } \delta ^ { 4 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { G } } & { = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } G ( \theta ) f ( \theta ) d \theta } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \frac { \theta _ { m } } { 2 } } G _ { m } 1 0 ^ { - c \left( \frac { 2 \theta } { \omega _ { m } } \right) ^ { 2 } } \frac { 1 } { \pi } d \theta + \int _ { \frac { \theta } { 2 } } ^ { \pi } G _ { s } \frac { 1 } { \pi } d \theta } \\ & { = \frac { \omega _ { m } G _ { m } } { \sqrt { 2 c \pi \ln { 1 0 } } } \mathrm { e r f c } \left( \frac { \theta _ { m } \sqrt { c \ln 1 0 } } { \omega _ { m } } \right) - \frac { G _ { s } \theta _ { m } } { 2 \pi } + G _ { s } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \pmb { \eta } } & { { } = \left( \begin{array} { l l l l } { \pmb { \xi } ^ { ( 0 ) } } & { \mathbf { 0 } } & { . . . } & { \mathbf { 0 } } \\ { \mathbf { 0 } } & { \pmb { \xi } ^ { ( 1 ) } } & { . . . } & { \mathbf { 0 } } \\ { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { 0 } } & { . . . } & { \pmb { \xi } ^ { ( N ) } } \end{array} \right) , } \end{array}
\left\langle - { \frac { 1 } { 2 } } \, \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x _ { i } ^ { 2 } } \right\rangle \ = \ { \frac { p _ { i } p _ { i } } { 2 } } \, + \, \frac { 1 } { 8 } \, G _ { i i } ^ { - 1 } \, + \, 2 \, \Pi _ { i j } G _ { j k } \Pi _ { k i } .
Z = \left| \begin{array} { c c } { { z _ { 1 1 } } } & { { z _ { 1 2 } } } \\ { { z _ { 2 1 } } } & { { z _ { 2 2 } } } \end{array} \right| = u _ { 1 } \left| \begin{array} { c c } { { \lambda _ { 1 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \lambda _ { 2 } } } \end{array} \right| u _ { 2 }
\begin{array} { r l } & { \left\| \mathcal { M } _ { 3 } ( \partial _ { z } ^ { 2 } + ( \partial _ { v } - t \partial _ { z } ) ^ { 2 } ) P _ { \neq } ( \Upsilon _ { 2 } \Pi _ { l , 1 } ) \right\| _ { 2 } } \\ & { \lesssim \left\| \mathcal { M } _ { 3 } ( \partial _ { z } ^ { 2 } + ( \partial _ { v } - t \partial _ { z } ) ^ { 2 } ) \mathring { \mathcal { T } } _ { 2 , N } ^ { - 1 } [ P _ { \neq } \Xi _ { 1 } ] \right\| _ { 2 } + \left\| \mathcal { M } _ { 3 } ( \partial _ { z } ^ { 2 } + ( \partial _ { v } - t \partial _ { z } ) ^ { 2 } ) \mathring { \mathcal { T } } _ { j , N } ^ { - 1 } \big [ P _ { \neq } \mathcal { S } _ { 2 } [ \Pi _ { l , 1 } ] \big ] \right\| _ { 2 } } \\ & { \quad + \left\| \mathcal { M } _ { 3 } ( \partial _ { z } ^ { 2 } + ( \partial _ { v } - t \partial _ { z } ) ^ { 2 } ) \mathring { \mathcal { T } } _ { 2 , N } ^ { - 1 } \big [ P _ { \neq } \mathcal { S } _ { a } [ \Pi _ { l , 1 } ] \big ] \right\| _ { 2 } } \\ & { \lesssim \epsilon + \epsilon \left\| \mathcal { M } _ { 3 } ( \partial _ { z } ^ { 2 } + ( \partial _ { v } - t \partial _ { z } ) ^ { 2 } ) P _ { \neq } ( \Upsilon _ { 2 } \Pi _ { l , 1 } ) \right\| _ { 2 } + \epsilon ^ { 2 } } \end{array}
{ \sf M } ^ { a b } [ A ^ { \omega } ] = { \sf D } ^ { a c } [ \omega ] \cdot \left. \frac { \delta \chi ^ { c } [ A ^ { \tilde { \Omega } } ] } { \delta \tilde { \varphi } ^ { d } } \right| _ { \varphi = 0 } \cdot \left. \frac { \delta \tilde { \varphi } ^ { d } } { \delta \varphi ^ { b } } \right| _ { \varphi = 0 } .
\Biggl [ \; \mu \frac { \partial } { \partial \mu } \; + \; \overline { { { \beta } } } ( \lambda _ { \overline { { { \mathrm { M S } } } } } ) \frac { \partial } { \partial \lambda _ { \overline { { { \mathrm { M S } } } } } } \; - \; \overline { { { \gamma } } } _ { M } ( \lambda _ { \overline { { { \mathrm { M S } } } } } ) \overline { { { M } } } \frac { \partial } { \partial \overline { { { M } } } } \; \Biggr ] \; { \bf a } _ { j } = 0 ,
{ \begin{array} { r l } { \sum _ { n = 0 } ^ { 1 - a _ { i j } } ( - 1 ) ^ { n } { \frac { [ 1 - a _ { i j } ] _ { q _ { i } } ! } { [ 1 - a _ { i j } - n ] _ { q _ { i } } ! [ n ] _ { q _ { i } } ! } } e _ { i } ^ { n } e _ { j } e _ { i } ^ { 1 - a _ { i j } - n } } & { = 0 } \\ { \sum _ { n = 0 } ^ { 1 - a _ { i j } } ( - 1 ) ^ { n } { \frac { [ 1 - a _ { i j } ] _ { q _ { i } } ! } { [ 1 - a _ { i j } - n ] _ { q _ { i } } ! [ n ] _ { q _ { i } } ! } } f _ { i } ^ { n } f _ { j } f _ { i } ^ { 1 - a _ { i j } - n } } & { = 0 } \end{array} }
d \tilde { s } ^ { 2 } = \left( 1 + \frac { g _ { \mu \nu } \ddot { x } ^ { \mu } \ddot { x } ^ { \nu } } { { \cal A } _ { m } ^ { 2 } } \right) g _ { \alpha \beta } d x ^ { \alpha } d x ^ { \beta } \equiv \sigma ^ { 2 } ( x ) g _ { \alpha \beta } d x ^ { \alpha } d x ^ { \beta } \, { , }
\begin{array} { r l r } { \Sigma } & { = } & { < \left( \begin{array} { c } { a _ { 1 , n } } \\ { b _ { 1 , n } } \\ { \vdots } \\ { a _ { \xi , n } } \\ { b _ { \xi , n } } \\ { \vdots } \end{array} \right) \left( a _ { 1 , n } ^ { * } , b _ { 1 , n } ^ { * } , \cdots , a _ { \xi , n } ^ { * } , b _ { \xi , n } ^ { * } , \cdots \right) > } \\ & { = } & { \frac { 4 k _ { B } T } { P } \left( \begin{array} { c c c c c c } { \mathscr { C } [ S _ { 1 , 1 } ] } & { 0 } & { \cdots } & { \mathscr { C } [ S _ { 1 , \xi } ] } & { 0 } & { \cdots } \\ { 0 } & { \mathscr { C } [ S _ { 1 , 1 } ] } & { \cdots } & { 0 } & { \mathscr { C } [ S _ { 1 , \xi } ] } & { \cdots } \\ { \vdots } & { \cdots } & { \cdots } & { \cdots } & { \cdots } & { \cdots } \\ { \mathscr { C } [ S _ { \xi , 1 } ] } & { 0 } & { \cdots } & { \mathscr { C } [ S _ { \xi , \xi } ] } & { 0 } & { \cdots } \\ { 0 } & { \mathscr { C } [ S _ { \xi , 1 } ] } & { \cdots } & { 0 } & { \mathscr { C } [ S _ { \xi , \xi } ] } & { \cdots } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } \end{array} \right) } \end{array}
\mathrm { p r o b } \left[ X \leq ( d + \lambda _ { \mathrm { ~ n ~ c ~ } } ) - 2 \sqrt { ( d + 2 \lambda _ { \mathrm { ~ n ~ c ~ } } ) \ln \frac { 1 } { \varepsilon _ { \mathrm { ~ p ~ e ~ } } } } \right] \leq \varepsilon _ { \mathrm { ~ p ~ e ~ } } .
\frac { 1 } { \phi _ { 0 } m ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } \phi } { \partial t ^ { 2 } } - \frac { 1 } { \phi _ { 0 } m ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } \phi } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \eta _ { a } } { \phi _ { 0 } m ^ { 2 } } \frac { \partial \phi } { \partial t } = - \frac { \phi } { \phi _ { 0 } } + \frac { \alpha \phi _ { o } } { m ^ { 2 } } \frac { \phi ^ { 2 } } { \phi _ { o } ^ { 2 } } - \frac { \lambda \phi _ { 0 } ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } \frac { \phi ^ { 3 } } { \phi _ { 0 } ^ { 3 } } + \frac { \xi _ { a } } { \phi _ { 0 } m ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { \mathrm { i f } \, \, \, d ( q _ { i } , \, q _ { j } ) \leq R } & { : \, P r [ d \big ( h ( q _ { i } ) , \, h ( q _ { j } ) \big ) < S ] \geq p _ { 1 } } \\ { \mathrm { i f } \, \, \, d ( q _ { i } , \, q _ { j } ) > c R } & { : \, P r [ d \big ( h ( q _ { i } ) , \, h ( q _ { j } ) \big ) < S ] \leq p _ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { L } _ { \mathrm { D S M } } ( \theta ) : = \mathbb { E } _ { ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } , \mathbf { x } _ { t _ { i + 1 } } ) } \left[ | | \mathbf { x } _ { t _ { i } } - \hat { \mathbf { x } } _ { t _ { i } } ^ { \mathrm { n o i s e } } - \Delta t \, g ^ { 2 } ( t _ { i } ) \, s _ { \theta } ( \hat { \mathbf { x } } _ { t _ { i } } ^ { \mathrm { n o i s e } } , t _ { i } ) | | _ { 2 } ^ { 2 } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { z } ^ { n , i , j } } & { { } = E _ { z } ( t = n \Delta t , x = i \Delta s , y = j \Delta s ) , } \\ { H _ { x } ^ { n , i , j } } & { { } = H _ { x } ( ( n - 0 . 5 ) \Delta t , i \Delta s , ( j + 0 . 5 ) \Delta s ) , } \\ { H _ { y } ^ { n , i , j } } & { { } = H _ { y } ( ( n - 0 . 5 ) \Delta t , ( i + 0 . 5 ) \Delta s , j \Delta s ) , } \end{array}
B ( \gamma ) = - i \sqrt { i \chi } \left[ \begin{array} { r r } { \cosh ( \gamma ) z _ { 1 } } & { i \sinh ( \gamma ) z _ { 1 } } \\ { - \sinh ( \gamma ) z _ { 2 } } & { - i \cosh ( \gamma ) z _ { 2 } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } { D = } & { { } \frac 1 2 \left( | \mathbf { d } \cdot \mathbf { E } _ { f } ^ { * } | ^ { 2 } + | \mathbf { d } \cdot \mathbf { E } _ { b } ^ { * } | ^ { 2 } \right) + \zeta \left( \mathbf { d } \cdot \mathbf { G } _ { \mathrm { ~ l ~ } } \cdot \mathbf { d } ^ { * } + \ensuremath { \mathrm { ~ i ~ } } \hbar \epsilon _ { 0 } \delta \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { { w ^ { \textnormal { L } } } } } & { = \frac { 1 } { T ^ { \textnormal { L } } } \int _ { 0 } ^ { T ^ { \textnormal { L } } } w ( x ( t ) , z ( t ) , t ) \, d t = - \frac { \epsilon } { T ^ { \textnormal { L } } k } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { \sinh ( \epsilon \cos \theta + { \alpha } ) \sin \theta } { \sinh { \alpha } - \epsilon \cosh ( \epsilon \cos \theta + { \alpha } ) \cos \theta } \, d \theta = 0 . } \end{array}
m _ { f _ { 1 } } ^ { 2 } ( T _ { \chi } ) | _ { \xi = 0 } = \frac { 1 } { 3 } \left( m _ { \rho } ^ { 2 } ( 0 ) + 2 m _ { a _ { 1 } } ^ { 2 } ( 0 ) \right) = ( 1 1 2 0 \, M e V ) ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { \widetilde { V } _ { 0 } ( r ) = } & { \: ( 1 + a ^ { 2 } ) ^ { - 3 } \left[ - 8 a m \widetilde { \omega } + 2 ( \Lambda - m ^ { 2 } ) ( 1 - a ^ { 2 } ) + ( 2 m ^ { 2 } - \Lambda + 2 a m \widetilde { \omega } ) ( 1 - a ^ { 2 } ) ^ { 2 } \right] ( r - 1 ) + } \\ & { + \: ( 1 + a ^ { 2 } ) ^ { - 4 } \Big [ 4 ( \Lambda - 2 m ^ { 2 } ) + 6 ( 3 m ^ { 2 } - 2 \Lambda + 4 a m \widetilde { \omega } ) ( 1 - a ^ { 2 } ) } \\ & { + ( 5 \Lambda - 1 0 m ^ { 2 } - 1 2 a m \widetilde { \omega } ) ( 1 - a ^ { 2 } ) ^ { 2 } \Big ] ( r - 1 ) ^ { 2 } } \\ & { + \Lambda O ( ( r - 1 ) ^ { 3 } ) , } \\ { \widetilde { V } _ { 0 } ( r ) = } & { \: ( 1 + a ^ { 2 } ) ^ { - 3 } \left[ - 8 a m \widetilde { \omega } - 2 m ^ { 2 } ( 1 - a ^ { 2 } ) + 2 ( m ^ { 2 } + a m \widetilde { \omega } ) ( 1 - a ^ { 2 } ) ^ { 2 } \right] ( r - 1 ) } \\ & { + \: ( 1 + a ^ { 2 } ) ^ { - 4 } \left[ - 8 m ^ { 2 } + 2 ( 9 m ^ { 2 } + 1 2 m a \widetilde { \omega } ) ( 1 - a ^ { 2 } ) - 2 ( 5 m ^ { 2 } + 6 a m \widetilde { \omega } ) ( 1 - a ^ { 2 } ) ^ { 2 } \right] ( r - 1 ) ^ { 2 } } \\ & { + \: \Lambda ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) ^ { - 2 } \Delta + ( m ^ { 2 } + | m \widetilde { \omega } | ) O ( ( r - 1 ) ^ { 3 } ) , } \\ { \widetilde { V } _ { 1 } ( r ) = } & { \: ( 1 + a ^ { 2 } ) ^ { - 3 } ( 1 - a ^ { 2 } ) ^ { 2 } ( r - 1 ) + 2 ( 1 + a ^ { 2 } ) ^ { - 4 } \left[ 3 ( 1 - a ^ { 2 } ) - 4 ( 1 - a ^ { 2 } ) ^ { 2 } + ( 1 - a ^ { 2 } ) ^ { 3 } \right] ( r - 1 ) ^ { 2 } } \\ & { + O ( ( r - 1 ) ^ { 3 } ) , } \\ { V _ { q , \varpi } ( r ) = } & { \: \frac { \left( \Lambda - \frac { 2 a ^ { 2 } m ^ { 2 } } { ( 1 + a ^ { 2 } ) } \right) \Delta } { ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) ^ { 2 } } - m \widetilde { \omega } ( r - 1 ) ^ { 2 } + ( r - 1 ) \Delta O ( m ^ { 2 } + | m \widetilde { \omega } | ) , } \\ { \check { V } = } & { \: \left[ - m \widetilde { \omega } + \frac { 1 } { 4 } ( 1 - a ^ { 2 } ) ( \Lambda - m ^ { 2 } + O ( | m \widetilde { \omega } | ) ) + ( 1 - a ^ { 2 } ) ^ { 2 } O ( | \Lambda | ) \right] ( r - 1 ) } \\ & { + O ( | m \widetilde { \omega } | + \Lambda ( 1 - a ^ { 2 } ) + | \Lambda - \Lambda _ { + } | ) ( r - 1 ) ^ { 2 } , } \\ { \widetilde { V } _ { \mathrm { s t a t } } ( r ) = } & { \: \left[ \frac { 1 } { 4 } ( \Lambda _ { + } - 2 m ^ { 2 } ) + \Lambda _ { + } O ( ( 1 - a ^ { 2 } ) ) \right] ( r - 1 ) ^ { 2 } + \Lambda _ { + } O ( ( r - 1 ) ^ { 3 } ) , } \\ { V ( r ) = } & { \: \Lambda ( r ^ { - 2 } + O _ { 1 } ( r ^ { - 3 } ) ) . } \end{array}
\langle N \rangle _ { 0 } = \frac { 1 } { 8 \pi } \left[ 4 \pi \int _ { 0 } ^ { \infty } d r \frac { d \theta } { d r } \sin \theta ( r ) \right] = \frac { 1 } { 2 } \left[ \cos \theta ( 0 ) - \cos \theta ( \infty ) \right]
\begin{array} { r c l } { { \tilde { e } _ { n _ { + } , n _ { - } } ^ { \alpha } ( z ) } } & { { = } } & { { ( P _ { + } ) ^ { n _ { + } } ( P _ { - } ) ^ { n _ { - } } V _ { \alpha } ( z ) } } \\ { { } } & { { = } } & { { \displaystyle \int _ { \infty } ^ { z } d t _ { 1 } J _ { + } ( t _ { 1 } ) \cdots \int _ { \infty } ^ { z } d t _ { n _ { + } } J _ { + } ( t _ { n _ { + } } ) \int _ { \infty } ^ { z } d t _ { 1 } ^ { \prime } J _ { - } ( t _ { 1 } ^ { \prime } ) \cdots \int _ { \infty } ^ { z } d t _ { n _ { - } } ^ { \prime } J _ { - } ( t _ { n _ { - } } ^ { \prime } ) V _ { \alpha } ( z ) , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } ( \tilde { l } ^ { \dagger } \tilde { a } ) } & { = - i ( \tilde { \omega } _ { \mathrm { c a v } } - \tilde { \omega } _ { \mathrm { L } } ) \tilde { l } ^ { \dagger } \tilde { a } + i g _ { 0 } \cos \varphi \sin \varphi \cdot ( \tilde { a } ^ { \dagger } \tilde { a } - \tilde { l } ^ { \dagger } \tilde { l } ) \cdot b , } \\ & { = - i ( \tilde { \omega } _ { \mathrm { c a v } } - \tilde { \omega } _ { \mathrm { L } } ) \tilde { l } ^ { \dagger } \tilde { a } - i g _ { 0 } \cos \varphi \sin \varphi \cdot ( \tilde { l } ^ { \dagger } \tilde { l } - \tilde { a } ^ { \dagger } \tilde { a } ) \cdot b . } \end{array}
\frac { g _ { L } } { F } \partial _ { \mu } f ^ { a } \, \bar { u } _ { i } \gamma ^ { \mu } T _ { u i j } ^ { a } { u } _ { j } + \frac { g _ { L } } { F } \partial _ { \mu } f ^ { a } \, \bar { d } _ { i } \gamma ^ { \mu } T _ { d i j } ^ { a } d _ { j } \ ,
\begin{array} { r l r } { { \bf I } \delta ( { { \bf x } _ { \mathrm { H } } ^ { \prime } } - { { \bf x } _ { \mathrm { H } , F } } ) } & { { } = } & { \int _ { { { \partial \mathbb { D } } } } { \bf W } ( { \bf x } _ { \mathrm { H } } ^ { \prime } , x _ { 3 , F } , { \bf x } ) { \bf W } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) \mathrm { d } ^ { 2 } { \bf x } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbb { E } \left[ f ( x ^ { t } ) - \operatorname* { i n f } f \right] } & { \leq } & { ( 1 - \mu \gamma ) ^ { t } \mathbb { E } \left[ f ( x ^ { 0 } ) - \operatorname* { i n f } f \right] + \gamma ^ { 2 } L _ { f } L _ { \operatorname* { m a x } } \Delta _ { f } ^ { * } \sum _ { j = 0 } ^ { t - 1 } ( 1 - \gamma \mu ) ^ { j } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { G ( w ; \rho ) = \frac { a _ { 0 } } { 2 } } & { + } & { \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \bigg \{ \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \frac { \tilde { f } ( m ) } { m } C _ { c o s } ( n , m ) \cos { \bigg ( \frac { 2 \pi n w } { T } \bigg ) } } \\ & { + } & { \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \frac { \tilde { f } ( m ) } { m } C _ { s i n } ( n , m ) \sin { \bigg ( \frac { 2 \pi n w } { T } \bigg ) } \bigg \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \beta } & { : = 2 ( - 1 ) ^ { P } \sum _ { [ k ] = P } \frac { \mu _ { k } } { k ! } \mathbb { E } \Big [ g ( X ) \frac { \partial ^ { k } } { \partial X ^ { k } } \nu ^ { \prime } \dot { f } ( X ) \Big ] , \qquad \sigma ^ { 2 } : = \mathbb { V } [ \widehat { \theta } _ { \nu } ] , } \\ { \kappa _ { 1 } } & { : = \mathbb { E } [ \nu ^ { \prime } \psi ( Z ) ^ { 3 } ] , \qquad \kappa _ { 2 } : = 4 \mathbb { E } [ \delta ( Z ) \dot { \eta } ( Z ) ] - 8 \mathbb { E } [ \delta ( Z ) ^ { 2 } ] \theta _ { \nu } + 4 \theta _ { \nu } ^ { 3 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { l } { n _ { i 2 } ^ { ( 2 ) } } \\ { w _ { i 2 } ^ { ( 2 ) } } \\ { \Psi _ { 2 } ^ { ( 2 ) } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { \chi _ { 1 1 } ^ { ( 2 2 ) } } \\ { \chi _ { 1 2 } ^ { ( 2 2 ) } } \\ { \chi _ { 1 3 } ^ { ( 2 2 ) } } \end{array} \right) | \Psi _ { 1 } ^ { ( 1 ) } | ^ { 2 } , } \end{array}
- c _ { \mathbf { m } } ^ { \kappa } ( \widetilde { \gamma } , \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) + \frac { \omega _ { C } - \omega _ { S } } { 2 \mathbf { m } } + \frac { \omega _ { S } } { 2 \sin ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { 2 } } { 2 } \right) } + \widetilde { \gamma } = 0 .
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { D D P M } } & { = \mathbb { E } _ { p } \left[ - \log \frac { q _ { \theta } ( x _ { 0 : T } ) } { p ( x _ { 1 : T } | x _ { 0 } ) } \right] } \\ & { = \mathbb { E } _ { p } [ D _ { K L } ( p ( x _ { T } | x _ { 0 } ) | | p ( x _ { T } ) ) } \\ & { \quad + \sum _ { t > 1 } D _ { K L } ( p ( x _ { t - 1 } | x _ { t } , x _ { 0 } ) | | q _ { \theta } ( x _ { t - 1 } | x _ { t } ) ) } \\ & { \quad - \log q _ { \theta } ( x _ { 0 } | x _ { 1 } ) ] } \\ & { = \mathbb { E } _ { p } \left[ \frac { 1 } { 2 \sigma _ { t } } \Vert \mu _ { t } ( x _ { t } , x _ { 0 } ) - \mu _ { \theta } ( x _ { t } , t ) \Vert ^ { 2 } \right] + C } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } q _ { 1 } + \mathbf { u } _ { 1 } \cdot \nabla q _ { 1 } } & { = \nu \nabla ^ { 4 } \psi _ { 1 } - \beta \partial _ { x } \psi _ { 1 } , } \\ { \partial _ { t } q _ { 2 } + \mathbf { u } _ { 2 } \cdot \nabla q _ { 2 } } & { = \nu \nabla ^ { 4 } \psi _ { 2 } - \mu \nabla ^ { 2 } \psi _ { 2 } - \beta \partial _ { x } \psi _ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { b \in B \cap C _ { f i n } ( h ) } F _ { \mu } ( x , b ; B \setminus \{ b \} ) ( 1 - \nu ( C ( b ^ { - 1 } h _ { 1 } \dots h _ { l - 1 } ) ) ) + } \\ & { + \sum _ { b \in B \setminus C _ { f i n } ( h ) } F _ { \mu } ( x , b ; B \setminus \{ b \} ) \nu ( C ( b ^ { - 1 } h ) ) = } \\ & { = \sum _ { x ^ { - 1 } b \in x ^ { - 1 } B \cap C _ { f i n } ( x ^ { - 1 } h ) } F _ { \mu } ( e , x ^ { - 1 } b ; x ^ { - 1 } B \setminus \{ x ^ { - 1 } b \} ) ( 1 - \nu ( C ( ( x ^ { - 1 } b ) ^ { - 1 } x ^ { - 1 } h _ { 1 } \dots h _ { l - 1 } ) ) ) + } \\ & { + \sum _ { x ^ { - 1 } b \in x ^ { - 1 } B \setminus C _ { f i n } ( x ^ { - 1 } h ) } F _ { \mu } ( e , x ^ { - 1 } b ; x ^ { - 1 } B \setminus \{ x ^ { - 1 } b \} ) \nu ( C ( ( x ^ { - 1 } b ) ^ { - 1 } x ^ { - 1 } h ) ) = \nu ( C ( x ^ { - 1 } h ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle h _ { 1 } ^ { 2 } ( x ) \rangle } & { { } = \left\langle \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } a _ { m } \cos \left( \frac { m \pi x } { L _ { x } } \right) \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } a _ { n } \cos \left( \frac { n \pi x } { L _ { x } } \right) \right\rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { 1 } [ F _ { a l l } ] } & { = R _ { 1 } [ F _ { 3 m o d e } ] + R _ { 1 } [ F _ { j } ] + R _ { 1 } [ F _ { \tilde { w } } ] + R _ { 1 } [ F _ { j ( k _ { 0 } \pm 1 ) } ] + R _ { 1 } [ F _ { u _ { 3 } } ] } \\ & { = 2 0 c ^ { 2 } c _ { 1 } + ( 2 0 + c ^ { 4 } ( \frac s \eta ) ^ { - \gamma } ) \tilde { c } _ { 1 } + ( 2 0 c ^ { 2 } + c ^ { 4 } ( \frac s \eta ) ^ { - \gamma } ) c _ { 2 } } \\ & { + \frac { c ^ { 3 } } \beta c _ { 1 } + \frac { c ^ { 3 } } \beta ( \frac s \eta ) ^ { - \gamma } ( \tilde { c } _ { 1 } + c _ { 2 } ) + \frac { 4 c ^ { 2 + \gamma _ { 1 } } } { \kappa _ { k _ { 0 } } \eta ^ { 1 + \gamma _ { 2 } } } j ( k _ { 0 } , s _ { 0 } ) } \\ & { + 2 c ^ { 2 } ( \tilde { w } ( 2 ) + \tilde { w } ( - 2 ) ) } \\ & { + \frac { 2 c } { \kappa \xi \eta } j ( k _ { \pm 1 } , \tilde { s } _ { 0 } ) + \frac { 2 c } { \beta \kappa \xi } ( \tilde { w } ( 1 ) + c _ { 1 } ^ { \ast } + c _ { 2 } ^ { \ast } ) } \\ & { + 2 c \tilde { w } ( 1 ) } \\ & { < 2 1 c ^ { 2 } c _ { 1 } + \tilde { c } _ { 1 } ( 2 1 + \frac { c ^ { 3 } } \beta ( \frac s \eta ) ^ { - \gamma } ) + c _ { 2 } ( 2 1 c ^ { 2 } + \frac { c ^ { 3 } } \beta ( \frac s \eta ) ^ { - \gamma } ) + N } \end{array}
\log _ { 1 0 } { \frac { c ^ { - } } { c ^ { + } } } \gg 6 4 - { \frac { 1 } { 2 } } \log _ { 1 0 } z _ { e q } + 2 \log _ { 1 0 } { \frac { T _ { c } ^ { + } } { T _ { P } ^ { + } } }
\begin{array} { r l } { \mathcal { Q } _ { l + 1 } \big ( \boldsymbol { \alpha } ^ { l } \big ) = \mathcal { Q } _ { l } } & { \big ( \boldsymbol { \alpha } ^ { l - 1 } \big ) A ( \alpha _ { l } ) } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { \tau _ { \mathrm { d } } } d \tau \varrho _ { l } \big ( \tau ; \boldsymbol { \alpha } ^ { l - 1 } \big ) B ( \alpha _ { l } ; \tau ) , } \end{array}
\phi _ { 4 } \, = \, \frac { 1 } { 2 \pi } \, L \eta _ { 4 } + \frac { 1 } { 2 \pi } \sum _ { m = 1 } ^ { 4 } \Bigl ( \bigl ( \beta _ { \epsilon } + L \bigr ) P _ { m } + Q _ { m } \Bigr ) \eta _ { 4 - m } \, ,
- { \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \psi ^ { * } { \frac { d ^ { 2 } \psi } { d x ^ { 2 } } } d x \, = { \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \left| { \frac { d \psi } { d x } } \right| ^ { 2 } d x
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { s u p } _ { P \in \mathcal { P } ^ { * } } \sqrt { T } \mathbb { E } _ { P } \left[ r _ { T } \left( \pi ^ { \mathrm { H I R } } \right) ( P ) \right] \leq \operatorname* { m a x } _ { a , b \in [ K ] : a \neq b } \sqrt { \log K \mathbb { E } ^ { X } \left[ \frac { \left( \sigma ^ { a } ( X ) \right) ^ { 2 } } { w ^ { * } ( a | X ) } + \frac { \left( \sigma ^ { b } ( X ) \right) ^ { 2 } } { w ^ { * } ( b | X ) } \right] } + o ( 1 ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { S _ { b } ( h _ { i } , h _ { i } , h _ { i + 1 } ) } & { \leq } & { H _ { b } ( \mathfrak { T } h _ { i - 1 } , \mathfrak { T } h _ { i - 1 } , \mathfrak { T } h _ { i } ) + \alpha ^ { i } } \\ & { \leq } & { \alpha S _ { b } ( h _ { i - 1 } , h _ { i - 1 } , h _ { i } ) + \alpha ^ { i } } \\ & { \leq } & { \alpha [ H _ { b } ( \mathfrak { T } h _ { i - 2 } , \mathfrak { T } h _ { i - 2 } , \mathfrak { T } h _ { i - 1 } ) + \alpha ^ { i - 1 } ] + \alpha ^ { i } } \\ & { = } & { \alpha H _ { b } ( \mathfrak { T } h _ { i - 2 } , \mathfrak { T } h _ { i - 2 } , \mathfrak { T } h _ { i - 1 } ) + 2 \alpha ^ { i } } \\ & { \leq } & { \alpha ^ { 2 } S _ { b } ( h _ { i - 2 } , h _ { i - 2 } , h _ { i - 1 } ) + 2 \alpha ^ { i } } \\ & { \vdots } & \\ { \implies S _ { b } ( h _ { i } , h _ { i } , h _ { i + 1 } ) } & { \leq } & { \alpha ^ { i } S _ { b } ( h _ { 0 } , h _ { 0 } , h _ { 1 } ) + i \alpha ^ { i } ~ \mathrm { f o r ~ a l l } ~ i \in \mathbb { N } . } \end{array}
{ \mathcal L } _ { G } ^ { ( 1 ) } | = \frac { 1 } { \gamma ^ { 2 } } \, \, \frac { \partial _ { z } v _ { 1 } \partial _ { \bar { z } } v _ { 1 } + \partial _ { z } v _ { 2 } \partial _ { \bar { z } } v _ { 2 } } { 1 + v _ { 1 } ^ { 2 } + v _ { 2 } ^ { 2 } } , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ { \mathcal L } _ { G } ^ { ( 2 ) } | = \frac { 1 } { \gamma ^ { 2 } } \, \, \frac { \partial _ { z } c \partial _ { \bar { z } } c + \partial _ { z } v _ { 0 } \partial _ { \bar { z } } v _ { 0 } } { c ^ { 2 } + v _ { 0 } ^ { 2 } - 1 } .
A _ { j } ( x ) = ( 2 \pi ) ^ { - 3 / 2 } \int \frac { d ^ { 3 } p } { \sqrt { 2 p ^ { 0 } } } [ a _ { j } ( \vec { p } ) e ^ { - i p x } + a _ { j } ^ { + } ( \vec { p } ) e ^ { i p x } ] \quad \mathrm { f o r } \quad j = 1 , 2 , 3 ,
b _ { 3 } ^ { ( 1 ) } = { \frac { 2 } { 3 } } T _ { 2 } ( F _ { 3 } ) + { \frac { 1 } { 3 } } T _ { 2 } ( S _ { 3 } ) + { \frac { 2 } { 3 } } C _ { 2 } ( G _ { 3 } ) \theta _ { \tilde { g } } - { \frac { 1 1 } { 3 } } C _ { 2 } ( G _ { 3 } ) \ ,
D ( x ) \; = \; x \bar { u } ( x , k _ { t } ^ { 2 } ) \: + \: x d ( x , k _ { t } ^ { 2 } ) \: + \: x s ( x , k _ { t } ^ { 2 } ) \: + \: x \bar { c } ( x , k _ { t } ^ { 2 } ) .