harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { G _ { g } ( h _ { 1 } , h _ { 2 } ) } & { = \mathrm { C o v } ( P _ { g } ( \pi _ { 2 } ^ { * } h _ { 1 } ) , P _ { g } ( \pi _ { 2 } ^ { * } h _ { 2 } ) , \mu _ { g } ^ { L } ) + \langle \pi _ { 2 } ^ { * } h _ { 1 } , 1 \rangle _ { L ^ { 2 } ( T ^ { 1 } S _ { g } ) } \langle \pi _ { 2 } ^ { * } h _ { 2 } , 1 \rangle _ { L ^ { 2 } ( T ^ { 1 } S _ { g } ) } } \\ & { = \mathrm { C o v } ( P _ { g } ( \pi _ { 2 } ^ { * } h _ { 1 } ) , \pi _ { 2 } ^ { * } h _ { 2 } , \mu _ { g } ^ { L } ) + \langle \pi _ { 2 } ^ { * } h _ { 1 } , 1 \rangle _ { L ^ { 2 } ( T ^ { 1 } S _ { g } ) } \langle \pi _ { 2 } ^ { * } h _ { 2 } , 1 \rangle _ { L ^ { 2 } ( T ^ { 1 } S _ { g } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { e ^ { - \frac { a T _ { f } } { h } } = e ^ { - n \mu } = \{ 0 . 3 7 , \, 0 . 1 4 , \, 1 . 8 \times 1 0 ^ { - 2 } , \, 3 . 4 \times 1 0 ^ { - 4 } , \, 1 . 1 \times 1 0 ^ { - 7 } , \, 1 . 3 \times 1 0 ^ { - 1 4 } \} , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { N } & { = \int _ { \mathrm { m o m e n t a } } d ^ { 3 } \mathbf { p } \int _ { \mathrm { p o s i t i o n s } } d ^ { 3 } \mathbf { r } \, f ( \mathbf { r } , \mathbf { p } , t ) } \\ & { = \iiint _ { \mathrm { m o m e n t a } } \quad \iiint _ { \mathrm { p o s i t i o n s } } f ( x , y , z , p _ { x } , p _ { y } , p _ { z } , t ) \, d x \, d y \, d z \, d p _ { x } \, d p _ { y } \, d p _ { z } } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { \delta \langle \bar { \mathbf { J } } \rangle = - e ^ { i \mathbf { k } \cdot r } \xi \frac { \mathbf { k } } { k ^ { 2 } } \left\langle \bar { \psi } ^ { \dagger } \right\rangle } \\ & { \delta \langle \bar { \psi } \rangle = - e ^ { i \mathbf { k } \cdot r } \xi \int d \omega \frac { A ( k , \omega ) } { \omega } } \\ & { \frac { m } { \hbar } \delta \langle \bar { \mathbf { J } } \rangle = \rho ^ { s f } \nabla \theta = \rho ^ { s f } \nabla \frac { \delta \langle \bar { \psi } \rangle } { i \bar { \psi } _ { 0 } } = \rho _ { \hat { k } } ^ { s f } \mathbf { k } \frac { \delta \langle \bar { \psi } \rangle } { \bar { \psi } _ { 0 } } } \end{array}
\mathrm { s _ { A } \mathrm { x _ { A } \mathrm { \overline { { y } } _ { A } \mathrm { \overline { { s } } _ { B } \mathrm { \overline { { x } } _ { B } \mathrm { y _ { B } ( \mathrm { z _ { A } ^ { 2 } - \mathrm { z _ { B } ^ { 2 } ) } } } } } } } }
\begin{array} { r l } { f ( T ; t , x ) } & { = e ^ { - \frac { \lambda } { \rho } x } \delta \left( T - t - \frac { x } { \rho } \right) } \\ & { \qquad + x \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { ( \lambda / \rho ) ^ { n } } { n ! } ( \rho ( T - t ) ) ^ { n - 1 } e ^ { - \lambda ( T - t ) } p ^ { \ast n } ( \rho ( T - t ) - x ) \cdot 1 _ { T \geq t + \frac { x } { \rho } } , } \end{array}
\overline { { T } } ( y = y ^ { * } ) = \frac { 1 } { L } \left[ \int _ { 0 } ^ { X } T _ { f } d x + \int _ { X } ^ { L } \Delta T _ { t } d x \right] = \frac { 1 } { L } \left( T _ { f } X + \Delta T _ { t } \left( L - X \right) \right) .
\begin{array} { r l } { \mathbf { x } _ { i } ^ { \mathbf { u } } } & { { } = \mathbf { x } _ { i } ^ { \mathbf { v } } - \frac { \alpha } { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \mathbf { x } _ { j } ^ { \mathbf { v } } - ( 1 - \alpha ) \mathbf { \hat { x } } _ { a v } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \gamma ( z ) } & { = \left( 1 , z , z ^ { 2 } , \ldots , z ^ { n _ { 1 } - 1 } \right) S ( p ( z ) ) \left( h _ { 0 } , h _ { 1 } , \ldots , h _ { n _ { 1 } - 1 } \right) ^ { \top } , } \\ { \delta ( z ) } & { = \left( 1 , z , z ^ { 2 } , \ldots , z ^ { n _ { 2 } - 1 } \right) S ( q ( z ) ) \left( h _ { 0 } , h _ { 1 } , \ldots , h _ { n _ { 2 } - 1 } \right) ^ { \top } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \boldsymbol \nabla \cdot \boldsymbol E } & { = } & { \frac { \rho } { \epsilon _ { 0 } } - c g _ { a \gamma \gamma } \boldsymbol B \cdot \boldsymbol \nabla a , } \\ { \boldsymbol \nabla \times \boldsymbol B - \frac { \dot { \boldsymbol E } } { c ^ { 2 } } } & { = } & { \mu _ { 0 } \boldsymbol J } \\ & { + } & { \frac { g _ { a \gamma \gamma } } { c } \left( \boldsymbol B \dot { a } - \boldsymbol E \times \boldsymbol \nabla a \right) , } \\ { \boldsymbol \nabla \cdot \boldsymbol B } & { = } & { 0 , } \\ { \boldsymbol \nabla \times \boldsymbol E + \dot { \boldsymbol B } } & { = } & { 0 , } \\ { \ddot { a } - c ^ { 2 } \boldsymbol \nabla ^ { 2 } a + \frac { m _ { a } ^ { 2 } c ^ { 4 } } { \hbar ^ { 2 } } a } & { = } & { \hbar c ^ { 3 } \sqrt { \frac { \epsilon _ { 0 } } { \mu _ { 0 } } } g _ { a \gamma \gamma } \boldsymbol E \cdot \boldsymbol B , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname { T r } \left( m ^ { - 1 } \cdot A _ { t } \right) } & { = \operatorname { T r } \left( m ^ { - 1 } \cdot P _ { t } \cdot Q _ { t } ^ { - 1 } \right) = \operatorname { T r } ( \dot { Q } _ { t } \cdot Q _ { t } ^ { - 1 } ) } \\ & { = \left( \operatorname* { d e t } Q _ { t } \right) ^ { - 1 } \cdot d ( \operatorname* { d e t } Q _ { t } ) / d t . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { N } ^ { - 2 } } & { = } & { \frac { \hbar ^ { 3 } c ^ { 3 } } { 8 \lambda ^ { 3 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \Big \{ m _ { e } c ^ { 2 } \, \big [ Q _ { 1 } ^ { 2 } ( \rho ) + Q _ { 2 } ^ { 2 } ( \rho ) \big ] } \\ & { } & { + 2 \varepsilon \, Q _ { 1 } ( \rho ) Q _ { 2 } ( \rho ) \Big \} \rho ^ { 2 \gamma } e ^ { - \rho } d \rho , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \vec { r } _ { A _ { a } A } } & { = \vec { r } _ { A } - \vec { r } _ { A _ { a } } } \\ & { = \frac { m _ { A _ { a } } \vec { r } _ { A _ { a } } + m _ { A _ { b } } \vec { r } _ { A _ { b } } } { m _ { A _ { a } } + m _ { A _ { b } } } - \vec { r } _ { A _ { a } } } \\ & { = ( \vec { r } _ { A _ { b } } - \vec { r } _ { A _ { a } } ) \frac { m _ { A _ { b } } } { m _ { A _ { a } } + m _ { A _ { b } } } } \\ & { = \vec { r } _ { A _ { a } A _ { b } } \left( \frac { q _ { A _ { a } A _ { b } } } { 1 + q _ { A _ { a } A _ { b } } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { \mathrm { e f f } } } & { = \sum _ { j = 1 , 2 } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \hat { { \cal U } } _ { j } ^ { \dagger } ( \tau , s ) \left[ - \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \tau ^ { 2 } } + A _ { 0 } ^ { 2 } \right. } \\ & { \left. - \hat { { \cal U } } _ { j } ^ { \dag } ( \tau , s ) \hat { { \cal U } } _ { j } ( \tau , s ) \right] \hat { { \cal U } } _ { j } ( \tau , s ) d \tau } \\ & { - 2 \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \hat { { \cal U } } _ { 1 } ^ { \dag } ( \tau , s ) \hat { { \cal U } } _ { 2 } ^ { \dag } ( \tau , s ) \hat { { \cal U } } _ { 1 } ( \tau , s ) \hat { { \cal U } } _ { 2 } ( \tau , s ) d \tau , } \end{array}
{ \mathrm { v a r i a n c e } } = { \frac { ( n - s ) s } { ( 1 + n ) n ^ { 2 } } } , { \mathrm { ~ w h i c h ~ f o r } } s = { \frac { n } { 2 } } { \mathrm { ~ r e s u l t s ~ i n ~ v a r i a n c e } } = { \frac { 1 } { 4 + 4 n } }
\begin{array} { r l r } & { } & { 8 \pi \, m _ { \alpha { \pmb \alpha } _ { m } \beta { \pmb \beta } _ { n } } ( { \pmb \xi } , { \pmb \xi } ) = \int _ { \partial D _ { b } } ( { \pmb x } - { \pmb \xi } ) _ { { \pmb \alpha } _ { m } } h _ { \alpha \beta { \pmb \beta } _ { n } } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) d S ( { \pmb x } ) - \int _ { \partial D _ { b } } p _ { \alpha { \pmb \alpha } _ { m } } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) v _ { b \beta { \pmb \beta } _ { n } } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) n _ { b } ( { \pmb x } ) d S ( { \pmb x } ) } \\ & { } & { + \int _ { \partial D _ { b } } \, \left( v _ { \alpha \beta { \pmb \beta } _ { n } } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) n _ { b } ( { \pmb x } ) \nabla _ { b } ( { \pmb x } - { \pmb \xi } ) _ { { \pmb \alpha } _ { m } } + n _ { \alpha } ( { \pmb x } ) v _ { c \beta { \pmb \beta } _ { n } } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) \nabla _ { c } ( { \pmb x } - { \pmb \xi } ) _ { { \pmb \alpha } _ { m } } \right) d S ( { \pmb x } ) } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l } { \mu = \mu _ { w } ( 1 + a _ { 1 } S _ { a } + a _ { 2 } S _ { a } ^ { 2 } ) , } \\ { \mu _ { w } = 4 . 2 8 4 4 \times 1 0 ^ { - 5 } + 0 . 1 5 7 ( T _ { e } + 6 4 . 9 9 3 ) ^ { 2 } - 9 1 . 2 9 6 ) ^ { - 1 } , } \\ { a _ { 1 } = 1 . 5 4 1 + 1 . 9 9 8 \times 1 0 ^ { - 2 } T _ { e } - 9 . 5 2 \times 1 0 ^ { - 5 } T _ { e } ^ { 2 } } \\ { a _ { 2 } = 7 . 9 7 4 - 7 . 5 6 1 \times 1 0 ^ { - 2 } T _ { e } + 4 . 7 2 4 \times 1 0 ^ { - 4 } T _ { e } ^ { 2 } , } \end{array} \right.
C _ { 6 } ^ { ( 1 0 0 ) } \approx 6 . 4 9 9 \, 0 2 6 \, 7 0 5 \, 4 0 5 \, 8 3 9 \, 3 1 3 \, 1 2 8 \, 1 9 4 \, 5 6
\begin{array} { r l } & { C ^ { ( 1 ) } ( t ) = \overline { { \langle S _ { x } ( t ) \rangle \cdot V _ { \mathrm { r e f } } ^ { ( 1 ) } ( t ) } } } \\ & { = \frac { \gamma _ { \mathrm { R b } } \langle S _ { z } \rangle J _ { 1 } } { \sqrt { 2 } \Gamma _ { \mathrm { R b } } } \left[ i ( J _ { 0 } - J _ { 2 } ) b _ { x } ( t ) + ( J _ { 0 } + J _ { 2 } ) b _ { y } ( t ) \right] e ^ { i ( \theta _ { \mathrm { a c } } - \theta _ { 1 } ) } , } \end{array}
\tilde { F } _ { 2 } ^ { D } ( \beta , Q ^ { 2 } ) = \int _ { 0 . 0 0 0 3 } ^ { 0 . 0 5 } \d x _ { P } \; F _ { 2 } ^ { D ( 3 ) } ( \beta , Q ^ { 2 } , x _ { P } ) ,
\begin{array} { r } { \dot { Z } _ { s } = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { S } { 4 \pi \left( Z _ { s } - Z _ { s ^ { \prime } } \right) } \left( 1 + \left( \frac { Z _ { s } - Z _ { s ^ { \prime } } } { \bar { Z } _ { s } - \bar { Z } _ { s ^ { \prime } } } \right) ^ { 2 } \right) \mathrm { d } s ^ { \prime } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { b _ { ( n - 2 ) n } } & { \in - a _ { ( n - 2 ) ( n - 2 ) } ^ { - 1 } a _ { ( n - 2 ) ( n - 1 ) } b _ { ( n - 1 ) n } - a _ { ( n - 2 ) ( n - 2 ) } ^ { - 1 } a _ { ( n - 2 ) n } b _ { n n } \mathrm { ~ a n d ~ } } \\ { b _ { ( n - 2 ) ( n - 1 ) } } & { \in - a _ { ( n - 2 ) ( n - 2 ) } ^ { - 1 } a _ { ( n - 2 ) ( n - 1 ) } b _ { ( n - 1 ) ( n - 1 ) } - a _ { ( n - 2 ) ( n - 2 ) } ^ { - 1 } a _ { ( n - 2 ) n } b _ { n ( n - 1 ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \tilde { u } - \vec { s } \cdot \vec { \nabla } \tilde { u } } & { { } = - \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } \Delta { \tilde { u } } + \frac { 1 } { 2 \mu } ( \vec { \nabla } \tilde { u } ) ^ { 2 } + \gamma \tilde { u } + \tilde { V } [ \tilde { m } ] } \\ { \partial _ { t } \tilde { m } - \vec { s } \cdot \vec { \nabla } \tilde { m } } & { { } = \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } \Delta \tilde { m } + \frac { 1 } { \mu } \nabla \cdot ( \tilde { m } \nabla \tilde { u } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { d Z _ { s , v } ( t ) } { d t } = p _ { s , v } X _ { s , v } ( t ) X _ { s + 1 , v ^ { \prime } } ( t ) - \frac { Z _ { s , v } ( t ) } { \tau _ { z } } , } \\ & { \frac { d X _ { s , v } ( t ) } { d t } = q _ { s , v } Z _ { s , v } ( t ) X _ { s + 1 , v ^ { \prime \prime } } ( t ) - \frac { X _ { s , v } ( t ) } { \tau _ { x } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { J ^ { i j } ( t ) } & { : = \sum _ { 0 < s \leq t } \left\langle \alpha ( s - ) , e _ { i } \right\rangle \left\langle \alpha ( s ) , e _ { j } \right\rangle } \\ & { = \sum _ { 0 < s \leq t } \left\langle \alpha ( s - ) , e _ { i } \right\rangle \left\langle \alpha ( s ) - \alpha ( s - ) , e _ { j } \right\rangle } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { t } \left\langle \alpha ( s - ) , e _ { i } \right\rangle \left\langle d \alpha ( s ) , e _ { j } \right\rangle } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { t } \left\langle \alpha ( s - ) , e _ { i } \right\rangle \left\langle \Lambda ^ { T } \alpha ( s ) , e _ { i } \right\rangle d s + \int _ { 0 } ^ { t } \left\langle \alpha ( s - ) , e _ { i } \right\rangle \left\langle d M ( s ) , e _ { j } \right\rangle } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { t } \mu _ { i j } ( s ) \left\langle \alpha ( s - ) , e _ { i } \right\rangle d s + m _ { i j } ( t ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { r \rightarrow \infty } \sqrt { r } \left\{ - 2 \, \mathrm { R e } \left[ \varsigma C _ { 1 } ( \varsigma k _ { c } r ) \right] + \mathrm { H } _ { 1 } ( k _ { c } r ) + \mathrm { Y } _ { 1 } ( k _ { c } r ) \pm 2 \mathrm { i } \mathrm { J } _ { 1 } ( k _ { c } r ) + \mathrm { i } \left[ 2 \, \mathrm { R e } \left[ C _ { 0 } ( \varsigma k _ { c } r ) \right] - \mathrm { H } _ { 0 } ( k _ { c } r ) - \mathrm { Y } _ { 0 } ( k _ { c } r ) \mp 2 \mathrm { i } \mathrm { J } _ { 0 } ( k _ { c } r ) \right] \right\} = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l r l } { y _ { 1 } w _ { 0 } } & { = w _ { 1 } , } & { y _ { 1 } w _ { 1 } } & { = 0 , } & { y _ { 1 } w _ { 1 } ^ { \prime } } & { = 2 ( 1 - q ^ { - 1 } ) ^ { - 1 } w _ { 2 } , } & { y _ { 1 } w _ { 2 } } & { = 0 , } \\ { y _ { 2 } w _ { 0 } } & { = w _ { 1 } ^ { \prime } , } & { y _ { 2 } w _ { 1 } } & { = w _ { 2 } , } & { y _ { 2 } w _ { 1 } ^ { \prime } } & { = 0 , } & { y _ { 2 } w _ { 2 } } & { = 0 , } \\ { x _ { 1 } w _ { 0 } } & { = 0 , } & { x _ { 1 } w _ { 1 } } & { = ( 1 + q ) w _ { 0 } , } & { x _ { 1 } w _ { 1 } ^ { \prime } } & { = 0 , } & { x _ { 1 } w _ { 2 } } & { = ( 1 + q ^ { - 1 } ) w _ { 1 } ^ { \prime } , } \\ { x _ { 2 } w _ { 0 } } & { = 0 , } & { x _ { 2 } w _ { 1 } } & { = 0 , } & { x _ { 2 } w _ { 1 } ^ { \prime } } & { = 2 w _ { 0 } , } & { x _ { 2 } w _ { 2 } } & { = ( 1 + q ) w _ { 1 } . } \end{array}
V _ { \mathrm { B o b } } = \left( \begin{array} { l l } { T \frac { | \alpha | ^ { 2 } } { 2 } + \frac { 1 } { 4 } + \xi _ { \mathrm { c h } } } & { 0 } \\ { 0 } & { T \frac { | \alpha | ^ { 2 } } { 2 } + \frac { 1 } { 4 } + \xi _ { \mathrm { c h } } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } & { \hat { v } _ { l i n } ( x , t ) = \big [ \big ( \phi _ { n _ { 0 } } \Delta \hat { n } _ { 0 } ( 0 ) + \phi _ { \theta _ { 0 } } \Delta \hat { \theta } _ { 0 } ( 0 ) } \\ & { + \phi _ { p _ { 0 } } \Delta \hat { p } _ { 0 } ( 0 ) + \phi _ { x _ { 0 } } \Delta \hat { x } _ { 0 } ( 0 ) \big ) + \Delta \hat { v } _ { c } ( x , t ) } \\ & { + \big ( \frac { n _ { 0 } | c | ^ { 2 } } { 2 } \phi _ { \theta _ { 0 } } \Delta \hat { n } _ { 0 } ( 0 ) + 2 \phi _ { x _ { 0 } } \Delta \hat { p } _ { 0 } ( 0 ) \big ) t \big ] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left| \frac { \Phi ^ { \dagger } ( a + i b ) ( \Phi ( a + i b ) ) ^ { k } } { ( a + i b ) ^ { 1 - l } } e ^ { t ( a + i b ) - x \Phi ( a + i b ) } \right| \leq \, \left| \frac { \Phi ^ { \dagger } ( a + i b ) ( \Phi ( a + i b ) ) ^ { k } } { ( a + i b ) ^ { 1 - l } } \right| e ^ { a t _ { 2 } - x _ { 1 } \Re \Phi ( a + i b ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Phi _ { 1 , \infty } ( \varphi ) \circ ( \mathcal { D } _ { \omega } - \partial _ { x } K _ { 0 2 } ( \varphi ) ) \circ \Phi _ { 2 , \infty } ( \varphi ) = \mathcal { L } _ { \infty } = \mathcal { D } _ { \omega } - D _ { \infty } , \mathrm { ~ s e e ~ , } , } \\ & { \mathrm { ~ D _ \infty = \mathrm { d i a g } _ { j \in ~ S ^ \perp _ { \mathtt { M } } } d _ \infty ( \omega , j ) ~ i s ~ r e a l ~ a n d ~ r e v e r s i b l e ~ ( s e e ~ o f ~ P r o p o s i t i o n ~ ) } . } \end{array}
\begin{array} { c c } { \Phi ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } , t ) } & { = \phi ( t ) \Delta \log ( \Theta ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) ) \; , } \\ { \Psi _ { j } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } , t ) } & { = \psi _ { j } ( t ) \Delta \log ( \Theta ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) ) \; , } \end{array}
\int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } H \gamma \, \mathrm { d } x \, \mathrm { d } y \quad \textrm { a n d } \quad \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \bar { \psi } H \gamma \, \mathrm { d } x \, \mathrm { d } y ,
\begin{array} { c c c c c } { { } } & { { U _ { 1 . } U _ { 2 . } } } \\ { { U _ { 1 2 } U _ { 1 . } U _ { 2 . } } } & { { } } & { { U _ { 2 1 } U _ { 1 . } U _ { 2 . } } } \\ { { } } & { { U _ { 1 2 } U _ { 2 1 } U _ { 1 . } U _ { 2 . } } } \\ { { . . . } } & { { } } & { { . . . } } \\ { { } } & { { \left( U _ { 1 2 } U _ { 2 1 } U _ { 1 . } U _ { 2 . } \right) ^ { k } } } & { { } } \\ { { U _ { 1 . } \left( U _ { 1 2 } U _ { 2 1 } U _ { 1 . } U _ { 2 . } \right) ^ { k } } } & { { } } & { { U _ { 2 . } \left( U _ { 1 2 } U _ { 2 1 } U _ { 1 . } U _ { 2 . } \right) ^ { k } } } \\ { { } } & { { \! \! \! \! \! U _ { 1 . } U _ { 2 . } \left( U _ { 1 2 } U _ { 2 1 } U _ { 1 . } U _ { 2 . } \right) ^ { k } \! \! \! \! \! } } & { { } } \\ { { U _ { 1 2 } U _ { 1 . } U _ { 2 . } \left( U _ { 1 2 } U _ { 2 1 } U _ { 1 . } U _ { 2 . } \right) ^ { k } \! \! \! \! \! } } & { { } } & { { \! \! \! \! \! U _ { 2 1 } U _ { 1 . } U _ { 2 . } \left( U _ { 1 2 } U _ { 2 1 } U _ { 1 . } U _ { 2 . } \right) ^ { k } } } \\ { { } } & { { . . . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathbb { E } \big [ | \eta b e ^ { b X } - b | \mathbf { 1 } \{ X > t \} \big ] \, d t } & { = \mathbb { E } \Big [ | \eta b e ^ { b X } - b | \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathbf { 1 } \{ X > t \} \, d t \Big ] } \\ & { = \mathbb { E } \big [ | \eta b e ^ { b x } - b | X \big ] \leq \eta b \mathbb { E } \big [ X e ^ { b X } \big ] + b \mathbb { E } \big [ X \big ] < \infty . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \widetilde { G } _ { n } - \widehat { G } _ { n } \| _ { \infty } } & { = \left\| \mathbb { F } _ { \{ \tilde { S } _ { b } \} } - \mathbb { F } _ { \{ \hat { S } _ { b } \} } \right\| _ { \infty } } \\ & { = \left\| ( 1 - \rho _ { \varepsilon } ) \mathbb { F } _ { \tilde { S } _ { \Xi _ { \epsilon } ^ { c } } } + \rho _ { \varepsilon } \mathbb { F } _ { \tilde { S } _ { \Xi _ { \epsilon } } } - ( 1 - \rho _ { \varepsilon } ) \mathbb { F } _ { \hat { S } _ { \Xi _ { \epsilon } ^ { c } } } - \rho _ { \varepsilon } \mathbb { F } _ { \hat { S } _ { \Xi _ { \epsilon } } } \right\| _ { \infty } } \\ & { \leq ( 1 - \rho _ { \varepsilon } ) \left\| \mathbb { F } _ { \tilde { S } _ { \Xi _ { \epsilon } ^ { c } } } - \mathbb { F } _ { \hat { S } _ { \Xi _ { \epsilon } ^ { c } } } \right\| _ { \infty } + \rho _ { \varepsilon } \left\| \mathbb { F } _ { \tilde { S } _ { \Xi _ { \epsilon } } } - \mathbb { F } _ { \hat { S } _ { \Xi _ { \epsilon } } } \right\| _ { \infty } } \\ & { \leq ( 1 - \rho _ { \varepsilon } ) \left\| \mathbb { F } _ { \tilde { S } _ { \Xi _ { \epsilon } ^ { c } } } - \mathbb { F } _ { \hat { S } _ { \Xi _ { \epsilon } ^ { c } } } \right\| _ { \infty } + \rho _ { \varepsilon } , } \end{array}
\begin{array} { r l l } { \bar { k } _ { \rightleftarrows } ( \xi ) } & { = } & { \displaystyle 2 \nu \int _ { \xi } ^ { \zeta _ { \operatorname* { m a x } } } d \zeta \sqrt { 2 [ \cosh ( r _ { m } ( \zeta ) ) - 1 ] e ^ { \xi - \zeta } - ( e ^ { \xi - \zeta } - 1 ) ^ { 2 } } + \medskip } \\ & { + } & { \displaystyle 2 \nu \int _ { \zeta _ { \operatorname* { m i n } } } ^ { \xi } d \zeta \sqrt { 2 [ \cosh ( r _ { m } ( \xi ) ) - 1 ] e ^ { \xi - \zeta } - ( e ^ { \xi - \zeta } - 1 ) ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda } & { = \frac { 1 } { 2 k _ { \lambda } } \sum _ { k _ { i } = 1 } ^ { 2 k _ { \lambda } } \cos \left\{ x \left[ k _ { \lambda } \cos \left( \frac { \pi k _ { i } } { 2 k _ { \lambda } } \right) \right] + y \left[ k _ { \lambda } \sin \left( \frac { \pi k _ { i } } { 2 k _ { \lambda } } \right) \right] + \phi _ { k _ { i } } \right\} } \\ { \mu } & { = \frac { 1 } { 2 k _ { \mu } } \sum _ { k _ { i } = 1 } ^ { 2 k _ { \mu } } \cos \left\{ x \left[ k _ { \mu } \cos \left( \frac { \pi k _ { i } } { 2 k _ { \mu } } \right) \right] + y \left[ k _ { \mu } \sin \left( \frac { \pi k _ { i } } { 2 k _ { \mu } } \right) \right] + \varphi _ { k _ { i } } \right\} } \end{array}
m _ { e e } \approx m _ { 0 } \; \sqrt { c ^ { 4 } + s ^ { 4 } + 2 c ^ { 2 } s ^ { 2 } \cos \phi } \; < \; ( 0 . 2 4 \; \mathrm { e V } ) \; \sqrt { c ^ { 4 } + s ^ { 4 } + 2 c ^ { 2 } s ^ { 2 } \cos \phi } \; .
\begin{array} { r l } { h ( x _ { 2 2 } x _ { 1 1 } x _ { 1 1 } ^ { * } x _ { 2 2 } ^ { * } ) } & { = h ( e a a ^ { * } e ^ { * } ) = h ( e a ( e k - q \cdot f h ) ( a k - q \cdot c g ) ) } \\ & { = h ( e a e k a k ) - q \cdot h ( e a f h a k ) - q \cdot h ( e a e k c g ) + q ^ { 2 } \cdot h ( e a f h c g ) } \\ & { = \frac { q ^ { 2 } } { ( q ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } ( q ^ { 4 } + 1 ) } \frac { q ^ { 6 } + q ^ { 2 } + 1 } { q ^ { 4 } + q ^ { 2 } + 1 } } \end{array} .
\begin{array} { r l } { \varepsilon ^ { - 2 b } \mathcal { G } _ { 2 } \circ U _ { \zeta } ( \theta , y , z ) } & { \overset = \varepsilon ^ { - 2 b } \left( 2 \pi \sum _ { j _ { k } \in S ^ { + } } j _ { k } ^ { 2 } \varepsilon ^ { 2 } ( j _ { k } \zeta _ { k } + \varepsilon ^ { 2 ( b - 1 ) } j _ { k } y _ { k } ) + \frac { 1 } { 2 } \int _ { \mathbb { T } } \varepsilon ^ { 2 b } ( \partial _ { x } z ) ^ { 2 } ( x ) d x \right) } \\ & { = C _ { \varepsilon , \zeta } + 2 \pi \sum _ { j _ { k } \in S ^ { + } } ( j _ { k } ) ^ { 3 } y _ { k } + \frac { 1 } { 2 } \int _ { \mathbb { T } } ( \partial _ { x } z ) ^ { 2 } ( x ) d x } \\ & { \overset = C _ { \varepsilon , \zeta } + 2 \pi \left( \overline { \omega } ^ { \mathrm { A i r y } } \cdot y \right) + \frac { 1 } { 2 } \int _ { \mathbb { T } } ( \partial _ { x } z ) ^ { 2 } ( x ) d x . } \end{array}
\mu _ { + } ^ { - 1 } = \left( \begin{array} { c c c } { { I _ { m _ { 1 } } } } & { { - \mu _ { + 1 2 } } } & { { - ( \mu _ { + 1 3 } - \mu _ { + 1 2 } \mu _ { + 2 3 } ) } } \\ { { 0 } } & { { I _ { m _ { 2 } } } } & { { - \mu _ { + 2 3 } } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { I _ { m _ { 3 } } } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { y } } & { { } = \left[ \begin{array} { l l l } { e ^ { \gamma l _ { 1 } } } & { \cdots } & { e ^ { \gamma l _ { N } } } \end{array} \right] ^ { T } , } \\ { \boldsymbol { z } } & { { } = \left[ \begin{array} { l l l } { e ^ { - \gamma l _ { 1 } } } & { \cdots } & { e ^ { - \gamma l _ { N } } } \end{array} \right] ^ { T } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \gamma } & { = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \left( { \frac { \Gamma \left( { \frac { 1 } { n } } \right) \Gamma ( n + 1 ) \, n ^ { 1 + { \frac { 1 } { n } } } } { \Gamma \left( 2 + n + { \frac { 1 } { n } } \right) } } - { \frac { n ^ { 2 } } { n + 1 } } \right) } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { m \to \infty } \sum _ { k = 1 } ^ { m } { \binom { m } { k } } { \frac { ( - 1 ) ^ { k } } { k } } \log { \big ( } \Gamma ( k + 1 ) { \big ) } . } \end{array} }
\int _ { 0 } ^ { 1 } \int { \frac { 1 } { \left( k ^ { 2 } + m ^ { 2 } + 2 v p \cdot k + v p ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } } \, d k \, d v = \int _ { 0 } ^ { 1 } \int { \frac { 1 } { \left( k ^ { 2 } + m ^ { 2 } + v ( 1 - v ) p ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } } \, d k ^ { \prime } \, d v
\begin{array} { r l } { \frac { d u _ { z } } { d x _ { 0 } } } & { { } = \frac { \partial u _ { z } } { \partial x _ { z } } \frac { \partial x _ { z } } { \partial x _ { 0 } } + \frac { \partial u _ { z } } { \partial y _ { z } } \frac { \partial y _ { z } } { d x _ { 0 } } } \\ { \frac { d u _ { z } } { d y _ { 0 } } } & { { } = \frac { \partial u _ { z } } { \partial x _ { z } } \frac { \partial x _ { z } } { d y _ { 0 } } + \frac { d u _ { z } } { \partial y _ { z } } \frac { \partial y _ { z } } { \partial y _ { 0 } } } \\ { \frac { d v _ { z } } { d x _ { 0 } } } & { { } = \frac { \partial v _ { z } } { \partial x _ { z } } \frac { \partial x _ { z } } { \partial x _ { 0 } } + \frac { \partial v _ { z } } { \partial y _ { z } } \frac { \partial y _ { z } } { \partial x _ { 0 } } } \\ { \frac { d v _ { z } } { d y _ { 0 } } } & { { } = \frac { \partial v _ { z } } { d x _ { z } } \frac { \partial x _ { z } } { \partial y _ { 0 } } + \frac { \partial v _ { z } } { \partial y _ { z } } \frac { \partial y _ { z } } { \partial y _ { 0 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { R ( t + 1 ) R ( t ) \cos \theta ( t + 1 ) - R ( t ) ^ { 2 } = v _ { 0 } \frac { ( 1 - \tilde { \beta } ) R ( t ) ^ { 2 } - R ( t ) R ( t - 1 ) \cos \theta ( t ) } { \sqrt { ( 1 - \tilde { \beta } ) ^ { 2 } R ( t ) ^ { 2 } + R ( t - 1 ) ^ { 2 } - 2 R ( t ) R ( t - 1 ) ( 1 - \tilde { \beta } ) \cos \theta ( t ) } } . } \end{array}
t r _ { 1 } ( \tilde { T } _ { 1 } ( u ) ) t r _ { 2 } ( \tilde { T } _ { 2 } ( v ) ) = t r _ { 2 } ( \tilde { T } _ { 2 } ( v ) ) t r _ { 1 } ( \tilde { T } _ { 1 } ( u ) )