harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\Sigma _ { \mathrm { g e n } } [ s _ { i } , s _ { f } ; T ( s ) ] = \frac { k _ { \mathrm { B } } } { 2 } \ln \frac { T _ { \mathrm { R } } + T _ { f } } { T _ { \mathrm { R } } + T _ { i } } + \frac { k _ { \mathrm { B } } } { 2 } \left( \frac { \kappa s _ { f } } { k _ { \mathrm { B } } ( T _ { \mathrm { R } } + T _ { f } ) } - \frac { \kappa s _ { i } } { k _ { \mathrm { B } } ( T _ { \mathrm { R } } + T _ { i } ) } \right) - \frac { \kappa } { 2 } \int _ { s _ { i } } ^ { s _ { f } } \frac { \textrm { d } { s } } { T ( s ) } .
\mathbf { M } = \mathbf { C J C } ^ { T } = \frac { \partial c _ { a } } { \partial \eta _ { i } } J ^ { i j } \frac { \partial c _ { b } } { \partial \eta _ { j } } = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { \partial c _ { a } } { \partial x _ { i } } \frac { \partial c _ { b } } { \partial p _ { i } } - \frac { \partial c _ { a } } { \partial p _ { i } } \frac { \partial c _ { b } } { \partial x _ { i } }
\begin{array} { r l r } { \Phi _ { 0 } ( u , v , \varepsilon ) } & { } & { = - q _ { 3 } + \varepsilon \left( f _ { 0 2 } v ^ { 2 } + \frac { 8 f _ { 0 2 } ^ { 3 } f _ { 3 0 } - 4 f _ { 0 2 } ^ { 2 } f _ { 1 1 } f _ { 2 1 } + 2 f _ { 0 2 } f _ { 1 1 } ^ { 2 } f _ { 1 2 } - f _ { 0 3 } f _ { 1 1 } ^ { 3 } } { 8 f _ { 0 2 } ^ { 3 } } u ^ { 3 } + . . . \right) } \\ & { } & { + \left( g _ { 0 2 } - \frac { f _ { 0 2 } g _ { 1 1 } - f _ { 1 1 } g _ { 0 2 } } { f _ { 0 2 } } u \right) \varepsilon ^ { 2 } + . . . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l } { \begin{array} { r l } { \phantom { } _ { l } \Psi _ { n m k } ^ { + } ( t ) = } & { { } 2 \pi \left( \phantom { } _ { l } f _ { n } + ( m f _ { e } - k f _ { o } ) \right) t } \end{array} } \\ { \begin{array} { r l } { \phantom { } _ { l } \Psi _ { n m k } ^ { - } ( t ) = } & { { } 2 \pi \left( \phantom { } _ { l } f _ { n } - ( m f _ { e } - k f _ { o } ) \right) t } \end{array} } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \Phi _ { 0 S } ( x ) } & { { } = P _ { \sigma } ( x / x _ { \lambda } ) + P _ { \sigma } ( - x / x _ { \lambda } ) } \\ { \Phi _ { 0 A } ( x ) } & { { } = P _ { \sigma } ( x / x _ { \lambda } ) - P _ { \sigma } ( - x / x _ { \lambda } ) } \end{array}
\partial _ { t } \mathcal { V } _ { \epsilon } ( t , \xi ) - 4 \partial _ { \xi } ^ { 2 } \mathcal { V } _ { \epsilon } ( t , \xi ) + \mu _ { 1 } g _ { \epsilon } ( t ) \bar { h } _ { \epsilon } ( \xi ) \partial _ { \xi } \mathcal { V } _ { \epsilon } ( t , \xi ) = g _ { \epsilon } ( t ) \bar { h } _ { \epsilon } ^ { \prime } ( \xi ) \mathcal { V } _ { \epsilon } ( t , \xi ) , \quad \mathcal { V } _ { \epsilon } ( 0 , \xi ) = \exp \left( \frac { - \xi ^ { 2 } } { \epsilon } \right) ,
- \partial _ { 0 } \left( \begin{array} { c } { { - { \frac { \kappa } { 2 e } } { \frac { \delta A _ { + } } { \phi ^ { * } } } } } \\ { { \delta \phi } } \end{array} \right) = D _ { ( \infty ) } \left( \begin{array} { c } { { - { \frac { \kappa } { 2 e } } { \frac { \delta A _ { + } } { \phi ^ { * } } } } } \\ { { \delta \phi } } \end{array} \right) .
\mathbb { W } _ { m , n , k } = \mathbb { W } _ { m , n } { \mathbb { J } ^ { * } } ^ { - 1 } \, , \mathbb { W } _ { m , n , - k } = \mathbb { W } _ { m , n } \mathbb { J } ^ { * } \, , \quad \underline { { \mathbb { W } } } _ { m , n , k } = \mathbb { W } _ { m , n } \underline { { \mathbb { J } } } ^ { * - 1 } \, , \underline { { \mathbb { W } } } _ { m , n , - k } = \mathbb { W } _ { m , n } \underline { { \mathbb { J } } } ^ { * } \, ,
F _ { 1 2 } = \frac { 2 } { \pi x y } \left[ \ln { \sqrt { \frac { ( 1 + x ^ { 2 } ) ( 1 + y ^ { 2 } ) } { 1 + x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } } + x \sqrt { 1 + y ^ { 2 } } \tan ^ { - 1 } \left( \frac { x } { \sqrt { 1 + y ^ { 2 } } } \right) + y \sqrt { 1 + x ^ { 2 } } \tan ^ { - 1 } \left( \frac { y } { \sqrt { 1 + x ^ { 2 } } } \right) - x \tan { x } ^ { - 1 } - y \tan { y } ^ { - 1 } \right] { , }
\begin{array} { r l } { U _ { t } ( x ) - U _ { t } ( x ^ { \prime } ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \left[ \int _ { t } ^ { T } \left( V \left( Z _ { s } ^ { t , x , u _ { n } ( s ) } \right) - V \left( Z _ { s } ^ { t , x ^ { \prime } , u _ { n } ( s ) } \right) \right) d s \right. } \\ & { \qquad + \left. S \left( Z _ { T } ^ { t , x , u _ { n } ( t ) } \right) - S \left( Z _ { T } ^ { t , x ^ { \prime } , u _ { n } ( t ) } \right) \right] . } \end{array}
N _ { \mathrm { H } } \equiv - \int _ { \phi _ { H } } ^ { \phi _ { e } } \frac { V ( { \phi } ) } { V ^ { \prime } ( { \phi } ) } d \phi = - 2 \ln \left( \frac { \cos [ \frac { \phi _ { \mathrm { H } } } { 2 } ] } { \cos [ \frac { \phi _ { e } } { 2 } ] } \right) ,
\begin{array} { r l } { \frac { 1 8 } { \pi ^ { 2 } } } & { \frac { ( \xi + j _ { k } ) ( H _ { 3 , j _ { k } , \xi , - ( \xi + j _ { k } ) } ) ^ { 2 } } { \lambda _ { \alpha } ( \xi + j _ { k } ) - \lambda _ { \alpha } ( \xi ) - \lambda _ { \alpha } ( j _ { k } ) } = \frac { \alpha ^ { 2 } } { 3 2 } \frac { ( \xi + j _ { k } ) ( m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( \xi ) + m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( j _ { k } ) + m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( \xi + j _ { k } ) - T _ { \alpha } ) ^ { 2 } } { ( \xi + j _ { k } ) m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } - \xi m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( \xi ) - j _ { k } m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( j _ { k } ) } , } \\ { \frac { 1 8 } { \pi ^ { 2 } } } & { \frac { ( \xi - j _ { k } ) ( H _ { 3 , j _ { k } , \xi , - ( \xi - j _ { k } ) } ) ^ { 2 } } { \lambda _ { \alpha } ( \xi ) - \lambda _ { \alpha } ( \xi - j _ { k } ) - \lambda _ { \alpha } ( j _ { k } ) } = \frac { \alpha ^ { 2 } } { 3 2 } \frac { ( \xi - j _ { k } ) ( m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( \xi ) + m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( j _ { k } ) + m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( \xi - j _ { k } ) - T _ { \alpha } ) ^ { 2 } } { \xi m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( \xi ) - ( \xi - j _ { k } ) m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( \xi - j _ { k } ) - j _ { k } m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( j _ { k } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \small { \left( \left( \! \! \begin{array} { c c c c } { \{ 0 \sim 4 \} } & { \{ 4 \} } & { \{ 4 \} } & { \{ 4 \} } \\ { \{ 4 \} } & { \! \{ 0 \sim 4 \} \! } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } \\ { \{ 4 \} } & { \{ 3 \} } & { \! \{ 0 \sim 4 \} \! } & { \{ 3 \} } \\ { \{ 4 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 0 \sim 4 \} } \end{array} \! \! \right) , \left( \! \! \begin{array} { c c c c } { \{ 0 \sim 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } \\ { \{ 3 \} } & { \! \{ 0 \sim 3 \} \! } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } \\ { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \! \{ 0 \sim 3 \} \! } & { \{ 3 \} } \\ { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 0 \sim 3 \} } \end{array} \! \! \right) \right) } } \end{array}
\frac { d \mathbf { m } } { d t } = - \gamma \mathbf { m } \times \mathbf { H } + \gamma H _ { \mathrm { s } } \mathbf { m } \times \left( \mathbf { p } \times \mathbf { m } \right) + \alpha \mathbf { m } \times \frac { d \mathbf { m } } { d t }
\Omega = \frac { 2 ( r _ { s t } - M + i a \cos \theta ) } { r _ { s t } ^ { 2 } + a ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta } + { \cal O } ( r - r _ { s t } ) \equiv \Omega _ { s t } + { \cal O } ( r - r _ { s t } )
\operatorname * { l i m } _ { z \to 0 } \frac { 1 } { z ^ { l - 1 } } S _ { z } ^ { \prime \prime } S _ { z } ^ { \prime } \frac { 1 } { z ^ { k } } f ( z ) = \operatorname * { l i m } _ { z \to 0 } \frac { 1 } { z ^ { k + l - 1 } } S _ { z } f ( z ) = 0 .
\begin{array} { r } { \mathcal { P } _ { \Phi } ( \boldsymbol { \mathfrak { s } } ) - P _ { \Phi } ^ { i } ( \sigma _ { i } ( \boldsymbol { \mathfrak { s } } ) ) + P _ { \Theta } ^ { i } ( \sigma _ { i } ( \boldsymbol { \mathfrak { s } } ) ) \in \overline { { Q } } ( \widetilde { P } _ { \Phi } ^ { i + 1 } ( \sigma _ { i + 1 } ( \boldsymbol { \mathfrak { s } } ) ) , \ell _ { \Phi } ^ { i + 1 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 = - } & { ( 1 + i ( \alpha + \frac { \xi } { 2 } ) ) ( E _ { t 0 } + E _ { r 0 } ) } \\ { + } & { i ( \sum _ { \mu _ { 1 } , \mu _ { 2 } } ( E _ { t \mu _ { 1 } } E _ { t \mu _ { 2 } } E _ { t ( \mu _ { 1 } + \mu _ { 2 } ) } ^ { * } + E _ { r \mu _ { 1 } } E _ { r \mu _ { 2 } } E _ { r ( \mu _ { 1 } + \mu _ { 2 } ) } ^ { * } ) } \\ { + } & { 2 E _ { t 0 } \sum _ { \mu _ { 3 } } I _ { r \mu _ { 3 } } + 2 E _ { r 0 } \sum _ { \mu _ { 3 } } I _ { t \mu _ { 3 } } ) + F _ { t } + F _ { r } . } \end{array}
\Delta t _ { \mathrm { W C S P H } } = C r \cdot \operatorname* { m i n } \left\lbrace \operatorname* { m i n } _ { \forall i \in \mathbb { P } } \left[ \sqrt { \frac { h } { \vert \mathbf { f } _ { i } \vert } } \right] \, , \: \: \: \operatorname* { m i n } _ { \forall i \in \mathbb { P } } \left[ \frac { h } { c _ { 0 } + \displaystyle \operatorname* { m a x } _ { j \in \mathbb { P } _ { i } } \left( \frac { h \mathbf { u } _ { i j } \cdot \mathbf { r } _ { i j } } { \vert \mathbf { r } _ { i j } \vert ^ { 2 } + \eta ^ { 2 } } \right) } \right] \right\rbrace \, ,
\begin{array} { r l } { \mathfrak { m } ( A ( R ) ) } & { < \sum _ { j = 0 } ^ { R i - 1 } \mathfrak { m } ( K _ { i j } ) + \epsilon } \\ & { \leq ( c ( N , R ) ) ^ { - 1 } \sum _ { j = 0 } ^ { R i - 1 } \mathfrak { m } ( Z _ { t _ { i j } } ( K _ { i j } , \{ p \} ) ) + \epsilon } \\ & { \leq ( c ( N , R ) ) ^ { - 1 } \mathfrak { m } ( B _ { ( 2 R ) ^ { - 1 } } ( p ) \backslash B _ { ( 2 R ) ^ { - 1 } - \frac { 1 } { i } } ( p ) ) + \epsilon . } \end{array}
P _ { a } = 2 \sqrt { \beta } \left( \Pi _ { a } + \frac { 1 } { 4 } C _ { \; \cdot a } ^ { c c ^ { \prime } } M _ { c c ^ { \prime } } \right) \; \; \; \; \leftrightarrow \; \; \; \; P _ { 0 } = 2 \sqrt { \beta } \Pi _ { 0 } , \; P _ { j } = 2 \sqrt { \beta } \left( \Pi _ { j } - \frac { 1 } { 2 } J _ { j } \right) ,
\begin{array} { r } { \omega _ { 2 } = c \sqrt { \frac { k ^ { 2 } c _ { s } ^ { 2 } + k ^ { 2 } u _ { A } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } + u _ { A } ^ { 2 } } } + i \gamma _ { 2 } , } \\ { \omega _ { 2 } ^ { 2 } = c ^ { 2 } \frac { k ^ { 2 } c _ { s } ^ { 2 } + k ^ { 2 } u _ { A } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } + u _ { A } ^ { 2 } } + 2 i \omega _ { 2 0 } \gamma _ { 2 } , \quad } \end{array}
n = \frac { 3 } { 5 - w / ( 1 - w ) } + \frac { 3 } { 1 2 5 } \frac { ( 1 - w ) ( 1 - 3 w / 2 ) } { ( 1 - 6 w / 5 ) ^ { 3 } } ( 1 - Q ) + \mathcal { O } [ ( 1 - Q ) ^ { 2 } ]
\begin{array} { r c l } { { U _ { c } / m ^ { 4 } } } & { { = } } & { { \displaystyle + D _ { m } ^ { 2 } ( k _ { 1 } ) D ( k _ { 1 } + p ) [ 9 D _ { m } ( k _ { 2 } ) D _ { m } ( k _ { 1 } + k _ { 2 } ) } } \\ { { } } & { { } } & { { \displaystyle + D ( k _ { 2 } ) D ( k _ { 1 } + k _ { 2 } ) ] ( 1 + K _ { 1 2 } ) } } \\ { { } } & { { } } & { { \displaystyle + 4 D ^ { 2 } ( k _ { 1 } ) D _ { m } ( k _ { 1 } + p ) D _ { m } ( k _ { 2 } ) D ( k _ { 1 } + k _ { 2 } ) } } \\ { { } } & { { } } & { { \displaystyle + 4 ( N - 1 ) D _ { m } ^ { 2 } ( k _ { 1 } ) D ( k _ { 1 } + p ) D ( k _ { 2 } ) D ( k _ { 1 } + k _ { 2 } ) , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { v } _ { \omega } ^ { + } } & { = \widetilde Q \varphi _ { \epsilon } ^ { * } \left( B _ { \omega } ^ { + } b _ { \lambda _ { 0 } + \epsilon } ^ { * } v _ { \omega } + \mathscr R _ { \omega } ^ { + } v _ { \omega } ^ { + } + f _ { \omega } ^ { + } \right) } \\ & { = ( M + K _ { L } + K ) \tilde { b } _ { \epsilon } ^ { * } \tilde { v } _ { \omega } ^ { + } + \mathcal R _ { \omega } ^ { + } v _ { \omega } + \tilde { f } _ { \omega } ^ { + } . } \end{array}
e ^ { z L _ { - 1 } + x J _ { 0 } ^ { - } } ( L _ { 0 } - h _ { 1 } - z \partial _ { z } - h _ { 0 } ) e ^ { - z L _ { - 1 } - x J _ { 0 } ^ { - } } \; \; e ^ { z L _ { - 1 } + x J _ { 0 } ^ { - } } \Phi _ { \jmath _ { 0 } } ( - z , - x ) | \jmath _ { 1 } , t \rangle = 0
\mathrm { e x p } \left( - \frac { \mathrm { l o g } ^ { 2 } ( k ^ { 2 } / \bar { k } ^ { 2 } ) } { 2 \lambda ^ { \prime \prime } \mathrm { l o g } ( x _ { 0 } / x _ { 1 } ) } - \frac { \mathrm { l o g } ^ { 2 } ( k ^ { 2 } / \bar { k } _ { u } ^ { 2 } ) } { 2 \lambda ^ { \prime \prime } \mathrm { l o g } ( x _ { 1 } / x ) } \right)
{ \frac { 1 } { z } } = { \frac { \overline { { z } } } { z { \overline { { z } } } } } = { \frac { \overline { { z } } } { | z | ^ { 2 } } } = { \frac { \overline { { z } } } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } = { \frac { x } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } - { \frac { y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } i ,
\begin{array} { r l r } { F [ \rho ^ { f } ] _ { i j } } & { { } = } & { F [ \rho ^ { T } ] _ { i j } + \sum _ { k l } \left( \frac { \partial F [ \rho ] } { \partial D _ { k l } } \right) _ { \rho ^ { T } } ( \frac { 1 } { 2 } \Delta D _ { k l } ) + \sum _ { k l , m n } \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \partial ^ { 2 } F [ \rho ] } { \partial D _ { k l } \partial D _ { m n } } \right) _ { \rho ^ { T } } ( \frac { 1 } { 2 } \Delta D _ { k l } ) ( \frac { 1 } { 2 } \Delta D _ { m n } ) } \\ { F [ \rho ^ { i } ] _ { i j } } & { { } = } & { F [ \rho ^ { T } ] _ { i j } + \sum _ { k l } \left( \frac { \partial F [ \rho ] } { \partial D _ { k l } } \right) _ { \rho ^ { T } } ( - \frac { 1 } { 2 } \Delta D _ { k l } ) + \sum _ { k l , m n } \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \partial ^ { 2 } F [ \rho ] } { \partial D _ { k l } \partial D _ { m n } } \right) _ { \rho ^ { T } } ( - \frac { 1 } { 2 } \Delta D _ { k l } ) ( - \frac { 1 } { 2 } \Delta D _ { m n } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { E ( \mathbf { r } ) } & { { } \propto \int _ { 0 } ^ { \Theta ^ { \prime } } d \theta ^ { \prime } \sin \theta ^ { \prime } \sqrt { \frac { \cos \theta ^ { \prime } } { \cos \theta } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \phi e ^ { i \mathbf { q } ^ { \prime } \cdot \boldsymbol { \rho } ^ { \prime } - i k \cos \theta z } } \end{array}
\Phi _ { n } ^ { h } = \left( \begin{array} { l } { \xi _ { n } ^ { h } } \\ { \eta _ { n } ^ { h } } \\ { \zeta _ { n } ^ { h } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { \alpha _ { 1 } ^ { n } } \\ { \alpha _ { 2 } ^ { n } } \\ { \alpha _ { 3 } ^ { n } } \end{array} \right) e ^ { i n x } , \quad \Phi _ { n } ^ { p _ { 1 } } = \left( \begin{array} { l } { \xi _ { n } ^ { p _ { 1 } } } \\ { \eta _ { n } ^ { p _ { 1 } } } \\ { \zeta _ { n } ^ { p _ { 1 } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { \beta _ { 1 } ^ { n } } \\ { \beta _ { 2 } ^ { n } } \\ { \beta _ { 3 } ^ { n } } \end{array} \right) e ^ { i n x } , \quad \Phi _ { n } ^ { p _ { 2 } } = \left( \begin{array} { l } { \xi _ { n } ^ { p _ { 2 } } } \\ { \eta _ { n } ^ { p _ { 2 } } } \\ { \zeta _ { n } ^ { p _ { 2 } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { \gamma _ { 1 } ^ { n } } \\ { \gamma _ { 2 } ^ { n } } \\ { \gamma _ { 3 } ^ { n } } \end{array} \right) e ^ { i n x } ,
\begin{array} { r l r } { Q _ { \mathrm { e f f } } | _ { \eta _ { \mathrm { o u t } } / \eta _ { \mathrm { i n } } \to 0 } } & { = } & { Q , } \\ { Q _ { \mathrm { e f f } } | _ { \eta _ { \mathrm { o u t } } / \eta _ { \mathrm { i n } } \to \infty } } & { = } & { Q \frac { 1 + 2 H ( \kappa _ { \mathrm { i n } } R ) } { 2 } - 2 \pi R ^ { 2 } \sigma _ { R } H ( \kappa _ { \mathrm { i n } } R ) . } \end{array}
D _ { R } ( \hat { E } ( 0 , 0 ) ) = \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) , \qquad R \{ T _ { 1 } , \bar { T } _ { 1 } , T _ { 2 } , T _ { 3 } , \bar { T } _ { 3 } \}
\begin{array} { r l } { \gamma } & { { } = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \left( { \frac { \Gamma \left( { \frac { 1 } { n } } \right) \Gamma ( n + 1 ) \, n ^ { 1 + { \frac { 1 } { n } } } } { \Gamma \left( 2 + n + { \frac { 1 } { n } } \right) } } - { \frac { n ^ { 2 } } { n + 1 } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { x } _ { \tilde { T } _ { \mathrm { s t a b } } + k } = } & { \tilde { A } _ { \tilde { T } _ { \mathrm { s t a b } } + k - 1 } \tilde { A } _ { \tilde { T } _ { \mathrm { s t a b } } + k - 2 } \cdots \tilde { A } _ { \tilde { T } _ { \mathrm { s t a b } } } \tilde { x } _ { \tilde { T } _ { \mathrm { s t a b } } } + } \\ & { \tilde { A } _ { \tilde { T } _ { \mathrm { s t a b } } + k - 1 } \tilde { A } _ { \tilde { T } _ { \mathrm { s t a b } } + k - 2 } \cdots \tilde { A } _ { \tilde { T } _ { \mathrm { s t a b } } + 1 } \tilde { w } _ { \tilde { T } _ { \mathrm { s t a b } } } + } \\ & { \cdots + } \\ & { \tilde { w } _ { \tilde { T } _ { \mathrm { s t a b } } + k - 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { M } _ { 1 \rightarrow N + 1 } } & { = } & { \mathcal { M } _ { 1 \rightarrow 1 } e ^ { : V _ { 1 } : } \mathcal { M } _ { 1 \rightarrow 2 } e ^ { : V _ { 2 } : } . . . e ^ { : V _ { N } : } \mathcal { M } _ { N \rightarrow N + 1 } } \\ & { = } & { \mathcal { A } _ { 0 } ^ { - 1 } e ^ { : \hat { V } _ { 1 } : } e ^ { : \hat { V } _ { 2 } : } . . . e ^ { : \hat { V } _ { N } : } \mathcal { R } _ { 1 \rightarrow N + 1 } \mathcal { A } _ { N + 1 } } \\ & { = } & { \mathcal { A } _ { 0 } ^ { - 1 } e ^ { : h : } \mathcal { R } _ { 1 \rightarrow N + 1 } \mathcal { A } _ { N + 1 } , } \end{array}
\alpha ( y ) { \frac { \partial ^ { 2 } L } { \partial y ^ { 2 } } } + \alpha ^ { \prime } ( y ) { \frac { \partial L } { \partial y } } + \beta ( y ) L = \alpha ( x ) { \frac { \partial ^ { 2 } L } { \partial x ^ { 2 } } } + \alpha ^ { \prime } ( x ) { \frac { \partial L } { \partial x } } + \beta ( x ) L \, .
\begin{array} { r } { \alpha ( - \omega _ { \tau } , \omega _ { t } ) = [ a _ { g _ { 0 } e _ { 0 } } ( - \omega _ { \tau } ) a _ { e _ { 1 } g _ { 1 } } ( \omega _ { t } ) - d _ { g _ { 0 } e _ { 0 } } ( - \omega _ { \tau } ) d _ { e _ { 1 } g _ { 1 } } ( \omega _ { t } ) ] } \\ { \beta ( - \omega _ { \tau } , \omega _ { t } ) = [ a _ { g _ { 0 } e _ { 0 } } ( - \omega _ { \tau } ) d _ { e _ { 1 } g _ { 1 } } ( \omega _ { t } ) + a _ { e _ { 1 } g _ { 1 } } ( \omega _ { t } ) d _ { g _ { 0 } e _ { 0 } } ( - \omega _ { \tau } ) ] } \end{array}
\xi _ { 0 } = \frac { q _ { 0 } \sigma } { 2 } - \frac { \tau _ { c } } { \sigma } ; \ \xi _ { 1 } = \frac { \tau } { \sigma } + \xi _ { 0 } ; \ \xi _ { 2 } = \xi _ { 1 } - \frac { R } { \sigma } .
p _ { k + 1 } ( t _ { k + 1 } , c _ { k + 1 } , \sigma _ { k + 1 } ) = \sum _ { c _ { k } , t _ { k } , \sigma _ { k } , b _ { k } } p _ { k } ( t _ { k } , c _ { k } , \sigma _ { k } ) P ( \sigma _ { k + 1 } , b _ { k } | \sigma _ { k } , c _ { k } ) Q _ { k + 1 } ( t _ { k + 1 } , c _ { k + 1 } | t _ { k } , b _ { k } ) = : f _ { k } ( s _ { k } , \lambda ) .
\begin{array} { r l } { \Psi _ { \Delta { t } } ^ { S } } & { = \left. \Phi _ { \Delta { t } / 2 } ^ { G } \right. ^ { \ast } \circ \Phi _ { \Delta { t } / 2 } ^ { G } } \\ & { = \varphi _ { \Delta { t } / 2 } ^ { [ 1 ] } \circ \varphi _ { \Delta { t } / 2 } ^ { [ 2 ] } \circ \cdots \circ \varphi _ { \Delta { t } / 2 } ^ { [ N - 1 ] } \circ \varphi _ { \Delta { t } } ^ { [ N ] } \circ \varphi _ { \Delta { t } / 2 } ^ { [ N - 1 ] } \circ \cdots \circ \varphi _ { \Delta { t } / 2 } ^ { [ 1 ] } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \underset { p _ { 0 } , p _ { 1 } , p _ { 2 } , p _ { 3 } \geq 0 } { \mathrm { m i n i m i z e ~ } } } & { \; \; \frac { 2 ( 1 - p _ { s } ) p _ { 1 , 0 } ^ { X } p _ { 0 , 1 } ^ { X } } { ( p _ { 0 , 1 } ^ { X } + p _ { 1 , 0 } ^ { X } ) \left( 1 + ( 1 - p _ { s } ) \left( p _ { 1 , 0 } ^ { X } - p _ { 0 , 0 } ^ { X } \right) \right) } , } \\ { \mathrm { s u b j e c t ~ t o } } & { \; \; \frac { 1 } { p _ { s } } \left( 1 - p _ { s } \mathbb { P } \{ \hat { X } = 0 \} \right) \leq \bar { A } , } \\ & { c _ { 1 } p _ { 1 } + c _ { 2 } p _ { 2 } + c _ { 3 } p _ { 3 } \leq \bar { C } , } \\ & { \; \; p _ { 0 } + p _ { 1 } + p _ { 2 } + p _ { 3 } = 1 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ( X ) } & { = \left[ \sum _ { p = 0 } ^ { n } \sum _ { j = 0 } ^ { n } a _ { p } g _ { p j } h _ { p j } \right] X ^ { j } } \\ { S ( X ) } & { = \sum _ { j = 0 } ^ { n } a _ { 1 } g _ { 1 j } h _ { 1 j } X ^ { j } } \\ { T ( X ) } & { = \sum _ { j = 0 } ^ { n } a _ { n } g _ { n j } h _ { n j } X ^ { j } } \end{array}
K _ { \xi \xi } = G ^ { A C } G ^ { B D } \eta _ { \mu \nu } n _ { , A } ^ { \mu } x _ { , B } ^ { \nu } \eta _ { \rho \sigma } n _ { , C } ^ { \rho } x _ { , D } ^ { \sigma } = n ^ { \mu , A } n _ { \mu , A } .
\begin{array} { r l } { z ^ { \top } ( B D - C ) z = } & { ~ \sum _ { p = 1 } ^ { k } \sum _ { q = 1 } ^ { k } z _ { p } ^ { \top } ( B D - C ) _ { p , q } z _ { q } } \\ { = } & { ~ \sum _ { p = 1 } ^ { k } \sum _ { q = 1 } ^ { k } z _ { p } ^ { \top } ( B _ { p , : } D _ { : , q } - C _ { p , q } ) z _ { q } } \\ { = } & { ~ \sum _ { p = 1 } ^ { k } \sum _ { q = 1 } ^ { k } z _ { p } ^ { \top } ( \sum _ { l = 1 } ^ { k } B _ { p , l } D _ { l , q } - C _ { p , q } ) z _ { q } } \end{array}
E ( \sigma _ { \phi } ^ { 2 } ) _ { \mathrm R } = { \frac { N - 1 } { 6 } } \Psi ^ { 2 } - { \frac { N ( N - 1 ) } { 1 2 ( N + 1 ) } } \Psi ^ { 2 } = { \frac { ( N + 2 ) ( N - 1 ) } { 1 2 ( N + 1 ) } } \Psi ^ { 2 } \, .
\begin{array} { r l } { N _ { t } ^ { ( 0 ) } + U _ { x } ^ { ( 0 ) } } & { { } = 0 , } \\ { U _ { t } ^ { ( 0 ) } + \partial _ { x } ( 1 - \partial _ { x } ^ { 2 } ) ^ { - 1 } N ^ { ( 0 ) } } & { { } = 0 , } \\ { B ^ { ( 0 ) } } & { { } = ( 1 - \partial _ { x } ^ { 2 } ) ^ { - 1 } N ^ { ( 0 ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \langle ~ { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t + 1 ) } ~ , ~ { \boldsymbol p } ~ \rangle - \langle ~ { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ~ , ~ { \boldsymbol p } ~ \rangle | = } & { ~ c _ { \eta } \cdot | I _ { 3 } + I _ { 4 } | } \\ { \le } & { ~ c _ { \eta } \cdot ( 1 + \sigma ) \cdot \sqrt { \frac { ( 1 + r ^ { 2 } ) \log q } { | \mathcal { D } | } } . } \end{array}
f _ { \mathrm { E Q C D } } \; ( g T ) ^ { 3 } \; = \; { \frac { N _ { c } ^ { 2 } - 1 } { 4 \pi } } m _ { \mathrm { e l } } ^ { 3 } \left\{ - { \frac { 1 } { 3 } } \; + \; { \frac { N _ { c } g _ { 3 } } { 1 6 \pi m _ { \mathrm { e l } } } } \left[ { \frac { 1 } { \epsilon } } + 4 \log { \frac { \Lambda } { 2 m _ { \mathrm { e l } } } } + 3 \right] \right\} .
\begin{array} { r } { \left| \mathrm { { R a } } \int _ { \Omega } T \partial _ { 1 } ( | \hat { \omega } | ^ { p - 2 } \hat { \omega } ) \right| \leq \frac { p - 1 } { 2 } \left( \mathrm { { R a } } ^ { 2 } | \Omega | ^ { \frac { 2 } { p } } \| \hat { \omega } \| _ { p } ^ { p - 2 } + \int _ { \Omega } | \nabla \hat { \omega } | ^ { 2 } | \hat { \omega } | ^ { p - 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { = \mathbb { E } \bigg [ U ( x ^ { \prime } ) \int _ { \mathcal { D } } U ( x ) L ^ { * } \varphi ( x ) d x \bigg ] = \int _ { \mathcal { D } } L ^ { * } \varphi ( x ) \mathbb { E } [ U ( x ) U ( x ^ { \prime } ) ] d x } \\ & { = \int _ { \mathcal { D } } L ^ { * } \varphi ( x ) k ( x , x ^ { \prime } ) d x = \langle k _ { x ^ { \prime } } , L ^ { * } \varphi \rangle . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r c l } { { d \hat { s } ^ { 2 } } } & { { = } } & { { V ^ { - 1 } d t ^ { 2 } - d \vec { x } ^ { 2 } - \left( V ^ { \frac { 1 } { 2 } } d x ^ { \underline { { { 4 } } } } + n \ V ^ { - \frac { 1 } { 2 } } d t \right) ^ { 2 } - d x ^ { \underline { { { I } } } } d x ^ { \underline { { { I } } } } \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { \hat { B } } } & { { = } } & { { \hat { \phi } = 0 \, . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \mathcal D _ { i , j } ^ { ( 2 ) } } & { = } & { t \, \mathrm { S y m } \left\{ \Delta ^ { ( 2 ) } ( \mathbf x ) \, \Gamma _ { i } \Gamma _ { j } \, \Delta ^ { ( 2 ) } ( \mathbf x ) ^ { - 1 } \right\} } \\ & { = } & { \frac { 1 } { t } \sum _ { \epsilon _ { i } , \epsilon _ { j } = \pm 1 } \frac { ( t x _ { i } ^ { \epsilon _ { i } } x _ { j } ^ { \epsilon _ { j } } x _ { k } - 1 ) ( t x _ { i } ^ { \epsilon _ { i } } x _ { j } ^ { \epsilon _ { j } } x _ { k } ^ { - 1 } - 1 ) } { ( x _ { i } ^ { 2 \epsilon _ { i } } - 1 ) ( x _ { j } ^ { 2 \epsilon _ { j } } - 1 ) } \Gamma _ { i } ^ { \epsilon _ { i } } \Gamma _ { j } ^ { \epsilon _ { j } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { p } \rho V _ { p } \; \overline { { a } } _ { x , p } \; w _ { x , p } = } & { - \sum _ { p } V _ { p } \overline { { \sigma } } _ { x x , p } \frac { \partial w _ { x , p } } { \partial x } - \sum _ { p } V _ { p } \overline { { \sigma } } _ { x y , p } \frac { \partial w _ { x , p } } { \partial y } } \\ & { - \sum _ { p } V _ { p } \tau _ { x z , p } ^ { S } w _ { x , p } + \sum _ { p } V _ { p } b _ { x , p } \rho w _ { x , p } } \end{array}