harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\mathcal { L } ^ { D + M } = - \frac { 1 } { 2 } \, m _ { L } \, \overline { { { ( \nu _ { e L } ) ^ { c } } } } \, \nu _ { e L } - m _ { D } \bar { \nu } _ { R } \nu _ { L } - \frac { 1 } { 2 } \, m _ { R } \, { \bar { \nu } _ { e R } } \, ( \nu _ { e R } ) ^ { c } + \mathrm { h . c . }
\rho \left[ { \frac { \partial \left( { \overline { { u _ { i } } } } + u _ { i } ^ { \prime } \right) } { \partial t } } + { \frac { \partial \left( { \overline { { u _ { i } } } } + u _ { i } ^ { \prime } \right) \left( { \overline { { u _ { j } } } } + u _ { j } ^ { \prime } \right) } { \partial x _ { j } } } \right] = - { \frac { \partial \left( { \bar { p } } + p ^ { \prime } \right) } { \partial x _ { i } } } + \mu \left[ { \frac { \partial ^ { 2 } \left( { \overline { { u _ { i } } } } + u _ { i } ^ { \prime } \right) } { \partial x _ { j } \partial x _ { j } } } \right] .
\begin{array} { r } { k _ { o n } ( t ) = k _ { o n } S _ { c e l l } ^ { b e f } / S _ { c e l l } ( t ) \left( 1 + \beta \, \Theta ( t ) \left[ 1 - \exp ( - t / \tau _ { a c t } ) \right] \right) \quad , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { d N _ { 3 } } { d t } \! = \! \eta \frac { I } { q } \! - \! \frac { N _ { 3 } } { \tau _ { 3 2 } } \! - \! \frac { N _ { 3 } } { \tau _ { 3 1 } } \! - \! G _ { 0 } S \Delta N \! + \! F _ { 3 } ( t ) } \\ & { \frac { d N _ { 2 } } { d t } \! = \! \frac { N _ { 3 } } { \tau _ { 3 2 } } \! - \! \frac { N _ { 2 } } { \tau _ { 2 1 } } \! + \! G _ { 0 } S \Delta N \! + \! F _ { 2 } ( t ) } \\ & { \frac { d N _ { 1 } } { d t } \! = \! \frac { N _ { 3 } } { \tau _ { 3 1 } } \! + \! \frac { N _ { 2 } } { \tau _ { 2 1 } } \! - \! \frac { N _ { 1 } } { \tau _ { \mathrm { o u t ~ } } } \! + \! F _ { 1 } ( t ) } \\ & { \frac { d S } { d t } \! = \! \left( \! m G _ { 0 } \Delta N \! - \! \frac { 1 } { \tau _ { p } } \! \right) \! S \! + \! m \beta \frac { N _ { 3 } } { \tau _ { s p } } \! + \! 2 k _ { c } \sqrt { S _ { i n j } S } \cos \phi + F _ { s } ( t ) } \\ & { \frac { d \phi } { d t } \! = \! \frac { \alpha _ { H } } { 2 } \! \left( \! m G _ { 0 } \Delta N \! - \! \frac { 1 } { \tau _ { p } } \! \right) \! - \! 2 \pi \Delta F _ { i n j } \! - \! k _ { c } \sqrt { \frac { S _ { i n j } } { S } } \sin \phi \! + \! F _ { \phi } ( t ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \delta x ( 0 ) \delta \ell ( \tau ) \rangle } & { = \mathcal { F } ^ { - 1 } \{ \tilde { g } _ { \ell \to x } ( - \omega ) S _ { \ell } ( \omega ) \} , } \\ & { = \frac { \bar { g } _ { \ell \to x } \sigma _ { \ell } ^ { 2 } } { ( 1 + { \tau _ { \mathrm { c } } } / \tau _ { \ell } ) ( 1 + { \tau _ { \mathrm { r } } } / \tau _ { \ell } ) } e ^ { - \tau / \tau _ { \ell } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta t \, \boldsymbol { \tilde { b } } ^ { T } \, \partial _ { x } ( \boldsymbol { A u } ) } & { { } = 0 } \\ { \Delta t \, \boldsymbol { \tilde { b } } ^ { T } \left( \partial _ { x } \left( \boldsymbol { A u ^ { 2 } } \right) + \frac { \boldsymbol { A } } { \rho } \partial _ { x } \boldsymbol { p } \right) } & { { } = 0 } \\ { \Delta t \, \boldsymbol { b } ^ { T } \left( E _ { 0 } \boldsymbol { G } ( \boldsymbol { A } ) \partial _ { x } ( \boldsymbol { A u } ) + \frac { 1 } { \tau _ { r } } \left( \boldsymbol { p } - \boldsymbol { F } ( \boldsymbol { A } ) \right) \right) } & { { } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { - 2 \eta ^ { 0 } \langle \nabla { \mathcal L } _ { n } ( { \boldsymbol { \beta } } ^ { t } ) , { \boldsymbol { \beta } } ^ { t } - \hat { \boldsymbol { \beta } } \rangle + \left( \eta ^ { 0 } \right) ^ { 2 } \| \nabla { \mathcal L } _ { n } ( { \boldsymbol { \beta } } ^ { t } ) \| _ { 2 } ^ { 2 } \leq - \frac { \alpha } { 2 \gamma } \| { \boldsymbol { \beta } } ^ { t } - \hat { \boldsymbol { \beta } } \| _ { 2 } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \mathbb { E } } [ \left\| \widetilde { { \mathbf { X } } } ^ { k + 1 } - { \mathbf { H } } _ { x } ^ { k + 1 } \right\| _ { F } ^ { 2 } \vert { \mathcal { F } } ^ { k } ] } \\ { \leq } & { ( 1 + \frac { 2 } { \alpha _ { x } r \delta } ) \Bigg [ \Big ( 2 + 6 L ^ { 2 } \widehat { \lambda } ^ { 2 } \left\| { \mathbf { C } } _ { \gamma } \right\| _ { C } ^ { 2 } } \\ & { ~ + 1 2 C L ^ { 2 } \widehat { \lambda } ^ { 2 } \gamma _ { y } ^ { 2 } \left\| { \mathbf { I } } - { \mathbf { C } } \right\| _ { C } ^ { 2 } \Big ) { \mathbb { E } } [ \left\| { \mathbf { X } } ^ { k + 1 } - { \mathbf { X } } ^ { k } \right\| _ { F } ^ { 2 } \vert { \mathcal { F } } ^ { k } ] } \\ & { + 1 2 C \widehat { \lambda } ^ { 2 } \gamma _ { y } ^ { 2 } \left\| { \mathbf { I } } - { \mathbf { C } } \right\| _ { 2 } ^ { 2 } \left\| { \mathbf { Y } } ^ { k } - { \mathbf { H } } _ { y } ^ { k } \right\| _ { F } ^ { 2 } } \\ & { + 6 \widehat { \lambda } ^ { 2 } \gamma _ { y } ^ { 2 } \left\| { \mathbf { I } } - { \mathbf { C } } \right\| _ { 2 } ^ { 2 } \left\| \Pi _ { C } { \mathbf { Y } } ^ { k } \right\| _ { C } ^ { 2 } \Bigg ] } \\ & { + ( 1 - \frac { \alpha _ { x } r \delta } { 2 } ) \left\| \widetilde { { \mathbf { X } } } ^ { k } - { \mathbf { H } } _ { x } ^ { k } \right\| _ { F } ^ { 2 } + s _ { k } ^ { 2 } \alpha _ { x } r \sigma _ { r } ^ { 2 } ( 1 + \frac { \alpha _ { x } r \delta } { 2 } ) } \\ & { + 6 s _ { k } ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } \widehat { \lambda } ^ { 2 } \gamma _ { y } ^ { 2 } \left\| { \mathbf { I } } - { \mathbf { C } } \right\| _ { C } ^ { 2 } ( 1 + \frac { 2 } { \alpha _ { x } r \delta } ) . } \end{array}
C _ { 2 } [ \omega , \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } , B ] = { \frac { m ^ { 8 } } { 4 B ^ { 2 } \omega \omega _ { 1 } \omega _ { 2 } } } \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { d s } { s } } e ^ { - m ^ { 2 } s } J _ { 2 } ( s , \omega , \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } , B ) ~ ,
A = - 6 \sum _ { n _ { i } } \int \frac { d w } { 2 \pi } \, \frac { ( T _ { A } v ) ^ { 4 } } { ( w ^ { 2 } + T _ { A } ^ { 2 } R ^ { 2 } + T _ { A } ^ { 2 } ( n _ { i } e _ { i } ) ^ { 2 } ) ^ { 4 } } ,
\begin{array} { r l } & { \left\| \mathcal { M } _ { 3 } ( \partial _ { z } ^ { 2 } + ( \partial _ { v } - t \partial _ { z } ) ^ { 2 } ) \mathring { \mathcal { T } } _ { j , N } ^ { - 1 } P _ { \neq } \big [ \mathcal { S } _ { 2 } [ \Pi ] + \mathcal { S } _ { a } [ \Pi ] \big ] \right\| _ { 2 } } \\ & { \lesssim \| \mathcal { M } _ { 3 } P _ { \neq } \mathcal { S } _ { 2 } [ \Pi ] \| _ { 2 } + \| \mathcal { M } _ { 3 } P _ { \neq } \mathcal { S } _ { a } [ \Pi ] \| _ { 2 } , } \\ & { \left\| ( \mathcal { M } _ { 4 } + \mathcal { M } _ { 5 } ) ( \partial _ { z } ^ { 2 } + ( \partial _ { v } - t \partial _ { z } ) ^ { 2 } ) \mathring { \mathcal { T } } _ { j , N } ^ { - 1 } P _ { \neq } \big [ \mathcal { S } _ { 2 } [ \Pi ] + \mathcal { S } _ { a } [ \Pi ] \big ] \right\| _ { 2 } } \\ & { \lesssim \| ( M _ { 4 } + M _ { 5 } ) P _ { \neq } \mathcal { S } _ { 2 } [ \Pi ] \| _ { 2 } + \| ( M _ { 4 } + M _ { 5 } ) P _ { \neq } \mathcal { S } _ { a } [ \Pi ] \| _ { 2 } . } \end{array}
\tilde { G } _ { \mu _ { 1 } \ldots \mu _ { p } } ^ { a } \equiv p ! \, \frac { \partial L } { \partial \bar { F } ^ { a \, \mu _ { 1 } \ldots \mu _ { p } } } ~ , ~ ~ \tilde { \bar { G } } _ { \mu _ { 1 } \ldots \mu _ { p } } ^ { a } \equiv p ! \, \frac { \partial L } { \partial F ^ { a \, \mu _ { 1 } \ldots \mu _ { p } } } ~ .
\begin{array} { r } { R _ { \widehat { L } _ { \mathrm { t s } } } ( \widehat { L } , t | \widehat { L } _ { 0 } , t _ { 0 } ; t _ { f } ) : = \frac { \rho _ { \widehat { L } _ { \mathrm { t s } } } ( t _ { f } | \widehat { L } , t ) P ( \widehat { L } , t | \widehat { L } _ { 0 } , t _ { 0 } ) } { \rho _ { \widehat { L } _ { \mathrm { t s } } } ( t _ { f } | \widehat { L } _ { 0 } , t _ { 0 } ) } \ , } \end{array}
B = \left( \begin{array} { l l l l l } { b _ { 0 , 0 } } & { b _ { 0 , 1 } } & { b _ { 0 , 2 } } & { b _ { 0 , 3 } } & { b _ { 0 , 4 } } \\ { b _ { 0 , 1 } } & { b _ { 0 , 4 } } & { b _ { 1 , 2 } } & { b _ { 1 , 3 } } & { b _ { 1 , 2 } } \\ { b _ { 0 , 2 } } & { b _ { 1 , 2 } } & { b _ { 0 , 3 } } & { b _ { 1 , 3 } } & { b _ { 1 , 3 } } \\ { b _ { 0 , 3 } } & { b _ { 1 , 3 } } & { b _ { 1 , 3 } } & { b _ { 0 , 2 } } & { b _ { 1 , 2 } } \\ { b _ { 0 , 4 } } & { b _ { 1 , 2 } } & { b _ { 1 , 3 } } & { b _ { 1 , 2 } } & { b _ { 0 , 1 } } \end{array} \right) .
S \left[ \phi \right] = \int \mathrm { d ^ { d } } x \left[ { \frac { 1 } { 2 } } \left( \partial _ { \mu } \phi \right) ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } m ^ { 2 } \phi ^ { 2 } + { \frac { \lambda } { 4 } } \phi ^ { 4 } \right] .
1 \, + \, 2 \left( { \frac { 1 } { 8 } } \right) \, + \, 4 \left( { \frac { 1 } { 8 } } \right) ^ { 2 } \, + \, 8 \left( { \frac { 1 } { 8 } } \right) ^ { 3 } \, + \, \cdots .
\eta _ { n } = \left( \begin{array} { l } { { { \frac { 1 } { \surd 2 } } \delta _ { n } ^ { \eta } } } \\ { { \Omega _ { \eta } + { \frac { 1 } { \surd 2 } } \epsilon _ { n } ^ { \eta } } } \end{array} \right) \exp ( i \theta ) ( \overline { { \omega } } , \omega , 1 ) _ { n } ~ ~ ~ ,
{ \bigl \langle } \, f ( x ) , \, g ( x ) \, { \bigr \rangle } ~ = ~ \int _ { - 1 } ^ { 1 } \, f ( x ) \, g ( x ) \, { \frac { \mathrm { d } x } { \, { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } \, } } \, } } ~ ,
\begin{array} { r l } { \xi x _ { 3 } + \widetilde { f _ { d } } ( x _ { 0 } , x _ { 1 } ) + u ^ { 2 } \widetilde { f _ { d } } ( x _ { 2 } , x _ { 3 } , x _ { 4 } ) + u ( x _ { 0 } + x _ { 1 } ) \widetilde { f _ { d - \iota _ { X } } } ( x _ { 2 } , x _ { 3 } , x _ { 4 } ) } & { = 0 } \\ { \xi x _ { 4 } + \widetilde { g _ { d } } ( x _ { 0 } , x _ { 1 } ) + u ^ { 2 } \widetilde { g _ { d } } ( x _ { 2 } , x _ { 3 } , x _ { 4 } ) + u ( x _ { 0 } + x _ { 1 } ) \widetilde { g _ { d - \iota _ { X } } } ( x _ { 2 } , x _ { 3 } , x _ { 4 } ) } & { = 0 . } \end{array}
\Gamma _ { i j k } = \frac { 1 } { \rho _ { 0 } } \langle \vec { u } _ { k } ^ { \: i j * } \cdot ( \vec { q } \cdot [ \stackrel { \leftrightarrow } { \eta } : \vec { q } \otimes \vec { u } _ { k } ^ { \: i j } ] ) \rangle .
\left\{ \begin{array} { l l l } { { e = p } } & { { = \frac { M } { 2 } e ^ { \beta } } } & { { , \mathrm { f o r ~ r i g h t - m o v e r s } , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { e = - p } } & { { = \frac { M } { 2 } e ^ { - \beta ^ { \prime } } } } & { { , \mathrm { f o r ~ l e f t - m o v e r s } . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \alpha ^ { 2 } : = \frac { 4 k _ { \parallel } ^ { 2 } v _ { s } ^ { 2 } v _ { A } ^ { 2 } } { k ^ { 2 } \left( v _ { s } ^ { 2 } + v _ { A } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } ; } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { F _ { f l } } { m } } & { { } = - \frac { \sqrt 2 \xi \, \hslash \omega _ { 0 } \sqrt { \gamma _ { 0 } } B } { m \gamma _ { + } } \cdot \frac { \sqrt { \gamma _ { 0 } } \, b _ { a } + \sqrt { \gamma _ { 1 } } \, c _ { a } } { \gamma _ { + } - i \Omega } - } \end{array}
\operatorname * { l i m } _ { x ^ { + } \rightarrow 0 } \, \langle 0 | T ( \varphi ^ { \dagger } ( x ) \sigma _ { 1 } \chi ( 0 ) ) | 0 \rangle \neq \langle 0 | \varphi ^ { \dagger } ( x ^ { + } = 0 ^ { + } , x ^ { - } , x ^ { \perp } ) \sigma _ { 1 } \chi ( 0 ) | 0 \rangle \ .
\begin{array} { r l } { \left( B _ { t } \right) _ { j k } } & { : = d V ^ { \prime \prime } ( q _ { t } ) _ { j k } / d t = \left( \dot { q } _ { t } \right) _ { i } V ^ { \prime \prime \prime } ( q _ { t } ) _ { i j k } } \\ & { = ( p _ { t } ) _ { l } ( m ^ { - 1 } ) _ { l i } V ^ { \prime \prime \prime } ( q _ { t } ) _ { i j k } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { d \overline { X } _ { t } } & { = \lambda ( \overline { y } ^ { \alpha } ( \overline { \rho } _ { t } ) - \overline { X } _ { t } ) \, d t + \sigma \, ( \overline { y } ^ { \alpha } ( \overline { \rho } _ { t } ) - \overline { X } _ { t } ) \otimes d \overline { B } _ { t } } \\ { d \overline { Y } _ { t } } & { = \nu ( \overline { X } _ { t } - \overline { Y } _ { t } ) S ^ { \beta } ( \overline { X } _ { t } , \overline { Y } _ { t } ) \, d t } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { - i \tan z ( \omega ) } & { = i \frac { 2 } { \Phi _ { 2 } } \sum _ { k = - \infty } ^ { + \infty } \frac { 1 } { ( \omega - \omega _ { k } ^ { + } ) ( \omega - \omega _ { k } ^ { - } ) } } \\ & { = i \frac { 2 } { \Phi _ { 2 } } \sum _ { k = - \infty } ^ { + \infty } \frac { 1 } { \omega _ { k } ^ { + } - \omega _ { k } ^ { - } } \left( \frac { 1 } { \omega - \omega _ { k } ^ { + } } - \frac { 1 } { \omega - \omega _ { k } ^ { - } } \right) } \\ & { = \sum _ { k = - \infty } ^ { + \infty } \frac { i } { \omega _ { k } \Phi _ { 2 } } \left( \frac { 1 } { \omega - \omega _ { k } ^ { + } } - \frac { 1 } { \omega - \omega _ { k } ^ { - } } \right) , } \end{array}
S _ { \mathrm { b r a n e } } = - T \int d ^ { 4 } x \sqrt { - g } e ^ { 4 A } \left[ 1 + \frac { 1 } { 2 } e ^ { 2 B - 2 A } g ^ { a b } \partial _ { a } R \partial _ { b } R \right] - q T \int d ^ { 4 } x \sqrt { - g } e ^ { \Lambda } .
\begin{array} { r l } { t ( T ) } & { = \b { n } { 3 } - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { v \in V ( T ) } \left( \b { d ^ { + } ( v ) } { 2 } + \b { d ^ { - } ( v ) } { 2 } \right) } \\ & { = \b { n } { 3 } - \frac { 1 } { 4 } \sum _ { v \in V ( T ) } \left( ( d ^ { + } ( v ) ) ^ { 2 } + ( d ^ { - } ( v ) ) ^ { 2 } - ( n - 1 ) \right) } \\ & { \leqslant \b { n } { 3 } - \frac { 1 } { 4 } \sum _ { v \in V ( T ) } \left( \left( \left\lceil \frac { n - 1 } { 2 } \right\rceil \right) ^ { 2 } + \left( \left\lfloor \frac { n - 1 } { 2 } \right\rfloor \right) ^ { 2 } - ( n - 1 ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \partial _ { t } \partial _ { i } \theta + \partial _ { i } \left( \frac { e } { \hbar } A _ { 0 } + a _ { 0 } \right) + \frac { 1 } { 2 } \epsilon _ { j k } \partial _ { i } \partial _ { k } v _ { j } + \frac { \hbar } { 2 m } \epsilon _ { j k } \partial _ { i } \partial _ { k } \left( \frac { e } { \hbar } A _ { j } + a _ { j } \right) + \frac { m } { \hbar } v _ { j } \partial _ { i } v _ { j } - \partial _ { i } \left( \frac { 1 } { 2 n } \epsilon _ { j k } v _ { j } \partial _ { k } n \right) + \frac { 1 } { \hbar } \partial _ { i } V ^ { \prime } ( n ) = 0 . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { c } { { - \frac { d ^ { 2 } } { d x ^ { 2 } } h \left( x \right) + V ^ { - } \left( x \right) h \left( x \right) = E _ { l } ^ { 2 } h \left( x \right) } } \\ { { - \frac { d ^ { 2 } } { d x ^ { 2 } } k \left( x \right) + V ^ { + } \left( x \right) k \left( x \right) = E _ { l } ^ { 2 } k \left( x \right) } } \\ { { - \frac { d ^ { 2 } } { d x ^ { 2 } } k \left( x \right) + V ^ { + } \left( x \right) k \left( x \right) = E _ { l } ^ { 2 } k \left( x \right) } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { J _ { S } } & { { } = } & { { \frac { 1 } { 2 \Gamma } } \int _ { \mu } ^ { \mu \, \mathrm { e x p } ( 2 \Gamma ( t - t _ { 0 } ) ) } { \frac { 1 - x ^ { 2 } } { x ( 1 + x ^ { 2 } ) } } \, d x } \end{array}
p _ { D } ( r , \boldsymbol { \Omega } , t ) = \sum _ { i } \operatorname* { m i n } ( \lambda _ { i } ( \boldsymbol { \Omega } , t ) , 0 ) \left| \overline { { \varphi } } _ { i } ( r , \boldsymbol { \Omega } , t ) \right| ^ { 2 } .
\Delta Z = \left\{ \begin{array} { l l } { + \frac { | q | } { N } } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ n ~ - ~ t ~ y ~ p ~ e ~ d ~ o ~ p ~ i ~ n ~ g ~ } } \\ { - \frac { | q | } { N } } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ p ~ - ~ t ~ y ~ p ~ e ~ d ~ o ~ p ~ i ~ n ~ g ~ } } \end{array} \right.
+ i { \frac { ( x y ^ { \prime } - x ^ { \prime } y ) ( x ^ { \prime } y ^ { \prime } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + x ^ { 2 } y ^ { 2 } } } - x y { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + x ^ { 2 } y ^ { 2 } } } ) } { 2 { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + x ^ { 2 } y ^ { 2 } } } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + x ^ { 2 } y ^ { 2 } } } } } ,
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m a x } _ { X \in \{ I , A _ { 1 } , \ldots , A _ { N } \} } \| B _ { 1 } X B _ { 2 } \| } & { \geq \operatorname* { m a x } _ { X \in \{ I , A _ { 1 } , \ldots , A _ { N } \} } | \langle B _ { 1 } X B _ { 2 } u , v \rangle | } \\ & { = \operatorname* { m a x } _ { X \in \{ I , A _ { 1 } , \ldots , A _ { N } \} } | \langle X B _ { 2 } u , B _ { 1 } ^ { * } v \rangle | } \\ & { = \| B _ { 1 } \| \cdot \| B _ { 2 } \| \cdot \operatorname* { m a x } _ { X \in \{ I , A _ { 1 } , \ldots , A _ { N } \} } | \langle X \hat { u } , \hat { v } \rangle | \geq \kappa \| B _ { 1 } \| \cdot \| B _ { 2 } \| } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname { a r c c o s } \left( { \frac { 1 } { x } } \right) } & { { } = \operatorname { a r c s e c } ( x ) } \\ { \arcsin \left( { \frac { 1 } { x } } \right) } & { { } = \operatorname { a r c c s c } ( x ) } \\ { \arctan \left( { \frac { 1 } { x } } \right) } & { { } = { \frac { \pi } { 2 } } -- \arctan ( x ) = \operatorname { a r c c o t } ( x ) \, , { \mathrm { ~ i f ~ } } x > 0 } \\ { \arctan \left( { \frac { 1 } { x } } \right) } & { { } = - { \frac { \pi } { 2 } } - \arctan ( x ) = \operatorname { a r c c o t } ( x ) - \pi \, , { \mathrm { ~ i f ~ } } x < 0 } \\ { \operatorname { a r c c o t } \left( { \frac { 1 } { x } } \right) } & { { } = { \frac { \pi } { 2 } } - \operatorname { a r c c o t } ( x ) = \arctan ( x ) \, , { \mathrm { ~ i f ~ } } x > 0 } \\ { \operatorname { a r c c o t } \left( { \frac { 1 } { x } } \right) } & { { } = { \frac { 3 \pi } { 2 } } - \operatorname { a r c c o t } ( x ) = \pi + \arctan ( x ) \, , { \mathrm { ~ i f ~ } } x < 0 } \\ { \operatorname { a r c s e c } \left( { \frac { 1 } { x } } \right) } & { { } = \operatorname { a r c c o s } ( x ) } \\ { \operatorname { a r c c s c } \left( { \frac { 1 } { x } } \right) } & { { } = \arcsin ( x ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial \boldsymbol { \omega } } { \partial t } = \boldsymbol { \nabla } \times ( \mathbf { u } \times \boldsymbol { \omega } ) + \nabla \times \mathbf { F } _ { v i s c } - 2 \nabla \times \boldsymbol { \Omega } \times \mathbf { u } + \frac { \nabla \rho \times \nabla p } { \rho ^ { 2 } } + } \\ { + \nabla \times \frac { \mathbf { J } \times \mathbf { B } } { \rho } + \nabla \times \mathbf { f } _ { s } ~ . } \end{array}
\Im [ I ( z , m ) ] = \pi e ^ { - z ^ { 2 } + ( m + z ) ^ { 2 } } \left( \frac { 1 } { 2 } \mathrm { ~ e ~ r ~ f ~ } ( m + z ) - \mathrm { ~ s ~ i ~ g ~ n ~ } ( m ) \right) \quad z \in \mathbb { R }
\boldsymbol { P } = x ( \xi ) \boldsymbol { e } _ { 1 } + y ( \xi ) \boldsymbol { e } _ { 2 } + \boldsymbol { O } , \qquad \boldsymbol { L } = l \boldsymbol { e } _ { l } + \boldsymbol { P } , \qquad \boldsymbol { R } = r \, \boldsymbol { e } _ { l } + \boldsymbol { P } ,
= - g ^ { 2 } C _ { F } \frac { \Gamma ( 1 - \epsilon ) } { ( 4 \pi ) ^ { 2 + \epsilon } } \frac { ( \not q + m ) \not q } { q ^ { 2 } } \left( m ^ { 2 } - q ^ { 2 } \right) \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { d x } { \left[ ( 1 - x ) \left( m ^ { 2 } - x q ^ { 2 } \right) \right] ^ { 1 - \epsilon } } ~ ,
\begin{array} { r l r } { \Delta n _ { p } } & { { } \approx } & { n _ { p } \, n _ { B } \, { \cal R } _ { p B D T \alpha } \, \sigma _ { R 0 } ^ { p B } \, } \\ { \Delta n _ { D } } & { { } \approx } & { n _ { D } \, n _ { T } \, { \cal R } _ { D T p B \alpha } \, \sigma _ { R 0 } ^ { D T } } \end{array}
\phi ^ { \mathrm { i n t } } , \frac { \partial \phi ^ { \mathrm { i n t } } } { \partial x } , \frac { \partial \phi ^ { \mathrm { i n t } } } { \partial y } , \frac { \partial \phi ^ { \mathrm { i n t } } } { \partial \tau } , \frac { \partial ^ { 2 } \phi ^ { \mathrm { i n t } } } { \partial x \partial y } , \frac { \partial ^ { 2 } \phi ^ { \mathrm { i n t } } } { \partial y \partial \tau } , \frac { \partial ^ { 2 } \phi ^ { \mathrm { i n t } } } { \partial x \partial \tau } , \frac { \partial ^ { 3 } \phi ^ { \mathrm { i n t } } } { \partial x \partial y \partial \tau } .
\begin{array} { r l } { R _ { 5 , 1 } } & { : = - \Pi _ { S } \Psi _ { 5 } ^ { - 1 } \partial _ { x } W \Psi _ { 5 } - \Pi _ { S ^ { \perp } } \Psi _ { 5 } ^ { - 1 } \Pi _ { S } \partial _ { x } W _ { 1 } \Psi _ { 5 } + ( \Phi _ { 5 } ^ { - 1 } \Pi _ { S ^ { \perp } } - \Pi _ { S ^ { \perp } } \Psi _ { 5 } ^ { - 1 } \Pi _ { S ^ { \perp } } ) \partial _ { x } W _ { 1 } \Psi _ { 5 } } \\ & { \ - \Phi _ { 5 } ^ { - 1 } \Pi _ { S ^ { \perp } } \partial _ { x } W _ { 1 } \Pi _ { S } \Psi _ { 5 } + \Phi _ { 5 } ^ { - 1 } \Pi _ { S ^ { \perp } } \partial _ { x } W _ { 1 } \left( \Phi _ { 5 } - \Pi _ { S ^ { \perp } } \Psi _ { 5 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \partial _ { t } \mathcal { V } ( t , \xi ) - 4 \nu \partial _ { \xi } ^ { 2 } \mathcal { V } ( t , \xi ) - \mu _ { 1 } g ( t ) \partial _ { \xi } [ h _ { 0 } ( \xi ) \mathcal { V } ( t , \xi ) ] - \frac { C } { \beta } g ( t ) h _ { 0 } ^ { \prime } ( \xi ) \mathcal { V } ( t , \xi ) = \partial _ { \xi } a _ { 0 } ( t , \xi ) , \quad ( t , \xi ) \in ( 0 , T ] \times \mathbb { R } , } \\ & { \mathcal { V } ( 0 , \xi ) = \mathcal { V } _ { 0 } ( \xi ) = \Omega _ { 0 } ^ { \prime } ( \xi ) . } \end{array}
L _ { \psi ^ { \prime } \psi ^ { \prime } \psi \psi } = g ^ { 2 } \sum _ { i , j = L , R } \sum _ { q = u , d } \frac { \epsilon _ { i j } } { ( \Lambda _ { i j } ^ { \epsilon } ) ^ { 2 } } \, ( \bar { \psi } _ { i } ^ { \prime } \gamma _ { \mu } \psi _ { i } ^ { \prime } ) \, ( \bar { \psi } _ { j } \gamma ^ { \mu } \psi _ { j } )
\begin{array} { r l r } { r _ { N } ^ { 2 } \equiv \langle r ^ { 2 } \rangle _ { N } } & { = } & { \frac { 4 \pi } { Z e } \int _ { 0 } ^ { \infty } \varrho _ { F } ( r ) r ^ { 4 } d r } \\ & { = } & { 1 2 a _ { F } ^ { 2 } \, \frac { \mathrm { L i } _ { 5 } ( - e ^ { c _ { F } / a _ { F } } ) } { \mathrm { L i } _ { 3 } ( - e ^ { c _ { F } / a _ { F } } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \pi } _ { i } } & { = \int _ { i } ^ { i + 1 } p _ { X | \tilde { Y } \in [ 0 , N [ } ( x ) ~ d x = \int _ { i } ^ { i + 1 } \frac { p _ { \tilde { X } | \tilde { Y } \in [ 0 , N [ } ( x ) } { \int _ { 0 } ^ { N } p _ { \tilde { X } | \tilde { Y } \in [ 0 , N ) } ( \tilde { x } ) ~ d \tilde { x } } ~ d x } \\ & { = \frac { \int _ { x = i } ^ { i + 1 } \int _ { u = 0 } ^ { N } p _ { \tilde { X } | U } ( x | u ) \cdot p _ { U | \tilde { Y } \in [ 0 , N [ } ( u ) ~ d u ~ d x } { \int _ { \tilde { x } = 0 } ^ { N } \int _ { u = 0 } ^ { N } p _ { \tilde { X } | U } ( \tilde { x } | u ) \cdot p _ { U | \tilde { Y } \in [ 0 , N [ } ( u ) ~ d u ~ d \tilde { x } } } \\ & { = \frac { \int _ { u = 0 } ^ { N } \left[ Q \left( \frac { i - u } { \sigma } \right) - Q \left( \frac { i + 1 - u } { \sigma } \right) \right] \cdot p _ { U | \tilde { Y } \in [ 0 , N ) } ( u ) ~ d u ~ d x } { \int _ { u = 0 } ^ { N } \left[ Q \left( \frac { - u } { \sigma } \right) - Q \left( \frac { N - u } { \sigma } \right) \right] \cdot p _ { U | \tilde { Y } \in [ 0 , N ) } ( u ) ~ d u ~ d \tilde { x } } . } \end{array}
\left( \begin{array} { l } { A } \\ { B } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { \lambda _ { 1 } } & { \lambda _ { 2 } } \\ { \lambda _ { 1 } ^ { 2 } } & { \lambda _ { 2 } ^ { 2 } } \end{array} \right) ^ { - 1 } \left( \begin{array} { l } { X _ { 2 } } \\ { X _ { 3 } } \end{array} \right) .
\begin{array} { c } { { u ^ { \alpha } = u _ { 0 } ^ { \alpha } + \xi ^ { \alpha } s - \frac 1 2 \left( \stackrel { s } { \Gamma } _ { \beta \gamma } ^ { \alpha } \right) _ { 0 } \xi ^ { \beta } \xi ^ { \gamma } s ^ { 2 } - } } \\ { { \frac 1 { 3 ! } \left( \Gamma ^ { \alpha } { } _ { \beta \gamma \delta } \right) _ { 0 } \xi ^ { \beta } \xi ^ { \gamma } \xi ^ { \delta } s ^ { 3 } - \cdots } } \end{array}
\begin{array} { r } { \small { \left( \left( \! \! \begin{array} { c c c c } { \{ 0 \sim 4 \} } & { \{ 4 \} } & { \{ 4 \} } & { \{ 4 \} } \\ { \{ 4 \} } & { \! \{ 0 \sim 4 \} \! } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } \\ { \{ 4 \} } & { \{ 3 \} } & { \! \{ 0 \sim 4 \} \! } & { \{ 3 \} } \\ { \{ 4 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 0 \sim 4 \} } \end{array} \! \! \right) , \left( \! \! \begin{array} { c c c c } { \{ 0 \sim 3 \} } & { \{ 2 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } \\ { \{ 2 \} } & { \! \{ 0 \sim 3 \} \! } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } \\ { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \! \{ 0 \sim 3 \} \! } & { \{ 3 \} } \\ { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 0 \sim 3 \} } \end{array} \! \! \right) \right) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \vec { E } ( \omega , \omega _ { a } ) | ^ { 2 } } & { { } = \left| \vec { E } _ { a } ^ { \mathrm { t o t } } + \vec { E } _ { \mathrm { D M } } ^ { \mathrm { t o t } } \right| ^ { 2 } \, } \end{array}