harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { I _ { t } } & { = \frac { \langle { \bf \hat { E } _ { o u t } ^ { - } ( { \bf r } ) } { \bf \hat { E } _ { o u t } ^ { + } ( { \bf r } ) } \rangle _ { s s } } { \langle { \bf \hat { E } _ { i n } ^ { - } ( { \bf r } ) } { \bf \hat { E } _ { i n } ^ { + } ( { \bf r } ) } \rangle _ { s s } } } \\ & { = 1 - \frac { \beta \gamma \gamma _ { 2 } ( 2 - \beta ) } { 2 ( \gamma _ { 2 } ^ { 2 } + \Delta ^ { 2 } + 4 ( \gamma _ { 2 } / \gamma ) \Omega ^ { 2 } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Sigma _ { p q } } & { { } ( \omega ) = \sum _ { \nu } \sum _ { i a , j b , k } \frac { ( p k | i a ) ( X _ { i a } ^ { \nu } + Y _ { i a } ^ { \nu } ) ( X _ { j b } ^ { \nu } + Y _ { j b } ^ { \nu } ) ( q k | j b ) } { \omega - ( \epsilon _ { k } - \Omega _ { \nu } ) - i 0 ^ { + } } } \end{array}
\frac { \eta v _ { z } ^ { * } L } { P ^ { * } R _ { 0 } ^ { 2 } } \left\{ \frac { R _ { 0 } ^ { 2 } } { L ^ { 2 } } \partial _ { \hat { z } } ^ { 2 } \hat { v } _ { z } ( \hat { r } , \hat { z } , t ) + \hat { r } ^ { - 1 } \partial _ { \hat { r } } \left[ \hat { r } \partial _ { \hat { r } } \hat { v } _ { z } ( \hat { r } , \hat { z } , t ) \right] \right\} = \partial _ { \hat { z } } \hat { P } ( \hat { r } , \hat { z } , t ) ,
\bar { s } _ { \infty } = \frac { \Delta \bar { \rho } } { 2 \tau _ { \infty } } \frac { p _ { T } \bar { l } _ { p } d _ { w } } { d _ { p } } = \frac { d _ { w } } { d _ { p } } \frac { \beta ^ { 2 } R } { ( 1 \! + \! R \Delta \bar { \rho } p _ { V } ) } , \qquad \tau _ { \infty } = \frac { \Delta \bar { \rho } \, p _ { T } \bar { l } _ { p } } { 2 \beta ^ { 2 } } \frac { 1 \! + \! R \Delta \bar { \rho } p _ { V } } { R } .
\begin{array} { c l } { \mathcal { H } _ { 2 } \left( \psi _ { 2 } , J _ { 2 } , \theta \right) = } & { \nu _ { x } J _ { 2 } + \left( \sqrt { J _ { 2 } } \right) ^ { 3 } \displaystyle \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } { g _ { 3 , 0 , n } \cos { \left( 3 \psi _ { 2 } - n \theta + \xi _ { 3 , 0 , n } \right) } } } \\ & { + \left( \sqrt { J _ { 2 } } \right) ^ { 3 } \displaystyle \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } { g _ { 1 , 0 , n } \cos { \left( \psi _ { 2 } - n \theta + \xi _ { 1 , 0 , n } \right) } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { - \pi / \phi } ^ { + \pi / \phi } \frac { d \lambda } { 2 \pi } e ^ { i m \phi \lambda } \mathrm { I m } [ \theta _ { 2 } ( \lambda - x _ { 0 } ) + \theta _ { 2 } ( \lambda + x _ { 0 } ) ] } \\ { = } & { 2 i \sin ( m \phi \lambda _ { 0 } ) \int _ { - \pi / \phi } ^ { + \pi / \phi } \frac { d \lambda } { 2 \pi } e ^ { i m \phi \lambda } \mathrm { I m } [ \theta _ { 2 } ( \lambda + i ) ] } \\ { = } & { \frac { 2 \sin ( m \phi \lambda _ { 0 } ) } { m \phi } \int _ { - \pi / \phi } ^ { + \pi / \phi } \frac { d \lambda } { 2 \pi } e ^ { i m \phi \lambda } \frac { 2 \phi \cosh ( \phi ) \sinh ^ { 2 } ( \phi ) \sin ( \phi \lambda ) } { ( \cos ( \phi \lambda ) - \cosh ( \phi ) ) ( \cos ( \phi \lambda ) - \cosh ( 3 \phi ) ) } } \\ { = } & { 2 i \frac { \sin ( m \phi \lambda _ { 0 } ) } { m \phi } \sinh ( m \phi ) e ^ { - 2 m \phi } = \Theta ( m ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { d L ( \tau ) = \left( f ( L ) + D \ \frac { \partial } { \partial L } \log \left( \int _ { L _ { \mathrm { t s } } } ^ { L } d L ^ { \prime } \; e ^ { - \int ^ { L ^ { \prime } } \frac { 2 f ( L ^ { \prime \prime } ) } { D } d L ^ { \prime \prime } } \left( 1 - \int _ { L _ { \mathrm { t s } } } ^ { L ^ { \prime } } P ^ { \mathrm { i n } } ( L ^ { \prime \prime } ) d L ^ { \prime \prime } \right) \right) \right) d \tau + \sqrt { D } \ d W _ { \tau } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \, \mathrm { d } X _ { t } = \, } & { B \left( t , X _ { t } , \mathcal { L } ( X _ { t } , Y _ { t } , Z _ { t } | W ^ { 0 } ) , Y _ { t } , Z _ { t } , Z _ { t } ^ { 0 } \right) \, \mathrm { d } t } \\ & { \qquad + \sigma ( t , X _ { t } , \mathcal { L } ( X _ { t } , Y _ { t } , Z _ { t } | W ^ { 0 } ) , Y _ { t } , Z _ { t } , Z _ { t } ^ { 0 } ) \, \mathrm { d } W _ { t } } \\ & { \qquad + \sigma ^ { 0 } ( t , X _ { t } , \mathcal { L } ( X _ { t } , Y _ { t } , Z _ { t } | W ^ { 0 } ) , Y _ { t } , Z _ { t } , Z _ { t } ^ { 0 } ) \, \mathrm { d } W _ { t } ^ { 0 } , } \\ { \, \mathrm { d } Y _ { t } = \, } & { - F \Big ( t , X _ { t } , \mathcal { L } ( X _ { t } , Y _ { t } , Z _ { t } | W ^ { 0 } ) , Y _ { t } , \sigma ^ { \operatorname { T } } ( t , X _ { t } , \mathcal { L } ( X _ { t } , Y _ { t } , Z _ { t } | W ^ { 0 } ) , Y _ { t } , Z _ { t } , Z _ { t } ^ { 0 } ) Z _ { t } , } \\ & { \quad \qquad { \sigma ^ { 0 } } ^ { \operatorname { T } } ( t , X _ { t } , \mathcal { L } ( X _ { t } , Y _ { t } , Z _ { t } | W ^ { 0 } ) , Y _ { t } , Z _ { t } , Z _ { t } ^ { 0 } ) Z _ { t } ^ { 0 } \Big ) \, \mathrm { d } t } \\ & { \qquad + Z _ { t } \, \mathrm { d } W _ { t } + Z _ { t } ^ { 0 } \, \mathrm { d } W _ { t } ^ { 0 } , } \\ { \mathcal { L } ( X _ { 0 } ) } & { = \mu _ { 0 } , \qquad Y _ { T } = G ( X _ { T } , \mathcal { L } ( X _ { T } | W ^ { 0 } ) ) . } \end{array}
\frac { E _ { B , L C } } { E _ { C M E , 0 } } = \frac { R _ { N S } ^ { 2 } } { r _ { e q } R _ { L C } } = \frac { E _ { C M E , 0 } } { E _ { C M E , 0 } } \frac { R _ { N S } } { R _ { L C } } \ll 1
\begin{array} { r l } { { V _ { R } ^ { 2 } } } & { { } = { \Gamma _ { R } ^ { 2 } } ( { V _ { e l e c t r o n } ^ { 2 } } + { V _ { p r o t o n } ^ { 2 } } + { V _ { s h o t } ^ { 2 } } ) + { V _ { n o i s e } ^ { 2 } } + { V _ { g a l a x y } ^ { 2 } } } \end{array}
X _ { 3 ^ { \prime \prime } } \equiv \; \frac { 2 \; E _ { 3 ^ { \prime \prime } } } { E _ { 3 ^ { \prime \prime } } + E _ { 4 ^ { \prime \prime } } + E _ { 5 ^ { \prime \prime } } } = \; \frac { 2 E _ { 3 ^ { \prime \prime } } } { m _ { 5 J } } \; ,
\alpha ( \mathbf { E } _ { \mathrm { { i n c } } } , \omega , \mathbf { k } _ { \mathrm { { i n c } } } ) \propto \tilde { \mathbf { E } } _ { \mathrm { { r a d } } } \cdot \mathbf { E } _ { \mathrm { { i n c } } } ,
C _ { A B } = - \Bigl [ \alpha _ { E } ^ { ( A ) } \; \alpha _ { E } ^ { ( B ) } + \alpha _ { M } ^ { ( A ) } \; \alpha _ { M } ^ { ( B ) } - ( \alpha _ { E } ^ { ( A ) } \; \alpha _ { M } ^ { ( B ) } + \alpha _ { M } ^ { ( A ) } \; \alpha _ { E } ^ { ( B ) } ) \Bigr ]
\begin{array} { r l } { E ^ { \lambda } ( M _ { o } ^ { \lambda } , f ) } & { = \frac { \langle R _ { \Theta \Phi } \rangle } { 2 \sqrt { 2 } \pi \rho _ { s } \beta _ { s } ^ { 3 } } ~ M _ { o i j } ^ { \lambda } ~ \frac { f ^ { 2 } } { 1 + ( \frac { f } { f _ { c i j } } ) ^ { 2 } } } \\ { \textnormal { a n d , } ~ f _ { c i j } \propto \Big ( \frac { \Delta \sigma ^ { \lambda } } { \overline { { M } } _ { o } ^ { \lambda } } \Big ) } & { ^ { \frac { 1 } { 3 } } ; ~ M _ { o i j } ^ { \lambda } = \lambda ~ M _ { o } ~ \mathcal { W } _ { i j } ; ~ \overline { { M } } _ { o } ^ { \lambda } = \lambda ~ M _ { o } / N } \end{array}
\begin{array} { r l } { | f ( x ) - f ^ { N } ( x ) | } & { { } = \bigg | \big ( g _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ t ~ e ~ n ~ d ~ } } ( x ) + x \big ) - \big ( g _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ t ~ e ~ n ~ d ~ } } ^ { N } ( x ) + x \big ) \bigg | } \end{array}
w \simeq { \frac { \alpha } { 4 \pi } } \; { \frac { G _ { F } ^ { 2 } } { ( 1 5 \pi ) ^ { 3 } } } \; \frac { m _ { e } ^ { 6 } } { E _ { \nu } } \; \chi _ { e } ^ { 6 } \; \left( 1 - { \frac { m _ { j } ^ { 2 } } { m _ { i } ^ { 2 } } } \right) \, \left( 1 + 5 { \frac { m _ { j } ^ { 2 } } { m _ { i } ^ { 2 } } } \right) \, | K _ { i e } K _ { j e } ^ { * } | ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { \psi _ { n , \alpha } ( r ) = J _ { n } ( \zeta _ { n , \alpha } r ) - \frac { J _ { n } ( \zeta _ { n , \alpha } a ) } { I _ { n } ( \zeta _ { n , \alpha } a ) } } & { { } I _ { n } ( \zeta _ { n , \alpha } r ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathbb E } { { \bf 1 } } _ { \Gamma } \| M _ { 2 } \| _ { L ^ { 2 } ( s , T ; L ^ { 3 } ( \mathbb { T } ^ { 3 } ) ) } } & { \lesssim 1 + { \mathbb E } { { \bf 1 } } _ { \Gamma } \operatorname* { s u p } _ { t \in [ s , \sigma \wedge T ) } \| u _ { 1 } ( t ) \| _ { L ^ { 6 } } ^ { 4 } + { \mathbb E } { { \bf 1 } } _ { \Gamma } \| u _ { 2 } \| _ { L ^ { 2 } ( s , \sigma \wedge T ; H ^ { 1 } ) } ^ { 4 / 3 } } \\ & { \lesssim 1 + { \mathbb E } { { \bf 1 } } _ { \Gamma } \| u ( s ) \| _ { L ^ { 6 } } ^ { 4 } . } \end{array}
T ( \omega , \beta ) = \sin ^ { 2 } \beta \left| 1 + \frac { e ^ { 2 } } { \pi \hbar ^ { 2 } } \frac { Z _ { 0 } F E _ { F } } { 1 + n _ { S i C } } \frac { i \omega } { \omega ^ { 2 } - \omega _ { p } ^ { 2 } + i \omega / \tau } \right| ^ { - 2 } + \cos ^ { 2 } \beta \left| 1 + \frac { e ^ { 2 } } { \pi \hbar ^ { 2 } } \frac { Z _ { 0 } F E _ { F } } { 1 + n _ { S i C } } \frac { i \omega } { \omega ^ { 2 } + i \omega / \tau } \right| ^ { - 2 } .
\begin{array} { r } { | h ( p _ { L } | r - \sigma \tilde { r } | _ { D , 2 L } ) | \lesssim \frac { 1 } { ( 1 + | r - \sigma \tilde { r } | _ { D , 2 L } ) ^ { 2 } } \lesssim \frac { 1 } { ( 1 + | r - \tilde { r } | ) ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 2 G M _ { \oplus } } { c ^ { 3 } } \ln \Big [ \frac { r + r _ { 0 } + | { \vec { r } } - { \vec { r } } _ { 0 } | } { r + r _ { 0 } - | { \vec { r } } - { \vec { r } } _ { 0 } | } \Big ] \simeq \frac { 2 G M _ { \oplus } } { c ^ { 3 } } \ln \Big [ 1 + \frac { h } { R _ { \oplus } } \Big ] \simeq 4 . 2 3 \times 1 0 ^ { - 1 1 } ~ \mathrm { s } . } \end{array}
\tilde { x } = e ^ { 2 b } x , \ \tilde { y } = e ^ { b } y , \ \tilde { U } = U , \ \partial \tilde { U } = \partial U , \ \tilde { V } = e ^ { - b } V , \ \widetilde { \overline { { u v } } } = e ^ { - b } \overline { { u v } } . \ \widetilde { \overline { { u ^ { 2 } } } } = \overline { { u ^ { 2 } } } , \ \widetilde { \overline { { v ^ { 2 } } } } = \overline { { v ^ { 2 } } } ,
\begin{array} { r l } { \Delta x ^ { i } } & { { } = \frac { f } { v ^ { 2 } } \epsilon ^ { i j } \int \ensuremath { \operatorname { d } \! { } ^ { 2 } } y \ G _ { j k } ( x - x ^ { \prime } ) \left[ \Delta \gamma _ { k } ( x ^ { \prime } ) + \partial _ { k } \Delta P ( x ^ { \prime } ) \right] \, } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathbb E } _ { \mathbb { P } } \left[ F ( M _ { t } , X _ { t } ) \right] } & { = \int _ { { \mathbb R } ^ { d + 1 } } F ( x _ { 0 } ^ { 1 } + b , x _ { 0 } + a ) p _ { W ^ { * 1 } , W } ( b , a ; t ) d b d a } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { t } { \mathbb E } _ { \mathbb { P } } \left[ \int _ { { \mathbb R } ^ { d + 1 } } \partial _ { m } F \left( X _ { s } ^ { 1 } + b , X _ { s } + a \right) { \mathbf 1 } _ { \{ M _ { s } < X _ { s } ^ { 1 } + b \} } B ^ { 1 } ( X _ { s } ) p _ { W ^ { * 1 } , W } ( b , a ; t - s ) d b d a \right] d s } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { t } { \mathbb E } _ { \mathbb { P } } \left[ \int _ { { \mathbb R } ^ { d + 1 } } { \partial _ { k } } F \left( \operatorname* { m a x } \left( M _ { s } , X _ { s } ^ { 1 } + b \right) , X _ { s } + a \right) B ^ { k } ( X _ { s } ) p _ { W ^ { * 1 } , W } ( b , a ; t - s ) d b d a \right] d s . } \end{array}
D ^ { \prime \prime } ( 0 ) = \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \Big ( A _ { \lambda } ( x ; 0 ) \eta _ { \lambda } ^ { - } ( x ; 0 ) \Big ) \wedge \tilde { \mathcal { Y } } ^ { + } ( x ; 0 ) d x + \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \Big ( A _ { \lambda } ( x ; 0 ) \eta ^ { - } ( x ; 0 ) \Big ) \wedge \tilde { \mathcal { Y } } _ { \lambda } ^ { + } ( x ; 0 ) d x ,
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { x _ { i } } G _ { k , l } ^ { 1 } ( \boldsymbol { x } ) } & { = \frac { - 1 } { \partial 8 \pi } \frac { x _ { i } } { | \boldsymbol { x } | ^ { 3 } } \delta _ { k , l } , } \\ { \frac { \partial } { x _ { i } } G _ { k , l } ^ { 2 } ( \boldsymbol { x } ) } & { = \frac { 1 } { \partial 8 \pi } \frac { \delta _ { k , i } x _ { l } + x _ { k } \delta _ { i , l } } { | \boldsymbol { x } | ^ { 3 } } - \frac { 3 } { 8 \pi } \frac { x _ { k } x _ { l } x _ { i } } { | \boldsymbol { x } | ^ { 5 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { L } & { = } & { m v ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \mathbf p ^ { \prime } \cdot \mathbf E + \frac { 1 } { 2 } \mathbf m ^ { \prime } \cdot \mathbf B } \\ & { = } & { m v ^ { 2 } \! + \! \frac { 1 } { 2 } \left( \mathbf p \! + \! \frac { 1 } { c ^ { 2 } } \mathbf v \! \times \! \mathbf m \right) \! \cdot \mathbf E \! } \\ & { + } & { \! \frac { 1 } { 2 } \left( \mathbf m \! - \! \mathbf v \! \times \! \mathbf p \right) \! \cdot \mathbf B , } \end{array}
\boldsymbol { \mathsf { W } } ^ { ( i ) } = \left[ \begin{array} { l l } { \boldsymbol { \mathsf { W } } _ { F , x } ^ { ( i ) } } & { \boldsymbol { \mathsf { W } } _ { F , y } ^ { ( i ) } } \\ { \boldsymbol { \mathsf { W } } _ { G , x } ^ { ( i ) } } & { \boldsymbol { \mathsf { W } } _ { G , y } ^ { ( i ) } } \end{array} \right] \approx \left[ \begin{array} { l l } { \frac { \delta F ( \boldsymbol { x } ^ { ( i ) } , \boldsymbol { y } ^ { ( i ) } ) } { \delta \boldsymbol { x } ^ { ( i ) } } } & { \frac { \delta F ( \boldsymbol { x } ^ { ( i ) } , \boldsymbol { y } ^ { ( i ) } ) } { \delta \boldsymbol { y } ^ { ( i ) } } } \\ { \frac { \delta G ( \boldsymbol { x } ^ { ( i ) } , \boldsymbol { y } ^ { ( i ) } ) } { \delta \boldsymbol { x } ^ { ( i ) } } } & { \frac { \delta G ( \boldsymbol { x } ^ { ( i ) } , \boldsymbol { y } ^ { ( i ) } ) } { \delta \boldsymbol { y } ^ { ( i ) } } } \end{array} \right]
\frac { 1 } { \overline { { \tau } } _ { 0 } } = \overline { { \Gamma } } _ { 0 } = \frac { 1 } { 6 4 \pi m _ { \pi ^ { + } } ^ { 2 } } \big ( \mathcal { R } e \mathcal { M } _ { 0 0 , + - } ^ { s t r . + q \gamma } \big ) ^ { 2 } | \psi _ { + - } ( 0 ) | ^ { 2 } \sqrt { \frac { 2 \Delta m _ { \pi } } { m _ { \pi ^ { + } } } ( 1 - \frac { \Delta m _ { \pi } } { 2 m _ { \pi ^ { + } } } ) } ,
\varepsilon _ { i j } = \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } \sum _ { \ell = 1 } ^ { 3 } \left( S _ { i j k \ell } + \sum _ { p = 1 } ^ { n } \phi ^ { ( p ) } \Delta H _ { i j k \ell } ^ { ( p ) } \right) \sigma _ { k \ell } = \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } \sum _ { \ell = 1 } ^ { 3 } \left( S _ { i j k \ell } + \sum _ { p = 1 } ^ { n } \Delta _ { i j k \ell } ^ { ( p ) } \right) \sigma _ { k \ell } \, ,
0 \to L ^ { 2 } \; \; { \xrightarrow { \operatorname { g r a d } } } \; \; \mathbb { H } _ { 3 } \; \; { \xrightarrow { \operatorname { c u r l } } } \; \; \operatorname { i m } ( \operatorname { c u r l } ) \to 0 .
H _ { i } ( \widehat { \mathbf { u } } _ { i } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \widehat { \mathbf { u } } _ { i } , \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \, \mathrm { i f } \ \eta _ { i } \leq \eta _ { c } , } \\ { \widehat { \mathbf { u } } _ { i } \exp \left[ - \kappa \left( \frac { \eta _ { i } - \eta _ { c } } { \eta _ { m } - \eta _ { c } } \right) ^ { s } \right] , \quad \quad \mathrm { e l s e } , } \end{array} \right.
\frac { 1 } { l _ { + } - i \epsilon } \delta ( q _ { + } + l _ { + } ) \to \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { 1 } { l _ { + } - i \epsilon } + \frac { 1 } { q _ { + } - i \epsilon } \right) \delta ( q _ { + } + l _ { + } ) = i \pi \delta ( l _ { + } ) \delta ( q _ { + } ) \; .
\hat { g } ^ { A B } = \left( \begin{array} { c c } { { g ^ { \mu \nu } } } & { { - A ^ { \mu b } } } \\ { { - A ^ { \nu a } } } & { { h ^ { a b } + A ^ { \rho a } { A _ { \rho } } ^ { b } } } \end{array} \right)
{ \bf \Pi } _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { \pm } \cdot \mathbf { n } _ { 1 } > 0 , \quad { \bf \Pi } _ { i , j + \frac { 1 } { 2 } } ^ { \pm } \cdot \mathbf { n } _ { 1 } > 0 \quad \forall i , j ,
\varphi _ { n l } ( \vec { v } ) = N _ { n l } \; ( v / v _ { m _ { A } } ) ^ { l } \; L _ { n } ^ { l + 1 / 2 } ( v ^ { 2 } / v _ { m _ { A } } ^ { 2 } ) \; P _ { l } ( \vec { e } _ { k } \cdot \vec { e } _ { v } ) ,
\mathcal { A } _ { \mathrm { s t a b } , N } ( \boldsymbol { u } , \boldsymbol { U } ; \, \boldsymbol { u } , \boldsymbol { V } ) = { \mathcal { R } } _ { \mathrm { s t a b } , N } ( \boldsymbol { u } _ { 0 } , \boldsymbol { U } ; \, \boldsymbol { V } ) \quad \mathrm { ~ \forall ~ \boldsymbol { V } ~ \in ~ \boldsymbol { \mathcal { Z } } _ h ^ \tau ~ . }
{ \dot { \bf X } } = \sum _ { r = 1 } ^ { m } \frac { \partial { \bf X } } { \partial q _ { r } } { \dot { q } } _ { r } + \sum _ { \nu = 1 } ^ { k } \frac { \partial { \bf X } } { \partial q _ { m + \nu } } \alpha _ { \nu } + \frac { \partial { \bf X } } { \partial t } = { \dot { \bf X } } ( q _ { 1 } , \dots , q _ { n } , { \dot { q } } _ { 1 } , \dots , { \dot { q } } _ { m } , t )
\begin{array} { r l } { M _ { a b \to c d } } & { = \lambda ^ { 2 \rho - 1 } \Bigl ( - i \sum _ { i \in s } \frac { C _ { a b \bar { i } } ^ { ( 3 ) } C _ { i \bar { c } \bar { d } } ^ { ( 3 ) } } { s - m _ { i } ^ { 2 } } - i \sum _ { j \in t } \frac { C _ { a \bar { c } \bar { j } } ^ { ( 3 ) } C _ { j b \bar { d } } ^ { ( 3 ) } } { t - m _ { j } ^ { 2 } } - i \sum _ { k \in u } \frac { C _ { a \bar { d } \bar { k } } ^ { ( 3 ) } C _ { k b \bar { c } } ^ { ( 3 ) } } { u - m _ { k } ^ { 2 } } - i C _ { a b \bar { c } \bar { d } } ^ { ( 4 ) } \Bigl ) } \\ & { = \lambda ^ { 2 \rho - 1 } M _ { a b \to c d } ^ { ( 0 ) } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A ^ { ( t ) } } & { = \frac { 1 } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \gamma _ { n k } ^ { ( t ) } k } \\ { B ^ { ( t ) } } & { = \frac { 1 } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \gamma _ { n k } ^ { ( t ) } k ^ { 2 } } \\ { C ^ { ( t ) } } & { = \frac { 1 } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } x _ { n } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \gamma _ { n k } ^ { ( t ) } k . } \end{array}
i n ) d o e s n o t e v e n f o r m t h e b l a c k p a t t e r n s , s u f f i c i e n t l y . R e g a r d i n g \gamma , o n t h e o t h e r h a n d , w h e n \gamma i s r e l a t i v e l y s m a l l e r t h e n t h e p a t t e r n f o r m a t i o n d o e s n o t e v e n o c c u r , a n d w h e n \gamma i s r e l a t i v e l y l a r g e r t h e n t h e p a t t e r n i s n o t c o m p l e t e l y d i s p e r s e d a t a c e r t a i n t e v e n t h o u g h t h e p a t t e r n w i l l b e d i s p e r s e d a t a s u f f i c i e n t l y l a r g e t ( f o r i n s t a n c e , i n F i g .
A _ { 2 } = \frac { s } { 8 m _ { Z } ^ { 2 } } | b | ^ { 2 } - \frac { s m _ { P } ^ { 2 } } { 2 } | \sum _ { j } \frac { h _ { j } h _ { j Z } } { ( s - m _ { j } ^ { 2 } ) + i \Gamma _ { j } m _ { j } } | ^ { 2 } + 2 h _ { P } ^ { 2 } ( a _ { L } a _ { R } - ( a _ { L } ^ { 2 } + a _ { R } ^ { 2 } ) ) ,
\begin{array} { r l } { ( 1 - \rho ) ^ { 2 } - ( q - p ) ^ { 2 } ( \rho + \alpha ) ^ { 2 } } & { - 2 p \rho ( 1 + \alpha ) ( q - p ) ( \rho + \alpha ) } \\ { \ge } & { ( 1 - \rho ) ^ { 2 } - ( q - p ) ^ { 2 } ( \rho + 1 - 2 \rho ) ^ { 2 } - 2 p \rho ( 1 + 1 - 2 \rho ) ( q - p ) ( \rho + 1 - 2 \rho ) } \\ { = } & { ( 1 - \rho ) ^ { 2 } - ( q - p ) ^ { 2 } ( 1 - \rho ) ^ { 2 } - 2 p \rho ( 2 - 2 \rho ) ( q - p ) ( 1 - \rho ) } \\ { = } & { ( 1 - \rho ) ^ { 2 } ( 1 - ( q - p ) ^ { 2 } - ( q - p ) 4 p \rho ) } \\ { = } & { ( 1 - \rho ) ^ { 2 } 4 p ( q - \rho ( q - p ) ) > 4 p ( 1 - \rho ) ^ { 2 } ( q - \rho ) > 0 \, . } \end{array}
Z ^ { W } = \int { \cal D } \gamma _ { + + } \, { \cal D } c \, { \cal D } b ^ { -- } ~ \mathrm { e x p } \left[ i \Gamma ^ { W } ( \gamma ) + i \int \! d ^ { 2 } \xi ~ b ^ { -- } \hat { \nabla } _ { - } ( g _ { - \alpha } \epsilon ^ { \alpha \beta } \partial _ { \beta } c ) \right] ~ .
D = \operatorname * { d e t } \left( P \left[ E _ { a b } + E _ { a i } ( X ^ { i j } - \delta ^ { i j } ) E _ { j b } \right] \right) \operatorname * { d e t } ( Q _ { m } ^ { i } ) \operatorname * { d e t } ( E ^ { m j } ) \ ,
\mathrm { K l e i n \: b o t t l e } : t = \frac { 1 } { 4 \ell } , ~ ~ \mathrm { C y l i n d e r } : t = \frac { 1 } { 2 \ell } , ~ ~ \mathrm { M \ddot { o } b i u s } : t = \frac { 1 } { 8 \ell } .
\begin{array} { r l } { Z _ { N } \left( q \right) } & { = Z _ { \infty } \left( q \right) \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { m } } { \left( m ! \right) ^ { 2 } } [ 1 ] \Bigg \{ \prod _ { i = 1 } ^ { m } \left( \frac { u _ { i } } { v _ { i } } \right) ^ { N + 1 } \cdot \left[ \operatorname* { d e t } \left( \frac { 1 } { 1 - u _ { i } / v _ { j } } \right) _ { i , j = 1 , \dots , m } \right] ^ { 2 } \cdot } \\ & { \cdot \prod _ { i , j = 1 } ^ { m } \prod _ { l = 1 } ^ { \infty } \exp \left[ \hat { a } _ { l } \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { k } q ^ { l k } \left( u _ { i } ^ { k } - v _ { i } ^ { k } \right) \left( v _ { j } ^ { - k } - u _ { j } ^ { - k } \right) \right] \Bigg \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { \mathrm { e f f } } } & { { } = - \frac { 1 } { 2 } \hat { V } ^ { - } \left[ \hat { H } _ { \mathrm { n h } } ^ { - 1 } + \left( \hat { H } _ { \mathrm { n h } } ^ { - 1 } \right) ^ { \dagger } \right] \hat { V } ^ { + } } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l r } { { 4 } } & { u _ { k } = \frac { n _ { k } } 2 + \nu _ { k } , \qquad } & & { z _ { m } = \frac { n _ { m } } 2 + x _ { m } , \qquad } & & { w _ { m } = \frac { \ell _ { m } } 2 + y _ { m } , } & \\ & { \bar { u } _ { k } = - \frac { n _ { k } } 2 + \nu _ { k } , \qquad } & & { \bar { z } _ { m } = - \frac { n _ { m } } 2 + x _ { m } , \qquad } & & { \bar { w } _ { m } = - \frac { \ell _ { m } } 2 + y _ { m } . } & \end{array}
{ \mathcal { L } } \left( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } , \lambda _ { 1 } , \ldots , \lambda _ { M } \right) = f \left( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } \right) - \sum _ { k = 1 } ^ { M } { \lambda _ { k } g _ { k } \left( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } \right) }
\begin{array} { r l } { \alpha _ { S } = } & { { } \frac { 1 } { 3 } \int \mathrm { d } ^ { 3 } k \int _ { - \infty } ^ { \tau } \mathrm { d } \tau _ { 1 } \left[ G _ { u u } \left( k , \mathbf { X } ; \tau , \tau _ { 1 } , T \right) H _ { b b } \left( k , \mathbf { X } ; \tau , \tau _ { 1 } , T \right) \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { 1 } } & { { } \equiv \frac { \partial \operatorname* { d e t } ( M ( t , { \mathbf { u } } ) ) } { \partial t } \Big \vert _ { t _ { b } , { \mathbf { u } } _ { b } } = 3 t _ { b } ^ { 2 } + 2 a _ { 2 } ( { \mathbf { u } } _ { b } ) t _ { b } + a _ { 1 } ( { \mathbf { u } } _ { b } ) \, , } \\ { D _ { 2 } } & { { } \equiv \frac { \partial ^ { 2 } \operatorname* { d e t } ( M ( t , { \mathbf { u } } ) ) } { \partial t ^ { 2 } } \Big \vert _ { t _ { b } , { \mathbf { u } } _ { b } } = 3 t _ { b } + a _ { 2 } ( { \mathbf { u } } _ { b } ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { | \overline { { A } } _ { i } ^ { t } - \underbar { A } _ { i } ^ { t } | \leq \left\{ \begin{array} { l l } { 2 N \sqrt { \frac { ( T - t ) } { { \xi } } } \operatorname { s t d } ( X _ { i } ^ { \tau } ) } & { \mathrm { ~ i f ~ } B ^ { t } \leq \sum _ { i = 1 } ^ { N } \underbar { Y } _ { i } ^ { t } , } \\ { 2 N \sqrt { \frac { ( T - t ) } { { \xi } } } \operatorname { s t d } ( X _ { i } ^ { \tau } ) } & { \mathrm { ~ i f ~ } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \underbar { Y } _ { i } ^ { t } \leq B ^ { t } \leq \sum _ { i = 1 } ^ { N } \overline { { Y } } _ { i } ^ { t } , } \\ { 4 \sqrt { \frac { ( T - t ) } { { \xi } } } \operatorname { s t d } ( X _ { i } ^ { \tau } ) } & { \mathrm { ~ i f ~ } B ^ { t } \geq \sum _ { i = 1 } ^ { N } \overline { { Y } } _ { i } ^ { t } } \end{array} \right. } \end{array}
\Psi ^ { ( n ) } ( \alpha ) = \sum _ { \ell > n } \frac { \mathrm { S F } _ { ( n \to \ell ) } } { 2 \pi \mathrm { i } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d y \frac { e ^ { - ( \ell - n ) \frac { A } { y } } } { y - \alpha } \Psi ^ { ( \ell ) } ( y ) + \sum _ { \ell < n } \frac { \mathrm { S F } _ { ( n \to \ell ) } } { 2 \pi \mathrm { i } } \int _ { 0 } ^ { - \infty } d y \frac { e ^ { - ( \ell - n ) \frac { A } { y } } } { y - \alpha } \Psi ^ { ( \ell ) } ( y ) .