harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\sum _ { \gamma } a _ { \gamma } \{ \nabla _ { \perp } ^ { 2 } \hat { e } _ { \gamma } ( \rho , z ) + [ \epsilon _ { r } ( \rho , z ) k _ { \gamma } ^ { 2 } - \frac { m _ { \gamma } ^ { 2 } } { \rho ^ { 2 } } ] \hat { e } _ { \gamma } ( \rho , z ) + [ 2 \epsilon _ { r } ( \rho , z ) k _ { \gamma } \Delta k _ { \gamma } + k _ { \gamma } ^ { 2 } \Delta \epsilon _ { r } ( \rho , z , \phi ) - \frac { 2 m _ { \gamma } \Delta m _ { \gamma } } { \rho ^ { 2 } } ] \hat { e } _ { \gamma } ( \rho , z ) \} e ^ { - j m _ { \gamma } ^ { \prime } \phi } = { \vec { 0 } }
S _ { v } p = { \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { { \frac { 1 } { s } } } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { p _ { x } } \\ { p _ { y } } \\ { p _ { z } } \\ { 1 } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l } { p _ { x } } \\ { p _ { y } } \\ { p _ { z } } \\ { { \frac { 1 } { s } } } \end{array} \right] }
\begin{array} { r l r } & { } & { \operatorname* { m a x } _ { 0 \leq t \leq T } \left( \| u - \hat { u } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { R } ^ { + } ) } + \| p - \hat { p } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { R } ^ { + } ) } \right) } \\ { \leq } & { } & { C \, ( 1 + \sigma T ) ^ { 2 } \rho T ^ { 3 / 2 } e ^ { - \rho \hat { \sigma } ( \rho ) \left( 1 - \frac { R ^ { 2 } } { \rho ^ { 2 } } \right) } \| \partial _ { t } ^ { 2 } \hat { u } \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ; H ^ { - 1 / 2 } ( \Gamma _ { R } ^ { + } ) ) } } \\ & { } & { + C \, ( 1 + \sigma T ) ^ { 2 } \rho ^ { - 1 } T ^ { 3 / 2 } e ^ { - \rho \hat { \sigma } ( \rho ) \left( 1 - \frac { R ^ { 2 } } { \rho ^ { 2 } } \right) } \| \partial _ { t } \hat { u } \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ; H _ { 0 } ^ { 1 / 2 } ( \Gamma _ { R } ^ { + } ) ) } , } \end{array}
\dot { x } _ { p } = \Phi _ { x } ^ { \mathrm { ~ p ~ h ~ y ~ s ~ } } ( x _ { p } ( t ) , y _ { p } ( t ) , t ) , \qquad \qquad \dot { y } _ { p } = \Phi _ { y } ^ { \mathrm { ~ p ~ h ~ y ~ s ~ } } ( x _ { p } ( t ) , y _ { p } ( t ) , t ) ,
\begin{array} { r l } { \mathbf { u } ( x , y , z , t ) } & { { } = \mathbf { U } ( y ) + \mathbf { u ^ { \prime } } ( x , y , z , t ) , } \\ { \mathbf { u ^ { \prime } } ( x , y , z , t ) } & { { } = \tilde { \mathbf { u } } ( x , y , z ) + \mathbf { u ^ { \prime \prime } } ( x , y , z , t ) , } \end{array}
\overline { { { g } } } _ { \mu \nu } = \left[ \begin{array} { c c } { { 1 + l ( x ^ { 0 } ) ^ { 2 } \overline { { { \lambda } } } ( x ^ { 0 } , x ^ { 1 } ) ^ { 2 } } } & { { l ( x ^ { 0 } ) ^ { 2 } } } \\ { { l ( x ^ { 0 } ) ^ { 2 } \overline { { { \lambda } } } ( x ^ { 0 } , x ^ { 1 } ) ^ { 2 } } } & { { l ( x ^ { 0 } ) ^ { 2 } } } \end{array} \right] .
\hat { \boldsymbol { E } } ^ { \prime ( \alpha ) } ( \boldsymbol { r } , \omega ) \! \equiv \mathcal { F } \big [ \boldsymbol { E } ^ { \prime ( \alpha ) } ( \boldsymbol { r } , t ) \big ] ( \omega ) \! = \! \int _ { \infty } ^ { \infty } e ^ { + i \omega t } \boldsymbol { E } ^ { \prime ( \alpha ) } ( \boldsymbol { r } , t ) \, d t
\exp ( i \vec { \tau } \vec { r } ) = 4 \pi \sum _ { l = 0 } ^ { \infty } \sum _ { m = - l } ^ { l } i ^ { l } Y _ { l m } \left( \frac { \vec { \tau } } { \tau } \right) Y _ { l m } ^ { \ast } \left( \frac { \vec { r } } { r } \right) j _ { l } ( \tau r ) \, ,
\mathbf { O A } = { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right) } , \quad \mathbf { O B } = { \left( \begin{array} { l } { \sin c } \\ { 0 } \\ { \cos c } \end{array} \right) } , \quad \mathbf { O C } = { \left( \begin{array} { l } { \sin b \cos A } \\ { \sin b \sin A } \\ { \cos b } \end{array} \right) } .
\begin{array} { r l } { S _ { A A } = } & { \frac { 2 } { \pi \omega _ { A } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } \omega A _ { A } ( \omega ) A _ { A } ^ { * } ( \omega ) } \\ & { \times \left[ \operatorname* { l i m } _ { \lambda \to \infty } \int _ { L / 2 } ^ { \lambda } \mathrm { d } x \epsilon _ { I } ^ { \alpha } ( x , \omega ) \tilde { F } _ { A } ^ { \alpha } ( x , \omega ) \tilde { F } _ { A } ^ { * , \alpha } ( x , \omega ) \right. } \\ & { \quad + \left. \operatorname* { l i m } _ { \lambda \to \infty } \int _ { - \lambda } ^ { - L / 2 } \mathrm { d } x \epsilon _ { I } ^ { \alpha } ( x , \omega ) \tilde { F } _ { A } ^ { \alpha } ( x , \omega ) \tilde { F } _ { A } ^ { * , \alpha } ( x , \omega ) \right] . } \end{array}
A ( r _ { 0 } ) = { \frac { e ^ { i k r _ { 0 } } } { r _ { 0 } } } f \left( { \frac { \mathbf { r } _ { 0 } } { r _ { 0 } } } , k , u _ { 0 } \right) + o \left( { \frac { 1 } { r _ { 0 } } } \right) { \mathrm { ~ a s ~ } } r _ { 0 } \to \infty
\boldsymbol { \mathbf { H } } ( \boldsymbol { \mathbf { r } } , t ) = 1 / \mu _ { 0 } \boldsymbol { \mathbf { B } } ( \boldsymbol { \mathbf { r } } , t ) + \boldsymbol { \mathbf { M } } ( \boldsymbol { \mathbf { r } } , t )
\begin{array} { r l } { \mathcal { W } _ { 2 } ^ { 2 } ( \eta ^ { k } , \eta ) = \mathcal { W } _ { 2 } ^ { 2 } ( S _ { \sharp } \pi ^ { k } , S _ { \sharp } \pi ) } & { = \operatorname* { i n f } _ { W } \int \| x - W ( x ) \| ^ { 2 } \mathrm { d } S _ { \sharp } \pi ^ { k } ( x ) } \\ & { = \operatorname* { i n f } _ { W } \int \| S ( x ) - W \circ S ( x ) \| ^ { 2 } \mathrm { d } \pi ^ { k } ( x ) } \\ & { \ge \rho ^ { 2 } \operatorname* { i n f } _ { W } \int \| x - S ^ { - 1 } \circ W \circ S ( x ) \| ^ { 2 } \mathrm { d } \pi ^ { k } ( x ) . } \end{array}
| N , J , J _ { n } = + 1 / 2 \rangle = \psi _ { 0 , 0 } ( \xi ) \, { \cal Y } \, _ { [ 0 , 0 , 0 ] } ^ { ( 0 , 0 ) } ( \Omega ) \, \, { \frac { \chi _ { M S } \phi _ { M S } + \chi _ { M A } \phi _ { M A } } { \sqrt { 2 } } } \, \, ,
\begin{array} { r } { { S _ { \alpha \beta } ^ { \sigma \sigma ^ { \prime } , s h } } = - 2 \frac { e ^ { 2 } } { h } \int d E \sum _ { \gamma , \delta } f _ { \gamma } f _ { \delta } T r ( s _ { \alpha \gamma } ^ { \sigma \rho \dagger } s _ { \alpha \delta } ^ { \sigma \rho ^ { \prime } } s _ { \beta \delta } ^ { \sigma ^ { \prime } \rho \dagger } s _ { \beta \gamma } ^ { \sigma ^ { \prime } \rho ^ { \prime } } ) . } \end{array}
\int _ { x = b ( \delta _ { 1 } + 1 ) } ^ { + \infty } x ^ { 1 0 } e ^ { - \frac { 2 } { 7 } \frac { x } { \log ^ { 2 } ( x ) } } \, d x \leq \frac { 7 } { 2 } \frac { 1 } { 1 - \frac { 7 ( 2 2 ) \log ^ { 2 } ( b ( \delta _ { 1 } + 1 ) ) } { 2 b ( \delta _ { 1 } + 1 ) } } ( b ( \delta _ { 1 } + 1 ) ) ^ { 2 2 } \exp \left( - \frac { 2 } { 7 } \frac { b ( \delta _ { 1 } + 1 ) } { \log ^ { 2 } ( b ( \delta _ { 1 } + 1 ) ) } \right) .
{ \frac { 1 } { 2 } } \log \left( 1 + { \frac { 1 } { n } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } { \frac { P _ { i } } { N } } \right) \leq { \frac { 1 } { 2 } } \log \left( 1 + { \frac { P } { N } } \right) \,
d s ^ { 2 } = - f ( r , \theta ) d t ^ { 2 } + \frac { m ( r , \theta ) } { f ( r , \theta ) } ( d r ^ { 2 } + r ^ { 2 } d \theta ^ { 2 } ) + \frac { l ( r , \theta ) } { f ( r , \theta ) } r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta d \varphi ^ { 2 }
h ( T _ { i } , k _ { i } ) \sim e ^ { - \frac { 2 } { 3 } \pi k _ { i } ^ { 2 } T _ { i } } \Bigl [ \Theta _ { 3 } ( i k _ { i } T _ { i } , 2 i T _ { i } ) \Theta _ { 3 } ( i k _ { i } T _ { i } , 6 i T _ { i } ) + \Theta _ { 2 } ( i k _ { i } T _ { i } , 2 i T _ { i } ) \Theta _ { 2 } ( i k _ { i } T _ { i } , 6 i T _ { i } ) \Bigr ]
M = \left( \begin{array} { c c } { \mathcal { T } _ { m } } & { - \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \delta _ { m } } \mathcal { R } _ { m } ^ { * } } \\ { \mathcal { R } _ { m } } & { \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \delta _ { m } } \mathcal { T } _ { m } ^ { * } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r } { \hat { \Pi } _ { \partial } \! \equiv \! \frac { 2 \textit { R e } \left[ \Psi ( { \Psi } _ { \partial } ) ^ { * } \right] } { \gamma \Lambda _ { \alpha } } \hat { G } + \frac { 2 \textit { R e } \left[ \Psi ( \Psi _ { \partial } ^ { z } ) ^ { * } \! + \! \Psi _ { \partial } ( \Psi ^ { z } ) ^ { * } \right] } { \gamma \Lambda _ { \alpha } } \! \left( \hat { H } - \hat { G } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { I _ { F } ( \rho , \phi ) } & { { } = } & { \left[ \frac { e ^ { j \frac { k } { 2 f } \rho ^ { 2 } } } { j \lambda f } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } U _ { L } ( r , \theta ) e ^ { - j 2 \pi \rho r c o s ( \phi - \theta ) } r d r d \theta \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { 1 } - K ^ { \mathsf { T } } M _ { 2 } ^ { - 1 } K \succ 0 } & { \iff I _ { n } - M _ { 1 } ^ { - \frac 1 2 } K ^ { \mathsf { T } } M _ { 2 } ^ { - \frac 1 2 } M _ { 2 } ^ { - \frac 1 2 } K M _ { 1 } ^ { - \frac 1 2 } \succ 0 } \\ { } & { \iff \| M _ { 2 } ^ { - \frac 1 2 } K M _ { 1 } ^ { - \frac 1 2 } \| < 1 . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { ( f \circ g \circ h ) ^ { \prime } ( a ) } & { = f ^ { \prime } ( ( g \circ h ) ( a ) ) \cdot ( g \circ h ) ^ { \prime } ( a ) } \\ & { = f ^ { \prime } ( ( g \circ h ) ( a ) ) \cdot g ^ { \prime } ( h ( a ) ) \cdot h ^ { \prime } ( a ) = ( f ^ { \prime } \circ g \circ h ) ( a ) \cdot ( g ^ { \prime } \circ h ) ( a ) \cdot h ^ { \prime } ( a ) . } \end{array} }
\delta t \mathcal { D } _ { t } f _ { i } + \frac { { \delta t } ^ { 2 } } { 2 } { \mathcal { D } _ { t } } ^ { 2 } f _ { i } + { O } ( { \delta t } ^ { 3 } ) = 2 \beta \left( f _ { i } ^ { \mathrm { e q } } - f _ { i } \right) ,
\Gamma ( Z \to \chi \overline { { { \chi } } } ) = \frac { G _ { F } m _ { Z } } { 6 \sqrt { 2 } \pi } \left[ a _ { \chi } ^ { 2 } m _ { Z } ^ { 2 } \beta _ { \chi } ^ { 3 } + \beta _ { \chi } v _ { \chi } ^ { 2 } \left( m _ { Z } ^ { 2 } + 2 m _ { \chi } ^ { 2 } \right) \right] ,
\begin{array} { r l } { 0 } & { = [ e ^ { 2 i \omega B } \tilde { U } ( \omega ) \varrho ( \omega ) ] _ { - } + \tilde { U } ( - \omega ) + \frac { i h G _ { - } ( 0 ) } { \omega + i \delta } } \\ { ( 1 - i \omega ) \frac { \epsilon _ { + } ( \omega ) } { G _ { + } ( \omega ) } } & { = [ e ^ { 2 i \omega B } \tilde { U } ( \omega ) \varrho ( \omega ) ] _ { + } - \frac { i h G _ { - } ( 0 ) } { \omega + i \delta } \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { l _ { a b } ^ { i j } ( \kappa ) = \frac { 1 + P _ { b j } ^ { a i } } { \epsilon _ { i } + \epsilon _ { j } - \epsilon _ { a } - \epsilon _ { b } + \omega _ { \kappa } } \left( \sum _ { e } l _ { e } ^ { i } ( \kappa ) \langle a b | | e j \rangle - \sum _ { m } l _ { a } ^ { m } ( \kappa ) \langle i j | | m b \rangle \right) } \end{array}
\mathrm { s _ { A } ^ { 2 } \mathrm { s _ { B } ^ { 2 } \mathrm { z _ { A } \mathrm { \overline { { z } } _ { B } ( \mathrm { x _ { A } \mathrm { \overline { { x } } _ { B } - \mathrm { y _ { A } \mathrm { \overline { { y } } _ { B } ) } } } } } } } }
\begin{array} { r l } & { \frac { { \mathbf H } ^ { n + 1 } - { \mathbf H } ^ { n } } { \Delta t } = { \mathbb { W } } ^ { - 1 } \bar { D F } ^ { - 1 } ( { \mathbf H } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } ) \bar { \nabla } _ { \mathbf { V } } H , } \\ & { \frac { { \mathbf V } ^ { n + 1 } - { \mathbf V } ^ { n } } { \Delta t } = - { \mathbb { W } } ^ { - 1 } \bar { D F } ^ { - \top } ( { \mathbf H } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } ) \bar { \nabla } _ { \mathbf { H } } H , } \end{array}
\begin{array} { r } { A _ { n } ( k ) = - \frac { i R ^ { 2 } e ^ { - i \left( n \theta _ { 0 } + k \frac { z _ { 0 } } { R } \right) } } { 4 \pi ^ { 2 } \eta _ { 2 d } ~ c _ { n } ( k ) } \left[ k \left( \vec { F } _ { 0 } \cdot \hat { \theta } _ { 0 } \right) - n \left( \vec { F } _ { 0 } \cdot \hat { z } \right) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { q _ { 1 } } & { { } = \alpha = - a b - 1 - b a b - b + a b ^ { 2 } + 1 + a b + b = a b ^ { 2 } - b a b - a b + b a , } \\ { q _ { 1 ^ { ' } } } & { { } = \beta = - a b a - a - b a - 1 + a b + a + b a ^ { 2 } + 1 = - a b a + b a ^ { 2 } + a b - b a . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| k _ { \pm \rho } \frac { \partial \langle n _ { X } \rangle } { \partial k _ { \pm \rho } } \right| } & { { } \leq | \mathrm { C o v } \{ n _ { X } , n _ { S } \} | + | \mathrm { C o v } \{ n _ { X } , n _ { E S _ { 2 } } \} | } \end{array}
\begin{array} { r } { ( \mathrm { B } ) \lesssim \underset { t \in ( 0 , T ) } { \operatorname* { s u p } } \left( \sum _ { k \in \mathbb Z ^ { d } } \underset { s , \xi } { \operatorname* { s u p } } \big \lbrace ( 1 + \vert k \vert ) ^ { \beta _ { 2 } } ( 1 + \vert \xi \vert ) ^ { \beta _ { 1 } } \vert \nabla _ { \xi } \mathcal { G } _ { k } ^ { t , s } ( \xi ) \vert \big \rbrace ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } . } \end{array}
u = \frac { x _ { 1 2 } ^ { 2 } x _ { 3 4 } ^ { 2 } } { x _ { 1 3 } ^ { 2 } x _ { 2 4 } ^ { 2 } } \, , \, \, \, \, v = \frac { x _ { 1 2 } ^ { 2 } x _ { 3 4 } ^ { 2 } } { x _ { 1 4 } ^ { 2 } x _ { 2 3 } ^ { 2 } } \, .
{ \frac { d W [ \bar { \phi } ( \beta ) ] } { d \beta } } = { \frac { \partial W [ \bar { \phi } , \beta ] } { \partial \beta } } + \left. \int _ { M ^ { 2 } } { \frac { \delta W [ \phi , \beta ] } { \delta \phi } } \right| _ { \phi = \bar { \phi } ( \beta ) } { \frac { \partial \bar { \phi } ( \beta ) } { \partial \beta } } ~ ~ ~ .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \big [ \langle M ( u ) , N ( u ) \rangle _ { n } \big ] } & { \sim \frac { \beta } { \beta - a ( \beta + 1 ) } \cdot \frac { \Gamma ( \beta + 1 ) \Gamma ( a ( \beta + 1 ) + 1 ) } { ( 1 - a ) ( \beta + 1 ) } n ^ { ( 1 - a ) ( \beta + 1 ) } u ^ { T } u } \\ & { \quad \quad \quad - ( C _ { 1 } n ^ { - ( 1 - a ) ( \beta + 1 ) } + C _ { 2 } n ^ { ( 1 - a ) ( \beta + 1 ) - 1 } ) u ^ { T } u . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { A } _ { \bf e } ^ { ( l ) } = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } e ^ { i [ A _ { 0 } \sin ( \tau ) + A _ { 1 } \sin ( n _ { 1 } \tau + \phi _ { 1 } ) - l \tau ] } d \tau . } \end{array}
\left( \begin{array} { l l } { \boldsymbol { A } ^ { \mathrm { B S E } } } & { \boldsymbol { B } ^ { \mathrm { B S E } } } \\ { - \boldsymbol { B } ^ { \mathrm { B S E } } } & { - \boldsymbol { A } ^ { \mathrm { B S E } } } \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array} { l } { \boldsymbol { X } _ { m } ^ { \mathrm { B S E } } } \\ { \boldsymbol { Y } _ { m } ^ { \mathrm { B S E } } } \end{array} \right) = \Omega _ { m } ^ { \mathrm { B S E } } \left( \begin{array} { l } { \boldsymbol { X } _ { m } ^ { \mathrm { B S E } } } \\ { \boldsymbol { Y } _ { m } ^ { \mathrm { B S E } } } \end{array} \right)
P _ { \mathrm { ~ a ~ c ~ } } = \frac { 1 } { \mathcal { N } } \left( \frac { \tilde { \Lambda } _ { 2 } ^ { 2 } } { 8 \pi \sqrt { \tilde { \lambda } ^ { 2 } - \tilde { E } _ { 2 2 } + \tilde { E } _ { 1 3 } } } \right)
\hat { Z } _ { 8 8 8 } ^ { 1 0 , 1 0 } ( \Omega ) = \frac { ( d e t \ I m \ \Omega ) ^ { 2 } } { 2 ^ { 3 } } \left| \Theta \left[ \begin{array} { l l l } { { 1 / 2 } } & { { 1 / 2 } } & { { 1 / 2 } } \\ { { 1 / 2 } } & { { 0 } } & { { 1 / 2 } } \end{array} \right] ( 0 \vert \Omega ) \right| ^ { 8 }
\begin{array} { r } { \frac { g } { \sqrt { \hbar \Omega } } = \frac { \pi \alpha _ { b } } { 4 \eta \sqrt { P } ( 1 - e ^ { - \alpha _ { b } L / 2 } ) } \approx 2 5 5 \; \mathrm { m m ^ { - 1 } W ^ { - 1 / 2 } } } \end{array}
\frac { \partial \mathcal { S } } { \partial T } = \frac { 2 l \pi ^ { 2 } \Xi ^ { 2 } r _ { + } ^ { 5 } ( \Xi ^ { 2 } + 1 ) ( r _ { + } ^ { 4 } + q ^ { 2 } l ^ { 4 } ) } { 3 [ 4 r _ { + } ^ { 8 } ( \Xi ^ { 2 } - 1 ) + \Xi ^ { 2 } ( q ^ { 2 } l ^ { 4 } - r _ { + } ^ { 4 } ) ^ { 2 } + 4 q ^ { 2 } r _ { + } ^ { 4 } l ^ { 4 } ] } .
\begin{array} { r } { \boldsymbol { \Upsilon } _ { q } = \boldsymbol { \nabla } \varphi ^ { 2 } \approx \frac { A ^ { 2 } } { 2 N } \sum _ { n , m = 1 } ^ { N } \boldsymbol { k } _ { n m } \sin ( \omega _ { n m } t - \boldsymbol { k } _ { n m } \cdot \boldsymbol { r } + \theta _ { n m } ) , } \end{array}
\left. \Delta Y _ { U } \right| _ { \mathrm { u p p e r } \ 2 \times 2 } = \left( \begin{array} { c c } { { \lambda ^ { 8 } } } & { { \lambda ^ { 7 } } } \\ { { \lambda ^ { 8 } } } & { { \lambda ^ { 6 } } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { { \mathbf { W } } ^ { 2 } } & { = { \mathbf { U } } \mathbf { \Sigma } ^ { 2 } { \mathbf { U } } ^ { - 1 } = \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { 1 } \otimes I _ { d } } & { \hat { { \mathbf { U } } } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { I _ { d } } & { 0 } \\ { 0 } & { \mathbf { \Lambda } ^ { 2 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \frac { 1 } { n } \mathbf { 1 } ^ { \textit { \footnotesize \texttt { T } } } \otimes I _ { d } } \\ { \hat { { \mathbf { U } } } ^ { \textit { \footnotesize \texttt { T } } } } \end{array} \right] } \\ { { \mathbf { B } } } & { = { \mathbf { U } } ( { \mathbf { I } } - \mathbf { \Sigma } ) { \mathbf { U } } ^ { - 1 } = \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { 1 } \otimes I _ { d } } & { \hat { { \mathbf { U } } } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { { \mathbf { I } } - \mathbf { \Lambda } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \frac { 1 } { n } \mathbf { 1 } ^ { \textit { \footnotesize \texttt { T } } } \otimes I _ { d } } \\ { \hat { { \mathbf { U } } } ^ { \textit { \footnotesize \texttt { T } } } } \end{array} \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { A _ { \phi } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 \sigma _ { \phi } ^ { 2 } } + \frac { 2 i k s z } { z - s } = \frac { [ \hdots \sigma _ { \phi } ^ { 2 } ] } { 2 ( z - s ) \sigma _ { \phi } ^ { 2 } } , } \\ { B _ { \phi } } & { { } = } & { \frac { 2 i k ( z + s ) x \sigma _ { \phi } ^ { 2 } - p ( z - s ) } { \sigma _ { \phi } ^ { 2 } ( z - s ) } , } \\ { \frac { B _ { \phi } ^ { 2 } } { 4 A _ { \phi } } } & { { } = } & { p ^ { 2 } \, \frac { z - s } { 2 \sigma _ { \phi } ^ { 2 } [ \hdots \sigma _ { \phi } ^ { 2 } ] } - p x \, \frac { 2 i k ( z + s ) } { [ \hdots \sigma _ { \phi } ^ { 2 } ] } } \end{array}
\nabla T = { { \sum _ { i } { \left( { { h _ { i } } - h _ { i } ^ { e q } } \right) } } \mathord { \left/ { \vphantom { { \sum _ { i } { \left( { { h _ { i } } - h _ { i } ^ { e q } } \right) } } { \left( { { \tau _ { h } } c _ { s } ^ { 2 } \Delta t } \right) } } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } { \left( { { \tau _ { h } } c _ { s } ^ { 2 } \Delta t } \right) } }
\kappa ^ { 2 } = \frac { \omega ^ { 2 } + 2 k ^ { 4 } \nu _ { 4 } ^ { 2 } \pm \omega \sqrt { 8 k ^ { 4 } \nu _ { 4 } ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } } } { 2 k ^ { 2 } \nu _ { 4 } ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { \left( \phi _ { * } ( X ( \phi ^ { * } f ) ) \right) ( q ) } & { = X \left( \phi ^ { * } f \right) \left( \phi ^ { - 1 } ( q ) \right) } \\ & { = D \left( \phi ^ { * } f \right) \left( \phi ^ { - 1 } ( q ) \right) \left( X ( \phi ^ { - 1 } ( q ) ) \right) } \\ & { = D ( f \circ \phi ) \left( \phi ^ { - 1 } ( p ) \right) \left( X ( \phi ^ { - 1 } ( q ) ) \right) } \\ & { = D f ( q ) \circ D \varphi \left( \varphi ^ { - 1 } ( q ) \right) \left( X ( \phi ^ { - 1 } ( q ) ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { \Gamma } = 3 \frac { \mathcal { D } _ { 1 } } { \Gamma _ { 1 } ^ { 1 3 } } } & { \left( 1 + 2 / p \right) \bigg [ \Big ( \Gamma _ { 1 } + 6 p ( y _ { 1 } \overline { { y } } _ { 1 } + y _ { 2 } \overline { { y } } _ { 2 } ) - y _ { 1 } \overline { { y } } _ { 1 } \Big ) \, \omega } \\ & { - \Big ( \Gamma _ { 1 } + 6 p ( y _ { 1 } \overline { { y } } _ { 1 } + y _ { 2 } \overline { { y } } _ { 2 } ) \Big ) \, \overline { { n } } _ { 1 } \bigg ] \, \tau } \\ { + 3 \frac { \mathcal { D } _ { 2 } } { \Gamma _ { 2 } ^ { 1 3 } } } & { \bigg [ \Big ( \Gamma _ { 2 } - 6 ( p + 2 ) ( y _ { 1 } \overline { { y } } _ { 1 } + y _ { 2 } \overline { { y } } _ { 2 } ) - y _ { 2 } \overline { { y } } _ { 2 } \Big ) \, \omega } \\ & { - \Big ( \Gamma _ { 2 } - 6 ( p + 2 ) ( y _ { 1 } \overline { { y } } _ { 1 } + y _ { 2 } \overline { { y } } _ { 2 } ) \Big ) \, \overline { { n } } _ { 2 } \bigg ] \, \tau \ , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { { \mathcal { S } } _ { \tau } ^ { x } ( \tau ) = - ( D + \phi _ { \tau } ) \mathcal { S } ^ { y } } \\ & { } & { { \mathcal { S } } _ { \tau } ^ { y } ( \tau ) = ( D + \phi _ { \tau } ) \mathcal { S } ^ { x } - \frac { g } { 2 } f ( \tau ) \mathcal { S } ^ { z } ( \tau ) \; \; } \\ & { } & { { \mathcal { S } } _ { \tau } ^ { z } ( \tau ) = \frac { g } { 2 } f ( \tau ) \mathcal { S } ^ { y } ( \tau ) . } \end{array}
\frac { \textrm { d } \Delta { h } ( \Omega , a ) } { \textrm { d } \Omega ^ { 2 } } \approx \frac { a } { 2 \left( \Gamma \rho { g } \right) ^ { 1 / 2 } } \left[ - \frac { \rho { a } ^ { 2 } } { 2 + \sqrt { B o } } \right] ,
\begin{array} { r l } { W = } & { { } \frac { \pi k ^ { 2 } \omega d ^ { 2 } \left[ \left( \beta ^ { 2 } - \alpha ^ { 2 } \right) \cos ( \psi ) + \alpha ^ { 2 } + \beta ^ { 2 } + 2 \omega ^ { 2 } \right] } { \gamma \left( \alpha ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } \right) \left( \beta ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } \right) } \epsilon ^ { 2 } \left[ 1 + O ( \epsilon ) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \cal J } } & { { } = \sum _ { ( i , j ) \in { \cal D } ^ { \mathrm { ~ d ~ a ~ t ~ a ~ } } } \log \sigma ( \vec { u } _ { i } ^ { \top } \vec { v } _ { j } ) + \sum _ { ( i , j ) \in { \cal D } ^ { \mathrm { ~ r ~ a ~ n ~ d ~ } } } \log \left( 1 - \sigma ( \vec { u } _ { i } ^ { \top } \vec { v } _ { j } ) \right) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \oint _ { \partial \Sigma } } & { \mathbf { B } \cdot \mathrm { d } { \boldsymbol { \ell } } = { \frac { 1 } { c } } \left( 4 \pi \iint _ { \Sigma } \mathbf { J } \cdot \mathrm { d } \mathbf { S } + { \frac { \mathrel { \mathrm { d } } } { \mathrm { d } t } } \iint _ { \Sigma } \mathbf { E } \cdot \mathrm { d } \mathbf { S } \right) } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { \mathbb { P } ( \mathscr { E } _ { l } ^ { c } ) } & { \leq } & { \exp ( - c \theta ^ { 1 \slash 2 } ( K _ { 0 } T ) ^ { - 3 \slash 2 } n ^ { 1 \slash 2 } ) + n \exp ( - e ^ { - 8 \theta } n \slash 6 ) } \\ & { } & { + \exp ( - 8 n ^ { 2 } \beta _ { n } ^ { 2 } ( s _ { 2 } - s _ { 1 } + 1 ) ( y _ { l } ( \Gamma ) - y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) ^ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { U _ { \Lambda } X _ { i } ^ { g _ { 0 1 } } U _ { \Lambda } ^ { \dag } } & { = } & { w ( - N g _ { 1 0 } \vec { x } _ { 2 i - 1 } , g _ { 0 1 } \vec { y } _ { 2 i - 1 } ) } \\ { U _ { \Lambda } Z _ { i } ^ { - N g _ { 1 0 } } U _ { \Lambda } ^ { \dag } } & { = } & { w ( - N g _ { 1 0 } \vec { x } _ { 2 i } , g _ { 0 1 } \vec { y } _ { 2 i } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { Q _ { T } } \lvert \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } ^ { 2 } - \partial _ { x } u ^ { 2 } \rvert ^ { 2 s } } \\ { = } & { 2 ^ { 2 s } \int _ { Q _ { T } } \lvert \tilde { u } _ { n } \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } - u \partial _ { x } u \rvert ^ { 2 s } } \\ { = } & { 2 ^ { 2 s } \int _ { Q _ { T } } \lvert \tilde { u } _ { n } \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } - \tilde { u } _ { n } \partial _ { x } u + \tilde { u } _ { n } \partial _ { x } u - u \partial _ { x } u \rvert ^ { 2 s } } \\ { = } & { 2 ^ { 2 s } \int _ { Q _ { T } } \lvert \left( \tilde { u } _ { n } \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } - \tilde { u } _ { n } \partial _ { x } u \right) + \partial _ { x } u \left( \tilde { u } _ { n } - u \right) \rvert ^ { 2 s } } \\ { \leq } & { C \int _ { Q _ { T } } \left( \lvert \tilde { u } _ { n } \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } - \tilde { u } _ { n } \partial _ { x } u \rvert ^ { 2 s } + \lvert \partial _ { x } u \left( \tilde { u } _ { n } - u \right) \rvert ^ { 2 s } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } = } & { { } \, \eta - 1 - 2 \, \eta \, \arctan ( \delta ) \, i + 2 \, f \, \left( \frac { 1 - i \delta } { 1 + \delta ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } \chi _ { 0 } \, i , } \\ { \mathcal { N } = } & { { } \, 2 \, f \, \frac { 1 - i \delta } { 1 + \delta ^ { 2 } } \, \chi _ { 0 } ^ { \prime } \, i \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \xi ( w ) } & { = \sum _ { u = 0 } ^ { \infty } \sum _ { v = u } ^ { \infty } \sigma ( v ) w ^ { u } = \sum _ { v = 0 } ^ { \infty } \sum _ { u = 0 } ^ { v } \sigma ( v ) w ^ { u } } \\ & { = \sum _ { v = 0 } ^ { \infty } \sigma ( v ) \left( \frac { 1 - w ^ { v + 1 } } { 1 - w } \right) = \frac { \sum _ { v = 0 } ^ { \infty } \sigma ( v ) - w \sum _ { v = 0 } ^ { \infty } \sigma ( v ) w ^ { v } } { 1 - w } , } \end{array}