harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \overline { { \phi ^ { \prime } \xi ^ { \prime } \eta ^ { \prime } } } } & { = \sum _ { k = 1 } ^ { M _ { p } } w _ { k } \left( \overline { { \phi } } _ { k } - \overline { { \phi } } \right) \left( \overline { { \xi } } _ { k } - \overline { { \xi } } \right) \left( \overline { { \eta } } _ { k } - \overline { { \eta } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { ~ A ~ r ~ g ~ } \: w _ { \mathscr { O } } ( \j _ { 1 } , \j _ { 2 } ) = \mathrm { ~ A ~ r ~ g ~ } \langle \j _ { 1 } \lvert \mathscr { O } \lvert \j _ { 2 } \rangle - \mathrm { ~ A ~ r ~ g ~ } \langle \j _ { 1 } \lvert \j _ { 2 } \rangle . } \end{array}
\mathbf { 1 } _ { \bigcup _ { k } A _ { k } } = 1 - \sum _ { F \subseteq \{ 1 , 2 , \dotsc , n \} } ( - 1 ) ^ { | F | } \mathbf { 1 } _ { \bigcap _ { F } A _ { k } } = \sum _ { \emptyset \neq F \subseteq \{ 1 , 2 , \dotsc , n \} } ( - 1 ) ^ { | F | + 1 } \mathbf { 1 } _ { \bigcap _ { F } A _ { k } }
{ \begin{array} { r l } { \mathrm { r } _ { k } } & { = { \left( \begin{array} { l l } { \cos { \frac { 2 \pi k } { n } } } & { - \sin { \frac { 2 \pi k } { n } } } \\ { \sin { \frac { 2 \pi k } { n } } } & { \cos { \frac { 2 \pi k } { n } } } \end{array} \right) } \ \ { \mathrm { a n d } } } \\ { \mathrm { s } _ { k } } & { = { \left( \begin{array} { l l } { \cos { \frac { 2 \pi k } { n } } } & { \sin { \frac { 2 \pi k } { n } } } \\ { \sin { \frac { 2 \pi k } { n } } } & { - \cos { \frac { 2 \pi k } { n } } } \end{array} \right) } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { \int \phi ( t , \gamma _ { i , f } ( t ) ) \varphi ( t , \gamma _ { i , f } ( t ) ) \sqrt { 1 + \gamma _ { i , f } ^ { \prime } ( t , \gamma _ { i , f } ( t ) ) ^ { 2 } } \mathrm { d } t } \\ { = } & { \sum _ { i } \int _ { \mathcal { Z } _ { f } ( V _ { i } ) } \phi _ { i } ( t ) \varphi ( t ) H _ { 1 } ( \mathrm { d } t ) } \\ { \leq } & { \sum _ { i } \int _ { \mathcal { Z } _ { f } ( D ) } \phi _ { i } ( t ) \varphi ( t ) H _ { 1 } ( \mathrm { d } t ) } \\ { \leq } & { \int _ { \mathcal { Z } _ { f } ( D ) } \varphi ( t ) H _ { 1 } ( \mathrm { d } t ) } \end{array}
< \Psi _ { 1 } | \Psi _ { 2 } > = N \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { d ^ { 2 } \vec { p } } { p ^ { 0 } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { d \varphi } { ( p , n ) } \overline { { { \Psi _ { 1 } ( p , \varphi ) } } } \Psi _ { 2 } ( p , \varphi ) ,
\begin{array} { r } { \Psi _ { 0 } ( \textbf { r } _ { 1 } , \textbf { r } _ { 2 } ) = \frac { 2 ( t + V ) } { \sqrt { 2 D ( D - U + K ) } } \Psi _ { c o v } ( \textbf { r } _ { 1 } , \textbf { r } _ { 2 } ) - \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \frac { D - U + K } { 2 D } } \Psi _ { i o n } ( \textbf { r } _ { 1 } , \textbf { r } _ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { { 3 } } & { \mathsf { v a r } ^ { \mathsf { n e } } } & & { : } & & { ( x : \mathsf { V a r } ( A ) ) \to \mathsf { N e } _ { A } ( \mathsf { v a r } ( x ) ) , } \\ & { \mathsf { a p p } ^ { \mathsf { n e } } } & & { : } & & { \mathsf { N e } _ { \Pi ( A , B ) } ( f ) \to \mathsf { N f } _ { A } ( a ) \to \mathsf { N e } _ { B [ a ] } ( \mathsf { a p p } ( f , a ) ) , } \\ & { \mathsf { l a m } ^ { \mathsf { n f } } } & & { : } & & { ( ( a : \mathsf { V a r } ( A ) ) \to \mathsf { N f } _ { B [ a ] } ( b [ a ] ) ) \to \mathsf { N f } _ { \Pi ( A , B ) } ( \mathsf { l a m } ( b ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { G _ { 1 } } & { { } = { \left( \begin{array} { l l l } { \cos ( \theta ) } & { 0 } & { - \sin ( \theta ) } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { \sin ( \theta ) } & { 0 } & { \cos ( \theta ) } \end{array} \right) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Psi \big ( t , z ( t , \varphi ) \big ) } & { { } = \frac { 1 } { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \pi } \log \Big ( D \big ( \theta _ { 0 } + f ( t , \varphi ) , \theta ^ { \prime } , \varphi , \varphi ^ { \prime } \big ) \Big ) \Omega ( t , \theta ^ { \prime } , \varphi ^ { \prime } ) \sin ( \theta ^ { \prime } ) d \theta ^ { \prime } d \varphi ^ { \prime } } \end{array}
\begin{array} { l c l } { \dot { x } ( t ) } & { = } & { - ( b x + 4 y + 4 z + y ^ { 2 } ) , } \\ { \dot { y } ( t ) } & { = } & { - ( b y + 4 z + 4 x + z ^ { 2 } ) , } \\ { \dot { z } ( t ) } & { = } & { - ( b z + 4 x + 4 y + x ^ { 2 } ) , } \\ { \dot { T } ( t ) } & { = } & { \xi + a x - T ( 1 + | T - S | ) , } \\ { \dot { S } ( t ) } & { = } & { \eta + a x - S ( \zeta + | T - S | ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { \theta _ { f } } \int _ { \frac { \cos \theta _ { f } } { \cos \theta } r _ { f } } ^ { r _ { f } } r ^ { d } \cos \theta \sin ^ { d - 2 } \theta \, d r d \theta } & { = \frac { r _ { f } ^ { d + 1 } } { d + 1 } \int _ { 0 } ^ { \theta _ { f } } \left\{ 1 - \left( \frac { \cos \theta _ { f } } { \cos \theta } \right) ^ { d + 1 } \right\} \cos \theta ( \sin ^ { d - 2 } \theta ) \, d \theta } \\ & { = \frac { r _ { f } ^ { d + 1 } } { d + 1 } \left\{ \int _ { 0 } ^ { \theta _ { f } } \cos \theta ( \sin ^ { d - 2 } \theta ) \, d \theta - \frac { 1 } { d - 1 } ( \sin ^ { d - 1 } \theta _ { f } ) \cos ^ { 2 } \theta _ { f } \right\} } \\ & { = \frac { r _ { f } ^ { d + 1 } } { d + 1 } \frac { \sin ^ { d - 1 } \theta _ { f } } { d - 1 } \left\{ 1 - \cos ^ { 2 } \theta _ { f } \right\} . } \end{array}
{ \cal L } _ { g a u g e } ^ { e f f } = \Pi \partial _ { + } A _ { - } + \partial _ { - } A _ { i } \partial _ { + } A _ { i } - \frac 1 2 \Pi ^ { 2 } - \frac 1 2 ( \partial _ { i } A _ { j } ) ^ { 2 } - \Pi \partial _ { i } A _ { i } + A _ { i } j ^ { i } + A _ { - } j ^ { - } ,
\begin{array} { r } { \operatorname { E L B O } \left( \phi , \psi \vert y \right) = - \operatorname { \mathbb { E } } \left[ h _ { \beta } \left( y , g _ { \phi } \left( \epsilon \right) , g _ { \psi } \left( \eta \right) , t \right) \right] + \mathbb { H } \left[ q _ { \phi } \right] + \mathbb { H } \left[ q _ { \psi } \right] - \mathbb { E } \left[ \log \left( Z _ { \beta } \left( g _ { \psi } \left( \eta \right) \right) \right) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { m _ { \mathbf { p } } ^ { ( 1 ) } } & { = } & { - i \int d ^ { 3 } \mathbf { r } \, { \cal M } ^ { ( 0 ) } ( \mathbf { r } ) \, { \cal C } \exp \left\{ \nu \left[ \ln ( \kappa r ) \right. \right. } \\ & { + } & { i \left. \left. \int _ { t _ { s } } d s \frac { \kappa } { | \mathbf { r } + \mathbf { p } ( s - t _ { s } ) + \boldsymbol { \alpha } ( s ) - \boldsymbol { \alpha } ( t _ { s } ) | } \right] \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r } { - \lambda \frac { \partial v _ { i 3 } } { \partial \xi } + \frac { \partial v _ { i 1 } } { \partial \tau } + \frac { \partial } { \partial \xi } ( v _ { i 1 } v _ { i 2 } ) + \frac { 1 } { \nu _ { e } } \frac { \partial \phi _ { 3 } } { \partial \xi } } \\ { + \frac { \sigma _ { i } } { \nu _ { e } } \left( \frac { \partial n _ { i 3 } } { \partial \xi } + \frac { \partial } { \partial \xi } ( \frac { n _ { i 1 } ^ { 3 } } { 3 } - n _ { i 1 } n _ { i 2 } ) \right) = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { B ( r ) = } & { \mathrm { R e } [ \kappa \theta ( R - r ) \sqrt { \varepsilon } J _ { 0 } ( \sqrt { \varepsilon } \omega r / c ) Y _ { 1 } ( \omega R / c ) } \\ & { + \kappa \theta ( r - R ) Y _ { 0 } ( \omega r / c ) J _ { 1 } ( \sqrt { \varepsilon } \omega R / c ) ] \, , } \\ { E ( r ) = } & { \mathrm { R e } [ \kappa \theta ( R - r ) J _ { 1 } ( \sqrt { \varepsilon } \omega r / c ) Y _ { 1 } ( \omega R / c ) } \\ & { + \kappa \theta ( r - R ) Y _ { 1 } ( \omega r / c ) J _ { 1 } ( \sqrt { \varepsilon } \omega R / c ) ] \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { M } _ { M _ { e } M _ { g } } ^ { ( \mathrm { ~ H ~ G ~ } _ { 0 0 , 1 0 , 0 1 } ) } ( x ) = } & { { } \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left[ \mathcal { M } _ { M _ { e } M _ { g } } ^ { ( \mathrm { ~ H ~ G ~ } _ { 0 0 , 1 0 , 0 1 } ) } ( \lambda = + 1 ) \right. } \\ { \mathcal { M } _ { M _ { e } M _ { g } } ^ { ( \mathrm { ~ H ~ G ~ } _ { 0 0 , 1 0 , 0 1 } ) } ( y ) = } & { { } \frac { i } { \sqrt { 2 } } \left[ \mathcal { M } _ { M _ { e } M _ { g } } ^ { ( \mathrm { ~ H ~ G ~ } _ { 0 0 , 1 0 , 0 1 } ) } ( \lambda = - 1 ) \right. } \end{array}
\nabla \phi _ { i } ( \lambda ) - \nabla \phi _ { i } ( \lambda ^ { \prime } ) = n p _ { i } ^ { \prime } \left( \frac { ( \exp ( ( \lambda _ { k } - c _ { i , k } ) / \eta ) ) _ { k = 1 , \ldots , n } } { \left( \sum _ { j = 1 } ^ { n } \exp ( ( \lambda _ { j } - c _ { i , j } ) / \eta ) \right) } - \frac { ( \exp ( ( \lambda _ { k } ^ { \prime } - c _ { i , k } ) / \eta ) ) _ { k = 1 , \ldots , n } } { \left( \sum _ { j = 1 } ^ { n } \exp ( ( \lambda _ { j } ^ { \prime } - c _ { i , j } ) / \eta ) \right) } \right) .
\dot { p _ { \nu } } = - \partial _ { \nu } U _ { 0 } - \sum _ { k } ^ { M + 1 } \left( f ( \lambda _ { k } ) + \frac { \partial f ( \lambda _ { k } ) } { \partial \lambda _ { k } } \lambda _ { k } \right) \partial _ { \nu } \lambda _ { k } - \sum _ { \mu } \Lambda _ { \nu \mu } \frac { p _ { \mu } } { m _ { \mu } } + \sum _ { \mu } \sqrt { \frac { 2 \Lambda _ { \nu \mu } m _ { \mu } } { \beta } } \eta _ { \mu } ( t ) ,
\frac { 1 } { 2 } \Bigl ( \rho ^ { m - 1 } | \vec { U } ^ { m } | ^ { 2 } , ~ r \Bigr ) + \frac { 1 } { 2 } \Bigl ( \rho ^ { m - 1 } | \vec { U } ^ { m + 1 } \circ \mathcal { \vec { A } } ^ { m } [ t _ { m - 1 } ] ^ { - 1 } | ^ { 2 } , ~ r \Bigr ) \geq \Bigl ( \rho ^ { m - 1 } \vec { U } ^ { m } , ~ \vec { U } ^ { m + 1 } \circ \mathcal { \vec { A } } ^ { m } [ t _ { m - 1 } ] ^ { - 1 } \, r \Bigr ) .
\mathrm { ~ \ensuremath ~ { ~ \mathbf ~ { ~ M ~ } ~ } ~ } = \left( \begin{array} { c c c } { - 0 . 5 6 } & { 0 . 2 1 } & { - 0 . 7 1 } \\ { 0 . 2 1 } & { - 0 . 5 2 } & { 0 . 2 8 } \\ { - 0 . 7 1 } & { 0 . 2 8 } & { - 0 . 3 9 } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { h _ { 1 1 } ^ { \mathrm { T T } } ( x ^ { \mu } ) } & { = h _ { + } s _ { \vartheta } ^ { 2 } \, \cos \! \left[ \omega _ { g } ( t - c _ { \vartheta } x ^ { 1 } - s _ { \vartheta } x ^ { 3 } ) + \varphi _ { 0 } \right] } \\ & { \quad \times \exp \big [ - \epsilon ( t _ { 0 } - t ) \, \theta ( t _ { 0 } - t ) \big ] \, , } \end{array}
\mathcal { M } _ { \nu ^ { \prime } \nu } ( R ) = \frac { a _ { m } } { a _ { b g } } \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 \mu R } ( - ) ^ { 1 + \mathrm { { s g n } ( \ n u - \ n u ^ { \prime } ) } } \sqrt { \partial _ { R } s _ { \nu } ^ { 2 } ( R ) \partial _ { R } s _ { \nu ^ { \prime } } ^ { 2 } ( R ) } .
\begin{array} { r l r } { b ( r , T ) } & { = } & { U _ { 2 } ( r ) \mathrm { e } ^ { - \beta U _ { 2 } ( r ) } - 1 } \\ { b _ { T } ( r , T ) } & { = } & { \beta U _ { 2 } ( r ) \mathrm { e } ^ { - \beta U _ { 2 } ( r ) } } \\ { b _ { T T } ( r , T ) } & { = } & { \beta U _ { 2 } ( r ) ( \beta U _ { 2 } ( r ) - 2 ) \mathrm { e } ^ { - \beta U _ { 2 } ( r ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { D } Q } { \mathrm { D } t } } & { { } = - \eta _ { Q } Q + \nabla ^ { 2 } Q , } \\ { \frac { \mathrm { D } R } { \mathrm { D } t } } & { { } = - \eta _ { R } R + D \nabla ^ { 2 } R , } \\ { \frac { \mathrm { D } \mathbf { u } } { \mathrm { D } t } } & { { } = - \nabla p + \mathrm { S c } \nabla ^ { 2 } \mathbf { u } + \mathrm { S c } ^ { 2 } \mathrm { G r } ( \delta _ { Q } Q + \delta _ { R } R ) \mathbf { e } _ { z } , } \\ { \nabla \cdot \mathbf { u } } & { { } = 0 . } \end{array}
\frac { 2 R } { L } = \frac { \int _ { \phi _ { 0 } } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \frac { \sin \phi } { \sqrt { \sin \phi - \sin \phi _ { 0 } } } d \phi } { \int _ { \phi _ { 0 } } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \frac { d \phi } { \sqrt { \sin \phi - \sin \phi _ { 0 } } } } .
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \tau _ { \mathrm { r a d } } } = } & { \frac { 1 } { \tau _ { \mathrm { { r a d } , { d } } } } } \\ & { + \left( \frac { 1 } { \tau _ { \mathrm { { r a d } , { u } } } } - \frac { 1 } { \tau _ { \mathrm { { r a d } , { d } } } } \right) \operatorname* { m a x } \left\{ 0 , \frac { \sigma - \sigma _ { b } } { 1 - \sigma _ { b } } \right\} \cos ^ { 4 } \phi , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { H ^ { 2 } ( t , \hat { Y } ( t - ) , u _ { 1 } ^ { * } ( t ) , u _ { 2 } ^ { * } ( t ) , \hat { p } ^ { 2 } ( t ) , \hat { q } ^ { 2 } ( t ) , \hat { r } ^ { 2 } ( t , \cdot ) , \hat { w } ^ { 2 } ( t ) , \alpha ( t - ) ) } \\ & { \quad = \operatorname* { s u p } _ { u _ { 2 } \in U _ { 2 } } H ^ { 2 } ( t , \hat { Y } ( t - ) , u _ { 1 } ^ { * } ( t ) , u _ { 2 } ( t ) , \hat { p } ^ { 2 } ( t ) , \hat { q } ^ { 2 } ( t ) , \hat { r } ^ { 2 } ( t , \cdot ) , \hat { w } ^ { 2 } ( t ) , \alpha ( t - ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Phi } & { \equiv } & { \Phi _ { \mathrm { m } } + \Phi _ { w } } \\ & { = } & { - \int \frac { \rho _ { \mathrm { m } } ( \vec { r ^ { \prime } } ) } { \mid \vec { r } - \vec { r ^ { \prime } } \mid } \mathrm { d } \vec { r ^ { \prime } } - \left( \frac { r _ { \mathrm { { o } } } } { r } \right) ^ { 3 w + 1 } , } \end{array}
\mathrm { R } _ { 2 } ( \mathrm { I } - \overline { { \mathbb { P } } } ) = \mathrm { R } _ { 2 } ( \mathrm { d } ( - \Delta _ { \mathcal { H } , \mathfrak { t } } ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \mathrm { d } ^ { \ast } ( - \Delta _ { \mathcal { H } , \mathfrak { t } } ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } ) \subset \overline { { \mathrm { R } _ { 2 } ( \mathrm { d } , \mathbb { R } _ { + } ^ { n } , \Lambda ) } }
\sum _ { j , j ^ { \prime } \in J _ { n } } \sum _ { k , k ^ { \prime } \in J _ { m } } \mathbb { E } \left[ ( Z ( x _ { j } ^ { n } ) - Z ( x _ { k } ^ { m } ) ) ( Z ( x _ { j ^ { \prime } } ^ { n } ) - Z ( x _ { k ^ { \prime } } ^ { m } ) ) M ( I _ { j } ^ { n } \cap I _ { k } ^ { m } ) M ( I _ { j ^ { \prime } } ^ { n } \cap I _ { k ^ { \prime } } ^ { m } ) \right] .
\eta _ { x } ^ { ( 1 ) } = \frac { \partial \eta ^ { ( 1 ) } } { \partial x } = \sum _ { n = 1 } ^ { N } - a _ { n } k _ { n } \sin ( \theta _ { n } ) , \quad \mathrm { w h e r e } \quad \theta _ { n } = k _ { n } x + \omega _ { n } t + \varphi _ { n } .
T _ { \mu \nu } ( x ) = \sum _ { a = 1 } ^ { 3 } F _ { \mu \nu } ^ { a } ( x ) \widehat { \phi } ^ { a } ( x ) - \frac { 1 } { \lambda } \sum _ { a , b , c = 1 } ^ { 3 } \epsilon ^ { a b c } \widehat { \phi } ^ { a } ( x ) ( D _ { \mu } \widehat { \phi } ( x ) ) ^ { b } ( D _ { \nu } \widehat { \phi } ( x ) ) ^ { c } ,
\begin{array} { r l } { \Gamma T } & { = \ln \! 2 + \mu \Gamma T ( y _ { 0 } - c _ { 1 } ) + \frac { c _ { 2 } \mu ^ { 2 } ( \Gamma T ) ^ { 2 } } { 2 } - \frac { c _ { 3 } \mu ^ { 3 } ( \Gamma T ) ^ { 3 } } { 6 } \; , } \\ { ( 2 - A - B ) c _ { 1 } } & { = ( A + B ) ( \lambda - c _ { 2 } \mu \Gamma T + \frac { 1 } { 2 } c _ { 3 } \mu ^ { 2 } ( \Gamma T ) ^ { 2 } ) \; , } \\ { ( 4 - 2 A ^ { 2 } - 2 B ^ { 2 } ) c _ { 2 } } & { = ( A ^ { 2 } + B ^ { 2 } ) ( - 2 c _ { 3 } \mu \Gamma T ) + \varepsilon ( \lambda + c _ { 1 } - c _ { 2 } \mu ( \Gamma T ) ) ^ { 2 } \; , } \\ { ( 4 - 2 A ^ { 3 } - 2 B ^ { 3 } ) c _ { 3 } } & { = 3 c _ { 2 } \varepsilon ( A + B ) ( \lambda + c _ { 1 } - c _ { 2 } \mu \Gamma T ) \; . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \mathrm { D } ^ { s } } { \mathrm { D } t } ( 1 - \varepsilon ^ { l } - \varepsilon ^ { b } ) + ( 1 - \varepsilon ^ { l } - \varepsilon ^ { b } ) \nabla \cdot \mathbf { v ^ { s } } = 0 } \\ { \frac { \mathrm { D } ^ { s } \varepsilon ^ { l } } { \mathrm { D } t } + \nabla \cdot ( \varepsilon ^ { l } ( \mathbf { v } ^ { l } - \mathbf { v } ^ { s } ) ) + \varepsilon ^ { l } \nabla \cdot \mathbf { v ^ { s } } = 0 } \\ { \frac { \mathrm { D } ^ { s } \varepsilon ^ { b } } { \mathrm { D } t } + \nabla \cdot ( \varepsilon ^ { b } ( \mathbf { v } ^ { b } - \mathbf { v } ^ { s } ) ) + \varepsilon ^ { b } \nabla \cdot \mathbf { v ^ { s } } = 0 } \end{array}
W ( x ; p ) = \int \frac { \mathrm { d } ^ { 4 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } e ^ { - i k \cdot x } \delta ^ { \pm } ( p _ { k } ^ { + } ) \delta ^ { \pm } ( p _ { k } ^ { - } ) \int \mathrm { d } ^ { 3 } x ^ { \prime } e ^ { i k \cdot x ^ { \prime } } \int \mathrm { d } p ^ { 0 } \Lambda ( p _ { k } ^ { + } ) \gamma ^ { 0 } W ( x ^ { \prime } ; p ^ { \prime } ) \gamma ^ { 0 } \Lambda ( p _ { k } ^ { - } ) \; \; ,
\begin{array} { r l } { \Gamma _ { i j } ^ { ( 1 ) } ( t ) } & { = \rho ^ { ( 0 ) } \sqrt { W _ { i } ^ { ( 0 ) } W _ { j } ^ { ( 0 ) } } \mathrm { s g n } ( E ) ^ { ( 2 - P _ { i } - P _ { j } ) / 2 } } \\ & { - \rho _ { i j } ^ { ( 1 ) } \sqrt { \sum _ { n } W _ { n \leftarrow i } ^ { ( 1 ) } } \sqrt { \sum _ { n } W _ { n \leftarrow j } ^ { ( 1 ) } } , } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac { 1 } { n } \log \left\langle \mathbf { 1 } \otimes \operatorname { v e c } ( I _ { d } ) , E _ { T } ^ { \theta / 2 } ( E _ { T } ^ { \theta / 2 } \hat { P } E _ { T } ^ { \theta / 2 } ) ^ { n - 1 } E _ { T } ^ { \theta / 2 } ( \mathbf { 1 } \otimes \operatorname { v e c } ( I _ { d } ) ) \right\rangle _ { \boldsymbol \pi } = \log \rho = \log \left\lVert E _ { T } ^ { \theta / 2 } \hat { P } E _ { T } ^ { \theta / 2 } \right\rVert _ { \boldsymbol \pi } .
V = \lambda ^ { 2 } R \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \sigma | Z ( \sigma ) - R \mathrm { e } ^ { i \sigma } | ^ { 2 } = 2 \pi \lambda ^ { 2 } R \sum _ { n \neq 0 , 1 } \bar { z } _ { n } z _ { n } \ .
\begin{array} { r l } { \Phi ( \omega ) \frac { d ^ { 2 } } { A } \leq } & { \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 2 } } \ln \left( 1 + \frac { \zeta _ { A } \zeta _ { B } } { 4 } \right) } \\ & { + \frac { \Theta ( \zeta _ { A } \zeta _ { B } - 4 ) } { 8 \pi ^ { 2 } } \left\{ \ln ( \zeta _ { A } \zeta _ { B } ) + \frac { 1 } { 4 } \left[ \ln \left( \frac { \zeta _ { A } \zeta _ { B } } { 4 } \right) \right] ^ { 2 } - 2 \ln \left( 1 + \frac { \zeta _ { A } \zeta _ { B } } { 4 } \right) \right\} , } \end{array}
\begin{array} { r } { A _ { 0 } ( t ) = U _ { 0 , 1 } \, \mathrm { { s e c h } } ^ { \nu _ { 1 } } \left( \frac { t } { t _ { 1 } } \right) \, e ^ { - i \Omega _ { 1 } t } + U _ { 0 , 2 } \, \mathrm { { s e c h } } ^ { \nu _ { 2 } } \left( \frac { t } { t _ { 2 } } \right) \, e ^ { - i \Omega _ { 2 } t } , } \end{array}
f ( r s ) = { \left( \begin{array} { l l } { r s } & { 0 } \\ { 0 } & { r s } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l } { r } & { 0 } \\ { 0 } & { r } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l l } { s } & { 0 } \\ { 0 } & { s } \end{array} \right) } = f ( r ) \, f ( s ) .
\begin{array} { r l r l } & { p ( N | T \hat { G } ) = p ( N | \hat { G } ) } & & { p ( N | \hat { \pi } \hat { G } ) = p ( N | \hat { G } ) } \\ & { p ( T V | N , T \hat { G } ) = p ( V | N , \hat { G } ) } & & { p ( \pi V | N , \hat { \pi } \hat { G } ) = p ( V | N , \hat { G } ) } \\ & { p ( E | N , T V , T \hat { G } ) = p ( E | N , V , \hat { G } ) } & & { p ( \pi E | N , \pi V , \hat { \pi } \hat { G } ) = p ( E | N , V , \hat { G } ) } \\ & { p ( A | N , T V , E , T \hat { G } ) = p ( A | N , V , E , \hat { G } ) \quad } & & { p ( A | N , \pi V , \pi E , \hat { \pi } \hat { G } ) = p ( A | N , V , E , \hat { G } ) } \end{array}
Z ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } ) = \textrm { T r } \, e ^ { - \{ H \, \footnotesize \textrm { I m } \normalsize \, \omega _ { 2 } - i P \, \footnotesize \textrm { R e } \normalsize \, \omega _ { 2 } \} } \, ,
\begin{array} { r } { \Delta \varepsilon _ { p } ^ { \mathrm { t r i a l } } = \frac { \Delta t } { 2 } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { g } } \nabla N _ { i p } ^ { k } ( \overline { { v } } _ { i } ^ { k + 1 } ) ^ { T } + \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { g } } \big ( \nabla N _ { i p } ^ { k } \big ) ^ { T } \overline { { v } } _ { i } ^ { k + 1 } \right) } \end{array}
\operatorname * { l i m } _ { p _ { 0 } \rightarrow 0 } \Pi _ { 0 0 } ^ { ( \mathrm { r i s i n g \ s u n } ) ( T ) } \rightarrow \frac { e ^ { 2 } } { 2 \pi \beta } \left[ 2 + \frac { 4 m ^ { 2 } ( m ^ { 2 } - m _ { \sigma } ^ { 2 } ) } { ( m _ { \sigma } ^ { 2 } - m _ { + } ^ { 2 } ) ( m _ { \sigma } ^ { 2 } - m _ { - } ^ { 2 } ) } \, \ln \frac { m _ { \sigma } } { m _ { - } } - \frac { 4 m ^ { 2 } ( m ^ { 2 } - m _ { + } ^ { 2 } ) } { ( m _ { \sigma } ^ { 2 } - m _ { + } ^ { 2 } ) ( m _ { + } ^ { 2 } - m _ { - } ^ { 2 } ) } \, \ln \frac { m _ { + } } { m _ { - } } \right] .
\begin{array} { r l } { V ( t , \xi ) } & { = V _ { 0 } ( \xi ) - \alpha \int _ { \xi ( t ) } ^ { \xi } V _ { 0 , \xi } ( \eta ) d \eta } \\ & { = V _ { 0 } ( \xi ) - \alpha \int _ { \xi ( t ) } ^ { \xi } \frac { 4 } { 9 } \bigl | \bar { y } ( \eta ) \bigr | ^ { - \frac { 2 } { 3 } } \bar { y } _ { \xi } ( \eta ) d \eta } \\ & { = \frac { 4 } { 3 } \bigg ( - \big ( 1 - \alpha \big ) \bigl | \bar { y } ( \xi ) \bigr | ^ { \frac { 1 } { 3 } } + 1 - \frac { 1 } { 3 } \alpha t \bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \nu } _ { \alpha } \left( \mathbf { D } - \frac { 1 } { d } ( \mathrm { d i v } \mathbf { v } _ { \alpha } ) \mathbf { I } \right) : \left( \mathbf { D } - \frac { 1 } { d } ( \mathrm { d i v } \mathbf { v } _ { \alpha } ) \mathbf { I } \right) = } & { ~ 0 , } \\ { \tilde { \nu } _ { \alpha } \left( \lambda _ { \alpha } + \frac { 2 } { d } \right) \left( \mathrm { d i v } \mathbf { v } _ { \alpha } \right) ^ { 2 } = } & { ~ 0 , } \\ { R _ { \alpha { \beta } } \| \mathbf { w } _ { \alpha } - \mathbf { w } _ { \beta } \| ^ { 2 } = } & { ~ 0 , } \\ { \hat { m } _ { \alpha } \left( g _ { \alpha } - g _ { N } \right) ^ { 2 } = } & { ~ 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { 3 } ^ { u } = } & { { \nu _ { \tau } } \omega _ { 3 } \omega _ { 3 } ^ { \dagger } + } \\ { \overline { { b ^ { r } } } { C _ { 1 } ^ { \dagger } } \omega _ { 3 } \omega _ { 3 } ^ { \dagger } + } & { \overline { { b ^ { g } } } { C _ { 2 } ^ { \dagger } } \omega _ { 3 } \omega _ { 3 } ^ { \dagger } + \overline { { b ^ { b } } } { C _ { 3 } ^ { \dagger } } \omega _ { 3 } \omega _ { 3 } ^ { \dagger } + } \\ { t ^ { r } { C _ { 3 } ^ { \dagger } } { C _ { 2 } ^ { \dagger } } \omega _ { 3 } \omega _ { 3 } ^ { \dagger } + } & { t ^ { g } { C _ { 1 } ^ { \dagger } } { C _ { 3 } ^ { \dagger } } \omega _ { 3 } \omega _ { 3 } ^ { \dagger } + t ^ { b } { C _ { 2 } ^ { \dagger } } { C _ { 1 } ^ { \dagger } } \omega _ { 3 } \omega _ { 3 } ^ { \dagger } + } \\ & { \tau ^ { + } { C _ { 3 } ^ { \dagger } } { C _ { 2 } ^ { \dagger } } { C _ { 1 } ^ { \dagger } } \omega _ { 3 } \omega _ { 3 } ^ { \dagger } } \end{array} \qquad \begin{array} { r l } { S _ { 3 } ^ { d } = } & { { \overline { { \nu } } _ { \tau } } \omega _ { 3 } ^ { \dagger } \omega _ { 3 } + } \\ { { b } ^ { r } { C _ { 1 } } \omega _ { 3 } ^ { \dagger } \omega _ { 3 } + } & { { b } ^ { g } { C _ { 2 } } \omega _ { 3 } ^ { \dagger } \omega _ { 3 } + { b } ^ { b } { C _ { 3 } } \omega _ { 3 } ^ { \dagger } \omega _ { 3 } + } \\ { \overline { { t ^ { r } } } { C _ { 3 } } { C _ { 2 } } \omega _ { 3 } ^ { \dagger } \omega _ { 3 } + } & { \overline { { t ^ { g } } } { C _ { 1 } } { C _ { 3 } } \omega _ { 3 } ^ { \dagger } \omega _ { 3 } + \overline { { t ^ { b } } } { C _ { 2 } } { C _ { 1 } } \omega _ { 3 } ^ { \dagger } \omega _ { 3 } + } \\ & { \tau ^ { - } { C _ { 3 } } { C _ { 2 } } { C _ { 1 } } \omega _ { 3 } ^ { \dagger } \omega _ { 3 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \gamma ^ { 1 } = \tilde { \gamma } ^ { 1 } , \ \gamma ^ { 2 } = \tilde { \gamma } ^ { 2 } , \ \gamma ^ { 3 } = \frac { \tilde { \gamma } ^ { 1 } \tilde { \gamma } ^ { 3 } - 1 } { \tilde { \gamma } ^ { 2 } } \ \mathrm { o r } } \\ & { \tilde { \gamma } ^ { 1 } = \gamma ^ { 1 } , \ \tilde { \gamma } ^ { 2 } = \gamma ^ { 2 } , \ \tilde { \gamma } ^ { 3 } = \frac { 1 + \gamma ^ { 2 } \gamma ^ { 3 } } { \gamma ^ { 1 } } . } \end{array}
\delta _ { 1 } ^ { V } X _ { 2 } = ( \gamma _ { a } \dot { X } _ { 1 } X _ { 1 } ^ { - 1 } + \gamma _ { c } \dot { X } _ { 2 } X _ { 2 } ^ { - 1 } - I ) X _ { 2 } - \lambda ( 1 - t _ { 2 } ^ { 2 } ) \dot { X } _ { 2 }