harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \left[ \mathcal { M } / \mathcal { S } \right] _ { k l } } & { { } = \sum _ { p } A _ { p k } ^ { * } B _ { p l } ^ { * } + \sum _ { p q } \left( \begin{array} { l l } { A _ { p k } ^ { * } } & { B _ { p k } ^ { * } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l } { - \kappa _ { p q } ^ { 0 1 } } & { - \rho _ { p q } ^ { 0 1 } } \\ { \rho _ { q p } ^ { 0 1 } } & { \kappa _ { p q } ^ { 1 0 * } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { A _ { q l } ^ { * } } \\ { B _ { q l } ^ { * } } \end{array} \right) } \end{array}
{ \mathfrak { T } } _ { \beta } ^ { \alpha } = \operatorname { s g n } \left( \operatorname* { d e t } { \left[ { \frac { \partial { \bar { x } } ^ { \iota } } { \partial { x } ^ { \gamma } } } \right] } \right) \left( \operatorname* { d e t } { \left[ { \frac { \partial { \bar { x } } ^ { \iota } } { \partial { x } ^ { \gamma } } } \right] } \right) ^ { W } \, { \frac { \partial { x } ^ { \alpha } } { \partial { \bar { x } } ^ { \delta } } } \, { \frac { \partial { \bar { x } } ^ { \epsilon } } { \partial { x } ^ { \beta } } } \, { \bar { \mathfrak { T } } } _ { \epsilon } ^ { \delta } \, ,
A _ { i } ( Q ^ { 2 } ) = e _ { i } ^ { 2 } \mp 2 e _ { i } v _ { e } v _ { i } P _ { Z } + ( v _ { e } ^ { 2 } + a _ { e } ^ { 2 } ) ( v _ { i } ^ { 2 } + a _ { i } ^ { 2 } ) P _ { Z } ^ { 2 }
\begin{array} { r l r } { \frac { P _ { r } } { \rho _ { p } ^ { 2 } } } & { { } \approx } & { \frac { 1 6 } { 3 \hbar \, m _ { p } ^ { 2 } } \, \left( \frac { e ^ { 2 } } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } } \right) ^ { 3 } \, \frac { \sqrt { k T _ { e } } \, G } { n _ { p } ^ { 2 } \, \left( m _ { e } c ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } } \end{array}
n _ { I } \boldsymbol { \nabla } \! \cdot \! \boldsymbol { u } + \boldsymbol { \nabla } \! \cdot \! \delta \boldsymbol { j } _ { I } = - \frac { 1 2 \ln 2 } { \pi ^ { 2 } } \frac { n _ { I } \mu _ { I } } { T \tau _ { R } } ,
f _ { n } ( \mathbf { s } , \mathbf { x } , t , x ) = f _ { n } ( s _ { 1 } , x _ { 1 } , \dots , s _ { n } . x _ { n } , t , x ) = \lambda ^ { n } \prod _ { i = 1 } ^ { n } Y ( s _ { i + 1 } - s _ { i } , x _ { i + 1 } - x _ { i } ) J _ { 0 } ( s _ { 1 } ) { \mathrm { 1 \ m k e r n - 1 . 5 m u } \! \mathrm { I } } _ { \{ 0 < s _ { 1 } < \dots < s _ { n } < t \} } .
\begin{array} { r } { H _ { d } ^ { p } ( \mathcal { S } [ \lambda ] , D _ { 2 } - \lambda D _ { 1 } ) \cong \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { p \leq d \mathrm { ~ a n d ~ } ( p , d ) \not = ( 3 , 3 ) , ( 0 , 0 ) } \\ { \mathbb { R } [ \lambda ] } & { p = 0 , d = 0 ; } \\ { \bigoplus _ { i = 1 } ^ { N } C ^ { \infty } ( \mathbb { R } , u ^ { i } ) } & { p = 3 , d = 3 . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d ^ { 2 } \hat { \langle P \rangle } } { d R _ { 2 } ^ { 2 } } - k _ { \perp } ^ { 2 } \hat { \langle P \rangle } } & { = 2 \iota k _ { 1 } \hat { \langle U _ { 2 } \rangle } ( \beta + 2 \gamma ^ { \prime \prime } R _ { 2 } R e _ { c } ^ { - 1 / 2 } ) , } \\ { \frac { d ^ { 2 } \hat { \langle U _ { 2 } \rangle } } { d R _ { 2 } ^ { 2 } } - k _ { \perp } ^ { 2 } \hat { \langle U _ { 2 } \rangle } } & { = \frac { d \hat { \langle P \rangle } } { d R _ { 2 } } - \iota k _ { 1 } \hat { \langle U _ { 2 } \rangle } ( \beta R _ { 2 } + \gamma ^ { \prime \prime } R _ { 2 } ^ { 2 } R e _ { c } ^ { - 1 / 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| y _ { 0 , \mathrm { M } } ( 0 ) - y _ { 0 } ( 0 ) \| = \| h ( x ^ { 0 } ) - y _ { 0 } ( 0 ) \| < \psi ( 0 ) - \| h ( x ^ { 0 } ) - y _ { \mathrm { r e f } } ( 0 ) \| = { \varphi _ { 0 } ( 0 ) } } \\ { \mathrm { o r } \quad } & { \| y _ { 0 , \mathrm { M } } ( 0 ) - y _ { 0 } ( 0 ) \| = 0 < \psi ( 0 ) - \| h ( x ^ { 0 } ) - y _ { \mathrm { r e f } } ( 0 ) \| = \varphi _ { 0 } ( 0 ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dim \left[ \mathcal { I } _ { p _ { 0 } ^ { a } } ^ { - 1 } \right] _ { k } \cap \left[ \mathcal { I } _ { \Pi _ { 1 } } ^ { - 1 } \right] _ { k } } & { = \dim \{ y _ { 0 } ^ { k - l } F _ { l } ( y _ { 1 } , \dots , y _ { n } ) : F _ { l } \in S _ { l } , 0 \le l \le a - 1 \} } \\ & { = \sum _ { l = 0 } ^ { a - 1 } \dim \{ F _ { l } ( y _ { 1 } , \dots , y _ { n } ) : F _ { l } \in S _ { l } \} } \\ & { = \sum _ { l = 0 } ^ { a - 1 } { \binom { n - 1 + l } { n - 1 } } } \\ & { = { \binom { n + a - 1 } { n } } , } \end{array}
M _ { B } ^ { 2 } = \left( { \frac { m } { R _ { B } } } \right) ^ { 2 } + ( 2 \pi R _ { B } n T _ { ( q _ { 1 } , q _ { 2 } ) } ) ^ { 2 } + 4 \pi T _ { ( q _ { 1 } , q _ { 2 } ) } ( N _ { L } + N _ { R } ) .
\frac { \partial \varphi _ { f } } { \partial \tau } - \frac { \zeta } { l } \frac { d l } { d \tau } \frac { \partial \varphi _ { f } } { \partial \zeta } - \frac { \varphi _ { n } } { l ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } F _ { 1 } } { \partial \zeta ^ { 2 } } - \frac { 1 } { l ^ { 2 } } \frac { \partial \varphi _ { n } } { \partial \zeta } \frac { \partial F _ { 1 } } { \partial \zeta } = \daleth _ { f } ,
\begin{array} { r l } { \dot { \rho } + \rho \frac { \partial v _ { k } } { \partial x _ { k } } } & { = 0 , } \\ { \rho \dot { v } _ { i } + \frac { \partial p } { \partial x _ { i } } + \frac { \partial \Pi } { \partial x _ { i } } } & { = 0 , } \\ { \dot { T } + \frac { 2 m } { D k _ { \textrm { B } } \rho } \Big ( p + \Pi \Big ) \frac { \partial v _ { k } } { \partial x _ { k } } } & { = 0 , } \\ { \tau _ { \Pi } \dot { \Pi } + \Pi + \eta \frac { \partial v _ { k } } { \partial x _ { k } } + \frac { 5 D - 6 } { 3 D } \Pi \tau _ { \Pi } \frac { \partial v _ { k } } { \partial x _ { k } } } & { = 0 , } \end{array}
f _ { 1 } = 1 + { \frac { Q _ { 1 } } { r ^ { 2 } } } \ , \qquad f _ { 5 } = 1 + { \frac { Q _ { 5 } } { r ^ { 2 } } } \ , \qquad K = { \frac { Q _ { K } } { r ^ { 2 } } } \ .
\begin{array} { r l } { \hat { \Theta } _ { t } ( \hat { \pi } _ { t } , u _ { t } ) : = } & { \operatorname* { m a x } \Big \{ \operatorname* { s u p } _ { c _ { t } \in [ [ C _ { t } | \hat { \pi } _ { t } , u _ { t } ] ] } c _ { t } , } \\ & { \operatorname* { s u p } _ { \hat { \pi } _ { t + 1 } \in [ [ \hat { \Pi } _ { t + 1 } | \hat { \pi } _ { t } , u _ { t } ] ] } \hat { \Lambda } _ { t + 1 } ( \hat { \pi } _ { t + 1 } ) \Big \} , } \\ { \hat { \Lambda } _ { t } ( \hat { \pi } _ { t } ) : = } & { \hat { \Theta } _ { t } ( \hat { \pi } _ { t } , \hat { g } _ { t } ( \hat { \pi } _ { t } ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { j , k = 1 } ^ { d ^ { 2 } } \sum _ { \mu , \nu = 1 } ^ { d ^ { 2 } - 1 } \Omega _ { \mu \nu } ^ { j k } \omega _ { j k } ( t ) F _ { \mu } \rho F _ { \nu } } \\ & { = \sum _ { j k l m } \theta _ { l } \omega _ { j k } ( t ) \left( \sum _ { \mu } \xi _ { l j \mu } F _ { \mu } - \xi _ { l j d ^ { 2 } } F _ { d ^ { 2 } } \right) \rho \left( \sum _ { \nu } \xi _ { l k \nu } F _ { \nu } - \xi _ { l k d ^ { 2 } } F _ { d ^ { 2 } } \right) ^ { * } } \\ & { = \sum _ { j k l m } \theta _ { l } \omega _ { j k } ( t ) \left( F _ { l } F _ { j } - \frac { 1 } { \sqrt { d } } \xi _ { l j d ^ { 2 } } \right) \rho \left( F _ { l } F _ { k } - \frac { 1 } { \sqrt { d } } \xi _ { l k d ^ { 2 } } \right) ^ { * } } \\ & { = \sum _ { j k } \omega _ { j k } ( t ) \left[ ( F _ { j } \rho F _ { k } ) ^ { \mathrm { T } } - A _ { k } F _ { j } \rho - \rho F _ { k } A _ { j } ^ { * } + b _ { j k } \rho \right] } \end{array}
{ \cal Z } _ { F } = T r \; e ^ { - \sum _ { \kappa } \varepsilon _ { \kappa } ( { \cal M } _ { 1 , \kappa } + { \cal M } _ { 2 , \kappa } ) } e ^ { \beta \mu ( M _ { 1 , \kappa } + M _ { 2 , \kappa } ) } ,
- i \bar { \kappa } _ { ( \alpha ) } \gamma ^ { a } \kappa _ { ( \beta ) } e _ { a } = - i \Gamma _ { s } ( u ^ { - 1 } ) ^ { \dagger } \mathcal { D } \mathcal { S } \Gamma _ { s } ( P _ { b } ) \Gamma _ { s } ( u ^ { - 1 } ) \eta ^ { b a } e _ { a } \, ,
i \hbar { \frac { \partial } { \partial t } } { \tilde { \Psi } } ( \mathbf { p } , t ) = { \frac { \mathbf { p } ^ { 2 } } { 2 m } } { \tilde { \Psi } } ( \mathbf { p } , t ) + ( 2 \pi \hbar ) ^ { - 3 / 2 } \int d ^ { 3 } \mathbf { p } ^ { \prime } \, { \tilde { V } } ( \mathbf { p } - \mathbf { p } ^ { \prime } ) { \tilde { \Psi } } ( \mathbf { p } ^ { \prime } , t ) .
\left[ r ^ { | \nu | } \psi ( { \bf r } ) - w \rho ^ { 2 | \nu | } { \frac { d \left( r ^ { | \nu | } \psi ( { \bf r } ) \right) } { d ( r ^ { 2 | \nu | } ) } } \right] _ { r = 0 } = 0 ~ ,
\overline { { \nu } } ( \epsilon ) = g _ { s } g _ { v } \sum _ { \nu } \int \frac { \d \k } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \delta ( \epsilon - E _ { \k , \nu } ) = \frac { 2 | \epsilon | } { \pi v _ { F } ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { k _ { i } ^ { ( \mathrm { S . V . } ) } } & { = c _ { \mathrm { s } } ^ { - 2 } \ \ k _ { \mathrm { r } } \cdot ( \mathbf { e } _ { \bar { i } } \cdot \mathbf { n } ) , } \\ { k _ { i } ^ { ( \mathrm { S . P . J . } ) } } & { = c _ { \mathrm { s } } ^ { - 2 } \gamma k _ { \mathrm { r } } / \ ( \mathbf { e } _ { \bar { i } } \cdot \mathbf { n } ) , } \\ { k _ { i } ^ { ( \mathrm { S . N e w } ) } } & { = c _ { \mathrm { s } } ^ { - 2 } \gamma k _ { \mathrm { r } } \cdot ( \mathbf { e } _ { \bar { i } } \cdot \mathbf { n } ) . } \end{array}
\tau _ { \mathrm { t u m b } } = \frac { \rho _ { \mathrm { p } } \, \lambda \, a ^ { 2 } } { 2 0 \rho _ { \mathrm { f } } \, \nu } \, \frac { \chi ( 2 \lambda ^ { 2 } \! - \! 1 ) \! - \! \lambda } { \lambda ^ { 2 } \! - \! 1 } = \frac { 3 } { 1 0 } \tau _ { \parallel } , \quad \tau _ { \mathrm { s p i n } } = \frac { \rho _ { \mathrm { p } } \, \lambda \, a ^ { 2 } } { 1 0 \rho _ { \mathrm { f } } \, \nu } \, \frac { \lambda \! - \! \chi } { \lambda ^ { 2 } \! - \! 1 } = \frac { 3 } { 1 0 } ( 2 \tau _ { \perp } \! - \! \tau _ { \parallel } ) .
V = \left( \frac { b } { 6 } \right) ^ { 2 } \frac { | z _ { t r } | ^ { 4 } } { ( 1 - | z _ { t r } | ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \left( C _ { 2 } | z _ { t r } | ^ { 2 } + a _ { 1 } \Delta z + a _ { 2 } \Delta z ^ { 2 } + a _ { 3 } \Delta z ^ { 3 } + \ldots \right)
{ \begin{array} { r l } { } & { \operatorname* { P r } ( X _ { n } = x _ { n } \mid X _ { n - 1 } = x _ { n - 1 } , X _ { n - 2 } = x _ { n - 2 } , \dots , X _ { 1 } = x _ { 1 } ) } \\ { = } & { \operatorname* { P r } ( X _ { n } = x _ { n } \mid X _ { n - 1 } = x _ { n - 1 } , X _ { n - 2 } = x _ { n - 2 } , \dots , X _ { n - m } = x _ { n - m } ) { \mathrm { ~ f o r ~ } } n > m } \end{array} }
\begin{array} { r l } { ( F _ { \rho } ^ { h , g } ) ^ { \dagger } } & { = ( L _ { \tau _ { d u a l } } ^ { h } T _ { \tau _ { d i r } } ^ { g } ) ^ { \dagger } = ( T _ { \tau _ { d i r } } ^ { g } ) ^ { \dagger } ( L _ { \tau _ { d u a l } } ^ { h } ) ^ { \dagger } } \\ & { = T _ { \tau _ { d i r } } ^ { g } L _ { \tau _ { d u a l } } ^ { h ^ { - 1 } } = L _ { \tau _ { d u a l } } ^ { h ^ { - 1 } } T _ { \tau _ { d i r } } ^ { g } = F _ { \rho } ^ { h ^ { - 1 } , g } } \end{array}
\begin{array} { r } { ( z - h ^ { 2 } P _ { m } ^ { \kappa } ) \tilde { \chi } _ { \kappa } ^ { \prime } [ \sum _ { j = 0 } ^ { N - 1 } h ^ { j } \mathrm { O p } _ { h } ( p _ { h } ^ { ( j ) } ) ( z ) ] \chi _ { \kappa } ^ { \prime } = \chi _ { \kappa } ^ { \prime } + h ^ { N } \mathrm { O p } _ { h } ( r _ { N } ^ { \prime } ( z , h ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { r } = \frac { r } { R } , \quad \tilde { u } _ { r } = \frac { u _ { r } } { R } , \quad \tilde { t } = \frac { t } { T _ { \mathrm { ~ p ~ e ~ } } } , \quad \tilde { p } = \frac { p } { M } , } & { { } \quad \tilde { \eta } _ { \alpha } = \frac { \eta _ { \alpha } } { \eta _ { o } } , \quad \tilde { k } _ { \alpha } = \frac { k _ { 0 } k _ { r \alpha } } { k _ { 0 } } , \quad } \\ { \tilde { \sigma } _ { r r } = \frac { \sigma _ { r r } } { K } , \quad \tilde { \sigma } _ { \theta \theta } = \frac { \sigma _ { \theta \theta } } { K } , \quad } & { { } \tilde { \sigma } _ { r r } ^ { \prime } = \frac { \sigma _ { r r } ^ { \prime } } { K } , \quad \tilde { \sigma } _ { \theta \theta } ^ { \prime } = \frac { \sigma _ { \theta \theta } ^ { \prime } } { K } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { l i m s u p } _ { N \to \infty } \mathbb E \Bigl | \frac { 1 } { N } \sum _ { i < j } \tilde { J } _ { i j } \langle \sigma _ { i } \sigma _ { j } \rangle - \frac { 1 } { N } \sum _ { i < j } \tilde { J } _ { i j } f \bigl ( \langle \sigma _ { i } \sigma _ { j } \rangle _ { i j } ^ { \prime } , \beta \tilde { J } _ { i j } \bigr ) \Bigr | = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { T } ( k , \sigma , \alpha , \tilde { \alpha } , l ; \hbar ) = } & { \sum _ { ( \boldsymbol { x } , \tilde { \boldsymbol { x } } ) \in \mathcal { X } _ { \neq } ^ { 2 k - 4 } } \prod _ { i = 1 } ^ { n } \frac { \delta ( x _ { \sigma _ { i } } - \tilde { x } _ { \sigma _ { i } } ) } { \rho } } \\ & { \times \int _ { 0 } ^ { t } \int \tilde { \mathcal { E } } _ { 2 , 2 } ^ { \mathrm { r e c } } ( s _ { k + 1 } , k , \boldsymbol { x } , \alpha , l , t , \iota ; \hbar ) \varphi ( x ) \overline { { \tilde { \mathcal { E } } _ { 2 , 2 } ^ { \mathrm { r e c } } ( s _ { k + 1 } , k , \boldsymbol { \tilde { x } } , \tilde { \alpha } , l , t , \iota ; \hbar ) \varphi ( x ) } } \, d x d s _ { k + 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \xi ^ { 5 } } & { { } = \left[ { \frac { 1 } { 2 } } ( \gamma + 1 ) \right] ^ { - 2 } \left\{ { \frac { \gamma + 1 } { 7 - \gamma } } [ 5 - ( 3 \gamma - 1 ) V ] \right\} ^ { \nu _ { 1 } } \left[ { \frac { \gamma + 1 } { \gamma - 1 } } ( \gamma V - 1 ) \right] ^ { \nu _ { 2 } } , } \\ { G } & { { } = { \frac { \gamma + 1 } { \gamma - 1 } } \left[ { \frac { \gamma + 1 } { \gamma - 1 } } ( \gamma V - 1 ) \right] ^ { \nu _ { 3 } } \left\{ { \frac { \gamma + 1 } { 7 - \gamma } } [ 5 - ( 3 \gamma - 1 ) V \right\} ^ { \nu _ { 4 } } \left[ { \frac { \gamma + 1 } { \gamma - 1 } } ( 1 - V ) \right] ^ { \nu _ { 5 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { u _ { 1 } \left( 0 , { { x } _ { 2 } } , t \right) = u _ { 1 } \left( 2 \pi , { { x } _ { 2 } } , t \right) = - \sin ( x _ { 2 } ) } \\ & { u _ { 1 } \left( { { x } _ { 2 } } , 0 , t \right) = u _ { 1 } \left( { { x } _ { 1 } } , 2 \pi , t \right) = 0 } \\ & { u _ { 2 } \left( 0 , { { x } _ { 2 } } , t \right) = u _ { 2 } \left( 2 \pi , { { x } _ { 2 } } , t \right) = 0 } \\ & { u _ { 2 } \left( { { x } _ { 1 } } , 0 , t \right) = u _ { 2 } \left( { { x } _ { 1 } } , 2 \pi , t \right) = \sin ( x _ { 1 } ) } \end{array}
\mathbf { A } \cdot \mathbf { B } = A ^ { \mu } \eta _ { \mu \nu } B ^ { \nu } = A _ { \nu } B ^ { \nu } = A ^ { \mu } B _ { \mu } = \sum _ { \mu = 0 } ^ { 3 } a ^ { \mu } b _ { \mu } = a ^ { 0 } b ^ { 0 } - \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } a ^ { i } b ^ { i } = a ^ { 0 } b ^ { 0 } - { \vec { \mathbf { a } } } \cdot { \vec { \mathbf { b } } }
\begin{array} { r } { \int _ { \partial \Omega } \Big ( \tilde { e } _ { \Sigma } ^ { 1 } \wedge e _ { \phi } ^ { 2 } + \tilde { e } _ { \Sigma } ^ { 2 } \wedge e _ { \phi } ^ { 1 } \Big ) - \int _ { \Sigma } \Big ( e _ { \Sigma } ^ { 1 } \wedge e _ { \phi } ^ { 2 } + e _ { \Sigma } ^ { 2 } \wedge e _ { \phi } ^ { 1 } \Big ) + \int _ { \Gamma } \Big ( f _ { b } ^ { 1 } \wedge \tilde { e } _ { \Sigma } ^ { 2 } - e _ { \phi } ^ { 2 } \wedge e _ { b } ^ { 1 } \Big ) = 0 . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { Q } _ { \mathrm { i n } } = f _ { \mathrm { i n } } ^ { Q } ( \mathbf { X } _ { \mathrm { i n } } ) = f _ { \mathrm { i n } } ^ { Q } ( \operatorname { G A P } _ { \mathrm { t h } } \left( \mathbf { F } _ { l - 1 } \right) ) , } \\ { \mathbf { K } _ { \mathrm { i n } } = f _ { \mathrm { i n } } ^ { K } ( \mathbf { X } _ { \mathrm { i n } } ) = f _ { \mathrm { i n } } ^ { K } ( \operatorname { G A P } _ { \mathrm { t h } } \left( \mathbf { F } _ { l - 1 } \right) ) , } \\ { \mathbf { V } _ { \mathrm { i n } } = f _ { \mathrm { i n } } ^ { V } ( \mathbf { X } _ { \mathrm { i n } } ) = f _ { \mathrm { i n } } ^ { V } ( \operatorname { G A P } _ { \mathrm { t h } } \left( \mathbf { F } _ { l - 1 } \right) ) , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { = } & { { } \nabla _ { \textbf { k } } \left\{ \int _ { s } ^ { t } \left[ \omega _ { g } ^ { \kappa \left( \textbf { k } , t , t ^ { \prime } \right) } + \mathbf { F } \left( t ^ { \prime } \right) \cdot \mathbf { \Lambda } _ { c v } ^ { \kappa \left( \textbf { k } , t , t ^ { \prime } \right) } \right] \mathrm { d } t ^ { \prime } + \beta _ { \mu } ^ { \mathbf { k } } - \beta _ { \| } ^ { \kappa ( \textbf { k } , t , s ) } \right\} } \\ { = } & { { } \int _ { s } ^ { t } \nabla _ { \textbf { k } } \omega _ { g } ^ { \kappa \left( \textbf { k } , t , t ^ { \prime } \right) } \mathrm { d } t ^ { \prime } + \int _ { s } ^ { t } \nabla _ { \textbf { k } } \left[ \mathbf { F } \left( t ^ { \prime } \right) \cdot \mathbf { \Lambda } _ { c v } ^ { \kappa \left( \textbf { k } , t , t ^ { \prime } \right) } \right] \mathrm { d } t ^ { \prime } + \nabla _ { \textbf { k } } \beta _ { \mu } ^ { \mathbf { k } } - \nabla _ { \textbf { k } } \beta _ { \| } ^ { \kappa ( \textbf { k } , t , s ) } . } \end{array}
\left[ \prod _ { i = 1 } ^ { 3 } B ( a _ { i } , b _ { i } ) \right] ^ { - 1 } p _ { 1 } ^ { a _ { 1 } - 1 } p _ { 2 } ^ { a _ { 2 } - 1 } p _ { 3 } ^ { a _ { 3 } - 1 } p _ { 4 } ^ { b _ { 3 } - 1 } \left( p _ { 2 } + p _ { 3 } + p _ { 4 } \right) ^ { b _ { 1 } - \left( a _ { 2 } + b _ { 2 } \right) } \left( p _ { 3 } + p _ { 4 } \right) ^ { b _ { 2 } - \left( a _ { 3 } + b _ { 3 } \right) }
\begin{array} { r } { z = - \frac { 1 - c } { \underline { { m } } } - \frac { c } { \underline { { m } } } \int \frac { \mathrm { d } H ( s , t ) } { 1 + s \underline { { g } } ( z ) + t \underline { { m } } ( z ) } , } \\ { z = - \frac { 1 } { \underline { { g } } } + c \int \frac { t \mathrm { d } H ( s , t ) } { 1 + s \underline { { g } } ( z ) + t \underline { { m } } ( z ) } . } \end{array}
\frac { \partial } { \partial t } \left( \frac { \mathbf { Q } } { J } \right) = \mathbf { R e s } _ { i , j , k } = - \frac { \partial \left( \hat { \mathbf { F } } - \hat { \mathbf { F } } ^ { \mathrm { v } } \right) } { \partial \xi } - \frac { \partial \left( \hat { \mathbf { G } } - \hat { \mathbf { G } } ^ { \mathrm { v } } \right) } { \partial \eta } - \frac { \partial \left( \hat { \mathbf { H } } - \hat { \mathbf { H } } ^ { \mathrm { v } } \right) } { \partial \zeta }
\begin{array} { l l } { { g = \langle f | H _ { e f f } | B ^ { 0 } \rangle , } } & { { h = \langle f | H _ { e f f } | \bar { B } ^ { 0 } \rangle , } } \\ { { \bar { g } = \langle \bar { f } | H _ { e f f } | \bar { B } ^ { 0 } \rangle , } } & { { \bar { h } = \langle \bar { f } | H _ { e f f } | B ^ { 0 } \rangle , } } \end{array}
\operatorname { T r } ( \rho ^ { n } ) = c _ { n } \bigg ( \frac { \epsilon ^ { 2 } x _ { 1 3 } x _ { 2 4 } } { x _ { 1 2 } x _ { 3 4 } x _ { 1 4 } x _ { 2 3 } } \bigg ) ^ { \frac { 1 } { 6 } ( n - \frac { 1 } { n } ) } \mathcal { F } _ { n } ( x , \eta ) ,
\begin{array} { r } { p _ { i j } ^ { + } \simeq \frac { k _ { i } ^ { + } ( \mathbf { A } ^ { * } ) k _ { j } ^ { + } ( \mathbf { A } ^ { * } ) } { 2 L ^ { + } ( \mathbf { A } ^ { * } ) } , } \\ { p _ { i j } ^ { - } \simeq \frac { k _ { i } ^ { - } ( \mathbf { A } ^ { * } ) k _ { j } ^ { - } ( \mathbf { A } ^ { * } ) } { 2 L ^ { - } ( \mathbf { A } ^ { * } ) } . } \end{array}
\left( \frac { \partial ^ { 2 } \phi _ { \textrm { D C } } } { \partial x ^ { 2 } } \right) = \left( \frac { \partial ^ { 2 } \phi _ { \textrm { D C } } } { \partial z ^ { 2 } } \right) = - \frac { 1 } { 2 } m \omega _ { \textrm { a x } } ^ { 2 }
\left( { \overline { { u _ { j } } } } + u _ { j } ^ { \prime } \right) { \frac { \partial \left( { \overline { { u _ { i } } } } + u _ { i } ^ { \prime } \right) } { \partial x _ { j } } } = { \frac { \partial \left( { \overline { { u _ { i } } } } + u _ { i } ^ { \prime } \right) \left( { \overline { { u _ { j } } } } + u _ { j } ^ { \prime } \right) } { \partial x _ { j } } } - \left( { \overline { { u _ { i } } } } + u _ { i } ^ { \prime } \right) { \frac { \partial \left( { \overline { { u _ { j } } } } + u _ { j } ^ { \prime } \right) } { \partial x _ { j } } } ,
\begin{array} { r l } { C _ { 4 } ^ { \prime } } & { = \frac { \tau } { \Delta t } \left( 1 - e ^ { - \Delta t / \tau } \right) - e ^ { - \Delta t / \tau } , } \\ { C _ { 5 } ^ { \prime } } & { = \tau e ^ { - \Delta t / \tau } - \frac { \tau ^ { 2 } } { \Delta t } ( 1 - e ^ { - \Delta t / \tau } ) + \frac 1 2 \Delta t e ^ { - \Delta t / \tau } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { F _ { x c } \left[ \tilde { n } + \hat { n } + \tilde { n } _ { c } + n ^ { h } \right] + \overline { { F _ { x c } \left[ n ^ { 1 } + n _ { c } + n ^ { h } \right] } } } \\ & { } & { - ~ \overline { { F _ { x c } \left[ \tilde { n } ^ { 1 } + \hat { n } + \tilde { n } _ { c } + n ^ { h } \right] } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \delta g _ { B G } } & { = } & { - e ^ { i Q _ { G } } \frac { e } { m } \frac { \partial \bar { F } _ { 0 } } { \partial \mathcal { E } } J _ { 0 } \delta \phi _ { G } + \sum _ { l } \left[ \frac { l \omega _ { b } \omega _ { G } } { \omega _ { G } ^ { 2 } - l ^ { 2 } \omega _ { b } ^ { 2 } } i \sin l \vartheta _ { c } + \frac { l ^ { 2 } \omega _ { b } ^ { 2 } } { \omega _ { G } ^ { 2 } - l ^ { 2 } \omega _ { b } ^ { 2 } } \cos l \vartheta _ { c } \right] } \\ & { } & { \times \left[ - \overline { { e ^ { i Q _ { G } } \cos l \vartheta _ { c } \frac { e } { m } \frac { \partial \bar { F } _ { 0 } } { \partial \mathcal { E } } J _ { 0 } } } \right] \left[ \delta \phi _ { G } \right] _ { \psi } + \sum _ { l } \left[ \frac { l \omega _ { b } \omega _ { G } } { \omega _ { G } ^ { 2 } - l ^ { 2 } \omega _ { b } ^ { 2 } } i \sin l \vartheta _ { c } \right. } \\ & { } & { \left. + \frac { l ^ { 2 } \omega _ { b } ^ { 2 } } { \omega _ { G } ^ { 2 } - l ^ { 2 } \omega _ { b } ^ { 2 } } \cos l \vartheta _ { c } \right] \left[ - \overline { { e ^ { i Q _ { G } } \cos l \vartheta _ { c } \frac { e } { m } \frac { \partial \bar { F } _ { 0 } } { \partial \mathcal { E } } J _ { 0 } \delta \hat { \phi } _ { G } } } \right] } \\ & { } & { + \sum _ { l } \left[ \frac { l \omega _ { b } \omega _ { G } } { \omega _ { G } ^ { 2 } - l ^ { 2 } \omega _ { b } ^ { 2 } } \cos l \vartheta _ { c } + \frac { l ^ { 2 } \omega _ { b } ^ { 2 } } { \omega _ { G } ^ { 2 } - l ^ { 2 } \omega _ { b } ^ { 2 } } i \sin l \vartheta _ { c } \right] } \\ & { } & { \times \left[ \overline { { e ^ { i Q _ { G } } i \sin l \vartheta _ { c } \frac { e } { m } \frac { \partial \bar { F } _ { 0 } } { \partial \mathcal { E } } J _ { 0 } \delta \hat { \phi } _ { G } } } \right] \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { Z \cap H _ { + } ^ { \prime } = 0 , } \\ & { L _ { \mathbb { R } } \cap A = 0 \quad \mathrm { w h e r e } \quad L _ { \mathbb { R } } : = L \otimes _ { \mathbb { Z } } \mathbb { R } \quad \mathrm { a n d } \quad A : = F ^ { \perp } \cap H _ { + } ^ { \prime } , } \\ & { \frac { 1 } { 2 \pi i } \, \langle \, , \, \rangle \, \, \mathrm { i s ~ u n i m o d u l a r ~ o n ~ L ~ . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( { \mathfrak S } ^ { e } { \mathfrak f } ) ( A ) = } & { \frac { 1 } { 2 } \sum _ { x , y \in \mathbb Z _ { \star } ^ { d } } s ( y - x ) [ { \mathfrak f } ( A _ { x , y } ) - { \mathfrak f } ( A ) ] , } \\ { ( { \mathfrak S } ^ { t } { \mathfrak f } ) ( A ) = } & { ( 1 - \rho ) \sum _ { z \notin A , \atop z \in \mathbb Z _ { \star } ^ { d } } s ( z ) [ { \mathfrak f } ( \theta _ { - z } A ) - { \mathfrak f } ( A ) ] + \rho \sum _ { z \in A } s ( z ) [ { \mathfrak f } ( \theta _ { - z } A ) - { \mathfrak f } ( A ) ] } \\ & { + \sqrt { \rho ( 1 - \rho ) } \sum _ { z \notin A , \atop z \in \mathbb Z _ { \star } ^ { d } } s ( z ) [ { \mathfrak f } ( A \cup \{ z \} ) - { \mathfrak f } ( \theta _ { - z } ( A \cup \{ z \} ) ) ] } \\ & { + \sqrt { \rho ( 1 - \rho ) } \sum _ { z \in A } s ( z ) [ { \mathfrak f } ( A \backslash \{ z \} ) - { \mathfrak f } ( \theta _ { - z } ( A \backslash \{ z \} ) ) ] . } \end{array}