harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { d H \left( Y + \widehat { V } \right) \neq 0 } & { \quad \mathrm { o n } \quad S \subseteq M \times T ^ { * } { \mathbb R } ^ { k } , } \\ { d H _ { \operatorname { M c G } } \left( Y + \widetilde { V } \right) \neq 0 } & { \quad \mathrm { o n } \quad H _ { \operatorname { M c G } } ^ { - 1 } ( 0 ) \cap \left( M \times \{ | z | < \sqrt { 2 } \} \right) \subseteq \widetilde { X } , } \end{array}
R ( x , G ) = M S E - M S E ^ { o } = T r ( G C _ { w } G ^ { * } ) + x ^ { * } ( I - G H ) ^ { * } ( I - G H ) x - { \frac { x ^ { * } x } { 1 + x ^ { * } H ^ { * } C _ { w } ^ { - 1 } H x } } .
\begin{array} { c c c } { { R _ { \pm } = [ ( r / 2 \mp z ) ^ { 2 } + \rho ^ { 2 } ] ^ { 1 / 2 } } } & { { \mathrm { ~ , ~ } } } & { { \hat { R } _ { + } \cdot \hat { R } _ { - } = ( R _ { + } ^ { 2 } + R _ { - } ^ { 2 } - r ^ { 2 } ) / ( 2 R _ { + } R _ { - } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { I m } ( c ) = { \frac { 2 } { | \xi | } } \sin ( \theta ) } & { + \left[ \left( - { \frac { 3 } { 2 e ^ { 2 } } } + { \frac { e ^ { 2 } } { 4 } } \right) \sin ( \theta ) + \cdots \right] } \\ & { + | \xi | \left[ - \left( { \frac { 7 } { 2 4 } } + { \frac { e ^ { 4 } } { 1 9 2 } } \right) \sin ( \theta ) + \left( - { \frac { 5 } { 4 e ^ { 2 } } } + { \frac { e ^ { 2 } } { 1 6 } } \right) \sin ( 2 \theta ) + \cdots \right] + \cdots \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \sigma ^ { 2 } } & { = } & { \langle k ^ { 2 } \rangle - \langle k \rangle ^ { 2 } } \\ & { = } & { \frac { 1 } { N } ( d _ { 1 } ^ { 2 } \times N _ { 1 } + d _ { 2 } ^ { 2 } \times N _ { 2 } ) - d ^ { 2 } } \\ & { = } & { \frac { 1 } { N } \left( d _ { 1 } ^ { 2 } \frac { d _ { 2 } - d } { \Delta d } N + d _ { 2 } ^ { 2 } \frac { d - d _ { 1 } } { \Delta d } N \right) - d ^ { 2 } } \\ & { = } & { \frac { d _ { 1 } ^ { 2 } ( d _ { 2 } - d ) + d _ { 2 } ^ { 2 } ( d - d _ { 1 } ) } { d _ { 2 } - d _ { 1 } } - d ^ { 2 } } \\ & { = } & { ( d _ { 2 } - d ) ( d - d _ { 1 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { n } - S _ { m } } & { { } = \sum _ { k = 0 } ^ { n } ( - 1 ) ^ { k } \, a _ { k } \, - \, \sum _ { k = 0 } ^ { m } \, ( - 1 ) ^ { k } \, a _ { k } \ = \sum _ { k = m + 1 } ^ { n } \, ( - 1 ) ^ { k } \, a _ { k } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bigl [ \hat { B } , \, \hat { a } _ { \mu } \bigr ] } & { { } = i \sum _ { \nu } \varphi _ { \nu } \bigl [ \hat { a } _ { \nu } ^ { \dagger } , \, \hat { a } _ { \mu } \bigr ] } \end{array}
\frac { 1 } { 2 } \left( 1 + \mathrm { \boldmath ~ \ s i g m a ~ } _ { j } \! \cdot \! \mathrm { \boldmath ~ \ s i g m a ~ } _ { k } \right) \mathrm { \boldmath ~ \ s i g m a ~ } _ { j } \times \mathrm { \boldmath ~ \ s i g m a ~ } _ { k } \cdot { \bf B } = - i \left( \mathrm { \boldmath ~ \ s i g m a ~ } _ { j } - \mathrm { \boldmath ~ \ s i g m a ~ } _ { k } \right) \! \cdot \! { \bf B } ,
{ \frac { d } { d t } } { \frac { \partial T } { \partial { \dot { x } } } } - { \frac { \partial T } { \partial x } } = F _ { x } + \lambda { \frac { \partial f } { \partial x } } , \quad { \frac { d } { d t } } { \frac { \partial T } { \partial { \dot { y } } } } - { \frac { \partial T } { \partial y } } = F _ { y } + \lambda { \frac { \partial f } { \partial y } } .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ \mathsf { T O C } _ { 0 } ( \operatorname* { m i n } \{ T _ { \varepsilon } , n \} ) ] } & { \leq n \, \sum _ { l = 1 } ^ { n } \operatorname* { m i n } \left\{ 1 , n \left( \frac { q } { p } \right) ^ { l } + \frac { 2 \sqrt { p q } } { ( 1 - 2 \sqrt { p q } ) ^ { 2 } } ( 2 q ) ^ { l } \right\} \cdot \mathsf { o c } _ { 0 } ( \bar { \alpha } \gamma ^ { l } ) + n \, \mathsf { o c } _ { 0 } ( \bar { \alpha } ) } \\ & { \leq n \underbrace { \sum _ { l = 1 } ^ { n } \operatorname* { m i n } \left\{ 1 , n \left( \frac { q } { p } \right) ^ { l } \right\} \cdot \mathsf { o c } _ { 0 } ( \bar { \alpha } \gamma ^ { l } ) } _ { = : A } } \\ & { \qquad \qquad + \frac { 2 n \sqrt { p q } } { ( 1 - 2 \sqrt { p q } ) ^ { 2 } } \underbrace { \sum _ { l = 1 } ^ { n } \left( 2 q \right) ^ { l } \cdot \mathsf { o c } _ { 0 } ( \bar { \alpha } \gamma ^ { l } ) } _ { = : B } + n \, \mathsf { o c } _ { 0 } ( \bar { \alpha } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu ( t ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { b \big ( \frac { f ( t , m ) } { f ( t , m = 0 ) } \big ) ^ { \beta / \alpha } e ^ { \beta t } } & { t < t _ { o n } } \\ { b \bigg ( \frac { ( f ( t _ { o n } ) + m ) e ^ { - \alpha t _ { o n } } } { a } \bigg ) ^ { \beta / \alpha } e ^ { \beta t } = b \big ( \frac { f ( t , m ) } { f ( t , m = 0 ) } \big ) ^ { \beta / \alpha } e ^ { \beta t } } & { t _ { o n } \leq t < t _ { e n d } } \\ { b \bigg ( \frac { ( f ( t _ { e n d } , m = 0 ) + \Delta f ) e ^ { - \alpha t _ { e n d } } } { a } \bigg ) ^ { \beta / \alpha } e ^ { \beta t } = b \big ( \frac { f ( t , m ) } { f ( t , m = 0 ) } \big ) ^ { \beta / \alpha } e ^ { \beta t } } & { t _ { e n d } \leq t . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde { \beta } ( ( r _ { k , i } ^ { + } , r _ { k , i } ^ { - } ) , ( r _ { \ell , j } ^ { + } , r _ { \ell , j } ^ { - } ) ) } & { = \underbrace { \widetilde { \beta } ( ( w _ { k , i } ^ { + } , w _ { k , i } ^ { - } ) , ( w _ { \ell , j } ^ { + } , w _ { \ell , j } ^ { - } ) ) } _ { = \delta _ { i j } \delta _ { k 0 } \delta _ { \ell 0 } } + \underbrace { \widetilde { \beta } ( ( t _ { k , i } , t _ { k , i } ) , ( t _ { \ell , j } , t _ { \ell , j } ) ) } _ { = 0 } } \\ & { + \underbrace { \widetilde { \beta } ( ( w _ { k , i } ^ { + } , w _ { k , i } ^ { - } ) , ( t _ { \ell , j } , t _ { \ell , j } ) ) } _ { t _ { \ell , j } ^ { k , i } } + \underbrace { \widetilde { \beta } ( ( w _ { k , i } ^ { + } , w _ { k , i } ^ { - } ) , ( t _ { \ell , j } , t _ { \ell , j } ) ) } _ { t _ { k , i } ^ { \ell , j } } } \\ & { = t _ { k , i } ^ { \ell , j } + t _ { \ell , j } ^ { k , i } + \delta _ { i j } \delta _ { k 0 } \delta _ { \ell 0 } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { \theta } _ { Y : \mathit { E } . \mathit { F } } } & { = } & { \{ X _ { \mathit { E } } ^ { T } ( I - P _ { \mathit { F } } ) X _ { \mathit { E } } \} ^ { - 1 } X _ { \mathit { E } } ^ { T } ( I - P _ { \mathit { F } } ) Y } \\ { \hat { \theta } _ { Y : \mathit { F } . \mathit { E } } } & { = } & { \{ X _ { \mathit { F } } ^ { T } ( I - P _ { \mathit { E } } ) X _ { \mathit { F } } \} ^ { - 1 } X _ { \mathit { F } } ^ { T } ( I - P _ { \mathit { E } } ) Y . } \end{array}
\kappa _ { 0 } = - k ^ { 2 } / 4 \ , \quad \kappa _ { 1 } / \kappa _ { 0 } = a + 1 / 2 \ , \quad { \kappa _ { 2 } / \kappa _ { 0 } = \ln ( \sqrt { 2 \pi } / G _ { + } ( i ) ) - 1 } + \ln k + a ( \gamma _ { \mathrm { E } } - 1 + \ln 8 ) - b \ .
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { \tilde { r } } \frac { \partial } { \partial \tilde { r } } \left[ \tilde { r } \frac { \partial \tilde { E } _ { 1 } ^ { z } } { \partial \tilde { r } } \right] - \frac { \tilde { E } _ { 1 } ^ { z } } { \tilde { r } ^ { 2 } } = - \frac { 2 \nu g } { \tilde { r } } \frac { \partial } { \partial \tilde { r } } \left\{ \frac { 2 \tilde { r } ^ { 2 } - r _ { b } ^ { 2 } } { 2 \sqrt { \tilde { r } ^ { 2 } - r _ { b } ^ { 2 } } } \theta ( \tilde { r } - r _ { b } ) \right\} . } \end{array}
\frac { i } { 2 } \mathrm { T r } \left( \frac { 1 } { - \partial ^ { 2 } - m ^ { 2 } } \hat { T } _ { x } ^ { ( 0 ) } \frac { 1 } { - \partial ^ { 2 } - m ^ { 2 } } \sigma \right) \, .
\mathcal { F } _ { \omega } ^ { - 1 } ( \mathbf { 1 } _ { | \widetilde { \omega } | \leq z _ { 0 } ^ { - 1 } | m | ( r - 1 ) } \mathbf { 1 } _ { m \widetilde { \omega } < 0 } ) ( t , r ) = \frac { e ^ { i \frac { m } { 2 } t } } { \sqrt { 2 \pi } } \int _ { 0 } ^ { z _ { 0 } ^ { - 1 } | m | ( r - 1 ) } e ^ { i \widetilde { \omega } t } \, d \widetilde { \omega } = \frac { e ^ { i \frac { m } { 2 } t } } { i \sqrt { 2 \pi } t } ( 1 - e ^ { i z _ { 0 } ^ { - 1 } m ( r - 1 ) t } ) .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial P ( L , \tau | L _ { f } , \tau _ { f } , L _ { 0 } , \tau _ { 0 } ) } { \partial \tau } } & { { } = \frac { \partial } { \partial L } \left[ \left( f ( L ) - D \frac { \partial } { \partial L } \log P ^ { \mathrm { f w } } ( L , T - \tau | L _ { f } , 0 ) \right) P ( L , \tau | L _ { f } , \tau _ { f } , L _ { 0 } , \tau _ { 0 } ) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tilde { \ell } _ { 2 } ( \nabla \varphi ) } & { = } & { ( \boldsymbol { f } , \nabla \varphi ) - ( \kappa \boldsymbol { u } _ { h } , \nabla \varphi ) + ( \kappa ( \boldsymbol { u } _ { h } - \tilde { \boldsymbol { u } } _ { h } ) , \nabla \varphi ) } \\ & { \leq } & { \sum _ { \tau \in \mathcal { T } _ { h } } ( R _ { 3 } ( \boldsymbol { u } _ { h } ) , \varphi ) _ { 0 , \tau } + \sum _ { f \in \mathcal { F } _ { h } } < J _ { 2 } ( \boldsymbol { u } _ { h } ) , \varphi > _ { 0 , f } + ( \kappa ( \boldsymbol { u } _ { h } - \tilde { \boldsymbol { u } } _ { h } ) , \nabla \varphi ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { { \mathbb R } ^ { N } } \int _ { { \mathbb R } ^ { N } } \mathcal { H } } & { \left( \frac { | u _ { n } ( x ) - u _ { n } ( y ) | } { | x - y | ^ { s } } \right) \frac { d x \ d y } { | x - y | ^ { N } } + \int _ { { \mathbb R } ^ { N } } V ( x ) \mathcal { H } _ { x } ( x , | u _ { n } | ) d x } \\ & { - \frac { 1 } { 2 } \int _ { { \mathbb R } ^ { N } } \int _ { { \mathbb R } ^ { N } } \frac { K ( x ) K ( y ) F ( u _ { n } ( x ) ) F ( u _ { n } ( y ) ) } { | x - y | ^ { \lambda } } d x d y = c _ { M } + \delta _ { n } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varphi ( B ) } & { { } = { \frac { - 1 } { \varphi ( A ) } } , } \\ { \varphi ( C ) } & { { } = { \frac { 1 } { \varphi ( A ) } } , } \\ { \varphi ( D ) } & { { } = - \varphi ( A ) . } \end{array}
d ^ { a b c } ~ F _ { i } ^ { a } ~ F _ { j } ^ { b } ~ F _ { k } ^ { c } = \frac { 1 } { 6 } ~ [ ~ C _ { i + j + k } ^ { ( 3 ) } - \frac { 5 } { 2 } C _ { i + j + k } ^ { ( 2 ) } + \frac { 2 0 } { 3 } ~ ]
\begin{array} { r l } { u = \frac { \partial u } { \partial n } = 0 \quad } & { a . e . \ ( t , x ) \in [ 0 , T ] \times \partial \Omega } \\ { \psi = \frac { \partial \psi } { \partial n } = \frac { \partial ^ { 2 } \psi } { \partial n ^ { 2 } } = \frac { \partial ^ { 3 } \psi } { \partial n ^ { 3 } } = 0 \quad } & { a . e . \ ( t , x ) \in ( 0 , T ] \times \partial \Omega } \end{array}
\begin{array} { r l } & { R _ { p } C \dot { \boldsymbol { \Psi } } ( t ) = \frac { n ^ { 2 } R _ { p } } { n R _ { r } + R _ { p } } \Psi ( t ) \mathbf { e } _ { 1 } + n ^ { 2 } M _ { 1 } \boldsymbol { \Psi } ( t ) - \frac { R _ { p } } { R _ { F } } \boldsymbol { \Psi } ( t ) \, , } \\ & { M _ { 1 } = \left[ \begin{array} { l l l l l } { - 1 - r / ( R _ { r } + r ) } & { 1 } & & & \\ { 1 } & { - 2 } & { 1 } & & \\ & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & \\ & & { 1 } & { - 2 } & { 1 } \\ & & & { 1 } & { - 1 } \end{array} \right] \, . } \end{array}
\frac { \sum _ { k = \chi _ { i } ( 0 ) N + 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { F _ { i } ( k ) } } { \sum _ { k = \chi _ { i } ( 0 ) N } ^ { \infty } \frac { 1 } { F _ { i } ( k ) } } = 1 - \frac { 1 } { F _ { i } ( \chi _ { i } ( 0 ) N ) \sum _ { k = \chi _ { i } ( 0 ) N } ^ { \infty } \frac { 1 } { F _ { i } ( k ) } } \le 1 - \frac { 1 } { C \chi _ { i } ( 0 ) N }
u _ { M } ( \boldsymbol { x } , t ) = \sum _ { i _ { x } = 1 } ^ { N _ { x } } \sum _ { i _ { t } = 1 } ^ { N _ { t } } \psi _ { i _ { x } } ( \boldsymbol { x } ) \psi _ { i _ { t } } ( t ) \sum _ { j = 1 } ^ { J _ { n } } u _ { i _ { x } , i _ { t } , j } \phi _ { i _ { x } , i _ { t } , j } ( \boldsymbol { x } , t ) ,
{ \begin{array} { r l } { m ( s _ { 1 } , s _ { 1 } ) } & { = 0 , \quad \left. { \frac { d m ( s _ { 1 } , s _ { 2 } ) } { d s _ { 2 } } } \right| _ { s _ { 2 } = s _ { 1 } } = 1 , } \\ { M ( s _ { 1 } , s _ { 1 } ) } & { = 1 , \quad \left. { \frac { d M ( s _ { 1 } , s _ { 2 } ) } { d s _ { 2 } } } \right| _ { s _ { 2 } = s _ { 1 } } = 0 . } \end{array} }
\mathbb { E } \left[ \frac { 1 } { s } \left\langle { \boldsymbol Y } _ { * j } ^ { ( k ) } , \tilde { { \boldsymbol u } } ^ { ( k ) } \right\rangle \right] = \langle { \boldsymbol p } , \tilde { { \boldsymbol u } } ^ { ( k ) } \rangle r _ { j } ^ { ( k ) } = \| { \boldsymbol p } \| _ { 2 } \| \tilde { { \boldsymbol u } } ^ { ( k ) } \| _ { 2 } ( \cos \theta ) r _ { j } ^ { ( k ) } = \Theta ( \sqrt { n } )
\mathbf h _ { v } ^ { l + 1 } = \phi ^ { l + 1 } \left( \mathbf h _ { v } ^ { l } , \Psi ( \{ \psi ^ { l + 1 } ( \mathbf h _ { u } ^ { l } ) | u \in \mathcal N _ { v } \} ) \right) , \forall l = 1 \dots L
\mathbf { I } _ { i } = p \mathbb { I } \nabla \varphi _ { i } + \sum _ { j \in \mathcal { C } } ^ { j \neq i } \mathbf { K } \varphi _ { i } \varphi _ { j } \left( \mathbf { v } _ { j } - \mathbf { v } _ { i } \right)
d s ^ { 2 } = - { \tilde { n } } ^ { 2 } ( { \tilde { x } } ^ { \mu } , { \tilde { z } } ) \, d { \tilde { \tau } } ^ { 2 } + { \tilde { a } } ^ { 2 } ( { \tilde { x } } ^ { \mu } , { \tilde { z } } ) \, d { \tilde { x } } _ { i } ^ { 2 } + { \tilde { b } } ^ { 2 } ( { \tilde { x } } ^ { \mu } , { \tilde { z } } ) \, d { \tilde { z } } ^ { 2 } .
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { B } & { { } = 2 \frac { \partial ( \rho E - \rho E _ { r } - \rho E _ { v } ) } { \partial x } - ( \boldsymbol { U } ^ { 2 } + \frac { 3 } { 2 \lambda _ { t } } ) \frac { \partial \rho } { \partial x } , } \\ { R _ { 1 } } & { { } = 2 \frac { \partial \rho U } { \partial x } - 2 U \frac { \partial \rho } { \partial x } , } \\ { R _ { 2 } } & { { } = 2 \frac { \partial \rho V } { \partial x } - 2 V \frac { \partial \rho } { \partial x } , } \\ { R _ { 3 } } & { { } = 2 \frac { \partial \rho W } { \partial x } - 2 W \frac { \partial \rho } { \partial x } . } \end{array} } \end{array}
\frac { 1 } { \Lambda ^ { 2 } } \int \frac { d ^ { 2 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } K ^ { \prime } ( k ^ { 2 } / \Lambda ^ { 2 } ) \int d ^ { 2 } x \frac { \partial ^ { 2 } { \cal V } } { \partial \phi \partial \phi } ( x ) = - \gamma _ { 1 } \int d ^ { 2 } x \frac { \partial ^ { 2 } { \cal V } } { \partial \phi \partial \phi } ( x )
\begin{array} { r l } { \mathcal { F } _ { 0 } ( z ) } & { { } = \mathcal { F } _ { \mathrm { i n } } ( z ) , } \\ { \mathcal { F } _ { j } ( z ) } & { { } = \mathcal { B } ( z ; z _ { j } ) \mathcal { F } _ { j - 1 } ( z ) , \quad \mathrm { f o r } \ 1 \leq j \leq n _ { 0 } , } \\ { \mathcal { F } _ { \mathrm { o u t } } ( z ) } & { { } = d _ { 0 } \mathcal { F } _ { n _ { 0 } } ( z ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { G } ^ { \star } } & { : = [ \mathbb { I } _ { d } \otimes ( \Phi \Theta ( \mathbf { u } ^ { \star } ) ) ] , } \\ { \mathbf { b } } & { : = \underbrace { - \mathsf { v e c } ( \dot { \Phi } \mathbf { u } ^ { \star } ) } _ { \begin{array} { c } { \mathbf { b } ^ { \star } } \end{array} } + \underbrace { - \textsf { v e c } ( \dot { \Phi } \, \pmb { \varepsilon } ) } _ { \begin{array} { c } { \mathbf { b } ^ { \pmb { \varepsilon } } } \end{array} } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \mathbb { H } \longrightarrow T ( \mathbb { T } ^ { 2 } ) } \\ { \tau \longmapsto ( \mathbb { C } / ( \mathbb { Z } + \tau \mathbb { Z } ) , ( x , y ) \mapsto x + \tau y ) } \end{array} \right.
\operatorname { c d f } _ { \mathrm { M J } } ( \gamma ) = { \frac { 1 } { \theta \operatorname { K } _ { 2 } \left( { \frac { 1 } { \theta } } \right) } } \int _ { 1 } ^ { \gamma } { \gamma ^ { \prime } } ^ { 2 } { \sqrt { 1 - { \frac { 1 } { { \gamma ^ { \prime } } ^ { 2 } } } } } \, e ^ { - \gamma ^ { \prime } / \theta } \mathrm { d } \gamma ^ { \prime }
\begin{array} { r l r } & { } & { ( { \bf v } \cdot \nabla ) \, { \hat { \sigma } } ( { \bf r } , { \bf v } ) = } \\ & { } & { - \frac { i } { \hbar } \left[ { \widehat { \widetilde H } } _ { i n t } + { \widehat { \widetilde W } } ( { \bf r } ) , { \hat { \sigma } } ( { \bf r } , { \bf v } ) \right] + { \hat { \Gamma } } ^ { ( 0 ) } \left\{ { \hat { \sigma } } ( { \bf r } , { \bf v } ) \right\} \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { \Pi } _ { m } ^ { A } } & { = \mathrm { i } \sqrt { \frac { M \hbar \omega _ { 0 } } { 2 } } \left( { a _ { m } } ^ { \dagger } - a _ { m } ^ { \phantom { \dagger } } \right) \hat { x } , } \\ { \mathbf { \Pi } _ { m } ^ { B } } & { = \mathrm { i } \sqrt { \frac { M \hbar \omega _ { 0 } } { 2 } } \left( { b _ { m } } ^ { \dagger } - b _ { m } ^ { \phantom { \dagger } } \right) \hat { x } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \eta ( \Theta _ { t } ( x ^ { \prime } ) ) = \eta ( \Theta _ { 0 } ( x ^ { \prime } ) ) + \int _ { 0 } ^ { t } \eta ^ { \prime } ( \Theta _ { s } ( x ^ { \prime } ) ; F ( \Theta _ { s } ( x ^ { \prime } ) ) ) d s \geq \eta ( \Theta _ { 0 } ( x ^ { \prime } ) ) + \int _ { 0 } ^ { t } c \eta ( \Theta _ { s } ( x ^ { \prime } ) ) d s . } \end{array}
U ^ { - 1 } ( z _ { 1 } , \dots , z _ { N _ { p } } ) = P \exp \left[ - { \frac { 1 } { 2 \pi \kappa } } \int _ { \Gamma } \sum _ { \alpha } d z _ { \alpha } ^ { \prime } \sum _ { \beta \not = \alpha } \hat { Q } _ { \alpha } ^ { a } \hat { Q } _ { \beta } ^ { a } \frac { 1 } { z _ { \alpha } ^ { \prime } - z _ { \beta } ^ { \prime } } \right]
F _ { 1 } = \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { e } { m } \right) ^ { 3 } \frac { 3 i \omega _ { m w } E _ { m w 0 } ^ { 3 } } { c ^ { 2 } ( \omega _ { m w } ^ { 2 } - \omega _ { c } ^ { 2 } ) ( \omega _ { c } ^ { 2 } - 9 \omega _ { m w } ^ { 2 } ) } \quad F _ { 2 } = - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { e } { m } \right) ^ { 3 } \frac { \omega _ { c } E _ { m w 0 } ^ { 3 } } { c ^ { 2 } ( \omega _ { m w } ^ { 2 } - \omega _ { c } ^ { 2 } ) ( \omega _ { c } ^ { 2 } - 9 \omega _ { m w } ^ { 2 } ) }
{ \frac { 1 6 \pi ^ { 2 } } { g _ { 0 } ^ { 2 } ( \Lambda ) } } \equiv { \frac { 1 } { \hat { g } _ { 0 } ^ { 2 } ( \Lambda ) } } = \beta _ { 0 } \ln { \frac { \Lambda ^ { 2 } } { \lambda _ { P } ^ { 2 } } } + \mathrm { c o n s t . }
\hat { \mathrm { P } } = \hat { \mathrm { P } } _ { + } - \hat { \mathrm { P } } _ { - } - \frac { e _ { + } ^ { 2 } \mathrm { L } } { 2 \pi } ( 1 - \mathrm { N } ^ { 2 } ) \sum _ { p > 0 } { \alpha } _ { - p } { \alpha } _ { p } ,
\begin{array} { r l } { \tilde { F } _ { n } } & { = ( z \operatorname { I } - B _ { n } ) \Big ( Q _ { n } ( z ) \big ( P _ { n } ( \overline { { z } } ) \big ) ^ { * } - P _ { n } ( z ) \big ( Q _ { n } ( \overline { { z } } ) \big ) ^ { * } \Big ) F _ { n } } \\ & { - A _ { n - 1 } ^ { * } \Big ( Q _ { n - 1 } ( z ) \big ( P _ { n } ( \overline { { z } } ) \big ) ^ { * } - P _ { n - 1 } ( z ) \big ( Q _ { n } ( \overline { { z } } ) \big ) ^ { * } \Big ) F _ { n } } \\ & { - A _ { n - 1 } ^ { * } \Big ( Q _ { n - 1 } ( z ) \big ( P _ { n - 1 } ( \overline { { z } } ) \big ) ^ { * } - P _ { n - 1 } ( z ) \big ( Q _ { n - 1 } ( \overline { { z } } ) \big ) ^ { * } \Big ) F _ { n - 1 } . } \end{array}
S _ { 1 2 } \left( E _ { 3 } \right) = \frac { 1 } { 1 + \delta _ { 1 2 } } \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \left[ \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } v _ { r } \mathcal { K } _ { 1 2 } d \phi _ { 2 } \right] v _ { \perp 1 } v _ { \perp 2 } f _ { 1 } f _ { 2 } d v _ { \parallel 1 } d v _ { \parallel 2 } d v _ { \perp 1 } d v _ { \perp 2 } ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { K } ^ { \varepsilon } \mathbf { g } \left( \gamma _ { t } \right) } & { { } = \mathbf { g } \left( \theta ^ { \varepsilon } \left( \gamma _ { t } \right) \right) = \mathbf { g } \left( \gamma _ { t + \varepsilon } \right) , \; \forall t \times T , } \\ { \mathcal { K } _ { t } ^ { t + \varepsilon } \mathbf { g } \left( \gamma _ { t } \right) } & { { } = \mathbf { g } \left( \theta _ { t } ^ { t + \varepsilon } \left( \gamma _ { t } \right) \right) = \mathbf { g } \left( \gamma _ { t + \varepsilon } \right) , \; \forall t \leq t + \varepsilon \in T , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { n } | \hat { \rho } _ { n } ( \mathbf { b } ) | } & { { } = \sum _ { n } \frac { 1 } { N } \sqrt { \left( \sum _ { \mathbf { k } } C _ { n , n } ^ { \mathbf { k } , \mathbf { k } + \mathbf { b } } \right) ^ { 2 } + \left( \sum _ { \mathbf { k } } D _ { n , n } ^ { \mathbf { k } , \mathbf { k } + \mathbf { b } } \right) ^ { 2 } } , } \\ { \sum _ { n } \frac { \partial | \hat { \rho } _ { n } ( \mathbf { b } ) | } { \partial U _ { i , j } ^ { \mathbf { k } } } } & { { } = \sum _ { n , \mathbf { h } } \frac { \partial | \hat { \rho } _ { n } ( \mathbf { b } ) | } { \partial C _ { n , n } ^ { \mathbf { h } , \mathbf { h } + \mathbf { b } } } \left( \frac { \partial C _ { n , n } ^ { \mathbf { h } , \mathbf { h } + \mathbf { b } } } { \partial X _ { i , j } ^ { \mathbf { k } } } + i \frac { \partial C _ { n , n } ^ { \mathbf { h } , \mathbf { h } + \mathbf { b } } } { \partial Y _ { i , j } ^ { \mathbf { k } } } \right) + \frac { \partial | \hat { \rho } _ { n } ( \mathbf { b } ) | } { \partial D _ { n , n } ^ { \mathbf { h } , \mathbf { h } + \mathbf { b } } } \left( \frac { \partial D _ { n , n } ^ { \mathbf { h } , \mathbf { h } + \mathbf { b } } } { \partial X _ { i , j } ^ { \mathbf { k } } } + i \frac { \partial D _ { n , n } ^ { \mathbf { h } , \mathbf { h } + \mathbf { b } } } { \partial Y _ { i , j } ^ { \mathbf { k } } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | E _ { 2 , 2 } | } & { = 6 , } \\ { | E _ { 2 , 3 } | } & { = 4 , } \\ { | E _ { 3 , 3 } | } & { = 1 , } \\ { | E _ { ( 4 , 4 ) } | } & { = 2 , } \\ { | E _ { ( 4 , 5 ) } | } & { = 4 , } \\ { | E _ { ( 5 , 7 ) } | } & { = 4 , } \\ { | E _ { ( 7 , 7 ) } | } & { = 1 , } \\ { | E _ { [ 6 , 6 ] } | } & { = 2 , } \\ { | E _ { [ 6 , 7 ] } | } & { = 4 , } \\ { | E _ { [ 7 , 1 0 ] } | } & { = 4 , } \\ { | E _ { [ 1 0 , 1 0 ] } | } & { = 1 . } \end{array}
\Lambda ( L , \lambda ) = \sum _ { l = 1 } ^ { 3 } \left[ a _ { l } ( \lambda ) \right] ^ { L } G _ { l } \left( \lambda , \{ \lambda _ { j } ^ { \alpha } \} \right) + \left[ a _ { 4 } ( \lambda ) \right] ^ { L } G _ { 4 } \left( \lambda , \{ \lambda _ { j } ^ { \alpha } \} \right) + \sum _ { l = 1 } ^ { 3 } \left[ - a _ { l } ( - \lambda - 6 ) \right] ^ { L } G _ { l } \left( - 6 - \lambda , \{ - \lambda _ { j } ^ { \alpha } \} \right)
\begin{array} { r l } { ( G A ) _ { l j } } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { I } G _ { l i } A _ { i j } = \sum _ { i = 1 } ^ { I } \lambda _ { i } ^ { * } \mathbf { 1 } _ { \left\{ i \in \mathcal { S } _ { l } \right\} } \mathbf { 1 } _ { \left\{ s ( j ) = i \right\} } = \lambda _ { s ( j ) } ^ { * } \mathbf { 1 } _ { \left\{ s ( j ) \in \mathcal { S } _ { l } \right\} } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial L o s s _ { s } } { \partial X _ { u } ^ { [ j ] } } } & { = \frac { \partial L o s s _ { s } } { \partial R _ { u } ^ { [ N _ { B } ^ { u } ] } } \cdot \prod _ { k = j } ^ { ( i + 1 ) N _ { h } ^ { u } } \frac { \partial X _ { u } ^ { [ k + 1 ] } } { \partial X _ { u } ^ { [ k ] } } \cdot \prod _ { k = i + 1 } ^ { N _ { B } ^ { u } - 1 } \left[ \mathcal { K } ^ { u } + \frac { 1 } { \partial R _ { u } ^ { [ k ] } } \left( \mathcal { L } _ { k } ( R _ { u } ^ { [ k ] } ) \right) \right] , } \end{array}
\langle i | P ^ { - } | j k \rangle = \left[ ( p _ { i } ^ { - } - p _ { j } ^ { -- } p _ { k } ^ { - } ) \sqrt { \frac { J _ { j } J _ { k } } { J _ { i } } } C _ { i j k } \right] p _ { i } ^ { + } \delta ( p _ { i } ^ { + } - p _ { j } ^ { + } - p _ { k } ^ { + } )
\begin{array} { r l } { f _ { 2 , n } ( x , \theta , x _ { 1 } , \theta _ { 1 } ) } & { { } { } = { } f _ { n } ( x , \theta ) f _ { n } ( x _ { 1 } , \theta _ { 1 } ) } \\ { f _ { 2 , n } ( x , \theta , x _ { 1 } , \theta _ { 1 } + \pi ) } & { { } { } = { } f _ { n } ( x , \theta ) f _ { n } ( x _ { 1 } , \theta _ { 1 } + \pi ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left[ \mathrm { R } \left( \psi _ { k } \right) \right] } & { { } = \left[ \begin{array} { l l } { \cos \left( \psi _ { k } \right) } & { - \sin \left( \psi _ { k } \right) } \\ { \sin \left( \psi _ { k } \right) } & { \cos \left( \psi _ { k } \right) } \end{array} \right] } \\ { \psi _ { k } \left( z ( t ) , t \right) } & { { } = 2 \pi f t + k \frac { \pi } { L } z ( t ) } \end{array}