harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathcal { S } _ { s } ( \omega ) = \left( \begin{array} { l l } { S _ { \ell } ( \omega ) } & { S _ { \ell \to v } ( \omega ) } \\ { S _ { v \to \ell } ( \omega ) } & { S _ { v } ( \omega ) } \end{array} \right) } & { = \left( \begin{array} { l l } { S _ { \ell } ( \omega ) } & { i \omega S _ { \ell } ( \omega ) } \\ { - i \omega S _ { \ell } ( \omega ) } & { \omega ^ { 2 } S _ { \ell } ( \omega ) } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { m \ddot { z } _ { n } + m \gamma \dot { z } _ { n } = - \left( m \Omega ^ { 2 } + 2 \sum _ { l = 1 } ^ { N } K _ { l } \right) z _ { n } } \\ & { } & { + \sum _ { l = 1 } ^ { N } \left[ \left( K _ { l } + \bar { K } _ { l } \right) z _ { n - l } + \left( K _ { l } - \bar { K } _ { l } \right) z _ { n + l } \right] . } \end{array}
{ \ensuremath { \mathbb E } } \left[ \big | e ^ { Z - \frac { { \ensuremath { \mathbb E } } [ Z ^ { 2 } ] } { 2 } } - 1 \big | \right] \le \sqrt { { \ensuremath { \mathbb E } } \left[ \big | e ^ { Z - \frac { { \ensuremath { \mathbb E } } [ Z ^ { 2 } ] } { 2 } } - 1 \big | ^ { 2 } \right] } = \sqrt { e ^ { { \ensuremath { \mathbb E } } [ | Z | ^ { 2 } ] } - 1 } \le e ^ { 1 / 2 } \sqrt { { \ensuremath { \mathbb E } } [ | Z | ^ { 2 } ] } ,
\overline { { \chi } } ( \vec { x } ) = - \left( \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x _ { 1 } ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x _ { 2 } ^ { 2 } } \right) \left( \sin ( 2 \pi \| \vec { x } \| ) \sin ( 3 \pi x _ { 1 } ) \sin ( 4 \pi x _ { 2 } ) \right) \, ,
\begin{array} { r l } { F ^ { e } ( d [ t ^ { m } ] ) } & { = F ^ { e - 1 } ( [ t ^ { m ( p - 1 ) } ] \star d [ t ^ { m } ] ) } \\ & { = F ^ { e - 2 } ( [ t ^ { m p ( p - 1 ) } ] \star [ t ^ { m ( p - 1 ) } ] \star d [ t ^ { m } ] ) } \\ & { = \cdots = [ t ^ { m ( p ^ { e } - 1 ) } ] \star d [ t ^ { m } ] } \\ & { = m [ t ^ { m p ^ { e } - 1 } ] \star d [ t ] = m [ t ^ { k _ { 0 } } ] \star d [ t ] } \end{array}
\langle N \rangle _ { T } ^ { ( d ) } \sim - \frac { m T } { \pi } \frac { 1 } { d ! ( 2 T ) ^ { d } } \, e ^ { - \frac { m } { T } } \, \int d ^ { 2 } x \, \frac { q ( \vec { x } ) } { | \vec { v } ( \vec { x } ) | } \left[ \left( \partial _ { i } \hat { n } ^ { a } \, \partial _ { i } \hat { n } ^ { a } + | \vec { v } ( \vec { x } ) | \right) ^ { \frac { d } { 2 } } - \left( \partial _ { i } \hat { n } ^ { a } \, \partial _ { i } \hat { n } ^ { a } - | \vec { v } ( \vec { x } ) | \right) ^ { \frac { d } { 2 } } \right]
\begin{array} { r l } & { \frac { y _ { 3 k } ( \mathcal D _ { k } ) + C _ { k 1 } ( \rho _ { k 1 } ^ { * } ( \lambda _ { 1 k 1 } ) | _ { \Gamma _ { k } } ^ { 1 } - C _ { k 2 } ) ^ { C _ { k 3 } } } { f _ { k } } + \frac { Z ( \mathcal G ( \mathcal D _ { k } ) ) } { r _ { k } + a _ { k } } } \\ & { + \frac { C _ { k 4 } ( \rho _ { k 1 } ^ { * } ( \lambda _ { 1 k 1 } ) | _ { \Gamma _ { k } } ^ { 1 } ) ^ { - C _ { k 5 } } } { g _ { k } } = T , } \end{array}
\left( x ( s ) , y ( s ) , z ( s ) \right) = \left( \frac { 1 } { 5 } \left( - 2 \sqrt { \wp ( s ) } + \frac { 1 } { 4 } \frac { \wp ^ { \prime } ( s ) } { \wp ( s ) } \right) , \frac { 1 } { 2 0 } \left( \sqrt { \wp ( s ) } + \frac { 1 } { 2 } \frac { \wp ^ { \prime } ( s ) } { \wp ( s ) } \right) , \frac { \sqrt { - g _ { 3 } } } { 2 \sqrt { 1 2 } \wp ( s ) } \right) .
{ \cal B } ( x ^ { 0 } , y ) = { \frac { 1 } { 2 } } { \cal T } _ { p } ~ { \frac { 1 } { | 1 + 2 \pi ^ { 2 } \lambda ^ { 2 } e ^ { x ^ { 0 } + i y } | ^ { 2 } } } ~ ,
0 = \left( \frac { \omega _ { \mathrm { ~ c ~ } } } { 2 } \frac { 1 } { \sum _ { k } \frac { 1 } { K _ { k } ( \alpha ) } \frac { \sinh \left( \beta K _ { k } ( \alpha ) \right) } { \left[ \cosh \left( \beta \left( \overline { { \epsilon } } _ { k } - \mu \right) \right) + \cosh \left( \beta K _ { k } ( \alpha ) \right) \right] } } - g ^ { 2 } \right) ,
\psi _ { \mathrm { d d } } = \sin ^ { 2 } \left( \frac { \theta } { 2 } \right) \psi _ { \mathrm { b b } } - e ^ { i \phi } \sin \left( \frac { \theta } { 2 } \right) \cos \left( \frac { \theta } { 2 } \right) \psi _ { \mathrm { b a } } - e ^ { i \phi } \sin \left( \frac { \theta } { 2 } \right) \cos \left( \frac { \theta } { 2 } \right) \psi _ { \mathrm { a b } } + e ^ { 2 i \phi } \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta } { 2 } \right) \psi _ { \mathrm { a a } }
e _ { d } = \sqrt { \frac { 2 \left( \sigma _ { 1 2 } + \sigma _ { 2 3 } - \sigma _ { 1 3 } \right) \rho _ { 1 } } { \left( \rho _ { 1 } - \rho _ { 2 } \right) \rho _ { 2 } | \mathbf { g } | } } .
[ E _ { 1 } , E _ { 2 } ] = i [ E _ { 1 } , E _ { 2 } ] _ { D } ~ , ~ [ O , E ] = i [ O , E ] _ { D } ~ , ~ \{ O _ { 1 } , O _ { 2 } \} = i [ O _ { 1 } , O _ { 2 } ] _ { D } ~ .
\begin{array} { r } { \frac { x U _ { e } } { U _ { e } u _ { * } } U _ { e } u _ { * } \frac { d \Delta _ { 3 } U _ { o 4 } } { d x } = x \Delta _ { 3 } ^ { ' } \frac { d R e _ { x } } { d x } U _ { o _ { 4 } } + x \Delta _ { 3 } \frac { d U _ { o _ { 4 } } } { d x } } \\ { = x \Delta _ { 3 } ^ { ' } \frac { U _ { o _ { 4 } } } { U _ { e } \nu } \big ( u _ { x } ^ { 2 } + 2 x u _ { x } \frac { - u _ { x } } { x ( \frac { k U _ { e } } { u _ { x } } + 2 ) } \big ) + \Delta _ { 3 } \frac { d U _ { o _ { 4 } } } { d y _ { o } } \big ( - y _ { o } + \frac { y _ { o } } { \frac { k U _ { e } } { u _ { x } } + 2 } \big ) } \\ { = \Delta _ { 3 } ^ { ' } R e _ { x } U _ { o _ { 4 } } \big ( 1 + \frac { - 2 } { \frac { k U _ { e } } { u _ { x } } + 2 } \big ) + \Delta _ { 3 } \frac { d U _ { o _ { 4 } } } { d y _ { o } } \big ( - y _ { o } + \frac { y _ { o } } { \frac { k U _ { e } } { u _ { x } } + 2 } \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { { \mathcal { F } } } _ { n } = } & { n ^ { 2 } \bigg [ \frac { 3 n ^ { 2 } + 2 n + 1 } { 3 n ^ { 2 } \left( n + 1 \right) ^ { 2 } } + \frac { n ^ { 2 } + 2 n - 1 } { \left( n ^ { 2 } + 1 \right) ^ { 2 } \left( n ^ { 2 } - 1 \right) } } \\ & { + \frac { n ^ { 2 } + 1 } { \left( n ^ { 2 } - 1 \right) ^ { 2 } } \log n - \frac { \left( n ^ { 2 } - 1 \right) ^ { 2 } } { \left( n ^ { 2 } + 1 \right) ^ { 3 } } \log \frac { n ^ { 2 } + n } { n - 1 } \bigg ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ell Q _ { \ell } [ \Sigma _ { d - q + 1 } ] } & { { } = - \ell c _ { \phi } \int _ { \Sigma _ { d - q + 1 } } { \star { \cal J } _ { e } } + ( - ) ^ { q } \tilde { A } _ { \psi } } \end{array}
g ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) = \sum _ { m _ { 1 } , m _ { 2 } , m _ { 3 } \in \mathbb { Z } } h ^ { \mathrm { t h r e e } } ( m _ { 1 } , m _ { 2 } , m _ { 3 } ) \cdot e ^ { i 2 \pi \left( { \frac { m _ { 1 } } { a _ { 1 } } } x _ { 1 } + { \frac { m _ { 2 } } { a _ { 2 } } } x _ { 2 } + { \frac { m _ { 3 } } { a _ { 3 } } } x _ { 3 } \right) } .
\begin{array} { r l r } & { \mathbf { u } _ { t } + \mathcal { N } [ u ] = 0 , \quad } & { \mathbf { x } \in \Omega , \; t \in [ 0 , T ] } \\ & { \mathbf { u } ( \mathbf { x } , 0 ) = f ( \mathbf { x } ) , \quad } & { \mathbf { x } \in \Omega } \\ & { \mathbf { u } ( \mathbf { x } , t ) = g ( \mathbf { x } , t ) , \quad } & { \mathbf { x } \in \partial \Omega , \; t \in [ 0 , T ] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { k _ { 1 } ^ { ( 0 ) } ( x , y ) } & { = } & { \frac { 1 } { 4 R } \int _ { - R } ^ { \operatorname* { m i n } \{ x , y \} } d b + \frac { 1 } { 4 R } \int _ { \operatorname* { m a x } \{ x , y \} } ^ { R } d b = \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { 4 R } \big [ \operatorname* { m a x } \{ x , y \} - \operatorname* { m i n } \{ x , y \} \big ] } \\ & { = } & { \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { 4 R } | x - y | . } \end{array}
F _ { j _ { 1 } m _ { 1 } , j _ { 2 } m _ { 2 } } ^ { + + ~ j _ { 3 } m _ { 3 } } \langle { \cal O } _ { j _ { 3 } m _ { 3 } } ^ { r _ { 1 } + r _ { 2 } ~ + } { \cal O } _ { j _ { 3 } ~ { - m _ { 3 } } } ^ { r _ { 3 } ~ - } \rangle = F _ { j _ { 2 } m _ { 2 } , j _ { 3 } ~ { - m _ { 3 } } } ^ { + - ~ j _ { 1 } { - m _ { 1 } } } \langle { \cal O } _ { j _ { 1 } m _ { 1 } } ^ { r _ { 1 } + } { \cal O } _ { j _ { 1 } ~ { - m _ { 1 } } } ^ { r _ { 2 } + r _ { 3 } - } \rangle \nonumber
\phi _ { l } ( \sigma _ { l } ) \equiv \cosh \beta _ { l } \cdot X ^ { \prime } ( \sigma _ { l } ) + \sinh \beta _ { l } \cdot \dot { X } ( \sigma _ { l } ) = 0 . \qquad ( \sigma _ { 0 } = 0 , \sigma _ { \pi } = \pi )
Z _ { 1 } \propto m \int \prod d \phi \int d ^ { 2 } x e ^ { - 2 g \phi ( x ) } \exp \left\{ - \frac { 1 } { 2 } \int \phi ( \Delta ^ { 2 } - \mu ^ { 2 } \Delta ) \phi d ^ { 2 } y \right\}
{ \cal F } ^ { ( N _ { F } ) } ( \mathrm { v } ; \{ m _ { i } \} , \Lambda _ { N _ { F } } ) \rightarrow { \cal F } ^ { ( N _ { F } - 1 ) } ( \mathrm { v } ; \{ m _ { i } \} , \Lambda _ { N _ { F } - 1 } )
t _ { 1 } ^ { \prime } = P \cdot ( k _ { 1 } + k _ { 3 } ) , \; \; t _ { 2 } ^ { \prime } = P \cdot ( k _ { 1 } - k _ { 3 } ) , \; \; t \equiv s _ { 1 } , \; \; s \equiv s _ { 2 } , \; \; \tau .
\eta _ { e x t } ^ { \dagger } \, n _ { e x t } ^ { 1 / 2 } \left[ \left( \frac { 1 } { 2 } m _ { 0 } v _ { \mu } v _ { \mu } - \frac { 1 } { 2 m _ { 0 } } \partial _ { \mu } \partial _ { \mu } - \mu _ { e x t } \right) - i \left( \frac { 1 } { 2 } \partial _ { \mu } v _ { \mu } + v _ { \mu } \partial _ { \mu } \right) \right] n _ { e x t } ^ { 1 / 2 } \eta _ { e x t } = 0
\begin{array} { r } { \Delta \epsilon _ { \mathrm { ~ H ~ } } = \frac { 1 } { N } \Delta E _ { \mathrm { ~ H ~ } } = \frac { 1 } { n } \int \Delta n _ { 2 , \mathrm { ~ H ~ } } ( R ) \frac { 4 \pi R ^ { 2 } d R } { 2 R } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathrm { \bf ~ E } \left[ \Upsilon _ { ( \varphi _ { 1 } ( k _ { 1 } ) , l _ { 1 } ) , ( \varphi _ { 2 } ( k _ { 2 } ) , l _ { 2 } ) } \right] = \mathrm { P r } \left( \varphi _ { 1 } ( k _ { 1 } ) = l _ { 1 } , \varphi _ { 2 } ( k _ { 2 } ) = l _ { 2 } \right) } \\ & { \quad \times \mathrm { \bf ~ E } _ { \varphi _ { 1 } ( k _ { 1 } ) = l _ { 1 } , \varphi _ { 2 } ( k _ { 2 } ) = l _ { 2 } } \left[ \Upsilon _ { ( l _ { 1 } , l _ { 1 } ) , ( l _ { 2 } , l _ { 2 } ) } \right] } \\ & { = \frac { 1 } { | { \cal L } _ { 1 } | | { \cal L } _ { 2 } | } \mathrm { \bf ~ E } _ { \varphi _ { 1 } ( k _ { 1 } ) = l _ { 1 } , \varphi _ { 2 } ( k _ { 2 } ) = l _ { 2 } } \left[ \Upsilon _ { ( l _ { 1 } , l _ { 1 } ) , ( l _ { 2 } , l _ { 2 } ) } \right] . } \end{array}
\mathrm { d } \mathsf { v } _ { C } ( x , \xi ; y , \eta ) = \left| \operatorname* { d e t } \left( \begin{array} { c c c } { \frac { \partial ^ { 2 } \psi } { \partial x ^ { i } \partial \xi _ { i } } } & { \frac { \partial ^ { 2 } \psi } { \partial y ^ { j } \partial \eta _ { j } } } & { \frac { \partial ^ { 2 } \psi } { \partial \xi _ { i } \partial \eta _ { j } } } \end{array} \right) \right| ^ { - 1 } | \mathrm { d } \xi | | \mathrm { d } \eta | .
\begin{array} { r l r } { { \bf S } \! } & { { } = } & { \! \frac { 1 } { 2 \mu ^ { \prime } } \left( { \bf E } \times { \bf B } ^ { \ast } \right) \; , } \\ { u _ { E M } \! } & { { } = } & { \! \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial [ \omega \epsilon ^ { \prime } ] } { \partial \omega } \left( { \bf { E } } \cdot { \bf { E } } ^ { * } \right) + \frac { 1 } { 2 \mu ^ { \prime } } \left( { \bf { B } } \cdot { \bf { B } } ^ { * } \right) \; . } \end{array}
L ^ { ( + ) } = \left( \begin{array} { c c } { { q ^ { - \left( \begin{array} { c c } { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) } } } & { { ( q ^ { - 1 } - q ) X ^ { + } } } \\ { { 0 } } & { { q ^ { - \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) } } } \end{array} \right)
\Gamma _ { C , A ; \sigma , \rho } ^ { \left\{ \mu \right\} } = 2 \delta _ { \sigma , \rho } \left( \begin{array} { c c } { { b _ { 1 } ^ { \mu } } } & { { \rho n _ { - \rho } ^ { \mu } } } \\ { { \rho n _ { \rho } ^ { \mu } } } & { { b _ { - 1 } ^ { \mu } } } \end{array} \right) _ { C A } .
E ( { \bf a } , { \bf b } ) = \int _ { - \infty } ^ { \infty } d ^ { n } { \bf x } \, f ( { \bf x } ) \, \prod _ { i = 1 } ^ { n } \, \pi ( x _ { i } ; a _ { i } , b _ { i } ) = \prod _ { i = 1 } ^ { n } ( a _ { i } + b _ { i } ) ^ { - 1 } \! \int _ { - a _ { 1 } } ^ { b _ { 1 } } d \tilde { x } _ { 1 } \dots \int _ { - a _ { n } } ^ { b _ { n } } d \tilde { x } _ { n } \, f ( \tilde { \bf x } ) \, .
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathbb { P } [ \tau _ { c } > t , ( { \mathcal X } _ { 0 } , { \mathcal Y } _ { 0 } ) \in B _ { \delta } ( x _ { 1 } ) \times B _ { \delta } ( x _ { 2 } ) \ \mathrm { o r } \ B _ { \delta } ( x _ { 2 } ) \times B _ { \delta } ( x _ { 1 } ) ] } \\ & { \ge } & { \mathbb { P } [ \tau _ { \varepsilon } ^ { ( 1 ) } > t , ( { \mathcal X } _ { 0 } , { \mathcal Y } _ { 0 } ) \in B _ { \delta } ( x _ { 1 } ) \times B _ { \delta } ( x _ { 2 } ) \ \mathrm { o r } \ B _ { \delta } ( x _ { 2 } ) \times B _ { \delta } ( x _ { 1 } ) ] \gtrsim \lambda _ { \varepsilon } ^ { - t } . } \end{array}
\left| \int _ { \Omega } ( { \mathbf { w } } \otimes \mathbf { u } ) ^ { \mathrm { d } } : { \boldsymbol \tau } \right| \, \leq \, \| { \mathbf { w } } \| _ { 0 , 4 ; \Omega } \, \| \mathbf { u } \| _ { 0 , 4 ; \Omega } \, \| { \boldsymbol \tau } \| _ { 0 , \Omega } \, \leq \, \| \mathbf { i } _ { 4 } \| ^ { 2 } \, \| { \mathbf { w } } \| _ { 1 , \Omega } \, \| \mathbf { u } \| _ { 1 , \Omega } \, \| { \boldsymbol \tau } \| _ { \mathbf { d i v } ; \Omega }
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l r l } { - \mathrm { d i v } ( \boldsymbol { \mathcal { A } } ( \cdot , \nabla u ) ) } & { = f } & & { \quad \textup { i n } \Omega \, , } \\ { u } & { = 0 } & & { \quad \textup { o n } \Gamma _ { D } \, , } \\ { \boldsymbol { \mathcal { A } } ( \cdot , \nabla u ) \cdot n } & { = 0 } & & { \quad \textup { o n } \Gamma _ { N } \, , } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \phi _ { i j } } & { = } & { - C _ { 1 } \overline { { \epsilon } } \overline { { b _ { i j } } } + C _ { 1 } ^ { ' } \overline { { \epsilon } } \left( \overline { { b _ { i k } } } \ \overline { { b _ { k j } } } - \frac { 1 } { 3 } \overline { { b _ { m n } } } \ \overline { { b _ { n m } } } \right) + C _ { 2 } \overline { { k } } \ \overline { { S _ { i j } } } } \\ & { } & { + C _ { 3 } \overline { { k } } \left( \overline { { b _ { i k } } } \ \overline { { S _ { j k } } } + \overline { { b _ { j k } } } \ \overline { { S _ { i k } } } - \frac { 2 } { 3 } \overline { { b _ { m n } } } \ \overline { { S _ { m n } } } \delta _ { i j } \right) } \\ & { } & { + C _ { 4 } \overline { { k } } \left( \overline { { b _ { i k } } } \ \overline { { \Omega _ { j k } } } + \overline { { b _ { j k } } } \ \overline { { \Omega _ { i k } } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { c c c } { { \hat { g } _ { I J } = \left( \begin{array} { c c } { { g _ { \mu \nu } } } & { { g _ { \mu \lambda } a _ { j } ^ { \lambda } } } \\ { { a _ { i } ^ { \kappa } g _ { \kappa \nu } } } & { { g _ { i j } + a _ { i } ^ { \kappa } a _ { j } ^ { \lambda } g _ { \kappa \lambda } } } \end{array} \right) } } & { { \ \ \mathrm { a n d } \ \ } } & { { \hat { \omega } _ { I J } = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \varepsilon _ { i j } } } \end{array} \right) } } \end{array}
\mathbf { f } _ { s } ( t , \mathbf { x } ) = \left\{ \begin{array} { l l } & { \delta ( \mathbf { x } - \mathbf { x } _ { s } ) w ( t ) , \quad \mathrm { a c o u s t i c ~ p r e s s u r e ~ s o u r c e } , } \\ & { ( f _ { x } , f _ { y } , f _ { z } ) ^ { T } \delta ( \mathbf { x } - \mathbf { x } _ { s } ) w ( t ) , \quad \mathrm { e l a s t i c ~ v e c t o r ~ f o r c e } , } \\ & { - \mathbf { M } \nabla \delta ( \mathbf { x } - \mathbf { x } _ { s } ) w ( t ) , \quad \mathrm { m o m e n t ~ t e n s o r ~ \b { M } ~ s o u r c e ~ \allowdisplaybreaks ~ \cite [ ] { a k i 2 0 0 2 q u a n t i t a t i v e } } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \mathcal { I } = } & { \frac { n } { 2 \pi } \left( \frac { m } { T } \right) ^ { 2 } \exp \left( - \frac { m \mu B } { T } \right) \exp \left( - \frac { m y ^ { 2 } } { 2 T } \right) \int _ { 0 } ^ { y } \mathrm { d } t \: \exp \left( \frac { m t ^ { 2 } } { 2 T } \right) } \\ { \equiv } & { \frac { 2 n } { \pi } \left( \frac { m } { 2 T } \right) ^ { 3 / 2 } \exp \left( - \frac { m \mu B } { T } \right) J , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { J } _ { \mathrm { { a b } } } ( s | z _ { 0 } ) } & { \approx \mathcal { E } _ { H } ( z _ { 0 } ) ( 1 - \langle \mathcal { T } _ { H } ( z _ { 0 } ) \rangle s ) + \frac { \mathcal { E } _ { 0 } ( z _ { 0 } ) ( 1 - \langle \mathcal { T } _ { 0 } ( z _ { 0 } ) \rangle s ) \mathcal { E } _ { H } ( 0 ) ( 1 - \langle \mathcal { T } _ { H } ( 0 ) \rangle s ) } { ( 1 + \langle \mathcal { T } _ { w } \rangle s ) - \mathcal { E } _ { 0 } ( 0 ) ( 1 - \langle \mathcal { T } _ { 0 } ( 0 ) \rangle s ) } \, , } \end{array}
\begin{array} { l c l } { { B ( \Sigma _ { - } ^ { - } ) } } & { { = } } & { { 2 . 2 2 1 2 + 1 . 2 0 5 8 a _ { 1 } + 8 . 2 8 5 6 \times 1 0 ^ { - 1 } a _ { 2 } } } \\ { { B ( \Sigma _ { + } ^ { + } ) } } & { { = } } & { { - 1 . 9 4 9 0 a _ { 1 } + 3 . 9 8 3 3 a _ { 2 } } } \\ { { B ( \Sigma _ { 0 } ^ { + } ) } } & { { = } } & { { - 1 . 2 8 0 4 - 2 . 2 3 0 8 a _ { 1 } + 2 . 2 3 0 8 a _ { 2 } } } \\ { { B ( \Lambda _ { 0 } ^ { 0 } ) } } & { { = } } & { { 4 . 4 7 3 2 - 1 . 1 4 5 9 \times 1 0 ^ { - 1 } a _ { 1 } - 2 . 7 8 1 6 a _ { 2 } } } \\ { { B ( \Lambda _ { - } ^ { 0 } ) } } & { { = } } & { { - 7 . 7 5 9 9 + 1 . 6 2 0 5 \times 1 0 ^ { - 1 } a _ { 1 } + 3 . 9 3 3 8 a _ { 2 } } } \\ { { B ( \Xi _ { - } ^ { - } ) } } & { { = } } & { { 3 . 0 0 8 6 - 1 . 8 6 1 2 a _ { 1 } - 2 . 7 4 8 8 a _ { 2 } } } \\ { { B ( \Xi _ { 0 } ^ { 0 } ) } } & { { = } } & { { - 1 . 7 3 4 3 + 1 . 3 1 6 1 a _ { 1 } + 1 . 9 4 3 7 a _ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { R _ { + + } ( k _ { x } ) } & { { } \simeq } & { \frac { 1 } { 2 } \left( 1 - \frac { n _ { 2 } } { n _ { 1 } } \right) - i \frac { \pi } { 2 } \left( \frac { 2 } { n _ { 1 } } - \frac { n _ { 2 } } { n _ { \perp } ^ { 2 } } - \frac { n _ { 2 } } { n _ { | | } ^ { 2 } } \right) \frac { k _ { x } } { K } - \frac { \pi ^ { 2 } } { 2 } \left( 1 - \frac { n _ { 2 } } { n _ { 1 } } \right) \left( \frac { 1 } { n _ { \perp } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { n _ { | | } ^ { 2 } } \right) \frac { k _ { x } ^ { 2 } } { K ^ { 2 } } } \end{array}
\lambda = \frac { c _ { \mathrm { ~ t ~ i ~ p ~ } } } { c _ { \mathrm { ~ r ~ o ~ o ~ t ~ } } } , \quad \frac { c _ { \mathrm { ~ r ~ o ~ o ~ t ~ } } } { c } = \frac { 2 } { 1 + \lambda } , \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \Lambda _ { \mathrm { ~ T ~ E ~ } } = \arctan \left[ - \frac { 2 } { s A R } \left( \frac { 1 - \lambda } { 1 + \lambda } \right) + \tan { ( \Lambda _ { \mathrm { ~ L ~ E ~ } } ) } \right] \mathrm { ~ . ~ }
\begin{array} { r } { \frac { \sigma _ { \mathrm { a b s , s c a t , e x t } } } { V } \leq \frac { \beta \omega } { c } \frac { | \chi | ^ { 2 } } { \operatorname { I m } \chi } \qquad \beta _ { \mathrm { a b s , e x t } } = 1 , \beta _ { \mathrm { s c a t } } = \frac { 1 } { 4 } . } \end{array}
S \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! - \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! { p \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \in \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! U \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! : H \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( p \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \leq \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 0 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\begin{array} { r l } { \mathop { \operatorname* { m i n } } _ { G } \mathop { \operatorname* { m a x } } _ { D } V \large ( D , G \large ) = } & { { } E _ { x \sim p _ { d a t a } ( x ) } [ \log D ( \boldsymbol { x } ) ] } \end{array}
{ P _ { G O E } } ( r _ { \mathbb { R } } ) = \frac { 2 7 } { 4 } \frac { r _ { \mathbb { R } } + r _ { \mathbb { R } } ^ { 2 } } { ( 1 + r _ { \mathbb { R } } + r _ { \mathbb { R } } ^ { 2 } ) ^ { 5 / 2 } } \ ,
\begin{array} { r l } { \left| Z _ { N , h } ( \delta ) - Z ( \delta ) \right| ^ { 2 } } & { = \left| \int _ { \Omega } \rho ( \delta - [ \mathcal { O } \circ u _ { N , h } ] ( \omega ) ) - \rho ( \delta - [ \mathcal { O } \circ u ] ( \omega ) ) d \mathbb { P } ( \omega ) \right| ^ { 2 } } \\ & { \le C ( 2 ^ { - N t } + h ^ { ( 2 - \theta _ { \mathcal { O } } ) r } ) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { \bar { E } } _ { L } [ \{ \nu _ { \mathfrak { n } } \} , \{ \bar { \phi } _ { \mathfrak { n } } ( \vec { r } ) \} ] } & { = } & { 4 \, \sum _ { \mathfrak { n } } \, \nu _ { \mathfrak { n } } \, \Big \langle \bar { \phi } _ { \mathfrak { n } } ( \vec { r } ) \Big | - \frac { 1 } { 2 } \, \hat { \nabla } ^ { 2 } - \big [ | \vec { r } | ^ { - 1 } + ( 2 \, R ) ^ { - 1 } ) \big ] \, \hat { 1 } \Big | \bar { \phi } _ { \mathfrak { n } } ( \vec { r } ) \Big \rangle + } \\ & { + } & { \, 2 \, \operatorname* { m i n } _ { \{ \sigma _ { \mathfrak { n } } = \pm 1 \} } \; \sum _ { l _ { 1 } = 1 } ^ { L - 2 } \, \sum _ { l _ { 2 } = 1 } ^ { L - l _ { 1 } - 1 } \; \sum _ { m = - \operatorname* { m i n } ( l _ { 1 } , l _ { 2 } ) } ^ { \operatorname* { m i n } ( l _ { 1 } , l _ { 2 } ) } \, C _ { l _ { 1 } , l _ { 2 } , m } \, R ^ { - ( l _ { 1 } + l _ { 2 } + 1 ) } } \\ & { \times } & { \sum _ { \mathfrak { n } } \sum _ { \mathfrak { n ^ { \prime } } } \, \sigma _ { \mathfrak { n } } \, \sigma _ { \mathfrak { n ^ { \prime } } } \, \sqrt { \nu _ { \mathfrak { n } } \, \nu _ { \mathfrak { n ^ { \prime } } } } \, \langle \bar { \phi } _ { \mathfrak { n } } ( \vec { r } _ { 1 } ) | \hat { r } _ { 1 } ^ { l _ { 1 } } \, \hat { Y } _ { l _ { 1 } } ^ { m } ( \theta _ { 1 } , \varphi _ { 1 } ) | \bar { \phi } _ { \mathfrak { n ^ { \prime } } } ( \vec { r } _ { 1 } ) \rangle \, \langle \bar { \phi } _ { \mathfrak { n } } ( \vec { r } _ { 2 } ) | \hat { r } _ { 2 } ^ { l _ { 2 } } \, \hat { Y } _ { l _ { 2 } } ^ { m } ( \theta _ { 2 } , \varphi _ { 2 } ) | \bar { \phi } _ { \mathfrak { n ^ { \prime } } } ( \vec { r } _ { 2 } ) \rangle ^ { * } \quad } \end{array}
\begin{array} { r l } { | V _ { p , 1 } ( z _ { 0 } ) | } & { { } = \frac { 3 } { 4 } \left( \frac { 4 } { 5 } \right) ^ { 5 / 2 } \frac { k N _ { c } \pi R ^ { 2 } g } { R _ { c } ^ { 2 } } \left( \sqrt { \frac { 2 z _ { 0 } } { g } } - \frac { R _ { c } } { 2 \sqrt { 2 g z _ { 0 } } } \right) } \\ { | V _ { p , 2 } ( z _ { 0 } ) | } & { { } = \frac { 3 } { 4 } \left( \frac { 4 } { 5 } \right) ^ { 5 / 2 } \frac { k N _ { c } \pi R ^ { 2 } g } { R _ { c } ^ { 2 } } \left( \sqrt { \frac { 2 z _ { 0 } } { g } } + \frac { R _ { c } } { 2 \sqrt { 2 g z _ { 0 } } } \right) \, \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { \sinh x } & { { } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { x ^ { 2 n + 1 } } { ( 2 n + 1 ) ! } } } & { } & { { } = x + { \frac { x ^ { 3 } } { 3 ! } } + { \frac { x ^ { 5 } } { 5 ! } } + \cdots } & { } & { { } { \mathrm { f o r ~ a l l ~ } } x } \\ { \cosh x } & { { } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { x ^ { 2 n } } { ( 2 n ) ! } } } & { } & { { } = 1 + { \frac { x ^ { 2 } } { 2 ! } } + { \frac { x ^ { 4 } } { 4 ! } } + \cdots } & { } & { { } { \mathrm { f o r ~ a l l ~ } } x } \\ { \operatorname { t a n h } x } & { { } = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { B _ { 2 n } 4 ^ { n } \left( 4 ^ { n } - 1 \right) } { ( 2 n ) ! } } x ^ { 2 n - 1 } } & { } & { { } = x - { \frac { x ^ { 3 } } { 3 } } + { \frac { 2 x ^ { 5 } } { 1 5 } } - { \frac { 1 7 x ^ { 7 } } { 3 1 5 } } + \cdots } & { } & { { } { \mathrm { f o r ~ } } | x | < { \frac { \pi } { 2 } } } \\ { \operatorname { a r s i n h } x } & { { } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { n } ( 2 n ) ! } { 4 ^ { n } ( n ! ) ^ { 2 } ( 2 n + 1 ) } } x ^ { 2 n + 1 } } & { } & { { } } & { } & { { } { \mathrm { f o r ~ } } | x | \leq 1 } \\ { \operatorname { a r t a n h } x } & { { } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { x ^ { 2 n + 1 } } { 2 n + 1 } } } & { } & { { } } & { } & { { } { \mathrm { f o r ~ } } | x | \leq 1 , \ x \neq \pm 1 } \end{array}
{ \cal V } _ { i } ( \boldsymbol { q } ) = E ( \boldsymbol { q } _ { 1 } ^ { ( 0 ) } , \cdots , \boldsymbol { q } _ { i - 1 } ^ { ( 0 ) } , \boldsymbol { q } , \boldsymbol { q } _ { i + 1 } ^ { ( 0 ) } , \cdots , \boldsymbol { q } _ { N } ^ { ( 0 ) } , \rho _ { 1 } ^ { ( 0 ) } , \cdots , \rho _ { N } ^ { ( 0 ) } )