harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { U _ { e } = } & { \ - \alpha \int _ { t _ { e } } ^ { \infty } e ^ { - t ^ { \prime } / { \tau _ { e c o n } } } \delta \psi _ { i } ( t ^ { \prime } ) d t ^ { \prime } } \\ { \delta \psi i ( t ^ { \prime } ) = } & { \ \frac { \psi _ { s , e } } { s _ { e } } i _ { e } e ^ { - \eta ( t ^ { \prime } - t _ { e } ) } + \left( \psi _ { i , e } - i _ { e } \frac { \psi _ { s , e } } { s _ { e } } \right) e ^ { - ( t ^ { \prime } - t _ { e } ) } } \end{array}
{ \left( \begin{array} { l } { A ^ { \prime } ( x ) u _ { 1 } ( x ) + B ^ { \prime } ( x ) u _ { 2 } ( x ) } \\ { A ^ { \prime } ( x ) u _ { 1 } ^ { \prime } ( x ) + B ^ { \prime } ( x ) u _ { 2 } ^ { \prime } ( x ) } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { f } \end{array} \right) } .
\begin{array} { c l } { a } & { = \frac { k _ { 0 } \chi } { 2 \kappa } \left( 1 + \frac { k _ { 0 } } { 2 \kappa } \chi \right) } \\ { b } & { = \frac { k _ { 0 } \chi } { 2 \kappa } k _ { 0 } ^ { 2 } \left( 1 - \frac { \kappa } { k _ { 0 } } \chi \right) - ( \kappa ^ { 2 } + k _ { 0 } \kappa \chi ) \left( 1 + \frac { k _ { 0 } } { 2 \kappa } \chi \right) + k _ { z } ^ { 2 } } \\ { c } & { = - ( \kappa ^ { 2 } + k _ { 0 } \kappa \chi ) k _ { 0 } ^ { 2 } \left( 1 - \frac { \kappa } { k _ { 0 } } \chi \right) . } \end{array}
\delta = \left\{ \begin{array} { l l } { \psi _ { 2 , \infty } ^ { ( E P ) } - \psi _ { 3 , \infty } ^ { ( E P ) } - \psi _ { 5 , \infty } ^ { ( E P ) } , } & { \mathrm { 2 D } ; } \\ { \psi _ { 2 , \infty } ^ { ( E P ) } / \sqrt { r _ { 2 , \infty } } - \psi _ { 3 , \infty } ^ { ( E P ) } / \sqrt { r _ { 3 , \infty } } - \psi _ { 5 , \infty } ^ { ( E P ) } / \sqrt { r _ { 5 , \infty } } , } & { \mathrm { 3 D } . } \end{array} \right.
\left( 1 - i \varepsilon \int d ^ { 4 } z \frac { \partial F ^ { \beta } } { \partial \alpha } \mid _ { _ { \alpha _ { 0 } } } \delta \alpha ( \partial . A - F ) ^ { \alpha } ( x ) i \int d ^ { 4 } x M ^ { ' - 1 \alpha \beta } ( x , z ; A ; \alpha _ { 0 } ) + O [ \left( \delta \alpha \right) ^ { 2 } ] + O [ g ] \right)
\begin{array} { r l } & { | E | \ge \sum _ { B _ { i } \in \mathcal { F } \setminus \mathcal { F } _ { L } , r _ { i } \le d _ { 0 } / 4 } \omega _ { N } r _ { i } ^ { N } + \sum _ { B _ { i } \in \mathcal { F } \setminus \mathcal { F } _ { L } , r _ { i } \ge d _ { 0 } / 4 } \omega _ { N } \left( \frac { d _ { 0 } } { 4 } \right) ^ { N } } \\ & { \ge \sum _ { B _ { i } \in \mathcal { F } \setminus \mathcal { F } _ { L } , r _ { i } \le d _ { 0 } / 4 } \omega _ { N } r _ { i } ^ { N } + \sum _ { B _ { i } \in \mathcal { F } \setminus \mathcal { F } _ { L } , r _ { i } \ge d _ { 0 } / 4 } \omega _ { N } \left( \frac { r _ { i } } { 4 K } \right) ^ { N } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \mathbf { u } } { \partial t } + \nabla \cdot ( \mathbf { u } \otimes \mathbf { u } ) = } & { { } ~ - \frac { 1 } { \rho } \nabla p + b g \ \mathbf { n } _ { \alpha } + \nu \Delta \mathbf { u } , } \\ { \frac { \partial b } { \partial t } + \nabla \cdot ( b \mathbf { u } ) = } & { { } ~ \beta \Delta b - N ^ { 2 } \ ( \mathbf { n } _ { \alpha } \cdot \mathbf { u } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { H _ { \mathrm { ~ N ~ R ~ } } } & { { } = H _ { \mathrm { ~ N ~ R ~ } } ^ { * } } \\ { \sum _ { p } \sum _ { m = 1 } ^ { \nu _ { p } } \frac { \alpha ( H , p , - m ) } { ( w - p ) ^ { m } } } & { { } = \sum _ { p } \sum _ { m = 1 } ^ { \nu _ { p } } ( - 1 ) ^ { m } \frac { \alpha ( H , p , - m ) ^ { * } } { ( w + p ^ { * } ) ^ { m } } } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { u ( y ) } & { = \ensuremath { \mathbb { E } } _ { y } \{ [ X _ { \tau _ { B } - } , X _ { \tau _ { B } } ] \subset D ; u ( X _ { \tau _ { B } } ) \} \geq \ensuremath { \mathbb { E } } _ { y } \{ X _ { \tau _ { B } } \in B ^ { \prime } ; u ( X _ { \tau _ { B } } ) \} } \\ & { \geq \mathbb { P } _ { y } ( X _ { \tau _ { B } } \in B ^ { \prime } ) \operatorname* { i n f } _ { x \in B ( x _ { 1 } , \varepsilon \rho ) } u ( x ) . } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { \tau \to 0 } \; \operatorname* { s u p } _ { \{ \mathfrak { m } _ { k , m } ^ { + } \} } \operatorname* { i n f } _ { \substack { \{ \lambda _ { m } \} \, \{ \mu _ { k , m } \} } } \mathfrak { L } _ { \tau } = \operatorname* { s u p } _ { \{ \mathfrak { m } _ { k , m } ^ { + } \} } \operatorname* { i n f } _ { \substack { \{ \lambda _ { m } \} \, \{ \mu _ { k , m } \} } } \mathfrak { L }
M _ { 1 } ^ { ( 0 ) } ( Q ^ { 2 } ) = \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d \sigma \frac { \Pi ^ { ( 0 ) } ( s ) } { ( Q ^ { 2 } + \sigma + 4 m ^ { 2 } ) ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r } { \tilde { T } ^ { - 1 } T \, \mathbb { D } \, T ^ { - 1 } \tilde { T } \sim \left( \begin{array} { l l l l l l } { 0 } & { l _ { 0 } } & { 0 } & { 0 } & { \dots } & { 0 } \\ { 0 } & { \lambda _ { 1 } } & { 0 } & { 0 } & { \dots } & { 0 } \\ { 0 } & { l _ { 2 } } & { \lambda _ { 2 } } & { 0 } & { \dots } & { 0 } \\ { : } & { : } & { \dots } & { : } & { : } \\ { 0 } & { l _ { N - 1 } } & { \dots } & { 0 } & { \dots } & { \lambda _ { N - 1 } } \end{array} \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \omega } { 2 } \left< h ^ { 2 } \right> } & { = \left< \int _ { - d } ^ { \eta } \left[ \frac { \partial v } { \partial x } - \frac { \partial u } { \partial y } \right] ( y + d ) \mathrm { d } y \right> = - \left< h \eta _ { x } { v } _ { \mathrm { s } } \right> - \left< h { u } _ { \mathrm { s } } \right> + { \psi } _ { \mathrm { s } } - { \psi } _ { \mathrm { b } } } \\ & { = { \psi } _ { \mathrm { s } } - { \psi } _ { \mathrm { b } } - \left< \left( 1 + \eta _ { x } ^ { 2 } \right) h { u } _ { \mathrm { s } } \right> , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sqrt { \theta ^ { \top } { \Sigma } \theta } + \sqrt { \theta ^ { \top } \widehat { \Sigma } \theta } } & { \leqslant \sqrt { 2 v ^ { \top } { \Sigma } v + 2 ( \theta - v ) ^ { \top } { \Sigma } ( \theta - v ) } + \sqrt { 2 v ^ { \top } \widehat { \Sigma } v + 2 ( \theta - v ) ^ { \top } \widehat { \Sigma } ( \theta - v ) } } \\ & { \leqslant \sqrt { 2 \| \Sigma \| + 2 0 ( \theta - v ) ^ { \top } { G } ( \theta - v ) } + \sqrt { 2 0 \omega + 2 0 ( \theta - v ) ^ { \top } G ( \theta - v ) } } \\ & { \leqslant \sqrt { 2 \| \Sigma \| + 2 0 r ^ { 2 } } + \sqrt { 2 0 \omega + 2 0 r ^ { 2 } } } \\ & { \leqslant c _ { 1 } \sqrt { \| \Sigma \| } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { e ^ { - i \alpha { \frac { 1 } { 2 } } \vec { \sigma } \cdot \hat { n } } } & { = e ^ { - i \alpha { \frac { 1 } { 2 } } ( \sigma _ { x } n _ { x } + \sigma _ { y } n _ { y } + \sigma _ { z } n _ { z } ) } } \\ & { = e ^ { - i \alpha { \frac { 1 } { 2 } } \bigg ( n _ { x } \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) + n _ { y } \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { - i } \\ { i } & { 0 } \end{array} \right) + n _ { z } \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) \bigg ) } } \end{array}
y _ { i } ^ { ( t ) } = \frac { | \mathsf { s } _ { \downarrow } - \mathsf { s } _ { \uparrow } | } { 2 } \cdot x _ { i } ^ { ( t ) } + \frac { \mathsf { s } _ { \downarrow } + \mathsf { s } _ { \uparrow } } { 2 } .
\begin{array} { r } { P _ { i , j + 1 / 2 , k } ^ { n } = P ( | \overrightarrow { S } | _ { i , j + 1 / 2 , k } ^ { n } ) , | \overrightarrow { S } | _ { i , j + 1 / 2 , k } ^ { n } = \frac { | \overrightarrow { S } | _ { i , j , k } ^ { n } + | \overrightarrow { S } | _ { i , j \pm 1 , k } ^ { n } } { 2 } , } \end{array}
\frac { \phi ^ { n + 1 } - \phi ^ { n } } { \Delta t } = \frac { \alpha } { 2 } \left[ \frac { \partial ^ { 2 } \phi ^ { n + 1 } } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } \phi ^ { n } } { \partial x ^ { 2 } } \right]
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } W _ { f i } } { \mathrm { d } u \mathrm { d } t } = W _ { R } \left\{ - ( 2 + u ) ^ { 2 } \left[ \mathrm { I n t K } _ { \frac { 1 } { 3 } } ( u ^ { \prime } ) - 2 \mathrm { K } _ { \frac { 2 } { 3 } } ( u ^ { \prime } ) \right] ( 1 + { S } _ { i f } ) + \right. } \\ & { } & { \left. u ^ { 2 } \left[ \mathrm { I n t K } _ { \frac { 1 } { 3 } } ( u ^ { \prime } ) + 2 \mathrm { K } _ { \frac { 2 } { 3 } } ( u ^ { \prime } ) \right] ( 1 - { \bf S } _ { i f } ) + 2 u ^ { 2 } { S } _ { i f } \mathrm { I n t K } _ { \frac { 1 } { 3 } } ( u ^ { \prime } ) - \right. } \\ & { } & { \left. ( 4 u + 2 u ^ { 2 } ) ( { \bf S } _ { f } + { \bf S } _ { i } ) \left[ { \bf n } \times \hat { { \bf a } } \right] \mathrm { K } _ { \frac { 1 } { 3 } } ( u ^ { \prime } ) - 2 u ^ { 2 } ( { \bf S } _ { f } - { \bf S } _ { i } ) \left[ { \bf n } \times \hat { { \bf a } } \right] \right. } \\ & { } & { \left. \mathrm { K } _ { \frac { 1 } { 3 } } ( u ^ { \prime } ) - 4 u ^ { 2 } \left[ \mathrm { I n t K } _ { \frac { 1 } { 3 } } ( u ^ { \prime } ) - \mathrm { K } _ { \frac { 2 } { 3 } } ( u ^ { \prime } ) \right] ( { \bf S } _ { i } \cdot { \bf n } ) ( { \bf S } _ { f } \cdot { \bf n } ) \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { d L ( \tau ) } & { = \left( \gamma L + D \frac { \partial } { \partial L } \left( e ^ { - \frac { \gamma \left( L - L _ { f } e ^ { - \gamma ( T - \tau ) } \right) ^ { 2 } } { D \left( 1 - e ^ { - 2 \gamma ( T - \tau ) } \right) } } - e ^ { - \frac { \gamma \left( L + L _ { f } e ^ { - \gamma ( T - \tau ) } \right) ^ { 2 } } { D \left( 1 - e ^ { - 2 \gamma ( T - \tau ) } \right) } } \right) \right) d \tau + \sqrt { D } \; d W _ { \tau } } \\ & { = \left( - \frac { \gamma L } { \operatorname { t a n h } ( ( T - \tau ) \gamma ) } + \frac { L _ { f } \gamma \coth ( \frac { L L _ { f } \gamma } { D \sinh ( ( T - \tau ) \gamma ) } ) } { \sinh ( ( T - \tau ) \gamma ) } \right) d \tau + \sqrt { D } \; d W _ { \tau } \ . } \end{array}
| \Phi ^ { \prime } \rangle = | d _ { x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } \rangle \otimes \uparrow \approx \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( | 0 , 2 , 0 \rangle + | 2 , 0 , 0 \rangle ) \otimes \uparrow ,
\begin{array} { r l r l } & { \partial _ { t } \Omega - 4 \partial _ { \xi } ^ { 2 } \Omega = g ( t ) \int _ { 0 } ^ { \xi } \bar { h } _ { \epsilon } ^ { \prime } ( \eta ) \partial _ { \eta } \Omega ( t , \eta ) d \eta + k _ { 1 } , \quad } & & { ( t , \xi ) \in ( 0 , \infty ) \times ( 0 , \infty ) , } \\ & { \Omega ( 0 , \xi ) \geq 0 , \quad } & & { \xi \geq 0 , } \\ & { \Omega ( t , 0 ) = t k _ { 1 } + k _ { 2 } , \quad } & & { t \geq 0 , } \end{array}
\delta = \left\vert 1 - \frac { \sum _ { i } c _ { i , x } ^ { p } c _ { i , y } ^ { q } f _ { i } ^ { \mathrm { e q } } } { \Pi _ { \underbrace { x \dots x } _ { \times p } \underbrace { y \dots y } _ { \times q } } ^ { \mathrm { M B } } } \right\vert ,
\begin{array} { r l r } { E _ { K S } [ \rho ^ { f } ] } & { = } & { E _ { K S } [ \rho ^ { T } ] + \sum _ { k l } \left( \frac { \partial E [ \rho ] } { \partial D _ { k l } } \right) _ { \rho ^ { T } } ( D _ { k l } ^ { f } - D _ { k l } ^ { T } ) + } \\ & { + } & { \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k l i j } \left( \frac { \partial ^ { 2 } E [ \rho ] } { \partial D _ { k l } \partial D _ { i j } } \right) _ { \rho ^ { T } } ( D _ { k l } ^ { f } - D _ { k l } ^ { T } ) ( D _ { i j } ^ { f } - D _ { i j } ^ { T } ) + O ( \Delta D ^ { 3 } ) } \\ & { = } & { E _ { K S } [ \rho ^ { T } ] + \sum _ { k l } F [ \rho ^ { T } ] _ { k l } ( \frac { 1 } { 2 } \Delta D _ { k l } ) + \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \partial ^ { 2 } E [ \rho ] } { \partial D _ { k l } \partial D _ { i j } } \right) _ { \rho ^ { T } } ( \frac { 1 } { 2 } \Delta D _ { k l } ) ( \frac { 1 } { 2 } \Delta D _ { i j } ) + O ( \Delta D ^ { 3 } ) } \\ { E _ { K S } [ \rho ^ { i } ] } & { = } & { E _ { K S } [ \rho ^ { T } ] + \sum _ { k l } \left( \frac { \partial E [ \rho ] } { \partial D _ { k l } } \right) _ { \rho ^ { T } } ( D _ { k l } ^ { i } - D _ { k l } ^ { T } ) + } \\ & { + } & { \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k l i j } \left( \frac { \partial ^ { 2 } E [ \rho ] } { \partial D _ { k l } \partial D _ { i j } } \right) _ { \rho ^ { T } } ( D _ { k l } ^ { i } - D _ { k l } ^ { T } ) ( D _ { i j } ^ { i } - D _ { i j } ^ { T } ) + O ( \Delta D ^ { 3 } ) } \\ & { = } & { E _ { K S } [ \rho ^ { T } ] + \sum _ { k l } F [ \rho ^ { T } ] _ { k l } ( - \frac { 1 } { 2 } \Delta D _ { k l } ) + \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \partial ^ { 2 } E [ \rho ] } { \partial D _ { k l } \partial D _ { i j } } \right) _ { \rho ^ { T } } ( - \frac { 1 } { 2 } \Delta D _ { k l } ) ( - \frac { 1 } { 2 } \Delta D _ { i j } ) + O ( \Delta D ^ { 3 } ) } \end{array}
< \xi ( x , t ) \xi ( x ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) > = N \int D \xi \xi ( x , t ) \xi ( x ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) e ^ { - \frac { 1 } { 2 } \int d x ^ { \prime \prime } d t ^ { \prime \prime } \frac { \xi ( x ^ { \prime \prime } , t ^ { \prime \prime } ) ^ { 2 } } { \theta ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r l } & { R \leq \operatorname* { m i n } \Big \{ \big ( H ( Y _ { 1 } , S _ { 1 } | Y _ { 2 } , S _ { 2 } ) - H ( S _ { 1 } | Y _ { 1 } , Y _ { 2 } , S _ { 2 } , X ) \big ) , \quad I ( X ; Y _ { 1 } | S _ { 1 } ) \Big \} } \\ & { = \operatorname* { m i n } \Bigg \{ \Bigg ( q ( 1 - \alpha ) H _ { b } ( p ) + p ( 1 - q \alpha ) H _ { b } \Big ( \frac { q ( 1 - \alpha ) } { ( 1 - q \alpha ) } \Big ) \Bigg ) , \quad q H _ { b } ( p ) \Bigg \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { p ( \{ \phi _ { k } | k \in [ 1 , N ] \} ) } & { = p ( \phi _ { 1 } , \phi _ { 2 } \dots \phi _ { N } ) = p ( \phi _ { 1 } ) p ( \phi _ { 2 } | \phi _ { 1 } ) \dots p ( \phi _ { N } | \phi _ { N - 1 } \dots , \phi _ { 1 } ) } \\ { \implies \log p ( \{ \phi _ { k } | k \in [ 1 , N ] \} ) } & { = \log p ( \phi _ { 1 } ) + \log p ( \phi _ { 2 } | \phi _ { 1 } ) + \dots \log p ( \phi _ { N } | \phi _ { N - 1 } \dots , \phi _ { 1 } ) } \\ & { = \sum _ { k \in [ 1 , N ] } \log p ( \phi _ { k } | \phi _ { < k } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| r ^ { \angle } \| _ { \mathbb { V } } ^ { 2 } + \| \Pi _ { 0 } \Theta _ { \alpha } r ^ { 1 } \| _ { \mathbb { V } } ^ { 2 } \le ( 1 + \varepsilon ^ { - 1 } ) \| \Pi _ { 0 } ( \Theta _ { \alpha } - I ) r ^ { 1 } \| _ { \mathbb { V } } ^ { 2 } + ( 1 + \varepsilon ) \| r ^ { 0 } \| _ { \mathbb { V } } ^ { 2 } + \| r ^ { \angle } \| _ { \mathbb { V } } ^ { 2 } } \\ & { \le 2 ( 1 + \varepsilon ^ { - 1 } ) ( \| \Pi _ { 0 } ( \Theta _ { \alpha } - I ) \Pi _ { 0 } \| _ { \mathcal { L } ( \mathbb { V } ) } ^ { 2 } \| r ^ { 0 } \| _ { \mathbb { V } } ^ { 2 } + \| \Pi _ { 0 } ( \Theta _ { \alpha } - I ) \Pi _ { \angle } \| _ { \mathcal { L } ( \mathbb { V } ) } ^ { 2 } \| r ^ { \angle } \| _ { \mathbb { V } } ^ { 2 } ) + ( 1 + \varepsilon ) \| r ^ { 0 } \| _ { \mathbb { V } } ^ { 2 } + \| r ^ { \angle } \| _ { \mathbb { V } } ^ { 2 } } \\ & { \le ( 1 + \operatorname* { m a x } \{ \varepsilon + 2 ( 1 + \varepsilon ^ { - 1 } ) \theta _ { 0 } , 2 ( 1 + \varepsilon ^ { - 1 } ) \theta _ { \angle } \} ) ( \| r ^ { 0 } \| _ { \mathbb { V } } ^ { 2 } + \| r ^ { \angle } \| _ { \mathbb { V } } ^ { 2 } ) . } \end{array}
\widetilde { \mathsf { A } } _ { \mathrm { A } } ( m , n ; m ^ { \prime } , n ^ { \prime } ) = \log \frac { \left( \upzeta _ { m n } ^ { + } - \upzeta _ { m ^ { \prime } n ^ { \prime } } ^ { + } \right) \left( \upzeta _ { m n } ^ { - } - \upzeta _ { m ^ { \prime } n ^ { \prime } } ^ { - } \right) } { \left( \upzeta _ { m n } ^ { + } - \upzeta _ { m ^ { \prime } n ^ { \prime } } ^ { - } \right) \left( \upzeta _ { m n } ^ { - } - \upzeta _ { m ^ { \prime } n ^ { \prime } } ^ { + } \right) } ,
\begin{array} { r } { \mathbf { L _ { 2 } } \left( \theta _ { 2 } ^ { ' } \right) = \biggr \| \left< \widehat { \mathbf { X ^ { \prime } } } _ { t r a i n } \right> \biggr \rvert _ { k _ { x } \geq k _ { T _ { S ^ { \prime } } } } - \widehat { \mathcal { N ^ { \prime } } } \left( \mathbf { \widetilde { X } } \left( t \right) , \theta ^ { ' } \right) \bigg \rvert _ { k _ { x } \geq k _ { T _ { S ^ { \prime } } } } \biggr \| _ { 2 } ^ { 2 } . } \end{array}
e ^ { z L _ { - 1 } + x J _ { 0 } ^ { - } } ( J _ { 0 } ^ { + } + D _ { \jmath _ { 0 } } ^ { + } ) e ^ { - z L _ { - 1 } - x J _ { 0 } ^ { - } } = J _ { 0 } ^ { + } - 2 x J _ { 0 } ^ { 0 } + 2 \jmath _ { 0 } x - x ^ { 2 } \partial _ { x } = ( J _ { 0 } ^ { + } - D _ { \jmath _ { 1 } } ^ { + } ) - 2 x ( J _ { 0 } ^ { 0 } - D _ { \jmath _ { 1 } } ^ { 0 } - \jmath _ { 0 } )
\begin{array} { r l } { R } & { = \frac { 9 \pi a ^ { 2 } L _ { 0 } ^ { 2 } k ^ { 2 } \sin ( \psi ) } { 2 l d ^ { 2 } ( k ^ { 2 } + \gamma ^ { 2 } \omega ^ { 2 } ) } \epsilon ^ { 2 } \left[ 1 + O \left( \epsilon , \frac { a } { d } \right) \right] , } \\ { W } & { = \frac { 2 \pi L _ { 0 } ^ { 2 } k ^ { 2 } \omega \gamma } { \left( k ^ { 2 } + \gamma ^ { 2 } \omega ^ { 2 } \right) } \epsilon ^ { 2 } \left[ 1 + O \left( \epsilon , \frac { a } { d } \right) \right] , } \\ { \eta } & { = \frac { 8 1 a ^ { 4 } L _ { 0 } ^ { 2 } k ^ { 2 } \sin ^ { 2 } ( \psi ) } { 3 2 l ^ { 2 } d ^ { 4 } \left( k ^ { 2 } + \gamma ^ { 2 } \omega ^ { 2 } \right) } \epsilon ^ { 2 } \left[ 1 + O \left( \epsilon , \frac { a } { d } \right) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi ( x ) } & { = \frac { x e ^ { x } } { ( e ^ { x } - 1 ) ^ { 2 } } = - x \bigg ( \frac { 1 } { 1 - e ^ { - x } } \bigg ) ^ { \prime } = } \\ & { = - x \Big ( \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } e ^ { - j x } \Big ) ^ { \prime } = \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } x j e ^ { - j x } = \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } x j e ^ { - j x } , } \end{array}
\mathrm { w } _ { i } ( J _ { 0 } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { J _ { 0 } } & { \mathrm { i f } \quad i = 0 , } \\ { c _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } / 2 } & { \mathrm { o t h e r w i s e } ; } \end{array} \right.
\delta ~ ( b ) = ~ \frac { 1 } { 4 \pi } ~ \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d t } { t } e ^ { - b ^ { 2 } t / 2 \pi \alpha ^ { \prime } } ~ [ \prod _ { i = 1 } ^ { l } \Theta _ { 3 } ( 0 , 8 i \pi ^ { 2 } \alpha ^ { \prime } t / L _ { i } ^ { 2 } ) ] ~ [ \prod _ { i = p + 1 } ^ { c } \Theta _ { 3 } ( 0 , i t L _ { i } ^ { 2 } / 2 \pi \alpha ^ { \prime } ) ] \cdot ( B \times J ) ~ ~ .
\mu \sim \frac { F _ { S } } { m _ { s } } \frac { l _ { 6 } / l _ { 4 } } { m _ { s } ^ { 2 } V _ { 5 _ { 2 } } } \sim \frac { 1 } { \epsilon l _ { 4 } } \frac { F _ { S } } { m _ { s } }
\mathcal { D } _ { \mathrm { ~ h ~ y ~ b ~ } } ^ { i } = \{ \begin{array} { c c c c } { \mathcal { D } _ { 1 } ^ { i } } & { \mathcal { D } _ { 2 } ^ { i } } & { \cdots } & { \mathcal { D } _ { n } ^ { i } } \end{array} \} .
{ \cal F } ( p , q { - } p ) = \left( \begin{array} { l c c c } { { \tilde { G } ( p ) \, \tilde { G } ( q { - } p ) } } & { { S ( - p ) \, S ( p { - } q ) } } & { { \tilde { G } ( p ) \, S ( p { - } q ) } } & { { S ( - p ) \, \tilde { G } ( q { - } p ) } } \\ { { S ( p ) \, S ( q { - } p ) } } & { { \tilde { G } ( - p ) ^ { * } \, \tilde { G } ( p { - } q ) ^ { * } } } & { { S ( p ) \, \tilde { G } ( p { - } q ) ^ { * } } } & { { \tilde { G } ( - p ) ^ { * } \, S ( q { - } p ) } } \\ { { \tilde { G } ( p ) \, S ( q { - } p ) } } & { { S ( - p ) \, \tilde { G } ( p { - } q ) ^ { * } } } & { { \tilde { G } ( p ) \, \tilde { G } ( p { - } q ) ^ { * } } } & { { S ( - p ) \, S ( q { - } p ) } } \\ { { S ( p ) \, \tilde { G } ( q { - } p ) } } & { { \tilde { G } ( - p ) ^ { * } \, S ( p { - } q ) } } & { { S ( p ) \, S ( p { - } q ) } } & { { \tilde { G } ( - p ) ^ { * } \, \tilde { G } ( q { - } p ) } } \end{array} \right) \; .
\begin{array} { r } { \langle ( \delta _ { r } u ) ^ { p } \rangle \sim r ^ { \zeta _ { p } } \ , \ \ \ \ \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \ \ \ \ \langle ( \delta _ { r } \theta ) ^ { p } \rangle \sim r ^ { \xi _ { p } } \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { j } _ { H } ( s | z _ { 0 } ) } & { = \mathcal { E } _ { H } ( z _ { 0 } ) \bigl [ 1 - s \langle \mathcal { T } _ { H } ( z _ { 0 } ) \rangle + O ( s ^ { 2 } ) \bigr ] , } \\ { \tilde { j } _ { 0 } ( s | z _ { 0 } ) } & { = \mathcal { E } _ { 0 } ( z _ { 0 } ) \bigl [ 1 - s \langle \mathcal { T } _ { 0 } ( z _ { 0 } ) \rangle + O ( s ^ { 2 } ) \bigr ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \hbar \sum _ { r = 1 } ^ { l } \alpha _ { r } e _ { n , 1 } ^ { ( r ) } t + \hbar \sum _ { r = 1 } ^ { l } \sum _ { u = 1 } ^ { n } e _ { n , u } ^ { ( r ) } t ^ { - s } e _ { u , 1 } ^ { ( r ) } t ^ { s + 1 } - \hbar \sum _ { a = 1 } ^ { l } ( \sum _ { r = a + 1 } ^ { l } \alpha _ { r } ) e _ { n , 1 } ^ { ( a ) } t } \\ & { \quad + \hbar \sum _ { a = 1 } ^ { l } ( \sum _ { r = 1 } ^ { a - 1 } \alpha _ { r } ) e _ { n , 1 } ^ { ( a ) } t + \hbar \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } \displaystyle \sum _ { u = 1 } ^ { n } \sum _ { r _ { 1 } < r _ { 2 } } ( - e _ { u , n } ^ { ( r _ { 1 } ) } t ^ { - s } e _ { 1 , u } ^ { ( r _ { 2 } ) } t ^ { s + 1 } + e _ { 1 , u } ^ { ( r _ { 1 } ) } t ^ { - s } e _ { u , n } ^ { ( r _ { 2 } ) } t ^ { s + 1 } ) } \\ & { \quad + \hbar \sum _ { w \in \mathbb { Z } } \sum _ { r _ { 1 } < r _ { 2 } } \sum _ { u = n + 1 } ^ { q _ { r _ { 2 } } } e _ { n , u } ^ { ( r _ { 1 } ) } t ^ { - w } e _ { u , 1 } ^ { ( r _ { 2 } ) } t ^ { w + 1 } } \\ & { \quad + \hbar \sum _ { r = 1 } ^ { l } \sum _ { s \geq 0 } \sum _ { u = n + 1 } ^ { a } ( e _ { u , 1 } ^ { ( r ) } t ^ { - s - 1 } e _ { n , u } ^ { ( r ) } t ^ { s + 2 } + e _ { n , u } ^ { ( r ) } t ^ { 1 - s } e _ { u , 1 } ^ { ( r ) } t ^ { s } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bigg [ - \Lambda _ { \mathrm { L } } \log { ( n ) } + \bigg ( \Lambda _ { \mathrm { L } } \log { ( 2 ) } - \Lambda _ { \mathrm { Q } } } & { } \\ { + \Big [ \Lambda _ { \mathrm { L } } - \frac { \Lambda _ { \mathrm { R } } } { 2 } \Big ] \log ( 1 + Y ) \bigg ) } & { \bigg ] \frac { \Gamma ( \frac { n } { 2 } + \alpha _ { 0 } ) } { [ 2 ( 1 + Y ) ] ^ { n / 2 + \alpha _ { 0 } } } \quad \mathrm { f o r ~ n ~ e v e n } , } \\ { - \Lambda _ { \mathrm { R } } } & { \frac { \Gamma ( \frac { n } { 2 } + { \alpha _ { 0 } + \frac { 1 } { 2 } } ) } { [ 2 ( 1 + Y ) ] ^ { n / 2 + { \alpha _ { 0 } + 1 / 2 } } } \quad \mathrm { f o r ~ n ~ o d d } . } \end{array}
\operatorname * { l i m } _ { \varepsilon \rightarrow 0 } \frac { \varepsilon ^ { 2 k + 2 } } { ( p q ) ^ { 2 } + \varepsilon ^ { 2 } } \: \left( \frac { q ^ { 2 } } { 4 } \right) ^ { n } \: T _ { m ^ { 2 } } ^ { ( 2 k + 1 + n ) } ( p ) \; \; \; .
\begin{array} { r l } { { T } _ { 0 } } & { = \left\{ \begin{array} { l l l } { 1 + q \mathrm { e } ^ { z } } & { ( z < 0 ) } \\ { 1 + q } & { ( z > 0 ) } \end{array} \right. , \quad { Y } _ { 0 } = \left\{ \begin{array} { l l l } { 1 - \mathrm { e } ^ { L e z } } & { ( z < 0 ) } \\ { 0 } & { ( z > 0 ) } \end{array} \right. , } \\ { { V } _ { 0 } } & { = { T } _ { 0 } , \quad { R } _ { 0 } = { V } _ { 0 } ^ { - 1 } , \quad { P } _ { 0 } = 1 \quad ( z \gtrless 0 ) , } \\ { { P } _ { 1 } } & { = \left\{ \begin{array} { l l l } { b ^ { 2 } ( \nu - \gamma ) q \mathrm { e } ^ { z } } & { ( z < 0 ) } \\ { - b ^ { 2 } \gamma q } & { ( z > 0 ) } \end{array} \right. , \quad { Y } _ { 1 } = \left\{ \begin{array} { l l l } { C _ { Y } \mathrm { e } ^ { L e z } } & { ( z < 0 ) } \\ { 0 } & { ( z > 0 ) } \end{array} \right. , } \\ { { T } _ { 1 } } & { = \left\{ \begin{array} { l l l } { C _ { T } \mathrm { e } ^ { z } - b ^ { 2 } \frac { \gamma - 1 } { \gamma } q \left( ( \nu - \gamma ) z + \frac { q } { 2 } ( 2 \nu - \gamma ) \mathrm { e } ^ { z } \right) \mathrm { e } ^ { z } } & { ( z < 0 ) } \\ { b ^ { 2 } \frac { \gamma - 1 } { 2 } ( 1 - T _ { a d } ^ { 2 } ) } & { ( z > 0 ) } \end{array} \right. , } \end{array}
{ \cal H } _ { \omega } = { \frac { 1 } { 2 } } p ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } \omega ^ { 2 } q ^ { 2 } + \sum _ { \alpha \in \Delta } { \frac { g _ { | \alpha | } ^ { 2 } } { | \alpha | ^ { 2 } } } { \frac { 1 } { ( \alpha \cdot q ) ^ { 2 } } } ,
\begin{array} { r l } { { \mathbb J } _ { 1 } } & { { } \approx - \, { \mathbb L } _ { 1 } , \quad { \mathbb J } _ { 2 } \approx - \, { \mathbb K } _ { 2 } , \quad { \mathbb J } _ { 3 } \approx - \, { \mathbb L } _ { 3 } , } \\ { { \mathbb J } _ { 4 } } & { { } \approx + \, { \mathbb K } _ { 1 } , \quad { \mathbb J } _ { 5 } \approx - \, { \mathbb K } _ { 3 } , \quad { \mathbb J } _ { 6 } \approx - \, { \mathbb L } _ { 2 } . } \end{array}
\frac { d ^ { 2 } \chi } { d r ^ { 2 } } + \left\{ E ^ { 2 } - [ m + U ( r ) ] ^ { 2 } + ( \mathrm { s g n } ~ \kappa ) \frac { d U } { d r } + \frac { 2 | \kappa | E } { r } \right\} \chi = 0 \; ,