harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\sum _ { k } \frac { A _ { k } e ^ { k y } } { k ^ { 3 / 2 } } = \frac { 1 } { \Gamma ( 3 / 2 ) } \sum _ { k } A _ { k } \int _ { 0 } ^ { \Gamma _ { R } } d \omega \, \omega ^ { k - 1 } ( \ln \Gamma _ { R } - \ln \omega ) ^ { 1 / 2 } .
H ^ { 1 } ( X , { \mathcal { O } } _ { X } ^ { \times } ) { \stackrel { c _ { 1 } } { \to } } H ^ { 2 } ( X , \mathbf { Z } ) { \stackrel { i _ { * } } { \to } } H ^ { 2 } ( X , { \mathcal { O } } _ { X } ) .
\dot { \mathbf { x } } = \mathbf { u } ( \mathbf { x } ) + M _ { 0 } \left[ \mathbf { I } _ { s } + \frac { \zeta \eta _ { s } ^ { 0 } } { \Pi _ { c } } \left( \boldsymbol { \nabla } _ { s } \mathbf { u } + \boldsymbol { \nabla } _ { s } \mathbf { u } ^ { T } \right) \right] \boldsymbol { \cdot } \mathbf { F } _ { p } .
\begin{array} { r l r } { g ^ { 2 } + g ^ { 4 } Q ^ { - \epsilon } \left( \frac { 2 \beta _ { 0 } } { \epsilon } \right) } & { = } & { { \frac { 1 } { { \frac { 1 } { g ^ { 2 } } } - { \frac { 2 \beta _ { 0 } Q ^ { - \epsilon } } { \epsilon } } } } } \\ & { \approx } & { { \frac { 1 } { { \frac { 2 \beta _ { 0 } } { \epsilon } } \lambda _ { P } ^ { - \epsilon } - { \frac { 2 \beta _ { 0 } } { \epsilon } } Q ^ { - \epsilon } } } } \end{array}
\mathbf { V } ( \mathbf { r } ) = \overset \leftrightarrow { \mathbf { R } } \, \mathbf { V } ^ { \hat { \mathbf { K } } \parallel \hat { \mathbf { z } } } \bigg ( \overset \leftrightarrow { \mathbf { R } } ^ { - 1 } \mathbf { r } \bigg ) ,
< j _ { 1 } , j _ { 2 } ; m _ { 1 } ^ { \prime } , m _ { 2 } ^ { \prime } | j _ { 1 } , j _ { 2 } ; j , m > f _ { j } ( { \bf k } ^ { \prime } , { \bf k } ) < j _ { 1 } , j _ { 2 } ; j , m | j _ { 1 } , j _ { 2 } ; m _ { 1 } , m _ { 2 } >
J _ { x , \delta } ( u ^ { k } ) = \frac { \lvert \mathbb { E } [ \Tilde { \eta } _ { x } ( u ^ { k } ) \, \vert \, D _ { \mathrm { t r a i n } } ] - z ( x ) \rvert } { \sqrt { \mathrm { V a r } [ \Tilde { \eta } _ { x } ( u ^ { k } ) \, \vert \, D _ { \mathrm { t r a i n } } ] + \mathrm { V a r } [ \epsilon _ { \mathrm { m e a s } , x } ] + \gamma ^ { 2 } } } ,
{ \frac { 1 2 { \frac { 3 } { 4 } } } { 2 6 } } = 1 2 { \frac { 3 } { 4 } } \cdot { \frac { 1 } { 2 6 } } = { \frac { 1 2 \cdot 4 + 3 } { 4 } } \cdot { \frac { 1 } { 2 6 } } = { \frac { 5 1 } { 4 } } \cdot { \frac { 1 } { 2 6 } } = { \frac { 5 1 } { 1 0 4 } }
\begin{array} { r } { \mathcal { V } _ { \mathrm { w a l l } } ( x , y ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \lambda ( y - Y _ { \mathrm { u p p e r } } ( x , t ) ) ^ { 4 } } & { \mathrm { ~ i f ~ y > Y _ \mathrm { u p p e r } ( x , t ) ~ , } } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ i f ~ Y _ \mathrm { l o w e r } ( x , t ) < y < Y _ \mathrm { u p p e r } ( x , t ) ~ , } } \\ { \lambda ( y - Y _ { \mathrm { l o w e r } } ( x , t ) ) ^ { 4 } } & { \mathrm { ~ i f ~ y < Y _ \mathrm { l o w e r } ( x , t ) ~ } , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { \mu \nu } } & { { } = \delta _ { \mu \nu } } \\ { \gamma _ { \mu \nu } ^ { \mathrm { f r , H F } } } & { { } = \gamma _ { A A } ^ { \mathrm { f r , H F } } } \\ { H _ { \mu \nu } ^ { ( 0 ) } } & { { } = \delta _ { \mu \nu } \varepsilon ^ { \mathrm { f r e e } } } \\ { \sum _ { \mu } c _ { \mu i } c _ { \mu j } } & { { } = \delta _ { i j } . } \end{array}
\widetilde \lambda _ { n l } ^ { \bullet } = - \frac { \omega ^ { 3 / 2 } } { \pi ^ { 1 / 2 } } \biggl ( \frac { \tilde { u } _ { n l } ^ { \bullet } } { \tilde { t } _ { n l } ^ { \bullet } - \frac { 1 } { 4 } \tilde { v } _ { n l } ^ { \bullet } } \biggr ) ^ { 2 }
\begin{array} { r } { \Gamma _ { \mathrm { A } } = \gamma _ { \mathrm { A B } } ^ { \mathrm { X A } } N _ { \mathrm { X } } ^ { \mathrm { A } } + \gamma _ { \mathrm { A B } } ^ { \mathrm { Y A } } N _ { \mathrm { Y } } ^ { \mathrm { A } } , } \\ { \Gamma _ { \mathrm { B } } = \gamma _ { \mathrm { A B } } ^ { \mathrm { X B } } N _ { \mathrm { X } } ^ { \mathrm { B } } + \gamma _ { \mathrm { A B } } ^ { \mathrm { Y B } } N _ { \mathrm { Y } } ^ { \mathrm { B } } , } \end{array}
\langle R ^ { 2 } ( { \bf F } ) \rangle = \langle \sum _ { m = 1 } ^ { M } a _ { m } ^ { 2 } ( { \bf P } ) \left[ \sum _ { j = 1 } ^ { J } f _ { m } ( \nu _ { j } , { \bf P } ) \cdot \omega _ { j } \right] ^ { 2 } \rangle .
K _ { b } ( t ) \ = \ \sum _ { ( n ) } e ^ { - t ( p _ { ( n ) } ^ { 2 } + m ^ { 2 } ) } \ \stackrel { t \rightarrow 0 } { \sim } \ \frac { e ^ { - t m } } { 4 \pi t ^ { 3 / 2 } } \sum _ { j } a _ { j } t ^ { j } \ ,
\left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { d } u _ { t } ^ { G } \! = \! \left[ \Delta u _ { t } ^ { G } - u _ { t } ^ { G } ( u _ { t } ^ { G } - \frac 1 2 ) ( u _ { t } ^ { G } - 1 ) + G ( t , u _ { t } ^ { G } ) \right] \! \mathrm { d } t + \! 0 . 0 5 \mathrm { d } W _ { t } } \\ { u _ { 0 } ^ { G } = u \in L ^ { 2 } ( 0 , 2 0 ) , } \end{array} \right.
p _ { i j } ^ { 0 } \equiv \frac { 1 } { 1 + e ^ { - ( \alpha _ { i } + \alpha _ { j } ) } + e ^ { - ( \beta _ { i } + \beta _ { j } ) } } \equiv \frac { 1 } { 1 + x _ { i } x _ { j } + y _ { i } y _ { j } }
\begin{array} { r l } { \mathrm { V a r } ( X _ { 2 } ) } & { \lesssim \sum _ { i , j , k , \ell ( d i s t . ) } \tilde { \Omega } _ { i j } ^ { 2 } \cdot \mathrm { V a r } ( W _ { j k } W _ { k \ell } W _ { \ell i } ) \lesssim \sum _ { i , j , k , \ell } \beta _ { i } ^ { 2 } \theta _ { i } ^ { 2 } \beta _ { j } ^ { 2 } \theta _ { j } ^ { 2 } \cdot \Omega _ { j k } \Omega _ { k \ell } \Omega _ { \ell i } } \\ & { \lesssim \sum _ { i , j , k , \ell } \beta _ { i } ^ { 2 } \theta _ { i } ^ { 2 } \beta _ { j } ^ { 2 } \theta _ { j } ^ { 2 } \cdot \theta _ { j } \theta _ { k } ^ { 2 } \theta _ { \ell } ^ { 2 } \theta _ { i } = \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } \, \| \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla _ { \mathbf x } \cdot \left\langle \mathbf v _ { 0 } c _ { 1 } + \mathbf v _ { 1 } c _ { 0 } \right\rangle _ { \mathcal { I B } } } & { { } = \frac { \partial } { \partial x _ { i } } \left\langle v _ { 0 i } c _ { 1 } + v _ { 1 i } c _ { 0 } \right\rangle _ { \mathcal { I B } } } \end{array}
m _ { \tilde { l } _ { a } ^ { \pm } } \geq 9 4 \, G e V \, , \ \ m _ { \tilde { q } _ { a } } \geq 1 3 0 \, G e V \, , \ \ M _ { \Psi _ { i } ^ { \pm } } \geq 9 4 \, G e V \, , \ \ M _ { \Psi _ { \alpha } ^ { 0 } } \geq 5 5 \, G e V \, .
\begin{array} { r l } & { \quad k _ { j , i } + B _ { i , j } - B _ { j , i } } \\ & { = \sum _ { s \geq 0 } w _ { j , i } ^ { ( 2 ) } t ^ { - 1 - s } w _ { i , j } ^ { ( 1 ) } t ^ { 2 + s } + \sum _ { s \geq 0 } w _ { i , j } ^ { ( 1 ) } t ^ { 1 - s } w _ { j , i } ^ { ( 2 ) } t ^ { s } } \\ & { \quad - \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } w _ { i , j } ^ { ( 1 ) } t ^ { - s } w _ { j , i } ^ { ( 2 ) } t ^ { s + 1 } - \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } w _ { j , i } ^ { ( 1 ) } t ^ { - s } w _ { i , j } ^ { ( 2 ) } t ^ { s + 1 } . } \end{array}
\int _ { \psi = 0 } ^ { \pi } \int _ { \phi = 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { \theta = 0 } ^ { \pi } { \bf \tilde { h } } ^ { \dagger } { \bf T _ { v } } ^ { T } { \bf G } _ { 2 0 } ^ { \dagger } ( w ) { \bf S } _ { q q } ^ { - 1 } { \bf G } _ { 2 0 } ( w ) { \bf T _ { v } } { \bf \tilde { h } } \frac { \sin \theta d \psi d \theta d \phi } { 4 \pi ^ { 2 } } = \frac { 1 } { X ( w ) ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { \mathbf { U } ( \mathbf { x } , t ) } & { { } = \mathbf { x } - \mathbf { X } ( \mathbf { x } , t ) } \\ { \nabla _ { \mathbf { x } } \mathbf { U } } & { { } = \mathbf { I } - \nabla _ { \mathbf { x } } \mathbf { X } } \\ { \nabla _ { \mathbf { x } } \mathbf { U } } & { { } = \mathbf { I } - \mathbf { F } ^ { - 1 } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { x _ { i } ^ { \star } } & { \ge 0 , } \\ { x _ { i } ^ { \star } \left( r _ { i } - \left[ ( I _ { N } - \Sigma _ { N } ) \boldsymbol { x } _ { N } ^ { \star } \right] _ { i } \right) } & { = 0 , } \\ { r _ { i } - \left[ ( I _ { N } - \Sigma _ { N } ) \boldsymbol { x } _ { N } ^ { \star } \right] _ { i } } & { \le 0 , } \end{array} \right. \qquad \textrm { f o r a l l } \ i \in \{ 1 , \cdots , N \} \, .
\begin{array} { r l r } { y _ { n } ( \tau ) } & { \sim } & { \frac { - ( \prod _ { j = 2 } ^ { n } \alpha _ { j } ) } { 2 \pi i } \tau ^ { 2 } \oint _ { \cal \tilde { C } } \frac { e ^ { z } } { z ^ { 3 } a _ { 2 } } d z } \\ & { = } & { - ( \prod _ { j = 2 } ^ { n } \alpha _ { j } ) \frac { \tau ^ { 2 } } { 2 a _ { 2 } } \qquad \tau \rightarrow \infty } \end{array}
f ( x ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { { \mathrm { ~ i f ~ } } x = 0 } \\ { { \frac { 1 } { q } } } & { { \mathrm { ~ i f ~ } } x = { \frac { p } { q } } { \mathrm { ( i n ~ l o w e s t ~ t e r m s ) ~ i s ~ a ~ r a t i o n a l ~ n u m b e r } } } \\ { 0 } & { { \mathrm { ~ i f ~ } } x { \mathrm { ~ i s ~ i r r a t i o n a l } } . } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } { \delta \langle \mathbf { J } ( \mathbf { r } , t ) \rangle } & { { } = \int d \omega ^ { \prime } \frac { \mathbf { \Gamma } \left( k , \omega ^ { \prime } \right) } { - \omega ^ { \prime } } e ^ { i \mathbf { k } r } \xi } \end{array}
\begin{array} { r l r } { e ^ { - \mathcal { A } _ { 1 } ^ { \ast } + \mathcal { A } _ { 2 } ^ { \ast } + \mathcal { A } _ { 3 } ^ { \ast } } } & { = } & { \delta \, \zeta \, e ^ { - \mathcal { A } _ { 1 } ^ { \ast } } + \beta \, \varepsilon \, e ^ { \mathcal { A } _ { 2 } ^ { \ast } - 2 \mathcal { A } _ { 1 } ^ { \ast } } + \alpha \, \gamma \, e ^ { \mathcal { A } _ { 3 } ^ { \ast } - 2 \mathcal { A } _ { 1 } ^ { \ast } } } \\ & { } & { + e ^ { - 2 \mathcal { A } _ { 1 } ^ { \ast } } \, \left( \beta \, \gamma \, \zeta + \alpha \, \delta \, \varepsilon \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { f = I _ { 1 } ^ { \boldsymbol { \alpha } } \left( \sum _ { j = 1 } ^ { n } R _ { j } ^ { \boldsymbol { \alpha } } \left( e _ { - \boldsymbol { \alpha } } \partial _ { j } ( e _ { \boldsymbol { \alpha } } f ) \right) \right) = \sum _ { j = 1 } ^ { n } I _ { 1 } ^ { \boldsymbol { \alpha } } \left( R _ { j } ^ { \boldsymbol { \alpha } } \left( e _ { - \boldsymbol { \alpha } } \partial _ { j } ( e _ { \boldsymbol { \alpha } } f ) \right) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { x _ { i , j , k } = x _ { \operatorname* { m i n } } + } & { \Delta x _ { 0 } \left[ ( i - 1 ) + \sin ( \pi ( j - 1 ) \Delta y _ { 0 } ) \sin ( \pi ( k - 1 ) \Delta z _ { 0 } ) \right] , } \\ { y _ { i , j , k } = y _ { \operatorname* { m i n } } + } & { \Delta y _ { 0 } \left[ ( j - 1 ) + \sin ( \pi ( k - 1 ) \Delta z _ { 0 } ) \sin ( \pi ( i - 1 ) \Delta x _ { 0 } ) \right] , } \\ { z _ { i , j , k } = z _ { \operatorname* { m i n } } + } & { \Delta z _ { 0 } \left[ ( k - 1 ) + \sin ( \pi ( i - 1 ) \Delta x _ { 0 } ) \sin ( \pi ( j - 1 ) \Delta y _ { 0 } ) \right] } \end{array}
{ \bf L } = \dot { { \bf F } } { \bf F } ^ { - 1 } = { \bf L } ^ { \mathrm { ~ e ~ } } + { \bf F } ^ { \mathrm { ~ e ~ } } { \bf L } ^ { \mathrm { ~ c ~ } } { \bf F } ^ { \mathrm { ~ e ~ } - 1 }
\begin{array} { r l } { ( 1 + \beta ) \mathbf { K } _ { G } \hat { \mathbf { v } } _ { 2 j } - \mathbf { K } _ { G } \hat { \mathbf { v } } _ { 2 j + 1 } - \beta \mathbf { K } _ { G } \hat { \mathbf { v } } _ { 2 j - 1 } - \omega ^ { 2 } \mathbf { M } _ { \mathrm { e f f } } ( \omega ) \hat { \mathbf { v } } _ { 2 j } } & { = \mathbf { 0 } \, , } \\ { ( 1 + \beta ) \mathbf { K } _ { G } \hat { \mathbf { v } } _ { 2 j + 1 } - \beta \mathbf { K } _ { G } \hat { \mathbf { v } } _ { 2 j + 2 } - \mathbf { K } _ { G } \hat { \mathbf { v } } _ { 2 j } - \omega ^ { 2 } \mathbf { M } _ { \mathrm { e f f } } ( \omega ) \hat { \mathbf { v } } _ { 2 j + 1 } } & { = \mathbf { 0 } \, . } \end{array}
{ t _ { \mu } } ^ { \nu } = { \frac { c ^ { 4 } } { 1 6 \pi G { \sqrt { - g } } } } ( ( g ^ { \alpha \beta } { \sqrt { - g } } ) _ { , \mu } ( \Gamma _ { \alpha \beta } ^ { \nu } - \delta _ { \beta } ^ { \nu } \Gamma _ { \alpha \sigma } ^ { \sigma } ) - \delta _ { \mu } ^ { \nu } g ^ { \alpha \beta } ( \Gamma _ { \alpha \beta } ^ { \sigma } \Gamma _ { \sigma \rho } ^ { \rho } - \Gamma _ { \alpha \sigma } ^ { \rho } \Gamma _ { \beta \rho } ^ { \sigma } ) { \sqrt { - g } } )
\begin{array} { r l } & { \int _ { \mathcal X } \left| p _ { 1 } - p _ { 0 } - \frac 1 2 h ^ { T } s \sqrt { p _ { 0 } } ( \sqrt { p _ { 1 } } + \sqrt { p _ { 0 } } ) \right| d \mu } \\ & { = \int _ { \mathcal X } \left| \sqrt { p _ { 1 } } + \sqrt { p _ { 0 } } \right| \left| \sqrt { p _ { 1 } } - \sqrt { p _ { 0 } } - \frac 1 2 h ^ { T } s \sqrt { p _ { 0 } } \right| d \mu } \\ & { \le \sqrt { \int _ { \mathcal X } \left| \sqrt { p _ { 1 } } + \sqrt { p _ { 0 } } \right| ^ { 2 } d \mu } \sqrt { \int _ { \mathcal X } \left| \sqrt { p _ { 1 } } - \sqrt { p _ { 0 } } - \frac 1 2 h ^ { T } s \sqrt { p _ { 0 } } \right| ^ { 2 } d \mu } } \\ & { \le 2 \sqrt { \Psi ( h ) } , } \end{array}
\mathcal { M } _ { \ell m } = \frac { 2 } { 2 \ell + 1 } \Big ( Q _ { \ell } ^ { I } + \frac { k _ { 1 } } { k _ { D } } \Big ) \delta _ { \ell m } + \frac { k _ { 2 } } { k _ { D } } \Big ( 1 + \frac { k _ { 1 } } { k _ { D } } \frac { 1 } { Q _ { \ell } ^ { B } } \Big ) N _ { \ell m } .
\Phi _ { 1 2 } : = { \frac { 1 } { 2 } } R _ { a b } m ^ { a } n ^ { b } \, , \quad \; \Phi _ { 2 1 } : = { \frac { 1 } { 2 } } R _ { a b } { \bar { m } } ^ { a } n ^ { b } = { \overline { { \Phi _ { 1 2 } } } } \, .
\begin{array} { r l } & { S _ { 1 } ^ { \left( q \right) } \left( \tau ^ { \left( q \right) } \right) } \\ { = } & { - \operatorname { t r } \left[ \rho _ { 1 } ^ { \left( q \right) } \log \left( \rho _ { 1 } ^ { \left( q \right) } \right) \right] , } \\ { = } & { \log \left( \sum _ { \lambda _ { 1 } ^ { \left( q \right) } } \exp \left( - \tau ^ { \left( q \right) } \lambda _ { 1 } ^ { \left( q \right) } \right) \right) + \tau ^ { \left( q \right) } \big \langle \lambda _ { 1 } ^ { \left( q \right) } \big \rangle _ { \rho } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \overline { { C } } _ { B } = \frac { 1 } { \ln ( 2 ) } \left( \frac { \beta _ { B } ^ { 2 } \, P _ { s } } { N _ { o } } \right) ^ { - \frac { k _ { A } + m _ { A } } { 2 } } \frac { \Xi ^ { k _ { A } + m _ { A } } } { \Gamma \left( k _ { A } \right) \Gamma \left( m _ { A } \right) } } \\ & { \times \mathrm { G } _ { 2 , 4 } ^ { 4 , 1 } \left( \frac { \Xi ^ { 2 } \, N _ { o } } { \beta _ { B } ^ { 2 } \, P _ { s } } \left| \begin{array} { c } { - \frac { k _ { A } + m _ { A } } { 2 } , 1 - \frac { k _ { A } + m _ { A } } { 2 } } \\ { \frac { k _ { A } - m _ { A } } { 2 } , - \frac { k _ { A } - m _ { A } } { 2 } , - \frac { k _ { A } + m _ { A } } { 2 } , - \frac { k _ { A } + m _ { A } } { 2 } } \end{array} \right. \right) . } \end{array}
\phi ( z ) = \prod _ { m \, ( \nu _ { m } > 0 ) } | { p _ { m } } ^ { \nu _ { m } } | ^ { 2 } \left( 1 - { \frac { 1 } { | p _ { m } | ^ { 2 } } } \right) = | z | ^ { 2 } \prod _ { p _ { m } | z } \left( 1 - { \frac { 1 } { | p _ { m } | ^ { 2 } } } \right)
d \Omega _ { n - 1 } = \sin ^ { n - 2 } ( \varphi _ { 1 } ) \sin ^ { n - 3 } ( \varphi _ { 2 } ) \cdots \sin ^ { 2 } ( \varphi _ { n - 3 } ) \sin ( \varphi _ { n - 2 } ) \, d \varphi _ { 1 } d \varphi _ { 2 } \cdots d \varphi _ { n - 2 } d \varphi _ { n - 1 } ,
\begin{array} { r l } { \mathbf { u } _ { L } } & { = \left( \begin{array} { l } { 2 } \\ { 0 } \\ { 0 . 1 } \end{array} \right) \mathrm { k m \, s } ^ { - 1 } , \quad \mathbf { F } _ { e , L } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { - 0 . 0 1 } & { 0 . 9 5 } & { 0 . 0 2 } \\ { - 0 . 0 1 5 } & { 0 } & { 0 . 9 } \end{array} \right) , \quad \mathscr { E } _ { L } = \mathscr { E } _ { \mathrm { r e f } , L } } \\ { \mathbf { u } _ { R } } & { = \mathbf { 0 } \: \mathrm { k m \, s } ^ { - 1 } , \quad \overline { { \mathbf { V } } } _ { e , R } = \mathbf { I } , \quad \rho _ { R } = 1 0 ^ { - 3 } \: \mathrm { g \, c m } ^ { - 3 } , \quad p _ { R } = 1 0 ^ { - 4 } \: \mathrm { G P a } } \end{array}
W _ { \mathrm { n o i s e } } ( \mathbf { r } ) = \frac { 1 } { 2 \pi } \frac { 1 } { \sqrt { \operatorname* { d e t } \left( V _ { \mathrm { n o i s e } } \right) } } \mathrm { e x p } \left\{ \frac { Q ^ { 2 } V _ { \mathrm { 1 1 } } - 2 Q P V _ { \mathrm { 1 2 } } + P ^ { 2 } V _ { \mathrm { 2 2 } } } { 2 V _ { \mathrm { 1 2 } } ^ { 2 } - 2 V _ { \mathrm { 1 1 } } V _ { \mathrm { 2 2 } } } \right\} ,
p ( \boldsymbol { \lambda } | X _ { i } ) = \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \mathrm { e r f } \left( \frac { x _ { i } - y _ { i } ( \boldsymbol { \lambda } ) - \mu + \epsilon } { \sqrt { 2 } \sigma } \right)
\Delta \phi ( \tau , t _ { 0 } ) = \frac { 2 A _ { m } } { \pi } \left[ \arcsin \left( \sin \left( \omega _ { m } ( \tau + t _ { 0 } ) \right) \right) - \arcsin \left( \sin \left( \omega _ { m } t _ { 0 } \right) \right) \right] .
\begin{array} { r l } & { \frac { d } { d t } \iint _ { \mathbb R ^ { d } \times \mathbb R ^ { d } } ( 1 + | v | ^ { 2 } ) | f ^ { k + 1 } - f ^ { k } | \, d x d v + \iint _ { \mathbb R ^ { d } \times \mathbb R ^ { d } } ( 1 + | v | ^ { 2 } ) | f ^ { k + 1 } - f ^ { k } | \, d x d v } \\ & { \quad = \iint _ { \mathbb R ^ { d } \times \mathbb R ^ { d } } ( 1 + | v | ^ { 2 } ) \mathrm { s g n } ( f ^ { k + 1 } - f ^ { k } ) ( M ^ { \varepsilon } [ f ^ { k } ] - M ^ { \varepsilon } [ f ^ { k - 1 } ] ) \, d x d v , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { H } _ { 1 } } & { = } & { \frac { u _ { 1 } } { 2 } \left[ ( \hat { a } _ { L } ^ { \dagger } \hat { a } _ { L } ) ^ { 2 } + ( \hat { a } _ { R } ^ { \dagger } \hat { a } _ { R } ) ^ { 2 } \right] - v _ { 1 } \left( \hat { a } _ { L } ^ { \dagger } \hat { a } _ { R } + \hat { a } _ { R } ^ { \dagger } \hat { a } _ { L } \right) , } \\ { \hat { H } _ { 2 } } & { = } & { \frac { u _ { 2 } } { 2 } \left[ ( \hat { b } _ { L } ^ { \dagger } \hat { b } _ { L } ) ^ { 2 } + ( \hat { b } _ { R } ^ { \dagger } \hat { b } _ { R } ) ^ { 2 } \right] - v _ { 2 } \left( \hat { b } _ { L } ^ { \dagger } \hat { b } _ { R } + \hat { b } _ { R } ^ { \dagger } \hat { b } _ { L } \right) , } \\ { \hat { H } _ { 1 2 } } & { = } & { u _ { 1 2 } \left( \hat { a } _ { L } ^ { \dagger } \hat { a } _ { L } \hat { b } _ { L } ^ { \dagger } \hat { b } _ { L } + \hat { a } _ { R } ^ { \dagger } \hat { a } _ { R } \hat { b } _ { R } ^ { \dagger } \hat { b } _ { R } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \rho _ { L } , U _ { L } , P _ { L } , c _ { L } \right) } & { = \left( \rho _ { i } , - \textbf { v } _ { i } \cdot \textbf { e } _ { i j } , p _ { i } , c _ { i } \right) } \\ { \left( \rho _ { R } , U _ { R } , P _ { R } , c _ { R } \right) } & { = \left( \rho _ { j } , - \textbf { v } _ { j } \cdot \textbf { e } _ { i j } , p _ { j } , c _ { j } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { d ( y , y _ { 1 } ) + d ( y , y _ { 2 } ) - d ( y _ { 1 } , y _ { 2 } ) \geq d ( y , y _ { 1 } ) + d ( y , y _ { 2 } ) - ( d ( y _ { 1 } , y _ { 3 } ) + d ( y _ { 3 } , y _ { 2 } ) ) } \\ & { \geq d ( y , y _ { 1 } ) + d ( y , y _ { 2 } ) - d ( y _ { 1 } , y _ { 3 } ) - d ( y _ { 3 } , y _ { 4 } ) - d ( y _ { 4 } , y _ { 2 } ) } \\ & { = n + k - 2 + \epsilon _ { y _ { 1 } } + \epsilon _ { y _ { 2 } } - 4 \epsilon - ( n + k - 2 + \epsilon _ { y _ { 1 } } + \epsilon _ { y _ { 2 } } - n ^ { \prime } - k ^ { \prime } ) - d ( y _ { 3 } , y _ { 4 } ) } \\ & { = n ^ { \prime } + k ^ { \prime } - 4 \epsilon - d ( y _ { 3 } , y _ { 4 } ) > n ^ { \prime } + k ^ { \prime } - 4 \epsilon - n ^ { \prime } - k ^ { \prime } + 5 \epsilon > 0 . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \frac { d M } { d t } } } & { = \Lambda - \delta M - \mu M } \\ { { \frac { d S } { d t } } } & { = \delta M - { \frac { \beta S I } { N } } - \mu S } \\ { { \frac { d E } { d t } } } & { = { \frac { \beta S I } { N } } - ( \varepsilon + \mu ) E } \\ { { \frac { d I } { d t } } } & { = \varepsilon E - ( \gamma + \mu ) I } \\ { { \frac { d R } { d t } } } & { = \gamma I - \mu R } \end{array} }
h _ { v } ^ { ( + ) } = P _ { + } Q _ { v } ^ { ( + ) } , \quad H _ { v } ^ { ( + ) } = P _ { - } Q _ { v } ^ { ( + ) } \mathrm { ~ w i t h ~ } P _ { \pm } = \frac { 1 } { 2 } ( 1 \pm \slash { v } ) \ .
\begin{array} { r l } { g _ { 2 } ( h ) ( u , v ) } & { = ( \lambda + \mu ) \int _ { D } ( \nabla \cdot u ) \nabla \cdot ( h \cdot \nabla \bar { v } ) + \nabla \cdot ( h \cdot \nabla u ) ( \nabla \cdot \bar { v } ) \, \mathrm { d } x } \\ & { - ( \lambda + \mu ) \int _ { S } ( \nabla \cdot u ) ( n \cdot ( h \cdot \nabla \bar { v } ) ) \, \mathrm { d } s . } \end{array}
\rho ( k ) \sim { \frac { 1 } { E _ { k } } } \left( { \frac { \Gamma } { ( k ^ { 0 } - E _ { k } ) ^ { 2 } + \Gamma ^ { 2 } } } - { \frac { \Gamma } { ( k ^ { 0 } + E _ { k } ) ^ { 2 } + \Gamma ^ { 2 } } } \right) \; .
\hat { h } _ { 1 } ( z ) = \frac { M ^ { 2 } } { 8 ( 1 - z ) } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d k _ { \bot } ^ { 2 } } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \frac { 1 } { ( k ^ { 2 } - m ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { \mid \! \phi \! \mid } ^ { 2 }
\tilde { u } _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ^ { m } = ( 1 - \alpha ) \overline { { u } } _ { i } ^ { m } + \alpha \overline { { u } } _ { i + 1 } ^ { m } , \quad \alpha = \frac { x _ { i + \frac { 1 } { 2 } } - x _ { i - \frac { 1 } { 2 } } } { ( x _ { i + \frac { 1 } { 2 } } - x _ { i - \frac { 1 } { 2 } } ) + ( x _ { i + \frac { 3 } { 2 } } - x _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ) } .
C ( k ^ { 2 } ) \sim ( k ^ { 2 } ) ^ { \gamma _ { 0 } } \; , \quad \gamma _ { 0 } = \sqrt { \frac { 3 1 } { 6 } - 1 } \simeq 1 . 2 7 3 \; , \quad \mathrm { f o r } \; k ^ { 2 } \to 0 \; .
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d \lambda } A ^ { - 1 } ( \lambda ) } & { = - A ^ { - 1 } ( \lambda ) \left( \frac { d } { d \lambda } A ( \lambda ) \right) A ^ { - 1 } ( \lambda ) , } \\ { \frac { d } { d \lambda } \log | A ( \lambda ) | } & { = \mathrm { t r } \left( A ^ { - 1 } ( \lambda ) \frac { d } { d \lambda } A ( \lambda ) \right) , } \end{array}
\varepsilon = \varepsilon _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ r ~ } } + \varepsilon _ { \mathrm { ~ s ~ } } + \varepsilon _ { \mathrm { ~ h ~ } } + p _ { \mathrm { ~ e ~ c ~ } } n _ { \mathrm { ~ p ~ m ~ } } \varepsilon _ { \mathrm { ~ p ~ e ~ } } .
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { x , \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ i ~ n ~ e ~ d ~ } } ^ { i j k } = } & { { } - 6 \frac { \phi ^ { i + 1 , j , k } - \phi ^ { i - 1 , j , k } } { \Delta x ^ { 2 } } + h \frac { - \phi ^ { i + 1 + 1 / h , j , k } + \phi ^ { i + 1 - 1 / h , j , k } } { \Delta x ^ { 2 } } } \end{array}
\phi = \left[ \frac { ( \lambda / 6 \kappa ^ { - 2 } l ^ { - 1 } ) ^ { 2 } - \Lambda _ { 4 } l ^ { 2 } / 3 - 1 } { ( \bar { \lambda } / 6 \kappa ^ { - 2 } l ^ { - 1 } ) ^ { 2 } - \phi ^ { - 2 } \Lambda _ { 4 } l ^ { 2 } / 3 - 1 } \right] ^ { 1 / 5 } .
\hat { \rho } _ { S } ( t ) = \left[ \mathcal { C } _ { 0 0 } | 0 \rangle \langle 0 | + \mathcal { C } _ { 0 1 } | 0 \rangle \langle 1 | + \mathcal { C } _ { 1 0 } | 1 \rangle \langle 0 | + \mathcal { C } _ { 1 1 } | 1 \rangle \langle 1 | \right]
\begin{array} { r l r } { \mathbf { v } _ { t + \frac { 1 } { 2 } } } & { { } = } & { \mathbf { v } _ { t - \frac { 1 } { 2 } } + \delta t \mathbf { a } _ { t } } \\ { \mathbf { x } _ { t + 1 } } & { { } = } & { \mathbf { x } _ { t } + \delta t \mathbf { v } _ { t + \frac { 1 } { 2 } } } \end{array}
\mathrm { P o l y } ( \mathfrak { t } ) \mathcal { F } ( \bar { X } ) : = \bigcup _ { k \in \mathbb { N } } \mathrm { P o l y } ^ { k } ( \mathfrak { t } ) \mathcal { F } ( \bar { X } ) , \quad \mathrm { P o l y } ^ { k } ( \mathfrak { t } ) \mathcal { F } ( \bar { X } ) : = \left\{ \sum _ { j = 0 } ^ { k } \mathfrak { t } ^ { j } a _ { j } \colon a _ { j } \in \mathcal { F } ( \bar { X } ) \right\} .
\begin{array} { r } { \sigma \, \tilde { c } ( \mathbf { k } ) - \frac { n M _ { 0 } \zeta } { \Pi _ { c } } \mathbf { F } _ { p } \boldsymbol { \cdot } \left( \mathbf { I } _ { s } - \hat { \mathbf { k } } \hat { \mathbf { k } } \right) \boldsymbol { \cdot } \mathbf { F } _ { p } \, \tilde { c } ( \mathbf { k } ) } \\ { + i k M _ { 0 } \mathbf { F } _ { p } \boldsymbol { \cdot } \mathbf { k } \, \tilde { c } ( \mathbf { k } ) + k ^ { 2 } D \, \tilde { c } ( \mathbf { k } ) = 0 . } \end{array}
{ \cal L } _ { M } = \frac { f _ { \pi } ^ { 2 } } { 4 } \mathrm { T r } ( \partial _ { \mu } U ^ { \dagger } \partial ^ { \mu } U ) + \frac { 1 } { 3 2 e ^ { 2 } } \mathrm { T r } [ U ^ { \dagger } \partial _ { \mu } U , U ^ { \dagger } \partial _ { \nu } U ] ^ { 2 } ,