harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { v } \wedge \mathbf { w } } & { = ( a \mathbf { e } _ { 1 } + b \mathbf { e } _ { 2 } ) \wedge ( c \mathbf { e } _ { 1 } + d \mathbf { e } _ { 2 } ) } \\ & { = a c \mathbf { e } _ { 1 } \wedge \mathbf { e } _ { 1 } + a d \mathbf { e } _ { 1 } \wedge \mathbf { e } _ { 2 } + b c \mathbf { e } _ { 2 } \wedge \mathbf { e } _ { 1 } + b d \mathbf { e } _ { 2 } \wedge \mathbf { e } _ { 2 } } \\ & { = \left( a d - b c \right) \mathbf { e } _ { 1 } \wedge \mathbf { e } _ { 2 } } \end{array} }
\mathcal { J } _ { 0 } ( s _ { 0 } , c ) - \mathcal { J } _ { 0 } ( s _ { 0 } , \alpha ) = \widetilde { \mathcal { V } } ( s _ { 0 } ) - J _ { 0 } ( s _ { 0 } , \alpha ) \geqslant e ^ { - \lambda T _ { \frac 1 2 } ( \alpha ) } \Bigl ( \widetilde { \mathcal { V } } \left( s _ { \alpha } \left( T _ { \frac 1 2 } ( \alpha ) \right) \right) - J _ { T _ { \frac 1 2 } ( \alpha ) } \left( s _ { \alpha } \left( T _ { \frac 1 2 } ( \alpha ) \right) , \alpha \right) \Bigr ) .
\int \operatorname { e x s e c } ( \theta ) \, \mathrm { d } \theta = \ln \left[ \cos \left( { \frac { \theta } { 2 } } \right) + \sin \left( { \frac { \theta } { 2 } } \right) \right] - \ln \left[ \cos \left( { \frac { \theta } { 2 } } \right) - \sin \left( { \frac { \theta } { 2 } } \right) \right] - \theta + C
\begin{array} { r l } & { \left[ i \left( \frac { \partial } { \partial z } + \frac { 1 } { V _ { g j } } \frac { \partial } { \partial t } \right) \right] \hat { E } _ { p j } - \frac { K _ { 2 j } } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial t ^ { 2 } } \hat { E } _ { p j } + ( W _ { j j } | g _ { p j } | ^ { 2 } \hat { E } _ { p j } ^ { \dag } \hat { E } _ { p j } } \\ & { + W _ { j 3 - j } | g _ { p 3 - j } | ^ { 2 } \hat { E } _ { p 3 - j } ^ { \dag } \hat { E } _ { p 3 - j } ) \hat { E } _ { p j } = i { \hat { \cal F } } _ { p j } , } \end{array}
E ( { \bf a } , { \bf b } ) = \prod _ { p = 1 } ^ { n } \, { \frac { E _ { p } ( a _ { p } , b _ { p } ) } { ( a _ { p } + b _ { p } ) } } \, \left[ 1 + D _ { i j k l } \, C _ { i j } ^ { - 1 } \, C _ { k l } ^ { - 1 } \, \sum _ { m = 1 } ^ { n } \, { \frac { G _ { m } ( a _ { m } , b _ { m } ) } { E _ { m } ( a _ { m } , b _ { m } ) } } \right] \, .
\begin{array} { r l } { { 1 } } & { \displaystyle i \partial _ { t } U + \frac { 1 } { 2 } \Delta _ { x } U = \gamma \left( \sigma _ { 1 } \star _ { x } \int _ { \mathbb R ^ { n } } \sigma _ { 2 } \Psi \, { \mathrm { d } } z \right) U , } \\ & { \displaystyle - \Delta _ { z } \Psi = - \gamma \sigma _ { 2 } ( z ) \left( \sigma _ { 1 } \star _ { x } | U | ^ { 2 } \right) ( x ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \left| \gamma _ { 1 } ^ { \top } \left( \frac { \partial f } { \partial \mu } ( x | \mu _ { 1 } , \Sigma ) - \frac { \partial f } { \partial \mu } ( x | \mu _ { 2 } , \Sigma ) \right) \right| \leq C ( R _ { 1 } , R _ { 2 } ) \| \mu _ { 1 } - \mu _ { 2 } \| ^ { \delta _ { 1 } } \| \gamma _ { 1 } \| , } \\ { \left| \mathrm { t r } \left( \Big ( \frac { \partial f } { \partial \Sigma } ( x | \mu , \Sigma _ { 1 } ) - \frac { \partial f } { \partial \Sigma } ( x | \mu , \Sigma _ { 2 } ) \Big ) ^ { \top } \gamma _ { 2 } \right) \right| \leq C ( R _ { 3 } ) \| \Sigma _ { 1 } - \Sigma _ { 2 } \| ^ { \delta _ { 2 } } \| \gamma _ { 2 } \| . } \end{array}
\epsilon _ { \exists \; z _ { \mathrm { v t x } } } = \frac { N ( \mathrm { a l l ~ c u t s ~ e x c e p t ~ | z _ { \mathrm { ~ v t x } } - z _ { o } | < 3 5 \, ~ \mathrm { ~ c m } ~ } ) } { N ( \mathrm { a l l ~ c u t s ~ e x c e p t ~ \ e x i s t s \; ~ z _ { \mathrm { ~ v t x } } ~ a n d ~ | z _ { \mathrm { ~ v t x } } - z _ { o } | < 3 5 \, ~ \mathrm { ~ c m } ~ } ) }
\begin{array} { r l } { \int \arcsin ( z ) \, d z } & { { } { } = z \, \arcsin ( z ) + { \sqrt { 1 - z ^ { 2 } } } + C } \\ { \int \operatorname { a r c c o s } ( z ) \, d z } & { { } { } = z \, \operatorname { a r c c o s } ( z ) - { \sqrt { 1 - z ^ { 2 } } } + C } \\ { \int \arctan ( z ) \, d z } & { { } { } = z \, \arctan ( z ) - { \frac { 1 } { 2 } } \ln \left( 1 + z ^ { 2 } \right) + C } \\ { \int \operatorname { a r c c o t } ( z ) \, d z } & { { } { } = z \, \operatorname { a r c c o t } ( z ) + { \frac { 1 } { 2 } } \ln \left( 1 + z ^ { 2 } \right) + C } \\ { \int \operatorname { a r c s e c } ( z ) \, d z } & { { } { } = z \, \operatorname { a r c s e c } ( z ) - \ln \left[ z \left( 1 + { \sqrt { \frac { z ^ { 2 } - 1 } { z ^ { 2 } } } } \right) \right] + C } \\ { \int \operatorname { a r c c s c } ( z ) \, d z } & { { } { } = z \, \operatorname { a r c c s c } ( z ) + \ln \left[ z \left( 1 + { \sqrt { \frac { z ^ { 2 } - 1 } { z ^ { 2 } } } } \right) \right] + C } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ( } & { { } \Delta t _ { k } | \lambda ) = \Bigg [ \sum _ { n = 0 } ^ { N } \frac { \lambda } { 2 } \mathrm { e r f c } \left( \frac { \tau _ { \mathrm { I R F } } - \Delta t _ { k } - n T + \lambda \sigma _ { \mathrm { I R F } } ^ { 2 } } { \sigma _ { \mathrm { I R F } } \sqrt { 2 } } \right) } \\ { \times } & { { } \exp \left( \frac { \lambda } { 2 } \left( 2 ( \tau _ { \mathrm { I R F } } - \Delta t _ { k } - n T ) + \lambda \sigma _ { \mathrm { I R F } } ^ { 2 } \right) \right) \Bigg ] , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { A } & { = { \left( \begin{array} { l l l l } { a p - b q - c r - d s } & { - a q - b p + c s - d r } & { - a r - b s - c p + d q } & { - a s + b r - c q - d p } \\ { b p + a q - d r + c s } & { - b q + a p + d s + c r } & { - b r + a s - d p - c q } & { - b s - a r - d q + c p } \\ { c p + d q + a r - b s } & { - c q + d p - a s - b r } & { - c r + d s + a p + b q } & { - c s - d r + a q - b p } \\ { d p - c q + b r + a s } & { - d q - c p - b s + a r } & { - d r - c s + b p - a q } & { - d s + c r + b q + a p } \end{array} \right) } } \\ & { = { \left( \begin{array} { l l l l } { a } & { - b } & { - c } & { - d } \\ { b } & { \; \, \, a } & { - d } & { \; \, \, c } \\ { c } & { \; \, \, d } & { \; \, \, a } & { - b } \\ { d } & { - c } & { \; \, \, b } & { \; \, \, a } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l l l l } { p } & { - q } & { - r } & { - s } \\ { q } & { \; \, \, p } & { \; \, \, s } & { - r } \\ { r } & { - s } & { \; \, \, p } & { \; \, \, q } \\ { s } & { \; \, \, r } & { - q } & { \; \, \, p } \end{array} \right) } . } \end{array} }
\begin{array} { r } { \theta _ { 0 2 } ^ { * } \approx \frac { \eta } { \Delta } , \ \ \ \nu _ { 1 } ^ { * } = \frac { - 1 } { C } \ln \left( \frac { \Delta \delta _ { \theta } } { \eta } \right) , \ \psi _ { 0 1 } ^ { * } = \delta _ { \psi } e ^ { - \nu _ { 1 } ^ { * } } \approx \delta _ { \psi } \left( \frac { \Delta \delta _ { \theta } } { \eta } \right) ^ { 1 / C } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { a ^ { \mathcal { M } } ( \mathbf { u } , \mathbf { v } ) } & { { } { } = \frac { 1 } { 2 } \int _ { S } \bar { \mathbf { v } } ( \mathbf { x } ) \cdot \mathbf { u } ( \mathbf { x } ) d S - \int _ { S } \bar { \mathbf { v } } ( \mathbf { x } ) \cdot \bigg ( \mathbf { n } ( \mathbf { x } ) \times \int _ { S ^ { \prime } } \mathbf { u } ( \mathbf { x } ^ { \prime } ) \times \nabla ^ { \prime } G ( \mathbf { x } , \mathbf { x } ^ { \prime } ) d S ^ { \prime } \bigg ) d S , } \\ { b ^ { \mathcal { M } } ( \mathbf { u } , \mathbf { v } ) } & { { } { } = \int _ { S } \bar { \mathbf { v } } ( \mathbf { x } ) \cdot [ \mathbf { n } ( \mathbf { x } ) \times \mathbf { u } ( \mathbf { x } ) ] d S . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \left| \mu _ { 5 } \right| } { k _ { \mathrm { r h } } / a _ { \mathrm { r h } } } } & { = \frac { 6 \, \alpha _ { Y } c _ { 5 } \, \chi } { \pi } \frac { T _ { \mathrm { r h } } } { H _ { \mathrm { r h } } } = \frac { 6 \, \alpha _ { Y } c _ { 5 } \, \chi } { \pi } \frac { M _ { * } } { T _ { \mathrm { r h } } } } \\ & { \sim 1 0 ^ { - 4 } \: \bigg ( \frac { \chi } { 1 0 ^ { - 7 } } \bigg ) \left( \frac { 1 0 ^ { 1 4 } \mathrm { G e V } } { T _ { \mathrm { r h } } } \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { T _ { r } ( X ) } & { { } = X \oslash ( X \mathbf { 1 } _ { N } \mathbf { 1 } _ { N } ^ { T } ) , } \\ { T _ { c } ( X ) } & { { } = X \oslash ( \mathbf { 1 } _ { N } \mathbf { 1 } _ { N } ^ { T } X ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { x _ { 0 } ~ ~ } & { { } = ~ 0 } \\ { x _ { 1 , 2 } } & { { } = \pm \frac { 1 } { 2 ( 1 - v ) } \sqrt { \frac { 1 - 3 v } { 1 - v } } } \end{array}
\frac { E _ { \mathrm { ~ C ~ } } } { E _ { \mathrm { ~ F ~ } } } = \frac { \sigma _ { 0 , \mathrm { ~ C ~ } } ^ { 4 } } { \sigma _ { 0 , \mathrm { ~ F ~ } } ^ { 4 } } = \frac { t _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ } } ^ { 2 } } { \omega _ { 0 } ^ { 2 } \sigma _ { 0 , \mathrm { ~ F ~ } } ^ { 4 } } = \left( \frac { t _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ } } } { \eta _ { 0 , \mathrm { ~ F ~ } } } \right) ^ { 2 } \, .
\begin{array} { r l r } { { \bf D } } & { \approx } & { \int \varepsilon ( \omega _ { 0 } + \tilde { \omega } ) { \bf E } _ { \tilde { \omega } } e ^ { - i \tilde { \omega } t } \frac { d \tilde { \omega } } { 2 \pi } } \\ & { + } & { \tilde { \varepsilon } ( x , y , \zeta ) { \bf E } + \alpha ( \omega _ { 0 } ) | { \bf E } | ^ { 2 } { \bf E } + \beta ( \omega _ { 0 } ) ( { \bf E } \cdot { \bf E } ) { \bf E } ^ { * } , } \end{array}
\mathbb { P } _ { L } ^ { [ 3 ] } : = \left\{ \mathfrak { u } \in \mathbb { P } _ { L } ^ { [ 2 ] } \ \backslash \ \gamma _ { n _ { [ 3 ] } } ^ { [ 3 ] } ( \mathfrak { u } ) = 0 , n _ { [ 3 ] } = 1 , \dots , N _ { 0 } ^ { [ 3 ] } \right\} .
\operatorname { t a n h } { \frac { 1 } { 2 } } = { \frac { e - 1 } { e + 1 } } = 0 + { \cfrac { 1 } { 2 + { \cfrac { 1 } { 6 + { \cfrac { 1 } { 1 0 + { \cfrac { 1 } { 1 4 + { \cfrac { 1 } { \ddots } } } } } } } } } }
A = \left( 1 - \frac { 3 } { 2 } \frac { u _ { x } ^ { 2 } } { \varsigma ^ { 2 } } - \frac { 3 } { 2 \rho \varsigma ^ { 2 } } u _ { x } \partial _ { u _ { x } } P _ { x x } ^ { * } - \frac { { ( \partial _ { u _ { x } } P _ { x x } ^ { * } ) } ^ { 2 } } { 2 \rho ^ { 2 } \varsigma ^ { 2 } } - \frac { \partial _ { \rho } P _ { x x } ^ { * } } { 2 \varsigma ^ { 2 } } \right) ,
\begin{array} { r l } & { \sum _ { i = 0 } ^ { K } E \left[ C _ { I - i , i } \sum _ { k = i } ^ { K } \left( \prod _ { j = i } ^ { k - 1 } \widehat { f } _ { j , n } \right) \widehat \sigma _ { k , n } ^ { 2 } \left( \prod _ { h = k + 1 } ^ { K } \left( \widehat { f } _ { h , n } ^ { 2 } + \frac { \widehat \sigma _ { h , n } ^ { 2 } } { \sum _ { p = - n } ^ { I - h - 1 } C _ { p , h } } \right) \right) \left( 1 - \prod _ { l = K + 1 } ^ { I + n - 1 } \widehat { f } _ { l , n } \right) \right] } \\ { = } & { \left( \sum _ { i = 0 } ^ { K } E \left[ C _ { I - i , i } \sum _ { k = i } ^ { K } \left( \prod _ { j = i } ^ { k - 1 } \widehat { f } _ { j , n } \right) \widehat \sigma _ { k , n } ^ { 2 } \left( \prod _ { h = k + 1 } ^ { K } \left( \widehat { f } _ { h , n } ^ { 2 } + \frac { \widehat \sigma _ { h , n } ^ { 2 } } { \sum _ { p = - n } ^ { I - h - 1 } C _ { p , h } } \right) \right) \right] \right) \left( 1 - \prod _ { l = K + 1 } ^ { I + n - 1 } f _ { l } \right) } \end{array}
a ^ { \uparrow } : = | \uparrow \rangle \langle \uparrow | \otimes { \mathchoice { \mathrm { 1 \ m s k i p - 4 m u l } } { \mathrm { 1 \ m s k i p - 4 m u l } } { \mathrm { 1 \ m s k i p - 4 . 5 m u l } } { \mathrm { 1 \ m s k i p - 5 m u l } } } _ { \mathord { \mathbb Z } } \mathrm { ~ a n d ~ } a ^ { \downarrow } : = | \downarrow \rangle \langle \downarrow | \otimes { \mathchoice { \mathrm { 1 \ m s k i p - 4 m u l } } { \mathrm { 1 \ m s k i p - 4 m u l } } { \mathrm { 1 \ m s k i p - 4 . 5 m u l } } { \mathrm { 1 \ m s k i p - 5 m u l } } } _ { \mathord { \mathbb Z } }
\begin{array} { r l r l } { { 2 } } & { { } E _ { s s , s } ( t ) } & { } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \big \langle \langle u _ { s } \rangle _ { x } ^ { 2 } \big \rangle _ { z } \big | _ { 0 } ^ { 4 0 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 = } & { \partial _ { \nu } T ^ { 0 \nu } + \Gamma _ { \, \, \, \nu \rho } ^ { 0 } T ^ { \rho \nu } + \Gamma _ { \, \, \, \nu 0 } ^ { \nu } T ^ { 0 0 } } \\ { = } & { \partial _ { 0 } T ^ { 0 0 } + \partial _ { i } T ^ { 0 i } - \frac { 1 } { 2 } \partial ^ { 0 } ( g _ { i i } ) T ^ { i i } + \frac { 1 } { 2 } g ^ { i i } \partial _ { 0 } ( g _ { i i } ) T ^ { 0 0 } } \\ { = } & { \partial _ { 0 } ( g ^ { 0 0 } T _ { \, \, \, 0 } ^ { 0 } ) + \partial _ { i } ( g ^ { 0 0 } T _ { 0 } ^ { i } ) - \frac { 1 } { 2 } g ^ { 0 0 } \partial _ { 0 } ( g _ { i i } ) g ^ { i i } T _ { \, \, \, i } ^ { i } + \frac { 1 } { 2 } g ^ { i i } \partial _ { 0 } ( g _ { i i } ) g ^ { 0 0 } T _ { \, \, \, 0 } ^ { 0 } } \\ { = } & { g ^ { 0 0 } \bigg [ \partial _ { 0 } T _ { \, \, \, 0 } ^ { 0 } + \frac { 1 } { g ^ { 0 0 } } \partial _ { i } ( g ^ { 0 0 } T _ { \, \, \, 0 } ^ { i } ) - \frac { 1 } { 2 } \partial _ { 0 } ( g _ { i i } ) g ^ { i i } T _ { \, \, \, i } ^ { i } + \frac { 1 } { 2 } g ^ { i i } \partial _ { 0 } ( g _ { i i } ) T _ { \, \, \, 0 } ^ { 0 } \bigg ] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \gamma _ { i j } ^ { \uparrow } } & { { } = } & { \langle \Psi | \hat { a } _ { j \alpha } ^ { \dagger } \, \hat { a } _ { i \alpha } | \Psi \rangle } \\ { \gamma _ { i j } ^ { \downarrow } } & { { } = } & { \langle \Psi | \hat { a } _ { j \beta } ^ { \dagger } \, \hat { a } _ { i \beta } | \Psi \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { { \Delta G _ { i j } ^ { ( 1 ) , \lambda } ( t _ { 0 } ) } } = \overline { { \Delta G _ { i j } ^ { ( 2 ) , \lambda } ( t _ { 0 } ) } } } & { = 0 \, , } \\ { \overline { { \Delta G _ { i k } ^ { ( 1 ) , \lambda } ( t _ { 0 } ) \Delta G _ { j l } ^ { ( 2 ) , \lambda } ( t _ { 0 } ) } } } & { = - \frac { 1 } { \hbar ^ { 2 } } \delta _ { i l } \delta _ { j k } n _ { j } ( 1 \pm n _ { i } ) \, . \quad } \end{array}
\begin{array} { r l } { G _ { H } ^ { k } ( a c , b d ) } & { = \frac { 1 } { Z } \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } r \, r ^ { 2 - k - 1 } R _ { a } ( r ) R _ { c } ( r ) \int _ { 0 } ^ { r } \mathrm { d } r ^ { \prime } \, r ^ { 2 + k } R _ { b } ( r ^ { \prime } ) R _ { d } ( r ^ { \prime } ) } \\ & { = \tau _ { a } \tau _ { b } \tau _ { c } \tau _ { d } \sum _ { a _ { a } = 0 } ^ { n _ { a } - l _ { a } - 1 } \sigma _ { a } ( a _ { a } ) \sum _ { a _ { b } = 0 } ^ { n _ { b } - l _ { b } - 1 } \sigma _ { b } ( a _ { b } ) \sum _ { a _ { c } = 0 } ^ { n _ { c } - l _ { c } - 1 } \sigma _ { c } ( a _ { c } ) \sum _ { a _ { d } = 0 } ^ { n _ { d } - l _ { d } - 1 } \sigma _ { d } ( a _ { d } ) } \\ & { \quad \times g ^ { k } ( 1 - k + a _ { a } + l _ { a } + a _ { c } + l _ { c } , \frac { 1 } { n _ { a } } + \frac { 1 } { n _ { c } } ; 2 + k + a _ { b } + l _ { b } + a _ { d } + l _ { d } , \frac { 1 } { n _ { b } } + \frac { 1 } { n _ { d } } ) \, , } \\ { \tau _ { a } } & { = \sqrt { \left( \frac { 2 } { n _ { a } } \right) ^ { 3 } \frac { ( n _ { a } - l _ { a } - 1 ) ! } { 2 n _ { a } \, ( n _ { a } + l _ { a } ) ! } } \, \left( \frac { 2 } { n _ { a } } \right) ^ { l _ { a } } \, , } \\ { \sigma _ { a } ( a _ { a } ) } & { = \frac { ( 2 l _ { a } + 2 + a _ { a } ) _ { n _ { a } - l _ { a } - 1 - a _ { a } } } { ( n _ { a } - l _ { a } - 1 - a _ { a } ) ! \, a _ { a } ! } \, \left( \frac { - 2 } { n _ { a } } \right) ^ { a _ { a } } \, , } \\ { g ^ { k } ( p , \alpha ; q , \beta ) } & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } \zeta \, \zeta ^ { p } \, \mathrm { e } ^ { - \alpha \zeta } \int _ { 0 } ^ { \zeta } \mathrm { d } \zeta ^ { \prime } \, \zeta ^ { q } \, \mathrm { e } ^ { - \beta \zeta ^ { \prime } } } \\ & { = \frac { p ! } { \beta ^ { q + 2 } } \left[ \frac { \beta \, q ! } { \alpha ^ { p + 1 } } - \frac { ( p + q + 1 ) ! } { \beta ^ { p } \, ( p + 1 ) ! } \, { _ 2 F _ { 1 } } \left( \begin{array} { c } { p + 1 , p + q + 2 } \\ { p + 2 } \end{array} ; \, - \frac { \alpha } { \beta } \right) \right] \, , } \end{array}
\langle { { \bf { u } } ^ { \prime } \times \delta { \bf { b } } ^ { \prime } } \rangle ^ { i } = \tau _ { b } \langle { { \bf { u } } ^ { \prime } \cdot { \bf { b } } ^ { \prime } } \rangle \epsilon ^ { i j k } \frac { \partial U ^ { k } } { \partial x ^ { j } } = \tau _ { b } \langle { { \bf { u } } ^ { \prime } \cdot { \bf { b } } ^ { \prime } } \rangle ( \nabla \times { \bf { U } } ) ^ { i } = \tau _ { b } \langle { { \bf { u } } ^ { \prime } \cdot { \bf { b } } ^ { \prime } } \rangle \Omega ^ { i } .
\begin{array} { r } { \partial _ { t } \mathbf { u } + \mathbf { u } \cdot \mathbf { \nabla } \mathbf { u } + \mathbf { \nabla } P - \frac { 1 } { R e } \Delta \mathbf { u } = \mathbf { f } , } \\ { \mathbf { \nabla } \cdot \mathbf { u } = 0 , } \\ { U ( x , \pm y _ { w } , z ) = U _ { w } , v ( x , \pm y _ { w } , z ) = \partial _ { y } v | _ { ( x , \pm y _ { w } , z ) } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { x } ( A u ) ^ { n } } & { { } = 0 } \\ { \rho \, \partial _ { x } ( A u ^ { 2 } ) ^ { n } + A ^ { n } \, \partial _ { x } p ^ { n } } & { { } = 0 \quad \implies \quad \boldsymbol { Q } ^ { n + 1 } = \boldsymbol { Q } ^ { n } } \\ { p ^ { n } - F ( A ^ { n } ) + \tau _ { r } \, E _ { 0 } \, G ( A ^ { n } ) \, \partial _ { x } ( A u ) ^ { n } } & { { } = 0 \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { F ^ { ( o ) } ( \{ \beta _ { i } \} ) = \left( \begin{array} { c c c c c c } { f _ { 1 } ( \beta _ { 1 } ) } & { \cdots } & { f _ { 1 } ( \beta _ { 2 M } ) } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { f _ { M } ( \beta _ { 1 } ) } & { \cdots } & { f _ { M } ( \beta _ { 2 M } ) } \\ { \beta _ { 1 } ^ { L } g _ { 1 } ( \beta _ { 1 } ) } & { \cdots } & { \beta _ { 2 M } ^ { L } g _ { 1 } ( \beta _ { 2 M } ) } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { \beta _ { 1 } ^ { L } g _ { M } ( \beta _ { 1 } ) } & { \cdots } & { \beta _ { 2 M } ^ { L } g _ { M } ( \beta _ { 2 M } ) } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { 2 } = } & { ~ \int _ { 0 } ^ { \infty } s ^ { m - 1 } \operatorname* { m i n } \{ 1 , \exp ( A - \sqrt { s / R _ { 2 } } ) \} d s } \\ { = } & { ~ \int _ { 0 } ^ { s _ { 2 } } s ^ { m - 1 } d s + \int _ { s _ { 2 } } ^ { \infty } s ^ { m - 1 } \exp ( A - \sqrt { s / R _ { 2 } } ) d s } \\ { = } & { ~ \frac { s _ { 2 } ^ { m } } { m } + \int _ { \sqrt { s _ { 2 } / R _ { 2 } } } ^ { \infty } 2 R _ { 2 } ^ { m } t ^ { 2 m - 1 } \exp ( A - t ) d t } \\ { \leq } & { ~ \frac { s _ { 2 } ^ { m } } { m } + \frac { R _ { 2 } ^ { m } } { m } \left( ( A + 2 m ) ^ { 2 m } - A ^ { 2 m } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { a } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \left( \sqrt { \frac { 2 \omega _ { c } } { \hbar } } x - i \sqrt { \frac { 2 } { \hbar \omega _ { c } } p } \right) , } \\ { a ^ { * } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \left( \sqrt { \frac { 2 \omega _ { c } } { \hbar } } x + i \sqrt { \frac { 2 } { \hbar \omega _ { c } } p } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left[ { \varphi _ { \bf k } } + { \varphi _ { 3 } } - { \varphi _ { 1 } } - { \varphi _ { 2 } } \right] \approx \left( \partial _ { \omega } \varphi _ { \omega } - \partial _ { \omega _ { 2 } } \varphi _ { \omega _ { 2 } } \right) ( - { \bf p } _ { 1 } ) \cdot 2 { \bf k } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { 0 } & { { } \stackrel { } { = } } & { \int _ { 0 } ^ { 1 } \big ( \frac { \d x } { \d x } \big ) H _ { 1 } \, \d x = 1 \cdot H _ { 1 } ( 1 ) - 0 \cdot H _ { 1 } ( 0 ) - \int _ { 0 } ^ { 1 } x \, \frac { \d H _ { 1 } } { \d x } \, \d x } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { I } _ { j } ^ { l } ( { \mathbf { r } _ { 1 } } ) } & { { } = \int \mathrm { ~ d ~ } { \mathbf { r } _ { 2 } } \, \chi _ { l } ( { \mathbf { r } _ { 2 } } ) \, \phi _ { j } ( { \mathbf { r } _ { 2 } } ) \, \nabla _ { 1 } u ( { \mathbf { r } _ { 1 } } , { \mathbf { r } _ { 2 } } ) \, \bar { g } ( { \mathbf { r } _ { 2 } } ) } \\ { J _ { j } ^ { l } ( { \mathbf { r } _ { 1 } } ) } & { { } = \int \mathrm { ~ d ~ } { \mathbf { r } _ { 2 } } \, \chi _ { l } ( { \mathbf { r } _ { 2 } } ) \, \phi _ { j } ( { \mathbf { r } _ { 2 } } ) \, u ( { \mathbf { r } _ { 1 } } , { \mathbf { r } _ { 2 } } ) \, \bar { g } ( { \mathbf { r } _ { 2 } } ) \mathrm { ~ . ~ } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } & { z _ { t } + A s _ { x } + \alpha B ( Z s _ { x } + S z _ { x } ) - \alpha ^ { 2 } C ( Z ^ { 2 } s _ { x } + 2 S Z z _ { x } ) + \epsilon ^ { 2 } \kappa s _ { x x x } = 0 } \\ & { s _ { t } + z _ { x } + \alpha B S s _ { x } - \alpha ^ { 2 } C ( S ^ { 2 } z _ { x } + 2 S Z s _ { x } ) = 0 } \end{array} \right. \, .
\begin{array} { r l } { e ^ { i \theta _ { k , \alpha } } \mathcal { T } | u _ { \mathbf { k } , \alpha } ^ { I } \rangle } & { = | u _ { - \mathbf { k } , \alpha } ^ { I I } \rangle , } \\ { - e ^ { i \theta _ { - k , \alpha } } \mathcal { T } | u _ { \mathbf { k } , \alpha } ^ { I I } \rangle } & { = | u _ { - \mathbf { k } , \alpha } ^ { I } \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \pi _ { \alpha \beta } } & { = - 3 \eta _ { 0 } \left( h _ { \alpha } h _ { \beta } - \frac { \delta _ { \alpha \beta } } { 3 } \right) \left( h _ { \mu } h _ { \nu } - \frac { \delta _ { \mu \nu } } { 3 } \right) \partial _ { \mu } V _ { \nu } , } \\ { Q _ { v i s c } } & { = 3 \eta _ { 0 } \left( \left( h _ { \alpha } h _ { \beta } - \frac { \delta _ { \alpha \beta } } { 3 } \right) \partial _ { \alpha } V _ { \beta } \right) ^ { 2 } , } \end{array}
H _ { G a u s s } = \mathfrak { F } \left\{ \frac { 1 } { \sigma \sqrt { 2 \pi } } \exp \left( \frac { - x ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } \right) \right\} = \exp \left( { 2 \pi ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } \xi ^ { 2 } } \right)
\begin{array} { r l } { | \mathcal { D } ( \mathcal { G } _ { q } ( g + 1 ) ) | } & { = - q | \mathcal { D } ( \mathcal { G } _ { q } ( g + 1 ) ) \cap \mathcal { V } _ { \mathrm { h } } ( \mathcal { G } _ { q } ( g + 1 ) ) | + } \\ & { \quad \sum _ { i = 1 } ^ { \frac { ( q + 1 ) ( q + 2 ) } { 2 } } | \mathcal { D } ( \mathcal { G } _ { q } ( g + 1 ) ) \cap \mathcal { G } _ { q } ^ { ( i ) } ( g ) | , } \end{array}
3 r _ { + } ^ { 5 } - 2 l ^ { 2 } r _ { + } ^ { 3 } - 6 r ( l ^ { 2 } - r ^ { 2 } ) r _ { + } ^ { 2 } + 3 l ^ { 4 } r _ { + } - 2 r l ^ { 2 } ( l ^ { 2 } - r ^ { 2 } ) = 0 .
\alpha _ { n } ( \omega , k _ { z } ) = \frac { \varepsilon _ { 0 } } { \varepsilon _ { 1 } - \varepsilon _ { 0 } } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { l = \pm 1 } \left[ 1 - \frac { \lambda _ { 1 } } { \lambda _ { 0 } } \frac { J _ { n + l } ( \lambda _ { 0 } r _ { c } ) H _ { n } ( \lambda _ { 1 } r _ { c } ) } { J _ { n } ( \lambda _ { 0 } r _ { c } ) H _ { n + l } ( \lambda _ { 1 } r _ { c } ) } \right] ^ { - 1 } .
\begin{array} { r l } { T _ { 1 } v ^ { T } \mathbb { E } [ B ] v + T _ { 2 } v ^ { T } \mathbb { E } [ A ] v = } & { \frac { 1 } { 4 } [ T _ { 1 } c _ { 1 } + T _ { 2 } c _ { 2 } ] v ^ { T } W v } \\ & { + \frac { 1 } { 4 } [ T _ { 1 } c _ { 3 } + T _ { 2 } c _ { 4 } ] v ^ { T } ( Z * W ) v } \\ & { + \frac { 1 } { 4 } [ T _ { 1 } c _ { 1 } + T _ { 2 } c _ { 2 } ] v ^ { T } \mathbf { J } v } \\ & { - ( T _ { 1 } + T _ { 2 } ) q _ { 0 } \frac { \log n } { n } , } \end{array}
\mathbf { F } ( { \boldsymbol \tau } , { \mathbf { v } } ) : = - \frac { 1 } { \alpha } \int _ { \Omega } \mathbf { f } \cdot \mathbf { d i v } ( { \boldsymbol \tau } ) + \left< { \boldsymbol \tau } { \mathbf { n } } , \mathbf { u } _ { \mathrm { D } } \right> _ { \Gamma } + \kappa _ { 2 } \int _ { \Gamma } \mathbf { u } _ { \mathrm { D } } \cdot { \mathbf { v } } \, .
\begin{array} { r l } & { \mathcal { F } \left( ( u _ { 0 } , \nabla ) \alpha _ { x _ { \ell } } \right) ( \xi ^ { k } ) } \\ & { = ( 2 \pi ) ^ { - d } i \left[ ( \xi _ { 2 } \hat { \alpha } ) * ( \xi _ { 1 } \xi _ { \ell } \, \hat { \alpha } ) - ( \xi _ { 1 } \hat { \alpha } ) * ( \xi _ { 2 } \xi _ { \ell } \, \hat { \alpha } ) \right] ( \xi ^ { k } ) } \\ & { = ( 2 \pi ) ^ { - d } i 5 \; 2 ^ { k - 3 } \! \! \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \! \! \hat { \alpha } ( \xi ^ { k } - \xi ) \xi _ { 1 } \xi _ { \ell } \, \hat { \alpha } ( \xi ) d \xi \! - \! i 5 \sqrt { 3 } \; 2 ^ { k - 3 } \! \! \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \! \! \hat { \alpha } ( \xi ^ { k } - \xi ) \xi _ { 2 } \xi _ { \ell } \, \hat { \alpha } ( \xi ) d \xi } \\ & { = ( 2 \pi ) ^ { - d } i 5 \; 2 ^ { k - 3 } \! \! \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \! \! \left( \xi _ { 1 } - \sqrt { 3 } \xi _ { 2 } \right) \xi _ { \ell } \, \hat { \alpha } ( \xi ^ { k } - \xi ) \hat { \alpha } ( \xi ) d \xi . } \end{array}