harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathcal { K } _ { x x y z } ^ { ' } } & { = \widetilde { \Pi } _ { x x y z } ^ { ' } - \widetilde { \Pi } _ { x x } ^ { ' } \widetilde { \Pi } _ { y z } ^ { ' } - 2 \widetilde { \Pi } _ { x y } ^ { ' } \widetilde { \Pi } _ { x z } ^ { ' } , } \\ { \mathcal { K } _ { x x y y } ^ { ' } } & { = \widetilde { \Pi } _ { x x y y } ^ { ' } - \widetilde { \Pi } _ { z z } ^ { ' } \widetilde { \Pi } _ { x y y } ^ { ' } - 2 \widetilde { \Pi } _ { x y } ^ { ' } \widetilde { \Pi } _ { x y } ^ { ' } , } \\ { \mathcal { K } _ { x y y z z } ^ { ' } } & { = \widetilde { \Pi } _ { x y y z z } ^ { ' } - \widetilde { \Pi } _ { y y z z } ^ { ' } \widetilde { \Pi } _ { x y y } ^ { ' } - \widetilde { \Pi } _ { y y } ^ { ' } \widetilde { \Pi } _ { x z z } ^ { ' } } \\ & { - 4 \widetilde { \Pi } _ { y z } ^ { ' } \widetilde { \Pi } _ { x y z } ^ { ' } - 2 \widetilde { \Pi } _ { x z } ^ { ' } \widetilde { \Pi } _ { y y z } ^ { ' } - 2 \widetilde { \Pi } _ { x y } ^ { ' } \widetilde { \Pi } _ { y z z } ^ { ' } , } \\ { \mathcal { K } _ { x x y y z z } ^ { ' } } & { = \widetilde { \Pi } _ { x x y y z z } ^ { ' } - 4 \widetilde { \Pi } _ { x y z } ^ { ' } \widetilde { \Pi } _ { x y z } ^ { ' } - \widetilde { \Pi } _ { x x } ^ { ' } \widetilde { \Pi } _ { y y z z } ^ { ' } } \\ & { - \widetilde { \Pi } _ { y y } ^ { ' } \widetilde { \Pi } _ { x x z z } ^ { ' } - \widetilde { \Pi } _ { z z } ^ { ' } \widetilde { \Pi } _ { y y z z } ^ { ' } - 4 \widetilde { \Pi } _ { y z } ^ { ' } \widetilde { \Pi } _ { x x y z } ^ { ' } } \\ & { - 4 \widetilde { \Pi } _ { x z } ^ { ' } \widetilde { \Pi } _ { x y y z } ^ { ' } - 4 \widetilde { \Pi } _ { x y } ^ { ' } \widetilde { \Pi } _ { x y z z } ^ { ' } - 2 \widetilde { \Pi } _ { x y y } ^ { ' } \widetilde { \Pi } _ { x z z } ^ { ' } } \\ & { - 2 \widetilde { \Pi } _ { x x y } ^ { ' } \widetilde { \Pi } _ { y z z } ^ { ' } - 2 \widetilde { \Pi } _ { x x z } ^ { ' } \widetilde { \Pi } _ { y y z } ^ { ' } + 1 6 \widetilde { \Pi } _ { x y } ^ { ' } \widetilde { \Pi } _ { x z } ^ { ' } \widetilde { \Pi } _ { y z } ^ { ' } } \\ & { + 4 \widetilde { \Pi } _ { x z } ^ { ' } \widetilde { \Pi } _ { x z } ^ { ' } \widetilde { \Pi } _ { y y } ^ { ' } + 4 \widetilde { \Pi } _ { y z } ^ { ' } \widetilde { \Pi } _ { y z } ^ { ' } \widetilde { \Pi } _ { x x } ^ { ' } + 4 \widetilde { \Pi } _ { x y } ^ { ' } \widetilde { \Pi } _ { x y } ^ { ' } \widetilde { \Pi } _ { z z } ^ { ' } } \\ & { + 2 \widetilde { \Pi } _ { x x } ^ { ' } \widetilde { \Pi } _ { y y } ^ { ' } \widetilde { \Pi } _ { z z } ^ { ' } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \gamma \left( x _ { t } \right) + \chi \left( x _ { t } \right) \nabla \gamma \left( x _ { t } \right) } & { { } = \nu \Delta \gamma \left( x _ { t } \right) + \psi \left( x _ { t } \right) , } \\ { \nabla \chi \left( x _ { t } \right) } & { { } = 0 , \; x _ { t } \in \left( 0 , 1 \right) ^ { 2 } \times \left( 0 , \infty \right) , } \\ { \gamma \left( x _ { 0 } \right) } & { { } = \gamma _ { I } , \; x _ { 0 } \in \left( 0 , 1 \right) \times \{ 0 \} , } \end{array}
\alpha ( \ensuremath { \vec { \theta } } _ { 0 } , \ensuremath { \vec { \theta } } _ { 1 } ) = 1 \wedge \left\{ \frac { p _ { 1 } ( \ensuremath { \vec { \theta } } _ { 1 } ) p _ { 2 } ( \ensuremath { \vec { \theta } } _ { 0 } ) } { p _ { 1 } ( \ensuremath { \vec { \theta } } _ { 0 } ) p _ { 2 } ( \ensuremath { \vec { \theta } } _ { 1 } ) } \right\} ,
\begin{array} { l } { \left( 1 - \frac { { \cal H } } { z _ { s } } \right) \left( 1 - \frac { { \cal H } } { z _ { s } ^ { * } } \right) \left( 1 + \frac { { \cal H } } { z _ { s } } \right) \left( 1 + \frac { { \cal H } } { z _ { s } ^ { * } } \right) } \\ { = \left( 1 + \frac { { \cal H } ^ { 2 } } { | z _ { s } | ^ { 2 } } - 2 X \frac { { \cal H } } { | z _ { s } | ^ { 2 } } \right) \left( 1 + \frac { { \cal H } ^ { 2 } } { | z _ { s } | ^ { 2 } } + 2 X \frac { { \cal H } } { | z _ { s } | ^ { 2 } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \hat { \xi } _ { i } ( t ) \hat { \xi } _ { j } ( t ^ { \prime } ) \rangle \simeq } & { { } \gamma _ { i } \left( 2 \bar { n } _ { i } ^ { \mathrm { m } } + 1 \right) \delta ( t - t ^ { \prime } ) \delta _ { i j } . } \end{array}
\frac { \gamma ^ { 2 } \varepsilon ^ { 6 } } { 2 5 6 } \log { \left( \gamma \varepsilon ^ { 4 } \right) } + \ensuremath { \operatorname { O } \left( \gamma ( \gamma + 1 ) \varepsilon ^ { 6 } \right) } \leq \frac { \gamma ^ { 2 } \varepsilon ^ { 6 } } { 6 4 \pi } \log { \left( \gamma \varepsilon ^ { 4 } \right) } .
\begin{array} { l l } { { [ h _ { i } , h _ { j } ] = 0 , } } & { { [ e _ { i } , f _ { j } ] = \delta _ { i j } h _ { i } , } } \\ { { \mathrm { ~ [ ~ } h _ { i } , e _ { j } \mathrm { ~ ] ~ } = A _ { i j } e _ { j } , } } & { { \mathrm { ~ [ ~ } h _ { i } , f _ { j } \mathrm { ~ ] ~ } = - A _ { i j } f _ { j } , } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { { \mathbb { P } } \Big \{ \mathsf { c } ( \mathsf { c } ( { \boldsymbol { z } } _ { 1 } , \ldots , { \boldsymbol { z } } _ { m } ) , { \boldsymbol { z } } _ { m + 1 } ) = \mathsf { c } ( { \boldsymbol { z } } _ { 1 } , \ldots , { \boldsymbol { z } } _ { m } ) \mathrm { ~ a n d ~ } \mathsf { c } ( { \boldsymbol { z } } _ { 1 } , \ldots , { \boldsymbol { z } } _ { m } ) = \mathsf { m s } ( { \boldsymbol { z } } _ { 1 } , \ldots , { \boldsymbol { z } } _ { k } ) \mathrm { ~ a n d ~ } { \boldsymbol { \phi } } _ { m + 1 } \in B \Big \} } } \\ & { \leq } & { { \mathbb { P } } \Big \{ \mathsf { c } ( { \boldsymbol { z } } _ { 1 } , \ldots , { \boldsymbol { z } } _ { k } , { \boldsymbol { z } } _ { i } ) = \mathsf { m s } ( { \boldsymbol { z } } _ { 1 } , \ldots , { \boldsymbol { z } } _ { k } ) , \ \ i = k + 1 , \ldots m + 1 \mathrm { ~ a n d ~ } { \boldsymbol { \phi } } _ { m + 1 } \in B \Big \} } \\ & { = } & { { \mathbb { P } } \Big \{ \mathsf { c } ( { \boldsymbol { z } } _ { 1 } , \ldots , { \boldsymbol { z } } _ { m + 1 } ) = \mathsf { m s } ( { \boldsymbol { z } } _ { 1 } , \ldots , { \boldsymbol { z } } _ { k } ) \mathrm { ~ a n d ~ } { \boldsymbol { \phi } } _ { m + 1 } \in B \Big \} , } \end{array}
\overset { V } { L } { ^ { ( \pm ) } _ { 1 } } \overset { W } { T } _ { 2 } = \overset { W } { T } _ { 2 } \, \overset { V } { L } { ^ { ( \pm ) } _ { 1 } } \, R _ { V W } ^ { ( \pm ) } , \quad R _ { V W } ^ { ( \pm ) } \, \overset { V } { \widetilde { L } } { ^ { ( \pm ) } _ { 1 } } \, \overset { W } { T } _ { 2 } = \overset { W } { T } _ { 2 } \, \overset { V } { \widetilde { L } } { ^ { ( \pm ) } _ { 1 } } , \quad \overset { V } { L } { ^ { ( \pm ) } _ { 1 } } \, \overset { W } { \widetilde { L } } { ^ { ( \pm ) } _ { 2 } } = \overset { W } { \widetilde { L } } { ^ { ( \pm ) } _ { 2 } } \, \overset { V } { L } { ^ { ( \pm ) } _ { 1 } }
\begin{array} { r l } { \Delta _ { D } } & { { } = ( \mathbf { u } , \mathbf { D } _ { 2 } \mathbf { u } ) _ { \omega } - ( \bar { \mathbf { u } } , \bar { \mathbf { D } } _ { 2 } \bar { \mathbf { u } } ) _ { \Omega } = \mathbf { u } ^ { T } \boldsymbol { \omega } \mathbf { D } _ { 2 } \mathbf { u } - ( \mathbf { W } \mathbf { u } ) ^ { T } \boldsymbol { \Omega } \bar { \mathbf { D } } _ { 2 } \mathbf { W } \mathbf { u } = \mathbf { u } ^ { T } \frac { H } { J } \mathbf { D } _ { 2 } \mathbf { u } - \mathbf { u } ^ { T } H \mathbf { W } ^ { T } \bar { \mathbf { D } } _ { 2 } \mathbf { W } \mathbf { u } } \end{array}
\eta _ { 0 } = \frac { 1 } { 2 t _ { \infty ^ { ( 1 ) } , 0 } } \left[ \check { q } ( \check { q } - 1 ) ^ { 2 } \check { p } ^ { 2 } - \frac { t _ { X _ { 1 } ^ { ( 1 ) } , 0 } ^ { 2 } } { \check { q } } - \frac { t ^ { 2 } } { 4 ( \check { q } - 1 ) ^ { 2 } } - \frac { t ( t + 4 t _ { X _ { 2 } ^ { ( 1 ) } , 0 } ) } { 4 ( \check { q } - 1 ) } + t _ { \infty ^ { ( 1 ) } , 0 } ^ { 2 } ( \check { q } - 2 ) \right] .
\delta _ { Q } = \tilde { \delta } _ { Q } + \frac { 2 } { \pi } \, Q _ { 3 3 } ^ { - 1 } \, \zeta _ { Q } \ln { \bigg | \frac { f } { f _ { 0 } } \bigg | } \, + \frac { 2 } { \pi ^ { 2 } } \, Q _ { 3 3 } ^ { - 2 } \, \xi _ { Q } \ln ^ { 2 } { \bigg | \frac { f } { f _ { 0 } } \bigg | } ,
\begin{array} { r l } { \| b _ { i } \| _ { 2 } \leq } & { ~ \| a _ { i } \| _ { 2 } + \| a _ { i } - b _ { i } \| _ { 2 } } \\ { \leq } & { ~ \sigma _ { \operatorname* { m a x } } ( A ) + \| A - B \| } \\ { \leq } & { ~ \sigma _ { \operatorname* { m a x } } ( A ) + \epsilon _ { 0 } } \\ { \leq } & { ~ 2 \sigma _ { \operatorname* { m a x } } ( A ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { d _ { z } \varphi ( z ) - g \vert S ( z ) \vert ^ { 2 } \varphi ( z ) = 0 \ \mathrm { w i t h } \ \varphi ( 0 ) = 1 , } \\ & { } & { d _ { z } \tilde { \varphi } ( z ) + g \vert S ( z ) \vert ^ { 2 } \tilde { \varphi } ( z ) = 0 \ \mathrm { w i t h } \ \tilde { \varphi } ( L ) = 2 i \lambda \varphi ( L ) , } \\ & { } & { d _ { z } \tilde { \vartheta } ( z ) + g \vert S ( z ) \vert ^ { 2 } \tilde { \vartheta } ( z ) = 0 \ \mathrm { w i t h } \ \tilde { \vartheta } ( L ) = 2 i \lambda \varphi ^ { \ast } ( L ) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { H } & { = p u ( t ) - { \frac { u ( t ) ^ { 2 } } { x ( t ) } } - \lambda ( t ) u ( t ) } \\ { { \frac { \partial H } { \partial u } } } & { = p - \lambda ( t ) - 2 { \frac { u ( t ) } { x ( t ) } } = 0 } \\ { { \dot { \lambda } } ( t ) } & { = - { \frac { \partial H } { \partial x } } = - \left( { \frac { u ( t ) } { x ( t ) } } \right) ^ { 2 } } \end{array} }
\mathrm { d } s ^ { 2 } \= R ^ { 2 } \bigl ( - \cosh ^ { 2 } \! \lambda \, \mathrm { d } \tau ^ { 2 } + \mathrm { d } \lambda ^ { 2 } + \sinh ^ { 2 } \! \lambda \, \mathrm { d } \Omega _ { 2 } ^ { 2 } \bigr ) \qquad \textrm { w i t h } \quad \mathrm { d } \Omega _ { 2 } ^ { 2 } = \mathrm { d } \theta ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } \! \theta \mathrm { d } \phi ^ { 2 } \ ,
{ \bf g } _ { k } ( x , y , z ) : = \left\{ \begin{array} { l l } { ( 0 , 0 , ( - 1 ) ^ { k } \, \chi _ { p } ( x , y ) ) } & { \qquad \mathrm { i f ~ } ( x , y , z ) \in C _ { a , b } \times \left\{ - \frac h 2 + k h \right\} \, , } \\ { ( 0 , 0 , ( - 1 ) ^ { k + 1 } \, \chi _ { p } ( x , y ) ) } & { \qquad \mathrm { i f ~ } ( x , y , z ) \in C _ { a , b } \times \left\{ \frac h 2 + k h \right\} \, , } \\ { ( 0 , 0 , 0 ) } & { \qquad \mathrm { i f ~ } ( x , y , z ) \in \partial C _ { a , b } \times I _ { k } \, . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { d L ( \tau ) = } & { { } \left( \gamma L ^ { \alpha } - D ( \alpha - \beta ) L ^ { \beta - 1 } + \mathcal { O } \left( \frac { D ^ { 2 } } { L ^ { 2 + \alpha - 2 \beta } } \right) \right) d \tau } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { D u ^ { i } } { D t } } & { = } & { - \beta _ { a } ( \partial ^ { i } u ^ { j } ) \partial _ { j } \alpha ^ { a } - ( \partial ^ { i } u ^ { j } ) \partial _ { j } \phi + \partial ^ { i } \frac { \vec { u } ^ { 2 } } { 2 } - \partial ^ { i } \partial _ { t } \tilde { \mu } } \\ & { = } & { - \partial ^ { i } \partial _ { t } \tilde { \mu } \; , } \end{array}
K ( x , z ) = \frac { 1 } { \Gamma ( \nu ) 2 ^ { \nu - 1 } } \left( \frac { \sqrt { 2 \nu } d ( x , z ) } { l } \right) ^ { l } K _ { \nu } \left( \frac { \sqrt { 2 \nu } d ( x , z ) } { l } \right)
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ \| \nabla _ { \omega } \mathcal { L } ( Z ^ { \star } , \Omega ^ { \star } ) \| _ { 2 } ^ { 2 } \right] } & { = \operatorname* { l i m } _ { \ell \rightarrow \infty } \mathbb { E } [ \| \nabla _ { \omega } \mathcal { L } ( \omega ^ { t _ { k _ { \ell } } } ) \| _ { 2 } ^ { 2 } ] = 0 , } \\ { \mathbb { E } \left[ \| \nabla _ { z } \mathcal { L } ( Z ^ { \star } , \Omega ^ { \star } ) \| _ { 2 } ^ { 2 } \right] } & { = \operatorname* { l i m } _ { \ell \rightarrow \infty } \mathbb { E } [ \| \nabla _ { z } \mathcal { L } ( z ^ { t _ { k _ { \ell } } } ) \| _ { 2 } ^ { 2 } ] = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \ln p ( U ) } & { \sim } & { \ln \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \mathrm { i n s t } } } \pi ^ { ( i ) } ( U ) = \ln \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \mathrm { i n s t } } } f ( U ) A ^ { ( i ) } ( U ) } \\ & { = } & { \ln f ( U ) + \ln \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \mathrm { i n s t } } } A ^ { ( i ) } ( U ) } \\ & { = } & { \ln f ( U ) + o [ \ln f ( U ) ] \ \ \ \ \ ( \ln U \to + \infty ) . } \end{array}
\left\langle { ( r - r _ { 0 } ) ^ { 2 } } \right\rangle = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 1 } { 3 } C _ { 2 } ( \epsilon r _ { 0 } ) ^ { 2 / 3 } \tau ^ { 2 } \quad \quad } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \, \, \, \, \tau \ll \tau _ { b } } \\ { g \epsilon \tau ^ { 3 } } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \, \, \, \, \tau _ { b } \ll \tau \ll T _ { L } } \\ { 2 \tilde { u } T _ { L } \tau } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \, \, \, \, T _ { L } \ll \tau } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \Delta _ { - } ^ { x } a _ { i , j , k } = \frac { a _ { i , j , k } - a _ { i - 1 , j , k } } { \Delta x } , \quad \Delta _ { + } ^ { x } a _ { i , j , k } = \frac { a _ { i + 1 , j , k } - a _ { i , j , k } } { \Delta x } , } \\ & { \Delta _ { - } ^ { y } a _ { i , j , k } = \frac { a _ { i , j , k } - a _ { i , j - 1 , k } } { \Delta y } , \quad \Delta _ { + } ^ { y } a _ { i , j , k } = \frac { a _ { i , j + 1 , k } - a _ { i , j , k } } { \Delta y } , } \\ & { \Delta _ { - } ^ { z } a _ { i , j , k } = \frac { a _ { i , j , k } - a _ { i , j , k - 1 } } { \Delta z } , \quad \Delta _ { + } ^ { z } a _ { i , j , k } = \frac { a _ { i , j , k + 1 } - a _ { i , j , k } } { \Delta z } , } \\ & { m ( a , b ) = \mathrm { m e d i a n } ( a , b , 0 ) . } \end{array}
{ \cal G } = - \frac { ( 2 N - 1 ) V \beta ^ { 2 } } { 1 6 \pi G N } \left[ \frac { \Lambda e ^ { 2 b \phi _ { 0 } } } { 4 N - 1 } r _ { + } ^ { 4 N - 1 } + \frac { 1 6 \pi ^ { 2 } Q ^ { 2 } e ^ { 2 a \phi _ { 0 } } } { V ^ { 2 } \beta ^ { 4 } } \frac { 1 } { r _ { + } } \right] ,
\left[ { \begin{array} { r r r r r r r r } { - 1 0 } & { - 1 0 } & { 4 } & { 6 } & { - 2 } & { - 2 } & { 4 } & { - 9 } \\ { 6 } & { 4 } & { - 1 } & { 8 } & { 1 } & { - 2 } & { 7 } & { 1 } \\ { 4 } & { 9 } & { 8 } & { 2 } & { - 4 } & { - 1 0 } & { - 1 } & { 8 } \\ { - 2 } & { 3 } & { 5 } & { 2 } & { - 1 } & { - 8 } & { 2 } & { - 1 } \\ { - 3 } & { - 2 } & { 1 } & { 3 } & { 4 } & { 0 } & { 8 } & { - 8 } \\ { 8 } & { - 6 } & { - 4 } & { - 0 } & { - 3 } & { 6 } & { 2 } & { - 6 } \\ { 1 0 } & { - 1 1 } & { - 3 } & { 5 } & { - 8 } & { - 4 } & { - 1 } & { - 0 } \\ { 6 } & { - 1 5 } & { - 6 } & { 1 4 } & { - 3 } & { - 5 } & { - 3 } & { 7 } \end{array} } \right]
\begin{array} { r } { \sum _ { \delta = 1 , 2 } f _ { \delta } \left( \sum _ { \gamma = 1 , 2 } T r [ A _ { \gamma \delta } ( 1 ) A _ { \delta \gamma } ( 2 ) ] \right) } \\ { = \sum _ { \gamma = 1 , 2 } f _ { \gamma } \left( \sum _ { \delta = 1 , 2 } T r [ A _ { \gamma \delta } ( 1 ) A _ { \delta \gamma } ( 2 ) ] \right) = - T _ { 1 2 } f _ { 2 } - T _ { 2 1 } f _ { 1 } , } \end{array}
\begin{array} { l l } { P ( + 1 , - 1 | 6 , 1 , 1 , 1 ) = \frac { 1 2 8 0 } { 1 2 8 0 + 1 6 0 + 1 2 8 0 } = 0 . 4 7 0 5 8 8 2 4 } \\ { P ( 0 , 0 | 6 , 1 , 1 , 1 ) = \frac { 1 6 0 } { 1 2 8 0 + 1 6 0 + 1 2 8 0 } = 0 . 0 5 8 8 2 3 5 3 } \\ { P ( - 1 , + 1 | 6 , 1 , 1 , 1 ) = \frac { 1 2 8 0 } { 1 2 8 0 + 1 6 0 + 1 2 8 0 } = 0 . 4 7 0 5 8 8 2 4 } \end{array}
\operatorname { K } _ { \mathbf { Z } \mathbf { Z } } = \operatorname { c o v } [ \mathbf { Z } , \mathbf { Z } ] = \operatorname { E } \left[ ( \mathbf { Z } - \mathbf { \mu _ { Z } } ) ( \mathbf { Z } - \mathbf { \mu _ { Z } } ) ^ { \mathrm { H } } \right]
\begin{array} { r c l } { \Delta C _ { t } | \Omega _ { t - 1 } } & { \sim } & { P o i s s o n ( \beta \frac { S _ { t - 1 } } { N } I _ { t - 1 } ) } \\ { \Delta R c _ { t } | \Omega _ { t - 1 } } & { \sim } & { P o i s s o n ( \gamma I _ { t - 1 } ) } \\ { \Delta D _ { t } | \Omega _ { t - 1 } } & { \sim } & { P o i s s o n ( \nu I _ { t - 1 } ) } \\ { \Delta I _ { t } } & { = } & { \Delta C _ { t } - \Delta R c _ { t } - \Delta D _ { t } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde { S } _ { 7 } \widetilde { S } _ { 8 } \widetilde { S } _ { 1 } } & { = \left( \begin{array} { l l } { \overline { { s } } _ { * } e ^ { - 2 \pi i \alpha } e ^ { x ^ { 2 } ( g _ { - } ( z ) - g _ { + } ( z ) ) } } & { s _ { 1 } ( e ^ { - 2 \pi i \alpha } + s _ { * } ) } \\ { s _ { 0 } e ^ { 2 \pi i \alpha } } & { s _ { * } e ^ { 2 \pi i \alpha } e ^ { x ^ { 2 } ( g _ { + } ( z ) - g _ { - } ( z ) ) } } \end{array} \right) } \\ & { = \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { \frac { s _ { * } e ^ { 2 \pi i \alpha } e ^ { - 2 x ^ { 2 } g _ { - } ( z ) } } { s _ { 1 } ( e ^ { - 2 \pi i \alpha } + s _ { * } ) } } & { 1 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { ( | s _ { * } | ^ { 2 } - 1 ) s _ { 0 } ^ { - 1 } e ^ { - 2 \pi i \alpha } } \\ { s _ { 0 } e ^ { 2 \pi i \alpha } ( 1 - | s _ { * } | ^ { 2 } ) ^ { - 1 } } & { 0 } \end{array} \right) } \\ & { ~ ~ ~ ~ \times \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { \frac { \overline { { s } } _ { * } e ^ { - 2 \pi i \alpha } e ^ { - 2 x ^ { 2 } g _ { + } ( z ) } } { s _ { 1 } ( e ^ { - 2 \pi i \alpha } + s _ { * } ) } } & { 1 } \end{array} \right) } \\ & { = : \widetilde { S } _ { L _ { 3 } } \widetilde { S } _ { P } \widetilde { S } _ { L _ { 4 } } , } \end{array}
i s e q u a l t o 0 w h e n x = 1 . T h e d e r i v a t i v e o f \frac { \xi } { \mu + \xi } + \frac { \mu } { \mu + \xi } x ^ { L + 1 } - x i s \frac { \mu } { \mu + \xi } ( L + 1 ) x ^ { L } - 1 , a n d i t i s n e g a t i v e f o r x s l i g h t l y g r e a t e r t h a n 1 s i n c e \frac { \mu } { \mu + \xi } < \frac { 1 } { L + 1 } . T h e r e f o r e , t h e r e e x i s t s \alpha > 0 s u c h t h a t \frac { \xi } { \mu + \xi } e ^ { - \alpha } + \frac { \mu } { \mu + \xi } e ^ { L \alpha } < 1 . T h e i n e q u a l i t y i n
\begin{array} { r l } { p _ { \ell , 1 } } & { = \mathfrak { R e a l } \langle b _ { 1 } \ensuremath { \boldsymbol { a } } _ { \ell } + \sum _ { 1 \leq k \leq K , k \neq \ell } \beta _ { k } \ensuremath { \boldsymbol { a } } _ { k } , b _ { 1 } \ensuremath { \boldsymbol { a } } _ { \ell } \rangle , } \\ & { = \langle b _ { 1 } \ensuremath { \boldsymbol { a } } _ { \ell } , b _ { 1 } \ensuremath { \boldsymbol { a } } _ { \ell } \rangle + \mathfrak { R e a l } \langle \sum _ { 1 \leq k \leq K , k \neq \ell } \beta _ { k } \ensuremath { \boldsymbol { a } } _ { k } , b _ { 1 } \ensuremath { \boldsymbol { a } } _ { \ell } \rangle , } \\ & { = 1 + \mathfrak { R e a l } \sum _ { 1 \leq k \leq K , k \neq \ell } b _ { 1 } ^ { * } \beta _ { k } \ensuremath { \boldsymbol { a } } _ { \ell } ^ { * } \ensuremath { \boldsymbol { a } } _ { k } , } \\ & { \geq 1 - ( K - 1 ) \mu , } \end{array}
\int _ { \mathcal { X } } \int _ { \mathcal { Y } } \frac { p ( \mathbf { x } , \mathbf { y } ) q ( \mathbf { x } , \mathbf { y } ) } { p ( \mathbf { x } ) q ( \mathbf { x } ) } d \mathbf { x } d \mathbf { y } \approx \sum _ { j = 1 } ^ { M } \left( \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { N } \kappa _ { \sigma } ( \mathbf { x } _ { j } ^ { p } - \mathbf { x } _ { i } ^ { q } ) \kappa _ { \sigma } ( \mathbf { y } _ { j } ^ { p } - \mathbf { y } _ { i } ^ { q } ) } { \sum _ { i = 1 } ^ { M } \kappa _ { \sigma } ( \mathbf { x } _ { j } ^ { p } - \mathbf { x } _ { i } ^ { p } ) \sum _ { i = 1 } ^ { N } \kappa _ { \sigma } ( \mathbf { x } _ { j } ^ { p } - \mathbf { x } _ { i } ^ { q } ) } \right) .
l _ { o r b } = \hbar \, \frac { \displaystyle \int _ { - \infty } ^ { \infty } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathcal { I } \, ( \partial _ { \phi } \Phi ) \, d x \, d y } { \displaystyle \int _ { - \infty } ^ { \infty } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathcal { I } \, d x \, d y } .
\begin{array} { r l } & { \Theta \Big ( \! \! \! \left( \Bar { \mathbf { C } } _ { n } \right) ^ { * } \! , \! \left( \Bar { \mathbf { C } } _ { n ^ { \prime } } \right) ^ { * } \! \! \Big ) \! ( \tau ) \! = \! \! \left\{ \begin{array} { l l } { 3 2 ^ { k + 1 } \gamma } & { n = n ^ { \prime } , \tau = 0 ; } \\ { 0 } & { n \neq n ^ { \prime } , 0 \leq | \tau | \leq 2 \gamma - 1 . } \end{array} \right. } \end{array}
S = \int d ^ { 2 } x \left[ - { \frac { 1 } { 4 } } F _ { \mu \nu } F ^ { \mu \nu } + { \frac { 1 } { 2 } } \partial _ { \mu } \phi \partial ^ { \mu } \phi + e A _ { \nu } ( \eta ^ { \mu \nu } - \epsilon ^ { \mu \nu } ) \partial _ { \mu } \phi + { \frac { 1 } { 2 } } a e ^ { 2 } A _ { \mu } A ^ { \mu } \right]
\mathrm { i } \hbar \dot { \beta } _ { \mathbf { k } } = \frac { \sqrt { n } } { \sqrt { V } } V _ { 1 2 } ( \mathbf { k } ) W _ { \mathbf { k } } + \Omega _ { \mathbf { k } } \beta _ { \mathbf { k } } + \frac { 1 } { V } \sum _ { \mathbf { k } ^ { \prime } } V _ { \mathbf { k } \mathbf { k } ^ { \prime } } ^ { ( 1 ) } \beta _ { \mathbf { k } ^ { \prime } } + \frac { 1 } { V } \sum _ { \mathbf { k } ^ { \prime } } V _ { \mathbf { k } \mathbf { k } ^ { \prime } } ^ { ( 2 ) } \beta _ { \mathbf { k } ^ { \prime } } ^ { * } .
\mathrm { I m ~ } F _ { + + + + } = - 1 6 \pi \alpha ^ { 2 } \left[ \frac { s } { u } \ln \Big | \frac { u } { m _ { W } ^ { 2 } } \Big | + \frac { s } { t } \ln \Big | \frac { t } { m _ { W } ^ { 2 } } \Big | \right] \, \, \, ,
\lambda _ { i } \, \psi _ { i } ( \vec { x } ) \overset { ^ { ( ) } } { \underset { ^ { ( ) } } { = } } ( 1 - \frac { V } { m c ^ { 2 } } ) \, 2 D \, \psi _ { i } + D \frac { \hbar ^ { 2 } } { m ^ { 2 } c ^ { 2 } } \, \Delta \psi _ { i } .
\left( \frac { \Omega + \sigma _ { 0 , i } } { 2 \omega _ { 0 } } - 1 \right) = \pm \frac { 1 } { 4 \left( 1 + \Gamma \right) } \sqrt { f ^ { 2 } - \frac { 4 \sigma _ { 0 , r } ^ { 2 } \left( 1 + \Gamma \right) ^ { 2 } } { \omega _ { 0 } ^ { 2 } } } ,
\begin{array} { r l r } { \Delta \mathbf { u } ^ { \prime } - \nabla p ^ { \prime } } & { = } & { R e \left( \frac { \partial \mathbf { u } ^ { \prime } } { \partial t } + \bar { \mathbf { u } } \cdot \nabla \mathbf { u } ^ { \prime } + \mathbf { u } ^ { \prime } \cdot \nabla \bar { \mathbf { u } } + \mathbf { u } ^ { \prime } \cdot \nabla \mathbf { u } ^ { \prime } \right) } \\ { \nabla \cdot \mathbf { u } ^ { \prime } } & { = } & { \mathbf { 0 } } \\ { \mathbf { u } ^ { \prime } } & { = } & { \mathbf { U } _ { p } - \bar { \mathbf { u } } ( \mathbf { x } _ { p } ) + \Omega _ { p } \times ( \mathbf { x } - \mathbf { x } _ { p } ) \qquad \mathrm { o n ~ } | \mathbf { x } - \mathbf { x } _ { p } | = a / L } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { i = 1 } ^ { N } \int _ { \underline { r } _ { i } } ^ { \overline { r } ^ { i } } \mathcal E _ { \mathrm { s g } } ^ { 1 , p ^ { \prime } } ( \mathbb S ^ { 1 } ( c _ { i } ; r ) ) ^ { p - 1 } \frac { \, \mathrm d r } { r ^ { p - 1 } } } & { = \int _ { \bigcup _ { i = 1 } ^ { N } \bigcup \mathcal A _ { i } } \mathcal E _ { \mathrm { s g } } ^ { 1 , p ^ { \prime } } ( \mathbb S ^ { 1 } ( a ; r ) ) ^ { p - 1 } \frac { \, \mathrm d r } { r ^ { p - 1 } } } \\ & { \geq \sum _ { i = 1 } ^ { k _ { * } } \mathcal E _ { \mathrm { s g } } ^ { 1 , p ^ { \prime } } ( \mathbb S ^ { 1 } ( c _ { i } ^ { * } ; \rho _ { i } ^ { * } ) ) \frac { { \bar { T } } ^ { 2 - p } } { 2 - p } } \\ & { = \Big ( \sum _ { i = 1 } ^ { k _ { * } } \mathcal E _ { \mathrm { s g } } ^ { 1 , p ^ { \prime } } ( \mathbb S ^ { 1 } ( c _ { i } ^ { * } ; \rho _ { i } ^ { * } ) \Big ) ^ { p - 1 } \frac { \displaystyle \Big ( \sum _ { i = 1 } ^ { k _ { * } } \rho _ { i } ^ { * } \Big ) ^ { 2 - p } } { 2 - p } } \end{array}
\begin{array} { c c c } { { K _ { a b } ^ { - 1 } = } } & { { p \left( \begin{array} { c c } { { \sqrt { g } } } & { { { \frac { 1 } { \sqrt { g } } } } } \\ { { { \frac { 1 } { \sqrt { g } } } } } & { { \sqrt { g } } } \end{array} \right) } } & { { + ( 1 - p ) \left( \begin{array} { c c } { { { \frac { 1 } { \sqrt { g } } } } } & { { \sqrt { g } } } \\ { { \sqrt { g } } } & { { { \frac { 1 } { \sqrt { g } } } } } \end{array} \right) } } \end{array}