harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \int _ { R ^ { d + 1 } } q ^ { k , \beta } ( m , u , \tilde { x } , a , b , x _ { 0 } , s ) d a d b \leq } \\ & { \frac { e ^ { - \frac { \| \tilde { x } - \tilde { x } _ { 0 } \| ^ { 2 } } { 4 t } } } { \sqrt { 2 \pi t } ^ { d + 1 } } \frac { e ^ { - \frac { ( m - x _ { 0 } ^ { 1 } ) ^ { 2 } } { 4 s } } } { \sqrt { t - s } } \left[ \Phi _ { G } \left( \sqrt { \frac { s } { 2 t ( t - s ) } } u \right) - \Phi _ { G } \left( - \sqrt { \frac { t - s } { 2 t ( t - s ) } } u \right) \right] . } \end{array}
P ( \mathbf { q } _ { \mathrm { d } } + \mathbf { q } _ { \mathrm { u } } ) = \exp \big \{ - \frac { w _ { \mathrm { p } } ^ { 2 } } { 4 } ( \mathbf { q } _ { \mathrm { d } } + \mathbf { q } _ { \mathrm { u } } ) ^ { 2 } \big \}
\begin{array} { r l r } { T _ { \alpha } } & { { } = } & { \frac { \partial \left( h \, \bar { \sigma } _ { \alpha 1 } \right) } { \partial x _ { 1 } } + \frac { \partial \left( h \, \bar { \sigma } _ { \alpha 2 } \right) } { \partial x _ { 2 } } + \tau _ { s \alpha } - \tau _ { b \alpha } \, , } \end{array}
\biggl ( \varepsilon + \sigma ^ { 2 } \biggr ) c _ { \sigma } + \frac { B } { 2 } \biggl [ \sqrt { ( S - \sigma ) ( S + \sigma + 1 ) } ~ c _ { \sigma + 1 } + \sqrt { ( S + \sigma ) ( S - \sigma + 1 ) } ~ c _ { \sigma - 1 } \biggr ] = 0 ,
\begin{array} { r l r } { \mathrm { r n } ( T _ { D _ { k } } ) } & { = } & { ( n - 1 ) d - 2 L ( T _ { D _ { k } } ) } \\ & { = } & { ( 2 k n _ { 0 } + 1 ) d - 2 ( 2 k L ( T ) + 2 k n _ { 0 } ) } \\ & { = } & { 2 k ( ( n _ { 0 } - 1 ) ( d _ { 0 } + 1 ) - 2 L ( T ) ) + 2 k n _ { 0 } ( d - d _ { 0 } - 3 ) + 2 k ( d _ { 0 } + 1 ) + d } \\ & { = } & { 2 k ( \mathrm { r n } ( T ) - 1 ) + 2 k n _ { 0 } ( d - d _ { 0 } - 3 ) + 2 k ( d _ { 0 } + 1 ) + d } \\ & { = } & { 2 k ( \mathrm { r n } ( T ) + n _ { 0 } ( d - d _ { 0 } - 3 ) + d _ { 0 } ) + d . } \end{array}
\! \! \Delta _ { i } ^ { H } \! = \! \frac { \overline { { { b } } } _ { i } } { 4 \pi } \int _ { \Gamma } \! \frac { d \tau } { \tau _ { 2 } } \left[ \frac { T _ { 2 } } { \tau _ { 2 } } \sum _ { A } e ^ { - 2 \pi i T \operatorname * { d e t } A } \, \exp \Bigl [ { - \frac { \pi T _ { 2 } } { \tau _ { 2 } U _ { 2 } } \Bigl \vert ( 1 ~ U ) A \mathrm { \small ~ \Bigl ( \! \! ~ \begin{array} { c } { { ~ \ t a u ~ } } \\ { { ~ 1 } } \end{array} ~ \! \! \Bigl ) ~ } \Bigr \vert ^ { 2 } } \Bigr ] - 1 \right] ; \quad A = \left( \! \! \! \begin{array} { c c } { { n _ { 1 } } } & { { p _ { 1 } } } \\ { { n _ { 2 } } } & { { p _ { 2 } } } \end{array} \! \! \! \right) \! \!
\hat { Q } = J ^ { - 1 } \overline { { Q } } = J ^ { - 1 } \left[ \overline { { \rho } } \quad \overline { { \rho } } \tilde { u } \quad \overline { { \rho } } \tilde { v } \quad \overline { { \rho } } \tilde { w } \quad \check { e } \right] ^ { T } \quad \mathrm { ~ , ~ }
\mathcal { H } _ { C _ { n } ^ { ( 1 ) } } ^ { \mathit { T o d a } } = { \frac { 1 } { 2 } } P ^ { 2 } + m ^ { 2 } e ^ { - 2 Q _ { 1 } } + m ^ { 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { n - 1 } e ^ { Q _ { j } - Q _ { j + 1 } } + m ^ { 2 } e ^ { 2 Q _ { n } } ,
\Tilde { C } _ { + } ^ { v v , \infty } ( \omega ) = \frac { \Tilde { C } _ { + } ^ { v v , \mathrm { M D } } ( \omega ) } { 1 + ( k _ { B } T ) ^ { - 1 } \Tilde { C } _ { + } ^ { v v , \mathrm { M D } } ( \omega ) \Tilde { \Gamma } _ { + } ^ { \infty } ( \omega ) \Tilde { \Gamma } _ { + } ^ { \mathrm { M D } } ( \omega ) \Delta \Tilde { G } ^ { \mathrm { c o r r } } ( \omega ) } \, .
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } \delta \mathbf { U } _ { i , j } } { \mathrm { d t } } = } & { - \left( \xi _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L } + \xi _ { i , j + 1 / 2 } ^ { L } + \xi _ { i - 1 / 2 , j } ^ { R } + \xi _ { i , j - 1 / 2 } ^ { R } \right) \delta \mathbf { U } _ { i , j } } \\ & { - \left( \xi _ { i + 1 / 2 , j } ^ { R } - \mu _ { i - 1 / 2 , j } ^ { R } \right) \delta \mathbf { U } _ { i + 1 , j } - \left( \xi _ { i , j + 1 / 2 } ^ { R } - \mu _ { i , j - 1 / 2 } ^ { R } \right) \delta \mathbf { U } _ { i , j + 1 } } \\ & { - \left( \xi _ { i - 1 / 2 , j } ^ { L } - \mu _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L } \right) \delta \mathbf { U } _ { i - 1 , j } - \left( \xi _ { i , j - 1 / 2 } ^ { L } - \mu _ { i , j + 1 / 2 } ^ { L } \right) \delta \mathbf { U } _ { i , j - 1 } } \\ & { + \mu _ { i + 1 / 2 , j } ^ { R } \delta \mathbf { U } _ { i + 2 , j } + \mu _ { i , j + 1 / 2 } ^ { R } \delta \mathbf { U } _ { i , j + 2 } + \mu _ { i - 1 / 2 , j } ^ { L } \delta \mathbf { U } _ { i - 2 , j } + \mu _ { i , j - 1 / 2 } ^ { L } \delta \mathbf { U } _ { i , j - 2 } } \end{array} ,
\left( D _ { i } \right) _ { \; \; b } ^ { a } = \delta _ { \; \; b } ^ { a } \partial _ { i } + g f _ { \; \; b c } ^ { a } A _ { i } ^ { c } , \; \left( D _ { i } \right) _ { b } ^ { \; \; a } = \delta _ { b } ^ { \; \; a } \partial _ { i } - g f _ { \; \; b c } ^ { a } A _ { i } ^ { c } .
\begin{array} { r l } { I _ { 5 } = } & { \sum _ { t = \eta _ { k } + 1 } ^ { \eta _ { k } + \widetilde { r } } \vert \vert f _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] } \ast \mathcal { K } _ { { h _ { 2 } } } - F _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] , { h _ { 2 } } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } ^ { 2 } + 2 \sum _ { t = \eta _ { k } + 1 } ^ { \eta _ { k } + \widetilde { r } } \langle f _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] } \ast \mathcal { K } _ { { h _ { 2 } } } - F _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] , { h _ { 2 } } } , F _ { t , { h _ { 2 } } } - f _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] } \ast \mathcal { K } _ { { h _ { 2 } } } \rangle _ { L _ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \Psi } _ { \alpha } ^ { \mathrm { I } } \left( \phi _ { \alpha } ^ { \mathrm { e q } } ( \xi ) \right) = \hat { \psi } _ { \alpha } ^ { \mathrm { I I } } \left( \phi _ { \alpha } ^ { \mathrm { e q } } ( \xi ) \right) = } & { ~ \frac { 2 } { \mathbb { C } \mathrm { n } \mathbb { W } \mathrm { e } _ { \alpha } } W ( \phi _ { \alpha } ^ { \mathrm { e q } } ) } \\ { = } & { ~ \frac { 1 } { 4 \mathbb { C } \mathrm { n } \mathbb { W } \mathrm { e } _ { \alpha } } \left( 1 - \operatorname { t a n h } ^ { 2 } \left( \frac { \pm \xi } { \mathbb { C } \mathrm { n } \sqrt { 2 } } \right) \right) ^ { 2 } , } \\ { \hat { \Psi } _ { \alpha } ^ { \mathrm { I I } } \left( \phi _ { \alpha } ^ { \mathrm { e q } } ( \xi ) \right) = } & { ~ \frac { 4 } { \mathbb { C } \mathrm { n } \mathbb { W } \mathrm { e } _ { \alpha } } K ( \phi _ { \alpha } ^ { \mathrm { e q } } ) } \\ { = } & { ~ \frac { 1 } { 4 \mathbb { C } \mathrm { n } \mathbb { W } \mathrm { e } _ { \alpha } } \left( 1 + \operatorname { t a n h } \left( \frac { \pm \xi } { \mathbb { C } \mathrm { n } \sqrt { 2 } } \right) \right) \times } \\ & { ~ \left( 1 - \operatorname { t a n h } ^ { 2 } \left( \frac { \pm \xi } { \mathbb { C } \mathrm { n } \sqrt { 2 } } \right) \right) ^ { 2 } . } \end{array}
\mathbf { A } \to \mathbf { U } ^ { t } \mathbf { A } \mathbf { U } , \quad \mathbf { B } \to \mathbf { U } ^ { t } \mathbf { B } \mathbf { U } , \quad \textrm { a n d } \quad \mathbf { \Phi } \to \mathbf { \Phi } .
\begin{array} { r l } { \bigg [ \bigg ( \bigg ( \frac { \partial } { \partial { t } } } & { + \omega _ { \nu } \bigg ) \left( \frac { \partial } { \partial { t } } + \omega _ { \eta } \right) + \omega _ { M } ^ { 2 } \bigg ) ^ { 2 } \left( \frac { \partial } { \partial { t } } + \omega _ { \kappa } \right) + \omega _ { C } ^ { 2 } \left( \frac { \partial } { \partial { t } } + \omega _ { \eta } \right) ^ { 2 } \left( \frac { \partial } { \partial { t } } + \omega _ { \kappa } \right) } \\ & { + \omega _ { A } ^ { 2 } \left( \frac { \partial } { \partial { t } } + \omega _ { \eta } \right) \bigg ( \left( \frac { \partial } { \partial { t } } + \omega _ { \nu } \right) \left( \frac { \partial } { \partial { t } } + \omega _ { \eta } \right) + \omega _ { M } ^ { 2 } \bigg ) \bigg ] \hat { u } _ { y } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { R _ { 1 } ^ { \star } } ^ { R _ { 2 } ^ { \star } } d r ^ { \star } \omega ^ { 2 } | \widehat { u } _ { m \ell } ^ { ( a \omega ) } | ^ { 2 } \lesssim C _ { M , a } \left( \frac { 1 } { \hat { \delta } } \int _ { R _ { 1 } ^ { \star } } ^ { R _ { 2 } ^ { \star } } d r ^ { \star } \left( 1 - \frac { r _ { t r a p } } { r } \right) ^ { 2 } \omega ^ { 2 } | \widehat { u } _ { m \ell } ^ { ( a \omega ) } | ^ { 2 } + \hat { \delta } \int _ { R _ { 1 } ^ { \star } } ^ { R _ { 2 } ^ { \star } } d r ^ { \star } \omega ^ { 2 } | W ^ { \natural } \widehat { u } _ { m \ell } ^ { ( a \omega ) } | ^ { 2 } \right) } \end{array}
\mathbb { E } [ | { \texttt X } | ^ { 2 D } \cdot \mathbf { 1 } ( \Omega _ { \varepsilon } ^ { c } ) ] \leq \left( \mathbb { E } [ | { \texttt X } | ^ { 4 D } ] \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left( \mathbb { P } ( \Omega _ { \varepsilon } ^ { c } ) \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \leq N ^ { - \frac { D ^ { 2 } } { 2 } } \left( \mathbb { E } [ | { \texttt X } | ^ { 4 D } ] \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } }
f = h _ { t } \epsilon _ { i j } Q ^ { j } U H _ { 2 } ^ { i } + h _ { b } \epsilon _ { i j } Q ^ { i } D H _ { 1 } ^ { j } + h _ { \tau } \epsilon _ { i j } L ^ { i } E H _ { 1 } ^ { j } + \mu \epsilon _ { i j } H _ { 1 } ^ { i } H _ { 2 } ^ { j } ,
\begin{array} { r } { \frac { 3 b } { 8 \mathrm { { R a } } } \langle | \nabla u | ^ { 2 } \rangle + \frac { b } { 2 { \mathrm { R a } } } \langle ( 2 \alpha + \kappa ) u _ { \tau } ^ { 2 } \rangle _ { \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } } \geq \frac { \underline { { \alpha } } b } { 8 \mathrm { { R a } } } \langle \| u \| _ { H ^ { 1 } } ^ { 2 } \rangle . } \end{array}
\langle \cos ^ { 2 } \theta \rangle = { \frac { \int _ { 0 } ^ { \pi } \cos ^ { 2 } \theta \sin ^ { d - 1 } \theta \, d \theta } { \int _ { 0 } ^ { \pi } \sin ^ { d - 1 } \theta \, d \theta } } = { \frac { 1 } { d + 1 } } ,
\left[ \begin{array} { l l l l l l } { ( \lambda _ { 1 } ^ { 2 } + 1 ) } & { ( \lambda _ { 2 } ^ { 2 } + 1 ) } & { ( \lambda _ { 3 } ^ { 2 } + 1 ) } & { ( \lambda _ { 4 } ^ { 2 } + 1 ) } & { ( \lambda _ { 5 } ^ { 2 } + 1 ) } & { ( \lambda _ { 6 } ^ { 2 } + 1 ) } \\ { L _ { 1 } } & { L _ { 2 } } & { L _ { 3 } } & { L _ { 4 } } & { L _ { 5 } } & { L _ { 6 } } \\ { M _ { 1 } } & { M _ { 2 } } & { M _ { 3 } } & { M _ { 4 } } & { M _ { 5 } } & { M _ { 6 } } \\ { e ^ { - \lambda _ { 1 } H } } & { e ^ { - \lambda _ { 2 } H } } & { e ^ { - \lambda _ { 3 } H } } & { e ^ { - \lambda _ { 4 } H } } & { e ^ { - \lambda _ { 5 } H } } & { e ^ { - \lambda _ { 6 } H } } \\ { \lambda _ { 1 } e ^ { - \lambda _ { 1 } H } } & { \lambda _ { 2 } e ^ { - \lambda _ { 2 } H } } & { \lambda _ { 3 } e ^ { - \lambda _ { 3 } H } } & { \lambda _ { 4 } e ^ { - \lambda _ { 4 } H } } & { \lambda _ { 5 } e ^ { - \lambda _ { 5 } H } } & { \lambda _ { 6 } e ^ { - \lambda _ { 6 } H } } \\ { O _ { 1 } } & { O _ { 2 } } & { O _ { 3 } } & { O _ { 4 } } & { O _ { 5 } } & { O _ { 6 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { C _ { 1 } } \\ { C _ { 2 } } \\ { C _ { 3 } } \\ { C _ { 4 } } \\ { C _ { 5 } } \\ { C _ { 6 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { \mathscr { R } _ { 1 } } \\ { \mathscr { R } _ { 2 } } \\ { \mathscr { R } _ { 3 } } \\ { \mathscr { R } _ { 4 } } \\ { \mathscr { R } _ { 5 } } \\ { \mathscr { R } _ { 6 } } \end{array} \right]
\begin{array} { r r } { { ( 8 , 1 , 1 ; 1 , 1 , 8 ) , } } & { { ( { \bar { 8 } } , 1 , 1 ; 1 , 8 , 1 ) } } \\ { { ( 1 , 8 , 1 ; { \bar { 8 } } , 1 , 1 ) , } } & { { ( 1 , 1 , 8 ; 8 , 1 , 1 ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { 1 } \ddot { \alpha } _ { 1 } + \left( \frac { m _ { 1 } + m _ { 2 } } { l _ { 1 } } + \frac { m _ { 2 } } { l _ { 2 } } \right) g R ^ { 2 } \alpha _ { 1 } - \frac { m _ { 2 } } { l _ { 2 } } g R ^ { 2 } \alpha _ { 2 } } & { = 0 , } \\ { I _ { 2 } \ddot { \alpha } _ { 2 } - \frac { m _ { 2 } } { l _ { 2 } } g R ^ { 2 } \alpha _ { 1 } + \frac { m _ { 2 } } { l _ { 2 } } g R ^ { 2 } \alpha _ { 2 } } & { = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { \frac 1 D | \! | \boldsymbol { y } - X \hat { \boldsymbol { \beta } } | \! | _ { 2 } ^ { 2 } + \lambda \mathcal N ( \hat { \boldsymbol { \beta } } ) } & { \leq \frac 1 D | \! | \boldsymbol { y } - X \boldsymbol { \beta } | \! | _ { 2 } ^ { 2 } + \lambda \mathcal N ( { \boldsymbol { \beta } } ) } \\ { \Rightarrow } & { \frac 1 D | \! | X ( \boldsymbol { \beta } - \hat { \boldsymbol { \beta } } ) | \! | _ { 2 } ^ { 2 } } & { \leq \frac 2 D \langle X ^ { \top } \boldsymbol { U } , \hat { \boldsymbol { \beta } } - \boldsymbol { \beta } \rangle + \lambda \mathcal N ( \boldsymbol { \beta } ) - \lambda \mathcal N ( \hat { \boldsymbol { \beta } } ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { { \widehat { H } } } _ { \mathrm { r f } } ~ { = } ~ - \frac { \gamma _ { \mathrm { n } } B _ { \mathrm { r f } } } { 2 } } & { \times } \\ & { ( I _ { \mathrm { x ^ { ' } } } \sin { \theta } \cos { \varphi } ) ~ ~ \mathrm { i f } ~ ~ f _ { \mathrm { r f } } = f _ { \mathrm { x ^ { ' } } } } \\ & { ( I _ { \mathrm { y ^ { ' } } } \sin { \theta } \sin { \varphi } ) ~ ~ \mathrm { i f } ~ ~ f _ { \mathrm { r f } } = f _ { \mathrm { y ^ { ' } } } } \\ & { ( I _ { \mathrm { z ^ { ' } } } \cos { \theta } ) ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \, \mathrm { i f } ~ ~ f _ { \mathrm { r f } } = f _ { \mathrm { z ^ { ' } } } . } \end{array}
D = \left\{ ( u _ { 1 } , u _ { 2 } ) : | u _ { 1 } | \leq \pi , | u _ { 2 } | \leq \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } \Big ( 2 \pi , \sqrt { 2 \beta L \big ( 1 + \mathrm { ~ c ~ o ~ s ~ } ( u _ { 1 } ) \big ) } \Big ) \right\}
K ^ { \mu } K _ { \mu } = \left( { \frac { \omega } { c } } \right) ^ { 2 } - k _ { x } ^ { 2 } - k _ { y } ^ { 2 } - k _ { z } ^ { 2 } \ = \left( { \frac { \omega _ { o } } { c } } \right) ^ { 2 } = \left( { \frac { m _ { o } c } { \hbar } } \right) ^ { 2 }
D _ { \mathrm { ~ c ~ h ~ e ~ m ~ } } = \epsilon _ { \mathrm { ~ m ~ o ~ l ~ } } \, \frac { \Phi _ { \mathrm { ~ X ~ U ~ V ~ } } \, A _ { \mathrm { ~ m ~ o ~ l ~ e ~ c ~ u ~ l ~ e ~ } } } { \langle E _ { \mathrm { ~ X ~ U ~ V ~ } } \rangle }
\gamma \le \frac { \epsilon } { 2 \overline { { K } } _ { 0 } + 2 \overline { { K } } _ { 2 } + 2 \overline { { K } } _ { 1 } ( \Lambda ^ { \alpha } + \Gamma ^ { \alpha } + 1 ) } \le \frac { \epsilon } { 2 } \big ( ( \overline { { K } } _ { 0 } + \overline { { K } } _ { 2 } + \overline { { K } } _ { 1 } \Lambda ^ { \alpha } ) ^ { 2 } + \overline { { K } } _ { 1 } ^ { 2 } ( \Gamma ^ { \alpha } + 1 ) ^ { 2 } \big ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } }
\begin{array} { r l } & { | B ^ { n } ( t , x ) | + | \Sigma ^ { n } ( t , x ) | + | \partial _ { x } B ^ { n } ( t , x ) | + | \partial _ { x } \Sigma ^ { n } ( t , x ) | + | \partial _ { x x } ^ { 2 } \Sigma ^ { n } ( t , x ) | \le C , } \\ & { | B ^ { n } ( t , x ) - B ^ { n } ( t ^ { \prime } , x ^ { \prime } ) | + | \Sigma ^ { n } ( t , x ) - \Sigma ^ { n } ( t ^ { \prime } , x ^ { \prime } ) | \le C | t - t ^ { \prime } | ^ { \gamma } + C | x - x ^ { \prime } | . } \end{array}
H = \omega _ { 1 } \mathrm { a _ { 1 } ^ { \dagger } a _ { 1 } + \ o m e g a _ { 2 } \mathrm { a _ { 2 } ^ { \dagger } a _ { 2 } + \mathrm { g ( a _ { 1 } ^ { \dagger } ) ^ { s } a _ { 2 } ^ { r } + \bar { \mathrm { g } } a _ { 1 } ^ { s } ( a _ { 2 } ^ { \dagger } ) ^ { r } } } }
\begin{array} { r l } & { \operatorname { V a r } \big [ \mathbb { E } [ ( C _ { k } ( m , G ) - C _ { k } ( m , G ^ { \prime } ) ) ^ { 2 } | G ] \big ] } \\ & { = \frac { 1 } { m ^ { 2 } n ^ { 2 } } \operatorname { V a r } \bigg [ \sum _ { I \in [ m ] \times [ n ] } ( C _ { k } ( m , G , I ) ^ { 2 } + C _ { k } ^ { \ast } ( m , G , I ) ^ { 2 } ) \bigg ] } \\ & { \le \frac { 2 } { m ^ { 2 } n ^ { 2 } } \bigg ( \operatorname { V a r } \bigg [ \sum _ { I \in [ m ] \times [ n ] } C _ { k } ( m , G , I ) ^ { 2 } \bigg ] + \operatorname { V a r } \bigg [ \sum _ { I \in [ m ] \times [ n ] } C _ { k } ^ { \ast } ( m , G , I ) ^ { 2 } \bigg ] \bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { q _ { d } ^ { * } = } & { \operatorname* { m a x } _ { \gamma \in \mathbb { R } , \ v } \ \gamma } & & { } \\ & { v ( 0 , x , z ) - \gamma \in \Sigma [ X _ { 0 } \times Z ] _ { \leq d } } \\ & { z - v ( t , x , z ) \in \Sigma [ [ 0 , T ] \times X _ { u } \times Z ] _ { \leq d } } \\ & { \mathcal { L } _ { f } v ( t , x , z , w ) \in \Sigma _ { \tilde { d } } [ [ 0 , T ] \times X \times \Omega ] } \\ & { v ( t , x , z ) \in \mathbb { R } [ t , x , z ] _ { \leq 2 d } . } & & { } \end{array}
\frac { \kappa _ { j } + i k _ { j } } { \kappa _ { j } - i k _ { j } } = - \, \frac { A _ { a } ( \bar { \sigma } _ { N } \sigma ^ { \prime \prime } q _ { j } ^ { \prime \prime } , i d ) } { A _ { a } ( \sigma ^ { \prime \prime } q _ { j } ^ { \prime \prime } , i d ) } \, e ^ { - i k _ { j } L } .
\begin{array} { r l r l } & { r _ { 2 , \ell , a } ( k ) : = \tilde { r } ( k ) \overline { { r _ { 1 , \ell , a } ( \bar { k } ^ { - 1 } ) } } , \quad k \in U _ { 2 } ^ { \ell } , } & & { r _ { 2 , \ell , r } ( k ) : = \tilde { r } ( k ) \overline { { r _ { 1 , \ell , r } ( \bar { k } ^ { - 1 } ) } } , \quad k \in \partial U _ { 2 } ^ { \ell } \cap \partial \mathbb { D } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { C _ { N } } { N ! } } & { = \exp \left( \sum _ { p = 2 } ^ { \infty } \frac { 1 } { p ! } \sum _ { ( \pi , G ) \in \mathcal { L } _ { p } } \Gamma _ { \pi , G } \right) , } \\ { \rho _ { \textnormal { J a s } } ^ { ( 1 ) } } & { = \rho ^ { ( 1 ) } + \sum _ { p = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { p ! } \sum _ { ( \pi , G ) \in \mathcal { L } _ { p } ^ { 1 } } \Gamma _ { \pi , G } ^ { 1 } , } \\ { \rho _ { \textnormal { J a s } } ^ { ( 2 ) } } & { = f _ { 1 2 } ^ { 2 } \left[ \rho ^ { ( 2 ) } + \sum _ { p = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { p ! } \sum _ { ( \pi , G ) \in \mathcal { L } _ { p } ^ { 2 } } \Gamma _ { \pi , G } ^ { 2 } \right] . } \\ { \rho _ { \textnormal { J a s } } ^ { ( 3 ) } } & { = f _ { 1 2 } ^ { 2 } f _ { 1 3 } ^ { 2 } f _ { 2 3 } ^ { 2 } \Biggl [ \rho ^ { ( 3 ) } + \rho \sum _ { p \geq 1 } \frac { 1 } { p ! } \sum _ { ( \pi , G ) \in \mathcal { L } _ { p } ^ { 2 } } \left( \Gamma _ { \pi , G } ^ { 2 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) + \Gamma _ { \pi , G } ^ { 2 } ( x _ { 1 } , x _ { 3 } ) + \Gamma _ { \pi , G } ^ { 2 } ( x _ { 2 } , x _ { 3 } ) \right) } \\ & { \qquad + \sum _ { p \geq 1 } \frac { 1 } { p ! } \sum _ { ( \pi , G ) \in \mathcal { L } _ { p } ^ { 3 } } \Gamma _ { \pi , G } ^ { 3 } \Biggr ] . } \end{array}
L _ { 1 1 } ^ { ( \pm ) } L _ { 1 2 } ^ { ( + ) } = q ^ { \mp 1 } L _ { 1 2 } ^ { ( + ) } L _ { 1 1 } ^ { ( \pm ) } , \; \; L _ { 2 2 } ^ { ( \pm ) } L _ { 1 2 } ^ { ( + ) } = q ^ { \pm 1 } L _ { 1 2 } ^ { ( + ) } L _ { 2 2 } ^ { ( \pm ) }
\begin{array} { r l } { \rho ( \eta ) } & { { } \simeq \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } \varepsilon \, g ( \varepsilon ) \exp \left\lbrace - \beta \varepsilon \left[ \eta - f _ { \mathrm { G } } ( \varepsilon ) \right] + \beta \int _ { f _ { \mathrm { G } } ( \varepsilon ) } ^ { \eta } f _ { \mathrm { G } } ^ { - 1 } ( \eta ) \mathrm { d } \eta \, \right\rbrace } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ P ~ O ~ D ~ } } & { { } = \frac { \mathrm { ~ h ~ i ~ t ~ s ~ } } { \mathrm { ~ h ~ i ~ t ~ s ~ } + \mathrm { ~ m ~ i ~ s ~ s ~ e ~ s ~ } } , } \\ { \mathrm { ~ F ~ A ~ R ~ } } & { { } = \frac { \mathrm { ~ f ~ a ~ l ~ s ~ e ~ a ~ l ~ a ~ r ~ m ~ s ~ } } { \mathrm { ~ h ~ i ~ t ~ s ~ } + \mathrm { ~ f ~ a ~ l ~ s ~ e ~ a ~ l ~ a ~ r ~ m ~ s ~ } } . } \end{array}
\overline { { u } } _ { L _ { i } } = \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \delta _ { i j } \frac { \int _ { V } I _ { L } u _ { j } h _ { j } \hat { o } _ { j } d V } { \int _ { V } I _ { L } h _ { j } \hat { o } _ { j } d V } , \: \: \overline { { u } } _ { G _ { i } } = \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \delta _ { i j } \frac { \int _ { V } I _ { G } u _ { j } h _ { j } \hat { o } _ { j } d V } { \int _ { V } I _ { G } h _ { j } \hat { o } _ { j } d V }
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d \delta } \Bigg \vert _ { \delta = 0 } \rho _ { A } \left( \mathbf { z } , \lambda \right) } & { { } = \frac { d } { d \delta } \Bigg \vert _ { \delta = 0 } \left< \widehat { \Delta } \right> _ { \left( \mathbf { z } , \lambda \right) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { \mathrm { ~ x ~ c ~ } } \ensuremath { [ n ] } } & { { } = \frac { \ensuremath { N _ { \mathrm { ~ e ~ } } } } { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { ~ d ~ } u \, 4 \pi u ^ { 2 } \frac { \langle \bar { n } _ { \mathrm { ~ x ~ c ~ } } ( u ) \rangle } { u } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { A } _ { \zeta } } & { = } & { \{ I \subset \{ 1 , \ldots , n + { \boldsymbol { \kappa } } \} : \zeta \in \angle _ { I } \} , } \\ { \Sigma _ { \zeta } } & { = } & { \{ \sigma _ { I } : I ^ { \prime } \in \mathcal { A } _ { \zeta } \} , } \\ { S _ { \zeta } } & { = } & { \{ i \in \{ 1 , \ldots , n + { \boldsymbol { \kappa } } \} : \sigma _ { \{ i \} } \notin \Sigma _ { \zeta } \} = \{ i \in \{ 1 , \ldots , n + { \boldsymbol { \kappa } } \} : \{ i \} ^ { \prime } \notin \mathcal { A } _ { \zeta } \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { \mathrm { ~ 2 ~ } } ^ { ( \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } ) } ( k , k ^ { \prime } , \theta _ { \boldsymbol { k } , \boldsymbol { k } ^ { \prime } } ) } & { { } = \int _ { \boldsymbol { q } + \boldsymbol { p } = \boldsymbol { k } ^ { \prime } - \boldsymbol { k } } \mathrm { ~ R ~ e ~ } ( \tilde { W } _ { \boldsymbol { k } , \boldsymbol { q } , \boldsymbol { p } , \alpha _ { 2 } } \tilde { W } _ { \boldsymbol { k } , \boldsymbol { p } , \boldsymbol { q } , \alpha _ { 2 } } ^ { * } ) \mathrm { d } ^ { 3 } \boldsymbol { p } \mathrm { d } ^ { 3 } \boldsymbol { q } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E \left[ C _ { 6 } \right] } & { = } & { \frac { \tau } { \left( 1 + \tau \right) ^ { \frac { m } { 2 } + 1 } } t r a c e \left( \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { i } } \right) t r a c e \left( \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { j } } \right) \frac { 1 } { \left( 1 + \tau \right) ^ { \frac { m } { 2 } + 1 } } } \\ & { = } & { \frac { \tau } { \left( 1 + \tau \right) ^ { m + 2 } } t r a c e \left( \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { i } } \right) t r a c e \left( \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { j } } \right) . } \end{array}
\left( \begin{array} { c } { { n ^ { \varrho } } } \\ { { s ^ { \varrho } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c } { { F } } & { { Q } } \\ { { Q } } & { { G } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { \mu ^ { \varrho } } } \\ { { \Theta ^ { \varrho } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c } { { B + A ^ { 2 } / C } } & { { - A / C } } \\ { { - A / C } } & { { 1 / C } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { \mu ^ { \varrho } } } \\ { { \Theta ^ { \varrho } } } \end{array} \right)
\frac { \hat { t } } { t } : = \left( \frac { 2 7 \hat { H } ^ { 2 } \hat { S } ^ { 3 } } { 4 \hat { A } ^ { 2 } \hat { F } } \right) ^ { 1 / 3 } \approx 5 5 1 \, \mathrm { s } .
{ \bf T } _ { + 2 } = \sqrt { 2 } \left( { \vec { e } } _ { + 1 } \otimes { \vec { e } } _ { + 1 } \right) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { c c c } { { 1 } } & { { i } } & { { 0 } } \\ { { i } } & { { - 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) ~ , \quad \quad { \bf T } _ { - 2 } = \sqrt { 2 } \left( { \vec { e } } _ { - 1 } \otimes { \vec { e } } _ { - 1 } \right) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { c c c } { { 1 } } & { { - i } } & { { 0 } } \\ { { - i } } & { { - 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) ~ ,
\left\langle r \, | Q | r ^ { \prime } \right\rangle = \int d ^ { D - 4 } x \, \widetilde { \psi } _ { i n t } ^ { r \dagger } Q \, \widetilde { \psi } _ { i n t } ^ { r ^ { \prime } } \quad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \quad \left\langle r \, | r ^ { \prime } \right\rangle = \delta _ { r r ^ { \prime } }