harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \mathcal { R } = \left( \frac { f _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ t ~ } } ^ { 2 } } { f _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ d ~ } } } - 2 f _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ t ~ } } \right) \frac { 1 } { d } = \frac { f _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ t ~ } } } { 2 f _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ d ~ } } } - 1 } \end{array}
\psi _ { + } = \left[ \begin{array} { l } { { \xi } } \\ { { 0 } } \end{array} \right] ~ ~ , ~ ~ \psi _ { - } = \left[ \begin{array} { c } { { 0 } } \\ { { \left( \frac { 1 } { i \partial ^ { + } } \right) [ \sigma ^ { i } ( i \partial ^ { i } + g A ^ { i } ) + i m _ { F } ] \xi } } \end{array} \right] .
V _ { \varepsilon } ^ { \epsilon _ { \mathrm { ~ P ~ E ~ } } } = V _ { \varepsilon } + 6 . 5 \sqrt { \frac { 4 V _ { \mathrm { ~ n ~ o ~ } } ^ { 2 } } { m } + \frac { \sigma ^ { 2 } \nu _ { \mathrm { ~ t ~ h ~ } } ^ { 2 } } { 2 N } } .
\begin{array} { r l } & { \Pi _ { n } ^ { \mathrm { ( r i ) } } ( \alpha ) = \int _ { 0 } ^ { \tau _ { \mathrm { d } } } d \tau _ { 1 } \frac { d \Pi _ { n } ^ { \mathrm { ( r i ) } } ( \alpha ; \tau _ { 1 } ) } { d \tau _ { 1 } } } \\ & { = \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } F _ { k } \left[ \alpha ; \eta _ { \mathrm { r r } } ( n ) \right] - \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } F _ { k } \left[ \alpha ; \eta _ { \mathrm { r r } } ( n - 1 ) \right] . } \end{array}
C _ { \mathrm { I I - I I I } } \left\{ \begin{array} { l } { { v = \mu _ { a } ^ { - 1 } w ^ { - 1 } ( w ^ { 2 } - w _ { 0 } ^ { 2 } ) , } } \\ { { x = \mu _ { a } ^ { - 2 ( N _ { c } + 1 ) } \Lambda _ { N = 2 } ^ { - 4 ( N _ { c } + 1 ) + 2 ( N _ { f } + N _ { c } ^ { \prime } ) } w ^ { 2 ( N _ { c } + 1 ) - 2 ( N _ { f } + N _ { c } ^ { \prime } ) } ( w ^ { 2 } - w _ { 0 } ^ { 2 } ) ^ { N _ { f } + N _ { c } ^ { \prime } } , } } \end{array} \right.
\omega = - X _ { 4 0 } ^ { * } ( X _ { 2 0 } ^ { * } - \tan \theta _ { W } X _ { 1 0 } ^ { * } ) \cos \beta + X _ { 3 0 } ^ { * } ( X _ { 2 0 } ^ { * } - \tan \theta _ { W } X _ { 1 0 } ^ { * } ) \sin \beta
\begin{array} { r } { v ( V ) = \left[ \frac { I _ { c } } { 2 c _ { \mathrm { m e m } } } \left( 1 - \sqrt { 1 - 4 \rho } \right) - \frac { 1 } { \tau _ { \mathrm { r e s t } } } \left( V _ { \mathrm { m i n } } - V _ { \mathrm { r e s t } } \right) \right] + \frac { 1 } { 2 \tau _ { \mathrm { r e s t } } \Delta V } \sqrt { 1 - 4 \rho } \left( V - V _ { \mathrm { m i n } } \right) ^ { 2 } + \mathcal { O } \left( \left( V - V _ { \mathrm { m i n } } \right) ^ { 3 } \right) , } \end{array}
A = \frac { 1 } { \Omega _ { i } } \nabla _ { \perp } \cdot \left[ \nabla _ { \perp } ^ { 2 } \phi \nabla _ { \perp } \nabla _ { \perp } ^ { - 2 } \{ \psi _ { 1 } , \nabla _ { \perp } ^ { 2 } \psi _ { 1 } \} \right] ,
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { \mathcal { V } _ { \ell } } \int \mathrm { d } ^ { 3 } r ~ \boldsymbol { f } _ { \ell } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { r } ) \boldsymbol { f } _ { m } ( \boldsymbol { r } ) = \delta _ { \ell m } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \langle \mathbf { k } \rangle } & { { } = \frac { i } { \hbar } \langle \mathbf { k } ( \mathbf { H } ^ { \dagger } ( \mathbf { k } ) - \mathbf { H } ( \mathbf { k } ) ) \rangle - \frac { i } { \hbar } \langle \mathbf { k } \rangle \langle \mathbf { H } ^ { \dagger } ( \mathbf { k } ) - \mathbf { H } ( \mathbf { k } ) \rangle } \\ { \frac { d } { d t } \langle \mathbf { r } \rangle } & { { } = \frac { 1 } { \hbar } \langle \nabla _ { \mathbf { k } } \mathbf { H } ( \mathbf { k } ) \rangle + \frac { i } { \hbar } \langle ( \mathbf { H } ^ { \dagger } ( \mathbf { k } ) - \mathbf { H } ( \mathbf { k } ) ) \mathbf { r } \rangle - \frac { i } { \hbar } \langle \mathbf { r } \rangle \langle \mathbf { H } ^ { \dagger } ( \mathbf { k } ) - \mathbf { H } ( \mathbf { k } ) \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { K L } \Big ( Q ( X _ { 0 : T } ) | | \mathrm { ~ P ~ } ( X _ { 0 : T } | \hat { f } ) \Big ) } & { { } = E _ { { Q } } \left[ \mathrm { ~ l ~ n ~ } \left( \frac { d { Q } ( X _ { 0 : T } ) } { d { P } \left( X _ { 0 : T } \vert \hat { f } \right) } \right) \right] } \end{array}
\epsilon ( \omega ) \approx \epsilon _ { \infty } - \frac { { \omega _ { D } } ^ { 2 } } { \omega ( \omega + i \gamma _ { D } ) } - { \sum _ { n = 1 } } ^ { N _ { L } } \frac { \epsilon _ { L n } { \omega _ { L n } } ^ { 2 } } { \omega ( \omega + 2 i { \delta _ { L n } } ^ { 2 } ) - { \omega _ { L n } } ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { \int _ { - \infty } ^ { \infty } \left| \partial _ { \sigma } \Psi ( t , \mu - \sigma ) h _ { \epsilon } ( \sigma ) \right| d \sigma } & { \leq | h _ { \epsilon } ( \mu ) | \int _ { - \infty } ^ { \infty } \left| \partial _ { \sigma } \Psi ( t , \mu - \sigma ) \right| d \sigma + \int _ { - \infty } ^ { \infty } | h _ { \epsilon } ( \sigma ) - h _ { \epsilon } ( \mu ) | | \partial _ { \sigma } \Psi ( t , \mu - \sigma ) | d \sigma } \\ & { \leq 8 ( ( \nu t ) ^ { - 1 / 2 } | \mu | ^ { \beta } + ( \nu t ) ^ { \frac { \beta - 1 } { 2 } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial \tilde { \mathcal { E } } } { \partial \Theta } = - \cos \Theta \left( \sin \Theta + h \cos \Phi \right) = 0 } \\ { \frac { 1 } { \sin \Theta } \frac { \partial \tilde { \mathcal { E } } } { \partial \Phi } = - h \sin \Phi = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l r } { k U _ { 1 } + \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { + \infty } p ^ { \alpha } d p \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \cos ( p x ) \cos ( p x ^ { \prime } ) U _ { 1 } ( x ^ { \prime } ) d x ^ { \prime } - U _ { 1 } ^ { 3 } - U _ { 2 } } & { { } = } & { 0 , } \\ { k U _ { 2 } + \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { + \infty } p ^ { \alpha } d p \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \cos ( p x ) \cos ( p x ^ { \prime } ) U _ { 2 } ( x ^ { \prime } ) d x ^ { \prime } - U _ { 2 } ^ { 3 } - U _ { 1 } } & { { } = } & { 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle C _ { P r } \rangle _ { n } } & { } & { = \frac { 4 ! C ( k c T ) ^ { n + 1 } } { 6 ( k c ) ^ { n } } \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( e ^ { k c T ( y - 1 ) } - e ^ { 4 k c T ( y - 1 ) } - 3 e ^ { 2 k c T ( y - 1 ) } + 3 e ^ { 3 k c T ( y - 1 ) } \right) y ^ { n } d y } \\ & { } & { = \frac { 4 ! C ( k c T ) ^ { n + 1 } } { 6 ( k c ) ^ { n } } \int _ { 0 } ^ { 1 } ( k c T ( 1 - y ) ) ^ { 3 } * y ^ { n } d y } \\ & { } & { = \frac { 4 ! C ( k c T ) ^ { n + 4 } } { 6 ( k c ) ^ { n } } \int _ { 0 } ^ { 1 } ( 1 - y ^ { 3 } - 3 y + 3 y ^ { 2 } ) * y ^ { n } d y , \quad k c T < < 1 } \\ & { } & { = \frac { 4 ! C ( k c T ) ^ { n + 4 } } { 6 ( k c ) ^ { n } } \left( \frac { 1 } { n + 1 } - \frac { 1 } { n + 4 } - \frac { 3 } { n + 2 } + \frac { 3 } { n + 3 } \right) } \\ & { } & { = \frac { 4 ! C ( k c T ) ^ { n + 4 } } { 6 ( k c ) ^ { n } } \left( \frac { n + 4 - n - 1 } { ( n + 1 ) ( n + 4 ) } + \frac { - 3 n - 9 + 3 n + 6 } { ( n + 2 ) ( n + 3 ) } \right) } \\ & { } & { = \frac { 4 ! C ( k c T ) ^ { n + 4 } } { 6 ( k c ) ^ { n } } \left( \frac { 3 } { ( n + 1 ) ( n + 4 ) } - \frac { 3 } { ( n + 2 ) ( n + 3 ) } \right) } \\ & { } & { = \frac { 4 ! C ( k c T ) ^ { n + 4 } } { 2 ( k c ) ^ { n } } \left( \frac { 1 } { ( n + 1 ) ( n + 4 ) } - \frac { 1 } { ( n + 2 ) ( n + 3 ) } \right) } \\ & { } & { = \frac { 4 ! C ( k c T ) ^ { n + 4 } } { 2 ( k c ) ^ { n } } \left( \frac { ( n + 2 ) ( n + 3 ) - ( n + 1 ) ( n + 4 ) } { ( n + 1 ) ( n + 4 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) } \right) } \\ & { } & { = \frac { 4 ! C ( k c T ) ^ { n + 4 } } { 2 ( k c ) ^ { n } } \left( \frac { n ^ { 2 } + 5 n + 6 - n ^ { 2 } - 5 n - 4 } { ( n + 1 ) ( n + 4 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) } \right) } \\ & { } & { = \frac { 4 ! C ( k c T ) ^ { n + 4 } } { ( k c ) ^ { n } ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) ( n + 4 ) } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { d \phi _ { L } ( t , x ) } & { = \nabla \cdot V ^ { \prime } \left( \nabla \phi _ { L } \right) ( t , x ) + \sqrt { 2 } X _ { n } ( x ) + \sqrt { 2 } d W _ { n } ( t , x ) } & { ~ ~ \mathrm { f o r } ~ ~ ( t , x ) \in ( n , n + 1 ) \times \mathbb { T } _ { L } , } \\ { \phi _ { L } ( 0 , x ) } & { = \phi ( x ) } & { \mathrm { f o r } ~ ~ x \in \mathbb { T } _ { L } . } \end{array}
\int _ { a } ^ { b } { \frac { 1 } { x \, \log x } } \, d x = 1 | _ { a } ^ { b } + \int _ { a } ^ { b } { \frac { 1 } { x \, \log x } } \, d x = 0 + \int _ { a } ^ { b } { \frac { 1 } { x \log x } } \, d x = \int _ { a } ^ { b } { \frac { 1 } { x \log x } } \, d x
\begin{array} { r l } { I _ { 1 } } & { { } = \int _ { A } ^ { B } ( \lambda ^ { - 1 } \bar { \sigma } _ { 2 2 } ) _ { a } R \int _ { R } ^ { B } c ( { a } , T ) \, d T \, d R , } \\ { I _ { 2 } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \int _ { A } ^ { B } R \zeta ( \bar { r } _ { a } ^ { 2 } + c ( { a } , R ) ^ { 2 } ) \, d R , } \\ { I _ { 3 } } & { { } = \int _ { A } ^ { B } R \xi \bar { r } _ { a } c ( { a } , R ) \, d R . } \end{array}
\tilde { O } _ { \boldsymbol { s } _ { 0 } } \left( \boldsymbol { q } \right) = \mathcal { F } _ { \boldsymbol { x } \rightarrow \boldsymbol { q } } \left[ O \left( \boldsymbol { x } - \boldsymbol { s } _ { 0 } \right) \right]
{ \left[ \begin{array} { l } { A ^ { \prime } ( x ) } \\ { B ^ { \prime } ( x ) } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l } { u _ { 1 } ( x ) } & { u _ { 2 } ( x ) } \\ { u _ { 1 } ^ { \prime } ( x ) } & { u _ { 2 } ^ { \prime } ( x ) } \end{array} \right] } ^ { - 1 } { \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { f } \end{array} \right] } = { \frac { 1 } { W } } { \left[ \begin{array} { l l } { u _ { 2 } ^ { \prime } ( x ) } & { - u _ { 2 } ( x ) } \\ { - u _ { 1 } ^ { \prime } ( x ) } & { u _ { 1 } ( x ) } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { f } \end{array} \right] } ,
\begin{array} { r l } & { g ^ { ( 1 ) } \left( \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } \right) = \frac { - 2 / 3 } { 1 . 2 5 + \sqrt { 2 \theta _ { 1 } } + 0 . 9 \sqrt { - 2 \theta _ { 2 } } } \mathrm { , } } \\ & { g ^ { ( 2 ) } \left( \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } \right) = \frac { 7 . 5 } { 1 0 0 0 + \left( \sqrt { 2 \theta _ { 1 } } \right) ^ { 3 } } } \\ & { g ^ { ( 3 ) } \left( \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } \right) = \frac { 1 . 5 } { 1 0 0 0 + \left( \sqrt { 2 \theta _ { 1 } } \right) ^ { 3 } } } \\ & { g ^ { ( 4 ) } \left( \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } \right) = \frac { - 9 . 5 } { 1 0 0 0 + \left( \sqrt { 2 \theta _ { 1 } } \right) ^ { 3 } } \mathrm { . } } \end{array}
\begin{array} { r } { W [ C , \Gamma ] = \left\langle \delta \left( \Gamma - \oint _ { C } d \vec { r } \cdot \vec { v } ( \vec { r } ) \right) \right\rangle = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { d \gamma } { 2 \pi \nu } \exp \left( - \imath \frac { \gamma } { \nu } \Gamma \right) \Psi [ \gamma , C ] ; } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \gamma _ { 1 } : [ 0 , 1 ] \to D ; \quad } & { \gamma _ { 1 } ( t ) = ( t , 0 ) } \\ { \gamma _ { 2 } : [ 0 , 1 ] \to D ; \quad } & { \gamma _ { 2 } ( s ) = ( 1 , s ) } \\ { \gamma _ { 3 } : [ 0 , 1 ] \to D ; \quad } & { \gamma _ { 3 } ( t ) = ( 1 - t , 1 ) } \\ { \gamma _ { 4 } : [ 0 , 1 ] \to D ; \quad } & { \gamma _ { 4 } ( s ) = ( 0 , 1 - s ) } \end{array} }
\frac { \mu ^ { 2 } m } { 2 \pi } = - 2 \int \frac { d ^ { 2 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \left( \frac { k ^ { 2 } } { 2 m } - \mu \right) \theta \left( \mu - \frac { k ^ { 2 } } { 2 m } \right) .
x ^ { 3 } - ( e ^ { - 2 i \phi _ { 2 } } \cos ( g _ { \mathrm { c o } } L _ { \mathrm { c o } } ) + 2 e ^ { i \phi _ { 2 } } \cos ( \phi _ { 1 } ) ) \cos ( g _ { \mathrm { c o } } L _ { \mathrm { c o } } ) x ^ { 2 } + ( e ^ { 2 i \phi _ { 2 } } \cos ( g _ { \mathrm { c o } } L _ { \mathrm { c o } } ) + 2 e ^ { - i \phi _ { 2 } } \cos ( \phi _ { 1 } ) ) \cos ( g _ { \mathrm { c o } } L _ { \mathrm { c o } } ) x - 1 = 0 , \ \ x \equiv e ^ { i \theta }
| \alpha \ \mathrm { i n } \rangle = | { \textbf { p } } _ { 1 } ^ { s _ { 1 } } , . . . , { \textbf { p } } _ { n } ^ { s _ { n } } \rangle \quad { \mathrm { a n d } } \quad | \beta \ \mathrm { o u t } \rangle = | { \textbf { k } } _ { 1 } ^ { \sigma _ { 1 } } , . . . , { \textbf { k } } _ { n ^ { \prime } } ^ { \sigma _ { n ^ { \prime } } } \rangle .
\begin{array} { r l r } { ( S ^ { \prime } , T ^ { \prime } ) \subset ( S , T ) } & { \Longleftrightarrow } & { s _ { i j } ^ { \prime } \subset s _ { i j } , \; t _ { i j } ^ { \prime } \subset t _ { i j } \; \; \forall i , j ; } \\ { ( S , T ) \cup ( S ^ { \prime } , T ^ { \prime } ) = ( S ^ { \prime \prime } , T ^ { \prime \prime } ) } & { \Longleftrightarrow } & { s _ { i j } ^ { \prime \prime } = s _ { i j } \cup s _ { i j } ^ { \prime } , \; t _ { i j } ^ { \prime \prime } = t _ { i j } \cup t _ { i j } ^ { \prime } \; \; \forall i , j ; } \\ { ( S , T ) \cap ( S ^ { \prime } , T ^ { \prime } ) = ( S ^ { \prime \prime } , T ^ { \prime \prime } ) } & { \Longleftrightarrow } & { s _ { i j } ^ { \prime \prime } = s _ { i j } \cap s _ { i j } ^ { \prime } , \; t _ { i j } ^ { \prime \prime } = t _ { i j } \cap t _ { i j } ^ { \prime } \; \; \forall i , j . } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { P \in { \mathcal M } } \bigg ( E _ { P } \Big [ \widehat { \| \theta \| _ { 2 } ^ { 2 } } \Big ] - E _ { P _ { 0 } } \Big [ \widehat { \| \theta \| _ { 2 } ^ { 2 } } \Big ] \bigg ) ^ { 2 } \leq \frac { s M } { 1 - ( 1 / 2 ) ^ { 0 . 0 1 } } \Big ( \frac n { s ^ { 2 } } \Big ) ^ { \alpha ^ { \prime } } \operatorname { V a r } _ { 0 } \big ( \widehat { \| \theta \| _ { 2 } ^ { 2 } } \big ) . } \end{array}
q + f \equiv q + 2 \Omega \sin \theta = q + 2 \Omega z = q + 2 \Omega \frac { \xi ^ { 2 } + \eta ^ { 2 } - 1 } { \xi ^ { 2 } + \eta ^ { 2 } + 1 } = q + 2 \Omega \frac { 1 - \hat { \xi } ^ { 2 } - \hat { \eta } ^ { 2 } } { \hat { \xi } ^ { 2 } + \hat { \eta } ^ { 2 } + 1 }
\begin{array} { r l } { \eta _ { \mathrm { ~ t ~ o ~ t ~ } } } & { { } = \left[ 1 - \exp \left( - 2 a _ { R } ^ { 2 } / w _ { \mathrm { ~ t ~ o ~ t ~ } } ^ { 2 } \right) \right] \eta _ { \mathrm { ~ a ~ t ~ m ~ } } \eta _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } , } \\ { w _ { \mathrm { ~ t ~ o ~ t ~ } } ^ { 2 } } & { { } : = w _ { \mathrm { ~ l ~ t ~ } } ^ { 2 } + \sigma _ { \mathrm { ~ P ~ } } ^ { 2 } = w _ { \mathrm { ~ s ~ t ~ } } ^ { 2 } + \sigma _ { \mathrm { ~ T ~ B ~ } } ^ { 2 } + \sigma _ { \mathrm { ~ P ~ } } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| \partial _ { x } ^ { j } \hat { w } \| _ { L ^ { p } ( \partial \mathcal { D } ) } \leq C t ^ { - \frac { 1 } { 3 } - \frac { j } { 6 } } , } \\ & { \| \partial _ { x } ^ { j } \hat { w } \| _ { L ^ { p } ( \hat { \mathcal { Y } } ^ { \epsilon } ) } \leq C t ^ { - \frac { N + 1 } { 6 } } , } \\ & { \| \partial _ { x } ^ { j } \hat { w } \| _ { L ^ { p } ( \hat { \Gamma } ^ { \prime } ) } \leq C t ^ { - N } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { S } } & { = \int _ { 0 } ^ { T } d t \, \int _ { \mathcal { B } } d ^ { 2 } \vec { \bf x } \, \sqrt { g _ { t } } \, \mathcal { L } \left[ \dot { \bf g } _ { t } ( \vec { \bf x } ) ; \mathcal { S } ( t = 0 ) \right] } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad + \lambda \, D _ { S E M } [ { \bf g } _ { T } ; \, \mathcal { M } _ { T } ] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \sum _ { q = 0 } ^ { p } \left( \begin{array} { l } { p } \\ { q } \end{array} \right) N ( N - 1 ) \cdots ( N - q + 1 ) x _ { 0 } ^ { N - q } \ \partial _ { x } ^ { p - q } h _ { \delta } ( x _ { 0 } , 0 ) } \\ & { \geq } & { N ( N - 1 ) \cdots ( N - p + 1 ) x _ { 0 } ^ { N - p } h ( 0 , 0 ) ( 1 - c ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { q ^ { \mathrm { a r t , P } } } & { = \langle \frac { p ^ { \mathrm { r v } } - p ^ { \mathrm { a r t , P } } } { R ^ { \mathrm { a r t , P } } } \rangle , } \\ { q ^ { \mathrm { v e n , P } } } & { = \langle \frac { p ^ { \mathrm { v e n , P } } - p ^ { \mathrm { l v } } } { R ^ { \mathrm { v e n , P } } } \rangle , } \\ { q ^ { \mathrm { a r t , S } } } & { = \langle \frac { p ^ { \mathrm { l v } } - p ^ { \mathrm { a r t , S } } } { R ^ { \mathrm { a r t , S } } } \rangle , } \\ { q ^ { \mathrm { v e n , S } } } & { = \langle \frac { p ^ { \mathrm { v e n , S } } - p ^ { \mathrm { r v } } } { R ^ { \mathrm { v e n , S } } } \rangle , } \\ { q ^ { \mathrm { p e r , P } } } & { = \frac { p ^ { \mathrm { a r t , P } } - p ^ { \mathrm { v e n , P } } } { R ^ { \mathrm { p e r , P } } } , } \\ { q ^ { \mathrm { p e r , S } } } & { = \frac { p ^ { \mathrm { a r t , S } } - p ^ { \mathrm { v e n , S } } } { R ^ { \mathrm { p e r , S } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { 2 ( \tilde { \boldsymbol { u } } ^ { n + 1 } , A _ { h } \phi ^ { n } \nabla _ { h } \Delta _ { h } \tilde { \phi } ^ { n + 1 } ) = 2 \varepsilon ^ { - 2 } \left( ( \tilde { \boldsymbol { u } } ^ { n + 1 } , A _ { h } \phi ^ { n } \nabla _ { h } { \cal L } ^ { n + 1 } ) - ( \tilde { \boldsymbol { u } } ^ { n + 1 } , { \cal A } _ { h } \phi ^ { n } \nabla _ { h } \tilde { \mu } ^ { n + 1 } ) \right) } \\ { \ge } & { 2 \varepsilon ^ { - 2 } \Big ( \frac { 1 } { 2 \gamma } \| \tilde { \boldsymbol { u } } ^ { n + 1 } \| _ { 2 } ^ { 2 } + \frac { 1 } { \gamma } \| \nabla _ { h } \tilde { \boldsymbol { u } } ^ { n + 1 } \| _ { 2 } ^ { 2 } - \gamma \| \nabla _ { h } { \cal L } ^ { n + 1 } \| _ { 2 } ^ { 2 } - \frac { 2 } { \gamma } \| \tau _ { v } ^ { n + 1 } \| _ { 2 } ^ { 2 } - C \| \tilde { \phi } ^ { n } \| _ { 2 } ^ { 2 } \Big ) . } \end{array}
{ Z _ { 3 } = \{ W _ { i , \{ 1 , 3 \} } , W _ { i , \{ 2 , 3 \} } , W _ { i , \{ 3 , 4 \} } , W _ { i , \{ 3 , 5 \} } \forall i \in [ 1 0 ] \} } \cup \, { \{ D _ { \{ 1 , 2 , 3 \} , \{ 4 , 5 \} } ^ { 3 } , D _ { \{ 1 , 3 , 4 \} , \{ 2 , 5 \} } ^ { 2 } , D _ { \{ 1 , 3 , 5 \} , \{ 2 , 4 \} } ^ { 2 } , D _ { \{ 2 , 3 , 4 \} , \{ 1 , 5 \} } ^ { 2 } , D _ { \{ 2 , 3 , 5 \} , \{ 1 , 4 \} } ^ { 2 } , D _ { \{ 3 , 4 , 5 \} , \{ 1 , 2 \} } ^ { 1 } \} }
\begin{array} { r l r } { \rho _ { 1 } } & { { } = } & { A \rho _ { \infty } e ^ { - t / \tau } \cos \frac { \pi z } { L } \, , } \\ { v _ { z } ( r = 0 ) } & { { } = } & { A \frac { \bar { k } L } { \pi ^ { 2 } \tau } \, e ^ { - t / \tau } \, \sin \frac { \pi z } { L } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega } & { = \omega ( \tau \cdot \tau ) = \omega ( - \tau _ { 1 } n _ { 2 } + \tau _ { 2 } n _ { 1 } ) = \tau _ { i } n _ { j } ( - \partial _ { i } u _ { j } + \partial _ { j } u _ { i } ) } \\ & { = 2 \tau \cdot \mathbb { D } u \cdot n - 2 n \cdot ( \tau \cdot \nabla ) u = - 2 ( \alpha + \kappa ) u _ { \tau } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \sum _ { n \geq 1 } \frac { \sin ( a + n ) } { a + n } } & { = } & { \mathrm { I m } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \sum _ { n \geq 1 } \exp \left( i a + i n - a x - n x \right) \, d x } \\ & { = } & { \int _ { 0 } ^ { + \infty } \frac { \sin ( a ) e ^ { - x } - \sin ( a + 1 ) } { 2 \left( \cos ( 1 ) - \cosh ( x ) \right) } \, e ^ { - a x } \, d x } \\ & { = } & { \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { u ^ { a } \left( \sin ( a + 1 ) - u \sin ( a ) \right) } { 1 - 2 u \cos ( 1 ) + u ^ { 2 } } \, d u } \end{array}
\begin{array} { r l } { | f ( \vec { x } _ { 1 } ) - f ( \vec { x } _ { 2 } ) | } & { = | \langle f , k ^ { [ M ] } ( \vec { x } _ { 1 } , \cdot ) - k ^ { [ M ] } ( \vec { x } _ { 2 } , \cdot ) \rangle _ { H _ { M } } | \leq \| f \| _ { H _ { M } } \| k ^ { [ M ] } ( \vec { x } _ { 1 } , \cdot ) - k ^ { [ M ] } ( \vec { x } _ { 2 } , \cdot ) \| _ { H _ { M } } } \\ & { = \| f \| _ { H _ { M } } \sqrt { k ^ { [ M ] } ( \vec { x } _ { 1 } , \vec { x } _ { 1 } ) - k ^ { [ M ] } ( \vec { x } _ { 1 } , \vec { x } _ { 2 } ) + k ^ { [ M ] } ( \vec { x } _ { 2 } , \vec { x } _ { 2 } ) - k ^ { [ M ] } ( \vec { x } _ { 2 } , \vec { x } _ { 1 } ) } } \\ & { \leq \| f \| _ { H _ { M } } \sqrt { | k ^ { [ M ] } ( \vec { x } _ { 1 } , \vec { x } _ { 1 } ) - k ^ { [ M ] } ( \vec { x } _ { 1 } , \vec { x } _ { 2 } ) | + | k ^ { [ M ] } ( \vec { x } _ { 2 } , \vec { x } _ { 2 } ) - k ^ { [ M ] } ( \vec { x } _ { 2 } , \vec { x } _ { 1 } ) | } } \\ & { \leq \| f \| _ { H _ { M } } \sqrt { 2 \omega _ { k } ( d _ { \mathrm { K R } } ( \hat { \mu } [ \vec { x } _ { 1 } ] , \hat { \mu } [ \vec { x } _ { 2 } ] ) ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { T _ { \mathrm { l i v e } } = T _ { \mathrm { r u n } } } & { - \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \mathrm { D C c u t } } } \delta t _ { i } - N _ { \mathrm { L L c u t } } \cdot \delta t _ { \mathrm { c u t } } } \\ & { - N _ { \mathrm { p h y s } } \cdot ( \delta t _ { \mathrm { c u t } } - \delta t _ { \mathrm { i n t } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { G _ { c } ^ { R } ( \tau ) } & { = } & { - i \Theta ( \tau ) e ^ { - i ( \epsilon _ { c } + E _ { N } ^ { c o r r } ) \tau } N _ { c } ( \tau ) } \\ & { = } & { - i \Theta ( \tau ) e ^ { - i ( \epsilon _ { c } + E _ { N } ^ { c o r r } ) \tau } e ^ { C _ { c } ^ { R } ( \tau ) } } \\ { C _ { c } ^ { R } ( \tau ) } & { = } & { i \int _ { 0 } ^ { \tau } \left< \Phi \left| ( H _ { N } e ^ { T ( \tau ^ { \prime } ) } ) _ { C } \right| \Phi \right> d \tau ^ { \prime } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l } { \mathbf { u } \otimes _ { \mathrm { K r o n } } \mathbf { v } } & { = { \left[ \begin{array} { l } { 4 } \\ { 5 } \\ { 8 } \\ { 1 0 } \\ { 1 2 } \\ { 1 5 } \end{array} \right] } , } & { \mathbf { u } \otimes _ { \mathrm { o u t e r } } \mathbf { v } } & { = { \left[ \begin{array} { l l } { 4 } & { 5 } \\ { 8 } & { 1 0 } \\ { 1 2 } & { 1 5 } \end{array} \right] } } \end{array} }
\Gamma _ { t c \phi _ { \mathrm { S M } } ^ { 0 } } = \sum _ { k = d , s , b } V _ { t k } V _ { k c } ^ { * } \left( A _ { L } ( s , m _ { k } ^ { 2 } ) P _ { L } + A _ { R } ( s , m _ { k } ^ { 2 } ) P _ { R } \right) ,
[ X _ { j } , [ X ^ { j } , X ^ { i } ] ] + { \frac { i } { 2 } } \{ b ^ { + j } , b ^ { i } { } _ { j } - b ^ { + - } \delta ^ { i } { } _ { j } \} = 0 , \qquad [ X _ { i } , [ X ^ { i } , X ^ { - } ] ] - { \frac { i } { 4 } } \{ b ^ { i j } , b _ { i j } \} = 0 .
\begin{array} { r l } { \{ F , G \} = } & { \ldots - L \left( \frac { 1 } { D } \frac { \delta G } { \delta u } , \theta ; s \left( u ; \frac { \delta F } { \delta \theta } \right) + \tau S \left( u ; s \left( u ; \frac { \delta F } { \delta \theta } \right) \right) \right) } \\ & { \quad + L \left( \frac { 1 } { D } \frac { \delta F } { \delta u } , \theta ; s \left( u ; \frac { \delta G } { \delta \theta } \right) + \tau S \left( u ; s \left( u ; \frac { \delta G } { \delta \theta } \right) \right) \right) . } \end{array}
\phi ( x _ { L } ^ { \prime } , \theta ^ { \prime } ) = \phi ( x _ { L } , \theta ) + i \xi { \bar { \varepsilon } } _ { c } ^ { \alpha } \theta _ { \alpha } + \frac { i \xi } { 2 } { \bar { \varepsilon } } _ { c } ^ { \alpha } { \varepsilon } _ { c \alpha } .
\begin{array} { r } { J _ { \mathrm { e e N } } ( \mathbf { r } , \mathbf { R } ) = \sum _ { \alpha = 1 } ^ { N _ { \mathrm { n u c l } } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \mathrm { e l e c } } } \sum _ { j = 1 } ^ { i - 1 } \sum _ { p = 2 } ^ { N _ { \mathrm { o r d } } } \sum _ { k = 0 } ^ { p - 1 } \sum _ { l = 0 } ^ { p - k - 2 \delta _ { k , 0 } } c _ { l k p \alpha } \left[ g _ { \mathrm { e e } } ( { r } _ { i j } ) \right] ^ { k } } \\ { \left[ \left[ g _ { \alpha } ( { R } _ { i \alpha } ) \right] ^ { l } + \left[ g _ { \alpha } ( { R } _ { j \alpha } ) \right] ^ { l } \right] \left[ g _ { \alpha } ( { R } _ { i \, \alpha } ) \, g _ { \alpha } ( { R } _ { j \alpha } ) \right] ^ { ( p - k - l ) / 2 } , } \end{array}
\omega _ { c } = \omega \gamma ^ { - 1 } \left\{ \left[ \gamma _ { 0 } + b ( \xi ) \right] + \frac { g _ { 0 } ^ { h f } } { 2 k _ { \perp } ^ { * } } u _ { z } \left( 1 - \gamma ^ { - 2 } - u _ { z } ^ { 2 } \right) ^ { - 1 / 2 } \sin \varphi _ { p } \right\}
\begin{array} { r l r l } & { \Delta _ { 2 2 , + } ( \zeta , k ) = \Delta _ { 2 2 , - } ( \zeta , k ) , } & & { k \in \Gamma _ { 5 } ^ { ( 2 ) } , } \\ & { \Delta _ { 2 2 , + } ( \zeta , k ) = \Delta _ { 2 2 , - } ( \zeta , k ) \frac { 1 } { 1 + r _ { 1 } ( k ) r _ { 2 } ( k ) } , } & & { k \in \Gamma _ { 8 } ^ { ( 2 ) } , } \\ & { \Delta _ { 2 2 , + } ( \zeta , k ) = \Delta _ { 2 2 , - } ( \zeta , k ) \frac { f ( \omega ^ { 2 } k ) } { f ( k ) } , } & & { k \in \Gamma _ { 1 1 } ^ { ( 2 ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { Q _ { x z } \propto Q _ { \mathrm { ~ e ~ e ~ } } ^ { ' x z z x } \partial _ { z } E _ { x } , } \\ { S _ { y z } \propto S _ { \mathrm { ~ m ~ m ~ } } ^ { ' y z z y } \partial _ { z } H _ { y } . } \end{array}