harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \frac { 1 } { 2 0 } } , \, { \frac { 1 } { 1 0 } } , \, { \frac { 3 } { 2 0 } } , \, { \frac { 1 } { 5 } } , \, { \frac { 1 } { 4 } } , \, { \frac { 3 } { 1 0 } } , \, { \frac { 7 } { 2 0 } } , \, { \frac { 2 } { 5 } } , \, { \frac { 9 } { 2 0 } } , \, { \frac { 1 } { 2 } } , \, { \frac { 1 1 } { 2 0 } } , \, { \frac { 3 } { 5 } } , \, { \frac { 1 3 } { 2 0 } } , \, { \frac { 7 } { 1 0 } } , \, { \frac { 3 } { 4 } } , \, { \frac { 4 } { 5 } } , \, { \frac { 1 7 } { 2 0 } } , \, { \frac { 9 } { 1 0 } } , \, { \frac { 1 9 } { 2 0 } } , \, { \frac { 1 } { 1 } }
\left\{ \begin{array} { l l } { \frac { d ^ { 2 } z } { { d t ^ { * } } ^ { 2 } } = f ( z , \rho ) } \\ { \frac { d ^ { 2 } \rho } { { d t ^ { * } } ^ { 2 } } = g ( z , \rho ) } \end{array} \right. \mathrm { w i t h } \ \ \left\{ \begin{array} { l l } { z | _ { t ^ { * } = t _ { 1 } } = z ( t _ { 1 } ) , \ \ \frac { d z } { d t ^ { * } } | _ { t ^ { * } = t _ { 1 } } = 0 \, , } \\ { \rho | _ { t ^ { * } = t _ { 1 } } = \rho ( t _ { 1 } ) , \ \ \frac { d \rho } { d t ^ { * } } | _ { t ^ { * } = t _ { 1 } } = 0 \, . } \end{array} \right.
R _ { n \ell } ( p ) = \sqrt { \frac { 2 ( 2 n ^ { \prime } + a + b + 1 ) \, n ^ { \prime } ! \, \Gamma ( n ^ { \prime } + a + b + 1 ) } { \Gamma ( n ^ { \prime } + a + 1 ) \Gamma ( n ^ { \prime } + b + 1 ) } } \, ( \beta + \beta ^ { \prime } ) ^ { D / 4 } \, c ^ { \lambda + \delta } \, s ^ { \ell } \, P _ { n ^ { \prime } } ^ { ( a , b ) } ( z ) \; ,
\begin{array} { r l r } { \epsilon _ { s } ^ { ( 2 ) } } & { = } & { \sum _ { l = + , - } \left\{ \frac { F _ { 2 } } { \omega _ { s } \omega _ { l } } + \sigma _ { * 0 } \left[ 1 + \frac { k _ { \parallel 0 } } { k _ { \parallel l } } \frac { ( \omega _ { * e } - \omega ) _ { s } } { \omega _ { 0 } } \right] \right. } \\ & { } & { \left. \times \left[ \frac { F _ { l } } { \omega _ { l } ^ { 2 } ( 1 - \omega _ { * e } / \omega ) _ { l } } \right] \right\} \frac { \left( \Lambda _ { 0 } ^ { s } \right) ^ { 2 } } { 4 } \tau \left( \frac { \omega _ { * i } } { \omega } \right) _ { s } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow \infty } \frac { 1 } { n } \log \left( \frac { n ! } { \prod _ { ( \theta , D ) \in \mathcal { A } _ { \delta } } | \{ v \in [ n ] : ( \theta _ { v } ^ { ( n ) } , D ^ { ( n ) } ( v ) ) = ( \theta , D ) \} | ! } \right) \leq H ( P ) } \\ & { \qquad \qquad + \eta _ { 1 } ( \mu ; h , \delta ) \left( 1 + \log | \Theta | - \log \eta _ { 1 } ( \mu ; h , \delta ) \right) + 2 ( | \Xi | \times | \Theta | ) ^ { 2 } \eta _ { 4 } ( \mu ; h , \delta ) . } \end{array}
| R ^ { \beta \gamma } \rangle = \exp ( i \beta _ { - r } ^ { 1 } ( - 1 ) ^ { r } \gamma _ { - r } ^ { 2 } - i \beta _ { - r } ^ { 2 } ( - 1 ) ^ { r } \gamma _ { - r } ^ { 1 } ) | - 1 \rangle _ { 1 2 } .
\left\langle \psi _ { 1 } ^ { \prime } \psi _ { 2 } ^ { \prime } \right\rangle = C ( \Delta x , \Delta y ) + 2 y _ { + } \sqrt { \alpha \epsilon } l _ { f } ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \frac { \Delta x } { l _ { f } } } d z \int _ { 0 } ^ { \frac { \Delta y } { 2 l _ { f } } } d z ^ { \prime } \tilde { \Phi } \left( z , z ^ { \prime } \right) ,
Z ( p ) \; = \; 1 \; - \; { \frac { 2 \pi C _ { F } \alpha _ { s } } { M ^ { 2 } } } \; \int { \frac { d ^ { 3 } q } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } } { \frac { p ^ { 2 } - ( { \bf p } \cdot { \hat { \bf q } } ) ^ { 2 } } { q ^ { 3 } } } \; .
\begin{array} { r } { \dot { V } _ { l , s } ^ { * } = - \frac { 6 [ 0 . 5 7 \mathrm { ~ R ~ e ~ } ^ { { 1 } / { 2 } } \mathrm { ~ P ~ r ~ } ^ { { 1 } / { 3 } } + 2 ] } { \sqrt { \eta } \mathrm { ~ R ~ e ~ } \mathrm { ~ P ~ r ~ } } \frac { \mathrm { ~ S ~ t ~ } } { ( 1 + \mathrm { ~ S ~ t ~ } ) ^ { 0 . 7 } } \, . } \end{array}
| V _ { u s } | \simeq \left| \sqrt { \frac { m _ { d } } { m _ { s } } } - e ^ { - i \phi _ { 1 } } \sqrt { \frac { m _ { u } } { m _ { c } } } \right| , \qquad \qquad | V _ { c b } | \simeq \left| \sqrt { \frac { m _ { s } } { m _ { b } } } - e ^ { - i \phi _ { 2 } } \sqrt { \frac { m _ { c } } { m _ { t } } } \right|
\bar { \nu } _ { q } = { \frac { g ^ { 2 } C _ { f } \bar { T } } { 8 \pi } } \left( 2 \ln \bar { m } _ { e l } - \ln ( 1 + \bar { \nu } _ { T } ^ { 2 } ) + 1 - { \frac { 2 } { \pi } } \arctan { \frac { 1 } { \bar { \nu } _ { T } } } \right) ,
{ \begin{array} { r l } { 0 } & { \leq b ^ { 2 } - \left( { \frac { - a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } } { 2 c } } \right) ^ { 2 } } \\ { 0 } & { \leq \left( b - { \frac { - a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } } { 2 c } } \right) \left( b + { \frac { - a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } } { 2 c } } \right) } \\ { 0 } & { \leq \left( a ^ { 2 } - ( b - c ) ^ { 2 } ) ( ( b + c ) ^ { 2 } - a ^ { 2 } \right) } \\ { 0 } & { \leq ( a + b - c ) ( a - b + c ) ( b + c + a ) ( b + c - a ) } \\ { 0 } & { \leq ( a + b - c ) ( a + c - b ) ( b + c - a ) } \end{array} }
\begin{array} { l } { { e ^ { + 2 } \nabla \psi _ { + 2 q } ^ { 2 - } + e ^ { - 2 } \nabla \psi _ { - 2 q } ^ { 2 - } + e ^ { + } \nabla h _ { + q } ^ { 2 - } + e ^ { - } \nabla \chi _ { q } ^ { 2 } + T ^ { + 2 } \psi _ { + 2 q } ^ { 2 - } + T ^ { - 2 } \psi _ { - 2 q } ^ { 2 - } + T ^ { + } h _ { + q } ^ { 2 - } + T ^ { - } \chi _ { q } ^ { 2 } } } \\ { { = \frac 1 2 \gamma _ { q \dot { p } } ^ { i } \Omega ^ { - 2 i } \pi _ { \dot { p } } ^ { 2 + } , } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta P _ { g a s } ^ { N L } } & { { } = } & { \frac { 1 } { \Omega } \sum _ { { \bf k } , { \bf G } } ( P _ { { \bf k } + { \bf G } } ^ { + } - P _ { { \bf k } + { \bf G } } ^ { + } ) ~ V _ { N L } ^ { F T } ( | { \bf k } + { \bf G } | ) , } \end{array}
\chi _ { 0 } ( q ) = 1 + q ^ { 2 } + q ^ { 3 } + q ^ { 4 } + q ^ { 5 } + 2 \, q ^ { 6 } + 2 \, q ^ { 7 } + 3 \, q ^ { 8 } + 3 \, q ^ { 9 } + 4 \, q ^ { 1 0 } + 4 \, q ^ { 1 1 } + 6 \, q ^ { 1 2 } + O ( q ^ { 1 3 } )
T _ { \pi ^ { 0 } } ( - Q ^ { 2 } , 0 ) = { \cal J } \, \frac { f _ { \pi } } { Q ^ { 2 } } \, \qquad ( { \cal J } = { c o n s t a n t } \, \, \mathrm { f o r \, \, l a r g e \, \, } Q ^ { 2 } ) ,
E _ { \mathrm { C h u } } = \mathbf { \check { q } } ^ { * } \mathbf { Q } _ { \mathrm { C h u } } \mathbf { \check { q } } = \frac { 1 } { 2 } \int _ { \Omega } \left( \overline { { \rho } } \| \mathbf { \check { v } } \| ^ { 2 } + \frac { 1 } { \gamma } \frac { \check { p } ^ { 2 } } { \overline { { p } } } + \gamma ( \gamma - 1 ) M ^ { 4 } \, \overline { { p } } \, \check { s } ^ { 2 } \right) \, d \Omega .
B _ { 1 } ^ { \prime } ( 0 ) = \frac { 1 } { \pi } \sum _ { j = 1 } ^ { 2 } \int _ { 4 M _ { \pi } ^ { 2 } } ^ { \infty } d s ^ { \prime } \frac { 1 } { s ^ { 2 } } T _ { 1 j } ^ { * } ( s ^ { \prime } ) \sqrt \frac { s ^ { \prime } - 4 M _ { j } ^ { 2 } } { s ^ { \prime } } \theta ( s ^ { \prime } - 4 M _ { j } ^ { 2 } ) B _ { j } ( s ^ { \prime } ) .
\begin{array} { r l } { R _ { \mathrm { M C C S } } ( { \bf d } _ { \cal A } ; { \bf q } ) } & { = \sum _ { s = 0 } ^ { 1 } \sum _ { { \cal S } \in { \cal Q } ^ { s + 1 } } \! \! \operatorname* { m a x } _ { k \in { \cal S } } q _ { d _ { k } } ^ { s } ( 1 - q _ { d _ { k } } ) ^ { 2 - s } F _ { d _ { k } } } \\ & { = ( 1 - q _ { d _ { u _ { 1 } } } ) ^ { 2 } F _ { d _ { u _ { 1 } } } + q _ { d _ { u _ { 1 } } } ( 1 - q _ { d _ { u _ { 1 } } } ) F _ { d _ { u _ { 1 } } } . } \end{array}
\mathbf { P } ^ { * } \mathbf { \mathcal { R } } ^ { * } { \mathbf { Q } _ { q } } \mathbf { \mathcal { R } P \check { f } } _ { i } = \mu _ { i } ^ { 2 } { \mathbf { Q } _ { f } } \mathbf { \check { f } } _ { i } .
\begin{array} { r l r } { \mathcal { H } _ { n } \left[ k _ { \nu } ( \alpha _ { n } ) \right] } & { = } & { \mathcal { P } \left[ a _ { n } , L _ { n - 1 } ; k _ { \nu } ( \alpha _ { n } ) \right] \, \mathcal { H } _ { n - 1 } \left[ k _ { \nu } ( \alpha _ { n } ) \right] + e ^ { - i \, k _ { \nu } ( \alpha _ { n } ) \, L _ { n - 1 } } \, \mathcal { H } _ { n - 2 } \left[ k _ { \nu } ( \alpha _ { n } ) \right] } \\ & { \approx } & { \mathcal { P } \left[ a _ { n } , L _ { n - 1 } ; k _ { \nu } ( \alpha _ { n - 1 } ) \right] \, \mathcal { H } _ { n - 1 } \left[ k _ { \nu } ( \alpha _ { n - 1 } ) \right] + e ^ { - i \, k _ { \nu } ( \alpha _ { n - 1 } ) \, L _ { n - 1 } } \, \mathcal { H } _ { n - 2 } \left[ k _ { \nu } ( \alpha _ { n - 1 } ) \right] } \\ & { = } & { a _ { n } \, \mathcal { H } _ { n - 1 } \left[ k _ { \nu } ( \alpha _ { n - 1 } ) \right] + \mathcal { H } _ { n - 2 } \left[ k _ { \nu } ( \alpha _ { n - 1 } ) \right] \ , \quad \mathrm { f o r } \quad n \gg \nu \geq - 1 } \end{array}
\begin{array} { r l } { r } & { = \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } + w ^ { 2 } } \, , } \\ { \psi } & { = \operatorname { a r c c o s } ( w / r ) \, , } \\ { \theta } & { = \operatorname { a r c c o s } ( z / \sqrt { r ^ { 2 } - w ^ { 2 } } ) \, , } \\ { \varphi } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \operatorname { a r c c o s } ( x / \sqrt { r ^ { 2 } - w ^ { 2 } - z ^ { 2 } } ) \, , } & { y \geq 0 } \\ { 2 \pi - \operatorname { a r c c o s } ( x / \sqrt { r ^ { 2 } - w ^ { 2 } - z ^ { 2 } } ) \, , } & { y < 0 } \end{array} \right. \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { \varphi } ( r < r _ { 1 } , t ) } & { \approx \frac { \sqrt { r _ { 2 } \pi ^ { 7 } k _ { 1 } } k _ { 2 } n I _ { 0 } \csc ( k _ { 2 } ( r _ { 1 } - r _ { 2 } ) ) J _ { 1 } ( k _ { 1 } r ) \sin ( \omega _ { 0 } t ) } { \pi l \mu _ { 0 } \alpha _ { 0 } ^ { 2 } \omega _ { 0 } \left( \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } \right) \left( \theta _ { 2 } - \theta _ { 3 } \right) ( \cos ( k _ { 1 } r _ { 1 } ) - \sin ( k _ { 1 } r _ { 1 } ) ) } , } \\ { E _ { z } ( r < r _ { 1 } , t ) } & { \approx \frac { \sqrt { r _ { 2 } \pi ^ { 9 } k _ { 1 } } k _ { 2 } n I _ { 0 } \csc ( k _ { 2 } ( r _ { 1 } - r _ { 2 } ) ) J _ { 1 } ( k _ { 1 } r ) } { \pi l ( \mu _ { 0 } \omega _ { 0 } ) ^ { 2 } \alpha _ { 0 } ^ { 3 } \left( \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } \right) ^ { 2 } \left( \theta _ { 2 } - \theta _ { 3 } \right) ^ { 2 } ( \sin ( 2 k _ { 1 } r _ { 1 } ) - 1 ) } \Big [ k _ { 3 } \left( \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } \right) ( \cos ( k _ { 1 } r _ { 1 } ) - \sin ( k _ { 1 } r _ { 1 } ) ) \sin ( \omega _ { 0 } t ) } \\ & { \quad + ( \cos ( k _ { 1 } r _ { 1 } ) u _ { + } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ) + \sin ( k _ { 1 } r _ { 1 } ) u _ { - } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ) ) \cos ( \omega _ { 0 } t ) \Big ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { \mathcal { L } } } & { = ( \mathrm { i d } _ { A } \otimes \mathcal { L } ) ( | \Omega _ { A } \rangle \langle \Omega _ { A } | ) = ( \mathrm { i d } _ { A } \otimes \mathcal { L } ) \left( \frac { 1 } { d _ { A } } \sum _ { i , j = 1 } ^ { d _ { A } } e _ { i j } \otimes e _ { i j } \right) } \\ & { = \frac { 1 } { d _ { A } } \sum _ { i , j = 1 } ^ { d _ { A } } e _ { i j } \otimes \mathcal { L } ( e _ { i j } ) \in B ( H _ { A } \otimes H _ { B } ) . } \end{array}
\theta ^ { 0 } = 3 0 0 - \frac { 1 5 } { 2 } \left[ 1 + \cos ( \pi r ) \right] ~ \textrm { i f r \leq 1 } , \quad \theta ^ { 0 } = 3 0 0 ~ \textrm { o t h e r w i s e } ,
\boldsymbol { M } ( \varepsilon ; \boldsymbol { q } ) = \left( \begin{array} { c c c } { q _ { 0 } \, Y _ { \varepsilon } } & { \! \! \! q _ { 0 } \, Y _ { \varepsilon } } & { \cdots } \\ { ( 1 \! - \! q _ { 1 } ) V } & { \! \! \! 0 } & { \cdots } \\ { 0 } & { \! \! \! ( 1 \! - \! q _ { 2 } ) V } & { \ddots } \\ { \vdots } & { \! \! \! \ddots } & { \ddots } \end{array} \right)
h _ { 0 } ( t ) \approx h _ { \mathrm { i } } - \frac { 3 1 5 } { 1 6 } \frac { A _ { 1 } a + A _ { 2 } h _ { \mathrm { i } } } { 2 1 a + 1 6 h _ { \mathrm { i } } } v _ { \mathrm { e } } ^ { 0 } \, t .
{ \frac { \kappa ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } } \sum _ { \vec { n } } f ( m _ { \vec { n } } ) = { \frac { 1 } { 2 \pi M _ { S } ^ { n + 2 } } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d m _ { \vec { n } } ^ { 2 } \, m _ { \vec { n } } ^ { n - 2 } f ( m _ { \vec { n } } ^ { 2 } ) .
\begin{array} { r l } { \eta _ { I } ^ { \left[ \beta \right] } \left( \mu \right) } & { = \mathbb { E } _ { \left( \mathbf { z } , \lambda \right) \sim \mu } \left[ \delta _ { \lambda , \beta } \left( \sum _ { i \in \mathcal { N } } \pi _ { i } ^ { \left[ \beta \right] } z _ { i } - \mathbf { z } _ { I } \right) \right] } \\ & { \quad + \sum _ { \gamma \in \mathcal { L } } \sum _ { \left( R , \alpha \right) } p _ { \left( R , \alpha \right) } ^ { \circ } \left( \gamma \right) q _ { \gamma \beta } \eta _ { \widetilde { \alpha } \left( I \right) } ^ { \left[ \gamma \right] } \left( \mu \right) ; } \\ { \sum _ { i \in \mathcal { N } } \pi _ { i } ^ { \left[ \beta \right] } \eta _ { i } ^ { \left[ \beta \right] } \left( \mu \right) } & { = 0 \textrm { f o r s o m e } \beta \in \mathcal { L } . } \end{array}
\frac { \partial T } { \partial { \dot { q } } _ { r } } = \frac { \partial T ^ { * } } { \partial { \dot { q } } _ { r } } - \sum _ { \nu = 1 } ^ { k } \frac { \partial \alpha _ { \nu } } { \partial { \dot { q } } _ { r } } \frac { \partial T } { \partial { \dot { q } } _ { m + \nu } } , \; \; r = 1 , \dots , m \qquad \frac { \partial T } { \partial q _ { j } } = \frac { \partial T ^ { * } } { \partial q _ { j } } - \sum _ { \nu = 1 } ^ { k } \frac { \partial \alpha _ { \nu } } { \partial q _ { j } } \frac { \partial T } { \partial { \dot { q } } _ { m + \nu } } , \; \; j = 1 , \dots , n
\begin{array} { r l r } { I _ { \mathrm { ~ t ~ } } ( t ) } & { { } \stackrel { \mathrm { ~ E ~ q ~ . ~ ~ ~ } } { = } } & { I _ { \mathrm { ~ z ~ } _ { 0 } } \times \exp \big ( - 2 \kappa A \cos ( \omega t ) \big ) } \end{array}
\dot { \epsilon } _ { \delta \sigma } = \epsilon _ { \delta \sigma } \left[ 3 { \frac { \dot { a } } { a } } ( 1 + w ) + 2 { \frac { \dot { c } } { c } } { \frac { 1 + \epsilon _ { \delta \sigma } } { 1 + \epsilon } } + \left( { \frac { \dot { G } _ { 4 } } { G _ { 4 } } } - 4 { \frac { \dot { c } } { c } } \right) ( 1 + \epsilon _ { \delta \sigma } ) + { \frac { 3 C c \dot { c } } { 4 \pi G _ { 4 } a _ { 0 } ^ { 4 } \varrho _ { m } } } \right] .
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { 1 } { 2 } \int d ^ { 3 } r d ^ { 3 } r ^ { \prime } \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } ) \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } ) V ( \mathrm { \bf ~ r } - \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } ) \hat { \psi } ( \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } ) \hat { \psi } ( \mathrm { \bf ~ r } ) \prod _ { a = 1 } ^ { N } \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } _ { a } ) | 0 \rangle = } \\ & { } & { \frac { 1 } { 2 } \int d ^ { 3 } r d ^ { 3 } r ^ { \prime } \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } ) \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } ) V ( \mathrm { \bf ~ r } - \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } ) \left[ \sum _ { b , c = 1 , b \ne c } ^ { N } \delta ( \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } - \mathrm { \bf ~ r } _ { c } ) \delta ( \mathrm { \bf ~ r } - \mathrm { \bf ~ r } _ { b } ) \prod _ { a \ne b , c } ^ { N } \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } _ { a } ) \right] | 0 \rangle = } \\ & { } & { \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { b , c = 1 , b \ne c } ^ { N } V ( \mathrm { \bf ~ r } _ { b } - \mathrm { \bf ~ r } _ { c } ) \prod _ { a = 1 } ^ { N } \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } _ { a } ) | 0 \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { L _ { d a t a } ( \theta ) = } & { { } \mathbb { E } _ { ( t , x , y , u ) } [ \frac { | { u } ( t , x , y ; \theta ) - { u } | ^ { 2 } } { { \sigma _ { u } } ^ { 2 } } ] + } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d \, \mathrm { s n } u } { d u } } & { = \mathrm { c n } u \, \mathrm { d n } u , } \\ { \frac { d \, \mathrm { c n ~ } u } { d u } } & { = - \mathrm { s n } u \, \mathrm { d n } u , \ \ \ \mathrm { a n d } } \\ { \frac { d \, \mathrm { d n } u } { d u } } & { = - k ^ { 2 } \mathrm { s n } u \, \mathrm { c n } u , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \kappa _ { 1 } } & { { } = k _ { | | } \left( \frac { k _ { | | } \eta _ { 0 } } { \rho _ { 0 } v _ { A } } \left( 3 - 4 \alpha _ { r } \right) - \alpha _ { i } \right) , } \\ { \kappa _ { 2 } } & { { } = - \frac { k _ { | | } } { 2 } \left( \alpha _ { r } + \frac { 1 } { 1 - \beta } - \frac { k _ { | | } \eta _ { 0 } } { \rho _ { 0 } v _ { A } } 4 \alpha _ { i } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma ( J _ { i } , M _ { i } , q ) } & { = \zeta \sum _ { J _ { f } } \sum _ { M _ { f } } \sum _ { m _ { s } } \int \mathrm { d } \Omega _ { k } | \langle J _ { f } M _ { f } | \langle \psi _ { c } | \hat { D } _ { q } | J _ { i } M _ { i } \rangle | ^ { 2 } } \\ & { = \zeta \sum _ { J _ { f } } \sum _ { l } \sum _ { j _ { f } } \sum _ { J } \langle J ( M _ { i } + q ) | J _ { i } M _ { i } 1 q \rangle ^ { 2 } | \langle \left[ ( l s ) j _ { f } J _ { f } \right] J | | D | | J _ { i } \rangle | ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \sqrt { ( q ^ { 2 } - k _ { 1 } ^ { 2 } - k _ { 2 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } - 4 k _ { 1 } ^ { 2 } k _ { 2 } ^ { 2 } } = 8 \pi ^ { 2 } m ^ { 2 } n _ { 1 } n _ { 2 } = 8 n \pi ^ { 2 } m ^ { 2 } , \quad n = n _ { 1 } n _ { 2 } \in Z . } \end{array}
z ^ { A } = \left( A _ { i } ^ { a } , B _ { a } ^ { 0 i } , B _ { a } ^ { i j } , \pi _ { i j } ^ { a } , \varphi _ { a } , \pi ^ { a } , \varphi _ { a } ^ { \left( 1 \right) } , \pi ^ { ( 1 ) a } , \varphi _ { a } ^ { \left( 2 \right) } , \pi ^ { ( 2 ) a } \right) .
\begin{array} { r } { ( { \textbf E } { \textbf A } ^ { - 1 } { \textbf E } ) \mathfrak { { P } } { \textbf E } ^ { T } + { \textbf E } \mathfrak { { P } } ( { \textbf E } { \textbf A } ^ { - 1 } { \textbf E } ) ^ { T } + ( { \textbf E } { \textbf A } ^ { - 1 } ) { \textbf B } { \textbf B } ^ { T } ( { \textbf E } { \textbf A } ^ { - 1 } ) ^ { T } = \mathbf { { 0 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \int _ { \frac { 1 } { 3 } } ^ { \frac { 2 } { 3 } } \beta ( z _ { 1 } , \varepsilon z _ { 2 } ) \phi ^ { \prime } ( z _ { 2 } ) J ( T ^ { - 1 } ) ( z _ { 1 } , \varepsilon z _ { 2 } ) \textrm { d } z _ { 2 } \textrm { d } z _ { 1 } } & { { } = - \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \beta \left( z _ { 1 } , \frac { \varepsilon } { 3 } \right) J ( T ^ { - 1 } ) \left( z _ { 1 } , \frac { \varepsilon } { 3 } \right) \textrm { d } z _ { 1 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } & { { \bf X } _ { 1 } ( \tilde { \Lambda } _ { ~ b } ^ { a } ) [ \tilde { \Lambda } ^ { - 1 } ] _ { ~ c } ^ { b } + f _ { 1 } ^ { ~ \hat { 1 } } [ \tilde { \Lambda } _ { ~ b } ^ { a } \lambda _ { \hat { 1 } ~ d } ^ { b } [ \tilde { \Lambda } ^ { - 1 } ] _ { ~ c } ^ { d } - \lambda _ { \hat { 1 } ~ c } ^ { a } ] = 0 } \\ & { { \bf X } _ { 2 } ( \tilde { \Lambda } _ { ~ b } ^ { a } ) [ \tilde { \Lambda } ^ { - 1 } ] _ { ~ c } ^ { b } + f _ { 2 } ^ { ~ \hat { 1 } } [ \tilde { \Lambda } _ { ~ b } ^ { a } \lambda _ { \hat { 1 } ~ d } ^ { b } [ \tilde { \Lambda } ^ { - 1 } ] _ { ~ c } ^ { d } - \lambda _ { \hat { 1 } ~ c } ^ { a } ] = 0 } \\ & { { \bf X } _ { 3 } ( \tilde { \Lambda } _ { ~ b } ^ { a } ) [ \tilde { \Lambda } ^ { - 1 } ] _ { ~ c } ^ { b } = 0 . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { \rho } \nabla p \approx \frac { 1 } { \rho _ { 0 } } \nabla p + \left( \frac { 1 } { \rho } - \frac { 1 } { \rho _ { 0 } } \right) \nabla p ^ { * } , \qquad \frac { \mu } { \rho } \nabla ^ { 2 } \textbf { u } \approx \nu _ { m } \nabla ^ { 2 } \textbf { u } - \left( \frac { \mu } { \rho } - \nu _ { m } \right) \nabla \times \nabla \times \textbf { u } ^ { * } , } \end{array}
- { \frac { \partial ^ { 2 } \zeta } { \partial { t ^ { 2 } } } } + \nabla \cdot \left( c _ { p } \, c _ { g } \, \nabla \zeta \right) + \left( k ^ { 2 } \, c _ { p } \, c _ { g } \, - \, \omega _ { 0 } ^ { 2 } \right) \, \zeta = 0 ,
F ( x _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ) - F ( x _ { i - \frac { 1 } { 2 } } ) = ( N - 1 ) \int _ { x _ { i - \frac { 1 } { 2 } } } ^ { x _ { i + \frac { 1 } { 2 } } } \psi ( s ) \, d s \, = 1 \, ,
\begin{array} { r l } { \sum _ { t = 1 } ^ { T } \sum _ { i = 1 } ^ { d } \frac { \xi _ { t , i } ^ { 2 } } { b _ { t , i } } } & { \le \sum _ { i = 1 } ^ { d } \frac { 8 \sigma _ { i } ^ { 2 } \log \frac { 1 } { \delta } } { b _ { 0 , i } } + 4 \sqrt { \sigma _ { i } ^ { 2 } T + \sigma _ { i } ^ { 2 } \log \frac { 1 } { \delta } } } \\ & { = O \left( \left\Vert \frac { \sigma ^ { 2 } } { b _ { 0 } } \right\Vert _ { 1 } \log \frac { 1 } { \delta } + \left\Vert \sigma \right\Vert _ { 1 } \left( \sqrt { \log \frac { 1 } { \delta } } + \sqrt { T } \right) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { i \Pi _ { 1 } ^ { \mu \nu } } & { = } & { - \frac { e ^ { 2 } g _ { \mu \nu } } { 4 \pi ^ { 2 } } \frac { p ^ { 4 } } { M _ { f } ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \biggl [ \frac { 2 } { \epsilon } - l o g \bigl ( \frac { \Delta ( p ^ { 2 } ) } { \mu ^ { 2 } } \bigr ) \biggr ] \biggl [ \frac { 1 } { 2 } x - 6 x ^ { 2 } + 9 x ^ { 3 } - \frac { 7 } { 2 } x ^ { 4 } \biggr ] , } \\ { i \Pi _ { 2 } ^ { \mu \nu } } & { = } & { \frac { 7 e ^ { 2 } g _ { \mu \nu } } { 3 2 \pi ^ { 2 } } \frac { p ^ { 4 } } { M _ { f } ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \biggl [ \frac { 2 } { \epsilon } - l o g \bigl ( \frac { \Delta ( p ^ { 2 } ) } { \mu ^ { 2 } } \bigr ) \biggr ] [ x ^ { 2 } ( x - 1 ) ^ { 2 } ] , } \\ { i \Pi _ { 3 } ^ { \mu \nu } } & { = } & { - \frac { e ^ { 2 } g _ { \mu \nu } } { 4 \pi ^ { 2 } } \frac { p ^ { 4 } } { M _ { f } ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \biggl [ \frac { 2 } { \epsilon } - l o g \bigl ( \frac { \Delta ( p ^ { 2 } ) } { \mu ^ { 2 } } \bigr ) \biggr ] \biggl [ \frac { 1 } { 2 } x - 6 x ^ { 2 } + 9 x ^ { 3 } - \frac { 7 } { 2 } x ^ { 4 } \biggr ] , } \\ { i \Pi _ { 4 } ^ { \mu \nu } } & { = } & { - \frac { 7 e ^ { 2 } g _ { \mu \nu } } { 8 \pi ^ { 2 } } \frac { p ^ { 4 } } { M _ { f } ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \biggl [ \frac { 2 } { \epsilon } - l o g \bigl ( \frac { \Delta ( p ^ { 2 } ) } { \mu ^ { 2 } } \bigr ) \biggr ] [ x ^ { 2 } ( x - 1 ) ^ { 2 } ] . } \end{array}
\begin{array} { r } { { S _ { \alpha \beta } ^ { t h } } = \frac { 4 e ^ { 2 } } { h } \int d E f ( E ) [ 1 - f ( E ) ] [ 2 N _ { \alpha } \delta _ { \alpha \beta } - T r ( s _ { \alpha \beta } ^ { \dagger } s _ { \alpha \beta } } \\ { - s _ { \beta \alpha } ^ { \dagger } s _ { \beta \alpha } ) ] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \pi ( \phi _ { 2 } ) = \exp \left[ \int \frac { F ( \phi _ { 2 } ) - \partial _ { \phi _ { 2 } } D ( \phi _ { 2 } ) } { D ( \phi _ { 2 } ) } d \phi _ { 2 } \right] . } \end{array}
\frac { \Gamma _ { 1 2 } ( 3 ) } { \Gamma _ { 1 2 } ( 2 ) } \approx \frac { A _ { x } ( 3 ) } { A _ { x } ( 2 ) } \approx \frac { 3 \alpha _ { s } f _ { B } ^ { 2 } } { 1 6 m _ { \pi } m _ { x } }
\begin{array} { r l } { \langle R _ { G } ^ { 2 } \rangle } & { { } = \frac { l _ { k } ^ { 2 } } { 2 N ( N + 1 ) } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } | i - j | } \end{array}
\begin{array} { r } { { \bf k } _ { S } ^ { \left( \mathrm { e } \right) } \left( \theta \right) = \gamma _ { S } ^ { \left( \mathrm { e } \right) } \left( \theta \right) \left( { \bf I } _ { n ^ { \left( \mathrm { e } \right) } d } - { \bf S } ^ { \left( \mathrm { e } \right) } \right) ^ { \mathrm { T } } \left( { \bf I } _ { n ^ { \left( \mathrm { e } \right) } d } - { \bf S } ^ { \left( \mathrm { e } \right) } \right) \in \mathbb { R } ^ { n ^ { \left( \mathrm { e } \right) } d \times n ^ { \left( \mathrm { e } \right) } d } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left( \mathbb { E } \operatorname* { s u p } _ { t \in T } \left\Vert \mathcal { X } _ { t } - \mathcal { X } _ { t _ { 0 } } \right\Vert _ { \alpha } ^ { p } \right) ^ { 1 / p } } & { \leq } & { \left( \mathbb { E } \operatorname* { s u p } _ { t \in T } \left\Vert \mathcal { X } _ { t } - \mathcal { X } _ { \varpi _ { n ^ { \prime } } ( t ) } \right\Vert _ { \alpha } ^ { p } \right) ^ { 1 / p } + \left( \mathbb { E } \operatorname* { s u p } _ { t \in T } \left\Vert \mathcal { X } _ { \varpi _ { n ^ { \prime } } ( t ) } - \mathcal { X } _ { t _ { 0 } } \right\Vert _ { \alpha } ^ { p } \right) ^ { 1 / p } . } \end{array}
\chi _ { \epsilon _ { \nu } } = \frac { \sqrt { \frac { P r } { R a } } \; \overline { { \left\langle ( \nabla \times u ) ^ { 2 } \right\rangle } } } { \frac { 3 } { 1 + \Gamma + \Gamma ^ { 2 } } \frac { 1 } { \sqrt { R a P r } } ( N u - 1 ) } .