harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
A = \int \! d ^ { 2 } \xi \sqrt { g ( \xi ) } = \frac { 1 } { 2 } \sqrt { g } = \frac { 1 } { 2 } \sqrt { x _ { 1 } x _ { 2 } - \frac { 1 } { 4 } ( x _ { 1 } + x _ { 2 } - x _ { 3 } ) ^ { 2 } } .
S _ { f } = \int d ^ { 4 } x \, e \, \overline { { \mathcal { L } } } _ { f } \quad , \quad \overline { { \mathcal { L } } } _ { f } = \psi _ { f } ^ { \dagger } \left( - \frac { 1 } { 2 m _ { 0 } } D ^ { \mu } D _ { \mu } + i e _ { \alpha } ^ { \mu } \sigma ^ { \alpha } D _ { \mu } \right) \psi _ { f } \; .
\sum _ { m > 0 \atop m { \mathrm { ~ o d d } } } { \frac { X ^ { m } } { m ! } } \left[ 2 \zeta ^ { \prime } ( - m ) + \zeta ( - m ) \left( { \frac { 1 } { 1 } } + { \frac { 1 } { 2 } } + \cdots + { \frac { 1 } { m } } \right) \right] .
\begin{array} { r l } { \mathcal { V } ^ { s } ( 1 2 ) } & { { } = - \frac { 1 } { m _ { i } } \frac { \partial } { \partial ( \boldsymbol { r } _ { 1 } - \boldsymbol { r } _ { 2 } ) } \left( \frac { Z ^ { 2 } e ^ { 2 } } { | \boldsymbol { r } _ { 1 } - \boldsymbol { r } _ { 2 } | } \, \mathrm { e } ^ { - k _ { e } | \boldsymbol { r } _ { 1 } - \boldsymbol { r } _ { 2 } } | \right) \boldsymbol { \cdot } \left( \frac { \partial } { \partial \boldsymbol { v } _ { 1 } } - \frac { \partial } { \partial \boldsymbol { v } _ { 2 } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { i j } ( \vec { x } , z , \omega ) } & { { } = \left\langle E _ { i } ( \vec { x } , z , \omega ) E _ { j } ^ { * } ( \vec { x } , z , \omega ) \right\rangle , ~ i , j \in \{ X , Y \} } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l r l } { { 3 } K _ { x } } & { = { \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] } \, , \quad } & { K _ { y } } & { = { \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] } \, , \quad } & { K _ { z } } & { = { \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] } } \\ { J _ { x } } & { = { \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right] } \, , \quad } & { J _ { y } } & { = { \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] } \, , \quad } & { J _ { z } } & { = { \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] } } \end{array} }
\frac { \sigma _ { b } ^ { 2 } } { \bar { b } ^ { 2 } } \ge \frac { \alpha / k } { \beta ( 2 - \beta ) } \left\{ \begin{array} { l l } { ( 1 - \beta ) [ \beta + ( 1 - 2 \beta ) \ln 2 ] } & { \beta \le 1 / 2 } \\ { c ( 2 \beta ^ { 2 } - 4 \beta + 1 ) \ln ( 1 - \beta ) } & { \beta > 1 / 2 , } \end{array} \right.
e \; \frac { m _ { l } } { 8 \pi ^ { 2 } v ^ { 2 } } \frac { m m ^ { \dagger } + m ^ { c } m ^ { c \; \dagger } } { M _ { \ast } ^ { 2 } } \frac { M _ { P l } ^ { 2 } } { M _ { \ast } ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { - \omega ^ { 2 } \mathbf { M } _ { \mathrm { O O } } \hat { \mathbf { X } } _ { \mathrm { O } } + \mathbf { K } _ { \mathrm { O O } } \hat { \mathbf { X } } _ { \mathrm { O } } + \mathbf { K } _ { \mathrm { O I } } \hat { \mathbf { X } } _ { \mathrm { I } } } & { = \hat { \mathbf { F } } _ { \mathrm { O } } \, , } \\ { - \omega ^ { 2 } \mathbf { M } _ { \mathrm { I I } } \hat { \mathbf { X } } _ { \mathrm { I } } + \mathbf { K } _ { \mathrm { I O } } \hat { \mathbf { X } } _ { \mathrm { O } } + \mathbf { K } _ { \mathrm { I I } } \hat { \mathbf { X } } _ { \mathrm { I } } } & { = \hat { \mathbf { F } } _ { \mathrm { I } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathsf { A } _ { \mathrm { D } } ^ { \mathrm { L } } \left( \upzeta _ { \alpha } \right) } & { \, \, \longrightarrow \, \, \mathsf { A } _ { \mathrm { D } } ^ { \mathrm { A d S } _ { 3 } } \left( \uppsi _ { \alpha } \right) , } \\ { \mathsf { A } _ { \mathrm { A } } ^ { \mathrm { L } } \left( \upzeta _ { \alpha } , \upzeta _ { \beta } \right) } & { \, \, \longrightarrow \, \, \mathsf { A } _ { \mathrm { A } } ^ { \mathrm { A d S } _ { 3 } } \left( \uppsi _ { \alpha } , \uppsi _ { \beta } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \ln \left( \frac { f _ { b i M } } { f _ { M } } \right) } & { { } = } & { \ln \left( \frac { { \cal T } ^ { 3 / 2 } } { T _ { \perp } T _ { \parallel } ^ { 1 / 2 } } \right) - \frac { m ( v _ { x } ^ { \prime 2 } + v _ { y } ^ { \prime 2 } ) } { 2 k _ { B } } \left[ \frac { T _ { \parallel } - T _ { \perp } } { T _ { \perp } ( 2 T _ { \perp } + T _ { \parallel } ) } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { w _ { 4 } } & { = } & { m _ { 5 } W _ { 5 4 } + m _ { 6 } W _ { 6 4 } , } \\ { w _ { 5 } } & { = } & { m _ { 1 } W _ { 1 5 } + m _ { 4 } W _ { 4 5 } + m _ { 6 } W _ { 6 5 } , } \\ { w _ { 1 } } & { = } & { m _ { 5 } W _ { 5 1 } , } \\ { w _ { 1 } } & { = } & { w _ { 5 } , } \\ { w _ { 4 } } & { = } & { w _ { 5 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { M } } & { { = g \sum _ { i } \left( { \frac { Q _ { i } } { p _ { i } \cdot q } } - { \frac { Q _ { j } } { p _ { j } \cdot q } } \right) \, \delta _ { i } p _ { i } \cdot \epsilon ^ { * } \, \sum _ { k } \left( { \frac { Q _ { k } } { p _ { k } \cdot q } } - { \frac { Q _ { l } } { p _ { l } \cdot q } } \right) \, \delta _ { k } p _ { k } \cdot \epsilon ^ { * } } } \\ { { } } & { { - { \frac { 1 } { 2 } } g ( \epsilon ^ { * } ) ^ { 2 } \sum _ { i } \left( { \frac { Q _ { i } } { p _ { i } \cdot q } } - { \frac { Q _ { j } } { p _ { j } \cdot q } } \right) \, \delta _ { i } Q _ { i } } } \end{array}
x _ { p } = { \frac { M \Gamma ^ { 2 } } { 2 } } \Delta t ^ { 2 } \sum _ { n = 1 } ^ { p } \sum _ { m = 1 } ^ { p } \mathrm { e } ^ { - w _ { o f f } \, \Delta t | n - m | - x _ { n - m } } \; \; \; \; \mathrm { f o r } \; p \ge 1
{ \frac { \pi } { 4 } } = 1 \, - \, { \frac { 1 } { 3 } } \, + \, { \frac { 1 } { 5 } } \, - \, { \frac { 1 } { 7 } } \, + \, { \frac { 1 } { 9 } } \, - \, \cdots ,
\begin{array} { r l } { \int _ { a } ^ { \infty } f ( x ) g ( x ) d x } & { = \int _ { a } ^ { \infty } f ( x ) d \tilde { G } ( x ) } \\ & { = f ( x ) \tilde { G } ( x ) | _ { a } ^ { \infty } - \int _ { a } ^ { \infty } \tilde { G } ( x ) f _ { + } ^ { \prime } ( x ) d x } \\ & { = - \int _ { a } ^ { \infty } \tilde { G } ( x ) f _ { + } ^ { \prime } ( x ) d x } \\ & { = - G ( x ) f _ { + } ^ { \prime } ( x ) | _ { a } ^ { \infty } + \int _ { a } ^ { \infty } G ( x ) d f _ { + } ^ { \prime } ( x ) } \\ & { = \int _ { a } ^ { \infty } G ( x ) d f _ { + } ^ { \prime } ( x ) } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l } { \omega _ { \mathrm { d } } = \gamma \mu _ { \mathrm { 0 } } H _ { \mathrm { d i p } } , } \\ { \omega _ { \mathrm { 0 } } = \gamma \mu _ { \mathrm { 0 } } \left( H _ { \mathrm { 0 } } + H _ { \mathrm { f b } } \right) - \omega _ { \mathrm { d } } \left( 1 - 3 \sin ^ { 2 } { \phi } \right) , } \\ { \omega _ { \mathrm { m } } = \gamma \mu _ { \mathrm { 0 } } \left( H _ { \mathrm { 0 } } + J _ { \mathrm { 0 } } M _ { \mathrm { S } } \tilde { k } ^ { 2 } \right) - \omega _ { \mathrm { d } } \left( 1 - 3 \sin ^ { 2 } { \phi } \right) , } \end{array} \right.
\sigma _ { 1 } ( d ^ { \nabla } ( \cdot ) \otimes F ) = i \frac { 2 \mathbf { Q } _ { 0 } } { r ^ { 2 } } \left( \begin{array} { l l l l l l l } { \alpha \xi } & { - \alpha ^ { - 1 } \sigma } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & \\ { 0 } & { \alpha \xi } & { 0 } & { - \alpha ^ { - 1 } \sigma } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \alpha \xi } & { 0 } & { - \alpha ^ { - 1 } \sigma } & { 0 } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l r } { \langle F \rangle } & { = } & { { \frac { \int e ^ { i S [ A ] } \, F \, { \cal D } ^ { \, 4 } \! A } { \int e ^ { i S [ A ] } \, { \cal D } ^ { \, 4 } \! A } } } \\ & { = } & { { \frac { \int e ^ { i S [ A ] } \, F \, \Delta ( A ) \, \delta [ W ( A ^ { g } ) ] \, { \cal D } ^ { \, 4 } \! A \, { \cal D } g } { \int e ^ { i S [ A ] } \, \Delta ( A ) \, \delta [ W ( A ^ { g } ) ] \, { \cal D } ^ { \, 4 } \! A \, { \cal D } g } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad _ { j , i + 1 , 6 } + _ { i , j , 1 0 } } \\ & { = - \hbar ^ { 2 } \sum _ { w \in \mathbb { Z } } \sum _ { v = n + 1 } ^ { b } \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } \sum _ { u = 1 } ^ { j } \delta _ { j , i + 1 } e _ { v , u } t ^ { w - s } e _ { u , j } t ^ { s } \otimes e _ { i + 1 , v } t ^ { - w } } \\ & { \quad + \hbar ^ { 2 } \sum _ { w \in \mathbb { Z } } \sum _ { v = n + 1 } ^ { b } \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } \displaystyle \sum _ { u = 1 } ^ { i } \delta _ { i + 1 , j } e _ { v , u } t ^ { w - s } e _ { u , i + 1 } t ^ { s } \otimes e _ { j , v } t ^ { - w } } \\ & { = - \hbar ^ { 2 } \sum _ { w \in \mathbb { Z } } \sum _ { v = n + 1 } ^ { b } \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } \delta _ { j , i + 1 } e _ { v , j } t ^ { w - s } e _ { j , j } t ^ { s } \otimes e _ { i + 1 , v } t ^ { - w } } \end{array}
\delta \langle Q \rangle _ { i } = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { m i n } \left( | \delta \langle Q \rangle _ { i } | , 2 | \langle Q \rangle _ { i + 1 } - \langle Q \rangle _ { i } | , 2 | \langle Q \rangle _ { i } - \langle Q \rangle _ { i - 1 } | \right) \quad \mathrm { i f ~ } \left( \langle Q \rangle _ { i + 1 } - \langle Q \rangle _ { i } \right) \left( \langle Q \rangle _ { i } - \langle Q \rangle _ { i - 1 } \right) > 0 } \\ { 0 \quad \mathrm { o t h e r w i s e ~ } } \end{array} \right. \, .
f ( x _ { 1 } , . . . x _ { N } ) = f ( x _ { 1 } ^ { T } , . . . , x _ { N } ^ { T } ) + \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left( \frac { \partial f ( x _ { 1 } , . . . , x _ { N } ) } { \partial x _ { i } } \right) _ { ( x _ { 1 } ^ { T } , . . . , x _ { N } ^ { T } ) } ( x _ { 1 } - x _ { 1 } ^ { T } , . . . , x _ { N } - x _ { N } ^ { T } ) + . . . .
{ \frac { 1 } { \Gamma ( \tau \rightarrow \rho ^ { - } \nu _ { \tau } ) } } { \frac { d \Gamma ( \tau \rightarrow \rho ^ { 0 } \pi ^ { - } \nu _ { \tau } ) } { d x } } = \left( { \frac { m _ { \pi } } { f _ { \pi } } } \right) ^ { 2 } { \frac { \sqrt { x ^ { 2 } - 1 } } { 4 \pi ^ { 2 } } } .
\left\{ \begin{array} { l l } { x = c _ { 1 } c _ { 2 } \ldots p \ldots p ^ { \prime } \ldots x _ { n } } \\ { y = c _ { 1 } c _ { 2 } \ldots q \ldots q ^ { \prime } \ldots y _ { n } } \\ { z = z _ { 1 } z _ { 2 } \ldots z _ { i } \ldots z _ { j } \ldots z _ { n } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \Omega _ { e } ( k _ { \perp } ^ { o } \rho _ { e } ) ^ { 2 } \bar { \varphi } ^ { o } \sim \omega _ { \parallel } ^ { o } \sim \omega _ { * e } \quad \Rightarrow \quad \bar { \varphi } ^ { o } \sim ( k _ { \perp } ^ { o } L _ { T } ) ^ { - 1 } , \quad k _ { y } ^ { o } \rho _ { e } \sim ( k _ { \parallel } ^ { o } ) ^ { 2 } L _ { T } \lambda _ { e i } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { P r } \left( G = g \right) = } & { \binom { M } { g } F _ { Y } ( \gamma _ { s } ) ^ { g } \left( 1 - F _ { Y } ( \gamma _ { s } ) \right) ^ { M - g } } \\ { = } & { \binom { M } { g } \left( 1 - e ^ { - \frac { \gamma _ { s } } { \tilde { \Omega } _ { m } } } \right) ^ { g } \left( e ^ { - \frac { \gamma _ { s } } { \tilde { \Omega } _ { m } } } \right) ^ { M - g } . } \end{array}
\begin{array} { r } { 1 \leq \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac { K ( B _ { \ell _ { \infty } ^ { n } } ) } { \sqrt { \frac { \log n } { n } } } \leq \operatorname* { l i m i n f } _ { n \to \infty } \frac { K ( B _ { X _ { n } } ) } { \sqrt { \frac { \log n } { n } } } \leq \operatorname* { l i m s u p } _ { n \to \infty } \frac { K ( B _ { X _ { n } } ) } { \sqrt { \frac { \log n } { n } } } \, , } \end{array}
\mathrm { R } ( s ) = \mathrm { P _ { c } } + \cos \left( { \frac { \mathrm { s } } { \mathrm { r } } } \right) ( P _ { 0 } - P _ { c } ) + \sin \left( { \frac { \mathrm { s } } { \mathrm { r } } } \right) \left[ { \widehat { n } } \times ( P _ { 0 } - P _ { c } ) \right] .
\begin{array} { r l } { \langle ( N L ) J ( s ~ s _ { 3 } ) S ; } & { { } \mathcal { J } \mathcal { M } | P _ { \ell } ( \cos \theta ) \hat { s } _ { 2 } \cdot \hat { s } _ { 3 } | ( N ^ { \prime } L ^ { \prime } ) J ^ { \prime } ( s ^ { \prime } ~ s _ { 3 } ) S ^ { \prime } ; \mathcal { J } \mathcal { M } \rangle = } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { P r } \left( \! \! ( 1 + \eta ) P _ { X } ^ { n } ( x ^ { n } ) \sum _ { m = 1 } ^ { 2 ^ { n R } } E _ { M | X ^ { n } } ( m | x ^ { n } ) \! \leq \! ( 1 + \eta ) \mathbb { E } { [ Z ( x ^ { n } ) ] } \right) \! \! \geq 1 \! \! - \! 2 \exp { \! \! - \frac { \eta ^ { 2 } 2 ^ { n ( R - I ( X ; \hat { X } ) - 4 \delta _ { 1 } ) } } { 4 } \! \! } . } \end{array}
d _ { \mu \nu } ( k ) \; = \; g _ { \mu \nu } \; - \; \frac { k _ { \mu } \eta _ { \nu } + k _ { \nu } \eta _ { \mu } } { k \cdot \eta } \; \; \; \; , \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; d _ { \mu \mu } ( k ) \; = \; 2
\begin{array} { r l r } { y _ { n } ( \tau ) } & { \sim } & { - \frac { ( \prod _ { j = 2 } ^ { n } \alpha _ { j } ) } { 2 \pi i } \int _ { \gamma - i \infty } ^ { \gamma + i \infty } \frac { e ^ { s \tau } } { s ^ { 2 n + 1 } } d s } \\ & { = } & { - \frac { ( \prod _ { j = 2 } ^ { n } \alpha _ { j } ) } { 2 \pi i } \oint \frac { 1 + ( s \tau ) + \cdots \frac { ( s \tau ) ^ { 2 n } } { ( 2 n ) ! } + \cdots } { s ^ { 2 n + 1 } } d s } \end{array}
\begin{array} { r l } & { a s _ { \mathcal { A } } ( x , y , z ) + ( - 1 ) ^ { | x | | y | } a s _ { \mathcal { A } } ( y , x , z ) } \\ { = } & { ( x \bullet y ) \bullet \alpha ( z ) - \alpha ( x ) \bullet ( y \bullet z ) } \\ & { + ( - 1 ) ^ { | x | | y | } ( y \circ x ) \circ \alpha ( z ) - ( - 1 ) ^ { | x | | y | } \alpha ( y ) \bullet ( x \bullet z ) } \\ { = } & { ( x \bullet y ) \prec \alpha ( z ) + ( x \bullet y ) \succ \alpha ( z ) } \\ & { + ( x \bullet y ) \cdot \alpha ( z ) - \alpha ( x ) \prec ( y \bullet z ) } \\ & { - \alpha ( x ) \succ ( y \bullet z ) - \alpha ( x ) \cdot ( y \bullet z ) } \\ & { + ( - 1 ) ^ { | x | | y | } ( y \bullet x ) \prec \alpha ( z ) + ( - 1 ) ^ { | x | | y | } ( y \bullet x ) \succ \alpha ( z ) } \\ & { + ( - 1 ) ^ { | x | | y | } ( y \bullet x ) \cdot \alpha ( z ) - ( - 1 ) ^ { | x | | y | } \alpha ( y ) \prec ( x \bullet z ) } \\ & { - ( - 1 ) ^ { | x | | y | } \alpha ( y ) \succ ( x \bullet z ) - ( - 1 ) ^ { | x | | y | } \alpha ( y ) \cdot ( x \bullet z ) } \\ { = } & { ( x \prec y ) \prec \alpha ( z ) + ( x \succ y ) \prec \alpha ( z ) } \\ & { + ( x \cdot y ) \prec \alpha ( z ) + ( x \bullet y ) \succ \alpha ( z ) } \\ & { + ( x \prec y ) \cdot \alpha ( z ) + ( x \succ y ) \cdot \alpha ( z ) } \\ & { + ( x \cdot y ) \cdot \alpha ( z ) - \alpha ( x ) \prec ( y \bullet z ) } \\ & { - \alpha ( x ) \succ ( y \prec z ) - \alpha ( x ) \succ ( y \succ z ) } \\ & { - \alpha ( x ) \succ ( y \cdot z ) - \alpha ( x ) \cdot ( y \prec z ) } \\ & { - \alpha ( x ) \cdot ( y \succ z ) - \alpha ( x ) \cdot ( y \cdot z ) } \\ & { + ( - 1 ) ^ { | x | | y | } ( y \prec x ) \prec \alpha ( z ) + ( - 1 ) ^ { | x | | y | } ( y \succ x ) \prec \alpha ( z ) } \\ & { + ( - 1 ) ^ { | x | | y | } ( y \cdot x ) \prec \alpha ( z ) + ( - 1 ) ^ { | x | | y | } ( y \bullet x ) \succ \alpha ( z ) } \\ & { + ( - 1 ) ^ { | x | | y | } ( y \prec x ) \cdot \alpha ( z ) + ( - 1 ) ^ { | x | | y | } ( y \succ x ) \cdot \alpha ( z ) } \\ & { + ( - 1 ) ^ { | x | | y | } ( y \cdot x ) \cdot \alpha ( z ) - ( - 1 ) ^ { | x | | y | } \alpha ( y ) \prec ( x \bullet z ) } \\ & { - ( - 1 ) ^ { | x | | y | } \alpha ( y ) \succ ( x \prec z ) - ( - 1 ) ^ { | x | | y | } \alpha ( y ) \succ ( x \succ z ) } \\ & { - ( - 1 ) ^ { | x | | y | } \alpha ( y ) \succ ( x \cdot z ) - ( - 1 ) ^ { | x | | y | } \alpha ( y ) \cdot ( x \prec z ) } \\ & { - ( - 1 ) ^ { | x | | y | } \alpha ( y ) \cdot ( x \succ z ) - ( - 1 ) ^ { | x | | y | } \alpha ( y ) \cdot ( x \cdot z ) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Big | \Psi ^ { \varepsilon } - v - \theta ( v ) u \Big | \leq \Big | \Psi ^ { \varepsilon } - v - \frac { \theta ( v ) } { B ^ { \varepsilon } ( v ) } u \Big | + \Big | \Big ( \frac { 1 } { B ^ { \varepsilon } ( v ) } - 1 \Big ) \theta ( v ) u \Big | \leq C ( u ^ { 2 } + | u | \varepsilon ) \lesssim \varepsilon ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mu _ { k , k } ^ { + } ( \alpha ) } & { = } & { \frac { \lambda _ { k } { \binom { k } { k } } } { 1 - \alpha } , } \\ { \mu _ { k , k + 1 } ^ { + } ( \alpha ) } & { = } & { \frac { \lambda _ { k + 1 } { \binom { k + 1 } { k } } } { 1 - \alpha } + \frac { \lambda _ { k } { \binom { k } { k } } } { ( 1 - \alpha ) ^ { 2 } } } \\ & { \vdots } & \\ { \mu _ { k , N - 1 } ^ { + } ( \alpha ) } & { = } & { \sum _ { j = k } ^ { N - 1 } \frac { \lambda _ { j } { \binom { j } { k } } } { ( 1 - \alpha ) ^ { N - j } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { u _ { r , 2 } = } & { \frac { ( \lambda + \mu ) k _ { p } ^ { 2 } + \mu \beta ^ { 2 } \eta + \mu \alpha ^ { 2 } \beta } { 2 \mu \alpha ^ { 2 } \beta } u _ { 1 } } \\ & { + \frac { - ( \lambda + \mu ) k _ { p } ^ { 2 } - \mu \beta ^ { 2 } \eta + \mu \alpha ^ { 2 } \beta } { 2 \mu \alpha ^ { 2 } \beta } u _ { 2 } + \frac { ( \mu + \lambda ) k _ { p } ^ { 2 } + \mu \beta ^ { 2 } } { \mu \alpha \eta } u _ { 3 } . } \end{array}
\psi _ { 1 a } ( x ^ { \mu } ) = \left( \begin{array} { l } { { \nu _ { e } } } \\ { { e ^ { - } } } \\ { { u } } \\ { { d } } \end{array} \right) ~ , ~ ~ \psi _ { 2 a } ( x ^ { \mu } ) = \left( \begin{array} { l } { { \nu _ { \mu } } } \\ { { \mu ^ { - } } } \\ { { c } } \\ { { s } } \end{array} \right) \, ,
\Bigr [ ( Q _ { m } { \varepsilon } _ { l n } Q _ { l } ^ { * } Q _ { n } ^ { * } ) , ( Q _ { m } { \varepsilon } _ { l n } Q _ { l } ^ { * } Q _ { n } ^ { * } Q _ { a } Q _ { a } ^ { * } ) , ( Q _ { a } Q _ { a } ^ { * } Q _ { b } Q _ { b } ^ { * } Q _ { m } ^ { * } ) \Bigl ]
\begin{array} { r l } & { \partial _ { \tau } \mathbf { c } _ { 1 } + \mathrm { P e } u ( \mathbf { y } , \tau ) \partial _ { x } \mathbf { c } _ { 0 } = \mathbf { D } ( \mathbf { c } _ { 0 } ) \Delta _ { \mathbf { y } } \mathbf { c } _ { 1 } , } \\ & { \mathbf { D } = \left[ \begin{array} { l l l } { \kappa _ { 1 } } & { \hdots } & { 0 } \\ & { \hdots } & \\ { 0 } & { \hdots } & { \kappa _ { n - 1 } } \end{array} \right] - \left[ \begin{array} { l } { \kappa _ { 1 } z _ { 1 } c _ { 1 , 0 } } \\ { \hdots } \\ { \kappa _ { n - 1 } z _ { n - 1 } c _ { n - 1 , 0 } } \end{array} \right] \frac { \left[ \begin{array} { l } { ( \kappa _ { 1 } - \kappa _ { n } ) z _ { 1 } , \hdots , ( \kappa _ { n - 1 } - \kappa _ { n } ) z _ { n - 1 } } \end{array} \right] } { \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } ( z _ { i } \kappa _ { i } - z _ { n } \kappa _ { n } ) z _ { i } c _ { i , 0 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { j i } ^ { \mathsf { u } } } & { = \rho _ { j } ^ { \mathsf { m a x } } \frac { { A } _ { j i } ^ { t } } { \tilde { A } _ { j } ^ { t } K _ { \mathrm { e } } + \sum _ { k \in \mathcal { K } _ { j } ^ { \mathrm { u } } } { A } _ { j k } ^ { t } } \ , ~ i \in \mathcal { K } _ { j } ^ { \mathrm { u } } } \\ { \rho _ { j k } ^ { \mathsf { e } } } & { = \rho _ { j } ^ { \mathsf { m a x } } \frac { \tilde { A } _ { j } ^ { t } } { \tilde { A } _ { j } ^ { t } K _ { \mathrm { e } } + \sum _ { i \in \mathcal { K } _ { j } ^ { \mathrm { u } } } { A } _ { j i } ^ { t } } \ , ~ k \in \mathcal { K } _ { j } ^ { \mathrm { e } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { F _ { L } ( x , Q ^ { 2 } ) } & { { } = } & { \left( 1 + \frac { 4 M ^ { 2 } x ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } } \right) F _ { 2 } ( x , Q ^ { 2 } ) - 2 x F _ { 1 } ( x , Q ^ { 2 } ) } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l l } { \mathrm { d } X _ { t } } & { = } & { - \left( I - 2 V _ { t } V _ { t } ^ { T } \right) \nabla U ( X _ { t } ) \mathrm { d } t + \sqrt { 2 \varepsilon } \mathrm { d } B _ { t } , } \\ { \mathrm { d } V _ { t } } & { = } & { ( I - V _ { t } V _ { t } ^ { T } ) \left[ - \frac { 1 } \eta \nabla ^ { 2 } U ( X _ { t } ) V _ { t } \mathrm { d } t + \sqrt { 2 \varepsilon ^ { \prime } } \mathrm { d } B _ { t } ^ { \prime } \right] - d \varepsilon ^ { \prime } \mathrm { d } t , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \rVert \hat { w } \rVert _ { s } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } } & { \le _ { \mathtt { p e } , s } \gamma ^ { - 1 } \left( \rVert g _ { 3 } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } + \varepsilon ^ { 7 } \gamma ^ { - 4 } \rVert \mathfrak { I } _ { 0 } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } \rVert g _ { 3 } \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } \right) } \\ & { \ + \gamma ^ { - 1 } \left( \rVert K _ { 1 1 } [ \hat { \eta } ] \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } + \varepsilon ^ { 7 } \gamma ^ { - 4 } \rVert \mathfrak { I } _ { 0 } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } \rVert K _ { 1 1 } [ \hat { \eta } ] \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } \right) , } \end{array}
{ \begin{array} { l l l } { \Delta _ { 1 } ( k _ { \lambda } ) = k _ { \lambda } \otimes k _ { \lambda } } & { \Delta _ { 1 } ( e _ { i } ) = 1 \otimes e _ { i } + e _ { i } \otimes k _ { i } } & { \Delta _ { 1 } ( f _ { i } ) = k _ { i } ^ { - 1 } \otimes f _ { i } + f _ { i } \otimes 1 } \\ { \Delta _ { 2 } ( k _ { \lambda } ) = k _ { \lambda } \otimes k _ { \lambda } } & { \Delta _ { 2 } ( e _ { i } ) = k _ { i } ^ { - 1 } \otimes e _ { i } + e _ { i } \otimes 1 } & { \Delta _ { 2 } ( f _ { i } ) = 1 \otimes f _ { i } + f _ { i } \otimes k _ { i } } \\ { \Delta _ { 3 } ( k _ { \lambda } ) = k _ { \lambda } \otimes k _ { \lambda } } & { \Delta _ { 3 } ( e _ { i } ) = k _ { i } ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } } \otimes e _ { i } + e _ { i } \otimes k _ { i } ^ { \frac { 1 } { 2 } } } & { \Delta _ { 3 } ( f _ { i } ) = k _ { i } ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } } \otimes f _ { i } + f _ { i } \otimes k _ { i } ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \end{array} }
F ^ { \prime } ( x , 0 ) = f _ { 0 } ( x ) , \: \: \: F ^ { \prime } ( x , 1 ) = f _ { 1 } ( x ) , \: \: \: F ^ { \prime } ( x _ { 1 } , t ) = . . . = F ^ { \prime } ( x _ { k } , t ) = F ^ { \prime } ( i ^ { 0 } , t ) = e .
\begin{array} { r l } { \cos ( 2 \phi ) } & { { } = \frac { h ^ { 2 } + 2 k ^ { 2 } } { \sqrt { ( h ^ { 2 } + 2 k ^ { 2 } ) ^ { 2 } + h ^ { 2 } k ^ { 2 } } } } \\ { \sin ( 2 \phi ) } & { { } = \frac { h k } { \sqrt { ( h ^ { 2 } + 2 k ^ { 2 } ) ^ { 2 } + h ^ { 2 } k ^ { 2 } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \mathcal { Z } } _ { i j } } & { = \sum _ { \boldsymbol { x } _ { i } } { p \left( x _ { i } ^ { 0 } \right) } \prod _ { t = 0 } ^ { T - 1 } \left[ \left\{ \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , x _ { i } ^ { t } } \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) + \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , 1 } \left[ 1 - \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) \right] \right\} p \left( { O } _ { i } ^ { t } | x _ { i } ^ { t } \right) \right] p \left( { O } _ { i } ^ { T } \mid x _ { i } ^ { T } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { i _ { 2 } = 0 } ^ { N _ { 2 } - 1 } \left( V _ { 1 } ( x _ { 1 } ( N _ { 1 } , i _ { 2 } ) ) - V _ { 1 } ( x _ { 1 } ( 0 , i _ { 2 } ) ) \right) + \sum _ { i _ { 1 } = 0 } ^ { N _ { 1 } - 1 } \left( V _ { 2 } ( x _ { 2 } ( i _ { 1 } , N _ { 2 } ) ) - V _ { 2 } ( x _ { 2 } ( i _ { 1 } , 0 ) ) \right) \leq \sum _ { i _ { 1 } = 0 } ^ { N _ { 1 } - 1 } \sum _ { i _ { 2 } = 0 } ^ { N _ { 2 } - 1 } s ( u ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) , y ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) ) . } \end{array}
\! \int \! { \cal D } { \cal A } \exp \Big \{ i S ( { \cal A } ) + i \! \int \! d ^ { 2 } x _ { \perp } U ^ { a i } ( x _ { \perp } ) [ { \cal A } _ { i } ^ { a } ( \infty p _ { 2 } + x _ { \perp } ) - { \cal A } ^ { a i } ( - \infty p _ { 2 } + x _ { \perp } ) ] \Big \}