harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \Delta g _ { \mathrm { c t - 2 } } ^ { ( 2 ) } } & { = } & { \frac { 1 } { m _ { a } } \sum _ { n , m } ^ { \prime } \frac { \langle a | V _ { \mathrm { s c r } } | n \rangle \langle n | U | m \rangle \langle m | V _ { \mathrm { s c r } } | a \rangle } { ( \varepsilon _ { a } - \varepsilon _ { n } ) ( \varepsilon _ { a } - \varepsilon _ { m } ) } + \frac { 2 } { m _ { a } } \langle \xi _ { a } ^ { \prime } | V _ { \mathrm { s c r } } | a \rangle \langle a | V _ { \mathrm { s c r } } | a \rangle } \\ & { + } & { \frac { 2 } { m _ { a } } \sum _ { n } ^ { \prime } \left[ \frac { \langle \xi _ { a } | V _ { \mathrm { s c r } } | n \rangle \langle n | V _ { \mathrm { s c r } } | a \rangle } { \varepsilon _ { a } - \varepsilon _ { n } } - \frac 1 2 \frac { \langle a | V _ { \mathrm { s c r } } | n \rangle \langle n | V _ { \mathrm { s c r } } | a \rangle } { ( \varepsilon _ { a } - \varepsilon _ { n } ) ^ { 2 } } \langle a \vert U \vert a \rangle \right] } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { v } = \left\{ \begin{array} { l l } { v ^ { ( 4 ) } , } & { k \in \hat { \Gamma } \setminus \bar { \mathcal { D } } , } \\ { m ^ { k _ { 1 } } , } & { k \in \partial \mathcal { D } , } \\ { m _ { - } ^ { k _ { 1 } } v ^ { ( 4 ) } ( m _ { + } ^ { k _ { 1 } } ) ^ { - 1 } , } & { k \in \hat { \Gamma } \cap \mathcal { D } . } \end{array} \right. } \end{array}
\psi ^ { T } ( \rho , z ) \approx \ \exp ( - \bar { \beta } _ { i } z ) \sum _ { m = - \infty } ^ { \infty } A _ { m } s i n c \left[ k _ { r } ^ { 2 } \rho ^ { 2 } + \left( k _ { r } z + m \pi \right) ^ { 2 } \right] \, ,
\mathrm { h t } \bigl ( X ( \mathbf { 0 } , 0 , \mathbf { s } _ { k } ^ { \prime } ) \bigr ) = \mathrm { h t } ( s _ { k , 1 } ^ { \prime } \beta _ { 1 } + \ldots + s _ { k , N } ^ { \prime } \beta _ { N } ) = \mathrm { h t } ( \mu _ { k } ) < \mathrm { h t } ( \mu _ { k } ) + \mathrm { h t } ( \beta _ { j } - \mu _ { k } ) = \mathrm { h t } ( \beta _ { j } ) .
\begin{array} { r l } { I _ { D } = \cos ^ { 2 } \left( \phi + \theta \right) , ~ } & { { } I _ { A } = \cos ^ { 2 } \left( \phi - \theta \right) , } \\ { I _ { D } ^ { \prime } = \cos ^ { 2 } \left( \phi - \theta \right) , ~ } & { { } I _ { A } ^ { \prime } = \cos ^ { 2 } \left( \phi + \theta \right) , } \end{array}
\int \frac { \partial w _ { j } } { \partial x _ { i } } \sigma _ { i j } ^ { \phantom { } } \ \mathrm { ~ d ~ } { \Omega } = \int w _ { j } n _ { i } \sigma _ { i j } ^ { \phantom { } } \ \mathrm { ~ d ~ } { \Gamma } \qquad \forall w _ { j } \in \boldsymbol { \mathcal { W } } .
\begin{array} { r l r } & { } & { 1 2 \, x ^ { 2 } \, v _ { 1 } ^ { \prime \prime } ( x ) + 3 6 \, x \, v _ { 1 } ^ { \prime } ( x ) + ( 9 + 4 \, x ^ { 2 } ) \, v _ { 1 } ( x ) = 1 2 \, x ^ { 2 } \, u _ { 1 } ( x ) , , } \\ & { } & { 1 2 \, x ^ { 2 } \, v _ { 2 } ^ { \prime \prime } ( x ) - 3 6 \, x \, v _ { 2 } ^ { \prime } ( x ) + ( 4 5 + 4 \, x ^ { 2 } ) \, v _ { 2 } ( x ) = 1 2 \, x ^ { 2 } \, u _ { 2 } ( x ) , , } \end{array}
\begin{array} { r } { D = | \langle e | W ( \Omega _ { 0 } , \delta _ { 2 + } ^ { \prime } , \pi / 2 , \tau ) V ( \delta _ { \mathrm { f } + } ^ { \prime } , T ) W ( \Omega _ { 0 } , \delta _ { 1 + } ^ { \prime } , 0 , \tau ) | g \rangle | ^ { 2 } } \\ { - | \langle e | W ( \Omega _ { 0 } , \delta _ { 2 - } ^ { \prime } , - \pi / 2 , \tau ) V ( \delta _ { \mathrm { f } - } ^ { \prime } , T ) W ( \Omega _ { 0 } , \delta _ { 1 - } ^ { \prime } , 0 , \tau ) | g \rangle | ^ { 2 } . } \\ { } \end{array}
\zeta ( s ) = - ( \varepsilon - 1 ) ^ { 2 } \, \frac { \sin ( \pi s ) } { \pi s } a ^ { 2 s } \, 2 ^ { 4 s - 7 } \, \frac { ( s ^ { 2 } - 3 s + 4 ) \Gamma ( - 2 s + 2 ) } { ( s - 1 ) } ,
{ \delta _ { 1 } ^ { ( 0 ) } L _ { 1 } ^ { ( 3 ) } = - i \, { \operatorname * { d e t } \, e } \, \left( \bar { \epsilon } ^ { * } \gamma ^ { \mu } \psi _ { \mu } ^ { * } \right) \, \lambda ^ { 1 6 } \, \left( 8 f ^ { ( 1 2 , - 1 2 ) } + 6 \cdot 1 4 4 \, D _ { 1 1 } f ^ { ( 1 1 , - 1 1 ) } \right) , }
\begin{array} { r l r } { \left\| Z _ { t } \right\| } & { \leq } & { L _ { h } \left\| \tilde { \theta } _ { t } - \theta _ { t } \right\| ^ { 2 } + \left\| Z _ { t } - \bar { Z _ { t } } \right\| = L _ { h } \frac { ( 1 - \eta _ { t } ) ^ { 2 } } { \eta _ { t } ^ { 2 } } \left\| \theta _ { t } - \theta _ { t - 1 } \right\| ^ { 2 } + \left\| Z _ { t } - \bar { Z _ { t } } \right\| , } \\ { \left\| Z _ { t } - \bar { Z _ { t } } \right\| } & { \leq } & { 2 D _ { g } \gamma ^ { H } + D _ { h } \gamma ^ { H } \frac { \gamma _ { t - 1 } } { \eta _ { t } } . } \end{array}
L _ { 2 2 } \left( \tilde { q } , \tilde { k } \right) = \frac { \tilde { \Lambda } _ { 2 2 } ^ { 2 } } { \pi ^ { 2 } } \ln \left( \frac { \tilde { k } ^ { 2 } + \tilde { k } \tilde { q } + \tilde { q } ^ { 2 } + \tilde { \lambda } ^ { 2 } } { \tilde { k } ^ { 2 } - \tilde { k } \tilde { q } + \tilde { q } ^ { 2 } + \tilde { \lambda } ^ { 2 } } \right)
\tilde { T } _ { a } \Psi ^ { ( 0 ) } = \left( \begin{array} { c } { { e ^ { i \chi ( a ; s ^ { k } ) } \phi ^ { ( 0 ) } ( s ^ { i } + a ^ { i } ) } } \\ { { e ^ { - i \chi ( a ; s ^ { k } ) } \phi ^ { \ast ( 0 ) } ( s ^ { i } + a ^ { i } ) } } \\ { { A _ { k } ^ { ( 0 ) } ( s ^ { i } + a ^ { i } ) - \frac { 1 } { q } \partial _ { k } \chi ( a ; s ^ { i } ) } } \end{array} \right) ,
( 2 \ell + 1 ) \sum _ { m _ { 1 } , m _ { 2 } } \left( \begin{array} { l l l } { \ell _ { 1 } } & { \ell _ { 2 } } & { \ell } \\ { m _ { 1 } } & { m _ { 2 } } & { m } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l l } { \ell _ { 1 } } & { \ell _ { 2 } } & { \ell ^ { \prime } } \\ { m _ { 1 } } & { m _ { 2 } } & { m ^ { \prime } } \end{array} \right) = \delta _ { \ell \ell ^ { \prime } } \delta _ { m m ^ { \prime } } .
\begin{array} { r } { \psi _ { m } ^ { \mathrm { r e l } } ( x _ { 1 2 } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { c _ { m } D _ { \nu _ { m } } ( \sqrt { \omega _ { 0 } } | x _ { 1 2 } | ) , \; \mathrm { f o r } \; m \; \mathrm { e v e n } , } \\ { f _ { m } ^ { \omega _ { 0 } / 2 } ( x _ { 1 2 } ) , \; \mathrm { f o r } \; m \; \mathrm { o d d } , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { C } ( \tau ) } & { = \left( \begin{array} { l l l } { \langle \delta \ell ( \tau ) \delta \ell ( 0 ) \rangle } & & { \langle \delta \ell ( \tau ) \delta v ( 0 ) \rangle } \\ { \langle \delta v ( \tau ) \delta \ell ( 0 ) \rangle } & & { \langle \delta v ( \tau ) \delta v ( 0 ) \rangle } \end{array} \right) , } \\ & { = \left( \begin{array} { l l l } { \sigma _ { \ell } ^ { 2 } e ^ { - \mu \tau / 2 } \left( \cosh ( \rho \tau ) + \frac { \mu } { 2 \rho } \sinh ( \rho \tau ) \right) } & & { \sigma _ { v } ^ { 2 } e ^ { - \mu \tau / 2 } \frac { 1 } { \rho } \sinh ( \rho \tau ) } \\ { - \sigma _ { v } ^ { 2 } e ^ { - \mu \tau / 2 } \frac { 1 } { \rho } \sinh ( \rho \tau ) } & & { \sigma _ { v } ^ { 2 } e ^ { - \mu \tau / 2 } \left( \cosh ( \rho \tau ) - \frac { \mu } { 2 \rho } \sinh ( \rho \tau ) \right) } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { G _ { D } ( x , y , k _ { + } ) : = \frac { \mathrm { i } } { 4 } H _ { 0 } ^ { 1 } ( k _ { + } | x - y | ) - \frac { \mathrm { i } } { 4 } H _ { 0 } ^ { 1 } ( k _ { + } | x - y | ) } \\ & { G _ { D } ( x , y , k _ { - } ) : = \frac { \mathrm { i } } { 4 } H _ { 0 } ^ { 1 } ( k _ { - } | x - y | ) - \frac { \mathrm { i } } { 4 } H _ { 0 } ^ { 1 } ( k _ { - } | x - y | ) } \\ & { G _ { R _ { 1 } } ( x , y ) : = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \frac { 1 } { \mathcal { S } ( \xi , k _ { + } ) + \mathcal { S } ( \xi , k _ { 1 } ) } e ^ { - \mathcal { S } ( \xi , k _ { + } ) ( x _ { 2 } + y _ { 2 } ) } e ^ { \mathrm { i } \xi ( x _ { 1 } - y _ { 1 } ) } d \xi } \\ & { G _ { R _ { 4 } } ( x , y ) : = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \frac { 1 } { \mathcal { S } ( \xi , k _ { + } ) + \mathcal { S } ( \xi , k _ { 1 } ) } e ^ { \mathcal { S } ( \xi , k _ { + } ) ( x _ { 2 } + y _ { 2 } ) } e ^ { \mathrm { i } \xi ( x _ { 1 } - y _ { 1 } ) } d \xi } \end{array}
\begin{array} { r l r } { ( \mu ( f ^ { n } ( \dot { \cup } _ { \vert j \vert \leq N } f ^ { j } ( W ) ) ) ) ^ { \frac { 1 } { p } } } & { = } & { ( \mu ( \dot { \cup } _ { \vert j \vert \leq N } f ^ { n + j } ( W ) ) ) ^ { \frac { 1 } { p } } } \\ & { = } & { \left( \int _ { \dot { \cup } _ { \vert j \vert \leq N } f ^ { n + j } ( W ) } \vert \chi _ { \dot { \cup } _ { \vert j \vert \leq N } f ^ { j } ( W ) } \circ f ^ { - n } \vert ^ { p } d \mu \right) ^ { \frac { 1 } { p } } } \\ & { = } & { \left( \int _ { \dot { \cup } _ { \vert j \vert \leq N } f ^ { n + j } ( W ) } \vert \chi _ { \dot { \cup } _ { \vert j \vert \leq N } f ^ { j } ( W ) } \circ f ^ { - n } - \chi _ { \dot { \cup } _ { \vert j \vert \leq N } f ^ { j } ( W ) } d \mu \vert ^ { p } \right) ^ { \frac { 1 } { p } } } \\ & { \leq } & { \left( \int _ { X } \vert \chi _ { \dot { \cup } _ { \vert j \vert \leq N } f ^ { j } ( W ) } \circ f ^ { - n } - \chi _ { \dot { \cup } _ { \vert j \vert \leq N } f ^ { j } ( W ) } \vert ^ { p } d \mu \right) ^ { \frac { 1 } { p } } } \\ & { = } & { \Vert ( \chi _ { \dot { \cup } _ { \vert j \vert \leq N } f ^ { j } ( W ) } \circ f ^ { - n } ) - \chi _ { \dot { \cup } _ { \vert j \vert \leq N } f ^ { j } ( W ) } \Vert _ { p } } \\ & { \leq } & { \Vert ( \chi _ { \dot { \cup } _ { \vert j \vert \leq N } f ^ { j } ( W ) } \circ f ^ { - n } ) - \varphi \Vert _ { p } + \Vert \varphi - \chi _ { \dot { \cup } _ { \vert j \vert \leq N } f ^ { j } ( W ) } \Vert _ { p } } \\ & { \leq } & { 2 \delta . } \end{array}
\begin{array} { r } { \| ( z - \mathcal { S } ( \boldsymbol { X } ) ) \boldsymbol { Y } \| _ { C ^ { \gamma } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } \geq \| ( z - \mathcal { S } ^ { 1 } ( \boldsymbol { X } ) ) \boldsymbol { Y } \| _ { C ^ { \gamma } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } - \| \mathcal { S } ^ { 2 } ( \boldsymbol { X } ) \boldsymbol { Y } \| _ { C ^ { \gamma } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } , } \end{array}
S ^ { m } = \int _ { M } \frac { 1 } { 2 } \partial _ { \mu } \phi \partial ^ { \mu } \bar { \phi } - \frac { 1 } { 2 } \phi \bar { \phi } + \frac { 1 } { 4 } \left( \phi \bar { \phi } \right) ^ { 2 } \; d ^ { 4 } x
\begin{array} { r l r } { A i ( z ) } & { { } } & { \approx \frac { 1 } { 3 ^ { 2 / 3 } \Gamma ( \frac { 2 } { 3 } ) } \left( 1 + \frac { z ^ { 3 } } { 6 } \right) - \frac { z } { 3 ^ { 1 / 3 } \Gamma ( \frac { 1 } { 3 } ) } , } \\ { B i ( z ) } & { { } } & { \approx \frac { 1 } { 3 ^ { 1 / 6 } \Gamma ( \frac { 2 } { 3 } ) } \left( 1 + \frac { z ^ { 3 } } { 6 } \right) - \frac { z 3 ^ { 1 / 6 } } { \Gamma ( \frac { 1 } { 3 } ) } , } \\ { A i ^ { \prime } ( z ) } & { { } } & { \approx \frac { 1 } { 3 ^ { 1 / 3 } \Gamma ( \frac { 1 } { 3 } ) } \left( 1 + \frac { z ^ { 3 } } { 3 } \right) - \frac { z ^ { 2 } } { 2 \times 3 ^ { 2 / 3 } \Gamma ( \frac { 2 } { 3 } ) } , } \\ { B i ^ { \prime } ( z ) } & { { } } & { \approx \frac { 3 ^ { 1 / 6 } } { \Gamma ( \frac { 1 } { 3 } ) } \left( 1 + \frac { z ^ { 3 } } { 3 } \right) - \frac { z ^ { 2 } } { 2 \times 3 ^ { 1 / 6 } \Gamma ( \frac { 2 } { 3 } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { \ m b { D } } _ { t } ( \xi + f _ { 0 } ) } & { = - ( \xi + f _ { 0 } ) \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { \cdot } \boldsymbol { u } \, \mathrm { d } t + \big [ \boldsymbol { \nabla } ^ { \perp } \boldsymbol { u } , \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { \sigma } _ { t } \mathrm { d } \boldsymbol { B } _ { t } \big ] _ { \scriptscriptstyle F } } \\ & { + \mathrm { \scriptsize ~ \frac { 1 } { 2 } ~ } \sum _ { \scriptscriptstyle i , j = 1 , 2 } \partial _ { x _ { i } } \partial _ { x _ { j } } \big ( \boldsymbol { \nabla } a _ { i j } \times \boldsymbol { u } \big ) \, \mathrm { d } t , } \end{array}
\frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { C _ { i } } d z R ( z ) = S _ { i } , ~ ~ ~ ~ \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { C _ { i } } d w T ( w ) = N _ { i } , ~ ~ ~ ~ \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { C _ { i } } d z w _ { \alpha } ( z ) = w _ { \alpha ~ i } .
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \sum _ { i = 1 } ^ { N } | \mathrm { \boldmath ~ w ~ } _ { i } ^ { c } - \mathrm { \boldmath ~ w ~ } _ { i } ^ { \infty } | ^ { 2 } } & { \leq 2 \sum _ { i = 1 } ^ { N } | \mathrm { \boldmath ~ w ~ } _ { i } ^ { c } - \mathrm { \boldmath ~ w ~ } _ { i } ^ { \infty } | \frac { d } { d t } | \mathrm { \boldmath ~ w ~ } _ { i } ^ { c } - \mathrm { \boldmath ~ w ~ } _ { i } ^ { \infty } | } \\ & { \leq 2 \sum _ { i = 1 } ^ { N } | \mathrm { \boldmath ~ w ~ } _ { i } ^ { c } - \mathrm { \boldmath ~ w ~ } _ { i } ^ { \infty } | \Big ( | \mathcal { I } _ { i } ^ { c } - \mathcal { I } _ { i } ^ { \infty } | + | \mathcal { J } _ { i } ^ { c } - \mathcal { J } _ { i } ^ { \infty } | + | \mathcal { K } _ { i } ^ { c } - \mathcal { K } _ { i } ^ { \infty } | \Big ) . } \end{array} } \end{array}
F = \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \| W _ { \theta } ( \epsilon _ { i } ) - \widetilde { W } _ { i } \| _ { \mathcal { F } } ^ { 2 } / \| \widetilde { W } _ { i } \| _ { \mathcal { F } } ^ { 2 }
\begin{array} { l } { O _ { j k , m n } = r _ { i } ^ { * } e , } \\ { \begin{array} { l l l } { r _ { x } ^ { * } = r _ { x } } & { \mathrm { i f } } & { n = G } \\ { r _ { x } ^ { * } = 1 - r _ { x } } & { \mathrm { i f } } & { n = B } \\ { e = \epsilon } & { \mathrm { i f } } & { m \neq j } \\ { e = 1 - \epsilon } & { \mathrm { i f } } & { m = j } \end{array} } \\ { \mathrm { w h e r e ~ } j , m \in \{ C , D \} , k \in \{ L , U \} , n \in \{ G , B \} . } \end{array}
\frac { 1 } { 4 \Sigma } \iint \mathrm { d } \Sigma ~ ( \nabla \xi ) ^ { 4 } \equiv \frac { 1 } { 4 } \sum _ { a , b , c , d } \mathcal { B } _ { a b c d } \xi _ { a } \xi _ { b } \xi _ { c } \xi _ { d } ,
\mathbb { E } _ { \mathbb { W F } ^ { t , x , y } } \left[ \frac { d \mathbb { W F } _ { \vartheta } ^ { t , x , y } } { d \mathbb { W F } ^ { t , x , y } } \right] = \int _ { C } \frac { d \mathbb { W F } _ { \vartheta } ^ { t , x , y } } { d \mathbb { W F } ^ { t , x , y } } d \mathbb { W F } ^ { t , x , y } = \mathbb { W F } _ { \vartheta } ^ { t , x , y } ( C ) = 1 .
C _ { l } = \overbrace { \vphantom { \int } \pi \left( \dot { \alpha } - a \ddot { \alpha } \right) } ^ { \mathrm { a d d e d - m a s s } } + \overbrace { 2 \pi \int _ { 0 } ^ { s _ { c } } \frac { \mathrm { d } \phi ( \sigma ) } { \mathrm { d } \sigma } \left( \alpha ( s _ { c } - \sigma ) + \left( \frac { 1 } { 2 } - a \right) \dot { \alpha } ( s _ { c } - \sigma ) \right) \, \mathrm { d } \sigma } ^ { \mathrm { c i r c u l a t i o n } } ,
N _ { g e n . } ( r , t ) = a ( t ) \left[ \frac { 1 } { 2 \pi } \log \left( \frac { r } { \Lambda \kappa ( t ) } \right) - \frac { 1 } { 2 \pi ( 1 - \mu ) } + \frac { 1 } { 2 \pi } \frac { 2 } { \left( \frac { r } { \Lambda } \right) ^ { 2 ( 1 - \mu ) } - 1 } \log \left( \frac { r } { \Lambda \kappa ( t ) } \right) \right] .
\begin{array} { r l } { - i \omega \tau } & { \left( 1 - \lambda ^ { 2 } \nabla ^ { 2 } - ( \lambda _ { s } ^ { 2 } - \lambda ^ { 2 } ) \nabla \nabla \cdot \right) \vec { w } _ { \omega } = } \\ & { 2 \lambda _ { d } ^ { 2 } \nabla \nabla \cdot \vec { w } _ { \omega } - i \omega \frac { f \rho \tau } { \zeta } \vec { m } _ { \omega } \; , } \end{array}
\frac { t _ { \textrm { e x p } } ( B _ { \textrm { 2 } } ) } { t _ { \textrm { e x p } } ( B _ { \textrm { 1 } } ) } = 1 0 ^ { - 0 . 4 ( B _ { \textrm { 1 } } - B _ { \textrm { 2 } } ) }
\begin{array} { r l r } { E _ { N } ^ { ( 1 ) } } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \int _ { \Omega _ { L } } \int _ { \Omega _ { L } } \ensuremath { \mathrm { T r } } [ \ensuremath { \mathbf { w } } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \ensuremath { \mathbf { n } } _ { 2 } ^ ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) ] \ensuremath { \mathrm { d } } x _ { 1 } \ensuremath { \mathrm { d } } x _ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { i } \left( t , n \pm 1 ; \mathbf { g } ( n ) \right) } & { = T _ { i j } \left( \mathbf { g } ( n ) , \mathbf { g } ( n \pm 1 ) \right) M _ { j } \left( t , n \pm 1 ; \mathbf { g } ( n \pm 1 ) \right) } \\ { F _ { i } \left( t , n \pm 1 ; \mathbf { g } ( n ) \right) } & { = T _ { i j } \left( \mathbf { g } ( n ) , \mathbf { g } ( n \pm 1 ) \right) F _ { j } \left( t , n \pm 1 ; \mathbf { g } ( n \pm 1 ) \right) } \end{array}
S _ { j } ( \mathbf { \tilde { p } } _ { s } , \textbf { r } _ { s } , t , t _ { s } ^ { \prime } ) = \Re S _ { j } ( \mathbf { \tilde { p } } _ { s } , \textbf { r } _ { s } , t , t _ { s } ^ { \prime } ) + \Im S _ { j } ( \mathbf { \tilde { p } } _ { s } , \textbf { r } _ { s } , t _ { r } ^ { \prime } , t _ { s } ^ { \prime } ) .
\begin{array} { r l } { { \pi _ { 2 } } _ { \# } \pi ( A ) } & { = \int _ { [ 0 , \infty ) } \int _ { \partial B _ { r } ( 0 ) } \tilde { \pi } _ { r } ( \{ c \geq 0 : c x / r \in A \} ) \mathrm { d } U _ { \partial B _ { r } ( 0 ) } ( x ) \mathrm { d } \tilde { \mu } ( r ) } \\ & { = \int _ { [ 0 , \infty ) } \int _ { \partial B _ { 1 } ( 0 ) } \tilde { \pi } _ { r } ( \{ c \geq 0 : c x \in A \} ) \mathrm { d } U _ { \partial B _ { 1 } ( 0 ) } ( x ) \mathrm { d } \tilde { \mu } ( r ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| P _ { \xi } \right\rangle } & { { } = \sum _ { \lambda \lambda ^ { \prime } } \int d \boldsymbol { k } _ { A } \int d \boldsymbol { k } _ { B } ^ { \prime } \tilde { \xi } _ { \lambda \lambda ^ { \prime } } ( \boldsymbol { k } _ { A } , \boldsymbol { k } _ { B } ^ { \prime } ) \hat { a } _ { \boldsymbol { k } _ { A } , \lambda } ^ { \dagger } ( t ) \hat { b } _ { \boldsymbol { k } _ { B } ^ { \prime } , \lambda ^ { \prime } } ^ { \dagger } ( t ) \left| 0 \right\rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varepsilon ( \mathbf { x } ) = } & { { } ( \varepsilon _ { c } ( \mathbf { x } ) - \varepsilon _ { 0 } ) \chi ( \Omega _ { c } ) + ( \varepsilon _ { s } ( \mathbf { x } ) - \varepsilon _ { 0 } ) \chi ( \Omega _ { s } \setminus \overline { { \bigcup _ { l = 1 } ^ { l _ { 0 } } B _ { l } } } ) } \\ { \quad \mu ( \mathbf { x } ) = } & { { } ( \mu _ { c } ( \mathbf { x } ) - \mu _ { 0 } ) \chi ( \Omega _ { c } ) + \sum _ { l = 1 } ^ { l _ { 0 } } ( \mu _ { l } - \mu _ { 0 } ) \chi ( B _ { l } ) + \mu _ { 0 } , } \\ { \sigma ( \mathbf { x } ) = } & { { } \sigma _ { c } ( \mathbf { x } ) \chi ( \Omega _ { c } ) + \sum _ { l = 1 } ^ { l _ { 0 } } \sigma _ { l } \chi ( B _ { l } ) . } \end{array}
K _ { u v } ^ { x } \, k _ { \mathbf { I } } ^ { u } \, k _ { \mathbf { J } } ^ { v } \, = \, { \frac { 1 } { 2 } } \, f _ { \phantom { \mathbf { K } } \mathbf { I } \mathbf { J } } ^ { \mathbf { K } } \, { \cal P } _ { \mathbf { K } } ^ { x }
\begin{array} { r l } { R _ { \hat { n } _ { 1 } \hat { n } _ { 2 } } ( \theta ) } & { = I + ( \hat { n } _ { 2 } \hat { n } _ { 1 } ^ { \top } - \hat { n } _ { 1 } \hat { n } _ { 2 } ^ { \top } ) \sin \theta } \\ & { \qquad + ( \hat { n } _ { 1 } \hat { n } _ { 1 } ^ { \top } + \hat { n } _ { 2 } \hat { n } _ { 2 } ^ { \top } ) ( \cos \theta + 1 ) } \end{array}
\begin{array} { r } { A _ { + } ( \mathbf { x } _ { 0 } ) \tau b _ { s } \epsilon _ { A + } ^ { s } \Phi _ { + } ( z _ { s } ) = - i \frac { \Lambda _ { 0 } ^ { s } } { 2 \omega _ { + } } \beta _ { + } \Phi _ { s } ( z _ { s } ) \delta \phi _ { 0 } ( \mathbf { x } _ { 0 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { I ^ { + } } & { { } } & { = \int \displaylimits _ { - \infty } ^ { + \infty } \int \displaylimits _ { - \infty } ^ { + \infty } \int \displaylimits _ { 0 } ^ { + \infty } \int \displaylimits _ { 0 } ^ { + \infty } \int \displaylimits _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int \displaylimits _ { 0 } ^ { 2 \pi } Q ^ { + } \delta ( \mathbf { k } - \mathbf { k _ { 1 } } - \mathbf { k _ { 2 } } ) \, d \theta _ { 1 } \, d \theta _ { 2 } \, d k _ { 1 } \, d k _ { 2 } \, d m _ { 1 } \, d m _ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle T ( M ) ^ { 2 } \rangle - \langle T ( M ) \rangle ^ { 2 } } & { = [ T ^ { \prime } ( \langle M \rangle ) ] ^ { 2 } \left( \langle M ^ { 2 } \rangle - \langle M \rangle ^ { 2 } \right) } \\ & { \quad + \mathrm { h i g h e r - o r d e r ~ t e r m s } } \\ & { = \frac { 1 } { \mu ^ { 2 } n _ { 0 } } + O \left( \frac { 1 } { n _ { 0 } ^ { 2 } } \right) , } \end{array}
T ^ { - , - } = \left( \begin{array} { c c c c c } { T _ { 1 , 1 } ^ { - , - } } & { T _ { 1 , 2 } ^ { - , - } } & { T _ { 1 , 3 } ^ { - , - } } & { \cdots } \\ { T _ { 2 , 1 } ^ { - , - } } & { T _ { 2 , 2 } ^ { - , - } } & { T _ { 2 , 3 } ^ { - , - } } & { \cdots } \\ { T _ { 3 , 1 } ^ { - , - } } & { T _ { 3 , 2 } ^ { - , - } } & { T _ { 3 , 3 } ^ { - , - } } & { \cdots } \\ { \cdots } & { \cdots } & { \cdots } & { \cdots } \end{array} \right) .
\mathcal { T } ( \vec { x } , v ) \propto \left\{ \begin{array} { l l } { ( I _ { 2 } w _ { 0 } / v ) ( 1 - e ^ { - \gamma _ { 1 } w _ { 0 } / 2 v } ) } & { \vec { x } \in \mathcal { V } ^ { ( \textrm { K E | P I | m m } ) } } \\ { 0 } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \iota _ { p , 1 } ( [ \gamma _ { 1 } ] \cdot [ \gamma _ { 2 } ] ) } & { = [ \mathrm { s u s p } ( \gamma _ { 1 } ( \cdot + 2 \rho ) \cup \gamma _ { 2 } ( \cdot - 2 \rho ) ) ] } \\ & { = [ { \mathrm { S h } _ { - 2 \rho } } ( \mathrm { s u s p } ( \gamma _ { 1 } ) ) | _ { \{ x _ { p + 2 } \leq 0 \} } \cup { \mathrm { S h } _ { 2 \rho } } ( \mathrm { s u s p } ( \gamma _ { 2 } ) ) | _ { \{ x _ { p + 2 } \geq 0 \} } ] } \\ & { = \iota _ { p , 1 } ( [ \gamma _ { 1 } ] ) + _ { p + 2 } \iota _ { p , 1 } ( [ \gamma _ { 2 } ] ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d \delta } \Bigg \vert _ { \delta = 0 } \rho _ { A } \left( \mu \right) } & { = \sum _ { i , j \in \mathcal { N } } \sum _ { I \subseteq \mathcal { N } } \sum _ { \beta \in \mathcal { L } } c _ { I } ^ { j i } \left( \beta \right) \sum _ { \gamma \in \mathcal { L } } q _ { \beta \gamma } \pi _ { i } ^ { \left[ \gamma \right] } \left( \eta _ { I \cup \left\{ i \right\} } ^ { \left[ \beta \right] } \left( \mu \right) - \eta _ { I \cup \left\{ j \right\} } ^ { \left[ \beta \right] } \left( \mu \right) \right) , } \end{array}