harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { r l } { [ c ] \partial _ { t } \int _ { 0 } ^ { + \infty } f ^ { 0 } ( x , s , t ) \, d s } & { + \partial _ { x } \left( c ( x ) \int _ { 0 } ^ { + \infty } V ( s ) f ^ { 0 } ( x , s , t ) \, d s \right) = 0 , } \\ { \partial _ { t } \int _ { 0 } ^ { + \infty } s f ^ { 0 } ( x , s , t ) \, d s } & { + \partial _ { x } \left( c ( x ) \int _ { 0 } ^ { + \infty } s V ( s ) f ^ { 0 } ( x , s , t ) \, d s \right) } \\ & { = \frac { \gamma \eta } { 2 } c ^ { \prime } ( x ) \int _ { 0 } ^ { + \infty } \int _ { 0 } ^ { + \infty } V ( s _ { \ast } ) f ^ { 0 } ( x , s , t ) f ^ { 0 } ( x , s _ { \ast } , t ) \, d s \, d s _ { \ast } } \\ & { \phantom { = } + \frac { \gamma \eta } { 2 } c ( x ) \int _ { 0 } ^ { + \infty } \int _ { 0 } ^ { + \infty } ( V ( s _ { \ast } ) - V ( s ) ) f ^ { 0 } ( x , s , t ) \partial _ { x } f ^ { 0 } ( x , s _ { \ast } , t ) \, d s \, d s _ { \ast } } \\ & { \phantom { = } + a \int _ { 0 } ^ { + \infty } ( H ( \rho ) - s ) f ^ { 0 } ( x , s , t ) \, d s . } \end{array} \right. } \end{array}
n _ { 1 } ^ { 2 } + n _ { 2 } ^ { 2 } + n _ { 3 } ^ { 2 } = { \frac { 1 } { 3 } } k _ { 1 } ^ { 2 } + { \frac { 2 } { 3 } } ( k _ { 2 } ^ { 2 } + k _ { 3 } ^ { 2 } + k _ { 2 } k _ { 3 } ) , \qquad \quad n _ { 1 } + n _ { 2 } + n _ { 3 } = k _ { 1 }
\begin{array} { r l r } { { H } _ { _ { \mathrm { \footnotesize { d d } } } } [ k ^ { \prime } N + l ^ { \prime } , k N + l ] } & { = } & { \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } \sum _ { m = - \infty } ^ { \infty } h _ { _ { \mathrm { \scriptsize { e f f } } } } [ k ^ { \prime } - k - n M , l ^ { \prime } - l - m N ] \, e ^ { j 2 \pi n l / N } e ^ { j 2 \pi \frac { l ^ { \prime } - l - m N } { N } \frac { k + n M } { M } } , } \\ & { } & { k ^ { \prime } , k = 0 , 1 , \cdots , M - 1 , \, \, l ^ { \prime } , l = 0 , 1 , \cdots , N - 1 . } \end{array}
\widetilde { n ^ { i } } \, { \frac { \partial } { \partial n ^ { i } } } T _ { \ k } ^ { j } = \Big ( { \frac { c _ { _ \mathrm { S } } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } - { \frac { c ^ { 2 } } { c _ { _ \mathrm { S } } ^ { 2 } } } \Big ) n ^ { j } \mu _ { k } + \Big ( { \frac { c _ { _ \mathrm { S } } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } - 1 \Big ) ( \rho c ^ { 2 } + P ) g _ { \ k } ^ { j } \ .
\begin{array} { r l } { \Theta _ { \alpha _ { k - 1 } \alpha _ { k + 1 } } ^ { j _ { k } , j _ { k + 1 } } = \sum _ { i _ { k } , i _ { k + 1 } = 0 } ^ { d - 1 } \sum _ { \alpha _ { k } = 0 } ^ { \chi - 1 } } & { { } U _ { i _ { k } , i _ { k + 1 } } ^ { j _ { k } , j _ { k + 1 } } \lambda _ { \alpha _ { k - 1 } } ^ { [ k - 1 ] } \Gamma _ { \alpha _ { k - 1 } \alpha _ { k } } ^ { [ k ] i _ { k } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \vec { A } ( \omega _ { a } ) } & { = \frac { t \vec { X } _ { a } \left( 1 + r \right) \cos \left( \frac { \omega _ { a } L } { 2 c } \right) } { 1 + 2 r \cos ( \frac { \omega _ { a } L } { c } ) + r ^ { 2 } } \, , } \\ { \vec { B } ( \omega _ { a } ) } & { = \frac { t \vec { X } _ { a } \left( 1 - r \right) \sin \left( \frac { \omega _ { a } L } { 2 c } \right) } { 1 + 2 r \cos ( \frac { \omega _ { a } L } { c } ) + r ^ { 2 } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { V = \frac { 2 \int \! \! \mathrm { d } \omega _ { i } \mathrm { d } \omega _ { s } F _ { 1 } ( \omega _ { i } , \omega _ { s } ) \bar { F } _ { 2 } ( \omega _ { i } , \omega _ { s } ) } { 1 + \int \! \! \mathrm { d } \omega _ { i } \mathrm { d } \omega _ { s } F _ { 1 } ( \omega _ { i } , \omega _ { s } ) \bar { F } _ { 2 } ( \omega _ { i } , \omega _ { s } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ^ { e q } = \frac { \rho } { ( 2 \pi R T ) ^ { \frac { d } { 2 } } } e ^ { - \frac { ( \Vec { c } - \Vec { u } ) ^ { 2 } } { 2 R T } } = } & { \frac { \rho } { ( 2 \pi R T ) ^ { \frac { d } { 2 } } } e ^ { - \frac { \vec { c } ^ { 2 } } { 2 R T } } ( 1 + \frac { \Vec { c } \cdot \Vec { u } } { R T } + \frac { ( \Vec { c } \cdot \Vec { u } ) ^ { 2 } } { 2 ( R T ) ^ { 2 } } - \frac { \Vec { u } ^ { 2 } } { 2 R T } + O ( \Vec { u } ^ { 3 } ) ) } \\ { = } & { \frac { \rho } { ( \frac { 2 } { 3 } \pi ) ^ { \frac { d } { 2 } } c ^ { d } } e ^ { - \frac { 3 \vec { c } ^ { 2 } } { 2 c ^ { 2 } } } ( 1 + 3 \frac { \Vec { c } \cdot \Vec { u } } { c ^ { 2 } } + 9 \frac { ( \Vec { c } \cdot \Vec { u } ) ^ { 2 } } { 2 c ^ { 4 } } - 3 \frac { \Vec { u } ^ { 2 } } { 2 c ^ { 2 } } + O ( \Vec { u } ^ { 3 } ) ) . } \end{array}
w ^ { ( q ) } ( u _ { g } , u _ { q } ) = \sum _ { m _ { g } , m _ { q } = 0 } ^ { \infty } a _ { m _ { g } , m _ { q } } ^ { ( q ) } u _ { g } ^ { m _ { g } } u _ { q } ^ { m _ { q } } = ( - \widetilde A u _ { q } + \widetilde A u _ { q } u _ { g } ) .
x _ { 7 } ( t + 1 ) = \mathrm { m i n ~ } \bigl [ \mathrm { m i n ~ } [ \frac { W _ { 3 , 7 } } { \alpha _ { 7 , 1 } } \mathrm { ~ } h _ { 3 } ^ { d } ( t ) , \mathrm { ~ } \frac { W _ { 6 , 7 } } { \alpha _ { 7 , 2 } } \mathrm { ~ } h _ { 6 } ^ { d } ( t ) ] , \mathrm { ~ } \beta _ { 7 } + \frac { W _ { 1 0 , 7 } } { \alpha _ { 7 } } \mathrm { ~ } h _ { 1 0 } ^ { d } ( t ) \bigr ]
\begin{array} { r l } { ( r _ { 0 } - 1 ) | W | ^ { - 2 } } & { \Bigg ( \int _ { r _ { 0 } } ^ { R _ { 0 } } ( r - 1 ) ^ { \frac { q + 1 } { 2 } } \left| \frac { d } { d r } ( e ^ { i \widetilde { \omega } r _ { * } } { u } _ { \mathrm { i n f } } ) \right| \, d r \Bigg ) ^ { 2 } } \\ { \leq } & { \: 2 ( r _ { 0 } - 1 ) | W | ^ { - 2 } \Bigg ( \int _ { r _ { 0 } } ^ { 1 + z _ { 0 } | m | ^ { - 1 } | \widetilde { \omega } | } ( r - 1 ) ^ { \frac { q + 1 } { 2 } } \left| \frac { d } { d r } ( e ^ { i \widetilde { \omega } r _ { * } } { u } _ { \mathrm { i n f } } ) \right| \, d r \Bigg ) ^ { 2 } } \\ & { \: + 2 ( r _ { 0 } - 1 ) | W | ^ { - 2 } \Bigg ( \int _ { 1 + z _ { 0 } | m | ^ { - 1 } | \widetilde { \omega } | } ^ { R _ { 0 } } ( r - 1 ) ^ { \frac { q + 1 } { 2 } } \left| \frac { d } { d r } ( e ^ { i \widetilde { \omega } r _ { * } } { u } _ { \mathrm { i n f } } ) \right| \, d r \Bigg ) ^ { 2 } } \\ { \leq } & { \: C _ { m } \widetilde { \omega } ( r _ { 0 } - 1 ) | W | ^ { 2 } \int _ { r _ { 0 } } ^ { 1 + z _ { 0 } | m | ^ { - 1 } | \widetilde { \omega } | } ( r - 1 ) ^ { - 2 + q - \epsilon ^ { \prime } } \, d r } \\ & { \times \int _ { 1 } ^ { 1 + z _ { 0 } | m | ^ { - 1 } | \widetilde { \omega } | } ( r - 1 ) ^ { - 1 + \epsilon ^ { \prime } } \frac { | m | } { | \widetilde { \omega } | } ( \widetilde { \omega } ^ { 2 } | { u } _ { \mathrm { i n f } } | ^ { 2 } + | { u } _ { \mathrm { i n f } } ^ { \prime } | ^ { 2 } ) \, d r } \\ & { \: + C _ { m } ( r _ { 0 } - 1 ) | W | ^ { - 2 } \int _ { 1 + z _ { 0 } | m | ^ { - 1 } | \widetilde { \omega } | } ^ { R _ { 0 } } ( r - 1 ) ^ { - 1 + q - \epsilon ^ { \prime } } \, d r \int _ { 1 + z _ { 0 } | m | ^ { - 1 } | \widetilde { \omega } | } ^ { R _ { 0 } } ( r - 1 ) ^ { - 2 + \epsilon ^ { \prime } } ( \widetilde { \omega } ^ { 2 } | { u } _ { \mathrm { i n f } } | ^ { 2 } + | { u } _ { \mathrm { i n f } } ^ { \prime } | ^ { 2 } ) } \\ { \leq } & { \: C _ { m } ( r _ { 0 } - 1 ) ^ { q - \epsilon ^ { \prime } } W _ { 0 } ^ { 2 } B _ { \mathrm { h o m } } ^ { 2 } | m \widetilde { \omega } | + C _ { m } ( R _ { 0 } - 1 ) ^ { q - \epsilon ^ { \prime } } B _ { \mathrm { h o m } } ^ { 2 } W _ { 0 } ^ { 2 } } \\ { \leq } & { \: C _ { m } W _ { 0 } ^ { 2 } B _ { \mathrm { h o m } } ^ { 2 } } \end{array}
m _ { 0 } = \frac { 1 5 1 } { 3 1 5 } , \quad m _ { 1 } = \frac { 3 9 7 } { 1 6 8 0 } , \quad m _ { 2 } = \frac { 1 } { 4 2 } , \quad m _ { 3 } = \frac { 1 } { 5 0 4 0 }
\begin{array} { r } { \nu _ { n } k _ { n } ^ { 2 } = \bar { \nu } k _ { n } ^ { 2 } - \frac { a _ { 1 } k _ { n } ^ { 2 } [ a _ { 3 } C _ { n + 1 } ( t ) + a _ { 2 } C _ { n + 2 } ( t ) ] } { \nu _ { n + 1 } k _ { n + 1 } ^ { 2 } + \nu _ { n + 2 } k _ { n + 2 } ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \varepsilon _ { 1 , b a } } & { { } = } & { \varepsilon _ { 1 , b } - \varepsilon _ { 1 , a } , } \\ { \delta \varepsilon _ { 1 , b a } } & { { } = } & { \bigg | \frac { \partial \varepsilon _ { 1 , b a } } { \partial r _ { N } } \bigg | \, \delta r _ { N } } \end{array}
\begin{array} { r } { R ( \mathbf { x } _ { j } ( \boldsymbol { \xi } ) , \mathbf { x } _ { j } ( \boldsymbol { \xi } ^ { \prime } ) ) ^ { 2 } = \| \mathbf { R } ( \mathbf { x } , \mathbf { x } _ { j } ( \boldsymbol { \xi } ^ { \prime } ) ) \| _ { 2 } ^ { 2 } = \bigg \| \bigg ( \frac { \partial \mathbf { x } } { \partial \boldsymbol { \xi } } \bigg ) _ { j } ( \boldsymbol { \xi } _ { j } - \boldsymbol { \xi } ^ { \prime } ) \bigg \| _ { 2 } ^ { 2 } = \| \boldsymbol { \xi } _ { j } - \boldsymbol { \xi } ^ { \prime } \| _ { 2 } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle G _ { j 2 } , R - I _ { d } \right\rangle } & { = \frac { \sigma } { \sqrt { n } } \left\langle \sum _ { k \neq j } A _ { j k } W _ { j k } \Lambda ^ { - 1 } , R - I _ { d } \right\rangle } \\ & { = \frac { \sigma } { \sqrt { n } } \left\langle \sum _ { k \neq j } A _ { j k } W _ { j k } \frac { 1 } { n p } , R - I _ { d } \right\rangle + \frac { \sigma } { \sqrt { n } } \left\langle \sum _ { k \neq j } A _ { j k } W _ { j k } \left( \Lambda ^ { - 1 } - \frac { 1 } { n p } I _ { d } \right) , R - I _ { d } \right\rangle } \\ & { = \frac { \sigma } { \sqrt { n } } \frac { 1 } { n p } \left\langle \sum _ { k \neq j } A _ { j k } W _ { j k } , R - I _ { d } \right\rangle + \frac { \sigma } { \sqrt { n } } \left\langle \sum _ { k \neq j } A _ { j k } W _ { j k } \Lambda ^ { - 1 } ( n p I _ { d } - \Lambda ) \frac { 1 } { n p } , R - I _ { d } \right\rangle } \\ & { = \frac { \sigma } { \sqrt { n } } \frac { 1 } { n p } \left\langle \sum _ { k \neq j } A _ { j k } W _ { j k } , R - I _ { d } \right\rangle + \frac { 1 } { n p } \left\langle G _ { j 2 } ( n p I _ { d } - \Lambda ) , R - I _ { d } \right\rangle } \\ & { \leq \frac { \sigma } { \sqrt { n } } \frac { 1 } { n p } \left\langle \sum _ { k \neq j } A _ { j k } W _ { j k } , R - I _ { d } \right\rangle + \frac { \sqrt { d } } { n p } \left\| { G _ { j 2 } ( n p I _ { d } - \Lambda ) } \right\| _ { \mathrm { o p } } \left\| { R - I _ { d } } \right\| _ { \mathrm { F } } } \\ & { \leq \frac { \sigma } { \sqrt { n } } \frac { 1 } { n p } \left\langle \sum _ { k \neq j } A _ { j k } W _ { j k } , R - I _ { d } \right\rangle + \frac { \sqrt { d } } { n p } \left\| { G _ { j 2 } } \right\| _ { \mathrm { o p } } \operatorname* { m a x } _ { i \in [ n ] } \left| \lambda _ { i } ( X ) - n p \right| \sqrt { 2 h _ { R } } } \\ & { \leq \frac { \sigma } { \sqrt { n } } \frac { 1 } { n p } \left\langle \sum _ { k \neq j } A _ { j k } W _ { j k } , R - I _ { d } \right\rangle + \frac { C _ { 0 } \sqrt { 2 d h _ { R } } ( 1 + \sigma \sqrt { d } ) } { \sqrt { n p } } \left\| { G _ { j 2 } } \right\| _ { \mathrm { o p } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { S _ { B } ( \boldsymbol \Phi ^ { \prime } ) } & { \! \! \! \! = } & { \! \! \! \! { \frac { \mathrm { i } R _ { A } R _ { B } } { \lambda ( D - R _ { A } + R _ { B } ) } } \, \exp \left( { \frac { - \mathrm { i } \pi R _ { B } ( R _ { A } - D ) } { \lambda ( D - R _ { A } + R _ { B } ) } } \Phi ^ { 2 } \right) } \\ & { } & { \times \int _ { { \mathbb R } ^ { 2 } } \exp \left( { \frac { - \mathrm { i } \pi R _ { A } ( R _ { B } + D ) } { \lambda ( D - R _ { A } + R _ { B } ) } } \Phi ^ { 2 } \right) \exp \left( { \frac { 2 \mathrm { i } \pi R _ { A } R _ { B } } { \lambda ( D - R _ { A } + R _ { B } ) } } \, \boldsymbol \Phi ^ { \prime } \boldsymbol \cdot \boldsymbol \Phi \right) \, S _ { A } ( \boldsymbol \Phi ) \, \mathrm { d } \boldsymbol \Phi \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { = \int Q ( \varphi _ { \delta / 2 } ( z ) , d \tilde { z } ) \Big ( f _ { k } ( \tilde { z } , 0 ) - \delta \mathcal { L } f _ { k } ( \tilde { z } , 0 ) + \frac { \delta ^ { 2 } } { 2 } \mathcal { L } ^ { 2 } f _ { k } ( \tilde { z } , \tilde { s } _ { 2 } ) + \frac { \delta } { 2 } D _ { \Phi } f _ { k } ( \tilde { z } , \delta ) } \\ & { + \frac { \delta ^ { 2 } } { 8 } R ( \tilde { z } , \tilde { s } _ { 2 } ; f _ { k } ) - f _ { k } ( z , 0 ) + \delta \mathcal { L } f _ { k } ( z , 0 ) - \frac { \delta ^ { 2 } } { 2 } \mathcal { L } ^ { 2 } f _ { k } ( z , \tilde { s } _ { 3 } ) - \delta D _ { \Phi } f _ { k } ( z , \delta ) - \frac { \delta ^ { 2 } } { 2 } R ( z , \tilde { s } _ { 3 } ; f _ { k } ) \Big ) } \\ & { \int _ { 0 } ^ { \delta } \Big ( \lambda ( z ) + \frac { \delta } { 2 } D _ { \Phi } \lambda ( z ) + \frac { 1 } { 8 } \delta ^ { 2 } R ( z , \tilde { s } _ { 4 } ; \lambda ) \Big ) } \\ & { \Big ( 1 - s \lambda ( \varphi _ { \delta / 2 } ( z ) ) - ( \delta - s ) \lambda ( \tilde { z } ) + \frac { 1 } { 2 } ( s \lambda ( \varphi _ { \delta / 2 } ( z ) ) + ( \delta - s ) \lambda ( \tilde { z } ) ) ^ { 2 } e ^ { - \eta } \Big ) d s } \\ { = } & { \int Q ( \varphi _ { \delta / 2 } ( z ) , d \tilde { z } ) \Big ( f _ { k } ( \tilde { z } , 0 ) - f _ { k } ( z , 0 ) \Big ) \int _ { 0 } ^ { \delta } \Big ( \lambda ( z ) + \frac { \delta } { 2 } D _ { \Phi } \lambda ( z ) \Big ) \Big ( 1 - s \lambda ( z ) - ( \delta - s ) \lambda ( \tilde { z } ) \Big ) d s } \\ & { + \delta \int Q ( \varphi _ { \delta / 2 } ( z ) , d \tilde { z } ) \Big ( - \mathcal { L } f _ { k } ( \tilde { z } , 0 ) + \frac { 1 } { 2 } D _ { \Phi } f _ { k } ( \tilde { z } , 0 ) + \mathcal { L } f _ { k } ( z , 0 ) - D _ { \Phi } f _ { k } ( z , 0 ) \Big ) } \\ & { \int _ { 0 } ^ { \delta } \Big ( \lambda ( z ) + \frac { \delta } { 2 } D _ { \Phi } \lambda ( z ) \Big ) \Big ( 1 - s \lambda ( z ) - ( \delta - s ) \lambda ( \tilde { z } ) \Big ) d s + e ^ { R ( t _ { n } - t _ { k } ) } \mathcal { O } ( \lVert g \rVert _ { \mathcal { C } _ { \Phi } ^ { 2 , 0 } } ( 1 + \lvert z \rvert ^ { M } ) \delta ^ { 3 } ) } \end{array}
\| \tilde { \eta } ( t ) \| _ { \mathcal { X } _ { \epsilon } } ^ { 2 } \, \le \, C _ { 6 } E _ { \epsilon } ( t ) + C _ { 7 } \bigl ( \beta _ { \epsilon } \mu _ { 0 } ( t ) ^ { 2 } + \mu _ { 1 } ( t ) ^ { 2 } \bigr ) \, \le \, C \, \mathfrak { R } _ { \epsilon } ( t ) ^ { 2 } \, .
\begin{array} { r l } { U ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) = } & { { } \int \frac { d ^ { 3 } \mathbf { k } ^ { \prime } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \tilde { U } ( \mathbf { k } ^ { \prime } ) \exp \left( i \mathbf { k } ^ { \prime } \cdot \mathbf { r } ^ { \prime } \right) . } \end{array}
\mathbf { x } ^ { \mathsf { T } } { \boldsymbol { \Lambda } } \mathbf { x } = | | \mathbf { x } | | ^ { 2 } \mathbf { n } ^ { \mathsf { T } } { \boldsymbol { \Lambda } } \mathbf { n } = | | \mathbf { x } | | ^ { 2 } I _ { \mathbf { n } } = 1 .
\begin{array} { r l } { \left| f ( x ) - f ( x ^ { \prime } ) \right| } & { = \left| \frac { 1 } { n } \sum _ { j \in [ n ] } x _ { j } - \frac { 1 } { n + 1 } \sum _ { j \in [ n ^ { \prime } ] } x _ { j } ^ { \prime } \right| } \\ & { = \left| \frac { 1 } { n } \sum _ { j \in [ n ] } x _ { j } - \frac { 1 } { n + 1 } \left( x _ { i } ^ { \prime } + \sum _ { j \in [ n ] } x _ { j } \right) \right| } \\ & { = \left| \left( \frac { 1 } { n } - \frac { 1 } { n + 1 } \right) \sum _ { j \in [ n ] } x _ { j } - \frac { x _ { i } ^ { \prime } } { n + 1 } \right| } \\ & { = \frac { 1 } { n + 1 } \left| \frac { 1 } { n } \sum _ { j \in [ n ] } x _ { j } - x _ { i } ^ { \prime } \right| } \\ & { \le \frac { 1 } { n + 1 } \frac { 1 } { n } \sum _ { j \in [ n ] } \left| x _ { j } - x _ { i } ^ { \prime } \right| } \\ & { \le \frac { b - a } { n + 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \cal H } ^ { + } ( \overline { { s } } ) } & { { } \ge } & { { \cal H } ^ { * } + \operatorname* { m i n } _ { s _ { 1 } , \ldots , s _ { N - 1 } } { \sum _ { i } } ^ { \prime } ( - h _ { i } - J _ { i n } ) s _ { i } - h _ { n } \; , } \\ { { \cal H } ^ { - } ( \overline { { s } } ) } & { { } \ge } & { { \cal H } ^ { * } + \operatorname* { m i n } _ { s _ { 1 } , \ldots , s _ { N - 1 } } - { \sum _ { i } } ^ { \prime } ( - h _ { i } + J _ { i n } ) s _ { i } + h _ { n } \; . } \end{array}
\underline { { { h s _ { \bf C } ( 2 , 2 ) } } } : \; \; \; \; f = i \alpha + \alpha _ { i \bar { j } } a ^ { i } \bar { a } ^ { \bar { j } } + i \alpha _ { i _ { 1 } i _ { 2 } \bar { j } _ { 1 } \bar { j } _ { 2 } } a ^ { i _ { 1 } } a ^ { i _ { 2 } } \bar { a } ^ { \bar { j } _ { 1 } } \bar { a } ^ { \bar { j } _ { 2 } } + \ldots
\mathscr { F } ( c , f ) ( \varphi ) = c f ^ { \prime } ( \varphi ) + f ^ { \prime } ( \varphi ) \frac { ( \partial _ { \theta } \Psi \{ f \} ) \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) , \varphi \big ) } { \sin \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) \big ) } + \frac { ( \partial _ { \varphi } \Psi \{ f \} ) \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) , \varphi \big ) } { \sin \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) \big ) } \cdot
\begin{array} { r } { \frac { C _ { + } } { C _ { - } } = F _ { 1 } \frac { a _ { c o } } { ( a _ { - } - D _ { + } ^ { 2 } ) } \frac { j _ { \ell } ( D _ { - } ) } { j _ { \ell } ( D _ { + } ) } , } \end{array}
[ \hat { S } _ { 0 } , \hat { S } _ { + } ] = ( \hat { C } _ { 2 } - \hat { C } ^ { \prime } ) \hat { J } ^ { + } \qquad [ \hat { S } _ { 0 } , \hat { S } _ { - } ] = - ( \hat { C } _ { 2 } - \hat { C } ^ { \prime } ) \hat { J } ^ { - } \qquad [ \hat { S } _ { + } , \hat { S } _ { - } ] = 2 ( \hat { C } _ { 2 } - \hat { C } ^ { \prime } ) \hat { H }
g _ { T } ^ { D / L } = \frac { c \, \hbar ^ { 3 } \Gamma ^ { \prime } \Omega \tilde { \Delta } \alpha _ { A } } { 2 \Delta _ { 0 } ^ { 3 } \mu _ { 0 } \mu _ { B } ^ { 2 } \rho \cos { \theta } } ,
\begin{array} { r } { \tilde { \mathcal { E } } _ { 0 , 0 } ^ { k _ { 0 } } ( \boldsymbol { x } , s _ { k _ { 0 } + 1 } , \alpha , \frac { t } { \tau _ { 0 } } ; \hbar ) = \int _ { [ 0 , \frac { t } { \tau _ { 0 } } ] _ { \leq } ^ { k _ { 0 } } } \boldsymbol { 1 } _ { [ s _ { k _ { 0 } + 1 } , t ] } ( s _ { k _ { 0 } } ) \prod _ { m = 1 } ^ { k _ { 0 } + 1 } \Theta _ { \alpha _ { m } } ( s _ { m - 1 } , { s } _ { m } , x _ { m } ; V , \hbar ) \, d \boldsymbol { s } _ { k _ { 0 } , 1 } U _ { \hbar , 0 } ( - t ) . } \end{array}
C = \Gamma _ { 2 } \Gamma _ { 4 } = \left( \begin{array} { c c } { { I } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \widetilde { I } } } \end{array} \right) \ , \quad I = \widetilde { I } = \left( \begin{array} { c c c } { { \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { - 1 } } & { { 0 } } \end{array} } } & { { | } } & { { 0 } } \\ { { --- } } & { { | } } & { { --- } } \\ { { 0 } } & { { | } } & { { \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { - 1 } } & { { 0 } } \end{array} } } \end{array} \right)
\int _ { \Omega _ { n } } \varphi _ { i } \frac { \partial { \textbf { w } _ { n } ^ { \delta } } } { \partial { t } } d \Omega + \int _ { \Omega _ { n } } \varphi _ { i } \nabla \cdot \textbf { F } ( \textbf { w } _ { n } ^ { \delta } , \nabla \textbf { w } _ { n } ^ { \delta } ) d \Omega = \int _ { \Omega _ { n } } \varphi _ { i } \textbf { S } ( \textbf { w } _ { n } ^ { \delta } , \nabla \textbf { w } _ { n } ^ { \delta } ) d \Omega \quad \forall \varphi _ { i } \in \mathcal { V } .
P _ { 1 } ^ { \prime } ( m ) = \sum _ { P _ { 1 } ^ { \prime } \le \textnormal { N } ( p _ { 1 } ) < ( 1 + \eta ) P _ { 1 } ^ { \prime } } \frac { \lambda ^ { m } ( p _ { 1 } ) } { \textnormal { N } ( p _ { 1 } ) } , \quad P ( m ) = \sum _ { \textnormal { N } ( p ) \sim X / P _ { 1 } ^ { \prime } } \frac { \lambda ^ { m } ( p ) } { \textnormal { N } ( p ) }
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { s u p } _ { ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) \in \mathcal { X } \times { \bf R } ^ { d } } E _ { ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) } ^ { \theta } \left\{ \log \left( \left\vert \tilde { f } _ { \theta } ^ { \nu } ( y _ { 0 } , Y _ { 1 } ) \right\vert ^ { p } \frac { w ( X _ { p } , Y _ { p } ) } { w ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) } \right) \right\} < 0 , } \\ & { \operatorname* { s u p } _ { ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) \in \mathcal { X } \times { \bf R } ^ { d } } E _ { ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) } ^ { \theta } \left\{ \left\vert \tilde { f } _ { \theta } ^ { \nu } ( y _ { 0 } , Y _ { 1 } ) \right\vert \frac { w ( X _ { 1 } , Y _ { 1 } ) } { w ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) } \right\} < \infty . } \end{array}
\tilde { k } _ { j } ^ { 2 } \; \equiv E _ { j } ^ { 2 } \; \xi _ { j - 1 } \; \; , \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \xi _ { j - 1 } \, = \, \frac { p _ { j - 1 } \cdot p _ { j - 1 } ^ { \prime } } { E _ { j - 1 } E _ { j - 1 } ^ { \prime } } \, \simeq \, 1 - \cos \theta _ { ( j \mathrm { - } 1 ) , ( j \mathrm { - } 1 ) ^ { \prime } } \; \; \; \; \; \; \; \; \; ( m \ge j \ge 1 ) \; .
\mathrm { \small ~ \left. \begin{array} { l l l } { { B _ { 1 } = \mathrm { ~ \textstyle \frac { { 1 } } { { 2 } } ~ } ( g ^ { 2 } + ~ g ^ { \prime ^ { 2 } } ) + ~ \mathrm { ~ \textstyle \frac { { 1 } } { { 1 8 } } ~ } ~ g ^ { \prime \prime ^ { 2 } } } } & { { B _ { 2 } = 2 \ l a m b d a ^ { 2 } + \mathrm { ~ \textstyle \frac { { 2 } } { { 9 } } ~ } ~ g ^ { \prime \prime ^ { 2 } } - ~ \mathrm { ~ \textstyle \frac { { 1 } } { { 2 } } ~ } ( g ^ { 2 } + ~ g ^ { \prime ^ { 2 } } ) } } & { { B _ { 3 } = 2 \ l a m b d a ^ { 2 } - \mathrm { ~ \textstyle \frac { { 5 } } { { 1 8 } } ~ } ~ g ^ { \prime \prime ^ { 2 } } } } \\ { { } } & { { B _ { 4 } = \mathrm { ~ \textstyle \frac { { 1 } } { { 2 } } ~ } ( g ^ { 2 } + ~ g ^ { \prime ^ { 2 } } ) + ~ \mathrm { ~ \textstyle \frac { { 8 } } { { 9 } } ~ } ~ g ^ { \prime \prime ^ { 2 } } } } & { { B _ { 5 } = 2 \ l a m b d a ^ { 2 } - \mathrm { ~ \textstyle \frac { { 1 0 } } { { 9 } } ~ } ~ g ^ { \prime \prime ^ { 2 } } } } \\ { { } } & { { } } & { { B _ { 6 } = \mathrm { ~ \textstyle \frac { { 2 5 } } { { 1 8 } } ~ } ~ g ^ { \prime \prime ^ { 2 } } } } \end{array} \right\} ~ } \, .
\begin{array} { l l } { P _ { n i n v } ^ { 1 } ( \lambda , \mu ) } & { = \{ \nu _ { ( a _ { 0 } , b _ { 0 } ) } : ( a _ { 0 } , b _ { 0 } ) \in S _ { n i n v } ( \lambda , \mu ) \} } \\ & { \bigcup _ { j = 1 } ^ { \mu _ { 2 } - 1 } \{ \nu _ { ( a _ { j } , b _ { j } ) } : ( a _ { j } , b _ { j } ) \in \mathbb S _ { n i n v } ( \lambda + j \omega _ { 2 } , \mu - j \omega _ { 2 } ) , \ b _ { j } - a _ { j } \in \{ \lambda _ { 2 } - \mu _ { 1 } + j , \mu _ { 2 } - \lambda _ { 1 } - j \} \} , } \end{array} .
\begin{array} { r l } { Z ( \beta ) } & { = \mathrm { e } ^ { \beta \omega / 2 } \operatorname* { l i m } _ { N \rightarrow \infty } \prod _ { k = - N / 4 } ^ { N / 4 } \left[ \mathrm { i } ( 1 - \varepsilon \omega ) \frac { \pi ( 2 n - 1 ) } { \beta } + \omega \right] } \\ & { = \mathrm { e } ^ { \beta \omega / 2 } \mathrm { e } ^ { - \beta \omega / 2 } \prod _ { k = 1 } ^ { \infty } \left[ \left( \frac { 2 \pi ( n - 1 / 2 ) } { \beta } \right) ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } \right] } \\ & { = \prod _ { k = 1 } ^ { \infty } \left[ \frac { \pi ( 2 k - 1 ) } { \beta } \right] ^ { 2 } \prod _ { n = 1 } ^ { \infty } \left[ 1 + \left( \frac { \beta \omega } { \pi ( 2 n - 1 ) } \right) ^ { 2 } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { - n ^ { - 1 } \left( \frac 1 2 | \lambda | ( | \lambda | - 1 ) i ^ { 2 } + | \lambda | \frac 1 2 i ^ { 2 } \right. } \\ & { \left. + \frac 1 2 | \lambda ^ { \prime } | ( | \lambda ^ { \prime } | - 1 ) ( - i ) ^ { 2 } + | \lambda ^ { \prime } | \frac 1 2 ( - i ) ^ { 2 } + | \lambda ^ { \prime } | | \lambda | i ( - i ) \right) I _ { f } { ( a ) } } \\ & { = ( | \lambda | - | \lambda ^ { \prime } | ) ^ { 2 } \frac { s } { \sigma _ { 0 } } n ^ { - 1 } \ln \left( \frac { L } { a } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \begin{array} { l } { \tilde { B } _ { x } ^ { \prime } } \\ { \tilde { B } _ { y } ^ { \prime } } \end{array} \right) \propto \, } & { { } \delta \left( k ^ { \prime } - \frac { 2 \pi } { \lambda } \right) \sqrt { \frac { \cos \theta ^ { \prime } } { \cos \theta } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle ~ { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t + 1 ) } ~ , ~ { \boldsymbol p } ~ \rangle - \langle ~ { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ~ , ~ { \boldsymbol p } ~ \rangle \ge } & { ~ c _ { \eta } ( I _ { 1 } - | I _ { 2 } | ) } \\ { \ge } & { ~ - c _ { \eta } \cdot \bigg ( 1 + \sigma \cdot \sqrt { \frac { ( 1 + r ^ { 2 } ) \log q } { | \mathcal { D } | } } \bigg ) . } \end{array}