harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { B _ { n - 1 } ^ { \ell } \partial _ { n } \left( f _ { 1 } \otimes \dots \otimes f _ { n } \otimes ( a , b ) \right) } \\ & { = B _ { n - 1 } ^ { \ell } \big ( f _ { 2 } \otimes \dots \otimes f _ { n } \otimes ( a , b ) f _ { 1 } + \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } ( - 1 ) ^ { i } f _ { 1 } \otimes \dots \otimes f _ { i } \cdot f _ { i + 1 } \otimes \dots \otimes f _ { n } \otimes ( a , b ) } \\ & { + ( - 1 ) ^ { n } f _ { 1 } \otimes \dots \otimes f _ { n - 1 } \otimes f _ { n } ( a , b ) \big ) } \\ & { = ( - 1 ) ^ { k } f _ { 2 } \otimes \dots \otimes f _ { k } \otimes \mathrm { i d } _ { s f _ { k + 1 } } \otimes f _ { k + 1 } \otimes \dots \otimes f _ { n } \otimes ( a , b ) f _ { 1 } } \\ & { + ( - 1 ) ^ { k } \sum _ { i = 1 } ^ { k - 1 } ( - 1 ) ^ { i } f _ { 1 } \otimes \dots \otimes f _ { i } \cdot f _ { i + 1 } \otimes \dots \otimes f _ { k } \otimes \mathrm { i d } _ { s f _ { k + 1 } } \otimes f _ { k + 1 } \otimes \dots \otimes f _ { n } \otimes ( a , b ) } \\ & { + ( - 1 ) ^ { k + 1 } \sum _ { i = k + 1 } ^ { n - 1 } ( - 1 ) ^ { i } f _ { 1 } \otimes \dots \otimes f _ { k } \otimes \mathrm { i d } _ { s f _ { k + 1 } } \otimes f _ { k + 1 } \otimes \dots \otimes f _ { i } \cdot f _ { i + 1 } \otimes \dots \otimes f _ { n } \otimes ( a , b ) } \\ & { + ( - 1 ) ^ { k + 1 } ( - 1 ) ^ { n } f _ { 1 } \otimes \dots \otimes f _ { k } \otimes \mathrm { i d } _ { s f _ { k + 1 } } \otimes f _ { k + 1 } \otimes \dots \otimes f _ { n - 1 } \otimes f _ { n } ( a , b ) . } \end{array}
\mathrm { i } \int d ^ { 4 } x \ e ^ { \mathrm { i } q x } \langle 0 | T V _ { \mu } ^ { a } ( x ) V _ { \nu } ^ { a } ( 0 ) | 0 \rangle = \left( q _ { \mu } q _ { \nu } - q ^ { 2 } g _ { \mu \nu } \right) \Pi _ { V } ( q ^ { 2 } ) \ .
\begin{array} { r l } & { \log | \mathcal { J } _ { k } | \leq n ( R _ { k } + \delta ) , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \log | \mathcal { P } _ { k } | \leq n ( K _ { k } + \delta ) , } \\ & { I ( X ^ { n } ; J _ { 1 } , \cdots , J _ { m } ) \leq n \delta , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \textstyle \mathbb { E } [ { d ^ { ( n ) } } ( X ^ { n } , \hat { X } ^ { n } ) ] \leq D + \delta } \end{array}
= \frac { \beta } { 2 \pi } ( k ^ { \mu } k ^ { \nu } - k ^ { 2 } g ^ { \mu \nu } ) \left[ \frac { 1 } { \sqrt { k ^ { 2 } } } \left( 1 + \frac { 4 m ^ { 2 } } { k ^ { 2 } } \right) \log \left( \frac { 1 - \sqrt { \frac { 4 m ^ { 2 } } { k ^ { 2 } } } } { 1 + \sqrt { \frac { 4 m ^ { 2 } } { k ^ { 2 } } } } \right) + \frac { 4 m } { k ^ { 2 } } \right] \, \, ,
\begin{array} { r l r } { R T \gamma _ { \mathrm { a } } ( T ) } & { { } = } & { \frac { 8 \pi ^ { 3 } } { 3 } N _ { \mathrm { A } } ^ { 2 } \int \left[ \frac { 2 } { 1 5 } b _ { T T } ( r _ { 1 2 } ) b _ { T T } ( r _ { 1 3 } ) + \frac { 1 4 } { 1 5 } b _ { T } ( r _ { 1 2 } ) b _ { T T } ( r _ { 1 3 } ) + b ( r _ { 1 2 } ) b _ { T T } ( r _ { 1 3 } ) + \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \{ y \in \mathbb { R } ^ { d } : | \tilde { y } | < r \} } \! \! \! \! \! \! \! \int _ { 0 } ^ { | \tilde { y } | ^ { 2 } } \left( \frac { | \tilde { y } | ^ { 2 } } { 2 } + y _ { d } + x _ { d } \right) ^ { \frac { - d - \alpha } { 2 } } d y _ { d } \, d \tilde { y } } & { = c \int _ { 0 } ^ { r } \int _ { 0 } ^ { \rho ^ { 2 } } \left( \rho ^ { 2 } + y _ { d } ^ { 2 } + x _ { d } ^ { 2 } \right) ^ { \frac { - d - \alpha } { 2 } } d y _ { d } \, d \rho } \\ & { \leq c \int _ { 0 } ^ { r } \rho ^ { d - 2 } \rho ^ { 2 } \left( \rho ^ { 2 } + x _ { d } ^ { 2 } \right) ^ { \frac { - d - \alpha } { 2 } } d \rho } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { x _ { d } } \rho ^ { d } \left( \rho ^ { 2 } + x _ { d } ^ { 2 } \right) ^ { \frac { - d - \alpha } { 2 } } d \rho + \int _ { x _ { d } } ^ { r } \rho ^ { d } \left( \rho ^ { 2 } + x _ { d } ^ { 2 } \right) ^ { \frac { - d - \alpha } { 2 } } d \rho . } \end{array}
E _ { i j } ^ { \prime } = - 2 \left\{ \frac { X _ { r r } } { ( \Delta r ) ^ { 2 } } + \frac { X _ { \theta \theta } } { ( \Delta \theta ) ^ { 2 } } \right\} _ { r = r _ { i } , \theta = \theta _ { j } } + \alpha X _ { i j } ^ { 2 }
\begin{array} { r l r } & { } & { u ( { { \bf x } } , { \bf x } _ { \mathrm { H } , F } , x _ { 3 , F } ) = \frac { \omega ^ { 2 } } { 4 \pi ^ { 2 } } \int _ { { \mathbb { R } } ^ { 2 } } \tilde { u } ( { { \bf x } } , { { \bf s } } , x _ { 3 , F } ) \exp \{ - i \omega { { \bf s } } \cdot { \bf x } _ { \mathrm { H } , F } \} \mathrm { d } ^ { 2 } { \bf s } . } \end{array}
r _ { B } = \frac { N _ { B } ^ { \prime } } { N _ { B } } = \frac { N _ { B } ^ { \prime } } { N } \cdot \left( 1 + R _ { S / B } \right) \approx \frac { N _ { B } ^ { \prime } } { N } \quad ( \mathrm { a p p r o x i m a t i o n \ i f } \: R _ { S / B } \ll 1 ) ,
\begin{array} { r l } { \frac { d \alpha } { d t } } & { { } = - \left( \gamma + i \omega _ { 0 } \right) \alpha + \sqrt { 2 \gamma \left( \sigma + \bar { n } \right) } \zeta ( t ) } \\ { \frac { d \beta } { d t } } & { { } = - \left( \gamma - i \omega _ { 0 } \right) \beta + \sqrt { 2 \gamma \left( \sigma + \bar { n } \right) } \zeta ^ { * } ( t ) , } \end{array}
U _ { \mathrm { t r a p } } = - \frac { I } { 2 \epsilon _ { 0 } c } \left( \alpha _ { S } + \alpha _ { T } \frac { 3 \cos ^ { 2 } \theta - 1 } { 2 } \frac { 3 m _ { F } ^ { 2 } - F ( F + 1 ) } { F ( 2 F - 1 ) } \right)
\begin{array} { l l } { { { [ } J _ { i } , J _ { j } ] = i { \epsilon _ { i j } } ^ { k } J _ { k } } } & { { i , j , k \, = \, 1 , 2 , 3 } } \\ { { { [ } J _ { i } , S _ { j } ] = i { \epsilon _ { i j } } ^ { k } S _ { k } } } & { { } } \\ { { { [ } S _ { i } , S _ { j } ] = i { \epsilon _ { i j } } ^ { k } J _ { k } \, ( C _ { 2 } - 2 \ { \vec { J } \, } ^ { 2 } ) \ \ } } & { { } } \\ { { { [ } C _ { 2 } , J _ { i } ] = [ C _ { 2 } , S _ { i } ] = 0 } } & { { \mathrm { w i t h ~ } \ { \vec { J } \, } ^ { 2 } = J _ { 1 } ^ { 2 } + J _ { 2 } ^ { 2 } + J _ { 3 } ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { Z _ { ( G _ { 2 } ^ { \otimes m + 1 } ) ^ { \prime } } \left( U _ { i } \, | \, Z ( W ) = \epsilon \right) } & { \leqslant Z \left[ W ( U _ { i } ) \, | \, Z ( W ( X _ { j } ) ) = 2 \epsilon - \epsilon ^ { 2 } , \mathrm { ~ f o r ~ } 1 \leqslant j \leqslant f ( m ) \right] } \\ { = Z _ { ( G _ { 2 } ^ { \otimes m } ) ^ { \prime } } \left( U _ { i } \, | \, Z ( W ) = 2 \epsilon - \epsilon ^ { 2 } \right) } & { \leqslant Z _ { G _ { 2 } ^ { \otimes m } } \left( U _ { i } \, | \, Z ( W ) = 2 \epsilon - \epsilon ^ { 2 } \right) = Z _ { G _ { 2 } ^ { \otimes m + 1 } } \left( U _ { i } \, | \, Z ( W ) = \epsilon \right) , } \end{array}
\Omega _ { m } \approx N ^ { - 1 } \sum _ { \ell } \left( \Omega _ { \ell , \ell + 1 } e ^ { i 2 \pi m / N } + \Omega _ { \ell , \ell - 1 } e ^ { - i 2 \pi m / N } \right) = 2 \Omega _ { d } \cos \left( 2 \pi m / N \right) ,
\begin{array} { r } { \tilde { \alpha } = \frac { \tilde { \omega } } { \tilde { \sigma } } \frac { 1 } { \tau _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ s ~ t ~ } } } \delta V _ { \frac { 1 } { 2 } } = \frac { 1 2 ^ { 1 / 4 } } { \nu ^ { 3 / 2 } } \frac { \delta V _ { \frac { 1 } { 2 } } } { \Delta V } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { \textrm { L D } } ( t ) } & { { } = \frac { \hat { \mathbf { P } } ^ { 2 } } { 2 m _ { e } } + V ( \hat { \mathbf { r } } _ { 1 } , \hat { \mathbf { r } } _ { 2 } , \hdots , \hat { \mathbf { r } } _ { N } ) + \frac { e \mathbf { A } _ { \textrm { d } } ( t ) \cdot \hat { \mathbf { P } } } { m _ { e } } } \end{array}
\langle \sin \phi _ { h } \rangle _ { U L } \propto \frac { 1 } { Q } \Big [ \Big ( c _ { 1 } \, h _ { L } ( x ) + c _ { 2 } \, h _ { 1 } ( x ) \Big ) H _ { 1 } ^ { \perp ( 1 / 2 ) } ( z ) \, + \, \mathrm { o t h e r ~ t e r m s } \Big ] .
\begin{array} { l } { { \phi _ { k } ( \chi ) = \displaystyle \frac { 1 } { \omega _ { n - 1 } } \int _ { u u ^ { \prime } = 1 } a _ { k } ( u ) P _ { \alpha _ { k } ( m _ { 0 } ) } ( \chi , u ) \dot { u } ~ , } } \\ { { \psi _ { k } ( \chi ) = \displaystyle \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { u u ^ { \prime } = 1 } b _ { k } ( u ) P _ { \alpha _ { k } ( m _ { 0 } ) } ( \chi , u ) \dot { u } ~ . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { 4 } \frac { 1 } { ( \alpha \beta ) ^ { \frac 1 2 } } \Psi ( \alpha , 1 , \beta ) } & { = F _ { 2 , d } ^ { [ 4 ] } ( \alpha , \alpha , 1 , 1 , \beta ) + \Big ( \frac { d } { 2 } - 1 \Big ) F _ { 2 , d } ^ { [ 3 ] } ( \alpha , \alpha , 1 , \beta ) } \\ & { \quad + 2 F _ { 2 , d } ^ { [ 3 ] } ( \alpha , \alpha , \alpha , \beta ) + 2 F _ { 2 , d } ^ { [ 4 ] } ( \alpha , \alpha , \alpha , 1 , \beta ) } \\ & { = f ^ { [ 2 ] } ( \alpha , \alpha , \beta ) + 2 g ^ { [ 3 ] } ( \alpha , \alpha , \alpha , \beta ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { w ^ { \prime } = \frac { 1 } { 2 } \left( h _ { t ^ { \prime } } ^ { \prime } + u ^ { \prime } h _ { x ^ { \prime } } ^ { \prime } \right) \quad \mathrm { ~ a ~ t ~ } \; z ^ { \prime } = \frac { 1 } { 2 } h ^ { \prime } ( x ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) . } \end{array}
F _ { i } ( d , m _ { 1 } ^ { 2 } , m _ { 2 } ^ { 2 } , m _ { 3 } ^ { 2 } , p ^ { 2 } ) = - \frac { \partial } { \partial m _ { i } ^ { 2 } } F _ { 0 } ( d , m _ { 1 } ^ { 2 } , m _ { 2 } ^ { 2 } , m _ { 3 } ^ { 2 } , p ^ { 2 } ) \ ,
\int _ { \Omega } d \omega \wedge \eta = ( - 1 ) ^ { k } \int _ { \Omega } \omega \wedge d \eta , \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \omega \in H _ { 0 } \Lambda ^ { k - 1 } ( \Omega ) , \eta \in H \Lambda ^ { 3 - k } ( \Omega ) ,
\begin{array} { r l r } { M _ { \mathrm { ~ t ~ e ~ r ~ r ~ } } } & { { } = } & { 9 2 \, \frac { \alpha ^ { 3 / 2 } \, m _ { e } ^ { 3 / 4 } \, M _ { p l } ^ { 3 } } { m _ { p } ^ { 1 1 / 4 } } } \\ { \rho _ { \mathrm { ~ r ~ o ~ c ~ k ~ } } } & { { } = } & { 0 . 1 3 \, \alpha ^ { 3 } \, m _ { e } ^ { 3 } \, m _ { p } } \\ { a _ { \mathrm { ~ t ~ e ~ m ~ p ~ } } } & { { } = } & { 7 . 6 \, \frac { \lambda ^ { 7 / 4 } \, m _ { p } ^ { 1 / 2 } \, M _ { p l } ^ { 1 / 2 } } { \alpha ^ { 5 } \, m _ { e } ^ { 2 } } } \\ { Q _ { \mathrm { ~ s ~ o ~ l ~ a ~ r ~ } } } & { { } = } & { 5 . 3 \times 1 0 ^ { - 5 } \, \frac { \alpha ^ { 7 } \, m _ { e } ^ { 9 / 2 } \, M _ { p l } ^ { 2 } } { m _ { p } ^ { 9 / 2 } } } \\ { t _ { \mathrm { ~ d ~ a ~ y ~ } } } & { { } = } & { 3 7 6 \, \frac { M _ { p l } } { \alpha ^ { 3 / 2 } \, m _ { e } ^ { 3 / 2 } \, m _ { p } ^ { 1 / 2 } } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { 2 \sqrt { \Tilde { u } _ { x , \mathrm { i n } } ^ { 2 } + \Tilde { u } _ { z , \mathrm { i n } } ^ { 2 } } = U _ { 0 } \mathrm { e r f } \left[ \frac { 2 ( r _ { b } - | z | ) } { \delta } \right] } \\ { \Tilde { u } _ { z , \mathrm { i n } } / \Tilde { u } _ { x , \mathrm { i n } } = z \tan { \alpha } / r _ { b } } \end{array} \right. \ ,
\begin{array} { r l } & { \ \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } s ( t , x ) ( J * s ) ( t , x ) d x } \\ { \leq } & { \ \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } s ( t , x ) ( \delta _ { x _ { \perp \hat { \nu } _ { x } } } J * s ) ( t , x ) d x } \\ { = } & { \ \int _ { \mathbb { R } } \int _ { \mathbb { R } ^ { d - 1 } } \int _ { \mathbb { R } } J ^ { \hat { \nu } _ { x } } ( \omega - \omega ^ { \prime } ) s ( t , x _ { \perp \hat { \nu } _ { x } } + \omega \hat { \nu } _ { x } ) s ( t , x _ { \perp \hat { \nu } _ { x } } + \omega ^ { \prime } \hat { \nu } _ { x } ) d \omega ^ { \prime } \, d x _ { \perp \hat { \nu } _ { x } } \, d \omega . } \end{array}
\begin{array} { l } { { \sum _ { g = 1 } ^ { G } \rho _ { j , g } ^ { n \mathrm { + 1 } } = \sum _ { g = 1 } ^ { G } \rho _ { j , g } ^ { n } - \frac { \Delta t } { V _ { j } } \sum _ { g = 1 } ^ { G } \sum _ { k } \left( - \frac { c l _ { k } } { 3 \left( \sigma _ { s , g } \right) _ { j , k , g } ^ { n + 1 } } \delta _ { x ^ { \prime } } \rho _ { j , k , g } ^ { n + 1 } \right) } } \\ { { + c \Delta t \sum _ { g = 1 } ^ { G } \left( 2 \pi \left( \sigma _ { e , g } \right) _ { j } ^ { n + 1 } \phi _ { j , g } ^ { n \mathrm { + 1 } } - \left( \sigma _ { a , g } \right) _ { j } ^ { n + 1 } \rho _ { j , g } ^ { n \mathrm { + 1 } } \right) } } \end{array}
\begin{array} { r } { \tilde { \mu } _ { i \to \Psi _ { j } } ( \sigma _ { i j } , \tau _ { j } ^ { ( i ) } , t _ { i } ^ { ( j ) } , t _ { j } ^ { ( i ) } ) = \sum _ { \tau _ { i } ^ { ( j ) } } \mu _ { i \to \Psi _ { j } } ( \tau _ { i } ^ { ( j ) } , \tau _ { j } ^ { ( i ) } , t _ { i } ^ { ( j ) } , t _ { j } ^ { ( i ) } ) \mathbb { I } [ \sigma _ { i j } = 1 + \mathrm { s g n } ( \tau _ { i } ^ { ( j ) } - \tau _ { j } ^ { ( i ) } + s _ { i j } ) ] } \end{array}
\begin{array} { r l } & { f _ { 1 } = - 2 C \cos k + 2 C - \left( \omega ^ { 2 } L _ { 0 } \right) ^ { - 1 } } \\ & { f _ { 2 } = 2 \left( \omega ^ { 2 } L \right) ^ { - 1 } \cos k - 2 \left( \omega ^ { 2 } L \right) ^ { - 1 } + C _ { 0 } } \\ & { g _ { 1 } = - C _ { x } e ^ { i k } + \left( \omega ^ { 2 } L _ { x } \right) ^ { - 1 } e ^ { - i k } } \\ & { g _ { 2 } = \left( \omega ^ { 2 } L _ { x } \right) ^ { - 1 } e ^ { i k } - C _ { x } e ^ { - i k } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { j = 3 } ^ { \alpha } \binom { \alpha } { j } \gamma ^ { j } \Gamma ( j / 2 ) \left( \frac { 2 ( e ^ { 2 \varepsilon } - 1 ) ^ { 2 } } { e ^ { 2 \varepsilon } } \right) ^ { j / 2 } \leq 2 \left( \frac { \sqrt { 2 } \gamma \alpha ( e ^ { 2 \varepsilon } - 1 ) } { e ^ { \varepsilon } } \right) ^ { 3 } \leq \frac { 2 \gamma ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } ( e ^ { 2 \varepsilon } - 1 ) ^ { 2 } } { e ^ { 2 \varepsilon } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { r l } & { Z _ { t } ^ { \pi } = \sigma ^ { \mathsf { T } } ( t , X _ { t } ^ { \pi } , Y _ { t } ^ { \pi } ) \nabla _ { x } u ( t , X _ { t } ^ { \pi } ) , } \\ & { U _ { t } ^ { \pi } ( e ) = u ( t , X _ { t ^ { - } } ^ { \pi } + \beta ( t , X _ { t ^ { - } } ^ { \pi } , Y _ { t } ^ { \pi } , e ) ) - u ( t , X _ { t ^ { - } } ^ { \pi } ) , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { L } _ { H _ { 2 } } ^ { 2 } \phi _ { k } } & { = } & { \mathcal { L } _ { H _ { 2 } } \left( - i \mathcal { V } _ { \mathrm { D F T } } [ \rho ] \phi _ { k } \right) , } \\ & { = } & { - i \left( \mathcal { L } _ { H _ { 2 } } \mathcal { V } _ { \mathrm { D F T } } [ \rho ] \right) \phi _ { k } - i \mathcal { V } _ { \mathrm { D F T } } [ \rho ] \mathcal { L } _ { H _ { 2 } } \phi _ { k } , } \\ & { = } & { \left( - i \mathcal { V } _ { \mathrm { D F T } } [ \rho ] \right) ^ { 2 } \phi _ { k } , } \end{array}
H _ { \mathrm { t J } _ { z } } = \underbrace { J \sum _ { \langle i j \rangle } S _ { i z } S _ { j z } } _ { H _ { J _ { z } } } \underbrace { - t _ { \mathrm { e f f } } \sum _ { \langle i j \rangle \sigma \sigma ^ { \prime } } ( b _ { p i \sigma } ^ { \dagger } b _ { p j \sigma } b _ { s j \sigma ^ { \prime } } ^ { \dagger } b _ { s i \sigma ^ { \prime } } + h . c . ) } _ { H _ { t } } ,
\langle \eta _ { i } ( \vec { z } , t ) \eta _ { j } ( \vec { z ^ { \prime } } , t ^ { \prime } ) \rangle = ( \beta _ { i } + \delta _ { i } ) \rho _ { i } ( \vec { z } , t ) \delta ( t - t ^ { \prime } ) \delta ( \vec { z } - \vec { z } \, ^ { \prime } ) \delta _ { i , j }
\begin{array} { r l } { \implies G _ { \mathrm { b a } } } & { { } = - 2 \gamma e ^ { - 2 \gamma ( t _ { 1 } - \tau _ { 1 } ) } \Theta ( t _ { 1 } - \tau _ { 1 } ) \delta ( t _ { 2 } - \tau _ { 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { M _ { 4 , 2 , y y } ^ { \sigma , e q } } & { { } = \sum _ { i } f _ { i } ^ { \sigma , e q } v _ { i y } ^ { 2 } ( v _ { i \alpha } ^ { 2 } + \eta _ { i } ^ { \sigma 2 } ) = \rho ^ { \sigma } \{ ( D + I ^ { \sigma } + 2 ) R ^ { \sigma 2 } T ^ { 2 } } \end{array} } \end{array}
\vec { F } _ { 2 1 e } ^ { [ 2 ] } = \left( \frac { k } { c ^ { 2 } } \right) \int \int d ^ { 3 } x _ { 1 } d ^ { 3 } x _ { 2 } ~ \left[ \frac { 1 } { 2 } \rho _ { 2 } \partial _ { t } ^ { 2 } \rho _ { 1 } \hat { R } - \rho _ { 2 } \partial _ { t } \vec { J } _ { 1 } R ^ { - 1 } \right]
\begin{array} { r l } & { \quad \alpha \Vert y _ { 1 } - y _ { 2 } \Vert } \\ & { \le \Vert { \mathcal { G } } _ { 1 / L _ { g } } ( y _ { 1 } ; x _ { 2 } ) - { \mathcal { G } } _ { 1 / L _ { g } } ( y _ { 1 } ; x _ { 1 } ) \Vert } \\ & { = L _ { g } \left\Vert { \mathcal { P } } _ { { \mathcal { Y } } } \left( y - \frac { 1 } { L _ { g } } \nabla _ { y } g ( x , y ) \right) - { \mathcal { P } } _ { { \mathcal { Y } } } \left( y - \frac { 1 } { L _ { g } } \nabla _ { y } g ( x ^ { \prime } , y ) \right) \right\Vert } \\ & { \le \left\Vert \nabla _ { y } g ( x , y ) - \nabla _ { y } g ( x ^ { \prime } , y ) \right\Vert } \\ & { \le L _ { g } \Vert x - x ^ { \prime } \Vert , } \end{array}
\begin{array} { r } { R _ { a } = \frac { 1 . 2 \times 1 0 ^ { 1 9 } } { A _ { \mathrm { N a } } + A _ { \mathrm { I } } } g _ { a e } ^ { 2 } \left( \frac { m _ { a } } { \mathrm { k e V / c ^ { 2 } } } \right) \left( \frac { \sigma _ { \mathrm { p e } } ^ { \mathrm { s u m } } } { \mathrm { b a r n } } \right) \mathrm { d } ^ { - 1 } \mathrm { k g } ^ { - 1 } , } \end{array}
r _ { \mathrm { A } } = \left( { \frac { \sin ^ { 3 } \left( \theta _ { \mathrm { A } } \right) } { 2 - 3 \cos \left( \theta _ { \mathrm { A } } \right) + \cos ^ { 3 } \left( \theta _ { \mathrm { A } } \right) } } \right) ^ { \frac { 1 } { 3 } } ~ ; ~ ~ r _ { \mathrm { R } } = \left( { \frac { \sin ^ { 3 } \left( \theta _ { \mathrm { R } } \right) } { 2 - 3 \cos \left( \theta _ { \mathrm { R } } \right) + \cos ^ { 3 } \left( \theta _ { \mathrm { R } } \right) } } \right) ^ { \frac { 1 } { 3 } }
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega } \theta d | D f _ { j } ( x ) | - \int _ { \Omega } \theta d | D f ( x ) | = } & { \sum _ { i = 0 , 1 } \left[ \int _ { \Sigma _ { i , 1 / j } } \theta | i - \widetilde { T } _ { 1 / j } f | \, d \mathcal H ^ { 2 } - \int _ { \Sigma _ { i } } \theta | i - T _ { 1 / j } f | \, d \mathcal H ^ { 2 } - \int _ { U _ { i , 1 / j } } \theta d | D f ( x ) | \right] } \\ & { - \sum _ { i = 0 , 1 } \left( \int _ { \Sigma _ { i , 1 / j } } \theta \left| T _ { 1 / j } f - \widetilde { T } _ { 1 / j } f \right| \, d \mathcal H ^ { 2 } \right) } \\ { \leq } & { \sum _ { i = 0 , 1 } \left[ \int _ { \Sigma _ { i , 1 / j } } \theta | i - T _ { 1 / j } f | \, d \mathcal H ^ { 2 } - \int _ { \Sigma _ { i } } \theta | i - T _ { 1 / j } f | \, d \mathcal H ^ { 2 } - \int _ { U _ { i , 1 / j } } \theta d | D f ( x ) | \right] . } \end{array}
\frac { \Gamma ( V _ { Q } \rightarrow A g ) } { \Gamma ( V _ { Q } \rightarrow g g g ) } = \frac { 1 8 \pi } { 5 \alpha _ { s } ( \pi ^ { 2 } - 9 ) } ( 1 - x ) ( 1 + \frac { 1 } { x } )
\begin{array} { r } { \mathcal { L } _ { \mathcal { P } } = \frac { 1 } { N } \sum _ { k = 1 } ^ { N } \left( \frac { 1 } { a ( \boldsymbol x ^ { k } ) } \left[ \frac { \partial } { \partial x _ { i } } \left( a _ { i j } ( \boldsymbol x ^ { k } ) \frac { \partial \chi _ { \mathtt { N N } } ^ { m } ( \boldsymbol x ^ { k } ; \boldsymbol \Theta ) } { \partial x _ { j } } \right) + \frac { \partial a _ { i m } ( \boldsymbol x ^ { k } ) } { \partial x _ { i } } \right] \right) ^ { 2 } \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial } { \partial t } ( \rho ^ { s } ( 1 - \varepsilon ^ { l } - \varepsilon ^ { b } ) ) + \nabla \cdot ( \rho ^ { s } ( 1 - \varepsilon ^ { l } - \varepsilon ^ { b } ) \mathbf { v ^ { s } } ) = 0 } \\ { \frac { \partial } { \partial t } ( \rho ^ { l } \varepsilon ^ { l } ) + \nabla \cdot ( \rho ^ { l } \varepsilon ^ { l } \mathbf { v } ^ { l } ) = 0 } \\ { \frac { \partial } { \partial t } ( \rho ^ { b } \varepsilon ^ { b } ) + \nabla \cdot ( \rho ^ { b } \varepsilon ^ { b } \mathbf { v } ^ { b } ) = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } & { L _ { 2 } ^ { - } = \frac { d ^ { 2 } } { d x ^ { 2 } } + \frac { 2 S _ { 0 } - 1 } { x } \frac { d } { d x } + \frac { S _ { 0 } ( S _ { 0 } - 2 ) } { x ^ { 2 } } , } \\ & { L _ { 2 } ^ { + } = \frac { d ^ { 2 } } { d x ^ { 2 } } - \frac { 2 S _ { 0 } - 1 } { x } \frac { d } { d x } + \frac { S _ { 0 } ^ { 2 } - 1 } { x ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \bf p } ( \tau ) } & { { } = } & { { \bf p } _ { 0 } - { \bf A } ( \tau ) + \hat { k } \frac { { \bf A } ^ { 2 } ( \tau ) - 2 { \bf p } _ { 0 } \cdot { \bf A } ( \tau ) } { 2 ( \gamma _ { 0 } - { \bf p } _ { 0 } \cdot \hat { k } ) } } \\ { \gamma ( \tau ) } & { { } = } & { \gamma _ { 0 } + \frac { { \bf A } ^ { 2 } ( \tau ) - 2 { \bf p } _ { 0 } \cdot { \bf A } ( \tau ) } { 2 ( \gamma _ { 0 } - { \bf p } _ { 0 } \cdot \hat { k } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \Big [ F ( z ^ { ( T ) } ) - F ( z ^ { * } ) + \gamma \| A w ^ { ( T ) } - z ^ { ( T ) } \| \Big ] \leq \frac { U _ { 2 } ^ { 2 } \rho ^ { \mathrm { m a x } } + ( \gamma + \| \lambda ^ { 1 } \| ) ^ { 2 } / \rho ^ { 1 } + 2 \gamma U _ { 2 } } { 2 T } + \frac { 2 P J K U _ { 3 } ^ { 2 } / \bar { \epsilon } + P U _ { 1 } ^ { 2 } + U _ { 2 } ^ { 2 } / ( 2 E ) } { \sqrt { T } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d \vartheta _ { \tau } } { d Z } } & { = A ^ { 2 } \sqrt { 2 } \zeta _ { 4 } \frac { 1 } { k _ { 0 } \sigma _ { \tau } ^ { 2 } } + 8 a _ { 1 } \zeta _ { 2 } \frac { \vartheta _ { \tau } } { \sigma _ { \tau } ^ { 2 } } } \\ & { - 8 \zeta _ { 2 } \frac { 1 } { k _ { 0 } \sigma _ { \tau } ^ { 4 } } - 2 \zeta _ { 2 } k _ { 0 } \vartheta _ { \tau } ^ { 2 } } \\ & { + \frac { 1 } { 3 6 } \frac { A ^ { 2 } \sqrt { 2 } c _ { _ { 1 , X X } } \zeta _ { 5 } } { k _ { 0 } \sigma _ { \tau } ^ { 2 } } \left( \frac { 7 2 } { \sigma _ { _ X } ^ { 2 } } + 7 3 k _ { 0 } \vartheta _ { _ { X } } \right) } \\ & { + \frac { 1 } { 3 6 } \frac { A ^ { 2 } \sqrt { 2 } c _ { _ { 2 , Y Y } } \zeta _ { 6 } } { k _ { 0 } \sigma _ { \tau } ^ { 2 } } \left( \frac { 7 2 } { \sigma _ { _ Y } ^ { 2 } } + 7 3 k _ { 0 } \vartheta _ { _ { Y } } \right) , } \end{array}
{ d _ { t } } \, \delta x ^ { \, i } = e _ { \, \, \, \lambda } ^ { \, i } ( q ) d _ { t } \delta q ^ { \, \lambda } + \partial _ { \mu } e _ { \, \, \, \lambda } ^ { \, i } ( q ) \dot { q } ^ { \, \mu } \delta q ^ { \, \lambda } .
\begin{array} { r l } & { \ \ \ \ \log \mathcal { T } ( g ^ { T \bar { M } } , h ^ { \bar { F } } , \nabla ^ { \bar { F } } ) ( T ) - \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \log \mathcal { T } _ { i } ( g ^ { T \bar { M } _ { i } } , h ^ { \bar { F } _ { i } } , \nabla ^ { \bar { F } _ { i } } ) ( T ) - \log \mathcal { T } ( T ) } \\ & { = \log ( 2 ) \chi ( Y ) \mathrm { r a n k } ( F ) / 2 + o ( 1 ) . } \end{array}
M _ { R R } = \left( \begin{array} { c c c } { { ( 1 + 2 \delta _ { 1 } + 2 \delta _ { 2 } ) \lambda ^ { 2 m } } } & { { \delta _ { 1 } \lambda ^ { m + n } } } & { { \delta _ { 1 } \lambda ^ { m } } } \\ { { \delta _ { 1 } \lambda ^ { m + n } } } & { { \delta _ { 2 } \lambda ^ { 2 n } } } & { { ( 1 + \delta _ { 2 } ) \lambda ^ { n } } } \\ { { \delta _ { 1 } \lambda ^ { m } } } & { { ( 1 + \delta _ { 2 } ) \lambda ^ { n } } } & { { \delta _ { 2 } } } \end{array} \right) v _ { R }
P ( r , t \mid r _ { 0 } ) \sim { \frac { 1 } { c _ { N } } } e ^ { - R _ { d } ^ { 2 } / 4 \tau \tau ^ { ( 1 - a ) ) / ( 2 - \gamma ( 1 + a ) ) } } ; \qquad \tau = \Delta ^ { - 2 } \Lambda t .
\begin{array} { r } { \frac { \partial E } { \partial t } = E + ( 1 + i c _ { \mathrm { D } } ) \frac { \partial ^ { 2 } E } { \partial z ^ { 2 } } - ( 1 + i c _ { \mathrm { N L } } ) | E | ^ { 2 } E . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Phi ( \alpha _ { 0 } , \alpha _ { 1 } ) : = } & { \Big ( \frac { \alpha _ { 1 } } { \alpha _ { 0 } } \Big ) ^ { \frac 1 2 } \Big ( \alpha _ { 0 } F _ { 2 , d } ^ { [ 2 ] } ( \alpha _ { 0 } , \alpha _ { 0 } , \alpha _ { 1 } ) + \frac 4 d \alpha _ { 0 } ^ { 2 } F _ { 2 , d } ^ { [ 3 ] } ( \alpha _ { 0 } , \alpha _ { 0 } , \alpha _ { 0 } , \alpha _ { 1 } ) \Big ) , } \\ { \Psi ( \alpha _ { 0 } , \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } ) : = } & { ( \frac { \alpha _ { 2 } } { \alpha _ { 0 } } ) ^ { \frac 1 2 } \Big ( \frac 4 d \alpha _ { 0 } \alpha _ { 1 } F _ { 2 , d } ^ { [ 4 ] } ( \alpha _ { 0 } , \alpha _ { 0 } , \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } ) } \\ & { + ( 2 + \frac 4 d ) \alpha _ { 0 } F _ { 2 , d } ^ { [ 3 ] } ( \alpha _ { 0 } , \alpha _ { 0 } , \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } ) + \frac 8 d \alpha _ { 0 } ^ { 2 } F _ { 2 , d } ^ { [ 4 ] } ( \alpha _ { 0 } , \alpha _ { 0 } , \alpha _ { 0 } , \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } ) \Big ) , } \end{array}