harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \tilde { W } ( s ) = } & { \lambda \sum _ { i = 1 } ^ { N - 1 } \left( \hat { n } _ { i } \tilde { w } _ { i + 1 } ^ { 0 \to 1 } ( s ) + \tilde { w } _ { i } ^ { 0 \to 1 } ( s ) \hat { n } _ { i + 1 } \right) } \\ & { + \sum _ { i = 1 } ^ { N } \tilde { w } _ { i } ^ { 1 \to 0 } ( s ) + \tilde { W } _ { \mathrm { d r i v } } ( \alpha , s ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { m _ { \mathrm { e f f } } ( \infty ) } & { = m + \frac { 2 g I } { D _ { f } } \int \frac { d \omega } { 2 \pi } S _ { F } ( \omega ) } \\ & { \times \frac { ( \omega \! + \! \mu _ { i } - \mu _ { f } ) ^ { 2 } \! + \! \omega ^ { 2 } D _ { i } / D _ { f } \! + \! m _ { \mathrm { e f f } } ( \infty ) } { 2 [ \omega ^ { 2 } D _ { i } / D _ { f } \! + \! m _ { \mathrm { e f f } } ( \infty ) ] } . } \end{array}
\left( \begin{array} { l } { p _ { x } ^ { \prime } } \\ { p _ { y } ^ { \prime } } \\ { p _ { z } ^ { \prime } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \cos \theta } & { \sin \theta } \\ { 0 } & { - \sin \theta } & { \cos \theta } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { p _ { x } } \\ { p _ { y } } \\ { p _ { z } } \end{array} \right) .
\frac { i } { \not { p } - m } \longrightarrow \frac { i } { \not { p } - m } \frac { 1 } { 1 - \frac { \Sigma ( p ) } { \not { p } - m } } = \frac { i Z _ { 2 } } { \not { p } - m _ { \mathrm { R } } }
\begin{array} { r } { \operatorname* { s u p } _ { j \geq - 1 } \left| \Delta _ { j } 2 ^ { j s } \partial _ { x _ { \ell } } \alpha ( x ) \right| \! = \! \operatorname* { s u p } _ { j \geq - 1 } \left| [ 2 ^ { - j } \partial _ { x _ { \ell } } a _ { j } ( x ) \right| \lesssim \! | \partial _ { x _ { \ell } } a _ { - 1 } ( x ) | \! + \! \operatorname* { s u p } _ { j \geq 1 } \left| [ 2 ^ { - j } \partial _ { x _ { \ell } } a _ { j } ( x ) \right| . } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \Delta z + z } & { = a ^ { - 1 } \left( \kappa ^ { 2 } \varphi + ( \kappa ^ { 2 } + a ) z + \nabla a \cdot \nabla z \right) = : \tilde { f } \quad \mathrm { i n ~ } \Omega _ { 0 } , } \\ { \partial _ { n } z } & { = - i a ^ { - 1 } \omega \beta z \quad \mathrm { o n ~ } \Gamma _ { 0 } , } \\ { z } & { = 0 \quad \mathrm { o n ~ } \Gamma _ { D } \cap \partial \Omega _ { 0 } , } \\ { z } & { = z \quad \mathrm { o n ~ } \Omega \cap \partial \Omega _ { 0 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { 1 - \frac { 2 \pi e ^ { 2 } \hbar } { \varepsilon _ { \mathrm { a v g } } ( \mathbf { x } ) | \partial S / \partial \mathbf { x } | } \Pi _ { 0 } \left( \mathbf { x } , \frac { \partial S } { \partial \mathbf { x } } \right) = 0 . } \end{array}
\langle \widetilde { \Psi } ( s ) | = \sum _ { m } e ^ { + i \Omega _ { m } ( s ) } \left\{ c _ { m } ^ { * } ( 0 ) + \frac { 1 } { T } \sum _ { n \neq m } \left[ \frac { i \langle \dot { \widetilde { n } } ( s ^ { \prime } ) | m ( s ^ { \prime } ) \rangle } { \Delta _ { n m } ( s ^ { \prime } ) } e ^ { i \Omega _ { n m } ( s ^ { \prime } ) } \right] _ { s ^ { \prime } = 0 } ^ { s ^ { \prime } = s } c _ { n } ^ { * } ( 0 ) \right\} \langle \widetilde { m } ( s ) | .
\begin{array} { l l } { { g _ { _ E } ( \widehat { \mathbf { f } } _ { \mu } ( x ) , \widehat { \mathbf { f } } _ { \nu } ( x ) ) = g ( \mathbf { f } _ { \mu } ( x ) , \mathbf { f } _ { \nu } ( x ) ) = g _ { \mu \nu } ( x ) } } \\ { { g _ { _ E } ( \widehat { \mathbf { f } } _ { \mu } ( x ) , \mathbf { e } _ { k } ( x ) ) = 0 } } \\ { { g _ { _ E } ( \mathbf { e } _ { k } ( z ) , \mathbf { e } _ { l } ( z ) ) = g _ { 0 \, k l } ( x ) \, . } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \nabla \cdot \mathrm { ~ \bf ~ E ~ } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } , t ) = \frac { \rho ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) } { \epsilon _ { 0 } } \; \; \; } & { { } , } & { \; \; \; \nabla \cdot \mathrm { ~ \bf ~ B ~ } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } , t ) = 0 } \\ { \nabla \times \mathrm { ~ \bf ~ E ~ } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } , t ) = - \frac { \partial \mathrm { ~ \bf ~ B ~ } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } , t ) } { \partial t } \; \; } & { { } , } & { \; \; \; \nabla \times \mathrm { ~ \bf ~ B ~ } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } , t ) = \frac { 1 } { c ^ { 2 } } \frac { \partial \mathrm { ~ \bf ~ E ~ } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } , t ) } { \partial t } + \frac { \mathrm { ~ \bf ~ j ~ } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } , t ) } { c ^ { 2 } \epsilon _ { 0 } } } \end{array}
P _ { l h } ^ { - } = { \frac { \pi } { L } } { \sum _ { n } } n ( \alpha { _ n ^ { \dagger } } \alpha _ { n } + \beta { _ n ^ { \dagger } } \beta _ { n } + \delta { _ n ^ { \dagger } } \delta _ { n } ) - { \frac { \pi } { 2 L } } Q _ { R } ^ { 2 } \; ,
\frac { 2 F ^ { \prime \prime } + 1 } { F ^ { \prime \prime } ( F ^ { \prime \prime } + 1 ) } \big ( J ^ { \prime \prime } ( J ^ { \prime \prime } + 1 ) + F ^ { \prime \prime } ( F ^ { \prime \prime } + 1 ) - 2 \big ) ^ { 2 } .
\begin{array} { r } { \Delta v _ { z } = \frac { k _ { \parallel } | A _ { x } | ^ { 2 } q ^ { 2 } } { 2 m ^ { 2 } c ^ { 2 } } \frac { \alpha \Omega ^ { 2 } } { ( \alpha ^ { 2 } - \Omega ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \left[ 1 + \frac { 1 } { 2 } \frac { k _ { \parallel } ^ { 2 } v _ { \perp } ^ { 2 } } { \Omega ^ { 2 } } \frac { \alpha ^ { 2 } + 3 \Omega ^ { 2 } } { \alpha ^ { 2 } - \Omega ^ { 2 } } \right] . } \end{array}
k _ { \mu } \sim Z ^ { - 1 / 4 } \alpha ^ { - 1 / 2 } \sim \frac { r _ { 0 } } { R \alpha ^ { 1 / 2 } } \sim m g ^ { \pm 1 / 2 } N ^ { 1 / 2 } \times ( g N ) ^ { 1 / 4 } \ ,
\begin{array} { r l } { F _ { r i n t } ( \varphi ) = } & { { } - { \frac { 1 } { 2 } } \left[ v _ { { { \psi } } - \varphi } v _ { { \psi } } ( - 2 v _ { { \psi } } ^ { 2 } + v _ { \varphi } ^ { 2 } ) + v _ { \varphi } ^ { 4 } \ln ( { \frac { v _ { { { \psi } } - \varphi } + v _ { { \psi } } } { v _ { \varphi } } } ) \right] f ^ { \prime } } \end{array}
\alpha ^ { e f f } ( t ) = \left[ \frac { 1 } { 2 \pi } \frac { s ^ { 2 } t ^ { 2 } } { s ^ { 2 } + u ^ { 2 } } \frac { d \sigma ^ { c o r r } } { d t } \right] ^ { \frac { 1 } { 2 } }
\begin{array} { r l } & { \left| \mathbb { E } \left[ h \left( \mathbf { F } \right) \right] - \mathbb { E } \left[ h \left( \mathbf { N } \right) \right] \right| } \\ { \leq } & { \left| \mathbb { E } \left[ h \left( \mathbf { F } \right) \right] - \mathbb { E } \left[ h \left( \mathbf { F } _ { \leq K } \right) \right] \right| + \left| \mathbb { E } \left[ h \left( \mathbf { F } _ { \leq K } \right) \right] - \mathbb { E } \left[ h \left( \mathbf { N } _ { \leq K } \right) \right] \right| + \left| \mathbb { E } \left[ h \left( \mathbf { N } _ { \leq K } \right) \right] - \mathbb { E } \left[ h \left( \mathbf { N } \right) \right] \right| } \end{array}
{ \bf D } = \left( \begin{array} { c c c } { 0 } & { { \bf B } _ { [ 1 ] } } & { 0 } \\ { { \bf B } _ { [ 1 ] } ^ { \top } } & { 0 } & { { \bf B } _ { [ 2 ] } } \\ { 0 } & { { \bf B } _ { [ 2 ] } ^ { \top } } & { 0 } \end{array} \right)
k _ { i } = \beta _ { i } p _ { a } + \alpha _ { i } p _ { b } + k _ { i } ^ { \perp } , \, ( k _ { i } ^ { \perp } , p _ { a , b } ) = 0 , \, k _ { i } ^ { 2 } = s \alpha _ { i } \beta _ { i } - ( \overrightarrow { k _ { i } ^ { \perp } }
\begin{array} { r l r } { \lbrace C _ { x _ { 1 } x _ { 2 } } C _ { x _ { 3 } x _ { 4 } } \rbrace _ { 3 } } & { { } = } & { C _ { x _ { 1 } x _ { 2 } } C _ { x _ { 3 } x _ { 4 } } + C _ { x _ { 1 } x _ { 3 } } C _ { x _ { 2 } x _ { 4 } } } \\ { \lbrace C _ { x _ { 1 } x _ { 2 } } C _ { x _ { 3 } x _ { 4 } x _ { 5 } } \rbrace _ { 1 0 } } & { { } = } & { C _ { x _ { 1 } x _ { 2 } } C _ { x _ { 3 } x _ { 4 } x _ { 5 } } + C _ { x _ { 1 } x _ { 3 } } C _ { x _ { 2 } x _ { 4 } x _ { 5 } } } \end{array}
t _ { m } = \frac { - \tau _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } \left( \tau _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } + \Delta \tau \right) } { \Delta \tau } \mathrm { ~ l ~ o ~ g ~ } \left( \frac { \tau _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } } { \tau _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } + \Delta \tau } \right) .
\begin{array} { r l r } { j _ { x } } & { = } & { e c \frac { 2 \eta _ { y } } { \sqrt { 1 + \eta ^ { 2 } } } \sin ^ { 2 } [ k _ { x } ( x + L _ { x } ) ] \sin [ 2 k _ { y } ( y + L _ { y } ) ] , } \\ { j _ { y } } & { = } & { - e c \frac { 2 \eta _ { x } } { \sqrt { 1 + \eta ^ { 2 } } } \sin ^ { 2 } [ k _ { y } ( y + L _ { y } ) ] \sin [ 2 k _ { x } ( x + L _ { x } ) ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { P r } ( \bigcup _ { j = 1 } ^ { { K _ { n } } - 1 } F _ { j } ) } & { \le \sum _ { j = 1 } ^ { { K _ { n } } - 1 } \operatorname* { P r } ( A _ { j } ^ { c } ) \operatorname* { P r } ( B _ { j } | A _ { j } ^ { c } ) + \operatorname* { P r } ( A _ { j } ) \operatorname* { P r } ( B _ { j } ^ { c } | A _ { j } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { | h ( \theta ) - h _ { \epsilon } ( \theta ) | } & { = | \gamma ( \theta ) \cdot u ( \theta ) - \gamma ( \theta _ { i - 1 } ) \cdot u ( \theta ) | } \\ & { = | ( \gamma ( \theta ) - \gamma ( \theta _ { i - 1 } ) ) \cdot u ( \theta ) | } \\ & { \le | \gamma ( \theta ) - \gamma ( \theta _ { i - 1 } ) | } \\ & { \le \theta - \theta _ { i - 1 } } \\ & { \le \frac { \pi } { n } } \\ & { \le \epsilon . } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { t , t ^ { \prime } } ( [ T , o ] ) } & { = | \{ v \sim _ { T } o : \deg _ { T } ( o ) \leq \delta , \deg _ { T } ( v ) \leq \delta , T [ v , o ] _ { h - 1 } = t , T [ o , v ] _ { h - 1 } = t ^ { \prime } \} | } \\ & { = | \{ v \sim _ { T } o : T [ v , o ] _ { h - 1 } = t , T [ o , v ] _ { h - 1 } = t ^ { \prime } \} | } \\ & { = E _ { 1 } ( t , t ^ { \prime } ) ( [ T , o ] ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle \Phi _ { v } ^ { * } | [ ( H e ^ { T ^ { ( 0 ) } } ) _ { l } - E _ { v } ^ { ( 0 ) } ] S _ { v } ^ { ( 1 ) } | \Phi _ { v } \rangle = - \langle \Phi _ { v } ^ { * } | [ ( H _ { W } e ^ { T ^ { ( 0 ) } } ) _ { l } } & { { } } & { } \\ { + ( H e ^ { T ^ { ( 0 ) } } ) _ { l } T ^ { ( 1 ) } ] \{ 1 + S _ { v } ^ { ( 0 ) } \} | \Phi _ { v } \rangle \ \ \ \ } \end{array}
\frac { d \boldsymbol { x } } { d t } = \boldsymbol { u } ( \boldsymbol { x } , t ) = \underbrace { \boldsymbol { u } ^ { ( 1 ) } ( k x - \omega t , z ) } _ { \textnormal { L i n e a r t e r m } } + \underbrace { \boldsymbol { u } ^ { ( 2 ) } ( 2 k x - 2 \omega t , z ) + \ldots } _ { \textnormal { H i g h e r - o r d e r w a v e c o m p o n e n e t s } }
T _ { \mathrm { t h e r m a l } } = T _ { \mathrm { t o t } } - T _ { \mathrm { b o t } } , \qquad T _ { \mathrm { b o t } } = \frac { 1 } { L _ { x } } \int _ { 0 } ^ { L _ { x } } \left( \int _ { 0 } ^ { L _ { y } } \int _ { - H ( x , y ) } ^ { 0 } \overline { { u } } ( z = - H ) \; \mathrm { d } z \; \mathrm { d } y \right) \; \mathrm { d } x ,
\partial _ { t } \Omega ^ { J } \int u _ { 1 } d \rho = \partial _ { t } \int \Omega ^ { J } u _ { 1 } d \rho = \frac t \rho \Omega ^ { J } u _ { 1 } - \frac 1 t y \cdot \int \nabla _ { y } \Omega ^ { J } u _ { 1 } d \rho = \frac t \rho \Omega ^ { J } u _ { 1 } - \frac 1 t \frac { 1 } { 1 - | y | ^ { 2 } } \int \omega ^ { i } \Omega _ { 0 i } \, \Omega ^ { J } u _ { 1 } d \rho .
\begin{array} { r l } { 0 } & { = \frac { I _ { \nabla B } + I _ { \dot { \mathbf { E } } } + I _ { \| , A } + I _ { \| , \mathrm { o h m } } } { \Delta R } } \\ & { = - \frac { 4 ( \bar { n } T - L _ { \mathrm { c l d } } n _ { \mathrm { b g } } T _ { \mathrm { b g } } ) q } { B L _ { \mathrm { c l d } } } \sin { \left( \frac { L _ { \mathrm { c l d } } } { 2 q R _ { \mathrm { m } } } \right) } + \frac { \bar { n } \langle m _ { i } \rangle } { ( 1 + \langle Z \rangle ) B ^ { 2 } } \frac { d E _ { y } } { d t } + 2 P _ { A } \frac { E _ { y } } { R _ { A } } + \frac { E _ { y } } { R _ { \mathrm { e f f } } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { - n \, \frac { \epsilon _ { 1 2 } \, \epsilon _ { 1 3 } \, \epsilon _ { 2 3 } } { \epsilon _ { 1 } \, \epsilon _ { 2 } \, \epsilon _ { 3 } } + \frac { n ^ { 2 } - 1 } { n } \, \frac { \epsilon _ { 1 2 } \, \epsilon _ { 1 2 3 } } { \epsilon _ { 1 } \, \epsilon _ { 2 } } - \Big ( n \, \frac { \epsilon _ { 1 2 } \, \epsilon _ { 1 3 } \, \epsilon _ { 2 3 } } { \epsilon _ { 1 } \, \epsilon _ { 2 } \, \epsilon _ { 3 } \, \epsilon _ { 4 } } - \frac { n ^ { 2 } - 1 } { n } \, \frac { \epsilon _ { 1 2 } } { \epsilon _ { 1 } \, \epsilon _ { 2 } } \Big ) \, ( m + \epsilon _ { 1 2 3 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { C _ { k e } } & { { } = } & { \frac { e _ { k } ^ { 2 } e _ { e } ^ { 2 } m _ { k } ^ { 2 } } { 4 \pi ^ { 2 } \epsilon _ { 0 } ^ { 2 } } \, n _ { k } \; | \vec { p } _ { e } | \, \int d \Omega _ { e } \; \left| M _ { e } \right| ^ { 2 } \; \left( f _ { e } ^ { \; ^ { \prime } } - f _ { e } \right) \; , } \end{array}
{ \cal L } _ { \mathrm { c } } = - { \frac { 3 } { 2 } } \left[ S _ { 0 } \overline { { S } } _ { 0 } \, e ^ { - K / 3 } \right] _ { D } + \left[ S _ { 0 } ^ { 3 } ( i h + \alpha M ^ { 3 } ) \right] _ { F } + { \frac { 1 } { 4 } } \sum _ { a = 1 } ^ { 2 } { \left[ ( S + \beta ^ { a } T ) { \cal W } ^ { a } { \cal W } ^ { a } \right] _ { F } } ,
\begin{array} { r l } { \left[ \bar { \rho } u ^ { \prime } + \bar { u } \rho ^ { \prime } \right] - \left[ \bar { \rho } \right] \left( X _ { t } + \bar { v } X _ { y } + \bar { w } X _ { z } \right) } & { { } = 0 , } \\ { \left[ p ^ { \prime } + 2 \bar { \rho } \bar { u } u ^ { \prime } + \bar { u } ^ { 2 } \rho ^ { \prime } \right] } & { { } = 0 , } \\ { \left[ v ^ { \prime } \right] + \left[ \bar { u } \right] X _ { y } } & { { } = 0 , } \\ { \left[ w ^ { \prime } \right] - \left[ \bar { u } \right] X _ { z } } & { { } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \zeta _ { \mathrm { Q E D } } ^ { \mathrm { ( f i t ) } } ( Z ) = \frac { \alpha } { \pi } \Big [ A _ { 0 } - A _ { 1 } \, \alpha Z + A _ { 2 } \, \big ( \alpha Z ) ^ { 2 } } \\ & { } & { ~ ~ ~ ~ ~ + A _ { 3 } \, ( \alpha Z ) ^ { 2 } \ln ( \alpha Z ) + A _ { 4 } \big ( \alpha Z \ln ( \alpha Z ) \big ) ^ { 2 } \Big ] . } \end{array}
\Omega _ { i } ^ { k } = \left( \Omega _ { i } ^ { k } \right) ^ { \mathrm { r e c o l } } \circ \left( \Omega _ { i } ^ { k } \right) ^ { \mathrm { p e r t } } \circ \left( \Omega _ { i } ^ { k } \right) ^ { \mathrm { B G K } } ,
\begin{array} { r l } { E \left[ \left| X _ { t } ^ { \varepsilon } - X _ { t _ { k - 1 } } ^ { \varepsilon } \right| ^ { p } + \left| H \left( X _ { t - \cdot } ^ { \varepsilon } \right) - H \bigl ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ^ { \varepsilon } \bigr ) \right| ^ { p } \bigg | \mathcal { F } _ { t _ { k - 1 } } \right] } & { \leq \Phi _ { p } ^ { \varepsilon } ( t ) + R _ { k - 1 } \left( \left( t - t _ { k - 1 } \right) ^ { p } \right) } \\ & { \quad + R _ { k - 1 } \left( \varepsilon ^ { p } \left( t - t _ { k - 1 } \right) ^ { p / 2 } \right) } \end{array}
\varphi ( \mathbf { r } , t ) = { \frac { 1 } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } } } \left( { \frac { q } { | \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { s } | ( 1 - { \boldsymbol { \beta } } _ { s } \cdot ( \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { s } ) / | \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { s } | ) } } \right) _ { t _ { r } } = { \frac { 1 } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } } } \left( { \frac { q } { ( 1 - \mathbf { n } _ { s } \cdot { \boldsymbol { \beta } } _ { s } ) | \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { s } | } } \right) _ { t _ { r } }
\begin{array} { r l } { A _ { Q R } ( p ) } & { { } = X _ { i Q } X _ { a Q } \epsilon _ { a } e ^ { - \epsilon _ { a } p } e ^ { \epsilon _ { i } p } X _ { i R } X _ { a R } } \\ { B _ { Q R } ( p ) } & { { } = X _ { i Q } X _ { a Q } \epsilon _ { i } e ^ { - \epsilon _ { a } p } e ^ { \epsilon _ { i } p } X _ { i R } X _ { a R } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } ^ { \scriptscriptstyle 0 } \big ( { \mathcal A } _ { \mathrm { l o n g - e d g e } } ( 0 , n , N , \overline { { w } } ) \big ) } & { \le \mathbb E ^ { \scriptscriptstyle 0 } \Bigg [ \sum _ { u \in \Xi _ { n } [ 1 , \overline { { w } } ) } \mathbb { P } \big ( \exists v \in \Xi : \| x _ { u } - x _ { v } \| \ge \tilde { t } _ { k } , u \leftrightarrow v \mid u \in \Xi _ { n } [ 1 , \overline { { w } } ) \big ) \Bigg ] } \\ & { = : \mathbb E ^ { \scriptscriptstyle 0 } \Bigg [ \sum _ { u \in \Xi _ { n } [ 1 , \overline { { w } } ) } q ( u ) \Bigg ] } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { \infty } t ^ { - \lambda } J _ { \nu } ^ { 2 } ( \alpha t ) d t = \frac { \alpha ^ { \lambda - 1 } \Gamma ( \lambda ) \Gamma \left( \displaystyle { \frac { 2 \nu - \lambda + 1 } { 2 } } \right) } { 2 ^ { \lambda } \Gamma ^ { 2 } \left( \displaystyle { \frac { \lambda + 1 } { 2 } } \right) \Gamma \left( \displaystyle { \frac { 2 \nu + \lambda + 1 } { 2 } } \right) } \, ,
\langle ( \mathcal { H } _ { K } - \mathcal { E } _ { \mathrm { K P } } ( t _ { * * } ^ { 1 } , \lambda ) ) e ^ { T _ { * * } ^ { 0 } + \lambda T _ { * * } ^ { \angle } } \Phi _ { 0 } , S ^ { 1 } \Phi _ { 0 } \rangle = - \langle \mathcal { G } ( t _ { * * } ^ { 1 } , \lambda ) \Phi _ { 0 } , \Pi _ { \mathfrak { V } ^ { \angle } \rangle ( e ^ { T _ { * * } ^ { 0 } + \lambda T _ { * * } ^ { \angle } } ) ^ { \dag } S ^ { \angle } \Phi _ { 0 } } ,
\begin{array} { r l r l } { G ( r , c ) } & { { } = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } c r ^ { k } } & { } & { { } } \\ { G ( r , c ) } & { { } = { \frac { c } { 1 - r } } , { \mathrm { ~ u n l e s s ~ i t ~ i s ~ i n f i n i t e } } } & { } & { { } } \end{array}
H = \sum _ { p } h _ { p } c _ { p } ^ { \dagger } c _ { p } + \sum _ { p q } v _ { p q } c _ { p } ^ { \dagger } c _ { q } + \sum _ { p \neq q } w _ { p q } c _ { p } ^ { \dagger } c _ { p } c _ { q } ^ { \dagger } c _ { q } + E _ { \mathrm { { n u c } } } \ ,
\begin{array} { r } { F _ { r } \approx \frac { r } { 2 } + \frac { 3 g } { 8 } r ^ { 2 } \cos \phi + g \nu \xi \cos \phi \left\{ \frac { 1 } { 4 } + \log \left( 4 \sqrt { 2 \nu \xi } \right) \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { T } _ { j k } } & { = } & { \frac { 1 } { \omega } \, \langle j , m | \, { \hat { T } } \, { | k , m \rangle } = \sqrt { k ^ { 2 } - m ^ { 2 } } \, \delta _ { j , k - 1 } } \\ & { } & { - ( 2 k + 1 ) \, \delta _ { j k } + \, \sqrt { ( k + 1 ) ^ { 2 } - m ^ { 2 } } \, \delta _ { j , k + 1 } \, , \qquad } \end{array}
\begin{array} { r } { \sin \varphi = \frac { \zeta _ { \mathrm { ~ r ~ o ~ t ~ } } \omega _ { \mathrm { ~ r ~ } } } { m _ { \mathrm { ~ f ~ } } B _ { \mathrm { ~ r ~ } , \perp } } \sin \theta _ { \mathrm { ~ f ~ } } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } { d u _ { i } - \normalfont { \mathrm { d i v } } ( a _ { i } \cdot \nabla u _ { i } ) \, d t } & { = f _ { i } ( u ) d t + \sum _ { n \geq 1 } \Big [ ( b _ { n , i } \cdot \nabla ) u _ { i } + g _ { n , i } ( \cdot , u ) \Big ] \, d w _ { t } ^ { n } , } \\ { u _ { i } ( 0 ) } & { = u _ { i , 0 } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \ \ \ \mathbb { E } _ { M } [ X _ { q + 1 } \mid d o ( S ) ] - \mathbb { E } _ { M ^ { \prime \prime } } [ X _ { q + 1 } \mid d o ( S ) ] } \\ & { = \mathbb { E } _ { M } \left[ \sum _ { X _ { i } \in \boldsymbol { \it P a } ( X _ { q + 1 } ) } \theta _ { X _ { i } , X _ { q + 1 } } X _ { i } \Bigg | d o ( S ) \right] - \mathbb { E } _ { M ^ { \prime \prime } } \left[ \sum _ { X _ { i } \in \boldsymbol { \it P a } ^ { \prime \prime } ( X _ { q + 1 } ) } \theta _ { X _ { i } , X _ { q + 1 } } X _ { i } \Bigg | d o ( S ) \right] } \\ & { = \sum _ { X _ { i } \in \boldsymbol { \it P a } ^ { \prime \prime } ( X _ { q + 1 } ) } \theta _ { X _ { i } , X _ { q + 1 } } ( \mathbb { E } _ { M } [ X _ { i } \mid d o ( S ) ] - \mathbb { E } _ { M ^ { \prime \prime } } [ X _ { i } \mid d o ( S ) ] ) + } \\ & { \ \ \ \ \ \ \ \ \sum _ { X _ { i } \in \boldsymbol { \it P a } ( X _ { q + 1 } ) \setminus \boldsymbol { \it P a } ^ { \prime \prime } ( X _ { q + 1 } ) } \theta _ { X _ { i } , X _ { q + 1 } } \mathbb { E } _ { M } [ X _ { i } \mid d o ( S ) ] } \\ & { \le \sum _ { X _ { i } \in \boldsymbol { \it P a } ( X _ { q + 1 } ) } \theta _ { X _ { i } , X _ { q + 1 } } q n r + r n } \\ & { \le ( q + 1 ) n r } \end{array}
\mathbf { G } = \mathbf { G } _ { 1 } \times \hdots \times \mathbf { G } _ { N } = \sum _ { j = 1 } ^ { N } \left[ \frac { \mathrm { s g n } ( \mathsf { A } ) } { p _ { j } ^ { 2 } + \mu _ { j } ^ { 2 } } \, d p _ { j } \otimes d p _ { j } + \frac { p _ { j } ^ { 2 } + \mu _ { j } ^ { 2 } } { \mathsf { A } ^ { 2 } } \, d \psi _ { j } \otimes d \psi _ { j } \right] \, ,
\sum _ { l = 1 } ^ { M } \bar { u } _ { \bar { k } \ } ^ { \ l } = u _ { \bar { k } } \quad \mathrm { ~ a n d ~ } \quad \bar { u } _ { \bar { k } \ } ^ { \ m l } = 0 , m \neq 0 \quad \mathrm { ~ i f ~ } \quad \sum _ { \substack { m = 1 \, m \neq \bar { k } } } ^ { N } w _ { m \ } ^ { \ \bar { k } i } \theta ( \bar { u } _ { m \ } ^ { \ \bar { k } i } ) \bar { u } _ { m \ } ^ { \ \bar { k } i } = 0
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left\{ W _ { 3 } \right\} } & { = \bar { \lambda } ^ { 2 } \left( 1 - \bar { \lambda } \right) \frac { - 1 } { 2 \Gamma \left( \frac { 1 } { 2 } \right) } \int _ { 0 } ^ { \infty } s ^ { \frac { 3 } { 2 } - 1 } \frac { 1 } { \left( 1 + \bar { \lambda } s \right) ^ { 2 } } \mathrm { d } s } \\ & { = \bar { \lambda } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left( 1 - \bar { \lambda } \right) \frac { - 1 } { 2 \Gamma \left( \frac { 1 } { 2 } \right) } \mathrm { B } \left( \frac { 3 } { 2 } , \frac { 1 } { 2 } \right) = - \frac { \sqrt { \pi } } { 4 } \bar { \lambda } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left( 1 - \bar { \lambda } \right) . } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \to 0 } H ^ { \varepsilon } = \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \to 0 } \frac { \mathcal { H } + ( X _ { 1 } \delta ) c _ { \theta 1 } ^ { \theta } + ( X _ { 2 } \delta ) c _ { \theta 2 } ^ { \theta } } { ( 1 + \varepsilon ^ { 2 } ( X _ { \theta } \delta ) ^ { 2 } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } + O ( \varepsilon ^ { 2 } )
\begin{array} { r l r } { u } & { { } = } & { \frac { 2 \sigma _ { x } ^ { 2 } } { ( 2 \sigma _ { x } ^ { 2 } + q ) } , \; \; \; \Rightarrow q = \frac { 2 \sigma _ { x } ^ { 2 } } { u } - 2 \sigma _ { x } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \textbf { v } ^ { * } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } ( \textbf { v } _ { i } + \textbf { v } _ { j } ) - ( U ^ { * } - \frac { 1 } { 2 } ( U _ { L } + U _ { R } ) ) \cdot \textbf { e } _ { i j } } \\ { U ^ { * } } & { { } = \frac { ( \rho _ { L } c _ { L } U _ { L } + \rho _ { R } c _ { R } U _ { R } + P _ { L } - P _ { R } ) } { \rho _ { L } c _ { L } + \rho _ { R } c _ { R } } } \\ { P ^ { * } } & { { } = \frac { \left( \rho _ { L } c _ { L } P _ { R } + \rho _ { R } c _ { R } P _ { L } + \rho _ { L } c _ { L } \rho _ { R } c _ { R } \left( U _ { L } - U _ { R } \right) \beta \right) } { \rho _ { L } c _ { L } + \rho _ { R } c _ { R } } , } \end{array}
\left( \begin{array} { l l } { - \nu } & { i B _ { 0 } } \\ { i B _ { 0 } } & { - \eta } \end{array} \right) ^ { - 1 } = \Delta \left( \begin{array} { l l } { - \eta } & { - i B _ { 0 } } \\ { - i B _ { 0 } } & { - \nu } \end{array} \right) , \quad \Delta ^ { - 1 } = \nu \eta + B _ { 0 } ^ { 2 } .
\begin{array} { r l r } { S } & { { } = } & { \frac { \Delta \hat { \phi } ^ { ( n ) } } { \Delta \hat { \phi } ^ { ( 1 ) } } = \frac { \mathcal { V } ^ { ( 1 ) } } { n \mathcal { V } ^ { ( n ) } ( R \xi ) ^ { \frac { n - 1 } { 2 } } } , } \\ { S ^ { \prime } } & { { } = } & { \frac { \Delta \Phi ^ { ( n ) } } { \Delta \Phi ^ { ( 1 ) } } = \frac { \mathcal { V } ^ { ( 1 ) } } { \sum _ { m = 1 } ^ { n } m ^ { q } ( R \xi ) ^ { m - 1 } } \sqrt { \sum _ { j = 1 } ^ { n } \frac { j ^ { 2 ( q - 1 ) } ( R \xi ) ^ { j - 1 } } { ( \mathcal { V } ^ { ( j ) } ) ^ { 2 } } } , } \end{array}
J \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( Z \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = J \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! + \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( Z \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! + J \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! - \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( Z \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!