harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \tilde { u } _ { k + 1 } } & { \! = \! \mathop { \mathrm Ḋ a r g m i n Ḍ } _ { v \in \mathbb Ḋ R Ḍ ^ { n } } \! \frac { 1 } { 2 } | v \! - \! u _ { k } \! + \! 2 \delta u _ { k } T _ { k } \! + \! \nabla f ( x _ { k } + \beta u _ { k } ) T _ { k } | ^ { 2 } , } \\ & { ~ ~ \mathrm { s . t . } ~ ~ \gamma _ { i } ( x _ { k } , v ) \geq - \epsilon \operatorname* { m i n } \{ \gamma _ { i } ( x _ { k } , u _ { k } ) , 0 \} , ~ ~ i \in I _ { x _ { k } } } \\ { x _ { k + 1 } } & { \! = \! x _ { k } + T _ { k } u _ { k + 1 } . } \end{array}
S = \int _ { M } d ^ { 3 } x \; \epsilon ^ { \sigma \mu \nu } \left[ { B _ { \sigma } } \! ^ { a } ( { F _ { \mu \nu } } \! ^ { a } + \epsilon ^ { a b c } { \phi _ { \nu } } \! ^ { b } { \phi _ { \mu } } \! ^ { c } ) + { \eta _ { \sigma } } \! ^ { a } D _ { [ \mu } { \phi _ { \nu ] } } ^ { a } \right] \; .
\frac { 2 } { \tilde { v } } ( \underline { { { B } } } _ { 1 } - \underline { { { B } } } _ { 2 } ) ^ { 2 } = \frac { \partial } { \partial \tau _ { 2 } } e ^ { - \frac { \tilde { v } } { 2 } ( \underline { { { B } } } _ { 1 } - \underline { { { B } } } _ { 2 } ) ^ { 2 } ( \tau _ { 0 } - \tau _ { 2 } ) } ,
\begin{array} { r l r } { \hat { V } _ { i } t _ { i } } & { { } = } & { \sqrt { \frac { \pi } { 2 } } K n \frac { 2 - \chi } { \chi } \eta _ { \mathrm { V S } } \left( \frac { \partial \hat { v } _ { i } } { \partial \hat { x } _ { j } } + \frac { \partial \hat { v } _ { j } } { \partial \hat { x } _ { i } } \right) n _ { i } t _ { j } + \eta ^ { 1 } \frac { K n } { \operatorname* { P r } } \frac { \partial \hat { \sigma } _ { i k } } { \partial \hat { x } _ { k } } t _ { i } } \end{array}
\begin{array} { r l } { = { } } & { { } \left( \left( \mathbf { \hat { k } } \times \left( \mathbf { \hat { k } } \times \Delta \mathbf { r } _ { i } \right) \right) \times \mathbf { \hat { k } } \right) \cdot \left( \mathbf { \hat { k } } \times \Delta \mathbf { r } _ { i } \right) } \\ { = { } } & { { } \left( \mathbf { \hat { k } } \times \Delta \mathbf { r } _ { i } \right) \cdot \left( - \Delta \mathbf { r } _ { i } \times \mathbf { \hat { k } } \right) } \\ { = { } } & { { } - \mathbf { \hat { k } } \cdot \left( \Delta \mathbf { r } _ { i } \times \Delta \mathbf { r } _ { i } \times \mathbf { \hat { k } } \right) } \\ { = { } } & { { } - \mathbf { \hat { k } } \cdot \left[ \Delta \mathbf { r } _ { i } \right] ^ { 2 } \mathbf { \hat { k } } . } \end{array}
\sigma _ { x x } ^ { a } = \hbar e ^ { 2 } \Phi _ { 0 } ^ { 2 } / \sqrt { p ^ { 2 } } = \operatorname * { l i m } _ { \omega \rightarrow 0 } \left( \frac { e ^ { 2 } \Phi _ { 0 } ^ { 2 } } { i \omega } \right) = C \frac { e ^ { 2 } } { h }
C = B - \sum _ { l = 0 } ^ { n - 1 } \kappa ^ { ( l ) } D ^ { 2 l + 1 } ( \frac { \gamma _ { D } ^ { s t } } { \Delta } ) - \sum _ { l = 0 } ^ { n } \kappa ^ { ( l ) \prime } D ^ { 2 l } ( \frac { \gamma _ { D } ^ { s t } } { \Delta } ) ,
\left| G _ { M } ^ { p } ( t ) \right| = \left( \frac { x _ { 1 } } { t ^ { 2 } } + \frac { x _ { 2 } } { t ^ { 3 } } + \frac { x _ { 3 } } { t ^ { 4 } } + \frac { x _ { 4 } } { t ^ { 5 } } + \frac { x _ { 5 } } { t ^ { 6 } } \right) \left[ \ln \left( \frac { t } { Q _ { 0 } ^ { 2 } } \right) \right] ^ { - \gamma } ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { \mathrm { i n } , k } ^ { ( 1 ) } } & { = \sqrt { \Gamma _ { k } } \sigma _ { k , 0 } ^ { ( 1 ) } \, \, , } \\ { \mathcal { L } _ { \mathrm { o u t } , k } ^ { ( L ) } } & { = \sqrt { \gamma _ { k } } \sigma _ { 0 , k } ^ { ( L ) } \, \, , } \\ { \mathcal { L } _ { \mathrm { h o p } , k } ^ { ( \ell ) } } & { = \sqrt { t _ { k } ^ { ( \ell ) } } \sigma _ { k , 0 } ^ { ( \ell + 1 ) } \sigma _ { 0 , k } ^ { ( \ell ) } \, \, , \ \ \ \ 1 \le \ell \le \left( L - 1 \right) , \, \, k = 1 , 2 \, \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { F } & { { } = } & { \frac { D _ { 2 } } { \kappa \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \theta \left[ \psi ^ { * } \left( - i \frac { \partial } { \partial \theta } \right) \tilde { F } + c . c . \right] } \end{array}
{ \mathrm { G H } } _ { n } ( x , y ) : = { \left\{ \begin{array} { l l } { - 1 } & { \langle x , y \rangle \leq - { \sqrt { n } } } \\ { + 1 } & { \langle x , y \rangle \geq { \sqrt { n } } . } \end{array} \right. }
d \tau = \sum _ { i = 1 } ^ { n } { \frac { \partial } { \partial u ^ { i } } } R { \frac { R ^ { 2 } + | u | ^ { 2 } } { R ^ { 2 } + | u | ^ { 2 } } } d u ^ { i } + { \frac { \partial } { \partial \tau } } R { \frac { R ^ { 2 } + | u | ^ { 2 } } { R ^ { 2 } + | u | ^ { 2 } } } d \tau = \sum _ { i = 1 } ^ { n } R ^ { 4 } { \frac { 4 R ^ { 2 } u ^ { i } d u ^ { i } } { \left( R ^ { 2 } - | u | ^ { 2 } \right) } } ,
\begin{array} { r } { t ^ { \frac { \nu + n } { 4 } } \, \| ( \widetilde { M } - \widetilde { M } _ { 0 } ) \, \widetilde { h } _ { t } \| _ { L ^ { \infty } ( \widetilde { \mu } ) } \, \le \, \| f - f _ { 0 } \| _ { L ^ { 1 } ( \widetilde { \mu } ) } \, t ^ { \frac { \nu + n } { 4 } } \, \| \widetilde { h } _ { t } \| _ { L ^ { \infty } ( \widetilde { \mu } ) } \, \lesssim \, \frac { \varepsilon } { 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { P _ { \mathrm { M \mathrm { - } H } } = \operatorname* { m i n } \left( 1 , \frac { \mathcal { A } ( \mathcal { S ^ { \prime } } \rightarrow \mathcal { S } ) K ( \mathcal { S ^ { \prime } } ) } { \mathcal { A } ( \mathcal { S } \rightarrow \mathcal { S ^ { \prime } } ) K ( \mathcal { S } ) } \exp \left( - \Delta U \right) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { H } _ { 1 } = \left[ \begin{array} { l l l l } { m + i \gamma } & { 0 } & { \lambda } & { - ( 1 - i ) \kappa } \\ { 0 } & { - m + i \gamma } & { - ( 1 + i ) \kappa } & { - \lambda } \\ { \lambda } & { - ( 1 - i ) \kappa } & { m - i \gamma } & { 0 } \\ { - ( 1 + i ) \kappa } & { - \lambda } & { 0 } & { - m - i \gamma } \end{array} \right] . } \end{array}
{ \frac { \partial \rho } { \partial t } } + \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( { \frac { \partial ( \rho { \dot { q } } _ { i } ) } { \partial q _ { i } } } + { \frac { \partial ( \rho { \dot { p } } _ { i } ) } { \partial p _ { i } } } \right) = 0 .
\left\{ \begin{array} { l l } { ( \lambda + 2 \mu ) G ^ { \prime } ( a ) + \frac { \lambda } { a } \, G ( a ) + \lambda \frac { \pi k } { h } H ( a ) = 0 \, , } \\ { ( \lambda + 2 \mu ) G ^ { \prime } ( b ) + \frac { \lambda } { b } \, G ( b ) + \lambda \frac { \pi k } { h } H ( b ) = 0 \, , } \\ { H ^ { \prime } ( a ) - \frac { \pi k } { h } G ( a ) = 0 \, , } \\ { H ^ { \prime } ( b ) - \frac { \pi k } { h } G ( b ) = 0 \, . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \hat { \mathbf { x } } _ { t _ { i } } } & { = \mathbf { x } _ { t _ { i + 1 } } - \Delta t \, \mathcal { P } ( \mathbf { x } _ { t _ { i + 1 } } ) } \\ { \hat { \mathbf { x } } _ { t _ { i } } ^ { \mathrm { n o i s e } } } & { = \hat { \mathbf { x } } _ { t _ { i } } + \sqrt { \Delta t } \, g ( t _ { i } ) \, z _ { t _ { i } } } \\ { \mathbf { x } _ { t _ { i } } } & { = \hat { \mathbf { x } } _ { t _ { i } } ^ { \mathrm { n o i s e } } + \Delta t \, g ^ { 2 } ( t _ { i } ) \, s _ { \theta } ( \hat { \mathbf { x } } _ { t _ { i } } ^ { \mathrm { n o i s e } } , t _ { i } ) , } \end{array}
P _ { x y } = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left[ m v _ { i x } v _ { i y } - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { j \neq i } ^ { N } \frac { x _ { i j } y _ { i j } } { r _ { i j } } \frac { \partial \phi \left( r _ { i j } \right) } { \partial r _ { i j } } \right] .
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { \mathrm { e f f } } } & { { } = H _ { 0 } + \hat { H } _ { 2 } , } \\ { H _ { 0 } } & { { } = \sum _ { j = 1 , 2 } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d \tau \left[ V _ { j } \left( - \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \tau ^ { 2 } } + A _ { 0 } ^ { 2 } - V _ { j } ^ { 2 } \right) V _ { j } - 2 V _ { 1 } ^ { 2 } V _ { 2 } ^ { 2 } \right] , } \\ { { \hat { H } } _ { 2 } } & { { } = \sum _ { j = 1 , 2 } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \tau \left[ \hat { v } _ { j } ^ { \dag } \left( - \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \tau ^ { 2 } } + A _ { 0 } ^ { 2 } - 4 V _ { j } ^ { 2 } \right) \hat { v } _ { j } \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { H _ { i } ^ { \epsilon } } d ^ { 2 } z \; e ^ { \varphi } = \int _ { H _ { i } ^ { \epsilon } } d ^ { 2 } z \; { \frac { \lambda _ { i } ^ { 2 } } { | w _ { i } ( z ) | ^ { 2 } } } \bigg | { \frac { d w _ { i } ( z ) } { d z } } \bigg | ^ { 2 } = \lambda _ { i } ^ { 2 } \int _ { w _ { i } ^ { - 1 } ( H _ { i } ^ { \epsilon } ) } { \frac { d ^ { 2 } w _ { i } } { | w _ { i } | ^ { 2 } } } = 2 \pi \lambda _ { i } ^ { 2 } \int _ { \epsilon / r _ { i } [ H _ { i } ] } ^ { 1 } { \frac { d r } { r } } + \mathcal { O } ( \epsilon ) \, . } \end{array}
\tilde { \theta } _ { m } ( t , x ) : = \theta _ { m - 1 } ( t , x ) + \sum _ { i = 1 } ^ { d } \varepsilon _ { m } \chi _ { e _ { i } } \bigl ( \frac { x } { \varepsilon _ { m } } \bigr ) \partial _ { x _ { i } } \theta _ { m - 1 } ( t , x ) \, ,
\begin{array} { r l } { P _ { r , \varphi , \psi } } & { ( \Phi , \lambda , \sigma ) = } \\ & { \mathrm { R e } \left\{ \frac { ( 1 - r ^ { 2 } ) ( 1 + \Phi ) e ^ { - i \alpha } + ( r - \cos \alpha ) u } { r ( 1 - r \cos \alpha ) u } + \frac { 2 \lambda ( 1 - r ^ { 2 } ) e ^ { - i ( \alpha + \psi ) } } { u \left[ \lambda ( 1 + r e ^ { - i \psi } ) - \sigma u \right] ( 1 - r \cos \varphi ) } \mathcal M \left( - \sigma + \frac { \lambda ( 1 + r e ^ { - i \psi } ) } { u } \right) \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 2 \pi } \bigl \{ L P _ { 1 } \eta _ { 0 } \, , \eta _ { 0 } \bigr \} \, } & { = \, \Bigl \{ \frac { R } { 2 } \, \phi _ { 0 } - \partial _ { R } \phi _ { 0 } \, , \eta _ { 0 } \Bigr \} \, = \, \frac { 1 } { 2 } \, \phi _ { 0 } \, \partial _ { Z } \eta _ { 0 } + \bigl \{ \phi _ { 0 } \, , \partial _ { R } \eta _ { 0 } \bigr \} } \\ { \, } & { = \, \frac { 1 } { 2 } \, \phi _ { 0 } \, \partial _ { Z } \eta _ { 0 } - \Bigl \{ \phi _ { 0 } \, , \frac { R } { 2 } \, \eta _ { 0 } \Bigr \} \, = \, \frac { 1 } { 2 } \, \phi _ { 0 } \, \partial _ { Z } \eta _ { 0 } + \frac { 1 } { 2 } \, ( \partial _ { Z } \phi _ { 0 } ) \eta _ { 0 } \, , } \end{array}
\left( V _ { n } { \xrightarrow { F _ { 0 } } } W _ { 0 } { \xrightarrow { F _ { 1 } } } \cdots { \xrightarrow { F _ { n - 1 } } } W _ { m } \right) \circ \left( V _ { 0 } { \xrightarrow { E _ { 0 } } } \cdots { \xrightarrow { E _ { n - 1 } } } V _ { n } \right) : = V _ { 0 } { \xrightarrow { E _ { 0 } } } \cdots { \xrightarrow { E _ { n - 1 } } } V _ { n } { \xrightarrow { F _ { 0 } } } W _ { 0 } { \xrightarrow { F _ { 1 } } } \cdots { \xrightarrow { F _ { n - 1 } } } W _ { m }
\frac { d \mathcal { L } } { d \mu _ { p } } ( u , \chi , \zeta ; \mu ) = \int _ { 0 } ^ { T } \big [ \Big ( \frac { \partial e r r } { \partial u } , \Psi _ { p } \Big ) + \Big ( \chi , \nabla \cdot ( \frac { \partial A } { \partial \mu _ { p } } ( \mu ) \nabla u ) \big ) + \Big ( \chi , \frac { \partial [ \nabla \cdot ( A ( \mu ) \nabla u ) ] } { \partial u } \Psi _ { p } \big ) - \underbrace { \big ( \chi , \Psi _ { p , t } \big ) } _ { T _ { I B P } } \big ] \textrm { d s } ,
J _ { Q _ { \bar { v } } } ( \sigma ^ { \prime } ) ^ { s s } = \bigoplus _ { w \in [ W _ { Q ^ { \prime } } \backslash W / W _ { Q _ { \bar { v } } } ] } \left( \mathrm { n - I n d } _ { w ^ { - 1 } Q ^ { \prime } w \cap M _ { \bar { v } } } ^ { M _ { \bar { v } } } \left( J _ { M ^ { \prime } \cap w Q _ { \bar { v } } w ^ { - 1 } } \sigma _ { 0 } ^ { \prime } \right) ^ { w } \right) ^ { s s }
\hat { H } ^ { \mathrm { ~ p ~ h ~ o ~ n ~ o ~ n ~ } } = \hbar \sum _ { \mathbf { k } } \omega _ { \mathbf { k } } \hat { b } _ { \mathbf { k } } ^ { \dagger } \hat { b } _ { \mathbf { k } } + \hbar \sum _ { { \mathbf { k } } , S } \left( \gamma _ { \mathbf { k } } ^ { S } \hat { b } _ { \mathbf { k } } ^ { \dagger } + \gamma _ { \mathbf { k } } ^ { S ^ { * } } \hat { b } _ { \mathbf { k } } \right) \vert S \rangle \langle S \vert ,
\begin{array} { r l r } { \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \! \! \! \! \! \! } & { { } } & { \int { \frac { d ^ { \, 4 } p } { ( p ^ { 2 } - 2 p \cdot q x + q ^ { 2 } x - m ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } } \\ { \times } & { { } } & { \left( 2 p _ { \mu } p _ { \nu } - p _ { \mu } q _ { \nu } - p _ { \nu } q _ { \mu } - \delta _ { \mu \nu } ( p ^ { 2 } - p \cdot q - m ^ { 2 } ) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { g ( x ) } & { = \exp \left( \psi ( x ) \right) \int _ { - \infty } ^ { x } \left( \frac { \mathcal { L } _ { 2 } ^ { * } \mu ( y , + 1 ) } { \mu ( y , + 1 ) } + \frac { \mathcal { L } _ { 2 } ^ { * } \mu ( y , - 1 ) } { \mu ( y , - 1 ) } \right) \exp ( - \psi ( y ) ) d y , } \\ { f _ { 2 } ^ { + } ( 0 ) } & { = - \int _ { - \infty } ^ { \infty } \Big ( \frac { g ( x ) } { 2 } + \int _ { 0 } ^ { x } \left( \left( \frac { \lambda _ { r } } { 2 } + ( - \partial \psi ( y ) ) _ { + } \right) g ( y ) - \frac { \mathcal { L } _ { 2 } ^ { * } \mu ( y , + 1 ) } { \mu ( y , + 1 ) } \right) d y \Big ) \pi ( x ) d x . } \end{array}
C _ { 0 } : = \Big \langle \prod _ { i = 1 } ^ { n } \psi _ { 1 } ( z _ { i } ) \overline { { { \psi } } } _ { 2 } ( w _ { i } ) \prod _ { i = 1 } ^ { n } \psi _ { 1 } ( z _ { i } ) \overline { { { \psi } } } _ { 2 } ( w _ { i } ) \Big \rangle _ { 0 } \; =
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \mu _ { i \to \Psi _ { j } } ( T _ { i j } ) } & { = } \\ { = \frac { 1 } { z _ { \Psi _ { i } \to j } } } & { \sum _ { \{ T _ { i l } \} _ { k \in \partial i \setminus j } } \Psi ( \{ T _ { i l } \} _ { l \in \partial i } ; \mathcal { D } _ { i } ) \prod _ { k \in \partial i \setminus j } \mu _ { k \to \Psi _ { i } } ( T _ { i k } ) } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { f } } & { = q \int d \Omega f } \\ { \textbf { P } } & { = - 3 \mu \int d \Omega \frac { \textbf { s } \times \textbf { p } } { 2 m c } f } \\ { \textbf { J } _ { f } } & { = q \int d \Omega \Big [ \frac { \textbf { p } } { m } + \frac { 3 \mu } { 2 m c } \mathbf { E } \times \textbf { s } \Big ] f } \\ { \textbf { M } } & { = 3 \mu \int d \Omega \, \textbf { s } f } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widehat { V P } _ { 2 } } & { = - \sum _ { \textbf { \textsc { p } } \textbf { \textsc { q } } } { v } _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { p } _ { 4 } } ^ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } } S _ { \textsc { q } _ { 2 } } ^ { \textsc { p } _ { 3 } } \, \hat { a } _ { \textsc { p } _ { 1 } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \textsc { p } _ { 3 } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \textsc { p } _ { 4 } } \hat { a } _ { \textsc { p } _ { 2 } } \hat { b } _ { \textsc { q } _ { 1 } } ^ { \dagger } \hat { b } _ { \textsc { q } _ { 2 } } } \\ & { = - \sum _ { \textbf { \textsc { p } } \textbf { \textsc { q } } } { v } _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { p } _ { 4 } } ^ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } } S _ { \textsc { q } _ { 2 } } ^ { \textsc { p } _ { 3 } } \hat { e } _ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } \textsc { p } _ { 3 } \textsc { p } _ { 4 } } \hat { E } _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } } . } \end{array}
( A | B ) = \frac { 1 } { 4 } \Gamma \left( l + \frac { 3 } { 2 } \right) \frac { ( \alpha _ { A } + \alpha _ { B } ) ^ { - l - 1 / 2 } } { \alpha _ { A } \alpha _ { B } } \delta _ { l l _ { A } } \delta _ { l l _ { B } } ,
z ( 1 - z ) \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial z ^ { 2 } } U _ { \epsilon } ( z , \bar { z } ) - \left[ c _ { \epsilon } - ( a _ { \epsilon } + b _ { \epsilon } + 1 ) z \right] \frac { \partial } { \partial z } U _ { \epsilon } ( z , \bar { z } ) - a _ { \epsilon } b _ { \epsilon } U _ { \epsilon } ( z , \bar { z } ) = 0 ,
\begin{array} { r } { \| f \| _ { \mu } \leq \| 1 \| _ { \frac { \mu q } { q - 1 } } \| f \| _ { \mu q } = | \Omega | ^ { \frac { q - 1 } { \mu q } } \| f \| _ { s } = | \Omega | ^ { \frac { \mu s - 1 } { s } } \| f \| _ { s } \leq C \| f \| _ { W ^ { 1 , \frac { n s } { n + s } } } \leq C \| f \| _ { H ^ { 1 } } . } \end{array}
\mathbf { Q } = \left[ E _ { x } \quad E _ { y } \quad E _ { z } \quad \Tilde { H } _ { x } \quad \Tilde { H } _ { y } \quad \Tilde { H } _ { z } \quad \Tilde { j } _ { x } \quad \Tilde { j } _ { y } \quad \Tilde { j } _ { z } \quad \Tilde { \rho } \right] ^ { T }
\Biggl [ - { \frac { g ^ { 2 } } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } } { \frac { d ^ { 2 } } { d z ^ { 2 } } } + { \frac { g ^ { 2 } } { 2 } } \bigl [ C ( z ) + D _ { 1 / 2 } ( z ) \bigr ] \biggr ] \bar { \zeta } ( z ) = \epsilon _ { 1 } \bar { \zeta } ( z ) \; .
T = | \mathcal { S } _ { f a i l } | + | \mathcal { S } _ { s u c c } | \le \frac { \log ( \sigma _ { b } / \sigma _ { 0 } ) } { \log { \gamma } } + 2 | \mathcal { S } _ { s u c c } | \le \frac { \log ( \sigma _ { b } / \sigma _ { 0 } ) } { \log { \gamma } } + 2 C \operatorname* { m a x } \left( \epsilon _ { g } ^ { - \frac { 3 } { 2 } } , \epsilon _ { H } ^ { - 3 } \right) + 2 ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \hat { \sigma } _ { n , ( i j ) } ^ { 2 } ( \lambda ) \equiv \lambda ^ { \prime } E \left[ \mathcal { \tilde { Z } } _ { ( i ) } ^ { ( 0 ) } \mathcal { \tilde { Z } } _ { ( j ) } ^ { ( 0 ) } | \mathfrak { S } _ { n } \right] \lambda = \lambda ^ { \prime } \mathcal { \bar { H } } _ { ( i ) } ^ { ( 0 ) - 1 } \frac { 1 } { n } \sum _ { t = 1 } ^ { n } \eta _ { t } ^ { 2 } G _ { i , t } ^ { ( 0 ) } G _ { j , t } ^ { ( 0 ) \prime } \mathcal { \bar { H } } _ { ( i ) } ^ { ( 0 ) - 1 } \lambda } \\ & { } & { \tilde { \sigma } _ { ( i j ) } ^ { 2 } ( \lambda ) \equiv \lambda ^ { \prime } \mathcal { \bar { H } } _ { ( i ) } ^ { ( 0 ) - 1 } E \left[ G _ { i , t } ^ { ( 0 ) } G _ { j , t } ^ { ( 0 ) \prime } \right] \mathcal { \bar { H } } _ { ( j ) } ^ { ( 0 ) - 1 } \lambda . } \end{array}
{ \cal K } _ { d } \tilde { g } = \frac { i \lambda } { 2 n _ { i } } \omega _ { d } ( \ell ) F _ { 0 } J _ { 0 } \int d ^ { 3 } v ^ { \prime } J _ { 0 } ^ { \prime } \tilde { g } ^ { \prime } \left[ \left( \frac { v _ { \perp } } { \sqrt { 2 } v _ { t h } } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { v _ { \parallel } } { v _ { t h } } \right) ^ { 2 } - \left( \frac { v _ { \perp } ^ { \prime } } { \sqrt { 2 } v _ { t h } } \right) ^ { 2 } - \left( \frac { v _ { \parallel } ^ { \prime } } { v _ { t h } } \right) ^ { 2 } \right] ,
[ L _ { 1 } , L _ { 2 } , [ { \textstyle \frac { k + 1 } { 2 } } , + ] ] \oplus [ L _ { 1 } , L _ { 2 } , [ { \textstyle \frac { k + 1 } { 2 } } , - ] ] \, l o n g r i g h t a r r o w \ \bigoplus _ { J } \ N _ { L _ { 1 } \frac { k + 1 } { 2 } } ^ { ( k ) } { } ^ { J } \ [ J , L _ { 2 } , 0 ] \ \ .
\xi _ { x ^ { \prime } } \colon [ - \Upsilon _ { x ^ { \prime } } , \Upsilon _ { x ^ { \prime } } ] \to [ 0 , \infty ) , \ x _ { 1 } \mapsto \tilde { \mathcal L } \Bigl ( \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { x ^ { \prime } } \end{array} \right) , \tilde { \mathcal R } ^ { 1 } \Bigl ( \left( \begin{array} { l } { x _ { 1 } } \\ { x ^ { \prime } } \end{array} \right) \Bigr ) \Bigr )
\begin{array} { r l } { \mathbf { A } + \mathbf { B } } & { { } = { \left[ \begin{array} { l l l l } { a _ { 1 1 } } & { a _ { 1 2 } } & { \cdots } & { a _ { 1 n } } \\ { a _ { 2 1 } } & { a _ { 2 2 } } & { \cdots } & { a _ { 2 n } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { a _ { m 1 } } & { a _ { m 2 } } & { \cdots } & { a _ { m n } } \end{array} \right] } + { \left[ \begin{array} { l l l l } { b _ { 1 1 } } & { b _ { 1 2 } } & { \cdots } & { b _ { 1 n } } \\ { b _ { 2 1 } } & { b _ { 2 2 } } & { \cdots } & { b _ { 2 n } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { b _ { m 1 } } & { b _ { m 2 } } & { \cdots } & { b _ { m n } } \end{array} \right] } } \end{array}
\frac { P _ { \mathrm { 1 C G } } } { m _ { \mathrm { \scriptscriptstyle { M T } } } ^ { 2 } } \; \sim \; 1 - \frac { \pi T } { m _ { \mathrm { \scriptscriptstyle { M T } } } g _ { \mathrm { \scriptscriptstyle { M T } } } } \; \gg \; \frac { 1 } { 2 } .
\left| \mathbb { P } \{ M _ { m , j } \leq x _ { j } , 1 \leq j \leq d \} - \mathbb { P } \{ \bigvee _ { i = 1 } ^ { k _ { m } } M _ { r , i , j } ^ { \textrm { o d d } } \leq x _ { j } , 1 \leq j \leq d \} \right| \leq \sum _ { j = 1 } ^ { d } k _ { m } \mathbb { P } \{ M _ { r , i , j } ^ { \textrm { o d d } } \leq x _ { j } < M _ { r , i , j } ^ { \textrm { e v e n } } \} .
\sum _ { i = 1 } ^ { N _ { s } } \frac { \tilde { a } _ { i } ^ { 2 } } { 2 } = \int _ { \omega } S ( \omega ) \mathrm { d } \omega ~ \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } ~ \zeta ^ { ( 1 ) } ( x , t ) = \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { s } } \tilde { a } _ { i } \cos ( k _ { i } x - \omega _ { i } t + \tilde { \theta } _ { i } ) ,
\begin{array} { r l r } { \dot { \theta } _ { 1 } } & { = } & { I _ { 1 } , } \\ { \dot { \theta } _ { 2 } } & { = } & { I _ { 2 } , } \\ { \dot { I } _ { 1 } } & { = } & { - \frac { K _ { \mathrm { C } } } { 2 } \left[ \sin \left( \theta _ { 1 } - 3 \theta _ { 2 } \right) + 3 \sin \left( 3 \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } \right) \right] , } \\ { \dot { I } _ { 2 } } & { = } & { \frac { K _ { \mathrm { C } } } { 2 } \left[ 3 \sin \left( \theta _ { 1 } - 3 \theta _ { 2 } \right) + \sin \left( 3 \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } \right) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { V _ { p , a n } ^ { \mathrm { ~ 2 ~ h ~ 1 ~ p ~ } } } & { { } = M _ { p a , n } ^ { \mathrm { ~ h ~ h ~ } } } & { V _ { p , i n } ^ { \mathrm { ~ 2 ~ p ~ 1 ~ h ~ } } } & { { } = M _ { p i , n } ^ { \mathrm { ~ p ~ p ~ } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathrm { ~ f o r ~ e a c h ~ } i \in \{ 1 , 2 , \cdots , N _ { t } \} \mathrm { , ~ f i n d ~ } y _ { i } ^ { \mathcal { N } } \in Y ^ { \mathcal { N } } \mathrm { ~ s . t . ~ } \forall q ^ { \mathcal { N } } \in Y ^ { \mathcal { N } } , } \\ & { \frac { 1 } { \Delta t } m _ { s } \left( y _ { i } ^ { \mathcal { N } } ( \boldsymbol { \mu } ) - y _ { i - 1 } ^ { \mathcal { N } } ( \boldsymbol { \mu } ) , q ^ { \mathcal { N } } ; \boldsymbol { \mu } \right) + a _ { s } \left( y _ { i } ^ { \mathcal { N } } ( \boldsymbol { \mu } ) , q ^ { \mathcal { N } } ; \boldsymbol { \mu } \right) + b _ { s } \left( u _ { i } ^ { \mathcal { N } } , q ^ { \mathcal { N } } ; \boldsymbol { \mu } \right) = F _ { s } \left( q ^ { \mathcal { N } } ; \boldsymbol { \mu } \right) , } \end{array}
U \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \alpha \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { i } } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \cap \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! U \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \alpha \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { j } } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \emptyset \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\frac { 1 } { \sqrt { - \overline { { { g } } } } } \partial _ { \mu } ( \sqrt { - \overline { { { g } } } } \enspace \overline { { { g } } } ^ { \mu \gamma } \overline { { { g } } } ^ { \nu \delta } F _ { \gamma \delta } ) + m _ { A } ^ { 2 } A ^ { \nu } = 0
\begin{array} { r l r } & { \| ( Q _ { W _ { \widehat { k } } } ^ { \mathrm { T } } P ) ^ { \dagger } \| < \sqrt { \frac { n \widehat { k } } { 3 } } 2 ^ { \widehat { k } } , \quad } & { \| ( S _ { G } ^ { \mathrm { T } } V _ { \widehat { k } } ) ^ { \dagger } \| < \sqrt { \frac { d { \widehat { k } } } { 3 } } 2 ^ { \widehat { k } } . } \end{array}
m ^ { 2 } - { \frac { 2 x _ { 0 } y _ { 0 } } { x _ { 0 } ^ { 2 } - a ^ { 2 } } } m + { \frac { y _ { 0 } ^ { 2 } - b ^ { 2 } } { x _ { 0 } ^ { 2 } - a ^ { 2 } } } = 0 ,
\langle p _ { 2 } ( t ) \rangle = \Bigg \langle \int _ { 0 } ^ { t } d \tau k _ { 1 } ( \tau ) e ^ { - \int _ { \tau } ^ { t } d \tau ^ { \prime } ( k _ { 1 } ( \tau ^ { \prime } ) + k _ { 2 } ( \tau ^ { \prime } ) ) } \Bigg \rangle .
\textbf { d } _ { l } = \int _ { V _ { \mathrm { ~ c ~ r ~ y ~ s ~ t ~ a ~ l ~ } } } w _ { c } ^ { * } \left( \mathbf { x } - \mathbf { x } _ { l } \right) \mathbf { x } w _ { v } ( \mathbf { x } ) \mathrm { d } \mathbf { x }
\eta = \frac { | | C _ { L } ^ { \mathrm { ~ n ~ c ~ } } - C _ { L } ^ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ . ~ } } | | _ { 2 } - | | C _ { L } ^ { \mathrm { ~ c ~ } } - C _ { L } ^ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ . ~ } } | | _ { 2 } } { | | C _ { L } ^ { \mathrm { ~ n ~ c ~ } } - C _ { L } ^ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ . ~ } } | | _ { 2 } } \times 1 0 0 ,
\mathbf { P } _ { \mathrm { g o o d } } \leftarrow P _ { \mathrm { g o o d } } ^ { \mathrm { m i n } } \ \ \mathrm { i f } \ L _ { \mathrm { o l d } , r } ^ { \backslash \mathrm { f i t } } = L _ { \mathrm { o l d } } ^ { \mathrm { m a x } }