harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \varepsilon _ { c r } \left( t \right) } & { = \frac { a _ { 1 } } { b _ { 1 } } \frac { t ^ { \beta + \nu } } { \Gamma \left( 1 + \beta + \nu \right) } + \frac { a _ { 1 } } { b _ { 1 } } \left( \frac { a _ { 2 } } { a _ { 1 } } - \frac { b _ { 2 } } { b _ { 1 } } \right) \frac { t ^ { \nu - \alpha } } { \Gamma \left( 1 + \nu - \alpha \right) } } \\ & { \quad + \frac { a _ { 1 } } { b _ { 1 } } \left( \frac { a _ { 3 } } { a _ { 1 } } - \frac { a _ { 2 } } { a _ { 1 } } \frac { b _ { 2 } } { b _ { 1 } } + \left( \frac { b _ { 2 } } { b _ { 1 } } \right) ^ { 2 } \right) \frac { t ^ { - 2 \alpha - \beta + \nu } } { \Gamma \left( 1 - 2 \alpha - \beta + \nu \right) } + O \left( t ^ { - \xi } \right) , \quad \mathrm { w h e n } \quad t \rightarrow \infty , } \end{array}
\begin{array} { l l } { \dot { { x } _ { 1 } } = { x } _ { 1 } ( 1 - { x } _ { 2 } + { r } { x } _ { 1 } - { p } { x } _ { 3 } { x } _ { 1 } ) ) - { \mu } _ { 1 } ( { x } _ { 1 } - 1 ) , } \\ { \dot { { x } _ { 2 } } = { x } _ { 2 } ( - 1 + { x } _ { 1 } ) - { \mu } _ { 2 } ( { x } _ { 2 } - 3 ) , } \\ { \dot { { x } _ { 3 } } = { x } _ { 3 } ( - { q } + { p } { x } _ { 1 } ^ { 2 } ) - { \mu } _ { 3 } ( { x } _ { 3 } - 0 ) . } \end{array}
p _ { \mathrm { o } } = \frac { e ^ { - \beta \, E _ { \mathrm { o } } } } { e ^ { - \beta \, E _ { \mathrm { o } } } + e ^ { - \beta \, E _ { \mathrm { c } } } } = \frac { 1 } { 1 + e ^ { \beta \, \Delta G } }
F ( t ) \equiv \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { n ^ { 4 } } } \cos n t = - { \frac { 1 } { 4 8 } } t ^ { 2 } ( t - 2 \pi ) ^ { 2 } + { \frac { \pi ^ { 4 } } { 9 0 } } \quad \mathrm { f o r } \quad 0 \le t \le 2 \pi .
G ( \chi , \chi ^ { \prime } ) = \frac { 1 } { 2 i } \sqrt { \frac { 1 } { \hat { k } ( \chi ) \hat { k } ( \chi ^ { \prime } ) } } \exp [ - i \! \! \! \! \! \! \! \int _ { \operatorname* { m i n } ( \chi , \chi ^ { \prime } ) } ^ { \operatorname* { m a x } ( \chi , \chi ^ { \prime } ) } \! \! \! \! \! \! \! \hat { k } ( \hat { \chi } ) d \hat { \chi } ] .
\varepsilon _ { n } ( t ) \approx \varepsilon _ { n , 0 } \exp ( - \lambda _ { n } t ) \cos ( \omega _ { n } t ) \quad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \quad \omega _ { n } = \sqrt { \omega _ { n , 0 } ^ { 2 } - \lambda _ { n } ^ { 2 } } ,
\sum _ { l _ { f } } \tilde { \mathbf { x } } _ { s } ^ { ( l _ { i } ) } \otimes _ { l _ { i } , l _ { f } } ^ { l _ { o } } \mathbf { h } _ { l _ { i } , l _ { f } , l _ { o } } \mathbf { \delta } ^ { ( l _ { f } ) } = 0 \quad \implies \quad \sum _ { l _ { f } } \left( \mathbf { h } _ { l _ { i } , l _ { f } , l _ { o } } \mathbf { C } _ { ( l _ { i } , : ) , ( l _ { f } , 0 ) } ^ { ( l _ { o } , : ) } \right) \cdot \tilde { \mathbf { x } } _ { s } ^ { ( l _ { i } ) } = 0
i { \cal D } ^ { - 1 } ( p ^ { 2 } ) = Z _ { \mu } ^ { ( 0 ) } \mu ^ { 2 } + Z _ { 4 } ^ { ( 0 ) } \frac { \beta ^ { 4 } \sigma ^ { 2 } } { 2 } + N \beta ^ { 2 } \Sigma ( p ^ { 2 } ) - Z _ { \phi } ^ { ( 0 ) } p ^ { 2 } \, ,
\begin{array} { r l r } { \frac { d \Phi _ { n + 1 } ( z ) } { d z } } & { { } = } & { \alpha N _ { 0 , g } \sin \Phi _ { n + 1 } ( z ) , } \\ { 0 } & { { } \le } & { z \le L _ { \mathrm { ~ c ~ a ~ v ~ } } , } \end{array}
\pi _ { a } ( \tau _ { i } ) = \pi _ { a } ( \tau _ { f } ) = 0 ; \quad C ^ { a } ( \tau _ { i } ) = C ^ { a } ( \tau _ { f } ) = 0 ; \quad \tilde { C } _ { a } ( \tau _ { i } ) = \tilde { C } _ { a } ( \tau _ { f } ) = 0 .
{ \cal M } _ { 1 - l o o p } ( \theta ) = \frac { i g ^ { 4 } } { 8 \pi m \Theta ^ { 2 } } [ \varepsilon ^ { c a b } T _ { c } \otimes T _ { b } T _ { a } ] = - \frac { i g ^ { 4 } } { 8 \pi m \Theta ^ { 2 } } [ T ^ { a } \otimes T _ { a } ] \; .
\begin{array} { r l } { \langle b _ { m } ( s ) b _ { n } ( \tau ) \rangle } & { { } = \langle \frac { 4 } { L _ { x } ^ { 2 } } \left( \int _ { 0 } ^ { L _ { x } } \bar { \phi } _ { m } ( x ) \mathcal { N } ( x , s ) d x \right) \left( \int _ { 0 } ^ { L _ { x } } \bar { \phi } _ { n } ( x ^ { \prime } ) \mathcal { N } ( x ^ { \prime } , \tau ) d x ^ { \prime } \right) \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial ^ { 2 } \Omega ^ { \prime } } { \partial \xi ^ { 2 } } } & { - } & { \frac { \partial ^ { 2 } \Omega ^ { \prime } } { \partial \theta ^ { 2 } } - 2 i \frac { \partial \Omega ^ { \prime } } { \partial \xi } - 2 i \frac { \partial \Omega ^ { \prime } } { \partial \theta } + ( n ^ { 2 } - 1 ) \Omega ^ { \prime } } \\ & { } & { = 6 \epsilon \left( \frac { \partial ^ { 2 } p } { \partial \theta ^ { 2 } } + 2 i \frac { \partial p } { \partial \theta } - p \right) , } \end{array}
\overline { { \mathbf { J } } } _ { s g } = \widehat { \mathbf { J } } _ { s g } + \frac { \beta _ { s } } { V _ { g } } \sum _ { p } \sum _ { g ^ { \prime } } q _ { p } { \alpha } _ { p } ^ { n } \mathbf { E } _ { g ^ { \prime } } ^ { n + \theta } W _ { p g ^ { \prime } } W _ { p g }
\rho _ { i } ( x , y , t = 0 ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \rho _ { i , L 1 } + \rho _ { i , V } } { 2 } - \frac { \rho _ { i , L 1 } - \rho _ { i , V } } { 2 } \operatorname { t a n h } { \left[ \frac { 2 \left( x - S 1 \right) } { W } \right] } } & { \mathrm { i f ~ 0 ~ < ~ x ~ \leq ~ \frac { n _ x } { 4 } ~ } } \\ { \frac { \rho _ { i , V } + \rho _ { i , L 1 } } { 2 } - \frac { \rho _ { i , V } - \rho _ { i , L 1 } } { 2 } \operatorname { t a n h } { \left[ \frac { 2 \left( x - S 2 \right) } { W } \right] } } & { \mathrm { i f ~ \frac { n _ x } { 4 } ~ < ~ x ~ \leq ~ \frac { n _ x } { 2 } ~ } } \\ { \frac { \rho _ { i , L 1 } + \rho _ { i , L 2 } } { 2 } - \frac { \rho _ { i , L 1 } - \rho _ { i , L 2 } } { 2 } \operatorname { t a n h } { \left[ \frac { 2 \left( x - S 3 \right) } { W } \right] } } & { \mathrm { i f ~ \frac { n _ x } { 2 } ~ < ~ x ~ \leq ~ \frac { 3 } { 4 } n _ x ~ } } \\ { \frac { \rho _ { i , L 2 } + \rho _ { i , L 1 } } { 2 } - \frac { \rho _ { i , L 2 } - \rho _ { i , L 1 } } { 2 } \operatorname { t a n h } { \left[ \frac { 2 \left( x - S 1 \right) } { W } \right] } } & { \mathrm { i f ~ \frac { 3 } { 4 } n _ x ~ < ~ x ~ \leq ~ n _ x ~ } } \end{array} \right. ,
\int _ { y = g ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } ) } { \frac { f ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } ) } { \sqrt { \sum _ { j = 1 } ^ { n } { \frac { \partial g } { \partial x _ { j } } } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } ) ^ { 2 } } } } \, d V ,
\begin{array} { r } { i \hbar ^ { \alpha } s ^ { \alpha } \tilde { \Psi } ( s ) = \sum _ { m } \hat { h } ( m ) \sum _ { n } C _ { n } \mathcal { L } \left[ \Lambda _ { n } ( t ) e ^ { i t \omega ( n + m ) } \right] + i \hbar ^ { \alpha } s ^ { \alpha - 1 } \Psi _ { 0 } } \\ { = \sum _ { m } \sum _ { n } \hat { h } ( m ) C _ { n } \tilde { \Lambda } ( s - i \omega n - i \omega m ) + i \hbar ^ { \alpha } s ^ { \alpha - 1 } \Psi _ { 0 } , } \\ { \tilde { \Psi } ( s ) = \sum _ { n } \tilde { \Lambda } ( s - i \omega n ) C _ { n } , \quad \quad \Psi _ { 0 } = \Lambda ( 0 ) \sum _ { n } C _ { n } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { X _ { 1 } = \{ 1 + x _ { 1 , 2 } e _ { 1 , 2 } ^ { \prime } : x _ { 1 , 2 } \in \mathrm { M a t } _ { n } \} , } & { X _ { 2 } = \{ 1 + x _ { 3 , 4 } e _ { 3 , 4 } ^ { \prime } : x _ { 3 , 4 } \in \mathrm { M a t } _ { n } \} , } \\ & { Y _ { 1 } = \{ 1 + x _ { 2 , 3 } e _ { 2 , 3 } ^ { \prime } : y _ { 2 , 3 } \in \mathrm { M a t } _ { n } \} , } & { Y _ { 2 } = \{ 1 + x _ { 4 , 5 } e _ { 4 , 5 } ^ { \prime } : y _ { 4 , 5 } \in \mathrm { M a t } _ { n } \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { W _ { 1 } ( \nu _ { x _ { 0 } } ^ { \varepsilon } , T _ { * } \nu _ { x _ { 0 } } ^ { \varepsilon } ) } & { \geqslant \int f ( z ) ( d ( T _ { * } \nu _ { x _ { 0 } } ^ { \varepsilon } ) ( z ) - d \nu _ { x _ { 0 } } ^ { \varepsilon } ( z ) ) } \\ & { = \int ( f ( T z ) - f ( z ) ) d \nu _ { x _ { 0 } } ^ { \varepsilon } ( z ) } \\ & { = \int ( f ( T z ) - f ( z ) ) ( 1 + h ( x _ { 0 } , z ) ) d \bar { \nu } _ { x _ { 0 } } ^ { \varepsilon } ( z ) } \\ & { = \int ( f ( T z ) - f ( z ) ) d \bar { \nu } _ { x _ { 0 } } ^ { \varepsilon } ( z ) + \int d ( y , x _ { 0 } ) ( 1 + O ( \varepsilon ^ { 2 } ) ) h ( x _ { 0 } , z ) d \bar { \nu } _ { x _ { 0 } } ^ { \varepsilon } ( z ) } \\ & { = W _ { 1 } ( \bar { \nu } _ { x _ { 0 } } , T _ { * } \bar { \nu } _ { x _ { 0 } } ) + O ( \delta ^ { 2 } \varepsilon ^ { 2 } ) + O ( \delta \varepsilon ^ { 3 } ) } \end{array}
D _ { \sigma } ( \vec { r } ) = \left[ 1 + \left( \frac { \tau _ { \sigma } ( \vec { r } ) \rho _ { \sigma } ( \vec { r } ) - \frac { 1 } { 4 } | \vec { \nabla } \rho _ { \sigma } ( \vec { r } ) | ^ { 2 } } { \rho _ { \sigma } ( \vec { r } ) \tau _ { \sigma } ^ { \mathrm { T F } } ( \vec { r } ) } \right) ^ { 2 } \right] ^ { - 1 } ,
\partial _ { \eta \eta } \overline { { \mathbf { W } } } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { p } ) \vert _ { \eta = 0 } = \left( \begin{array} { l l } { \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } \partial _ { u u \eta \eta } f _ { 3 } ( \mathbf { r } _ { \eta } ( \mathbf { p } ) , \tau ) \vert _ { \eta = 0 } d \tau } & { \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } \partial _ { v u \eta \eta } f _ { 3 } ( \mathbf { r } _ { \eta } ( \mathbf { p } ) , \tau ) \vert _ { \eta = 0 } d \tau } \\ { \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } \partial _ { u v \eta \eta } f _ { 3 } ( \mathbf { r } _ { \eta } ( \mathbf { p } ) , \tau ) \vert _ { \eta = 0 } d \tau } & { \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } \partial _ { v v \eta \eta } f _ { 3 } ( \mathbf { r } _ { \eta } ( \mathbf { p } ) , \tau ) \vert _ { \eta = 0 } d \tau } \end{array} \right) .
t r l n { \left( \partial \! \! \! \slash + \bar { M } \right) } = \frac { 2 } { \beta } \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } \int \frac { d ^ { d - 1 } { \bf k } } { ( 2 \pi ) ^ { d - 1 } } \left\{ 2 \ln { \left( { \bf k } ^ { 2 } + \omega _ { n } ^ { 2 } \right) } + l n { \left( 1 + \frac { \bar { m } _ { 1 } ^ { 2 } } { { \bf k } ^ { 2 } + \omega _ { n } ^ { 2 } } \right) } + l n { \left( 1 + \frac { \bar { m } _ { 2 } ^ { 2 } } { { \bf k } ^ { 2 } + \omega _ { n } ^ { 2 } } \right) } \right\} .
\begin{array} { r l } { = } & { { } \frac { 1 } { 2 0 } ( \delta _ { 1 / 4 } - \delta _ { 1 / 4 } ^ { \prime } ) [ \delta _ { 1 / 4 } ^ { 3 } + 2 \delta _ { 1 / 4 } ^ { 2 } \delta _ { 1 / 4 } ^ { \prime } } \end{array}
\mathcal { M } _ { \nu } = A \left( \hat { r } ^ { 2 } f - f \hat { r } ^ { 2 } \right) - B \left( \gamma \hat { r } f - f \hat { r } \gamma ^ { T } \right) \quad \mathrm { w i t h } \quad \hat { r } = \mathrm { d i a g } \, ( m _ { e } , m _ { \mu } , m _ { \tau } ) / v \, .
{ \begin{array} { r l } { D _ { \mathrm { K L } } ( \alpha _ { p } , \beta _ { p } ; \alpha _ { q } , \beta _ { q } ) = } & { ( \alpha _ { p } - \alpha _ { q } ) \psi ( \alpha _ { p } ) - \log \Gamma ( \alpha _ { p } ) + \log \Gamma ( \alpha _ { q } ) } \\ & { + \alpha _ { q } ( \log \beta _ { p } - \log \beta _ { q } ) + \alpha _ { p } { \frac { \beta _ { q } - \beta _ { p } } { \beta _ { p } } } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { ( \sigma _ { \circ } ^ { \mathcal { P } } ) ^ { * } \omega ( { \mathsf { a } } , \lambda , { \mathsf { e } } ) = { { \varpi } _ { \mathsf { e A S } } ^ { \mathsf { l i n } } } ( { \mathsf { a } } , \lambda , { \mathsf { e } } ) } & { \doteq { \varpi _ { \mathsf { A S } } } ( { \mathsf { a } } ) + \omega _ { S } ( \lambda , { \mathsf { e } } ) } \\ & { = \int _ { \Sigma } \mathbf { t r } ( L _ { \ell } \mathbb { d } { \mathsf { a } } ^ { i } \wedge \mathbb { d } { \mathsf { a } } _ { i } ) + \int _ { S } \mathbf { t r } ( \mathbb { d } { \mathsf { e } } \wedge \mathbb { d } \lambda ) . } \end{array}
s h o w s t h e L y a p u n o v e x p o n e n t s . R o s e n s t e i n a l g o r i t h m d i d n o t s h o w r e s u l t s i n i n t h i s c a s e , b e c a u s e s i n g u l a r v a l u e d e c o m p o s i t i o n d i d n o t c o n v e r g e w h e n d o i n g l i n e a r l e a s t s q u a r e s , m e a n i n g t h a t p o s i t i v e o r n e g a t i v e i n f i n i t y a p p e a r e d w h e n w e t r i e d t o d e a l w i t h p s e u d o - i n v e r s e m a t r i x . E c k m a n n Y c a n n o t w o r k , e i t h e r , f o r y = 0 i n t h e w h o l e r a n g e . W e m a y s e e t h a t f o r o v e r a l l t r e n d o f \lambda _ { x } , b o t h a l g o r i t h m s h a v e \lambda _ { x } < 0 f o r \mu _ { 0 } < 3 . 0 , w h e r e a s \lambda _ { x } h a s b o t h p o s i t i v e a n d n e g a t i v e v a l u e s f o r \mu _ { 0 } > 3 . 5 . I t i s w i d e l y a c c e p t e d
\begin{array} { r } { R _ { i j } = \left( \begin{array} { c c c } { \cos \gamma t \cos \alpha t - k _ { 3 } \sin \gamma t \sin \alpha t } & { - \cos \gamma t \sin \alpha t - k _ { 3 } \sin \gamma t \cos \alpha t } & { k _ { 2 } \sin \gamma t } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { k _ { 3 } \sin \gamma t \cos \alpha t + ( k _ { 2 } ^ { 2 } + k _ { 3 } ^ { 2 } \cos \gamma t ) \sin \alpha t } & { - k _ { 3 } \sin \gamma t \sin \alpha t + ( k _ { 2 } ^ { 2 } + k _ { 3 } ^ { 2 } \cos \gamma t ) \cos \alpha t } & { k _ { 2 } k _ { 3 } ( 1 - \cos \gamma t ) } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { - k _ { 2 } \sin \gamma t \cos \alpha t + k _ { 2 } k _ { 3 } ( 1 - \cos \gamma t ) \sin \alpha t } & { k _ { 2 } \sin \gamma t \sin \alpha t + k _ { 2 } k _ { 3 } ( 1 - \cos \gamma t ) \cos \alpha t } & { k _ { 3 } ^ { 2 } + k _ { 2 } ^ { 2 } \cos \gamma t } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \tilde { \psi } _ { 0 } ( \kappa ) = \left\{ \begin{array} { c } { a _ { 1 } + a _ { 2 } \log \kappa - \frac { 1 } { 4 } r _ { b } ^ { 2 } \kappa ^ { 2 } ~ ~ \kappa < 1 } \\ { a _ { 3 } + a _ { 4 } \log \kappa + \frac { 1 } { 4 } r _ { b } ^ { 2 } \kappa ( \sqrt { \kappa ^ { 2 } - 1 } - \kappa ) - \frac { 1 } { 4 } r _ { b } ^ { 2 } \log \left( \kappa + \sqrt { \kappa ^ { 2 } - 1 } \right) ~ ~ 1 < \kappa \ll \infty } \end{array} \right. , } \end{array}
( \partial _ { \sigma } ^ { 2 } - \partial _ { \tau } ^ { 2 } ) \delta x - \left( \frac { r } { 2 } \frac { d a ( r ) } { d r } + \frac { r ^ { 2 } } { 2 } \frac { d ^ { 2 } a ( r ) } { d r ^ { 2 } } - \frac { 2 E ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } \right) \delta x = 0 ,
\mathfrak { g } _ { \mathtt { C } } = \Big \{ { \small \bigg ( \begin{array} { l l } { 0 } & { v ^ { \mathtt { t } } } \\ { 0 } & { A } \end{array} \bigg ) } \normalsize \ \Big | \ v \in \mathbb { R } ^ { n - 1 } \ , \ A \in \mathfrak { s o } ( n - 1 ) \Big \} \ .
\left. \Psi ^ { \prime \prime \prime } \right\vert _ { v = v _ { 0 } } \! \! \! \! = \left. - \frac { 1 } { 2 \theta _ { 0 } } \left( 1 + \varkappa ^ { 2 } \frac { \theta ^ { 2 } } { g ^ { 2 } } \right) g ^ { \prime \prime } \right\vert _ { v = v _ { 0 } } .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { \theta \in \Theta _ { n } ^ { 2 } ( s ) } \operatorname { V a r } _ { \theta } \big ( \widehat { \| \theta \| _ { 2 } ^ { 2 } } \big ) } & { \lesssim \| \theta \| _ { 2 } ^ { 2 } + s + \frac { 1 } { \sqrt { \log ( n / s ^ { 2 } ) } } n \Big ( \frac { s ^ { 2 } } { n } \Big ) ^ { \gamma / 2 } } \\ & { \leq 2 s \log \Big ( 1 + \frac { \sqrt { n } } s \Big ) + s + \frac { s } { \sqrt { \log ( n / s ^ { 2 } ) } } } \\ & { \lesssim s \log ( n / s ^ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { c c l } { | \Psi ^ { \mathrm { m o l } } ( z _ { j } , t ) \rangle } & { = } & { ( \hat { \sigma } _ { j } ^ { + } | \phi _ { 0 } \rangle \langle \phi _ { 0 } | \hat { \sigma } _ { j } ) | \Psi ( t ) \rangle } \\ & { = } & { \sum _ { m } ^ { N + n _ { \mathrm { m o d e } } } c _ { m } ( t ) \beta _ { j } ^ { m } \hat { \sigma } _ { j } ^ { + } | \phi _ { 0 } \rangle } \end{array}
S = \int f _ { \mathrm { k i n } } ( x _ { i } , y _ { j } ) \, d ^ { 4 } \theta d ^ { 2 } z + t \int f _ { \mathrm { F I } } ( y _ { j } ) \, d \theta ^ { + } d \bar { \theta } ^ { - } d ^ { 2 } z + \int W ( x _ { i } ) \, d ^ { 2 } \theta ^ { + } d ^ { 2 } z + \mathrm { h . c . } ,
\begin{array} { r l } { 0 \ } & { = \left< \int _ { - d } ^ { \eta } \left[ u \frac { \partial v } { \partial x } + v \frac { \partial v } { \partial y } \right] \mathrm { d } y \right> = \left< \int _ { - d } ^ { \eta } \frac { \partial } { \partial y } \left[ \frac { u ^ { 2 } + v ^ { 2 } } { 2 } + \omega \psi \right] \mathrm { d } y \right> } \\ & { = { \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } } \left< { u } _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } + { v } _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } \right> - { \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } } \left< { u } _ { \mathrm { b } } ^ { 2 } \right> + \omega \, ( { \psi } _ { \mathrm { s } } - { \psi } _ { \mathrm { b } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta _ { t } + \frac { \eta _ { t } ^ { - 1 } } { 2 } d _ { t + 1 } ^ { 2 } - \frac { \eta _ { t } ^ { - 1 } - \mu } { 2 } d _ { t } ^ { 2 } \leq } & { \langle \xi _ { t } , x _ { * } - x _ { t } \rangle + \eta _ { t } \left( 2 \left\Vert \xi _ { t } ^ { u } \right\Vert ^ { 2 } + 2 \left\Vert \xi _ { t } ^ { b } \right\Vert ^ { 2 } + G ^ { 2 } \right) } \\ { = } & { \langle \xi _ { t } ^ { b } , x _ { * } - x _ { t } \rangle + \langle \xi _ { t } ^ { u } , x _ { * } - x _ { t } \rangle + \eta _ { t } \left( 2 \left\Vert \xi _ { t } ^ { u } \right\Vert ^ { 2 } + 2 \left\Vert \xi _ { t } ^ { b } \right\Vert ^ { 2 } + G ^ { 2 } \right) } \\ { \overset { ( a ) } { \leq } } & { \frac { \left\Vert \xi _ { t } ^ { b } \right\Vert ^ { 2 } } { \mu } + \frac { \mu d _ { t } ^ { 2 } } { 4 } + \langle \xi _ { t } ^ { u } , x _ { * } - x _ { t } \rangle + \eta _ { t } \left( 2 \left\Vert \xi _ { t } ^ { u } \right\Vert ^ { 2 } + 2 \left\Vert \xi _ { t } ^ { b } \right\Vert ^ { 2 } + G ^ { 2 } \right) } \\ { \Rightarrow \Delta _ { t } + \frac { \eta _ { t } ^ { - 1 } } { 2 } d _ { t + 1 } ^ { 2 } - \frac { \eta _ { t } ^ { - 1 } - \mu / 2 } { 2 } d _ { t } ^ { 2 } \leq } & { \langle \xi _ { t } ^ { u } , x _ { * } - x _ { t } \rangle + \frac { \left\Vert \xi _ { t } ^ { b } \right\Vert ^ { 2 } } { \mu } + \eta _ { t } \left( 2 \left\Vert \xi _ { t } ^ { u } \right\Vert ^ { 2 } + 2 \left\Vert \xi _ { t } ^ { b } \right\Vert ^ { 2 } + G ^ { 2 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \hat { a } _ { \mathrm { H } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { H } } \rangle } & { { } = | \alpha _ { \mathrm { H } } | ^ { 2 } = N _ { \mathrm { H } } = N \cos ^ { 2 } \alpha } \\ { \langle \hat { a } _ { \mathrm { V } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { V } } \rangle } & { { } = | \alpha _ { \mathrm { V } } | ^ { 2 } = N _ { \mathrm { V } } = N \sin ^ { 2 } \alpha , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \epsilon _ { 0 } } & { = \frac { \ell + \sqrt { \ell ^ { 2 } - 2 L \ell c + L ^ { 2 } } } { 2 \ell c - L } } \\ & { = \frac { \ell + \sqrt { \ell ^ { 2 } - 2 \ell ^ { 2 } ( 1 + \delta ) c + \ell ^ { 2 } ( 1 + \delta ) ^ { 2 } } } { 2 \ell c - \ell ( 1 + \delta ) } } \\ & { = \frac { 1 + \sqrt { 1 - 2 ( 1 + \delta ) c + ( 1 + \delta ) ^ { 2 } } } { 2 c - ( 1 + \delta ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tau _ { \pi } \dot { \pi } ^ { \langle \mu \nu \rangle } + \pi ^ { \mu \nu } } & { = 2 \eta \sigma ^ { \mu \nu } - \delta _ { \pi \pi } \pi ^ { \mu \nu } \theta - \tau _ { \pi \pi } \pi _ { \lambda } ^ { \langle \mu } \sigma ^ { \nu \rangle \lambda } - \tau _ { \pi } \gamma _ { - 2 } ^ { \Theta } \Theta ^ { \mu \nu \alpha \beta } \sigma _ { \alpha \beta } , } \\ { \tau _ { \Theta } \dot { \Theta } ^ { \langle \mu \nu \alpha \beta \rangle } + \Theta ^ { \mu \nu \alpha \beta } } & { = \delta _ { \Theta \Theta } \Theta ^ { \mu \nu \alpha \beta } \theta + \tau _ { \Theta \Theta } \sigma _ { \lambda } ^ { \langle \mu } \Theta ^ { \nu \alpha \beta \rangle \lambda } + \ell _ { \Theta \pi } \sigma ^ { \langle \mu \nu } \pi ^ { \alpha \beta \rangle } . } \end{array}
4 \left[ \begin{array} { c } { { R _ { 0 } ( \tau ) } } \\ { { R _ { 1 } ( \tau ) } } \end{array} \right] = \frac { 1 } { \pi } \int _ { 0 } ^ { s _ { 0 } } d s \left[ \begin{array} { c } { { 1 } } \\ { { s } } \end{array} \right] I m \left[ \Pi ^ { r e s } ( s ) \right] e ^ { - s \tau }
\sigma _ { \mathrm { t h } } = \frac { \mu _ { y } { \cal F } ^ { 2 } ( 1 + w _ { r } ^ { x } \tau _ { a } ) } { ( 1 + w _ { r } ^ { y } \tau _ { a } ) ( 1 + w _ { r } ^ { x } \tau _ { a } ) - k _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ } } ^ { 2 } \, \mu _ { x } \mu _ { y } \tau _ { a } ^ { 2 } } \, ,
B _ { i j } ^ { A } = \frac { 1 } { 3 ! } \epsilon _ { i j k l m } F ^ { A k l m } , \; F _ { i j k } ^ { A } = \partial _ { i } A _ { j k } ^ { A } + \partial _ { j } A _ { k i } ^ { A } + \partial _ { k } A _ { i j } ^ { A } .
\begin{array} { r } { \overline { { \mathscr { A } } } _ { s } = \overline { { \mathscr { A } } } ( v - s u _ { 1 } ) , \quad \mathscr { A } _ { s } = \mathcal { L } _ { s } ^ { - 1 } [ \overline { { \mathscr { A } } } _ { s } ] , \quad \overline { \mathscr { B } } _ { s } = \overline { \mathscr { B } } ( v - s u _ { 1 } ) , \quad \mathscr { B } _ { s } = \mathcal { L } _ { s } ^ { - 1 } [ \overline { \mathscr { B } } _ { s } ] . } \end{array}
\{ y \} = \frac { \left( \frac { y + 1 } { 2 \lambda } \right) \left( \frac { y - 1 } { 2 \lambda } \right) } { \left( \frac { y + 1 } { 2 \lambda } - 1 \right) \left( \frac { y - 1 } { 2 \lambda } + 1 \right) }
B ^ { ( 4 ) } = \left( \begin{array} { c c } { { \epsilon } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \epsilon } } \end{array} \right) \quad \mathrm { w h e r e } \quad \epsilon = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { - 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right) ,
\mathbf { f } _ { i j } ( r _ { i j } ) = - \frac { G _ { 3 } m _ { i } m _ { j } } { r _ { i j } ^ { 3 } } ( 1 + \frac { 2 \sigma _ { i } ^ { 2 } + 2 \sigma _ { j } ^ { 2 } } { 5 r _ { i j } ^ { 2 } } ) \hat { \mathbf { r } } _ { i j } + \mathcal { O } ( r _ { i j } ^ { - 6 } ) .
u _ { 1 } ( \bar { \alpha } , \bar { \alpha } ) = \frac { 1 } { 1 + r ^ { \gamma _ { r } } } + \frac { 1 } { 1 + r ^ { \gamma _ { p } } } + ( r - 1 ) \frac { 1 } { 1 + r ^ { \gamma _ { r } } } \; \frac { 1 } { 1 + r ^ { \gamma _ { p } } } > 1 \; ,
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { \dot { x } } } & { = ( i \hbar ) ^ { - 1 } [ \mathbf { x } . H ] = { \frac { 1 } { m } } \left( \mathbf { p } - { \frac { e } { c } } \mathbf { A } \right) } \\ { \mathbf { \dot { p } } } & { = ( i \hbar ) ^ { - 1 } [ \mathbf { p } . H ] { \begin{array} { r l } & { = { \frac { 1 } { 2 } } \nabla \left( \mathbf { p } - { \frac { e } { c } } \mathbf { A } \right) ^ { 2 } - m \omega _ { 0 } ^ { 2 } \mathbf { \dot { x } } } \\ & { = - { \frac { 1 } { m } } \left[ \left( \mathbf { p } - { \frac { e } { c } } \mathbf { A } \right) \cdot \nabla \right] \left[ - { \frac { e } { c } } \mathbf { A } \right] - { \frac { 1 } { m } } \left( \mathbf { p } - { \frac { e } { c } } \mathbf { A } \right) \times \nabla \times \left[ - { \frac { e } { c } } \mathbf { A } \right] - m \omega _ { 0 } ^ { 2 } \mathbf { \dot { x } } } \\ & { = { \frac { e } { c } } ( \mathbf { \dot { x } } \cdot \nabla ) \mathbf { A } + { \frac { e } { c } } \mathbf { \dot { x } } \times \mathbf { B } - m \omega _ { 0 } ^ { 2 } \mathbf { \dot { x } } } \end{array} } } \end{array} }
\begin{array} { r } { \chi = \langle \lVert \mathbf { \mathcal { H } } _ { t } \rVert \rangle _ { t } , \quad \lVert \mathbf { \mathcal { H } } _ { t } \rVert = \sqrt { \lambda _ { M } ( \mathbf { \mathcal { H } } _ { t } \mathbf { \mathcal { H } } _ { t } ^ { T } ) } , } \end{array}
{ \bf V } _ { N } ^ { \prime } \equiv [ { \bf { V } } _ { N _ { T } } , - { \bf { Z } } _ { N _ { R } \times N _ { R } } ^ { L } { \bf { I } } _ { N _ { R } } , - { \bf { Z } } _ { N _ { S } \times N _ { S } } ^ { L } { \bf { I } } _ { N _ { S } } ] ^ { T }
\begin{array} { r } { \hat { P } _ { \mathrm { S } } ( t _ { n } ) = T r [ \hat { P } _ { \mathrm { S } } \hat { U } ( t _ { n } , 0 ) \hat { \rho } ( 0 ) \hat { U } ^ { \dagger } ( t _ { n } , 0 ) ] , } \end{array}