harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \begin{array} { r l } & { = \iiint _ { V } \left( { \frac { \partial F _ { x } } { \partial x } } + { \frac { \partial F _ { y } } { \partial y } } + { \frac { \partial F _ { z } } { \partial z } } \right) d V } \\ & { = \iiint _ { V } \left( { \frac { \partial \sin ( 2 x ) } { \partial x } } + { \frac { \partial \sin ( 2 y ) } { \partial y } } + { \frac { \partial \sin ( 2 z ) } { \partial z } } \right) d V } \\ & { = \iiint _ { V } 2 \left( \cos ( 2 x ) + \cos ( 2 y ) + \cos ( 2 z ) \right) d V } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 3 } \int _ { - 1 } ^ { 4 } 2 ( \cos ( 2 x ) + \cos ( 2 y ) + \cos ( 2 z ) ) \, d x \, d y \, d z } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 3 } ( 1 0 \cos ( 2 y ) + \sin ( 8 ) + \sin ( 2 ) + 1 0 \cos ( z ) ) \, d y \, d z } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } ( 3 0 \cos ( 2 z ) + 3 \sin ( 2 ) + 3 \sin ( 8 ) + 5 \sin ( 6 ) ) \, d z } \\ & { = 1 8 \sin ( 2 ) + 3 \sin ( 8 ) + 5 \sin ( 6 ) } \end{array} }
\frac { \alpha _ { n } } { m ^ { 2 n + 1 } } \int d ^ { 3 } x F _ { \mu \nu } ( \partial ^ { 2 } ) ^ { n } F ^ { \mu \nu } \; \; , \; \; \; \; \; \; \; \frac { \beta _ { n } } { m ^ { 2 n } } \int d ^ { 3 } x \varepsilon ^ { \mu \nu \rho } A _ { \mu } \partial _ { \nu } ( \partial ^ { 2 } ) ^ { n } A _ { \rho } \; , \; \; \; \; \; \; n \geq 1 \; ,
\mathrm { ~ R ~ M ~ S ~ L ~ E ~ + ~ 1 ~ } = \sqrt { \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } ( \log ( y _ { i } ( \vec { x _ { i } } ) + 1 ) - \log ( h ( \vec { x _ { i } } ) + 1 ) ) ^ { 2 } } .
P _ { \mathrm { C O I } } ( f ) \int _ { - R _ { s } / 2 } ^ { R _ { s } / 2 } \int _ { - R _ { s } / 2 } ^ { R _ { s } / 2 } \int _ { - R _ { s } / 2 } ^ { R _ { s } / 2 } | P _ { \mathrm { C O I } } ( f _ { 1 } ) | ^ { 2 } P _ { \mathrm { C O I } } ^ { \ast } ( f _ { 2 } ) P _ { \mathrm { C O I } } ( f _ { 2 } ^ { \prime } ) P _ { \mathrm { C O I } } ^ { \ast } ( f - f _ { 2 } + f _ { 2 } ^ { \prime } ) \mu ( f _ { 1 } , - f , f ) \mu ^ { \ast } ( f _ { 2 } , f _ { 2 } ^ { \prime } , f ) d f _ { 1 } d f _ { 2 } d f _ { 2 } ^ { \prime }
\begin{array} { r } { \mathcal { L } _ { \gamma \mathrm { B I } } = \frac { 1 } { \lambda } \Bigg \{ ~ 1 - \sqrt { 1 + \frac { \lambda } { 2 } \left[ \cosh ( \gamma ) F ^ { 2 } - \sinh ( \gamma ) \sqrt { ( F ^ { 2 } ) ^ { 2 } + ( F \widetilde F ) ^ { 2 } } \right] - \frac { \lambda ^ { 2 } } { 1 6 } ( F \widetilde F ) ^ { 2 } } ~ \Bigg \} ~ . ~ ~ ~ ~ ~ ~ } \end{array}
\overline { { \mathbf { V } } } _ { s , j + \frac { 1 } { 2 } } = \widetilde { \mathbf { R } } _ { 1 } ^ { - 1 } \overline { { \mathbf { U } } } _ { s , j + \frac { 1 } { 2 } } , \quad s = i - 2 , \cdots , i + 2 ;
\begin{array} { r l } { D _ { t t } } & { { } = 2 ( \alpha ^ { 2 } + \gamma ^ { 2 } ) } \\ { D _ { t u } } & { { } = D _ { u t } = 2 ( \alpha + \beta ) \gamma } \\ { D _ { u u } } & { { } = 2 ( \beta ^ { 2 } + \gamma ^ { 2 } ) } \end{array}
M _ { r } ^ { J / \psi } = \left\langle { \cal O } ^ { J / \psi } [ \, \underline { { { 8 } } } , { } ^ { 1 } \! S _ { 0 } ] \right\rangle + \frac { r } { m _ { c } ^ { 2 } } \left\langle { \cal O } ^ { J / \psi } [ \, \underline { { { 8 } } } , { } ^ { 3 } \! P _ { 0 } ] \right\rangle ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \langle f ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { m } ) \rangle } \\ & { = } & { \int _ { - 1 } ^ { 1 } \int _ { - \sqrt { 1 - x _ { 1 } ^ { 2 } } } ^ { \sqrt { 1 - x _ { 1 } ^ { 2 } } } \cdots \int _ { - \sqrt { 1 - x _ { 1 } ^ { 2 } - x _ { 2 } ^ { 2 } - \cdots - x _ { m - 1 } ^ { 2 } } } ^ { \sqrt { 1 - x _ { 1 } ^ { 2 } - x _ { 2 } ^ { 2 } - \cdots - x _ { m - 1 } ^ { 2 } } } f ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { m } ) \, \frac { \Gamma ( \frac { n } { 2 } ) } { \pi ^ { \frac { m } { 2 } } f ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { m } ) \Gamma ( \frac { n - m } { 2 } ) } \Bigl ( 1 - \sum _ { i = 1 } ^ { m } x _ { i } ^ { 2 } \Bigr ) ^ { \frac { n - m - 2 } { 2 } } d x _ { 1 } d x _ { 2 } \cdots d x _ { m } , } \end{array}
( 0 . 2 5 4 - 0 . 0 0 3 ) \cdot \Gamma _ { \tau ( t o t ) } = \frac { G ^ { 2 } } { 1 6 \pi } g _ { \rho } ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta _ { c } \frac { m _ { \tau } ^ { 3 } } { m _ { \rho } ^ { 2 } } \left( 1 - \frac { m _ { \rho } ^ { 2 } } { m _ { \tau } ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } \left( 1 + \frac { 2 m _ { \rho } ^ { 2 } } { m _ { \tau } ^ { 2 } } \right) ,
M _ { 3 } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } , k _ { 3 } ; h _ { 1 } , h _ { 2 } , h _ { 3 } ) = ( k _ { 1 } k _ { 2 } k _ { 3 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } M ( k _ { 1 } , k _ { 2 } , k _ { 3 } , h _ { 1 } , h _ { 2 } , h _ { 3 } ) = k _ { 1 } ^ { \frac { 1 } { 2 } - h _ { 1 } \eta } k _ { 2 } ^ { \frac { 1 } { 2 } - h _ { 2 } \eta } k _ { 3 } ^ { \frac { 1 } { 2 } - h _ { 3 } \eta } .
{ \begin{array} { r l } { 1 + \tau { \frac { f ^ { \prime } } { k f ^ { \prime \prime } } } } & { = 1 - { \frac { \tau [ \alpha + ( 1 - \alpha ) k ^ { - \rho } ] } { ( 1 - \rho ) [ \alpha + ( 1 - \alpha ) k ^ { - \rho } ] - \alpha ( 1 - \rho ) } } } \\ & { = { \frac { ( 1 - \rho - \tau ) [ \alpha + ( 1 - \alpha ) k ^ { - \rho } ] - \alpha ( 1 - \rho ) } { ( 1 - \rho ) [ \alpha + ( 1 - \alpha ) k ^ { - \rho } ] - \alpha ( 1 - \rho ) } } } \end{array} }
t _ { 1 , 2 } = { \frac { 1 } { 2 } } \left[ ( m _ { \eta } ^ { 2 } + m _ { \pi } ^ { 2 } - s ) \pm \sqrt { ( m _ { \eta } ^ { 2 } + m _ { \pi } ^ { 2 } - s ) ^ { 2 } - 4 m _ { \eta } ^ { 2 } m _ { \pi } ^ { 2 } } \right] .
\sum _ { k } \frac { \phi _ { j ^ { \prime } , g } ^ { n + 1 } - \phi _ { j , g } ^ { n + 1 } - \left( \tau _ { j , k } ^ { - } + \tau _ { j , k } ^ { + } \right) \left( \hat { \phi } _ { k , 2 } ^ { n + 1 } - \hat { \phi } _ { k , 1 } ^ { n + 1 } \right) } { l _ { j , k } ^ { - } + l _ { j , k } ^ { + } } + \sum _ { k } \frac { \rho _ { j ^ { \prime } , g } ^ { n + 1 } - \rho _ { j , g } ^ { n + 1 } - \left( \tau _ { j , k } ^ { - } + \tau _ { j , k } ^ { + } \right) \left( \hat { \rho } _ { k , 2 } ^ { n + 1 } - \hat { \rho } _ { k , 1 } ^ { n + 1 } \right) } { l _ { j , k } ^ { - } + l _ { j , k } ^ { + } } = 0
\begin{array} { r l } { \bar { U } _ { n } ^ { [ 1 ] } } & { = R _ { n } ^ { [ 1 ] } \hat { U } _ { n } ^ { [ 1 ] } } \\ & { = \left( \left[ \begin{array} { l l l l l } { 0 _ { \ell \times \ell } } & { \Gamma _ { n } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } \\ { \Gamma _ { n } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } \\ { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { \Gamma _ { n } } \\ { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { \Gamma _ { n } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } \\ { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { \Gamma _ { n } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } \end{array} \right] + \bar { Z } _ { 1 } \right) \left[ \begin{array} { l } { U _ { n } ^ { [ 2 , 1 ] } \cdot 1 _ { \ell } } \\ { 0 \cdot 1 _ { \ell } } \\ { U _ { n } ^ { [ 4 , 1 ] } \cdot 1 _ { \ell } } \\ { 0 \cdot 1 _ { \ell } } \\ { 0 \cdot 1 _ { \ell } } \end{array} \right] } \\ & { = \left[ \begin{array} { l } { 0 _ { \ell } } \\ { \frac { U _ { n } ^ { [ 2 , 1 ] } } { f _ { 1 } - \alpha _ { n } } } \\ { \vdots } \\ { \frac { U _ { n } ^ { [ 2 , 1 ] } } { f _ { \ell } - \alpha _ { n } } } \\ { 0 _ { \ell } } \\ { \frac { U _ { n } ^ { [ 4 , 1 ] } } { f _ { 1 } - \alpha _ { n } } } \\ { \vdots } \\ { \frac { U _ { n } ^ { [ 4 , 1 ] } } { f _ { \ell } - \alpha _ { n } } } \\ { 0 _ { \ell } } \end{array} \right] + P _ { \alpha _ { n } } ( \ell ) = \left[ \begin{array} { l } { 0 _ { \ell } } \\ { \frac { \Delta _ { 1 } ^ { [ 2 , 1 ] } } { f _ { 1 } - \alpha _ { n } } } \\ { \vdots } \\ { \frac { \Delta _ { \ell } ^ { [ 2 , 1 ] } } { f _ { \ell } - \alpha _ { n } } } \\ { 0 _ { \ell } } \\ { \frac { \Delta _ { 1 } ^ { [ 4 , 1 ] } } { f _ { 1 } - \alpha _ { n } } } \\ { \vdots } \\ { \frac { \Delta _ { \ell } ^ { [ 4 , 1 ] } } { f _ { \ell } - \alpha _ { n } } } \\ { 0 _ { \ell } } \end{array} \right] + P _ { \alpha _ { n } } ( \ell ) , } \end{array}
\left| \left\langle { G _ { 1 } G _ { 2 } B } \right\rangle \right| \le \left\langle { G _ { 1 } G _ { 1 } ^ { * } } \right\rangle ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left\langle { G _ { 2 } B B ^ { * } G _ { 2 } ^ { * } } \right\rangle ^ { \frac { 1 } { 2 } } \prec \frac { \sqrt { \rho _ { 1 } \rho _ { 2 } } } { \sqrt { \eta _ { 1 } \eta _ { 2 } } } \prec \frac { N \rho _ { 1 } \rho _ { 2 } } { L } .
: \! \prod _ { i = 1 } ^ { \ell } V _ { 2 , 1 } ( q ^ { - \frac { k } { 2 } } t ^ { \frac { \ell + 1 } { 2 } - i } z ) \prod _ { j = 1 } ^ { k } V _ { 1 , 2 } ( t ^ { - \frac { \ell } { 2 } } q ^ { \frac { k + 1 } { 2 } - j } z ) \! : ,
\begin{array} { r l } { \| u \| _ { \dot { H } ^ { s } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } ^ { 2 } } & { = \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } | \xi | ^ { 2 s } | \mathcal { F } [ u ] ( \xi ) | ^ { 2 } \, \mathrm { d } \xi , } \\ { \| u \| _ { H ^ { s } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } ^ { 2 } } & { = \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } ( 1 + | \xi | ^ { 2 } ) ^ { s } | \mathcal { F } [ u ] ( \xi ) | ^ { 2 } \, \mathrm { d } \xi , } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { 2 } ( \varepsilon ) : = } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } \left( p _ { \nu } \left( s , ( \xi _ { 1 } , \xi _ { 2 } ) , t , x \right) - p _ { \nu } \left( s , ( \xi _ { 1 } , - \xi _ { 2 } ) , t , x \right) \right) E _ { 2 } ^ { \varepsilon } ( \xi , s ) \mathrm { d } \xi _ { 2 } } \\ { = } & { \nu \sigma ( \xi _ { 1 } , t ) \int _ { 0 } ^ { \varepsilon } \left( p _ { \nu } \left( s , ( \xi _ { 1 } , \xi _ { 2 } ) , t , x \right) - p _ { \nu } \left( s , ( \xi _ { 1 } , - \xi _ { 2 } ) , t , x \right) \right) \frac { 1 } { \varepsilon ^ { 2 } } \phi ^ { \prime \prime } \left( \frac { \xi _ { 2 } } { \varepsilon } \right) \mathrm { d } \xi _ { 2 } } \\ { = } & { - \nu \sigma ( \xi _ { 1 } , t ) \int _ { 0 } ^ { \varepsilon } \frac { \partial } { \partial \xi _ { 2 } } \left( p _ { \nu } \left( s , ( \xi _ { 1 } , \xi _ { 2 } ) , t , x \right) - p _ { \nu } \left( s , ( \xi _ { 1 } , - \xi _ { 2 } ) , t , x \right) \right) \frac { 1 } { \varepsilon } \phi ^ { \prime } \left( \frac { \xi _ { 2 } } { \varepsilon } \right) \mathrm { d } \xi _ { 2 } } \\ { = } & { 2 \nu \sigma ( \xi _ { 1 } , t ) \left. \frac { \partial } { \partial \xi _ { 2 } } \right| _ { \xi _ { 2 } = 0 } p _ { \nu } \left( s , ( \xi _ { 1 } , \xi _ { 2 } ) , t , x \right) } \\ & { + \nu \sigma ( \xi _ { 1 } , t ) \int _ { 0 } ^ { \varepsilon } \phi \left( \frac { \xi _ { 2 } } { \varepsilon } \right) \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \xi _ { 2 } ^ { 2 } } \left( p _ { \nu } \left( s , ( \xi _ { 1 } , \xi _ { 2 } ) , t , x \right) - p _ { \nu } \left( s , ( \xi _ { 1 } , - \xi _ { 2 } ) , t , x \right) \right) \mathrm { d } \xi _ { 2 } . } \end{array}
\sum _ { i = 1 } ^ { 2 4 } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \omega _ { n } \left[ a _ { n i } ^ { \dagger } a _ { n i } - \tilde { a } _ { n i } ^ { \dagger } \tilde { a } _ { n i } \right] = 0 \mathrm { . }
\begin{array} { r l } { \tau _ { q } \dot { \mathbf q } + \mathbf q } & { = - \lambda \nabla T - \lambda _ { 2 } \boldsymbol \Pi ^ { \textrm { d e v } } \cdot \nabla - \lambda _ { 3 } \Delta \mathbf q , } \\ { \tau _ { S } \dot { \boldsymbol \Pi } ^ { \textrm { d e v } } + \boldsymbol \Pi ^ { \textrm { d e v } } } & { = - \mu ( \nabla \mathbf v ) ^ { \textrm { d e v } } - \mu _ { 2 } ( \nabla \mathbf q ) ^ { \textrm { d e v } } - \mu _ { 3 } \Delta \boldsymbol \Pi ^ { \textrm { d e v } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { p ( \theta _ { t } | \mathbf { n } , \boldsymbol { \sigma } ) \propto \int d \Theta \prod _ { t , l } p ( n _ { t , l } | \overline { { n _ { t } } } ( \theta _ { t } ) , \gamma \sigma _ { t , l } ) p ( \theta _ { t } | \Theta ) p ( \Theta ) , } \end{array}
F ( m _ { c } ) = \Gamma _ { 0 } \, { \frac { 8 \pi } { \alpha _ { s } ( m _ { c } ) } } \, \hat { m } _ { c } ^ { 4 } \, { \frac { 1 8 } { 2 3 } } \, ( 1 - z ^ { - 2 3 / 2 5 } ) \, .
\begin{array} { r l } { i } & { = \frac { { { \pi ^ { 2 } } d _ { R } ^ { 2 } \Gamma _ { \theta } ^ { 2 } } } { { 3 { \lambda ^ { 2 } } } } N ( { N ^ { 2 } } - 1 ) , s = \frac { { { \pi ^ { 2 } } d _ { R } ^ { 2 } \Gamma _ { r } ^ { 2 } } } { { 3 { \lambda ^ { 2 } } } } N ( { N ^ { 2 } } - 1 ) , } \\ { f } & { = h = 0 , k = \frac { { { \pi ^ { 2 } } d _ { R } ^ { 2 } { \Gamma _ { \theta } } { \Gamma _ { r } } } } { { 3 { \lambda ^ { 2 } } } } N ( { N ^ { 2 } } - 1 ) . } \end{array}
^ { a } \footnote { C o r r e s p o n d i n g a u t h o r . T e l : ~ + 8 6 - 1 0 8 8 2 3 6 0 9 5 . E - m a i l a d d r e s s : t a n g q u a n 5 2 8 @ s i n a . c o m ( Q . ~ T a n g ) . }
\begin{array} { r l } & { \left| D _ { f } ( \overline { { M } } | | L ) - \left( D _ { f } ( P _ { - 1 } | | L ) + D _ { f } ( \overline { { M } } | | P _ { - 1 } ) \right) \right| } \\ & { \leqslant \frac { 1 } { 3 ! } | | f ^ { ( 3 ) } | | _ { \infty } ( \overline { { M } } , L ) ( \overline { { m } } ( \overline { { M } } , L ) - \underline { { m } } ( \overline { { M } } , L ) ) ^ { 3 } + \frac { 1 } { 3 ! } | | f ^ { ( 3 ) } | | _ { \infty } ( P _ { - 1 } , L ) ( \overline { { m } } ( P _ { - 1 } , L ) - \underline { { m } } ( P _ { - 1 } , L ) ) ^ { 3 } } \\ & { \quad + \frac { 1 } { 3 ! } | | f ^ { ( 3 ) } | | _ { \infty } ( \overline { { M } } , P _ { - 1 } ) ( \overline { { m } } ( \overline { { M } } , P _ { - 1 } ) - \underline { { m } } ( \overline { { M } } , P _ { - 1 } ) ) ^ { 3 } , } \end{array}
\sigma _ { \mathrm { C o u l } } ( \omega _ { \mathrm { c u t } } ) = - \frac { 7 } { 3 } \sigma _ { 0 } \; f ( \nu ) \left( l ^ { 2 } + \frac { 2 0 } { 2 1 } l + \frac { 1 0 1 } { 6 3 } \right) \, , \ \ \ l = \ln \frac { m _ { e } E _ { \mu } } { m _ { \mu } \omega _ { \mathrm { c u t } } } \, .
\begin{array} { r l } { \mathrm { O b j e c t i v e : } \quad } & { \operatorname* { m i n } \sum _ { i = 1 } ^ { d } \sum _ { j = 1 } ^ { u } \mathrm { u s e r s } [ j ] \cdot \mathrm { d i s t a n c e } ( i , j ) \cdot x [ i ] } \\ { \mathrm { s u b j e c t ~ t o : } \quad } & { \sum _ { i = 1 } ^ { d } x [ i ] = N \quad \forall i \in D } \\ & { x [ i ] + x [ j ] \leq 1 \quad \forall ( i , j ) \in D , \mathrm { G } [ i ] = \mathrm { G } [ j ] } \end{array}
\psi _ { n _ { k } , m _ { k } } = e ^ { - \frac { 1 } { 2 } \xi _ { k } ^ { 2 } } L _ { n _ { k } } ^ { | m _ { k } + k \alpha | } ( \xi _ { k } ^ { 2 } ) e ^ { i m _ { k } \phi _ { k } } \xi _ { k } ^ { | m _ { k } + k \alpha | } ,
A _ { i j } = ( P _ { i j } ^ { \mathrm { G S } } , \varepsilon _ { i j } ^ { \mathrm { G S } } , \Phi _ { i j } ^ { \mathrm { G S } } , D _ { i j } ^ { \mathrm { p , G S } } , D _ { i j } ^ { \mathrm { t , G S } } , D _ { i j } ^ { \mathrm { v , G S } } , \varepsilon _ { i j } ^ { \mathrm { S G S } } , D _ { i j } ^ { \mathrm { S G S } } )
\begin{array} { r } { \mathrm { ~ s ~ k ~ i ~ - ~ s ~ n ~ o ~ w ~ i ~ n ~ t ~ e ~ r ~ a ~ c ~ t ~ i ~ o ~ n ~ s ~ f ~ o ~ r ~ } S G _ { F | | } = } \\ { \bigg [ \frac { D F T ( S G _ { F | | } ) } { D F T ( \tau _ { x } ) } ; \frac { D F T ( S G _ { F | | } ) } { D F T ( \tau _ { y } ) } ; \frac { D F T ( S G _ { F | | } ) } { D F T ( \tau _ { z } ) } \bigg ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { s k y : ~ } } & { \mathcal { F } _ { s } = \mathcal { F } _ { s } \mathcal { A } _ { b } + ( 1 - \epsilon ) \sigma T _ { S } ^ { 4 } + \epsilon \sigma T _ { a } ^ { 4 } \, , } \\ { \mathrm { a t m o s p h e r e : ~ } } & { \mathcal { F } _ { s } + \sigma T _ { S } ^ { 4 } = \mathcal { F } _ { s } ( 1 - \mathcal { A } _ { b } ) ( 1 - \alpha ) + \mathcal { F } _ { s } \mathcal { A } _ { b } + ( 1 - \epsilon ) \sigma T _ { S } ^ { 4 } + 2 \epsilon \sigma T _ { a } ^ { 4 } \, , } \\ { \mathrm { s u r f a c e : ~ } } & { \mathcal { F } _ { s } ( 1 - \mathcal { A } _ { b } ) ( 1 - \alpha ) + \epsilon \sigma T _ { a } ^ { 4 } = \sigma T _ { S } ^ { 4 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left[ \left( \bar { r } h _ { 3 } u \right) _ { \bar { r } } + \left( h _ { 3 } v \right) _ { \theta } + r \left( w _ { s } + \dot { \mathbf { X } } _ { s } \cdot \hat { \pmb { \tau } } \right) \right] = 0 } \end{array}
\epsilon _ { \alpha \beta } ^ { ( n , m ) } = - \frac { \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { N ^ { ( n ) } } \sum _ { j = 1 } ^ { N ^ { ( m ) } } \Delta G _ { i j } ^ { ( n , m ) } \left( \delta _ { \nu ( i ) \alpha } \delta _ { \nu ( j ) \beta } + \delta _ { \nu ( i ) \beta } \delta _ { \nu ( j ) \alpha } \right) } { N _ { \alpha } ^ { ( n ) } N _ { \beta } ^ { ( m ) } + N _ { \beta } ^ { ( n ) } N _ { \alpha } ^ { ( m ) } } ~ ,
\cdots \to \mathbb { Q } \otimes \prod _ { p } \underline { { \pi } } _ { n + 1 } L _ { { K U _ { G } } / p } \mathbb { S } _ { G } \to \underline { { \pi } } _ { n } L _ { { K U _ { G } } } \mathbb { S } _ { G } \to \underline { { \pi } } _ { n } \mathbb { Q } \otimes L _ { K U _ { G } } \mathbb { S } _ { G } \times \prod _ { p } \underline { { \pi } } _ { n } L _ { { K U _ { G } } / p } \mathbb { S } _ { G } \to \dots
\begin{array} { r l } { Q _ { \mathrm { e v } } } & { { } = Q _ { 0 } \left( \frac { T _ { \infty } } { T _ { \mathrm { i } } } 1 0 ^ { B \left( [ C + T _ { \infty } ] ^ { - 1 } - [ C + T _ { \mathrm { i } } ] ^ { - 1 } \right) } - \mathcal { R } _ { \mathrm { H } } \right) , } \\ { \tau } & { { } = \tau _ { 0 } \left( \frac { T _ { \infty } } { T _ { \mathrm { i } } } 1 0 ^ { B \left( [ C + T _ { \infty } ] ^ { - 1 } - [ C + T _ { \mathrm { i } } ] ^ { - 1 } \right) } - \mathcal { R } _ { \mathrm { H } } \right) ^ { - 1 } , } \end{array}
\frac { v _ { o u t } ( s ) } { v _ { i n } ( s ) } = \frac { \mathcal { L } \left( y ( t _ { n } ) - \dot { x } ( t _ { n } ) \right) } { \mathcal { L } y ( t _ { n } ) } = \frac { \frac { a } { s ^ { 2 } + 1 } - \frac { m } { s ^ { 2 } + 4 } } { \frac { s + a } { s ^ { 2 } + 1 } - \frac { m } { s ^ { 2 } + 4 } } = \frac { a } { s + a } | _ { m = 0 }
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } \left[ \forall \, p \! \in \! \mathbb { N } : | \mu _ { i } - \hat { \mu } _ { i } ( p ) | \leq \mathrm { l i l } ( T _ { i } ( p ) , \omega _ { \mathrm { v } } ^ { \prime } ) \right] \geq 1 - 2 \xi ( \omega _ { \mathrm { v } } ^ { \prime } ) , \quad \mathrm { a n d } } \\ & { \; \mathbb { P } \left[ \forall \, p \! \in \! \mathbb { N } : | \hat { M } _ { 2 , i } ( p ) - ( \mu _ { i } ^ { 2 } + \sigma _ { i } ^ { 2 } ) | \leq \mathrm { l i l } ( T _ { i } ( p ) , \omega _ { \mathrm { v } } ^ { \prime } ) \right] \geq 1 - 2 \xi ( \omega _ { \mathrm { v } } ^ { \prime } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d \mathbf { P } _ { 1 } } { d t } } & { { } = } & { C _ { P } ( \mathbf { P } _ { 1 } ) \left[ \frac { 2 \bar { H } _ { m } ^ { 3 } ( \mathbf { P } _ { 1 } - \mathbf { P } _ { 2 } ) } { D ( \mathbf { P } _ { 1 } , \mathbf { P } _ { 2 } ) } + { \frac { \beta \mu } { 3 } } D ( \mathbf { P } _ { 1 } , \mathbf { P } _ { 2 } ) ( 2 \mathbf { P } _ { 1 } + \mathbf { P } _ { 2 } - 3 \mathcal { P } _ { * } ) + \beta J ^ { n c } ( \mathbf { P } _ { 1 } ) \right] , } \\ { \frac { d \mathbf { P } _ { 2 } } { d t } } & { { } = } & { C _ { P } ( \mathbf { P } _ { 2 } ) \left[ \frac { 2 \bar { H } _ { m } ^ { 3 } ( \mathbf { P } _ { 2 } - \mathbf { P } _ { 1 } ) } { D ( \mathbf { P } _ { 2 } , \mathbf { P } _ { 1 } ) } + { \frac { \beta \mu } { 3 } } D ( \mathbf { P } _ { 2 } , \mathbf { P } _ { 1 } ) ( 2 \mathbf { P } _ { 2 } + \mathbf { P } _ { 1 } - 3 \mathcal { P } _ { * } ) + \beta J ^ { n c } ( \mathbf { P } _ { 2 } ) \right] , } \end{array}
\left( \dot { X } _ { 1 } ^ { \mu } X _ { 0 } ^ { \nu } + \dot { X } _ { 0 } ^ { \mu } X _ { 1 } ^ { \nu } \right) G _ { \mu \nu } + G _ { \mu \nu , \alpha } \dot { X } _ { 0 } ^ { \mu } X _ { 0 } ^ { \nu } X _ { 1 } ^ { \alpha } = 0 .
\begin{array} { r l } { U _ { x } ^ { \alpha } } & { = \exp \left[ - i \alpha ( I _ { 1 x } + I _ { 2 x } ) \right] , } \\ { U _ { \delta } ^ { \beta } } & { = \exp \left[ - i \beta ( - I _ { 1 z } + I _ { 2 z } ) \right] , ~ ~ \mathrm { a n d } } \\ { U _ { J } ^ { \eta } } & { = \exp \left[ - i \eta ( 2 I _ { 1 z } I _ { 2 z } ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathrm { P r o b } ( X _ { t + \Delta t } ^ { i } = I | X _ { t } ^ { i } = C ) : = \lambda _ { N } ^ { C \rightarrow I } \left( w _ { \mathrm { s o c } } ^ { i } , \frac { N _ { G } ( X _ { t } ) } { N } \right) \cdot \Delta t } \\ & { \quad \quad \quad \mathrm { w h e r e } \, \, \lambda _ { N } ^ { C \rightarrow I } \left( w _ { \mathrm { s o c } } ^ { i } , \frac { N _ { G } ( X _ { t } ) } { N } \right) : = w _ { \mathrm { s o c } } ^ { i } \cdot F \left( \frac { N _ { G } ( X _ { t } ) } { N } \right) . } \end{array}
C D _ { k \omega } = \operatorname* { m a x } \Bigg ( 2 \rho \sigma _ { \omega 2 } \frac { 1 } { \omega } \frac { \partial k } { \partial x _ { i } } \frac { \partial \omega } { \partial x _ { i } } , 1 0 ^ { - 1 0 } \Bigg )
\left\langle \bar { \psi } ( x + \epsilon / 2 ) \gamma ^ { \mu } \gamma _ { 5 } \psi ( x - \epsilon / 2 ) \right\rangle = 2 g \varepsilon ^ { \alpha \beta \mu \gamma } F _ { \alpha \beta } ( x ) ( \frac { - i } { 8 \pi ^ { 2 } } \frac { \epsilon _ { \gamma } } { \epsilon ^ { 2 } } ) ,
{ \kappa } ^ { 2 } \; ^ { ( H ) } T _ { \mu } ^ { \; \; \lambda } = \frac 1 2 e ^ { 2 \Phi } ( g ^ { \nu \lambda } \partial _ { \mu } b \partial _ { \nu } b - \frac 1 2 \delta _ { \mu } ^ { \lambda } ( \partial b ) ^ { 2 } ) ,
\begin{array} { r l } { A _ { 0 } } & { \le 2 \sqrt { ( Q _ { 0 } + \check { S } _ { 0 } ) \log ( 1 / \delta ) } + ( 2 / 3 ) \cdot \log ( 1 / \delta ) } \\ & { \le 2 \sqrt { \big ( Q _ { 0 } + \check { A } _ { 1 } + G + 2 ( R _ { 0 } + G + A _ { 0 } ) \big ) \log ( 1 / \delta ) } + ( 2 / 3 ) \cdot \log ( 1 / \delta ) } \\ & { \le 2 \sqrt { \big ( Q _ { 0 } + \check { A } _ { 1 } + G + 2 ( R _ { 0 } + G ) \big ) \log ( 1 / \delta ) } + ( 2 / 3 ) \cdot \log ( 1 / \delta ) + 2 \sqrt { 2 A _ { 0 } \log ( 1 / \delta ) } } \\ & { \le 4 \sqrt { \big ( Q _ { 0 } + \check { A } _ { 1 } + G + 2 ( R _ { 0 } + G ) \big ) \log ( 1 / \delta ) } + 1 0 \cdot \log ( 1 / \delta ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { q \cdot r ( g ( D _ { r - 1 } ) ) ( e _ { ( j - 1 ) \delta + 1 } ) } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \! \begin{array} { r l } & { ( | \mathfrak { p } | ^ { \frac { 3 r - 5 } { 2 } } - | \mathfrak { p } | ^ { r } - | \mathfrak { p } | ^ { r - 1 } + | \mathfrak { p } | ^ { \frac { r - 1 } { 2 } } ) ( | \mathfrak { p } | - 1 ) + | \mathfrak { p } | - q ^ { 2 } , } \end{array} } & { \mathrm { i f ~ j ~ = 1 ~ . } } \\ { \! \begin{array} { r l } & { ( | \mathfrak { p } | ^ { \frac { 3 r - 7 } { 2 } } - | \mathfrak { p } | ^ { r - 1 } - | \mathfrak { p } | ^ { r - 2 } + | \mathfrak { p } | ^ { \frac { r - 3 } { 2 } } ) ( | \mathfrak { p } | - 1 ) - | \mathfrak { p } | + q ^ { 2 } , } \end{array} } & { \mathrm { i f ~ j ~ = 2 ~ a n d ~ r ~ \geq ~ 7 ~ . } } \\ { \! \begin{array} { r l } & { ( | \mathfrak { p } | ^ { \frac { 3 r - 3 } { 2 } - j } - | \mathfrak { p } | ^ { r - j + 1 } - | \mathfrak { p } | ^ { r - j } + | \mathfrak { p } | ^ { \frac { r + 1 } { 2 } - j } + q ^ { 2 } | \mathfrak { p } | ^ { j - 3 } ) ( | \mathfrak { p } | - 1 ) , } \end{array} } & { \mathrm { i f ~ 3 ~ \leq ~ j ~ \leq ~ \frac { r - 1 } { 2 } ~ . } } \\ { \! \begin{array} { r l } & { ( | \mathfrak { p } | ^ { r - 2 } - | \mathfrak { p } | ^ { \frac { r + 1 } { 2 } } - | \mathfrak { p } | ^ { \frac { r - 1 } { 2 } } ) ( | \mathfrak { p } | - 1 ) + \sum _ { 0 \leq i \leq \frac { r - 7 } { 2 } } ( | \mathfrak { p } | ^ { 2 } - q ^ { 2 } ) ( - | \mathfrak { p } | ) ^ { i } , } \end{array} } & { \mathrm { i f ~ j ~ = ~ \frac { r + 1 } { 2 } ~ a n d ~ r ~ \geq ~ 7 ~ . } } \\ { \! \begin{array} { r } { ( | \mathfrak { p } | ^ { \frac { 3 r - 3 } { 2 } - j } - | \mathfrak { p } | ^ { r - j + 1 } - | \mathfrak { p } | ^ { r - j } ) ( | \mathfrak { p } | - 1 ) , } \end{array} } & { \mathrm { i f ~ \frac { r + 3 } { 2 } ~ \leq ~ j ~ \leq ~ r - 2 ~ . } } \\ { \! \begin{array} { r } { | \mathfrak { p } | ^ { \frac { r + 1 } { 2 } } - | \mathfrak { p } | ^ { \frac { r - 1 } { 2 } } - | \mathfrak { p } | ^ { 3 } + | \mathfrak { p } | + | \mathfrak { p } | \frac { q ^ { 2 } - 1 } { | \mathfrak { p } | ^ { 2 } - 1 } , } \end{array} } & { \mathrm { i f ~ j ~ = ~ r - 1 ~ . } } \end{array} \right. } \end{array}