harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { \rho _ { \chi } , N } \quad } & { | I _ { i j } ^ { \mu \nu } - N \mathbb { T r } [ \hat { \Pi } _ { i } ^ { \mu } \otimes \hat { ( } \tau _ { j } ^ { \nu } ) ^ { T } \rho _ { \chi } ] | ^ { 2 } } \\ { \textrm { s . t . } \quad } & { \rho _ { \chi } \geq 0 \, , \, \mathbb { T r } [ \rho _ { \chi } ] = 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { S } Q d ^ { 2 } r } & { { } = \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { p } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \theta \int _ { 0 } ^ { 2 \pi / n _ { p } } d \zeta n Q } \end{array}
V = - w ^ { 2 } e ^ { 2 B ( \rho ) - 2 A ( \rho ) } + \frac { 1 } { \sqrt U } \frac { d ^ { 2 } \sqrt U } { d \rho ^ { 2 } } + \frac { l ( l + 7 - p ) } { \rho ^ { 2 } } e ^ { 2 B ( \rho ) - 2 C ( \rho ) }
< \pm \pm | { \frac { 1 } { 2 } } \int d ^ { 2 } x [ \Psi ( x ) ^ { \dagger } , \Psi ( x ) ] | \pm \pm > = \pm { \frac { 1 } { 2 } } \pm { \frac { 1 } { 2 } } + \eta ( H _ { F } )
{ \begin{array} { r l } { { \hat { \mathbf { r } } } } & { = { \frac { x { \hat { \mathbf { x } } } + y { \hat { \mathbf { y } } } + z { \hat { \mathbf { z } } } } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } } } \\ { { \hat { \boldsymbol { \theta } } } } & { = { \frac { \left( x { \hat { \mathbf { x } } } + y { \hat { \mathbf { y } } } \right) z - \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) { \hat { \mathbf { z } } } } { { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } } } } \\ { { \hat { \boldsymbol { \varphi } } } } & { = { \frac { - y { \hat { \mathbf { x } } } + x { \hat { \mathbf { y } } } } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } } } \end{array} }
\int d ^ { 4 } x \left[ \frac { 1 } { 2 \xi } F ^ { \alpha } F ^ { \alpha } - \overline { { { c } } } ^ { \alpha } M ^ { \alpha \beta } c ^ { \beta } - g ^ { 2 } \xi \left( \overline { { { c } } } ^ { \alpha } \varepsilon ^ { \alpha \beta } c ^ { \beta } \right) ^ { 2 } \right]
\begin{array} { r } { S ( \vec { g } , \vec { g } ^ { \prime } ) : = 1 - \frac { 1 } { 2 n \alpha } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 } ^ { n } | p _ { i j } ^ { \vec { g } } - p _ { i j } ^ { \vec { g } ^ { \prime } } | . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { A P F } } & { { } = { \frac { N _ { \mathrm { a t o m s } } V _ { \mathrm { a t o m } } } { V _ { \mathrm { u n i t ~ c e l l } } } } = { \frac { 6 \cdot { \frac { 4 } { 3 } } \pi r ^ { 3 } } { { \frac { 3 { \sqrt { 3 } } } { 2 } } a ^ { 2 } c } } } \end{array}
\frac { \partial } { \partial \lambda _ { 1 } } \cdots \frac { \partial } { \partial \lambda _ { p + q } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \: d s \: \eta \left. T _ { \bullet } ^ { ( a _ { 1 } ) } \cdots T _ { \bullet } ^ { ( a _ { p } ) } \: \overline { { { T _ { \bullet } ^ { ( b _ { 1 } ) } } } } \cdots \overline { { { T _ { \bullet } ^ { ( b _ { q } ) } } } } \right. _ { | \lambda _ { 1 } = \cdots = \lambda _ { p + q } = 0 } \; .
U _ { L } ^ { \dagger } M _ { l } U _ { R } ^ { l } = M _ { l } ^ { * } ~ , ~ U _ { L } ^ { \dagger } M _ { L } U _ { L } ^ { * } = M _ { L } ^ { * } ~ , ~ U _ { L } ^ { \dagger } M _ { D } U _ { R } ^ { \nu } = M _ { D } ^ { * } ~ , ~ { U _ { R } ^ { \nu } } ^ { T } M _ { R } U _ { R } ^ { \nu } = M _ { R } ^ { * } ~ .
\left( \begin{array} { l } { E _ { x } } \\ { E _ { y } } \end{array} \right) = R ( - \theta ) \left( \begin{array} { l } { E _ { x ^ { \prime } } } \\ { E _ { y ^ { \prime } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { \cos \theta \cos \epsilon - i \sin \theta \sin \epsilon } \\ { \sin \theta \cos \epsilon + i \cos \theta \sin \epsilon } \end{array} \right) \, , ~ ~ - \pi / 4 < \epsilon < \pi / 4 \, , ~ - \pi / 2 < \theta < \pi / 2 \, .
\begin{array} { r l } { \eta \| \hat { B } ^ { i } u _ { t - i } \| _ { \hat { \Sigma } } \; \; = } & { \; \; \eta \| \hat { \Sigma } ^ { 1 / 2 } \hat { B } ^ { i } \hat { \Sigma } ^ { 1 / 2 } \hat { \Sigma } ^ { - 1 / 2 } u _ { t - i } \| } \\ { \le } & { \; \; \eta \| \hat { \Sigma } ^ { 1 / 2 } \hat { B } ^ { i } \hat { \Sigma } ^ { 1 / 2 } \| _ { 2 } \cdot \| \hat { \Sigma } ^ { - 1 / 2 } u _ { t - i } \| } \\ { \le } & { \; \; \eta \| \hat { \Sigma } ^ { 1 / 2 } \hat { B } ^ { i } \hat { \Sigma } ^ { 1 / 2 } \| _ { 2 } \, \hat { \rho } ( \alpha ) \, ( \| w _ { t - i } - w ^ { * } \| _ { \hat { \Sigma } } + \sigma ) } \\ { \le } & { \; \; \frac { 1 } { i + 1 } \hat { \rho } ( \alpha ) \, ( \| w _ { t - i } - w ^ { * } \| _ { \hat { \Sigma } } + \sigma ) \; , } \end{array}
i \, \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \, \Psi _ { W } ^ { ( \alpha ) } ( p , t ) = \frac { 1 } { 2 \, p } \left( U \, M ^ { 2 } \, U ^ { \dagger } + A _ { W } \right) \Psi _ { W } ^ { ( \alpha ) } ( p , t ) \, ,
{ \frac { \imath } { 4 \pi \alpha } } \int _ { \Gamma } { \frac { \cot { \frac { w } { 2 \alpha } } ~ d w } { \sin ^ { 2 } { \frac { w } { 2 } } } } = { \frac { 1 } { 3 } } ( { \frac { 1 } { \alpha ^ { 2 } } } - 1 ) \equiv 2 c _ { 2 } ( \alpha ) ~ ~ ,
\begin{array} { r } { \dot { \mathbf { u } } \in \lbrace \mathbf { v } | \mathbf { v } = \mathbf { 0 } \ \mathrm { o n } \ \partial _ { D } \Omega _ { B } \rbrace , \quad \dot { \mathbf { w } } \in \lbrace \mathbf { v } | \mathbf { v } = \mathbf { 0 } \ \mathrm { o n } \ \partial _ { D } \Omega _ { B } \rbrace . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Phi _ { S } ^ { \dag } \left( x \right) \, \overrightarrow { B } \, \Phi _ { S } \left( x \right) } & { = \left( \begin{array} { c c } { \Phi _ { s } ^ { \dag } } & { \Phi _ { s } ^ { c \, \dag } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { \overrightarrow { B } \, } & { 0 } \\ { 0 } & { \overrightarrow { B } \, } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { \Phi _ { s } } \\ { \Phi _ { s } ^ { c } } \end{array} \right) } \\ & { = \Phi _ { s } ^ { \dag } \, \overrightarrow { B } \, \Phi _ { s } + \Phi _ { s } ^ { c \, \dag } \, \overrightarrow { B } \, \Phi _ { s } ^ { c } } \\ & { = 0 \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbb { R } } | \mathrm { E C T } _ { \alpha } ( v , t ) - \mathrm { E C T } _ { \beta } ( v , t ) | \; \mathrm { d } t } & { = \sqrt { ( L + 2 \varepsilon ) ^ { 2 } - \operatorname* { m a x } ( 0 , L | \cos \theta | - 2 \varepsilon ) ^ { 2 } } } \\ & { + \sqrt { ( L + \varepsilon ) ^ { 2 } - L ^ { 2 } | \cos ^ { 2 } \theta | } } \\ & { - 2 \operatorname* { m a x } ( 0 , L | \sin \theta | - 2 \varepsilon ) + \operatorname* { m a x } ( 0 , \varepsilon - L | \sin \theta | ) . } \end{array}
{ \cal L } _ { s o f t } = - m _ { 0 } ^ { 2 } \sum _ { i } | \phi _ { i } | ^ { 2 } - A ( H _ { 2 } \tilde { u } ^ { c } f _ { u } \tilde { q } _ { L } + H _ { 1 } \tilde { d } ^ { c } f _ { d } \tilde { q } _ { L } ) + c . c . ,
N \mathop { \sum _ { h \le H } \sum _ { \ell \le L } \sum _ { \chi \mathbin { \, \textrm { m o d } \, } h } } _ { | \lambda _ { h , \ell } | \ge \exp - \frac { c _ { 0 } } { 8 } \sqrt { \log N } } \bigl [ \varphi | g _ { h , \ell , \chi , N , \tau } ^ { \flat } \bigr ] _ { N } ^ { 2 } \le \| \varphi \| _ { 2 } ^ { 2 } \Bigl ( 1 + H ^ { 2 } L \exp - \frac { c _ { 0 } } { 8 } \sqrt { \log N } \Bigr ) .
\frac { \partial u _ { \langle m \rangle } } { \partial t } + \frac { m ^ { 2 } } { 4 m ^ { 2 } - 1 } c \frac { \partial u _ { \langle m - 1 \rangle } } { \partial x } + c \frac { \partial u _ { \langle m + 1 \rangle } } { \partial x } = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle 0 \ } & { \ m = 0 } \\ { - \frac { 1 } { \tau _ { R } } u _ { \langle 1 \rangle } \ } & { \ m = 1 } \\ { - \left( \frac { 1 } { \tau _ { R } } + \frac { 1 } { \tau _ { N } } \right) u _ { \langle m \rangle } \ } & { \ 2 \leq m \leq M } \end{array} \right. ,
{ \bf T } ^ { \gamma } = { \textstyle \frac { 1 } { 1 8 \sqrt { 2 } } } \epsilon _ { a b c } \left[ \left( q _ { i } ^ { \mathrm { T } \, a } i \sigma _ { 2 } \mathrm { \boldmath ~ \ s i g m a ~ } q _ { j } ^ { b } \right) q _ { k } ^ { \gamma c } + j \leftrightarrow k + k \leftrightarrow i \right] .
\tilde { S } _ { r , \Lambda } ( t _ { 2 } , t _ { 1 } ; g ) = - 2 i \delta ( t _ { 2 } - t _ { 1 } ) H _ { I } ^ { ( r ) } ( t _ { 1 } ) + \tilde { S } _ { r , \Lambda } ^ { \prime } ( t _ { 2 } , t _ { 1 } ; g ) ,
\mathrm { f o r } \; \Omega = \frac { 1 } { 3 } : \; \; \; \; e ^ { A } = e ^ { A _ { 0 } } e ^ { k t ^ { \prime } } \; , \; \; \; \; \chi = \chi _ { 0 } e ^ { - 3 k t ^ { \prime } } \; ,
\operatorname* { l i m } _ { \substack { \sigma _ { a } \rightarrow 0 \, \sigma _ { b } \rightarrow 0 } } p _ { s _ { \mathrm { f i x } } } ( s ; \mu _ { t _ { a } } , \mu _ { t _ { b } } , \sigma _ { a } , \sigma _ { b } ) = \frac { \mu _ { t _ { a } } \mu _ { t _ { b } } } { ( 1 - P ) \mu _ { t _ { b } } + P \mu _ { t _ { a } } } \left[ ( 1 - P ) \mu _ { t _ { a } } e ^ { - \mu _ { t _ { a } } s } + P \mu _ { t _ { b } } e ^ { - \mu _ { t _ { b } } s } \right] ,
\begin{array} { r l r } { c _ { s } ^ { 2 } - 2 G _ { c } \rho _ { 0 } \exp \left( - \frac { \rho _ { c } } { \rho _ { 0 } } \right) \left( \exp \left( - \frac { \rho _ { c } } { \rho _ { 0 } } \right) - 1 \right) } & { = } & { 0 , } \\ { - 2 G _ { c } \exp \left( - \frac { 2 \rho _ { c } } { \rho _ { 0 } } \right) \left( \exp \left( \frac { \rho _ { c } } { \rho _ { 0 } } \right) - 2 \right) } & { = } & { 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { Z _ { t } } & { = w _ { t } C _ { t } - v _ { t } \left\Vert \nabla f ( x _ { t } ) \right\Vert ^ { 2 } , } & { \forall \, 1 \le t \le T } \\ { \mathrm { w h e r e ~ } v _ { t } } & { = 3 \sigma ^ { 2 } w _ { t } ^ { 2 } \eta _ { t } ^ { 2 } ( \eta _ { t } L - 1 ) ^ { 2 } } \\ { \mathrm { a n d ~ } S _ { t } } & { = \sum _ { i = t } ^ { T } Z _ { i } . } & { \forall \, 1 \le t \le T + 1 } \end{array}
\langle { u ^ { j } b ^ { k } } \rangle = \langle { u _ { 0 0 } ^ { j } b _ { 0 0 } ^ { k } } \rangle + \langle { u _ { 0 1 } ^ { j } b _ { 0 0 } ^ { k } } \rangle + \langle { u _ { 0 0 } ^ { j } b _ { 0 1 } ^ { k } } \rangle + \delta \langle { u _ { 1 0 } ^ { j } b _ { 0 0 } ^ { k } } \rangle + \delta \langle { u _ { 0 0 } ^ { j } b _ { 1 0 } ^ { k } } \rangle + \cdots .
\begin{array} { r l } { x \left[ 2 0 ( v - 1 ) ^ { 6 } x ^ { 6 } - 3 ( 2 v + 3 ) ( v - 1 ) ^ { 4 } x ^ { 4 } + \right. } & { { } } \\ { \left. \frac { 5 } { 4 } ( v - 1 ) ^ { 2 } ( 4 v - 1 ) x ^ { 2 } - \frac { 3 } { 1 6 } ( 1 0 v - 3 ) \right] = 0 , } \end{array}
i \gamma ^ { \mu } [ D _ { \mu } , B ] - m B + \frac { 1 } { 2 } D \gamma ^ { \mu } \gamma _ { 5 } \{ u _ { \mu } , B \} + \frac { 1 } { 2 } F \gamma ^ { \mu } \gamma _ { 5 } [ u _ { \mu } , B ] = 0 \, \, .
\mathcal { S } h ^ { \mathrm { P R } } = \coprod _ { ( \lambda , T ) \in \mathrm { A d m } ( \mu ) _ { K } \times \mathscr { T } } \mathcal { S } h _ { ( \lambda , T ) } ^ { \mathrm { P R } } , \ \ \ \ \mathcal { S } h _ { ( \lambda , T ) } ^ { \mathrm { P R } } : = \mathcal { S } h _ { \lambda } ^ { \mathrm { P R } } \cap \mathcal { S } h _ { T } ^ { \mathrm { P R } }
\zeta ^ { \prime } ( z , t ) = \sum _ { l = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - t ) ^ { l } } { l ! } \frac { \Gamma ( z + l ) } { \Gamma ( z ) } \left\{ \left[ \psi ( z + l ) - \psi ( z ) \right] \zeta ( z + l ) + \zeta ^ { \prime } ( z + l ) \right\} - t ^ { z } \mathrm { l n } ( z ) .
\boldsymbol { \mathcal { U } } = \{ u _ { i } \ | \ u _ { i } \in \boldsymbol { H } ^ { 1 } \left( \Omega \right) , \ u _ { i } n _ { i } = 0 \ \mathrm { ~ o ~ n ~ } \ \Gamma ^ { \mathrm { { b a s e } } } \}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { E } [ 1 , 1 : ] / \boldsymbol { E } [ 1 , 0 ] = } & { \left[ \begin{array} { l l l l } { e ^ { 2 \gamma l _ { 2 } } } & { e ^ { 2 \gamma l _ { 3 } } } & { \ldots } & { e ^ { 2 \gamma l _ { N } } } \end{array} \right] , } \\ { \boldsymbol { E } [ 2 , 1 : ] / \boldsymbol { E } [ 2 , 0 ] = } & { \left[ \begin{array} { l l l l } { e ^ { - 2 \gamma l _ { 2 } } } & { e ^ { - 2 \gamma l _ { 3 } } } & { \ldots } & { e ^ { - 2 \gamma l _ { N } } } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r } { \frac { \partial } { \partial t } \int _ { 0 } ^ { \infty } f ( v ) \phi ( v ) d v = \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { \infty } \theta ( | v - w | < \delta ) f ( v ) f ( w ) } \\ { \left[ \phi ( v ^ { * } ) + \phi ( w ^ { * } ) - \phi ( v ) - \phi ( w ) \right] d v d w } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \binom { q } { 2 } ( a + b ) ^ { q - 2 } b ^ { 2 } } & { = \binom { q } { 2 } \left( \sum _ { k = 0 } ^ { q - 2 } \binom { q - 2 } { k } a ^ { q - 2 - k } b ^ { k } \right) b ^ { 2 } } \\ & { = \sum _ { k = 0 } ^ { q - 2 } \binom { q } { 2 } \binom { q - 2 } { k } a ^ { q - 2 - k } b ^ { k + 2 } } \\ & { = \sum _ { k = 2 } ^ { q } \binom { q } { 2 } \binom { q - 2 } { k - 2 } a ^ { q - k } b ^ { k } } \\ & { \geq \sum _ { k = 2 } ^ { q } \binom { q } { k } a ^ { q - k } b ^ { k } . } \end{array}
p _ { 1 0 } + p _ { 2 0 } = w = q _ { 1 0 } + q _ { 2 0 } ; \quad - p ^ { 2 } = - q ^ { 2 } = w ^ { 2 } ; \quad 4 w ^ { 2 } b ^ { 2 } ( w ) = \lambda ( w ^ { 2 } , m _ { 1 } ^ { 2 } , m _ { 2 } ^ { 2 } )
\begin{array} { r } { \mathbf { D } = \left\{ { D } _ { T } , { D } _ { 2 } , { D } _ { 3 , 1 } , { D } _ { 3 } , { D } _ { 4 , 2 } , { { \bar { D } } _ { T } } , { { \bar { D } } _ { 2 } } , { { \bar { D } } _ { 3 } } , { { \bar { D } } _ { 3 , 1 } } , { { \bar { D } } _ { 4 , 2 } } , \right. } \\ { \left. \left| { \dot { S } _ { N O M F } } \right| , \left| { \dot { S } _ { N O E F } } \right| , \left| { \nabla \rho } \right| , \left| \nabla T \right| , \left| \nabla p \right| , K n , \cdots \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varPsi ^ { i } ( \xi , T ) = } & { \mathbb { E } \left[ \tilde { Q } _ { j } ^ { i } ( T ) \varPsi ^ { j } ( \tilde { X } _ { T } ^ { \xi } , 0 ) 1 _ { \{ T < T _ { \xi } \} } \right] } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { T } \mathbb { E } \left[ 1 _ { \{ t < T _ { \xi } \} } \tilde { Q } _ { j } ^ { i } ( t ) F ^ { j } ( \tilde { X } _ { t } ^ { \xi } , T - t ) \right] \mathrm { d } t } \\ { \equiv } & { J _ { 1 } ^ { i } + J _ { 2 } ^ { i } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { v e c } \left( { \uppercase { \mathbf { P } } } \right) } & { = \left( \mathrm { { d i a g } } \left( \lambda _ { 1 } { \uppercase { \mathbf { I } } } _ { M M _ { e } } , \cdots , \lambda _ { K } { \uppercase { \mathbf { I } } } _ { M M _ { e } } \right) + { \uppercase { \mathbf { F } } } \right) ^ { - 1 } { \lowercase { \mathbf { a } } } } \\ & { = { \mathrm { d i a g } } \left( \left( \lambda _ { 1 } { \uppercase { \mathbf { I } } } _ { M M _ { e } } + { \uppercase { \mathbf { F } } } _ { 1 } \right) ^ { - 1 } , \cdots , \left( \lambda _ { K } { \uppercase { \mathbf { I } } } _ { M M _ { e } } + { \uppercase { \mathbf { F } } } _ { K } \right) ^ { - 1 } \right) { \lowercase { \mathbf { a } } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { E } \operatorname* { s u p } _ { t \in \left[ \eta _ { a } , \eta _ { b } \right] } \| \bar { u } ( t ) \| ^ { 2 } \leq 2 \mathbb { E } \| \bar { u } ( \eta _ { a } ) \| ^ { 2 } + C _ { \rho , \kappa } \mathbb { E } \int _ { \eta _ { a } } ^ { \eta _ { b } } \| \bar { u } \| _ { \widehat { s - 1 } } ^ { 2 } ( 1 + \| u ^ { 1 } \| _ { \tilde { s } } ^ { 2 } + \| u ^ { 2 } \| _ { \tilde { s } } ^ { 2 } ) d t . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \lambda _ { 2 } \langle u _ { 2 } , x _ { s } \rangle = { \mathcal { T } } _ { 2 } ( x _ { s } , v _ { 2 } , w _ { 2 } ) = { \mathcal { T } } _ { 1 } ( x _ { s } , v _ { 2 } , w _ { 2 } ) - { \gamma } \langle u _ { 1 } , x _ { s } \rangle { \mathcal { T } } _ { 1 } ( u _ { 1 } , v _ { 2 } , w _ { 2 } ) } \\ & { = { \mathcal { S } } ( x _ { s } , v _ { 2 } , w _ { 2 } ) + \frac { 1 } { \sqrt n } { \mathcal { W } } ( x _ { s } , v _ { 2 } , w _ { 2 } ) - { \gamma } \langle u _ { 1 } , x _ { s } \rangle \left( { \mathcal { S } } ( u _ { 1 } , v _ { 2 } , w _ { 2 } ) + \frac { 1 } { \sqrt n } { \mathcal { W } } ( u _ { 1 } , v _ { 2 } , w _ { 2 } ) \right) } \end{array}
\frac { 1 } { k ^ { 2 } } ( \vec { k } \cdot \vec { k } _ { 1 } - \vec { k } _ { 4 } \cdot \vec { k } _ { 1 } ) = \frac { 1 } { k ^ { 2 } } ( \vec { k } \cdot \vec { k } _ { 1 } - ( \vec { k } + \vec { q } ) \cdot \vec { k } _ { 1 } ) = - \frac { k _ { 0 } ^ { 2 } } { k ^ { 2 } } [ 1 - \cos ( \beta - \alpha ) ] .
s _ { i } = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ t ~ h ~ e ~ i ~ - ~ t ~ h ~ s ~ t ~ r ~ e ~ a ~ k ~ c ~ h ~ a ~ n ~ n ~ e ~ l ~ i ~ s ~ a ~ c ~ t ~ i ~ v ~ e ~ } } \\ { 0 , } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ ~ ~ . ~ } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \tilde { \Delta } _ { L } } & { { } = \frac { g _ { L } ^ { 2 } } { w \, f _ { k } } \big ( w + v \cos { k } \big ) , } \\ { \frac { \tilde { \Gamma } _ { L } } { 2 } } & { { } = - \frac { g _ { L } ^ { 2 } } { f _ { k } } \frac { v } { w } \sin { k } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { T \to T _ { \mathrm { m a x } } } \operatorname* { s u p } _ { [ T _ { 0 } , T ] } \| g - \gamma \| _ { H ^ { k } } + \| \Sigma \| _ { H ^ { k - 1 } } + \| N - 3 \| _ { H ^ { k } } + \| X \| _ { H ^ { k } } } \\ { + \| \partial _ { T } N \| _ { H ^ { k - 1 } } + \| \partial _ { T } X \| _ { H ^ { k - 1 } } + \| \rho \| _ { H ^ { k - 1 } } + \| u \| _ { H ^ { k - 1 } } > \delta , } \end{array}
E _ { r } = \frac { k Q } { r _ { s } ^ { 2 } } = \frac { k \frac { 4 \pi } { 3 } \rho _ { c h a r g e } r _ { s } ^ { 3 } } { r _ { s } ^ { 2 } } = k \frac { 4 \pi } { 3 } \rho _ { c h a r g e } r _ { s } \simeq 9 . 7 \cdot 1 0 ^ { 2 3 } r _ { s }
J ^ { i } T ^ { a } = \sum _ { \ell , \ell ^ { \prime } } \left( q _ { \ell } ^ { \dagger } { \frac { \sigma ^ { i } } { 2 } } q _ { \ell } \right) \ \left( q _ { \ell ^ { \prime } } ^ { \dagger } { \frac { \tau ^ { a } } { 2 } } q _ { \ell ^ { \prime } } \right) ,
\begin{array} { r l } & { \| \mathbf { Q } _ { \Lambda ( d , N ) , J ( \mathcal { S } ) } : \mathcal { P } _ { d } ( \ell _ { \infty } ^ { N } ( \mathbb { R } ) ) \to \mathcal { P } _ { J ( \mathcal { S } ) } ( \ell _ { \infty } ^ { N } ( \mathbb { R } ) ) \| } \\ & { \leq 2 ^ { d - 1 } \| \mathbf { Q } _ { \Lambda ( d , N ) , J ( \mathcal { S } ) } : \mathcal { P } _ { d } ( \ell _ { \infty } ^ { N } ( \mathbb { C } ) ) \to \mathcal { P } _ { J ( \mathcal { S } ) } ( \ell _ { \infty } ^ { N } ( \mathbb { C } ) ) \| } \\ & { \leq \kappa ^ { d } 2 ^ { d - 1 } \| \mathbf { Q } _ { \Lambda _ { T } ( d , N ) , J ( \mathcal { S } ) } : \mathcal { P } _ { \Lambda _ { T } ( d , N ) } ( \ell _ { \infty } ^ { N } ( \mathbb { C } ) ) \to \mathcal { P } _ { J ( \mathcal { S } ) } ( \ell _ { \infty } ^ { N } ( \mathbb { C } ) ) \| } \\ & { \leq \kappa ^ { d } 2 ^ { 2 ( d - 1 ) } \| \mathbf { Q } _ { \Lambda ( d , N ) , \Lambda _ { T } ( d , N ) } : \mathcal { P } _ { \Lambda _ { T } ( d , N ) } ( \ell _ { \infty } ^ { N } ( \mathbb { R } ) ) \to \mathcal { P } _ { J ( \mathcal { S } ) } ( \ell _ { \infty } ^ { N } ( \mathbb { R } ) ) \| } \\ & { = \kappa ^ { d } 2 ^ { 2 ( d - 1 ) } \| \mathbf { Q } : \mathcal { B } _ { = d } ^ { N } \to \mathcal { B } _ { \mathcal { S } } ^ { N } \| } \end{array}
\vec { P } ( t ) = - \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi } \int \int d ^ { 3 } x _ { 1 } d ^ { 3 } x _ { 2 } ~ \rho _ { 1 } \vec { J } _ { 2 } R ^ { - 1 } = = \mp \frac { \mu _ { 0 } e ^ { 2 } } { 4 \pi } \frac { \vec { v } _ { 2 } } { | \vec { x } ( t ) | }
\begin{array} { r l } { c _ { 0 } ( S , \alpha , \gamma , \lambda ) } & { = \alpha S + ( 1 - \alpha ) \lambda \gamma + \alpha \gamma ( 1 - S ) } \\ { c _ { 1 } ( S , \alpha , \gamma , \lambda ) } & { = ( 1 - \alpha ) \lambda \gamma + \alpha \gamma ( 1 - S ) = c _ { 0 } - \alpha S } \\ { c _ { 2 } ( \alpha , \lambda _ { 1 } ) } & { = \alpha \lambda _ { 1 } } \\ { c _ { 3 } ( \alpha , \lambda _ { 2 } ) } & { = \alpha \lambda _ { 2 } } \\ { c _ { 4 } ( \lambda _ { 3 } ) } & { = 1 / \lambda _ { 3 } , } \end{array}
{ \frac { d } { d t } } { \frac { \partial L } { \partial { \vec { \omega } } } } = { \frac { \partial L } { \partial { \vec { \omega } } } } \times { \vec { \omega } } + { \frac { \partial L } { \partial { \vec { v } } } } \times { \vec { v } } , \quad { \frac { d } { d t } } { \frac { \partial L } { \partial { \vec { v } } } } = { \frac { \partial L } { \partial { \vec { v } } } } \times { \vec { \omega } } ,
\nabla ^ { L ^ { 2 } } \mathcal { J } _ { 2 } = \left( \frac { 1 } { \psi ^ { \prime } \left( \frac { I } { A F \iota ( c _ { s } ) } \right) } \frac { - I } { ( A F ) ( \iota ( c _ { s } ) ) ^ { 2 } } \right) \left( \eta ( \iota ( c _ { s } ) ) - \overline { { \eta } } ( \iota ( c _ { s } ) ) \right) \, \left| \frac { d t } { d c _ { s } } \right| , \qquad c _ { s } \in [ 0 , c _ { s , m a x } ] .
\hat { \phi } _ { i } ( \omega _ { m } ) = \underbrace { \mathrm { e x p } \bigg ( \mathrm { i } \omega _ { m } \Delta t \bigg ) } _ { \mathrm { P h a s e \; U p d a t e } } \bigg ( \underbrace { \vphantom { \mathrm { e x p } \bigg ( \mathrm { i } \omega _ { m } \Delta t \bigg ) } \hat { \phi } _ { i - 1 } \left( \omega _ { m } \right) } _ { \mathrm { P r e v i o u s \; V a l u e } } + \underbrace { \vphantom { \mathrm { e x p } \bigg ( \mathrm { i } \omega _ { m } \Delta t \bigg ) } \Big ( \phi \left( t _ { i } \right) - \phi \left( t _ { i - N _ { t } } \right) \Big ) } _ { \mathrm { S t r e a m i n g \; I n f o } } \bigg ) .
\begin{array} { r } { | U | = \sum _ { \boldsymbol { v } \in \{ 0 , 1 \} ^ { d } } f ( \boldsymbol { v } ) \le B _ { k } + \frac { 1 } { 2 ^ { d - k } } \cdot B _ { k } + \frac { 1 } { 2 } \cdot B _ { k + 2 } + \frac { 1 } { 2 ^ { d - k - 1 } } \cdot B _ { k + 2 } + \cdots + \frac { 1 } { 2 ^ { i } } B _ { k + 2 i } + \frac { 1 } { 2 ^ { d - k - i } } \cdot B _ { k + 2 i } } \\ { = ( 1 + \frac { 1 } { 2 ^ { d - k } } ) \sum _ { t = 0 } ^ { \frac { k } { 2 } } \binom { d } { t } + \cdots + ( \frac { 1 } { 2 ^ { i } } + \frac { 1 } { 2 ^ { d - k - i } } ) \sum _ { t = 0 } ^ { \frac { k } { 2 } + i } \binom { d } { t } \leq 2 \sum _ { t = 0 } ^ { \frac { k } { 2 } } \binom { d } { t } + \binom { d } { \frac { k } { 2 } + 1 } + \frac { 1 } { 2 } \binom { d } { \frac { k } { 2 } + 2 } + \cdots + \frac { 1 } { 2 ^ { i - 1 } } \binom { d } { \frac { k } { 2 } + i } } \end{array}
J _ { 3 } ( \alpha , \alpha _ { T } ) = \int _ { \alpha _ { T } } ^ { \alpha } d y \frac { y ^ { 4 } } { \sqrt { ( 1 - y ^ { 4 } ) \left( 1 - \frac { y ^ { 4 } } { \alpha _ { T } ^ { 4 } } \right) } } .
\begin{array} { r } { h _ { n , i } ^ { \lambda } \equiv \left. \frac { \mathrm { d } G _ { n , i } ^ { \lambda \; * } } { \mathrm { d } \rho ^ { * } } \right| _ { \rho ^ { * } \to 0 } = p _ { \lambda , n } \binom { n } { i } \lambda ^ { i - 1 } \Gamma ( i ) \quad \forall \, i \in \lbrace 1 , \dots , n \rbrace \; , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { g ( \theta _ { k } ) } & { = } & { \frac { \sin \theta _ { k } } { 1 + 2 \sin ^ { 2 } \theta _ { k } } , } \\ { \bar { g } ( \theta _ { 0 } ) } & { = } & { \frac { 1 } { \theta _ { 0 } } \int _ { 0 } ^ { \theta _ { 0 } } g ( \theta _ { k } ) d \theta = \frac { 1 } { \sqrt { 2 4 } \theta _ { 0 } } \left( \ln \left( \frac { \sqrt { 3 } + \sqrt { 2 } } { \sqrt { 3 } - \sqrt { 2 } } \right) - \ln \left( \frac { \sqrt { 3 } + \sqrt { 2 } \cos \theta _ { 0 } } { \sqrt { 3 } - \sqrt { 2 } \cos \theta _ { 0 } } \right) \right) . } \end{array}