harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \tilde { \Lambda } _ { u _ { 1 } t _ { 4 } } ^ { t _ { 1 } t _ { 2 } } } & { { } = \tilde { \nu } _ { u _ { 1 } t _ { 4 } } ^ { t _ { 1 } t _ { 2 } } + \sum _ { u } \tilde { \nu } _ { u u } ^ { t _ { 1 } t _ { 2 } } S _ { u _ { 1 } } ^ { t _ { 4 } } , } \\ { \tilde { \Lambda } _ { u _ { 1 } u _ { 2 } } ^ { t _ { 1 } u _ { 4 } } } & { { } = \tilde { \nu } _ { u _ { 1 } u _ { 2 } } ^ { t _ { 1 } u _ { 4 } } + \sum _ { t } \tilde { \nu } _ { u _ { 1 } u _ { 2 } } ^ { t t } S _ { u _ { 4 } } ^ { t _ { 1 } } . } \end{array}
M _ { 3 } ^ { \eta _ { M } } \equiv \left< \delta ( { \bf u } \times { \bf b } ) \cdot \delta { \bf b } \right> - d _ { i } \left< \delta ( { \bf j } \times { \bf b } ) \cdot \delta { \bf b } \right> = \eta _ { M } \equiv D H _ { M } / D t \ ,
\begin{array} { r l r } { \hat { H } } & { { } = } & { \int _ { \Omega _ { L } } \ensuremath { \mathrm { ~ t ~ r ~ } } [ \ensuremath { \mathbf { D } } ( x ) \hat { \b { n } } _ { 1 } ( x , x ^ { \prime } ) ] _ { x ^ { \prime } = x } \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } x } \end{array}
S ^ { \prime } ( t ) \underset { t \to + \infty } { \sim } \sqrt { 2 \pi } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { p } { \frac { n ^ { 0 } ( x _ { i } ) r ( x _ { i } ) } { \sqrt { \lvert r ^ { \prime \prime } ( x _ { i } ) \rvert } } } \right) \frac { e ^ { \overline { r } t } } { \sqrt { t } } = \sqrt { 2 \pi } \; \overline { r } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { p } { \frac { n ^ { 0 } ( x _ { i } ) } { \sqrt { \lvert r ^ { \prime \prime } ( x _ { i } ) \rvert } } } \right) \frac { e ^ { \overline { r } t } } { \sqrt { t } } \underset { t \to + \infty } { \sim } \overline { r } \; S ( t ) .
U _ { m + 2 } ( x ) = U _ { 2 } ( x ) \, U _ { m } ( x ) - U _ { m } ( x ) - U _ { m - 2 } ( x ) = U _ { m } ( x ) \, { \big ( } U _ { 2 } ( x ) - 1 { \big ) } - U _ { m - 2 } ( x ) ~ ,
\begin{array} { r } { \bigl \langle \bigl | \nabla \chi _ { e } \bigr | ^ { 2 } \bigr \rangle \leq \frac { ( 1 + \| \mathbf { m } \| _ { L ^ { \infty } ( \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { d } ) } ) ^ { 2 } \| e \cdot \ensuremath { \mathbf { b } } \| _ { \dot { H } ^ { \kappa } ( \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { d } ) } ^ { 2 } } { A ^ { 2 } | v | ^ { 2 } } } \end{array}
k ( x , y ) = \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left[ k _ { i } ^ { \mathrm { n e a r } } \mathcal { K } ^ { \mathrm { n e a r } } ( r - r _ { i } ) + k _ { i } ^ { \mathrm { f a r } } \mathcal { K } ^ { \mathrm { f a r } } ( r - r _ { i } ) \right] } { \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left[ \mathcal { K } ^ { \mathrm { n e a r } } ( r - r _ { i } ) + \mathcal { K } ^ { \mathrm { f a r } } ( r - r _ { i } ) \right] } ,
\begin{array} { r l r l } { \partial _ { t } ^ { 2 } p - c ^ { 2 } ( x ) \Delta p + \langle b ( x ) , \nabla p \rangle + h ( x ) p - F ( x , p , \partial _ { t } p , \partial _ { t } ^ { 2 } p ) } & { = 0 , } & { \ } & { \mathrm { i n ~ } ( 0 , T ) \times \Omega , } \\ { p } & { = f , } & { \ } & { \mathrm { o n ~ } ( 0 , T ) \times \partial \Omega , } \\ { p = { \partial _ { t } p } } & { = 0 , } & { \ } & { \mathrm { o n ~ } \{ t = 0 \} , } \end{array}
Q ^ { 1 } = 1 + \chi _ { 4 \lambda } - \chi _ { 2 \lambda } , \, \, \, \, \, Q ^ { 2 } = \chi _ { 2 \lambda } , \, \, \, \, \, Q ^ { 3 } = \chi _ { 4 \lambda } , \, \, \, \, \, Q ^ { 4 } = \chi _ { 4 \lambda } + \chi _ { 2 \lambda } ,
\left( C \Gamma ^ { n } \Gamma _ { l } S \Gamma _ { n m _ { 1 } \ldots m _ { 2 q - 1 } } \right) _ { \left( s y m \right) } = - \left( D - 2 q - 1 \right) \cdot \left( C S \Gamma _ { l m _ { 1 } \ldots m _ { 2 q - 1 } } \right) \quad ,
E = \int _ { \Omega } \underbrace { - \frac { \mu _ { 0 } } { 2 } M _ { s } \vec { m } \cdot \vec { H } _ { s } } _ { E _ { s } } \, \underbrace { - \mu _ { 0 } M _ { s } \vec { m } \cdot \vec { H } } _ { E _ { z e e } } + \underbrace { K _ { u } ( 1 - ( \vec { m } \cdot \vec { a } ) ^ { 2 } ) } _ { E _ { a } } + \underbrace { A _ { e x } \| \nabla \vec { m } \| _ { F } ^ { 2 } } _ { E _ { e x } } d x ,
\begin{array} { r l r } { \textbf { W } } & { } & { = \textbf { G } - \epsilon \left[ \frac { \partial \textbf { W } } { \partial t } + \frac { \partial } { \partial x } \left\langle v ^ { 2 } \textbf { f } \right\rangle \right] } \\ & { } & { = \textbf { G } - \epsilon \left[ - \left( \frac { \partial \textbf { G } } { \partial \textbf { U } } \right) ^ { 2 } \frac { \partial \textbf { U } } { \partial x } + \frac { \partial } { \partial x } \left\langle v ^ { 2 } \textbf { f } ^ { e q } \right\rangle \right] + O ( \epsilon ^ { 2 } ) } \\ & { } & { = \textbf { G } - \epsilon \left[ \left\{ \frac { \partial } { \partial \textbf { U } } \left\langle v ^ { 2 } \textbf { f } ^ { e q } \right\rangle - \left( \frac { \partial \textbf { G } } { \partial \textbf { U } } \right) ^ { 2 } \right\} \frac { \partial \textbf { U } } { \partial x } \right] + O ( \epsilon ^ { 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ln M ( t _ { d } ) = - \frac { 1 } { 2 } \left\langle \left\langle \phi ( t _ { d } ) ^ { 2 } \right\rangle \right\rangle } & { { } + \frac { 1 } { 4 ! } \left\langle \left\langle \phi ( t _ { d } ) ^ { 4 } \right\rangle \right\rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { n _ { 2 } } { n _ { 1 } } } & { = \frac { v _ { 1 } } { v _ { 2 } } = \frac { ( \gamma + 1 ) M _ { 1 } ^ { 2 } } { ( \gamma - 1 ) M _ { 1 } ^ { 2 } + 2 } } \\ { \frac { T _ { 2 } } { T _ { 1 } } } & { = \frac { \left[ 2 \gamma M _ { 1 } ^ { 2 } - ( \gamma - 1 ) \right] \left[ ( \gamma - 1 ) M _ { 1 } ^ { 2 } + 2 \right] } { ( \gamma + 1 ) ^ { 2 } M _ { 1 } ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { e f f } = } & { \frac { \lambda } { 2 } \sum _ { q , q ^ { \prime } , k , k ^ { \prime } } \left( Q ( q ) Q ( - q ) A ( - q , - q ^ { \prime } , k ) n _ { k ^ { \prime } , - q - q ^ { \prime } } n _ { k , q + q ^ { \prime } } + Q ( q ^ { \prime } ) Q ( - q ^ { \prime } ) A ( - q ^ { \prime } , - q , k ) n _ { k ^ { \prime } , - q - q ^ { \prime } } n _ { k , q + q ^ { \prime } } \right) , } \\ { = } & { \frac { \lambda } { 2 } \sum _ { q , q ^ { \prime } , k , k ^ { \prime } } \left( Q ( q ) Q ( - q ) A ( q , q ^ { \prime } , k ) + Q ( q ^ { \prime } ) Q ( - q ^ { \prime } ) A ( q ^ { \prime } , q , k ) \right) n _ { k , q + q ^ { \prime } } n _ { k ^ { \prime } , - q - q ^ { \prime } } , } \\ { = } & { \sum _ { q , q ^ { \prime } , k , k ^ { \prime } } \frac { \lambda ^ { 2 } Q _ { q } Q _ { - q } } { M ( 4 \omega _ { p h } ^ { 2 } - \omega _ { k , q + q ^ { \prime } } ^ { 2 } ) } n _ { k , q + q ^ { \prime } } n _ { k , - q - q ^ { \prime } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { P \left( \mathbf { Y } \mid \mathbf { X } \right) = \frac { \prod _ { i = 1 } ^ { n } P \left( X _ { i } \mid \mathbf { Y } \right) P \left( \mathbf { Y } \right) } { P \left( \mathbf { X } \right) } = \frac { \prod _ { i = 1 } ^ { n } P \left( \mathbf { Y } \mid X _ { i } \right) \prod _ { i = 1 } ^ { n } P \left( X _ { i } \right) } { P \left( \mathbf { X } \right) P \left( \mathbf { Y } \right) ^ { n - 1 } } = \prod _ { i = 1 } ^ { n } P \left( \mathbf { Y } \mid X _ { i } \right) \, P \left( \mathbf { Y } \right) ^ { 1 - n } } \\ & { \implies - \ln { P \left( \mathbf { Y } \mid \mathbf { X } \right) } = - \sum _ { i = 1 } ^ { n } \ln { P \left( \mathbf { Y } \mid X _ { i } \right) } + ( n - 1 ) \ln { P \left( \mathbf { Y } \right) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { \ge \langle j ^ { \prime } ( u _ { \gamma } ) + S ^ { * } \lambda _ { \gamma } - j ^ { \prime } ( u _ { * } ) - S ^ { * } \lambda _ { * } , u _ { \gamma } - u _ { * } \rangle _ { \mathcal { U } ^ { * } , \mathcal { U } } } \\ & { = \langle j ^ { \prime } ( u _ { \gamma } ) - j ^ { \prime } ( u _ { * } ) , u _ { \gamma } - u _ { * } \rangle _ { \mathcal { U } ^ { * } , \mathcal { U } } + \langle \lambda _ { \gamma } , S u _ { \gamma } - S u _ { * } \rangle _ { \mathcal { Y } ^ { * } , \mathcal { Y } } + \langle j ^ { \prime } ( u _ { * } ) , u _ { \gamma } - u _ { * } \rangle _ { \mathcal { U } ^ { * } , \mathcal { U } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \left[ \left| \int _ { 0 } ^ { T } r _ { t } \mathrm { d } t - \sum _ { i = 0 } ^ { T / h - 1 } \hat { r } _ { i h } h \right| ^ { q } \right] } \\ & { \leq c _ { q } \mathbb { E } \left[ \left| \int _ { 0 } ^ { T } r _ { t } \mathrm { d } t - \sum _ { i = 0 } ^ { T / h - 1 } r _ { i h } h \right| ^ { q } \right] + c _ { q } \mathbb { E } \left[ \left| \sum _ { i = 0 } ^ { T / h - 1 } ( \hat { r } _ { i h } - r _ { i h } ) h \right| ^ { q } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { P = \int \! \! \mathrm { d } \omega _ { 1 } \mathrm { d } \omega _ { 2 } \mathrm { d } \omega _ { 1 } ^ { \prime } \mathrm { d } \omega _ { 2 } ^ { \prime } \, F ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } ) \bar { F } ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } ^ { \prime } ) F ( \omega _ { 1 } ^ { \prime } , \omega _ { 2 } ^ { \prime } ) \bar { F } ( \omega _ { 1 } ^ { \prime } , \omega _ { 2 } ) = \sum _ { \lambda } r _ { \lambda } ^ { 2 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { T } ^ { a \rightarrow b } F } & { = \frac { \partial f } { \partial C _ { 1 1 1 1 } ^ { H } } D _ { T } ^ { a \rightarrow b } C _ { 1 1 1 1 } ^ { H } + \frac { \partial f } { \partial C _ { 2 2 2 2 } ^ { H } } D _ { T } ^ { a \rightarrow b } C _ { 2 2 2 2 } ^ { H } + \frac { \partial f } { \partial C _ { 3 3 3 3 } ^ { H } } D _ { T } ^ { a \rightarrow b } C _ { 3 3 3 3 } ^ { H } } \\ & { + \frac { \partial f } { \partial C _ { 1 1 2 2 } ^ { H } } D _ { T } ^ { a \rightarrow b } C _ { 1 1 2 2 } ^ { H } + \frac { \partial f } { \partial C _ { 2 2 3 3 } ^ { H } } D _ { T } ^ { a \rightarrow b } C _ { 2 2 3 3 } ^ { H } + \frac { \partial f } { \partial C _ { 3 3 1 1 } ^ { H } } D _ { T } ^ { a \rightarrow b } C _ { 3 3 1 1 } ^ { H } } \end{array}
\left( a _ { 1 } \, _ { 0 } \mathrm { I } _ { t } ^ { \alpha } + a _ { 2 } \, _ { 0 } \mathrm { D } _ { t } ^ { \beta } \right) \sigma \left( t \right) = \left( b _ { 1 } \, _ { 0 } \mathrm { D } _ { t } ^ { \mu } + b _ { 2 } \, _ { 0 } \mathrm { D } _ { t } ^ { \nu } + b _ { 3 } \, _ { 0 } \mathrm { D } _ { t } ^ { \alpha + \beta + \nu } \right) \varepsilon \left( t \right) ,
\begin{array} { r l } & { \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } { \rho } ^ { \varDelta } ( x , t _ { n + 1 - } ) \left\{ \left( \alpha - a _ { j } ^ { n + 1 } \right) \int _ { x _ { 0 } } ^ { x } { \rho } ^ { \varDelta } ( y , t _ { n + 1 - } ) d y \right\} d x } \\ & { = \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } { \rho } ^ { \varDelta } ( x , t _ { n + 1 - } ) d x \times \left( \alpha - a _ { j } ^ { n + 1 } \right) \int _ { x _ { 0 } } ^ { x _ { j - 1 } } { \rho } ^ { \varDelta } ( y , t _ { n + 1 - } ) d x } \\ & { \quad + \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } { \rho } ^ { \varDelta } ( x , t _ { n + 1 - } ) \left\{ \left( \alpha - a _ { j } ^ { n + 1 } \right) \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x } { \rho } ^ { \varDelta } ( y , t _ { n + 1 - } ) d y \right\} d x } \\ & { = A _ { 3 1 } + A _ { 3 2 } . } \end{array}
\begin{array} { c } { { F _ { 0 } : S ^ { 1 } \rightarrow S ^ { 1 } , } } \\ { { F _ { 1 } : S ^ { 3 } \rightarrow S ^ { 2 } , } } \\ { { F _ { 2 } : S ^ { 7 } \rightarrow S ^ { 4 } , } } \\ { { F _ { 3 } : S ^ { 1 5 } \rightarrow S ^ { 8 } . } } \end{array}
\sum _ { j } x _ { i j } - \sum _ { j } x _ { j i } = { \left\{ \begin{array} { l l } { 1 , } & { { \mathrm { i f ~ } } i = s ; } \\ { - 1 , } & { { \mathrm { i f ~ } } i = t ; } \\ { 0 , } & { { \mathrm { ~ o t h e r w i s e . } } } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } & { \ \operatorname* { l i m s u p } _ { j \to \infty } d i s t _ { H } ( \bar { \Sigma } ^ { j } ( \tau ) \cap \mathbb { R } ^ { n } \times \{ \hat { z } \} , \bar { \Sigma } _ { e } ^ { j } ( \tau ) \cap \mathbb { R } ^ { n } \times \{ \hat { z } \} ) } \\ { \leq } & { \ \operatorname* { l i m s u p } _ { j \to \infty } C ( S ) \| ( u _ { R _ { j } } - w _ { j } ) ( \cdot , e ^ { - \tau } \rho _ { j } + e ^ { - \tau / 2 } \sqrt { \rho _ { j } } \hat { z } ) \| _ { C ^ { 0 } , S } } \\ { \leq } & { \ \operatorname* { l i m s u p } _ { j \to \infty } C ( S , \varepsilon , \beta ) \cdot \left( \frac { e ^ { - \tau } \rho _ { j } + e ^ { - \tau / 2 } \sqrt { \rho _ { j } } \hat { z } } { \rho _ { j } } \right) ^ { \mu _ { 1 } - 1 } \leq C ( S , \varepsilon , \beta ) e ^ { - ( \mu _ { 1 } - 1 ) \tau } ; } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { B } _ { \mathrm { ~ s ~ i ~ d ~ e ~ } , j } ^ { \dag k } \vert 0 \rangle = \frac { \vert k \rangle _ { \mathrm { ~ s ~ i ~ d ~ e ~ } , j } } { \sqrt { k ! } } , \mathrm { ~ s ~ i ~ d ~ e ~ } \in \{ \mathrm { ~ u ~ , ~ d ~ } \} . } \end{array}
{ \frac { e ^ { x } } { x ^ { x } { \sqrt { 2 \pi x } } } } \Gamma ( x + 1 ) \sim 1 + { \frac { 1 } { 1 2 x } } + { \frac { 1 } { 2 8 8 x ^ { 2 } } } - { \frac { 1 3 9 } { 5 1 8 4 0 x ^ { 3 } } } - \cdots \ ( x \to \infty )
\begin{array} { r l } { w ^ { K } ( t ) } & { = \lambda _ { 0 } + \sum _ { \ell = 1 } ^ { K } \, \lambda _ { \ell } { \cos \left( 2 \pi \ell \frac { t } { T } \right) } + \lambda _ { K + \ell } \, { \sin \left( 2 \pi \ell \frac { t } { T } \right) } } \\ & { = : \sum _ { \ell = 0 } ^ { 2 K } \, \lambda _ { \ell } g _ { \ell } ( t ) , \quad t \in [ 0 , T ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { - H ( Z | \tilde { Z } ) } & { = \mathbb { E } _ { p _ { \theta } ( \tilde { Z } , Z , Y ) } \left[ \log p _ { \theta } ( Z | \tilde { Z } ) \right] } \\ & { \ge \mathbb { E } _ { p _ { \theta } ( \tilde { Z } , Z , Y ) } \left[ \log p _ { { \pi _ { 2 } } } ( Z | \tilde { Z } ) \right] } \\ & { \sim - \sum \mathcal { L } ( z , \hat { g } _ { \pi _ { 2 } } ( \tilde { z } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { t } ( n \, | \, n _ { 0 } ) } & { { } = \frac { ( n - 1 ) ! } { ( n _ { 0 } - 1 ) ! ( n - n _ { 0 } ) ! } e ^ { - \mu n _ { 0 } t } ( 1 - e ^ { - \mu t } ) ^ { n - n _ { 0 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \big ( \Psi _ { p , y } ^ { ( N ) } | \Phi _ { x } ^ { ( N ) } \big ) = } & { \mathrm C _ { N } ^ { A B } ( \gamma ) | p | ^ { N - 1 } ( - \mathrm { i } p ) ^ { - G _ { N } - \mathrm { i } X } ( \mathrm { i } \bar { p } ) ^ { - \bar { G } _ { N } - \mathrm { i } \bar { X } } } \\ & { \times \frac { \prod _ { k = 1 } ^ { N } \prod _ { j = 1 } ^ { N - 1 } \boldsymbol \Gamma [ \mathrm { i } ( \bar { y } _ { j } ^ { * } - x _ { k } ) ] } { \left( \prod _ { j = 1 } ^ { N } \vartheta _ { N } ( x _ { j } ) \right) \left( \prod _ { j = 1 } ^ { N - 1 } \bar { \vartheta } _ { N } ( \bar { y } _ { j } ) \right) ^ { \dagger } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } \widetilde { \chi } _ { 0 } ^ { ( l , l ) } ( \boldsymbol { x } ) = - \frac { 3 } { 2 } \frac { 1 } { ( l - 1 ) ! l ! } \Theta ^ { l } \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } \displaystyle \sum _ { \nu = 0 } ^ { \nu = l - 1 } \int _ { 0 } ^ { \infty } d y \frac { f _ { 0 } ( y ; \Theta ) } { y ^ { 2 \nu } } } \\ & { \qquad \, \, \, \left\{ \frac { 1 } { 2 \nu + 1 } \frac { l ^ { 2 \nu + 1 } } { 2 ^ { 2 \nu } } + \displaystyle \sum _ { m = 1 } ^ { l - 1 } \frac { 1 } { 2 \nu + 1 } \frac { a _ { m , l } m ^ { 2 \nu } } { 2 ^ { 2 \nu } } \right\} x ^ { 2 \nu - 2 l + 2 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ( Q + \widehat \gamma { \boldsymbol U } { \boldsymbol U } ^ { T } X ) ^ { T } ( Q + \widehat \gamma { \boldsymbol U } { \boldsymbol U } ^ { T } X ) - z I } \\ & { = ( Q ^ { T } Q - z I ) ( I + ( Q ^ { T } Q - z I ) ^ { - 1 } ( \widehat \gamma X ^ { T } { \boldsymbol U } { \boldsymbol U } ^ { T } Q + \widehat \gamma Q ^ { T } { \boldsymbol U } { \boldsymbol U } ^ { T } X + \widehat \gamma ^ { 2 } X ^ { T } { \boldsymbol U } { \boldsymbol U } ^ { T } { \boldsymbol U } { \boldsymbol U } ^ { T } X ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { 2 } ^ { \alpha } ( \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) } & { = - 2 \gamma N \tilde { l } ^ { \alpha { ' } } ( \theta _ { 1 } \gamma - \theta _ { 2 } \gamma ) + 2 \gamma \tilde { l } ^ { \alpha { ' } } ( - \theta _ { 1 } \gamma + \theta _ { 2 } \gamma ) + 5 \gamma N \tilde { l } ^ { \alpha { ' } } ( \theta _ { 1 } \gamma + 5 \theta _ { 2 } \gamma ) - 5 \gamma \tilde { l } ^ { \alpha { ' } } ( - \theta _ { 1 } \gamma - 5 \theta _ { 2 } \gamma ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { A _ { E } = \int _ { - \infty } ^ { t } \alpha ( t - t ^ { \prime } ) ( c _ { 1 } E ( t ^ { \prime } ) - c 2 I ( t ^ { \prime } ) + P ( t ^ { \prime } ) ) d t ^ { \prime } } \\ { A _ { I } = \int _ { - \infty } ^ { t } \alpha ( t - t ^ { \prime } ) ( c _ { 3 } E ( t ^ { \prime } ) - c 4 I ( t ^ { \prime } ) + Q ( t ^ { \prime } ) ) d t ^ { \prime } } \end{array}
\Delta S _ { \mathrm { w a t e r } } = \left| ( S _ { \mathrm { w a t e r } } ) _ { \mathrm { A C T U A L } } - ( S _ { \mathrm { w a t e r } } ) _ { \mathrm { A P P R O X } } \right| / ( S _ { \mathrm { w a t e r } } ) _ { \mathrm { A C T U A L } }
\langle V ^ { 2 } \rangle = \int _ { 0 } ^ { \tau _ { \mathrm { d } } } d t \, k _ { \mathrm { f } } ( t ) \, e ^ { - \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } d t ^ { \prime } k _ { \mathrm { f } } ( t ^ { \prime } ) } \, \left( V _ { \mathrm { b } } \, e ^ { \lambda \, t } \right) ^ { 2 }
\begin{array} { r } { \left| \int _ { \hat { E } _ { 0 } - L } ^ { \hat { E } _ { 0 } + L } ( p \ast n _ { \sigma } ) ( x ) d x - \sum _ { i \in G } p _ { i } \right| \leq 4 c ^ { \prime } \epsilon ^ { 2 } \eta ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( A ) - f ( B ) } & { = \int _ { 0 } ^ { + \infty } ( \lambda + 1 ) \left( ( A + \lambda ) ^ { - 1 } - ( B + \lambda ) ^ { - 1 } \right) \, \mathrm { d } \nu ( \lambda ) } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { + \infty } ( \lambda + 1 ) \, \mathrm { d } \nu ( \lambda ) \int _ { 0 } ^ { 1 } y ^ { - 1 } Z N Z \mathrm { d } y , } \end{array}
v _ { \scriptscriptstyle \mathrm { S } } ( { \bf r } , t ) = v _ { { \scriptscriptstyle \mathrm { e x t } } , 0 } ( { \bf r } ) + v _ { \scriptscriptstyle \mathrm { H } } ( { \bf r } , t ) + v _ { { \scriptscriptstyle \mathrm { X C } } , 0 } ( { \bf r } )
\int _ { { \cal M } _ { \beta } } R ^ { \mu \nu \lambda \rho } R _ { \mu \nu \lambda \rho } = \alpha \int _ { { \cal M } _ { \beta _ { H } } } R ^ { \mu \nu \lambda \rho } R _ { \mu \nu \lambda \rho } + 8 \pi ( 1 - \alpha ) \int _ { \Sigma } R _ { \mu \nu \lambda \rho } n _ { i } ^ { \mu } n _ { i } ^ { \lambda } n _ { j } ^ { \nu } n _ { j } ^ { \rho } + O ( ( 1 - \alpha ) ^ { 2 } ) ~ ~ ~ ,
\begin{array} { r } { R _ { \bf m } ( t ) = \left( \begin{array} { c c c } { \cos k t } & { - \hat { m } _ { 3 } \sin k t } & { \hat { m } _ { 2 } \sin k t } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { \hat { m } _ { 3 } \sin k t } & { \hat { m } _ { 2 } ^ { 2 } + \hat { m } _ { 3 } ^ { 2 } \cos k t } & { \hat { m } _ { 2 } \hat { m } _ { 3 } ( 1 - \cos k t ) } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { - \hat { m } _ { 2 } \sin k t } & { \hat { m } _ { 2 } \hat { m } _ { 3 } ( 1 - \cos k t ) } & { \hat { m } _ { 3 } ^ { 2 } + \hat { m } _ { 2 } ^ { 2 } \cos k t } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| y _ { t + 1 } - y ^ { * } \| ^ { 2 } } & { \leq ( 1 - \frac { \mu \gamma \alpha _ { t } } { 2 } ) \| y _ { t } - y ^ { * } \| ^ { 2 } - \frac { \gamma ^ { 2 } \alpha _ { t } } { 4 } \| \omega _ { t } \| ^ { 2 } + \frac { 4 \gamma \alpha _ { t } } { \mu } \| \nabla _ { y } g ( x _ { t } , y _ { t } ) - w _ { t } \| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \bf { E } _ { \mathrm { ~ 1 ~ } } ^ { | | } } & { { } = } & { \bf { E } _ { \mathrm { ~ 2 ~ } } ^ { | | } } \\ { \frac { \bf { B } _ { \mathrm { ~ 1 ~ } } ^ { \perp } } { \mu _ { 1 } } } & { { } = } & { \frac { \bf { B } _ { \mathrm { ~ 2 ~ } } ^ { \perp } } { \mu _ { 2 } } } \end{array}
\sigma ^ { H } ( x , y ) \equiv \int _ { z _ { 0 } } ^ { 1 } d z \sigma ^ { H } = \sigma _ { 0 } ^ { s } ( 1 + \delta _ { e x p } ) \left\{ \begin{array} { c } { { D _ { q } ^ { H } ( \tilde { z } ) \longrightarrow \tilde { D } _ { q } ^ { H } ( z _ { 0 } , y _ { t } / y ) } } \\ { { \Omega \longrightarrow \Omega _ { 0 } } } \\ { { D _ { q } ^ { H } ( z ) \longrightarrow \tilde { D } _ { q } ^ { H } ( z _ { 0 } , 1 ) } } \end{array} \right\} .
\int _ { \mathscr { R } _ { \pm } ^ { m } } \varphi \, \Bigl ( \mathcal { \vec { A } } ^ { m } [ t _ { m - 1 } ] \cdot \vec { e } _ { 1 } \Bigr ) \, \mathcal { J } ^ { m } \, \mathrm { d } r \mathrm { d } z = \int _ { \mathscr { R } _ { \pm } ^ { m - 1 } } \varphi \circ \mathcal { \vec { A } } ^ { m } [ t _ { m - 1 } ] ^ { - 1 } \, r \, \mathrm { d } r \mathrm { d } z ,
\begin{array} { r l r } { h ( x , y ) } & { = } & { \frac { ( b + c x ) y } { 1 + p y ( b + c x ) } \; , } \\ { f _ { 1 } ( x , y ) } & { = } & { e ^ { \displaystyle r _ { 1 } + H _ { 1 } - x + d h ( x , y ) } \; , } \\ { f _ { 2 } ( x , y ) } & { = } & { e ^ { \displaystyle r _ { 2 } + H _ { 2 } - y - \frac { m } { a + y } - h ( x , y ) } \; , } \\ { F ( x , y ) } & { = } & { ( F _ { 1 } ( x , y ) , F _ { 2 } ( x , y ) ) = ( x f _ { 1 } ( x , y ) , y f _ { 2 } ( x , y ) ) \; . } \end{array}
W _ { j } ( X , p ) = \frac { 1 } { 4 \pi \hbar } \int _ { - 2 \pi } ^ { + 2 \pi } d y ~ e ^ { { \frac { i } { \hbar } } p y } ~ \rho _ { j } ( x + { \frac { y } { 2 } } , x - { \frac { y } { 2 } } ) ,
f _ { n 2 m } ^ { G W } = \frac 1 2 \ddot { h } _ { m } ( t ) M _ { S } R \sqrt { \frac { 3 } { 5 \pi } } \int _ { 0 } ^ { 1 } \xi ^ { 3 } ( A _ { n 2 } ( \xi R ) + 3 B _ { n 2 } ( \xi R ) ) d \xi = \frac 1 2 \ddot { h } _ { m } ( t ) M _ { S } \chi _ { n } R ,
\begin{array} { r l } { \phi _ { k } ( x , y , z ) = } & { \frac { 1 } { 2 \pi } \bigg \{ \arctan \left[ \frac { ( x _ { k 2 } - x ) ( z _ { k 2 } - z ) } { y \sqrt { y ^ { 2 } + ( x _ { k 2 } - x ) ^ { 2 } + ( z _ { k 2 } - z ) ^ { 2 } } } \right] } \\ & { - \arctan \left[ \frac { ( x _ { k 1 } - x ) ( z _ { k 2 } - z ) } { y \sqrt { y ^ { 2 } + ( x _ { k 1 } - x ) ^ { 2 } + ( z _ { k 2 } - z ) ^ { 2 } } } \right] } \\ & { - \arctan \left[ \frac { ( x _ { k 2 } - x ) ( z _ { k 1 } - z ) } { y \sqrt { y ^ { 2 } + ( x _ { k 2 } - x ) ^ { 2 } + ( z _ { k 1 } - z ) ^ { 2 } } } \right] } \\ & { + \arctan \left[ \frac { ( x _ { k 1 } - x ) ( z _ { k 1 } - z ) } { y \sqrt { y ^ { 2 } + ( x _ { k 1 } - x ) ^ { 2 } + ( z _ { k 1 } - z ) ^ { 2 } } } \right] \bigg \} , } \end{array}
6 \eta _ { \mathrm { i n } } A _ { 3 } - \eta _ { \mathrm { i n } } C _ { 2 } = 6 \eta _ { \mathrm { o u t } } B _ { 2 } - \eta _ { \mathrm { o u t } } D _ { 2 } - \sigma _ { R } ( 1 + \lambda ) R ^ { 2 } ,
{ \begin{array} { r l } { { \frac { \partial } { \partial u ^ { 1 } } } { \frac { 2 R ^ { 2 } u ^ { 1 } } { R ^ { 2 } - | u | ^ { 2 } } } d u ^ { 1 } } & { = { \frac { 2 \left( R ^ { 2 } - | u | ^ { 2 } \right) + 4 R ^ { 2 } \left( u ^ { 1 } \right) ^ { 2 } } { \left( R ^ { 2 } - | u | ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } } d u ^ { 1 } , } \\ { { \frac { \partial } { \partial u ^ { 2 } } } { \frac { 2 R ^ { 2 } u ^ { 1 } } { R ^ { 2 } - | u | ^ { 2 } } } d u ^ { 2 } } & { = { \frac { 4 R ^ { 2 } u ^ { 1 } u ^ { 2 } } { \left( R ^ { 2 } - | u | ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } } d u ^ { 2 } , } \end{array} }
b ^ { 2 } ( f _ { 1 } , f _ { 2 } ) = \frac { | \langle \hat { x } ( f _ { 1 } ) . \hat { y } ( f _ { 2 } ) . \hat { z } ^ { * } ( f _ { 1 } + f _ { 2 } ) \rangle _ { \delta _ { t } } | ^ { 2 } } { \langle | \hat { x } ( f _ { 1 } ) . \hat { y } ( f _ { 2 } ) | ^ { 2 } \rangle _ { \delta _ { t } } \langle | \hat { z } ( f _ { 1 } + f _ { 2 } ) | ^ { 2 } \rangle _ { \delta _ { t } } }
\alpha _ { A } ( \varphi _ { 0 } ) \simeq \alpha _ { 3 } ( \varphi _ { 0 } ) + { \frac { \partial \widehat \sigma } { \partial \varphi _ { 0 } } } \left( { \frac { B } { M } } \right) _ { A } + { \frac { \partial \widehat \delta } { \delta \varphi _ { 0 } } } \left( { \frac { D } { M } } \right) _ { A } + a _ { 3 } { \frac { \partial \alpha } { \partial \varphi _ { 0 } } } \left( { \frac { E } { M } } \right) _ { A } \ ,
{ R _ { o l , 1 } ^ { c } } ^ { 2 } + { R _ { s l , 1 } ^ { c } } ^ { 2 } = \langle \tilde { x } \tilde { z } \rangle _ { 2 } ^ { c } + \langle \tilde { y } \tilde { z } \rangle _ { 2 } ^ { s } - \beta _ { \perp } \, \langle \tilde { z } \tilde { t } \rangle _ { 1 } ^ { c }