harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathcal { G } [ h , \zeta ] = } & { \int _ { 0 } ^ { R } \left[ \gamma \xi _ { h + \zeta } + \gamma _ { \mathrm { b l } } \xi _ { \zeta } + g _ { \mathrm { b r u s h } } - P ( h + \zeta ) \right] \mathrm { d } x } \\ & { + \int _ { R } ^ { \infty } \left[ \gamma _ { \mathrm { b g } } \xi _ { \zeta } + g _ { \mathrm { b r u s h } } - P \zeta \right] \, \mathrm { d } x } \\ & { + \lambda _ { h } h ( R ^ { - } ) + \lambda _ { \zeta } ( \zeta ( R ^ { - } ) - \zeta ( R ^ { + } ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d \sigma } { d \theta } } & { = 1 6 \pi ^ { 2 } \alpha I _ { \mathrm { L } } \frac { k _ { f } } { k _ { i } } \left\vert \frac { a _ { i f } } { 3 } \right\vert ^ { 2 } \left[ \frac { 1 - ( k _ { f } / k _ { i } ) \cos \theta } { k _ { i } ^ { 2 } ( 1 + ( k _ { f } / k _ { i } ) ^ { 2 } - 2 ( k _ { f } / k _ { i } ) \cos \theta ) } \right] ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { d } ( w _ { i j } w _ { t j } ) } & { = w _ { i j } \mathrm { d } w _ { t j } + w _ { t j } \mathrm { d } w _ { i j } } \\ & { = ( w _ { i j } g _ { t j } ( \mathbf A , \mathbf W ) + w _ { t j } g _ { i j } ( \mathbf A , \mathbf W ) ) \mathrm { d } t + \eta ( w _ { i j } L _ { t j } + w _ { t j } L _ { i j } ) \mathrm { d } t } \\ & { \ \ \ \ + \sqrt { \eta } ( w _ { i j } P _ { t j r s } + w _ { t j } P _ { i j r s } ) N _ { r s k l } \circ B _ { k l } . } \end{array}
\mathbf { F } _ { \mu \nu } = - { \frac { i } { g } } [ \mathbf { \mathcal { D } } _ { \mu } , \mathbf { \mathcal { D } } _ { \nu } ] = \partial _ { \mu } \mathbf { A } _ { \nu } - \partial _ { \nu } \mathbf { A } _ { \mu } + i g [ \mathbf { A } _ { \mu } , \mathbf { A } _ { \nu } ] = ( \partial _ { \mu } A _ { \nu } ^ { i } - \partial _ { \nu } A _ { \mu } ^ { i } + g f ^ { i j k } A _ { \mu } ^ { j } A _ { \nu } ^ { k } ) T ^ { i }
\begin{array} { r l } & { \mathbf { E } \left[ e ^ { 2 \alpha \left( \Bar { b } + d / \beta \right) t } V _ { \alpha } \left( \Bar { X } _ { t } ^ { r } \right) \right] } \\ & { = \mathbf { E } \left[ \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } e ^ { 2 \alpha \left( \Bar { b } + d / \beta \right) ( t \wedge \sigma _ { n } ) } V _ { \alpha } \left( \Bar { X } _ { t \wedge \sigma _ { n } } ^ { r } \right) \right] } \\ & { \le \operatorname* { l i m i n f } _ { n \to \infty } \mathbf { E } \left[ e ^ { 2 \alpha \left( \Bar { b } + d / \beta \right) ( t \wedge \sigma _ { n } ) } V _ { \alpha } \left( \Bar { X } _ { t \wedge \sigma _ { n } } ^ { r } \right) \right] } \\ & { \le \mathbf { E } \left[ V _ { \alpha } \left( \Bar { X } _ { 0 } ^ { r } \right) \right] + 4 \alpha e ^ { 2 \alpha ( \Bar { b } + d / \beta ) / ( \Bar { m } - 2 \alpha / \beta ) } \left( \Bar { b } + d / \beta \right) \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { 2 \alpha \left( \Bar { b } + d / \beta \right) s } \mathrm { d } s . } \end{array}
\frac { 1 } { 2 } \left( f _ { \tau ^ { - 1 } } ( \mathbf { x } , \mathbf { x } _ { s } , \boldsymbol { \theta } _ { T } ) + f _ { \tau ^ { - 1 } } ( \mathbf { x } _ { s } , \mathbf { x } , \boldsymbol { \theta } _ { T } ) \right)
\begin{array} { r } { \lambda _ { 1 2 9 } = \frac { \omega _ { 1 2 9 } - \omega _ { \mathrm { c a l } } } { \Gamma _ { \mathrm { R b } } } , } \\ { \lambda _ { 1 3 1 } = \frac { \omega _ { 1 3 1 } + \omega _ { \mathrm { c a l } } } { \Gamma _ { \mathrm { R b } } } . } \end{array}
d _ { i } { \tilde { d } _ { i } } = - \mu \left( m _ { i } - \frac { 1 } { r } \sum _ { j = 1 } ^ { r } m _ { j } \right) - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } \, r } \mu \Lambda x _ { 0 } ; \qquad e _ { k } { \tilde { e } } _ { k } \sim \mu \Lambda .
\left( { \frac { d \tilde { x } } { d \tilde { \lambda } } } \right) ^ { 2 } + \left[ \tilde { H } _ { p + 1 } ^ { - { \frac { 4 } { \Delta _ { p + 1 } } } } - { \frac { \tilde { \cal J } ^ { 2 } } { \tilde { H } _ { p + 1 } ^ { \frac { 8 ( p + 2 ) } { ( D - 2 ) \Delta _ { p + 1 } } } \tilde { x } ^ { 2 } } } \right] \tilde { f } - \tilde { E } ^ { 2 } \tilde { H } _ { p + 1 } ^ { \frac { 4 ( D - 2 p - 6 ) } { ( D - 2 ) \Delta _ { p + 1 } } } = 0 ,
\begin{array} { r l } { \Phi } & { { } \to \Phi + \left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { d } \Lambda _ { \ell } , } & { \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } q > 0 , } \\ { a _ { \ell } , } & { \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } q = 0 , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial \triangle \psi } { \partial t } - \nu \triangle \triangle \psi = \frac { \partial \psi } { \partial x } \frac { \partial \triangle \psi } { \partial z } - \frac { \partial \psi } { \partial z } \frac { \partial \triangle \psi } { \partial x } } \end{array}
\phi = \frac { < q _ { \mathrm { r e s } } , q _ { \mathrm { S P O D } } > } { \sqrt { < q _ { \mathrm { r e s } } , q _ { \mathrm { r e s } } > < q _ { \mathrm { S P O D } } , q _ { \mathrm { S P O D } } > } }
\begin{array} { r l } { \sum _ { k = K + 1 } ^ { \infty } ( 1 + 2 | \lambda _ { k } | ) ^ { 4 } e ^ { \lambda _ { k } ( t - 2 ) } } & { \leqslant \sum _ { k = K + 1 } ^ { \bar { K } } \left( 1 + \frac { k ^ { 2 } \pi ^ { 2 } } { L ^ { 2 } } \right) ^ { 4 } + \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } \left( 1 + \frac { ( \bar { K } + j ) ^ { 2 } \pi ^ { 2 } } { L ^ { 2 } } \right) ^ { 4 } e ^ { \bar { \lambda } _ { \bar { K } + j } ( t - 2 ) } } \\ & { \leqslant \bar { K } \left( 1 + \frac { \bar { K } ^ { 2 } \pi ^ { 2 } } { L ^ { 2 } } \right) ^ { 4 } + \sum _ { i = 0 } ^ { \infty } \sum _ { j = N _ { i - 1 } + 1 } ^ { N _ { i } } \left( 1 + \frac { ( \bar { K } + j ) ^ { 2 } \pi ^ { 2 } } { L ^ { 2 } } \right) ^ { 4 } e ^ { \bar { \lambda } _ { \bar { K } + j } ( t - 2 ) } } \\ & { \leqslant 2 \bar { K } + \sum _ { i = 0 } ^ { \infty } ( N _ { i } - N _ { i - 1 } ) \left( 1 + \frac { ( \bar { K } + N _ { i } ) ^ { 2 } \pi ^ { 2 } } { L ^ { 2 } } \right) ^ { 4 } e ^ { - A _ { i - 1 } ( t - 2 ) } . } \end{array}
\left( \hat { g } _ { j } ^ { C } \right) _ { \eta } = \left( \hat { g } _ { j } \right) _ { \eta } + \left[ \hat { g } _ { j - 1 / 2 } ^ { \mathrm { c o m } } - \hat { g } _ { j } ( - 1 ) \right] g _ { \mathrm { L B } } ^ { \prime } + \left[ \hat { g } _ { j + 1 / 2 } ^ { \mathrm { c o m } } - \hat { g } _ { j } ( 1 ) \right] g _ { \mathrm { R B } } ^ { \prime } .
\left\{ \begin{array} { l l } { { \pmb v } ( { \pmb x } ) = { \pmb v } ^ { [ i ] } ( { \pmb x } ) } \\ { { \pmb v } ( { \pmb x } ) \cdot { \pmb n } ( { \pmb x } ) = \dot { r } ( { \pmb x } , t ) } \\ { { \pmb \sigma } ( { \pmb x } ) \cdot { \pmb n } ( { \pmb x } ) = { \pmb \sigma } ^ { [ i ] } ( { \pmb x } ) \cdot { \pmb n } ( { \pmb x } ) + \gamma \, { \pmb n } ( { \pmb x } ) \, C ( { \pmb x } ) , \qquad { \pmb x } \in \partial D _ { b } } \end{array} \right.
\langle H | \psi ^ { \dagger } { \cal K } _ { m } \chi \chi ^ { \dagger } { \cal K } _ { n } \psi | H \rangle \; = \; \sum _ { X } \langle H | \psi ^ { \dagger } { \cal K } _ { m } \chi | X \rangle \langle X | \chi ^ { \dagger } { \cal K } _ { n } \psi | H \rangle .
\begin{array} { r l r } { \psi ( x , t ) } & { = } & { \frac { 1 } { 2 ( 2 \pi \Delta x ^ { 2 } ) ^ { 1 / 4 } } \exp \! \left( - \, \frac { ( x - c t ) ^ { 2 } } { 4 \Delta x ^ { 2 } } \right) \left[ 1 + \mathrm { i } \cdot \mathrm { e r f i } \! \left( \frac { x - c t } { 2 \Delta x } \right) \right] } \\ & { } & { + \frac { 1 } { 2 ( 2 \pi \Delta x ^ { 2 } ) ^ { 1 / 4 } } \exp \! \left( - \, \frac { ( x + c t ) ^ { 2 } } { 4 \Delta x ^ { 2 } } \right) \left[ 1 - \mathrm { i } \cdot \mathrm { e r f i } \! \left( \frac { x + c t } { 2 \Delta x } \right) \right] \! . } \end{array}
\delta _ { \xi } g _ { \mu \nu } = { \cal L } _ { \xi } g _ { \mu \nu } = \xi _ { \mu ; \nu } + \xi _ { \nu ; \mu } \; ; \; \delta _ { \xi } h _ { \mu \nu } = { \cal L } _ { \xi } h _ { \mu \nu } = \xi ^ { \lambda } \partial _ { \lambda } h _ { \mu \nu } + \partial _ { \mu } \xi ^ { \lambda } h _ { \lambda \nu } + \partial _ { \nu } \xi ^ { \lambda } h _ { \mu \lambda } .
\left\langle \theta ^ { \mu } \frac { \partial \Phi } { \partial \theta ^ { \nu } } \right\rangle = \frac { 1 } { Z } \int \mathrm { d } ^ { n } \theta \int \mathrm { d } ^ { n } p \: \exp ( - \beta \mathcal { H } ) \: \theta ^ { \mu } \frac { \partial \Phi } { \partial \theta ^ { \nu } } = - \frac { 1 } { \beta Z } \int \mathrm { d } ^ { n } \theta \int \mathrm { d } ^ { n } p \: \theta ^ { \mu } \frac { \partial } { \partial \theta ^ { \nu } } \exp ( - \beta \mathcal { H } ) = \frac { 1 } { \beta Z } \int \mathrm { d } ^ { n } \theta \int \mathrm { d } ^ { n } p \: \frac { \partial \theta ^ { \mu } } { \partial \theta ^ { \nu } } \: \exp ( - \beta \mathcal { H } ) = \frac { \delta _ { \nu } ^ { \mu } } { \beta }
\begin{array} { r l } { D _ { i } ^ { ( - 1 ) } ( x ) = } & { \; \left( \begin{array} { l l l } { \tilde { \alpha } _ { i } ( x ) } & { - \tilde { \alpha } _ { i } ( x ) } & { 0 } \\ { \tilde { \alpha } _ { i } ( x ) } & { - \tilde { \alpha } _ { i } ( x ) } & { 0 } \\ { \tilde { \beta } _ { i } ( x ) } & { - \tilde { \beta } _ { i } ( x ) } & { 0 } \end{array} \right) , } \\ { D _ { i } ^ { ( 0 ) } ( x ) = } & { \; - I + \left( \begin{array} { l l l } { \tilde { \gamma } _ { i , 3 } ( x ) } & { \tilde { \gamma } _ { i , 4 } ( x ) + ( - 1 ) ^ { i } \tilde { \alpha } _ { i } ( x ) } & { \tilde { \gamma } _ { i , 1 } ( x ) } \\ { \tilde { \gamma } _ { i , 4 } ( x ) } & { \tilde { \gamma } _ { i , 3 } ( x ) + ( - 1 ) ^ { i } \tilde { \alpha } _ { i } ( x ) } & { \tilde { \gamma } _ { i , 1 } ( x ) } \\ { \tilde { \gamma } _ { i , 5 } ( x ) } & { \tilde { \gamma } _ { i , 5 } ( x ) + ( - 1 ) ^ { i } \tilde { \beta } _ { i } ( x ) } & { \tilde { \gamma } _ { i , 2 } ( x ) } \end{array} \right) } \end{array}
\mathcal { S } \left( \mathrm { ~ s ~ t ~ a ~ t ~ e ~ } \left( \boldsymbol { F } , \boldsymbol { F } _ { \mathrm { p } } , \boldsymbol { \upalpha } \right) \right) = \frac { \ell W _ { \mathrm { c r i t } } } { \mathcal { G } _ { c } ^ { 0 } } \left\langle \frac { W _ { \mathrm { e } } ^ { + } + W _ { \mathrm { p } } } { W _ { \mathrm { c r i t } } } - 1 \right\rangle ,
\begin{array} { r l } { \omega ^ { 2 } = } & { { } \frac { 3 R ^ { 2 } [ ( k _ { 1 } + k _ { 2 } ) I _ { 2 } + k _ { 2 } I _ { 1 } ] } { 4 I _ { 1 } I _ { 2 } } \left\{ 1 \pm \sqrt { 1 - \frac { 4 I _ { 1 } I _ { 2 } k _ { 1 } k _ { 2 } } { [ ( k _ { 1 } + k _ { 2 } ) I _ { 2 } + k _ { 2 } I _ { 1 } ] ^ { 2 } } } \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { L ( \frac 1 2 , \chi _ { 8 d } ) L ( \frac 1 2 , f \otimes \chi _ { 8 d } ) = } & { 2 \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { \chi _ { 8 d } ( n ) \sigma _ { f } ( n ) } { n ^ { 1 / 2 } } V \left( \frac { n } { d ^ { 3 / 2 } } \right) , \quad \mathrm { w h e r e } \quad \sigma _ { f } ( n ) = \sum _ { m | n } \lambda _ { f } ( m ) . } \end{array}
Q ( r ) = Q ( \bar { r } ) + \left[ { \frac { d Q } { d \mu ^ { 2 } } } \right] _ { \bar { r } } \left( \mu ^ { 2 } ( r ) - \mu ^ { 2 } ( \bar { r } ) \right) + \left[ { \frac { d Q } { d ( \Gamma ^ { - 2 } ) } } \right] _ { \bar { r } } \left( \Gamma ^ { - 2 } ( r ) - \Gamma ^ { - 2 } ( \bar { r } ) \right) + . . .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial F _ { \vartheta } } { \partial \vartheta } } & { = - 4 \zeta _ { 1 } k _ { 0 } \vartheta + ( 5 0 \zeta _ { _ { X = Y } } c _ { _ { X = Y } } A ^ { 2 } \sqrt { 2 } ) / ( 9 \sigma ^ { 2 } ) , \; \; \frac { \partial F _ { \vartheta _ { \tau } } } { \partial \vartheta } = - ( \zeta _ { _ { X = Y } } c _ { _ { X = Y } } A ^ { 2 } \sqrt { 2 } ) / ( 4 \sigma _ { \tau } ^ { 2 } ) , } \\ { \frac { \partial F _ { A } } { \partial \vartheta _ { \tau } } } & { = A \zeta _ { 2 } + ( 3 5 / 4 ) A a _ { 1 } \zeta _ { 2 } k _ { 0 } ^ { 2 } \vartheta _ { \tau } \sigma _ { \tau } ^ { 2 } , } \\ { \frac { \partial F _ { \sigma } } { \partial \vartheta _ { \tau } } } & { = - ( 7 a _ { 1 } \zeta _ { 2 } \sigma k _ { 0 } ^ { 2 } \vartheta _ { \tau } \sigma _ { \tau } ^ { 2 } ) / 2 , \; \; \frac { \partial F _ { \sigma _ { \tau } } } { \partial \vartheta _ { \tau } } = 2 \zeta _ { 2 } \sigma _ { \tau } - 5 / 2 a _ { 1 } \zeta _ { 2 } \sigma _ { \tau } ^ { 3 } k _ { 0 } ^ { 2 } \vartheta _ { \tau } , } \\ { \frac { \partial F _ { \vartheta } } { \partial \vartheta _ { \tau } } } & { = 0 , \; \; \frac { \partial F _ { \vartheta _ { \tau } } } { \partial \vartheta _ { \tau } } = 8 \zeta _ { 2 } a _ { 1 } / \sigma _ { \tau } ^ { 2 } - 4 \zeta _ { 2 } k _ { 0 } \vartheta _ { \tau } . } \end{array}
\begin{array} { r } { y _ { 1 } ( x \rightarrow r _ { 0 } / a ) \approx 1 , \qquad y _ { 2 } ( x \rightarrow r _ { 0 } / a ) \approx \frac { \ln \left( x - x _ { 0 } \right) } { R ^ { 2 } \partial _ { x } \left( x D _ { A } \right) } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left\langle \cos { ( \boldsymbol { q } \cdot \boldsymbol { r } ) } \right\rangle } & { { } \equiv } & { \frac { 1 } { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \pi } \sin { ( \theta ) } \cos { ( \boldsymbol { q } \cdot \boldsymbol { r } ) } ~ \mathrm { d } \theta \mathrm { d } \phi } \end{array}
{ \cal T } ( g g \to c \bar { c } ( \underline { { { 8 } } } , { } ^ { 3 } P _ { 0 } ) ) = d ^ { a b c } { \frac { 4 g _ { s } ^ { 2 } } { ( 2 m _ { c } ) ^ { 5 } } } \, e p s i l o n _ { \mu } ( g _ { 1 } ) \epsilon _ { \nu } ( g _ { 2 } ) \; \left( - 2 g ^ { \mu \nu } m _ { c } ^ { 2 } + P ^ { \mu } g _ { 1 } ^ { \nu } \right) \xi ^ { \dagger } { \bf q } \cdot \mathrm { \boldmath ~ \ s i g m a ~ } \; T ^ { c } \eta \; + \cdots \; .
\begin{array} { r } { \beta _ { 1 } ^ { \tau } = \beta _ { 1 } ^ { \mathrm { b } } + \left( \beta _ { 1 } ^ { \mathrm { a } } - \beta _ { 1 } ^ { \mathrm { b } } \right) \exp \left[ - \left( \frac { \tau - 1 } { \beta _ { 1 } ^ { \mathrm { c } } } \right) ^ { 2 } \right] \ . } \end{array}
\frac { \left. \delta \mu _ { i } ^ { 2 } \right| ^ { m } } { \mu _ { i } ^ { 2 } } = \| \underbrace { \delta \mathbf { p } _ { \overline { { { \rho } } } } + \delta \mathbf { p } _ { \overline { { { \rho u } } } } + \delta \mathbf { p } _ { \overline { { { \rho v } } } } + \delta \mathbf { p } _ { \overline { { { \rho E } } } } + \delta \mathbf { p } _ { \mathbf { A } } } _ { \frac { \| \nabla _ { \mathbf { p } } \mu _ { i } ^ { 2 } \| _ { p } } { \mu _ { i } ^ { 2 } } \delta \mathbf { p } ^ { m } } \| _ { p } ,
T \left( x , y , 0 \right) = \frac { 1 0 } { \sqrt { 2 \pi } } \exp \left( - \left( { { \left( x - 2 2 . 5 \right) } ^ { 2 } } + { { \left( y - 2 . 5 \right) } ^ { 2 } } \right) / 2 \right)
\mathbf { \Sigma } _ { \mathrm { ~ d ~ e ~ v ~ } } = \mathbf { \Sigma } - \frac { 1 } { 3 } \mathrm { t r } ( \mathbf { \Sigma } ) \mathbb { 1 } _ { 3 \times 3 } = \frac { 2 \Sigma _ { 1 } - \Sigma _ { 2 } - \Sigma _ { 3 } } { 3 } \mathbf { I } _ { 1 } + \frac { - \Sigma _ { 1 } + 2 \Sigma _ { 2 } - \Sigma _ { 3 } } { 3 } \mathbf { I } _ { 2 } + \frac { - \Sigma _ { 1 } - \Sigma _ { 2 } + 2 \Sigma _ { 3 } } { 3 } \mathbf { I } _ { 3 } \equiv \tilde { \Sigma } _ { 1 } \mathbf { I } _ { 1 } + \tilde { \Sigma } _ { 2 } \mathbf { I } _ { 2 } + \tilde { \Sigma } _ { 3 } \mathbf { I } _ { 3 } .
\begin{array} { r l } { \phi _ { \mathrm { G R } } } & { = 2 \omega _ { \mathrm { G R } } l _ { \mathrm { P C C } } ^ { \mathrm { G R } } / c } \\ & { = 2 \left[ 2 ( \omega _ { 0 } + \omega _ { \mathrm { o f f } } ) + \delta \omega \right] ( l _ { \mathrm { P C C } } ^ { \mathrm { I R } } + \delta l _ { \mathrm { P C C } } ) / c } \\ & { = \frac { 4 \omega _ { 0 } l _ { \mathrm { P C C } } ^ { \mathrm { I R } } } { c } + \frac { 4 \omega _ { 0 } \delta l _ { \mathrm { P C C } } } { c } + \frac { 4 \omega _ { \mathrm { o f f } } l _ { \mathrm { P C C } } ^ { \mathrm { G R } } } { c } + \frac { 2 \delta \omega l _ { \mathrm { P C C } } ^ { \mathrm { G R } } } { c } } \end{array}
\vec { W } ^ { m } ( \vec { x } ) : = \sum _ { k = 1 } ^ { K } \left( \frac { \vec { q } _ { k } ^ { m } - \vec { q } _ { k } ^ { m - 1 } } { \Delta t } \right) \, \phi _ { k } ^ { m } ( \vec { x } ) , \quad \vec { x } \in \mathscr { R } _ { \pm } ^ { m } ,
F _ { 4 n } = 4 F _ { n } F _ { n + 1 } \left( F _ { n + 1 } ^ { 2 } + 2 F _ { n } ^ { 2 } \right) - 3 F _ { n } ^ { 2 } \left( F _ { n } ^ { 2 } + 2 F _ { n + 1 } ^ { 2 } \right)
\| H ^ { m } \vec { y } \| ^ { \frac { 1 } { m } } = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \| H _ { n } ^ { m } \vec { y } \| ^ { \frac { 1 } { m } } \le \operatorname* { l i m i n f } _ { n \to \infty } \| A ^ { n } \vec { y } \| ^ { \frac { 1 } { n } } \le \operatorname* { l i m s u p } _ { n \to \infty } \| A ^ { n } \vec { y } \| ^ { \frac { 1 } { n } } .
E _ { m } ^ { \nu } \simeq \frac { 3 . 1 3 \hbar c ^ { 3 } } { 8 \pi G M } \simeq 4 8 \times \left( \frac { 1 0 0 } { N _ { s p } } \times \frac { 1 \; s e c } { \tau _ { _ { 1 / 2 } } } \right) ^ { 1 / 3 } T e V ,
\begin{array} { r l } { | | Y - X \Hat { \beta } _ { m _ { r } } | | _ { 2 } ^ { 2 } - | | Y - X \Hat { \beta } _ { m _ { \ell } } | | _ { 2 } ^ { 2 } } & { = | | X \Hat { \beta } _ { m _ { r } } | | _ { 2 } ^ { 2 } - | | X \Hat { \beta } _ { m _ { \ell } } | | _ { 2 } ^ { 2 } + 2 \langle Y , X \Hat { \beta } _ { m _ { \ell } } - X \Hat { \beta } _ { m _ { r } } \rangle } \\ & { = | | X \Hat { \beta } _ { m _ { r } } | | _ { 2 } ^ { 2 } - | | X \Hat { \beta } _ { m _ { \ell } } | | _ { 2 } ^ { 2 } + 2 \langle Y - X \Hat { \beta } _ { m _ { \ell } } , X \Hat { \beta } _ { m _ { \ell } } \rangle } \\ & { \quad \quad - 2 \langle Y - X \Hat { \beta } _ { m _ { \ell } } , X \Hat { \beta } _ { m _ { r } } \rangle + 2 | | X \Hat { \beta } _ { m _ { \ell } } | | _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { \quad \quad - 2 \langle X \Hat { \beta } _ { m _ { \ell } } , X \Hat { \beta } _ { m _ { r } } \rangle } \\ & { \underset { \textit { ( * ) } } { = } | | X \Hat { \beta } _ { m _ { r } } | | _ { 2 } ^ { 2 } + | | X \Hat { \beta } _ { m _ { \ell } } | | _ { 2 } ^ { 2 } - 2 \langle X \Hat { \beta } _ { m _ { \ell } } , X \Hat { \beta } _ { m _ { r } } \rangle } \\ & { = | | X \Hat { \beta } _ { m _ { \ell } } - X \Hat { \beta } _ { m _ { r } } | | _ { 2 } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { H } & { = } & { \nu _ { x , 0 } J _ { x } + \nu _ { y , 0 } J _ { y } + \frac { e R } { \beta ^ { 2 } \gamma m _ { 0 } c ^ { 2 } } V _ { r f } ( \delta p / p , z ) + C _ { S C } \bar { V } ( x , y , z ) } \\ { C _ { S C } } & { = } & { \frac { N _ { p } r _ { p } } { \pi ^ { 1 / 2 } \beta ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } } } \\ { \bar { V } ( x , y , z ) } & { = } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } d q \; \frac { 1 } { \sqrt { ( 2 \sigma _ { x } ^ { 2 } + q ) ( 2 \sigma _ { y } ^ { 2 } + q ) ( 2 \gamma ^ { 2 } \sigma _ { z } ^ { 2 } + q ) } } } \\ & { } & { \left[ 1 - \exp ( - \frac { x ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { x } ^ { 2 } + q } - \frac { y ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { y } ^ { 2 } + q } - \frac { \gamma ^ { 2 } z ^ { 2 } } { 2 \gamma ^ { 2 } \sigma _ { z } ^ { 2 } + q } ) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { V _ { n } - V _ { n - 1 } } { t } } & { = \frac { 1 } { n } \int _ { \Omega } \frac { ( h _ { W _ { t } } - h _ { K } ) ( u ) } { t } d S _ { W _ { t } } ( u ) } \\ & { = \frac { 1 } { n } \int _ { \Omega } f ( u ) d S _ { W _ { t } } ( u ) \to \frac { 1 } { n } \int _ { \Omega } f ( u ) d S _ { K } ( u ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \dot { \Omega } _ { 1 } = \phi \Omega _ { 2 } + \frac { b k _ { 2 } } { I _ { 2 } } \cos \alpha t , \qquad \dot { \Omega } _ { 2 } = - \phi \Omega _ { 1 } - \frac { b k _ { 2 } } { I _ { 2 } } \sin \alpha t . } \end{array}
V _ { \lambda \lambda ^ { \prime } \lambda ^ { \prime \prime } } ^ { \pm } = \sum _ { i \in u . c . } \sum _ { j , k } \sum _ { \alpha \beta \gamma } \phi _ { i j k } ^ { \alpha \beta \gamma } \frac { e _ { \lambda } ^ { \alpha } ( i ) e _ { p ^ { \prime } , { \pm } q ^ { \prime } } ^ { \beta } ( j ) e _ { p ^ { \prime \prime } , - q ^ { \prime \prime } } ^ { \gamma } ( k ) } { \sqrt { M _ { i } M _ { j } M _ { k } } } ,
\left. \left. - \frac { 1 } { 2 } \ln \left( \frac { \vec { q } _ { 2 } ^ { \: 2 } } { \vec { q } ^ { \: 2 } } \right) \ln \left( \frac { \vec { q } _ { 2 } ^ { \: \prime \: 2 } } { \vec { q } ^ { \: 2 } } \right) \right) \right] = 6 \psi ^ { \prime \prime } ( 1 ) + \frac { 1 1 } { 3 } \ln \left( \frac { \vec { q } _ { 1 } ^ { \: 2 } } { \vec { q } ^ { \: 2 } } \right) \ln \left( \frac { \vec { q } _ { 1 } ^ { \: \prime \: 2 } } { \vec { q } ^ { \: 2 } } \right) \; .
\begin{array} { r l r l } & { A _ { + } = \frac { \eta _ { p } + \eta _ { s } } { 2 \zeta } ( \pi _ { x x } ^ { \prime } ( m ^ { + } ) + \beta ) , } & & { A _ { - } = \frac { \eta _ { p } - \eta _ { s } } { 2 \zeta } ( \pi _ { y y } ^ { \prime } ( m ^ { - } ) + \beta ) , } \\ & { B _ { + } = \frac { \eta _ { p } + \eta _ { s } } { 2 \zeta } ( \pi _ { y y } ^ { \prime } ( m ^ { - } ) + \beta ) , } & & { B _ { - } = \frac { \eta _ { p } - \eta _ { s } } { 2 \zeta } ( \pi _ { x x } ^ { \prime } ( m ^ { + } ) + \beta ) , } \\ & { C _ { + } = \frac { \eta _ { s } } { 2 \zeta } ( \pi _ { x x } ^ { \prime } ( m ^ { + } ) + \beta ) , } & & { C _ { - } = \frac { \eta _ { s } } { 2 \zeta } ( \pi _ { y y } ^ { \prime } ( m ^ { - } ) + \beta ) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \int \sec \theta \, d \theta } & { = \operatorname { a r t a n h } \left( \sin \theta \right) + C } \\ & { = \operatorname { s g n } ( \cos \theta ) \operatorname { a r s i n h } \left( \tan \theta \right) + C } \\ & { = \operatorname { s g n } ( \sin \theta ) \operatorname { a r c o s h } { \left| \sec \theta \right| } + C . } \end{array} }
\ddot { \gamma _ { t } } ^ { k } = - \frac { 1 } { 2 } { H ( \gamma _ { t } ^ { k } ) } ^ { - 1 } \Bigg ( 2 \left( I \otimes ( \dot { \gamma _ { t } } ^ { k } ) ^ { \top } \right) \frac { \partial \mathrm { v e c } [ H ( \gamma _ { t } ^ { k } ) ] } { \partial \gamma _ { t } ^ { k } } \dot { \gamma _ { t } } ^ { k } - \frac { \partial \mathrm { v e c } [ H ( \gamma _ { t } ^ { k } ) ] ^ { \top } } { \partial \gamma _ { t } ^ { k } } \left( \dot { \gamma _ { t } } ^ { k } \otimes \dot { \gamma _ { t } } ^ { k } \right) \Bigg ) ,
\begin{array} { r } { \cdots \to H _ { n } ( \Sigma ^ { d _ { b } } ) \to H _ { n } ( \overline { { 0 } } ) \to H _ { n } ( \Sigma ^ { d _ { a } } ) \to H _ { n - 1 } ( \Sigma ^ { d _ { b } } ) \to \cdots } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l } { \left[ { \begin{array} { l } { n } \\ { 1 } \end{array} } \right] } & { \equiv { \frac { 2 ^ { n } } { 4 } } [ n \geq 2 ] + [ n = 1 ] } & & { { \pmod { 2 } } } \\ { \left[ { \begin{array} { l } { n } \\ { 2 } \end{array} } \right] } & { \equiv { \frac { 3 \cdot 2 ^ { n } } { 1 6 } } ( n - 1 ) [ n \geq 3 ] + [ n = 2 ] } & & { { \pmod { 2 } } } \\ { \left[ { \begin{array} { l } { n } \\ { 3 } \end{array} } \right] } & { \equiv 2 ^ { n - 7 } ( 9 n - 2 0 ) ( n - 1 ) [ n \geq 4 ] + [ n = 3 ] } & & { { \pmod { 2 } } } \\ { \left[ { \begin{array} { l } { n } \\ { 4 } \end{array} } \right] } & { \equiv 2 ^ { n - 9 } ( 3 n - 1 0 ) ( 3 n - 7 ) ( n - 1 ) [ n \geq 5 ] + [ n = 4 ] } & & { { \pmod { 2 } } } \end{array} }
\operatorname * { l i m } _ { m \rightarrow 0 } \frac { 1 } { \Theta _ { ( 0 , 0 ) } ( \tau , \bar { \tau } ; m ) ^ { 4 } } \sim V _ { 8 } \times \frac { 1 } { \tau _ { 2 } ^ { 4 } } \frac { 1 } { | \eta ( \tau ) | ^ { 1 6 } } ~ ,
\frac { 1 } { \omega _ { \nu } ^ { A } + \omega _ { \mu } ^ { B } } = \frac { 2 } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \omega _ { \nu } ^ { A } \, \omega _ { \mu } ^ { B } } { \Big ( \left( \omega _ { \nu } ^ { A } \right) ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } \Big ) \Big ( \left( \omega _ { \mu } ^ { B } \right) ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } \Big ) } \, \mathrm { d } \omega \ , \ \ \ \ \ \omega _ { \nu } ^ { A } > 0 , \omega _ { \mu } ^ { B } > 0 ,
{ \frac { d \Gamma } { d m _ { X } } } \approx { \frac { 2 m _ { X } \Gamma ( B \rightarrow R l \nu ) } { \pi } } ~ { \frac { m _ { R } \Gamma _ { R } } { ( m _ { X } ^ { 2 } - m _ { R } ^ { 2 } ) ^ { 2 } + m _ { R } ^ { 2 } \Gamma _ { R } ^ { 2 } } } ,
S \simeq 2 \, \pi \, \sqrt { \frac { d } { 6 } \ \overline { { N } } } \left[ 1 - \frac { 3 d } { 4 } \, \frac { 1 } { \overline { { { \cal R } } } } \right] \simeq 2 \, \pi \left( \frac { d \, \alpha ^ { \prime } } { 6 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \, M \left[ 1 - \frac { 3 } { 4 } \, \frac { \ell _ { s } ^ { 2 } } { R ^ { 2 } } \right] \, .