harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \| J _ { 5 } \| _ { C ^ { \gamma } ( \mathbb { R } ^ { 2 } ) } } & { \leq C ( | \boldsymbol { X } _ { * } , \| \nabla _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \boldsymbol { X } \| _ { C ^ { 0 } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } , \| \mathcal { T } \| _ { C ^ { 2 } } ) \Big ( \varepsilon ( R ) \| \nabla _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } ( \rho _ { n } \boldsymbol { Y } ) \| _ { C ^ { \gamma } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } } \\ & { \quad + \| \nabla _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \boldsymbol { X } \| _ { C ^ { \gamma } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } \| \nabla _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } ( \rho _ { n } \boldsymbol { Y } ) \| _ { C ^ { 0 } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { B _ { v , e } \ = \ \left\{ \begin{array} { l l } { + \ell _ { e } } & { \mathrm { i f } \quad v \simeq 0 _ { e } \in [ 0 _ { e } , \ell _ { e } ] , } \\ { - \ell _ { e } } & { \mathrm { i f } \quad v \simeq \ell _ { e } \in [ 0 _ { e } , \ell _ { e } ] , } \\ { \ 0 } & { \mathrm { o t h e r w i s e . } } \end{array} \right. } \end{array}
\lambda ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } \left( \hat { \rho } _ { 1 , 1 } ^ { \prime } \pm \sqrt { \hat { \rho } _ { 1 , 1 } ^ { 2 } + 4 \sum _ { n = 2 } ^ { ( n _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } + 1 ) ^ { 2 } } \vert \hat { \rho } _ { 1 , n } ^ { \prime } \vert ^ { 2 } } \right) ,
\begin{array} { l } { { < ( ( \phi _ { \tau } , f _ { 1 } ) - E [ ( \phi _ { \tau } , f _ { 1 } ) ] ) ( ( \phi _ { \tau } , f _ { 2 } ) - E [ ( \phi _ { \tau } , f _ { 2 } ) ] ) . . . . } } \\ { { ( ( \phi _ { \tau } , f _ { 2 n } ) - E [ ( \phi _ { \tau } , f _ { 2 n } ) ] ) > = \hbar ^ { 2 n } \sum _ { p a i r s } \prod _ { ( j , k ) } \frac { 1 } { 2 i } ( f _ { j } , { \cal A } ^ { - 1 } f _ { k } ) } } \end{array}
( K ^ { 1 2 } ) _ { j i } = \kappa \left( \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { x } _ { j } ^ { 1 } } \\ { \mathbf { x } _ { j } ^ { 2 } } \end{array} \right] - \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { x } _ { i } ^ { 1 } } \\ { \mathbf { x } _ { i } ^ { 2 } } \end{array} \right] \right) = \kappa ( \mathbf { x } _ { j } ^ { 1 } - \mathbf { x } _ { i } ^ { 1 } ) \kappa ( \mathbf { x } _ { j } ^ { 2 } - \mathbf { x } _ { i } ^ { 2 } )
E _ { n } = \frac { 2 \pi } { \hat { v } } \int _ { 0 } ^ { \infty } r d r \left[ \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { 1 } { r } \frac { d \tilde { B } } { d r } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { d \phi } { d r } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { n - \hat { g } \tilde { B } } { r } \right) ^ { 2 } \phi ^ { 2 } + \hat { \lambda } ( \phi ^ { 2 } - \hat { v } ^ { 2 } ) ^ { 2 } \right] .
\begin{array} { r l r } & { } & { n ^ { - 1 } p ^ { - 3 / 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \nu _ { i } ^ { - 1 } ( \Gamma _ { j } U _ { i } ) ( \Gamma _ { \ell } U _ { i } ) } \\ & { = } & { n ^ { - 1 } p ^ { - 1 / 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \nu _ { i } ^ { - 1 } \Gamma _ { j } S ( U _ { i } ) S ( U _ { i } ) ^ { \top } \Gamma _ { \ell } ^ { \top } + O _ { p } ( \zeta _ { 1 } p ^ { - 7 / 6 } ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left. \left. \left. D \left( p _ { \widetilde { K } ^ { m } | M _ { { \cal A } } ^ { ( n ) } M ^ { ( n ) } = p _ { \overline { { K } } \, \overline { { Z } } } } \right| \right| p _ { V ^ { m } } \right| p _ { M _ { \cal A } ^ { ( n ) } M ^ { ( n ) } = p _ { \overline { { K } } \, \overline { { Z } } } } \right) } \\ & { : = \zeta ( \varphi ^ { ( n ) } , \varphi _ { \cal A } ^ { ( n ) } | p _ { \overline { { K } } \, \overline { { Z } } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { H } } & { = A } \\ { \tilde { g } } & { = \frac { B - \tilde { H } ^ { 2 } } { C - \bar { x } \tilde { H } } } \\ { \tilde { \mu } } & { = \bar { x } - \frac { \tilde { H } } { \tilde { g } } } \\ { \tilde { \sigma } ^ { 2 } } & { = \frac { B } { \tilde { g } ^ { 2 } } - 2 \frac { C } { \tilde { g } } + \overline { { x ^ { 2 } } } - \tilde { \mu } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { \textnormal { i d } , \textnormal { i d } } ( L ) } & { = | Q ^ { D } | L ^ { 3 } \int _ { Q _ { L } ^ { D } - Q _ { L } ^ { D } } \frac { h ( p _ { L } | w | ) ^ { 2 } } { | w | } \mathrm { d } w - L ^ { 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \biggr ( \prod _ { \ell \neq j } d _ { \ell } \biggr ) \int _ { Q _ { L } ^ { D } - Q _ { L } ^ { D } } \frac { h ( p _ { L } | w | ) ^ { 2 } | w _ { j } | } { | w | } \mathrm { d } w } \\ & { + \int _ { Q _ { L } ^ { D } - Q _ { L } ^ { D } } \frac { h ( p _ { L } | w | ) ^ { 2 } } { | w | } \biggr ( L \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } d _ { j } \prod _ { \ell \neq j } | w _ { \ell } | - \prod _ { j = 1 } ^ { 3 } | w _ { j } | \biggr ) \mathrm { d } w . } \end{array}
f ( x _ { 1 } , \dots , x _ { k } ; p _ { 1 } , \ldots , p _ { k } ) = { \frac { \Gamma ( \sum _ { i } x _ { i } + 1 ) } { \prod _ { i } \Gamma ( x _ { i } + 1 ) } } \prod _ { i = 1 } ^ { k } p _ { i } ^ { x _ { i } } .
P ( \nu _ { \mu } \to \nu _ { \mu } ) \simeq 1 - 4 A ( 1 - A ) \sin ^ { 2 } \Delta _ { \mathrm { L S N D } } - \sin ^ { 2 } 2 \theta _ { 2 3 } \sin ^ { 2 } \Delta _ { \mathrm { a t m } } \, ,
\begin{array} { r l } { y - \sin ( \frac { 1 2 \pi } { 2 2 } ) - a _ { x } ^ { 6 } - \frac { 1 } { 3 0 0 } } & { = \frac { a _ { y } ^ { 6 } - a _ { y } ^ { 1 } } { a _ { x } ^ { 6 } - a _ { x } ^ { 1 } } \left( x - \cos ( \frac { 1 2 \pi } { 2 2 } ) - a _ { x } ^ { 6 } \right) } \\ { y - \sin ( \frac { 4 \pi } { 2 2 } ) - a _ { y } ^ { 1 } - \frac { 1 } { 5 0 } } & { = \frac { \sin ( \frac { 4 \pi } { 2 2 } ) - \sin ( \frac { 2 \pi } { 2 2 } ) } { \cos ( \frac { 4 \pi } { 2 2 } ) - \cos ( \frac { 2 \pi } { 2 2 } ) } \left( x - \cos ( \frac { 4 \pi } { 2 2 } ) - a _ { x } ^ { 1 } \right) } \end{array}
\left| \mathcal { E } _ { \Omega ^ { * } } \left( F ^ { k l } ( \mathbf { q } _ { 1 } ) , \mathcal { K } _ { \mathbf { q } } \right) \right| \leqslant C \left\{ \begin{array} { l l } { N _ { \mathbf { k } } ^ { - 1 } } & { k \neq i , l \neq j } \\ { N _ { \mathbf { k } } ^ { - \frac 2 3 } } & { k = i , l \neq j \mathrm { ~ o r ~ } k \neq i , l = j } \\ { N _ { \mathbf { k } } ^ { - \frac 1 3 } } & { k = i , l = j } \end{array} \right. , \quad \forall i , j , a , b , \ \forall \mathbf { k } _ { i } , \mathbf { k } _ { j } , \mathbf { k } _ { a } \in \mathcal { K } .
\begin{array} { r l r } { W _ { i } ( x ) } & { = } & { q _ { i } \varphi ( x ) - \mathrm { P e } \frac { \pi R _ { 0 } ^ { 2 } } { L } \int _ { 0 } ^ { x } \frac { \beta _ { i } ( x ^ { \prime } ) } { \pi R ( x ^ { \prime } ) ^ { 2 } } d x ^ { \prime } , } \\ { c _ { i } ( x ) } & { = } & { \frac { \rho _ { i } ( x ) } { \rho _ { 0 } } \mathrm { e } ^ { W _ { i } ( x ) } , } \end{array}
\Delta g _ { \mathrm { 2 e l } } ^ { ( 2 ) } = \Delta g _ { \mathrm { 2 e l , l a d - W } } ^ { ( 2 ) } + \Delta g _ { \mathrm { 2 e l , l a d - S } } ^ { ( 2 ) } + \Delta g _ { \mathrm { 2 e l , c r - W } } ^ { ( 2 ) } + \Delta g _ { \mathrm { 2 e l , c r - S } } ^ { ( 2 ) } \, .
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } \boldsymbol { x } _ { p } } { \mathrm { d } t } } & { = \boldsymbol { u } _ { p } , } \\ { \frac { \mathrm { d } \boldsymbol { u } _ { p } } { \mathrm { d } t } } & { = \frac { f _ { 1 } } { S t } \left( \boldsymbol { u } - \boldsymbol { u } _ { p } \right) , } \\ { \frac { \mathrm { d } T _ { p } } { \mathrm { d } t } } & { = \frac { 2 c _ { r } } { 3 P r } \frac { f _ { 2 } } { S t } \left( T - T _ { p } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { J _ { 0 , 0 } ^ { 0 , 1 } ( h , K ^ { ( 0 , 1 ) } ) } \\ & { \leq \operatorname* { s u p } _ { r \geq 0 } \Big \| ( - \Delta + 1 + r ) ^ { - 1 / 2 } ( h ^ { - 1 } ( e ^ { \theta } \widehat { w } _ { 0 , 1 } ^ { ( I ) } ( g , \theta + h , \alpha ) - e ^ { \theta } \widehat { w } _ { 0 , 1 } ^ { ( I ) } ( g , \theta , \alpha ) ) - D _ { 0 , 1 } ^ { ( I ) } ( g , \theta , \alpha ) ) ( \tilde { K } ) } \\ & { \times ( - \Delta + 1 + r ) ^ { - 1 / 2 } \Big \| } \\ & { \le | g | ( 1 + | \alpha | ) \sqrt { 2 } N \| \mathfrak { D } _ { h } \tilde { \kappa } _ { \theta } \| _ { \infty } . } \end{array}
\mathrm { ~ A ~ A ~ E ~ } ( g ^ { b } ) = \frac { 1 } { 1 0 1 } \sum _ { \alpha = 0 } ^ { 1 0 0 } | D _ { V F } J _ { \theta } ( \alpha g ^ { b } ) - D _ { F D } J _ { \theta } ( \alpha g ^ { b } ) |
\mathbf { \tilde { S } } = \mathbf { \tilde { C } A } ^ { - 1 } \mathbf { \tilde { B } } = \begin{array} { r } { \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { C } } \\ { \mathbf { U ^ { \mathrm { T } } } } \end{array} \right] \mathbf { A } ^ { - 1 } \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { B } } & { \mathbf { U } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { C A } ^ { - 1 } \mathbf { B } } & { \mathbf { C A } ^ { - 1 } \mathbf { U } } \\ { \mathbf { U ^ { \mathrm { T } } A } ^ { - 1 } \mathbf { B } } & { \mathbf { U ^ { \mathrm { T } } A } ^ { - 1 } \mathbf { U } } \end{array} \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta \partial _ { y } \psi } & { { } = F ^ { \prime } ( \psi ) \partial _ { y } \psi , \qquad \mathrm { ~ i ~ n ~ } \mathsf { R } , } \\ { \partial _ { y } \psi } & { { } = \partial _ { y } ^ { 2 } \psi = 0 \qquad \quad \mathrm { ~ o ~ n ~ } \{ y = 1 + h _ { - } \} . } \end{array}
\begin{array} { r } { T _ { t } ^ { ( 0 ) } + \frac { w ^ { ( 0 ) } } { \sigma ^ { ( 0 ) } } T _ { s } ^ { ( 1 ) } - \frac { T _ { \bar { r } } ^ { ( 0 ) } } { \bar { r } \sigma ^ { ( 0 ) } } \int _ { 0 } ^ { \bar { r } } \varrho \left[ \left< w _ { s } ^ { ( 1 ) } \right> + \left< \dot { \mathbf { X } } _ { s } ^ { ( 0 ) } \cdot \hat { \pmb { \tau } } \right> \right] d \varrho } \\ { = \frac { \bar { \nu } } { \bar { r } \bar { \mu } } \left( \bar { r } T _ { \bar { r } } ^ { ( 0 ) } \right) _ { \bar { r } } \, . } \end{array}
H ( \mathbf { q } ) = \left( \begin{array} { c c } { H _ { 0 } ( \mathbf { q } ) } & { H _ { \mathrm { c } } } \\ { H _ { \mathrm { c } } ^ { \mathrm { T } } } & { H _ { 0 } ( \mathbf { q } ) } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l r } { g _ { x } ( u , t ) } & { { } = } & { u _ { 0 } + \sum _ { n = 1 } ^ { M } \left[ u _ { 2 n } \cos ( \omega _ { n } t ) + u _ { 2 n - 1 } \sin ( \omega _ { n } t ) \right] \, , } \\ { g _ { y } ( u , t ) } & { { } = } & { u _ { 2 M + 1 } + \sum _ { n = 1 } ^ { M } \left[ u _ { 2 M + 1 + 2 n } \cos ( \omega _ { n } t ) + u _ { 2 M + 2 n } \sin ( \omega _ { n } t ) \right] \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \gamma ^ { r } } & { { } = } & { \frac { 1 - e ^ { - \nu \frac { \Delta t } { 2 } } } { \nu \frac { \Delta t } { 2 } } } \\ { A ^ { r } } & { { } = } & { \frac { 1 } { \nu \frac { \Delta t } { 2 } } - \frac { e ^ { - \nu \frac { \Delta t } { 2 } } } { 1 - e ^ { - \nu \frac { \Delta t } { 2 } } } } \\ { \textrm { a n d } \quad B ^ { r } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 1 - e ^ { - \nu \frac { \Delta t } { 2 } } } - \frac { 1 } { \nu \frac { \Delta t } { 2 } } . } \end{array}
\mathcal { R } = \frac { 6 } { \pi } \, \xi ^ { - 1 } - \frac { 1 2 } { \pi } \, \xi ^ { - 3 } + \frac { 1 0 8 } { 5 \pi } \, \xi ^ { - 5 } - \frac { 2 4 0 } { 7 \pi } \, \xi ^ { - 7 } + \mathcal { O } \left( \xi ^ { - 9 } \right) .
\begin{array} { r l } { \sigma _ { \mathcal { G } } ^ { 2 } } & { { } \ll \frac { 3 - 2 \sqrt { 2 } } { 3 2 } \frac { m _ { \mathrm { ~ t ~ h ~ r ~ } } ^ { 4 } } { n _ { p } L ^ { 2 } } } \\ { \sigma _ { \mathcal { H } } ^ { 2 } } & { { } \ll \frac { 3 - 2 \sqrt { 2 } } { 3 2 } \frac { m _ { \mathrm { ~ t ~ h ~ r ~ } } ^ { 6 } } { n _ { p } L ^ { 2 } \lVert \boldsymbol { \mathcal { G } } \rVert ^ { 2 } } . } \end{array}
4 s V _ { \infty } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } A _ { n } \sin ( n \theta ) = { \frac { 1 } { 2 } } V _ { \infty } c C _ { l _ { \alpha } } \left[ \alpha _ { \infty } + \alpha _ { g e o } - \alpha _ { 0 } - \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { n A _ { n } \sin ( n \theta ) } { \sin ( \theta ) } } \right] \qquad ( 1 0 )
\frac { \mathrm { ~ N ~ u ~ m ~ b ~ e ~ r ~ o ~ f ~ w ~ a ~ y ~ s ~ o ~ f ~ a ~ c ~ h ~ i ~ e ~ v ~ i ~ n ~ g ~ o ~ d ~ d ~ } \, J } { \mathrm { ~ N ~ u ~ m ~ b ~ e ~ r ~ o ~ f ~ w ~ a ~ y ~ s ~ o ~ f ~ a ~ c ~ h ~ i ~ e ~ v ~ i ~ n ~ g ~ e ~ v ~ e ~ n ~ } \, J } = \frac { S } { ( S + 1 ) } \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ n ~ u ~ c ~ l ~ e ~ i ~ w ~ i ~ t ~ h ~ i ~ n ~ t ~ e ~ g ~ r ~ a ~ l ~ s ~ p ~ i ~ n ~ . ~ }
\begin{array} { r l } & { \mathfrak { I } _ { 0 } : = ( 0 , 0 , 0 ) , \quad \mathfrak { I } _ { n + 1 } : = \mathfrak { I } _ { n } - \Pi _ { n } T ( i _ { n } ) \Pi _ { n } \mathcal { F } _ { \omega } ( i _ { n } ) , \quad i _ { n } : = i _ { t r i v } + \mathfrak { I } _ { n } , \quad \widehat { \mathfrak { I } } _ { n + 1 } : = \mathfrak { I } _ { n + 1 } - \mathfrak { I } _ { n } , \quad \widehat { \mathfrak { I } } _ { 0 } : = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { p } } & { { } = { \frac { \partial G _ { 1 } } { \partial \mathbf { q } } } = \mathbf { Q } } \\ { \mathbf { P } } & { { } = - { \frac { \partial G _ { 1 } } { \partial \mathbf { Q } } } = - \mathbf { q } } \end{array}
\begin{array} { c } { { \displaystyle \widehat O _ { \pm } = \left( q ^ { \prime \, 2 } \frac { 2 s + 1 } { 2 s } - 1 \right) \left( \begin{array} { c c c c } { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 1 - b } } & { { \mp i ( 1 + b ) } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \pm i ( 1 - b ) } } & { { 1 + b } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 2 } } \end{array} \right) } } \\ { { \displaystyle \widehat O ^ { \alpha \beta } = \left( q ^ { \prime \, 2 } \frac { 2 s + 1 } { 2 s } - 1 \right) \left( \begin{array} { c c c c } { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { i ( 1 - b ) \epsilon ^ { \alpha \beta } } } & { { \displaystyle - \frac { ( 1 + b ) } { m } p ^ { \alpha \beta } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \displaystyle - \frac { ( 1 - b ) } { m } p ^ { \alpha \beta } } } & { { - i ( 1 + b ) \epsilon ^ { \alpha \beta } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { - 2 i b \epsilon ^ { \alpha \beta } } } \end{array} \right) \, . } } \end{array}
\mathcal { P } _ { K ( T ) } ^ { \rho , \zeta } : \mathcal { N } _ { K ( T ) } ^ { \rho , \zeta } : = \frac { \mathcal { M } _ { K ( T ) } ^ { \rho , \zeta } } { \mathrm { M o n } ^ { 2 } ( T , \rho ) } \to \frac { \Omega _ { T } ^ { \rho , \zeta } \setminus \left( \mathcal { H } _ { T } \cup \mathcal { H } _ { T } ^ { \prime } \right) } { \Gamma _ { T } ^ { \rho , \zeta } }
\begin{array} { r l r } { \mathbb { N } ^ { + } = } & { { } } & { ( i N _ { 1 0 } ^ { i + } + N _ { 1 0 } ^ { + } + i N _ { 1 } ^ { i + } \textbf { i } _ { \{ N 1 i + \} } + N _ { 1 } ^ { + } \textbf { i } _ { \{ N 1 + \} } ) } \end{array}
\left| \sqrt { \frac { g _ { 1 } ( x ) + r _ { 1 } ( x ) } { g _ { 2 } ( x ) + r _ { 2 } ( x ) } } - \sqrt { \frac { g _ { 1 } ( x ) } { g _ { 2 } ( x ) } } \right| \leq \operatorname* { m a x } \left\{ \sqrt { \frac { | g _ { 1 } ( x ) | + | r _ { 1 } ( x ) | } { | g _ { 2 } ( x ) | - | r _ { 2 } ( x ) | } } - \sqrt { \frac { | g _ { 1 } ( x ) | } { | g _ { 2 } ( x ) | } } , \sqrt { \frac { g _ { 1 } ( x ) } { g _ { 2 } ( x ) } } - \sqrt { \frac { | g _ { 1 } ( x ) | - | r _ { 1 } ( x ) | } { | g _ { 2 } ( x ) | + | r _ { 2 } ( x ) | } } \right\} .
\begin{array} { r l } { \sum _ { j } \phi ( r - j ) = 1 , } & { \quad ( \romannumeral 1 ) } \\ { \sum _ { j \mathrm { ~ e v e n ~ } } \phi ( r - j ) = \sum _ { j \mathrm { ~ o d d ~ } } \phi ( r - j ) = \frac { 1 } { 2 } , \quad n \mathrm { ~ e v e n } , } & { \quad ( \romannumeral 2 ) } \\ { \sum _ { j } ( r - j ) ^ { \alpha } \phi ( r - j ) = 0 , \quad \alpha = 1 , \ldots , n , } & { \quad ( \romannumeral 3 ) } \\ { \sum _ { j } \phi ^ { 2 } ( r - j ) = C , } & { \quad ( \romannumeral 4 ) } \end{array}
\frac { 1 } { 2 } G _ { \mu ( \nu } \epsilon _ { ~ , \rho ) } ^ { \mu } + \frac { 1 } { 2 } G _ { \nu \rho , \mu } \epsilon ^ { \mu } = \frac { 1 } { 2 } G _ { \mu ( \nu } \nabla _ { \rho ) } \epsilon ^ { \mu } ,
{ \begin{array} { r l } { { \hat { \mathbf { x } } } } & { = \cos \varphi { \hat { \boldsymbol { \rho } } } - \sin \varphi { \hat { \boldsymbol { \varphi } } } } \\ { { \hat { \mathbf { y } } } } & { = \sin \varphi { \hat { \boldsymbol { \rho } } } + \cos \varphi { \hat { \boldsymbol { \varphi } } } } \\ { { \hat { \mathbf { z } } } } & { = { \hat { \mathbf { z } } } } \end{array} }
\ln { \cal Z } _ { F } = 4 V ( 2 m \pi / h ^ { 2 } \beta ) ^ { 3 / 2 } \left[ \frac { z } { 2 } - \alpha ( q ) \frac { z ^ { 2 } } { 2 } + \gamma ( q ) \frac { z ^ { 3 } } { 3 ! } + . . . \right] ,
\begin{array} { r l } { | } & { O ^ { 2 } ( { \boldsymbol { \theta } } \! + \! { \boldsymbol { h } } ) \! - \! O ^ { 2 } ( { \boldsymbol { \theta } } ) | \! \leq \! C ( | \boldsymbol { X } | _ { * } , \| \nabla _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \boldsymbol { X } \| _ { C ^ { 0 } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } ) \big ( \| \tilde { Z } \| _ { C ^ { 0 } ( V _ { 5 R } ) } } \\ & { \quad + \varepsilon ( R ) \| \tilde { Z } \| _ { C ^ { \gamma } ( V _ { 5 R } ) } \big ) | { \boldsymbol { h } } | ^ { \gamma } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \zeta ( \psi \circ \tau _ { T } ) } & { = \operatorname* { i n f } \left\{ s > 0 : \psi ( T - s ) \in \partial D \right\} \wedge T } \\ & { = \operatorname* { i n f } \left\{ T - s > 0 : \psi ( s ) \in \partial D \right\} \wedge T } \\ & { = T - \operatorname* { s u p } \left\{ s \in ( 0 , T ) : \psi ( s ) \in \partial D \right\} } \end{array}
m _ { Q } ( \mu ) - m _ { Q } ( \mu ^ { \prime } ) = \int _ { \mu ^ { 2 } } ^ { \mu ^ { 2 } } \, \frac { \alpha _ { s } ( k ^ { 2 } ) } { \pi } \, F _ { m } ( k ^ { 2 } ) \: d k ^ { 2 }
E _ { \mathrm { { F } } } ( T ) = E _ { \mathrm { { F } } } ( T = 0 ) \left[ 1 - { \frac { \pi ^ { 2 } } { 1 2 } } \left( { \frac { T } { T _ { \mathrm { { F } } } } } \right) ^ { 2 } - { \frac { \pi ^ { 4 } } { 8 0 } } \left( { \frac { T } { T _ { \mathrm { { F } } } } } \right) ^ { 4 } + \cdots \right] ,
R = \sum _ { n = 1 } ^ { N } x _ { n } ^ { 2 } ( S _ { n } ^ { 2 } - T _ { n } ) = \sum _ { \Omega ( n , m , m ^ { \prime } ) } \frac { x _ { n } ^ { 2 } } { ( x _ { n } ^ { 2 } - x _ { m } ^ { 2 } ) ( x _ { n } ^ { 2 } - x _ { m ^ { \prime } } ^ { 2 } ) } \ ,
\psi ( \Delta \mathrm { I S I } _ { j } ^ { ( 1 ) } ) = \left\{ \begin{array} { l } { \frac { \pi } { 2 ~ T _ { G } } ~ \Delta \mathrm { I S I } _ { j } ^ { ( 1 ) } ~ ~ ~ ~ ~ \mathrm { f o r } ~ - { T _ { G } } < \Delta \mathrm { I S I } _ { j } ^ { ( 1 ) } < 0 , } \\ { \frac { \pi } { T _ { G } } ~ \Delta \mathrm { I S I } _ { j } ^ { ( 1 ) } ~ ~ ~ ~ ~ \mathrm { f o r } ~ 0 < \Delta \mathrm { I S I } _ { j } ^ { ( 1 ) } < { \frac { T _ { G } } { 2 } } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { { \mathrm { P P } } \equiv \log f _ { \mathrm { S _ { 2 } } } ^ { \mathrm { P P } } = } & { - 1 6 0 7 3 \left( \frac { T } { 1 \mathrm { ~ K } } \right) ^ { - 1 } + 1 5 . 7 4 } \\ & { + 0 . 0 6 \left[ \left( \frac { P } { 1 \mathrm { ~ b a r } } \right) - 1 \right] \left( \frac { T } { 1 \mathrm { ~ K } } \right) ^ { - 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { S h } _ { v } \colon \Gamma _ { c } ( M \times \mathord { \mathbb { R } } ^ { n } ; \mathfrak { S } _ { g } ) } & { \rightarrow \Gamma _ { c } ( M \times \mathord { \mathbb { R } } ^ { n } ; \mathfrak { S } _ { \mathrm { S h } _ { v } g } ) , } \\ { \mathrm { S h } _ { v } ( \sigma ) ( m , x ) } & { = \sigma ( m , x - v ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { 0 } ^ { \infty } d a \mathrm { e } ^ { - a } a ^ { m } L _ { n } ^ { m } ( a ) L _ { n ^ { \prime } } ^ { m } ( a ) = \frac { ( n + m ) ! } { n ! } \delta _ { n , n ^ { \prime } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla s _ { \delta } ( z ) } & { = \frac { 1 } { 1 - \lambda } \int _ { \mathbb R ^ { d } } f _ { \delta } ( ( 1 - \lambda ) u ) \Sigma ^ { - 1 } \left( u - \frac { \lambda } { 1 - \lambda } z - \mu \right) p \left( u - \frac { \lambda } { 1 - \lambda } z \right) \operatorname { d } \! u } \\ & { = \frac { 1 } { 1 - \lambda } \int _ { \mathbb R ^ { d } } f _ { \delta } ( ( 1 - \lambda ) x + \lambda z ) \Sigma ^ { - 1 } ( x - \mu ) p ( x ) \operatorname { d } \! x \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { \mathrm { d C o M } } ( \mathbf { r } _ { p } ) = } & { \nabla _ { p } \cdot \left( I _ { \mathrm { C o M } x } ( \mathbf { r } _ { p } ) \mathbf { e } _ { 0 x } + I _ { \mathrm { C o M } y } ( \mathbf { r } _ { p } ) \mathbf { e } _ { 0 y } \right) } \\ { = } & { \nabla _ { p } \cdot \left( I _ { \mathrm { C o M } x } ( \mathbf { e } _ { p x } \cos \theta + \mathbf { e } _ { p y } \sin \theta ) + I _ { \mathrm { C o M } y } ( - \mathbf { e } _ { p x } \sin \theta + \mathbf { e } _ { p y } \cos \theta ) \right) } \\ { = } & { \left( \cos \theta \frac { \partial } { \partial x _ { p } } + \sin \theta \frac { \partial } { \partial y _ { p } } \right) I _ { \mathrm { C o M x } } ( \mathbf { r } _ { p } ) + \left( - \sin \theta \frac { \partial } { \partial x _ { p } } + \cos \theta \frac { \partial } { \partial y _ { p } } \right) I _ { \mathrm { C o M y } } ( \mathbf { r } _ { p } ) } \\ { = } & { \left( \frac { \partial x _ { p } } { \partial x _ { 0 } } \frac { \partial } { \partial x _ { p } } + \frac { \partial y _ { p } } { \partial x _ { 0 } } \frac { \partial } { \partial y _ { p } } \right) I _ { \mathrm { C o M } x } ( \mathbf { r } _ { p } ) + \left( \frac { \partial x _ { p } } { \partial y _ { 0 } } \frac { \partial } { \partial x _ { p } } + \frac { \partial y _ { p } } { \partial y _ { 0 } } \frac { \partial } { \partial y _ { p } } \right) I _ { \mathrm { C o M } y } ( \mathbf { r } _ { p } ) } \\ { = } & { \frac { \partial } { \partial x _ { 0 } } I _ { \mathrm { C o M } x } ( \mathbf { r } _ { p } ) + \frac { \partial } { \partial y _ { 0 } } I _ { \mathrm { C o M } y } ( \mathbf { r } _ { p } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { x ( t ) = \Big \{ ( 1 - \lambda _ { 1 } ) ^ { t } ( \eta ^ { T } x ( 0 ) ) + \frac { 1 } { \lambda _ { 1 } } [ 1 - ( 1 - \lambda _ { 1 } ) ^ { t } ] ( \eta ^ { T } \bar { R } \mathbf { z } ^ { s } ) \Big \} \eta } \\ & { + \Big \{ ( 1 - \lambda _ { 2 } ) ^ { t } ( \xi ^ { T } x ( 0 ) ) + \frac { 1 } { \lambda _ { 2 } } [ 1 - ( 1 - \lambda _ { 2 } ) ^ { t } ] ( \xi ^ { T } \bar { R } \mathbf { z } ^ { s } ) \Big \} \xi } \\ & { + \sum _ { i = 3 } ^ { r _ { 0 } n } \Big \{ ( 1 - \lambda _ { 3 } ) ^ { t } ( ( w ^ { ( i ) } ) ^ { T } x ( 0 ) ) + \frac { 1 } { \lambda _ { 3 } } [ 1 - ( 1 - \lambda _ { 3 } ) ^ { t } ] } \\ & { ( ( w ^ { ( i ) } ) ^ { T } \bar { R } \mathbf { z } ^ { s } ) \Big \} w ^ { ( i ) } . } \end{array}
+ \frac { 1 } { 3 ! } g _ { 0 } \left[ \left( \frac { \delta W } { \delta j ( x ) } \right) ^ { 3 } + 3 \frac { \delta W } { \delta j ( x ) } \, \frac { \delta ^ { 2 } W } { \delta j ( x ) ^ { 2 } } + \frac { \delta ^ { 3 } W } { \delta j ( x ) ^ { 3 } } \right] - j ( x ) = 0 \, .
\boldsymbol \psi ^ { \prime } = \left[ { \frac { R _ { D } ^ { 2 } d ^ { \prime } ( d ^ { \prime } + R _ { A ^ { \prime } } ) } { \lambda ^ { 2 } ( R _ { D } - d ^ { \prime } ) ( d ^ { \prime } - R _ { D } + R _ { A ^ { \prime } } ) } } \right] ^ { 1 / 4 } \boldsymbol \Psi ^ { \prime } = \left[ { \frac { R _ { D } ^ { 2 } d ^ { \prime } q ^ { \prime } } { \lambda ^ { 2 } ( R _ { D } - d ^ { \prime } ) ( q ^ { \prime } - R _ { D } ) } } \right] ^ { 1 / 4 } \boldsymbol \Psi ^ { \prime } \, ,
\begin{array} { r l } { \partial _ { n _ { 2 } } \mathsf { A C V } ^ { 2 } \hat { P } _ { \delta } ^ { - 1 } ( N - n _ { 2 } , n _ { 2 } ) \Big | _ { N = n _ { 1 } ^ { \mathrm { o p t } } + n _ { 2 } ^ { \mathrm { o p t } } , \, n _ { 2 } = n _ { 2 } ^ { \mathrm { o p t } } } } & { { } = 0 , } \\ { \mathsf { A C V } ^ { 2 } \hat { P } _ { \delta } ^ { - 1 } ( n _ { 1 } ^ { \mathrm { o p t } } , n _ { 2 } ^ { \mathrm { o p t } } ) } & { { } = \mathsf { a c v } _ { 0 } ^ { 2 } . } \end{array}
M _ { 2 \gamma \to \gamma } = - \frac { 4 } { 1 5 \sqrt { \pi } } \biggl ( \frac { e ^ { 4 } } { 3 m ^ { 4 } } \sin \theta \left[ \frac { 7 } { 4 } ( \phi _ { 1 } ^ { 2 } + \phi _ { 2 } ^ { 2 } ) - \phi _ { 1 2 } ^ { 2 } \right] + \frac { Q g ( Q ^ { 2 } - g ^ { 2 } ) } { 8 M ^ { 4 } } \cos \theta \, \phi _ { 1 2 } ^ { 2 } \biggr ) \omega \omega _ { 1 } \omega _ { 2 } H \cos 2 \beta