harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { H _ { 2 } ( \Bar { y } , \Bar { z } ) } & { \equiv \frac { \int _ { | \bar { y } | } ^ { \infty } \mathrm { d } x \left( x ^ { 2 } - \bar { y } ^ { 2 } \right) \left( x ^ { 2 } - 5 / 2 \right) k ( x , \bar { y } , \bar { z } ) } { \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } x \: 0 . 5 x ^ { 3 } \left( x ^ { 2 } - 5 / 2 \right) e ^ { - x ^ { 2 } } [ \Xi ( x ) - \Psi ( x ) ] } } \\ & { = - 2 2 . 6 3 \int _ { | \bar { y } | } ^ { \infty } \mathrm { d } x \left( x ^ { 2 } - \bar { y } ^ { 2 } \right) \left( x ^ { 2 } - \frac { 5 } { 2 } \right) k ( x , \bar { y } , \bar { z } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \| e \| _ { L ^ { 2 } ( I ) } ^ { 2 } \le C \operatorname* { m a x } _ { 1 \le n \le N } \Big \{ \Big ( \displaystyle \frac { k _ { n } } { r _ { n } } \Big ) ^ { 4 } \Big \} \| e \| _ { H ^ { 2 } ( I ) } ^ { 2 } + C \displaystyle \int _ { 0 } ^ { T } e ^ { 4 } d t + C \displaystyle \int _ { 0 } ^ { T } ( e ^ { \prime } ) ^ { 4 } d t . } \end{array}
p ( U ) = \int _ { \varphi ( x , 0 ) = 1 } \delta \left( U - \vert \varphi ( 0 , L ) \vert ^ { 2 } \right) \, \mathrm { e } ^ { \frac { i } { 2 } \, \left( \left\langle \tilde { \varphi } \left\vert D _ { z , \, x ^ { 2 } } - g \vert S \vert ^ { 2 } \right\vert \varphi \right\rangle + c . \, c . \right) - \left\langle S \left\vert T _ { C } ^ { - 1 } \right\vert S \right\rangle } \, \mathscr { D } ^ { 2 } \varphi \, \mathscr { D } ^ { 2 } \tilde { \varphi } \, \mathscr { D } ^ { 2 } S ,
\begin{array} { r l } { \nabla \cdot \langle \boldsymbol { u } \rangle _ { m } } & { { } = 0 , } \\ { \rho _ { f } \nabla \cdot \left( \epsilon _ { f m } ^ { - 1 } \langle \boldsymbol { u } \rangle _ { m } \langle \boldsymbol { u } \rangle _ { m } \right) } & { { } = - \nabla \langle p \rangle _ { m } + \mu _ { f } \nabla ^ { 2 } \langle \boldsymbol { u } \rangle _ { m } + \boldsymbol { f } _ { \mathrm { ~ c ~ l ~ o ~ s ~ u ~ r ~ e ~ } } , } \end{array}
g _ { i , j } ( q _ { 1 } , \dots , q _ { n } , t ) = \frac { \partial { \bf X } ^ { ( \mathsf { M } ) } } { \partial q _ { i } } \cdot \frac { \partial { \bf X } } { \partial q _ { j } } , \; \; b _ { i } ( q _ { 1 } , \dots , q _ { n } , t ) = \frac { \partial { \bf X } ^ { ( \mathsf { M } ) } } { \partial q _ { i } } \cdot \frac { \partial { \bf X } } { \partial t } , \; \; c ( q _ { 1 } , \dots , q _ { n } , t ) = \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial { \bf X } ^ { ( \mathsf { M } ) } } { \partial t } \cdot \frac { \partial { \bf X } } { \partial t }
\begin{array} { r l r } { \mathrm { ~ I ~ m ~ } [ G ( \omega ) ] } & { { } = } & { \frac { c \pi } { 3 } \sum \frac { 1 } { \Omega _ { 0 n } } ( R _ { 0 n } \delta ( \omega - \Omega _ { 0 n } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \vec { k } _ { \pm } \cdot \vec { r } \right) \big | _ { z = 0 } = \left( - \vec { k } _ { \pm } \cdot \vec { r } \right) \big | _ { z = 0 } = \left( \vec { k } _ { \pm } ^ { \prime } \cdot \vec { r } \right) \big | _ { z = 0 } \, , } \\ { \left( - \vec { k } _ { \pm } ^ { \prime } \cdot \vec { r } \right) \big | _ { z = 0 } = \left( \vec { k } _ { \pm } ^ { \prime } \cdot \vec { r } \right) \big | _ { z = 0 } = \left( - \vec { k } _ { \pm } \cdot \vec { r } \right) \big | _ { z = 0 } \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { \omega ^ { 2 } - c _ { S } ^ { 2 } k ^ { ' 2 } - N _ { S } ^ { 2 } + \frac { N ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } } c _ { S } ^ { 2 } k ^ { ' 2 } s i n ^ { 2 } \theta = } \\ { = \frac { - i } { \omega \tau _ { V } } \left( \omega ^ { 2 } - c _ { T } ^ { 2 } k ^ { ' 2 } - N _ { S Q } ^ { 2 } \right) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { n , P } ( x ) - H _ { P } ( x ) } & { \leq H _ { n , P } ( x _ { j } ) - H _ { P } ( x _ { j - 1 } ) \leq H _ { n , P } ( x _ { j } ) - H _ { P } ( x _ { j } ) + \varepsilon } \\ { H _ { n , P } ( x ) - H _ { P } ( x ) } & { \geq H _ { n , P } ( x _ { j - 1 } ) - H _ { P } ( x _ { j } ) \geq H _ { n , P } ( x _ { j - 1 } ) - H _ { P } ( x _ { j - 1 } ) - \varepsilon , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { - a \Delta _ { g } w + ( 2 - p ) \lambda w + \frac { ( p - 1 ) a } { p - 2 } \cdot \frac { \lvert \nabla w \rvert ^ { 2 } } { w } = F - \delta + \frac { ( p - 1 ) a } { p - 2 } \cdot \frac { \lvert \nabla w \rvert ^ { 2 } } { w } } \\ { \leqslant } & { ( 2 - p ) S _ { 3 } ; } \\ & { \frac { \partial w } { \partial \nu } - 2 h _ { g } w = \delta ^ { \prime } - 2 h _ { g } w \leqslant - 2 \cdot \left( c H _ { 3 } \right) w ^ { \frac { 1 } { 2 } } . } \end{array}
\left[ l _ { \dot { J } } ^ { \dot { I } } , r _ { \dot { L } } ^ { \dot { K } } \right] = \sum _ { \begin{array} { l } { { \dot { J } _ { 1 } \dot { J } _ { 2 } = \dot { J } } } \\ { { \dot { K } _ { 1 } \dot { K } _ { 2 } = \dot { K } } } \end{array} } \delta _ { \dot { J } _ { 2 } } ^ { \dot { K } _ { 1 } } f _ { \dot { J } _ { 1 } \dot { L } } ^ { \dot { I } \dot { K } _ { 2 } } - \sum _ { \begin{array} { l } { { \dot { I } _ { 1 } \dot { I } _ { 2 } = \dot { I } } } \\ { { \dot { L } _ { 1 } \dot { L } _ { 2 } = \dot { L } } } \end{array} } \delta _ { \dot { L } _ { 1 } } ^ { \dot { I } _ { 2 } } f _ { \dot { J } \dot { L } _ { 2 } } ^ { \dot { I } _ { 1 } \dot { K } } .
d \Omega _ { D } = \frac { 1 } { 6 } d \bar { \theta } \tau _ { 3 } ^ { \prime } \tau _ { 1 } ^ { \prime } \psi ^ { 3 } d \theta + d \bar { \theta } \tau _ { 1 } ^ { \prime } \psi d \theta \wedge \tilde { \cal F } ^ { \prime } ,
\delta Z ( \tau ) = 3 2 \frac { \epsilon ^ { 4 } } { \mu } ( \alpha _ { 2 } + \alpha _ { 3 } ) \bigg ( \frac { 7 } { 4 0 } \sec ^ { 5 } ( \tau ) + \frac 1 { 6 0 } \sec ^ { 3 } ( \tau ) + \frac 1 { 1 5 } \sec ( \tau ) - \frac { 3 1 } { 1 2 0 } \cos ( \tau ) - \frac { \tau } { 8 } \sin ( \tau ) \bigg ) .
\begin{array} { r l } { \mu ^ { ( n ) } ( t ; k \omega ) } & { { } = \int _ { - ( k + 1 ) \omega } ^ { - ( k - 1 ) \omega } \tilde { \mu } ^ { ( n ) } ( \omega ^ { \prime } ) \mathrm { ~ e ~ } ^ { - \mathrm { ~ i ~ } \omega ^ { \prime } t } \mathrm { ~ d ~ } \omega ^ { \prime } } \end{array}
\tilde { \Gamma } ( p , q , Q _ { \| } , { \bf R } ) = \int { \frac { d { \bf Q } } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } } \, e ^ { i { \bf Q } \cdot { \bf R } } \, \Gamma ( p , q , Q _ { \| } , { \bf Q } ) ,
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , T ] } { \mathbb E } \| u ( t ) \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } + { \mathbb E } \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \mathbb { T } ^ { d } } | \nabla u | ^ { 2 } \, d x d t } & { \leq N _ { 0 } \Big ( 1 + { \mathbb E } \| u _ { 0 } \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } \Big ) } \\ { { \mathbb E } \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , T ) } \| u ( t ) \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 \lambda } + { \mathbb E } \Big | \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \mathbb { T } ^ { d } } | \nabla u | ^ { 2 } \, d x d t \Big | ^ { \lambda } } & { \leq N _ { 0 , \lambda } \Big ( 1 + { \mathbb E } \| u _ { 0 } \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 \lambda } \Big ) . } \end{array}
p \left( m _ { i } , t _ { i } , \vec { x } _ { i } \vert { \cal H } _ { i } \right) = \beta e ^ { - \beta ( m _ { i } - m _ { L } ) } \Lambda ( t _ { i } , \vec { x } _ { i } ) \Phi \left( m _ { i } - M _ { T } \left( t _ { i } , \vec { x } _ { i } , { \cal H } _ { i } \right) \right) \Phi \left( m _ { i } - M _ { R } \left( \vec { x } _ { i } \right) \right) ,
v = \operatorname* { l i m } _ { \nu \rightarrow 0 } \frac { \lambda } { \nu } = \frac { \big [ \oint _ { 1 } + \oint _ { \frac { 1 } { \alpha } } \big ] \frac { d z } { 2 \pi i } \frac { 1 } { z ^ { 2 } } Q ^ { ( 0 ) } ( z ) } { \big [ \oint _ { 1 } + \oint _ { \frac { 1 } { \alpha } } \big ] \frac { d z } { 2 \pi i } \frac { 1 } { z } Q ^ { ( 0 ) } ( z ) }
\delta _ { 0 } : f \rightarrow \left( \begin{array} { c } { { - z f } } \\ { { 2 \left( \frac { \partial } { \partial \bar { s } } + \frac { 1 } { 2 } \chi \right) f } } \end{array} \right) , \ \ \delta _ { 1 } : \left( \begin{array} { c } { { g _ { 0 } } } \\ { { g _ { 1 } } } \end{array} \right) \rightarrow \left( - 2 \left( \frac { \partial } { \partial \bar { s } } + \frac { 1 } { 2 } \chi \right) g _ { 0 } - z g _ { 1 } \right) .
\begin{array} { r l r } { k _ { F G R } } & { { } = } & { \frac { 2 \pi } { \hbar } \sum _ { i \in S _ { i } } p _ { i } \int d \xi _ { f } \ \left| \langle \psi _ { f } | \hat { H } _ { c } | \psi _ { i } \rangle \right| ^ { 2 } w _ { f } ( E _ { i } , \xi _ { f } ) } \end{array}
A ^ { \mathrm { T } } A = { \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 4 } \\ { 2 } & { 5 } \\ { 3 } & { 6 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l l l } { 1 } & { 2 } & { 3 } \\ { 4 } & { 5 } & { 6 } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l l } { 1 7 } & { 2 2 } & { 2 7 } \\ { 2 2 } & { 2 9 } & { 3 6 } \\ { 2 7 } & { 3 6 } & { 4 5 } \end{array} \right] }
\left< { \cal O } \right> _ { \mathrm { m o n } } = \prod _ { n = 0 } ^ { \cal N } \int d ^ { 3 } z _ { n } \sum _ { i _ { n } = \pm 1 , \ldots , \pm \frac { N ( N - 1 ) } { 2 } } ^ { } { \cal O } .
\begin{array} { r l r l } { { 3 } \mathbf { C } _ { 1 } : = } & { { } ~ \mathbf { C } _ { 1 , p } \qquad } & { } & { { } \mathrm { ~ i ~ n ~ } \quad \Omega ^ { P } , } \\ { \mathbf { C } _ { 1 } : = } & { { } ~ \mathbf { C } _ { 1 , w } \qquad } & { } & { { } \mathrm { ~ i ~ n ~ } \quad \Omega ^ { W } , } \\ { \mathbf { C } _ { 2 } : = } & { { } ~ \mathbf { C } _ { 2 , p } \qquad } & { } & { { } \mathrm { ~ i ~ n ~ } \quad \Omega ^ { P } , } \\ { \mathbf { C } _ { 2 } : = } & { { } ~ \mathbf { C } _ { 2 , w } \qquad } & { } & { { } \mathrm { ~ i ~ n ~ } \quad \Omega ^ { W } ; } \end{array}
\left( S _ { \lambda ( k ) , \varepsilon } ( t , x ) , E _ { \lambda ( k ) , \varepsilon } ( t , x ) , I _ { \lambda ( k ) , \varepsilon } ( t , x ) , R _ { \lambda ( k ) , \varepsilon } ( t , x ) \right) \rightarrow \bigl ( S ^ { * } ( t ) , E ^ { * } ( t ) , I ^ { * } ( t ) , R ^ { * } ( t ) \bigr ) \quad ( k \rightarrow \infty , \varepsilon \rightarrow 0 ) .
\begin{array} { r l r l } { I _ { c } } & { = \tilde { q } \sum _ { p } \int \displaylimits _ { 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { 2 \pi } \mathbf v _ { p } ( \mathbf k ) ( \vartheta _ { 1 } ( \mathbf k ) - \vartheta _ { 2 } ( \mathbf k ) ) \mathcal { T } _ { p } ( \mathbf k ) \textrm { d } \mathbf k , \quad } & { \Rightarrow \quad } & { I _ { c } = \frac { \tilde { q } } { h } \sum _ { p } \int \displaylimits _ { \epsilon ( 0 ) } ^ { \infty } ( \vartheta _ { 1 } ( \epsilon ) - \vartheta _ { 2 } ( \epsilon ) ) \mathcal { T } _ { p } ( \epsilon ) \textrm { d } \epsilon } \\ { I _ { h } } & { = \sum _ { p } \int \displaylimits _ { 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { 2 \pi } \epsilon _ { p } ( \mathbf k ) \mathbf v _ { p } ( \mathbf k ) ( \vartheta _ { 1 } ( \mathbf k ) - \vartheta _ { 2 } ( \mathbf k ) ) \mathcal { T } _ { p } ( \mathbf k ) \textrm { d } \mathbf k , \quad } & { \Rightarrow \quad } & { I _ { h } = \frac { 1 } { h } \sum _ { p } \int \displaylimits _ { \epsilon ( 0 ) } ^ { \infty } \epsilon ( \vartheta _ { 1 } ( \epsilon ) - \vartheta _ { 2 } ( \epsilon ) ) \mathcal { T } _ { p } ( \epsilon ) \textrm { d } \epsilon } \end{array}
\Gamma _ { \mathrm { c o l } } ^ { \mathrm { c o n f } } + \Gamma _ { t } ^ { \mathrm { c o n f } } = - ( \bar { \Gamma } _ { \mathrm { c o l } } ^ { \mathrm { c o n f } } + \bar { \Gamma } _ { t } ^ { \mathrm { c o n f } } + \bar { \Gamma } _ { \mathrm { h e a t } } ^ { \mathrm { c o n f } } + \bar { \Gamma } _ { \mathrm { n e u t } } ^ { \mathrm { c o n f } } ) .
{ \left( \begin{array} { l } { \partial _ { t } u } \\ { \partial _ { t } v } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l } { D _ { u } } & { 0 } \\ { 0 } & { D _ { v } } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { \partial _ { x x } u } \\ { \partial _ { x x } v } \end{array} \right) } + { \left( \begin{array} { l } { F ( u , v ) } \\ { G ( u , v ) } \end{array} \right) }
{ \begin{array} { r l } { \int { \frac { d x } { a \cos x + b \sin x + c } } } & { = \int { \frac { 2 \, d t } { a ( 1 - t ^ { 2 } ) + 2 b t + c ( t ^ { 2 } + 1 ) } } } \\ & { = \int { \frac { 2 \, d t } { ( c - a ) t ^ { 2 } + 2 b t + a + c } } } \\ & { = { \frac { 2 } { \sqrt { c ^ { 2 } - ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } ) } } } \arctan \left( { \frac { ( c - a ) \tan { \frac { x } { 2 } } + b } { \sqrt { c ^ { 2 } - ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } ) } } } \right) + C } \end{array} }
\sqrt { n } \boldsymbol { m } ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } ) = \sqrt { n } \boldsymbol { m } ( \boldsymbol { \theta } _ { n } ) + \boldsymbol { M } ^ { T } ( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } ) \sqrt { n } ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } - \boldsymbol { \theta } _ { n } ) + o ( \sqrt { n } \left\Vert \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } - \boldsymbol { \theta } _ { n } \right\Vert ^ { 2 } \boldsymbol { 1 } _ { r } ) ,
\begin{array} { r l r } { \frac { 1 } { r } \partial _ { r } \Psi _ { n } ^ { m } } & { = } & { \frac { 1 } { w _ { 0 } } \sqrt { \frac { 2 } { \pi } \frac { n ! } { ( n + m ) ! } } a ^ { m / 2 } \mathrm { e } ^ { - a / 2 } \mathrm { e } ^ { i m \phi } \mathrm { e } ^ { i k z } } \\ & { } & { \cdot \frac { 2 } { w _ { 0 } ^ { 2 } } \left[ - 2 L _ { n } ^ { m + 1 } + L _ { n } ^ { m } + \frac { m } { a } L _ { n } ^ { m } \right] , } \end{array}
\Gamma = \left( \begin{array} { c } { { e ^ { \theta _ { 2 } ^ { - 1 } B _ { 2 } \bar { z } _ { 2 } - \theta _ { 1 } ^ { - 1 } B _ { 1 } ^ { \dag } z _ { 1 } } | 0 , 0 \rangle } } \\ { { 0 } } \end{array} \right) W ^ { - 1 / 2 } ,
\mathcal { E } _ { \mathrm { n o n } } ^ { ( 2 ) } : = \frac { 1 } { 9 } \left( \mathcal { E } _ { \mathrm { n o n } , \mathrm { T L } } ^ { ( 2 ) } + \mathcal { E } _ { \mathrm { n o n } , \mathrm { T C } } ^ { ( 2 ) } + \mathcal { E } _ { \mathrm { n o n } , \mathrm { T R } } ^ { ( 2 ) } + \mathcal { E } _ { \mathrm { n o n } , \mathrm { M L } } ^ { ( 2 ) } + \mathcal { E } _ { \mathrm { n o n } , \mathrm { M C } } ^ { ( 2 ) } + \mathcal { E } _ { \mathrm { n o n } , \mathrm { M R } } ^ { ( 2 ) } + \mathcal { E } _ { \mathrm { n o n } , \mathrm { B L } } ^ { ( 2 ) } + \mathcal { E } _ { \mathrm { n o n } , \mathrm { B C } } ^ { ( 2 ) } + \mathcal { E } _ { \mathrm { n o n } , \mathrm { B R } } ^ { ( 2 ) } \right) .
\begin{array} { r l } { \bigl | Q ( s , a ) - Q ( \tilde { s } , \tilde { a } ) \bigr | } & { \leq | r ( s , a ) - r ( \tilde { s } , \tilde { a } ) | + \gamma \, \bigl | \mathbb { E } \bigl [ U ( f ( s , a , w ) ) - U ( f ( \tilde { s } , \tilde { a } , w ) ) \bigr ] \bigr | } \\ & { \leq L _ { r } \bigl ( \| s - \tilde { s } \| _ { 2 } + \| a - \tilde { a } \| _ { 2 } \bigr ) + \gamma L _ { U } \operatorname* { m a x } _ { w } \bigl \| f ( s , a , w ) - f ( \tilde { s } , \tilde { a } , w ) ) \bigr \| _ { 2 } } \\ & { \leq L _ { r } \bigl ( \| s - \tilde { s } \| _ { 2 } + \| a - \tilde { a } \| _ { 2 } \bigr ) + \gamma L _ { U } L _ { f } \bigl ( \| s - \tilde { s } \| _ { 2 } + \| a - \tilde { a } \| _ { 2 } \bigr ) } \\ & { \leq ( L _ { r } + \gamma L _ { U } L _ { f } ) \bigl ( \| s - \tilde { s } \| _ { 2 } + \| a - \tilde { a } \| _ { 2 } \bigr ) , } \end{array}
\forall k \in \mathbb { N } , \quad \frac { 1 } { n ^ { 2 } } ( \omega _ { N } - \omega _ { C } ) ( \omega _ { C } - \omega _ { S } ) \tan ^ { 2 n } \left( \frac { \theta _ { 1 } } { 2 } \right) \cot ^ { 2 n } \left( \frac { \theta _ { 2 } } { 2 } \right) \underset { n \to \infty } { = } O _ { \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } } \left( \frac { 1 } { n ^ { k } } \right) .
\{ \hat { a } _ { i } , \hat { a } _ { j } ^ { + } \} = \delta _ { i j } \; \; , \; \; \{ \hat { a } _ { i } , \hat { a } _ { j } \} = 0 = \{ \hat { a } _ { i } ^ { + } , \hat { a } _ { j } ^ { + } \}
\begin{array} { r l r } { f ( z ) } & { = } & { \frac { ( z - 1 ) + 1 } { z - 1 } + \frac { ( z - 1 ) + 1 } { 1 - ( z - 1 ) } = 1 + \frac { 1 } { z - 1 } - \frac { ( z - 1 ) + 1 } { z - 1 } \frac { 1 } { 1 - 1 / ( z - 1 ) } } \\ & { = } & { 1 + \frac { 1 } { z - 1 } - \frac { 1 } { 1 - 1 / ( z - 1 ) } - \frac { 1 } { z - 1 } \frac { 1 } { 1 - 1 / ( z - 1 ) } } \\ & { = } & { 1 + \frac { 1 } { z - 1 } - \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \left( \frac { 1 } { z - 1 } \right) ^ { k } - \frac { 1 } { z - 1 } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \left( \frac { 1 } { z - 1 } \right) ^ { k } = \frac { 1 } { z - 1 } - 2 \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { ( z - 1 ) ^ { k } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( ( - 1 ) ^ { l ( w _ { 1 } ) } q _ { w _ { 1 } } T _ { w _ { 1 } ^ { - 1 } } ^ { - 1 } \right) \left( ( - 1 ) ^ { l ( w _ { 2 } ) } q _ { w _ { 2 } } T _ { w _ { 2 } ^ { - 1 } } ^ { - 1 } \right) } & { = ( - 1 ) ^ { l ( w _ { 1 } ) + l ( w _ { 2 } ) } q _ { w _ { 1 } } q _ { w _ { 2 } } T _ { w _ { 1 } ^ { - 1 } } ^ { - 1 } T _ { w _ { 2 } ^ { - 1 } } ^ { - 1 } } \\ & { = ( - 1 ) ^ { l ( w _ { 1 } w _ { 2 } ) } q _ { w _ { 1 } w _ { 2 } } ( T _ { w _ { 2 } ^ { - 1 } } T _ { w _ { 1 } ^ { - 1 } } ) ^ { - 1 } } \\ & { = ( - 1 ) ^ { l ( w _ { 1 } w _ { 2 } ) } q _ { w _ { 1 } w _ { 2 } } T _ { w _ { 2 } ^ { - 1 } w _ { 1 } ^ { - 1 } } ^ { - 1 } } \\ & { = ( - 1 ) ^ { l ( w _ { 1 } w _ { 2 } ) } q _ { w _ { 1 } w _ { 2 } } T _ { ( w _ { 1 } w _ { 2 } ) ^ { - 1 } } ^ { - 1 } . } \end{array}
S ( x ) = \prod _ { i = 1 } ^ { N } \exp \bigg ( \frac { i g ^ { 2 } } { 2 \pi } t ^ { a } ( t ^ { a } ) _ { i } \ln \bigg [ \frac { | x ^ { \bot } - x _ { i } ^ { \bot } | } { | x ^ { \bot } - x _ { i } ^ { ' \bot } | } \bigg ] \Theta ( x ^ { -- } x _ { i } ^ { - } ) \bigg )
E ( k ) = K _ { 0 } \varepsilon ^ { \frac { 2 } { 3 } } k ^ { - { \frac { 5 } { 3 } } } \exp \left[ - { \frac { 3 K _ { 0 } } { 2 } } \left( { \frac { \nu ^ { 3 } k ^ { 4 } } { \varepsilon } } \right) ^ { \frac { 1 } { 3 } } \right] \, ,
\begin{array} { r l r } & { } & { { \mathbb { P } } ^ { * } ( n ^ { 1 / 2 } | \tilde { { \boldsymbol \theta } } _ { n } | _ { \infty } \leq q _ { 1 - \alpha - 3 \beta _ { n , p } } ) } \\ & { \leq } & { { \mathbb { P } } ( n ^ { 1 / 2 } | \hat { { \boldsymbol \theta } } _ { n } - { \boldsymbol \theta } | _ { \infty } \leq q _ { 1 - \alpha - 3 \beta _ { n , p } } ) + \beta _ { n , p } } \\ & { = } & { { \mathbb { P } } ( n ^ { 1 / 2 } | \hat { { \boldsymbol \theta } } _ { n } - { \boldsymbol \theta } | _ { \infty } \leq q _ { 1 - \alpha - 3 \beta _ { n , p } } - n ^ { - 1 / 6 } ) + \beta _ { n , p } } \\ & { } & { + { \mathbb { P } } ( n ^ { 1 / 2 } | \hat { { \boldsymbol \theta } } _ { n } - { \boldsymbol \theta } | _ { \infty } \leq q _ { 1 - \alpha - 3 \beta _ { n , p } } ) } \\ & { } & { - { \mathbb { P } } ( n ^ { 1 / 2 } | \hat { { \boldsymbol \theta } } _ { n } - { \boldsymbol \theta } | _ { \infty } \leq q _ { 1 - \alpha - 3 \beta _ { n , p } } - n ^ { - 1 / 6 } ) } \\ & { < } & { 1 - \alpha - 2 \beta _ { n , p } + { \mathbb { P } } ( n ^ { 1 / 2 } | \hat { { \boldsymbol \theta } } _ { n } - { \boldsymbol \theta } | _ { \infty } \leq q _ { 1 - \alpha - 3 \beta _ { n , p } } ) } \\ & { } & { - { \mathbb { P } } ( n ^ { 1 / 2 } | \hat { { \boldsymbol \theta } } _ { n } - { \boldsymbol \theta } | _ { \infty } \leq q _ { 1 - \alpha - 3 \beta _ { n , p } } - n ^ { - 1 / 6 } ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { l } _ { a b } ^ { ( j ) } = } & { { } \frac { ( - 1 ) ^ { j + 1 } } { k _ { a } T _ { j , a } } \delta _ { a b } - \sum _ { c } \frac { \mathbb { D } _ { c a b } } { k _ { a } T _ { j , a } k _ { b } T _ { j , b } } \xi _ { c } } \end{array}
p = { \frac { l ^ { 2 } ( 4 m ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) - m ^ { 2 } } { 4 } } , \qquad b = l ( 4 m ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) - 5 p - 2 m ^ { 2 } , \qquad c = { \frac { b ( a + 4 m ) - p ( a - 4 m ) - a ^ { 2 } m } { 2 } }
M _ { i , j } = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \ i \notin S ( j ) } \\ { \frac { 1 } { N _ { j } } , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \ F _ { S _ { i } } \ge F _ { S _ { j } } } \\ { \exp { \left( \frac { - \Delta F _ { S } / T } { N _ { j } } \right) } , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \ F _ { S _ { i } } \le F _ { S _ { j } } } \\ { 1 - \sum _ { k \ne j } M _ { k , j } , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \ i = j } \end{array} \right.
\bigg | \int _ { \mathbb { T } } \varphi d \mu _ { x _ { t } , q - t } - \int _ { \mathbb { T } } \varphi d \mu _ { y , q - t } \bigg | = \bigg | \sum _ { k = 0 } ^ { q - t - 1 } \frac { a _ { x _ { t } , k } } { M _ { x _ { t } , q - t } } \varphi ( x _ { t } + k \alpha ) - \sum _ { k = 0 } ^ { q - t - 1 } \frac { a _ { y , k } } { M _ { y , q - t } } \varphi ( y + k \alpha ) \bigg |
a ( r _ { 2 } ) - a ( r _ { 1 } ) = - \frac { 1 } { 2 ^ { 1 3 } \cdot 3 ^ { 3 } \cdot 5 } \int _ { S ( r _ { 1 } , y ) } ^ { S ( r _ { 2 } , y ) } \mathrm { d }
\begin{array} { r l } & { \left| p ( x , y ) \log \frac { 1 } { p ( y | x ) } - q ( x , y ) \log \frac { 1 } { q ( y | x ) } \right| } \\ & { \leq \left| p ( x , y ) \log \frac { 1 } { p ( x , y ) } - q ( x , y ) \log \frac { 1 } { q ( x , y ) } \right| } \\ & { \quad + q ( y | x ) \left| q ( x ) \log \frac { 1 } { q ( x ) } - p ( x ) \log \frac { 1 } { p ( x ) } \right| } \\ & { \quad + \left| q ( y | x ) - p ( y | x ) \right| p ( x ) \log \frac { 1 } { p ( x ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { \mathrm { C S G L } } } & { = \int d ^ { 3 } x \left[ i \hbar \Phi ^ { \dagger } D _ { t } \Phi - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } \left| D _ { i } \Phi \right| ^ { 2 } - V ( | \Phi | ^ { 2 } ) - \frac { \hbar \nu } { 4 \pi } \epsilon ^ { \mu \lambda \kappa } a _ { \mu } \partial _ { \lambda } a _ { \kappa } \right] , } \end{array}
{ \left\{ \begin{array} { l l } { v _ { t } = k v _ { x x } + f , \, w _ { t } = k w _ { x x } , \, r _ { t } = k r _ { x x } } & { ( x , t ) \in [ 0 , \infty ) \times ( 0 , \infty ) } \\ { v ( x , 0 ) = 0 , \; w ( x , 0 ) = g ( x ) , \; r ( x , 0 ) = 0 } & { { \mathrm { I C } } } \\ { v ( 0 , t ) = 0 , \; w ( 0 , t ) = 0 , \; r ( 0 , t ) = h ( t ) } & { { \mathrm { B C } } } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } { \{ \alpha _ { i } , \alpha _ { j } \} } & { { } = 2 \delta _ { i j } , \quad i , j \in \{ 1 , 2 \} , } \\ { \{ \mathcal { M } , \alpha _ { i } \} } & { { } = 0 . } \end{array}
\tilde { \mathcal { D } } = 1 6 \, G _ { B } \, G _ { S } \, f ^ { \prime } ( 1 ) \, { \tau _ { B } } ^ { 2 } \, { \tau _ { S } } ^ { 2 } \, { { \left( \tau _ { B } - \tau _ { S } \right) } } ^ { 2 } \, { \left( G _ { B } + G _ { S } - f ^ { \prime } ( 1 ) \right) } .
\begin{array} { r l } { \phi _ { i n } \ensuremath { \phi _ { n j } ^ { \scriptscriptstyle \dag } } } & { { } = \delta _ { i j } } \\ { \ensuremath { \phi _ { n i } ^ { \scriptscriptstyle \dag } } \phi _ { i n ^ { \prime } } } & { { } = \delta _ { n n ^ { \prime } } } \end{array}
\mathrm { ~ A ~ c ~ c ~ u ~ r ~ a ~ c ~ y ~ } = \frac { \mathrm { ~ i ~ n ~ s ~ t ~ a ~ n ~ c ~ e ~ s ~ o ~ f ~ A ~ a ~ n ~ d ~ D ~ } } { \mathrm { ~ a ~ l ~ l ~ i ~ n ~ s ~ t ~ a ~ n ~ c ~ e ~ s ~ } } .
D _ { \mathrm { K L } } ( { \mathcal { C N } } _ { 0 } \| { \mathcal { C N } } _ { 1 } ) = { \frac { 1 } { 2 } } \left\{ \operatorname { t r } \left( { \boldsymbol { \Sigma } } _ { 1 } ^ { - 1 } { \boldsymbol { \Sigma } } _ { 0 } \right) - k + \ln { \frac { | { \boldsymbol { \Sigma } } _ { 1 } | } { | { \boldsymbol { \Sigma } } _ { 0 } | } } \right\} .