harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \Vert \mathcal M _ { k } x \Vert _ { \mathcal H \times \mathcal H } } & { \leq \Vert \left[ \begin{array} { l l } { \Delta _ { k } ^ { - 1 } \, \mathbb I } & { 0 } \\ { 0 } & { \Delta _ { k } \, \mathbb I } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { x _ { 1 } } \\ { x _ { 2 } } \end{array} \right] \Vert _ { \mathcal H \times \mathcal H } + \Vert \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { - \mathbb I } \\ { - \mathbb I } & { 0 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { x _ { 1 } } \\ { x _ { 2 } } \end{array} \right] \Vert _ { \mathcal H \times \mathcal H } } \\ & { = \sqrt { \Vert \Delta _ { k } ^ { - 1 } x _ { 1 } \Vert ^ { 2 } + \Vert \Delta _ { k } x _ { 2 } \Vert ^ { 2 } } + \Vert x \Vert _ { \mathcal H \times \mathcal H } \leq ( \sqrt { \underline { { C } } ^ { 2 } + \overline { { C } } ^ { 2 } } + 1 ) \Vert x \Vert _ { \mathcal H \times \mathcal H } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \displaystyle \sum _ { \alpha } \tilde { \rho } _ { \alpha } \left( \frac { \partial \hat { \psi } _ { \alpha } } { \partial \phi _ { \alpha } } \grave { \phi } _ { \alpha } + \frac { \partial \hat { \psi } _ { \alpha } } { \partial \nabla \phi _ { \alpha } } \cdot \grave { \overline { { \nabla \phi } } } _ { \alpha } + \partial _ { \mathbf { D } _ { \alpha } } \hat { \psi } _ { \alpha } \grave { \mathbf { D } } _ { \alpha } \right) - \hat { \mathbf { T } } _ { \alpha } : \nabla \mathbf { v } _ { \alpha } } & { { } } \\ { + \mathrm { d i v } \left( \mathbf { q } _ { \alpha } - \theta \hat { \boldsymbol { \Phi } } _ { \alpha } \right) + \tilde { \rho } _ { \alpha } \left( \theta s _ { \alpha } - r _ { \alpha } \right) } & { { } } \\ { + \boldsymbol { \pi } _ { \alpha } \cdot \mathbf { v } _ { \alpha } - \gamma _ { \alpha } \| \mathbf { v } _ { \alpha } \| ^ { 2 } / 2 + \gamma _ { \alpha } \psi _ { \alpha } } & { { } ~ \leq 0 . } \end{array}
e = \frac { g \sin \theta } { ( 1 + 3 \sin ^ { 2 } \theta ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } = \frac { g ^ { \prime } \cos \theta } { ( 1 + 3 \sin ^ { 2 } \theta ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } ,
{ \cal U } ( { \bf R } ( t + \delta t ) , { \bf X } ) = 2 \mathrm { T r } [ { \bf h } { \bf D } ] + \mathrm { T r } [ ( 2 { \bf D } - { \bf P } ) { \bf G } ] - 2 T _ { e } { \cal S } ( { \bf f } ) + V _ { n n }
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { j \to \infty } P _ { m } ^ { ( n _ { j } ) } = P _ { m } ^ { * } \, , \qquad \operatorname* { l i m } _ { j \to \infty } P _ { 0 } ^ { i , ( n _ { j } ) } = P _ { 0 } ^ { i , * } \, . } \end{array}
\tilde { \Sigma } _ { r , \vec { k } } ( s ) = i \; \gamma _ { 0 } \; s \; \tilde { \varepsilon } _ { \vec { k } } ^ { ( 0 ) } ( s ) + \vec { \gamma } \cdot \vec { k } ~ ~ \tilde { \varepsilon } _ { \vec { k } } ^ { ( 1 ) } ( s ) + M \; \tilde { \varepsilon } _ { \vec { k } } ^ { ( 2 ) } ( s ) ~ .
V = R _ { 2 3 } ( \theta _ { 2 3 } ) \left( \begin{array} { l l l } { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { e ^ { i \phi } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) R _ { 1 3 } ( \theta _ { 1 3 } ) R _ { 1 2 } ( \theta _ { 1 2 } ) \left( \begin{array} { l l l } { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { e ^ { i \alpha } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { e ^ { i \beta } } } \end{array} \right)
- \omega ^ { 2 } \mathbf { M } _ { \mathrm { ~ O ~ O ~ } } \hat { \mathbf { X } } _ { \mathrm { ~ O ~ } } + \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ O ~ O ~ } } \hat { \mathbf { X } } _ { \mathrm { ~ O ~ } } + \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ O ~ I ~ } } \mathbf { A } \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ I ~ O ~ } } \hat { \mathbf { X } } _ { \mathrm { ~ O ~ } } - \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ O ~ I ~ } } \mathbf { A } \hat { \mathbf { F } } _ { \mathrm { ~ I ~ } } = \hat { \mathbf { F } } _ { \mathrm { ~ O ~ } } \, ,
{ \hat { F } } _ { \alpha \beta } = \left( \begin{array} { c c c c c } { { 0 } } & { { - f } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { f } } & { { 0 } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { 0 } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { \ddots } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { 0 } } \end{array} \right) ~ ~ .
\left\Vert \nabla _ { z } f _ { k } ^ { ( j ) } \left( z \right) \right\Vert _ { 2 } = \sqrt { \sum _ { l = 1 } ^ { m } \left\Vert \nabla _ { z _ { l } } f _ { k } ^ { ( j ) } \left( z \right) \right\Vert _ { 2 } ^ { 2 } } \leq \sqrt { \left( m + 1 \right) \left( \frac { 9 m ^ { - 1 } } { \delta ^ { 2 } \left( 2 \pi \right) ^ { d } } R ^ { 2 } \right) ^ { 2 } + 2 \frac { 1 } { \delta ^ { 2 } \left( 2 \pi \right) ^ { d } } } \triangleq C _ { \mathsf { l i p } } .
\underline { { \underline { { \mathbf { \Pi } } } } } _ { s } = p _ { s } \underline { { \underline { { \mathbf { I } } } } } - 2 \alpha _ { s } F \kappa ^ { 2 } \rho _ { s } ^ { 2 \Gamma - 1 } \left[ \mathbf { e } _ { R } \mathbf { e } _ { R } + \mathbf { e } _ { \varphi } \mathbf { e } _ { \varphi } \right] .
\begin{array} { r l r l } { \varphi ^ { * } : \tilde { { \mathcal H } } _ { G ^ { \sigma } } ( Y ^ { \sigma } ) } & { \rightarrow \tilde { { \mathcal H } } _ { G ^ { \sigma } } ( X ^ { \sigma } ) } & { \varphi _ { ! } : \tilde { { \mathcal H } } _ { G ^ { \sigma } } ( X ^ { \sigma } ) } & { \rightarrow \tilde { { \mathcal H } } _ { G ^ { \sigma } } ( Y ^ { \sigma } ) } \\ { g } & { \mapsto ( x \mapsto g ( \varphi ( x ) ) ) , } & { f } & { \mapsto ( y \mapsto \sum _ { x \in \varphi ^ { - 1 } ( y ) } f ( x ) ) . } \end{array}
E = M - M _ { B P S } = \frac { 3 \pi } { 8 G } \mu = \frac { 3 \pi } { 8 G } r _ { + } ^ { 2 } \left[ 1 + \frac { 1 } { R ^ { 2 } r _ { + } ^ { 4 } } \prod _ { I } ( r _ { + } ^ { 2 } + q _ { I } ) \right] .
\begin{array} { r l } & { T _ { j } = } \\ & { \left\{ \begin{array} { l l } { T _ { c h } + \frac { 1 } { 2 } \left( T _ { c o } - T _ { c h } \right) \left( \operatorname { t a n h } { \frac { y _ { j } - 2 } { 0 . 1 } + 1 } \right) , } & { y _ { j } \leqslant 4 } \\ { T _ { c o } + \frac { 1 } { 2 } \left( T _ { c o } - T _ { p r o m i n } \right) \left( \operatorname { t a n h } { \frac { y _ { j } - 1 1 . 2 5 } { 0 . 1 } + 1 } \right) , } & { 4 < y _ { j } < 1 7 . 5 } \\ { T _ { p r o m i n } + ( T _ { p r o m a x } - T _ { p r o m i n } ) \left( \frac { y _ { j } - 1 7 . 5 } { 2 0 - 1 7 . 5 } \right) , } & { 1 7 . 5 \leqslant y _ { j } < 2 0 } \\ { T _ { p r o m a x } + \frac { 1 } { 2 } \left( T _ { c o } - T _ { p r o m a x } \right) \left( \operatorname { t a n h } { \frac { y _ { j } - 2 0 } { 0 . 1 } + 1 } \right) , } & { y _ { j } \geqslant 2 0 , } \end{array} \right. } \end{array}
c _ { \mu } = \frac { \mathrm { s i g n } \left( \omega ^ { \mu } \right) } { \omega - \omega _ { \mu } } \sum _ { m a } \left[ \left( \chi _ { m a } ^ { \mu } \right) ^ { * } z _ { m a } + \eta _ { m a } ^ { \mu } z _ { a m } \right] .
\begin{array} { r l } { \hat { c } _ { \ensuremath { \varepsilon } } ( \rho , x , t ) } & { { } \approx \sum _ { k \in \frac 1 2 \ensuremath { \mathbb { N } } _ { 0 } } \ensuremath { \varepsilon } ^ { k } \hat { c } _ { k } ( \rho , x , t ) , \quad \hat { \mathbf { v } } _ { \ensuremath { \varepsilon } } ( \rho , x , t ) \approx \sum _ { k \in \frac 1 2 \ensuremath { \mathbb { N } } _ { 0 } } \ensuremath { \varepsilon } ^ { k } \hat { \mathbf { v } } _ { k } ( \rho , x , t ) , \quad } \\ { \hat { p } _ { \ensuremath { \varepsilon } } ( \rho , x , t ) } & { { } \approx \sum _ { k \in \frac 1 2 \ensuremath { \mathbb { N } } _ { - 2 } } \ensuremath { \varepsilon } ^ { k } \hat { p } _ { k } ( \rho , x , t ) . } \end{array}
R _ { 3 } \simeq 1 + { \frac { 1 } { 2 } } \left( \overline { { G } } _ { 3 } V \overline { { G } } _ { 4 } V + \overline { { G } } _ { 3 } V \overline { { G } } _ { 6 } V \right) = 1 + { \frac { 1 } { 2 } } \left( \Gamma _ { 1 } + \Gamma _ { 2 } + \Gamma _ { 3 } + \Gamma _ { 4 } + \Gamma _ { 5 } \right) \ .
f _ { ( i ) } = \frac { e ^ { \frac { D - 1 - 2 m } { 2 } k y } } { N _ { ( i ) } } \; \left( J _ { \nu } ( \frac { m _ { ( i ) } } { k } e ^ { k y } ) + b _ { ( i ) } Y _ { \nu } ( \frac { m _ { ( i ) } } { k } e ^ { k y } ) \right) \; ,
\begin{array} { r l } { \left| \mathbb { E } _ { x } \left[ f ( \bar { X } _ { n \gamma } ) \right] - \pi ^ { \gamma } ( f ) \right| ^ { 2 } } & { = \left| \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \mathbb { E } _ { ( x , y ) } \left[ f ( \bar { X } _ { n \gamma } ^ { x } ) - f ( \bar { X } _ { n \gamma } ^ { y } ) \right] \pi ^ { \gamma } ( \mathrm { d } y ) \right| ^ { 2 } } \\ & { \le \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \mathbb { E } _ { ( x , y ) } \left[ \left| f ( \bar { X } _ { n \gamma } ^ { x } ) - f ( \bar { X } _ { n \gamma } ^ { y } ) \right| ^ { 2 } \right] \pi ^ { \gamma } ( \mathrm { d } y ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ln M ( t _ { d } ) = } & { - \frac { 1 } { 2 } G ^ { 2 } \beta _ { G G } ( t _ { d } ) - G \beta _ { 0 G } ( t _ { d } ) \left\langle G _ { 0 } \right\rangle } \\ & { - \frac { 1 } { 2 } \beta _ { 0 0 } ( t _ { d } ) \left\langle G _ { 0 } ^ { 2 } \right\rangle } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } G ^ { 2 } \beta _ { 0 G } ^ { 2 } ( t _ { d } ) \left\langle \Delta G _ { 0 } ^ { 2 } \right\rangle } \\ & { + G \beta _ { 0 G } ( t _ { d } ) \beta _ { 0 0 } ( t _ { d } ) \left\langle G _ { 0 } \right\rangle \left\langle \Delta G _ { 0 } ^ { 2 } \right\rangle } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } \beta _ { 0 0 } ^ { 2 } ( t _ { d } ) \left\langle G _ { 0 } \right\rangle ^ { 2 } \left\langle \Delta G _ { 0 } ^ { 2 } \right\rangle + \mathcal { O } \left[ \left\langle \Delta G _ { 0 } ^ { 3 } \right\rangle \right] . } \end{array}
Y _ { R } ^ { U } = - \frac { 4 x } { \sqrt { 3 } h ( x ) } \left( \begin{array} { c c c } { { 1 \, \, } } & { { \, \, 0 \, \, } } & { { \, \, 0 } } \\ { { 0 \, \, } } & { { \, \, 1 \, \, } } & { { \, \, 0 } } \\ { { 0 \, \, } } & { { \, \, 0 \, \, } } & { { \, \, 1 } } \end{array} \right) , \quad Y _ { R } ^ { D } = \frac { 2 x } { \sqrt { 3 } h ( x ) } \left( \begin{array} { c c c } { { 1 \, \, } } & { { \, \, 0 \, \, } } & { { \, \, 0 } } \\ { { 0 \, \, } } & { { \, \, 1 \, \, } } & { { \, \, 0 } } \\ { { 0 \, \, } } & { { \, \, 0 \, \, } } & { { \, \, 1 } } \end{array} \right) .
\mathbf { a } _ { s t } ^ { ( l _ { o } ) } = \mathbf { D } _ { s t } ^ { - 1 } \cdot \sum _ { l _ { i } , l _ { f } } \tilde { \mathbf { x } } _ { s } ^ { ( l _ { i } ) } \otimes _ { l _ { i } , l _ { f } } ^ { l _ { o } } \mathbf { h } _ { l _ { i } , l _ { f } , l _ { o } } \mathbf { \delta } ^ { ( l _ { f } ) }
\begin{array} { l } { \Delta J = 0 , \pm 1 , \pm 2 , \pm 3 } \\ { ( 0 \not \leftrightarrow 0 , 1 , 2 ; \ { \begin{array} { l } { { \frac { 1 } { 2 } } } \end{array} } \not \leftrightarrow { \begin{array} { l } { { \frac { 1 } { 2 } } } \end{array} } , { \begin{array} { l } { { \frac { 3 } { 2 } } } \end{array} } ; \ 1 \not \leftrightarrow 1 ) } \end{array}
\alpha B _ { 4 } ^ { Z } ( X ) = \int { \frac { d ^ { 4 } k } { k ^ { 2 } - m _ { \gamma } ^ { 2 } + i \epsilon } } \; { \frac { i } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } } \; { J _ { I } } _ { \mu } ( k ) ( J _ { F } ^ { \mu } ( k ) ) ^ { * } \; \left( { \frac { ( X ) ^ { 2 } - \bar { M } ^ { 2 } } { ( X - k ) ^ { 2 } - \bar { M } ^ { 2 } } } - 1 \right) ,
\begin{array} { r l } { D _ { p } = } & { { } \beta \left[ a _ { 1 } ^ { 2 } \left( \frac { 1 } { D _ { s - 1 } } + \frac { 1 } { D _ { s + 1 } } \right) + a _ { 2 } ^ { 2 } \left( \frac { 1 } { D _ { s - 2 } } + \frac { 1 } { D _ { s + 2 } } \right) \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d x _ { 1 } } { d t } = } & { { } - x _ { 1 } + \widetilde { \beta } _ { 2 } ( 1 - x _ { 1 } ) [ \rho ( 1 + r _ { 2 } \epsilon _ { 2 } ) x _ { 1 } + ( 1 - \rho ) ( 1 - \epsilon _ { 2 } ) x _ { 2 } ] } \\ { \frac { d x _ { 2 } } { d t } = } & { { } - x _ { 2 } + \widetilde { \beta } _ { 2 } ( 1 - x _ { 2 } ) [ ( 1 - \rho ) ( 1 + r _ { 2 } \epsilon _ { 2 } ) x _ { 2 } + \rho ( 1 - \epsilon _ { 2 } ) x _ { 1 } ] } \end{array}
\frac { d } { d t } \mathbb { E } \left[ f ( | Z _ { t } ^ { \tau _ { j } } | ) \right] = \mathbb { E } \left[ \left( \sqrt { 2 \beta ^ { - 1 } } f ^ { \prime \prime } ( | Z _ { t } ^ { \tau _ { j } } | ) - f ^ { \prime } ( | Z _ { t } ^ { \tau _ { j } } | ) \frac { Z _ { t } ^ { \tau _ { j } } } { | Z _ { t } ^ { \tau _ { j } } | } \cdot A _ { T _ { k } } \right) \textbf { 1 } _ { \{ t < \tau _ { j } \} } \right] .
\begin{array} { r l } { \mu _ { l } ^ { J } \left( p ( X _ { l } \vert I _ { l } ) \right) } & { = u _ { l } ^ { * } , } \\ { \pi _ { l } ^ { J } ( p ( X _ { l } \vert I _ { l } ) ) } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \omega _ { l } ^ { ( i ) } \tilde { x } _ { l } ^ { ( i ) } , } \\ { \pi _ { T } ^ { J } ( p ( X _ { T } \vert I _ { T } ) ) } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \omega _ { T } ^ { ( i ) } \tilde { x } _ { T } ^ { ( i ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { d \left\| \frac { \partial _ { x } ^ { s - 1 } v } { \sqrt { \partial _ { z } v ^ { 1 } } } \right\| ^ { 2 } = \left( \left\langle 2 ( A _ { 1 } + A _ { 2 } + A _ { 3 } ) , \frac { \partial _ { x } ^ { s - 1 } v } { \partial _ { z } v ^ { 1 } } \right\rangle - \left\langle B _ { 1 } , \frac { | \partial _ { x } ^ { s - 1 } v | ^ { 2 } } { | \partial _ { z } v ^ { 1 } | ^ { 2 } } \right\rangle \right) d t } \\ & { + \frac 1 2 \left( \left\langle 2 ( A _ { 4 } + A _ { 5 } + A _ { 6 } ) ^ { 2 } , \frac 1 { \partial _ { z } v ^ { 1 } } \right\rangle - \left\langle 4 \frac { \partial _ { x } ^ { s - 1 } v } { | \partial _ { z } v ^ { 1 } | ^ { 2 } } , ( A _ { 4 } + A _ { 5 } + A _ { 6 } ) B _ { 2 } \right\rangle + \left\langle 2 \frac { | \partial _ { x } ^ { s - 1 } v | ^ { 2 } } { | \partial _ { z } v ^ { 1 } | ^ { 3 } } , B _ { 2 } ^ { 2 } \right\rangle \right) d t } \\ & { + \left( \left\langle 2 \frac { \partial _ { x } ^ { s - 1 } v } { \partial _ { z } v ^ { 1 } } , ( A _ { 4 } + A _ { 5 } + A _ { 6 } ) \right\rangle - \left\langle \frac { | \partial _ { x } ^ { s - 1 } v | ^ { 2 } } { | \partial _ { z } v ^ { 1 } | ^ { 2 } } , B _ { 2 } \right\rangle \right) d W . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta \nu _ { x } ( a _ { x } , a _ { y } , a _ { z } ) } & { { } = } & { C _ { S C } \frac { R } { 2 \sqrt { 2 } \gamma \sigma _ { z } \epsilon _ { x } } { \Big \langle } \int _ { 0 } ^ { 1 } d u \; \exp [ - \frac { a _ { z } ^ { 2 } u } { 4 } ] I _ { 0 } \left( \frac { a _ { z } ^ { 2 } u } { 4 } \right) \exp [ - \frac { a _ { x } ^ { 2 } u } { 4 } ] \left[ I _ { 0 } ( \frac { a _ { x } ^ { 2 } u } { 4 } ) - I _ { 1 } ( \frac { a _ { x } ^ { 2 } u } { 4 } ) \right] } \end{array}
a ( \lambda ) = \rho _ { g } ^ { 2 } \frac { \left( e ^ { \lambda } + 1 \right) ^ { 4 } } { e ^ { 2 \lambda } } \qquad \mathrm { ~ a n d ~ } \qquad b ( \lambda ) = \frac { \left( e ^ { \lambda } - 1 \right) ^ { 2 } } { \left( e ^ { \lambda } + 1 \right) ^ { 2 } } ,
\int d ^ { d } x \sqrt { - g } | F _ { p } | ^ { 2 } = \int d ^ { d } x { \frac { \sqrt { - g } } { p ! } } g ^ { \mu _ { 1 } \nu _ { 1 } } \cdots g ^ { \mu _ { p } \nu _ { p } } F _ { \mu _ { 1 } \mu _ { p } } F _ { \nu _ { 1 } \nu _ { p } } .
\begin{array} { r } { \log \frac { \mathrm { T r } \rho _ { A } ^ { \alpha } } { [ \mathrm { T r } \rho ] ^ { \alpha } } = } \\ { \int \displaylimits _ { 0 } ^ { 1 } \partial _ { \lambda } \log \Big ( \mathcal { Z } [ \lambda ] \Big ) d \lambda = - \zeta \int \displaylimits _ { 0 } ^ { 1 } \Big \langle \partial _ { \lambda } H ( \lambda ) \Big \rangle _ { \mathcal { Z } [ \lambda ] } d \lambda , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { x _ { 2 } \in { \mathbb R } ^ { n _ { 2 } } , y \in { \mathbb R } _ { + } } \quad } & { y } \\ { \mathrm { s . t . } \quad } & { A _ { 1 } ^ { \mathrm { i n } } x _ { 1 } + A _ { 2 } ^ { \mathrm { i n } } x _ { 2 } + A _ { 3 } ^ { \mathrm { i n } } { \xi } \leq b ^ { \mathrm { i n } } + I _ { k } y . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbb { T } } F _ { N } ( t - s ) G _ { N } ( s ) d s } & { \leq 2 ^ { - 2 j } \pi ^ { 2 j } N \left( 1 + N \left( \Vert t \Vert - \frac { 1 } { 2 N } \right) \right) ^ { - \vartheta } \int _ { \left\{ \| s \| < \frac { 1 } { 2 N } \right\} } d s } \\ & { + 2 ^ { - 2 j } N ^ { 1 - 2 j } \left( 1 + \frac { N \Vert t \Vert } { 2 } \right) ^ { - \vartheta } \int _ { \left\{ \frac { 1 } { 2 N } \leq \| s \| < \frac { \Vert t \Vert } { 2 } \right\} } \Vert s \Vert ^ { - 2 j } d s } \\ & { + 2 ^ { - 2 j } N ^ { 1 - 2 j } \int _ { \left\{ \frac { \Vert t \Vert } { 2 } \leq \| s \| \leq \frac { 1 } { 2 } \right\} } \Vert s \Vert ^ { - 2 j } d s } \\ & { \leq c ( N \Vert t \Vert ) ^ { - \vartheta } + c ( N \Vert t \Vert ) ^ { - \vartheta } + c ( N \Vert t \Vert ) ^ { 1 - 2 j } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { g _ { 2 } ^ { c t r } ( { \bf d } , { \bf v } ) } & { : = \left[ \begin{array} { l } { 0 \: \: c _ { 2 n - 1 } \: \: 0 \: c _ { 2 n - 3 } \: \hdots \: \: 0 \: \: c _ { 1 } } \end{array} \right] , \quad \mathrm { ( r e s p . , ~ g ^ { o b s } _ 2 ( { \bf ~ d } , { \bf ~ v } ) = ~ g ^ { c t r } _ 2 ( { \bf ~ d } , { \bf ~ v } ) ~ ^ { \top } ~ ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { x _ { i } ( t + \Delta t ) = } & { x _ { i } + \Delta t v \cos ( \phi _ { i } ) , \qquad y _ { i } ( t + \Delta t ) = y _ { i } + \Delta t v \sin ( \phi _ { i } ) , } \\ { \phi _ { i } ( t + \Delta t ) = } & { \phi _ { i } + \Delta t \{ \omega + \Gamma \sum _ { j \in \partial _ { i } } \sin [ 2 ( \phi _ { j } - \phi _ { i } ) ] \} + \sqrt { \Delta t } \sqrt { 2 D } \eta _ { i } , } \end{array}
\mathcal { N } ( \mathbf { x } ( t ) , \mathbf { y } ( t ) ) : = \eta \left( \frac { 1 } { M } \sum _ { i \in \mathcal { U } ( \mathbf { y } ( t ) ) } \mathbf { x } ( t _ { i } ) - \mathbf { y } ( t ) \right) ,
\mathcal { L } = \left\{ \left( \begin{array} { l l l } { y _ { 1 } + y _ { 2 } + y _ { 3 } } & { y _ { 1 } } & { y _ { 2 } } \\ { y _ { 1 } } & { y _ { 1 } + y _ { 2 } + y _ { 3 } } & { y _ { 3 } } \\ { y _ { 2 } } & { y _ { 3 } } & { y _ { 1 } + y _ { 2 } + y _ { 3 } } \end{array} \right) \bigg | y _ { 1 } , y _ { 2 } , y _ { 3 } \in \mathbb { R } \right\} .
\begin{array} { r l } { p ( x ) = } & { - \int _ { 0 } ^ { x } \frac { 2 \lambda _ { 0 } ( x ^ { \prime } ) } { R ( x ^ { \prime } ) } \frac { Q } { \pi R ( x ^ { \prime } ) ^ { 2 } } d x ^ { \prime } } \\ & { - \frac { k _ { \mathrm { B } } T } { D } \int _ { 0 } ^ { x } \frac { \sum _ { i } \beta _ { i } ( x ^ { \prime } ) \left( \rho _ { i } ( x ^ { \prime } ) Q - J _ { i } \right) } { \pi R ( x ^ { \prime } ) ^ { 2 } } d x ^ { \prime } , } \end{array}
M _ { L } \cong \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { \rho } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) \; m , \; \; \; \; M _ { D } \cong \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \tilde { \rho } } } & { { 1 } } \end{array} \right) \; m ,
\begin{array} { r l } { \textbf { Q } ( t , { 1 } ) } & { { } = \textbf { Q } ( t ) + \delta \frac { \textbf { Q } _ { t , 0 } } { 2 } , } \\ { \textbf { Q } ( t , { 2 } ) } & { { } = \textbf { Q } ( t ) + \delta \frac { \textbf { Q } _ { t , 1 } } { 2 } , } \\ { \textbf { Q } ( t , { 3 } ) } & { { } = \textbf { Q } ( t ) + \delta \textbf { Q } _ { t , 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } a _ { \mu } = } & { { } - ( 1 + i \zeta _ { \mu } ) a _ { \mu } + i \sum _ { \mu ^ { \prime } = \nu + \eta - \mu } a _ { \nu } a _ { \eta } a _ { \mu ^ { \prime } } ^ { * } + 2 i a _ { \mu } \sum _ { \eta } | b _ { \eta } | ^ { 2 } + } \\ { \partial _ { t } b _ { \mu } = } & { { } - ( 1 + i \zeta _ { \mu } ) b _ { \mu } + i \sum _ { \mu ^ { \prime } = \nu + \eta - \mu } b _ { \nu } b _ { \eta } b _ { \mu ^ { \prime } } ^ { * } + 2 i b _ { \mu } \sum _ { \eta } | a _ { \eta } | ^ { 2 } + } \end{array}
\bar { E } _ { 2 } = \frac { v ^ { 2 } } { 2 } \int \frac { d ^ { 3 } q } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \Delta _ { p } ^ { - 1 } ( - \vec { q } \, ^ { 2 } ) \left\{ h ( \vec { q } ) h ( - \vec { q } ) + \vec { p } ( \vec { q } ) \cdot \vec { p } ( - \vec { q } ) \right\}
\begin{array} { r l } { ( \dot { \mathrm { H } } _ { { \mathfrak { t } } , \sigma } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) , \dot { \mathrm { D } } _ { p } ^ { s } ( \mathring { \mathbb { A } } _ { \mathcal { H } , \mathfrak { t } } ) ) _ { \theta , q } } & { = \dot { \mathrm { B } } _ { p , q , \mathcal { H } _ { \mathfrak { t } } } ^ { s + 2 \theta , \sigma } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) \mathrm { , ~ } } \\ { ( \dot { \mathrm { H } } _ { \gamma } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) , \dot { \mathrm { D } } _ { p } ^ { s } ( \mathring { \mathbb { M } } _ { \mathcal { H } , \mathfrak { t } } ) ) _ { \theta , q } } & { = \dot { \mathrm { B } } _ { p , q , \mathcal { H } _ { \mathfrak { t } } } ^ { s + 2 \theta , \gamma } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) \mathrm { , ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l } { I \ = \ } & { { } \int _ { 0 } ^ { + \infty } x ^ { 2 } e ^ { - \frac { ( x - Q ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } \ d x } \\ { \ = \ } & { { } \int _ { - \frac { Q } { \sqrt { 2 } \sigma } . } ^ { + \infty } ( \sqrt { 2 } \sigma u + Q ) ^ { 2 } e ^ { - u ^ { 2 } } \sqrt { 2 } \sigma \ d u } \\ { \ = \ } & { { } \sqrt { 2 \pi } \sigma g _ { N } ( \sigma ^ { 2 } + Q ^ { 2 } ) + \sigma ^ { 2 } Q e ^ { - \frac { Q ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { D _ { \mu \nu } } & { = } & { \frac { \partial ^ { 2 } S ( \mathbf { Q } ( 2 \tau ) , \mathbf { Q } ( \tau ) ; \tau ) } { \partial { Q } ^ { \mu } ( 2 \tau ) \partial { Q } ^ { \nu } ( \tau ) } , } \\ { \operatorname* { d e t } | | D _ { \mu \nu } | | } & { = } & { D ( \mathbf { Q } ( 2 \tau ) , \mathbf { Q } ( \tau ) ; \tau ) , } \end{array}
{ C _ { 1 } } = \frac { { \left\langle { N _ { i j } ^ { 2 } } \right\rangle \left\langle { { L } _ { i j } { M _ { i j } } } \right\rangle - \left\langle { { M _ { i j } } { N _ { i j } } } \right\rangle \left\langle { { L } _ { i j } { N _ { i j } } } \right\rangle } } { { \left\langle { N _ { i j } ^ { 2 } } \right\rangle \left\langle { M _ { i j } ^ { 2 } } \right\rangle - { { \left\langle { { M _ { i j } } { N _ { i j } } } \right\rangle } ^ { 2 } } } } ,
H u _ { n \mathbf { k } } ( \mathbf { r } ) = \left( H _ { 0 } + { \frac { \hbar } { m _ { 0 } } } \mathbf { k } \cdot \mathbf { \Pi } + { \frac { \hbar ^ { 2 } k ^ { 2 } } { 4 m _ { 0 } ^ { 2 } c ^ { 2 } } } \nabla V \times \mathbf { p } \cdot { \bar { \sigma } } \right) u _ { n \mathbf { k } } ( \mathbf { r } ) = E _ { n } ( \mathbf { k } ) u _ { n \mathbf { k } } ( \mathbf { r } )
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { [ b ] \partial _ { t } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \varphi ( s ) f ( x , s , t ) \, d s } & { + \partial _ { x } \left( c ( x ) \int _ { 0 } ^ { + \infty } \varphi ( s ) V ( s ) f ( x , s , t ) \, d s \right) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \int _ { 0 } ^ { + \infty } ( \varphi ( \tilde { s } ^ { \prime } ) - \varphi ( s ) ) f ( x , s , t ) f ( x , s _ { \ast } , t ) \, d s \, d s _ { \ast } } \\ & { \phantom { = } + \frac { \gamma \eta } { 2 } c ^ { \prime } ( x ) \int _ { 0 } ^ { + \infty } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \varphi ^ { \prime } ( \tilde { s } ^ { \prime } ) V ( s _ { \ast } ) f ( x , s , t ) f ( x , s _ { \ast } , t ) \, d s \, d s _ { \ast } } \\ & { \phantom { = } + \frac { \eta } { 2 } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \int _ { 0 } ^ { + \infty } ( \varphi ( \tilde { s } ^ { \prime } ) - \varphi ( s ) ) f ( x , s , t ) \partial _ { x } f ( x , s _ { \ast } , t ) \, d s \, d s _ { \ast } } \\ & { \phantom { = } + \frac { \gamma \eta ^ { 2 } } { 2 } c ^ { \prime } ( x ) \int _ { 0 } ^ { + \infty } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \varphi ^ { \prime } ( \tilde { s } ^ { \prime } ) f ( x , s , t ) \partial _ { x } f ( x , s _ { \ast } , t ) \, d s \, d s _ { \ast } } \\ & { \phantom { = } + \varepsilon \int _ { 0 } ^ { + \infty } ( \varphi ( s ^ { \prime \prime } ) - \varphi ( s ) ) f ( x , s , t ) \, d s . } \end{array} } \end{array}