harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { l } { { \displaystyle { \cal F } [ { \boldsymbol \rho } , { \bf n } ] = F [ { \bf n } ] + \sum _ { \sigma } \int \left. \frac { \delta F [ { \boldsymbol \rho } ] } { \delta \rho _ { \sigma } ( { \bf r } ) } \right\vert _ { { \bf \rho } _ { \sigma } = n _ { \sigma } } \left( \rho _ { \sigma } ( { \bf r } ) - n _ { \sigma } ( { \bf r } ) \right) d { \bf r } } \ ~ } \\ { { \displaystyle ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ = F [ { \boldsymbol \rho } ] + { \cal O } [ \vert { \boldsymbol \rho } - { \bf n } \vert ^ { 2 } ] } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial T ^ { 1 } } { \partial x _ { 2 } } ( x ) = \beta | x | ^ { \beta - 2 } ( x _ { 2 } \cos { ( \beta ( \arg x - \alpha ) ) } - x _ { 1 } \sin { ( \beta ( \arg x - \alpha ) ) } ) , } \\ { \frac { \partial T ^ { 2 } } { \partial x _ { 2 } } ( x ) = \beta | x | ^ { \beta - 2 } ( x _ { 2 } \sin { ( \beta ( \arg x - \alpha ) ) } + x _ { 1 } \cos { ( \beta ( \arg x - \alpha ) ) } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \hat { H } _ { \boldsymbol j } ^ { \operatorname { t a n h } } } & { { } = i \operatorname { t a n h } \big ( \langle \boldsymbol j , \boldsymbol k \rangle h \big ) , } & { \qquad \hat { H } _ { \boldsymbol j } ^ { \coth } } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l } { ( - i ) \coth \big ( \langle \boldsymbol j , \boldsymbol k \rangle h \big ) , } & { \boldsymbol j \ne \boldsymbol 0 , } \\ { 0 } & { \boldsymbol j = \boldsymbol 0 , } \end{array} \right. } \\ { \hat { H } _ { \boldsymbol j } ^ { \operatorname { s e c h } } } & { { } = \operatorname { s e c h } \big ( \langle \boldsymbol j , \boldsymbol k \rangle h \big ) , } & { \qquad \hat { H } _ { \boldsymbol j } ^ { \operatorname { c s c h } } } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l } { i \operatorname { c s c h } \big ( \langle \boldsymbol j , \boldsymbol k \rangle h \big ) } & { \boldsymbol j \ne \boldsymbol 0 , } \\ { 0 } & { \boldsymbol j = \boldsymbol 0 . } \end{array} \right. } \end{array}
V ( t ) = C - 2 A \left[ \exp \left( \frac { t _ { 0 } - t } { \tau _ { \mathrm { r i s e } } } \right) + \exp \left( \frac { t - t _ { 0 } } { \tau _ { \mathrm { d e c a y } } } \right) \right] ^ { - 1 } ,
( \sigma _ { j } ^ { t + 1 } ) ^ { 2 } = ( \sigma _ { b } ^ { t + 1 } ) ^ { 2 } = \boldsymbol { \Sigma } _ { b b } ^ { t + 1 } = \sum _ { a = 1 } ^ { q } c _ { a } \widehat { \boldsymbol { \Sigma } } _ { a } ^ { t } ( g ( j ) , g ( j ) ) = \sum _ { a = 1 } ^ { q } \frac { c _ { a } } { \tilde { \boldsymbol { \Delta } } _ { a g ( j ) } } \mathbb { E } \left[ ( f _ { t } ^ { a } ( Z _ { a } ^ { t } ) ) ^ { 2 } \right]
\mathcal { L } _ { s p i n } ^ { e f f } = \overline { { { \widetilde { \chi ^ { 0 } } } } } \gamma ^ { \mu } \gamma _ { 5 } \widetilde { \chi ^ { 0 } } \overline { { { q } } } \gamma _ { \mu } ( c _ { q } + d _ { q } \gamma _ { 5 } ) q
\left( \begin{array} { c } { \bigskip \dot { \rho } ( x , z ) } \\ { \dot { \varsigma } ( x , z ) } \end{array} \right) = - \left( \begin{array} { c } { \medskip \rho _ { _ { \Delta } } \delta ( z - \zeta ( x ) ) \left( \mu _ { { \sigma } } ( x ) \right) _ { x } } \\ { \delta ( z - \zeta ( x ) ) \left( \mu _ { \zeta } ( x ) \right) _ { x } - { \sigma } ( x ) \delta ^ { \prime } ( z - \zeta ( x ) ) \left( \mu _ { { \sigma } } ( x ) \right) _ { x } } \end{array} \right) \, .
{ \tau } ( { \pi } ( f _ { 0 } ) , { \pi } ( f _ { 1 } ) , . . . { \pi } ( f _ { p } ) ) = [ T ( { \pi } ( f _ { 1 } ) , . . . { \pi } ( f _ { p } ) ) ] ( { \pi } ( f _ { 0 } ) ) { \in } C .
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \| { \bf X } ^ { j } - { \bf Z } ^ { j } \| ^ { 2 } } \\ & { \leq m \Big ( 2 K ( \frac { 4 K ^ { 3 } L ^ { 2 } \rho ^ { 4 } } { 2 K - 1 } + 8 K ( L ^ { 2 } \rho ^ { 2 } + \sigma _ { g } ^ { 2 } + \sigma _ { l } ^ { 2 } ) + \frac { 8 K } { m } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \mathbb { E } \left\| \nabla f ( \mathbf { x } ^ { t } ( i ) ) \right\| ^ { 2 } ) + \frac { 2 K \rho ^ { 2 } } { \eta ^ { 2 } ( 2 K - 1 ) } \Big ) \eta ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\| ( I - \Pi _ { \hat { \cal F } } ^ { ( \rho _ { \mathcal { X } } ) } ) \Pi _ { { \cal F } _ { l } } ^ { ( \rho _ { \mathcal { X } } ) } f ^ { * } \right\| _ { L ^ { 2 } ( \rho _ { \mathcal { X } } ) } } & { \leq \sigma ( l ) + \zeta \left( \sum _ { i \leq l } \left| \left\langle f ^ { * } , f _ { i } \right\rangle _ { L ^ { 2 } ( \mu _ { \Xi } ) } \right| \left\| ( \Pi _ { { \cal F } _ { l } } ^ { ( \mu _ { \Xi } ) } - \Pi _ { \hat { \cal F } } ^ { ( \mu _ { \Xi } ) } ) f _ { i } \right\| _ { L ^ { 2 } ( \mu _ { \Xi } ) } \right) } \\ & { \leq \sigma ( l ) + \zeta \left( \sum _ { i \leq l } c _ { i } x _ { i } \right) \leq \sigma ( l ) + \zeta \left( \left( \sum _ { i \leq l } \frac { c _ { i } ^ { 2 } } { a _ { i } ^ { 2 } } \right) ^ { 1 / 2 } \left( \sum _ { i \in [ l ] } a _ { i } ^ { 2 } x _ { i } ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } \right) } \\ & { \leq \sigma ( l ) + \zeta \left( \left( \sum _ { i \leq l } \frac { c _ { i } ^ { 2 } } { a _ { i } ^ { 2 } } \right) ^ { 1 / 2 } \left( { \cal L } ( \hat { \Theta } ; \lambda ) - { \cal L } ( \Theta ; \lambda ) \right) ^ { 1 / 2 } \right) . } \end{array}
X _ { t _ { k + 1 } } ^ { m ; i _ { 1 } , i _ { 2 } } = X _ { t _ { k } } ^ { m ; i _ { 1 } , i _ { 2 } } + h \Hat { u } ( X _ { t _ { k } } ^ { m ; i _ { 1 } , i _ { 2 } } , t _ { k } ) + \sqrt { 2 \nu } ( B _ { t _ { k + 1 } } ^ { m } - B _ { t _ { k } } ^ { m } ) ,
\begin{array} { r } { \langle { \cal R } _ { b } ^ { 2 } ( s | t _ { 1 } , t _ { 2 } , x _ { s - t _ { 2 } } ) \rangle _ { \mathrm { l o o p s } } = \int _ { 0 } ^ { \infty } d t _ { 1 } \int _ { 0 } ^ { s } d t _ { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x _ { s - t _ { 2 } } { \cal R } _ { b } ^ { 2 } ( s | t _ { 1 } , t _ { 2 } , x _ { s - t _ { 2 } } ) { \cal W } _ { b } ( t _ { 1 } , t _ { 2 } , x _ { s - t _ { 2 } } ; s ) = } \\ { = 1 2 D p _ { l } \alpha _ { l } ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } d t _ { 1 } \int _ { 0 } ^ { s } d t _ { 2 } \left[ ( 1 - \langle x _ { s - t _ { 2 } } \rangle ) ( s - t _ { 2 } ) + \frac { t _ { 1 } t _ { 2 } } { t _ { 1 } + t _ { 2 } } \right] e ^ { - \alpha _ { l } ( t _ { 1 } + t _ { 2 } ) } \pi _ { g \to g } ( s - t _ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { { S _ { 1 4 } ^ { \sigma \sigma ^ { \prime } , s h } } = - \frac { 2 e ^ { 2 } } { h } \int d E \sum _ { \gamma , \delta = 1 , 4 } \sum _ { \rho \rho ^ { \prime } = \uparrow , \downarrow } ( f _ { \gamma } - f _ { 0 } ) ( f _ { \delta } - f _ { 0 } ) } \\ { \times T r ( s _ { 1 \gamma } ^ { \sigma \rho ^ { \dagger } } s _ { 1 \delta } ^ { \sigma \rho ^ { \prime } } s _ { 4 \delta } ^ { \sigma ^ { \prime } \rho ^ { \dagger } } s _ { 4 \gamma } ^ { \sigma ^ { \prime } \rho } ) . } \end{array}
E _ { \mathrm { t o t a l } } ( \mathbf { R } , \mathbf { Q } , \mathbf { V } ) = E _ { \mathrm { e l e c } } ( \mathbf { R } , \mathbf { Q } ) + E _ { \mathrm { s h o r t } } ( \mathbf { R } , \mathbf { Q } , \mathbf { V } ) + E _ { \mathrm { 2 b } } ( \mathbf { R } ) ,
\begin{array} { r l r } & { } & { d _ { z } \varphi ( z ) - g \vert S ( z ) \vert ^ { 2 } \varphi ( z ) = 0 \ \mathrm { w i t h } \ \varphi ( 0 ) = 1 , } \\ & { } & { d _ { z } \tilde { \varphi } ( z ) + g \vert S ( z ) \vert ^ { 2 } \tilde { \varphi } ( z ) = - 2 i \lambda \varphi ( L ) \delta ( z - L ) \ \mathrm { w i t h } \ \tilde { \varphi } ( L ^ { + } ) = 0 , } \\ & { } & { d _ { z } \tilde { \vartheta } ( z ) + g \vert S ( z ) \vert ^ { 2 } \tilde { \vartheta } ( z ) = - 2 i \lambda \varphi ^ { \ast } ( L ) \delta ( z - L ) \ \mathrm { w i t h } \ \tilde { \vartheta } ( L ^ { + } ) = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { S } 2 \{ \Re ( \mathcal { T } u \cdot \partial _ { 2 } \bar { u } ) - \mathcal { E } ( u , \bar { u } ) + \omega ^ { 2 } | u | ^ { 2 } \} ( x _ { 2 } - m ) \, \mathrm { d } s } \\ & { = \int _ { S } n _ { 2 } ( x _ { 2 } - m ) ( \mu | \partial _ { n } u | ^ { 2 } + ( \lambda + \mu ) | \mathrm { d i v } u | ^ { 2 } ) \le 0 . } \end{array}
+ ( U ^ { ( 1 ) } U ^ { ( 2 ) } ) ^ { - 1 } d y _ { 3 } ^ { 2 } + ( H ^ { ( 2 ) } U ^ { ( 2 ) } ) ^ { - 1 } d y _ { 4 } ^ { 2 } + ( H ^ { ( 2 ) } U ^ { ( 1 ) } ) ^ { - 1 } ( d y _ { 5 } ^ { 2 } + d y _ { 6 } ^ { 2 } + d y _ { 7 } ^ { 2 } ) + d x ^ { \alpha } d x ^ { \alpha } ]
\begin{array} { r l } { r ( t ) } & { = \frac { \sum _ { n , i } \int _ { 0 } ^ { \infty } \lambda i ( n - i ) G _ { n , i } ^ { \lambda } ( t ) \; \mathrm { d } \lambda } { \sum _ { n , i } \int _ { 0 } ^ { \infty } ( n - i ) G _ { n , i } ^ { \lambda } ( t ) \mathrm { d } \lambda } \; , } \\ { \rho ( t ) } & { = r ( t ) \left[ \frac { \sum _ { m } m ( m - 1 ) S _ { m } ( t ) } { \sum _ { m } m S _ { m } ( t ) } \right] \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { j m } ^ { ( 1 ) } } & { = \frac { \sqrt { ( 2 j + 1 ) ( j - m ) ! ( j + m ) ! } } { A k \, \mathrm { i } ^ { - m } } \sum _ { \mathbf { G } } \left( \frac { | \mathbf { k } _ { \parallel } + \mathbf { G } | } { 2 k } \right) ^ { j } \frac { e ^ { \mathrm { i } m \phi _ { \mathbf { k } _ { \parallel } + \mathbf { G } } } } { k _ { \mathbf { G } , z } ^ { + } } \sum _ { \lambda = 0 } ^ { \frac { j - | m | } { 2 } } \frac { \left( \frac { k _ { \mathbf { G } , z } ^ { + } } { | \mathbf { k } _ { \parallel } + \mathbf { G } | } \right) ^ { 2 \lambda } \Gamma \left( \frac { 1 } { 2 } - \lambda , - \frac { ( k _ { \mathbf { G } , z } ^ { + } ) ^ { 2 } } { 4 T ^ { 2 } } \right) } { \lambda ! \left( \frac { j + m } { 2 } - \lambda \right) ! \left( \frac { j - m } { 2 } - \lambda \right) ! } , } \\ { D _ { j m } ^ { ( 2 ) } } & { = \frac { - \mathrm { i } ( - 1 ) ^ { \frac { j + m } { 2 } } \sqrt { ( 2 j + 1 ) ( j - m ) ! ( j + m ) ! } } { 2 ^ { j + 1 } \pi \frac { j - m } { 2 } ! \frac { j + m } { 2 } ! } \sum _ { \mathbf { R } \neq 0 } e ^ { \mathrm { i } \mathbf { k } _ { \parallel } \cdot \mathbf { R } + \mathrm { i } m \phi _ { - \mathbf { R } } } \frac { 1 } { k } \left( \frac { 2 R } { k } \right) ^ { j } \int _ { T ^ { 2 } } ^ { \infty } \, u ^ { j - \frac { 1 } { 2 } } e ^ { - R ^ { 2 } u + \frac { k ^ { 2 } } { 4 u } } \mathrm { d } u , } \\ { D _ { j m } ^ { ( 3 ) } } & { = \frac { \delta _ { j 0 } } { 4 \pi } \Gamma \left( - \frac { 1 } { 2 } \, , \, - \frac { k ^ { 2 } } { 4 T ^ { 2 } } \right) . } \end{array}
\varepsilon _ { \alpha \beta } ( \omega ) = \varepsilon _ { \infty , \alpha \beta } + \frac { \sigma _ { \alpha \beta } } { j \omega \varepsilon _ { 0 } } + \sum _ { p = 1 } ^ { P _ { \alpha \beta } } \left( \frac { c _ { p , \alpha \beta } } { j \omega - a _ { p , \alpha \beta } } + \frac { c _ { p , \alpha \beta } ^ { * } } { j \omega - a _ { p , \alpha \beta } ^ { * } } \right) ,
\begin{array} { r } { P _ { m n } = \iiint I ( \vec { \rho } ) \psi ( \vec { \rho } - \vec { r } ) \psi ^ { * } ( \vec { \rho } - \vec { r } ^ { \prime } ) \phi _ { m n } ^ { * } ( \vec { r } ) \phi _ { m n } ( \vec { r } ^ { \prime } ) \ \mathrm { d } \vec { \rho } \mathrm { d } \vec { r } \mathrm { d } \vec { r } ^ { \prime } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { h _ { j - 2 } \cdots h _ { i + 1 } h _ { i } ( h _ { i + 1 } h _ { i + 3 } \cdots h _ { j - 2 } ) } \\ & { = } & { \underline { { h _ { j - 2 } \cdot t _ { j - 2 , j - 1 } ^ { \frac { j - i - 3 } { 2 } } \cdot t _ { i + 1 , i + 2 } ^ { - 1 } t _ { i + 3 , i + 4 } ^ { - 1 } \cdots t _ { j - 4 , j - 3 } ^ { - 1 } \cdot t _ { j - 1 , j } ^ { - 1 } } } } \\ & { } & { \cdot h _ { j - 4 } \cdots h _ { i + 3 } h _ { i + 1 } t _ { i , i + 1 } ( h _ { i + 1 } h _ { i + 3 } \cdots h _ { j - 2 } ) h _ { j - 3 } \cdots h _ { i + 2 } h _ { i } } \\ & { \overset { \mathrm { ( 2 ) ( a ) } } { \underset { \mathrm { ( 1 ) ( c ) } } { = } } } & { t _ { j - 1 , j } ^ { \frac { j - i - 3 } { 2 } } \cdot t _ { i + 1 , i + 2 } ^ { - 1 } t _ { i + 3 , i + 4 } ^ { - 1 } \cdots t _ { j - 4 , j - 3 } ^ { - 1 } \cdot t _ { j - 2 , j - 1 } ^ { - 1 } } \\ & { } & { \cdot h _ { j - 2 } \cdots h _ { i + 3 } h _ { i + 1 } t _ { i , i + 1 } h _ { i + 1 } h _ { i + 3 } \cdots h _ { j - 2 } \cdot h _ { j - 3 } \cdots h _ { i + 2 } h _ { i } . } \end{array}
- \left( \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { 1 } _ { \Omega } } \\ { \mathbf { 0 } _ { \Omega } } \end{array} \right] , \boldsymbol { \Omega } _ { 2 } ^ { - 1 } ( \mathcal { Q } ^ { T } \mathcal { Q } ) \bar { \mathbf { U } } \right) _ { \Omega _ { 2 } } = - \mathbf { 1 } _ { \Omega } ^ { T } ( \mathbf { Q } _ { 1 1 } ^ { T } \mathbf { Q } _ { 1 1 } + \mathbf { Q } _ { 2 1 } ^ { T } \mathbf { Q } _ { 2 1 } ) \bar { \mathbf { u } } - \mathbf { 1 } _ { \Omega } ^ { T } ( \mathbf { Q } _ { 1 1 } ^ { T } \mathbf { Q } _ { 1 2 } + \mathbf { Q } _ { 2 1 } ^ { T } \mathbf { Q } _ { 2 2 } ) \mathbf { s } = 0 ,
\frac { \partial } { \partial t } \left( \vec { F } ^ { - T } \cdot \vec { A } _ { L } \cdot \vec { F } ^ { - 1 } \right) = - 2 \left( \vec { F } ^ { - T } \cdot \vec { A } _ { L } \cdot \vec { F } ^ { - 1 } \right) \cdot \left( \vec { F } \cdot \vec { E } \cdot \vec { F } ^ { T } \right) \cdot \left( \vec { F } ^ { - T } \cdot \vec { A } _ { L } \cdot \vec { F } ^ { - 1 } \right) .
\begin{array} { r l r l r l } { a _ { 1 } } & { { } = 1 , 4 4 8 . 9 6 , } & { a _ { 2 } } & { { } = 4 . 5 9 1 , } & { a _ { 3 } } & { { } = - 5 . 3 0 4 \times 1 0 ^ { - 2 } , } \\ { a _ { 4 } } & { { } = 2 . 3 7 4 \times 1 0 ^ { - 4 } , } & { a _ { 5 } } & { { } = 1 . 3 4 0 , } & { a _ { 6 } } & { { } = 1 . 6 3 0 \times 1 0 ^ { - 2 } , } \\ { a _ { 7 } } & { { } = 1 . 6 7 5 \times 1 0 ^ { - 7 } , } & { a _ { 8 } } & { { } = - 1 . 0 2 5 \times 1 0 ^ { - 2 } , } & { a _ { 9 } } & { { } = - 7 . 1 3 9 \times 1 0 ^ { - 1 3 } , } \end{array}
M \left( c _ { 1 } , c _ { 3 } \right) ^ { \top } = ( 0 , 0 ) ^ { \top } , \quad \mathrm { w h e r e } \quad M = \left( \begin{array} { l l } { \varkappa _ { + } \cos ( \varkappa _ { + } l _ { 1 } ) } & { \varkappa _ { - } \cos ( \varkappa _ { - } l _ { 1 } ) } \\ { \varkappa _ { + } ^ { 3 } \cos ( \varkappa _ { + } l _ { 1 } ) } & { \varkappa _ { - } ^ { 3 } \cos ( \varkappa _ { - } l _ { 1 } ) . } \end{array} \right)
\_ E ^ { t } = { \frac { 1 } { 2 } } \Bigg [ { \frac { \epsilon } { \epsilon _ { \/ { M D } } } } + { \frac { \sqrt { \mu \epsilon - \omega ^ { 2 } ( \Omega / c ) ^ { 2 } } } { \sqrt { \mu _ { \/ { M D } } \epsilon _ { \/ { M D } } } } } - { \frac { \omega ^ { 2 } ( \Omega / c ) ^ { 2 } } { \mu \epsilon _ { \/ { M D } } } } - j { \frac { \omega ( \Omega / c ) } { \mu \epsilon _ { \/ { M D } } } } \sqrt { \mu \epsilon - \omega ^ { 2 } ( \Omega / c ) ^ { 2 } } \Bigg ] \_ a _ { x } .
\begin{array} { r c l } { { L _ { - 1 } } } & { { L _ { 0 } } } & { { L _ { 1 } \quad L _ { 2 } \quad \ldots } } \\ { { J _ { - 2 } \quad J _ { - 1 } } } & { { J _ { 0 } } } & { { J _ { 1 } \quad J _ { 2 } \quad \ldots } } \\ { { \Lambda _ { - 3 } \quad \Lambda _ { - 2 } \quad \Lambda _ { - 1 } } } & { { \Lambda _ { 0 } } } & { { \Lambda _ { 1 } \quad \Lambda _ { 2 } \quad \ldots } } \\ { { \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots } } & { { \ldots } } & { { \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \quad . } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { [ 1 ] _ { 1 } \to [ a b ] _ { 1 } = [ a b a ^ { - 1 } ] _ { 1 } \to [ a b ^ { 2 } ] _ { 1 } = [ a b ^ { 2 } a ^ { - 1 } ] _ { 1 } \to \cdots \to [ a b ^ { n - 1 } ] _ { 1 } = [ a b ^ { n - 1 } a ^ { - 1 } ] _ { 1 } } \\ { \to ~ } & { [ a ] _ { 1 } \to [ a ^ { 2 } b ] _ { 1 } = [ a ^ { 2 } b a ^ { - 1 } ] _ { 1 } \to [ a ^ { 2 } b ^ { 2 } ] _ { 1 } \to \cdots \to [ a ^ { 2 } b ^ { n - 1 } ] _ { 1 } = [ a ^ { 2 } b ^ { n - 1 } a ^ { - 1 } ] _ { 1 } } \\ & { \vdots } \\ { \to ~ } & { [ a ^ { m - 1 } ] _ { 1 } \to [ b ] _ { 1 } = [ b a ^ { - 1 } ] _ { 1 } \to [ b ^ { 2 } ] _ { 1 } = [ b ^ { 2 } a ^ { - 1 } ] _ { 1 } \to \cdots \to [ b ^ { n - 1 } ] _ { 1 } = [ b ^ { n - 1 } a ^ { - 1 } ] _ { 1 } } \\ { \to ~ } & { [ 1 ] _ { 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { A ( x , t ) = \frac { \mathrm { e } ^ { \frac { \mathrm { { i } } } { 1 0 } t ^ { 2 } } \mathrm { e } ^ { ( 1 + \mathrm { { i } } ) x - \arctan ( t ) } } { 1 + \frac { ( 2 t ^ { 2 } + 2 ) \mathrm { e } ^ { 2 x - 2 \arctan ( t ) } } { 8 ( t ^ { 2 } + 1 ) } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { | \mathrm { O u t p u t } \rangle } & { { } = } & { \hat { \mathcal { D } } ( { \bf \hat { n } _ { 3 } } , \delta \phi _ { \mathrm { t } } ) | \mathrm { P o r t \ 1 } ^ { \prime } \rangle , } \end{array}
\begin{array} { l } { \displaystyle \int _ { 0 } ^ { \infty } \, \mathrm { d } r \, r ^ { 3 } \, \psi _ { 0 } ^ { 2 } ( \boldsymbol { r } ) \frac \pi 2 \, \left[ 1 \, + \, \frac 1 N \, - \, \frac { \left( 2 N + 1 \right) } { N } \frac { \Gamma \left( N + \frac 1 2 \right) } { \sqrt \pi \, \Gamma ( N + 1 ) } \right] \, . } \end{array}
M _ { \mathrm { F A } } ( \bar { B } \rightarrow J / \psi \bar { K } ) = - i V _ { c b } V _ { c s } \Bigl \{ { \frac { G _ { F } } { \sqrt { 2 } } } a _ { 2 } f _ { \psi } F _ { 1 } ^ { ( \bar { K } \bar { B } ) } ( m _ { \psi } ^ { 2 } ) \Bigr \} 2 m _ { \psi } \epsilon ^ { * } ( p ^ { \prime } ) \cdot p .
\bar { a } _ { 1 1 } = \frac { c } { \varepsilon } [ M - 1 - \frac { u ( N - 1 ) } { u + 1 } ] , \bar { a } _ { 1 2 } = \frac { 1 } { \varepsilon } \binom { N - 1 } { M - 1 } ( \frac { u } { 1 + u } ) ^ { M } ( \frac { 1 } { 1 + u } ) ^ { N - M + 1 } b ,
\begin{array} { r l } { \psi ^ { \mathrm { S i n g l e } } } & { { } = \psi ^ { \mathrm { S } } + \psi ^ { \mathrm { V } } , } \\ { \psi ^ { \mathrm { M i x e d } } } & { { } = \psi ^ { \mathrm { S } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { r } ^ { * } } \\ { \mathbf { r } _ { 1 } ^ { * } } \\ { \mathbf { r } _ { 0 } ^ { * } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { f } } \\ { \bf { 0 } } \\ { \bf { 0 } } \end{array} \right] - \left[ \begin{array} { c c c } { \boldsymbol { F } } & { B _ { 1 } ^ { T } } & { B _ { 0 } ^ { T } } \\ { B _ { 1 } } & { 0 } & { 0 } \\ { B _ { 0 } } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { u } _ { 1 } ^ { * } } \\ { \mathbf { q } _ { 1 } ^ { * } } \\ { \bf { 0 } } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Gamma ^ { { \mathbf \Upsilon } ( B _ { r } ) } ( T _ { t } ^ { { \mathbf \Upsilon } ( B _ { r } ) , { \mu } _ { r } ^ { \eta } } u _ { r } ^ { \eta } ) ( \gamma ) \le T _ { t } ^ { { \mathbf \Upsilon } ( B _ { r } ) , { \mu } _ { r } ^ { \eta } } \bigl ( \Gamma ^ { { \mathbf \Upsilon } ( B _ { r } ) } ( u _ { r } ^ { \eta } ) \bigr ) ( \gamma ) \, \, \mathrm { . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { 2 C n \geq \Phi _ { j _ { \operatorname* { m a x } } - 1 } ^ { m } } & { \geq \exp \Big ( \alpha _ { 2 } \cdot v ^ { j _ { \operatorname* { m a x } } - 1 } \cdot \frac { 4 v ^ { 2 } } { \alpha _ { 2 } ^ { 2 } } \Big ) } \\ & { = \exp \Big ( 4 \cdot v ^ { j _ { \operatorname* { m a x } } } \cdot \frac { v } { \alpha _ { 2 } } \Big ) = \exp \Big ( 4 \cdot \frac { \alpha _ { 2 } } { 2 v } \log n \cdot \frac { v } { \alpha _ { 2 } } \Big ) = \exp ( 2 \cdot \log n ) = n ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { 2 \left| \int _ { \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } } ( \alpha + \kappa ) u \cdot \nabla p \ d S \right| } \\ & { \qquad \leq C \left( \| \alpha + \kappa \| _ { \infty } \| u \| _ { H ^ { 2 } } + \| \dot { \alpha } + \dot { \kappa } \| _ { \infty } \| u \| _ { H ^ { 1 } } \right) } \\ & { \qquad \qquad \cdot \left[ R a \| T \| _ { 2 } + \| \alpha + \kappa \| _ { \infty } \| u \| _ { H ^ { 2 } } + \left( \frac { 1 + \| \kappa \| _ { \infty } } { 1 + \| \kappa \| _ { \infty } } { { P r } } \| u \| _ { W ^ { 1 , r } } + \| \dot { \alpha } + \dot { \kappa } \| _ { \infty } \right) \| u \| _ { H ^ { 1 } } \right] } \\ & { \qquad \leq \left( \epsilon + C \| \alpha + \kappa \| _ { \infty } ^ { 2 } \right) \| u \| _ { H ^ { 2 } } ^ { 2 } + C _ { \epsilon } \| \alpha + \kappa \| _ { W ^ { 1 , \infty } } ^ { 2 } { \mathrm { R a } } ^ { 2 } } \\ & { \qquad \qquad + C \left( \left( \frac { 1 } { 1 } { { P r } } \| u \| _ { W ^ { 1 , r } } \right) ^ { 2 } + \| \alpha + \kappa \| _ { W ^ { 1 , \infty } } ^ { 2 } + 1 \right) \| u \| _ { H ^ { 1 } } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \left\langle \sigma _ { m } \sigma _ { n } e ^ { - \imath \omega ( \sigma _ { n } + \sigma _ { m } ) } \exp \left( \imath \exp \left( \imath \beta \sigma _ { n } \right) A _ { n , m } - \imath \exp \left( \imath \beta \sigma _ { m } \right) A _ { m , n + N } \right) \right\rangle _ { \sigma _ { n } , \sigma _ { m } = \pm 1 } = } \\ & { } & { \Phi \left( A _ { n , m } , \omega , \beta \right) \Phi \left( - A _ { m , n + N } , \omega , \beta \right) ; } \\ & { } & { \Phi ( A , \omega , \beta ) = \sin ( \omega - i \sin ( A \beta ) ) ( \sin ( \cos ( A \beta ) ) - i \cos ( \cos ( A \beta ) ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { v _ { 2 k - 1 + 2 i , 4 k - 1 - 2 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 1 } } \\ & { + v _ { 2 k - 1 + 2 i , 4 k - 3 - 2 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 3 } } \\ & { + v _ { 2 k - 1 + 2 i , 4 k - 1 - 2 i } ^ { B , i + 1 } \otimes v _ { 1 , 1 } } \\ & { + v _ { 2 k - 1 + 2 i , 4 k - 3 - 2 i } ^ { B , i + 1 } \otimes v _ { 1 , 3 } } \end{array}
\mathcal { L } _ { * } \mathbf { X } ( \mathfrak { s } ) = \left\{ \mathbf { X } _ { C } ( \mathfrak { u } ) \ \backslash \ \mathfrak { u } \in \mathcal { L } ^ { - 1 } ( \mathfrak { s } ) \right\} = \mathbf { X } _ { C } ( \mathfrak { s } ) ,
\mathbf { T } = \iiint _ { Q } ( \mathbf { r } - \mathbf { R } ) \times \mathbf { f } ( \mathbf { r } ) \, d V = \iiint _ { Q } ( \mathbf { r } - \mathbf { R } ) \times \left( - g \rho ( \mathbf { r } ) \, d V \, \mathbf { \hat { k } } \right) = \left( \iiint _ { Q } \rho ( \mathbf { r } ) \left( \mathbf { r } - \mathbf { R } \right) d V \right) \times \left( - g \mathbf { \hat { k } } \right) .
U \simeq \left( \begin{array} { l l } { { 0 } } & { { v } } \\ { { p _ { \mu } w } } & { { s _ { \mu } v ^ { \bot } } } \\ { { p _ { \tau } w + q _ { \tau } w ^ { \bot } } } & { { s _ { \tau } v ^ { \bot } } } \\ { { p _ { s } w + q _ { s } w ^ { \bot } } } & { { s _ { s } v ^ { \bot } } } \end{array} \right)
\left( \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial z ^ { 2 } } - m ^ { 2 } \right) \hat { p } _ { n } = 0 \ \ \ \longrightarrow \ \ \ \hat { p } _ { n } = c _ { 1 } \cosh { m z } + c _ { 2 } \sinh { m z } ,
\begin{array} { r l } { g } & { = \operatorname { s i g n } ( c _ { 1 } ( x ) ) \prod _ { i = 1 } ^ { \rho } \left( \cos { ( x _ { i } ) } - \cos { ( x ) } \right) ^ { m _ { i } ^ { 1 } } } \\ & { + \mathrm { i } \operatorname { s i g n } ( c _ { 2 } ( x ) ) \left( \sin { ( x ) } \right) ^ { m _ { 0 } ^ { 2 } } \prod _ { i = 1 } ^ { \rho } \left( \cos { ( x _ { i } ) } - \cos { ( x ) } \right) ^ { m _ { i } ^ { 2 } } . } \end{array}
\{ \textbf { k } _ { 0 } ^ { i } \} = \{ \textbf { k } _ { 0 } ^ { G } \} \cup \{ \textbf { k } _ { 1 } ^ { G } \} \cup \{ \textbf { k } _ { 2 } ^ { G } \} \cup . . . = \{ \textbf { k } _ { 0 } ^ { Q } \} \cup \{ \textbf { k } _ { 1 } ^ { Q } \} \cup \{ \textbf { k } _ { 2 } ^ { Q } \} \cup . . . ~ .
\mathrm { d } _ { H a u s s } \left( \mathbf { n } _ { \infty } ^ { \Phi } ( \Gamma _ { \ell } ^ { j } ) , \mathrm { R o t } _ { \ell } ^ { j } \circ ( \mathrm { R o t } _ { \ell } ^ { 0 } ) ^ { - 1 } \circ \mathbf { n } _ { \infty } ^ { \Phi } ( \Gamma _ { \ell } ^ { 0 } ) \right) \leq \frac { 4 \pi \mathrm { L i p } _ { \rho } ( \mathbf { F } _ { \ell - 1 } ^ { \Phi } ) } { 7 \Omega _ { \ell } } ,
\frac { { \partial { { \overline { { \mathcal E } } } ^ { \dag } } } } { { \partial t } } + \frac { { \partial { { \overline { { \mathcal P } } } _ { j } } } } { { \partial { x _ { j } } } } = \bar { u } _ { i } ^ { \dag } \left( { { { \bar { S } } _ { i j } } - \bar { S } _ { i j } ^ { a } } \right) \bar { u } _ { j } ^ { \dag } + { { \bar { D } } ^ { \dag } } - { { \bar { \Pi } } ^ { \dag } } - { { \bar { J } } ^ { \dag } } .
\mathcal { H } _ { X Y } ^ { \, a } = \sum _ { i = 1 } ^ { L } \frac { \ell _ { i } ^ { 2 } } { 2 } - \mathcal { J } _ { x } \sum _ { \langle i , j \rangle } S _ { i } ^ { x } S _ { j } ^ { x } - \mathcal { J } _ { y } \sum _ { \langle i , j \rangle } S _ { i } ^ { y } S _ { i } ^ { y } \, .