harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\sum _ { a = 1 } ^ { \cal N } \psi _ { a x } ^ { \dagger } \psi _ { a x } = \left\{ \begin{array} { c c } { { m } } & { { x \quad e v e n } } \\ { { { \cal N } - m } } & { { x \quad o d d } } \end{array} \right.
\begin{array} { r c l } { { E _ { 0 } = 2 \hbar g \omega \ } } & { { : } } & { { \ \ \ | E _ { 0 } , p = 0 > = | 0 > \ \ \ , } } \\ { { E _ { 1 } = 4 \hbar g \omega \ } } & { { : } } & { { \ \ \ | E _ { 1 } , p = \pm 1 > = { \alpha _ { \pm } ^ { + } } ^ { \dagger } \, { \alpha _ { \pm } ^ { - } } ^ { \dagger } \, | 0 > \ \ \ , } } \\ { { } } & { { } } & { { \ \ \ | E _ { 1 } , p = 0 , \sigma = \pm 1 > = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \, \left( { \alpha _ { + } ^ { + } } ^ { \dagger } \, { \alpha _ { - } ^ { - } } ^ { \dagger } \, \pm \, { \alpha _ { - } ^ { + } } ^ { \dagger } \, { \alpha _ { + } ^ { - } } ^ { \dagger } \right) \, | 0 > \ \ \ , } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E \left[ C _ { 8 } \right] } & { = } & { \frac { \tau } { \left( 1 + \tau \right) ^ { \frac { m } { 2 } + 1 } } t r a c e \left( \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { i } } \right) t r a c e \left( \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { j } } \right) \frac { 1 } { \left( 1 + \tau \right) ^ { \frac { m } { 2 } + 1 } } } \\ & { = } & { \frac { \tau } { \left( 1 + \tau \right) ^ { m + 2 } } t r a c e \left( \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { i } } \right) t r a c e \left( \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { j } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha _ { l } } & { = \int _ { E } g _ { l } f _ { l } h _ { l } d \nu } \\ { \ } & { = \int _ { E } g _ { l } ( x ) f _ { l } ( x ) T _ { t _ { l + 1 } - t _ { l } } [ f _ { l + 1 } h _ { l + 1 } ] ( x ) \nu ( d x ) } \\ { \ } & { = \int _ { E } S _ { t _ { l + 1 } - t _ { l } } [ g _ { l } f _ { l } ] ( x ) f _ { l + 1 } ( x ) h _ { l + 1 } ( x ) \nu ( d x ) } \\ { \ } & { = \int _ { E } g _ { l + 1 } f _ { l + 1 } h _ { l + 1 } d \nu = \alpha _ { l + 1 } . } \end{array}
C N O T : = { \left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right) } .
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial } { \partial \phi } \left[ v _ { \sigma } ( \phi ) \Pi ( \phi , \sigma ) \right] } & { = } & { \lambda \sum _ { \sigma ^ { \prime } } \left[ \mu _ { \sigma ^ { \prime } \to \sigma } ( \phi ) \Pi ( \phi , \sigma ^ { \prime } ) \right. } \\ & { } & { \left. - \mu _ { \sigma \to \sigma ^ { \prime } } ( \phi ) \Pi ( \phi , \sigma ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { p _ { j } \left( t + \frac { \delta } { 2 } \right) = p _ { j } ( t ) - \frac { \delta } { 2 } \left( e ^ { - r _ { j } ( t ) } - e ^ { r _ { j - 1 } ( t ) } \right) \, , } \\ & { r _ { j } ( t + \delta ) = r _ { j } ( t ) + \delta \left( p _ { j + 1 } \left( t + \frac { \delta } { 2 } \right) - p _ { j } \left( t + \frac { \delta } { 2 } \right) \right) \, , } \\ & { p _ { j } ( t + \delta ) = p _ { j } \left( t + \frac { \delta } { 2 } \right) - \frac { \delta } { 2 } \left( e ^ { - r _ { j } ( t + \delta ) } - e ^ { r _ { j - 1 } ( t + \delta ) } \right) \, , } \end{array}
\left| \Phi \right\rangle = \frac { 1 } { \sqrt 2 } \left( \left| 0 \right\rangle _ { 1 } \left| 0 \right\rangle _ { 2 } + \left| 1 \right\rangle _ { 1 } \left| 1 \right\rangle _ { 2 } \right) \; ,
\hat { F } _ { e } = J ^ { - 1 } \left\{ \begin{array} { c } { \overline { { \rho } } V } \\ { \overline { { \rho } } \tilde { u } V + \overline { { p } } \eta _ { x } } \\ { \overline { { \rho } } \tilde { v } V + \overline { { p } } \eta _ { y } } \\ { \overline { { \rho } } \tilde { w } V + \overline { { p } } \eta _ { z } } \\ { \left( \check { e } + \overline { { p } } \right) V - \overline { { p } } \eta _ { t } } \end{array} \right\} \, \mathrm { ~ , ~ }
n _ { \pm } ( z ) = \sqrt [ 4 ] { \alpha ^ { 2 } \frac { c ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } } + ( 1 + \alpha z ) ^ { 4 } } \left[ \cos \left( \frac { 1 } { 2 } \arg \left( \omega ( \alpha z + 1 ) ^ { 2 } \pm i \alpha c \right) \right) + i \sin \left( \frac { 1 } { 2 } \arg \left( \omega ( \alpha z + 1 ) ^ { 2 } \pm i \alpha c \right) \right) \right] ,
\begin{array} { r } { \frac { a _ { i } } { a } = 1 - A _ { 1 } \mathrm { e x p } \left( { - \frac { ( i - x c _ { 1 } ) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { 1 } ^ { 2 } } } \right) - A _ { 2 } \mathrm { e x p } \left( { - \frac { ( i - x c _ { 2 } ) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { 2 } ^ { 2 } } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { g ( \xi , \hat { \alpha } ) } & { = } & { \mathrm { c o s } \gamma \, \int d { \vec { r } } \, \frac { \partial f ( \vec { r } ) } { \partial B } \, \delta ( \xi - \vec { r } \cdot \hat { \alpha } ) } \\ & { = } & { \mathrm { c o s } \gamma \, \mathbb { R } \! \left[ \frac { \partial f ( \vec { r } ) } { \partial B } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d \langle \hat { \sigma } _ { \alpha } ^ { - } \rangle } { d t } } & { = } & { \left[ i \Delta - \frac { \Gamma } { 2 } \right] \langle \hat { \sigma } _ { \alpha } ^ { - } \rangle + i \frac { \bar { \Omega } _ { \alpha } } { 2 } ( 2 \langle \hat { e } _ { \alpha } \rangle - 1 ) } \\ { \frac { d \langle \hat { e } _ { \alpha } \rangle } { d t } } & { = } & { - \Gamma \langle \hat { e } _ { \alpha } \rangle + i \frac { \bar { \Omega } _ { \alpha } ^ { * } } { 2 } \langle \hat { \sigma } _ { \alpha } ^ { - } \rangle - i \frac { \bar { \Omega } _ { \alpha } } { 2 } \langle \hat { \sigma } _ { \alpha } ^ { + } \rangle } \\ { \frac { d \langle \hat { \sigma } _ { \beta } ^ { - } \rangle } { d t } } & { = } & { \left[ i \Delta - \frac { \Gamma } { 2 } \right] \langle \hat { \sigma } _ { \beta } ^ { - } \rangle + i \frac { \bar { \Omega } _ { \beta } } { 2 } ( 2 \langle \hat { e } _ { \beta } \rangle - 1 ) } \\ { \frac { d \langle \hat { e } _ { \beta } \rangle } { d t } } & { = } & { - \Gamma \langle \hat { e } _ { \beta } \rangle + i \frac { \bar { \Omega } _ { \beta } ^ { * } } { 2 } \langle \hat { \sigma } _ { \beta } ^ { - } \rangle - i \frac { \bar { \Omega } _ { \beta } } { 2 } \langle \hat { \sigma } _ { \beta } ^ { + } \rangle } \end{array}
\begin{array} { r } { \Delta \alpha _ { n } ^ { \mathrm { Q E D + } } = \frac { 2 Z } { c ^ { 2 } } \Big ( \frac { 4 2 7 } { 9 6 } - 2 \ln 2 \Big ) \Delta \alpha _ { n } ^ { \mathrm { D 1 } } . } \end{array}
\underbrace { ( w ^ { h } , i \omega \phi ^ { h } ) + ( w ^ { h } , a \phi _ { , x } ^ { h } ) + ( w _ { , x } ^ { h } , \kappa \phi _ { , x } ^ { h } ) } _ { \mathrm { ~ B ~ a ~ s ~ e ~ l ~ i ~ n ~ e ~ G ~ a ~ l ~ e ~ r ~ k ~ i ~ n ~ } } + \underbrace { \sum _ { e } \Big ( \tau a w _ { , x } ^ { h } , i \omega \phi ^ { h } + a \phi _ { , x } ^ { h } - \kappa \phi _ { , x x } ^ { h } \Big ) _ { \Omega _ { e } } } _ { \mathrm { ~ T ~ h ~ e ~ S ~ U ~ P ~ G ~ t ~ e ~ r ~ m ~ s ~ } } = 0 ,
\begin{array} { r } { J ( x _ { 2 } ^ { * } , 1 ) = \left[ { \begin{array} { c c } { \frac { c } { \varepsilon } ( M - 1 - x _ { 2 } ^ { * } ( N - 1 ) ) } & { \frac { c } { \varepsilon } x _ { 2 } ^ { * } ( 1 - x _ { 2 } ^ { * } ) } \\ { 0 } & { ( 1 + u ) x _ { 2 } ^ { * } - u } \end{array} } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { \partial _ { t } u _ { n } = \partial _ { x } \left( \gamma ( u _ { n } + \frac { 1 } { n } ) \partial _ { x } u _ { n } \right) - \gamma \left( \partial _ { x } u _ { n } \right) ^ { 2 } - \frac { \partial _ { x } \gamma } { 2 } \partial _ { x } ( u _ { n } + \frac { 1 } { n } ) ^ { 2 } + g _ { 0 } u _ { n } , } & { \mathrm { i n ~ } \Omega } \\ & { u _ { n } ( x ) = 0 , } & { \mathrm { o n ~ } \partial \Omega } \\ & { u _ { n } ( x , 0 ) = \varphi _ { 0 } ( x ) , } & { \mathrm { i n ~ } \Omega } \end{array}
\begin{array} { r l } { K \left( \rho \right) } & { { } = a _ { 1 } b _ { 1 } \sin \left( \left( \beta - \gamma \right) \pi \right) + a _ { 1 } b _ { 2 } \rho ^ { \alpha + \beta } \sin \left( \left( \alpha + 2 \beta - \gamma \right) \pi \right) } \end{array}
Z _ { i , - j } = \frac { \partial F _ { i } } { \partial E _ { j } } - \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } F _ { i } } { \partial E _ { j } ^ { 2 } } \Delta + \frac { 1 } { 6 } \frac { \partial ^ { 3 } F _ { i } } { \partial E _ { j } ^ { 3 } } { \Delta } ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l r } { \nu _ { k e } } & { { } \approx } & { \frac { e _ { e } ^ { 2 } e _ { k } ^ { 2 } n _ { k } } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } ^ { 2 } m _ { e } ^ { 2 } v _ { e } ^ { 3 } } \, \ln \Lambda _ { k e } \, , \quad \Lambda _ { k e } \approx \frac { \pi } { \theta _ { k e } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { \theta } _ { \mathrm { f l u c t } } } & { = \omega _ { \mathrm { f l u c t } } , } \\ { \dot { \omega } _ { \mathrm { f l u c t } } } & { = c _ { 1 } ( \omega _ { \mathrm { f l u c t } } ) + c _ { 2 } ( \theta _ { \mathrm { f l u c t } } ) + \epsilon ( \omega _ { \mathrm { f l u c t } } ) \xi } \\ { \omega } & { = \omega _ { \mathrm { f l u c t } } + \omega _ { \mathrm { t r e n d } } , } \end{array}
r ^ { ' } = B r _ { 0 } r _ { 1 } \gamma _ { 0 } ^ { 3 } \left[ 1 + \frac { 2 r _ { 2 } \gamma _ { 0 } } { r _ { 1 } } + \left( \frac { 3 r _ { 3 } } { r _ { 1 } } + B _ { 1 } \right) \gamma _ { 0 } ^ { 2 } + O ( \gamma _ { 0 } ^ { 3 } ) \right] ,
\begin{array} { r l r } { N _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ( V ) } & { { } = } & { \frac { 2 } { \epsilon _ { 0 } \epsilon _ { r } A ^ { 2 } q _ { 0 } \, d ( 1 / C ^ { 2 } ) / d V } } \\ { w ( V ) } & { { } = } & { \frac { \epsilon _ { 0 } \epsilon _ { r } A } { C ( V ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \rho } _ { 1 } + \hat { \rho } _ { 2 } } & { { } = 2 \exp ( \alpha ) \cosh ( \gamma ) , } \\ { \hat { \rho } _ { 1 } - \hat { \rho } _ { 2 } } & { { } = 2 \exp ( \alpha ) \sinh ( \gamma ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \vert e \left( { \mathsf { K } } _ { { \cal R } , { \cal L } } ^ { \left( 1 \right) } \cap { \mathsf { K } } _ { { \cal R } , { \cal L } } ^ { \left( 2 \right) } \right) \vert = \vert { \cal R } ^ { \left( 1 \right) } \cap { \cal R } ^ { \left( 2 \right) } \vert \cdot \vert { \cal L } ^ { \left( 1 \right) } \cap { \cal L } ^ { \left( 2 \right) } \vert + \vert { \cal R } ^ { \left( 1 \right) } \cap { \cal L } ^ { \left( 2 \right) } \vert \cdot \vert { \cal L } ^ { \left( 1 \right) } \cap { \cal R } ^ { \left( 2 \right) } \vert , } \end{array}
\begin{array} { r l } { c _ { n , 0 } ^ { * } } & { = c _ { n , 0 } = 1 } \\ { c _ { n , k } ^ { * } } & { = c _ { n , k } + c _ { n , k - 1 } \mathrm { ~ \ f o r ~ 0 < k < n ~ } } \\ { c _ { n , n } ^ { * } } & { = c _ { n , n } + c _ { n , n - 1 } - 2 } \\ { c _ { n , k } ^ { * } } & { = c _ { n , 2 n - k + 1 } ^ { * } \mathrm { ~ \ f o r ~ k > n ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \partial _ { t } \left( \varphi \left( C _ { a , O \left( - 2 \right) } S _ { w } + 2 c _ { o , C O _ { 2 } } S _ { o } \right) + \left( 1 - \varphi \right) \left( 3 c _ { r , C a C O _ { 3 } } + 2 \left( C a l _ { s , C O _ { 3 } ^ { - } } \right) \right) \right) } \\ & { + \partial _ { x } u \left( C _ { a , O \left( - 2 \right) } f _ { w } + 2 c _ { o , C O _ { 2 } } f _ { o } \right) = \partial _ { x } \left( \mathcal { D } C _ { a , O \left( - 2 \right) } \partial _ { x } S _ { w } \right) + 2 \partial _ { x } \left( \mathcal { D } c _ { o , C O _ { 2 } } S _ { o } \partial _ { x } S _ { o } \right) } \\ & { + \partial _ { x } \varphi \left( D _ { w } S _ { w } \partial _ { x } C _ { a , O \left( - 2 \right) } + 2 D _ { o } S _ { o } \partial _ { x } c _ { o , C O _ { 2 } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \cal R } } & { = } & { - \frac { 3 i \Gamma \pi } { \Omega k ^ { 2 } a ^ { 2 } } \frac { \Omega / 2 } { \Delta + i ( \Gamma / 2 ) + i { \cal G } } } \\ { \langle \eta _ { E } ^ { + } \rangle ( x < L ) } & { = } & { \hat { \varepsilon } ( e ^ { i k x } + { \cal R } e ^ { i k | x | } + A _ { \alpha } [ e ^ { - i k x } + { \cal R } e ^ { i k | x | } ] ) } \\ { \langle \eta _ { E } ^ { + } \rangle ( x > 0 ) } & { = } & { \hat { \varepsilon } A _ { \beta } ( e ^ { i k ( x - L ) } + { \cal R } e ^ { i k | x - L | } ) } \end{array}
( 1 - \sigma _ { k } ) \frac { \| x _ { k } - P _ { \mathrm { \mathcal { N } } } ( \mathit { \hat { w } } ^ { k } ) + P _ { \mathrm { \mathcal { M } } } ( \mathit { \hat { x } } ^ { k } ) \| } { \| x _ { k } - P _ { \mathrm { \mathcal { N } } } ( \mathit { \hat { x } } ^ { k } ) + P _ { \mathrm { \mathcal { M } } } ( \mathit { \hat { w } } ^ { k } ) \| } \leq 1 \leq ( 1 + \sigma _ { k } ) \frac { \| x _ { k } - P _ { \mathrm { \mathcal { N } } } ( \mathit { \hat { w } } ^ { k } ) + P _ { \mathrm { \mathcal { M } } } ( \mathit { \hat { x } } ^ { k } ) \| } { \| x _ { k } - P _ { \mathrm { \mathcal { N } } } ( \mathit { \hat { x } } ^ { k } ) + P _ { \mathrm { \mathcal { M } } } ( \mathit { \hat { w } } ^ { k } ) \| }
\Psi _ { 4 s } ( \xi _ { 1 } , \xi _ { 2 } ) = \sum _ { k _ { 1 } + 1 < k _ { 2 } } A ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ) \left| \Omega ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ) \right\rangle
- \mathcal { M } ^ { k - 1 } \left\langle \mathbf { 1 } \otimes \mathbf { v } _ { 3 } , D \boldsymbol \rho \right\rangle _ { \boldsymbol \pi } \leq \left\langle \mathbf { 1 } \otimes \mathbf { v } _ { 3 } , D ^ { k } \boldsymbol \rho \right\rangle _ { \boldsymbol \pi } \leq \mathcal { M } ^ { k - 1 } \left\langle \mathbf { 1 } \otimes \mathbf { v } _ { 3 } , D \boldsymbol \rho \right\rangle _ { \boldsymbol \pi } .
{ \frac { 1 } { 2 } } + { \frac { 1 } { 3 } } + { \frac { 1 } { 5 } } + { \frac { 1 } { 7 } } + { \frac { 1 } { 1 1 } } + { \frac { 1 } { 1 3 } } + \cdots \rightarrow \infty .
\rho \left( a ( \varphi _ { 1 } ) ^ { \ast } \cdots a ( \varphi _ { N } ) ^ { \ast } a ( \varphi _ { 2 N } ) \cdots a ( \varphi _ { N + 1 } ) \right) = \mathrm { d e t } \left[ \rho \left( a ( \varphi _ { k } ) ^ { \ast } a ( \varphi _ { N + l } ) \right) \right] _ { k , l = 1 } ^ { N } .
\begin{array} { r l } { \| w ( t ) \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } } & { \leq \| w ( t _ { 0 } ) \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } \left( e ^ { - \frac { \mu } { 2 } ( t - t _ { 0 } ) } \right. } \\ & { \quad \left. + c \mu \tau \Big ( 1 + \frac { M _ { 0 } M _ { 1 } } { \nu ^ { 2 } \lambda _ { 1 } ^ { 1 / 2 } } + \frac { R ^ { 2 } } { \nu ^ { 2 } } + \frac { \mu ^ { 2 } } { \nu ^ { 2 } \lambda _ { 1 } ^ { 2 } } \Big ) \left( 1 - e ^ { - \frac { \mu } { 2 } ( t - t _ { 0 } ) } \right) \right) } \\ & { \leq R ^ { 2 } \left( e ^ { - \frac { \mu } { 2 } ( t - t _ { 0 } ) } + K \mu \tau ( 1 - e ^ { - \frac { \mu } { 2 } ( t - t _ { 0 } ) } ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \cal E } _ { 1 } ^ { \ensuremath { \mathrm { ~ v ~ p ~ } } , ( 1 ) , \mathrm { ~ X ~ B ~ } } \! \! } & { { } = } & { \! \! \frac { - 1 } { 1 + \lambda ^ { 2 } } \! \! \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \! \! \! \mathrm { d } x \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \! \frac { \mathrm d k } { \pi } \frac { \kappa ^ { 2 } e ^ { - 2 \kappa | x | } } { k ^ { 2 } + \kappa ^ { 2 } } \frac { 1 - \lambda ^ { 2 } s _ { k } ^ { 2 } } { 1 - s _ { k } ^ { 2 } } f _ { k } ( x ) . \; \; \; \; \; } \end{array}
\sqrt { \frac { 2 \left( \beta _ { 1 } + \beta _ { 2 } \right) } { \beta _ { 1 } \beta _ { 2 } } } \log { \left( \frac { \theta _ { 0 } - \hat { \theta _ { 1 } } } { \theta _ { 0 } - \theta } \right) } = \sqrt { \frac { 2 z _ { c } } { \delta \epsilon ^ { 2 } } } \left( z - \hat { z _ { 1 } } \right) ,
\begin{array} { r l r } { S _ { a a } ( \omega ) } & { = } & { \frac { \hbar \Omega } { N ^ { 2 } m } \Bigg \{ \frac { S _ { X X } ^ { \mathrm { o u t } } ( \omega ) } { | \sqrt { \kappa } H _ { X F } ( \omega ) | ^ { 2 } } - S _ { \xi \xi } ( \omega ) - \left| \frac { H _ { X Y } ( \omega ) } { H _ { X F } ( \omega ) } \right| ^ { 2 } S _ { Y Y } ^ { \mathrm { i n } } ( \omega ) - \left| \frac { 1 - \sqrt { \kappa } H _ { X X } ( \omega ) } { \sqrt { \kappa } H _ { X F } ( \omega ) } \right| ^ { 2 } S _ { X X } ^ { \mathrm { i n } } ( \omega ) \Bigg \} } \\ & { = } & { \frac { \hbar \Omega } { N ^ { 2 } m } \Bigg \{ \frac { S _ { Y Y } ^ { \mathrm { o u t } } ( \omega ) } { | \sqrt { \kappa } H _ { Y F } ( \omega ) | ^ { 2 } } - S _ { \xi \xi } ( \omega ) - \left| \frac { H _ { Y X } ( \omega ) } { H _ { Y F } ( \omega ) } \right| ^ { 2 } S _ { X X } ^ { \mathrm { i n } } ( \omega ) - \left| \frac { 1 - \sqrt { \kappa } H _ { Y Y } ( \omega ) } { \sqrt { \kappa } H _ { Y F } ( \omega ) } \right| ^ { 2 } S _ { Y Y } ^ { \mathrm { i n } } ( \omega ) \Bigg \} . } \end{array}
\frac { \partial } { \partial Q ^ { 2 } } F ( s _ { i } ) = \left[ A \left( p _ { 1 } ^ { \mu } \frac { \partial } { \partial p _ { 1 } ^ { \mu } } + p _ { 2 } ^ { \mu } \frac { \partial } { \partial p _ { 2 } ^ { \mu } } \right) + B \left( p _ { 1 } ^ { \mu } \frac { \partial } { \partial p _ { 2 } ^ { \mu } } + p _ { 2 } ^ { \mu } \frac { \partial } { \partial p _ { 1 } ^ { \mu } } \right) \right] F ( s _ { i } ) \, ,
\begin{array} { r } { \lambda _ { 1 , R } = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \textnormal { i f } R = \{ 1 \} , } \\ { 1 / 2 } & { \textnormal { i f } R = \{ 5 , 6 \} , } \\ { 0 } & { \textnormal { o t h e r w i s e , } } \end{array} \right. \qquad \lambda _ { 2 , R } = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \textnormal { i f } R = \{ 2 \} , } \\ { 1 / 2 } & { \textnormal { i f } R = \{ 3 , 5 \} , } \\ { 0 } & { \textnormal { o t h e r w i s e , } } \end{array} \right. \qquad \lambda _ { 3 , R } = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 / 2 } & { \textnormal { i f } R = \{ 3 \} , } \\ { 0 } & { \textnormal { o t h e r w i s e . } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbb { R } } \left[ \psi _ { \gamma , x } ( \sigma ) - \psi _ { \gamma , x } ( 1 ) \right] ^ { 2 } \mathrm { d } x } & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } \left[ \sqrt { e ^ { - x / \sigma } \frac { 1 } { \sigma } } - \sqrt { e ^ { - x } } \right] ^ { 2 } \mathrm { d } x } \\ & { \leq \frac { ( 1 - \sigma ) ^ { 2 } } { ( 1 - \epsilon ) ^ { 2 } } \left[ 1 + \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { 1 + \epsilon } { 1 - \epsilon } \right) ^ { 3 / 2 } \right] ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left( \frac { h ^ { \prime } } { h } \right) ^ { 2 } } & { = } & { \frac { \tan ^ { 2 } \beta } { h ^ { 2 } } + \left( \frac { 9 H _ { p } ^ { 2 } } { 4 } - 2 H _ { N } ^ { 2 } \right) \frac { \tan ^ { 2 } \beta } { h ^ { 4 } } + \frac { H _ { N } ^ { 4 } \tan ^ { 2 } \beta } { h ^ { 6 } } } \\ & { } & \\ & { \, } & { + \frac { 3 H _ { p } H _ { N } ^ { 2 } \tan ^ { 2 } \beta } { h ^ { 5 } } - \frac { 3 H _ { p } \tan ^ { 2 } \beta } { h ^ { 3 } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\lVert \widetilde { \Lambda } ^ { - 1 } \widetilde { V } ^ { * } \omega ^ { ( - ) } \right\rVert _ { w ^ { k - 1 } } = \left\lVert \widetilde { V } ^ { * } \widetilde { V } \widetilde { \Lambda } ^ { - 1 } \widetilde { V } ^ { * } \omega ^ { ( - ) } \right\rVert _ { w ^ { k - 1 } } = \left\lVert \widetilde { V } ^ { * } ( L _ { \uparrow } ^ { k - 1 } ) ^ { \dagger } \omega ^ { ( - ) } \right\rVert _ { w ^ { k - 1 } } = \left\lVert \widetilde { V } ^ { * } \beta ^ { ( - ) } \right\rVert _ { w ^ { k - 1 } } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r c l l r } { { x ^ { 0 } } } & { { = } } & { { { \displaystyle H ^ { - 1 } \sinh ( H X ^ { 0 } ) } \, , } } \\ { { \vec { x } } } & { { = } } & { { ( H \parallel \vec { X } \parallel ) ^ { - 1 } \vec { X } \cosh ( H X ^ { 0 } ) \sin ( H \parallel \vec { X } \parallel ) \, , } } \\ { { x ^ { 4 } } } & { { = } } & { { H ^ { - 1 } \cosh ( H X ^ { 0 } ) \cos ( H \parallel \vec { X } \parallel ) \, . } } \end{array} \right.
f _ { i / A } ( x ) = ( 1 - \omega ) { \tilde { f } } _ { i / N } ( x ) + { \frac { 1 } { A } } \sum _ { r = 1 } ^ { A } \omega ^ { r } ( 1 - \omega ) ^ { A - r } f _ { i , r } ^ { \mathrm { g a s } } ( x ; \mu , T ) \; \; .
\begin{array} { r l } { \vec { N } ( [ a , b ] _ { N } ) } & { = \vec { N } \left( \overrightarrow { ( b \circ _ { N } a ) ( a \circ _ { N } b ) } \right) = \overrightarrow { N ( b \circ _ { N } a ) N ( a \circ _ { N } b ) } } \\ & { = \overrightarrow { \left( N ( b ) \cdot N ( a ) \right) \left( N ( a ) \cdot N ( b ) \right) } = [ N ( a ) , N ( b ) ] . } \end{array}
\mathbf { U } : = \left( \begin{array} { l l l l l l } { u _ { 1 , 1 } } & { \cdots } & { u _ { N _ { x } , 1 } } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { u _ { 1 , 2 } } & { \cdots } & { u _ { N _ { x } , 2 } } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { u _ { 1 , N _ { y } - 1 } } & { \cdots } & { u _ { N _ { x } , N _ { y } - 1 } } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { | \nu _ { k , 1 } - \mu _ { k } | } & { \leq | \nu _ { k , 1 } - \mu _ { * } | + | \mu _ { * } - \mu _ { k } | \leq \epsilon + \kappa _ { 1 } \epsilon ^ { 2 } , } \\ { | \theta _ { k , 1 } - \lambda _ { k } | } & { \leq | \theta _ { k , 1 } - \lambda _ { * } | + | \lambda _ { * } - \lambda _ { k } | \leq \epsilon + \kappa _ { 2 } \epsilon ^ { 4 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { Q } & { = } & { g _ { X } X _ { \mathrm { t r a n s } } + Q _ { \mathrm { n o i s e , o p t i c a l } } + Q _ { \mathrm { n o i s e , m e c h a n i c a l } } } \\ { P } & { = } & { g _ { Y } Y _ { \mathrm { t r a n s } } + P _ { \mathrm { n o i s e , o p t i c a l } } + P _ { \mathrm { n o i s e , m e c h a n i c a l } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { i j } } & { { } = \left\lvert \langle v _ { 1 i } , v _ { 2 i } , \ell _ { i } , N _ { i } , J _ { i } , p _ { i } \lvert \mu \lvert v _ { 1 j } , v _ { 2 j } , \ell _ { j } , N _ { j } , J _ { j } , p _ { j } \rangle \right\lvert ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d \omega _ { i } } { d q } } & { = \frac { \Omega } { 4 } \frac { q } { \sqrt { \frac { q ^ { 2 } } { 2 } + a _ { i } } } = \frac { \Omega ^ { 2 } q } { 8 \omega _ { i } } = \frac { 1 } { 2 q \omega _ { i } } \sum _ { n = 1 } ^ { 3 } \omega _ { n } ^ { 2 } \; \; , i \in { 1 , 2 } } \\ { \frac { d \omega _ { 3 } } { d q } } & { = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { m ^ { - d } W ( E _ { 0 } ) } & { \leq W ( E _ { 0 } \cap U _ { \mathcal J } ) < \frac { 2 W ( x ) } { | \varphi ^ { \mathcal J } ( x ) | } \int _ { E _ { 0 } \cap U _ { \mathcal J } } | \varphi ^ { \mathcal J } | } \\ { = 2 ^ { d + 1 } } & { W ( x ) \left| \operatorname* { d e t } ( X _ { 1 } ^ { ( 1 ) } , \ldots , X _ { d } ^ { ( 1 ) } ) \right| \Big | _ { x } \int _ { E _ { 0 } \cap U _ { \mathcal J } } \left| \operatorname* { d e t } \frac { \partial ( f ^ { j _ { 1 } } , \ldots , f ^ { j _ { d } } ) } { \partial x } \right| d x } \end{array}
m _ { \chi } \simeq \left\{ \begin{array} { l l } { { 1 0 ^ { - 5 } \mathrm { { G e V } } } } & { { \mathrm { f o r ~ d i m ~ 5 ~ ( ~ n ~ = ~ 1 ) } } } \\ { { 1 0 ^ { - 1 3 } \mathrm { { G e V } } } } & { { \mathrm { f o r ~ d i m ~ 6 ~ ( ~ n ~ = ~ 2 ) } } } \\ { { 1 0 ^ { - 2 1 } \mathrm { { G e V } } } } & { { \mathrm { f o r ~ d i m ~ 7 ~ ( ~ n ~ = ~ 3 ) } } } \\ { { \vdots } } & { { . } } \end{array} \right.
{ \vec { p } } ^ { \prime } ( t ) \cdot \left( { \vec { p } } ( t ) - { \vec { f } } _ { 0 } \right) = \left( { \vec { f } } _ { 1 } \sinh t + { \vec { f } } _ { 2 } \cosh t \right) \cdot \left( { \vec { f } } _ { 1 } \cosh t + { \vec { f } } _ { 2 } \sinh t \right) = 0
\begin{array} { r l } { \eta } & { { } = \frac { V } { k _ { \mathrm { B } } T } \int _ { 0 } ^ { \infty } \langle \tau _ { i j } ( t ) \tau _ { i j } ( 0 ) \rangle \mathrm { d } t , } \\ { \zeta } & { { } = \frac { V } { k _ { \mathrm { B } } T } \int _ { 0 } ^ { \infty } \langle \delta p ( t ) \delta p ( 0 ) \rangle \mathrm { d } t , } \end{array}