harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \begin{array} { r l } & { { - } { \frac { 1 } { \sqrt { h } } } \partial _ { i } { \sqrt { h } } \left( \partial ^ { i } \varphi + { \frac { \partial A ^ { i } } { \partial t } } \right) = } \\ & { \qquad - \nabla _ { i } \nabla ^ { i } \varphi - { \frac { \partial } { \partial t } } \nabla _ { i } A ^ { i } = { \frac { \rho } { \varepsilon _ { 0 } } } } \\ & { { - } { \frac { 1 } { \sqrt { h } } } \partial _ { i } \left( { \sqrt { h } } h ^ { i m } h ^ { j n } \partial _ { [ m } A _ { n ] } \right) + { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } } { \frac { \partial } { \partial t } } \left( { \frac { \partial A ^ { j } } { \partial t } } + \partial ^ { j } \varphi \right) = } \\ & { \qquad { - } \nabla _ { i } \nabla ^ { i } A ^ { j } + { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } } { \frac { \partial ^ { 2 } A ^ { j } } { \partial t ^ { 2 } } } + R _ { i } ^ { j } A ^ { i } + \nabla ^ { j } \left( \nabla _ { i } A ^ { i } + { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } } { \frac { \partial \varphi } { \partial t } } \right) = \mu _ { 0 } J ^ { j } } \end{array} }
- { \cal L } _ { m } = \frac { 1 } { 2 } \left( \tilde { B } _ { L } \tilde { W } _ { L } ^ { 0 } \tilde { H } _ { 1 L } ^ { 0 } \tilde { H } _ { 2 L } ^ { 0 } \right) { \cal M } _ { N } \left( \begin{array} { c } { { \tilde { B } _ { L } } } \\ { { \tilde { W } _ { L } ^ { 0 } } } \\ { { \tilde { H } _ { 1 L } ^ { 0 } } } \\ { { \tilde { H } _ { 2 L } ^ { 0 } } } \end{array} \right) + h . c . ,
1 3 5 a _ { 6 } a _ { 3 } ^ { 2 } - 2 2 5 a _ { 6 } a _ { 4 } a _ { 2 } + 2 7 a _ { 4 } ^ { 3 } - 9 0 a _ { 5 } a _ { 4 } a _ { 3 } + 1 2 5 a _ { 5 } ^ { 2 } a _ { 2 } = 0
\begin{array} { r l r } { \underset { m = r + p + 1 } { \overset { k } { \prod } } ( 2 r _ { \infty } - 2 m - 5 ) } & { = } & { \frac { \underset { m = r + p + 1 } { \overset { r _ { \infty } - 3 } { \prod } } ( 2 r _ { \infty } - 2 m - 5 ) } { \underset { m = k + 1 } { \overset { r _ { \infty } - 3 } { \prod } } ( 2 r _ { \infty } - 2 m - 5 ) } \frac { \underset { m = p + 1 } { \overset { r _ { \infty } - 3 } { \prod } } ( 2 r _ { \infty } - 2 m - 5 ) } { \underset { m = p + 1 } { \overset { r _ { \infty } - 3 } { \prod } } ( 2 r _ { \infty } - 2 m - 5 ) } } \\ & { = } & { \frac { 1 } { \underset { m = p + 1 } { \overset { r + p } { \prod } } ( 2 r _ { \infty } - 2 m - 5 ) } \frac { \underset { m = p + 1 } { \overset { r _ { \infty } - 3 } { \prod } } ( 2 r _ { \infty } - 2 m - 5 ) } { \underset { m = k + 1 } { \overset { r _ { \infty } - 3 } { \prod } } ( 2 r _ { \infty } - 2 m - 5 ) } } \end{array}
P _ { p } = \frac { v _ { g } } { 4 a } \int _ { V _ { c e l l } } \frac { \partial } { \partial \omega } [ \omega \epsilon _ { \omega } ( \mathbf { r } ) ] \vert \mathbf { E } _ { b } ( \mathbf { r } ) \vert ^ { 2 } d V ,
p _ { 1 } = - \frac { \partial p } { \partial t } - \frac { E _ { 0 } } { W A } \left( m \alpha ^ { m } - n \alpha ^ { n } \right) \frac { \partial ( A u ) } { \partial x } + \mathcal { O } \left( \tau _ { r } ^ { 2 } \right) .
\begin{array} { r l } { \left\lVert \frac { \partial h _ { j } ( y ^ { ( j ) } ) } { \partial x _ { m } } \right\rVert } & { \leq \sum _ { i } \Big | \frac { \partial y _ { i } } { \partial x _ { m } } \Big | \left\lVert \frac { \partial h _ { j } ( y ^ { ( j ) } ) } { \partial y _ { i } } \right\rVert } \\ & { \leq b 4 ^ { k } C \operatorname* { m a x } \left\lVert \frac { \partial h _ { j } ( y ^ { ( j ) } ) } { \partial y _ { i } } \right\rVert } \\ & { \leq b 4 ^ { k } C = O ( 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { D k } { D t } } & { = \mathcal { P } - \mathcal { E } + \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left[ \left( \nu + \sigma _ { k } \nu _ { t } \right) \frac { \partial k } { \partial x _ { j } } \right] } \\ { \mathcal { P } } & { = { - 2 k } b _ { i j } \frac { \partial u _ { i } } { \partial x _ { j } } \mathrm { , } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \frac { d } { d r } \left[ r ^ { 2 } \frac { d } { d r } \Psi ^ { \mathrm { e q } } ( r ) \right] = } \\ & { \left\{ \begin{array} { l l } { - \kappa _ { + , \mathrm { i n } } ^ { 2 } \mathrm { e } ^ { - ( \Psi ^ { \mathrm { e q } } - \Psi _ { R } ) } + \kappa _ { - , \mathrm { i n } } ^ { 2 } \mathrm { e } ^ { \Psi ^ { \mathrm { e q } } - \Psi _ { R } } } & { \textrm { f o r } r < R } \\ { \kappa _ { \mathrm { o u t } } ^ { 2 } \sinh \Psi ^ { \mathrm { e q } } } & { \textrm { f o r } r > R } \end{array} \right. , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { V _ { t } } & { : } & { | \uparrow \rangle \otimes | j \rangle \mapsto r | \uparrow \rangle \otimes | j \rangle + t | \downarrow \rangle \otimes | j - 1 \rangle } \\ & { } & { | \downarrow \rangle \otimes | j \rangle \mapsto r | \downarrow \rangle \otimes | j \rangle - t | \uparrow \rangle \otimes | j + 1 \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { U _ { p q } ^ { \mathrm { ( s q ) } } ( \theta ) = } & { { } \exp \Big ( - i \frac { \theta } { 2 } \big ( X _ { q } Y _ { p } - Y _ { q } X _ { p } \big ) \Big ) } \\ { U _ { p q r s } ^ { \mathrm { ( d q ) } } ( \theta ) = } & { { } \exp \Big ( - i \frac { \theta } { 8 } \big ( X _ { r } Y _ { s } X _ { p } X _ { q } + Y _ { r } X _ { s } X _ { p } X _ { q } + Y _ { r } Y _ { s } Y _ { p } X _ { q } + Y _ { r } Y _ { s } X _ { p } Y _ { q } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla W _ { \varepsilon } ^ { j } ( \tilde { X } _ { t \wedge T _ { \xi } } ^ { \xi } , T - t ) } & { { } = 1 _ { \left\{ t < T _ { \xi } \right\} } \nabla W _ { \varepsilon } ^ { j } ( \tilde { X } _ { t } ^ { \xi } , T - t ) , } \\ { \Delta W _ { \varepsilon } ^ { j } ( \tilde { X } _ { t \wedge T _ { \xi } } ^ { \xi } , T - t ) } & { { } = 1 _ { \left\{ t < T _ { \xi } \right\} } \Delta W _ { \varepsilon } ^ { j } ( \tilde { X } _ { t } ^ { \xi } , T - t ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Omega _ { 1 } ( x , y ) = \frac { \Omega _ { 0 } } { 4 } e ^ { - i ( \alpha _ { 1 } - \beta _ { 1 } ) } \left( e ^ { - i k _ { 0 } x } - \gamma e ^ { i k _ { 0 } x } \right) \left( e ^ { - i k _ { 0 } y } + \gamma e ^ { i k _ { 0 } y } \right) , } \\ & { \Omega _ { 2 } ( x , y ) = \frac { i \Omega _ { 0 } } { 4 } e ^ { - i ( \alpha _ { 1 } - \beta _ { 1 } ) } \left( e ^ { - i k _ { 0 } x } + \gamma e ^ { i k _ { 0 } x } \right) \left( - e ^ { - i k _ { 0 } y } + \gamma e ^ { i k _ { 0 } y } \right) , } \\ & { V _ { \mathrm { { l a t t } } } ( x , y ) = \gamma V _ { 0 } \left[ \cos ^ { 2 } ( k _ { 0 } x ) + \cos ^ { 2 } ( k _ { 0 } y ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { F ( c ) } _ { i } } & { = \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq j \leq m } \operatorname* { m i n } [ a _ { i j } , \operatorname* { m i n } _ { 1 \leq k \leq n } a _ { k j } \rightarrow _ { G } c _ { k } ] } \\ & { \leq \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq j \leq m } \operatorname* { m i n } [ a _ { i j } , a _ { i j } \rightarrow _ { G } c _ { i } ] } \\ & { = \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq j \leq m } \operatorname* { m i n } [ a _ { i j } , c _ { i } ] \quad ( \mathrm { b e c a u s e ~ } \operatorname* { m i n } ( x , x \rightarrow _ { G } y ) = \operatorname* { m i n } ( x , y ) ) } \\ & { \leq c _ { i } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Psi ( \vec { r } _ { 1 } , \vec { r } _ { 2 } ) = \sum _ { \mathfrak { n } } \, \lambda _ { \mathfrak { n } } \, \psi _ { \mathfrak { n } } ( \vec { r } _ { 1 } ) \, \psi _ { \mathfrak { n } } ( \vec { r } _ { 2 } ) \quad , } \end{array}
\delta \psi _ { M } ^ { \pm } = D _ { M } \eta ^ { \pm } \mp \frac { i a } { 5 ! } F _ { M _ { 1 } \ldots M _ { 5 } } \Gamma ^ { M _ { 1 } \ldots M _ { 5 } } \Gamma _ { M } \eta ^ { \pm } + \cdots ,
\omega _ { 3 } = \frac { 1 } { \operatorname* { d e t } M _ { p q } ( t , { \mathbf { u } } ) } \left( \frac { a } { 2 \sqrt { 2 } { u _ { 2 } } \sqrt { \log \left( \frac { { u _ { 1 } } } { { u _ { 2 } } ^ { 3 } } \right) } } - \frac { b } { 2 \sqrt { 2 } { u _ { 1 } } \sqrt { \log \left( \frac { { u _ { 2 } } } { { u _ { 1 } } } \right) } } \right) \, .
\begin{array} { r l } { h ( \theta ) - a \cdot u ( \theta ) - ( h ( \phi ) - a \cdot u ( \phi ) ) } & { = ( x - a ) \cdot u ( \theta ) - ( h ( \phi ) - a \cdot u ( \phi ) ) } \\ & { \le ( x - a ) \cdot u ( \theta ) - ( x - a ) \cdot u ( \phi ) } \\ & { = ( x - a ) \cdot ( u ( \theta ) - u ( \phi ) ) } \\ & { \le | x - a | | u ( \theta ) - u ( \phi ) | } \\ & { \le | \theta - \phi | . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \langle \phi _ { a } | p _ { i } ( H _ { S } - E _ { a } ) p _ { i } | \phi _ { a } \rangle } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \langle \phi _ { a } | [ p _ { i } , [ H _ { S } , p _ { i } ] ] + p ^ { 2 } H _ { S } + H _ { S } p ^ { 2 } | \phi _ { a } \rangle } \\ & { - E _ { a } \langle \phi _ { a } | p ^ { 2 } | \phi _ { a } \rangle = \frac { 1 } { 2 } \langle \phi _ { a } | [ p _ { i } , [ H _ { S } , p _ { i } ] ] | \phi _ { a } \rangle } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \langle \phi _ { a } | \Delta V | \phi _ { a } \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { R } } & { { } = - \big ( \Lambda _ { 1 } + \Lambda _ { 2 } e ^ { - 2 \lambda } - \Lambda _ { 3 } e ^ { - \lambda } + \Lambda _ { 4 } E _ { 1 } ( \lambda ) + \Lambda _ { 5 } K _ { 0 } ( 2 \lambda ) } \end{array}
J ( y , e _ { i } , u _ { 1 } ^ { * , \lambda _ { 0 } } , u _ { 2 } ^ { * , \lambda _ { 0 } } ) \geq \operatorname* { s u p } _ { u _ { 1 } \in \Theta _ { 1 } } J ( y , e _ { i } , u _ { 1 } , u _ { 2 } ^ { * } ) \geq \operatorname* { i n f } _ { u _ { 2 } \in \Theta _ { 2 } } \biggl ( \operatorname* { s u p } _ { u _ { 1 } \in \Theta _ { 1 } } J ( y , e _ { i } , u _ { 1 } , u _ { 2 } ) \biggr )
V _ { 0 } = v _ { 0 } = V _ { \mathrm { ~ a ~ p ~ p ~ r ~ } } ( q _ { t } ) \mathrm { ~ \ \ a ~ n ~ d ~ \ \ } V _ { 1 } = v _ { 1 } = V _ { \mathrm { ~ a ~ p ~ p ~ r ~ } } ^ { \prime } ( q _ { t } ) .
J = \left[ \begin{array} { l l } { - ( \gamma + \eta _ { Q } ) + 2 \gamma \overline { Q } _ { s } \overline { R } _ { s } } & { \gamma \overline { Q } _ { s } ^ { 2 } } \\ { - 2 \gamma \overline { Q } _ { s } \overline { R } _ { s } } & { - \gamma \overline { Q } _ { s } ^ { 2 } } \end{array} \right] .
\| \hat { \Phi } ^ { k } \| _ { \infty } \leq C ^ { \star } , \, \, \, \| \hat { \boldsymbol { U } } ^ { k } \| _ { \infty } \leq C ^ { \star } , \, \, \, \| \nabla _ { h } \hat { \Phi } ^ { k } \| _ { \infty } \leq C ^ { \star } , \, \, \, \| \nabla _ { h } \hat { \boldsymbol { U } } ^ { k } \| _ { \infty } \leq C ^ { \star } , \quad \forall \, k \ge 0 .
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \partial _ { t } \omega ^ { \nu } + \nabla \cdot \left( u ^ { \nu } \omega ^ { \nu } \right) = \nu \left( \Delta \omega ^ { \nu } + \frac { 1 } { r } \partial _ { r } \omega ^ { \nu } - \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \omega ^ { \nu } \right) \mathrm { ~ i n ~ } ( 0 , T ) \times \mathbb { H } , } \\ { u ^ { \nu } = G \ast \omega ^ { \nu } , } \\ { \omega ^ { \nu } ( 0 , \cdot ) = \omega _ { 0 } ^ { \nu } , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { 2 { \cal I } _ { h } ( w _ { h } ( 0 ) ) } & { = } & { \| u _ { h } ^ { \prime } ( 0 ) + \alpha u _ { h } ( 0 ) \| ^ { 2 } + \frac { \alpha _ { 1 } } { 2 } \| u _ { h } ( 0 ) \| ^ { 2 } + \| A _ { h } ^ { 1 / 2 } u _ { h } ( 0 ) \| ^ { 2 } + \int _ { \Omega } \left( \frac { \alpha _ { 1 } ^ { 2 } } { 4 } - \frac { \alpha \alpha _ { 1 } } { 2 } \right) | u _ { h } ( 0 ) | ^ { 2 } \; d x } \\ & { \leq } & { 2 \; { \cal E } _ { h } ^ { ( 1 ) } ( u _ { h } ( 0 ) ) + \frac { 1 } { 4 } \alpha _ { 1 } ^ { 2 } \| u _ { h } ( 0 ) \| ^ { 2 } \; d x } \\ & { \leq } & { \operatorname* { m a x } \left( 2 , \frac { \alpha _ { 1 } ^ { 2 } } { 4 \lambda _ { 1 } } \right) { \cal E } _ { h } ^ { ( 1 ) } ( u _ { h } ) ( 0 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ( \tau _ { t } ( A _ { \Lambda } ) ) _ { \Lambda } = e ^ { - \mathrm { i } \lambda t } A _ { \Lambda } + Z _ { \Lambda } ( t ) , \qquad \lambda \in \mathbb { R } } \\ & { \exists \gamma > 0 , \quad | \omega _ { t } ( A _ { \Lambda } ^ { \dagger } A _ { \Lambda } ) | \le \gamma | \Lambda | , \quad \forall t , \Lambda , } \\ & { \operatorname* { l i m } _ { \Lambda \to \infty } \omega _ { t } ( A _ { \Lambda } ^ { \dagger } O ) \in \mathbb { C } , \qquad \forall t , O \in \mathfrak { U } _ { l o c } } \end{array}
\phi ( r ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { 8 } ( 3 - 2 | r | + \sqrt { 1 + 4 | r | - 4 | r | ^ { 2 } } ) , } & { 0 \leq | r | < 1 } \\ { \frac { 1 } { 8 } ( 5 - 2 | r | - \sqrt { - 7 + 1 2 | r | - 4 | r | ^ { 2 } } ) , } & { 1 \leq | r | < 2 } \\ { 0 , } & { 2 \leq | r | . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \mathcal { M } ( p _ { a } , p _ { b } \to k _ { 1 } , k _ { 2 } ) \delta ^ { ( 4 ) } ( p _ { a } + p _ { b } - k _ { 1 } - k _ { 2 } ) \sim } \\ & { \operatorname* { l i m } _ { p _ { a } ^ { 2 } , p _ { b } ^ { 2 } , k _ { 1 } ^ { 2 } , k _ { 2 } ^ { 2 } \to m ^ { 2 } } ( p _ { a } ^ { 2 } - m ^ { 2 } ) ( p _ { b } ^ { 2 } - m ^ { 2 } ) ( k _ { 1 } ^ { 2 } - m ^ { 2 } ) ( k _ { 2 } ^ { 2 } - m ^ { 2 } ) G ( p _ { a } , p _ { b } , - k _ { 1 } , - k _ { 2 } ) . } \end{array}
P ( Q ) = \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { j _ { 1 } \left( Q \sqrt { r _ { a } ^ { 2 } + x ^ { 2 } ( r _ { b } ^ { 2 } - r _ { a } ^ { 2 } ) } \right) ^ { 2 } } { \left( Q \sqrt { r _ { a } ^ { 2 } + x ^ { 2 } ( r _ { b } ^ { 2 } - r _ { a } ^ { 2 } ) } \right) ^ { 4 } } \, \mathrm { ~ d ~ } x \, ,
\begin{array} { r l } { \theta : B [ [ x _ { B } ; \sigma _ { B } , \delta _ { B } ] ] \times C [ [ x _ { C } ; \sigma _ { C } , \delta _ { C } ] ] } & { \to R [ [ x ; \sigma , \delta ] ] } \\ { \left( \sum _ { i \geq 0 } b _ { i } x _ { B } ^ { i } , \sum _ { i \geq 0 } c _ { i } x _ { C } ^ { i } \right) } & { \mapsto \sum _ { i \geq 0 } ( j _ { B } ( b _ { i } ) , j _ { C } ( c _ { i } ) ) x ^ { i } } \end{array}
\begin{array} { r l } { K _ { t t \alpha } ^ { - } } & { { } = h _ { t t } + 2 ( t t | i i ) - ( t i | t i ) + ( t t | t t ) - ( t t | t t ) = - ( \mathrm { ~ I ~ P ~ } ) _ { t } } \\ { K _ { t t \beta } ^ { + } } & { { } = h _ { t t } + 2 ( t t | i i ) - ( t i | t i ) + ( t t | t t ) = - ( \mathrm { ~ E ~ A ~ } ) _ { t } } \end{array}
\begin{array} { c c c } { { \Gamma ^ { \hat { \mu } } = \left( \begin{array} { l l } { { 0 } } & { { \gamma ^ { \hat { \mu } } } } \\ { { \tilde { \gamma } ^ { \hat { \mu } } } } & { { 0 } } \end{array} \right) \, , ~ ~ ~ ~ } } & { { ~ ~ ~ ~ \gamma ^ { \mu } = \tilde { \gamma } ^ { \mu } \, , ~ ~ ~ ~ \gamma ^ { 5 } = - \tilde { \gamma } ^ { 5 } = 1 \, . } } \end{array}
u _ { j } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } , \ast } = 2 u _ { j } ^ { n } - \left( \mu _ { - } u _ { j } ^ { n , - } + \mu _ { + } u _ { j } ^ { n , + } \right) - \frac { \Delta t } { 2 \Delta x _ { j } } ( f ( u _ { j } ^ { n , - } ) - f ( u _ { j } ^ { n , + } ) )
\begin{array} { r l } & { \begin{array} { r l } & { \| e _ { 3 } ^ { 1 } \| _ { H ^ { 1 } } \leq C ( M _ { 2 } ) \| e ^ { i s \Delta } v _ { 0 } - v _ { 0 } \| _ { H ^ { 1 } } \leq C ( M _ { 2 } ) \sqrt { \tau } \| v _ { 0 } \| _ { H ^ { 2 } } \leq C ( M _ { 2 } ) \sqrt { \tau } , } \\ & { \| e _ { 3 } ^ { 2 } \| _ { H ^ { 1 } } \leq C ( M _ { 2 } ) \| v _ { 0 } - P _ { N } v _ { 0 } \| _ { H ^ { 1 } } \leq C ( M _ { 2 } ) h \| v _ { 0 } \| _ { H ^ { 2 } } \leq C ( M _ { 2 } ) h , } \end{array} } \\ & { \begin{array} { r l } & { \| e _ { 3 } ^ { 3 } \| _ { H ^ { 1 } } \lesssim \sqrt { \tau } \| P _ { N } B ( P _ { N } v _ { 0 } ) \| _ { H ^ { 2 } } \leq \sqrt { \tau } \| B ( P _ { N } v _ { 0 } ) \| _ { H ^ { 2 } } \leq C ( M _ { 2 } ) \sqrt { \tau } , } \\ & { \| e _ { 3 } ^ { 4 } \| _ { H ^ { 1 } } \lesssim h \| B ( P _ { N } v _ { 0 } ) \| _ { H ^ { 2 } } \leq C ( M _ { 2 } ) h , } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { P } _ { 1 } } & { { } = \boldsymbol \chi _ { 1 } ^ { \mathrm { { f i x } } } , \quad w _ { 1 } = 1 \quad \mathrm { ~ a ~ t ~ } \quad \xi = 0 , } \\ { \mathbf { P } _ { 3 } } & { { } = \boldsymbol \chi _ { 2 } ^ { \mathrm { { f i x } } } , \quad w _ { 3 } = 1 \quad \mathrm { ~ a ~ t ~ } \quad \xi = 1 , } \end{array}
k = \frac { 4 \sqrt { \pi } } { \Gamma ( 5 / 6 ) \Gamma ( 2 / 3 ) } \left[ \frac { \Gamma ( 4 / 5 ) \Gamma ( 3 / 5 ) } { 1 0 0 \Gamma ( 1 / 5 ) \Gamma ( 2 / 5 ) } \right] ^ { 5 / 2 4 }
\Delta _ { 2 , 3 } = \sqrt { \rho _ { b } } \stackrel [ m = 1 ] { M } { \sum } \stackrel [ n = 1 ] { N } { \sum } \tilde { h } _ { r , k , n m } ^ { H } \tilde { g } _ { n m } ^ { H } e ^ { - j \varphi _ { m } } a _ { N , n } \left( \phi _ { b } ^ { a } , \phi _ { b } ^ { e } \right) \stackrel [ m = 1 ] { M } { \sum } a _ { M , m } ^ { H } \left( \phi _ { r } ^ { a } , \phi _ { r } ^ { e } \right) e ^ { j \bar { \varphi _ { m } } } e ^ { j \varphi _ { m } }
( \rho , u , v , p ) = \left\{ \begin{array} { l l } { ( 1 . 5 , 0 , 0 , 1 . 5 ) } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } x > 0 . 5 , y > 0 . 5 , } \\ { ( 0 . 5 3 2 3 , 1 . 2 0 6 , 0 , 0 . 3 ) } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } x < 0 . 5 , y > 0 . 5 , } \\ { ( 0 . 1 3 8 , 1 . 2 0 6 , 1 . 2 0 6 , 0 . 0 2 9 ) } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } x < 0 . 5 , y < 0 . 5 , } \\ { ( 0 . 5 3 2 3 , 0 , 1 . 2 0 6 , 0 . 3 ) } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } x > 0 . 5 , y < 0 . 5 . } \end{array} \right.
n _ { \perp } ^ { \mu } = ( 0 , \; 0 , \; \frac { 1 } { r } , \; 0 ) , \; \; n _ { \parallel } ^ { \mu } = ( \frac { \dot { r } } { a r } , \; \frac { \dot { t } a } { r } , \; 0 , \; 0 ) ,
O _ { \widehat { m } } ^ { s t a b } = \frac { \mathcal { M } _ { \widehat { k } } ^ { 2 / 5 } \ell _ { b } - \pi ^ { - 1 / 3 } \ell _ { b } } { \pi ^ { - 1 / 3 } \ell _ { b } } = \pi ^ { 1 / 3 } \mathcal { M } _ { \widehat { k } } ^ { 2 / 5 } - 1 .
\begin{array} { r } { c _ { 1 } = \left. \frac { \partial { \cal L } } { \partial { \cal F } } \right| _ { { \bf B } _ { 0 } } , \left. c _ { 2 } = \frac { \partial { \cal L } } { \partial { \cal G } } \right| _ { { \bf B } _ { 0 } } , \left. d _ { 1 } = \frac { \partial ^ { 2 } { \cal L } } { \partial { \cal F } ^ { 2 } } \right| _ { { \bf B } _ { 0 } } , } \\ { \left. d _ { 2 } = \frac { \partial ^ { 2 } { \cal L } } { \partial { \cal G } ^ { 2 } } \right| _ { { \bf B } _ { 0 } } , \left. d _ { 3 } = \frac { \partial ^ { 2 } { \cal L } } { \partial { \cal F } \partial { \cal G } } \right| _ { { \bf B } _ { 0 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega _ { n } } \frac { \partial ( \rho _ { 2 } \phi _ { 2 } ) _ { n } } { \partial t } \varphi _ { i } d \Omega } & { { } - \int _ { \Omega _ { n } } ( \rho _ { 2 } \phi _ { 2 } ) _ { n } \textbf { u } _ { n } \cdot \nabla \varphi _ { i } d \Omega + \oint _ { \partial \Omega _ { n } } \widehat { ( \rho _ { 2 } \phi _ { 2 } ) _ { n } \textbf { u } _ { n } } \cdot \widehat { \textbf { m } } \varphi _ { i } d S = } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( T z ) - f ( z ) } & { = \tilde { L } _ { 2 } ( \varepsilon , \delta ) - \tilde { L } _ { 2 } ( \varepsilon , 0 ) } \\ & { = L _ { 1 } ( \varepsilon , \delta ) + O ( \delta ^ { 2 } \varepsilon ^ { 2 } ) + O ( \delta \varepsilon ^ { 3 } ) } \\ & { = d ( T z , z ) + O ( \delta ^ { 2 } \varepsilon ^ { 2 } ) + O ( \delta \varepsilon ^ { 3 } ) } \\ & { = d ( x _ { 0 } , y ) ( 1 + O ( \varepsilon ^ { 2 } ) ) + O ( \delta ^ { 2 } \varepsilon ^ { 2 } ) + O ( \delta \varepsilon ^ { 3 } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { P _ { n _ { 1 } n _ { 2 } } H Q ( Q H Q - E ) ^ { - 1 } Q H P _ { n _ { 1 } n _ { 2 } } = P _ { n _ { 1 } n _ { 2 } } V Q \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( G _ { Q } V ) ^ { n } G _ { Q } Q V P _ { n _ { 1 } n _ { 2 } } \sim \mathcal O ( \frac { | | V | | } { \Gamma } ) , } \end{array}
r \left( \lambda \right) \sim \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 2 } { \lambda } \mathrm { e } ^ { - 1 / \lambda } } & { \lambda \to 0 } \\ { \frac { 1 } { 1 + \frac { 1 } { 6 \lambda ^ { 2 } } } } & { \lambda \to \infty } \end{array} \right. .
\begin{array} { c } { { \phi _ { q q q } ^ { P } ( x _ { i } , Q ^ { 2 } ) = 1 2 0 x _ { 1 } x _ { 2 } x _ { 3 } \left\{ \right. 1 + { \frac { 2 1 } { 2 } } \left( { \frac { \alpha _ { S } ( Q ^ { 2 } ) } { \alpha _ { S } ( Q _ { 0 } ^ { 2 } ) } } \right) ^ { \lambda _ { 1 } } A _ { 1 } P _ { 1 } ( x _ { i } ) } } \\ { { + { \frac { 7 } { 2 } } \left( { \frac { \alpha _ { S } ( Q ^ { 2 } ) } { \alpha _ { S } ( Q _ { 0 } ^ { 2 } ) } } \right) ^ { \lambda _ { 2 } } A _ { 2 } P _ { 2 } ( x _ { i } ) + . . . \left. \right\} . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { N ( \infty ) } & { = \frac { \epsilon _ { \mathrm { { d } } } ^ { 2 } \left( \epsilon _ { \mathrm { + } } ^ { 3 } + \epsilon _ { \mathrm { + } } \right) } { 2 \epsilon _ { \mathrm { { d } } } ^ { 2 } \left( 2 \epsilon _ { \mathrm { + } } ^ { 2 } - 1 \right) + 2 \epsilon _ { \mathrm { { m } } } \left( \epsilon _ { \mathrm { + } } ^ { 2 } - 1 \right) ^ { 2 } } } \\ & { \sim \frac { \epsilon _ { \mathrm { { m } } } ^ { 3 } \epsilon _ { \mathrm { { d } } } ^ { 2 } } { 2 \left( \epsilon _ { \mathrm { { m } } } ^ { 2 } \epsilon _ { \mathrm { { d } } } ^ { 2 } + \epsilon _ { \mathrm { { m } } } ^ { 5 } \right) } \rightarrow 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { E _ { s c } } } & { = - \frac { \eta k } { 4 } \sqrt { \frac { 2 } { \pi k \rho } } \left[ I _ { 1 } e ^ { - j k \rho - j \frac { k d \cos ( \varphi ) } { 2 } - j \frac { \pi } { 4 } } + I _ { 2 } e ^ { - j k \rho + j \frac { k d \cos ( \varphi ) } { 2 } - j \frac { \pi } { 4 } } \right] \hat { z } = } \\ & { = - \frac { \eta k } { 4 } \sqrt { \frac { 2 } { \pi k \rho } } e ^ { - j k \rho - j \frac { \pi } { 4 } } \left[ I _ { 1 } e ^ { - j \frac { k d \cos ( \varphi ) } { 2 } } + I _ { 2 } e ^ { j \frac { k d \cos ( \varphi ) } { 2 } } \right] \hat { z } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { 2 \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { \ell } \rho ( x ) \left( u _ { n } ^ { \prime \prime } \right) ^ { 2 } d x d \tau } & { \leq } & { R _ { 2 } \ell ^ { 3 } ( 1 + T ) \Vert g ^ { \prime } \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } ^ { 2 } + R _ { 3 } \Vert v _ { 0 } \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , \ell ) } ^ { 2 } } \\ & { } & { + R _ { 4 } \Vert u _ { 0 , x x } \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , \ell ) } ^ { 2 } + \left( \kappa _ { 1 } + 1 \right) \Vert v _ { 0 , x x } \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , \ell ) } ^ { 2 } , ~ ~ ~ ~ } \end{array}
\left\lfloor { \frac { n } { 3 } } \right\rfloor + \left\lfloor { \frac { n + 2 } { 6 } } \right\rfloor + \left\lfloor { \frac { n + 4 } { 6 } } \right\rfloor = \left\lfloor { \frac { n } { 2 } } \right\rfloor + \left\lfloor { \frac { n + 3 } { 6 } } \right\rfloor ,
( c _ { i j } ) = \left( \begin{array} { l l l l } { \frac { c _ { 1 1 } } { c _ { 1 1 } } } & { \frac { c _ { 1 2 } } { c _ { 2 2 } } } & { \dots } & { \frac { c _ { 1 d } } { c _ { d d } } } \\ { \frac { c _ { 2 1 } } { c _ { 1 1 } } } & { \frac { c _ { 2 2 } } { c _ { 2 2 } } } & { \dots } & { \frac { c _ { 2 d } } { c _ { d d } } } \\ { \vdots } & { \dots } & { \ddots } & { \dots } \\ { \frac { c _ { d 1 } } { c _ { 1 1 } } } & { \dots } & { \dots } & { \frac { c _ { d d } } { c _ { d d } } } \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array} { l l l l } { c _ { 1 1 } } & & & \\ & { \ddots } & & \\ & & { \ddots } & \\ & & & { c _ { d d } } \end{array} \right)
T ( \vec { k ^ { \prime } } , n ^ { \prime } ; \vec { k } , n ) = \frac { - 1 } { 8 \pi ^ { 2 } } \int d \vec { x ^ { \prime } } \int _ { o } ^ { 2 \pi } d \phi ^ { \prime } e ^ { - i \vec { k ^ { \prime } } . \vec { x ^ { \prime } } } e ^ { - i n ^ { \prime } \phi ^ { \prime } } V ( x ^ { \prime } , \phi ^ { \prime } ) \Psi _ { \vec { k } , \vec { n } } ( x ^ { \prime } , \phi ^ { \prime } ) ,
\begin{array} { r } { \frac { d } { d t } \left( \begin{array} { l } { \theta ( t ) } \\ { y ( t ) } \\ { z ( t ) } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 2 \pi } \partial _ { y } \mathcal { H } _ { \zeta } ( \theta , y , z ) } \\ { - \frac { 1 } { 2 \pi } \partial _ { \theta } \mathcal { H } _ { \zeta } ( \theta , y , z ) } \\ { \partial _ { x } \left( \nabla _ { z } \mathcal { H } _ { \zeta } ( \theta , y , z ) \right) } \end{array} \right) , } \end{array}
\pmb { H } ^ { ( l + 1 ) } = \sigma ( \pmb { H } ^ { ( l ) } \pmb { W } _ { 0 } + \pmb { D } ^ { - \frac 1 2 } \pmb { A } \pmb { D } ^ { - \frac 1 2 } \pmb { H } ^ { ( l ) } \pmb { W } _ { 1 } )