harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\Delta ( x | z _ { 1 } | z _ { 2 } , \cdots , z _ { N } ) = ( x - z _ { 1 } \tau ) \sum _ { \kappa = 0 } ^ { N - 3 } ( 1 - \tau ^ { 2 ( N - 2 - \kappa ) } ) ( - \tau ) ^ { \kappa } x ^ { N - 3 - \kappa } \sum _ { \lambda = 0 } ^ { \kappa } ( - z _ { 1 } \tau ^ { 2 } ) ^ { \lambda } \sigma _ { \kappa - \lambda } ( z _ { 2 } \cdots z _ { N } ) ,
\begin{array} { r } { \mathcal { F } = \int _ { V } \mathrm { d } r \frac { 1 } { 2 } \left[ \alpha \phi _ { A } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 6 } \phi _ { A } ^ { 4 } + \beta \phi _ { B } ^ { 2 } + \gamma ( \nabla \phi _ { A } ) ^ { 2 } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { \left\langle \Delta \hat { N } _ { a b } \right\rangle = [ \left\langle \hat { N } _ { a b } ^ { 2 } \right\rangle - \left\langle \hat { N } _ { a b } \right\rangle ^ { 2 } ] ^ { 1 / 2 } = \sqrt { B N } , } & \\ & { \left\vert \partial \left\langle \hat { N } _ { a b } \right\rangle / \partial \phi \right\vert = 2 C N \left\vert \sin \phi \right\vert , } & \\ & { \delta \phi _ { \mathrm { d f } } = \frac { \left\langle \Delta \hat { N } _ { a b } \right\rangle } { \left\vert \partial \left\langle \hat { N } _ { a b } \right\rangle / \partial \phi \right\vert } = \frac { \sqrt { B } } { 2 C \left\vert \sin \phi \right\vert } \cdot \frac { 1 } { \sqrt { N } } . } & \end{array}
\langle \psi | \equiv ( { \boldsymbol { \psi } } , \cdot ) = \sum _ { n } ( { \boldsymbol { e } } _ { n } \psi _ { n } , \cdot ) = \sum _ { n } ( { \boldsymbol { e } } _ { n } , \cdot ) \, \psi _ { n } ^ { * }
\begin{array} { r } { e ^ { k c T ( y - 1 ) } = 1 + k c T ( y - 1 ) + \frac { ( k c T ( y - 1 ) ) ^ { 2 } } { 2 ! } + \frac { ( k c T ( y - 1 ) ) ^ { 3 } } { 3 ! } } \\ { - e ^ { 4 k c T ( y - 1 ) } = - 1 - 4 k c T ( y - 1 ) - \frac { ( 4 k c T ( y - 1 ) ) ^ { 2 } } { 2 ! } - \frac { ( 4 k c T ( y - 1 ) ) ^ { 3 } } { 3 ! } } \\ { - 3 e ^ { 2 k c T ( y - 1 ) } = - 3 - 6 k c T ( y - 1 ) - 3 \frac { ( 2 k c T ( y - 1 ) ) ^ { 2 } } { 2 ! } - 3 \frac { ( 2 k c T ( y - 1 ) ) ^ { 3 } } { 3 ! } } \\ { 3 e ^ { 3 k c T ( y - 1 ) } = 3 + 9 k c T ( y - 1 ) + 3 \frac { ( 3 k c T ( y - 1 ) ) ^ { 2 } } { 2 ! } + 3 \frac { ( 3 k c T ( y - 1 ) ) ^ { 3 } } { 3 ! } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Rightarrow \ \ \ \ \ \ } & { { } \frac { P _ { i } f _ { i } } { P _ { j } f _ { j } } = e ^ { \theta C _ { j } - \theta C _ { i } } = \frac { e ^ { - \theta C _ { i } } } { e ^ { - \theta C _ { j } } } } \\ { \Rightarrow \ \ \ \ \ \ } & { { } \frac { \sum _ { k = 1 } ^ { N } P _ { k } f _ { k } } { P _ { i } f _ { i } } = \frac { \sum _ { k = 1 } ^ { N } e ^ { - \theta C _ { k } } } { e ^ { - \theta C _ { i } } } } \\ { \Rightarrow \ \ \ \ \ \ } & { { } f _ { i } = \frac { \sum _ { k = 1 } ^ { N } P _ { k } f _ { k } } { P _ { i } } \frac { e ^ { - \theta C _ { i } } } { \sum _ { k = 1 } ^ { N } e ^ { - \theta C _ { k } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { u } ( J _ { \boldsymbol { \lambda } ^ { n } } ( \beta ^ { 0 } + u ^ { 0 } / \sqrt { n } ) ) } & { = c o n \left\{ S _ { \mathfrak { p } _ { 0 } } \Sigma \Pi _ { \mathfrak { p } _ { 0 } } \boldsymbol { \lambda } ^ { n } / \sqrt { n } : \Sigma \in \mathcal { S } _ { \mathcal { I } ( \mathfrak { p } _ { 0 } ) } ^ { + / - } \right\} } \\ & { \overset { d _ { H } } { \longrightarrow } c o n \left\{ S _ { \mathfrak { p } _ { 0 } } \Sigma \Pi _ { \mathfrak { p } _ { 0 } } \boldsymbol { \lambda } : \Sigma \in \mathcal { S } _ { \mathcal { I } ( \mathfrak { p } _ { 0 } ) } ^ { + / - } \right\} = \partial J _ { \boldsymbol { \lambda } , \beta ^ { 0 } } ( u ^ { 0 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda \widehat { u } } & { { } = - \left( D \xi ^ { 2 } + \mu + \beta i _ { e } \right) \widehat { u } - \left( \mu + \nu + \mu p ^ { \prime } ( i _ { e } ) \widehat { Q } _ { s p a c e } ( \xi ) \widehat { Q } _ { t i m e } ( \lambda ) \right) \widehat { v } , } \\ { \lambda \widehat { v } } & { { } = \beta i _ { e } \widehat { u } - D \xi ^ { 2 } \widehat { v } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { I ( - 1 _ { i } ) } & { { } = \frac { 1 } { X \sqrt { X _ { i } } } \, e ^ { - R ^ { 2 } \, Y / X } \, F \Bigg [ R ^ { 2 } \bigg ( \frac { Y _ { i } } { X _ { i } } - \frac { Y } { X } \bigg ) \Bigg ] , } \end{array}
M _ { g a u g e } ^ { 2 } = \frac { 1 } { 4 } { v _ { L } ^ { 2 } } \left( \begin{array} { c c c } { { g ^ { 2 } } } & { { - g g _ { L } } } & { { g g _ { R } } } \\ { { - g g _ { L } } } & { { g _ { L } ^ { 2 } } } & { { - g _ { L } g _ { R } } } \\ { { g g _ { R } } } & { { - g _ { L } g _ { R } } } & { { g _ { R } ^ { 2 } ( 1 + b ) } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { M _ { x _ { i } ^ { t } x _ { i } ^ { t + 1 } } ^ { i \setminus j } } & { = \left( \begin{array} { c c c } { \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) e ^ { \sum _ { k \in \partial i \setminus j } m _ { k \setminus i } ^ { t } { \nu } _ { k i } ^ { t } } p \left( O _ { i } ^ { t } \mid S \right) } & { \left[ 1 - \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) e ^ { \sum _ { k \in \partial i \setminus j } m _ { k \setminus i } ^ { t } { \nu } _ { k i } ^ { t } } \right] p \left( O _ { i } ^ { t } \mid S \right) } & { 0 } \\ { 0 } & { ( 1 - r _ { i } ^ { t } ) e ^ { \sum _ { k \in \partial i \setminus j } \nu _ { i k } ^ { t } \mu _ { k \setminus i } ^ { t } } p ( \mathcal { O } _ { i } ^ { t } | I ) } & { r _ { i } ^ { t } e ^ { \sum _ { k \in \partial i \setminus j } \nu _ { i k } ^ { t } \mu _ { k \setminus i } ^ { t } } p ( \mathcal { O } _ { i } ^ { t } | I ) } \\ { 0 } & { 0 } & { p ( \mathcal { O } _ { i } ^ { t } | R ) } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial \mathcal { F } } { \partial u } } & { = } & { \varepsilon ( 3 u ^ { 2 } + \varepsilon + q _ { 2 } ) } \\ { \frac { \partial \mathcal { F } } { \partial v } } & { = } & { \pm 2 \varepsilon v , } \\ { \frac { \partial \mathcal { F } } { \partial \varepsilon } } & { = } & { u ^ { 3 } + 2 \varepsilon u + 2 \varepsilon + q _ { 2 } u + q _ { 1 } \pm v ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } { \bf u } + ( { \bf u } \cdot \nabla ) { \bf u } } & { = - \nabla p + \sqrt { \frac { P r } { R a } } \nabla ^ { 2 } { \bf u } + T \hat { z } \, , } \\ { \partial _ { t } T + ( { \bf u } \cdot \nabla ) T } & { = { \frac { 1 } { \sqrt { R a P r } } } \nabla ^ { 2 } T \, , } \\ { \nabla \cdot { \bf u } } & { = 0 \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { t } ^ { ( \alpha , \beta ) } } & { ( n , m ) = r _ { n , m } ^ { 1 } t I _ { t } ^ { ( \alpha + 2 , \beta + 1 , \alpha , \beta , \alpha + 2 , \beta + 1 ) } { ( n - 1 , m ) } } \\ & { - r _ { n , m } ^ { 2 } t I _ { t } ^ { ( \alpha + 1 , \beta , \alpha + 1 , \beta + 1 , \alpha + 2 , \beta + 1 ) } { ( n , m - 1 ) } + r _ { n , m } ^ { 3 } I _ { t } ^ { ( \alpha + 1 , \beta , \alpha + 1 , \beta + 1 , \alpha + 1 , \beta + 1 ) } { ( n , m - 1 ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde { \lambda } _ { k } } & { = \operatorname* { m a x } _ { V \in \mathbb { R } ^ { k } } \operatorname* { m i n } _ { x \in V } { \frac { x ^ { H } ( A _ { n } + B _ { n } ) x } { x ^ { H } x } } \geq \operatorname* { m i n } _ { x \in \widetilde { W } } { \frac { x ^ { H } ( A _ { n } + B _ { n } ) x } { x ^ { H } x } } } \\ & { \geq \operatorname* { m i n } _ { x \in \widetilde { W } } { \frac { x ^ { H } A _ { n } x } { x ^ { H } x } } + \operatorname* { m i n } _ { x \in \widetilde { W } } { \frac { x ^ { H } B _ { n } x } { x ^ { H } x } } \geq \lambda _ { k } - \operatorname* { m a x } _ { x \in \widetilde { W } } { \left| \frac { x ^ { H } B _ { n } x } { x ^ { H } x } \right| } } \\ & { \geq \lambda _ { k } - \operatorname* { m a x } _ { x \in \mathbb { R } ^ { n } } { \left| \frac { x ^ { H } B _ { n } x } { x ^ { H } x } \right| } = \lambda _ { k } - \Vert B _ { n } \Vert _ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { s 1 } } & { : ~ ~ \frac { \partial f _ { s } } { \partial t } + \nabla _ { x } \cdot \left( \textbf { u } f _ { s } \right) = \frac { g _ { s } - f _ { s } } { \tau _ { s } } , } \\ { \mathcal { L } _ { s 2 } } & { : ~ ~ \frac { \partial f _ { s } } { \partial t } + \nabla _ { u } \cdot \left( \textbf { a } f _ { s } \right) = 0 , } \end{array}
S = 1 - \sum _ { j } \frac { \omega _ { p j } ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } - \Omega _ { j } ^ { 2 } } , P = 1 - \sum _ { j } \frac { \omega _ { p j } ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } } , D = \sum _ { j } \frac { \Omega _ { j } } { \omega } \frac { \omega _ { p j } ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } - \Omega _ { j } ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { \varsigma = } & { \rho _ { 2 } ( w _ { 2 \, x } - u _ { 2 \, z } ) + \big ( \rho _ { 1 } ( w _ { 1 \, x } - u _ { 1 \, z } ) - \rho _ { 2 } ( w _ { 2 \, x } - u _ { 2 \, z } ) \theta ( z - \zeta ( x ) ) } \\ & { - \big ( \rho _ { 1 } u _ { 1 } ( x , z ) - \rho _ { 2 } u _ { 2 } ( x , z ) + \zeta _ { x } ( \rho _ { 1 } w _ { 1 } ( x , z ) - \rho _ { 2 } w _ { 2 } ( x , z ) ) \big ) \delta ( z - \zeta ( x ) ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left[ T _ { \Omega } \circ \rho \right] ( \mathbf { x } _ { t + \tau } ) \triangleq \frac { 1 } { \mu ( \mathbf { x } _ { t + \tau } ) } \int _ { x _ { t } } \mu ( \mathbf { x } _ { t } ) \rho ( \mathbf { x } _ { t } ) p ( \mathbf { x } _ { t + \tau } \mid \mathbf { x } _ { t } ) \mathrm { d } \mathbf { x } _ { t } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left\{ F , G \right\} _ { D } } & { = } & { \left\{ F , G \right\} - \left( \frac { \partial F } { \partial \eta } \right) ^ { T } \mathbf { C } ^ { - 1 } \mathbf { C J } \frac { \partial G } { \partial \eta } } \\ { \left( \frac { \partial F } { \partial t } \right) _ { D } } & { = } & { \frac { \partial F } { \partial t } - \left( \frac { \partial F } { \partial \eta } \right) ^ { T } \mathbf { C } ^ { - 1 } \frac { \partial c } { \partial t } \quad . } \end{array}
\frac { 1 } { J } \sum _ { a _ { 1 } , \ldots , a _ { 6 } = 1 } ^ { J } \delta _ { a _ { 1 } + \ldots + a _ { 6 } , J } \, \exp \frac { 2 \pi i n ( a _ { 2 } + a _ { 3 } ) } { J } \, \exp \frac { 2 \pi i m ( a _ { 1 } + a _ { 4 } ) } { J } .
\chi [ { \cal M } _ { \alpha } ] = { \frac { 1 } { 3 2 \pi ^ { 2 } } } \int _ { { \cal M } _ { \alpha } / \Sigma } ( R ^ { 2 } - 4 R _ { \mu \nu } ^ { 2 } + R _ { \mu \nu \alpha \beta } ^ { 2 } ) + ( 1 - \alpha ) \chi [ \Sigma ] ~ ~ ~ ,
\begin{array} { r l r l } { - \operatorname { d i v } \big ( y ^ { \alpha } \mathfrak { A } _ { x } \nabla { \mathcal { U } } ^ { \mathcal { Y } } \big ) } & { = 0 } & & { \mathrm { i n ~ \mathbb { R } ^ { d } ~ \times ~ ( 0 , \mathcal { Y } ) ~ } , } \\ { d _ { \beta } ^ { - 1 } \partial _ { \nu ^ { \alpha } } { \mathcal { U } } ^ { \mathcal { Y } } + s \mathrm { t r _ { 0 } } { \mathcal { U } } ^ { \mathcal { Y } } } & { = f } & & { \mathrm { o n ~ \mathbb { R } ^ { d } ~ \times ~ \{ 0 \} ~ } , } \\ { \partial _ { y } { \mathcal { U } } ^ { \mathcal { Y } } } & { = 0 } & & { \mathrm { o n ~ \mathbb { R } ^ { d } ~ \times ~ \{ \mathcal { Y } \} ~ } . } \end{array}
\begin{array} { r c l r c l } { { \lambda _ { 1 } } } & { { = } } & { { \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) } } & { { \lambda _ { 2 } } } & { { = } } & { { \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { - i } } & { { 0 } } \\ { { i } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { \lambda _ { 3 } } } & { { = } } & { { \left( \begin{array} { c c c } { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) } } & { { \lambda _ { 4 } } } & { { = } } & { { \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { \lambda _ { 5 } } } & { { = } } & { { \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { 0 } } & { { - i } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { i } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) } } & { { \lambda _ { 6 } } } & { { = } } & { { \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right) } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { \lambda _ { 7 } } } & { { = } } & { { \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { - i } } \\ { { 0 } } & { { i } } & { { 0 } } \end{array} \right) } } & { { \lambda _ { 8 } } } & { { = } } & { { \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } \left( \begin{array} { c c c } { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { - 2 } } \end{array} \right) } } \end{array}
V ( \alpha \mathbf { r } _ { 1 } , \alpha \mathbf { r } _ { 2 } , \ldots , \alpha \mathbf { r } _ { N } ) = \alpha ^ { N } V ( \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r } _ { 2 } , \ldots , \mathbf { r } _ { N } )
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { \| x \otimes y \| = 1 } { \| P _ { g ( S ) } ( x \otimes y ) \| ^ { 2 } } } & { \leqslant \operatorname* { s u p } _ { \| x \otimes y \| = 1 } { \| P _ { Q ( \tilde { S } ) } ( x \otimes y ) \| ^ { 2 } } \leqslant \operatorname* { s u p } _ { \| x \otimes y \| = 1 } { \| P _ { \tilde { S } } ( x \otimes y ) \| ^ { 2 } } } \\ & { = 1 - M _ { d + 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { f _ { i } } _ { 0 } ^ { 0 } ( x ) } & { = } & { F ( x ; 1 ) , } \\ { { f _ { i } } _ { 0 } ^ { 1 } ( x ) } & { = } & { F ( x ; { W _ { i } } _ { 0 } ^ { 1 } ( x ) ) , } \\ { { f _ { i } } _ { 1 } ^ { 0 } ( x ) } & { = } & { F ( x ; { W _ { i } } _ { 1 } ^ { 0 } ( x ) ) , } \\ { { f _ { i } } _ { 0 } ^ { 2 } ( x ) } & { = } & { F ( x ; { W _ { i } } _ { 0 } ^ { 2 } ( x ) + { W _ { i } } _ { 0 } ^ { 1 } ( x ) ^ { 2 } ) , } \\ { { f _ { i } } _ { 1 } ^ { 1 } ( x ) } & { = } & { F ( x ; { W _ { i } } _ { 1 } ^ { 1 } ( x ) + { W _ { i } } _ { 0 } ^ { 1 } ( x ) { W _ { i } } _ { 1 } ^ { 0 } ( x ) ) , } \\ { { f _ { i } } _ { 2 } ^ { 0 } ( x ) } & { = } & { F ( x ; { W _ { i } } _ { 2 } ^ { 0 } ( x ) + { W _ { i } } _ { 1 } ^ { 0 } ( x ) ^ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta [ f ( \mathbf { r } ) ] } & { = \operatorname* { l i m } _ { L \rightarrow \infty } \delta ( f ( \mathbf { r } _ { 1 } ) ) \delta ( f ( \mathbf { r } _ { 2 } ) ) \delta ( f ( \mathbf { r } _ { 3 } ) ) \cdots \delta ( f ( \mathbf { r } _ { L } ) ) } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { L \rightarrow \infty } \left( \frac { 1 } { 2 \pi } \right) ^ { L } \prod \int \mathrm { d } g ( \mathbf { r } _ { 1 } ) \cdots \int \mathrm { d } g ( \mathbf { r } _ { L } ) \, \exp \big \{ i [ f ( \mathbf { r } _ { 1 } ) g ( \mathbf { r } _ { 1 } ) \cdots f ( \mathbf { r } _ { L } ) g ( \mathbf { r } _ { L } ) ] \big \} } \\ & { = \int \mathcal { D } \{ g ( \mathbf { r } ) \} \, \exp \left\{ i \int \mathrm { d } \mathbf { r } \, f ( \mathbf { r } ) g ( \mathbf { r } ) \right\} , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \frac { a } { 2 } } } & { = { \frac { x y } { 2 } } - \int _ { 1 } ^ { x } { \sqrt { t ^ { 2 } - 1 } } \, d t } \\ & { = { \frac { 1 } { 2 } } \left( x { \sqrt { x ^ { 2 } - 1 } } \right) - { \frac { 1 } { 2 } } \left( x { \sqrt { x ^ { 2 } - 1 } } - \ln \left( x + { \sqrt { x ^ { 2 } - 1 } } \right) \right) , } \end{array} }
\langle \Delta T / T ( \vec { n } ) ~ ~ \Delta T / T ( \vec { n } ^ { \prime } ) \rangle ~ = ~ \sum _ { l } ( 2 l + 1 ) C _ { l } P _ { l } ( \cos \theta ) \; , ~ ~ \vec { n } \cdot \vec { n } ^ { \prime } = \cos \theta \; ,
| \Delta ( E , F ) | \gg \left\{ \begin{array} { l l } { \operatorname* { m i n } \{ q , | E | | F | q ^ { - ( d - 1 ) } \} ~ ~ } & { \mathrm { i f } ~ | E | < q ^ { \frac { d - 1 } { 2 } } } \\ { \operatorname* { m i n } \{ q , | F | q ^ { - \frac { d - 1 } { 2 } } \} ~ ~ } & { \mathrm { i f } ~ q ^ { \frac { d - 1 } { 2 } } \le | E | \le q ^ { \frac { d + 1 } { 2 } } } \\ { \operatorname* { m i n } \{ q , | E | | F | q ^ { - d } \} ~ ~ } & { \mathrm { i f } ~ | E | \ge q ^ { \frac { d + 1 } { 2 } } } \end{array} \right. .
\rho _ { s } ^ { ( 2 \alpha + 1 ) } ( \zeta ) ~ = ~ \frac { \zeta } { 2 } \left[ J _ { \alpha + \frac { 1 } { 2 } } ^ { 2 } ( \zeta ) - J _ { \alpha + \frac { 3 } { 2 } } ( \zeta ) J _ { \alpha - \frac { 1 } { 2 } } ( \zeta ) \right]
\int _ { - 1 } ^ { 1 } \frac { 1 } { \sqrt { 1 - z ^ { 2 } } } \frac { 1 } { A + B z + i \eta } \, d z \longrightarrow \int _ { - 1 } ^ { 1 } ( 1 - z ^ { 2 } ) ^ { \frac { D - 5 } { 2 } } \frac { 1 } { A + B z + i \eta } \, d z \, ,
\begin{array} { r l r } { \alpha } & { { } = } & { \frac { e - 1 } { e + 1 } = [ 0 ; 2 , 6 , 1 0 , 1 4 , 1 8 , 2 2 , \ldots ] = 0 . 4 6 1 1 7 1 5 \ldots } \\ { \alpha } & { { } = } & { \ln 2 = [ 0 ; 1 , 2 , 3 , 1 , 6 , 3 , 1 , 1 , 2 , \ldots ] = 0 . 6 9 3 1 4 7 1 8 \ldots } \\ { \alpha } & { { } = } & { \frac { 1 } { \pi } = [ 0 ; 3 , 7 , 1 5 , 1 , 2 9 2 , 1 , 1 , 1 , 2 , 1 , 3 , 1 ] = 0 . 3 1 8 3 0 9 8 8 \ldots } \end{array}
\begin{array} { l } { { 3 ( 3 , 2 ) _ { ( 1 , - 1 , 0 , 0 , 0 ^ { 3 } ) } + 3 ( \bar { 3 } , 1 ) _ { ( - 1 , 0 , 1 , 0 , 0 ^ { 3 } ) } + 3 ( \bar { 3 } , 1 ) _ { ( - 1 , 0 , 0 , 1 , 0 ^ { 3 } ) } } } \\ { { + 3 ( 1 , 2 ) _ { ( 0 , 1 , 0 , 0 , \underline { { { - 1 , 0 , 0 } } } ) } + 3 ( 1 , 1 ) _ { ( 0 , 0 , - 1 , 0 , \underline { { { 1 , 0 , 0 } } } ) } + 3 ( 1 , 1 ) _ { ( 0 , 0 , 0 , - 1 , \underline { { { 1 , 0 , 0 } } } ) } } } \\ { { + 6 ( 1 , 2 ) _ { ( 0 , 1 , - 1 , 0 , 0 ^ { 3 } ) } + 6 ( 1 , 2 ) _ { ( 0 , - 1 , 0 , 1 , 0 ^ { 3 } ) } + 1 2 ( 1 , 1 ) _ { ( 0 , 0 , 1 , - 1 , 0 ^ { 3 } ) } . } } \end{array}
Q = \frac { 1 } { 2 \pi } 2 \pi \theta \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \left\langle k \right| \left( - \theta ^ { - 1 } n \left| 0 \right\rangle \left\langle 0 \right| \right) \left| k \right\rangle = - n ,
\overline { { E _ { \beta _ { i } } } } = E _ { \beta _ { i } } + \mathcal { F } _ { \mathrm { D C K } } ^ { < d ( E _ { \beta _ { i } } ) } , \quad \overline { { F _ { \beta _ { i } } } } = F _ { \beta _ { i } } + \mathcal { F } _ { \mathrm { D C K } } ^ { < d ( F _ { \beta _ { i } } ) } , \quad \overline { { K _ { \nu } } } = K _ { \nu } + \mathcal { F } _ { \mathrm { D C K } } ^ { < d ( K _ { \nu } ) }
\begin{array} { r } { \hat { H } _ { l } ^ { \mathrm { r o t } } = - v _ { 0 } \sum _ { \langle i j \rangle \sigma } \left\{ \mathcal { A } _ { i j } ^ { ( l ) } \hat { g } _ { i j \sigma } + [ \mathcal { B } _ { i j } ^ { ( l ) } \hat { h } _ { i j \sigma } ^ { \dagger } + \mathcal { B } _ { i j } ^ { ( - l ) * } \hat { h } _ { i j \sigma } ] \right\} . } \end{array}
\mathcal { F } = \int \! d ^ { d } \boldsymbol { x } \, \Big \{ k _ { B } T \bigl [ s \log ( s \, \nu ) + p \log ( p \, \nu ) \bigr ] + \chi _ { s } \, c \, s + \chi _ { p } \, c \, p + f _ { 0 } ( c ) \Big \} \, ,
m _ { c } \! = \! - \frac { g I } { D _ { i } } \int \frac { d \omega } { 2 \pi } S _ { F } ( \omega ) \frac { ( \omega \! + \! \mu _ { i } \! - \! \mu _ { f } ) ^ { 2 } \! + \! \omega ^ { 2 } D _ { i } / D _ { f } } { \omega ^ { 2 } } .
\left( \begin{array} { c } { { \frac { 1 } { \bar { D } ^ { 2 } } \bar { D } _ { \alpha } } } \\ { { i } } \end{array} \right) ( E + 1 ) ^ { - 1 } ( E + 1 ) ^ { n } \left( \bar { D } _ { \sigma } \ , \ - i \right)
L = \left( \begin{array} { l l l l l l } { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) \otimes \mathbb { 1 } _ { 2 } .
I ( z _ { 1 } , t _ { 1 } ; z _ { 2 } , t _ { 2 } ) = \int d \lambda e ^ { i \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } { \cal { L } } [ \lambda ( z _ { 1 } , t _ { 1 } ; z _ { 2 } , t _ { 2 } ) ] / \hbar } ,
\Phi \ = \ \int d \bar { \theta } d \theta \ \theta ( { \cal A } _ { \theta } ^ { a } { \cal D } _ { i } ^ { a b } { \cal E } _ { i } ^ { b } + \frac { 1 } { 2 } f ^ { a b c } { \cal A } _ { \theta } ^ { a } { \cal A } _ { \theta } ^ { b } { \cal E } _ { \bar { \theta } } ^ { c } )
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } A _ { i } } & { \leq \int _ { 0 } ^ { \infty } { \mathbb { P } } ( { A _ { i } ^ { \prime } } ^ { + } > t ) \mathrm { d } t - \int _ { 0 } ^ { \infty } { \mathbb { P } } ( { A _ { i } ^ { \prime } } ^ { - } > t ) \mathrm { d } t + 2 \varepsilon \int _ { 0 } ^ { \infty } { \mathbb { P } } ( | A _ { i } ^ { \prime } | > t ) \mathrm { d } t + 2 \delta T + \int _ { T } ^ { \infty } { \mathbb { P } } ( | A _ { i } | > t ) \mathrm { d } t } \\ & { = \mathbb { E } A _ { i } ^ { \prime } + 2 \varepsilon \mathbb { E } | A _ { i } | + 2 \delta T + \int _ { T } ^ { \infty } { \mathbb { P } } ( | A _ { i } | > t ) \mathrm { d } t . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad _ { 4 } + _ { 3 } + _ { 1 } + _ { 7 } } \\ & { = - \sum _ { x > m - n } e _ { x , q } ^ { ( 1 ) } e _ { p , j } ^ { ( 1 ) } e _ { i , x } ^ { ( 2 ) } + \delta ( j \leq m - n ) \sum _ { w > m - n } e _ { p , j } ^ { ( 1 ) } e _ { w , q } ^ { ( 1 ) } e _ { i , w } ^ { ( 2 ) } } \\ & { \quad + \sum _ { \substack { w \leq m - n } } e _ { x , q } ^ { ( 1 ) } e _ { p , j } ^ { ( 1 ) } e _ { i , x } ^ { ( 1 ) } - \delta ( j \leq m - n ) \sum _ { w \leq m - n } e _ { p , j } ^ { ( 1 ) } e _ { w , q } ^ { ( 1 ) } e _ { i , w } ^ { ( 1 ) } } \\ & { = - \sum _ { x > m - n } e _ { p , j } ^ { ( 1 ) } e _ { x , q } ^ { ( 1 ) } e _ { i , x } ^ { ( 2 ) } - \sum _ { x > m - n } [ e _ { x , q } ^ { ( 1 ) } , e _ { p , j } ^ { ( 1 ) } ] [ - 2 ] e _ { i , x } ^ { ( 2 ) } } \\ & { \quad + \delta ( j \leq m - n ) \sum _ { w > m - n } e _ { p , j } ^ { ( 1 ) } e _ { w , q } ^ { ( 1 ) } e _ { i , w } ^ { ( 2 ) } } \\ & { \quad + \sum _ { \substack { w \leq m - n } } e _ { p , j } ^ { ( 1 ) } e _ { x , q } ^ { ( 1 ) } e _ { i , x } ^ { ( 1 ) } + \sum _ { \substack { w \leq m - n } } [ e _ { x , q } ^ { ( 1 ) } , e _ { p , j } ^ { ( 1 ) } ] [ - 2 ] e _ { i , x } ^ { ( 1 ) } } \\ & { \quad - \delta ( j \leq m - n ) \sum _ { w \leq m - n } e _ { p , j } ^ { ( 1 ) } e _ { w , q } ^ { ( 1 ) } e _ { i , w } ^ { ( 1 ) } } \\ & { = - \delta ( j > m - n ) e _ { p , j } ^ { ( 1 ) } ( \sum _ { w > m - n } e _ { w , q } ^ { ( 1 ) } e _ { i , w } ^ { ( 2 ) } - \sum _ { w \leq m - n } e _ { w , q } ^ { ( 1 ) } e _ { i , w } ^ { ( 1 ) } ) } \\ & { \quad + \sum _ { \substack { w \leq m - n } } [ e _ { x , q } ^ { ( 1 ) } , e _ { p , j } ^ { ( 1 ) } ] [ - 2 ] e _ { i , x } ^ { ( 1 ) } - \sum _ { x > m - n } [ e _ { x , q } ^ { ( 1 ) } , e _ { p , j } ^ { ( 1 ) } ] [ - 2 ] e _ { i , x } ^ { ( 2 ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m s u p } _ { n \to \infty } X _ { n } } & { { } = \operatorname* { i n f } \{ \operatorname* { s u p } \{ X _ { m } : m \in \{ n , n + 1 , \ldots \} \} : n \in \{ 1 , 2 , \dots \} \} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d _ { m } h _ { m } ( z ) } { h _ { m } ( z ) } + \frac { d _ { n } h _ { n } ( z ) } { h _ { n } ( z ) } + \sum _ { k \ne m , n } d _ { k } } & { = \sum _ { \ell \in \mathcal { K } } d _ { \ell } = \sum _ { \ell \in \mathcal { K } } \frac { d _ { \ell } h _ { \ell } ( z _ { \ell } ) } { h _ { \ell } ( z ) } } \\ & { = \frac { d _ { m } h _ { m } ( z _ { m } ) } { h _ { m } ( z ) } + \frac { d _ { n } h _ { n } ( z _ { n } ) } { h _ { n } ( z ) } + \sum _ { k \ne m , n } \frac { d _ { k } h _ { k } ( z _ { k } ) } { h _ { k } ( z ) } } \\ & { = \frac { d _ { m } h _ { m } ( z + \frac { \varepsilon } { d _ { m } } ) } { h _ { m } ( z ) } + \frac { d _ { n } h _ { n } ( z - \frac { \varepsilon } { d _ { n } } ) } { h _ { n } ( z ) } + \sum _ { k \ne m , n } \frac { d _ { k } h _ { k } ( z ) } { h _ { k } ( z ) } , } \end{array}
\begin{array} { r } { u _ { \mathbb { P } , N } \mathopen { } \mathclose \bgroup \left( \theta \aftergroup \egroup \right) = \sum _ { k = 0 } ^ { N } \hat { u } _ { N , k } P _ { k } \mathopen { } \mathclose \bgroup \left( \theta \aftergroup \egroup \right) ~ , } \end{array}
E _ { 3 } ( \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r } _ { 2 } , \mathbf { r } _ { 3 } ) = 3 E _ { 1 } + U _ { 2 } ( \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r } _ { 2 } ) + U _ { 2 } ( \mathbf { r } _ { 2 } , \mathbf { r } _ { 3 } ) + U _ { 2 } ( \mathbf { r } _ { 3 } , \mathbf { r } _ { 1 } ) + U _ { 3 } ( \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r } _ { 2 } , \mathbf { r } _ { 3 } ) ,