harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { e _ { 0 } ( \mathbb { X } ) \propto \epsilon _ { a b c d } \mathbf { e } ^ { a } \wedge \mathbf { e } ^ { b } \wedge \mathbf { e } ^ { c } \wedge \mathbf { e } ^ { d } } \\ { e _ { 1 } ( \mathbb { X } ) \propto \epsilon _ { a b c d } \mathbf { e } ^ { a } \wedge \mathbf { e } ^ { b } \wedge \mathbf { e } ^ { c } \wedge \mathbf { f } ^ { d } } \\ { e _ { 2 } ( \mathbb { X } ) \propto \epsilon _ { a b c d } \mathbf { e } ^ { a } \wedge \mathbf { e } ^ { b } \wedge \mathbf { f } ^ { c } \wedge \mathbf { f } ^ { d } } \\ { e _ { 3 } ( \mathbb { X } ) \propto \epsilon _ { a b c d } \mathbf { e } ^ { a } \wedge \mathbf { f } ^ { b } \wedge \mathbf { f } ^ { c } \wedge \mathbf { f } ^ { d } } \\ { e _ { 4 } ( \mathbb { X } ) \propto \epsilon _ { a b c d } \mathbf { f } ^ { a } \wedge \mathbf { f } ^ { b } \wedge \mathbf { f } ^ { c } \wedge \mathbf { f } ^ { d } } \end{array}
\begin{array} { r l } { S ( \omega ) } & { { } = | \mathcal { E } _ { \mathrm { ~ p ~ r ~ o ~ b ~ e ~ } } ( \omega ) | ^ { 2 } + | \mathcal { E } _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } ( \omega ) | ^ { 2 } + \mathcal { E } _ { \mathrm { ~ p ~ r ~ o ~ b ~ e ~ } } ^ { * } ( \omega ) \mathcal { E } _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } ( \omega ) + \mathrm { ~ c ~ . ~ c ~ . ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \boldsymbol { \lambda } \big ( \mathcal { P } _ { J } ( \ell _ { 2 } ^ { n } ) \big ) = \frac { ( n - 1 ) } { \pi } \int _ { 0 } ^ { 1 } \Big ( \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \Big | \sum _ { \ell = 0 } ^ { m } c _ { k _ { \ell } } ( n ) \, r ^ { k } e ^ { i k _ { \ell } \theta } \Big | \, d \theta \Big ) ( 1 - r ^ { 2 } ) ^ { n - 2 } \, r \, d r } \\ & { \leq 2 \gamma \frac { ( n - 1 ) } { \pi } \Big ( c _ { m } ( n ) \log ( m + 2 ) + \sum _ { \ell = 0 } ^ { m - 1 } \big | c _ { k _ { \ell } } ( n ) - c _ { k _ { \ell + 1 } } ( n ) \big | \log ( k _ { \ell } + 2 ) \Big ) \int _ { 0 } ^ { 1 } ( 1 - t ) ^ { n - 2 } \, d t } \\ & { = \frac { 2 \gamma } { \pi } \Big ( c _ { m } ( n ) \log ( m + 2 ) + \sum _ { k = 0 } ^ { m - 1 } \big | c _ { k _ { \ell } } ( n ) - c _ { k _ { \ell } + 1 } ( n ) \big | \log ( k _ { \ell } + 2 ) \Big ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \left[ \left( \sum _ { l \in \mathcal { L } } [ h _ { l } ( X _ { 1 } , \ldots , X _ { r } ) \cdots h _ { l } ( X _ { ( q - 1 ) r + 1 } , X _ { q r } ) \right) ^ { 4 } \right] } \\ { = } & { \sum _ { l _ { 1 } , . . . , l _ { 4 } \in \mathcal { L } } \mathbb { E } ^ { q } [ h _ { l _ { 1 } } ( X _ { 1 } , \ldots , X _ { r } ) \cdots h _ { l _ { 4 } } ( X _ { 1 } , \ldots , X _ { r } ) ] } \\ { \lesssim } & { \sum _ { l _ { 1 } , . . . , l _ { 4 } \in \mathcal { L } } \mathbb { E } ^ { q } [ h _ { l _ { 1 } } ( X _ { 1 } , \ldots , X _ { r } ) h _ { l _ { 2 } } ( X _ { 1 } , \ldots , X _ { r } ) ] \mathbb { E } ^ { q } [ h _ { l _ { 3 } } ( X _ { 1 } , \ldots , X _ { r } ) h _ { l _ { 4 } } ( X _ { 1 } , \ldots , X _ { r } ) ] } \\ & { + \sum _ { l _ { 1 } , . . . , l _ { 4 } \in \mathcal { L } } | { \mathrm { c u m } } ^ { q } ( h _ { l _ { 1 } } ( X _ { 1 } , \ldots , X _ { r } ) , \ldots , h _ { l _ { 4 } } ( X _ { 1 } , \ldots , X _ { r } ) ) | } \\ { \lesssim } & { \Sigma _ { r } ^ { 2 } ( q ) \asymp \tilde { \Sigma } _ { r } ^ { 2 } ( q ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { n } & { \mathbf { z } ^ { \top } D ^ { 2 } G ^ { n } ( \mathbf { x } ) \mathbf { z } } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } z _ { i } ^ { \top } D ^ { 2 } G _ { 1 } ( x ^ { i } ) z _ { i } + \sum _ { i , j = 1 } ^ { n } z _ { i } ^ { \top } J _ { i j } ^ { n } \big ( D ^ { 2 } G _ { 2 } ( x ^ { i } - x ^ { j } ) + D ^ { 2 } G _ { 2 } ( x ^ { j } - x ^ { i } ) \big ) ( z _ { i } - z _ { j } ) } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } z _ { i } ^ { \top } D ^ { 2 } G _ { 1 } ( x ^ { i } ) z _ { i } + \frac 1 2 \sum _ { i , j = 1 } ^ { n } ( z _ { i } - z _ { j } ) ^ { \top } J _ { i j } ^ { n } \big ( D ^ { 2 } G _ { 2 } ( x ^ { i } - x ^ { j } ) + D ^ { 2 } G _ { 2 } ( x ^ { j } - x ^ { i } ) \big ) ( z _ { i } - z _ { j } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \nabla S } { 2 k _ { \mathrm { b } } } = v ( t ) / \frac { d } { d t } \langle \delta x ^ { 2 } ( t ) \rangle } & { = \operatorname { t a n h } [ q F b / ( 2 k _ { \mathrm { B } } T ) ] / b } \\ & { \approx \left\{ \begin{array} { l l } { q F / ( 2 k _ { \mathrm { B } } T ) } & { \mathrm { ~ f o r ~ } q F b / ( 2 k _ { \mathrm { B } } T ) < 1 } \\ { \displaystyle 1 / b } & { \mathrm { ~ f o r ~ } q F b / ( 2 k _ { \mathrm { B } } T ) > 1 . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { L = } & { \sum _ { s } \int \left( \left( \frac { e _ { s } } { c } \Vec { A } + m _ { s } v _ { \parallel } \Vec { b } \right) \cdot \Dot { \Vec { R } } + \frac { m _ { s } c } { e _ { p } } \mu \Dot { \theta } - H _ { s , 0 } - H _ { s , 1 } \right) } \\ & { f _ { s } \mathrm { d } W \mathrm { d } V + \sum _ { s } \int \frac { m _ { s } c ^ { 2 } } { 2 B ^ { 2 } } | \nabla _ { \perp } \Phi | ^ { 2 } f _ { M , s } \mathrm { d } W \mathrm { d } V } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { P } _ { \mathrm { e } , n } ( M ) } & { = \mathsf { E } \Big [ ( 1 - \operatorname* { P r } \{ d ( X ^ { n } , \hat { X } ^ { n } ) \leq D \, \big | \, X ^ { n } \} ) ^ { M } \Big ] } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } ( 1 - \Upsilon ( n , z ) ) ^ { M } f _ { Z } ( z ) \, \mathrm { d } z } \\ & { \leq \int _ { 0 } ^ { \sigma ^ { 2 } - a _ { n } } f _ { Z } ( z ) \, \mathrm { d } z + \int _ { \sigma ^ { 2 } + b _ { n } } ^ { \infty } f _ { Z } ( z ) \, \mathrm { d } z } \\ { * } & { \qquad + \int _ { \sigma ^ { 2 } - a _ { n } } ^ { \sigma ^ { 2 } + b _ { n } } ( 1 - \Upsilon ( n , z ) ) ^ { M } f _ { Z } ( z ) \, \mathrm { d } z } \\ & { \leq \operatorname* { P r } \{ Z < \sigma ^ { 2 } - a _ { n } \} + \operatorname* { P r } \{ Z > \sigma ^ { 2 } + b _ { n } \} } \\ { * } & { \qquad + \int _ { \sigma ^ { 2 } - a _ { n } } ^ { \sigma ^ { 2 } + b _ { n } } \exp \{ - M \Upsilon ( n , z ) \} f _ { Z } ( z ) \, \mathrm { d } z } \\ & { \leq \operatorname* { P r } \{ Z < \sigma ^ { 2 } - a _ { n } \} + \operatorname* { P r } \{ Z > \sigma ^ { 2 } + b _ { n } \} + \exp \{ - M \Upsilon ( n , \sigma ^ { 2 } + b _ { n } ) \} , } \end{array}
< { I } _ { 3 } ^ { ( 1 ) } > _ { \Xi ^ { 0 } } ^ { \rho \rho } = < { I } _ { 3 } ^ { ( 2 ) } > _ { \Xi ^ { 0 } } ^ { \rho \rho } = 1 / 4 \ ; \qquad < { I } _ { 3 } ^ { ( 3 ) } > _ { \Xi ^ { 0 } } ^ { \rho \rho } = 0
\tilde { \lambda } _ { 1 1 k } ^ { \prime } \le 0 . 0 2 \left( \frac { M _ { \tilde { d } _ { R } ^ { k } } } { 1 0 0 \mathrm { ~ G e V } } \right) , \qquad \tilde { \lambda } _ { 1 2 k } ^ { \prime } \le 0 . 0 4 \left( \frac { M _ { \tilde { d } _ { R } ^ { k } } } { 1 0 0 \mathrm { ~ G e V } } \right) .
\begin{array} { r l } { \langle r \lvert \varphi _ { i , \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) \rangle } & { = e ^ { - i \textbf { A } ( t ) \cdot \textbf { r } } \psi _ { i , \textbf { k } ( t ) } ( \textbf { r } ) , } \\ { \widetilde { E } _ { i , \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) } & { = E _ { i } \textbf { ( } \textbf { k } ( t ) \textbf { ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { r ^ { * } ( T , p ) } & { : = \operatorname* { i n f } \{ r \in \mathbb { N } : \operatorname* { s u p } _ { \mathcal { X } \in \mathbb { X } _ { p } ( D ) } \mathcal { E } ^ { * } ( \mathcal { X } , \mathcal { O } _ { { \tt c } , p } , T , \mathcal { W } _ { { \tt c o m } , r } ) \leq \mathcal { U } ( T , p ) \} , } \end{array}
W = ( e ^ { i \theta } , e ^ { - i \theta } , \cdots , e ^ { i ( \pi - \theta ) } , e ^ { - i ( \pi - \theta ) } ) , \quad X ^ { 9 } ( 0 ) = \theta R _ { 9 I ^ { \prime } } , \quad X ^ { 9 } ( 1 ) = ( \pi - \theta ) R _ { 9 I ^ { \prime } } , \quad \theta _ { I } = i 2 \pi R _ { 9 I ^ { \prime } } A _ { 9 } ^ { I } \quad ,
\begin{array} { r l } { { \cal M } \equiv \frac { g } { 2 \rho _ { \star } N _ { 0 } ^ { 2 } ( z _ { r } ) } \frac { ( \nabla z _ { r } \cdot \nabla \xi - \partial _ { z } \xi ) } { | \nabla z _ { r } | ^ { 2 } - \partial _ { z } z _ { r } } \qquad } & { \mathrm { S p i c i n e s s \, \, p a r a m e t e r } } \\ { K _ { \mathrm { e f f } } \equiv \kappa _ { T } | \nabla z _ { r } | ^ { 2 } = \kappa _ { T } \left( \frac { d \rho _ { 0 } } { \partial z _ { r } } ( z _ { r } ) \right) ^ { - 2 } | \nabla \rho | ^ { 2 } \qquad } & { \mathrm { E f f e c t i v e \, \, d i f f u s i v i t y } } \\ { N _ { 0 } ^ { 2 } ( z _ { r } ) \equiv - \frac { g } { \rho _ { \star } } \frac { d \rho _ { 0 } } { d z _ { r } } ( z _ { r } ) = g \left( \alpha \frac { d \theta _ { 0 } } { d z _ { r } } - \beta \frac { d S _ { 0 } } { d z _ { r } } \right) ( z _ { r } ) \qquad } & { \mathrm { R e f e r e n c e \, \, N ^ { 2 } } } \\ { R _ { \rho } \equiv R _ { \rho } ( z _ { r } ) = \left. \alpha \frac { d \theta _ { 0 } } { d z _ { r } } \right/ \beta \frac { d S _ { 0 } } { d z _ { r } } \qquad } & { \mathrm { D e n s i t y \, \, R a t i o } } \\ { \tau \equiv \frac { \kappa _ { S } } { \kappa _ { T } } \qquad } & { \mathrm { D i f f u s i v i t y \, \, R a t i o } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { \mathbb { E } _ { f _ { n } } [ \Delta ( f _ { n } ) ] } } \\ & { \ge } & { 1 - 2 \sqrt { \mu _ { n } } - \operatorname* { P r } \left\{ \frac { 1 } { n } \log \frac { P _ { U ^ { n } | Z ^ { n } } ( U ^ { n } | Z ^ { n } ) } { P _ { U ^ { n } } ( U ^ { n } ) } \ge R _ { 2 } - \gamma \right\} } \\ & { } & { ~ ~ ~ - \exp \{ - e ^ { \gamma n } \} - e ^ { - \gamma n } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { | \widetilde { X } \Pi _ { m \ell } | ^ { 2 } } \\ { = } & { \: | { \mathfrak { h } } _ { m \ell } | ^ { 2 } | c _ { + , m \ell } ( ( \tau + 1 ) ( r - 1 ) + 4 ) ^ { + \sqrt { \alpha _ { m \ell } } } + c _ { - , m \ell } ( ( \tau + 1 ) ( r - 1 ) + 4 ) ^ { - \sqrt { \alpha _ { m \ell } } } | ^ { 2 } ( ( \tau + 1 ) ( r - 1 ) + 4 ) ^ { - 3 } ( \tau + 1 ) } \\ & { + \ldots } \\ { = } & { | { \mathfrak { h } } _ { m \ell } | ^ { 2 } ( | c _ { + , m \ell } | ^ { 2 } + | c _ { - , m \ell } | ^ { 2 } + 2 \Re ( c _ { + , m \ell } \overline { { c _ { - , m \ell } } } ( ( \tau + 1 ) ( r - 1 ) + 4 ) ^ { - \sqrt { \alpha _ { m \ell } } } ) ( ( \tau + 1 ) ( r - 1 ) + 4 ) ^ { - 3 } ( \tau + 1 ) } \\ & { + \ldots } \\ { = } & { - \frac { | { \mathfrak { h } } _ { m \ell } | ^ { 2 } } { 2 } \frac { d } { d r } \left[ | c _ { + , m \ell } | ^ { 2 } + | c _ { - , m \ell } | ^ { 2 } ) ( ( \tau + 1 ) ( r - 1 ) + 4 ) ^ { - 2 } \right] + \ldots } \\ & { \: - 2 | { \mathfrak { h } } _ { m \ell } | ^ { 2 } \frac { d } { d r } \Re \left[ ( 2 + \sqrt { \alpha _ { m \ell } } ) ^ { - 1 } c _ { + , m \ell } \overline { { c _ { - , m \ell } } } ( ( \tau + 1 ) ( r - 1 ) + 4 ) ^ { - \sqrt { \alpha _ { m \ell } } - 2 } \right] + \ldots , } \end{array}
\; \, \; \; \; \; \; \; \; \, \; \; \; \; \; \times \Pi _ { i = 1 } ^ { n } N ( \boldsymbol { \mu _ { \boldsymbol { F } } } _ { i } ( \boldsymbol { \theta } , \boldsymbol { x } ) , \sigma _ { \boldsymbol { F } _ { i } } ^ { 2 } ( \boldsymbol { \theta } , \boldsymbol { x } ) I ) ,
\begin{array} { r l } { { \mathcal J } ( E , u ) : = } & { \int _ { \Omega ^ { \prime } } | e ( u ) | ^ { 2 } \, d x + \int _ { \partial ^ { * } E } | u ^ { + } | ^ { 2 } \, d { \mathcal { H } } ^ { d - 1 } + \int _ { J _ { u } \setminus \partial ^ { * } E } [ | u ^ { + } | ^ { 2 } + | u ^ { - } | ^ { 2 } ] \, d { \mathcal { H } } ^ { d - 1 } } \\ & { + { \mathcal { H } } ^ { d - 1 } ( \partial ^ { * } E ) + 2 { \mathcal { H } } ^ { d - 1 } ( J _ { u } \setminus \partial ^ { * } E ) + f ( | E | ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { L _ { d a t a } ( \theta ) = } & { \mathbb { E } _ { ( t , x , y , u ) } [ \frac { | { u } ( t , x , y ; \theta ) - { u } | ^ { 2 } } { { \sigma _ { u } } ^ { 2 } } ] + } \\ & { \mathbb { E } _ { ( t , x , y , v ) } [ \frac { | { v } ( t , x , y ; \theta ) - { v } | ^ { 2 } } { { \sigma _ { v } } ^ { 2 } } ] + } \\ & { \mathbb { E } _ { ( t , x , y , p ) } [ \frac { | { p } ( t , x , y ; \theta ) - { p } | ^ { 2 } } { { \sigma _ { p } } ^ { 2 } } ] , } \end{array}
Y _ { k } = \sum _ { p = 1 } ^ { F } \tilde { X } _ { k } ^ { p } \beta _ { p } + \mathcal { R } _ { k } \quad \tilde { X } _ { k } ^ { p } = { X } _ { k } ^ { p } + \mathcal { Q } _ { k } ^ { p } , k = 1 , \ldots , N .
\begin{array} { r l } { \tau ^ { \prime } } & { : = \hat { \tau } - w \sqrt { \mathrm { v a r } ( \hat { \tau } ) } \simeq \tau - 2 w \sqrt { \frac { 2 \tau ^ { 2 } + \tau \sigma _ { z } ^ { 2 } / \sigma _ { x } ^ { 2 } } { m _ { p } } } , } \\ { \bar { n } ^ { \prime } } & { : = \widehat { \bar { n } } + w \sqrt { \mathrm { v a r } ( \widehat { \bar { n } } ) } \simeq \bar { n } + w \frac { \sigma _ { z } ^ { 2 } } { \sqrt { 2 m _ { p } } } . } \end{array}
\beta ^ { n } = \frac { 1 } { 2 \sqrt { \frac { \pi _ { 1 } ^ { n } + \hat { \delta } ^ { n } } { 2 } } } ( \pi _ { 1 } ^ { n } + \hat { \delta } ^ { n } , \pi _ { 2 } ^ { n } , . . . , \pi _ { n } ^ { n } ) ^ { T } , \mathrm { ~ w h e r e ~ } \hat { \delta } ^ { n } = \sqrt { ( \pi _ { 1 } ^ { n } ) ^ { 2 } - | | \pi _ { 2 : n } ^ { k } | | ^ { 2 } } .
\begin{array} { r } { \left( s _ { 0 } - s _ { 1 } s _ { 2 } \right) \sum _ { i = 1 } ^ { m - 1 } \frac { 1 } { \Gamma ( i ) \Gamma ( a + i + 1 ) \Gamma ( m - i ) \Gamma ( b - i + m + 1 ) } } \\ { + \left( s _ { 1 } - \frac { 1 } { m } \right) \sum _ { i = 1 } ^ { m - 1 } \frac { 1 } { \Gamma ( i ) \Gamma ( a + i + 1 ) \Gamma ( m - i + 1 ) \Gamma ( b - i + m + 1 ) } } \\ { + \left( s _ { 2 } - \frac { 1 } { m } \right) \sum _ { i = 1 } ^ { m - 1 } \frac { 1 } { \Gamma ( i + 1 ) \Gamma ( a + i + 1 ) \Gamma ( m - i ) \Gamma ( b - i + m + 1 ) } } \\ { + s _ { 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { m - 1 } \frac { \psi _ { 0 } ( i ) } { \Gamma ( i ) \Gamma ( b + i + 1 ) \Gamma ( m - i ) \Gamma ( a - i + m + 1 ) } } \\ { - \sum _ { i = 1 } ^ { m - 1 } \frac { \psi _ { 0 } ( i ) } { \Gamma ( i ) \Gamma ( b + i + 1 ) \Gamma ( m - i + 1 ) \Gamma ( a - i + m + 1 ) } } \\ { - \sum _ { i = 1 } ^ { m - 1 } \frac { \psi _ { 0 } ( i ) } { \Gamma ( i ) \Gamma ( a + i + 1 ) \Gamma ( m - i + 1 ) \Gamma ( b - i + m + 1 ) } } \\ { + s _ { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { m - 1 } \frac { \psi _ { 0 } ( i ) } { \Gamma ( i ) \Gamma ( a + i + 1 ) \Gamma ( m - i ) \Gamma ( b - i + m + 1 ) } } \\ { - \sum _ { i = 1 } ^ { m - 1 } \frac { \psi _ { 0 } ( i ) \psi _ { 0 } ( m - i ) } { \Gamma ( i ) \Gamma ( a + i + 1 ) \Gamma ( m - i ) \Gamma ( b - i + m + 1 ) } , } \end{array}
\mathbf { S } _ { \mathrm { ~ v ~ i ~ s ~ c ~ } } = \eta \left( \left( \nabla \vec { v } \right) + \left( \nabla \vec { v } \right) ^ { T } - \frac { 2 } { 3 } \nabla \cdot \vec { v } \, \mathbf { I } \right) \, .
\begin{array} { r l } { | \psi _ { \pm } ^ { R } \rangle = } & { \frac { 1 } { \sqrt { ( \Delta \pm E ) ^ { 2 } + k _ { x } ^ { 2 } + ( k _ { y } - i \kappa ) ^ { 2 } } } \left( \begin{array} { l } { \Delta \pm E } \\ { k _ { x } + i ( k _ { y } - i \kappa ) } \end{array} \right) } \\ { | \psi _ { \pm } ^ { L } \rangle = } & { \frac { 1 } { \sqrt { ( \Delta \pm E ^ { * } ) ^ { 2 } + k _ { x } ^ { 2 } + ( k _ { y } + i \kappa ) ^ { 2 } } } \left( \begin{array} { l } { \Delta \pm E ^ { * } } \\ { k _ { x } + i ( k _ { y } + i \kappa ) } \end{array} \right) . } \end{array}
\frac { d R _ { J } E _ { k _ { 1 } } ^ { x } ( t ) } { d t } = \beta _ { k _ { 1 } , k _ { 2 } } ^ { x , y } \sum _ { J \in M _ { x } \backslash \{ k _ { 1 } \} } d R _ { J } ^ { x } ( t ) \sum _ { L \in M _ { y } \backslash \{ k _ { 2 } \} } R _ { L } I _ { k _ { 2 } } ^ { y } ( t ) .
L / N = L _ { N } ( x , \dot { x } ) = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \dot { x } _ { i } ^ { 2 } - \frac { g } { 8 } \biggl ( \sum _ { i = 1 } ^ { N } x _ { i } ^ { 2 } - r _ { 0 } ^ { 2 } \biggr ) ^ { \! \! 2 } .
\Pi _ { u l } = \Bigl \langle p _ { l } \frac { \partial u _ { l } } { \partial x } \Bigr \rangle _ { x , z } \quad , \quad \Pi _ { v l } = \Bigl \langle p _ { l } \frac { \partial v _ { l } } { \partial y } \Bigr \rangle _ { x , z } \quad , \quad \Pi _ { w l } = \Bigl \langle p _ { l } \frac { \partial w _ { l } } { \partial z } \Bigr \rangle _ { x , z } , \:
{ \cal L } [ \chi , U , U ^ { \dagger } ] \; = \; \frac { 1 } { 2 } \, ( \partial _ { \mu } \chi ) ( \partial ^ { \mu } \chi ) \; + \; \frac { 1 } { 4 } \, T r \left[ \frac { } { } ( \partial _ { \mu } U ) ( \partial ^ { \mu } U ^ { \dagger } ) \right] \; - \; V ( \chi , U ) \; ,
\begin{array} { r } { ( U _ { 1 } , V _ { 2 1 } , V _ { 3 1 } , V _ { 3 2 } ) \sim \left( \left[ \begin{array} { c } { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { c c c c } { 1 } & { - 1 } & { - 1 } & { 0 } \\ { - 1 } & { 2 } & { 1 } & { - 1 } \\ { - 1 } & { 1 } & { 2 } & { 1 } \\ { 0 } & { - 1 } & { 1 } & { 2 } \end{array} \right] \right) ; } \\ { ( U _ { 2 } , V _ { 2 1 } , V _ { 3 1 } , V _ { 3 2 } ) \sim \left( \left[ \begin{array} { c } { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { c c c c } { 1 } & { 1 } & { 0 } & { - 1 } \\ { 1 } & { 2 } & { 1 } & { - 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 2 } & { 1 } \\ { - 1 } & { - 1 } & { 1 } & { 2 } \end{array} \right] \right) ; } \\ { ( U _ { 3 } , V _ { 2 1 } , V _ { 3 1 } , V _ { 3 2 } ) \sim \left( \left[ \begin{array} { c } { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { c c c c } { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 2 } & { 1 } & { - 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { 2 } & { 1 } \\ { 1 } & { - 1 } & { 1 } & { 2 } \end{array} \right] \right) , } \end{array}
\mathbf { H } _ { 0 } \exp { [ - p _ { 0 } ( z - z _ { 0 } ) ^ { 2 } ] } \cdot \mathrm { s i n c } [ k _ { 0 } ( z - z _ { 0 } ) ] \cdot \mathrm { s i n c } [ \omega _ { 0 } ( t - t _ { 0 } ) ]
\begin{array} { r l } { { R _ { \alpha } } ( u ) = } & { \frac { { 2 \left( { - 7 2 \sin { { \left[ { \frac { u } { 2 } } \right] } ^ { 2 } } + 1 8 0 \cos \left[ u \right] \sin { { \left[ { \frac { u } { 2 } } \right] } ^ { 2 } } - 7 2 \cos \left[ { 2 u } \right] \sin { { \left[ { \frac { u } { 2 } } \right] } ^ { 2 } } } \right) \sin { { \left[ { \frac { { 3 u } } { 2 } } \right] } ^ { 4 } } } } { { 3 { u ^ { 2 } } } } } \\ { + } & { \frac { { 2 \sin { { \left[ { \frac { { 3 u } } { 2 } } \right] } ^ { 4 } } \left( { - 1 8 0 \sin { { \left[ { \frac { u } { 2 } } \right] } ^ { 2 } } \sin \left[ u \right] + 7 2 \sin { { \left[ { \frac { u } { 2 } } \right] } ^ { 2 } } \sin \left[ { 2 u } \right] } \right) } } { { 3 { u ^ { 3 } } } } } \\ { + } & { \frac { { 2 \sin { { \left[ { \frac { { 3 u } } { 2 } } \right] } ^ { 4 } } \left( { - 2 0 4 \sin \left[ u \right] + 1 4 7 \sin \left[ { 2 u } \right] - 3 0 \sin \left[ { 3 u } \right] } \right) } } { { 3 u } } } \\ { + } & { \frac { 2 } { 3 } \sin { \left[ { \frac { { 3 u } } { 2 } } \right] ^ { 4 } } \left\{ \begin{array} { l } { 2 4 \left( { 8 + 4 \cos \left[ u \right] + 3 \cos \left[ { 3 u } \right] } \right) \mathrm { { C i } } \left[ u \right] - 4 8 \left( { 7 + 2 \cos \left[ u \right] + 3 \cos \left[ { 3 u } \right] } \right) { \mathrm { C i } } \left[ { 2 u } \right] } \\ { + 7 2 \sin { \left[ { \frac { u } { 2 } } \right] ^ { 2 } } + 3 2 \cos \left[ u \right] \sin { \left[ { \frac { u } { 2 } } \right] ^ { 2 } } + 1 6 \cos \left[ { 2 u } \right] \sin { \left[ { \frac { u } { 2 } } \right] ^ { 2 } } } \\ { + 2 4 \left[ \begin{array} { l } { 6 \mathrm { { C i } } \left[ { 3 u } \right] + 6 \log \left[ { \frac { 4 } { 3 } } \right] + 3 \cos \left[ { 3 u } \right] \left( { { \mathrm { C i } } \left[ { 3 u } \right] + \log \left[ { \frac { 4 } { 3 } } \right] } \right) + } \\ { \log \left[ 4 \right] + \cos \left[ u \right] \log \left[ { 1 6 } \right] + 3 \sin \left[ { 3 u } \right] \left( { \mathrm { { S i } } \left[ u \right] - 2 { \mathrm { S i } } \left[ { 2 u } \right] + \mathrm { { S i } } \left[ { 3 u } \right] } \right) } \end{array} \right] } \end{array} \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { S ( \omega _ { 1 } ^ { \prime } , \omega _ { 2 } ^ { \prime } \leftarrow \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } ) = } \\ & { ( 2 \pi ) ^ { 2 } t _ { \omega _ { 1 } } t _ { \omega _ { 2 } } [ \delta ( \omega _ { 1 } - \omega _ { 1 } ^ { \prime } ) \delta ( \omega _ { 2 } - \omega _ { 2 } ^ { \prime } ) + \delta ( \omega _ { 1 } - \omega _ { 2 } ^ { \prime } ) \delta ( \omega _ { 2 } - \omega _ { 1 } ^ { \prime } ) ] } \\ & { + 2 \gamma _ { \mathrm { 1 D } } ^ { 2 } \sum _ { m , n = 1 } ^ { N } s _ { m } ^ { - } ( \omega _ { 1 } ^ { \prime } ) s _ { m } ^ { - } ( \omega _ { 2 } ^ { \prime } ) [ \Sigma ^ { - 1 } ] _ { m n } s _ { n } ^ { + } ( \omega _ { 1 } ) s _ { n } ^ { + } ( \omega _ { 2 } ) } \\ & { \times 2 \pi \delta ( \omega _ { 1 } + \omega _ { 2 } - \omega _ { 1 } ^ { \prime } - \omega _ { 2 } ^ { \prime } ) \: , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { d } { d t } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \Phi ( v , w , c ) f _ { i } ( v , w , c , t ) d c d w d v } \\ & { = \sum _ { j = 1 } ^ { N } \iint _ { 0 } ^ { 1 } \iint _ { 0 } ^ { 1 } \iint _ { 0 } ^ { + \infty } B _ { i j } G ( c , c _ { * } ) \left[ \Phi ( v ^ { \prime } , w ^ { \prime } , c ) - \Phi ( v , w , c ) \right] f _ { i } ( v , w , c , t ) f _ { j } ( v _ { * } , w _ { * } , c _ { * } , t ) d c d c _ { * } d w d w _ { * } d v d v _ { * } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { t } \Phi } & { = \left[ \frac { 1 } { 2 n } \partial _ { t } n + i \partial _ { t } \theta + i \left( \frac { e } { \hbar } A _ { 0 } + a _ { 0 } \right) \right] \Phi , } \\ { D _ { i } ^ { 2 } \Phi } & { = \Bigg [ \frac { m } { \hbar } \epsilon _ { i j } \partial _ { i } v _ { j } - \epsilon _ { i j } \partial _ { i } \left( \frac { e } { \hbar } A _ { j } + a _ { j } \right) + i \frac { m } { \hbar } \partial _ { i } v _ { i } - \frac { m ^ { 2 } } { \hbar ^ { 2 } } v _ { i } v _ { i } + \frac { m } { \hbar n } \epsilon _ { i j } v _ { i } \partial _ { j } n + i \frac { m } { \hbar n } v _ { i } \partial _ { i } n \Bigg ] \Phi , } \end{array}
\underline { { \hat { f } } } = \frac { u _ { 1 / 2 } + | u _ { 1 / 2 } | } { 2 } \underline { { \varphi } } _ { L } + \frac { u _ { 1 / 2 } - | u _ { 1 / 2 } | } { 2 } \underline { { \varphi } } _ { R } + p _ { 1 / 2 } \underline { { N } }
\begin{array} { r l } { f ( { x } ^ { t , k - 1 } ) - f ( { x } ^ { t , k } ) \ge \ } & { \langle \nabla f ( { x } ^ { t , k - 1 } ) , { x } ^ { t , k - 1 } - { x } ^ { t , k } \rangle - ( L / 2 ) \| { x } ^ { t , k - 1 } - { x } ^ { t , k } \| ^ { 2 } } \\ { \ge \ } & { ( L / 2 ) \| { x } ^ { t , k - 1 } - { x } ^ { t , k } \| ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { \frac { ( 1 - x ^ { 2 } ) ( 1 + \mathrm { s g n } ( \phi - \theta ) \theta x ) ^ { 2 } } { ( 1 + \mathrm { s g n } ( \phi - \theta ) \phi x ) ^ { 2 } } } & { \mathrm { i f } ~ \vert \theta \vert \le 1 } \\ & { \frac { ( 1 - x ^ { 2 } ) ( \theta + \mathrm { s g n } ( \phi - 1 / \theta ) x ) ^ { 2 } } { ( 1 + \mathrm { s g n } ( \phi - 1 / \theta ) \phi x ) ^ { 2 } } } & { \mathrm { i f } ~ \vert \theta \vert > 1 . } \end{array}
a _ { \mu } ^ { \mathrm { h a d } } = a _ { \mu } ^ { \mathrm { h a d } } ( \mathrm { h . v . p . } ) + a _ { \mu } ^ { \mathrm { h a d } } ( \mathrm { l . b . l } ) + a _ { \mu } ^ { \mathrm { h a d } } ( \mathrm { h . o . } ) .
\begin{array} { r } { h _ { \mathbf { p } \sigma } ^ { \mathrm { ~ H ~ F ~ } } ( t ) = \frac { \mathbf { p } ^ { 2 } } { 2 m _ { \sigma } } + \mathrm { i } \hbar \sum _ { \mathbf { q } } v _ { | \mathbf { p } - \mathbf { q } | } ^ { \sigma \sigma } ( t ) \, G _ { \mathbf { q } , \sigma } ^ { < } ( t ) . } \end{array}
\beta { ( l - l ^ { \prime } ) } ^ { \alpha } - c ^ { \prime \prime } l ^ { \frac { \alpha } { d + 1 } } | C ( u ^ { \prime } ) | \geq \beta { ( l - l ^ { \prime } ) } ^ { \alpha } - c ^ { \prime \prime } l ^ { \frac { \alpha } { d + 1 } } \times \frac { c ^ { * } l ^ { \frac { \alpha } { d + 1 } } ) ^ { d } } { | N ( v ) \cap B ( u , l ^ { \prime } ) | } \geq \beta ( 1 - \epsilon ) ^ { \alpha } l ^ { \alpha } - \frac { c ^ { \star } l ^ { \alpha } } { | N ( v ) \cap B ( u , l ^ { \prime } ) | } .
\frac { d } { d t } \big [ \mathcal E _ { 0 } ( \phi , { \bf u } ) \big ] + \frac { d } { d t } \big [ \mathcal E _ { 1 } ( \phi , p _ { f } ) \big ] + \int \kappa ( \phi ) | \nabla p _ { f } | ^ { 2 } + B - C = \int \phi \rho _ { s } { \bf g } \cdot { \bf u } .