harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathcal { N } [ u ; \gamma ; \boldsymbol { x } , t ] } & { = \gamma ( \boldsymbol { x } ) \rho _ { 0 } u _ { t t } ( \boldsymbol { x } , t ) - \nabla \cdot ( \gamma ( \boldsymbol { x } ) \rho _ { 0 } c _ { 0 } ^ { 2 } \nabla u ( \boldsymbol { x } , t ) ) - f ( \boldsymbol { x } , t ) } \\ { \mathcal { B } _ { x } [ u ; \boldsymbol { x } , t ] } & { = u _ { x } ( \boldsymbol { x } , t ) } \\ { \mathcal { B } _ { y } [ u ; \boldsymbol { x } , t ] } & { = u _ { y } ( \boldsymbol { x } , t ) } \\ { \mathcal { I } _ { 0 } [ u ; \boldsymbol { x } , t ] } & { = u ( \boldsymbol { x } , t ) } \\ { \mathcal { I } _ { 1 } [ u ; \boldsymbol { x } , t ] } & { = u _ { t } ( \boldsymbol { x } , t ) . } \end{array}
\varphi _ { \lambda } ( S ) : = \lambda \int _ { r \in ( 0 , 1 ] } \int _ { z \in \mathbb { R } ^ { d } } \mathbf { 1 } _ { \mathrm B _ { r } ^ { z } \cap \partial S \neq \emptyset } \, \mathbb { P } _ { \lambda , \mu | _ { ( 0 , 1 ] } } \left( \mathrm B _ { 1 } \stackrel { \mathcal { O } ( \{ ( w , s ) \in \eta : \mathrm B _ { s } ^ { w } \subset S \} ) } { \longleftrightarrow } \mathrm B _ { r } ^ { z } \right) d z \, d \mu _ { \kappa } ( r ) .
\forall n : \ \ \ \ \ \mathrm { ~ i ~ } \xi _ { n } \tilde { u } _ { n } = - \frac { \partial \tilde { p } _ { n } } { \partial x } + \frac { \delta _ { S t } ^ { 2 } } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } \tilde { u } _ { n } } { \partial y ^ { 2 } } , \ \ \ \ \ \mathrm { ~ i ~ } \xi _ { n } \tilde { w } _ { n } = - \frac { \partial \tilde { p } _ { n } } { \partial z } + \frac { \delta _ { S t } ^ { 2 } } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } \tilde { w } _ { n } } { \partial y ^ { 2 } } ,
d s ^ { 2 } = \left( 1 - { \frac { 4 } { g ^ { 2 } r ^ { 2 } } } \right) ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } } d t ^ { 2 } - \left( 1 - { \frac { 4 } { g ^ { 2 } r ^ { 2 } } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } d \vec { x } ^ { 2 } \ .
W _ { ( \mathcal { C } ^ { \bot } , \pi ) } ( x , y ; \widetilde { \mathbb { P } } ) = x ^ { s \lfloor \frac { m } { 2 } \rfloor } + \sum _ { i = 1 } ^ { s } \frac { 2 m ^ { 2 ( s - i ) } } { | \mathcal { C } | } \sum _ { j = 1 } ^ { \lfloor \frac { m } { 2 } \rfloor } \left( \frac { y } { x } \right) ^ { ( s - i ) \lfloor \frac { m } { 2 } \rfloor + j }
\begin{array} { r l } { a [ n ] ( \mathbf { r } ) } & { = \pi \left( \frac { n } { 2 } \right) ^ { 2 / 3 } \left[ B _ { 0 } + C _ { 0 } \left( \frac { \tau } { \tau _ { 0 } } - 1 \right) \right] } \\ { b _ { i } [ n ] ( \mathbf { r } ) } & { = \pi \left( \frac { n } { 2 } \right) ^ { 2 / 3 } \left[ B _ { i } + C _ { i } \left( \frac { \tau } { \tau _ { 0 } } - 1 \right) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { k = 0 } ^ { \ell } \overline { { C } } _ { k , i } \left( \mathcal { G } ( k ) \right) + \sum _ { k = 1 } ^ { \ell } \overline { { C } } _ { k , i } \left( \mathcal { H } ( k ) \right) } \\ { = } & { \sum _ { k = 0 } ^ { \ell } \overline { { C } } _ { k , i } \left( \mathcal { G } ( k ) \right) + \sum _ { k = 1 } ^ { \ell - 1 } \overline { { C } } _ { k , i } \left( \mathcal { H } ( k ) \right) + \overline { { C } } _ { k , i } \left( \mathcal { H } ( \ell ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \check { J } _ { n } ^ { 1 } ( \theta ) } & { = \mathbb { E } \Big [ \Big \| y _ { n + 1 } ( \check { X } _ { t _ { n + 1 } } ^ { \theta } ; { \theta _ { n + 1 } ^ { Y } } ) - y _ { n } ( \check { X } _ { t _ { n } } ; { \theta ^ { Y } } ) + F ( t _ { n } , \check { X } _ { t _ { n } } , y _ { n } ( \check { X } _ { t _ { n } } ; { \theta ^ { Y } } ) , z _ { n } ( \check { X } _ { t _ { n } } ; { \theta ^ { Z } } ) ) \Delta t } \\ & { \qquad \qquad - z _ { n } ( \check { X } _ { t _ { n } } ; { \theta ^ { Z } } ) \cdot \Delta \check { W } _ { t _ { n + 1 } } \Big \| ^ { 2 } \Big ] , } \end{array}
{ { \mathbf { \xi } } ^ { 2 } } = \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { \xi _ { 2 } ^ { 2 } } \\ { \xi _ { 3 } ^ { 2 } } \\ { \vdots } \\ { \xi _ { N } ^ { 2 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r } { \rho _ { \phi , \mathrm { W } } ( q , p , \ensuremath { \mathbf { q } } \cdot \ensuremath { \mathbf { p } } ) = \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \ensuremath { \mathrm { d } } \ensuremath { \mathbf { s } } \; e ^ { - i \b { p } \cdot \b { s } } \phi ( \ensuremath { \mathbf { q } } - \ensuremath { \mathbf { s } } / 2 ) \phi ( \ensuremath { \mathbf { q } } + \ensuremath { \mathbf { s } } / 2 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { w _ { \alpha \beta } ( \boldsymbol { \xi } , \boldsymbol { \xi } _ { \ast } , I _ { i } ^ { \alpha } , I _ { j } ^ { \beta } \left\vert \boldsymbol { \xi } ^ { \prime } , \boldsymbol { \xi } _ { \ast } ^ { \prime } , I _ { k } ^ { \alpha } , I _ { l } ^ { \beta } \right. ) } & { = } & { w _ { \beta \alpha } ( \boldsymbol { \xi } _ { \ast } , \boldsymbol { \xi } , I _ { j } ^ { \beta } , I _ { i } ^ { \alpha } \left\vert \boldsymbol { \xi } _ { \ast } ^ { \prime } , \boldsymbol { \xi } ^ { \prime } , I _ { l } ^ { \beta } , I _ { k } ^ { \alpha } \right. ) } \\ { w _ { \alpha \beta } ( \boldsymbol { \xi } , \boldsymbol { \xi } _ { \ast } , I _ { i } ^ { \alpha } , I _ { j } ^ { \beta } \left\vert \boldsymbol { \xi } ^ { \prime } , \boldsymbol { \xi } _ { \ast } ^ { \prime } , I _ { k } ^ { \alpha } , I _ { l } ^ { \beta } \right. ) } & { = } & { w _ { \alpha \beta } ( \boldsymbol { \xi } ^ { \prime } , \boldsymbol { \xi } _ { \ast } ^ { \prime } , I _ { k } ^ { \alpha } , I _ { l } ^ { \beta } \left\vert \boldsymbol { \xi } , \boldsymbol { \xi } _ { \ast } , I _ { i } ^ { \alpha } , I _ { j } ^ { \beta } \right. ) } \\ { w _ { \alpha \alpha } ( \boldsymbol { \xi } , \boldsymbol { \xi } _ { \ast } , I _ { i } ^ { \alpha } , I _ { j } ^ { \beta } \left\vert \boldsymbol { \xi } ^ { \prime } , \boldsymbol { \xi } _ { \ast } ^ { \prime } , I _ { k } ^ { \alpha } , I _ { l } ^ { \beta } \right. ) } & { = } & { w _ { \alpha \alpha } ( \boldsymbol { \xi } , \boldsymbol { \xi } _ { \ast } , I _ { i } ^ { \alpha } , I _ { j } ^ { \alpha } \left\vert \boldsymbol { \xi } _ { \ast } ^ { \prime } , \boldsymbol { \xi } ^ { \prime } , I _ { l } ^ { \alpha } , I _ { k } ^ { \alpha } \right. ) } \end{array}
\begin{array} { r } { J ^ { - 1 } = \left( \frac { \partial ( \rho , \rho U , G ) } { \partial ( \rho , U , T ) } \right) ^ { - 1 } = \left[ { \begin{array} { c c c c c c } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - \frac { U _ { 1 } } { \rho } } & { \frac { 1 } { \rho } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - \frac { U _ { 2 } } { \rho } } & { 0 } & { \frac { 1 } { \rho } } & { 0 } & { 0 } \\ { - \frac { U _ { 3 } } { \rho } } & { 0 } & { 0 } & { \frac { 1 } { \rho } } & { 0 } \\ { \frac { | U | ^ { 2 } - 3 T + 3 } { 3 \rho } } & { - \frac { 2 } { 3 } \frac { U _ { 1 } } { \rho } } & { - \frac { 2 } { 3 } \frac { U _ { 2 } } { \rho } } & { - \frac { 2 } { 3 } \frac { U _ { 3 } } { \rho } } & { \sqrt { \frac { 2 } { 3 } } \frac { 1 } { \rho } } \end{array} } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \rho = \frac { 1 } { 2 } \left( 1 + { \boldsymbol { \xi } \cdot \boldsymbol { \sigma } } \right) = \frac { 1 } { 2 } \left( \begin{array} { l l } { 1 + \xi _ { 3 } } & { \xi _ { 1 } - i \xi _ { 2 } } \\ { \xi _ { 1 } + i \xi _ { 2 } } & { 1 - \xi _ { 3 } } \end{array} \right) } \end{array}
{ \boldsymbol { \sigma } } = { \cfrac { 2 } { J } } ~ \left[ { \cfrac { \partial W } { \partial I _ { 1 } } } ~ { \boldsymbol { F } } \cdot { \boldsymbol { F } } ^ { T } + { \cfrac { \partial W } { \partial I _ { 2 } } } ~ ( I _ { 1 } ~ { \boldsymbol { F } } \cdot { \boldsymbol { F } } ^ { T } - { \boldsymbol { F } } \cdot { \boldsymbol { F } } ^ { T } \cdot { \boldsymbol { F } } \cdot { \boldsymbol { F } } ^ { T } ) + { \cfrac { \partial W } { \partial I _ { 3 } } } ~ I _ { 3 } ~ { \boldsymbol { \mathit { 1 } } } \right]
- \int _ { \partial \Sigma ( t ) } \boldsymbol { j } ^ { \Sigma } \cdot \boldsymbol { n } _ { \partial \Sigma } \mathrm { d } l = - \int _ { \Sigma ( t ) } \nabla _ { \Sigma } \cdot \boldsymbol { j } ^ { \Sigma } \mathrm { d } s \; .
\begin{array} { r l } { \Pi _ { \nu } \Pi _ { \mu } } & { = \frac { d _ { \mu } d _ { \nu } } { ( n ! ) ^ { 2 } } \sum _ { g h } \chi _ { \nu } ( g ) \chi _ { \mu } ( h ) \rho ( g h ) = \frac { d _ { \mu } d _ { \nu } } { ( n ! ) ^ { 2 } } \sum _ { g \ell } \chi _ { \nu } ( g ) \chi _ { \mu } ( g ^ { - 1 } \ell ) \rho ( \ell ) = \delta _ { \mu \nu } \frac { d _ { \mu } } { n ! } \sum _ { \ell } \chi _ { \mu } ( \ell ) \rho ( \ell ) = \delta _ { \mu \nu } \Pi _ { \mu } . } \end{array}
d s ^ { 2 } = \frac { 1 - \left( \frac { t _ { - } } { t } \right) ^ { 2 } } { - k + \left( \frac { t _ { + } } { t } \right) ^ { 2 } } d y ^ { 2 } - \frac { d t ^ { 2 } } { \left( - k + \left( \frac { t _ { + } } { t } \right) ^ { 2 } \right) \left( 1 - \left( \frac { t _ { - } } { t } \right) ^ { 2 } \right) } + t ^ { 2 } d \Omega _ { k } ^ { 2 }
T _ { a , b } ^ { \omega } = \left( \begin{array} { l l } { \cos \big ( \frac { \omega \rho ( b - a ) } { Z } \big ) } & { \frac { 1 } { \omega } \frac { Z } { \rho } \sin \big ( \frac { \omega \rho ( b - a ) } { Z } \big ) } \\ { - \omega \frac { \rho } { Z } \sin \big ( \frac { \omega \rho ( b - a ) } { Z } \big ) } & { \cos \big ( \frac { \omega \rho ( b - a ) } { Z } \big ) } \end{array} \right) .
\Psi ( \vec { r } \, ) = \Psi _ { 0 } ( \vec { r } \, ) + \int G ( \Delta ) \, \Bigl ( E - V ( \vec { r } \, ^ { \prime } ) \Bigr ) \, \Psi ( \vec { r } \, ^ { \prime } ) \, d \vec { r } \, ^ { \prime } ,
\int _ { 0 } ^ { 2 \pi } e ^ { i k x } \; d x = \left\{ \begin{array} { r l r l r } { \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } e ^ { i k x } \; d x } & { = \left. \frac { e ^ { i k x } } { i k } \right| _ { 0 } ^ { 2 \pi } } & { = \frac { e ^ { i k 2 \pi } - 1 } { i k } } & { = 0 } & { , k \neq 0 } \\ { \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } e ^ { i k x } \; d x } & { = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } 1 \; d x } & & { = 2 \pi } & { , k = 0 } \end{array} \right\} = 2 \pi \delta _ { k }
\frac { P _ { f } } { P _ { i } } ( K , \epsilon _ { y , \mathrm { r m s } } , \alpha ) = \frac { 1 - \frac { \pi { | \tilde { \epsilon } _ { K } ^ { \mathrm { i n t r } , \pm } ( \epsilon _ { y , \mathrm { r m s } } ) | } ^ { 2 } } { \alpha } } { 1 + \frac { \pi { | \tilde { \epsilon } _ { K } ^ { \mathrm { i n t r } , \pm } ( \epsilon _ { y , \mathrm { r m s } } ) | } ^ { 2 } } { \alpha } }
\begin{array} { r l r } { ( \mathrm { O P 1 } ) : } & { \! \! { \operatorname* { m i n } _ { \{ \boldsymbol { P } \} } } \, } & { \sum _ { i = 1 } ^ { N } \varepsilon _ { i } } \\ & { \mathrm { s . t . : } } & { \frac { { \bar { P } _ { i } } ( Q _ { \mathrm { { c h , } i } } ( \boldsymbol { P } ) ) \bar { z } _ { \mathrm { 2 , i } } } { \sigma _ { i } ^ { 2 } } \geq \operatorname* { m a x } \{ 1 , 2 ^ { \frac { k _ { i } } { m _ { i } } } - 1 \} , } \\ & { \! \! } & { \sum _ { j = 1 } ^ { M } P _ { j } \leq P _ { \mathrm { t o t a l } } , } \\ & { \! \! } & { 0 \leq P _ { j } \leq P _ { \mathrm { m a x } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { K ( u \wedge v , u ^ { \prime } \wedge v ^ { \prime } ) } & { = u ( x ) \wedge u ^ { \prime } ( y ) \wedge v ( x ) \wedge v ^ { \prime } ( y ) - u ( y ) \wedge u ^ { \prime } ( y ) \wedge v ( x ) \wedge v ^ { \prime } ( x ) } \\ & { \ \ \ + u ( y ) \wedge u ^ { \prime } ( x ) \wedge v ( y ) \wedge v ^ { \prime } ( x ) - u ( x ) \wedge u ^ { \prime } ( x ) \wedge v ( y ) \wedge v ^ { \prime } ( y ) , } \end{array}
C _ { p } ^ { ( 2 ) } = \frac { \gamma _ { \mathrm { R b } } \langle S _ { z } \rangle } { 4 \Gamma _ { \mathrm { R b } } } G _ { p } ( \theta _ { 1 } ; \chi , \phi ) b _ { x 0 } e ^ { i ( \phi _ { x } - \theta _ { 2 } ) } ,
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { \sum _ { k = 0 } ^ { n } \binom { n } { k } ( \psi ( \omega ) ) ^ { n - k } \frac { \partial ^ { k } \phi } { \partial t ^ { k } } ( t , \omega ) } } \\ & { = } & { c _ { \alpha } ^ { * } \Bigg ( ( n - 1 ) ! \cdot f ( t ) } \\ & { } & { \qquad + \sum _ { k = 0 } ^ { n } \binom { n } { k } ( \psi ( \omega ) ) ^ { n - k } \int _ { a } ^ { t } g ^ { ( k ) } ( t - \tau ) f ( \tau ) \, \mathrm d \tau \Bigg ) } \\ & { = } & { c _ { \alpha } ^ { * } \Bigg ( ( n - 1 ) ! \cdot f ( t ) } \\ & { } & { \qquad + \int _ { a } ^ { t } f ( \tau ) \sum _ { k = 0 } ^ { n } \binom { n } { k } ( \psi ( \omega ) ) ^ { n - k } g ^ { ( k ) } ( t - \tau ) \, \mathrm d \tau \Bigg ) } \end{array}
\begin{array} { r } { R = \sum _ { k } R _ { k } = \sum _ { k } \log _ { 2 } \left( 1 + \frac { p _ { k } | { \bf { h } } _ { k } ^ { H } { \bf { F } } _ { \mathrm { { A } } } { \bf { f } } _ { { \mathrm { D } } , k } | ^ { 2 } } { \sigma _ { n } ^ { 2 } + \sum _ { l \neq k } p _ { l } | { \bf { h } } _ { k } ^ { H } { \bf { F } } _ { \mathrm { { A } } } { \bf { f } } _ { { \mathrm { D } } , l } | ^ { 2 } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \nabla } \cdot \boldsymbol { u } } & { { } = 0 , } \\ { \frac { \partial \boldsymbol { u } } { \partial t } + \boldsymbol { u } \cdot \boldsymbol { \nabla u } = - \boldsymbol { \nabla } p - R o ^ { - 1 } \boldsymbol { e _ { z } } \times \boldsymbol { u } } & { { } + \sqrt { \frac { P r } { R a } } \nabla ^ { 2 } \boldsymbol { u } - \theta \frac { 2 ( 1 - \eta ) } { 1 + \eta } ( 1 + \frac { 2 u _ { \varphi } } { R o ^ { - 1 } r } ) ^ { 2 } \boldsymbol { r } , } \\ { \frac { \partial \theta } { \partial t } + \boldsymbol { u } \cdot \boldsymbol { \nabla } \theta } & { { } = \sqrt { \frac { 1 } { R a \cdot P r } } \nabla ^ { 2 } \theta , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { \eta _ { t } } \mathbb { E } \| \mathcal { S } _ { [ \mu , L _ { g } ] } \big [ \nabla _ { y y } ^ { 2 } g ( x _ { t + 1 } , y _ { t + 1 } ) \big ] - H _ { t + 1 } \| ^ { 2 } - \frac { 1 } { \eta _ { t - 1 } } \mathbb { E } \| \mathcal { S } _ { [ \mu , L _ { g } ] } \big [ \nabla _ { y y } ^ { 2 } g ( x _ { t } , y _ { t } ) \big ] - H _ { t } \| ^ { 2 } } \\ & { \leq - \frac { 1 0 C _ { f y } ^ { 2 } \kappa ^ { 2 } \eta _ { t } } { \mu ^ { 2 } } \mathbb { E } \| \mathcal { S } _ { [ \mu , L _ { g } ] } \big [ \nabla _ { y y } ^ { 2 } g ( x _ { t } , y _ { t } ) \big ] - H _ { t } \| ^ { 2 } + 4 L _ { g y y } ^ { 2 } \eta _ { t } \big ( \| \tilde { x } _ { t + 1 } - x _ { t } \| ^ { 2 } + \| \tilde { y } _ { t + 1 } - y _ { t } \| ^ { 2 } \big ) + 2 c _ { 5 } ^ { 2 } \eta _ { t } ^ { 3 } \sigma ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \big [ ( \sum _ { n = 1 } ^ { N } \beta _ { n } | \hat { h } _ { n } | ) ^ { 2 } \big ] = } & { \sum _ { n = 1 } ^ { N } \beta _ { n } ^ { 2 } \mu _ { n } ^ { ( 2 ) } + } \\ & { \sum _ { ( n _ { 1 } , n _ { 2 } ) = 1 } ^ { N } \beta _ { n _ { 1 } } \beta _ { n _ { 2 } } \mu _ { n _ { 1 } } ^ { ( 1 ) } \mu _ { n _ { 2 } } ^ { ( 1 ) } , } \end{array}
S _ { \mathrm { g r a v i t y - s c a l a r } } = \int d ^ { 4 } { x } \sqrt { - g } \left[ g ^ { \mu \nu } R _ { \mu \nu } - \frac { 1 } { 2 } g ^ { \mu \nu } \partial _ { \mu } \phi \partial _ { \nu } \phi \right] \int _ { - \infty } ^ { \infty } d z \, e ^ { - 2 k | z | } ,
\check { \mathbf { F } } _ { i \pm \frac { 1 } { 2 } } ^ { c } = \frac { 1 } { 2 } \left[ \check { \mathbf { F } } ^ { c } \left( \check { \mathbf { U } } _ { i \pm \frac { 1 } { 2 } } ^ { L } \right) + \check { \mathbf { F } } ^ { c } \left( \check { \mathbf { U } } _ { i \pm \frac { 1 } { 2 } } ^ { R } \right) \right] - \frac { 1 } { 2 } \left| \mathbf { A } _ { i \pm \frac { 1 } { 2 } } \right| \left( \check { \mathbf { U } } _ { i \pm \frac { 1 } { 2 } } ^ { R } - \check { \mathbf { U } } _ { i \pm \frac { 1 } { 2 } } ^ { L } \right) ,
\begin{array} { r } { I ( \omega ) = \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow \infty } \frac { e ^ { 2 } E _ { \textrm { p } } ^ { 2 } } { 2 V ^ { 4 } \hbar ^ { 2 } m _ { e } ^ { 2 } \omega ^ { 2 } } \frac { 1 } { ( t - t _ { 0 } ) } \iint _ { - \infty } ^ { t } d \bar { t } d \tau \sum _ { \mathbf { k } } \sum _ { u , v , \alpha , \beta } \sum _ { u ^ { \prime } , v ^ { \prime } , \gamma , \delta } \sum _ { n , m } D _ { u v , \alpha \beta , \mathbf { k } } ^ { ( n ) } D _ { u ^ { \prime } v ^ { \prime } , \gamma \delta , \mathbf { k } } ^ { ( m ) } } \\ { \times e ^ { i [ ( \frac { E _ { \gamma \delta \mathbf { k } } } { \hbar } + \frac { E _ { \alpha \beta \mathbf { k } } } { \hbar } ) ( \bar { t } - t _ { 0 } ) ] + i ( m + n ) \Omega \bar { t } } e ^ { i [ ( \frac { E _ { \gamma \delta \mathbf { k } } } { \hbar } - \frac { E _ { \alpha \beta \mathbf { k } } } { \hbar } ) + ( m - n ) \Omega ] \tau / 2 } N _ { u , v , u ^ { \prime } , v ^ { \prime } , \mathbf { k } } \textrm { R e } [ e ^ { i \omega \tau } - e ^ { 2 i \omega \bar { t } } ] . } \end{array}
\mathcal { K } _ { m } ( \mathbf { A } , \mathbf { x } ) = \left\{ \mathbf { x } , \mathbf { A x } , \mathbf { A } ^ { 2 } \mathbf { x } , \cdots , \mathbf { A } ^ { m - 1 } \mathbf { x } \right\} .
\begin{array} { r l r } { \Vert \psi _ { x x } \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( 0 , \ell ) ) } ^ { 2 } } & { \leq } & { \frac { T C _ { 6 } ^ { 2 } } { r _ { 0 } } \exp ( T / \rho _ { 0 } ) \ G ( \theta ) , } \\ { \Vert \psi _ { x x t } \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( 0 , \ell ) ) } ^ { 2 } } & { \leq } & { \frac { C _ { 6 } ^ { 2 } } { 2 \kappa _ { 0 } } \exp ( T / \rho _ { 0 } ) \ G ( \theta ) . } \end{array}
T = { \frac { 1 } { 2 } } m _ { 1 } \mathbf { v } _ { 1 } \cdot \mathbf { v } _ { 1 } + { \frac { 1 } { 2 } } m _ { 2 } \mathbf { v } _ { 2 } \cdot \mathbf { v } _ { 2 } = { \frac { 1 } { 2 } } ( m _ { 1 } + m _ { 2 } ) L _ { 1 } ^ { 2 } { \dot { \theta } } _ { 1 } ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } m _ { 2 } L _ { 2 } ^ { 2 } { \dot { \theta } } _ { 2 } ^ { 2 } + m _ { 2 } L _ { 1 } L _ { 2 } \cos ( \theta _ { 2 } - \theta _ { 1 } ) { \dot { \theta } } _ { 1 } { \dot { \theta } } _ { 2 } .
S = \int _ { M } E ^ { \mu \nu \alpha \beta } \left( c _ { 1 } \, { ^ + G } _ { \mu \nu } ^ { a b } \, { ^ + G } _ { \alpha \beta } ^ { c d } + c _ { 2 } \, { ^ - G } _ { \mu \nu } ^ { a b } \, { ^ - G } _ { \alpha \beta } ^ { c d } + c _ { 3 } \, { ^ + { \cal R } } _ { \mu \nu } ^ { a b } \, { ^ + G } _ { \alpha \beta } ^ { c d } + c _ { 4 } \, { ^ - { \cal R } } _ { \mu \nu } ^ { a b } \, { ^ - G } _ { \alpha \beta } ^ { c d } \right) \epsilon _ { a b c d }
\frac { 1 } { { \cal V } ( s ) } = \frac { 1 } { \pi } \int _ { - \infty } ^ { 0 } \frac { d s ^ { \, \prime } } { ( s ^ { \, \prime } - s ) } \, \mathrm { I m } T ^ { - 1 } ( s ^ { \, \prime } \, ) + P
\begin{array} { r l } & { V = \Big ( \frac { 1 } { m - 1 } \sum _ { p , q \in [ m ] } T _ { i , p } T _ { j , q } \Big ) _ { i , j \in [ n ] } , } \\ & { S = \Big ( \frac { 1 } { m } \sum _ { p , q , r \in [ m ] } T _ { i , p } T _ { j , q } T _ { k , r } \Big ) _ { ( i , j ) \in ( [ n ] \times [ n ] ) , ~ k \in [ n ] } , } \\ & { K = \Big ( \frac { 1 } { m } \sum _ { p , q , r , s \in [ m ] } T _ { i , p } T _ { j , q } T _ { k , r } T _ { \ell , s } \Big ) _ { ( i , j ) , ( k , \ell ) \in ( [ n ] \times [ n ] ) } . } \end{array}
f ( \Psi ) = \left( 1 + \frac { a _ { + } ^ { 3 } z _ { - } c _ { 0 } ( \exp ( - z _ { + } \Psi ) - 1 ) } { 1 - a _ { - } ^ { 3 } z _ { + } c _ { 0 } } \right) ^ { \frac { a _ { - } ^ { 3 } } { a _ { + } ^ { 3 } } - 1 }
\begin{array} { r l r } { \Gamma ^ { ( 1 ) } ( z , f ) \! \! \! \! \! } & { = } & { \! \! \! \! \! \int _ { 0 } ^ { z } \! \! \mathrm { d } z ^ { \prime } \! \! \int \mathrm { d } f ^ { \prime } g _ { R } ( f , f ^ { \prime } ) \mathcal { L } ( z ^ { \prime } , f ^ { \prime } ) = \int \mathrm { d } f ^ { \prime } g _ { R } ( f , f ^ { \prime } ) P _ { 0 } ( f ^ { \prime } ) \Lambda ( z , f ^ { \prime } ) \: , } \\ { \Gamma ^ { ( 2 ) } ( z , f ) \! \! \! \! \! } & { = } & { \! \! \! \! \! \int _ { 0 } ^ { z } \! \! \mathrm { d } z ^ { \prime } \! \! \int \mathrm { d } f ^ { \prime } g _ { R } ( f , f ^ { \prime } ) \mathcal { L } ( z ^ { \prime } , f ^ { \prime } ) \left[ \Gamma ^ { ( 1 ) } ( z ^ { \prime } , f ^ { \prime } ) \right] \: , } \\ { \Gamma ^ { ( 3 ) } ( z , f ) \! \! \! \! \! } & { = } & { \! \! \! \! \! \int _ { 0 } ^ { z } \! \! \mathrm { d } z ^ { \prime } \! \! \int \mathrm { d } f ^ { \prime } g _ { R } ( f , f ^ { \prime } ) \mathcal { L } ( z ^ { \prime } , f ^ { \prime } ) \left[ \Gamma ^ { ( 2 ) } ( z ^ { \prime } , f ^ { \prime } ) + \frac { 1 } { 2 } \left( \Gamma ^ { ( 1 ) } ( z ^ { \prime } , f ^ { \prime } ) \right) ^ { 2 } \right] \: , } \\ { \Gamma ^ { ( 4 ) } ( z , f ) \! \! \! \! \! } & { = } & { \! \! \! \! \! \int _ { 0 } ^ { z } \! \! \mathrm { d } z ^ { \prime } \! \! \int \mathrm { d } f ^ { \prime } g _ { R } ( f , f ^ { \prime } ) \mathcal { L } ( z ^ { \prime } , f ^ { \prime } ) \left[ \Gamma ^ { ( 3 ) } ( z ^ { \prime } , f ^ { \prime } ) + \Gamma ^ { ( 1 ) } ( z ^ { \prime } , f ^ { \prime } ) \Gamma ^ { ( 2 ) } ( z ^ { \prime } , f ^ { \prime } ) + \frac { 1 } { 3 ! } \left( \Gamma ^ { ( 1 ) } ( z ^ { \prime } , f ^ { \prime } ) \right) ^ { 3 } \right] \! . } \end{array}
\begin{array} { r } { v ( V ) = \frac { 1 } { \tau _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ s ~ t ~ } } } \delta V _ { \frac { 1 } { 2 } } + \frac { 1 } { 2 \tau _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ s ~ t ~ } } \Delta V } \sqrt { 1 - 4 \rho } \left( V - V _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } \right) ^ { 2 } + \mathcal { O } \left( \left( V - V _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } \right) ^ { 3 } \right) . } \end{array}
{ \ensuremath { \mathbb E } } \left[ ( W _ { n , \zeta } ( { \ensuremath { \mathcal A } } ) ) ^ { q } \right] \le { \ensuremath { \mathbb E } } \left[ W _ { n , \sqrt { 2 d \log 2 } } ( { \ensuremath { \mathcal A } } ) ^ { \frac { q \zeta } { \sqrt { 2 d \log 2 } } } \right] \le { \ensuremath { \mathbb E } } \left[ W _ { n , \sqrt { 2 d \log 2 } } ( { \ensuremath { \mathcal A } } ) \right] ^ { \frac { q \zeta } { \sqrt { 2 d \log 2 } } } .
\begin{array} { r } { C _ { L } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) = \left[ D ^ { 2 } \right] \frac { \operatorname* { m i n } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) ^ { 2 } } { 2 } + \mathrm { V a r } \left[ D \right] \tau \tau ^ { \prime } \ . } \end{array}
\sum _ { \substack { j = 1 \, Q ( C _ { j } ^ { ( m ) } | x ^ { ( m ) } ) > 0 } } ^ { \ell _ { m } } \int _ { C _ { j } ^ { ( m ) } } \operatorname* { s u p } _ { x \in \mathcal X } \left| q _ { m } ( z | x ) - \frac { Q ( C _ { j } ^ { ( m ) } | x ) } { Q ( C _ { j } ^ { ( m ) } | x ^ { ( m ) } ) } \right| Q ( d z | x ^ { ( m ) } ) \; \xrightarrow [ m \to \infty ] \; 0 ,
\begin{array} { r l r } { \Delta I _ { 1 } } & { = } & { H ( X _ { \mathrm { o u t } } ; Y _ { 1 } | Y _ { 2 } Y _ { 3 } ) \; , } \\ { \Delta I _ { 2 } } & { = } & { H ( X _ { \mathrm { o u t } } ; Y _ { 2 } | Y _ { 1 } Y _ { 3 } ) \; , } \\ { \Delta I _ { 3 } } & { = } & { H ( X _ { \mathrm { o u t } } ; Y _ { 3 } | Y _ { 1 } Y _ { 2 } ) \; . } \end{array}
\hat { \mathcal { S } } _ { [ 0 , n - 1 ] } ^ { \ell , m } : = \sum _ { \tiny \begin{array} { c } { 0 \leq j _ { 1 } < \ldots < j _ { \ell } \leq n - 1 } \\ { \eta = ( \eta _ { 1 } , \ldots \eta _ { \ell } ) \in \{ 0 , 1 \} ^ { \ell } ; } \\ { | \eta | = m } \end{array} } \, \prod _ { k = 1 } ^ { \ell } ( A _ { \eta _ { k } } ^ { ( j _ { k } ) } ) ^ { * } .
\left( \begin{array} { l l } { \ensuremath { \mathbf { V } } } & { \ensuremath { \mathbf { T } } } \\ { \ensuremath { \mathbf { T } } } & { \frac { \alpha ^ { 2 } } { 4 } \ensuremath { \mathbf { W } } - \ensuremath { \mathbf { T } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \Psi ^ { L } } \\ { \Phi ^ { L } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { \ensuremath { \mathbf { S } } } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { \alpha ^ { 2 } } { 4 } \ensuremath { \mathbf { T } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \Psi ^ { L } } \\ { \Phi ^ { L } } \end{array} \right) \ensuremath { \pmb \epsilon }
\langle \mathrm { E K E } \rangle = \frac { 1 } { V } \int _ { 0 } ^ { L _ { x } } \int _ { 0 } ^ { L _ { y } } \int _ { - H ( x , y ) } ^ { 0 } \frac { 1 } { 2 } \left( \overline { { \boldsymbol { u } \cdot \boldsymbol { u } } } - \overline { { \boldsymbol { u } } } \cdot \overline { { \boldsymbol { u } } } \right) \; \mathrm { d } z \ \mathrm { d } y \ \mathrm { d } x ,
{ \cal L } = { \frac { 1 } { 2 } } ( \partial _ { \mu } \phi ) ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 2 } } m _ { \phi } ^ { 2 } \phi ^ { 2 } - { \frac { g } { 4 ! } } \phi ^ { 4 } + g ^ { \prime } v \phi ^ { 2 } h \quad ,