harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \boldsymbol { \psi } ( { \bf v } ) = \frac { 1 } { n } \sum _ { j = 1 } ^ { n } \lbrace k ( { \bf v } _ { j } ^ { l } , { \bf v } ) \nabla _ { { \bf v } _ { j } ^ { l } } \log P ( { \bf v } _ { j } ^ { l } | \mathbf { d } ) + \nabla _ { { \bf v } _ { j } ^ { l } } k ( { \bf v } _ { j } ^ { l } , { \bf v } ) \rbrace . } \end{array}
\begin{array} { r } { \! \! \! \mathcal { L } ^ { \prime } \sim \left( \begin{array} { l l l l l l } { 0 } & { m _ { 1 } } & { m _ { 2 } } & { m _ { 3 } } & { \dots } & { m _ { N - 1 } } \\ { 0 } & { \lambda _ { 1 } } & { 0 } & { 0 } & { \dots } & { 0 } \\ { 0 } & { o _ { 2 } } & { \lambda _ { 2 } } & { 0 } & { \dots } & { 0 } \\ { : } & { : } & { \dots } & { : } & { : } \\ { 0 } & { o _ { N - 1 } } & { \dots } & { 0 } & { \dots } & { \lambda _ { N - 1 } } \end{array} \right) , ~ ~ \mathrm { ~ a ~ s ~ } ~ \lambda _ { 1 } \rightarrow 0 , } \end{array}
\begin{array} { r } { \Tilde { \psi } ( t ) = \left[ \begin{array} { l l l l l l } { 1 } & { \cos { \left( \frac { 2 \pi t } { T _ { \mathrm { m a x } } } \right) } } & { \sin { \left( \frac { 2 \pi t } { T _ { \mathrm { m a x } } } \right) } } & { \cdots } & { \cos { \left( \frac { 2 \pi K t } { T _ { \mathrm { m a x } } } \right) } } & { \sin { \left( \frac { 2 \pi K t } { T _ { \mathrm { m a x } } } \right) } } \end{array} \right] ^ { T } . } \end{array}
\begin{array} { r } { ( \tilde { p } _ { m } \tilde { u } _ { r } ^ { * } ) _ { r = 1 } = \frac { i \rho k ^ { 3 } } { n ^ { 2 } + k ^ { 2 } } \left[ - ( V _ { I } - c ) D \psi _ { I } \psi _ { I } ^ { * } + D V _ { I } | \psi _ { I } | ^ { 2 } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \operatorname* { m a x } _ { 0 \leq t \leq T } \| \partial _ { t } u \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) } } & { \leq } & { \operatorname* { m a x } _ { 0 \leq t \leq T } \| \partial _ { t } u + \sigma u \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) } + \operatorname* { m a x } _ { 0 \leq t \leq T } \| \sigma u \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) } } \\ & { \leq } & { 2 \operatorname* { m a x } _ { 0 \leq t \leq T } \| \partial _ { t } u + \sigma u \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial ( D _ { I } \log P _ { 1 } ^ { ( 0 ) } ( x ( z ) , x ( w ) ) ) } { \partial x ( z ) } } \\ & { = \sum _ { l = 0 } ^ { d } D _ { I } \frac { 1 } { x ( z ) + y ( \hat { w } ^ { l } ) } - \sum _ { j = 1 } ^ { | I | } D _ { I \setminus u _ { j } } \frac { \lambda } { ( x ( z ) - x ( u _ { j } ) ) ^ { 2 } ( x ( w ) + y ( u _ { j } ) ) } } \\ & { = - D _ { I } \sum _ { k , l = 0 } ^ { d } \Big ( W _ { 2 } ^ { ( 0 ) } ( \hat { z } ^ { k } ; \hat { w } ^ { l } ) - \frac { \delta _ { k , l } } { ( x ( \hat { z } ^ { k } ) - x ( \hat { w } ^ { l } ) ) } \Big ) } \\ & { - \sum _ { j = 1 } ^ { | I | } D _ { I \setminus u _ { j } } \Big ( \frac { \lambda } { ( x ( z ) - x ( u _ { j } ) ) ^ { 2 } ( x ( w ) + y ( u _ { j } ) ) } + \sum _ { l = 0 } ^ { d } D _ { \hat { w } ^ { l } } \frac { 1 } { x ( z ) + y ( u _ { j } ) } \Big ) \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { 6 } ^ { ( 1 ) } } & { = 8 D \int d ^ { D } k \frac { ( k ^ { 0 } ) ^ { 2 } ( k \cdot p ) } { k ^ { 4 } ( p - k ) ^ { 4 } ( k ^ { 2 } - m _ { f } ^ { 2 } ) ( ( p - k ) ^ { 2 } - m _ { f } ^ { 2 } ) } } \\ & { = 4 D \int d ^ { D } k \frac { ( k ^ { 0 } ) ^ { 2 } [ ( p ^ { 2 } - k ^ { 2 } ) - ( p - k ) ^ { 2 } ] } { k ^ { 4 } ( p - k ) ^ { 4 } ( k ^ { 2 } - m _ { f } ^ { 2 } ) ( ( p - k ) ^ { 2 } - m _ { f } ^ { 2 } ) } \, . } \end{array}
( 3 ) \qquad V _ { n - k } ( P , Q ) \equiv { \left\{ \begin{array} { l l } { 2 Q } & { { \pmod { n } } \quad { \mathrm { i f ~ } } k = - 1 , } \\ { 2 } & { { \pmod { n } } \quad { \mathrm { i f ~ } } k = + 1 { \mathrm { , } } } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l r } { \psi ( r , \phi , z ) } & { = } & { \sqrt { \frac { 2 } { \pi } \frac { n ! } { ( n + | m | ) ! } } \frac { 1 } { w } \left( \frac { \sqrt { 2 } r } { w } \right) ^ { | m | } L _ { n } ^ { | m | } \left( 2 \left( \frac { r } { w } \right) ^ { 2 } \right) } \\ & { } & { \mathrm { e } ^ { - \frac { r ^ { 2 } } { w ^ { 2 } } } \mathrm { e } ^ { i k \frac { r ^ { 2 } } { 2 R } } \mathrm { e } ^ { i m \phi } \mathrm { e } ^ { - i ( 2 n + | m | + 1 ) \tan ^ { - 1 } ( z / z _ { 0 } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { F _ { o p } ^ { ( 1 ) } } & { = } & { \sum _ { i j } \langle i | f ^ { ( 1 ) } | j \rangle \hat { a } _ { i } ^ { + } \hat { a } _ { j } } \\ { F _ { o p } ^ { ( 2 ) } } & { = } & { \sum _ { i j k l } \langle i j | f ^ { ( 2 ) } | k l \rangle \hat { a } _ { i } ^ { + } \hat { a } _ { j } ^ { + } \hat { a } _ { l } \hat { a } _ { k } } \end{array}
b _ { j _ { 1 } } ^ { \dagger } b _ { j _ { 2 } } ^ { \dagger } b _ { j _ { 3 } } ^ { \dagger } . . . . . b _ { j _ { n } } ^ { \dagger } | 0 > = | j _ { 1 } j _ { 2 } j _ { 3 } . . . . . j _ { n } >
\begin{array} { r l } { \| \mathbf { Q } \mathbf { c } - r _ { j } ( \mathbf { A } ) \mathbf { b } \| _ { | \vec { A } - z _ { j } \vec { I } | } } & { = \| \mathbf { Q } ( \mathbf { T } - z _ { j } \mathbf { I } ) ^ { - 1 } \mathbf { Q } ^ { \mathsf { T } } r _ { j - 1 } ( \mathbf { A } ) \mathbf { b } - r _ { j } ( \mathbf { A } ) \mathbf { b } \| _ { | \vec { A } - z _ { j } \vec { I } | } } \\ & { = \| \mathsf { o p t } _ { k } ( r _ { j } ; \mathbf { A } _ { j } ) - r _ { j } ( \mathbf { A } ) \mathbf { b } \| _ { | \vec { A } - z _ { j } \vec { I } | } . } \end{array}
{ \cal V } = \frac { e } { 2 \pi ^ { 3 / 2 } } e ^ { \gamma _ { E } } \cos \theta \; , \; \; \; \; \; { \cal V } _ { A } = - \frac { i e } { 2 \pi ^ { 3 / 2 } } e ^ { \gamma _ { E } } \sin \theta \; ,
\begin{array} { r l } { \rho ( x , t ) + \tau { \frac { \partial \rho ( x ) } { \partial t } } + \cdots = \rho ( x , t + \tau ) = { } } & { { } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \rho ( x - \Delta , t ) \cdot \varphi ( \Delta ) \, \mathrm { d } \Delta = \mathbb { E } _ { \Delta } [ \rho ( x - \Delta , t ) ] } \\ { = { } } & { { } \rho ( x , t ) \cdot \int _ { - \infty } ^ { \infty } \varphi ( \Delta ) \, d \Delta - { \frac { \partial \rho } { \partial x } } \cdot \int _ { - \infty } ^ { \infty } \Delta \cdot \varphi ( \Delta ) \, \mathrm { d } \Delta } \\ { = { } } & { { } \rho ( x , t ) \cdot 1 + 0 + { \frac { \partial ^ { 2 } \rho } { \partial x ^ { 2 } } } \cdot \int _ { - \infty } ^ { \infty } { \frac { \Delta ^ { 2 } } { 2 } } \cdot \varphi ( \Delta ) \, \mathrm { d } \Delta + \cdots } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } ^ { \mathrm { ~ ( ~ R ~ W ~ G ~ ) ~ } } ( x , y ) } & { { } = E _ { 1 0 } ^ { \mathrm { ~ T ~ E ~ } , \mathrm { ~ ( ~ R ~ W ~ G ~ ) ~ } } \frac { 2 } { \sqrt { 2 } } \frac { 1 } { \sqrt { w _ { \mathrm { ~ x ~ } } w _ { \mathrm { ~ y ~ } } } } \cos ( k _ { 1 0 } ^ { \mathrm { ~ ( ~ R ~ W ~ G ~ ) ~ } } x ) \hat { \mathbf { y } } } \\ { \mathbf { H } ^ { \mathrm { ~ ( ~ R ~ W ~ G ~ ) ~ } } ( x , y ) } & { { } = Y _ { 1 0 } ^ { \mathrm { ~ T ~ E ~ } , \mathrm { ~ ( ~ R ~ W ~ G ~ ) ~ } } [ \mathbf { E } ^ { \mathrm { ~ ( ~ R ~ W ~ G ~ ) ~ } } ( x , y ) \cdot \hat { \mathbf { y } } ] \hat { \mathbf { x } } } \end{array}
A ( \vec { k } _ { 2 } , \vec { k } ) = \int _ { 1 , 3 \mathrm { ~ s ~ m ~ a ~ l ~ l ~ } } T _ { \vec { k } \vec { k } _ { 1 } } ^ { \vec { k } _ { 2 } \vec { k } _ { 3 } } b _ { \mathbf 1 } ^ { * } b _ { \mathbf 3 } \delta ( \vec { k } + \vec { k } _ { 1 } - \vec { k } _ { 2 } - \vec { k } _ { 3 } ) d \vec { k } _ { 1 } d \vec { k } _ { 3 } ,
\begin{array} { r l } { \omega _ { 1 } } & { { } = \sqrt { X _ { 1 } - Y _ { 1 } ^ { 2 } + Z - Z \tan \theta } \, , } \\ { \omega _ { 2 } } & { { } = \sqrt { X _ { 2 } - Y _ { 2 } ^ { 2 } + Z + Z \tan \theta } \, . } \end{array}
C ( x , t ) = K _ { 0 } \frac { 1 } { t ^ { \frac { 5 } { 2 } } } e ^ { - \frac { x ^ { 2 } } { 4 D t } } \left( 1 - \frac { 1 } { D } \frac { x ^ { 2 } } { t } + \frac { 1 } { 1 2 D ^ { 2 } } \frac { x ^ { 4 } } { t ^ { 2 } } \right) .
U ( 1 ) = \left\{ \left[ \begin{array} { l l } { { e ^ { i \phi } , } } & { { 0 } } \\ { { 0 , } } & { { e ^ { - i \phi } } } \end{array} \right] : \phi \in { \bf R } \right\} = \beta ^ { - 1 } ( S O ( 2 ) _ { { \bf e } _ { 3 } } ) ,
{ \begin{array} { r l } { p ( { \tilde { x } } = i \mid \mathbb { X } , { \boldsymbol { \alpha } } ) } & { = \int _ { \mathbf { p } } p ( { \tilde { x } } = i \mid \mathbf { p } ) \, p ( \mathbf { p } \mid \mathbb { X } , { \boldsymbol { \alpha } } ) \, { \textrm { d } } \mathbf { p } } \\ & { = \, { \frac { c _ { i } + \alpha _ { i } } { N + \sum _ { k } \alpha _ { k } } } } \\ & { = \, \mathbb { E } [ p _ { i } \mid \mathbb { X } , { \boldsymbol { \alpha } } ] } \\ & { \propto \, c _ { i } + \alpha _ { i } . } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { \hat { H } _ { 1 } } & { { } = } & { \hat { H } _ { f _ { 1 } } ^ { A } + \hat { H } _ { m } ^ { A } + \hat { H } _ { a } ^ { A } + \hat { H } _ { f _ { 2 } } ^ { A } + \hat { H } _ { I _ { 1 } } ^ { A } + \hat { H } _ { I _ { 1 } } ^ { A } , } \\ { \hat { H } _ { 2 } } & { { } = } & { \hat { H } _ { f _ { 1 } } ^ { B } + \hat { H } _ { m } ^ { B } + \hat { H } _ { a } ^ { B } + \hat { H } _ { f _ { 2 } } ^ { B } + \hat { H } _ { I _ { 1 } } ^ { B } + \hat { H } _ { I _ { 1 } } ^ { B } , } \\ { \hat { H } _ { I } } & { { } = } & { J ( \hat { b } ^ { \dagger } \hat { a } + \hat { a } ^ { \dagger } \hat { b } ) , } \end{array}
\frac { \mathrm { I m } ( E 1 _ { \mathrm { P N C } } ) } { \beta } = \left\{ \begin{array} { l l } { - 1 . 6 3 4 9 ( 8 0 ) \, \mathrm { m V / c m } } \\ { \, \, \, \, \mathrm { f o r } \, \, \, 6 S _ { 1 / 2 } , \, { F _ { i } = 4 } \rightarrow { 7 S _ { 1 / 2 } , \, { F _ { f } = 3 } } \, , } \\ { - 1 . 5 5 7 6 ( 7 7 ) \, \mathrm { m V / c m } } \\ { \, \, \, \, \mathrm { f o r } \, \, \, 6 S _ { 1 / 2 } , \, { F _ { i } = 3 } \rightarrow { 7 S _ { 1 / 2 } , \, { F _ { f } = 4 } } \, , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { x } & { { } = } & { \sqrt { \frac { 2 } { m \Omega _ { B } } } \left( \sqrt { D } \cos \theta - \sqrt { J } \cos \varphi \right) , } \\ { y } & { { } = } & { \sqrt { \frac { 2 } { m \Omega _ { B } } } \left( \sqrt { D } \sin \theta + \sqrt { J } \sin \varphi \right) , } \\ { p _ { x } } & { { } = } & { \sqrt { \frac { 1 } { 2 } m \Omega _ { B } } \left( - \sqrt { D } \sin \theta + \sqrt { J } \sin \varphi \right) , } \\ { p _ { y } } & { { } = } & { \sqrt { \frac { 1 } { 2 } m \Omega _ { B } } \left( \sqrt { D } \cos \theta + \sqrt { J } \cos \varphi \right) . } \end{array}
\int d ^ { 3 } \mathbf { k } \approx \int d ^ { 2 } \boldsymbol { \phi } \int _ { 0 } ^ { \infty } k ^ { 2 } d k \approx \int d ^ { 2 } \boldsymbol { \phi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } k _ { \Omega } ^ { 2 } d \Delta k .
\xi ^ { A _ { 0 } } G _ { A _ { 0 } } = 0 \: \Leftrightarrow \: \xi ^ { A _ { 0 } } = \xi ^ { A _ { 1 } } Z _ { A _ { 1 } } ^ { A _ { 0 } } + \nu ^ { A _ { 0 } B _ { 0 } } G _ { B _ { 0 } } ,
\begin{array} { r l } { I _ { \mathrm { ~ p ~ r ~ e ~ d ~ } } ( x _ { 0 } ; \ell _ { \tau } ) } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \log \left( \frac { \sigma _ { x } ^ { 2 } } { \sigma _ { x | \ell _ { \tau } } ^ { 2 } } \right) = - \frac { 1 } { 2 } \log \left( 1 - \frac { \langle \delta x ( 0 ) \delta \ell ( \tau ) \rangle ^ { 2 } } { \sigma _ { x } ^ { 2 } \sigma _ { \ell } ^ { 2 } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle n | a a ^ { \dagger } | n \rangle } & { { } = \langle n | \left( [ a , a ^ { \dagger } ] + a ^ { \dagger } a \right) | n \rangle = \langle n | ( N + 1 ) | n \rangle = n + 1 } \\ { \Rightarrow a ^ { \dagger } | n \rangle } & { { } = { \sqrt { n + 1 } } | n + 1 \rangle } \\ { \Rightarrow | n \rangle } & { { } = { \frac { a ^ { \dagger } } { \sqrt { n } } } | n - 1 \rangle = { \frac { ( a ^ { \dagger } ) ^ { 2 } } { \sqrt { n ( n - 1 ) } } } | n - 2 \rangle = \cdots = { \frac { ( a ^ { \dagger } ) ^ { n } } { \sqrt { n ! } } } | 0 \rangle . } \end{array}
V _ { i } = \left[ v _ { L i } ^ { 0 } ( v _ { L i } ^ { 1 } v _ { L i } ^ { 2 } v _ { L i } ^ { 3 } ) ( v _ { L i } ^ { 4 } v _ { L i } ^ { 5 } v _ { L i } ^ { 6 } ) ( v _ { L i } ^ { 7 } v _ { L i } ^ { 8 } v _ { L i } ^ { 9 } ) | | v _ { R i } ^ { 0 } ( v _ { R i } ^ { 1 } v _ { R i } ^ { 2 } v _ { R i } ^ { 3 } ) ( v _ { R i } ^ { 4 } v _ { R i } ^ { 5 } v _ { R i } ^ { 6 } ) ( v _ { R i } ^ { 7 } v _ { R i } ^ { 8 } v _ { R i } ^ { 9 } ) \right] ~ .
E _ { + } = \frac { m _ { e } c ^ { 2 } } { \sqrt { 1 - \frac { u _ { + } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } = \frac { m _ { e } c ^ { 2 } } { \sqrt { 1 - \frac { u _ { - } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } = E _ { - }
\Gamma _ { \lambda \lambda ^ { \prime } \lambda ^ { \prime \prime } } ^ { + } = \frac { \hbar \pi } { 4 } \frac { f _ { 0 } ^ { \prime } - f _ { 0 } ^ { \prime \prime } } { \omega _ { \lambda } \omega _ { \lambda \prime } \omega _ { \lambda ^ { \prime \prime } } } \left| V _ { \lambda \lambda ^ { \prime } \lambda ^ { \prime \prime } } ^ { + } \right| ^ { 2 } \delta ( \omega _ { \lambda } + \omega _ { \lambda \prime } - \omega _ { \lambda ^ { \prime \prime } } ) ,
\begin{array} { r l r } { \frac { d \overline { { x } } _ { 0 } } { d t } } & { { } = } & { V _ { e } \cos \phi + \gamma \overline { { y } } _ { 0 } , } \\ { \frac { d \overline { { y } } _ { 0 } } { d t } } & { { } = } & { V _ { e } \sin \phi , } \\ { \frac { d \overline { { \phi } } _ { 0 } } { d t } } & { { } = } & { - \frac { \gamma } { 2 } ( 1 - B _ { e } \cos 2 \overline { { \phi } } _ { 0 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \lambda ( y _ { 1 } ) } & { { } = \int _ { 0 } ^ { y _ { 1 } } \sqrt { 1 + ( h ^ { \prime } ( s ) ) ^ { 2 } } \ d s \textnormal { o n } \gamma ^ { - } , } & { \lambda ( y _ { 1 } ) } & { { } = \int _ { y _ { 1 } } ^ { \Gamma } \sqrt { 1 + ( h ^ { \prime } ( s ) ) ^ { 2 } } \ d s \textnormal { o n } \gamma ^ { + } } \end{array}
\scriptstyle \left. { \begin{array} { l } { \scriptstyle { \mathrm { t e r m } } \, + \, { \mathrm { t e r m } } } \\ { \scriptstyle { \mathrm { s u m m a n d } } \, + \, { \mathrm { s u m m a n d } } } \\ { \scriptstyle { \mathrm { a d d e n d } } \, + \, { \mathrm { a d d e n d } } } \\ { \scriptstyle { \mathrm { a u g e n d } } \, + \, { \mathrm { a d d e n d } } } \end{array} } \right\} \, =
\textrm { P S F } ( \overrightarrow { r } , t ) = \left( e ^ { i \overrightarrow { k _ { 1 } } ( t ) \cdot r } + e ^ { i \overrightarrow { k _ { 2 } } ( t ) \cdot r } \right) \left( e ^ { - i \overrightarrow { k _ { 1 } } ( t ) \cdot r } + e ^ { - i \overrightarrow { k _ { 2 } } ( t ) \cdot r } \right) \propto 1 + \cos \left( ( \overrightarrow { k _ { 1 } } - \overrightarrow { k _ { 2 } } ) \cdot \overrightarrow { r } \right)
\begin{array} { r l } { | | } & { \lesssim ( \varepsilon \langle \| F _ { + } ^ { \varepsilon } \| _ { \mathfrak D } \rangle + \| F _ { - } ^ { \varepsilon } - \mu _ { \beta } e ^ { \beta \phi ^ { 0 } } \| _ { \mathfrak E ^ { \prime } } ^ { \frac { 1 } { 4 } } \| F _ { - } ^ { \varepsilon } - \mu _ { \beta } e ^ { \beta \phi ^ { 0 } } \| _ { \mathfrak D ^ { \prime } } ^ { \frac { 3 } { 4 } } ) } \\ & { \quad \cdot ( \| G \| _ { \mathfrak E ^ { \prime } } + \| G ^ { ( m _ { 0 } , s ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \dot { \mathcal H } _ { \sigma } ) _ { v } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { \delta } ( t ) } & { \leq \mu \left\Vert w _ { 0 } \right\Vert + \mu \left\Vert \nabla h \left( x _ { 0 } \right) \right\Vert + \left\Vert \nabla f \left( x _ { 0 } \right) \right\Vert + \left( \mu L _ { h } + L _ { f } \right) t B _ { \delta } ( t ) } \\ { B _ { \delta } ( t ) } & { \leq \frac { L _ { h ^ { * } } t } { 3 } \operatorname { c o t h c } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } T \right) A _ { \delta } ( t ) } \\ { C _ { \delta } ( t ) } & { \leq \operatorname { c o t h c } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } T \right) \left( L _ { h ^ { * } } T A _ { \delta } ( t ) + 2 B _ { \delta } ( t ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { g ( ( u _ { 1 } , t _ { 1 } ) , ( u _ { 2 } , t _ { 2 } ) ) } & { = \frac { \rho ^ { ( 2 ) } ( ( u _ { 1 } , t _ { 1 } ) , ( u _ { 2 } , t _ { 2 } ) ) } { \rho ( u _ { 1 } , t _ { 1 } ) \rho ( u _ { 2 } , t _ { 2 } ) } } \\ & { = 1 - \Big \lvert R \Big ( ( u _ { 1 } , t _ { 1 } ) / \alpha _ { s } , ( u _ { 2 } , t _ { 2 } ) / \alpha _ { t } \Big ) \Big \rvert ^ { 2 } \le 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { 1 } S _ { x } ( \omega ) \simeq \operatorname* { l i m } _ { \tau \to \infty } \frac { 2 } { \tau } \Bigg | \sum _ { l } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } \int _ { 0 } ^ { \tau } e ^ { i \omega t } } & { e ^ { - \frac { \Gamma } { 2 } t } \Big ( s _ { l } \sin ( \omega _ { 0 } t ) } \\ { + } & { c _ { l } \cos ( \omega _ { 0 } t ) \Big ) \; d t \; \Bigg | ^ { 2 } } \end{array}
\langle \tilde { B } ( 0 1 0 ) , \Lambda = 0 , \ell , \Sigma , P \, { | } \, \tilde { A } ( 0 0 0 ) , \Lambda ^ { \prime } , \ell ^ { \prime } = 0 , \Sigma ^ { \prime } , P ^ { \prime } = \pm 1 / 2 \rangle = \delta _ { \ell , \Lambda ^ { \prime } } \delta _ { P , P ^ { \prime } } \delta _ { \Sigma , \Sigma ^ { \prime } } ( - 1 ) ^ { P - 1 / 2 }
\begin{array} { r l } { \gamma ( \mathbf { x } ^ { \phi \rightarrow \gamma } ) } & { = \left( \mathbf { C } _ { s } ^ { e , T } \left( \mathbf { C } _ { s } ^ { p , T } \right) ^ { - 1 } \right) \hat { \gamma } ( \mathbf { x } ^ { \phi \rightarrow \gamma } ) - \left( \mathbf { C } _ { s } ^ { e , T } \left( \mathbf { C } _ { s } ^ { a , T } \right) ^ { - 1 } \right) \mathbf { x } ^ { \phi \rightarrow \gamma } , } \\ { \phi ( \mathbf { x } ^ { \gamma \rightarrow \phi } ) } & { = \left( \mathbf { C } _ { s } ^ { e , D D } \left( \mathbf { C } _ { s } ^ { p , D D } \right) ^ { - 1 } \right) \hat { \phi } ( \mathbf { x } ^ { \gamma \rightarrow \phi } ) - \left( \mathbf { C } _ { s } ^ { e , D D } \left( \mathbf { C } _ { s } ^ { a , D D } \right) ^ { - 1 } \right) \mathbf { x } ^ { \gamma \rightarrow \phi } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( x ) } & { = \prod _ { i = 1 } ^ { n } f _ { T , h , \eta } ( x _ { i } ) } \\ & { = \prod _ { i = 1 } ^ { n } { h ( x _ { i } ) \exp \left( \eta \cdot T ( x _ { i } ) - Z ( \eta ) \right) } } \\ & { = \left( \prod _ { i = 1 } ^ { n } { h ( x _ { i } ) } \right) \exp \left( \eta \sum _ { i = 1 } ^ { n } { T ( x _ { i } ) } - n Z ( \eta ) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { \frac { d l ^ { \mathrm { c } } } { d t } - \left[ E ^ { \mathrm { a } } \left( l ^ { \mathrm { s } } - l ^ { \mathrm { c } } \right) - 1 \right] v ^ { \mathrm { 0 } } = 0 } & { \mathrm { ~ i n ~ } \Omega _ { 0 } \times ( T ^ { \mathrm { a c t } } , T ] , } \\ & { l ^ { \mathrm { c } } = l ^ { s } } & { \mathrm { ~ i n ~ } \Omega _ { 0 } \times [ 0 , T ^ { \mathrm { a c t } } ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { D \frac { \partial ^ { 2 } \tilde { Q } _ { 0 } ^ { h } ( s | x _ { 0 } ) } { \partial x _ { 0 } ^ { 2 } } - \lambda \frac { \partial \tilde { Q } _ { 0 } ^ { h } ( s | x _ { 0 } ) } { \partial x _ { 0 } } - ( s + \alpha } & { + r ) \tilde { Q } _ { 0 } ^ { h } ( s | x _ { 0 } ) } \\ & { + \alpha \tilde { Q } _ { 1 } ^ { h } ( s | x _ { 0 } ) = 0 , } \\ { D \frac { \partial ^ { 2 } \tilde { Q } _ { 1 } ^ { h } ( s | x _ { 0 } ) } { \partial x _ { 0 } ^ { 2 } } - \lambda \frac { \partial \tilde { Q } _ { 1 } ^ { h } ( s | x _ { 0 } ) } { \partial x _ { 0 } } - ( s + \beta } & { + r ) \tilde { Q } _ { 1 } ^ { h } ( s | x _ { 0 } ) } \\ & { + \beta \tilde { Q } _ { 0 } ^ { h } ( s | x _ { 0 } ) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \bar { \psi } \big | _ { \Gamma _ { 1 } } = - \bar { \psi } \big | _ { \Gamma _ { 2 } } = \bar { \psi } \big | _ { \Gamma _ { 6 } } = \bar { \psi } \big | _ { \Gamma _ { 8 } } } & { = \bar { \Psi } _ { 0 } , } \\ { \partial _ { \bar { \rho } } \bar { \psi } | _ { \Gamma _ { 4 } , \Gamma _ { 8 } } = \partial _ { \bar { z } } \bar { \psi } | _ { \Gamma _ { 3 } , \Gamma _ { 5 } } } & { = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname { C o v } ( \hat { q } ) } & { = ( i \hbar / 2 ) A _ { 0 } ^ { - 1 } = ( \hbar / 2 ) \mathcal { B } ^ { - 1 } , } \\ { \operatorname { C o v } ( \hat { p } ) } & { = - ( i \hbar / 2 ) A _ { 0 } = ( \hbar / 2 ) \mathcal { B } , } \\ { \operatorname { C o v } ( \hat { q } , \hat { p } ) } & { = i \hbar / 2 , } \\ { \operatorname { C o v } _ { R } ( \hat { q } , \hat { p } ) } & { = 0 . } \end{array}
F _ { \langle r \rangle } ^ { \prime } ( x ) \sim C ^ { \prime } \int _ { x / L ( r ) } ^ { 1 } \frac { d x _ { 1 } } { x _ { 1 } } \int _ { x _ { 2 } } ^ { 1 } \frac { d x _ { 2 } } { x _ { 2 } } \cdots \int _ { x _ { r - 1 } } ^ { 1 } \frac { d x _ { r } } { x _ { r } } \prod _ { j = 1 } ^ { r } \left( \frac { x _ { j } } { x _ { j + 1 } } \right) ^ { \frac { j } { r + 1 } - 1 } = c x ^ { - \frac { r } { r + 1 } } .
\begin{array} { r l r } { \mathbf { \bar { u } } _ { m } \left( x , y , z , t \right) } & { { } \equiv } & { \frac { 1 } { \Delta L } \int _ { - \Delta L / 2 } ^ { \Delta L / 2 } { \mathbf { u } \left( x - s , y , z , t \right) d s } , } \\ { \mathbf { u } _ { m } ^ { \prime } ( x , y , z , t ) } & { { } \equiv } & { \mathbf { u } - \mathbf { \bar { u } _ { m } } , } \end{array}
( \boldsymbol { \mathcal { F } } ( \boldsymbol { v } _ { h } ) , \mathring { \boldsymbol { \phi } } _ { h } ) _ { 1 , h } = ( \Phi _ { + } ^ { \prime } ( v _ { h } + \overline { { c _ { 0 } } } ) + \Phi _ { - } ^ { \prime } ( y _ { h } ^ { n - 1 } + \overline { { c _ { 0 } } } ) , \mathring { \phi } _ { h } ) _ { \Omega } + \kappa a _ { \mathcal { D } } ( \boldsymbol { v } _ { h } , \mathring { \boldsymbol { \phi } } _ { h } ) - ( w _ { h } ^ { n } , \mathring { \phi } _ { h } ) _ { \Omega } .
{ + i { \epsilon } _ { \mu \nu \alpha \beta } q ^ { \alpha } \{ s ^ { \beta } g _ { 1 } ^ { D } / \nu + [ s ^ { \beta } ( q p ) - p ^ { \beta } ( s q ) ] M ^ { - 1 } g _ { 2 } ^ { D } / { \nu } ^ { 2 } \} + i { \epsilon } _ { \mu \nu \alpha \beta } \ q ^ { \alpha } p ^ { \beta } \cdot F _ { 3 } ^ { D } / \nu . }
\begin{array} { r l } & { \partial _ { v } \mathrm { T } _ { 0 } \circ \mathrm { T } _ { 2 , 2 } f ( v , v ^ { \prime } ) = \mathrm { T } _ { 2 , 2 } f ( v , v ^ { \prime } ) } \\ & { \partial _ { v } ^ { 2 } \mathrm { T } _ { 0 } \circ \mathrm { T } _ { 2 , 2 } f ( v , v ^ { \prime } ) = ( v - v ^ { \prime } ) L _ { 1 } ^ { \prime } ( v ) \mathrm { T } _ { 3 , 2 } f - 2 \mathrm { T } _ { 3 , 2 } f + L _ { 1 } ( v ) L _ { 2 } ( v ) f ( v , v ^ { \prime } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \Lambda _ { 1 } = { \frac { 1 } { \hbar ^ { 2 } k _ { 0 } ^ { 2 } - 2 \hbar ^ { 2 } k _ { 0 } k + 2 \hbar \omega \Gamma _ { 0 } - 2 \hbar k \Gamma _ { 0 } v _ { 0 } } } , } \\ { \Lambda _ { 2 } = { \frac { 1 } { \hbar ^ { 2 } k _ { 0 } ^ { 2 } - 2 \hbar ^ { 2 } k _ { 0 } k - 2 \hbar \omega \Gamma _ { 0 } + 2 \hbar k \Gamma _ { 0 } v _ { 0 } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \sigma _ { p } } & { = } & { \sqrt { \left\langle E _ { p } ^ { 2 } ( r ^ { n } ) \right\rangle - \left\langle E _ { p } ( r ^ { n } ) \right\rangle ^ { 2 } } } \\ & { = } & { \frac { \kappa } { 2 } \sqrt { \langle r ^ { n } r ^ { n } r ^ { n } r ^ { n } \rangle - \langle r ^ { n } r ^ { n } \rangle ^ { 2 } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle M \rangle _ { n } } & { \leq 4 \delta | \sigma | ^ { 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { n } b ^ { 2 ( m - j + 1 ) } | \xi ^ { j - 1 } | ^ { 2 } = 4 \delta | \sigma | ^ { 2 } \sum _ { j = 0 } ^ { n - 1 } b ^ { 2 ( m - j ) } | \xi ^ { j } | ^ { 2 } } \\ & { \leq 4 \delta | \sigma | ^ { 2 } \left( b ^ { 2 m } | \xi _ { 0 } | ^ { 2 } + \sum _ { j = 1 } ^ { n - 1 } b ^ { 2 ( m - j ) } | \nabla \xi ^ { j } | ^ { 2 } \right) } \\ & { \leq 4 \delta | \sigma | ^ { 2 } \left( b ^ { m + 1 } | \xi _ { 0 } | ^ { 2 } + \sum _ { j = 1 } ^ { n } b ^ { m - j + 1 } | \nabla \xi ^ { j } | ^ { 2 } \right) , } \end{array}