harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { Q _ { S } ^ { \prime \prime } ( \beta ) } & { = \frac { \hat { C } _ { S } ^ { \prime \prime } ( \beta ) } { \hat { C } _ { S } ( \beta ) } - \left( \frac { \hat { C } _ { S } ^ { \prime } ( \beta ) } { \hat { C } _ { S } ( \beta ) } \right) ^ { 2 } } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } l ^ { 2 } q ( l ) d l - \left( \int _ { 0 } ^ { \infty } l \, q ( l ) d l \right) ^ { 2 } \ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } ( N = n ) } & { = C _ { G } ( n , r ) \prod _ { i \in V } ( 1 - u _ { i } ^ { \mathcal { G } } ) ^ { r } \prod _ { i \in V } \left[ u _ { i } ^ { \mathcal { G } } \prod _ { j \in \mathfrak { c h } ( i ) } ( 1 - u _ { j } ^ { \mathcal { G } } ) \right] ^ { n _ { i } } } \\ & { = C _ { G } ( n , r ) \prod _ { i \in V } ( u _ { i } ^ { \mathcal { G } } ) ^ { n _ { i } } ( 1 - u _ { i } ^ { \mathcal { G } } ) ^ { r + | n _ { \mathfrak { p a } ( i ) } | } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \epsilon _ { x } } { \epsilon _ { y } } = \alpha _ { b } ^ { 2 } \left( \frac { \sqrt { \frac { 4 \alpha _ { b } ^ { 2 } n _ { b } ^ { 2 } } { \left( \alpha _ { b } ^ { 2 } - 1 \right) ^ { 2 } } + 1 } - 1 } { \sqrt { \frac { 4 \alpha _ { b } ^ { 2 } n _ { b } ^ { 2 } } { \left( \alpha _ { b } ^ { 2 } - 1 \right) ^ { 2 } } + 1 } + 1 } \right) ^ { \frac { 1 } { 4 } } } \end{array}
\delta ^ { 2 } \rho _ { d } = \frac { 1 } { d ( d - 1 ) } \sum _ { a = 0 , a < a ^ { \prime } } ^ { d - 1 } [ \delta ^ { 2 } \mathrm { ~ R ~ e ~ } ( \rho _ { a , a ^ { \prime } } ) + \delta ^ { 2 } \mathrm { ~ I ~ m ~ } ( \rho _ { a , a ^ { \prime } } ) ]
\begin{array} { r l } { \overline { { L } } ( \tau ) } & { { } = \left[ \gamma ^ { \frac { 1 } { 1 - \alpha } } \right] \tilde { L } _ { 0 } ( \tau ) + D \left[ \gamma ^ { \frac { \beta - 1 } { 1 - \alpha } } \right] \langle \tilde { L } _ { 2 } ( \tau ) \rangle \ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { n , \mathbf { h } , \mathbf { b } } \omega _ { \mathbf { b } } \frac { \partial | \hat { \rho } _ { n } ( \mathbf { b } ) | } { \partial D _ { n , n } ^ { \mathbf { h } , \mathbf { h } + \mathbf { b } } } \frac { \partial D _ { n , n } ^ { \mathbf { h } , \mathbf { h } + \mathbf { b } } } { \partial U _ { i , j } ^ { \mathbf { k } } } = } & { \sum _ { \mathbf { b } } \omega _ { \mathbf { b } } \left( \frac { \partial | \hat { \rho } _ { j } ( \mathbf { b } ) | } { \partial D _ { j , j } ^ { \mathbf { k } , \mathbf { k } + \mathbf { b } } } \sum _ { s } Q _ { i , s } ^ { \mathbf { k } , \mathbf { k } + \mathbf { b } } U _ { s , j } ^ { \mathbf { k } + \mathbf { b } } + \frac { \partial | \hat { \rho } _ { j } ( \mathbf { b } ) | } { \partial D _ { j , j } ^ { \mathbf { k } - \mathbf { b } , \mathbf { k } } } \sum _ { r } Q _ { r , i } ^ { \mathbf { k } - \mathbf { b } , \mathbf { k } } U _ { r , j } ^ { \mathbf { k } - \mathbf { b } } \right. } \\ & { \left. + i \frac { \partial | \hat { \rho } _ { j } ( \mathbf { b } ) | } { \partial D _ { j , j } ^ { \mathbf { k } - \mathbf { b } , \mathbf { k } } } \sum _ { r } P _ { r , i } ^ { \mathbf { k } - \mathbf { b } , \mathbf { k } } U _ { r , j } ^ { \mathbf { k } - \mathbf { b } } - i \frac { \partial | \hat { \rho } _ { j } ( \mathbf { b } ) | } { \partial D _ { j , j } ^ { \mathbf { k } , \mathbf { k } + \mathbf { b } } } \sum _ { s } P _ { i , s } ^ { \mathbf { k } , \mathbf { k } + \mathbf { b } } U _ { s , j } ^ { \mathbf { k } + \mathbf { b } } \right) } \\ { = } & { 2 \sum _ { \mathbf { b } } \omega _ { \mathbf { b } } \frac { \partial | \hat { \rho } _ { j } ( \mathbf { b } ) | } { \partial D _ { j , j } ^ { \mathbf { k } , \mathbf { k } + \mathbf { b } } } \sum _ { s } \left( - i P _ { i , s } ^ { \mathbf { k } , \mathbf { k } + \mathbf { b } } U _ { s , j } ^ { \mathbf { k } + \mathbf { b } } + Q _ { i , s } ^ { \mathbf { k } , \mathbf { k } + \mathbf { b } } U _ { s , j } ^ { \mathbf { k } + \mathbf { b } } \right) } \\ { = } & { - 2 i \sum _ { \mathbf { b } } \omega _ { \mathbf { b } } \frac { \partial | \hat { \rho } _ { j } ( \mathbf { b } ) | } { \partial D _ { j , j } ^ { \mathbf { k } , \mathbf { k } + \mathbf { b } } } \sum _ { s } S _ { i , s } ^ { \mathbf { k } , \mathbf { k } + \mathbf { b } } U _ { s , j } ^ { \mathbf { k } + \mathbf { b } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { i \left( \frac { \partial } { \partial z } + \frac { 1 } { c } \frac { \partial } { \partial t } \right) { \hat { E } } _ { p j } + \frac { g _ { p j } ^ { \ast } N } { c } \hat { S } _ { 4 j } = 0 , \, \, \, \, ( j = 1 , \, 2 ) } \\ & { i \frac { \partial } { \partial t } \hat { S } _ { \alpha \beta } = \left[ \hat { S } _ { \alpha \beta } , \frac { \hat { H } } { \hbar } \right] + i { \hat { \cal L } } ( \hat { S } _ { \alpha \beta } ) + i { \hat { F } } _ { \alpha \beta } . } \end{array}
F _ { k k } ^ { + + } = 2 \mathcal { N } I _ { k } v ^ { 4 } \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { \mathrm { p i x } } } \frac { I _ { i } \sin ^ { 2 } ( \phi _ { i } - \phi _ { k } ) } { 2 + v ^ { 2 } \cos ( \phi _ { i } - \phi _ { k } ) }
\begin{array} { r l } { \sum _ { k = 1 } ^ { 2 } | | | \widehat { \Theta } _ { k } - \Theta _ { 0 k } | | | _ { 1 } \leq } & { \sum _ { k = 1 } ^ { 2 } \Big ( | | \widehat { \Theta } _ { k } ^ { + } - \Theta _ { 0 k } ^ { + } | | _ { \infty } + | | \widehat { \Theta } _ { k } ^ { - } - \Theta _ { 0 k } ^ { - } | | _ { 1 } \Big ) } \\ { \leq } & { \sum _ { k = 1 } ^ { 2 } \Big ( | | \widehat { \Theta } _ { k } - \Theta _ { 0 k } | | _ { F } + | | \widehat { \Theta } _ { k } ^ { - } - \Theta _ { 0 k } ^ { - } | | _ { 1 } \Big ) } \\ { \leq } & { \frac { 2 \lambda \sqrt { 8 s _ { 1 } + 8 s _ { 2 } + p } } { c } + \frac { 2 \lambda ( 8 s _ { 1 } + 8 s _ { 2 } + p ) } { c } } \\ { \leq } & { \frac { 4 \lambda ( 8 s _ { 1 } + 8 s _ { 2 } + p ) } { c } . } \end{array}
I m \, \Pi _ { 2 } ^ { \mathrm { v a c } } = \frac { 3 \lambda g ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 3 } } \left\{ \frac { 1 } { \epsilon } + 4 - 2 \gamma _ { E } + 2 \ln \left( \frac { 4 \pi \mu ^ { 2 } } { P ^ { 2 } } \right) \right\} \, .
\begin{array} { r l } & { \int _ { - d } ^ { d } e ^ { - a | y _ { 1 } - x _ { 1 } | } e ^ { - a | y _ { 1 } - z _ { 1 } - 2 d n _ { 1 } | } d y _ { 1 } } \\ { = } & { ~ \int _ { - d } ^ { x _ { 1 } } e ^ { - a ( x _ { 1 } - y _ { 1 } ) } e ^ { - a ( z _ { 1 } - y _ { 1 } ) } d y _ { 1 } + \int _ { x _ { 1 } } ^ { z _ { 1 } } e ^ { - a ( y _ { 1 } - x _ { 1 } ) } e ^ { - a ( z _ { 1 } - y _ { 1 } ) } d y _ { 1 } + \int _ { z _ { 1 } } ^ { d } e ^ { - a ( y _ { 1 } - x _ { 1 } ) } e ^ { - a ( y _ { 1 } - z _ { 1 } ) } d y _ { 1 } } \\ { = } & { ~ \frac { e ^ { - a ( z _ { 1 } + x _ { 1 } ) } } { 2 a } \left( e ^ { 2 a x _ { 1 } } - e ^ { - 2 a d } \right) + ( z _ { 1 } - x _ { 1 } ) e ^ { - a ( z _ { 1 } - x _ { 1 } ) } + \frac { e ^ { a ( z _ { 1 } + x _ { 1 } ) } } { 2 a } \left( e ^ { - 2 a z _ { 1 } } - e ^ { - 2 a d } \right) } \\ { = } & { ~ e ^ { - a ( z _ { 1 } - x _ { 1 } ) } \left( z _ { 1 } - x _ { 1 } + \frac { 1 } { a } \right) + \frac { e ^ { - 2 a d } } { 2 a } \left( e ^ { a ( z _ { 1 } + x _ { 1 } ) + e ^ { - a ( z _ { 1 } + x _ { 1 } ) } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { T _ { \mathrm { O F F } , s } ( x , t ) } & { { } = \frac { 1 } { Z _ { \mathrm { O F F } } } \sum _ { A \in \mathcal { A } ( x , t ) } \tau _ { s } ( t ) | A \cdot \frac { 1 - n _ { s } ( t ) | A } { \pi _ { s } ( t ) | A } } \\ { Z _ { \mathrm { O F F } } } & { { } = \sum _ { A \in \mathcal { A } ( x , t ) } \frac { 1 - n _ { s } ( t ) | A } { \pi _ { s } ( t ) | A } . } \end{array}
g _ { L } ^ { 2 } V _ { L } ( U \pm \omega _ { 3 } ) \approx m _ { L } ^ { 2 } \left( e ^ { U } + e ^ { - U } \right) , \qquad g _ { S } ^ { 2 } V _ { S } ( U \pm \omega _ { 3 } ) \approx 4 m _ { S } ^ { 2 } \left( e ^ { 2 U } + e ^ { - 2 U } \right) .
\begin{array} { r l } { Q _ { s } = } & { { } \ \frac { w } { \alpha } + ( 1 - w ) Q _ { g } } \\ { \sigma _ { s } ^ { 2 } = } & { { } \ \frac { w } { a ^ { 2 } } + ( 1 - w ) \sigma _ { g } ^ { 2 } + w ( 1 - w ) \left( Q _ { g } - \frac { 1 } { a } \right) ^ { 2 } , } \end{array}
R ^ { \sigma } \, _ { \mu \nu \rho } \equiv \partial _ { \rho } W _ { \mu \nu } ^ { \sigma } - \partial _ { \nu } W _ { \mu \rho } ^ { \sigma } + W _ { \alpha \rho } ^ { \sigma } W _ { \mu \nu } ^ { \alpha } - W _ { \alpha \nu } ^ { \sigma } W _ { \mu \rho } ^ { \alpha } ,
p ( \nu , d _ { i } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 - \nu ^ { 2 1 } } & { d _ { i } = 4 \, } \\ { 1 - \nu ^ { 5 . 3 } } & { d _ { i } = 3 \, } \\ { 1 - \nu ^ { 2 . 7 } } & { d _ { i } = 2 \, } \\ { 1 - \nu ^ { 1 . 6 } } & { d _ { i } = 1 \, } \\ { 1 - \nu } & { d _ { i } = 0 \, } \\ { \nu ^ { 1 . 6 } } & { d _ { i } = - 1 \, } \\ { \nu ^ { 2 . 7 } } & { d _ { i } = - 2 \, } \\ { \nu ^ { 5 . 3 } } & { d _ { i } = - 3 \, } \\ { \nu ^ { 2 1 } } & { d _ { i } = - 4 \, } \end{array} \right. \, .
\begin{array} { r } { \phi \frac { \partial \langle c \rangle _ { \mathcal { I B } } } { \partial t } = \nabla \cdot \left[ \tilde { \tilde { \textbf { D } } } ^ { \star } \nabla \langle c \rangle _ { I \mathcal B } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { \mathrm { e f f } } } & { = H _ { 0 } + \hat { H } _ { 2 } , } \\ { H _ { 0 } } & { = \sum _ { j = 1 , 2 } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d \tau \left[ V _ { j } \left( - \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \tau ^ { 2 } } + A _ { 0 } ^ { 2 } - V _ { j } ^ { 2 } \right) V _ { j } - 2 V _ { 1 } ^ { 2 } V _ { 2 } ^ { 2 } \right] , } \\ { { \hat { H } } _ { 2 } } & { = \sum _ { j = 1 , 2 } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \tau \left[ \hat { v } _ { j } ^ { \dag } \left( - \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \tau ^ { 2 } } + A _ { 0 } ^ { 2 } - 4 V _ { j } ^ { 2 } \right) \hat { v } _ { j } \right. } \\ & { \left. - V _ { j } ^ { 2 } ( \hat { v } _ { j } \hat { v } _ { j } + \hat { v } _ { j } ^ { \dag } \hat { v } _ { j } ^ { \dag } ) \right] - \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \tau 2 V _ { 1 } V _ { 2 } \left( \hat { v } _ { 1 } ^ { \dagger } \hat { v } _ { 2 } ^ { \dagger } + \hat { v } _ { 1 } \hat { v } _ { 2 } \right. } \\ & { \left. + \hat { v } _ { 1 } ^ { \dagger } \hat { v } _ { 1 } + \hat { v } _ { 1 } ^ { \dagger } \hat { v } _ { 2 } + \hat { v } _ { 2 } ^ { \dagger } \hat { v } _ { 1 } + \hat { v } _ { 2 } ^ { \dagger } \hat { v } _ { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f \colon \xi ( x _ { 3 } + \widetilde { f } ( x _ { 0 } , x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 4 } ) ) + f ( x _ { 0 } , x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } , x _ { 4 } ) } & { = 0 } \\ { g \colon \xi ( x _ { 4 } + \widetilde { g } ( x _ { 0 } , x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) ) + g ( x _ { 0 } , x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } , x _ { 4 } ) } & { = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { J _ { \mu } ( \tau ) } & { { } \equiv } & { \int _ { 0 } ^ { \tau } d \tau ^ { \prime } \Bigl ( a _ { \mu } ^ { \prime } ( \tau ^ { \prime } ) - \langle \langle a _ { \mu } ^ { \prime } \rangle \rangle \Bigr ) } \\ { { \cal J } _ { \mu } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) } & { { } \equiv } & { J _ { \mu } ( \tau ) - J _ { \mu } ( \tau ^ { \prime } ) - \frac { T } { 2 } \dot { G } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) \langle \langle a _ { \mu } ^ { \prime } \rangle \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { ~ I ~ m ~ } \, \chi ( \omega _ { p } ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 \Omega _ { p } t _ { \mathrm { ~ m ~ } } N } \frac { \rho _ { N } \left| \boldsymbol d _ { 1 , 2 } \right| ^ { 2 } } { \epsilon _ { 0 } \hbar } \left< \hat { \mathcal X } \right> , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { V ( x , t ) } & { { } = } & { \sum _ { m = 0 } ^ { q } \frac { ( 2 ^ { m } q ! ) ^ { 2 } ( - 1 ) ^ { q + m } } { ( 2 m ) ! ( q - m ) ! } \lambda ^ { q - m } x ^ { 2 m } - \sqrt { \pi } q ! \Bigg [ \frac { 1 + ( - 1 ) ^ { q } } { \Gamma ( \frac { q } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } ) } + \frac { 1 - ( - 1 ) ^ { q } } { \Gamma ( \frac { q } { 2 } + 1 ) } \Bigg ] \cos ( q \tau ) x ^ { q } + 1 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { X _ { B , i } ( t ) } ~ } & { H _ { i } ^ { B } ( t ) \left( \sum _ { j \in \Omega _ { i } ^ { B } } m _ { i j } ^ { \prime } ( t ) - e _ { i } ( t ) \right) + B _ { i } ( t ) \left( \eta _ { \mathrm { c } } c _ { i } ( t ) - \frac { 1 } { \eta _ { \mathrm { d } } } d _ { i } ( t ) \right) + V ( f _ { i } ^ { \mathrm { g r i d } } ( t ) + f _ { i } ^ { \mathrm { b a t t } } ( t ) ) } \\ { ~ } & { + \frac { \rho } { 2 } \sum _ { j \in \Omega _ { i } ^ { B } } \left( m _ { i j } ( t ) - m _ { i j } ^ { \prime } ( t ) + \lambda _ { i j } ( t ) \right) ^ { 2 } + \sum _ { k \in \mathcal { I } \backslash i } \left( p ^ { \mathrm { t } } ( t ) u _ { i k } ( t ) + \frac { \rho } { 2 } \left( u _ { i k } ( t ) - u _ { i k } ^ { \prime } ( t ) + \mu _ { i k } ( t ) \right) ^ { 2 } \right) , } \\ { \mathrm { s . t . } ~ } & { , ~ , ~ , ~ , ~ , ~ . } \end{array}
J _ { N , k , \kappa } [ - ] : \mathscr { O } ( \mathbb { C } ^ { k } \times \mathbb { C } ^ { \kappa } ; C _ { \mathrm { c } } ^ { \infty } ( \mathbb { R } _ { t _ { 1 } , \ldots , t _ { k } } ^ { k } ; \mathcal { E } ^ { \prime } ( \mathbb { R } _ { t _ { k + 1 } , \ldots , t _ { N } } ^ { N - k } ) ) ) \ni \psi \mapsto J _ { N , k , \kappa } [ \psi ] \in \mathscr { O } ( \mathbb { C } ^ { k } \times \mathbb { C } ^ { \kappa } )
\begin{array} { r l } & { \boldsymbol { \sigma } ^ { ( 0 ) } = - ( \Pi ^ { ( 0 ) } + q ) \mathbf { I } _ { s } + ( \mathbf { S } ^ { ( 0 ) } + \mathbf { A } ) , } \\ & { \boldsymbol { \sigma } ^ { ( 1 ) } = - \Pi ^ { ( 1 ) } \mathbf { I } _ { s } + \mathbf { S } ^ { ( 1 ) } + ( \Pi ^ { ( 0 ) } + q ) ( \mathbf { S } ^ { ( 0 ) } + \mathbf { A } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta \xi _ { G } } & { \geq - C \left( 1 + \frac { \delta } { | \nabla \tilde { u } _ { 0 } | } \right) ( | \nabla \xi _ { G } | + | \nabla \varphi | ) + ( G _ { \delta } ^ { \prime } ) ^ { 2 } + \delta G _ { \delta } ^ { \prime } - \Delta \varphi + \Delta \varphi } \\ & { \geq - C \left( 1 + \frac { \delta } { | \nabla \tilde { u } _ { 0 } | } \right) \left( | \nabla \xi _ { G } | + R ^ { 4 - \frac { n + 1 - 2 \delta _ { 0 } } { n + 1 + 2 \delta _ { 0 } } } \omega \right) + ( G _ { \delta } ^ { \prime } ) ^ { 2 } + \delta G _ { \delta } ^ { \prime } . } \end{array}
\mathbb { E } \left[ \underset { x \in \mathbb { R } } { \operatorname* { s u p } } | \beta _ { n , m , j } ( x ) | \right] \leq 2 \frac { C _ { 0 } } { \sqrt { k } } \sum _ { L = 1 } ^ { N } \left( 2 ^ { - \frac { ( a - 1 ) ^ { 2 } } { ( 4 a ) ^ { 2 } } } \right) ^ { L } + k ^ { - 1 } \leq \frac { 2 } { \sqrt { k } } \frac { C _ { 0 } } { 1 - 2 ^ { - \frac { ( a - 1 ) ^ { 2 } } { ( 4 a ) ^ { 2 } } } } + k ^ { - 1 } \triangleq C _ { 1 } k ^ { - 1 / 2 } + k ^ { - 1 } ,
\begin{array} { r } { E _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ } } [ \rho _ { \mathrm { A } } , \rho _ { \mathrm { e n v } } ] = E _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ } } ^ { \mathrm { ~ C ~ } } [ \rho _ { \mathrm { A } } , \rho _ { \mathrm { e n v } } ] + E _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ } } ^ { \mathrm { ~ Q ~ M ~ } } [ \rho _ { \mathrm { A } } , \rho _ { \mathrm { e n v } } ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle g \rangle _ { E } } & { = \int _ { \mathcal { M } } g ( \pmb { \mathscr { s } } ) \left[ \sum _ { n } \mathcal { P } \left( \pmb { \mathscr { s } } | \mathcal { M } _ { n } \right) \mathbb { P } ( \mathcal { M } _ { n } ) \right] = \sum _ { n } \left[ \int _ { \mathcal { M } } g ( \pmb { \mathscr { s } } ) \mathcal { P } \left( \pmb { \mathscr { s } } | \mathcal { M } _ { n } \right) \right] \mathbb { P } ( \mathcal { M } _ { n } ) } \\ & { \approx \sum _ { n } \left[ \int _ { \mathcal { M } } g ( \pmb { \mathscr { s } } ) \delta \left( \pmb { \mathscr { s } } - \pmb { \sigma } ^ { n } \right) \right] \mathbb { P } ( \mathcal { M } _ { n } ) = \sum _ { n } g ( \pmb { \sigma } ^ { n } ) \mathbb { P } ( \mathcal { M } _ { n } ) } \end{array}
\left| \Gamma \right| ^ { 2 } \equiv \frac { P _ { r } } { P _ { 0 } } = \frac { \left( \sigma - 1 \right) ^ { 2 } \left( \beta \delta \right) ^ { 2 } + \left( \sigma + \beta - 1 \right) ^ { 2 } } { \left( \sigma + 1 \right) ^ { 2 } \left( \beta \delta \right) ^ { 2 } + \left( \sigma + \beta + 1 \right) ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l r } { w _ { L } } & { { } = } & { w _ { j } + \nabla w \cdot ( { \bf x } - { \bf x } _ { j } ) - \frac { 1 } { 2 } ( { \bf g } - \overline { { \bf g } } _ { j } ) \cdot ( { \bf x } - { \bf x } _ { j } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { = \left( \frac { 1 } { s _ { 1 } } + \frac { 1 } { s _ { 2 } } \right) ^ { 2 } \left( \ell _ { 1 } ^ { - 1 } + \ell _ { 2 } ^ { - 1 } \right) ^ { 2 } - 4 \ell _ { 1 } ^ { - 1 } \ell _ { 2 } ^ { - 1 } \left[ \left( \frac { 1 } { s _ { 1 } } + \frac { 1 } { s _ { 2 } } \right) ^ { 2 } - \left| \frac { 1 } { s _ { 1 } } + \frac { 1 } { s _ { 2 } } e ^ { \i \alpha L } \right| \right] } \\ & { = \left( \frac { 1 } { s _ { 1 } } + \frac { 1 } { s _ { 2 } } \right) ^ { 2 } \left( \ell _ { 1 } ^ { - 1 } - \ell _ { 2 } ^ { - 1 } \right) ^ { 2 } + 4 \ell _ { 1 } ^ { - 1 } \ell _ { 2 } ^ { - 1 } \left| \frac { 1 } { s _ { 1 } } + \frac { 1 } { s _ { 2 } } e ^ { \i \alpha L } \right| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \hat { \omega } \| _ { p } ^ { 2 } } & { \leq e ^ { - 4 \mathrm { P r } \frac { p - 1 } { p ^ { 3 } C _ { p } ^ { 2 } } t } \| \hat { \omega } _ { 0 } \| _ { p } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } C _ { p } ^ { 2 } p ^ { 2 } \mathrm { { R a } } ^ { 2 } | \Omega | ^ { \frac { 2 } { p } } \leq e ^ { - 4 \mathrm { P r } \frac { p - 1 } { p ^ { 3 } C _ { p } ^ { 2 } } t } \| \omega _ { 0 } - \Lambda \| _ { p } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } C _ { p } ^ { 2 } p ^ { 2 } \mathrm { { R a } } ^ { 2 } | \Omega | ^ { \frac { 2 } { p } } } \\ & { \leq e ^ { - 4 \mathrm { P r } \frac { p - 1 } { p ^ { 3 } C _ { p } ^ { 2 } } t } ( \| \omega _ { 0 } \| _ { p } ^ { 2 } + \Lambda ^ { 2 } | \Omega | ^ { \frac 2 p } ) + \frac { 1 } { 4 } C _ { p } ^ { 2 } p ^ { 2 } \mathrm { { R a } } ^ { 2 } | \Omega | ^ { \frac { 2 } { p } } \leq C ^ { 2 } ( \| \omega _ { 0 } \| _ { p } ^ { 2 } + \Lambda ^ { 2 } + \mathrm { { R a } } ^ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \int _ { 0 } ^ { 1 - x } d y \frac { \left( x m _ { d } + y m _ { s } \right) } { x m _ { d } ^ { 2 } + y m _ { s } ^ { 2 } + ( 1 - x - y ) m _ { u } ^ { 2 } - x k _ { 1 } ^ { 2 } - y k _ { 2 } ^ { 2 } + ( x k _ { 1 } - y k _ { 2 } ) ^ { 2 } } } \\ & { } & { = P \int _ { 0 } ^ { 1 - x } d y \frac { \left( x m _ { d } + y m _ { s } \right) } { x m _ { d } ^ { 2 } + y m _ { s } ^ { 2 } + ( 1 - x - y ) m _ { u } ^ { 2 } - x k _ { 1 } ^ { 2 } - y k _ { 2 } ^ { 2 } + ( x k _ { 1 } - y k _ { 2 } ) ^ { 2 } } } \\ & { } & { + \frac { 2 \pi i q } { k _ { 2 } ^ { 2 } \sqrt { c ^ { 2 } - 4 d } } \left[ \frac { - c + \sqrt { c ^ { 2 } - 4 d } } { 2 } m _ { s } + x m _ { d } \right] + \frac { 2 \pi i l } { k _ { 2 } ^ { 2 } } m _ { s } , } \end{array}
\begin{array} { r } { c \sum _ { k = 1 } ^ { 2 } | | \widehat { \Theta } ^ { [ k ] } - \Theta _ { 0 } ^ { [ k ] } | | _ { F } ^ { 2 } + \lambda \sum _ { k = 1 } ^ { 2 } | | ( \widehat { \Theta } ^ { [ k ] } - \Theta _ { 0 } ^ { [ k ] } ) ^ { - } | | _ { 1 } \leq \frac { 8 \lambda ^ { 2 } ( s _ { 1 } + s _ { 2 } ) } { c } + \frac { 4 p \lambda _ { 0 } ^ { 2 } } { c } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { { } = T _ { e } \mathcal { F } _ { e } + T _ { i } \mathcal { F } _ { i } , } \\ { \mathcal { F } _ { i } } & { { } = - \tau \frac { 1 } { \hat { V } } \left( \frac { \delta \Phi _ { e } } { \delta S _ { i i } } \right) _ { \beta _ { e } , V } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \boldsymbol { \nabla } } { \boldsymbol { S } } } & { = \left[ { \cfrac { \partial S ^ { i j } } { \partial q ^ { k } } } + \Gamma _ { k l } ^ { i } ~ S ^ { l j } + \Gamma _ { k l } ^ { j } ~ S ^ { i l } \right] ~ \mathbf { b } _ { i } \otimes \mathbf { b } _ { j } \otimes \mathbf { b } ^ { k } } \\ & { = \left[ { \cfrac { \partial S _ { ~ j } ^ { i } } { \partial q ^ { k } } } + \Gamma _ { k l } ^ { i } ~ S _ { ~ j } ^ { l } - \Gamma _ { k j } ^ { l } ~ S _ { ~ l } ^ { i } \right] ~ \mathbf { b } _ { i } \otimes \mathbf { b } ^ { j } \otimes \mathbf { b } ^ { k } } \\ & { = \left[ { \cfrac { \partial S _ { i } ^ { ~ j } } { \partial q ^ { k } } } - \Gamma _ { i k } ^ { l } ~ S _ { l } ^ { ~ j } + \Gamma _ { k l } ^ { j } ~ S _ { i } ^ { ~ l } \right] ~ \mathbf { b } ^ { i } \otimes \mathbf { b } _ { j } \otimes \mathbf { b } ^ { k } } \end{array} }
\bar { F } _ { 3 \, 1 } ^ { - 3 } ( i ) = \frac { 5 } { 3 2 } \sqrt { 4 2 } ( \sin i ) ^ { 2 } \cos i - \frac { 5 } { 3 2 } \sqrt { 4 2 } ( \sin i ) ^ { 2 }
\begin{array} { r l r } { J ( x , y , z ) } & { = } & { \left( \begin{array} { l l l } { r \left( 1 - 2 x / K \right) - q _ { 1 } y ( 1 + a _ { 1 } x ) ^ { - 2 } } & { - q _ { 1 } x ( 1 + a _ { 1 } x ) ^ { - 1 } } & { - q _ { 2 } x ( 1 + a _ { 2 } x ) ^ { - 1 } } \\ { - q _ { 2 } z ( 1 + a _ { 2 } x ) ^ { - 2 } } \\ { c _ { 1 } q _ { 1 } y ( 1 + a _ { 1 } x ) ^ { - 2 } } & { c _ { 1 } q _ { 1 } x ( 1 + a _ { 1 } x ) ^ { - 1 } } & { 0 } \\ & { - \mu _ { 1 } - 2 m _ { 1 1 } y } \\ { c _ { 2 } q _ { 2 } z ( 1 + a _ { 2 } x ) ^ { - 2 } } & { 0 } & { c _ { 2 } q _ { 2 } x ( 1 + a _ { 2 } x ) ^ { - 1 } } \\ & & { - \mu _ { 2 } - 2 m _ { 2 2 } z } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { u _ { e } ^ { T } u _ { e } } & { = } & { x _ { e } ^ { T } ( I - P _ { \mathit { F } } - Q _ { e } ) x _ { e } } \\ & { = } & { x _ { e } ^ { T } ( I - P _ { \mathit { F } } - \Delta _ { e } ) ( I - P _ { \mathit { E } _ { - e } } ) x _ { e } } \\ & { = } & { \| ( I - P _ { \mathit { E } _ { - e } } ) x _ { e } \| _ { 2 } ^ { 2 } ( 1 - \delta _ { e , 2 } ^ { 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left[ \begin{array} { c c } { 1 } & { h } \\ { 0 } & { \operatorname* { d e t } ( A ) } \end{array} \right] } & { = } & { \left[ \begin{array} { c c } { 1 } & { h _ { 1 } - q \operatorname* { d e t } ( A ) } \\ { 0 } & { \operatorname* { d e t } ( A ) } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c c } { 1 } & { - q } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c c } { 1 } & { h _ { 1 } } \\ { 0 } & { \operatorname* { d e t } ( A ) } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c c } { 1 } & { - q } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] L _ { 1 } A } \\ & { = } & { \left[ \begin{array} { c c } { 1 } & { - q } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c c } { \alpha } & { \gamma } \\ { - c } & { a } \end{array} \right] A = \left[ \begin{array} { c c } { \alpha + q c } & { \gamma - a q } \\ { - c } & { a } \end{array} \right] A = \left[ \begin{array} { c c } { \ell _ { 1 } } & { \ell _ { 2 } } \\ { - c } & { a } \end{array} \right] A = L A , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { P ( t , x ) = C _ { 0 } ( t ) + C _ { 1 } ( t ) \Theta ( \xi _ { + } ) + C _ { 2 } ( t ) \Theta ( \xi _ { - } ) + C _ { 3 } ( t ) \Theta ( \eta _ { + } ) + C _ { 4 } ( t ) \Theta ( \eta _ { - } ) , } \\ & { } & { \xi _ { \pm } = x + \left( a \pm \frac 1 2 \right) e ^ { - \beta t } , \quad \eta _ { \pm } = x + \frac 1 2 e ^ { - \beta t } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { \tau } \int _ { 0 } ^ { 1 } \Big [ ( 1 } & { + i k U _ { \mathrm { s h } } ) \partial _ { t } \big ( ( \partial _ { t } + 1 ) ( \partial _ { t } + i k U _ { \mathrm { s h } } ) - \partial _ { y } ^ { 2 } \big ) \partial _ { y } \psi _ { k } \Big ] ( t , y ) \overline { { \omega _ { \tau , k } ( t , y ) } } d y d t } \\ { = } & { \int _ { 0 } ^ { \tau } \int _ { 0 } ^ { 1 } \Big [ \big ( ( \partial _ { t } + 1 ) ( \partial _ { t } + i k U _ { \mathrm { s h } } ) - \partial _ { y } ^ { 2 } \big ) \partial _ { y } \psi _ { k } \Big ] ( t , y ) \overline { { ( 1 - i k U _ { \mathrm { s h } } ( y ) ) \partial _ { t } \omega _ { \tau , k } ( t , y ) } } d y d t + } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { 1 } \Big [ ( 1 + i k U _ { \mathrm { s h } } ) \big ( ( \partial _ { t } + 1 ) ( \partial _ { t } + i k U _ { \mathrm { s h } } ) - \partial _ { y } ^ { 2 } \big ) \partial _ { y } \psi _ { k } \Big ] ( 0 , y ) \overline { { \omega _ { \tau , k } ( 0 , y ) } } d y . } \end{array}
H ( { \cal { D } } | { \cal { T } } = t ) = - \sum _ { d } p _ { d | t } \log p _ { d | t } = - \log { \frac { 1 } { | \{ d \in D : t \in d \} | } } = \log { \frac { | \{ d \in D : t \in d \} | } { | D | } } + \log | D | = - \mathrm { i d f } ( t ) + \log | D |