harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \hat { \boldsymbol r } _ { i , j } ^ { \prime } } & { { } = } & { \hat { \boldsymbol r } _ { i , j } , } \\ { \hat { \boldsymbol p } _ { i , j } ^ { \prime } } & { { } = } & { \hat { \boldsymbol p } _ { i , j } - \frac { q _ { e } } { c } \hat { \boldsymbol A } \left( \hat { \boldsymbol r } _ { i , j } \right) - \int d \boldsymbol r ^ { 3 } \hat { \boldsymbol n } _ { i , j } ( \boldsymbol r ) \times \hat { \boldsymbol B } ( \boldsymbol r ) , } \\ { \hat { d } _ { \boldsymbol k , \lambda } ^ { \prime } } & { { } = } & { \hat { d } _ { \boldsymbol k , \lambda } + \left( \frac { i } { \hbar } \right) \sqrt { \frac { \hbar } { 2 \epsilon _ { 0 } \omega _ { \boldsymbol k } } } { \boldsymbol e } _ { \boldsymbol k , \lambda } \cdot \hat { \boldsymbol P } ( \boldsymbol k ) . } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { x \to 0 ^ { + } } f _ { \kappa } ( x ) = ( 1 + \kappa \nu ) ( 2 \kappa ) ^ { \nu } { \frac { \Gamma { \big ( } { \frac { 1 } { 2 \kappa } } + { \frac { \nu } { 2 } } { \big ) } } { \Gamma { \big ( } { \frac { 1 } { 2 \kappa } } - { \frac { \nu } { 2 } } { \big ) } } } { \frac { \alpha \beta ^ { \nu } } { \Gamma { \big ( } \nu { \big ) } } } x ^ { \alpha \nu - 1 }
\begin{array} { r l } { \mathrm { { N u } } } & { \leq \operatorname* { l i m s u p } _ { T \to \infty } \frac { 1 } { T } \int _ { 0 } ^ { T } \frac { 1 } { | \Omega | } \int _ { \Omega _ { \delta } } \| \nabla u \| _ { L ^ { 2 } ( \gamma ^ { - } , \gamma ^ { + } ) } \| \nabla T \| _ { L ^ { 2 } ( \gamma ^ { - } , \gamma ^ { + } ) } \ d y \ d t + C \left( \frac { 1 } { \delta } + \| \kappa \| _ { \infty } \right) } \\ & { \leq C \left( \delta \langle | \nabla u | ^ { 2 } \rangle ^ { \frac { 1 } { 2 } } \langle | \nabla T | ^ { 2 } \rangle ^ { \frac { 1 } { 2 } } + \frac { 1 } { \delta } + \| \kappa \| _ { \infty } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \vec { C } = \left( \begin{array} { l } { C _ { 1 } } \\ { C _ { 2 } } \\ { C _ { 3 } } \\ { C _ { 4 } } \\ { \vdots } \end{array} \right) , \; \vec { l } = \left( \begin{array} { l } { \tilde { Q } _ { 0 } } \\ { - P _ { 1 } } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { \vdots } \end{array} \right) , } \end{array}
\mathrm { S } = \mathrm { P D } \cdot e ^ { - \mathrm { T E } / \mathrm { T } _ { 2 } } \cdot \left( 1 - 2 e ^ { - \mathrm { T I } _ { 1 } / \mathrm { T } _ { 1 } } + 2 e ^ { - \mathrm { T I } _ { 2 } / \mathrm { T } _ { 1 } } - e ^ { - \mathrm { T D } / \mathrm { T } _ { 1 } } \right)
\begin{array} { r l } { \mathbf { F } _ { i } } & { = \mathrm { D I R } ( \mathbf { C T } _ { i } , \mathbf { C T } _ { \mathrm { M i d P } } ) \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ i = 1 , . . . , P ~ } } \\ { \mathbf { d } _ { t o t } } & { = \frac { 1 } { P } \sum _ { i = 1 } ^ { P } \mathbf { d } _ { i } ^ { \mathrm { s t a t } } ( \mathbf { v } + \mathbf { F } _ { i } ( \mathbf { v } ) ) \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ \mathbf { v } \in \mathbb { R } ^ 3 ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l } { D \partial _ { x } P _ { j } ( a _ { j - 1 } , \ell , \ell ^ { \prime } , t | x _ { 0 } ) } & { = - P _ { j } ( a _ { j - 1 } , 0 , \ell ^ { \prime } , t | x _ { 0 } ) \delta ( \ell ) + \frac { \partial P _ { j } ( a _ { j - 1 } , \ell , \ell ^ { \prime } , t | x _ { 0 } ) } { \partial \ell } , } \\ { - D \partial _ { x } P _ { j } ( a _ { j } , \ell , \ell ^ { \prime } , t | x _ { 0 } ) } & { = - P _ { j } ( a _ { j } , \ell , 0 , t | x _ { 0 } ) \delta ( \ell ^ { \prime } ) + \frac { \partial P _ { j } ( a _ { j } , \ell , \ell ^ { \prime } , t | x _ { 0 } ) } { \partial \ell ^ { \prime } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { u _ { 1 } } & { { } = C v _ { 1 } \Longleftrightarrow a _ { 0 } = C b _ { 0 } , } \\ { u _ { 2 } } & { { } = C v _ { 2 } \Longleftrightarrow a _ { 1 } a _ { 0 } = C a _ { 1 } b _ { 0 } + C b _ { 1 } . } \end{array}
+ ( \frac { 1 } { \theta } - 1 ) ^ { 3 } \cdot \delta ( a _ { s - 2 } , a _ { s - 3 } ) \cdot \sum _ { i _ { 1 } = a _ { s - 2 } + 1 } ^ { a _ { s - 3 } - 1 } \sum _ { i _ { 2 } = a _ { s - 2 } } ^ { i _ { 1 } - 1 } \sum _ { i _ { 3 } = a _ { s - 1 } } ^ { i _ { 2 } - 1 } 1 + \ldots + ( \frac { 1 } { \theta } - 1 ) ^ { s } \cdot \delta ( a _ { 1 } , N ) \cdot \sum _ { i _ { 1 } = a _ { 1 } + 1 } ^ { N - 1 } \sum _ { i _ { 2 } = a _ { 1 } } ^ { i _ { 1 } - 1 } \sum _ { i _ { 3 } = a _ { 2 } } ^ { i _ { 2 } - 1 } \cdots \sum _ { i _ { s } = a _ { s - 1 } } ^ { i _ { s - 1 } - 1 } 1 \Big ) ,
\begin{array} { r } { \hat { w } ^ { Y } = \left\{ \begin{array} { l l } { M _ { - } ^ { Y } ( E ^ { W } + e ^ { \alpha \hat { \tau } } v _ { j , 1 } ^ { Y } ) ( M _ { + } ^ { Y } ) ^ { - 1 } + \hat { w } _ { E } , } & { j = 5 , 7 , } \\ { M _ { - } ^ { Y } ( e ^ { \alpha \hat { \tau } } v _ { j , 1 } ^ { Y } ) ( M _ { + } ^ { Y } ) ^ { - 1 } + \hat { w } _ { E } , } & { j = 6 , 8 , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \langle \nabla { \mathcal L } _ { n } ( { \boldsymbol { \beta } } ^ { k + 1 } ) - \nabla { \mathcal L } _ { n } ( { \boldsymbol { \beta } } ^ { k } ) , { \boldsymbol { \beta } } ^ { k + 1 } - { \boldsymbol { \beta } } ^ { k } \rangle \leq \frac { 4 \gamma } { 3 } \| { \boldsymbol { \beta } } ^ { k + 1 } - { \boldsymbol { \beta } } ^ { k } \| _ { 2 } ^ { 2 } . } \end{array}
E ^ { ( 1 ) } = \sum _ { L } V _ { L } \left( \sum _ { i \in \mathrm { ~ V ~ B ~ } } f _ { i } C _ { L _ { i } L _ { i } L } + \sum _ { j \in \mathrm { ~ C ~ B ~ } } f _ { j } C _ { L _ { j } L _ { j } L } \right) .
k _ { 1 } \sum _ { j = 1 } ^ { k _ { i } } \alpha _ { j } + ( k _ { 1 } \lambda _ { 1 } ) \sum _ { j = 1 } ^ { k _ { i } } \beta _ { j } = \sum _ { j = 1 } ^ { k _ { i } } \left( k _ { 1 } \alpha _ { j } + ( k _ { 1 } \lambda _ { 1 } ) \beta _ { j } \right) \geq k _ { i } e _ { i - 1 } ( k _ { 1 } \lambda _ { 1 } ) = e _ { i } ( k _ { 1 } \lambda _ { 1 } )
\begin{array} { r } { ( \omega _ { \mathrm { ~ d ~ } } ^ { * } - \omega _ { 1 } ) ( \omega _ { \mathrm { ~ d ~ } } ^ { * } - \omega _ { 2 } + \frac { \mathrm { ~ i ~ } } { 2 } \gamma ) ( \omega _ { \mathrm { ~ d ~ } } ^ { * } - \omega _ { 2 } - \frac { \mathrm { ~ i ~ } } { 2 } \gamma ) - \frac { 1 } { 4 } g ^ { 2 } ( \omega _ { \mathrm { ~ d ~ } } ^ { * } - \omega _ { 2 } ) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \xi _ { n } ^ { 0 } = \xi _ { 0 } ^ { 0 } \! + \! n \xi _ { { \scriptscriptstyle H } } , \qquad \xi _ { n } ^ { 1 } = \xi _ { n } ^ { 0 } \! + \! \bar { \xi } ^ { 1 } , \qquad \xi _ { n } ^ { 2 } = \xi _ { n } ^ { 1 } \! + \! \bar { \xi } ^ { 2 } , \qquad \xi _ { n } ^ { 3 } = \xi _ { n } ^ { 2 } \! + \! \bar { \xi } ^ { 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { \lambda } \approx } & { { } \left[ \int _ { 1 / d } ^ { 1 / \lambda } \int _ { 1 / d } ^ { 1 / \lambda } d k _ { x } d k _ { y } C _ { h h } ( k _ { x } , k _ { y } ) \right] ^ { 1 / 2 } } \\ { = } & { { } \xi \pi \mathcal { C } k _ { \Lambda } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { \Omega } _ { i j } = - ( R ^ { T } \dot { R } ) _ { i j } , \qquad \Omega _ { k } \equiv \frac 1 2 \epsilon _ { k i j } \hat { \Omega } _ { i j } = - \frac 1 2 \epsilon _ { k i j } ( R ^ { T } \dot { R } ) _ { i j } , \qquad \mathrm { t h e n } \quad \hat { \Omega } _ { i j } = \epsilon _ { i j k } \Omega _ { k } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi _ { j , i } ( - h L ) } & { { } = \varphi _ { j } ( - c _ { i } h L ) c _ { i } ^ { j } - \sum _ { k = 0 } ^ { i - 1 } a _ { i k } ( - h L ) \frac { c _ { k } ^ { j - 1 } } { ( j - 1 ) ! } } \\ { \psi _ { j } ( - h L ) } & { { } = \varphi _ { j } ( - h L ) - \sum _ { k = 0 } ^ { s - 1 } a _ { ( s - 1 ) k } ( - h L ) \frac { c _ { k } ^ { j - 1 } } { ( j - 1 ) ! } } \end{array}
\begin{array} { r } { P _ { e r r } = \, \pi _ { 0 } \, T r [ E _ { 1 } \, \hat { \rho } _ { 0 } ] + \, \pi _ { 1 } \, T r [ E _ { 0 } \, \hat { \rho } _ { 1 } ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { r _ { 0 } ( p ) } & { : = \dim _ { \mathbb { C } } \left< \left\{ \rho _ { w } \circ h ( p ) : \rho \in \mathscr { I } _ { h ( M ) } ( h ( p ) ) \right\} \right> , } \\ { r _ { k } ( p ) } & { : = \dim _ { \mathbb { C } } \left< \left\{ \Bar L _ { 1 } \dots \Bar L _ { j } ( \rho _ { w } \circ h ) ( p ) : \rho \in \mathscr { I } _ { h ( M ) } ( h ( p ) ) , \Bar L _ { 1 } , \dots , \Bar L _ { j } \in \mathcal { V } _ { p } ( M ) , 0 \leq j \leq k \right\} \right> , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d a _ { a s } } { d t } } & { { } = } & { \left[ - i ( - \Delta _ { L } + \Delta _ { 1 } ) - \frac { \gamma _ { \mathrm { o } } } { 2 } \right] a _ { a s } ( k ) - i g _ { o m } b _ { a c } ( q ) + \sqrt { \gamma _ { \mathrm { o } } } \xi _ { a s } , } \\ { \frac { d b _ { a c } } { d t } } & { { } = } & { \left[ - i ( \omega _ { a c , 0 } + \Delta _ { 2 } ) - \frac { \Gamma _ { \mathrm { m } } } { 2 } \right] b _ { a c } ( q ) - i g _ { o m } a _ { a s } ( k ) + \sqrt { \Gamma _ { \mathrm { m } } } \xi _ { a c } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { B ( \bar { X } ) } & { \leq c ^ { \prime } \cdot 2 ^ { q - 2 } \binom { q } { 2 } \frac { \gamma ^ { 4 } } { r _ { 0 } } \cdot \frac { d r _ { 0 } ^ { 2 } } { m ^ { \frac { q - 2 } { 2 ( q - 1 ) } } } \cdot t _ { 0 } ^ { - 1 } \left( \sum _ { i \in \mathcal { S } _ { t } } | \epsilon _ { i } | ^ { 2 ( q - 1 ) } \right) ^ { 1 / 2 } } \\ & { \leq c ( q / 2 ) \left( \frac { d r _ { 0 } \sum _ { i \in \mathcal { S } _ { t } } | \epsilon _ { i } | ^ { 2 ( q - 1 ) } } { m ^ { 2 } } \right) ^ { 1 / 2 } \cdot \gamma ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { G } & { _ { \mathrm { q I E T } } ( \boldsymbol { k } , \omega ) = \frac { { B } ( \boldsymbol { k } ) } { \beta { U } ( \boldsymbol { k } ) } - \frac { 1 } { n } \int \frac { d ^ { 3 } q } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \frac { \chi _ { \boldsymbol { k } , \boldsymbol { q } , \omega } ^ { 0 } } { \chi _ { \boldsymbol { k } , \omega } ^ { 0 } } \frac { k ^ { 2 } } { q ^ { 2 } } \left[ S ( | \boldsymbol { k } - \boldsymbol { q } | ) - 1 \right] } \\ & { \, \, \quad \times \left\{ - \frac { B ( \boldsymbol { q } ) } { \beta { U } ( \boldsymbol { q } ) } + 1 - \left[ G ( \boldsymbol { q } , \omega ) - 1 \right] \left[ S ( \boldsymbol { q } ) - 1 \right] \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Delta H _ { d } = \sum _ { j _ { z } } C _ { { \bf k } , j _ { z } } ^ { \dagger } \left[ V _ { z } ( j _ { z } ) \sigma _ { z } \otimes \tau _ { 0 } \right] C _ { { \bf k } , j _ { z } } , } \end{array}
\left[ \begin{array} { l l l l l l l } { 0 } & { t _ { 1 } } & { t _ { 1 } r _ { 1 , 3 } } & { t _ { 1 } r _ { 1 , 4 } } & { t _ { 1 } r _ { 1 , 5 } } & { t _ { 1 } r _ { 1 , 6 } } & { \cdots } \\ { * } & { 0 } & { t _ { 1 } r _ { 2 , 3 } } & { t _ { 1 } r _ { 2 , 4 } } & { t _ { 1 } r _ { 2 , 5 } } & { t _ { 1 } r _ { 2 , 6 } } & { \cdots } \\ { * } & { * } & { 0 } & { t _ { 2 } - t _ { 1 } r _ { 1 , 4 } r _ { 2 , 3 } + t _ { 1 } r _ { 1 , 3 } r _ { 2 , 4 } } & { t _ { 2 } r _ { 3 , 5 } - t _ { 1 } r _ { 1 , 5 } r _ { 2 , 3 } + t _ { 1 } r _ { 1 , 3 } r _ { 2 , 5 } } & { t _ { 2 } r _ { 3 , 6 } - t _ { 1 } r _ { 1 , 6 } r _ { 2 , 3 } + t _ { 1 } r _ { 1 , 3 } r _ { 2 , 6 } } & { \cdots } \\ { * } & { * } & { * } & { 0 } & { t _ { 2 } r _ { 4 , 5 } - t _ { 1 } r _ { 1 , 5 } r _ { 2 , 4 } + t _ { 1 } r _ { 1 , 4 } r _ { 2 , 5 } } & { t _ { 2 } r _ { 4 , 6 } - t _ { 1 } r _ { 1 , 6 } r _ { 2 , 4 } + t _ { 1 } r _ { 1 , 4 } r _ { 2 , 6 } } & { \cdots } \\ { * } & { * } & { * } & { * } & { 0 } & { \cdots } & { \cdots } \end{array} \right]
\frac { \partial } { \partial t } \mathscr { H } _ { p , i } [ u _ { i } , v _ { i } ] ( t ) = \sum _ { | \beta | = p - 1 } \left( \begin{array} { l } { p } \\ { \beta } \end{array} \right) a ^ { \beta _ { 1 } ^ { 2 } } u _ { i } ^ { \beta _ { 1 } } v _ { i } ^ { \beta _ { 2 } } \left( a ^ { 2 \beta _ { 1 } + 1 } \frac { \partial } { \partial t } u _ { i } + \frac { \partial } { \partial t } v _ { i } \right) ,
\begin{array} { r l } { \widetilde { \gamma } _ { 1 } ( J _ { 1 } ) } & { \subset { \mathbf { V } } \left( z , x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 2 A _ { 1 } \ln | x + A _ { 2 } | - 2 A _ { 3 } x - A _ { 4 } \right) , } \\ { \widetilde { \gamma } _ { 2 } ( J _ { 2 } ) } & { \subset { \mathbf { V } } \left( y , x ^ { 2 } + z ^ { 2 } - 2 A _ { 1 } \ln | x - A _ { 3 } | + 2 A _ { 2 } x - A _ { 5 } \right) . } \end{array}
{ \frac { \partial p ( \mathbf { x } , t ) } { \partial t } } = - \sum _ { i = 1 } ^ { N } { \frac { \partial } { \partial x _ { i } } } \left[ \mu _ { i } ( \mathbf { x } , t ) p ( \mathbf { x } , t ) \right] + \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x _ { i } \, \partial x _ { j } } } \left[ D _ { i j } ( \mathbf { x } , t ) p ( \mathbf { x } , t ) \right] ,
\begin{array} { r l } { \left< | \nabla \psi | ^ { 2 } \right> } & { = \left< u ^ { 2 } + v ^ { 2 } \right> = \left< ( \overline { { u } } + u ^ { \prime } ) ^ { 2 } + v ^ { 2 } \right> } \\ & { = \left< \overline { { u } } ^ { 2 } + 2 u ^ { \prime } \overline { { u } } + u ^ { 2 } + v ^ { 2 } \right> } \\ & { = \left< \overline { { u } } ^ { 2 } \right> + \left< u ^ { 2 } + v ^ { 2 } \right> \leq \left< | \nabla \psi _ { 0 } | ^ { 2 } \right> . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \phi _ { \mu \nu } ^ { \alpha \beta } ( \theta ) \, p \right) } & { { } = ( \phi p ) _ { \mathrm { ~ h ~ f ~ s ~ } } + ( \phi _ { \mu \nu } p ) _ { \mathrm { ~ s ~ r ~ } } + \left( \phi _ { \mu \nu } ^ { \alpha \beta } ( \theta ) \, p \right) _ { \mathrm { ~ Z ~ } } } \end{array}
\Delta \phi \left( t \right) = \delta \phi \left( t \right) - \delta \phi \left( t - \tau _ { d } \right) \approx \arctan \left( \frac { Q \left( t \right) } { I \left( t \right) } \right) - \overline { { \Omega } } \tau _ { d } + \Delta \Omega \, t + \xi _ { \phi }
\begin{array} { r l r } { w ( \xi , \zeta | { a } , { c } ) } & { = } & { \left\{ \begin{array} { c c l } { 1 } & { , } & { W \ge T _ { 0 } } \\ { \frac { W ( 2 T _ { 0 } - W ) } { T _ { 0 } ^ { 2 } } } & { , } & { d = 0 \; \; \mathrm { a n d } \; \; W < T _ { 0 } } \\ { \frac { 2 W } { \operatorname* { m a x } ( T ( \xi - a ) , T ( \zeta - c ) ) } + { \cal O } ( W ^ { 2 } ) } & { , } & { W \rightarrow 0 } \end{array} \right. \; . } \end{array}
\langle T _ { i } ^ { k } \rangle _ { { \mathrm { ( s u b ) } } } ^ { ( R ) } = \frac { 1 } { 2 \pi \xi ^ { 2 } } \left( \zeta - \frac { 1 } { 1 2 } \right) { \mathrm { d i a g } } ( 1 , - 1 ) ,
S _ { q } ^ { - 1 } ( p ) B ( p , p ^ { \prime } ) S _ { \bar { q } } ^ { - 1 } ( p ^ { \prime } ) = \bar { g } ^ { 2 } \Gamma _ { \mu } ( p ^ { \prime } , 0 ) B ( p , p ^ { \prime } ) \Gamma _ { \mu } ( p , 0 ) .
\begin{array} { r l r } { P _ { t } } & { { } = } & { P _ { t } ^ { \left( 0 \right) } + \varepsilon ^ { k } P _ { t } ^ { \left( 1 \right) } , } \\ { P _ { z } } & { { } = } & { P _ { z } ^ { \left( 0 \right) } + \varepsilon ^ { k } P _ { z } ^ { \left( 1 \right) } , } \end{array}
\rho _ { j } = \left[ \frac { \partial ( v _ { r o t , S D } ( r ) ^ { 2 } r ) } { \partial r } \right] _ { j } \cdot \frac { 1 } { 4 \pi G r _ { j } ^ { 2 } } + \left[ \frac { \partial ( v _ { r o t , H I } ( r ) ^ { 2 } r ) } { \partial r } \right] _ { j } \cdot \frac { 1 } { 4 \pi G r _ { j } ^ { 2 } } ,
- s _ { \mathrm { o b } } a _ { 0 2 0 0 } ^ { 2 } ( 2 s _ { \mathrm { i m } } a _ { 2 0 0 0 } + 1 ) ^ { 2 } + s _ { \mathrm { i m } } ( s _ { \mathrm { i m } } a _ { 2 2 0 0 } - a _ { 1 2 1 0 } ) + a _ { 0 2 2 0 }
f _ { \mathrm { x c } } ^ { \sigma \sigma ^ { \prime } } ( n _ { \alpha } ^ { G S } , | \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } | ) = \left. \frac { \delta ^ { 2 } E _ { x c } [ n _ { \uparrow } , n _ { \downarrow } ] } { \delta n _ { \sigma } ( \mathbf { r } ) \delta n _ { \sigma ^ { \prime } } ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) } \right| _ { n _ { \alpha } = n _ { \alpha } ^ { G S } } ,
\mathcal { T } _ { \alpha \beta } = - \frac { 1 } { 2 g ^ { 2 } } \mathrm { t r } \bigl \{ \mathcal { F } _ { \alpha \psi } \mathcal { F } _ { \beta \psi } + \mathcal { F } _ { \alpha \gamma } \mathcal { F } _ { \beta \delta } \, \eta ^ { \gamma \delta } - \frac 1 4 \eta _ { \alpha \beta } \mathcal { F } ^ { 2 } \bigr \} \qquad \mathrm { a n d } \qquad \mathcal { T } _ { \psi \psi } = - \frac { 1 } { 2 g ^ { 2 } } \mathrm { t r } \bigl \{ \mathcal { F } _ { \psi \gamma } \mathcal { F } _ { \psi \delta } \, \eta ^ { \gamma \delta } - \frac 1 4 \mathcal { F } ^ { 2 } \bigr \}
\begin{array} { r } { \int _ { 0 } ^ { T } \left| \sum _ { n \in \mathbb Z } a _ { n } e ^ { \nu _ { n } ^ { p } t } + \sum _ { n \in \mathbb Z } b _ { n } e ^ { \nu _ { n } ^ { h } t } \right| ^ { 2 } d t \geq C \left( \sum _ { n \in \mathbb Z } | a _ { n } | ^ { 2 } e ^ { 2 \Re ( \nu _ { n } ^ { p } ) T } + \sum _ { n \in \mathbb Z } | b _ { n } | ^ { 2 } \right) , } \end{array}
\hat { \Upsilon } _ { a } = \frac { 1 } { 4 } \left( \hat { \omega } _ { a } ^ { \ \underline { { { b c } } } } - 4 \hat { e } _ { a } ^ { \ [ \underline { { { b } } } } \hat { k } ^ { \underline { { { c } } } ] } \right) \hat { \Gamma } _ { \underline { { { b c } } } } + 2 \hat { k } _ { a } \ ,
\langle q _ { \rho \eta } ^ { 3 } \rangle = \int _ { ( 2 m _ { \pi } ) ^ { 2 } } ^ { ( \sqrt { s } - 2 m _ { \eta } ) ^ { 2 } } d m ^ { 2 } \rho _ { \pi \pi } ( m ) q ^ { 3 } ( \sqrt { s } , m , m _ { \eta } ) .
\begin{array} { l } { { A ^ { \prime } ( z ) = - \sqrt { \frac { 2 } { k } } ( A ^ { + 3 } + A ^ { - 3 } + i W ) ( z ) } } \\ { { \ } } \\ { { \bar { A } ^ { \prime } ( z ) = \sqrt { \frac { 2 } { k } } ( A ^ { + 3 } + A ^ { - 3 } - i W ) ( z ) } } \\ { { \ } } \\ { { Q ^ { \prime } ( z ) = \frac { 2 } { \sqrt { k } } Q ^ { + K } ( z ) } } \\ { { \ } } \\ { { \bar { Q } ^ { \prime } ( z ) = \frac { 2 } { \sqrt { k } } Q ^ { - K } ( z ) } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { r n } ( T _ { S _ { k } } ) } & { = } & { ( n - 1 ) ( d + 1 ) - 2 L ( T _ { S _ { k } } ) + 1 } \\ & { = } & { ( k n _ { 0 } ) ( d + 1 ) - 2 k ( L ( T ) + n _ { 0 } ) + 1 } \\ & { = } & { k ( ( n _ { 0 } - 1 ) ( d _ { 0 } + 1 ) - 2 L ( T ) ) + k n _ { 0 } ( d - d _ { 0 } - 2 ) + k ( d _ { 0 } + 1 ) + 1 } \\ & { = } & { k ( \mathrm { r n } ( T ) - 1 ) + k n _ { 0 } ( d - d _ { 0 } - 2 ) + k ( d _ { 0 } + 1 ) + 1 } \\ & { = } & { k ( \mathrm { r n } ( T ) + n _ { 0 } ( d - d _ { 0 } - 2 ) + d _ { 0 } ) + 1 . } \end{array}
L = \left\{ \langle A , k , B , x \rangle \in { \mathcal { C } } \times \mathbb { N } \times { \mathcal { C } } \times \{ 0 , 1 \} ^ { * } \left| B { \mathrm { ~ h a s ~ a t ~ m o s t ~ } } k { \mathrm { ~ g a t e s , ~ a n d ~ } } A ( x ) = B ( x ) \right. \right\}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } \partial _ { t } F + \partial _ { k } F _ { k } } & { { } = 0 , } & { \quad } & { { } \quad } \\ { \partial _ { t } F _ { i } + \partial _ { k } F _ { i k } } & { { } = 0 , } & { \quad } & { { } \quad } \\ { \partial _ { t } F _ { i j } + \partial _ { k } F _ { i j k } } & { { } = S _ { i j } , } & { \quad \partial _ { t } G _ { l l } + \partial _ { k } G _ { l l k } } & { { } = 0 , } \end{array}
- \frac { 1 } { 8 \pi } \varepsilon _ { \delta } ^ { 2 } \frac { \omega _ { p e } ^ { 2 } } { \Omega _ { c e } ^ { 2 } } \int \int d ^ { 3 } x \nabla _ { \perp } ^ { 2 } \Psi _ { 1 } ( \textbf { x } ) \hat { \chi } ( \textbf { x } ) d t .
E _ { \nu } \sim E _ { m i s s } = 2 E _ { b e a m } - E _ { m e a s } ^ { t o t } ~ ~ \mathrm { a n d } ~ ~ \vec { p } _ { \nu } \sim \vec { p } _ { m i s s } = - \vec { p } _ { m e a s } ^ { ~ t o t }
\begin{array} { r l } { J _ { 2 } ( t ) } & { \leq - \frac { 1 } { 2 } \sqrt { 2 \beta ^ { - 1 } } c _ { f } e ^ { - c _ { f } R _ { 1 } } R _ { 1 } ^ { - 1 } \mathbb { E } \left[ | Z _ { t } ^ { \tau _ { j } } | \textbf { 1 } _ { \{ | Z _ { t } ^ { \tau _ { j } } | \leq R _ { 1 } , | Z _ { T _ { k } } ^ { \tau _ { j } } | \leq R , t < \tau _ { j } \} } \right] } \\ & { \quad + K R R _ { 1 } ^ { - 1 } \mathbb { E } \left[ | Z _ { t } ^ { \tau _ { j } } | \textbf { 1 } _ { \{ | Z _ { t } ^ { \tau _ { j } } | > R _ { 1 } , | Z _ { T _ { k } } ^ { \tau _ { j } } | \leq R , t < \tau _ { j } \} } \right] } \\ & { = - \frac { 1 } { 2 } \sqrt { 2 \beta ^ { - 1 } } c _ { f } e ^ { - c _ { f } R _ { 1 } } R _ { 1 } ^ { - 1 } \mathbb { E } \left[ | Z _ { t } ^ { \tau _ { j } } | \textbf { 1 } _ { \{ | Z _ { T _ { k } } ^ { \tau _ { j } } | \leq R , t < \tau _ { j } \} } \right] } \\ & { \quad + \left( \frac { 1 } { 2 } \sqrt { 2 \beta ^ { - 1 } } c _ { f } e ^ { - c _ { f } R _ { 1 } } R _ { 1 } ^ { - 1 } + K R R _ { 1 } ^ { - 1 } \right) \mathbb { E } \left[ | Z _ { t } ^ { \tau _ { j } } | \textbf { 1 } _ { \{ | Z _ { t } ^ { \tau _ { j } } | > R _ { 1 } , | Z _ { T _ { k } } ^ { \tau _ { j } } | \leq R , t < \tau _ { j } \} } \right] } \end{array}
m _ { 1 0 } ^ { 2 } ( \beta ) = \frac { 1 } { 2 4 } \left( 4 \tilde { \lambda } - \tilde { g } ^ { 2 } \right) \frac { 2 \theta } { \beta _ { c } } + O ( \theta ^ { 2 } ) \sim a + b \theta ,
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m a x } _ { b _ { j } , \xi _ { i j } ^ { a } , j \in \mathcal { V } _ { x } , i = 1 , \dots , M } \quad } & { \sum _ { j \in \mathcal { V } _ { x } } \sum _ { i = 1 } ^ { M } \pi _ { i j } ^ { a } ( b _ { j } , \xi _ { j j } ^ { a } , \xi _ { i j } ^ { a } ) } \\ { \mathrm { s . t . } \quad } & { b _ { j } = b _ { j ^ { \prime } } \quad \forall j , j ^ { \prime } \in \mathcal { V } _ { x } } \\ & { \xi _ { i j } ^ { a } = \xi _ { i j ^ { \prime } } ^ { a } \quad \forall j , j ^ { \prime } \in \mathcal { V } _ { x } , i = 1 , \dots , M } \end{array}
( M _ { u , d } ^ { \prime } ) _ { 1 2 } = \sqrt 2 \, \, ( M _ { u , d } ^ { \prime } ) _ { 1 3 } \qquad \qquad ( M _ { u , d } ^ { \prime } ) _ { 3 1 } = \sqrt 2 \, \, ( M _ { u , d } ^ { \prime } ) _ { 2 1 }
\begin{array} { r l } { \sum _ { n = 1 } ^ { 3 } } & { \left[ \underbrace { \frac { 5 \pi \rho _ { f } L ^ { 3 } } { 2 4 ( \ln 2 \kappa ) ^ { 2 } } ( \boldsymbol { W } _ { n } { \cdot } \boldsymbol { p } _ { n } ^ { \prime } ) ( \boldsymbol { W } _ { n } { \times } \boldsymbol { p } _ { n } ^ { \prime } ) } _ { i n e r t i a l \, s e d i m e n t a t i o n } - \underbrace { \frac { \pi \mu L ^ { 3 } } { 3 \ln ( 2 \kappa ) } ( \mathbb { 1 } { - } \boldsymbol { p } _ { n } ^ { \prime } \boldsymbol { p } _ { n } ^ { \prime } ) { \cdot } \boldsymbol { \Omega } _ { \textit { r e l } } } _ { r e l a t i v e \, r o t a t i o n } \right. } \\ & { + \left. \underbrace { \frac { \pi \mu L ^ { 3 } } { 3 \ln ( 2 \kappa ) } ( \boldsymbol { p } _ { n } ^ { \prime } { \times } ( \boldsymbol { S } \cdot \boldsymbol { p } _ { n } ^ { \prime } ) ) } _ { t u r b u l e n t \, s t r a i n } + \underbrace { \ell \boldsymbol { p } _ { n } ^ { \prime } \times \boldsymbol { F } _ { d r a g } ^ { n } } _ { d r a g \, o n \, a r m s } \right] = 0 } \end{array}
\begin{array} { l l } { { { \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } } ( e _ { u } - e _ { d } ) } } & { { \{ M _ { B } ^ { 6 } E _ { 2 } ( y _ { 2 } ) L ^ { - \frac { 4 } { 9 } } - \chi m _ { s } a M _ { B } ^ { 4 } E _ { 1 } ( y _ { 2 } ) L ^ { - \frac { 2 8 } { 2 7 } } + { \frac { 4 } { 3 } } m _ { s } a M _ { B } ^ { 2 } E _ { 0 } ( y _ { 2 } ) L ^ { - \frac { 4 } { 9 } } } } \\ { { } } & { { - m _ { s } a _ { s } M _ { B } ^ { 2 } E _ { 0 } ( y _ { 2 } ) L ^ { - \frac { 4 } { 9 } } - { \frac { 2 } { 3 } } \chi a a _ { s } M _ { B } ^ { 2 } E _ { 0 } ( y _ { 2 } ) L ^ { - \frac { 4 } { 2 7 } } + { \frac { 1 } { 9 } } a a _ { s } L ^ { \frac { 4 } { 9 } } [ 4 + \kappa - 2 \xi + { \frac { 3 } { 4 } } \chi m _ { 0 } ^ { 2 } L ^ { - \frac { 1 0 } { 9 } } ] \} } } \\ { { } } & { { = ( 2 \pi ) ^ { 4 } \lambda _ { \Sigma } \lambda _ { \Lambda } e ^ { - \frac { { \bar { m } } ^ { 2 } } { M _ { B } ^ { 2 } } } \mu _ { \Sigma ^ { 0 } \Lambda } ( 1 + A _ { 2 } M _ { B } ^ { 2 } ) } } \end{array}
\left[ \begin{array} { c c } { k _ { \mathrm { ~ N ~ I ~ M ~ } } } & { j \gamma } \\ { j \gamma } & { k _ { \mathrm { ~ P ~ I ~ M ~ } } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c c } { \psi _ { \mathrm { ~ N ~ I ~ M ~ } } } \\ { j \psi _ { \mathrm { ~ P ~ I ~ M ~ } } } \end{array} \right] = k _ { \pm } \left[ \begin{array} { c c } { \psi _ { \mathrm { ~ N ~ I ~ M ~ } } } \\ { j \psi _ { \mathrm { ~ P ~ I ~ M ~ } } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } { \int \partial / \partial x ^ { \prime } f ( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } , z ^ { \prime } ) d x ^ { \prime } } & { { } = \int d _ { x ^ { \prime } } ( f ( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } , z ^ { \prime } ) } \end{array}