harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \mathsf { g } _ { i j } ^ { n , \star } = \left( 1 - \alpha ( 2 ( \mathsf { E } _ { i } ^ { n , \star } + \mathsf { H } _ { i } ) ) \right) \, \mathsf { g } _ { i , \, j - \mathrm { n } ( 2 \mathsf { E } _ { i } ^ { n , \star } + 2 \mathsf { H } _ { i } ) } ^ { n , \star \star } + \alpha ( 2 ( \mathsf { E } _ { i } ^ { n , \star } + \mathsf { H } _ { i } ) ) \, \mathsf { g } _ { i , \, j - \mathrm { n } ( 2 \mathsf { E } _ { i } ^ { n , \star } + 2 \mathsf { H } _ { i } ) - 1 } ^ { n , \star \star } + \frac { \Delta t } { \Delta v } \mathsf { E } ( \phi ) _ { i } \, , } \end{array}
\vec { X } = \left( \begin{array} { c } { \hat { X } _ { 1 } } \\ { \hat { X } _ { 2 } } \\ { \hat { X } _ { 3 } } \\ { \hat { X } _ { 4 } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c } { \hat { a } ^ { \dagger } \hat { \sigma } ^ { - } + \hat { \sigma } ^ { + } \hat { a } } \\ { \frac { 1 } { i } \left( \hat { a } ^ { \dagger } \hat { \sigma } ^ { - } - \hat { \sigma } ^ { + } \hat { a } \right) } \\ { \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } } \\ { \hat { \sigma } ^ { + } \hat { \sigma } ^ { - } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { W ^ { + + } } & { \equiv W ^ { + 0 } ( i , j ) = \frac { 1 + \varepsilon } { 2 N } ( N q - i ) \left( N ( 1 - q ) + i - j \right) , } \\ { W ^ { - + } } & { \equiv W ^ { 0 + } ( i , j ) = \frac { 1 + \varepsilon } { 2 N } ( N q - i + j ) ( N ( 1 - q ) - j ) , } \\ { W ^ { -- } } & { \equiv W ^ { - 0 } ( i , j ) = \frac { 1 - \varepsilon } { 2 N } \thinspace i \thinspace ( N q - i + j ) , } \\ { W ^ { + - } } & { \equiv W ^ { 0 - } ( i , j ) = \frac { 1 - \varepsilon } { 2 N } \thinspace j \thinspace ( N ( 1 - q ) + i - j ) . } \end{array}
V ( \phi , \chi ) = { \frac { \lambda } { 4 } } \phi ^ { 4 } + { \frac { \alpha } { 4 } } \Bigl ( \chi ^ { 2 } - { \frac { M ^ { 2 } } { \alpha } } \Bigr ) ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } g ^ { 2 } \phi ^ { 2 } \chi ^ { 2 } \ .
i \, \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } x } \left( \begin{array} { c } { { \psi _ { 3 } ^ { \prime \prime } } } \\ { { \psi _ { 4 } ^ { \prime \prime } } } \end{array} \right) = \frac { 1 } { 4 p } \left( \begin{array} { c c } { { \scriptstyle - \Delta _ { 4 3 } c _ { 2 \varphi _ { 3 4 } } - 2 s _ { \varphi _ { 2 3 } } ^ { 2 } c _ { \varphi _ { 2 4 } } ^ { 2 } A _ { N C } } } & { { \scriptstyle \Delta _ { 4 3 } s _ { 2 \varphi _ { 3 4 } } - s _ { \varphi _ { 2 3 } } s _ { 2 \varphi _ { 2 4 } } A _ { N C } } } \\ { { \scriptstyle \Delta _ { 4 3 } s _ { 2 \varphi _ { 3 4 } } - s _ { \varphi _ { 2 3 } } s _ { 2 \varphi _ { 2 4 } } A _ { N C } } } & { { \scriptstyle \Delta _ { 4 3 } c _ { 2 \varphi _ { 3 4 } } - 2 s _ { \varphi _ { 2 4 } } ^ { 2 } A _ { N C } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { \psi _ { 3 } ^ { \prime \prime } } } \\ { { \psi _ { 4 } ^ { \prime \prime } } } \end{array} \right) \, ,
\begin{array} { r l } & { v _ { 4 k + 2 - 2 i , 2 k - 4 + 4 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 2 } } \\ & { + v _ { 4 k + 2 - 2 i , 2 k - 5 + 4 i } ^ { B , i - 1 } \otimes v _ { 1 , 3 } } \\ & { + v _ { 4 k + 2 - 2 i , 2 k - 6 + 4 i } ^ { B , i - 1 } \otimes v _ { 1 , 4 } } \\ & { + v _ { 4 k + 1 - 2 i , 2 k - 3 + 4 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 2 , 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { \Delta T } } & { { } = \eta _ { 1 } - T ( 1 + | q | ) , } \\ { \dot { \Delta S } } & { { } = F - S ( \eta _ { 3 } + | q | ) , } \\ { q } & { { } = \Delta T - \Delta S , } \end{array}
2 f _ { A _ { 2 } } ( q ) / ( g ^ { 2 } | \rho | ^ { 2 } ) = { \frac { 1 } { ( \alpha \cdot q ) ( \beta \cdot q ) ( ( \alpha + \beta ) \cdot q ) } } \left( \beta \cdot q + \alpha \cdot q - ( \alpha + \beta ) \cdot q \right) = 0 .
\begin{array} { r l } { \mathcal { H } ^ { ( 2 ) } \subseteq \{ \mathcal { A } \vert } & { \mathcal { A } = \mathcal { A } _ { j } \cup ( \mathcal { A } _ { l } \oplus \{ q _ { 0 } \} ) , \mathcal { A } _ { j } \in \mathcal { P } ( \mathcal { Q } _ { 0 } ) , } \\ & { \mathcal { A } _ { l } \not \subseteq \{ 1 , . . . , ( N - 1 ) q _ { 0 } \} , \mathcal { A } _ { l } \in \mathcal { S } _ { N } \} , } \end{array}
\begin{array} { r } { a _ { i } ^ { ( + ) } [ t , f ] : = V _ { i } [ t , \omega f ] + V _ { j } [ t , u _ { i j } f ] , } \\ { a _ { i } ^ { ( - ) } [ t , f ] : = V _ { i } [ t , \omega f ] - V _ { j } [ t , u _ { i j } f ] , } \end{array}
\begin{array} { r } { D ( \widehat { L } ) \frac { \partial } { \partial \widehat { L } } \log D ( \widehat { L } ) Q ( \widehat { L } ) = 2 f ( \widehat { L } ) + D ( \widehat { L } ) \log \left( \int _ { \widehat { L } _ { \mathrm { t s } } } ^ { \widehat { L } } d \widehat { L ^ { \prime } } \; e ^ { - \int ^ { \widehat { L ^ { \prime } } } \frac { 2 f ( \widehat { L ^ { \prime \prime } } ) } { D ( \widehat { L ^ { \prime \prime } } ) } d \widehat { L ^ { \prime \prime } } } \left( 1 - \int _ { \widehat { L } _ { \mathrm { t s } } } ^ { \widehat { L ^ { \prime } } } P ^ { \mathrm { i n } } ( \widehat { L ^ { \prime \prime } } ) d \widehat { L ^ { \prime \prime } } \right) \right) \ , } \end{array}
\mathrm { ~ I ~ R ~ P ~ } _ { t , t - 1 } = \frac { \sum _ { k = 1 } ^ { m } \operatorname* { m i n } \left[ \pi _ { i k } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } ( t ) , \; \pi _ { i k } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } ( t - 1 ) \right] } { \sum _ { k = 1 } ^ { m } \pi _ { i k } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } ( t - 1 ) } \quad .
\langle A _ { \mu } ^ { a } A _ { \nu } ^ { b } \rangle \sim { \frac { \delta ^ { a b } } { k ^ { 2 } } } \left( g _ { \mu \nu } - { \frac { k _ { \mu } k _ { \nu } } { k ^ { 2 } } } \right) + \varepsilon \alpha ^ { a } \alpha ^ { b } { \frac { k _ { \mu } k _ { \nu } } { ( k ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } ,
\begin{array} { r l } { { \boldsymbol \epsilon } ( k ) } & { { } = \left[ \begin{array} { l l } { \tilde { t } _ { \mathrm { h o p } } \sqrt { k ^ { 2 } + K _ { B } ^ { 2 } } - \mu } & { 0 } \\ { 0 } & { - \tilde { t } _ { \mathrm { h o p } } \sqrt { k ^ { 2 } + K _ { B } ^ { 2 } } - \mu } \end{array} \right] , } \\ { { \bf d } ( k ) } & { { } = - \frac { K _ { B } } { 2 ( k ^ { 2 } + K _ { B } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { - i } \\ { i } & { 0 } \end{array} \right] . } \end{array}
\sqrt { 2 } Q _ { i } = e ^ { 2 \varphi _ { \infty } } M _ { i j \, \infty } ( \alpha _ { j } + \Psi _ { \infty } \beta _ { j } ) , \ \ \ \ \ \ \ \sqrt { 2 } P _ { i } = L _ { i j } { \beta } _ { j } ,
x ( t ) = 2 { \, \mathrm { l n } } \left\{ { \frac { c ^ { 2 } + \mathrm { e } ^ { - 2 \lambda \, | t | } } { 2 b \, c \ \mathrm { e } ^ { - \lambda | t | } } } \right\} - w _ { o f f } | t |
u _ { i } = \left\{ \begin{array} { l l } { \kappa } & { 1 \leq i \leq 5 0 } \\ { 1 } & { 5 1 \leq i \leq 1 5 0 } \end{array} \right. \qquad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \qquad \sigma _ { i } = \left\{ \begin{array} { l l } { \delta } & { 1 \leq i \leq 5 0 } \\ { 1 } & { 5 1 \leq i \leq 1 5 0 } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \eta ( E ) = \frac { 2 \pi } { \tilde { Z } _ { \mathrm { S } } ^ { \mathrm { c l } } } } & { { } \int _ { 0 } ^ { \pi } \mathrm { d } \vartheta \sin \vartheta \, \mathrm { I } _ { 0 } \left( \frac { a } { 2 } \right) \delta \big ( E - H _ { \mathrm { S } } ( \vartheta ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathbf { x } _ { i } ^ { ( t , k + 1 ) } } } & { = { \mathbf { x } _ { i } ^ { ( t , k ) } } - \eta _ { x } ^ { c } \nabla _ { x } f _ { i } ( { \mathbf { x } _ { i } ^ { ( t , k ) } } , { \mathbf { y } _ { i } ^ { ( t , k ) } } ; { \xi _ { i } ^ { ( t , k ) } } ) , } \\ { { \mathbf { y } _ { i } ^ { ( t , k + 1 ) } } } & { = { \mathbf { y } _ { i } ^ { ( t , k ) } } + \eta _ { y } ^ { c } \nabla _ { y } f _ { i } ( { \mathbf { x } _ { i } ^ { ( t , k ) } } , { \mathbf { y } _ { i } ^ { ( t , k ) } } ; { \xi _ { i } ^ { ( t , k ) } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { \theta ^ { k } } [ W _ { 2 } ^ { 2 } ( \mu _ { 1 } ^ { k + 1 } , \mu _ { 2 } ^ { k + 1 } ) ] } & { \leq C _ { 1 } \sum _ { i , j } w _ { i j } \left( \| x _ { 1 , i } ^ { k } - x _ { 2 , j } ^ { k } \| _ { 2 } ^ { 2 } + \| y _ { 1 , i } ^ { k } - y _ { 2 , j } ^ { k } \| _ { 2 } ^ { 2 } \right) = C _ { 1 } \, W _ { 2 } ^ { 2 } ( \mu _ { 1 } ^ { k } , \mu _ { 2 } ^ { k } ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { c } _ { \mathrm { M F A I R } } ( \mathcal { F } _ { 1 } , \mathcal { F } _ { 2 } , \mathcal { G } , \mu , \nu ) : = } & { \, 2 \left( 1 + \frac { r ^ { \ast } ( \mathcal { F } _ { 1 } , \mathcal { G } ) } { w ( \mathcal { F } _ { 1 } , G ) } \right) \times } \\ & { \sqrt { \left( 1 - \varphi ^ { \ast } ( \mathcal { F } _ { 1 } , \mathcal { G } ) \rho _ { \mu } ( \mathcal { F } _ { 1 } , \mathcal { G } ) \right) ^ { 2 } - \left( \rho _ { \mu } \left( \mathcal { F } _ { 1 } , \mathcal { F } _ { 2 } \frac { \nu } { \mu } \right) - \varphi ^ { \ast } ( \mathcal { F } _ { 1 } , \mathcal { G } ) \rho _ { \mu } ( \mathcal { F } _ { 1 } , \mathcal { G } ) ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } , } \\ { r ^ { \ast } ( \mathcal { F } _ { 1 } , \mathcal { G } ) : = } & { \, \sqrt { \frac { w ( \mathcal { F } _ { 1 } , \mathcal { G } ) \rho _ { \mu } ( \mathcal { F } _ { 1 } , \mathcal { G } ) ^ { 2 } } { 1 - \rho _ { \mu } ( \mathcal { F } , \mathcal { G } ) ^ { 2 } } } , \qquad \varphi ^ { \ast } ( \mathcal { F } _ { 1 } , \mathcal { G } ) : = 1 - \frac { 1 } { r ^ { \ast } ( \mathcal { F } _ { 1 } , \mathcal { G } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { s _ { \lambda / \mu ; a , b } ( x ^ { \prime } \sqcup x ^ { \prime \prime } / y ^ { \prime } \sqcup y ^ { \prime \prime } ) = \sum _ { \mu \subset \nu \subset \lambda } s _ { \nu / \mu ; a , b } ( x ^ { \prime } / y ^ { \prime } ) s _ { \lambda / \mu ; a , b } ( x ^ { \prime \prime } / y ^ { \prime \prime } ) , } \\ { \widehat { s } _ { \lambda / \mu ; a , b } ( x ^ { \prime } \sqcup x ^ { \prime \prime } / y ^ { \prime } \sqcup y ^ { \prime \prime } ) = \sum _ { \mu \subset \nu \subset \lambda } \widehat { s } _ { \nu / \mu ; a , b } ( x ^ { \prime } / y ^ { \prime } ) \widehat { s } _ { \lambda / \mu ; a , b } ( x ^ { \prime \prime } / y ^ { \prime \prime } ) . } \end{array}
N ^ { ( 2 l - 1 ) } = \delta _ { l , 1 } \, \int d x \, \frac { \theta ^ { \prime } } { 2 \pi } - \sqrt { \frac { 2 m T } { \pi } } \, e ^ { - m / T } \, \frac { 1 } { ( 2 l - 1 ) ! } \, \int d x \, \left( \frac { \theta ^ { \prime } } { 2 T } \right) ^ { 2 l - 1 } + \dots
\varphi ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 , \qquad } & { \mathrm { i f } \, \, \, x \in B _ { \frac { 1 } { 1 0 0 } } ( Q ) , } \\ { \kappa \left( | x - Q | ^ { - \gamma } - ( \frac { 3 } { 4 } ) ^ { - \gamma } \right) , \qquad } & { \mathrm { i f } \, \, \, x \in B _ { \frac { 3 } { 4 } } ( Q ) \setminus \overline { { B _ { \frac { 1 } { 1 0 0 } } ( Q ) } } , } \\ { 0 , \qquad } & { \mathrm { o t h e r w i s e } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \frac { p _ { i j } ^ { n + 1 } - p _ { i j } ^ { n } } { \Delta t } } & { = - c ^ { 2 } \left( \frac { u _ { i + 1 , j + 1 } ^ { n } - u _ { i , j + 1 } ^ { n } + u _ { i + 1 , j } ^ { n } - u _ { i j } ^ { n } } { 2 \Delta x } \right. } \\ & { \phantom { m m m m m m } \left. + \frac { v _ { i + 1 , j + 1 } ^ { n } - v _ { i + 1 , j } ^ { n } + v _ { i , j + 1 } ^ { n } - v _ { i j } ^ { n } } { 2 \Delta y } \right) } \\ { \frac { u _ { i j } ^ { n + 1 } - u _ { i j } ^ { n } } { \Delta t } } & { = - \frac { p _ { i j } ^ { n + 1 } - p _ { i - 1 , j } ^ { n + 1 } + p _ { i , j - 1 } ^ { n + 1 } - p _ { i - 1 , j - 1 } ^ { n + 1 } } { 2 \Delta x } } \\ { \frac { v _ { i j } ^ { n + 1 } - v _ { i j } ^ { n } } { \Delta t } } & { = - \frac { p _ { i j } ^ { n + 1 } - p _ { i , j - 1 } ^ { n + 1 } + p _ { i - 1 , j } ^ { n + 1 } - p _ { i - 1 , j - 1 } ^ { n + 1 } } { 2 \Delta y } } \end{array}
\begin{array} { r } { ( { \bf z } ^ { ( i ) } ) _ { i = 1 } ^ { N } : = ( { \bf x } ^ { ( i ) } , { \bf y } ^ { ( i ) } ) _ { i = 1 } ^ { N } : = \left( ( x _ { j } ^ { ( i ) } , y _ { j } ^ { ( i ) } ) _ { j = 1 } ^ { n _ { i } } \right) _ { i = 1 } ^ { N } \in \left( \bigcup _ { n = 1 } ^ { \infty } \left( \mathcal { X } \times \mathcal { Y } \right) ^ { n } \right) ^ { N } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal { L } _ { x } = \rho _ { 0 } \otimes \tau _ { 0 } \otimes \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { e ^ { \mathrm { i } k _ { x } } } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right] , } \\ & { \mathcal { L } _ { y } = \rho _ { 0 } \otimes \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { e ^ { \mathrm { i } k _ { y } } } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right] \otimes \sigma _ { 3 } , } \\ & { \mathcal { L } _ { z } = \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { e ^ { \mathrm { i } k _ { z } } } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right] \otimes \tau _ { 3 } \otimes \sigma _ { 3 } . } \end{array}
{ \cal V } = ( U ^ { \Lambda \Sigma } - 3 \bar { L } ^ { \Lambda } L ^ { \Sigma } ) P _ { \Lambda } ^ { x } P _ { \Sigma } ^ { x } + \frac 1 3 \bar { L } ^ { \Lambda } L ^ { \Sigma } h ^ { u v } \nabla _ { u } P _ { \Lambda } ^ { x } \nabla _ { v } P _ { \Sigma } ^ { x } \, ,
D ( k ^ { * } , \Delta k ^ { * } ) = { { \Delta k ^ { * } } ^ { 2 } } / \left( { { k ^ { * } } ^ { 2 } + { \Delta k ^ { * } } ^ { 2 } + 2 \sqrt { \frac { 2 } { \pi } } k ^ { * } \Delta k ^ { * } } \right)
\begin{array} { r } { \chi ( \omega _ { 0 } + i \Delta \omega ) = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } \chi ( t ) e ^ { i \omega _ { 0 } t } e ^ { - \Delta \omega t } \, \mathrm { d } t , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { b } \times \mathbf { y } } & { \equiv \left[ \mathbf { b } \right] \mathbf { y } } \\ { \left[ \mathbf { b } \right] } & { \equiv { \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { - b _ { z } } & { b _ { y } } \\ { b _ { z } } & { 0 } & { - b _ { x } } \\ { - b _ { y } } & { b _ { x } } & { 0 } \end{array} \right] } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } \lbrace } & { \alpha _ { - } , \alpha _ { + } \rbrace \sqrt { 1 + ( h ^ { \prime } ) ^ { 2 } } u _ { i } ^ { 2 } } \\ & { \leq 2 \alpha _ { - } \sqrt { 1 + ( h ^ { \prime } ) ^ { 2 } } u _ { - } ^ { 2 } } \\ & { \leq ( 2 \alpha _ { - } + \kappa _ { - } ) \sqrt { 1 + ( h ^ { \prime } ) ^ { 2 } } u _ { - } ^ { 2 } + ( 2 \alpha _ { + } + \kappa _ { + } ) \sqrt { 1 + ( h ^ { \prime } ) ^ { 2 } } u _ { + } ^ { 2 } } \end{array}
- \delta { L } = m _ { 1 } ^ { 2 } \tilde { e } _ { R } ^ { + } \tilde { e } _ { R } + m _ { 2 } ^ { 2 } \tilde { \mu } _ { R } ^ { + } \tilde { \mu } _ { R } + m _ { 1 2 } ^ { 2 } ( \tilde { e } _ { R } ^ { + } \tilde { \mu } _ { R } + \tilde { \mu } _ { R } ^ { + } \tilde { e } _ { R } )
\begin{array} { r l } & { d _ { W _ { 1 } } ^ { t _ { 0 } - ( \tau r ) ^ { 2 } } ( v _ { y , s ; t _ { 0 } - ( \tau r ) ^ { 2 } } , v _ { x _ { 0 } , t _ { 0 } ; t _ { 0 } - ( \tau r ) ^ { 2 } } ) } \\ { \le } & { d _ { W _ { 1 } } ^ { t _ { 0 } - ( \tau r ) ^ { 2 } } ( v _ { x _ { 0 } , t _ { 0 } ; t _ { 0 } - ( \tau r ) ^ { 2 } } , \delta _ { x _ { 0 } } ) + d _ { W _ { 1 } } ^ { t _ { 0 } - ( \tau r ) ^ { 2 } } ( v _ { y , s ; t _ { 0 } - ( \tau r ) ^ { 2 } } , \delta _ { y } ) + d _ { t _ { 0 } - ( \tau r ) ^ { 2 } } ( y , x _ { 0 } ) \le C _ { 3 } \tau r < r , } \end{array}
\frac { \partial } { \partial \hat { r } } \left[ \left( \frac { 2 \chi } { \theta _ { c } ( t ; \mathrm { ~ B ~ o ~ } ) \sqrt { \hat { r } } } - \frac { 1 } { \hat { r } } \right) \hat { m } _ { 0 } + \frac { \partial \hat { m } _ { 0 } } { \partial \hat { r } } \right] = 0 \quad \mathrm { ~ i ~ n ~ } \quad \hat { r } > 0 , \, t > 0
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { l } { \overline { { v \tau } } } \\ { \overline { { w \tau } } } \end{array} \right) = \left[ \begin{array} { l l } { A _ { 1 } ( z ) } & { A _ { 2 } ( z ) } \\ { A _ { 3 } ( z ) } & { A _ { 4 } ( z ) } \end{array} \right] \left( \begin{array} { l } { G _ { y } } \\ { G _ { z } } \end{array} \right) \, , } \end{array}
{ W } _ { \nu { \bar { \nu } } } ^ { L P } = \frac { 5 \; ( 2 \; C _ { V } ^ { 2 } + 2 3 \; C _ { A } ^ { 2 } ) } { 1 0 8 \pi ^ { 3 } } \; G _ { F } ^ { 2 } \; m _ { e } ^ { 6 } \chi ^ { 6 } \; ,
U = \frac { 3 \langle N \rangle } { 2 \beta } \left[ 1 + \frac { \langle M \rangle } { 2 V } \lambda _ { T } ^ { 3 } \alpha ( q ) - \frac { \langle M \rangle ^ { 2 } } { 1 6 V ^ { 2 } } \lambda _ { T } ^ { 6 } \Lambda + . . . \right]
\begin{array} { r l } { \hat { X } _ { t } ^ { [ k ] } = } & { \mathbb { E } \left[ X _ { t } ^ { [ k ] } \Big | \tilde { S } _ { i } ^ { [ k ] } , X _ { \tilde { S } _ { i } ^ { [ k ] } } \right] } \\ { \stackrel { ( ) } { = } } & { X _ { \tilde { S } _ { i } ^ { [ k ] } } e ^ { - \theta _ { k } ( t - \tilde { S } _ { i } ^ { [ k ] } ) } . } \end{array}
f ^ { * } Z ^ { A } = \mathbf { Z } ^ { A } ( \sigma , \mathrm { d } \sigma ) = Z _ { 0 } ^ { A } ( \sigma ) + Z _ { 1 \, \alpha } ^ { A } ( \sigma ) \mathrm { d } \sigma ^ { \alpha } + . . . + \frac { 1 } { d ! } Z _ { d \, \alpha _ { 1 } . . . \alpha _ { d } } ^ { A } ( \sigma ) \mathrm { d } \sigma ^ { \alpha _ { 1 } } . . . \mathrm { d } \sigma ^ { \alpha _ { d } }
- g ^ { 2 } T ^ { 2 } \sum _ { n , l } \int \frac { d ^ { 5 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 5 } } \, \frac { d ^ { 5 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 5 } } \, f r a c { e ^ { i ( \theta _ { 1 2 } ( p _ { 1 } \, k _ { 2 } - p _ { 2 } \, k _ { 1 } ) + \theta _ { 3 4 } ( p _ { 3 } \, k _ { 4 } - p _ { 4 } \, k _ { 3 } ) ) } } { ( p ^ { 2 } + \frac { 4 \pi ^ { 2 } n ^ { 2 } } { \beta ^ { 2 } } ) ( k ^ { 2 } + \frac { 4 \pi ^ { 2 } l ^ { 2 } } { \beta ^ { 2 } } ) ( ( p + k ) ^ { 2 } + \frac { 4 \pi ^ { 2 } ( n + l ) ^ { 2 } } { \beta ^ { 2 } } ) } .
\begin{array} { r } { \frac { \partial \left( \rho \phi \right) } { \partial t } + \boldsymbol { \nabla } \cdot \left( \rho \boldsymbol { \nu } \phi \right) = \boldsymbol { \nabla } \cdot \left( \Gamma \boldsymbol { \nabla } \phi \right) + S _ { \phi } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \overline { { \lambda } } } _ { k + 1 } + \frac { 1 } { 2 } \left( { \alpha } _ { k + 1 } + { \beta } _ { k - 1 } { \vartheta } _ { k - 1 } ^ { 2 } \right) { \overline { { \vartheta } } } _ { k } ^ { 2 } = { \overline { { \lambda } } } _ { 1 } + \frac { 1 } { 2 } \left( { \alpha } _ { 1 } + { \beta } _ { 1 } { \vartheta } _ { 1 } ^ { 2 } \right) { \overline { { \vartheta } } } _ { 0 } ^ { 2 } } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { k } { \left( { \alpha } _ { i + 1 } - { \alpha } _ { i - 1 } \right) { \overline { { \vartheta } } } _ { i } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { k - 1 } { \left( { \beta } _ { i + 1 } - { \beta } _ { i - 1 } \right) { \vartheta } _ { i + 1 } ^ { 2 } { \overline { { \vartheta } } } _ { i } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { k - 1 } { { \beta } _ { i - 1 } \left( { \vartheta } _ { i + 1 } ^ { 2 } - { \vartheta } _ { i - 1 } ^ { 2 } \right) { \overline { { \vartheta } } } _ { i } ^ { 2 } } + \sum _ { i = 1 } ^ { k } { { \overline { { \delta } } } _ { i } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r l r } { a _ { h } ^ { V M S } ( ( \underline { { \underline { { \sigma } } } } _ { h } , \underline { { \underline { { g } } } } _ { h } ) , ( \underline { { \underline { { \tau } } } } _ { h } , \underline { { \underline { { l } } } } _ { h } ) ) } & { { } } & { } & { { } } \\ { + b _ { 2 h } ( \underline { { \underline { { \tau } } } } _ { h } , ( \underline { { u } } _ { h } , \underline { { \hat { u } } } _ { h } , \underline { { \underline { { \gamma } } } } _ { h } ) ) } & { { } = 0 } & { } & { { } \forall ( \underline { { \underline { { \tau } } } } _ { h } , \underline { { \underline { { l } } } } _ { h } ) \in \Sigma _ { h } \times L _ { h } , } & { } \\ { ( \frac { \partial \underline { { u } } _ { h } } { \partial t } , \underline { { v } } _ { h } ) + b _ { 2 h } ( \underline { { \underline { { \sigma } } } } _ { h } , ( \underline { { v } } _ { h } , \underline { { \hat { v } } } _ { h } , \underline { { \underline { { \eta } } } } _ { h } ) ) } & { { } } & { } & { { } } \\ { + b _ { 1 h } ( \underline { { v } } _ { h } , p _ { h } ) + c _ { h } ( \underline { { u } } _ { h } , \underline { { u } } _ { h } , \underline { { v } } _ { h } ) } & { { } = ( \underline { { f } } , \underline { { v } } _ { h } ) } & { } & { { } \forall ( \underline { { v } } _ { h } , \underline { { \hat { v } } } _ { h } , \underline { { \underline { { \gamma } } } } _ { h } ) \in V _ { h } \times \hat { V } _ { h } \times W _ { h } , } & { } \\ { b _ { 1 h } ( \underline { { u } } _ { h } , q _ { h } ) } & { { } = 0 } & { } & { { } \forall q _ { h } \in Q _ { h } . } & { } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Theta ( X _ { r } ) - \Theta ( X _ { r - } ) } & { = \Theta ( \mathbf { e } ^ { \varphi ( \cdot , r , z ) } ( X _ { r - } ) ) - \Theta ( X _ { r - } ) } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \nabla ^ { T } \Theta ( \mathbf { e } ^ { u \varphi ( \cdot , r , z ) } ( X _ { r - } ) ) \varphi ( \mathbf { e } ^ { u \varphi ( \cdot , r , z ) } ( X _ { r - } ) , r , z ) \, \mathrm { d } u , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { { \alpha } } _ { n } : \overline { { D } } _ { n } } & { \rightarrow \overline { { E } } _ { n } \, \, ( \mp \Pi _ { n } ) } \\ { \sigma } & { \mapsto \left\{ \begin{array} { l l } { \sigma } & { \mathrm { ~ i f ~ } \sigma \in \overline { { E } } _ { n } } \\ { \alpha _ { n } ^ { - 1 } ( \sigma ) } & { \mathrm { ~ i f ~ } \sigma \in E _ { n } , } \end{array} \right. } \end{array}
\Sigma \left[ \frac { \frac { w } { 2 } - u } { 2 p } \ln \left( \frac { p ^ { 2 } + 2 p z } { \left( u - \frac { w } { 2 } \right) ^ { 2 } + z ^ { 2 } } + 1 \right) + \frac { \frac { w } { 2 } + u } { 2 p } \ln \left( \frac { p ^ { 2 } + 2 p z } { \left( \frac { w } { 2 } + u \right) ^ { 2 } + z ^ { 2 } } + 1 \right) \right]
\hat { H } { = } \sum _ { n { = 0 } } ^ { { \infty } } { \sum _ { i , j } { \delta \left( i { - } j { \pm } n \right) \left( A _ { n } { \alpha } _ { i } ^ { { \dagger } } { \alpha } _ { j } { + } B _ { n } { \beta } _ { i } ^ { { \dagger } } { \beta } _ { j } \right) } }
\mathbf { A } ( \mathbf { r } , t ) = { \frac { 1 } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } } \, \nabla \times \int \left[ \int _ { 0 } ^ { R / c } \tau \, { \frac { { \mathbf { J } ( \mathbf { r } ^ { \prime } , t - \tau ) } \times { \mathbf { R } } } { R ^ { 3 } } } \, \operatorname { d } \! \tau \right] \operatorname { d } ^ { 3 } \! \mathbf { r } ^ { \prime }
\frac { d \Gamma } { d \Delta p } = \frac { n _ { g } A \Delta p } { 4 m _ { g } ^ { 2 } } f _ { \mathrm { B } } \Big ( \frac { \Delta p } { 2 m _ { g } } \Big ) \Big [ ( 1 - \alpha ) + \alpha \, \xi \Big ( \frac { \Delta p } { m _ { g } \overline { { v } } } \Big ) \Big ] .
\begin{array} { r l r } { \frac { d \tau _ { \mathrm { A } } } { d t } } & { { } = } & { 1 - \frac { 1 } { c ^ { 2 } } \Big [ \frac { { \vec { v } } _ { \mathrm { A } } ^ { 2 } } { 2 } + \frac { G M _ { \oplus } } { r _ { \mathrm { A } } } \Big ( 1 - J _ { 2 } \Big ( \frac { R _ { \mathrm { E } } } { r _ { \mathrm { A } } } \Big ) ^ { 2 } P _ { 2 0 } ( \cos \theta ) \Big ) + \sum _ { b \not = \mathrm { E } } ^ { \mathrm { S , m } } \frac { G M _ { b } } { 2 r _ { b \mathrm { E } } ^ { 3 } } \Big ( 3 ( \boldsymbol { \mathrm { n } } _ { b \mathrm { E } } \cdot \boldsymbol { \mathrm { y } } _ { \mathrm { A } } ) ^ { 2 } - \boldsymbol { \mathrm { y } } _ { \mathrm { A } } ^ { 2 } \Big ) \Big ] + { \cal O } ( 6 . 3 4 \times 1 0 ^ { - 1 7 } ) , ~ ~ ~ ~ ~ } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { ( E _ { y \prime } ^ { 0 } ) ^ { 2 } } = \frac { 1 } { \sin ^ { 2 } \delta } \left( \frac { \sin ^ { 2 } { \it \Psi } } { ( E _ { x } ^ { 0 } ) ^ { 2 } } + \frac { \cos ^ { 2 } { \it \Psi } } { ( E _ { y } ^ { 0 } ) ^ { 2 } } + \frac { \sin ( 2 { \it \Psi } ) \cos \delta } { E _ { x } ^ { 0 } E _ { y } ^ { 0 } } \right) . } \end{array}