harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \dim { \bf V } _ { 2 } ( { \mathcal T } _ { { W } } ) } & { = 3 \dim P _ { 2 } ( { \mathcal T } _ { { W } } ) = 3 ( V _ { W } + E _ { W } ) = 3 ( V + E + 4 F + 9 T ) } \\ & { \approx ( 2 7 \overline { { e } } - 4 8 ) V , } \\ { \dim \Pi _ { 1 } ( { \mathcal T } _ { { W } } ) } & { = 4 T _ { W } = 4 8 T \approx ( 2 4 \overline { { e } } - 4 8 ) V . } \end{array}
\begin{array} { r l } { n ^ { ( 4 ) } = } & { \; n ^ { ( 3 ) } \hat { M } _ { \mathrm { s o l } } ^ { - 1 } = \left( \begin{array} { l l l } { n _ { 1 } ^ { ( 3 ) } ( k _ { 0 } ) + O ( k - k _ { 0 } ) } & { O ( 1 ) } & { \frac { c _ { k _ { 0 } } e ^ { - \theta _ { 3 1 } ( k _ { 0 } ) } } { \Delta _ { 1 1 } ( k _ { 0 } ) \Delta _ { 3 3 } ^ { - 1 } ( k _ { 0 } ) ( k - k _ { 0 } ) } n _ { 1 } ^ { ( 3 ) } ( k _ { 0 } ) + O ( 1 ) } \end{array} \right) } \\ & { \times \left( \begin{array} { l } { - \frac { c _ { k _ { 0 } } e ^ { - \theta _ { 3 1 } ( k _ { 0 } ) } } { \Delta _ { 1 1 } ( k _ { 0 } ) \Delta _ { 3 3 } ^ { - 1 } ( k _ { 0 } ) ( k - k _ { 0 } ) } V + O ( 1 ) } \\ { O ( 1 ) } \\ { V + O ( k - k _ { 0 } ) } \end{array} \right) = O ( 1 ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { u ( x ) } & { = \int _ { \Omega \cap B _ { \lambda } ( 0 ) } K _ { \Omega } ^ { s } ( x , y ) f ( y , u ( y ) ) \mathrm d y } \\ & { + \int _ { ( \Omega \setminus B _ { \lambda } ( 0 ) ) ^ { \lambda } } \left( \frac { \lambda } { | y | } \right) ^ { n - 2 s } K _ { \Omega } ^ { s } ( x , y ^ { \lambda } ) \left( \frac { \lambda } { | y | } \right) ^ { n + 2 s } f \left( y ^ { \lambda } , \left( \frac { \lambda } { | y | } \right) ^ { 2 s - n } u _ { \lambda } ( y ) \right) \mathrm d y . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { J _ { \sigma } ( \phi ) = \Pi ( \phi , \sigma ) v _ { \sigma } ( \phi ) } \\ & { - \int _ { \phi _ { 0 } ^ { * } } ^ { \phi } \lambda \sum _ { \eta } \left( \Pi ( \phi ^ { \prime } , \eta ) \mu _ { \eta \rightarrow \sigma } - \Pi ( \phi ^ { \prime } , \sigma ) \mu _ { \sigma \rightarrow \eta } \right) d \phi ^ { \prime } . } \end{array}
\langle \alpha _ { \mathrm { \bf ~ k } } ( t ) | \hat { \mathrm { \bf ~ E } } ( \mathrm { \bf ~ r } ) \cdot \hat { \mathrm { \bf ~ E } } ( \mathrm { \bf ~ r } ) | \alpha _ { \mathrm { \bf ~ k } } ( t ) \rangle = \frac { \hbar \omega _ { k } } { 2 \epsilon _ { 0 } \Omega } \left[ 1 + 4 | \alpha _ { \mathrm { \bf ~ k } } ( 0 ) | ^ { 2 } \sin ^ { 2 } ( \omega _ { k } t - \mathrm { \bf ~ k } \cdot \mathrm { \bf ~ r } - \phi _ { \mathrm { \bf ~ k } } ) \right]
\begin{array} { r l } & { \sum _ { i = 2 } ^ { 3 } \left( ( d _ { 1 } + q _ { 1 } ) \left( \frac { u _ { i - 1 } ^ { * } } { u _ { i } ^ { * } } - 1 \right) + d _ { 1 } \left( \frac { u _ { i } ^ { * } } { u _ { i - 1 } ^ { * } } - 1 \right) \right) + \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } r _ { i } \left( 1 - \frac { u _ { i } ^ { * } } { k _ { i } } \right) } \\ { = } & { \sum _ { i = 2 } ^ { 3 } \frac { ( u _ { i - 1 } ^ { * } - u _ { i } ^ { * } ) ( ( d _ { 1 } + q _ { 1 } ) u _ { i - 1 } ^ { * } - d _ { 1 } u _ { i } ^ { * } ) } { u _ { i - 1 } ^ { * } u _ { i } ^ { * } } + \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } r _ { i } \left( 1 - \frac { u _ { i } ^ { * } } { k _ { i } } \right) = 0 . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { c ^ { 2 } } & { = ( a - b \cos \theta ) ^ { 2 } + ( - b \sin \theta ) ^ { 2 } } \\ & { = a ^ { 2 } - 2 a b \cos \theta + b ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta + b ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta } \\ & { = a ^ { 2 } + b ^ { 2 } ( \sin ^ { 2 } \theta + \cos ^ { 2 } \theta ) - 2 a b \cos \theta } \\ & { = a ^ { 2 } + b ^ { 2 } - 2 a b \cos \theta . } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { | K _ { 1 } | } & { { } \le } & { 1 \; , \; | K _ { 2 } | \le 1 \; , \; | K _ { 3 } | \le 1 \; , | K _ { 1 2 } | \le 1 \; , | K _ { 1 3 } | \le 1 \; , \; | K _ { 2 3 } | \le 1 \; , } \\ { \vert K _ { 1 } \pm K _ { 2 } \vert } & { { } \le } & { 1 \pm K _ { 1 2 } \; , \; \vert K _ { 1 } \pm K _ { 3 } \vert \le 1 \pm K _ { 1 3 } \; , \; \vert K _ { 2 } \pm K _ { 3 } \vert \le 1 \pm K _ { 2 3 } \; , \; } \\ { \vert K _ { 1 2 } \pm K _ { 1 3 } \vert } & { { } \le } & { 1 \pm K _ { 2 3 } \; , \; \vert K _ { 1 2 } \pm K _ { 2 3 } \vert \le 1 \pm K _ { 1 3 } \; , \; \vert K _ { 1 3 } \pm K _ { 2 3 } \vert \le 1 \pm K _ { 1 2 } \; , } \\ { \vert K _ { 1 2 3 } \pm K _ { 1 2 } \vert } & { { } \le } & { 1 \pm K _ { 3 } \; , \; \vert K _ { 1 2 3 } \pm K _ { 1 3 } \vert \le 1 \pm K _ { 2 } \; , \; \vert K _ { 1 2 3 } \pm K _ { 2 3 } \vert \le 1 \pm K _ { 1 } \; , \; | K _ { 1 2 3 } | \le 1 \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { r { \frac { \partial u } { \partial r } } } & { { } = r { \frac { \partial u } { \partial x } } \cos \varphi + r { \frac { \partial u } { \partial y } } \sin \varphi = x { \frac { \partial u } { \partial x } } + y { \frac { \partial u } { \partial y } } , } \\ { { \frac { \partial u } { \partial \varphi } } } & { { } = - { \frac { \partial u } { \partial x } } r \sin \varphi + { \frac { \partial u } { \partial y } } r \cos \varphi = - y { \frac { \partial u } { \partial x } } + x { \frac { \partial u } { \partial y } } . } \end{array}
\mathsf { \tilde { a } } _ { \mu \nu } , \mathsf { \tilde { b } } _ { \mu } \gets \mathsf { \tilde { a } } _ { \mu \nu } + \nabla \mathsf { \tilde { U } } _ { \mu } \cdot \nabla \mathsf { \tilde { U } } _ { \nu } \, \mathrm { d } t / 4 , \mathsf { \tilde { b } } _ { \mu } + \nabla \mathsf { \tilde { U } } _ { \mu } \cdot \mathrm { d } \tilde { { \boldsymbol { x } } } / 2
\operatorname* { l i m } _ { \gamma \rightarrow 0 } \int _ { 1 } ^ { \bar { z } - \gamma } \frac { d } { d \bar { z } _ { 0 } } \left( \frac { f } { \left( \bar { z } - \bar { z } _ { 0 } \right) ^ { 2 } } \right) \, d \bar { z } _ { 0 } = \frac { f ( \bar { z } ) } { \gamma ^ { 2 } }
\frac { 1 } { \delta } \int _ { \Omega _ { \epsilon } ^ { \prime } } \bigl | \bigl \{ \tilde { \phi } \, , \, \Theta \bigr \} \bigr | \, | \tilde { \zeta } | \, \mathrm { d } X \, \le \, C \Bigl ( \epsilon + \frac { \epsilon ^ { \gamma _ { 3 } } } { \delta } \Bigr ) \, \epsilon ^ { - N \sigma _ { 1 } } \int _ { \Omega _ { \epsilon } ^ { \prime } } \frac { | \nabla \tilde { \phi } | } { 1 { + } \epsilon R } \, | \tilde { \eta } | \, \mathrm { d } X \, \le \, C \epsilon ^ { \gamma _ { 1 } } \, \| \tilde { \eta } \| _ { \mathcal { X } _ { \epsilon } } ^ { 2 } \, ,
\begin{array} { r l } { I ( t ) } & { { } = \frac { c \varepsilon } { 4 T } \int _ { - T / 2 } ^ { T / 2 } \left[ \mathcal { E } ^ { * } ( t ) \mathcal { E } ( t ) + \mathcal { E } ( t ) \mathcal { E } ^ { * } ( t ) + \mathcal { E } ^ { 2 } ( t ) e ^ { - \mathrm { { i } } 2 \omega _ { 0 } t } + \mathcal { E } ^ { * 2 } ( t ) e ^ { \mathrm { { i } } 2 \omega _ { 0 } t } \right] \mathrm { { d } } t } \end{array}
\begin{array} { r } { { \left| { \mathcal I } ^ { \beta , k } [ p ] ( m , x ; t ) \right| \leq \sqrt { 2 } C _ { d , B } \int _ { 0 } ^ { t } \frac { e ^ { - \frac { ( m - x ^ { 1 } ) ^ { 2 } } { 4 t } - \frac { \| \tilde { x } - \tilde { x } _ { 0 } \| ^ { 2 } } { 4 t } } } { \sqrt { ( 2 \pi t ) ^ { d + 1 } } } N ( p ; s , x _ { 0 } ) \frac { e ^ { - \frac { ( m - x _ { 0 } ^ { 1 } ) ^ { 2 } } { 4 s } } } { \sqrt { 2 \pi ( t - s ) } } d s } . } \end{array}
\theta _ { t r i p l e } = \{ P _ { A _ { a } A _ { b } } , T _ { A _ { a } A _ { b } } , e _ { A _ { a } A _ { b } } , a _ { A _ { a } A _ { b } } , \omega _ { A _ { a } A _ { b } } , \Omega _ { A _ { a } A _ { b } } , i _ { A _ { a } A _ { b } } \} \cup \{ q _ { A _ { a } A _ { b } } \} \cup \{ P _ { A B } , T _ { A B } , e _ { A B } , a _ { A B } , \omega _ { A B } , \Omega _ { A B } , i _ { A B } \}
\begin{array} { r l r } { \partial _ { \tau } \! \! \int _ { 0 } ^ { L } d \sigma h _ { P } } & { = } & { \int _ { 0 } ^ { L } \! \! d \sigma ~ s _ { \tau } V _ { s } ( s ) = \int _ { 0 } ^ { L } \! \! d \sigma ~ \left( - s _ { \sigma } + q \right) V _ { s } ( s ) = } \\ & { } & { - \int _ { 0 } ^ { L } \! \! d \sigma ~ s _ { \sigma } V _ { s } ( s ) - 2 \int _ { 0 } ^ { L } d \sigma ~ q q _ { \sigma } = 0 \, . } \end{array}
f _ { + } ^ { K ^ { + } \pi ^ { 0 } } ( 0 ) / f _ { + } ^ { K _ { L } ^ { 0 } \pi ^ { - } } ( 0 ) \approx 1 + { \frac { 3 } { 4 } } { \frac { m _ { d } - m _ { u } } { m _ { s } - { \frac { 1 } { 2 } } ( m _ { d } + m _ { u } ) } } = 1 . 0 2
\begin{array} { r } { \mathcal { \hat { H } } _ { \mathrm { 2 N } } ( { k _ { x } } ) = \left[ \begin{array} { l l l l l } { \epsilon ( k _ { x } , \frac { \pi } { L _ { y } } ) } & { { \Omega } _ { 1 } } & { 0 } & { 0 } & { \hdots } \\ { { \Omega } _ { 1 } } & { \omega _ { c } ( { k _ { x } , \frac { \pi } { L _ { y } } } ) } & { 0 } & { 0 } & { \hdots } \\ { 0 } & { 0 } & { \epsilon ( k _ { x } , \frac { 2 \pi } { L _ { y } } ) } & { { \Omega } _ { 2 } } & { \hdots } \\ { 0 } & { 0 } & { { \Omega } _ { 2 } } & { \omega _ { c } ( { k _ { x } , \frac { 2 \pi } { L _ { y } } } ) } & { \hdots } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } \end{array} \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { t _ { j , j + 1 } } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l } { \sqrt { \frac { r } { g } } \frac { 1 } { 2 m } \kappa \equiv t } & { j \ \mathrm { e v e n } , } \\ { \sqrt { \frac { r } { g } } \frac { 1 } { 2 m } \kappa ^ { \prime } \equiv t ^ { \prime } } & { j \ \mathrm { o d d } . } \end{array} \right. } \end{array}
- \int _ { 0 } ^ { \sigma } \! \! \! d s \, \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { d \omega } { 2 \pi } \frac { s K ^ { \frac { D - 3 } { 2 } } } { ( 4 \pi ) ^ { \frac { D - 1 } { 2 } } } \left| \frac { \Gamma ( \frac { D - 1 } { 2 } + i \beta ) } { \Gamma ( 1 + i \beta ) } \right| ^ { 2 } \Gamma ( - \frac { D - 3 } { 2 } ) \mathrm { t r } \mathrm { \boldmath ~ 1 ~ } .
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } s } & { { } = D \nabla ^ { 2 } s + \mu \left( 1 - p ( m ( x , t ) ) \right) - \mu s - \beta ( t ) i s , } \\ { \partial _ { t } i } & { { } = D \nabla ^ { 2 } i + \beta ( t ) i s - ( \nu + \mu ) i , } \end{array}
\mathbf { F } = F ^ { i } \mathbf { e } _ { i } = F ^ { i } { \lVert { \mathbf { e } _ { i } } \rVert } { \frac { \mathbf { e } _ { i } } { \lVert { \mathbf { e } _ { i } } \rVert } } = F ^ { i } { \sqrt { g _ { i i } } } \, { \hat { \mathbf { e } } } _ { i } = { \hat { F } } ^ { i } { \hat { \mathbf { e } } } _ { i } ,
\begin{array} { r l } { a _ { i 1 } = } & { ( - 1 ) ^ { i } \left[ k _ { 1 } k _ { 2 } - \mathbf { k } _ { 1 } \cdot \mathbf { k } _ { 2 } - \frac { k _ { 1 } + k _ { 2 } } { \xi _ { 1 } - \xi _ { 2 } } \frac { k _ { 1 x } k _ { 2 y } - k _ { 1 y } k _ { 2 x } } { k _ { 1 } k _ { 2 } } \tan \theta _ { m } \right] \tan \theta _ { i } } \\ { a _ { i 2 } = } & { ( - 1 ) ^ { i } \frac { 1 } { k _ { i } } \left[ k _ { 1 } k _ { 2 } - \mathbf { k } _ { 1 } \cdot \mathbf { k } _ { 2 } - \frac { k _ { i } } { \xi _ { 1 } - \xi _ { 2 } } \frac { k _ { 1 x } k _ { 2 y } - k _ { 1 y } k _ { 2 x } } { k _ { 1 } k _ { 2 } } \tan \theta _ { m } \right] \tan \theta _ { i } } \\ { a _ { i 3 } = } & { ( - 1 ) ^ { i } \frac { k _ { m } } { k _ { i } } \tan \theta _ { i } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta ^ { 2 } \nu } & { { } \approx \Delta _ { 2 } ^ { 2 } \nu = - \left( \frac { 1 } { 2 \pi \langle T p ^ { 2 } \rangle } \right) \sum _ { { \mu } , { \nu } } \frac { W _ { { \mu } { \nu } } ^ { \alpha \beta } \, ( \phi _ { { \mu } { \nu } } ^ { \alpha \beta } p ) ^ { 3 } p } { p ^ { 2 } + ( \phi _ { { \mu } { \nu } } ^ { \alpha \beta } p ) ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { { 2 } } & { \begin{array} { r l } & { Q _ { n } \big ( \langle \partial _ { t } \boldsymbol u _ { \tau , h } , \boldsymbol \phi _ { \tau , h } \rangle - \langle \boldsymbol v _ { \tau , h } , \boldsymbol \phi _ { \tau , h } \rangle \big ) + \langle \boldsymbol u _ { \tau , h } ^ { + } ( t _ { n - 1 } ) , \boldsymbol \phi _ { \tau , h } ^ { + } ( t _ { n - 1 } ) \rangle = \langle \boldsymbol u _ { h } ^ { n - 1 } , \boldsymbol \phi _ { \tau , h } ^ { + } ( t _ { n - 1 } ) \rangle \, , } \end{array} } \\ & { \begin{array} { r l } & { Q _ { n } \Big ( \langle \rho \partial _ { t } \boldsymbol v _ { \tau , h } , \boldsymbol \chi _ { \tau , h } \rangle + A _ { \gamma } ( \boldsymbol u _ { \tau , h } , \boldsymbol \chi _ { \tau , h } ) + C ( \boldsymbol \chi _ { \tau , h } , p _ { \tau , h } ) \Big ) + \langle \rho \boldsymbol v _ { \tau , h } ^ { + } ( t _ { n - 1 } ) , \boldsymbol \chi _ { \tau , h } ^ { + } ( t _ { n - 1 } ) \rangle } \\ & { \qquad = Q _ { n } \Big ( F _ { \gamma } ( \boldsymbol \chi _ { \tau , h } ) \Big ) + \langle \rho \boldsymbol v _ { h } ^ { n - 1 } , \boldsymbol \chi _ { \tau , h } ^ { + } ( t _ { n - 1 } ) \rangle \, , } \end{array} } \\ & { \begin{array} { r l } & { Q _ { n } \Big ( \langle c _ { 0 } \partial _ { t } p _ { \tau , h } , \psi _ { \tau , h } \rangle - C ( \partial _ { t } \boldsymbol u _ { \tau , h } , \psi _ { \tau , h } ) + B _ { \gamma } ( p _ { \tau , h } , \psi _ { \tau , h } ) \Big ) } \\ & { \qquad \quad + \langle c _ { 0 } p _ { \tau , h } ^ { + } ( t _ { n - 1 } ) + \alpha \nabla \cdot \boldsymbol u _ { \tau , h } ^ { + } ( t _ { n - 1 } ) , \psi _ { \tau , h } ^ { + } ( t _ { n - 1 } ) \rangle - \alpha \langle \boldsymbol u _ { \tau , h } ^ { + } ( t _ { n - 1 } ) \cdot \boldsymbol n , \psi _ { \tau , h } ^ { + } ( t _ { n - 1 } ) \rangle _ { \Gamma _ { \boldsymbol u } ^ { D } } } \\ & { \qquad = Q _ { n } \Big ( G _ { \gamma } ( \psi _ { \tau , h } ) \Big ) + \langle c _ { 0 } p _ { h } ^ { n - 1 } + \alpha \nabla \cdot \boldsymbol u _ { h } ^ { n - 1 } , \psi _ { \tau , h } ^ { + } ( t _ { n - 1 } ) \rangle - \alpha \langle \boldsymbol u _ { D } ( t _ { n - 1 } ) \cdot \boldsymbol n , \psi _ { \tau , h } ^ { + } ( t _ { n - 1 } ) \rangle _ { \Gamma _ { \boldsymbol u } ^ { D } } } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { ( P ) \; \operatorname* { m i n } _ { \boldsymbol { x } } } & { \quad \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } \theta ^ { i } x _ { i } } & { ( D ) \; \operatorname* { m a x } _ { z , \boldsymbol { y } } } & { \quad \eta z - \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } \rho _ { 0 } ^ { i } y _ { i } } \\ { \mathrm { s . t . } } & { \quad \begin{array} { r l } { \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } x _ { i } } & { = \eta } \\ { 0 \leq x _ { i } } & { \leq \rho _ { 0 } ^ { i } } \end{array} } & { \mathrm { s . t . } } & { \quad \begin{array} { r l } { z - y _ { i } } & { \leq \theta ^ { i } } \\ { y _ { i } } & { \geq 0 . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha _ { 1 } = } & { { } \frac { 1 } { \frac { \kappa _ { 1 } } { 2 } + \mathrm { ~ i ~ } \left( \Delta _ { 1 } - \Delta _ { \mathrm { ~ p ~ } } \right) } , } \\ { \alpha _ { 2 } = } & { { } \frac { 1 } { \frac { \kappa _ { 2 } } { 2 } + \mathrm { ~ i ~ } \left( \Delta _ { 2 } - \Delta _ { \mathrm { ~ p ~ } } \right) } , } \\ { \alpha _ { 3 } = } & { { } \frac { \gamma \beta } { \left( \gamma - \mathrm { ~ i ~ } \Delta _ { \mathrm { ~ p ~ } } \right) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tau _ { 5 } } & { = \frac { 1 } { 5 0 4 0 } \left| 5 7 8 8 f _ { i - 2 } ^ { 2 } + f _ { i - 2 } \left( - 4 5 6 8 1 f _ { i - 1 } + 6 4 8 4 3 f _ { i } - 3 8 9 4 7 f _ { i + 1 } + 8 2 0 9 f _ { i + 2 } \right) + f _ { i - 1 } \left( 9 3 4 8 3 f _ { i - 1 } \right. \right. } \\ & { \left. - 2 7 5 8 3 6 f _ { i } + 1 7 3 4 9 8 f _ { i + 1 } - 3 8 9 4 7 f _ { i + 2 } \right) + f _ { i } \left( 2 1 0 9 9 3 f _ { i } - 2 7 5 8 3 6 f _ { i + 1 } + 6 4 8 4 3 f _ { i + 2 } \right) } \\ & { \left. + f _ { i + 1 } \left( 9 3 4 8 3 f _ { i + 1 } - 4 5 6 8 1 f _ { i + 2 } \right) + 5 7 8 8 f _ { i + 2 } ^ { 2 } \right| . } \end{array}
\frac { d } { d t } \left( \begin{array} { l } { p } \\ { \mathbf { b } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { - \frac { d W } { d q } } \\ { 0 } \end{array} \right) + \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { \mathbf { A } _ { p b } } \\ { \mathbf { A } _ { b p } } & { \mathbf { A } _ { b } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { p } \\ { \mathbf { b } } \end{array} \right) + \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \mathbf { B } _ { b } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { d \mathbf { W } } \end{array} \right) .
f ( a ) + { \frac { f ^ { \prime } ( a ) } { 1 ! } } ( x - a ) + { \frac { f ^ { \prime \prime } ( a ) } { 2 ! } } ( x - a ) ^ { 2 } + { \frac { f ^ { ( 3 ) } ( a ) } { 3 ! } } ( x - a ) ^ { 3 } + \cdots .
\begin{array} { r l r } { \omega } & { = } & { \left[ \sqrt { \left( g k + \frac { \sigma k ^ { 3 } } { \rho } \right) \operatorname { t a n h } ( k h ) } - \frac { \sqrt { 2 \nu k ^ { 2 } \sqrt { \left( g k + \frac { \sigma k ^ { 3 } } { \rho } \right) \operatorname { t a n h } ( k h ) } } } { 2 \sinh ( 2 k h ) } \right] } \\ & { - i } & { \left[ \frac { \sqrt { 2 \nu k ^ { 2 } \sqrt { \left( g k + \frac { \sigma k ^ { 3 } } { \rho } \right) \operatorname { t a n h } ( k h ) } } } { 2 \sinh ( 2 k h ) } + 2 \nu k ^ { 2 } \frac { Y ^ { 2 } + 5 Y + 2 } { Y ( Y + 4 ) } \right] \; . } \end{array}
s ( R _ { i j } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { R _ { i j } } , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } R _ { i j } \leq R _ { \mathrm { o n } } } \\ { \frac { 1 } { R _ { i j } } \left\{ \left( \frac { R _ { i j } - R _ { \mathrm { ~ o ~ n ~ } } } { R _ { \mathrm { ~ o ~ f ~ f ~ } } - R _ { \mathrm { ~ o ~ n ~ } } } \right) ^ { 3 } \left( - 6 \left( \frac { R _ { i j } - R _ { \mathrm { ~ o ~ n ~ } } } { R _ { \mathrm { ~ o ~ f ~ f ~ } } - R _ { \mathrm { ~ o ~ n ~ } } } \right) ^ { 2 } + 1 5 \frac { R _ { i j } - R _ { \mathrm { ~ o ~ n ~ } } } { R _ { \mathrm { ~ o ~ f ~ f ~ } } - R _ { \mathrm { ~ o ~ n ~ } } } - 1 0 \right) + 1 \right\} , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } R _ { \mathrm { o n } } < R _ { i j } < R _ { \mathrm { o f f } } } \\ { 0 , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } R _ { i j } \geq R _ { \mathrm { ~ o ~ f ~ f ~ } } } \end{array} \right.
\mathbb { E } _ { \boldsymbol \pi } \left[ \left\lVert \prod _ { j = 1 } ^ { n } \exp \left( \frac { \theta e ^ { i \phi } } { 2 } F _ { j } ( s _ { j } ) \right) \right\rVert _ { F } ^ { 2 } \right] \leq d \prod _ { j = 1 } ^ { n } \left\lVert E _ { T _ { j } } ^ { \theta / 2 } \hat { P } E _ { T _ { j } } ^ { \theta / 2 } \right\rVert _ { \boldsymbol \pi } .
\begin{array} { r l } { E _ { 0 , m } : = } & { \bigg | C _ { \theta , \beta _ { 0 } } \left( C _ { \theta / m , \beta _ { 1 } } ^ { ( O _ { 1 } ) } ( \textbf { u } ^ { ( O _ { 1 } ) } ) ^ { 1 / m } , \dots , C _ { \theta / m , \beta _ { G } } ^ { ( O _ { G } ) } ( \textbf { u } ^ { ( O _ { G } ) } ) ^ { 1 / m } \right) ^ { m } } \\ & { - C _ { 0 , \beta _ { 0 } } \left( C _ { 0 , \beta _ { 1 } } ^ { ( O _ { 1 } ) } ( \textbf { u } ^ { ( O _ { 1 } ) } ) , \dots , C _ { 0 , \beta _ { G } } ^ { ( O _ { G } ) } ( \textbf { u } ^ { ( O _ { G } ) } ) \right) \bigg | . } \end{array}
\hat { \mathcal { { H } } } _ { \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \mathbf { \widetilde { P } } _ { k , \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) - \mathbf { \widetilde { P } } _ { k , \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \mathbf { E } _ { k , \sigma } = 4 w _ { \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \left( \rho _ { \sigma } ^ { \mathrm { d a t a } } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) - \rho _ { \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \right) \boldsymbol { \Psi } _ { k , \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \textbf { Q } _ { k , \sigma } f ( \mathbf { E } _ { k , \sigma } ) - \boldsymbol { \Psi } _ { k , \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \left( \mathbf { D } _ { k , \sigma } + \mathbf { D } _ { k , \sigma } ^ { \mathrm { T } } \right) \textbf { Q } _ { k , \sigma } \, .
\mathrm { s _ { A } ^ { 2 } \mathrm { z _ { A } ^ { 2 } ( \mathrm { y _ { A } \mathrm { x _ { B } ^ { 2 } \mathrm { \overline { { y } } _ { B } - \mathrm { x _ { A } \mathrm { \overline { { x } } _ { B } \mathrm { y _ { B } ^ { 2 } ) + \mathrm { s _ { B } ^ { 2 } \mathrm { z _ { B } ^ { 2 } ( \mathrm { x _ { A } \mathrm { y _ { A } ^ { 2 } \mathrm { \overline { { x } } _ { B } - \mathrm { x _ { A } ^ { 2 } \mathrm { y _ { A } \mathrm { \overline { { y } } _ { B } ) } } } } } } } } } } } } } } } }
A _ { p } = \frac { \hat { m } _ { 3 } } { 2 G \Delta _ { 3 } } - I \Delta _ { 0 } ^ { 2 } , \quad B _ { p } = \frac { \hat { m } _ { 0 } } { 2 G \Delta _ { 0 } } - I \Delta _ { 3 } ^ { 2 } , \quad C _ { p } = 2 I \Delta _ { 0 } \Delta _ { 3 } .
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } X ( t , x ) = } & { - P _ { X } ^ { \perp } A _ { H } ( U ) \partial _ { x } U W S ^ { - 1 } , } \\ { \dot { W } ( t ) = } & { - P _ { W } ^ { \perp } ( A _ { H } ( U ) \partial _ { x } U ) ^ { \top } X S ^ { - T } , } \\ { \dot { S } ( t ) = } & { - \langle X A _ { H } ( U ) \partial _ { x } U W \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { i j } } & { { } = \frac { \omega _ { i j } ^ { 3 } } { 3 \pi \varepsilon _ { 0 } \hbar c ^ { 3 } ( 2 J _ { i } + 1 ) } S _ { i j } , } \\ { R _ { i j } } & { { } = \frac { 1 } { 6 \varepsilon _ { 0 } \hbar ^ { 2 } ( 2 J _ { i } + 1 ) } \frac { 2 \hbar \omega _ { i j } ^ { 3 } } { \pi c ^ { 3 } } \frac { 1 } { e ^ { \hbar \omega _ { i j } / k _ { B } T } - 1 } S _ { i j } , } \end{array}
\begin{array} { r } { ( p - p _ { c a v } ) ( 1 - { \theta } ) = 0 \quad { \rightarrow } \quad \left\{ \begin{array} { l r } { p > p _ { c a v } \quad { \rightarrow } \quad { \theta } = 1 } & { \mathrm { ~ p ~ r ~ e ~ s ~ s ~ u ~ r ~ e ~ d ~ z ~ o ~ n ~ e ~ s ~ , ~ } } \\ { p = p _ { c a v } \quad { \rightarrow } \quad 0 \; { \leq } \; { \theta } < 1 } & { \mathrm { ~ c ~ a ~ v ~ i ~ t ~ a ~ t ~ e ~ d ~ z ~ o ~ n ~ e ~ s ~ . ~ } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu ^ { ( n ) } ( t ) } & { = \iint \! \! \cdots \! \! \int _ { - \infty } ^ { \infty } \alpha ^ { ( n ) } ( t - t _ { 1 } , t - t _ { 2 } , \cdots , t - t _ { n } ) } \\ & { \qquad \quad \times F ( t _ { 1 } ) F ( t _ { 2 } ) \cdots F ( t _ { n } ) \mathrm { d } t _ { 1 } \mathrm { d } t _ { 2 } \cdots \mathrm { d } t _ { n } } \\ & { \approx \alpha ^ { ( n ) } ( t ) F ( t ) ^ { n } , } \end{array}
- \gamma _ { 1 } ( 1 - h _ { 1 } ) - 2 ( h _ { 1 } - | h _ { 2 } | ) > \gamma _ { 2 } ( 1 + | h _ { 2 } | ) > \frac { 1 } { h _ { 1 } } \big ( \gamma _ { 1 } | h _ { 2 } | ( 1 - h _ { 1 } ) + 2 h _ { 1 } | h _ { 2 } | \big )
\displaystyle \rho = \exp \left[ - \frac { E _ { \mathrm { a } } ^ { \mathrm { ~ m ~ i ~ g ~ , ~ e ~ x ~ c ~ } } - E _ { \mathrm { a } } ^ { \mathrm { ~ m ~ i ~ g ~ , ~ g ~ s ~ } } } { k _ { \mathrm { B } } T } \right]
\begin{array} { r l } { \Omega _ { u } ^ { q G } } & { { } \left( \Delta _ { u } ; q > 1 \right) = \frac { \sqrt { \beta ^ { q G } } } { \sqrt { q - 1 } \ { C ^ { q G } } ^ { 2 } } B e t a \left( \frac { 1 } { 2 } , \frac { 5 - q } { 2 q - 2 } \right) } \end{array}
I _ { 2 2 } ( y , a , b , d ) = \frac { 1 } { a } h ( d ) \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \int _ { \alpha } ^ { \infty } d v ( v ^ { 2 } - m ^ { 2 } - ( \frac { n \pi } { a } ) ^ { 2 } ) ^ { \frac { d - 4 } { 2 } } ( \coth b v - 1 ) \cosh 2 v y .
\begin{array} { r l } { \sin 2 \gamma } & { { } = \frac { S _ { 3 } } { S _ { 1 } ^ { 2 } + S _ { 2 } ^ { 2 } + S _ { 3 } ^ { 2 } } , } \\ { \tan 2 \alpha } & { { } = \frac { S _ { 2 } } { S _ { 1 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ \mathbb E ( Y _ { i } ^ { 2 } ) } & { = \mathbb E ( ( X _ { i } - \mu ) ^ { 4 } ) } \\ { \ } & { = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { x ^ { 4 } } { \sqrt { 2 \pi \sigma ^ { 2 } } } e ^ { - x ^ { 2 } / 2 \sigma ^ { 2 } } d x } \\ { \ } & { = \biggl [ x ^ { 3 } \frac { - \sigma ^ { 2 } } { \sqrt { 2 \pi \sigma ^ { 2 } } } e ^ { - x ^ { 2 } / 2 \sigma ^ { 2 } } \biggl ] _ { - \infty } ^ { \infty } + \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { 3 x ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { \sqrt { 2 \pi \sigma ^ { 2 } } } e ^ { - x ^ { 2 } / 2 \sigma ^ { 2 } } d x } \\ { \ } & { = [ 0 ] + 3 \sigma ^ { 2 } V a r ( X _ { i } - \mu ) } \\ { \ } & { = 3 \sigma ^ { 4 } } \end{array}
\kappa _ { \mathcal { F } } = n \sum _ { i ^ { \prime } } \left( \rho ^ { ( \mathrm { n e u t r a l } ) } S _ { \mathcal { F } i ^ { \prime } } ^ { ( \mathrm { n e u t r a l } ) } + \rho ^ { \mathrm { ( o t h e r ) } } S _ { \mathcal { F } } ^ { \mathrm { ( o t h e r ) } } + \rho _ { i ^ { \prime } i ^ { \prime } } S _ { \mathcal { F } i ^ { \prime } } ^ { ( \mathrm { i o n . } ) } + \sigma _ { \mathcal { F } } ^ { ( \mathrm { c o m p o u n d } ) } \right) ,