harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \begin{array} { r c l } { \varphi ( 1 0 ) } & { = } & { \operatorname* { g c d } ( 1 , 1 0 ) \cos { \frac { 2 \pi } { 1 0 } } + \operatorname* { g c d } ( 2 , 1 0 ) \cos { \frac { 4 \pi } { 1 0 } } + \operatorname* { g c d } ( 3 , 1 0 ) \cos { \frac { 6 \pi } { 1 0 } } + \cdots + \operatorname* { g c d } ( 1 0 , 1 0 ) \cos { \frac { 2 0 \pi } { 1 0 } } } \\ & { = } & { 1 \cdot ( { \frac { { \sqrt { 5 } } + 1 } { 4 } } ) + 2 \cdot ( { \frac { { \sqrt { 5 } } - 1 } { 4 } } ) + 1 \cdot ( - { \frac { { \sqrt { 5 } } - 1 } { 4 } } ) + 2 \cdot ( - { \frac { { \sqrt { 5 } } + 1 } { 4 } } ) + 5 \cdot ( - 1 ) } \\ & & { + \ 2 \cdot ( - { \frac { { \sqrt { 5 } } + 1 } { 4 } } ) + 1 \cdot ( - { \frac { { \sqrt { 5 } } - 1 } { 4 } } ) + 2 \cdot ( { \frac { { \sqrt { 5 } } - 1 } { 4 } } ) + 1 \cdot ( { \frac { { \sqrt { 5 } } + 1 } { 4 } } ) + 1 0 \cdot ( 1 ) } \\ & { = } & { 4 . } \end{array} }
\hat { \varepsilon } _ { a b c } = \left\{ \begin{array} { c c c } { { \hat { \varepsilon } _ { + - Z } } } & { { = } } & { { - i \cos \theta _ { W } } } \\ { { \hat { \varepsilon } _ { + - A } } } & { { = } } & { { i \sin \theta _ { W } } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \Phi _ { m _ { 1 } - m _ { 2 } } ^ { ' } \mathrm { ~ l i n e a r ~ } } & { \overset { \mathrm { P a p e r } } { \iff } \sqrt { n } ( \hat { d } _ { 1 } ^ { * } - \hat { d } _ { 1 } ) \xrightarrow { d } \Phi _ { m _ { 1 } - m _ { 2 } } ^ { ' } ( G ) = T } \\ & { \iff \mathrm { O u r ~ p a r t i c u l a r ~ p r o o f ~ w o r k s } } \\ & { \implies \mathrm { A s y m p t . ~ A l p h a ~ \& ~ C o n s i s t e n c y } } \end{array}
{ \cal M } _ { D _ { s } ^ { + } \to \pi ^ { + } \pi ^ { + } \pi ^ { - } } = - i \frac { G _ { F } } { \sqrt { 2 } } \cos ^ { 2 } \theta _ { c } a _ { 1 } m _ { D _ { s } } ^ { 2 } f _ { D _ { s } } F _ { 4 } ( m _ { \pi ^ { - } \pi _ { 1 } ^ { + } } ^ { 2 } , m _ { \pi ^ { - } \pi _ { 2 } ^ { + } } ^ { 2 } )
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { 2 } \arctan \left( \tan \left( \frac { \xi ( t ) } { 2 } \right) \right) - \frac { 1 } { 2 } \arctan \left( \tan \left( \frac { \xi ( 0 ) } { 2 } \right) \right) - m _ { t } \frac { \pi } { 2 } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \widetilde { \frac { \xi ( t ) } { 2 } } - \frac { 1 } { 2 } \widetilde { \frac { \xi ( 0 ) } { 2 } } - m _ { t } \frac { \pi } { 2 } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \frac { \xi ( t ) } { 2 } - ( m _ { 0 } - m _ { t } ) \frac { \pi } { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \xi ( 0 ) } { 2 } - m _ { 0 } \pi \right) - m _ { t } \frac { \pi } { 2 } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \xi ( t ) } { 2 } - \frac { \xi ( 0 ) } { 2 } \right) = - t . } \end{array}
C \left( x , \, y , \, \theta \right) = \frac { Q } { 2 \sqrt { \pi \, w \, K \, \left( x \, \mathrm { c o s } \theta + y \, \mathrm { s i n } \theta \right) } } \mathrm { e x p } \left[ - \frac { \left( y \, \mathrm { c o s } \theta - x \, \mathrm { s i n } \theta \right) ^ { 2 } \, w } { 4 \, K \, \left( x \, \mathrm { c o s } \theta + y \, \mathrm { s i n } \theta \right) } \right] \quad \left[ \mathrm { k g } \, \mathrm { m } ^ { - 2 } \right] ,
\begin{array} { r l } { \sum \widehat \mu _ { i } } & { \le \widehat { \mathrm { d e g } } ( \overline { E } ) \le \sum \widehat \mu _ { i } + \frac { 1 } { 2 } n \ln n , } \\ { \sum \operatorname* { m a x } ( \widehat \mu _ { i } , 0 ) } & { \le \widehat { \mathrm { d e g } } _ { + } ( \overline { E } ) \le \sum \operatorname* { m a x } ( \widehat \mu _ { i } , 0 ) + \frac { 1 } { 2 } n \ln n . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle R ( z ) \rangle } & { = \frac { N } { z } + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { \langle \mathrm { T r } C _ { A , \mathrm { C I } } ^ { n } \rangle } { z ^ { n + 1 } } = \frac { N } { \sqrt { z ( z - 1 ) } } + \frac { 1 } { 4 } \left( \frac { 1 } { z } + \frac { 1 } { z - 1 } \right) - \frac { 1 } { 2 z - 1 } + O ( N ^ { - 1 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \left\| \frac { 1 } { n S } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { s = 0 } ^ { S - 1 } \nabla _ { y } g _ { c _ { i } ^ { k , t } } \left( x ^ { k } , y ^ { * } ( x ^ { k } ) ; \xi _ { i , s } ^ { k , t } \right) \right\| ^ { 2 } \leq \frac { 2 ( \sigma _ { g , 1 } ^ { 2 } + \sigma _ { g } ^ { 2 } ) } { n S } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { n } \ell _ { n } } & { = \sigma _ { A } \ell _ { A } + n ( \sigma _ { B } \ell _ { B } - \sigma _ { A } \ell _ { A } ) , } \\ { \sigma _ { n } k _ { \perp , n } } & { = \sigma _ { A } k _ { \perp , A } + n ( \sigma _ { B } k _ { \perp , B } - \sigma _ { A } k _ { \perp , A } ) , } \\ { \sigma _ { n } \delta _ { n } } & { = \sigma _ { A } \delta _ { A } + n ( \sigma _ { B } \delta _ { B } - \sigma _ { A } \delta _ { A } - \arg ( \Gamma ^ { 2 } ) ) , } \\ { \sigma _ { n } ^ { 2 } } & { = \sigma _ { A } ^ { 2 } + n ( \sigma _ { B } ^ { 2 } - \sigma _ { A } ^ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { J } & { { } = } & { \frac { 2 m q } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } \hbar ^ { 3 } } \int _ { 0 } ^ { { \cal E } _ { F } } ( { \cal E } _ { F } - { \cal E } ) \frac { 1 } { 1 + e ^ { G ( { \cal E } ) } } ~ d { { \cal E } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { = - } & { { } \mathbf { a } \cdot ( \mathbf { c } \times \mathbf { b } ) } \\ { = - } & { { } \mathbf { b } \cdot ( \mathbf { a } \times \mathbf { c } ) } \\ { = - } & { { } \mathbf { c } \cdot ( \mathbf { b } \times \mathbf { a } ) } \end{array}
\frac { d T } { d x } = - 2 \pi n \int _ { 0 } ^ { \infty } { b d b } \Pi \left( b \right) \frac { \int _ { 0 } ^ { \infty } { P \left( { b , \nu } \right) h \nu d \nu } } { \int _ { 0 } ^ { \infty } { P \left( { b , \nu } \right) d \nu } }
\begin{array} { r } { \vec { f } ^ { m + \frac { 1 } { 2 } } = - \frac { 1 } { 6 } \bigl [ 2 ( \vec { X } ^ { m } \cdot \vec { e } _ { 1 } ) \, \vec { X } _ { \alpha } ^ { m } + 2 ( \vec { X } ^ { m + 1 } \cdot \vec { e } _ { 1 } ) \, \vec { X } _ { \alpha } ^ { m + 1 } + ( \vec { X } ^ { m } \cdot \vec { e } _ { 1 } ) \, \vec { X } _ { \alpha } ^ { m + 1 } + ( \vec { X } ^ { m + 1 } \cdot \vec { e } _ { 1 } ) \, \vec { X } _ { \alpha } ^ { m } \bigr ] ^ { \perp } . } \end{array}
B = B _ { r } + B _ { z } = \frac { M } { \operatorname { R e } } \left[ \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { e } ^ { M \bar { c } } \frac { \mathrm { d } \bar { v } _ { z } } { \mathrm { ~ d } r } \operatorname { R e a l } \left\{ \frac { \mathrm { d } \hat { c } } { \mathrm { ~ d } r } \hat { v } _ { z } ^ { * } \right\} r \mathrm { ~ d } r + \int _ { 0 } ^ { 1 } \mathrm { e } ^ { M \bar { c } } \frac { \mathrm { d } \bar { v } _ { z } } { \mathrm { ~ d } r } \operatorname { R e a l } \left\{ k \hat { c } \hat { v _ { r } ^ { * } } \right\} r \mathrm { ~ d } r \right]
\mathcal { l } [ \hat { A } ] ( \rho ) = \hat { A } \rho \hat { A } ^ { \dagger } - \frac { 1 } { 2 } \hat { A } ^ { \dagger } \hat { A } \rho - \frac { 1 } { 2 } \rho \hat { A } ^ { \dagger } \hat { A } .
\frac { d \log p _ { N S B } ( \beta ) } { d \beta } = \frac { 1 } { p _ { N S B } ( \beta ) } \frac { d p _ { N S B } ( \beta ) } { d \beta } = \frac { 1 } { \frac { d \overline { { S } } } { d \beta } } \frac { d ^ { 2 } \overline { { S } } } { d \beta ^ { 2 } } = \frac { K ^ { 2 } \psi _ { 2 } ( k \beta + 1 ) - \psi _ { 2 } ( \beta + 1 ) } { K \psi _ { 1 } ( k \beta + 1 ) - \psi _ { 1 } ( \beta + 1 ) } ~ ,
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial } { \partial t } \hat { \mathbf { f } } \left( \mathbf { r } , \omega _ { f } , t \right) = - i \omega _ { f } \hat { \mathbf { f } } \left( \mathbf { r } , \omega _ { f } , t \right) } \\ & { + \sum _ { s = 1 } ^ { 2 } \frac { \omega _ { f } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \sqrt { \frac { \mathrm { I m } \epsilon \left( \mathbf { r } , \omega _ { f } \right) } { \hbar \pi \epsilon _ { 0 } } } \mathbf { d } _ { s } ^ { * } \cdot \overleftrightarrow { G } ^ { * } \left( \mathbf { r } _ { s } , \mathbf { r } ; \omega _ { f } \right) \hat { \sigma } _ { s } ^ { 1 2 } \left( t \right) . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } { \nu Q - 1 + \frac 1 Q } & { { } > 0 , } \\ { \mathcal { R } _ { 0 } } & { { } < 2 - Q , } \\ { \mathcal { R } _ { 0 } } & { { } > Q - 2 \nu Q ^ { 2 } , } \\ { ( \mathcal { R } _ { 0 } - Q ) ^ { 2 } } & { { } > 4 \nu Q ^ { 2 } ( 1 - \mathcal { R } _ { 0 } ) . } \end{array} \right.
{ \cal I } { \it m } { \cal A } _ { R R } ^ { \left( { \cal R } \right) } \left( q _ { 1 } , q _ { 2 } ; \vec { q } \right) = \frac { < c _ { 1 } c _ { 1 } ^ { \prime } | \hat { \cal { P } } _ { \cal R } | c _ { 2 } c _ { 2 } ^ { \prime } > } { 2 n _ { { \cal R } } } \sum _ { \left\{ f \right\} } \int \gamma _ { c _ { 1 } c _ { 2 } } ^ { \left\{ f \right\} } \left( q _ { 1 } , q _ { 2 } \right) \left( \gamma _ { c _ { 1 } ^ { \prime } c _ { 2 } ^ { \prime } } ^ { \left\{ f \right\} } \left( q _ { 1 } ^ { \prime } , q _ { 2 } ^ { \prime } \right) \right) ^ { \ast } d \rho _ { f } \mathrm { \ , }
\begin{array} { r } { \sum _ { j \geq 1 } c _ { j } \frac { 1 - e ^ { - \alpha _ { j } t } } { \alpha _ { j } } \xi _ { j } = \lambda _ { c } \sum _ { j \geq 1 } \frac { 1 - e ^ { - \alpha _ { j } t } } { \alpha _ { j } } \xi _ { j } } \end{array}
\langle \Phi _ { 1 } \rangle = \left( \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } , 0 , 0 \right) ^ { T } , \quad \langle \Phi _ { 2 } \rangle = \left( 0 , 0 , 0 \right) ^ { T } , \quad \langle \Phi _ { 3 } \rangle = \left( 0 , 0 , 0 \right) ^ { T } .
\widetilde { \Phi } _ { p p } = \frac { \widetilde { \omega } \left( \Pi ^ { 6 . 7 1 } + ( \beta + 1 ) ^ { 1 . 4 } \right) } { \widetilde { \omega } ^ { 0 . 8 7 } \Delta ^ { 0 . 9 8 } M ^ { 0 . 4 4 } ( 1 + M ^ { 0 . 9 7 } ) + \frac { \widetilde { \omega } ^ { 5 . 3 1 } } { R _ { T } ^ { 7 . 0 7 } } ( \Pi ^ { 5 . 3 1 } + \widetilde { \omega } \Delta ^ { 6 . 0 9 } ) }
\begin{array} { r l } { T ^ { \beta } F ( t ) d _ { x } \pi } & { | _ { ( x , \gamma _ { t } ( x ) ) } ( \omega _ { i _ { 1 } } ^ { \prime } , \ldots , \omega _ { i _ { k } } ^ { \prime } ) } \\ & { = T ^ { \beta } F ( t ) \operatorname* { d e t } ( D _ { x } \pi | _ { ( x , \gamma _ { t } ( x ) ) } \omega _ { i _ { 1 } } ^ { \prime } , \ldots D _ { x } \pi | _ { ( x , \gamma _ { t } ( x ) ) } \omega _ { i _ { k } } ^ { \prime } ) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } & { \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } e ^ { - x ^ { \mathsf { T } } C ^ { \prime } x + s ^ { \mathsf { T } } x } \left( - { \frac { \partial } { \partial x } } \Lambda { \frac { \partial } { \partial x } } \right) e ^ { - x ^ { \mathsf { T } } C x + s ^ { \mathsf { T } } x } \, d x } \\ & { \qquad = \left( 2 \operatorname { t r } ( C ^ { \prime } \Lambda C B ^ { - 1 } ) + 4 u ^ { \mathsf { T } } C ^ { \prime } \Lambda C u - 2 u ^ { \mathsf { T } } ( C ^ { \prime } \Lambda s + C \Lambda s ^ { \prime } ) + s ^ { \mathsf { T } } \Lambda s \right) \cdot { \mathcal { M } } , } \end{array} }
T ( { \textbf { x } _ { \textbf { i } } } ) = \int _ { - \infty } ^ { \infty } R _ { 1 1 } \big ( { \textbf { x } _ { \textbf { i } } } ( t ) , { \textbf { x } _ { \textbf { i } } } ( t + \mathrm { { d } } t ) \big ) \mathrm { { d } } t
\mathbf { R } _ { p } ^ { B } = \sum _ { q \neq p } \frac { 4 \phi _ { q } \phi _ { p } \left( 1 - \phi _ { p } \right) } { \epsilon } \mathbf { n } _ { p } - \sum _ { q \neq p } \frac { 4 \phi _ { p } \phi _ { q } \left( 1 - \phi _ { q } \right) } { \epsilon } \mathbf { n } _ { q } = \sum _ { q \neq p } \phi _ { q } \frac { 4 \phi _ { p } \left( 1 - \phi _ { p } \right) } { \epsilon } \mathbf { n } _ { p } - \phi _ { p } \sum _ { q \neq p } \frac { 4 \phi _ { q } \left( 1 - \phi _ { q } \right) } { \epsilon } \mathbf { n } _ { q } .
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \tau } } & { { } = \nabla \left( \Phi - \varphi ( \psi ) \right) - { \mathbf V } _ { \perp } \times { \mathbf B } + \frac { \eta } { \mu _ { 0 } } \nabla \times { \mathbf B } } \\ { \nabla ^ { 2 } \left( \Phi - \varphi ( \psi ) \right) } & { { } = - \nabla \cdot \left[ - { \mathbf V } _ { \perp } \times { \mathbf B } + \frac { \eta } { \mu _ { 0 } } \nabla \times { \mathbf B } \right] , } \end{array}
\left\| \left[ \begin{array} { r l } & { \hat { \mathbf { x } } _ { k + 1 } } \\ & { \hat { \rho } _ { k + 1 } } \end{array} \right] - \left[ \begin{array} { r l } & { \mathbf { x } _ { \ast } } \\ & { \lambda } \end{array} \right] \right\| \leq \beta \left\| \left[ \begin{array} { r l } & { \mathbf { x } _ { k } } \\ & { \rho _ { k } } \end{array} \right] - \left[ \begin{array} { r l } & { \mathbf { x } _ { \ast } } \\ & { \lambda } \end{array} \right] \right\| ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { 0 = } & { H _ { k } ( X ^ { \leq s _ { 0 } } ; \kappa ) \to H _ { k } ( X ^ { \leq s _ { 1 } } ; \kappa ) \to \cdots \to H _ { k } ( X ^ { \leq s _ { m } } ; \kappa ) = H _ { k } ( X ; \kappa ) = H _ { k } ( X , X _ { \geq s _ { m } } ; \kappa ) } \\ & { \to H _ { k } ( X , X _ { \geq s _ { m - 1 } } ; \kappa ) \to \cdots \to H _ { k } ( X , X _ { \geq s _ { 0 } } ; \kappa ) = 0 } \end{array}
{ \frac { T _ { C } - T _ { S } } { T _ { 0 } - T _ { S } } } = 2 \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { n + 1 } \exp \left( { - { \frac { n ^ { 2 } \pi ^ { 2 } \alpha t } { L ^ { 2 } } } } \right)
\begin{array} { r l } { \frac { d \sigma } { d \theta } } & { = \int \frac { d \sigma } { d \Omega } d \phi = 1 6 \pi ^ { 2 } \alpha I _ { \mathrm { L } } \frac { k _ { f } } { k _ { i } } \left\vert \frac { a _ { i f } } { 3 } \right\vert ^ { 2 } \left[ \frac { k _ { f } \sin \theta } { k _ { i } ^ { 2 } ( 1 + \frac { k _ { f } ^ { 2 } } { k _ { i } ^ { 2 } } - 2 \frac { k _ { f } } { k _ { i } } \cos \theta ) } \right] ^ { 2 } . } \end{array}
= \; \left[ \prod _ { a < b } ^ { N } \frac { ( 2 n _ { a } + 2 n _ { b } ) ! } { ( 2 n _ { a } ) ! ( 2 n _ { b } ) ! } \right] ^ { \frac { 1 } { q ( N - 1 ) } } \; = \; \left[ \prod _ { a < b } ^ { N } { \binom { 2 n _ { a } + 2 n _ { b } } { 2 n _ { a } } } \right] ^ { \frac { 1 } { q ( N - 1 ) } }
\mathcal { B } ( \tau ) = \left( \begin{array} { l l } { \sqrt { \tau } \mathbf { I } } & { \sqrt { 1 - \tau } \mathbf { I } } \\ { - \sqrt { 1 - \tau } \mathbf { I } } & { \sqrt { \tau } \mathbf { I } } \end{array} \right) .
\tilde { m } _ { 0 } = - \frac { \partial \tilde { \mathcal { M } } _ { 0 } } { \partial \tilde { r } } , \quad \tilde { m } _ { 1 } = - \frac { \partial \tilde { \mathcal { M } } _ { 1 } } { \partial \tilde { r } } , \quad \tilde { m } _ { 2 } = - \frac { \partial \tilde { \mathcal { M } } _ { 2 } } { \partial \tilde { r } } , \quad \tilde { m } _ { 3 } = - \frac { \partial \tilde { \mathcal { M } } _ { 3 } } { \partial \tilde { r } } - \tilde { r } \frac { \partial \tilde { \mathcal { M } } _ { 0 } } { \partial \tilde { r } } .
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \Big ( \frac { \bar { y } ^ { \tau } - \bar { y } } { \tau } - \delta y \Big ) } & { = \frac { \widehat G ( \bar { y } ^ { \tau } , \bar { \ell } + \tau \, \delta \ell ) - \widehat G ( \bar { y } , \bar { \ell } ) } { \tau } } \\ & { \qquad \qquad - \widehat G ^ { \prime } \big ( ( \bar { y } , \bar { \ell } ) ; ( \delta y , \delta \ell ) \big ) \quad \mathrm { \ae } ( 0 , T ) , } \\ { \Big ( \frac { \bar { y } ^ { \tau } - \bar { y } } { \tau } - \delta y \Big ) ( 0 ) } & { = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 4 \sum _ { p = 1 } ^ { n } \cos ^ { 4 } ( p \theta ) } & { { } = 3 \sum _ { p = 1 } ^ { n } \cos ^ { 2 } ( p \theta ) } \\ { n + 2 \sum _ { p = 1 } ^ { n } \cos ( 2 p \theta ) + \sum _ { p = 1 } ^ { n } \cos ^ { 2 } ( 2 p \theta ) } & { { } = 3 \sum _ { p = 1 } ^ { n } \cos ^ { 2 } ( p \theta ) \, } \\ { \sum _ { p = 1 } ^ { n } \cos ( 2 p \theta ) + \sum _ { p = 1 } ^ { n } \cos ( 4 p \theta ) } & { { } = 0 \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega } - \boldsymbol { \sigma ^ { o } } : ( \nabla \boldsymbol { \nu } ) d \Omega } & { = \int _ { \Omega } - \sigma _ { i k } ^ { o } \partial _ { k } \nu _ { i } d \Omega } \\ & { = \int _ { \Omega } - \left( \sigma _ { x x } ^ { o } \partial _ { x } \nu _ { 1 } + \sigma _ { x y } ^ { o } \partial _ { y } \nu _ { 1 } + \sigma _ { y x } ^ { o } \partial _ { x } \nu _ { 2 } + \sigma _ { y y } ^ { o } \partial _ { y } \nu _ { 2 } \right) d \Omega } \end{array}
\boldsymbol { Q } _ { \boldsymbol { \tau } } ( \boldsymbol { \theta } ) = \boldsymbol { J } _ { \boldsymbol { \tau } } ^ { - 1 } ( \boldsymbol { \theta } ) \boldsymbol { G } ( \boldsymbol { \theta } ) \left[ \boldsymbol { G } ( \boldsymbol { \theta } ) ^ { T } \boldsymbol { J } _ { \boldsymbol { \tau } } ( \boldsymbol { \theta } ) ^ { - 1 } \boldsymbol { G } ( \boldsymbol { \theta } ) \right] ^ { - 1 } ,
\mathbf { x } _ { 1 } = \mathbf { x } _ { 0 } + \alpha _ { 0 } \mathbf { p } _ { 0 } = { \left[ \begin{array} { l } { 2 } \\ { 1 } \end{array} \right] } + { \frac { 7 3 } { 3 3 1 } } { \left[ \begin{array} { l } { - 8 } \\ { - 3 } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l } { 0 . 2 3 5 6 } \\ { 0 . 3 3 8 4 } \end{array} \right] } .
\begin{array} { r l r } { \mathbf { I } } & { { } = } & { \frac { 6 } { T } K _ { 1 } \left( \frac { 1 } { T } \right) , } \\ { \mathbf { I I } } & { { } = } & { - \frac { 6 } { T } K _ { 1 } \left( \frac { 1 } { T } \right) + 6 \frac { 1 } { T ^ { 2 } } K _ { 2 } \left( \frac { 1 } { T } \right) , } \\ { \mathbf { I I I } } & { { } = } & { - \frac { 1 4 } { 3 } \frac { 1 } { T ^ { 2 } } K _ { 2 } \left( \frac { 1 } { T } \right) + \frac { 2 } { 9 } \frac { 1 } { T ^ { 3 } } K _ { 3 } \left( \frac { 1 } { T } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \tilde { U } _ { h } ( x ^ { h } + y _ { \alpha } , t _ { j } ) - \xi | } & { \leq | \tilde { U } _ { h } ( x ^ { h } + y _ { \alpha } , t _ { j } ) - \tilde { U } _ { h } ( x ^ { h } , t _ { j } ) | + | \tilde { U } _ { h } ( x ^ { h } , t _ { j } ) - \xi | } \\ & { \leq | \tilde { U } _ { h } ( x ^ { h } + y _ { \alpha } , t _ { j } ) - \tilde { U } _ { h } ( x ^ { h } , t _ { j } ) | + | \tilde { U } _ { h } ( x ^ { h } , t _ { j } ) - \varphi ( x ^ { h } , t _ { j } ) | } \\ & { \leq | \tilde { U } _ { h } ( x ^ { h } + y _ { \alpha } , t _ { j } ) - \tilde { U } _ { h } ( x ^ { h } , t _ { j } ) | + | U _ { h } ( x ^ { h } , t _ { j } ) - U _ { h } ( x ^ { h } , t _ { h } ) | + | \varphi ( x ^ { h } , t ^ { h } ) - \varphi ( x ^ { h } , t _ { j } ) | } \\ & { \leq \Lambda _ { u _ { 0 } } ( | y _ { \alpha } | ) + T \Lambda _ { f } ( | y _ { \alpha } | ) + 3 \tilde { \Lambda } _ { u _ { 0 } , f , r } ( \tau ) + \tau \| \partial _ { t } \varphi \| _ { L ^ { \infty } ( B _ { R } ( x ^ { h } ) \times [ t ^ { * } - R , t ^ { * } + R ] ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lefteqn { \int _ { 0 } ^ { 1 } \bigl | \kappa _ { m } \bigl \langle ( \mathbf { F } ^ { t } \mathbf { F } ) ( t , \cdot ) \bigr \rangle - \mathbf { J } _ { m } ( t ) \bigr | \bigl \| \nabla T _ { m - 1 } ( t , \cdot ) \bigr \| _ { L ^ { 2 } ( \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 2 } ) } ^ { 2 } \, d t } \quad } & { { } } \end{array}
e ^ { - i \kappa ( \hat { a } \hat { c } ^ { \dagger } + \hat { a } ^ { \dagger } \hat { c } ) } \hat { a } ^ { \dagger } e ^ { i \kappa ( \hat { a } \hat { c } ^ { \dagger } + \hat { a } ^ { \dagger } \hat { c } ) } = \cos \kappa \cdot \hat { a } ^ { \dagger } - i \sin \kappa \cdot \hat { c } ^ { \dagger } .
\begin{array} { r l } { \dot { u } ( t ) } & { { } = D _ { f } ( x ( t ) ) u ( t ) , \quad u ( 0 ) = 1 , } \\ { \dot { v } ( t ) } & { { } = D _ { f } ( x ( t ) ) v ( t ) + D _ { f } ^ { \alpha } ( x ( t ) ) , \quad v ( 0 ) = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r } { { \bf J } = \mathrm { r o t } ( \Psi _ { X } { \bf \hat { z } } ) = \frac { 2 \phi _ { 0 } } { \mu _ { 0 } \Lambda } \mathrm { r o t } ( \psi _ { X } { \bf \hat { z } } ) = \frac { 2 \phi _ { 0 } } { \mu _ { 0 } \Lambda } \left( \begin{array} { l } { \partial _ { y } \psi _ { X } } \\ { - \partial _ { x } \psi _ { X } } \\ { 0 } \end{array} \right) . } \end{array}
G _ { \pm } ( \lambda ) \equiv \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } P _ { \pm } ( n ) \lambda ^ { n } = 2 | \widetilde { N _ { \pm } } | ^ { 2 } e ^ { - | \alpha | ^ { 2 } } \left( e ^ { | \alpha | ^ { 2 } \lambda } \pm \mathrm { R e } \, e ^ { \alpha ^ { 2 } \lambda } \right)
\mathbf { H } _ { 0 } = \mathbf { H } _ { 0 } ^ { ( 0 ) } + \mathcal { O } ( \omega ) : = \nabla \mathcal { S } _ { \Omega _ { c } } ^ { 0 } \Big ( \frac { I } { 2 } + ( \mathcal { K } _ { \Omega _ { c } } ^ { 0 } ) ^ { * } \Big ) ^ { - 1 } [ \nu \cdot \mathbf { H } _ { 0 } | _ { \partial \Omega _ { c } } ^ { + } ] + \mathcal { O } ( \omega ) \ \ \mathrm { { i n } \ \ \mathbb { R } ^ { 3 } \setminus \overline { { \Omega _ { c } } } . }
\begin{array} { r l r } { \delta \mathcal { E } _ { m } } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \left( P _ { m } ^ { 2 } ( n T + \delta t _ { n , 2 } ) + X _ { m } ^ { 2 } ( n T + \delta t _ { n , 2 } ) \right) } \\ & { - } & { \frac { 1 } { 2 } \left( P _ { m } ^ { 2 } ( n T - \delta t _ { n , 1 } ) + X _ { m } ^ { 2 } ( n T - \delta t _ { n , 1 } ) \right) } \\ & { = } & { g _ { m } \int _ { n T - \delta t _ { n , 2 } } ^ { n T + \delta t _ { n , 1 } } d t | a ( t ) | ^ { 2 } P _ { m } ( t ) } \end{array}
\mathbf { z } ^ { * } I \mathbf { z } = { \left[ \begin{array} { l l } { { \overline { { a } } } } & { { \overline { { b } } } } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { a } \\ { b } \end{array} \right] } = { \overline { { a } } } a + { \overline { { b } } } b = | a | ^ { 2 } + | b | ^ { 2 } .
\varepsilon _ { c r } \left( t \right) = \varepsilon _ { c r } ^ { \left( \mathrm { N P } \right) } \left( t \right) = \frac { 1 } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { \rho ^ { 1 + \beta + \nu } } \frac { K \left( \rho \right) } { \left\vert b _ { 1 } + b _ { 2 } \rho ^ { \alpha + \beta } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \left( \alpha + \beta \right) \pi } \right\vert ^ { 2 } } \left( 1 - \mathrm { e } ^ { - \rho t } \right) \mathrm { d } \rho ,
U \simeq \left( \begin{array} { c c c c } { { 0 } } & { { 0 } } & { { \cos \vartheta _ { \mathrm { s u n } } } } & { { \sin \vartheta _ { \mathrm { s u n } } } } \\ { { \cos \vartheta _ { \mathrm { a t m } } } } & { { \sin \vartheta _ { \mathrm { a t m } } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { - \sin \vartheta _ { \mathrm { a t m } } } } & { { \cos \vartheta _ { \mathrm { a t m } } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { - \sin \vartheta _ { \mathrm { s u n } } } } & { { \cos \vartheta _ { \mathrm { s u n } } } } \end{array} \right)
M _ { x } = - q _ { 0 } \pi ^ { 2 } a ^ { 2 } \sum _ { m = 1 , 3 , 5 , . . . } ^ { \infty } m ^ { 2 } \left( \left( \left( \nu - 1 \right) A _ { m } + 2 \nu B _ { m } \right) \cosh { \frac { m \pi y } { a } } + \left( \nu - 1 \right) B _ { m } { \frac { m \pi y } { a } } \sinh { \frac { m \pi y } { a } } - G _ { m } \right) \sin { \frac { m \pi x } { a } }
\frac { 1 } { 2 } \tilde { g } _ { a b } ( \hat { \bf v } ^ { i } \cdot { \bf K } ^ { a } ) ( \hat { \bf v } ^ { i } \cdot { \bf K } ^ { b } ) = \frac { 2 \pi ^ { 2 } } { 3 e ^ { 2 } } \hat { \bf v } ^ { i } \cdot \hat { \bf v } ^ { i } \frac { r } { 1 + 2 \mu r }
A _ { D ^ { 0 } \eta } ^ { f } = { \frac { G _ { F } } { \sqrt 2 } } V _ { c b } V _ { u d } ^ { * } a _ { 2 } ( m _ { B } ^ { 2 } - m _ { \eta } ^ { 2 } ) f _ { D } F _ { 0 } ^ { B \eta } ( m _ { D } ^ { 2 } ) ,
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { f _ { \mathrm { i n j } } ( v _ { \parallel } , v _ { \perp } ) \propto \left| v _ { \parallel } \right| \exp \left( - \frac { m v ^ { 2 } } { 2 T } \right) , \, \, \mathrm { f o r } \, \, v _ { \parallel } > 0 } \\ { f _ { \mathrm { i n j } } ( v _ { \parallel } , v _ { \perp } ) = 0 \, \, \mathrm { f o r } \, \, v _ { \parallel } \le 0 , } \end{array} \right. } \end{array}
\left[ \begin{array} { l } { V _ { M 1 } } \\ { I _ { 1 } } \end{array} \right] = \mathbf { F ^ { \prime } } \mathbf { T } \mathbf { F ^ { \prime - 1 } } \left[ \begin{array} { l } { V _ { M 0 } } \\ { V _ { 0 } Y } \end{array} \right]