harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\left( \frac { d \hat { R } } { d \hat { t } } \right) _ { J A 2 } = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 \, , } & { \mathrm { i f ~ } \hat { t } \le \hat { t } _ { b a l } , } \\ { \left( \frac { a } { 2 } \right) ^ { 2 } \left[ 1 - \frac { 1 2 8 } { a ^ { 2 } \mathrm { W e } } \right] \frac { \hat { t } _ { b a l } } { 2 } , } & { \mathrm { i f ~ } \hat { t } > \hat { t } _ { b a l } , } \end{array} \right.
\hat { \rho } ( \mathrm { \bf ~ r } ) | \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } \rangle = c o n s t \, \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } ) \hat { \psi } ( \mathrm { \bf ~ r } ) \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } ) | 0 \rangle = c o n s t \, \delta ( \mathrm { \bf ~ r } - \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } ) \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } ) | 0 \rangle = \delta ( \mathrm { \bf ~ r } - \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } ) | \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } \rangle
\left( \begin{array} { l l } { { \Gamma ^ { \phi _ { P } ^ { 0 } 1 1 } ( p ) } } & { { \Gamma ^ { \phi _ { P } ^ { 0 } 1 2 } ( p ) } } \\ { { \Gamma ^ { \phi _ { P } ^ { 0 } 2 1 } ( p ) } } & { { \Gamma ^ { \phi _ { P } ^ { 0 } 2 2 } ( p ) } } \end{array} \right) = M _ { P } ^ { - 1 } \left( \begin{array} { l l } { { \Gamma _ { R } ^ { \phi _ { P } ^ { 0 } } ( p ) } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \Gamma _ { R } ^ { \phi _ { P } ^ { 0 } * } ( p ) } } \end{array} \right) M _ { P } ^ { - 1 }
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac { C _ { F B } ( P _ { \delta _ { n } } ( \epsilon ) ) } { \delta _ { n } } } & { = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac { - \log x ( \delta _ { n } ) } { \delta _ { n } } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { \delta _ { n } \to 0 ^ { + } } - \frac { x ^ { \prime } ( \delta _ { n } ) } { x ( \delta _ { n } ) } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { \delta _ { n } \to 0 ^ { + } } - x ^ { \prime } ( \delta _ { n } ) , } \end{array}
E = \left( { \frac { a _ { 1 } \, a _ { 2 } } { 2 \pi L _ { B } } } \right) \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { k \; d k \; } { k ^ { 2 } + k _ { B } ^ { 2 } } } { \mathcal { J } } _ { 0 } \left( k r _ { B 1 } \right) { \mathcal { J } } _ { 0 } \left( k r _ { B 2 } \right) { \mathcal { J } } _ { 0 } \left( k r _ { 1 2 } \right) = \left( { \frac { 2 e ^ { 2 } } { L _ { B } } } \right) \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { k \; d k \; } { k ^ { 2 } + k _ { B } ^ { 2 } r _ { B } ^ { 2 } } } { \mathcal { J } } _ { 0 } ^ { 2 } \left( k \right) { \mathcal { J } } _ { 0 } \left( k { \frac { r _ { 1 2 } } { r _ { B } } } \right)
\begin{array} { r l } { M ^ { ( n ) } = } & { \frac { 2 \pi } { n _ { \varphi } } \left( \frac { 1 } { 2 5 2 0 } \cos \left( \frac { 2 \pi } { n _ { \varphi } } 3 n \right) + \frac { 1 } { 2 1 } \cos \left( \frac { 2 \pi } { n _ { \varphi } } 2 n \right) \right. } \\ & { \left. + \frac { 3 9 7 } { 8 4 } \cos \left( \frac { 2 \pi } { n _ { \varphi } } n \right) + \frac { 1 5 1 } { 3 1 5 } \right) } \end{array}
{ \boldsymbol { \chi } } _ { \mathrm { A } } ( \omega ) = \left[ \begin{array} { l l l l } { { \boldsymbol { \chi } } _ { \mathrm { A } _ { 1 } } ( \omega ) } & { 0 } & { \dots } & { 0 } \\ { 0 } & { { \boldsymbol { \chi } } _ { \mathrm { A } _ { 2 } } ( \omega ) } & { \dots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { \dots } & { { \boldsymbol { \chi } } _ { \mathrm { A } _ { N _ { A } } } ( \omega ) } \end{array} \right] .
n _ { f } \, { \frac { 2 \pi \, ( N - 1 ) \, \Gamma ( { \frac { 3 } { 2 } } ) } { N \Gamma ( { \frac { N } { 2 } } ) } } \; \alpha _ { s } ^ { 2 } \mu ^ { 4 \epsilon } \; \left( { \frac { m _ { c } ^ { 2 } } { 4 \pi } } \right) ^ { - \epsilon } \; \xi ^ { \dagger } \mathrm { \boldmath ~ \ s i g m a ~ } T ^ { a } \eta ^ { \prime } \cdot \eta ^ { \dagger } \mathrm { \boldmath ~ \ s i g m a ~ } T ^ { a } \xi \; .
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { b } } & { \; = \frac { 1 } { 2 } ( \partial _ { i } \varphi ) ( \partial _ { i } \varphi ) + i \bar { \psi } ( \gamma ^ { t } \partial _ { t } + \gamma ^ { i } \partial _ { i } ) \psi - g \bar { \psi } \psi \varphi } \\ & { - \frac { 1 } { 2 } m ^ { 2 } \varphi ^ { 2 } + i B \bar { \psi } ( \gamma ^ { t } \partial _ { t } + \gamma ^ { i } \partial _ { i } ) \psi + C g \bar { \psi } \psi \varphi } \end{array}
2 \, N _ { E } + 5 \, N _ { U } - 7 \, N _ { Q } + 3 \left( N _ { D } - N _ { L } \right) - 3 \left( N _ { H _ { 1 } } + N _ { H _ { 2 } } \right) + 2 - 3 2 \, T _ { 0 } - 2 0 \, T _ { 1 } = 0 \ ,
V [ 2 2 ] = V { \left[ \begin{array} { l } { 2 } \\ { 3 } \\ { 1 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 3 } & { 1 } \end{array} \right] } = V ^ { * } [ 5 5 ] = V ^ { * } { \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 3 } \\ { 2 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l l l } { 1 } & { 3 } & { 2 } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l l } { r } & { p } & { s ^ { * } } \\ { p ^ { \prime * } } & { q } & { p ^ { \prime } } \\ { s } & { p ^ { * } } & { r ^ { * } } \end{array} \right] } ,
\Delta _ { 1 , 4 } = \sqrt { \rho _ { k } } \stackrel [ n = 1 ] { N } { \sum } \stackrel [ m _ { 1 } = 1 ] { M } { \sum } a _ { M , m _ { 1 } } ^ { H } \left( \phi _ { k r } ^ { a } , \phi _ { k r } ^ { e } \right) e ^ { - j \varphi _ { m } } \tilde { g } _ { n m _ { 1 } } ^ { H } \stackrel [ m _ { 2 } = 1 ] { M } { \sum } \tilde { g } _ { n m _ { 2 } } e ^ { j \varphi _ { m } } e ^ { j \bar { \varphi _ { m } } }
{ \boldsymbol { \varepsilon } } = { \frac { 1 } { 2 \mu } } { \boldsymbol { \sigma } } - { \frac { \lambda } { 2 \mu ( 3 \lambda + 2 \mu ) } } \operatorname { t r } ( { \boldsymbol { \sigma } } ) \mathbf { I } = { \frac { 1 } { 2 G } } { \boldsymbol { \sigma } } + \left( { \frac { 1 } { 9 K } } - { \frac { 1 } { 6 G } } \right) \operatorname { t r } ( { \boldsymbol { \sigma } } ) \mathbf { I }
\frac { d \sigma ( s , x ) } { d x ~ d \cos { \theta } } = \frac { 2 \alpha } { \pi x } \cdot \frac { ( 1 - x + \frac { x ^ { 2 } } { 2 } ) \sin ^ { 2 } { \theta } } { ( \sin ^ { 2 } { \theta } + \frac { m _ { e } ^ { 2 } } { E ^ { 2 } } \cos ^ { 2 } { \theta } ) ^ { 2 } } \cdot \sigma _ { 0 } ( s ( 1 - x ) ) ,
\begin{array} { r l } & { D ( p ( y _ { t + 1 } | \mathbf { y } _ { t } ^ { m } ) ; p ( y _ { t + 1 } | \mathbf { y } _ { t } ^ { m } , \mathbf { x } _ { t } ^ { m } ) ) } \\ & { = \int p ( y _ { t + 1 } , \mathbf { y } _ { t } ^ { m } , \mathbf { x } _ { t } ^ { m } ) \log \left( \frac { p ( y _ { t + 1 } | \mathbf { y } _ { t } ^ { m } ) } { p ( y _ { t + 1 } | \mathbf { y } _ { t } ^ { m } , \mathbf { x } _ { t } ^ { m } ) } \right) } \\ & { = H ( \mathbf { y } _ { t } ^ { m } , \mathbf { x } _ { t } ^ { m } ) - H ( y _ { t + 1 } , \mathbf { y } _ { t } ^ { m } , \mathbf { x } _ { t } ^ { m } ) + H ( y _ { t + 1 } , \mathbf { y } _ { t } ^ { m } ) - H ( \mathbf { y } _ { t } ^ { m } ) , } \end{array}
g ( \mathbf { R } , \omega ) = \frac { e } { 2 \hbar \omega } \oint _ { \partial V } \mathrm { ~ d ~ } ^ { 2 } \mathbf { s } \; \phi ( \mathbf { s } ) \Big [ \frac { \omega } { c } h _ { z } ( \mathbf { s } ) - q _ { z } \sigma ( \mathbf { s } ) \Big ] ,
\begin{array} { r } { { \cal H } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ( { \bf k } ) \equiv \frac { i } { T _ { 1 } + T _ { 2 } } \ln [ e ^ { - i { \cal H } _ { \mathrm { R } } ( { \bf k } ) T _ { 2 } } e ^ { - i { \cal H } _ { \mathrm { L } } ( { \bf k } ) T _ { 1 } } ] , } \end{array}
G _ { 1 } ( \delta \mathbf { k } ) = 0 , \qquad \begin{array} { r l } & { \mathrm { i f ~ t h e ~ f o r m ~ } \bigl ( ( \mathcal { A } ( \mathbf { k } ) F ( \mathbf { k } ) - \lambda _ { 0 } P ) u , u \bigr ) , \; u \in L _ { 2 } ( \Omega ) , \; | \delta \mathbf { k } | \le \varkappa , } \\ & { \mathrm { i s ~ s i g n - d e f i n i t e . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathbf V } _ { \mathrm { r e t } } ( x , y , z , t ) = } & { - \frac { 1 } { 4 \pi } \int \frac { { \mathbf Z } ( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } , z ^ { \prime } , t ^ { \prime } = t - r / c ) } { r } d V ^ { \prime } , } \\ { { \mathbf V } _ { \mathrm { a d v } } ( x , y , z , t ) = } & { - \frac { 1 } { 4 \pi } \int \frac { { \mathbf Z } ( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } , z ^ { \prime } , t ^ { \prime } = t + r / c ) } { r } d V ^ { \prime } , } \end{array}
\omega _ { 2 } ^ { * } = \frac { \omega _ { 1 } ^ { * } } { 2 } = 0 . 0 7 5 ~ N ~ ~ ~ ~ \Rightarrow ~ ~ ~ ~ \theta _ { 2 } ^ { * } = \arcsin \left( \frac { \omega _ { 2 } ^ { * } } { N } \right) \simeq 0 . 0 7 5 .
E _ { \Delta t _ { j } } = \int _ { - \varepsilon } ^ { \varepsilon } \left( \delta ( z ) - i \Delta t _ { j } \hat { H } _ { C } \right) ^ { [ n ] } \varphi _ { \varepsilon j } ( z ) \mathop { } \! { d { z } } \cdot \int _ { - \varepsilon } ^ { \varepsilon } \hat { H } _ { C } \mathrel { \ast } \left( \delta ( z ) + i \Delta t _ { j } \hat { H } _ { C } \right) ^ { [ n ] } \varphi _ { \varepsilon j } ( z ) \mathop { } \! { d { z } } .
\Delta K ( p _ { 1 j } ^ { 2 } ; m _ { 0 } , M , \epsilon ) = \frac { - i } { 3 2 \pi ^ { 4 } } \frac { 1 } { M ^ { 2 \epsilon } } \left[ \Delta I ( \frac { p _ { 1 2 } ^ { 2 } } { M ^ { 2 } } , \frac { m _ { 0 } } { M } , \epsilon ) + \Delta I ( \frac { p _ { 1 3 } ^ { 2 } } { M ^ { 2 } } , \frac { m _ { 0 } } { M } , \epsilon ) + \Delta I ( \frac { p _ { 1 4 } ^ { 2 } } { M ^ { 2 } } , \frac { m _ { 0 } } { M } , \epsilon ) \right] .
\epsilon _ { i j } \; = \; { \frac { 1 } { 8 \pi } } { \frac { 1 } { \left( Y _ { \nu } Y _ { \nu } ^ { \dagger } \right) _ { i i } } } \mathrm { I m } \left( \left( Y _ { \nu } Y _ { \nu } ^ { \dagger } \right) _ { i j } \right) ^ { 2 } f \left( { \frac { M _ { j } } { M _ { i } } } \right) ,
\begin{array} { r } { L _ { f } \left( x \right) U \left( x , s \right) = a \left( s \right) U \left( x , s \right) \quad , \quad \psi _ { f } \left( x \right) = \sum _ { s } U \left( x , s \right) \, \overline { { \psi } } _ { f } \left( s \right) } \end{array}
S _ { \mathcal { F } , \mathcal { F } } \left( \omega \right) = 2 A C _ { \nu } \int _ { \gamma _ { 0 } } ^ { \gamma _ { \infty } } \mathrm { d } \gamma \, \frac { \gamma ^ { 1 - \nu } } { \omega ^ { 2 } + \gamma ^ { 2 } } = \frac { 2 A C _ { \nu } } { \omega ^ { \nu } } \int _ { \gamma _ { 0 } / \omega } ^ { \gamma _ { \infty } / \omega } \mathrm { d } x \, \frac { x ^ { 1 - \nu } } { 1 + x ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { \{ v \} = } & { \ \{ v _ { \bot } ^ { F } , v _ { \bot } ^ { G } , v _ { \bot } ^ { H } , v _ { \Delta } ^ { I } , v _ { \Delta } ^ { J } , v _ { \Delta } ^ { K } , v _ { \Delta } ^ { L 1 } , v _ { \Delta } ^ { L 2 } , v _ { \Delta } ^ { M 1 } , } \\ & { \ v _ { \Delta } ^ { M 2 } , v _ { \Delta } ^ { N 1 } , v _ { \Delta } ^ { N 2 } \} } \end{array}
I ( \nu ) n ( \nu ) \propto Q ( \nu ) \cdot \mathrm { I m } \int _ { 0 } ^ { \infty } d t \, e ^ { i \nu t } \sum _ { i = x , y , z } \left\langle { \mu } _ { i } ( t ) \cdot { { \mu } _ { i } } ( 0 ) \right\rangle
\begin{array} { r l } & { { \mathbb E } \left[ \Psi ( V _ { t } ) \| A ^ { 1 } ( X _ { t } ) \| { \mathcal H } \left( \frac { M _ { t } - { X _ { t } ^ { 1 } } } { \sqrt { h } \| A ^ { 1 } ( X _ { t } ) \| } \right) \right] \leq } \\ & { \| \Psi \| _ { \infty } \| A \| _ { \infty } \int _ { { \mathbb R } ^ { d + 1 } } { \mathcal H } \left( \frac { m - x ^ { 1 } } { \sqrt { h } \| A ^ { 1 } ( x ^ { 1 } , \tilde { x } ) \| } \right) p _ { V } ( m , x ^ { 1 } , \tilde { x } ; t ) d m ~ d x ^ { 1 } ~ d \tilde { x } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q ( x ) } & { = \left[ \begin{array} { l l l l } { I _ { n } } & { x I _ { n } } & { \cdots } & { x ^ { m } I _ { n } } \end{array} \right] F _ { \tilde { X } } \left[ \begin{array} { l } { I _ { n } } \\ { x I _ { n } } \\ { \vdots } \\ { x ^ { m } I _ { n } } \end{array} \right] } \\ & { = \left[ \begin{array} { l l l l } { I _ { n } } & { x I _ { n } } & { \cdots } & { x ^ { m } I _ { n } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { G _ { 0 } ^ { T } } \\ { \vdots } \\ { G _ { m } ^ { T } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { G _ { 0 } } & { \cdots } & { G _ { m } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { I _ { n } } \\ { x I _ { n } } \\ { \vdots } \\ { x ^ { m } I _ { n } } \end{array} \right] . } \end{array}
\left( \begin{array} { l l l } { g _ { 1 1 } ( p ) } & { \cdots } & { g _ { 1 n } ( p ) } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { g _ { n 1 } ( p ) } & { \cdots } & { g _ { n n } ( p ) } \end{array} \right)
{ R _ { \mu \nu \rho } } ^ { \sigma } = \partial _ { \nu } { \Gamma ^ { \sigma } } _ { \mu \rho } - \partial _ { \mu } { \Gamma ^ { \sigma } } _ { \nu \rho } + { \Gamma ^ { \alpha } } _ { \mu \rho } { \Gamma ^ { \sigma } } _ { \alpha \nu } - { \Gamma ^ { \alpha } } _ { \nu \rho } { \Gamma ^ { \sigma } } _ { \alpha \mu } ,
- \dot { n } _ { \mathrm { o } } h _ { \mathrm { o } } = u _ { \mathrm { v } } \frac { \mathrm { d } n _ { \mathrm { v } } } { \mathrm { d } t } + u _ { \mathrm { l } } \frac { \mathrm { d } n _ { \mathrm { l } } } { \mathrm { d } t } + \bigg ( n _ { \mathrm { l } } \frac { \mathrm { d } u _ { \mathrm { l } } } { \mathrm { d } T _ { \mathrm { T } } } + n _ { \mathrm { v } } \frac { \mathrm { d } u _ { \mathrm { v } } } { \mathrm { d } T _ { \mathrm { T } } } \bigg ) \frac { \mathrm { d } T _ { \mathrm { T } } } { \mathrm { d } t }
\begin{array} { r } { V ^ { \mathrm { S C } } ( \mathbf { x } ) = \sum _ { j } \frac { A _ { 0 } ^ { 0 } } { \sqrt { \varepsilon _ { \mathrm { a v g } } \left| \frac { \partial S _ { j } } { \partial \mathbf { x } } \right| } } \frac { 1 } { \sqrt { \left| J _ { j } ( \mathbf { x } ) \right| } } e ^ { - i \frac { \pi } { 2 } \mu _ { j } } e ^ { \frac { i } { \hbar } S _ { j } ( \mathbf { x } ) } , } \end{array}
F _ { \mathrm { ~ D ~ } } = \int _ { } ^ { } \mathrm { ~ d ~ } F _ { \mathrm { ~ D ~ } } = \int _ { } ^ { } ( - P \mathrm { ~ d ~ } A \mathrm { ~ c ~ o ~ s ~ } \theta + \tau _ { \mathrm { ~ w ~ } } \mathrm { ~ d ~ } A \mathrm { ~ s ~ i ~ n ~ } \theta ) .
F _ { X _ { 1 } , \ldots , X _ { m } , Y _ { 1 } , \ldots , Y _ { n } } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { m } , y _ { 1 } , \ldots , y _ { n } ) = F _ { X _ { 1 } , \ldots , X _ { m } } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { m } ) \cdot F _ { Y _ { 1 } , \ldots , Y _ { n } } ( y _ { 1 } , \ldots , y _ { n } ) \quad { \mathrm { f o r ~ a l l ~ } } x _ { 1 } , \ldots , x _ { m } , y _ { 1 } , \ldots , y _ { n }
\left( \begin{array} { c } { { \xi _ { 1 } } } \\ { { \xi _ { 2 } } } \end{array} \right) = \frac { - 1 } { J } \left( \begin{array} { c c } { { - \frac { p _ { 2 } \cdot K } { m _ { 2 } } } } & { { \frac { p _ { 2 } \cdot Q } { m _ { 2 } } } } \\ { { - \frac { p _ { 1 } \cdot K } { m _ { 1 } } } } & { { \frac { p _ { 1 } \cdot Q } { m _ { 1 } } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { X _ { 0 } \cdot Q } } \\ { { X _ { 0 } \cdot K } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { \Sigma _ { e , g ^ { \prime } } ^ { 1 } ( \mathbf x , \mathbf y ) } & { { } = \frac { 1 } { n _ { 0 } } ( L _ { g ^ { \prime } } \mathbf { x } ) ^ { T } \, \mathbf { y } } \\ { \Theta _ { g , g ^ { \prime } } ^ { 1 } ( \mathbf x , \mathbf y ) } & { { } = \Sigma _ { g , g ^ { \prime } } ^ { 1 } ( \mathbf x , \mathbf y ) = \Sigma _ { e , g ^ { \prime } g ^ { - 1 } } ^ { 1 } ( \mathbf x , \mathbf y ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { V } } & { { } \supset V _ { \mu } \bar { f } \left( g _ { f } ^ { V } \gamma ^ { \mu } + a _ { f } ^ { V } \gamma ^ { \mu } \gamma ^ { 5 } \right) f } \\ { \mathcal { L } _ { S } } & { { } \supset \bar { f } \left( g _ { f } ^ { S } + \gamma _ { 5 } a _ { f } ^ { S } \right) f \phi , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \eta _ { e } } & { { } = \sqrt { 1 - \frac { n _ { e } } { n _ { c r } } } , } \\ { n _ { c r } } & { { } = m _ { e } \epsilon _ { 0 } \left( \frac { 2 \pi c _ { 0 } } { e \lambda _ { p r } } \right) ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \varepsilon } _ { S } + b _ { \varepsilon } \gamma ^ { 2 } } & { { } = \frac { \varepsilon + b _ { \varepsilon } \gamma ^ { 2 } } { 2 } - \left( 1 + \frac { \theta } { 2 } \right) \left\vert \frac { \varepsilon + b _ { \varepsilon } \gamma ^ { 2 } } { 2 } \right\vert } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \nu - \frac { 2 p ( n - 2 ) } { d _ { \operatorname* { m a x } } + d _ { \operatorname* { m i n } } } \right| } & { \leq \frac { 2 } { d _ { \operatorname* { m a x } } + d _ { \operatorname* { m i n } } } \cdot \sqrt { \frac { n \log n } { p } } + \frac { d _ { \operatorname* { m a x } } } { d _ { \operatorname* { m i n } } } \cdot \frac { d _ { \operatorname* { m a x } } - d _ { \operatorname* { m i n } } } { d _ { \operatorname* { m a x } } + d _ { \operatorname* { m i n } } } } \\ & { \leq \frac { 1 } { p ( n - 2 ) ( n - 1 ) - \sqrt { \frac { n \log n } { p } } } \sqrt { \frac { n \log n } { p } } \left( 1 + \frac { d _ { \operatorname* { m a x } } } { d _ { \operatorname* { m i n } } } \right) \le C \sqrt { \frac { \log n } { n ^ { 3 } } } p ^ { - 3 / 2 } , } \end{array}
L ( x ) = { \frac { \displaystyle \sum _ { j = 0 } ^ { 2 } { \frac { w _ { j } } { x - x _ { j } } } y _ { j } } { \displaystyle \sum _ { j = 0 } ^ { 2 } { \frac { w _ { j } } { x - x _ { j } } } } } = { \frac { \displaystyle { \frac { \frac { 1 } { 2 } } { x - 1 } } + { \frac { - 4 } { x - 2 } } + { \frac { \frac { 9 } { 2 } } { x - 3 } } } { \displaystyle { \frac { \frac { 1 } { 2 } } { x - 1 } } + { \frac { - 1 } { x - 2 } } + { \frac { \frac { 1 } { 2 } } { x - 3 } } } } .
\small \begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { 1 \le t \le T } \mathbb { E } \left\| \nabla f ( \overline { { \mathbf { x } ^ { t } } } ) \right\| ^ { 2 } = } & { \mathcal { O } \Big ( \frac { ( f ( \overline { { { \bf x } ^ { 1 } } } ) - f ^ { * } ) + \sigma _ { l } ^ { 2 } } { \sqrt { K T } } + \frac { K ( \beta ^ { 2 } + \sigma _ { l } ^ { 2 } ) } { T } } \\ & { + \frac { L ^ { 2 } } { K ^ { 1 / 2 } T ^ { 3 / 2 } } + \frac { \beta ^ { 2 } + \sigma _ { l } ^ { 2 } } { K ^ { 1 / 2 } T ^ { 3 / 2 } ( 1 - \lambda ) ^ { 2 } } \Big ) . } \end{array}
p ( \boldsymbol { B } _ { \oplus } ^ { * } | \boldsymbol { B } _ { \oplus } , \Omega _ { \oplus } ) \propto p ( \boldsymbol { B } _ { \oplus } | \boldsymbol { B } _ { \oplus } ^ { * } , \Omega _ { \oplus } ) \: p ( \boldsymbol { B } _ { \oplus } ^ { * } | \Omega _ { \oplus } ) ,
\begin{array} { r l } { U = } & { { } 1 - \frac { \langle m ^ { 4 } \rangle } { 3 \, \langle m ^ { 2 } \rangle ^ { 2 } } , } \\ { \chi = } & { { } N \left( \langle m ^ { 2 } \rangle - \langle m \rangle ^ { 2 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( 1 + \beta ) \mathbf { K } _ { G } \hat { \mathbf { v } } _ { 0 } \mathrm { e } ^ { i \alpha 2 j } - \mathbf { K } _ { G } \hat { \mathbf { v } } _ { 1 } \mathrm { e } ^ { i \alpha ( 2 j + 1 ) } - \beta \mathbf { K } _ { G } \hat { \mathbf { v } } _ { 1 } \mathrm { e } ^ { i \alpha ( 2 j - 1 ) } - \omega ^ { 2 } \mathbf { M } _ { \mathrm { e f f } } ( \omega ) \hat { \mathbf { v } } _ { 0 } \mathrm { e } ^ { i \alpha 2 j } } & { = \mathbf { 0 } \, , } \\ { ( 1 + \beta ) \mathbf { K } _ { G } \hat { \mathbf { v } } _ { 1 } \mathrm { e } ^ { i \alpha ( 2 j + 1 ) } - \beta \mathbf { K } _ { G } \hat { \mathbf { v } } _ { 0 } \mathrm { e } ^ { i \alpha ( 2 j + 2 ) } - \mathbf { K } _ { G } \hat { \mathbf { v } } _ { 0 } \mathrm { e } ^ { i \alpha 2 j } - \omega ^ { 2 } \mathbf { M } _ { \mathrm { e f f } } ( \omega ) \hat { \mathbf { v } } _ { 1 } \mathrm { e } ^ { i \alpha ( 2 j + 1 ) } } & { = \mathbf { 0 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { | g _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ t ~ e ~ n ~ d ~ } } ( x ) - g _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ t ~ e ~ n ~ d ~ } } ^ { N } ( x ) | \leq \frac { K \ln \frac { N } { 2 } } { \frac { N } { 2 } } , \forall x \in \mathbb { R } , } \end{array}
\left( \frac { k _ { n } ^ { ( \ell ) } - M _ { T _ { n } } } { 2 ^ { j _ { n } ^ { ( \ell ) } } } , \frac { k _ { n } ^ { ( \ell ) } + 1 } { 2 ^ { j _ { n } ^ { ( \ell ) } } } \right) \cap \left( \frac { k _ { n } ^ { ( \ell ^ { \prime } ) } - M _ { T _ { n } } } { 2 ^ { j _ { n } ^ { ( \ell ^ { \prime } ) } } } , \frac { k _ { n } ^ { ( \ell ^ { \prime } ) } + 1 } { 2 ^ { j _ { n } ^ { ( \ell ^ { \prime } ) } } } \right) = \emptyset .
\rho _ { \mathrm { s s } } ( \phi ) = \frac { 1 } { 2 \pi } \frac { \sqrt { ( F + h f _ { \mathrm { a v e } } ) ^ { 2 } - v ^ { 2 } } } { F + h f _ { \mathrm { a v e } } - v \sin ( \phi + \delta ) }
{ \begin{array} { r l } { \langle v | w \rangle } & { = \langle v | \left( \sum _ { i \in \mathbb { N } } | e _ { i } \rangle \langle e _ { i } | \right) | w \rangle } \\ & { = \langle v | \left( \sum _ { i \in \mathbb { N } } | e _ { i } \rangle \langle e _ { i } | \right) \left( \sum _ { j \in \mathbb { N } } | e _ { j } \rangle \langle e _ { j } | \right) | w \rangle } \\ & { = \langle v | e _ { i } \rangle \langle e _ { i } | e _ { j } \rangle \langle e _ { j } | w \rangle \, , } \end{array} }
\tilde { L } _ { 0 } = \pi \sum _ { n } ( \omega _ { n } - n ) ^ { 2 } \sum _ { R = 1 } ^ { 2 } A _ { n } ^ { R } \tilde { A } _ { - n } ^ { R } - \frac { \pi } { 2 } m ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } .
\begin{array} { r } { \gamma \doteq \left\{ \begin{array} { l l } { 2 ^ { n ( \epsilon ^ { * } - \epsilon ^ { \prime } ) } \quad \to 0 , } & { \mathrm { i f ~ } \epsilon ^ { \prime } > \epsilon ^ { * } } \\ { 2 ^ { n \lambda ( \epsilon ^ { \prime } , \alpha _ { m a x } ) } \, \to \infty , } & { \mathrm { i f ~ } \epsilon ^ { \prime } < \epsilon ^ { * } } \end{array} \right. , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ensuremath { \boldsymbol { P } } _ { i } ^ { n + 1 } } & { { } = \ensuremath { \boldsymbol { P } } ^ { n } + \beta \, \ensuremath { \boldsymbol { A } } ( \ensuremath { \boldsymbol { X } } ^ { n } + \alpha \ensuremath { \boldsymbol { P } } ^ { n } ) } \\ { \ensuremath { \boldsymbol { X } } _ { i } ^ { n + 1 } } & { { } = \ensuremath { \boldsymbol { X } } _ { i } ^ { n } + \alpha \ensuremath { \boldsymbol { P } } _ { i } ^ { n } + \gamma \left( \ensuremath { \boldsymbol { P } } _ { i } ^ { n } + \beta \, \ensuremath { \boldsymbol { A } } ( \ensuremath { \boldsymbol { X } } _ { i } ^ { n } + \alpha \ensuremath { \boldsymbol { P } } _ { i } ^ { n } ) \right) . } \end{array}
\phi _ { \mathrm { i n } } ^ { ( n ) } ( \mathbf { k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { i n } } ) = \arg \left[ \Tilde { \psi } _ { \mathrm { C L A S S } } ^ { ( n ) } ( \Delta \mathbf { k } _ { \parallel } ) \right] - \arg \left[ \Tilde { R } _ { \mathrm { i n } } ^ { ( n ) } ( \Delta \mathbf { k } _ { \parallel } , \mathbf { k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { i n } } ) \right]
\small \begin{array} { r l } { \mathrm { C I } _ { A } ( \tau ) } & { = \left( \widehat { \mathrm { Q } } _ { A } - { z _ { \alpha / 2 } } \cdot \sqrt { \widehat { \mathrm { V } } _ { A } ( \tau ) } , \, \, \widehat { \mathrm { Q } } _ { A } + { z _ { \alpha / 2 } } \cdot \sqrt { \widehat { \mathrm { V } } _ { A } ( \tau ) } \right) , } \\ { \mathrm { C I } _ { \Sigma } ( \tau ) } & { = \left( \widehat { \mathrm { Q } } _ { \Sigma } - { z _ { \alpha / 2 } } \cdot \sqrt { \widehat { \mathrm { V } } _ { \Sigma } ( \tau ) } , \, \, \widehat { \mathrm { Q } } _ { \Sigma } + { z _ { \alpha / 2 } } \cdot \sqrt { \widehat { \mathrm { V } } _ { \Sigma } ( \tau ) } \right) . } \end{array}
\exp { [ T ] } ( a _ { 1 } ^ { \dagger } ) ^ { M } | 0 \rangle = \prod _ { j = 2 } ^ { r } \exp ( \xi _ { j } X _ { ( - 1 , j ) } ) \prod _ { j = 2 } ^ { r } \exp ( \xi _ { - j } X _ { ( - 1 , - j ) } ) ( a _ { 1 } ^ { \dagger } ) ^ { M } | 0 \rangle .
\Im E ( R = 2 \pi L k + c ) = - 1 6 \pi ^ { 2 } G _ { \mathrm { N } } D ^ { 2 } L \int _ { 0 } ^ { c } d r \int _ { 0 } ^ { r } d \ell \ \ln { \frac { \Bigl | \sin { \frac { r + \ell } { 2 L } } \Bigr | } { \sin { \frac { r - \ell } { 2 L } } } } , \quad 0 \le c < 2 \pi L
\theta _ { 4 } \left( 0 \left| \tau \right. \right) = \sqrt { \frac { i } { \tau } } \theta _ { 2 } \left( 0 \left| - \frac { 1 } { \tau } \right. \right) , \quad \theta _ { 3 } \left( 0 \left| \tau \right. \right) = \sqrt { \frac { i } { \tau } } \theta _ { 3 } \left( 0 \left| - \frac { 1 } { \tau } \right. \right)