harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
( \partial _ { \sigma _ { c } } ^ { 2 } - \partial _ { \tau } ^ { 2 } ) \delta x _ { \parallel } = - \frac { 2 a ^ { 4 } b ^ { 2 } } { x ^ { 2 } } \delta x _ { \parallel } = - \frac { 2 a ^ { 2 } } { \cosh ^ { 2 } ( a \sigma _ { c } ) } \delta x _ { \parallel } .
\begin{array} { r l } { P ( X _ { 1 } = 1 \mid d o ( X _ { i } = 1 ) ) } & { = \sum _ { x = 0 , 1 } P ( X _ { 1 } = 1 \mid X _ { i } = 1 , X _ { 2 } = x ) P ( X _ { 2 } = x ) } \\ & { = 0 . 5 ( P ( X _ { 1 } = 1 \mid X _ { i } = 1 , X _ { 2 } = 0 ) + P ( X _ { 1 } = 1 \mid X _ { i } = 1 , X _ { 2 } = 1 ) } \\ & { = 0 . 5 \left( \frac { P ( X _ { 1 } = 1 , X _ { i } = 1 , X _ { 2 } = 0 ) } { P ( X _ { i } = 1 , X _ { 2 } = 0 ) } + \frac { P ( X _ { 1 } = 1 , X _ { i } = 1 , X _ { 2 } = 1 ) } { P ( X _ { i } = 1 , X _ { 2 } = 1 ) } \right) } \\ & { = 0 . 5 \left( \frac { ( 0 . 5 + 4 \varepsilon ) ( 0 . 5 - \varepsilon ) } { ( 0 . 5 + 4 \varepsilon ) ( 0 . 5 - \varepsilon ) + ( 0 . 5 - 4 \varepsilon ) ( 0 . 5 + \varepsilon ) } + \frac { ( 0 . 5 + 4 \varepsilon ) ( 0 . 5 + \varepsilon ) } { ( 0 . 5 + 4 \varepsilon ) ( 0 . 5 + \varepsilon ) + ( 0 . 5 - 4 \varepsilon ) ( 0 . 5 - \varepsilon ) } \right) } \\ & { = 0 . 5 \left( \frac { q ( 0 . 5 - \varepsilon ) } { q ( 0 . 5 - \varepsilon ) + ( 1 - q ) ( 0 . 5 + \varepsilon ) } + \frac { q ( 0 . 5 + \varepsilon ) } { q ( 0 . 5 + \varepsilon ) + ( 1 - q ) ( 0 . 5 - \varepsilon ) } \right) } \\ & { = 0 . 5 \left( \frac { q ( 0 . 5 - \varepsilon ) } { 0 . 5 - ( 2 q - 1 ) \varepsilon } + \frac { q ( 0 . 5 + \varepsilon ) } { 0 . 5 + ( 2 q - 1 ) \varepsilon } \right) } \\ & { = q \left( \frac { 0 . 5 ^ { 2 } - ( 2 q - 1 ) \varepsilon ^ { 2 } } { 0 . 5 ^ { 2 } - ( 2 q - 1 ) ^ { 2 } \varepsilon ^ { 2 } } \right) \le q = 0 . 5 + 4 \varepsilon . } \end{array}
\frac { \partial \psi } { \partial t } = \left( \left( \begin{array} { l l } { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - 1 } } \end{array} \right) \, \frac { \partial } { \partial x } + \left( \begin{array} { l l } { { 0 } } & { { - i } } \\ { { - i } } & { { 0 } } \end{array} \right) \right) \psi \ .
- \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \sigma } \sum _ { i } \sum _ { j } \int \int \frac { \bar { \psi } _ { i , \sigma } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \bar { \psi } _ { j , \sigma } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ^ { \prime } ) \bar { \psi } _ { j , \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \bar { \psi } _ { i , \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ^ { \prime } ) } { | \boldsymbol { \textbf { r } } - \boldsymbol { \textbf { r } } ^ { \prime } | } \, d \boldsymbol { \textbf { r } } \, d \boldsymbol { \textbf { r } } ^ { \prime } = - \sum _ { \sigma } \int \rho _ { \sigma } ^ { \mathrm { H F } } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \boldsymbol { \textbf { r } } \cdot \nabla \bar { v } _ { \mathrm { x } , \sigma } [ \rho _ { \sigma } ^ { \mathrm { H F } } ] ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \, d \boldsymbol { \textbf { r } } \, .
\begin{array} { r l r } { \langle \Delta \theta _ { i } ^ { 2 } \rangle } & { { } = } & { \int _ { t } ^ { t + \tau } d \tilde { t } \int _ { t } ^ { t + \tau } d t ^ { \prime } \langle \dot { \theta } ( \tilde { t } ) \, \dot { \theta } ( t ^ { \prime } ) \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l r } { f ( t ) } & { = } & { f _ { \parallel } ( t ) + f _ { \perp } ( t ) , } \\ { f _ { \parallel } ( t ) } & { = } & { - \biggl \langle Q _ { \parallel } \, \frac { k } { k + \mathcal { H } - \mathcal { E } } \, Q _ { \parallel } \biggr \rangle , } \\ { f _ { \perp } ( t ) } & { = } & { - \biggl \langle \vec { Q } _ { \perp } \, \frac { k } { k + \mathcal { H } - \mathcal { E } } \, \vec { Q } _ { \perp } \biggr \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \ddot { \bf d } ( t ) } & { = } & { \int { ( \rho ^ { \uparrow } + \rho ^ { \downarrow } ) ( - \nabla \mathcal { V } _ { \mathrm { e x t } } - \nabla \mathcal { V } _ { \mathrm { H } } ) \ \mathrm { d } { \bf x } } } \\ & { } & { + \int { \left( - \rho ^ { \uparrow } \nabla \mathcal { V } _ { \mathrm { X C } } ^ { \uparrow } - \rho ^ { \downarrow } \nabla \mathcal { V } _ { \mathrm { X C } } ^ { \downarrow } \right) \ \mathrm { d } { \bf x } } } \\ & { } & { - { \bf E } ( t ) N , } \end{array}
\mathrm { s _ { A } ^ { 2 } \mathrm { z _ { A } \mathrm { \overline { { s } } _ { B } \mathrm { z _ { B } ^ { 2 } ( \mathrm { x _ { A } \mathrm { \overline { { x } } _ { B } - \mathrm { y _ { A } \mathrm { \overline { { y } } _ { B } ) + \mathrm { s _ { A } \mathrm { z _ { A } ^ { 2 } \mathrm { s _ { B } ^ { 2 } \mathrm { \overline { { z } } _ { B } ( \mathrm { x _ { A } \mathrm { \overline { { x } } _ { B } - \mathrm { y _ { A } \mathrm { \overline { { y } } _ { B } ) } } } } } } } } } } } } } } } }
\mathbf { p } = m \mathbf { v } , \quad \mathbf { L } = \sum _ { i = 1 } ^ { n } m _ { i } ( \mathbf { r } _ { i } - \mathbf { R } ) \times { \frac { d } { d t } } ( \mathbf { r } _ { i } - \mathbf { R } ) + \sum _ { i = 1 } ^ { n } m _ { i } \mathbf { R } \times \mathbf { v }
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } \left\| M ^ { k } \right\| _ { F } } \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { M ^ { k } } \\ { ( M ^ { k } ) ^ { T } } & { 0 } \end{array} \right] } & { = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } \left\| M ^ { k } \right\| _ { F } } \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { ( M ^ { k } ) ^ { T } } & { 0 } \end{array} \right] + \frac { 1 } { \sqrt { 2 } \left\| M ^ { k } \right\| _ { F } } \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { M ^ { k } } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right] , } \end{array}
| \psi \rangle = \psi _ { 0 } { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } ( a _ { 0 } ^ { \dagger } ) ^ { 2 } | 0 \rangle + \sum _ { n = 1 } ^ { \Lambda } \psi _ { n } a _ { n } ^ { \dagger } a _ { - n } ^ { \dagger } | 0 \rangle .
K e r ( \phi ^ { ' } ) = ( \left\{ y _ { 0 } \cdot y _ { i } \right\} _ { i = 1 } ^ { s } , \left\{ ( y _ { i } + \sum _ { k = i + 1 } ^ { s } b _ { k , i } y _ { k } ) \cdot ( y _ { j } + \sum _ { l = j + 1 } ^ { s } b _ { l , j } y _ { l } ) \right\} _ { \substack { i , j = 1 \, i \neq j } } ^ { s } , \left\{ ( y _ { i } ) ^ { n } + ( ( - 1 ) ^ { n + 2 } + \# \left\{ j \right\} _ { j \rightarrow i } ) ( y _ { 0 } ) ^ { n } \right\} _ { i = 1 } ^ { s } ) ,
\begin{array} { r l } { \bigoplus _ { i , j = 1 \atop i \neq j } ^ { n } \beta _ { i j } = } & { \left\langle \zeta ^ { - 1 } \Big ( \sum _ { i , j = 1 \atop i \neq j } ^ { n } \zeta ( \mu _ { \beta _ { i j } } ) \Big ) , \tau ^ { - 1 } \Big ( \sum _ { i , j = 1 \atop i \neq j } ^ { n } \tau ( \eta _ { \beta _ { i j } } + \nu _ { \beta _ { i j } } ) \Big ) \right. } \\ & { \quad \left. - \tau ^ { - 1 } \Big ( \sum _ { i , j = 1 \atop i \neq j } ^ { n } \tau ( \nu _ { \beta _ { i j } } ) \Big ) , \tau ^ { - 1 } \Big ( \sum _ { i , j = 1 \atop i \neq j } ^ { n } \tau ( \nu _ { \beta _ { i j } } ) \Big ) \right\rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde { X } \check { u } = } & { \: \widetilde { X } \left( \frac { ( r ^ { 2 } - 1 ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } { w } \widetilde { u } \right) , } \\ { ( r - 1 ) ^ { - 2 \beta } | \widetilde { X } \check { u } | ^ { 2 } \leq } & { \: C | \widetilde { X } \widetilde { u } | ^ { 2 } + C \left| \Lambda _ { m \ell } - m ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } \right| ( r - 1 ) ^ { - 2 + 2 \beta } | \widetilde { u } | ^ { 2 } , } \\ { | \widetilde { X } \widetilde { u } | ^ { 2 } \leq } & { \: C ( r - 1 ) ^ { - 2 \beta } | \widetilde { X } \check { u } | ^ { 2 } + C \left| \Lambda _ { m \ell } - m ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } \right| ( r - 1 ) ^ { - 2 - 2 \beta } | \check { u } | ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { 0 = F ( z ) = \left( \begin{array} { c c } { L ( \widetilde { U } ) + \nabla _ { \widetilde { U } } h ( \widetilde { U } ) ^ { T } \mu + \nabla _ { \widetilde { U } } g ( \widetilde { U } ) ^ { T } \lambda } \\ { - h ( \widetilde { U } ) } \\ { \operatorname* { m i n } ( - g ( \widetilde { U } ) , \lambda ) } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } \frac { \partial c _ { + } } { \partial t } + \nabla \cdot \boldsymbol { N } _ { + } } & { = 0 } & & { \mathrm { i n } \ \Omega _ { \mathrm { S E } } , } \\ { \frac { \partial q } { \partial t } + \nabla \cdot \left( z _ { + } F \boldsymbol { N } _ { + } - \epsilon _ { 0 } \chi \frac { \partial \nabla \Phi } { \partial t } \right) } & { = 0 } & & { \mathrm { i n } \ \Omega _ { \mathrm { S E } } , } \\ { - \nabla \cdot ( \epsilon \nabla \Phi ) } & { = q _ { \mathrm { F } } } & & { \mathrm { i n } \ \Omega _ { \mathrm { S E } } , } \\ { \boldsymbol { N } _ { + } } & { = - D _ { + } \nabla c _ { + } - \frac { \sigma } { z _ { + } F } \nabla \Phi \quad } & & { \mathrm { i n } \ \Omega _ { \mathrm { S E } } . } \end{array}
\begin{array} { l } { { \epsilon _ { K } \approx \frac { { G _ { F } } ^ { 2 } { m _ { W } } ^ { 2 } { f _ { K } } ^ { 2 } B _ { K } m _ { K } } { 1 2 \pi ^ { 2 } \Delta m } \lambda ^ { 2 } \frac { m _ { K } } { m _ { W } } \xi ^ { 2 } } } \\ { { \xi \equiv \frac { m _ { W } } { \Lambda } } } \end{array}
t = \frac { k } { i m ( s i n ( \lambda + \mu ) + 2 m a \, s i n \, \lambda \, s i n \, \mu ) + k ( c o s ( \lambda + \mu ) - 2 a ^ { 2 } m ^ { 2 } s i n \, \lambda \, s i n \, \mu ) + O ( k ^ { 2 } ) }
\widehat { D } _ { 0 } \pi _ { a } + i \varsigma { \frac { \partial E _ { a } } { \partial \phi _ { i } } } \tau _ { i } - i \overline { { { p } } } ^ { \prime } { \frac { \partial \overline { { { J } } } ^ { a } } { \partial \overline { { { \phi } } } _ { i } } } \overline { { { \tau } } } _ { i } + i E _ { a } \beta - i \overline { { { J } } } ^ { a } \overline { { { \gamma } } } = 0
\begin{array} { r l r } { \dot { a } _ { k } ( t ) } & { { } = } & { \frac { i } { \hbar } \sum _ { m = 1 } ^ { N ^ { \prime } } d _ { k m } \ a _ { m } ( t ) \ E ( t ) \ e ^ { i \omega _ { k m } t } , } \\ { \omega _ { k m } } & { { } = } & { \frac { E _ { k } - E _ { m } } { \hbar } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { M S E } _ { 0 } } & { = \frac { 1 } { N _ { 0 } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { 0 } } \left| u \left( 0 , x _ { 0 } ^ { i } \right) - u _ { 0 } ^ { i } \right| ^ { 2 } } \\ { \mathrm { M S E } _ { b } } & { = \frac { 1 } { N _ { b } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { b } } \left( \left| u ^ { i } \left( t _ { b } ^ { i } , . \right) - u _ { b } ^ { i } \right| ^ { 2 } \right. } \\ { \mathrm { M S E } _ { f } } & { = \frac { 1 } { N _ { f } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { f } } \left| f \left( t _ { f } ^ { i } , x _ { f } ^ { i } \right) \right| ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { Z _ { w v } ^ { \mathrm { R P A } } = \sum _ { a n } \frac { z _ { a n } ^ { \mathrm { R P A } } \tilde { g } _ { w n v a } } { \varepsilon _ { a } - \varepsilon _ { n } - \omega } + \sum _ { a n } \frac { \tilde { g } _ { w v n a } z _ { n a } ^ { \mathrm { R P A } } } { \varepsilon _ { a } - \varepsilon _ { n } + \omega } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { B _ { c } ^ { a b } } & { = B _ { \quad c } ^ { a b } ; \quad \sqrt { 2 } B _ { b } ^ { a n } + \sqrt { - 1 } \sigma _ { b } ^ { a } = - \delta _ { b } ^ { a } ; \quad \sqrt { - 1 } \sigma ^ { a b } - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } B _ { n } ^ { a b } = 0 ; } \\ { B _ { a b } ^ { c } } & { = B _ { a b } ^ { \quad c } ; \quad \sqrt { 2 } B _ { a n } ^ { b } - \sqrt { - 1 } \sigma _ { a } ^ { b } = - \delta _ { a } ^ { b } ; \quad \sqrt { - 1 } \sigma _ { a b } + \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } B _ { a b } ^ { n } = 0 ; } \\ { \sqrt { 2 } B _ { b } ^ { n a } } & { - \sqrt { 2 } B _ { n b } ^ { a } - 2 \sqrt { - 1 } \sigma _ { b } ^ { a } = 0 ; \quad B _ { n b } ^ { n } + \sqrt { - 1 } \sigma _ { n b } = 0 ; \quad B _ { n } ^ { n b } - \sqrt { - 1 } \sigma _ { n } ^ { b } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { - \frac { 1 } { \kappa } \frac { \partial ^ { 2 } \Phi } { \partial { t } ^ { 2 } } - \frac { \partial \Phi } { \partial { t } } + = D _ { \mathrm { i n t } } ( \mu _ { s } ) + \Delta - \mathcal { T } \sin { \left( \Phi \right) } } \end{array}
\frac { \partial n } { \partial t } + \frac { \partial \Omega ( \vec { k } , \vec { x } ) } { \partial \vec { k } } \cdot \frac { \partial n ( \vec { k } , \vec { x } ) } { \partial \vec { x } } - \frac { \partial \Omega ( \vec { k } , \vec { x } ) } { \partial \vec { x } } \cdot \frac { \partial n ( \vec { k } , \vec { x } ) } { \partial \vec { k } } = 0 .
\begin{array} { r l } { I _ { \mathrm { S M T } } ( \bf { r } ) \it = } & { { } \left| \sum _ { \omega } e ^ { i \theta ( \omega ) } \sum _ { \bf k _ { \mathrm { o u t } } } e ^ { i \bf k _ { \mathrm { o u t } } \cdot \bf { r } + \it i \phi _ { \mathrm { o u t } } ( \bf k _ { \mathrm { o u t } } ) } \right. } \end{array}
\mathrm { J a } = \frac { \hat { k } _ { 0 } \Delta \hat { T } } { \hat { H } _ { 0 } \hat { L } \hat { p } _ { \mathrm { v , s a t } } } \sqrt { \frac { 2 \pi \hat { R } _ { \mathrm { g } } \hat { T } _ { \mathrm { g } } } { \hat { M } } } , \ \mathrm { B i } = \frac { \hat { H } _ { \mathrm { s o l i d } } \hat { k } _ { 0 } } { \hat { H } _ { 0 } \hat { k } _ { \mathrm { s o l i d } } } ,
\left( \begin{array} { c c } { { A } } & { { B } } \\ { { C } } & { { D } } \end{array} \right) ^ { - 1 } = \left( \begin{array} { c c } { { ( A - B D ^ { - 1 } C ) ^ { - 1 } } } & { { - A ^ { - 1 } B ( D - C A ^ { - 1 } B ) ^ { - 1 } } } \\ { { - D ^ { - 1 } C ( A - B D ^ { - 1 } C ) ^ { - 1 } } } & { { ( D - C A ^ { - 1 } B ) ^ { - 1 } } } \end{array} \right) .
U ( \mathbf { r } , t ) = A _ { 1 } ( \mathbf { r } ) e ^ { i [ \varphi _ { 1 } ( \mathbf { r } ) - \omega t ] } + A _ { 2 } ( \mathbf { r } ) e ^ { i [ \varphi _ { 2 } ( \mathbf { r } ) - \omega t ] } .
z ( \tau ) = \left\{ \begin{array} { l } { { 0 \; , \; \; \; \tau \leq \tau _ { 0 } \; , } } \\ { { v \gamma ( \tau - \tau _ { 0 } ) \; , \; \; \; \tau \geq \tau _ { 0 } \; , } } \end{array} \right.
{ \begin{array} { r l r l } { { \frac { \partial P _ { v } } { \partial u } } - { \frac { \partial P _ { u } } { \partial v } } } & { = { \frac { \partial ( \mathbf { F } \circ { \boldsymbol { \psi } } ) } { \partial u } } \cdot { \frac { \partial { \boldsymbol { \psi } } } { \partial v } } - { \frac { \partial ( \mathbf { F } \circ { \boldsymbol { \psi } } ) } { \partial v } } \cdot { \frac { \partial { \boldsymbol { \psi } } } { \partial u } } } \\ & { = { \frac { \partial { \boldsymbol { \psi } } } { \partial v } } \cdot ( J _ { { \boldsymbol { \psi } } ( u , v ) } \mathbf { F } ) { \frac { \partial { \boldsymbol { \psi } } } { \partial u } } - { \frac { \partial { \boldsymbol { \psi } } } { \partial u } } \cdot ( J _ { { \boldsymbol { \psi } } ( u , v ) } \mathbf { F } ) { \frac { \partial { \boldsymbol { \psi } } } { \partial v } } } & & { { \mathrm { ( c h a i n ~ r u l e ) } } } \\ & { = { \frac { \partial { \boldsymbol { \psi } } } { \partial v } } \cdot \left( J _ { { \boldsymbol { \psi } } ( u , v ) } \mathbf { F } - { ( J _ { { \boldsymbol { \psi } } ( u , v ) } \mathbf { F } ) } ^ { \mathsf { T } } \right) { \frac { \partial { \boldsymbol { \psi } } } { \partial u } } } \end{array} }
\begin{array} { r } { I _ { a b c d } = \sum _ { k = k _ { \mathrm { m i n } } } ^ { k _ { \mathrm { m a x } } } \gamma _ { a b c d } ( k ) \, R _ { H } ^ { k } ( a c , b d ) \, S _ { m _ { a } , - m _ { b } , m _ { b } - m _ { a } } ^ { l _ { a } , l _ { b } , k } \, S _ { m _ { c } , - m _ { d } , m _ { d } - m _ { c } } ^ { l _ { c } , l _ { d } , k } } \end{array}
\int _ { \Omega _ { K _ { \iota } } } u ^ { P } ( \boldsymbol { \xi } ) l ( \boldsymbol { \xi } ) d \boldsymbol { \xi } = \sum _ { \iota = 1 } ^ { 2 ^ { \dim } } \int _ { \Omega _ { K _ { \iota } } } u _ { \iota } ^ { K } ( \boldsymbol { z } ( \boldsymbol { \xi } ) ) l ( \boldsymbol { \xi } ) d \boldsymbol { \xi } .
\begin{array} { r } { \overline { { c } } _ { n } ^ { c o r r } = \frac { \sum _ { w = 1 } ^ { W } \left( \sum _ { p _ { w } = 1 } ^ { P _ { w } } \rho _ { w } V _ { n , p _ { w } } f _ { n , w } \overline { { c } } _ { n , p _ { w } } \right) } { \sum _ { w = 1 } ^ { W } \left( \sum _ { p _ { w } = 1 } ^ { P _ { w } } \rho _ { w } V _ { n , p _ { w } } f _ { n , w } \right) } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { x _ { 1 , t } = 3 . 4 x _ { 1 , t - 1 } ( 1 - x _ { 1 , t - 1 } ^ { 2 } ) \exp { ( - x _ { 1 , t - 1 } ^ { 2 } ) } + 0 . 0 1 w _ { 1 , t } } \\ { x _ { 2 , t } = 3 . 4 x _ { 2 , t - 1 } ( 1 - x _ { 2 , t - 1 } ^ { 2 } ) \exp { ( - x _ { 2 , t - 1 } ^ { 2 } ) } + 0 . 5 x _ { 1 , t - 1 } x _ { 2 , t - 1 } + 0 . 0 1 w _ { 2 , t } } \\ { x _ { 3 , t } = 3 . 4 x _ { 3 , t - 1 } ( 1 - x _ { 3 , t - 1 } ^ { 2 } ) \exp { ( - x _ { 3 , t - 1 } ^ { 2 } ) } + 0 . 3 x _ { 2 , t - 1 } + 0 . 5 x _ { 1 , t - 1 } ^ { 2 } + 0 . 0 1 w _ { 3 , t } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \langle \hat { S } _ { \mathbf { a } } ^ { \dagger } \mathcal { F } ( t ) \rangle } & { = e ^ { - \gamma t / 2 } \left\{ e ^ { \mathrm { i } \Delta \omega _ { \mathbf { a } } t } \left( 1 - \frac { \Gamma _ { 0 } t } { 2 } \right) \langle \hat { S } _ { \mathbf { a } } ^ { \dagger } \rangle + \mathrm { i } t \sum _ { \mathbf { b } \neq \mathbf { a } } h _ { \mathbf { b a } } ^ { ( 2 ) } e ^ { \mathrm { i } \Delta \omega _ { \mathbf { b } } t } \left[ \left( 2 e ^ { - \gamma t } - 1 \right) \langle \hat { S } _ { \mathbf { a } } ^ { \dagger } \hat { S } _ { \mathbf { a } } \hat { S } _ { \mathbf { b } } ^ { \dagger } \rangle - \langle \hat { S } _ { \mathbf { a } } \hat { S } _ { \mathbf { a } } ^ { \dagger } \hat { S } _ { \mathbf { b } } ^ { \dagger } \rangle \right] \right\} } \\ { \langle \hat { S } _ { \mathbf { a } } ^ { \dagger } \hat { S } _ { \mathbf { a } } \hat { S } _ { \mathbf { b } } ^ { \dagger } \mathcal { F } ( t ) \rangle } & { = e ^ { - 3 \gamma t / 2 + \mathrm { i } \Delta \omega _ { \mathbf { b } } t } \langle \hat { S } _ { \mathbf { a } } ^ { \dagger } \hat { S } _ { \mathbf { a } } \hat { S } _ { \mathbf { b } } ^ { \dagger } \rangle } \\ { \langle \hat { S } _ { \mathbf { a } } \hat { S } _ { \mathbf { a } } ^ { \dagger } \hat { S } _ { \mathbf { b } } ^ { \dagger } \mathcal { F } ( t ) \rangle } & { = e ^ { - \gamma t / 2 + \mathrm { i } \Delta \omega _ { \mathbf { b } } t } \left[ \left( 1 - e ^ { - \gamma t } \right) \langle \hat { S } _ { \mathbf { a } } ^ { \dagger } \hat { S } _ { \mathbf { a } } \hat { S } _ { \mathbf { b } } ^ { \dagger } \rangle + \langle \hat { S } _ { \mathbf { a } } \hat { S } _ { \mathbf { a } } ^ { \dagger } \hat { S } _ { \mathbf { b } } ^ { \dagger } \rangle \right) ~ . } \end{array}
\Delta t _ { v _ { z } } = \frac { \partial t ( v _ { z } ) } { \partial v _ { z } } \cdot \Delta v _ { z } = 2 \sqrt { 2 l n ( 2 ) } \cdot \sqrt { \frac { k _ { B } T } { m } } \cdot \frac { m d _ { 1 } } { q e \Delta \varphi }
\frac { \lambda } { 4 \pi } \int d ^ { 2 } z \left\{ \sum _ { \alpha _ { i } > 0 } \left[ E ^ { \alpha _ { i } } ( z ) \overline { { { E } } } ^ { - \alpha _ { i } } ( \bar { z } ) + E ^ { - \alpha _ { i } } ( z ) \overline { { { E } } } ^ { \alpha _ { i } } ( \bar { z } ) \right] + \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } H ^ { i } ( z ) \overline { { { H } } } ^ { i } ( \bar { z } ) \right\} \ .
\begin{array} { r l } { ( \nabla ^ { 3 } f ) _ { p } ( w , u , u ) } & { \leq \frac { \Phi ( l ) } { l \coth l } | d g _ { p } ( w ) | ( ( \nabla ^ { 2 } f ) _ { p } ( u , u ) - 2 d g _ { p } ( u ) ^ { 2 } ) } \\ & { + \frac { 2 ( l - \Phi ( l ) ) } { l \coth l } | d g _ { p } ( u ) | \sqrt { ( \nabla ^ { 2 } f ) _ { p } ( w , w ) - 2 d g _ { p } ( w ) ^ { 2 } } \sqrt { ( \nabla ^ { 2 } f ) _ { p } ( u , u ) - 2 d g _ { p } ( u ) ^ { 2 } } } \\ & { \leq 2 \zeta ( ( \nabla ^ { 2 } f ) _ { p } ( u , u ) - 2 d g _ { p } ( u ) ^ { 2 } ) } \\ & { + 2 \sqrt { ( \nabla ^ { 2 } f ) _ { p } ( w , w ) - 2 d g _ { p } ( w ) ^ { 2 } } \sqrt { ( \nabla ^ { 2 } f ) _ { p } ( u , u ) - 2 d g _ { p } ( u ) ^ { 2 } } , } \end{array}
k ^ { { 3 } } \ { - \ } k ^ { { 2 } } { + } { \left( \frac { H _ { S O T } ^ { D L } } { H _ { K } } \right) } ^ { 2 } { \ } k \ { - \ } { \left( \frac { H _ { S O T } ^ { D L } } { H _ { K } } \right) } ^ { 2 } { { s i n } } ^ { { 2 } } \beta { = 0 }
\begin{array} { r l } { { \cal H } _ { \mathrm { 3 D } } ( { \bf k } ) } & { { } = M ( { \bf k } ) \sigma _ { 0 } \otimes \tau _ { z } \! + \! \lambda _ { z } \sin ( k _ { z } a _ { z } ) \sigma _ { z } \otimes \tau _ { x } \! + \! \lambda _ { | | } \sin ( k _ { x } a _ { | | } ) \sigma _ { x } \otimes \tau _ { x } \! + \! \lambda _ { | | } \sin ( k _ { y } a _ { | | } ) \sigma _ { y } \otimes \tau _ { x } , } \\ { M ( { \bf k } ) } & { { } = m _ { 0 } - 4 t _ { z } \sin ^ { 2 } \frac { k _ { z } a _ { z } } { 2 } - 4 t _ { | | } \left( \sin ^ { 2 } \frac { k _ { x } a _ { | | } } { 2 } + \sin ^ { 2 } \frac { k _ { y } a _ { | | } } { 2 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } v _ { r } } & { = - \frac { 1 } { \rho } \frac { \partial p ^ { \prime } } { \partial r } + \frac { 1 } { \rho } \left[ \frac { 1 } { r } \partial _ { r } ( r \sigma _ { r r } ) + \frac { 1 } { r } \partial _ { \phi } \sigma _ { r \phi } + \partial _ { z } \sigma _ { r z } - \frac { 1 } { r } \sigma _ { \phi \phi } \right] , } \\ { \partial _ { t } v _ { \phi } } & { = - \frac { 1 } { \rho r } \frac { \partial p ^ { \prime } } { \partial \phi } + \frac { 1 } { \rho } \left[ \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \partial _ { r } ( r ^ { 2 } \sigma _ { \phi r } ) + \frac { 1 } { r } \partial _ { \phi } \sigma _ { \phi \phi } + \partial _ { z } \sigma _ { \phi z } + \frac { 1 } { r } ( \sigma _ { r \phi } - \sigma _ { \phi r } ) \right] , } \\ { \partial _ { t } v _ { z } } & { = - \frac { 1 } { \rho } \frac { \partial p ^ { \prime } } { \partial z } + \frac { 1 } { \rho } \left[ \frac { 1 } { r } \partial _ { r } ( r \sigma _ { z r } ) + \frac { 1 } { r } \partial _ { \phi } \sigma _ { z \phi } + \partial _ { z } \sigma _ { z z } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( x ) - f ( y ) \leq - \langle \nabla f ( x ) , y - x \rangle - \frac { \mu } { 2 } \| x - y \| ^ { 2 } } & { \leq \| \nabla f ( x ) \| \| y - x \| - \frac { \mu } { 2 } \| x - y \| ^ { 2 } } \\ & { \leq \operatorname* { m a x } _ { z \in \mathbb { R } } \| \nabla f ( x ) \| z - \frac { \mu } { 2 } z ^ { 2 } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 \mu } \| \nabla f ( x ) \| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \left( i \hbar \frac { 1 } { v _ { 0 } } \partial _ { t } - i \hbar \sigma _ { z } \partial _ { z } + \sigma _ { x } m ^ { * } v _ { 0 } \right) } \\ & { } & { \left( i \hbar \frac { 1 } { v _ { 0 } } \partial _ { t } + i \hbar \sigma _ { z } \partial _ { z } - \sigma _ { x } m ^ { * } v _ { 0 } \right) \psi _ { z } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { l c l } { { \Delta X _ { \pm ( i , j ) } } } & { { = } } & { { X _ { \pm ( i , j ) } \otimes e ^ { - h H _ { j ; n - 1 } / 2 } + e ^ { - h H _ { i ; n - 1 } / 2 } \otimes X _ { \pm ( i , j ) } + } } \\ { { } } & { { } } & { { + ( 1 - e ^ { \pm h } ) \sum _ { k = i + 1 } ^ { j - 1 } ( X _ { \pm ( i , k ) } \otimes X _ { \pm ( k , j ) } ) . } } \end{array}
\begin{array} { c } { \delta H = \dot { q } ^ { n } \delta p _ { n } + \delta \dot { q } ^ { n } p _ { n } - \delta \dot { q } ^ { n } \frac { \partial L } { \partial \dot { q } ^ { n } } - \delta q ^ { n } \frac { \partial L } { \partial q ^ { n } } = } \\ { = \dot { q } ^ { n } \delta p _ { n } - \delta q ^ { n } \frac { \partial L } { \partial q ^ { n } } } \end{array}
\frac { \d ^ { 2 } H _ { 1 } } { \d x ^ { 2 } } ( 0 ) = - C _ { 1 } , \qquad C _ { 1 } : = \frac 1 2 \int _ { 0 } ^ { 1 } x ( x ^ { 3 } - 3 x + 2 ) ( 1 - x ^ { 2 } ) ^ { 1 - n } \, \d x .
\Gamma _ { \mu } ^ { ( 0 ) } = i \, { \frac { g } { \sqrt { 2 } } } [ \gamma _ { \mu } \, P _ { L } ( 1 + F _ { L } ) + \gamma _ { \mu } \, P _ { R } \, F _ { R } + { \frac { p _ { \mu } } { M _ { W } } } ( P _ { L } \, H _ { L } + P _ { R } \, H _ { R } ) ] \, ,
F _ { p } ( R e _ { L } ^ { * } , \chi , \theta ) = \frac { - 2 \pi \mu | \mathbf { U } | L \cos \theta } { \ln \chi } \left( 1 - \frac { A ^ { ( 2 ) } ( R e _ { L } ^ { * } ) - 4 \ln 2 + 3 } { \ln \chi } \right) ^ { - 1 } .
\Gamma ( { \bf r } _ { 1 } , { \bf r } _ { 2 } , { \bf r } _ { 1 } ^ { \prime } , { \bf r } _ { 2 } ^ { \prime } ) = \Gamma ( { \bf r } _ { 1 } + { \bf R } , { \bf r } _ { 2 } + { \bf R } , { \bf r } _ { 1 } ^ { \prime } + { \bf R } , { \bf r } _ { 2 } ^ { \prime } + { \bf R } ) ,