harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \P ( Z _ { 1 } > x _ { 1 } , \ldots , Z _ { d } > x _ { d } ) } & { = \widehat { C } ( \overline { { F } } _ { \alpha } ( x _ { 1 } ) , \ldots , \overline { { F } } _ { \alpha } ( x _ { d } ) ) } \\ & { = \prod _ { i = 1 } ^ { d } \prod _ { | S | = i } \bigwedge _ { j \in S } ( \overline { { F } } _ { \alpha } ( x _ { j } ) ) ^ { \beta } } \\ & { = \prod _ { j = 1 } ^ { d } ( \overline { { F } } _ { \alpha } \left( x _ { ( j ) } ) \right) ^ { 2 ^ { d - j } \beta } = \prod _ { j = 1 } ^ { d } ( \overline { { F } } _ { \alpha } \left( x _ { ( j ) } ) \right) ^ { 2 ^ { - ( j - 1 ) } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { = \int _ { v \in ( 0 , v _ { 0 } ) } \, \frac { \bar { u } ( v ) - \bar { u } ( 0 ) } { \bar { u } ( v _ { 0 } ) - \bar { u } ( 0 ) } \, f _ { r } ( v ; e , r ) \, d v + \int _ { v > v _ { 0 } } \, \frac { \bar { u } ( v ) - \bar { u } ( 0 ) } { \bar { u } ( v _ { 0 } ) - \bar { u } ( 0 ) } \, f _ { r } ( v ; e , r ) \, d v . } \end{array}
\begin{array} { r } { { 1 } u _ { w a l l } = v _ { w a l l } = w _ { w a l l } = 0 } \\ { \left( \frac { \partial p } { \partial \hat { n } } \right) _ { w a l l } = \left( \frac { \partial \tilde { p } } { \partial \hat { n } } \right) _ { w a l l } = 0 } \\ { J _ { w a l l } = J _ { w a l l } = J _ { w a l l } = 0 } \\ { \left( \frac { \partial \Phi } { \partial \hat { n } } \right) _ { w a l l } = 0 } \end{array}
\omega _ { 0 1 1 } = \frac { \pi } { L _ { z } } \sqrt { r ^ { 2 } + 1 } , \qquad \omega _ { 1 1 0 } = \frac { \pi } { L _ { z } } \sqrt { 2 } \, r , \qquad \omega _ { 1 3 0 } = \frac { \pi } { L _ { z } } \sqrt { 1 0 } \, r ,
\begin{array} { r } { H _ { 0 } = \sum _ { j = 1 } ^ { L - 1 } t _ { 1 } | j \rangle \langle j + 1 | + \sum _ { j = 1 } ^ { L - 2 } t _ { 2 } | j \rangle \langle j + 2 | + \mathrm { ~ H ~ . ~ c ~ } . } \end{array}
q ( \Vec { N } ) = \sum _ { \mu } { \Pi } _ { \mu } ( N _ { \mu } ) \left[ 1 - F _ { C D F } ^ { B I N O M } \left( m _ { \mu } , \frac { k } { 2 } , q ( \vec { N } ) \right) \right] , \quad { \Pi } _ { \mu } = \frac { N _ { \mu } } { N } , \quad m _ { \mu } = \left\lceil { \frac { k } { 2 } \frac { { \epsilon } _ { \mu } } { { \Lambda } _ { b } } } \right\rceil \leq \frac { k } { 2 }
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial t } ( \rho u _ { \alpha } ) } & { { } + \frac { \partial \sum _ { \sigma } ( p ^ { \sigma } \delta _ { \alpha \beta } + \rho ^ { \sigma } u _ { \alpha } ^ { \sigma } u _ { \beta } ^ { \sigma } ) } { \partial r _ { \beta } } } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha _ { n _ { 1 } , s } ^ { n } } & { = K _ { \frac { n + s } { 2 } } ( n _ { 1 } , s + 1 ) } \\ & { = ( - 1 ) ^ { \frac { n + s } { 2 } } ( s + 1 ) ! \left( 2 ^ { s + 1 } n _ { 1 } ! ( s + 1 - n _ { 1 } ) ! ( \frac { n + s } { 2 } ) ! ( 1 + \frac { s - n } { 2 } ) ! \right) ^ { - 1 / 2 } } \\ & { \times _ { 2 } F _ { 1 } ( - \frac { n + s } { 2 } , - n _ { 1 } ; - s - 1 ; 2 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { a _ { 0 } ( x ) } & { = \frac { 1 } { 2 } \int _ { - x } ^ { x } K _ { \mathfrak { I } _ { N } } ^ { h } ( x , t ) P _ { 0 } \left( \frac { t } { x } \right) d t = \frac { 1 } { 2 } \int _ { - x } ^ { x } K _ { \mathfrak { I } _ { N } } ^ { h } ( x , t ) d t } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \mathbf { T } _ { \mathfrak { I } _ { N } } ^ { h } [ 1 ] - \frac { 1 } { 2 } = \frac { 1 } { 2 } ( e _ { \mathfrak { I } _ { N } } ^ { h } ( 0 , x ) - 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathrm { d i a m e t e r } } } & { { } { } = { \frac { a b c } { 2 \cdot { \mathrm { a r e a } } } } = { \frac { | A B | | B C | | C A | } { 2 | \Delta A B C | } } } \end{array}
{ \begin{array} { l l l } { \mathbf { x } [ k + 1 ] } & { = } & { e ^ { \mathbf { A } T } \mathbf { x } [ k ] - \left( \int _ { v ( k T ) } ^ { v ( ( k + 1 ) T ) } e ^ { \mathbf { A } v } d v \right) \mathbf { B } \mathbf { u } [ k ] } \\ & { = } & { e ^ { \mathbf { A } T } \mathbf { x } [ k ] - \left( \int _ { T } ^ { 0 } e ^ { \mathbf { A } v } d v \right) \mathbf { B } \mathbf { u } [ k ] } \\ & { = } & { e ^ { \mathbf { A } T } \mathbf { x } [ k ] + \left( \int _ { 0 } ^ { T } e ^ { \mathbf { A } v } d v \right) \mathbf { B } \mathbf { u } [ k ] } \\ & { = } & { e ^ { \mathbf { A } T } \mathbf { x } [ k ] + \mathbf { A } ^ { - 1 } \left( e ^ { \mathbf { A } T } - \mathbf { I } \right) \mathbf { B } \mathbf { u } [ k ] } \end{array} }
J _ { L } [ u ] = \operatorname * { d e t } \left| \! \left| \frac { \delta \left\{ x _ { 0 } \sigma ^ { \prime } - u ( x _ { 0 } ~ e ^ { \sigma } , b ) e ^ { - \sigma } \right\} e ^ { 2 \sigma } } { \delta \sigma } \right| \! \right| \operatorname * { d e t } \left| \! \left| \frac { \delta \sigma } { \delta b } \right| \! \right| .
\begin{array} { r l } { \eta ( N , \Theta ) } & { { } \approx \left( \eta _ { N } ( N _ { 0 } ) + ( N - N _ { 0 } ) \left. \frac { \partial \eta _ { N } } { \partial N } \right| _ { N _ { 0 } } \right) \eta _ { \Theta } ( \Theta ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { P _ { 2 } ( t ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { \hbar ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { t } d \tau \int _ { 0 } ^ { t } d s \ e ^ { \frac { i } { \hbar } \int _ { s } ^ { \tau } d \tau ^ { \prime } ( E _ { 2 } ( \tau ^ { \prime } ) - E _ { 1 } ( \tau ^ { \prime } ) ) } } \end{array}
\begin{array} { r } { c _ { i } \int _ { a } ^ { b } \left[ \frac { r } { n ^ { 2 } + k ^ { 2 } r ^ { 2 } } | D \psi | ^ { 2 } + \frac { | \psi | ^ { 2 } } { r } + \frac { | \psi | ^ { 2 } } { | V - c | ^ { 2 } } \frac { d } { d r } \left( \frac { r D V } { n ^ { 2 } + k ^ { 2 } r ^ { 2 } } \right) ( V - V _ { I } ) \right] d r } \\ { = - \frac { 2 } { \rho k ^ { 2 } } \left( c _ { i } K _ { e } + \frac { D _ { e } } { k } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tilde { H } _ { \lambda } \left[ 1 - u ; q , t \right] } & { = } & { \sum _ { | \mu | = | \lambda | } d _ { \lambda , \mu } \prod _ { i } ( 1 - u ^ { \mu _ { i } } ) , } \\ { \tilde { H } _ { \lambda } \left[ 1 + u ; q , t \right] } & { = } & { \sum _ { | \mu | = | \lambda | } d _ { \lambda , \mu } \prod _ { i } ( 1 + u ^ { \mu _ { i } } ) . } \end{array}
\bar { W } ^ { ( 1 ) } = k _ { 0 } \left( \epsilon _ { 0 } \operatorname { t a n h } ( k _ { 0 } h ) B _ { s , 1 } + 2 \epsilon _ { 0 } ^ { 2 } \operatorname { t a n h } 2 k _ { 0 } h B _ { s , 2 } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } ( \mathbf { k } _ { 0 } \cdot \mathbf { x } - \omega _ { 0 } t + \theta _ { 0 } ) } \right) ,
- \widehat K ( \xi ) = \frac { \pi ^ { \frac d 2 } } { 4 \Gamma ( \frac d 2 + 1 ) } \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \! \! \! s ^ { - 1 } p ( \xi ) e ^ { - \frac { | \xi | ^ { 2 } } { 4 s } } \frac { d s } { s } = p ( \xi ) | \xi | ^ { - 2 } \frac { \pi ^ { \frac d 2 } } { \frac d 2 \Gamma ( \frac d 2 ) } \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \! \! \! e ^ { - u } d u = \nu _ { d } \, p ( \xi ) \, | \xi | ^ { - 2 }
\begin{array} { r l } { \ddot { \lambda } _ { i } } & { + \omega _ { i } ^ { 2 } ( t ) \lambda _ { i } - \frac { \omega _ { i } ^ { 2 } ( 0 ) } { \lambda _ { i } \prod _ { j } \lambda _ { j } } = 0 } \\ { \omega _ { x } ^ { 2 } ( t ) } & { = \omega _ { x } ^ { 2 } ( 0 ) \big ( 1 + f \alpha _ { 2 } \sin ( \omega _ { \mathrm { m o d } } t ) } \\ & { + ( 1 - f ) \alpha _ { 1 } \sin ( \omega _ { \mathrm { m o d } } t + \phi _ { 1 } ) \big ) } \\ { \omega _ { y } ^ { 2 } ( t ) } & { = \omega _ { y } ^ { 2 } ( 0 ) \big ( 1 + \alpha _ { 2 } \sin ( \omega _ { \mathrm { m o d } } t ) \big ) } \\ { \omega _ { z } ^ { 2 } ( t ) } & { = \omega _ { z } ^ { 2 } ( 0 ) \big ( 1 + \alpha _ { 1 } \sin ( \omega _ { \mathrm { m o d } } t + \phi _ { 1 } ) \big ) } \end{array}
\frac { 1 } { ( 2 N + 1 ) \Lambda } \ln t ( \omega ) \stackrel { N \rightarrow \infty } { \rightarrow } i \beta , \ \ \ \ \frac { 1 } { ( 2 N + 1 ) \Lambda } \ln r ( \omega ) \stackrel { N \rightarrow \infty } { \rightarrow } 0 .
\begin{array} { r l } { h _ { \mathrm { ~ I ~ } } [ i ] } & { { } = r _ { \mathrm { ~ I ~ } } [ i ] h _ { \mathrm { ~ L ~ P ~ F ~ } } [ i ] } \\ { h _ { \mathrm { ~ Q ~ } } [ i ] } & { { } = r _ { \mathrm { ~ Q ~ } } [ i ] h _ { \mathrm { ~ L ~ P ~ F ~ } } [ i ] \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \eta _ { 1 } ^ { \ell } = \eta _ { 2 } ^ { \ell } = 0 . 0 5 , \quad \eta _ { 2 Q + 4 } = 0 . 1 5 , } \\ { \eta _ { 3 + 2 i } ^ { \ell } = \eta _ { 2 + 2 i } ^ { \ell } = 0 . 0 5 , \quad i = 1 , \ldots , Q , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \mathrm { V o l u m e } } } & { = \iiint _ { D } f ( x , y , z ) \, d x \, d y \, d z } \\ & { = \iiint _ { D } 1 \, d V } \\ & { = \iiint _ { S } \rho ^ { 2 } \sin \varphi \, d \rho \, d \theta \, d \varphi } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \, d \theta \int _ { 0 } ^ { \pi } \sin \varphi \, d \varphi \int _ { 0 } ^ { R } \rho ^ { 2 } \, d \rho } \\ & { = 2 \pi \int _ { 0 } ^ { \pi } \sin \varphi \, d \varphi \int _ { 0 } ^ { R } \rho ^ { 2 } \, d \rho } \\ & { = 2 \pi \int _ { 0 } ^ { \pi } \sin \varphi { \frac { R ^ { 3 } } { 3 } } \, d \varphi } \\ & { = { \frac { 2 } { 3 } } \pi R ^ { 3 } { \Big [ } - \cos \varphi { \Big ] } _ { 0 } ^ { \pi } = { \frac { 4 } { 3 } } \pi R ^ { 3 } . } \end{array} }
\mathbf { A } ( \mathbf { r } , t ) = { \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi } } \int { \frac { \mathbf { J } ( \mathbf { r } ^ { \prime } , t _ { r } ) } { | \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } | } } \, \mathrm { d } ^ { 3 } \mathbf { r } ^ { \prime } \, .
\mathbf { \bar { h } } _ { e _ { j } } \Theta \bar { \Theta } \mathbf { \bar { h } } _ { r , k } = \left( \stackrel [ m = 1 ] { M } { \sum } a _ { M , m } \left( \phi _ { k r } ^ { a } , \phi _ { k r } ^ { e } \right) e ^ { j \varphi _ { m } } e ^ { j \bar { \varphi _ { m } } } a _ { M , m } \left( \phi _ { e _ { j } r } ^ { a } , \phi _ { e _ { j } r } ^ { e } \right) \right)
\begin{array} { r } { \langle S _ { x } \rangle = \frac { \gamma _ { \mathrm { R b } } \langle S _ { z } \rangle } { 2 \Gamma _ { \mathrm { R b } } } \sum _ { p = - \infty } ^ { \infty } \left( b ^ { + } e ^ { i \omega t } \mathcal { A } _ { p } ^ { + } + b ^ { - } e ^ { - i \omega t } \mathcal { A } _ { p } ^ { - } \right) e ^ { i p ( \omega _ { 0 } t + \theta _ { \mathrm { a c } } ) } + \mathrm { c . c . } . } \end{array}
+ P ( z ) \sum _ { p = 0 } ^ { M } \alpha _ { p } z ^ { p } \left\{ \begin{array} { c } { z ^ { - j } d _ { n } [ j ] \; \; \mathrm { i f } \; \; j \ge 0 \; \& \; p - j \ge 1 } \\ { 0 \; \; \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right\}
( a _ { 3 } ^ { \prime } a _ { 2 } ^ { \prime } a _ { 1 } ^ { \prime } , b _ { 3 } ^ { \prime } b _ { 2 } ^ { \prime } b _ { 1 } ^ { \prime } ) = ( a _ { 2 } a _ { 1 } C , b _ { 2 } b _ { 1 } D )
\begin{array} { r l } { S ( x ) } & { { } = - \cos { ( \phi + \varphi ^ { \prime } - \varphi _ { b } ) } , } \\ { f ( x ) } & { { } = \frac { 1 } { 2 \pi } \frac { e ^ { i n \phi } } { \alpha - \beta \cos { \phi } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \underset { x \in \mathbb { R } } { \operatorname* { s u p } } \left| \hat { F } _ { n , m } ^ { ( j ) } ( x ) - F _ { m } ^ { ( j ) } ( x ) \right| } & { \leq \mathbb { E } \left[ \underset { x \in \mathbb { R } } { \operatorname* { s u p } } \; \left| \beta _ { n , m } ^ { ( j ) } ( x ) \right| \right] + \frac { t } { 3 } \leq C _ { 1 } k ^ { - 1 / 2 } + C _ { 2 } k ^ { - 1 } + \frac { t } { 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { P _ { \perp 1 } } & { \approx } & { \left( \frac { i \gamma e ^ { - t / T _ { 1 } } } { \Gamma - i \Delta \omega } \right) B _ { L } e ^ { i \phi } , } \\ { P _ { \perp 2 } } & { \approx } & { \left( \frac { i \gamma e ^ { - t / T _ { 1 } } } { \Gamma - i \Delta \omega } \right) B _ { R } e ^ { - i \phi } . } \end{array}
P ^ { - 1 } = { \left[ \begin{array} { l l l l } { { \frac { { \mathrm { r i g h t } } - { \mathrm { l e f t } } } { 2 } } } & { 0 } & { 0 } & { { \frac { { \mathrm { l e f t } } + { \mathrm { r i g h t } } } { 2 } } } \\ { 0 } & { { \frac { { \mathrm { t o p } } - { \mathrm { b o t t o m } } } { 2 } } } & { 0 } & { { \frac { { \mathrm { t o p } } + { \mathrm { b o t t o m } } } { 2 } } } \\ { 0 } & { 0 } & { { \frac { { \mathrm { f a r } } - { \mathrm { n e a r } } } { - 2 } } } & { - { \frac { { \mathrm { f a r } } + { \mathrm { n e a r } } } { 2 } } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] }
\begin{array} { r l } { z _ { 0 } } & { = \frac { 2 ( | \bar { u } | + | \bar { v } | ) \Delta t - 2 \Delta x - 2 \Delta t ( | \bar { u } | \cos \beta _ { x } + | \bar { v } | \cos \beta _ { y } ) } { 2 \Delta x } } \\ & { + \mathbb { i } \Delta t \frac { \bar { u } ( 1 + \cos \beta _ { y } ) \sin \beta _ { x } + \bar { v } ( 1 + \cos \beta _ { x } ) \sin \beta _ { y } } { 2 \Delta x } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \varepsilon _ { 1 1 } } & { = { \frac { 1 } { E } } { \big ( } \sigma _ { 1 1 } - \nu ( \sigma _ { 2 2 } + \sigma _ { 3 3 } ) { \big ) } } \\ { \varepsilon _ { 2 2 } } & { = { \frac { 1 } { E } } { \big ( } \sigma _ { 2 2 } - \nu ( \sigma _ { 1 1 } + \sigma _ { 3 3 } ) { \big ) } } \\ { \varepsilon _ { 3 3 } } & { = { \frac { 1 } { E } } { \big ( } \sigma _ { 3 3 } - \nu ( \sigma _ { 1 1 } + \sigma _ { 2 2 } ) { \big ) } } \\ { \varepsilon _ { 1 2 } } & { = { \frac { 1 } { 2 G } } \sigma _ { 1 2 } \, ; \qquad \varepsilon _ { 1 3 } = { \frac { 1 } { 2 G } } \sigma _ { 1 3 } \, ; \qquad \varepsilon _ { 2 3 } = { \frac { 1 } { 2 G } } \sigma _ { 2 3 } } \end{array} }
\delta _ { B } ( f ^ { ( 2 ) } u ^ { 3 } \left[ \psi ^ { 2 } \right] ) + \delta _ { F } ( f ^ { ( 4 ) } u ^ { 2 } \left[ \psi ^ { 4 } \right] ) + u ^ { i } u \epsilon \dot { N } ^ { i ( 2 ) } \left[ \psi ^ { 2 } \right] \psi + \frac { i } { 2 } u ^ { 2 } \psi \dot { M } ^ { ( 2 ) } \left[ \psi ^ { 2 } \right] \epsilon = 0 ~ ,
r ^ { S } = \left( \begin{array} { c c c c } { { r _ { + } ^ { S } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { r _ { + } ^ { S } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { r _ { \chi } ^ { S } } } \end{array} \right) \qquad r ^ { \delta _ { i } } = \left( \begin{array} { c c } { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { r _ { \delta _ { i } } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { f _ { T } ( \Theta ) } & { = \frac { 1 } { T } \sum _ { i = 1 } ^ { T } \| z _ { t } ^ { \top } \Theta - ( 1 + \alpha _ { t } ) c _ { t } \| _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { = \Theta ^ { \top } \left[ \frac { 1 } { T } \sum _ { i = 1 } ^ { T } z _ { t } z _ { t } ^ { \top } \right] \Theta - \left[ \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } 2 ( 1 + \alpha _ { t } ) c _ { t } z _ { t } ^ { \top } \right] \Theta + \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } ( 1 + \alpha _ { t } ) ^ { 2 } c _ { t } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { g _ { 2 } ( J _ { 0 } , M _ { 0 } ) = \frac { 3 M _ { 0 } ^ { 2 } - J _ { 0 } ( J _ { 0 } + 1 ) } { J _ { 0 } ( 2 J _ { 0 } - 1 ) } , \quad J _ { 0 } > \frac { 1 } { 2 } \, , } \end{array}
P \left\{ \underset { h \in \mathcal { H } _ { \sigma } ( L , N , B , F , S ) } { \operatorname* { s u p } } [ R ( h ) - \widehat { R } _ { n } ( h ) ] > \varepsilon \right\} \leq C _ { 3 } \mathcal { N } \left( \mathcal { H } _ { \sigma } ( L , N , B , F , S ) , \frac { \varepsilon } { 4 G } \right) \exp \left( \log \log n - \frac { n ^ { 2 } \varepsilon ^ { 2 } / 4 } { A _ { n } ^ { ' } + B _ { n } ^ { ' } ( n \varepsilon / 2 ) ^ { \nu } } \right) .
\begin{array} { r l r } { \mathrm { \bf ~ A } ^ { \prime } ( \mathrm { { \bf ~ r } , t } ) } & { = } & { \mathrm { \bf ~ A } ( \mathrm { { \bf ~ r } , t } ) + \nabla \chi ( \mathrm { { \bf ~ r } , t } ) } \\ { A _ { 0 } ^ { \; \prime } ( \mathrm { { \bf ~ r } , t } ) } & { = } & { A _ { 0 } ( \mathrm { { \bf ~ r } , t } ) - \frac { \partial \chi ( \mathrm { { \bf ~ r } , t } ) } { \partial t } } \end{array}
\frac { { { E } _ { c , k } } } { \sigma \pi { { D } ^ { 2 } } } = \frac { W e } { 1 2 } + 1 - \frac { { { \rho } ^ { * } } R _ { c } ^ { * 4 } } { 2 l _ { c , d } ^ { * } } - R _ { c } ^ { * 2 } - \frac { 1 0 k ( \phi ) u _ { 0 } ^ { 1 . 5 } } { 3 \sigma { { D } ^ { 0 . 5 } } }
\begin{array} { r l } { ( \tau _ { ( 1 ) } \partial _ { t } + 1 ) \delta \Pi _ { ( 1 ) } = { } } & { { } - \zeta _ { ( 1 ) } \, \delta ( \nabla _ { \mu } u ^ { \mu } ) \, , } \\ { ( \tau _ { ( 2 ) } \partial _ { t } + 1 ) \delta \Pi _ { ( 2 ) } = { } } & { { } - \zeta _ { ( 2 ) } \, \delta ( \nabla _ { \mu } u ^ { \mu } ) \, . } \end{array}
\hat { H } _ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { g } \left( \hat { L } _ { g } - \bar { L } _ { g } \right) ^ { 2 } + \sum _ { g } \bar { L } _ { g } \hat { L } _ { g } - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { g } \bar { L } _ { g } ^ { 2 } ~ .
P ( r _ { t } = r _ { t - 1 } + 1 , \boldsymbol { z } _ { 1 : t } ) = P ( r _ { t - 1 } , \boldsymbol { z } _ { 1 : t - 1 } ) \pi ( \boldsymbol { z } _ { t } ) ( 1 - H ( r _ { t - 1 } ) )
{ \frac { a _ { 7 } x ^ { 7 } + a _ { 6 } x ^ { 6 } + a _ { 5 } x ^ { 5 } + a _ { 4 } x ^ { 4 } + a _ { 3 } x ^ { 3 } + a _ { 2 } x ^ { 2 } + a _ { 1 } x + a _ { 0 } } { b _ { 4 } x ^ { 4 } - b _ { 3 } x ^ { 3 } - b _ { 2 } x ^ { 2 } - b _ { 1 } x - b _ { 0 } } } = q _ { 3 } x ^ { 3 } + q _ { 2 } x ^ { 2 } + q _ { 1 } x + q _ { 0 } + { \frac { r _ { 3 } x ^ { 3 } + r _ { 2 } x ^ { 2 } + r _ { 1 } x + r _ { 0 } } { b _ { 4 } x ^ { 4 } - b _ { 3 } x ^ { 3 } - b _ { 2 } x ^ { 2 } - b _ { 1 } x - b _ { 0 } } }
I _ { m _ { j } } ( { \bf k _ { j } } ) = C _ { j } 2 k _ { j } [ t _ { 0 } ( { \omega } , { k _ { j } R _ { j } } ) + t _ { 1 } ( { \omega } , { k _ { j } R _ { j } } ) ] ^ { 2 } \qquad ( j = 2 , 3 )
\bar { R } _ { \mathrm { o u t } } ^ { ( n ) } ( \mathbf { r } _ { \parallel } , \mathbf { k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { o u t } } ) = e ^ { \mathbf { k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { o u t } } \cdot \mathbf { r } _ { \parallel } } \sum _ { \mathbf { k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { i n } } } e ^ { - i \mathbf { k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { i n } } \cdot \mathbf { r } _ { \parallel } } \Tilde { R } ^ { ( n ) } ( { \mathbf { k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { o u t } } } , \mathbf { k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { i n } } )
\mathrm { P D F } ( \sigma _ { n n } - \left\langle \sigma _ { n n } \right\rangle ; K , P , \lambda ) \approx - \frac { 1 } { \pi } \mathrm { I m } \left( \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \to 0 } \left( \big [ P / P \big ] _ { S ( \xi ; K , \lambda ) } \big \vert _ { \xi \to \left( ( \sigma _ { n n } - i \epsilon ) \pm \sqrt { ( \sigma _ { n n } - i \epsilon ) ^ { 2 } - 4 \lambda ^ { 2 } } \right) / 2 } \right) \right)
Q _ { e } \, | _ { z = 0 } = - \mathbb { C } _ { Q } ^ { \mathrm { { s h e a r } } } \, u _ { \star } ^ { 3 } - \mathbb { C } _ { Q } ^ { \mathrm { { c o n v } } } \, \operatorname* { m a x } ( Q _ { b } , 0 ) \Delta z \, ,
\begin{array} { r l } { \theta } & { = \bar { \theta } ( z _ { s } ) + { \varepsilon } ^ { 1 + \alpha } \theta ^ { \prime } ( \mathbf { x } _ { w } , t _ { w } ) } \\ { \pi } & { = \bar { \pi } ( z _ { s } ) + { \varepsilon } ^ { 2 + \alpha } \pi ^ { \prime } ( \mathbf { x } _ { w } , t _ { w } ) } \\ { \mathbf { v } } & { = \mathbf { v } ^ { \prime } ( \mathbf { x } _ { w } , t _ { w } ) } \end{array}
T = { \frac { 1 } { 2 } } \left[ { \frac { L _ { x } ^ { 2 } } { I _ { 1 } } } + { \frac { L _ { y } ^ { 2 } } { I _ { 2 } } } + { \frac { L _ { z } ^ { 2 } } { I _ { 3 } } } \right] .
\left\langle \exp \left\{ i \tilde { e } \int _ { 0 } ^ { 1 / T } d \tau A _ { o } ( \tau , x ) \right\} \right\rangle = 0 ~ ~ ~ \mathrm { i f } ~ \tilde { e } \neq ~ \mathrm { i n t e g e r } ~ \cdot e \nonumber
\begin{array} { r l } { \Delta _ { n } = } & { \: \l V _ { n n } + \l ^ { 2 } \sum _ { k \neq n } \frac { V _ { n k } V _ { k n } } { ( E _ { n } ^ { 0 } - E _ { k } ^ { 0 } ) } } \\ & { + \l ^ { 3 } \sum _ { k \neq n } \sum _ { l \neq n } \frac { V _ { n k } V _ { k l } V _ { l n } } { ( E _ { n } ^ { 0 } - E _ { k } ^ { 0 } ) ( E _ { n } ^ { 0 } - E _ { l } ^ { 0 } ) } - \l ^ { 3 } \sum _ { k \neq n } \frac { V _ { n k } V _ { k n } V _ { n n } } { ( E _ { n } ^ { 0 } - E _ { k } ^ { 0 } ) ^ { 2 } } + \mathcal { O } ( \l ^ { 4 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { C } ( t ) } & { = \Delta _ { d } + i \frac { \kappa } { 2 } - \frac { g _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 \Delta _ { a } } \left( \left\langle \tilde { \hat { J } } _ { + } \right\rangle e ^ { i \omega _ { z } t } + \left\langle \tilde { \hat { J } } _ { - } \right\rangle e ^ { - i \omega _ { z } t } \right) } \\ & { = \Delta _ { d } + i \frac { \kappa } { 2 } - \frac { g _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 \Delta _ { a } } \left( \left\langle \tilde { \hat { J } } _ { x } \right\rangle \cos \omega _ { z } t - \left\langle \tilde { \hat { J } } _ { y } \right\rangle \sin \omega _ { z } t \right) . } \end{array}
\hat { \bf V } _ { 1 } ^ { \dagger } \hat { \bf V } _ { 1 } = \hat { \bf V } _ { 2 } ^ { \dagger } \hat { \bf V } _ { 2 } = 1 , \quad \hat { \bf V } _ { 1 } ^ { n } = \hat { \bf V } _ { 2 } ^ { n } = 1 , \quad \hat { \bf V } _ { 1 } \hat { \bf V } _ { 2 } = \hat { \bf V } _ { 2 } \hat { \bf V } _ { 1 } e ^ { 2 \pi i \theta _ { n } } ,
\begin{array} { r l } { { v _ { I } } _ { t } ( x , y , z ) } & { = \left\| ( \mathbf { v _ { I } } . \mathbf { { t _ { 1 } } } ) \mathbf { { t _ { 1 } } } + ( \mathbf { v _ { I } } . \mathbf { { t _ { 2 } } } ) \mathbf { { t _ { 2 } } } \right\| } \\ & { = \left( \left( \frac { \partial \phi } { \partial x } \right) ^ { 2 } + \left( \sin { ( \beta ) } \frac { \partial \phi } { \partial y } + \cos { ( \beta ) } \left( v _ { 0 } + \frac { \partial \phi } { \partial z } \right) \right) ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } . } \end{array}
{ \bf B } ^ { \mathrm { l i n . } } = U { \bf B } ^ { \mathrm { c i r c . } } = B ^ { ( 0 ) } \left[ \left( \begin{array} { l } { { 1 } } \\ { { 0 } } \\ { { 0 } } \end{array} \right) e ^ { + i \phi } + \left( \begin{array} { l } { { 0 } } \\ { { 1 } } \\ { { 0 } } \end{array} \right) e ^ { - i \phi } \right] \ .
\langle \Phi _ { 1 } ^ { \ell } \Phi _ { 2 } ^ { \ell ^ { \prime } } \rangle = \frac { \sqrt { ( 2 \ell + 1 ) ( 2 \ell ^ { \prime } + 1 ) } } { 4 \pi ^ { 2 } } \int _ { | t | < 1 } \frac { d t d \bar { t } } { ( 1 - | t | ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \int _ { - 2 \pi } ^ { 2 \pi } d \psi \ \Phi _ { 1 } ^ { \ell } \bar { \Phi } _ { 2 } ^ { \ell ^ { \prime } } \, ,
\left( \frac { 1 } { c ^ { 2 } } \left( \frac { \partial } { \partial t } \right) ^ { 2 } - \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \left( \frac { \partial } { \partial x ^ { j } } \right) ^ { 2 } \right) A _ { 0 } ( x ; y ) = 4 \pi m _ { y } G \delta ( { \bf x } - { \bf y } ( t ) ) ,
\frac { \partial y } { \partial r } = - \frac { 6 } { \pi } \frac { \tilde { R } n _ { I } } { R _ { 0 } T ^ { 2 } \tilde { \tau } } \, p - \frac { 1 2 \ln 2 } { \pi } \frac { \alpha _ { 1 } \omega _ { B } ^ { 2 } } { e ^ { 2 } v _ { g } ^ { 2 } R _ { 0 } T } \, q ,
\mathcal { L } _ { \mathrm { ~ J ~ M ~ L ~ - ~ S ~ S ~ L ~ } } = \lambda _ { \mathrm { ~ C ~ E ~ } } \mathcal { L } _ { \mathrm { ~ C ~ E ~ , ~ S ~ S ~ L ~ } } + \lambda _ { \mathrm { ~ J ~ M ~ L ~ } } \mathcal { L } _ { \mathrm { ~ J ~ M ~ L ~ , ~ S ~ S ~ L ~ } } .
\begin{array} { r l } { \mathbf { T } ^ { ( 1 ) } } & { { } = \mathbf { S } , \qquad \mathbf { T } ^ { ( 2 ) } = \mathbf { S W } - \mathbf { W S } , } \\ { \mathbf { T } ^ { ( 3 ) } } & { { } = \mathbf { S } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 3 } \{ \mathbf { S } ^ { 2 } \} \mathbf { I } , \qquad \mathbf { T } ^ { ( 4 ) } = \mathbf { W } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 3 } \{ \mathbf { W } ^ { 2 } \} \mathbf { I } , } \\ { \theta _ { 1 } } & { { } = \{ \mathbf { S } ^ { 2 } \} , \qquad \theta _ { 2 } = \{ \mathbf { W } ^ { 2 } \} \mathrm { ~ , ~ } } \end{array}
\tilde { I } _ { p p } ( \bar { v } , \chi _ { \gamma } ) \approx \tilde { W } _ { \mathrm { p a i r } } ( \chi _ { \gamma } ) \left[ 1 - e ^ { - \left( \frac { 8 } { 3 \chi _ { \gamma } ( 1 - v ^ { 2 } ) } - \frac { 8 } { 3 \chi _ { \gamma } ( 1 - v _ { 0 } ^ { 2 } ) } \right) } \right] + \tilde { I } _ { p p } ( \bar { v } _ { 0 } , \chi _ { \gamma } ) e ^ { - \left( \frac { 8 } { 3 \chi _ { \gamma } ( 1 - v ^ { 2 } ) } - \frac { 8 } { 3 \chi _ { \gamma } ( 1 - v _ { 0 } ^ { 2 } ) } \right) } .