harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \overline { T } _ { 1 } ( 0 , Q ^ { 2 } ) } & { = } & { - \frac { \pi \alpha _ { \mathrm { e m } } Q ^ { 2 } } { M ^ { 3 } } F _ { 2 } ^ { 2 } ( Q ^ { 2 } ) } \\ & { } & { + \frac { 2 } { \pi } Q ^ { 2 } \int _ { \nu _ { 0 } } ^ { \infty } \frac { \mathrm { d } \nu } { \nu ^ { 2 } + Q ^ { 2 } } \left[ \sigma _ { T } - \frac { \nu ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } } \sigma _ { L } \right] ( \nu , Q ^ { 2 } ) , } \\ { \overline { T } _ { L } ( i Q , Q ^ { 2 } ) } & { = } & { \frac { \pi \alpha _ { \mathrm { e m } } Q ^ { 2 } } { M ^ { 3 } } F _ { 2 } ^ { 2 } ( Q ^ { 2 } ) } \\ & { } & { + \frac { 2 } { \pi } \int _ { \nu _ { 0 } } ^ { \infty } \mathrm { d } \nu \, \nu ^ { 2 } \, \frac { \sigma _ { L } ( \nu , Q ^ { 2 } ) } { \nu ^ { 2 } + Q ^ { 2 } } = - \overline { T } _ { 1 } ( i Q , Q ^ { 2 } ) , } \end{array}
\varepsilon _ { \mathrm { ~ s ~ } } + \frac { 1 } { 2 } \sqrt { 2 ^ { s _ { n } - H _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } ^ { \varepsilon _ { \mathrm { ~ s ~ } } } ( B ^ { n } | E ^ { n } ) _ { \sigma ^ { n } } } } \leq \varepsilon _ { \mathrm { ~ s ~ e ~ c ~ } } ,
\left( \delta g \right) _ { \alpha \alpha ^ { \prime } \beta _ { 1 } \cdots \beta _ { p + 1 } } = g _ { \alpha ^ { \prime } \beta _ { 1 } \cdots \beta _ { p + 1 } } g _ { \alpha \beta _ { 1 } \cdots \beta _ { p + 1 } } ^ { - 1 } g _ { \alpha \alpha ^ { \prime } \beta _ { 2 } \cdots \beta _ { p + 1 } } \cdots g _ { \alpha \alpha ^ { \prime } \beta _ { 1 } \cdots \beta _ { p } } ^ { ( - 1 ) ^ { p } } = 1
\begin{array} { r l } { y _ { n + 1 } } & { { } = y _ { n } + { \frac { 1 } { 6 } } h \left( k _ { 1 } + 2 k _ { 2 } + 2 k _ { 3 } + k _ { 4 } \right) , } \\ { t _ { n + 1 } } & { { } = t _ { n } + h } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { i } | \langle { \cal A } f _ { i } , g _ { i } \rangle | } & { = \sum _ { i } | \sum _ { j } \lambda _ { j } \langle v _ { j } , g _ { i } \rangle \langle w _ { j } , f _ { i } \rangle | } \\ & { \le \sum _ { j } \lambda _ { j } \sum _ { i } | \langle v _ { j } , g _ { i } \rangle \langle w _ { j } , f _ { i } \rangle | , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial } { \partial t } P ( \widehat { L } , t | \widehat { L } _ { 0 } , t _ { 0 } ) = - \frac { \partial } { \partial \widehat { L } } \left( f ( \widehat { L } ) P ( \widehat { L } , t | \widehat { L } _ { 0 } , t _ { 0 } ) \right) + \frac { D } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \widehat { L } ^ { 2 } } P ( \widehat { L } , t | \widehat { L } _ { 0 } , t _ { 0 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \begin{array} { l } { \dot { r } } \\ { \dot { \phi } } \\ { \dot { z } } \end{array} \right) = } & { { } R _ { z } ( \phi ) \left( \begin{array} { l l l } { \operatorname { R e } ( \Lambda ) } & { - \operatorname { I m } ( \Lambda ) } & { 0 } \\ { \operatorname { I m } ( \Lambda ) } & { \operatorname { R e } ( \Lambda ) } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \Lambda _ { R e } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { r \cos \phi } \\ { \sin \phi } \\ { z } \end{array} \right) + } \end{array}
f _ { 2 } ( x , y ) = { \left[ \begin{array} { l l } { \ 0 . 8 5 } & { \ 0 . 0 4 \ } \\ { - 0 . 0 4 } & { \ 0 . 8 5 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { \ x } \\ { y } \end{array} \right] } + { \left[ \begin{array} { l } { \ 0 . 0 0 } \\ { 1 . 6 0 } \end{array} \right] }
\begin{array} { r l } { \nabla _ { \mathbf { w } } \mathcal { L } ( \pmb { \theta } , \mathbf { w } ) } & { { } = \left\{ \left\{ { M ^ { \prime } ( w _ { R , j } ^ { i } ) \left\| \mathcal { N } _ { j } ( \mathbf { y } ( \mathbf { x } _ { R , j } ^ { i } ) ) \right\| ^ { 2 } } \right\} _ { i = 1 } ^ { N _ { R , j } } \right\} _ { j = 1 } ^ { N _ { o p } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde { \epsilon } ( \partial _ { t } ) } & { \mathrel { \mathop : } = \epsilon _ { 0 0 } ( \partial _ { t } ) - \epsilon _ { 0 1 } ( \partial _ { t } ) \epsilon _ { 1 1 } ( \partial _ { t } ) ^ { - 1 } \epsilon _ { 1 0 } ( \partial _ { t } ) } \\ { \tilde { \mu } } & { \mathrel { \mathop : } = \mu _ { 0 0 } - \mu _ { 0 1 } \mu _ { 1 1 } ^ { - 1 } \mu _ { 1 0 } , } \end{array}
\begin{array} { l } { I _ { \frac { 1 } { 2 } } ^ { [ - 1 ] } ( \alpha , \beta ) { \mathrm { ~ ( i n ~ g e n e r a l ) ~ } } } \\ { \approx { \frac { \alpha - { \frac { 1 } { 3 } } } { \alpha + \beta - { \frac { 2 } { 3 } } } } { \mathrm { ~ f o r ~ } } \alpha , \beta > 1 } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \bf M } ( { \bf x } ^ { o } ) = } & { \operatorname* { l i m } _ { m \rightarrow \infty } \frac { 1 } { m } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \nabla f _ { i } ( { \bf x } ^ { o } ) \nabla f _ { i } ( { \bf x } ^ { o } ) ^ { \top } } \\ { = } & { \mathbb E _ { \mu } \left[ \left( \frac { { \bf x } ^ { o } - { \bf a } } { \| { \bf x } ^ { o } - { \bf a } \| } - \frac { { \bf x } ^ { o } } { \| { \bf x } ^ { o } \| } \right) \left( \frac { { \bf x } ^ { o } - { \bf a } } { \| { \bf x } ^ { o } - { \bf a } \| } - \frac { { \bf x } ^ { o } } { \| { \bf x } ^ { o } \| } \right) ^ { \top } \right] } \\ { = } & { \underbrace { \int _ { \mathcal A _ { \bf x } ^ { \perp } } \left( \frac { { \bf x } ^ { o } - { \bf a } } { \| { \bf x } ^ { o } - { \bf a } \| } - \frac { { \bf x } ^ { o } } { \| { \bf x } ^ { o } \| } \right) \left( \frac { { \bf x } ^ { o } - { \bf a } } { \| { \bf x } ^ { o } - { \bf a } \| } - \frac { { \bf x } ^ { o } } { \| { \bf x } ^ { o } \| } \right) ^ { \top } d \mu ( { \bf a } ) } _ { : = { \bf M } _ { \bf x } ^ { \perp } ( { \bf x } ^ { o } ) } } \\ { + } & { \underbrace { \int _ { \overbar { { \mathcal A } _ { \bf x } ^ { \perp } } } \left( \frac { { \bf x } ^ { o } - { \bf a } } { \| { \bf x } ^ { o } - { \bf a } \| } - \frac { { \bf x } ^ { o } } { \| { \bf x } ^ { o } \| } \right) \left( \frac { { \bf x } ^ { o } - { \bf a } } { \| { \bf x } ^ { o } - { \bf a } \| } - \frac { { \bf x } ^ { o } } { \| { \bf x } ^ { o } \| } \right) ^ { \top } d \mu ( { \bf a } ) } _ { : = \overbar { { { \bf M } } _ { \bf x } ^ { \perp } } ( { \bf x } ^ { o } ) } } \end{array}
V _ { e f f } ( z ) = \frac { 1 5 } { 4 \big ( | z | + \ell \big ) ^ { 2 } } - \frac { 3 } { \ell } \, \delta ( z ) \bigg [ 1 - \frac { 2 \ell \gamma } { 9 } \left( \partial _ { z } \psi ( 0 _ { + } ) + \frac { 3 } { 2 \ell } \, \psi ( 0 _ { + } ) \right) \bigg ] \, ,
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial t } \left\langle a _ { j } \right\rangle = } & { \left\langle \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial a _ { j } ^ { 2 } } a _ { j } \, \right\rangle = 0 } \\ { \frac { \partial } { \partial t } \left\langle a _ { j } ^ { 2 } \right\rangle = } & { \left\langle \frac { 1 } { 2 \Delta V } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial a _ { j } ^ { 2 } } a _ { j } ^ { 2 } \, \right\rangle = \frac { 1 } { \Delta V } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { \tau } \mathcal { D } \Phi + \tilde { \rho } _ { i } ^ { 2 } ( \partial _ { u } \Phi \partial _ { v } \mathcal { D } \Phi } & { { } - \partial _ { v } \Phi \partial _ { u } \mathcal { D } \Phi ) = } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { o } } & { \propto R ^ { 0 } \sum _ { i = 0 } ^ { N - 1 } ( x _ { i } + y _ { i } ) ^ { 2 } - R ^ { 1 } \sum _ { i = 0 } ^ { N - 1 } ( x _ { i } + y _ { i } ) ^ { 2 } } \\ & { \propto R ( \sum _ { i = 0 } ^ { N - 1 } ( x _ { i } + y _ { i } ) ^ { 2 } - \sum _ { i = 0 } ^ { N - 1 } ( x _ { i } + y _ { i } ) ^ { 2 } ) } \\ & { \propto R ( \sum _ { i = 0 } ^ { N - 1 } x _ { i } y _ { i } ) \propto \Vec { x } \cdot \Vec { y } } \end{array}
\exp { \left\{ - i ( \xi F _ { 1 } + \eta F _ { 2 } ) \right\} } = \left( \begin{array} { l l l l } { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { \xi } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { \eta } } \\ { { \xi } } & { { \eta } } & { { 1 } } & { { ( \xi ^ { 2 } + \eta ^ { 2 } ) / 2 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) .
\hat { H } _ { \mathrm { L M } } ^ { [ N ] } = \sqrt { N } \hbar g _ { \mathrm { c } } \sqrt { \omega _ { \bf k } } \cdot \sum _ { \mathrm k } ( \sigma _ { N } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \bf k } + \sigma _ { N } \hat { a } _ { \bf k } ^ { \dagger } ) .
\begin{array} { r l r } { \sigma _ { i j } ^ { \mathrm { s } } } & { = } & { [ ( P - 2 N ) \varepsilon _ { k k } ^ { \mathrm { s } } + Q \varepsilon _ { k k } ^ { \mathrm { f } } ] \delta _ { i j } + 2 N \varepsilon _ { i j } ^ { \mathrm { s } } , } \\ { \sigma _ { i j } ^ { \mathrm { f } } } & { = } & { [ Q \varepsilon _ { k k } ^ { \mathrm { s } } + R \varepsilon _ { k k } ^ { \mathrm { f } } ] \delta _ { i j } , } \end{array}
S ( \phi , A ) = \int - { \frac { 1 } { 4 } } F ^ { \mu \nu } F _ { \mu \nu } + \left| \left( \partial - i q A \right) \phi \right| ^ { 2 } - \lambda \left( \left| \phi \right| ^ { 2 } - \Phi ^ { 2 } \right) ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { \Lambda ^ { ( 1 ) } ( t ) } & { = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \sum _ { a i } \big ( \kappa _ { a i } ^ { ( 1 ) } E _ { a i } + \kappa _ { a i } ^ { * } \, ^ { ( 1 ) } \; E _ { i a } \big ) + \sum _ { \alpha } \big ( \gamma _ { \alpha } ^ { ( 1 ) } b ^ { \dagger } + \gamma _ { \alpha } ^ { * } \, ^ { ( 1 ) } \; b \big ) } \\ { \Lambda ^ { ( 2 ) } ( t ) } & { = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \sum _ { a i } \big ( \kappa _ { a i } ^ { ( 2 ) } E _ { a i } + \kappa _ { a i } ^ { * } \, ^ { ( 2 ) } \; E _ { i a } \big ) + \sum _ { \alpha } \big ( \gamma _ { \alpha } ^ { ( 2 ) } b ^ { \dagger } + \gamma _ { \alpha } ^ { * } \, ^ { ( 2 ) } \; b \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \xi } & { { } = } & { \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { j _ { n } } { n + 1 } P _ { n } \left( \cos \theta \right) r ^ { - n - 1 } , } \\ { j _ { n } } & { { } = } & { \left( n + \frac { 1 } { 2 } \right) \int _ { 0 } ^ { \pi } \left( j ^ { + } + j ^ { - } \right) P _ { n } \sin \theta d \theta . } \end{array}
\langle ~ \mathcal { M } _ { p } ^ { ( t ) } ( { \boldsymbol x } ) ~ , ~ { \boldsymbol p } ~ \rangle = \left\{ \begin{array} { l l } { \langle ~ \mathcal { M } _ { p } ^ { ( t ) } ( \mathcal { F } ( v ) ) ~ , ~ { \boldsymbol p } ~ \rangle , \quad \mathrm { i f } \quad \mathcal { M } _ { p } ^ { ( t ) } ( \mathcal { F } ( v ) ) \neq { \boldsymbol p } _ { + } } \\ { 0 \le \langle ~ \mathcal { M } _ { p } ^ { ( t ) } ( \mathcal { F } ( v ) ) ~ , ~ { \boldsymbol p } ~ \rangle , \quad \mathrm { i f } \quad \mathcal { M } _ { p } ^ { ( t ) } ( \mathcal { F } ( v ) ) = { \boldsymbol p } _ { + } } \end{array} \right. .
\begin{array} { r } { \{ ( \mu _ { j , \mathrm { W } } , \mu _ { j , \mathrm { M } } ) \} _ { j } = \{ ( f _ { \mathrm { W } } ^ { \mathrm { C } } ( \mu _ { j , \mathrm { W } } ) , f _ { \mathrm { M } } ^ { \mathrm { C } } ( \mu _ { j , \mathrm { M } } ) ) \} _ { j } \cup \{ ( f _ { \mathrm { W } } ^ { \mathrm { D } } ( \mu _ { j , \mathrm { W } } ) , f _ { \mathrm { M } } ^ { \mathrm { D } } ( \mu _ { j , \mathrm { M } } ) ) \} _ { j } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { y _ { t + h } ^ { 1 } } & { = y _ { t } + h f \left( y _ { t } , \ t \right) } \\ { y _ { t + h } ^ { 2 } } & { = y _ { t } + h f \left( y _ { t + h / 2 } ^ { 1 } , \ t + { \frac { h } { 2 } } \right) } \\ { y _ { t + h } ^ { 3 } } & { = y _ { t } + h f \left( y _ { t + h / 2 } ^ { 2 } , \ t + { \frac { h } { 2 } } \right) } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \alpha ^ { 2 } \tau ^ { 2 } c _ { 4 } ^ { 2 } \mathbb { E } _ { t - 2 \tau } \lVert \bar { \theta } _ { t - \tau } - \theta ^ { * } \rVert ^ { 2 } } & { \le \frac { 7 d _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 N K } \alpha ^ { 2 } \tau ^ { 2 } + \frac { 1 3 L _ { 2 } ^ { 2 } \alpha ^ { 4 } \tau } { ( 1 - \rho ^ { 2 } ) } } \\ & { + \alpha ^ { 2 } c _ { 4 } ^ { 2 } \tau \sum _ { s = 0 } ^ { \tau } E _ { t - 2 \tau } [ \Delta _ { t - s } ] + 4 8 \alpha ^ { 2 } c _ { 4 } ^ { 2 } \tau ^ { 3 } M _ { 3 } ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) + \alpha ^ { 2 } c _ { 1 } ^ { 2 } \tau ^ { 2 } \Gamma ^ { 2 } ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) } \\ & { + 4 \alpha ^ { 2 } \tau ^ { 2 } c _ { 4 } ^ { 2 } \mathbb { E } _ { t - 2 \tau } \lVert \bar { \theta } _ { t } - \theta ^ { * } \rVert ^ { 2 } } \end{array}
\left[ \begin{array} { l } { \dot { x } } \\ { \dot { o } } \\ { \dot { r } } \\ { \dot { v } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l l l } { J _ { x } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { A } & { J _ { o } } & { 0 } & { 0 } \\ { \widetilde G } & { 0 } & { J _ { r } } & { 0 } \\ { 0 } & { v ^ { * } ( 1 - v ^ { * } ) I } & { v ^ { * } \widetilde K [ H ( \underline { o } ) ] } & { J _ { v } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { x } \\ { o } \\ { r } \\ { v } \end{array} \right]
H _ { - } \chi ( r , \theta ) = \left( \begin{array} { c c } { { m } } & { { i e ^ { i \theta } \left( \partial _ { r } + \frac { i } { r } \partial _ { \theta } + \frac { e B } { 2 } r \right) } } \\ { { i e ^ { - i \theta } \left( \partial _ { r } - \frac { i } { r } \partial _ { \theta } - \frac { e B } { 2 } r \right) } } & { { - m } } \end{array} \right) \chi ( r , \theta ) = E \chi ( r , \theta ) ,
\alpha ( k , q ) = \frac { 2 g ( k , q ) } { M \left( \Delta _ { k , q } ^ { 2 } - \omega _ { p h } ^ { 2 } ( q ) \right) } \mathrm { , ~ \quad } \beta ( k , q ) = \frac { 2 g ( k , q ) \Delta _ { k , q } } { \left( \Delta E _ { k , q } ^ { 2 } - \omega _ { p h } ^ { 2 } ( q ) \right) } \mathrm { , ~ \quad ~ w i t h ~ \quad ~ } \Delta E _ { k , q } = \frac { \Delta E _ { k } + \Delta E _ { k + q } } { 2 } .
\begin{array} { r l } { \left| M _ { 2 } \right| } & { \leq C \left( \left\| \mathscr { Q } ( \mathscr { Q } w _ { x } w ) \right\| _ { \dot { H } ^ { 4 } } + \left\| \partial _ { x } ( \mathscr { Q } w ) ^ { 2 } \right\| _ { \dot { H } ^ { 4 } } \right) \left\| \partial _ { x } ^ { 7 } w _ { t } \right\| _ { \dot { H } ^ { - 4 } } } \\ & { \leq C \left( \left\| \mathscr { Q } w _ { x } w \right\| _ { \dot { H } ^ { 2 } } + \left\| ( \mathscr { Q } w ) ^ { 2 } \right\| _ { \dot { H } ^ { 5 } } \right) \left\| \partial _ { x } ^ { 3 } w _ { t } \right\| _ { L ^ { 2 } } } \\ & { \leq C \left( \left\| w _ { x } \right\| _ { L ^ { 2 } } \left\| w _ { x x } \right\| _ { L ^ { 2 } } + \left\| \partial _ { x } ^ { 3 } w \right\| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } \right) \left\| \partial _ { x } ^ { 3 } w _ { t } \right\| _ { L ^ { 2 } } \leq C \mathcal { E } ( t ) ^ { 3 / 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \phi _ { \lambda } ( S _ { n + 1 } ^ { ( \lambda ) } - \mu _ { n } S _ { n } ^ { ( \lambda ) } - \theta _ { n - 1 } S _ { n - 1 } ^ { ( \lambda ) } , S _ { n } ^ { ( \lambda ) } ) } \\ { = } & { \langle u _ { 0 } , ( P _ { n + 1 } - \tilde { \sigma } _ { n } P _ { n } - \tilde { \tau } _ { n - 1 } P _ { n - 1 } ) S _ { n } ^ { ( \lambda ) } \rangle } \\ & { + \lambda \langle u _ { 1 } , \{ ( n + 1 ) R _ { n } - \tilde { d } _ { n } R _ { n - 1 } - \tilde { e } _ { n - 1 } R _ { n - 2 } \} S _ { n } ^ { ( \lambda ) \prime } \rangle = - \mu _ { n } s _ { n } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| f \| _ { E _ { 1 } } } & { : = \| \bar { f } + a \chi ^ { + } \| _ { E _ { 1 } } = \left( \| \bar { f } \| _ { H ^ { 1 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } + a ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } , } \\ { \| f \| _ { E _ { 2 } } } & { : = \| \bar { f } + a \chi ^ { + } + b \chi ^ { - } \| _ { E _ { 2 } } = \left( \| \bar { f } \| _ { H ^ { 1 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } + a ^ { 2 } + b ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { L } [ u ] ( { \mathbf { r } _ { 1 } } , { \mathbf { r } _ { 2 } } , { \mathbf { r } _ { 3 } } ) = } & { { } \nabla _ { 1 } u ( { \mathbf { r } _ { 1 } } , { \mathbf { r } _ { 2 } } ) \cdot \nabla _ { 1 } u ( { \mathbf { r } _ { 1 } } , { \mathbf { r } _ { 3 } } ) } \\ { + } & { { } \nabla _ { 2 } u ( { \mathbf { r } _ { 2 } } , { \mathbf { r } _ { 1 } } ) \cdot \nabla _ { 2 } u ( { \mathbf { r } _ { 2 } } , { \mathbf { r } _ { 3 } } ) } \\ { + } & { { } \nabla _ { 3 } u ( { \mathbf { r } _ { 3 } } , { \mathbf { r } _ { 1 } } ) \cdot \nabla _ { 3 } u ( { \mathbf { r } _ { 3 } } , { \mathbf { r } _ { 2 } } ) . } \end{array}
\hat { \mathsf { P } } _ { 0 } = \frac { 1 } { 8 } \hat { \mathbf { F } } _ { \mathrm { ~ I ~ } } ^ { \dagger } \mathbf { A } ^ { \dagger } \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ I ~ I ~ } } \mathbf { A } \hat { \mathbf { F } } _ { \mathrm { ~ I ~ } } \, .
\begin{array} { r } { \mathbb { E } \left[ f _ { t } ( x _ { t } ^ { \prime } ) \right] = \mathbb { E } \left[ D ( \mu _ { t } | \mathcal { P } _ { t } , \beta _ { t } ) \right] - \mathbb { E } \left[ \mu _ { t } \cdot ( \lambda _ { t } - b _ { t } ( x _ { t } ^ { \prime } ) ) \right] - \mathbb { E } \left[ \mu _ { t } \cdot ( \beta _ { t } - \lambda _ { t } ) \right] \, . } \end{array}
\pounds = \dot { x } \cdot p - \frac { 1 } { 2 } A ^ { 2 2 } p ^ { 2 } + \tilde { \theta } _ { a } \gamma \cdot { p } \partial _ { \tau } \theta ^ { a } \Rightarrow \frac { 1 } { 2 A ^ { 2 2 } } \left( \dot { x } ^ { \mu } + \tilde { \theta } _ { a } \gamma ^ { \mu } \partial _ { \tau } \theta ^ { a } \right) ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { m ( 1 ) } & { = 1 2 \lambda _ { 1 } ^ { 4 } - \frac { 7 } { 3 } \lambda _ { 1 } ^ { 3 } H + 2 7 \lambda _ { 1 } ^ { 3 } \delta _ { 1 } - 4 4 \lambda _ { 1 } ^ { 2 } \lambda _ { 2 } - \frac { 7 0 6 } { 9 } \lambda _ { 1 } ^ { 2 } H ^ { 2 } - \frac { 6 5 } { 2 } \lambda _ { 1 } ^ { 2 } H \delta _ { 1 } + } \\ & { + 8 4 \lambda _ { 1 } ^ { 2 } \delta _ { 1 } ^ { 2 } - 3 2 \lambda _ { 1 } ^ { 2 } \delta _ { 1 , 1 } - 3 8 \lambda _ { 1 } \lambda _ { 2 } H + 9 2 \lambda _ { 1 } \lambda _ { 3 } - \frac { 7 1 5 } { 9 } \lambda _ { 1 } H ^ { 3 } - } \\ & { - \frac { 1 3 4 0 } { 9 } \lambda _ { 1 } H ^ { 2 } \delta _ { 1 } - 2 5 \lambda _ { 1 } H \delta _ { 1 } ^ { 2 } + 6 9 \lambda _ { 1 } \delta _ { 1 } ^ { 3 } - 1 3 0 \lambda _ { 1 } \delta _ { 1 } \delta _ { 1 , 1 } + 9 2 \lambda _ { 1 } \delta _ { 1 , 1 , 1 } + } \\ & { + 6 \lambda _ { 2 } H ^ { 2 } - \frac { 4 6 } { 3 } H ^ { 4 } - \frac { 1 2 0 5 } { 1 8 } H ^ { 3 } \delta _ { 1 } - \frac { 5 6 2 } { 9 } H ^ { 2 } \delta _ { 1 } ^ { 2 } - \frac { 1 0 1 } { 6 } H \delta _ { 1 } ^ { 3 } - 5 4 \delta _ { 1 } ^ { 2 } \delta _ { 1 , 1 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \mathrm { d } \boldsymbol { v } _ { p } } { \mathrm { d } t } = \frac { 1 } { \rho _ { p } V _ { p } } \boldsymbol { F } _ { \mathrm { D } , p } ( \boldsymbol { u } ( \boldsymbol { x } _ { p } ) ) . } \end{array}
L _ { i , j } ^ { \mathrm { r w } } : = { \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { { \mathrm { i f ~ } } i = j { \mathrm { ~ a n d ~ } } \deg ( v _ { i } ) \neq 0 } \\ { - { \frac { 1 } { \deg ( v _ { i } ) } } } & { { \mathrm { i f ~ } } i \neq j { \mathrm { ~ a n d ~ } } v _ { i } { \mathrm { ~ i s ~ a d j a c e n t ~ t o ~ } } v _ { j } } \\ { 0 } & { { \mathrm { o t h e r w i s e } } . } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } & { \hat { u } _ { i } ^ { ( k ) } ( x , s ) } \\ & { = \frac { 1 } { \sinh ( h _ { i } \sqrt { \frac { s ^ { 2 \nu } } { \kappa _ { i } } } ) } \left( \hat { w } _ { i } ^ { ( k - 1 ) } ( s ) \sinh \left( ( x - x _ { i - 1 } ) \sqrt { \frac { s ^ { 2 \nu } } { \kappa _ { i } } } \right) + \hat { w } _ { i - 1 } ^ { ( k - 1 ) } ( s ) \sinh \left( ( x _ { i } - x ) \sqrt { \frac { s ^ { 2 \nu } } { \kappa _ { i } } } \right) \right) . } \end{array}
\psi ( t ) = \frac { 1 } { 2 E } \, \xi ^ { + } ( 0 ) \xi ^ { - } ( t ) \psi _ { 0 } , \qquad \overline { { { \psi } } } ( t ) = \frac { 1 } { 2 E } \, \xi ^ { - } ( 0 ) \xi ^ { + } ( t ) \overline { { { \psi } } } _ { 0 } .
\begin{array} { r l r } { \Omega ^ { ( 1 ) } } & { = } & { \Big [ E _ { N } ^ { ( 1 ) } \Big ] } \\ & { = } & { \Big [ \langle N | \hat { V } ^ { ( 1 ) } | N \rangle \Big ] } \\ & { = } & { E _ { \mathrm { X V S C F } } ( T ) - V _ { \mathrm { r e f } } - \sum _ { i } { \omega } _ { i } \left( f _ { i } + { 1 } / { 2 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathsf { i } \cdot S = \left\{ \begin{array} { l l } { S , \quad \mathrm { i f ~ } i \in S , } \\ { S \cup \{ i \} , \quad \mathrm { i f ~ } i \notin S \mathrm { ~ a n d ~ } S \cap \{ i + 1 , \ldots , n \} = \emptyset , } \\ { S \cup \{ i \} - \left\{ \mathrm { F i r s t ~ e l e m e n t ~ o f ~ S \cap ~ \{ i + 1 , ~ \ldots , ~ n \} ~ } \right\} , \quad \mathrm { i f ~ } i \notin S \mathrm { ~ a n d ~ } S \cap \{ i + 1 , \ldots , n \} \neq \emptyset . } \end{array} \right. } \end{array}
H _ { \pm } = \frac { \omega ^ { 2 } \left( t \right) q ^ { 2 } + p ^ { 2 } } { 2 } \pm \frac { \eta ( t ) } { 2 } \left( q ^ { 2 } - p ^ { 2 } \right) \pm B _ { 0 } \left( t \right) .
\sec x = 1 + { \frac { 1 } { 2 } } x ^ { 2 } + { \frac { 5 } { 2 4 } } x ^ { 4 } + { \frac { 6 1 } { 7 2 0 } } x ^ { 6 } + { \frac { 2 7 7 } { 8 0 6 4 } } x ^ { 8 } + \cdots
\begin{array} { r l } { U _ { p q } ^ { \mathrm { ( s q ) } } ( \theta ) = } & { \exp \Big ( - i \frac { \theta } { 2 } \big ( X _ { q } Y _ { p } - Y _ { q } X _ { p } \big ) \Big ) } \\ { U _ { p q r s } ^ { \mathrm { ( d q ) } } ( \theta ) = } & { \exp \Big ( - i \frac { \theta } { 8 } \big ( X _ { r } Y _ { s } X _ { p } X _ { q } + Y _ { r } X _ { s } X _ { p } X _ { q } + Y _ { r } Y _ { s } Y _ { p } X _ { q } + Y _ { r } Y _ { s } X _ { p } Y _ { q } } \\ & { - X _ { r } X _ { s } Y _ { p } X _ { q } - X _ { r } X _ { s } X _ { p } Y _ { q } - Y _ { r } X _ { s } Y _ { p } Y _ { q } - X _ { r } Y _ { s } Y _ { p } Y _ { q } \big ) \Big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { z ^ { \prime } ( s ) } & { = } & { 2 a x ( s ) x ^ { \prime } ( s ) - 2 b y ( s ) y ^ { \prime } ( s ) + 3 x ( s ) ^ { 2 } x ^ { \prime } ( s ) c ( x ( s ) , y ( s ) ) + x ( s ) ^ { 3 } c _ { x } ( x ( s ) , y ( s ) ) x ^ { \prime } ( s ) } \\ & { } & { + x ( s ) ^ { 3 } c _ { y } ( x ( s ) , y ( s ) ) y ^ { \prime } ( s ) + 2 x ( s ) x ^ { \prime } ( s ) y ( s ) d ( x ( s ) , y ( s ) ) + x ( s ) ^ { 2 } y ^ { \prime } ( s ) d ( x ( s ) , y ( s ) ) } \\ & { } & { + x ( s ) ^ { 2 } y ( s ) d _ { x } ( x ( s ) , y ( s ) ) x ^ { \prime } ( s ) + x ( s ) ^ { 2 } y ( s ) d _ { y } ( x ( s ) , y ( s ) ) y ^ { \prime } ( s ) x ^ { \prime } ( s ) y ( s ) ^ { 2 } e ( x ( s ) , y ( s ) ) } \\ & { } & { + 2 x ( s ) y ( s ) y ^ { \prime } ( s ) e ( x ( s ) , y ( s ) ) + x ( s ) y ( s ) ^ { 2 } e _ { x } ( x ( s ) , y ( s ) ) x ^ { \prime } ( s ) + x ( s ) y ( s ) ^ { 2 } e _ { y } ( x ( s ) , y ( s ) ) y ^ { \prime } ( s ) } \\ & { } & { 3 y ( s ) ^ { 2 } y ^ { \prime } ( s ) f ( x ( s ) , y ( s ) ) + y ( s ) ^ { 3 } f _ { x } ( x ( s ) , y ( s ) ) x ^ { \prime } ( s ) + y ( s ) ^ { 3 } f _ { y } ( x ( s ) , y ( s ) ) y ^ { \prime } ( s ) . } \end{array}
\left( \frac { \sinh ( \sqrt { - 3 \Lambda } \, t ) } { \operatorname { t a n h } \left( \frac { \sqrt { - 3 \Lambda } } { 2 } \, t \right) } \right) ^ { \frac { 1 } { 3 } } \, \left( \operatorname { t a n h } \left( \frac { \sqrt { - 3 \Lambda } } { 2 } \, t \right) \right) ^ { \alpha _ { k } } \ .
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial ^ { * } } { \partial t } } & { \equiv } & { \frac { \partial } { t } \; + \; { \cal S } \; \frac { \partial } { \partial \theta } , } \\ { \nabla ^ { * } } & { \equiv } & { \nabla \; + \; { \bf R } ^ { * } \; \frac { \partial } { \partial \theta } \; - \; \left( \frac { e } { \partial c } \frac { \partial { \bf A } ^ { * } } { \partial t } + J \, \nabla { \cal S } \right) \frac { \partial } { W } , } \end{array}
\frac { I _ { d } ( t ) } { I _ { 0 } } = \bigg | E _ { 0 } ( t ) e ^ { - i \Delta t } - \frac { \Gamma _ { 1 D } } { 4 } \sum _ { \xi = 1 } ^ { N } \eta _ { \xi } e ^ { - ( \Gamma ^ { \prime } + \Gamma _ { \xi } ) t / 2 } e ^ { - i J _ { \xi } t } e ^ { - \frac { 1 } { 2 } ( \Delta + i \Gamma ^ { \prime } / 2 - \lambda _ { \xi } ) ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } \mathrm { ~ e ~ r ~ f ~ c ~ } \left( \frac { - i ( \Delta + i \Gamma ^ { \prime } / 2 - \lambda _ { \xi } ) \sigma ^ { 2 } - t } { \sqrt { 2 } \sigma } \right) \bigg | ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { \mathscr { F } ( W ) ( u ) } & { = - \frac { 1 } { 2 i \pi } \int _ { \frac 1 2 - i \infty } ^ { \frac 1 2 + i \infty } \check { W } ( s ) \cos ( \pi s / 2 ) \Gamma ( s ) u ^ { - s } d s } \\ & { = - \int _ { 0 } ^ { \infty } \cos ( y ) \frac { 1 } { 2 i \pi } \int _ { \frac 1 2 - i \infty } ^ { \frac 1 2 + i \infty } \check { W } ( s ) ( u / y ) ^ { - s } \frac { d s d y } { y } } \\ & { = - \int _ { 0 } ^ { \infty } \cos ( y ) W ( u / y ) d y / y } \end{array}