harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \left( \omega _ { z } ^ { h } - ( \frac { \partial u _ { y } ^ { h } } { \partial x } - \frac { \partial u _ { x } ^ { h } } { \partial y } ) + \right. } \\ & { \left. \frac { C _ { p e n } } { h } ( ( u _ { x } ^ { h } - g _ { x } ) n _ { y } - ( u _ { y } ^ { h } - g _ { y } ) n _ { x } ) \right) ( \boldsymbol { \tau } _ { \ell } ^ { \omega _ { z } } ) = 0 \quad \forall \boldsymbol { \tau } _ { \ell } ^ { \omega _ { z } } \in \partial \Omega . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Xi } & { = \sum _ { N } ( z e ^ { - \beta E _ { s } } ) ^ { 2 N } \frac { 1 } { N ! } \prod _ { i = 1 } ^ { N } L \int _ { - x _ { T } / 2 } ^ { x _ { T } / 2 } \mathrm { d } x \, e ^ { 2 \beta E _ { s } } } \\ & { = \sum _ { N } \frac { ( z ^ { 2 } L x _ { T } ) ^ { N } } { N ! } = e ^ { z ^ { 2 } L x _ { T } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { \hat { \mathcal { D } } } _ { a } ( \theta , \varphi ) = } & { { } \sqrt { \frac { 3 \Gamma _ { 0 } ^ { a } } { 8 \pi } \left[ 1 - \left( \boldsymbol { \wp } _ { a } \cdot \mathbf { R } ( \theta , \varphi ) \right) ^ { 2 } \right] \mathrm { d } \Omega } } \end{array}
\mathrm { ~ \bf ~ P ~ } = \sum _ { a = 1 } ^ { N } \mathrm { ~ \bf ~ p ~ } _ { a } + \epsilon _ { 0 } \int d ^ { 3 } r \, \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } E _ { j } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \nabla A _ { j } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } )
\begin{array} { r l } { E _ { \varphi } ( r _ { 2 } < r , t ) } & { \approx - \frac { n I _ { 0 } } { 1 6 \pi l } \frac { \mu _ { 0 } \omega _ { 0 } ^ { 2 } } { c _ { 3 } } \Big [ ( 2 \pi r _ { 2 } ) ^ { 2 } + ( \mu _ { 0 } \alpha _ { 0 } \omega _ { 0 } ) ^ { 2 } \Big ( r _ { 2 } ^ { 4 } ( \theta _ { 2 } - \theta _ { 3 } ) ^ { 2 } + 2 r _ { 1 } ^ { 3 } r _ { 2 } ( \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } ) ( \theta _ { 2 } - \theta _ { 3 } ) + r _ { 1 } ^ { 4 } ( \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } ) ^ { 2 } \Big ) } \\ & { \qquad \qquad \qquad \quad + ( \pi \omega _ { 0 } ) ^ { 2 } \Big \{ r _ { 1 } ^ { 4 } \Big ( \frac { 1 } { c _ { 1 } ^ { 2 } } - \frac { 1 } { c _ { 2 } ^ { 2 } } \Big ) + r _ { 2 } ^ { 4 } \Big ( \frac { 1 } { c _ { 2 } ^ { 2 } } - \frac { 1 } { c _ { 3 } ^ { 2 } } \Big ) \Big \} \Big ] } \\ & { \qquad \qquad \qquad \times \Big [ \Big ( J _ { 0 } ( k _ { 3 } r ) - J _ { 2 } ( k _ { 3 } r ) \Big ) \cos ( \omega _ { 0 } t ) + \Big ( N _ { 0 } ( k _ { 3 } r ) - N _ { 2 } ( k _ { 3 } r ) \Big ) \sin ( \omega _ { 0 } t ) \Big ] , } \\ { E _ { z } ( r _ { 2 } < r , t ) } & { \approx \pi \frac { n I _ { 0 } } { 8 \pi l } \frac { \mu _ { 0 } ^ { 2 } \alpha _ { 0 } \omega _ { 0 } ^ { 3 } } { c _ { 3 } } \big [ r _ { 1 } ^ { 3 } ( \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } ) + r _ { 2 } ^ { 3 } ( \theta _ { 2 } - \theta _ { 3 } ) \big ] \Big [ J _ { 0 } ( k _ { 3 } r ) \sin ( \omega _ { 0 } t ) - N _ { 0 } ( k _ { 3 } r ) \cos ( \omega _ { 0 } t ) \Big ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \displaystyle } & { \sum _ { i , j , \alpha , \beta = 1 } ^ { n } \int _ { { \mathcal { O } } } \left( \frac { 1 } { | W ^ { * } | } \sum _ { l , k = 1 } ^ { n } \int _ { W ^ { * } } a _ { l k } \frac { \partial } { \partial y _ { k } } \left( P _ { j } ^ { \beta } - { \boldsymbol \chi } _ { j } ^ { \beta } \right) \frac { \partial P _ { i } ^ { \alpha } } { \partial y _ { l } } \, d y \right) \frac { \partial { u _ { 0 j } } } { \partial x _ { \beta } } \frac { \partial { \varphi } _ { i } } { \partial x _ { \alpha } } \, d x } \\ { - } & { \displaystyle \sum _ { i , j , \alpha , \beta = 1 } ^ { n } \int _ { { \mathcal { O } } } \left( \frac { 1 } { | W ^ { * } | } \int _ { W ^ { * } } \Pi _ { j } ^ { \beta } \operatorname { d i v } _ { y } ( P _ { i } ^ { \alpha } ) \, d y \right) \frac { \partial { u _ { 0 j } } } { \partial x _ { \beta } } \frac { \partial { \varphi } _ { i } } { \partial x _ { \alpha } } \, d x - \displaystyle \int _ { { \mathcal { O } } } p _ { 0 } \operatorname { d i v } ( \boldsymbol \varphi ) \, d x = \int _ { { \mathcal { O } } } \boldsymbol { \boldsymbol { \theta } _ { 0 } } \cdot \boldsymbol \varphi \, d x . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { P \left( \operatorname* { m a x } _ { \vec { f } _ { h + 1 } \in \mathcal { N } _ { \epsilon } } \left\vert E _ { s ^ { \prime } \sim P _ { h } ( \cdot \vert s , a ) } [ f _ { h + 1 } ( s ^ { \prime } ) ] - E _ { s ^ { \prime } \sim \hat { P } _ { h } ^ { k } ( \cdot \vert s , a ) } [ f _ { h + 1 } ( s ^ { \prime } ) ] \right\vert \geq m \right) } \\ & { \leq \sum _ { \vec { f } _ { h + 1 } \in \mathcal { N } _ { \epsilon } } P \left( \left\vert E _ { s ^ { \prime } \sim P _ { h } ( \cdot \vert s , a ) } [ f _ { h + 1 } ( s ^ { \prime } ) ] - E _ { s ^ { \prime } \sim \hat { P } _ { h } ^ { k } ( \cdot \vert s , a ) } [ f _ { h + 1 } ( s ^ { \prime } ) ] \right\vert \geq m \right) } \\ & { \leq \left( 1 + \frac { 2 \vert u ( H - h - \lambda _ { h + 1 } ^ { * } ) - u ( - \lambda _ { h + 1 } ^ { * } ) \vert \sqrt { S } } { \epsilon } \right) ^ { S } \cdot 2 \exp \left( - \frac { m ^ { 2 } N _ { h } ^ { k } ( s , a ) } { 2 ( u ( H - h - \lambda _ { h + 1 } ^ { * } ) - u ( - \lambda _ { h + 1 } ^ { * } ) ) ^ { 2 } } \right) } \\ & { = \frac { 2 \delta } { S A H K } . } \end{array}
G _ { T } = { \frac { 4 | k _ { 2 1 } | ^ { 2 } \Re { ( M _ { L } ) } \Re { ( M _ { S } ) } } { | ( k _ { 1 1 } + M _ { S } ) ( k _ { 2 2 } + M _ { L } ) - k _ { 1 2 } k _ { 2 1 } | ^ { 2 } } }
M _ { S M } ^ { 2 } = g ^ { 2 } v ^ { 2 } \left( \begin{array} { c c c } { { 2 } } & { { - 1 } } & { { - 1 } } \\ { { - 1 } } & { { 2 } } & { { - 1 } } \\ { { - 1 } } & { { - 1 } } & { { 2 } } \end{array} \right) ~ , ~ \,
\begin{array} { r l } { \lambda _ { \mathbf { k } } } & { = \Phi _ { 0 } + P _ { \mathbf { k } 1 } ^ { ( 0 ) } \Phi _ { 1 } + P _ { \mathbf { k } 2 } ^ { ( 0 ) } \Phi _ { 2 } , } \\ { \lambda _ { \mathbf { k } } ^ { \langle \mu \rangle } } & { = \Phi _ { 0 } ^ { \langle \mu \rangle } + P _ { \mathbf { k } 1 } ^ { ( 1 ) } \Phi _ { 1 } ^ { \langle \mu \rangle } , } \\ { \lambda _ { \mathbf { k } } ^ { \langle \mu \nu \rangle } } & { = \Phi _ { 0 } ^ { \langle \mu \nu \rangle } . } \end{array}
\begin{array} { r } { q _ { i } ^ { ( \alpha ) } = \frac { m } { 2 } \int c ^ { 2 } c _ { i } f ^ { ( \alpha ) } \textrm { d } \mathbf c , \quad \sigma _ { i j } ^ { ( \alpha ) } = m \int c _ { \langle i } c _ { j \rangle } f ^ { ( \alpha ) } \textrm { d } \mathbf c , } \end{array}
\begin{array} { r } { ( D ^ { 2 } { \mathcal { H } } ) ( \xi _ { e } ) = \left( \frac { \partial ^ { 2 } { \mathcal { H } } } { \partial \xi _ { i } \partial \xi _ { j } } \right) ( \xi _ { e } ) = \left( \begin{array} { l l l l l l l } { \frac { \lambda ^ { 2 } } { 4 } + V _ { 1 } } & { } & { 0 } & { } & { 0 } & { } & { - \frac { \lambda } { 2 } } \\ { 0 } & { } & { \frac { \lambda ^ { 2 } } { 4 } + V _ { 2 } } & { } & { \frac { \lambda } { 2 } } & { } & { 0 } \\ { 0 } & { } & { \frac { \lambda } { 2 } } & { } & { 1 } & { } & { 0 } \\ { - \frac { \lambda } { 2 } } & { } & { 0 } & { } & { 0 } & { } & { 1 } \end{array} \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { c } { { b ^ { - } ~ = ~ l i m _ { Q \to q } { \frac { Q ^ { \frac { \pm k N _ { B } } { 2 } } { ( B ^ { - } ) } ^ { k } } { ( [ k ] ! ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } } } } \\ { { b ^ { + } ~ = ~ l i m _ { Q \to q } { { \frac { { ( B ^ { + } ) } ^ { k } Q ^ { { \frac { \pm k N _ { B } } { 2 } } } } { ( [ k ] ! ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } } } } } \end{array}
\begin{array} { l l } { { c _ { 1 } = { \frac { - 1 } { 6 } } ( e _ { s } f \phi + 2 e _ { u } ) , } } & { { c _ { 2 } = { \frac { 1 } { 6 } } ( e _ { s } + 2 e _ { u } ) , } } \\ { { c _ { 3 } = { \frac { - 5 } { 2 7 } } ( e _ { s } f + 2 e _ { u } ) , } } & { { c _ { 4 } = { \frac { 5 } { 4 3 2 } } ( e _ { s } f \phi + 2 e _ { u } ) ( - 8 \kappa + 7 \xi ) , } } \\ { { c _ { 5 } = { \frac { 1 } { 1 2 } } ( e _ { s } + e _ { u } f + e _ { u } ) , } } & { { c _ { 6 } = { \frac { 1 } { 9 6 } } ( e _ { s } f \phi + 2 e _ { u } ) , } } \\ { { c _ { 7 } = { \frac { - 2 } { 9 } } ( e _ { s } f \phi + e _ { u } f + e _ { u } ) , } } & { { c _ { 8 } = { \frac { - 1 } { 2 1 6 } } ( e _ { s } + e _ { u } f + e _ { u } ) , } } \\ { { c _ { 9 } = { \frac { 1 } { 2 7 } } ( - 2 e _ { s } f + 3 e _ { s } + 4 e _ { u } f - 2 e _ { u } ) \kappa _ { v } , } } & { { c _ { 1 0 } = { \frac { - 5 } { 4 3 2 } } ( e _ { s } f \phi + e _ { u } f + e _ { u } ) ( 8 \kappa + 1 1 \xi ) , } } \end{array}
\Psi \left( \ldots \mathbf { r } _ { a } , \ldots , \mathbf { r } _ { b } , \ldots , \mathbf { x } _ { 1 } , \mathbf { x } _ { 2 } , \ldots \right) = \pm \Psi \left( \ldots \mathbf { r } _ { b } , \ldots , \mathbf { r } _ { a } , \ldots , \mathbf { x } _ { 1 } , \mathbf { x } _ { 2 } , \ldots \right)
\hat { H } _ { \mathrm { e f f } } = c _ { \Delta } \hat { S } _ { z } ^ { ( 0 ) } + c _ { S } \hat { \sigma } _ { z } + \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { \mathrm { b a t h } } } [ C _ { k } \hat { S } _ { + } ^ { ( 0 ) } \hat { S } _ { - } ^ { ( k ) } + C _ { k } ^ { * } \hat { S } _ { - } ^ { ( 0 ) } \hat { S } _ { + } ^ { ( k ) } ] ,
\sum _ { \ell = 0 } ^ { M - 1 } \frac { 1 } { 2 \pi \mathrm { i } } \oint _ { \Gamma _ { 0 } } \mathrm { d } v \frac { ( 1 + \kappa \theta v ) ^ { \ell - 1 } v ^ { 2 M - z - 1 } } { [ v ( \alpha - \theta v ) ] ^ { \ell + 1 } } ( \alpha - 2 \theta v - \kappa \theta ^ { 2 } v ^ { 2 } ) \frac { 1 } { 2 \pi \mathrm { i } } \oint _ { \Gamma _ { 0 } } \mathrm { d } u \frac { ( 1 + \kappa \theta u ) ^ { k - \ell - 1 } } { [ u ( \alpha - \theta u ) ] ^ { M - \ell } [ u ( \beta - \theta u ) ] ^ { k - M + 1 } } ( \beta - 2 \theta u - \kappa \theta ^ { 2 } u ^ { 2 } )
\langle \Sigma \rangle = V \left( \begin{array} { c c c c c } { { 2 } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { 2 } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { 2 } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { - 3 } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { - 3 } } \end{array} \right) ,
\lbrack \tilde { L } _ { 1 } , [ \tilde { r } _ { 1 2 } , \tilde { r } _ { 1 3 } ] + [ \tilde { r } _ { 1 2 } , \tilde { r } _ { 2 3 } ] + [ \tilde { r } _ { 3 2 } , \tilde { r } _ { 1 3 } ] + \{ \tilde { L } _ { 2 } , \tilde { r } _ { 1 3 } \} - \{ \tilde { L } _ { 3 , } \tilde { r } _ { 1 2 } \} ] + \mathrm { c y c l . t e r m } = 0 .
{ \bf p } _ { e } ^ { { \scriptscriptstyle \perp } } = \frac e c { \bf A } ^ { \scriptscriptstyle \perp } \qquad \quad \mathrm { ~ i ~ . ~ e ~ . ~ } \quad { \bf u } _ { e } ^ { \scriptscriptstyle \perp } = \frac e { m c ^ { 2 } } { \bf A } ^ { \scriptscriptstyle \perp } ,
g ^ { - 1 } \ = \ \frac { f } { ( \Delta ^ { \prime } \psi ^ { \prime } ) ^ { 2 } } \left( \begin{array} { l l } { \partial _ { y ^ { \prime } } ^ { 2 } \psi ^ { \prime } } & { - \partial _ { x ^ { \prime } } \partial _ { y ^ { \prime } } \psi ^ { \prime } } \\ { - \partial _ { x ^ { \prime } } \partial _ { y ^ { \prime } } \psi ^ { \prime } } & { \partial _ { x ^ { \prime } } ^ { 2 } \psi ^ { \prime } } \end{array} \right) .
I _ { i j } ^ { \sigma } ( t ) = - \frac { \mathrm { i } \hbar } { 2 } U \left\{ \Tilde { L } _ { i i i j } ^ { \overline { { \sigma } } \sigma } ( t ) + \Tilde { L } _ { i i j i } ^ { \sigma \overline { { \sigma } } } ( t ) \right\} \, ,
\mathrm { d i m } _ { \mathrm { M B } } ( X ) = \operatorname* { l i m s u p } _ { \tilde { \alpha } \rightarrow \infty } \frac { \mathcal { I } \mathcal { J } \left( \log ( \tilde { \alpha } ) + \log \left( 2 \sqrt { \mathcal { I } \mathcal { J } \| \mathbf { A } \| _ { 1 } \| \mathbf { A } \| _ { \infty } } \right) \right) } { \log ( \tilde { \alpha } ) } = \mathcal { I } \mathcal { J }
\begin{array} { r l r } { ( X _ { \mathit { K } } ^ { T } X _ { \mathit { K } } ) _ { ( \mathit { E } , \mathit { E } ) } ^ { - 1 } } & { = } & { ( x _ { \mathit { E } } ^ { T } ( I - P _ { \mathit { F } } ) x _ { \mathit { E } } ) ^ { - 1 } } \\ & { = } & { \| x _ { \mathit { E } } \| _ { 2 } ^ { - 2 } ( 1 - R ^ { 2 } ( x _ { \mathit { E } } , X _ { \mathit { F } } ) ) ^ { - 1 } . } \end{array}
\Omega _ { _ M } h ^ { 2 } \simeq 1 0 ^ { 1 1 } \left( { \frac { \eta } { 1 0 ^ { 1 4 } \mathrm { G e V } } } \right) ^ { 3 } \left( { \frac { m _ { _ M } } { 1 0 ^ { 1 6 } \mathrm { G e V } } } \right) ,
F _ { k l } ^ { + + } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { 4 n _ { \mathrm { p i x } } } \frac { I _ { k } } { \langle I \rangle } ( 2 - \sqrt { 4 - v ^ { 4 } } ) } & { \textrm { f o r k = l } } \\ { - \frac { 1 } { 4 n _ { \mathrm { p i x } } ^ { 2 } } \frac { I _ { k } I _ { l } } { \langle I \rangle ^ { 2 } } \frac { 2 v ^ { 4 } \sin ^ { 2 } ( \phi _ { k } - \phi _ { l } ) } { 2 + v ^ { 2 } \cos ( \phi _ { k } - \phi _ { l } ) } } & { \textrm { f o r k \neq l } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \gamma } & { \leq \big ( c ^ { T } R ( x ) x _ { \mathcal { A } } + \displaystyle \sum _ { i \in [ n _ { \mathcal { A } } ] } \lambda _ { i } p _ { i } ( x _ { \mathcal { A } } ) \big ) - \big ( c ^ { T } S x _ { \mathcal { B } } - \displaystyle \sum _ { j \in [ n _ { \mathcal { B } } ] } q _ { j } ( x _ { \mathcal { B } } ) \big ) + c ^ { T } ( t ( x ) - d ) } \\ { 0 } & { = R ( x ) ^ { T } c + \displaystyle \sum _ { i \in [ n _ { \mathcal { A } } ] } \lambda _ { \mathcal { A } _ { i } } \nabla p _ { i } ( x _ { \mathcal { A } } ) } \\ { 0 } & { \leq \lambda _ { \mathcal { A } _ { i } } , i \in [ n _ { \mathcal { A } } ] } \\ { 0 } & { = S ^ { T } c - \displaystyle \sum _ { j \in [ n _ { \mathcal { B } } ] } \lambda _ { \mathcal { B } _ { j } } \nabla q _ { j } ( x _ { \mathcal { B } } ) } \\ { 0 } & { \leq \lambda _ { \mathcal { B } _ { j } } , j \in [ n _ { \mathcal { B } } ] } \\ { 1 } & { = \| c \| } \end{array}
\hat { H } _ { R } = - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 \mu _ { S } } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial q ^ { 2 } } - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 \mu _ { B } } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial Q ^ { 2 } } + V ( q , Q ) \quad ,
\begin{array} { r l } { \Delta u _ { i } ^ { ( \Omega _ { B } ) } ( { \bf x } ) } & { = \int _ { \Omega _ { B } } d { \bf x _ { B } } H _ { i j k } ^ { ( 0 ) } ( { \bf x } , { \bf x _ { B } } ) \Delta c _ { j k l m } ( { \bf x _ { B } } ) \epsilon _ { l m } ( { \bf x _ { B } } ) \left[ 1 - e ^ { - \frac { l ^ { 2 } } { N _ { i } h ^ { 2 } } } \right] } \\ & { + \omega ^ { 2 } \int _ { \Omega _ { B } } d { \bf x _ { B } } G _ { i j } ^ { ( 0 ) } ( { \bf x } , { \bf x _ { B } } ) \Delta \rho ( { \bf x _ { B } } ) u _ { j } ( { \bf x _ { B } } ) \left[ 1 - e ^ { - \frac { l ^ { 2 } } { N _ { i } h ^ { 2 } } } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { [ c ] \mathrm { S i O _ { 2 } / S i _ { 3 } N _ { 4 } / S i O _ { 2 } / S i _ { 3 } N _ { 4 } / S i O _ { 2 } / S i _ { 3 } N _ { 4 } / S i O _ { 2 } / S i _ { 3 } N _ { 4 } / S i O _ { 2 } / S i _ { 3 } N _ { 4 } / } } \\ { \mathrm { S i O _ { 2 } / S i _ { 3 } N _ { 4 } / S i O _ { 2 } / S i _ { 3 } N _ { 4 } / S i O _ { 2 } / S i _ { 3 } N _ { 4 } / S i O _ { 2 } / S i _ { 3 } N _ { 4 } / S i O _ { 2 } / S i _ { 3 } N _ { 4 } } } \end{array}
= \sum _ { a ^ { n } \in T _ { \delta } ^ { \mathbf { p } ^ { n } } } \operatorname* { P r } \left\{ E _ { a ^ { n } } \right\} \operatorname* { P r } _ { \mathcal { S } } \left\{ \bigcup _ { b ^ { n } \in T _ { \delta } ^ { \mathbf { p } ^ { n } } , \ b ^ { n } \neq a ^ { n } } E _ { a ^ { n } } ^ { \dagger } E _ { b ^ { n } } \in N \left( { \mathcal { S } } \right) \right\}
\begin{array} { r l } { \frac { D } { D t } T = \frac { D } { D t } \alpha ( i T ) = } & { \partial _ { t } \alpha ( i T ) + ( v \partial \alpha + \bar { v } \bar { \partial } \alpha ) ( i T ) } \\ & { - ( \partial v - \bar { \partial } \bar { v } ) T } \\ & { + ( p / 2 - 1 ) ( v \partial \varphi - \bar { v } \bar { \partial } \varphi ) T . } \end{array}
\begin{array} { r } { \psi _ { n } [ \xi , u ] \, = \, \mathcal { F } _ { n } [ u ] \Big ( \mathcal { X } _ { n - 2 } [ \xi ] \, - \, \frac { \mathcal { X } _ { n - 2 } [ \xi _ { 0 } ] } { \mathcal { X } _ { n } [ \xi _ { 0 } ] } \, \mathcal { X } _ { n } [ \xi ] \Big ) } \\ { + \, \, \mathcal { F } _ { n - 2 } [ u ] \Big ( \mathcal { X } _ { n } [ \xi ] \, - \, \frac { \mathcal { X } _ { n } [ \xi _ { 0 } ] } { \mathcal { X } _ { n - 2 } [ \xi _ { 0 } ] } \, \mathcal { X } _ { n - 2 } [ \xi ] \Big ) \ . \ \ \ } \end{array}
e ^ { \frac { x } { y } } = 1 + { \cfrac { 2 x } { 2 y - x + { \cfrac { x ^ { 2 } } { 6 y + { \cfrac { x ^ { 2 } } { 1 0 y + { \cfrac { x ^ { 2 } } { 1 4 y + \ddots } } } } } } } }
{ \Gamma ^ { 1 } } _ { a } = \left\{ \left( \begin{array} { l l } { { 0 } } & { { \sigma _ { 1 } } } \\ { { - \sigma _ { 1 } } } & { { 0 } } \end{array} \right) , \quad \left( \begin{array} { l l } { { 0 } } & { { - I } } \\ { { - I } } & { { 0 } } \end{array} \right) , \quad \left( \begin{array} { l l } { { I } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - I } } \end{array} \right) \right\} ,
P _ { Y } ^ { ( 6 ) . . . ( i _ { 1 } i _ { 2 } ) . . . } = \frac { 1 } { 2 } ( \delta _ { i _ { 1 } i _ { 1 } ^ { \prime } } \delta _ { i _ { 2 } i _ { 2 } ^ { \prime } } + \delta _ { i _ { 1 } i _ { 2 } ^ { \prime } } \delta _ { i _ { 2 } i _ { 1 } ^ { \prime } } ) P _ { Y } ^ { ( 6 ) . . . i _ { 1 } ^ { \prime } i _ { 2 } ^ { \prime } . . . }
\begin{array} { r l } { c _ { i j } \left[ \boldsymbol { x } _ { i } , \hat { \boldsymbol { h } } _ { i } | \boldsymbol { \mathcal { O } } \right] } & { { } = \frac { p \left( x _ { i } ^ { 0 } \right) } { \tilde { \mathcal { Z } } _ { i j } [ \boldsymbol { \mathcal { O } } ] } \prod _ { t = 0 } ^ { T - 1 } \left\{ \left[ \delta \left( \hat { h } _ { i } ^ { t } - \mathrm { i } \right) \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) \left( \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , x _ { i } ^ { t } } - \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , 1 } \right) + \delta \left( \hat { h } _ { i } ^ { t } \right) \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , 1 } \right] p \left( { O } _ { i } ^ { t } | x _ { i } ^ { t } \right) \right\} p \left( { O } _ { i } ^ { T } \mid x _ { i } ^ { T } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { K _ { \mathrm { t e s t } } = \frac { 1 } { 2 } ( \widehat { \tilde { u } _ { i } \tilde { u } _ { i } } - \hat { \tilde { u } } _ { i } \hat { \tilde { u } } _ { i } ) = \frac { 1 } { 2 } L _ { i i } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \xi _ { 1 } ^ { ' } } & { { } = } & { \xi _ { 1 } \mathrm { c o s } ( 2 \psi ) - \xi _ { 3 } \mathrm { s i n } ( 2 \psi ) , } \\ { \xi _ { 2 } ^ { ' } } & { { } = } & { \xi _ { 2 } , } \\ { \xi _ { 3 } ^ { ' } } & { { } = } & { \xi _ { 1 } \mathrm { s i n } ( 2 \psi ) + \xi _ { 3 } \mathrm { c o s } ( 2 \psi ) , } \end{array}
\chi _ { n } = \mathrm { i } \frac { 2 } { \delta _ { n } ^ { 2 } } \left( \frac { 1 - \beta _ { n } } { \beta _ { n } } \right) = 1 2 \left[ \frac { \mathrm { i } } { 6 \delta _ { n } ^ { 2 } } \left( \frac { \frac { 2 \delta _ { n } } { 1 + \mathrm { i } } \operatorname { t a n h } { \frac { 1 + \mathrm { i } } { 2 \delta _ { n } } } } { 1 - \frac { 2 \delta _ { n } } { 1 + \mathrm { i } } \operatorname { t a n h } { \frac { 1 + \mathrm { i } } { 2 \delta _ { n } } } } \right) \right] .
\begin{array} { r l } { \epsilon _ { \mathrm { ~ c ~ } } ^ { { \mathrm { ~ S ~ D ~ } } , \mathrm { ~ c ~ o ~ f ~ e ~ } } ( r _ { s } , \hat { f } _ { \mathrm { ~ x ~ - ~ m ~ a ~ p ~ } } ( \zeta ) ) \approx } & { { } \epsilon _ { \mathrm { ~ c ~ } } ^ { \mathrm { ~ Q ~ M ~ C ~ } } ( r _ { s } , \zeta ) } \end{array}
\begin{array} { r } { Z = { \sum _ { \xi _ { 1 } \ldots \xi _ { N } } } ^ { \prime } \sum _ { \mathrm { r o t } } \exp \left[ - \frac { E ( \xi _ { 1 } \ldots \xi _ { N } ) } { k _ { \mathrm { B } } T } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { H _ { 1 , j } = S _ { y , j } ^ { 2 } - S _ { z , j } ^ { 2 } , \quad H _ { 2 , j } = S _ { y , j } ^ { 2 } - S _ { x , j } ^ { 2 } , } \\ & { E _ { 1 , j } = S _ { y , j } S _ { z , j } , \quad E _ { 2 , j } = S _ { y , j } S _ { x , j } , \quad E _ { 3 , j } \ = S _ { z , j } S _ { x , j } , } \\ & { F _ { 1 , j } = S _ { z , j } S _ { y , j } , \quad F _ { 2 , j } = S _ { x , j } S _ { y , j } , \quad F _ { 3 , j } = S _ { x , j } S _ { z , j } , } \end{array}
\left. { { \frac { \partial ^ { n } } { \partial \rho ^ { n } } } V _ { \mathrm { e f f } } } \right\vert _ { \langle { } \rangle } \simeq \langle 0 \vert { \frac { \partial ^ { n } } { \partial \rho ^ { n } } } V _ { \mathrm { e f f } } \vert 0 \rangle
\partial _ { \eta } \overline { { \mathbf { W } } } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { p } ) \vert _ { \eta = 0 } = \left( \begin{array} { l l } { \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } \partial _ { u u \eta } f _ { 3 } ( \mathbf { r } _ { \eta } ( \mathbf { p } ) , \tau ) \vert _ { \eta = 0 } d \tau } & { \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } \partial _ { v u \eta } f _ { 3 } ( \mathbf { r } _ { \eta } ( \mathbf { p } ) , \tau ) \vert _ { \eta = 0 } d \tau } \\ { \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } \partial _ { u v \eta } f _ { 3 } ( \mathbf { r } _ { \eta } ( \mathbf { p } ) , \tau ) \vert _ { \eta = 0 } d \tau } & { \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } \partial _ { v v \eta } f _ { 3 } ( \mathbf { r } _ { \eta } ( \mathbf { p } ) , \tau ) \vert _ { \eta = 0 } d \tau } \end{array} \right) .
{ \frac { d } { d x } } \left( f ( x ) ^ { g ( x ) } \right) = g ( x ) f ( x ) ^ { g ( x ) - 1 } { \frac { d f } { d x } } + f ( x ) ^ { g ( x ) } \ln { ( f ( x ) ) } { \frac { d g } { d x } } , \qquad { \mathrm { i f ~ } } f ( x ) > 0 , { \mathrm { ~ a n d ~ i f ~ } } { \frac { d f } { d x } } { \mathrm { ~ a n d ~ } } { \frac { d g } { d x } } { \mathrm { ~ e x i s t . } }
\begin{array} { r l r } & { } & { { \int _ { \bar { \Delta } } } F ( m , x ) p _ { V } ( m , x ; t ) d m d x = \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } F ( m , m , \tilde { x } ) f _ { 0 } ( m , \tilde { x } ) d m d \tilde { x } + } \\ & { } & { \int _ { 0 } ^ { t } { \int _ { \bar { \Delta } } } { \cal L } F ( m , x ) p _ { V } ( m , x ; s ) d m d x d s + { \frac { 1 } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } { \| A ^ { 1 } ( m , \tilde { x } ) \| ^ { 2 } } \partial _ { m } F ( m , m , \tilde { x } ) { p _ { V } ( m , m , \tilde { x } ; s ) } d m d \tilde { x } d s } \end{array}
\Pi _ { \mu \nu } ( k ) = - e ^ { 2 } Z _ { 1 F } \int \frac { d ^ { \mathrm { D } } p } { ( 2 \pi ) ^ { \mathrm { D } } } \mathrm { t r } \bigl ( \gamma _ { \mu } S ( p ) \Gamma _ { \nu } ( p , p - k ) ) S ( p - k ) \bigr ) \; ,
L = \sum _ { k = 1 } ^ { N } \left( i \bar { \psi _ { k } } \gamma ^ { \mu } \nabla _ { \mu } \psi _ { k } + \bar { \psi _ { k } } ( \sigma + i \gamma _ { 5 } \pi ) \psi _ { k } \right) - \frac { N } { 2 G } \sigma ^ { 2 } ,
\begin{array} { r c l } { { \displaystyle { \cal A } _ { \mu \nu } ^ { \pi 2 \gamma } } } & { { = } } & { { \epsilon _ { \mu \nu \rho \sigma } k _ { 1 } ^ { \rho } k _ { 2 } ^ { \sigma } A ^ { \pi 2 \gamma } , } } \\ { { \displaystyle { \cal A } _ { \mu } ^ { \gamma 3 \pi } } } & { { = } } & { { \epsilon _ { \mu \nu \rho \sigma } p _ { + } ^ { \nu } p _ { 0 } ^ { \rho } p _ { - } ^ { \sigma } A ^ { \gamma 3 \pi } . } } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l } { f ( s ) } & { = \sum _ { n = 0 } ^ { N } c _ { n } \left( t p ^ { k } \right) ^ { n } } \\ & { = f ( r ) + t p ^ { k } f ^ { \prime } ( r ) + \sum _ { n = 2 } ^ { N } c _ { n } t ^ { n } p ^ { k n } } \\ & { = f ( r ) + t p ^ { k } f ^ { \prime } ( r ) + p ^ { 2 k } t ^ { 2 } g ( t ) } & & { g ( t ) \in \mathbb { Z } [ t ] } \\ & { = z p ^ { k } + t p ^ { k } f ^ { \prime } ( r ) + p ^ { 2 k } t ^ { 2 } g ( t ) } & & { f ( r ) \equiv 0 { \bmod { p } } ^ { k } } \\ & { = ( z + t f ^ { \prime } ( r ) ) p ^ { k } + p ^ { 2 k } t ^ { 2 } g ( t ) } \end{array} }
\begin{array} { r } { \mathbf { P } \left( b \cdot \nabla U ^ { \epsilon } \right) = b \cdot \nabla U ^ { \epsilon } - \mathbf { Q } \left( b \cdot \nabla U ^ { \epsilon } \right) , \quad \mathbf { Q } \left( b \cdot \nabla U ^ { \epsilon } \right) : = \big ( \nabla \Delta ^ { - 1 } \mathrm { d i v ~ } ( b \cdot \nabla u ^ { \epsilon } ) , 0 \big ) . } \end{array}