harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
k _ { \mathrm { f } } ^ { 0 } ( n _ { \mathrm { e f f } } ) = \frac { n _ { \mathrm { e f f } } \, \lambda \, \ln ( 2 ) } { \ln \left( \frac { 2 \, v ^ { \ast n _ { \mathrm { e f f } } } } { V _ { \mathrm { b } } ^ { n _ { \mathrm { e f f } } } + v ^ { \ast n _ { \mathrm { e f f } } } } \right) }
\begin{array} { r l r } { \ln \xi _ { a } ( A ) } & { { } = } & { - 6 . 7 9 7 4 3 - 1 . 2 0 2 1 4 \, \ln A } \\ { \ln \eta _ { a } ( A ) } & { { } = } & { - 1 1 . 2 4 2 3 + 0 . 6 6 1 7 1 1 \, \ln A } \\ { \ln \xi _ { b } ( A ) } & { { } = } & { - 6 . 7 8 3 8 6 - 1 . 2 2 4 9 5 \, \ln A } \\ { \ln \eta _ { b } ( A ) } & { { } = } & { - 1 0 . 6 9 2 4 + 0 . 6 7 3 4 8 3 \, \ln A } \end{array}
{ \Phi } + r { \Phi } ^ { \prime } + { \varphi } _ { A } + { \varphi } _ { B } = 0 \; \; \; \; \mathrm { o r , ~ e q u i v a l e n t l y , } \; \; \; \; \frac { \overline { { { \cal { N } } } } ^ { \, \prime } } { g } + { \varphi } _ { A } + { \varphi } _ { B } = 0 \, ,
\begin{array} { r l } { \theta _ { e } ( e ) \theta _ { x } ( e ) } & { = \theta _ { e } \left( x x ^ { - } \right) \theta _ { x } ( e ) = \theta _ { e } ( x ) \theta _ { e x } \left( x ^ { - } \right) \theta _ { x } ( e ) = \theta _ { e } ( x ) \theta _ { e x } ( e ) \theta _ { e x } \left( x ^ { - } \right) } \\ & { = \theta _ { e } ( x e ) \theta _ { e x } \left( x ^ { - } \right) = \theta _ { e } ( x ) \theta _ { e x } \left( x ^ { - } \right) = \theta _ { e } \left( x x ^ { - } \right) = \theta _ { e } ( e ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { S _ { i j } ( d ) } & { { } = S \left( \frac { \operatorname* { m i n } \{ i ^ { \prime } - i _ { 0 } , i _ { 1 } - i ^ { \prime } \} - d } { s } \right) } \\ { i ^ { \prime } } & { { } = i + \frac { 1 } { 2 } , \quad \quad \mathrm { ~ ( ~ f ~ o ~ r ~ c ~ e ~ l ~ l ~ - ~ c ~ e ~ n ~ t ~ e ~ r ~ e ~ d ~ v ~ a ~ l ~ u ~ e ~ s ~ ) ~ } } \\ { j ^ { \prime } } & { { } = j + \frac { 1 } { 2 } , } & { } \\ { S ( x ) } & { { } = \frac { 1 } { 1 + e ^ { - x } } , \quad \mathrm { ~ ( ~ s ~ i ~ g ~ m ~ o ~ i ~ d ~ ) ~ } } \end{array}
\begin{array} { r } { P _ { \mathrm { M e t } } = \operatorname* { m i n } \left( 1 , \frac { \pi ( \mathcal { S } ^ { \prime } ) } { \pi ( \mathcal { S } ~ ) } \right) = \exp \left( - \beta \left[ \Delta E _ { \mathrm { ~ t ~ o ~ t ~ } } \right] ^ { + } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| e ^ { i ( s - \sigma ) \Delta } B ( v ( \sigma ) ) \| _ { H ^ { 1 } } = \| B ( v ( \sigma ) ) \| _ { H ^ { 1 } } \leq C ( M _ { 2 } ) , } \\ & { \| e ^ { i ( s - \sigma ) \Delta } B ( v ( \sigma ) ) \| _ { L ^ { \infty } } \lesssim \| e ^ { i ( s - \sigma ) \Delta } B ( v ( \sigma ) ) \| _ { H ^ { 2 } } = \| B ( v ( \sigma ) ) \| _ { H ^ { 2 } } \leq C ( M _ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle i ^ { 0 } \lvert U ^ { ( 3 ) } ( t , t _ { 0 } ) \lvert i ^ { 0 } \rangle = } & { { } \: \left( - \frac { i } { \hbar } \right) ^ { 3 } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } d s _ { 1 } \int _ { t _ { 0 } } ^ { s _ { 1 } } d s _ { 2 } \int _ { t _ { 0 } } ^ { s _ { 2 } } d s _ { 3 } \: \langle i ^ { 0 } \lvert H _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ } } ^ { I } ( s _ { 1 } ) H _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ } } ^ { I } ( s _ { 2 } ) H _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ } } ^ { I } ( s _ { 3 } ) \lvert i ^ { 0 } \rangle } \end{array}
\begin{array} { r } { T r [ A _ { \gamma \delta } ^ { \rho \rho ^ { \prime } } ( \alpha , \sigma ) A _ { \delta \gamma } ^ { \rho ^ { \prime } \rho } ( \beta , \sigma ^ { \prime } ) ] = [ 2 N _ { \alpha } \delta _ { \beta \alpha } \delta _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } } \\ { - T r ( s _ { \alpha \beta } ^ { \sigma \sigma ^ { \prime } \dagger } s _ { \alpha \beta } ^ { \sigma \sigma ^ { \prime } } ) - T r ( s _ { \beta \alpha } ^ { \sigma \sigma ^ { \prime } \dagger } s _ { \beta \alpha } ^ { \sigma \sigma ^ { \prime } } ) ] . } \end{array}
\Gamma [ g _ { \mu \nu } ] \equiv \Gamma _ { 0 } [ g _ { \mu \nu } ] ~ + \Gamma ^ { \prime } [ g _ { \mu \nu } ] = \Gamma _ { 0 } [ g _ { \mu \nu } ] ~ \mathrm { - \ o p e r a t o r n a m e { l n } } \int [ \mathrm { d } \varphi ] ~
\begin{array} { r l } { w _ { z } ^ { 2 } } & { = w _ { 0 } ^ { 2 } \left( \Omega _ { 0 } ^ { 2 } + \Omega ^ { 2 } \right) , } \\ { { R _ { z } } } & { { = } \frac { z ( \Omega _ { 0 } ^ { 2 } + \Omega ^ { 2 } ) } { \Omega _ { 0 } ( 1 - \Omega _ { 0 } ) - \Omega ^ { 2 } } , } \\ { \phi _ { z } } & { = \tan ^ { - 1 } ( \Omega / \Omega _ { 0 } ) . } \end{array}
X = \left( Y \cup X _ { 1 } \right) \cup X _ { 2 } = \left( Z _ { 1 } \cup Z _ { 2 } \right) \cup X _ { 2 } = \left( Z _ { 1 } \cup X _ { 2 } \right) \cup \left( Z _ { 2 } \cap X _ { 1 } \right)
h \ = { \frac { k } { L } } 0 . 1 8 \left( { \frac { \mathrm { P r } } { 0 . 2 + \mathrm { P r } } } \mathrm { R a } _ { L } \right) ^ { 0 . 2 9 } \, \quad \mathrm { R a } _ { L } \mathrm { P r } / ( 0 . 2 + \mathrm { P r } ) > 1 0 ^ { 3 }
\begin{array} { r l } { \big \langle \mathrm { E } _ { \mathcal { H } , \mathfrak { t } } u , \delta v \big \rangle _ { \mathbb { R } ^ { n } } } & { = \big \langle u , \delta v \big \rangle _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { n } } + \big \langle \tilde { u } _ { \mathfrak { t } } , \delta v \big \rangle _ { \mathbb { R } _ { - } ^ { n } } } \\ & { = \big \langle \mathrm { d } u , v \big \rangle _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { n } } + \big \langle ( - \mathfrak { e } _ { n } ) \wedge u , v \big \rangle _ { \partial \mathbb { R } _ { + } ^ { n } } + \big \langle \widetilde { \mathrm { d } u } _ { \mathfrak { t } } , v \big \rangle _ { \mathbb { R } _ { - } ^ { n } } + \big \langle ( \mathfrak { e } _ { n } ) \wedge \tilde { u } _ { \mathfrak { t } } , v \big \rangle _ { \partial \mathbb { R } _ { - } ^ { n } } } \\ & { = \big \langle \mathrm { d } u , v \big \rangle _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { n } } + \big \langle \widetilde { \mathrm { d } u } _ { \mathfrak { t } } , v \big \rangle _ { \mathbb { R } _ { - } ^ { n } } } \\ & { = \big \langle \mathrm { E } _ { \mathcal { H } , \mathfrak { t } } \mathrm { d } u , v \big \rangle _ { \mathbb { R } ^ { n } } \mathrm { . } } \end{array}
\langle \alpha ; \boldsymbol { \mathsf { h } } ; s | \hat { N } | \alpha ; \boldsymbol { \mathsf { h } } ; s \rangle = \sum _ { n = 0 } ^ { + \infty } n \, \mathsf { P } _ { n } ^ { \boldsymbol { \mathsf { h } } } ( u ) \equiv \bar { n } _ { \boldsymbol { \mathsf { h } } } ( u )
\left( \begin{array} { c } { \gamma _ { 1 } ^ { + } } \\ { \gamma _ { 1 } ^ { - } } \\ { \gamma _ { 2 } ^ { + } } \\ { \gamma _ { 2 } ^ { - } } \end{array} \right) _ { z = z _ { 2 } } = \mathbf { P } ( z _ { 2 } - z _ { 1 } ) \left( \begin{array} { c } { \gamma _ { 1 } ^ { + } } \\ { \gamma _ { 1 } ^ { - } } \\ { \gamma _ { 2 } ^ { + } } \\ { \gamma _ { 2 } ^ { - } } \end{array} \right) _ { z = z _ { 1 } } .
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial f } { \partial t } | _ { \mathrm { c } } = } & { } & { \int d ^ { 3 } p _ { 2 } \int d ^ { 3 } p _ { 3 } \int d ^ { 3 } p _ { 4 } W ( \textbf { p } _ { 1 } , \textbf { p } _ { 2 } ; \textbf { p } _ { 3 } , \textbf { p } _ { 4 } ) } \\ & { } & { \times \{ f ( \textbf { r } , \textbf { p } _ { 3 } ) f ( \textbf { r } , \textbf { p } _ { 4 } ) - f ( \textbf { r } , \textbf { p } _ { 1 } ) f ( \textbf { r } , \textbf { p } _ { 2 } ) \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial \epsilon } { \partial w _ { 1 } } = 2 \sqrt { \epsilon } \: \: v _ { 1 } \left[ f ^ { \prime } \big ( w _ { 1 0 } + w _ { 1 } x _ { i } \big ) + w _ { 1 } x _ { i } f ^ { \prime \prime } \big ( w _ { 1 0 } + w _ { 1 } x _ { i } \big ) \right] } \\ & { \frac { \partial \epsilon } { \partial w _ { 2 } } = 2 \sqrt { \epsilon } \: \: v _ { 2 } \left[ f ^ { \prime } \big ( w _ { 2 0 } + w _ { 2 } x _ { i } \big ) + w _ { 2 } x _ { i } f ^ { \prime \prime } \big ( w _ { 2 0 } + w _ { 2 } x _ { i } \big ) \right] } \\ & { \frac { \partial \epsilon } { \partial w _ { 1 0 } } = 2 \sqrt { \epsilon } \: \: v _ { 1 } w _ { 1 } f ^ { \prime \prime } \big ( w _ { 1 0 } + w _ { 1 } x _ { i } \big ) } \\ & { \frac { \partial \epsilon } { \partial w _ { 2 0 } } = 2 \sqrt { \epsilon } \: \: v _ { 2 } w _ { 2 } f ^ { \prime \prime } \big ( w _ { 2 0 } + w _ { 2 } x _ { i } \big ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { u _ { 1 } } & { = { - } \frac { h } { H k } \ { \sqrt { v ^ { 2 } k _ { 1 } ^ { 2 } + f ^ { 2 } } } \ { \sin } ( \omega t - k \cdot x + \phi _ { 0 } - \varphi ) , } \\ { u _ { 2 } } & { = { - } \frac { h } { H k } \ { \sqrt { v ^ { 2 } k _ { 2 } ^ { 2 } + f ^ { 2 } } } \ { \sin } ( \omega t - k \cdot x + \phi _ { 0 } ) , } \\ { \eta } & { = - h \ \sin ( \omega t - k \cdot x + \phi _ { 0 } { - } \hat { \varphi } ) , \quad \tan \hat { \varphi } = \frac { k _ { 1 } f } { k _ { 2 } \omega } . } \end{array}
n _ { 2 } | E | ^ { 2 } = ( 1 - f _ { R } ) n _ { 2 } | E | ^ { 2 } + f _ { R } n _ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } h _ { R } ( t ^ { \prime } ) | E ( t - t ^ { \prime } ) | ^ { 2 } d t ^ { \prime } ,
\begin{array} { r l } & { F _ { e } ( \rho , U , \mathcal { E } _ { \chi } ) = \sum _ { m , n } \chi _ { m n } \textrm { T r } ( U ^ { + } B _ { m } \rho ) \textrm { T r } ( \rho B _ { n } ^ { + } U ) , } \\ & { F _ { g } ( | \psi \rangle , U , \mathcal { E } _ { \chi } ) = \langle \psi | U ^ { \dagger } \mathcal { E } _ { \chi } ( | \psi \rangle \langle \psi | ) U | \psi \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { l } { \langle I \rangle _ { \mathrm { ~ s ~ c ~ a ~ } } } \\ { \langle V \rangle _ { \mathrm { ~ s ~ c ~ a ~ } } } \end{array} \right) = \frac { 1 6 \pi ( k r ) ^ { 2 } } { 3 \sin ^ { 4 } \theta } \left( \begin{array} { l l } { 1 + \cos ^ { 2 } \theta } & { - 2 p \cos \theta } \\ { - 2 p \cos \theta } & { 1 + \cos ^ { 2 } \theta } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { I _ { \mathrm { ~ f ~ a ~ r ~ } } ( r , \theta ) } \\ { V _ { \mathrm { ~ f ~ a ~ r ~ } } ( r , \theta ) } \end{array} \right) . } \end{array}
{ \cal L } = \frac { 1 } { 2 } \left\{ \partial _ { \mu } \varphi _ { i } \, \partial ^ { \mu } \varphi _ { i } + i \bar { \psi } _ { i } \gamma ^ { \mu } \partial _ { \mu } \psi _ { i } + f _ { i } f _ { i } + 2 f _ { i } \, \frac { \partial { W } } { \partial \varphi _ { i } } - \frac { \partial ^ { 2 } { W } } { \partial \varphi _ { i } \partial \varphi _ { j } } \, \bar { \psi } _ { i } \psi _ { j } \right\} \; .
\begin{array} { r } { \int _ { T _ { j k } } { \bf f } \, d s = { \bf f } ( { \bf x } _ { T } ) | { \bf n } _ { T } | + \frac { 1 } { 2 } \int _ { T _ { j k } } ( { \bf x } - { \bf x } _ { T } ) ^ { t } \nabla ^ { 2 } { \bf f } _ { T } ( { \bf x } - { \bf x } _ { T } ) d s , } \end{array}
\left( \left( \widehat { \mathcal { P } } ( \omega _ { I } ) \right) ( t ) \right) _ { W } [ x _ { 0 } , p _ { 0 } ] = \left( e ^ { j \frac { \widehat { H _ { a } } } { \hbar } t } \widehat { \mathcal { P } } ( \omega _ { I } ) e ^ { - j \frac { \widehat { H _ { a } } } { \hbar } t } \right) _ { W } [ x _ { 0 } , p _ { 0 } ]
\begin{array} { r } { \tilde { \tau } = E a \tau , \quad \tilde { t } _ { j , j + 1 } = \frac { t _ { j , j + 1 } } { \left( t + t ^ { \prime } \right) } , \quad \gamma = \frac { E a } { \left( t + t ^ { \prime } \right) } = \frac { \alpha } { \epsilon ^ { 2 } } . } \end{array}
P e ^ { \int d \tau M ( \tau ) } = \sum _ { N = 0 } ^ { \infty } \int d \tau ^ { 1 } \dots d \tau ^ { N } \theta ( \tau _ { 1 2 } ) \dots \theta ( \tau _ { N - 1 , N } ) M ( \tau _ { 1 } ) \dots M ( \tau _ { N } ) , \ \theta ( \tau _ { 1 2 } ) = \theta ( \tau _ { 1 } - \tau _ { 2 } ) \ .
\begin{array} { r l } { I = f _ { 2 } ( t ) \, H } & { - { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } \dot { f } _ { 2 } \sum _ { i } \big ( x _ { i } \, p _ { x , i } + y _ { i } \, p _ { y , i } + z _ { i } \, p _ { z , i } \big ) } \\ & { + { \textstyle \frac { 1 } { 4 } } \ddot { f } _ { 2 } \sum _ { i } \big ( x _ { i } ^ { 2 } + y _ { i } ^ { 2 } + z _ { i } ^ { 2 } \big ) \, . } \end{array}
\widetilde { \lambda } _ { n i } = \frac { | \widetilde { \lambda } _ { 1 i } n _ { 1 } + \widetilde { \lambda } _ { 2 i } n _ { 2 } | + | - \widetilde { \lambda } _ { 1 i } n _ { 1 } + \widetilde { \lambda } _ { 2 i } n _ { 2 } | } { 2 }
\langle \Phi _ { i j } ^ { a b } | \hat { R } | \Phi _ { k l } ^ { c d } \rangle = \sum _ { n } W _ { n n } + \frac { 1 } { 2 } ( W _ { i k } \delta _ { j l } + \delta _ { i k } W _ { j l } ) \delta _ { a c } \delta _ { b d }
{ \frac { w } { z } } = w \cdot { \frac { 1 } { z } } = ( u + v i ) \cdot \left( { \frac { x } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } - { \frac { y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } i \right) = { \frac { 1 } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } \left( ( u x + v y ) + ( v x - u y ) i \right) .
\begin{array} { r } { ( f _ { r e s t } , \mathbf { k } _ { A } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { ( f _ { r e s t } , \mathbf { k } _ { A } ) } & { f _ { r e s t } > 0 } \\ { ( - f _ { r e s t } , - \mathbf { k } _ { A } ) } & { f _ { r e s t } < 0 } \end{array} \right. . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m a x } _ { ( i , l , k ) \in \mathbb { B } } \operatorname* { s u p } _ { t \in \mathcal { T } } \left| \tilde { \beta } _ { k } ^ { i , l } ( t ) - \beta _ { k } ^ { i , l } ( t ) - \frac { 1 } { n b _ { k } ^ { i , l } } \sum _ { j = 1 } ^ { n } K _ { b _ { k } ^ { i , l } } ( t _ { j } - t ) \tilde { e } _ { j , k } ^ { i , l } \right| = O _ { \mathbb { P } } \left( c _ { n } \right) = o _ { \mathbb { P } } ( 1 ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname { v o l } _ { \chi } ( L , \varphi , \psi ) : = \displaystyle ( d + 1 ) \operatorname { v o l } ( L ) \operatorname* { l i m } _ { n \to + \infty } \frac { \widehat { \mu } ( H ^ { 0 } ( X , n L ) , n \varphi , n \psi ) ) } { n } = - \operatorname* { l i m } _ { n \to + \infty } \frac { ( d + 1 ) ! } { n ^ { d + 1 } } \ln \frac { \| \cdot \| _ { n \varphi , \operatorname* { d e t } } } { \| \cdot \| _ { n \psi , \operatorname* { d e t } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { 1 / \widetilde { a } _ { 1 } ( p ) ^ { m } } ( p ^ { \boxtimes _ { d } m } ) ( x ) } & { = \frac { 1 } { \widetilde { a } _ { 1 } ( p ) ^ { m d } } \cdot p ^ { \boxtimes _ { d } m } ( \widetilde { a } _ { 1 } ( p ) ^ { m } x ) } \\ & { = x ^ { d } + \sum _ { i = 1 } ^ { d } ( - 1 ) ^ { i } \binom { d } { i } \widetilde { a } _ { i } ( p ) ^ { m } \cdot \widetilde { a } _ { 1 } ( p ) ^ { - i m } x ^ { d - i } } \\ & { = x ^ { d } - d x ^ { d - 1 } + \sum _ { i = 2 } ^ { d } ( - 1 ) ^ { i } \binom { d } { i } \left( \frac { \widetilde { a } _ { i } ( p ) } { \widetilde { a } _ { 1 } ( p ) ^ { i } } \right) ^ { m } x ^ { d - i } } \\ & { \rightarrow x ^ { d } - d x ^ { d - 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { 2 \Big ( \log \frac { 2 } { \varepsilon ^ { 2 } \delta \gamma } - 1 \Big ) l _ { 0 } ^ { ( s ) } + \Big ( 2 \log \frac { 2 } { \varepsilon ^ { 2 } \delta \gamma } - 1 \Big ) l _ { d } ^ { ( r ) } < l _ { s } ^ { ( r ) } } \\ & { ~ 2 \Big [ 2 ( 3 + C _ { 1 1 } + C _ { 1 2 } ) \log \frac { 2 } { \varepsilon ^ { 2 } \delta \gamma } + 2 C _ { 1 2 } - \varepsilon ^ { 2 } \delta \gamma \Big ] l _ { 0 } ^ { ( s ) } } \\ & { + \Big [ 4 C _ { 1 2 } \Big ( 1 + \log \frac { 2 } { \varepsilon ^ { 2 } \delta \gamma } \Big ) - \varepsilon ^ { 2 } \delta \gamma \Big ] l _ { d } ^ { ( r ) } < \varepsilon ^ { 2 } \delta \gamma l _ { s } ^ { ( r ) } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \sin ( z ) } & { = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { n } } { ( 2 n + 1 ) ! } } z ^ { 2 n + 1 } } \\ & { = { \frac { e ^ { i z } - e ^ { - i z } } { 2 i } } } \\ & { = { \frac { \sinh \left( i z \right) } { i } } } \\ & { = - i \sinh \left( i z \right) } \\ { \cos ( z ) } & { = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { n } } { ( 2 n ) ! } } z ^ { 2 n } } \\ & { = { \frac { e ^ { i z } + e ^ { - i z } } { 2 } } } \\ & { = \cosh ( i z ) } \end{array} }
\begin{array} { r l } { I ( k _ { \perp } ^ { \prime \prime } , s ) } & { { } = - e ^ { k _ { \perp } ^ { \prime \prime } ( 2 5 s + 1 8 ) } ( s - 1 ) ^ { 2 } \left[ 3 k _ { \perp } ^ { 2 } ( s - 1 ) ^ { 2 } - 2 k _ { \perp } ^ { \prime \prime } ( s - 1 ) + 3 \right] + e ^ { k _ { \perp } ^ { \prime \prime } ( 2 9 s + 2 4 ) } ( s - 1 ) ^ { 2 } } \end{array}
\left[ \begin{array} { c c } { \mathcal { M } _ { 1 1 } } & { \mathcal { M } _ { 1 2 } } \\ { \mathcal { M } _ { 2 1 } } & { \mathcal { M } _ { 2 2 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c } { \mathbf { I } _ { L } } \\ { \mathbf { R } _ { L } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c } { \mathbf { T } _ { R } } \\ { \mathbf { I } _ { R } } \end{array} \right] ,
L _ { \omega } = \sum _ { \omega ^ { \prime \prime \prime } } [ \sum _ { \omega ^ { \prime } \leq \omega ^ { \prime \prime } } \sqrt { | \omega ^ { \prime } \omega ^ { \prime \prime } | } C _ { \omega ^ { \prime } \omega ^ { \prime \prime } } ^ { \omega ^ { \prime \prime \prime } } \: C _ { \omega \omega ^ { \prime \prime \prime } } ^ { 0 } \: \tilde { \alpha } _ { \omega ^ { \prime } } \: \tilde { \alpha } _ { \omega ^ { \prime \prime } } + \sum _ { \omega ^ { \prime \prime } < \omega ^ { \prime } } \sqrt { | \omega ^ { \prime } \omega ^ { \prime \prime } | } C _ { \omega ^ { \prime } \omega ^ { \prime \prime } } ^ { \omega ^ { \prime \prime \prime } } \: C _ { \omega \omega ^ { \prime \prime \prime } } ^ { 0 } \: \tilde { \alpha } _ { \omega ^ { \prime \prime } } \: \tilde { \alpha } _ { \omega ^ { \prime } } ]
\begin{array} { r l } { \Vert u ( t , x ) - u ( t , y ) \Vert _ { p } } & { \le \sum _ { n \geq 0 } \Vert I _ { n } ( \tilde { f _ { n } } ( \cdot , t , x ) ) - I _ { n } ( \tilde { f _ { n } } ( \cdot , t , y ) ) \Vert _ { p } } \\ & { \le \sum _ { n \geq 0 } ( p - 1 ) ^ { n / 2 } \Vert I _ { n } ( \tilde { f _ { n } } ( \cdot , t , x ) ) - I _ { n } ( \tilde { f _ { n } } ( \cdot , t , y ) ) \Vert _ { 2 } , } \end{array}
{ \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 2 } \\ { 1 } & { 3 } \end{array} \right] } ^ { n } = { \left[ \begin{array} { l l } { a _ { 1 1 } } & { a _ { 1 2 } } \\ { a _ { 2 1 } } & { a _ { 2 2 } } \end{array} \right] }
\begin{array} { r l } { \frac { \bar { \iota } _ { 0 } ^ { 2 } \mathcal { T } _ { | p | } } { 4 \kappa ^ { 2 } } } & { = \frac { 2 \alpha } { ( 3 + \alpha ) - \bar { F } ( 1 + \alpha ) } - \sqrt { \alpha } \mathcal { I } \left[ \sqrt { \alpha } , \sigma \right] } \\ & { = - \frac { \alpha \left[ ( 1 - \sqrt { \alpha } ) ^ { 2 } - ( 1 + \alpha ) \bar { F } \right] } { ( 1 + \sqrt { \alpha } ) [ ( 3 + \alpha ) - ( 1 + \alpha ) \bar { F } ] } - \sqrt { \alpha } \left( \mathcal { I } [ \sqrt { \alpha } , \sigma ] - \frac { \sqrt { \alpha } } { 1 + \sqrt { \alpha } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { - \Delta ^ { \nabla ^ { \pi } } d ^ { \pi } w } & { = } & { \delta ^ { \nabla ^ { \pi } } [ ( w ^ { * } \lambda \circ j ) \wedge ( { \mathcal L } _ { R _ { \lambda } } J ) \partial ^ { \pi } w ] } \\ & { = } & { - * \langle ( \nabla ^ { \pi } ( { \mathcal L } _ { R _ { \lambda } } J ) ) \partial ^ { \pi } w , w ^ { * } \lambda \rangle } \\ & { } & { - * \langle ( { \mathcal L } _ { R _ { \lambda } } J ) \nabla ^ { \pi } \partial ^ { \pi } w , w ^ { * } \lambda \rangle - * \langle ( { \mathcal L } _ { R _ { \lambda } } J ) \partial ^ { \pi } w , \nabla w ^ { * } \lambda \rangle . } \end{array}
\big \lVert \sum _ { k = 5 } ^ { k _ { 0 } } \mathcal { I } _ { 2 } ^ { \mathrm { d o b } } ( \beta , k ; \hbar ) \varphi \big \rVert _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } ^ { 2 } \leq \frac { k _ { 0 } ^ { 4 } t \lambda ^ { 2 } } { \hbar ^ { 2 } } \sum _ { k = 5 } ^ { k _ { 0 } } \sum _ { l = 1 } ^ { k - 4 } \int _ { 0 } ^ { t } \big \lVert \tilde { \mathcal { I } } _ { 2 } ^ { \mathrm { d o b } } ( \beta , k , l , s _ { k + \beta + 1 } ; \hbar ) \varphi \big \rVert _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } ^ { 2 } \, d s _ { k + \beta + 1 } ,
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { n } D ^ { \nu ( j , k ) } \log L ( \theta _ { 0 } ; Y _ { 0 : n } ) = \frac { 1 } { n } \left\{ \sum _ { t = 1 } ^ { n } g ^ { \nu ( j , k ) } ( W _ { t , \theta _ { 0 } } ^ { ( 2 ) } , W _ { t - 1 , \theta _ { 0 } } ^ { ( 2 ) } ) + g _ { 0 } ^ { \nu ( j , k ) } ( W _ { 0 , \theta _ { 0 } } ^ { ( 2 ) } ) \right\} } \\ { \rightarrow } & { ~ E _ { \omega _ { \theta _ { 0 } , 2 } } ^ { \theta _ { 0 } } [ g ^ { \nu ( j , k ) } ( W _ { 1 , \theta _ { 0 } } ^ { ( 2 ) } , W _ { 0 , \theta _ { 0 } } ^ { ( 2 ) } ) ] ~ ~ ~ P ^ { \theta _ { 0 } } \mathrm { - a . s . } } \end{array}
L o s s \left( { { \hat { y } } _ { n } , y _ { n } } \right) = \frac { 1 } { N } { \sum _ { n } ^ { N } { - \left\lbrack { y _ { n } { \log \left( { \hat { y } } _ { n } \right) } + \left( { 1 - y _ { n } } \right) { \log \left( { 1 - { \hat { y } } _ { n } } \right) } } \right\rbrack } }
\begin{array} { l l } { { J _ { A } = - { \frac { \partial _ { r } \Gamma } { \partial \Phi ^ { A } } } , } } & { { { \frac { \partial _ { l } W } { \partial K _ { A } } } = { \frac { \partial _ { l } \Gamma } { \partial K _ { A } } } , } } \end{array}
\varrho _ { a } ( r ) = \left\{ \begin{array} { c c } { \displaystyle \frac { 4 \pi A _ { - } ^ { 2 } } { \mathcal { N } } \, \Big [ g _ { - } ^ { 2 } ( r ) + f _ { - } ^ { 2 } ( r ) \Big ] , } & { r < r _ { a } , } \\ { \displaystyle \frac { 4 \pi A _ { + } ^ { 2 } } { \mathcal { N } } \, \Big [ g _ { + } ^ { 2 } ( r ) + f _ { + } ^ { 2 } ( r ) \Big ] , } & { r > r _ { a } , } \end{array} \right.
s k ( \alpha ) = \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { \alpha } \\ { - \alpha } & { 0 } \end{array} \right) \; \; \; / \; \; \; s k \left( \begin{array} { l } { \alpha } \\ { \beta } \\ { \gamma } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { - \gamma } & { \beta } \\ { \gamma } & { 0 } & { - \alpha } \\ { - \beta } & { \alpha } & { 0 } \end{array} \right)
\operatorname* { l i m i n f } _ { n \to \infty } x _ { n } : = \operatorname* { s u p } _ { n \geq 0 } \, \operatorname* { i n f } _ { m \geq n } x _ { m } = \operatorname* { s u p } \{ \, \operatorname* { i n f } \{ \, x _ { m } : m \geq n \, \} : n \geq 0 \, \} .
{ \begin{array} { r l } & { { \left[ \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { c _ { 2 3 } } & { s _ { 2 3 } } \\ { 0 } & { - s _ { 2 3 } } & { c _ { 2 3 } } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l l l } { c _ { 1 3 } } & { 0 } & { s _ { 1 3 } e ^ { - i \delta _ { \mathrm { C P } } } } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { - s _ { 1 3 } e ^ { i \delta _ { \mathrm { C P } } } } & { 0 } & { c _ { 1 3 } } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l l l } { c _ { 1 2 } } & { s _ { 1 2 } } & { 0 } \\ { - s _ { 1 2 } } & { c _ { 1 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } } \\ & { = { \left[ \begin{array} { l l l } { c _ { 1 2 } c _ { 1 3 } } & { s _ { 1 2 } c _ { 1 3 } } & { s _ { 1 3 } e ^ { - i \delta _ { \mathrm { C P } } } } \\ { - s _ { 1 2 } c _ { 2 3 } - c _ { 1 2 } s _ { 2 3 } s _ { 1 3 } e ^ { i \delta _ { \mathrm { C P } } } } & { c _ { 1 2 } c _ { 2 3 } - s _ { 1 2 } s _ { 2 3 } s _ { 1 3 } e ^ { i \delta _ { \mathrm { C P } } } } & { s _ { 2 3 } c _ { 1 3 } } \\ { s _ { 1 2 } s _ { 2 3 } - c _ { 1 2 } c _ { 2 3 } s _ { 1 3 } e ^ { i \delta _ { \mathrm { C P } } } } & { - c _ { 1 2 } s _ { 2 3 } - s _ { 1 2 } c _ { 2 3 } s _ { 1 3 } e ^ { i \delta _ { \mathrm { C P } } } } & { c _ { 2 3 } c _ { 1 3 } } \end{array} \right] } . } \end{array} }
\overline { { \operatorname { E f f } } } _ { 1 } ( \mathcal { X } ) _ { K _ { \mathcal { X } } + \Delta + \delta F \geq 0 } + \operatorname { N e f } _ { 1 } ( \mathcal { X } ) = \overline { { \operatorname { E f f } } } _ { 1 } ( \mathcal { X } ) _ { K _ { \mathcal { X } } + \Delta + m F \geq 0 } + \sum _ { i } \mathbb { R } _ { \geq 0 } [ C _ { i } ]
\begin{array} { r l } { x } & { { } = 0 . { \overline { { a _ { 1 } a _ { 2 } \cdots a _ { n } } } } } \\ { 1 0 ^ { n } x } & { { } = a _ { 1 } a _ { 2 } \cdots a _ { n } . { \overline { { a _ { 1 } a _ { 2 } \cdots a _ { n } } } } } \\ { \left( 1 0 ^ { n } - 1 \right) x = 9 9 \cdots 9 9 x } & { { } = a _ { 1 } a _ { 2 } \cdots a _ { n } } \\ { x } & { { } = { \frac { a _ { 1 } a _ { 2 } \cdots a _ { n } } { 1 0 ^ { n } - 1 } } = { \frac { a _ { 1 } a _ { 2 } \cdots a _ { n } } { 9 9 \cdots 9 9 } } } \end{array}
\partial _ { \sigma } \mathcal { W } ( t ; r , \sigma ) | \mathcal { W } ( t ; r , \sigma ) | ^ { p - 2 } \mathcal { W } ( t ; r , \sigma ) = p ^ { - 1 } \partial _ { \sigma } \left[ | \mathcal { W } ( t ; r , \sigma ) | ^ { p } \right]