harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \phi _ { 1 } ( n _ { 3 } ) } & { { } = - \ln { ( 1 - n _ { 3 } ) } , } \\ { \phi _ { 2 } ( n _ { 3 } ) } & { { } = \frac { 1 } { 1 - n _ { 3 } } , } \\ { \phi _ { 3 } ( n _ { 3 } ) } & { { } = \frac { 2 n _ { 3 } + 2 ( 1 - n _ { 3 } ) ^ { 2 } \ln ( 1 - n _ { 3 } ) } { 7 2 \pi n _ { 3 } ^ { 2 } ( 1 - n _ { 3 } ) ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { | J _ { 2 } ( \mathfrak { g } _ { 1 } ) - J _ { 2 } ( \mathfrak { g } _ { 2 } ) | } \\ & { \leq \ensuremath { { \mathbb E } } ^ { \mu } \left[ \int _ { 0 } ^ { T } \left| \| \mathfrak { g } _ { 1 } ( t ) \| _ { H } ^ { 2 } - \| \mathfrak { g } _ { 2 } ( t ) \| _ { H } ^ { 2 } \right| \, d t \right] } \\ & { \leq \ensuremath { { \mathbb E } } ^ { \mu } \left[ \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Lambda } ( 1 + | \mathfrak { g } _ { 1 } ( t , x ) | + | \mathfrak { g } _ { 2 } ( t , x ) | ) | \mathfrak { g } _ { 1 } ( t , x ) - \mathfrak { g } _ { 2 } ( t , x ) | d x d t \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \rho ( z , t = 0 ) = \rho _ { 0 } + \frac { \mu m _ { H } } { k _ { B } T _ { 0 } } \frac { B _ { 0 } ^ { 2 } } { \sqrt { 8 \pi } } \left( 1 - \operatorname { t a n h } ^ { 2 } \left( ( z - z _ { 0 } ) / w \right) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathbb P } ( E _ { 2 } ) } & { = 1 - \prod _ { i \in \mathcal { T } } [ 1 - { \mathbb P } ( E _ { 2 } ^ { \prime } ) ] } \\ & { \geq 1 - \Big [ 1 - n ^ { - \eta _ { 1 } ( \mathbf { q } , 1 - \rho ) + o ( 1 ) } - n ^ { - \eta _ { 1 } ( \mathbf { q } , \rho ) + o ( 1 ) } \Big ] ^ { | \mathcal { T } | } } \\ & { \geq 1 - e ^ { - n ^ { 1 - \eta _ { 1 } ( \mathbf { q } , 1 - \rho ) + o ( 1 ) } - n ^ { 1 - \eta _ { 1 } ( \mathbf { q } , \rho ) + o ( 1 ) } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\langle \sum _ { | \mathbf { x } _ { j } - \mathbf { x } _ { i } | < R _ { 0 } } \mathbf { v } _ { j } ( t ) \right\rangle = \left\langle \sum _ { | \mathbf { x } _ { j } - \mathbf { x } _ { i } | < R _ { 0 } } [ \mathbf { x } _ { j } ( t ) - \mathbf { x } _ { j } ( t - 1 ) ] \right\rangle \approx M \langle \mathbf { x } _ { i } ( t ) - \mathbf { x } _ { i } ( t - 1 ) \rangle = M [ \mathbf { X } ( t ) - \mathbf { X } ( t - 1 ) ] , } \end{array}
\delta _ { B } L _ { f } = \eta \; \frac { d } { d \tau } \; \Bigl [ \frac { c \; ( p ^ { 2 } + q ^ { 2 } m ^ { 2 } ) } { ( 1 + q ^ { 2 } ) } + q ^ { 2 } \; b \; \dot { c } \Bigr ] ,
[ \hat { p } _ { \mu } , \hat { p } _ { \nu } ] = - \hat { R } _ { \mu \nu } \qquad [ \hat { p } _ { \mu } , \hat { q } ^ { \nu } ] = - i \delta _ { \mu } ^ { \nu } \qquad [ \hat { q } ^ { \mu } , \hat { q } ^ { \nu } ] = 0
\begin{array} { r } { T _ { a } \big \vert _ { \xi = \xi _ { 0 } } = \, T \big \vert _ { \xi = \xi _ { 0 } } \, , \ } \\ { T _ { a } \big \vert _ { \xi \to \infty } = \, C _ { a i r } \, z \, = \, C _ { a i r } \, { c \, u \, \xi } \, \, , \ } \end{array}
S = \frac { 1 } { 2 } \int d ^ { 4 } x \epsilon ^ { \mu \nu \alpha \beta } \epsilon _ { a b c d } \bigg [ ( { ^ + } \tau - { ^ - } \tau ) F _ { \mu \nu } ^ { a b } F _ { \alpha \beta } ^ { c d } + ( { ^ + } \tau + { ^ - } \tau ) F _ { \mu \nu } ^ { a b } \tilde { F } _ { \alpha \beta } ^ { c d } \bigg ] .
\begin{array} { r l } { | \vec { S } _ { \mathrm { p - p o l } } | } & { = \frac { \gamma _ { 0 } } { \mu _ { 0 } } \sqrt { E _ { y } ^ { \prime 2 } B _ { z } ^ { \prime 2 } + \gamma _ { 0 } ^ { 2 } v _ { y } ^ { 2 } B _ { z } ^ { \prime 4 } } } \\ & { = \frac { E _ { y } ^ { \prime 2 } \gamma _ { 0 } } { \mu _ { 0 } c } \sqrt { 1 + \gamma _ { 0 } ^ { 2 } \frac { v _ { y } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } \; . } \end{array}
\mathcal { L } ( \mathcal { I } ; \mathcal { I } _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } ) = \frac { 1 } { \sqrt { n _ { x } n _ { y } } } \left\| \widehat { \mathcal { I } } - \widehat { \mathcal { I } } _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } \right\| _ { F } ,
\begin{array} { r l } { I _ { n } ^ { c } ( \omega ) } & { = \frac { 1 } { 2 \pi } \sum _ { m } \int \frac { W _ { n m } ^ { c } ( i \omega ^ { \prime } ) d \omega ^ { \prime } } { \omega + i \omega ^ { \prime } - \epsilon _ { m } - i \eta \, \mathrm { s g n } ( \epsilon _ { F } - \epsilon _ { m } ) } } \\ { R _ { n } ^ { c } ( \omega ) } & { = \sum _ { m } f _ { m } W _ { n m } ^ { c } ( | \epsilon _ { m } - \omega | + i \eta ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \displaystyle \int _ { I _ { n } } ( t _ { n - 1 } - t ) \xi \xi ^ { \prime \prime } d t = } & { \displaystyle \int _ { I _ { n } } \left( f ( t , u , u ^ { \prime } ) - f ( t , U , U ^ { \prime } ) \right) \pi ^ { r _ { n } - 2 } ( ( t _ { n - 1 } - t ) \xi ) d t } \\ { \le } & { L \left( \displaystyle \int _ { I _ { n } } \left( | u - U | + | u ^ { \prime } - U ^ { \prime } | \right) ^ { 2 } d t \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left( \displaystyle \int _ { I _ { n } } \left| \pi ^ { r _ { n } - 2 } ( ( t _ { n - 1 } - t ) \xi ) \right| ^ { 2 } d t \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \\ { \le } & { \sqrt { 2 } L \| e \| _ { H ^ { 1 } ( I _ { n } ) } \| \pi ^ { r _ { n } - 2 } ( ( t _ { n - 1 } - t ) \xi ) \| _ { L ^ { 2 } ( I _ { n } ) } } \\ { \le } & { \sqrt { 2 } L \| e \| _ { H ^ { 1 } ( I _ { n } ) } \| ( t _ { n - 1 } - t ) \xi \| _ { L ^ { 2 } ( I _ { n } ) } } \\ { \le } & { \sqrt { 2 } L k _ { n } \| e \| _ { H ^ { 1 } ( I _ { n } ) } \| \xi \| _ { L ^ { 2 } ( I _ { n } ) } . } \end{array} } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { r ( \theta , 0 ) } & { = R _ { 0 } \left[ 1 + \varepsilon _ { n , 0 } P _ { n } ( \cos \theta ) - \frac { 1 } { 2 n + 1 } \varepsilon _ { n , 0 } ^ { 2 } \right] \cos ( \theta - \frac { \pi } { 2 } ) , } \\ { z ( \theta , 0 ) } & { = R _ { 0 } \left[ 1 + \varepsilon _ { n , 0 } P _ { n } ( \cos \theta ) - \frac { 1 } { 2 n + 1 } \varepsilon _ { n , 0 } ^ { 2 } \right] \sin ( \theta - \frac { \pi } { 2 } ) + 1 . 0 , } \end{array} \right. \quad \theta \in [ 0 , \pi ] , \quad n \geq 2 ,
\begin{array} { r l r } { f \left( x \right) } & { : } & { = { \bf E } \left( X _ { n + 1 } - x \mid X _ { n } = x \right) = { \bf E } \left( S \left( x \right) \right) - x + { \bf E } \left( \beta \right) = - x + \frac { \overline { { \alpha } } } { \alpha } \left( 1 - \overline { { \alpha } } ^ { x } \right) + { \bf E } \left( \beta \right) } \\ { \sigma ^ { 2 } \left( x \right) } & { : } & { = \sigma ^ { 2 } \left( \left( X _ { n + 1 } - x \right) \mid X _ { n } = x \right) = \frac { \overline { { \alpha } } } { \alpha } \left( 1 - \overline { { \alpha } } ^ { x } \right) \left[ 1 + \frac { \overline { { \alpha } } } { \alpha } \left( 1 + \overline { { \alpha } } ^ { x } \right) \right] - 2 \frac { \overline { { \alpha } } } { \alpha } x \overline { { \alpha } } ^ { x } + \sigma ^ { 2 } \left( \beta \right) . } \end{array}
\partial _ { s } \nu _ { \kappa } = 2 \lambda ^ { 2 } \, \int _ { \omega , q } \partial _ { s } M _ { \kappa } ( q ) \, q ^ { 4 } h ( q ) \, \frac { \omega ^ { 2 } - \big ( q ^ { 2 } h _ { \kappa } ( q ) \big ) ^ { 2 } } { \Big ( \omega ^ { 2 } + \big ( q ^ { 2 } h _ { \kappa } ( q ) \big ) ^ { 2 } \Big ) ^ { 3 } } \, , \qquad h _ { \kappa } ( q ) = \nu _ { \kappa } + M _ { \kappa } ( q ) \, .
R _ { \tau } = \frac { \Gamma ( \tau \rightarrow \mathrm { h a d r o n s } + \nu _ { \tau } ) } { \Gamma ( \tau \rightarrow l + \bar { \nu } _ { l } + \nu _ { \tau } ) } = N _ { c } S _ { \mathrm { E W } } \left( | V _ { u d } | ^ { 2 } ( 1 + \delta _ { u d } ) + | V _ { u s } | ^ { 2 } ( 1 + \delta _ { u s } ) \right) .
\begin{array} { r l r } { T _ { 3 } } & { = } & { \Bigg | \mathbb { E } \Bigg [ \frac { 1 } { \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l - 1 } ( g _ { k - 1 } ) } [ \frac { 1 } { 2 } \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l } + \frac { 1 } { 2 } \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l , a } - \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l - 1 } ] ( g _ { k - 1 } P ( \varphi ) ) - \frac { 1 } { \eta _ { k - 1 } ^ { l - 1 } ( g _ { k - 1 } ) } [ \frac { 1 } { 2 } \eta _ { k - 1 } ^ { l } + } \\ & { } & { \frac { 1 } { 2 } \eta _ { k - 1 } ^ { l } - \eta _ { k - 1 } ^ { l - 1 } ] ( g _ { k - 1 } P ( \varphi ) ) \Bigg ] \Bigg | } \\ { T _ { 4 } } & { = } & { \Bigg | \mathbb { E } \Bigg [ \frac { 1 } { \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l } ( g _ { k - 1 } ) \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l - 1 } ( g _ { k - 1 } ) } \frac { 1 } { 2 } \{ [ \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l } - \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l , a } ] ( g _ { k - 1 } P ( \varphi ) ) \} \{ [ \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l - 1 } - \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l } ] ( g _ { k - 1 } ) \} \Bigg ] \Bigg | } \end{array}
\begin{array} { r l } { v _ { i } e ^ { - t } } & { { } = \alpha \, O _ { n } \int _ { \infty } ^ { t } e ^ { - t ^ { \prime } } e ^ { t ^ { \prime } / { \tau _ { e c o n } } } e ^ { - \sigma t ^ { \prime } } A \, \mathrm { d } t ^ { \prime } } \end{array}
V _ { x y } ( I _ { + x } ) = \pm \Delta R _ { A H E } I _ { + x } \sqrt { 1 - \frac { ( H _ { x } \mp H _ { \mathrm { d l } } ) ^ { 2 } + ( H _ { y } + H _ { \mathrm { f l } } ) ^ { 2 } } { H _ { k } ^ { 2 } } } .
k _ { \rho n _ { 3 } } ^ { 2 } = k _ { 0 } ^ { 2 } - ( n _ { 3 } \pi / h ) ^ { 2 } = \omega ^ { 2 } \mu _ { 0 } \varepsilon _ { 0 } - ( n _ { 3 } \pi / h ) ^ { 2 }
\begin{array} { r l r l r l r l r l } { \omega \ensuremath { \rho ^ { \prime } } } & { = } & & { } & { k \rho } & { \ensuremath { v _ { \mathrm { s } } ^ { \prime } } } & & { } & { + k } & { \frac { ( \ensuremath { \mathbf { k } } \ensuremath { \mathbf { j } _ { 0 } ^ { \prime } } ) } { k } , } \\ { \omega \ensuremath { v _ { \mathrm { s } } ^ { \prime } } } & { = } & { k \left( \frac { c ^ { 2 } } { \rho } + B \right) } & { \ensuremath { \rho ^ { \prime } } } & & { } & { + k A } & { \frac { ( \ensuremath { \mathbf { j } } \ensuremath { \mathbf { j } _ { 0 } ^ { \prime } } ) } { j } , } & & { } \\ { \omega \frac { ( \ensuremath { \mathbf { j } } \ensuremath { \mathbf { j } _ { 0 } ^ { \prime } } ) } { j } } & { = } & { 2 A j k \cos \theta } & { \ensuremath { \rho ^ { \prime } } } & { + C j k } & { \ensuremath { v _ { \mathrm { s } } ^ { \prime } } } & { + D k } & { \frac { ( \ensuremath { \mathbf { j } } \ensuremath { \mathbf { j } _ { 0 } ^ { \prime } } ) } { j } } & { + w k } & { \frac { ( \ensuremath { \mathbf { k } } \ensuremath { \mathbf { j } _ { 0 } ^ { \prime } } ) } { k } , } \\ { \omega \frac { ( \ensuremath { \mathbf { k } } \ensuremath { \mathbf { j } _ { 0 } ^ { \prime } } ) } { k } } & { = } & { A C j k } & { \ensuremath { \rho ^ { \prime } } } & { + 2 j k \cos \theta } & { \ensuremath { v _ { \mathrm { s } } ^ { \prime } } } & { + F k } & { \frac { ( \ensuremath { \mathbf { j } } \ensuremath { \mathbf { j } _ { 0 } ^ { \prime } } ) } { j } } & { + 2 w k \cos \theta } & { \frac { ( \ensuremath { \mathbf { k } } \ensuremath { \mathbf { j } _ { 0 } ^ { \prime } } ) } { k } , } \end{array}
\operatorname { v a r } \left( { \widehat { \theta } } \right) \geq { \frac { 1 } { I ( \theta ) } } = { \frac { 1 } { - \operatorname { E } \left[ { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \theta ^ { 2 } } } \log f ( X ; \theta ) \right] } } .
\begin{array} { r l } { S _ { \Sigma } ^ { x x } } & { { } = \frac { 2 k _ { \mathrm { B } } T \xi _ { 0 } } { | P _ { \Sigma } P _ { \Delta } + \Omega ^ { 2 } G _ { 2 1 } G _ { 1 2 } e ^ { - 2 i \Omega \tau } | ^ { 2 } } ( | P _ { \Delta } | ^ { 2 } + \Omega ^ { 2 } G _ { 1 2 } ^ { 2 } ) + S _ { \Sigma } ^ { \mathrm { f b } } ( S _ { \mathrm { n n } } ) + S _ { \mathrm { n n } } , } \\ { S _ { \Delta } ^ { x x } } & { { } = \frac { 2 k _ { \mathrm { B } } T \xi _ { 0 } } { | P _ { \Sigma } P _ { \Delta } + \Omega ^ { 2 } G _ { 2 1 } G _ { 1 2 } e ^ { - 2 i \Omega \tau } | ^ { 2 } } ( | P _ { \Sigma } | ^ { 2 } + \Omega ^ { 2 } G _ { 2 1 } ^ { 2 } ) + S _ { \Delta } ^ { \mathrm { f b } } ( S _ { \mathrm { n n } } ) + S _ { \mathrm { n n } } , } \end{array}
\frac { a _ { 1 } + \cdots + a _ { 2 ^ { k + 1 } } } { 2 ^ { k + 1 } } = \frac { \frac { a _ { 1 } + \cdots a _ { 2 ^ { k } } } { 2 ^ { k } } + \frac { a _ { 2 ^ { k } + 1 } + \cdots a _ { 2 ^ { k + 1 } } } { 2 ^ { k } } } { 2 } \geq \frac { ( a _ { 1 } \cdots a _ { 2 ^ { k } } ) ^ { \frac { 1 } { 2 ^ { k } } } + ( a _ { 2 ^ { k } + 1 } \cdots a _ { 2 ^ { k + 1 } } ) ^ { \frac { 1 } { 2 ^ { k } } } } { 2 } \geq \sqrt { ( a _ { 1 } \cdots a _ { 2 ^ { k } } ) ^ { \frac { 1 } { 2 ^ { k } } } ( a _ { 2 ^ { k } + 1 } \cdots a _ { 2 ^ { k + 1 } } ) ^ { \frac { 1 } { 2 ^ { k } } } } = ( a _ { 1 } \cdots a _ { 2 ^ { k + 1 } } ) ^ { \frac { 1 } { 2 ^ { k + 1 } } }
\begin{array} { r l } & { \Gamma _ { D } ^ { n , m } ( X _ { n } , Y _ { m } ) } \\ & { \quad = ( - 1 ) ^ { \pi } ( - 1 ) ^ { \tau } \idotsint \prod _ { e \in G } g _ { e } \prod _ { i = 1 } ^ { p + n } \gamma _ { N } ^ { ( 1 ) } ( x _ { i } ; x _ { \pi ( i ) } ) \prod _ { j = 1 } ^ { q + m } \gamma _ { { N _ { \downarrow } } } ^ { ( 1 ) } ( y _ { j } ; y _ { \tau ( j ) } ) \, \textnormal { d } X _ { [ n + 1 , n + p ] } \, \textnormal { d } Y _ { [ m + 1 , m + q ] } . } \end{array}
\left( \begin{array} { l l l } { i \omega } & { k } & { 0 } \\ { - k } & { \frac { i \omega } { c ^ { 2 } } } & { \mu _ { 0 } q n _ { 0 } } \\ { - \frac { i q v _ { | | } } { m } } & { - \frac { q } { m } } & { i ( \omega - v _ { | | } k - \Omega _ { e } ) } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { \alpha _ { 1 } } \\ { \alpha _ { 2 } } \end{array} \right) \equiv { \bf D } ( \omega , k ; v _ { | | } ) \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { \alpha _ { 1 } } \\ { \alpha _ { 2 } } \end{array} \right) = { \bf 0 } \, .
\begin{array} { r } { \omega _ { { k } r } ^ { 2 } \approx k _ { \parallel } ^ { 2 } v _ { A } ^ { 2 } b _ { k } \frac { 1 + \tau \left( 1 - \Gamma _ { k } \right) } { 1 - \Gamma _ { k } } = k _ { \parallel } ^ { 2 } v _ { A } ^ { 2 } \frac { \sigma _ { k } b _ { k } } { 1 - \Gamma _ { k } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \delta f _ { s } } & { = } & { - \alpha _ { s } \left( \frac { M _ { s } c R } { Z _ { s } e } v _ { \varphi } + \psi \right) ^ { 2 } } \\ & { = } & { - \alpha _ { s } \left[ \left( \frac { M _ { s } c R } { Z _ { s } e } \right) ^ { 2 } v _ { \varphi } ^ { 2 } + \psi ^ { 2 } + 2 \frac { M _ { s } c R } { Z _ { s } e } \psi v _ { \varphi } \right] , } \end{array}
[ \sin ( \frac { \theta _ { 1 } } { 2 } ) \sin ( \frac { \theta _ { 2 } } { 2 } ) - e ^ { 2 \gamma } \cos ( \frac { \theta _ { 1 } } { 2 } ) \cos ( \frac { \theta _ { 2 } } { 2 } ) ] \beta ^ { 2 } + ( \frac { 1 } { \lambda } + e ^ { 2 \gamma } \lambda ) \beta + e ^ { 2 \gamma } \sin ( \frac { \theta _ { 1 } } { 2 } ) \sin ( \frac { \theta _ { 2 } } { 2 } ) - \cos ( \frac { \theta _ { 1 } } { 2 } ) \cos ( \frac { \theta _ { 2 } } { 2 } ) = 0 .
\begin{array} { r l } { V - i \left[ H _ { 0 } , A \right] = } & { { } \sum _ { k , q } \Bigg ( 2 g ( k , q ) S _ { k , q } ^ { x } Q ( q ) + \frac { \Delta E _ { k } + \Delta E _ { k + q } } { 2 } \left( \alpha ( k , q ) S _ { k , q } ^ { y } P ( q ) - \beta ( k , q ) S _ { k , q } ^ { x } Q ( q ) \right) } \end{array}
P _ { \uparrow } \left( t _ { B S B } \right) = \sum _ { n = 0 } ^ { N } { \frac { p _ { Y , n } ( t ) } { 2 } \left( 1 - \cos \left( \Omega _ { n + 1 , n } t _ { B S B } \right) e ^ { - t _ { B S B } / \tau } \right) }
\begin{array} { r l } { | \mathrm { I I I } | } & { \le C A ( T | \partial \Omega | ) ^ { \frac 1 3 } \gamma ^ { - \frac 1 3 } ( D _ { \nu } + F _ { \nu } ) ^ { \frac 2 3 } } \\ & { \qquad + \left( 4 \log \left( \frac { 4 A L } \nu _ { + } + \frac { \nu T } { \bar { \delta } ^ { 2 } } \right) \right) \gamma A \nu | \partial \Omega | + \gamma A ^ { 3 } T | \partial \Omega | . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \begin{array} { l } { b _ { 2 } } \\ { b _ { 1 } } \end{array} \right) } & { = S \left( \begin{array} { l } { a _ { 1 } } \\ { a _ { 2 } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { T } & { R } \\ { R } & { T } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { a _ { 1 } } \\ { a _ { 2 } } \end{array} \right) } \\ & { = \frac { 1 } { M _ { 2 2 } } \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { M _ { 1 2 } } \\ { M _ { 1 2 } } & { 1 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { a _ { 1 } } \\ { a _ { 2 } } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { d } s ^ { 2 } } & { { } = } & { \mathrm { d } t ^ { 2 } - \bigg [ a \left( t \right) R \left( r \right) \bigg ] ^ { 2 } \left( \mathrm { d } r ^ { 2 } + r ^ { 2 } \mathrm { d } \Omega ^ { 2 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { S } _ { 5 } ( x , t ) } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { 2 k _ { B } T u _ { 1 i } u _ { 1 j } } { \xi } \phi _ { i } ( x ) \phi _ { j } ( x ) } \\ & { \times \left( \frac { 1 - \exp ( - C ( \sigma _ { i } + \sigma _ { j } ) t ) } { ( C ( \sigma _ { i } + \sigma _ { j } ) ) } \right) , } \end{array}
\boldsymbol { \alpha } _ { E } = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) ( 6 . 9 1 + i 1 4 . 1 7 ) .
( V _ { \mu } ^ { a } , \psi _ { A \mu } , \psi _ { \dot { A } \mu } , B _ { \mu \nu } ^ { + I } , B _ { \mu \nu } ^ { - \dot { I } } , A _ { \mu } ^ { \alpha \dot { \alpha } } , \chi _ { A I } , \chi _ { \dot { A } \dot { I } } , L _ { \ y } ^ { x } )
\begin{array} { r } { \frac { \partial { \bf u } _ { \bf 2 D } } { \partial t } + ( { \bf u } _ { \bf 2 D } . { \bf \nabla } ) { \bf u } _ { \bf 2 D } = - \frac { 1 } { \rho } { \bf \nabla } p _ { 2 D } + \nu \nabla ^ { 2 } { \bf u } _ { \bf 2 D } - \mu \ { \bf u } _ { \bf 2 D } + { \bf f } _ { \bf 2 D } } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { { } = \ddot { x } + \dot { f } \dot { x } + \omega ^ { 2 } x = \ddot { \kappa } u _ { 2 } + 2 \dot { \kappa } \dot { u } _ { 2 } + \kappa \ddot { u } _ { 2 } + \dot { f } \dot { \kappa } u _ { 2 } + \dot { f } \kappa \dot { u } _ { 2 } + \omega ^ { 2 } \kappa u _ { 2 } = } \end{array}
\begin{array} { r } { - \ensuremath { \mathcal { N } } _ { 0 } ^ { * } ( w , T _ { 1 } ) \le - \ensuremath { \mathcal { N } } _ { 0 } ^ { * } ( z ^ { \prime } , T _ { 1 } ) + \sqrt { \frac { n } { 2 T _ { 1 } } } d _ { T _ { 1 } } ( w , z ^ { \prime } ) \le - \ensuremath { \mathcal { N } } _ { 0 } ^ { * } ( x , T ) + C _ { 4 } T ^ { - \frac 1 2 } d _ { T _ { 1 } } ( w , z ^ { \prime } ) + C _ { 4 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \mathbf { g } _ { t } , { \mathbf x } _ { t } - \mathbf { u } _ { t } \rangle } & { \leq \frac { \lambda } { 2 } \| \mathbf { u } _ { t } \| ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 \eta } \| { \mathbf x } _ { t } - \mathbf { u } _ { t } \| ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 \eta } \| { \mathbf x } _ { t + 1 } - \mathbf { u } _ { t + 1 } \| ^ { 2 } + \frac { \eta } { 2 } \| \mathbf { g } _ { t } + \lambda { \mathbf x } _ { t } \| ^ { 2 } + \frac { 3 D } { \eta } \| \mathbf { u } _ { t + 1 } - \mathbf { u } _ { t } \| } \\ & { \leq \frac { D ^ { 2 } } { 2 \eta T } + \frac { 1 } { 2 \eta } \| { \mathbf x } _ { t } - \mathbf { u } _ { t } \| ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 \eta } \| { \mathbf x } _ { t + 1 } - \mathbf { u } _ { t + 1 } \| ^ { 2 } + \eta ( G ^ { 2 } + \frac { D ^ { 2 } } { T ^ { 2 } \eta ^ { 2 } } ) + \frac { 3 D } { \eta } \| \mathbf { u } _ { t + 1 } - \mathbf { u } _ { t } \| ~ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| p _ { j } f ^ { n + 1 } - f ^ { n } \| _ { D _ { ( k - 1 ) / 2 } } ^ { 2 } } & { \approx \| T _ { k , d } ( p _ { j } f ^ { n + 1 } ) - T _ { k , d } ( f ^ { n } ) \| _ { H _ { d } ^ { 2 } } ^ { 2 } } \\ & { = \| ( P _ { k } q _ { j } ) T _ { k , d } ( f ^ { n + 1 } ) - T _ { k , d } ( f ^ { n } ) \| _ { H _ { d } ^ { 2 } } ^ { 2 } } \\ & { \le \| ( q _ { j } - P _ { k } q _ { j } ) T _ { k , d } ( f ^ { n + 1 } ) \| ^ { 2 } + \| ( P _ { k } q _ { j } ) T _ { k , d } ( f ^ { n + 1 } ) - T _ { k , d } ( f ^ { n } ) \| _ { H _ { d } ^ { 2 } } ^ { 2 } } \\ & { = \| q _ { j } ( T _ { k , d } f ) ^ { n + 1 } - ( T _ { k , d } f ) ^ { n } \| _ { H _ { d } ^ { 2 } } ^ { 2 } \to 0 } \end{array}
{ \cal L } _ { \eta } | \Phi _ { p h } \rangle = ( \eta \hat { \partial } + \frac { 1 } { 2 } \hat { \partial } ^ { I } \eta ^ { J } M ^ { I J } + \frac { 1 } { 2 } \eta ^ { I } M ^ { z I } ) | \Phi _ { p h } \rangle - \hat { \partial } ^ { + } \eta ^ { I } \alpha ^ { I } ( \bar { \alpha } ^ { - } | \Phi \rangle ) \Bigr | _ { \alpha ^ { + } = 0 } ^ { \vphantom { 5 p t } } \, ,
\begin{array} { r } { { \bf e } ( \alpha _ { D } ) = \frac { { \cal U } \, { \bf E } } { E _ { \star } ( \alpha _ { D } ) } \; , \; { \bf b } ( \alpha _ { D } ) = \frac { { \cal U } ^ { - 1 } \, { \bf B } } { B _ { \star } ( \alpha _ { D } ) } \; , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta t _ { i } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 3 \nu _ { k l } ^ { i j } } \, \left( 1 - \left( 1 - \frac { 4 \, \nu _ { k l } ^ { i j } \, \Delta R ^ { i } } { u _ { k l } ^ { i j } } \right) ^ { \frac { 3 } { 4 } } \right) \approx \frac { \Delta R ^ { i } } { u _ { k } ^ { i } } } \end{array}
( F _ { \mu \nu } ) _ { + 1 } ^ { ( + ) } = + ( F _ { \mu \nu } ) _ { - 1 } ^ { ( - ) } \, , \, ( F _ { \mu \nu } ) _ { - 1 } ^ { ( + ) } = + ( F _ { \mu \nu } ) _ { + 1 } ^ { ( - ) } \, , \, ( F _ { \mu \nu } ) _ { 0 } ^ { ( + ) } = - ( F _ { \mu \nu } ) _ { 0 } ^ { ( - ) } \quad .
\Delta \varphi _ { X } = \sum _ { i = 1 } ^ { G } \sum _ { j = 0 } ^ { W _ { i } - 1 } 2 ^ { j } x _ { j } \Delta \varphi _ { i } ^ { ' } = \frac { 2 \pi } { m } \sum _ { i = 1 } ^ { G } \sum _ { j = 0 } ^ { W _ { i } - 1 } 2 ^ { w _ { i } } | 2 ^ { j } x _ { j } | _ { m } = \frac { 2 \pi } { m } \sum _ { j = 0 } ^ { L - 1 } | 2 ^ { j } x _ { j } | _ { m } = \frac { 2 \pi } { m } | X | _ { m }
\Tilde { R } ( \textbf { k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { o u t } } , \textbf { k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { i n } } ; z _ { 0 } ) \equiv \sum _ { \omega } e ^ { i \theta ( \omega ) } e ^ { i ( k _ { z } ^ { \mathrm { o u t } } - k _ { z } ^ { \mathrm { i n } } ) z _ { 0 } } R ( \textbf { k } _ { \mathrm { o u t } } , \textbf { k } _ { \mathrm { i n } } , \omega ) .
{ \begin{array} { r l r l } { \rho ~ \operatorname* { d e t } ( { \boldsymbol { F } } ) - \rho _ { 0 } } & { = 0 } & & { \qquad { \mathrm { B a l a n c e ~ o f ~ M a s s } } } \\ { \rho _ { 0 } ~ { \ddot { \mathbf { x } } } - { \boldsymbol { \nabla } } _ { \circ } \cdot { \boldsymbol { N } } - \rho _ { 0 } ~ \mathbf { b } } & { = 0 } & & { \qquad { \mathrm { B a l a n c e ~ o f ~ L i n e a r ~ M o m e n t u m } } } \\ { { \boldsymbol { F } } \cdot { \boldsymbol { N } } } & { = { \boldsymbol { N } } ^ { T } \cdot { \boldsymbol { F } } ^ { T } } & & { \qquad { \mathrm { B a l a n c e ~ o f ~ A n g u l a r ~ M o m e n t u m } } } \\ { \rho _ { 0 } ~ { \dot { e } } - { \boldsymbol { N } } : { \dot { \boldsymbol { F } } } + { \boldsymbol { \nabla } } _ { \circ } \cdot \mathbf { q } - \rho _ { 0 } ~ s } & { = 0 } & & { \qquad { \mathrm { B a l a n c e ~ o f ~ E n e r g y . } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m i n } _ { \hat { R } ( z ) \in \ensuremath { \mathbb { P } } _ { h - 1 } ( z ) / Q _ { A } ( z ) } \lVert Q _ { A } ( A ) ^ { - 1 } A ^ { h } \vec { u } - \hat { R } ( z ) \circ \vec { u } \rVert _ { F } } \\ { = } & { \operatorname* { m i n } _ { \vec { y } \in \ensuremath { \mathbb { C } } ^ { h \times b } } \lVert Q _ { A } ( A ) ^ { - 1 } A ^ { h } \vec { u } - U \vec { y } \rVert _ { F } } \\ { = } & { \operatorname* { m i n } _ { \vec { y } \in \ensuremath { \mathbb { C } } ^ { h \times b } } \lVert ( I _ { b } \otimes Q _ { A } ( A ) ^ { - 1 } A ^ { h } ) \mathrm { v e c } ( \vec { u } ) - ( I _ { b } \otimes U ) \mathrm { v e c } ( \vec { y } ) \rVert _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { f _ { \gamma _ { c } } ( x ) \simeq \frac { 2 \left( m _ { 1 , \Lambda } m _ { 2 , \Lambda } \sigma ^ { 2 } \right) ^ { \frac { m _ { 1 , \Lambda } + m _ { 2 , \Lambda } } { 2 } } x ^ { \frac { m _ { 1 , \Lambda } + m _ { 2 , \Lambda } } { 2 } - 1 } } { \Gamma ( m _ { 1 , \Lambda } ) \Gamma ( m _ { 2 , \Lambda } ) ( N p \alpha ^ { 2 } \Omega _ { \Lambda } ) ^ { \frac { m _ { 1 , \Lambda } + m _ { 2 , \Lambda } } { 2 } } } , } \end{array}