harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
f _ { \omega } ( q ^ { 2 } ) \, \delta ^ { 2 } ( q - q ^ { \prime } ) = \, \int \prod _ { r = 1 , 2 } \frac { d ^ { 2 } \rho _ { r } d ^ { 2 } \rho _ { r ^ { \prime } } } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \, \, \Phi ^ { a } ( \overrightarrow { \rho _ { 1 } } , \overrightarrow { \rho _ { 2 } } , \overrightarrow { q } ) \, \, f _ { \omega } ( \overrightarrow { \rho _ { 1 } } , \overrightarrow { \rho _ { 2 } } ; \overrightarrow { \rho _ { 1 } ^ { \prime } } , \overrightarrow { \rho _ { 2 } ^ { \prime } } ) \, \, \Phi ^ { b } ( \overrightarrow { \rho _ { 1 } ^ { ^ { \prime } } } , \overrightarrow { \rho _ { 2 } ^ { ^ { \prime } } } , \overrightarrow { q ^ { \prime } } ) \, .
\mathfrak { Q } ( z ) \stackrel { \mathrm { ~ \tiny ~ { ~ d ~ e ~ f ~ } ~ } } { = } \int _ { z _ { 0 } } ^ { z } \left[ \mathfrak { P } ( z ^ { \prime } ) - g d \right] \mathrm { d } z ^ { \prime } = \frac { 1 } { 2 } \int _ { z _ { 0 } } ^ { z } \left[ { B } _ { \mathrm { b } } - W ( z ^ { \prime } ) ^ { 2 } \right] \mathrm { d } z ^ { \prime } ,
2 4 [ \langle Q _ { i } \rangle _ { 1 } \langle Q _ { i } \rangle _ { - 1 } ] [ \langle Q _ { i } \rangle _ { 1 } \langle Q _ { i } \rangle _ { - 1 } ] [ \langle Q _ { i } \rangle _ { 1 } \langle Q _ { i } \rangle _ { - 1 } ] [ \langle Q _ { i } \rangle _ { 1 } \langle Q _ { i } \rangle _ { - 1 } ]
\begin{array} { r } { \displaystyle \frac { \partial \rho } { \partial x _ { j } } = - \frac { \displaystyle \frac { \partial F } { \partial x _ { j } } ( \overline { \mathbf { x } } , G ( \overline { \mathbf { x } } ) ) } { \displaystyle \frac { \partial F } { \partial x _ { 1 } } ( \overline { \mathbf { x } } , G ( \overline { \mathbf { x } } ) ) } < 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial ( g ( t ) + V f ( t ) ) } { \partial c _ { i } ( t ) } ~ } & { = V \left( p _ { i } ^ { \mathrm { s } } ( t ) + \beta _ { i } \right) + \eta _ { \mathrm { c } } ( b _ { i } ( t ) - \delta _ { i } - r _ { i } V ) , } \\ { \frac { \partial ( g ( t ) + V f ( t ) ) } { \partial d _ { i } ( t ) } ~ } & { = V \left( - p _ { i } ^ { \mathrm { s } } ( t ) + \beta _ { i } \right) - \frac { 1 } { \eta _ { \mathrm { d } } } ( b _ { i } ( t ) - \delta _ { i } - r _ { i } V ) , } \\ { \frac { \partial ( g ( t ) + V f ( t ) ) } { \partial e _ { i } ( t ) } ~ } & { = V p _ { i } ^ { \mathrm { s } } - q _ { i } ^ { B } ( t ) + \varphi _ { i } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { I } _ { \alpha } ( t ) = \frac { e } { h } \sum _ { \beta \gamma } \sum _ { m n } \int d E d E ^ { \prime } e ^ { i ( E - E ^ { \prime } ) t / \hbar } } \\ { \times \hat { a } _ { \beta m } ^ { \dagger } ( E ) A _ { \beta \gamma } ^ { m n } ( \alpha ; E , E ^ { \prime } ) \hat { a } _ { \gamma n } ( E ^ { \prime } ) , } \end{array}
\sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { n } n ^ { 2 } } { [ p ^ { 2 } + n ^ { 2 } ] ^ { 2 } } } = { \tilde { f } } ( p ^ { 2 } ) + p ^ { 2 } { \frac { d { \tilde { f } } ( p ^ { 2 } ) } { d p ^ { 2 } } } = { \frac { d } { d p ^ { 2 } } } [ p ^ { 2 } { \tilde { f } } ( p ^ { 2 } ) ]
\tilde { E } _ { n \delta } ^ { ( i ) } = \sum _ { p _ { 1 } + 2 p _ { 2 } + \cdots + n p _ { n } = n } \frac { \left( q ^ { ( \alpha _ { i } , \alpha _ { i } ) } - q ^ { - ( \alpha _ { i } , \alpha _ { i } ) } \right) ^ { \sum _ { i } p _ { i } - 1 } } { p _ { 1 } ! \; . . . \; p _ { n } ! } ( E _ { \delta } ^ { ( i ) } ) ^ { p _ { 1 } } ( E _ { 2 \delta } ^ { ( i ) } ) ^ { p _ { 2 } } . . . ( E _ { n \delta } ^ { ( i ) } ) ^ { p _ { n } }
\mathrm { ~ h ~ e ~ l ~ p ~ e ~ r ~ } ( \eta _ { f } , \lambda ) = \frac { \sqrt { \lambda \pi } } { 1 + \exp { ( - \eta _ { f } ) } } \mathrm { ~ e ~ r ~ f ~ c ~ } \left( \frac { \lambda - \sqrt { 1 + \sqrt { \lambda } + \eta _ { f } ^ { 2 } } } { 2 \sqrt { \lambda } } \right) .
\theta = \theta _ { 2 0 } ( t ) \frac { x ^ { 2 } } { 2 } + { \theta _ { 1 1 } } ( t ) x y + \theta _ { 0 2 } ( t ) \frac { y ^ { 2 } } { 2 } \, , \qquad \rho = \rho _ { 2 0 } ( t ) x ^ { 2 } + \rho _ { 0 2 } ( t ) y ^ { 2 } + \rho _ { 1 1 } ( t ) x y + \rho _ { 0 0 } ( t ) \, ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \int _ { 0 } ^ { \frac { 2 \pi m _ { k } } { q _ { k } B } } d t \, e ^ { - \nu _ { k e } t } \, \cos \left( \frac { q _ { k } B t } { m _ { k } } \right) } \\ & { = } & { \frac { \nu _ { k e } m _ { k } ^ { 2 } } { m _ { k } ^ { 2 } \nu _ { k e } ^ { 2 } + q _ { k } ^ { 2 } B ^ { 2 } } \, \left( 1 - e ^ { - \frac { 2 \pi m _ { k } \nu _ { k e } } { q _ { k } B } } \right) \approx 0 \, , } \\ & { } & { \int _ { 0 } ^ { \frac { 2 \pi m _ { k } } { q _ { k } B } } d t \, e ^ { - \nu _ { k e } t } \, \sin \left( \frac { q _ { k } B t } { m _ { k } } \right) } \\ & { = } & { \frac { q _ { k } m _ { k } B } { m _ { k } ^ { 2 } \nu _ { k e } ^ { 2 } + q _ { k } ^ { 2 } B ^ { 2 } } \, \left( 1 - e ^ { - \frac { 2 \pi m _ { k } \nu _ { k e } } { q _ { k } B } } \right) \approx 0 \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \textbf { T r } \left( \frac { \partial f ( \mathbf { E } _ { k , \sigma } ) } { \partial { E } _ { k , \sigma } ^ { i j } } \boldsymbol { \Psi } _ { k , \sigma } ^ { \mathrm { T } } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \boldsymbol { \Psi } _ { k , \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \right) } & { = \frac { \partial f _ { k , \sigma } ^ { \mu _ { \sigma } } } { \partial \epsilon _ { k , \sigma } } \psi _ { k , \sigma } ^ { ( i ) } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \psi _ { k , \sigma } ^ { ( j ) } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \chi _ { \mathrm { e f f } } ^ { ( 3 ) } ( \omega _ { 1 } } & { { } = } & { \omega _ { 2 } + \omega _ { 3 } + \omega _ { 4 } ; \omega _ { 2 } , \omega _ { 3 } , \omega _ { 4 } ) = ( 1 - f ) \chi _ { h } ^ { ( 3 ) } + } \end{array}
\daleth _ { f } = \underbrace { \varphi _ { f } \varphi _ { n } \frac { s _ { 0 } c _ { 1 } } { 1 + s _ { 1 } c _ { 1 } } } _ { \mathrm { ~ b ~ i ~ r ~ t ~ h ~ } } - \underbrace { \varphi _ { f } \frac { s _ { 2 } + s _ { 3 } c _ { 1 } } { 1 + s _ { 4 } c _ { 1 } } \mathcal { H } ( c _ { 1 } - c _ { 1 } ^ { * } ) } _ { \mathrm { ~ d ~ e ~ a ~ t ~ h ~ } } ,
\begin{array} { r } { \int e ^ { t \sqrt { n \alpha _ { n } } ( f _ { l k } - Y _ { l k } ) } d \Pi _ { \alpha _ { n } } ( f | Y ^ { n } ) \lesssim \frac { e ^ { \frac { t ^ { 2 } } { 2 } } e ^ { c l } } { \int _ { - 1 } ^ { 1 } e ^ { - \frac { 1 } { 2 } ( u - \sqrt { \alpha _ { n } } \varepsilon _ { l k } ) ^ { 2 } } d u } \lesssim \frac { e ^ { \frac { t ^ { 2 } } { 2 } } e ^ { c l } } { \int _ { - 1 } ^ { 1 } e ^ { - \frac { 1 } { 2 } ( u - \varepsilon _ { l k } ) ^ { 2 } } d u } . } \end{array}
A _ { z } = B _ { 0 } e ^ { i \varphi } \left\{ \begin{array} { l l } { c _ { 1 } J _ { 1 } \left( ( 1 - i ) \sqrt { \frac { \mathrm { R m } } { 2 } } \frac { s } { R } \right) , } & { s \leq R ~ , } \\ { c _ { 2 } s ^ { - 1 } - s , } & { s > R ~ , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { X ( x , k ) = \mathcal { A } X ( x , \omega k ) \mathcal { A } ^ { - 1 } = \mathcal { B } X ( x , k ^ { - 1 } ) \mathcal { B } , \qquad k \in ( \omega ^ { 2 } \hat { \mathcal { S } } , \omega \hat { \mathcal { S } } , \hat { \mathcal { S } } ) \setminus \hat { \mathcal { Q } } , } \\ & { Y ( x , k ) = \mathcal { A } Y ( x , \omega k ) \mathcal { A } ^ { - 1 } = \mathcal { B } Y ( x , k ^ { - 1 } ) \mathcal { B } , \qquad k \in ( - \omega ^ { 2 } \hat { \mathcal { S } } , - \omega \hat { \mathcal { S } } , - \hat { \mathcal { S } } ) \setminus \hat { \mathcal { Q } } . } \end{array}
p _ { L } ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 T _ { 2 } U _ { 2 } } | { \bar { T } } U n _ { 2 } - { \bar { T } } n _ { 1 } - i U ^ { \prime } m _ { 1 } + 3 m _ { 2 } | ^ { 2 } = 2 ,
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \bar { \boldsymbol { \sigma } } _ { B } = 2 \sigma _ { o } \, \mathrm { s i g n } { \left( \mathcal { E } \right) } \, } & { \mathrm { i f } \quad \left| \mathcal { E } \right| \ne 0 } \\ { \bar { \boldsymbol { \sigma } } _ { B } \le \sigma _ { o } } & { \mathrm { i f } \quad \mathcal { E } = 0 \, . } \end{array} \right. } \end{array}
\frac 1 2 \operatorname { R e } \int _ { \partial \mathcal { D } _ { \rho } } \mathcal { F } _ { 2 } \overline { f } f _ { \zeta } \, d \zeta - \operatorname { R e } \int _ { \partial \mathcal { D } _ { \rho } } \frac { \overline { { w _ { \zeta } f } } \mathcal { F } _ { 1 } } { ( \zeta - \zeta _ { k } ) \overline { { f _ { \zeta } } } } \, d \zeta \longrightarrow - \operatorname { R e } \left( \sum _ { k } \gamma _ { k } \zeta _ { k } \mathcal { V } _ { k } ( \Lambda ) \right) .
\begin{array} { r l r } { \int I ^ { - } ( \lambda ) \, d \lambda } & { { } \propto } & { c _ { N V ^ { - } } n _ { e x } ^ { - } ( \lambda _ { p } ) } \\ { \int I ^ { 0 } ( \lambda ) \, d \lambda } & { { } \propto } & { c _ { N V ^ { 0 } } n _ { e x } ^ { 0 } ( \lambda _ { p } ) } \end{array}
\boldsymbol { x } _ { * } ^ { ( i ) } = \boldsymbol { x } ^ { n } + \sum _ { j = 1 } ^ { i - 1 } \alpha _ { i j } \boldsymbol { k } ^ { ( j ) } , \qquad \boldsymbol { y } _ { * } ^ { ( i ) } = \boldsymbol { y } ^ { n } + \sum _ { j = 1 } ^ { i - 1 } \alpha _ { i j } \boldsymbol { l } ^ { ( j ) }
\begin{array} { r l } { ( B _ { y } ) _ { i } ^ { n + \ensuremath { { \frac { 1 } { 2 } } } } } & { { } = ( B _ { y } ) _ { i } ^ { n - \ensuremath { { \frac { 1 } { 2 } } } } + \frac { \Delta t } { \Delta x } \left( ( E _ { z } ) _ { i + \ensuremath { { \frac { 1 } { 2 } } } } ^ { n } - ( E _ { z } ) _ { i - \ensuremath { { \frac { 1 } { 2 } } } } ^ { n } \right) , } \\ { ( B _ { z } ) _ { i } ^ { n + \ensuremath { { \frac { 1 } { 2 } } } } } & { { } = ( B _ { z } ) _ { i } ^ { n - \ensuremath { { \frac { 1 } { 2 } } } } - \frac { \Delta t } { \Delta x } \left( ( E _ { z } ) _ { i + \ensuremath { { \frac { 1 } { 2 } } } } ^ { n } - ( E _ { y } ) _ { i - \ensuremath { { \frac { 1 } { 2 } } } } ^ { n } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { J _ { \mu } ^ { \mathrm { S R M } } ( \omega ) = \omega \sum _ { \mathbf { k } } \left[ \textbf { d } _ { \mu } ^ { \textbf { k } } \right] ^ { * } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \mathrm { d } t e ^ { i \omega t } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } \mathrm { d } s \textbf { F } ( s ) \cdot \textbf { d } ^ { \kappa ( k , t , s ) } e ^ { - i \int _ { s } ^ { t } \omega _ { g } ^ { \kappa ( \textbf { k } , t , t ^ { \prime } ) } \mathrm { d } t ^ { \prime } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \cos ( x t ) - J _ { 0 } ( t ) - 2 \sum _ { k = 1 } ^ { R } ( - 1 ) ^ { k } J _ { 2 k } ( t ) T _ { 2 k } ( x ) \right| } & { { } \leq \varepsilon _ { \mathrm { t r i } } , } \\ { \left| \sin ( x t ) - 2 \sum _ { k = 0 } ^ { R } ( - 1 ) ^ { k } J _ { 2 k + 1 } ( t ) T _ { 2 k + 1 } ( x ) \right| } & { { } \leq \varepsilon _ { \mathrm { t r i } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | Z ( \rho ) - Z ( \rho ^ { \prime } ) | } & { = \left| \operatorname* { i n f } _ { \sigma \in \chi } \; \operatorname* { s u p } _ { M \in \mathscr { M } } \; Z _ { M , \sigma } ( \rho ) - \operatorname* { i n f } _ { \sigma \in \chi } \; \operatorname* { s u p } _ { M \in \mathscr { M } } \; Z _ { M , \sigma } ( \rho ^ { \prime } ) \right| } \\ & { = \left| \operatorname* { s u p } _ { M \in \mathscr { M } } \; \operatorname* { i n f } _ { \sigma \in \chi } \; Z _ { M , \sigma } ( \rho ) - \operatorname* { s u p } _ { M \in \mathscr { M } } \; \operatorname* { i n f } _ { \sigma \in \chi } \; Z _ { M , \sigma } ( \rho ^ { \prime } ) \right| } \\ & { \leq \operatorname* { s u p } _ { M \in \mathscr { M } } \; \left| Z _ { M } ( \rho ) - Z _ { M } ( \rho ^ { \prime } ) \right| . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \exp ( - \frac { \alpha \mu } { 2 } K ) ( a _ { 0 } + \alpha ^ { 2 } a ^ { \star } ) } \\ & { \leq \tilde { \mathcal { O } } \left( ( a _ { 0 } + \frac { a ^ { \star } } { \underline { { \alpha } } ^ { 2 } } ) \exp \left[ - \ln \left( \operatorname* { m a x } \left\{ 1 , \mu ^ { 2 } ( a _ { 0 } + \frac { a ^ { \star } } { \underline { { \alpha } } ^ { 2 } } ) K / a _ { 1 } \right\} \right) \right] \right) } \\ & { = \mathcal { O } \left( \frac { a _ { 1 } } { \mu K } \right) ; } \end{array}
P ( I _ { 0 , n } , I _ { B , n } | \delta , C ) \propto \exp \left[ \frac { - [ ( 1 - \delta ) I _ { 0 , n } - I _ { B , n } + \delta C ] ^ { 2 } } { 2 [ ( 1 - \delta ) ^ { 2 } \sigma _ { 0 } ^ { 2 } + \sigma _ { B } ^ { 2 } ] } \right] .
\begin{array} { r l r } { \dot { G } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) } & { { } = } & { \mathrm { s g n } ( \tau - \tau ^ { \prime } ) - 2 \frac { ( \tau - \tau ^ { \prime } ) } { T } , \quad \ddot { G } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) = 2 { \delta } ( \tau - \tau ^ { \prime } ) - \frac { 2 } { T } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { h _ { l , t } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { t } ) = } & { \mathbb { E } [ h _ { l } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { t } , X _ { t + 1 } , \ldots , X _ { r } ) ] } \\ { = } & { \mathbb { E } [ h _ { l } ( X _ { 1 } , \ldots , X _ { t } , X _ { t + 1 } , \ldots , X _ { r } ) \mid X _ { 1 } = x _ { 1 } , \ldots , X _ { t } = x _ { t } ] . } \end{array}
\begin{array} { r } { ( S _ { 2 } ( k ) ^ { - 1 } ) ^ { T } = \left( \begin{array} { l l l } { \frac { 1 } { s _ { 1 1 } } } & { s _ { 1 2 } ^ { A } } & { - \frac { s _ { 3 1 } } { s _ { 2 2 } ^ { A } } } \\ { 0 } & { s _ { 2 2 } ^ { A } } & { 0 } \\ { 0 } & { s _ { 3 2 } ^ { A } } & { \frac { s _ { 1 1 } } { s _ { 2 2 } ^ { A } } } \end{array} \right) , \qquad ( T _ { 2 } ( k ) ^ { - 1 } ) ^ { T } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { \frac { s _ { 1 2 } } { s _ { 1 1 } } } & { 1 } & { - \frac { s _ { 2 3 } ^ { A } } { s _ { 2 2 } ^ { A } } } \\ { \frac { s _ { 1 3 } } { s _ { 1 1 } } } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { a / 2 } { \frac { d x } { \sqrt { a ^ { 2 } - x ^ { 2 } } } } = \arcsin \left( { \frac { x } { a } } \right) { \Biggl | } _ { 0 } ^ { a / 2 } = \arcsin \left( { \frac { 1 } { 2 } } \right) - \arcsin ( 0 ) = { \frac { \pi } { 6 } }
\begin{array} { r l } { \mathbb P _ { { \mathcal O } \cup { \mathcal I } } \left( \left| \widehat { r } _ { n } ^ { \mathsf { m o m } } ( x ) - r ( x ) \right| \geq t + s \right) } & { \leq \mathbb P _ { { \mathcal O } \cup { \mathcal I } } \left( \sum _ { j = 1 } ^ { m } { \mathbf { 1 } } _ { \left\{ \left| \hat { r } ^ { ( j ) } ( x ) - r ( x ) \right| \geq t + s \right\} } \geq \frac { m } { 2 } \right) } \\ & { \leq \mathbb P _ { { \mathcal O } \cup { \mathcal I } } \left( | { \mathcal B } ^ { c } | + \sum _ { j \in { \mathcal B } } { \mathbf { 1 } } _ { \left\{ \left| \hat { r } ^ { ( j ) } ( x ) - r ( x ) \right| \geq t + s \right\} } \geq \frac { m } { 2 } \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \psi ( t ) \rangle = } & { ~ \mathrm { e x p } ( - i H _ { \mathrm { e f f , m i s } } t ) | e e 1 \rangle } \\ { = } & { a e ^ { - i ( \omega _ { A } + \omega _ { B } + \Omega ) t } | E _ { 1 } \rangle + e ^ { - i ( \omega _ { A } + \omega _ { B } ) t } ( b | E _ { 2 } \rangle + c | E _ { 3 } \rangle ) } \\ & { ~ + d e ^ { - i ( \omega _ { A } + \omega _ { B } - \Omega ) t } | E _ { 4 } \rangle } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \exp ( { \tilde { \boldsymbol { \omega } } } ) } & { = \exp ( \theta ( { \boldsymbol { u \cdot L } } ) ) = \exp \left( \theta { \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { - z } & { y } \\ { z } & { 0 } & { - x } \\ { - y } & { x } & { 0 } \end{array} \right] } \right) } \\ & { = { \boldsymbol { I } } + 2 c s ( { \boldsymbol { u \cdot L } } ) + 2 s ^ { 2 } ( { \boldsymbol { u \cdot L } } ) ^ { 2 } } \\ & { = { \left[ \begin{array} { l l l } { 2 \left( x ^ { 2 } - 1 \right) s ^ { 2 } + 1 } & { 2 x y s ^ { 2 } - 2 z c s } & { 2 x z s ^ { 2 } + 2 y c s } \\ { 2 x y s ^ { 2 } + 2 z c s } & { 2 \left( y ^ { 2 } - 1 \right) s ^ { 2 } + 1 } & { 2 y z s ^ { 2 } - 2 x c s } \\ { 2 x z s ^ { 2 } - 2 y c s } & { 2 y z s ^ { 2 } + 2 x c s } & { 2 \left( z ^ { 2 } - 1 \right) s ^ { 2 } + 1 } \end{array} \right] } , } \end{array} }
\begin{array} { r l } { K _ { p q \alpha } ^ { - } } & { = h _ { p q } + \sum _ { r } ^ { \mathrm { c l o s e d - s h e l l } } \left[ 2 ( p q | r r ) - ( p r | q r ) \right] + \sum _ { r _ { \alpha } } ^ { \mathrm { o p e n - s h e l l } } \left[ ( p _ { \alpha } q _ { \alpha } | r _ { \alpha } r _ { \alpha } ) - ( p _ { \alpha } r _ { \alpha } | q _ { \alpha } r _ { \alpha } ) \right] } \\ { K _ { p q \beta } ^ { + } } & { = h _ { p q } + \sum _ { r } ^ { \mathrm { c l o s e d - s h e l l } } \left[ 2 ( p q | r r ) - ( p r | q r ) \right] + \sum _ { r _ { \alpha } } ^ { \mathrm { o p e n - s h e l l } } ( p _ { \beta } q _ { \beta } | r _ { \alpha } r _ { \alpha } ) } \end{array}
k = \left\{ \begin{array} { l l } { \ell + 2 } & { \mathrm { i f ~ } \phi ^ { \prime } ( 0 ) = \phi ( 0 ) = 0 , } \\ { \ell + 1 } & { \mathrm { i f ~ } \phi ^ { \prime } ( 0 ) = 0 , \phi ( 0 ) \neq 0 , } \\ { \ell + 1 } & { \mathrm { i f ~ } \phi ( 0 ) = 0 , \phi ^ { \prime } ( 0 ) \neq 0 , } \\ { \ell } & { \mathrm { i f ~ } \phi ( 0 ) \neq 0 , \phi ^ { \prime } ( 0 ) \neq 0 , } \end{array} \right.
\scriptstyle \left. { \begin{array} { l } { \scriptstyle { \frac { \scriptstyle { \mathrm { d i v i d e n d } } } { \scriptstyle { \mathrm { d i v i s o r } } } } } \\ { \scriptstyle { \mathrm { ~ } } } \\ { \scriptstyle { \frac { \scriptstyle { \mathrm { n u m e r a t o r } } } { \scriptstyle { \mathrm { d e n o m i n a t o r } } } } } \end{array} } \right\} \, =
\begin{array} { r l } & { \phi _ { L } ^ { ( l ) } = - \frac { 1 } { 2 h } \widetilde v _ { - 1 } ^ { ( l ) } + \frac { 1 } { 2 h } \widetilde v _ { 1 } ^ { ( l ) } = - \frac { 1 } { 2 h } \widetilde v _ { - 1 + ( l - 1 ) M } + \frac { 1 } { 2 h } \widetilde v _ { 1 + ( l - 1 ) M } , } \\ & { \phi _ { R } ^ { ( l ) } = - \frac { 1 } { 2 h } \widetilde v _ { M - 1 } ^ { ( l ) } + \frac { 1 } { 2 h } \widetilde v _ { M + 1 } ^ { ( l ) } = - \frac { 1 } { 2 h } \widetilde v _ { M - 1 + ( l - 1 ) M } + \frac { 1 } { 2 h } \widetilde v _ { M + 1 + ( l - 1 ) M } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { S ^ { \mathrm { F F } } } & { = \frac { \varepsilon _ { 0 } \varepsilon _ { \mathrm { d } } } { p _ { x } } \sum _ { l \neq 0 } ^ { \infty } E _ { x } ^ { 0 } ( { \bf r } _ { l } ) } \\ & { = \frac { k _ { \mathrm { d } } ^ { 2 } } { 4 \pi } \sum _ { l \neq 0 } ^ { \infty } \frac { \mathrm { e } ^ { i k _ { \mathrm { d } } R _ { l } } } { R _ { l } } \mathrm { e } ^ { - i k _ { \mathrm { d } } z _ { \mathrm { p } } ^ { 2 } / R _ { l } } \left[ 1 - \frac { x _ { l } ^ { 2 } } { R _ { l } ^ { 2 } } \left( 1 - \frac { z _ { \mathrm { p } } ^ { 2 } } { R _ { l } ^ { 2 } } \right) \right] , } \end{array}
V _ { 2 \mathrm { \; l o o p } } = V _ { 1 \mathrm { \; l o o p } } - \frac { 5 1 } { 5 1 2 \pi ^ { 2 } } g ^ { 4 } \phi ^ { 2 } T ^ { 2 } \log ( \phi / g T ) \, ,
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { K } = } & { \left( \begin{array} { c c } { X _ { 1 } + Z } & { - Z } \\ { - Z } & { X _ { 2 } + Z } \end{array} \right) \, , } \\ { \boldsymbol { M } = } & { \left( \begin{array} { c c } { X _ { 1 } + Z - Y _ { 1 } ^ { 2 } } & { - Z } \\ { - Z } & { X _ { 2 } + Z - Y _ { 2 } ^ { 2 } } \end{array} \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { x _ { 1 } } & { { } = - \varepsilon _ { \mathrm { w } } \, \mathrm { c } _ { } ( Z ) \sin \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \left( X - t \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \right) , } \\ { y _ { 1 } } & { { } = 0 , } \\ { z _ { 1 } } & { { } = \varepsilon _ { \mathrm { w } } \, \mathrm { s } _ { } ( Z ) \cos \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \left( X - t \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \right) , } \\ { \phi _ { 1 } } & { { } = - \lambda \, \varepsilon _ { \mathrm { w } } \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \left[ \mathrm { s } _ { } ( Z ) \sin { ( X - t ) } \cos { 2 \Phi } + \mathrm { c } _ { } ( Z ) \cos { ( X - t ) } \sin { 2 \Phi } \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \right] , } \\ { \theta _ { 1 } } & { { } = \frac 1 2 \lambda \, \varepsilon _ { \mathrm { w } } \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \left[ \mathrm { c } _ { } ( Z ) \cos { ( X - t ) } \cos { 2 \Phi } - \mathrm { s } _ { } ( Z ) \sin { ( X - t ) } \sin { 2 \Phi } \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \right] \sin 2 \Theta . } \end{array}
\begin{array} { r c l } { 1 } & { = } & { r _ { 1 } } \\ { 1 9 6 8 8 4 } & { = } & { r _ { 1 } + r _ { 2 } } \\ { 2 1 4 9 3 7 6 0 } & { = } & { r _ { 1 } + r _ { 2 } + r _ { 3 } } \\ { 8 6 4 2 9 9 9 7 0 } & { = } & { 2 r _ { 1 } + 2 r _ { 2 } + r _ { 3 } + r _ { 4 } } \\ { 2 0 2 4 5 8 5 6 2 5 6 } & { = } & { 3 r _ { 1 } + 3 r _ { 2 } + r _ { 3 } + 2 r _ { 4 } + r _ { 5 } = 2 r _ { 1 } + 3 r _ { 2 } + 2 r _ { 3 } + r _ { 4 } + r _ { 6 } } \\ { \ldots } \end{array}
\hat { h } _ { \mu \nu } ( x , 0 ) = \frac { 2 G _ { 5 } k m _ { 0 } } { r } \left[ \textrm { d i a g } ( 1 , 1 , 1 , 1 ) + \frac { 1 } { 3 k ^ { 2 } r ^ { 2 } } \textrm { d i a g } ( 2 , 1 , 1 , 1 ) + \mathcal { O } ( 1 / r ^ { 3 } ) \right]
\begin{array} { r } { S _ { 1 2 } ^ { q } = - \frac { 2 e ^ { 2 } } { h } ( 1 - R ) ( 1 - p ) \bigg ( 2 k _ { B } \mathcal { T } + 4 p } \\ { \times \bigg [ e V \coth \left[ \frac { e V } { 2 k _ { B } \mathcal { T } } \right] - 2 k _ { B } \mathcal { T } \bigg ] \bigg ) , } \\ { S _ { 1 4 } ^ { q } = S _ { 2 3 } ^ { q } = - \frac { 2 e ^ { 2 } } { h } ( 1 + R ) ( 1 - p ) \bigg ( 2 k _ { B } \mathcal { T } + p } \\ { \times \bigg [ e V \coth \left[ \frac { e V } { 2 k _ { B } \mathcal { T } } \right] - 2 k _ { B } \mathcal { T } \bigg ] \bigg ) , } \\ { S _ { 3 4 } ^ { q } = - \frac { 4 e ^ { 2 } } { h } ( 1 - R ) ( 1 - p ) k _ { B } \mathcal { T } , } \\ { S _ { 1 3 } ^ { q } = S _ { 2 4 } ^ { q } = { S _ { 1 3 } ^ { s h } = S _ { 2 4 } ^ { s h } } = - \frac { 2 e ^ { 2 } } { h } R ( 1 - R ) ( 1 - p ) ^ { 2 } } \\ { \times \bigg ( e V \coth \left[ \frac { e V } { 2 k _ { B } \mathcal { T } } \right] - 2 k _ { B } \mathcal { T } \bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \omega ^ { 2 } } { c _ { 0 } ^ { 2 } } \widetilde { \bf H } ( { \bf r } , \omega ) } & { { } = } & { M _ { \mu } ^ { 1 / 2 } ( { \bf r } ) \nabla \times M _ { \epsilon } ( { \bf r } ) [ \nabla \times M _ { \mu } ^ { 1 / 2 } ( { \bf r } ) \widetilde { \bf H } ( { \bf r } , \omega ) ] } \end{array}
\theta \left( \hat { z _ { 1 } } \right) = - \delta ^ { - 1 } \left( \frac { z _ { c } \beta _ { 1 } } { 2 } \left( \frac { \hat { z _ { 1 } } } { \epsilon } \right) ^ { 2 } - \sqrt { 2 z _ { c } \beta _ { 1 } \left( z _ { c } - c \right) - 2 z _ { c } \delta C _ { 0 } } \left( \frac { \hat { z _ { 1 } } } { \epsilon } \right) + z _ { c } - c \right) = \hat { \theta _ { 1 } } .