harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\textit { k } \textsubscript { \textit { j } } ( \lambda , \textit { l } ) = \Phi \textsubscript { \textit { j } } ( \lambda ) \sigma \textsubscript { \textit { i } } ( \lambda ) \textit { F } \textsubscript { 0 } ( \lambda ) \textit { e } \textsuperscript { - \sum \sigma \textsubscript { \textit { i } } ( \lambda ) \textit { n \textsubscript { \textit { i } } l } }
F ( p _ { 1 } , p _ { 2 } , p _ { 3 } , p _ { 4 } ) = \displaystyle \sum _ { r _ { 1 } , r _ { 2 } , r _ { 3 } , r _ { 4 } } f ( r _ { 1 } , r _ { 2 } , r _ { 3 } , r _ { 4 } ) \cdot ( - 1 ) ^ { p _ { 1 } r _ { 1 } + p _ { 2 } r _ { 2 } + p _ { 3 } r _ { 3 } + p _ { 4 } r _ { 4 } } .
\begin{array} { r } { \tilde { C } ^ { \prime } ( \omega ) = \frac { e ^ { - \beta \hbar \omega } + 1 } { 2 } \tilde { C } ( \omega ) , } \\ { \tilde { C } ^ { \prime \prime } ( \omega ) = \frac { e ^ { - \beta \hbar \omega } - 1 } { 2 } \tilde { C } ( \omega ) . } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } | T _ { \vec { k } _ { 1 } \vec { k } } ^ { \vec { k } _ { 3 } \vec { k } } | ^ { 2 } ( \cos \beta - \cos \alpha ) ^ { 2 } \mathrm d \alpha \mathrm d \beta = \frac { ( k k _ { 1 } ) ^ { 3 } } { 2 5 6 \pi ^ { 4 } } 2 5 \pi ^ { 2 } = \frac { 2 5 k _ { 1 } ^ { 3 } } { 2 5 6 \pi ^ { 2 } } k ^ { 3 } .
\begin{array} { r l } { T ( \tau _ { 1 } ) = } & { { } \; T _ { \infty } e ^ { - \tau _ { 1 } } , } \\ { P ( \tau _ { 1 } ) = } & { { } \; P _ { \infty } + T _ { \infty } ( 1 - e ^ { - \tau _ { 1 } } ) . } \end{array}
\psi _ { \mathrm { V } } = \exp { \left[ i L _ { \mathrm { c o } } \left( \begin{array} { l l l } { n _ { \mathrm { w g } } \omega / c } & { g _ { \mathrm { c o } } } & { 0 } \\ { g _ { \mathrm { c o } } } & { n _ { \mathrm { w g } } \omega / c } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { n _ { \mathrm { w g } } \omega / c } \end{array} \right) \right] } \psi _ { \mathrm { I V } }
\left\{ \begin{array} { l l } { \nabla _ { x } ^ { \pi } \zeta + J \nabla _ { y } ^ { \pi } \zeta + \frac { 1 } { 2 } \lambda ( \frac { \partial w } { \partial y } ) ( { \mathcal L } _ { R _ { \lambda } } J ) \zeta - \frac { 1 } { 2 } \lambda ( \frac { \partial w } { \partial x } ) ( { \mathcal L } _ { R _ { \lambda } } J ) J \zeta = 0 } \\ { \zeta ( z ) \in T R _ { i } \quad \mathrm { f o r ~ } \, z \in \partial D _ { 2 } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \mathrm { L H S } } & { = \sum _ { \mathrm { c y c } } \sqrt { ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } / 2 ) ^ { 2 } + ( b ^ { 2 } \sqrt { 3 } / 2 ) ^ { 2 } } } \\ & { \ge \sqrt { \left( \sum _ { \mathrm { c y c } } ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } / 2 ) \right) ^ { 2 } + \left( \sum _ { \mathrm { c y c } } b ^ { 2 } \sqrt { 3 } / 2 \right) ^ { 2 } } } \\ & { = \sqrt { 3 ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } ) ^ { 2 } } . } \end{array}
{ \left[ \begin{array} { l } { ^ { \diagdown } \omega _ { r \diagdown } ^ { 2 } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l l } { \omega _ { 1 } ^ { 2 } } & { \cdots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { \cdots } & { \omega _ { N } ^ { 2 } } \end{array} \right] } { \mathrm { ~ a n d ~ } } { \left[ \begin{array} { l } { \Psi } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l } { { \left\{ \begin{array} { l } { \psi _ { 1 } } \end{array} \right\} } { \left\{ \begin{array} { l } { \psi _ { 2 } } \end{array} \right\} } \cdots { \left\{ \begin{array} { l } { \psi _ { N } } \end{array} \right\} } } \end{array} \right] } .
\begin{array} { r l } { \tau _ { 0 } \frac { d D _ { \nu } ( t ) } { d t } } & { = - D _ { \nu } ( t ) + \beta \int _ { \delta _ { 1 } ^ { \star } } ^ { \delta _ { 2 } ^ { \star } } \big [ \delta q _ { 0 } ( t ) + \delta q _ { \mathrm { { R } } } ( t ) \cos ( \phi ) } \\ & { + \delta q _ { \mathrm { { I } } } ( t ) \sin ( \phi ) \big ] \hat { e } _ { \nu } ^ { * } ( \phi ) d \phi , } \end{array}
\widetilde { \lambda } = \left\{ \begin{array} { l } { \sqrt { \lambda ^ { 2 } + \frac { ( \delta \lambda ) ^ { 2 } } { 3 } } \mathrm { ~ , ~ i ~ f ~ c ~ r ~ i ~ t ~ e ~ r ~ i ~ a ~ i ~ s ~ s ~ a ~ t ~ i ~ s ~ f ~ i ~ e ~ d ~ , ~ } } \\ { \lambda \mathrm { ~ , ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right\}
\begin{array} { r l } { \| \hat { x } _ { t } ^ { ( m ) } - \bar { x } _ { t } \| ^ { 2 } } & { = \bigg \| x _ { \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { ( m ) } - \bar { x } _ { \bar { t } _ { s - 1 } } - \bigg ( \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { t - 1 } \eta \alpha _ { \ell } \nu _ { \ell } ^ { ( m ) } - \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { t - 1 } \eta \alpha _ { \ell } \bar { \nu } _ { \ell } \bigg ) \bigg \| ^ { 2 } } \\ & { \overset { ( a ) } { = } \bigg \| \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { t - 1 } \eta \alpha _ { \ell } \big ( \nu _ { \ell } ^ { ( m ) } - \bar { \nu } _ { \ell } \big ) \bigg \| ^ { 2 } \overset { ( b ) } { \leq } \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { t - 1 } I \eta ^ { 2 } \alpha _ { l } ^ { 2 } \bigg \| \big ( \nu _ { \ell } ^ { ( m ) } - \bar { \nu } _ { \ell } \big ) \bigg \| ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \langle \mathbb A \rho , \phi \rangle _ { \mathbb V ^ { \star } , \mathbb V } = \mathbb E ( \rho , \phi ) \; \mathrm { ~ w i t h ~ } \mathbb A \rho = ( \mathbb A \rho ) _ { i } ^ { i } \mathrm { ~ w h e r e ~ } ( \mathbb A \rho ) ^ { i } = \mathcal { D } _ { b _ { i } ^ { - } } ^ { \alpha } ( \beta ^ { i } \mathbb { D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } \rho ^ { i } ) + q ^ { i } \rho ^ { i } . } \end{array}
W _ { n + 1 } ^ { ( \pm ) } = \frac { 1 5 } { 4 } W _ { n } ^ { ( \pm ) } + 1 2 \alpha ( W _ { n } ^ { ( \pm ) } ) ^ { \prime } + 4 \alpha ^ { 2 } ( W _ { n } ^ { ( \pm ) } ) ^ { \prime \prime } ;
\begin{array} { r l r } { u _ { \mathrm { L } } ^ { 2 } } & { = } & { \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { \mathrm { L } } } { 2 } \right) = \frac { 1 } { 2 } \left( 1 + \cos \theta _ { \mathrm { L } } \right) } \\ & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \left( 1 + \frac { \xi } { \sqrt { \xi ^ { 2 } + \Delta ^ { 2 } } } \right) } \\ { v _ { \mathrm { L } } ^ { 2 } } & { = } & { \sin ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { \mathrm { L } } } { 2 } \right) = \frac { 1 } { 2 } \left( 1 - \cos \theta _ { \mathrm { L } } \right) } \\ & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \left( 1 - \frac { \xi } { \sqrt { \xi ^ { 2 } + \Delta ^ { 2 } } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial I _ { \mathrm { F } } ( \theta ) } { \partial \theta } } & { = } & { \frac { 2 } { 1 - E _ { 1 2 } ^ { 2 } ( \theta ) } \frac { \partial E _ { 1 2 } ( \theta ) } { \partial \theta } \left[ \frac { \partial ^ { 2 } E _ { 1 2 } ( \theta ) } { \partial \theta ^ { 2 } } + \frac { E _ { 1 2 } ( \theta ) } { 1 - E _ { 1 2 } ^ { 2 } ( \theta ) } \left( \frac { \partial E _ { 1 2 } ( \theta ) } { \partial \theta } \right) ^ { 2 } \right] = 0 \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { a _ { k } } & { { } : = \phi _ { m , k } ^ { e q } = \int _ { \mathbb { R } } \frac { \bar { \theta } ^ { k / 2 } } { k ! } H _ { k } \left( \frac { \xi } { \sqrt { \bar { \theta } } } \right) \mathcal { E } _ { t r , m } ( \xi ) | \xi | d \xi , } \\ { b _ { k } } & { { } : = \int _ { \mathbb { R } } \frac { \bar { \theta } ^ { k / 2 } } { k ! } H _ { k } \left( \frac { \xi } { \sqrt { \bar { \theta } } } \right) \mathcal { E } _ { t r , m } ( \xi ) \mathrm { s g n } ( \xi ) d \xi , } \end{array}
a = \operatorname* { d e t } { \left( \begin{array} { l l l } { z _ { 1 } w _ { 1 } } & { w _ { 1 } } & { 1 } \\ { z _ { 2 } w _ { 2 } } & { w _ { 2 } } & { 1 } \\ { z _ { 3 } w _ { 3 } } & { w _ { 3 } } & { 1 } \end{array} \right) }
\chi = \frac { \left| \Delta _ { \mathrm { x } } B _ { \mathrm { y } } - \Delta _ { \mathrm { y } } B _ { \mathrm { x } } \right| } { \left| \Delta _ { \mathrm { x } } B _ { \mathrm { y } } \right| + \left| \Delta _ { \mathrm { y } } B _ { \mathrm { x } } \right| + c \sqrt { \rho } } > \chi _ { \mathrm { \operatorname* { m i n } } } \, ,
\begin{array} { r } { L _ { \mathrm { s } } \approx \frac { \mu _ { 0 } l } { 2 \pi } \left[ \ln \left( \frac { 2 l } { w } \right) + \frac { 1 } { 2 } + \frac { w } { 3 l } \right] . } \end{array}
L \left( d E / d s \right) \propto \frac { 1 - \eta _ { e / h } \exp { \left[ - \frac { d E / d s } { d E / d s \mid _ { \mathrm { ~ O ~ n ~ s ~ } } } \exp { \left( - \frac { d E / d s \mid _ { \mathrm { ~ T ~ r ~ a ~ p ~ } } } { d E / d s } \right) } \right] } } { 1 + \frac { d E / d s } { d E / d s \mid _ { \mathrm { ~ B ~ i ~ r ~ k ~ s ~ } } } }
t _ { \mathrm { f r i c } } = { \frac { 2 . 3 4 } { \ln \Lambda } } { \frac { \sigma _ { \mathcal { M } } ^ { 2 } } { \sigma _ { \mathrm { s } } ^ { 3 } } } r _ { \mathrm { i } } = { \frac { 2 . 7 \ \mathrm { G y r } } { \ln \Lambda } } { \frac { r _ { \mathrm { i } } } { 3 0 \ \mathrm { k p c } } } { \bigg ( } { \frac { \sigma _ { \mathcal { M } } } { 2 0 0 \ \mathrm { k m } \ \mathrm { s ^ { - 1 } } } } { \bigg ) } ^ { 2 } { \bigg ( } { \frac { 1 0 0 \mathrm { \ k m \ s ^ { - 1 } } } { \sigma _ { \mathrm { s } } } } { \bigg ) } ^ { 3 }
T _ { \alpha \beta } = G _ { \mu \nu } ( \partial _ { \alpha } X ^ { \mu } \partial _ { \beta } X ^ { \nu } - { \scriptstyle \frac { 1 } { 2 } } g _ { \alpha \beta } g ^ { \alpha ^ { \prime } \beta ^ { \prime } } \partial _ { \alpha ^ { \prime } } X ^ { \mu } \partial _ { \beta ^ { \prime } } X ^ { \nu } ) = 0 ,
{ \mathrm { g a i n - d b } } = 1 0 \log { \left( { \frac { I _ { \mathrm { o u t } } ^ { 2 } R _ { \mathrm { o u t } } } { I _ { \mathrm { i n } } ^ { 2 } R _ { \mathrm { i n } } } } \right) } ~ { \mathrm { d B } } .
e ^ { i t { \hat { M } } _ { E } } = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \left[ e ^ { i t { \hat { M } } _ { E } / n } \right] ^ { n } = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } [ 1 + i t { \hat { M } } _ { E } / n ] ^ { n } .
\begin{array} { r l } { { E } _ { j } ( t ) = } & { \| \partial _ { t } ^ { j } u \| _ { L _ { \rho ( \phi ) } ^ { 2 } } ^ { 2 } + \mu \| \nabla \partial _ { t } ^ { j } u \| ^ { 2 } + \| \partial _ { t } ^ { j } \phi \| ^ { 2 } + ( \gamma \lambda + 1 ) \| \nabla \partial _ { t } ^ { j } \phi \| ^ { 2 } + \gamma \lambda \| \Delta \partial _ { t } ^ { j } \phi \| ^ { 2 } , } \\ { { D } _ { j } ( t ) = } & { \mu \| \nabla \partial _ { t } ^ { j } u \| ^ { 2 } + \| \partial _ { t } ^ { j } u _ { t } \| _ { L _ { \rho ( \phi ) } ^ { 2 } } ^ { 2 } + \gamma \lambda \| \nabla \partial _ { t } ^ { j } \phi \| ^ { 2 } + \| \partial _ { t } ^ { j } \phi _ { t } \| ^ { 2 } + \gamma \lambda \| \Delta \partial _ { t } ^ { j } \phi \| ^ { 2 } } \\ & { \quad + \| \nabla \partial _ { t } ^ { j } \phi _ { t } \| ^ { 2 } + \kappa \| \Delta \partial _ { t } ^ { j } u \| ^ { 2 } + \kappa \| \nabla \Delta \partial _ { t } ^ { j } \phi \| ^ { 2 } + \kappa \| \partial _ { t } ^ { j } p \| _ { 1 } ^ { 2 } \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { \lambda \; ^ { 2 } \mathfrak { G } _ { p q r s } ^ { ( 1 ) } = \frac { 1 } { 2 } \; \frac { \nu _ { p } \, \nu _ { q } \, \eta _ { r } \, \eta _ { s } - \eta _ { p } \, \eta _ { q } \, \nu _ { r } \, \nu _ { s } } { \epsilon _ { p } + \epsilon _ { q } - \epsilon _ { r } - \epsilon _ { s } } \; \mathfrak { g } _ { p q r s } \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { m a x } _ { \beta } ^ { \prime } \left( x \, , 0 \right) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \quad \mathrm { i f } \quad x \ge \frac { 1 } { 2 \beta } } \\ { \beta \left( x + \frac { 1 } { 2 \beta } \right) } & { \quad \mathrm { i f } \quad | x | \le \frac { 1 } { 2 \beta } } \\ { 0 } & { \quad \mathrm { i f } \quad x \le - \frac { 1 } { 2 \beta } . } \end{array} \right. } \end{array}
\mathcal { S } \approx \frac { 1 } { 2 } ( x _ { A } - x _ { B } ) \ln \left( { \beta / { \beta _ { b } } } \right) = \frac { { \sqrt { \beta _ { b } ^ { - 1 } - { \beta ^ { - 1 } } } } } { { \sqrt { \left( { 1 + \delta } \right) } } } \ln \left( { \beta / { \beta _ { b } } } \right) \sim { \left( { \beta - { \beta _ { b } } } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } }
\begin{array} { l c r } { { R e g i o n \, I \qquad } } & { { \psi ^ { b } = s \left( \begin{array} { c } { { E + m } } \\ { { - \kappa } } \end{array} \right) e ^ { \kappa x } } } & { { \qquad x \leq - \xi } } \\ { { R e g i o n \, I I I \qquad } } & { { \psi ^ { b } = s ^ { \prime } \left( \begin{array} { c } { { E + m } } \\ { { \kappa } } \end{array} \right) e ^ { - \kappa x } } } & { { \qquad x \geq \xi } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { \| ( \boldsymbol { u } , \boldsymbol { p } ) - ( \boldsymbol { u } _ { h } , \boldsymbol { p } _ { h } ) \| _ { D G } ^ { 2 } } } \\ & { \lesssim } & { \| \boldsymbol { p } - \boldsymbol { p } _ { h } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } + \| \kappa ( \boldsymbol { u } - \boldsymbol { u } _ { h } ) \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } } \\ & { } & { + \sum _ { \tau \in \mathcal { T } _ { h } } \| \nabla \times \mu ( { \boldsymbol { u } } - \boldsymbol { u } _ { h } ) \| _ { L ^ { 2 } ( \tau ) } ^ { 2 } + \sum _ { f \in \mathcal { F } _ { h } } \alpha h _ { f } ^ { - 1 } < [ [ \boldsymbol { u } _ { h } ] ] , [ [ \boldsymbol { u } _ { h } ] ] > _ { f } } \\ & { \lesssim } & { \| \boldsymbol { p } - \boldsymbol { p } _ { h } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } + \| \boldsymbol { u } - \tilde { \boldsymbol { u } } _ { h } \| _ { \boldsymbol { c u r l } , \Omega } ^ { 2 } + \tilde { \zeta } ^ { 2 } + \sum _ { f \in \mathcal { F } _ { h } } \alpha h _ { f } ^ { - 1 } < [ [ \boldsymbol { u } _ { h } ] ] , [ [ \boldsymbol { u } _ { h } ] ] > _ { f } } \\ & { = } & { \| ( \boldsymbol { u } - \tilde { \boldsymbol { u } } _ { h } , \boldsymbol { p } - \boldsymbol { p } _ { h } ) \| _ { \boldsymbol { U } \times \boldsymbol { Q } } + \tilde { \zeta } ^ { 2 } + \sum _ { f \in \mathcal { F } _ { h } } \alpha h _ { f } ^ { - 1 } < [ [ \boldsymbol { u } _ { h } ] ] , [ [ \boldsymbol { u } _ { h } ] ] > _ { f } } \\ & { \lesssim } & { \| \tilde { \ell } _ { 1 } \| _ { \mathbf { Q } ^ { * } } ^ { 2 } + \| \tilde { \ell } _ { 2 } \| _ { \boldsymbol { U } ^ { * } } ^ { 2 } + \tilde { \zeta } ^ { 2 } + \sum _ { f \in \mathcal { F } _ { h } } \alpha h _ { f } ^ { - 1 } < [ [ \boldsymbol { u } _ { h } ] ] , [ [ \boldsymbol { u } _ { h } ] ] > _ { f } } \\ & { \leq } & { C _ { 1 } \eta ^ { 2 } ( \boldsymbol { u } _ { h } , \boldsymbol { p } _ { h } ; \mathcal { T } _ { h } ) . } \end{array}
\mathcal { T } _ { \delta , \epsilon } ( \mathcal { A } _ { \operatorname* { d e t } } , \mathcal { F } _ { 2 d } ( \Delta , L ) ) = \operatorname* { i n f } _ { \textsc { A } \in \mathcal { A } _ { \operatorname* { d e t } } } \operatorname* { s u p } _ { f \in \mathcal { F } _ { 2 d } ( \Delta , L ) } \textsc { T } _ { \delta , \epsilon } ( \textsc { A } , f ) \geq d + 1 .
\frac { \mathbf { a } ( s , e ) \wedge 1 } { ( s - t ) ^ { - 1 } \sum _ { e ^ { \prime } \cap e \neq \emptyset } \int _ { t } ^ { s } \mathbf { a } ( s ^ { \prime } , e ^ { \prime } ) \vee 1 \, d s ^ { \prime } } ( \nabla u ( s , e ) - \nabla u ( t , e ) ) ^ { 2 } \leq C ( s - t ) \sum _ { e ^ { \prime } \cap e \neq \emptyset } \int _ { t } ^ { s } \mathbf { a } ( s ^ { \prime } , e ^ { \prime } ) ( \nabla u ( s ^ { \prime } , e ^ { \prime } ) ) ^ { 2 } \, d s ^ { \prime } .
( i \frac { \partial } { \partial t } - \omega _ { { \bf { k } } } ( { \bf { q } } ) ) \frac { - i \langle T a _ { { \bf { k } } } ^ { t } ( { \bf { q } } ) a _ { { \bf { k } } ^ { ' } } ^ { \dagger } ( { \bf { q } } ^ { ' } ) \rangle } { \langle T 1 \rangle } = \delta _ { { \bf { k } } , { \bf { k } } ^ { ' } } \delta _ { { \bf { q } } , { \bf { q } } ^ { ' } } \delta ( t )
N ^ { \mu } = P \, \beta ^ { \mu } + \frac 1 T ( { * { \cal K } } \cdot \tilde { \mu } ) ^ { \mu } + \frac { ( - ) ^ { q } } { T } ( * { \cal V } \cdot { \tilde { \mu } _ { \ell } } ) ^ { \mu } + { \cal N } ^ { \mu } ,
\begin{array} { r } { \left[ \frac { 1 - \lambda _ { \alpha } \lambda _ { \beta } ^ { * } } { 1 - h _ { i } \left( Y _ { \alpha } \right) h _ { i } \left( Y _ { \beta } \right) ^ { * } } \right] _ { \alpha , \beta } \quad \alpha , \beta = 1 , 2 , \ldots , M . } \end{array}
\begin{array} { r l } { u _ { k , 1 } } & { { } \equiv \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( u _ { k , a } + e ^ { - i \varphi _ { k } } u _ { k , b } \right) , } \\ { u _ { k , 2 } } & { { } \equiv \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( u _ { k , a } - e ^ { - i \varphi _ { k } } u _ { k , b } \right) , } \end{array}
\hat { m } _ { + } ( \vec { r } , \omega ) = - \frac { 6 \pi } { \mu _ { 0 } k _ { 0 } ^ { 3 } } \frac { 1 } { 1 + \alpha } \frac { 1 } { 2 I _ { g } + 1 } \sum _ { \mu , j } \frac { \gamma / 2 } { \omega - \Delta _ { \mu } + \Delta _ { j } + i \gamma / 2 } \vec { d } _ { \mu j } ^ { * } \otimes \vec { d } _ { \mu j } \cdot \hat { B } _ { + } ( \vec { r } , \omega ) .
( \, \Lambda \, \vert \Lambda \, ) = 1 \, , \, \, ( \, \Phi \vert X \Psi \, ) = ( \, X ^ { * } \Phi \vert \Psi \, ) \, \, \mathrm { f o r } \, \, \, \Phi \, , \Psi \, \in { \cal V } _ { \Lambda } \, , \, \, X \in U _ { q } ^ { ( n ) } \, .
T ( M ) = \frac { 1 } { 2 ^ { N } } \mathbf { 1 } ^ { \top } ( I - M ^ { \ast } ) ^ { - 1 } \mathbf { 1 } = \frac { 1 } { 2 ^ { N } } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \mathbf { 1 } ^ { \top } { M ^ { \ast } } ^ { k } \mathbf { 1 } = \frac { 1 } { 2 ^ { N } } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \sum _ { i = 1 } ^ { 2 ^ { N } - 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { 2 ^ { N } - 2 } ( { M ^ { \ast } } ^ { k } ) _ { i j } ,
\arctan \left( \frac { Q \left( t \right) } { I \left( t \right) } \right) \approx \Phi \left( t \right) + \frac { 1 } { \eta _ { \mathrm { d e t } } \sqrt { P \left( t \right) P \left( t - \tau _ { d } \right) } } \left( \cos { \left( \Phi \left( t \right) \right) } \xi _ { Q } \left( t \right) - \sin { \left( \Phi \left( t \right) \right) } \xi _ { I } \left( t \right) \right) .
\left( \begin{array} { c c } { \left( \tau + 1 \right) \boldsymbol { J } _ { \boldsymbol { \tau } } ( \boldsymbol { \theta } ) } & { - \boldsymbol { G } ( \boldsymbol { \theta } ) } \\ { - \boldsymbol { G } ^ { T } ( \boldsymbol { \theta } ) } & { \boldsymbol { 0 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { n ^ { 1 / 2 } ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { G } ^ { \tau } - \boldsymbol { \theta } ) } \\ { n ^ { 1 / 2 } \boldsymbol { \lambda } _ { n } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c } { n ^ { 1 / 2 } \frac { \partial } { \partial \boldsymbol { \theta } } H _ { n } ^ { \tau } ( \boldsymbol { \theta } ) } \\ { \boldsymbol { 0 } _ { } } \end{array} \right) + o _ { p } ( 1 ) .
\begin{array} { r } { r _ { 1 } = \sqrt { \frac { 5 ( \mathcal { I } _ { 2 } + \mathcal { I } _ { 3 } - \mathcal { I } _ { 1 } ) } { 2 \rho _ { p } V } } \ , } \\ { r _ { 2 } = \sqrt { \frac { 5 ( \mathcal { I } _ { 1 } + \mathcal { I } _ { 3 } - \mathcal { I } _ { 2 } ) } { 2 \rho _ { p } V } } \ , } \\ { r _ { 3 } = \sqrt { \frac { 5 ( \mathcal { I } _ { 1 } + \mathcal { I } _ { 2 } - \mathcal { I } _ { 3 } ) } { 2 \rho _ { p } V } } \ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( z ) } & { = \frac { 4 } { 3 } \left( \frac { 1 } { z + 1 } \right) + \frac { 2 } { 3 } \left( \frac { 1 } { z - 2 } \right) } \\ & { = \frac { 4 } { 3 } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { n - 1 } } { z ^ { n } } + \frac { 2 } { 3 z } \left( \frac { 1 } { 1 - \frac { 2 } { z } } \right) } \\ & { = \frac { 4 } { 3 } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { n - 1 } } { z ^ { n } } + \frac { 1 } { 3 } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { 2 ^ { n + 1 } } { z ^ { n + 1 } } } \\ & { = \frac { 4 } { 3 } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { n - 1 } } { z ^ { n } } + \frac { 1 } { 3 } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { 2 ^ { n } } { z ^ { n } } } \\ & { = \frac { 1 } { 3 } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \left( 2 ^ { n } - 4 ( - 1 ) ^ { n } \right) \frac { 1 } { z ^ { n } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { 3 } } & { [ { \mathbf B } ] = \mathbf { 0 } \qquad } & { \mathrm { o n } \quad \Gamma ^ { P W } , } \\ & { [ { \mathbf E } \times \mathbf { n } _ { P \rightarrow W } ] = \mathbf { 0 } \qquad } & { \mathrm { o n } \quad \Gamma ^ { P W } , } \\ & { \mathbf V _ { i \perp } \cdot \mathbf B = 0 \qquad } & { \mathrm { o n } \quad \Gamma ^ { P W } . } \end{array}
m _ { \delta } = \operatorname* { l i m } _ { c ^ { 2 } \rightarrow 0 } \frac { K _ { 0 } } { v ^ { 2 } / 2 } = \operatorname* { l i m } _ { c ^ { 2 } \rightarrow 0 } \frac { K _ { 0 } ^ { \textrm { p i o n } } } { v ^ { 2 } / 2 } = m _ { 0 }
\begin{array} { r l } & { \| U _ { M } ^ { 1 } - u _ { 1 } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } \le \frac { p b ^ { 2 } } { \mu } \sqrt { \frac { h ( b - a ) } { 2 a \pi } } \, \frac 1 { \sqrt M } \, , \qquad \| U _ { M } ^ { 2 } - u _ { 2 } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } \le \frac { p b ^ { 2 } } { \mu } \sqrt { \frac { h ( b - a ) } { 2 a \pi } } \, \frac 1 { \sqrt M } \, , } \\ & { \| U _ { M } ^ { 3 } - u _ { 3 } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } \le \frac { p } { \mu a \pi ^ { 2 } } \sqrt { \frac { h ^ { 3 } b ^ { 3 } ( b - a ) } { 2 4 } } \, \frac { 1 } { \sqrt { M ^ { 3 } } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { [ c ] \mathsf { y } ^ { \mathrm { ~ a ~ } } } & { { } = [ \mathsf { y } ^ { \boldsymbol { u } } , \mathsf { y } ^ { k } ] } \\ { J } & { { } = \parallel \boldsymbol { w } ^ { i + 1 } - \boldsymbol { w } ^ { i } \parallel _ { \mathsf { P } } ^ { 2 } + \parallel \mathsf { y } ^ { \mathrm { ~ a ~ } } - \mathcal { H } ^ { \mathrm { ~ a ~ } } [ \boldsymbol { w } ^ { i + 1 } ] \parallel _ { \mathsf { R } ^ { \mathrm { ~ a ~ } } } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { | I I I _ { \delta } | } & { \leq \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Omega } | \eta _ { \delta } | | p | | u | | \nabla \chi _ { \delta } | \, \mathrm { d } y \, \mathrm { d } \tau } \\ & { \leq \int _ { 0 } ^ { T } | \eta _ { \delta } ( \tau ) | \| p ( \tau ) \| _ { L ^ { \frac { r } { 2 } } ( B _ { 2 \delta } ( x ) ) } \| u ( \tau ) \| _ { L ^ { r } ( B _ { 2 \delta } ( x ) ) } \| \nabla \chi _ { \delta } \| _ { L ^ { \frac { r } { r - 3 } } } \, \mathrm { d } \tau } \\ & { \lesssim \delta ^ { d \frac { r - 3 } { r } - 1 } \int _ { 0 } ^ { T } | \eta _ { \delta } ( \tau ) | \| p ( \tau ) \| _ { L ^ { \frac { r } { 2 } } ( B _ { 2 \delta } ( x ) ) } \| u ( \tau ) \| _ { L ^ { r } ( B _ { 2 \delta } ( x ) ) } \, \mathrm { d } \tau } \\ & { \lesssim \delta ^ { d \frac { r - 3 } { r } - 1 } \| p \| _ { L ^ { \frac { q } { 2 } } L ^ { \frac { r } { 2 } } ( \mathcal { C } _ { 2 \delta } ^ { \alpha } ( x , t ) ) } \| u \| _ { L ^ { q } L ^ { r } ( \mathcal { C } _ { 2 \delta } ^ { \alpha } ( x , t ) ) } \| \eta _ { \delta } \| _ { L ^ { \frac { q } { q - 3 } } } } \\ & { \lesssim \| p \| _ { L ^ { \frac { q } { 2 } } L ^ { \frac { r } { 2 } } ( \mathcal { C } _ { 2 \delta } ^ { \alpha } ( x , t ) ) } \| u \| _ { L ^ { q } L ^ { r } ( \mathcal { C } _ { 2 \delta } ^ { \alpha } ( x , t ) ) } \delta ^ { d \frac { r - 3 } { r } - 1 + \alpha \frac { q - 3 } { q } } . } \end{array}
\hat { T } _ { p } = T _ { p } + \frac { T _ { 4 } z - T _ { 5 } x y } { \sin \theta } \ , \quad \hat { T } _ { q } = T _ { q } + \frac { T _ { 4 } x y + T _ { 5 } z } { \sin \theta } \ , \quad \hat { T } _ { s } = T _ { s } - T _ { 4 } y \ ,
{ \begin{array} { r l } { { \mathcal { N } } ( x \mid \mu , \sigma ^ { 2 } ) } & { = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \sigma ^ { 2 } } } } e ^ { \frac { - ( x - \mu ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } } \\ { \operatorname { G a m m a } ( \tau \mid a , b ) } & { = { \frac { 1 } { \Gamma ( a ) } } b ^ { a } \tau ^ { a - 1 } e ^ { - b \tau } } \end{array} }
\phi _ { - n _ { 2 } } \partial _ { - n _ { 4 } } \phi _ { - n _ { 3 } } + \phi _ { - n _ { 3 } } \partial _ { - n _ { 4 } } \phi _ { - n _ { 2 } } + \phi _ { - n _ { 4 } } \partial _ { - n _ { 3 } } \phi _ { - n _ { 2 } } + \left( { \frac { \phi _ { - n _ { 2 } } \phi _ { - n _ { 3 } } \phi _ { - n _ { 4 } } } { W ^ { \prime } } } \right) ^ { \prime }
E / \hbar = \chi S ^ { + } S ^ { - } + \frac { \delta _ { \mathrm { s } } } { 2 } S _ { 1 } ^ { z } - \frac { \delta _ { \mathrm { s } } } { 2 } S _ { 2 } ^ { z } = \chi \bigg ( \frac { N } { 2 } \bigg ) ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { A _ { 1 } } & { = \frac { h } { \omega k } \ { \sqrt { v ^ { 2 } k _ { 2 } ^ { 2 } + f ^ { 2 } } } \cos ( \omega t - k \cdot x + \phi _ { 0 } ) , \ } \\ { A _ { 2 } } & { = - \frac { h } { \omega k } \ { \sqrt { v ^ { 2 } k _ { 1 } ^ { 2 } + f ^ { 2 } } } \cos ( \omega t - k \cdot x + \phi _ { 0 } - \varphi ) , \quad \tan \varphi = \frac { f \omega } { k _ { 1 } k _ { 2 } v ^ { 2 } } , } \end{array}