harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \bar { E } _ { 1 2 } ^ { ( 3 ) } } & { { } = } & { 2 \pi \rho \frac { C _ { 9 } } { R ^ { 6 } } \frac { 4 } { 3 } } \\ { \bar { E _ { 1 2 } ^ { * } } ^ { ( 3 ) } } & { { } = } & { 2 \pi \rho \frac { C _ { 9 } ^ { * } } { R ^ { 6 } } \frac { 4 } { 9 } ( 4 - 3 \log [ ( R ^ { 2 } - \sigma ^ { 2 } ) / \sigma ^ { 2 } ] ) \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } m = 0 } \\ { \bar { E _ { 1 2 } ^ { * } } ^ { ( 3 ) } } & { { } = } & { 2 \pi \rho \frac { C _ { 9 } ^ { * } } { R ^ { 6 } } \frac { 2 } { 9 } ( - 1 + 3 \log [ ( R ^ { 2 } - \sigma ^ { 2 } ) / \sigma ^ { 2 } ] ) \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } m = \pm 1 } \end{array}
\hat { H } _ { 1 } = \sum _ { n } ( i r _ { y } \hat { c } _ { n + 1 } ^ { \dagger } \hat { c } _ { n } + \mathrm { H . c . } + 2 i \gamma \hat { c } _ { n } ^ { \dagger } \hat { c } _ { n } ) \otimes \sigma _ { y } ,
{ \begin{array} { r l } { \nabla \times { \vec { A } } } & { = \left( \partial _ { y } A _ { z } - \partial _ { z } A _ { y } \right) { \hat { i } } + \left( \partial _ { z } A _ { x } - \partial _ { x } A _ { z } \right) { \hat { j } } + \left( \partial _ { x } A _ { y } - \partial _ { y } A _ { x } \right) { \hat { k } } } \\ & { = F _ { x } { \hat { i } } + F _ { y } { \hat { j } } + F _ { z } { \hat { k } } = { \vec { F } } } \end{array} }
\begin{array} { r } { \frac { \partial \mathbf { v } _ { e h } } { \partial t } + ( \mathbf { v } _ { e h } \cdot \triangledown ) \mathbf { v } _ { e h } - \overline { { ( \mathbf { v } _ { e h } \cdot \triangledown ) \mathbf { v } _ { e h } } } = - \frac { e } { m _ { e } } ( \mathbf { E } _ { h } + \mathbf { v } _ { e h } \times \mathbf { B _ { r } } ) - \frac { \triangledown p _ { e h } } { n _ { e } m _ { e } } - \frac { \triangledown \cdot { \bf \Pi } _ { e h } } { n _ { e } m _ { e } } } \end{array} ,
\begin{array} { r l r l } { - \Delta u } & { = 0 } & & { \mathrm { i n } \ \Omega \setminus \Gamma \equiv [ - 1 , 1 ] ^ { 2 } \setminus \partial B _ { \epsilon } ( 0 ) , } \\ { u } & { = - \ln ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) / 2 } & & { \mathrm { o n } \ \Gamma \cup \partial \Omega , } \\ { \lambda } & { = \frac { 1 } { \epsilon } = [ \nabla u ] \cdot n } & & { \mathrm { o n } \ \Gamma \equiv \partial B _ { \epsilon } ( 0 ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { f _ { \ell _ { q } } ^ { \mathrm { s } } ( W ^ { \star } ) - \operatorname* { m i n } _ { W } f _ { \ell _ { q } } ^ { \mathrm { s } } ( W ) \geq f _ { \ell _ { q } } ^ { \mathrm { s } } ( W ^ { \star } ) - f _ { \ell _ { q } } ^ { \mathrm { s } } ( \widehat W ) \geq c _ { 1 } ( q / 4 ) t _ { 0 } ^ { q - 1 } \cdot \frac { c _ { 2 } t _ { 0 } } { q 2 ^ { q } ( d ( k - r ) ) ^ { 3 / 2 } } = c _ { 3 } \cdot \frac { ( t _ { 0 } / 2 ) ^ { q } } { ( d ( k - r ) ) ^ { 3 / 2 } } } \end{array}
\Sigma _ { 1 } = \left\{ \, \lambda \in \sigma ( \mathcal { A } _ { U } ) \; \vert \; \mathrm { R e } ( \lambda ) > \beta _ { 1 } \, \right\} , \qquad \Sigma _ { 2 } = \left\{ \, \lambda \in \sigma ( \mathcal { A } _ { U } ) \; \vert \; \mathrm { R e } ( \lambda ) < \beta _ { 2 } \, \right\} ,
\begin{array} { r l } { \gamma 1 _ { N _ { j } } } & { = \hat { \gamma } ( \gamma ^ { * } ) ^ { - 1 } \gamma ^ { * } 1 _ { N _ { j } } = \hat { \gamma } ( \gamma ^ { * } ) ^ { - 1 } p ^ { 0 } = \hat { \gamma } 1 _ { N _ { 0 } } = p ^ { 0 } } \\ { \gamma ^ { T } 1 _ { N _ { 0 } } } & { = ( \gamma ^ { * } ) ^ { T } ( \gamma ^ { * } ) ^ { - 1 } \hat { \gamma } ^ { T } 1 _ { N _ { 0 } } = ( \gamma ^ { * } ) ^ { T } ( \gamma ^ { * } ) ^ { - 1 } p ^ { 0 } = ( \gamma ^ { * } ) ^ { T } 1 _ { N _ { 0 } } = p ^ { j } , } \end{array}
\widehat { \mathbf { u } } _ { h } ( \mathbf { x } ) = \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { s } } \widehat { \mathbf { u } } _ { i } { \psi } _ { i } ( \mathbf { x } ) = \mathbf { u } _ { h } ( \mathbf { x } ) ,
\begin{array} { r } { \tilde { \beta } \left( \frac { 4 \langle R \rangle _ { t } ^ { 2 } } { v _ { 0 } ^ { 2 } } - 1 \right) \left( 1 - \frac { \tilde { \beta } \langle R \rangle _ { t } ^ { 2 } } { v _ { 0 } ^ { 2 } } \right) = 0 . } \end{array}
\sigma = \sqrt { \bar { \mathcal { M } } _ { 2 } { \mathcal { M } } _ { 3 } | A _ { 1 } | ^ { 2 } + \bar { \mathcal { N } } _ { 4 } { \mathcal { N } } _ { 3 } | A _ { 5 } | ^ { 2 } } .
A _ { \mathrm { T } } = { \frac { \Delta \rho _ { 1 1 } + \Delta \rho _ { 2 2 } + 2 \mathrm { R e } \, \Sigma \rho _ { 1 2 } } { \Sigma \rho _ { 1 1 } + \Sigma \rho _ { 2 2 } + 2 \mathrm { R e } \, \Delta \rho _ { 1 2 } } } \ ,
I ( \sigma , \sigma _ { g } ) = \int _ { - \infty } ^ { + \infty } e ^ { - \sigma _ { g } \sigma x ^ { 2 } } e ^ { i \sigma x ^ { 2 } } \mathrm { d } x \approx \int _ { - \infty } ^ { + \infty } e ^ { i \sigma x ^ { 2 } } \mathrm { d } x = \sqrt { \frac { 2 \pi } { - i \sigma } }
\begin{array} { r } { \Gamma ( \omega ) \leq \frac { \alpha } { 2 \pi c } \frac { | \chi | ^ { 2 } } { \operatorname { I m } \chi } \frac { L \theta } { \beta } \left[ ( \kappa _ { \rho } d ) K _ { 0 } ( \kappa _ { \rho } d ) K _ { 1 } ( \kappa _ { \rho } d ) \right] , } \end{array}
u \left( t _ { m \, n } ^ { ( l ) } \right) = \delta _ { m , n } \, q ^ { 2 ( m - k ) } u \left( t _ { k \, k } ^ { ( l ) } \right) , \quad v \left( t _ { m \, n } ^ { ( l ) } \right) = \delta _ { m , n } \, q ^ { 2 ( k - m ) } v \left( t _ { k \, k } ^ { ( l ) } \right) .
\begin{array} { r l } { \forall K > \Tilde { L } _ { C _ { 1 } } , \ \mathrm { F D R } ( \Hat { m } ( K ) ) } & { \geq C _ { 1 } \sum _ { r = D _ { m ^ { * } } + 1 } ^ { q } \Bigg ( \frac { r - D _ { m ^ { * } } } { r } \frac { 2 \sqrt { 2 } } { \sqrt { \pi } \Big ( \sqrt { r K } + \sqrt { r K + 4 } \Big ) } e ^ { - \frac { r K } { 2 } } \Bigg ) } \\ & { \geq C _ { 1 } \frac { 2 \sqrt { 2 } } { \sqrt { \pi } \Big ( \sqrt { q K } + \sqrt { q K + 4 } \Big ) } \frac { 1 } { D _ { m ^ { * } } + 1 } \sum _ { r = D _ { m ^ { * } } + 1 } ^ { q } \Bigg ( e ^ { - \frac { r K } { 2 } } \Bigg ) } \\ & { \underset { \textit { ( * ) } } { \geq } C _ { 1 } \frac { 2 \sqrt { 2 } } { \sqrt { \pi } \Big ( \sqrt { q K } + \sqrt { q K + 4 } \Big ) } \frac { 1 } { D _ { m ^ { * } } + 1 } e ^ { - \frac { ( D _ { m ^ { * } } + 1 ) K } { 2 } } } \\ & { = \frac { 2 \sqrt { 2 } C _ { 1 } } { \sqrt { \pi } ( D _ { m ^ { * } } + 1 ) } \frac { 1 } { \sqrt { q K } + \sqrt { q K + 4 } } e ^ { - K \frac { ( D _ { m ^ { * } } + 1 ) } { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left[ \begin{array} { l } { V _ { N } } \\ { I _ { N } } \end{array} \right] } & { { } = \mathbf { T } ^ { N } \left[ \begin{array} { l } { V _ { 0 } } \\ { I _ { 0 } } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { Y } _ { i j } ^ { \star } } & { = \frac { \mathbf { W } _ { i j } } { \sum _ { j } \mathbf { W } _ { i j } } \, y _ { i } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { x _ { i - j } x _ { j } } { ( x * x ) _ { i } } \, y _ { i } } & { \mathrm { ~ i f ~ } \, 0 \le j \leq i \leq j + m , } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ o t h e r w i s e } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { = \operatorname* { l i m } _ { t \to 0 } \frac { \lVert \pi _ { \mathbb { H } } \Big ( ( L _ { x } [ \pi _ { \mathbb { G } } ( \varphi ( \gamma ( t _ { 0 } + t ) ) ) - \pi _ { \mathbb { G } } ( \varphi ( x ) ) ] ) ^ { - 1 } f ( x ) ^ { - 1 } f ( \gamma ( t _ { 0 } + t ) ) \Big ) \rVert _ { \mathbb { H } } } { d ( x , \gamma ( t _ { 0 } + t ) ) } } \\ & { \geq \operatorname* { l i m } _ { t \to 0 } \frac { \lVert \pi _ { \mathbb { H } } \Big ( ( L _ { x } [ \pi _ { \mathbb { G } } ( \varphi ( \gamma ( t _ { 0 } + t ) ) ) - \pi _ { \mathbb { G } } ( \varphi ( x ) ) ] ) ^ { - 1 } \delta _ { t } ( D ( f \circ \gamma ) ( t _ { 0 } ) ) \Big ) \rVert _ { \mathbb { H } } } { d ( x , \gamma ( t _ { 0 } + t ) ) } } \\ & { \qquad \qquad \qquad - \operatorname* { l i m } _ { t \to 0 } \frac { \lVert \pi _ { \mathbb H } \left( \delta _ { t } ( D ( f \circ \gamma ) ( t _ { 0 } ) ) ^ { - 1 } f ( x ) ^ { - 1 } f ( \gamma ( t _ { 0 } + t ) \right) \rVert _ { \mathbb { H } } } { d ( x , \gamma ( t _ { 0 } + t ) ) } } \\ & { \geq \frac { 1 } { 2 } \operatorname* { l i m } _ { t \to 0 } \frac { \lVert \pi _ { \mathbb { H } } \Big ( ( L _ { x } [ \pi _ { \mathbb { G } } ( \varphi ( \gamma ( t _ { 0 } + t ) ) ) - \pi _ { \mathbb { G } } ( \varphi ( x ) ) ] ) ^ { - 1 } \delta _ { t } ( D ( f \circ \gamma ) ( t _ { 0 } ) ) \Big ) \rVert _ { \mathbb { H } } } { t } . } \end{array}
F _ { l u b } = \frac { 6 { \pi } { \mu } V _ { 0 } R _ { 0 } } { \epsilon } \int _ { 0 } ^ { \bar { r } } \frac { \bar { r } d \bar { r } } { 1 + \bar { r } ^ { 2 } / 2 } = \frac { 6 { \pi } { \mu } V _ { 0 } R _ { 0 } } { \epsilon } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \bar { r } d \bar { r } } { 1 + \bar { r } ^ { 2 } / 2 } = \frac { 6 { \pi } { \mu } V _ { 0 } R _ { 0 } } { \epsilon }
T _ { s l ( 2 ) } ^ { W S } = { \frac { 1 } { ( k - 2 ) } } [ ( J _ { s l ( 2 ) } ^ { 0 } ) ^ { 2 } - ( J _ { s l ( 2 ) } ^ { 1 } ) ^ { 2 } - ( J _ { s l ( 2 ) } ^ { 2 } ) ^ { 2 } ]
\begin{array} { r } { \widehat { F } _ { \mathrm { ~ M ~ F ~ I ~ R ~ } , p } ^ { ( k ) } = \operatorname { M F } \left( F ^ { ( k ) } , G ^ { ( k ) } , \pi ^ { ( k ) } , \frac { p } { 2 } \right) + \gamma \left( \widehat { F } _ { \mathrm { ~ M ~ F ~ I ~ R ~ } , p } ^ { ( k - 1 ) } - \operatorname { M F } \left( F ^ { ( k - 1 ) } , G ^ { ( k - 1 ) } , \pi ^ { ( k ) } , \frac { p } { 2 } \right) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbb { W } ^ { + } = } & { { } } & { ( i W _ { 1 0 } ^ { i + } + W _ { 1 0 } ^ { + } + i W _ { 1 } ^ { i + } \textbf { i } _ { \{ W 1 i + \} } + W _ { 1 } ^ { + } \textbf { i } _ { \{ W 1 + \} } ) } \end{array}
\mathrm { S h } = 2 + 0 . 6 \, \mathrm { R e } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \, \mathrm { S c } ^ { \frac { 1 } { 3 } } , ~ 0 \leq ~ \mathrm { R e } < 2 0 0 , ~ 0 \leq \mathrm { S c } < 2 5 0
\begin{array} { r l } { \frac { \textnormal { d } Q _ { d } } { \textnormal { d } z _ { d } } } & { { } = q _ { i } - q _ { f } , } \\ { \frac { \textnormal { d } ( M _ { d } + M _ { d } ^ { \prime } + P _ { d } ) } { \textnormal { d } z _ { d } } } & { { } = B _ { d } + m _ { f } - m _ { i } , } \\ { \frac { \textnormal { d } ( F _ { d } + F _ { d } ^ { \prime } ) } { \textnormal { d } z _ { d } } } & { { } = f _ { f } - f _ { i } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { \le E _ { k , N } \le \widetilde C ( a , b , k ) \, \left[ \, \sum _ { n = N + 2 } ^ { + \infty } \left( \frac { \pi k b } { h } \right) ^ { n } \left| \left( \begin{array} { l } { \widetilde a _ { n } } \\ { \widetilde c _ { n - 1 } } \end{array} \right) \right| _ { \infty } + \sum _ { n = N + 2 } ^ { + \infty } \left( \frac { \pi k b } { h } \right) ^ { n } \left| \left( \begin{array} { l } { \widetilde b _ { n } } \\ { \widetilde d _ { n - 1 } } \end{array} \right) \right| _ { \infty } \, \right] } \\ & { \le \widetilde C ( a , b , k ) \operatorname* { m a x } \{ \widetilde a _ { - 1 } , \widetilde a _ { 1 } , \widetilde b _ { 1 } , \widetilde c _ { 0 } \} \sum _ { \underset { \mathrm { ~ n ~ o d d } } { n = N + 2 } } ^ { + \infty } \left( \frac { \pi k b } { h } \right) ^ { n } \frac { 3 ( 2 \lambda + 5 \mu ) ( \lambda + \mu ) ^ { 2 } \, ( n + 1 ) ( 3 n ^ { 3 } + 3 n ^ { 2 } - 6 n + 8 ) } { 4 \mu ^ { 3 } \, 2 ^ { n } \left[ \left( \frac { n - 1 } { 2 } \right) ! \right] ^ { 2 } } } \end{array}
\Pi ( p ) = \int d ^ { 4 } k \sin ^ { 2 } ( p \tilde { k } \xi ) \frac { ( \tilde { p } k ) ^ { 2 } } { \tilde { k } ^ { 2 } ( \tilde { p } + \tilde { k } ) ^ { 2 } } k ^ { - 2 } ( p + k ) ^ { - 2 }
\begin{array} { r } { \int _ { - \infty } ^ { \infty } \Big [ - ( 1 + \phi ^ { \prime \prime } ) | u _ { 0 } | ^ { 2 } - \phi ^ { \prime } \left( u _ { 0 } ^ { \prime } u _ { 0 } ^ { * } + { u _ { 0 } ^ { * } } ^ { \prime } u _ { 0 } \right) + \mathrm { R e } ( u _ { 0 } ) u _ { \mathrm { i n } } \Big ] d \tau = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left[ i 2 k _ { 0 } \partial _ { z } + \left( \nabla _ { X _ { 2 } } ^ { 2 } - \nabla _ { X _ { 1 } } ^ { 2 } \right) + k _ { 0 } ^ { 2 } \left( \epsilon _ { 1 } ( \vec { x } _ { 2 } ) - \epsilon _ { 1 } ( \vec { x } _ { 1 } ) \right) \right] s _ { \nu } = 0 , \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \nu = 0 , \cdots , 3 } \end{array}
J _ { S } = \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } d \tilde { t } \, \mathrm { c o s } \{ \theta _ { 2 } ( \tilde { t } ) - \theta ( \tilde { t } ) \} \Bigg ] = \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } d \tilde { t } \, { \frac { 1 - \tilde { \mu } ^ { 2 } } { 1 + \tilde { \mu } ^ { 2 } } }
\begin{array} { r l } & { C ( A : C ) _ { \rho } } \\ { \leq } & { I ( A C : X I ) _ { \tau } } \\ { = } & { I ( A C : I ) _ { \tau } + I ( A C : X | I ) _ { \tau } } \\ { = } & { I ( A C : I ) _ { \tau } + \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } I ( A _ { i } C _ { i } : X ) _ { \widehat { \rho } } } \\ { = } & { H ( A C ) _ { \tau } - H ( A C | I ) _ { \tau } + \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } I ( A _ { i } C _ { i } : X ) _ { \widehat { \rho } } } \\ { = } & { H ( A C ) _ { \rho } - \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } H ( A _ { i } C _ { i } ) _ { \widehat { \rho } } + \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } I ( A _ { i } C _ { i } { \, : \, } X ) _ { \widehat { \rho } } \ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { j } ^ { k } ( f \otimes f ) ( y , t _ { l } ) } & { = \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } e ^ { i [ y \cdot ( \xi + \zeta ) + \frac { \xi _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 \xi _ { 2 } } + \frac { \zeta _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 \zeta _ { 2 } } + ( - 1 ) ^ { m + 1 } \frac { { \phi } ^ { ( m ) } ( 0 ) } { m ! } \delta ^ { m } ( \frac { \xi _ { 1 } ^ { m + 2 } } { t _ { l } ^ { m } \xi _ { 2 } ^ { m + 1 } } + \frac { \zeta _ { 1 } ^ { m + 2 } } { t _ { l } ^ { m } \zeta _ { 2 } ^ { m + 1 } } ) + R ( t _ { l } , \xi , \zeta , \delta ) ] } } \\ & { \quad \quad \times a _ { j } ( t _ { l } , \xi , \zeta ) \hat { f } ( \xi ) \hat { f } ( \zeta ) d \xi d \zeta , } \end{array}
\mathbf { C ( m ) } \partial _ { t } \mathbf { v } ( \mathbf { x } , t ) = \mathbf { D v } ( \mathbf { x } , t ) + \sum _ { r } \mathbf { P } ^ { T } ( \mathbf { P u } ( \mathbf { x } , t ) - \mathbf { d } ^ { * } ( t ) ) ,
\begin{array} { r l r } { \gamma _ { \nu , \nu ^ { \prime } } ( z ) : \mathfrak { H } _ { - 1 } ^ { ( \nu ) } \rightarrow \mathfrak { H } ^ { ( \nu ^ { \prime } ) } , } & { \qquad } & { \gamma _ { \nu , \nu ^ { \prime } } ( z ) = \gamma _ { \nu ^ { \prime } - 1 , \nu ^ { \prime } } ( z ) \cdots \gamma _ { \nu + 1 , \nu + 2 } ( z ) \, \gamma _ { \nu , \nu + 1 } ( z ) , } \\ { \gamma _ { \nu , \nu ^ { \prime } } ^ { \dag } ( z ) : \mathfrak { H } ^ { ( \nu ^ { \prime } ) } \rightarrow \mathfrak { H } _ { + 1 } ^ { ( \nu ) } , } & { \qquad } & { \gamma _ { \nu , \nu ^ { \prime } } ^ { \dag } ( z ) = \gamma _ { \nu , \nu + 1 } ^ { \dag } ( z ) \, \gamma _ { \nu + 1 , \nu + 2 } ^ { \dag } ( z ) \cdots \gamma _ { \nu ^ { \prime } - 1 , \nu ^ { \prime } } ^ { \dag } ( z ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { A } } & { = A ^ { n } \boldsymbol { e } - \Delta t \, \tilde { \mathcal { A } } \, \partial _ { x } ( \boldsymbol { A u } ) } \\ { \boldsymbol { A u } } & { = ( A u ) ^ { n } \boldsymbol { e } - \Delta t \, \tilde { \mathcal { A } } \, \partial _ { x } \left( \boldsymbol { A u ^ { 2 } } \right) - \Delta t \, \tilde { \mathcal { A } } \, \frac { \boldsymbol { A } } { \rho } \partial _ { x } \boldsymbol { p } } \\ { \boldsymbol { p } } & { = p ^ { n } \boldsymbol { e } - \Delta t \, \mathcal { A } \, E _ { 0 } \boldsymbol { G } ( \boldsymbol { A } ) \partial _ { x } ( \boldsymbol { A u } ) - \frac { \Delta t \, \mathcal { A } } { \tau _ { r } } \left( \boldsymbol { p } - \boldsymbol { F } ( \boldsymbol { A } ) \right) } \end{array}
\begin{array} { c c c c c } { { } } & { { } } & { { 1 } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { 2 } } & { { } } & { { 2 } } & { { } } \\ { { 1 } } & { { } } & { { 4 } } & { { } } & { { 1 } } \\ { { } } & { { 2 } } & { { } } & { { 2 } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { 1 } } & { { } } & { { } } \end{array}
\{ \hat { Q } _ { \alpha } , \hat { Q } _ { \beta } \} = 2 ( \gamma ^ { \mu } \gamma ^ { 0 } ) _ { \alpha \beta } \hat { P } _ { \mu } - 2 i \gamma _ { \alpha \beta } ^ { 1 } \hat { T } \quad , \quad \alpha , \beta = 1 , 2
\begin{array} { r } { \boldsymbol { u } ( \boldsymbol { x } , t + \Delta { t } ) = \boldsymbol { u } ( \boldsymbol { x } , t ) + \Delta { t } \dot { \vec { u } } ( \boldsymbol { x } , t ) + \frac { \Delta { t } ^ { 2 } } { 2 } \ddot { \vec { u } } ( \boldsymbol { x } , t ) , } \\ { \dot { \vec { u } } ( \boldsymbol { x } , t + \Delta { t } ) = \dot { \vec { u } } ( \boldsymbol { x } , t ) + \Delta { t } \, \ddot { \vec { u } } ( \boldsymbol { x } , t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lVert t ^ { 1 - \theta } \mathring { \mathbb { A } } _ { \mathcal { H } , \mathfrak { t } } e ^ { - t { \mathbb { A } } _ { \mathcal { H } , \mathfrak { t } } } f \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } } & { \leqslant \lVert t ^ { 1 - \theta } \mathring { \mathbb { A } } _ { \mathcal { H } , \mathfrak { t } } e ^ { - t { \mathbb { A } } _ { \mathcal { H } , \mathfrak { t } } } \mathbb { P } a \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } + \lVert t ^ { 1 - \theta } \mathring { \mathbb { A } } _ { \mathcal { H } , \mathfrak { t } } e ^ { - t { \mathbb { A } } _ { \mathcal { H } , \mathfrak { t } } } \mathbb { P } b \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } } \\ & { \lesssim _ { p , n , s } \lVert t ^ { 1 - \theta } \mathbb { P } { \Delta } _ { \mathcal { H } , \mathfrak { t } } e ^ { t { \Delta } _ { \mathcal { H } , \mathfrak { t } } } a \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } + \lVert t ^ { 1 - \theta } \mathbb { P } { \Delta } _ { \mathcal { H } , \mathfrak { t } } e ^ { t { \Delta } _ { \mathcal { H } , \mathfrak { t } } } b \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } \mathrm { . ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l } { s \langle \tilde { \rho } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ; s ) \rangle _ { E } } & { { } = \tilde { \rho } _ { ( } k _ { 1 } , k _ { 2 } ; t = 0 ) - \frac { i 2 J ( \cos k _ { 1 } - \cos k _ { 2 } ) } { \hbar } \langle \tilde { \rho } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ; s ) \rangle _ { E } } \end{array}
\begin{array} { c l c r } { { F _ { 2 } ( x ) = \sum _ { i } q _ { i } ( x ) x e _ { i } ^ { 2 } R _ { N P } ( Q ^ { 2 } ) = \sum _ { i } \tilde { q } _ { i } ( x ) x e _ { i } ^ { 2 } , } } \end{array}
\begin{array} { r } { \boldsymbol { u } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) = \left[ \begin{array} { l } { 2 ( x _ { 1 } e ^ { x _ { 2 } } \cos x _ { 2 } + x _ { 2 } e ^ { x _ { 1 } } \sin x _ { 1 } ) } \\ { x _ { 1 } ^ { 2 } e ^ { x _ { 2 } } ( \cos x _ { 2 } - \sin x _ { 2 } ) - x _ { 2 } ^ { 2 } e ^ { x _ { 1 } } ( \cos x _ { 1 } + \sin x _ { 1 } ) } \end{array} \right] } \end{array}
M _ { A _ { 0 } Y _ { 1 } } ^ { 2 } = 2 \left( \begin{array} { c c } { { - H } } & { { - 2 i v } } \\ { { 2 i v } } & { { H } } \end{array} \right) M _ { Y _ { 8 } Y _ { 9 } } ^ { 2 } = 2 \left( \begin{array} { c c } { { H } } & { { - 2 i c } } \\ { { 2 i c } } & { { H } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l r l } { \frac { \partial R _ { n s } } { \partial x _ { i } } } & { = - \cos \left( \theta _ { n s } \right) \delta _ { i n } } & { \frac { \partial \theta _ { n s } } { \partial x _ { i } } } & { = + \frac { \sin \left( \theta _ { n s } \right) } { R _ { n s } } \delta _ { i n } } \\ { \frac { \partial R _ { n s } } { \partial y _ { i } } } & { = - \sin \left( \theta _ { n s } \right) \delta _ { i n } } & { \frac { \partial \theta _ { n s } } { \partial y _ { i } } } & { = - \frac { \cos \left( \theta _ { n s } \right) } { R _ { n s } } \delta _ { i n } } \\ { \frac { \partial R _ { n s } } { \partial r _ { i } } } & { = 0 } & { \frac { \partial \theta _ { n s } } { \partial r _ { i } } } & { = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| ( R \omega ) _ { \mathrm { d i s t } } ( g _ { h } ) - ( R \omega ) ( g ) } & { \| _ { H ^ { - 2 } ( \Omega ) } \le C \left( 1 + \operatorname* { m a x } _ { T } h _ { T } ^ { - 2 } \| g _ { h } - g \| _ { L ^ { \infty } ( T ) } + \operatorname* { m a x } _ { T } h _ { T } ^ { - 1 } | g _ { h } - g | _ { W ^ { 1 , \infty } ( T ) } \right) } \\ & { \quad \times \left( \| g _ { h } - g \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } + \sum _ { T } h _ { T } ^ { 2 } | g _ { h } - g | _ { H ^ { 1 } ( T ) } ^ { 2 } + \sum _ { T } h _ { T } ^ { 4 } | g _ { h } - g | _ { H ^ { 2 } ( T ) } ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \phi ( s , t _ { 2 } ) = \left( \frac { t _ { 2 } } { t _ { 1 } } \right) ^ { \theta } \left( \frac { t _ { 1 } - s } { t _ { 2 } - s } \right) ^ { \theta } \phi ( s , t _ { 1 } ) + \theta \left( \frac { t _ { 2 } } { t _ { 1 } } \right) ^ { \theta } ( t _ { 2 } - t _ { 1 } ) \int _ { 0 } ^ { s } \frac { ( t _ { 1 } - u ) ^ { \theta - 1 } } { ( t _ { 2 } - u ) ^ { \theta + 1 } } \phi ( u , t _ { 1 } ) \mathrm { d } u . } \end{array}
\begin{array} { r l } { D ^ { \mathrm { D i t h e r } } \delta l _ { \mathrm { P C C } } } & { { } \sim 2 J _ { 1 } ( \beta ) P _ { c } \mathrm { I m } [ 1 - e ^ { - i \delta \phi _ { \mathrm { P C C } } } ] } \end{array}
\delta _ { g } \in \left( \begin{array} { l l l l l l l } { 2 \partial _ { 1 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 2 \partial _ { 1 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 2 \partial _ { 1 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) + \bigl ( \rho _ { 0 } x _ { \! \mathscr I } \mathcal C ^ { \infty } + \mathcal O _ { k - 1 } ^ { 2 + \ell _ { 0 } , 1 - } \bigr ) \mathrm { D i f f } _ { \mathrm { e , b } } ^ { 1 } .
\mathrm { V a r } \left( \frac { \widehat { p } _ { R \rightarrow P } ( \partial R ) } { p _ { R \rightarrow P } ( \partial R ) } \right) = \frac { ( 1 - p _ { R \rightarrow P } ( \partial R ) ) p _ { R \rightarrow P } ( \partial R ) } { n ( p _ { R \rightarrow P } ( \partial R ) ) ^ { 2 } } \approx \frac { 1 } { n p _ { R \rightarrow P } ( \partial R ) } ,
| \psi ( t ) \rangle = \left[ 1 - { \frac { i } { \hbar } } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } d t _ { 1 } H ( t _ { 1 } ) - { \frac { 1 } { \hbar ^ { 2 } } } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } d t _ { 1 } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { 1 } } d t _ { 2 } H ( t _ { 1 } ) H ( t _ { 2 } ) + \ldots \right] | \psi ( t _ { 0 } ) \rangle ~ .
\mathrm { ~ d ~ i ~ m ~ } _ { \mathrm { ~ M ~ B ~ } } ( X ) = \operatorname* { l i m s u p } _ { \tilde { \alpha } \rightarrow \infty } \frac { \mathcal { I } \mathcal { J } \left( \log ( \tilde { \alpha } ) + \log \left( 2 \sqrt { \mathcal { I } \mathcal { J } \| \mathbf { A } \| _ { 1 } \| \mathbf { A } \| _ { \infty } } \right) \right) } { \log ( \tilde { \alpha } ) } = \mathcal { I } \mathcal { J }
\begin{array} { r l } { u ( x ) } & { = c _ { n , k } ^ { \prime } | x | ^ { - \frac { n - 1 } { 2 } } \bigg ( e ^ { i k | x | } f ( \hat { x } ) + i ^ { n - 1 } e ^ { - i k | x | } f ( - \hat { x } ) \bigg ) + O ( | x | ^ { - \frac { n + 1 } { 2 } } ) , } \\ { \partial _ { | x | } u ( x ) } & { = c _ { n , k } ^ { \prime } | x | ^ { - \frac { n - 1 } { 2 } } i k \bigg ( e ^ { i k | x | } f ( \hat { x } ) - i ^ { n - 1 } e ^ { - i k | x | } f ( - \hat { x } ) \bigg ) + O ( | x | ^ { - \frac { n + 1 } { 2 } } ) , } \end{array}
{ } \Sigma ^ { * } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) = ( - 2 \alpha k _ { 3 } ) \left( \delta ( \tau - \tau ^ { \prime } ) + 2 \alpha k _ { 3 } R ^ { 2 } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) \right) ^ { - 1 } \mu ( \tau ^ { \prime } )
\begin{array} { r } { J \circ \mathcal { F } _ { \mathrm { ~ v ~ e ~ c ~ } } : \varphi _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } ^ { ( \omega \, k ) } \mapsto \varphi _ { \mathrm { ~ n ~ e ~ w ~ } } ^ { ( \omega \, k ) } ( \tau , q ) = b ( \omega , k ) \ \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } ( \mathrm { i } \omega \tau + \mathrm { i } k q / a ) , } \end{array}
n _ { \mathrm { t o t } } = ( { 1 + \rho _ { \mathrm { v _ { A l } } } + \rho _ { \mathrm { v _ { N } } } - \rho _ { \mathrm { { A l } _ { i } } } - \rho _ { \mathrm { { N } _ { i } } } - \rho _ { \mathrm { { A r } _ { i } } } - 2 \rho _ { \mathrm { { ( N \mathrm { - } N ) } _ { i } } } - \rho _ { \mathrm { { ( N \mathrm { - } N ) } _ { N } } } - \rho _ { \mathrm { { ( N \mathrm { - } N ) } _ { A l } } } } ) ^ { - 1 } { n _ { \mathrm { t o t } } ^ { \mathrm { i d e a l } } }