harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial p _ { j } ( x , t | x _ { 0 } ) } { \partial t } } & { = } & { D _ { j } \frac { \partial ^ { 2 } p _ { j } ( x , t | x _ { 0 } ) } { \partial x ^ { 2 } } , \quad a _ { j - 1 } < x _ { 0 } , x < a _ { j } , } \\ { D _ { j } \partial _ { x } p _ { j } ( a _ { j - 1 } , t | x _ { 0 } ) } & { = } & { 2 \kappa _ { j - 1 } p ( a _ { j - 1 } , t | x _ { 0 } ) , } \\ { D _ { j } \partial _ { x } p _ { j } ( a _ { j } , t | x _ { 0 } ) } & { = } & { - 2 \kappa _ { j } p ( a _ { j } , t | x _ { 0 } ) , } \end{array}
A _ { f } ^ { ( q q ) } ( s , t ) = i g _ { f } ^ { 2 } \Bigl ( - i \frac { s } { s _ { 0 } } \Bigr ) ^ { \alpha _ { f } ( t ) - 1 } e ^ { b _ { f } t } , \quad \alpha _ { f } ( t ) = \alpha _ { f } ( 0 ) + \gamma _ { f } ( \sqrt { t _ { f } } - \sqrt { t _ { f } - t } ) .
Y ( x , \epsilon ) = \frac { 1 0 } { 3 } \, x - \frac { 1 8 4 } { 9 } + \left( \frac { 2 9 } { 3 } - \frac 5 3 \, x \right) u \ln \frac { u + 1 } { u - 1 } - 2 \ln ^ { 2 } \frac { u + 1 } { u - 1 } + O ( \epsilon )
W i ~ \delta ~ \overset { \triangledown } { \boldsymbol { \uptau } ^ { * } } + \left( 1 - \frac { B } { \Vert \boldsymbol { \uptau } ^ { * } \Vert _ { \mathrm { ~ v ~ } } } \right) _ { + } \boldsymbol { \uptau } ^ { * } = \dot { \boldsymbol { \upgamma } } ^ { * } ,
\begin{array} { r } { R ( t ) = u _ { 1 } t ^ { \beta + \frac { \gamma } { \kappa } } \exp \left[ - \frac { 3 u _ { 1 } t ^ { \mu } } { \mu \kappa } \right] \times \bigg [ 3 ^ { - \frac { \gamma } { \mu \kappa } } u _ { 2 } t ^ { \gamma / \kappa } \left( \frac { u _ { 1 } t ^ { \mu } } { \nu } \right) ^ { - \frac { \gamma } { \mu \kappa } } \Gamma \left( 1 + \frac { \gamma } { \nu } , \frac { 3 u _ { 1 } t ^ { \mu } } { \nu } \right) - \mathcal { H } _ { 1 } u _ { 1 } \bigg ] ^ { - 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { S } } & { { = } } & { { \displaystyle \int d ^ { 8 } z E ^ { - 1 } \left[ \bar { Q } Q + \bar { Q } ^ { c } Q ^ { c } + G ( \bar { Q } ^ { c } Q ) ( \bar { Q } Q ^ { c } ) + \bar { \xi } _ { 1 } ( \bar { Q } Q ) + \bar { \xi } _ { 2 } ( \bar { Q } ^ { c } Q ^ { c } ) \right] , } } \end{array}
V _ { i j } = { \frac { \partial ^ { 2 } \Phi ( { \vec { r } } ) } { \partial x _ { i } \partial x _ { j } } } = { \left( \begin{array} { l l l } { V _ { x x } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { V _ { y y } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { V _ { z z } } \end{array} \right) }
\frac { d \sigma } { d s } = \frac { 2 4 \pi s } { ( s - m _ { \pi } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \frac { m _ { \rho } ^ { 2 } \Gamma ( \rho \to 2 \pi ) \Gamma ( \rho \to \pi \gamma ) } { ( m _ { \rho } ^ { 2 } - s ) ^ { 2 } + m _ { \rho } ^ { 2 } \Gamma _ { \rho } ^ { 2 } ( s ) }
\begin{array} { r l } { \beta _ { - 1 } p _ { 0 } } & { { } = - \pi \mathrm { ~ t ~ o ~ } \pi \rightarrow \beta _ { 0 } p _ { 0 } = \pi \mathrm { ~ t ~ o ~ } 3 \pi } \\ { \beta _ { - 2 } p _ { 0 } } & { { } = - \pi \mathrm { ~ t ~ o ~ } \pi \rightarrow \beta _ { 0 } p _ { 0 } = 3 \pi \mathrm { ~ t ~ o ~ } 5 \pi } \end{array}
d s ^ { 2 } = 2 \frac { ( c ^ { 3 } + L ^ { 3 } ) ^ { \frac 1 3 } } L \left\{ d x ^ { i } d \bar { x } ^ { i } - \frac { c ^ { 3 } } { L ( c ^ { 3 } + L ^ { 3 } ) } \bar { x } ^ { i } d x ^ { i } x ^ { j } d \bar { x } ^ { j } \right\} ,
\begin{array} { r l } { A _ { 1 } ^ { \prime } ( 1 ) } & { = \Bar { S } ^ { ( n ) } - \Bar { Y } ^ { ( n ) } } \\ { A _ { 2 } ^ { \prime } ( 1 ) } & { = \left. \frac { C z ^ { C - 1 } Y ( z ) - Y ^ { \prime } ( z ) z ^ { C } } { Y ( z ) ^ { 2 } } - \sum _ { u = 0 } ^ { C } ( C - u ) s _ { u } ^ { ( n ) } z ^ { C - u - 1 } \right\vert _ { z = 1 } = \Bar { S } ^ { ( n ) } - \Bar { Y } ^ { ( n ) } } \\ { A _ { 2 } ^ { \prime \prime } ( 1 ) } & { = \left. \frac { C { ( C - 1 ) } z ^ { C - 2 } } { Y ( z ) } - \frac { 2 Y ^ { \prime } ( z ) C z ^ { C - 1 } } { Y ( z ) ^ { 2 } } - \frac { Y ^ { \prime \prime } ( z ) z ^ { C } } { Y ( z ) ^ { 2 } } + \frac { 2 Y ^ { \prime } ( z ) ^ { 2 } z ^ { C } } { Y ( z ) ^ { 3 } } - \sum _ { u = 0 } ^ { C } ( C - u ) ( C - u - 1 ) s _ { u } ^ { ( n ) } z ^ { C - u - 2 } \right\vert _ { z = 1 } } \\ & { = C ( C - 1 ) - 2 \Bar { Y } ^ { ( n ) } C - \mathbb { E } [ ( { Y } ^ { ( n ) } ) ^ { 2 } ] + 2 ( \Bar { Y } ^ { ( n ) } ) ^ { 2 } + \Bar { Y } ^ { ( n ) } - C ^ { 2 } + C + 2 C \Bar { S } ^ { ( n ) } - \Bar { S } ^ { ( n ) } - \mathbb { E } [ ( S ^ { ( n ) } ) ^ { 2 } ] } \\ & { = - 2 \Bar { Y } ^ { ( n ) } C - \mathbb { E } [ ( { Y } ^ { ( n ) } ) ^ { 2 } ] + 2 ( \Bar { Y } ^ { ( n ) } ) ^ { 2 } + \Bar { Y } ^ { ( n ) } + 2 C \Bar { S } ^ { ( n ) } - \Bar { S } ^ { ( n ) } - \mathbb { E } [ ( S ^ { ( n ) } ) ^ { 2 } ] } \end{array}
V _ { a b c _ { 1 } d _ { 1 } } ^ { ( 2 ) } = \frac { 1 } { 2 } \rho ^ { 2 } \frac { \Sigma _ { r e n . } ^ { 1 } } { 2 } v _ { a b c _ { 1 } d _ { 1 } } ^ { ( 2 ) }
\begin{array} { r l } { \dot { C } _ { 0 } } & { { } = - k _ { 0 } C _ { 0 } } \\ { \dot { C } _ { 1 } } & { { } = k _ { 0 } C _ { 0 } - k C _ { 1 } } \\ { \dot { C } _ { \mu } } & { { } = k ( C _ { \mu - 1 } - C _ { \mu } ) \ , \ \forall \mu \geq 2 } \end{array}
\begin{array} { r l } { q _ { i } ( t ) } & { { } = Q _ { i } \cos { \omega t } + { \frac { P _ { i } } { m \omega } } \sin { \omega t } } \\ { p _ { i } ( t ) } & { { } = P _ { i } \cos { \omega t } - m \omega Q _ { i } \sin { \omega t } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { p _ { t o t , z ( T _ { h } ) } } { p _ { t o t , x } } } & { { } = \frac { 1 + M _ { z ( T _ { h } ) } ^ { 2 } } { 1 + M _ { x } ^ { 2 } } \frac { p _ { z ( T _ { h } ) } } { p _ { u } } = } \end{array}
K _ { \bf a } ^ { ( 1 ) } ( x , x ^ { \prime } , t ) = { \frac { \bf a } { 4 } } e ^ { { \frac { { \bf a } ^ { 2 } } { 4 } } t } e ^ { - { \frac { \bf a } { 2 } } ( | x | + | x ^ { \prime } | ) } \left( 1 - \Phi ( { \frac { | x | + | x ^ { \prime } | } { 2 \sqrt { t } } } - { \frac { \bf a } { 2 \sqrt { t } } } ) \right) ~ ~ ,
\mathbf { P } ( \mathbf { r } , t ) = \varepsilon _ { 0 } \int \mathrm { { d } } ^ { 3 } \mathbf { r } ^ { \prime } \mathrm { { d } } t ^ { \prime } \; { \hat { \chi } } _ { e } ( \mathbf { r } , \mathbf { r } ^ { \prime } , t , t ^ { \prime } ; \mathbf { E } ) \, \mathbf { E } ( \mathbf { r } ^ { \prime } , t ^ { \prime } )
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } } & { [ \widetilde { C } _ { k } ( m , t , G , \sigma ( t , G ^ { ( 2 ) } ( t ) ) ) - C _ { k } ( m , G ) ] = \mathbb { E } [ \widetilde { C } _ { k } ( m , t , G , \sigma ( t , G ^ { ( 2 ) } ( t ) ) ) ] } \\ & { = \frac { ( m ) \cdots ( m - k + 1 ) } { ( m n ) ^ { k / 2 } } \bigg ( \bigg ( \frac { n + t } { 2 } \bigg ) \cdots \bigg ( \frac { n + t } { 2 } - k + 1 \bigg ) \bigg ( - \frac { 2 } { n + t } + \mathbb { E } ( \rho _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ) ^ { 2 } \bigg ) ^ { k } } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad + \bigg ( \frac { n - t } { 2 } \bigg ) \cdots \bigg ( \frac { n - t } { 2 } - k + 1 \bigg ) \bigg ( - \frac { 2 } { n - t } + \mathbb { E } ( \rho _ { 2 } ^ { ( 2 ) } ) ^ { 2 } \bigg ) ^ { k } \bigg ) } \\ & { = ( 1 + \widetilde { O } ( n ^ { - 1 / 4 } ) ) \alpha _ { c } ^ { k / 2 } ( 2 ( \mu _ { 2 } - 1 ) ^ { k } ) = ( 1 + \widetilde { O } ( n ^ { - 1 / 4 } ) ) 2 ( 2 \beta ) ^ { k } } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { 2 } = \int _ { x , t } } & { \sum _ { i } \frac { 1 } { 2 } \left[ ( \partial _ { t } Q _ { i } ) ^ { 2 } - c _ { q } ^ { 2 } ( \nabla Q _ { i } ) ^ { 2 } - \omega _ { Q } ^ { 2 } Q _ { i } ^ { 2 } \right. } \\ & { + \left. ( \partial _ { t } P _ { i } ) ^ { 2 } - c _ { p } ^ { 2 } ( \nabla P _ { i } ) ^ { 2 } - \omega _ { P } ^ { 2 } P _ { i } ^ { 2 } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( R ^ { ( k _ { 1 } ) } \cdot S ^ { ( k _ { 1 } ) } ) ( U ^ { ( k _ { 2 } ) } \cdot { V ^ { ( k _ { 2 } ) } } ) } & { { } = \sum _ { Q } ( - 1 ) ^ { Q - k _ { 1 } - k _ { 2 } } } \\ { \times \{ R ^ { ( k _ { 1 } ) } \otimes U ^ { ( k _ { 2 } ) } \} ^ { ( Q ) } } & { { } \cdot { \{ S ^ { ( k _ { 1 } ) } \otimes V ^ { ( k _ { 2 } ) } } \} ^ { ( Q ) } \, , } \end{array}
R _ { \mu \sigma } = - { \frac { 1 } { 2 } } ( \partial _ { \nu } \partial ^ { \nu } K ) l _ { \mu } l _ { \sigma } \ , \qquad R = - { \frac { 1 } { 2 } } ( \partial _ { \nu } \partial ^ { \nu } K ) l _ { \mu } l ^ { \mu } = 0
\alpha _ { q } ^ { 2 } ( k ) | [ J \widehat { F } ^ { ( i ) } ( 0 ) ] _ { q r } | ^ { 2 } < \frac { \xi ^ { 2 } } { D ^ { 2 } } \left| ( \alpha _ { q } ( k ) - 1 ) \Re ( [ J \widehat { F } ^ { ( i ) } ( 0 ) ] _ { q q } ) + \Re ( [ J \widehat { F } ^ { ( i ) } ( 0 ) ] _ { r r } ) \right| \left| \alpha _ { q } ( k ) \Re ( [ J \widehat { F } ^ { ( i ) } ( 0 ) ] _ { q q } ) \right| .
G ^ { \rho } = ( Q _ { u } + Q _ { d } ) \kappa \frac { f _ { \rho } M _ { \rho } } { p ^ { 2 } } , \qquad \kappa = - \frac { \sqrt { N _ { c } } } { 4 \pi ^ { 2 } } \frac { p ^ { 4 } } { f _ { \rho } M _ { \rho } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { g ( s ) } { ( s - p ^ { 2 } ) ^ { 2 } } d s .
{ \begin{array} { r l } { I _ { x x } \ } & { { \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } } \ \sum _ { k = 1 } ^ { N } m _ { k } \left( y _ { k } ^ { 2 } + z _ { k } ^ { 2 } \right) , } \\ { I _ { y y } \ } & { { \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } } \ \sum _ { k = 1 } ^ { N } m _ { k } \left( x _ { k } ^ { 2 } + z _ { k } ^ { 2 } \right) , } \\ { I _ { z z } \ } & { { \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } } \ \sum _ { k = 1 } ^ { N } m _ { k } \left( x _ { k } ^ { 2 } + y _ { k } ^ { 2 } \right) , } \end{array} }
M _ { 1 2 } \; = \; M _ { 1 2 } ^ { \mathrm { S M } } ~ + ~ M _ { 1 2 } ^ { \mathrm { N P } } \; = \; M _ { 1 2 } ^ { \mathrm { S M } } \left( 1 + z e ^ { \mathrm { i } \theta } \right) \;
\hat { \tilde { q } } _ { n } ( k , s | x _ { 0 } ) = \frac { e ^ { i k c ^ { n } x _ { 0 } } } { s ^ { n } } \sum _ { m = 0 } ^ { n } \frac { 1 } { ( c ^ { - \alpha } ; c ^ { - \alpha } ) _ { m } ( c ^ { \alpha } ; c ^ { \alpha } ) _ { n - m } } \frac { 1 } { s + D c ^ { \alpha m } | k | ^ { \alpha } } ,
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } & { \omega _ { 3 4 1 } = W _ { 1 } ( t , r ) , ~ \omega _ { 3 4 2 } = W _ { 2 } ( t , r ) , } \\ & { \omega _ { 2 3 3 } = \omega _ { 2 4 4 } = W _ { 3 } ( t , r ) , ~ \omega _ { 2 3 4 } = - \omega _ { 2 4 3 } = W _ { 4 } ( t , r ) , } \\ & { \omega _ { 1 2 1 } = W _ { 5 } ( t , r ) , ~ \omega _ { 1 2 2 } = W _ { 6 } ( t , r ) , } \\ & { \omega _ { 1 3 3 } = \omega _ { 1 4 4 } = W _ { 7 } ( t , r ) , ~ \omega _ { 1 3 4 } = - \omega _ { 1 4 3 } = W _ { 8 } ( t , r ) , } \\ & { \omega _ { 3 4 4 } = - \frac { \cos ( \theta ) } { A _ { 3 } \sin ( \theta ) } . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \dot { \hat { X } } = \Delta \hat { Y } - \frac { \kappa } { 2 } \hat { X } + \sqrt { \kappa } \hat { X } ^ { \mathrm { i n } } , } \\ & { \dot { \hat { Y } } = - \Delta \hat { X } - \frac { \kappa } { 2 } \hat { Y } - \sqrt { 2 } G \hat { Q } + \sqrt { \kappa } \hat { Y } ^ { \mathrm { i n } } , } \\ & { \ddot { \hat { Q } } + \gamma \dot { \hat { Q } } + \Omega ^ { 2 } \hat { Q } = - \sqrt { 2 } N \Omega G \hat { X } - \Omega F + \Omega \hat { \xi } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } ^ { \prime } ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) = \frac { \mathcal { M } ^ { 2 } } { n ^ { 3 / 2 } } } & { \int _ { 0 } ^ { \Theta ^ { \prime } } d \theta ^ { \prime } \sin \theta ^ { \prime } \sqrt { \frac { \cos \theta ^ { \prime } } { \cos \theta } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \phi } \\ & { \left[ E _ { 0 , \parallel } \hat { \mathbf { e } } _ { \parallel } + E _ { 0 , \perp } \hat { \mathbf { e } } _ { \perp } ^ { \prime } \right] \exp \left( i \mathbf { k } ^ { \prime } \cdot \mathbf { r } ^ { \prime } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { g _ { b } ^ { \mathrm { B L } } } & { = - \frac { \Delta _ { b } } { \rho _ { b } ^ { 2 } } ( d t - a \sin ^ { 2 } \theta \, d \varphi ) ^ { 2 } + \rho _ { b } ^ { 2 } \Bigl ( \frac { d r ^ { 2 } } { \Delta _ { b } } + d \theta ^ { 2 } \Bigr ) + \frac { \sin ^ { 2 } \theta } { \rho _ { b } ^ { 2 } } \bigl ( a \, d t - ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) d \varphi \bigr ) ^ { 2 } , } \\ { ( g _ { b } ^ { \mathrm { B L } } ) ^ { - 1 } } & { = - \frac { 1 } { \Delta _ { b } \rho _ { b } ^ { 2 } } \bigl ( ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) \partial _ { t } + a \partial _ { \varphi } \bigr ) ^ { 2 } + \frac { \Delta _ { b } } { \rho _ { b } ^ { 2 } } \partial _ { r } ^ { 2 } + \frac { 1 } { \rho _ { b } ^ { 2 } } \partial _ { \theta } ^ { 2 } + \frac { 1 } { \rho _ { b } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta } ( \partial _ { \varphi } + a \sin ^ { 2 } \theta \, \partial _ { t } ) ^ { 2 } , } \\ & { \quad \Delta _ { b } = r ^ { 2 } - 2 \mathbf { m } r + \mathbf { Q } ^ { 2 } + a ^ { 2 } , \ \ \rho _ { b } ^ { 2 } = r ^ { 2 } + a ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta , \quad a = \vert \mathbf { a } \vert . } \end{array}
\frac { \partial } { \partial t } \mathbf { p } _ { i } = \frac { q _ { i } } { m _ { i } c } \left( 1 + p _ { i } ^ { 2 } \right) ^ { - 1 / 2 } \mathbf { p } _ { i } \times \mathbf { B } \left( \mathbf { r } _ { i } \right) , \ i = 1 , . . . , N .
\begin{array} { r l r } { | \alpha _ { \mathrm { H } } \rangle } & { = } & { \mathrm { e } ^ { - \frac { | \alpha _ { \mathrm { H } } | ^ { 2 } } { 2 } } \mathrm { e } ^ { \alpha _ { \mathrm { H } } \hat { a } _ { \mathrm { H } } ^ { \dagger } } | 0 \rangle } \\ { | \alpha _ { \mathrm { V } } \rangle } & { = } & { \mathrm { e } ^ { - \frac { | \alpha _ { \mathrm { V } } | ^ { 2 } } { 2 } } \mathrm { e } ^ { \alpha _ { \mathrm { V } } \hat { a } _ { \mathrm { V } } ^ { \dagger } } | 0 \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l } { Y _ { i } ^ { \{ S \} } = y _ { n } } & { + H \sum _ { j = 1 } ^ { i - 1 } a _ { i , j } ^ { \{ E \} } f ^ { \{ E \} } ( t _ { n } + c _ { j } ^ { \{ E \} } H , Y _ { j } ^ { \{ S \} } ) } \\ & { + H \sum _ { j = 1 } ^ { i } a _ { i , j } ^ { \{ I \} } f ^ { \{ I \} } ( t _ { n } + c _ { j } ^ { \{ I \} } H , Y _ { j } ^ { \{ S \} } ) , } \end{array}
d _ { \mathrm { h } } ^ { 2 } ( p ^ { \prime \prime } , q ^ { \prime \prime } ) \asymp \operatorname* { m i n } ( d _ { \mathrm { h } } ^ { 2 } ( p ^ { \prime } , q ^ { \prime } ) , e ^ { \epsilon } d _ { \mathrm { T V } } ^ { 2 } ( p ^ { \prime } , q ^ { \prime } ) ) \asymp \operatorname* { m i n } ( \gamma ^ { 2 } , e ^ { \epsilon } \gamma ^ { 2 } ) \asymp \gamma ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { \Omega _ { j , x y } ( k _ { x } , k _ { y } ) } & { { } = i \sum _ { i \neq j } \frac { [ \langle j | ( \partial { \cal H } / \partial k _ { x } ) | i \rangle \langle i | ( \partial { \cal H } / \partial k _ { y } ) | j \rangle - \langle j | ( \partial { \cal H } / \partial k _ { y } ) | i \rangle \langle i | ( \partial { \cal H } / \partial k _ { x } ) | j \rangle ] } { ( E _ { j } - E _ { i } ) ^ { 2 } } } \end{array}
\left( \begin{array} { c c c } { M } & { 0 } & { K ^ { T } } \\ { 0 } & { \alpha M } & { B ^ { T } } \\ { K } & { B } & { 0 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \mathbf { y } } \\ { \mathbf { u } } \\ { \mathbf { p } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c } { M \mathbf { y } _ { d } } \\ { 0 } \\ { \mathbf { f } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r } { \begin{array} { r } { \mathcal { D } \left[ \mathbf { a } , \mathbf { r } \right] = \mathbf { A } \left[ \mathbf { \nabla } , \mathbf { a } , \mathbf { r } \right] + \underline { { \mathbf { B } } } \left[ \mathbf { \nabla } , \mathbf { a } , \mathbf { r } \right] \cdot \mathbf { w } ( \mathbf { r } ) } \end{array} } \end{array}
\zeta _ { c y l } ^ { D } ( s ) = \frac { a ^ { s - 1 } } { 2 \sqrt { \pi } \Gamma \left( \frac { \displaystyle s } { \displaystyle 2 } \right) \Gamma \left( \frac { \displaystyle 3 - s } { \displaystyle 2 } \right) } \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { \infty } d y \, y ^ { 1 - s } \frac { d } { d y } \ln \left[ 2 y I _ { n } ( y ) K _ { n } ( y ) \right] .
\begin{array} { r } { \kappa ( x , t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \kappa _ { 0 } , } & { x \notin { D } , } \\ { \kappa _ { \mathrm { r } } \kappa _ { i } ( t ) , } & { x \in D _ { i } , } \end{array} \right. \quad \rho ( x , t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \rho _ { 0 } , } & { x \notin { D } , } \\ { \rho _ { \mathrm { r } } \rho _ { i } ( t ) , } & { x \in D _ { i } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { a } _ { 1 \pm , 2 \pm } = \left( i \Delta - \frac { \kappa } { 2 } \right) } & { a _ { 1 \pm , 2 \pm } + \zeta a _ { 2 \pm , 1 \pm } + i U | a _ { 1 \pm , 2 \pm } | ^ { 2 } a _ { 1 \pm , 2 \pm } } \\ & { + i 2 U | a _ { 1 \mp , 2 \mp } | ^ { 2 } a _ { 1 \pm , 2 \pm } + \sqrt { \kappa _ { e } } S _ { i n } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \log \left( \vartheta _ { 1 } \left( z , \frac { i v + h } { k } \right) \right) } & { = - \sum _ { \mu = 1 } ^ { k } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { n } e ^ { \frac { 2 \pi i n h \mu } { k } } \frac { e ^ { \frac { - 2 \pi n v \mu } { k } } } { 1 - e ^ { - 2 \pi n v } } - \sum _ { \mu = 1 } ^ { k } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { n } e ^ { 2 \pi i n z } e ^ { \frac { 2 \pi i n h \mu } { k } } \frac { e ^ { \frac { - 2 \pi n v \mu } { k } } } { 1 - e ^ { - 2 \pi n v } } } \\ & { ~ ~ ~ - \sum _ { \mu = 1 } ^ { k } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { n } e ^ { - 2 \pi i n z } e ^ { \frac { 2 \pi i n h ( \mu - 1 ) } { k } } \frac { e ^ { \frac { - 2 \pi n v \left( \mu - 1 \right) } { k } } } { 1 - e ^ { - 2 \pi n v } } - \frac { \pi i } { 2 } + \pi i z + \frac { \pi i ( i v + h ) } { 4 k } } \end{array}
\sum _ { \substack { n > 1 \, \mu ( n ) = - 1 } } \frac { 1 } { n ^ { v } } \textnormal { L i } _ { v } \left( \frac { 1 } { x ^ { n } } \right) = \textnormal { L i } _ { v } \left( \frac { 1 } { x } \right) - \frac { 1 } { x } + \sum _ { n } \frac { \mu ( n ) } { n ^ { v } } \sum _ { \substack { m \nmid n \, m < n } } \frac { \mu ( m ) } { m ^ { v } } \textnormal { L i } _ { v } \left( \frac { 1 } { x ^ { n m } } \right) .
\begin{array} { r l } { \Theta _ { 0 } ^ { \pm } \left( \tilde { \gamma } _ { 2 } , \tilde { \Gamma } _ { 2 } , \tilde { \gamma } _ { 3 } , \tilde { \Gamma } _ { 3 } , \tilde { \psi } _ { 1 } , \tilde { \Psi } _ { 1 } , \tilde { \ell } _ { 3 } , \tilde { L } _ { 3 } \right) = } & { O ( 1 ) , } \\ { \Theta _ { 1 } ^ { \pm } \left( \tilde { \psi } _ { 1 } , \tilde { \gamma } _ { 3 } , \tilde { \ell } _ { 3 } , \tilde { \Gamma } _ { 2 } ; \cdots \right) = } & { \mp \alpha _ { 1 } ^ { 2 3 } \, \left( 1 + \sqrt { 1 - \delta _ { 2 } ^ { 2 } } \, \cos v _ { 3 } \right) ^ { 3 } \kappa \left( \frac { \pi \, \tilde { \Gamma } _ { 2 } } { A _ { 2 } \, L _ { 1 } ^ { 2 } } \right) \, \frac { \partial B _ { 1 } } { \partial \tilde { \psi } _ { 1 } } \left( \tilde { \psi } _ { 1 } , \tilde { \gamma } _ { 3 } , \tilde { \ell } _ { 3 } \right) + \cdots } \\ { \Theta _ { 2 } ^ { \pm } \left( \tilde { \psi } _ { 1 } , \tilde { \gamma } _ { 3 } , \tilde { \ell } _ { 3 } , \tilde { \Gamma } _ { 2 } ; \cdots \right) = } & { \mp \alpha _ { 1 } ^ { 2 3 } \, \left( 1 + \sqrt { 1 - \delta _ { 2 } ^ { 2 } } \, \cos v _ { 3 } \right) ^ { 3 } \kappa \left( \frac { \pi \, \tilde { \Gamma } _ { 2 } } { A _ { 2 } \, L _ { 1 } ^ { 2 } } \right) \, \frac { \partial B _ { 1 } } { \partial \tilde { \gamma } _ { 3 } } \left( \tilde { \psi } _ { 1 } , \tilde { \gamma } _ { 3 } , \tilde { \ell } _ { 3 } \right) + \cdots , } \\ { \Theta _ { 3 } ^ { \pm } \left( \tilde { \psi } _ { 1 } , \tilde { \gamma } _ { 3 } , \tilde { \ell } _ { 3 } , \tilde { \Gamma } _ { 2 } ; \cdots \right) = } & { \mp \alpha _ { 1 } ^ { 2 3 } \, \delta _ { 2 } ^ { - 3 } \, \left( 1 + \sqrt { 1 - \delta _ { 2 } ^ { 2 } } \, \cos v _ { 3 } \right) ^ { 4 } \, \kappa \left( \frac { \pi \, \tilde { \Gamma } _ { 2 } } { A _ { 2 } \, L _ { 1 } ^ { 2 } } \right) \bigg [ - 3 \, \sqrt { 1 - \delta _ { 2 } ^ { 2 } } \, \sin v _ { 3 } } \\ & { \quad \times B _ { 1 } \left( \tilde { \psi } _ { 1 } , \tilde { \gamma } _ { 3 } , \tilde { \ell } _ { 3 } \right) + \left( 1 + \sqrt { 1 - \delta _ { 2 } ^ { 2 } } \, \cos v _ { 3 } \right) \frac { \partial B _ { 1 } } { \partial v _ { 3 } } \left( \tilde { \psi } _ { 1 } , \tilde { \gamma } _ { 3 } , \tilde { \ell } _ { 3 } \right) \bigg ] + \cdots } \end{array}
{ \Lambda ^ { \mu } } _ { \nu } = { \left[ \begin{array} { l l l l } { \gamma } & { - \gamma \beta } & { 0 } & { 0 } \\ { - \gamma \beta } & { \gamma } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } , \qquad F ^ { \mu \nu } = { \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { E _ { x } } & { E _ { y } } & { E _ { z } } \\ { - E _ { x } } & { 0 } & { B _ { z } } & { - B _ { y } } \\ { - E _ { y } } & { - B _ { z } } & { 0 } & { B _ { x } } \\ { - E _ { z } } & { B _ { y } } & { - B _ { x } } & { 0 } \end{array} \right] } { \mathrm { ( G a u s s i a n ~ u n i t s , ~ s i g n a t u r e ~ } } ( - , + , + , + ) { \mathrm { ) } } ,
\begin{array} { r l } { A ^ { - 1 } } & { = ( I + \frac { 1 } { \sigma _ { G } ^ { 2 } } \Sigma G ^ { T } G ) ^ { - 1 } } \\ & { = I - \Sigma G ^ { T } ( I + \frac { 1 } { \sigma _ { G } ^ { 2 } } G \Sigma G ^ { T } ) ^ { - 1 } \frac { 1 } { \sigma _ { G } ^ { 2 } } G } \\ & { = I - \Sigma G ^ { T } ( \sigma _ { G } ^ { 2 } I + G \Sigma G ^ { T } ) ^ { - 1 } G . } \end{array}
\begin{array} { r l } { q _ { i i } ^ { - 1 } = q _ { i , 1 } ^ { - j _ { 1 } } \ldots q _ { i , r } ^ { - j _ { r } } q ^ { a _ { i } } } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { q _ { i , i } ^ { - j _ { i } } q _ { i , i + 1 } ^ { - j _ { i + 1 } } q ^ { a _ { i } } , \qquad } & { \mathrm { i f ~ } i = 1 , \ldots , r - 1 , } \\ { q _ { r , r } ^ { - j _ { r } } q ^ { a _ { r } } , } & { \mathrm { i f ~ i = r ~ } , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { T _ { 1 } } & { \overset { ( a ) } { \leq } 2 ( c _ { u } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| p _ { t , \xi _ { x } } ^ { ( m ) } - p _ { t } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] + 2 ( 1 - c _ { u } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| p _ { t , \xi _ { x } } ^ { ( m ) } - p _ { t - 1 , \xi _ { x } } ^ { ( m ) } - ( p _ { t } ^ { ( m ) } - p _ { t - 1 } ^ { ( m ) } ) \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] } \\ & { \overset { ( b ) } { \leq } 2 ( c _ { u } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } + 2 \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| p _ { t , \xi _ { x } } ^ { ( m ) } - p _ { t - 1 , \xi _ { x } } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { A \left( \mathbf { k } _ { \mathbf { n } } \right) } & { { } = \sum _ { j _ { 2 } = 1 } ^ { N _ { 2 } } \ldots \sum _ { j _ { d } = 1 } ^ { N _ { d } } e ^ { - i \mathbf { k } _ { n } \cdot \mathbf { x } _ { \mathbf { j } } } a \left( \mathbf { x } _ { \mathbf { j } } \right) \, } \\ { a \left( \mathbf { x } _ { \mathbf { j } } \right) } & { { } = \frac { 1 } { \prod _ { k = 2 } ^ { D } N _ { k } } \sum _ { n _ { 2 } = 1 } ^ { N _ { 2 } } \ldots \sum _ { n _ { D } = 1 } ^ { N _ { D } } e ^ { i \mathbf { k } _ { \mathbf { n } } \cdot \mathbf { x } _ { \mathbf { j } } } A \left( \mathbf { k } _ { \mathbf { n } } \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { R } & { \approx } & { \frac { | z _ { 1 } | ^ { 2 } } { | z _ { 2 } | ^ { 2 } } - | \rho | ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \left( \frac { | z _ { 1 } | ^ { 2 } } { | z _ { 2 } | ^ { 2 } } \right) _ { \eta = 0 } \, , } \\ { T } & { \approx } & { \frac { | z _ { 3 } | ^ { 2 } } { | z _ { 2 } | ^ { 2 } } - | \rho | ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \left( \frac { | z _ { 3 } | ^ { 2 } } { | z _ { 2 } | ^ { 2 } } \right) _ { \eta = 0 } + | \rho | ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \triangle = \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { b } \\ { - b ^ { T } } & { c } \end{array} \right) , \qquad \triangle ^ { - 1 } = \left( \begin{array} { c c } { b ^ { - 1 T } c b ^ { - 1 } } & { - b ^ { - 1 T } } \\ { b ^ { - 1 } } & { 0 } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { F ( \psi , q ) : = \left( \begin{array} { l } { F ^ { 0 } } \\ { F ^ { 1 } } \end{array} \right) : = \left( \begin{array} { l } { - \frac { 4 } { 3 } \theta ^ { 4 } v u + q ^ { 0 } } \\ { \theta ^ { 4 } ( \frac { 4 } { 3 } v ^ { 2 } + \frac { 1 } { 3 } ) - q ^ { 1 } } \end{array} \right) } \end{array}