harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { f _ { z } ( x , \xi ) - f _ { z } ( y , \xi ) } \\ { = } & { h ( c ( z , \xi ) + \langle \nabla c ( z , \xi ) , x - z \rangle ) - h ( c ( z , \xi ) + \langle \nabla c ( z , \xi ) , y - z \rangle ) } \\ { \leq } & { L _ { h } | \langle \nabla c ( z , \xi ) , x - y \rangle | } \\ { \leq } & { L _ { h } L _ { c } ( \xi ) \| x - y \| } \end{array}
( { \mathfrak { T } } _ { \nu \dots } ^ { \mu \dots } { \mathfrak { S } } _ { \tau \dots } ^ { \sigma \dots } ) _ { ; \alpha } = ( { \mathfrak { T } } _ { \nu \dots ; \alpha } ^ { \mu \dots } ) { \mathfrak { S } } _ { \tau \dots } ^ { \sigma \dots } + { \mathfrak { T } } _ { \nu \dots } ^ { \mu \dots } ( { \mathfrak { S } } _ { \tau \dots ; \alpha } ^ { \sigma \dots } ) \, ,
\begin{array} { r c l } { y _ { 1 } ^ { \prime } } & { = } & { y _ { 2 } } \\ { y _ { 2 } ^ { \prime } } & { = } & { y _ { 3 } } \\ { y _ { n - 1 } ^ { \prime } } & { = } & { y _ { n } } \\ { y _ { n } ^ { \prime } } & { = } & { F ( x , y _ { 1 } , \ldots , y _ { n } ) . } \end{array}
\int d K F ( E _ { \mathbf { k } } ) k ^ { \langle \mu _ { 1 } } \cdots k ^ { \mu _ { \ell } \rangle } k _ { \langle \nu _ { 1 } } \cdots k _ { \nu _ { m } \rangle } = \frac { \ell ! \delta _ { \ell m } } { ( 2 \ell + 1 ) ! ! } \Delta _ { \nu _ { 1 } \cdots \nu _ { m } } ^ { \mu _ { 1 } \cdots \mu _ { \ell } } \int d K F ( E _ { \mathbf { k } } ) b _ { \mathbf { k } } ^ { m } ,
\hat { A } _ { z } ( r , \omega _ { 0 } ) = \left\{ \begin{array} { c l } { a _ { z } ( r _ { 1 } , r _ { 2 } , \omega _ { 0 } ) J _ { 1 } ( k _ { 1 } r ) , } & { r \leq r _ { 1 } , } \\ { c _ { z } ( r _ { 1 } , r _ { 2 } , \omega _ { 0 } ) J _ { 1 } ( k _ { 2 } r ) + c _ { z } ( r _ { 1 } , r _ { 2 } , \omega _ { 0 } ) H _ { 1 } ^ { ( 1 ) } ( k _ { 2 } r ) , } & { r _ { 1 } < r < r _ { 2 } , } \\ { d _ { z } ( r _ { 1 } , r _ { 2 } , \omega _ { 0 } ) H _ { 1 } ^ { ( 1 ) } ( k _ { 3 } r ) , } & { r _ { 2 } \le r . } \end{array} \right.
v , A ( v ) , A ^ { 2 } ( v ) , \ldots , A ^ { d - 1 } ( v ) , ~ P ( A ) ( v ) , A ( P ( A ) ( v ) ) , \ldots , A ^ { d - 1 } ( P ( A ) ( v ) ) , ~ P ^ { 2 } ( A ) ( v ) , \ldots , ~ P ^ { k - 1 } ( A ) ( v ) , \ldots , A ^ { d - 1 } ( P ^ { k - 1 } ( A ) ( v ) )
\begin{array} { r l } & { 2 \beta I m \int _ { \mathbb { R } } ( | u ^ { k } | ^ { p - 1 } | v ^ { k } | ^ { p + 1 } u ^ { k } - | u ^ { j } | ^ { p - 1 } | v ^ { j } | ^ { p + 1 } u ^ { j } ) ( \overline { { u ^ { k } - u ^ { j } } } ) d x } \\ { = \ } & { 2 \beta I m \int _ { \mathbb { R } } \left[ | u ^ { k } | ^ { p - 1 } | v ^ { k } | ^ { p + 1 } ( u ^ { k } - u ^ { j } ) + ( | u ^ { k } | ^ { p - 1 } | v ^ { k } | ^ { p + 1 } - | u ^ { j } | ^ { p - 1 } | v ^ { j } | ^ { p + 1 } ) u ^ { j } \right] ( \overline { { u ^ { k } - u ^ { j } } } ) d x } \\ { = \ } & { 2 \beta I m \int _ { \mathbb { R } } \left[ ( | u ^ { k } | ^ { p - 1 } | v ^ { k } | ^ { p + 1 } - | u ^ { j } | ^ { p - 1 } | v ^ { j } | ^ { p + 1 } ) u ^ { j } \right] ( \overline { { u ^ { k } - u ^ { j } } } ) d x . } \end{array}
f _ { m } ( g , \alpha ) = \frac { \sum _ { \mathbf { c } } w ( g , \mathbf { c } ) s ( g , \mathbf { c } ) \kappa ( g , \mathbf { c } , \alpha ) \phi ( g , \mathbf { c } ) } { \sum _ { \mathbf { c } } w ( g , \mathbf { c } ) s ( g , \mathbf { c } ) } = \frac { \sum _ { \mathbf { c } } Q ( g , \mathbf { c } ) \kappa ( g , \mathbf { c } , \alpha ) \phi ( g , \mathbf { c } ) } { Q ( g ) } ,
A ( R _ { g } ) / A _ { s } = \exp \left[ { \frac { \rho \times 9 . 8 1 \times ( 6 . 3 7 8 \times 1 0 ^ { 6 } ) ^ { 2 } } { T } } \left( { \frac { 1 } { 6 . 3 7 8 \times 1 0 ^ { 6 } } } + { \frac { ( 6 . 3 7 8 \times 1 0 ^ { 6 } ) ^ { 2 } } { 2 ( 4 . 2 1 6 4 \times 1 0 ^ { 7 } ) ^ { 3 } } } - { \frac { 1 } { 4 . 2 1 6 4 \times 1 0 ^ { 7 } } } - { \frac { ( 4 . 2 1 6 4 \times 1 0 ^ { 7 } ) ^ { 2 } } { 2 ( 4 . 2 1 6 4 \times 1 0 ^ { 7 } ) ^ { 3 } } } \right) \right]
\begin{array} { r } { [ v ] _ { i + 1 / 2 } = 0 . 5 ( v _ { i } + v _ { i + 1 } ) , \ \ v _ { i + 1 / 2 } = \frac { v _ { i + 1 } - v _ { i } } { h } , } \\ { [ w ] _ { i } ^ { * } = 0 . 5 ( w _ { i - 1 / 2 } + w _ { i + 1 / 2 } ) , \ \ \delta ^ { * } w _ { i } = \frac { w _ { i + 1 / 2 } - w _ { i - 1 / 2 } } { h } , } \\ { \delta _ { t } y ^ { m } = \frac { y ^ { m + 1 } - y ^ { m } } { \Delta t _ { m } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ~ \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \rightarrow 0 } \epsilon ^ { - 1 } \big \vert \boldsymbol { q } ^ { l } \big \vert ^ { - 2 } \mathrm { t r } \, { \mathrm { C o v } ( \Pi _ { 0 } { \phi } ^ { l } ) } } \\ { = } & { ~ \frac { \vert \Pi _ { 0 } \hat { e } _ { 1 } \vert ^ { 2 } } { \vert \operatorname* { d e t } T \vert ^ { 2 } } \frac { \big ( \mathrm { a d j } \bar { T } ^ { T } \mathrm { a d j } T ^ { T } \big ) _ { 1 1 } } { \lambda _ { 1 } } + 2 \epsilon \! \left[ \sum _ { i > 1 } \frac { \Pi _ { 0 } \bar { \hat { e } } _ { 1 } \cdot \Pi _ { 0 } \hat { e } _ { i } } { \vert \operatorname* { d e t } T \vert ^ { 2 } } \frac { \big ( \mathrm { a d j } \bar { T } ^ { t } \mathrm { a d j } T ^ { T } \big ) _ { 1 i } } { \bar { \lambda } _ { 1 } + \lambda _ { i } } + \! \sum _ { i , j > 1 } \frac { \Pi _ { 0 } \bar { \hat { e } } _ { i } \cdot \Pi _ { 0 } \hat { e } _ { j } } { \vert \operatorname* { d e t } T \vert ^ { 2 } } \frac { ( \mathrm { a d j } \bar { T } ^ { T } \mathrm { a d j } T ^ { T } ) _ { i j } } { \bar { \lambda } _ { i } + \lambda _ { j } } + \mathrm { c . c . } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { F _ { 2 } } & { = } & { - \left\{ 2 u ^ { 2 } \left\{ ( { \bf S } _ { i } \cdot \hat { \bf n } ) { \bf S } _ { f } \cdot \left[ \hat { \bf n } \times \hat { \bf a } \right] + ( { \bf S } _ { f } \cdot \hat { \bf n } ) { \bf S } _ { i } \cdot \left[ \hat { \bf n } \times \hat { \bf a } \right] \right\} + 2 u ( 2 + u ) \right. } \\ & { } & { \left. \hat { \bf a } \cdot [ { \bf S } _ { f } \times { \bf S } _ { i } ] \right\} \mathrm { K } _ { \frac { 1 } { 3 } } ( u ^ { \prime } ) - 4 u \left[ ( { \bf S } _ { i } \cdot \hat { \bf n } ) + ( { \bf S } _ { f } \cdot \hat { \bf n } ) ( 1 + u ) \right] } \\ & { } & { \mathrm { I n t K } _ { \frac { 1 } { 3 } } ( u ^ { \prime } ) + 4 u ( 2 + u ) \left[ ( { \bf S } _ { i } \cdot \hat { \bf n } ) + ( { \bf S } _ { f } \cdot \hat { \bf n } ) \right] \mathrm { K } _ { \frac { 2 } { 3 } } ( u ^ { \prime } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { G } _ { S S ^ { \prime } \nu } ( \mathbf { Q } , \mathbf { q } ) } & { { } = \sum _ { v c c ^ { \prime } \mathbf { k } } [ A _ { v c \mathbf { k } } ^ { S \mathbf { Q } + \mathbf { q } } ] ^ { * } g _ { c c ^ { \prime } \nu } ( \mathbf { k } + \mathbf { Q } , \mathbf { q } ) A _ { v c ^ { \prime } k } ^ { S ^ { \prime } \mathbf { Q } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ( \{ m _ { k } \} | \boldsymbol { \theta } ) } & { = \int \mathrm { d } ^ { 2 n } { \delta } \tilde { \Phi } ( \{ \delta _ { i } \} ) | \langle \{ m _ { k } \} | \{ \delta _ { i } \} \rangle | ^ { 2 } , } \\ & { = \int \mathrm { d } ^ { 2 n } { \delta } \tilde { \Phi } ( \{ \delta _ { i } \} ) \prod _ { i } e ^ { - | \delta _ { i } | ^ { 2 } } \frac { | \delta _ { i } | ^ { 2 m _ { i } } } { m _ { i } ! } . } \end{array}
\frac { \partial } { \partial t } \kappa ^ { m } = - \left. \frac { \partial ^ { m } } { \partial J ^ { m } } \frac { 1 } { \beta Z } \int \mathrm { d } ^ { n } \theta \int \mathrm { d } ^ { n } p \: \exp ( \beta [ J _ { \alpha } \theta ^ { \alpha } ] ) \left[ J _ { \gamma } \frac { \partial } { \partial p _ { \gamma } } \exp ( - \beta \mathcal { H } ( \theta , p ) ) \right] \right| _ { J = 0 } .
\begin{array} { r l } { P _ { \mu \nu \uparrow , \kappa \lambda \uparrow } ^ { ( 0 ) } ( i \tau ) = } & { P _ { \mu \nu \downarrow , \kappa \lambda \downarrow } ^ { ( 0 ) } ( i \tau ) } \\ { P _ { \mu \nu \uparrow , \kappa \lambda \downarrow } ^ { ( 0 ) } ( i \tau ) = } & { P _ { \mu \nu \downarrow , \kappa \lambda \uparrow } ^ { ( 0 ) } ( i \tau ) \; . } \end{array}
e ^ { - ( i / \hbar ) \int d ^ { 3 } r \chi ( \mathrm { \bf ~ r } ) g _ { o p } ( \mathrm { \bf ~ r } ) } \left( \begin{array} { c } { \mathrm { \bf ~ A } _ { o p } ( \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } ) } \\ { \hat { \mathrm { \bf ~ p } } _ { a } } \end{array} \right) e ^ { ( i / \hbar ) \int d ^ { 3 } r \chi ( \mathrm { \bf ~ r } ) g _ { o p } ( \mathrm { \bf ~ r } ) } = \left( \begin{array} { c } { \mathrm { \bf ~ A } _ { o p } ( \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } ) + \nabla \chi ( \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } ) } \\ { \hat { \mathrm { \bf ~ p } } _ { a } + q _ { a } \nabla \chi ( \mathrm { \bf ~ r } _ { a } ) } \end{array} \right)
[ \omega ^ { 2 } - ( 1 + \lambda \omega ) A / 2 \pi ^ { 2 } ] \left( \frac { 2 \xi } { y } + 1 \right) ^ { 2 } = [ \omega - \lambda A / 4 \pi ^ { 2 } - ( 1 + \lambda \omega ) ( d A / d \omega ) / ( 4 \pi ^ { 2 } ) ] ^ { 2 } ,
\mathrm { ~ i ~ } \tilde { u } _ { n } = - \frac { 1 } { \xi _ { n } } \frac { \partial \tilde { p } _ { n } } { \partial \varphi } + \frac { \delta _ { n } ^ { 2 } } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } \tilde { u } _ { n } } { \partial y ^ { 2 } } , \ \ \ \ \mathrm { ~ i ~ } \tilde { w } _ { n } = - \frac { 1 } { \xi _ { n } } \frac { \partial \tilde { p } _ { n } } { \partial z } + \frac { \delta _ { n } ^ { 2 } } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } \tilde { w } _ { n } } { \partial y ^ { 2 } } \ \ \ \ \mathrm { ~ o ~ r ~ } \ \ \ \ \tilde { \mathbf { u } } _ { n } = \frac { \mathrm { ~ i ~ } } { \xi _ { n } } \nabla \tilde { p } _ { n } F _ { n } \left( y \right) ,
\begin{array} { r l } & { \begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { \Delta \xi _ { i , j } } \bigg ( 1 - \frac { 2 \sinh \xi _ { i } } { \sin \phi _ { 0 } } \Delta \xi _ { i \_ i - 1 / 2 , j } \bigg ) u _ { \xi \_ { i + 1 / 2 , j } } ^ { ( k ) } - \frac { 1 } { \Delta \xi _ { i , j } } \bigg ( 1 + \frac { 2 \sinh \xi _ { i } } { \sin \phi _ { 0 } } \Delta \xi _ { i + 1 / 2 \_ i , j } \bigg ) u _ { \xi \_ { i - 1 / 2 , j } } ^ { ( k ) } } \\ & { + \frac { 1 } { \Delta \phi _ { i , j } } \bigg ( 1 - \frac { 2 \sin \phi _ { j } } { \sin \phi _ { 0 } } \Delta \phi _ { i , j \_ j - 1 / 2 } \bigg ) u _ { \phi \_ { i , j + 1 / 2 } } ^ { ( k ) } } \\ & { - \frac { 1 } { \Delta \phi _ { i , j } } \bigg ( 1 + \frac { 2 \sin \phi _ { j } } { \sin \phi _ { 0 } } \Delta \phi _ { i , j + 1 / 2 \_ j } \bigg ) u _ { \phi \_ { i , j - 1 / 2 } } ^ { ( k ) } + i \alpha u _ { z \_ i , j } ^ { ( k ) } = 0 . } \end{array} } \end{array}
S _ { a , b } ( z ) = \frac { ( - 1 ) ^ { a + b - 1 } } { ( a - 1 ) ! \; b ! } \! \int _ { 0 } ^ { 1 } \mathrm { d } \xi \; \frac { \ln ^ { a - 1 } \! \xi \ln ^ { b } ( 1 \! - \! z \xi ) } { \xi } \; .
\operatorname { S t e k } _ { \operatorname { m i x } } ( \Omega , g ) \sim \operatorname { S t e k } ( { \mathbb { D } } ( \mathbf L _ { S } ) ) \sqcup \operatorname { S t e k } _ { N } ( { \mathbb { D } } _ { \scriptscriptstyle { \frac { 1 } { 2 } } } ( \mathbf L _ { N } ) ) \sqcup \operatorname { S t e k } _ { D } ( { \mathbb { D } } _ { \scriptscriptstyle { \frac { 1 } { 2 } } } ( \mathbf L _ { D } ) ) \sqcup \operatorname { S t e k } _ { D N } ( { \mathbb { D } } _ { \scriptscriptstyle { \frac { 1 } { 4 } } } ( \mathbf L _ { D N } ) )
i n o r d e r t o p r e s e r v e p o s i t i v i t y o f t h e d e n s i t y o p e r a t o r . W e n o t e t h a t i n t h e c a s e o f L u o \& H o r e ^ { \prime } s p h e n o m e n o l o g i c a l t h e o r y , w e h a v e
\begin{array} { r l r } { \delta ^ { 2 } \mu _ { 1 } ( e _ { 1 1 } , e _ { 2 2 } , e _ { 1 2 } ) } & { = } & { - \mu _ { 1 } ( e _ { 1 1 } , - e _ { 1 2 } ) - [ e _ { 1 1 } , - e _ { 2 1 } ] } \\ & { } & { + \mu _ { 1 } ( 0 , e _ { 1 2 } ) + \mu _ { 1 } ( e _ { 2 2 } , - e _ { 1 2 } ) + [ 0 , e _ { 1 2 } ] + [ e _ { 2 2 } , e _ { 2 1 } ] } \\ & { = } & { 0 } \end{array}
\partial _ { t } \hat { f } _ { \ell } + i \ell v ( r ) \hat { f } _ { \ell } = \nu \left( \frac { 1 } { r } \partial _ { r } ( r \partial r ) - \frac { \ell ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } \right) \hat { f } _ { \ell }
\scriptscriptstyle { \mathcal { M } _ { \mathcal { T } ( \mathcal { R } ) } = \left[ \begin{array} { c c } { \frac { 1 } { 4 } \left( 1 + \frac { \eta } { \eta ^ { \prime } } \right) \left( 1 \pm \frac { \cos \theta _ { + } ^ { \prime } } { \cos \theta _ { + } } \right) } & { \frac { 1 } { 4 } \left( \frac { \eta } { \eta ^ { \prime } } - 1 \right) \left( 1 \mp \frac { \cos \theta _ { - } ^ { \prime } } { \cos \theta _ { + } } \right) } \\ { \frac { 1 } { 4 } \left( \frac { \eta } { \eta ^ { \prime } } - 1 \right) \left( 1 \mp \frac { \cos \theta _ { + } ^ { \prime } } { \cos \theta _ { - } } \right) } & { \frac { 1 } { 4 } \left( 1 + \frac { \eta } { \eta ^ { \prime } } \right) \left( 1 \pm \frac { \cos \theta _ { - } ^ { \prime } } { \cos \theta _ { - } } \right) } \end{array} \right] } ,
\begin{array} { r l } { P _ { Q \rightarrow D } } & { = \varsigma \left( \ u _ { n } ( \vec { x } ) ; a _ { Q \rightarrow d } , b _ { Q \rightarrow d } , u _ { n } ^ { Q \rightarrow d } \right) \cdot \left( 1 + \xi _ { d } ^ { Q \rightarrow D } u _ { d } + \xi _ { t } ^ { Q \rightarrow D } u _ { t } + \xi _ { d t } ^ { Q \rightarrow D } u _ { d } u _ { t } \right) , } \\ { P _ { S G 2 \rightarrow S G 2 } } & { = \varrho \left( u _ { d } ( \vec { x } ) ; c _ { S G 2 \rightarrow S G 2 } , u _ { d } ^ { S G 2 \rightarrow S G 2 } \right) \ , } \\ { P _ { S G 2 \rightarrow D } } & { = \varrho \left( u _ { n } ( \vec { x } ) ; c _ { S G 2 \rightarrow D } , u _ { n } ^ { S G 2 \rightarrow D } \right) \ , } \\ { P _ { H \rightarrow D } } & { = \left( r _ { H \rightarrow D } \cdot \Delta t \right) \cdot \left( 1 + \xi _ { d } ^ { H \rightarrow D } u _ { d } + \xi _ { t } ^ { H \rightarrow D } u _ { t } + \xi _ { d t } t ^ { H \rightarrow D } u _ { d } u _ { t } \right) \ . } \end{array}
F _ { 9 } ( s _ { m } ) = \frac { \pi } { 4 } \frac { ( t _ { 1 } x _ { 1 } x _ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } } { ( 1 - \sqrt { t _ { 1 } } ) ^ { 3 / 2 } } \left[ w _ { 1 } ^ { 2 } + \frac { 4 x _ { 1 } x _ { 2 } } { t _ { 1 } } ( 1 - \sqrt { t _ { 1 } } ) w _ { 2 } ^ { 2 } \right] ( s _ { m } ^ { K \pi } - s _ { m } ) ^ { 3 } ~ ,
G _ { C } ( \boldsymbol { x } , t ) = \sum _ { j = 1 } ^ { \tilde { N } } \frac { 1 } { 2 } \tilde { u } _ { j } \mathrm { t a n h } ( \frac { 1 } { 2 } ( ( \boldsymbol { \tilde { k } } _ { j } ^ { x } ) ^ { \top } \boldsymbol { x } + \tilde { k } _ { j } ^ { t } t + \tilde { b _ { j } } ) ) + \frac { 1 } { 2 } \hat { u } \mathrm { t a n h } ( ( \boldsymbol { \hat { k } } ^ { x } ) ^ { \top } \boldsymbol { x } + \hat { k } ^ { t } t + \hat { b } )
\begin{array} { r l } { \left[ \ensuremath { \frac { \partial f ^ { [ 2 ] } } { \partial t } } \right] _ { ( 4 ) } ^ { \prime } } & { { } = A _ { 4 } ^ { 2 } f ^ { [ 4 ] } } \\ { \left[ \ensuremath { \frac { \partial f ^ { [ 3 ] } } { \partial t } } \right] _ { ( 4 ) } ^ { \prime } } & { { } = A _ { 4 } ^ { 3 } f ^ { [ 4 ] } , } \end{array}
t ^ { A } = \left\{ \begin{array} { l l } { { \displaystyle \frac { 1 } { 2 } \sigma ^ { A } } } & { { ~ ~ \mathrm { f o r } ~ A = 1 , 2 , 3 } } \\ { { \displaystyle \frac { 1 } { 2 } 1 _ { 2 } } } & { { ~ ~ \mathrm { f o r } ~ A = 0 } } \end{array} \right. , \mathrm { ~ w i t h ~ ~ t r } ( t ^ { A } t ^ { B } ) = \frac { 1 } { 2 } \delta ^ { A B } ,
\begin{array} { r } { \left| { U _ { \alpha } ^ { r _ { I } } } - { U _ { h , \alpha } ^ { r _ { I } } } \right| \lesssim ( \operatorname* { m a x } _ { \alpha , \beta } \| \nabla { V _ { \alpha \beta } ^ { r _ { I } } } \| _ { C ^ { p + 2 } } ) \| \overline { { \rho } } ^ { r _ { I } } \| _ { C ^ { p + 3 } } N ^ { \delta t } h ^ { p + 1 } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \sigma : V ^ { n } \to V ^ { n } } \\ { \sigma ( v _ { 1 } , v _ { 2 } , \ldots , v _ { n } ) = \left( v _ { \sigma ( 1 ) } , v _ { \sigma ( 2 ) } , \ldots , v _ { \sigma ( n ) } \right) } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \quad \sum _ { y } \left( \hat { \textbf { \textit { 1 } } \, } _ { \! \mathrm { X } } \otimes \langle y | \right) \hat { \rho } _ { \mathrm { X } } \otimes \hat { \rho } _ { \mathrm { Y } } \left( \hat { \textbf { \textit { 1 } } \, } _ { \! \mathrm { X } } \otimes | y \rangle \right) } \\ & { = \left( \hat { \textbf { \textit { 1 } } \, } _ { \! \mathrm { X } } \, \hat { \rho } _ { \mathrm { X } } \, \hat { \textbf { \textit { 1 } } \, } _ { \! \mathrm { X } } \right) \otimes \left( \sum _ { y } \langle y | \hat { \rho } _ { \mathrm { Y } } | y \rangle \right) } \\ & { = \hat { \rho } _ { \mathrm { X } } \mathrm { T r } ( \hat { \rho } _ { \mathrm { Y } } ) = \hat { \rho } _ { \mathrm { X } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { F ( \Delta ) } & { = \frac { h } { 1 + \frac { 4 a } { h } } \left[ \varepsilon \left( \Delta - q \right) \left( 1 + \Delta - q \right) \left( 2 \Delta \varepsilon + \left( 1 - 2 q \right) ( 1 + \varepsilon ) \right) - \frac { a } { h } \left( 2 \Delta + \left( 1 - 2 q \right) ( 1 + \varepsilon ) \right) - 4 \left( \frac { a } { h } \right) ^ { 2 } \left( 2 \Delta + 1 - 2 q \right) \right] , } \\ { D ( \Delta ) } & { = \frac { h } { 2 N } \frac { 1 } { 1 + \frac { 4 a } { h } } \left[ - \Delta ^ { 2 } \left( 1 - \varepsilon ^ { 2 } + \frac { 4 a } { h } \right) + \left( 1 - \varepsilon + \frac { 4 a } { h } \right) \left( \frac { a } { h } + q \thinspace ( 1 - q ) ( 1 + \varepsilon ) \right) - \Delta \left( 1 - 2 q \right) \left( 1 - \varepsilon ^ { 2 } + ( 2 + \varepsilon ) \frac { 2 a } { h } \right) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r } { W _ { 1 } ^ { \star } = \left[ \begin{array} { l l } { V _ { 1 } \Sigma } & { 0 _ { d _ { 1 } \times ( k - r ) } } \end{array} \right] , \ \ W _ { 2 } ^ { \star } = \left[ \begin{array} { l l } { V _ { 2 } } & { Z } \end{array} \right] ^ { \top } , \ \ \mathrm { f o r ~ s o m e ~ Z \in ~ \mathbb { R } ^ { d _ 2 \times ~ ( k - r ) } ~ . } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \psi _ { c } ( z , t ) } { \Psi ( t ) } = I _ { 0 } \left( \frac { \varrho _ { p } } { \lambda _ { D } } \right) ^ { - 1 } + \left[ 1 - I _ { 0 } \left( \frac { \varrho _ { p } } { \lambda _ { D } } \right) ^ { - 1 } \right] \times } \\ & { \times \sum _ { j \ge 1 } \frac { 4 \sin \alpha _ { j } \cos \left[ \alpha _ { j } \left( 1 - z / \ell _ { p } \right) \right] } { 2 \alpha _ { j } + \sin 2 \alpha _ { j } } \exp { \! \left( - \frac { \alpha _ { j } ^ { 2 } t } { \tau } \right) } \, , } \end{array}
A _ { 1 } = F _ { 1 } b a ^ { - 1 } - \lambda _ { 1 2 } b ^ { 2 } , \quad A _ { 2 } = F _ { 1 } - \lambda _ { 1 2 } a b , \quad A _ { 3 } = ( F _ { 1 } a + F _ { 2 } c ) b ^ { - 1 } - \lambda _ { 1 2 } a ^ { 2 } ,
\begin{array} { r } { \left\| \overline { G } _ { t , \xi } ^ { \lambda } v - \overline { G } _ { t , \xi ^ { \prime } } ^ { \lambda ^ { \prime } } v \right\| _ { \infty } \le \left( C _ { 0 } + C _ { 1 } \| v \| _ { \infty } \right) \; \big ( \zeta ( \| \xi - \xi ^ { \prime } \| _ { B L } ) + \zeta ( \| \lambda - \lambda ^ { \prime } \| _ { B L } ) \big ) . } \end{array}
\left[ Q _ { 0 } P _ { \theta _ { 0 } } \right] ^ { n _ { 1 } } \left( \left| I _ { \theta _ { 0 } } ( \hat { Q } _ { n _ { 1 } } \hat { T } _ { n _ { 1 } } { \mathcal P } ) - \operatorname* { s u p } _ { Q \in \mathcal Q _ { \alpha } ( \mathcal X ) } I _ { \theta _ { 0 } } ( Q { \mathcal P } ) \right| > \varepsilon \right) \xrightarrow [ ] { n _ { 1 } \to \infty } 0 , \quad \forall \varepsilon > 0 .
\begin{array} { r l } & { x _ { i } \cdot z _ { i } = 1 , \quad \forall i \in \mathcal { C } } \\ & { A _ { k + 1 } = A _ { k } + ( \gamma P _ { k } + \sigma R _ { k } + \phi I _ { k } - \left( \zeta + \ell _ { k } \right) A _ { k } - \mu A _ { k } ) \Delta , \quad k = 1 , \dots , K - 1 } \\ & { R _ { k + 1 } = R _ { k } + \left( \left( \zeta + \ell _ { k } \right) A _ { k } - ( \delta + \sigma ) R _ { k } \right) \Delta , \quad k = 1 , \dots , K - 1 , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \Vec { e ^ { \prime } } _ { x } } & { = - \cos { \varphi } \, \Vec { e } _ { \theta } - \sin { \varphi } \, \Vec { e } _ { \varphi } } \\ { \Vec { e ^ { \prime } } _ { y } } & { = - \sin { \varphi } \, \Vec { e } _ { \theta } + \cos { \varphi } \, \Vec { e } _ { \varphi } } \end{array} \right.
P _ { z } = \frac { c } { 8 \pi } \hat { \mathbf { e } } _ { z } \cdot ( \mathbf { E } _ { 0 } \times \mathbf { B } _ { 0 } ^ { * } ) = \frac { c } { 8 \pi } \hat { \mathbf { e } } _ { z } \cdot ( \mathbf { E } _ { 0 } ^ { \prime } \times \mathbf { B } _ { 0 } ^ { \prime * } ) ,
D _ { 1 1 1 1 } ^ { n } = \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { r } s ^ { 2 } \left( - T e r m 1 - T e r m 2 ^ { \prime } + T e r m 3 + T e r m 4 + T e r m 5 + T e r m 6 + T e r m 7 \right) ^ { n } d s ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \tilde { I } = \frac { I } { I _ { 0 } } \frac { 2 \alpha } { \ln [ ( 1 + \alpha ) / ( 1 - \alpha ) ] } , } \\ & { } & { \tilde { B } _ { L , R } = \frac { 2 ( B / B _ { \phi } ) } { \alpha \operatorname { t a n h } ^ { - 1 } \alpha } \biggl ( 2 \alpha - ( 1 \mp \alpha ) \ln \frac { 1 + \alpha } { 1 - \alpha } \biggr ) . } \end{array}
f _ { 1 } ( u ) = \int \; d ( \cos \theta ) \; f _ { u } ( \cos \theta ) \; P _ { 1 } ( \cos \theta ) = C \int _ { a } ^ { 1 } \; d x \; x \; \frac { 1 + u ^ { 2 } ( 2 x ^ { 2 } - 1 ) } { \left[ ( 1 - u ^ { 2 } ) + u ^ { 2 } x ^ { 2 } \right] ^ { 1 / 2 } }
\begin{array} { r l } { \mathrm { L D O S C } _ { \mathrm { c a v } } ( \omega ) } & { { } = \eta _ { \mathrm { o u t , c } } \kappa \frac { 3 \pi \epsilon _ { 0 } c ^ { 3 } } { 2 n ^ { 3 } \omega ^ { 2 } } \times } \end{array}
\sigma _ { 0 } ( s , Q _ { A } ^ { 2 } , Q _ { B } ^ { 2 } ) = { \frac { 1 } { 2 \, \pi } } \, \int \, { \frac { d ^ { 2 } \, { \mathrm { \bf ~ k } } } { \pi } } \, { \frac { 1 } { ( { { \mathrm { \bf ~ k } } } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } \, G ( { \mathrm { \bf ~ k } } ^ { 2 } , Q _ { A } ^ { 2 } ) \, G ( { \mathrm { \bf ~ k } } ^ { 2 } , Q _ { B } ^ { 2 } ) \; \; \; \; .
\begin{array} { r l r } { \| \boldsymbol { w } \| _ { 0 , \tau } ^ { 2 } } & { \lesssim } & { \| b _ { \tau } ^ { 1 / 2 } \boldsymbol { w } \| _ { 0 , \tau } ^ { 2 } = ( \boldsymbol { w } , b _ { \tau } \boldsymbol { w } ) _ { \tau } } \\ & { = } & { ( \left( \boldsymbol { f } _ { h } - \boldsymbol { c u r l } _ { h } ~ \alpha p _ { h } - \beta \boldsymbol { u } _ { h } \right) , \boldsymbol { w } _ { b } ) _ { \tau } } \\ & { = } & { \left( \left( \boldsymbol { f } _ { h } - \boldsymbol { f } \right) - \boldsymbol { c u r l } _ { h } ~ \alpha \left( p _ { h } - p \right) - \beta \left( \boldsymbol { u } _ { h } - \boldsymbol { u } \right) , \boldsymbol { w } _ { b } \right) _ { \tau } } \\ & { \lesssim } & { \left( \left\| \boldsymbol { f } _ { h } - \boldsymbol { f } \right\| _ { 0 , \tau } + \| \beta \| _ { 0 , \infty } \left\| \boldsymbol { u } _ { h } - \boldsymbol { u } \right\| _ { 0 , \tau } \right) \| \boldsymbol { w } _ { b } \| _ { 0 , \tau } } \\ & { } & { - \left( \boldsymbol { c u r l } _ { h } ~ \alpha \left( p _ { h } - p \right) , \boldsymbol { w } _ { b } \right) _ { \tau } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { D _ { i } ( x ) } & { { } = } & { \frac { k _ { \mathrm { B } } T } { \xi _ { i } ( x ) + \lambda _ { i } ( x ) } , } \\ { \beta _ { i } ( x ) } & { { } = } & { \frac { \xi _ { i } ( x ) } { \xi _ { i } ( x ) + \lambda _ { i } ( x ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { N _ { E } } ( u ) = } & { { } 2 5 6 \cos { \left[ { \frac { u } { 2 } } \right] ^ { 2 } } \left( { 5 + 5 \cos \left[ u \right] + 2 \cos \left[ { 2 u } \right] } \right) \sin { \left[ { \frac { u } { 2 } } \right] ^ { 4 } } \times \frac { { { L ^ { 2 } } s _ { a } ^ { 2 } } } { { { u ^ { 2 } } { c ^ { 4 } } } } } \\ { + } & { { } 1 2 8 \cos { \left[ { \frac { u } { 2 } } \right] ^ { 2 } } \left( { 4 + 4 \cos \left[ u \right] + \cos \left[ { 2 u } \right] } \right) \sin { \left[ { \frac { u } { 2 } } \right] ^ { 4 } } \times \frac { { { u ^ { 2 } } s _ { x } ^ { 2 } } } { { { L ^ { 2 } } } } , } \end{array}
f ( z ) = \phi ( z ) + { \frac { B _ { 1 } } { z - a } } + { \frac { B _ { 2 } } { ( z - a ) ^ { 2 } } } + \cdots + { \frac { B _ { n } } { ( z - a ) ^ { n } } } , \quad B _ { i } , z , a \in \mathbb { C } ,