harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \left( \begin{array} { l } { \dot { x _ { 1 } } } \\ { \dot { x _ { 2 } } } \\ { \dot { x _ { 3 } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l l } { \Lambda _ { 1 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \Lambda _ { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \Lambda _ { 3 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { x _ { 1 } } \\ { x _ { 2 } } \\ { x _ { 3 } } \end{array} \right) - T ^ { - 1 } \left( \begin{array} { l } { \frac { R } { k } \sum _ { i , j } x _ { i } x _ { j } A _ { i } ^ { 2 } + \dot { k } } \\ { \dot { k } } \\ { \dot { k } } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { { \mathcal { K } } } _ { \varepsilon } } & { = \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow \infty } \frac { 1 } { t } \int _ { \left[ 0 , t \right) } \mathbf { g } \left( \gamma _ { \tau } \right) ^ { - 1 } \mathbf { g } \left( \gamma _ { \tau + \varepsilon } \right) \mathsf { d } \tau , } \\ & { \simeq \operatorname * { a r g m i n } _ { P \in \mathbb { R } } \sum _ { k = 1 } ^ { n } \Vert \mathcal { H } _ { m \times n } \left( k + 1 \right) - P \mathcal { H } _ { m \times n } \left( k \right) \Vert _ { F } . } \end{array}
\frac { E _ { l } } { \rho g d ^ { 3 } } = f _ { E _ { l } } ( \frac { S } { d } , \frac { f } { \sqrt { g / d } } ) \propto ( \frac { S } { d } ) ^ { \alpha _ { E _ { l } } } ( \frac { f } { \sqrt { g / d } } ) ^ { \beta _ { E _ { l } } }
\int x ^ { 2 } \cos ^ { 2 } { a x } \, d x = { \frac { x ^ { 3 } } { 6 } } + \left( { \frac { x ^ { 2 } } { 4 a } } - { \frac { 1 } { 8 a ^ { 3 } } } \right) \sin 2 a x + { \frac { x } { 4 a ^ { 2 } } } \cos 2 a x + C
\frac { d \sigma } { d M ^ { 2 } } = { C _ { N } } \frac { \Gamma _ { R } M _ { R } } { { ( M ^ { 2 } - { M _ { R } ^ { 2 } } ) } ^ { 2 } + { ( \Gamma _ { R } M _ { R } ) } ^ { 2 } } \ ,
\begin{array} { r l } { \ensuremath { \mathcal { N } } _ { ( x _ { 0 } , t _ { 0 } ) } ( \tau _ { 0 } ) } & { = \frac { 1 } { \tau _ { 0 } } \int _ { 0 } ^ { \tau _ { 0 } } \ensuremath { \mathcal { W } } _ { ( x _ { 0 } , t _ { 0 } ) } ( \tau ) \, d \tau \ge \ensuremath { \mathcal { W } } _ { ( x _ { 0 } , t _ { 0 } ) } ( \tau _ { 0 } ) . } \end{array}
c _ { 0 0 1 } = m _ { 1 } + m _ { 2 } z - \frac { z ^ { 2 } } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } c _ { 0 0 0 } } { \partial y ^ { 2 } } + \frac { 3 z ^ { 2 } } { 4 } \frac { \partial c _ { 0 0 0 } } { \partial x } - \frac { z ^ { 4 } } { 2 } \frac { \partial c _ { 0 0 0 } } { \partial x }
\begin{array} { r } { P _ { 1 } ( \xi ) = \xi , ~ ~ ~ Q _ { 1 } ( \xi ) = \frac { \xi } { 2 } \ln \left[ \frac { \xi + 1 } { \xi - 1 } \right] - 1 , ~ ~ ~ } \\ { Q _ { 1 } ^ { \prime } ( \xi ) = \frac { 1 } { 2 } \ln \left[ \frac { \xi + 1 } { \xi - 1 } \right] - \frac { \xi } { \xi ^ { 2 } - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { z _ { y _ { i } } = \frac { ( y _ { i } - \mu - \theta _ { i } ) ^ { 2 } } { \sigma _ { y _ { i } } ^ { 2 } } \sim \chi _ { 1 } ^ { 2 } \, , } \\ & { z _ { u _ { i } } = \frac { ( u _ { i } - \theta _ { i } ) ^ { 2 } } { \sigma _ { u _ { i } } ^ { 2 } } \sim \chi _ { 1 } ^ { 2 } \, , } \\ & { z _ { v _ { i } } = \frac { v _ { i } } { \sigma _ { u _ { i } } ^ { 2 } } \sim \chi _ { 1 } ^ { 2 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { j } } & { = ( n + i - j ) ( j + \frac { c ^ { ( \nu ) } } { d ^ { ( \nu ) } } ) + ( j - 1 ) ( N - j + 1 ) + n ( ( i - N - 1 ) - \frac { c ^ { ( \nu ) } } { d ^ { ( \nu ) } } ) , } \\ { F _ { j } } & { = ( j - 1 ) ( N - j + 1 ) \frac { \mu _ { j - 1 } } { \mu _ { j } } ( n + i - j + 1 ) \big ( d ^ { ( \nu ) } ( j - 1 ) + c ^ { ( \nu ) } \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { b } _ { 0 } ^ { \mathbf { C } } = \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 . 5 } & { 0 . 5 } & { 0 . 5 } & { 0 . 5 } \\ { 0 . 5 } & { 0 . 5 } & { 0 . 5 } & { 0 . 5 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] \qquad \mathbf { b } _ { 0 } ^ { \mathbf { D } } = \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 . 5 } & { 0 . 5 } & { 0 . 5 } & { 0 . 5 } \\ { 0 . 5 } & { 0 . 5 } & { 0 . 5 } & { 0 . 5 } \end{array} \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \textbf { \textup { u } } \in C _ { \mathrm { w e a k } } } & { ( [ 0 , T ] ; L ^ { p } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 } ) ) \cap L ^ { \infty } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 } ) ) \cap L ^ { 2 } ( 0 , T ; W _ { 0 } ^ { 1 , 2 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 } ) ) , } \\ { \vartheta ^ { ( 1 ) } \in C } & { ( [ 0 , T ] ; W ^ { 2 - \frac { 2 } { p } , p } ( \Omega ) ) \cap W ^ { 1 , p } ( 0 , T ; L ^ { p } ( \Omega ) ) \cap L ^ { p } ( 0 , T ; W ^ { 2 , p } ( \Omega ) ) , } \end{array} \quad p = \frac { 5 } { 4 }
h _ { \alpha \beta } = \left( \begin{array} { c c c c } { 0 } & { r } & { a ^ { 2 } \sin \theta \cos \theta } & { 0 } \\ { - r } & { 0 } & { 0 } & { a r \sin ^ { 2 } \theta } \\ { - a ^ { 2 } \sin \theta \cos \theta } & { 0 } & { 0 } & { a \left( a ^ { 2 } + r ^ { 2 } \right) \sin \theta \cos \theta } \\ { 0 } & { - a r \sin ^ { 2 } \theta } & { - a \left( a ^ { 2 } + r ^ { 2 } \right) \sin \theta \cos \theta } & { 0 } \end{array} \right) ,
F ( Q ^ { 2 } ) = { \frac { \int d ^ { 3 } k \left( { \frac { 1 } { m _ { c } ^ { 2 } + k ^ { 2 } } } \right) ^ { \frac { 1 } { 4 } } \psi _ { V } ( k ) { \frac { - \Delta } { 4 } } { \frac { 1 } { \left( { \frac { Q ^ { 2 } } { 4 } } + ( m _ { c } ^ { 2 } + k ^ { 2 } ) \right) } } } { \int d ^ { 3 } k ~ { \frac { \psi _ { V } ( k ) \left( { \frac { 1 } { m _ { c } ^ { 2 } + k ^ { 2 } } } \right) ^ { \frac { 1 } { 4 } } } { \left( { \frac { Q ^ { 2 } } { 4 } } + m _ { c } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } } } } \ ,
\begin{array} { r l } & { \Delta _ { \mathrm { a e p } } : = 4 \log _ { 2 } \left( 2 \sqrt { d } + 1 \right) \sqrt { \log _ { 2 } \left( \frac { 1 8 } { p _ { \mathrm { e c } } ^ { 2 } \varepsilon _ { \mathrm { s } } ^ { 4 } } \right) } , } \\ & { \Theta : = \log _ { 2 } [ p _ { \mathrm { e c } } ( 1 - \varepsilon _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } / 3 ) ] + 2 \log _ { 2 } \sqrt { 2 } \varepsilon _ { \mathrm { h } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { i \frac { \partial } { \partial s } \hat { { \cal U } } _ { j } + \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \tau ^ { 2 } } \hat { { \cal U } } _ { j } - A _ { 0 } ^ { 2 } \hat { { \cal U } } _ { j } + 2 \left( \sum _ { l = 1 , 2 } \hat { { \cal U } } _ { l } ^ { \dag } \hat { { \cal U } } _ { l } \right) \hat { { \cal U } } _ { j } = 0 . } \end{array}
4 a ^ { - 2 } \left( \begin{array} { r r r r r } { { 1 } } & { { - 1 } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { - 1 } } & { { 2 } } & { { - 1 } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { \ddots } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { - 1 } } & { { 2 } } & { { - 1 } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { - 1 } } & { { 1 } } \end{array} \right)
S = \int d ^ { D } x \left\{ \frac { 1 } { 2 } \partial _ { \mu } \Phi \partial _ { \mu } \Phi ( x ) + \frac { 1 } { 2 } \beta ^ { 2 } \Phi ^ { 2 } ( x ) + U ( \Phi ^ { 2 } ) ( x ) \right\}
\begin{array} { r l } { \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } } & { { } \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \left( \frac { k _ { i j } ^ { ( p ) } } { \mu } \frac { \partial ^ { 2 } { p _ { f } ^ { ( p ) } } } { \partial { x _ { i } } \partial { x _ { j } } } + \sum _ { q = 1 } ^ { n } \frac { k _ { i j } ^ { ( p , q ) } } { \mu } \frac { \partial ^ { 2 } { p _ { f } ^ { ( q ) } } } { \partial { x _ { i } } \partial { x _ { j } } } \right) - \sum _ { q = 1 } ^ { n } \Gamma ^ { ( p , q ) } \left( p _ { f } ^ { ( p ) } - p _ { f } ^ { ( q ) } \right) = \hphantom { X X X X X X X X X X X X X } } \end{array}
\begin{array} { r l } { V ( n ) } & { = V ( 0 ) + \sum _ { i = 1 } ^ { m } \frac { u _ { i } ( 0 ) } { S _ { i } ( 0 ) } ( S _ { i } ( n ) - S _ { i } ( 0 ) ) - \sum _ { i = 1 } ^ { m } u _ { i } ( 0 ) c _ { i } } \\ & { = V ( 0 ) + \sum _ { i = 1 } ^ { m } K _ { i } V ( 0 ) \left( \frac { S _ { i } ( n ) - S _ { i } ( 0 ) } { S _ { i } ( 0 ) } \right) - \sum _ { i = 1 } ^ { m } u _ { i } ( 0 ) c _ { i } } \\ & { = V ( 0 ) + \sum _ { i = 1 } ^ { m } K _ { i } V ( 0 ) \mathcal { X } _ { n , i } - \sum _ { i = 1 } ^ { m } u _ { i } ( 0 ) c _ { i } } \\ & { = ( 1 + K ^ { T } \mathcal { X } _ { n } ) V ( 0 ) - \sum _ { i = 1 } ^ { m } u _ { i } ( 0 ) c _ { i } } \\ & { = ( 1 + K ^ { T } \widetilde { \mathcal { X } } _ { n } ) V ( 0 ) } \end{array}
L o s s = L _ { e } = \left[ { \frac { 1 } { 2 } } \left( _ { 0 } ^ { C } D _ { y _ { i } ^ { + } } ^ { ( \alpha ( y _ { i } ^ { + } ) , \lambda ) } ( \overline { { U ^ { + } ) } } ~ - ~ _ { y _ { i } ^ { + } } ^ { C } D _ { 2 R e _ { \tau } } ^ { { ( \alpha ( y _ { i } ^ { + } ) , \lambda ) } } ( \overline { { U ^ { + } ) } } \right) ~ - ~ \tau ^ { + } ( y _ { i } ^ { + } ) \right] ^ { 2 }
\begin{array} { r l r } { \mathcal { \bar { E } } [ \{ \nu _ { \mathfrak { n } } \} , \{ \bar { \phi } _ { \mathfrak { n } } ( \vec { r } ) \} ] } & { = } & { 4 \, \sum _ { \mathfrak { n } } \, \nu _ { \mathfrak { n } } \, \Big \langle \bar { \phi } _ { \mathfrak { n } } ( \vec { r } ) \Big | - \frac { 1 } { 2 } \, \hat { \nabla } ^ { 2 } - \big ( | \vec { r } | ^ { - 1 } + | \vec { r } + R \, \vec { e } _ { z } | ^ { - 1 } \big ) \, \hat { 1 } \Big | \bar { \phi } _ { \mathfrak { n } } ( \vec { r } ) \Big \rangle } \\ & { + } & { \, 2 \, \operatorname* { m i n } _ { \{ \sigma _ { \mathfrak { n } } = \pm 1 \} } \; \sum _ { \mathfrak { n } } \sum _ { \mathfrak { n ^ { \prime } } } \, \sigma _ { \mathfrak { n } } \, \sigma _ { \mathfrak { n ^ { \prime } } } \, \sqrt { \nu _ { \mathfrak { n } } \, \nu _ { \mathfrak { n ^ { \prime } } } } \big \langle \bar { \phi } _ { \mathfrak { n } } ( \vec { r } _ { 1 } ) \, \bar { \phi } _ { \mathfrak { n } } ( \vec { r } _ { 2 } ^ { \; \bullet } ) \big | | \vec { r } _ { 1 } - \vec { r } _ { 2 } + R \, \vec { e } _ { z } | ^ { - 1 } \big | \bar { \phi } _ { \mathfrak { n ^ { \prime } } } ( \vec { r } _ { 1 } ) \, \bar { \phi } _ { \mathfrak { n ^ { \prime } } } ( \vec { r } _ { 2 } ^ { \; \bullet } ) \big \rangle \quad . } \end{array}
\begin{array} { r } { { \boldsymbol \gamma } ^ { 2 } = 1 , \qquad c = I _ { 1 } \Omega _ { 1 } \gamma _ { 1 } + I _ { 2 } \Omega _ { 2 } \gamma _ { 2 } + I _ { 3 } \Omega _ { 3 } \gamma _ { 3 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathrm { ~ \operatorname* { m a x } _ { R , x _ 0 } ~ } \quad R } \\ & { \; \mathrm { s . t . } \quad \; x _ { 0 } ^ { 1 } - ( x _ { 0 } ^ { 2 } - R ) \le 0 } \\ & { \; x _ { 0 } ^ { 1 } - ( x _ { 0 } ^ { 3 } - R ) \le 0 } \\ & { \; ( x _ { 0 } ^ { 2 } + R ) - x _ { 0 } ^ { 1 } \le 3 } \\ & { \; ( x _ { 0 } ^ { 3 } + R ) - x _ { 0 } ^ { 1 } \le 5 } \\ & { \; ( x _ { 0 } ^ { 3 } + R ) - x _ { 2 } \leq 3 } \\ & { \; ( x _ { 0 } ^ { 2 } + R ) - x _ { 0 } ^ { 3 } \leq 2 } \\ & { \; x _ { 0 } ^ { 1 } = 0 . } \end{array}
\frac { M r _ { m } } { 8 \pi } = \frac { C _ { 2 } ( 2 - C _ { 2 } I _ { 3 } ) ( C _ { 2 } I _ { 3 } - 1 ) ^ { 2 } } { ( C _ { 0 } + C _ { 2 } ^ { 2 } I _ { 5 } ) ^ { 2 } } + \frac { M } { 2 \pi ^ { 2 } } \left[ \frac { 1 } { \Lambda } - \frac { 1 } { p _ { F } } \right]
\begin{array} { r l } { ( y , z ) \in D \iff ( b h b ^ { \prime } , c k c ^ { \prime } ) \in D } & { \iff i = j \quad \textup { a n d } \quad b ^ { \prime } c \in S _ { i } } \\ & { \iff i = j \quad \textup { a n d } \quad f _ { i } ^ { - 1 } ( \widetilde { g } ^ { - 1 } f _ { i } ( v ) \widetilde { g } ) u ^ { \prime } b ^ { \prime } c \in S _ { i } } \\ & { \iff \Big ( d \widetilde { g } \big ( f _ { i } ^ { - 1 } ( \widetilde { g } ^ { - 1 } f _ { i } ( v ) \widetilde { g } ) u ^ { \prime } b ^ { \prime } \big ) \ , \ c k c ^ { \prime } \Big ) \in D } \\ & { \iff ( x y , z ) \in D \ . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { E } ( T _ { N } ) = \sum _ { \lambda \in \mathcal { V } ( \mathcal { T } _ { N } ) } e _ { p _ { \operatorname* { m a x } } ( \lambda ) } ( \lambda ) = \sum _ { \lambda \in \mathcal { V } ( \mathcal { T } _ { N } ) } \left( \sum _ { ( i , \ell ) \in \Upsilon ( \lambda ) } \sum _ { q > p _ { \operatorname* { m a x } } ( \lambda ) } \vert c _ { q , i , \ell } \vert ^ { 2 } + \sum _ { ( i , \ell ) \succ \lambda } \sum _ { q \ge 0 } \vert c _ { q , i , \ell } \vert ^ { 2 } \right) . } \end{array}
\frac { x ^ { 2 } } { n { _ 1 } { ^ 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { n { _ 2 } { ^ 2 } } + \frac { z ^ { 2 } } { n { _ 3 } { ^ 2 } } + \frac { 2 y z } { n { _ 4 } { ^ 2 } } + \frac { 2 x z } { n { _ 5 } { ^ 2 } } + \frac { 2 x y } { n { _ 6 } { ^ 2 } } = 1
\rho = \sum _ { \{ N _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \alpha } \} } w ( \{ N _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \alpha } \} ) | \{ N _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \alpha } \} \rangle \langle \{ N _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \alpha } \} |
\mathscr { L } _ { l } ^ { ( m n ) } = \frac { ( 2 l + 1 ) ! ! } { l ! } \frac { \langle \phi _ { i _ { 1 } \cdots i _ { l } } ^ { ( m ) } , \mathcal { L } \phi _ { i _ { 1 } \cdots i _ { l } } ^ { ( n ) } \rangle } { \langle \phi _ { i _ { 1 } \cdots i _ { l } } ^ { ( m ) } , \phi _ { i _ { 1 } \cdots i _ { l } } ^ { ( m ) } \rangle } = \frac { ( 2 l + 1 ) ! ! } { l ! } \sum _ { m ^ { \prime } , n ^ { \prime } } c _ { l } ^ { ( m ) , m ^ { \prime } } c _ { l } ^ { ( n ) , n ^ { \prime } } a _ { l n ^ { \prime } m ^ { \prime } }
( 1 + 1 ) \mathrm { d i m } \stackrel { T } { \longrightarrow } ( 2 + 1 ) \mathrm { d i m } \stackrel { S } { \longrightarrow } ( 2 + 1 ) \mathrm { d i m } \stackrel { T } { \longrightarrow } ( 1 + 1 ) \mathrm { d i m }
\begin{array} { r l r } { m _ { \mathbf { p } } ^ { ( 1 ) } } & { { } = } & { - i \int d ^ { 3 } \mathbf { r } \, { \cal M } ^ { ( 0 ) } ( \mathbf { r } ) \, { \cal C } \exp \left\{ \nu \left[ \ln ( \kappa r ) \right. \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { m _ { i j } } & { { } = } & { \phi _ { \mathrm { ~ s ~ c ~ a ~ l ~ a ~ r ~ } } ( h _ { i } , h _ { j } , \vec { v } _ { i } , \vec { v } _ { j } , \vec { p } _ { i } , \vec { p } _ { j } ) , } \\ { \vec { m } _ { i j } } & { { } = } & { \phi _ { \mathrm { ~ v ~ e ~ c ~ t ~ o ~ r ~ i ~ a ~ l ~ } } ( h _ { i } , h _ { j } , \vec { v } _ { i } , \vec { v } _ { j } , \vec { p } _ { i } , \vec { p } _ { j } ) , } \end{array}
\mathbf { u } _ { \parallel } = { \frac { \mathbf { u } _ { \parallel } ^ { \prime } + \mathbf { v } } { 1 + { \frac { \mathbf { v } \cdot \mathbf { u } _ { \parallel } ^ { \prime } } { c ^ { 2 } } } } } , \quad \mathbf { u } _ { \perp } = { \frac { { \sqrt { 1 - { \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } } \mathbf { u } _ { \perp } ^ { \prime } } { 1 + { \frac { \mathbf { v } \cdot \mathbf { u } _ { \parallel } ^ { \prime } } { c ^ { 2 } } } } } .
\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \omega \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = p \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf { x } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) d x \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! + q \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf { x } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! d y \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\begin{array} { r l r } & { } & { \dot { A } _ { - 1 } = ( - \gamma _ { 1 } + i \Delta _ { 1 } + i \Omega ) A _ { - 1 } + ( i + \alpha ) \eta _ { 1 0 } A _ { 0 } + \left( \epsilon _ { 1 1 } | A _ { - 1 } | ^ { 2 } + 2 \epsilon _ { 1 1 } | A _ { 1 } | ^ { 2 } + \epsilon _ { 0 1 } | A _ { 0 } | ^ { 2 } \right) A _ { - 1 } , } \\ & { } & { \dot { A } _ { 0 } = - \gamma _ { 0 } A _ { 0 } + ( i + \alpha ) \eta _ { 1 0 } \left( A _ { 1 } + A _ { - 1 } \right) + \left( \epsilon _ { 0 } | A _ { 0 } | ^ { 2 } + \epsilon _ { 0 1 } | A _ { - 1 } | ^ { 2 } + \epsilon _ { 0 1 } | A _ { 1 } | ^ { 2 } \right) A _ { 0 } , } \\ & { } & { \dot { A } _ { 1 } = ( - \gamma _ { 1 } + i \Delta _ { 1 } - i \Omega ) A _ { 1 } + ( i + \alpha ) \eta _ { 1 0 } A _ { 0 } + \left( \epsilon _ { 1 1 } | A _ { 1 } | ^ { 2 } + 2 \epsilon _ { 1 1 } | A _ { - 1 } | ^ { 2 } + \epsilon _ { 0 1 } | A _ { 0 } | ^ { 2 } \right) A _ { 1 } . , } \end{array}
\int \int \int \int \chi ( x _ { 1 } , p _ { x _ { 1 } } , x _ { 2 } , p _ { x _ { 2 } } ) \; d x _ { 1 } \, d p _ { x _ { 1 } } \, d x _ { 2 } \, d p _ { x _ { 2 } } \, ,
\begin{array} { r l r l r l } & { c _ { 1 2 3 4 } : } & { \boldsymbol { \vartheta } ( \xi , \eta , \zeta ) } & { = - b _ { 0 j k } ^ { p } \mathbf { e } _ { 1 } \, , } & & { 0 < j < p \, , \quad 0 < k < p - j \, , } \\ & { } & { \boldsymbol { \vartheta } ( \xi , \eta , \zeta ) } & { = b _ { i 0 k } ^ { p } \mathbf { e } _ { 2 } \, , } & & { 0 < i < p \, , \quad 0 < k < p - i \, , } \\ & { } & { \boldsymbol { \vartheta } ( \xi , \eta , \zeta ) } & { = - b _ { i j 0 } ^ { p } \mathbf { e } _ { 3 } \, , } & & { 0 < i < p \, , \quad 0 < j < p - i \, , } \\ & { } & { \boldsymbol { \vartheta } ( \xi , \eta , \zeta ) } & { = b _ { i j , p - i - j } ^ { p } ( \mathbf { e } _ { 1 } + \mathbf { e } _ { 2 } + \mathbf { e } _ { 3 } ) \, , } & & { 0 < i < p \, , \quad 0 < j < p - i \, , } \\ & { } & { \boldsymbol { \vartheta } ( \xi , \eta , \zeta ) } & { = b _ { i j k } ^ { p } \mathbf { e } _ { 3 } \, , } & & { 0 < i < p \, , \quad 0 < j < p - i \, , \quad 0 < k < p - i - j \, , } \\ & { } & { \boldsymbol { \vartheta } ( \xi , \eta , \zeta ) } & { = b _ { i j k } ^ { p } \mathbf { e } _ { 2 } \, , } & & { 0 < i < p \, , \quad 0 < j < p - i \, , \quad 0 < k < p - i - j \, , } \\ & { } & { \boldsymbol { \vartheta } ( \xi , \eta , \zeta ) } & { = b _ { i j k } ^ { p } \mathbf { e } _ { 1 } \, , } & & { 0 < i < p \, , \quad 0 < j < p - i \, , \quad 0 < k < p - i - j \, , } \end{array}
\left( { \cal X } { \bar { H } } - E _ { i } \right) | i \, \rangle = \left[ \Xi ^ { \dagger } { \cal A } ^ { \dagger } H _ { \mathrm { \scriptsize ~ I } } + \left( { \cal X } { \bar { H } } - E _ { i } \right) \left( 1 - \Xi ^ { \dagger } { \cal A } ^ { \dagger } \right) \right] | i \, \rangle \, .
C _ { D } = \frac { 2 F _ { D } } { \rho U _ { \infty } ^ { 2 } D } , \qquad C _ { L } = \frac { 2 F _ { L } } { \rho U _ { \infty } ^ { 2 } D } , \qquad C _ { p b } = 1 + \frac { 2 ( p _ { 1 8 0 } - p _ { 0 } ) } { \rho U _ { \infty } ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l r } { \left\langle e ^ { - \int d ^ { D } x \, i \widetilde { V } \, \Psi ^ { \dagger } \Psi } \right\rangle } & { = } & { e ^ { - \frac { 1 } { 2 } \int d ^ { D } x \, \, \, d ^ { D } x \, ^ { \prime } \, \Psi ^ { \dagger } \left( x \right) \Psi \left( x \right) \left\langle \widetilde { V } \left( x \right) \widetilde { V } \left( x ^ { \prime } \right) \right\rangle \Psi ^ { \dagger } \left( x ^ { \prime } \right) \Psi \left( x ^ { \prime } \right) } } \\ & { = } & { e ^ { - \frac { 1 } { 2 } b \int d ^ { D } x \, \, \, \left[ \Psi ^ { \dagger } \left( x \right) \Psi \left( x \right) \right] ^ { 2 } } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } _ { n } \bigg [ \operatorname* { s u p } _ { 0 \le t \le T } \bigg | \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { t } \sum _ { j \in \mathbb { Z } } F ( \eta _ { j } ( s ) ) ( \mathscr { A } _ { n } h ) _ { j , j } ( s ) d s \bigg | ^ { 2 } \bigg ] } \\ & { \quad \le \frac { T } { n ^ { 4 } } \int _ { 0 } ^ { T } \mathbb { E } _ { n } \bigg [ \bigg ( \sum _ { j \in \mathbb { Z } } F ( \eta _ { j } ( s ) ) ( \mathscr { A } _ { n } h ) _ { j , j } ( s ) \bigg ) ^ { 2 } \bigg ] d s \lesssim \frac { T ^ { 2 } } { n ^ { 2 } } \| \mathscr { A } _ { n } h \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { 2 } ) } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { E x p } _ { F ^ { - } T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } } \left( \delta ( M _ { 2 } ^ { \dagger } , \mathrm { t r } ^ { * } \Delta _ { \mathbf { g } } ) \right) = \varpi _ { 2 , 1 } ^ { * } \mathrm { E x p } _ { F ^ { - } T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } } \left( \delta ( T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } \otimes \epsilon _ { K } , \Delta _ { \emptyset } ) \right) \cdot \operatorname* { d e t } \left( \widetilde { H } _ { \mathrm { f } } ^ { 2 } ( G _ { K , \Sigma _ { K } } , T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } \, \widehat \otimes \, \Psi _ { \mathrm { a d } } , \Delta _ { \mathrm { B D P } } ) \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Tilde { \psi } ( t ) = \left[ \begin{array} { l l l l l l } { 1 } & { \cos { \left( \frac { 2 \pi t } { T _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } \right) } } & { \sin { \left( \frac { 2 \pi t } { T _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } \right) } } & { \cdots } & { \cos { \left( \frac { 2 \pi K t } { T _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } \right) } } & { \sin { \left( \frac { 2 \pi K t } { T _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } \right) } } \end{array} \right] ^ { T } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \rho _ { \delta } } { c } \approx } & { \sum _ { \alpha , k } \left( \frac { q } { m c } \right) _ { \alpha } m _ { \alpha } w _ { k } S \left( \boldsymbol { x } - \boldsymbol { x } _ { k } \right) , } \\ { \frac { \boldsymbol { j } _ { \delta } } { c } \approx } & { \sum _ { \alpha , k } \left( \frac { q } { m c } \right) _ { \alpha } m _ { \alpha } w _ { k } \boldsymbol { v } _ { k } S \left( \boldsymbol { x } - \boldsymbol { x } _ { k } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbf { v _ { j } } } & { { } = } & { \frac { 1 } { N } \sum _ { m = 0 } ^ { N - 1 } { V _ { m } } \exp \left[ \frac { 2 i \pi j m } { N } \right] } \\ { \mathbf { c _ { \tau - j } } } & { { } = } & { \frac { 1 } { N } \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } { C _ { n } } \exp \left[ \frac { 2 i \pi ( \tau - j ) n } { N } \right] } \\ { \mathbf { q _ { \tau } } } & { { } = } & { \frac { 1 } { N } \sum _ { l = 0 } ^ { N - 1 } { C _ { l } } \exp \left[ \frac { 2 i \pi \tau l } { N } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { Z _ { + } } & { { } = } & { \int \mathcal { D } \, \psi _ { b } ^ { \dag } \left( x \right) \, \mathcal { D } \, \psi _ { b } \left( x \right) \, \, \, e ^ { - S _ { + } } } \end{array}
\begin{array} { r } { { \int _ { 0 } ^ { \infty } d E f _ { 1 } ( 1 - f _ { 1 } ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } d E f _ { 2 } ( 1 - f _ { 2 } ) = k _ { B } \mathcal { T } , } } \\ { { \int _ { 0 } ^ { \infty } d E ( f _ { 1 } - f _ { 2 } ) ^ { 2 } = ( \mu _ { 1 } - \mu _ { 2 } ) \coth \left[ \frac { ( \mu _ { 1 } - \mu _ { 2 } ) } { 2 k _ { B } \mathcal { T } } - 2 k _ { B } \mathcal { T } \right] } . } \end{array}
\tau _ { D } ^ { 2 } = \frac { b _ { 1 1 2 } ^ { ( 1 ) } } { b _ { 1 1 1 } ^ { ( 1 ) } } \alpha _ { D } - \frac { \gamma _ { 1 } ^ { ( 1 ) , D } } { \gamma _ { 1 } ^ { ( 1 ) , 2 } } , \ \tau _ { D } ^ { D } = \frac { b _ { 1 1 D } ^ { ( 1 ) } } { b _ { 1 1 1 } ^ { ( 1 ) } } \alpha _ { D } + 1 , \ \alpha _ { D } = \frac { b _ { 1 1 D } ^ { ( 1 ) } } { b _ { 1 1 1 } ^ { ( 1 ) } } - \frac { \gamma _ { 1 } ^ { ( 1 ) , D } } { \gamma _ { 1 } ^ { ( 1 ) , 2 } } \frac { b _ { 1 1 2 } ^ { ( 1 ) } } { b _ { 1 1 1 } ^ { ( 1 ) } } \mathrm { ~ w i t h ~ } \bar { c } _ { 1 } ^ { 2 } = 1
\begin{array} { r l } { { \mathcal { L } } _ { \mathrm { Y } } = } & { { } - \lambda _ { u } ^ { i \, j } { \frac { \ \phi ^ { 0 } - i \phi ^ { 3 } \ } { \sqrt { 2 \ } } } { \overline { { u } } } _ { \mathrm { L } } ^ { i } u _ { \mathrm { R } } ^ { j } + \lambda _ { u } ^ { i \, j } { \frac { \ \phi ^ { 1 } - i \phi ^ { 2 } \ } { \sqrt { 2 \ } } } { \overline { { d } } } _ { \mathrm { L } } ^ { i } u _ { \mathrm { R } } ^ { j } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\lVert \nabla u \right\rVert _ { L ^ { \infty } } ( t ) } & { = \frac 1 t \left\lVert \nabla \bar { U } \right\rVert _ { L ^ { \infty } } \in L ^ { 1 , \infty } , } \\ { \left\lVert \nabla u \right\rVert _ { L ^ { 2 } } ( t ) } & { = t ^ { - \frac 1 4 } \left\lVert \nabla \bar { U } \right\rVert _ { L ^ { 2 } } \in L ^ { 4 , \infty } } \\ { \left\lVert u \right\rVert _ { L ^ { \infty } } } & { = t ^ { - \frac 1 2 } \left\lVert \nabla \bar { U } \right\rVert _ { L ^ { \infty } } \in L ^ { 2 , \infty } } \\ { \left\lVert u \right\rVert _ { L ^ { 5 } } } & { = t ^ { - \frac 1 5 } \left\lVert \nabla \bar { U } \right\rVert _ { L ^ { 5 } } \in L ^ { 5 , \infty } } \\ { \left\lVert u \right\rVert _ { L ^ { 2 } } } & { = t ^ { \frac 1 4 } \left\lVert \nabla \bar { U } \right\rVert _ { L ^ { 2 } } \in L ^ { \infty } } \end{array}