harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \mathcal { K } _ { 1 } ( x , t ) = \bigcup _ { j } \mathcal { W } ^ { - 1 } ( X ( \kappa , x ) ) \big | _ { t = t _ { j } } , \ \ 0 \leq \kappa \leq \frac { \pi } { 1 2 } } \\ & { \vdots \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vdots \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vdots } \\ & { \mathcal { K } _ { 1 2 } ( x , t ) = \bigcup _ { j } \mathcal { W } ^ { - 1 } ( X ( \kappa , x ) ) \big | _ { t = t _ { j } } , \ \ \frac { 1 1 \pi } { 1 2 } \leq \kappa \leq \pi . } \end{array}
\begin{array} { r } { \sigma ^ { ( 0 ) } ( \omega ) = \phantom { x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x } } \\ { \frac { 2 } { 3 c \omega } \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \! \ensuremath { \mathrm { d } } q _ { 1 } \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \! \ensuremath { \mathrm { d } } q _ { 2 } \int _ { - 1 } ^ { 1 } \! \! \ensuremath { \mathrm { d } } x \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } \! \! \ensuremath { \mathrm { d } } \varphi q _ { 1 } ^ { 2 } q _ { 2 } ^ { 2 } ( \cos \varphi ) ^ { 2 } ( \sin \varphi ) ^ { 2 } \phantom { x x x x x } } \\ { \times \Biggl [ \theta ( E ) ( 2 E ) ^ { 3 } \tilde { \rho } _ { \phi , \mathrm { W } } ( q _ { 1 } , \! \sqrt { 2 E } \cos \varphi ) \phantom { x x x x x x x x x } } \\ { \times \tilde { \rho } _ { \phi , \mathrm { W } } ( q _ { 2 } , \! \sqrt { 2 E } \sin \varphi ) \Biggl ] _ { E = E ( \omega , q _ { 1 } , q _ { 2 } , x ) } , \phantom { x x x x } } \end{array}
R ^ { 4 } = t ^ { \mu _ { 1 } \nu _ { 1 } \mu _ { 2 } \nu _ { 2 } \mu _ { 3 } \nu _ { 3 } \mu _ { 4 } \nu _ { 4 } } t ^ { \rho _ { 1 } \sigma _ { 1 } \rho _ { 2 } \sigma _ { 2 } \rho _ { 3 } \sigma _ { 3 } \rho _ { 4 } \sigma _ { 4 } } R _ { \mu _ { 1 } \nu _ { 1 } \rho _ { 1 } \sigma _ { 1 } } R _ { \mu _ { 2 } \nu _ { 2 } \rho _ { 2 } \sigma _ { 2 } } R _ { \mu _ { 3 } \nu _ { 3 } \rho _ { 3 } \sigma _ { 3 } } R _ { \mu _ { 4 } \nu _ { 4 } \rho _ { 4 } \sigma _ { 4 } } .
\tilde { \epsilon } _ { K , 0 } ^ { \mathrm { i n t r } , \pm } = \tilde { \epsilon } _ { K , 0 , \mathrm { a r c } } ^ { \mathrm { i n t r } , \pm } + \tilde { \epsilon } _ { K , 0 , \mathrm { s t r } } ^ { \mathrm { i n t r } , \pm } + \tilde { \epsilon } _ { K , 0 , \mathrm { D O M } } ^ { \mathrm { i n t r } , \pm }
\begin{array} { r l } { \| v \| _ { L _ { 2 } ( \partial T ) } } & { \le C ( h _ { T } ^ { - \frac 1 2 } \| v \| _ { L _ { 2 } ( T ) } + h _ { T } ^ { s - \frac 1 2 } | v | _ { H ^ { s } ( T ) } ) , } \\ { \| \nabla v \| _ { L _ { 2 } ( \partial T ) } } & { \le C ( h _ { T } ^ { - \frac 1 2 } \| \nabla v \| _ { L _ { 2 } ( T ) } + h _ { T } ^ { s - \frac 1 2 } | \nabla v | _ { H ^ { s } ( T ) } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d v } { d t } = } & { { } \frac { 1 } { 2 } \frac { C _ { k } } { h } \Big [ \alpha \beta V _ { p } ^ { 2 } m ^ { 3 } - ( 1 - \gamma m ^ { 3 } ) v ^ { 2 } \Big ] } \\ { \frac { d m } { d t } = } & { { } \frac { 1 } { 2 } \frac { C _ { k } } { h } \Big [ ( 1 - m ) v - \chi S m \Big ] } \\ { \beta = } & { { } 1 - \epsilon - \kappa } \\ { \gamma = } & { { } \epsilon + \alpha \kappa } \\ { \epsilon = } & { { } \frac { T _ { s } - T _ { o } } { T _ { s } } } \\ { \kappa = } & { { } \frac { \epsilon } { 2 } \frac { C _ { k } } { C _ { d } } \frac { L _ { v } } { R _ { d } } \frac { q _ { s } ^ { * } } { T _ { s } } } \\ { \alpha = } & { { } 1 - 0 . 8 7 \exp ^ { - z } } \\ { z = } & { { } 0 . 0 1 \Gamma ^ { - 0 . 4 } h _ { m } u _ { T } V _ { p } v ^ { - 1 } } \\ { \chi _ { \mathrm { ~ g ~ r ~ i ~ d ~ } } = } & { { } \frac { s ^ { * } - s _ { m } } { s _ { 0 } ^ { * } - s ^ { * } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { a } _ { i } ^ { + } | n _ { i } \rangle } & { = } & { \hat { a } _ { i } ^ { + } \frac { 1 } { \sqrt { n _ { i } ! } } ( \hat { a } _ { i } ^ { + } ) ^ { n _ { i } } | 0 \rangle = \sqrt { n _ { i } + 1 } \frac { 1 } { \sqrt { ( n _ { i } + 1 ) ! } } ( \hat { a } _ { i } ^ { + } ) ^ { n _ { i } + 1 } | 0 \rangle } \\ { \hat { a } _ { i } | n _ { i } \rangle } & { = } & { \hat { a } _ { i } \frac { 1 } { \sqrt { n _ { i } ! } } ( \hat { a } _ { i } ^ { + } ) ^ { n _ { i } } | 0 \rangle = n _ { i } \frac { 1 } { \sqrt { n _ { i } ! } } ( \hat { a } _ { i } ^ { + } ) ^ { n _ { i } - 1 } | 0 \rangle = \sqrt { n _ { i } } \frac { 1 } { \sqrt { ( n _ { i } - 1 ) ! } } ( \hat { a } _ { i } ^ { + } ) ^ { n _ { i } - 1 } | 0 \rangle } \end{array}
E _ { \mathrm { K } } = { \frac { 1 } { 2 } } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } m _ { i } \left( { \boldsymbol { \omega } } \times \Delta \mathbf { r } _ { i } \right) \cdot \left( { \boldsymbol { \omega } } \times \Delta \mathbf { r } _ { i } \right) \right) + \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } m _ { i } \mathbf { V } _ { \mathbf { C } } \cdot \left( { \boldsymbol { \omega } } \times \Delta \mathbf { r } _ { i } \right) \right) + { \frac { 1 } { 2 } } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } m _ { i } \mathbf { V } _ { \mathbf { C } } \cdot \mathbf { V } _ { \mathbf { C } } \right) .
\int \left| ( a x + b ) ^ { n } \right| \, d x = \operatorname { s g n } ( a x + b ) { \frac { ( a x + b ) ^ { n + 1 } } { a ( n + 1 ) } } + C \quad [ \, n { \mathrm { ~ i s ~ o d d , ~ a n d ~ } } n \neq - 1 \, ] \, .
\begin{array} { r l } { \alpha _ { 0 } } & { : = \log \big ( 2 / ( 1 + \exp ( - \lambda _ { 1 } ^ { * } ) ) \big ) - \lambda _ { 1 } ^ { * } D _ { 1 } - \lambda _ { 2 } ^ { * } D _ { 2 } , } \\ { \alpha } & { : = \log \big ( 2 / ( 1 + \exp ( - \lambda _ { 1 } ^ { * } - \lambda _ { 2 } ^ { * } ) \big ) - \lambda _ { 1 } ^ { * } D _ { 1 } - \lambda _ { 2 } ^ { * } D _ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \delta \textbf { L } _ { G } ( t ) = } \\ { \textbf { r } _ { \alpha } ( t ) \times m _ { \alpha } \textbf { v } _ { \alpha } ( t - \delta t / 2 ) - } \\ { \textbf { r } _ { i } ( t ) \times m _ { i } \textbf { v } _ { i } ( t - \delta t / 2 ) - \textbf { r } _ { j } ( t ) \times m _ { j } \textbf { v } _ { j } ( t - \delta t / 2 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi ^ { z \rightarrow i } ( t ) } & { = \phi ^ { z \rightarrow i } ( t - 1 ) - \beta ( t ) \phi ^ { z \rightarrow i } ( t - 1 ) - \mu \phi ^ { z \rightarrow i } ( t - 1 ) } \\ & { + \mu \beta ( t ) \phi ^ { z \rightarrow i } ( t - 1 ) + P _ { S } ^ { z \rightarrow i } ( t - 1 ) - P _ { S } ^ { z \rightarrow i } ( t ) } \\ & { = ( 1 - \beta ( t ) ) ( 1 - \mu ) \phi ^ { z \rightarrow i } ( t - 1 ) + P _ { S } ^ { z \rightarrow i } ( t - 1 ) - P _ { S } ^ { z \rightarrow i } ( t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { \mathrm { { c o n } } } ( E , s / d ) = } & { \int \mathrm d E ^ { \prime } \, \langle E , s / d | p _ { z } | E ^ { \prime } , p \rangle \langle E ^ { \prime } , p | p _ { z } | 1 s \rangle \times } \\ & { \int \mathrm e ^ { \mathrm i E t } A _ { \mathrm { I R } } ( t ) \, \mathrm d t \int ^ { t } \mathrm e ^ { - \mathrm i E ^ { \prime } ( t - t ^ { \prime } ) } A _ { \mathrm { H 1 7 } } ( t ^ { \prime } ) c _ { 1 s } ( t ^ { \prime } ) \, \mathrm d t ^ { \prime } } \\ { \approx } & { \pi \langle E , s / d | p _ { z } | E ^ { \prime } , p \rangle \langle E ^ { \prime } , p | p _ { z } | 1 s \rangle \int \mathrm e ^ { \mathrm i E t } A _ { \mathrm { I R } } ( t ) A _ { \mathrm { H 1 7 } } ( t ) c _ { 1 s } ( t ) \, \mathrm d t . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } & { \forall a , a _ { 1 } , a _ { 2 } \in A , \forall b , b _ { 1 } , b _ { 2 } \in B , { \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } } r \in R : } \\ & { ( a _ { 1 } , b ) + ( a _ { 2 } , b ) - ( a _ { 1 } + a _ { 2 } , b ) , } \\ & { ( a , b _ { 1 } ) + ( a , b _ { 2 } ) - ( a , b _ { 1 } + b _ { 2 } ) , } \\ & { ( a r , b ) - ( a , r b ) . } \end{array} }
\begin{array} { r } { P _ { \mathcal { A } } ^ { \mathrm { ~ c ~ r ~ e ~ a ~ } } = \operatorname* { m i n } \bigr \{ 1 , N _ { \mathrm { ~ s ~ e ~ g ~ } } \omega _ { G } p _ { \mathrm { ~ d ~ e ~ l ~ } } \left( \tau _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } - \tau _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } \right) ^ { 2 } } \\ { \times K ( \mathcal { S } \rightarrow \mathcal { S } ^ { \prime } ) \exp \left[ - \Delta U _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ c ~ } } \right] \bigr \} } \end{array}
\mathcal { K } _ { a } = - \frac { p } { 2 } \frac { \mu _ { 1 } ^ { 2 } \beta _ { 1 } ^ { 3 } } { \Gamma _ { 1 } ^ { 3 } } + \left( 1 + \frac { p } { 2 } \right) \frac { \mu _ { 2 } ^ { 2 } \beta _ { 2 } ^ { 3 } } { \Gamma _ { 2 } ^ { 3 } }
\begin{array} { r } { \left| \sum _ { i \in G } p _ { i } \int _ { \hat { E } _ { 0 } - L } ^ { \hat { E } _ { 0 } + L } n _ { \sigma , i } ( x ) d x - \sum _ { i \in G } p _ { i } \right| = \mathcal { O } ( \tau ^ { \frac { c } { 2 } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \partial ^ { \alpha } f ( t + \tau ) - \partial ^ { \alpha } f ( t ) | } & { = \frac { ( 2 \pi ) ^ { \alpha } } { m } \left| \sum _ { k = 1 } ^ { \mathcal { N } } \gamma _ { k } ^ { \alpha } \left( \Re e ^ { 2 i \pi \langle \mu _ { k } , t + \tau \rangle } - \Re e ^ { 2 i \pi \langle \mu _ { k } , t \rangle } \right) \, \right| } \\ & { \leq \frac { ( 2 \pi ) ^ { \alpha } } { m } \sum _ { k = 1 } ^ { \mathcal { N } } | \gamma _ { k } ^ { \alpha } | \left| e ^ { 2 i \pi \langle \mu _ { k } , \tau \rangle } - 1 \right| } \end{array}
\begin{array} { r l r } { A } & { = } & { \left[ \begin{array} { c c } { a _ { 1 } ^ { 1 } } & { a _ { 2 } ^ { 1 } } \\ { a _ { 1 } ^ { 2 } } & { a _ { 2 } ^ { 2 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c c } { \frac { b _ { 2 } ^ { 2 } } { \operatorname* { g c d } ( b _ { 2 } ^ { 2 } , b _ { 1 } ^ { 2 } ) } } & { \frac { - b _ { 2 } ^ { 1 } } { \operatorname* { g c d } ( b _ { 2 } ^ { 1 } , b _ { 1 } ^ { 1 } ) } } \\ { \frac { - b _ { 1 } ^ { 2 } } { \operatorname* { g c d } ( b _ { 2 } ^ { 2 } , b _ { 1 } ^ { 2 } ) } } & { \frac { b _ { 1 } ^ { 1 } } { \operatorname* { g c d } ( b _ { 2 } ^ { 1 } , b _ { 1 } ^ { 1 } ) } } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \underline { { P } } _ { E _ { 1 } \cdots E _ { t - k } } ( A ) } & { = P _ { E _ { 1 } \cdots E _ { t - k } } ( A ) } \\ & { > \frac { P _ { E _ { 1 } \cdots E _ { t - k } } ( A \cap E _ { t - k + 1 } \cap \cdots \cap E _ { t } ) } { { P } _ { E _ { 1 } \cdots E _ { t - k } } ( E _ { t - k + 1 } \cap \cdots \cap E _ { t } ) } } \\ & { = P _ { E _ { 1 } \cdots E _ { t - k } } ( A \mid E _ { t - k + 1 } \cap \cdots \cap E _ { t } ) } \\ & { \geq \underline { { P } } _ { E _ { 1 } \cdots E _ { t - k } } ^ { \times } ( A \mid E _ { t - k + 1 } \cap \cdots \cap E _ { t } ) . } \end{array}
\mathbf { A } = \left[ \begin{array} { c c c c } { { \mathbf { Z } _ { 1 } ^ { - 1 } - \mathbf { \hat { G } } _ { w } ( \mathbf { 0 } ) } } & { { - \mathbf { \hat { G } } _ { w } ( \mathbf { r } _ { 1 } - \mathbf { r } _ { 2 } ) } } & { { \cdots } } & { { - \mathbf { \hat { G } } _ { w } ( \mathbf { r } _ { 1 } - \mathbf { r } _ { N } ) } } \\ { { - \mathbf { \hat { G } } _ { w } ( \mathbf { r } _ { 2 } - \mathbf { r } _ { 1 } ) } } & { { \mathbf { Z } _ { 2 } ^ { - 1 } - \mathbf { \hat { G } } _ { w } ( \mathbf { 0 } ) } } & { { \cdots } } & { { - \mathbf { \hat { G } } _ { w } ( \mathbf { r } _ { 2 } - \mathbf { r } _ { N } ) } } \\ { { \vdots } } & { { \vdots } } & { { \ddots } } & { { \vdots } } \\ { { - \mathbf { \hat { G } } _ { w } ( \mathbf { r } _ { N } - \mathbf { r } _ { 1 } ) } } & { { - \mathbf { \hat { G } } _ { w } ( \mathbf { r } _ { N } - \mathbf { r } _ { 2 } ) } } & { { \cdots } } & { { \mathbf { Z } _ { N } ^ { - 1 } - \mathbf { \hat { G } } _ { w } ( \mathbf { 0 } ) } } \end{array} \right] , \; \mathbf { X } = \left[ \begin{array} { c } { { \mathbf { \hat { F } } _ { 1 } } } \\ { { \mathbf { \hat { F } } _ { 2 } } } \\ { \vdots } \\ { { \mathbf { \hat { F } } _ { N } } } \end{array} \right] , \; \mathbf { B } = \left[ \begin{array} { c } { { \mathbf { \hat { w } } _ { 0 } ( \mathbf { r } _ { 1 } ) } } \\ { { \mathbf { \hat { w } } _ { 0 } ( \mathbf { r } _ { 2 } ) } } \\ { \vdots } \\ { { \mathbf { \hat { w } } _ { 0 } ( \mathbf { r } _ { N } ) } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r } { \frac { \partial \delta f _ { m } } { \partial t } + { i m \Omega _ { d } \delta f _ { m } } = \frac { A _ { m } r } { B _ { 0 } } \frac { \partial f _ { 0 } } { \partial t } { - \left( \frac { 8 r ^ { 2 } \dot { A } _ { m } } { 2 1 B _ { 0 } } - i m \frac { \mu A _ { m } } { q B _ { 0 } \gamma } \right) \frac { \partial f _ { 0 } } { \partial r } } { - \sum _ { m ^ { \prime } } \mathcal { Q } [ A _ { m - m ^ { \prime } } ; \delta f _ { m ^ { \prime } } ] . } } \end{array}
r ^ { \prime } / r = - \frac { \delta ^ { 1 / 2 } } { 2 } ( 1 + \delta ^ { - 1 / 2 } ) ^ { - 1 } \cos \theta \left[ ( n + k ) \frac { a _ { \mathrm { a } } ^ { 2 } } { 2 \pi G } \frac { a _ { 0 } ( n ) } { D _ { 0 } } ( \sin \theta ) ^ { n + k - 1 } + k \frac { D ^ { S } } { D _ { 0 } } ( \sin \theta ) ^ { k - 1 } \right] \ ,
\left( - \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x ^ { 2 } } \right) ^ { \alpha / 2 } \psi ( x ) = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d p | p | ^ { \alpha } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d x ^ { \prime } e ^ { i p ( x - x ^ { \prime } ) } \psi ( x ^ { \prime } ) .
\begin{array} { r l } { \Delta L _ { i } } & { = \sqrt { \left( r _ { 0 } + \sum _ { i ^ { \prime } = 0 } ^ { i } \Delta r _ { i ^ { \prime } } \right) ^ { 2 } - \left( r _ { 0 } + \sum _ { i ^ { \prime } = 0 } ^ { i - 1 } \Delta r _ { i ^ { \prime } } \right) ^ { 2 } \left( 1 - \mu _ { i } ^ { 2 } \right) } - \left( r _ { 0 } + \sum _ { i ^ { \prime } = 0 } ^ { i - 1 } \Delta r _ { i ^ { \prime } } \right) \mu _ { i } , } \\ { \mu _ { i } ^ { 2 } } & { = 1 - \left( \frac { r _ { 0 } + \sum _ { i ^ { \prime } = 0 } ^ { i - 1 } \Delta r _ { i ^ { \prime } } } { r _ { 0 } + \sum _ { i ^ { \prime } = 0 } ^ { i } \Delta r _ { i ^ { \prime } } } \right) ^ { 2 } \left( 1 - \mu _ { i - 1 } ^ { 2 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbf { r } _ { i j } } & { = } & { \mathbf { r } _ { i } - \mathbf { r } _ { j } , } \\ { \mathbf { v } _ { i j } } & { = } & { \mathbf { v } _ { i } - \mathbf { v } _ { j } , } \\ { \mathbf { e } _ { i j } } & { = } & { \mathbf { r } _ { i j } / r _ { i j } , \quad r _ { i j } = \left| \mathbf { r } _ { i j } \right| , } \end{array}
a : \mathbf { H } _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) \times \mathbf { H } _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) \longrightarrow \mathbb { R } , \quad a ( \textbf { u } , \textbf { v } ) : = \displaystyle { \int _ { \Omega } } \boldsymbol { \sigma } ( \textbf { u } ) : \boldsymbol { \varepsilon } ( \textbf { v } ) \quad \forall \textbf { u } , \textbf { v } \in \mathbf { H } _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) ,
\begin{array} { r } { \frac { g _ { l = \mathrm { e v e n } } } { g _ { l = \mathrm { o d d } } } = \left\{ \begin{array} { l l } { I _ { n } / ( I _ { n } + 1 ) } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ h ~ a ~ l ~ f ~ i ~ n ~ t ~ e ~ g ~ e ~ r ~ s ~ p ~ i ~ n ~ n ~ u ~ c ~ l ~ e ~ i ~ , ~ } } \\ { ( I _ { n } + 1 ) / I _ { n } } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ i ~ n ~ t ~ e ~ g ~ e ~ r ~ s ~ p ~ i ~ n ~ n ~ u ~ c ~ l ~ e ~ i ~ . ~ } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \Delta v + \frac { \omega ^ { 2 } } { v ^ { 2 } } v = 0 } & { \mathrm { ~ i n ~ } \mathbb { R } ^ { 3 } \setminus \mathcal { D } , } \\ { \Delta v + \frac { \omega ^ { 2 } } { ( v _ { i } ^ { m } ) ^ { 2 } } v = 0 } & { \mathrm { ~ i n ~ } D _ { i } ^ { m } , ~ m \in \mathbb { Z } , ~ i = 1 , 2 , } \\ { v \rvert _ { + } - v \rvert _ { - } = 0 } & { \mathrm { ~ o n ~ } \partial \mathcal { D } , } \\ { \delta _ { i } ^ { m } \frac { \partial v } { \partial \nu } \rvert _ { + } - \frac { \partial v } { \partial \nu } \rvert _ { - } = 0 } & { \mathrm { ~ o n ~ } \partial \mathcal { D } , } \\ { v ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) } & { \mathrm { ~ s a t i s f i e s ~ t h e ~ o u t g o i n g ~ r a d i a t i o n ~ c o n d i t i o n ~ a s ~ \lvert ~ x _ 1 ~ \rvert ~ \rightarrow ~ \infty ~ . } } \end{array} \right. } \end{array}
\mathbf { J } _ { R } = \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { - 1 } & { 0 } \end{array} \right] \, , \qquad \nabla _ { \mathbf { X } _ { \mathcal { B } } } = \left[ \begin{array} { l } { \partial _ { p _ { 2 } } } \\ { \partial _ { \psi _ { 2 } } } \end{array} \right] \, .
E _ { k , i } = \sum _ { j = 0 } ^ { m _ { k } } { \frac { q _ { 0 } N _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } , k , j } ^ { ' } } { \varepsilon _ { 0 } \varepsilon _ { r } } } \cdot { \frac { d } { n } } - \sum _ { j = 0 } ^ { i } { \frac { q _ { 0 } N _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } , k , j } ^ { ' } } { \varepsilon _ { 0 } \varepsilon _ { r } } } \cdot { \frac { d } { n } } ,
{ \begin{array} { r l } { \left( { \begin{array} { l } { r _ { 0 } } \\ { r _ { 1 } } \\ { r _ { 2 } } \\ { r _ { 3 } } \\ { r _ { 4 } } \end{array} } \right) } & { = \left( { \begin{array} { l l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { - 1 } & { 1 } & { - 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { - 2 } & { 4 } & { - 8 } & { 1 6 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} } \right) ^ { - 1 } \left( { \begin{array} { l } { r ( 0 ) } \\ { r ( 1 ) } \\ { r ( - 1 ) } \\ { r ( - 2 ) } \\ { r ( \infty ) } \end{array} } \right) } \\ & { = \left( { \begin{array} { l l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { { \frac { 1 } { 2 } } } & { { \frac { 1 } { 3 } } } & { - 1 } & { { \frac { 1 } { 6 } } } & { - 2 } \\ { - 1 } & { { \frac { 1 } { 2 } } } & { { \frac { 1 } { 2 } } } & { 0 } & { - 1 } \\ { - { \frac { 1 } { 2 } } } & { { \frac { 1 } { 6 } } } & { { \frac { 1 } { 2 } } } & { - { \frac { 1 } { 6 } } } & { 2 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} } \right) \left( { \begin{array} { l } { r ( 0 ) } \\ { r ( 1 ) } \\ { r ( - 1 ) } \\ { r ( - 2 ) } \\ { r ( \infty ) } \end{array} } \right) . } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { \left( k ^ { 2 } - \mu _ { 0 } \varepsilon _ { 0 } \frac { \varepsilon _ { 0 } } { \varepsilon } \omega ^ { 2 } \right) \phi _ { 0 } } & { { } = } & { \left( 1 - \frac { \varepsilon _ { 0 } } { \varepsilon } \right) \omega \left( \mathbf { k } \cdot \mathbf { A } _ { 0 } \right) + i \frac { \sigma } { \varepsilon } \left( \mathbf { k } \cdot \mathbf { A } _ { 0 } - \frac { k ^ { 2 } } { \omega } \phi _ { 0 } \right) , } \\ { \left( k ^ { 2 } - \mu \varepsilon \omega ^ { 2 } \right) \mathbf { A } _ { 0 } } & { { } = } & { \left( 1 - \frac { \mu } { \mu _ { 0 } } \right) \left( \mathbf { k } \cdot \mathbf { A } _ { 0 } \right) \mathbf { k } + \mu \varepsilon \left( \frac { \varepsilon _ { 0 } } { \varepsilon } - 1 \right) \omega \mathbf { k } \phi _ { 0 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta p } & { { } = \frac { 2 D \eta } { R _ { 0 } b } \mathrm { P e } + k _ { \mathrm { B } } T \rho _ { 0 } \sum _ { i , n , m } F ( H ; \beta _ { i } ( x ) { \rho _ { i } } _ { m } ^ { n } ( x ) ) \frac { ( \mathrm { P e } ) ^ { n + 1 } } { n ! } \frac { ( \Delta \varphi ) ^ { m } } { m ! } - k _ { \mathrm { B } } T \rho _ { 0 } \sum _ { i , n , m } p _ { i } { J _ { i } } _ { m } ^ { n } \frac { ( \mathrm { P e } ) ^ { n } } { n ! } \frac { ( \Delta \varphi ) ^ { m } } { m ! } . } \end{array}
\nu _ { \textrm { N E } } = \nu _ { \textrm { E } } \left( { 1 - C _ { \textrm { N } } \frac { 1 } { K } \frac { D } { D t } \frac { K ^ { 2 } } { \varepsilon } } \right) > \nu _ { \textrm { E } } .
S ( k , \omega ) = \frac { \left( D _ { 0 } ^ { 2 } k ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } / k ^ { 2 } \right) } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \frac { h _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 H ^ { 2 } } \left( \delta ( k + k _ { 0 } ) \delta ( \omega - \omega _ { 0 } ) + \delta ( k - k _ { 0 } ) \delta ( \omega + \omega _ { 0 } ) \right) .
\begin{array} { r l r l r l } { { 3 } } & { \mathsf { v a r } ^ { \bullet } } & & { : } & & { \forall ( A : \mathcal { S } _ { F } . \mathsf { T y } ( 1 _ { \mathcal { S } _ { F } } ) ) \ ( A ^ { \bullet } : \mathsf { T y } ^ { \bullet } ( A ) ) \ ( x : \mathsf { V a r } ( A ) ) \to \mathsf { T m } ^ { \bullet } ( A ^ { \bullet } , \mathsf { v a r } ( x ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \{ u _ { 2 } , u _ { 3 } , u _ { 4 } \} = } & { - \frac { 5 3 8 4 1 7 7 2 5 7 4 8 8 9 3 } { 8 6 6 1 7 9 1 6 4 7 4 2 4 } u _ { 2 } ^ { 4 } - \frac { 1 7 6 9 3 0 3 0 9 8 2 9 5 1 } { 5 5 5 0 2 4 1 0 9 9 0 } u _ { 4 } ^ { 2 } u _ { 1 } + \frac { 1 8 2 3 9 8 7 9 1 6 0 5 3 1 9 } { 2 2 2 0 0 9 6 4 3 9 6 0 } u _ { 4 } ^ { 2 } u _ { 2 } + \frac { 8 9 5 8 4 8 6 2 6 0 7 4 4 } { 7 2 1 0 7 6 4 0 5 0 7 5 } u _ { 3 } ^ { 2 } } \\ & { - \frac { 3 2 6 9 2 4 1 2 6 0 7 7 4 } { 4 3 9 8 5 6 6 0 7 0 9 5 7 5 } u _ { 5 } ^ { 2 } - \frac { 7 1 4 8 0 5 0 0 5 6 6 2 9 3 7 } { 4 3 9 8 5 6 6 0 7 0 9 5 7 5 } u _ { 1 } ^ { 3 } u _ { 2 } - \frac { 2 4 6 6 1 1 9 6 5 4 8 9 4 5 6 5 } { 2 8 1 5 0 8 2 2 8 5 4 1 2 8 } u _ { 2 } ^ { 3 } u _ { 1 } + \frac { 4 4 0 5 0 4 4 6 1 4 6 0 4 5 7 } { 1 3 5 3 4 0 4 9 4 4 9 1 0 0 } u _ { 1 } ^ { 2 } u _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { - \frac { 6 2 5 2 2 0 1 7 3 4 1 0 6 } { 7 2 1 0 7 6 4 0 5 0 7 5 } u _ { 1 } ^ { 2 } u _ { 3 } + \frac { 1 6 7 5 5 3 7 5 4 2 0 3 0 1 2 } { 4 3 9 8 5 6 6 0 7 0 9 5 7 5 } u _ { 1 } ^ { 2 } u _ { 5 } - \frac { 1 2 9 0 3 3 3 8 0 3 4 0 7 1 1 } { 1 1 5 3 7 2 2 2 4 8 1 2 0 } u _ { 2 } ^ { 2 } u _ { 3 } - \frac { 5 4 2 7 1 8 9 2 0 7 8 5 4 1 } { 3 5 1 8 8 5 2 8 5 6 7 6 6 0 } u _ { 2 } ^ { 2 } u _ { 5 } } \\ & { - \frac { 5 3 9 9 4 7 3 2 6 3 3 9 6 } { 7 2 1 0 7 6 4 0 5 0 7 5 } u _ { 3 } u _ { 5 } , } \end{array}
\sum _ { p = 1 } ^ { n } \cos ( p \psi ) = - \frac { 1 } { 2 } + \frac { \sin \left[ \left( n + \frac { 1 } { 2 } \right) \psi \right] } { 2 \sin \left( \frac { \psi } { 2 } \right) }
\begin{array} { r l } { \mathbf { W } } & { { } = | | { \mathbf B } | | ^ { - 2 } ( { \mathbf B } \times \nabla \varphi ) } \\ { \nabla \varphi \cdot { \mathbf B } } & { { } = \mathbf { 0 } . } \end{array}
{ \bf D } = \nabla { \frac { m q } { | { \bf r } - { \bf r } _ { 0 } | } } , \ \ \ \ { \bf B } = \nabla { \frac { n q } { | { \bf r } - { \bf r } _ { 0 } | } } , \ \ \ \ X = { \frac { \Delta _ { ( m , n ) } ^ { 1 / 2 } q } { | { \bf r } - { \bf r } _ { 0 } | } } .
\bar { \mathbf { D } } _ { 2 } = \frac { 1 } { J ^ { 2 } } \mathbf { R } ^ { T } \mathbf { D } _ { 2 } \mathbf { R } = \frac { 1 } { J ^ { 2 } } \underbrace { \left[ \begin{array} { l l l } { \mathbf { 1 } } & { } & { } \end{array} \right] ^ { T } } _ { \in \mathbb { R } ^ { I \times N } } \underbrace { \mathbf { D } _ { 2 } } _ { \in \mathbb { R } ^ { N \times N } } \underbrace { \left[ \begin{array} { l l l } { \mathbf { 1 } } & { } & { } \end{array} \right] } _ { \in \mathbb { R } ^ { N \times I } } ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } _ { x _ { 0 } } ( \tau _ { D } > t ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { i \rightarrow \infty } \operatorname* { l i m } _ { m \rightarrow \infty } \int _ { D _ { i } } \cdots \int _ { D _ { i } } \prod _ { j = 1 } ^ { m } p ( t _ { m } , x _ { j } , x _ { j - 1 } ) d x } \\ & { \le \operatorname* { l i m } _ { i \rightarrow \infty } \operatorname* { l i m } _ { m \rightarrow \infty } \int _ { D _ { i } ^ { \# } } \cdots \int _ { D _ { i } ^ { \# } } p ( t _ { m } , x _ { 0 } ^ { \# } , x _ { 1 } ) \prod _ { j = 2 } ^ { m } p ( t _ { m } , x _ { j } , x _ { j - 1 } ) d x } \\ & { = \mathbb { P } _ { x _ { 0 } ^ { \# } } ( \tau _ { D ^ { \# } } > t ) } \end{array}
\frac { \ensuremath { \partial } ^ { 2 } } { \ensuremath { \partial } z ^ { 2 } } ( { \ensuremath { \boldsymbol } u } \ensuremath { \boldsymbol \cdot } \hat { \ensuremath { \boldsymbol } z } ) = { \ensuremath { \boldsymbol } u } \ensuremath { \boldsymbol \cdot } \hat { \ensuremath { \boldsymbol } z } = { \ensuremath { \boldsymbol } F } \ensuremath { \boldsymbol \cdot } { \hat { \ensuremath { \boldsymbol } z } } = 0 \qquad \mathrm { o n } \quad z = H .
{ \begin{array} { r l } { \varphi } & { = 1 + 2 \sin ( \pi / 1 0 ) = 1 + 2 \sin 1 8 ^ { \circ } , } \\ { \varphi } & { = { \frac { 1 } { 2 } } \csc ( \pi / 1 0 ) = { \frac { 1 } { 2 } } \csc 1 8 ^ { \circ } , } \\ { \varphi } & { = 2 \cos ( \pi / 5 ) = 2 \cos 3 6 ^ { \circ } , } \\ { \varphi } & { = 2 \sin ( 3 \pi / 1 0 ) = 2 \sin 5 4 ^ { \circ } . } \end{array} }
{ \begin{array} { r l } { 1 - { \frac { c ^ { 2 } } { 2 R ^ { 2 } } } + O { \left( R ^ { - 4 } \right) } } & { = \left( 1 - { \frac { a ^ { 2 } } { 2 R ^ { 2 } } } + O { \left( R ^ { - 4 } \right) } \right) \left( 1 - { \frac { b ^ { 2 } } { 2 R ^ { 2 } } } + O { \left( R ^ { - 4 } \right) } \right) } \\ & { = 1 - { \frac { a ^ { 2 } } { 2 R ^ { 2 } } } - { \frac { b ^ { 2 } } { 2 R ^ { 2 } } } + O { \left( R ^ { - 4 } \right) } . } \end{array} }