harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { D \ln \rho } { D t } = - \nabla \cdot \mathbf { u } ~ , } \\ & { } & { \frac { D \mathbf { u } ^ { \prime } } { D t } = - \frac { \nabla p } { \rho } + \frac { \mathbf { J } \times \mathbf { B } } { \rho } - 2 \mathbf { \Omega } \times \mathbf { u } - u _ { z } \frac { \partial u _ { y } ^ { S } } { \partial z } { \mathbf { \hat { y } } } + \mathbf { F } _ { \nu } + \mathbf { f } + \mathbf { f } _ { s } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left< \hat { \mathcal X } _ { i } \right> } & { { } \approx } & { \Omega _ { p } \int _ { 0 } ^ { t _ { \mathrm { ~ m ~ } } } d t \int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime } ( - i ) \left[ C ( t , t ^ { \prime } ) - C ( t ^ { \prime } , t ) \right] \cos \left( \omega _ { p } t ^ { \prime } \right) \cos \left( \omega _ { p } t + \varphi \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { i \partial _ { t } \Psi _ { 1 } = } & { \ \left[ - \frac { 1 } { 2 } \nabla ^ { 2 } + V ( \mathbf { x } ) + | \Psi _ { 1 } | ^ { 2 } + g _ { 1 2 } | \Psi _ { 2 } | ^ { 2 } - \mu _ { 1 } \right] \Psi _ { 1 } , } \\ { i \partial _ { t } \Psi _ { 2 } = } & { \ \left[ - \frac { 1 } { 2 m _ { 2 } } \nabla ^ { 2 } + V ( \mathbf { x } ) + g _ { 2 } | \Psi _ { 2 } | ^ { 2 } + g _ { 1 2 } | \Psi _ { 1 } | ^ { 2 } - \mu _ { 2 } \right] \Psi _ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \nabla ( u \cdot \nabla \phi ) \| ^ { 2 } \lesssim } & { \| \nabla u \nabla \phi \| ^ { 2 } + \| u \nabla ^ { 2 } \phi \| ^ { 2 } \lesssim \| \nabla u \| _ { L ^ { 4 } } ^ { 2 } \| \nabla \phi \| _ { L ^ { 4 } } ^ { 2 } + \| u \| _ { L ^ { \infty } } ^ { 2 } \| \nabla ^ { 2 } \phi \| ^ { 2 } } \\ { \lesssim } & { \| \nabla u \| ^ { \frac { 1 } { 2 } } \| \Delta u \| ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( \| \nabla \phi \| ^ { \frac { 1 } { 2 } } \| \Delta \phi \| ^ { \frac { 3 } { 2 } } + \| \nabla \phi \| ^ { 2 } ) + \| \Delta u \| \| \nabla u \| \| \Delta \phi \| ^ { 2 } } \\ { \lesssim } & { \| \Delta u \| ^ { \frac { 3 } { 2 } } E _ { 0 } ^ { \frac { 5 } { 4 } } ( t ) + \| \Delta u \| E _ { 0 } ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( t ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { C _ { l _ { 1 } } ( t ) } & { = } & { 2 \mathcal { N } ^ { 2 } \left[ \left| \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \gamma _ { n + 1 } \gamma _ { n } ^ { * } A _ { 1 2 } ^ { \left( n + 1 \right) } A _ { 2 2 } ^ { \left( n \right) * } \right| + \left| \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \gamma _ { n + 1 } \gamma _ { n } ^ { * } A _ { 1 2 } ^ { \left( n + 1 \right) } A _ { 2 3 } ^ { \left( n \right) * } \right| \right. } \\ & { + } & { \left. \left| \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \gamma _ { n + 2 } \gamma _ { n } ^ { * } A _ { 1 2 } ^ { \left( n + 2 \right) } A _ { 2 4 } ^ { \left( n \right) * } \right| + \left| \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \gamma _ { n } \gamma _ { n } ^ { * } A _ { 2 2 } ^ { \left( n \right) } A _ { 2 3 } ^ { \left( n \right) * } \right| \right. } \\ & { + } & { \left. \left| \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \gamma _ { n + 1 } \gamma _ { n } ^ { * } A _ { 2 2 } ^ { \left( n + 1 \right) } A _ { 2 4 } ^ { \left( n \right) * } \right| + \left| \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \gamma _ { n + 1 } \gamma _ { n } ^ { * } A _ { 2 3 } ^ { \left( n + 1 \right) } A _ { 2 4 } ^ { \left( n \right) * } \right| \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { X _ { \Delta _ { 4 } } = } & { \left( { - { D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 2 } } + { D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 2 2 ^ { \prime } 2 } } + { D _ { 2 ^ { \prime } 2 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 2 } } + { D _ { 2 ^ { \prime } 2 } } - { D _ { 2 ^ { \prime } 2 2 ^ { \prime } 2 3 3 ^ { \prime } } } - { D _ { 2 ^ { \prime } 2 2 ^ { \prime } 2 } } } \right) { \eta _ { \mathrm { { 1 } } } } } \\ { + } & { \left( { - { D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 2 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } } } + { D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 2 2 ^ { \prime } } } + { D _ { 2 ^ { \prime } 2 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } } } - { D _ { 2 ^ { \prime } 2 2 ^ { \prime } } } } \right) { \eta _ { \mathrm { 3 } } } } \\ { + } & { \left( { - { D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 2 3 3 ^ { \prime } } } + { D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 2 } } + { D _ { 2 ^ { \prime } 2 3 3 ^ { \prime } } } - { D _ { 2 ^ { \prime } 2 } } } \right) { \eta _ { \mathrm { { 1 ^ { \prime } } } } } } \\ { + } & { \left( { - { D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 2 3 } } + { D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 2 2 ^ { \prime } 2 3 } } + { D _ { 2 ^ { \prime } 2 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 2 3 } } + { D _ { 2 ^ { \prime } 2 3 } } - { D _ { 2 ^ { \prime } 2 2 ^ { \prime } 2 3 3 ^ { \prime } 3 } } - { D _ { 2 ^ { \prime } 2 2 ^ { \prime } 2 3 } } } \right) { \eta _ { { \mathrm { 2 ^ { \prime } } } } } . } \end{array}
\rho _ { k } \, \simeq \, 2 \varphi _ { b } ^ { 6 0 } \sqrt { 2 V ( \varphi _ { b } ^ { 6 0 } ) } \Biggr [ \exp ( - 1 - \frac { \sqrt { 1 2 \pi } } { M _ { p } } \varphi _ { c } ) - 1 \Biggr ] \, .
\frac { \partial ^ { 2 } \left\langle F _ { \mathrm { q u a d } } ^ { 2 3 } \right\rangle } { \partial \hat { L } _ { 3 } \, \partial \left( \hat { \Gamma } _ { 2 } , \hat { \Psi } _ { 1 } , \hat { \Gamma } _ { 3 } \right) } = O \left( \frac { L _ { 2 } ^ { 3 } } { \left( L _ { 3 } ^ { * } \right) ^ { 7 } } \right) = O \left( \varepsilon ^ { 4 } \, \mu ^ { 7 } \right)
\begin{array} { r l r } { w _ { + } } & { = } & { 2 \left[ 1 - 2 \alpha \beta \mu + ( 4 + \alpha ^ { 2 } - 3 \kappa ^ { 2 } ) \mu ^ { 2 } - 3 \alpha \beta ( 4 - \kappa ^ { 2 } ) \mu ^ { 3 } + { \cal O } ( \mu ^ { 4 } ) \right] , } \\ { w _ { \times } } & { = } & { \kappa ^ { 2 } \left[ 1 - 2 \alpha \beta \mu + ( 4 + \alpha ^ { 2 } - 2 \kappa ^ { 2 } ) \mu ^ { 2 } - \alpha \beta ( 1 2 - \kappa ^ { 2 } ) \mu ^ { 3 } + { \cal O } ( \mu ^ { 4 } ) \right] , } \\ { \zeta _ { 1 } } & { = } & { \sqrt { 1 - \beta ^ { 2 } } \left[ 1 - \alpha \beta \mu - \frac { 1 } { 2 } \kappa ^ { 2 } \mu ^ { 2 } + 2 \alpha \beta \mu ^ { 3 } + { \cal O } ( \mu ^ { 4 } ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { 1 } : } & { = \int _ { \Gamma _ { 0 } ( B , A ) } \left[ | \partial _ { 2 } u _ { - } ^ { s } | ^ { 2 } - | \partial _ { 1 } u _ { - } ^ { s } | ^ { 2 } + k _ { - } ^ { 2 } | u _ { - } ^ { s } | ^ { 2 } \right] d s , } \\ { I _ { 2 } : } & { = 2 \textrm { R e } \left[ \int _ { \gamma ( A ) } - \int _ { \gamma ( B ) } \right] \partial _ { 2 } \overline { { u ^ { s } } } \partial _ { 1 } u ^ { s } d s , } \\ { I _ { 3 } : } & { = \int _ { \Gamma ( B , A ) } \left[ 2 \textrm { R e } ( \partial _ { 2 } \overline { { u ^ { s } } } \nabla u ^ { s } ) \cdot \nu - | \nabla u ^ { s } | ^ { 2 } \nu _ { 2 } + k _ { - } ^ { 2 } | u ^ { s } | ^ { 2 } \nu _ { 2 } \right] d s . } \end{array}
I = \frac { 1 } { \vec { q } _ { 1 } ^ { \: 2 } } \int \frac { d ^ { 2 } k } { \vec { k } ^ { \: 2 } } \ln ( \vec { k } - \vec { n } ) ^ { 2 } \theta ( 1 - \vec { k } ^ { \: 2 } ) = \frac { 1 } { \vec { q } _ { 1 } ^ { \: 2 } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \phi \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { d k } { k } \ln ( 1 + k ^ { 2 } - 2 k \cos \phi ) .
V _ { k } ^ { \mu } = \frac \partial { \partial p _ { \mu } ^ { k } } \Gamma \left( p \right) = \gamma ^ { \mu _ { 1 } \cdots \mu _ { n } } \, \frac \partial { \partial p _ { \mu } ^ { k } } \left( p _ { \mu _ { 1 } } ^ { 1 } \cdots p _ { \mu _ { n } } ^ { n } \right) .
\Delta \Omega _ { \mathrm { ~ F ~ W ~ H ~ M ~ } } = \frac { 3 \hbar } { m w ^ { 2 } } \sqrt { ( \ln { 2 } ) \frac { 2 \Gamma _ { 0 } } { \beta _ { 0 } \hbar \Omega _ { 0 } \gamma _ { c } } } \mathrm { ~ . ~ }
\begin{array} { r l } { \| \mathcal { N } [ u ] - \mathcal { N } [ u ^ { * } ] \| } & { \leq B _ { 1 } \| u - u ^ { * } \| \| u _ { 0 } \| + B _ { 1 } \| u - u ^ { * } \| \int _ { 0 } ^ { t } \left[ \frac { 1 } { 2 } \| u \| ^ { 2 } \right] d s + \int _ { 0 } ^ { t } B _ { 1 } \left[ \frac { 1 } { 2 } ( \| u \| + \| u ^ { * } \| ) \| u - u ^ { * } \| \right] d s } \\ & { \leq B _ { 1 } \left[ \| u _ { 0 } \| + \frac { 1 } { 2 } t \| u \| ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } t ( \| u \| + \| u ^ { * } \| ) \right] \| u - u ^ { * } \| } \\ & { \leq t _ { 0 } e ^ { 2 t _ { 0 } L } \left[ \| u _ { 0 } \| + 2 t _ { 0 } L ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } t _ { 0 } ( 2 L + 2 L ) \right] \| u - u ^ { * } \| } \\ & { = \Delta \| u - u ^ { * } \| , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left( \mathcal { E } - m c ^ { 2 } \right) \mu _ { A } ( x , y ) } & { { } = } & { - i \hbar c \left( \sigma _ { x } \frac { \partial } { \partial x } + \sigma _ { y } \frac { \partial } { \partial y } \right) \mu _ { B } ( x , y ) ; } \\ { \left( \mathcal { E } + m c ^ { 2 } \right) \mu _ { B } ( x , y ) } & { { } = } & { - i \hbar c \left( \sigma _ { x } \frac { \partial } { \partial x } + \sigma _ { y } \frac { \partial } { \partial y } \right) \mu _ { A } ( x , y ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { G ( z ) } & { = \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \omega \frac { \rho ( \omega ) } { z - \omega } } \\ & { = \frac { 1 } { z } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \omega \frac { \rho ( \omega ) } { 1 - \left( \frac { \omega } { z } \right) } } \\ & { = \frac { 1 } { z } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \omega \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \left( \frac { \omega } { z } \right) ^ { n } \rho ( \omega ) } \\ & { = \frac { h _ { 0 } } { z } + \frac { h _ { 1 } } { z ^ { 2 } } + \frac { h _ { 2 } } { z ^ { 3 } } + \cdots \quad ( | z | \rightarrow \infty ) . } \end{array}
{ \bf { \dot { x } } } = s { \bf e } _ { 1 } , \quad { \bf \dot { e } } _ { a } = s k _ { a } { \bf e } _ { a + 1 } - s k _ { a - 1 } { \bf e } _ { a - 1 } , \quad \quad { \bf e } _ { 0 } = { \bf e } _ { D + 1 } \equiv 0 , \; \; k _ { 0 } = k _ { D } = 0 .
\begin{array} { r l r } { b _ { 0 1 } ^ { i } ( { \bf { k } } ; \tau ) } & { { } = } & { \int d \tau _ { 1 } \ G _ { b u } ^ { i j } F _ { 0 1 u } ^ { j } + \int d \tau _ { 1 } \ G _ { b b } ^ { i j } F _ { 0 1 b } ^ { j } } \end{array}
H ^ { 1 } ( d P _ { 9 } , { \cal O } _ { d P _ { 9 } } ( 6 \sigma | _ { d P _ { 9 } } - 5 F ) ) | _ { b _ { - 8 } } \stackrel { - m _ { 1 } g _ { 2 } } { \rightarrow } H ^ { 1 } ( d P _ { 9 } , { \cal O } _ { d P _ { 9 } } ( 9 \sigma | _ { d P _ { 9 } } - F ) ) | _ { c _ { - 3 } } .
\boldsymbol { L } _ { \mathrm { F P } } = - \sum _ { i = 1 } ^ { 6 } \frac { \partial } { \partial q _ { i } } K _ { i } ( \boldsymbol { q } , t ) + \sum _ { i , j = 1 } ^ { 6 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial q _ { i } \partial q _ { j } } Q _ { i j } ( \boldsymbol { q } , t )
W [ \tilde { \phi } ] = \frac { 1 } { 2 \kappa \phi _ { 0 } } \int \mathrm { d } ^ { 3 } \mathbf { r } \, \big ( \tilde { \phi } ( \mathbf { r } ) - \phi _ { 0 } \big ) ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 \kappa \phi _ { 0 } } \int \mathrm { d } ^ { 3 } \mathbf { r } \, \Big ( \tilde { \phi } ( \mathbf { r } ) \tilde { \phi } ( \mathbf { r } ) - 2 \phi _ { 0 } \tilde { \phi } ( \mathbf { r } ) + \phi _ { 0 } ^ { 2 } \Big ) .
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { P r } \left( \exists t : \exp \left[ \frac { \sum _ { j = 1 } ^ { t } u _ { j } } { m ( m + 1 ) } + \frac { S _ { n } } { m ^ { 2 } } \left( \log \Big ( \frac { m } { m + 1 } \Big ) + \frac { 1 } { m + 1 } \right) \right] \geq \frac { 1 } { \tilde { \alpha } } \right) } \\ & { = \operatorname* { P r } \left( \exists t : \left[ \frac { \sum _ { j = 1 } ^ { t } u _ { j } } { m ( m + 1 ) } + \frac { S _ { n } } { m ^ { 2 } } \left( \log \Big ( \frac { m } { m + 1 } \Big ) + \frac { 1 } { m + 1 } \right) \right] \geq \log \Bigg ( \frac { 1 } { \tilde { \alpha } } \Bigg ) \right) } \\ & { = \operatorname* { P r } \left( \exists t : \sum _ { j = 1 } ^ { t } u _ { j } \geq m ( m + 1 ) \log \Bigg ( \frac { 1 } { \tilde { \alpha } } \Bigg ) - \frac { ( m + 1 ) S _ { n } } { m } \left( \log \Big ( \frac { m } { m + 1 } \Big ) + \frac { 1 } { m + 1 } \right) \right) } \\ & { = \operatorname* { P r } \left( \exists t : \sum _ { j = 1 } ^ { t } u _ { j } \geq \left[ m ( m + 1 ) \log \Bigg ( \frac { 1 } { \tilde { \alpha } } \Bigg ) + S _ { n } \left( \frac { m + 1 } { m } \log \Big ( 1 + \frac { 1 } { m } \Big ) - \frac { 1 } { m } \right) \right] \right) } \end{array}
\left< \widetilde { \mu } ( \boldsymbol { q } , t ) \, \widetilde { \vec { b } } ( \boldsymbol { k } , t ) \right> = \frac { 1 } { 2 } \, \boldsymbol { k } \times \left[ \left( \boldsymbol { k } + \frac { \vec { q } } { 2 } \right) \times \left< \widetilde { \vec { B } } ( \boldsymbol { k } + \boldsymbol { q } , t ) \right> \right] \widetilde { Q } \! \left( \boldsymbol { q } \right)
s _ { X } ( 0 ) = \langle \eta _ { 0 , \varepsilon } ^ { X } , \mathbf { s } \rangle = \sum _ { n = 1 } ^ { n _ { \operatorname* { m a x } } } \pi _ { n } ^ { X } \sum _ { s = 0 } ^ { n } s \binom { n } { s } ( 1 - \varepsilon ) ^ { s } \varepsilon ^ { n - s } = ( 1 - \varepsilon ) \sum _ { n = 1 } ^ { n _ { \operatorname* { m a x } } } n \pi _ { n } ^ { X } = ( 1 - \varepsilon ) n ^ { X } .
\begin{array} { r l } { q _ { i \rightarrow j } ( A _ { i } , A _ { j } ) = } & { \frac { 1 } { z _ { i \rightarrow j } } \sum _ { \underline { { A } } _ { \partial i \backslash j } } e ^ { - \beta \delta _ { A _ { i } } ^ { 0 } } C _ { i } ( A _ { i } , \underline { { A } } _ { \partial i } ) \prod _ { k \in \partial i \backslash j } q _ { k \rightarrow i } ( A _ { k } , A _ { i } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } ^ { ( \mathrm { i n } ) } ( x , y ) } & { = \mathbf { E } _ { \mathrm { d i s } } } \\ { \mathbf { E } ^ { \mathrm { ( R W G ) } } ( x , y ) } & { = \mathbf { E } _ { \mathrm { d i s } } } \\ { \mathbf { E } _ { \mathrm { d i s } } \times [ \mathbf { H } ^ { \mathrm { ( i n ) } } ( x , y ) ] ^ { * } } & { = \mathbf { E } _ { \mathrm { d i s } } \times [ \mathbf { H } ^ { \mathrm { ( R W G ) } } ( x , y ) ] ^ { * } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \theta ^ { z \rightarrow i } ( 0 ) } & { { } = } & { 1 , } \\ { \phi ^ { z \rightarrow i } ( 0 ) } & { { } = } & { P _ { A } ^ { z } ( 0 ) = \delta _ { q _ { z } ( 0 ) , A } , } \\ { P _ { S } ^ { z \rightarrow i } ( 0 ) } & { { } = } & { P _ { S } ^ { z } ( 0 ) = 1 - \delta _ { q _ { z } ( 0 ) , A } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { i } ( \mathbf { g } ^ { \prime } ) } & { { } = T _ { i j } ( \mathbf { g } ^ { \prime } , \mathbf { g } ) M _ { j } ( \mathbf { g } ) \quad F _ { i } ( \mathbf { g } ^ { \prime } ) = T _ { i j } ( \mathbf { g } ^ { \prime } , \mathbf { g } ) F _ { j } ( \mathbf { g } ) } \\ { \alpha _ { i } ( \mathbf { g } ^ { \prime } ) } & { { } = T _ { i j } ^ { T } ( \mathbf { g } , \mathbf { g } ^ { \prime } ) \alpha _ { j } ( \mathbf { g } ) \quad T _ { i j } ( \mathbf { g } ^ { \prime } , \mathbf { g } ) = A _ { i k } \left( \mathbf { g } ^ { \prime } \right) A _ { k j } ^ { - 1 } \left( \mathbf { g } \right) , } \end{array}
X = \bigg ( \frac { \partial P ^ { i j } } { \partial q ^ { j } } - \frac { \partial A _ { j } ^ { i } } { \partial p _ { j } } , \frac { \partial A _ { i } ^ { j } } { \partial q ^ { j } } + \frac { \partial Q _ { i j } } { \partial p _ { j } } \bigg ) ^ { T } ,
\begin{array} { r l } { F ( \mathbf { w } ^ { ( n + 1 ) } ) } & { = F ( \mathbf { w } ^ { ( n ) } ) + ( \mathbf { w } ^ { ( n + 1 ) } - \mathbf { w } ^ { ( n ) } ) \nabla F ( \mathbf { w } ^ { ( n ) } ) + \frac { 1 } { 2 } ( \mathbf { w } ^ { ( n + 1 ) } - \mathbf { w } ^ { ( n ) } ) ^ { T } \nabla ^ { 2 } F ( \mathbf { w } ^ { ( n ) } ) ( \mathbf { w } ^ { ( n + 1 ) } - \mathbf { w } ^ { ( n ) } ) } \\ & { \leq F ( \mathbf { w } ^ { ( n ) } ) + ( \mathbf { w } ^ { ( n + 1 ) } - \mathbf { w } ^ { ( n ) } ) ^ { T } \nabla F ( \mathbf { w } ^ { ( n ) } ) + \frac { M } { 2 } \| \mathbf { w } ^ { ( n + 1 ) } - \mathbf { w } ^ { ( n ) } \| ^ { 2 } , } \end{array}
D ^ { + } ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) = \int \frac { d ^ { 3 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } 2 \omega _ { k } } \; \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } k ^ { + } ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) } \; , \qquad \omega _ { k } = \sqrt { \vec { k } ^ { 2 } + m ^ { 2 } } \; ,
\begin{array} { r l r } { - J ( \theta _ { t + 1 } ) } & { \leq } & { - J ( \theta _ { t } ) - \frac { \gamma _ { t } } { 3 } \left\| \nabla J _ { H } ( \theta _ { t } ) \right\| + \frac { 8 \gamma _ { t } } { 3 } \left\| \hat { e } _ { t } \right\| + \frac { L _ { g } \gamma _ { t } ^ { 2 } } { 2 } + \gamma _ { t } \left\| \nabla J _ { H } ( \theta _ { t } ) - \nabla J ( \theta _ { t } ) \right\| } \\ & { \leq } & { - J ( \theta _ { t } ) - \frac { \gamma _ { t } } { 3 } \left\| \nabla J ( \theta _ { t } ) \right\| + \frac { 8 \gamma _ { t } } { 3 } \left\| \hat { e } _ { t } \right\| + \frac { L _ { g } \gamma _ { t } ^ { 2 } } { 2 } + \frac { 4 \gamma _ { t } } { 3 } \left\| \nabla J _ { H } ( \theta _ { t } ) - \nabla J ( \theta _ { t } ) \right\| \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega _ { 2 D } } & { = \left. \omega _ { 3 D } \right| _ { w = 0 , z \in \lbrack z _ { 0 } , z _ { 1 } , \ldots , z _ { n } \rbrack } } \\ & { = \left. { \left( { \frac { \partial w } { \partial y } - \frac { \partial v } { \partial z } } \right) i + \left( { \frac { \partial u } { \partial z } - \frac { \partial w } { \partial x } } \right) j + \left( { \frac { \partial v } { \partial x } - \frac { \partial u } { \partial y } } \right) k } \right| _ { w = 0 , z \in \lbrack z _ { 0 } , z _ { 1 } , \ldots , z _ { n } \rbrack } } \\ & { = \left( { \frac { \partial v } { \partial x } - \frac { \partial u } { \partial y } } \right) k } \end{array}
\frac { \Delta E } { E } _ { d i s s } = \frac { \sum _ { ( k _ { \perp } \rho _ { p } ) _ { d i s s } } | | \tilde { B } | _ { t u r b \_ p s p } ^ { 2 } - | \tilde { B } | _ { m o d e l } ^ { 2 } | \Delta ( k _ { \perp } \rho _ { p } ) } { \sum _ { ( k _ { \perp } \rho _ { p } ) _ { d i s s } } | \tilde { B } | _ { t u r b \_ p s p } ^ { 2 } \Delta ( k _ { \perp } \rho _ { p } ) } .
\begin{array} { r l } { { v _ { I } } _ { t } ( x , w ) } & { = \left( \Omega ^ { 2 } \mathcal { I } _ { x } ^ { 2 } ( x , w ) + \left( \Omega \left( \sin { ( \beta ) } \mathcal { I } _ { y } ( x , w ) + \cos { ( \beta ) } \mathcal { I } _ { z } ( x , w ) \right) \right. \right. } \\ & { \left. \left. + \cos { ( \beta ) } v _ { 0 } \right) ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } = } & { { } \sum _ { i j } h _ { i j } \, \hat { \textmd a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { \textmd a } _ { j } + \sum _ { I J } h _ { I J } \, \hat { \textmd a } _ { I } ^ { \dagger } \hat { \textmd a } _ { J } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i j k l } h _ { i j k l } \, \hat { \textmd a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { \textmd a } _ { k } ^ { \dagger } \hat { \textmd a } _ { l } \hat { \textmd a } _ { j } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { I J K L } h _ { I J K L } \, \hat { \textmd a } _ { I } ^ { \dagger } \hat { \textmd a } _ { K } ^ { \dagger } \hat { \textmd a } _ { L } \hat { \textmd a } _ { J } } \end{array}
\frac { \partial \mathbf { u } } { \partial t } = - \nabla p - \frac { 1 } { 2 } [ \mathbf { \nabla } ( \mathbf { u } \otimes \mathbf { u } ) + ( \mathbf { u } . \nabla ) \mathbf { u } ] + v \nabla ^ { 2 } \mathbf { u } + \mathbf { f }
\begin{array} { r l } { y _ { 2 } } & { { } = y _ { 1 } + h f ( y _ { 1 } ) = 2 + 1 \cdot 2 = 4 , } \\ { y _ { 3 } } & { { } = y _ { 2 } + h f ( y _ { 2 } ) = 4 + 1 \cdot 4 = 8 , } \\ { y _ { 4 } } & { { } = y _ { 3 } + h f ( y _ { 3 } ) = 8 + 1 \cdot 8 = 1 6 . } \end{array}
| V _ { 3 } \rangle = \exp \Big ( s _ { R 1 } ^ { \dag } s _ { L 2 } ^ { \dag } + s _ { R 2 } ^ { \dag } s _ { L 3 } ^ { \dag } + s _ { R 3 } ^ { \dag } s _ { L 1 } ^ { \dag } \Big ) | \Xi \rangle _ { 1 2 3 } ,
\begin{array} { r l } { v _ { c } ^ { 3 } } & { { } = v _ { t e } ^ { 3 } \frac { 3 \sqrt { \pi } m _ { e } } { 4 m _ { \alpha } } Z _ { 1 } ~ \propto ~ \frac { T _ { e } ^ { 3 / 2 } } { n _ { e } } \sum _ { i } Z _ { i } ^ { 2 } n _ { i } , } \\ { \tau _ { s } } & { { } = \frac { 3 m _ { \alpha } m _ { e } } { 1 6 \sqrt { \pi } ( Z _ { \alpha } ) ^ { 2 } e ^ { 4 } \mathrm { l n } \Lambda } \frac { v _ { t e } ^ { 3 } } { n _ { e } } ~ \propto ~ \frac { T _ { e } ^ { 3 / 2 } } { n _ { e } } , } \\ { Z _ { 1 } } & { { } = \sum _ { i } \frac { n _ { i } Z _ { i } ^ { 2 } m _ { \alpha } } { n _ { e } m _ { i } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { S = s \Biggl [ } & { \frac { 1 } { 2 s ^ { 2 } } \sum _ { p = 0 } ^ { N - 1 } \left( \left( \pi _ { 0 } ^ { ( \Psi ) } ( p ) \right) ^ { 2 } + \left( \pi _ { 1 } ^ { ( \Psi ) } ( p ) \right) ^ { 2 } \right) } \\ & { + \frac { \left( \pi ^ { ( s ) } \right) ^ { 2 } } { 2 m _ { s } } + n _ { f } \hbar \, l n ( s ) + S ^ { m } - S ^ { 0 } \Biggr ] } \end{array}
\mathbf { P } _ { 1 } ^ { K } = [ \mathbf { p } _ { 1 } , \mathbf { p } _ { 2 } , \ldots , \mathbf { p } _ { k } , \mathbf { p } _ { k + 1 } , \ldots , \mathbf { p } _ { K - 1 } , \mathbf { p } _ { K } ]
\Delta M _ { B ^ { 0 } } = 2 \frac { G _ { F } ^ { 2 } m _ { W } ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \frac { 1 } { 2 m _ { B } } \eta _ { B } \left( \frac { 2 } { 3 } \; \mathrm { R e } { \cal A } _ { b d } ^ { 2 } \; \frac { m _ { W } ^ { 2 } } { M _ { Q } ^ { 2 } } \right) \left( \frac { 8 } { 3 } B _ { B } F _ { B } ^ { 2 } m _ { B } ^ { 2 } \right) \, ,
\begin{array} { r l } { \varepsilon } & { : \mathcal { D } _ { t } ^ { ( 1 ) } f _ { i } ^ { ( 0 ) } = - 2 \beta f _ { i } ^ { ( 1 ) } , } \\ { \varepsilon ^ { 2 } } & { : \partial _ { t } ^ { ( 2 ) } f _ { i } ^ { ( 0 ) } + \mathcal { D } _ { t } ^ { ( 1 ) } \left( 1 - \beta \right) f _ { i } ^ { ( 1 ) } = - 2 \beta f _ { i } ^ { ( 2 ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { ( E _ { \theta } [ \widehat \theta ] - E _ { \theta ^ { \prime } } [ \widehat \theta ] ) ^ { 2 } } { 4 - 2 r ^ { 2 } ( \theta , \theta ^ { \prime } ) } \Big ( \frac { 1 } { r ( \theta , \theta ^ { \prime } ) } - r ( \theta , \theta ^ { \prime } ) \Big ) ^ { 2 } } & { \leq \operatorname { V a r } _ { \theta } \big ( \widehat \theta \big ) + \operatorname { V a r } _ { \theta ^ { \prime } } \big ( \widehat \theta \big ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \nu ^ { 3 } - [ ( \lambda _ { 0 } + \kappa _ { 0 } ) i n + 3 \bar { u } ] \nu ^ { 2 } - [ \lambda _ { 0 } \kappa _ { 0 } n ^ { 2 } - 2 ( \lambda _ { 0 } + \kappa _ { 0 } ) \bar { u } i n - 3 \bar { u } ^ { 2 } + \frac { R ^ { 2 } \bar { \theta } } { c _ { 0 } } + R \bar { \theta } ] \nu } \\ { + \lambda _ { 0 } \kappa _ { 0 } \bar { u } n ^ { 2 } - ( \lambda _ { 0 } + \kappa _ { 0 } ) \bar { u } ^ { 2 } i n - \bar { u } ^ { 3 } + \frac { R ^ { 2 } \bar { \theta } } { c _ { 0 } } \bar { u } + R \bar { \theta } \kappa _ { 0 } i n + R \bar { \theta } \bar { u } = 0 , } \end{array}
{ \frac { 1 } { \beta _ { c } } } = b ( d - 2 ) ( 1 - \kappa ) { \int } _ { - 1 } ^ { 1 } \; d \xi \; H _ { c } ( \xi ) \; { \frac { \sqrt { 1 - \xi ^ { 2 } } } { \sqrt { ( \xi + \frac { 3 + \kappa } { 1 - \kappa } ) ( \xi + \frac { 1 + 3 \kappa } { 1 - \kappa } ) } } } \; .
b ^ { 2 } - 4 a c = 4 A p ^ { \prime } ( 1 - p ^ { \prime } ) ^ { 2 } + 4 B p ^ { 2 } ( 1 - p ^ { \prime } ) + p ^ { 2 } ( 1 - p ^ { \prime } ) ^ { 2 } - 4 ( p ^ { \prime } - ( 1 - p ^ { \prime } ) ) ( 1 - p ^ { \prime } ) ^ { 2 } A + 4 ( p ^ { \prime } - ( 1 - p ^ { \prime } ) ) p ^ { 2 } B
\begin{array} { r l r l } { \tilde { L } \hat { \phi } } & { { } = \hat { f } } & { \textnormal { i n } } & { { } [ 0 , \Gamma ] \times [ 0 , 1 ] } \\ { \hat { \phi } } & { { } = 0 } & { \textnormal { o n } } & { { } \lbrace x _ { 2 } = 0 \rbrace \cup \lbrace x _ { 2 } = 1 \rbrace , } \end{array}