harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \rho ( j _ { x } ) } & { = } & { \frac { 1 } { \epsilon _ { x } } \exp [ - \frac { j _ { x } } { \epsilon _ { x } } ] = \frac { 1 } { \epsilon _ { x } } \exp [ - 2 \alpha _ { x } ] , \; \; \; \alpha _ { x } = \frac { a _ { x } ^ { 2 } } { 4 } = \frac { j _ { x } } { 2 \epsilon _ { x } } } \\ { \rho ( \alpha _ { x } ) } & { = } & { \rho ( a _ { x } ) [ \frac { \partial \alpha _ { x } } { \partial a _ { x } } ] ^ { - 1 } = a _ { x } \exp [ - \frac { 1 } { 2 } a _ { x } ^ { 2 } ] [ a _ { x } / 2 ] ^ { - 1 } = 2 \exp [ - 2 \alpha _ { x } ] } \end{array}
\forall l \ge \tau : \ \mathbb { P } [ X _ { l + 1 } \notin { \mathcal T } _ { \epsilon } , . . . , X _ { l + L _ { \epsilon } } \notin { \mathcal T } _ { \epsilon } | X _ { l } \notin { \mathcal T } _ { \epsilon } ] \le c _ { \epsilon } .
\begin{array} { r } { \left[ \phi _ { m n } * \psi \right] ( x , y ) = \frac { 1 } { \sqrt { m ! n ! } } \left( \frac { x } { 2 \sigma } \right) ^ { m } \left( \frac { y } { 2 \sigma } \right) ^ { n } e ^ { - \frac { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } { 8 \sigma ^ { 2 } } } , } \end{array}
\left\langle \theta ^ { \mu } \frac { \partial \mathcal { H } } { \partial \theta ^ { \nu } } \right\rangle \approx \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \theta ^ { \mu , ( i ) } \frac { \partial \Phi } { \partial \theta ^ { \nu } } ( \theta ^ { ( i ) } )
\begin{array} { r l } { X _ { L } ^ { [ 0 ] } } & { = W ^ { [ 0 ] } X ^ { [ 0 ] } + b ^ { [ 0 ] } , } \\ { { X } ^ { [ 1 ] } = \mathcal { R } ^ { [ 0 ] } } & { = \mathcal { K } X _ { L } ^ { [ 0 ] } + ( 1 - \mathcal { K } ) \mathcal { F } ( X _ { L } ^ { [ 0 ] } ) , } \\ { { X } ^ { [ i N _ { h } + 1 ] } = \mathcal { R } ^ { [ i ] } } & { = \mathcal { L } _ { i } ( \mathcal { R } ^ { [ i - 1 ] } ) + \mathcal { K } \mathcal { R } ^ { [ i - 1 ] } , \ i = 1 , 2 , . . . , N _ { B } , } \\ { X ^ { [ D ] } } & { = W ^ { [ D - 1 ] } X ^ { [ D - 1 ] } + b ^ { [ D - 1 ] } , } \\ & { = W ^ { [ D - 1 ] } \mathcal { R } ^ { [ N _ { B } ] } + b ^ { [ D - 1 ] } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ( x _ { 1 } ) - f ( x _ { 1 } ) } & { { } = + \varepsilon } \\ { P ( x _ { 2 } ) - f ( x _ { 2 } ) } & { { } = - \varepsilon } \\ { P ( x _ { 3 } ) - f ( x _ { 3 } ) } & { { } = + \varepsilon } \\ { P ( x _ { N + 2 } ) - f ( x _ { N + 2 } ) } & { { } = \pm \varepsilon . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tau ( 1 ( \rho _ { i } \rho _ { j } ) ^ { 2 } 1 ) } & { = } & { ( \gamma ( 1 , \rho _ { i } ) \gamma ( \rho _ { 1 } , \rho _ { j } ) ) ^ { 2 } } \\ & { = } & { \left\{ \begin{array} { l l } { x _ { j } ^ { - 2 } ~ } & { \quad \textrm { f o r } \quad j \geq 3 , } \\ { ( x _ { i } x _ { j } ^ { - 1 } ) ^ { 2 } } & { \quad \textrm { f o r } \quad i \geq 2 \mathrm { ~ a n d ~ } i + 2 \leq j \leq n - 1 , } \end{array} \right. } \\ & { } & \\ { \tau ( s _ { 1 } ( \rho _ { i } \rho _ { j } ) ^ { 2 } s _ { 1 } ) } & { = } & { ( \gamma ( s _ { 1 } , \rho _ { i } ) \gamma ( s _ { 1 } \rho _ { 1 } , \rho _ { j } ) ) ^ { 2 } } \\ & { = } & { \left\{ \begin{array} { l l } { z _ { j } ^ { - 2 } } & { \quad \textrm { f o r } \quad 3 \leq j \leq n - 1 , } \\ { ( z _ { i } z _ { j } ^ { - 1 } ) ^ { 2 } } & { \quad \textrm { f o r } \quad 2 \leq i \leq n - 2 \quad \mathrm { a n d } \quad j \geq i + 2 , } \end{array} \right. } \\ & { } & \\ { \tau ( \rho _ { 1 } ( \rho _ { i } \rho _ { j } ) ^ { 2 } \rho _ { 1 } ) } & { = } & { ( \gamma ( \rho _ { 1 } , \rho _ { i } ) \gamma ( 1 , \rho _ { j } ) ) ^ { 2 } } \\ & { = } & { \left\{ \begin{array} { l l } { x _ { j } ^ { 2 } } & { \quad \textrm { f o r } \quad 3 \leq j \leq n - 1 , } \\ { ( x _ { i } ^ { - 1 } x _ { j } ) ^ { 2 } } & { \quad \textrm { f o r } \quad i \geq 2 \quad \mathrm { a n d } \quad i + 2 \leq j \leq n - 1 , } \end{array} \right. } \\ & { } & \\ { \tau ( s _ { 1 } \rho _ { 1 } ( \rho _ { i } \rho _ { j } ) ^ { 2 } \rho _ { 1 } s _ { 1 } ) } & { = } & { ( \gamma ( s _ { 1 } \rho _ { 1 } , \rho _ { i } ) \gamma ( s _ { 1 } , \rho _ { j } ) ) ^ { 2 } } \\ & { = } & { \left\{ \begin{array} { l l } { z _ { j } ^ { 2 } } & { \quad \textrm { f o r } \quad j \geq 3 , } \\ { ( z _ { i } ^ { - 1 } z _ { j } ) ^ { 2 } } & { \quad \textrm { f o r } \quad i \geq 2 \quad \mathrm { a n d } \quad i + 2 \leq j \leq n - 1 . } \end{array} \right. } \end{array}
\Delta { \boldsymbol { \beta } } _ { \parallel } = { \frac { \Delta { \boldsymbol { \beta } } \cdot { \boldsymbol { \beta } } } { \beta ^ { 2 } } } { \boldsymbol { \beta } } \, , \quad \Delta { \boldsymbol { \beta } } _ { \perp } = \Delta { \boldsymbol { \beta } } - { \frac { \Delta { \boldsymbol { \beta } } \cdot { \boldsymbol { \beta } } } { \beta ^ { 2 } } } { \boldsymbol { \beta } }
\begin{array} { r l } & { M _ { f } ^ { r } ( k ) ^ { P } = \frac { 1 } { 2 \pi j } \oint _ { C } s ^ { P } ( s I _ { n + q } - M _ { f } ^ { r } ( k ) ) ^ { - 1 } d s } \\ & { \leq \frac { 1 } { 2 \pi j } 2 \pi \lvert s \rvert \operatorname* { m a x } _ { \lvert s \rvert = 1 - \mu } \{ s ^ { F } ( s I _ { n + q } - M _ { f } ^ { r } ( k ) ) ^ { - 1 } \} . } \end{array}
S _ { c } = \int _ { z = z _ { c } } d ^ { 4 } x \sqrt { g _ { c } } \left[ g _ { c } ^ { \mu \nu } \nabla _ { \mu } H ^ { \dagger } \nabla _ { \nu } H - \lambda \left( | H | ^ { 2 } - m _ { 0 } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \right]
\begin{array} { r l } { J _ { ( 1 , 1 ) } } & { = \left( \begin{array} { c c } { - \frac { r \left( w ^ { N _ { I } } - 1 \right) } { N _ { I } ( w - 1 ) } - v _ { I } } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { ( 1 - r ) ( w ^ { N _ { I } } - 1 ) } { N _ { T } ( w - 1 ) } - v _ { T } } \end{array} \right) } \\ & { = \left( \begin{array} { c c } { - \frac { N _ { T } r v _ { T } ^ { * } } { N _ { I } ( 1 - r ) } - v _ { I } } & { 0 } \\ { 0 } & { v _ { T } ^ { * } - v _ { T } } \end{array} \right) . } \end{array}
A \left( \begin{array} { l } { \widetilde v _ { - 1 } } \\ { \widetilde v _ { 0 } } \\ { \widetilde v _ { 1 } } \\ { \vdots } \\ { \widetilde v _ { N } } \\ { \widetilde v _ { N + 1 } } \end{array} \right) = \frac { 1 } { 6 } \left( \begin{array} { l l l l l l } { \frac { 6 } { h ^ { 2 } } } & { - \frac { 1 2 } { h ^ { 2 } } } & { \frac { 6 } { h ^ { 2 } } } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 1 } & { 4 } & { 1 } & { 0 } & & { \vdots } \\ { 0 } & { 1 } & { 4 } & { 1 } & & { \vdots } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \vdots } & & { 0 } & { 1 } & { 4 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \frac { 6 } { h ^ { 2 } } } & { - \frac { 1 2 } { h ^ { 2 } } } & { \frac { 6 } { h ^ { 2 } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \widetilde v _ { - 1 } } \\ { \widetilde v _ { 0 } } \\ { \widetilde v _ { 1 } } \\ { \vdots } \\ { \widetilde v _ { N } } \\ { \widetilde v _ { N + 1 } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { v _ { 0 } } \\ { v _ { 1 } } \\ { \vdots } \\ { v _ { N } } \\ { 0 } \end{array} \right) .
\phi ( L , y ) = \frac { \sinh \left( \sqrt i W \frac { y } { L } \right) } { \sinh ( \sqrt i W ) } + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \left[ A _ { n } \exp \left( r _ { - n } \right) + B _ { n } \exp \left( r _ { + n } \right) \right] \sin \left( \frac { n \pi y } { L } \right) = 0 .
\begin{array} { r l } { \beta _ { k - 1 } } & { \leqslant 1 + \frac { ( L - \mu ) } { c _ { k - 1 } } \sqrt { \frac { ( c _ { k - 1 } - 1 ) } { \mu L } } + \frac { \mu ^ { 2 } - 6 \mu L + L ^ { 2 } } { 4 c _ { k - 1 } \mu L } } \\ & { = \frac { 1 } { c _ { k - 1 } } \frac { \left( 1 - q + 2 \sqrt { ( c _ { k - 1 } - 1 ) q } \right) ^ { 2 } } { 4 q } . } \end{array}
\nu = \frac { \theta } { B _ { m _ { 1 } } \Gamma ( 1 - \theta ) } \left( \frac { B _ { m _ { 1 } } } { \theta t _ { 0 } ^ { \theta } } - 1 \right) = \frac { K _ { 0 } e ^ { \alpha ( m _ { 1 } - m _ { t r } ) } - 1 } { K _ { 0 } t _ { 0 } ^ { \theta } \Gamma ( 1 - \theta ) e ^ { \alpha ( m _ { 1 } - m _ { t r } ) } }
\begin{array} { r l } { d _ { f _ { k } } \mathscr { G } _ { k } ( c , 0 , 0 ) [ h _ { k } ] ( \varphi ) } & { { } = c \, \partial _ { \varphi } h _ { k } ( \varphi ) + \frac { 1 } { \sin ( \theta _ { k } ) } \partial _ { \varphi } \Big ( \partial _ { \theta } \Psi _ { \textnormal { \tiny { F C } } } ( \theta _ { k } ) h _ { k } ( \varphi ) + \big ( d _ { f _ { k } } \Psi _ { p , 2 } \{ 0 , 0 \} [ h _ { k } ] \big ) ( \theta _ { k } , \varphi ) \Big ) , } \\ { d _ { f _ { 3 - k } } \mathscr { G } _ { k } ( c , 0 , 0 ) [ h _ { 3 - k } ] ( \varphi ) } & { { } = \frac { 1 } { \sin ( \theta _ { k } ) } \partial _ { \varphi } \Big ( \big ( d _ { f _ { 3 - k } } \Psi _ { p , 2 } \{ 0 , 0 \} [ h _ { 3 - k } ] \big ) ( \theta _ { k } , \varphi ) \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { X ^ { d } } \operatorname* { l i m s u p } _ { N \rightarrow \infty } \operatorname* { s u p } _ { t } \Big | \frac { 1 } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } e ^ { 2 \pi i n t } \prod _ { i = 1 } ^ { d } f _ { i } ( T ^ { a _ { i } n } x _ { i } ) \Big | ^ { 2 } d \mu _ { d } ^ { \mathcal { A } } ( \textbf { x } ) } \\ & { \le \frac { C } { H _ { 1 } } + \frac { C } { H _ { 1 } } \sum _ { h _ { 1 } = 1 } ^ { H _ { 1 } - 1 } \Big ( \frac { C } { H _ { 2 } } + \operatorname* { l i m s u p } _ { N \rightarrow \infty } \Big ( \frac { 2 ( N + H _ { 2 } - 1 ) } { H _ { 2 } N } \sum _ { h _ { 2 } = 1 } ^ { H _ { 2 } - 1 } \frac { H _ { 2 } - h _ { 2 } } { H _ { 2 } } \cdot } \\ & { \ \ \ \frac { 1 } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \operatorname* { l i m } _ { M \rightarrow \infty } \frac { 1 } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \int _ { X } \prod _ { i = 1 } ^ { d } T ^ { a _ { i } ( n + m ) } ( f _ { i } \cdot T ^ { a _ { i } h _ { 1 } } f _ { i } \cdot T ^ { a _ { i } h _ { 2 } } f _ { i } \cdot T ^ { a _ { i } ( h _ { 1 } + h _ { 2 } ) } f _ { i } ) d \mu ( x ) \Big ) \Big ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \\ & { \le \frac { C } { H _ { 1 } } + \frac { C } { H _ { 1 } } \sum _ { h _ { 1 } = 1 } ^ { H _ { 1 } - 1 } \Big ( \frac { C } { H _ { 2 } } + \frac { C } { H _ { 2 } } \sum _ { h _ { 2 } = 1 } ^ { H _ { 2 } - 1 } \operatorname* { l i m s u p } _ { N \rightarrow \infty } \frac { 1 } { N } \cdot } \\ & { \ \ \ \sum _ { n = 1 } ^ { N } \operatorname* { l i m s u p } _ { M \rightarrow \infty } \left\Vert \frac { 1 } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \prod _ { i = 1 } ^ { d } T ^ { a _ { i } ( n + m ) } ( f _ { i } \cdot T ^ { a _ { i } h _ { 1 } } f _ { i } \cdot T ^ { a _ { i } h _ { 2 } } f _ { i } \cdot T ^ { a _ { i } ( h _ { 1 } + h _ { 2 } ) } f _ { i } ) \right\Vert _ { 2 } \Big ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( T _ { 2 1 } ^ { \mathrm { ~ O ~ N ~ } } - T _ { 2 1 } ^ { \mathrm { ~ O ~ F ~ F ~ } } \right) ^ { 2 } } & { { } = \left( T _ { 2 1 } ^ { \mathrm { ~ O ~ N ~ } } - 1 \right) ^ { 2 } + \left( T _ { 2 1 } ^ { \mathrm { ~ O ~ F ~ F ~ } } - e ^ { j \varphi } \right) ^ { 2 } } \\ { - } & { { } 2 \cos ( \Delta \phi ) \left( T _ { 2 1 } ^ { \mathrm { ~ O ~ N ~ } } - 1 \right) \left( T _ { 2 1 } ^ { \mathrm { ~ O ~ F ~ F ~ } } - e ^ { j \varphi } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( - \nu \frac { \partial ^ { 2 } u _ { y } ^ { h } } { \partial x ^ { 2 } } - \nu \frac { \partial ^ { 2 } u _ { y } ^ { h } } { \partial y ^ { 2 } } + u _ { x } ^ { h } \frac { \partial u _ { y } ^ { h } } { \partial x } + u _ { y } ^ { h } \frac { \partial u _ { y } ^ { h } } { \partial y } + \frac { \partial p ^ { h } } { \partial y } \right) ( \boldsymbol { \tau } _ { \ell } ^ { u _ { y } } ) = f _ { y } ( \boldsymbol { \tau } _ { \ell } ^ { u _ { y } } ) \quad \forall \boldsymbol { \tau } _ { \ell } ^ { u _ { y } } \in \Omega } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \widetilde { x } , \widetilde { y } , \widetilde { z } \right) = \frac { 1 } { H } \left( x , y , z \right) , ~ \widetilde { t } = \frac { \overline { { U } } } { H } t , ~ \left( \widetilde { u } , \widetilde { v } , \widetilde { w } \right) = \frac { 1 } { \overline { { U } } } \left( u , v , w \right) } \\ { \widetilde { p } = \frac { p } { \rho _ { f } \overline { { U } } ^ { 2 } } , ~ \widetilde { \mu } = \frac { \mu } { \mu _ { r } } , ~ \theta = \frac { T - T _ { w } } { A _ { 1 } H R e P r } , ~ \phi = \frac { C - C _ { w } } { A _ { 2 } H S c R e } . } \end{array}
\alpha _ { E 1 } - \frac { \alpha _ { \mathrm { e m } } \varkappa ^ { 2 } } { 4 M ^ { 3 } } = \frac { 1 } { 2 \pi ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } \nu \left[ \frac { \sigma _ { L } ( \nu , Q ^ { 2 } ) } { Q ^ { 2 } } \right] _ { Q ^ { 2 } \to 0 } \, ,
\begin{array} { r l } & { ~ \mathbb { P } \{ | \mathcal { S } ( X ( t ) , X ^ { \eta } ( t ) + X ^ { \xi } ( t ) , \varepsilon ) | > \delta r _ { 0 } n \} } \\ & { \le \frac { 1 } { \varepsilon ^ { 2 } \delta } \Big [ ( 1 - \lambda _ { 3 } ) ^ { t } \frac { \| X ^ { \Gamma } ( 0 ) \| ^ { 2 } } { c _ { x } ^ { 2 } r _ { 0 } n } + \Big ( \frac { \lambda _ { 1 } } { \lambda _ { 3 } } \wedge \lambda _ { 1 } t \Big ) \Big ( 3 + \frac { c _ { l } } { 2 } } \\ & { + 1 0 c _ { s } c _ { l } + \frac { c _ { l } + 1 3 } { 2 r _ { 0 } n } \Big ) + \Big ( \frac { \lambda _ { 2 } } { \lambda _ { 3 } } + \lambda _ { 2 } t \Big ) \Big ( \frac { ( 1 - \lambda _ { 2 } ) ^ { t } \| X ^ { \xi } ( 0 ) \| ^ { 2 } } { c _ { x } ^ { 2 } r _ { 0 } n } } \\ & { + \frac { 1 } { r _ { 0 } n } \Big ) \Big ] , } \\ & { ~ \mathbb { P } \{ | \mathcal { S } ( X ( t ) , X ^ { \eta } ( t ) , \varepsilon ) | > \delta r _ { 0 } n \} } \\ & { \le \frac { 1 } { \varepsilon ^ { 2 } \delta } \Big [ ( 1 - \lambda _ { 2 } \wedge \lambda _ { 3 } ) ^ { t } \frac { \| X ^ { \bot } ( t ) \| ^ { 2 } } { c _ { x } ^ { 2 } r _ { 0 } n } + \Big ( \frac { \lambda _ { 1 } } { \lambda _ { 2 } \wedge \lambda _ { 3 } } \wedge \lambda _ { 1 } t \Big ) } \\ & { \Big ( 3 + \frac { c _ { l } } { 2 } + 4 c _ { s } c _ { l } + \frac { 2 } { r _ { 0 } n } \Big ) \Big ] . } \end{array}
A _ { \pm } \sim \frac { m _ { b } } { \Lambda } \qquad f _ { B } \sim \frac { \Lambda ^ { 3 / 2 } } { m _ { b } ^ { 1 / 2 } } \qquad F _ { V } \sim F ^ { B \to \pi } \sim \frac { \Lambda ^ { 3 / 2 } } { m _ { b } ^ { 3 / 2 } }
R _ { g } ^ { c a } = \tilde { R } _ { g } ^ { c a } \sum _ { e , e ^ { \prime } , e ^ { \prime \prime } } \left[ \left( F _ { d } ^ { b a c } \right) ^ { - 1 } \right] _ { g e } \left[ \tilde { G } _ { d } ^ { b a c } \right] _ { e e ^ { \prime } } \left[ \left( G _ { d } ^ { b a c } \right) ^ { - 1 } \right] _ { e ^ { \prime } e ^ { \prime \prime } } \left[ F _ { d } ^ { b a c } \right] _ { e ^ { \prime \prime } g } .
\begin{array} { r l } { \mathrm { d i a g } \, \tau _ { \mathrm { M F } } ^ { \mathrm { O R } } ( \vartheta ) } & { = \frac { 1 } { \tilde { Z } _ { \mathrm { S } } ^ { \mathrm { c l } } } \mathrm { I } _ { 0 } \left( \frac { a } { 2 } \right) } \\ & { e ^ { \left[ - \beta \left( H _ { \mathrm { S } } - \frac { 1 } { 2 } Q S _ { 0 } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \vartheta ( c _ { 1 1 } + c _ { 2 2 } ) - Q S _ { 0 } ^ { 2 } c _ { 3 3 } \cos ^ { 2 } \vartheta \right) \right] } . } \end{array}
{ \frac { 1 } { 1 2 8 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } x ^ { 1 6 } ( 1 - x ) ^ { 1 6 } \, d x = { \frac { 1 } { 2 \, 5 3 8 \, 9 6 3 \, 5 6 7 \, 3 6 0 } } ,
F \equiv \frac { \Gamma _ { t } ~ ( P _ { S O L } / P _ { S O L } ^ { r e f } ) ^ { 3 / 7 } } { ( \langle n _ { e } \rangle / \langle n _ { e } \rangle ^ { r e f } ) ^ { 2 } ( L _ { \parallel } ^ { O S P } / L _ { \parallel } ^ { r e f } ) ^ { 4 / 7 } } \propto R _ { t }
v _ { r } = A Y _ { 1 } ( \kappa r ) e ^ { i ( k z - \omega t ) } , \quad v _ { \phi } = - i A \frac { \nu _ { o } \kappa ^ { 2 } } { \omega } Y _ { 1 } ( \kappa r ) e ^ { i ( k z - \omega t ) } , \quad v _ { z } = i A \frac { \kappa } { k } Y _ { 0 } ( \kappa r ) e ^ { i ( k z - \omega t ) }
\begin{array} { r l } { \left( \mathcal { H } ^ { n } \right) _ { \bar { S } \bar { S } } } & { { } = \left( \mathcal { H } ^ { n - 1 } \right) _ { \bar { S } \bar { S } } \mathcal { H } _ { S S } + \sum _ { m = 0 } ^ { n - 2 } \left( \mathcal { H } ^ { m } \right) _ { \bar { S } \bar { S } } \mathcal { H } _ { S \bar { S } } ( \mathcal { H } _ { \bar { S } \bar { S } } ) ^ { n - m - 2 } \mathcal { H } _ { \bar { S } S } } \end{array}
\begin{array} { r l } { B _ { 3 } ( t ) = } & { { } \; \left[ - \int _ { 1 } ^ { \infty } \left\{ \frac { 1 } { I ( s , t ) } \left( \int _ { 0 } ^ { s } \mathcal { V } ( \sigma , t ) I ( \sigma , t ) \, \mathrm { ~ d ~ } \sigma \right) + \frac { ( 1 - t ) } { \pi } - \frac { \alpha \sqrt { 1 - t } ( 1 - \sqrt { 1 - t } ) } { \pi s } \right\} \, \mathrm { ~ d ~ } s \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho ( \boldsymbol { r } , t ) } & { { } = m n ( \boldsymbol { r } , t ) = \int d ^ { 3 } v f ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { v } , t ) m , } \\ { \boldsymbol { U } ( \boldsymbol { r } , t ) } & { { } = \frac { 1 } { n ( \boldsymbol { r } , t ) } \int d ^ { 3 } v f ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { v } , t ) \boldsymbol { v } , } \\ { T ( \boldsymbol { r } , t ) } & { { } = \frac { 2 } { 3 n ( \boldsymbol { r } , t ) k _ { B } } \int d ^ { 3 } v f ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { v } , t ) \frac { 1 } { 2 } m \boldsymbol { u } ^ { 2 } , } \end{array}
\Omega _ { 0 } = \sqrt { \frac 2 3 \frac { G \, M _ { \star } } { R _ { \star } ^ { 3 } } } = 1 . 6 \times 1 0 ^ { - 3 } \, \frac { \alpha ^ { 3 } \, m _ { p } ^ { 2 } } { \lambda ^ { 7 / 1 0 } \, M _ { p l } }
\begin{array} { r l } { S G 2 \rightarrow G 1 : } & { \ \ [ \Delta t _ { s } \geq T _ { S G 2 } ] \ , } \\ { G 1 \rightarrow Q : } & { \ \ [ \Delta t _ { s } \geq T _ { G 1 } ] \ , } \\ { Q \rightarrow H : } & { \ \ [ u _ { n } < u _ { n } ^ { H } ] \ , \ \mathrm { a n d } } \\ { H \rightarrow Q : } & { \ \ [ u _ { n } \geq u _ { n } ^ { H } ] \ . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial } { \partial t } \theta _ { \sigma _ { i } } \left( t \right) = \omega _ { i } + \frac { K } { n _ { i } } \sum _ { j \in N _ { i } } \sin \left[ \theta _ { \sigma _ { j } } \left( t \right) - \theta _ { \sigma _ { i } } \left( t \right) \right] , } \end{array}
\displaystyle { \times \left( 1 + \frac { 1 5 } { 1 6 } a _ { 2 0 } \right) + \frac { \overline { { \beta } } ^ { 2 } } { \kappa ^ { 2 } } \left[ 2 \overline { { \alpha } } ( 1 - \overline { { \alpha } } ) + 3 \overline { { \beta } } ( 1 - 2 \overline { { \beta } } ) \right] \left( 1 + \frac { 3 } { 1 6 } a _ { 2 0 } + \frac { 3 } { 4 } a _ { 1 1 } \right) + 3 \frac { \overline { { \beta } } ^ { 4 } \theta } { \kappa ^ { 3 } } \left( 1 - \frac { a _ { 2 0 } } { 1 6 } + \frac { a _ { 0 2 } } { 2 } + \frac { a _ { 1 1 } } { 2 } \right) }
\begin{array} { r l } { \left< X \right> } & { { } = - \frac { \sigma _ { g _ { e f f } ^ { X } } } { \sigma _ { d } ^ { 2 } \nu } w _ { 1 } ( \Delta _ { g _ { e f f } ^ { X } } ) } \\ { \left< N \right> } & { { } = \frac { \sigma _ { m _ { e } f f } } { \sigma _ { c } ^ { 2 } \kappa - r _ { 1 } \sigma _ { d } ^ { 2 } \chi } w _ { 1 } ( \Delta _ { g _ { e f f } ^ { N } } ) } \\ { \left< R \right> } & { { } = \frac { \sigma _ { K _ { e } f f } } { 1 - r _ { 2 } \sigma _ { c } ^ { 2 } \nu } w _ { 1 } ( \Delta _ { g _ { e f f } ^ { R } } ) } \\ { \left< X ^ { 2 } \right> } & { { } = ( \frac { \sigma _ { g _ { e f f } ^ { X } } } { \sigma _ { d } ^ { 2 } \nu } ) ^ { 2 } w _ { 2 } ( \Delta _ { g _ { e f f } ^ { X } } ) } \\ { \left< N ^ { 2 } \right> } & { { } = ( \frac { \sigma _ { m _ { e } f f } } { \sigma _ { c } ^ { 2 } \kappa - r _ { 1 } \sigma _ { d } ^ { 2 } \chi } ) ^ { 2 } w _ { 2 } ( \Delta _ { g _ { e f f } ^ { N } } ) } \\ { \left< R ^ { 2 } \right> } & { { } = ( \frac { \sigma _ { K _ { e } f f } } { 1 - r _ { 2 } \sigma _ { c } ^ { 2 } \nu } ) ^ { 2 } w _ { 2 } ( \Delta _ { g _ { e f f } ^ { R } } ) } \\ { \chi } & { { } = \left< \frac { \partial X } { \partial u } \right> = \frac { w _ { 0 } ( \Delta _ { g _ { e f f } ^ { X } } ) } { \sigma _ { d } ^ { 2 } \nu } } \\ { \nu } & { { } = \left< \frac { \partial N } { \partial m } \right> = - \frac { w _ { 0 } ( \Delta _ { g _ { e f f } ^ { N } } ) } { \sigma _ { c } ^ { 2 } \kappa - r _ { 1 } \sigma _ { d } ^ { 2 } \chi } } \\ { \kappa } & { { } = \left< \frac { \partial R } { \partial K } \right> = \frac { w _ { 0 } ( \Delta _ { g _ { e f f } ^ { R } } ) } { 1 - r _ { 2 } \sigma _ { c } ^ { 2 } \nu } } \end{array}
\mathcal { S } ^ { \sharp } [ \omega { \widehat { u } } ] _ { m } ^ { \omega } + \mathcal { S } ^ { \sharp } [ m { \widehat { u } } ] _ { m } ^ { \omega } + \mathcal { S } ^ { \sharp } [ { \widehat { u } } ] _ { m } ^ { \omega } \lesssim \mathcal { S } [ { \widehat { u } } ] _ { m } ^ { \omega } + \iint _ { \mathcal { A } ^ { \star } } ( 1 - \widetilde { \chi } _ { 1 } ) ^ { 2 } g _ { \sharp } ^ { 2 } ( | \omega H _ { m } ^ { \omega } | ^ { 2 } + | m H _ { m } ^ { \omega } | ^ { 2 } ) .
\frac { 3 x \left( 1 0 8 \alpha ^ { 2 } s ^ { 2 } y + 6 \alpha s \left( y z ^ { 2 } + 3 \alpha \mathcal { L } + 3 \right) + z ^ { 2 } ( 2 \alpha \mathcal { L } - 1 ) \right) } { z ^ { 3 } } = 2 y z + \frac { 3 } { z }
\begin{array} { r l r } { \partial _ { t } \rho _ { m , l } ( x , t ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \sigma ^ { 2 } \Delta \rho _ { m , l } ( x , t ) - \nabla \cdot \left( \rho _ { m , l } ( x , t ) \, \mathcal F ( x , y _ { m } , z _ { l } , \rho ) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \langle R ( U + V , Y ) Y , U + V \rangle } \\ & { \quad = \langle R ( U , Y ) Y , U \rangle + \langle R ( U , Y ) Y , V \rangle + R ( V , Y ) Y , V \rangle + \langle R ( V , Y ) Y , U \rangle } \\ & { \quad = \langle R ( U , Y ) Y , U \rangle + 2 \langle R ( U , Y ) Y , V \rangle + R ( V , Y ) Y , V \rangle } \\ & { \quad = f \left( \langle S ( U , Y , Y ) , U \rangle + \langle S ( V , Y , Y ) , V \rangle \right) + 2 \langle R ( U , Y ) Y , V \rangle } \\ & { \quad = f \left( \langle Y , Y \rangle \langle U , U \rangle - \langle Y , U \rangle ^ { 2 } + \langle Y , Y \rangle \langle V , V \rangle - \langle Y , V \rangle ^ { 2 } \right) + 2 \langle R ( U , Y ) Y , V \rangle . } \end{array}
\delta ^ { \perp } { \cal L } _ { Q } = i e ^ { 2 } \bar { c } \frac { \partial _ { 0 } } { \nabla ^ { 2 } } \left[ \epsilon ^ { \mu \nu } \partial _ { \mu } A _ { \nu } + ( a - 1 ) \partial _ { \mu } A ^ { \mu } \right] .
\times \left( M + \rho \left( \kappa \right) ^ { 2 } \left| \stackrel [ m _ { 1 } = 1 ] { M } { \sum } \stackrel [ m _ { 2 } \neq m _ { 1 } ] { M } { \sum } \left( a _ { M , m _ { 1 } } \left( \phi _ { k r } ^ { a } , \phi _ { k r } ^ { e } \right) e ^ { j \varphi _ { m _ { 1 } } } a _ { M , m _ { 1 } } \left( \phi _ { r } ^ { a } , \phi _ { r } ^ { e } \right) \right) \left( a _ { M , m _ { 2 } } \left( \phi _ { k r } ^ { a } , \phi _ { k r } ^ { e } \right) e ^ { j \varphi _ { m _ { 2 } } } a _ { M , m _ { 2 } } \left( \phi _ { r } ^ { a } , \phi _ { r } ^ { e } \right) \right) ^ { H } \right| ^ { 2 } \right)
\begin{array} { r l } & { - \int _ { 0 } ^ { 1 } ( a - y ) \tau \frac { \partial } { \partial z } \Psi ( y , y + \tau ( a - y ) ) d \tau = - \int _ { 0 } ^ { 1 } \tau \frac { \partial } { \partial \tau } \Psi ( y , y + \tau ( a - y ) ) d \tau } \\ & { = - [ \tau \Psi ( y , y + \tau ( a - y ) ) ] _ { \tau = 0 } ^ { 1 } + \int _ { 0 } ^ { 1 } \Psi ( y , y + \tau ( a - y ) ) d \tau , } \end{array}
\begin{array} { r } { \breve { \sigma } _ { \infty } ^ { 2 } ( k ) = \frac { 1 } { R } \sum _ { r = 1 } ^ { R } \Big ( \frac { 1 } { \sqrt { S } } \sum _ { i \in { \mathcal { S } _ { r } } } \breve { Y } _ { i } \Big ) ^ { 2 } , \ \mathrm { w h e r e } , \ \breve { Y } _ { i } = \kappa _ { k } ^ { \frac { p } { 2 r } - 1 } \Big \langle F _ { { h _ { 2 } } , i } - f _ { i } * \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } , ( f _ { \eta _ { k } } - f _ { \eta _ { k + 1 } } ) * \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } \Big \rangle _ { L _ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { E _ { 0 } = \mathbb { 1 } _ { 2 ^ { n } } - \sum _ { k = 1 } ^ { n } \frac { \gamma t } { 2 } L _ { k } ^ { \dag } L _ { k } , \; \; \; \; \; E _ { k } = \sqrt { \gamma t } L _ { k } . } \end{array}
\ensuremath { \mathbf { b } } _ { m } ( t , x ) : = \ensuremath { \mathbf { b } } _ { m - 1 } ( t , x ) + \mathbf { v } _ { \varepsilon _ { m } , a _ { m } , \tau _ { m } } ( t , X _ { m - 1 } ^ { - 1 } ( t , x ) ) \, ,
P _ { | n _ { 1 } , n _ { 2 } , \dots , n _ { k } \rangle } ^ { \pm } ( \eta , \vartheta , u ) = P ^ { \pm } ( \eta , \vartheta , u ) \prod _ { i \textrm { o d d } } a _ { n _ { i } } ( \eta , u ) \prod _ { i \textrm { e v e n } } a _ { n _ { i } } ( \bar { \eta } , u ) \, \, \, ,