harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
f = \left\{ \begin{array} { l l } { C _ { 3 } ( 1 - x ) ^ { 2 } ( 1 + o ( 1 ) ) } & { \mathrm { f o r ~ } 0 < n < \frac 3 2 , } \\ { C _ { 4 } ( 1 - x ) ^ { 2 } \left( - \log ( 1 - x ) \right) ^ { \frac 2 3 } ( 1 + o ( 1 ) ) } & { \mathrm { f o r ~ } n = \frac 3 2 , } \\ { C _ { 5 } ( 1 - x ) ^ { \frac 3 n } ( 1 + o ( 1 ) ) } & { \mathrm { f o r ~ } \frac 3 2 < n < 3 , } \end{array} \right. \qquad \mathrm { a s ~ x ~ \nearrow ~ 1 ~ , }
{ \begin{array} { r l } { 1 . 0 0 \ldots 0 \times 2 ^ { 0 } + 1 . 0 0 \ldots 0 \times 2 ^ { - 5 3 } } & { = 1 . \underbrace { 0 0 \ldots 0 } _ { \mathrm { 5 2 ~ b i t s } } \times 2 ^ { 0 } + 0 . \underbrace { 0 0 \ldots 0 } _ { \mathrm { 5 2 ~ b i t s } } 1 \times 2 ^ { 0 } } \\ & { = 1 . \underbrace { 0 0 \ldots 0 } _ { \mathrm { 5 2 ~ b i t s } } 1 \times 2 ^ { 0 } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { e ^ { - 0 . 5 e ^ { * } ( j - 1 ) } } & { = { e ^ { - 0 . 5 } } + { e ^ { - 0 . 5 e } } + { e ^ { - 0 . 5 e ^ { e } } } + \sum _ { j = 3 } ^ { \infty } e ^ { - 0 . 5 { e ^ { * ( j ) } } } } \\ & { \leq { e ^ { - 0 . 5 } } + { e ^ { - 0 . 5 e } } + { e ^ { - 0 . 5 e ^ { e } } } + \sum _ { j = 3 } ^ { \infty } e ^ { - 0 . 5 { j e ^ { e } } } } \\ & { \leq { e ^ { - 0 . 5 } } + { e ^ { - 0 . 5 e } } + { e ^ { - 0 . 5 e ^ { e } } } + \frac 1 { e ^ { e ^ { e } } - 1 } } \\ & { \leq 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { P r } \left[ \left| { \left\| A R ^ { T } \right\| } _ { F } ^ { 2 } - { \left\| A \right\| } _ { F } ^ { 2 } \right| > \varepsilon { \left\| A \right\| } _ { F } ^ { 2 } \right] } & { \leq \operatorname* { P r } \left[ \sum _ { j = 1 } ^ { m } \left| { \left\| A _ { j : } R ^ { T } \right\| } ^ { 2 } - { \left\| A _ { j : } \right\| } ^ { 2 } \right| > \varepsilon \sum _ { k = 1 } ^ { m } { \left\| A _ { j : } \right\| } ^ { 2 } \right] } \\ & { \leq \operatorname* { P r } \left[ \bigcup _ { j = 1 } ^ { m } \left( \left| { \left\| A _ { j : } R ^ { T } \right\| } ^ { 2 } - { \left\| A _ { j : } \right\| } ^ { 2 } \right| > \varepsilon { \left\| A _ { j : } \right\| } ^ { 2 } \right) \right] } \\ & { \leq \sum _ { j = 1 } ^ { m } \operatorname* { P r } \left[ \left| { \left\| A _ { j : } R ^ { T } \right\| } ^ { 2 } - { \left\| A _ { j : } \right\| } ^ { 2 } \right| > \varepsilon { \left\| A _ { j : } \right\| } ^ { 2 } \right] } \\ & { < m \frac { \delta } { m } = \delta , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \begin{array} { r l } { \nabla \cdot { \mathrm { \boldmath ~ n ~ } } \biggr | _ { \phi = \phi _ { \eta } } } & { = \Delta S \left( \xi , \phi = \phi _ { \eta } , z \right) } \\ & { = - \frac { 1 } { H _ { \xi } H _ { \phi } } \biggl [ \frac { \partial } { \partial \xi } \left( \frac { H _ { \phi } ^ { 2 } } { H _ { \xi } } \frac { \partial \eta } { \partial \xi } \right) + 2 H _ { \xi } ^ { 2 } \frac { \sin \phi _ { \eta } } { \sin \phi _ { 0 } } + H _ { \xi } H _ { \phi } ^ { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } \eta } { \partial z ^ { 2 } } \biggr ] . } \end{array} } \end{array}
v _ { i j } ( t ) e ^ { i U _ { 0 } t } = v _ { 0 } \sum _ { l } \mathcal { A } _ { i j } ^ { ( l ) } e ^ { i ( l + l _ { 0 } ) \Omega t } = v _ { 0 } \sum _ { l } \mathcal { B } _ { i j } ^ { ( l ) } e ^ { i l \Omega t }
{ \bf j } _ { \bot e } = - e c n \frac { { \left[ { { \bf E } \times { \bf B } } \right] } } { { B ^ { 2 } } } - c \frac { { \left[ { \nabla p _ { \bot e } \times { \bf B } } \right] } } { { B ^ { 2 } } } + \frac { c \Lambda _ { e } } { 4 \pi } \frac { { \left[ { { \bf B } \times \left( { { \bf B } \nabla } \right) { \bf B } } \right] } } { { B ^ { 2 } } }
\begin{array} { r } { \alpha _ { 2 } ( \lambda ) \! = \! \frac { \int _ { - \infty } ^ { 0 } ( \psi _ { 2 } ( z + c _ { 0 , 2 } - \beta - \lambda ) - c _ { 0 , 2 } ) z \, f _ { Z } ( z + c _ { 0 , 2 } - \beta - \lambda ) d z } { \int _ { - \infty } ^ { 0 } z ^ { 2 } \, f _ { Z } ( z + c _ { 0 , 2 } - \beta - \lambda ) d z } \! = \! E _ { \lambda } [ k _ { 2 } ( S _ { 2 , \lambda } , \lambda ) ] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \hat { \mathcal D } _ { 8 } \left( \phi _ { y } \right) = \exp \left( - i \hat { \lambda } _ { 8 } \frac { \phi _ { y } } { 2 } \right) } \\ & { } & { = \left( \begin{array} { l l l } { \exp \left( - i \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } \frac { \phi _ { y } } { 2 } \right) } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \exp \left( - i \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } \frac { \phi _ { y } } { 2 } \right) } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \exp \left( i \frac { 2 } { \sqrt { 3 } } \frac { \phi _ { y } } { 2 } \right) } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \phi ( \mathbf { r } , \eta ) } & { { } = } & { \phi ^ { ( 0 ) } ( \mathbf { r } , \eta ) \phi ^ { ( 1 ) } ( \mathbf { r } , \eta ) } \\ { \phi ^ { ( 1 ) } ( \mathbf { r } ) } & { { } = } & { { \cal C } \exp \left[ \nu \ln ( \kappa r ) \right] , } \\ { \nu } & { { } = } & { \frac { ( c ^ { 2 } - I _ { p } ) Z } { c ^ { 2 } \sqrt { I _ { p } ( 2 - I _ { p } / c ^ { 2 } ) } } } \end{array}
a ^ { 1 2 } + 6 a ^ { 1 0 } c ^ { 2 } + 4 8 a ^ { 8 } b ^ { 2 } c ^ { 2 } + 1 5 a ^ { 8 } c ^ { 4 } + 4 8 a ^ { 7 } b ^ { 4 } c + 1 4 4 a ^ { 6 } b ^ { 2 } c ^ { 4 } + 2 0 a ^ { 6 } c ^ { 6 } + 9 6 a ^ { 5 } b ^ { 6 } c + 3 3 6 a ^ { 5 } b ^ { 4 } c ^ { 3 } + 4 8 a ^ { 4 } b ^ { 8 } + 3 8 4 a ^ { 4 } b ^ { 6 } c ^ { 2 } + 1 9 2 a ^ { 4 } b ^ { 4 } c ^ { 4 } + 1 4 4 a ^ { 4 } b ^ { 2 } c ^ { 6 } + 1 5 a ^ { 4 } c ^ { 8 } + 3 8 4 a ^ { 3 } b ^ { 8 } c + 3 2 0 a ^ { 3 } b ^ { 6 } c ^ { 3 } + 3 3 6 a ^ { 3 } b ^ { 4 } c ^ { 5 } + 1 9 2 a ^ { 2 } b ^ { 1 0 } + 9 6 a ^ { 2 } b ^ { 8 } c ^ { 2 } + 3 8 4 a ^ { 2 } b ^ { 6 } c ^ { 4 } + 4 8 a ^ { 2 } b ^ { 2 } c ^ { 8 } + 6 a ^ { 2 } c ^ { 1 0 } + 3 8 4 a b ^ { 8 } c ^ { 3 } + 9 6 a b ^ { 6 } c ^ { 5 } + 4 8 a b ^ { 4 } c ^ { 7 } + 6 4 b ^ { 1 2 } + 1 9 2 b ^ { 1 0 } c ^ { 2 } + 4 8 b ^ { 8 } c ^ { 4 } + c ^ { 1 2 }
= \frac { 3 } { 4 \pi \, { R _ { 2 A } ^ { \delta } } ^ { 5 } } \Gamma _ { + } \Bigg ( [ ( \rho _ { c } - \rho _ { + } ) ^ { 2 } \delta _ { 0 \rho } + ( z _ { c } - z _ { + } ) \delta _ { 0 z } \rho _ { c } ] ( I _ { 2 B } ^ { \delta } - I _ { 1 B } ^ { \delta } )
\varphi _ { f _ { U } , { \bf k } } ( t ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \hbar \Omega _ { i , { \bf k } } } } \Bigl [ - i \frac { \Omega _ { i , { \bf k } } } { \tilde { \Omega } _ { f , { \bf k } } ( t ) } \sinh ( \int _ { 0 } ^ { t } \tilde { \Omega } _ { f , { \bf k } } ( t ) ) + \cosh ( \int _ { 0 } ^ { t } \tilde { \Omega } _ { f , { \bf k } } ( t ) ) \Bigr ] ,
\delta _ { x _ { 1 } , y _ { 1 } } \delta _ { x _ { 2 } , y _ { 2 } } \mathbf { A } _ { I d } = \oint _ { 0 } \oint _ { 0 } ( z _ { 1 } ^ { x _ { 1 } } z _ { 2 } ^ { x _ { 2 } } ) ( z _ { 1 } ^ { y _ { 1 } - 1 } z _ { 2 } ^ { y _ { 2 } - 1 } - R ( p _ { 1 } , p _ { 2 } ) z _ { 1 } ^ { y _ { 2 } - 1 } z _ { 2 } ^ { y _ { 1 } - 1 } ) ) \mathbf { A } _ { I d } d z _ { 1 } d z _ { 2 }
\begin{array} { r l } { \sigma ( \partial _ { v } , \partial _ { v } ) } & { = - \sigma ( \partial _ { u } , \partial _ { u } ) , \quad \kappa ( \partial _ { v } , \partial _ { v } ) = - \kappa ( \partial _ { u } , \partial _ { u } ) , } \\ { \sigma ( \partial _ { u } , \partial _ { v } ) } & { = \sigma ( \partial _ { v } , \partial _ { u } ) , \quad \; \; \, \kappa ( \partial _ { u } , \partial _ { v } ) = \kappa ( \partial _ { v } , \partial _ { u } ) , } \\ { \sigma ( \partial _ { u } , \partial _ { v } ) } & { = i \sigma ( \partial _ { u } , \partial _ { u } ) , \quad \, \kappa ( \partial _ { u } , \partial _ { v } ) = - i \kappa ( \partial _ { u } , \partial _ { u } ) , } \end{array}
\partial \Omega ^ { \mathrm { f } } = \Gamma _ { \mathrm { p v } } ^ { \mathrm { f } } \cup \Gamma _ { \mathrm { a a } } ^ { \mathrm { f } } \cup \Gamma _ { \mathrm { c } } ^ { \mathrm { f } } \cup \Gamma _ { \mathrm { w } } ^ { \mathrm { f } }
\small { f _ { \mathit { \mathrm { d a r k } } } ^ { ( 1 ) } ( K ; \tau , t _ { 0 } , t _ { \mathrm { g a t e } } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \tau } { t _ { 0 } + t _ { \mathrm { g a t e } } } \cdot \left( \frac { 1 } { K } + \frac { 1 } { 1 - K } \right) } & { \mathrm { f o r ~ } K _ { \mathrm { d a r k } } ^ { \mathrm { m i n } } \leq K \leq K _ { \mathrm { d a r k } } ^ { \mathrm { m a x } } , } \\ { \frac { \tau } { t _ { 0 } + t _ { \mathrm { g a t e } } } \cdot \left( \frac { 1 } { 1 - K } \right) , } & { \mathrm { f o r ~ } 0 < K \leq K _ { \mathrm { d a r k } } ^ { \mathrm { m i n } } , } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ o t h e r w i s e } , } \end{array} \right. }
{ \cal E } ^ { U ( n ) } = \frac { 1 } { 2 } \, \frac { g _ { S Y M } ^ { 2 } } { ( 2 \pi ) ^ { d - 2 } \sqrt { \operatorname * { d e t } ( G ^ { i j } ) } } | n - \frac { 1 } { 2 } \mathrm { t r } ( M \Theta ) | ^ { - 1 } \,
\begin{array} { r l } { \left( \frac { 1 } { - \omega _ { 1 } } \partial _ { \sigma } - \epsilon ( \partial _ { \sigma } + \partial _ { \theta } ) + \epsilon ^ { 3 } \omega _ { 2 } \partial _ { 0 } + \omega ^ { 4 } \omega _ { 3 } \partial _ { 0 } \right) \frac { 1 } { \epsilon } D } & { { } = \gamma \left[ \frac { - 1 } { \epsilon } D + ( I _ { 0 } + I _ { 1 } \frac { \epsilon } { \epsilon } D ) \frac { 1 } { \epsilon } | E | ^ { 2 } \right] , } \end{array}
\psi ( { \bf x } , 0 ) = \left( \frac { \epsilon _ { p } + m } { 2 \epsilon _ { p } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left( \begin{array} { c } { { { \displaystyle - \frac { p } { \epsilon _ { p } + m } } \chi _ { 1 } } } \\ { { \chi _ { 1 } } } \end{array} \right) e ^ { i p z }
\langle 0 | e ^ { k g \varphi ( 0 ) } | 0 \rangle = \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \, \frac { k ^ { j } \, g ^ { j } } { j ! } \langle 0 | : \! \varphi ^ { j } ( 0 ) \! : | 0 \rangle = 1 + o ( k ^ { 2 } ) \, .
{ \begin{array} { r l } & { U ( \Lambda , a ) \Psi _ { p _ { 1 } \sigma _ { 1 } n _ { 1 } ; p _ { 2 } \sigma _ { 2 } n _ { 2 } ; \cdots } } \\ { = } & { e ^ { - i a _ { \mu } \left[ ( \Lambda p _ { 1 } ) ^ { \mu } + ( \Lambda p _ { 2 } ) ^ { \mu } + \cdots \right] } { \sqrt { \frac { ( \Lambda p _ { 1 } ) ^ { 0 } ( \Lambda p _ { 2 } ) ^ { 0 } \cdots } { p _ { 1 } ^ { 0 } p _ { 2 } ^ { 0 } \cdots } } } \left( \sum _ { \sigma _ { 1 } ^ { \prime } \sigma _ { 2 } ^ { \prime } \cdots } D _ { \sigma _ { 1 } ^ { \prime } \sigma _ { 1 } } ^ { ( j _ { 1 } ) } \left[ W ( \Lambda , p _ { 1 } ) \right] D _ { \sigma _ { 2 } ^ { \prime } \sigma _ { 2 } } ^ { ( j _ { 2 } ) } \left[ W ( \Lambda , p _ { 2 } ) \right] \cdots \right) \Psi _ { \Lambda p _ { 1 } \sigma _ { 1 } ^ { \prime } n _ { 1 } ; \Lambda p _ { 2 } \sigma _ { 2 } ^ { \prime } n _ { 2 } ; \cdots } , } \end{array} }
\begin{array} { r } { \mathrm { R S } ( \mathcal D ) = \mathbb { E } _ { \boldsymbol \nu \sim \mathcal { N } ( \mathbf 0 , \sigma ^ { 2 } \mathbf I ) } [ \mathcal D _ { \boldsymbol { \theta } } ( \mathbf x _ { n - 1 } + \boldsymbol \nu ) ] \mathrel { \mathop : } = \mathbf { z } _ { n } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial t ^ { 2 } } + \frac { k c _ { 0 } ^ { 2 } } { \omega } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x \partial t } \right) \theta ( x , t ) = \frac { g ^ { 2 } \Omega F ( D ) } { 4 \omega } \sin \theta ( x , t ) . } \end{array}
a = \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) \quad \sigma _ { \mathrm { { g } _ { 2 } \mathrm { e } } } = \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) \quad \sigma _ { \mathrm { { g } _ { 1 } \mathrm { e } } } = \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { M ^ { ( n ) } = } & { { } 2 \sum _ { a = 1 } ^ { p } \cos \left( \frac { 2 \pi } { n _ { \varphi } } n a \right) \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \Lambda _ { l ^ { \prime } } ( \varphi ) \Lambda _ { l ^ { \prime } + a } ( \varphi ) \mathrm { d } { \varphi } } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { L } } & { { } = \frac { 4 \sigma } { R } = p _ { i } - p _ { 0 } , } \\ { p _ { L } ^ { \prime } } & { { } = \frac { 4 \sigma } { R ^ { \prime } } = p _ { i } ^ { \prime } - ( p _ { 0 } + \Delta p ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { [ - m _ { n } ( \omega + p \omega _ { m } ) ^ { 2 } + \mathrm { i } c _ { n } ( \omega + p \omega _ { m } ) ] \hat { W } _ { n } ^ { ( p ) } + \sum _ { j = - \infty } ^ { \infty } \hat { k } _ { n } ^ { ( j ) } \hat { W } _ { n } ^ { ( p - j ) } = \mathrm { i } c _ { n } ( \omega + p \omega _ { m } ) \hat { w } _ { n } ^ { ( p ) } + \sum _ { j = - \infty } ^ { \infty } \hat { k } _ { n } ^ { ( j ) } \hat { w } _ { n } ^ { ( p - j ) } , \quad p \in \mathbb { Z } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ V ~ a ~ r ~ } [ \beta ] } & { { } = \langle \beta ^ { 2 } \rangle - \langle \beta \rangle ^ { 2 } = \frac { N ( N - 1 ) } { 2 ( W ^ { * } ) ^ { 2 } } p ( 1 - p ) = \frac { \mathrm { ~ V ~ a ~ r ~ } [ L ] } { ( W ^ { * } ) ^ { 2 } } = } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta _ { G } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) } & { = 1 - x _ { 1 } - x _ { 2 } - x _ { 3 } + x _ { 1 } x _ { 3 } } \\ & { = \left( 1 - \frac { x _ { 1 } ( 1 - x _ { 3 } ) } { 1 - x _ { 2 } - x _ { 3 } } \right) \left( 1 - \frac { x _ { 2 } } { 1 - x _ { 3 } } \right) ( 1 - x _ { 3 } ) = \prod _ { i = 1 } ^ { 3 } \, ( 1 - u _ { i } ^ { \mathcal G _ { 1 } } ) } \\ & { = ( 1 - x _ { 1 } ) \left( 1 - \frac { x _ { 2 } } { 1 - x _ { 1 } } \right) \left( 1 - \frac { x _ { 3 } ( 1 - x _ { 1 } ) } { 1 - x _ { 1 } - x _ { 2 } } \right) = \prod _ { i = 1 } ^ { 3 } \, ( 1 - u _ { i } ^ { \mathcal G _ { 2 } } ) } \\ & { = ( 1 - x _ { 1 } ) \left( 1 - \frac { x _ { 2 } } { ( 1 - x _ { 1 } ) ( 1 - x _ { 3 } ) } \right) ( 1 - x _ { 3 } ) = \prod _ { i = 1 } ^ { 3 } \, ( 1 - u _ { i } ^ { \mathcal G _ { 3 } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha ( t ) = } & { \left( \cos \left( \frac { w _ { 0 } t } { 2 } \right) - \mathrm { i } \sin \left( \frac { w _ { 0 } t } { 2 } \right) \right) \left( \cos \left( \frac { | \lambda _ { 0 } | t } { 2 } \right) + \mathrm { i } \frac { w _ { 0 } } { | \lambda _ { 0 } | } \sin \left( \frac { | \lambda _ { 0 } | t } { 2 } \right) \right) } \\ { \beta ( t ) = } & { \frac { 1 } { | \lambda _ { 0 } | } ( u _ { 0 } + \mathrm { i } v _ { 0 } ) \sin \left( \frac { | \lambda _ { 0 } | t } { 2 } \right) \left( \cos \left( \frac { w _ { 0 } t } { 2 } \right) + \mathrm { i } \sin \left( \frac { w _ { 0 } t } { 2 } \right) \right) } \\ { u ( t ) = } & { u _ { 0 } \cos ( w _ { 0 } t ) - v _ { 0 } w _ { 0 } \sin ( w _ { 0 } t ) } \\ { v ( t ) = } & { v _ { 0 } \cos ( w _ { 0 } t ) + u _ { 0 } w _ { 0 } \sin ( w _ { 0 } t ) } \\ { w ( t ) = } & { w _ { 0 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \cal C } _ { n } ^ { \pm } } & { = } & { \sum _ { m \neq 0 , n } g _ { m 0 } \langle \hat { \sigma } _ { n } ^ { \pm } \hat { \sigma } _ { m } ^ { - } \rangle } \\ { { \cal C } _ { n } ^ { 0 } } & { = } & { \sum _ { m \neq 0 , n } g _ { m 0 } \langle \hat { e } _ { n } \hat { \sigma } _ { m } ^ { - } \rangle } \end{array}
\int _ { y ^ { ( + ) } } ^ { y ^ { ( - ) } } { \frac { d y } { a ^ { 2 } } } u _ { 0 } ( y ) h _ { \mu \nu } ^ { ( K K ) } ( y ) \propto \int _ { y ^ { ( + ) } } ^ { y ^ { ( - ) } } d y \, h _ { \mu \nu } ^ { ( K K ) } ( y ) = 0 .
\left[ \begin{array} { l } { V _ { M 1 } / V _ { M 0 } } \\ { I _ { 1 } / V _ { M 0 } } \end{array} \right] = \mathbf { F ^ { \prime } } \mathbf { T } \mathbf { F ^ { \prime - 1 } } \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { V _ { 0 } / V _ { M 0 } Y } \end{array} \right]
{ \frac { d x q } { d ^ { 2 } b d ^ { 2 } \ell } } = { \frac { N _ { c } } { 6 \pi ^ { 4 } } } \ { \frac { Q _ { s } ^ { 2 } } { \ell ^ { 2 } } } \ \mathrm { f o r } \ \ell ^ { 2 } > > Q _ { s } ^ { 2 }
\begin{array} { r } { \left| \int _ { 0 } ^ { \xi } \! \! \! d \eta \, \left[ \frac { \hat { \omega } ^ { \prime } } { 2 \hat { \omega } } ( \eta , \! Z ) \, \sin [ 2 \phi ( \eta , \! 0 , \! Z ) \right] \right| \ll \, \phi ( \xi , \! 0 , \! Z ) , } \end{array}
\tau _ { j + 1 / 2 } = \frac { 4 } { 3 } \mu _ { j + 1 / 2 } \left( \frac { \partial u } { \partial x } \right) _ { j + 1 / 2 } , \quad q _ { j + 1 / 2 } = - \frac { \mu _ { j + 1 / 2 } } { \operatorname* { P r } ( \gamma - 1 ) } \left( \frac { \partial T } { \partial x } \right) _ { j + 1 / 2 } .
\mathsf { d } _ { N - 1 } = \sum _ { m = 0 } ^ { N - 1 } q ^ { p _ { 1 } ( N - 1 - m ) } q ^ { \binom m 2 } ( - 1 ) ^ { m } q ^ { ( p _ { 2 } - t _ { 2 } + 1 ) m } \frac { ( q ^ { N - t _ { 1 } - 1 } ; q ^ { - 1 } ) _ { N - 1 - m } } { ( q ^ { N - 1 } ; q ^ { - 1 } ) _ { N - 1 - m } } \frac { ( q ; q ) _ { t _ { 2 } - 1 } } { ( q ; q ) _ { m } ( q ; q ) _ { t _ { 2 } - 1 - m } } .
( m _ { h } ^ { 2 } ) _ { m a x } = 2 v ^ { 2 } [ \lambda _ { 1 } \cos ^ { 4 } \beta + \lambda _ { 2 } \sin ^ { 4 } \beta + 2 ( \lambda _ { 3 } + \lambda _ { 4 } ) \sin ^ { 2 } \beta \cos ^ { 2 } \beta ] + \epsilon ,
\begin{array} { r } { \frac 1 2 ( \delta _ { t } \rho ) u ^ { 2 } = - \frac 1 2 ( \delta ^ { * } j ) u ^ { 2 } = - \frac 1 2 \big ( \delta ^ { * } ( j [ u ^ { 2 } ] ) - [ j \delta ( u ^ { 2 } ) ] ^ { * } \big ) } \\ { = - \delta ^ { * } ( j [ u ] ^ { 2 } ) + \frac 1 2 \delta ^ { * } ( j u _ { - } u _ { + } ) + [ j [ u ] \delta u ] , } \\ { \delta ^ { * } ( j [ u ] ) u = \delta ^ { * } ( j [ u ] ^ { 2 } ) - [ j [ u ] \delta u ] ^ { * } , } \end{array}
E r r ( \alpha , y , m ) = \frac { \sqrt { \int \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \left| { q _ { e s t } ^ { i } } \left( \alpha , y , m , t \right) - { q _ { D 1 } ^ { i } } \left( \alpha , y , m , t \right) \right| ^ { 2 } d t } } { { \sqrt { \int \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \left| { q _ { D 1 } ^ { i } } \left( \alpha , y , m , t \right) \right| ^ { 2 } d t } } } \mathrm { ~ , ~ }
\left\langle \sum _ { | \mathbf { x } _ { j } - \mathbf { x } _ { i } | < R _ { 0 } } \mathbf { v } _ { j } ( t ) \right\rangle = \left\langle \sum _ { | \mathbf { x } _ { j } - \mathbf { x } _ { i } | < R _ { 0 } } [ \mathbf { x } _ { j } ( t ) - \mathbf { x } _ { j } ( t - 1 ) ] \right\rangle \approx M [ \langle \mathbf { x } _ { i } ( t ) \rangle - \langle \mathbf { x } _ { i } ( t - 1 ) \rangle ] = M [ \mathbf { X } ( t ) - \mathbf { X } ( t - 1 ) ]
\left\{ \begin{array} { l } { \displaystyle \frac { \partial x _ { k } } { \partial t } = - x _ { k } ( t , \tau ) + \mathrm { t a n h } \Big ( \sum _ { j } J _ { k j } ( \tau ) x _ { j } ( t , \tau ) \Big ) + \xi _ { k } ( t , \tau ) \, } \\ { \displaystyle J _ { k j } ( \tau + 1 ) = \frac { 1 } { \sqrt { N } } \, \mathrm { s i g n } \, \big ( h _ { k j } \big ( \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow \infty } \mathbf { x } ( t | \mathbf { J } ( \tau ) ) \big ) + \beta ^ { - 1 } \tilde { \xi } ( \tau ) \big ) } \\ { \displaystyle h _ { k j } ^ { ( t t ) } ( \tau ) = \big \langle x _ { k } ( \tau ) x _ { j } ( \tau ) \big \rangle ^ { 1 / 2 } } \\ { \displaystyle \hat { h } _ { k \ell } ^ { ( t o ) } ( \tau ) = \Big \langle ( 1 - x _ { k } ^ { 2 } ( \tau ) ) J _ { k \ell } ^ { ( t o ) } ( \tau ) \frac { \Psi ( \tau ) } { N _ { t } } \Big ( \sum _ { j \in \mathcal { T } } J _ { \ell j } ^ { ( o t ) } ( \tau ) x _ { j } ( \tau ) \Big ) \Big \rangle \, } \end{array} \right. \,
k = \left[ \sum _ { q = 0 } ^ { \infty } e ^ { - \beta \epsilon _ { q } } \right] ^ { - 1 } \left\{ \sum _ { n = 0 } ^ { N } e ^ { - \beta \epsilon _ { 2 n } } J _ { 2 n } \mid T _ { 2 n } \mid ^ { 2 } + \sum _ { m = 2 N + 2 } ^ { \infty } e ^ { - \beta \epsilon _ { m } } \right\}
\begin{array} { r l } { \tilde { V } ^ { * } ( x ) = } & { \operatorname* { m a x } _ { \alpha } \operatorname* { m i n } _ { \beta } \bigg \{ | | x | | _ { 1 } + c _ { b } b ( x ) - c _ { a } a ( x ) + \tilde { \mu } \sum _ { i } \tilde { V } ^ { * } ( ( x - e _ { i } ) ^ { + } ) } \\ & { + \tilde { \lambda } \tilde { V } ^ { * } ( x + e _ { \operatorname* { m i n } } ) + a ( x ) ( 1 - b ( x ) ) \tilde { \lambda } \Big ( \tilde { V } ^ { * } ( x + e _ { \operatorname* { m a x } } ) - \tilde { V } ^ { * } ( x + e _ { \operatorname* { m i n } } ) \Big ) \bigg \} . } \end{array}
{ \frac { d ^ { 2 } } { d \theta ^ { 2 } } } \left( { \frac { 1 } { \mathbf { r } } } \right) + { \frac { 1 } { \mathbf { r } } } = - { \frac { \mu \mathbf { r } ^ { 2 } } { \mathbf { l } ^ { 2 } } } \mathbf { F } ( \mathbf { r } )
D _ { { \mu } { \nu } } ^ { p } ( q ) = \frac { i } { q ^ { 2 } + i { \epsilon } } \left( - g _ { { \mu } { \nu } } + \frac { n _ { \mu } q _ { \nu } + n _ { \nu } q _ { \mu } } { q _ { - } } - n ^ { 2 } \frac { q _ { \mu } q _ { \nu } } { q _ { - } ^ { 2 } } \right) - { \delta } _ { { \mu } + } { \delta } _ { { \nu } + } \frac { i } { q _ { - } ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { \epsilon ( \mathbf { k } ) } & { { } = \frac { 1 } { 2 } ( E _ { - 1 , 0 } ( \mathbf { k } ) + E _ { 0 , - 1 } ( \mathbf { k } ) ) , } \\ { \Omega _ { x } ( \mathbf { k } ) } & { { } = \frac { 1 } { 2 k ^ { 2 } } \left( k _ { x } ^ { 2 } - k _ { y } ^ { 2 } \right) \left( E _ { 0 , - 1 } ( \mathbf { k } ) - E _ { - 1 , 0 } ( \mathbf { k } ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { s ( A ^ { t - \frac { 1 } { 2 } } ( A \# _ { t } B ) B ^ { \frac { 1 } { 2 } - t } ) = s ( B ^ { \frac { 1 } { 2 } - t } ( B \# _ { 1 - t } A ) A ^ { t - \frac { 1 } { 2 } } ) } & { = s ( B ^ { ( 1 - t ) - \frac { 1 } { 2 } } ( B \# _ { 1 - t } A ) A ^ { \frac { 1 } { 2 } - ( 1 - t ) } ) } \\ & { \prec _ { \log } s ( B ^ { 1 / 2 } A ^ { 1 / 2 } ) = s ( A ^ { 1 / 2 } B ^ { 1 / 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { q ( \sqrt { N } Y _ { i j } ) = q \Big ( \sqrt { N } X _ { i j } + \gamma \sqrt { N } \sum _ { k } u _ { i } u _ { k } X _ { k j } \Big ) } & { \approx q ( \sqrt { N } X _ { i j } ) + \gamma \sqrt { N } q ^ { \prime } ( \sqrt { N } X _ { i j } ) \sum _ { k } u _ { i } u _ { k } X _ { k j } } \\ & { \approx \sqrt { N } \left( \frac { q ( \sqrt { N } X _ { i j } ) } { \sqrt { N } } + \gamma \mathbb { E } [ q ^ { \prime } ( \sqrt { N } X _ { i j } ) ] \sum _ { k } u _ { i } u _ { k } X _ { k j } \right) , } \end{array}
i \int _ { p } \frac { p ^ { \mu _ { 1 } } p ^ { \mu _ { 2 } } \cdots p ^ { \mu _ { 2 n } } } { ( p ^ { 2 } - m ^ { 2 } ) ^ { 2 n } } = ( - 1 ) ^ { n + 1 } \left( \frac { m ^ { 2 } } { 4 \pi \mu ^ { 2 } } \right) ^ { D / 2 - 2 } \frac { m ^ { 4 } } { ( 4 \pi ) ^ { 2 } } \frac { \Gamma ( n - D / 2 ) } { m ^ { 2 n } 2 ^ { n } \Gamma ( 2 n ) } S _ { n } ^ { \mu _ { 1 } \mu _ { 2 } \cdots \mu _ { 2 n } } \ .
\begin{array} { r l } { f ^ { \prime } ( a ) } & { { } = \operatorname* { l i m } _ { h \to 0 } { \frac { f ( a + h ) - f ( a ) } { h } } = \operatorname* { l i m } _ { h \to 0 } { \frac { ( a + h ) ^ { 2 } - a ^ { 2 } } { h } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { { 1 } \mathrm { E } _ { \mathrm { r } } } & { = \mathcal { S } \tau _ { \mathrm { c } } ( P _ { \mathrm { c } } - P _ { 0 } ) + \mathcal { W } P _ { 0 } . } \\ { \Rightarrow \mathcal { E } } & { = \mathbb { E } ( \mathrm { E } _ { \mathrm { r } } ) = \alpha \mathbb { E } [ \mathcal { S } ] + \beta \mathbb { E } [ \mathcal { W } ] , \; } \end{array}
\begin{array} { r } { ( \hat { e } _ { \perp } ) _ { i } = \frac { ( - 1 ) ^ { i } M _ { 0 , i } ( 0 ) } { \sqrt { \sum _ { i } \vert M _ { 0 , i } ( 0 ) \vert ^ { 2 } } } \, , } \end{array}
\kappa _ { \Phi } ^ { \mu _ { 1 } , \hdots , \mu _ { n } } = \frac { \partial ^ { n } } { \partial J _ { \mu _ { 1 } } \hdots \partial J _ { \mu _ { n } } } \left. \left( \frac { 1 } { \beta } \ln Z [ \beta , J _ { \alpha } , K ^ { \alpha } ] \right) \right| _ { J = 0 , K = 0 , \beta = 1 } = \frac { \partial ^ { n } } { \partial J _ { \mu _ { 1 } } \hdots \partial J _ { \mu _ { n } } } \left. \left( \frac { 1 } { \beta } \ln Z _ { \Phi } [ \beta , J _ { \alpha } ] \right) \right| _ { J = 0 , \beta = 1 }
\begin{array} { r l } & { ( d + 1 ) ( n _ { 2 } + m _ { 2 } ) + 2 N ^ { 2 } + 6 1 d ( n + m + 1 ) ^ { 2 } + 2 N ^ { 2 } + 1 1 6 d ^ { 3 } ( n + m + 1 ) ^ { 2 } + 2 N ^ { 2 } } \\ & { \leq 2 d ( n + m + 1 ) + 3 \cdot 2 ( 8 d ( n + m + 1 ) ) ^ { 2 } + 6 1 d ( n + m + 1 ) ^ { 2 } + 1 1 6 d ^ { 3 } ( n + m + 1 ) ^ { 2 } } \\ & { \leq ( 2 + 3 \cdot 2 \cdot 8 ^ { 2 } + 6 1 + 1 1 6 ) d ^ { 3 } ( n + m + 1 ) ^ { 2 } } \\ & { = 5 6 3 d ^ { 3 } ( n + m + 1 ) ^ { 2 } . } \end{array}