harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { p _ { r } } & { = } & { \frac { 1 } { 2 r ^ { 8 } ( 3 r + { r _ { 0 } } ) ^ { 2 } } \left\lbrace e ^ { 2 \mu ( { r _ { 0 } } - r ) } \left( 1 2 \alpha { r _ { 0 } } ^ { 2 } \left( 2 r ^ { 2 } + 3 r { r _ { 0 } } + { r _ { 0 } } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } - 1 6 \alpha r ^ { 2 } { r _ { 0 } } \left( 6 r ^ { 3 } + 1 7 r ^ { 2 } { r _ { 0 } } \right. \right. \right. } \\ & { + } & { \left. \left. \left. 1 5 r { r _ { 0 } } ^ { 2 } + 4 { r _ { 0 } } ^ { 3 } \right) e ^ { \mu ( r - { r _ { 0 } } ) } + r ^ { 4 } \left( - e ^ { 2 \mu ( r - { r _ { 0 } } ) } \right) \left( 9 \beta r ^ { 6 } + 6 \beta r ^ { 5 } { r _ { 0 } } + \beta r ^ { 4 } { r _ { 0 } } ^ { 2 } - 3 6 \alpha r ^ { 2 } \right. \right. \right. } \\ & { - } & { \left. \left. \left. 1 2 0 \alpha r { r _ { 0 } } - 8 4 \alpha { r _ { 0 } } ^ { 2 } \right) \right) \right\rbrace } \end{array}
\hat { V } _ { 0 } = V _ { 0 } \left( Q _ { \mathrm { s } } \right) = E _ { \mathrm { B O } } \left( \mathbf { R } _ { \mathrm { e } } + Q _ { \mathrm { s } } \boldsymbol { \xi } _ { \mathrm { s } } \right)
\begin{array} { r l } & { E \left[ \left| u _ { n , \varepsilon } ^ { i } ( \theta ) \right| ^ { 2 l } \right] \leq C , } \\ & { E \left[ \left| u _ { n , \varepsilon } ^ { i } ( \theta _ { 2 } ) - u _ { n , \varepsilon } ^ { i } ( \theta _ { 1 } ) \right| ^ { 2 l } \right] \leq C \left| \theta _ { 2 } - \theta _ { 1 } \right| ^ { 2 l } , } \end{array}
\mathcal { H } ^ { i } = \frac { s ^ { i } } { 2 } \left( \xi _ { t } ^ { i } - y _ { t } ^ { i } \right) ^ { 2 } + \sum _ { j \in N ( i ) } \frac { \rho _ { t } } { 2 } w _ { i j } \left( y _ { t - 1 } ^ { j } - y _ { t } ^ { i } \right) ^ { 2 } ,
\left\langle \begin{array} { c c } { { i } } \\ { { j } } \end{array} \right\rangle \left\langle \begin{array} { c c } { { k } } \\ { { l } } \end{array} \right\rangle = \left\langle \begin{array} { c c } { { i } } \\ { { l } } \end{array} \right\rangle \left\langle \begin{array} { c c } { { k } } \\ { { j } } \end{array} \right\rangle \frac { \hbar } { p _ { i } - p _ { k } } + \left\langle \begin{array} { c c } { { k } } \\ { { l } } \end{array} \right\rangle \left\langle \begin{array} { c c } { { i } } \\ { { j } } \end{array} \right\rangle \sqrt { 1 - \frac { \hbar ^ { 2 } } { ( p _ { i } - p _ { k } ) ^ { 2 } } }
R = ( I + A ) ( I - A ) ^ { - 1 } = I + { \frac { 2 \theta _ { 1 } } { 1 + { \theta _ { 1 } } ^ { 2 } } } A _ { 1 } + { \frac { 2 { \theta _ { 1 } } ^ { 2 } } { 1 + { \theta _ { 1 } } ^ { 2 } } } { A _ { 1 } } ^ { 2 } + { \frac { 2 \theta _ { 2 } } { 1 + { \theta _ { 2 } } ^ { 2 } } } A _ { 2 } + { \frac { 2 { \theta _ { 2 } } ^ { 2 } } { 1 + { \theta _ { 2 } } ^ { 2 } } } { A _ { 2 } } ^ { 2 }
\int _ { - \infty } ^ { \infty } d \omega \, \frac { \exp [ - \sigma _ { t } ^ { 2 } ( \omega - \tilde { \omega } ) ^ { 2 } / 2 ] } { \omega + i 0 ^ { + } } = \int _ { - \infty + i \, \Im z } ^ { \infty + i \, \Im z } \frac { e ^ { - y ^ { 2 } } \, d y } { z - i 0 ^ { + } - y } ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \ln f ( U ) = \lbrack \mathrm { L T } \rbrack ^ { ( U \to + \infty ) } \ln \int _ { 0 } ^ { + \infty } \delta \left( U - A ( \eta ) \, \mathrm { e } ^ { 2 g \eta } \right) \, p ( \eta ) \, d \eta } \\ & { } & { = \lbrack \mathrm { L T } \rbrack ^ { ( U \to + \infty ) } \ln \int _ { 0 } ^ { + \infty } \frac { \delta \left( \eta - \eta ( U ) \right) } { \vert 2 g + \partial _ { \eta } \ln A ( \eta ) \vert \, U } \, p ( \eta ) \, d \eta } \\ & { } & { = \lbrack \mathrm { L T } \rbrack ^ { ( U \to + \infty ) } \ln \frac { 1 } { U ^ { 1 + 1 / 2 \mu _ { \mathrm { m a x } } g } } \frac { \eta ( U ) \, A ( \eta ( U ) ) ^ { 1 / 2 \mu _ { \mathrm { m a x } } g } } { \vert 2 g + \partial _ { \eta } \ln A ( \eta ( U ) ) \vert } } \end{array}
{ \frac { d ^ { 2 } \mathbf { u } _ { j } ( t ) } { d t ^ { 2 } } } = { \frac { d { \boldsymbol { \Omega } } } { d t } } \times \mathbf { u } _ { j } + { \boldsymbol { \Omega } } \times { \frac { d \mathbf { u } _ { j } ( t ) } { d t } } = { \frac { d { \boldsymbol { \Omega } } } { d t } } \times \mathbf { u } _ { j } + { \boldsymbol { \Omega } } \times \left[ { \boldsymbol { \Omega } } \times \mathbf { u } _ { j } ( t ) \right] ,
\hat { \mathcal { V } } _ { a b \to c d } ^ { ( \mathrm { o n } ) } = \Bigl ( \Sigma _ { a a } ^ { ( 0 ) } \frac { \partial } { \partial m _ { a } ^ { 2 } } + \Sigma _ { b b } ^ { ( 0 ) } \frac { \partial } { \partial m _ { b } ^ { 2 } } + \Sigma _ { c c } ^ { ( 0 ) } \frac { \partial } { \partial m _ { c } ^ { 2 } } + \Sigma _ { d d } ^ { ( 0 ) } \frac { \partial } { \partial m _ { d } ^ { 2 } } \Bigr ) M _ { a b \to c d } ^ { ( 0 ) } ( p , p ^ { \prime } , q , q ^ { \prime } ) .
\begin{array} { r l } { \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 } ^ { i } p _ { i } q _ { j } g ( u ( x _ { j } ) - u ( x _ { i } ) ) } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } p _ { i } \sum _ { j = 1 } ^ { i } q _ { j } g ( u ( x _ { j } ) - u ( x _ { i } ) ) } \\ & { \leq \sum _ { i = 1 } ^ { n } p _ { i } \sum _ { j = 1 } ^ { i } p _ { j } g ( u ( x _ { j } ) - u ( x _ { i } ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \kappa _ { n } ( \Pi _ { t } ) } & { = \frac { 1 } { n ! } \operatorname* { l i m } _ { z \rightarrow 0 } \frac { d ^ { n - 1 } } { d z ^ { n - 1 } } \left( \frac { z } { f _ { \Pi _ { t } } ( z ) } \right) ^ { n } } \\ & { = \frac { 1 } { n ! } \operatorname* { l i m } _ { z \rightarrow 0 } \frac { d ^ { n - 1 } } { d z ^ { n - 1 } } \exp \left( \frac { - n t } { z + \frac { 1 } { 2 } } \right) . } \end{array}
{ \frac { 2 \varepsilon } { \rho U ^ { 3 } } } = { \frac { 1 } { U } } { \frac { \partial } { \partial t } } ( \delta _ { 1 } + \delta _ { 2 } ) + { \frac { 2 \delta _ { 2 } } { U ^ { 2 } } } { \frac { \partial U } { \partial t } } + { \frac { 1 } { U ^ { 3 } } } { \frac { \partial } { \partial x } } ( U ^ { 3 } \delta _ { 3 } ) + { \frac { v _ { w } } { U } }
{ \cal S } ^ { U ( q ) } = \frac { 1 } { g _ { S Y M } ^ { 2 } } \int d t \int d ^ { 3 } \sigma ^ { \prime } ~ \sqrt { \operatorname * { d e t } ( G ^ { i j } ) } ~ \mathrm { t r } _ { q } \left( \frac { 1 } { 2 } G _ { i j } ^ { \prime } { \cal F ^ { \prime } } ^ { 0 i } { \cal F ^ { \prime } } ^ { 0 j } - \right.
V = \left( \begin{array} { c c c } { { c _ { 2 } c _ { 3 } } } & { { c _ { 2 } s _ { 3 } } } & { { s _ { 2 } e ^ { - i \delta } } } \\ { { - c _ { 1 } s _ { 3 } - s _ { 1 } s _ { 2 } c _ { 3 } e ^ { i \delta } } } & { { c _ { 1 } c _ { 3 } - s _ { 1 } s _ { 2 } c _ { 3 } e ^ { i \delta } } } & { { s _ { 1 } c _ { 2 } } } \\ { { s _ { 1 } s _ { 3 } - c _ { 1 } s _ { 2 } c _ { 3 } e ^ { i \delta } } } & { { - s _ { 1 } c _ { 3 } - c _ { 1 } s _ { 2 } s _ { 3 } e ^ { i \delta } } } & { { c _ { 1 } c _ { 2 } } } \end{array} \right)
V = \lambda ^ { 2 } | S | ^ { 2 } \left( | \phi _ { - } | ^ { 2 } + | \phi _ { + } | ^ { 2 } \right) + \lambda ^ { 2 } | \phi _ { + } \phi _ { - } | ^ { 2 } + { \frac { g ^ { 2 } } { 2 } } \left( | \phi _ { + } | ^ { 2 } - | \phi _ { - } | ^ { 2 } + \xi \right) ^ { 2 }
\begin{array} { r l r } { { \cal M } _ { \mathrm { t h e o r y } } } & { { } = } & { g _ { 0 } ^ { 2 } + g _ { 0 } ^ { 4 } \left( \beta _ { 0 } \ln { \frac { \Lambda } { Q } } + c _ { 1 } \right) + \dots } \end{array}
\tau _ { G } ( t ) = \beta _ { G } i ( t ) , \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \tau _ { X } ( t ) = \frac { \lambda _ { X } } { m _ { X } } \sum _ { ( S , I ) \in \mathbb { S } } S I \; n _ { S , I } ^ { X } ( t ) \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } X \in \{ H , W \} .
\begin{array} { r l } { \Theta ( \textbf { p } , t , s ) } & { = \omega t - \int _ { \omega s } ^ { \omega _ { t } } \left( \frac { \left[ p _ { \| } - \frac { F _ { 0 } } { \omega _ { 0 } } \sin ( \theta ) \right] ^ { 2 } } { 2 } + I _ { p } \right) \frac { \mathrm { d } \theta } { \omega _ { 0 } } } \\ & { = \omega t - \frac { F _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 \omega _ { 0 } ^ { 3 } } \int _ { \omega s } ^ { \omega _ { t } } \left[ \frac { \omega _ { 0 } p _ { \| } } { F _ { 0 } } - \sin ( \theta ) \right] \mathrm { d } \theta + \frac { I _ { p } } { \omega _ { 0 } } \left( \omega _ { 0 } t - \omega _ { 0 } s \right) } \\ & { = \omega t - \frac { U _ { p } } { \omega _ { 0 } } \int _ { \omega s } ^ { \omega _ { t } } \left[ \frac { \omega _ { 0 } p _ { \| } } { F _ { 0 } } - \sin ( \theta ) \right] \mathrm { d } \theta + \frac { I _ { p } } { \omega _ { 0 } } \left( \omega _ { 0 } t - \omega _ { 0 } s \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { p } _ { j } = } & { { } \sum m _ { j } \mathbf { \dot { q } } _ { j } + \frac { \Gamma _ { j } \rho } { 2 } \left( \mathbf { q } _ { j } \times \mathbf { e } _ { 3 } \right) } \\ { \mathcal { H } = } & { { } \sum \frac { 1 } { 2 m _ { j } } \left\| \mathbf { p } _ { j } - \frac { \Gamma _ { j } \rho } { 2 } \left( \mathbf { q } _ { j } \times \mathbf { e } _ { 3 } \right) \right\| ^ { 2 } + ( - \rho W ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \tilde { T } _ { k } = 1 - \tilde { R } _ { k } , \; \tilde { R } _ { k } = \frac { ( \tilde { \Gamma } _ { k } / 2 ) ^ { 2 } } { ( \omega _ { k } ^ { + } - \omega _ { e } - \tilde { \Delta } _ { k } ) ^ { 2 } + ( \tilde { \Gamma } _ { k } / 2 ) ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { X ( \varepsilon _ { s } ) \, } & { = \int _ { r \le r _ { \mathrm { w s } } } \psi _ { s } ( \vec { r } ) \, \psi _ { s } ^ { * } ( \vec { r } ) \, d ^ { 3 } r , } \\ & { } & { = 2 \, | \kappa _ { s } | \int _ { 0 } ^ { r _ { \mathrm { w s } } } \left[ F _ { s } ^ { 2 } ( r ) + G _ { s } ^ { 2 } ( r ) \right] \, d r . } \end{array}
0 = F _ { \sigma } = \tilde { \lambda } _ { 3 } H \overline { { { H } } } + \tilde { \lambda } _ { 2 } \Lambda \sigma + \frac { { \cal A } } { \sqrt { 6 } } \operatorname * { d e t } ( \Sigma + \sigma / \sqrt { 6 } ) \mathrm { t r } ( \Sigma + \sigma / \sqrt { 6 } ) ^ { - 1 } + \tilde { \lambda } _ { 5 } \mathrm { t r } { \Sigma _ { N } ^ { 2 } } ,
\langle \phi _ { 1 } ( z _ { 1 } , \bar { z } _ { 1 } ) \phi _ { 2 } ( z _ { 2 } , \bar { z } _ { 2 } ) \phi _ { 3 } ( z _ { 3 } , \bar { z } _ { 3 } ) \rangle = C _ { 1 2 } ^ { 3 } z _ { 1 2 } ^ { \gamma _ { 1 2 } } z _ { 1 3 } ^ { \gamma _ { 1 3 } } z _ { 2 3 } ^ { \gamma _ { 2 3 } } \bar { z } _ { 1 2 } ^ { \bar { \gamma } _ { 1 2 } } \bar { z } _ { 1 3 } ^ { \bar { \gamma } _ { 1 3 } } \bar { z } _ { 2 3 } ^ { \bar { \gamma } _ { 2 3 } }
e ^ { - S _ { \mathrm { d u a l } } ( A ) \; } = \int D B _ { \mu } D B _ { \mu } ^ { \dagger } D \eta _ { \mu } e ^ { - \left( S ( B , ( \partial + i \eta ) B ) + \int d ^ { 3 } x A _ { \mu } \epsilon ^ { \mu \nu \rho } \partial _ { \nu } \eta _ { \rho } \right) \; } \; ,
U ( \mu , \mu _ { 0 } ) = \Bigg ( { \frac { \alpha _ { s } ( \mu _ { 0 } ) } { \alpha _ { s } ( \mu ) } } \Bigg ) ^ { \displaystyle { \gamma _ { 0 } / 2 \beta _ { 0 } } } \bigg \{ 1 + { \frac { \alpha _ { s } ( \mu _ { 0 } ) - \alpha _ { s } ( \mu ) } { 4 \pi } } \, { \frac { \gamma _ { 1 } \beta _ { 0 } - \beta _ { 1 } \gamma _ { 0 } } { 2 \beta _ { 0 } ^ { 2 } } } + O ( \alpha _ { s } ^ { 2 } ) \bigg \} \, .
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } p ^ { \pm } } & { { } = i \frac { \left( \Omega _ { R } ^ { \pm } \right) ^ { * } } { 2 } ( 1 - 2 n ^ { \pm } ) \mathrm { e } ^ { - i \phi ^ { \pm } - i \nu t } } \\ { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } n ^ { \pm } } & { { } = \mathrm { I m } \left\{ \Omega _ { R } ^ { \pm } p ^ { \pm } \mathrm { e } ^ { i \phi ^ { \pm } + i \nu t } \right\} } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \hat { f } } _ { 1 } ( \xi ) \ } & { { \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } } \ \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } f ( x ) e ^ { - i 2 \pi \xi \cdot x } \, d x = ( 2 \pi ) ^ { \frac { n } { 2 } } { \hat { f } } _ { 2 } ( 2 \pi \xi ) = { \hat { f } } _ { 3 } ( 2 \pi \xi ) } \\ { f ( x ) } & { = \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } { \hat { f } } _ { 1 } ( \xi ) e ^ { i 2 \pi \xi \cdot x } \, d \xi } \end{array} }
\big ( A _ { j _ { 1 } } \cdot B _ { j _ { 2 } } \big ) _ { j _ { 3 } } : = \left\{ \big ( A _ { j _ { 1 } } \cdot B _ { j _ { 2 } } \big ) _ { j _ { 3 } , m _ { 3 } } \Big | \; m _ { 3 } = - j _ { 3 } , \dots , + j _ { 3 } \right\}
\int \delta ^ { 1 0 } u \sqrt { | g _ { \alpha \beta } | } e ^ { - \Phi ^ { \prime } } \sum _ { I = 1 } ^ { 1 6 } \widehat { F } ^ { I , \mu \nu } \widehat { F } _ { \mu \nu } ^ { I } = \int \delta ^ { n ^ { \prime } + m ^ { \prime } } u \sqrt { | g _ { \alpha ^ { \prime } \beta ^ { \prime } } | } e ^ { - \phi } ~ \sum _ { I = 1 } ^ { 1 6 } [ \widehat { F } ^ { I , \mu ^ { \prime } \nu ^ { \prime } } \widehat { F } _ { \mu ^ { \prime } \nu ^ { \prime } } ^ { I } + 2
\begin{array} { r l r } { \frac { \Gamma _ { b } } { n _ { b } } } & { = } & { - L _ { 1 1 } ^ { b } \left[ \left( \frac { \partial _ { r } n _ { b } } { n _ { b } } - \frac { Z _ { b } e E _ { r } } { T _ { b } } \right) + \delta _ { 1 2 } ^ { b } \frac { \partial _ { r } T _ { b } } { T _ { b } } \right] \, , } \\ { \frac { Q _ { b } } { n _ { b } T _ { b } } } & { = } & { - L _ { 1 1 } ^ { b } \left[ \delta _ { 2 1 } ^ { b } \left( \frac { \partial _ { r } n _ { b } } { n _ { b } } - \frac { Z _ { b } e E _ { r } } { T _ { b } } \right) + \delta _ { 2 2 } ^ { b } \frac { \partial _ { r } T _ { b } } { T _ { b } } \right] \, , } \end{array}
\tilde { \Lambda } ( a ^ { \prime } , b ^ { \prime } ) \equiv \int _ { - \frac { 1 } { 2 } } ^ { + \frac { 1 } { 2 } } d x _ { 1 } ^ { \prime } \int _ { - \frac { 1 } { 2 } } ^ { + \frac { 1 } { 2 } } d z _ { 1 } ^ { \prime } \int _ { - \frac { 1 } { 2 } } ^ { + \frac { 1 } { 2 } } d x _ { 2 } ^ { \prime } \int _ { - \frac { 1 } { 2 } } ^ { + \frac { 1 } { 2 } } d z _ { 2 } ^ { \prime } \frac { a ^ { \prime } } { R ^ { \prime } } .
1 { \mathrm { ~ p c } } = { \frac { 9 6 \, 9 3 9 \, 4 2 0 \, 2 1 3 \, 6 0 0 \, 0 0 0 } { \pi } } = 3 0 \, 8 5 6 \, 7 7 5 \, 8 1 4 \, 9 1 3 \, 6 7 3 { \mathrm { ~ m } }
{ \binom { n } { k } } = { \binom { n } { n - k } } = { \frac { n - k + 1 } { k } } { \binom { n } { k - 1 } } = { \frac { n } { n - k } } { \binom { n - 1 } { k } } = { \frac { n } { k } } { \binom { n - 1 } { k - 1 } } = { \frac { n } { n - 2 k } } { \Bigg ( } { \binom { n - 1 } { k } } - { \binom { n - 1 } { k - 1 } } { \Bigg ) } = { \binom { n - 1 } { k } } + { \binom { n - 1 } { k - 1 } } .
Z _ { 1 } \left( a , \epsilon _ { 1 } , \epsilon _ { 2 } \right) = \left( \epsilon _ { 1 } \epsilon _ { 2 } a _ { 2 1 } \left( a _ { 1 2 } + \epsilon \right) \right) ^ { - 1 } + \left( \epsilon _ { 1 } \epsilon _ { 2 } a _ { 1 2 } \left( a _ { 2 1 } + \epsilon \right) \right) ^ { - 1 } .
\begin{array} { r l } { a _ { x , y } ^ { ( i , j ) } } & { = e _ { x , y } ^ { ( i , j ) } , } \\ { b _ { x , y } ^ { ( i , j ) } } & { = - e _ { x , y } ^ { ( i , j ) } + e _ { x , y } ^ { ( i + 1 , j ) } , } \\ { c _ { x , y } ^ { ( i , j ) } } & { = - e _ { x , y } ^ { ( i , j ) } + e _ { x , y } ^ { ( i , j + 1 ) } , } \\ { d _ { x , y } ^ { ( i , j ) } } & { = e _ { x , y } ^ { ( i , j ) } - e _ { x , y } ^ { ( i , j + 1 ) } - e _ { x , y } ^ { ( i + 1 , j ) } + e _ { x , y } ^ { ( i + 1 , j + 1 ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } | v | ^ { 2 } M [ f ] \, d v } & { = \rho _ { f } | u _ { f } | ^ { 2 } + \frac { 2 \gamma } { \gamma - 1 } \rho _ { f } ^ { \gamma } \frac { \Gamma \left( \frac { \gamma } { \gamma - 1 } \right) } { \Gamma ( \frac n 2 + 1 ) \Gamma \left( \frac { d } { 2 } \right) } \left\{ \frac { d / 2 } { ( d + n ) / 2 + 1 } B \left( \frac { d } { 2 } , \frac n 2 + 1 \right) \right\} } \\ & { = \rho _ { f } | u _ { f } | ^ { 2 } + d \rho _ { f } ^ { \gamma } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \langle d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { i } ) , d \big ( \mathrm { l i } _ { \phi } ( f _ { \phi } ^ { j } ) \big ) \rangle _ { L ^ { 2 } \Lambda ^ { 1 } ( \Omega ) } = \int _ { \partial \Omega } e _ { \phi } ^ { i } \wedge f _ { \phi } ^ { j } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \mu _ { X \cup Y } } & { = { \frac { N _ { X } \mu _ { X } + N _ { Y } \mu _ { Y } } { N _ { X } + N _ { Y } } } } \\ { \sigma _ { X \cup Y } } & { = { \sqrt { { \frac { N _ { X } \sigma _ { X } ^ { 2 } + N _ { Y } \sigma _ { Y } ^ { 2 } } { N _ { X } + N _ { Y } } } + { \frac { N _ { X } N _ { Y } } { ( N _ { X } + N _ { Y } ) ^ { 2 } } } ( \mu _ { X } - \mu _ { Y } ) ^ { 2 } } } } \end{array} }
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { c } { A } \\ { B } \\ { C } \\ { C } \\ { B } \\ { A } \end{array} \right) _ { a 1 } \oplus \left( \begin{array} { c } { A } \\ { A } \\ { B } \\ { B } \\ { B } \\ { A } \end{array} \right) _ { m a p } = \left( \begin{array} { c } { A } \\ { B } \\ { D } \\ { D } \\ { A } \\ { A } \end{array} \right) _ { b 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \iint _ { \Omega \times Y } B \left( \frac { \left\vert \mathcal { T } _ { \varepsilon } \left( \varphi \right) \left( x , y \right) - \varphi \left( x \right) \right\vert } { k } \right) d x d y \leq } \\ { m _ { \varphi } \left( \varepsilon \mathrm { d i a m } ( Y ) \right) \sum _ { \xi \in \Xi _ { \varepsilon } } \iint _ { ( \varepsilon \xi + \varepsilon Y ) \times Y } B \left( \frac { 1 } { k } \right) d x d y = } \\ { m _ { \varphi } \left( \varepsilon \mathrm { d i a m } Y \right) \int _ { \widehat { \Omega } _ { \varepsilon } } \int _ { Y } B \left( \frac { 1 } { k } \right) d y \leq C m _ { \varphi } \left( \varepsilon \mathrm { d i a m Y } \right) \mathcal L ^ { d } \left( \Omega \right) \int _ { Y } { B } \left( \frac { 1 } { k } \right) d y \leq } \\ { \mathcal L ^ { d } \left( \Omega \right) C m _ { \varphi } \left( \varepsilon \mathrm { d i a m } Y \right) \rightarrow 0 , } \end{array}
\Big ( - \frac { 1 } { \varepsilon } \theta ( t ) \phi ^ { \prime } ( | x | / \varepsilon ) \frac { u ^ { 1 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) x _ { 1 } + u ^ { 2 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) x _ { 2 } } { | x | } + \frac { \nu } { \varepsilon } \theta ( t ) \phi ^ { \prime } ( | x | / \varepsilon ) \frac { 1 } { | x | } \Big ) 1 _ { \{ \arg x \in ( \alpha + \frac { \pi } { 2 } , \frac { 3 \pi } { 2 } - \alpha ) \} } .
\begin{array} { r l } { \xi ( x ) = } & { \frac 1 2 \alpha _ { 0 } + \alpha _ { 1 } \cos ( b x ) + \beta _ { 1 } \sin ( b x ) } \\ & { + \sum _ { m = 2 } ^ { \infty } \left[ \sum _ { k = 0 } ^ { m } \overline { { \alpha } } _ { m k } \cos ^ { k } ( b x ) \sin ^ { m - k } ( b x ) + \sum _ { n = 0 } ^ { m } \overline { { \beta } } _ { m n } \cos ^ { n } ( b x ) \sin ^ { m - n } ( b x ) \right] \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \beta _ { 2 1 } } & { { } = } & { \frac { \hat { \beta } _ { 2 1 } } { c _ { \mathrm { g } } ^ { 2 } } - 4 \alpha \beta c _ { \mathrm { g } } } \\ { \beta _ { 2 2 } } & { { } = } & { \frac { \hat { \beta } _ { 2 2 } } { c _ { \mathrm { g } } ^ { 2 } } - 2 \alpha \beta c _ { \mathrm { g } } } \\ { \hat { \beta } _ { 2 1 } } & { { } = } & { \omega _ { 0 } k _ { 0 } Q _ { 4 1 S } } \\ { \hat { \beta } _ { 2 2 } } & { { } = } & { \omega _ { 0 } k _ { 0 } Q _ { 4 2 S } } \\ { \mathcal { B } _ { 2 1 } } & { { } = } & { \omega _ { 0 } k _ { 0 } \tilde { Q } _ { 4 1 } / c _ { g } ^ { 2 } - 4 \alpha \beta _ { D } c _ { g } } \\ { \mathcal { B } _ { 2 2 } } & { { } = } & { \omega _ { 0 } k _ { 0 } \tilde { Q } _ { 4 2 } / c _ { \mathrm { g } } ^ { 2 } - 2 \alpha \beta _ { D } c _ { \mathrm { g } } } \end{array}
\left( \begin{array} { c c } { P ( \xi ) } \\ { S ( \xi ) } \end{array} \right) = \frac { 1 } { \xi ^ { 2 } + \gamma _ { p } \gamma _ { s } } \left( \begin{array} { c c } { \xi } & { \gamma _ { s } } \\ { \gamma _ { p } } & { - \xi } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { \hat { u } _ { s , 1 } ( \xi , 0 ) } \\ { \hat { u } _ { s , 2 } ( \xi , 0 ) } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l r } { { \lambda _ { \xi } } } & { { = } } & { { | U | + a \sqrt { \xi _ { x } ^ { 2 } + \eta _ { y } ^ { 2 } + \zeta _ { z } ^ { 2 } } \, \mathrm { , } } } \\ { { \lambda _ { \xi } } } & { { = } } & { { | V | + a \sqrt { \xi _ { x } ^ { 2 } + \eta _ { y } ^ { 2 } + \zeta _ { z } ^ { 2 } } \, \mathrm { , } } } \\ { { \lambda _ { \xi } } } & { { = } } & { { | W | + a \sqrt { \xi _ { x } ^ { 2 } + \eta _ { y } ^ { 2 } + \zeta _ { z } ^ { 2 } } \, \mathrm { , } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle \hat { \bf S } \rangle } & { = } & { \hbar N \left( \begin{array} { c } { \cos ( 2 \chi ) \cos ( 2 { \it \Psi } ) } \\ { \cos ( 2 \chi ) \sin ( 2 { \it \Psi } ) } \\ { \sin ( 2 \chi ) } \end{array} \right) } \\ & { = } & { \hbar N \left( \begin{array} { c } { S _ { 1 } } \\ { S _ { 2 } } \\ { S _ { 3 } } \end{array} \right) , } \end{array}
V _ { \mathrm { S o f t } \ \mathrm { L - J } } ( r _ { i j } ) = \frac { \sigma ^ { 1 2 } } { ( r _ { i j } ^ { 6 } + \frac { 1 } { 2 } ) ^ { 2 } } - \frac { \sigma ^ { 6 } } { r _ { i j } ^ { 6 } + \frac { 1 } { 2 } } .
\begin{array} { r l r l } { H _ { 1 1 } } & { { } = [ z ( 1 ) - h ( x ( 1 ) ) ] D _ { h } ( x ( 1 ) ) u ( 1 ) , } & { \quad H _ { 1 2 } } & { { } = [ z ( 2 ) - h ( x ( 2 ) ) ] D _ { h } ( x ( 2 ) ) u ( 2 ) , } \\ { H _ { 2 1 } } & { { } = [ z ( 1 ) - h ( x ( 1 ) ) ] D _ { h } ( x ( 1 ) ) v ( 1 ) , } & { \quad H _ { 2 2 } } & { { } = [ z ( 2 ) - h ( x ( 2 ) ) ] D _ { h } ( x ( 2 ) ) v ( 2 ) , } \end{array}
\bar { n } _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ , ~ w ~ c ~ } } ^ { \mathrm { ~ T ~ L ~ O ~ } } \simeq \Theta _ { \mathrm { ~ e ~ l ~ } } / \tau _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } , ~ \bar { n } _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ , ~ w ~ c ~ } } ^ { \mathrm { ~ L ~ L ~ O ~ } } \simeq \Theta _ { \mathrm { ~ e ~ l ~ } } + \pi \sigma _ { x } ^ { 2 } C ^ { - 1 } l _ { \mathrm { ~ W ~ } } .
s _ { o u t } ^ { 2 } = E T _ { 0 } \eta _ { 1 } ^ { 2 } e ^ { i \omega _ { l } t } + E T _ { - 1 } \eta _ { 1 } ^ { 2 } e ^ { i ( \omega _ { l } - \Omega ) t } + E T _ { + 1 } \eta _ { 1 } ^ { 2 } e ^ { i ( \omega _ { l } + \Omega ) t } + E \eta _ { 2 } ^ { 2 } \eta _ { 3 } e ^ { i ( \omega _ { l } + \Omega _ { r } ) t }
\begin{array} { r l } { \varepsilon ^ { \prime } ( \alpha ) \leq } & { \ \frac { 2 } { 3 } \left( 4 + e \right) \frac { \gamma ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } \varepsilon ( 2 ) } { \alpha - 1 } } \\ { \leq } & { \ \frac { 8 } { 3 } \left( 4 + e \right) \frac { \alpha ^ { 2 } } { \alpha - 1 } \frac { 1 } { n _ { \mathrm { m i n } } ^ { 2 } \sigma _ { 3 } ^ { 2 } } , } \end{array}
c _ { i } = \frac { \beta _ { i } \sqrt { g _ { v } } } { \mid J ( \frac \phi v ) _ { p _ { i } } \mid } = \frac { \beta _ { i } \eta _ { i } \sqrt { g _ { v } } } { J ( \frac \phi v ) _ { p _ { i } } } , \, \, \, \, g _ { v } = \operatorname * { d e t } ( g _ { A B } ) ,
{ \bf x } _ { i } ^ { * } = \left( \begin{array} { l } { \frac { i _ { e x t } + \gamma \bar { v } } { \gamma + \frac { 1 } { a } } } \\ { \frac { i _ { e x t } + \gamma \bar { v } } { a \gamma + 1 } } \end{array} \right) \, \quad \, \forall i = 1 . . . N .
\begin{array} { r l } { \mathcal { B } _ { 1 } } & { = \sum _ { i \in \Omega _ { 1 } \backslash \{ 1 \} } \frac { 1 } { N } W ( s _ { i } \gets s _ { 1 } ) = \sum _ { i \in \Omega _ { 1 } \backslash \{ 1 \} } \frac { 1 } { N } \frac { \exp ( \pi _ { 1 } / \kappa ) } { \exp ( \tau + \pi _ { i } / \kappa ) + \sum _ { \ell \in \Omega _ { i } \backslash \{ i \} } \exp ( \pi _ { \ell } / \kappa ) } , } \\ { \mathcal { D } _ { 1 } } & { = \frac { 1 } { N } \sum _ { j \in \Omega _ { 1 } \backslash \{ 1 \} } W ( s _ { 1 } \gets s _ { j } ) = \frac { 1 } { N } \sum _ { j \in \Omega _ { 1 } \backslash \{ 1 \} } \frac { \exp ( \pi _ { j } / \kappa ) } { \exp ( \tau + \pi _ { 1 } / \kappa ) + \sum _ { \ell \in \Omega _ { 1 } \backslash \{ 1 \} } \exp ( \pi _ { \ell } / \kappa ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha \left( f \partial _ { t } + g , h \partial _ { t } + k \right) } & { = \frac { 1 } { 6 } \, \mathrm { R e s } _ { t = 0 } \, f \, d h ^ { \prime \prime } , } \\ { \gamma \left( f \partial _ { t } + g , h \partial _ { t } + k \right) } & { = - \frac { 1 } { 2 } \, \mathrm { R e s } _ { t = 0 } \left( f \, d k ^ { \prime } - h \, d g ^ { \prime } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathop { i \omega } \delta I } & { = - \frac { R _ { \ell } + R _ { 0 } ( 1 + \beta ) } { L } \delta I - \frac { \mathscr { L } G } { I _ { 0 } L } \delta T + \frac { \delta V } { L } , } \\ { \mathop { i \omega } \delta T } & { = \frac { I _ { 0 } R _ { 0 } ( 2 + \beta ) } { C } \delta I - \frac { 1 - \mathscr { L } } { \tau _ { 0 } } \delta T + \frac { \delta P } { C } . } \end{array}