harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\nabla A _ { k } ( { \bf q } ) = \frac { f _ { k } } { d _ { k } } \, \left( \frac { { \bf a } _ { k } + { \bf a } _ { k + 1 } } { 2 } - { \bf q } \right) = \frac { f _ { k } } { d _ { k } } \, \left( \frac { \vec { \bf v } _ { k } + \vec { \bf v } _ { k + 1 } } { 2 } \right)
E _ { 1 } ( x , y , z ) = \sum _ { k = 0 } ^ { N } 2 ^ { - \frac { N } { 2 } } { \binom { N } { k } } ^ { 1 / 2 } \mathrm { { e } ^ { \ t e x t i t { i k } \ m y p h i _ { \mathrm { { 0 } } } } \it { U _ { \mathrm { { 1 } _ { m , n } } } ( x , y , z ) } }
\begin{array} { r } { I _ { c , \mathrm { r n d } } ( \mathcal { C } ) \approx \frac { \operatorname* { m i n } _ { \mathbf { b } \in r } Z ( \mathbf { b } ) } { \operatorname* { m a x } _ { \mathbf { b } \in r } Z ( \mathbf { b } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { L } _ { \beta - T C } } & { } & { = \mathbb { E } _ { q } [ \mathrm { l o g } p ( \omega _ { t } | \boldsymbol { z } ) ] - \alpha I _ { q } ( \boldsymbol { z } , \omega _ { t } ) - \beta \textbf { K L } ( q ( \boldsymbol { z } ) | | \prod _ { j } q ( \boldsymbol { z } _ { j } ) ) } \\ & { } & { - \gamma \sum _ { j } \textbf { K L } ( q ( \boldsymbol { z } _ { j } ) | | p ( \boldsymbol { z } _ { j } ) ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \mu _ { 0 } = - \left. \frac { \partial E } { \partial F } \right| _ { F = 0 } , \alpha = - \left. \frac { \partial ^ { 2 } E } { \partial F ^ { 2 } } \right| _ { F = 0 } , } \\ { \beta = - \left. \frac { \partial ^ { 3 } E } { \partial F ^ { 3 } } \right| _ { F = 0 } , \gamma = - \left. \frac { \partial ^ { 4 } E } { \partial F ^ { 4 } } \right| _ { F = 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { c } { x _ { 1 } = A \cos \omega t + B \sin \omega t , } \\ { y _ { 1 } = C \sin \omega t + D \cos \omega t ; } \end{array} \right. \qquad \left\{ \begin{array} { c } { x _ { 2 } = - A \sin \omega t + B \cos \omega t , } \\ { y _ { 2 } = C \cos \omega t - D \sin \omega t . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \begin{array} { l } { z _ { i } ^ { 0 } } \\ { z _ { i } ^ { 1 } } \end{array} \right) } & { = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { j } \\ { j } & { 1 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { e ^ { - j \pi / 2 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \hat { x } _ { i } } \\ { \hat { y } _ { i } e ^ { j \delta \phi _ { d _ { i } } } } \end{array} \right) } \\ & { = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { j } \\ { j } & { 1 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { e ^ { - j ( \pi / 2 - \delta \phi _ { d _ { i } } ) } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \hat { x } _ { i } } \\ { \hat { y } _ { i } } \end{array} \right) } \\ & { = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { l } { ( \hat { x } _ { i } - \sin \phi _ { i } \hat { y } _ { i } ) + j \hat { y } _ { i } \cos \phi _ { i } } \\ { \hat { y } _ { i } \cos \phi _ { i } + j ( \hat { x } _ { i } + \sin \phi _ { i } \hat { y } ) } \end{array} \right) } \end{array} ,
\begin{array} { l l } { { \begin{array} { l l } { { \frac { d } { d r } \sigma ( r ) = 0 } } & { { r = 0 } } \\ { { \sigma ( r ) = 0 } } & { { r \rightarrow \infty } } \end{array} } } & { { \begin{array} { l l } { { A ( r ) \neq 0 } } & { { r \rightarrow \infty } } \\ { { A ( r ) = 1 } } & { { r = 0 . } } \end{array} } } \end{array}
\mathbb L X = \left( \begin{array} { l } { - \displaystyle \frac 1 2 \Delta _ { x } p - k \cdot \nabla _ { x } q } \\ { \displaystyle \frac { 1 } { 2 } \Delta _ { x } q - k \cdot \nabla _ { x } p - \gamma \sigma _ { 1 } \star \left( \displaystyle \int _ { \mathbb R ^ { n } } ( - \Delta ) ^ { - 1 / 2 } \sigma _ { 2 } \phi \, { \mathrm { d } } z \right) } \\ { - c ( - \Delta ) ^ { 1 / 2 } \pi } \\ { c ( - \Delta ) ^ { 1 / 2 } \phi + 2 c \gamma \sigma _ { 2 } \sigma _ { 1 } \star q } \end{array} \right) .
\frac { \partial k _ { S G S } } { \partial t } + \frac { \partial \overline { { u } } _ { j } k _ { S G S } } { \partial x _ { j } } - \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left[ ( \nu + \nu _ { t } ) \frac { \partial k _ { S G S } } { \partial x _ { j } } \right] =
\begin{array} { r l } { \sum _ { b } \zeta _ { C } ^ { - 1 } ( b , a ) } & { = \sum _ { b } \zeta _ { C } ^ { - 1 } ( b , a ) ( \sum _ { a ^ { \prime } } \zeta _ { C } ( a ^ { \prime } , b ) k _ { a ^ { \prime } } ) } \\ & { = \sum _ { a ^ { \prime } } \sum _ { b } \zeta _ { C } ( a ^ { \prime } , b ) \zeta _ { C } ^ { - 1 } ( b , a ) k _ { a ^ { \prime } } } \\ & { = \sum _ { a ^ { \prime } } \delta ( a ^ { \prime } , a ) k _ { a ^ { \prime } } = k _ { a } . } \end{array}
( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } , \ldots ) + ( y _ { 1 } , y _ { 2 } , y _ { 3 } , \ldots ) = ( x _ { 1 } + y _ { 1 } , x _ { 2 } + y _ { 2 } , x _ { 3 } + y _ { 3 } , \ldots )
\left[ p _ { I J } \right] = \left( \begin{array} { l l l l l l } { p _ { 1 1 } } & { p _ { 1 2 } } & { p _ { 1 3 } } & { p _ { 1 4 } } & { 0 } & { 0 } \\ { p _ { 1 2 } } & { p _ { 1 1 } } & { p _ { 1 3 } } & { - p _ { 1 4 } } & { 0 } & { 0 } \\ { p _ { 3 1 } } & { p _ { 3 1 } } & { p _ { 3 3 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { p _ { 4 1 } } & { - p _ { 4 1 } } & { 0 } & { p _ { 4 4 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { p _ { 4 4 } } & { p _ { 4 1 } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { p _ { 1 4 } } & { \frac { p _ { 1 1 } - p _ { 1 2 } } { 2 } } \end{array} \right) =
\begin{array} { r l } { g _ { \pmb { v } } } & { = \frac { \partial \Gamma _ { 1 } } { \partial \pmb { v } } + \alpha \frac { \partial \Gamma _ { 2 } } { \partial \pmb { v } } + \beta \frac { \partial \Gamma _ { 3 } } { \partial \pmb { v } } } \\ & { = \begin{array} { r l } { [ t ] } & { ( \Delta t \Delta x \Delta y \Delta z ) \left( 2 ( M \mathrm { d i a g } ( \pmb { v } ) ) ^ { T } \pmb { \rho } + J _ { \pmb { v } } ^ { T } M ( \pmb { v } \odot \pmb { v } ) \right) } \\ & { + \alpha ( \Delta t \Delta x \Delta y \Delta z ) J _ { \pmb { v } } ^ { T } ( \pmb { r } \odot \pmb { r } \odot \pmb { \chi } ) } \\ & { + 2 \beta ( \Delta x \Delta y \Delta z ) ( J _ { \pmb { v } } ^ { m } ) ^ { T } \big ( \pmb { \rho _ { m } } - \pmb { \rho _ { 1 } ^ { i m g } } \big ) } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r } { F ( \mathbf { q } , \tau ) = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \textnormal { d } \omega \ S ( \mathbf { q } , \omega ) \ e ^ { - \tau \omega } = : \mathcal { L } \left[ S ( \mathbf { q } , \omega ) \right] \ , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { \boldmath ~ v ~ } _ { x } = \frac { \left( \alpha \beta D ^ { 2 } + G ^ { 2 } \right) \mathrm { \boldmath ~ j ~ } _ { x } - G D \left( \alpha - \beta \right) \mathrm { \boldmath ~ j ~ } _ { y } } { \left( \alpha D \right) ^ { 2 } + G ^ { 2 } } , } \\ { \mathrm { \boldmath ~ v ~ } _ { y } = \frac { G D \left( \alpha - \beta \right) \mathrm { \boldmath ~ j ~ } _ { x } + \left( \alpha \beta D ^ { 2 } + G ^ { 2 } \right) \mathrm { \boldmath ~ j ~ } _ { y } } { \left( \alpha D \right) ^ { 2 } + G ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { \gamma } ^ { - } ( \bar { \Phi } ( \bar { \mathbf { z } } ) ) } & { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { \bar { z } _ { i } ^ { 2 } } { \xi _ { i } ( z _ { i } ) } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { \bar { z } _ { i } ^ { 2 } } { \xi _ { i } ( \bar { \Phi } _ { i } ( \bar { z } _ { i } ) ) } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { \bar { z } _ { i } ^ { 2 } } { \sigma _ { i } ( \bar { z } _ { i } ) } , } \end{array}
\int d ^ { 3 } \sigma _ { o } \, \Gamma _ { K } ( \vec { \sigma } _ { o 1 } , \vec { \sigma } _ { o } ) \Gamma _ { \Sigma } ( \vec { \sigma } _ { o } , \vec { \sigma } _ { o 2 } ) = \delta ( \vec { \sigma } _ { o 1 } - \vec { \sigma } _ { o 2 } ) .
g ^ { - 1 } [ \delta _ { 1 } , \delta _ { 2 } ] g = F _ { 1 } F _ { 2 } [ \eta _ { 1 } , \eta _ { 2 } ] + F _ { 2 } \delta _ { 1 } \eta _ { 2 } - F _ { 1 } \delta _ { 2 } \eta _ { 1 }
W ( f _ { 1 } , \ldots , f _ { n } ) ( x ) = { \left| \begin{array} { l l l l } { f _ { 1 } ( x ) } & { f _ { 2 } ( x ) } & { \cdots } & { f _ { n } ( x ) } \\ { f _ { 1 } ^ { \prime } ( x ) } & { f _ { 2 } ^ { \prime } ( x ) } & { \cdots } & { f _ { n } ^ { \prime } ( x ) } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { f _ { 1 } ^ { ( n - 1 ) } ( x ) } & { f _ { 2 } ^ { ( n - 1 ) } ( x ) } & { \cdots } & { f _ { n } ^ { ( n - 1 ) } ( x ) } \end{array} \right| } .
\begin{array} { r l } & { { \xi } _ { p } ^ { \nu + 1 } = { \xi } _ { p } ^ { \nu } + \Delta \tau _ { p } ^ { \nu } ( v _ { z } / J _ { \xi } ) _ { p } ^ { \nu + 1 / 2 } , } \\ & { v _ { z , p } ^ { \nu + 1 / 2 } = v _ { z , p } ^ { \nu } + 0 . 5 \Delta \tau _ { p } ^ { \nu } \left( \frac { q _ { p } } { m _ { p } } \left( \frac { E _ { \xi } } { J _ { \xi } } \right) _ { p } ^ { \nu + 1 / 2 } - \Tilde { \mu } _ { p } \frac { B _ { p } ^ { \nu + 1 } - B _ { p } ^ { \nu } } { v _ { z , p } ^ { \nu + 1 / 2 } \Delta \tau _ { p } ^ { \nu } } \right) . } \end{array}
\mathbf { A } _ { \mathrm { t r i . } } = { \frac { 1 } { 2 } } | x _ { 1 } y _ { 2 } + x _ { 2 } y _ { 3 } + x _ { 3 } y _ { 1 } - x _ { 2 } y _ { 1 } - x _ { 3 } y _ { 2 } - x _ { 1 } y _ { 3 } |
R _ { \tau } = 2 \int _ { 0 } ^ { M _ { \tau } ^ { 2 } } \frac { d s } { M _ { \tau } ^ { 2 } } \left( 1 - \frac { s } { M _ { \tau } ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } \left( 1 + \frac { 2 s } { M _ { \tau } ^ { 2 } } \right) \widetilde { R } ( s ) ,
{ \bf Z } _ { 2 , j } = \left[ \delta _ { 1 , \Gamma _ { N , j } ^ { \left( \mathrm { e } \right) } } ^ { * } { \bf I } _ { d } , \cdots , \delta _ { n ^ { \left( \mathrm { e } \right) } , \Gamma _ { N , j } ^ { \left( \mathrm { e } \right) } } ^ { * } { \bf I } _ { d } \right] \in \mathbb { R } ^ { d \times n ^ { \left( \mathrm { e } \right) } d }
\begin{array} { r } { \mathbb { E } [ h ( \bar { x } _ { t + 1 } ) ] - \mathbb { E } [ h ( \bar { x } _ { t } ) ] \leq - \frac { \eta } { 2 } \mathbb { E } \| \nabla h ( \bar { x } _ { t } ) \| ^ { 2 } - \frac { \eta } { 4 } E _ { t } + 4 \kappa ^ { 2 } \hat { L } ^ { 2 } I \eta ^ { 3 } \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { t - 1 } D _ { l } + 2 \eta \hat { L } ^ { 2 } B _ { t } + \frac { \eta ^ { 2 } \bar { L } G _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 b _ { x } M } + \eta G _ { 1 } ^ { 2 } } \end{array}
\frac { 1 } { \delta } \int _ { \Omega _ { \epsilon } ^ { \prime \prime \prime } } | J _ { \epsilon } | \, \tilde { \zeta } ^ { 2 } \, \mathrm { d } X \, \le \, \frac { C } { \delta } \int _ { \Omega _ { \epsilon } ^ { \prime \prime \prime } } \Bigl ( \frac { 1 } { \epsilon ^ { 2 } \rho ^ { 4 } } + \frac { \bar { r } | \dot { \bar { z } } | } { \Gamma } \frac { \epsilon } { \rho ^ { 1 - 2 \gamma } } + \frac { 1 } { \epsilon ^ { 2 } \rho ^ { 4 - 2 \gamma } } \Bigr ) W _ { \epsilon } \tilde { \eta } ^ { 2 } \, \mathrm { d } X \, \le \, C \epsilon ^ { \gamma _ { 1 } } \, \| \tilde { \eta } \| _ { \mathcal { X } _ { \epsilon } } ^ { 2 } \, ,
\begin{array} { r } { \ell ( \omega _ { 1 } ) = \left[ \frac { \frac { \Gamma _ { 2 , S } ^ { 2 } } { 4 } } { \frac { \Gamma _ { 2 , S } ^ { 2 } } { 4 } + ( \omega _ { 1 } - \omega _ { S } ) ^ { 2 } } + \frac { \frac { \Gamma _ { 2 , I } ^ { 2 } } { 4 } } { \frac { \Gamma _ { 2 , I } ^ { 2 } } { 4 } + ( \omega _ { 1 } - \omega _ { I } ) ^ { 2 } } \right] } \end{array}
\begin{array} { r } { \nabla _ { \mu } e ^ { - 1 / 2 } \varphi = [ \nabla _ { \mu } e ^ { - 1 / 2 } ] \varphi + e ^ { - 1 / 2 } \nabla _ { \mu } \varphi = e ^ { - 1 / 2 } \nabla _ { \mu } \varphi \; . } \end{array}
\partial _ { z } ^ { 3 } H _ { \bar { z } \bar { z } } = \partial _ { \bar { z } } T _ { z z } - 2 ( \partial _ { z } H _ { \bar { z } \bar { z } } ) T _ { z z } - H _ { \bar { z } \bar { z } } \partial _ { z } T _ { \bar { z } \bar { z } }
\begin{array} { r } { ( { \boldsymbol \Omega } , { \bf G } _ { 1 } , { \bf G } _ { 2 } , { \bf G } _ { 3 } ) \rightarrow ( { \boldsymbol \Omega } , { \bf G } _ { 1 } , { \bf G } _ { 2 } , { \bf K } ) , \qquad \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } \qquad { \bf K } = k _ { i } { \bf G } _ { i } = R ^ { T } { \bf k } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \sigma _ { 1 } ( \omega ) = - \frac { i e ^ { 2 } } { 2 \pi ^ { 2 } R _ { C N T } \hbar ( \omega + i / \tau _ { 1 } ) } \sum _ { k = 1 } ^ { m } \int _ { - a } ^ { a } \frac { \partial \varepsilon _ { c } ( p _ { z } , k ) } { \partial p _ { z } } \frac { \partial \rho ^ { e q } ( p _ { z } , k ) } { \partial p _ { z } } d p _ { z } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \Sigma _ { \tau } } \mathcal { E } _ { 1 + \epsilon } [ K \phi ] \, r ^ { 2 } d \sigma d r \leq } & { \: C ( 1 + \tau ) ^ { - 2 + \eta } D _ { \mathrm { i n h o m } } [ \phi ] ( 0 ) , } \\ { \int _ { \Sigma _ { \tau } } \mathcal { E } _ { 1 + \epsilon } [ K ^ { 2 } \phi ] \, r ^ { 2 } d \sigma d r \leq } & { \: C ( 1 + \tau ) ^ { - 4 + \eta } D _ { \mathrm { i n h o m } , 1 } [ \phi ] ( 0 ) , } \\ { \int _ { \Sigma _ { \tau } \cap \{ r \geq r _ { I } \} } r ^ { 2 } | L K \psi | ^ { 2 } \, d \sigma d r \leq } & { \: C ( 1 + \tau ) ^ { - 2 + \eta } D _ { \mathrm { i n h o m , 2 } } [ \phi ] ( 0 ) . } \end{array}
\Xi ^ { + } = 1 + \frac { \omega _ { p } ^ { 2 } } { 8 \, k ^ { 2 } v _ { \mathrm { t h } } ^ { 2 } } \left[ \psi ^ { ( 1 ) } \! \! \left( \frac { v _ { \mathrm { t h } } - i u } { 4 \, v _ { \mathrm { t h } } } \right) - \psi ^ { ( 1 ) } \! \! \left( \frac { 3 v _ { \mathrm { t h } } - i u } { 4 \, v _ { \mathrm { t h } } } \right) \right] ,
\begin{array} { r l r l } & { \mathbf { D } ( \zeta ) , \quad } & { \arg \zeta \in } & { \left( - \frac { \pi } { 4 } , 0 \right) , } \\ & { \mathbf { D } ( \zeta ) H _ { 0 } , \quad } & { \arg \zeta \in } & { \left( 0 , \frac { \pi } { 2 } \right) , } \\ & { \mathbf { D } ( \zeta ) H _ { 1 } , \quad } & { \arg \zeta \in } & { \left( \frac { \pi } { 2 } , \pi \right) , } \\ & { \mathbf { D } ( \zeta ) H _ { 2 } , \quad } & { \arg \zeta \in } & { \left( \pi , \frac { 3 \pi } { 2 } \right) , } \\ & { \mathbf { D } ( \zeta ) H _ { 3 } , \quad } & { \arg \zeta \in } & { \left( \frac { 3 \pi } { 2 } , \frac { 7 \pi } { 4 } \right) . } \end{array}
\Phi ( \vec { x } _ { 2 } ) = \frac { 1 } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } } \int d ^ { 3 } x _ { 1 } \frac { \rho _ { 1 } ( \vec { x } _ { 1 } , t _ { r e t } ) } { R } , \qquad \vec { R } \equiv \vec { x } _ { 1 2 } , \qquad t _ { r e t } \equiv t - \frac { R } { c } .
\| \tilde { X } ( k ) \| ^ { 2 } \leq \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { p } \left\| \tilde { Y } _ { i } ( k ) \right\| ^ { 2 } + \sum _ { j = 1 } ^ { q } \left\| \tilde { Z } _ { j } ( k ) \right\| ^ { 2 } } { p + q } .
p _ { x } = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { c e i l } ( u / w _ { p } ) - 0 . 5 } & { \mathrm { i f } \quad u \geq 0 , } \\ { \mathrm { f l o o r } ( u / w _ { p } ) + 0 . 5 } & { \mathrm { i f } \quad u < 0 , } \end{array} \right. \quad p _ { y } = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { c e i l } ( v / w _ { p } ) - 0 . 5 } & { \mathrm { i f } \quad v \geq 0 , } \\ { \mathrm { f l o o r } ( v / w _ { p } ) + 0 . 5 } & { \mathrm { i f } \quad v < 0 . } \end{array} \right.
[ [ \Phi ^ { 2 } , T ] f ( T ) , \Phi ^ { 2 } ] = \frac { d } { d \hat { x } _ { 1 } } ( T ^ { \prime } f ( T ) ) \ , [ f ( T ) [ \Phi ^ { 2 } , T ] , \Phi ^ { 2 } ] = \frac { d } { d \hat { x } _ { 1 } } ( T ^ { \prime } f ( T ) ) \ ,
\Psi _ { H } = \alpha _ { 1 } \Psi _ { 6 q } + \beta _ { 1 } \Psi _ { ( \Lambda \Lambda ) } + \gamma _ { 1 } \Psi _ { ( \Sigma ^ { - } \Sigma ^ { + } ) } + \delta _ { 1 } \Psi _ { ( \Xi ^ { - } p ) } .
T _ { ( \ell _ { 1 } , m _ { \ell _ { 1 } } , n _ { \ell _ { 1 } } ) ( \ell _ { 2 } , m _ { \ell _ { 2 } } , n _ { \ell _ { 2 } } ) ( \ell _ { 3 } , m _ { \ell _ { 3 } } , n _ { \ell _ { 3 } } ) } = P _ { ( \ell _ { 1 } , n _ { \ell _ { 1 } } ) ( \ell _ { 2 } , n _ { \ell _ { 2 } } ) ( \ell _ { 3 } , n _ { \ell _ { 3 } } ) } Q _ { ( \ell _ { 1 } , m _ { \ell _ { 1 } } ) ( \ell _ { 2 } , m _ { \ell _ { 2 } } ) ( \ell _ { 3 } , m _ { \ell _ { 3 } } ) } ,
\bar { \psi } _ { n } \sim \left\{ \begin{array} { r l } { \Big [ \bar { L } ( \bar { y } ) \log { ( n ) } + \bar { Q } ( \bar { y } ) \Big ] \Gamma \Big ( \frac { n - 1 } { 2 } \Big ) } & { \quad \mathrm { f o r ~ n ~ e v e n } , } \\ { \bar { R } ( \bar { y } ) \Gamma \Big ( \frac { n } { 2 } \Big ) } & { \quad \mathrm { f o r ~ n ~ o d d } . } \end{array} \right.
V = \left\{ { \frac { G m _ { 1 } m _ { 2 } } { r } } \right\} \left\{ { \frac { 2 ( V _ { 1 } \cdot V _ { 2 } ) ^ { 2 } - 1 } { \gamma _ { 1 } \gamma _ { 2 } } } \right\} .
\begin{array} { r l } { \sigma _ { i j } ^ { N } ( r , \theta ) } & { = \sum _ { n = 1 } ^ { N } { r ^ { \frac { n } { 2 } - 1 } \ \left( A _ { n } f _ { \mathrm { I } , i j } ( \theta , n ) + B _ { n } f _ { \mathrm { I I } , i j } ( \theta , n ) \right) } , } \\ { u _ { i } ^ { N } ( r , \theta ) } & { = \sum _ { n = 0 } ^ { N } \frac { r ^ { \frac { n } { 2 } } } { 2 \mu } \ \left( A _ { n } g _ { \mathrm { I } , i } ( \theta , n ) + B _ { n } g _ { \mathrm { I I } , i } ( \theta , n ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { I [ 2 N ^ { 2 } + 5 6 3 d ^ { 3 } ( n + m + 1 ) ^ { 2 } ] + 6 5 7 I ^ { 2 } ( n + m + d + 1 ) ^ { 3 } + 2 N ^ { 2 } } \\ & { = ( I + 1 ) 2 N ^ { 2 } + 5 6 3 I d ^ { 3 } ( n + m + 1 ) ^ { 2 } + 6 5 7 I ^ { 2 } ( n + m + d + 1 ) ^ { 3 } } \\ & { \leq 4 I N ^ { 2 } + 5 6 3 I d ^ { 3 } ( n + m + 1 ) ^ { 2 } + 6 5 7 I ^ { 2 } ( 2 d ) ^ { 3 } ( n + m + 1 ) ^ { 3 } } \\ & { \leq 4 I ( 3 2 I d ^ { 2 } ( n + m + 1 ) ^ { 2 } ) ^ { 2 } + 5 6 3 I d ^ { 3 } ( n + m + 1 ) ^ { 2 } + 6 5 7 I ^ { 2 } ( 2 d ) ^ { 3 } ( n + m + 1 ) ^ { 3 } } \\ & { \leq ( 4 \cdot 3 2 ^ { 2 } + 5 6 3 + 6 5 7 \cdot 2 ^ { 3 } ) I ^ { 3 } d ^ { 4 } ( n + m + 1 ) ^ { 4 } } \\ & { = 9 9 1 5 I ^ { 3 } d ^ { 4 } ( n + m + 1 ) ^ { 4 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { V a r } ( \tilde { Z } _ { 4 c } ) \lesssim \frac { 1 } { \| \theta \| _ { 1 } ^ { 4 } } \sum _ { i \ell } \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } \| \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } \theta _ { i } \theta _ { \ell } \lesssim \frac { \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } \| \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } } { \| \theta \| _ { 1 } ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi _ { n - k } ^ { ( n ) } } & { = \frac { b _ { n , k } ( 1 ) - b _ { n , k } ( 0 ) } { b _ { n - 1 , k } ( 1 ) - b _ { n - 1 , k } ( 0 ) } = \frac { b _ { n , k } ^ { \prime } ( \zeta _ { k } ) } { b _ { n - 1 , k } ^ { \prime } ( \zeta _ { k } ) } = \frac { \omega _ { 1 - \alpha } ( t _ { n - \frac { 1 } { 2 } } - t _ { k - \frac { 3 } { 2 } } - \zeta _ { k } \tau _ { k - \frac { 1 } { 2 } } ) } { \omega _ { 1 - \alpha } ( t _ { n - \frac { 3 } { 2 } } - t _ { k - \frac { 3 } { 2 } } - \zeta _ { k } \tau _ { k - \frac { 1 } { 2 } } ) } } \\ & { = \left( \frac { t _ { n - \frac { 3 } { 2 } } - t _ { k - \frac { 3 } { 2 } } - \zeta _ { k } \tau _ { k - \frac { 1 } { 2 } } } { t _ { n - \frac { 1 } { 2 } } - t _ { k - \frac { 3 } { 2 } } - \zeta _ { k } \tau _ { k - \frac { 1 } { 2 } } } \right) ^ { \alpha } , ~ ~ 1 \le k \le n - 1 . } \end{array}
\left| { \left[ \begin{array} { l l } { \langle \omega | \omega \rangle } & { \langle \omega | s \rangle } \end{array} \right] } ( U _ { s } U _ { \omega } ) ^ { r } { \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right] } \right| ^ { 2 } = \sin ^ { 2 } \left( ( 2 r + 1 ) t \right) .
V / N _ { f } = ( Q _ { 0 } ^ { 2 } + \bar { Q } _ { 0 } ^ { 2 } ) \bigl [ Q _ { 0 } \bar { Q } _ { 0 } \bigr ] ^ { - 2 \gamma } + \frac { g ^ { 2 } } { 4 \gamma } ( Q _ { 0 } ^ { 2 } - \bar { Q } _ { 0 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } - m _ { Q } ^ { 2 } Q _ { 0 } ^ { 2 } + m _ { \bar { Q } } ^ { 2 } \bar { Q } _ { 0 } ^ { 2 }
\begin{array} { r l } & { 1 - \sum _ { d \in [ K ] } \lambda ^ { d * } = 0 \qquad \forall x \in \mathcal { X } } \\ & { - \lambda ^ { d * } \frac { \left( \sigma ^ { d } \right) ^ { 2 } } { ( w ^ { * } ( d ) ) ^ { 2 } } = \gamma ^ { * } \qquad \forall d \in [ K ] , } \\ & { \lambda ^ { d * } \left\{ \frac { \left( \sigma ^ { d } \right) ^ { 2 } } { w ( d ) } - R ^ { * } \right\} = 0 } \\ & { \gamma ^ { * } ( x ) \left\{ \sum _ { a \in [ K ] } w ^ { * } ( a ) - 1 \right\} = 0 \qquad \forall a \in [ K ] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \sqrt { \overline { { v } } _ { w i n d } } = \sqrt { \frac { 1 } { n } \sum _ { i } ^ { n } { v _ { w i n d , i } } } \ge \frac { 1 } { n } \sum _ { i } ^ { n } { \sqrt { v _ { w i n d _ { i } } } } } \end{array}
f _ { \mathrm { l o o p , s u b } } ^ { \mathrm { e l m } } ( u ) = \frac { \alpha } { 4 \pi } \left( - 1 + \log \frac { m _ { \tau } ^ { 2 } } { M _ { \pi } ^ { 2 } } + O ( \frac { p } { m _ { \tau } } ) \right) ~ .
\begin{array} { r l } { P _ { \mathrm { a v g } , \mathcal { C } } } & { = \frac { 1 } { E } \sum _ { i \in [ n ] } \sum _ { x _ { j } \in \mathcal { W } _ { i } } \left( l _ { j } ^ { i } \ p ( 1 - p ) ^ { l _ { j } ^ { i } - 1 } \right) } \\ & { = \frac { 1 } { E } \left( \sum _ { i \in [ n ] } \sum _ { x _ { j } \in \mathcal { W } _ { i } , \ l _ { j } ^ { i } = 1 } p + \sum _ { i \in [ n ] } \sum _ { x _ { j } \in \mathcal { W } _ { i } , \ l _ { j } ^ { i } = 2 } 2 p ( 1 - p ) \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { K } _ { t } ^ { t + \varepsilon } \mathbf { g } \left( \gamma _ { t } \right) = \mathbf { g } \left( \theta _ { t } ^ { t + \varepsilon } \left( \gamma _ { t } \right) \right) = \mathbf { g } \left( \gamma _ { t + \varepsilon } \right) , \; \forall t \leq t + \varepsilon \in T . } \end{array}
\sum _ { k = 0 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { k ! } } \operatorname* { s u p } _ { \xi \in B _ { 0 } } p _ { B } ^ { k } ( d \rho ( \xi ^ { m } - \eta ^ { m } ) \psi ) \leq 2 \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { k ! } } \operatorname* { s u p } _ { \zeta \in B _ { 0 } } p _ { B } ^ { k } ( d \rho ( \zeta ^ { m } ) \psi ) \leq 2 C { \frac { m ! } { t ^ { m } } } q _ { B ^ { \prime } } ( \psi ) < \infty .
\begin{array} { r l r } & { } & { \dot { a } _ { a S } + \frac { \gamma } { 2 } a _ { a S } = - i g A _ { p } b _ { a S } } \\ & { } & { \dot { a } _ { s i g } + \frac { \gamma } { 2 } a _ { s i g } = - i g A _ { p r } b _ { a S } } \\ & { } & { \dot { b } _ { a S } + \frac { \Gamma _ { 0 } } { 2 } b _ { a S } = - i g a _ { a S } A _ { p } ^ { \dag } - i g a _ { s i g } A _ { p r } ^ { \dag } + \bar { \xi } _ { a S } \quad \quad } \end{array}
\left\{ A , B \right\} = \frac { \partial A } { \partial q ^ { i } } \frac { \partial B } { \partial p _ { i } } + \frac { \partial A } { \partial p _ { i } } \frac { \partial B } { \partial q ^ { i } } + \frac { \partial B } { \partial \pi _ { a } } \frac { \partial A } { \partial \theta ^ { a } } + \frac { \partial B } { \partial \theta ^ { a } } \frac { \partial A } { \partial \pi _ { a } } \ .
G _ { m } = \frac { 1 } { 2 M } \left\langle X ( P _ { X } , \lambda ^ { \prime } = m - \frac { 1 } { 2 } ) \right| \epsilon ^ { m } \cdot J ( 0 ) \left| N ( P , \lambda = - \frac { 1 } { 2 } ) \right\rangle .
s _ { \omega } = \frac { \mathrm { H S I C } ( \mathcal { F } _ { x } , \mathcal { F } _ { y } , Z _ { \omega } ) } { \sum _ { i = 1 } ^ { d } \mathrm { H S I C } ( \mathcal { F } _ { x } , \mathcal { F } _ { y } , Z _ { i } ) } .
\begin{array} { r l } { \left\Vert \sum _ { s = 1 } ^ { \tau } \beta ^ { t - s } Z _ { s } \right\Vert } & { \leq 6 \eta L \log \frac { 3 } { \delta } + 3 \sqrt { \sum _ { s = 1 } ^ { \tau } \beta ^ { 2 t - 2 s } \eta ^ { 2 } L ^ { 2 } \log \frac { 3 } { \delta } } } \\ & { \leq 3 \eta L \left( 2 \log \frac { 3 } { \delta } + \sqrt { \frac { \log \frac { 3 } { \delta } } { 1 - \beta } } \right) \leq \frac { 9 \eta L \log \frac { 3 } { \delta } } { \sqrt { 1 - \beta } } . } \end{array}
( P , Z ) \equiv \frac { 1 } { 2 } t r ( P Z ) = \frac { 1 } { 2 } t r ( \bar { Z } \bar { P } ) = \frac { 1 } { 2 } ( p ^ { 1 } z ^ { 3 } + p ^ { 3 } z ^ { 1 } - q ^ { 2 } ( p ^ { 2 } z ^ { 4 } + p ^ { 4 } z ^ { 2 } ) ) \; ,
\mathrm { a } \left( t , \Omega \right) \mathrm { = } \sqrt { \frac { \Omega } { \sigma } } \int _ { 0 } ^ { \tau } \mathrm { d t } ^ { \prime } \mathrm { a } \left( t \right) \mathrm { e } ^ { i \Omega \left( t ^ { \prime } - t \right) } \mathrm { e } ^ { - \frac { \Omega ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } \left( t ^ { \prime } - t \right) ^ { 2 } } \mathrm { . }