harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
- \log \ [ p ( \boldsymbol { y } \mid \boldsymbol { X } , \theta ) ] = \frac { 1 } { 2 } \left[ ( \boldsymbol { y } - \boldsymbol { \mu } ) ^ { \mathrm { T } } \mathbf { K } ^ { - 1 } ( \boldsymbol { y } - \boldsymbol { \mu } ) + \log | \mathbf { K } | + N \ \log ( 2 \pi ) \right]
\begin{array} { r l } { k l ( p , p + \epsilon ) } & { = p \log \left( \frac { p } { p + \epsilon } \right) + ( 1 - p ) \log \left( \frac { 1 - p } { 1 - p - \epsilon } \right) } \\ & { \leq p \left( \frac { p } { p + \epsilon } - 1 \right) + ( 1 - p ) \left( \frac { 1 - p } { 1 - p - \epsilon } - 1 \right) } \\ & { = \frac { \epsilon ^ { 2 } } { ( p + \epsilon ) ( 1 - p - \epsilon ) } } \\ & { \overset { ( 1 ) } { \leq } \frac { c _ { 1 } \epsilon ^ { 2 } } { p } , } \end{array}
H _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ } } = \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { \Omega _ { P } } \\ { 0 } & { - 2 ( \Delta _ { 1 } - \Delta _ { 2 } ) } & { \Omega _ { C } } \\ { \Omega _ { P } } & { \Omega _ { C } } & { - 2 \Delta _ { 1 } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ u _ { \mathcal { I } } ( x _ { 1 } ) u _ { \mathcal { I } } ( x _ { 2 } ) ] } & { = \mathcal { J } _ { - d / 2 } ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) + \mathcal { F } ^ { - 1 } \left[ \chi _ { | k | \leq \kappa } \right] ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) } \\ & { = \int _ { \mathbb R _ { k } ^ { d } } \chi _ { | k | > \kappa } \, \Psi _ { d , H } ( | k | ) \, e ^ { 2 \pi i k \cdot ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) } \, d k + \mathcal { F } ^ { - 1 } \left[ \chi _ { | k | \leq \kappa } \right] ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) } \\ & { = : \mathcal { I } ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) , } \end{array}
\bar { Z } _ { \gamma \; \; \; ( \tau ) } ^ { \; ( \rho ) } = \stackrel { ( 0 ) } { Z } _ { \gamma \; \; \; ( \tau ) } ^ { \; ( \rho ) } + g \stackrel { ( 1 ) } { Z } _ { \gamma \; \; \; ( \tau ) } ^ { \; ( \rho ) } + O \left( g ^ { 2 } \right) ,
\begin{array} { r l } & { d W - \Delta W d t = \left( \varphi _ { U } ^ { 2 } B ( U ) - \varphi _ { V } ^ { 2 } B ( V ) + G ( W ) \right) d t + \left( \varphi _ { U } ^ { 2 } \sigma ( U ) - \varphi _ { V } ^ { 2 } \sigma ( V ) + \mathbf { P } ( b \cdot \nabla W ) \right) d \mathbb { W } _ { t } , } \\ & { \nabla \cdot ( W _ { 1 } , W _ { 2 } , W _ { 3 } ) = 0 , } \\ & { W ( 0 ) = 0 , \quad \mathrm { ~ a . s . . ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { x \in \mathbb { R } _ { + } } \varphi _ { \alpha } ( x ) } & { \leqslant \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { \mathbb { R } } \big | \exp \big ( - | u | ^ { \alpha } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \mathrm { s g n } ( u ) \pi \alpha / 2 } \big ) \big | \mathrm { d } u } \\ & { = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { \mathbb { R } } \mathrm { e } ^ { - | u | ^ { \alpha } \cos ( \pi \alpha / 2 ) } \mathrm { d } u = \frac { 1 } { 2 \pi } \cos ( \pi \alpha / 2 ) ^ { - 1 / \alpha } \int _ { \mathbb { R } } \mathrm { e } ^ { - | u | ^ { \alpha } } \mathrm { d } u , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left| I _ { \theta } ( Q _ { \varepsilon } T _ { \varepsilon } { \mathcal P } ) - I _ { \theta } ( Q { \mathcal P } ) \right| = \left| \int _ { \mathcal Z } u _ { \theta } ^ { 2 } ( z ) \bar { q } _ { \theta } ( z ) - t _ { \theta } ^ { 2 } ( z ) q _ { \theta } ( z ) \, \nu ( d z ) \right| } \\ & { \quad \le \int _ { \mathcal Z } | u _ { \theta } ^ { 2 } ( z ) - t _ { \theta } ^ { 2 } ( z ) | \bar { q } _ { \theta } ( z ) \, \nu ( d z ) + \int _ { \mathcal Z } t _ { \theta } ^ { 2 } ( z ) | \bar { q } _ { \theta } ( z ) - q _ { \theta } ( z ) | \, \nu ( d z ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { i \frac { \mathrm d } { \mathrm d t } \psi _ { j } ( t ) = \sum _ { j ^ { \prime } } H _ { F } ( j , j ^ { \prime } , t ) \psi _ { j ^ { \prime } } ( t ) + \gamma | \psi _ { j } ( t ) | ^ { 2 } \psi _ { j } ( t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left[ \nabla \times \frac { 1 } { \mu _ { r } ( \mathbf { r } \omega ) } \nabla \times - \omega ^ { 2 } \mu _ { 0 } \epsilon _ { 0 } \epsilon ( \mathbf { r } \omega ) \right] \mathbf { E } ( \mathbf { r } ) = - e \mathbf { J } ( \mathbf { r } ) , \mathrm { ~ o r ~ } } \\ & { \left( \nabla ^ { 2 } - \frac { 1 } { c ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial t ^ { 2 } } \right) \mathbf { A } = - \mu _ { 0 } \mathbf { J } . } \end{array}
\begin{array} { r } { d s ^ { 2 } = - d t ^ { 2 } + \left( - \frac { a \left( t \right) ^ { 2 } } { k r ^ { 2 } - 1 } \right) d r ^ { 2 } + r ^ { 2 } a \left( t \right) ^ { 2 } d \theta ^ { 2 } + r ^ { 2 } a \left( t \right) ^ { 2 } \sin \left( { \theta } \right) ^ { 2 } d \phi ^ { 2 } } \\ { + \left( - k r ^ { 2 } + 1 \right) d \chi ^ { 2 } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { ( f * \delta _ { T } ) ( t ) \ } & { { \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } } \ \int _ { - \infty } ^ { \infty } f ( \tau ) \, \delta ( t - T - \tau ) \, d \tau } \\ & { = \int _ { - \infty } ^ { \infty } f ( \tau ) \, \delta ( \tau - ( t - T ) ) \, d \tau \qquad { \mathrm { s i n c e } } ~ \delta ( - x ) = \delta ( x ) ~ ~ { \mathrm { b y ~ ( 4 ) } } } \\ & { = f ( t - T ) . } \end{array} }
\left\{ \begin{array} { l l } { x _ { i } = r \cdot \sin \left( \left( i - \frac { 2 J + 1 } { 2 } \right) \alpha \right) } \\ { y _ { i } = 0 } \\ { z _ { i } = \pm \left( r \cdot \cos \left( \left( i - \frac { 2 J + 1 } { 2 } \right) \alpha \right) - r \right) . } \end{array} \right.
\begin{array} { c c } { T _ { b 2 } ^ { A B } T _ { b 2 } ^ { C D } : \qquad ( \kappa ^ { 0 } , \kappa ^ { 3 } ) , \quad ( \kappa ^ { 1 } , \kappa ^ { 2 } ) , \quad ( \omega ^ { 0 } , \omega ^ { 3 } ) , \quad ( \omega ^ { 1 } , \omega ^ { 2 } ) } \\ { T _ { b 2 } ^ { A C } T _ { b 2 } ^ { B D } : \qquad ( \kappa ^ { 0 } , \kappa ^ { 1 } ) , \quad ( \kappa ^ { 2 } , \kappa ^ { 3 } ) , \quad ( \omega ^ { 0 } , \omega ^ { 2 } ) , \quad ( \omega ^ { 1 } , \omega ^ { 3 } ) } \\ { T _ { b 2 } ^ { A D } T _ { b 2 } ^ { B C } : \qquad ( \kappa ^ { 0 } , \kappa ^ { 2 } ) , \quad ( \kappa ^ { 1 } , \kappa ^ { 3 } ) , \quad ( \omega ^ { 0 } , \omega ^ { 1 } ) , \quad ( \omega ^ { 2 } , \omega ^ { 3 } ) } \end{array}
\| ( \gamma _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } - \overline { { \gamma } } _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } , \alpha _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } - \overline { { \alpha } } _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } ) \| \leq | \gamma _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } - \overline { { \gamma } } _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } | + | \alpha _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } - \overline { { \alpha } } _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } |
\frac { \tilde { d } V _ { i } \mathbf { U } _ { i } } { d t } = \left\{ \begin{array} { l l } { - \sum _ { j } ^ { N } 2 ( \tilde { \mathbf { G } } _ { i j } - \mathbf { H } _ { i } ) \cdot \mathbf { M } _ { i } ^ { - 1 } \nabla W _ { i j } V _ { i } V _ { j } , } & { \mathrm { ~ i f ~ } \phi _ { i } = 0 , } \\ { \left[ - \left( \mathbf { A } _ { i } \frac { \partial { \mathbf { \hat { U } } _ { i } } } { \partial x } + \mathbf { B } _ { i } \frac { \partial { \mathbf { \hat { U } } _ { i } } } { \partial y } \right) + \boldsymbol { w } _ { i } \cdot ( \frac { \partial { \mathbf { \hat { U } } _ { i } } } { \partial x } , \frac { \partial { \mathbf { \hat { U } } _ { i } } } { \partial y } ) \right] V _ { i } , } & { \mathrm { ~ o t h e r w i s e . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r l } { { 3 } \hat { c } _ { o u t } } & { { } = \tau \, \hat { c } _ { i n } + \kappa \, \hat { r } _ { 0 } ^ { c w } , \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \hat { r } _ { L } ^ { c w } } & { } & { { } = - \kappa \, \hat { c } _ { i n } + \tau \, \hat { r } _ { 0 } ^ { c w } , } \\ { \hat { d } _ { o u t } } & { { } = \tau \, \hat { d } _ { i n } + \kappa \, \hat { r } _ { \frac { L } { 2 } , + } ^ { c w } , \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \hat { r } _ { \frac { L } { 2 } , - } ^ { c w } } & { } & { { } = - \kappa \, \hat { d } _ { i n } + \tau \, \hat { r } _ { \frac { L } { 2 } , + } ^ { c w } . } \end{array}
\beta _ { \mathrm { ~ T ~ } } = \frac { \dot { Q } } { \dot { Q } _ { \mathrm { ~ C ~ } } } = \bigg ( \frac { 1 } { 1 + \mathrm { ~ K ~ n ~ } } + \frac { 1 } { 2 } G _ { \mathrm { ~ T ~ } } \mathrm { ~ K ~ n ~ } \bigg ) ^ { - 1 }
L = { \frac { 1 } { 1 6 \pi G _ { N } } } \int d ^ { 1 0 } x \sqrt { - g } [ e ^ { - 2 ( \phi - \phi _ { \infty } ) } R + { \frac { 1 } { 2 ( p + 2 ) ! } } F _ { p + 2 } ^ { 2 } ]
\begin{array} { r l } { P _ { \tau , \epsilon _ { l } , \epsilon _ { r } } ( r > \lfloor \tau \rfloor + 2 ) } & { = 0 \, , } \\ { P _ { \tau , \epsilon _ { l } , \epsilon _ { r } } ( r = \lfloor \tau \rfloor + 2 ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \epsilon _ { l } \epsilon _ { r } \, , } & { \epsilon _ { l } + \epsilon _ { r } < 1 } \\ { 0 \, , } & { \epsilon _ { l } + \epsilon _ { r } \geq 1 } \end{array} \right. \, , } \\ { P _ { \tau , \epsilon _ { l } , \epsilon _ { r } } ( r = \lfloor \tau \rfloor + 1 ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \epsilon _ { l } + \epsilon _ { r } - 2 \epsilon _ { l } \epsilon _ { r } \, , } & { \epsilon _ { l } + \epsilon _ { r } < 1 } \\ { \epsilon _ { l } \epsilon _ { r } \, , } & { \epsilon _ { l } + \epsilon _ { r } \geq 1 } \end{array} \right. \, , } \\ { P _ { \tau , \epsilon _ { l } , \epsilon _ { r } } ( r = \lfloor \tau \rfloor ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { ( 1 - \epsilon _ { l } ) ( 1 - \epsilon _ { r } ) \, , } & { \epsilon _ { l } + \epsilon _ { r } < 1 } \\ { \epsilon _ { l } + \epsilon _ { r } - 2 \epsilon _ { l } \epsilon _ { r } \, , } & { \epsilon _ { l } + \epsilon _ { r } \geq 1 } \end{array} \right. \, , } \\ { P _ { \tau , \epsilon _ { l } , \epsilon _ { r } } ( r = \lfloor \tau \rfloor - 1 ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 \, , } & { \epsilon _ { l } + \epsilon _ { r } < 1 } \\ { ( 1 - \epsilon _ { l } ) ( 1 - \epsilon _ { r } ) \, , } & { \epsilon _ { l } + \epsilon _ { r } \geq 1 } \end{array} \right. \, , } \\ { P _ { \tau , \epsilon _ { l } , \epsilon _ { r } } ( r < \lfloor \tau \rfloor - 1 ) } & { = 0 \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d \Psi _ { l } } { d t } } & { = } & { \Psi _ { l } ( \gamma _ { l } ( t ) - | \Psi _ { l } | ^ { 2 } ) + \sum _ { \bar { \Omega } } { \bf A } _ { i _ { 1 } , { \tiny { \cdot \cdot \cdot } } i _ { k } } ^ { k } \Psi _ { i _ { 1 } } { \tiny { . . . } } \Psi _ { i _ { k } } ^ { * } , } \\ { \frac { d \gamma _ { l } } { d t } } & { = } & { \epsilon ( \rho _ { \mathrm { t h } } - | \Psi _ { l } | ^ { 2 } ) , } \end{array}
f ( \mathbf { A } ) = \sum _ { i , j } [ \mathbf { A } ] _ { i j } f \left( e _ { i j } \right) = \sum _ { i } [ \mathbf { A } ] _ { i i } f \left( e _ { 1 1 } \right) = f \left( e _ { 1 1 } \right) \operatorname { t r } ( \mathbf { A } ) .
B = \left( \begin{array} { l l l l l } { 1 } & { 0 . 2 5 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 . 2 5 } & { 1 } & { 0 } & { 0 . 5 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 . 2 5 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 . 5 } & { 0 . 2 5 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \, .
\begin{array} { r l } & { \mathtt { S o l } _ { \mathcal { R } } ( \mathbb { S } _ { \mathtt { S F } } ) : = \{ \phi \in \mathcal { F } _ { \mathcal { N } } | \; \mathrm { E } _ { \mathtt { S F } } ( \phi ) = 0 , \overline { { b } } _ { \mathtt { S F } } ( \phi ) = 0 \} , } \\ & { \mathtt { S o l } _ { \mathcal { D } } ( \mathbb { S } _ { \mathtt { S F } } ) : = \{ \phi \in \mathcal { F } _ { \mathcal { D } } | \; \mathrm { E } _ { \mathtt { S F } } ( \phi ) = 0 \} . } \end{array}
\Gamma ( \tilde { \mu } , \mu ) = \substack { \mathrm { \normalsize ~ e x t r } \, \tilde { \theta } , \theta } \left\lbrace \ln \int d \tilde { \phi } \, d \phi \, \exp \left[ S _ { \alpha } ( \tilde { \phi } , \phi ) - \sum _ { i } \left( \int d \tau \, \tilde { \mu } _ { i } ( \tau ) \tilde { \theta } _ { i } ( \tau ) + \int d \tau \, \mu _ { i } ( \tau ) \theta _ { i } ( \tau ) \right) \right] \right\rbrace
[ a _ { a } ( \lambda , \vec { q } ) , a _ { b } ^ { + } ( \lambda ^ { \prime } , \vec { q } ^ { \prime } ) ] = \delta _ { a b } \delta _ { \lambda \lambda ^ { \prime } } ( 2 \pi ) ^ { 3 } \delta ( \vec { q } - \vec { q } ^ { \prime } ) ~ ,
{ \begin{array} { r l } { S ( { \boldsymbol { \varphi } } ( y ) ) = } & { y _ { 1 } ^ { 2 } + \cdots + y _ { r - 1 } ^ { 2 } + H _ { r r } ( y ) \sum _ { i , j = r } ^ { n } y _ { i } y _ { j } { \tilde { H } } _ { i j } ( y ) } \\ { = } & { y _ { 1 } ^ { 2 } + \cdots + y _ { r - 1 } ^ { 2 } + H _ { r r } ( y ) \left[ y _ { r } ^ { 2 } + 2 y _ { r } \sum _ { j = r + 1 } ^ { n } y _ { j } { \tilde { H } } _ { r j } ( y ) + \sum _ { i , j = r + 1 } ^ { n } y _ { i } y _ { j } { \tilde { H } } _ { i j } ( y ) \right] } \\ { = } & { y _ { 1 } ^ { 2 } + \cdots + y _ { r - 1 } ^ { 2 } + H _ { r r } ( y ) \left[ \left( y _ { r } + \sum _ { j = r + 1 } ^ { n } y _ { j } { \tilde { H } } _ { r j } ( y ) \right) ^ { 2 } - \left( \sum _ { j = r + 1 } ^ { n } y _ { j } { \tilde { H } } _ { r j } ( y ) \right) ^ { 2 } \right] + H _ { r r } ( y ) \sum _ { i , j = r + 1 } ^ { n } y _ { i } y _ { j } { \tilde { H } } _ { i j } ( y ) } \end{array} }
{ \begin{array} { r l } { \left( T ^ { ( n ) } \right) ^ { 2 } } & { = \sigma _ { i j } \sigma _ { i k } n _ { j } n _ { k } } \\ { \sigma _ { \mathrm { n } } ^ { 2 } + \tau _ { \mathrm { n } } ^ { 2 } } & { = \sigma _ { 1 } ^ { 2 } n _ { 1 } ^ { 2 } + \sigma _ { 2 } ^ { 2 } n _ { 2 } ^ { 2 } + \sigma _ { 3 } ^ { 2 } n _ { 3 } ^ { 2 } } \end{array} }
{ \begin{array} { l l l } { \operatorname { P r o j } \left( { \frac { \mathbb { C } [ x _ { 0 } , x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ] } { ( x _ { 0 } ^ { 4 } + x _ { 1 } ^ { 4 } + x _ { 2 } ^ { 4 } + x _ { 3 } ^ { 4 } ) } } \right) } & { \to } & { \operatorname { P r o j } \left( { \frac { \mathbb { C } [ x _ { 0 } , x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ] [ \varepsilon ] } { ( x _ { 0 } ^ { 4 } + x _ { 1 } ^ { 4 } + x _ { 2 } ^ { 4 } + x _ { 3 } ^ { 4 } + \varepsilon x _ { 0 } ^ { a _ { 0 } } x _ { 1 } ^ { a _ { 1 } } x _ { 2 } ^ { a _ { 2 } } x _ { 3 } ^ { a _ { 3 } } ) } } \right) } \\ { \downarrow } & & { \downarrow } \\ { \operatorname { S p e c } ( k ) } & { \to } & { \operatorname { S p e c } ( k [ \varepsilon ] ) } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \left| \frac { 1 } { | T | } \sum _ { i \in T } ( w ^ { * } - w _ { t } ) ^ { \top } x _ { i } x _ { i } ^ { \top } ( w ^ { * } - w _ { t } ) - \| w ^ { * } - w _ { t } \| _ { \Sigma } ^ { 2 } \right| } & { \leq 2 C _ { 2 } K ^ { 2 } \alpha \log ^ { 2 a } ( 1 / ( 2 \alpha ) ) \| w ^ { * } - w _ { t } \| _ { \Sigma } ^ { 2 } \; . } \end{array}
\frac { P _ { { E } ^ { \prime } / X } ( n ) } { \alpha _ { \dim ( { E } ^ { \prime } ) } ( { E } ^ { \prime } ) } \le \frac { P _ { { E } / X } ( n ) } { \alpha _ { \dim ( { E } ) } ( { E } ) } \quad \quad \left( \frac { P _ { { E } ^ { \prime } / X } ( n ) } { \alpha _ { \dim ( { E } ^ { \prime } ) } ( { E } ^ { \prime } ) } < \frac { P _ { { E } / X } ( n ) } { \alpha _ { \dim ( { E } ) } ( { E } ) } \right) \, , \qquad ( n \gg 0 ) \, ,
{ \begin{array} { r l } { U } & { = \overbrace { { \frac { \varepsilon _ { 0 } } { 2 } } \int _ { _ { \mathrm { ~ o f ~ s p a c e } } ^ { \mathrm { b o u n d a r y } } } \Phi \mathbf { E } \cdot d \mathbf { A } } ^ { 0 } - { \frac { \varepsilon _ { 0 } } { 2 } } \int _ { \mathrm { a l l ~ s p a c e } } ( - \mathbf { E } ) \cdot \mathbf { E } \, d V } \\ & { = \int _ { \mathrm { a l l ~ s p a c e } } { \frac { 1 } { 2 } } \varepsilon _ { 0 } \left| { \mathbf { E } } \right| ^ { 2 } \, d V . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \lambda \left\langle f , \phi _ { m , i } \right\rangle _ { L ^ { 2 } } } & { = \left\langle K _ { \beta } f , \phi _ { m , i } \right\rangle _ { L ^ { 2 } } = \sum _ { k = 1 } ^ { \beta } \lambda _ { k } \sum _ { j = 1 } ^ { \nu _ { d } ( k ) } a _ { k , j } \left\langle \phi _ { k , j } , \phi _ { m , i } \right\rangle _ { L ^ { 2 } } } \\ & { = \sum _ { k = 1 } ^ { \beta } \lambda _ { k } \sum _ { j = 1 } ^ { \nu _ { d } ( k ) } a _ { k , j } \delta _ { m k } \delta _ { i j } = \sum _ { k = 1 } ^ { \beta } \lambda _ { k } \delta _ { m k } a _ { k , i } = \lambda _ { m } a _ { m , i } = \lambda _ { m } \left\langle f , \phi _ { m , i } \right\rangle _ { L ^ { 2 } } . } \end{array}
s _ { 3 } ( { \bf s } _ { H } , x _ { 3 } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { + \sqrt { \frac { 1 } { c ( x _ { 3 } ) ^ { 2 } } - { \bf s } _ { H } \cdot { \bf s } _ { H } } \quad \mathrm { { f o r } \quad { \bf s } _ { H } \cdot { \bf s } _ { H } \leq \frac { 1 } { c ( x _ { 3 } ) ^ { 2 } } } } \\ { + i \sqrt { { \bf s } _ { H } \cdot { \bf s } _ { H } - \frac { 1 } { c ( x _ { 3 } ) ^ { 2 } } } \quad \mathrm { { f o r } \quad { \bf s } _ { H } \cdot { \bf s } _ { H } > \frac { 1 } { c ( x _ { 3 } ) ^ { 2 } } } } \end{array} \right. .
\int _ { 0 } ^ { \alpha ^ { 2 } L _ { \theta _ { 0 } } ^ { 2 } } \int _ { \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 2 } } \bigl | ( \theta _ { 0 } \ast \nabla \Phi ( s , \cdot ) ) ( x ) \bigr | ^ { 2 } \, d x \, d t \leq \alpha ^ { 2 } L _ { \theta _ { 0 } } ^ { 2 } \bigl \| \nabla \theta _ { 0 } \bigr \| _ { L ^ { 2 } ( \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 2 } ) } ^ { 2 } \leq C \alpha ^ { 2 } \| \theta _ { 0 } \| _ { L ^ { 2 } ( \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 2 } ) } ^ { 2 } \, ,
\begin{array} { r l } { \left< { p } _ { \mathrm { b } } \right> } & { { } = - \left< \int _ { - d } ^ { \eta } \frac { \partial p } { \partial y } \mathrm { d } y \right> = \left< \int _ { - d } ^ { \eta } \left[ u \frac { \partial v } { \partial x } + v \frac { \partial v } { \partial y } + g \right] \mathrm { d } y \right> = g d . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \varepsilon _ { 1 } } & { = { \frac { 1 } { E } } { \big ( } \sigma _ { 1 } - \nu ( \sigma _ { 2 } + \sigma _ { 3 } ) { \big ) } \, , } \\ { \varepsilon _ { 2 } } & { = { \frac { 1 } { E } } { \big ( } \sigma _ { 2 } - \nu ( \sigma _ { 1 } + \sigma _ { 3 } ) { \big ) } \, , } \\ { \varepsilon _ { 3 } } & { = { \frac { 1 } { E } } { \big ( } \sigma _ { 3 } - \nu ( \sigma _ { 1 } + \sigma _ { 2 } ) { \big ) } \, , } \end{array} }
\begin{array} { r l } { S ( x ) } & { { } = \frac { n } { \kappa b } - \cos { ( \phi + \varphi ^ { \prime } - \varphi _ { b } ) } , } \\ { f ( x ) } & { { } = \frac { 1 } { 2 \pi } \frac { 1 } { \alpha - \beta \cos { \phi } } } \end{array}
\int _ { M } ( \Phi _ { 1 } ( x , t ) - x ) G ( \Phi _ { 2 } ( x , t ) ) \mathrm { d } x = \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { M } u _ { 1 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , t ) G ( x _ { 2 } ) \mathrm { d } x \mathrm { d } s + \mathsf { R } _ { G } ( t ) ,
0 \le \operatorname* { l i m } _ { \gamma \rightarrow \infty } [ \alpha \| u _ { \gamma } - u _ { * } \| _ { \mathcal { U } } ^ { 2 } ] \le \operatorname* { l i m } _ { \gamma \rightarrow \infty } \langle \lambda _ { * } , S u _ { \gamma } - y _ { \operatorname* { m a x } } \rangle _ { \mathcal { Y } ^ { * } , \mathcal { Y } } = \langle \underbrace { \lambda _ { * } } _ { \ge 0 } , \underbrace { S \hat { u } - y _ { \operatorname* { m a x } } } _ { \le 0 } \rangle _ { \mathcal { Y } ^ { * } , \mathcal { Y } } \le 0
\begin{array} { r l r } { ( n - 1 ) \, \int _ { \Sigma } f \, d \mathcal { H } ^ { n - 1 } } & { = } & { \int _ { \Sigma } \mathrm { d i v } \, ^ { \Sigma } X \, d \mathcal { H } ^ { n - 1 } = H _ { 0 } \, \int _ { \Sigma } \langle X , \nu _ { \Omega } \rangle _ { g } \, d \mathcal { H } ^ { n - 1 } } \\ & { = } & { H _ { 0 } \, \int _ { \Omega } \mathrm { d i v } \, X = H _ { 0 } \, n \, \int _ { \Omega } f \, , } \end{array}
\operatorname * { l i m } _ { l \rightarrow 0 } \frac { 1 } { \Gamma ( \frac { a } { 2 } + \frac { 1 } { 4 } ) \Gamma ( \frac { a } { 2 } + \frac { 1 } { 4 } ) } e ^ { \frac { ( 2 N + 1 ) ^ { 2 } } { l } } l ^ { 1 - a } = 0 \Rightarrow a \rightarrow - \infty .
l _ { s } ^ { - 2 } d s ^ { 2 } = { \frac { U ^ { 2 } } { \lambda ^ { 1 / 2 } } } \eta _ { i j } d x ^ { i } d x ^ { j } + { \frac { \lambda ^ { 1 / 2 } } { U ^ { 2 } } } d U ^ { 2 } + \lambda ^ { 1 / 2 } d \Omega _ { 5 } ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { N } & { { } = \log ( n / ( \delta / ( 2 | S ^ { ( \mathrm { g e o } ) } | ) ) ) 2 ^ { \mathcal { O } \left( \log ( C ^ { 2 } / \epsilon _ { 3 } ) + \mathrm { p o l y l o g } ( C / \epsilon _ { 1 } ) \right) } , } \\ { T } & { { } = \mathcal { O } \left( \log ( n N / ( \delta / ( 2 | S ^ { ( \mathrm { g e o } ) } | ) ) ) / ( \epsilon _ { 2 } / C ) ^ { 2 } \right) . } \end{array}
0 . 0 0 4 5 9 + 0 . 0 0 5 4 9 e ^ { - 0 . 0 0 5 2 7 t } + 0 . 0 1 0 6 e ^ { - 0 . 0 8 4 2 t } + 0 . 0 2 1 9 e ^ { - 1 . 2 9 t } + 0 . 0 4 5 4 e ^ { - 1 9 . 7 t } + 0 . 0 9 5 1 e ^ { - 2 9 7 t } + 0 . 2 0 2 e ^ { - 4 . 4 2 e + 0 3 t } + 0 . 6 1 5 e ^ { - 7 . 7 3 e + 0 4 t }
\mathbf { t } _ { 2 } = \frac { \mathbf { \nabla } f _ { 2 } - ( \mathbf { n } _ { 1 } \cdot \mathbf { \nabla } f _ { 2 } ) \mathbf { n } _ { 1 } } { | | \mathbf { \nabla } f _ { 2 } - ( \mathbf { n } _ { 1 } \cdot \mathbf { \nabla } f _ { 2 } ) \mathbf { n } _ { 1 } | | } \mathrm { ~ . ~ }
\left[ \begin{array} { l } { x _ { i } } \\ { \mathbf { r } _ { v } ^ { T } \mathbf { x } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { \tilde { u } _ { 1 } } \\ { 1 } & { \tilde { u } _ { 2 } } \end{array} \right] ^ { - 1 } \cdot \left[ \begin{array} { l } { w _ { 1 } } \\ { w _ { 2 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { \tilde { a } } & { \tilde { b } } \\ { \tilde { c } } & { \tilde { d } } \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array} { l } { w _ { 1 } } \\ { w _ { 2 } } \end{array} \right]
\operatorname* { s u p } _ { | t | \leqslant N ^ { C ( N ) } } \left| \frac { 1 } { \sqrt { N } } \sum _ { n \leqslant N } \mathbb X ( n ) n ^ { i t } \right| \geqslant \exp \left( \sqrt { ( 1 - \delta ) \frac { \log T } { \log \log T } } \right) \, \geqslant \exp \left( \sqrt { \left( \frac { 1 - \delta } { 1 + \gamma } \right) \frac { C ( N ) \log N } { \log \log N } } \right) .
\begin{array} { r l } { I _ { N } } & { { } = \sum _ { \delta \in S _ { N } } \prod _ { k = 1 } ^ { N } M _ { k , \delta ( k ) } + \sum _ { j = 1 } ^ { N } \sum _ { \delta \in S _ { N - 1 } \backslash j } \left( \sum _ { l \neq j } M _ { j l } \frac { x _ { l } } { x _ { j } } \right) \prod _ { k \neq j } M _ { k , \delta ( k ) } + \dots , } \end{array}
S = S ^ { \prime } + \int d \tau \left( \sum _ { a } q _ { s } ^ { * } \delta _ { a } q ^ { s } \eta _ { a } - \sum _ { a b } \alpha _ { b } ^ { * } \left( \zeta ^ { - 1 } \right) _ { a b } \eta _ { a } + \sum _ { a b c } \frac { 1 } { 2 } C _ { a b } { } ^ { c } \eta _ { c } ^ { * } \eta _ { a } \eta _ { b } + \sum _ { a } \bar { \eta } _ { a } ^ { * } b _ { a } \right) .
\mathrm { ~ B ~ R ~ D ~ F ~ } _ { m } \thinspace \cos \theta = \mathrm { ~ A ~ R ~ S ~ } _ { m } ( \lambda , \nu ) = \frac { \pi w _ { s } ^ { 2 } } { \lambda ^ { 2 } } R _ { m } ( \lambda ) \frac { | S _ { m } ( \nu ) | ^ { 2 } } { | S _ { m } ( 0 ) | ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { \mathrm { d } Y _ { t } } & { = \frac { 1 } { 2 } Y _ { t } \mathrm { d } t + C \nabla \log p _ { T - t } ( X _ { t } ) \mathrm { d } t + \sqrt { C } \mathrm { d } W _ { t } ^ { H } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } Y _ { t } \mathrm { d } t + C \nabla \log \frac { \mathrm { d } p _ { T - t } } { \mathrm { d } \mathcal { N } ( 0 , C ) } ( X _ { t } ) \mathrm { d } t + C \nabla \log \mathcal { N } ( 0 , C ) ( X _ { t } ) + \sqrt { C } \mathrm { d } W _ { t } ^ { H } } \\ & { = - \frac { 1 } { 2 } Y _ { t } \mathrm { d } t + C \nabla \log \frac { \mathrm { d } p _ { T - t } } { \mathrm { d } \mathcal { N } ( 0 , C ) } ( X _ { t } ) \mathrm { d } t + \sqrt { C } \mathrm { d } W _ { t } ^ { H } , } \end{array}
H = N [ - { \frac { 1 } { 4 } } ( w ^ { 1 } - A ^ { 1 } ) \wedge ( w ^ { 2 } - A ^ { 2 } ) \wedge ( w ^ { 3 } - A ^ { 3 } ) + { \frac { 1 } { 4 } } \sum _ { a } F ^ { a } \wedge ( w ^ { a } - A ^ { a } ) ] .
{ \frac { m _ { t } ^ { 2 } } { m _ { c } ^ { 2 } } } { \frac { \mathrm { B r } ( A ^ { 0 } \to c c ) \sqrt { 1 - 4 m _ { t } ^ { 2 } / m _ { A ^ { 0 } } ^ { 2 } } } { \mathrm { B r } ( A ^ { 0 } \to t t ) } } \ = \ r _ { c , A } ^ { 2 } ( m _ { A ^ { 0 } } ^ { 2 } ) ~ \left\{ 1 ~ , ~ \tan ^ { 4 } \beta \right\} \, ,
\begin{array} { r } { \Dot { \Theta } = \Omega + \mathbf { W } \nabla _ { \Theta } \left( \sum _ { k = 1 } ^ { K } C _ { k - 1 } ^ { + } C _ { k } ^ { - } R _ { k - 1 } ^ { + } R _ { k } ^ { - } \right) \, , } \end{array}