harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { M _ { 1 1 } } & { = } & { M _ { p p } \cos ^ { 2 } \varphi + M _ { s s } \sin ^ { 2 } \varphi , } \\ { M _ { 2 2 } } & { = } & { M _ { p p } \sin ^ { 2 } \varphi + M _ { s s } \cos ^ { 2 } \varphi , } \\ { M _ { 1 2 } } & { = } & { M _ { 2 1 } = \left( \frac { M _ { p p } - M _ { s s } } { 2 } \right) \sin { ( 2 \varphi ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \epsilon _ { \alpha \beta \gamma } \epsilon _ { \delta \epsilon \kappa } } & { { } = \delta _ { \alpha \delta } \delta _ { \beta \epsilon } \delta _ { \gamma \kappa } + \delta _ { \alpha \epsilon } \delta _ { \beta \kappa } \delta _ { \gamma \delta } + \delta _ { \alpha \kappa } \delta _ { \beta \delta } \delta _ { \gamma \epsilon } - \delta _ { \alpha \epsilon } \delta _ { \beta \delta } \delta _ { \gamma \kappa } - \delta _ { \alpha \delta } \delta _ { \beta \kappa } \delta _ { \gamma \epsilon } - \delta _ { \alpha \kappa } \delta _ { \beta \epsilon } \delta _ { \gamma \delta } } \end{array}
H = \frac { 1 } { 2 } \left( - \frac { d ^ { 2 } } { d x ^ { 2 } } + \frac { ( 3 n + 2 \pm n ^ { \prime } ) ^ { 2 } - 1 } { 4 x ^ { 2 } } - \frac { n ( 2 n + 2 \pm n ^ { \prime } ) } { x ^ { 2 } } \Pi _ { + } \right) .
\begin{array} { r l } { \hat { y } ^ { i \setminus j } } & { = \P _ { H \sim \textnormal { H y p e r G e o m e t r i c } ( n - 2 , m - 1 , K - 1 ) } \left\{ 1 + H > \frac { m K } { n } \right\} } \\ { \hat { y } ^ { j \setminus i } } & { = \P _ { H \sim \textnormal { H y p e r G e o m e t r i c } ( n - 2 , m - 1 , K - 1 ) } \left\{ H > \frac { m K } { n } \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r } { \bar { k } ( \kappa _ { i } ) = \sum _ { i \neq j } \frac { 1 } { 1 + \left( \frac { R \Delta \theta _ { i j } } { ( \mu \kappa _ { i } \kappa _ { j } ) ^ { 1 / D } } \right) ^ { \beta } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta \angles { T } _ { \hat { N } } ^ { \perp N ^ { \prime } } } & { { } = \angles { T } _ { \hat { N } } ^ { \perp N ^ { \prime } } - \angles { T } _ { \hat { N } } ^ { \perp 0 } \, , \quad N ^ { \prime } \in \left\{ 1 0 , 5 0 , 1 0 0 , 2 0 0 , N \right\} \, , } \end{array}
{ \frac { d } { d t } } { \frac { \partial { \cal { L } } } { \partial { \dot { q } } ^ { i } } } = \sum _ { j = 1 } ^ { n } \left( { \frac { \partial ^ { 2 } { \cal { L } } } { \partial { \dot { q } } ^ { i } \partial { \dot { q } } ^ { j } } } { \ddot { q } } ^ { j } + { \frac { \partial ^ { 2 } { \cal { L } } } { \partial { \dot { q } } ^ { i } \partial { q } ^ { j } } } { \dot { q } } ^ { j } \right) + { \frac { \partial ^ { 2 } { \cal { L } } } { \partial { \dot { q } } ^ { i } \partial t } } , \qquad i = 1 , \ldots , n ,
\begin{array} { r l } { D ^ { k } f ( \eta _ { x } ^ { \lambda 2 ^ { - ( n + 1 ) } } - \eta _ { x } ^ { \lambda 2 ^ { - n } } ) } & { = ( - \lambda ^ { - 1 } 2 ^ { n + 1 } ) ^ { | k | } f ( ( \partial ^ { k } \eta ) _ { x } ^ { 2 ^ { - ( n + 1 ) } } ) - ( - \lambda ^ { - 1 } 2 ^ { n } ) ^ { | k | } f ( ( \partial ^ { k } \eta ) _ { x } ^ { 2 ^ { - n } } ) } \\ & { = ( - \lambda ^ { - 1 } 2 ^ { n } ) ^ { | k | } f ( ( \partial ^ { k } \varphi ) _ { x } ^ { \lambda 2 ^ { - n } } ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { v _ { 4 k - 1 - 2 i , 2 k + 5 + 6 i } ^ { A , i + 1 } \otimes v _ { 1 , 1 } } \\ & { + v _ { 4 k - 1 - 2 i , 2 k + 4 + 6 i } ^ { A , i + 1 } \otimes v _ { 1 , 2 } } \\ & { + v _ { 4 k - 1 - 2 i , 2 k + 1 + 6 i } ^ { A , i + 1 } \otimes v _ { 1 , 5 } } \\ & { + v _ { 4 k - 1 - 2 i , 2 k + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 6 } } \\ & { + v _ { 4 k - 1 - 2 i , 2 k + 6 i } ^ { B , i } \otimes v _ { 1 , 6 } } \end{array}
P _ { f a i l , a v } = \int _ { 0 } ^ { \infty } d r P _ { f a i l } \left( \delta _ { r } \right) \frac { r } { \sigma _ { u c } ^ { 2 } } e ^ { - \frac { r ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { u c } ^ { 2 } } }
\begin{array} { r l r } { a ^ { + } } & { { } \equiv } & { a + \frac { \alpha \overline { z } } { 1 + \alpha } , } \\ { a ^ { - } } & { { } \equiv } & { a + \frac { \alpha ( 1 - \overline { z } ) } { 1 + \alpha } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left[ 3 \tau _ { \pi } \left( 1 - c _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } \right) - 4 \frac { \eta } { \varepsilon _ { 0 } + P _ { 0 } } \right] \tau _ { \Omega } } & { { } > } & { \frac { 2 7 } { 3 5 } \eta _ { \Omega } \, \gamma _ { - 1 } ^ { \Omega } \tau _ { \pi } \left( 1 - c _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } \right) , } \\ { 3 ( 1 - \mathrm { c } _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } ) \tau _ { \pi } } & { { } \geq } & { \frac { 4 \eta } { \varepsilon _ { 0 } + P _ { 0 } } , } \end{array}
L ( t , s ) = \left\{ \begin{array} { l l } { { H ( s , 2 t ) } } & { { \mathrm { ~ 0 \leq ~ t ~ \leq ~ { \frac { 1 } { ~ 2 } } ~ } } } \\ { { H ( s , 2 t - 1 ) } } & { { \mathrm { ~ { \frac { 1 } { ~ 2 } } ~ \leq ~ t ~ \leq ~ 1 ~ } } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \underset { z _ { l } , \ell _ { w } , d _ { w } , x _ { k , l } \in \{ 0 , 1 \} } { \textrm { m i n i m i z e } } \quad \frac { P _ { \mathrm { d i s p } } } { \sigma _ { \mathrm { c o o l } } } + \sum _ { l = 1 } ^ { L } z _ { l } P _ { l } + \Delta ^ { \mathrm { t r } } \sum _ { l = 1 } ^ { L } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \rho _ { k , l } ^ { 2 } } \\ & { + \frac { P _ { \mathrm { O L T } } } { \sigma _ { \mathrm { c o o l } } } \sum _ { w = 1 } ^ { W } w \ell _ { w } + \frac { P _ { \mathrm { D U - C , 0 } } ^ { \mathrm { p r o c } } } { \sigma _ { \mathrm { c o o l } } } \sum _ { w = 1 } ^ { W } w d _ { w } } \\ & { + \frac { \Delta _ { \mathrm { D U - C } } ^ { \mathrm { p r o c } } \mathcal { X } } { \sigma _ { \mathrm { c o o l } } C _ { \mathrm { m a x } } } \sum _ { l = 1 } ^ { L } \sum _ { k = 1 } ^ { K } x _ { k , l } + \frac { \Delta _ { \mathrm { D U - C } } ^ { \mathrm { p r o c } } \mathcal { F } } { \sigma _ { \mathrm { c o o l } } C _ { \mathrm { m a x } } } } \end{array}
u _ { k } ( x ) = \frac { \sqrt { \kappa } } { \kappa _ { c } ^ { 3 / 2 } C } \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \hat { X } _ { k } ( \kappa , \xi ) \Psi \left( \frac { \xi \kappa } { \kappa _ { c } } \right) \mathrm { d } \xi \mathrm { d } \kappa .
\begin{array} { r l } { B _ { m } \exp ( { j \beta _ { m } } ) } & { { } = t _ { R } ( \kappa _ { + m } - \kappa _ { - m } ^ { * } ) , } \\ { \gamma + \gamma _ { \mathrm { c s t } } } & { { } = - j \kappa _ { 0 } , } \end{array}
K _ { b } = C ^ { \circ } \frac { [ R L ] } { [ R ] [ L ] } = \sum _ { i } C ^ { \circ } \frac { [ R L _ { i } ] } { [ R ] [ L ] } = \sum _ { i } \frac { [ L _ { i } ] } { [ L _ { i } ] } C ^ { \circ } \frac { [ R L _ { i } ] } { [ R ] [ L ] }
G : = \left[ \begin{array} { c } { g _ { 1 } } \\ { g _ { 2 } } \\ { \vdots } \\ { g _ { k } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c c c c } { g _ { 1 , 1 } } & { g _ { 1 , 2 } } & { \ldots } & { g _ { 1 , s } } \\ { g _ { 2 , 1 } } & { g _ { 2 , 2 } } & { \ldots } & { g _ { 2 , s } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { g _ { k , 1 } } & { g _ { k , 2 } } & { \ldots } & { g _ { k , s } } \end{array} \right] .
2 E { \bigl ( } { \frac { 1 } { 2 } } { \sqrt { 2 } } { \bigr ) } - K { \bigl ( } { \frac { 1 } { 2 } } { \sqrt { 2 } } { \bigr ) } - 2 E { \biggl [ } \operatorname { a r c c o s } ( x ) ; { \frac { 1 } { 2 } } { \sqrt { 2 } } { \biggr ] } + F { \biggl [ } \operatorname { a r c c o s } ( x ) ; { \frac { 1 } { 2 } } { \sqrt { 2 } } { \biggr ] } = \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { { \sqrt { 2 } } \, x ^ { 3 } y ^ { 2 } } { \sqrt { 1 - x ^ { 4 } y ^ { 4 } } } } \, \mathrm { d } y
\tilde { \mathcal { V } } _ { m } ( p _ { m } - p _ { 0 } , \boldsymbol { \eta } _ { 1 , m - 1 } ) = \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { d m } } \left\{ \begin{array} { l l } { \hat { V } ( p _ { m } - p _ { 0 } ) } & { \mathrm { i f ~ m = 1 ~ , } } \\ { \hat { V } ( p _ { m } - p _ { 0 } - \eta _ { m - 1 } ) \hat { V } ( \eta _ { 1 } ) \prod _ { i = 2 } ^ { m - 1 } \hat { V } ( \eta _ { i } - \eta _ { i - 1 } ) } & { \mathrm { i f ~ m > 1 ~ . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \gamma _ { 1 } } & { { } \equiv \frac { c T _ { \mathrm { I T M } } } { 4 l _ { \mathrm { a r m } } } \ ( \mathrm { c a v i t y \ p o l e } ) , } \\ { \gamma _ { 2 } } & { { } \equiv \frac { c \mathcal { L } _ { \mathrm { a r m } } } { 4 l _ { \mathrm { a r m } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial ( g ( t ) + V f ( t ) ) } { \partial m _ { i j } ( t ) } ~ } & { = V \alpha _ { i j } - q _ { j } ^ { F } ( t ) + q _ { i } ^ { B } ( t ) + \theta _ { j } - \varphi _ { i } , } \\ { \frac { \partial ( g ( t ) + V f ( t ) ) } { \partial a _ { i } ( t ) } ~ } & { = - V \gamma _ { j } + q _ { j } ^ { F } ( t ) - \theta _ { j } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { u _ { \eta } ^ { \xi , \gamma } ( x , d t ) = \frac { 1 } { Z } \int _ { \mathbb R } L _ { \eta } ^ { ( \xi ) } ( x - y ) \, e ^ { \gamma Y ( y ) } W _ { 1 } ( d y , d t ) , } \\ & { \mathrm { f o r } \; Y ( y ) : = \int _ { \mathbb R } L _ { \eta } ^ { ( 0 ) } ( y - z ) W _ { 2 } ( d z ) , \; \; Z : = e ^ { \gamma ^ { 2 } \mathbb E \left( { Y ^ { 2 } } \right) } } \end{array}
\psi _ { n } ( q ) = \left( { \frac { e ^ { \frac { 2 n \pi i } { N - 1 } } t } { N - 1 } } \right) ^ { q } N ^ { \frac { q N } { N - 1 } } { \frac { \prod _ { k = 0 } ^ { N - 1 } \Gamma \left( { \frac { q } { N - 1 } } + { \frac { 1 + k } { N } } \right) } { \Gamma \left( { \frac { q } { N - 1 } } + 1 \right) \prod _ { k = 0 } ^ { N - 2 } \Gamma \left( { \frac { q + k + 2 } { N - 1 } } \right) } } = \left( { \frac { t e ^ { \frac { 2 n \pi i } { N - 1 } } } { N - 1 } } \right) ^ { q } N ^ { \frac { q N } { N - 1 } } \prod _ { k = 2 } ^ { N } { \frac { \Gamma \left( { \frac { q } { N - 1 } } + { \frac { k - 1 } { N } } \right) } { \Gamma \left( { \frac { q + k } { N - 1 } } \right) } }
\begin{array} { r l r } { \int _ { 0 } ^ { L } { x ^ { 2 } ( z ) } d z } & { = } & { \int _ { 0 } ^ { c } { x ^ { 2 } ( z ) } d z + \int _ { c } ^ { L } { x ^ { 2 } ( z ) } d z \leq \frac { 4 c ^ { 2 } } { \pi ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { c } { \left( \frac { d x ( z ) } { d z } \right) ^ { 2 } d z } + \frac { 4 ( L - c ) ^ { 2 } } { \pi ^ { 2 } } \int _ { c } ^ { L } { \left( \frac { d x ( z ) } { d z } \right) ^ { 2 } d z } } \\ & { \leq } & { \operatorname* { m a x } \{ c ^ { 2 } , ( L - c ) ^ { 2 } \} \frac { 4 } { \pi ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { L } { \left( \frac { d x ( z ) } { d z } \right) ^ { 2 } d z } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \sqrt { \frac { 1 2 8 \eta ^ { 2 } \sigma \cos \theta _ { 0 } } { R ^ { 5 } \rho ^ { 3 } g ^ { 2 } } } + \frac { \zeta } { \sqrt { \sigma \rho R \cos \theta _ { 0 } } } < 2 , } \end{array}
D _ { i j } = 4 \pi \int d \vec { q } q _ { i } q _ { j } \int _ { 1 , 3 \mathrm { ~ s ~ m ~ a ~ l ~ l ~ } } d \vec { k } _ { 1 } d \vec { k } _ { 3 } | T _ { \vec { k } + \vec { q } / 2 , \vec { k } _ { 1 } } ^ { \vec { k } - \vec { q } / 2 , \vec { k } _ { 3 } } | ^ { 2 } n _ { 1 } n _ { 3 } \delta ( \vec { q } \cdot \partial _ { \vec { k } } \omega - \omega _ { 3 } + \omega _ { 1 } ) \delta ( \vec { q } + \vec { k } _ { 1 } - \vec { k } _ { 3 } ) .
\begin{array} { r l } { W ( \beta ) = \ } & { \frac { 2 } { \pi N } \Big [ e ^ { - 2 \lvert \beta - \alpha - \chi \rvert ^ { 2 } } + e ^ { - \lvert \chi \rvert ^ { 2 } } e ^ { - 2 \lvert \beta - \alpha \rvert ^ { 2 } } } \\ & { - \big ( e ^ { 2 ( \beta - \alpha ) \chi ^ { * } } + e ^ { 2 ( \beta - \alpha ) ^ { * } \chi } \big ) e ^ { - \lvert \chi \rvert ^ { 2 } } e ^ { - 2 \lvert \beta - \alpha \rvert ^ { 2 } } \Big ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { i = 1 } ^ { { C _ { k - 1 } ^ { n - 1 } } } \log ( \operatorname* { d e t } ( Z _ { i } ) ) } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { { C _ { k - 1 } ^ { n - 1 } } } \sum _ { J \in S _ { i } } \log ( \operatorname* { d e t } ( Y _ { J } ) ) } \\ & { = \sum _ { J \in \mathcal { J } } \log ( \operatorname* { d e t } ( Y _ { J } ) ) = - f ^ { \mathrm { F W } ( k ) } ( \mathcal { Y } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle w , f u _ { g } ^ { \perp } \right\rangle - g \left\langle \nabla \cdot w , \eta _ { g } \right\rangle } & { { } = 0 , \quad \forall w \in \mathbb { V } _ { h } ^ { 1 } , } \\ { \left\langle \alpha , H \nabla \cdot u _ { g } \right\rangle } & { { } = 0 , \quad \forall \mathbb { V } _ { h } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \phi ( \mathbf { r } , \eta ) } & { = } & { \phi ^ { ( 0 ) } ( \mathbf { r } , \eta ) \phi ^ { ( 1 ) } ( \mathbf { r } , \eta ) } \\ { \phi ^ { ( 1 ) } ( \mathbf { r } ) } & { = } & { { \cal C } \exp \left[ \nu \ln ( \kappa r ) \right] , } \\ { \nu } & { = } & { \frac { ( c ^ { 2 } - I _ { p } ) Z } { c ^ { 2 } \sqrt { I _ { p } ( 2 - I _ { p } / c ^ { 2 } ) } } } \end{array}
\mathbf { Q } _ { \mathbf { X X } } = { \frac { 1 } { n - 1 } } \mathbf { M } _ { \mathbf { X } } \mathbf { M } _ { \mathbf { X } } ^ { \mathrm { { T } } } , \qquad \mathbf { Q } _ { \mathbf { X Y } } = { \frac { 1 } { n - 1 } } \mathbf { M } _ { \mathbf { X } } \mathbf { M } _ { \mathbf { Y } } ^ { \mathrm { { T } } }
\operatorname* { m i n } _ { \mathcal { X } } \operatorname* { m a x } _ { \mathbf { x } \in \mathcal { X } } d ( \mathbf { x } , \mathcal { X } ) = \operatorname* { m a x } _ { \mathbf { x } \in \mathcal { X } } d ( \mathbf { x } , \mathcal { X } ^ { * } ) .
\begin{array} { r l r } { \Psi ^ { * } \partial _ { y } \Psi - \Psi \partial _ { y } \Psi ^ { * } } & { = } & { 2 i \Im [ \Psi ^ { * } \partial _ { y } \Psi ] } \\ & { = } & { 2 i \Im \left[ \Psi ^ { * } \left( \sin \phi \partial _ { r } + \frac { 1 } { r } \cos \phi \partial _ { \phi } \right) \Psi \right] } \\ & { = } & { \frac { 2 i m } { r } \cos \phi , } \end{array}
\sum _ { i = 1 } ^ { N } \bar { u } _ { i } ( t , \omega ) \mathbf { 1 } _ { O _ { i } } : = - \lambda P _ { \mathcal { O } _ { N } } ^ { \mathcal { E } _ { N } ^ { \perp } } \Delta P _ { \mathcal { E } _ { N } } ^ { \mathcal { O } _ { N } ^ { \perp } } y ( t , \omega ) \quad \mathrm { ~ f o r ~ a . e . ~ } t > 0 \mathrm { ~ a . s . ~ } \omega \in \Omega ,
\tilde { E } _ { \mathrm { o u t } } ( { \bf k } _ { \mathrm { o u t } } , \omega ) = \sum _ { { \bf k } _ { \mathrm { i n } } } S ( { \bf k } _ { \mathrm { o u t } } , { \bf k } _ { \mathrm { i n } } , \omega ) \tilde { E } _ { \mathrm { i n } } ( \bf k _ { \mathrm { i n } } , \omega )
\begin{array} { r l } { I _ { 3 , 2 } } & { \le O _ { p } \Big ( \frac { 1 } { \sqrt { T } } \sqrt { \frac { \log ( T ) } { \kappa _ { k } ^ { \frac { p } { r } } } } \Big ) \Big ( O ( \widetilde { r } \kappa _ { k } ) + \sum _ { t = \eta _ { k } + 1 } ^ { \eta _ { k } + \widetilde { r } } \vert \vert F _ { t , { h _ { 2 } } } - f _ { [ \eta _ { k } + 1 , e _ { k } ] } \ast \mathcal { K } _ { { h _ { 2 } } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } \Big ) } \end{array}
E _ { 0 + } ^ { \mathrm { t h r } } = - C \, \mu \, \biggl \{ 1 - \biggl [ \frac { 3 + \kappa _ { p } } { 2 } + \biggl ( \frac { m } { 4 F _ { \pi } } \biggr ) ^ { 2 } - \frac { 4 b _ { 1 } \tilde { g } _ { N \Delta \pi } m } { 9 g _ { \pi N } F _ { \pi } } \frac { M _ { \pi } } { M _ { \pi } + \Delta } \biggr ] \, \mu + { \cal O } ( \mu ^ { 2 } ) \biggr \} \, \, ,
\begin{array} { r } { \mathrm { ~ I ~ } = \sum _ { n , i , j , m = 1 } ^ { k } \mu _ { n } ^ { \prime } ( c ) \left( A ^ { - 1 } \right) _ { i n } A _ { i j } \left( A ^ { - 1 } \right) _ { j m } \mu _ { m } ^ { \prime } ( c ) = \sum _ { n , m = 1 } ^ { k } \mu _ { n } ^ { \prime } ( c ) \left( A ^ { - 1 } \right) _ { n m } \mu _ { m } ^ { \prime } ( c ) = \vec { \mu } ^ { \prime } ( c ) ^ { T } A ^ { - 1 } \vec { \mu } ^ { \prime } ( c ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q _ { t , i } } & { \stackrel { ( a ) } \le Q _ { T _ { 0 } , i } + ( t - T _ { 0 } ) \cdot M } \\ & { \le \lVert \mathbf Q _ { T _ { 0 } } \rVert _ { \infty } + \left( \frac { \lVert \mathbf Q _ { T _ { 0 } } \rVert _ { \infty } } { 2 M } + 1 \right) \cdot M } \\ & { = \frac 3 2 \lVert \mathbf Q _ { T _ { 0 } } \rVert _ { \infty } + M } \\ & { \stackrel { ( b ) } \le 2 \lVert \mathbf Q _ { T _ { 0 } } \rVert _ { \infty } . } \end{array}
\Lambda ^ { 2 } ( T ) = \frac { 1 } { \pi ^ { 2 } } \zeta ^ { 4 } M ^ { 2 } + 4 \left( \frac { \zeta ^ { 2 } } { 3 } + \frac { h _ { t } ^ { 2 } } { 2 } \right) \mu _ { T } ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { ∫ _ { B } \Big | \sum _ { \nu } S _ { j } ^ { ν } ( χ _ { R _ { ν } } f ) ( x ) \Big | ^ { 2 } \, \mathrm { d } x } & { \lesssim ∫ \Big | \sum _ { \nu } S _ { j } ^ { ν } ( χ _ { R _ { ν } } f ) ( x ) \Big | ^ { 2 } \, \mathrm { d } x \lesssim \sum _ { \nu } 2 ^ { - n s j } \| χ _ { R _ { ν } } f \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } } \\ & { ≤ \sum _ { \nu } 2 ^ { - n s j } | R _ { ν } | \| f \| _ { L ^ { ∞ } } ^ { 2 } \lesssim ( 2 ^ { j } r ) ^ { ( τ - 1 ) n } | B | \| f \| _ { L ^ { ∞ } } ^ { 2 } . } \end{array}
\left[ \hat { E } _ { i } ( \mathrm { \bf ~ r } ) , \hat { A } _ { j } ( \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } ) \right] = \frac { i \hbar } { \epsilon _ { 0 } } \delta _ { i j } \delta ( \mathrm { \bf ~ r } - \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } ) \; \; , \; \; \left[ \hat { A } _ { i } ( \mathrm { \bf ~ r } ) , \hat { A } _ { j } ( \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } ) \right] = \left[ \hat { E } _ { i } ( \mathrm { \bf ~ r } ) , \hat { E } _ { j } ( \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } ) \right] = 0
\begin{array} { r l } { K L ( p _ { z | x ^ { ( j ) } } | | p _ { z } ) } & { = K L ( p _ { \log ( z | x ^ { ( j ) } ) } | | p _ { \log ( z ) } ) } \\ & { = \int p ( \log ( z | x ^ { ( j ) } ) ) \log \left( \frac { p ( \log ( z | x ^ { ( j ) } ) ) } { p ( \log ( z ) ) } \right) \mathrm { d } z } \\ & { = \int p ( \log ( \epsilon ) + \log ( f ( x ^ { ( j ) } ) ) | x ^ { ( j ) } ) \log \left( \frac { p ( \log ( \epsilon ) + \log ( f ( x ^ { ( j ) } ) ) | x ^ { ( j ) } ) } { c } \right) \mathrm { d } \epsilon } \\ & { = \int p ( \log ( \epsilon ) ) \log ( p ( \log ( \epsilon ) ) ) \mathrm { d } \epsilon - \int p ( \log ( \epsilon ) ) \log ( c ) \mathrm { d } \epsilon } \\ & { = \int p ( \log ( \epsilon ) ) \log ( p ( \log ( \epsilon ) ) ) \mathrm { d } \epsilon - \log ( c ) = - h ( \log ( \epsilon ) ) - \log ( c ) } \\ & { = - ( \log ( \alpha ( x ^ { ( j ) } ) ) + \frac { 1 } { 2 } \log ( 2 \pi e ) ) - \log ( c ) \enspace , } \end{array}
\begin{array} { r } { \phi _ { 2 } ( R , Z , \beta _ { \epsilon } ) \, = \, \beta _ { \epsilon } \Bigl ( ( R ^ { 2 } { - } Z ^ { 2 } ) \phi _ { 2 0 } + \delta R Z \phi _ { 2 1 } \Bigr ) + ( R ^ { 2 } { - } Z ^ { 2 } ) \phi _ { 2 2 } + \delta R Z \phi _ { 2 3 } + \beta _ { \epsilon } \phi _ { 2 4 } + \phi _ { 2 5 } \, , } \end{array}
d \frac { r - 2 } { r } - \alpha _ { o p t } \frac { 2 } { q } = - 1 + d \frac { r - 3 } { r } + \alpha _ { o p t } \frac { q - 3 } { q } = d \frac { r - 2 } { r } - \frac { 2 } { q - 1 } \frac { r + d } { r } ,
{ \begin{array} { r l } { U ( \theta , \phi ) } & { \propto a \sum _ { n = 1 } ^ { N } e ^ { \frac { - i 2 \pi n S \sin \theta } { \lambda } } \int _ { - W / 2 } ^ { W / 2 } e ^ { { - 2 \pi i x x ^ { \prime } } / ( \lambda z ) } \, d x ^ { \prime } } \\ & { \propto a \operatorname { s i n c } \left( { \frac { \pi W \sin \theta } { \lambda } } \right) { \frac { 1 - e ^ { - i 2 \pi N S \sin \theta / \lambda } } { 1 - e ^ { - i 2 \pi S \sin \theta / \lambda } } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \rho _ { T - 1 \leftarrow } ^ { i \setminus j } \left( x _ { i } ^ { T - 1 } \right) } & { = \sum _ { x _ { i } ^ { T } } M _ { x _ { i } ^ { T - 1 } x _ { i } ^ { T } } ^ { i \setminus j } p \left( O _ { i } ^ { T } \mid x _ { i } ^ { T } \right) } \\ & { = M _ { x _ { i } ^ { T - 1 } 0 } ^ { i \setminus j } + M _ { x _ { i } ^ { T - 1 } 1 } ^ { i \setminus j } } \end{array}
\langle S _ { i k } ( t ) S _ { j l } ( 0 ) \rangle = 3 A ^ { 2 } \left( \delta _ { i j } \delta _ { k l } + \delta _ { i l } \delta _ { j k } - \frac { 2 } { 3 } \delta _ { i k } \delta _ { j l } \right) \, e ^ { - t / \tau _ { S } } ,
\begin{array} { r } { { \left\lVert { Y _ { t } } \right\rVert } _ { \infty } \leq C ( { \left\lVert { y _ { 0 } } \right\rVert } + { \left\lVert { B _ { r } } \right\rVert } _ { \infty } { \left\lVert { \boldsymbol { X } } \right\rVert } _ { p - v a r ; [ s , t ] } ) \exp \left( C { \left\lVert { A _ { r } } \right\rVert } _ { \infty } \operatorname* { m a x } ( 1 , \alpha ^ { - 1 } ) M _ { \alpha } ( \boldsymbol { \hat { X } } ) \right) } \end{array}
i { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } x } } \nu _ { \alpha } = { \cal H } _ { 0 } \, \nu _ { \alpha } = \left[ \lambda { \mathbf { 1 } } + { \frac { 1 } { 2 E _ { \nu } } } \, U ~ \mathrm { d i a g } [ m _ { 1 } ^ { 2 } , m _ { 2 } ^ { 2 } , m _ { 3 } ^ { 2 } ] ~ U ^ { \dagger } \right] ~ \nu _ { \alpha }
\rho C \frac { \partial \mathbf { T } } { \partial t } = \frac { \partial } { \partial x } ( \lambda _ { x } \frac { \partial \mathbf { T } } { \partial x } ) + \frac { \partial } { \partial y } ( \lambda _ { y } \frac { \partial \mathbf { T } } { \partial y } ) + \frac { \partial } { \partial z } ( \lambda _ { z } \frac { \partial \mathbf { T } } { \partial z } ) + \mathcal { Q }
\int d ^ { 3 } r A _ { i } ^ { ( a ) } = c _ { 1 } D _ { a i } - c _ { 2 } D _ { a 8 } R _ { i } + c _ { 3 } \sum _ { \alpha , \beta = 4 } ^ { 7 } d _ { i \alpha \beta } D _ { a \alpha } R _ { \beta } \, ,
n _ { f } = \overline { { s \, r _ { k } \, e _ { k } \, \ldots \, r _ { 2 } \, e _ { 2 } \, r _ { 1 } \, e _ { 1 } } } ^ { \boldsymbol { b } } \geqslant \overline { { 1 \, \underbrace { 0 \, 0 \, \ldots \, 0 \, 0 } _ { 2 k \mathrm { ~ z e r o s } } } } ^ { \boldsymbol { b } } = \prod _ { i = 1 } ^ { k } p ( q ^ { 2 i - 1 } - 1 ) > \prod _ { i = 1 } ^ { k } q ^ { 2 i - 1 } = q ^ { k ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { h } & { { } = { \frac { p } { 2 } } , } \\ { q } & { { } = { \sqrt { f ^ { 2 } + h ^ { 2 } } } , } \\ { s } & { { } = { \frac { h q } { f } } + f \ln { \frac { h + q } { f } } . } \end{array}
\begin{array} { l l } & { ( ( J ^ { ( p ^ { e } ) } , x _ { 2 } ^ { N _ { 2 } p ^ { e } } , x _ { 3 } ^ { N _ { 3 } p ^ { e } } \ldots , x _ { d } ^ { N _ { d } p ^ { e } } ) : x _ { 3 } ^ { ( N _ { 3 } - 1 ) p ^ { e } } ) } \\ { \subseteq } & { ( ( J ^ { ( p ^ { e } ) } , x _ { 2 } ^ { N _ { 2 } p ^ { e } } , x _ { 3 } ^ { 2 p ^ { e } } , \ldots , x _ { d } ^ { N _ { d } p ^ { e } } ) : x _ { 1 } ^ { m } x _ { 3 } ^ { p ^ { e } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \left\langle A _ { i } , U U ^ { \top } \right\rangle - \epsilon _ { i } \right| ^ { q } - | \epsilon _ { i } | ^ { q } } & { \stackrel { ( a ) } { = } \left( \left| \left\langle A _ { i } , U U ^ { \top } \right\rangle - \epsilon _ { i } \right| - | \epsilon _ { i } | \right) \sum _ { k = 0 } ^ { q - 1 } \left| \left\langle A _ { i } , U U ^ { \top } \right\rangle - \epsilon _ { i } \right| ^ { k } | \epsilon _ { i } | ^ { q - 1 - k } } \\ & { \stackrel { ( b ) } { \leq } \left| \left\langle A _ { i } , U U ^ { \top } \right\rangle \right| \sum _ { k = 0 } ^ { q - 1 } \left( \left| \left\langle A _ { i } , U U ^ { \top } \right\rangle \right| + \left| \epsilon _ { i } \right| \right) ^ { k } | \epsilon _ { i } | ^ { q - 1 - k } } \\ & { \stackrel { ( v ) } { \leq } q ( 2 t _ { 0 } ) ^ { q - 1 } \left| \left\langle A _ { i } , U U ^ { \top } \right\rangle \right| } \end{array}
( \mathbb { G } _ { \mathrm { m } } ^ { n } ) _ { \operatorname { S p e c } ( R ^ { \prime } ) } \backslash ( \mathbb { G } _ { \mathrm { m } } ^ { n } ) _ { \operatorname { S p e c } ( L ^ { \prime } ( t ) ) } / \operatorname { A u t } ( T _ { \phi } ( \operatorname { S p e c } ( L ( t ) ) ) ) \to \mathbb { Z } ^ { n } / \{ w \in \mathbb { Z } ^ { n } \mathrm { ~ s u c h ~ t h a t ~ } G _ { \phi ( \gamma ) } ( w ) = w \mathrm { ~ f o r ~ e v e r y ~ } \gamma \in \Gamma \} .
\begin{array} { r l } { \mathsf { E } [ \zeta _ { i } ( S _ { n } ) ] } & { = p _ { f } \left( \frac { p } { q } \right) ^ { \frac { U _ { i } ( T _ { n } ) } { C _ { 2 } } - 1 } \! \! + ( 1 \! - \! p _ { f } ) \left( \frac { p } { q } \right) ^ { \frac { U _ { i } ( T _ { n } ) } { C _ { 2 } } + N } } \\ { \mathsf { E } [ \zeta _ { i } ( T _ { n } ) ] } & { = \left( \frac { p } { q } \right) ^ { \frac { U _ { i } ( T _ { n } ) } { C _ { 2 } } } } \end{array}
\frac { \Delta \omega } { c } \! = \! 2 \frac { k _ { \mathrm { o } } } { \sigma _ { \mathrm { m } } } \frac { 1 - \beta _ { v } ^ { \prime } } { \beta _ { v } ^ { 2 } } \! = \! \beta _ { v } \Delta k _ { z }