harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \int f \, d ( \overline { { h } } _ { * } \nu _ { 1 } ) } & { = \int f \circ \overline { { h } } \, d \nu _ { 1 } = \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { \Omega _ { 1 } } f ( [ h \omega _ { 1 } , t ] ) \, d \mu _ { 1 } ( \omega _ { 1 } ) \, d t } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { \Omega _ { 2 } } f ( [ \omega _ { 2 } , t ] ) \, d \mu _ { 2 } ( \omega _ { 2 } ) \, d t = \int f \, d \nu _ { 2 } , } \end{array}
= \sqrt { \rho _ { b } } \rho _ { k } f _ { k } ^ { * } \stackrel [ m = 1 ] { M } { \sum } \stackrel [ n = 1 ] { N } { \sum } a _ { N , n } ^ { H } \left( \phi _ { b } ^ { a } , \phi _ { b } ^ { e } \right) \tilde { \mathbf { g } } _ { n m } e ^ { j \varphi _ { m } } e ^ { j \bar { \varphi _ { m } } } a _ { M , m } \left( \phi _ { k r } ^ { a } , \phi _ { k r } ^ { e } \right) ,
\begin{array} { r } { [ \mathbb { P } ( \mathcal { M } _ { 1 } ) , \mathbb { P } ( \mathcal { M } _ { 2 } ) , \mathbb { P } ( \mathcal { M } _ { 3 } ) ] \approx [ 0 . 4 4 , 0 . 1 2 , 0 . 4 4 ] } \end{array}
a + b = \left\{ \begin{array} { l l } { 2 \, , } & { 1 - \epsilon _ { l } \leq u _ { l } \mathrm { ~ a n d ~ } u _ { r } \leq e _ { r } } \\ { 1 \, , } & { ( 1 - \epsilon _ { l } \leq u _ { l } \mathrm { ~ a n d ~ } \epsilon _ { r } < u _ { r } ) } \\ { ~ } & { \mathrm { ~ o r ~ } ( 1 - \epsilon _ { l } > u _ { l } \mathrm { ~ a n d ~ } \epsilon _ { r } \geq u _ { r } ) } \\ { 0 \, , } & { 1 - \epsilon _ { l } > u _ { l } \mathrm { ~ a n d ~ } u _ { r } > e _ { r } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r l } & { v ^ { ( j ) } ( x , t , k ) = \mathcal { A } v ^ { ( j ) } ( x , t , \omega k ) \mathcal { A } ^ { - 1 } = \mathcal { B } v ^ { ( j ) } ( x , t , k ^ { - 1 } ) ^ { - 1 } \mathcal { B } , } & & { k \in \Gamma ^ { ( j ) } , } \\ & { n ^ { ( j ) } ( x , t , k ) = n ^ { ( j ) } ( x , t , \omega k ) \mathcal { A } ^ { - 1 } = n ^ { ( j ) } ( x , t , k ^ { - 1 } ) \mathcal { B } , } & & { k \in { \mathbb C } \setminus \Gamma ^ { ( j ) } , } \end{array}
\nabla _ { a } \nu ^ { a } = - \nabla _ { a } \left( \mathcal { D } h ^ { a b } \nabla _ { b } \mu \right) = - \nabla _ { a } \left[ \mathcal { D } h ^ { a b } \nabla _ { a } \left( \sqrt { 2 X } \right) \right] = \mathcal { L } _ { \psi }
\bar { \Sigma } _ { S } = \sigma _ { 0 } ( \frac { \mu _ { r } } { m _ { N } } ) ^ { 2 } \, \{ A ^ { 2 } \, [ ( f _ { S } ^ { 0 } - f _ { S } ^ { 1 } \frac { A - 2 Z } { A } ) ^ { 2 } \, ] \simeq \sigma _ { p , \chi ^ { 0 } } ^ { S } A ^ { 2 } ( \frac { \mu _ { r } } { \mu _ { r } ( N ) } ) ^ { 2 }
\mathrm { R e } f _ { l } ^ { I } ( s ) = \left( { \frac { s - 4 } { 4 } } \right) ^ { l } \left( a _ { l } ^ { I } + b _ { l } ^ { I } \left( { \frac { s - 4 } { 4 } } \right) + \ldots \right) , \, s > 4 ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ \sum _ { u , v \in { \pmb { \Lambda } } ( h ) } \Delta _ { \mathrm { K S } } ^ { | \mathrm { p a t h } ( r , u \wedge v ) | } \right] } & { = \sum _ { \ell = 0 } ^ { h } \Delta _ { \mathrm { K S } } ^ { \ell } \cdot { \mathbb { E } \left[ \sum _ { z \in { \pmb { \Lambda } } ( \ell ) } \sum _ { w , q \in { \pmb { \Lambda } } _ { z } ( 1 ) } | { \pmb { \Lambda } } _ { w } ( h - \ell - 1 ) | \cdot | { \pmb { \Lambda } } _ { q } ( h - \ell - 1 ) | \right] } \enspace . } \end{array}
\begin{array} { r l } { e ^ { 2 } } & { { } = f ( 2 - f ) } \\ { 1 - e ^ { 2 } } & { { } = ( 1 - f ) ^ { 2 } } \\ { \Lambda } & { { } = \left( 1 - e ^ { 2 } \right) { \frac { \tan \varphi _ { 2 } } { \tan \varphi _ { 1 } } } + e ^ { 2 } { \sqrt { \frac { 1 + \left( 1 - e ^ { 2 } \right) \left( \tan \varphi _ { 2 } \right) ^ { 2 } } { 1 + \left( 1 - e ^ { 2 } \right) \left( \tan \varphi _ { 1 } \right) ^ { 2 } } } } } \\ { \tan \alpha } & { { } = { \frac { \sin L } { ( \Lambda - \cos L ) \sin \varphi _ { 1 } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb { E } \| \nabla h ( \bar { x } _ { t } ) \| ^ { 2 } } & { \leq \frac { 2 \Delta } { \eta T } + \frac { 1 8 \tilde { L } _ { 1 } ^ { 2 } \Delta _ { y } } { \mu \gamma T } + \frac { 1 8 L ^ { 2 } \Delta _ { u } } { \mu \tau T } + \frac { \sigma ^ { 2 } } { b _ { x } M } + \frac { 7 2 \tilde { L } _ { 1 } ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } b _ { y } M } } \\ & { \qquad + 2 C _ { 1 } \eta ^ { 2 } \bigg ( 9 6 \zeta _ { f } ^ { 2 } + 1 6 \zeta _ { g } ^ { 2 } + \frac { 1 6 C _ { f } ^ { 2 } \zeta _ { g , y y } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } + \frac { 3 2 C _ { f } ^ { 2 } \zeta _ { g , x y } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } + \frac { 1 6 \sigma ^ { 2 } } { b _ { y } } + \frac { 2 0 \sigma ^ { 2 } } { b _ { x } } \bigg ) } \\ & { \qquad + 2 C _ { 1 } \gamma ^ { 2 } \bigg ( 2 4 \zeta _ { f } ^ { 2 } + 8 \zeta _ { g } ^ { 2 } + \frac { 4 C _ { f } ^ { 2 } \zeta _ { g , y y } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } + \frac { 8 C _ { f } ^ { 2 } \zeta _ { g , x y } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } + \frac { 8 \sigma ^ { 2 } } { b _ { y } } + \frac { 5 \sigma ^ { 2 } } { b _ { x } } \bigg ) } \end{array}
R _ { c } ^ { j j ^ { \prime } } = - i \pi \langle j ^ { \prime } | \hat { p } _ { z } | \epsilon _ { k } \rangle \langle \epsilon _ { k } | \hat { p } _ { z } | j \rangle \bigg | _ { \epsilon _ { k } = \omega + \epsilon _ { j ^ { \prime } } } ,
\begin{array} { r l } { \Sigma _ { A B } ^ { * } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) } & { { } = - \frac { \delta _ { \tau _ { - } , \tau ^ { \prime } } } { \Delta t } \alpha k _ { 3 } \mu _ { A } ( \tau ^ { \prime } ) + ( - \alpha k _ { 3 } ) ^ { 2 } R _ { A A } ( \tau _ { - } , \tau _ { + } ^ { \prime } ) R _ { B B } ( \tau _ { - } , \tau _ { + } ^ { \prime } ) \mu _ { A } ( \tau ^ { \prime } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { \mathrm { r e c } } ( E _ { c } ) } & { { } = \frac { \int \mathcal { P } ( \vec { P } _ { 0 } , \vec { b } ) b ^ { 4 } d b ~ d \Omega _ { b } d \Omega _ { P _ { 0 } } } { \int d \Omega _ { P _ { 0 } } } } \end{array}
\Phi = \operatorname* { m a x } _ { i \in \{ x , y , z \} } ( \{ \Phi _ { i } \} ) \qquad \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } ~ \Phi _ { i } = | p _ { \mathrm { A } , i } - 1 / 2 | + | p _ { \mathrm { B } , i } - 1 / 2 |
\begin{array} { r l } { H _ { \mathrm { h } } } & { { } = g _ { \mathrm { h } } ( a ^ { \dagger } \sigma _ { + } ^ { \mathrm { h } } + a \sigma _ { - } ^ { \mathrm { h } } ) , } \\ { H _ { \mathrm { c } } } & { { } = g _ { \mathrm { c } } ( a ^ { \dagger } \sigma _ { - } ^ { \mathrm { c } } + a \sigma _ { + } ^ { \mathrm { c } } ) . } \end{array}
\mathcal { P } _ { [ 0 , 1 ] ^ { 2 } } \bigg ( \left[ \begin{array} { l } { \alpha } \\ { \beta } \end{array} \right] \bigg ) = \bigg [ \begin{array} { c } { \operatorname* { m a x } \big \{ 0 , \operatorname* { m i n } \{ 1 , \alpha \} \big \} } \\ { \operatorname* { m a x } \big \{ 0 , \operatorname* { m i n } \{ 1 , \beta \} \big \} } \end{array} \bigg ] .
\begin{array} { r l } { \frac { | E | ^ { 2 } | F | ^ { 2 } } { 4 } } & { \leq \left| \bigcup _ { \gamma \not = 0 } R _ { \gamma } \right| ^ { 2 } = \left( \sum _ { \gamma \not = 0 } | R _ { \gamma } | \right) ^ { 2 } } \\ & { \leq | \Delta ( E , F ) | \sum _ { \gamma \not = 0 } | R _ { \gamma } | ^ { 2 } = | \Delta ( E , F ) | \sum _ { \gamma \not = 0 } \left( \sum _ { f } | R _ { \gamma } ( f ) | \right) ^ { 2 } } \\ & { \leq | \Delta ( E , F ) | \sum _ { \gamma \not = 0 } \left( | F | \sum _ { f } | R _ { \gamma } ( f ) | ^ { 2 } \right) = | \Delta ( E , F ) | \cdot | F | \cdot | T ( E , F ) | , } \end{array}
I _ { g - 2 \, } ( m ^ { 2 } , m ^ { 2 } , m _ { \lambda } ^ { 2 } ) \ = \ \frac { 1 } { ( m ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \, \frac { 1 } { 2 ( \beta - 1 ) ^ { 4 } } \left( 2 \beta ( \beta + 2 ) \ln \beta - 5 \beta ^ { 2 } + 4 \beta + 1 \right) \, ,
\frac { 1 } { \tau _ { 3 , \lambda } } = \frac { 1 } { N } \left( \sum _ { \lambda ^ { \prime } \lambda ^ { \prime \prime } } ^ { + } { \Gamma _ { \lambda \lambda ^ { \prime } \lambda ^ { \prime \prime } } ^ { + } } + \sum _ { \lambda ^ { \prime } \lambda ^ { \prime \prime } } ^ { - } { \Gamma _ { \lambda \lambda ^ { \prime } \lambda ^ { \prime \prime } } ^ { - } } \right) ,
\left\{ \begin{array} { l l } { J ^ { 1 } ( \pi ) \to T ^ { * } M \times \mathbf { R } } \\ { j _ { p } ^ { 1 } \sigma \mapsto \left( d { \bar { \sigma } } _ { p } , { \bar { \sigma } } ( p ) \right) } \end{array} \right.
E _ { \omega 3 } ^ { ( 0 ) } = - \frac { i q \omega } { \pi v ^ { 2 } } \left( \, \frac { 1 } { \varepsilon _ { 0 } } - \beta ^ { 2 } \right) e ^ { i \frac { \omega } { v } z } K _ { 0 } ( \frac { \omega } { v } \gamma _ { 0 } r _ { \perp } ) .
\tilde { \psi } _ { q } ^ { \prime \prime } ( x ) + \left[ \lambda _ { m ( q + m ) } \left( \tilde { p } _ { q } \right) + \frac { 1 } { 2 } - m ^ { 2 } - \tilde { p } _ { q } ^ { 2 } - \tilde { U } ( x ) \right] \tilde { \psi } _ { q } ( x ) = 0
\begin{array} { c } { { \psi _ { A } ( x ) = \psi _ { A } ^ { \left( - \right) } ( x ) + \psi _ { A } ^ { \left( + \right) } ( x ) , \quad \psi _ { B } ( x ) = \psi _ { B } ^ { \left( - \right) } ( x ) + \psi _ { B } ^ { \left( + \right) } ( x ) } } \\ { { \psi ( x ) = \psi _ { A } ^ { \left( - \right) } ( x ) + \psi _ { B } ^ { \left( + \right) } ( x ) } } \end{array}
\begin{array} { r } { d q = \frac { d E } { d y b d x } \frac { d x } { d t } = \frac { d E } { d x d y b } c \cos { \phi } = \frac { \hbar \omega c } { b } f ( \omega ) \frac { \omega } { ( 2 \pi c ) ^ { 2 } } d \omega \cos { \phi } d \phi { . } } \end{array}
= \int D \Phi _ { a } D \Phi _ { a } ^ { * } \exp \left\{ - \int d ^ { 4 } x \sum _ { a = 1 } ^ { 3 } \left[ \frac 1 2 \left| \left( \partial _ { \mu } - 2 i g _ { m } { \bf e } _ { a } { \bf B } _ { \mu } \right) \Phi _ { a } \right| ^ { 2 } + \lambda \left( | \Phi _ { a } | ^ { 2 } - \eta ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \right] \right\} ,
\begin{array} { r l } { \hat { H } ( t ) = } & { { } \hat { H } _ { 0 } + \hat { V } ( t ) } \\ { = } & { { } | \alpha \rangle \mathcal { E } _ { \alpha } ^ { 0 } \langle \alpha | + | \beta \rangle \mathcal { E } _ { \beta } ^ { 0 } \langle \beta | + | \gamma \rangle \mathcal { E } _ { \gamma } ^ { 0 } \langle \gamma | } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial \exp \left( { \mathbf y } _ { \gamma { } , a _ { } } \right) } { \partial a } = \Delta t \, \mathbf { w } _ { a _ { } } \exp \left( \mathbf { y } _ { \gamma { } , a _ { } } ^ { } \right) , } \end{array}
k _ { 2 } ^ { \nu } T _ { \rho \sigma \mu \nu } ^ { a b c d } ( p _ { 1 } , p _ { 2 } ; k _ { 1 } , k _ { 2 } ) = - i g ^ { 2 } e ^ { \rho } ( p _ { 1 } ) e ^ { \sigma } ( p _ { 2 } ) [ k _ { 1 \mu } S _ { \rho \sigma } ^ { a b c d } + \widetilde { G } _ { \rho \sigma \mu } ^ { a b c d } ]
\langle E _ { 0 } | A _ { 0 } ^ { ( 1 ) } \cdots A _ { 0 } ^ { ( n ) } | E _ { 0 } \rangle = \langle \hat { E } _ { 0 } | \hat { A } _ { 0 } ^ { ( 1 ) } \cdots \hat { A } _ { 0 } ^ { ( n ) } | \hat { E } _ { 0 } \rangle \, \langle \check { A } _ { 0 } ^ { ( 1 ) } \cdots \check { A } _ { 0 } ^ { ( n ) } \rangle _ { G } ,
\begin{array} { r l } { \left[ \mathrm { I } - \Delta t \frac { \beta _ { k } } { R e } \mathrm { L } \right] \mathbf { u } _ { k } ^ { n } } & { = \mathbf { u } _ { k - 1 } ^ { n } + \Delta t \left[ \frac { \alpha _ { k } } { R e } \mathrm { L } \mathbf { u } _ { k - 1 } ^ { n } - \gamma _ { k } \mathrm { N } \mathbf { u } _ { k - 1 } ^ { n } - \zeta _ { k } \mathrm { N } \mathbf { u } _ { k - 2 } ^ { n } - \left( \alpha _ { k } + \beta _ { k } \right) \mathrm { G } p _ { k } ^ { n } \right] , } \\ { \mathrm { D G } \phi _ { k } ^ { n } } & { = \frac { 1 } { \Delta t \left( \alpha _ { k } + \beta _ { k } \right) } \mathrm { D } \mathbf { u } _ { k } ^ { n } , } \\ { \mathbf { u } _ { k + 1 } ^ { n } } & { = \mathbf { u } _ { k } ^ { n } - \Delta t \left( \alpha _ { k } + \beta _ { k } \right) \mathrm { G } \phi _ { k } ^ { n } , } \\ { p _ { k + 1 } ^ { n } } & { = p _ { k } ^ { n } + \phi _ { k } ^ { n } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { k , k } } & { = - \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 N - 3 } } \partial _ { x _ { k } } ^ { \eta + \mu _ { 1 } } | x - x _ { k } | \partial _ { x _ { k } } ^ { \mu - \mu _ { 1 } } | y - x _ { k } | \psi ( x , \mathbf { \hat { x } } ) \psi ( y , \mathbf { \hat { x } } ) \Phi ( x , y , \mathbf { \hat { x } } ) \, d \mathbf { \hat { x } } } \\ & { - \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 N - 3 } } \partial _ { x _ { k } } ^ { \eta } | x - x _ { k } | \partial _ { x _ { k } } ^ { \mu - \mu _ { 1 } } | y - x _ { k } | \partial _ { x _ { k } } ^ { \mu _ { 1 } } \big ( \psi ( x , \mathbf { \hat { x } } ) \psi ( y , \mathbf { \hat { x } } ) \Phi ( x , y , \mathbf { \hat { x } } ) \big ) \, d \mathbf { \hat { x } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A } & { = 1 6 \left( \frac { 5 } { 4 } - c o s \left( \frac { 4 } { 6 } \pi \right) \right) + 8 \sqrt { \frac { 5 } { 4 } - c o s \left( \frac { 4 } { 6 } \pi \right) } - 1 4 } \\ { B } & { = 8 p _ { 0 } \left( 1 - \sqrt { \frac { 5 } { 4 } - c o s \left( \frac { 4 } { 6 } \pi \right) } \right) } \\ { C } & { = 4 \sqrt { \frac { 5 } { 4 } - c o s \left( \frac { 4 } { 6 } \pi \right) } - 6 . } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { x _ { i j } } & { : = E _ { i j } + E _ { j + n , i + n } , } & & { \mathrm { ~ f o r ~ } } & & { 1 \leq i , j \leq n , } \\ { \beta _ { i j } } & { : = E _ { i , j + n } - E _ { j , i + n } , } & & { \mathrm { ~ f o r ~ } } & & { 1 \leq i < j \leq n , } \\ { \gamma _ { i j } } & { : = E _ { i + n , j } + E _ { j + n , i } , } & & { \mathrm { ~ f o r ~ } } & & { 1 \leq i \leq j \leq n . } \end{array}
A _ { 1 } = \frac { \Delta x } { 2 } S _ { 1 } = \frac { \Delta x \nabla _ { h } \cdot \widehat { \mathbf { B } } _ { i j } } { 2 ( 1 + ( \Delta x / \Delta y ) ^ { 2 } ) } , \qquad A _ { 2 } = \frac { \Delta y } { 2 } S _ { 2 } = \frac { \Delta y \nabla _ { h } \cdot \widehat { \mathbf { B } } _ { i j } } { 2 ( 1 + ( \Delta y / \Delta x ) ^ { 2 } ) } .
P _ { \gamma } = \frac { \iiint _ { V _ { i } } \sqrt { | u _ { \gamma } | ^ { 2 } } \, d r } { \iiint _ { V _ { i } } \sqrt { | u _ { \alpha } | ^ { 2 } + | u _ { \beta } | ^ { 2 } + | u _ { \gamma } | ^ { 2 } } \, d r }
+ \hat { P } _ { h l } ( \partial _ { r } ^ { 2 } \overline { { T } } _ { \mathrm { L N } } + \frac { 8 } { r } \partial _ { r } \overline { { T } } _ { \mathrm { L N } } - \frac { 4 } { r } \partial _ { r } \overline { { T } } _ { \mathrm { N } } + \frac { 1 2 } { r ^ { 2 } } \overline { { T } } _ { \mathrm { L N } } - \frac { 1 2 } { r ^ { 2 } } \overline { { T } } _ { \mathrm { N } } )
\begin{array} { r } { \rho ( \varphi ) \Pi _ { S ^ { \perp } } \partial _ { x } M _ { 2 } : = \Phi _ { 2 } ^ { - 1 } \Pi _ { S ^ { \perp } } \partial _ { x } M _ { 1 } \Phi _ { 2 } = \Pi _ { S ^ { \perp } } \partial _ { x } \Phi _ { 2 } ^ { - 1 } M _ { 1 } \Phi _ { 2 } = \Pi _ { S ^ { \perp } } \partial _ { x } \left( \Phi _ { 2 } ^ { - 1 } [ b _ { 1 } ] \Lambda ^ { \alpha - 1 } + \Phi _ { 2 } ^ { - 1 } [ b _ { 2 } ] + \Upsilon _ { \Phi _ { 2 } ^ { - 1 } [ b _ { 3 } ] } ^ { \alpha - 3 } \right) . } \end{array}
A = \left( \begin{array} { l l l l l l l l } { - \gamma _ { a } } & { \Delta _ { a } } & { 0 } & { g _ { N } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - \Delta _ { a } } & { - \gamma _ { a } } & { - g _ { N } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { g _ { N } } & { - \kappa _ { c } } & { \tilde { \Delta } _ { c } } & { G _ { c } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - g _ { N } } & { 0 } & { - \tilde { \Delta } _ { c } } & { - \kappa _ { c } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \omega _ { b } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - G _ { c } } & { - \omega _ { b } } & { - \gamma _ { b } } & { 0 } & { G _ { m } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - G _ { m } } & { 0 } & { - \kappa _ { m } } & { \tilde { \Delta } _ { m } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - \tilde { \Delta } _ { m } } & { - \kappa _ { m } } \end{array} \right) ,
W = X _ { 2 } X _ { 3 } \left( X _ { 1 } X _ { 4 } - X _ { 5 } X _ { 6 } \right) + \phi _ { 1 } \left( X _ { 1 } X _ { 4 } - X _ { 7 } X _ { 8 } \right) + \phi _ { 2 } \left( X _ { 5 } X _ { 6 } - X _ { 7 } X _ { 8 } \right)
\begin{array} { r l } { p _ { s } ( { \boldsymbol { \beta } } , { \boldsymbol { \alpha } } ) } & { = \Big \{ ( { \boldsymbol { k } } _ { 1 } , \ldots , { \boldsymbol { k } } _ { s } ; { \boldsymbol { \ell } } _ { 1 } , \ldots , { \boldsymbol { \ell } } _ { s } ) \in ( \ensuremath { \mathbb { N } } _ { 0 } ^ { d } \times \ldots \ensuremath { \mathbb { N } } _ { 0 } ^ { d } ; \ensuremath { \mathbb { N } } _ { 0 } ^ { d } \times \ldots \ensuremath { \mathbb { N } } _ { 0 } ^ { d } ) \colon } \\ & { \qquad 0 < | { \boldsymbol { k } } _ { j } | , 0 < { \boldsymbol { \ell } } _ { 1 } < \ldots < { \boldsymbol { \ell } } _ { s } , \sum _ { j = 1 } ^ { s } { \boldsymbol { k } } _ { j } = { \boldsymbol { \alpha } } , \sum _ { i = 1 } ^ { s } | { \boldsymbol { k } } _ { j } | { \boldsymbol { \ell } } _ { j } = { \boldsymbol { \beta } } \Big \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { W } & { { } = W _ { 0 } \left( \alpha \exp \left( - \frac { 1 } { \nu } \frac { { P } _ { 0 + } } { { V } _ { 0 + } } \xi + \alpha \right) \right) , } \\ { \alpha } & { { } = W | _ { \xi = 0 + } = \frac { \check { v } _ { 0 + } } { { V } _ { 0 + } } - 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { i = 1 } ^ { M } } & { \sum _ { y ^ { t } \in \mathcal { A } _ { \epsilon } } \! \operatorname* { P r } ( Y ^ { t } = y ^ { t } ) \operatorname* { P r } ( \theta = i \mid Y ^ { t } = y ^ { t } ) V _ { i } ( y ^ { t } ) } \\ & { \underset { y ^ { t } \in \mathcal { A } _ { \epsilon } } { = \sum } \! \operatorname* { P r } ( Y ^ { t } = y ^ { t } ) \sum _ { i = 1 } ^ { M } \! \operatorname* { P r } ( \theta = i \mid Y ^ { t } = y ^ { t } ) V _ { i } ( y ^ { t } ) } \end{array}
L ( \psi _ { 2 } ( p _ { 2 } ) ) = - \frac { 1 } { p _ { 2 } ^ { 2 } + \mu ^ { 2 } } + \frac { p _ { 2 } ^ { 2 } + \mu ^ { 2 } } { \mathsf { A } ^ { 2 } } \left( \frac { d \psi _ { 2 } } { d p _ { 2 } } \right) ^ { 2 } \, .
\begin{array} { r c l } { t _ { \ell } } & { = } & { t _ { S S l } \frac { 1 } { 1 + \varepsilon _ { S S l } } \log \left( \frac { 1 } { \varepsilon _ { S S l } } \bigg [ \frac { k _ { 1 } K _ { M } } { k _ { 2 } } + \varepsilon _ { S S l } \left( \frac { k _ { 1 } K _ { M } } { k _ { 2 } } + 1 \right) \bigg ] \right) } \\ & { \geq } & { t _ { S S l } \frac { 1 } { 1 + \varepsilon _ { S S l } } \log \left( \frac { 1 } { \varepsilon _ { S S l } } \frac { k _ { 1 } K _ { M } } { k _ { 2 } } \right) } \\ & { = } & { t _ { S S l } \frac { 1 } { 1 + \varepsilon _ { S S l } } \log \left( \frac { 1 } { \varepsilon _ { S S l } } \right) + \log \left( \frac { k _ { 1 } K _ { M } } { k _ { 2 } } \right) } \\ & { \geq } & { t _ { S S l } \left( 1 - \varepsilon _ { S S l } \right) \left( \log \left( \frac { 1 } { \varepsilon _ { S S l } } \right) + \log \left( \frac { k _ { 1 } K _ { M } } { k _ { 2 } } \right) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta _ { \mathcal { G } } ^ { \mathrm { l o c } } = } & { \left[ \frac { \partial \mathcal { G } } { \partial \sigma _ { \alpha \beta } } R _ { \alpha \beta } ^ { \sigma \mathcal { G } } + \frac { \partial \mathcal { G } } { \partial q _ { \alpha } } R _ { \alpha } ^ { q \mathcal { G } } \right] - \mathcal { J } _ { B } ( \mathcal { G } ) } \\ { = } & { \left[ \mathcal { M } \left( \frac { 1 } { 2 p } \right) \left( C _ { \alpha } C _ { \beta } - \frac { 1 } { 3 } \delta _ { \alpha \beta } C ^ { 2 } \right) R _ { \alpha \beta } ^ { \sigma \mathcal { G } } - L ( \mathcal { M } \mathcal { G } ^ { \sigma } ) \right] + \left[ \mathcal { M } \left( \frac { C _ { \alpha } } { p v _ { T } } \right) \left( \frac { C ^ { 2 } } { 5 } - 1 \right) R _ { \alpha } ^ { q \mathcal { G } } - L ( \mathcal { M } \mathcal { G } ^ { q } ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \cos \beta n ! b _ { n } ( \delta ) } & { = } & { \sum _ { p = 0 } ^ { n - 1 } \frac { \partial ^ { n - p } g _ { \delta } } { \partial x ^ { n - p } } ( x _ { 0 } , 0 ) \sum _ { I } c _ { I } ( \cos \beta ) ^ { n - p - | I | } ( \sin \beta ) ^ { | I | } b _ { 2 } ( \delta ) ^ { i _ { 1 } } b _ { 3 } ( \delta ) ^ { i _ { 2 } } \cdots b _ { p + 1 } ( \delta ) ^ { i _ { p } } } \\ & { } & { 2 ! ^ { i _ { 1 } } 3 ! ^ { i _ { 2 } } \cdots ( p + 1 ) ! ^ { i _ { p } } , } \end{array}
\left[ \begin{array} { c } { \mathbf { p } } \\ { \mathrm { i } \eta \mathbf { m } } \end{array} \right] = \bar { \bar { \alpha } } \left[ \begin{array} { c } { \varepsilon \mathbf { E } } \\ { \mathrm { i } \eta \mathbf { H } } \end{array} \right]
{ \cal S } _ { \sigma } = - \frac { { \cal T } } { 2 } \int _ { \Sigma } d ^ { 2 } \sigma \sqrt { \gamma } \gamma ^ { \alpha \beta } \eta _ { M N } \partial _ { \alpha } X ^ { M } \partial _ { \beta } X ^ { N } ~ , \qquad \alpha , \beta = \sigma , \tau
M _ { U } = \left( \begin{array} { c c c } { { \lambda ^ { 8 } } } & { { \lambda ^ { 6 } } } & { { 0 } } \\ { { \lambda ^ { 6 } } } & { { \lambda ^ { 4 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { H _ { n , N } ( \lambda \cdot f \star ( 1 - \lambda ) \cdot g ) } & { = d _ { w } ( \lambda \cdot f \star ( 1 - \lambda ) \cdot g , \widehat { p } _ { N } ) } \\ & { \geq d _ { w } ( \lambda \cdot f \star ( 1 - \lambda ) \cdot g , p _ { f , \lambda } \star p _ { g , \lambda } ) } \\ & { = \lambda d _ { w } \left( f , \frac { 1 } { \lambda } \cdot p _ { f , \lambda } \right) + ( 1 - \lambda ) d _ { w } \left( g , \frac { 1 } { 1 - \lambda } \cdot p _ { g , \lambda } \right) } \\ & { \geq \lambda H _ { n , N } ( f ) + ( 1 - \lambda ) H _ { n , N } ( g ) } \\ & { \geq H _ { n , N } ( f ) ^ { \lambda } H _ { n , N } ( g ) ^ { 1 - \lambda } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { g ( \lambda ) = } & { - \left( 2 \lambda ^ { 3 } - 5 \lambda ^ { 2 } + 7 \lambda - 3 \right) \left( \lambda ^ { 6 } - 4 \lambda ^ { 5 } + 1 5 \lambda ^ { 4 } - 2 9 \lambda ^ { 3 } + 4 3 \lambda ^ { 2 } - 3 3 \lambda + 9 \right) \left( 4 \lambda - 3 \right) \left( - 1 + \lambda \right) \left( \lambda - 3 \right) } \\ & { \left( 2 \lambda ^ { 9 } + 2 7 \lambda ^ { 8 } + 5 0 4 9 \lambda ^ { 7 } - 4 0 0 6 8 \lambda ^ { 6 } + 1 4 8 7 1 6 \lambda ^ { 5 } - 3 1 5 6 5 7 \lambda ^ { 4 } + 3 9 8 7 6 3 \lambda ^ { 3 } - 2 9 5 2 4 5 \lambda ^ { 2 } + 1 1 8 0 9 8 \lambda - 1 9 6 8 3 \right) } \\ & { \left( 8 \lambda ^ { 3 } - 2 7 \lambda ^ { 2 } + 5 4 \lambda - 2 7 \right) . } \end{array}
{ \cal O } ( T e r m 2 ^ { \prime } ) = - 6 \left\langle { \left( \frac { \partial u } { \partial x } \right) ^ { 2 } \left( \frac { \partial v } { \partial x } \right) ^ { 2 } } \right\rangle / \left\langle { \left( \frac { \partial u } { \partial x } \right) ^ { 2 } } \right\rangle ^ { 2 } = - 6 S _ { u v , 2 } ,
\begin{array} { r l r } { \gamma ^ { - 1 } \dot { d } _ { 1 } } & { { } = } & { \frac { B } { 2 } d _ { 3 } ( 1 - 2 d _ { 1 } ^ { 2 } ) + d _ { 3 } + \lambda d _ { 1 } } \\ { \gamma ^ { - 1 } \dot { d } _ { 2 } } & { { } = } & { - B d _ { 1 } d _ { 2 } d _ { 3 } + \lambda d _ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { D } } & { = } & { \prod _ { \eta = \pm } \left( \hbar \omega - \epsilon _ { \eta } \right) } \\ & { = } & { \left[ \left( \hbar \omega - g - \frac { \hbar v _ { F } } { 2 \sqrt { 6 } } \tilde { k } _ { x } \right) ^ { 2 } - \frac { ( \hbar v _ { F } ) ^ { 2 } } { 8 } \tilde { k } ^ { 2 } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { { f } _ { \mathrm { u p } , \omega _ { 1 ( 2 ) } } ^ { \mathrm { D C } } ( z ) = - i { f } _ { \mathrm { l o } , \omega _ { 1 ( 2 ) } } ( 0 ) \sin ( | \kappa _ { \mathrm { D C } } | z ) } \\ { { f } _ { \mathrm { u p } , \omega _ { 3 ( 4 ) } } ^ { \mathrm { D C } } ( z ) = { f } _ { \mathrm { u p } , \omega _ { 3 ( 4 ) } } ( 0 ) \cos ( | \kappa _ { \mathrm { D C } } | z ) } \\ { { f } _ { \mathrm { u p } , \omega _ { 1 ( 2 ) } } ^ { \mathrm { D C } } ( z ) = { f } _ { \mathrm { u p } , \omega _ { 1 ( 2 ) } } ( 0 ) \cos ( | \kappa _ { \mathrm { D C } } | z ) } \\ { { f } _ { \mathrm { u p } , \omega _ { 3 ( 4 ) } } ^ { \mathrm { D C } } ( z ) = - i { f } _ { \mathrm { l o } , \omega _ { 3 ( 4 ) } } ( 0 ) \sin ( | \kappa _ { \mathrm { D C } } | z ) } \end{array} \right. \ , } \end{array}