harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \textbf { v } _ { i } ( t ) = \frac { \textbf { r } _ { i } ( t + \delta t ) - \textbf { r } _ { i } ( t - \delta t ) } { 2 \delta t } } \\ { K _ { 0 } ( t ) = \sum _ { i } ^ { N } \frac { 1 } { 2 } m _ { i } \textbf { v } _ { i } ( t ) ^ { 2 } } \\ { E _ { 0 } = U ( \textbf { r } ^ { N } ( t ) ) + K _ { 0 } ( t ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { V _ { c o r e } ( \textbf { K } ) } & { = } & { - b \cdot 4 \pi \frac { Z _ { e f f } } { \Omega } \frac { \textrm { e } ^ { - ( K \xi ) ^ { 2 } / 2 } } { K ^ { 2 } } , } \\ { V _ { l o c } ( \textbf { K } ) } & { = } & { b \cdot \sqrt { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \frac { \xi ^ { 3 } } { \Omega } \textrm { e } ^ { - ( K \xi ) ^ { 2 } / 2 } \{ C _ { 1 } + C _ { 2 } \cdot [ 3 - ( K \xi ) ^ { 2 } ] \} , } \end{array}
\boldsymbol { C } ^ { v v } ( \boldsymbol { x } _ { 1 } , \boldsymbol { x } _ { 2 } ) = A \exp \left[ - ( \frac { \Delta x ^ { 2 } } { \lambda _ { x } ^ { 2 } } + \frac { \Delta y ^ { 2 } } { \lambda _ { y } ^ { 2 } } + \frac { \Delta z ^ { 2 } } { \lambda _ { z } ^ { 2 } } ) \right] \mathrm { ~ , ~ }
\begin{array} { r l } { G _ { 2 } ( \tau ) \propto 1 + 2 \exp { \left( - \left( \frac { \tau } { \tau _ { g } } \right) ^ { 2 } \right) } } & { { } + 4 \exp { \left( - \frac { a ^ { 2 } + 3 } { 4 } \left( \frac { \tau } { \tau _ { g } } \right) ^ { 2 } \right) } \cos { \left( \frac { a } { 2 } \left( \frac { \tau } { \tau _ { g } } \right) ^ { 2 } \right) } \cos { ( 2 \pi f _ { 0 } \tau ) } } \end{array}
\sqrt { 2 } Q _ { i } = e ^ { 2 \Phi _ { \infty } ^ { \prime } } M _ { i j \, \infty } ( \alpha _ { j } + \Psi _ { \infty } \beta _ { j } ) , \ \ \ \ \ \ \ \sqrt { 2 } P _ { i } = L _ { i j } { \beta } _ { j } ,
\begin{array} { r l } { z = Z ( \zeta ) } & { { } \sim \mathrm { i } \left[ \log \zeta - { \frac { 2 a \log a } { \zeta - a } } + { \frac { 2 a \log a } { \zeta + a } } \right] + d \sim \mathrm { i } \left[ \log \zeta + { 4 \log a } \right] + d . } \end{array}
a _ { 0 } ^ { 0 } = 0 . 2 6 \pm 0 . 0 5 \, \mu ^ { - 1 } \qquad \mathrm { a n d } \qquad a _ { 0 } ^ { 2 } = - 0 . 0 2 8 \pm 0 . 0 1 2 \, \mu ^ { - 1 } \enspace .
\begin{array} { r l } & { \| m ^ { \omega ^ { 2 } k _ { 2 } } ( x , t , \cdot ) ^ { - 1 } - I \| _ { L ^ { \infty } ( \partial D _ { \epsilon } ( \omega ^ { 2 } k _ { 2 } ) ) } = O ( t ^ { - 1 / 2 } ) , } \\ & { m ^ { \omega ^ { 2 } k _ { 2 } } - I = \frac { Y _ { 2 } ( \zeta , t ) m _ { 1 } ^ { X , ( 2 ) } ( q _ { 2 } , q _ { 4 } , q _ { 5 } , q _ { 6 } ) Y _ { 2 } ( \zeta , t ) ^ { - 1 } } { z _ { 2 , \star } \sqrt { t } ( k - \omega ^ { 2 } k _ { 2 } ) \hat { z } _ { 2 } ( \zeta , k ) } + O ( t ^ { - 1 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\{ B _ { 1 } ^ { \ast } , B _ { 2 } \right\} } & { \sim \mathcal { C } _ { \mathcal { N } } \left( F _ { B _ { 1 } ^ { \ast } } \left( b _ { 1 } ^ { \ast } \right) , F _ { B _ { 2 } } \left( b _ { 2 } \right) ; \mathbf { R } \right) } \\ & { \sim \Phi _ { 2 } \left( \Phi ^ { - 1 } \left( F _ { B _ { 1 } ^ { \ast } } \left( b _ { 1 } ^ { \ast } \right) \right) , \Phi ^ { - 1 } \left( F _ { B _ { 2 } } \left( b _ { 2 } \right) \right) ; \mathbf { R } \right) } \end{array}
{ { { \tilde { R } } } _ { 1 } } = \sum _ { k = 1 } ^ { K } \alpha _ { k } { { \tilde { X } } } + \sum _ { k = 1 } ^ { K } \alpha _ { k } \frac { { { \tilde { W } _ { k } } } } { \sqrt { P } | \tilde { h } _ { k } | } + \sqrt { \sum _ { k = 1 } ^ { K } \frac { \alpha _ { k } ^ { 2 } } { \rho _ { k } P | \tilde { h } _ { k } | ^ { 2 } } } { { \tilde { Z } } } ,
\mathrm { ~ T ~ r ~ } [ \bf { C \Xi } ( { \bf \Lambda } ^ { - 1 } ) \bf { C \Xi } ( { \bf \Lambda } ^ { - 1 } ) ] = n \overline { { \mathrm { ~ T ~ r ~ } [ \bf { C \Xi } ( { \bf \Lambda } ^ { - 1 } ) { \bf C \Xi } ( { \bf \Lambda } ^ { - 1 } ) ] } }
s _ { n } = n \sum \ ( - 1 ) ^ { n + l _ { 1 } + \cdots + l _ { r } } \frac { ( l _ { 1 } + \cdots + l _ { r } - 1 ) ! } { l _ { 1 } ! \cdots l _ { r } ! } x _ { 1 } ^ { l _ { 1 } } \cdots x _ { r } ^ { l _ { r } } \, ,
\begin{array} { r l r } { u } & { { } = } & { - r + t } \\ { v } & { { } = } & { r + t } \\ { { \theta } } & { { } = } & { { \theta } } \\ { { \phi } } & { { } = } & { { \phi } } \\ { { \chi } } & { { } = } & { { \chi } } \end{array}
\begin{array} { r l } { V _ { + , 1 } = \frac { M M ^ { * } } { \langle M M ^ { * } \rangle } \, , \ U _ { + , 1 } = E _ { + } \, , \quad } & { \mathrm { a n d } \quad V _ { - , 1 } = E _ { - } \, , \ U _ { - , 1 } = E _ { - } \, , } \\ { V _ { + , 2 } = \frac { M M ^ { * } } { \langle M M ^ { * } \rangle } \, , \ U _ { + , 2 } = E _ { + } \, , \quad } & { \mathrm { a n d } \quad V _ { - , 2 } = E _ { - } \, , \ U _ { - , 2 } = E _ { - } \, , } \end{array}
\hat { h } ^ { 2 } q _ { t } + \frac { \partial ( \psi , q ) } { \partial ( \hat { \xi } , \hat { \eta } ) } = 0 , \; \; \; \; \hat { h } ^ { 2 } q = \hat { \nabla } ^ { 2 } \psi , \; \; \; \; \hat { h } = \frac { 2 } { 1 + \hat { \xi } ^ { 2 } + \hat { \eta } ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { G ( 0 , z ) - G ( \theta , z ) } & { = G ( \theta , z ) \, ( H ( \theta ) - H ( 0 ) ) \, G ( 0 , z ) } \\ & { = G ( \theta , z ) \, ( \theta ^ { 2 } \lambda { \boldsymbol u } { \boldsymbol u } ^ { T } + \theta \sqrt { \lambda } X { \boldsymbol v } { \boldsymbol u } ^ { T } + \theta \sqrt { \lambda } { \boldsymbol u } { \boldsymbol v } ^ { T } X ^ { T } ) \, G ( 0 , z ) . } \end{array}
\bar { \Theta } ( \{ \rho _ { k } \} ) = \left\{ \begin{array} { l l } { { 1 , } } & { { \mathrm { i f } \quad \tau \sum _ { j = 1 } ^ { K } \rho _ { j } \le L } } \\ { { 0 , } } & { { \mathrm { e l s e } , } } \end{array} \right.
\frac { d } { d t } \mathcal { E } ( t ) \leq - \frac { 1 } { 2 N ^ { 2 } } \Bigg ( \sum _ { i , j } w _ { i j } \, \phi \big ( | x _ { i } - x _ { j } | \big ) \, | x _ { i } - x _ { j } | ^ { 2 } \Bigg ) ^ { 2 } \, .
\nu _ { l } = \frac { 1 } { \sigma } \left[ \left( l + \frac { n } { 2 } \right) ^ { 2 } + ( 1 - \sigma ^ { 2 } ) n ( n + 1 ) \left( \xi - \xi _ { D - 1 } \right) \right] ^ { 1 / 2 } ,
\begin{array} { r l } { \widehat { \tau } } & { \leq \frac { \sigma _ { \mathrm { c o v } } ^ { 2 } + C _ { x y } ^ { 2 } } { \sigma _ { x } ^ { 4 } } - \frac { 2 } { \sigma _ { x } ^ { 4 } } \sqrt { \left( \sigma _ { \mathrm { c o v } } ^ { 4 } + 2 \sigma _ { \mathrm { c o v } } ^ { 2 } C _ { x y } ^ { 2 } \right) \ln \frac { 1 } { \varepsilon _ { \mathrm { p e } } } } } \\ & { \overset { ( \ast ) } { \simeq } \tau - 2 \tau \sqrt { 2 m _ { p } ^ { - 1 } \left( 2 + \frac { \sigma _ { z } ^ { 2 } } { \tau \sigma _ { x } ^ { 2 } } \right) \ln \frac { 1 } { \varepsilon _ { \mathrm { p e } } } } + \mathcal { O } ( m _ { p } ^ { - 1 } ) } \\ & { = \tau - \sigma _ { \tau } \sqrt { 2 \ln \frac { 1 } { \varepsilon _ { \mathrm { p e } } } } + \mathcal { O } ( m _ { p } ^ { - 1 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { g ( k _ { \parallel } ) = \frac { 1 } { k _ { \parallel } ^ { \mathrm { m } } } \frac { \sqrt { k _ { \parallel } ^ { 2 } + k _ { \perp } ^ { 2 } } } { k _ { \parallel } } \cdot \Theta ( \omega - \omega _ { c } ) = \frac { 1 } { 2 k _ { \parallel } ^ { \mathrm { m } } } \sqrt { 1 + \left( \frac { n _ { \mathrm { c } } \omega _ { \mathrm { c } } } { c k _ { \parallel } } \right) ^ { 2 } } , ~ ~ ~ - k _ { \parallel } ^ { \mathrm { m } } \leq k _ { \parallel } \leq k _ { \parallel } ^ { \mathrm { m } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widehat { \mathrm { S E C O } } _ { n , m } ( \bar { O } ) - \widehat { \mathrm { S E C O } } _ { n , m } ( \hat { O } ) } & { \leq 2 D _ { m } + | \widehat { \mathrm { S E C O } } _ { n , m } ( \bar { O } ) - \mathrm { S E C O } _ { m } ( \bar { O } ) | } \\ & { + | \widehat { \mathrm { S E C O } } _ { n , m } ( \hat { O } ) - \mathrm { S E C O } _ { m } ( \hat { O } ) | + \mathrm { S E C O } ( \bar { O } ) - \mathrm { S E C O } ( \hat { O } ) } \\ & { = : 2 D _ { m } + E _ { 1 } + E _ { 2 } + \mathrm { S E C O } ( \bar { O } ) - \mathrm { S E C O } ( \hat { O } ) . } \end{array}
L _ { \mathrm { b s } } ^ { ( q ) } = \frac { \pi c } { q \omega _ { 0 } | n _ { \mathrm { f } } - n _ { \mathrm { i } } | } \; \; \; \textrm { o r } \; \; \; L _ { \mathrm { b s } } ^ { ( q ) } = \frac { \lambda _ { q } } { 2 | n _ { \mathrm { f } } - n _ { \mathrm { i } } | } \, ,
\begin{array} { r l } { \rho _ { n } ( t , x _ { 1 } , . . . , x _ { n } ) } & { { } = \exp \left\{ - \sum _ { k \geq 1 } c _ { k } d _ { k } \frac { 1 - e ^ { - \alpha _ { k } t } } { \alpha _ { k } ^ { 2 } } \right\} \frac { 1 } { n ! } \left( \sum _ { j \geq 1 } c _ { j } g _ { j } ( t ) \xi _ { j } ( x _ { 1 } ) \right) \cdot \cdot \cdot \left( \sum _ { j \geq 1 } c _ { j } g _ { j } ( t ) \xi _ { j } ( x _ { n } ) \right) } \end{array}
\begin{array} { l } { \left( 1 - \frac { r _ { s } } { r } \right) ^ { - 1 } \left( \frac { \partial S } { c \partial t } \right) ^ { 2 } } \\ { - \left( 1 - \frac { r _ { s } } { r } \right) \left( \frac { \partial S } { \partial r } \right) ^ { 2 } - \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \left( \frac { \partial S } { \partial \phi } \right) ^ { 2 } - m ^ { 2 } c ^ { 2 } = 0 , } \end{array}
f _ { \rho } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( [ e _ { u } - e _ { d } ] F _ { D } ^ { ( q ) } ( M _ { \rho } ^ { 2 } ) I _ { D } + [ \kappa _ { u } - \kappa _ { d } ] F _ { P } ^ { ( q ) } ( M _ { \rho } ^ { 2 } ) I _ { P } \right) ,
\begin{array} { r l } { K _ { 1 } \{ f _ { 1 } , f _ { 2 } \} ( \varphi , \varphi ^ { \prime } ) } & { \triangleq \frac { \sin \big ( f _ { 1 } ( \varphi ) - f _ { 1 } ( \varphi ^ { \prime } ) \big ) - \sin \big ( f _ { 2 } ( \varphi ) - f _ { 2 } ( \varphi ^ { \prime } ) \big ) } { D \big ( \theta _ { 0 } + f _ { 1 } ( \varphi ) , \theta _ { 0 } + f _ { 1 } ( \varphi ^ { \prime } ) , \varphi , \varphi ^ { \prime } \big ) } \sin \big ( \theta _ { 0 } + f _ { 1 } ( \varphi ^ { \prime } ) \big ) , } \\ { K _ { 2 } \{ f _ { 1 } , f _ { 2 } \} ( \varphi , \varphi ^ { \prime } ) } & { \triangleq \frac { \sin \big ( f _ { 2 } ( \varphi ) - f _ { 2 } ( \varphi ^ { \prime } ) \big ) } { D \big ( \theta _ { 0 } + f _ { 1 } ( \varphi ) , \theta _ { 0 } + f _ { 1 } ( \varphi ^ { \prime } ) , \varphi , \varphi ^ { \prime } \big ) } \sin \big ( \theta _ { 0 } + f _ { 1 } ( \varphi ^ { \prime } ) \big ) , } \\ { K _ { 3 } \{ f _ { 1 } , f _ { 2 } \} ( \varphi , \varphi ^ { \prime } ) } & { \triangleq \frac { \sin \big ( f _ { 2 } ( \varphi ) - f _ { 2 } ( \varphi ^ { \prime } ) \big ) } { D \big ( \theta _ { 0 } + f _ { 1 } ( \varphi ) , \theta _ { 0 } + f _ { 1 } ( \varphi ^ { \prime } ) , \varphi , \varphi ^ { \prime } \big ) } \Big [ \sin \big ( \theta _ { 0 } + f _ { 1 } ( \varphi ^ { \prime } ) \big ) - \sin \big ( \theta _ { 0 } + f _ { 2 } ( \varphi ^ { \prime } ) \big ) \Big ] } \\ & { \quad + \frac { \sin \big ( f _ { 2 } ( \varphi ) - f _ { 2 } ( \varphi ^ { \prime } ) \big ) } { D \big ( \theta _ { 0 } + f _ { 1 } ( \varphi ) , \theta _ { 0 } + f _ { 1 } ( \varphi ^ { \prime } ) , \varphi , \varphi ^ { \prime } \big ) D \big ( \theta _ { 0 } + f _ { 2 } ( \varphi ) , \theta _ { 0 } + f _ { 2 } ( \varphi ^ { \prime } ) , \varphi , \varphi ^ { \prime } \big ) } } \\ & { \quad \times \Big [ D \big ( \theta _ { 0 } + f _ { 2 } ( \varphi ) , \theta _ { 0 } + f _ { 2 } ( \varphi ^ { \prime } ) , \varphi , \varphi ^ { \prime } \big ) - D \big ( \theta _ { 0 } + f _ { 1 } ( \varphi ) , \theta _ { 0 } + f _ { 1 } ( \varphi ^ { \prime } ) , \varphi , \varphi ^ { \prime } \big ) \Big ] \sin \big ( \theta _ { 0 } + f _ { 2 } ( \varphi ^ { \prime } ) \big ) . } \end{array}
{ \cal C } _ { \mathrm { S u n d q v i s t } } \overset { \mathrm { d e f } } { = } 1 - \sqrt { \frac { \operatorname* { m i n } \{ \mathrm { R H } , \mathrm { R H } _ { \mathrm { s a t } } \} - \mathrm { R H _ { s a t } } } { \mathrm { R H } _ { 0 } - \mathrm { R H _ { s a t } } } } .
t ~ { \widehat { \otimes } } ~ s = { \frac { 1 } { ( r + p ) ! } } \sum _ { \sigma \in { \mathfrak { S } } _ { r + p } } \operatorname { s g n } ( \sigma ) t ^ { i _ { \sigma ( 1 ) } \cdots i _ { \sigma ( r ) } } s ^ { i _ { \sigma ( r + 1 ) } \cdots i _ { \sigma ( r + p ) } } { \mathbf { e } } _ { i _ { 1 } } \otimes { \mathbf { e } } _ { i _ { 2 } } \otimes \cdots \otimes { \mathbf { e } } _ { i _ { r + p } } .
\begin{array} { r l } { m _ { 1 } \ddot { z } _ { 1 } + 3 ( k _ { 1 } + k _ { 2 } ) z _ { 1 } - 3 k _ { 2 } z _ { 2 } } & { { } = 0 , } \\ { m _ { z } \ddot { z } _ { 2 } - 3 k _ { 2 } z _ { 1 } + 3 k _ { 2 } z _ { 2 } } & { { } = 0 , } \end{array}
\mathbf { A } = \left( \begin{array} { l l l l l l } { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } \end{array} \right) , \mathbf { \hat { p } } = \left( \begin{array} { l } { p _ { i 1 , i 2 } } \\ { p _ { i 1 , i 3 } } \\ { p _ { i 1 , i 4 } } \\ { p _ { i 2 , i 3 } } \\ { p _ { i 2 , i 4 } } \\ { p _ { i 3 , i 4 } } \end{array} \right) , \mathbf { \Phi } = \left( \begin{array} { l } { \Phi _ { \alpha } } \\ { \Phi _ { \beta } } \\ { \Phi _ { \gamma } } \\ { \Phi _ { \Gamma } } \end{array} \right)
\begin{array} { r } { \sum _ { m _ { 1 } } \langle 0 _ { 1 } | r _ { q _ { 1 } } ( 1 ) | m _ { 1 } \rangle . . . . \langle m _ { 1 } | r _ { q _ { 1 } ^ { \prime } } ( 1 ) | 0 _ { 1 } \rangle } \\ { = \langle 1 m | r _ { q _ { 1 } } ( 1 ) | 0 0 \rangle . . . . \langle 0 0 | r _ { q _ { 1 } ^ { \prime } } ( 1 ) | 1 m \rangle } \\ { = - C _ { 1 m 1 q _ { 1 } ^ { \prime } } ^ { 0 0 } \frac { C _ { 0 0 1 q _ { 1 } } ^ { 1 m } } { \sqrt { 3 } } \langle 1 | | r ( 1 ) | | 0 \rangle ^ { 2 } } \\ { = \delta _ { m q _ { 1 } } \delta _ { q _ { 1 } , - q _ { 1 } ^ { \prime } } ( - 1 ) ^ { q _ { 1 } } \frac { \langle 1 | | r ( 1 ) | | 0 \rangle ^ { 2 } } { 3 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \hat { \rho } _ { 0 } ^ { \mathrm { w e a k } } = \frac { 1 } { | Q | ^ { 2 } } \times } \\ & { \left( \begin{array} { l l l } { ( \Gamma ^ { 2 } + \Delta _ { a } ^ { 2 } ) \varepsilon ^ { 2 } } & { g ( \Delta _ { a } + i \Gamma ) \varepsilon ^ { 2 } } & { Q ^ { * } ( \Gamma - i \Delta _ { a } ) \varepsilon } \\ { g ( \Delta _ { a } - i \Gamma ) \varepsilon ^ { 2 } } & { g ^ { 2 } \varepsilon ^ { 2 } } & { - i Q ^ { * } g \varepsilon } \\ { Q ( \Gamma + i \Delta _ { a } ) \varepsilon } & { i Q g \varepsilon } & { \chi } \end{array} \right) } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \frac { 6 0 4 9 9 9 9 9 4 9 9 } { 4 9 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 } } } & { = 0 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 + 1 0 ^ { - 9 } \sum _ { k = 1 0 } ^ { \infty } k / 1 0 ^ { 2 ( k - 9 ) } = 0 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 + 1 0 ^ { - 9 } { \frac { 9 9 1 } { 9 8 0 1 } } } \\ & { = 0 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 { \overline { { 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 \ldots 9 0 9 1 9 2 9 3 9 4 9 5 9 6 9 7 9 9 0 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 } } } , } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { \nu _ { k } ^ { i } } & { \approx } & { \frac { e _ { k } ^ { 2 } e _ { e } ^ { 2 } n _ { e } ^ { i } } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } ^ { 2 } m _ { k e } ^ { 2 } \left| u _ { k } ^ { i } - c \right| ^ { 3 } } \, \ln \Lambda _ { k e } ^ { i } \, , } \\ { V _ { k } ^ { i } } & { = } & { 2 \pi \, R _ { k } ^ { i } \, d R _ { k } \, L \, , } \\ { n _ { k } ^ { i } } & { = } & { \frac { N _ { k } ^ { i } } { V _ { k } ^ { i } } \, , } \\ { \Delta t ^ { i } } & { = } & { \frac { 1 } { 3 \, \nu _ { k } ^ { i } } \, \left( 1 - \left[ 1 - \frac { 4 \, \nu _ { k } ^ { i } \, d R _ { k } } { u _ { k } ^ { i } } \right] ^ { \frac { 3 } { 4 } } \right) \, , } \\ { \Delta n _ { k } ^ { i } } & { = } & { n _ { l } ^ { i } \, \frac { 1 - e ^ { - \left( n _ { k } ^ { i } - n _ { l } ^ { i } \right) \, \sigma _ { R 0 } ^ { k l } \, d R _ { k } } } { 1 - \frac { n _ { l } ^ { i } } { n _ { k } ^ { i } } \, e ^ { - \left( n _ { k } ^ { i } - n _ { l } ^ { i } \right) \, \sigma _ { R 0 } ^ { k l } \, d R _ { k } } } \, , } \\ { \Delta N _ { k } ^ { i } } & { = } & { \Delta n _ { k } ^ { i } \, V _ { k } ^ { i } \, , } \\ { \Delta E _ { f } ^ { i } } & { = } & { \epsilon _ { f } ^ { k l } \, \Delta N _ { k } ^ { i } \, , } \\ { \Delta Q _ { k l } ^ { i } } & { = } & { \frac { \Delta E _ { f } ^ { i } } { E _ { k } \, n _ { k } ^ { i } + E _ { l } \, n _ { l } ^ { i } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { v _ { \lambda } ( \mathbf { r } ) } & { { } = v _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ t ~ } } ( \mathbf { r } ) + ( 1 - \lambda ) v _ { \mathrm { ~ H ~ } } ( \mathbf { r } ) + ( 1 - \lambda ) v _ { \mathrm { ~ x ~ } } ( \mathbf { r } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { n } ^ { \mathrm { F P } } ( t \, | \, n _ { 0 } ) } & { = \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \left[ - e ^ { - \mu n _ { 0 } t } ( 1 - e ^ { - \mu t } ) ^ { - n _ { 0 } } \sum _ { i = n _ { 0 } } ^ { n - 1 } { \binom { i - 1 } { n _ { 0 } - 1 } } ( 1 - e ^ { - \mu t } ) ^ { i } \right] } \\ & { = \mu e ^ { - \mu n _ { 0 } t } ( 1 - e ^ { - \mu t } ) ^ { - n _ { 0 } - 1 } } \\ & { \quad \times \left[ \sum _ { i = n _ { 0 } } ^ { n - 1 } { \binom { i - 1 } { n _ { 0 } - 1 } } ( n _ { 0 } - i e ^ { - \mu t } ) ( 1 - e ^ { - \mu t } ) ^ { i } \right] } \\ & { = \mu e ^ { - \mu n _ { 0 } t } ( 1 - e ^ { - \mu t } ) ^ { - n _ { 0 } - 1 } } \\ & { \quad \times \frac { 1 } { ( n _ { 0 } - 1 ) ! } \left[ \sum _ { i = n _ { 0 } } ^ { n - 1 } \frac { ( i - 1 ) ! } { ( i - n _ { 0 } ) ! } ( n _ { 0 } - i e ^ { - \mu t } ) ( 1 - e ^ { - \mu t } ) ^ { i } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( 1 - { \mathbb P } ( X _ { T } ^ { 1 } > a _ { T } ^ { N } c + b _ { T } ^ { N } ) \right) ^ { N } } & { = { \mathbb P } \left( \operatorname* { m a x } _ { i \leq N } X _ { T } ^ { i } < a _ { T } ^ { N } c + b _ { T } ^ { N } \right) } \\ & { = { \mathbb P } \left( \frac { \operatorname* { m a x } _ { i \leq N } X _ { T } ^ { i } - b _ { T } ^ { N } } { a _ { T } ^ { N } } < c \right) } \\ & { \to \Gamma _ { T } ( c ) > 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { w ^ { * } = \mathbb { E } _ { q _ { \theta } } \left[ \frac { p ( \phi ) } { q _ { \theta } ( \phi ) } \right] = } & { \int _ { \textrm { s u p p } ( q _ { \theta } ) } q _ { \theta } ( \phi ) \frac { p ( \phi ) } { q _ { \theta } ( \phi ) } \, \mathcal { D } [ \phi ] } \\ { = } & { \int _ { \textrm { s u p p } ( q _ { \theta } ) } p ( \phi ) \, \mathcal { D } [ \phi ] = 1 \, . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { a } ( s ) } & { = { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } } \mathbf { v } ( s ) = { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } } \left[ { \frac { \mathrm { d } s } { \mathrm { d } t } } \left( x ^ { \prime } ( s ) , \ y ^ { \prime } ( s ) \right) \right] } \\ & { = \left( { \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } s } { \mathrm { d } t ^ { 2 } } } \right) \mathbf { u } _ { \mathrm { t } } ( s ) + \left( { \frac { \mathrm { d } s } { \mathrm { d } t } } \right) ^ { 2 } \left( x ^ { \prime \prime } ( s ) , \ y ^ { \prime \prime } ( s ) \right) } \\ & { = \left( { \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } s } { \mathrm { d } t ^ { 2 } } } \right) \mathbf { u } _ { \mathrm { t } } ( s ) - \left( { \frac { \mathrm { d } s } { \mathrm { d } t } } \right) ^ { 2 } { \frac { 1 } { \rho } } \mathbf { u } _ { \mathrm { n } } ( s ) } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { \Omega _ { + } } & { { } = } & { \sum _ { i , \, j } d _ { i } \mathcal { E } _ { i } ^ { \ast } ( \omega - H + \omega _ { 0 } ) ^ { - 1 } d _ { j } \mathcal { E } _ { j } , } \\ { \Omega _ { - } } & { { } = } & { \sum _ { i , \, j } d _ { i } \mathcal { E } _ { i } ( - \omega - H + \omega _ { 0 } ) ^ { - 1 } d _ { j } \mathcal { E } _ { j } ^ { \ast } , } \end{array}
\left\{ f , \hat { g } \right\} = \frac { \partial f } { \partial x } \frac { \partial \hat { g } } { \partial y } - \frac { \partial f } { \partial y } \frac { \partial \hat { g } } { \partial x } = \left( \frac { \partial \hat { g } } { \partial x } , \frac { \partial \hat { g } } { \partial y } \right) \left( - \frac { \partial f } { \partial y } , \frac { \partial f } { \partial x } \right) ^ { T } = \nabla \hat { g } \cdot \left( - \frac { \partial f } { \partial y } , \frac { \partial f } { \partial x } \right) ^ { T }
\begin{array} { r l } { c _ { \psi } ^ { \pm } } & { { } : = \hat { \sigma } _ { \pm } \left[ \Gamma _ { 0 } - \Gamma _ { z } - \left( \frac { \omega _ { * i } } { \omega } \right) _ { z } \left( F _ { 1 } - \Gamma _ { z } \right) \right] } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { c ^ { 2 } \Delta t ^ { 2 } - \Delta x ^ { 2 } } & { = c ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } \left( \Delta t ^ { \prime } + { \frac { v \Delta x ^ { \prime } } { c ^ { 2 } } } \right) ^ { 2 } - \gamma ^ { 2 } \ ( \Delta x ^ { \prime } + v \Delta t ^ { \prime } ) ^ { 2 } } \\ & { = \gamma ^ { 2 } \left( c ^ { 2 } \Delta t ^ { \, 2 } + 2 v \Delta x ^ { \prime } \Delta t ^ { \prime } + { \frac { v ^ { 2 } \Delta x ^ { \, 2 } } { c ^ { 2 } } } \right) - \gamma ^ { 2 } \ ( \Delta x ^ { \, 2 } + 2 v \Delta x ^ { \prime } \Delta t ^ { \prime } + v ^ { 2 } \Delta t ^ { \, 2 } ) } \\ & { = \gamma ^ { 2 } c ^ { 2 } \Delta t ^ { \, 2 } - \gamma ^ { 2 } v ^ { 2 } \Delta t ^ { \, 2 } - \gamma ^ { 2 } \Delta x ^ { \, 2 } + \gamma ^ { 2 } { \frac { v ^ { 2 } \Delta x ^ { \, 2 } } { c ^ { 2 } } } } \\ & { = \gamma ^ { 2 } c ^ { 2 } \Delta t ^ { \, 2 } \left( 1 - { \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } \right) - \gamma ^ { 2 } \Delta x ^ { \, 2 } \left( 1 - { \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } \right) } \\ & { = c ^ { 2 } \Delta t ^ { \, 2 } - \Delta x ^ { \, 2 } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { B _ { \varphi } ( r < r _ { 2 } , t ) } & { { } \approx \frac { \mu _ { 0 } ^ { 2 } \mu _ { 2 , r } ^ { 2 } n I _ { 0 } \alpha _ { 0 } \omega _ { 0 } r _ { 2 } ( \theta _ { 2 } - \theta _ { 3 } ) } { 2 \pi l ( \mu _ { 2 , r } + 1 ) } \sin ( \omega _ { 0 } t ) , } \\ { B _ { z } ( r < r _ { 2 } , t ) } & { { } \approx \frac { n I _ { 0 } \mu _ { 2 , r } } { 4 \pi ^ { 2 } l } \Big [ 4 \pi ^ { 2 } \mu _ { 0 } + \frac { 2 ( \mu _ { 0 } \mu _ { 2 , r } r _ { 2 } \alpha _ { 0 } \omega _ { 0 } ( \theta _ { 2 } - \theta _ { 3 } ) ) ^ { 2 } } { ( \mu _ { 2 , r } + 1 ) } } \end{array}
E _ { 0 , m } : = \left| C _ { \theta , \beta _ { 0 } } \left( C _ { \theta / m , \beta _ { 1 } } ( \textbf { u } ^ { ( O _ { 1 } ) } ) ^ { 1 / m } , \dots , C _ { \theta / m , \beta _ { 1 } } ( \textbf { u } ^ { ( O _ { G } ) } ) ^ { 1 / m } \right) ^ { m } - C _ { 0 , \beta _ { 0 } } \left( C _ { 0 , \beta _ { 1 } } ( \textbf { u } ^ { ( O _ { 1 } ) } ) , \dots , C _ { 0 , \beta _ { 1 } } ( \textbf { u } ^ { ( O _ { G } ) } \} ) \right) \right| .
\operatorname* { l i m } _ { \sigma _ { l } \to \infty } \mathcal { L } _ { p } = 1 , \quad \operatorname* { l i m } _ { \sigma _ { l } \to \infty } \kappa _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ^ { w } = - \frac { c } { 3 \sigma _ { l } }
\delta \mathcal { S } ^ { * } = \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } \left( \mathcal { R } _ { i } \delta \ddot { q } _ { i } - \mathcal { R } _ { j } \frac { \partial f _ { j } } { \partial \dot { q } _ { i } } \delta { \dot { q } } _ { i } - \mathcal { R } _ { j } \frac { \partial f _ { j } } { \partial q _ { i } } \delta { q } _ { i } \right) d t ,
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { \left( 1 + \frac { \delta } { 6 N } \right) N { \binom { N } { k } } \alpha ^ { k + 1 } ( 1 - \alpha ) ^ { N - k } } } \\ & { \leq } & { \left( 1 + \frac { \delta } { 6 N } \right) ( k + 1 ) { \binom { N + 1 } { k + 1 } } \alpha ^ { k + 1 } ( 1 - \alpha ) ^ { N + 1 - ( k + 1 ) } } \\ & { \leq } & { \frac { 7 } { 6 } ( k + 1 ) \sum _ { i = 0 } ^ { k + 1 } { \binom { N + 1 } { i } } \alpha ^ { i } ( 1 - \alpha ) ^ { N + 1 - i } } \\ & { \leq } & { \frac { 7 } { 6 } ( k + 1 ) c ^ { k + 1 } \sum _ { i = 0 } ^ { k + 1 } { \binom { N + 1 } { i } } \left( \frac { \alpha } { c } \right) ^ { i } ( 1 - \alpha ) ^ { N + 1 - i } } \\ & { \leq } & { \frac { 7 } { 6 } ( k + 1 ) c ^ { k + 1 } \sum _ { i = 0 } ^ { N + 1 } { \binom { N + 1 } { i } } \left( \frac { \alpha } { c } \right) ^ { i } ( 1 - \alpha ) ^ { N + 1 - i } } \\ & { = } & { \frac { 7 } { 6 } ( k + 1 ) ( 1 - ( 1 - c ) ) ^ { k + 1 } \left( 1 - \alpha \frac { c - 1 } { c } \right) ^ { N + 1 } } \\ & { \leq } & { \frac { 7 } { 6 } ( k + 1 ) \mathrm { e } ^ { - ( 1 - c ) ( k + 1 ) } \mathrm { e } ^ { - \alpha \frac { c - 1 } { c } ( N + 1 ) } } \\ & { \leq } & { \frac { 7 } { 6 } ( k + 1 ) \mathrm { e } ^ { - ( 1 - c ) ( k + 1 ) } \mathrm { e } ^ { - \alpha \frac { c - 1 } { c } N } , } \end{array}