harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \begin{array} { r l } { { \boldsymbol { S } } _ { x } } & { = { \frac { \hbar } { 2 } } { \left( \begin{array} { l l l l l l } { 0 } & { { \sqrt { 5 } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { { \sqrt { 5 } } } & { 0 } & { 2 { \sqrt { 2 } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 2 { \sqrt { 2 } } } & { 0 } & { 3 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 3 } & { 0 } & { 2 { \sqrt { 2 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 2 { \sqrt { 2 } } } & { 0 } & { { \sqrt { 5 } } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { { \sqrt { 5 } } } & { 0 } \end{array} \right) } , } \\ { { \boldsymbol { S } } _ { y } } & { = { \frac { \hbar } { 2 } } { \left( \begin{array} { l l l l l l } { 0 } & { - i { \sqrt { 5 } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { i { \sqrt { 5 } } } & { 0 } & { - 2 i { \sqrt { 2 } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 2 i { \sqrt { 2 } } } & { 0 } & { - 3 i } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 3 i } & { 0 } & { - 2 i { \sqrt { 2 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 2 i { \sqrt { 2 } } } & { 0 } & { - i { \sqrt { 5 } } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { i { \sqrt { 5 } } } & { 0 } \end{array} \right) } , } \\ { { \boldsymbol { S } } _ { z } } & { = { \frac { \hbar } { 2 } } { \left( \begin{array} { l l l l l l } { 5 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 3 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 3 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 5 } \end{array} \right) } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { S _ { 3 } ( m ) } & { = \exp { \bigg ( - \frac { b } { \beta } \big ( 1 + \frac { \Delta f } { { f _ { e n d } } } \big ) ^ { \beta / \alpha } \big ( e ^ { \beta t } - e ^ { \beta t _ { e n d } } \big ) \bigg ) } } \\ & { = \exp { \bigg ( - \frac { b } { \beta } e ^ { \beta \delta } \big ( e ^ { \beta t } - e ^ { \beta t _ { e n d } } \big ) \bigg ) } } \\ & { \approx S _ { 3 } ( m = 0 ) + \delta \frac { \partial S _ { 3 } } { \partial \delta } \bigg | _ { \delta = 0 } } \\ { S _ { 3 } ( m ) } & { \approx S _ { 3 } ( m = 0 ) + \delta \bigg ( \frac { d } { d t } S _ { 3 } ( m = 0 ) + b e ^ { \beta t _ { e n d } } S _ { 3 } ( m = 0 ) \bigg ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \Big | \int _ { T } ( \mathbf { f } ( x _ { T } ) - \mathbf { f } ) \Big | = \Big | \int _ { T } \big \{ \big ( \mathbf { f } - \mathbf { p } \big ) ( x _ { T } ) + \big ( \mathbf { p } - \mathbf { f } \big ) \big \} \Big | \le 2 | T | \| \mathbf { f } - \mathbf { p } \| _ { L ^ { \infty } ( T ) } \lesssim h _ { T } ^ { 2 } \| D ^ { 2 } \mathbf { f } \| _ { L ^ { 1 } ( T ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \ell / L } & { \sim } & { R a ^ { 1 / 2 } \, E k \, P r ^ { - 1 / 2 } , } \\ { N u - 1 } & { \sim } & { R a ^ { 3 / 2 } \, E k ^ { 2 } \, P r ^ { - 1 / 2 } , } \\ { R e } & { \sim } & { R a \, E k \, P r ^ { - 1 } , } \\ { ( L ^ { 4 } / \nu ^ { 3 } ) \epsilon _ { u } } & { \sim } & { R a ^ { 5 / 2 } \, E k ^ { 2 } \, P r ^ { - 5 / 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { \left| U _ { i } \right| } { \left| U \right| } \fint _ { U _ { i } } \frac { 1 } { 2 } \left( \nabla v ( \cdot , U , p , q ) - \nabla v ( \cdot , U _ { i } , p , q ) \right) \cdot \mathbf { a } \left( \nabla v ( \cdot , U , p , q ) - \nabla v ( \cdot , U _ { i } , p , q ) \right) } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { \left| U _ { i } \right| } { \left| U \right| } \left( J ( U _ { i } , p , q ) - J ( U , p , q ) \right) . } \end{array}
\left[ { \frac { \alpha } { \beta } } \right] \left[ { \frac { \beta } { \alpha } } \right] ^ { - 1 } = ( - 1 ) ^ { b d + { \frac { a - 1 } { 2 } } d + { \frac { c - 1 } { 2 } } b } , \; \; \; \; \left[ { \frac { 1 + i } { \alpha } } \right] = i ^ { { \frac { b ( a - 3 b ) } { 2 } } - { \frac { a ^ { 2 } - 1 } { 8 } } }
\left\{ \begin{array} { r l } { \displaystyle \nabla \cdot ( \gamma _ { t } \nabla u _ { t } ^ { j } ) } & { = 0 ~ ~ ~ ~ \mathrm { ~ i n ~ } \Omega \subset \mathbb { R } ^ { 3 } } \\ { \gamma _ { t } \nabla u _ { t } ^ { j } \cdot n } & { = 0 ~ ~ ~ ~ \mathrm { ~ o n ~ } \partial \Omega \backslash \bigcup _ { i } ^ { 1 6 } \mathcal E ^ { k } } \\ { \displaystyle \int _ { \mathcal E ^ { k } } \gamma _ { t } \nabla u _ { t } ^ { j } \cdot n } & { = 0 ~ ~ ~ ~ \mathrm { ~ f o r ~ } k \in \mathcal I \backslash \{ j , j + 1 \} } \\ { \displaystyle u _ { t } ^ { j } + z _ { k } ( \gamma _ { t } \nabla u _ { t } ^ { j } \cdot n ) } & { = U _ { t } ^ { j , k } \mathrm { ~ o n ~ } \mathcal E ^ { k } \mathrm { ~ f o r ~ } k \in \mathcal I } \\ { \displaystyle \int _ { \mathcal E ^ { j } } \gamma _ { t } \nabla u _ { t } ^ { j } \cdot n d s } & { = - \displaystyle \int _ { \mathcal E ^ { j + 1 } } \gamma _ { t } \nabla u _ { t } ^ { j } \cdot n d s = I } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \tan \varphi = \frac { Z _ { L } - Z _ { C } } { R + r } = \frac { 1 - 4 } { \frac { 2 } { \sqrt { 3 } } + \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } } = - \sqrt { 3 } \Rightarrow \varphi = - \frac { \pi } { 3 } } \\ & { \varphi _ { u } - \varphi _ { i } = - \frac { \pi } { 3 } \Rightarrow \varphi _ { i } = \varphi _ { u } + \frac { \pi } { 3 } = - \frac { \pi } { 6 } + \frac { \pi } { 3 } = \frac { \pi } { 6 } ( \mathrm { r a d } ) } \end{array}
{ \begin{array} { r l } & { { \frac { \partial } { \partial x } } \operatorname { a t a n 2 } ( y , \, x ) = { \frac { \partial } { \partial x } } \arctan \left( { \frac { y } { x } } \right) = - { \frac { y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } , } \\ & { { \frac { \partial } { \partial y } } \operatorname { a t a n 2 } ( y , \, x ) = { \frac { \partial } { \partial y } } \arctan \left( { \frac { y } { x } } \right) = { \frac { x } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \Phi \left( { \cal I } _ { \infty } ^ { a } ( \mathrm { ~ c ~ o ~ m ~ p ~ } , j ) \right) } & { { } = \sqrt [ m \cdot n ] { \operatorname* { d e t } { \cal I } _ { \infty } ^ { a } ( \mathrm { ~ c ~ o ~ m ~ p ~ } , j ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { \phi } _ { i } ^ { \lambda _ { F } } } & { = { \phi } _ { i } ^ { \lambda _ { F } } - \frac { \delta t / 2 } { 2 } \Omega _ { \phi , i } ^ { \lambda _ { F } } , } \\ { \bar { \phi } _ { i } ^ { + , \lambda _ { F } } } & { = { \phi } _ { i } ^ { \lambda _ { F } } + \frac { \delta t / 2 } { 2 } \Omega _ { \phi , i } ^ { \lambda _ { F } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { g ( t ) } & { = \frac { 4 \pi \hbar ^ { 2 } } { m } ( - 2 4 . 5 a _ { 0 } ) \bigg ( 1 - \frac { 1 9 2 . 3 } { 7 3 6 . 8 - ( 5 7 7 . 4 + 5 \sin \omega _ { \mathrm { i n t } } t ) } \bigg ) } \\ & { \approx \frac { 4 \pi \hbar ^ { 2 } } { m } \frac { 2 4 . 5 a _ { 0 } \times 1 5 9 . 4 } { 3 2 . 9 } \bigg ( 1 + 0 . 0 4 \sin \omega _ { \mathrm { i n t } } t \bigg ) } \\ & { \equiv g ( 1 + 0 . 0 4 \sin \omega _ { \mathrm { i n t } } t ) . } \end{array}
\dot { \epsilon } _ { \delta \sigma } = \epsilon _ { \delta \sigma } \left[ 3 { \frac { \dot { a } } { a } } ( 1 + w ) + \left\{ 2 { \frac { \dot { G } _ { 5 } } { G _ { 5 } } } - { \frac { 6 + 8 \epsilon } { 1 + \epsilon } } { \frac { \dot { c } } { c } } \right\} ( 1 + \epsilon _ { \delta \sigma } ) + { \frac { 9 C c ^ { 6 } } { 3 2 \pi ^ { 2 } G _ { 5 } ^ { 2 } \sigma a _ { 0 } ^ { 4 } \varrho _ { m } } } { \frac { \dot { c } } { c } } \right] .
\frac { 1 } { 2 D ( 1 - n \epsilon ) } q ^ { 2 } \frac { \partial } { \partial q _ { \mu } } \frac { \partial } { \partial q ^ { \mu } } G _ { n } ^ { [ 2 ] } ( q ; 0 ) = G _ { n } ^ { [ 2 ] } ( q ; 0 ) .
\widetilde { s } _ { b } \left( s \right) = - \left[ \overline { { \phi } } _ { b } ^ { \, \ast } \left( s ^ { \prime } \right) \widetilde { a } \left( s \right) \overline { { \phi } } _ { b } \left( s ^ { \prime } \right) + \overline { { F } } _ { b } ^ { \, \ast } \left( s \right) \overline { { F } } _ { b } \left( s \right) \right] \quad , \quad a _ { 1 } \left( s \right) < 0 \; .
\| \partial _ { t } \psi \| _ { L ^ { \infty } ( [ 0 , T ] ; L ^ { 2 } ( { \mathbf R } ^ { 2 } ) ) } \leq \| \partial _ { t } \psi ( 0 ) \| _ { L ^ { 2 } ( { \mathbf R } ^ { 2 } ) } + \| G _ { 1 } ( \psi ) \partial _ { t } \psi + G _ { 2 } ( \psi ) \overline { { \partial _ { t } \psi } } ( \partial _ { t } \psi ) \| _ { N ^ { 0 } ( [ 0 , T ] \times { \mathbf R } ^ { 2 } ) } .
\begin{array} { r l r } { \Delta U _ { 1 } } & { { } = } & { \hbar \delta _ { 1 } \frac { k } { \Delta k } s _ { 1 } \mu _ { 1 } ( s _ { 2 } / s 1 ) \, , } \\ { \Delta U _ { 2 } } & { { } = } & { \hbar \delta _ { 2 } \frac { k } { \Delta k } s _ { 1 } \mu _ { 2 } ( s _ { 2 } / s 1 ) \, . } \end{array}
d _ { i j } = \operatorname * { m i n } ( E _ { T i } , E _ { T j } ) ^ { 2 } R _ { i j } ^ { 2 } \left( \approx \operatorname * { m i n } ( E _ { i } , E _ { j } ) ^ { 2 } \theta _ { i j } ^ { 2 } \approx k _ { \perp } ^ { 2 } \right) .
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \alpha } & { { } = - \mu _ { \mathrm { L } } \alpha ^ { 2 } ( K - 2 \Theta ) + \beta ^ { i } \partial _ { i } \alpha } \\ { \partial _ { t } \beta ^ { i } } & { { } = \mu _ { \mathrm { S } } \alpha ^ { 2 } \tilde { \Gamma } ^ { i } - \eta \beta ^ { i } + \beta ^ { j } \partial _ { j } \beta ^ { i } . } \end{array}
\mathcal { K } _ { c } = \{ \frac { \pi n _ { \mathrm { m i n } } } { L _ { y } } , \frac { \pi ( n _ { \mathrm { m i n } } + 1 ) } { L _ { y } } , . . . , \frac { \pi n _ { \mathrm { m a x } } } { L _ { y } } \}
r ^ { \ell } \, { \left( \begin{array} { l } { Y _ { \ell } ^ { m } } \\ { Y _ { \ell } ^ { - m } } \end{array} \right) } = \left[ { \frac { 2 \ell + 1 } { 4 \pi } } \right] ^ { 1 / 2 } { \bar { \Pi } } _ { \ell } ^ { m } ( z ) { \left( \begin{array} { l } { ( - 1 ) ^ { m } ( A _ { m } + i B _ { m } ) } \\ { \qquad ( A _ { m } - i B _ { m } ) } \end{array} \right) } , \qquad m > 0 .
\begin{array} { r l } & { \left( \frac { 1 } { 2 } ( - \mathrm { i } \nabla + \mathbf { A } ( \mathbf { r } ) + \mathbf { A } _ { \mathrm { x c } } ( \mathbf { r } ) ) ^ { 2 } + v ( \mathbf { r } ) + u _ { \mathrm { H x c } } ( \mathbf { r } ) \right. } \\ & { \left. + \frac { 1 } { 2 } \left( | \mathbf { A } ( \mathbf { r } ) | ^ { 2 } - | \mathbf { A } ( \mathbf { r } ) + \mathbf { A } _ { \mathrm { x c } } ( \mathbf { r } ) | ^ { 2 } \right) \right) \varphi _ { i } ( \mathbf { r } \sigma ) = \varepsilon _ { i } \varphi _ { i } ( \mathbf { r } \sigma ) . } \end{array}
{ \cal K } = \sum _ { \stackrel { k > 0 } { k \neq 0 \bmod h } } \sum _ { \alpha \in \Delta ^ { k \bmod h } } { \bf R } V _ { \alpha } ^ { k } + \sum _ { \stackrel { k > 0 } { 1 \leq i \leq l } } { \bf R } H _ { i } ^ { k h }
- \frac { { \mathrm { \boldmath ~ \nabla ~ } } _ { r } ^ { 2 } } { M } \, \mathrm { I m } \, G _ { c } ( { \mathrm { \boldmath ~ r ~ } } , { \mathrm { \boldmath ~ r ~ } ^ { \prime } } ; E ) \, = \, \left( E - V _ { c } ^ { \mathrm { \tiny ~ L O } } ( r ) \, \right) \, \mathrm { I m } \, G _ { c } ( { \mathrm { \boldmath ~ r ~ } } , { \mathrm { \boldmath ~ r ~ } ^ { \prime } } ; E ) \, = \, \left( E + \frac { \alpha } { r } \, \right) \, \mathrm { I m } \, G _ { c } ( { \mathrm { \boldmath ~ r ~ } } , { \mathrm { \boldmath ~ r ~ } ^ { \prime } } ; E ) \, .
\iiint _ { \{ { \widetilde { \tau } } = C \} } | \widetilde { \partial } _ { r } ( r \psi ) | ^ { 2 } + | \psi | ^ { 2 } \sin \theta \, d \theta \, d \phi \, d r \lesssim \int _ { { \widetilde { \Sigma } _ { \widetilde { \tau } } } } \mathbf { J } _ { \mu } ^ { N } n _ { { \widetilde { \Sigma } _ { \widetilde { \tau } } } } ^ { \mu } \, d V _ { { \widetilde { \Sigma } _ { \widetilde { \tau } } } }
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } W } & { = - \frac { \partial F } { \partial W } \partial _ { x } W , } \\ { \partial _ { t x } W } & { = - ( \frac { \partial ^ { 2 } F } { \partial W ^ { 2 } } \partial _ { x } W ) \partial _ { x } W - \frac { \partial F } { \partial W } \partial _ { x x } W , } \\ { \partial _ { t t } W } & { = - ( \frac { \partial ^ { 2 } F } { \partial W ^ { 2 } } \partial _ { t } W ) \partial _ { x } W - \frac { \partial F } { \partial W } \partial _ { x t } W , } \end{array}
\begin{array} { r } { k _ { \parallel } ^ { o } L _ { \parallel } \sim 1 \quad \Rightarrow \quad \left( \frac { L _ { T } } { \rho _ { \perp } } \right) \bar { \varphi } ^ { o } \sim \left( k _ { \perp } ^ { o } \rho _ { \perp } \right) ^ { - 1 } , \quad k _ { \perp } ^ { o } \rho _ { \perp } \sim \left( \frac { L _ { T } } { L _ { \parallel } \sqrt { \sigma } } \right) ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \delta \pi ^ { z z } } & { = } & { - \frac { \alpha _ { \ast s } } { 2 q H } N _ { \ast s } 2 \pi e ^ { - \frac { q \Phi } { T } } \int _ { 0 } ^ { + \infty } w ^ { 3 } d w } \\ & { } & { \times \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d u _ { z } \frac { u _ { z } ^ { 2 } } { \sqrt { 1 + u ^ { 2 } } } e ^ { - \frac { \sqrt { 1 + w ^ { 2 } + u _ { z } ^ { 2 } } } { T } } . } \end{array}
( m _ { 1 } , ~ m _ { 2 } , ~ m _ { 3 } ) = ( - 2 . 7 \times 1 0 ^ { - 3 } , \, 6 . 4 \times 1 0 ^ { - 3 } , \, 8 . 6 \times 1 0 ^ { - 2 } ) ~ \mathrm { e V } ~ .
{ \cal L ^ { \prime } } _ { \mathrm { s p i n } } ^ { ( 2 ) } [ F ] = { ( 4 \pi ) } ^ { - 4 } e ^ { 4 } \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { d T } { T } } e ^ { - m ^ { 2 } T } F _ { \mu \nu } F ^ { \mu \nu }
\sigma _ { p q } = \frac { 1 } { V _ { \mathrm { ~ U ~ C ~ } } } \sum _ { \vec { L } } \sum _ { N } \frac { \partial E _ { \mathrm { ~ S ~ C ~ F ~ } } } { \partial R _ { N , p } ^ { \vec { L } } } R _ { N , q } ^ { \vec { L } }
V ( \psi \big ( \vec { x } _ { k } , \vec { u } _ { k } \big ) , \vec { u } _ { k + 1 } ) + \int _ { \vec { x } _ { k + 1 } \in X } \left( \vec { \xi } \cdot ( \delta t ) \right) V \big ( \vec { x } _ { k + 1 } , \vec { u } _ { k + 1 } \big )
\begin{array} { r l } & { \Delta _ { \alpha } ^ { \mathrm { d i a g } } = \chi _ { x , 0 } \left| 0 \middle > \middle < 0 \right| + \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \chi _ { x , m } \left( 1 - e ^ { - r _ { \alpha } ^ { 2 } \left( 1 - \tau _ { x , y } \right) } g _ { x , y } ( 1 - \chi _ { y , m } ^ { 2 } ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \right) \left| m \middle > \middle < m \right| , } \\ & { \Delta _ { \alpha } ^ { \mathrm { c o h } } = - \left( 1 - e ^ { - r _ { \alpha } ^ { 2 } \left( 1 - \tau _ { x , y } \right) } g _ { x , y } \Omega _ { x , y } ^ { \prime } \right) \left| \sqrt { \tau _ { x , y } } \alpha _ { \mathrm { c o h } } \middle > \middle < \sqrt { \tau _ { x , y } } \alpha _ { \mathrm { c o h } } \right| , } \\ & { \Delta _ { \alpha } ^ { \mathrm { e x t r a } } = e ^ { - r _ { \alpha } ^ { 2 } \left( 1 - \tau _ { x , y } \right) } g _ { x , y } \chi _ { x , 0 } ( 1 - \chi _ { y , 0 } ^ { 2 } ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \left( \left| \sqrt { \tau _ { x , y } } \alpha _ { \mathrm { c o h } } \middle > \middle < \sqrt { \tau _ { x , y } } \alpha _ { \mathrm { c o h } } \right| - \left| 0 \middle > \middle < 0 \right| \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varepsilon _ { L } ^ { \dagger } } & { : = \varepsilon _ { S S l } \left( \log \left( \frac { k _ { 1 } ( K _ { M } + s _ { 0 } ) ^ { 2 } } { k _ { 2 } K _ { M } } \frac { 1 } { \varepsilon _ { S S l } } \right) + \frac { ( K _ { M } + s _ { 0 } ) ^ { 2 } ( K _ { S } + s _ { 0 } ) } { K _ { M } ^ { 3 } } \right) , } \\ { \mathrm { o r } } \\ { \varepsilon _ { M } ^ { \dagger } } & { : = \varepsilon _ { S S l } \left( \log \left( \frac { k _ { 1 } ( K _ { M } + s _ { 0 } ) ^ { 2 } } { k _ { 2 } K _ { M } } \frac { 1 } { \varepsilon _ { S S l } } \right) + \exp \left( \frac { s _ { 0 } } { K _ { M } } - 1 \right) \frac { ( K _ { M } + s _ { 0 } ) } { K _ { M } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( x ) } & { = x ^ { 3 } \left( 1 - \sqrt { x } \right) ^ { - 3 } } \\ { f ^ { \prime } ( x ) } & { = 3 x ^ { 2 } \left( 1 - \sqrt { x } \right) ^ { - 3 } + x ^ { 3 } ( - 3 ) \left( 1 - \sqrt { x } \right) ^ { - 4 } \left( - \frac { 1 } { 2 } x ^ { - 1 / 2 } \right) } \\ & { = 3 x ^ { 2 } \left( 1 - \sqrt { x } \right) \left( 1 - \sqrt { x } \right) ^ { - 4 } + \frac { 3 } { 2 } x ^ { 5 / 2 } \left( 1 - \sqrt { x } \right) ^ { - 4 } } \\ & { = \frac { 3 x ^ { 2 } \left( 1 - \sqrt { x } + \frac { 1 } { 2 } \sqrt { x } \right) } { \left( 1 - \sqrt { x } \right) ^ { 4 } } } \\ & { = \frac { 3 x ^ { 2 } \left( 1 - \frac { 1 } { 2 } \sqrt { x } \right) } { \left( 1 - \sqrt { x } \right) ^ { 4 } } } \\ & { = \frac { 3 x ^ { 2 } \left( 2 - \sqrt { x } \right) } { 2 \left( 1 - \sqrt { x } \right) ^ { 4 } } } \end{array}
{ \hat { H } } _ { e e d } ( x ) \; \; = \; \; \frac { d _ { A B } } { ( x + R ) ^ { 3 } } \bigg ( \hat { \mathbf { S } } _ { A } \cdot \hat { \mathbf { S } } _ { B } - 3 ( \hat { \mathbf { S } } _ { A } \cdot \mathbf { n } ) ( \hat { \mathbf { S } } _ { B } \cdot \mathbf { n } ) \bigg ) ,
{ \prod } _ { \mu \nu \rho , \alpha \beta \gamma } ^ { ( 3 ) } = \sum _ { \mathrm { s y m m } } \left[ \pi _ { \mu \alpha } \pi _ { \nu \beta } \pi _ { \rho \gamma } - \frac { 3 } { 5 } \pi _ { \mu \nu } \pi _ { \alpha \beta } \pi _ { \rho \gamma } \right] .
\begin{array} { r } { \operatorname* { m i n } _ { \Delta \mathbf { W } \in \mathcal { B } _ { F } ( \gamma ) } \left\{ f _ { \ell _ { q } } ( \mathbf { W } ^ { \star } + \Delta \mathbf { W } ) - f _ { \ell _ { q } } ( \mathbf { W } ) \right\} \leq - \frac { q t _ { 0 } ^ { q - 1 } } { q + 1 } \cdot \operatorname* { m a x } _ { \Delta \mathbf { W } \in \mathcal { U } ( \gamma ) } \left\{ \frac { 1 } { m } \sum _ { i \in { \mathcal { S } _ { t } } } | \langle A _ { i } , \Delta W _ { 1 } W _ { 2 } ^ { \star } \rangle | \right\} . } \end{array}
\mathrm { x _ { A } \mathrm { y _ { A } \mathrm { \overline { { x } } _ { B } \mathrm { \overline { { y } } _ { B } ( \mathrm { s _ { A } ^ { 2 } \mathrm { z _ { A } \mathrm { \overline { { s } } _ { B } + \mathrm { s _ { A } \mathrm { s _ { B } ^ { 2 } \mathrm { \overline { { z } } _ { B } ) } } } } } } } } } }
\sigma _ { \lambda _ { 1 } \lambda _ { 2 } } ^ { \gamma \gamma \to \nu \bar { \nu } } = \int _ { - 1 } ^ { 1 } \frac { d { \sigma } _ { \lambda _ { 1 } \lambda _ { 2 } } ^ { \gamma \gamma \to \nu \bar { \nu } } } { d z } \, d z \, .
\begin{array} { r } { D + \frac { \omega _ { p e } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } n _ { 0 } } \frac { ( \omega - v _ { | | } k ) ^ { 2 } - \Omega _ { e } \omega } { \omega - v _ { | | } k - \Omega _ { e } } N \equiv D + Q N = 0 \, , } \\ { \frac { c _ { s } ^ { 2 } - v _ { | | } ^ { 2 } } { n _ { 0 } } N + Q \mathscr { B } = \gamma - \frac { v _ { | | } ^ { 2 } } { 2 } - c _ { s } ^ { 2 } \ln n _ { 0 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { E } [ \mathcal { R } _ { n } ( \mathcal { H } _ { i j } ) ] \leq A _ { 6 } n ^ { - 1 } + A _ { 7 } \sqrt { n ^ { - 1 } | \Theta | } \Big ( \sqrt { 8 C _ { \upsilon } \mathbb { E } \big [ \mathcal { R } ( \mathcal { H } _ { i j } ) \big ] } + C _ { 5 } \mathbb { E } ^ { \frac { 1 } { 2 ( 1 + \gamma ) } } \big [ \Psi _ { u } ^ { \gamma } \big ] ( 2 ^ { i } \delta _ { n } ) ^ { \frac { \gamma } { 2 ( \gamma + 1 ) } } \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla _ { \mathbf { w } } \mathcal { L } _ { M F } ( \pmb { \theta } , \mathbf { w } ) } & { = \left\{ { M ^ { \prime } ( w _ { H R } ^ { i } ) \left\| \mathcal { N } ( \mathbf { y } _ { H } ( \mathbf { x } _ { H R } ^ { i } ) ) \right\| ^ { 2 } } \right\} _ { i = 1 } ^ { N _ { H R } } } \\ & { \cup \left\{ { M ^ { \prime } ( w _ { H B } ^ { i } ) \left\| \mathcal { B } ( \mathbf { y } _ { H } ( \mathbf { x } _ { H B } ^ { i } ) ) \right\| ^ { 2 } } \right\} _ { i = 1 } ^ { N _ { H B } } } \\ & { \cup \left\{ { M ^ { \prime } ( w _ { L D } ^ { i } ) \left\| \mathbf { y } _ { L } ( \mathbf { x } _ { L D } ^ { i } ) - \mathbf { y } _ { L D } ^ { i , * } \right\| ^ { 2 } } \right\} _ { i = 1 } ^ { N _ { L D } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { w _ { \alpha } ( x _ { \alpha } , \zeta , t ) = u _ { \alpha } ( x _ { \alpha } , t ) + h \varphi _ { \alpha } ( x _ { \alpha } , t ) \zeta - h u _ { , \alpha } \zeta + h y _ { \alpha } ( x _ { \alpha } , \zeta , t ) , } \\ & { w ( x _ { \alpha } , \zeta , t ) = u ( x _ { \alpha } , t ) - h \mathcal { I } [ \sigma ] u _ { \beta , \beta } + h y ( x _ { \alpha } , \zeta , t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \mathbb A } _ { \infty , h _ { 0 } } \, y = - y ^ { \prime \prime } - \frac { 1 } { \sqrt 2 } [ { \sqrt 2 } y ^ { \prime } ( 1 ) + \left( 1 - i \right) y ( 1 ) ] \, \delta ( x - 1 ) , } \\ & { { \mathbb A } _ { \infty , h _ { 0 } } ^ { * } \, y = - y ^ { \prime \prime } - \frac { 1 } { \sqrt 2 } [ { \sqrt 2 } y ^ { \prime } ( 1 ) + \left( 1 + i \right) y ( 1 ) ] \, \delta ( x - 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \sigma _ { A } ( \omega ) } & { { } = } & { \frac { 4 \pi e ^ { 2 } \omega } { 3 c \eta \hbar } \int d \omega _ { e g } G ( \omega _ { e g } ) \mathrm { ~ I ~ m ~ } \left\{ i \int _ { 0 } ^ { \infty } d t \: e ^ { i t ( \omega - \omega _ { e g } ) - g ( t ) } A ( t ) \right\} ; } \\ { \sigma _ { F } ( \omega ) } & { { } = } & { \frac { 4 \pi \eta e ^ { 2 } \omega } { 3 c \hbar } \int d \omega _ { e g } G ( \omega _ { e g } ) \mathrm { ~ I ~ m ~ } \left\{ i \int _ { 0 } ^ { \infty } d t \: e ^ { i t ( \omega - \omega _ { e g } ) - g ^ { * } ( t ) } A ^ { * } ( t ) \right\} ; } \\ { \sigma _ { R } ( \omega , \omega _ { S } ) } & { { } = } & { \frac { 8 e ^ { 4 } \omega _ { S } ^ { 3 } \omega } { 9 c ^ { 4 } \hbar ^ { 2 } } \int d \omega _ { e g } G ( \omega _ { e g } ) \times } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| y _ { t } ^ { ( m ) } - y _ { x _ { t } ^ { ( m ) } } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] } & { \leq ( 1 - \frac { \mu \gamma \alpha _ { t - 1 } } { 4 } ) \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| y _ { t - 1 } ^ { ( m ) } - y _ { x _ { t - 1 } ^ { ( m ) } } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] - \frac { \gamma ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } } { 4 } \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| \omega _ { t - 1 } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] } \\ & { \qquad + \frac { 9 \gamma \alpha _ { t - 1 } } { 2 \mu } \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| \omega _ { t - 1 } ^ { ( m ) } - \nabla _ { y } g ^ { ( m ) } ( x _ { t - 1 } ^ { ( m ) } , y _ { t - 1 } ^ { ( m ) } ) \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] + \frac { 9 \kappa ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } } { 2 \mu \gamma } \mathbb { E } \bigg [ \| \nu _ { t - 1 } ^ { ( m ) } \| ^ { 2 } \bigg ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { U ^ { * } ( g _ { 0 } , \ldots , g _ { k } ) } & { = \left\{ z \in \mathbf { C } ^ { n } \; \left| \; \begin{array} { l } { \forall J \subset \{ 0 , \ldots , k \} , } \\ { | J | < \operatorname* { m i n } ( k , n ) \Rightarrow z \notin \langle q _ { j } \; : \; j \in J \rangle } \end{array} \right. \right\} } \\ & { = \mathbf { C } ^ { n } - \bigcup _ { j } W ( \mathbf { q } ) ^ { ( j ) } , } \end{array}
\Psi _ { T } : ( 1 ) ( N _ { f } , \bar { N } _ { f } , 0 , \frac { \tilde { N } _ { c } - N _ { c } } { N _ { f } } ) \rightarrow ( 1 ) ( N _ { f } , \bar { N } _ { f } , 0 , \frac { \tilde { N } _ { c } - N _ { c } } { N _ { f } } )
A ( z ) = { \frac { 1 } { 1 - c _ { 1 } z } } { \frac { p _ { 1 } z ^ { 2 } } { 1 - c _ { 2 } z } } { \frac { p _ { 2 } z ^ { 2 } } { 1 - c _ { 3 } z } } \cdots ,
{ \cal L } = \sqrt { ( 1 - B _ { 3 } ^ { 2 } ) - \phi _ { t } ^ { 2 } + \phi _ { x } ^ { 2 } } = \sqrt { 1 - B _ { 3 } ^ { 2 } } \sqrt { 1 - \varphi _ { t } ^ { 2 } + \varphi _ { x } ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r } { \mathrm { S p i n } [ x , A ] = \mathrm { t r } _ { \Gamma } { \cal P } \exp \Biggl [ { { \frac { i } { 4 } } e \, [ \gamma ^ { \mu } , \gamma ^ { \nu } ] \int _ { 0 } ^ { T } d \tau F _ { \mu \nu } ( x ( \tau ) ) } \Biggr ] } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { J } _ { n } ( x ) \sim \sqrt { \frac { 2 } { \pi x } } \cos \left( x - \frac { \pi } { 4 } - \frac { n \pi } { 2 } \right) \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \mathrm { Y } _ { n } ( x ) \sim \sqrt { \frac { 2 } { \pi x } } \sin \left( x - \frac { \pi } { 4 } - \frac { n \pi } { 2 } \right) \quad \mathrm { ~ a ~ s ~ } \quad x \rightarrow \infty , } \end{array}